Post on 18-Jan-2016
1
PENGGUNAAN INTEGRAL
A. VOLUME BENDA DALAM RUANG (Lempengan , Cakram, Cincin)
Integral tentu bisa digunakan untuk menghitung luas. Hal ini tidaklah mengherankan karena
Integral sesungguhnya diciptakan untuk hal demikian. Banyak besaran dapat dianggap sebagai
hasil pengirisan sesuatu menjadi potongan – potongan kecil, aproksimasi tiap potongan,
penjumlahan dan pengambilan limit ketika tiap potongan ukurannya mengecil. Metode yang
demikian dapat digunakan untuk mencari volume benda – benda tertentu.
Kita mulai dengan benda pejal sederhana yang disebut silinder tegak, diantaranya seperti
yang diperlihatkan pada gambar (i). dalam tiap kasus, benda itu diperoleh dengan cara
menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus dengan daerah tersebut.
Dalam tiap kasus itu, volume benda pejal didefinisikan sebagai luas A daerah alas dikalikan
tinggi h yakni :
V = A .h
Gambar (i)
Berikutnya perhatikan sebuah benda pejal yang penampang – penampangnya tegak lurus
dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Misalkan garis tersebut adalah sumbu – x dan
luas penampang pada x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b terlihat pada Gambar (ii). Selang [a,b]
dengan menyisipkan titik – titik = < < < ⋯ < = , kemudian kita lewatkan
bidang – bidang melalui titik – titik ini tegak lurus dengan sumbu x , sehingga mengiris benda
A
A
h
A
hh
2
menjadi lempengan – lempengan tipis seperti yang akan diperlihatkan pada Gambar (iii).
Volume ∆ suatu lempengan kira – kira sama dengan volume suatu silinder, yakni∆ = ( ) ∆Ketika norma partisi mendekati nol, akan diperoleh integral yang didefinisikan sebagai
volume benda pejal. = ( )Dalam menyelesaikan persoalan luas baiknya memahami proses menuju rumus tersebut.
Proses itu disebut dengan iris, aproksimasikan, integrasikan.
a. Benda-pejal Metode Cakram
Ketika ada sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari sebuah
garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah tersebut akan
membentuk sebuah benda-pejal putar. Garis yang tetap itu dikenal dengan sumbu benda-
pejal putar.
Ilustrasi 1, sebuah daerah oleh setengah lingkaran dan garis tengahnya, diputar
mengelilingi garis tengah tersebut. Maka daerah tersebut membentuk sebuah bola pejal.
Perhatikan gambar :
⤿ sumbu
Ilustrasi 2, sebuah daerah didalam suatu segitiga siku – siku diputar mengelilingi
salah satu kakinya, dia membentuk sebuah kerucut pejal. Perhatikan gambar :
sumbu
Ilustrasi 3, bila sebuah daerah lingkaran diputar mengelilingi sebuah garis pada
bidang lingkaran itu yang tidak memotong lingkaran, maka diperoleh sebuah poros.
3
Perhatikan gambar:
Sumbu
Dalam tiap kasus, dimungkinkan menyajikan volume itu sebagai suatu integral tentu.
Contoh soal :
1. Carilah volume benda-pejal putar yang diperoleh dari pemutaran daerah R yang
dibatasi oleh kurva y = Rx , sumbu x dan garis x = 4 mengelilingi sumbu x.
Jawab:
Daerah R dengn suatu irisan tertentu, diperagakan sebagai bagian kiri. Ketika
diputar mengelilingi sumbu x , daerah ini akan membentuk benda-pejal putar dan
irisan membentuk sebuah cakram, benda berbentuk uang logam tipis.
y
∆ = √x 4 x
√2
1
4
∆ ≈ √ ∆= ∫dengan mengingat bahwa silinder tegak adalah ℎ, kita aproksimasikan
volume ∆ cakram ini dengan ∆ = (√ ) ∆ dan kemudian integrasinya.= = 2 = 162 = 8 ≈ 25,132. Carilah volume benda-pejal yang terbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi
oleh kurva y = x3 , sumbu y dan garis y = 3 mengelilingi sumbu y.
Jawab :
y =3
△y
y △y
1 x ∆ ≈ ∆=
√
△x
x
y
5
Dalam kasus ini, lebih mudah y digunakan sebagai variable pengintegralan.
Perhatikan bahwa y = x3 setara dengan = dan ∆ ≈ ( ) ∆ maka
= = 35 = 9√95 ≈ 11, 76b. Benda-pejal Metode Cincin
= ( − )ℎAda kalanya apabila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu
putarnya, kita memperoleh sebuah cakram yang di tengah-tengahnya ada lubangnya. Daerah
demikian kita sebut cincin. Lihat Gambar diatas.
4
3
2
1
2
Gambar a ∆ ≈ √8 − ( ) ∆= ∫ (8 − )
h
= √8y = x2
x
Y
x
√8△x
x2
6
Contoh soal :
1. Tentukan Volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh parabol-parabol y = x 2
dan y2 = 8x diputar mengelilingi sumbu -x.
Jawab :
Disini kita juga menggunakan metode potong menjadi jalur-jalur, kemudian diaproksimasi,
dan akhirnya diintegralkan ( Gambar a).
V = ∫20 ( 8x – x4 ) dx = =485
≈ 30,16
2. Daerah setengah lingkaran yang dibatasi oleh kurva x = 4 − 2 di sumbu y
diputar mengelilingi garis x = -1. Susunlah integral yang merumuskan volume benda
putar.
Jawab :
Jari-jari luar cincin adalah 4 − + 1 sedangkan jari – jari dalam adalah1. Lihat
Gambar b. Integral yang bersangkutan dapat disederhanakan . Bgian yang terletak di
atas sumbu x, volumenya sama dengan bagian yang di bawah sumbu x. Jadi, kita cukup
mengintegralkan antara 0 dan 2 kemudian hasilnya dikalikan dua.
kita peroleh:
V = π∫ 1 + 4 − − 1= 2π ∫ 2 4 − + 4 −
y
Gambar b
2
1
y
x
∆ ≈ 1 + 4 + − 1 ∆= 1 + 4 + − 1-1
1 + 4 +
-2
X = -1
4 − △y
2
7
c. Benda-pejal lainnya yang penampangnya diketahui
Benda yang kita bahas memiliki daerah-daerah lingkaran sebagai penampang-
penampang tegak. Metode yang kita gunakan tetap berlaku untuk benda-benda yang
penampang tegaknya berbentuk bujur sangkar atau segitiga. Sesungguhnya yang kita
perlukan ialah bahwa kita dapat menghitung luas penampang-penampang tersebut.
Contoh Soal :
1. Andaikan alas sebuah benda adalah suatu daerah rata pada kuadran pertama yang
dibatasi oleh y = 1 − /4, sumbu x dan sumbu y. Andaikan penampang-
penampang yang tegaklurus pada sumbu x berbentuk bujur sangkar. Tentukan
volume benda lain.
Apabila kita potong-potong benda tegaklurus pada sumbu x kita peroleh lempeng
lempeng tipis yang berbentuk bujursangkar (Gambar c).
V = ∫ 1 − + = − += 2 – +
= ≈1,07
y
Gambar c
x 2 x
2. Alas sebuah benda diketahui merupakan daerah yang kurva y = sin dan sumbu x.
Tiap penampang yang tegaklurus sebuah segitiga sama sisi yang berdiri pada
alasnya. Tentukan volume benda itu .
△x
1 − 4
8
Kita ingat bahwa luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi u adalah √3 4⁄(Gambar 12). Kemudian lihatlah Gambar d. Untuk melakukan pengintegralan kita
menggunakan = (1 − cos 2 ) 2⁄ .
V = √ ∫ = √ ∫ (1 − cos 2 )= √ ∫ 1 − ∫ cos 2 .= √ − sin 2 = √ ≈ 0,68
Gambar d
xx
△x
= sin