Post on 24-Nov-2020
BAB IIPERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU
Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan differensial tingkat satu
derajat satu adalah persamaan yang memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu (
). Secara umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
= F(x,y)
F(x,y, ) = 0.
Bentuk umum di atas mengakibatkan jenis persamaan differensial
tingkat satu derajat satu bervariasi. Untuk lebih memudahkan dalam
menentukan primitif atau selesaiaan umum persamaan, maka
persamaan differensial tingkat satu derajat satu dikelompokkan
menjadi:
1) persamaan differensial variabel terpisah (persamaan
separable),
2) persamaan yang dapat direduksi ke persamaan variabel
terpisah,
3) persamaan differensial homogen,
4) persamanaan differensial tidak homogen,
5) persamaan differensial eksak,
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 23
6) persamaan differensial tidak eksak, dan
7) persamaan differensial yang berbentuk y f(xy) dx + x g(xy)
dy = 0.
Jenis dan macam masing-masing persamaan differensial
mempunyai spesifikasi yang berbeda-beda. Prinsip utama yang
digunakan adalah sedapat mungkin memisahkan dan mengelompokkan
masing-masing koefisien differensial. Khusus untuk persamaan yang
tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema)
akan sangat membantu.
Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan differensial
tingkat satu derajat satu.
2.1 Persamaan Differensial Variabel Terpisah (Separable)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai
bentuk umum M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai
persamaan differensial variable terpisah jika bentuk umum tersebut
dapat dinyatakan dengan f(x) dx + g(y) dy = 0. Dengan kata lain
masing-masing differensial dalam persamaan berpasangan dengan
variabel yang sejenis.
Contoh:
1. x dx + 2 y dy = 0
2. y2 dx – x dy = 0
- = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 24
3. y’ = y
dx - = 0
4. x dx – sin y dy = 0
Karena tanda differensial persamaan di atas dx dan dy
berpasangan dengan variable yang sejenis, maka untuk menentukan
selesaian umum persamaan cukup dengan mengintegralkan masing
masing bagian.
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini!
Tentukan selesaian umum persamaan diffrensial:
1. x dx + 2 y dy = 0
x dx + 2y dy = C
x2 + y2 = C
x2 + 2y2 = C (primitive, persamaan keluarga kurva, SUPD)
2.ydx - 3
xdy = 0
x dx – 3y dy = 0
x dx - 3y dy = C
x2 - y2 = C
x2 – 3y2 = C
3. 3y dx + 2x dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 25
3 + 2 = 0
3 + 2 = C
3 Ln │x │+ 2 Ln │ y │= C
Ln │x3y2 │= C
x3y2 = C
4. x dx + 2 y dy = 0
x dx + 2 y dy = C
21 x2 + y2 = C
x2 + 2y2 = C
5. sin x dx + (1-y) dy = 0 dengan y( ) = 1
sin x dx + (1-y) dy = C
- cos x + y - 21 y2 = C
- 2 cos x + 2y - y2 = C
Karena y( ) = 1 maka diperoleh C = 3, sehingga selesaian khusus
persamaan adalah -2 cos x + 2y – y2 = 3
Latihan soal
Tentukan selesaian umum persamaan differensial:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 26
1. y2 dx – x dy = 0
2. (1+2y) dx – (4-x) dy = 0
3. cos y dx + (1+e-x) dy = 0
4. dx + (1-x2) cot y dy = 0
5. = 1-sec x
6. (1-x2)y’ = 2
7. (1+2y) dx - (4-x) dy = 0
8. xdy – ydx = 0 dengan y(1) = 1
9. (1-x) dx – 2y2 dy = 0 dengan y(0) = 1
10. y’= x3(1-y) dengan y(0) = 3
11. = 2x cos2y dengan y(0) =
12. y’ = 2x3e-2y dengan y(1) = 0
Catatan
Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable
terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien differensial berupa variable
sejenis berkumpul dengan differensialnya, dengan kata lain dapat
dinyatakan dalam bentuk sederhana f(x) dx + g(y) dy = 0.
2.2 Persamaan yang dapat Direduksi ke Persamaan Variabel
Terpisah
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx +
N(x,y) dy = 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan differensial yang
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 27
dapat direduksi menjadi persamaan differensial variable terpisah jika
bentuk umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0
)()(
2
1
xfxf dx +
)()(
1
2
ygyg dy = 0
F(x) dx + G(y) dy = 0.
Untuk selanjutnya bentuk pembagian )()(1
22 xgxf disebut faktor
integrasi. Selesaian umum persamaan differensial yang dapat direduksi
menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara
mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis
dikelompokkan dengan differensialnya.
Contoh:
Tentukan selesaian umum persamaan dibawah ini:
1. 2(y+3) dx – xy dy = 0
2 - = 0
2 - = C
2 - ( 1- ) dy = C
2 - 1 dy + dy = C
2 Ln │x │- y + 3 Ln │y+3│= C
Ln │x2(y+3)3│ = C + y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 28
x2(y+3)3 = e(C + y) = cey
x2(y+3)3 = cey
2. dxdy = )3(
4yxy
x(y-3) dy = 4y dx
4y dx - x(y-3) dy = 0
4 - dy = 0
- dy = C
4 Ln │x│– y + 3 Ln │y│= C
x4y3 = ec+y = cey
3. xy dy = (y+1)(1-x) dx dengan y(1) = 0
- xy dy = 0
dx - dy = 0
xdx - dx – dy + = 0
- dx – dy + = C
Ln │x│ - x – y + Ln │y + 1│= C
Ln │x(y+1)│ = C + x + y
x(y+1) = ec+x+y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 29
Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = ec+1+0. Diperleh c = -1 sehingga
diperoleh selesaian khusus persamaan x(y+1) = ex+y-1.
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini:
1. dx + (1-x2) cotg y dy = 0
2. cos y dx + (1+e-x) sin y dy = 0
3. xy dx + (1+x2) dy = 0
4. x2(y-4) dx + y(x2-1) dy = 0
5. =
6. =
7. y-1 + y’ ecos x sin dx = 0
8. x =
9. y’ =
10. y’ = y(2+sin x)
11. = 8x2e-3y dengan y(1) = 0
12. = dengan y(0) = -1
2.3 Persamaan Differensial Homogen
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 30
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx +
N(x,y) dy= 0 disebut persamaan differensial homogen jika M(x,y) dan
N(x,y) fungsi homogen berderajat sama.
Definisi:
1. F(x,y) disebut fungsi homogen jika F(x,y) = G( ) atau F(x,y)
= H( )
2. Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika
memenuhi syarat F(tx,ty) = tn F(x,y).
Contoh:
1. F(x,y) = adalah fungsi homogen, karena
F(x,y) = = 1
1
xy = H( )
2. F(x,y) = x + y
= 1 +
= + 1
3. F(x,y) = 1 – xy, bukan fungsi komogen karena 1-xy tidak dapat
dinyatakan dengan bentuk G( ) atau H( )
4. F(x,y) = 3x2 – 2xy + y2.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 31
Adalah fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam dengan H( )
atau G( )
5. F(x,y) = y sin x, bukan fungsi homogen.
6. F(x,y) = , bukan fungsi homogen.
7. F(x,y) = x + y, fungsi homogen berderajat 1, karena:
F(tx,ty) = (tx) + ty
= t(x+y)
= t1 F(x,y)
8. F(x,y) = yxx2 , fungsi homogen berderajat 0, karena
F(x,y) = )()()(2tytx
tx
= )()()(2tytx
tx
= )()2(yxtxt
= to )()(2yxx
= to F(x,y)
9. Dengan cara yang sama, F(x,y) = x3 – 2x2y + 3xy2 adalah fungsi
homogen berderajat 3 dan G(x,y) = x 22 yx fungsi homogen
berderajat 2.
10. F(x,y) = sin (x+y) bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty) tn F(x,y)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 32
Jika M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 diketahui sebagai persamaan
differensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan
dengan cara menyatakan M(x,y) dan dan N(x,y) dalam bentuk M( )
atau M( ). Demikian pula untuk N(x,y). Dengan kata lain M(x,y) dan
N(x,y) dibagi dengan koefisien differensial yang berpangkat tertinggi.
Setelah dilakukan pembagian, selanjutnya gunakan transformasi
yu = x atau xv = y. Jika yang digunakan transformasi yu = x maka dx =
ydu + udy. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi xv = y maka dy
= xdv + vdx. Akhirnya dx atau dy (tidak keduanya) disubstitusikan
dalam persamaan differensial semula sehingga,
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
M( )dx + N( )dy = 0 atau M( ) dx + N( )dy = 0.
Dengan memilih transformasi dy = xdv + vdx maka
M( ) dx + N(xy )(xdv + vdx) = 0.
M(v) dx + N(v)(xdv + vdx) = 0.
Bentuk terakhir persamaan di atas adalah persamaan differensial
yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah
variabelnya dipisahkan dan dengan mengintergralkan masing-masing
bagian didapat selesaian umum persamaan yang dicari.
Perhatikan contoh berikut:
Tentukan selesaian umum persamaan:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 33
1. (y2 – x2) dx + xy dy = 0
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena
M(x,y) dan N(x,y) adalah persamaan homogen yang berderajat
sama yaitu dua.
( - 1) dx + dy = 0
Dengan transformasi xv = y dan dy = xdv + vdx, diperoleh
(v2 – 1)dx + v(xdv + vdx) = 0
(v2 + v2 – 1)dx + vxdv = 0
+ = 0
+ = C
Ln │x│+ ¼ Ln │(2v2 – 1)│= ln C
(x4(2v2-1)) = C
(x4( ) = C
2x2y2 – x4 = C
2. (3x – 2y) dxdy - 3y = 0 dengan y(1) = 1
Persamaan di atas adalah persamaan differensial homogen, karena
M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
(3x – 2y)dy – 3ydx = 0
(3 – 2)dy – 3dx = 0
Dengan transformasi x = uy dan dx = udy + ydu
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 34
(3u – 2)dy – 3(udy + ydu) = 0
(3u – 2 – 3u)dy – 3ydu = 0
2 + 3 du = 0
2 + 3 du = C
2 Ln │y│+ 3u = C
Ln y2 = C-3u
y2 = ec-3y/x
Karena y(1) = 1 maka 12 = ec-3(1)/(1) didapat C = 3 sehingga selesaiannya
dinamakan selesaian khusus (integral khusus) yaitu y2 = e3-3y/x
Latihan soal
1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan
derajatnya.
a. f(x,y) = x + 2y
b. f(x,y) = ex/y
c. f(x,y) =
d. f(x,y) = sin(x+y) + cos2(xy)
e. f(x,y) = xy – y2 + 3x2
f. f(x,y) =
g. f(x,y) = x + y cosx.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 35
2. Tentukan selesaian persamaan differensial homogen berikut ini.
a. (xy + y2) dx – x2 dy = 0 dengan y(2) = 1
b. =
c. (2x-5y) dx + (4x-y) dy = 0, dengan y(1) = 1
d. (x-y) dx + x dy = 0, dengan y(0) = 0
e. (x3+y3) dx – 3xy2 dy = 0
f. x dy – y dx - = 0
g. = - tgn
h. y’ = dengan y(2)
= 1
jawab : 2x - y = cy karena y(2) = 1 maka C = 7.
i. y’ = dengan y(1) = 3
j. =
k. y2 dx + (x2 –y2) dy = 0 dengan y(2) = 0
2.4 Persamaan M(x,y) dan N(x,y) Linear, tetapi Tidak Homogen
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y) dx +
N(x,y) dy = 0, disebut persamaan differensial linear tidak homogen jika
M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi linear. Sehingga berbentuk (ax+by+c)
dx + (px + qy + r ) dy = 0.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 36
Contoh :
1. (x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0
2. (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0
3. (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
4. (3x + 2y + 1) dx – ( 3x+2y-1) dy = 0
Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan differensial tidak
homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan
menjadi 3 jenis yaitu:
a. Bentuk pa =
qb =
rc = (parameter), sehingga
a = p , b = q, dan c = r
Contoh
(x+y+2) dx + (2x + 2y + 4) dy = 0
b. Bentuk pa =
qb = (parameter)
rc
Sehingga a = p , b = q
Contoh
(x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0
(3x+2y+1) dx + (3x-2y-4) dy = 0
c. Bentuk selain di atas.
(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
(3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 37
Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum
persamaan differensial linear tidak homogen harus menyesuaikan
dengan bentuknya.
a. Bentuk pa =
qb =
rc = .
Karena pa =
qb =
rc = , maka diperoleh
a = ,p b = q, dan c = r . Sehingga persamaan semula
(ax + by + c) dx + (px +qy + r) dy = 0
( px + qy + )r dx + (px + qy + r) dy = 0
(px + qy + r ) dx + (px + qy + r) dy = 0
dx + dy = 0
dx + dy = C
x + y = C (persamaan linear)
b. Bentuk pa =
qb = .
Persamaan bentuk pa =
qb = dapat diselesaikan dengan cara
menggunakan transformasi ax + by = u atau px + qy = v.
Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendifferensialkan masing
variabel, sehingga diperoleh:
d(ax) + d(by) = d(u)
a dx + b dy = du
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 38
a dx = du – b dy
dx = abdydu , atau
a dx + b dy = du
b dy = du – a dx
dy = badxdu
Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi px + qy
= v, diperoleh bentuk
dx = pqdydv , atau
dy = qpdxdv
Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke
persamaan differensial semula.
(ax + by + c) dx + (px + qy + r)dy = 0
(u +c) dx + (1 u + r) dy = 0
(u+c) (abdydu ) + (
1 u + r) dy = 0
Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke
persamaan differensial dengan variable terpisah (PD separable).
Contoh:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 39
1. Tentukan primitif dari (x+y+1) dx + (2x+2y+3) dy = 0 dengan y(0) =
0
Jawab
Dari persamaan (x+y+1) dx + (2x + 2y + 3) dy = 0, diperoleh
a = 1, b = 1, c = 1, p = 2, q = 2, dan r = 3. Sehingga = 21 .
Selanjutnya gunakan transformasi
x + y = u atau 2x + 2y = v.
Jika transformasi yang digunakan x + y = u. maka diperoleh
(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.
Selanjutnya bentuk transformasi x + y = u didefferensialkan
dx + dy = du dan diperoleh dx = du – dy atau dy = du – dx.
Cara I
(u+1) dx + (2u + 3) dy = 0.
(u+1) (du – dy) + (2u + 3) dy = 0
(u+1) du + (2u +3 – u – 1) dy = 0
(u+1) du + (u +2) dy = 0 (direduksi menjadi PD Separable)
dy + 21
uu du = 0
dy + 1 du - 21u
du = 0
y + u - Ln │u + 2│= C
y + (x+y) - Ln │x + y + 2│= C
x + 2y – C = Ln │x + y + 2 │
e(x+2y-c) = (x+y+2)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 40
Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan e(x+2y-ln ) =
(x+y+2)
Cara II
(u+1) dx + (2u + 3) (du – dx) = 0.
(u+1 – 2u -3) dx + ( 2u + 3) du = 0
(-u -2 ) dx + ( 2u + 3) du = 0
(u+1) du + (u +2) dy = 0
du + 12
uu dy = 0
du + 1 dy + 11u
dy = 0
(x+y) + y + Ln │x + y + 1 │= C
x + 2y – C = Ln │x + y + 1 │
(x+y+1) = e x + 2y – C
Karena y(0) = 0 maka didapat c = ln 2.
4. (3x+2y+1) dx - (3x+2y-1) dy = 0 (jenis 2)
Jawab
Transformasikan 3x + 2y = u, sehingga 3 dx + 2 dy = u dan
diperoleh:
dx = 32dydu , atau dy =
23dxdu
(u+1) dx – (u-1) dy = 0
Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan
diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 41
(u+1) (32dydu ) – (u-1) dy = 0
(u+1) (du – 2dy) – 3(u-1) dy = 0 dstnya.
(u+1) du – (2u+2+3u-3) dy = 0
du – dy = 0
du + - = C
1/5 u + 6/25 Ln │5u -1│- y = C
/5 (3x+3y) + 6/25 Ln │5(3x+3y) -1 │ - y = C
Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1
dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi ax + by
+ c = u dan
px + qy + r = v.
Selanjutnya differensialkan kedua bentuk transformasi di atas
sehingga diperoleh
d(ax) + d(by) + d(c) = d(u) dan d(px) + d(qy) + d(r) = d(v)
a dx + b dy = du dan p dx + q dy = dv. Eleminasikan dx dan dy
pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:
a dx + b dy = du x p
p dx + q dy = dv x a, sehingga
ap dx + bp dy = p du
ap dx + aq dy = a dv
--------------------------- -
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 42
(bp-aq) dy = p du – a dv
dy = aqbpadvpdu
Dengan cara yang sama diperoleh
dx = bpaqbdvqdu
Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu:
(ax + by + c) dx + (px +qy + r ) dy = 0
u bpaqbdvqdu
+ v
aqbpadvpdu
= 0
Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda
differensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan differensial
homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode
PD homogen.
Contoh
1. Tentukan selesaian umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x +
3) dy = 0
Jawab
Transformasikan
(3y-7x+7) = u dan (7y-3x+3) = v
Dengan mendifferensialkan masing-masing peubah, diperoleh:
3 dy – 7 dx = du dan 7 dy – 3 dx = dv.
Elimasikan dx dan dy berurutan
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 43
3 dy – 7 dx = du x 3
7 dy – 3 dx = dv x 7, didapat
9 dy – 21 dx = 3 du
49 dy – 21 dx = 7 dv
----------------------- -
-40 dy = 3 du – 7 dv
dy = 40
37 dudv
Dengan cara yang sama diperoleh
dx = 40
73 dudv
Substitusikan kepersaman semula, sehingga diperoleh
(3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
u (40
73 dudv ) + v (40
37 dudv ) = 0
40u(3dv-7du) + 40v(7dv-3du) = 0 (PD homogen)
(3u + 7v) dv – (7u + 3v) du = 0
Bagi persamaan dengan v, diperoleh
(3vu + 7) dv -(7
vu + 3 ) du = 0
Transformasikan vu = t atau u = vt
Sehingga du = v dt + t dv
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 44
Persamaan di atas adalah PD yang dapat direduksi ke persamaan
variable terpisah.
(3t +7) dv – (7t+3)(vdt + tdv) = 0
(3t+7-7t2-3t) dv –(7t+3)vdt = 0
- dt = 0
- dt = C
Ln │v│ + ½ Ln │1-t2│+ 3/7 Ln = 0
Dengan mensubstitusi v = 7y – 3x + 3 dan t = , diperoleh
selesaian umum persamaan (3y – 7x +7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0
2. Tentukan selesaian umum persamaan ( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy
= 0
Jawab.
Transformasikan
3x – 2y + 1 = u dan 3x+2y = v
3 dx – 2 dy = du dan 3 dx + 2 dy = dv diperoleh
3 dx – 2 dy = du
3 dx +2 dy = dv
------------------- -
-4 dy = du – dv
dy = ¼ (dv-du) dan dx = dx = 1/6 ( du+dv).
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 45
Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh
( 3x - 2y + 1) dx – ( 3x+2y) dy = 0
u (1/6)(du+dv) – v(1/4)(dv-du) = 0
4u(du+dv) – 6v(dv-du)
(4u + 6v) du + (4u -6v) dv = 0
(4 + 6 ) du + (4 – 6 ) dv = 0
Transformasikan = p v = up sehingga dv = u dp + p du
Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh
(4+6p) du + (4-6p)(u dp + p du) = 0
(4+6p+4p-6p2) du + (4-6p)u dp = 0
+ = 0
+ = C
Ln │u │- dp = C
Ln │3x – 2y +1│+ 18/5 Ln │6p + 2 │+ 8/5 Ln │p-2│+ C
Ln │3x – 2y +1│+ 18/5 Ln │6( ) + 2 │+ 8/5 Ln │( ) - 2│+ C
2.5 Persamaan Differensial Eksak (PDE)
Persamaan differensial tingkat satu derajat satu M(x,y)dx +
N(x,y)dy = 0 disebut persamaan differensial eksak jika dan hanya jika
memenuhi syarat:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 46
yyxM
),( =
xyxN
),(
Contoh
1. (x+y) dx + (x-y) dy = 0 adalah PD eksak karena
M(x,y) = (x+y) yyxM
),( = 1 dan N(x,y) = (x-y)
xyxN
),( = 1
2. ( x + y Cos x) dx + Sin x dy = 0, adalah PD eksak karena
M(x,y) = x + y Cos x yyxM
),( = Cos x
N(x,y) = Sin x xyxN
),( = Cos x
3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan differensial eksak,
M(x,y) = xy – 2y2 yyxM
),( = x – 4y
N(x,yk) = -x2 = 2-2x
yyxM
),(
xyxN
),(
Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan
tidak eksak karena .
1. (x2+y2) dx + xy dy = 0 -- PD Homogen
2. dx - 22 xa dy = 0 --- PD yang dapat direduksi ke PD
Separable
3. (x+y+1) dx - (x-y+3) dy = 0 ---> PD Tidak homogen
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 47
Persamaan differensial eksak mempunyai selesaian umum F(x,y) =
C.
Menurut definisi differensial total untuk F(x,y) = C, diperoleh:
d(C) = dF(x,y)+ dF(x,y)
0 = dx + dy.
Berdasarkan bentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dan
0 = dx + dy
= M(x,y) dan = N(x,y)
Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan
selesaian persamaan differensial eksak yang berbentuk F(x,y) = C dapat
dilakukan dengan dua cara.
Cara I
= M(x,y) dan = N(x,y)
Dari kesamaan di atas diperoleh
= M(x,y) F(x,y) = M(x,y) dx
= dx + G(y)
= N(x,y) y dx + G(y) = N(x,y)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 48
y dx + G’(y) = N(x,y)
G’(y) = N(x,y) - y dx
G(y) = (N(x,y) - y dx ) dy
Substitusikan G(y) dalam F(x,y) = dx + G(y) yang merupakan
selesaian umum persamaan differensial
Cara II
= N(x,y) dan = M(x,y)
Dari kesamaan di atas di peroleh
= N(x,y) F(x,y) = N(x,y) dy
= N(x,y) dy + F(x)
= M(x,y) N(x,y) dy + F(x) = M(x,y)
N(x,y) dy + F’(x) = M(x,y)
F’(x) = M(x,y) - N(x,y) dy
F(x) = M(x,y) - N(x,y) dy ) dx
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 49
Substitusikan F(x) ke dalam F(x,y) = N(x,y) dy + F(x) yang merupakan
selesaian umumnya.
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan differensial eksak berikut ini:
(2x +3y+4) dx + (3x+4y+5) dy = 0.
Jawab
M(x,y) = (2x+3y+4) = 3 dan
N(x,y) = (3x+4y+5) = 3
Berarti persamaan di atas adalah eksak.
Selesaian PD di atas adalah F(x,y) = C. Untuk mendapatkan F(x,y)
= C dapat digunakan kesamaan
= N(x,y) dan = M(x,y).
= (3x+4y+5)
F(x,y) =
= 3xy + 2y2 + 5y + F(x)
= M(x,y).
3xy + 2y2 + 5y + F(x)) = (2x +3y +4)
3y + F’(x) = 2x + 3y + 4
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 50
F’(x) = 2x + 4
F(x) = x2 + 4x + C
Primitif persamaan adalah F(x,y) = 3xy + 2y2 + 5y + x2 + 4x + C
2. (x + y Cos x) dx + sin x dy = 0
Jawab
M(x,y) = x + y Cos x = Cos x dan
N(x,y) = sin x = Cos x
Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferencial eksak.
Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = C.
Untuk mendapatkan F(x,y) = C digunakan kesamaan
= M(x,y) dan = N(x,y)
= x + y Cos x F(x,y) = (x + y Cos x) dx
= x2 + y Sin x + G(y)
= sin x
( x2 + y Sin x + G(y) ) = sin x
Sin x + G’(y) = sin x
g’(y) = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 51
g(y) = C
Diperoleh selesaian umum persamaan F(x,y) = x2 + y Sin x + C
x2 + 2y Sin x = C
Soal-soal
A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak
1. (3x+2y) dx + (2x+y) dy = 0
2. (y2 + 3) dx + (2xy-4) dy = 0
3. (6xy + 2y2 – 5) dx + (3x2+4xy-6) dy = 0
4. dx + dy = 0
5. (cos x cos y + y)y’ + tgn x = sin x sin y
6. (5xy + 4y2 + 1) dx + (x2+2xy) dy = 0
7. x dx + y dy = (x2+y2) dx
8. l(y2 - +2) dx + ( + 2y(x+1))dy = 0
9. 2(x2 + xy) dx + (x2+y2) dy = 0
10. ( + ) dx + ( ) dy = 0
B. Tentukan selesaian umum persamaan 1-10 di atas, jika diketahui
eksak.
2.6 Persamaan Differensial Tidak Eksak (PDtE)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 52
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial tingkat
satu derajat satu disebut persamaan differensial tidak eksak jika dan
hanya jika:
yyxM
),(
xyxN
),( .
Persamaan differenial tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan
primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan
tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan
differensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan differensial eksak.
Faktor integral persamaan differensial tidak eksak dinyatakan dengan
(x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak
eksak ditulis dalam bentuk: (x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0]
(x,y)M(x,y) dx + (x,y)N(x,y) dy = 0 (PD eksak)
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 - PD tingkat satu derajat satu
Dengan M(x,y) = (x,y)M(x,y) dan N(x,y) = (x,y)N(x,y)
Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan differensial
tingkat satu berupa persamaan differensial eksak yang memenuhi sifat
dengan
M(x,y) = (x,y)M(x,y), dan N(x,y) = (x,y)N(x,y)
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 53
Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan differensial eksak,
sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode
persamaan differensial eksak.
Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak?
Karena (x,y)[M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0] persamaan eksak, maka:
=
+ M = + N
- = ( N - M )
( - ) = ( N - M )
dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus:
a. Misal (x,y) = (x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka = 0 dan
= , sehingga
( - ) = ( N - M.0 )
=
Jika suatu fungsi dari x atau f(x), maka dari
= didapat
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 54
= f(x) atau = f(x) dx
Ln = f(x) dx
= e ---- faktor integral yang dicari
b. Misal = (y) yaitu fungsi bervariabel y saja maka = 0 dan
= , sehingga
( - ) = ( N - M )
( - ) = ( N.0 - M )
=
Jika suatu fungsi dari y atau g(y), maka dari
= didapat
dyd = -g(y) atau = -g(y) dy
Ln = -g(y) dy
= e
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 55
c. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan differensial
homogen dengan
x M(x,y) + y N(x,y) 0, maka faktor integral (x,y) =
d. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis y f(xy) dx + x g(xy)dy = 0
dengan
f(xy) g(xy) maka (x,y) = =
e. Seringkali faktor integral (x,y) dapat diperoleh dengan pemeriksaan,
hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku
persamaannya. Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu
merupakan suatu bagian dalam persamaan differensial eksak.
Contoh
Tentukan selesaian umum persamaan differensial berikut dengan
terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya.
1. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
Jawab
M(x,y) = x2 + y2 + x = 2y
N(x,y) = xy = y
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 56
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena
Selanjutnya dicari (x,y) sebagai faktor integrasi
Karena = = = f(x)
Maka (x,y) = e = e ln x = x.
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial
eksak yaitu x{(x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0}
(x3 + xy2 + x2) dx + (x2y) dy = 0
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian
umumnya
3x4 + 4x3 + 6x2y2 = C
2. (2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
Jawab
= (8xy3ey + 2xy4) + 6xy2 + 1
= 2xy4ey – 2xy2 - 3
Sehingga persamaan di atas tidak eksak.
Selanjutnya dicari (x,y) sebagai faktor integrasi
Karena = = -g(y)
Maka (x,y) = e =
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 57
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan differensial
eksak yaitu (2xy4ey + 2xy3 + y) dx + (x2y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian
umumnya
x2ey + + = C
Latihan
Tentukan faktor integral dan selesaiaan umum persamaan
a. (x4 + y4) dx – xy3 dy = 0
b. y(x-2y) dx – x2 dy = 0
c. x dy – y dx = x2ex dx
d. y2 dy + y dx – x dy = 0
e. 3x2y2 dx + 4(x3y-3) dy = 0
2.7 Persamaan Bentuk y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0
Persamaan y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0, juga disebut persamaan
differensial tingkat satu derajat satu karena bentuknya M(x,y) dx +
N(x,y) dy = 0
Selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi xy =
z, sehingga y = . Dengan menurunkan masing-masing variable
diperoleh
dy = .
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 58
Substitusikan bentuk dy = ke persamaan semula
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
M(x, )dx + N(x, )( ) = 0
M(x,z) dx + N(x,z) dz = 0
Bentuk terakhir merupakan persamaan yang dapat dipisahkan variabel-
variabelnya.
Contoh.
Tentukan selesaian umum persamaan
1. (xy2+y) dx + (x+x2y+x3y2) dy = 0
Jawab
(xy2+y) dx + (x+x2y+x3y2) dy = 0
y(xy+1) dx + x(1+xy+x2y2)dy = 0
Transformasikan y = , dengan menurunkan masing-masing variable
diperoleh dy = .
Sehingga persamaan semula menjadi
(z+1) dx + x(1+z+z2)( ) = 0
z3 dx – x(1+z+z2) dz = 0
– dz = 0
– - + = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 59
– - + = C
Ln │x │+ + + Ln │z │= c
Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan
2x2y2 Ln │y │- 2xy - 1 = Cx2y2
Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan
1. y(xy+1)dx + x(1+xy + x2y2) dy = 0
2. (y-xy2) dx – (x +x2y) dy = 0
3. (1-xy+x2y2) dx + (x3y – x2) dy = 0 dengan y(1) = 0
4. y(1+2xy) dx + x(1-xy) dy = 0 dengan y(0) = 0
5. y(1-xy) dx + x (xy + 3) dy = 0
2.8 Trayektori Ortogonal
Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva
atau dari sebaliknya dengan sudut tetap disebut trayektori dari
persamaan differensial yang diketahui. Jika besar sudut = 90o maka
disebut trayektori ortogonal, sedangkan jika besar sudut 90º maka
diebut trayektori isogonal.
a. Trayektori Isogonal
Integral kurva dari persamaan f(x,y, ) = 0 adalah trayektori
isogonal dengan sudut tetap dari persamaan differensial f(x,y,y’) =
0
b. Trayektori Ortogonal
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 60
Jika = 90º maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral
kurva dari persamaan differensial f(x,y, ) = 0 adalah trayektori
orthogonal dari persamaan f(x,y,y’) = 0.
Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan
diferencial f(r, ,r2 ) = 0 adalah trayektori ortogonal dari integral
kurva f(r, , )
Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka
beberapa langkah yang ditempuh adalah.
1. Tentukan persamaan differensial dari persamaan keluarga kurva
yang diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat
parameter maka parameter harus dieliminir terlebih dahulu.
2. Tentukan persamaan differensial dari trayektorinya.
a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian
dengan - pada persamaan differensialnya.
b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap
maka lakukan penggantian dengan
pada persamaan differensialnya.
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 61
c. Bila trayektori = 45º maka lakukan penggantian
dengan
pada persamaan differensialnya.
d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan
penggantian dengan –r2 .
3. Selesaikan persamaan differensial baru tersebut dengan metode
yang sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang
diminta.
Contoh
Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva x2 + 2y2 = C, C
Real.
Jawab
Persamaan differensial dari persamaan x2 + 2y2 = C adalah
d(x2 ) + d( 2y2 ) = d(C)
2x dx + 4y dy = 0
2x + 4y = 0.
Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti dengan -
, sehingga
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 62
2x + 4y = 0.
2x + 4y = 0
2x dy – 4y dx = 0
2 – 4 = 0
2 – 4 = C
2 Ln y│- 4 Ln │x│= C
Ln = C
y2 = Cx4
Latihan
1. Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva
a. x2 + y2 – 2Cx = 0
b. y2 + 3x2 – Cx = 0
c. y2 – x2 – C = 0
d. (x2 + y2)2 = Cxy
e. y = x – 1 + Ce-x
f. r = C Cos
g. y2 =
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 63
2. Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap = 45º dari
persamaan keluarga kurva
a. x2 + y2 = 2C(x+y)
b. x2 + y2 = C2
2.9 Soal-soal
A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian
umum persamaan differensial di bawah ini.
1. y’ =
2. y’ + y = 2x + 1
3. (2xy – y + 2x) dx + (x2- x) dy = 0
4. y’ =
5. ( + x2) dx + = 0
6. (2x sin xy + x2y cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0
7. y’ = xy2 + 2xy
8. (y+y2) dx + (y2-x2-xy) dy = 0
9. y’ =
10. (2x+y+1) dx + (x+3y+2)dy = 0
B. Tentukan selesain masalah nilai awal
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 64
1. y’ = (1+y2) tgn x dengan y(0) =
2. b. = 2x cos2y dengan y(0) =
3. (x2 + 3y2) dx – 2xy dy = 0 dengan y(2) = 6
4. (2xy – 3) dx + (x2+4y) dy = 0 dengan y(1) = 2
5. ( ) dx + ( ) dy = 0
C. Tentukan M(x,y) dan A sedemikian sehingga persamaan berikut
eksak.
1. (x3 + xy2) dx + M(x,y) dy = 0
2. ( + ) dx + M(x,y) dy = 0
3. (x2+3xy) dx + (Ax2 + 4y) dy = 0
4. ( ) dx + ( ) dy = 0
5. ( ) dx + ( ) dy = 0
D. Tentukan Faktor integrasi persamaan di bawah ini dan tentukan
selesaiannya
1. x dy + y dx = (x2 + y2) dx
2. (2y-3x) dx + x dy = 0
3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0
4. x dy + y dx = 3x2 (x2 + y2) dx
5. y dx – x dy + ln x dx = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 65
6. (3x2+y2) dx – 2 xy dy = 0
7. (x+y) dx – (x-y) dy = 0
8. y(x+y) dx – x2 dy = 0
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 66