01-Pendahuluan Matematika Komputer

40
MATEMATIKA KOMPUTER

description

Pendahuluan Matematika Komputer

Transcript of 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Page 1: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

MATEMATIKA KOMPUTER

Page 2: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Matematika Komputer

Kontrak KuliahGBPP (Garis Besar Program Pengajaran)PustakaPertemuan 1 Pendahuluan

Page 3: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Kontrak

Dalam menentukan nilai akhir, akan digunakan pembobotan sebagai berikut:

Kegiatan Bobot Nilai Ujian Tengah Semester (UTS) 30 %Ujian Akhir Semester (UAS) 40 %Tugas Individu 10 %QUIZ 20%

Page 4: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Apa yang dipelajari

1. Logika Matematika : Konsep logika, operator logika and, or, xor,

penerjemahan ke dalam kalimat logika, implikasi dan biimplikasi

Pembuktian validitas kalimat dengan tabel kebenaran, pohon keputusan

Aturan interferensi, pembuktian kalimat proposisi dengan metode deduksi

Teori HimpunanFungsi dan RelasiInduksi MatematikaPohon dan Graf

Page 5: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

2. Matematika Diskrit :LogikaTeori HimpunanRelasiBilangan BulatKombinatorialPeluang DiskritGrafTree

Page 6: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

PUSTAKA

Rinaldi Munir, “ Matematika Diskrit”, edisi ke tiga, penerbit Informatika Bandung, 2005

Kenneth H. Rosen, “Discrete Mathematics and Application”, 5th edition, McGrawHill, New York, 2003

Kolman Bernard,Busby C Robert,”Discrete Mathematical Structures for Computer Science”, 2th edition, Prentice-Hall.Inc, New Jersey,1987

Page 7: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

MATEMATIKA DISKRIT?

Cabang matematika yg mempelajari tentang obyek diskrit.

Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Objek disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda elemen-elemennya tidak bersambungan

(unconnected). Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous). Contoh: himpunan bilangan riil (real)

• Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit.

Page 8: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Kenapa belajar ?

Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam pendidikan informatika atau ilmu komputer.

Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah-kuliah lain di informatika : algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.

Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Matematika Informatika.

Page 9: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari

1. Berapa banyak alamat internet valid yg mungkin pada suatu jaringan komputer ?

2. Berapa probabilitas menang suatu undian ?3. Bagaimana menentukan lintasan terpendek

antar kota ?4. Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan

data ?

Page 10: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Logika Matematika ?

Logika merupakan studi penalaran (reasoning), yaitu cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal yang difokuskan pada hubungan antara pernyataan /statement

Contoh aplikasi : pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan, jaringan, dsb

Tujuan : untuk membentuk landasan pemahaman logika yang berhubungan dengan ilmu komputer

Page 11: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi

Pengertian Proposisi Operator LogikaTabel Kebenaran

Page 12: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Pengertian Proposisi

Proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.

Kebenaran atau kesalahan dai sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (Truth value)

Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0

Page 13: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi atau Pernyataan

“8 adalah bilangan genap”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

BENAR

Page 14: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi atau Pernyataan

“12 19”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

SALAH

Page 15: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi atau Pernyataan

“y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

Page 16: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi atau Pernyataan

“Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

SALAH

Page 17: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi atau Pernyataan

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah” “Jam berapa kereta api Bromo tiba di Gambir”

TIDAK

TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?

Page 18: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Proposisi atau Pernyataan

“x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ? YA

Apakah ini proposisi ? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR

… karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y.

Page 19: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Penggabung Proposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika.

Page 20: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Operator logika

Kita akan membahas operator-operator berikut:

Negasi (NOT) Konjungsi (AND) Disjungsi (OR) Eksklusif OR (XOR) Implikasi (jika – maka) Bikondisional (jika dan hanya jika)

Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.

Page 21: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang:

P P

Benar Salah

Salah Benar

Page 22: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang:

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Salah

Page 23: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Disjungsi (OR) Operator Biner, Lambang:

Tamu Boleh Menyumbang barang atau uang

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Page 24: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Eksklusif Or (XOR)

Operator Biner, Lambang: Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan

P Q PQ

T T F

T F T

F T T

F F F

Page 25: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Implikasi (jika - maka)

Operator Biner, Lambang: Jika besok cerah (p), maka aku akan datang ke rumahmu (Q)

P = hipotesis, Q = konklusi

a. Jika p, maka qb. Jika p,qc. p mengakibatkan qd. q jika pe. p hanya jika qf. p syarat cukup agar qg. q syarat perlu bagi ph. q bilamana p

Page 26: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Tabel Kebenaran Implikasi (jika - maka)

P Q PQ

T T T

T F F

F T T

F F T

Page 27: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Bentuk Lain Implikasi

Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa:pq ~p q

P Q ~p pq ~p q

T T F T T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Page 28: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Varian Proposisi Bersyarat

Prosposisi bersyarat awal adalah p q

Konvers (kebalikan): q pInvers : ~p~qKontraposisi : ~q~p

Page 29: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Bikondisional (jika dan hanya jika)

Operator Biner, Lambang: (P Q) ( Q P)

P Q PQ

T T T

T F F

F T F

F F T

Page 30: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa (P Q) ( Q P) (P Q) ( Q P)

Page 31: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P Q P Q (P)(Q)

T T F F F

T F F T T

F T T F T

F F T T T

Page 32: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Pernyataan dan Operasi

P Q PQ (PQ) (P)(Q)

T T T F F

T F F T T

F T F T T

F F F T T

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

Page 33: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen

Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara logis, karena (PQ)(P)(Q) selalu benar.

P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)

T T F F T

T F T T T

F T T T T

F F T T T

Page 34: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Tautologi dan Kontradiksi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar

Contoh: R(R) (PQ)(P)(Q)

Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S T. JIka ST sebuah tautologi, kita tulis S T.

Page 35: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Kontradiksi

Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.

Contoh: R(R) ((PQ)(P)(Q))

Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.

Page 36: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Latihan

Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar Anda bisa log on ke server”a. Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q” b. Tentukan ingkaran, konvers dan kontraposisi pernyatan tersebut

JawabMisalkan :

p:Anda bisa log on ke serverq: memiliki password yang sah

maka,a. Jika Anda bisa log on ke server, maka Anda harus memiliki passsword yang sahb. Ingkaran : Anda bis log on ke server dan anda tidak memiliki password yang sah

Konvers: Jika Anda memiliki password yang sah maka Anda bisa log on ke serverInvers: Jika Anda tidak bisa log on ke server maka Anda tidak memiliki password yang sahKontraposisi: Jika Anda tidak memiliki password yang sah maka Anda tidak bisa log on ke server

Page 37: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan p: Pelayanannya baik; q: tarif kamarnya murah; r: hotelnya berbintang tiga

Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam bentuk notasi simbolik (menggunakan p,q,r)

a. Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya burukb. Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik,

namun tidak keduanyac. Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif

kamarnya murah dan pelayannya buruk

~q p

q ~p

~(r(q ~p))

Page 38: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Latihan

Kita tahu tautologi berikut: (pq) (p)(q)Tunjukkan bahwa (pq) (p)(q).

p q pq (p q) p q (p)(q)

F F

F T

T F

T T

Page 39: 01-Pendahuluan Matematika Komputer

Buat tabel kebenaran untuk (pq) ( q r)

p q r pq q q r (pq) ( q r)

F F F

F F T

F T F

F T T

T F F

T F T

T T F

T T T

Page 40: 01-Pendahuluan Matematika Komputer