Post on 09-Mar-2019
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
BAB 2
RELASI
Kalau kita mempunyai himpunan A ={Edi, Tini, Ali, Diah} dan himpunan B = {Jakarta,
Bandung, Surabaya}, kemudian misalnya Edi bertempat tinggal di Bandung, Tini di
Surabaya, Ali di Jakarta, dan Diah di Jakarta, maka kita dapat menuliskannya sebagai
sebuah himpunan R = {(Edi, Bandung), (Tini, Surabaya), (Ali, Jakarta), (Diah, Jakarta)}
R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair).
Disini pada pasangan terurut (Diah, Jakarta), Diah merupakan komponen pertama dan
Jakarta merupakan komponen kedua dari dari pasangan terurut tersebut. Himpunan R
di atas merupakan sebuah relasi, yang dapat kita bentuk antara himpunan A dan B. kita
dapat juga menuliskan R = {(x,y) l x bertempat tinggal di y, x ϵ B}.
Dengan pendefinisian relasi “x bertempat tinggal di y” di atas jelas bagi kita bahwa
penulisan (Diah, Jakarta) tidak boleh dibalik menjadi (Jakarta, Diah) yang kalau dibaca
“Jakarta bertempat tinggal di Diah”. Itulah sebabnya pasangan tersebut dinamakan
pasangan terurut, (a,b) ≠ (b,a).
Relasi dapat pula terjadi di antara anggota sebuah himpunan A. sebagai contoh,
himpunan A = {1,2,4,16}. Kemudian kita definisikan sebuah relasi R antara anggota A
sebagi relasi “x adalah kuadrat dari y”. Dengan mudah kita peroleh R = {(1,1),
(4,2),(16,4)}. Di sini komponen pertama maupun komponen kedua dari pasangan
terurut adalah anggota himpunan A. Demikianlah, kalau kita mempunyai sebuah
himpunan ataupun dua himpunan, kita dapat mendefinisikan sebuah relasi. Tentunya
relasi tersebut bisa bermacam-macam sesuai kehendak kita.
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
1. Produk Cartesian
Notasi-notasi yang digunakan dari produk cartesian :
(a, b) pasangan terurut dari elemen a dan b;
(a1, a2, …, an) n-tuple dari elemen-elemen a1, …, an;
A x B = {(a, b) : a Є A, b Є B} hasil kali himpuan A dan B;
A1, x A2 x … x An atau ∏ hasil kali himpunan-himpunan A1, A2, …, An
A2 = A x A dan An = A x A x … x A (n faktor)
Urutan elemen-elemen di (a, b) menimbulkan suatu perbedaan; dalam hal ini a
adalah elemen pertama dan b adalah elemen kedua. Maka (a, b) ≠ (b, a), bila
tidak demikian maka a = b. Sebaliknya (a, b) dan (b, a) mewakili himpunan yang
sama.
Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) sama jika dan hanya jika a = c dan b = d
n-tuple (a1, a2, … , an) dan (b1, b2, …, bn) sama jika dan hanya jika a1 = b1, a2 =
b2, …, an = bn
Perwakilan dari R2 = R x R sebagai titik-titik dalam bidang
Setiap titik p dalam bidang mewakili sebuah pasangan terurut (a, b) dari
bilangan real dan sebaliknya. Garis vertikal melalui P bertemu dengan sumbu x di
a dan garis horisontalnya bertemu sumbu y di b. R2 seringkali disebut sebagai
bidang cartesian.
y
x
b
a
p(a,b)
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
Contoh :
1. Tentukan x dan y jika (3x, x – 2y) = (6, -8)
3x = 6 → x = 2; x – 2y = -8 → y = 5
2. Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}. Tentukan a. A x B dan b. B x A
a. A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
b. B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Latihan soal :
1. Tentukan x, y dan z jika (2x, x + y, x – y -2z) = (4, -1, 3)
2. Anggap A = {1, 2}. Tentukan a. A2 dan b. A3
3. Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}. Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini
sama dengan A x B
a. E = {{1, a}, {1, b}, {2, a}, {2, b}}
b. F = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
c. G = {(1, a), (1, b), (2, a), (b, 2)}
d. {(1, b), (2, a), (1, a), (2, b)}
4. Misalkan A = {pria, wanita} dan B = {kucing, anjing, ikan}. Tentukan : a. A x B
dan b. B x A
5. Misalkan Y = {0, 1} dan Z = {1, 0}. Tentukan : a. Y x Z b. Z x Y c. apakah
yang dapat kamu catat dari hasil Y x Z dan Z x Y?
Untuk setiap pasangan terurut (a, b) dalam A x B, terdapat n(A) pilihan untuk a dan
n(B) pilihan untuk b. Maka ada n(A).n(B) pasangan terurut. Sehingga n(A xB) =
n(A).n(B). Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa jika A1, A2, …, Am
adalah himpunan berhingga maka :
n(A1 x A2 x … x Am) = n(A1) n(A2) … n(Am)
Contoh :
1. Misalkan A = {1, 2, 3, …, 8, 9, 10} dan B = {a, b, c, …, x, y, z}. Berapa banyak
elemen dari A x B ?
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
Penyelesaian :
n(A) = 10 dan n(B) = 26.
A x B = (10) (26) = 260 elemen
2. Misalkan A = {1, 2, 3, 6} dan B = {8, 9, 10}. Tentukan jumlah elemen dalam
a) A x B b) B x A c) A2 d) B4 e) A x A x B f) B x A x B
Penyelesaian :
N(A) = 4 dan n(B) = 3
a) n(A x B) = 4.3 = 12 d) n(B4) = 34 = 81
b) n(B x A) = 3.4 = 12 e) n(A x A x B) = 4.4.3 = 48
c) n(A2) = 4.4 =16 f) n(B x A x B) = 3.4.3 = 36
3. Diberikan A = {1, 2}, B = {x, y, z}, dan C = {3, 4}. Tentukan A x B x C dan n(A
x B x C)
A x B x C terdiri dari semua triple terurut (a, b, c) dimana a Є A, b Є B dan c Є C.
Elemen- elemen dari A x B X C terdiri dari 12 triple terurut.
N(A x B x C) = n(A) x n(B) x n(C) = 12
A x B x C = {(1, x, 3),(1, x, 4),(1, y, 3), (1, y, 4), (1, z, 3), (1, z, 4), (2, x, 3),
(2, x, 4), (2, y, 3), (2, y, 4), (2, z, 3), (2, z, 4)}
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
x
y
z
x
y
z
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
Latihan soal :
1. Setiap pelemparan sebuah uang logam akan menghasilkan muka atau belakang.
Misalkan C = {H, T} menyatakan himpunan yang dihasilkan. Tentukan C3, n(C3)
dan sebutkan wakil dari C3.
2. Misalkan S = {a, b, c}, T = {b, c, d}, dan W = {a, d}. Bentuklah diagram pohon
S x T x W kemudian tentukanlah S x T x W.
3. Diberikan himpunan A = {1, 2}, B = {a, b, c}, C = {c, d}. Tentukan
a) (A x B) ∩(A x C) dan b) A x (B∩C)
4. Misalkan A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {2, 3}. Tentukan
a) (A x B)U(A x C) dan b) A x (B U C)
2. Penyajian Lain
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu :
1. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi),
P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)}
2. Himpunan pasangan terurut dalam bentuk pencirian,
P = {(x,y) : x berusia y, dimana x Є M dan y Є N}
3. Diagram panah,
M N
p
Ami
Budi
Candra
Dita
1
2
3
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
4. Diagram koordinat atau grafik relasi,
4. Matriks relasi,
P = [
]
5. Bentuk graf berarah (digraf)
Latihan soal :
1. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {x, y, z} yang didefinisikan oleh :
R ={(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}
Buatlah diagram panah dan tentukan matriks M yang mewakili R
Ami
Budi
Chandra
Dita
1
3
2
3
2
1
Ami Budi Chandra Dita
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
2. Misalkan T adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4, 5} ke B = {merah, putih, biru,
hijau} didefinisikan oleh T = {(1, merah), (2, biru), (3, biru), (4, hijau)}
a. Gambarlah diagram panah relasi T
b. Tentukan domain dan range dari T
c. Tentukan matriks M yang mewakili T
3. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6} dan misalkan R adalah relasi pada A yang
didefinisikan “x membagi y”, dituliskan dengan xIy.
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6),(3, 3), (3, 6), (6, 6)}
a. Gambarlah graph berarah R
b. Tentukan matriks M dari relasi R
4. Misalkan R adalah relasi pada A = {1, 2, 3, 4, 5} yang diterangkan oleh graph
berarah berikut :
a. Tulislah R sebagai himpunan pasangan terurut
b. Tentukan setiap subset dari A berikut : E = {a : a R 2}, F = {a : a R 3}, G =
{a : 2 R a}, dan H = {a : 3 R a}
5. Gambar berikut menunjukkan grafik dari relasi S yang didefinisikan persamaan
y = x2.
a. Tentukan domain dan range dari S
b. Tentukan persamaan yang menunjukkan relasi invers S-1
c. Gambarkan grafik dari S-1
1 3 2
4 5
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
y
3. Relasi Invers
Sebuah relasi biner (relasi) dari suatu himpunan A ke himpunan B adalah suatu
subset R dari A x B. Misalkan a Є A dan b Є B, ditulis :
a R b atau a R b berarti (a, b) Є R atau (a, b)∉ R
Domain dari R adalah subset dari A terdiri dari elemen-elemen pertama dari
pasangan terurut R, dan range dari R adalah subset dari B terdiri dari elemen-
elemen yang kedua.
Invers dari R dinotasikan R-1 adalah relasi dari B ke A yang terdiri dari pasangan
terurut yang berkebalikan dengan R; yaitu :
R-1 = {(b, a): (a, b) Є R}
Dengan kata lain b R-1 a jika dan hanya jika a R b
Contoh :
1. Tentukan manakah dari pernyataan berikut yang merupakan relasi dari A =
{a, b, c} ke B = {1, 2}
a. R1 = {(a, 1), (a, 2), (c, 2)}
b. R2 = {(a, 2), (b, 1)}
c. R3 = {(c, 1), (c, 2),(c, 3)}
d. R4 = {(b, 2)}
e. R5 = Ø
f. R6 = A x B
x
y = x2
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
Penyelesaian :
Semua merupakan relasi dari A ke B karena semuanya adalah subset dari A x B.
R5 = Ø disebut relasi kosong dari A ke B, dan R6 = A x B disebut relasi
semesta dari A ke B
2. Tentukan invers dari setiap relasi pada soal no 1 diatas.
Tukarkan urutan pasangan terurut pada setiap relasi untuk mendapatkan Rk-1
a. R1 = {(1, a), (2, a), (2, c)}
b. R2 = {(2, a), (1, b)}
c. R3 = {(1, c), (2, c),(3, c)}
d. R4 = {(2, b)}
e. R5 = Ø
f. R6 = B x A
3. Tentukan jumlah relasi dari A = (a, b, c} ke B = {1, 2}
Terdapat 3*2 = 6 elemen dengan demikian m = 64 relasi dari A x B.
Latihan soal :
1. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} didefinisikan oleh “x lebih kecil dari
y”, maka R adalah relasi <. Tuliskan R sebagai himpunan pasangan terurut.
2. Tuliskan invers R-1 dari relasi R pada soal 1. Dapatkah R-1 diterangkan dengan
kata-kata?
3. Misalkan R adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {x, y, z} didefinisikan oleh
R = {(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}
a. Tentukan domain dan range dari R
b. Tentukan relasi invers R-1 dari R
4. Misalkan R adalah relasi “terletak di” dari himpunan kota-kota (X) ke himpunan
negara (Y). Nyatakan setiap pernyataan berikut dengan kata-kata dan tentukan
apakah pernyataannya benar atau salah :
a. (Paris, Perancis) Є R c. (Washington, Kanada) Є R
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
b. (moskow, Itali) Є R d. (London, Inggris) Є R
5. Misalkan A = {1, 2, 3} dan misalkan R = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 3)} adalah
sebuah relasi dari A (yaitu sebuah relasi dari A ke A). Tentukan apakah setiap
pernyataan berikut benar atau salah :
a. 1 R 1 b. 1 R 2 c. 2 R 3 d. 2 R 1 e. 3 R 2 f. 3 R 1
4. Komposisi Relasi
Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan, dan misalkan R adalah sebuah
relasi dari A ke B dan misalkan S adalah relasi dari B ke C. Jadi, R adalah subset
dari A x B dan S adalah subset dari B x C. Maka R dan S akan memberikan suatu
relasi dari A ke C yang dinyatakan dengan R ο S dan didefinisiskan :
a(R ο S)c jika untuk sembarang b Є B kita dapatkan a R b dan b S c
Dengan begitu,
R ο S = {(a, c) : ada b Є B dimana (a, b) Є R dan (b, c) Є S}
Misalkan A, B, C, dan D adalah himpunan. Anggap sebuah R adalah relasi dari A ke
B, S adalah relasi dari B ke C dan T adalah relasi dari C ke D. Maka :
(Rο S)ο T = R ο (S ο T) (hukum assosiatif)
Contoh :
1. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R dari
A ke B dan S dari B ke C berikut : R = {(1, b), (2, a), (2, c)} dan S = {(a, y),
(b, x), (c, y), (c, z)}
Tentukan relasi komposisi R ο S.
Penyelesaian :
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
A B C
Gambarlah diagram panah dari R ke S seperti di atas. Ada panah dari 1 ke b
yang diikuti panah dari b ke x. Maka 1(R ο S)x karena 1 R b dan b S x; dengan
begitu (1, x) anggota dari R ο S. Dengan cara yang sama sebuah path dari 2 ke
a dan path dari 2 ke c ke z. Maka (2, y) dan (2, z) juga anggota dari R ο S.
Tidak ada pasangan lain yang menjadi anggota R ο S. Maka : R ο S = {(1, x),
(2, y), (2, z)}
2. Perhatikan relasi R, S dan R ο S pada soal diatas.
a) Tentukan matriks MR, MS dan M R ο S dari relasi masing-masing.
b) Kalikan MR dan MS dan bandingkan MR dan MS dan bandinglan MR MS dengan
M R ο S
Penyelesaian :
a. Matriks dari MR, MS dan M R ο S adalah :
a b c x y z x y z
MR = [
], MS =
[
] M R ο S = [
]
b. Kalikan matriks MR dan MS kita dapatkan MR MS = [
]
Matriks M R ο S dan MR MS mempunyai entri bernilai 0 yang sama
Latihan soal :
1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d} dan C = {x, y, z}. Perhatikan relasi R
dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan :
1
2
3
a
b
c
x
y
z
R S
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
R = {(1, a), (2, d), (3, a), (3, b), (3, d)} dan S = {(b, x), (b, z), (c, y), (d, z)}.
Tentukan relasi komposisi R ο S
2. Gunakan matriks untuk menentukan komposisi R ο S dari relasi R dan S pada
soal diatas
3. Misalkan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3} dan C = {w, x, y, z}. Perhatikan relasi
dari R dari A ke B dan S dari B ke C yang didefinisikan :
R = {(a, 3), (b, 3), (c, 1), (c, 3), (d, 2)} dan S = {(1, x), (2, y), (2, z)}.
a) Gambarkan diagram panah untuk R dan S
b) Tentukan relasi komposisi R ο S
5. Sifat Relasi
Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan A, maka :
1. R adalah Refleksif jika a R a untuk setiap a di A
2. R adalah Simetris jika a R b maka b R a
3. R adalah Antisimetris jika a R b dan b R a maka a = b
4. R adalah Transitif jika a R b dan b R c maka a R c
Suatu himpunan A adalah :
1. Tidak refleksif jika ada a Є A sedemikian sehingga (a, a) bukan anggota R
2. Tidak simetris jika ada (a, b) di R sedemikian sehingga (b,a) bukan anggota R
3. Tidak transitif jika ada (a, b) dan (b, c) di R sedemikian sehingga (a, c) bukan
anggota R
4. Tidak antisimetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,
b) dan (b, a) anggota R
Contoh :
1. Perhatikan 5 relasi dari himpunan A = {1, 2, 3} berikut, tentukan yang
merupakan relasi refleksif, simetris, transitif, dan antisimetris :
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} Ø = relasi kosong
S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1) (2, 2), (3, 3)} A x A = relasi semesta
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}
Penyelesaian :
R tidak refleksif karena 2 Є A tetapi (2, 2) ∉ R. T tidak refleksif karena (3, 3) ∉
T dan Ø tidak refleksif. Hanya S dan A x A yang refleksif.
R tidak simetris karena (1, 2) Є R tetapi (2, 1) ∉ R, dengan cara yang sama T
tidak simetris. S, Ø dan A x A yang simetris.
T tidak transitif karena (1, 2) dan (2, 3) anggota T, tetapi (1, 3) bukan
anggota T. Keempat relasi yang lain adalah transitif.
S tidak antisimetris karena 1 ≠ 2, dan (1, 2) dan (2, 1) anggota S. Dengan
cara yang sama A x A tidak antisimetris. Ketiga relasi yang lain adalah
antisimetris.
2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} yang didefinisikan oleh :
R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 2),(4, 2), (4, 4)}. Tunjukkan bahwa R :
a) Tidak refleksif b) Tidak transitif c) Tidak simetris d) Tidak antisimetris
Penyelesaian :
a) R tidak refleksif karena 3 Є A tetapi 3 R 3, yaitu (3, 3) ∉ R
b) R tidak transitif karena 4 R 2 dan 2 R 3 tetapi 4 R 3, yaitu (4, 2) Є R dan (2,
3) Є R tetapi (4, 3) ∉ R
c) R tidak simetris karena 4 R 2 tetapi 2 R 4, yaitu (4, 2) Є R tetapi (2, 4) ∉ R
d) R tidak antisimetris karena 2 R 3 dan 3 R 2 tetapi 2 ≠ 3
Latihan soal :
1. Berikan contoh dari relasi R pada A = {1, 2, 3} mempunyai sifat :
a. R kedua-duanya simetris dan antisimetris
b. R tidak kedua-duanya, simetris maupun antisimetris
c. R transitif tetapi R U R-1 tidak transitif
2. Misalkan R, S, dan T adalah relasi pada A = {1, 2, 3} yang didefinisikan oleh :
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
S = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}
T = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
Tentukan yang mana relasi refleksif, simetris, antisimetris dan transitif?
3. Tiap pernyataan berikut mendefinisikan suatu relasi pada himpunan bilangan
positif N
R : x lebih besar dari y S : x + y = 10 T : x + 4y = 10
Tentukan manakah relasi yang refleksif, simetri, transitif, antisimetris.
4. Misalkan P(X) adalah kumpulan semua subset dari himpunan X dengan paling
sedikit terdiri dari 3 elemen. Setiap pernyataan berikut mendefinisikan sebuah
relasi pada P(X)
R : A ⊆ B S : A saling asing dengan B T : A U B = X
Tentukan manakah relasi di atas yang refleksif, simetris, antisimetris, dan
transitif.
6. Partisi
Sebuah partisi dari S adalah suatu koleksi P ={Ai} dari subset-subset S yang tidak
kosong sedemikian hingga :
(i) Setiap elemen a dalam S anggota dari salah satu Ai
(ii) Himpunan-himpunan dari P adalah saling asing, yaitu jika Ai ≠ Aj maka Ai∩Aj=Ø
Subset-subset dalam sebuah partisi disebut sel. Gambar berikut adalah diagram
venn dari suatu partisi dari himpunan titik-titik dalam 5 sel.
A1 A2 A3
A4 A5
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
Contoh :
1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tunjukkan apakah setiap pernyataan berikut
adalah sebuah partisi dari S :
a. P1 = {(1, 2, 3), (1, 4, 5, 6)} c. P3 = {(1, 3, 5), (2, 4), (6)}
b. P2 = {(1, 2), (3, 5, 6)} d. P4 = {(1, 3, 5), (2, 4, 6, 7))
Penyelesaian :
a. Bukan, karena 1 Є S anggota dari 2 sel
b. Bukan, karena 4 Є S bukan anggota sel manapun
c. P3 adalah sebuah partisi dari S
d. Bukan, karena (2, 4, 6, 7) bukan subset dari S
2. Misalkan S = (merah, biru, hijau, kuning). Tunjukkan apakah setiap pernyataan
berikut adalah sebuah partisi dari S :
a. P1 = {(merah), (biru, hijau)}
b. P2 = {(merah, biru, hijau, kuning)}
c. P3 = { Ø, (merah, biru), (hijau, kuning)}
Penyelesaian :
a. Bukan, karena kuning bukan anggota sel manapun
b. P2 adalah partisi dari S yang hanya memiliki satu elemen yaitu S sendiri
c. Bukan, karena Ø tidak bisa menjadi anggota sebuah partisi
Latihan soal :
1. Misalkan S = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah
sebuah partisi dari S.
a. {(1, 3, 5), (2, 6), (5, 7, 9)}
b. {(1, 3, 9), (2, 4, 6, 8), (5, 7, 9)}
c. {(1, 3, 5), (2, 4, 6, 8), (7,9)}
d. {(S)}
2. Misalkan X = {1, 2, ..., 8, 9}. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah
sebuah partisi dari X.
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
a. {(1, 3, 6), (2, 8), (5, 7, 9)}
b. {(1, 5, 7), (2, 4, 8, 9), (3, 5, 6)}
c. {(2, 4, 5, 8), (1, 9), (3, 6, 7)}
d. {(1, 2, 7), (3, 5), (4, 6, 8, 9), (3, 5)}
3. Tentukan semua partisi dari S = {1, 2, 3}
4. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}
5. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut adalah sebuah partisi dari himpunan
bilangan bulat positif N :
a. {(n : b > 5), (n : x < 5)}
b. {(n : x > 5), (0), (n : x < 0)}
c. {(n : x2 > 11), (n : x2 < 11)}
7. Relasi Ekuivalen
Sebuah relasi R pada suatu himpunan A disebut relasi ekuivalen jika refleksif,
simetris dan transitif (persamaan biasa adalah bentuk relasi ekuivalen)
Contoh :
1. Misalkan L adalah himpunan garis dalam bidang euclid, sedangkan R adalah
relasi pada L yang didefinisikan oleh sejajar dengan (II). Tunjukkan bahwa R
adalah relasi ekuivalen.
Penyelesaian :
Karena a = a untuk sembarang garis di L maka R adalah refleksif. Jika a II b dan
b II c maka a II c; sehingga R adalah transitif, maka R adalah sebuah relasi
ekuivalen.
2. Misalkan R adalah relasi pada himpunan N yang didefinisikan oleh = {(a, b) : a +
b genap}. Apakah R adalah relasi ekuivalen?
Penyelesaian :
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
Ya. Untuk a Є N, a + a adalah genap; dan jika a + b genap maka b + a genap.
Sehingga refleksif dan simetris. a R b jika dan hanya jika keduanya a dan b
mempunyai jenis yang sama yaitu a dan b genap atau a dan b ganjil
3. Misalkan R = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah suatu relasi
ekuivalen pada
A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3} ?
Penyelesaian :
R adalah simetris dan transitif; tetapi R tidak ekuivalen pada A karena 2 R 2
sehingga R tidak refleksif pada A. Sebaliknya, R refleksif pada B sehingga R
adalah relasi ekuivalen pada B
Latihan Soal :
1. Misalkan S = {1, 2, 3}. Tuliskan relasi ekuivalen dari R pada S.
2. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}. Apakah R adalah
suatu relasi ekuivalen pada A = {1, 2, 3, 4}.
3. Misalkan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Apakah R adalah suatu relasi
ekuivalen pada
A = {1, 2}
8. Relasi N-Ary
Hubungan antara elemen-elemen pada dua himpunan bahkan lebih sering kali
terjadi. Sebagai contoh hubungan yang melibatkan nama mahasiswa, jurusan dan
IPK. Contoh lain adalah nama kantor, alamat serta nomor telepon.
Disini kita akan mempelajari hubungan pada dua himpunan atau lebih. Relasi ini
sering disebut dengan Relasi n-ary yang sering direpresentasikan dengan database.
Relasi ini membantu kita saat melakukan query data pada database.
Definisi:
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
A1, Aa .. An adalah himpunan. Sebuah relasi n-ary adalah himpunan bagian A1 × Aa ×
.. × An. Himpunan A1, Aa .. An disebut domain dan n disebut derajat.
Contoh :
1. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 14, 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang
didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): 4x + 3y + z2 = t}. Tuliskan R sebagai
himpunan dengan 4-tuple
Penyelesaian :
Kita hanya mempunyai x = 1, 2, 3. Maka :
R = {(1, 1, 1, 8), (1, 1, 2, 11), (1, 2, 1, 11), (1, 2, 2, 14), (1, 3, 1, 14), (2, 1, 1,
12), (2, 1, 2, 15), (2, 2, 1, 15)}
2. Misalkan :
NIM = {13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021,13598025}
Nama = {Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan}
MatKul = {Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer}
Nilai = {A, B, C, D, E}
Relasi MHS terdiri dari 4-tuple (NIM, Nama, MatKul, Nilai):
MHS NIM Nama MatKul Nilai
Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah
MHS = {(13598011, Amir, Matematika Diskrit, A),
(13598011, Amir, Arsitektur Komputer, B),
(13598014, Santi, Arsitektur Komputer, D),
(13598015, Irwan, Algoritma, C),
(13598015, Irwan, Struktur Data C),
(13598015, Irwan, Arsitektur Komputer, B),
(13598019, Ahmad, Algoritma, E),
(13598021, Cecep, Algoritma, A),
(13598021, Cecep, Arsitektur Komputer, B),
(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B),
MATEMATIKA DISKRIT
BY : SRI ESTI
(13598025, Hamdan, Algoritma, A, B),
(13598025, Hamdan, Struktur Data, C),
(13598025, Hamdan, Ars. Komputer, B)}
Relasi MHS di atas juga dapat ditulis dalam bentuk Tabel:
NIM Nama MatKul Nilai
13598011
13598011
13598014
13598015
13598015
13598015
13598019
13598021
13598021
13598025
13598025
13598025
13598025
Amir
Amir
Santi
Irwan
Irwan
Irwan
Ahmad
Cecep
Cecep
Hamdan
Hamdan
Hamdan
Hamdan
Matematika Diskrit
Arsitektur Komputer
Algoritma
Algoritma
Struktur Data
Arsitektur Komputer
Algoritma
Algoritma
Arsitektur Komputer
Matematika Diskrit
Algoritma
Struktur Data
Arsitektur Komputer
A
B
D
C
C
B
E
B
B
B
A
C
B
Latihan Soal :
1. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 12} dan R adalah relasi 3-ary pada A yang
didefinisikan dengan : R = {(x, y, z): 3x + y2 = z}. Tuliskan R sebagai
himpunan dengan 3-tuple
2. Misalkan A = {1, 2, 3, ..., 15} dan R adalah relasi 4-ary pada A yang
didefinisikan dengan : R = {(x, y, z, t): x2 + 2y + 5z = t}. Tuliskan R sebagai
himpunan dengan 4-tuple