Post on 21-Dec-2015
BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
(Sistem Bilangan, Himpunan, selang, pertaksamaan , dan
nilai mutlak)
A. Sistem Bilangan
Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata.
Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat
diklasifikasikan seperti dalam bagan berikut:
A.1. Skema Bilangan
A.2. Diagram Venn Sistem bilangan
A.3. Operasi Bilangan
a. Penjumlahan
b. Pengurangan
c. Perkalian
d. Pembagian
e. Pemangkatan
f. Penarikan akar
g. penarikan Logaritma
Rasional (Q) Irrasional (I)
Bulat (J) Pecahan Desimal berulang
Negatif Cacah (W)
Nol Asli (N)
Bilangan Real (W)
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
Dari bagan di atas dapat dijelaskan dalam bagian di berikut
dibawah ini.
B. Himpunan
Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Dalam
sistem bilangan nyata, pertama kita mengenal bilangan bulat:
..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...
Kemudian kita kenal bilangan rasional, yang merupakan hasil
bagi dua bilangan bulat. Jadi bilangan rasional r dapat
dinyatakan sebagai
dengan p dan q bilangan bulat dan q 0.
Jika dinyatakan dalam bentuk desimal maka angka desimalnya
terbatas dan berulang.
Contoh 1.
= 0,5; = 4,2857128571; ; ;
Sejumlah bilangan nyata, seperti , tidak dapat dinyatakan
sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dan dinyatakan sebagai
bilangan irrasional. Contoh bilangan irrasional lain adalah
, , , sin 1, .
Himpunan semua bilangan nyata biasanya dinyatakan
dengan lambang R. Pengucapan kata ‘bilangan’ , yang dimaksud
adalah bilangan nyata.
Setiap bilangan mempunyai bentuk desimal. Bilangan rasional
memiliki bentuk desimal yang terbatas dan berulang, sedangkan
bilangan irrasional bentuk desimalnya tidak terbatas dan tidak
berulang.
Contoh 2.
2
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
(tanda bar menunjukkan bahwa angka tersebut berulang terusm
menerus).
= 3,141592653589...
Untuk bilangan rasional ini kita dapat memperoleh hampiran
bilangan tersebut dengan menghentikan uraian desimal pada
tempat tertentu, misal 3,14159265.
Garis bilangan
Bilangan nyata dapat dinyatakan dengan titik pada sebuah
garis bilangan. Arah positif ke kanan ditandai dengan panah.
Titik acuan O, yang disebut titik asal berkaitan dengan bilangan
nyata 0. Setiap bilangan positif x dinyatakan dengan titik pada
garis yang jaraknya x unit ke kanan dari titik asal, sedangkan
setiap bilangan negatif – x dinyatakan dengan titik x unit ke kiri
dari titik asal.
- 3 - 0 1.5 6
Gambar 1. garis bilangan nyata
Selanjutnya kita akan menggunakan notasi himpunan.
Sebuah himpunan adalah suatu kumpulan objek dengan sifat
tertentu, dan objek ini dinamakan anggota himpunan tersebut.
Jika S adalah suatu himpunan, notasi berarti bahwa a
anggota S, dan berarti a bukan anggota S.
Sejumlah himpunan dapat dijelaskan dengan
mendaftarkan anggotanya dalam tanda kurung.
Contoh 3. Himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih
kecil dari pada 5,
dapat ditulis sebagai
3
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
A = {1,2,3,4}.
Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk
A = { adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5}
yang dibaca “ A adalah himpunan x sedemikian sehingga x
adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5”.
A = { adalah bilangan bulat dan 1 ≤ x ≤4}
C. Selang/Interval
Dalam kalkulus seringmuncul himpunan bilangan nyata
tertentu, yang disebut selang, yang secara geometris berkaitan
dengan ruas garis. Misalnya, selang terbuka dari a ke b berisi
semua bilangan dantara a dan b dinyatakan dengan lambang
(a,b). Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan
.
Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak
termasuk anggota himpunan tersebut. Ini ditandai dengan tanda
kurung biasa ( ) dan dengan bulatan kosong pada gambar 2.
a b
Gambar 2. Selang terbuka (a,b).
Sedangkan selang tertutup dari a ke b adalah himpunan
.
Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggota himpunan dan
ditandai dengan kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada
gambar 3.
a b
Gambar 3. Selang tertutup [a,b].
Tabel 1 berikut ini memuat sembilang selang yang mungkin.
Perlu diperhatikan bahwa pada pembahasan selang ini selalu
diasumsikan a < b.
4
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
Notasi Deskripsi
(a,b)
[a,b]
(a,b]
[a,b)
(a, )
[a, )
(- ,b)
(- ,b]
(- , ) Himpunan semua
bilangan real/nyata,
R
Tabel 1. Selang yang mungkin
D. Persamaan
Rumus Umum Persamaan: f(x) = 0
Contoh Soal:
Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
1). 3x + 6 = 0
2). x2 + x - 2 = 0 (difaktorkan)
3). x2 + 2x - 2 = 0 (Rumus Al Khawarizmi (abc) atau kuadrat
sempurna)
4). x3 + 4x2 - 4x - 1= 0 (Metode Horner teorema sisa)
5). x3 - 1 = 0
Jawaban Contoh Soal:
1). 3x + 6 = 0 3x = -6 x = -6/3 = -2
2). x2 + x - 2 = 0 (x-1)(x+2) = 0 x-1 = 0 v x+2 = 0 x = 1
v x = -2
3). x2 + 2x - 2 = 0
5
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
4). x3 + 4x2 - 4x - 1= 0 (Metode Horner teorema sisa)?
5). x3 - 1 = 0 ?
Latihan Soal:
Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
1). 3x2 -10x +7 = 0
2). 4x3 + 5x2 - 43x + 4 = 0
3). 2x3 - 3x2 - 12x + 20 = 0
5). 2x3 - 2x2 - 6x + 6 = 0
Catatan: 1). Jika jumlah koefisien sama dengan 0 maka salah
satu akarnya = 1
2). Jika jumlah koefisien selang-seling (koefisien variabel
pangkat genap/nol = koefisien veriabel pangkat ganjil)
maka salah satu akarnya = -1
E. Pertaksamaan
Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan
matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang
dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , Ditinjau dari
jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi
menjadi (1). pertaksamaan linier dengan satu peubah, (2).
pertaksamaan linier dengan peubah banyak dan (3).
pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan
nyata yang unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari
pertaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut
hinpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan
pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu
pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut
6
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan
himpunan pengganti dimisalkan B maka A B. Jika A = B maka
pertaksamaan dinamakan ketaksamaan.
Contoh 4 :
Dari pertaksamaan 1/x2 >1
Himpunan pengganti atau B adalah
Himpunan jawab atau A adalah . Jadi A
B
Contoh 5 :
Dari pertaksamaan 1/x2 >0
Himpunan pengganti atau B adalah {x x R, x 0 }
Himpunan jawab atau A adalah {x x R, x 0 }.
Karena A = B, maka 1/x2 >0 disebut ketaksamaan.
Sifat-sifat pertaksamaan
( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c
( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c
( iii ) Jika a > b, maka a - c > b – c
( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac
> bc
( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka
ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas
dengan tanda <, maka
akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :
( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c
( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c
( viii ) Jika a < b, maka a - c < b – c
( ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka
ac < bc
7
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
( x ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka
ac > bc
Sifat-sifat pertaksamaan lainnya :
( xi ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c
< 0
( xii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c
< 0
( xiii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan
c < 0
( xiv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan
c < 0
( xv ) Jika a > b, maka –a < -b
( xvi ) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
( xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk
komposit)
1. Pertaksamaan linier satu peubah
Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan
matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai
pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, atau
. Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah
adalah :ax + b (?) 0, dimana a dan b adalah konstan, sedangkan
(?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, atau .
Contoh 6
Selesaikan pertaksamaan 7x + 9 < -5
Penyelesaian :
7x + 9 < -5 semua ruas dikurang 9 7x + 9 – 9 < -
5 – 9
8
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
7x < -14
1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 ) semua ruas dikalikan 1/7
x < -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :
Contoh 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 1 + 4x <
2x + 9
Penyelesaian :
1 + 4x < 2x + 9
1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x) semua ruas
dikurang (1+2x)
2x < 8
1/2 (2x) < 1/2 ( 8 ) semua ruas
dikalikan 1/2
x < 4
Himpunan penyelesaiannya adalah :
Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertaksamaan linier satu
peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan
peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan
pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas
yang berbeda tandanya akan berubah !
Contoh 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 3x -2 8 +
5x
Penyelesaian : 3x -2 8 + 5x Pidahkan 5x keruas kiri
dan -2 keruas kanan
3x – 5x 8 + 2 Kelompokkan peubah x pada
ruas kiri dan
9
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
kelompokkan konstan
pada ruas kanan.
-2x 10
(-1/2)(-2x) (10)(-1/2) Jika mengalikan setiap ruas
dengan
bilangan negatif maka
tanda
pertaksamaan harus
dibalik. Lihat sifat
pertaksamaan (xv).
x -5
Himpunan penyelesaiannya adalah :
Contoh 9 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan
4 < < 2x – 1
Penyelesaian :
4 < < 2x – 1 Kalikan semua ruas
dengan 5
(4)(5)< (5) < (5)(2x – 1)
20 < 4 – 2x <10x – 5 Dapat dipecah menjadi dua
bagian,
yaitu
4 – 2x > 20 dan 4 –
2x < 10x -5.
(perhatikan sifat
pertaksamaan xvii).
Setelah dipecah menjadi dua pertaksamaan, selesaikan
satu persatu.
4 – 2x > 20 4 – 2x < 10x -5
10
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
4 – 20 > 2x 12x >9
2x < 4 – 20 12x >9
x < -8 x > 3/4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :
Soal-soal
Selesaikan pertaksamaan :
1. 2x + 6 5x -9 3. (8x – 3) > x + 1 5.
2. + 5x < - 6x 4. 6.
D. Nilai Mutlak
Nilai mutlak sebuah bilangan a adalah jarak dari a ke O
pada garis bilangan, dinyatakan dengan dan bernilai positif
atau nol. Jadi
untuk setiap bilangan a.
Secara umum kita punyai
jika
jika a < 0.
Contoh 9. , , .
Perlu diingat bahwa lambang berarti “akar kuadrat
positif dari ... ”. Jadi = r berarti dan . Dengan
demikian persamaan bernilai benar hanya jika . Jika a
< 0, maka – a > 0, sehingga kita peroleh . Jadi kita
punyai kesamaan
yang benar untuk semua nilai a.
Sifat- sifat nilai mutlak
11
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
Misalkan a dan b bilangan nyata sebarang dan n bilangan
bulat, maka berlaku :
i.
ii. asalkan
iii. .
Jika a > 0, maka
iv. jika dan hanya jika
v. jika dan hanya jika
vi. jika dan hanya jika atau .
Contoh 10. Selesaikan
Penyelesaian. Menurut sifat (iv), setara dengan
atau .
Jadi 3x = 12 atau 3x = 2. Dengan demikian x = 4 atau x
= .
Contoh 11. Selesaikan .
Penyelesaian. Menurut (v) setara dengan .
Jadi kita
peroleh .
Dengan demikian himpunan penyelesaiaannya berupa
selang terbuka (-1,5).
Contoh 12. Selesaikan .
Penyelesaian. Menurut (iv) dan (vi),
atau 532 x
2x atau
atau .
Jadi himpunana penyelesaiannya adalah
atau = .
12
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
Sifat penting lain dari nilai mutlak yang sering digunakan
adalah pertaksamaan segitiga, yaitu
(vii) .
Contoh 13. Misalkan dan . Gunakan
ketaksamaaan
segitiga untuk menunjukkan bahwa 5.07)( yx .
Penyelesaian. Misalkan dan .
Perhatikan bahwa
Jadi 5.07)( yx .
Soal Latihan
(Soal nomor 1 – 6) Selesaikan persamaan berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. Misalkan dan . Gunakan
ketaksamaaan segitiga untuk menunjukkan bahwa
.
9. Tunjukkan bahwa jika maka .
10. Buktikan bahwa
Pertidaksamaan Pecahan
13
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang
berbentuk pecahan, dan mengandung peubah pada
penyebutnya. Perlu diingat bahwa bentuk akan bernilai 0
hanya untuk a = 0. Nilai yang menyebabkan sama dengan nol
disebut pembuat nol dari pertidaksamaan itu, dan untuk b = 0,
yang menyebabkan pecahan bernilai tak terdefinisi, disebut
pembuat kutub. Baik pembuat nol maupun pembuat kutub akan
menandai perubahan tanda dari positif ke negatif dan
sebaliknya.
Contoh 14. Tentukan penyelesaian dari
Jawab: Langkah pertama buat ruas kanan sama dengan nol,
1 0
Pembuat nol 3x + 2 = 0 x =
Pembuat kutub 5x 1 = 0
Garis bilangan penyelesaiannya:
Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut
adalah
HP = { x | x < atau x ≥ }
Soal –soal Latihan
Tentukan batas-batas x yang memenuhi:
1.
14
32
+
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Pertidaksamaan Irasional
Pada pertidaksamaan irasional di samping ketentuan yang
diminta, yang juga harus diperhatikan adalah sebagai berikut.
a. Yang ada di bawah tanda akar ≥ 0
b. Hasil penarikan akar ≥ 0
Contoh 7. Tentukan batas-batas x yang memenuhi
Jawab: jika kedua ruas dikuadratkan.
(x + 4) < (2 − x)
2x < − 2
x < − 1
Syarat tambahan:
(i) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4
(ii) 2 − x ≥0 → x ≤ 2
Jika ketiga interval ini kita iriskan, akan ketemu penyelesaian
pertidaksamaan tersebut
15
●2
●−4
−1
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak
Himpunan penyelesaianya, yang merupakan irisan ketiga
interval itu adalah:
HP = { x | −4 ≤ x < −1 }
Latihan
Tentukan batas-batas yang memenuhi pertidaksamaan di bawah
ini
1.
2.
3. x − 3 <
4. x − 3 <
5.
6.
7.
8.
9.
10. .
16
○