BAB I

GERAK OSILASI

Sistem teknik yang mempunyai massa dan elastisitas (kekakuan) mampu bergerak

relatif. Apabila gerakan benda/sistem itu berulang sendiri dalam interval waktu tertentu maka

gerakan itu dikenal sebagai getaran (vibration).

Getaran dibagi ke dalam dua kelompok yang umum yaitu getaran bebas (free

vibration) dan getaran paksa (forced vibration). Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi

karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri (inherent), dan jika tidak ada gaya

luar yang bekerja. Sistem yang bergetar bebas akan bergetar pada satu atau lebih frekuensi

naturalnya, yang merupakan sifat sistem dinamika yang dibentuk oleh distribusi massa dan

kekakuannya.

Getaran yang terjadi karena rangsangan gaya luar disebut getaran paksa. Jika

rangsangan tersebut berosilasi, maka sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi

rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem, maka

akan didapat keadaan resonansi, dan osilasi besar yang berbahaya mungkin terjadi. Kerusakan

pada struktur besar seperti jembatan, gedung atau sayap pesawat terbang, merupakan kejadian

menakutkan yang disebabkan resonansi. Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal

penting yang utama dalam pelajaran getaran.

Semua sistem yang bergetar mengalami redaman sampai derajat tertentu karena energi

didisipasi oleh gesekan dan tahanan lain. Jika redaman itu kecil, maka pengaruhnya sangat

kecil pada frekuensi natural sistem, dan perhitungan frekuensi natural biasanya dilaksanakan

atas dasar tidak ada redaman. Sebaliknya redaman adalah penting sekali untuk membatasi

amplitudo osilasi pada waktu resonansi.

Jumlah koordinat bebas yang dibutuhkan untuk menggambarkan gerak sistem disebut

derajat kebebasan (degree of freedom).

1.1 Gerak Harmonis

Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, seperti pada roda pengimbang sebuah

arloji, atau dapat juga sangat tidak teratur, seperti misalnya pad gempa bumi. Jika gerak itu

berulang dalam selang waktu yang sama t, maka gerak disebut gerak periodik. Waktu

Thomson, W.T. Teori Getaran Dengan Penerapannya. (1981). Prentice-Hall, Inc.

pengulangan t tersebut disebut perioda osilasi dan kebalikannya, f = 1/ disebut frekuensi.

Bentuk gerak periodik yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat

diperagakan dengan sebuah massa yang digantung pada sebuah pegas ringan, seperti terlihat

pada gambar (1.1-1). Jika massa tersebut dipindahkan dari posisi diamnya dan dilepaskan,

maka massa tersebut akan berosilasi naik turun. Dengan menempatkan sumber cahaya pada

massa yang berosilasi tersebut, maka geraknya dapat direkam pada suatu keping film peka

cahaya yang bergerak pada kecepatan konstan dan dapat dinyatakan dengan persamaan:

(1.1-1)

Gambar 1.1-1. Rekaman gerak harmonik

dimana A adalah amplitudo osilasi diukur dari posisi setimbang massa, dan adalah perioda.

Gerak diulang pada t = .

Gerak harmonik sering dinyatakan sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak

melingkar dengan kecepatan tetap kepada suatu garis lurus, seperti terlihat dalam gambar

(1.1-2). Dengan kecepatan sudut garis OP sebesar , perpindahan simpangan x dapat

dilukiskan sebagai

(1.1-2)

Besaran biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi lingkaran. Karena

gerak berulang dalam 2 radian, maka didapat hubungan:

(1.1-3)

dengan dan f adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut biasanya diukur

dalam detik dan siklus per detik.

2

Kecepatan dan percepatan gerak harmonik dapat diperoleh secara mudah dengan diferensiasi

persamaan (1.1-2). Dengan menggunkan notasi titik (dot) untuk turunannya, maka diperoleh:

(11-4)

(1.1-5)

Gambar 1.1-2 Gerak harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak pada lingkaran

Gambar 1.1-3. Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan mendahului simpangan

dengan /2 dan .

Jadi kecepatan dan percepatan juga harmonik dengan frekuensi osilasi yang sama, tetapi

mendahului simpangan, berturut-turut dengan /2 dan radian. Gambar 1.1-3 menunjukkan

baik perubahan terhadap waktu maupun hubungan fasa vektor antara simpangan, kecepatan

dan percepatan pada gerak harmonic.

Peninjauan persamaan (1.1-2) dan (1.1-5) menunjukkan bahwa

(1.1-6)

3

sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan simpangan dan arahnya

menuju titik asal. Karena hukum Newton kedua untuk gerak menyatakan bahwa percepatan

sebanding dengan gaya, maka gerak harmonik dapat diharapkan pada sistem dengan pegas

linier dengan bervariasi sebagai kx.

1.2. Bentuk eksponensial

Dengan menggunakan fungsi eksponensial dalam bentuk persamaan Euler

(1.1-7)

Suatu vektor dengan amplitudo A yang berputar dengan kecepatan sudut tetap dapat

dinyatakan sebagai besaran kompleks z dalam diagram Argand seperti terlihat pada gambar

1.1-4.

(1.1-8)

Besaran z disebut sinusoid kompleks dengan x dan y adalah komponen riil dan imajiner.

Besaran juga memenuhi persamaan (1.1-6) untuk gerak harmonik.

Gambar 1.1-4 Gambar 1.1-5

Gambar 1.1-5 menunjukkan z dan konjugatnya yang berputar ke arah negatif

dengan kecepatan sudut -. Dari diagram terlihat bahwa komponen riil x dapat dinyatakan

dalam z dan z* dengan persamaan

dimana RE adalah bagian riil dari besaran z. Akan terlihat bahwa bentuk eksponensial gerak

harmonik sering memberikan keuntungan matematis. Berikut adalah beberapa peraturan

operasi eksponensial antara dan :

Perkalian:

4

Pembagian: (1.1-10)

Perpangkatan: ,

SOAL-SOAL

1. Suatu gerak harmonik mempunyai amplitude 0.20 cm dan perioda 0.15 detik.

Tentukan kecepatan dan percepatan maksimumnya.

2. Suatu akselerometer menunjukkan bahwa suatu bangunan bergetar harmonik pada 82

Hz dengan percepatan maksimum 50g. Tentukan amplitude getarannya.

3. Suatu gerak harmonik mempunyai frekuensi 10 Hz dan kecepatan maksimumnya 4.57

m/det. Tentukan amplitudo, perioda dan percepatan maksimumnya.

4. Nyatakan vektor kompleks 4 + 3i dalam bentuk eksponesial

5. Jumlahkan dua vektor kompleks (2 + 3i) dan (4 - i) dan nyatakan hasilnya dalam

bentuk A .

5