Integral Tak Tentudan

Integral Tertentu

Pengertian Integral

• Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x),

• maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :

• notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

• f(x) fungsi integran• F(x) fungsi integral umum yang bersifat

F’(x) f(x)• c konstanta pengintegralan

cxFdxxf

• Jika f ‘(x) = xn, maka , n ≠ -1, dengan c sebagai konstanta

cxn

xf n

1

1

1

Integral Tak Tentu

• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c

• Secara matematis, ditulis

cxFdxxf

• di mana

• Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan

• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya

• c Konstanta

dx

Teorema 1

• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka

, c adalah konstanta.

cxn

dxx nn

1

1

1

Teorema 2

• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

dxxfkdxxkf

Teorema 3

• Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

dxxgdxxfdxxgxf

Teorema 4

• Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

dxxgdxxfdxxgxf

Teorema 5

• Aturan integral substitusi

• Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka

, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

cxur

dxxuxu tr 1

1

1'

Teorema 6

• Aturan integral parsial

• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

vduuvudv

Teorema 7

• Aturan integral trigonometri

• dimana c adalah konstanta.

cxx

cxxdx

cxxdx

tancos

1

cossin

sincos

2

...)4( 2.1 52 dxxx

x

dudx

2

cxcuduu 62655 )4(6

1

6

1

2x

du2x u

) ...(1

2.2

3

2

latihanbuatx

dxx

METODE SUBTITUSI

Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )

Contoh :

Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx

duvvuddvu .).(.

duvvudvu ...

duv dvu.

INTEGRAL PARSIAL

Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel

terhadap x, maka :

d(u.v) = v.du + u.dv

u.dv = d(u.v) – v.du

harus lebih mudah dari

yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.

(2).

dxx ln dvu.

ln x u dxdux

1

dxx ln dx

Contoh :

=

Jawab :

dv = dx v = x

Jadi :

= xln x -

= x ln x – x + c

nnnnn axaxaxaxa

12

21

10 ......

)(

)()(

xQ

xPxH

22

22)(

23

2

xxx

xxxH

INTEGRAL FUNGSI RASIONALSebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :

Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomJika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati”Contoh :

Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),

maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”

Contoh :

4

2336

4

1310)(

22

2

24

x

xx

x

xxxxH

Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,

)(

)(

xQ

xP : ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih

sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil

kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :

)).....()(()( 21 naxaxaxxQ

)(.....

)()()(

)(

2

2

1

1

n

n

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

naxxQ )()(

nn

ax

A

ax

A

ax

A

xQ

xP

)(.....

)()()(

)(2

21

))(()( 22 fexdxcbxaxxQ

)()()(

)(22 fexdx

DCx

cbxax

BAx

xQ

xP

1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,

, maka :

2. Faktor Q(x) semua linier berulang,

, maka :

3. Q(x) adalah kuadratis,

, maka :

....

2

)1(.1

2dx

xx

x

)1)(2(

)2()1(

12)1)(2(

1

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

dx

xx

x

2

)1(2 23

1

x

dx 13

2

x

dx

cxx |1|ln3

2|2|ln

3

1

contoh :

jawab :

x = 2 2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A A = 1/3

x = -1 -1 – 1 = B(-1-2) -2= -3B B = 2/3

Jadi,

+

=

....

12

)1(.2

2dx

xx

x

222 )1(

)1(

)1(1)1(

1

x

BxA

x

B

x

A

x

x

dx

xx

x

12

)1(2 1x

dx 2)1(

2x

dx

cx

x

)1(

2|1|ln

x = 1 1 + 1 = B B = 2

mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B 1 = - A + 2 A = 1

Jadi,

+

,222 xba atauxba ,222 222 axb

222 xba zb

ax sin zaxba cos 222

222 xba ztgb

ax zaxba sec 222

222 axb zb

ax sec ztgaaxb 222

SUBTITUSI TRIGONOMETRI

Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk : ,

dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru :

Bentuk Subtitusi Memperoleh

....49

.12

dxx

x

zx sin2

3 zdzdx cos

2

3 cos 349 2 zx

dzz

zdzz

z

zdx

x

x

sin

cos3) cos

2

3(

sin23

cos349 22

dzzdzzec sin3 cos3

cxx

x

2

2

49|2

493|ln3

contoh :

jawab :

,

Jadi,

= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c

dzz

z

sin

sin13

2

....4

.222 xx

dx

ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx

22 4 xx

dx dz

zztg

z

)sec2)(4(

sec22

2

dzz

z2sin4

cos

z

zd2sin

)(sin

4

1c

z

sin4

1c

x

x

4

4 2

jawab :

,

Jadi,

• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang

nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)

tertentu.

• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka

integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :

• f(x) : integran

a : batas bawah

b : batas atas

Integral TerTentu

b

a

dxxf )(

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

)()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a

6,6183231255

1

255

1

5

1

5555

25

5

2

5

2

54

xx

dxx

a

a

dxxf 0)(

032325

1

225

1

5

1

5552

25

2

2

2

2

54

xx

dxx

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

6,6183125325

1

525

1

5

1

5552

55

2

5

2

5

54

xx

dxx

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTUKAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()( 3093323125

5

1.5

555

5

25

5

2

5

2

54

x

xdxx

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 6,7111.330936,618

555

2

5

2

5

2

4444

dxxdxxdxxx

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183

2

5

3

5

2

444 dxxdxxdxx