UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA VICERRECTORIA ACA EMICA ESCUELA DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS...

UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIAVICERRECTORIA ACADEMICA

ESCUELA DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTASCATEDRA DE MATEMATICAS SUPERIORES

MATERIAL COMPLEMENTARIO

Matematica para Computacion I

Codigo 3068

Andres Avila Madrigal

San Jose, 2013

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PRESENTACION

Este documento representan una guıa para los estudiantes del curso Matematica paraComputacion I de la carrera de Diplomado en Informatica de la Universidad Estatal aDistancia.

Los contenidos desarrollados en este material pertenen a dos topicos muy importantespara la matematica discreta como lo son La Teorıa de Conjuntos y las Matrices.

En la primera parte se desarrollan conceptos de la teorıa basica de conjuntos. Sepresenta la idea primitiva de conjunto y conceptos como subconjunto, conjunto universo,conjunto vacıo y complemento de un conjunto. Asimismo se definen las operaciones en-tre conjuntos (union, interseccion, diferencia, diferencia simetrica) para obtener nuevosconjuntos utilizando estas operaciones. Se estudian las representaciones graficas de losconjuntos por medio de los diagramas de Venn. Por ultimo, se construye el algebra deconjuntos y se formaliza por medio de demostraciones de propiedades e igualdades entreconjuntos.

En la segunda parte se realiza una introduccion a la teorıa de matrices. Se ilustran losdiferentes tipos de matrices y otras definiciones ası como las notaciones que se utilizaran alo largo del curso. Aprendemos tambien a obtener nuevas matrices utilizando el conceptode matriz transpuesta y las operaciones suma y multiplicacion matricial. Se estudia elconjunto de las matrices Booleanas y las operaciones booleanas (disyuncion, conjunciony producto Booleano).

Debido a que este documento esta destinado a estudiantes del sistema de educacion adistancia presenta una caracterıstica que no tienen la mayorıa de textos de matematica yes la gran cantidad de ejemplos que se presentan en cada uno de los temas desarrollados,especialmente en la seccion de demostraciones de propiedades e igualdades entre conjun-tos. Ojala esta decision contribuya a una mejor comprension de los temas propuestos.

Al final de cada uno de los dos temas principales se le presenta una lista de ejercicioscon el objetivo de que usted ejercite los conocimientos adquiridos con la lectura. Las solu-ciones a todos los ejercicios las puede encontrar al final del documento. La intencion conestas soluciones es que usted evalue los conocimientos que adquiere y los procedimientosque realiza. Por favor no caiga en el engano de leer las soluciones sin anteshaber intentado resolver los ejercicios en varias ocasiones. La idea es que pormedio de los ejercicios usted aplique lo que ha aprendido.

Las definiciones en matematicas son importantısimas. Muchos ejercicios pueden resol-verse utilizando solo definiciones de conceptos matematicos. Con respecto a esta situacion,en algunos ejercicios propuestos del tema de matrices primero se presenta una definiciony a partir de esta definicion y lo aprendido en este documento se deben resolver los ejer-cicios.

El autor espera que estas notas constituyan una herramienta que contribuya a sentarbuenas bases matematicas en los estudiantes de la carrea de Diplomado en Informaticade la UNED para que logren satisfacer su necesidad de aprender matematicas discretasque son tan importantes para todo profesional de Ciencias de la Computacion.

TABLA DE CONTENIDOS

PORTADA

PRESENTACION 1

TABLA DE CONTENIDOS 2

TEORIA ELEMENTAL DE CONJUNTOS 4

1. Origen de la teorıa de conjuntos y su importancia 4

2. Definiciones y notaciones 4Definicion de conjunto 4Notacion de conjuntos por extension y comprension 5Subconjuntos 6Igualdad de conjuntos 6Conjunto universo y conjunto vacıo 7Complemento de un conjunto 8Familias de conjuntos 8Conjunto potencia 8

3. Operaciones con conjuntos 9Union de conjuntos 9Interseccion de conjuntos 10Conjuntos disjuntos 10Diferencia de conjuntos 11Diferencia simetrica de conjuntos 12

4. Diagramas de Venn-Euler 13

5. Algebra de conjuntos 18Leyes del algebra de conjuntos 18

6. Formalizacion del algebra de conjuntos 20Importancia de las demostraciones 20Metodos para demostrar propiedades entre conjuntos 20Relaciones de pertenencia y no pertenencia entre elementos y conjuntos 21Demostracion de propiedades e igualdades entre conjuntos 22Ejercicios del tema de conjuntos 33

INTRODUCCION A LAS MATRICES 38

1. Breve resena historica 38

2. Definiciones y notaciones 38Definicion de matriz 38Matriz fila y matriz columna 39Igualdad de matrices 40Matriz cuadrada 40Diagonal principal de una matriz cuadrada 41Matriz identidad 41Matriz nula 41

3. Operaciones con matrices 42Suma de matrices 42Multiplicacion de escalares y matrices 43Propiedades de la suma de matrices 44Propiedades de la multiplicacion de escalares y matrices 44Producto de matrices fila por matrices columna 46Producto de matrices 47Propiedades del producto de matrices 51Protencia de una matriz 52Matriz transpuesta 53Propiedades de la matriz transpuesta 55

4. Matrices Booleanas 55Definicion de matriz booleana 55Operaciones disyuncion y conjuncion en el conjunto {0, 1} 55Producto conjuncion de una matriz fila y una matriz columna 58Producto booleano de matrices 59Propiedades de las operaciones booleanas 63Ejercicios del tema de matrices 64

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 68

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 69

Material Complementario Matematica para Computacion I

TEORIA ELEMENTAL DE CONJUNTOS

1. ORIGEN DE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y SU IMPORTANCIA

La teorıa de conjuntos juega un papel muy importante en campos de la matematicacomo el calculo, el analisis, el algebra y la probabilidad. Gracias a los conjuntos sepueden construir definiciones, propiedades y teoremas que facilitan la comprension y laformalizacion de muchos conceptos en las diferentes areas de la matematica. Los numerosnaturales, los numeros racionales y los numeros irracionales son ejemplos particulares deconjuntos. La teorıa de conjuntos tambien esta presente en la teorıa de funciones que yaestudiamos, los conceptos de dominio, codominio y ambito tambien son conjuntos.

La construccion de la teorıa de conjuntos se debe al matematicoGeorg Cantor [1845-1918] quien a finales del siglo XIX y principiosdel XX realizo un estudio formal sobre el tema. En 1874, aparecioel primer trabajo de Cantor sobre la Teorıa de conjuntos. Entre1874 y 1897, demostro que el conjunto de los numeros enteros tenıala misma cantidad elementos que el conjunto de los numeros pares,este, y sus otros estudios sobre conjuntos infinitos fueron conside-rados por su maestro Kronecker como de “locura matematica” ygracias a su influencia logro que los descubrimientos de Cantor

Georg Cantorfueran rechazados por los matematicos de la epoca. Las crıticas y

acusaciones hechas por ciertos colegas envidiosos provocaron la depresion de Cantor a talpunto que fue internado en varias ocasiones en hospitales psiquiatricos.

Georg Cantor fallece en Halle, una ciudad del centro de Alemania el 6 de enero de1918 a los 73 anos de edad.

2. DEFINICIONES Y NOTACIONES

Definicion 2.1 [Conjunto] Un conjunto es simplemente un grupo o coleccion decualquier clase de objetos (numeros, letras, personas, libros,...). Los objetos que confor-man un conjunto se denominan elementos.

Los siguientes son ejemplos de conjuntos.

Ejemplo 2.1 Los dıas de la semana Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sabadoy Domingo.Ejemplo 2.2 Los numeros reales mayores a 30.Ejemplo 2.3 Los cantones Nicoya, Escazu, Palmares, Paraıso, Belen, Parrita y Pococı.Ejemplo 2.4 Las universidades estatales de Costa Rica.Ejemplo 2.5 Las vocales a, e, i, o , u.Ejemplo 2.6 Las soluciones de la ecuacion x2 − x− 12 = 0.Ejemplo 2.7 Los numeros 2, 4, 7, 8, y 11.

Universidad Estatal a Distancia 4

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DEFINICION CONJUNTO

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Ejemplo 2.8 Los ninos nacidos en un paıs del continente americano.

Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayusculas (A, C, W , X, Z, Q,...) ysi alguno de sus elementos son letras, estas se escriben con minusculas.

Cada conjunto debe ser definido sin ambiguedades, es decir, dado un conjunto y unobjeto debe quedar claro si el objeto pertenece o no al conjunto. En los ejemplos ante-riores se presentan dos maneras en las que puede definirse un conjunto. Observe que losconjuntos de los ejemplos impares se definieron escribiendo explıcitamente sus elementosmientras que en los ejemplos pares los conjuntos se definen por medio de caracterısticaso reglas que tienen los elementos que permiten establecer si estos pertenecen o no al con-junto.

Notacion por Extension. Esta notacion se utiliza cuando se quiere escribir explıcita-mente los elementos del conjunto. Los conjuntos se escriben con letras mayusculas sepa-rando sus elementos con comas y encerrandolos entre llaves { }. Con esta notacion, losconjuntos de los ejemplos impares dados anteriormente se escriben como

Ejemplo 2.9A = {Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sabado, Domingo}B = {Nicoya, Escazu, Palmares, Paraıso, Belen, Parrita, Pococı}M = {a, e, i, o, u}N = {2, 4, 7, 8, 11}

Notacion por Comprension. Se utiliza cuando los elementos de los conjuntos sedescriben por medio de sus caracterısticas. Un elemento cualquiera del conjunto se es-cribe por medio de una letra minuscula (usualmente la letra x) separados por dos puntosseguido de la caracterıstica que presenta los elementos del conjunto. Veamos algunosejemplos.

Ejemplo 2.10 En su notacion por comprension el conjunto del ejemplo 2.2 seescribe como

P = {t : t es un numero real mayor que 30}

Se lee “P el conjunto de todos los t tal que t es un numero real mayor que 30.”

Ejemplo 2.11 El conjunto del ejemplo 2.4 se escribe como

E = {x : x es una universidad estatal de Costa Rica}

y se lee “E el conjunto de las x tal que x es una universidad estatal de Costa Rica.”


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Ejemplo 2.12 La expresion

X = {x : x2 − x− 12 = 0}

corresponde a la notacion por comprension del conjunto del ejemplo 2.6 que se lee “X elconjunto de los x tal que x es solucion de la ecuacion x2 − x− 12 = 0.”

Ejemplo 2.13 La notacion por comprension para el conjunto del ejemplo 2.8 es

Z = {x : x es un nino nacido en un paıs del continente americano}

Se lee “Z el conjunto de los x tal que x es un nino nacido en un paıs del continenteamericano.”

Notacion

Dado un conjunto A y un elemento x, si x pertenece al conjunto Aescribimos x ∈ A y si x no pertenece a A se escribe x /∈ A.

Ejemplo 2.14 Si E = {a, b, c, 2, 4, 7, 9} entonces c ∈ E, 7 ∈ E, h /∈ E, 3 /∈ E.

Definicion 2.2 [Subconjunto] Sea A un conjunto. Otro conjunto B es subconjuntode A si todo elemento de B tambien es elemento de A. Cuando B es subconjunto de Ase escribe B ⊆ A, que se lee como “B subconjunto de A” o “B esta contenido en A”. SiB no es subconjunto de A se escribe B * A.

Ejemplo 2.15 Como todo elemento del conjunto H = {1, 2, 3} tambien esta en elconjunto G = {−3,−1, 0, 1, 2, 3, 4} entonces H ⊆ G.

Ejemplo 2.16 Si X = {x, b, n, k}, Y = {y, x, b, a, n, m, k, h} y Z = {y, b, a, n, m, k, h}se cumple que X ⊆ Y , Z ⊆ Y , X * Z, Y * Z, Z * X, Y * X .

Observaciones

1. Segun la definicion 2.2, todo conjunto es subconjunto de si mismo, esto es,si A es cualquier conjunto se cumple que A ⊆ A.

2. Note que B * A si existe por lo menos un elemento x ∈ B tal que x /∈ A.

3. Si A ⊆ B y x /∈ B entonces tambien se cumple que x /∈ A.

Definicion 2.3 [Igualdad de Conjuntos] Dos conjuntos A y B son iguales si todoelemento de A es tambien elemento de B, y viceversa, todo elemento de B es elementode A. Es decir, A es igual a B, si A ⊆ B y B ⊆ A.

Ejemplo 2.17 Los conjuntos P = {2, 5, 6, 8, 9, 11} y W = {2, 5, 6, 8, 9, 11} soniguales pues observe que P ⊆ W y W ⊆ P .


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Ejemplo 2.18 En la igualdad entre conjuntos el orden de los elementos no es rele-vante, solo interesa cuales son sus elementos, de esta manera, los siguientes conjuntosX = {−2, a, 5, 8} y W = {5,−2, a, 8} son iguales.

Ejemplo 2.19 Tampoco importa la cantidad de elementos que tienen los conjuntossiempre y cuando se satisfaga la definicion. Ası pues, tenemos que {3, 7} = {7, 3, 7}.

Definicion 2.4 [Conjunto Universo] Para cualquier conjunto X siempre existe unconjunto U que contiene a X. A tal conjunto U lo llamaremos conjunto universo.

La definicion anterior nos garantiza que al considerar uno o varios conjuntos siemprepodemos suponer la existencia de un conjunto universo que contiene a todos los conjuntos.

Ejemplo 2.20 El conjunto de numeros reales R sirve como conjunto universo enel cual se pueden definir los conjuntos {−4, 0, 5, 8, 9} y {−14, 82, 12, 101}.

Ejemplo 2.21 El conjunto universo no es unico y lo podemos definir como quera-mos simpre y cuando contenga a todos los conjuntos con los cuales se esta trabajando. SiA = {−2, x, 1}, B = {a,−2, b} y C = {5} podemos definir infinitos conjuntos universos,dos de ellos son U = {−2, 1, 5, a, b, x} y U = {−8,−2, 0, 1, 3, 5, 9, 11, a, b, x, e, r, f}.

El conjunto universo U contiene a todos los conjuntos

Definicion 2.5 [Conjunto Vacıo] Llamaremos conjunto vacıo a aquel que no tieneelementos. El conjunto vacıo se denota con el sımbolo ∅.

El conjunto vacıo presenta una propiedad que nos sera muy util en nuestra construcciondel algebra de conjuntos. Aunque la propiedad puede demostrarse por el metodo de lacontradiccion1 no lo haremos, y solamente enunciaremos tal propiedad.

Propiedad del Conjunto Vacıo

Para cualquier conjunto A se cumple que ∅ ⊆ A. Es decir, elconjunto vacıo es subconjunto de todo conjunto.

Utilizando la notacion por comprension podemos “disfrazar” al conjunto vacıo. Los con-juntos dados en los siguientes 3 ejemplos son diferentes representaciones del conjunto vacıo.

Ejemplo 2.22 Como la ecuacion√

2x + 1 = −5 no tiene soluciones, entonces elconjunto A = {x ∈ R :

√2x + 1 = −5} no tiene elementos, es decir, A = ∅.

1Uno de los metodos de demostracion que se utiliza en la matematica para probar que las proposicionesson verdaderas


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Ejemplo 2.23 H = {t ∈ R : t2 < 0}

Ejemplo 2.24 S = {x ∈ R : 53x = 0}

Definicion 2.6 [Complemento de un Conjunto] Sea A un conjunto y U su uni-verso. El complemento del conjunto denotado como A o Ac es el conjunto cuyos elementospertenecen a U y no pertenecen a A. Es decir,

A = {x ∈ U : x /∈ A}

Ejemplo 2.25 Si U = {2, 4, 7, 9, 11} y A = {4, 7} entonces A = {2, 9, 11}.

Ejemplo 2.26 Si U = {b, a, x, y, z,−3, 8, 6, h,−9, 12, 5}, B = {a, x, h,−3, 6, 12} yS = {b, y, z, 8, 6, 12} entonces B = {b, y, z, 8,−9, 5} y S = {a, x, h,−3, 5,−9}.

Definicion 2.7 [Familia de Conjuntos] Una familia de conjuntos es otro conjuntoen el que sus elementos son tambien conjuntos.

Ejemplo 2.27 El conjunto A = {{1, 2}, {a, b, c}, {4, t, 7, 8}} es una familia de con-juntos y sus elementos son los conjuntos {1, 2}, {a, b, c} y {4, t, 7, 8}.

Ejemplo 2.28 El conjunto {{1, 2}, {1, {2}}, {{1}, 2}, {{1}}, {{2}}, {{1, 2}}} estambien una familia de conjuntos y los elementos que conforman esta familia son todosdiferentes. Observe que los objetos 1 y {1} son distintos, el primero es un numero mien-tras que el segundo es un conjunto formado por un unico elemento, el numero 1. Loselementos que conforman la familia anterior no son iguales pues

{1, 2} es el conjunto formado por los numeros 1 y 2.

{1, {2}} es otro conjunto, formado por un numero real y por el conjunto {2}.{{1}, 2} es el conjunto formado por un numero real y por el conjunto {1}.{{1}} es una familia cuyo unico elemento es el conjunto {1}.{{2}} es la familia cuyo unico elemento es el conjunto {2}.{{1, 2}}} es la familia cuyo unico elemento es el conjunto {1, 2}.

¿Cuales de los siguientes conjuntos son iguales ∅, {∅}, {{∅}}? Justifique su respuesta.

Definicion 2.8 [Conjunto Potencia] Sea A ⊆ U . El conjunto potencia de A quedenotaremos por P(A) es la familia formada por todos los subconjuntos de A. Es decir

P(A) = {E ⊆ U : E ⊆ A}

Recuerde que para todo conjunto A se cumple que ∅ ⊆ A y A ⊆ A, por tanto, ∅ y Asimpre deben estar en el conjunto potencia P(A)


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CONJUNTOS VASIOS

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Numero de elementos del Conjunto Potencia

Si el numero de elementos de A es n, entonces el numero de elementos de P(A) es 2n

Ejemplo 2.29 Como el conjunto X = {♠,♣} tiene 2 elementos entonces su con-junto potencia tiene 22 = 4 elementos. Los subconjuntos de X son ∅, X, {♠} y {♣}entonces P(X) = {∅, A, {♠}, {♣}}.

Ejemplo 2.30 Para A = {2, 4, 9} los 23 = 8 subconjuntos de A que conforman elconjunto potencia de A son ∅, A, {2}, {4}, {9}, {2, 4}, {2, 9}, {4, 9} y entonces

P(A) = {∅, A, {2}, {4}, {9}, {2, 4}, {2, 9}, {4, 9}}

Ejemplo 2.31 Dado que los 24 = 16 subconjuntos de B = {♥, F, z, �} son

∅, A{♥}, {F}, {z}, {�}{♥, F}, {♥, z}, {♥, �}, {F, z}, {F, �}, {z, �}{♥, F, z}, {♥, F, �}, {♥, z, �}, {F, z, �}

entonces

P(B) = {∅, A, {♥}, {F}, {z}, {�}, {♥, F}, {♥, z}{♥, �}, {F, z}, {F, �}, {z, �},

{♥, F, z}, {♥, F, �}, {♥, z, �}, {F, z, �}}

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS

Cuando a y b son numeros reales hemos aprendido a calcular su suma a+ b, su resta o

diferencia a−b, su producto a·b y su cocientea

b(siempre que b sea distinto de cero). Todos

estos son numeros que obtenemos a partir de los numeros a y b. Como ya sabemos estasoperaciones son el pilar de la aritmetica y algebra de los numeros reales. Ahora vamos aconstruir el algebra de conjuntos. A partir de dos conjuntos A y B construiremos nuevosconjuntos con las operaciones union, interseccion y diferencia entre conjuntos. Tambienestudiaremos la diferencia simetrica la cual se define en terminos de las operaciones union,interseccion y diferencia.

Definicion 3.1 [Union de Conjuntos] La union de dos conjuntos A y B es elconjunto A ∪ B formado por todos los elementos que estan en A o en B. Utilizando lanotacion por comprension de conjuntos tenemos que

A ∪B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}

La expresion A ∪B se lee “A union B”.


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DEFINICION POTENCIA

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Para que un elemento pertenezca a A ∪B basta quedicho elemento este en alguno de los dos conjuntos A o B.

Si alguno de los elementos esta en ambos conjuntos A y B solo se escribe una sola vezen la union. En el siguiente ejemplo se describe esta situacion.

Ejemplo 3.1 Si A = {−2, 0, 3, 6} y B = {−1, 0, 3, 7, 9} entonces

A ∪B = {−2, 0, 3, 6} ∪ {−1, 0, 3, 7, 9} = {−2,−1, 0, 3, 6, 7, 9}

Ejemplo 3.2 Para los conjuntos

P = {x, 1, y, 3, a, 5} Q = {a, 2, c, 3, 7, y} R = {y, 2, 4, b, c, 5}

se cumple que

P ∪Q = {x, 1, y, 3, a, 5} ∪ {a, 2, c, 3, 7, y} = {x, a, 1, 2, y, c, 3, a, 5, 7}R ∪ P = {y, 2, 4, b, c, 5} ∪ {x, 1, y, 3, a, 5} = {x, y, 1, 2, 4, 3, b, a, c, 5}Q ∪R = {a, 2, c, 3, 7, y} ∪ {y, 2, 4, b, c, 5} = {a, 2, c, 3, 7, y, 4, b, 5}

Definicion 3.2 [Interseccion de Conjuntos] La interseccion de dos conjuntos A yB es el conjunto A∩B formado por todos los elementos que estan en ambos conjuntos Ay B. Es decir

A ∩B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}

La expresion A ∩B se lee “A interseccion B”.

Para que un elemento pertenezca a A ∩B debe estar en ambos conjuntos A y B.

Ejemplo 3.3 Para los conjuntos A y B del ejemplo 3.1 tenemos que

A ∩B = {−2, 0, 3, 6} ∩ {−1, 0, 3, 7, 9} = {0, 3}

Ejemplo 3.4 Para los conjuntos del ejemplo 3.2 se cumple que

P ∩Q = {x, 1, y, 3, a, 5} ∩ {a, 2, c, 3, 7, y} = {y, 3, a}R ∩ P = {y, 2, 4, b, c, 5} ∩ {x, 1, y, 3, a, 5} = {y, 5}Q ∩R = {a, 2, c, 3, 7, y} ∩ {y, 2, 4, b, c, 5} = {2, c, y}

Definicion 3.3 [Conjuntos Disjuntos] Dos conjuntos A y B son disjuntos si suinterseccion es igual al conjunto vacıo, es decir, si A ∩B = ∅.

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en comun.


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Ejemplo 3.5 Si X = {−3,−1, 0, 4, 5} y Y = {−2, 1, 3, 7, 9} entonces X ∩ Y = ∅.

Ejemplo 3.6 Como los conjuntos S = {4, h, 6, g} y T = {f, 2, r,m, b, 8} no tienenelementos en comun tambien son disjuntos.

Definicion 3.4 [Diferencia de Conjuntos] La diferencia de dos conjuntos A y Bes el conjunto A − B formado por todos los elementos que estan en A y no estan en B.De esta manera

A−B = {x ∈ U : x ∈ A y x /∈ B}

La expresion A−B se lee “A menos B”.

Otra forma de definir la diferencia de dos conjuntos A y B es

A−B = {x ∈ A : x /∈ B}

Un elemento x pertenece a A−B si esta en A y no esta en B.


S = {−2, x, w, 3, a, 6} T = {−1,−2, a, 7, b} K = {0, x, 3, b, 6}

tenemos que

S − T = {−2, x, w, 3, a, 6} − {−1,−2, a, 7, b} = {x, w, 3, 6}T − S = {−1,−2, a, 7, b} − {−2, x, w, 3, a, 6} = {−1, b}S −K = {−2, x, w, 3, a, 6} − {0, x, 3, b, 6} = {−2, w, a}K − S = {0, x, 3, b, 6} − {−2, x, w, 3, a, 6} = {0, b}T −K = {−1,−2, a, 7, b} − {0, x, 3, b, 6} = {−1,−2, a, 7}K − T = {0, x, 3, b, 6} − {−1,−2, a, 7, b} = {0, x, 3, 6}

Ejemplo 3.8 El conjunto B −A esta formado por los elementos que estan en B yno estan en A. Si A = {♦, c©, M, �, f, s} y B = {M, f, r,♥, s, z} entonces

B − A = {M, f, r,♥, s, z} − {♦, c©, M, �, f, s} = {r,♥, z}

Otra notacion para el complemento de un conjunto

Recordando las definiciones de complemento y diferencia entre conjuntos se tiene queU − A = {x ∈ U : x /∈ A} y A = {x ∈ U : x /∈ A}, es decir, los conjuntosU − A y A son iguales. Por tanto, U − A es otra notacion que se utiliza para denotaral complemento del conjunto A.


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DIREFENCIA DE CONJUNTOS

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Definicion 3.5 [Diferencia Simetrica de Conjuntos] La diferencia simetrica dedos conjuntos A y B es el conjunto A⊕B formado por todos los elementos que estan enla union pero no en la interseccion de A y B. Es decir

A⊕B = (A ∪B)− (A ∩B)

La expresion A⊕B se lee “A diferencia simetrica B”.

Un elemento x pertenece a A⊕B si esta en A ∪B y no esta en A ∩B.

Ejemplo 3.9 Si M = {−3,−2,−1, 0, 2, 3, 4, 5, 8} y N = {−5,−2, 0, 1, 2, 3, 7, 8} setiene que

M ⊕N = (M ∪N)− (M ∩N)

= {−5,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} − {−2, 0, 2, 3, 8}= {−5,−3,−1, 4, 5, 7}


X = {a, x, f, h, k, t, r} Y = {f, h, b, n, l,m, r, a} Z = {c, b, n, k, j, h, g, t}

se cumple que

(i) Y ⊕X = (Y ∪X)− (Y ∩X)

= {f, h, b, n, l,m, r, a, x, k, t} − {a, f, h, r}= {b, n, l,m, x, k, t}

(ii) X ⊕ Z = (X ∪ Z)− (X ∩ Z)

= {a, x, f, h, k, t, r, c, b, n, j, g} − {h, k, t}= {a, x, f, r, c, b, n, j, g}

(iii) Z ⊕ Y = (Z ∪ Y )− (Z ∩ Y )

= {c, b, n, k, j, h, g, t, f, h, l, m, r, a} − {h, b, n}= {c, k, j, g, t, f, h, l, m, r, a}


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4. DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Existen representaciones graficas para ilustrar las relaciones entre los conjuntos y esmediante los llamados Diagramas de Venn-Euler2.

El objetivo en esta seccion es ilustrar por medio de diagramas de Venn los conjuntosque hemos estudiado hasta el momento. Los conjuntos se ilustran por medio de ovaloso cırculos incluıdos en un rectangulo el cual representa el conjunto universo U dondeestan definidos los conjuntos. Cada uno de los conjunto representan areas coloreadas osombreadas.

Representacion de un conjunto cualquiera A y el universo U

El concepto de subconjunto por medio de Diagramas de Venn

Cuando A y B son conjuntos con A ⊆ B, los conjuntos se dibujan uno incluıdo en elotro, en este caso A contenido en B tal y como se ilustra a continuacion.

Diagrama de Venn de los conjuntos A y B cuando A ⊆ B

Diagrama de Venn para el complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A es el area del conjunto universo (el rectangulo) queesta fuera del conjunto A (el area circular).

Diagrama de Venn para el conjunto A el complemento de A

2En honor a John Venn, matematico y filosofo britanico. Leonhard Euler tambien participo en laesquematizacion de las representaciones.


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Diagrama de Venn para la union de conjuntos

La union de dos conjuntos A y B representa el area que esta en alguno de los dosconjuntos A o B.

Diagrama de Venn de la union de dos conjuntos A y B

Diagrama de Venn para la interseccion de conjuntos

La interseccion de dos conjuntos A y B es el area que comparten los dos conjuntos Ay B.

Diagrama de Venn del conjunto A ∩B, la interseccion de dos conjuntos A y B



Diagrama de Venn para la diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos A y B es el area que esta dentro del conjunto A y fuerade B.

Diagrama de Venn del conjunto A−B

Diagrama de Venn para la diferencia simetrica de conjuntos

La diferencia simetrica de dos conjuntos A y B es toda el area A ∪ B excepto suinterseccion A ∩B.

Diagrama de Venn del conjunto A⊕B

Cada una de las representaciones anteriores nos permiten construir diagramas de Vennpara conjuntos mas complejos los cuales son el resultado de combinaciones de las opera-ciones entre conjuntos que hemos estudiado.

Ejemplo 4.1 Para representar en un diagrama de Venn el conjunto B ∩ (A ⊕ B)podemos primero representar B, luego A ⊕ B y despues construir la representacion lainterseccion de estos conjuntos.

Conjunto B Conjunto A⊕B



Sabemos que graficamente el conjunto B ∩ (A ⊕ B) es el area que comparten B yA⊕B. Se observa en las dos graficas anteriores que dicha area corresponde a

Diagrama de Venn del conjunto B ∩ (A⊕B)

Observe que el diagrama anterior tambien es el del conjunto A−B, entonces, por mediode diagramas de Venn hemos justificado que se cumple la igualdad

B ∩ (A⊕B) = A−B

Ejemplo 4.2 Paso a paso y por medio de diagramas de Venn ilustramos que escierta la igualdad

A ∩ (B ⊕ A) = A ∪B

Conjunto A Conjunto A

Conjunto B ⊕ A Conjunto B

Conjunto A ∩ (B ⊕ A) Conjunto A ∪B

Conjunto A ∩ (B ⊕ A)



Ejemplo 4.3 Tambien podemos hacer representaciones graficas de conjuntos for-mados por 3 conjuntos A, B, C. A continuacion presentamos las representacion graficadel conjunto (A ∩ C) ∪ ((A ∪ C) ∩B).

Conjunto A Conjunto B Conjunto C

Conjunto C Conjunto A ∪ C Conjunto A ∩ C

(A ∪ C) ∩B (A ∩ C) ∪ [(A ∪ C) ∩B]

Ejemplo 4.4 Representacion grafica del conjunto A− (B ∪ C).

Conjunto A Conjunto B Conjunto C

Conjunto B ∪ C Conjunto A− (B ∪ C) Conjunto A− (B ∪ C)



5. ALGEBRA DE CONJUNTOS

En esta seccion presentamos las propiedades que constituyen el algebra de la teorıa deconjuntos. Las propiedades mas basicas involucran al complemento de un conjunto y a lasoperaciones union e interseccion. Los conjuntos A, B, C utilizados en las propiedades sonarbitrarios, esto quiere decir que las propiedades se cumplen para conjuntos cualesquiera.Recuerde que U es el conjunto universo. Se debe aclarar que las propieades enumeradasno son todas, de hecho, el objetivo es demostrar otras identidades mas complejas a partirde las que se le presentan a continuacion.

Leyes de Idempotencia

1. A ∪ A = A 2. A ∩ A = A

Estas propiedades enfatizan que al operar un mismo conjunto bajo las operaciones unione interseccion obtenemos el mismo conjunto.

Leyes Conmutativas

1. A ∪B = B ∪ A 2. A ∩B = B ∩ A

No importa el orden con que se operen dos conjuntos bajo las operaciones union e inter-seccion.

Leyes Asociativas

1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C 2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

La union y la interseccion de tres o mas conjuntos puede realizarse agrupando los conjun-tos como se desee.

Leyes Distributivas

1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) 2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

La primera propiedad es la ley distributiva de la union con respecto a la intersecciony la segunda propiedad la de la interseccion con respecto a la union.

Leyes del Complemento

1. U = ∅ 2. ∅ = U 3. A ∪ A = U 4. A ∩ A = ∅

La primera propiedad nos dice que el complemento del conjunto universo U no tieneelementos. Cuando comenzamos el tema de conjuntos mencionamos que cada conjuntodebe estar bien definido, es decir, dado un elemento y un conjunto debe quedar claro siel elemento pertenece al conjunto o no. Como un elemento no puede estar y no estar almismo tiempo en un mismo conjunto, el siguiente conjunto

U = {x ∈ U : x /∈ U}


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no puede tener elementos y ası U = ∅.

Justificamos la segunda propiedad de la siguiente manera. Observe que

∅ = {x ∈ U : x /∈ ∅}

es decir, el complemento de ∅ es el conjunto formado por los elementos de U que noestan en ∅, pero como vacıo no tiene elementos todo los elementos de U cumplen con noestar en ∅ y entonces ∅ = U .

La tercera de las propiedades del complemento nos senala que si A es cualquier con-junto, entonces todo elemento de U debe estar en A o en A, no puede ocurrir que xpertenezca a U y que x no este en ninguno de los dos conjuntos A y A.

La cuarta propiedad dice que los conjuntos A y A son disjuntos, o sea que no tienenelementos en comun. Si x esta en un conjunto no esta en el otro, y viceversa, si no estaen uno esta en el otro.

Ley del Doble Complemento

A = A

La propiedad resalta que el resultado de calcular el complemento del complemento delconjunto A es el mismo conjunto A.

Leyes de Elementos Neutros

1. A ∪ ∅ = A 2. A ∩ U = A

El conjunto vacıo es el elemento neutro con respecto a la operacion union de conjuntos.Al realizar la union de cualquier conjunto A y ∅, se obtiene como resultado el mismo con-junto A. Algo similar sucede con la interseccion, solo que ahora es el conjunto universoquien es el elemento neutro. Cuando se realiza la interseccion de cualquier conjunto A yU , se obtiene como resultado el mismo conjunto A.

Observe que estos conjuntos ∅ y U cumplen el papel que el cero y el 1 cumplen enlos numeros reales. El cero es el elemento neutro de los numeros reales con respecto a laoperacion suma y el 1 es el neutro con respecto a la multiplicacion.

Leyes de Elementos Absorbentes o Dominantes

1. A ∪ U = U 2. A ∩ ∅ = ∅

En la union el conjunto universo “domina” a los demas conjuntos, pues al realizar la unionentre A y U se obtiene de nuevo el conjunto universo U . Por otro lado, en la interseccionquien “domina o absorbe” a los demas conjuntos es el conjunto vacıo, ya que la inter-seccion de cualquier conjunto A y ∅ da como resultado el conjunto vacıo.


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ESTO ES LÓGICO

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Leyes de De Morgan

1. A ∪B = A ∩B 2. A ∩B = A ∪B

La primera propiedad dice que el complemento de la union de dos conjuntos es igual ala interseccion de los complementos de los conjuntos, mientras que la segunda propiedadsenala que el complemento de la interseccion de dos conjuntos es igual a la union de loscomplementos de los conjuntos.

Las demostraciones de estas propiedades son consecuencias inmediatas de las defini-ciones de las operaciones entre conjuntos. Algunas de estas demostraciones las presenta-mos en la siguiente seccion.

6. FORMALIZACION DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

Importancia de las demostraciones

Una demostracion es una cadena o una sucesion de razonamientos que se realizanpara probar la validez de un nuevo conocimiento, teorıa o propiedad. En la matematicano se acepta un resultado, una proposicion o una teorıa hasta que no se construya sudemostracion. La demostracion es el grado de certeza mas completo que hay en lamatematica. ¿Ya se pregunto de donde salen todas las propiedades enunciadas en laseccion anterior?, ¿Seran ciertas todas esas propiedades?.

Por dicha, todas las propiedades que se le presentaron tienen su demostracion formal,cada una de estas demostraciones son razonamientos evaluados en la logica matematicaque es una rama de la matematica.

Las demostraciones son importantes porque al realizar la demostracion de un resul-tado o una formula, esta se convierte en una herramienta confiable para aplicarla en otrasciencias. Por ejemplo, ¿que pasarıa si los ingenieros obtuvieran de la matematica formulaserroneas? Sus obras serıan un fracaso por supuesto. Otro aspecto importante es que elhabito de la demostracion fomenta el desarrollo del pensamiento logico matematico quees tan necesario para la comprension de muchos procedimientos y algoritmos computa-cionales.

Metodos para demostrar propiedades entre conjuntos

Las 4 maneras como demostraremos propiedades e igualdades entre conjuntos son lassiguientes:

a. Demostracion de implicaciones o condicionales: Es cuando se demuestran proposi-ciones de la forma P =⇒ Q que se lee “Si P entonces Q” o “P implica Q”. Este tipode proposiciones se demuestran suponiendo que se cumple la proposicion P y probando


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que Q es verdadera. La demostracion de que Q es verdadera se realiza utilizando la in-formacion que aporte la misma proposicion P y tambien por medio de definiciones, leyes,propiedades que se hayan estudiado.

b. Demostracion de implicaciones dobles o bicondicionales: Corresponden a de-mostraciones de proposiciones de la forma P ⇐⇒ Q que se lee “ P si y solo si Q” o “SiP entonces Q y Si Q entonces P”. Para demostrar la proposicion P ⇐⇒ Q hay quedemostrar las dos implicaciones siguientes P =⇒ Q y Q =⇒ P cada una de ellas como seexplico en la parte (a).

c. Demostracion de igualdades por doble inclusion: En este tipo de demostracioneslas igualdades entre conjuntos se prueban utilizando la definicion 2.3 de igualdad de con-juntos, que dice que para demostrar la igualdad A = B se debe probar que A ⊆ B yB ⊆ A.

d. Demostracion directa de igualdades: Este tipo de demostraciones se reali-zan utilizando propiedades entre conjuntos ya conocidas para escribir varias igualdadeshasta obtener el conjunto al que se desea “llegar”.

Relaciones de pertenencia y no pertenencia entre elementos y conjuntos

Para demostrar igualdades entre conjuntos necesitamos escribir con sentido las rela-ciones entre conjuntos estudiadas hasta el momento. Nos interesa saber que implica lapertenencia o no pertenencia de un elemento en la union, interseccion, la diferencia y elcomplemento de conjuntos. Hacemos uso del conectivo logico bicondicional “si y solo si”.

1. x ∈ A ∪B si y solo si x ∈ A o x ∈ B

Es decir, si x ∈ A∪B entonces x ∈ A o x ∈ B, y viceversa, si x ∈ A o x ∈ B entoncesx ∈ A ∪B.

2. x /∈ A ∪B si y solo si x /∈ A y x /∈ B

Esta segunda relacion dice que cuando x no esta en la union de dos conjuntos pode-mos afirmar tambien que x no esta en ninguno de los dos conjuntos, y en el otro sentidotambien, si x no esta en ninguno de dos conjuntos A y B tampoco estara en su union.

Lo ideal es que usted conozca al “dedillo” las implicaciones que tienen cada una delas relaciones. Estas primeras dos relaciones y las enunciadas a continuacion se utilizanmucho en las demostraciones de igualdades entre conjuntos por lo que es necesario queusted las conozca, las comprenda y las utilice correctamente cuando tenga que demostrar.

3. x ∈ A ∩B si y solo si x ∈ A y x ∈ B


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4. x /∈ A ∩B si y solo si x /∈ A o x /∈ B

5. x ∈ A−B si y solo si x ∈ A y x /∈ B

6. x /∈ A−B si y solo si x /∈ A o x ∈ B

7. x ∈ A si y solo si x /∈ A

8. x /∈ A si y solo si x ∈ A

Demostracion de propiedades e igualdades entre conjuntos

En lo que resta de esta seccion nos dedicaremos a demostrar igualdades y propiedadesentre conjuntos. Los enunciados se presentan como proposiciones las cuales hay que de-mostrar que son verdaderas. No se busca formar expertos en el arte de la demostracion,pero si al menos esperamos que las paginas siguientes sean de mucha utilidad para queusted comprenda y aprenda a demostrar igualdades entre conjuntos.

Proposicion 1. Para cualesquiera conjuntos A y B se cumple que

1. A ⊆ A ∪B 3. A ∩B ⊆ A

2. B ⊆ A ∪B 4. A ∩B ⊆ B

Demostracion.

1. Esta inclusion es muy evidente y no hay mucho que hacer. Si x ∈ A, esto nosgarantiza que x ya esta en alguno de los A o B y por tanto x ∈ A ∪B.

4. Sea x ∈ A ∩ B. Por definicion de interseccion x ∈ A y x ∈ B. Es decir, x esta enambos conjuntos, en particular x ∈ B. Acabamos de demostrar que cualquier elementode A ∩B es tambien un elemento de B con lo cual A ∩B ⊆ B.

Al intercambiar los papeles de A y B en las demostraciones hechas 1 y 4 se obtienenlas inclusiones 2 y 3. Queda como ejercicio al lector realizar las demostraciones de lasinclusiones 2 y 3.

Las propiedadades que acabamos de probar en la proposicion 1 son muy de granimportancia pues se utilizan mucho al demostrar otras igualdades mas complejas. Lasinclusiones 1 y 2 nos ensenan que la union de dos conjuntos siempre contiene a los dosconjuntos que participan en la union, mientras que las propiedades 3 y 4 senalan que lainterseccion de dos conjuntos esta siempre contenida en los dos conjuntos presentes en lainterseccion.

En la siguiente proposicion probamos mas igualdades entre conjuntos incluyendo al-gunas de las enunciadas en la seccion anterior.


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Proposicion 2. Demuestre que para cualesquiera conjuntos A y B se cumplen lassiguientes igualdades.

(a) A ∪ A = U (b) A = A (c) A ∪B = A ∩B

(d) A ∩B = A ∪B (e) A ∩ A = ∅ (f) A ∪ ∅ = A

(g) A ∩ ∅ = ∅ (h) A ∪ U = U (i) A ∩ U = A

(j) A−B = A ∩B (k) A− A = ∅ (l) A− U = ∅

(m) ∅ − A = ∅ (n) A− ∅ = A (o) A⊕ A = ∅

(p) A⊕ ∅ = A (q) A⊕B = (A−B) ∪ (B − A)

Demostracion.

(a) Por definicion sabemos que el conjunto universo contiene a todos los conjuntospor tanto la inclusion A ∪ A ⊆ U no hay que probarla “nos sale gratis”. Nos falta soloprobar la otra inclusion U ⊆ A ∪ A. Para ello nos damos un elemento cualquiera x ∈ U .Como A ⊆ U puede ocurrir que x ∈ A, si esto se da, entonces x esta tambien en la unionA ∪ A (pues x esta en alguno de los dos conjuntos A o A), por tanto en el caso en quex este en A hemos demostrado que U ⊆ A ∪ A. ¿Que pasa si x /∈ A? Si x /∈ A entoncesx ∈ A y entonces x vuelve a estar en uno de los dos conjuntos A o A y por tanto estaotra vez en A∪A. En cualquier caso, si x ∈ U tenemos que x ∈ A∪A, esto nos garantizaque U ⊆ A ∪ A. Como se cumplen las inclusiones A ∪ A ⊆ U y U ⊆ A ∪ A entoncesA ∪ A = U .

(b) Esta demostracion se realiza escribiendo el conjunto A por extension. Tome encuenta que como A ∪ A = U cada x ∈ U que no este en A debe estar en A.

A = {x ∈ U : x /∈ A} = {x ∈ U : x ∈ A} = A

(c) Sea x ∈ A ∪B, ası x /∈ A ∪ B y entonces x /∈ A y x /∈ B, es decir, x ∈ A y x ∈ Bo sea, x ∈ A∩B. Dado que para cada x ∈ A ∪B se cumple que x tambien esta en A∩Bse satisface la inclusion

A ∪B ⊆ A ∩B

Por otro lado, si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ A y x ∈ B, esto es, x /∈ A y x /∈ B y por tantox /∈ A ∪B, o sea, x ∈ A ∪B, asi que se cumple la otra inclusion

A ∩B ⊆ A ∪B

Y por consiguiente la igualdad A ∩B = A ∪B.


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PREGUNTAR

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(d) Esta propiedad de Morgan no la probaremos por medio de inclusiones si no uti-lizando las propiedades anteriores. Aplicando la propiedad de Morgan anterior tenemosque

A ∪B = A ∪B = A ∩B

donde en la ultima igualdad se ha utilizado la propiedad (b) del doble complemento.Si dos conjuntos son iguales sus complementos tambien son iguales. Por tanto la igualdad

A ∪B = A∩B implica que A ∪B = A ∩B pero por la propiedad del doble complementola anterior identidad es equivalente a A ∪ B = A ∩B que era nuestro objetivo en estaprueba.

(e) Al aplicar las partes (a), (b) y (d) tenemos que A ∩ A = A ∪ A = A ∪ A = Uy entonces A ∩ A = U . Aplicando complementos en la igualdad anterior obtenemos

A ∩ A = U lo cual implica que A∩A = ∅ gracias a la propiedad del doble complementoy la propiedad ya conocida U = ∅.

(f) Las propiedades (i) y (ii) de la proposicion 1 nos dicen que en la union de dosconjuntos siempre estan contenidos los conjuntos que participan en la union, con esto nosgarantizamos la inclusion A ⊆ A ∪ ∅. Para probar la otra inclusion vamos a suponer quex es cualquier elemento que pertenece a A∪∅, en cuyo caso alguna de las dos expresionesx ∈ A o x ∈ ∅ debe ser cierta. Pero la expresion x ∈ ∅ no es cierta (pues el conjuntovacıo no tiene elementos) y entonces se cumple que x ∈ A. Hemos probado que x ∈ A∪∅implica x ∈ A con lo cual A ∪ ∅ ⊆ A y ası A ∪ ∅ = A.

(g) Ahora nos apoyamos en las propiedades (iii) y (iv) de la proposicion 1, que nos re-cuerdan que la interseccion entre dos conjuntos siempre esta contenida en cualquiera de losdos conjuntos involucrados en la interseccion, con esto obtenemos la inclusion A∩ ∅ ⊆ ∅.Pero siempre ∅ es subconjunto de cualquier conjunto, en particular, ∅ ⊆ A ∩ ∅. Ası, lasdos inclusiones A ∩ ∅ ⊆ ∅ y ∅ ⊆ A ∩ ∅ implican que A ∩ ∅ = ∅.

(h) La igualdad A ∪ U = U se obtiene primero gracias a las propiedades (i) y (ii) dela proposicion 1 que nos garantiza la inclusion U ⊆ A∪U . La otra inclusion se obtiene alrecordar que por definicion el conjunto universo U es el conjunto “mas grande de todos”,y ası en particular, A ∪ U ⊆ U .

(i) Por las propiedades (iii) y (iv) de la proposicion 1 obtenemos A ∩ U ⊆ A. Porotra parte, puesto que siempre A ⊆ U , cada x ∈ A implica que x ∈ U , es decir, para cadax ∈ A se cumple que x ∈ A y x ∈ U , o sea, x ∈ A ∩ U . Note entonces que se satisface lainclusion A ⊆ A ∩ U y por tanto tambien la igualdad A ∩ U = A.

(j) Esta propiedad es muy sencilla de demostrar solo basta escribir ambos conjuntosen su notacion por comprension. Por un lado,

A−B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}



Y por otra parte

A ∩B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}

No cabe duda que A−B = A ∩B.

(k) Sugerencia: Aplique al conjunto A− A las propiedades (j) y (e).

(l) Sugerencia: Aplique al conjunto A− U las propiedades (j) y (g).

(m) Sugerencia: Aplique al conjunto ∅ − A las propiedades (j) y (g).

(n) Sugerencia: Aplique al conjunto A− ∅ las propiedades (j) y (i).

(o) A⊕ A = (A ∪ A)− (A ∩ A) Definicion de Diferencia Simetrica

= A− A = ∅ Leyes Idempotentes y Propiedad (k)

(p) A⊕ ∅ = (A ∪ ∅)− (A ∩ ∅) Definicion de Diferencia Simetrica

= A− ∅ = A Propiedades (f), (g) y (n)

(q) A⊕B = (A ∪B)− (A ∩B) Definicion de Diferencia Simetrica

= (A ∪B) ∩ A ∩B Propiedad (j)

= (A ∪B) ∩ (A ∪B) Ley de Morgan 2

= ((A ∪B) ∩ A) ∪ ((A ∪B) ∩B) Ley Distributiva 2

= [(A ∩ A) ∪ (B ∩ A)] ∪ [(A ∩B) ∪ (B ∩B)] Ley Distributiva 2

= [∅ ∪ (B ∩ A)] ∪ [(A ∩B) ∪ ∅] Ley de Complemento 2

= (B ∩ A) ∪ (A ∩B) Ley de Elemento Neutro 1

= (B − A) ∪ (A−B) Propiedad (j)

= (A−B) ∪ (B − A) Ley Conmutativa 1

Por tanto, A⊕B = (A−B) ∪ (B − A)



Proposicion 3. Demuestre las siguientes propiedades entre conjuntos.

(a) A ⊆ B ⇐⇒ A ∪B = B

(b) A ⊆ B ⇐⇒ A ∩B = A

(c) Pruebe A ⊆ B ⇐⇒ B ⊆ A.

(d) A ∩B = ∅ ⇐⇒ B ⊆ A

(e) Pruebe que si A ⊆ ∅ entonces A = ∅.

(f) Pruebe que A ∪B = U implica que A ⊆ B.

Demostracion.

(a) Como lo que tenemos que demostrar es un “si y solo si” entonces hay que probarlas dos implicaciones

A ⊆ B =⇒ A ∪B = B y A ∪B = B =⇒ A ⊆ B

Primera Implicacion. Suponemos que A ⊆ B y hay que probar que A ∪B = B.Por la propiedad 2 de la proposicion 1 obtenemos la inclusion B ⊆ A∪B. Ahora considera-mos un elemento cualquiera x ∈ A∪B, ası, x ∈ A o x ∈ B. Si x ∈ B hemos probado queA ∪B ⊆ B. Si x /∈ B entonces x ∈ A y como A ⊆ B entonces x vuelve a estar en B. Enambos casos se cumple que A∪B ⊆ B. Como B ⊆ A∪B y A∪B ⊆ B entonces A∪B = B.

Segunda Implicacion. Suponemos que A ∪B = B y probamos que A ⊆ B.Por la propiedad 1 de la proposicion 1 sabemos que A ⊆ A ∪ B. Pero por hipotesistenemos que A ∪B = B, por tanto, la inclusion escrita es equivalente a A ⊆ B.

(b) Se debe probar que

A ⊆ B =⇒ A ∩B = A y A ∩B = A =⇒ A ⊆ B

Primera Implicacion. Suponemos que A ⊆ B y hay que probar que A ∩B = A.Por la propiedad 3 de la proposicion 1 obtenemos la inclusion A∩B ⊆ A. Ahora conside-ramos un elemento cualquiera x ∈ A. Como A ⊆ B entonces tambien x ∈ B, es decir,x ∈ A y x ∈ B y por tanto x ∈ A ∩ B. Como A ∩ B ⊆ A y A ⊆ A ∩ B se concluye queentonces A ∩B = A.

Segunda Implicacion. Suponemos que A ∩B = A y probamos que A ⊆ B.Por la propiedad 4 de la proposicion 1 sabemos que A ∩ B ⊆ B. Pero A ∩ B = A, portanto, la inclusion escrita es equivalente a A ⊆ B.

(c) Se debe probar que


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A ⊆ B =⇒ B ⊆ A y B ⊆ A =⇒ A ⊆ B

Primera Implicacion. Suponemos que A ⊆ B y hay que probar que B ⊆ A.Si x es cualquier elemento de B entonces x /∈ B. Como A ⊆ B y x /∈ B se obtiene quex /∈ A, es decir, x ∈ A y ası B ⊆ A.

Segunda Implicacion. Suponemos que B ⊆ A y hay que probar que A ⊆ B.Si x escualquier elemento de A entonces x /∈ A. Como B ⊆ A y x /∈ A obtenemos queque x /∈ B, es decir, x ∈ B y ası A ⊆ B.

(d) Se debe probar que

A ∩B = ∅ =⇒ B ⊆ A y B ⊆ A =⇒ A ∩B = ∅

Primera Implicacion. Suponemos que A ∩ B = ∅ y hay que probar que B ⊆ A. Dadoque A ∩ B = ∅ cada x que pertenece a B no esta en A, y por tanto debe estar en A.Acabamos de obtener que cada x en B tambien esta en A o sea hemos probado que B ⊆ A.

Segunda Implicacion. Suponemos que B ⊆ A y hay que probar que A ∩B = ∅.Sea x cualquier elemento de B. Como se cumple que B ⊆ A entonces x ∈ A, o sea, x /∈ A.Asi pues, cada elemento en B no esta en A, luego A y B no tienen elementos en comun,es decir, A ∩B = ∅.

(e) Note que como ya tenemos la inclusion A ⊆ ∅ solo nos falta probar que ∅ ⊆ A.Pero sabemos que ∅ tiene la propiedad de ser subconjunto de todo conjunto. Por tantotambien tenemos que ∅ ⊆ A y por consiguiente que A = ∅.

(f) Suponemos que A ∪B = U y hay que probar que A ⊆ B.Sea x ∈ A. Como A ⊆ U y x ∈ A entonces x ∈ U . Como A∪B = U entonces x ∈ A∪B,es decir, x ∈ A o x ∈ B. Pero el caso x ∈ A no puede darse (pues comenzamos suponiendoque x ∈ A y no puede ocurrir al mismo tiempo que x ∈ A y x ∈ A, pues sabemos queA∩A = ∅). Por tanto se debe cumplir que x ∈ B y de esta manera se satisface la inclusionA ⊆ B.

Proposicion 4. Demuestre que si A, B, C son conjuntos cualesquiera tales queA ∩B = ∅, y C ⊆ B entonces

(A ∪B − C)− (B − C) = B

Demostracion.

Observe que el enunciado es una implicacion, por tanto, suponemos que se cumple queA ∩B = ∅, y C ⊆ B y tenemos que demostrar la igualdad

(A ∪B − C)− (B − C) = B



Esta prueba la haremos de una forma mas directa a las realizadas en la proposicion 3.Iremos escribiendo igualdades verdaderas entre conjuntos comenzando y terminando enlos dos conjuntos que forman la igualdad que hay que demostrar. Al lado derecho sesenala cual propiedad se utiliza en cada paso.

(A ∪B − C)− (B − C)

= ((A ∩B)− C)− (B − C) Ley de Morgan 1

= ((A ∩B)− C)− (B − C) Ley de Doble Complemento

= ((A ∩B) ∩ C)− (B ∩ C) Propiedad (j), Proposicion 2

= ((A ∩B) ∩ C) ∩B ∩ C Propiedad (j), Proposicion 2

= ((A ∩B) ∩ C) ∩B ∪ C Ley de Morgan 1

= (A ∩ (B ∩ C)) ∩ (B ∪ C) Ley de Doble Complemento y Ley Asociativa 2

= (A ∩B) ∩ (B ∪ C) Porque B ∩ C = B ver (∗)

= A ∩ (B ∩ (B ∪ C)) Ley Asociativa 2

= A ∩ [(B ∩B) ∪ (B ∩ C)] Ley Distributiva 2

= A ∩ (B ∪ ∅) Ley de Idempotencia 2, y porque B ∩ C = ∅ ver (∗∗)

= A ∩B Ley de Elemento Neutro 1

= B Porque A ∩B = B ver la justificacion en (∗ ∗ ∗)

(∗) Como C ⊆ B por la propiedad (c) proposicion 3 entonces B ⊆ C, ahora aplicandola propiedad (b) de la proposicion 3 con B en vez de A y C en lugar de B tenemos queB ⊆ C implica B ∩ C = B.

(∗∗) Como C ⊆ B por la propiedad (c) proposicion 3 entonces B ⊆ C, ahora apli-cando la propiedad (d) de la proposicion 3 con C en lugar de A tenemos que B ⊆ Cimplica B ∩ C = ∅.

(∗ ∗ ∗) Como A ∩ B = ∅ por la propiedad (d) proposicion 3 entonces B ⊆ A, ahoraaplicando la propiedad (b) de la proposicion 3 con B en vez de A y A en lugar de Btenemos que B ⊆ A implica B ∩ A = B.



La demostracion de la proposicion 4 nos muestra una de las bellezas de la teorıa de con-juntos. Observe como la aplicacion continua de muchas de las propiedades de conjuntosson parte fundamental en la construccion de la demostracion la cual es un ejemplo exce-lente que refleja la esencia del algebra de conjuntos. Las demostraciones de las igualdadesen la siguiente proposicion tienen el mismo sabor de la prueba realizada anteriormente.

Proposicion 5. Demuestre las siguientes identidades entre conjuntos.

(a) A ∪B ∪ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(b) (A−B)− C = A− (B ∪ C)

(c) A⊕B = A ∩B − (A ∩B)

(d) A⊕ (B ∪ A = A ∩B

(e) A− (B − A) ∩ A = A ∩B

(f) ((A−B) ∪ (B − A))− (A− (A−B)) = B ∩ A

(g) B ∩ (A ∪B ∪B ∪ A) = U

Demostracion.

(a) Dado que

A ∪B ∪ C = A ∪B ∩ C Ley de Morgan 1

= (A ∪B) ∩ C Doble Complemento

= C ∩ (A ∪B) Ley Conmutativa 2

= (C ∩ A) ∪ (C ∩B) Ley Distributiva 2

= (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) Ley Conmutativa 1

Se sigue entonces que A ∪B ∪ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).

(b) (A−B)− C = (A ∩B)− C Propiedad (j), Proposicion 2

= (A ∩B) ∩ C Propiedad (j), Proposicion 2

= A ∩ (B ∩ C) Ley Asociativa 2



= A ∩B ∪ C Ley de Morgan 1

= A− (B ∪ C) Propiedad (j), Proposicion 2

Por tanto, (A−B)− C = A− (B ∪ C).

En la mayorıa de las igualdades no existe un unico camino de demostracion, desde luego,unos caminos son mas sencillos que otros. Esta situacion se refleja en la identidad (c).

(c) Solucion 1.

A⊕B

= (A−B) ∪ (B − A) Propiedad (q), Proposicion 2

= (A ∩B) ∪ (B ∩ A) Propiedad (j), Proposicion 2

= (A ∩B) ∪ (B ∩ A) Doble Complemento

= ((A ∩B) ∪B) ∩ ((A ∩B) ∪ A) Ley Distributiva 1

= [(A ∪B) ∩ (B ∪B)] ∩ [(A ∪ A) ∩ (B ∪ A)] Ley Distributiva 1

= [(A ∪B) ∩ U ] ∩ [U ∩ (B ∪ A)] Ley de Complemento 3

= (A ∪B) ∩ (B ∪ A) Ley de Elemento Neutro 2

= (A ∪B) ∩ (A ∪B) Ley Conmutativa 1

= A ∩B ∩ A ∪B Ley de Morgan 2 y Doble Complemento

= A ∩B ∩ A ∩B Ley de Morgan 1

= A ∩B − (A ∩B) Propiedad j, Proposicion 2

Solucion 2.

A⊕B

= (A ∪B)− (A ∩B) Definicion 3.5 de Diferencia Simetrica

= A ∩B − (A ∩B) Ley de Morgan 2



(d) A⊕ (B ∪ A)

= (A ∪ (B ∪ A))− (A ∩ (B ∪ A)) Definicion 3.5 de Diferencia Simetrica

= (A ∪ (A ∪B))− ((A ∩B) ∪ (A ∩ A)) Ley Conmutativa 1 y Ley Distributiva 2

= ((A ∪ A) ∪B)− ((A ∩B) ∪ ∅) Ley Asociativa 1 y Ley de Complemento 4

= (U ∪B)− (A ∩B) Ley de Complemento 3 y Ley de Elemento Neutro 1

= U − (A ∩B) Ley de Elemento Absorbente 1

= A ∩B Definicion de Complemento de A ∩B

= A ∩B Ley de Doble Complemento

De esta manera, A⊕ (B ∪ A) = A ∩B.

(e) A− (B − A) ∩ A

= A ∩B − A ∩ A Propiedad (l), Proposicion 3

= A ∩B ∩ A ∩ A Propiedad (j), Proposicion 2

= A ∩B ∩ A ∩ A Doble Complemento

= (A ∪B ∩ A) ∩ A Ley de Morgan 2

= (A ∪ (B ∩ A)) ∩ A Doble Complemento

= A ∩ (A ∪ (B ∩ A)) Ley Conmutativa 2

= (A ∩ A) ∪ (A ∩ (B ∩ A)) Ley Distributiva 2

= ∅ ∪ (A ∩ (A ∩B)) Ley Conmutativa 2 y Ley de Complemento 4

= (A ∩ A) ∩B Ley Asociativa 2 y Ley de Elemento Neutro 1

= A ∩B Ley de Idempotencia 2

Ası, A− (B − A) ∩ A = A ∩B



(f) ((A−B) ∪ (B − A))− (A− (A−B))

= ((A ∩B) ∪ (B ∩ A))− (A ∩ A ∩B) Propiedad (j), Proposicion 2

= ((A ∩B) ∪ (B ∩ A))− (A ∩ (A ∪B)) Doble Complemento, Ley de Morgan 2

= ((B ∩ A) ∪ (B ∩ A))− (A ∩ (A ∪B)) Doble Complemento, Ley Conmutativa 2

= (B ∩ (A ∪ A))− ((A ∩ A) ∪ (A ∩B)) Ley Distributiva 2

= (B ∩ U)− (∅ ∪ (A ∩B)) Leyes del Complemento 3 y 4

= B − (A ∩B) Leyes de Elementos Neutros

= B ∩ A ∩B Propiedad (j), Proposicion 2

= B ∩ (A ∪B) Ley de Morgan 2

= (B ∩ A) ∪ (B ∩B) Ley Distributiva 2

= (B ∩ A) ∪ ∅ Ley de Complemento 4

= B ∩ A Ley de Elemento Neutro 1

Luego, ((A−B) ∪ (B − A))− (A− (A−B)) = B ∩ A.

(g) B ∩ (A ∪B ∪B ∪ A)

= B ∩ (A ∪B) ∩ (B ∪ A) Ley de Morgan 2

= B ∪ (A ∪B) ∩ (B ∪ A) Ley de Morgan 2

= B ∪ ((B ∪ A) ∩ (B ∪ A)) Doble Complemento y Ley Conmutativa 1

= B ∪ (B ∪ (A ∩ A)) Ley Distributiva 1

= B ∪ (B ∪ ∅) Ley de Complemento 4

= B ∪B Ley de Elemento Neutro 1

= U Ley de Complemento 3

Por tanto, B ∩ (A ∪B ∪B ∪ A) = U



Presentamos la siguiente lista de ejercicios correspondiente al tema de conjuntos.

EJERCICIOS

Ejercicio 1.1 ¿Cuales de los siguientes conjuntos son iguales?

a. {x : x es una letra de la palabra AMOR}b. {O, R, M, A}.c. El conjunto de letras de la palabra MORA.d. {x: x es una letra de la palabra ROMA}

Ejercicio 1.2 Para B = {5, 9}, ¿cuales de las siguientes afirmaciones sonverdaderas?

a. {5} ∈ B b. ∅ ⊆ B c. {9} ⊆ B d. ∅ ∈ B e. 5 ⊆ B f. 9 ∈ B

Ejercicio 1.3 Para X = {a, {b, c}, c}, ¿cuales de las siguientes afirmaciones sonverdaderas?

a. {b, c} ⊆ X b. {b, c} ∈ X c. {{b, c}} ⊆ X d. c ∈ X

Ejercicio 1.4 Determine el conjunto potencia P(A) del conjunto A = {1, x, 4, y}.

Ejercicio 1.5 Determine las familias P(A ∩ B),P(A ∪ B),P(A − B),P(B − A),y P(A⊕B) para los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3}.

Ejercicio 1.6 Calcule P(∅), es decir, el conjunto potencia del conjunto vacıo.

Ejercicio 1.7 Construya diagramas de Venn de dos y tres conjuntos para repre-sentar los siguientes conjuntos.

a. A ∪B b. A ∩B c. B − A d. (A−B)⊕B

e. (A⊕B) ∩ (A ∩B) f. A⊕B ∩ C g. C ∩B − A h. A ∩B ⊕ C

Ejercicio 1.8 Para los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 9} y C = {1, 2, 6, 7}.a. Verifique que se cumplen las leyes conmutativas y asociativas para las operaciones

operaciones union e interseccion.

b. Verifique tambien que se cumplen las siguientes leyes

La Conmutatividad de la Diferencia Simetrica B ⊕ C = C ⊕B

La Asociatividad de la Diferencia Simetrica B ⊕ (C ⊕ A) = (B ⊕ C)⊕ A

La distributividad de la interseccion con respecto a la diferencia simetrica

(A⊕B) ∩ C = (A ∩ C)⊕ (B ∩ C)


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Ejercicio 1.9 Halle dos conjuntos A y B tales que A⊕B = A∪B y A⊕B 6= A∪B.

Ejercicio 1.10 Determine los conjuntos M y N que cumplen con todas las sigu-ientes propiedades.

a. 7 ∈ M y 7 ∈ N b. {1, 2, 3} ∩N = ∅

c. 4 ∈ M ∩N d. M ∪N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

e. N −M = {6} f. M −N = {1, 2, 3, 5}

Ejercicio 1.11 Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, P = {1, 4, 5, 7, 10, 11},Q = {1, 2, 6, 7, 12}, R = {2, 5, 6, 13}, S = {1, 2, 3} Calcule los siguientes conjuntos.

a. P ∪R b. T ∩ S c. (Q ∪R) ∩ (S ∪ P )

d. Q−R e. R⊕ S f. (Q⊕ P )⊕ S

g. (S − P ⊕R) ∩ P −Q⊕ S h. (Q− (R ∩ P ))⊕ S − (P ⊕R)

Ejercicio 1.12 Para los conjuntos U = {a, b, c, e, g, h, m, n, p, r, s, x, y, z},A = {a, b, c, e, p, x, y}, B = {a, c, g, h, r, s}, C = {b, e, h, n, s, p, x, z} determine:

a. A−B − C b. A ∪ C − (B − C)

c. (A−B) ∪B ∪ C d. A−B ∩ C

e. ((A− (B − U)) ∩ C)−B f. (A⊕ (B ∩ C)) ∩ (C − A)

g. (B − A)⊕ C ∩ A h. A⊕B − (A ∩ C ∪B)

Ejercicio 1.13 Para los conjuntos U = {0, 1, a, e, x, y, b, c, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9},X = {0, 3, 7, a, y, c}, Y = {1, 2, 7, x, y, c}, Z = {0, 4, 5, 8, a, e, y, x} determine:

a. (X ⊕ Y ) ∩X ⊕ Y b. X ∪ Y ∪ Z

c. (X − Z) ∩ Y d. X ∪ Y − (X ∩ Z)

e. (X − Y ) ∩ (Y −X) f. (X − Y ) ∪ (Y −X)

g. (X ⊕ Y )⊕ Z h. X − (Y ⊕ Z)



Ejercicio 1.14 Suponga que

X = {m, n, r, t} Y = {r, t, e, f} Z = {m, r, e, g}

Calcule ((X ⊕ Y )− (Y ⊕ Z)) ∪ (X ∩ Z).


P = {1, 3, 5, 7} Q = {2, 4, 5, 7} R = ∅

Calcule ((P −Q)⊕R) ∪ ((P ⊕Q)−R).


X = {x, y, z} Y = {x, y, w} Z = {y, z, w}

Calcule ((X ∩ Y )− Z)⊕ ((X − Y ) ∩ Z).

Ejercicio 1.17 Verifique que cuando

A = {1, 2} B = {1, 3} C = {2, 4}

es falsa la igualdad A⊕ (B ∪ C) = (A⊕B) ∪ (A⊕ C).


U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A = {0, 1, 2, 5} B = {1, 2, 3, 4} C = {1, 3, 5}

Calcule ((A ∪B)⊕ (B ⊕ C))− (A ∩B ∩ C).


U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} X = {0, 1, 2, 3} Y = {1, 2, 3} Z = {1, 3}

Calcule ((A⊕B) ∩ (B ⊕ C))− (A ∩ C).

Ejercicio 1.20 Sea el conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y los subconjuntosde U definidos como R = {x ∈ U : 1 ≤ x ≤ 3}, S = {x ∈ U : x es par y 2 ≤ x < 5} yT = {x ∈ U : x es impar}. Calcule (R ∩ S)⊕R ∪ T .

Ejercicio 1.21 Para los conjuntos

U = {1, 2, 3, 4, 5} F = {2, 3} G = ∅ H = {2, 4, 5}

Verifique si se cumple o no la siguiente igualdad F ⊕ (G−H) = (F ⊕G)− (F ⊕H).




U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P = {1, 3, 7, 8} Q = {1, 2, 3, 7, 9} R = {7, 8, 9, 10}

Calcule (P ∩R⊕Q)− ((R ∪ P )⊕Q).

Ejercicio 1.23 Sea el conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los subcon-juntos de U definidos como

X = {0, 2, 6} Y = {0, 2, 5, 7} Z = {1, 8, 9} W = ∅

Compruebe que se cumple la igualdad (X ∩ Z ⊕ (Y ∪W )− (X − Y ) = Z.

Ejercicio 1.24 Demuestre las siguientes propiedades entre conjuntos. (Recuerdecomo se demostraban los “si y solo si”).

a. A−B = ∅ ⇐⇒ A ⊆ B

b. A ∩B = ∅ ⇐⇒ A ⊆ B

c. A⊕B = ∅ ⇐⇒ A = B

Ejercicio 1.25 Demuestre las siguientes propiedades de la diferencia simetrica.

a. A⊕ U = A b. A⊕ A = U

c. A⊕ (B ⊕ C) = (A⊕B)⊕ C d. A⊕B = B ⊕ A

e. A⊕ (A⊕B) = B f. A ∪B = A⊕B ⊕ (A ∩B)

g. A−B = A⊕ (A ∩B) h. A⊕B = (A ∩B) ∪ (A ∩B)

Ejercicio 1.26 Demuestre las siguientes implicaciones.

a. Si A ⊕ B = A ⊕ C entonces B = C. Sugerencia: Aplique la propiedad (e) delejercicio 25

b. Si A ⊆ B entonces A⊕B = B − A

c. Si A ∪ C = B entonces (B − A)− ((A−B) ∪ C)



Ejercicio 1.27 Demuestre las siguientes igualdades entre conjuntos.

a. A−B = A ∪B

b. A−B = B − A

c. A ∩ (B − A) = ∅

d. A ∪ (B − A) = A ∪B

e. A ∩ (A ∪B ∪B ∪ A) = ∅

f. (A−B − (A ∩B)) ∩ A = A ∩B

g. B ∪ A ∪B ∪ A = A ∩B

h. A ∩ (A−B) ∩ (A ∩B) = A ∩B

i. A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C)

j. ((A ∪B)− A ∪B) ∪B = U

k. A− (B − C) = (A−B) ∪ (A ∩ C)

l. ((A ∪B)− A ∪B) ∪B = U

m. (A−B)⊕ C = ((A ∩ C)−B) ∪ ((A ∪B)− C)

n. (B − (A−B))− ((B − A) ∪ A ∪B) = A ∩B

o. (A− (A−B)) ∩ (((A− C) ∪B)− A) = A ∩B



INTRODUCCION A LAS MATRICES

1. BREVE RESENA HISTORICA

El matematico ingles James Joseph Sylvester en el ano de 1848 fue el primero en uti-lizar el termino matriz, sin embargo, el primer ejemplo conocido de uso de las matrices seda entre los anos 300 a.C y 200 a.C en la obra matematica china Nueve capıtulos sobre elarte de las matematicas (Jiu Zhang SuanShu) en la cual aparece el problema de resolvervarias ecuaciones simultaneamente.

Los desarrollos iniciales de la teorıa de matrices se deben a William Rowan Hamiltonen 1853. En 1858 Arthur Cayley realiza un gran aporte al desarrollo del algebra de ma-trices por medio de su obra “Memorias sobre la teorıa de matrices”. En esta obra Cayleypresenta formalmente la definicion de matriz y las operaciones suma y producto matricial.Tambien presenta el concepto de matriz inversa.

Actualmente las matrices son de gran importancia para el control de inventarios en lascompanias, en el analisis de costos en transportes, en la admnistracion de negocios com-erciales, en la solucion de sistemas de ecuaciones y tienen muchas utilidades en distintasareas de la matematica como las ecuaciones diferenciales y la probabilidad.

La facilidad que ofrecen las matrices para manipular datos hacen que sean muy utilesen la computacion. Las matrices son parte fundamental en el lenguaje de programacionya que muchos datos se almacenan por medio de vectores y matrices. La hoja de calculode Excel que todos conocemos y que es de gran utilidad es un ejemplo de matriz.

2. DEFINICIONES Y NOTACIONES

Definicion 2.1 [Matriz] Una matriz de tamano m por n es un arreglo rectangularde m · n numeros reales distribuidos en m filas horizontales y n columnas de la siguientemanera

h11 h12 · · · h1j · · · h1n

h21 h22 · · · h2j · · · h2n...

......

...hi1 hi2 · · · hij · · · hin...

......

...hm1 hm2 · · · hmj · · · hmn

Cada uno de los sımbolos hij son numeros reales que se conocen como las entradaso componentes de la matriz, y se escriben con esta notacion de doble subındice para es-tablecer la posicion que ocupan en la matriz. El subındice de la izquierda i y el subındice


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Line


de la derecha j indican que el numero hij es la entrada que se encuentra en la fila i y enla columna j de la matriz, es decir, el numero hij es la ij-esima entrada de la matriz.

Las matrices las representaremos con letras mayusculas. Al representar una matrizcon una letra, representaremos sus entradas con la misma letra en minuscula. Por ejem-plo, las entradas de la matriz A se escriben como aij, las de la matriz M por mij y asısucesivamente. Cuando se estudia las matrices de forma abstracta, conocer las entradasno es relevante, para generalizar propiedades y establecer resultados a veces solo es nece-sario conocer sus tamanos, en estos casos, matrices de m × n, A y M suelen escribirsecomo A = (aij)m×n y M = (mij)m×n. Observe la diferencia en la notacion, el sımbolo hij

representa la entrada ij-esima de la matriz H mientras que (hij)m×n representa la matrizH de m× n. Otra notacion alternativa para denotar a la matriz A de tamano m× n esAmn, esta es la notacion que se utilizara a lo largo de estas notas.

Ejemplo 2.1 La matriz B =

1 32 54 70 9

es una matriz de tamano 4× 2 y tenemos

que

b11 = 1, b12 = 3, b21 = 2, b22 = 5, b31 = 4, b32 = 7, b41 = 0, b42 = 19

Ejemplo 2.2 La matriz X =

−2 11√

2 1 4−47

22 0 −5 10 2

38 π 9

es una matriz de tamano

3× 5 donde

x11 = −2, x12 = 11, x13 =√

2, x14 = 1, x15 = 4x21 = −4

7, x22 = 22, x23 = 0, x24 = −5, x25 = 1

x31 = 0, x32 = 23, x33 = 8, x34 = π, x35 = 9

Ejemplo 2.3 La matriz P =

5 −9 50 7 15 0 3

es una matriz de tamano 3× 3.

Definicion 2.2 [Matriz fila y matriz columna] Una matriz fila es simplementeuna unica fila horizontal de numeros reales(

a11 a12 a13 · · · a1k

)Observe que la matriz fila anterior es de tamano 1× k.


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De igual manera una matriz columna es una matriz que consta de una unica columna.La siguiente es una matriz columna de tamano r × 1

c11

c21

c31...

cr1

Ejemplo 2.4 Las matrices(−5 0 1 3 56 23

)y

04331

son matrices fila y

columna de tamano 1× 6 y 3× 1 respectivamente.

Definicion 2.3 [Igualdad de Matrices] Dos matrices A y B del mismo tamanoson iguales o identicas si sus entradas correspondientes son iguales. Dicho de otra manera,dos matrices son iguales si comparando sus entradas por posicion estas son iguales.

Ejemplo 2.5 Las matrices P =

(9 7 14 3 2

)y Q =

(9 7 14 3 2

)son iguales pues

son del mismo tamano y sus entradas correspondientes son iguales, efectivamente tenemosque

p11 = q11 = 9, p12 = q12 = 7, p13 = q13 = 1p21 = q21 = 4, p22 = q22 = 3, p23 = q23 = 2

Ejemplo 2.6 Aunque las entradas correspondientes de las matrices

A =

(1 3−4 4

)y B =

1 3−4 41 0

son iguales, las matrices no son identicas, pues las matrices no tienen el mismo tamano.

Definicion 2.4 [Matriz Cuadrada] Se denomina matriz cuadrada a aquella matrizque tiene igual numero de filas y columnas. Las siguientes matrices son cuadradas, detamanos 2× 2, 3× 3 y 5× 5 respectivamente

(000 22 000

) −3−3−3 0 82 777 00 4 111111

222 −4 4 5 631 181818 2 7 00 0 222 2 −51 7 24 −4−4−4 86 0 1 67 −2−2−2


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Definicion 2.5 [Diagonal Principal de una Matriz Cuadrada] Es la diagonalde una matriz cuadrada compuesta por todos las entradas hii (h11, h22, h33, h44, ...)

h11h11h11 h12 · · · h1i · · · h1n

h21 h22h22h22 · · · h2i · · · h2n...

.... . .

......

hi1 hi2 · · · hiihiihii · · · hin...

......

. . ....

hm1 hm2 · · · hmj · · · hnnhnnhnn

La diagonal principal en cada una de las matrices dadas en la definicion 2.4 (ver ma-

trices), se senalan con negrita.

Definicion 2.6 [Matriz Identidad] Es la matriz cuadrada cuyas entradas en ladiagonal principal son todas iguales a uno y las demas son cero. Usaremos el sımbolo Ik

para denotar a la matriz identidad de tamano k × k. Con esta notacion tenemos que

I2 =

(1 00 1

)I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

I6 =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

Definicion 2.7 [Matriz Nula o Matriz Cero] Es la matriz cuadrada cuyas entradas

son todas iguales a cero. Usaremos el sımbolo Nk para denotar a la matriz nula de tamanok × k. De esta manera

N3 =

0 0 00 0 00 0 0

N4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Observacion

Las matrices identidad y nula se definieron para matrices cuadradas. La matriz iden-tidad solo esta definida para matrices cuadradas, sin embargo, la matriz nula tambien sedefine para matrices rectangulares. Usaremos la notacion Npk para denotar la matriz nulade tamano p× k. Por ejemplo la matriz nula detamano 2× 4 corresponde a

N24 =

(0 0 0 00 0 0 0

)


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matriz

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MATRIZ NULA DEFINICION

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3. OPERACIONES CON MATRICES

Definicion 3.1 [Suma de Matrices] Si A y B son dos matrices del mismo tamano,digamos de m× n

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

B =

b11 b12 b13 · · · b1n

b21 b22 b23 · · · b2n

b31 b32 b33 · · · b3n...

......

...bm1 bm2 bm3 · · · bmn

La suma de A y B es la matriz A + B tambien de tamano m× n dada por

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 · · · a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 · · · a2n + b2n

a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 · · · a3n + b3n...

......

...am1 + bm1 am2 + bm2 am3 + bm3 · · · amn + bmn

Es decir, la matriz suma A + B, es la matriz de m × n que se obtiene al sumar las

entradas corres-pondientes de A y B.

Advertencia

Como la suma de matrices se realiza entrada por entrada considerando las entradas corres-pondientes de las matrices, la suma solo se puede realizar si las matrices son del mismotamano.

Ejemplo 3.1 −2 4 65 0 41 1 1

+

−3 8 −62 0 11−4 0 1

=

−2− 3 4 + 8 6− 65 + 2 0 + 0 4 + 111− 4 1 + 0 1 + 1

=

−5 12 07 0 15−3 1 2

Ejemplo 3.2−1 06 08 −44 7

+

11 2−9 53 −51 −3

=

−1 + 11 0 + 26− 9 0 + 58 + 3 −4− 54 + 1 7− 3

=

10 2−3 511 −95 4

Ejemplo 3.3 (

a bc d

)+

(x yz w

)=

(a + x b + yc + z d + w

)


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Definicion 3.2 [Multiplicacion de escalares3 y Matrices] Si t es un escalar(numero real) y A es la matriz de m× n

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

La multiplicacion de t y A es la matriz tA tambien de tamano m× n dada por

tA =

ta11 ta12 ta13 · · · ta1n

ta21 ta22 ta23 · · · ta2n

ta31 ta32 ta33 · · · ta3n...

......

...tam1 tam2 tam3 · · · tamn

Es decir, la matriz tA, es la matriz que se obtiene al multiplicar cada una de las en-

tradas de la matriz A por el numero real t.

Ejemplo 3.4

Para las matrices

X =

3 17 −2−2 5

Y =

−4 05 2−6 3

Z =

11 6−8 9−2 2

se tiene que

(i) 3X = 3

3 17 −2−2 5

=

3 · 3 3 · 13 · 7 3 · −2

3 · −2 3 · 5

=

9 321 −6−6 15

(ii) − Y = −1 · Y = −1

−4 05 2−6 3

=

−1 · −4 −1 · 0−1 · 5 −1 · 2−1 · −6 −1 · 3

=

4 0−5 −26 −3

(iii) 4Z+7X = 4

11 6−8 9−2 2

+7

3 17 −2−2 5

=

44 24−32 36−8 8

+

21 749 −14−14 35

=

65 3117 22−22 43

3En este curso la palabra “escalar” es sinonimo de numero real


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(iv) 5Y−3Z = 5

−4 05 2−6 3

+−3

11 6−8 9−2 2

=

−20 025 10−30 15

+

−33 −1824 −276 −6

=

−53 −1849 −17−24 9

Ahora que hemos aprendido a sumar matrices y como multiplicarlas con numerosreales, es el momento adecuado para presentar algunas propiedades relacionadas a estasdos operaciones. Recuerde que Nmn representa la matriz nula de tamano m× n.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

Si A, B, C son matrices de tamano m× n se tienen las siguientes propiedades.

ConmutatividadA + B = B + A

Esta propiedad indica que al igual que sucede con los numeros reales, no importa el ordencuando se realiza la suma de dos matrices.

Asociatividad

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

EL orden al sumar matrices no es relevante en el resultado final. La suma matrices puederealizarse de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Los parentesis no son necesar-ios al realizar la suma de varias matrices.

Elemento NeutroA + Nmn = Nmn + A = A

La matriz nula en el conjunto de matrices juega el mismo papel que el cero en los numerosreales. Al sumar cualquier matriz A con la matriz nula del mismo tamano se obtiene comoresultado la misma matriz A.

Elemento InversoA +−A = −A + A = Nmn

Para cada matriz A existe la matriz −A que al sumarlas se obtiene como resultado lamatriz nula.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE ESCALARES Y MATRICES

Si t es un escalar real y A, B son matrices de tamano m × n tenemos estas otraspropiedades.

Elemento Absorbente0A = Nmn

Al multiplicar el numero cero con cualquier matriz obtenemos la matriz nula.


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Elemento Neutro1A = A

Multiplicar una matriz con el numero 1 no produce transformaciones en las entradas dela matriz.

Ley Distributivat(A + B) = tA + tB

Ejemplo 3.5 Ilustramos algunas propiedades dejando como ejercicio al lector queverifique las demas propiedades.

Para las matrices

P =

3 1 −2−1 0 −50 3 2

Q =

3 6 30 2 06 5 8

R =

−2 −3 15 7 02 3 0

tenemos que

1.

P + Q =

3 1 −2−1 0 −50 3 2

+

3 6 30 2 06 5 8

=

6 7 1−1 2 −56 8 10

Q + P =

3 6 30 2 06 5 8

+

3 1 −2−1 0 −50 3 2

=

6 7 1−1 2 −56 8 10

2.

P + (Q + R) =

3 1 −2−1 0 −50 3 2

+

3 6 30 2 06 5 8

+

−2 −3 15 7 02 3 0

=

3 1 −2−1 0 −50 3 2

+

1 3 45 9 08 8 8

=

4 4 24 9 −58 11 10

(P + Q) + R =

3 1 −2−1 0 −50 3 2

+

3 6 30 2 06 5 8

+

−2 −3 15 7 02 3 0

=

6 7 1−1 2 −56 8 10

+

−2 −3 15 7 02 3 0

=

4 4 24 9 −58 11 10


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Note

IGUALES


3. P +−P =

3 1 −2−1 0 −50 3 2

+

−3 −1 21 0 50 −3 −2

=

0 0 00 0 00 0 0

4. 1R = 1

−2 −3 15 7 02 3 0

=

1 · −2 1 · −3 1 · 11 · 5 1 · 7 1 · 01 · 2 1 · 3 1 · 0

=

−2 −3 15 7 02 3 0

= R

Definicion 3.3 [Producto de Matrices fila por Matrices Columna]

Si A =(

a11 a12 a13 · · · a1k

)y B =

b11

b21

b31...

bk1

entonces el producto A · B de las

matrices A y B se define como

A ·B =(

a11 a12 a13 · · · a1k

)·

b11

b21

b31...

bk1

= a11b11 + a12b21 + a13b31 + · · ·+ a1kbk1

Advertencia. El producto de una matriz fila y una matriz columna se puede realizarsolo cuando las matrices tienen el mismo numero de entradas. Observe que en la definicionambas matrices tienen k entradas.

Note que la multiplicacion de una matriz fila y una matriz columna es la suma delproducto de las primeras entradas de las matrices, el producto de las segundas entradas,el producto de las terceras y ası sucesivamente hasta la multiplicacion de las ultimas en-tradas de ambas matrices.

Al realizar el producto de una matriz fila y una matriz columna se obtiene un numeroreal y no una matriz.

Ejemplo 3.6

(4 1 7

)·

−682

= 4 · (−6) + 1 · 8 + 7 · 2 = −2


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Note

MATRIZ NEUTRA

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Ejemplo 3.7

(−2 3 0 1 −1

)·

221−34

= (−2) · 2 + 3 · 2 + 0 · 1 + 1 · (−3) + (−1) · 4 = −5

Definicion 3.4 [Producto de Matrices] Considere las matrices A y B tamanosm× n y n× p dadas por

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n...

......

...ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

B =

b11 b12 · · · b1j · · · b1p

b21 b22 · · · b2j · · · b2p

b31 b32 · · · b3j · · · b3p...

......

...bn1 bn2 · · · bnj · · · bnp

Queremos definir el producto matricial A ·B que tambien se escribe simplemente comoAB. Resulta que para realizar este producto lo que se debe hacer es una multiplicacionde las filas de A por las columnas de B, por esto, vamos a reescribir las matrices de lasiguiente manera

A =

a1

a2

a3...ai...

am

B =

(b1 b2 b3 · · · bj · · · bp

)

Con esta nueva notacion en la que ai representa la fila i de la matriz A y bj la columnaj de la matriz B, se define el producto de las matrices A y B como

A ·B =

a1b1 a1b2 a1b3 · · · a1bj · · · a1bp

a12b1 a2b2 a2b3 · · · a2bj · · · a2bp

a3b1 a3b2 a3b3 · · · a3bj · · · a3bp...

......

......

aib1 aib2 aib3 · · · aibj · · · aibp...

......

......

amb1 amb2 amb3 · · · ambj · · · ambp


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Para realizar el producto de matrices A · B lo que se hace es multiplicar cada fila dela matriz de la izquierda (la matriz A) por cada una de las columnas de la matriz de laderecha (la matriz B). Al multiplicar la primera fila de A por todas las columnas de B seconstruye la primera fila de la matriz A ·B. La segunda fila de la matriz A ·B se construyemultiplicando la segunda fila de A por todas las columnas de B. y ası sucesivamente.La ij-esima entrada de la matriz A ·B se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A yla columna j de la matriz B. Por ejemplo, si A es una matriz de tamano 3× 4 y B unamatriz de 4× 5 y denotamos como cij las entradas de la matriz A ·B entonces la entradac23 se obtiene multiplicando la fila 2 de A con la columna 3 de B, la entrada c35 se obtienemultiplicando la fila 3 de A y la columna 5 de B.

Ejemplo 3.8

(a bc d

)·(

a bc d

)=

(

a b)·(

ac

) (a b

)·(

bd

)(

c d)·(

ac

) (c d

)·(

bd

)

=

(a2 + bc ab + bdca + dc cb + d2

)

Ejemplo 3.9 Determine los productos matriciales XZ, ZX, XW , ZW , Y W , WY ,Y X, Y Z, Z2, X3 considerando las matrices

X =

−2 1 3−1 1 04 0 1

Y =

5 −2 12 0 33 7 −11 2 3

Z =

3 4 5−2 −3 −10 1 1

W =

0 3 1 2−4 6 0 −2−3 4 3 −1

Solucion. Calcularemos el producto de las matrices ZX, Y W , WY y los demas productosquedan como ejercicio para el lector.

(i) Para obtener la matriz ZX reescribimos las filas de Z y las columnas de X comoz1, z2, z3 y x1, x2, x3. De esta forma las matrices se representan de la siguiente manera

Z =

z1

z2

z3

X =(

x1 x2 x3

)


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De acuerdo a la definicion de producto de matrices la matriz ZX corresponde a

ZX =

z1x1 z1x2 z1x3

z2x1 z2x2 z2x3

z3x1 z3x2 z3x3

Puesto que las entradas de la matriz anterior representan los productos de las filas

de Z por la columnas de X podemos escribir la matriz producto ZX de forma explıcitacomo

(3 4 5

)·

−2−14

(3 4 5

)·

110

(3 4 5

)·

301

(−2 −3 −1

)·

−2−14

(−2 −3 −1

)·

110

(−2 −3 −1

)·

301

(

0 1 1)·

−2−14

(0 1 1

)·

110

(0 1 1

)·

301

=

3 · (−2) + 4 · (−1) + 5 · 4 3 · 1 + 4 · 1 + 5 · 0 3 · 3 + 4 · 0 + 5 · 1

(−2) · (−2) + (−3) · (−1) + (−1) · 4 (−2) · 1 + (−3) · 1 + (−1) · 0 (−2) · 3 + (−3) · 0 + (−1) · 1

0 · (−2) + 1 · (−1) + 1 · 4 0 · 1 + 1 · 1 + 1 · 0 0 · 3 + 1 · 0 + 1 · 1

=

10 7 143 −5 −73 1 1

Por tanto,

ZX =

10 7 143 −5 −73 1 1

(ii) Y W =

5 −2 12 0 33 7 −11 2 3

·

0 3 1 2−4 6 0 −2−3 4 3 −1

=

(5 −2 −1

)·

0−4−3

(5 −2 −1

)·

364

(5 −2 −1

)·

103

(5 −2 −1

)·

2−2−1

(

2 0 3)·

0−4−3

(2 0 3

)·

364

(2 0 3

)·

103

(2 0 3

)·

2−2−1

(

3 7 −1)·

0−4−3

(3 7 −1

)·

364

(3 7 −1

)·

103

(3 7 −1

)·

2−21

(

1 2 3)·

0−4−3

(1 2 3

)·

364

(1 2 3

)·

103

(1 2 3

)·

2−21



=

11 −1 2 15−9 18 11 1−25 47 0 −9−17 27 10 1

Y W =

11 −1 2 15−9 18 11 1−25 47 0 −9−17 27 10 1

(iii) WY =

0 3 1 2−4 6 0 −2−3 4 3 −1

5 −2 12 0 33 7 −11 2 3

=

(0 3 1 2

)·

5231

(0 3 1 2

)·

−2072

(0 3 1 2

)·

13−13

(−4 6 0 −2

)·

5231

(−4 6 0 −2

)·

−2072

(−4 6 0 −2

)·

13−13

(−3 4 3 −1

)·

5231

(−3 4 3 −1

)·

−2072

(−3 4 3 −1

)·

13−13

=

11 11 14−10 4 81 25 3

Con lo cual

WY =

11 11 14−10 4 81 25 3

¿Cual es el tamano de la matriz A ·B en el producto de las matrices A y B?Observe que al realizar el producto de una matriz A de tamano m×n y una matriz B

de n× p el tamano de la matriz A ·B es de tamano m× p, que es el producto del numerode filas de A por el numero de columnas de B. Esto no es una casualidad, siempre en lamatriz A ·B su numero de filas sera el numero de filas de la matriz que esta a la izquierdaen el producto (en este caso A) y su numero de columnas sera el numero de columnas dela matriz que esta a la derecha en el producto (en este caso B).

¿Cuando se pueden multiplicar dos matrices?El producto A ·B se puede realizar solo cuando el numero de columnas de A es igual al

numero de columnas de B. En efecto, observe que cada una de las entradas de la matrizA ·B es el producto de una matriz fila (una fila de A) y una matriz columna (una columnade B). De acuerdo a la advertencia realizada despues de la definicion 3.3 cuando se realiza



el producto de una matriz fila y una matriz columna ambas deben tener el mismo numerode entradas, esto quiere decir que la longitud de las filas de A debe ser la misma que lalongitud de las columnas de B, y de esto se deduce que para realizar el producto A ·B elnumero de columnas de A y el de filas de B deben ser iguales.

Observe que las matrices WY y Y W en el ejemplo 2 y 3 son diferentes, lo que significaque la operacion multiplicacion de matrices no es conmutativa. Esto quiere decir queen general si A y B son dos matrices AB 6= BA, en algunas ocasiones si ocurre queAB = BA pero no siempre sucede. Es mas, hay casos en los que alguno de los productos nisiquiera esta definido, por ejemplo, con las matrices X y Y . Como usted pudo comprobar

Y X =

−4 3 16

8 2 9−17 10 9

8 3 6

mientras que el producto de matrices XY no esta bien definido

(no se puede calcular). A continuacion daremos una lista de propiedades con respecto alproducto de matrices.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

Asociatividad Si A, B, C son matrices de tamanos m× n, n× p, y p× k respectiva-mente se cumple que

A(BC) = (AB)C = ABC

El producto de varias matrices puede realizarse agrupando de cualquier manera siemprey cuando no se conmuten las matrices.

Elemento Neutro Si A es una matriz cuadrada de tamano n× n tenemos que

A · In = In · A = A

La matriz identidad en el conjunto de matrices juega el mismo papel que el uno en losnumeros reales. Al multiplicar cualquier matriz cuadrada A con la matriz identidad delmismo tamano se obtiene como resultado la misma matriz A.

Elemento Absorbente

Amn ·Nnm = Nmm, Nmn · Anm = Nmm

Al multiplicar la matriz nula con cualquier matriz obtenemos la matriz nula.

Ley distributiva Si A, B, C son matrices de tamanos m× n, n× p, y n× p respec-tivamente se cumple que

A · (B + C) = A ·B + A · C

Ejercicio para el lector. Utilice las matrices del ejemplo anterior para comprobarcada una de las propiedades enunciadas sobre el producto de matrices.


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Definicion 3.5 [Potencia de una Matriz] Si n es cualquier numero natural, defin-imos la n-esima potencia de la matriz P como la matriz P n que se obtiene al multiplicarn veces la misma matriz P

P n = P · P · P · · ·P︸︷︷︸n factores

Ejemplo 3.10

Considere las matrices A =

1 0 10 1 00 0 1

B =

(2 −11 0

)C =

(0 32 0

)Estas matrices tienen relaciones interesantes que no todas las matrices tienen. Vamos

a calcular varias potencias de A, B y C para identificar cierto “patron” y de esta maneraobtener potencias de exponentes grandes sin necesidad de realizar calculos. Haciendo estopor ejemplo podrıamos determinar la matriz A2000 sin tener que multiplicar 2000 mil vecesla matriz A. No se muestran todos los calculos cuando se obtienen todas las potencias delas matrices pero se sugiere que usted vaya completando los detalles. Como usted podracomprobar tenemos que

A2 = A · A =

1 0 10 1 00 0 1

·

1 0 10 1 00 0 1

=

1 0 20 1 00 0 1

A3 = A2 · A =

1 0 20 1 00 0 1

·

1 0 10 1 00 0 1

=

1 0 30 1 00 0 1

A4 = A3 · A =

1 0 30 1 00 0 1

·

1 0 10 1 00 0 1

=

1 0 40 1 00 0 1

A5 = A4 · A =

1 0 40 1 00 0 1

·

1 0 10 1 00 0 1

=

1 0 50 1 00 0 1

De acuerdo a los calculos anteriores se puede deducir entonces que

A2000 =

1 0 20000 1 00 0 1

Por otro lado tenemos que

B2 = B ·B =

(2 −11 0

)·(

2 −11 0

)=

(3 −22 −1

)=

(2 + 1 −2

2 1− 2

)


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B3 = B2 ·B =

(3 −22 −1

)·(

2 −11 0

)=

(4 −33 −2

)=

(3 + 1 −3

3 1− 3

)

B4 = B3 ·B =

(4 −33 −2

)·(

2 −11 0

)=

(5 −44 −3

)=

(4 + 1 −4

4 1− 4

)

B5 = B4 ·B =

(5 −44 −3

)·(

2 −11 0

)=

(6 −55 −4

)=

(5 + 1 −5

5 1− 5

)

Note entonces que B2000 =

(2000 + 1 −2000

2000 1− 2000

)=

(2001 −20002000 −1999

)

Algunas matrices presentan relaciones solamente en sus potencias pares o impares

C2 = C · C =

(0 32 0

)·(

0 32 0

)=

(6 00 6

)C4 = C2 · C2 =

(6 00 6

)·(

6 00 6

)=

(36 00 36

)=

(62 00 62

)

C6 = C2 · C2 · C2 =

(6 00 6

)·(

6 00 6

)·(

6 00 6

)=

(63 00 63

)C8 = C2 · C2 · C2 · C2 =

(6 00 6

)·(

6 00 6

)·(

6 00 6

)·(

6 00 6

)=

(64 00 64

)

Y entonces

B2000 =

(61000 0

0 61000

)

Definicion 3.6 [Matriz Transpuesta] Si A es una matriz de tamano n × p, sedenomina matriz traspuesta de A denotada como AT a la matriz de tamano p × n queresulta de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A.

Si A =

a11 a12 a13 · · · a1p

a21 a22 a23 · · · a2p

a31 a32 a33 · · · a3p...

......

...an1 an2 an3 · · · anp

entonces AT =

a11 a21 a31 · · · an1

a12 a22 a32 · · · an2

a13 a23 a33 · · · an3...

......

...a1p a2p a3p · · · anp

La i-esima fila de A se convierte en la i-esima columna de AT y la j-esima columna

de A en la j-esima fila de AT .


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Ejemplo 3.11

Si X =

(−1 2

3 1

)y W =

(−2 4

2 −3

)tenemos que

(i) XT =

(−1 2

3 1

)T

=

(−1 3

2 1

)y W T =

(−2 4

2 −3

)T

=

(−2 2

4 −3

)

(ii) (X + W )T =

[(−1 2

3 1

)+

(−2 4

2 −3

)]T

=

(−3 6

5 −2

)T

=

(−3 5

6 −2

)

(iii) XT + W T =

(−1 3

2 1

)+

(−2 2

4 −3

)=

(−3 5

6 −2

)

(iv) (XT )T =

((−1 2

3 1

)T)T

=

(−1 3

2 1

)T

=

(−1 2

3 1

)= X

(v) (X ·W )T =

[(−1 2

3 1

)·(−2 4

2 −3

)]T

=

(−1 2

)·(−2

2

) (−1 2

)·(

4−3

)(

3 1)·(−2

2

) (3 1

)·(

4−3

)

T

=

(6 −10

−4 9

)T

=

(6 −4

−10 9

)

(vi) W T ·XT =

(−2 2

4 −3

)·(−1 3

2 1

)

=

(−2 2

)·(−1

2

) (−2 2

)·(

31

)(

4 −3)·(−1

2

) (4 −3

)·(

31

) =

(6 −4−10 9

)

Los ejemplos expuestos anteriormente ilustran propiedades de la matriz transpuestaque enunciaremos a continuacion.



PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

(i) Para cualquier matriz A de tamano m× n

(AT )T = A

(ii) Si A, B son matrices de tamano m× n entonces

(A + B)T = AT + BT

(iii) Si A, B son matrices de tamanos m× n y n× p se cumple que

(AB)T = BT AT

Terminamos nuestro estudio de las matrices presentando el conjunto de las matricesBooleanas.

4. MATRICES BOOLEANAS

Definicion 4.1 [Matriz Booleana] Una matriz se llama Booleana si sus entradasestan formadas solamente por unos y ceros. Las siguientes matrices son Booleanas.

1 11 00 1

(0 0 10 1 0

) (0 00 0

) 1 0 00 1 00 0 1

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

Definicion 4.2 [Operaciones Disyuncion y Conjuncion en el conjunto {0, 1}]

1. Se define la operacion disyuncion a∨b de dos elementos a, b que pertenecen a {0, 1}como

a ∨ b =

{1, si a = 1 o b = 1

0, si a y b son cero

2. Definimos tambien la operacion conjuncion a∧ b de dos elementos a, b del conjunto{0, 1} como

a ∧ b =

{1, si a y b son uno

0, si a = 0 o b = 0

La siguiente tabla ilustra todos los resultados posibles para la disyuncion y conjuncionde elementos de {0, 1}.


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allan

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allan

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Arrow

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Arrow

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Typewriter

cuidado


Disyuncion Conjuncion0 ∨ 0 = 0 0 ∧ 0 = 00 ∨ 1 = 1 0 ∧ 1 = 01 ∨ 0 = 1 1 ∧ 0 = 01 ∨ 1 = 1 1 ∧ 1 = 1

Las operaciones disyuncion y conjuncion tambien estan presentes en el conjunto dematrices Booleanas.

Definicion 4.3 [Disyuncion y Conjuncion de Matrices Booleanas]

Si A y B son dos matrices Booleanas del mismo tamano, digamos de m× n

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

B =

b11 b12 b13 · · · b1n

b21 b22 b23 · · · b2n

b31 b32 b33 · · · b3n...

......

...bm1 bm2 bm3 · · · bmn

1. Se define la disyuncion de A y B como la matriz A ∨B tambien de tamano m× ndada por

A ∨B =

a11 ∨ b11 a12 ∨ b12 a13 ∨ b13 · · · a1n ∨ b1n

a21 ∨ b21 a22 ∨ b22 a23 ∨ b23 · · · a2n ∨ b2n

a31 ∨ b31 a32 ∨ b32 a33 ∨ b33 · · · a3n ∨ b3n...

......

...am1 ∨ bm1 am2 ∨ bm2 am3 ∨ bm3 · · · amn ∨ bmn

Es decir, la matriz disyuncion de las matrices A y B, es la matriz de m × n que se

obtiene al operar las entradas correspondientes de A y B bajo la operacion disyunciondada en la definicion 4.2Como las matrices A y B son Booleanas sus entradas estan formadas solo por ceros yunos. Note entonces que, la disyuncion de las matrices A y B es la matriz A ∨ B cuyaij-esima entrada es, uno, si alguna de las ij-esimas entradas de A o B son uno, y cero silas dos ij-esimas entradas de A y B son cero.

2. Definimos tambien la conjuncion de A y B como la matriz A∨B del mismo tamanode A y B dada por

A ∧B =

a11 ∧ b11 a12 ∧ b12 a13 ∧ b13 · · · a1n ∧ b1n

a21 ∧ b21 a22 ∧ b22 a23 ∧ b23 · · · a2n ∧ b2n

a31 ∧ b31 a32 ∧ b32 a33 ∧ b33 · · · a3n ∧ b3n...

......

...am1 ∧ bm1 am2 ∧ bm2 am3 ∧ bm3 · · · amn ∧ bmn


allan

Rectangle

allan

Rectangle


La matriz conjuncion de las matrices A y B, es la matriz de m × n que se obtieneal operar las entradas correspondientes de A y B bajo la operacion conjuncion definidaanteriormente en el conjunto {0, 1}.La conjuncion de las matrices A y B es la matriz A ∧ B cuya ij-esima entrada es uno silas dos ij-esimas entradas de A y B son uno, y cero, si alguna de las ij-esimas entradasde A o B son cero.

Ejemplo 4.1

Para las matrices

A =

1 1 01 0 10 1 0

B =

1 00 11 1

C =

0 0 11 0 11 0 1

D =

(1 1 00 0 1

)E =

0 11 01 0

F =

(0 1 10 1 0

)tenemos que

1. A ∨C =

1 1 01 0 10 1 0

∨ 0 0 1

1 0 11 0 1

=

1 ∨ 0 1 ∨ 0 0 ∨ 11 ∨ 1 0 ∨ 0 1 ∨ 10 ∨ 1 1 ∨ 0 0 ∨ 1

=

1 1 11 0 11 1 1

2. C ∨A =

0 0 11 0 11 0 1

∨ 1 1 0

1 0 10 1 0

=

0 ∨ 1 0 ∨ 1 1 ∨ 01 ∨ 1 0 ∨ 0 1 ∨ 11 ∨ 0 0 ∨ 1 1 ∨ 0

=

1 1 11 0 11 1 1

3. B ∨ E =

1 00 11 1

∨

0 11 01 0

=

1 ∨ 0 0 ∨ 10 ∨ 1 1 ∨ 01 ∨ 1 1 ∨ 0

=

1 11 11 1

4. D ∨ F =

(1 1 00 0 1

)∨(

0 1 10 1 0

)=

(1 ∨ 0 1 ∨ 1 0 ∨ 10 ∨ 0 0 ∨ 1 1 ∨ 0

)=

(1 1 10 1 1

)

5. B ∧ E =

1 00 11 1

∧

0 11 01 0

=

1 ∧ 0 0 ∧ 10 ∧ 1 1 ∧ 01 ∧ 1 1 ∧ 0

=

0 00 01 0

6. D ∧ F =

(1 1 00 0 1

)∧(

0 1 10 1 0

)=

(1 ∧ 0 1 ∧ 1 0 ∧ 10 ∧ 0 0 ∧ 1 1 ∧ 0

)=

(0 1 00 0 0

)



7. F ∧D =

(0 1 10 1 0

)∧(

1 1 00 0 1

)=

(0 ∧ 1 1 ∧ 1 1 ∧ 00 ∧ 0 1 ∧ 0 0 ∧ 1

)=

(0 1 00 0 0

)

8. A ∧C =

1 1 01 0 10 1 0

∧ 0 0 1

1 0 11 0 1

=

1 ∧ 0 1 ∧ 0 0 ∧ 11 ∧ 1 0 ∧ 0 1 ∧ 10 ∧ 1 1 ∧ 0 0 ∧ 1

=

0 0 01 0 10 0 0

Ahora vamos a definir un nuevo producto que llamado producto conjuncion entre

matrices Booleanas fila y columna.

Definicion 4.4 [Producto Conjuncion de una matriz fila y una matriz columna]

Si A, B son las matrices Booleanas

A =(

a11 a12 a13 · · · a1k

)B =

b11

b21

b31...

bk1

Definimos el producto conjuncion A⊗B de las matrices Booleanas A y B como

A⊗B =(

a11 a12 a13 · · · a1k

)⊗

b11

b21

b31...

bk1

= (a11∧b11)∨(a12∧b21)∨(a13∧b31)∨· · ·∨(a1k∧bk1)

Ejemplo 4.2

1.(

1 1 0)⊗

001

= (1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) = 0 ∨ 0 ∨ 0 = 0

2.(

0 1 0 1 1)⊗

11100

= (0∧1)∨(1∧1)∨(0∧1)∨(1∧0)∨(1∧0) = 0∨1∨0∨0∨0 = 1

Recuerde que cuando multiplicamos dos matrices A y B (ver definicion 3.4) las en-tradas de la matriz producto AB son a su vez multiplicaciones de las filas de A con lascolumnas de B. En el producto Booleano A � B de las matrices A y B pasa algo muysimilar solo que ahora la mutiplicacion de las filas de A con las columnas de B se realiza


allan

Highlight

allan

Highlight


con el “producto conjuncion” dado anteriormente en la definicion anterior 4.4.

El producto Booleano se puede definir de diferentes maneras. Presentamos 3 distintasdefiniciones del producto Booleano, en la realizacion de ejercicios el lector puede utilizarla definicion que comprenda mejor.

Definicion 4.5 [Producto Booleano de Matrices]

(I) Considere las matrices Booleanas A y B de tamanos m× n y n× p dadas por

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n...

......

...ai1 ai2 ai3 · · · ain...

......

...am1 am2 am3 · · · amn

B =

b11 b12 · · · b1j · · · b1p

b21 b22 · · · b2j · · · b2p

b31 b32 · · · b3j · · · b3p...

......

...bn1 bn2 · · · bnj · · · bnp

Para realizar el producto Booleano hay que multiplicar (con el producto conjunciondado en la definicion 4.4) las filas de A por las columnas de B. De la misma manera comolo hicimos en la multiplicacion usual de matrices, vamos a reescribir las matrices de lasiguiente manera

A =

a1

a2

a3...ai...

am

B =

(b1 b2 b3 · · · bj · · · bp

)

Con esta nueva notacion en la que ai representa la fila i de la matriz A y bj la columnaj de la matriz B. El producto Booleano A�B de A y B se define como la matriz

A�B =

a1 ⊗ b1 a1 ⊗ b2 a1 ⊗ b3 · · · a1 ⊗ bj · · · a1 ⊗ bp

a2 ⊗ b1 a2 ⊗ b2 a2 ⊗ b3 · · · a2 ⊗ bj · · · a2 ⊗ bp

a3 ⊗ b1 a3 ⊗ b2 a3 ⊗ b3 · · · a3 ⊗ bj · · · a3 ⊗ bp...

......

......

ai ⊗ b1 ai ⊗ b2 ai ⊗ b3 · · · ai ⊗ bj · · · ai ⊗ bp...

......

......

am ⊗ b1 am ⊗ b2 am ⊗ b3 · · · am ⊗ bj · · · am ⊗ bp


allan

Highlight


(II) Si A, B son dos matrices Booleanas de tamano m × n y n × p respectivamente,definimos la multiplicacion Booleana de A y B como la matriz A� B cuya ij-esimaentrada es

1, si el producto4 de la fila i de A y la columna j de B es distinto de cero y

0, si el producto de la fila i de A y la columna j de B es cero

(III) Si A, B son dos matrices Booleanas de tamano m × n y n × p respectivamente,definimos la multiplicacion Booleana de A y B como la matriz A� B cuya ij-esimaentrada es

1, si coinciden dos 1’s en algunas de las entradas correspondientes de la fila i de A yla columna j de B y

0, si no se da tal coincidencia

Ahora daremos ejemplos de como calcular el producto Booleano de matrices. Elprimero de los ejemplos sera desarrollado de tres maneras, utilizando las 3 definiciones,posteriormente los demas ejemplos seran explicados utilizando la definicion (I) pues no esintuitiva, es mas formal, estructurada, formativa y es muy facil de comprender.

Ejemplo 4.3

1. Si A =

(1 1 00 0 1

)y B =

0 11 01 0

determine el producto A�B.

Solucion.

(i) A�B =

(1 1 00 0 1

)�

0 11 01 0

=

(1 1 0

)⊗

011

(1 1 0

)⊗

100

(

0 0 1)⊗

011

(0 0 1

)⊗

100

4Este producto se refiere al producto usual de matrices fila y matrices columna dado en la definicion

3.4



=

(1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) (1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0)

(0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) (0 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 0)

=

(1 11 0

)

(ii) Realizamos el producto usual de las correspondientes matrices fila y columna.Dado que

(1 1 0

)·

011

= 1 6= 0(

1 1 0)·

100

= 1 6= 0

(0 0 1

)·

011

= 1 6= 0(

0 0 1)·

100

= 0

entonces

A�B =

(1 11 0

)

(iii) Como en la fila 1 de A y en la columna 1 de B hay 1’s en sus segundas entradasentonces la entrada en la fila 1 y columna 1 de la matriz A�B es igual a 1.

Como en la fila 1 de A y en la columna 2 de B hay 1’s en sus primeras entradasentonces la entrada en la fila 1 y columna 2 de la matriz A�B es igual a 1.

Como en la fila 2 de A y en la columna 1 de B hay 1’s en sus terceras entradas entoncesla entrada en la fila 2 y columna 1 de la matriz A�B es igual a 1.

Como en la fila 2 de A y en la columna 2 de B no hay 1’s en ninguna de sus entradascorrespondientes entonces la entrada en la fila 2 y columna 2 de la matriz A�B es igual a 0.

O sea

A�B =

(1 11 0

)

Ejemplo 4.4 Realizamos el producto Booleano de las matrices

(1 10 0

)y

(0 11 0

)(

1 10 0

)�(

0 11 0

)=

(

1 1)⊗(

01

) (1 1

)⊗(

10

)(

0 0)⊗(

01

) (0 0

)⊗(

10

)



=

(1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) (1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0)

(0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) (0 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0)

=

(1 10 0

)

Luego (1 10 0

)�(

0 11 0

)=

(1 10 0

)

Ejemplo 4.5 Para las matrices

0 1 01 1 01 0 1

y

1 0 00 1 11 1 0

tenemos que 0 1 01 1 01 0 1

�

1 0 00 1 11 1 0

=

(0 1 0

)⊗

101

(0 1 0

)⊗

011

(0 1 0

)⊗

010

(

1 1 0)⊗

101

(1 1 0

)⊗

011

(1 1 0

)⊗

010

(

1 0 1)⊗

101

(1 0 1

)⊗

011

(1 0 1

)⊗

010

=

(0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0)

(1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0)

(1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (1 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0)

=

0 1 11 1 11 1 1

Por tanto 0 1 0

1 1 01 0 1

�

1 0 00 1 11 1 0

=

0 1 11 1 11 1 1



PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BOOLEANAS

(i) Conmutatividad Si A, B son matrices Booleanas del mismo tamano

A ∨B = B ∨ A A ∧B = B ∧ A

(ii) Asociatividad de la Disyuncion y la Conjuncion Si A, B, C son matricesBooleanas del mismo tamano

A ∨ (B ∨ C) = (A ∨B) ∨ C A ∧ (B ∧ C) = (A ∧B) ∧ C

(iii) Leyes Distributivas Si A, B, C son matrices Booleanas del mismo tamano

A ∨ (B ∧ C) = (A ∨B) ∧ (A ∨ C) A ∧ (B ∨ C) = (A ∧B) ∨ (A ∧ C)

(iv) Asociatividad del Producto Booleano Si A, B, C son matrices Booleanas detamanos m× n, n× p, y p× k respectivamente entonces

A� (B � C) = (A�B)� C

En el ejercicio 2.20 de la lista de ejercicios que se le presenta a continuacion debeverificar que se cumplen las propiedades dadas anteriormente.


allan

Rectangle

allan

Callout

allan

Callout


EJERCICIOS

Ejercicio 2.1. Determine los valores los escalares a y b que satisfacen la ecuacion 3 2a + 1 −14 0 67 11 10

=

3 19 −14 0 67 11 3b− 2

Ejercicio 2.2 Determine los valores de m y n que satisfacen la ecuacion(

1 2n 69 −8 3

)+ 5

(3 2 −1−2 3 2n

)=

(16 6 1−1 7 m + 2

)

Ejercicio 2.3 Suponga que a, b, c son escalares y considere las matrices

P =

1 2a a + cc− a b 0

2 −1 5b

Q =

−b c + 2b a + cc− a a + 2 −4a + 2c 3 −a

Calcule las matrices 3P + 2Q, −Q + 5Q, P − 3Q

Ejercicio 2.4 Calcule el producto matricial 1 1 11 1 11 1 1

·

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

¿Cual diferencia entre el producto de matrices y el producto de numeros reales salta a lavista gracias a la multiplicacion de matrices que acaba de realizar?

Ejercicio 2.5 Para las matrices

X =

−1 0 62 3 36 −8 −4

Y =

4 −4 7−5 3 2−7 −1 5

Z =

6 4 0−3 0 −28 1 −1

Calcule las siguientes sumas y productos de matrices

2X − 5Y + 3Z, 0X, X · (Y − Z), XT + ZT , (Y X)T , (Y T + Z)T ,XT · (5X − 2Y T )

Ejercicio 2.6 Si X, Y, Z son las mismas matrices del ejercicio anterior.

(i) Encuentre la matriz W de tamano 3× 3 tal que X − Y + Z + W es la matriz nulade 3× 3.

(ii) Encuentre la matriz W de tamano 3 × 3 tal que X − Y + Z + W es la matrizidentidad de 3× 3.



Ejercicio 2.7 Encuentre dos matrices cuadradas A y B (del tamano que quiera) talesque

A2 −B2 6= (A−B)(A + B)

Ejercicio 2.8 Verifique la propiedad asociativa de la multiplicacion para las matrices 2 47 −5−6 1

1 4 13 −5 51 2 1

(3 2 −71 0 −3

)

Nota: Debe considerar los tamanos de las matrices para acomodarlas de tal manera quecada uno de los productos matriciales se puedan realizar.

Ejercicio 2.9 Calcule las potencias A2, A3 A4 de la matriz A =

(1 10 1

)e identifique

una relacion que le permita deducir cual es la matriz A501.

Ejercicio 2.10 Calcule las potencias A2, A3 A4 de la matriz A =

0 −1 10 1 −10 0 1

y

deduzca la matriz que corresponde a la potencia A2013.

Ejercicio 2.11 Haga lo mismo que en el ejercicio 2.9 pero esta vez para la matriz

A =

(1 −1−1 1

)Ejercicio 2.12 Haga lo mismo que en el ejercicio 2.10 pero con la matriz

A =

1 1 11 1 11 1 1

Ejercicio 2.13 Determine el o los valores de x que satisfacen la ecuacion(

−1 x−x −1

)2

=

(−3 00 −3

)

Ejercicio 2.14 Si A =

(a bc d

)compruebe que A2 = 4A− 3I2.

Ejercicio 2.15 Si A =

(a bc d

)compruebe que A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 es

la matriz nula de tamano 2× 2.



Ejercicio 2.16 [Matriz Invertible] Una matriz de 2× 2

(a bc d

)tiene inversa si

ad − bc 6= 0. Una matriz que tiene inversa se llama invertible. ¿Cuales de las siguientesmatrices son invertibles?(

1 00 1

) (−2 43 1

) (6 83 4

) (0 00 0

) (1 1−1 −1

)

Ejercicio 2.17 [Matriz Simetrica y Antisimetrica] Una matriz cuadrada A sedenomina simetrica si AT = A y antisimetrica si AT = −A. ¿Cuales de las siguientesmatrices son simetricas y cuales antisimetricas? 0 1 −1

−1 0 21 −2 0

−2 0 50 −2 15 1 0

−2 5 45 −10 44 4 −4

0 2 6−2 0 1−6 −1 0

0 −2 −42 0 −24 2 −1

2 1 11 0 21 2 4

Ejercicio 2.18 Encuentre los valores de a y b que hacen que la matriz

2 a 35 −6 2b 2 4

sea simetrica.

En el ejercicio 2.19 el objetivo es utilizar solamente las propiedades de la matriztranspuesta dadas en la teorıa. NO debe escribir las matrices con entradas, pues nisiquiera se sabe el tamano de las matrices solo se sabe que son cuadradas. La idea es quepruebe lo que se le solicita a “pura” definicion.

Ejercicio 2.19 Suponga que A y B son matrices cuadradas del mismo tamano.

(i) Pruebe que las matrices A + AT y AAT son simetricas, es decir, pruebe que secumplen las igualdades A + AT = (A + AT )T y (AAT )T = AAT .

(ii) Pruebe que la matriz A− AT es simetrica, esto es, −(A− AT ) = (A− AT )T .

(iii) Pruebe que si A y B son simetricas entonces A + B es simetrica.Sugerencia: Tiene que probar que A+B = (A+B)T utilizando que A = AT y B = BT .

Ejercicio 2.20 Compruebe todas las propiedades enunciadas en la pagina 63 para ladisyuncion, la cojuncion y el producto Booleano utilizando las matrices

A =

1 0 10 1 00 0 1

B =

1 1 01 1 01 0 0

A =

0 1 00 0 11 1 0



Ejercicio 2.21 Calcule la siguiente disyuncion de matrices0 1 0 0 10 0 1 1 01 1 0 1 10 1 0 0 01 1 1 0 0

∨

0 0 0 0 00 1 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 00 0 0 0 0

Ejercicio 2.22 Calcule la siguiente conjuncion de matrices

1 1 0 1 11 1 0 1 10 0 0 0 01 1 0 1 11 1 0 1 1

∧

0 1 1 1 01 0 1 0 11 1 0 1 11 0 1 0 10 1 1 1 0

Ejercicio 2.23 Ezcriba la siguiente expresion en una sola matriz Booleana 1 0

0 10 0

∨

0 10 00 1

� ( 1 0 0 11 0 1 0

)

Ejercicio 2.24 Determine los valores de a y b que satisfacen la siguiente igualdad a 1 00 1 11 0 0

∧

1 0 11 b 11 1 1

=

0 0 00 1 11 0 0

Ejercicio 2.25 Determine los valores de m y n que satisfacen la siguiente igualdad 0 1 1

m 0 01 0 1

∨

0 1 10 1 10 n 0

=

0 1 11 0 01 0 1

Ejercicio 2.26 Determine los valores de α y β que satisfacen la siguiente igualdad(

α 10 1

)�(

1 1β 0

)=

(1 01 0

)Ejercicio 2.27 Escriba la siguiente expresion en una sola matriz Booleana

[(2 5 −2−4 −3 4

)+

(−1 −5 24 4 −4

)]�

1 0 10 1 01 0 0


REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Anton, H. (2003). Introduccion al Algebra Lineal. (3a.ed.). Mexico: LimusaWiley.

[2] Grossman I., S. (2011). Algebra Lineal. (6a.ed.). Mexico: McGraw-HillInteramericana.

[3] Lipschutz, S. (1982). Algebra lineal. Mexico: McGraw-Hill.

[4] Lipschutz, S. (1992). Matematicas para Computacion. Mexico: McGraw-Hill.

[5] Lipschutz, S. (1996). Teorıa de conjuntos y temas afines. Mexico: McGraw-Hill.

[6] Murillo Tsijli, M. (2009). Introduccion a la Matematica Discreta. (3a. ed.) SanJose: Editorial Tecnologica de Costa Rica.

[7] Perez Raposo, A. (2010). Logica, Conjuntos, Relaciones y Funciones . Mexico:Publicaciones Sociedad Matematica Mexicana.

[8] Rojo, J., Martın, I., (1994). Ejercicios y Problemas de Algebra Lineal. Madrid:McGraw-Hill

[9] Santos A., D. (2004) Linear Algebra. Community College deFiladelfia.

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http://www.ucm.es/info/pslogica/teoriaconjuntos.pdf

[11] Rodrıguez Salinas, B. (1994). Cantor y la teorıa de conjuntos. Recuperado de

http://dmle.cindoc.csic.es/revistas/detalle.php?numero=5178

[12] Uzcategui Aylwin, C. (2011). Logica, Conjuntos y Numeros. Recuperado de

http://es.scribd.com/doc/30549948/Logica-Conjuntos-y-Numeros-Carlos-Uzcategui-Aylwin

[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Georg Cantor

[14] http://www.omerique.net/calcumat/matrices1.htm

[15] http://www.slideshare.net/TheTechnologist/historia-de-las-matrices

[16] http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm

Software

[17] Programa Venn Diagram Plotter. Recuperado de

http://www.filecluster.es/descargar/Venn-Diagram-Plotter-122975.html

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