Viga de Concreto1D, 2D e 3D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

1º TRABALHO COMPUTACIONAL:

Viga de Concreto1-D,2-D e 3-D Bi-carregada e Bi-apoiada

sem Reforço por

Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ

AGOSTO - 2007

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LUCAS MÁXIMO ALVES



sem Reforço


AGOSTO - 2007

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LUCAS MÁXIMO ALVES



sem Reforço

Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção de créditos das aulas da Disciplina de MODELAGEM COMPUTACIONAL EM CONCRETO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado


AGOSTO - 2007

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades

que a vida me trouxe. Quero também agradecer:

A minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr.

Luiz Alkimin de Lacerda, ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. José Antonio Marques Carrer, a

Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, Maiko Buzzi,

Luiz Farani, Rodrigo Dias, e toda a galera do CESEC.

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EPÍGRAFE

“Há quem diga que no Principio era o caos..., Com certeza no Princípio era apenas o Verbo,... Mas, surgiu o caos... e por algum tempo o homem se deixou levar por este.... O Homem cresce a cada dia e no final..., Deus pelo Verbo estabelecerá a Perfeição definitiva” (Lucas M. Alves)

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SUMÁRIO Capítulo – I .................................................................................................................................1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................................1 1. 1 – Apresentação do Trabalho................................................................................................1

1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho ....................................................................1

Capítulo – II................................................................................................................................2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................................2 2. 1 – Introdução ..............................................................................................................2

2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada e dupla e

localmente carregada ..............................................................................................................3

2.2.1 – Cálculo das Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................4 2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................6 2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional...........................................................................................................................9 2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............10 2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional .....................12 2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6 ............................................................16 2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações ...............................................21 2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga .............................................................25 Capítulo – III ............................................................................................................................27 A ESTRUTURA DO CONCRETO .........................................................................................27 3. 1 – Introdução ............................................................................................................27

3. 2 – O Concreto ............................................................................................................28

3.2.1 - Reação Química ............................................................................................................29 3.2.2 - Propriedades Mecânicas e Térmicas do Concreto.........................................................30 3.2.3 - Tipos de Concreto .........................................................................................................30 3. 3 – Modelagem Computacional do Concreto .......................................................................31

3. 4 – Relações Constitutivas do Concreto ...............................................................................33

3.4.1 - Fatores que afetam o diagrama σ ε× ...........................................................................36 3. 5 – Controle Estatístico do Concreto....................................................................................41

3.5.1 - Resistência Característica do Concreto .........................................................................41 3.5.2 - Variáveis da Dispersão..................................................................................................43 3. 6 – Controle Tecnológico do Concreto ................................................................................44

3.6.1 - Determinação do fck.......................................................................................................44 3.6.2 - Aplicação a Estruturas...................................................................................................45 3.6.3 - Modelo de Cálculo de Estruturas 1D, 2D e 3D.............................................................45 Capítulo – IV ............................................................................................................................47 MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA ............................................................................................................................47 4. 1 – Introdução ............................................................................................................47

4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas .............................................48

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4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados ..........................................................................48

4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada ....................................................................................49 4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados.....................50

4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados ...............................................................51

4.5.2 –Condições de Contorno Impostas ..................................................................................52 4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados ....................................................53

4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados.................................................53

Capítulo – V .............................................................................................................................54 RESULTADOS E DISCUSSÃO .............................................................................................54 5. 1 – Introdução ............................................................................................................54

5.1.1 - Condições de contorno..................................................................................................54 5. 2 – Malha – 1-D ............................................................................................................55

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D.59 5. 3 – Malha – 2-D ............................................................................................................60

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0 ............................................................................................................................70 5.3.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 20.0 ............................................................................................................................72 5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30 ...............................................................................................................................74 5.3.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 40.0 ............................................................................................................................76 5.3.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 50.0 ............................................................................................................................78 5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D ...........................................................80 5. 4 – Malha – 3-D ............................................................................................................82

5.4.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 10.0 ............................................................................................................................92 5.4.2 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 20.0 ............................................................................................................................96 5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30 .............................................................................................................................100 5.4.4 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 40.0 ..........................................................................................................................104 5.4.5 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 50.0 ..........................................................................................................................108 5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D .........................................................112 Capítulo – VI ..........................................................................................................................113 DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS....................................................................113 6. 1 – Introdução ..........................................................................................................113

6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais..................................................114

6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional ..........................................114 6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D..................................................116 6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas .........................................................................118 Capítulo – VII.........................................................................................................................123

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CONCLUSÃO........................................................................................................................123 7. 1 - Considerações Finais.....................................................................................................123

Referências Bibliográficas......................................................................................................124 Apêndices ...............................................................................................................................125 A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear ...........................................................................125

A.1.1 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ...............................................125 A.1.2 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional ..............................126 A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D ...........................134

Malha – 1-D............................................................................................................................135 Malha – 2-D............................................................................................................................136 Malha – 3-D............................................................................................................................137 A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D...............................................139

Malha – 1-D............................................................................................................................139 Malha – 2-D............................................................................................................................142 Malha – 3-D............................................................................................................................145

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LISTA DE FIGURAS

Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carregamentos localizados. .................................................................................................................................3 Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. ..............................4 Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 ax x< < . ..................................................................................................12 Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < . .................................................................................................13 Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < . .................................................................................................14 Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso. .............................................................................................................................20 Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................21 Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso...........................................................................................................................................24 Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2. ...........................26 Figura - 3. 1. Diagrama representativo da constituição físico-quimica do concreto. ...............28 Figura - 3. 2. Gráfico da resistência do concreto em função da percentagem água/cimento ...29 Figura - 3. 3. Microestrutura do Concreto formado por um meio heterogêneo e anisotrópico 29 Figura - 3. 4. Esquema de estruturas de vigas e pilares que podem ser construídas utilizando o concreto. ...................................................................................................................................31 Figura - 3. 5. Etapas do processo de modelagem computacional das estruturas de concreto. .32 Figura - 3. 6. Diagrama de carga x deslocamento do concreto. ...............................................33 Figura - 3. 7. Curvas de um Ensaio de Compressão e de um Ensaio de Tração do Concreto..33 Figura - 3. 8. Formato geométrico de corpos de prova utilizados em ensaios mecânicos típicos..................................................................................................................................................34 Figura - 3. 9. Método Lobo-Carneiro (ou Brazilian) de Ensaio de Concreto...........................34 Figura - 3. 10. Curva de tensão x deformação do concreto. .....................................................34 Figura - 3. 11. Curva de tensão deformação mostrando o descarregamento linerar. ...............35 Figura - 3. 12. Ensaio de Compressão......................................................................................35 Figura - 3. 13. Variação da tensão de ruptura do concreto com o tempo de aplicação do carregamento. ...........................................................................................................................36 Figura - 3. 14. Variação das resistência do concreto com a idade............................................36 Figura - 3. 15. Graffico da relação entre os fatores de segurança e de economia na engenharia de estruruas. ..............................................................................................................................37 Figura - 3. 16. Redução espontânea do concreto.....................................................................37 Figura - 3. 17. Relação da deformação do concreto com o tempo ...........................................37 Figura - 3. 18. Retração em lajes → efeito de aparecimento de fissuras ................................38 Figura - 3. 19. Ensaio de Fluência do concreto. .......................................................................38 Figura - 3. 20. Resposta da tensão com o tempo em ensaio de fluência do concreto...............38 Figura - 3. 21. Carregamento cíclico para o ensaio de flu6encia do concreto..........................39 Figura - 3. 22. Resposta da deformação em função do tempo..................................................39 Figura - 3. 23. Estudo da fluência do concreto a) aplicação peródica da carga b) resposta da deformação em função do tempo..............................................................................................39 Figura - 3. 24. Execução de Barragens em CCR, por camadas para minimizar o efeito da Deformação Lenta. ...................................................................................................................40

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Figura - 3. 25. Ensaio de compressão do concreto ...................................................................41 Figura - 3. 26. Controle estatístico em um ensaio de compressão de n corpos de prova. ........41 Figura - 3. 27. Distribuição da tensão de ruptura do concreto..................................................42 Figura - 3. 28. Distribuição estatística da frequência de ruptura do concreto ..........................42 Figura - 3. 29. Controle estatístico da frequência de ruptura do concreto................................44 Figura - 3. 30. Estrutura 3D......................................................................................................45 Figura - 3. 31. Estrutura 1D......................................................................................................45 Figura - 3. 32. Estrutura 2D......................................................................................................45 Figura - 3. 33. Estrutura 3D......................................................................................................46 Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema. .........................49 Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada ..............50 Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP. ......................................................................................................................50 Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP ........................................................................51 Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP. .....................................................................51 Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP ......................................................................52 Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados .........................................53 Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......55 Figura - 5. 2. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......55 Figura - 5. 3. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......56 Figura - 5. 4. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......56 Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................57 Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual...................................................................................................................................................58 Figura - 5. 7. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......61 Figura - 5. 8. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......61 Figura - 5. 9. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .......63 Figura - 5. 10. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual .....65 Figura - 5. 11. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................67 Figura - 5. 12. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................69 Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. .....................................................................80 Figura - 5. 14. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.81 Figura - 5. 15. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0. .................................................................83 Figura - 5. 16. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada...................................................................................................................................83 Figura - 5. 17. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................85 Figura - 5. 18. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual ......................................................................................................................................87 Figura - 5. 19. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual..................................................................................................................................................89 Figura - 5. 20. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual. .....................................................................................................................................91

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Figura - 5. 21. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0. ...................................................................112 Figura - 5. 22. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.................................................................................................................................................112 Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios......................................................................................................................................118 Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha..................................................................................119 Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga .........................................................................120

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LISTA DE TABELAS

Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga 48 Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto 48 Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga 59 Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga 59 Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 70 Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 70 Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 70 Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 70 Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 71 Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 71 Tabela - V. 9. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 72 Tabela - V. 10. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 72 Tabela - V. 11. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 72 Tabela - V. 12. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 72 Tabela - V. 13. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 73 Tabela - V. 14. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 73 Tabela - V. 15. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 74 Tabela - V. 16. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 74 Tabela - V. 17. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 74 Tabela - V. 18. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 74 Tabela - V. 19. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 75 Tabela - V. 20. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 75 Tabela - V. 21. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 76 Tabela - V. 22. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 76 Tabela - V. 23. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 76 Tabela - V. 24. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 76 Tabela - V. 25. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 77 Tabela - V. 26. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 77 Tabela - V. 27. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 78 Tabela - V. 28. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 78 Tabela - V. 29. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 78 Tabela - V. 30. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 78 Tabela - V. 31. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 79

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Tabela - V. 32. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 79 Tabela - V. 33. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 92 Tabela - V. 34. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0 92 Tabela - V. 35. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0 93 Tabela - V. 36. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0 93 Tabela - V. 37. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 93 Tabela - V. 38. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0 94 Tabela - V. 39. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 96 Tabela - V. 40. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=20.0 96 Tabela - V. 41. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=20.0 97 Tabela - V. 42. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=20.0 97 Tabela - V. 43. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 97 Tabela - V. 44. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=20.0 98 Tabela - V. 45. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 100 Tabela - V. 46. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=30.0 100 Tabela - V. 47. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=30.0 101 Tabela - V. 48. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=30.0 101 Tabela - V. 49. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 101 Tabela - V. 50. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=30.0 102 Tabela - V. 51. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 104 Tabela - V. 52. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=40.0 104 Tabela - V. 53. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=40.0 105 Tabela - V. 54. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=40.0 105 Tabela - V. 55. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 105 Tabela - V. 56. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=40.0 105 Tabela - V. 57. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 108 Tabela - V. 58. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=50.0 108 Tabela - V. 59. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=50.0 109 Tabela - V. 60. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=50.0 109 Tabela - V. 61. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 109 Tabela - V. 62. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=50.0 110 Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0 114

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Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0 114 Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0 114 Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga 115 Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 116 Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 116 Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 116 Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga 117 Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga 117 Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga 117 Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga 119 Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga 120 Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga 120 Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga 121 Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga 121

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LISTA DE SIGLAS

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LISTA DE SÍMBOLOS

xviii

RESUMO

xix

ABSTRACT

1

Capítulo – I

INTRODUÇÃO

1. 1 – Apresentação do Trabalho

Apresenta-se neste volume um trabalho computacional de aplicação dos

MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS. Requisito da avaliação parcial para obtenção de

créditos das aulas da Disciplina de Modelagem Computacional do Concreto ministradas pelo

prof. Dr. Eng. Roberto Dalledone Machado. Departamento de Engenharia Mecânica da

Universidade Federal do Paraná, do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em

Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de

Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná.

1. 2 – Objetivos Gerais e Específicos do Trabalho

O presente trabalho tem como objetivos:

- Simular uma viga bi-apoiada sem reforço em 1-D, 2-D, 3-D utilizando o Método dos

Elementos Finitos pelo código FEAP.

- Analisar os resultados obtidos por simulação numérica computacional de cada caso e

estabelecer e comparar a relação entre a sua altura e comprimento para os resultados obtidos.

2

Capítulo – II

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

RESUMO

Neste capítulo será visto uma breve introdução teórica do problema da viga

elástica em questão. Será calculado o valor analítico da viga unidimensional para

posteriormente ser comparado com os resultados numéricos obtido pelo Método dos

Elementos Finitos, para os casos 1D, 2D, e 3D.

2. 1 – Introdução

O problema de vigas é muito comum em Engenharia e possui uma larga aplicação

na construção de estruturas metálicas e de concreto. Nesta parte consideraremos o problema

de uma viga elástica unidimensional de concreto com o intuito de apresentar as principais

equações diferenciais do problema e deduzir a equação de deformação da linha elástica

unidimensional com a finalidade de comparar com o problema uni, bi e tri-dimensional a ser

relsolvido numericamente pelo Método dos Elementos Finitos usando-se o código FEAP.

3

2. 2 – Elementos da Teoria Elástica de uma Viga Unidimensional Bi-apoiada e dupla e localmente carregada

Considere uma viga apoiada e flexionada sob dois carregamentos localizados

simetricamente em relação ao centro da viga, conforme mostra a Figura - 2. 1.

g

Figura - 2. 1. Viga bi-apoiada sujeita a deformação produzida por dois carregamentos localizados.

Onde w(x) é a componente vertical (altura) da deflexão, da viga em função da posição

horizontal, x. Quando existir um carregamento distribuído por unidade de comprimento este

se chamará q(x).

4

2.2.1 – Cálculo das Tensões e Deformações no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Considere a viga deformada elasticamente conforme mostra a Figura - 2. 2.

Figura - 2. 2. Viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

O angulo θ de deflexão de uma viga para um arco de comprimento L igual ao da

viga é dado pela relação geoméetrica:

L ρθ= (2. 1)

Para um arco 'L afastado de uma distância y da linha central da viga é dado por:

( )'L yρ θ= − (2. 2)

Como o comprimento original do arco antes da deformação, era L. Logo a

deformação LΔ é dada por:

'L L LΔ = − (2. 3)

Substituindo as equações (2. 1) e (2. 2) em (2. 3) temos:

( )L yL y

ρ θ ρθ

θ

Δ = − −

Δ = − (2. 4)

Considerando a deformação na direção x como sendo:

5

xL y

Lθερθ

Δ= = − (2. 5)

Logo

xyερ

= − (2. 6)

A deformação correspondente ao valor máximo de y tanto para valores positivos e

negativos é dada por:

maxm

y cερ ρ

= − = (2. 7)

Onde 2hc = é a metade da altura. Logo

x myc

ε ε= − (2. 8)

Pela Lei de Hooke temos:

x xEσ ε= (2. 9)

Então

x x myE Ec

σ ε ε= = − (2. 10)

e

x myc

σ σ= − (2. 11)

6

2.2.2 – Cálculo da Força e do Momento Fletor no Regime Elástico de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

A partir do cálculo anterior vemos que a tensão normal varia linearmente com a

distância à superfície neutra. Logo, a força na direção x dada por:

x xF dAσ= ∫ (2. 12)

Deve ser nula quando se integra de um ponto inferior ate o ponto superior da barra.

0

x m

mx

yF dAc

F ydAc

σ

σ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

∫

∫ (2. 13)

Portanto,

0ydA =∫ (2. 14)

Por outro lado lembrando que o momento é dado por:

z xM y dAσ= −∫ (2. 15)

Logo substituindo (2. 11) em (2. 16) temos:

z myM y dAcσ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (2. 16)

Então

2mzM y dA

cσ

= ∫ (2. 17)

Como a definição do Momento de Inércia para uma viga retangular é dad por:

2 2z zI r dm I y dA= → =∫ ∫ (2. 18)

temos:

mz zM I

cσ

= (2. 19)

Logo

7

zm

z

M cI

σ = (2. 20)

Proporcionalmente temos:

zx

z

M yI

σ = (2. 21)

Para o caso de uma viga retangular temos:

2

12zbhI = (2. 22)

Sabendo que a partir da equação (2. 7) temos:

1 mcε

ρ= (2. 23)

temos:

1

1 1

m

z

z

EcM c

Ec I

σρ

ρ

=

= (2. 24)

Portanto, o momento fletor sobre uma viga é dado genericamente por:

( )1 M xEIρ

= (2. 25)

Mas o raio de curvatura ρ é dado por:

( )

( )

2

23/ 22

1

1

d w x

dx

dw xdx

ρ=⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2. 26)

Considerando que a declividade da linha elástica é muito pequena temos:

( )3/ 22

1 1dw x

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ ≅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2. 27)

8

Temos:

( ) ( )2

2d w x M x

EIdx= (2. 28)

Esta é equação que relaciona a deflexão da linha elástica com o momento fletor.

9

2.2.3 – Cálculo das Deformações em uma Secção Transversal de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Sabendo que da relação de Poisson as deformações nas direções perpendiculares

são:

;y x z xv vε ε ε ε= − = − (2. 29)

Podemos substituir (2. 6) em (2. 29) e obter:

;y zy yv vε ερ ρ

= = (2. 30)

logo

;y y z zy yE Ev E Evσ ε σ ερ ρ

= = = = (2. 31)

E substituindo (2. 25) em (2. 31)

;z zy y z z

M y M yE v E vI I

σ ε σ ε= = = = (2. 32)

Ou

;z zy z

M y M yv vI I

σ σ= = (2. 33)

Observe que as tensões nas direções perpendiculares ao comprimento da viga são iguais.

10

2.2.4 – Cálculo das Reações dos Apoios de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Para se equacionar o problema da viga em equilíbrio considera-se a somatória das

forças e dos momentos nulos em toda a viga, da seguinte forma:

0i

F =∑ (2. 34)

Desta forma, tem-se:

a bA B F F+ = + (2. 35)

Por outro lado, tomando a somatório do momento em relação a origem a partir

de uma das extremidades da viga temos:

0i

M =∑ (2. 36)

Onde a somatório dos momentos é dada por:

0a a b bBL F x F x− − = (2. 37)

Logo,

( )a a b bF x F xB

L+

= (2. 38)

Retornando (2. 38) em (2. 35) temos:

( )a a b ba b

F x F xA F F

L+

+ = + (2. 39)

Portanto,

1 1a ba b

x xA F FL L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 40)

Sendo a bF F F= = temos:

( )2 a bx x

A FL

⎛ ⎞+= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 41)

Como

a bx x L+ = (2. 42)

11

temos:

( )2 1A F= − (2. 43)

Portanto, por simetria,

A B F= = (2. 44)

12

2.2.5 – A Equação da Linha Elástica de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Para calcular a equação da linha elástica vamos tomar uma secção qualquer da

viga, conforme mostra a Figura - 2. 3.

Figura - 2. 3. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho 0 ax x< < .

A partir da a Figura - 2. 3 vemos que o momento sobre a viga

i) Para o trecho 0 ax x< < é dado por:

AM Ax= (2. 45)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) podemos escrever:

AM Fx= (2. 46)

A partir da equação (2. 28) temos:

( )2

2d w x

EI Fxdx

= (2. 47)

Integrando temos:

( )2

2d w x

EI dx F xdxdx

=∫ ∫ (2. 48)

Logo

( ) 212

dw x xEI F Cdx

= + (2. 49)

Integrando mais uma vez obtemos:

13

( ) 212

dw x xEI dx F dx C dxdx

= +∫ ∫ ∫ (2. 50)

temos:

( )3

1 26xEIw x F C x C= + + (2. 51)

Figura - 2. 4. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < .

ii) Para o trecho a bx x x< < é dado por:

( )A a aM Ax F x x= − − (2. 52)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e aF F= , podemos escrever:

( )A aM Fx F x x= − − (2. 53)

Ou

A aM Fx= (2. 54)


( )2

2 ad w x

EI Fxdx

= (2. 55)

Integrando temos:

14

( )2

2 ad w x

EI dx Fx dxdx

=∫ ∫ (2. 56)

Logo

( )3a

dw xEI Fx x C

dx= + (2. 57)


( )3a

dw xEI dx Fx xdx C dx

dx= +∫ ∫ ∫ (2. 58)

Temos:

( )2

3 42axEIw x Fx C x C= + + (2. 59)

Figura - 2. 5. Secção qualquer de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso para o trecho ax x L< < .

iii) Para o trecho bx x L< < é dado por:

( ) ( )A a a b bM Ax F x x F x x= − − − − (2. 60)

Sabendo que a reação A é dada por (2. 44) e que a bF F= , podemos escrever:

( ) ( )A a bM Fx F x x F x x= − − − − (2. 61)

15

Ou

( )2A a bM Fx Fx F x x= − + + (2. 62)

como a bx x L+ = .

AM FL Fx= − (2. 63)


( )2

2d w x

EI FL Fxdx

= − (2. 64)

Integrando temos:

( )2

2d w x

EI dx FL dx F xdxdx

= −∫ ∫ ∫ (2. 65)

Logo

( ) 252

dw x xEI FLx F Cdx

= − + (2. 66)


( ) 252

dw x FEI dx FL xdx x dx C dxdx

= − +∫ ∫ ∫ ∫ (2. 67)

Temos:

( )2

35 62 6

x FEIw x FL x C x C= − + + (2. 68)

16

2.2.6 – Cálculo das Constantes C1, C2, C3, C4, C5 e C6

Aplicando as consições de contorno onde:

i) Condição de Contorno nula em uma das extremidades

( )0 0w x = = (2. 69)

Usando a relação (2. 51) temos:

( )3

1 200 0 06

EIw x F C C= = + + = (2. 70)

logo

2 0C = (2. 71)

ii) Condição de Continuidade funções nos pontos de aplicação das forças

( ) ( )0 a aa ax x x x L

w x x w x x< < < <

= = = (2. 72)

Então a partir das relações (2. 51) e (2. 59)

3 21 2 3 46 2

a aa a a

x xF C x C Fx C x C+ + = + + (2. 73)

Como 2 0C =

3 31 3 42 6

a aa a

x xC x F F C x C= − + + (2. 74)

Logo

31 3 4

1 12 6a a aC x Fx C x C⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 75)

E

31 3 43

aa a

xC x F C x C= + + (2. 76)

Ou

24

1 3 3a

a

x CC C Fx

− = + (2. 77)

17

iii) Condição de Contorno nula na outra extremidade

( ) 0w x L= = (2. 78)

Usando a relação (2. 68) temos:

( )2

35 6 0

2 6L FEIw x L FL L C L C= = − + + = (2. 79)

ou

( ) 35 6 0

3FEIw x L L C L C= = + + = (2. 80)

Logo

35 6 3

FC L C L+ = − (2. 81)

iv) Usando a condição de derivada nula para a deflexão máxima no centro da viga.

( ) ( )0 a a

a a

x x x x L

dw x x dw x xdx dx< < < <

= == (2. 82)

Então a partir das relações (2. 49) e (2. 57):

22

1 32a

axF C Fx C+ = + (2. 83)

Logo

22

1 3 2a

axC C Fx F− = − (2. 84)

2

1 3 2axC C F− = (2. 85)

Comparando (2. 85) com (2. 77) temos que:

2 24

3 2a a

a

x xCF Fx

+ = (2. 86)

então

18

2 24

2 3a a

a

x xC F Fx

= − (2. 87)

logo

34

16 aC Fx= (2. 88)

v)

( )/ 20

a bx x x

dw x Ldx < <

== (2. 89)

logo

( )3 0

2adw x LEI Fx C

dx= + = (2. 90)

Portanto,

3 2aFx LC = − (2. 91)

Substituindo (2. 91) em (2. 85) temos:

2

1 2 2a

ax LC F Fx= − (2. 92)

Logo

( )1 2a

axC F x L= − (2. 93)

vi)

( ) ( )

a b b

b b

x x x x x L

dw x x dw x xdx dx< < < <

= == (2. 94)

Então

2

3 52b

a b bxFx x C FLx F C+ = − + (2. 95)

Usando (2. 91) temos:

19

Resolvendo essas equações obtemos:

i) Para 0 ax x< <

Substituindo a expressão (2. 71) e (2. 93) em (2. 51):

( ) ( )3

26 2 a ax FEIw x F x x L x= + − (2. 96)

ou

( ) 2 23 36 a aFxw x x x LxEI

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ (2. 97)

ii) Para a bx x x< <

Substituindo a expressão (2. 88) e (2. 91) em (2. 59):

( )2

312 2 6a a ax LEIw x Fx Fx x Fx= − + (2. 98)

Ou

( )2

312 2 6a a a

F x Lw x x x x xEI

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 99)

então

( ) ( )2 23 36

aa

Fxw x x Lx xEI

= − + (2. 100)

ii) Para a deflexão máxima no centro da viga:

Substituindo 2Lx = na expressão (2. 59):

( )2 2

23 36 4 2

aa

Fx L Lw x xEI

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 101)

Logo

( )2

236 4

aa

Fx Lw x xEI

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 102)

Ou

20

( ) ( )2 23 424

aa

Fxw x L xEI

= − + (2. 103)

iii) Para bx x L< <

( )2

35 62 6

x FEIw x FL x C x C= − + + (2. 104)

Logo

( )2 2

3 2 2 222 6 2 6b bx F F LEIw x FL x L x x FL x

⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 105)

Portanto,

( ) ( )3 2 2

2 2 21 26 2 2 6b bx x LEIw x F L L x x L x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − + − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2. 106)

Ou

( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 23 3 2 66 b bFw x x Lx L x x L x LEI

⎡ ⎤= − + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 107)

Cujo gráfico da linha elastica em função do comprimento é mostrado na Figura -

2. 6

Figura - 2. 6. Deflexão da linha elastica de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

21

2.2.7 – Cálculo do Momento, das Tensões e das Deformações

Sabendo as dimensões da viga, onde o comprimento 10l m= , a altura 2h m= e

espessura 1,0t m= temos que o volume é:

3

. .

20

V l h t

V m

=

= (2. 108)

como a massa especifica 32320 /Kg mρ = , podemos calcular a massa da viga

3 32320 / .2046400

m V

m Kg m mm Kg

ρ=

==

(2. 109)

Sendo a aceleraçào da gravidade 29,8 /g m s= , o peso da viga é

2

.

46400 .9,8 /454720N

P m g

P Kg m sP

=

==

(2. 110)

Figura - 2. 7. Momento Fletor de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

O momento fletor é dado por:

max aM Fx= (2. 111)

Para um carregamento simétrico com 4aLx = temos:

max 4FLM = (2. 112)

Portanto,

22

max

max

max

454720N.10m4

4547200J4

1136800J

M

M

M

=

=

=

(2. 113)

O momento de inércia é dado por:

3

12zbhI = (2. 114)

Portanto,

3

4

1.2128 2

12 30,66667

z

z

z

I

I

I m

=

= =

=

(2. 115)

A tensão na direção x é:

zx

z

M yI

σ = (2. 116)

Onde y é a posição em relação a linha neutra. Portanto, considerando um ponto sobre a

superfície superior e inferior da viga temos:

4

3

3

1136800J.1m0,666671136800J

0,666671136800J

0,666671,705200MPa

x

x

x

x

m

m

m

σ

σ

σ

σ

=

=

=

=

(2. 117)

sendo

x xEσ ε= (2. 118)

Temos:

xx E

σε = (2. 119)

23

Logo substiutindo (2. 116) em (2. 119) temos:

zx

z

M yEI

ε = (2. 120)

A partir de (2. 111) temos:

ax

z

Fx yEI

ε = (2. 121)

Ou para o meio da viga temos:

4xPLy

EIε = (2. 122)

Sendo o medulo Elástico 27,5GPaE = , temos:

-5

1,705200MPa27,5GPa

6,201 10

x

x

ε

ε

=

= ×

(2. 123)

como

y-5(0.3).6,201 10

x

y

vε ε

ε

= −

= − × (2. 124)

E

z-5(0.3).6,201 10

x

z

vε ε

ε

= −

= − × (2. 125)

Temos que:

-5z 1.860 10yε ε= = × (2. 126)

A Relacão entre o Módulo Elástico Longitudinal e o Transversal ou de

Cisalhamento é dada por:

( )2 1EG

v=

+ (2. 127)

Logo o módulo elástico tranversal do concreto é:

24

10.58GPaG ≅ (2. 128)

A tensão de cisalhamento xyτ é dada por:

2

23 12

axy

F yA c

τ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 129)

O diagrama da força cortante é dado por:

Figura - 2. 8. Força Cortante de uma viga bi-apoiada sujeita a deformação pelo seu próprio peso.

Sabendo que:

xyxy

yx G

τε Δ

= = (2. 130)

Logo, a correção de Timoshenko é dada por:

2

23 12

axy

Fy yx GA c

ε⎛ ⎞Δ

= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 131)

Ou seja:

2

23 12

aF x yyGA c

⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 132)

Para a posição / 2 e / 2x L y c h= = = temos:

32

aF LyGA

Δ = (2. 133)

25

2.2.8 – Cálculo Deflexão Máxima no Centro da Viga

E a partir da equação (2. 101) temos:

( ) ( )2 23 424

aa

Fxw x L xEI

= − + (2. 134)

Acrescentado a correção de Timoshenko 32

aF LyGA

Δ = , onde .A b h= para uma viga parede

temos:

( ) ( )2

2 2 33 424 2 12

a aa

Fx F Lhw x L xEI GI

= − + − (2. 135)

No centro da viga temos:

4aLx = (2. 136)

logo

( )2 2

2 33 496 16 2 12FL L FLhw x L

EI GI

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 137)

Logo

( )2 244 3

96 16 2 12FL L FLhw x

EI GI

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 138)

Substituindo os valores em (2. 138) temos:

( )( )

( ) ( )( )

2 2

4 444 10 454720N.10m 2454720N.10m 3

16 296 27,5GPa 0,66667 12 10.6 0,66667

m mw x

m GPa m

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 139)

Portanto,

( ) 0.7105105100 0.3217342404w x = − − (2. 140)

logo

( ) -1.032230688w x m= (2. 141)

26

Sendo 3

12zbhI = temos:

( )22

3 312 44 3

16 296aF LhFL Lw x

Ebh Gbh

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 142)

Logo

( )311 3

32 2F L F Lw xEb h Gb h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 143)

Ou

( )311 3

32 2F L Lw xb E h G h

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 144)

Cujo gráfico é mostrado na

Figura - 2. 9. Gráfico de w(x) versus (L/h) no centro da viga onde x = L/2.

27

Capítulo – III

A ESTRUTURA DO CONCRETO

RESUMO

Neste capitulo será visto alguns dos principais conceitos matemáticos e físicos

relacionados ao estudo do concreto.


O concreto é um dos materiais mais estudados, por causa da sua ampla aplicação

em engenharia. O seu baixo custo possibilita a construção de estruturas confiáveis e de grande

porte, tais como: prédios, barragens, diques, etc. Portanto, é importante estudar o concreto

desde a sua natureza físico-química até as suas propriedades mecânicas. Neste capitulo

apresentamos um estudo das propriedades microestruturais e mecânicas do concreto

utilizando o diagrama de tensão x deformação. A utilização da região linear deste tipo de

diagrama será feita em estudo pelo Método dos Elementos Finitos onde será apresentado no

capitulo de resultados para a comparação com as previsões teóricas do estudo de uma viga bi-

apoiada e carregada em dois pontos.

28

3. 2 – O Concreto

O concreto é um compósito, composto heterogêneo, anisotrópico, formado de

cimento mais água e em alguns casos areia.

Figura - 3. 1. Diagrama representativo da constituição físico-quimica do concreto.

Nesta consistência de cimento + água ocorre:

- Reação de hidratação

- Comportamento de um fluido viscoso com viscosidade variável

- Reação com liberação de energia térmica

- O tempo de reação ou de pega é variável

- uma vez computada a cura, as propriedades mecânicas do concreto variam com

o tempo, por ser um material “reológico”.

Resistência

Fator água/Cimento ⇒

Trabalhabilidade

29

Figura - 3. 2. Gráfico da resistência do concreto em função da percentagem água/cimento

3.2.1 - Reação Química

A reação química do concreto

Cimento + Água Energia(Calor) + Pasta(Gel)→ (3. 1)

gera calor em uma transição sol-gel na formação de sua pasta e após a secagem sofre uma

densificação.

A densificação do concreto é resultado de uma transição do tipo sol-gel. O

concreto sofre uma reação química com as seguintes características.

-Liberação de Energia

- Acelerador nos primeiros instantes

- É lenta em idades avançadas.

Figura - 3. 3. Microestrutura do Concreto formado por um meio heterogêneo e anisotrópico

Aditivos:

Os aditivos no concreto são usados como acelerador de pega (ou retardador), para

diminuir a temperatura, alterar a fluidez, etc.

30

3.2.2 - Propriedades Mecânicas e Térmicas do Concreto

- Resistência a compressão:

Concretos convencionais possuem boa resistência com

40a 50ckf MPa≤ (3. 2)

Concretos de alta resistência possuem

100a120ckf MPa≤ (3. 3)

- Resistência a tração:

Baixa:

110csk ckf f (3. 4)

- Elevado peso específico

- Baixa Condutividade Térmica

- Facilidade de Moldagem.

3.2.3 - Tipos de Concreto

Concreto Armado:

Concreto Armado=Concreto Simples + Armadura Passiva (3. 5)

A armadura passiva não introduz esforços prévios à estrutura.

Concreto Protendido:

Concreto Protendido=Concreto Simples + Armadura Ativa +%Armadura Passiva (3. 6)

Armadura Ativa – é aquela que introduz esforços prévios na estrutura melhorando as suas

características de resistência

Aço como armadura passiva:

- Absorve as tensões de tração sobre o concreto

- O aço é protegido pelo concreto contra a corrosão.

- Existe uma boa aderência entre o concreto e o aço garantindo um perfeito

mecanismo de transferência de carga de um material para o outro e vice-versa o aço e

concreto tem módulos de dilatação térmicas aproximadamente iguais.

31

3. 3 – Modelagem Computacional do Concreto

Os modelos teóricos das estruturas de concreto armado e/ou protendidos são

muito voltados a estrutura de barras e de placas.

Figura - 3. 4. Esquema de estruturas de vigas e pilares que podem ser construídas utilizando o concreto.

Barras ⇒ Vigas, Pilares e Tirantes

Placas ⇒ Lajes e Vigas Paredes.

Os elementos de barras estão submetidos a esforços de flexão, cisalhamento,

torção e axiais. Os modelos teóricos garantem um bom desempenho estrutural a tais

elementos quando bem dimensionados e executados.

Um sério problema é a otimização das estruturas, que estão ficando cada vez mais

altas, esbeltas, sujeitas a vibrações, a instabilidade elástica, perda de durabilidade e

comprometimento do desempenho em serviço (fissuração, vibrações, deformações excessivas,

etc.)

As exigências de normas e regulamentos atuais (combinações de carregamentos,

análises tridimensionais, análises não-lineares, vibrações, etc.) praticamente conduzem ao

projeto computacional.

Os softwares existentes no mercado suprem, em parte, as necessidades de projeto.

Para as estruturas de barra, há boas alternativas de ferramentas computacionais para o projeto

de estruturas de concreto. Dada a limitação desses programas em resolver inúmeros

problemas o enfoque deste curso será no sentido de tratar dos aspectos não convencionais de

projeto, por exemplo:

- Plasticidade;

- Fissuração;

- Análise Não-Linear (em flambagem)

32

- Dano

- etc.

Para resolver estes problema serão utilizados métodos computacionais

- MEF: Método dos Elementos Finitos

- MEC: Método dos Elementos de Contorno

-MDF: Método das Diferenças Finitas.

-etc.

Simplificadamente, um Método Computacional divide-se em:

Figura - 3. 5. Etapas do processo de modelagem computacional das estruturas de concreto.

Pré-Processamento

- Entrada de dados;

- Geração de Malha

- Introdução das condições de contorno

Processamento

Solução da Equação Linear da Matriz de Rigidez, Força e Deslocamentos

[ ] { }ijK u F⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (3. 7)

Pós-Processamento

- Deslocamentos

- Deformações

- Tensões

- Tensões

- Resistências

-etc.

33

3. 4 – Relações Constitutivas do Concreto

As relações constitutivas definem e caracterizam o material. No caso do

concreto por ser o concreto um material complexo, em termos práticos são feitas algumas

simplificações. Será considerado um material homogêneo e isotrópico para análises globais.

Em análises locais, tem-se procurado representar a natureza anisotrópica e

heterogênea do concreto em volumes representativos (ou pequenos volumes), conforme

mostra a

Figura - 3. 6. Diagrama de carga x deslocamento do concreto.

max: 0 (Ensaio de Compressão)F F→ (3. 8)

Figura - 3. 7. Curvas de um Ensaio de Compressão e de um Ensaio de Tração do Concreto

Se

cf : resistência a compressão ( ) ( )/ ou /dF dA dE dV .

tf : resistência a compressão ( ) ( )/ ou /dF dA dE dV .

110t cf f< (3. 9)

e

34

maxc rup

c

FfA

σ= = (3. 10)

a sua energia por unidade de volume.

Para a resistência a tração deve ser feita o ensaio com a seguinte geometria,

mostrada na

Figura - 3. 8. Formato geométrico de corpos de prova utilizados em ensaios mecânicos típicos

Figura - 3. 9. Método Lobo-Carneiro (ou Brazilian) de Ensaio de Concreto.

Figura - 3. 10. Curva de tensão x deformação do concreto.

( ) ( )c cf não linearσ ε= − (3. 11)

e

35

citg Eα (3. 12)

Onde ciE é o módulo elasticidade instantâneo do concreto.

o cotg Eα (3. 13)

Onde coE é o módulo elasticidade tangente na origem

s cstg Eα (3. 14)

Onde csE é o módulo elasticidade secante.

De acordo com a norma:

0.9cs coE E (3. 15)

Figura - 3. 11. Curva de tensão deformação mostrando o descarregamento linerar.

pε : deformação plástica ou deformação residual permanente.

O enfoque elasto-plástico e considerado essencial no modelo constitutivo do

concreto.

Figura - 3. 12. Ensaio de Compressão

36

3.4.1 - Fatores que afetam o diagrama σ ε×

a) Velocidade de Aplicação do Carregamento (Efeito Dinâmico)

Figura - 3. 13. Variação da tensão de ruptura do concreto com o tempo de aplicação do carregamento.

É importante lembrar que os constituintes do concreto estão ligados por forças de

adesão que produzem características viscoelásticas.

Pasta Estado Intermediário Sólido→ → (3. 16)

O Efeito de Rüsch → Reposta retardada do concreto pela redução da resistência

do concreto por conta de carregamentos aplicados com velocidades diferentes (fluência).

Logo o concreto é um material reológico que possui um comportamento visco-elástico.

b) A idade do concreto (Reação Química)

Concreto nas 1ªs Idades. Ex: Barragem em C. C. R.

Figura - 3. 14. Variação das resistência do concreto com a idade.

Os carregamentos e a execução são os fatores limitantes do projeto (modelo).

37

Carregamentos Atuação de Ventos e Vibrações→ (3. 17)

Figura - 3. 15. Graffico da relação entre os fatores de segurança e de economia na engenharia de estruruas.

Ponte Hercílio Luz em Santa Catarina está condenada a destruição para se fazer

outra.

c) Condições de Umidade, Temperatura e Exposição da peça.

Umidade Retração Expansão do Concreto→ × (3. 18)

Figura - 3. 16. Redução espontânea do concreto.

Figura - 3. 17. Relação da deformação do concreto com o tempo

Expulsão de água por efeito de capilaridade

38

( )Água Vazios Poros Fechamento de Poros Retração→ → → (3. 19)

Figura - 3. 18. Retração em lajes → efeito de aparecimento de fissuras

O oposto da retração ocorre quando se aumenta a umidade produzindo-se a

expansão do concreto.

Concreto vibrado: Melhoria da resistência do concreto

Concreto Auto-adensado: Não precisa vibrar

d) Deformação lenta Fluência (Creep) – Comportamento Viscoelástico

Figura - 3. 19. Ensaio de Fluência do concreto.

Figura - 3. 20. Resposta da tensão com o tempo em ensaio de fluência do concreto

39

Corpo de prova testemunha (sem carregamento) idênticas aos carregados.

Figura - 3. 21. Carregamento cíclico para o ensaio de flu6encia do concreto.

Figura - 3. 22. Resposta da deformação em função do tempo

Figura - 3. 23. Estudo da fluência do concreto a) aplicação peródica da carga b) resposta da deformação em função do tempo.

40

Execução em camadas com rolos de compressão.

Figura - 3. 24. Execução de Barragens em CCR, por camadas para minimizar o efeito da Deformação Lenta.

elcε : deformação elástica instantânea.

41

3. 5 – Controle Estatístico do Concreto

3.5.1 - Resistência Característica do Concreto

Figura - 3. 25. Ensaio de compressão do concreto

A tensão de ruptura do concreto é dada por:

maxc rup

c

FfA

σ= = (3. 20)

Figura - 3. 26. Controle estatístico em um ensaio de compressão de n corpos de prova.

42

Figura - 3. 27. Distribuição da tensão de ruptura do concreto

ckf é o valor da tensão de ruptura correspondente ao quantil de 5% de resultados

desfavoráveis.

A resistência do concreto é definida:

:::

ck k característicac concretof resistência

f (3. 21)

Figura - 3. 28. Distribuição estatística da frequência de ruptura do concreto

43

dS é o desvio padrão.

( ) 1.65ck ck medio df f S= − (3. 22)

3.5.2 - Variáveis da Dispersão

Constituintes, forma de execução, dimensão, lançamento, forma de vibração.

( )

2

12

med

dS

df e

S

σ σ

σπ

⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎝ ⎠= (3. 23)

44

3. 6 – Controle Tecnológico do Concreto

A cada certo volume de concreto lançado, recolhem-se n corpos de prova como

amostras representativas desse volume.

Depois de j = 28 dias (o que corresponde a construção de dois pavimentos de um

edifício) ensaiam-se os corpos de prova. Dá-se o tratamento estatístico aos resultados e

obtém-se o ckf calculado.

Se o ckest

f estatístico é a resistência de projeto, espera-se que:

( ) ( )ck ckf estimado f calculado≤ (3. 24)

Caso contrário:

a) Realizar novos ensaios que podem ser não-destrutivos, como por exemplo, esclerometria,

ultrassom, provas de carga, ou destrutivos como, extração de corpos de prova.

b) Reforço de Estrutura

c) Destruição e reconstrução da estrutura.

3.6.1 - Determinação do fck

Figura - 3. 29. Controle estatístico da frequência de ruptura do concreto

As estruturas metálicas são uma outra alternativa ao concreto.

45

3.6.2 - Aplicação a Estruturas

Sistema real:

Figura - 3. 30. Estrutura 3D.

3.6.3 - Modelo de Cálculo de Estruturas 1D, 2D e 3D

a) Modelos 1D (ou “modelo de linha”)


b) Modelos 2D (ou “modelo de planos”)


46

c) Modelos 3D (ou “modelo de sólido”)


47

Capítulo – IV

MATERIAIS E MÉTODOS E TÉCNICAS EMPREGADAS NA SOLUÇÃO DO PROBLEMA

RESUMO

Aprsentamos neste capítulo os materiais e os métodos empregados na solução do

problema da viga elástica em bi-apoiada em uma, duas e três dimensões (1-D, 2-D, 3-D). A

forma de preparação e coleta dos dados de simulação numérica, as malhas e as condições de

contorno utilizadas.


Para a realização deste trabalho computacional tivemos que elaborar algumas

metodologias auxiliares para a utilização do código FEAP remotamente. O código FEAP

opera em ambiente LINUX e nós dispúnhamos de computadores em ambiente WINDOWS.

Desta forma, algumas metodologias de transferência e formatações de dados tiveram que ser

elaboradas e executadas com a finalidade de se apresentar os resultados obtidos na sua forma

final. Também se recorreu ao site da Universidade de Berkeley para obtenção de informações

adicionais sobre o FEAP. Neste site encontraram-se vários manuais de operação que muito

nos ajudaram a manusear a versão compilada do FEAP. Em algumas oportunidades também

se utilizou a versão for WINDOWS do FEAP denominada FEAP-pv, para nos auxiliar nas

horas difícil acesso ao FEAP for LINUX do Laboratório de Análise Térmica. Alguma

diferença fentre essas versões foram encontradas principalmente em alguns comandos

internos e na preparação dos arquivos de entrada. Comparativamente os resultados obtidos

pelos dois códigos foram muito semelhantes.

48

4. 2 – Metodologia de Plano de Trabalho e Técnicas Utilizadas

- Usaremos o Código FEAP para realização dos cálculos numéricos pelo Método de

Elementos Finitos.

4. 3 – Metodologia de Preparação dos Dados

Foram feitas cinco malhas, refinando cada uma delas a proporção de h/2 em ambas as

direções conforme os dados da Tabela - IV. 1.

Tabela - IV. 1. Dimensões Geométricas e Massa Específica da Viga

Material Comprimento - l

(m)

Altura - h

(m)

Espessura - t

(m)

Massa Específico

(Kg/m3)

Concreto 10,0 2,0 1,0 2320

Tabela - IV. 2. Propriedades Mecânica do Concreto

Módulo

Elástico

Longitudinal

(GPa)

Módulo

Elástico

Transversal

(GPa)

Módulo

de

Poisson

Tensão de

Escoamento

(MPa)

Tensão

de

Ruptura

a

Tração

(MPa)

Tensão de

Ruptura a

Compressão

(MPa)

Coeficiente

de Dilatação

27,5

10.58

0,3 10-5

49

4.3.1 - Geração do Arquivo de Entrada

O arquivo de entrada foi gerado de acordo com o exmplo mostrado na Figura - 4.

1.

Figura - 4. 1. Exemplo de um arquivo de entrada de dados para o problema.

50

Consequentemente, após executar o FEAP com o arquivo de entrada, o cálculo e a

geração dos dados de saída da viga foram obtidos.

Figura - 4. 2. Fluxograma dos passos seguidos na preparação dos dados de entrada

4. 4 – Metodologia do Processamento de Dados e de Obtenção dos Resultados

O processamento dos dados de entrada e saída foi realizada de acordo com a

metodologia exemplificada na Figura - 4. 3.

Figura - 4. 3. Fluxograma do procedimento realizado na obtenção e análise dos dados de saída do código FEAP.

51

Durante a execução do programa Feap foram geradas as malhas, contendo a

Deslocamento e os tensões nas direções principais (x,y). Os dados contidos no arquivo de

saída foram transferido para o ambiente Windows pelo SSH e renomeados para a extensão

*.doc a fim de serem utilizados no relatório final. Contudo, antes disso uma edição desse

arquivo de saída foi realizada utilizando-se o bloco de notas do Windows a fim de se extrair

apenas os dados necessários para a geração das tabelas e dos gráficos de análise no EXCEL.

4. 5 – Metodologia dos Exemplos a Serem Testados

As malhas da viga foram obtidas após a execução do programa FEAP conforme

mostra a Figura - 4. 4

4.5.1.1 – Malha – 1-D

Figura - 4. 4. Malha 1 a ser gerada pelo FEAP

Após a execução do programa FEAP com a malha 1 foi necessário fazer um

refinamento dessa malha inicial obtendo-se a malha 2, para fins de cálculo do erro relativo.

4.5.1.2 – Malha – 2-D

Figura - 4. 5. . Malha 2 a ser gerada pelo FEAP.

4.5.1.3 – Malha – 3-D

52

Figura - 4. 6. . Malha 3 a ser gerada pelo FEAP

4.5.2 –Condições de Contorno Impostas

As condições são dadas conforme o exemplo da equação

. ( 0,0) 0 ; ( , 0) 0

( / 4, ) ( 3 / 4, );x y

u x u x L ydu x L y h du x L y hP P

dn dn

= = = = == = = =

= − = − (3. 25)

53

4. 6 – Metodologia da Geração Sistemática dos Resultados

Os dados de entrada forma sistematizados por meio do refinamento das malhas

conservando as mesmas condições de contorno a serem executados no programa FEAP.

Figura - 4. 7. Fluxograma da Geração Sistemática dos Resultados

4. 7 – Metodologia de Análise e Comparação dos Resultados

Os resultados foram analisados e comparados diretamente utilizando-se tabelas,

gráficos e incluindo a analise de convergência e propagação de erros absolutos e relativos.

54

Capítulo – V

RESULTADOS E DISCUSSÃO

RESUMO

Apresentamos neste capítulo os resultados da simulação numérica do problema

simétrico da viga elástica bi-apoiada nas extremidades com um carregamento localizado no

centro. Os resultados das tensões e das deformações são obtidos, avaliados e discutidos para

diferentes refinamentos de malhas utilizadas.


O problema formulado anteriormente foram simulados utilizando o Método dos

Elementos Finitos, com e refinamento das malhas e as mesmas condições de contorno,

conforme a metodologia e a sistemática proposta no Capitulo – III.

5.1.1 - Condições de contorno

As condições de contorno impostas para esse exemplo são dadas pela equação (5.

1)

. ( 0,0) 0 ; ( , 0) 0

( / 4, ) ( 3 / 4, );x y

u x u x L ydu x L y h du x L y hP P

dn dn

= = = = == = = =

= − = − (5. 1)

55

5. 2 – Malha – 1-D

A imposição das condições sobre a malha 2 está ilustrada conforme mostra a

Figura - 5. 1.

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load)

Figura - 5. 1. Deslocamento em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Os deslocamentos nos pontos dos nós após a solicitação de carga é mostrada

conforme mostra a Figura - 5. 2

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/disp)


A intensidade dos deslocamentos na direção 1 esta representada pela escala de

cores conforme mostra a Figura - 5. 3. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando

nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

56

Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1)



cores conforme mostra a Figura - 5. 4



57

Observe as linhas isodeformação definidas pelas cores desde o branco até o

vermelho. Observe a intensidade máxima de deformação no centro da viga.

Utilizando-se o comando stre,1 do FEAP obteve-se as tensões na direção x1, onde

as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até o vermelho conforme


Malha Ivigabi1db2(tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1)

Figura - 5. 5. Tensão na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual

Observe a tensões de compressão na parte superior da viga e de tração na parte

inferior da viga. Novamente, utilizando-se agora o comando stre,2 do FEAP obteve-se a

tensão na direção x2, onde as linhas de isotensão são definidas pelas cores desde o branco até

o vermelho conforme mostra a Figura - 5. 6. Observe o acúmulo de tensões na direção 2 na

parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.

58


Figura - 5. 6. Tensão na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual.

59

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 1D

Foram escolhidos os nós e os elementos na metade da viga sobre as linhas

elásticas inferior, central e superior para a análise dos deslocamentos, das tensões e das

deformações, conforme mostram as tabelas abaixo.

Tabela - V. 1. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto na Metade da Viga

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 50 4.9000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 51 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 52 5.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

Os valores das tensões e das deformações nos elementos centrais inferiores e

superiores estão mostrados nas Tabela - V. 2.

Tabela - V. 2. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central da Viga

Elmt Mat Angle 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 1-stress

50 1 90.0 9.821E+06 9.821E+06 0.000E+00 0.000E+00 9.821E+06

1-coord 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 2-stress

24.750 0.000 0.000E+00 0.000E+00 -4.643E-04 0.000E+00 9.821E+06


51 1 90.0 9.821E+06 9.821E+06 0.000E+00 0.000E+00 9.821E+06


25.250 0.000 0.000E+00 0.000E+00 -4.643E-04 0.000E+00 9.821E+06

Observe da Tabela - V. 2 que no modelo de vida 1D (unidimensional) apesar de

existir uma força aplicada aos elementos centrais de número 50 e 51, não há valor de

deformação neste elementos. Isto se deve a uma limitação do FEAP-PV.

60

5. 3 – Malha – 2-D


Figura - 5. 7

61

Malha Ivigabi2db1(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e /load)







cores conforme é mostrado na Figura - 5. 9. Nesta figura observe os deslocamentos se

afastando nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

63





65







mostra a Figura - 5. 11.

67







parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga

69



70

5.3.1 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 10.0




Tabela - V. 3. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 50 4.9000E+01 0.0000E+00 -1.9377E-06 -6.0759E-04 51 5.0000E+01 0.0000E+00 1.4299E-19 -6.0787E-04 52 5.1000E+01 0.0000E+00 1.9377E-06 -6.0759E-04


superiores estão mostrados nas Tabela - V. 4, Tabela - V. 6 e Tabela - V. 8.

Tabela - V. 4. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Inferior na Metade da Viga/h=10.0


50 1 0.0 4.942E+04 -1.003E-02 0.000E+00 -3.489E-02 4.942E+04


49.500 0.250 1.797E-06 -5.391E-07 -5.391E-07 -3.298E-12 -1.003E-02


51 1 0.0 4.942E+04 -1.003E-02 0.000E+00 3.489E-02 4.942E+04


50.500 0.250 1.797E-06 -5.391E-07 -5.391E-07 3.298E-12 -1.003E-02

Tabela - V. 5. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Central na Metade da Viga//h=10.0

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 1060 4.9000E+01 5.0000E+00 8.7628E-07 -6.0839E-04 1061 5.0000E+01 5.0000E+00 7.6602E-20 -6.0867E-04 1062 5.1000E+01 5.0000E+00 -8.7628E-07 -6.0839E-04

Tabela - V. 6. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Central na Metade da Viga/h=10.0


1050 1 90.0 -2.797E+04 -1.007E+00 0.000E+00 2.069E-02 -1.007E+00


49.500 5.250 -1.017E-06 3.051E-07 3.051E-07 1.956E-12 -2.797E+04


1051 1 -90.0 -2.797E+04 -1.007E+00 0.000E+00 -2.069E-02 -1.007E+00


50.500 5.250 -1.017E-06 3.051E-07 3.051E-07 -1.956E-12 -2.797E+04

71

Tabela - V. 7. Deslocamentos sobre os Nós no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 2070 4.9000E+01 1.0000E+01 3.6904E-06 -6.0496E-04 2071 5.0000E+01 1.0000E+01 -2.0157E-20 -6.0525E-04 2072 5.1000E+01 1.0000E+01 -3.6904E-06 -6.0496E-04

Tabela - V. 8. Tensões e Deformações sobre os Elementos no Ponto Superior na Metade da Viga/h=10.0


1950 1 90.0 -9.762E+0 -1.002E-02 0.000E+00 3.487E-02 -1.002E-02


49.500 9.7500 -3.550E-0 1.065E-06 1.065E-06 3.296E-12 -9.762E+04


1951 1 -90.0 -9.762E+04 -1.002E-02 0.000E+00 -3.487E-02 -1.002E-02


50.500 9.7500 -3.550E-06 1.065E-06 1.065E-06 -3.296E-12 -9.762E+04

Deflexão da Linha Elastica

-7,00E+00

-6,00E+00

-5,00E+00

-4,00E+00

-3,00E+00

-2,00E+00

-1,00E+00

0,00E+00

1,00E+00

0,00E+00

2,00E+05

4,00E+05

6,00E+05

8,00E+05

1,00E+06

1,20E+06

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t

Figura - 5. 13. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0.

72






Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 50 4.9000E+01 0.0000E+00 -5.2531E-07 -9.7947E-05 51 5.0000E+01 0.0000E+00 -1.0308E-20 -9.7984E-05 52 5.1000E+01 0.0000E+00 5.2531E-07 -9.7947E-05





50 1 0.0 1.344E+04 1.319E+00 0.000E+00 1.530E+00 1.344E+04


49.500 0.500 4.887E-07 -1.466E-07 -1.466E-07 1.447E-10 1.319E+00


51 1 0.0 1.344E+04 1.319E+00 0.000E+00 -1.530E+00 1.344E+04


50.500 0.500 4.887E-07 -1.466E-07 -1.466E-07 -1.447E-10 1.319E+00





1050 1 -90.0 -6.845E+03 1.003E+02 0.000E+00 -7.994E-01 1.003E+02


49.500 10.500 -2.500E-07 7.832E-08 7.358E-08 -7.558E-11 -6.845E+03


1051 1 90.0 -6.845E+03 1.003E+02 0.000E+00 7.994E-01 1.003E+02


50.500 10.500 -2.500E-07 7.832E-08 7.358E-08 7.558E-11 -6.845E+03

73





1950 1 -90.0 -2.487E+04 1.377E+00 0.000E+00 -1.597E+00 1.378E+00


49.500 19.500 -9.043E-07 2.713E-07 2.713E-07 -1.510E-10 -2.487E+04


1951 1 90.0 -2.487E+04 1.377E+00 0.000E+00 1.597E+00 1.378E+00


50.500 19.500 -9.043E-07 2.713E-07 2.713E-07 1.510E-10 -2.487E+04


-1,20E+00

-1,00E+00

-8,00E-01

-6,00E-01

-4,00E-01

-2,00E-01

0,00E+000,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06

Coordenada x (cm)

Defle

xão

y(x)

cm

h=10bh=10mh=10t


74

5.3.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 2D para H = 30










50 1 0.0 5.663E+03 2.789E+00 0.000E+00 2.028E+00 5.663E+03


49.500 0.750 2.059E-07 -6.168E-08 -6.181E-08 1.918E-10 2.788E+00


51 1 0.0 5.663E+03 2.789E+00 0.000E+00 -2.028E+00 5.663E+03


50.500 0.750 2.059E-07 -6.168E-08 -6.181E-08 -1.918E-10 2.788E+00





1050 1 90.0 -3.466E+03 1.694E+02 0.000E+00 1.970E+00 1.694E+02


49.500 15.750 -1.279E-07 4.397E-08 3.596E-08 1.862E-10 -3.466E+03


1051 1 -90.0 -3.466E+03 1.694E+02 0.000E+00 -1.970E+00 1.694E+02


50.500 15.750 -1.279E-07 4.397E-08 3.596E-08 -1.862E-10 -3.466E+03

75





1950 1 -90.0 -1.033E+04 4.644E+00 0.000E+00 -3.363E+00 4.645E+00


49.500 29.250 -3.757E-07 1.129E-07 1.126E-07 -3.179E-10 -1.033E+04


1951 1 90.0 -1.033E+04 4.644E+00 0.000E+00 3.363E+00 4.645E+00


50.500 29.250 -3.757E-07 1.129E-07 1.126E-07 3.179E-10 -1.033E+04


-5,00E-01-4,50E-01-4,00E-01-3,50E-01-3,00E-01-2,50E-01-2,00E-01-1,50E-01-1,00E-01-5,00E-020,00E+00

0,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=10mh=10t

Figura - 5. 15. Curva de deflexão dam linha elástica em função do comprimento da viga para diferentes altura h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0, 50.0.

76











50 1 0.0 2.900E+03 1.241E+00 0.000E+00 6.646E-01 2.900E+03


49.500 1.000 1.054E-07 -3.159E-08 -3.164E-08 6.284E-11 1.241E+00


51 1 0.0 2.900E+03 1.241E+00 0.000E+00 -6.646E-01 2.900E+03


50.500 1.000 1.054E-07 -3.159E-08 -3.164E-08 -6.284E-11 1.241E+00





1050 1 89.9 -2.391E+03 1.017E+01 0.000E+00 3.689E+00 1.018E+01


49.500 21.000 -8.706E-08 2.645E-08 2.597E-08 3.488E-10 -2.391E+03


1051 1 -89.9 -2.391E+03 1.017E+01 0.000E+00 -3.689E+00 1.018E+01


50.500 21.000 -8.706E-08 2.645E-08 2.597E-08 -3.488E-10 -2.391E+03


77




1950 1 -90.0 -4.885E+03 6.468E+00 0.000E+00 -3.431E+00 6.471E+00


49.500 39.000 -1.777E-07 5.352E-08 5.322E-08 -3.244E-10 -4.885E+03


1951 1 90.0 -4.885E+03 6.468E+00 0.000E+00 3.431E+00 6.471E+00


50.500 39.000 -1.777E-07 5.352E-08 5.322E-08 3.244E-10 -4.885E+03


-4,00E-01

-3,50E-01

-3,00E-01

-2,50E-01

-2,00E-01

-1,50E-01

-1,00E-01

-5,00E-02

0,00E+000,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06

Coordenada x (cm)

Defle

xão

y(x)

cm

h=10bh=10mh=10t


78






Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ 50 4.9000E+01 0.0000E+00 -6.8661E-08 -2.5497E-05 51 5.0000E+01 0.0000E+00 1.9918E-21 -2.5500E-05 52 5.1000E+01 0.0000E+00 6.8661E-08 -2.5497E-05





50 1 0.0 1.656E+03 -6.116E-01 0.000E+00 -2.585E-01 1.656E+03


49.500 1.250 6.023E-08 -1.809E-08 -1.806E-08 -2.444E-11 -6.117E-01


51 1 0.0 1.656E+03 -6.116E-01 0.000E+00 2.585E-01 1.656E+03


50.500 1.250 6.023E-08 -1.809E-08 -1.806E-08 2.444E-11 -6.117E-01





1050 1 90.0 -1.874E+03 -2.526E+02 0.000E+00 8.467E-01 -2.526E+02


49.500 26.250 -6.540E-08 1.126E-08 2.320E-08 8.006E-11 -1.874E+03


1051 1 =90.0 -1.874E+03 -2.526E+02 0.000E+00 -8.467E-01 -2.526E+02


50.500 26.250 -6.540E-08 1.126E-08 2.320E-08 -8.006E-11 -1.874E+03

79





1950 1 -89.9 -2.231E+03 6.445E+00 0.000E+00 -2.700E+00 6.448E+00


49.500 48.750 -8.118E-08 2.457E-08 2.426E-08 -2.553E-10 -2.231E+03


1951 1 89.9 -2.231E+03 6.445E+00 0.000E+00 2.700E+00 6.448E+00


50.500 48.750 -8.118E-08 2.457E-08 2.426E-08 2.553E-10 -2.231E+03


-3,50E-01

-3,00E-01

-2,50E-01

-2,00E-01

-1,50E-01

-1,00E-01

-5,00E-02

0,00E+000,00E+0

02,00E+0

54,00E+0

56,00E+0

58,00E+0

51,00E+0

61,20E+0

6

Coordenada x (cm)

Defle

xão

y(x)

cm

h=10bh=10mh=10t


80

5.3.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 2D

Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é

inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 19

Deflexão da Linha Elastica Inferior

-7,00E+00

-6,00E+00

-5,00E+00

-4,00E+00

-3,00E+00

-2,00E+00

-1,00E+00

0,00E+000,00E+0

02,00E+0

54,00E+0

56,00E+0

58,00E+0

51,00E+0

61,20E+0

6

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10bh=20bh=30bh=40bh=50b


Deflexão da Linha Elastica Central

-7,00E+00

-6,00E+00

-5,00E+00

-4,00E+00

-3,00E+00

-2,00E+00

-1,00E+00

0,00E+00

1,00E+00

0 20 40 60 80 100 120

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10mh=20mh=30mh=40mh=50m


81

Deflexão da Linha Elastica Superior

-7,00E+00

-6,00E+00

-5,00E+00

-4,00E+00

-3,00E+00

-2,00E+00

-1,00E+00

0,00E+00

1,00E+00

0 20 40 60 80 100 120

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10th=20th=30th=40th=50t


Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

0 2 4 6 8 10 12alfa = l/h

w(x

) (cm

)

MEFTeórico

Figura - 5. 21. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.

82

5. 4 – Malha – 3-D


Figura - 5. 22

83

Malha Ivigabi3db3(tang,,1/tang,,1/Plot/boun e load)

Figura - 5. 22. Malhas de uma viga biapoiada sujeita a um carregamento pontual simétrico para as alturas de h = 10.0, 20.0, 30.0, 40.0 e 50.0.




Figura - 5. 23. Carregemento pontual simétrico duplo em uma malha representando um viga biapoiada.


cores conforme mostra a Figura - 5. 24. Nesta figura observe os deslocamentos se afastando

nos sentidos positivo e negativo da linha vertical de simetria central da viga.

85


Figura - 5. 24. Deslocamento na direção 1 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual



87


Figura - 5. 25. Deslocamento na direção 2 em uma viga biapoiada sujeito a um carregamento pontual






89







parte inferior das extremidade e na parte superior central da viga.

91



92






Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 4.6667E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 -2.7297E-05 -1.1357E-07 1.0242E-05 57 5.3333E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 -2.7296E-05 -9.5602E-08 3.8351E-08 72 4.6667E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 -2.7861E-05 -1.4193E-07 1.0037E-05 73 5.3333E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 -2.7862E-05 -9.1226E-08 -1.3316E-07




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 4.081E+00 3.175E+02 0.000E+00 6.989E-01 -4.803E+04 -4.888E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -3.316E-09 1.150E-08 -3.508E-09 6.608E-11 -4.541E-06 -4.621E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 2.021E+00 3.107E+02 0.000E+00 7.164E-01 -4.800E+04 -4.962E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -3.316E-09 1.127E-08 -3.411E-09 6.773E-11 -4.538E-06 -4.691E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 3.092E+00 3.110E+02 0.000E+00 -5.079E+01 -4.755E+04 -5.012E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 -3.280E-09 1.127E-08 -3.426E-09 -4.802E-09 -4.496E-06 -4.739E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 5.153E+00 3.178E+02 0.000E+00 -5.081E+01 -4.753E+04 -4.959E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 -3.280E-09 1.150E-08 -3.524E-09 -4.804E-09 -4.493E-06 -4.689E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 7.649E+00 5.683E+01 0.000E+00 -1.685E+01 4.746E+04 5.688E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -3.419E-10 1.983E-09 -7.035E-10 -1.593E-09 4.487E-06 5.378E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 1.588E+01 8.426E+01 0.000E+00 -1.724E+01 4.750E+04 5.615E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -3.419E-10 2.891E-09 -1.092E-09 -1.630E-09 4.491E-06 5.308E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 5.192 -7.952E+00 7.711E+01 0.000E+00 1.885E+02 4.794E+04 5.564E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 -1.130E-09 2.891E-09 -7.545E-10 1.782E-08 4.532E-06 5.260E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 4.808 -1.618E+01 4.969E+01 0.000E+00 1.888E+02 4.797E+04 5.617E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 -1.130E-09 1.983E-09 -3.655E-10 1.785E-08 4.535E-06 5.310E-08

93


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 4.6667E+00 4.2857E+01 1.1429E+01 1.5852E-04 3.5874E-04 9.8124E+05 569 5.3333E+00 4.2857E+01 1.1429E+01 1.5851E-04 3.5874E-04 9.8124E+05 584 4.6667E+00 5.7143E+01 1.1429E+01 1.5744E-04 3.5874E-04 9.8124E+05 585 5.3333E+00 5.7143E+01 1.1429E+01 1.5745E-04 3.5876E-04 9.8124E+05


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 -3.975E+02 9.253E+01 0.000E+00 -7.083E+02 -4.724E+04 -3.494E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.546E-08 7.701E-09 3.327E-09 -6.697E-08 -4.466E-06 -3.303E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 -3.889E+02 1.211E+02 0.000E+00 -6.978E+02 -4.727E+04 -3.487E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -1.546E-08 8.646E-09 2.922E-09 -6.597E-08 -4.469E-06 -3.297E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 2.541E+02 3.140E+02 0.000E+00 -4.837E+02 -4.837E+04 -3.535E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 5.814E-09 8.646E-09 -6.197E-09 -4.573E-08 -4.573E-06 -3.342E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 2.455E+02 2.854E+02 0.000E+00 -4.942E+02 -4.837E+04 -3.563E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 5.814E-09 7.701E-09 -5.792E-09 -4.672E-08 -4.573E-06 -3.369E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 -2.819E+02 7.180E+02 0.000E+00 -4.754E+02 4.895E+04 3.581E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -1.809E-08 2.919E-08 -4.758E-09 -4.495E-08 4.628E-06 3.385E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 -2.809E+02 7.216E+02 0.000E+00 -4.693E+02 4.891E+04 3.587E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -1.809E-08 2.930E-08 -4.808E-09 -4.437E-08 4.624E-06 3.391E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 5.192 9.289E+01 8.338E+02 0.000E+00 -4.424E+02 4.782E+04 3.477E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -5.718E-09 2.930E-08 -1.011E-08 -4.183E-08 4.521E-06 3.287E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 4.808 9.182E+01 8.302E+02 0.000E+00 -4.485E+02 4.782E+04 3.448E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -5.718E-09 2.919E-08 -1.006E-08 -4.240E-08 4.521E-06 3.260E-07


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 4.6667E+00 4.2857E+01 2.0000E+01 3.2982E-04 1.0590E-03 1.6320E+09 953 5.3333E+00 4.2857E+01 2.0000E+01 3.2946E-04 1.0592E-03 1.6320E+09 968 4.6667E+00 5.7143E+01 2.0000E+01 3.3261E-04 1.0672E-03 1.6320E+09 969 5.3333E+00 5.7143E+01 2.0000E+01 3.3269E-04 1.0671E-03 1.6320E+09

94


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -4.440E+03 9.670E+03 0.000E+00 3.173E+03 8.172E+03 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -2.670E-07 4.001E-07 -5.706E-08 3.000E-07 7.726E-07 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -4.525E+03 9.389E+03 0.000E+00 3.290E+03 8.267E+03 -6.304E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -2.670E-07 3.908E-07 -5.306E-08 3.111E-07 7.816E-07 -5.960E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 2.639E+03 1.154E+04 0.000E+00 1.179E+03 3.205E+04 -5.043E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.991E-08 3.908E-07 -1.547E-07 1.114E-07 3.030E-06 -4.768E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 2.723E+03 1.182E+04 0.000E+00 1.062E+03 3.277E+04 -2.522E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.991E-08 4.001E-07 -1.587E-07 1.004E-07 3.099E-06 -2.384E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 2.618E+03 -1.011E+03 0.000E+00 -9.892E+00 -1.342E+04 5.674E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.062E-07 -6.532E-08 -1.753E-08 -9.353E-10 -1.269E-06 5.364E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 2.664E+03 -8.589E+02 0.000E+00 -9.335E+01 -1.333E+04 4.413E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.062E-07 -6.029E-08 -1.969E-08 -8.826E-09 -1.260E-06 4.172E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 5.192 -2.446E+03 -2.392E+03 0.000E+00 1.047E+03 1.051E+04 6.304E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -6.286E-08 -6.029E-08 5.278E-08 9.899E-08 9.933E-07 5.960E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 4.808 -2.492E+03 -2.544E+03 0.000E+00 1.130E+03 1.118E+04 6.935E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -6.286E-08 -6.532E-08 5.494E-08 1.069E-07 1.057E-06 6.557E-07

95


-8,00E-01

-6,00E-01

-4,00E-01

-2,00E-01

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m

h=10b+h=10b-



-5,00E-03

-4,00E-03

-3,00E-03

-2,00E-03

-1,00E-03

0,00E+00

1,00E-03

2,00E-03

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=10b+h=10b-


96






Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 9.3333E+00 4.2857E+01 0.0000E+00 1.5838E-05 1.1327E-06 2.0672E-06 57 1.0667E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 1.5838E-05 4.4184E-07 1.0021E-06 72 9.3333E+00 5.7143E+01 0.0000E+00 1.8642E-05 1.1409E-06 3.3276E-06 73 1.0667E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 1.8640E-05 5.5333E-07 1.6906E-06




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 9.615 7.884E+01 1.529E+02 0.000E+00 -2.023E+03 -7.467E+03 2.341E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.199E-09 4.698E-09 -2.528E-09 -1.912E-07 -7.060E-07 2.214E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 10.385 1.229E+02 2.997E+02 0.000E+00 -2.023E+03 -7.524E+03 2.394E+02

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.199E-09 9.557E-09 -4.610E-09 -1.913E-07 -7.114E-07 2.263E-08

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 10.385 1.122E+02 2.965E+02 0.000E+00 -1.472E+03 -7.397E+03 2.273E+02




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 9.615 2.956E+01 8.578E+01 0.000E+00 -2.908E+03 7.503E+03 -2.529E+02

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.390E-10 2.797E-09 -1.258E-09 -2.749E-07 7.094E-07 -2.391E-08


matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.390E-10 7.155E-09 -3.126E-09 -2.750E-07 7.034E-07 -2.341E-08


matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 -4.804E-10 7.155E-09 -2.861E-09 -2.283E-07 7.154E-07 -3.110E-08



97


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 9.3333E+00 4.2857E+01 1.1429E+01 1.4886E-05 5.7123E-05 -3.6618E+06 569 1.0667E+01 4.2857E+01 1.1429E+01 1.5006E-05 5.6560E-05 -3.6618E+06 584 9.3333E+00 5.7143E+01 1.1429E+01 2.2461E-05 5.5063E-05 -3.6618E+06 585 1.0667E+01 5.7143E+01 1.1429E+01 2.2410E-05 5.4676E-05 -3.6618E+06


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 3.392E+02 -3.152E+03 0.000E+00 1.247E+03 -6.986E+03 6.633E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 4.672E-08 -1.183E-07 3.068E-08 1.179E-07 -6.605E-07 6.271E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 4.010E+02 -2.946E+03 0.000E+00 1.198E+03 -7.127E+03 6.852E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 4.672E-08 -1.115E-07 2.777E-08 1.133E-07 -6.738E-07 6.478E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 -1.106E+03 -3.398E+03 0.000E+00 1.970E+03 -1.045E+04 7.595E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -3.148E-09 -1.115E-07 4.914E-08 1.863E-07 -9.876E-07 7.180E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 -1.168E+03 -3.604E+03 0.000E+00 2.019E+03 -1.035E+04 7.698E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -3.148E-09 -1.183E-07 5.206E-08 1.909E-07 -9.781E-07 7.278E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 -4.276E+02 -1.635E+03 0.000E+00 8.002E+02 9.454E+03 -4.845E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.287E-09 -5.479E-08 2.250E-08 7.565E-08 8.939E-07 -4.580E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 -3.728E+02 -1.452E+03 0.000E+00 8.153E+02 9.225E+03 -4.623E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.287E-09 -4.875E-08 1.991E-08 7.708E-08 8.722E-07 -4.371E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 10.385 8.918E+01 -1.314E+03 0.000E+00 1.500E+03 5.906E+03 -4.834E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.758E-08 -4.875E-08 1.336E-08 1.418E-07 5.584E-07 -4.570E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 9.615 3.437E+01 -1.497E+03 0.000E+00 1.485E+03 6.095E+03 -4.732E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 9.3333E+00 4.2857E+01 2.0000E+01 -2.6029E-05 9.4779E-05 1.1815E+10 953 1.0667E+01 4.2857E+01 2.0000E+01 -2.7976E-05 9.4332E-05 1.1815E+10 968 9.3333E+00 5.7143E+01 2.0000E+01 -2.2100E-05 1.0830E-04 1.1815E+10 969 1.0667E+01 5.7143E+01 2.0000E+01 -2.1489E-05 1.0794E-04 1.1815E+10

98


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 -1.731E+04 1.568E+04 0.000E+00 5.587E+02 1.122E+05 1.009E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -8.007E-07 7.592E-07 1.780E-08 5.282E-08 1.061E-05 9.537E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 -1.729E+04 1.575E+04 0.000E+00 1.367E+03 1.122E+05 1.765E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -8.007E-07 7.615E-07 1.679E-08 1.292E-07 1.060E-05 1.669E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 7.441E+03 2.317E+04 0.000E+00 1.634E+03 1.387E+05 1.009E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.778E-08 7.615E-07 -3.340E-07 1.545E-07 1.311E-05 9.537E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 7.420E+03 2.310E+04 0.000E+00 8.259E+02 1.397E+05 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.778E-08 7.592E-07 -3.330E-07 7.809E-08 1.321E-05 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 9.615 -1.006E+03 6.401E+03 0.000E+00 2.358E+03 -1.084E+05 -1.891E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -1.064E-07 2.438E-07 -5.886E-08 2.229E-07 -1.025E-05 -1.788E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 10.385 -1.009E+03 6.394E+03 0.000E+00 2.385E+03 -1.092E+05 -3.783E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain



1 54.124 -7.848E-08 2.438E-07 -7.083E-08 2.202E-07 -7.625E-06 -1.192E-06

99


-1,50E-01

-1,00E-01

-5,00E-02

0,00E+00

5,00E-02

1,00E-01

1,50E-01

2,00E-01

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m

h=20b+h=20b-



-6,00E-02

-4,00E-02

-2,00E-02

0,00E+00

2,00E-02

4,00E-02

6,00E-02

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=20b+h=20b-


100

5.4.3 - Análise dos Deslocamentos, Tensões e Deformações sobre Nós e Elementos em 3D para H = 30





Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 1.4000E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 -2.4156E-04 8.3876E-05 -2.1892E-03 57 1.6000E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 -2.4394E-04 7.9577E-05 -2.3999E-03 72 1.4000E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 -2.6113E-04 1.5078E-04 -2.0419E-03 73 1.6000E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 -2.5898E-04 1.5077E-04 -2.2617E-03




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 14.423 -4.311E+04 3.779E+02 0.000E+00 -2.708E+04 3.356E+05 -5.043E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.572E-06 4.841E-07 4.662E-07 -2.561E-06 3.173E-05 -4.768E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 15.577 -4.268E+04 1.830E+03 0.000E+00 -2.547E+04 3.478E+05 -5.548E+04

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.572E-06 5.321E-07 4.456E-07 -2.408E-06 3.289E-05 -5.245E-06

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 15.577 -9.682E+03 1.173E+04 0.000E+00 -2.184E+04 1.730E+05 -2.017E+04


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 14.423 -1.012E+04 1.028E+04 0.000E+00 -2.345E+04 1.758E+05 -2.017E+04



matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -9.429E-07 3.605E-06 -1.141E-06 -2.881E-06 -1.237E-05 1.192E-06


matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -9.429E-07 3.744E-06 -1.201E-06 -2.706E-06 -1.219E-05 2.384E-07


matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 3.079E-07 3.744E-06 -1.737E-06 -1.707E-06 -2.835E-05 0.000E+00



101


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 568 1.4000E+01 4.2857E+01 1.1429E+01 9.9227E-04 -6.9124E-04 4.1796E+10 569 1.6000E+01 4.2857E+01 1.1429E+01 9.9418E-04 -6.9147E-04 4.1796E+10 584 1.4000E+01 5.7143E+01 1.1429E+01 1.0019E-03 -7.0435E-04 4.1796E+10 585 1.6000E+01 5.7143E+01 1.1429E+01 1.0016E-03 -7.0739E-04 4.1796E+10


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 1.513E+04 -2.353E+04 0.000E+00 -2.936E+03 1.076E+05 -1.009E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 8.069E-07 -1.021E-06 9.160E-08 -2.776E-07 1.017E-05 -9.537E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.399E+04 -2.733E+04 0.000E+00 -4.159E+03 9.412E+04 -1.009E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 8.069E-07 -1.147E-06 1.456E-07 -3.933E-07 8.899E-06 -9.537E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 -1.098E+04 -3.482E+04 0.000E+00 -1.367E+04 1.032E+05 -2.017E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.919E-08 -1.147E-06 4.996E-07 -1.293E-06 9.756E-06 -1.907E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 -9.833E+03 -3.102E+04 0.000E+00 -1.245E+04 1.131E+05 -4.035E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -1.919E-08 -1.021E-06 4.457E-07 -1.177E-06 1.069E-05 -3.815E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 2.081E+04 -2.643E+04 0.000E+00 -1.749E+04 -1.288E+05 4.035E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.045E-06 -1.188E-06 6.129E-08 -1.654E-06 -1.218E-05 3.815E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 1.936E+04 -3.129E+04 0.000E+00 -1.947E+04 -1.333E+05 5.043E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.045E-06 -1.349E-06 1.302E-07 -1.841E-06 -1.260E-05 4.768E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 15.577 -2.095E+04 -4.338E+04 0.000E+00 -3.161E+04 -1.219E+05 7.061E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.886E-07 -1.349E-06 7.018E-07 -2.989E-06 -1.152E-05 6.676E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 14.423 -1.949E+04 -3.852E+04 0.000E+00 -2.964E+04 -1.195E+05 5.548E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -2.886E-07 -1.188E-06 6.329E-07 -2.802E-06 -1.130E-05 5.245E-06


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 1.4000E+01 4.2857E+01 2.0000E+01 2.0627E-03 -1.8201E-03 -3.9017E+10 953 1.6000E+01 4.2857E+01 2.0000E+01 2.0652E-03 -1.8168E-03 -3.9017E+10 968 1.4000E+01 5.7143E+01 2.0000E+01 2.1181E-03 -1.8405E-03 -3.9017E+10 969 1.6000E+01 5.7143E+01 2.0000E+01 2.1237E-03 -1.8375E-03 -3.9017E+10

102


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 2.880E+04 -3.576E+04 0.000E+00 5.174E+04 1.127E+05 -5.043E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.437E-06 -1.615E-06 7.594E-08 4.892E-06 1.065E-05 -4.768E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 2.875E+04 -3.592E+04 0.000E+00 5.276E+04 1.030E+05 0.000E+00 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.437E-06 -1.620E-06 7.814E-08 4.988E-06 9.737E-06 0.000E+00 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 4.950E+04 -2.969E+04 0.000E+00 5.237E+04 1.310E+05 -2.017E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 2.124E-06 -1.620E-06 -2.160E-07 4.951E-06 1.238E-05 -1.907E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 4.954E+04 -2.954E+04 0.000E+00 5.135E+04 1.322E+05 -4.035E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 2.124E-06 -1.615E-06 -2.182E-07 4.855E-06 1.250E-05 -3.815E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 1.254E+04 -5.456E+04 0.000E+00 3.247E+04 -7.644E+04 3.278E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.051E-06 - 2.121E-06 4.585E-07 3.070E-06 -7.227E-06 3.099E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 1.266E+04 -5.415E+04 0.000E+00 3.261E+04 -7.811E+04 3.026E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 1.051E-06 -2.107E-06 4.526E-07 3.083E-06 -7.385E-06 2.861E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 15.577 1.557E+04 -5.328E+04 0.000E+00 3.365E+04 -5.090E+04 4.539E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.147E-06 -2.107E-06 4.114E-07 3.181E-06 -4.813E-06 4.292E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 14.423 1.544E+04 -5.369E+04 0.000E+00 3.351E+04 -4.876E+04 3.026E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.147E-06 -2.121E-06 4.173E-07 3.168E-06 -4.610E-06 2.861E-06

103


-4,50E+01

-4,00E+01

-3,50E+01

-3,00E+01

-2,50E+01

-2,00E+01

-1,50E+01

-1,00E+01

-5,00E+00

0,00E+000 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o z(

x) c

m

h=30b+h=30b-



0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

1,20E+00

1,40E+00

1,60E+00

1,80E+00

0 5 10 15 20Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=30b+h=30b-


104






Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 1.8667E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 -3.8989E-05 2.8871E-07 1.2056E-04 57 2.1333E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 -3.9221E-05 -5.3714E-07 1.0339E-04 72 1.8667E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 -3.6058E-05 -5.3359E-07 1.1858E-04 73 2.1333E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 -3.5783E-05 -1.2955E-06 1.0165E-04




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 -5.043E+03 -1.853E+02 0.000E+00 -1.165E+01 8.511E+04 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.814E-07 4.827E-08 5.703E-08 -1.101E-09 8.047E-06 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 -5.105E+03 -3.913E+02 0.000E+00 -5.600E+01 8.489E+04 -1.261E+03


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 -5.784E+03 -5.950E+02 0.000E+00 -4.422E+02 8.866E+04 -3.783E+03


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 -5.722E+03 -3.890E+02 0.000E+00 -3.978E+02 8.882E+04 -1.261E+03


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 19.230 -2.763E+03 -1.613E+03 0.000E+00 -7.155E+02 -9.298E+04 6.304E+02

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -8.289E-08 -2.851E-08 4.774E-08 -6.765E-08 -8.791E-06 5.960E-08

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 20.770 -2.763E+03 -1.611E+03 0.000E+00 -5.688E+02 -9.256E+04 -9.457E+02

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -8.289E-08 -2.844E-08 4.771E-08 -5.377E-08 -8.751E-06 -8.941E-08





105




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 -3.360E+03 6.420E+02 0.000E+00 2.034E+03 7.596E+04 1.261E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.292E-07 6.000E-08 2.965E-08 1.923E-07 7.182E-06 1.192E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 -3.579E+03 -8.932E+01 0.000E+00 2.813E+03 7.671E+04 1.261E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -1.292E-07 3.580E-08 4.002E-08 2.659E-07 7.252E-06 1.192E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 8.341E+03 3.487E+03 0.000E+00 1.441E+03 7.911E+04 1.009E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 54.124 2.653E-07 6.000E-08 -1.394E-07 6.265E-08 7.497E-06 9.537E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 9.823E+02 9.644E+02 0.000E+00 2.900E+03 -7.377E+04 -1.261E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.520E-08 2.435E-08 -2.124E-08 2.742E-07 -6.974E-06 -1.192E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 6.557E+02 -1.241E+02 0.000E+00 3.142E+03 -7.672E+04 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 2.520E-08 -1.167E-08 -5.799E-09 2.971E-07 -7.254E-06 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 20.770 4.366E+03 9.890E+02 0.000E+00 1.101E+03 -7.361E+04 -1.513E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.480E-07 -1.167E-08 -5.842E-08 1.041E-07 -6.959E-06 -1.431E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 19.230 4.693E+03 2.078E+03 0.000E+00 8.588E+02 -7.043E+04 -1.765E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 1.480E-07 2.435E-08 -7.386E-08 8.119E-08 -6.659E-06 -1.669E-06


Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 952 1.8667E+01 4.2857E+01 2.0000E+01 1.0765E-04 -2.0071E-03 1.6611E+10 953 2.1333E+01 4.2857E+01 2.0000E+01 1.0575E-04 -2.0070E-03 1.6611E+10 968 1.8667E+01 5.7143E+01 2.0000E+01 1.2405E-04 -2.0034E-03 1.6611E+10 969 2.1333E+01 5.7143E+01 2.0000E+01 1.2711E-04 -2.0003E-03 1.6611E+10

106


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -7.273E+03 3.532E+03 0.000E+00 1.442E+04 4.593E+03 3.530E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -3.030E-07 2.078E-07 4.081E-08 1.363E-06 4.342E-07 3.338E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 -6.484E+03 6.161E+03 0.000E+00 1.606E+04 -1.180E+03 3.404E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -3.030E-07 2.948E-07 3.531E-09 1.519E-06 -1.116E-07 3.219E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 1.871E+04 1.372E+04 0.000E+00 2.099E+04 1.783E+04 2.522E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 54.124 5.309E-07 2.078E-07 -3.166E-07 1.829E-06 1.461E-06 2.384E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -8.227E+03 -3.603E+03 0.000E+00 1.099E+04 6.169E+03 -6.304E+02 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -2.598E-07 -4.129E-08 1.291E-07 1.039E-06 5.833E-07 -5.960E-08 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 -8.431E+03 -4.285E+03 0.000E+00 1.135E+04 2.918E+03 -2.522E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 -2.598E-07 -6.383E-08 1.387E-07 1.073E-06 2.759E-07 -2.384E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 20.770 -2.973E+03 -2.647E+03 0.000E+00 1.007E+04 2.240E+04 1.135E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -7.922E-08 -6.383E-08 6.131E-08 9.519E-07 2.118E-06 1.073E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 19.230 -2.768E+03 -1.966E+03 0.000E+00 9.712E+03 1.955E+04 5.043E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -7.922E-08 -4.129E-08 5.165E-08 9.182E-07 1.849E-06 4.768E-07

107


-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

3,00E+00

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=40b+h=40b-



-1,00E-01

-8,00E-02

-6,00E-02

-4,00E-02

-2,00E-02

0,00E+00

2,00E-02

4,00E-02

6,00E-02

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=40b+h=40b-


108






Node 1 Coord 2 Coord 3 Coord 1 Displ 2 Displ 3 Displ 56 2.3333E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 -8.5123E-06 -1.9218E-06 2.5544E-06 57 2.6667E+01 4.2857E+01 0.0000E+00 -8.4453E-06 -2.0221E-06 -1.1743E-05 72 2.3333E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 -8.4768E-06 -2.0937E-06 8.4167E-07 73 2.6667E+01 5.7143E+01 0.0000E+00 -8.4616E-06 -1.9743E-06 -1.3388E-05




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 5.091E+02 -2.875E+02 0.000E+00 2.217E+01 7.046E+03 -1.837E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 2.165E-08 -1.601E-08 -2.418E-09 2.096E-09 6.662E-07 -1.736E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 4.866E+02 -3.625E+02 0.000E+00 2.249E+00 7.269E+03 -1.793E+03

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 2.165E-08 -1.849E-08 -1.354E-09 2.127E-10 6.873E-07 -1.696E-07

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 2.427E+02 -4.356E+02 0.000E+00 -1.102E+02 6.549E+03 -1.785E+03

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 1.358E-08 -1.849E-08 2.104E-09 -1.042E-08 6.192E-07 -1.688E-07

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 2.652E+02 -3.607E+02 0.000E+00 -9.030E+01 6.768E+03 -1.837E+03

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 1.358E-08 -1.601E-08 1.041E-09 -8.537E-09 6.398E-07 -1.737E-07

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 4.503E+02 -1.597E+02 0.000E+00 -1.058E+02 -6.941E+03 1.674E+03

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.812E-08 -1.072E-08 -3.170E-09 -1.000E-08 -6.563E-07 1.582E-07


matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 1.812E-08 -4.884E-09 -5.671E-09 -1.204E-08 -6.357E-07 1.624E-07

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 25.962 2.391E+02 -6.258E+01 0.000E+00 1.372E+02 -7.444E+03 1.700E+03

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 9.377E-09 -4.884E-09 -1.926E-09 1.297E-08 -7.038E-07 1.607E-07

Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 53 24.038 1.862E+02 -2.389E+02 0.000E+00 1.587E+02 -7.221E+03 1.649E+03

matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 54.124 9.377E-09 -1.072E-08 5.753E-10 1.501E-08 -6.827E-07 1.559E-07

109




Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -1.341E+03 -3.185E+03 0.000E+00 -5.155E+02 6.066E+03 -3.231E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 -1.403E-08 -1.012E-07 4.937E-08 -4.874E-08 5.736E-07 -3.055E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 25.962 -1.416E+03 -3.435E+03 0.000E+00 -5.411E+02 6.184E+03 -3.428E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain



1 54.124 -2.439E-08 -1.012E-07 5.381E-08 -8.431E-08 4.476E-07 -2.682E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -5.885E+02 -2.283E+03 0.000E+00 -3.441E+02 -4.937E+03 2.876E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain



1 54.124 -3.803E-09 -8.480E-08 3.797E-08 -6.936E-08 -5.829E-07 2.459E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 368 24.038 -8.095E+02 -2.350E+03 0.000E+00 -7.156E+02 -6.240E+03 2.876E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 -3.803E-09 -7.661E-08 3.446E-08 -6.766E-08 -5.899E-07 2.719E-07



110


Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 1.399E+04 2.075E+04 0.000E+00 5.369E+03 -8.492E+03 -8.826E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain 1 45.876 2.823E-07 6.019E-07 -3.789E-07 5.076E-07 -8.029E-07 -8.345E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.359E+04 1.941E+04 0.000E+00 5.588E+03 -1.132E+04 -7.565E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 45.876 2.823E-07 5.577E-07 -3.600E-07 5.283E-07 -1.070E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.627E+04 2.022E+04 0.000E+00 3.587E+03 1.231E+04 -2.017E+04matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.709E-07 5.577E-07 -3.980E-07 3.391E-07 1.164E-06 -1.907E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 1.667E+04 2.155E+04 0.000E+00 3.368E+03 1.581E+04 -2.522E+04matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 54.124 3.709E-07 6.019E-07 -4.169E-07 3.184E-07 1.495E-06 -2.384E-06 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 24.038 3.362E+03 4.488E+03 0.000E+00 8.157E+02 -1.417E+04 9.772E+03 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 7.329E-08 1.265E-07 -8.564E-08 7.712E-08 -1.339E-06 9.239E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 3.293E+03 4.257E+03 0.000E+00 6.379E+02 -1.038E+04 1.040E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain

1 45.876 7.329E-08 1.189E-07 -8.237E-08 6.031E-08 -9.810E-07 9.835E-07 Elmt 1-coord 11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 31-stress 683 25.962 1.115E+03 3.604E+03 0.000E+00 2.915E+02 1.286E+04 1.513E+04 matl 2-coord 11-strain 22-strain 33-strain 12-strain 23-strain 31-strain


1 54.124 1.225E-09 1.265E-07 -5.475E-08 4.437E-08 1.137E-06 1.311E-06

111


-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

0 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=50b+h=50b-



-3,00E-02

-2,50E-02

-2,00E-02

-1,50E-02

-1,00E-02

-5,00E-03

0,00E+000 5 10 15 20

Coordenada x (cm)

Def

lexã

o y(

x) c

m

h=50b+h=50b-


112

5.4.6 - Análise Gráfica da Deflexão das Linhas em 3D

Observamos da análise gráfica da deflexão da linha elástica que esta é

inversamente proporcional a altura da viga, conforme mostra a Figura - 5. 19

Deslocamento da Linha Elástica na Base da Viga

-3,00E+01

-2,50E+01

-2,00E+01

-1,50E+01

-1,00E+01

-5,00E+00

0,00E+00

5,00E+00

0,00E+00

2,00E+05

4,00E+05

6,00E+05

8,00E+05

1,00E+06

1,20E+06

Coordenada y (cm)

Def

lexã

o z(

y)

h=10h=20h=30h=40h=50


Deflexao máxima no centro da viga em termos do grau de esbeltez da viga

-3,00E+01

-2,50E+01

-2,00E+01

-1,50E+01

-1,00E+01

-5,00E+00

0,00E+00

5,00E+00

0 2 4 6 8 10 12

alfa = l/h

w(x

) (cm

)

MEF1TeóricoMEF2

Figura - 5. 39. Variação da deflexão máxima no centro da viga em função do parâmetro α = l/h, comparação entre o cálculo analítico e o realizado pelo Métodos dos Elementos Finitos.

113

Capítulo – VI

DISCUSSÃO ANÁLISE DOS RESULTADOS

RESUMO

Neste capítulo será feita uma discussão do problema da viga de concreto sem

reforço. Será comparado o valor analítico da viga unidimensional com o resultado numérico

obtido pelo Método dos Elementos Finitos de vigas elásticas, bi-apoiada, com carregamento

duplo localizado simetricamente em relação ao meio ao seu centro para os casos 1-D, 2-D, 3-

D. Será feito uma análise da convergência e do erro relativo.


Dependendo das condições de contorno temos diferentes problemas de viga em

engenharia. No problema que foi resolvido neste trabalho adotou-se uma viga bi-apoiada com

um carregamento localizado na parte superior na metade da viga. Esse problema possui

solução unidimensional que aparece nos livros textos de graduação em Engenharia. Contudo,

quando se resolve o problema da viga em duas e três dimensões (2-D e 3D) surgem efeitos

dimensionais nas demais direções. Isto porque o módulo de Poisson é a grandeza responsável

por transmitir as tensões e os deslocamentos que afetam as outras direções, que no caso

unidimensional (1-D) anteriormente não havia. Desta forma, os resultados dos cálculos

obtidos não são sempre os mesmos que no caso unidimensional. (1-D). Portanto, os resultados

da viga 1-D só encontraram-se melhor aproximação para os pontos contidos sobre a linha

neutra da viga 2-D.

114

6. 2 – Análise dos Deslocamentos e das Tensões Principais

6.2.1 - Comparação com o Resultado Analítico Unidimensional

Os resultados dos deslocamentos obtidos nas Malhas estão apresentados de forma

comparativa na Tabela - VI. 1 e Tabela - VI. 3 para um ponto na metade do comprimento na

parte inferior e superior da viga e a Tabela - VI. 2 para um ponto na metade do comprimento

na parte central da viga.

Tabela - VI. 1. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Inferior na Metade da Viga para h = 10.0

Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 50 4.9000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

51 5.0000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

1D

52 5.1000E+01 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0

50 4.9000E+01 0.0000E+00 -1.9377E-06 -6.0759E-04

51 5.0000E+01 0.0000E+00 1.4299E-19 -6.0787E-04

2D

52 5.1000E+01 0.0000E+00 1.9377E-06 -6.0759E-04

5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

3D

5.0000E+00 0.0000E+00

Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00

Tabela - VI. 2. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Central na Metade da Viga para h = 10.0

Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

1D

5.0000E+00 0.0000E+00

1060 4.9000E+01 1.0000E+01 8.7628E-07 -6.0839E-04

1061 5.0000E+01 1.0000E+01 7.6602E-20 -6.0867E-04

2D

1062 5.1000E+01 1.0000E+01 -8.7628E-07 -6.0839E-04

5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

3D

5.0000E+00 0.0000E+00

Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00

Tabela - VI. 3. Deslocamento nas direções ortogonais 1 e 2 no Ponto Superior na Metade da Viga para h = 10.0

115

Malha Nó 1-coord 2-coord 1-desloc 2-desloc 1-tensao 2-tensao 5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

1D

5.0000E+00 0.0000E+00

2070 4.9000E+01 1.0000E+01 3.6904E-06 -6.0496E-04

2071 5.0000E+01 1.0000E+01 -2.0157E-20 -6.0525E-04

2D

2072 5.1000E+01 1.0000E+01 -3.6904E-06 -6.0496E-04

5.0000E+00 0.0000E+00

5.0000E+00 0.0000E+00

3D

5.0000E+00 0.0000E+00

Teórico - 5.0000E+00 0.0000E+00

Os resultados das tensões obtidas nas Malhas estão apresentados de forma

comparativa na Tabela - VI. 4 para um ponto na metade do comprimento na parte inferior da

viga e a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do comprimento na parte superior da viga.

Tabela - VI. 4. Tensão nas Malhas nos Ponto Inferior e Superior na Metade da Viga

No

Malha

Nó

Equivalente

Na Parte

Inferior

Tensão de

Tração

(Pa)

Nó

Equivalente

Na Parte

Central

Tensão

(Pa)

Nó

Equivalente

Na Parte

Superior

Tensão de

Compressão

(Pa)

Malha 1 6 1.257E+06 61 -1.143E+05 116 -1.322E+06

Malha 2 11 1.388E+06 116 -1.107E+05 221 -1.537E+06

Malha 3 21 1.438E+06 226 -9.759E+04 431 -1.728E+06

Malha 4 41 1.544E+06 851 -1.882E+04 1661 -2.232E+06

Maha 5 81 1.523E+06 1691 -1.558E+04 3301 -2.343E+06

Teórico - 1.7052E+06

- - - -1.7052E+06

116

6.2.2 - Análise do Erro em Relação ao Valor Analítico 1-D

Os cálculos do erro relativo cometido na análise das deformações estão mostrados

na Tabela - VI. 5 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a

Tabela - VI. 6 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga.

Tabela - VI. 5. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga

Parâmetro

Da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

2-Deslocamento (u)

Calculada pelo FEAP (m)

Erro Relativo

0.10000 -5.1673E-04

-5.2847E-04

0.022719795638

0.05000 -5.1673E-04

-5.7265E-04

0.108218992511

0.02500 -5.1673E-04

-5.9391E-04

0.149362336230

0.01250 -5.1673E-04

-6.0976E-04

0.180035995588

0.00625 -5.1673E-04

-5.7071E-04

0.104464614015

Tabela - VI. 6. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga

Parâmetro

Da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

2-Deslocamento (u)


Erro Relativo

0.10000 -8.3916E-4 -7.8942E-04 0.059273559274

0.05000 -8.3916E-4 -8.3372E-04 0.006482673149

0.02500 -8.3916E-4 -8.5524E-04 0.019162019162

0.01250 -8.3916E-4 -8.7121E-04 0.038192954860

0.00625 -8.3916E-4 -8.3204E-04 0.008484675151

Tabela - VI. 7. Análise do Erro no Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

2-Deslocamento (u)

Exato (m)

2-Deslocamento (u)


Erro Relativo

0.10000 -1.0334E-03

-1.0481E-03

0.014224888717

0.05000 -1.0334E-03

-1.0936E-03

0.058254306174

0.02500 -1.0334E-03

-1.1193E-03

0.083123669441

0.01250 -1.0334E-03

-1.1385E-03

0.101703115928

0.00625 -1.0334E-03

-1.0990E-03

0.063479775498

117

Os cálculos do erro relativo cometido na análise das tensões estão mostrados na

Tabela - VI. 8 para um ponto na metade do comprmento na parte inferior da viga e a Tabela -

VI. 10 para um ponto na metade do comprmento na parte superior da viga.

Tabela - VI. 8. Análise do Erro na Tensão no Ponto Inferior na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

Tensão Exata

(Pa)

Tensão Calculada

pelo FEAP (Pa)

Erro Relativo

0.10000 1.7052E+06

1.257E+06

0.262843068262

0.05000 1.7052E+06

1.388E+06

0.186019235280

0.02500 1.7052E+06

1.438E+06

0.156697161623

0.01250 1.7052E+06

1.544E+06

0.094534365470

0.00625 1.7052E+06

1.523E+06

0.106849636406

Tabela - VI. 9. Análise do Erro na Tensão no Ponto Central na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

Tensão Exata

(Pa)

Tensão Calculada

pelo FEAP (Pa)

Erro Relativo

0.10000 - -1.143E+05 -

0.05000 - -1.107E+05 -

0.02500 - -9.759E+04 -

0.01250 - -1.882E+04 -

0.00625 - -1.558E+04 -

Tabela - VI. 10. Análise do Erro na Tensão no Ponto Superior na Metade da Viga

Parâmetro

da Malha

Tensão Exata

(Pa)

Tensão Calculada

pelo FEAP (Pa)

Erro Relativo

0.10000 -1.7052E+06

-1.322E+06

1.775275627492

0.05000 -1.7052E+06

-1.537E+06

1.901360544218

0.02500 -1.7052E+06

-1.728E+06

2.013370865588

0.01250 -1.7052E+06

-2.232E+06

2.308937368051

0.00625 -1.7052E+06

-2.343E+06

2.374032371569

118

A partir das tabelas (Tabela - VI. 5 e Tabela - VI. 6) mostradas anteriormente,

observa-se uma ligeira diferença nos deslocamentos quando se compara os resultados obtidos

em 2-D com o modelo teórico 1-D. Já nas tabelas (Tabela - VI. 8 e Tabela - VI. 10) o efeito

dimensional na tensão se agrava ainda mais porque, além dos efeitos dimensionais, a carga

concentrada em um nó e a reação dos apoios se acentua com o refinamento da malha.

Outro efeito da nova dimensão em problemas de elementos finitos em relação a

previsão teórica unidimensional (1-D) é que a linha neutra da viga não esta localizada no meio

da barra, encontrando-se diferentes valores de tensão e deslocamento para os pontos

simétricos em relação ao centro da viga. Isto por causa da posição super-localizada dos

apoios.

6.2.3 - Análise de Convergência das Malhas

O trabalho proposto foi inicialmente feito com o carregamento super-localizado

em todas as malhas. Contudo, essa superlocalização do carregamento estava impedindo a

converg6encia dos resultados das malhas. Para se resolver o problema de convergência da

malha 2-D para que esta se iguale ao resultado 1D foi necessário tomar a seguinte

providência:

1) Fazer uma suavização da distribuição da carga concentrada e dos pontos de aplicação

dos apoios para uma região vizinha do nó em questão conforme mostra a Figura - 6. 1.

Figura - 6. 1. Suavização da distribuição da carga concentrada e do ponto de aplicação dos apoios.

Uma outra providência poderia ser tomada caso a última malha não convergisse e

precisasse de mais um reinamento.

2) Produzir uma malha equivalente usando-se a propriedade de simetria do carragamento

conforme mostra a Figura - 6. 2.

119

Figura - 6. 2. Uso da simetria da malha.

Contudo, esta última providência não foi necessária.

A análise de convergência dos resultados foi feita pelo erro relativo cometido

entre as malhas segundo a equação (6. 1).

. 0,05malha malhaanterior posterior

malhaanterior

u u

Erro

u

−

= ≤ (6. 1)

A partir desta equação construiu-se a Tabela - VI. 11 para um ponto na metade do

comprmento na parte inferior da viga e a Tabela - VI. 13 para um ponto na metade do

comprmento na parte superior da viga

Tabela - VI. 11. Deslocamento no Ponto Inferior na Metade da Viga

Malha Parâmetro

da Malha

Nó

Equivalente

2-Deslocamento (u)


Erro de

Convergência1

0.10000 6 -5.2847E-04 0.083599825913

2 0.05000 11 -5.7265E-04

0.037125643936 3

0.02500 21 -5.9391E-04 0.026687545251

4 0.01250 41 -6.0976E-04

0.064041590134 5

0.00625 81 -5.7071E-04 0.094583939304

∞

0.10000 - -5.1673E-04

0

120

Tabela - VI. 12. Deslocamento no Ponto Central na Metade da Viga

Malha Parâmetro

da Malha

Nó

Equivalente

2-Deslocamento (u)


Erro de

Convergência1 0.10000 61 -7.8942E-04

0.056117149299 2 0.05000 116 -8.3372E-04

0.025812023221 3 0.02500 226 -8.5524E-04

0.018673120995 4 0.01250 851 -8.7121E-04

0.044960457295 5 0.00625 1691 -8.3204E-04

0.008557280900 ∞ 0.10000 - -8.3916E-4

0

Tabela - VI. 13. Deslocamento no Ponto Superior na Metade da Viga

Malha Parâmetro

da Malha

Nó

Equivalente

2-Deslocamento (u)


Erro de

Convergência1 0.10000 116 -1.0481E-03

0.043411888179 2 0.05000 221 -1.0936E-03

0.023500365764 3 0.02500 431 -1.1193E-03

0.017153578129 4 0.01250 1661 -1.1385E-03

0.034694773825 5 0.00625 3301 -1.0990E-03

0.059690627843 ∞

0.10000 - -1.0334E-03

0

A partir do dados das Tabela - VI. 11 e Tabela - VI. 13 construi-se o gráfico da

Figura - 6. 3.

Análise da Convergência das Malhas

0.0000000.0100000.0200000.0300000.0400000.0500000.0600000.0700000.0800000.0900000.100000

0.00000000E+0

0

2.00000000E-02

4.00000000E-02

6.00000000E-02

8.00000000E-02

1.00000000E-01

1.20000000E-01

Parametro da Malha

Con

verg

enci

a

Ponto InferiorPonto SuperiorPonto Central

Figura - 6. 3. Gráfico da Análise da Convergência das Malhas para os Deslocamentos no ponto Inferior e Superior na metade da Viga

121

Esta figura representa a ordem p de convergência das malhas que no caso para o

ponto inferior na metade da viga é dado por:

log log

log log

malha malhaanterior posterior

malha malhaanterior posterior

P P

p

erro erro

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6. 2)

onde P é o parâmetro da malha. Logo, substiutindo os valores encontrados, temos as ordens

de convergência médias, p, das malhas para os três pontos da viga estudados:

i) Para o Ponto Inferior na Metade da Viga:

Tabela - VI. 14. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Inferior na Metade da Viga

log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.352531377937 0.853909792160 0.301029995664 0.143365366380 2.099740008797 0.301029995664 -0.380153478033 -0.791864373362 0.301029995664 -0.169355291097 -1.777505702444

ii) Para o Ponto Central na Metade da Viga:

Tabela - VI. 15. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Central na Metade da Viga

log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p 0.301029995664 0.337273554010 0.892539578288 0.301029995664 0.140605135845 2.140960170871 0.301029995664 -0.381613808520 -0.788834127442 0.301029995664 0.720494931508 0.417810011562

iii) Para o Ponto Superior na Metade da Viga:

Tabela - VI. 16. Ordem de Convergênia das Malhas no Ponto Superior na Metade da Viga log(Pant)-log(Ppost) log(Erroant)-log(Erropost) p

0.301029995664 0.266534053902 1.129424143959 0.301029995664 0.136719896828 2.201800927642 0.301029995664 -0.305909335732 -0.984049718337 0.301029995664 -0.235642086277 -1.277488246774

122

Observe que a ordem de convergência, p, das malhas está condicionada ao ponto

de estudo, e a certo grau de refinamento. Pois a partir de certo limite de refinemento os

valores começam a divergir do valor calculado analiticamente pelo modelo 1-D, conforme

mostra a Figura - 6. 3.

123

Capítulo – VII

CONCLUSÃO

7. 1 - Considerações Finais

O problema elástico de vigas é muito importante na engenharia. A sua solução

numérica demanda algum custo computacional em elementos finitos, quando se quer

empregar um grau de realismo maior do que aquele do modelo analítico 1-D. Pois

dependendo das condições de contorno, tais como: apoios, engastamentos, pontos de

aplicação das forças, etc. Estas condições influenciam grandemente na resposta final do

campo de tensões no problema. Observou-se que mesmo que o problema aparentemente seja

muito parecido o resultado final do campo de tensão depende muito da fixação dos apoios,

por exemplo. O modelo analítico 1-D que se encontra no livro texto difere muito do problema

2-D e 3-D, principalmente quando se tem uma viga parede, por exemplo. Embora exista a

correção de Timoshenko para este caso os efeitos das demais dimensões determina uma outra

situação no campo de tensão/deformação do corpo submetido a um carregamento. A única

forma de se comparar os resultados analíticos 1-D com os resultado numéricos 2-D e 3-D é

comparando-se com os resultados analíticos 1-D com aqueles fornecidos pelos modelos 2-D e

3-D, apenas na linha neutra e na superfície neutra respectivamente.

O Método dos Elementos Finitos 2-D e 3-D oferece uma simulação muito mais

realista do problema da viga do que aquele encontrado nos livros textos para 1-D.

Empregamos o código FEAP para resolver o problema da viga bi-apoioada em 2-D com

carregamento central e conclui-se que este código apresenta resultados muito próximos do

real.

124

Referências Bibliográficas 1 – Hughes, T. J. R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element

Analysis, Prentice-Hall, 1987.

2 – Cook, R. D., Malkus D. S. and Plesha M. E., Conceptions and Applications of Finite

Element Analysis, 3rd edition, Wiley, 1989.

3 –Bathe, K. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, 1982.

4 – Johnson, C., Numerical Solutions of Partial Differential Equations by the Finite Element

Method, Cambridge University Press (texto muito matemático), 1987.

5 – Strang, G. and Fix, G. J., An Analysis of the Finite Element Method, Prentice-Hall (muito

matemático, uma referência extraordinária para a época), 1973.

6 – Zienkiewicz, O. C., and Taylor, R. L. The Finite Elements Method, 4th.Edition, vol.1 e

vol. 2, McGraw-Hill, 1989-91.

7 – Reddy, J. N. and Gartiling, D. K., The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid

Dynamics, CRC Press, 1994.

Endereços da Internet para consultas sobre o código FEAP

8 – http://euler.berkeley.edu/decf/help/feap/report.txt Version 2.33

9 – http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/readme.txt

10 – ncftp://ce.berkeley.edu/pub/pcfeap

11 – http://www.kagaku.co.jp/pcfeap.htm

125

Apêndices A. 1 – Elementos da Teoria Elástica Linear

A.1.1 – A Equação de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

A equação do Momento Cortante, Q, que atua sobre a viga para a condição de

equilíbrio, é dado por:

( ) ( ) 0dQ x

q xdx

+ = (2. 145)

A relação entre o Momento Cortante, Q, e o Momento Fletor, M é dada por:

( ) ( )dM xQ x

dx= (2. 146)

A equação do Momento Fletor que atua sobre a viga é dado por:

( ) ( )2

2 0d M x

q xdx

+ = (2. 147)

Como o Momento Fletor é dado por ( )2

2d w x

M EIdx

= − . Logo,

( ) ( )4

4 0d w x q x

EIdx− = (2. 148)

126

A.1.2 - Problema Variacional de uma Viga Bi-apoiada Unidimensional

Esta equação também pode ser obtida do calculo variacional da equação da

energia potencial total do sistema, dada por:

( ) ( ) ( )22

20

2

l

pd w xEII q x w x dx

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ . (2. 149)

onde ( )22

22d w xEI

dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

: é a Energia Potencial de Deformação; q(x)w(x): é a Energia Potencial da

carga Atuante; quando aplicada sobre o funcional (2. 149) a equação de Euler Lagrange, da

seguinte forma:

Seja F dado por:

( ) ( ) ( )22

2( , , '')2

d w xEIF F x w w q x w xdx

⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 150)

Pelo Principio da Energia Potencial mínima, a configuração de equilíbrio

corresponde à extremização do funcional.

Da equação de Euler-Lagrange:

0'''''' 2

2

3

3

=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

wF

wF

dxd

wF

dxd

wF

dxd (2. 151)

como

0'

0'''3

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

wF

dxde

wF

dxd (2. 152)

Temos:

0''2

2

=∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

wF

wF

dxd (2. 153)

Logo

( ) '';'''' 2

2

2

2

EIwwF

dxEIwd

wF

dxd

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ (2. 154)

e

127

qwFe

dxwdEI

wF

dxd

−=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

4

4

2

2

'' (2. 155)

Então substituindo em (2. 153) temos:

( ) ( )4

4d w x q x

EIdx= (2. 156)

A equação diferencial da linha elástica.

128

A) Por outro lado,

b ax S x= + (2. 157)

Ou simplesmente:

( )1 1 aaa b

S xxA F FL L

⎛ ⎞+⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 158)

ou

( ) 1 aa b b

x SA F F FL L

⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 159)

logo

2 1 ax SA F FL L

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 160)

como S a b= + temos:

( ) ( )1 1a ax a x b

A F FL L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2. 161)

como / 2 a aL x a x b= + = + temos:

/ 2 / 21 1L LA F FL L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 162)

Logo

1 11 12 2

A F F⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 163)

então,

2 2F FA = + (2. 164)

Portanto, por simetria,

A B F= = (2. 165)

129

B1)

252 2

ba b a b

xLFx x Fx FLx F C− = − + (2. 166)

logo

25 2 2

ba b a b

xLC Fx x Fx FLx F= − − + (2. 167)

Completando o quadrado perfeito temos:

( )2 2 25 2

2 2 2a

a a b b b axF FC x x x x FL x x⎛ ⎞= + + − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 168)

Logo

( )2 25 2 2 2

aa b b a

xF FC x x FL x x⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 169)

Como a bL x x= + temos:

2 25 2 2 2

ab a

xF FC L FL x x⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2. 170)

Logo

( )2 25 2

2 a b aFC L x L x L x= − + − (2. 171)


( )2 2 2 25 2

2 b b a b aFC L x L x x L x x= + + − − − (2. 172)

Logo

( )2 2 25 2 b a b a

FC L x x L x x⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 173)

Ou

( ) ( )2 2 25 2 b a b a

FC L x x L x x⎡ ⎤= + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 174)

130

B2)

252 2

ba b a b

xLFx x Fx FLx F C− = − + (2. 175)

logo

25 2 2

ba b a b

xLC Fx x Fx FLx F= − − + (2. 176)

Então

5 2 2b

a b bxLC Fx x Fx L⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 177)

Como a bL x x= + temos:

( ) 22

5 2 2a b b

a b a b bx x xC Fx x F x x x

⎛ ⎞⎡ ⎤+= − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

(2. 178)

Logo

25 2 2 2

b a ba a b

x x xC Fx F x x⎛ ⎞⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2. 179)

Então

2 25 2 2 2

a b a ba b

x x x xC F x x⎡ ⎤

= − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 180)

E

2 25 2 2 2

a b a bx x x xC F⎡ ⎤

= − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 181)

Ou

2 25 2

2 a b a bFC x x x x⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ (2. 182)


131

2 2 2 25 2

2 a b a b b bFC x x x x x x⎡ ⎤= − + + − −⎣ ⎦ (2. 183)

Então

( )2 25 2

2 a b bFC x x x⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 184)

Portanto,

2 25 2

2 bFC L x⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (2. 185)

Retornando a (2. 81) temos:

2 2 362

2 3bF FL x L C L⎡ ⎤− − + = −⎣ ⎦ (2. 186)

Logo

3 2 36 2

2 3bF FC L x L L⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (2. 187)

Portanto,

2 36

1 12 3bC Fx L FL ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 188)

Ou

32

6 6bFLC Fx L= − + (2. 189)

Ou

22

6 6bLC FL x

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2. 190)

132

B3)

252 2

ba b a b

xLFx x Fx FLx F C− = − + (2. 191)

logo

25 2 2

ba b a b

xLC Fx x Fx FLx F= − − + (2. 192)

Então

5 2 2b

b a ax LC Fx x L Fx⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 193)

Como b ax L x= − temos:

5 2 2b

b b ax LC Fx x Fx⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 194)

Logo

5 2 2b

b ax LC Fx Fx⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 195)

Portanto,

25 2 2

ba

xFC x L⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 196)

Retornando a (2. 81) temos:

23

62 2 3b

axF Fx L L C L

⎡ ⎤− + + = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 197)

Logo

23

6 3 2 2b

axF FC L x L L

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (2. 198)

Portanto,

133

2 26

22 2 3

ba

xFL LC x L⎡ ⎤

= + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2. 199)

134

A. 2 – Arquivo de Entrada de Dados da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D

135

Malha – 1-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO-1D 101 100 1 2 2 2 param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h=0.0 t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume total da Viga (cm^3) mt=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto d=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) Y=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) ps=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 m=d*V !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=100 ny=1 no=(nx+1)*(ny+1) !Numero Total de Nós el= nx*ny !Numero Total de elementos n1=1 !Nó 1 do bloco e1=1 !Elemento 1 do bloco F=100e3 f1=1*nx/4+1 f2=3*nx/4+1 bloc cart, nx n1 e1 mt qd 1 0.0 0.0 2 lx h boun 1 0 1 1 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0.0 -F f2 0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y ps thermal isotropic 10e-6 25 density data d end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

136

Malha – 2-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 2D 2121 2000 1 2 2 4 noprint param lx=100.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h=20.0 !Altura do Bloco (cm) t=1.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume total da Viga (cm^3) mt=1 !MATERIAL Material 1 - Concreto d=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) Y=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) ps=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 m=d*V !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=0 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=100 !Numero de Elementos na Direção x ny=20 !Numero de Elementos na Direção y no=(nx+1)*(ny+1) !Numero total de Nós el= nx*ny !Numero total de elementos n1=1 !Nó 1 do bloco e1=1 !Elemento 1 do bloco F=100e3 f1=no-3*nx/4 !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f1 =no-3*nx/4 f2=no-1*nx/4 !Localizaçao da Força F2 f2=no-nx/4 bloc cart nx ny n1 e1 mt qd 1 0.0 0.0 2 lx 0.0 3 lx h 4 0.0 h boun 1 0 1 1 nx+1 0 1 1 forc f1 0 0.0 -F f2 0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y ps density data d end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all end inter stop end

137

Malha – 3-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- 3D 1024 735 1 3 3 8 param lx=2.0 !GEOMETRIA DA VIGA Comprimento do Bloco (cm) h1=10.0 !Altura do Bloco (cm) t=2.0 !Espessura na Direçao z=3 (cm) V=lx*h*t !Volume Total da Viga (cm^3) mt=1 !MATERIAL Material - Concreto d=2320 !PROPRIEDADES DO MATERIAL Massa Especifica Material 1 (Kg/m^3) Y=27.5e9 !Módulo Elástico Material 1 (Pa) ps=0.3 !Módulo de Poisson do Material 1 m=d*V !Massa total da viga (Concreto + Aço) (Kg) g=9.8 !FORCAS DE CAMPO !Campo Gravitacional (m/s^2) P=m*g !Peso da Viga (N) qd=10 !CARACTERISTICAS DA MALHA Tipo de Elemento - quadrático nx=15 !Numero de Elementos na Direção x ny=7 nz=7 no=(nx+1)*(ny+1)*(nz+1) !Numero total de Nós ns=(nx+1)*(ny+1)*nz+1 np=ns+1*(nx+1)*(ny+1)/4 nu=no-1*(nx+1)*(ny+1)/4+1 !nu=ns+3*(nx+1)*(ny+1)/4-nx el= nx*ny*nz !Numero total de elementos n1=1 e1=1 F=100e3 f1=np+nx !CARREGAMENTO DAS FORÇAS Localizaçao da Força F1 f2=nu+nx ! Localizaçao da Força F2 bloc cart,nx ny nz n1 e1 mt qd 1 0.0 0.0 0.0 2 lx 0.0 0.0 3 lx h1 0.0 4 0.0 h1 0.0 5 0.0 0.0 t 6 lx 0.0 t 7 lx h1 t 8 0.0 h1 t boun 1 1 -1 -1 -1 nx+1 0 -1 -1 -1 (nx+1)*ny+1 1 -1 -1 -1 (nx+1)*(ny+1) 0 -1 -1 -1 forc np 1 0.0 0.0 -F f1 0 0.0 0.0 -F nu 1 0.0 0.0 -F f2 0 0.0 0.0 -F mate solid plane stress elastic isotropic Y ps density data d end batch loop,,2 tang,,1 next form disp all stre all

138

end inter stop end

139

A. 3 – Arquivo de Saída da Viga Bi-Apoiada 1-D, 2-D e 3-D

Malha – 1-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- esparsa

Solution date: Thu Nov 1 14:19:38 2007

2.0 Revision a

07 April 2005

Input Data Filename: Ivigabi2db1

Number of Nodal Points - - - - - - : 121

Number of Elements - - - - - - - - : 100

Spatial Dimension of Mesh - - - - - : 2

Degrees-of-Freedom/Node (Maximum) - : 2

Number Element Nodes (Maximum) - : 4

Number of Material Sets - - - - - - : 1

Number Parameters/Set (Program) - : 200

Number Parameters/Set (Users ) - : 50

Material Set 1 for Element Type: solid

T w o D i m e n s i o n a l S o l i d E l e m e n t

M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s

Plane Stress Analysis

Modulus E 2.75000E+10

Poisson ratio 0.30000

Thickness 1.00000E+00

Quadrature: Arrays 2

Quadrature: Output 1

T h e r m a l E x p a n s i o n s

Th. Alpha-1 1.00000E-05

Th. Alpha-2 1.00000E-05

Th. Alpha-3 1.00000E-05

140

T_0 2.50000E+01

Th. D.O.F. 0


Density 2.32000E+03

1-Gravity Load 0.00000E+00



Formulation : Small deformation.

Element type: Displacement.

Mass type : Lumped.

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 5.23 0.00

Residual norm = 4.3186086E+07 1.0000000E+00 t= 5.23 0.00

Condition check: D-max 0.1125E+12; D-min 0.2607E+10; Ratio 0.4314E+02

Maximum no. diagonal digits lost: 1

End Triangular Decomposition t= 5.25 0.00

Number of operations = 141258 plus 0 Mega-ops

Time: CPU = 5.25 , System = 0.00

--> SOLVE AT 7.06 Mflops. Time= 0.02

Energy convergence test

Maximum = 9.291625468449449E+04 Current = 9.291625468449449E+04

Relative = 1.000000000000000E+00 Tolerance = 1.000000000000000E-16

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 8.90 0.00

Residual norm = 1.0546801E-06 2.4421757E-14 t= 8.90 0.00





Maximum = 9.291625468449449E+04 Current = 5.055370297614026E-21

Relative = 5.440781394794690E-26 Tolerance = 1.000000000000000E-16

*Macro 1 * disp 116 v: 116. 0.00 0.00

t= 21.01 0.00


N o d a l D i s p l a c e m e n t s Time 0.00000E+00

Prop. Ld. 1.00000E+00

Node 1 Coord 2 Coord 1 Displ 2 Displ

116 5.0000E+00 2.0000E+00 -2.9350E-19 -2.8562E-03

*Macro 1 * stre 1 v: 95.0 96.0 0.00

t= 34.75 0.00


141

Element Stresses



95 1 -87.0 -3.312E+06 -2.857E+05 0.000E+00 -1.602E+05 -2.773E+05

4.500 1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 -1.515E-05 -3.320E+06

96 1 87.0 -3.312E+06 -2.857E+05 0.000E+00 1.602E+05 -2.773E+05

5.500 1.900 -3.673E-04 -2.243E-04 -2.108E-04 1.515E-05 -3.320E+06

*Macro 1 * stre 2 v: 95.0 96.0 0.00

t= 48.67 0.00

*End of Macro Execution* t= 62.89 0.00

R e s t a r t O u t p u t D a t a

Time step number = 0

Time for restart = 0.00000E+00

Time increment = 0.00000E+00

Displacements output

Proportional load = 1.00000E+00

Arc-length load = 1.00000E+00

Force vector output

History data output

Saved Restart File: Rvigabi2db1

142

Malha – 2-D

feap ** Viga Bi-Apoiada -CONCRETO- Refinamento 1


2.0 Revision a

07 April 2005




















Th. Alpha-1 1.00000E-05

Th. Alpha-2 1.00000E-05

Th. Alpha-3 1.00000E-05

T_0 2.50000E+01

Th. D.O.F. 0

143


Density 2.32000E+03






Mass type : Lumped.

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 3.56 0.00








*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 6.09 0.00





Number of operations = 855258 plus 0 Mega-ops

Time: CPU = 6.10 , System = 0.00

--> SOLVE AT 85.53 Mflops. Time= 0.01




*Macro 1 * disp 221 v: 221. 0.00 0.00

t= 39.79 0.00



Prop. Ld. 1.00000E+00


221 5.0000E+00 2.0000E+00 5.6336E-19 -2.8312E-03

*Macro 1 * stre 1 v: 190. 191. 0.00

t= 70.71 0.00


Element Stresses


144


190 1 -84.5 -3.517E+06 -5.360E+05 0.000E+00 -2.883E+05 -5.084E+05

4.750 1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 -2.726E-05 -3.545E+06

191 1 84.5 -3.517E+06 -5.360E+05 0.000E+00 2.883E+05 -5.084E+05

5.250 1.900 -3.720E-04 -2.311E-04 -2.058E-04 2.726E-05 -3.545E+06









Force vector output

History data output


145

Malha – 3-D



2.0 Revision a

07 April 2005




















Th. Alpha-1 1.00000E-05

Th. Alpha-2 1.00000E-05

Th. Alpha-3 1.00000E-05

T_0 2.50000E+01

Th. D.O.F. 0

146


Density 2.32000E+03






Mass type : Lumped.

*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 3.28 0.00








*Macro 1 * tang v: 1.00 0.00 0.00

t= 5.87 0.00








*Macro 1 * disp 431 v: 431. 0.00 0.00

t= 28.17 0.00



Prop. Ld. 1.00000E+00


431 5.0000E+00 2.0000E+00 1.1566E-18 -2.8000E-03

*Macro 1 * plot v: 0.00 0.00 0.00

t= 33.92 0.00

*Macro 1 * stre 1 v: 380. 381. 0.00

t= 137.50 0.00


Element Stresses



147

380 1 -79.6 -3.628E+06 -9.549E+05 0.000E+00 -5.077E+05 -8.618E+05

4.875 1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 -4.800E-05 -3.721E+06

381 1 79.6 -3.628E+06 -9.549E+05 0.000E+00 5.077E+05 -8.618E+05

5.125 1.900 -3.715E-04 -2.451E-04 -2.000E-04 4.800E-05 -3.721E+06









Force vector output

History data output


Viga de Concreto1D, 2D e 3D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço

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Transcript of Viga de Concreto1D, 2D e 3D Bi-carregada e Bi-apoiada sem Reforço