UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

Actividad 6UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería Probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

PROBABILIDAD

TRABAJO COLABORATIVO 1

ANGELICA HERREÑO PAES 52839748YEXMI IRENE RODRIGUEZ 52851273MARTHA YANETH HERNANDEZ 52855542

GRUPO: 100402_118

CARMEN EMILIA RUBIOTUTOR


BOGOTÁ, COLOMBIAAbril de 2013


Desarrollo del trabajo

a.- ASPECTOS TEORICOS

CAPITULO 1: EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

Experimento aleatorio: Es aquel que bajo el mismo conjunto aparentede condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, esdecir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cadaexperiencia particular.

Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los resultadosposibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Se representa poruna letra.

Ejemplo:El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar lasuma de los puntos obtenidos es:

E = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Los sucesos de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntosdel espacio muestral E. Para designar cualquier suceso, tambiénllamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremosletras mayúsculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimentoaleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S.

Ejemplo:

E = 1,2, 3, 4, 5,6

Son subconjuntos de E:


Salir múltiplo de 5: A = 5,10

Salir número primo: B = 2,3,5,7,11 Salir mayor o igual que 10: C = 10, 11, 12

CAPITULO 2: TÉCNICAS DE CONTEOLección 6 Principio fundamental del conteo

El principio fundamental del conteo es determinar los posiblesresultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

Referente a las técnicas de conteo se tiene el principio de adición,multiplicación, permutación y combinación.

Adición: Si una primera operación puede realizarse de m manerasy una segunda operación de n maneras, entonces una operación ola otra pueden efectuarse de:

m+n maneras.

Ejemplo

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche desu casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modeloeconómico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen unmodelo económico como modelos un residencial, un californiano y unprovenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen ala pareja?

PRESA PLAYAS Económico Residencial Condominio Californiano Provenzal m = 2 n = 3


2+3 = 5 maneras

Multiplicación: Si se desea realizar una actividad que consta der pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo pasode N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas,entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. Elprincipio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de laactividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si unevento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamentehasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np manerasdiferentes, entonces el total de maneras distintas en que puedesuceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

Ejemplo

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajarde C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida yvuelta de C1 a C2?

Rta. (3)(4) = 12

Permutación: A diferencia de la formula de la multiplicación, sela utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuandosolo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos oposición de r objetos seleccionados de un solo grupo de nobjetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b,a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utilizapara contar el numero total de permutaciones distintas es:

FORMULA: n P r = n! (n - r)


Ejemplo

¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

Aplicando la formula de la permutación tenemos:

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: Se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

Combinación: En una permutación, el orden de los objetos de cadaposible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no esimportante, cada uno de estos resultados se denominacombinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo detrabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres(A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes,entonces si importa el orden, los resultados seránpermutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funcionesdefinidas, entonces no importa el orden y los resultados seráncombinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, DB

Combinaciones: AB, AC,BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de ungrupo de n objetos sin importar el orden.

La formula de combinaciones es:

n C r = n! r! (n – r)!


Lección 7 Factorial de un número

Factorial de un número

El factorial de un número entero positivo se de ne como el productofique se obtiene de multiplicar los números enteros desde 1 hasta elnumero n indicado en el factorial. Ejemplo de la notación defactorial n!.2, al respecto la de nición queda expresada en símbolosfiasí: n! = 1 x 2 x 3 x 4 …. x (n-x) x n

Lección 8 Permutaciones y variaciones

Permutaciones Y VariacionesUna permutación de los elementos es un acomodo u ordenamiento de ellos.El número de permutaciones (acomodos u ordenaciones) de n elementosdistintos, tomados todos de una vez, se denota por n!Una ordenación de un número r de elementos del conjunto de nelementos, r n , es denominada variación.

Son permutaciones en las que implica un orden en la colocaciónde los elementos, tomando únicamente una parte de los elementos.

Una variación puede construirse seleccionando el elemento que serácolocado en la primera posición del arreglo de entre los n elementos,para luego seleccionar el elemento de la segunda posición de entrelos n-1 elementos restantes, para seleccionar después el tercerelemento de entre los n-2 restantes, y así sucesivamente. Se tratapues de una permutación de n elementos tomando r a la vez

El caso especial de r=n,


Lección 9 Combinaciones

CombinacionesSuponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinación de ellos,tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos donde el orden no se tiene en cuenta . El número de combinaciones de n elementos tomadosr a la vez, r n , sin tener en cuenta el orden, es:

Lección 10 Regla del exponente

Regla Del ExponenteSe trata de un tipo de combinación o arreglo ordenado en dondesiempre hay reemplazo del elemento que se toma. Si se tienen unconjunto de N elementos y se construye con estos elementos unconjunto de n elementos, con la condición de que cada vez que se tomeun elemento del conjunto de N elementos este sea nuevamentereemplazado, entonces el número de posibles arreglos o acomodos delconjunto de n elementos es:

Nn

CAPÍTULO 3: PROPIEDADES BÁSICAS DE LA PROBABILIDAD Lección 11: Interpretaciones de la probabilidad

Existen tres diferentes formas de definir la probabilidad de unevento. Cada una de estas formas de interpretación tiene su lugar enel estudio de la Probabilidad y ninguna de ellas por separado cubrecompletamente todos los casos.

Definición Clásica de Probabilidad o a Priori

Esta definición es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones:

1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.


Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces

Ejemplo 24: Si se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3,1/4, 10, J, Q, K; 13 son tréboles); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes), la probabilidad de que

la carta sea un as es porque el evento de "extraer un as" constade 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de

que la carta sea negra es y la probabilidad de que sea un

diamante es .

Definición de probabilidad según el concepto de frecuenciarelativa o probabilidad frecuentista

En la actualidad, a este planteamiento se le llama frecuenciarelativa de presentación de un evento y define la probabilidad como:

La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos, o

La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones sonestables.

Este método utiliza la frecuencia relativa de las presentacionespasadas de un evento como una probabilidad. Determinamos qué tanfrecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra parapredecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.Esta propiedad es llamada La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.


Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso "salir cara al lanzar una moneda".

Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0'5. Ésa es la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproximasu frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.

Probabilidades subjetivas

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en laexperiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo.En este caso después de estudiar la información disponible, se asignaun valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creenciade que el suceso pueda ocurrir.

Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una másamplia flexibilidad que los otros dos planteamientos. Los tomadoresde decisiones pueden hacer uso de cualquier evidencia que tengan amano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la situación.Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con más frecuenciacuando los eventos se presentan sólo una vez o un número muy reducidode veces?


MISCELANEA DE EJERCICIOSEJERCICIOS CAPÍTULO 1

1. Luego de una semana de parciales exitosa, tu mejor amiga y tú deciden ir a ver una película a un multicine de 13 salas. Decida si cada una de las siguientes situaciones es aleatoria o no lo es:


a) A que numero de sala irán? Aleatoriab) Cuanto tiempo tardaran en la fila de la boletería para adquirir las entradas? Aleatoriac) Qué película verán? No aleatoria

2. Señale cuales de los siguientes resultados corresponden a situaciones no aleatorias o determinísticas y cuales corresponden a situaciones aleatorias o de incertidumbre.

a) El resultado del próximo partido Colombia-México: Aleatoria b) Lo que desayunare el día de mañana: No aleatoria c) El porcentaje de aprobados de un curso de Matemáticas (antes de

acabar el semestre): Aleatoria

8. La biblioteca de una universidad tiene cinco ejemplares de un cierto texto en reserva, Dosejemplares (1 y 2) son primera edición y los otros tres (3, 4 y 5) son segundas ediciones. Un estudianteexamina estos libros en orden aleatorio, y se detiene cuando selecciona una segunda edición.

a. Haga una lista de los elementos de S

Ejemplares S= {1, 2, 3, 4, 5}

Ejemplares S1= {1, 2}

Ejemplares S2= {3, 4, 5}

b. Liste los eventos

A: el libro 5 es seleccionado: A= {5} B: exactamente un libro debe ser examinado: B= {5} C: el libro 1 no es examinado C= {2, 3, 4, 5}

S

c. Encuentre: A∪B, B A, A∩ ∪C y B C. ∩

A∪B= {5} U {5} = {5} B A= {5} {5}= {5}∩ ∩ A∪C= {5} U {2, 3, 4, 5}= {2, 3, 4, 5} B C= {5} {2, 3, 4, 5}= {5}∩ ∩

A B 1 C

2 3 4

5

5


3. Michael y Robert son dos turistas ingleses que viajaron al Perú a conocer una de las sietemaravillas del mundo. Después de visitar Macchu Picchu, ellos deciden ir a disfrutar de las comidastípicas que se ofrecen en el restaurante “El último Inca”. A Carlos, el sobrino del dueño, se le haencomendado la tarea de observar que platos típicos comerán los dos turistas. La lista de platos es lasiguiente: Trucha con papas fritas, Milanesa de alpaca, Cuy con papas, Guiso de alpaca. Suponiendoque cada turista pedirá solo un plato.

La lista de los posibles platos donde T: trucha, M: milanesa, C: cuy, G: guiso, está dada en la siguientetabla:

Trucha conpapas fritas

Milanesa dealpaca

Cuy con papas Guiso dealpaca

Evento

Michael,Robert

(T;T)

Michael Robert (T;M)Michael Robert (T;C)Michael Robert (T;G)

Michael,Robert

(M;M)

Michael Robert (M;C)Michael Robert (M;G)

Michael,Robert

(C;C)

Michael, Robert (C;G)Michael,Robert

(G;G)

a) ¿Cuál es el espacio maestral del experimento? S = {(T; T),(T; M),(T; C),(T; G), (M; M),(M;C),(M; G),(C;C),(C; G),(G; G)}

b) Defina dos eventos A y BA = {(T; T)} Los dos turistas comen trucha con papas fritas.B = {(M; M)} Los dos turistas comen Milanesa de alpaca.


EJERCICIOS CAPÍTULO 2

2. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3mujeres. De cuántas formas puede formarse el comité si:

Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.Habrá 2 de 5 hombres y 3 de 7 mujeres

El comité puede formarse de 350 formas diferentes.

Una mujer determinada debe pertenecer al comité. Habrá 2 de 5 hombres y 2 de 6 mujeres, porque una de las siete ya pertenece al comité.


Dos hombres determinados no pueden estar en el comité. Habrá 3 de 7 mujeres y 2 de 3 hombres, ya que dos de los cinco no pueden estar en el comité.


5. Cuatro parejas van a ir juntas al teatro y compran boletos para 8 asientos de la misma fila. ¿Decuántas maneras diferentes se pueden colocar las 4 parejas sin que alguna quede separada?

Para que estén juntas ocuparan en la fila los asientos del 1 al 8. Como Pueden sentarse en cualquierpar de asientos sin separarse (1,2 o 3,4 o 5,6 o 7,8), entonces se tiene permutaciones de 4 así:

Pi= parejas P1 P2 P3 P4

P (4)= 4!= 4x3x2x1 = 24


La posición de cada pareja en su par de asientos puede cambiar, cada pareja se puede poner de 2formas. Entonces, se tiene 4 asientos por 2 formas, por 2:

4x2x2= 16

Así el total de maneras diferentes de ubicarse sin separarse cada pareja es de

24 x 16 = 384

8. En la síntesis de proteínas hay una secuencia de tres nucleótidos sobre el ADN que decide cuál es elaminoácido a incorporar. Existen cuatro tipos distintos de nucleótidos según la base, que puede ser A(adenina), G (guanina), C (citosina) y T (timina). ¿Cuántas secuencias distintas se podrán formar si sepueden repetir nucleótidos? Como es una combinación ordenada de nucleótidos, se reemplaza el elemento que se toma, y puedenrepetirse, entonces se utiliza la regla del exponente así: Nn

43= 64 que son la cantidad de secuencias distintas que se pueden formar.

EJERCICIOS CAPITULO 3

3. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar.

Tenemos que:

Hablan inglés: I= 48Hablan francés: F= 36Hablan los dos: I y F= 12Escribimos estos datos y llenamos los que faltan:48-12= 3636-12= 2436+48= 84

Hablanfrancés

No hablanfrancés

Hablan Inglés 12 36 48

No hablan Inglés 24 48 72

36 84 120

Ahora:


a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? 0,6%

P (A B) = P (A) +P (B)-P(A B) ∩

P (A B) =

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? 0,25%

P (B/A) = P (A B)/P (A) ∩

P (B/A) =

d) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? 0,2%

Se divide en 24, ya que como solo hablan francés, entonces a 36 se le restan los 12 que hablan los dosidiomas, que da como resultado 24:

P (B no A) = ∩

8. Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay 3 tubos deensayo con el virus A, 2 tubos con el virus B y 5 tubos con el virus C. La probabilidad de que el virus Aproduzca la enfermedad es de 1/3, que la produzca B es de 2/3 y que la produzca C es de 1/7, Seinocula un virus a un animal y contrae la enfermedad,

¿Cuál es la probabilidad de que contraiga la enfermedad?

Tenemos 3A + 2B + 5C = 10 tubos, cada tubo tiene las siguientes probabilidades:P(A) = 3/10 = 0.3 P(B) = 2/10 = 0.2 P(C) = 5/10 = 0.5

La probabilidad de que cada virus pueda causar la enfermedad (E) es: P(E|A) = 1/3 P(E|B) = 2/3 P(E|C) = 1/7

¿Cuál es la probabilidad de que el virus que se inocule sea el C?Las probabilidades de infección para cada virus, después de la inoculación son:


P(E | A) · P(A) = 3/10 · 1/3 = 1 / 10 P(E | B) · P(B) = 2/10 · 2/3 = 4 / 30 P(E | C) · P(C) = 5/10 · 1/7 = 5 / 70 P(E) = 1/10 + 4/30 + 5/70 = 0.3048

Averiguamos P(C | E)P(C | E) = P(E | C) · P(C) / P(E) = 5/70 / 0.3048 = 0.2343

11. En un centro médico, los fumadores que se sospecha tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía,mientras que el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es del 45%

a) Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea fumador? b)Cual es la probabilidad de que la persona tenga cáncer.

C= 90% Tienen cáncer D= 5% No fumadores lo padece E= 45% Proporción de fumadores

C - D = 85%

PA(E/C-D) = 45/85 = 0.529

La probabilidad de que el paciente con cáncer seleccionado sea fumador es del 0.529

PB(porcentaje de paciente con cáncer que es fumador / proporción de fumadores) PB(0.529/45) = 0.011

La probabilidad de que la persona tenga cáncer es del 0.011

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

Documents

Transcript of UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD