Post on 21-Jul-2015
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Integral Lipat Tiga
[MA1124] KALKULUS II
Integral Lipat Tiga pada BalokBk 1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, , Bk, , Bn zk Definisikan |||| = diagonal ruang terpanjang dari Bk xk 2. Ambil ( x k , y k , z k ) Bk 3. Bentuk jumlah Riemann n
(x k , yk , zk )
z
B
yk
f (xk =1
k
, y k , z k )Vk
4. Jika |||| 0 diperoleh limit jumlah Riemann ny x
lim f ( x k , y k , z k )Vk 0 k =1
f (x, y, z)dV = lim f (x7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS IIB 0 k =1
Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis nk
, y k , z k )Vk
2
Integral Lipat Tiga pada Balok (2)vk = xk yk zk dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dx dy dzB B
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
3
ContohHitungx 2yz dV dengan B adalah balok dengan ukuran B
B = {(x,y,z)| 1 x 2, 0 y 1, 1 z 2} Jawab.x 2yz dV = B2 1 2
x 2yz dx dy dz 1 0 1 2 12
=
1 yz x 3 dy dz 3 1 0 1 1 2 7 1 = z y 2 dz 3 2 0 1
=7/6/2007
7 1 2 7 z = 6 2 1 4[MA 1124] KALKULUS II 4
2
Integral Lipat Tiga pada Daerah SembarangHitungx 2 yz dV , Jika S benda padat sembarang S
Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) Bz
S
y x
(gb. 1)7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II 5
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2)z
z=2(x,y)
S
z=1(x,y)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=1(x,y) dan z=2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka:
a x by=1(x)
y
Sxy
y=2(x)
f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dy dxS a1 ( x) 1( x,y )
b 2 (x) 2 (x,y)
(gb. 2)
Catatan: Jika f(x,y,z) = 1, maka f (x, y, z) dV S menyatakan volume benda pejal S
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
6
ContohHitung
f (x, y, z) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S bendaS
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0z y=x y=0 z=2 x2
Jawab. Dari gambar terlihat bahwa S={(x,y,z)|0x2, 0yx 0z 2 x2}
0 2
Sxy
y
Sehingga,2 x
x
2xyz dV = 2xyz dz dy dxS0 0 0
1 2 x2 2
Sxy = proyeksi S pada XOY (segitiga)7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II
=
xy0 0
2 x
z
2
1 2 x2 2 0
dy dx7
Contoh (lanjutan)1 xy 2 x 2 dy dx 2 0 0 x 2 1 4 1 2 y dx = x 4 2x 2 + x 4 2 0 0 2 1 = 2x 3 x 5 + x 7 dx 8 0 2 1 4 1 6 1 8 = x x + x 2 6 64 0 ==8 32 4 +4= 3 32 x 2
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
8
Latihan1. Hitung
z dV , S benda padat di oktan pertama yangS
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 + z2 = 1. 2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya. 3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0. b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0. c. x2 = y, z2 =y, y = 1,x = 0. d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0. / 2 z y 4. Hitung sin(x + y + z)dxdydz
0 0 0
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
9
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola)Koordinat Tabungz P(r,,z) z r
Koordinat Bolaz r
P(,,) z y
y
x Syarat & hubungan dg Kartesius r 0, 0 2 x = r cos y = r sin z=z r2 = x2 + y2
x Syarat & hubungan dg Kartesius 0, 0 2 , 0 x = r cos r = sin } x = cos sin y = r sin r = sin } y = sin sin z = cos x2 + y2 + z2 = 2
Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II 10
Contoh1. Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4z 4
Jawab. D dalam koordinat: a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0x2, 0y 4 x 2 , 0z4} b. Tabung: D={(x,y,z)| 0r2, 0 /2, 0z4}
02 x
2 r y
x2+y2=4
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
11
Contoh2. Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I.z
Jawab.z = 4 x 2 y 2 D dalam koordinat:r
2 02 x
2y
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0x2, 0y 4 x 2 , 0z 4 x 2 y 2 } b. bola: D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2}
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
12
Penggantian Peubah dalam Integral Lipat TigaDefinisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:
f (x, y, z) dx dy dz = f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dwD D
dimana
x
y y J(u, v, w ) = y u v w z z z u v w
u
x
v
x
w
Jacobian
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
13
Koordinat Kartesiusx = r cos y = r sin z=z Matriks Jacobiannya:
Tabung
cos r sin 0 y y = sin r cos 0 = r cos2 + r sin 2 = r J(u, v, w ) = y r z z z z 0 0 1 r z r z
x
x
x
f (x, y, z) dx dy dz = f (r cos , r sin , z) r dr d dzD D
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
14
Koordinat Kartesiusx = cos sin y = sin sin z = cos Matriks Jacobiannya:x J(u, v, w ) = y z x y z x y z
Bola
sin cos sin sin cos cos = sin sin sin cos cos sin = 2 sin cos 0 1
f (x, y, z) dx dy dz = f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d D D
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
15
Contoh (Tabung)1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z = 4.Z
z=4
x
Sxy
Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: 2 2 y S={(x,y,z)|-2 x 2, 4 x y 4 x , x2 + y2 z 4} Dalam koordinat tabung: S={(r,,z)|0 r 2, 0 2 , r2 z 4}
Sehingga, volume benda pejalnya adalahV =7/6/2007
1 dV = r dz d drS
2 2 4
0 0 r2
[MA 1124] KALKULUS II
16
Contoh (Lanjutan)V =
r dz d dr0 0 r2 2 2
2 2 4
=
= r 4 r 2 0 dr0
0 0 2
r z r 2 d dr
4
(
)
2
1 = 2 2r 2 r 4 4
2
= 8
0
Jadi volume benda pejalnya adalah 8
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
17
Contoh (bola)2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan Iz 2
Jawab.z = 4 x2 y2
D dalam koordinat:
2 x
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0x2, 0y 4 x 2 , 2 0 0z 4 x 2 y 2 } y b. Bola: D={(x,y,z)| 02, 0 /2, 0 /2} Sehingga, volume benda pejalnya adalahV =
1 dV =S
/2 /2 2
0 0
2 sin d d d 0
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
18
Contoh (Lanjutan) /2 /2 2
V =
0 0
2 sin d d d 0
/2 /2
=
0
/2
0
==
0
1 sin 3 d d 3 0 /2 8 ( cos ) d 3 0
2
8 ( ) / 2 = 4 0 3 3
Jadi volume benda pejalnya adalah 4/3
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
19
Latihan1. Hitungx 2 dV, dengan D benda pejal yang dibatasi D
z =9 x2 y2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan bidang z =4. 5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x2+y2=4.7/6/2007 [MA 1124] KALKULUS II 20
Latihan Lanjutan6. Hitung volume benda pejal, daerah yang dibatasi oleh bola x2+ y2+ z2 = 9, dan berada dalam kerucut z = x 2 + y 29 x 2 9 x 2 y 2
7. Hitung3
3 9 x 2 9 x 2 y 2
3
(x
2
+ y2 + z2
)
3/ 2
dz dy dx
8. Hitung
0 0 0
9 x2 2
x 2 + y 2 dz dy dx4 x 2 y 2
9. Hitung
0 0
2 4 x 2
0
z 4 x 2 y 2 dz dy dx
7/6/2007
[MA 1124] KALKULUS II
21