Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[MA1124] KALKULUS II
Fungsi VektorFungsi Vektor
DefinisiDefinisi
Definisi fungsi vektor
Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t R dengan tepat satu vektor
g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=
2(3)R(t)F
Notasi : F : R R2(3)
t
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
2
g(t)f(t), jg(t) if(t) (t)F =+=t
atauh(t)g(t),f(t), kh(t) jg(t) if(t) (t)F =++=t
dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real
Contoh, Daerah Asal dan Daerah NilaiContoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai
Contoh
jtittF )3(2)(.1 1+=
kjtittF sincos)(2. ++=r
jtittF cos)1ln()(.3 12 ++=
jtit
tF 62
ln)(4.
=
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
3
Daerah Asal (Df ){ }321
| ffff DDDtRtD =r
ktfjtfitftf )()()()( Misal 321 ++=
Daerah Hasil (Rf ){ }ff
DtRtfR = |)( 3r
r
ContohContohTentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya
jtittF )3(2)(.1 1+=
Misalkan 2)(1 = ttf ( )31)(2 = ttfdanDiperoleh ),2[
1=fD dan { }32 = RDf
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
4
Sehingga
{ }21 ffF
DDtRtD =
{ }{ }3),2[ = RtRt{ }{ } ),3()3,2[3),2[ == t
ContohContoh
Misalkan ttf cos)(1 =
Sehingga
ttf sin)(2 =,
{ }321 fffF
DDDtRtD =
Diperoleh RDf =1 , RDf =2
kjtittF sincos)(2. ++=r
1)(3 =tfdan
dan RDf =3
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
5
{ }321 fffF
DDDtRtD =
{ } RRRRtRt ==Misalkan )1ln()( 21 += ttf
Sehingga
ttf 12 cos)(
=dan
{ } [ ]{ } ]1,1[1,121 === RtRtDDtRtD ffFDiperoleh RDf =1
jtittF cos)1ln()(3. 12 ++=r
dan ]1,1[2
=fD
ContohContoh
jtit
tF 62
ln)(.4
=
Misalkan
=
ttf
2ln)(1
Sehingga
ttf = 6)(2dan
Diperoleh ),0(1
=fD dan ]6,(2 =fD
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
6
Sehingga
{ }21 ffF
DDtRtD =
{ }]6,(),0( = tRt]6,0(=
LatihanLatihanTentukan Df (daerah asal), kemudian gambarkan daerahnya
jtittf )4()(1. +=r
jtittf 4)(2. 2=r
jtit
tf )4(
1)(3. +
=
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
7
t )4(
jtit
tf 4
1)(4. 2+
=
r
Grafik Fungsi Bernilai VektorGrafik Fungsi Bernilai Vektor Misalkan
Df=[a,b]
jtfitftf )()()( 21 +=
][ (b)f
(t)fr(a)f
rc
y
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
8
][atb
(b)f
x
Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung )t(fmenjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu
disebut titik pangkal lengkungan C )(af
disebut titik ujung lengkungan C )(bf
kurva C disebut kurva tertutup)()( bfafJika =
Grafik fungsi vektorGrafik fungsi vektor
Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu
Cara menggambar grafik fungsi vektor
1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C
2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
9
2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva)
3. Tentukan arahnya
ContohContohGambarkan grafik fungsi dibawah ini:
pi20;sin2cos3)(.1 += tjtittF
Persamaan parameter
x = 3 cos t
y = 2 sin t
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1
123
22
=
+
yx(ellips)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
10
23 Arahnya
)0,3(3)0( == iF
)2,0(2)2
( == jFpi
)0,3(3)( == iF pi
)2,0(2)2
3( == jF
pi
)0,3(3)2( == iF pi
3-3
2
-2
x
y
C
ContohContoh
Persamaan parameter
x = t 4
y = t = x+4
y =
42 = yx
Arahnya
(parabola)
y
40;)4()(2. += tjtittFr
t
4+x
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
11
Arahnya
)0,4(4)0( == iF
)2,0(2)4( == jF
-4
2
x
y
C
ContohContoh
Persamaan parameter
x = t
y = 0,222 =+ yayx
Arahnya
(1/2 lingkaran)
y
atajtaittF += ;)(3. 22r
22 ta
( ) 0,22222 == yxayxay
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
12
Arahnya
)0,()( aiaaF ==
),0()0( ajaF ==)0,()( aiaaF ==
a
x
y
aa
C
LatihanLatihan
22;4)(.2 2 += tjtittF
22;4)(1. 2 = tjtittFr
Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:
( ) ( )( ) 30;214)(3. = tjtittFr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
13
( ) ( ) 32;32)(.4 2 ++= tjtitttF
Persamaan Parameter di RPersamaan Parameter di R33
Persamaannya adalah sebagai berikut:x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t I
Contoh:
ktjtittF sincos)(1. ++=r
2. Garis P(x,y,z)z
x = cos t; y = sin t; z = t , t R
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
14
2. Garis
0wr
wr
vr
P0=(x0,y0,z0)
P(x,y,z)
x
z
y
Garis (ljt)Garis (ljt)
Garis adalah himpunan semua titik P sehingga
vtww 0rrr
+=
vtww- 0 =+rr
garisdengan sejajar yangvektor v =rvtPP0 r=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
15
vtww 0 +=Jika w =(x, y, z) dan w0 =(x0,y0,z0) serta v = maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulissebagai berikut
ctzzbtyyatxx 000 +=+=+=
Sedangkan persamaan simetrinya adalah
cbc000 zzyyxx
=
=
ContohContoh1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui
titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor
Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah
x = 1 t
y = 2 - 2 t
z = 3 - 3 t
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
16
z = 3 - 3 t
2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4)
Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut:
vr
= =
Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, 3, 1)
maka persamaan parameter garis tersebut adalahx = 2 + 3t , y = 3 + 2t , z = 1 3t
LatihanLatihan1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui
pasangan titik yang diberikan:
a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6)
b. (2, -1, 5), (7, -2, 3)
c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)
2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
17
2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan
a. (4, -6, 3),
b. (-1, 3, 2),
c. (2, 5, -4),
EkivalenEkivalen Fungsi
dan)t(fr
menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan
arah yang sama.
disebut ekivalen jika )t(gr dan)t(fr )t(gr
Contoh
pi+= t0,jtsinaitcosa)t(fr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
18
pi+= t0,jtsinaitcosa)t(fata,jtait)t(g 22 +=r
dan)t(fr )t(gr ekivalen
Norm
k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r
( ) ( ) ( )232221 )t(f)t(f)t(f)t(f ++=rMisalkan maka norm dari adalah)t(f
r
SifatSifat
ktfjtfitftf )()()()( 321 ++=r
Misalkan ktgjtgitgtg )()()()( 321 ++=r
dan
cos)()()()()()()()()().( 332211 tgtftgtftgtftgtftgtfrrrr
=++=1.
kji
adalah sudut antara dua vektor tersebut
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
19
ktgtg
tftfj
tgtg
tftfi
tgtg
tftf
tgtgtg
tftftf
kji
tgxtf )()(
)()()()(
)()(
)()(
)()(
)()()(
)()()(
)()(21
21
31
31
32
32
321
321 +==rr
2.
( ) ( ) ( ) ( )ktgtfcjtgtfcitgtfctgtfc )()()()()()()()( 332211 ++= rr3.c =konstanta
LimitLimit
Definisi
TeoremaTeorema
jtfitftf )()()( 21 +=r
Misalkan )(tfr
, maka mempunyai limit di a
f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a. Dan
( ) ( ) jtfitftfatatat
)(lim)(lim)(lim 21
+=r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
21
Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada,(Jika tidak ada beri alasan):
++
+
j
t
tti
t
t
t
9
63
9lim.1
2
22
3
+
je
ti
t
tt
t
sinlim.20
tttt
ln),ln(lim.3 20+
Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)
++
+
j
t
tti
t
t
t
9
63
9lim.1
2
22
3j
t
tti
t
t
tt
9
6lim
3
9lim
2
2
3
2
3
++
+
=
( )( ) ( )( )( )( ) jtt
tti
t
tt
tt
33
23lim
3
33lim
33+
++
+
+=
( ) jtit 2lim3lim +=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
22
( ) jt
tit
tt
3
2lim3lim
33
+=
ji 6
56 +=
+
j
e
ti
t
ttt
sinlim.20
je
ti
t
tttt
limsin
lim00
+=
iji 0 =+=
Contoh (Jawab)Contoh (Jawab)ttt
tln),ln(lim.3 2
0+ttt
ttlnlim),ln(lim
0
2
0 ++ =
=+
)ln(lim 20
tt
karena (tidak ada)
Jadi tidak adatttt
ln),ln(lim 20+
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
23
t 0+
LatihanLatihanHitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):
++
j
t
tti
t
t
t
2
64
2lim.1
2
22
++ j
tt
ti
t
t 32
1sinlim.22
2
te t
t
1,lim.3 /1
0+
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
24
+
jtt
itt 32
lim.22
KekontinuanKekontinuan
)t(f.ar
Definisi
fDrkontinu di a jika )a(f)t(flimat
rr=
)t(f.br
kontinu pada himpunan A R jika )t(fr
kontinu
di setiap titik pada A
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
25
f1(t), f2(t) , f3(t) kontinu pada B
di setiap titik pada A
Teorema
k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r
Fungsi kontinu pada BfDr
TurunanTurunan
k)t(fj)t(fi)t(f)t(f 321 ++=r
MisalkanDefinisi:
[ ] [ ]h
k)t(fj)t(fi)t(fk)ht(fj)ht(fi)ht(flim)t('f 3213210h
+++++++=
r
++
++
+= k)t(f)ht(fj)t(f)ht(fi)t(f)ht(flim 332211
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
26
++
++
+=
k
h)t(f)ht(fj
h)t(f)ht(fi
h)t(f)ht(flim 332211
0h
kh
)t(f)ht(flimjh
)t(f)ht(flimih
)t(f)ht(flim 330h
220h
110h
++
++
+=
k)t('fj)t('fi)t('f 321 ++=k)t('fj)t('fi)t('f)t('f 321 ++=
rJadi
Contoh Contoh
jei)3t2()t(f t22 +=r . Tentukan1. Diketahui )0(fDtr
dan )0(2 fDtr
Jawab
)(')( tftfDtrr
= ( ) jeit t22322 2+=( ) jeit t2128 2+=
i.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
27
jeitftfD tt 48)(")(22
==
rr
( ) jeit t2128 2+=jifDt 212)0( =
r
jifDt 48)0(2
=
rii.
Contoh Contoh jeit2cos)t(f t+=r . Tentukan2. Diketahui
)t('f.ar
dan )t("fr
)0('fantarasudut.br
dan )0("fr
Jawab
a. )(' tfr
jeit t 2sin2 +=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
28
a. )(' tf
)(" tfr
jeit 2sin2 +=
jeit t 2cos4 +=
b. )0('fr
)0("fr
j=
ji 4 +=
)0(")0('
)0(").0('cos
ff
ffrr
rr
=17
1=
=
17
1cos 1
LatihanLatihan
( ) ktjetittf t 1lntan)( 221 +++= rTentukan
1. Diketahui
)0(fDtr
dan )0(2 fDtr
jtietr t )ln()( 32 +=r
Tentukan
2. Diketahui
)](').([ trtrDtrr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
29
Tentukan )](').([ trtrDt
3. Tentukan )(' trr
dan )(" trr
a.
b.
( ) jeieetr ttt )( 2+= rjtittr 2tan)( 3/5=
r
Arti GeometrisArti Geometris
Df=[a,b]
][a t b
h)(tf +r
(t)fr
(t)f-h)(tfrr
+
c
z
yx
O
P
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
30
a t b yx
O
Vektor 0h,h
)t(f)ht(f>
+rr
searah dengan vektor (t)f-h)(tfrr
+
Jika h 0, maka
Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada
saat
)t('fh
)t(f)ht(flim0h
rrr
=
+
fDrtArti Geometris : Vektor Singgung)t('f
r
Garis SinggungGaris Singgung
Df=[a,b]
][atb
)(tf 0r
)(t'f 0r
c
z
yO
P
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
31
atb yx
O
Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah
)t('ft)t(f)t(x 00rrr
+=
atau
=+t
ContohContoh
ktjtittf sincos)( ++=r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (1, 0, pi).
Diketahui
kjtittf cossin)(' ++=r
Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = pi
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
32
kjif )1(0)(' ++=pir
kjif 0)1()( pipi ++=r
>=< 1,1,0
>=< pi,0,1
Persamaan parameter garis singgung di titik P (1, 0, pi) adalah x = 1, y = t , z = pi + t
LatihanLatihan
jtittf cos4sin3)( +=r
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).
1. Diketahui
( )ktjteitetf tt 1cossin)( 2+++=rTentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
2. Diketahui
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
33
Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).
( ) ( ) jtittf 2322)( 2 +=rTentukan persamaan garis singgung di titik P (2, 2).
3. Diketahui
Gerak Sepanjang KurvaGerak Sepanjang Kurva
Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka
menyatakan vektor posisi dari titik P.
j)t(gi)t(f)t(r +=r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
34
menyatakan vektor posisi dari titik P.
Jika t berubah ujung vektor bergerak sepanjang)t(rr
lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)
DefinisiDefinisi1. Kecepatan
2. Percepatan
j)t('gi)t('f)t('r)t(v +== rrtitik P adalah)t(vr
di sebut laju titik P)t(vr
titik P)t(ar
1. Gerak Linear
q)t(hp)t(r rrr +=
2. Gerak pada Lingkaran
realfungsi)t(h;tetapvektorq,p rr
ContohContoh
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
35
2. Percepatan
j)t(''gi)t(''f)t(''r)t(a +== rrtitik P)t(a
di sebut besar percepatan)t(arpada saat t
3. Gerak pada ellips
0a,jtsinaitcosa)t(r >+=r
0b,a,jtsinbitcosa)t(r >+=r4. Gerak pada heliks
Lingkaran
ktbjtsinaitcosa)t(r ++=r
Contoh Gerak Sepanjang KurvaContoh Gerak Sepanjang Kurva
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
36
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan
percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan
pada saat mana nilai itu dicapai
JawabJawab
a. Persamaan parameter
x = 3 cos t
y = 2 sin t
x/3 = cos t
y/2 = sin t
cos2 t + sin2 t =1
123
22
=
+
yx(ellips)
2y
. P(t)vr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
37
3-3
-2
x
.(t)ar
b. jtittr sin2cos3)( +=r
jtittvtr cos2sin3)()(' +==rr
)(sin2cos3)()(" trjtittatrrrr
===
Jawab (Lanjutan)Jawab (Lanjutan)tttv 22 cos4sin9)( +=
r
( )tttttt 222222 cossin4sin5cos4sin4sin5 ++=++=4sin5 2 += t
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = 1, atau t = pi/2, 3pi/2
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
38
b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = 1, atau t = pi/2, 3pi/2
yaitu pada titik (0, 2)
Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, pi
yaitu pada titik (3, 0)
LatihanLatihan
Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah
x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu)
a. Gambarkan grafik lintasan P.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
39
a. Gambarkan grafik lintasan P.
b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan
percepatan
c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan
pada saat mana nilai itu dicapai
KelengkunganKelengkungan
Andaikan atb, vektor posisi titik P.j)t(gi)t(f)t(r +=rPanjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah
( ) ( ) =+=t
a
t
a
duurduugufs )(')(')(' 22 r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
40
Laju titik yang bergerak itu adalah
)t(v)t('rdtds rr
==
)t(v1
dsdt
r=
Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt) Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.
Notasi didefinisikan sbb)t(Tr
)t(v)t(v
)t('r)t('r)t(T r
r
r
rr
==
xo
y
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
41
Apabila P bergerak berubah arah)t(Tr
xo
disebut vektor kelengkungan di PdsTdr
Kelengkungan (Ljt)Kelengkungan (Ljt) Kelengkungan di P; (kappa).
Dengan aturan rantai diperoleh
)t(v)t('T
)t(v1)t('T
dsdt
dtTd
dsTd
r
r
r
rrr
===
dsTdr
=
)t('TTdrr
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
42
Jadi
dan
disebut jari-jari kelengkungan
)t(v)t('T
dsTd
r
r
==
=
1R
ContohContoh
12,sin8cos8)(.1 33 pi=+= tpadaPtitikdijtittr
rTentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari
Jawab:
jttitttvtr cossin24sincos24)()(' 22 +==rr
tttttv 2424 cossinsincos24)( +=r
tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
43
jtittv
tvtT sincos
)(
)()( +== r
rr
tttttt sincos24)sin(cossincos24 2222 =+=
jtittT cossin)(' +=r
ttttt
tt
tv
tTt
2sin12
1
sincos24
1
sincos24
cossin
)(
)(')(
22
==
+== r
r
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
6
1
2
1.12
1
6sin12
1
122sin12
1)
12( =
=
=
=
pipi
pi
61
==
R (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= pi/12 adalah 1/6,
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
44
Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6
ContohContoh
Jawab: ( ) ( ) kejteteitetetvtr ttttt sincoscossin)()(' +++== rr( ) ( ) 1sincossincos)( 22 +++= ttttetv tr
tt etttte 31sincos21sincos21 =+++=
2,cossin)(.2 pi=++= tpadaPtitikdikejteitetr ttt
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
45
( ) ( )[ ]kjttitttv
tvtT sincoscossin
3
1
)(
)()( +++== r
rr
tt etttte 31sincos21sincos21 =+++=
( ) ( )[ ]kjttitttT 0cossinsincos3
1)(' ++=
r
( ) ( )tt ee
tttt
tv
tTt
3
2
3
cossinsincos
)(
)(')(
22
=
++== r
r
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)2
23
2
3
2
2
pi
pi
pi
==
e
e
2
231 2pi
eR == (Jari-jari kelengkungan)
Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= pi/12 adalah , 2pi
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
46
Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= pi/12 adalah ,
Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah
2
3
2pi
e
2
23 2pi
e
LatihanLatihan
Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan
2,cossin)(.1 pi=+= tpadaPtitikdijteitetr tt
r
( ) 1,12)(.2 2 =+= tpadaPtitikdijtittrr1,44)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittr
r
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
47
21,44)(.3 2 =+= tpadaPtitikdijtittr
r
9,3cos3sin)(.5 pi=++= tpadaPtitikdiktjtittr
r6
,4cos8sin8)(.4 pi=++= tpadaPtitikdiktjtittrr
TeoremaTeoremaAndaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka
( ) ( )[ ] 2322 ''"'"'
yx
xyyx
+
=
Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
48
berlaku
( )[ ] 232'1"
y
y
+=
ContohContoh1. Tentukan kelengkungan elips
x = 2 cos t, y = 3 sin t
pada titik t = 0 dan t = pi/2
Jawab:
x = 2 sin t
x = 2 cos t
y = 3 cos t
y = 3 sin t
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
49
x = 2 cos t y = 3 sin t
Kita peroleh
( ) ( )[ ] 2322 ''"'"'
yx
xyyx
+
=( ) ( )[ ] 2322
22
cos3sin2
cos6sin6
tt
tt
+
+= [ ] 2322 cos9sin4
6
tt +=
Sehingga
[ ] 2322 0cos90sin46
)0(+
= [ ] 92
9
6
23
==
23
22
2cos9
2sin4
6)
2(
+
=
pipi
pi
4
3=
ContohContoh2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 0)
Jawab:
y = 2x y = 2
Kita peroleh
"y= [ ]
2=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
50
( )[ ] 232'1"
y
y
+= ( )[ ] 23221
2
x+=
Sehingga
25
52
5
22/3
==( ) ( )[ ] 2321.212
1+
=
LatihanLatihanTentukan kelengkungan kurva berikut di titik P
1. y = x2 x, di P(1,0)
2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2)
3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2)
4. r(t)=4(1 sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,8pi/3)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
51
Top Related