Post on 14-Jul-2016
description
© 2010 Didit B. Nugroho139
Bab 6
TRANSFORMASILINEAR
6.1 PengantarPada banyak bidang matematika, seringkali diinginkan untuk menghubungkan
anggota dari suatu himpunan dengan anggota pada himpunan lainnya, dan dengandemikian konsep suatu fungsi
f : S Tdibentuk. Sebagai contoh, dalam kalkulus variabel tunggal, S dan T biasanya adalahhimpunan bagian sederhana dari R. Pada bab ini akan dipelajari fungsi
f : VWdengan V dan W adalah ruang vektor atas field yang sama.
DEFINISI 6.1.1 Diberikan ruang vektor V dan W atas suatu field F. Suatu fungsiT : V W disebut transformasi linear (linear transformation) atau homomorfisma(homomorphism) jika T mengawetkan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar:TL1 Linear:
T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2), v1, v2 V;TL2 Homogen:
T(kv) = kT(v), v V, k F.
Gambar 6.1: Representasi skematis dari suatu transformasi linear
v1
v1 + v2
kv1
v2
T(v1)
T(v1 + v2)
T(kv1)
T(v2)
V WT
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
140
CONTOH 6.1.1 Tunjukkan bahwa T : R R yang didefinisikan oleh T(x) = 2xadalah transformasi linear.Penyelesaian. Diambil sebarang x, y R, maka
T(x + y) = 2(x + y) [rumus fungsi]= 2x + 2y [sifat aritmatika real]= T(x) + T(y) [rumus fungsi]
dan jugaT(kx) = 2(kx) [rumus fungsi]
= k(2x) [sifat aritmatika real]= kT(x) [rumus fungsi]
untuk k R.Disimpulkan bahwa T adalah transformasi linear.
CONTOH 6.1.2 Tunjukkan bahwa T : R R, T(x) = x2 bukanlah transformasilinear.Penyelesaian. Harus ditunjukkan bahwa definisi transformasi linear tidakdipenuhi oleh fungsi tersebut, dan ini bisa ditunjukkan dengan contoh penyangkal.
Berdasarkan rumus fungsi diperoleh bahwaT(1) = 12 = 1 dan T(2) = 22 = 4.
Karena 2 = 1 + 1 dan 22 12 + 12, maka22 = T(2) = T( 1 + 1) T(1) + T(1) = 12 + 12.
Disimpulkan bahwa T bukanlah transformasi linear.
CONTOH 6.1.3 Tunjukkan bahwa T : M2(R) P2(R) yang didefinisikan oleh
dc
baT = a + (d – c)x + (b + c)x2
adalah transformasi linear.Penyelesaian. Diambil sebarang
dc
ba,
hg
feM2(R).
Berdasarkan rumus fungsi diperoleh
hg
fe
dc
baT =
hdgc
fbeaT
= (a + e) + ((d + h) – (c + g))x + ((b + f) + (c + g))x2
= (a + (d – c)x + (b + c)x2) + (e + (h – g)x + (f + g)x2)
=
dc
baT +
hg
feT .
Selanjutnya jika k R, maka
dc
bakT =
kdkc
kbkaT
= ka + (kd – kc)x + (kb + kc)x2
= k (a + (d – c)x + (b + c)x2)
=
dc
bakT .
Disimpulkan bahwa T adalah linear.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
141
CONTOH 6.1.4 Tunjukkan bahwa T : C2 C2 yang dirumuskan oleh
2
1
z
zT =
21
21
3
2
izz
ziz, z1, z2 C
adalah linear.Penyelesaian. Diambil sebarang
z =
2
1
z
z, w =
2
1
w
w C2.
Diperoleh
T(z + w) =
2
1
2
1
w
w
z
zT =
22
11
wz
wzT
=
2211
2211
3
2
wziwz
wzwzi=
21
21
21
21
3
2
3
2
iww
wiw
izz
ziz
= T(z) + T(w).Jika k C, maka
T(kz) =
2
1
kz
kzT =
21
21
3
2
ikzkz
kzikz
=
21
21
3
2
izz
zizk = kT(z).
Disimpulkan bahwa T adalah linear.
Suatu transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor V yang samadisebut operator linear. Kemudian jika diduga bahwa fungsi yang diberikan adalahtransformasi linear maka dicoba untuk membuktikannya, tetapi jika berpikir bahwafungsi tidaklah linear maka satu contoh penyangkal adalah cukup.
CONTOH 6.1.5 Diferensiasi dan integrasi adalah transformasi linear. Diambil V= C(R) adalah ruang vektor dari fungsi-fungsi yang terdiferensial dengan R sebagaidomain dan kodomainnya. Diberikan fungsi derivatif D : V V yang didefinisikan oleh
dx
xdfxfD
)()( ,
dan fungsi integral Int : V V yang didefinisikan oleh
x
dttfxf0
)()(Int .
Fungsi D dan Int adalah transformasi linear.
CONTOH 6.1.6 Diberikan V adalah ruang vektor dan didefinisikan I : V Voleh
I(v) = v, v V.I adalah transformasi linear yang disebut transformasi identitas.
CONTOH 6.1.7 Diberikan V dan W adalah ruang vektor dan didefinisikan fungsiT0 : VW oleh
T0(v) = 0W, v V.T0 adalah transformasi linear yang disebut transformasi nol.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
142
TEOREMA 6.1.1 Jika T : VW adalah transformasi linear, maka(a) T(0V) = 0W,
(b)
n
iii
n
iii vTavaT
11
dengan ai F, vi V untuk i = 1, 2, …, n.
Bukti.a)
T(0V) = T(0V + 0V) = T(0V) + T(0V), [T adalah linear]karena itu
T(0V) – T(0V) = T(0V).Karena
T(0V) – T(0V) = 0W,diperoleh T(0V) = 0W.
b) Dibuktikan dengan induksi matematika.Diambil P(n) sebagai pernyataan dari
n
iii
n
iii vTavaT
11
.
P(1) menyatakan bahwa T(a1v1) = a1T(v1), dan ini adalah suatu pernyataan yang benarsebab T adalah linear.
Selanjutnya diandaikan bahwa P(n) benar untuk n = k dan akan ditunjukkanbahwa P(k + 1) adalah suatu pernyataan yang benar juga.
Dituliskan w =
k
iiiva
1
dan diuji:
1
1
k
iiivaT = T(w + ak+1.vk+1)
= T(w)+ T(ak+1.vk+1) [sebab T adalah linear]= T(w)+ ak+1T(vk+1) [sebab T adalah linear]
=
k
iiivaT
1
+ ak+1T(vk+1)
=
k
iii vTa
1
+ + ak+1T(vk+1) [berdasarkan hipotesis induksi]
dengan demikian
1
1
1
1
k
iii
k
iii vTavaT
dan P(k + 1) adalah benar.Disimpulkan berdasarkan prinsip induksi matematika bahwa P(n) adalah
benar n N.
Teorema berikut bermanfaat untuk mengurangi usaha dalam menentukan apakahsuatu fungsi adalah transformasi linear. Pembaca diharapkan mengetahui hasil yanganalog untuk memeriksa ruang bagian.
TEOREMA 6.1.2 Fungsi T : V W adalah transformasi linear jika dan hanyajika
T(kv1 + v2) = kT(v1) + T(v2), v1, v2 V, k F.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
143
Bukti. Jika T adalah linear, maka berdasarkan Teorema 6.1.1(b) dipunyaiT(kv1 + v2) = kT(v1) + T(v2)
Sekarang diandaikan bahwaT(kv1 + v2) = kT(v1) + T(v2), k F, v1, v2 V.
Secara khusus, jika k = 1 makaT(v1 + v2) = T(1.v1 + v2) = 1.T(v1) + T(v2) = T(v1) + T(v2),
berdasarkan sifat skalar 1, yang berarti T memenuhi TL1.Jika dipilih v2 = 0V, maka dengan menggunakan Teorema 6.1.1(a) diperoleh
T(kv1) = T(kv1 + 0V) = kT(v1) + T(0V) = kT(v1) + 0W.Ini berarti bahwa
T(kv1) = kT(v1),dan karena itu T memenuhi TL2.
Sekarang dapat disimpulkan bahwa T adalah suatu transformasi linear.
CONTOH 6.1.8 Diberikan suatu matriks A Mmn(R) dan didefinisikan suatufungsi TA : Rn Rm oleh TA(x) = Ax untuk setiap x Rn.Dengan menggunakan sifat perkalian matriks, maka x, y Rn dan k R diperoleh
TA(kx + y) = A(kx + y) = A(kx) + A(y) = k(Ax) + (Ay) = kTA(x) + TA(y).Karena itu TA adalah transformasi linear, dan dinamakan transformasi matriks.
AKIBAT 6.1.1 Jika T : VW adalah transformasi linear, maka untuk setiap u,v V berlaku:1. T(–v) = –T(v).2. T(v – w) = T(v) – T(w).
CONTOH 6.1.9 Didefinisikan T : V = R3W = R2 oleh
3
2
1
x
x
x
T =
2
31
52 x
xx.
Tunjukkan bahwa T bukanlah suatu transformasi linear.Penyelesaian. Diberikan suatu contoh penyangkal, khususnya T(0V) = 0W atauT(kv1 + v2) = kT(v1) + T(v2) adalah dilanggar untuk suatu v1, v2 V.Untuk yang pertama, penyelesaian yang mungkin:
T(0V) =
0
0
0
T =
2
0
0
0.
Untuk yang kedua, penyelesaian yang mungkin:
diambil k = –1, v1 =
1
1
1
, dan v2 = 0V, maka
T(kv1 + v2) =
V0
1
1
1
1T =
1
1
1
T =
)1(52
)1(1=
3
2
dan
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
144
kT(v1) + T(v2) = –1.
1
1
1
T + T(0V) = –1.
1.52
11+
2
0=
5
2.
Karena T(kv1 + v2) kT(v1) + T(v2) maka T adalah tidak linear.
Ruang Vektor untuk Transformasi LinearDiandaikan V dan W adalah dua ruang vektor atas field F. Ditetapkan himpunan
semua transformasi linear dari V ke W yaitu L(V, W). Himpunan ini dapat memberikanstruktur suatu ruang vektor atas F jika didefinisikan jumlahan dan perkaliannya dengancara:
(T1 + T2) : VW didefinisikan oleh (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v),(kT1) : VW didefinisikan oleh (kT1)(v) = kT1(v).
Vektor nol adalah T0 : VW, T0(v) = 0W, v V.
6.2 Kernel dan Image dari Transformasi LinearUntuk suatu fungsi yang terdefinisi, terdapat dua himpunan bagian khusus yang
menarik. Pertama adalah himpunan semua titik bayangan yang mungkin, yang disebutrange. Yang lainnya adalah himpunan bagian dari domain yang dipetakan ke nol dalamkodomain, yang disebut ruang nol.
RangeDiberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang
vektor W.
DEFINISI 6.2.1 Range (image) dari T, dinotasikan Im(T), adalah himpunansemua titik bayangan dari T, artinya
Im(T) = {w W w = T(v), v V}.
Gambar 6.2 : Representasi skematis dari range T
Jelas bahwa range adalah suatu himpunan bagian dari W. Lebih bagus lagi,dipunyai:
TEOREMA 6.2.1 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruangvektor V ke ruang vektor W, maka
Im(T) adalah suatu ruang bagian dari W.
v1
v2
T(v1)
T(v2)
V WT
Im(T)
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
145
Bukti. T(0V) = 0W karena T adalah linear. Jadi 0W Im(T) dan karena itu Im(T) .Sekarang diandaikan bahwa w1, w2 Im(T), maka v1, v2 V sehingga T(v1) =
w1, T(v2) = w2. Karena V adalah ruang vektor,kv1 + v2 V,
dan dengan mengaplikasikan T dipunyai:T(kv1 + v2) Im(T).
Karena T adalah linear makaT(kv1 + v2) = kT(v1) + T(v2) = kw1 + w2.
Berarti bahwa kw1 + w2 Im(T).Disimpulkan bahwa Im(T) adalah ruang bagian dari W.
CONTOH 6.2.1 Range dari TA pada Contoh 6.1.8 adalah vektor-vektor
b =
mb
b
b
2
1
sehingga sistem
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
=
mb
b
b
2
1
konsisten.
CONTOH 6.2.2 Diberikan
21
63
42
A ,
2
1u dan didefinisikan transformasi
linear TA : R2 R3 oleh
TA(x) = Ax =
21
63
42
2
1
x
x=
21
21
21
2
63
42
xx
xx
xx
.
[Bisa juga dituliskan TA(x1, x2) = (2x1 – 4x2, 3x1 – 6x2, x1 – 2x2).](a) Tentukan TA(u), bayangan dari u oleh transformasi TA.(b) Tentukan range dari TA.Penyelesaian.
(a) TA(u) = Au =
21
63
42
2
1=
2.21
2.61.3
2.41.2
=
3
9
6
.
(b) Untuk setiap x di R2, Ax adalah kombinasi linear dari kolom-kolom A dan karenasalah satu kolom dari A adalah kelipatan dari kolom yang lainnya, maka range dari TA
adalah semua kelipatan dari
1
3
2
.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
146
CONTOH 6.2.3 Diberikan
A =
15105
321, u =
1
3
2
, b =
10
2, c =
0
3
dan didefinisikan transformasi TA : R3 R2 oleh TA(x) = Ax.(a) Tentukan suatu x di R3 dengan bayangannya oleh TA adalah b.(b) Apakah terdapat lebih dari satu x oleh TA dengan bayangannya adalah b? (masalah
ketunggalan)(c) Nyatakan jika c berada dalam range transformasi TA. (masalah eksistensi)Penyelesaian.(a) Diselesaikan TA(x) = Ax, yaitu menyelesaikan Ax = b atau
15105
321
3
2
1
x
x
x
=
10
2
Matriks yang diperbesar dari sistem:
1015105
2321,
dengan bentuk eselon barisnya adalah
0000
2321.
Jadi x =
3
2
32 232
x
x
xx
dengan x2 dan x3 adalah sebarang.
(b) Dari (a), jelas bahwa terdapat lebih dari satu x oleh TA dengan bayangannya adalahb karena Ax = b mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.
(c) Apakah terdapat suatu x sehingga TA(x) = c? Atau dengan pertanyaan lain, apakahAx = c adalah konsisten.Matriks yang diperbesar dari sistem dan bentuk eselon barisnya yaitu
015105
3321
1000
0321.
Jelas bahwa sistem tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu c tidak berada dirange TA.
CONTOH 6.2.4 Diberikan basis = {v1, v2, v3} untuk R3 denganv1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0)
dan transformasi linear T : R3 R2 sehinggaT(v1) = (1, 0), T(v2) = (2, –1), T(v3) = (4, 3)
Tentukan rumus untuk T(x) dan selanjutnya gunakan rumus tersebut untuk menghitungT(2, –3, 5).Penyelesaian. Pertama, dinyatakan x = (x1, x2, x3) R3 sebagai kombinasi lineardari v1, v2, v3 yaitu
k1(1, 1, 1) + k2(1, 1, 0) + k3(1, 0, 0) = (x1, x2, x3)yang mempunyai penyelesaian k1 = x3, k2 = x2 – x3, dan k3 = x1 – x2.
Karena T adalah transformasi linear berartiT(x) = T(k1v1 + k2v2 + k3v3) = k1T(v1) + k2T(v2) + k3T(v3),
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
147
sehingga dipunyaiT(x1, x2, x3) = x3(1, 0) + (x2 – x3)(2, –1) + (x1 – x2)(4, 3)
= (4x1 – 2x2 – x3, 3x1 – 4x2 + x3).Dari rumus tersebut, diperoleh
T(2, –3, 5) = (9, 23).
CONTOH 6.2.5 DiberikanT : R2 R2, T(x, y) = (x, x).
Im(T) = {T(x, y) (x, y) R2} = {(x, x) (x, y) R2}.Dapat dituliskan range sebagai Im(T) = {(x, x) x R}. Jadi rangenya adalah garis lurus y= x, yang merupakan ruang bagian berdimensi satu dari R2.
DEFINISI 6.2.2 Untuk Im(T) berdimensi berhingga, didefinisikanrk(T) = dim(Im(T)).
CONTOH 6.2.6 Diberikan
D : P2[x](R) P2[x](R), dx
xdpxpD
)()( .
Im(D) = {D(p(x)): p(x) P2[x](R)} =
Rcbacbxax
dx
d,,:2 .
Dapat dinyatakan Im(D) = {2ax + b: a, b R} = {dx + b: d, b R}. Jelas bahwa rangedari D adalah himpunan semua polinomial linear, P1[x](R), dan rk(D) = 2.
CONTOH 6.2.7 Diberikan
T : P2[x](R)M2(R), T(p(x)) =
)1()1()0(
)2()1(
ppp
pp.
Diperoleh range dari T yaituIm(T) = {T(p): p = ax2 + bx + c, a, b, c R}
=
Rcbabaa
bacba,,:
42
4.
=
00
01,
10
11,
42
41.
Sehingga bisa disimpulkan bahwa rk(T) = 3.
Untuk suatu fungsi yang sederhana, dapat diperoleh range dengan pemeriksaan,sedangkan untuk fungsi yang lebih rumit dipunyai teorema berikut ini.
TEOREMA 6.2.2 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruangvektor berdimensi berhingga V ke ruang vektor W. Diberikan = {v1, v2, …, vn} adalahbasis untuk V, maka
Im(T) = T(v1), T(v2), …, T(vn).Ini berarti bahwa suatu himpunan rentangan dapat diperoleh dengan mengaplikasikan Tke setiap vektor dalam suatu basis untuk V.Bukti. Ditunjukkan bahwa setiap himpunan termuat di himpunan lainnya. Secara jelas,T(vi) Im(T) untuk semua i = 1, …, n. Karena Im(T) adalah suatu ruang bagian, maka
T(v1), T(v2), …, T(vn) Im(T).
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
148
Selanjutnya diandaikan bahwa w Im(T), maka w = T(v) untuk suatu v V. Karena v
V, maka v =
n
iiiva
1
untuk suatu ai F. Jadi
w = T(v) =
n
iivaT1i
=
n
ii vTa1
)(i
,
dan dengan menggunakan Teorema 6.1.1, diperolehw T(v1), T(v2), …, T(vn).
JadiIm(T) T(v1), T(v2), …, T(vn).
Disimpulkan bahwa Im(T) = T(v1), T(v2), …, T(vn).
CONTOH 6.2.8T : R3 P2[x](R)
dirumuskan olehT(a, b, c) = (a + b) + (a + c)x + (b – c)x2.
Tentukan Im(T) dan suatu basis untuk Im(T).Penyelesaian. Diaplikasikan teorema sebelumnya untuk memperoleh range dari T.Digunakan basis baku untuk R3:
T(1, 0, 0) = 1 + x, T(0, 1, 0) = 1 + x2, T(0, 0, 1) = x – x2.Jadi
Im(T) = 1 + x, 1 + x2, x – x2.Untuk memperoleh suatu basis untuk range maka harus direduksi himpunan rentangantersebut ke suatu himpunan rentangan bebas linear. Catat bahwa 1 + x dan 1 + x2 adalahbebas linear, sedangkan x – x2 = (1 + x) – (1 + x2). Dari situ disimpulkan bahwa basisuntuk Im(T) adalah {1 + x, 1 + x2}.
Catat bahwa pada contoh ini Im(T) P2[x](R).
DEFINISI 6.2.3 Fungsi T : V W adalah pada (onto) untuk mengartikan bahwaIm(T) = W. Bisa juga dikatakan bahwa T adalah pada W.
Untuk transformasi linear adalah pada W, ini berarti bahwa setiap vektor di Wjuga berada di range T dan vektor tersebut adalah bayangan dari minimal satu vektor di V.Dengan kata lain, T adalah pada W mempunyai arti bahwa w W, v V sehinggaT(v) = w.
CONTOH 6.2.9 DiberikanT : M2(R) P2[x](R)
yang dirumuskan oleh
dc
baT = a + (b + d)x + cx2.
Apakah T adalah pada?Penyelesaian 1. Pertama kali ditentukan range dari T,
Im(T) =
10
00,
01
00,
00
10,
00
01TTTT
= 1, x, x2, x = P2[x](R).Disimpulkan bahwa T adalah pada.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
149
Penyelesaian 2. Diperhatikan bahwa jika w = a + bx + cx2 P2[x](R), maka
matriks M =
0c
badipetakan ke w P2[x](R). Jadi setiap vektor di P2[x](R) adalah
bayangan dari minimal satu matriks di M2(R).
CONTOH 6.2.10 DiberikanT : M2(R) P2[x](R)
yang dirumuskan oleh
dc
baT = a + (b + c)x2.
Apakah T adalah pada?Penyelesaian 1.
Im(T) =
10
00,
01
00,
00
10,
00
01TTTT
= 1, x2, x2, 0 P2[x](R).Penyelesaian 2. Jelas tidak ada elemen di M2(R) yang dipetakan ke polinomial x.Jadi Im(T) P2[x](R) dan karena itu T bukanlah pada.
Kodomain dari suatu transformasi linear selalu dapat dibatasi untuk membuattransformasi linear baru yang pada, yaitu
jika T : VW maka T : V Im(T) adalah pada.
Ruang NolDiberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang
vektor W.
DEFINISI 6.2.4 Ruang nol (kernel) dari T, dinotasikan Ker(T), adalah himpunanbagian dari vektor-vektor di V yang dipetakan ke 0W oleh T, artinya
Ker(T) = {v V: T(v) = 0W}.
Gambar 6.3: Representasi skematis dari ruang nol
TEOREMA 6.2.3Ker(T) adalah ruang bagian dari V.
Ker(T) 0W
V WT
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
150
Bukti. T(0V) = 0W karena T adalah linear. Jadi 0V Ker(T). Selanjutnya diandaikanbahwa v1, v2 Ker(T) dan k F. Ditunjukkan bahwa kv1 + v2 Ker(T). Ini adalah benarkarena
T(kv1 + v2) = kT(v1) + T(v2) [karena T adalah linear]= k.0W + 0W [karena v1, v2 Ker(T)]= 0W [sifat 0W].
Disimpulkan kv1 + v2 Ker(T), dan karena itu Ker(T) adalah ruang bagian dari W.
CONTOH 6.2.11 Kernel dari TA pada Contoh 6.1.8 adalah semua vektor
x =
nx
x
x
2
1
yang merupakan penyelesaian dari sistem homogen
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
=
0
0
0
.
DEFINISI 6.2.5 Untuk Ker(T) berdimensi berhingga, didefinisikan nulitas dari Tsebagai dimensi dari Ker(T).
CONTOH 6.2.12 Tentukan Ker(T) untuk T : V = R2 V, T(x, y) = (y, 0).Penyelesaian. Harus diselesaikan persamaan T(x, y) = 0V.Dalam kasus ini, (y, 0) = (0, 0) y = 0. Jadi
Ker(T) = {(x , 0): x R},dan nul(T) = 1.
CONTOH 6.2.13 Tentukan Ker(T) untuk D : V = C(R) V, D(f) =dx
df.
Penyelesaian. Harus diselesaikan persamaan D(f) = 0V.
Dalam kasus inidx
df= 0 mempunyai penyelesaian yaitu f = c untuk c R.
Ker(T) = {f(x) = c : c R}.
CONTOH 6.2.14 Tentukan basis untuk Ker(T) dengan T : M2(R) P2[x](R) yangdirumuskan oleh
dc
baT = (a + b + d) + (a – c + 2d)x + (–a + b + 2c – 3d)x2.
Penyelesaian. Pertama kali harus diselesaikan persamaan
dc
baT = 0,
ini berarti(a + b + d) + (a – c + 2d)x + (–a + b + 2c – 3d)x2 = 0.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
151
Jadi
Ker(T) =
032,020,:)(2 dcbadcadbaM
dc
baR .
Untuk menemukan suatu basis bagi Ker(T), harus direduksi sistem dari tiga persamaanhomogen tersebut.
0
0
0
3211
2101
1011
12
13
bb
bb
0
0
0
2220
1110
1011
2b
0
0
0
2220
1110
1011
23 2bb
0
0
0
0000
1110
1011
,
karena itua = c – 2db = –c + d.
Jadi penyelesaian sistem adalah
Rdc
d
c
dc
dc
,:
2
,
dan vektor-vektor
0
1
1
1
dan
1
0
1
2
membentuk suatu basis untuk ruang nol. Diperoleh suatu basis untuk Ker(T) yaitu
10
12,
01
11.
DEFINISI 6.2.6 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruangvektor V ke ruang vektor W. T adalah satu-satu untuk mengartikan bahwa titik berbedadi V mempunyai peta yang berbeda di W, secara simbolis dituliskan:
x1, x2 V, x1 x2 T(x1) T(x2)atau ekuivalen dengan pernyataan:
x1, x2 V, T(x1) = T(x2) x1 = x2.
CONTOH 6.2.15 Tunjukkan bahwa T1 : R3 P2[x](R) adalah satu-satu untukT1(a, b, c) = cx2 + bx + a.
Penyelesaian. Diandaikan x1 = (a, b, c), x2 = (d, e, f) dan T1(x1) = T1(x2), makaT1(x1) = cx2 + bx + a = fx2 + ex + d = T1(x2),
yang berarti(c – f)x2 + (b – e)x + (a – d) = 0,
dan juga c = f, b = e, a = d, karena itu x1 = x2.Disimpulkan bahwa T1 adalah satu-satu.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
152
CONTOH 6.2.16 Tunjukkan T2 : R3 P2[x](R) bukanlah satu-satu untukT2(a, b, c) = ax2 + bx
.Penyelesaian 1. Diambil x1 = (a, b, c), x2 = (d, e, f) dan diandaikanT2(x1) = T2(x2),
makaT2(x1) = ax2 + bx = dx2 + ex = T2(x2),
yang berarti a = d, b = e. Tetapi tidak ada hubungan yang terkait antara c dan f.Jadi beberapa vektor di R3 mempunyai bayangan yang sama di P2[x](R).Penyelesaian 2. Dibuktikan dua vektor di R3 yang mempunyai bayangan sama diP2[x](R), yaitu
T2(1,1, 0) = x2 + x = T2(1, 1, 1).Disimpulkan bahwa T2 tidak satu-satu.
Hasil berikut menunjukkan bahwa terdapat suatu hubungan hakiki antara suatufungsi satu-satu dengan ruang nolnya.
TEOREMA 6.2.4 Diberikan T adalah suatu transformasi linear dari ruang vektorV ke ruang vektor W.
T adalah satu-satu jika hanya jika Ker(T) = {0V}.Bukti. Diandaikan T adalah satu-satu dan diambil x Ker(T).Karena T adalah linear, maka T(0V) = 0W.Karena T adalah satu-satu, T(x) = T(0V) x = 0V.Disimpulkan bahwa x Ker(T) jika hanya jika x = 0V, yaitu Ker(T) = {0V}.Selanjutnya diandaikan bahwa Ker(T) = {0V}.Jika T(x1) = T(x2) untuk x1, x2 V, maka
T(x1) – T(x2) = T(x1 – x2) = 0W, [karena T adalah linear].Hal tersebut berarti bahwa
x1 – x2 Ker(T).Jadi
x1 – x2 = 0V x1 = x2.Disimpulkan bahwa T adalah satu-satu.
Teorema di atas seringkali digunakan sebagai pemeriksaan cepat untukmenyatakan apakah suatu fungsi adalah satu-satu atau tidak. Jika diuji kembali duacontoh yang terakhir, diperoleh
Ker(T1) = )0,0,0( T1 adalah satu-satu,
Ker(T2) = Rcc :),0,0( T2 tidak satu-satu.
Teorema berikut ini menunjukkan bahwa suatu transformasi linear yang satu-satumengawetkan kebebaslinearan.
TEOREMA 6.2.5 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruangvektor V ke ruang vektor W. Diambil S adalah suatu himpunan bagian yang bebas lineardari V. Jika T adalah satu-satu, maka T(S) adalah himpunan bagian yang bebas lineardari W.
Bukti. Diambil wi T(S), i = 1, 2, …, m, dan diandaikan bahwa W0
m
iii wa
1
untuk
suatu ai F.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
153
Pertama dicatat bahwa setiap wi = T(vi) untuk suatu vi S. Jadi W0
m
iii wa
1
dapat ditulis menjadi
W0
m
iii
m
iii vaTvTa
11
,
yang berarti bahwa
m
iiiva
1
Ker(T).
Karena T adalah satu-satu dan juga Ker(T) = 0V, maka
m
iiiva
1
= 0V.
Karena semua vi S adalah bebas linear, maka a1 = a2 = … = am = 0.Disimpulkan bahwa T(S) adalah bebas linear.
Diberikan transformasi linear TA : Fn Fm yang didefinisikan oleh TA(x) = Axdengan A Mmn(F) dan x Fn.
Range dari transformasi linear tersebut tidak lain adalah range dari matriks A,yang juga sama dengan ruang kolom dari A.
Ruang nol dari transformasi linear tersebut tidak lain adalah ruang nol darimatriks A, yang juga sama dengan himpunan penyelesaian untuk persamaan homogen Ax= 0.
6.3 Teorema DimensiJika dipikirkan tentang transformasi linear yang mungkin berbeda terjadi pada
ruang vektor yang diberikan, akan disadari bahwa terdapat suatu tindakanpenyeimbangan yang terjadi antara ukuran dari ruang nol dan range. Suatu ruang nolyang kecil muncul ketika rangenya relatif besar, sedangkan suatu ruang nol besarmengakibatkan suatu range yang relatif kecil.
CONTOH 6.3.1 Untuk transformasi linearT1 : R3 P2(R), T1(a, b, c) = 0
diperoleh Ker(T1) = R3 dan Im(T1) = {0}.Jadi dimensi ruang nolnya besar sedangkan rangenya kecil.
CONTOH 6.3.2 Untuk transformasi linearT2 : R3 P2(R), T2(a, b, c) = a + bx + cx2
diperoleh Ker(T2) = {0} dan Im(T2) = P2(R).Jadi dimensi ruang nolnya kecil tetapi rangenya besar.
Teorema dimensi menunjukkan bahwa hubungan antara ukuran range dan ukuranruang nol dari transformasi linear yang diberikan adalah sungguh tepat.
TEOREMA 6.3.1 Teorema Dimensi (Teorema Rank-Nulitas)Jika T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V berdimensi n ke ruangvektor W, maka
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = n,yaitu rank(T) + nulitas(T) = n.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
154
Bukti. Diandaikan Ker(T) mempunyai dimensi dengan sifat 1 dim(Ker(T)) = r < ndan suatu basis {v1, v2, …, vr}. Berdasarkan Teorema 4.5.3, maka himpunan tersebutdapat diperbesar sehingga {v1, v2, …, vr, vr+1,…, vn} adalah suatu basis untuk V. Diambilw adalah sebarang vektor di Im(T), maka w = T(u) untuk suatu u V, dengan u dapatdinyatakan sebagai
u = c1v1 + c2v2 + …+ crvr + cr+1vr+1 +…+ cnvn.Karena {v1, v2, …, vr} di dalam kernel, maka T(v1) = T(v2) = …= T(vr) = 0 sehingga
w = T(u) = cr+1T( vr+1) +…+ cnT(vn).Ini menunjukkan bahwa S = {T(vr+1), …, T(vn)} merentang Im(T). Jika dapat ditunjukkanbahwa S adalah suatu himpunan bebas linear, maka S adalah basis untuk Im(T), danakibatnya
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = (n – r) + r = n.Diamati bahwa
0 = hr+1T(vr+1) +…+ hnT(vn) = T(hr+1vr+1 +…+ hnvn),yang berarti hr+1vr+1 +…+ hnvn ada dalam Ker(T), maka untuk suatu h1, …, hr,
hr+1vr+1 +…+ hnvn = h1v1 +…+ hrvr.Karena {v1, v2, …, vr, vr+1,…, vn} adalah suatu basis untuk V, maka semua h daripersamaan di atas haruslah nol. Ini membuktikan bahwa S adalah himpunan bebas linear.Sekarang dibuktikan pernyataan untuk dim(Ker(T)) = n. Dalam kasus ini, Ker(T) haruslahsama dengan V dan untuk setiap u V berlaku T(u) = 0, yang berarti Im(T) = {0}. Buktiuntuk kasus dim(Ker(T)) = 0 diserahkan sebagai latihan.
CONTOH 6.3.3 Ujilah teorema dimensi untuk
T : P2[x](R)M2(R), T(a + bx + cx2) =
caacb
cbba
2
2.
Penyelesaian. Dipunyai bahwa
Im(T) = T(1), T(x), T(x2) =
11
10,
01
21,
21
01.
Diperhatikan bahwa
11
10=
21
01
2
1+
01
21
2
1, dan bahwa
21
01dan
01
21adalah bebas linear. Jadi dim(Im(T)) = 2.
Ker(T) =
00
00
2
22
caacb
cbbacxbxa .
Diperoleh sistem a + b = 0, 2b + c = 0, b + c – a = 0, 2a – c = 0, atau matriks yangdiperbesar dari sistem:
0
0
0
0
102
111
120
011
0
0
0
0
000
000
10
01
2121
.
Terdapat dua 1 utama dari tiga variabel. Jadi dimensi dari ruang penyelesaian adalah 3 –2 = 1, atau dim(Ker(T)) = 1. Karena itu
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = 1 + 2 = 3 = dim(P2[x](R)).
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
155
CONTOH 6.3.4 Tunjukkan tidak ada transformasi linear T : M2(C) P4[x](C)yang pada.Penyelesaian. dim M2(C) = 4 dan berdasarkan teorema dimensi,
4 = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)),dan khususnya
dim(Im(T)) 4 < 5 = dim(P4[x](C)).Karena dim(Im(T)) < dim(P4[x](C)), maka Im(T) tidak mungkin sama dengan P4[x](C),dan juga T tidaklah pada.
AKIBAT 6.3.1 Diambil T : VW adalah transformasi linear dari ruang vektorV ke ruang vektor W dan diandaikan bahwa V berdimensi berhingga dengan dim(V) =dim(W).
T adalah satu-satu jika hanya jika T adalah pada.Bukti. T adalah satu-satu
jika hanya jika nulitas(T) = 0 (Teorema 6.2.4)jika hanya jika rank(T) = dim(V) (teorema dimensi)jika hanya jika dim(Im(T)) = dim(W) (diberikan)jika hanya jika Im(T) = Wjika hanya jika T adalah pada (definisi pada).
AKIBAT 6.3.2 Diambil T : VW adalah transformasi linear dari ruang vektorV ke ruang vektor W dan diandaikan V berdimensi berhingga.
Jika T adalah satu-satu dan pada maka dim(V) = dim(W).Bukti. Jika T adalah satu-satu, maka nulitas(T) = 0 berdasarkan Teorema 6.2.4.Jika T adalah pada maka Im(T) = W dan juga rank(T) = dim(W). Karena itu, berdasarkanteorema dimensi,
dim(V) = rank(T) + nulitas(T) = dim(W) + 0 = dim(W).
Digunakan teorema rank-nulitas untuk transformasi linearTA : Rn Rn, T(x) = Ax
dengan A Mn(R). Secara khusus dipunyaidim(Ker(TA)) = dim(Rn) – dim(Im(TA)),
yang berarti bahwa banyaknya penyelesaian yang bebas linear untuk Ax = 0 sama dengann – r, dengan r adalah rank(A), yang sama dengan banyaknya 1 utama pada bentuk eselonbaris tereduksi dari A.
6.4 Transformasi Linear dari Rn ke Rm
Pada bagian ini akan diperlihatkan bahwa jika T : Rn Rm adalah sebarangtransformasi linear, maka dapat ditentukan suatu matriks A berukuran mn sehingga Tadalah perkalian oleh A dengan x Rn. Diambil basis baku {e1, e2, …, en} untuk Rn, dandimisalkan bahwa A mempunyai
T(e1), T(e2), …, T(en)sebagai vektor-vektor kolomnya, yaitu
T(e1) =
1
21
11
ma
a
a
, T(e2) =
2
22
12
ma
a
a
, …, T(en) =
mn
n
n
a
a
a
2
1
.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
156
Karena itu matriks A disebut matriks baku untuk T. Selanjutnya diperhatikan
x =
nx
x
x
2
1
= x1e1 + x2e2 + … + xnen,
sehingga dapat dinyatakanT(x) = T(x1e1 + x2e2 + … + xnen)
= x1T(e1) + x2T(e2) + … + xnT(en).karena T adalah transformasi linear.Sebaliknya,
Ax =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nx
x
x
2
1
=
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
...
...
...
2211
2222121
1212111
=
1
21
11
1
ma
a
a
x
+
2
22
12
2
ma
a
a
x
+ … +
mn
n
n
n
a
a
a
x2
1
= x1T(e1) + x2T(e2) + … + xnT(en).Jadi diperoleh bahwa T(x) = Ax.
Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh teorema berikut.
TEOREMA 6.4.1 Jika T : Rn Rm adalah transformasi linear dan {e1, e2, …, en}adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkalian oleh A dengan x Rn untuk Aadalah matriks dengan vektor-vektor kolomnya yaitu T(e1), T(e2), …, T(en).
CONTOH 6.4.1 Tentukan matriks baku untuk transformasi linear T : R3 R4
yang didefinisikan oleh
1
3
21
21
3
2
1
x
x
xx
xx
x
x
x
T .
Penyelesaian.
T(e1) =
1
0
1
1
0
0
1
T , T(e2) =
0
0
1
1
0
1
0
T , T(e3) =
0
1
0
0
1
1
0
T .
Dengan menggunakan T(e1), T(e2), T(e3) sebagai vektor kolom, maka diperoleh
001
100
011
011
A .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
157
DEFINISI 6.4.1 Jika A adalah suatu matriks tertentu maka transformasi linear TA :Rn Rm dengan definisi TA(x) = Ax disebut transformasi linear yang dihubungkandengan matriks A.
TEOREMA 6.4.2 Jika matriks A dan B berukuran mn dan TA = TB maka A = B.
Selanjutnya akan diilustrasikan aksi dari transformasi linear T : R2 R2 denganmelihat bayangan dari suatu bangun persegi terhadap T.
Rotasi (Perputaran)Matriks baku untuk transformasi linearT : R2 R2 yang merotasikan vektordengan sudut adalah
θθθθ
Acossin
sincos.
Secara mudah diperoleh
0
1T =
θθ
sin
cos
1
0T =
θθ
cos
sin.
Refleksi (Pencerminan)Untuk setiap garis pada bidangterdapat transformasi linear yangmerefleksikan vektor terhadap garis.
Refleksi terhadap sumbu-xdiberikan oleh matriks baku
10
01A
yang membawa vektor
y
xke
y
x.
Refleksi terhadap sumbu ydiberikan oleh matriks baku
10
01A
yang membawa
y
xke
y
x.
Yang terakhir, refleksiterhadap garis y = x diberikan oleh
10
01A
dan membawa vektor
y
xke
x
y.
x
y
x
y
x
y
x
y
(1,0)
(cos , sin )
(1,0)
(-sin , cos )
Gambar 6.4: Rotasi oleh sudut
x
y
x
y
x
y
x
y
xx
y y
Gambar 6.5: Refleksi bangun persegi
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
158
Ekspansi dan Kompresi.Matriks baku
10
0kA
mengekspansi vektor
y
xsepanjang
sumbu x ke
y
kxuntuk k > 1 dan
memampatkan sepanjang sumbu-xuntuk 0 < k < 1.
Sejalan dengan itu,
kA
0
01
mengekspansi atau memampatkan
vektor
y
xke
ky
xsepanjang
sumbu-y.
PergeseranMatriks baku
10
1 kA
yang membawa vektor
y
xke
y
kyx
disebut pergeseran dalam arah x.Sejalan dengan itu,
1
01
kA
membawa vektor
y
xke
kxy
xdan
disebut pergeseran dalam arah y.
Jika secara berhingga beberapa transformasi linear dari R2 ke R2 dibentukberurutan, maka terdapat suatu transformasi linear tunggal dengan akibat yang sama.Kemudian, jika matriks baku untuk transformasi T : R2 R2 adalah inversibel, makadapat ditunjukkan bahwa akibat geometris dari T adalah sama seperti beberapa rangkaiandari refleksi, ekspansi, kompresi, dan pergeseran.
6.5 Matriks Representasi dari Transformasi LinearDimisalkan bahwa V dan W adalah sebarang ruang vektor berdimensi berhingga
dengan basis untuk V dan W berturut-turut adalah = {v1, v2, …, vn} dan = {w1, w2, …, wm}.
x
y
(k>1)
x
x
y
y
(0< k<1)
Gambar 6.6: Ekspansi dan kompresisepanjang sumbu x
xx
y y
xx
y y
Gambar 6.7: Pergeseran dalam arah xdan arah y
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
159
Untuk setiap v V, matriks koordinat [v] merupakan vektor di Rn dan matriks koordinat[T(v)] merupakan vektor di Rm. Jadi, proses pemetaan v ke T(v) untuk transformasi linearT akan menghasilkan suatu pemetaan dari Rn ke Rm yang memetakan [v] ke [T(v)].Akan diperlihatkan bahwa pemetaan yang dihasilkan tersebut merupakan transformasilinear.
Selanjutnya akan dicari matriks baku Am×n = [aij], 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n, yangmemenuhi
A[v] = [T(v)]
untuk semua vektor v V. Khususnya diinginkan agar persamaan tersebut dapat dipenuhiuntuk vektor basis v1, v2, …, vn, yaitu
A[v1] = [T(v1)], A[v2] = [T(v2)], …, A[vn] = [T(vn)].Karena
[v1] =
0
0
1
, [v2] =
0
1
0
, …, [vn] =
1
0
0
maka
A[v1] =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
0
0
1
=
1
21
11
ma
a
a
A[v2] =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
0
1
0
=
2
22
12
ma
a
a
A[vn] =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
1
0
0
=
mn
n
n
a
a
a
2
1
.
Diperoleh
[T(v1)] =
1
21
11
ma
a
a
, [T(v2)] =
2
22
12
ma
a
a
, …, [T(vn)] =
mn
n
n
a
a
a
2
1
yang menunjukkan bahwa kolom A yang berurutan merupakan matriks koordinat dariT(v1), T(v2), …, T(vn)
yang berkorespondensi dengan basis . Jadi diperoleh matriks tunggal A yang disebutmatriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis dan , dan dinyatakan oleh
A = )]([)]([)]([ 21 nvTvTvT .
Matriks A dinamakan matriks representasi dari transformasi linear T terhadap basis dan , dan dinotasikan [T],.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
160
Secara khusus, jika V = W maka biasanya diambil = . Dari situ, matriks yangdihasilkan disebut matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis , dandinyatakan oleh
[T] = )]([)]([)]([ 21 nvTvTvT .
CONTOH 6.5.1 Diberikan operator linear
T : R2 R2,
ba
ba
b
aT
34
2.
Tentukan [T] untuk adalah basis baku R2.Penyelesaian.
0
1T =
4
2=
0
12 +
1
04 ,
1
0T =
3
1=
0
11 +
1
03 .
Jadi
[T] =
34
12.
CONTOH 6.5.2 Diberikan operator linear T : R2 R2 yang didefinisikan oleh
21
21
2
1
42 xx
xx
x
xT .
Tentukan matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis
=
2
1,
1
121 vv .
Penyelesaian. Dari rumus T, diperoleh
T(v1) =
2
2
1
1T = 2v1 + 0v2, T(v2) =
6
3
2
1T = 0v1 + 3v2.
Jadi,
)( 1vT =
0
2dan )( 2vT =
3
0.
Oleh karena itu,
[T] =
30
02.
CONTOH 6.5.3 Diberikan transformasi linear T : R2 R3 yang didefinisikan:
21
21
2
2
1
167
135
xx
xx
x
x
xT .
Tentukan matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis
=
2
5,
1
321 vv dan =
2
1
0
,
2
2
1
,
1
0
1
321 www .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
161
Penyelesaian. Dari rumus T, diperoleh
T(v1) =
5
2
1
1
3T = v1 – 2v3, T(v2) =
3
1
2
2
5T = 3v1 + v2 – v3.
Jadi,
[T(v1)] =
2
0
1
dan [T(v2)] =
1
1
3
.
Karena itu,
[T], =
12
10
31
.
CONTOH 6.5.4 Diberikan
T : R2 P2[x](R), 2)43(2 xbabxab
aT
.
Gunakan basis baku
=
1
0,
0
1, = {1, x, x2},
untuk mencari [T],.Penyelesaian.
0
1T = 1 + 3x2 = 1.1 +0x + 3x2,
1
0T = 2x + 4x2 = 0.1 + 2x + 4x2.
Jadi
[T], =
43
20
01
.
CONTOH 6.5.5 Diberikan A Mmn(F) dan didefinisikan TA : Fn Fm olehTA(x) = Ax. Jika dan berturut-turut adalah basis baku untuk Fn dan Fm, maka
[T], = A.
CONTOH 6.5.6 Diberikan transformasi linear T : P1(R) P2(R) yangdidefinisikan oleh
T(p(x)) = x.p(x).Tentukan matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis
= {v1 = 1, v2 = x} dan = {w1 = 1, w2 = x, w3 = x2}.Penyelesaian. Dari rumus T, diperoleh
T(v1) = T(1) = x.1 = xT(v2) = T(x) = x.x = x2.
Dicari matriks koordinat untuk T(v1) dan T(v2) relatif terhadap basis sebagai berikut.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
162
Dimisalkan [T(v1)] = [x] =
3
2
1
k
k
k
, berarti
k1w1 + k2w2 + k3w3 = v1
k1 + k2x + k3x2 = xyang mempunyai penyelesaian k1 = k3 = 0 dan k2 = 1.
Dimisalkan [T(v2)] = [x2] =
3
2
1
c
c
c
, yang berarti
c1w1 + c2w2 + c3w3 = v2
c1 + c2x + c3x2 = x2
yang mempunyai penyelesaian c1 = c2 = 0 dan c3 = 1.Diperoleh
[T(v1)] =
0
1
0
dan [T(v2)] =
1
0
0
.
Jadi, matriks untuk T yang berkorespondensi dengan basis dan yaitu
[T], =
10
01
00
.
CONTOH 6.5.7 DiberikanT : P2[x](R) P2[x](R), T(p) = ppp 32 .
Gunakan B = {1, x, x2} untuk mencari BT .Penyelesaian.
T(1) = 1 = 1.1 + 0.(1 + x) + 0.(1 + x + x2),T(1 + x) = 3 + x = 2.(1) + 1.(1 + x) + 0.(1 + x + x2),T(1 + x + x2) = 9 + 5x + x2 = 4.(1) + 4.(1 + x) + 1.(1 + x + x2).
BT =
100
410
421
.
Hasil berikut menunjukkan bahwa representasi adalah suatu ide yang bermanfaat.Hasilnya mengatakan bahwa komponen dari peta v di bawah T dapat diperoleh denganmengalikan matriks representasi dari T dengan komponen v.
TEOREMA 6.5.1 Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruangvektor berdimensi berhingga V ke ruang vektor berdimensi berhingga W. Diambil dan sebagai basis untuk V dan W secara berturut-turut.
Jika v V, maka [T(v)] = [T], [v].Bukti. Diambil = {v1, …, vn}, = {w1, …, wn}, dan diandaikan bahwa
T(vj) =
m
iiij wa
1
, j = 1, …, n.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
163
Jika v V, maka
v =
n
jjjvc
1
, cj F,
dengan demikian
T(v) =
n
jjjvcT
1
=
n
jjj vTc
1
)( =
n
j
m
iiijj wac
1 1
.
Urutan jumlahan dapat ditukarkan dan dituliskan menjadi
T(v) =
n
j
m
iiijj wac
1 1
=
m
i
n
jijij wca
1 1
.
Jadi komponen ke-i dari T(v) adalah
n
jjijca
1
,
yang merupakan hasil kali baris ke-i dari [T], dengan vektor kolom [v]B. Jadi diperoleh[T(v)] = [T], [v].
CONTOH 6.5.8 Diberikan T : R2 R2 yang didefinisikan oleh
b
aT =
ba
ba
34
2.
Gunakan basis baku dari R2 dan
[T] =
34
12
untuk menghitung
3
2T .
Penyelesaian.
3
2=
0
12 +
1
03
sehingga
3
2=
3
2.
Diketahui bahwa[T(v)] = [T] [v]α,
karena itu
3
2T =
34
12
3
2=
17
7.
Disimpulkan bahwa
3
2T =
17
7.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
164
CONTOH 6.5.9 Diberikan T : P2[x](R) P2[x](R) yang didefinisikan olehT(p) = ppp 32 .
Gunakan = {1, 1 + x, 1 + x + x2}
dan
[T] =
100
410
421
,
untuk menghitung [T( 2 – x + x2)] dan T( 2 – x + x2).Penyelesaian.
2 – x + x2 = 3.1 + (–2).(1 + x) + 1(1 + x + x2),sehingga
[( 2 – x + x2)] =
1
2
3
.
Karena[T(p)] = [T][p],
maka
[T( 2 – x + x2)] =
100
410
421
1
2
3
=
1
2
3
,
danT( 2 – x + x2) = 3.(1) + 2.(1 + x) + 1(1 + x + x2) = 6 + 3x + x2.
Diagram berikut ini adalah suatu ringkasan penyederhanaan yang menggunakanbasis untuk ruang vektor berdimensi berhingga.
Gambar 6.8: Ilustrasi dari matriks representasi
v wT
V W
w = T(v)
[v] [w]
Basis
Abstrak
Basis
Konkrit
Fn Fm
[T],
Mmn(F)
L(V, W)
T
[w] = [T] = [T], [v][T],
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
165
Dilihat kasus khusus untuk matriks representasi dari transformasi linear padamatriks perubahan basis. [I],, matriks representasi dari I : V V, I(v) = v tidak lainadalah matriks transisi dari matriks koordinat.
Gambar 6.9: Perubahan matriks basis sebagai suatu matriks representasi
CONTOH 6.5.10 Di R2 diberikan basis = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 10)}, dan = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Tentukan matriks transisi dari ke , [I],.Penyelesaian.
3
2
1
I =
3
2
1
=
0
0
1
.1 +
0
1
0
.2 +
1
0
0
.3
6
5
4
I =
6
5
4
=
0
0
1
.4 +
0
1
0
.5 +
1
0
0
.6
10
8
7
I =
10
8
7
=
0
0
1
.7 +
0
1
0
.8 +
1
0
0
.10
sehingga
[I], =
1063
852
741
.
v vI
V V
v = I(v)
[v] [v]
Basis Basis
Rn Rn
[I],
Mmn(R)
L(V, V)
I
[v] = [I(v)] = [I], [v][I],
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
166
6.6 Komposisi Transformasi Lineardan Perkalian MatriksPada bagian ini akan dibahas matriks representasi dari jumlahan dan komposisi
transformasi linear. Proses ini akan dihubungkan dengan penjumlahan dan perkalianmatriks. Selanjutnya akan dipikirkan akibat mengubah basis pada matriks representasidari suatu transformasi linear.
TEOREMA 6.6.1 Diberikan V dan W adalah ruang vektor berdimensi berhinggadengan basis dan secara berturut-turut.Jika T1, T2 L(V, W) dan k F, maka
[kT1 + T2], = k[T1], + [T2],.Bukti. Ditunjukkan bahwa dua matriks tersebut adalah sama dengan menunjukkanbahwa semua unsur-unsur yang berkorespondensi adalah sama.
Jika = {v1, …, vn}, maka ([kT1 + T2],)ij merupakan komponen ke-i dari (kT1 +T2)(vj).
Karena (kT1 + T2)(vj) = kT1(vj) + T2(vj), maka komponen ke-i dari kedua vektor iniadalah sama.
Juga komponen ke-i dari (kT1(vj) + T2(vj)) adalah sama dengan k kali komponenke-i dari T1(vj) + komponen ke-i dari T2(vj). Berarti bahwa,
([kT1 + T2],)ij = k([T1],)ij + ([T2],)ij,atau
[kT1 + T2], = k[T1], + [T2],.Dengan kata lain, hasil ini mengatakan bahwa matriks representasi suatu kombinasi lineardari transformasi linear sama dengan kombinasi linear dari matriks representasinya.
DEFINISI 6.6.1 Diberikan V, W, X adalah ruang vektor, T L(V, W) serta S L(W, X). Didefinisikan fungsi komposisi
S T : V Xoleh
(S T)(v) = S(T(v)), v V.
Jika T L(V, V) dan p Z+ maka didefinisikanTp : V V
oleh
kali
)()(p
p vTTTvT .
Hasil berikut mengatakan bahwa matriks representasi dari suatu komposisitransformasi linear sama dengan hasil kali dari masing-masing matriks representasinya.
TEOREMA 6.6.2 Diberikan V, W, X adalah ruang vektor berdimensi berhinggadengan basisnya berturut-turut , , . Diberikan T L(V, W) dan S L(W, X), maka
[S T], = [S], .[T], .
Bukti. Diandaikan = {v1, …, vn}, = {w1, …, wn}, = {x1, …, xn} dan diambil [T],
= A, dengan demikian
m
iiijj wavT
1
)(
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
167
dan juga [S], = B, dengan demikian
p
kkkii xbwT
1
)( .
Untuk memperoleh matriks representasi dari transformasi S T, harus diterapkan untuk
vektor basis dan diuji komponen-komponennya:([S T], )kj = komponen ke-k dari (S T)(vj).
Diperhatikan
(S T)(vj) = S(T(vj)) =
m
iiij waS
1
=
m
iiij wSa
1
)(
=
m
i
p
kkkiij xba
1 1
=
p
k
m
ikijki xab
1 1
.
Komponen ke-k dari vektor tersebut adalah
m
iijkiab
1
,
yang tidak lain adalah komponen ke-k dari hasil kali matriks BA. Ini berarti bahwa([S T], )kj = ([S], .[T], )kj.
Dapat disimpulkan bahwa dua matriks [S T], dan [S], .[T], adalah sama.
Gambar 6.10: Representasi komposisi oleh perkalian matriks
CONTOH 6.6.1 Buktikan Teorema 6.6.1 untuk transformasi-transformasi:T : R2 P2[x](R), T((a, b)T) = b + (a + 2b)x + (2a – b)x2,S : P2[x](R) P2[x](R), S(p) = p + p .
vWV W
[S T],
Mpn(F)
L(V, W)
T
L(W, X)
S
X
L(V, X)S T
[T],
Mmn(F)
[S],
Mpm(F)
[S T], = [S], [T],
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
168
Penyelesaian. Digunakan basis baku
=
1
0,
0
1dan = {1, x, x2}= .
Diperoleh
0
1T = 0 + x + 2x2,
1
0T = 1 + 2x – x2, [T], =
12
21
10
,
dan juga
S(1) =1, S(x2) = 1 + x, S(x2) = 2x + x2, [S], =
100
210
011
.
Diklaim bahwa
[S T], = [S], [T], =
100
210
011
12
21
10
=
12
05
31
.
DiperiksaS T((a, b)T) = S(b + (a + 2b)x + (2a – b)x2)
= a + 3b + (5a)x + (2a – b)x2,dan diperoleh
(S T)
0
1= 1 + 5x + 2x2, (S T)
1
0= 3 – x2,
sehingga
[S T], =
12
05
31
.
Teorema terbukti dalam kasus ini.
Teorema 6.6.2 dapat diperluas secara induktif sebagai berikut.
TEOREMA 6.6.3 Diberikan Ti : Vi Vi+1 sebagai transformasi linear dari ruangvektor berdimensi berhingga Vi ke ruang vektor berdimensi berhingga Vi+1, i = 1, …, n –1. Diberikan i sebagai basis untuk Vi, i = 1, …, n, maka
21,121 ... TTT nn =
2132121 ,1,2,1, ... TTTTnnnn nn .
Suatu aplikasi yang sangat penting dari teorema tersebut, dan suatu aplikasi yangakan digunakan pada bagian kedua dari pembahasan ini, muncul ketika dimiliki operatorlinear dan mengubah basis di V. Hasil berikut adalah suatu kasus khusus teoremasebelumnya.
AKIBAT 6.6.1 Diberikan T : V V sebagai operator linear pada ruangberdimensi berhingga V dan diberikan dan sebagai basis untuk V, maka
[T] = [I], [T] [I],.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
169
Bukti. Dinyatakan transformasi linear T : V V dalam dua cara yang identik:(a) T : V V dengan digunakan sebagai basis untuk V.(b) (I1 T I2) : V V dengan
I2 : V V adalah transformasi identitas. Kita gunakan sebagai basis untukdomain dan sebagai basis untuk kodomain,
T : V V adalah transformasi linear. Kita gunakan basis untuk V, I1 : V V adalah transformasi identitas. Kita gunakan sebagai basis untuk
domain dan sebagai basis untuk kodomain.Menggunakan Teorema 6.6.2,
[T] = [I1 T I2] = [I1], [T] [I2],.
Gambar 6.11: Perubahan basis dan transformasi linear
jalan panjang
v
[I],L(V, V)
[v]
Mn(F)
[T(v)]
Fn
[T(v)] = [T] [v]
[T] Fn
[v] [T(v)]
Fn [T]Fn
[T(v)] = [T] [v]
Mn(F)
jalan singkat
awal akhir
basis
basis
[I],
v
T(v)
T(v)
TI I
V
V
V
V
basis
basis
[T(v)] = [T] [v] = [I], [T] [I], [v]
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
170
Hasil pada Akibat 6.6.1 menunjukkan bahwa matriks representasi daritransformasi linear yang berkenaan dengan dua basis terkait oleh perkalian denganmatriks perubahan basis yang sesuai.
Dicatat bahwa [I1], adalah matriks koordinat perubahan basis dari ke dan[I2], adalah matriks koordinat perubahan basis dari ke dan invers dari [I1],.
Hasil tersebut adalah bermanfaat sebab menunjukkan bahwa saat menghitungmatriks representasi dari suatu transformasi linear dalam satu basis, tidak harusmenghitung kembali matriks dalam basis lain, hanya perlu dilakukan beberapa perkalianmatriks yang menyertakan matriks perubahan basis.
Tentu saja beralasan kenapa perlu [T] untuk menghitung [T(v)]. Sekarang dapatdituliskan(i) [T(v)] = [T] [v]
(ii) [T(v)] = [I], [T] [I], [v].Jalan (i) adalah langkah pintas. Diperoleh koordinat dari T(v) pada basis dalam
satu jalan, tetapi diperlukan matriks representasi dari T dalam koordinat .Jalan (ii) adalah langkah yang panjang. Pertama, mengubah koordinat dari ke
menggunakan [I],, yang kedua adalah memperoleh koordinat dari T(v) dalam basis menggunakan [T], dan yang terakhir yaitu mengubah koordinat menggunakan [I],
untuk memperoleh [T(v)].Pada dua contoh berikut, untuk memperoleh suatu latihan yang sederhana,
dibuktikan hasilnya dengan menghitung dua kemungkinan matriks yang baru.
CONTOH 6.6.2
T : R2 R2,
ba
ba
b
aT
43
2,
1
0,
0
1 ,
1
1,
1
1 .
Hitung [T], [T] dan buktikan Akibat 6.6.1.Penyelesaian.
0
1T =
3
1= 1
0
1+ 3
1
0,
1
0T =
4
2= 2
0
1+ 4
1
0.
Diperoleh [T] =
43
21.
1
1T =
7
3= 5
1
1– 2
1
1,
1
1T =
1
1= – 1
1
1+0
1
1.
Diperoleh [T] =
02
15.
Selain itu juga didapatkan
[I] , =
11
11, dan[I] , =
11
11
2
1.
Teorema mengatakan bahwa
[T] = [I], [T] [I], =
11
11
2
1
43
21
11
11=
02
15.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
171
CONTOH 6.6.3T : P2(R2) P2(R2), T(p) = ppp 32 ,
= {1, x, x2}, = {1 + x + x2, 1 – x2, 1 + x}.Hitung [T], [T] dan buktikan Akibat 6.6.1.Penyelesaian.
T(1) = 1, T(x) = 2 + x, T(x2) = 6 + 4x + x2.
Diperoleh [T] =
100
410
621
.
T(1 + x + x2) = 9 + 5x + x2 = 5(1 + x + x2) + 4(1 – x2),T(1 – x2) = –5 – 4x – x2 = –2(1 + x + x2) – (1 – x2) – 2(1 + x),T(1 + x) = 3 + x = 2(1 + x + x2) + 2(1 – x2) – (1 + x).
Diperoleh
[T] =
120
214
225
.
Selain itu juga didapatkan
[I] , =
011
101
111
.
Untuk menghitung [I],, dicari invers dari matriks sebagai berikut:
100
010
001
011
101
111
12
13
bb
bb
101
011
001
120
010
111
2
3
b
b
101
011
001
120
010
111
21
23 2
bb
bb
121
011
010
100
010
101
31 bb
121
011
111
100
010
001
.
Jadi
[I], =
121
011
111
.
Dihitung
[I], [T] [I], =
121
011
111
100
410
621
011
101
111
=
120
214
225
= [T]
seperti yang diharapkan.
Keserupaan (Similarity)DEFINISI 6.6.2 Diberikan A, B Mn(F). A dikatakan serupa (similar) terhadapB jika terdapat suatu matriks inversibel P sehingga
APPB 1 .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
172
Jika APPB 1 , maka BQQPBPA 11 dengan 1 PQ . Ini berartibahwa, jika A serupa terhadap B, maka B adalah serupa terhadap A. Pada umumnyadinyatakan bahwa A dan B adalah serupa.
Akibat 6.6.1 mengatakan bahwa dua matriks representasi dari operator linearyang sama terhadap dua basis yang berbeda adalah matriks serupa. Ini berarti bahwa,
[T] = [I], [T] [I],.
Jika dituliskan [T] = B, [T] = A, dan [I], = P dengan [I], = 1P , maka dimiliki
APPB 1 .
CONTOH 6.6.4 Diberikan operator linear T : R2 R2 yang didefinisikan oleh
21
21
2
1
42 xx
xx
x
xT .
Tentukan matriks baku untuk T, yaitu matriks T relatif terhadap basis ={e1, e2}.Selanjutnya transformasikan matriks tersebut ke matriks T relatif terhadap basis
=
2
1,
1
121 vv .
Penyelesaian. Dari Contoh 6.5.2, matriks T relatif terhadap basis baku yaitu
A = [T] =
42
11.
Matriks transisi dari ke adalah
[I], =
21
11P
dengan
[I], =
11
121P .
Oleh karena itu, matriks T relatif terhadap basis adalah
[T] = [I], [T] [I],. = APP 1 =
11
12
42
11
21
11=
30
02
yang sama dengan hasil yang diperoleh dari Contoh 6.5.2.
6.7 InversibilitasDiandaikan terdapat transformasi linear T L(V, W). Fungsi S adalah suatu
invers untuk T kalau S : W V memenuhi S T = IV dan T S = IW, dengan IV dan IW
berturut-turut menotasikan operator identitas pada V dan W.Perlu dicatat bahwa suatu fungsi mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi
adalah satu-satu dan pada.Jika T(v1) = T(v2) = w dan v1 v2 (yaitu T tidak satu-satu), maka bagaimana dapat
didefinisikan S(w)?Jika w W dan w Im(T), (yaitu T tidak pada) maka bagaimana dapat
didefinisikan S(w)?Untuk suatu transformasi linear T L(V, W) yang satu-satu dan pada maka
dim(V) = dim(W) berdasarkan Akibat 6.3.2.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
173
Jika invers suatu fungsi ada, maka inversnya tunggal untuk T L(V, W) dan
dinotasikan dengan 1T .
TEOREMA 6.7.1 Diberikan T L(V, W). Jika T adalah inversibel, maka 1Tadalah linear.Bukti. Diandaikan w1, w2 W dan k F. Karena T adalah pada, maka v1, v2 Vsehingga T(v1) = w1, T(v2) = w2.
1T (kw1 + w2) = 1T (kT(v1) + T(v2))
= 1T (T(kv1 + v2))= kv1 + v2
= k 1T (w1) + 1T (v2).
Disimpulkan bahwa 1T adalah linear.
TEOREMA 6.7.2 Diberikan T L(V, W) adalah transformasi linear dari ruangvektor V berdimensi berhingga ke ruang vektor W berdimensi berhingga, dan diberikan, berturut-turut adalah basis untuk V dan W.
T adalah inversibel jika hanya jika [T], adalah inversibel.
Jika T adalah inversibel, maka 1,,
1 TT .
Bukti. Pertama diandaikan bahwa T mempunyai invers, maka
VITT 1 .
Jika diambil matriks representasi dari persamaan tersebut dengan menggunakan basis untuk V dan basis untuk W, maka
[ 1T T] = [IV].
Ini berarti bahwa
[ 1T ],[T], = I.Karena T inversibel, kita tahu bahwa V dan W mempunyai dimensi yang sama dan juga[T], adalah suatu matriks persegi. Disimpulkan bahwa [T], adalah inversibel dengan
inversnya [ 1T ],. Juga
1,,
1 TT .
Yang kedua, diandaikan bahwa A = [T], mempunyai invers B. Jika = {v1, …, vn} dan = {w1, …, wn}, maka didefinisikan S : W V oleh
S(wj) =
n
iiij uB
1
)( .
Secara jelas
[S], = B = 1A .Juga
[S T] = [S], [T], = BA = In = [IV],dan
[T S] = [T], [S], = AB = In = [IW].
Jadi S T = IV dan T S = IW dan juga S = 1T .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
174
CONTOH 6.7.1 Tunjukkan bahwa T adalah inversibel dan tentukan 1T untuk:
T : P1(R) R2, T(a + bx) =
ba
ba
2
2.
.Penyelesaian. Diambil basis baku untuk P1[x](R) dan R2 berturut-turut adalah
= {1, x}, =
1
0,
0
1.
T(1) =
1
2= 2
0
1– 1
1
0, T(x) =
2
1= 1
0
1+ 2
1
0.
Jadi
[T], =
21
12= A.
Matriks tersebut inversibel dan
21
12
5
11A .
Dapat disimpulkan bahwa 1T ada dan [ 1T ], = 1A . Ini berarti bahwa,
0
11T =
5
21 +
5
1x dan
1
01T =
5
11 +
5
2x.
Berdasarkan linearitas diperoleh
d
cT 1 = x
dcdc
5
2
5
2
.
6.8 Aplikasi Transfomasi Linear: KriptografiDiandaikan kita ingin mengirim pesan kepada teman kita:
M E E T T O M O R R O W.Untuk keamanan, kita pertama kali mengkodekan alfabet sebagai berikut:
A B … X Y Z1 2 … 24 25 26
Jadi kode pesan adalahM E E T T O M O R R O W
M E E T T O M O R R O W13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23
Barisan13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23
adalah kode asli untuk pesan. Untuk menyamarkan kode asli, kita dapat menerapkansuatu transformasi linear untuk kode asli.
DiambilT : R3 R3, T(x) = Ax,
dengan
210
211
321
A .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
175
Selanjutnya kita memecah pesan asli menjadi 4 vektor:
5
5
13
,
15
20
20
,
18
15
13
,
23
15
18
,
dan digunakan transformasi linear untuk memperoleh kode tersamarkan:
15
28
38
5
5
13
T ,
50
70
105
15
20
20
T ,
51
64
97
18
15
13
T ,
51
64
97
18
15
13
T .
Selanjutnya kita dapat mengirimkan kode pesan tersamarkan:38 28 15 105 70 50 97 64 51 117 79 61Diandaikan teman kita ingin mengkodekan pesan tersamarkan. Pertama kali,
teman kita dapat mencari matriks invers dari A:
111
122
110
210
211
3211
1A ,
dan selanjutnya
5
5
13
15
28
381A ,
15
20
20
80
70
1051A ,
18
15
13
51
64
971A ,
23
15
18
61
79
1171A .
Jadi, teman kita dapat menemukan kode asli:13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23
melalui matriks invers A.
Sebagai contoh lain, jika kita menerima kode pesan berikut ini dari teman kita77 54 38 71 49 29 68 51 33 76 48 40 86 53 52dan kita mengetahui bahwa pesan dari teman kita ditransformasikan oleh transformasilinear yang sama
T : R3 R3,
210
211
321
)( AxxT ,
maka pertama kali pesan dipecah menjadi 5 vektor:
38
54
77
,
29
49
71
,
33
51
68
,
40
48
76
,
52
53
86
,
dan selanjutnya dapat diperoleh kode pesan asli:
15
8
16
38
54
771A ,
7
15
20
29
49
711A ,
16
1
18
33
51
681A ,
12
16
8
40
48
761A ,
19
14
1
52
53
861A .
Jadi, pesan asli dari teman kita yaitu16 8 15 20 15 7 18 1 16 8 16 12 1 14 19P H O T O G R A P H P L A N S
P H O T O G R A P H P L A N S
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
176
SOAL-SOAL UNTUK BAB 6
1. Nyatakan yang mana dari fungsi-fungsi berikut yang merupakan transformasilinear.(a) f1 : R R, f1(x) = sin x(b) f2 : R R, f2(x) = 2x + 3(c) f3 : R2 R2, f3(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y)(d) f4 : P2(R) R2, f4(a + bx + cx2) = (a + 2b – 1, c + 2)
2. Apakah mungkin dipunyai transformasi linear T dari R2 ke R2 dengan sifat:(a) T(1, 2) = (–2, –3) dan T(3, 6) = (–4, 6),(b) T(1, 2) = (–2, –3) dan T(–1, 2) = (1, –3),(c) T(1, 2) = (–2, –3), T(–1, 2) = (2, 1), dan T(–1, 6) = (2, –1)?
3. Buktikan bahwa T adalah linear untuk T : R3 R3 yang didefinisikan oleh
z
zyx
zyx
z
y
x
T .
4. Diberikan (V, , ) adalah suatu ruang hasil kali dalam dan W adalah ruang bagianberdimensi hingga dari V. Buktikan bahwa fungsi T : V W yang didefinisikanoleh T(v) = proyW(v) adalah transformasi linear.
5. Diberikan T : V W adalah transformasi linear. Diandaikan v1, v2 V dan {T(v1),T(v2)} adalah bebas linear. Tunjukkan bahwa {v1, v2} adalah bebas linear.
6. Diberikan T : V W adalah transformasi linear. Diberikan S : W X adalahtransformasi linear. Buktikan bahwa fungsi komposisi S T yang didefinisikan oleh
(S T)(v) = S(T(v)) adalah transformasi linear.
7. Diberikan T : M2(R)M2(R) yang didefinisikan oleh T(A) = AB – BA dengan Badalah suatu elemen dari M2(R). Tentukan range dari T dan rank dari T untuk:
(a) B =
20
02(b) B =
00
20
(c) B =
40
02(d) B =
40
22.
8. Diberikan T : R3 R3 yang dirumuskan olehT(a, b, c) = (a + b – c, 2a – b + 2c, –3b + 4c).
Tentukan suatu basis untuk range dari T. Apakah T pada?
9. Diberikan T : C2 C2 yang dirumuskan oleh
2
1
z
zT =
21
21
)34()13(
)2()1(
zizi
zizi.
Tentukan suatu basis untuk range dari T. Apakah T pada?
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
177
10. Diberikan T : R2 R2 yang dirumuskan olehT(x, y) = (x – 2y, 3x – 4y).
Tentukan suatu basis untuk Im(T). Apakah T pada?
11. Diberikan T : R2 P2(R2) yang dirumuskan olehT(x, y) = (x + y) + (x – y)t + (3x – 4y)t2.
Tentukan suatu basis untuk Im(T). Apakah T pada?
12. Diberikan (V, , ) sebagai suatu ruang hasil kali dalam dan untuk setiap v Vdidefinisikan fungsi Lv : V F oleh Lv(w) = w , v.(a) Tunjukkan bahwa Lv adalah suatu transformasi linear.(b) Tunjukkan bahwa Lv adalah pada kecuali v = 0.
13. Tentukan basis untuk ruang nol untuk transformasi linear pada pertanyaan 7 sampai11, dan nyatakan apakah satu-satu.
14. Diberikan T : VW dan L : W X adalah transformasi linear.(a) Tunjukkan bahwa jika T dan L adalah satu-satu, maka LT adalah satu-satu.
(b) Jika LT adalah satu-satu, maka apakah T satu-satu?
(c) Jika LT adalah satu-satu, maka apakah L satu-satu?
15. Berikan suatu contoh transformasi linear T : R2 R2 dengan sifat Ker(T) = Im(T).
16. (a) Tunjukkan bahwa jika T : R3 R adalah suatu transformasi linear, maka a,b, c R sehingga T(x, y, z) = (a, b, c)(x, y, z).
(b) Nyatakan secara geometris ruang nol yang mungkin dari transformasi linearT : R3 R.
17. Ujilah teorema dimensi untuk transformasi linear pada soal no 7 sampai 11.
18. Tentukan Ker(T) dan Im(T) pada soal no 3.
19. Diberikan T : M2(R)M2(R) yang didefinisikan denganT(A) = AT – A.
Tunjukkan bahwa T adalah linear dan selanjutnya tentukan dim(Im(T)).
20. Tentukan Ker(T) dan Im(T) untuk T : R3 R4 yang memenuhi
0
1
0
1
1
1
1
T ,
0
0
1
2
1
1
0
T ,
0
1
1
1
1
0
0
T .
.21. Tentukan Ker(T) dan Im(T) untuk transformasi linear T : R2 R3 yang
didefinisikan oleh
0
2
2
yx
yx
y
xT .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
178
22. Tentukan Ker(T) dan Im(T) untuk T : R2 R3,
0
yx
yx
y
xT .
23. Tentukan Ker(T) dan Im(T) untuk T : R3 R2,
zy
zyx
z
y
x
T2
24. Diberikan T : M2(R) R yang didefinisikan dengan T(A) = tr(A). Tentukan Ker(T)dan Im(T).
25. (a) Tunjukkan bahwa T : M2(R) M2(R) yang didefinisikan oleh T(A) = AT + Aadalah suatu transformasi linear.
(b) Tentukan suatu basis untuk Ker(T) dan tentukan dim(Ker(T)).(c) Tentukan suatu basis untuk Im(T) dan tentukan dim(Im(T)).
26. Tunjukkan bahwa tidak ada transformasi linear T : P4[x](C) M2(R) yang satu-satu.
27. Tentukan matriks representasi dari transformasi linear di bawah ini terhadap basisyang diberikan.a)
T : R3 R3,
z
y
x
T =
zyx
zyx
zyx
23
432
(i) [T]B, B =
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
(ii) BT , B =
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
b)
T : C2 C2,
2
1
z
zT =
12
21
32 ziz
izz
(i) [T]B, B =
1
0,
0
1(ii) BT , B =
i
i 1,
1
c)T : P2[x](R) P2[x](R),
T(a + bx + cx2) = (a + 2b + 2c) + (2a + b + 2c)x + (2a + 2b + c)x2
(i) [T]B, B = {1, x, x2}(ii) BT , B = {1 + x + x2, 1 – x, 1 – x2}
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
179
28. Gunakan penyelesaian pertanyaan soal 27 untuk menghitung
(a) (i)
B
T
3
2
1
(ii)
B
T
3
2
1
(b) (i)B
i
iT
2
1(ii)
Bi
iT
2
2dan
2
2
i
iT
(c) (i) [T(1 + 2x + 3x2)]B dan T(1 + 2x + 3x2)
(ii) BxxT 2222( dan T(2 + 2x – 2x2).
29. Diberikan T : M2(R)M2(R) yang dirumuskan olehT(M) = AM – MA
dengan
12
21A .
Diberikan
B =
10
00,
01
00,
00
10,
00
01,
B =
11
11,
11
11,
01
10,
10
01
(a) Tentukan(i) [T]B (ii) BBT , (iii) BBT , (iv) BT
(b) Gunakan Teorema 6.5.1 dan penyelesaian pada bagian (a) untuk mencari
43
21T .
30. (a) Buktikan T : P3[x](R) P1[x](R) adalah suatu transformasi linear untukT(p(x)) = )(xp
(b) Tentukan matriks dari T menggunakan basis {1, x, x2, x3} untuk P3[x](R) dan{1, x} untuk P2[x](R).
(c) Tentukan matriks dari T menggunakan basis {1, x, x2, x3} untuk P3[x](R) dan{1, x + 2} untuk P1[x](R).
(d) Tentukan basis untuk Ker(T) dan tentukan dim(Ker(T)).(e) Tentukan basis untuk Im(T) dan tentukan dim(Im(T)).
31. (a) Suatu transformasi linear T : R3 R3 mempunyai range berupa bidangdengan persamaan x + y + z = 0 dan ruang nol berupa garis x = y = z. Jika
1
0
2
1
1 a
T ,
5
3
1
1
2
bT ,
c
T 2
1
1
2
1
.
Tentukan a, b, c.(b) Tentukan matriks representasi dari T terhadap basis baku.
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
180
32. (a) Buktikan bahwa T : R2 R3 adalah suatu transformasi linear untuk
yx
yx
yx
y
xT
32
(b) Tentukan basis untuk Ker(T) dan tentukan dim(Ker(T)).(c) Tentukan basis untuk Im(T) dan tentukan dim(Im(T)).
(d) Tentukan matriks dari T terhadap basis
3
1,
2
11B untuk R2 dan basis
0
1
0
,
1
0
1
,
1
1
1
2B untuk R3.
33. Diberikan transformasi linear T : R3 R2 yang didefinisikan oleh
zx
yx
z
y
x
T3
2
Tentukan matriks representasi untuk T jika(a) Basis untuk R3 dan R2 adalah basis baku.
(b) Basis untuk R3 adalah
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
dan untuk R2 adalah basis baku.
(c) Basis untuk R3 adalah
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
dan untuk R2 adalah
1
1,
0
1.
34. Suatu transformasi linear T : R2 R2 yang memenuhi Ker(T) = Im(T), dan
3
2
1
1T . Tentukan matriks representasi T terhadap basis baku.
35. Tentukan matriks representasi untuk pemetaan linear T: M2(R) R yangdidefinisikan dengan T(A) = tr(A) terhadap basis baku
10
00,
01
00,
00
10,
00
01
untuk M2(R).
36. (a) Pada soal 20, hitunglah perubahan basis BBI , dan BBI ,
(b) Buktikan bahwa(i) BBT , = BBI , BT ;
(ii) BBT , = BT BBI , ;
(iii) BT = BBI , BT BBI , .
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
181
37. Diberikan transformasi linear T : R2 P2(R) dan S : P2(R)M22(R) yangdidefinisikan oleh
b
aT = (a + 2b) + (–a + 3b)x + (3a – 2b)x2,
S(p) =
)2()1()2()1(
)2()0()1(
pppp
ppp.
Jika
=
1
0,
0
1, = {1, x, x2},
=
10
00,
01
00,
00
10,
00
01.
Tentukan (a) [T],, (b) [S],, dan [ST], dengan dua cara yang berbeda.
38. Diberikan S : R3 R3 yang didefinisikan oleh
c
b
a
S =
cba
cba
cba
233
323
332
dan diberikan basis
=
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
, =
2
1
1
6
1,
0
1
1
2
1,
1
1
1
3
1.
(a) Tentukan [S] .(b) Tentukan [I], dan [I],.(c) Hitung [S] dengan dua cara berbeda.
39. (a) Diberikan T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor Vberdimensi n dan ruang vektor W berdimensi m. Diberikan i dan i berturut-turut adalah dua basis untuk V dan W, i = 1, 2. Nyatakan suatu persamaanyang menghubungkan
11,T dan 22 ,T .
(b) Jika T : R2M2(R) didefinisikan oleh
b
aT =
baba
baba
22
2
dan
1 =
1
0,
0
1, 2 =
1
1,
1
1,
1 =
10
00,
01
00,
00
10,
00
01,
2 =
01
10,
01
10,
10
01,
10
01.
Buktikan persamaan yang dituliskan pada bagian (a).
Bab 6 Transformasi Linear
© 2010 Didit B. Nugroho
182
40. Tunjukkan bahwa matriks yang serupa mempunyai trace yang sama.
41. Yang manakah dari matriks-matriks di bawah yang serupa?
(a)
20
01(b)
30
01(c)
23
21
21
23
(d)
1
44
23 (e)
02
13
42. Diberikan T : P2[x](R) R3 yang didefinisikan oleh
T(a + bx + cx2) =
cba
cba
cba
522
252
225
.
Tunjukkan bahwa T adalah inversibel dan tentukan 1T .
INDEKS
Ffungsi
komposisi, 166
Hhomogen, 139homomorfisma, 139
Llinear, 139
Mmatriks
baku, 156representasi, 159
Nnulitas, 150
Ooperator
linear, 141
Ppada, 148, 155
Rrange, 144ruang
nol, 149
Ssatu-satu, 151, 152, 155serupa, 171
Ttransformasi
identitas, 141linear, 139, 142matriks, 143nol, 141