BAB 1 Himpunan Dan Pertaksamaan

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

(Sistem Bilangan, Himpunan, selang, pertaksamaan , dan

nilai mutlak)

A. Sistem Bilangan

Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata.

Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat

diklasifikasikan seperti dalam bagan berikut:

A.1. Skema Bilangan

A.2. Diagram Venn Sistem bilangan

A.3. Operasi Bilangan

a. Penjumlahan

b. Pengurangan

c. Perkalian

d. Pembagian

e. Pemangkatan

f. Penarikan akar

g. penarikan Logaritma

Rasional (Q) Irrasional (I)

Bulat (J) Pecahan Desimal berulang

Negatif Cacah (W)

Nol Asli (N)

Bilangan Real (W)

Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak

Dari bagan di atas dapat dijelaskan dalam bagian di berikut

dibawah ini.

B. Himpunan

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Dalam

sistem bilangan nyata, pertama kita mengenal bilangan bulat:

..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...

Kemudian kita kenal bilangan rasional, yang merupakan hasil

bagi dua bilangan bulat. Jadi bilangan rasional r dapat

dinyatakan sebagai

dengan p dan q bilangan bulat dan q 0.

Jika dinyatakan dalam bentuk desimal maka angka desimalnya

terbatas dan berulang.

Contoh 1.

= 0,5; = 4,2857128571; ; ;

Sejumlah bilangan nyata, seperti , tidak dapat dinyatakan

sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dan dinyatakan sebagai

bilangan irrasional. Contoh bilangan irrasional lain adalah

, , , sin 1, .

Himpunan semua bilangan nyata biasanya dinyatakan

dengan lambang R. Pengucapan kata ‘bilangan’ , yang dimaksud

adalah bilangan nyata.

Setiap bilangan mempunyai bentuk desimal. Bilangan rasional

memiliki bentuk desimal yang terbatas dan berulang, sedangkan

bilangan irrasional bentuk desimalnya tidak terbatas dan tidak

berulang.

Contoh 2.

2


(tanda bar menunjukkan bahwa angka tersebut berulang terusm

menerus).

= 3,141592653589...

Untuk bilangan rasional ini kita dapat memperoleh hampiran

bilangan tersebut dengan menghentikan uraian desimal pada

tempat tertentu, misal 3,14159265.

Garis bilangan

Bilangan nyata dapat dinyatakan dengan titik pada sebuah

garis bilangan. Arah positif ke kanan ditandai dengan panah.

Titik acuan O, yang disebut titik asal berkaitan dengan bilangan

nyata 0. Setiap bilangan positif x dinyatakan dengan titik pada

garis yang jaraknya x unit ke kanan dari titik asal, sedangkan

setiap bilangan negatif – x dinyatakan dengan titik x unit ke kiri

dari titik asal.

- 3 - 0 1.5 6

Gambar 1. garis bilangan nyata

Selanjutnya kita akan menggunakan notasi himpunan.

Sebuah himpunan adalah suatu kumpulan objek dengan sifat

tertentu, dan objek ini dinamakan anggota himpunan tersebut.

Jika S adalah suatu himpunan, notasi berarti bahwa a

anggota S, dan berarti a bukan anggota S.

Sejumlah himpunan dapat dijelaskan dengan

mendaftarkan anggotanya dalam tanda kurung.

Contoh 3. Himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih

kecil dari pada 5,

dapat ditulis sebagai

3


A = {1,2,3,4}.

Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk

A = { adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5}

yang dibaca “ A adalah himpunan x sedemikian sehingga x

adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5”.

A = { adalah bilangan bulat dan 1 ≤ x ≤4}

C. Selang/Interval

Dalam kalkulus seringmuncul himpunan bilangan nyata

tertentu, yang disebut selang, yang secara geometris berkaitan

dengan ruas garis. Misalnya, selang terbuka dari a ke b berisi

semua bilangan dantara a dan b dinyatakan dengan lambang

(a,b). Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan

.

Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak

termasuk anggota himpunan tersebut. Ini ditandai dengan tanda

kurung biasa ( ) dan dengan bulatan kosong pada gambar 2.

a b

Gambar 2. Selang terbuka (a,b).

Sedangkan selang tertutup dari a ke b adalah himpunan

.

Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggota himpunan dan

ditandai dengan kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada

gambar 3.

a b

Gambar 3. Selang tertutup [a,b].

Tabel 1 berikut ini memuat sembilang selang yang mungkin.

Perlu diperhatikan bahwa pada pembahasan selang ini selalu

diasumsikan a < b.

4


Notasi Deskripsi

(a,b)

[a,b]

(a,b]

[a,b)

(a, )

[a, )

(- ,b)

(- ,b]

(- , ) Himpunan semua

bilangan real/nyata,

R

Tabel 1. Selang yang mungkin

D. Persamaan

Rumus Umum Persamaan: f(x) = 0

Contoh Soal:

Tentukan nilai x dari persamaan berikut:

1). 3x + 6 = 0

2). x2 + x - 2 = 0 (difaktorkan)

3). x2 + 2x - 2 = 0 (Rumus Al Khawarizmi (abc) atau kuadrat

sempurna)

4). x3 + 4x2 - 4x - 1= 0 (Metode Horner teorema sisa)

5). x3 - 1 = 0

Jawaban Contoh Soal:

1). 3x + 6 = 0 3x = -6 x = -6/3 = -2

2). x2 + x - 2 = 0 (x-1)(x+2) = 0 x-1 = 0 v x+2 = 0 x = 1

v x = -2

3). x2 + 2x - 2 = 0

5


4). x3 + 4x2 - 4x - 1= 0 (Metode Horner teorema sisa)?

5). x3 - 1 = 0 ?

Latihan Soal:

Tentukan nilai x dari persamaan berikut:

1). 3x2 -10x +7 = 0

2). 4x3 + 5x2 - 43x + 4 = 0

3). 2x3 - 3x2 - 12x + 20 = 0

5). 2x3 - 2x2 - 6x + 6 = 0

Catatan: 1). Jika jumlah koefisien sama dengan 0 maka salah

satu akarnya = 1

2). Jika jumlah koefisien selang-seling (koefisien variabel

pangkat genap/nol = koefisien veriabel pangkat ganjil)

maka salah satu akarnya = -1

E. Pertaksamaan

Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan

matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang

dihubungkan oleh tanda-tanda < , > , Ditinjau dari

jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi

menjadi (1). pertaksamaan linier dengan satu peubah, (2).

pertaksamaan linier dengan peubah banyak dan (3).

pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan

nyata yang unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari

pertaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut

hinpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan

pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu

pernyataan yang benar maka himpunan tersebut disebut

6


himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan

himpunan pengganti dimisalkan B maka A B. Jika A = B maka

pertaksamaan dinamakan ketaksamaan.

Contoh 4 :

Dari pertaksamaan 1/x2 >1

Himpunan pengganti atau B adalah

Himpunan jawab atau A adalah . Jadi A

B

Contoh 5 :

Dari pertaksamaan 1/x2 >0

Himpunan pengganti atau B adalah {x x R, x 0 }

Himpunan jawab atau A adalah {x x R, x 0 }.

Karena A = B, maka 1/x2 >0 disebut ketaksamaan.

Sifat-sifat pertaksamaan

( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c

( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c

( iii ) Jika a > b, maka a - c > b – c

( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac

> bc

( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka

ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas

dengan tanda <, maka

akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c

( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c

( viii ) Jika a < b, maka a - c < b – c

( ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka

ac < bc

7


( x ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka

ac > bc

Sifat-sifat pertaksamaan lainnya :

( xi ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c

< 0

( xii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c

< 0

( xiii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan

c < 0

( xiv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan

c < 0

( xv ) Jika a > b, maka –a < -b

( xvi ) Jika 1/a < 1/b, maka a > b

( xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk

komposit)

1. Pertaksamaan linier satu peubah

Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan

matematika yang memuat satu peubah yang mempunyai

pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <, >, atau

. Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah

adalah :ax + b (?) 0, dimana a dan b adalah konstan, sedangkan

(?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, atau .

Contoh 6

Selesaikan pertaksamaan 7x + 9 < -5

Penyelesaian :

7x + 9 < -5 semua ruas dikurang 9 7x + 9 – 9 < -

5 – 9

8


7x < -14

1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 ) semua ruas dikalikan 1/7

x < -2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :

Contoh 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 1 + 4x <

2x + 9

Penyelesaian :

1 + 4x < 2x + 9

1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x) semua ruas

dikurang (1+2x)

2x < 8

1/2 (2x) < 1/2 ( 8 ) semua ruas

dikalikan 1/2

x < 4

Himpunan penyelesaiannya adalah :

Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertaksamaan linier satu

peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan

peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan

pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas

yang berbeda tandanya akan berubah !

Contoh 8

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 3x -2 8 +

5x

Penyelesaian : 3x -2 8 + 5x Pidahkan 5x keruas kiri

dan -2 keruas kanan

3x – 5x 8 + 2 Kelompokkan peubah x pada

ruas kiri dan

9


kelompokkan konstan

pada ruas kanan.

-2x 10

(-1/2)(-2x) (10)(-1/2) Jika mengalikan setiap ruas

dengan

bilangan negatif maka

tanda

pertaksamaan harus

dibalik. Lihat sifat

pertaksamaan (xv).

x -5

Himpunan penyelesaiannya adalah :

Contoh 9 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan

4 < < 2x – 1

Penyelesaian :

4 < < 2x – 1 Kalikan semua ruas

dengan 5

(4)(5)< (5) < (5)(2x – 1)

20 < 4 – 2x <10x – 5 Dapat dipecah menjadi dua

bagian,

yaitu

4 – 2x > 20 dan 4 –

2x < 10x -5.

(perhatikan sifat

pertaksamaan xvii).

Setelah dipecah menjadi dua pertaksamaan, selesaikan

satu persatu.

4 – 2x > 20 4 – 2x < 10x -5

10


4 – 20 > 2x 12x >9

2x < 4 – 20 12x >9

x < -8 x > 3/4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :

Soal-soal

Selesaikan pertaksamaan :

1. 2x + 6 5x -9 3. (8x – 3) > x + 1 5.

2. + 5x < - 6x 4. 6.

D. Nilai Mutlak

Nilai mutlak sebuah bilangan a adalah jarak dari a ke O

pada garis bilangan, dinyatakan dengan dan bernilai positif

atau nol. Jadi

untuk setiap bilangan a.

Secara umum kita punyai

jika

jika a < 0.

Contoh 9. , , .

Perlu diingat bahwa lambang berarti “akar kuadrat

positif dari ... ”. Jadi = r berarti dan . Dengan

demikian persamaan bernilai benar hanya jika . Jika a

< 0, maka – a > 0, sehingga kita peroleh . Jadi kita

punyai kesamaan

yang benar untuk semua nilai a.

Sifat- sifat nilai mutlak

11


Misalkan a dan b bilangan nyata sebarang dan n bilangan

bulat, maka berlaku :

i.

ii. asalkan

iii. .

Jika a > 0, maka

iv. jika dan hanya jika

v. jika dan hanya jika

vi. jika dan hanya jika atau .

Contoh 10. Selesaikan

Penyelesaian. Menurut sifat (iv), setara dengan

atau .

Jadi 3x = 12 atau 3x = 2. Dengan demikian x = 4 atau x

= .

Contoh 11. Selesaikan .

Penyelesaian. Menurut (v) setara dengan .

Jadi kita

peroleh .

Dengan demikian himpunan penyelesaiaannya berupa

selang terbuka (-1,5).

Contoh 12. Selesaikan .

Penyelesaian. Menurut (iv) dan (vi),

atau 532 x

2x atau

atau .

Jadi himpunana penyelesaiannya adalah

atau = .

12


Sifat penting lain dari nilai mutlak yang sering digunakan

adalah pertaksamaan segitiga, yaitu

(vii) .

Contoh 13. Misalkan dan . Gunakan

ketaksamaaan

segitiga untuk menunjukkan bahwa 5.07)( yx .

Penyelesaian. Misalkan dan .

Perhatikan bahwa

Jadi 5.07)( yx .

Soal Latihan

(Soal nomor 1 – 6) Selesaikan persamaan berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Misalkan dan . Gunakan

ketaksamaaan segitiga untuk menunjukkan bahwa

.

9. Tunjukkan bahwa jika maka .

10. Buktikan bahwa

Pertidaksamaan Pecahan

13


Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang

berbentuk pecahan, dan mengandung peubah pada

penyebutnya. Perlu diingat bahwa bentuk akan bernilai 0

hanya untuk a = 0. Nilai yang menyebabkan sama dengan nol

disebut pembuat nol dari pertidaksamaan itu, dan untuk b = 0,

yang menyebabkan pecahan bernilai tak terdefinisi, disebut

pembuat kutub. Baik pembuat nol maupun pembuat kutub akan

menandai perubahan tanda dari positif ke negatif dan

sebaliknya.

Contoh 14. Tentukan penyelesaian dari

Jawab: Langkah pertama buat ruas kanan sama dengan nol,

1 0

Pembuat nol 3x + 2 = 0 x =

Pembuat kutub 5x 1 = 0

Garis bilangan penyelesaiannya:

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut

adalah

HP = { x | x < atau x ≥ }

Soal –soal Latihan

Tentukan batas-batas x yang memenuhi:

1.

14

32

+


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Pertidaksamaan Irasional

Pada pertidaksamaan irasional di samping ketentuan yang

diminta, yang juga harus diperhatikan adalah sebagai berikut.

a. Yang ada di bawah tanda akar ≥ 0

b. Hasil penarikan akar ≥ 0

Contoh 7. Tentukan batas-batas x yang memenuhi

Jawab: jika kedua ruas dikuadratkan.

(x + 4) < (2 − x)

2x < − 2

x < − 1

Syarat tambahan:

(i) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4

(ii) 2 − x ≥0 → x ≤ 2

Jika ketiga interval ini kita iriskan, akan ketemu penyelesaian

pertidaksamaan tersebut

15

●2

●−4

−1


Himpunan penyelesaianya, yang merupakan irisan ketiga

interval itu adalah:

HP = { x | −4 ≤ x < −1 }

Latihan

Tentukan batas-batas yang memenuhi pertidaksamaan di bawah

ini

1.

2.

3. x − 3 <

4. x − 3 <

5.

6.

7.

8.

9.

10. .

16

○

BAB 1 Himpunan Dan Pertaksamaan

Documents

Transcript of BAB 1 Himpunan Dan Pertaksamaan