LOGO

MAM 4121 KALKULUS 1

Dr. Wuryansari Muharini K.

www.themegallery.com Company Logo

BAB I. PENDAHULUAN

SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI

SELANG, dan NILAI MUTLAK

PERTAKSAMAAN

SISTEM KOORDINAT

GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

Sistem bilangan real = dibangun oleh

Himpunan bilangan ASLI (Natural Number), dengan notasi ;

Himpunan bilangan BULAT (Integer),

dengan notasi Z (berasal dari kata Zahlen)

Himpunan bilangan RASIONAL, dengan

notasi <

Himpunan bilangan IRRASIONAL,

ditulis sebagai = \ <

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

www.themegallery.com Company Logo

1.2.1. PTS linier

1.2.2. PTS kuadrat

1.2.3. PTS bilinier

1.2.4. PTS polinom berderajat tinggi

1.2.5. PTS yang memuat nilai mutlak

1.2. PERTAKSAMAAN (PTS)

Trik dasar menyelesaikan PTS

1. Kedua ruas pertaksamaan ditambah dengan bilangan tak nol

yang sama

2. Kedua ruas pertaksamaan dikalikan dengan bilangan positif

yang tidak sama dengan 1.

3. Boleh mengalikan kedua ruas pertaksamaan dengan bilangan

negatif namun jangan lupa mengubah tanda pertidaksamaan

1.2.1. Pertaksamaan Linier

, , ,

Cara menyelesaikan:

1.2.2. Pertaksamaan Kuadrat

, , ,

Cara menyelesaikan:

1.2.3. Pertaksamaan Bilinear

Cara menyelesaikan:

Bentuk Umum: 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑⊕ 0

1. Lihat tanda di sekitar 𝑥 = −𝑏

𝑎 dan 𝑥 = −

𝑑

𝑐,

2. baca himpunan penyelesaiannya dari garis bilangan.

3. Ingat-ingat .... 𝑥 ≠ −𝑑

𝑐.

Pengembangan Bentuk Umum: 𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑⊕ 𝑝

Cara menyelesaikan: tambahkan −𝑝 pada kedua ruas, samakan

penyebutnya, kembali ke bentuk umum bilinear awal. Caution: jangan mengalikan kedua ruas dengan 𝑐𝑥 + 𝑑,

yaaa !!!

1.2.4. Pertaksamaan Polinom Berderajat tinggi

Cara menyelesaikan:

Bentuk Umum: 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ⊕ 0

• Faktorkan bentuk 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

menjadi faktor-faktor linear dan faktor kuadrat yang tak dapat difaktorkan lagi

• Lihat tanda di sekitar akar faktor-faktor linear • Baca himpunan penyelesaiannya berdasarkan tanda

pada garis bilangan.

1.2.5. Pertaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak

Cara menyelesaikan:

Bentuk Umum: tidak ada

1. Jika diketahui bahwa kedua ruas PTS bernilai positif, kedua ruas boleh dikuadratkan

2. Jika tidak, kembalikanlah ke definisi nilai mutlak.

Sifat nilai mutlak yang lain:

1. 𝑥2 = 𝑥 2. 𝑥2 = 𝑥 2 3. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ maka 𝑥2 ≤ 𝑦2

Sifat yang TIDAK BENAR: 1. −𝑥 = 𝑥 2. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥2 ≤ 𝑦2

Koreksi: 1. −𝑥 = 𝑥 2. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥2 ≤ 𝑦2, ∀𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

1.3. Sistem Koordinat

Sistem koordinat dua dimensi =2 = = x = atau KOORDINAT BIDANG yang sering kita gunakan adalah sistem koordinat Cartesius

Setiap titik di di bidang dinyatakan sebagai pasangan

terurut (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥, 𝑦 ∈R

Misalkan 𝑃 = (𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄 = (𝑥2, 𝑦2) maka

Jarak antara P dan Q adalah

𝑃𝑄 = 𝑃 − 𝑄 = 𝑑 𝑃, 𝑄 = (𝑥1 − 𝑥2)2+(𝑦1 − 𝑦2)2

Koordinat titik tengah ruas garis 𝑃𝑄 adalah 𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2

Persamaan lingkaran berpusat di P berjari-jari r adalah

(𝑥 − 𝑥1)2+(𝑦 − 𝑦1)2= 𝑟2

1.4 Grafik Persamaan Sederhana

1.Grafik persamaan linear 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

2.Grafik persamaan kuadrat 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

3.Grafik persamaan kubik 𝑦 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

4.Grafik 𝑦 =1

𝑥

5.Grafik 𝑦 = 𝑥

6.Grafik 𝑦 = 𝑥

Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik fungsi baru yang diperoleh

dari fungsi f(x) dengan melakukan beberapa operasi secara grafis (geometris)

NO. FUNGSI BARU OPERASI

1. f(x) + k, k > 0 Geser ke atas k satuan.

2. f(x+k), k > 0 Geser ke kiri k satuan.

3. - f(x) Cerminkan terhadap sumbu x.

4. f(-x) Cerminkan terhadap sumbu y.

5. | f(x) | Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian grafik

yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.

6. f( | x | ) Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y, bagian

grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti dengan hasil

pencerminan bagian sebelah kanan terhadap sumbu y.

Operasi grafis terhadap suatu fungsi

.sumbu pn terhadadicerminka sumbu bawah di yanggrafik bagian aSelanjutny

.satuan 1bawah kedigeser lalu satuan, 3 kiri kedigeser grafik :langkahLangkah

.1)3(86 sebab

, fungsigrafik dari diperoleh dapat 86 fungsigrafik Sketsa

:Contoh

2

22

22

xx

xy

xxxy

xyxxy

2xy

1)3( 2 xy

2)3( xy 1)3( 2 xy