Post on 26-Mar-2018
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
KALKULUS 2
Oleh :
SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI
082334051324
Bahan Bacaan / Refferensi :
1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum’s Outline Series, Mc Graw-Hill Book
Company.
2. Yusuf Yahya, D. Suryadi H. S. Dan Agus S, Matematika untuk Perguruan
Tinggi, Gahlia Indonesia.
3. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Penerbit
Erlangga
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
BAB I
INTEGRAL TAK TERTENTU
1. PENGERTIAN INTEGRAL TAK TERTENTU
Jika F(x) adalah sebuah fungsi yang turunannya F1(x) = f(x) berada pada suatu selang
tertentu disebut sumbu x, maka F(x) disebut anti turunan atau integral tak tertentu dari f(x).
Integral tak tertentu dari suatu fungsi tidak bersifat satu-satunya; sebagai contoh, misal, x2, x
2
+ 5, x2 – 3 adalah integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x, karena
xxdx
dx
dx
dx
dx
d2)4()5()( 222 .
Kemudian semua integral-integral tak tertentu dari f(x) = 2x dikelompokkan dalam x2 + c,
dimana c disebut konstanta integrasi dan adalah sembarang konstanta. Himpunan semua
fungsi yang turunannya = f(x) dinyatakan dengan lambang dxxf )( .
cxFdxxf )()( , f(x) disebut integran untuk fungsi yang diintegrasikan.
Contoh : 1. cx
dxx4
43
2. cx
cx
dxxx
d
1
1
12
2
3. cx
dxx2
2
2. SIFAT-SIFAT DAN RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TERTENTU
1. cxfdxxfdx
d)()]([
2. xdarifungsivdanudxvdxudxvu ,)(
3. xdarifungsiutakonsdxudxu ,tan,
4. 1,1
1
ncn
uduu
nn
5. cuu
du ln
6. 1,0,ln
aaca
adua
uu
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
7. cedue uu
8. cuduu cossin
9. cuduu sincos
10. cuduu seclntan
11. cuduuctg sinln
12. cuuduu tanseclnsec
13. cuctguecduuec coslncos
14. cuduu tansec2
15. cuctgduuec 2cos
16. cuduuu sectansec
17. cuecduuctguec coscos
18.
ca
uarc
ua
dusin
22
19.
ca
uarc
aua
dutan
122
20.
ca
uarc
aauu
dusec
1
22
21. cau
au
aau
du
ln2
122
22.
c
ua
ua
aua
duln
2
122
23. cauuau
du
22
22ln
24. cauuau
du
22
22ln
25. ca
uarcauauduua sin
2
1
2
1 22222
26. cauuaauuduau 2222222 ln
2
1
2
1
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
27. cauuaauuduau 2222222 ln
2
1
2
1
RUMUS DASAR TURUNAN
1.
2.
3.
a.
b.
c.
d.
e.
f. tg x
4. :
a)
b)
5.
a)
b)
6.
a)
√
b)
√
c)
d)
e)
√
f)
√
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
3. INTEGRASI DENGAN SUBSTITUSI
Dalam menyelesaikan soal integral, kita usahakan pertama-tama mengubahnya ke
bentuk rumus dasar di atas dengan substitusi. Metode ini disebut metode substitusi.
Contoh :
a) cx
dxx6
65
b) cx
cxcx
dxxx
dx
3
31
31
31
34
3 4
33
c) cxxxdxdxxdxxdxxx 32
5
3
2352)352( 2322
d) dxxdxxdxxxdxxdxxxxdxxx 23
21
)()1(
cxx 25
23
5
2
3
2
Latihan soal :
1. 3x
dx 9. dxx 6
2. dzz3 10. dxxx )592( 3
3. dss 2)43( 11. dxxx )2033
4( 3
4. dxx
xx
2
23 45 12. 3 2x
dx
5. dxxx )43( 6 13. dxxxx )52( 3
6. ∫
14. ∫( )
7. ∫( ) 15. ∫( )
8. ∫( ) 16. ∫(√
√ )
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
4. INTEGRASI DENGAN MENGUBAH DIFFERENSIAL
Hitunglah :
a) dxxx 223 3)2(
Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan x3 + 2 = u, maka differensial dari u
adalah du = 3x2 dx → dx =
23x
du
cxcuduux
duxudxxx
3332
2
22223 )2(3
1
3
1
333)2(
b) 33
2
)2(
8
x
dxx, misalkan x
3 + 2 = u, maka du = 3x
2 dx → dx =
23x
du
cucuduuu
du
x
du
u
x
x
dxx
223
323
2
33
2
3
4)
2
1(
3
8
3
8
3
8
3
8
)2(
8
cx
2(3
43
c) dxxx 2213 , misalkan 1 - 2x2 = u, maka du = - 4x dx → dx = -
x
du
4
cucuduux
duuxdxxx 2
32
32
12
2
1
3
2
4
3
4
3
43213
cxx 22 21)21(2
1
d) cxx
dxln
e) 32x
dx, misalkan 2x – 3 = u, maka du = 2 dx → dx =
2
du
cxcuu
dudu
ux
dx
32ln2
1ln
2
1
2
1
2
1
32
f) dxe x , misalkan –x = u, maka du = - dx → dx = - du
cecedueduedxe xuuux
g) dxa x2 , misalkan 2x = u, maka du = 2dx → dx = 2
du
ca
adua
duadxa
uuux ln2
1
2
1
2
2
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
h) dxxx cossin 2 , misalkan sin x = u, maka du = cos x dx → dx = x
du
cos
cx
cu
duux
duxudxxx 3
sin
3coscoscossin
23222
i) cx
arcx
dx
x
dx
3
2tan
6
1
3)2(
2
2
1
94 222
j) cx
x
x
dx
x
dx
43
43ln
24
1
16)3(
3
3
1
169 22
k) cx
arcxxx
dxxdxxx
2
1sin223
2
1)1(423 222
Latihan soal :
1. dxxx2
21
3 )2( 2. dxx
x
4 3
2
2
3. dxxx 3 21
4.
31
2 )6(
)3(
xx
dxx
5. dxxx 42 2
6. dxx
x
2)1(
7. 12x
dxx
8. dx
x
x
1
2
9. dxx
e x
2
1
10. 1xe
dx
11. ∫
12. ∫
13. ∫
√
5. INTEGRAL PARSIAL
Metode integral parsial umumnya digunakan pada integral yang mengandung fungsi
logaritma atau perkalian polinom nx dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau xn sin x,
juga perkalian fungsi eksponensial xn e
ax, atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi
trigonometri seperti e2x
sinx. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar.
Pandang u dan v yang diferensiabel dari x, maka :
d(uv) = u dv + v du
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
u dv = d(uv) – v du
Bila ini diintegralkan diperoleh bentuk yang dinamakan integral parsial :
Yang perlu diperhatikan pada metode ini :
1) Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegralkan
2) duv harus tidak lebih sukar daripada dvu
Contoh :
1. dxxln : ambil u = ln x → du = dxx
1
dv = dx → v = x
duvuvdxxln
cxxxdxxxdxx
xxx lnln1
ln
2. dxxtgarc : ambil u = arc tg x → du = dxx 21
1
dv = dx → v = x
dx
xxxtgarcxdxxtgarc
21
1
dxx
x 21
: ambil 1 + x2 = t → dt = 2x dx
dx = x
dt
2
maka cxctxt
dtx
21ln2
1ln
2
1
2
Jadi :
cxxtgarcxdxx
xxtgarcxdxxtgarc
2
21ln
2
1
1
Latihan soal :
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
1. dxxx sin 6. dxxarc sin
2. dxxe x 2sin 7. dxx3sec
3. dxxx 1 8. dxxx sin2
4. dxxx ln2 9. dxex x23
5. dxx2sin 10. dxxx cos
6. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Kesamaan-kesamaan berikut sangat bermanfaat untuk menghitung integral dari fungsi
trigonometri :
1) sin2 x + cos
2 x = 1
2) 1+ tg2
x = sec2 x
3) 1+ ctg2
x = cosec2
x
4) sin2 x = )2cos1(
21 x
5) cos2x = )2cos1(
21 x
6) 2 sin x cos x = sin 2x
7) sin x cos y = )sin()sin(21 yxyx
8) sin x sin y = )cos()cos(21 yxyx
9) cos x cos y = )cos()cos(21 yxyx
10) (1 - cos x) = 2 sin2 x
21
11) (1 + cos x) = 2 cos 2 x
21
12) (1 ± sin x ) = 1 ± cos (21 π – x)
Contoh :
1. cxxdxxdxdxxdxx 2sin2cos)2cos1(sin41
21
21
21
212
2. cxxdxxdxdxxdxx 6sin6cos)6cos1(3cos121
21
21
21
212
3. dxxxdxxdxxxdxxxdxx sincossinsin)cos1(sinsinsin 2223
= cxxxdxdxx 3
312 coscos)(coscoscos
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
Latihan soal :
1) dxx5cos 6) dxx 23
)3cos1(
2) dxxx 3sin2sin 7) dxxtg 4
3) dxxx 2sin2cos 34 8) dxx2sec4
4) dxxx 22 cossin 9) dxxxtg 3sec3 43
5) dxxcos1 10) dxxctg 23
7. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Sebuah integran, yang mengandung salah satu dari bentuk 222 xba ,
222 xba atau
222 axb tanpa faktor-faktor irrasional yang lain, bisa diubah bentuk menjadi bentuk lain
yang berupa fungsi-fungsi geometris dari sebuah variabel seperti berikut :
Integran Substitusi Menjadi
222 xba zb
ax sin zaza cossin1 2
222 xba ztgb
ax zaztga sec1 2
222 axb zb
ax sec ztgaza 1sec2
Pada setiap kasus, integrasi menghasilkan ungkapan-ungkapan dalam variabel baru z.
Padanannya dalam variabel semula bisa didapatkan melalui penggunaan sebuah segitiga siku-
siku.
Contoh :
Carilah 22 4 xx
dx
misalkan ; x= 2 tg z → dx = 2 sec2z dz
2
x Terdapat bentuk dan tidak ada faktor irrasional yang
lain
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
zztgx sec2444 22
cx
x
cz
zdzdzzz
zz
dzz
ztg
dzz
zztg
dzz
zztg
dzz
xx
dx
4
4
sin4
1)(sinsin
4
1cossin
4
1
cossin
cos
4
1sec
4
1
sec24
sec2
sec2)2(
sec2
4
2
22
2
2
22
2
2
2
22
Latihan soal :
1. dxx
x
42
2
2.
dxx
x249
3. 1625 22 xx
dx
4. 249 xx
dx
5.
dxx
x6
2/32 )916(
8. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Suatu fungsi )(
)()(
xg
xfxF dimana f(x) dan g(x) polinom (suku banyak) disebut suatu
fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x) lebih kecil daripada derajat g(x), F(x) disebut
sebenarnya di dalam hal lain disebut fungsi pecahan rasional tidak sebenarnya (improper).
Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, kita berusaha
menyatakan fungsi tersebut sebagai penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction),
dimana penyebutnya berbentuk (ax + b)n atau (ax
2 + bx + c)
n, n bilangan bulat positif. Bentuk
dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi tersebut.
2
x
3 2x
4
5x
3
2x
4
4 3x
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
8.1. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERBEDA
g(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ……. (anx + bn)
Maka :
nn
n
ba
A
bxa
A
bxa
AxF
22
2
11
1)(
Contoh :
Tentukan : dxxx
x
124
12
Penyelesaian :
Penyebut : x2 – 4 – 12 = (x – 6)(x + 2)
Oleh karena itu, pecahan rasional dapat ditulis :
)2)(6(
)62()(
)2)(6(
)6()2(
26)2)(6(
1 21212121
xx
AAxAA
xx
xAxA
x
A
x
A
xx
x
Maka dipenuhi bentuk :
x + 1 = (A1 + A2)x + (2A1 -6A2)
A1 + A2 = 1 2A1 + 2A2 = 2 A1 + 1/8 = 1
2A1 -6A2 = 1 2A1 - 6A2 = 1 _ A2 = 7/8
8A2 = 1
A2 = 1/8
Jadi:
)2(8
1
)6(8
7
124
1)(
2
xxxx
xxF
cxxx
dx
x
dxdx
xx
x
2ln
8
16ln
8
7
)2(8)6(8
7
124
12
Latihan soal:
1. ∫
124
1)(
2
xx
xxF
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
8.2. FAKTOR-FAKTOR LINIER YANG BERULANG
Kalau pada g(x) terdapat (ax + b) berulang m kali, misalnya : g(x) = (ax + b)m
, maka :
mbax
A
bax
A
bax
AxF
)()()( 2
2
21
Contoh:
Tentukan dxx
x 2)3(
Penyelesaian :
2
211
2
21
2
21
2
)3(
3(
)3(
)3(
)3(3)3()(
x
AAxA
x
AxA
x
A
x
A
x
xxF
diperoleh :
A1=1
-3A1 + A2 = 0 → -3 + A2 = 0 A2 = 3
Jadi :
1.
cx
xx
dx
x
dxdx
x
x
3
33ln
)3(
3
3)3( 22
Latihan soal :
1.
dx
xx
x2)2(
4
2. dxxx
x
67
123
22 )3(
3
3
1
)3()(
xxx
xxF
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
3. dxxxx
xx
)4)(1(
22025 2
4.
2
2
)3)(2(
)19223(
xx
dxxx
5.
23
2
)2(
)2(
xx
dxx
6. ∫
BAB II
INTEGRAL TERTENTU
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
1. PENGERTIAN INTEGRAL TERTENTU
b
a
dxxf )( , disebut integral tertentu dari f(x) terhadap x, dari x = a sampai x = b,
f(x) disebut integrand, a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas
2. THEOREME NEWTON – LEIBMIZTZ
Bila f(x) kontinu pada a ≤ x ≤ b dan F(x) suatu integral tak tentu dari f(x) maka :
Contoh :
1. 4
15
4
1
4
16
4
1
4
2
4
442
1
42
1
3 x
dxx
2. 2
10sin
2
1
2sin
2
1)0.2(sin
2
1)
4.2(sin
2
12sin
2
12cos 4
0
4
0
xdxx
3.
ee
eeeeedxexx 1
2)(222 122
22
2
2
2
2
22
3. SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU
1.
a
a
dxxf 0)(
2. b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
3.
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
4.
b
a
b
a
takonsuntukdxxfdxxf tan,)()(
5.
c
a
b
c
b
a
bcabiladxxfdxxfdxxf ,)()()(
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
Latihan soal :
1)
2
0
2)2( dxx
2)
2
0
)2( dxx
3)
3
0
2 )23( dxxx
4)
2
1
2 )1( dttt
5)
4
1
)1( duuu
6) ∫ ( )
7) ∫ ( )
8)
4. INTEGRAL TAK WAJAR
Integral tertentu b
a
dxxf )( disebut integral tak wajar (improper integral) bila :
1. Integrand f(x) mempunyai satu atau lebih titik diskontinu pada a ≤ x ≤ b; atau bila :
2. Paling sedikit satu dari batas integral adalah tak terhingga
Kasus (1) :
a) Jika f(x) dx kontinu pada a≤x<b tetapi diskontinu pada x = b didefinisikan :
b
a
b
ao
dxxfdxxf )(lim)( , asalkan harga limit tsb ada
Contoh :
2
1sin3
)03(sinlim
9 0
3
02
arcarcx
dx
b) Jika f(x) dx kontinu pada a < x ≤ b tetapi diskontinu pada x = a didefinisikan :
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
b
a
b
ao
dxxfdxxf
)(lim)( , asalkan harga limit tsb ada
Contoh :
∫
∫
Harga limit tersebut tidak ada, integral tersebut tidak mempunyai arti (divergen)
c) Jika f(x) kontinyu di semua x pada a ≤ x ≤ b, kecuali di x = c, a < c < b didefinisikan
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Asalkan harga kedua limit ada.
Contoh :
I = ∫
√
I = ∫
√ ∫
√
=
( )
⌈
( )
|
= {
( )
} {
√
}
=
(√
)
Kasus (2)
i. Jika f(x) kontinu pada interval a ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )
,
asalkan harga limit tersebut ada.
ii. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ b didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )
,
asalkan harga limit tersebut ada.
iii. Jika f(x) kontinu pada interval v ≤ x ≤ u didefinisikan ∫ ( ) ∫ ( )
∫ ( )
, asalkan harga limit tersebut ada.
Contoh :
1) I = ∫
∫
|
( )
2) I = ∫
∫
∫
|
|
3) I = ∫
∫
|
KALKULUS 2
STIMATA BY : SRI ESTI
Latihan soal:
1. ∫
√
, diskontinu pada x = 0
2. ∫
, diskontinu pada x = 4
3. ∫
√
, diskontinu pada x = 1
4. ∫
5. ∫
( )
6. ∫
7. , diskontinu pada x = -2
8. , diskontinu pada x = 1
9.
10.
1
2
2 1x
dxx
1
1
dxxxe
2
22 )1( x
dxx
)162(x
dx