Suatu transformasi linear T : V → W dapat

direpresentasikan dalam bentuk :

➔ A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh 1:

Misalkan, suatu transformasi linear T : R2→ R3

didefinisikan oleh :

( )T u Au= uuntuk setiap V.

x yx

xy

y

−

= −

Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2→ R3 adalah

Jika T : Rn→ Rm merupakan transformasi linear

maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

1 1

1 0

0 1

x yx x

xy y

y

− −

= − = −

1 1

1 0

0 1

A

−

= −

dimana

1 2,v v =

2 3: R R →

( ) ( )i iv u =

( )

( )

1 1 1

2 2 2

T v v u

T v v u

= =

= =

3 2 1 2 1 22 2 3 2x x xv v u u =

1

1 2 1 2u u v v

− =

Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan

merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadi

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :

Tulis :

basis bagi V

maka ia punya invers

lj𝑣1 lj𝑣2

1 2 3

1 0 0

1 , 1 , 0

1 1 1

v v v

= = = − −

3

1: R P →

( )i i iT v Av p= =

1 2 31 ; 1; 2p x p p x= − = =

1

dan 1

2

−

Contoh 2 :

Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :

Matrix transformasi

Jika

1 2 3

1 1 01 ; 1 ; 2

1 0 2B B Bp x p p x

= − = = = = =

−

, 1, 2,3i i iv p = =

1 0 01 1 0

1 1 01 0 2

1 1 1

= − − −

11 0 0

1 1 01 1 0

1 0 21 1 1

−

= − − −

Jawab :

Definisikan :

Karena

Maka

atau

1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1

− −

1 0 0 1 0 0

~ 0 1 0 1 1 0

0 1 1 1 0 1

− −

1 0 0 1 0 0

~ 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1

−

1 0 01 1 0 0 1 0

1 1 01 0 2 1 2 2

0 1 1

= − = − −

0 1 0

1 2 2

−

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah

1 1

1 1

2 2

− = −

10 1 0

11 2 2

2

1

1

= − −

− =

11

1B

x −

= − +

ingat bahwa

jadi

Sementara itu,

( )

1

1 1

2

x

− = − +

1 + 𝑥,−𝑥 + 𝑥2, 1 + 𝑥 − 𝑥2

𝑇 1 + 𝑥 =012

𝑇 −𝑥 + 𝑥2 =120

𝑇 1 + 𝑥 − 𝑥2 =210

𝑇 1 − 𝑥 + 𝑥2

Contoh 3 :

Jika T : P2 → R3 adalah transformasi linear

dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

Gunakan

Definisi

Membangun

Jawab :

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis

bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis

sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.

𝑘1 + 𝑘3 = 1𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 = −1𝑘2 − 𝑘3 = 1

1 − 𝑥 + 𝑥2 = 𝑘1 1 + 𝑥 + 𝑘2 −𝑥 + 𝑥2 + 𝑘3 1 + 𝑥 − 𝑥2

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :

𝑇 1 − 𝑥 + 𝑥2 = 0𝑇 1 + 𝑥 + 2𝑇 −𝑥 + 𝑥2 + 𝑇 1 + 𝑥 − 𝑥2

= 2120

+210

=450

𝑇 1 − 𝑥 + 𝑥2 = 𝑇 0 1 + 𝑥 + 2 −𝑥 + 𝑥2 + 1 1 + 𝑥 − 𝑥2

1 − 𝑥 + 𝑥2 = 0 1 + 𝑥 + 2 −𝑥 + 𝑥2 + 1 1 + 𝑥 − 𝑥2

Terimakasih