BAB 5 INTEGRALPenerbit Erlangga

KOMPETENSI DASAR

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar.

A. INTEGRAL TAK TENTU Limit, diferensial, dan integral merupakan bagian

yang tidak dapat dipisahkan dan saling berhubungan.

Pengertian limit digunakan dalam pengertian dasar hitung diferensial dan integral.

Berkaitan dengan pengertian limit, integral dapat diartikan sebagai limit dari jumlah luas bagian-bagian yang sangat kecil di bawah kurva.

Pengertian integral seperti ini akan dijelaskan pada pembahasan dalam menentukan luas daerah di bawah kurva.

integral jika dikaitkan dengan diferensial, maka pengintegralan merupakan invers (kebalikan) dari pendiferensialan. Karena itu integral disebut pula anti diferensial (anti turunan).

CONTOH

Carilah anti turunan dari fungsi f(x) = 3x2. Jawab: Suatu fungsi F yang memenuhi F′(x) = 3x2

berlaku untuk semua x ∈ R. Dengan mendiferensialkan F(x) = x3 kita memperoleh F′(x) = f(x) = 3x2. Dengan demikian, dengan mendiferensialkan fungsi F, didapat fungsi turunannya yaitu f, begitu pula sebaliknya dengan operasi anti turunan, jika diketahui f maka dapat diketahui F.

Karena turunan konstanta adalah nol, maka setiap bentuk F(x) + C dengan C sembarang konstanta, juga merupakan anti turunan dari f(x).

Hasil pengintegralan f(x) dengan berbentuk F(x) + C dinamakan integral sembarang (integral tak tentu), ditulis sebagai berikut.

Dengan mengamati tabel di atas, diperoleh:

dengan n bilangan rasional dan n ≠ –1

CONTOH

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU

Beberapa sifat integral tak tentu adalah sebagai berikut.

1. ∫ a dx = ax + C; a adalah konstanta 2. ∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx; a adalah konstanta 3. ∫ ((f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx 4. ∫ ((f(x) – g(x)) dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

CONTOH

B. INTEGRAL TENTU

Integral tentu adalah integral dari suatu fungsi kontinu untuk nilai-nilai x tertentu dalam sebuah interval yang mempunyai batas atas dan batas bawah.

Jika F(x) anti turunan dari f(x) dengan nilai-nilai x pada sebuah interval yang memiliki batas bawah a dan batas atas b, maka bentuk f(x) dx disebut integral tentu untuk fungsi f(x)

dari a sampai b. Andaikan f kontinu pada [a, b] dan andaikan F

sembarang anti turunandari f , maka pada interval tersebut berlaku sebagai berikut.

Selain sifat integral tak tentu yang juga berlaku pada integral tertentu, terdapat sifat- sifat integral tertentu yang lain sebagai berikut.

CONTOH

C. INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Hubungan antara anti turunan (integral) dengan turunan

Turunan dan integral fungsi trigonometri berbentuk sin (ax + b), cos (ax + b), tan (ax + b), cot (ax + b), sec (ax + b), dan cosec (ax + b).

CONTOH

D. INTEGRAL TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Untuk menghitung nilai integral tertentu kita menggunakan rumus

di mana F(x) adalah hasil pengintegralan dari f(x) atau disebut juga anti turunan, a dan b masing masing adalah bilangan real, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas. Rumus di atas juga dapat digunakan untuk menentukan nilai integral dari fungsi trigonometri.

E. MENYELESAIKAN INTEGRAL DENGAN METODE SUBSTITUSI

Perhatikan contoh berikut :Contoh :

Jika u = g(x) maka u′ = g′(x) dx dengan g adalah suatu fungsi yang

dapat diturunkan dan F adalah anti turunan dari f, maka:

CONTOH

F. INTEGRAL PARSIAL

Pada diferensial (turunan) dikenal rumus turunan hasil kali fungsi-fungsi.

Rumus tersebut digunakan sebagai dasar memperoleh integral parsial atau integral sebagian.

Metode integral parsial digunakan karena tidak semua integral dapat diselesaikan dengan metode substitusi.

CONTOH

G. MENENTUKAN LUAS DAERAH

Luas daerah di atas kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, a ≤ b, serta y = f(x) > 0, dirumuskan sebagai berikut :

Luas daerah dibawah kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, a < b, serta y = f(x) < 0, dirumuskan sebagai berikut.

CONTOH

Jika y1 = f(x) dan y2 = g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh y1 dan y2 untuk y ≥ y1 (y2 diatas y1) ditentukan oleh

Jika x1 = f(y) dan x2 = g(y) dua fungsi kontinu pada a ≤ y ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh x1 dan x2 untuk x2 ≥ x1 (x2 di bawah x1) ditentukan oleh

CONTOH

H. MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu X adalah:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a, y = b diputar mengelilingi sumbu Y adalah

CONTOH

Jika y1 = f(x) dan y2 = g(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 apabila diputar mengelilingi sumbu X adalah:

Jika x1 = f(y) dan y2 = g(y) kontinu pada a ≤ y ≤ b, maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2 apabila diputar mengelilingi sumbu Y adalah:

CONTOH