DETERMINAN

DETERMINAN

Determinan dari suatu matriks berordo nxn, dinyatakan sebagai det(A) adalah skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan secara induktif sebagai :

dimana adalah kofaktor – kofaktor yang diasosiasikan dengan entri – entri dalam baris ke - i dari matriks A.

1n jika

1n jikadet

ininii CaCa

aA

11

11

ijjii MC det 11

2221

1211

aa

aaAA det

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ATURAN SARRUS MATRIKS 2X2

2221

1211

aa

aaA

2211aa 2112aaA

Contoh 1.

24

13A

1046

4123

A

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ATURAN SARRUS MATRIKS 3X3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

B

322313312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa B

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

B

3231

2221

1211

aa

aa

aa

Contoh 2.

544

321

223

B

544

321

223

B

44

21

23

0B

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKSORDO N>3Jika A adalah matriks kuadrat, maka MINOR aij dinyatakan oleh Mij adalah determinan submatriks A yang didapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke – j.

MINOR MATRIKS

nnnjnn

inijii

n

nj

aaaa

aaaa

a

aaaa

A

21

21

2

111211

nnnjnn

inijii

n

nj

ij

aaaa

aaaa

a

aaaa

M

21

21

2

111211

CONTOH 3. Diketahui matriks

0810

3300

1121

3110

A

maka

0

80

30

10

080

330

310

080

330

310

22 M

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKSORDO N>3KOFAKTOR aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai (-1)i+jMij

KOFAKTOR MATRIKS

Jika A adalah matriks berukuran n x n dan Cij adalah kofaktor dari elemen aij, maka matriks

dinamakan matriks kofaktor A dan transpose dari matriks kofaktor A dinamakan adjoin A = adj(A)

nnnn

n

n

ccc

ccc

ccc

C

21

22221

11211

MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKSORDO N>3 Determinan matriks A yang berorde n x n dapat di hitung dengan cara mengalikan elemen-elemen suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya, kemudian menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkannya

EKSPANSI KOFAKTOR/LAPLACE

Ekspansi kofaktor sepanjang baris- i

n

jijijCaA

1

det

Ekspansi kofaktor sepanjang kolom- j

n

iijijCaA

1

det

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Yang dimaksud dengan operasi elementer pada baris suatu matriks A adalah sebagai berikut

Pertukaran baris - i dengan baris - j Ri Rj

Perkalian suatu baris - i dengan konstanta tak nol

kRi

Penjumlahan kelipatan baris - i pada baris - j

Rj + kRi

CONTOH OBE

A =

1 2 1 3 8 7 2 7 9

R2 R1 ~

1 2 1 2 7 9 3 8 7

R2 + (-2)R1 ~

1 2 1 0 3 7 3 8 7

-2 - 4 -2

R3 + (-3)R1 ~

1 2 1 0 3 7 3 8 7

-3 - 6 -3

1 2 1 0 3 7 0 2 4

SIFAT 1.

Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0

CONTOH 4.

SIFAT – SIFAT DETERMINAN

1 2 1 0 0 0 3 8 7

A = det(A) = 0

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 2.

Jika A adalah matriks segitiga n x n dimana diagonal utama tak nol, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22…ann

CONTOH 5.

A matriks segitiga atas, maka det(A) = 2.3.5.4 =120

4000

3500

5430

7612

A

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 3.

Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A)

CONTOH 6.

det(A) = 21 dan det(B) = (2)(3) 21 = 126

614

321

342

A

18312

642

342

B = 2 kali baris 2 matriks A

= 3 kali baris 3 matriks A

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 4.

Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = – det(A)

CONTOH 7.

det(A) = 21 dan det(B) = – 21

614

321

342

A

321

614

342

B baris 2 matriks A ditukar dengan baris 3

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 5.

Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)

A =

2 4 3 1 1 2 3 5 2

A’ =

2 4 3 1 1 2 3 5 2

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 6.

Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At)

614

321

342

A

633

124

412tA

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 7.

Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 8.

Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) = det(A) det(B)

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 9.

Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) 0

SIFAT – SIFAT DETERMINAN SIFAT 10.

Jika A dapat dibalik, maka

AAdet

det11

INVERS MATRIKS

DEFINISI Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai A–1

Jadi, jika A adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers A–1sehingga AA–1 = A–

1A = I

Invers matriks memiliki sifat, (AB) –1=B–1A–1 dan (A–1) –1 = A

Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara

1. Metode reduksi

2. Metode determinan

METODE REDUKSI

METODE DETERMINAN

Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det(A) 0. Invers matriks A dapat ditentukan dengan rumus

AadjA

Adet11