Post on 01-Jan-2016
BAB I
GERAK OSILASI
Sistem teknik yang mempunyai massa dan elastisitas (kekakuan) mampu bergerak
relatif. Apabila gerakan benda/sistem itu berulang sendiri dalam interval waktu tertentu maka
gerakan itu dikenal sebagai getaran (vibration).
Getaran dibagi ke dalam dua kelompok yang umum yaitu getaran bebas (free
vibration) dan getaran paksa (forced vibration). Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi
karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri (inherent), dan jika tidak ada gaya
luar yang bekerja. Sistem yang bergetar bebas akan bergetar pada satu atau lebih frekuensi
naturalnya, yang merupakan sifat sistem dinamika yang dibentuk oleh distribusi massa dan
kekakuannya.
Getaran yang terjadi karena rangsangan gaya luar disebut getaran paksa. Jika
rangsangan tersebut berosilasi, maka sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi
rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem, maka
akan didapat keadaan resonansi, dan osilasi besar yang berbahaya mungkin terjadi. Kerusakan
pada struktur besar seperti jembatan, gedung atau sayap pesawat terbang, merupakan kejadian
menakutkan yang disebabkan resonansi. Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal
penting yang utama dalam pelajaran getaran.
Semua sistem yang bergetar mengalami redaman sampai derajat tertentu karena energi
didisipasi oleh gesekan dan tahanan lain. Jika redaman itu kecil, maka pengaruhnya sangat
kecil pada frekuensi natural sistem, dan perhitungan frekuensi natural biasanya dilaksanakan
atas dasar tidak ada redaman. Sebaliknya redaman adalah penting sekali untuk membatasi
amplitudo osilasi pada waktu resonansi.
Jumlah koordinat bebas yang dibutuhkan untuk menggambarkan gerak sistem disebut
derajat kebebasan (degree of freedom).
1.1 Gerak Harmonis
Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, seperti pada roda pengimbang sebuah
arloji, atau dapat juga sangat tidak teratur, seperti misalnya pad gempa bumi. Jika gerak itu
berulang dalam selang waktu yang sama t, maka gerak disebut gerak periodik. Waktu
Thomson, W.T. Teori Getaran Dengan Penerapannya. (1981). Prentice-Hall, Inc.
pengulangan t tersebut disebut perioda osilasi dan kebalikannya, f = 1/ disebut frekuensi.
Bentuk gerak periodik yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat
diperagakan dengan sebuah massa yang digantung pada sebuah pegas ringan, seperti terlihat
pada gambar (1.1-1). Jika massa tersebut dipindahkan dari posisi diamnya dan dilepaskan,
maka massa tersebut akan berosilasi naik turun. Dengan menempatkan sumber cahaya pada
massa yang berosilasi tersebut, maka geraknya dapat direkam pada suatu keping film peka
cahaya yang bergerak pada kecepatan konstan dan dapat dinyatakan dengan persamaan:
(1.1-1)
Gambar 1.1-1. Rekaman gerak harmonik
dimana A adalah amplitudo osilasi diukur dari posisi setimbang massa, dan adalah perioda.
Gerak diulang pada t = .
Gerak harmonik sering dinyatakan sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak
melingkar dengan kecepatan tetap kepada suatu garis lurus, seperti terlihat dalam gambar
(1.1-2). Dengan kecepatan sudut garis OP sebesar , perpindahan simpangan x dapat
dilukiskan sebagai
(1.1-2)
Besaran biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi lingkaran. Karena
gerak berulang dalam 2 radian, maka didapat hubungan:
(1.1-3)
dengan dan f adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut biasanya diukur
dalam detik dan siklus per detik.
2
Kecepatan dan percepatan gerak harmonik dapat diperoleh secara mudah dengan diferensiasi
persamaan (1.1-2). Dengan menggunkan notasi titik (dot) untuk turunannya, maka diperoleh:
(11-4)
(1.1-5)
Gambar 1.1-2 Gerak harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak pada lingkaran
Gambar 1.1-3. Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan mendahului simpangan
dengan /2 dan .
Jadi kecepatan dan percepatan juga harmonik dengan frekuensi osilasi yang sama, tetapi
mendahului simpangan, berturut-turut dengan /2 dan radian. Gambar 1.1-3 menunjukkan
baik perubahan terhadap waktu maupun hubungan fasa vektor antara simpangan, kecepatan
dan percepatan pada gerak harmonic.
Peninjauan persamaan (1.1-2) dan (1.1-5) menunjukkan bahwa
(1.1-6)
3
sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan simpangan dan arahnya
menuju titik asal. Karena hukum Newton kedua untuk gerak menyatakan bahwa percepatan
sebanding dengan gaya, maka gerak harmonik dapat diharapkan pada sistem dengan pegas
linier dengan bervariasi sebagai kx.
1.2. Bentuk eksponensial
Dengan menggunakan fungsi eksponensial dalam bentuk persamaan Euler
(1.1-7)
Suatu vektor dengan amplitudo A yang berputar dengan kecepatan sudut tetap dapat
dinyatakan sebagai besaran kompleks z dalam diagram Argand seperti terlihat pada gambar
1.1-4.
(1.1-8)
Besaran z disebut sinusoid kompleks dengan x dan y adalah komponen riil dan imajiner.
Besaran juga memenuhi persamaan (1.1-6) untuk gerak harmonik.
Gambar 1.1-4 Gambar 1.1-5
Gambar 1.1-5 menunjukkan z dan konjugatnya yang berputar ke arah negatif
dengan kecepatan sudut -. Dari diagram terlihat bahwa komponen riil x dapat dinyatakan
dalam z dan z* dengan persamaan
dimana RE adalah bagian riil dari besaran z. Akan terlihat bahwa bentuk eksponensial gerak
harmonik sering memberikan keuntungan matematis. Berikut adalah beberapa peraturan
operasi eksponensial antara dan :
Perkalian:
4
Pembagian: (1.1-10)
Perpangkatan: ,
SOAL-SOAL
1. Suatu gerak harmonik mempunyai amplitude 0.20 cm dan perioda 0.15 detik.
Tentukan kecepatan dan percepatan maksimumnya.
2. Suatu akselerometer menunjukkan bahwa suatu bangunan bergetar harmonik pada 82
Hz dengan percepatan maksimum 50g. Tentukan amplitude getarannya.
3. Suatu gerak harmonik mempunyai frekuensi 10 Hz dan kecepatan maksimumnya 4.57
m/det. Tentukan amplitudo, perioda dan percepatan maksimumnya.
4. Nyatakan vektor kompleks 4 + 3i dalam bentuk eksponesial
5. Jumlahkan dua vektor kompleks (2 + 3i) dan (4 - i) dan nyatakan hasilnya dalam
bentuk A .
5