MATEMATIKA KOMPUTER

Matematika Komputer

Kontrak KuliahGBPP (Garis Besar Program Pengajaran)PustakaPertemuan 1 Pendahuluan

Kontrak

Dalam menentukan nilai akhir, akan digunakan pembobotan sebagai berikut:

Kegiatan Bobot Nilai Ujian Tengah Semester (UTS) 30 %Ujian Akhir Semester (UAS) 40 %Tugas Individu 10 %QUIZ 20%

Apa yang dipelajari

1. Logika Matematika : Konsep logika, operator logika and, or, xor,

penerjemahan ke dalam kalimat logika, implikasi dan biimplikasi

Pembuktian validitas kalimat dengan tabel kebenaran, pohon keputusan

Aturan interferensi, pembuktian kalimat proposisi dengan metode deduksi

Teori HimpunanFungsi dan RelasiInduksi MatematikaPohon dan Graf

2. Matematika Diskrit :LogikaTeori HimpunanRelasiBilangan BulatKombinatorialPeluang DiskritGrafTree

PUSTAKA

Rinaldi Munir, “ Matematika Diskrit”, edisi ke tiga, penerbit Informatika Bandung, 2005

Kenneth H. Rosen, “Discrete Mathematics and Application”, 5th edition, McGrawHill, New York, 2003

Kolman Bernard,Busby C Robert,”Discrete Mathematical Structures for Computer Science”, 2th edition, Prentice-Hall.Inc, New Jersey,1987

MATEMATIKA DISKRIT?

Cabang matematika yg mempelajari tentang obyek diskrit.

Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Objek disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda elemen-elemennya tidak bersambungan

(unconnected). Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous). Contoh: himpunan bilangan riil (real)

• Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.

Kenapa belajar ?

Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.

Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika : algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.

Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Matematika Informatika.

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari

1. Berapa banyak alamat internet valid yg mungkin pada suatu jaringan komputer ?

2. Berapa probabilitas menang suatu undian ?3. Bagaimana menentukan lintasan terpendek

antar kota ?4. Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan

data ?

Logika Matematika ?

Logika merupakan studi penalaran (reasoning), yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal yang difokuskan pada hubungan antara pernyataan /statement

Contoh aplikasi : pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan, jaringan, dsb

Tujuan : untuk membentuk landasan pemahaman logika yang berhubungan dengan ilmu komputer

Proposisi

Pengertian Proposisi Operator LogikaTabel Kebenaran

Pengertian Proposisi

Proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.

Kebenaran atau kesalahan dai sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (Truth value)

Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0

Proposisi atau Pernyataan

“8 adalah bilangan genap”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

BENAR

Proposisi atau Pernyataan

“12 19”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

SALAH

Proposisi atau Pernyataan

“y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Proposisi atau Pernyataan

“Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

SALAH

Proposisi atau Pernyataan

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” “Jam berapa kereta api Bromo tiba di Gambir”

TIDAK

TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?

Proposisi atau Pernyataan

“x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ? YA

Apakah ini proposisi ? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR

… karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y.

Penggabung Proposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika.

Operator logika

Kita akan membahas operator-operator berikut:

Negasi (NOT) Konjungsi (AND) Disjungsi (OR) Eksklusif OR (XOR) Implikasi (jika – maka) Bikondisional (jika dan hanya jika)

Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.

Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang:

P P

Benar Salah

Salah Benar

Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang:

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Salah

Disjungsi (OR) Operator Biner, Lambang:

Tamu Boleh Menyumbang barang atau uang

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Eksklusif Or (XOR)

Operator Biner, Lambang: Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan

P Q PQ

T T F

T F T

F T T

F F F

Implikasi (jika - maka)

Operator Biner, Lambang: Jika besok cerah (p), maka aku akan datang ke rumahmu (Q)

P = hipotesis, Q = konklusi

a. Jika p, maka qb. Jika p,qc. p mengakibatkan qd. q jika pe. p hanya jika qf. p syarat cukup agar qg. q syarat perlu bagi ph. q bilamana p

Tabel Kebenaran Implikasi (jika - maka)

P Q PQ

T T T

T F F

F T T

F F T

Bentuk Lain Implikasi

Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa:pq ~p q

P Q ~p pq ~p q

T T F T T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Varian Proposisi Bersyarat

Prosposisi bersyarat awal adalah p q

Konvers (kebalikan): q pInvers : ~p~qKontraposisi : ~q~p

Bikondisional (jika dan hanya jika)

Operator Biner, Lambang: (P Q) ( Q P)

P Q PQ

T T T

T F F

F T F

F F T

Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa (P Q) ( Q P) (P Q) ( Q P)

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P Q P Q (P)(Q)

T T F F F

T F F T T

F T T F T

F F T T T

Pernyataan dan Operasi

P Q PQ (PQ) (P)(Q)

T T T F F

T F F T T

F T F T T

F F F T T

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen

Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara logis, karena (PQ)(P)(Q) selalu benar.

P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)

T T F F T

T F T T T

F T T T T

F F T T T

Tautologi dan Kontradiksi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar

Contoh: R(R) (PQ)(P)(Q)

Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S T. JIka ST sebuah tautologi, kita tulis S T.

Kontradiksi

Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.

Contoh: R(R) ((PQ)(P)(Q))

Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.

Latihan

Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar Anda bisa log on ke server”a. Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q” b. Tentukan ingkaran, konvers dan kontraposisi pernyatan tersebut

JawabMisalkan :

p:Anda bisa log on ke serverq: memiliki password yang sah

maka,a. Jika Anda bisa log on ke server, maka Anda harus memiliki passsword yang sahb. Ingkaran : Anda bis log on ke server dan anda tidak memiliki password yang sah

Konvers: Jika Anda memiliki password yang sah maka Anda bisa log on ke serverInvers: Jika Anda tidak bisa log on ke server maka Anda tidak memiliki password yang sahKontraposisi: Jika Anda tidak memiliki password yang sah maka Anda tidak bisa log on ke server

Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan p: Pelayanannya baik; q: tarif kamarnya murah; r: hotelnya berbintang tiga

Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam bentuk notasi simbolik (menggunakan p,q,r)

a. Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya burukb. Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik,

namun tidak keduanyac. Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif

kamarnya murah dan pelayannya buruk

~q p

q ~p

~(r(q ~p))

Latihan

Kita tahu tautologi berikut: (pq) (p)(q)Tunjukkan bahwa (pq) (p)(q).

p q pq (p q) p q (p)(q)

F F

F T

T F

T T

Buat tabel kebenaran untuk (pq) ( q r)

p q r pq q q r (pq) ( q r)

F F F

F F T

F T F

F T T

T F F

T F T

T T F

T T T