Towards Low Energy Physics from the Heterotic String

172
UNIVERSIT .. AT BONN Physikalisches Institut Towards Low Energy Physics from the Heterotic String von Sa´ ul No´ e Ramos S´ anchez We investigate orbifold compactifications of the heterotic string, addres- sing in detail their construction, classification and phenomenological po- tential. Based on the insight gained from grand unification theories, we develop a successful strategy to search for models resembling the mini- mal supersymmetric extension of the standard model (MSSM) in 6 -II orbifold compactifications. We find about 200 MSSM candidates with the gauge group and the exact spectrum of the MSSM, and supersymmetric vacua below the compactification scale. Among them, there are several models with the following realistic features: R-parity, seesaw suppressed neutrino masses, and intermediate scale of supersymmetry breakdown. Post address: Nussallee 12 53115 Bonn Germany BONN-IR-2008-08 Bonn University Juni 2008 ISSN-0172-8741

Transcript of Towards Low Energy Physics from the Heterotic String

UNIVERSIT. .AT BONN

Physikalisches Institut

Towards Low Energy Physics from the Heterotic String

von

Saul Noe Ramos Sanchez

We investigate orbifold compactifications of the heterotic string, addres-sing in detail their construction, classification and phenomenological po-tential. Based on the insight gained from grand unification theories, wedevelop a successful strategy to search for models resembling the mini-mal supersymmetric extension of the standard model (MSSM) in

�6−II

orbifold compactifications. We find about 200 MSSM candidates with thegauge group and the exact spectrum of the MSSM, and supersymmetricvacua below the compactification scale. Among them, there are severalmodels with the following realistic features: R-parity, seesaw suppressedneutrino masses, and intermediate scale of supersymmetry breakdown.

Post address:

Nussallee 12

53115 Bonn

Germany

BONN-IR-2008-08

Bonn University

Juni 2008

ISSN-0172-8741

Towards Low Energy Physics from the

Heterotic String

Dissertation

zur

Erlangung der Doktorwurde

der

Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat

der

Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universitat

zu Bonn

vorgelegt von

Saul Noe Ramos Sanchez

aus

Mexiko Stadt

Bonn 2008

Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultat der Universitat

Bonn

Referent: Prof. Dr. Hans-Peter Nilles

Korreferent: Prof. Dr. Albrecht Klemm

Tag der Promotion: 24. Juni 2008

Diese Dissertation ist auf dem Hochschulschriftenserver der ULB Bonn

http://hss.ulb.uni-bonn.de/diss online elektronisch publiziert.

Erscheinungsjahr: 2008

�������������� ��������������������������

!"���$#������% &�'�(�*)+���,�% ��(

����������� ������� ��� ������������������ �!����"$#&%'���(*)$�&�+�,���.-/��������("0� �21 ���4365�"0�7����8�4���9(,�+��� �43'�$)�:�����,(,����5 ; ;:��</(,�+��� �=��5>�?��@A���+�?����5 5�� � <'5�� 1B1 �����DC�������EF� ���+����<'�5>"��+��� �+� � �GEF� ���H�,������(,(,��I�?�+�J<� �+�?�5 (*"0���,1����,��1 ���LK7���,(�EF�G5�� ��(,����� ���+�4�8�+��� �M�'���I�?���,��,�:���N�.(,EF���,�����O�+�LP+5Q��C�� �����J#SRTEF�U17�� ����5 EF�V�'�+#W�'���,��(YXZ� �,5��V5 ��1VK7�,�5[�\�+�,�?S]^�+��(�(Y1 ���D@A����� ���_RT�I�?�+�,�7��,����� ����+�[`a�,�1 5 �������,���>)(,EF�H5 ����bc@AR*`2d e."0���41����Df6�I�?�+�,(*�?���,P�5 � ��<g1 ���_��EF�h(��?i�� 1 ���=�����L��� � �+�L�:���j��D#URTEF�k17�� ����1�������N�?��������1����,�^1 ���4K7���,(�EF�H5 � ��(����,5 ;�;O�_�����L�l�,��"$#m-6�������+(�"0� �.1 ���Y� ���N"0�,�+��EF� �+�Q�'��(��G5�(,(,����� �+�J<n�����1 �+� ���o��EF���>�����!���+�������I��� ��O��<p5 � 1^1����4�� ���+� �����8�43'���O�+���?(,��?�4��(�; �7i�����#q3'5 r����,1����s�O�+17�� �����EF�o�8��EF�o�:���nX\����+(,� �t3'�?��G�u<v�l����"$#w]B����"0�����+1�@A5 EF� �x�������+��<\�'��#\ya�� ��)$d>���^zA� ���u<v�l����"$#\dG�?�{"c��KvC���(��,��<G�'��#G�|�G��1}`~�,������(�EF� ����1J<H�l�,��"$#Hy/����EF� ��%6��8���5 EF� �u<H�'��#G����,�q%/���������H�7�EF��<H�!����"$#IX\��?(�5 �y6���7|�I�(�� ��<&�l�,��"$#&����(,5 ���}y~5 �:� <p�'�+#\�~�����_�w���:��1��+�:<m�l�,��"$#}�(�E|��2�w�I���P|Y@A�����?��<p�'��#q3'��1 �,�+�����E�5J<t�l�,��"$#n����EF�7��+�W�6��,P�<t�l�,��"$#ndG�,57��*�}�/��I��<t�'�+#n`a���� �8�(,(����4��Xv�(,��� ��?� <n�\��?����EF���n�5>)1 ���+���� ���'5 � 1D�'��#>3'�H���M]B��� ���+���?�+��<G"0� �g17�(A��5��?�~��5 (?��4�4���7����O�+���,���M5 ��1Y1 ���~@t�|��I�T�t�����,5 � ��4���������qP|������,�+��EF� �+��K7�?������J#B�l���L� ����P�����EF� �+�}��� �Q�����N�4�v��,�,��EF�S�n�5�1 �,�{���� ����5�� 1B����EF�7�����/��?P"0� �/�5>"0(,EF� ��5 (,(��,����EF� ���'��(��G5�(,(,����� �+��5 � 1D17�(/y/���,�����I�?5 �����+(,���D1 ����(,�+�W3'�,�:���N�|#d>EF� ������r�����EF�217������g��EF�x� ����P�����EF� (*�m�4���������v��5��,�,���&�������������/d���� EF����Pg5 ��1x�8�+��� �+�vK7�,�5�3Z1 ����j)

�7x�!�����I��,q`a����P|������P'"0� �A��� ���~5 � �����x� 1 ����EF� ��p�����:�5 � 1�f6�I�,���,(*�?���,P�5 ��� <7��� � �~1����~��EF�Y�����~1 �+����+� (,EF�����+�t���,1 �+�D�Ai�����<�1 ���W��EF�D�����J#

� �����������

� �� ������������������� �� � ��!"��#$��%&�(')�+*-,�./������0"�1.2������ �3 �4�5 #76 %6�{�?�������?��E2dG�?����� �h#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6165 # 5 zA���4;7�E+�,�987E���?�����M������,� �N"0����1�(�#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�:

5 # 5 #96 X&��������17��w��,� �N"0����1�( #2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�:5 # 5 # 5 zA��� (,��(��?�+� E+��zA��� 1 ���,������(~#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�;5 # 5 #=< ���� ��"0����1_`~�����4�+�,��� #2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 5 <

5 #>< dG�?����� ��(Z���D%6�+�,�������?��E2�~��� ��"0����1 (V#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# <1?5 #><�#96 f/�I�T�W��(��,��1�d>��E{�?��� #�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# < 55 #><�# 5 Xp�W��(*�?�+1�d>�+E+�,���,(�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# <@:5 #><�#=< 3BA

3�"C���4; ����#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# <1D

5 #><�#>E �w�GE|��wd>� ��" �A�!��E+�,���,(6�� 1D�w�GE|��&d>;:��E{�?�,x#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# E@<5 #><�#F: 36� ���8����Mzg�� E+��������,����� #�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# EG:

5 #HE �'��(�E����+�?�aX&���,(������_�������� ��"0����1_���G1 ����(_#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# EG:5 #HE #96 �6��(,E+�,�{�?�aX\���,(,�����Y�W���,� ��5��Z]B����(,���_�p��� ��( #2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# E@D5 #HE # 5 `~�������?�����P+��1_�'��(,E+�,�+�,��X&����(,�����S#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# EGI5 #HE #=< @t�,���,� ���/���G1 �+��( #2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# E@;5 #HE #>E �6��(,E+�,�{�?�aX\���,(,�����D�� 1�-6���>"c�E+�,���,��P|�� ���~�p��,�,��E+��( #2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# :�?

5 #=: dG�?����� �.RT�I�,���?�E+�?����� (KJMLn5���|�A}zA��5 ; ����� ��( #�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# :�?5 #=:>#96 dH�?�,��� �4d>�+����E{�?�����D�/5 ����( #�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# :N6

O 'P%&./3�3Q��0"�1.2������ R�4#S� ��!"��#$��%T��3 U4U<�#76 A

N

��,����"0����1 (A�W���,� ��5��Z]B����(����D�p��� ��( #�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# :1:<�#76�#96 XZ����zA���(,(��987E���?�����Q#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# D26

<�# 5 RT� E���5 1 ��� �x]B����(,���D�w��� �+(W�� 1VAN × A M

��,����"0����1 ( #�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# D 5<�# 5 #96 d>��8;����azA���(,(��987E���?�����Y��"WA

3 ×A

3

#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# D�E<�#>< XZ� ��zYXZX ��,� �N"0����1 �+� #�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# D1D

[ \^]_�& ��a`cbd./ ���3Q�1.e,Mfg�4#Zh6

`c���i�j�k!���#$��%T��3 l+mE #76 ��,� �N"0����1Y�w�GE|���nMo�pJ( #�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# D@IE # 5 qSr�rkq d>�|��,EF��dG�?�,��?�+��� #2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# D1sE #>< 3 K7�����,�����~�v��,EF�����M�?� �2�p�� 1 (�E|�;:� #a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# I�<

�&� ' �������������

E #HE X\� �A��,1�('�W�|�����(*�?��EdG�?����� �8���G1 �+��(M#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# I1:E #HE #96 zA��5 ; ����� �4d>�+����E{�?�����D�/5 ����(Z���VA

6

)TR�R #2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# I1:E #HE # 5 �6��E���5 ; ����� �4�"C����?��Ea�\����,��E+����( #�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# I�D

U bd���S fG� ��������� 3Q�&�@3j#$���+* � f@��fG�k�/���&�� ��!��&#$��%&��3 ���:>#76 3'����,� �N"0����1G) qSr�r�q�� #2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# ;26

:>#76�#96 �W�������,�8�����P|������'zA��5 ; ����� ��(+<�*%/�||�H�YX&��;��2���1��l�����?�����'�+E||� #2#�#2#a# ;1<:>#76�# 5 dG;O���I�?�� ����5 (6dG�G�8�4�+�,���_@A���|��H��� �4�� 1D�'��E+��5 ; ����� �q��"v�"C>���?��E�( #�#2#a# ;1<

:># 5 d>5 ;:����(��G�8�4�+�,�,��E�n�E�57 #2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# ;@::># 5 #96

D �Kv��j�?� �+(,( #2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# ;1D

:># 5 # 5F �Kv����?����(,( #2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# ;1s

:># 5 #=< 3 r o r�� �n�E�5�5 � ��"&�?� ����,� �N"0����1G) qSr�r�q #2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# s1?:>#>< d>5 ;:����(��G�8�4�+�,���_@t�,�|��G1�� �W� #2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# s26

:>#><�#96 r o r�� @A�,����H1 � �W�����_�,� ����,� �N"0����1>) qSr�rkq #2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# s�E:>#><�# 5 r o r�� @A�,����H1 � �W�����_�,� �8b������ �N)$e��p�� 1�(,E|�;O� #2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# s@:

:>#HER)$�\��,�N�T�Y�� 1D�l�,���?�����'��E�|� #2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#a# s1;:>#HE #96 dG5 ;O�+�,(*�>�4�4�+�?����E qSr�r�q zg���1 ��17j�?��( #2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�?�?:>#HE # 5

R)T�v������T�}RT�H���������I� qSr�r�q zg���1 ��17j�?��( #�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#2#�#2#�#2#a# 6Q?26

:>#HE #=<R)T�v������T�}���Y�?� ����,����"0����1 qSr�rkq #2#�#2#2#�#2#�#2#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#a# 6Q? 5

:>#=: -6�+5��?����� �8���(�(,�+(Z#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�?1::>#=:>#96 dG����(,|� ����EF� �� ��(�� �W���,��dG�+���+�?��&-/��5��,�,������( #2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�?1::>#=:># 5 dG����(,|� ����EF� �� ��(�� ���Y�?� ����,����"0����1>) qSr�r�q #�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�?1I

l ')�+ ��@%&��3Q���� �3j./ �� � ����%�� ��� � "!\ #����k* �4#$�%���&# �'& f �����4�k3 ./ ��)( �&%T3K�+ R%T�& fN3 ��� O3�#76 A

N

d>����" �Z�!��E{�?����(W��"SO(32)

�~��� ��"0����1 (V#�#2#�#2#2#�#2#�#2#a#�#2#2#�#2#�#2#2#�#a# 616�<3�# 5 3 `a�+� ���,��w3'��(?��,P9#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 616�:

* � ,��& ��4�k3i�& +����,cO4��- � ��!"��#$��%&��3 ���2m@'#76

SO(10)d>; ��� ����(W�� 1�d>� ��" �A�!��E+�,���,(s#a#2#�#2#�#2#2#�#2#�#2#a#�#2#2#�#2#�#2#2#�#a# 616�I

' h6

` ���j�+ .��� �# ./�����4�k�0/@.e!�%�fVb .2�Q���&�1f 3 �N���z'#96 �p��,�,��E��+(W�� 1�d>;:��E+�,�,5 � #2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6 5 6z'# 5 dG�?����� �4dG�����+E+�,�����D�W5 ���+( #2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6 5�5z'#=< A

6

) R,Rn���SU(6)×SU(2)

#�#2#2#�#2#�#a#2#�#2#2#�#2#�#2#2#�#a#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2# 6 5 <1 � ��!"��#$��%&�2� .e!�%&f 3 �N�4U� ��� ,MfG�k33� * * f@���k�&�

B−L')�+ �04�+� ��.2������ �3 � O �

' ��� � ��� �'� �T�&�

# \ � ��!"��#$��%&��` ��������� 1 fG�Q./�T%&3 �NO4OKA#76 ���G1 ���p�'� 87� �N�?����� (W�� 1�d>;:��E{�?�,5�� #2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�<�<KA# 5 qSr�rkq zA���287��5 �?��,�����M�W�N�?�

R)$�\��,�N�T� #�#2#�#2#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#a# 6Q<@:

KA#><D �Kv����?����(,( #2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�<1I

KA#HEF �Kv����,� ��(�( #2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�<�;

KA#=: ���(�('����?����E��+(M#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6�<�sKA#>D -6�+5��?����� �8���(�(,�+(Z#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6QE1?KA#=I �'�+�?�������1Dd>;:��E{�?��5 � #2#�#2#�#2#2#�#2#a#�#2#�#2#2#�#2#�#2#2#2#2#2#�#2#�#2#2#�#2#a# 6QE1<

* ��!"%&�&���4��.e,4��� �G[�!�K �� f�� �Nl��

��� ' �������������

� ����� � ��� �

� ��������� -��� � �

�� ����"v�?����E�5��,�,�+�I����I���(W��"m�,� �������+�,��E|��w; �I�>(���E+(��(W�?�4"0���,�x5�����,�a4�?�������*�D�W����EF��� C>; ������ (6������� (����*����1_"0����E���(Z���Yx5 � �787��1M�A|��#!XZ� �2dG�?�� 17��,1D���G1 ���lb r�q et��"p;7����?��E����'; �I�G(,��E�(��76

�<�����(g�����

��"\�?� �a�8������W�1������E���(/���D; �I�G(,��E�(/��"v�,� ��(���E+��� 1�� ���"\��"v�,� �a���(*�/E����I�,5 ����#ART� E+��5 1 ��� �q�?� �����a��"�?���'"0��5 �n�H� � �W�_"05�� 17��4���I�F��:"0����E��+(g��"J�,� �5 � �N���+�,(,��,� �,��5 ���M���>E���

SU(3)c × SU(2)L ×U(1)Y�I�5����!���I����,���� E���<j�,� � rkq 1 ��(�E��,���O�+(&�W�N�?�����,����&; �,�+E���(������a�?���t���H�,���,�E+�,����� (p�:�+�T�t���+�.;7����,��E+����(pj�E�5��,�,�+�I�?���8; �����O�+1Y��� �+�,������(ab ∼ 100

`a� �~e{#>R �W���(���; ����1 ��E+�,(g�?� �� C>��(��,��� E+�~��"&��SU(2)

1 ��5 � ���{�|<E|������+14%6������(l�O��(,���J<I�W� ��EF�8�������+(t�8�(�(,��(!�?�2������H57����G(t�� 14���+;��?��� (!��� E��/���n�E��H5 ������(n~���E�5 5 �� C>;:��E{�F��,�����x�����5 �ab������me #v36���?����5 ���x�,� �W%6������(m�:��(,���.��(m(*�?�����G�,�~�O�Z1���(,E+� ��������1J<I�,� �����6��,�g���G�G1�,���(,��� (Z�?�4�O�+�����{����,�7��Z�?����(g�W�����J�GE�E�5��Z���Y�?� �a� � CG�'E+��������1 �+�A���+� ���,��?�����J#�'��(�; ���,�.���,('; ����1 ��E+�?�N���x;:� �A�+��<�"0����� 8�?� �+���,�{�?��E|��&;O�����I���"l�G���+�a<��,� �����.�,���8�����(��,�����&(����4�

��;:�����H5 ��(*�?����� (�<(�5 EF� �(Y�,� ��(��F�� �������T�L��"��,� ��������E+�,�,� �t�|���(�E|����hb������� ��! !�#"%$(�'&���( ��2e <6�?����H5 �x�:���~��"!"0�����q;7��,��8�{�?�+�,(�<O�?� �q(,��5 �,E+�.��"t�,� �q�E+E��������,��?�+19� C>;7�� (���������"!�?���45�� �������,(���b � ��')�����$#*"|e <J�?� �q��������������"n�?� �q����(,���*���+1��,�+;O�{�?���,�����=��"n"c��8�������+(���1J<p��"AE+��5 ��(,��<w�,� �4�� (,�+� E��4��"A1 �+(,E�����;��,��������"����?|�G���T�2�����?� � rkq #vXZ� ��(��Z��(,(�5 ��(vE|��.��� 1 ��E���?�!�?� ��m�?��� r�q ��(v�����!6"05 ��17��4���I�F���?�������*��<7� 5��/�,��?� �+�W��D�,+O��E+�,�����2�����4���t��"m�4��������������?��w; �I�>(���E+('��W������� �+�Z��� �+�,������(+#3h;:��(,(���� ���!� CG�?�+� (,�����x��">�?� � rkq ��(p�?�'���I�?�,�G1 5 E+�A/(��G�4�8�{�?���a�:�+�T�t���+�.�O��(,��� (v�� 12"0���,�4����� (�<

�H� � �W�S�(2(,5 ;:����(��G�4�8�{�?���hb r o r�� e-� E�I���# r o r�� � C>; ������ (2�������I��I�,���=� � � _�,���(,���7�� ���}%/������(

�8�(,(2E|��o�O�8; �,���?��E{�?�+1^"0�,��� b.�H57�1 �,��?��E|�������1������+�,���+�I� e��H57��H�,5 �sE������,�+E+�?����� (a�W���,� ��5�� 87� � )�?5�� ��� �a�?���/; ��?��4�+�,����(t��":�?���/�,� �����*��#lXZ� �+�,�{"0���,��<G�,� �'%/������(l�}�(�(!�,���8���� (!��"��,� �W���,1 �+�t��"��?���������E{�?�,� �t�|��Y(�E|�����<7�+� (,5 ����� �4�?� �a(*�F�� �����N�T�}��"\�?� ��(Z(,E�����a�+�������N"\�,� �~�?� �+�����_��(g�������1D5�;D�,�q�����*�� �������+� ���������+(�#g36;7��*�/"0����� ; ��� �G��1 ��� �44; ���5�(,�������~(,����5��,�����Y�?�q�?����� �����,��,EF�I�D; �,��� ���+��< �N�6���(��; ����1 ��E+�?('5 � �98 E|��,�����D��"n����&���5 ����E���5 ;���������('j�'�?����5 � �787E|j�?������(,E�����

MGUT ∼ 2 × 1016 `~� �x#%6� �t�+������< r o r�� �,�,�G5����,�+(x� �{� ;7����?��E�����(��(,(��>E+����,��1��?���?� ��(��Y����,�|�1��9�G��� �W��#9XZ���M(,��) E|������+1(,5�;O�+�,;7��*�?� �+�,(2��"A�,� � r�q ;7��*�?��E����+(~1 �/+O���~��� ���=�I�=�,� �����~(,; ���J<p(,�_�?�7��a�,� �q(,5 ;:����;7����,� ���2��"A"0�����8��������(M�:��(,������ 1=�>��E���������(?�#xd>��� E+�x� �Y(�5 ;O�+�,;7����?�����~�7�(~�:���+��1 �+�,��E+�,��1�(,�Y"c��+< r o r ��x5 (*�A�:�'���,�������J#"Ln�{�g��� �/E|��M�����5 �6�,�7��t���,(n���,�|��G1�� �W�Y�GE�E+5 �,(t���82"c�(�� �����8(�5 EF�M�?�7j�A�N�t���+�,(�?���2�8����Y; �,��;:���*�?����(Z��" r o r�� �����8����_��/��� �V�������,������(+#�m�������W�N�?� ��5�� r o r�� <p�?� �8�,5 ��� ��� �D��"g�,� �}E+��5 ; ����� ��(��� 1o�,� �8(*�G�8�4�+�,�,���+(���"g�?� �4;7��*�?��E����

E����H�,���I�/��"w�?��� rkq (,5�������(*�/x5 � �787��1_; ��E+�?5��,���"&(*�?�,��� �q�� 1_������E{�?�,� �t�|��8���I�?�+�?�E{�?����� (A�,� �,��5�������,�� 1U5 � �98 ��1Q�?� �+���,����(�b nMo pJ(Fe0�H;�< s��u#LXZ���_"05�� 17��4���I�F��g"0�|��,5 �,�_��"6�?� �+(,�_�?� �+���,����(q��(x�,�7��|<

6

� ' �\ � � ��� ��� �3� ��� � 1�� ' �)�����

��4�?� �D(,E�����MGUT

<Z����Z�I�5 �������H�,���,�E+�,����� (4��"6�?� ��bc� ���7e*(,5�;O�+�,(��G�4�8�{�?����E rkq ��,���I��?�����,�+1�?�����+�,� ���6����8(,��� ���������1�� ���������W�I�5 �������,��5 ;�<:(�5 EF���(

SU(5)<SO(10)

���E6

#WXZ� ��(6(,�N�?57��,�����(,�+���4(�x5 EF�=�4�������7j�?5 �,��\�����,� �x�4��� ���}���(,5 ;:����(��G�8�4�+�,�,��E�� CG�,��� (������=��"v�?� � r�q b qSrkr�q e'�(�?���E���5�; ����� ��(n1 �_bu����4��(��Fel�4���{�Z��

MGUT

���8(,5 EF�D��4�>1�����<H(*�?�,�+(,(���� �x�,� �'���+�M�������W�?� �� r o r ��4�����I�Z; ��|�M���_; �I�G(,��E�(/�O�{������1��?��� r�q #�� ��;7����,��E+5 ��������U�;�;O�������� � nMo p ��(M�?� �

SO(10)5 � �787��1[�8�G1 �+� � 6�?�<�6�6���</���k�W����EF�[��� �

���+� ���,��?�����_��"v�8����?���Z��(W�E�E+���4�8�G17��,��1Y���D.(,��� �����(,; ��� ���Z����; ����(,�+�I�F��,�����J<:�E+E�����1 �����q�,�

16 = (3, 2)1/6 + (3, 1)−2/3 + (3, 1)1/3 + (1, 2)−1/2 + (1, 1)1 + (1, 1)0 ,

q u d ` e ν

b 6�#96 e

�W� �+�,� �G5 ��I�?5 � �H5 �x�:����(2�W�N�?���,�+(,;:��E{���,�SU(3)c × SU(2)L

��,�q(�� � �W�^����;7��,���I�,� ��(���(x�� 1�?���(,5 ��(,E�����;��g1 ��� ���?��(Z�I�G;:���,EF� ��,����#t3V�,�+�}����j�� ���/; ����1 ��E+�?�����M��"w�,� ��(n�?� �+�����8��(n�?� �'� C>��(*�?����E����"/�,�����I�

�� �� 1 �+1�� ��5>�?�,��� ��(+<!�W����EF���t���,�Y�����.� C>;:��E{�?��1U���o�?� � r�q�� �� 1Q��,�}�����������4;O���*�F��I�

�?�.� C>; ������Y�}�(,(,�N���~���+" ���7�� 1 �+1Y� ��5>�?�,��� ��(+#n�����,�+� �����+< �?� �~�+�x�:��1 1 ��� �.��"p�?���~�H�G;:����EF�7��,�������

SU(5) ⊂ SO(10);��,��1���E+�,(�?� �x�t�|����4�7C>��� �}�� �����

θw

�� 1=; ��� �G��1 ��(�,� �������I����=� C�;�����7j�?�������"&�?� �a�+����E{�?����E~EF�7������ �H57��I�?��P|��,�����J#@A��(���1 ���,� �����M����?�,�E+�,������; �,��;:���*�?����(�< nMo pJ(}���H�,�,�G1 5 E+��(,���4��; ����� �����4(}��"a�?�������8� �W�V�� 1

����|���_(,���4��H5 ��(*�?����� (q5 �7�� (*�A�+�,�+1J#k3 ; 5 P+P������ �="0�|j�?5 ���D��(x�?�7j�|<t�W�������}�}����?�+�.����� �+�?��,������(����}1 �+(,E������:��1��I�9E����8; ���+�,� nMo ph�,�+; �,�+(,�+�H�?��?����� (+<l%6������(��� 1��I�5 ���4�O��(���� (��; ;:�|������ ���9�(����E����4; ���{�?�W��� � $ ( ��+nMo�pD�x5 ���,��; ���+�,(�#&RT�Y�1 1 �N�?�����J< �H5 ��(*�?����� (A�������W�W�I�4�?� �+�,�'��,�W�?� �����/"c��8��������(���k�,� � r�q <6�W�I�L�?� �+���M�8�(,(}��������� (*�F��,��(Y�4�7Ck�(}�?���+�k1�� </�W� ��Y�?� �=� C>; ���� ��?�����h"0���M1 ��,��������,���o��(�<&����8(*�?�����m�,��1 1 ����(~�?�7j��|�A����2�?�������a����(,����5��,�����������?����(,�8(,E+���7�������(+#_d>���4�q; �,��;O��(,���((,5�EF���(W����E�����;O���,��?��� �.�1�1 ���,�����7���1 ��(,E����+�,�}b "c��4������e!(��G�8�4�+�,�,����(Z�4�����I�W���(��t���/(,���4�a��"\�,� ��(���H5 ��(*�?����� (�#n%/� �t�+�����+<:�t�a�7|���a(��,�����:�?�q1 ������W���,�Y�?� �~"c�E{�g�?�7j�W���?|�G���T�

��W� ��(��21���(,E+�,��;��?�����_�H�

���+� ���,��J�,�+����,���G���T�8�7�(Z�:���+�����(,�x�����*�Y�A�+�����,��(��,��1���(t�����*�_1 �/+O�������I�W���Y� ��?5 ���a�� 1DE|���� ���W�:�

1 ���,��E{�?�N�M1 �+(,E������:��1������� �x�W���,�_�,� �a���?�����W���I�?�+�?�E{�?����� (�#f6� �787E|j�?�����=��"n���?|�G���T�D�W���,���,� �.�,�+(��a��"!�,� �x"05 � 17��8�+�H�?��v"0����E��+(~���I�?�_Y(,��� �������?�������*�����+1

ya���5�P|���1qya���������?�~���I�?�,�G1 5 E+�g 8 " �,�.(,;7j�?����>1 ���8�+� (,�����xE+���8; �E+�,�987�+1x���q'�4���H5��,�AE����,E+��� � 6 5 <6�<��u#vXZ���/;��,��;:��(?���E���� (,��(��?�+18���.� CG�?�+� 1 ��� �a����� �+�?����,������?�N�G���T�a�?�2 8 ���{)T1����4��� (������7���(,; �E��{�?���4��#XZ� �����(�5 ���,��� ���,� �������8E����I�F���� (t(,5 ��; �,��(,���������4�(��+�Z��"p���H57��,����� (A���H5 ����������I�A�,���?����(,���"p����� �+�?���,�+����,���G���T��<!�� 1U�� ���?� �+�.(,�+�4�,�G5���������+�I�.�?�o��kCG�t������ (q�,�G5 ��?����� (�#^XZ�7��q�?� � 8�" �?�Q1 ���4����(,�������(�E|�;:��(/�?�8��5 �/��� (,�+������,����� (Z�A�( ��5�(��?�787��1��I������1 5�E������}���,(W(,��P+��#ZXZ� ��(6�4��EF� �� ��(�� ���I�?���>1�5 E��+(������287�����?�2(,�{���"m� �||�H��;7����?��E�����(�bc�4�>1���(Feg�?�+�,�4��1 �� *( ��� �����( ������ &�� ��{#6�'�+(,; �N�?���N�?(/�O���5��T��<�?����(m����,�N�.����?���4;��l���+���|�����1q(,�G���q� ���l�,�~�O�W�;�; �,��;��,��j�?�A"0���\�?� �Z5 ���987�+141���(,E+�,��;��?�����q��":���?|�G���T��� 14������E{�?�,���}���� �+�,��(,�D<�(���� E+�/�,� �6����(�5 ���,��� �~�?�������*�qE|�� �����n�O� �H57��I�?��P���1�#mXZ� �����+"0������<G�W���?�q�?�������� �W��� �Y(,5�E�E��+(,(2��" �H57��I�?5 � �8�+EF�7�� ��E�(�<J�,� �.���I�,���,�+(��a���=�������E+��1 �+1oE+��� (,��1 ���,�� �N��#x%/� �A�{�����+<�?����(W��1 ��4E���4����I����Y�,�8����"0�(��+���+�?��&������,(/����,���W���D.�?� �+�����Y�,�7���<��W�N�?�D���,(Z�+������5��,�����J< �,5 �,����1���I�,�8.���G�G1YE|�� 1���17��,�~�?�q5 � �N" �ME���� (,��(��?�+�I�?���Y����J�H� � �W�D"0���,E+��(�J!(*�?�,��� �x�?�������*��#

�����������! "��#%$�&(')&*$(',+-��.���$(/�0,1-�(/324',56',.71-8,#%$:9�';$�#3��+(.�#�<=<�>?',@A9B'7&(&-'7&*��$:���('AC)D;E

O

T T

S

M−Theory

�����������

��� ���������

���������

E8 × E8

SO(32)

� �����������

�������! #"%$�&�$�')(+*��!,�"- .0/212 2��3!�%1245"768 2��"7/:9; #"=<7683!35"7<-1#"7>@?�A�9CBD"-?E6;FG>H�I9;J���12��"7/�&

K:LIM�NPORQTSVURWGXYM�Z

dG�,�,�����W�,� �������a�����(,�!�I�2����?���4;��,��� �g�,�/1���(,E+�,���O�!�?� �!(*�?�,��� �6���I�?���,�E+�,������(�< � 5���<�����E��!���w�A�(&� ���?�+1�?� ��g(*�?�,��� ���,� �������4��� E+��5 1���(g2(,; ��� 5 ;7����?��E����/E+���,����(�;O����1 ��� ���?���,� �'���?|�G���?���J<>�N�A�:��E���4�'E����|���?� ��W���,(Z; 5 �,;:��(��2�A�(Z���+���_1 � +��+�,���I��#dG�?����� �Y�,� �����*�=��(a_;:�����,5 �,� ��?�N��� �H57��I�?5 � �?� �+�����������W� ��EF�o���,1 ���7��*��;:�����I�a;7����?��E�����(a����

�,�+; ���E���1��I����� �{) 1 ���4��� (������ ��\���#����E{�?(�<w�W� ��(,�x����,����5 ('�G��� �?��,����� ��\�4�G1 ��(~j��?� �.(*�?����� �Y(�E|����Mstr

E���h�:�_��1 �+�H�,�987�+1hj�8��� � �������,������(q�W���,�L1��/+O���,�+�I�8; ����,��E�����(+#LXZ� �+(,�D� CG�?�+� 1 �+1����#����E{�?(+<�7��4��14(��,�,��� ��(�<GE�� �����g~�T�t�x1 ���4����(,�����7�� (�;7�E��/E|������+1 � & � ( � �!�����c<I���q�W� ��EF�8�}��H�q��"J���,(!; �,��;G)���*�?����(6�E��H5 ���,�281 �+(,E+�,��;>�?�����D�,� �,��5�����E+����"0�����}�� 87����1D�,� �����*��#Z�6��;:��� 1 ��� �}�����?�������W�:��5 � 1 ����E���� 1 ���,������(�<��,� �+�YE���D�O�aE�����(,�+1_���Z��;:���J#-6���6��� �N�_1 �G��('(*�?����� �4�?� �+�����DE����H�?����D�?� �2���, �G�N�?�����('��������"v�?� �2�>��� �?j�?�������4�>1���(/��"m�?���

(��,�,��� ��(�<I��5��n���l��� 1 ���+1q�,��1�5 E��+(n�,���l��� (��,�����4 (m�,� �����*�.��"O���?|�G���T�x��!��� �L��� �+�,������(!���1J<H1 5 �Z�?�~�?���� CG�,��� 1 �+1^�7j�?5 ���4��"n�,� �q(��,�,�����_�,� �����,�+�,��E���v���,|�>�N�?����<J�?� ��(�?� �+���������(,�_|������1 (�,� �q5 ���,�?|�G�������+�1 �N������������E���(v��"7���, �G�N�?���2(,E���,�,���,��� ���8; �����,5 1 ��(+#pXZ� �����+"0������<I �G5 ��I�?��P+��1x1���(,E+�,��;��?��������" ���?|�G���T���(Z;:��(�(,�������~���_(*�?�,��� �.�?� �+����� �76QE

�6�D��u#

d>�+�����,��WE���� (*�?�,����I�?(q��,�Y����� �������I�.�?�=�?��� �G5 ��I�?5 � � ��?5 ���_��"/(��?����� ��(�#�K7���.��� (��?�� E+��<!�,� )�H5 ������� �8�?�7�� �G5 ��I�?5 � �� ���8�������(/1 �_� ���~(�;O�����m�w�������I�?P.���H����������E��x��"!�,� �x�?� �+������E�����(��?�,�����(�?����1 ���8�+� (,�����_��"v�,� �2(,;7�E+�+�,���4�����D�W� ��EF���,� ��(*�?����� ��(WE����E+��� (,��(��,���I�?�N�_; �,��; ��I��,��#AXZ����(/��(/(��,�,���G��� �Y�?� �+���,�{�?��E|��n�EF� ���+�����4���I���:��E��5 (��}� �D�?� �+�������:�+"0�����8��+��+�,��1^D;��,��1���E+�,�����9��:��5��2�?���1 ���8�+� (,�����7������T�4�?�7��/��5��/(�;7�E+�+�?���8�a�x5�(��6�7|����#A3g�6�,� ��(,��4�a�,���4��< �,� ��(W;:��(,�+('q�} �����WEF�7��N)���+� ���D(,��� E���<Z�(q�A�D�W�����Z(�����<Z� �^E+��� (,��(��,���I�M(*�?�,��� ���?� �+�����Q1 �+(,E+�,���:��(}o(�;7�E��{�?���8�_�W���,�U"0��5��1 ���8�+� (,����� (Z�������'�,� �a��� �~�?� ��W��(Z(��4"c��4��������!�?�q5 (+#%6��(��?���,��E�����N��<{�?� �M87��(��p(��,�,��� �g�?� �+�����'1 ��(�E�� ���+�,�+1��A�(J�?� �!�:��(,��� ��Em(*�?����� � <|�,�7��p��(JE�����(,��(*�?�+�H�&���

5 D�1����4��� (������ (+#mXZ� ��(A�?� �+�����4�A�(Z���4�8�+1 ��j�?���N�.1 ��(,E|��,1 �+1M"0���A�N�gE����H�?�����(g5 � ; �I�G(,��E|���;7����,��E+����(�W���,�.���8������7����a����(*�!�}�(�(Wbc�����I��,�����g( �H57����W�}�(�(Fe\E��������1��?�EF�I������(�#!K75 ���,� �����8���,��<��?� ��(v�?� �+�����E����|������LE|���� ���_�G������1[Q1���(,E+�,��;��?�����B��"���5 �Y5 � �N������(,�9�O�+E|�5�(,�=�?� ��;7����?��E�����(YE����8;:��(,��� ���?������ (����*����1��}j�,�?�+�W��,�~"0�+�,�4����� (+#zA��� (���(��,���I�2�F�EF�I����� ��E ) "0�,�+�8(*�?����� �Y�?������������(a�����H5 ������bc���GE|��\�t���,��1 (,� �+�+�Fe r o r � ��a�����*��� �����

�������,������( � 6�I>< 6�;��&�� 1�; ����1 ��E+�64�,���>) 1 ���4����(,�����7���(�;7�E+�+�?���8��#gXZ� �+�,�2� C>��(*�'������� 8 ����E+��� (,��(��,���I�bc(�5 ;:���Fe$(��,�,�������?� �+���,����(KJx�T�>;:�}R�RT3�<p�T�G;O�MR�R$@'<p�T�>;:�}RF<\�� 1o�?� �

E8×E8

�� 1SO(32)

� �{�?�+�,���,��E

[ ' �\ � � ��� ��� �3� ��� � 1�� ' �)�����

�?������������(+#lXZ� ��(��'�?������������(A��,�/E���� � ��E{�?�+1D�I�8��t���Y��"!bcE�����"0���,�8���ev1 57������?����(n�� 18�?� ��5����I�g��"p�(1 � +��+�,���I�Z�����4���,(l��"&��Y5 � 1����,�N�G��� � 6�6+)T1 ���8�+� (,�����7�� �,� ��������b��_)��?� �+������e � 6�s�< 5 ?��u<��(t�A�1���; ��E+�Z���87� #�6�#96�#XZ� �Y�T�G;O�YR2�� 1S�,� �Y� �+�,�������?��EM(��,�,�������?� �+���,����(q����Y����F�EF� �+1S�?����,�+�}��,�j�� ���}1 ��(,E�� ��������<

�7��4���N�S�?�7j�}�?���SO(32)

�I�5 ����(��G�4�8�{�?���L��"�,� ���T�G;:��Rq�� 1SO(32)

� �{�?�������?��E�(*�?�,��� �S�(�t�����&�(/�?� �

E8×E8

�I�5 ���2���,��5�;���"m�,� �����?� �+�6� �{�?�+�,���,��Ea�?� �+����� � 5 6�< 515 �w"0������� � "0����� �� ���}��N�E|�� E��+����j�?����� � 5 <�< 5 E*�u#VRT��E+���I�?�,�(��8�?�^�,� ��(����?� �+���,����(�<Z�:���,�h�T�G;O��R�R.(��,�,�����o�?������������(81 ��� ���E���� (,��(��6��"m� ���7��:��������_�I�5 ����������5 ; (+#gXZ� ��(6��(W�W�I�D�4��(��/��"\�?� �2�|������Y�t���,�H(6����(*�?����� �q�?� �+������t���,�W�4��(��,���a"0�GE�5 (���1q���x�?���

E8×E8

���+�?�+�,���,��Eg(*�?����� ��W� ��EF�J<H�(v�t�W(,�7�����E+���287����<�(,���+�8�+1."0�,����?���2�:������� � ��� �x�?���~�8��(*�W; �,���8��(,�����xE|���1 ��17j�?��?�q�:�2.�,� �������YE��;7�� ����?�q1 �+(,E������:�a; �I�>(���E+(6j���� �B�+� ���������+(�#lR �g�A�(g�������8�" �?�+�A�?���1 ��(�E�� ���+���}��"p� CG�?�+� 1 �+1D������� �+�A1 ���8�+� (,�����7������ ����E+�,(ZE|������+1�����?�� �+( � 5 :

�5 I �J�,�7��Z�T�G;:��R�Rn�,� ���������+(/�����I���� �+1D���I�?������(*�|#

�m�����!(���� E+�g�?� �Z1 ��(,E+� �����*�.��"��?� � 8����WE�����(,��(*�?�+�H�!(*�?����� ��,� ���������+(�<I��� �A��"��?� �Z�4��(��m���4;O���*�F��I���(�(,5 �+(/"0���Z(��?����� �q�?�������*�Y�7�(W�:�����D�?�4�}����aE����I�?�E+�W�W���,�����|������T��#lRT�D"c�E{�|< �,� ��(W��(g�,� �a; �,���}�����4���?�N��j�?�����^��"/�?� ��(x�?� �+(,��(�#QXZ� �����D��,��<t5 �>"0�����,5 �7��,������<t�8��I�S�(,;:��E+�,(8��"'(*�?�,��� ���?�������*���?�7j��8����41 ���4E+5 ���2�?�D�O�+�����+���q�?� ����N�2�7�(�(����4�+�?����� �_�?��1 ���W�N�?�o�,� �4��� (,�+������1S5 � �N���+�,(,��#�36;7��*�"0�,��� �?���/"c�E{�l�?�7j�n�,� � r�q �I�5����Z���,��5 ;81��>�+(n�����n�; ;:�|��n�5>�?���8��?��E|������a���q�,� ��(��/�,� �����,���+(�<I�?����4��(��\1 ��(*�?5 ��� �����6"0�|j�?5 ���A��(p�?� ��l����I(,5 ;:����(��,�,�����'�?� �+���,����(\; �,�+1 ��E{�l/�,���>) 1 ���4����(,�����7��I(,; �E��{�?���4��#%'�; ; ���N��<7�?��������1���1 �|4��"!ya���5�P|4�� 1=y~���+���_E|����O���17�;>�?��1��,+O��E{�?�������N������(*�?�,��� �8�,� �����,���+(/�,������?����_qE���� (,��(��?�+�I�6����1 5�E+�?�����_"0�,��� �?���_�?�."0��5��Z1 ���4��� (�������(�#

K:LIM�NPORQ�� X������ L N ���� L N#X O�

zA��� (���(*�?���I�t(��,�,�����2�,� ���������+(t��,�Z"0���,��5 ����,��1.���4�,���41 ���4��� (�������(�#vRT�8���,1����l�?�2�}����WE����I�?�E+�!�W���,���5 �a"0��5 �a1 ���8�+� (,�����7��\�A������1J<&��� �4�7�(a�?�����+���,��1���"Z(,� C���"g�,� ��(��}1 ���8�+� (,����� (+#}X&��1 �D����<\�����5 (�57����N��EF���>��(���(�,� ��� �?�Y�:�.(,�8����\�� 1=E+���8; �E+�~�+� ��5 �����,�Y��(�E|�;:�q� C>;O�+�,���8�+�H�?��v1��+�?�+E+�,�����J#-6���T�W���?��(��F�� 1 �����o�?�������45 � 1��+�?�+E+�?�� �������T��<t�?���+�LE|��L�����75���� E+���?� ��; �I�G(,��E+(M��"~��5 �8��� (,�+������ ���5 � �N���+�,(,��#d>���4�~��"&�?� �a(,EF�����4��(';��,��;:��(,�+1����Y���,1����Z�?�q�����?����Y"0��5��*)T1����4��� (������7��O�4�>1�����(g��,�2ya���5�P|j)

y~���+����bcy2y2e!E����4;7�E{�?�98 E|��,����� (A�� 1_��� �?�����A������1 ( � 5 ; ��#!�w�+�g5 (Z(,;:��� 1_(����8�6�A����1 (Z���Y�?�������

���+� ���,��w; �,��;O�+���?����(+#��� �1�+*-,�./������0"�1.2������ �3 ��,���7��,5 �?��:� CG�,��� (������_��"w�,� � 8 ���{)T1����4��� (������7��Oyay �; ; ���I�EF�J#

�� �xE+��� (,��1 ����('�?�����?�+�=1 ���4����(,�����7��p(,;7�E��+�,���4� M10 ��"l�?� �x(*�?����� �4�?�M�:�.}1 ���,�+E+�;��,�G1 5 E+�'��"�"0��5��*)T1����4��� (������7����7��abu����� ��� �W(,�H� et(�;7�E+�+�?���8��� 3,1 �� 1Y(����4�'5 � �H� � �W�DE����4;7�E{�g�8�� �N"0����1M6 <O��# ��# M10 =

� 3,1 × M6 #'K�5����?������<:��� �x�(,(�5 �8�+('�?� ��'�,� ���4�+�,�,��E2��"m�,� �x(�;7�E�����('�����GEF�I)1 ��������7���<G(,5 EF�D�?�7��

ds2 = g(4)µν (x) dxµdxν + g(6)

mn(y) dymdyn ,b 6�# 5 e

�W� �+�,�g

(4)µν��(g�?� ������� ��� �W(,�H�p�4�+�?����Ea���1

g(6)mn��(g�?���2�4�+�,�,��E��"v�,� �~E����8;7�E+�/���I�?�+�,�7��J(,;7�E���#

XZ� �� C�; �� (,����� (g��"w�?� �/�?���G)T1 ���8�+� (,�����7��/87�+��1 (t���8�,� ��4�>1���(A��"J�?� �'���I�?�+�,�7��:�8�� ��"0����1 M6

�G���+��1Q�?� �D�?� �+�����Q���U"0��5��81 ���8�+� (,����� (+#k3'(8o����(,5����8��"'�,� ��(���� C>;7�� (,����� (�<W��h���N87� ���,�Y�?� �A�+���"2�8�(,(������=�4�G1 ��(Y�; ;O����,(Y���k�?� �=��� �A�+�*)T1����4��� (������7��/�,� �����*��# XZ���=�}�(�(,�+(D��"2�,� ��(��="0��5 �*)1 ���8�+� (,�����7��7(*�F��,��(n1 ��;:��� 1Y���I������(,�+���4���8�,� �/(,��P+�'��"O�?� �6� CG�?�,�1 ���8�+� (,����� (+#mR "w��� �/EF� �G��(,�+(A�?���

U

(,��P��~��"p�,� �a���I�?�+�,�7��O�}�� ��"0����18�,�4�:�~(,5 �8E+���+�H�,���}(,�8����u<G�,� �~�}�(,(,�N���ayay (*�F��,��(W�:��E����8����||�H��� 1_�?�H5 (W1 �+E���5�; ���~"0�,��� �?���2(�;O�+E+�,�,5 �D#-6���p�{���+���a(,� CH)T1 ���8�+� (,�����7�� �8�� ��"0����1'��(w�1 �4��(�(,��� ���v�(w���I�?�+�,�7����}�� ��"0����1 M6 #&RT�a;7��*�?��E+5 �����<

��"p��� �~��� (���(*�?(g���_; ����(������G��� ��bc(,���8�|e r o r�� ���M�?� �"0��5 �*) 1 ���4��� (������ ��7�?� �+������<��?� �~���I�?�����7��O(,;7�E+��x5 (*�q�7|���

SU(3)� ������� ������#SK75 �*�?� �+�,�4���,��<!���q��(�� ��E+��(,(,����Q�,�9EF���>��(,�Y�?� �_(��7CH)T1 ���8�+� (,�����7��

�8�� ��"0����1��,�Y�O�q�W��E+E�� �7��|<J�u# ��#�(�5 EF�9�,�7��~�,� �q�/��E�E+�\�?�+� (,���a�������(,����(~�+�����*�G�W�����,��#8���� �N"0����1 (�W���,���?� �+(,�q; ����;O�+���,����(a��,�.E|������+1 � *( ������ �� � ���� � & ( � � � 5 s��u#xf6�>"0�����,5 �7��,������<w���=E+���8; �E+�,�98�)E|j�?����� (W����zg����� � ) Lt�5}�}�����"0����1 (�<G�?� �2E����4; 5��?��?�����Y��"v���4;O���*�F��I� �H57��H�,���,����(/���1�; ����;:�����,���+(��"&�?� �a����(,5����?��� �."0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7��:�8�G1 �+��(gE�����:�~���+���_1 � �8E+5 ���abc��"&� ���6���8;:��(�(,������� e #3'�M��;��?�����.�?��E+����E�5 �������I�A�,� ��(!; ����� ����� ��(n; ��� �G��1 ��18�H�4E+���8; �E+�,��" �G��� �a���4����� ��"0����1 (�<��W����EF�

�W�����l�O�4�?� �8�}�����"0�>E+5 (���"A�?� ��(��?����(,��(�#�� � ��� � & ( � !& � $� # ��$� � ��%� & ��� �H<1?�<�E*�t��,�4���+���o(,���4������

�?�}zg����� �N)TLt�5Y�8�� ��"0����1 (t���_�?� �a(,�+� (,�2�?�7j�6�:���,����"&�?����� E|��������1Y�?�4(,5 ;:����(��G�4�8�{�?�,��E~"0��5 �*)1 ���8�+� (,�����7��p�?� �+���,����(+#q��,� �N"0����1 ('��,�.1��K87� �+1o�,�Y�O�x�,� � �G5����?�����I�a��"tY(,�7CH) 1 ���4��� (������ ��&�,���,5�(1 �N�>��1 ��1S�I�Q=1 ��(,E+�,�+�,�Y(,�{�8��"6�N�?(.��(,���4�+�,�,���+(�#9RT�QE����4;7�����(,�����?�9zg����� �N)TLt�5��8�� �N"0����1 (+<v�?����1�����I�?����2��"m����� ��"0����1 (Z��(/�,�7��W�?� �+(,����,���/�����8�� � �����<7�W���?�D�?� �2� C>E+��;��,��������"lj87� ���,��(��+�6��";:�����I�?(+<v�W� �+�,�M�?���ME�5 �*����?5 ���M��"Z�,� �M(,; �E��ME+��� E+���I�?�,��?�+(�#9XZ� �����+"0������<m�?���M�8�{�?����E�<\�W� ��EF��"0���bu����4��(��Fe����nzg����� � ) Lt�5=�8�� �N"0����1 (~��(a(��?�����l5 ���G��� �W��<mE|��o�O�4�|�(,���N�=E����8; 5>�?��1^���9���,� �N"0����1�(�#��������� ���+��<g���S�?� �+(,��E+��� (*�?�,5�E+�?����� (q���q��(qE����4;7��,��?�N�����N��(*�?�?������I�,"0�����A��,1S�?�9���I����(��,���Ij�?�_; � � )� ���4��������������E|��O; ����;:�����,���+(�<7(,5�EF���(Z�?���2��� �

���� �+�,���M�I�5 ���a(*�>�4�4�+�?�*��< �,� �a;7����,��E+���~(,;:��E{�?��5 ��<

�?��� Ln5���|�A=E���5 ;���������(q�� 1S�?���_y2i�� ���+�.;O���,���I�?�����<!��8���������?�����,(+#QK7���x�?� �+(,�_�,���(,��� (�<t���,�>)��"0����1�E����4;7�E{�?�787E|��,������(a��,�8D����EF�^�� 1^� ��?5 �,��l(,��5 �,E+�}��"A��� (�; ���,��?�����="0���a; � �������8�+� ����������E������I����(��,���Ij�?����� (�#RT� 1� !���./ �f �4�k%&� (�E���� ��,����(�<7� � � �?�� ��(Z; ��|�MxE+�,5 E+����O�,������#mXZ� �{�Y����(,5�� (,;7�E���(/��"p�?����?�+�>)T1����4��� (������7��t(�;7�E��{�?���8�M���Q�W����EF�Q��;:���Q(��,�,�����=E|��Q����1J#^XZ� ��(.; �,��;O�+���T���,�H5 ��;S�?����� ���

���+� ���,��t�W�N�?�Q�� ��� ��O�+������^�I�5 ���M(*�>�4�4�+�?�*��#9Kv��������� �Y�?� �}(,;7�E+�M�W���,�S(,�+�����,��g(��?�EF�H(q��"6��� �,�� ��(A���I�?�+�,(,�+E+�,��� ����Z��������+(t���8�?���'�T�G;O�6R,Rl(��,�,��� ���?�������*�8E���M� ���g��� �N�q�,�+; �,�G1 5 E+�'�?� �6�I�5 ���

������5 ;=��"!�?��� qSrkr�q <w� 5>�a���(��Y���,('�8��,�,���E+���I�?���I��#.������?�+�'�?� �+����������(����}"0��5 �*) 1 ���4����(,�����7���I�G;O�+�,(,5���"c�E+���W� �����2�,� ���4��1�����,���,(W��"l���?|�G���T�_; ����;7��Ij�?�2���_�?� �2"05 ���w�?�+��1 ���8�+� (,����� (�#ART���?�7j�(,�+� (,��<t���?�� �8�A������1�E+��� (*�?�,5�E+�?����� (x1��=� ���x���|������9E����8;7�E+�?�N" �=�?� �Y(�;7�E+�+�?���8��#�3'; ����x"0����� �H5 �x�:���6��"+ � � & 6�(,(�5 �4;��?����� (�<�(�5 EF�9�(/�,� ��;����E+���4���I���"v�?� � 87����1 ('���D�?� ��� �?�� ��(~�� 1��?����H5 �x�:�����"!� �?�����(~���I����������1=�����?� �x(*�F�EF�H(+<\81 ��(,�1�����I�F����x��"l�?����(,�.E+��� (*�?�,5�E+�?����� (E+���4;7��,�+1�?�����,����"0����19E+���4;7�E+�,�987E���?����� (a��(a�?� ��jnMo pJ(2�������

SO(10)���

E6E|�� �������:�}���|�����P+��19���o�,� ��(��

(,�{�?5 ;�(�#

S U W� X�� � L X L U W��������

3'�N�?� ��5 ���Q�?� �+�,����,�D��� �N� 8 ����E�����(,��(*�?�+�H�8�?�+�>)T1 ���8�+� (,�����7��A(��?����� ���?������������(+<A�?�����,�D��(8��G5�����H5 �x�:���/��"m"0��5��*)T1����4��� (������7���(��,�,��� �8E+���4;7�E+�,�987E���?����� ( �H<@:>< <1D ��<7�?�G�4� ���q�?�8�O�2�+�����'E+���4; 5��?�+1; ����E���(,�+����#vXZ� ��(m���|�1�(m�?��?���Z; ��E{�?5 ���g�?�7��m(��?����� ��,� �������x� �(!���(��!���� 1 (,E��;:�g��"����E�57 �H<@I>< <�;���<�� 1Y�,�7��Z�?���a���E+5 5 � �t����,�~�����G��� �����Y��(+<�"0�,��� x�?��;

�1 � �W��;:�����H�g��"\�G���+�a<��(Z���G�G1��(Z�}��I�

���,� ����(�#X\�6�����?����25 (,�{"05 �G; �,�+1 ��E{�?����� (w"0�,��� (*�?����� �W�?� �+�����2�����t�4�����I�p�+�8; ��� ��?� �!"0������� �W��� �Z(*�?�,��?�+����J

87��(��_(,�+���h���E+57��?�7j�_��,�=E+��� (���(��,���I�_�W���,����� (,�+������,����� (M�� 1��?� �+�B(��?5�1��k�?�������}; �,��;:���*�?����(�#

l ' �\ � � ��� ��� �3� ��� � 1�� ' �)�����

�;��?���8��(��,��E|�������<w��� �Y�4�����I�2�?� �+�S�O�M�� ���4�?�=��1 ���I�?�N" �9E����*�F�����EF�7��,�E+�,������(��,��E+(xE����4�4���^�?�������,�������(��,��Ex���E�5 �<\�W� ��EF�o�t��5 ��1^�����1��?��;��,��1���E+�,������(�#Y�m���+�S��"n�?� ��(���(������a�?� �8E|�(���<v��� �8�4�����H�(��,�����:�:��� ���/�?�.�(�(,�����M; �����7�� �����N�?���+(m�?�xE+���*�F����}"0�|��,5 �,�+(�<7������ �W��� �~�?�x� C�E+��5 1��~(,���4�';7j�?EF� �+(g��"�?���2���� 1 (�E|�;:�2����.(*�F��,��(��,��E���J�7�(���(+#tR �W�?5��,� (/��5���<7� � �A�{�����+<O�,�7��W�?� �S87��(��6(��,��;D��"m���>�F���� ��� ��,�������(��,��E�4�>1�����(Z��(W� ���������M�����I�?�,�N�G����u#tK7���Z��� (��?�� E+��<����Y�?����E+���I�?� CG�'��"m�������+�H�,��"0����1 (g��"m`~��; � �+��4�>1 �+��(+<��?� �W"0�?�E{�?�����q��"J�4�>1�����(m�W�N�?�q�?� �/EF� ���?��7�8��,�,���lE+���I�?���I�A��"��,� � r�q ��(n��:��5��

10−12 �><1s �Ee6��u#U@g�(���1U���h=(*�F��,��(��,��E���Z�; ;��,�I�EF� � E 5 �u<n�,� �_; �,��� �� �������T�o��"6���+���?�����9(����4�+�?����� ��E�����(,�M�,��?��� qSr�rkq ���o�?���ME����I�,� CG�.��"W���H�,����(,��E{�?��� �=�

����?�� �+(.���^��S���,�����I�?�N"0����1��7�EF�G���,��5 ��1U��(���O��5>�

10−9 �HE1< � EG:���<H�+�����Y�N"������'������ �W(l"0���!EF� ���,���� C>���,��E�(+#l%6� �t�+������<�(,���4�6; ��?EF� �+(A���4�?� �/���� 1 (,E��;:��,�+�}����Y(��,������5 � � C>; ��������1J#!XZ� ��(W��(g�?���2E��(,�2��"\���,����"0����1ME����4;7�E{�?�787E|��,������(�#RT�Y�?� ��(g�?� �+(,��(+<��t�a�W������"0�>E+5 (Z���Y����� ��"0����1ME+���8; �E+�,�987E���?����� (A��"&�,� �~� �{�?�������?��E(��,�,��� �x�?� �+�����

b0"0���'�,�+E��+�H��,�+�G���+�W(�<�(,���0�HE@D�E@;���e{#/3'(�N�6�A�('�����*���|��,���_�����?��E���1�<����6��(6; �,�{"0���,�� ���2�?�ME+��� (���1 �+�

�?���2���+�?�+�,���,��E~(*�?�,��� �.�W���,�E8×E8

�I�5����~���,��5 ;_(,����E���<7���_�,� �a��� �a�7���1J<7���Z��� E���5 1 �+(/� ��?5 �,����N��?���2(���)TE��������1YEF�7����_��"WnMo�pJ(

GSM ⊂ SU(5) ⊂ SO(10) ⊂ E6 ⊂ E80�/�@ ',����@ '70�#%< 0 / < #%9�',<�')&�#�0“E4 � “E5 � E6 E8

b 6�#=<Ie

�� 1�<>���8�?� �6���?� �+��<H�?� �6; �,�+(,�+� E��~��"J(,; ��� ���,(n�������W�?� �16 �; ���{�A��"

SO(10)��(t�4�����/"0�����H5 ���I�g�,�7��

���x�,� �SO(32)

�,� �����*��#mXZ����(l;7��*�?��E�5 ����v"c�E{�m"c�E������N�F��,��(v�+� �����8��5�(,�����?� �g�?�(,����":���+���?�����~�8�G1 ����(�W���,� rkq ���������?j�?����� (�#RT�Q(,; �N�?�M��"W�N�?(x��������?�N���}(����4; ����E��N�T��<v���,� �N"0����1 (2�7|���Y�����.�:�����Q(*�>(*�?�+�}��,��E�����N��(��?5�1 ���+1Q���+��#

K75 ���,� �����8���,��<:��N�?� ��5 �����N�/��(/�G��� �W���,�7��6�8�G1 �+��(W�,�+(,����� ����� �4�,� � qSr�r�q � C>��(��-�H<�E < EGIG< E1s�: 6���<

����?���4;��,(��?�9�E+E����4�8�G17��,�}(����x5 �N�F�������5 (����o����A; ����;O�+���,����(���"6�,� � qSr�r�q ���S��(,������,��1��4�>1�����(�4�����I�g"c�����#m�~���2��(g�?�H5 (/��� E+��5 �,�����1_�?�.�,5 �,�_�?�4.�8���,�~���+� ���,��w(��,�?��,�����M�,�7��W�4�����I�Z(����*���x�(��5 ��1 �����.; �,��� E���; ���'�,� �,��5 ���Y�?� ��(Z(,����,EF�J#RT�Q���,1 �+���?�=���+�.; ����� ���4��������������E|��!�G���� ���8�8�G1 �+��(�"0����� ���,� �N"0����1oE����4;7�E{�?�787E|��,������(�<m�����

E|��L1 �,|� ���Q�?� �_����(,�����H�q������ �+1U"0����� ���,�� 1Q5 � �787��1U�?� �+���,����(q�I�Q���I�?���>1�5 E���� ���?� �DE���� E��+;����" ( & *(MnMo p � �>:�?�< : 5

�: E���#QRT�U(,E��+�7�������(x�W�N�?�U���GE|�� nMo�pJ(+<!�,� ��������,�Y(,;:��E+����2b 82C>��1�ex;:�����I�,(

���D�?� �����I�?�+�,�7��&(,; �E����W�����,���?� �x���5 ����(��G�8�4�+�,���D��(6���GE|������8�?�7��'��"!E��+���?���� nMo pJ(W�W� �������?���"0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7��!�I�5 ���Y(��G�4�8�{�?�*����(x�,�7��.��"6�,� � r�q bc5 ;S�?�9�1�1 ���,�����7��t�I�5 ���}"c�E{�?����(x�?�7j�E����8;:��(,�D�?� ��� ��1 1����k(���E+�,���Fe # R "a�}j�,�?�+� 8 ����1�(Y��,�����GE|�����P+��1L��M(�5 EF�B(,;:��E�����/;O�����I�?(�<g�,� �+�"0����� E+���8;����+�,��nMo pk�,��;��,��(����I�Fj�?����� (�#�XZ����(.�;�; ������(�<l���S;7��*�?��E+5 �����<v�,��

16 �;����+�x��"6����GE|��

SO(10)#!��M�?� �~���,� ���t�7�� 1�< � 5 ��� 87�+��1 (t"0���,� ����E����4; ���{�?� nMo�p��x5����?��; ���{�?(+#\RT�Y�?���;7��*�?��E+5 ����

E|�(,����"SO(10)

<g"0�,��� �,� ��"0��5��*)T1����4��� (������7��g�>���+�W;:�����I��<g�?� �����GE|�����P��+1L(*�F��,��(Y��,��E+���8;����+�,��8��,�,���Z���+� ���,��?����� (Z�W� �����|�(W�?���2��5 ��� 8 ����1�(/E�����1 ��;��W�,� �~"0���,� ��"$< (?|��<:%/������(Z1���5 � ���+�?(�bc������E����4; ���{�?�8�,��;��,��(����I�Fj�?�����U��"

SO(10)e{#�XZ� ��(.�8�����I�x�*+O���x��S���I�?5����?�N���M� C>; ���� ��?�����^"0�����,� �

��� (����*����1k"c��8�����o(��?��5 E+�,5 �,����"�,� � r�q �� 1J<Z��4�?����(,��8�_�?���8��<A9(,����5��?�����Q�?���?� �D(,��) E|������+11 ��5�� ���{��) �,�,��; ���{�g(,;��������?��� �x; ����� ���+��#R "m�?�����,����,�2����� ��"0����1 (Z�4�>1 �+��(Z�?� ��'���+�6E�����(,�a�?�8�,� � qSrkr�q <O�1 1 ����(�(,�����}�?� �+���W; � �+� ���4��� �j)

��������E���\�G���� �������T����(a��"Z5��,�8��(��2���4;O�����F�� E���#}�'� +��+�,�+�H� �H5 ��(*�?����� (2E|��o�O�q;:��(,�+1����=�?����(21 ������E{)�?�����J#!�� �'EF�7�������� �����(+<G"0���A��� (*�F�� E+��<��,�����+�,�N" �}�W� �{�?� �+�g�?� �+(,�~�4�>1 �+��(A�1 �4���t(,5 ;:����(��G�8�4�+�,�,��E���E�5�5 � E����N87��5 �,��?����� (�<>�?�7��/��(�<��W� �{�?� �+�'qE����x� ��� ��?�����Y��"�87����1 (WE|�����,�?����M���E+5 5 � � C�;:��E )�Fj�?�����9�����5 ��(}b������\(?e{<v(�5 EF�^�,�7���� C>���?��E};7����?��E�����(~�?�7j���4�����I�2�:�8���9�,� �}(�;O�+E+�?��5 � 1 ��E+��5 ; ���

m

������ �D �����Mbu���1

F ����� e~1 ���,��E{�?����� (�#_�n�E+5 5 � E����28 ��5 �?j�?����� (x����8"05 �*�?� �+��E+��� (��,�?���� ��1^�H�

�?���D�����H5 ���,���4���I�4�?�7j�4�,� �DK� ���+��RT������;O��5 ����(YbuKvR*e��,���,� ;��,�G1 5 E��+1h�I���,� ���� ���8�����5�(x�I�5 ���

U(1)<����I�,�,����(,��E/�?�.�8��I�M����� ��"0����1}�4�G1 ����( �>:1:>< :�D ��<GE|���E�����(�#!R "&(,5 EF������E�5�5 � E+���287��5 �?��,�����}��(

�,�������P��+1J<J�?� �.E+���,����(�;O����1 ��� �D�4�>1 �+�v��(a �T���G�>1�� qSr�r�q E|�� 1 ��1 ��?��<J�W� ����� r o r�� ��(~; ����(����I�xj����+���_� �����_��� �+�,������(/�� 1_�7�(/�{���+�H�,57������M�,�4�:�a� �,��������#XZ� �����a��,�61 �/+O�������I�Z�4��EF�7�� ��(��8(n�?�x� ���|��4(,5�;O�+�,(��G�4�8�{�?�*�}���M(��,�,�������?�������*��< (�5 EF�D�(AE+���q)

;:��(,�N�?�}������1 (*�?��� ��(�<&����(��F��H�,��� (.�� 1��I�5������ ��E�����1 ��� (,��?�����J#��\�����7�; (x�,� �}(����4; ���+(����� 1S�4��(���:�|�5��,��"05 �A�8�{�?� �G1Q��(.�I�5������ ��E+��� 1 �+� (?��,������#UXZ���D� �(,��ED�����?�����Q���S�?� ��(.�8�+EF�7�� ��(,� ��(x�?�7j���"2�(*�G�8;��,���?��E�"0������1���� ��"������n#V3g�_^���N����� bc���I�,���,�4��1�����,� e.(,E|�����<W5 (�57������U����:������1L�H�

Λ<

���I�,���?�E+�?����� (8��"2^;7��*�?��E�5 ����q�I�5 �������,��5 ;��O�+E����4�����287� �N�?�+���Q(��,�,����� # XZ� ��(}E|����7�; ;:���������I��� ���7��:��������D�I�5��������,��5 ;�<�����E���5�1 ��� �q�?����(,�2�?�7���; ;:�|��6���D�?� ��� ��1 1�����(���E+�,�����"m���,� �N"0����1�4�>1 �+��(+#xXZ� �q��� �N���,�,�H5 ��(����?�.��(�?�7j�~�?� �q�I�5����x�?� �+�������O�q��"t; 5 ���jLt�� ��)*�D������(6�T�G;:��<w�?�7j�a��(�<�?� ��ZE����H�?����=bu����8��(*� e!� �.�}j�,�?�+�~bc�� 1M�?� ��ZE���5 ; ���6�?�x���,|�>�N�T��e{#lRT�Y�?� ��(A(�E���� ��,��� <7�E+��5 ; �����"�I�5������ ��(

� 1

λE���� 1 ����(,�a�?�����{�?� �+�/�� 1��E��H5 ���,�a � ��� 〈λλ〉 ;��,��;:�����,����� ��:�,� Λ3 #

3S�,�+�}����j�� ���\��� (���������,�����a��(��?�7j�w�I�5 ����� �gE+��� 1 �+� (?j�?�����2E���a��� 1�5 E��l� ���|��H1 � �W����" r o r�� �>:1I�:�s��u#lXZ� �2���?|�G���,��� ���}�(�(W��(Z�,�+����,��1Y�?�.�,� �a�I�5 ����� �.E���� 1 ����(?��,�����D(,E�����

Λ�I�

m3/2 ∼Λ3

M2���,

b 6�#>EHe�W� �+�,�

M ���1���� ���,��(l�?���Z�l���� EF���}�(,(l(,E����� ∼ 1018 `a� ��#�-/���?��E��A�,�7��l�N":�,� �gE+��� 1 �+� (?��,�����q(�E|����

��( ∼ 1013 `a� ��<��A�a���>�F���� r o r�� � ���|��H��� �q���M�?���~; � �������8�+� ����������E����"c �����,�+1����I�?���*�����<���,��5�� 11X&� �x#&R �x�4�����H���:��<m��"gE���5 ��(,��<l���I�?�+�,��(*�?��� ���?�����I���+(��,���I��,�}�N"Z(,5 EF�S(�E��+�7��,����(.����};:��(,(���� ���8�������� ��"0����1ME���� (��,�,5 E{�?����� (�#3'� ���?� �+�A��(�(,�+�H�,����O; �,��;O�+���T�4��"J�,� � qSr�r�q �?�7j�Z����|�����(*�?��EZ�4�G1 �����x5 (*�g� C������ �N�A��(

R) ;7������T��#

R �M��(}j�,�F�EF� ��1h�,�o"05 ��17��4���I�F��/��(�(,5 �+(}(�5 EF�B�(}����E+����� ��P������^9(,5 �N�F�� ����E��� 1 ��17��,�D"0���417�����)�8��,�,���Y���1[(�5 ; ; ����(�(,�����L�,�; ��1�;��,���,����1 ��E�|��# ����?���� ��� �SSE���� (,�+�����+1

R) ;7������T�L����(��,�,��� �

E���� (��,�,5 E{�?����� (W(,�+�,(/"0�����H5 �+�H�,���D��D����(,5 ���8��5��H�?�� ����H5 �,1 ����< �W� ��EF����5 (��/� � �t�+���+�'�:�a� ������E����4��������,1����W�?�}���|�EF���,� � qSrkr�q #'�� ��;:��(,(���� ��������5��,����(6; ��� �>��1 ��1��H��87��(��'��1 �+�H�,��" �G�����}

U(1)B−L�I�5����=(��G�4�8�{�?���k�� 1��?�����[�����G����� � ���&(Y�?�S(,���8� r�q (���� �����+�,(}�?� ��_� �,����U(1)B−L

�,�U��5 �H� �������+�k1 ��(�E����+�?� A

2

(*�G�8�4�+�,����<n"0�,�,�G5����I�?�N�LE��������1S"c��4���N�^��� �7�+E+�?�����h(*�G�8�4�+�,���Q��� � �� � ��$� ��,�� " �HD1?��u<w�W� ��EF�9"0���,� ��1 (~17�����������5 (

R)T;7������T���G������j�?�����M��;:���?j�?����(2��"g1 ���8�+� (,�����=�?� �����8�� 1

"0��5 �+#XZ� �'(��}���������(,(n��"�� ��5��,�,��� ���8�(,(���(t�}|�q�:����(,���;:� �t���*"05 �:; �,���:�/��"w(��,�,��� ��E+��� (*�?�,5�E+�?����� (+#

XZ� �/(,�+��(?|�B�4��EF�7�� ��(�� �>D26�D1<�����(!;O�+�,�7�;�(n�,� �W�8��(*�t��,�,�?�E{�?�����Z�g|�.�?�2� C>; ������.�,� �6(��}���������(,(

��"n�?� �.����5��,�,�����D�8�(�(,��(+#xR �?(a�+(,(,�+�I�?����l��� ������1 �����I�?(a��,�.� �� �H�o�� �����?�� M� ��5��,�,��� ��(a�� 1��?�������Ln5 �j|�g�E+��5 ; ����� ��(��?���,� �M���+" �

��7�� 1 �+1�� �+5��?����� ��(+#9�'���4E�5����?����(���,��(,�8�W�����Q��� �Yj�,�?�+�8;>�?(��,�

�����O�+1D�,� ��(/����?�?�E+�?�N���~�4��EF�7�� ��(�� ���_(��,�,��� �.�?� �+����� �HD�E*�u#t�~���2��"\�,� ��;��,��� �����4(Z��(g�,�7��/(��,�,�����nMo pJ(t5 (�57������q1 �x�����g������ �k"0���t����,��� nMo p��,�+; �,�+(,�+�H�?��?����� (+<��W� ��EF�M��,�/"0�,���H5 �+�I�?���4�����H5 ������1M"0����?���6(�����(,|�B�8�+EF�7�� ��(,�D#l�'�?� �+�!��� (��?�E�����(t��,�W;:��(,�+1}�I�q(��,�,��� �a(,������E{�?�����8��5 ���+(!"0���m�?� �/(,5 ;:����;O�j)�?�+�I�?����wE���5 ;���������(g�W� ��EF�D"0���,����1_(,���4�a��"v�,� �2� ��E+��(,(,�����E���5 ; ����� ��(Z���DE+���*�F������4�>1�����( �HD@: �u#gK7���(,���8�t(��?����� �6�8�G1 �+��(&��� �AE���x���>�F����x�'���?�En� ��5>�?�,��� ��8�(,(���( �>D1D><aD@I �u#\�/�+E����I�,����<���������g��������?��7�8�(,(���(!�7|���W�:�����q���>�F���� ��1."0�,��� ��� (��?��I�?���q�,+O��E{�?( �HD1;

�I ?����(m�t�����7�(m"0�,��� � ����� �+�l���,1 �+�l��;:���*)

��,���,(��>IN6��p���1�(��}����w�� �����?�� q�8�(�(,��(W"0�,��� ����,���������5 �4�~E����8;7�E+�?�787E|j�?����� ( �>I 5 �u#t%/� �A�{�����+<

� ' �\ � � ��� ��� �3� ��� � 1�� ' �)�����

���~�,5 �,����19��5��~�?�_�:�.�����*��1 ���4E+5 ���~�,�D�����F������?� �q(*�F�� 1 ��,19(,�+��(?|� �4��EF�7�� ��(�� ����E+��� (,��(��,���I�(��,�,��� �q�8�G1 ����(A�W� ��EF�����|�1Y�?�.�,� �a�I�5 ���a������5 ;D�� 1_�?���2�8����?���AE����I�?�+�I�'��"&�?��� qSr�r�q #zg��}(*�?����� �a�?� �+�����.�W�N�?�

10(1)500 ���E�572�}����/��I�q; �,�+1 ��E{�?�����8�������{����I�n"0���!�,� �6�&%'z��'XZ� ���������2E+���*�F���� ���Y�8��I�_�����5 �4���I�?(W���D"c|�����6�� 1��8��I�Y�4���,�a������� (*�W�?� ��(Z��1 ���#A%/� �A�{�����+<��������a����+�����*�_� �+�V�?� �+������<7��� �~�7�(Z�,�q�t�����M��5��/����O�,� �~1 �+�?�����(g�:�+"0�����~�O�+��� �4�� ���'�?�q���N���a.1 � 87� ���,������� (*�A�+��#R �'��(/E����|��W�?�7j�'�?�����:�|�5��T���� 1��}��,� ���8��,��E|��wE���� (���(*�?����E+����"l(��,�,��� �}�?�������*����(/�����*��; ;:�|�������� #v36� 1_���g��(g���(,�x�,�,5 �'�,�7��Z���}�?���~;7�(��A�?� �+���,����(g�W���,�M(,5�EF��; ����;:�����,���+(�<�������� �H57��I�?5 ��4��EF�7�����E�(+<7�7|���2� �,��5 ���I�W(,5 ��; �,��(,��� �q; �,�+1 ��E{�?����� (g�?�7j�' +��+E+�W5 (/���Y��5��/�{���+���G17|�D����"0��#XZ� �M5 �N�?���}��,�q���I��!��"W; �I�G(,��E�(x�:�+����� 1S�?��� r�q ��(�(��?�����l�?����1 �+�I�?��" �o_�?� �+�����9�?�7j�xE|����,� )

; ���>1 5�E�����5 �8E+5 �,�����I�Y�H� � �W���+1 ������ 1h���8;��,� ���D��5 �45 � 1 �+�,(*�F�� 1���� ����"~; �I�G(,��E+(�#Vf6� �787E|j�?�����; ��� �G��1 ��(q1 ��5����?����(,(4�"0�?��8�{�A�����^�W� �+�,�_; �I�G(,��E+(8�:�+����� 1U�?� � r�q �?����+(8��h�;�;O�������� ��"0������#3Z1 ��;>�?�������?� ��(A��1 �|2���I�?�x�4�����6�+����:���?j�?��14�?� �+���,����(+<�(,5�EF���(A����� ��"0����18E+���4;7�E+�,�987E���?����� (n��"w�?���� �{�?�������?��E�(*�?�,��� � <OE|���E+���*�F���� ���D(,����1=�������I�'����(,���4�x��"l�,� ��;�5 P�P+����(~��"!E����I�?�+�8;:���,����D(,E+���+� E���#RT���,� ��; ����(����I��t���,��<O�t�x5��,������P��~�,� ���:�|�5>�T���� 1��8��?� �+�}j�?��E���JE+��� (,��(��,��� E{����"m(��?����� �4�?� �+������(Wx�?�G���O���_���,1����g�?�.��5 ����1_q���,��1����~�O�{�T�A�+����E����28 �,�4��1_���g"0������(,�+�|������~; �I�G(,��E�(/�� 1���?� �+�����;:��(,(���� �N�ME|�;7�� ����?�q1 ��(�E������:�������"05 ��17��4���I�F��O"0���,E+��(/���_q5 � �98 ��1Y�g|��#

��� W M�� N#W��

X&�/��5 ��1 �m�,� �!�,���1 ���w�,� �,��5����~�?� �l; ����(����I�\�t�����:<����{�w5 (p; �,� �G��1��n(����4�l1 �+�?�����(w��:��5��w�?���lE����I�?�+�I�?(��"&�?� �aEF�7�;��?�+�,(/��� E+��5 1 �+1J#

' ��.e, ��fG� � � 3/" �?�+�m6���,���{"����I�?���>1�5 E+�,�����a�?�/�?� �t� �+�,���,���?��Et(��,�,����� <��t�g; ���>E+����1��?�� C�;���������?���1 �{�F�����(��"t��:������������,� �N"0����1�E����4;7�E{�?�98 E|��,����� (6��"n�?� �.� �{�?�+�,���,��E.(��,�,��� � #2XZ� ��(aEF�7�;>�?���~���I�?����1 (�?�2�:�6�(t���+� ���,��:�(!;O��(,(,��� ����#m%/��� E+��<>�t�/1 �������!"0�>E+5 (t; ����,��E�5�������������}��H�q��"J���,(l�T�A�a����,����I�?(�<E8×E8

�� 1SO(32)

# ]^�o���(,�QE�����(,��1����_�O���?� AN�� 1 A

N × AM����� ��"0����1 (Y���B�?���9(,��4�

"0�G���?��� � #gXZ� ���,+O��E+�'��"m�,� ��EF� ����E�����"m�,� ��(��7CH)T1 ���8�+� (,�����7��wE+���4;7�E+�,�987E���?�����_������?��E��2�(6�t�����v�(�?���2E+��� (*�?�?����I�?(Z���_�?���2���,� �N"0����1M; ��?��4�+�,����(W��,�~���N���+�J#l]^�a; ����(,�+�I�6�,� ���D���_����J1 �{�F������ � � �,�E����8; 5>�?���,� �x�8�(,(�����(�('�8��,�,���6(,;:��E+�,�,5 � ��"!����� ��"0����1��4�G1 ����(6�W���,�=�� 1��W���?����5��]B����(,��������� ��(�� 1U������5 (*�?�,��?�}�,� �D�8�{�?� �G1U�W�N�?�U�(,���4; ���Y� C���4; ����#h�'��(,E+�,�+�,�D�,���,(������U��(.���I�?�,�G1 5 E+��1h�(4���1 1����?�����7��l1����������M��"Z"0�����+1 ���s�W� ��EF�J<vE����I�?�,����9�?��; �,�{�>����5 (�E�������4(�<vE���S���(,���; ;:�|������ A

N����� ��"0����1 (l�+�����Y���4�,� �'�� (,�+� E��6��"J]B����(,���q����� �+(�#v]o�6;��,��;:��(,�6��8���I�?�+�,; ���+�Fj�?�����4��"w�8�G1 �+��(m�W���,�1 ��(,E����+�,�a�,���,(������_�� 1�.(�;O�+E�������T�G;O�a��"\�I�5 ���~���x�:��1 1���� ��(+#!X\�qE�����(,��,� �aEF�7�;��,���+< �A�2; �,� �G��1��=(,5 E+E���� E+�81 ��(�E�5 (�(,�����U��O��5�� Ln5 �j|�g9E���5 ;���������(x���U� �+�,�������?��EY���,� �N"0����1�(�#^RT�U;7��*�?��E�5 �����<l�?���(,�+���+E+�?�����_�,5 ����(W1 �{�?�����8��� �������?� �a� ���H�������(,����� �qE���5 ; ����� ��(W����~���H5 �4���,��?�+1J#' ��.e, ��fG� O�� �'5 �D�?���?� �D�������,�4��5 (4�H5 �x�:���4��"����1 5 ��17�� E+����(8���Q(��,�,��� �oE+��� (*�?�,5�E+�?����� (+<

�����(~��N�g|�G(~�,�+E����4�4��� 17�� �����,�Y�7|���4Y5 (,�{"05 �m�4�+�,� �>1��,�_E����(,(,�N" ���,� ��(��qE���� (*�?��5 E+�,����� (+<J�?�7j���(+<J�?�D1 �+�,�����8��� �x�?� �4����v1 � +��+�,�+�H�2;7��?��4�+�,���,(~���|�1���� �M�,�D��� ���H5 �N������+�H�a���,� �N"0����1��4�G1 ����(�#x]o�(,5��8�8��,��P��t���.�?� ��(mEF�7�;>�?���l�T�t�a�8�{�?� �G1 (�#vXZ� � 87�,(*�n��� �Z���G��(l�I���,� �W�7��4�g��"� " � ) ��� ���% #��� �����%� �� #*"Z"0���!���!�8����+(t� CG�?����(,�����5 (��6��"O�?� �/; ����;O�+���,����(n��"O�?� �6�6�G� �H���81 ������?�� ��"w2�w���/�������� �,�?�61 �+�,�����8��� �g����H�1 �4��(�(,�������!�I�5 ���t�+�x�O�+1 1 ��� ��(�#\XZ� �g(���E���� 1.�8�{�?� �G1���"7E����(,(��987E���?������E+��� (���(��,(����(,5 ������(��,��� �(,5 �N�F�� ���g���(?��,PA�?�7j�m1 �+(,E������:��(!����H(,� �N" �?(l���1�����&]B����(����x����� �+(\��"O'�������+�.���,1�����<

!

�4��� ���8��P������.1 5 ; ����E��N�?����(�#W]o��1 ��(,E�5�(,(�?�������'�1�����I�F�����(~�� 1�1 �, �W� �EF�H(a�� 1=���N����� C���8;�����(6��"�?�������J�; ; ����E|j�?�����J#&d>���4�m��"G�?� �m�,��; ��E�(w1 ��(,E�5�(,(,�+1�����?� ��(wEF�7�;��,���w�A�+�,�!; ����(,�+�I�?��1����a�,�{"0(�# �>I�<�<7IkE*��#' ��.e, ��fG� [ � ]o�~1 ��(�E������:��.���+� ���,��J(*�?�?j�?�����M�A�a; ����;:��(,�+1D���_�,�+"$# �=I1:��J�?�.���>�F����Y���,� �N"0����1

�4�>1 �+��(!�?�7j�A����(,�+�x� ���6�?��� qSr�r�q <�5 (���� �.�(A��5 ��1 ������; ����� E+��; ���Z�?� �6E���� E+��;��g��"p���GE|���nMo pJ(�#l�~5��(,����,EF�L��(.;:���*"0���,�4��1U�I�SE����4;7�E{�?�N" �>��� ���?���

E8×E8

� �{�?�������?��E_(��?����� �����Q�?���VA6

)TR,R2����� ��"0����1J<(,��� E��_�N�.�7�(q(,��� �W�U�?��� ��5�(,�D(,���4�Y�8�G1 �+��(x�W���,�Q�,�|�����(*�?��E}; ����;O�+���,����(+#S36" �,���q; �,� �G��1���� �=�?���E������,���,��xE����4; ����(,��� �.��5 �W(��|���EF��(��,�?��,������<7�A����7��N�GP���?��������(,5����?(W���>�F���� ��1J#l]o�S87� 1_�?�7��/��5���; ;��,�I�EF��<p�(a��; ;:��(,�+1��,�DM�?�� 1���� (�E|��J<p��((,5 E+E��+(,(�"05��A���1��,�7��2ME+��� (,��1 ���,�� ���x"0�?�E{�?��������"�?���'�4�>1 �+��(l�W���,�

SO(10)���1

E6

���>E����nMo p�(��,�,5 E{�?5 ����(g; �(,(���(g��5��tE+�,���,�������#&RT�M;7��*�?��E�5 �����<I��5>���"p��O��5>�

3× 104 ��� �,�G5���������+�I�t�4�G1 ����(!�W�N�?�4�T�A��]B����(����8����� �+(�< 515 <2E|��8(,�+������(g��85 ���,�?|�G�������+�E����8; ���+�,�����Y��"&�?��� r�q #nRT��E+���4;7��,��(,���Y�,�4(����4������A(��|���EF� ��(6���_1 �/+O�������I�/(,E+���7�������(+< �A�2��� (����*����?� ��t�,� �/; �,��� �� �������T���?�)8 � 1M�4�>1 �+��(l�W���,�8���|�����(*�?��Eg"0����?5��,��(t� �����'��(t�x5�EF�}����,���+��#\]o�'E+��� (���1 �+��?����(g�?�q�:�a��� �a��"&�?� �aE��+�I�?�?��w�,��(�5 ���,(W��"\�,� ��(Z�,� ��(���(�#' ��.e, ��fG�SU � XZ� �n(��,5 1��a��">(,���4�n�(,;:��E{�?(&��"G�?� �!; � �+� ���4��� ���������'��">��5 � qSr�rkq E|���1 ��17j�?��(p��(

; ����(,�+�I�?��1.�����,� ��(&EF�7�;��,���+<�"0������� �W��� �Z��5��v; ���+�G����5�(\1 ��(,E+5 (,(������ (&"0�,��� ���+"0(+# �>I�D�I ;���#&X&�'������5 (*�?�,��?�

��5 ���,�+(,5 �N�?(�<m�t�M1 �+(,E+�,���:�M�����MEF�7��,�E+�,���,��(��,��E}�4�G1 ���!�W���,�^�?� �}� C��E+�x(,;:��E+�,�,5 � ��"g�,� � qSr�r�q #RT�o�,�7��2� C���4; ����<w�A� 87� 19�?�7j�2�,� �q�?��; �H57��,�=E�����E��H5 �����4D� ��|�G�9�8�(,(~�W� �����.�?���4;��,���,���E|�� � ���a1 �+E||��1 5 �x�,�_1 ���4��� (�������"0��5 ���;:���,��?����(a��~�?��������� ����6���+������#�XZ� ��(~�4�|���(�?�7��a;��,���,���1 �+E||�4��(!���������,��E|�������(,5 ;�; �,�+(,(,�+1J#!]^�6���(��������?�Z�?� ��t���� ����E+�,���,�������/� C>���?��E�(nE|��}�E��H5 ���,�W�}�(,(,�+(���^ r o r�� )T; ����(������G��� �����E+5 5 � E����28 ��5 �?j�?�����J#_XZ� ��(��8�G1 ���!��(�5 (���1Q����l�?� ����5 ���^�,� �}EF� �;��?�+��?�.������5 (��,�?��,�'���,� ���g;�� ��� ���8�+� ����������E���O;��,��;:���*�?���+(W���(����?���|��,��1_� �+�,��#l]o�~;O�����I�Z��5��A�?�7��Z�,� ��(���H57������?����(t��,�6(,�7��,��1_�I�}������4�>1 �+��(t�� 1M�,� �����+"0�����~�(��?��?��(��,��E|��O��7����G(���(AE���M�G���+��1}(����4�(��,�,������?���������+�?��E|��l;��,��1���E+�,������(a��O��5��2��� �

��������,���=; �I�G(,��E+(�#8RT�o�?� ��a(,; ���,�N�|<w�A�4���I����(��,���Ij�?�.�?� �q(�E|����

��" r o r � � �,����H��� ���T�>;���E|������q���|�����P+��1M���M���,����"0����1}�4�>1 �+��(!�W���,�Y�,�|�����(*�?��EW"0����?5��,��(+#l]^� 8 � 1M�?�7j��?����(Z�H��� 1D��"\�8�G1 �+��(A"c|�����,(/� ��1 1����D(,��E{�?���W�I�5 ���~������5 ; (W(,5�EF���(

SU(4)�� 1

SO(8)<7���4; ���G��� �

��� ���+� ������� r o r�� ���,�|��G��� �.���8�?� �E+���I�?� C>�W��"p�I�5 ����� ��E+��� 1 �+� (?j�?�����J#m]^�'E����I�?���H5 �'�?�����M�W���,�

�?���Y1 ��(�E�5 (�(,�����U��"'=E+�,5 E+����t��(,(�5 �_���Q��I� qSrkr�q ) �������M�4�>1 �+� JR �;7������T��#�����H���8�G1 ����(��W�N�?�

�,�������(��,��E_; �,��;O�+���?����(}�1 �4���4�?� ��1��K87� �N�?�����h��"U(1)B−L

<Z�W� ��(���(,;:���I�F�������5 (Y���,�|��G1�� �W�BE����G���+��1��8��,�,���2;7������T�o�� 1��,� �������I��; �����?����(��?�� �������T��#�%6� �t�+������<l�,�� ������1^�?�; ��1^; �����?���S1 ��E� �1 5 �M�,��1 ���8�+� (,����� 8 ���Y��;O�+�?��,���,(���(x(*�?�����n�EF�7�������� ���M�O�{������1Q�,� �M(�E���;:�Y��"Z�?����(��,� ��(���(�#�]o�E���� E���5 1 �Z�?� ��(lEF�7�;��,���!�W���,�8�� ���?�����!���I�?�+�,�+(��?��� � �H5 ��(*�?�����J<H�7��4������<��?� �Z�G���� �������T�2��":�?� �W(,�+��(, ��4��EF�7�����(,� ���x(*�?����� ��) 1 ����������1.�4�>1 �+��(+#&]o�W��,��5 �g�?�7j�|<��{�����q�?����5 ���.����,���A�,��;��,��(����I�Fj�?�����4(�5 EF��(

126��"

SO(10)1 �a� ���A�; ;O����l���x�,� ��(lE+���(�(l��"O�8�G1 ����(�<I������,� �Z� ��E+��(�(?��*�8��� ������1 �����I�?(m"0���m�,� �

(,�+��(, � �4��EF�7�����(,� ��,��;��,��(����I�|#/XZ� �+(,�.�,�+(,5 �N�?(6��,�2���+�������4;O���*�F��I�Z"0���W"05��,5 �,�����I���+(��?���I��,����� (�� 1�< �?� �+�,�+"0���,��< �t�~�A��5 ��1D��������?�q(*�?�,�+(,(W�?� �+� �(W��5 �Z�8���� 87� 1 ��� ��(�#

� ' �\ � � ��� ��� �3� ��� � 1�� ' �)�����

������������ ��������

d>���4�~�,�+(,5 �N�?(W��"&�?� ��(g�A���,�Y�7|���a�:���+��; 5 ������(�� ��1_���

• X~#\3'�,��H��<vX~#vy6��� ���(,����<n��#\ya5��O� <ldO#m�/��4��(*)$d���� EF� �+P�<!�9#m�/��?P�<l�� 1S�&#my.#vdO#\�n�5G)1 ���+���� ����<��+bc-6���G)*e*36�O�+������Y�'��(,E����+�,�236� ���8�������( �F< �����N��J=?1;�?@:>#>? 5 ?@I � � �+;>) �,� ��#

• �x#H�w���:��1��+�:<�%2#G�\#H-6��������(�<IdO#G�6��I��<�d:#H�6��4��($)*d�����EF� ��P�< �o#H�/��,P�<G�\#Hy.#GdO#I�n�5 1��,�+�����������1=3�#O]B��� ���+���?�+��<"�TXZ� �.%/�+�?�+�,���,��E.�W�I�1��,�}�?��� qSrkr�q �W���,��� ;7��,���T��< �x�l�I�>(+#p�/�{�:#w�m4m b 5 ?1?1;�e ?�E@D1?26Q< � �����N�+J>?@I�?�;�# 5 D1s26-� � ��;G) �?� �/�u#

• ] #�@A5 EF���x� �������+<�y.#�%'��8���5 EF����<��.#��w���:��1 �{�:<GdO#��/��4��(*)$d���� EF����Pg�� 1.�o#��6j�?P�< ��d>�+��(, �� �+5��?����� ��(g"0�,��� �?� �a� �{�?�+�,���,��E(*�?�,��� � < �a�l�I�G(�#��W�+�:#��w�+�,��# !�! </? 5 6�D�?26qb 5 ?1?@I�e � ��������J � ��;G); � �?@I�?1<�?@I�;��u#

• Kt#7�l��C����+��<�d:#��6��4��($)*d�����EF� ��P�<��9#��6��,Pa�� 1��\#�y.#:dO# �n�5�1 �,�{���� ����<��*�����,����~X&���,(�������< ���%6�n� m /[ <4?1D1<Db 5 ?1?@I�e � ��������J � ��;G) �?� �?@I�? 5 6�I�D��

• �x#H�w���:��1��+�:<�%2#G�\#H-6��������(�<IdO#G�6��I��<�d:#H�6��4��($)*d�����EF� ��P�< �o#H�/��,P�<G�\#Hy.#GdO#I�n�5 1��,�+�����������1 3�#g]B��� ���+���?�+��< �$�p� �s�l� �+�,���VdG5 ;O�+�,(*�>�4�4�+�?�*��"0�,��� �,� �o%6�+�,�������?��Eo�p���1 (,E��;O��< ��l�I�G(�#:�/�{�:#��p�{�,��# !"� <�6�;N6�D1? 5 b 5 ?1?@I�e � �����N�+J � �+;>) �,���?1D26�6 5 ?1<��

• �x#H�w���:��1��+�:<�%2#G�\#H-6��������(�<IdO#G�6��I��<�d:#H�6��4��($)*d�����EF� ��P�< �o#H�/��,P�<G�\#Hy.#GdO#I�n�5 1��,�+�����������1�3�#7]B���������*�?���+<��T3 �4��� � )T���� 1 (�E|�;:���"!� C �E+� qSr�r�q (,;:��E{�?�,M�������+�?�+�,���,��E2���,����"0����1 (�< ��l�I�G(�#:�w�+�,��#�@ le[+U </;1;Db 5 ?1?@I�e � ����'����J � ��;>)��?�� ?1D2616�?�s@: �

• %2#7�\#�-/��������(+< d:#��6��4��($)*d�����EF� ��P�<7�\#�y.#�dO#>�n�5 1 ���+���� ���2���1D3�# ]B��� �������,���+<�*�"C>; �����,������,� ��d �qbT< 5 eA���+�?�+�,���,��E~(*�?�,��� � < �2��%6�n� +l� /[ <4?@:�?Db 5 ?1?1DIe � ��������J � ��;G) �?� �?1D1?1<�?1;1D��

� ����� � ��� �

� ��� ��� ��� � ��� � � -��� � � � ���

RT�q�?� ��(!EF�7�;��,����<H�t�6(*�?5 1��.�,� �/� �+�,���,���?��EZ(*�?����� �a�?� �+�����xE����4;7�E{�?�98 ��14���8���,� �N"0����1 (+#]o�A(*�F��*�v�I�2�,�{�>���+�W��� �'� ����� � �~�?� �t� �+�,�������?��Et(*�?�,��� � #&XZ� �����A�g� C>; ���������� �A�4�+�,� �>1�,����+�v"0��5 �*) 1 ���4����(,�����7��H(,5 ;:����(��G�4�8�{�?�,��EA�4�>1�����(\�7�(���1q���q��:������������,� �N"0����12E����q);7�E+�?�787E|j�?����� (�#g�~5��61 ��(,E+5 (,(���������(/�� (*�?�?�E+�'��'(����4�����+���+��<7� 5>����W��('�1 1 �,�+(,(���1��,�;:����;����t�W��������� �g�,����+�m�E��H57����I�?�+1x�W���?�����,����"0����1�E+��� (��,�,5 E{�?����� (�#\]^�A���(��'���I�,�,�G1 5 E��� �+�,�~�?���2�����F��,�����M�,�8�:�~5 (���1������� �x�,� �a���I�?���,�~�t���,��#

� ��� ��� ��� � �� � � � ���R �8��(q�A�+���W�H� � �W�k�?�7��8���UE�����(,�+1>)T(*�?����� �9�?� �+���,����(4���+" �*)��� 1h�������I�*)T�4� �G��� ���8�G1 ��(4�����1 �+E���5G); ����1 � 5 6�< 515 �u#9XZ� ��(.�*+O����(��?���Y;O��(�(,��� �������T�9��"6�� �+� E���� (,��(��?�+�I�8(*�?����� ���,� �����*�����^�W� ��EF�Q���+" ��)�� 19�,�����I��) �8� ���+�,(2����4��"g1 � +��+�,���I�a�T�G;O�+(�#MXZ���8� �{�?�+�,���,��Eq(��,�,�����������(���(2�(a�?� �q�,�+(,5 �N�2��"gE+���q)� ��� ��� �o9�,���>) 1 ���4����(,�����7��Z�,�����I��) �8� �G��� ��(�5 ;O�+�,(*�?�,��� � �>I�s�<K;1?���bc�+� (,5��,�����^�?� �+�,�+�H�L(,; �E�� ) �?���8�(,5�;O�+�,(��G�4�8�{�?�*� eA�W�N�?�� 5 Dj)T1 ���8�+� (,�����7��:���{" ��) �8� �G��� ���O��(���� ��E~(��?����� ��#

N#Q U L�� � X � W M �

XZ� ��������I�*)T�4� �G��� ���:��(���� ��E'�� 1}"0�+�,�4��������EW1 �����,���+(Z��"w"0�,�+��1 ��� ��"w�,� �'(�5 ;:���,(*�?����� �q����'1 �+� ���,��1�I�

X iR

�� 1Ψi

R

<Z�,��(�;O�+E+�,�����+����<W�W�����,�i = 1, . . . , 10

#V]o��E�����(�(,5 �4���?� ��8�,� �V87��(��8"0��5 �E��G����1 ���7j�?��(nE����,�,�+(,;:��� 14�?���,� �'��� (,�+�����+1Y�8��� ��� �W(��G����}(�;7�E+�+�?���8��#mXZ� ��(t(����?5 ��?�����8��(!1 ��; ��E+�,��1���j87��# 5 #96�#md>����E��/� ���t����>�?� �+(,�/1 ���������+(A��":"0�,�+��1 ��� ��,�W��� 1���;:��� 1 �+�I�|<>�t�/EF� �>��(,�W�?� �/�������I��)TE+��� ��I�5�����< ���Y�W� ��EF�_�?� �aE+�>����1 ��� ��?�+(ZE������,��(�;O��� 1 �����4�,�

i = 1, 2����S82C>��1J#

XZ� �2�}�(�(,�+(/��"\�,� �a�,�����H�*)T�4� �>��� �x(*�F��,��(6��,�~���N���+���I�

m2R

4= NR − aR ,

b 5 #96 e�W� �+�,�

NR

E���5 �I�,(�?� �x��(,E���������?���/� C>E+���Fj�?����� ('��"!�,� �x(��?��?�+(�<p���1aR

��(6�,� �.P��+�,�Y;:�����I�'��� �+�,����<�W� ��EF���?5 ��� (.��5����?�=�:� ?�"0����(��Fj�?��(x�W�N�?�Bb0;O�+�,���>1 ��E ea�6��8����1��O��5 � 17��*�^E+��� 1 �N�?����� (�<m�� 1 1

2"0���2(��?��?�+(��W���,��bu��H�,��;:�������G1 ��E|ea-/�+����5>)$d>EF�I�g���P_�O��5�� 17��*�oE+��� 1 �N�?����� (�#Y]o�M����}���H�,������(��,��1S���; �I�G(,��E|��~(*�F��,��(Y�?�7j�D��,�=�8�(,(����+(,(_��Y�,� ��(��?����� �S(�E|�����# K7����� �,�:#2b 5 #76 e </�A������(,���*�����?�7j�

616

� � ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

Right Movers

XiR

ΨiR

i = 5, . . . , 10Xi

R

ΨiR

i = 1, . . . , 4

Left Movers

XIL, I = 1, . . . , 16

XiL, i = 5, . . . , 10 � 9;�!� " >!"-�� #"7"7/)6;F�F #"7"7>!6��

T 16

XiL, i = 1, . . . , 4

� 4

�������! #"��H&�$�'�� 45" /2,I98<7" 6;F51245" 45"-1#"- #6812��<D/212 2��3!�5&�� 45" /2�!,�"- #/2A���%"-12 2��< 2����4 1���%6� "- #/ J��� " ��3 $��>H���%"-35/2��6835/�BY45"- #"�98/�1245" ?�6�/#683!��< J�"�F 1���%6� "- #/��8��3��� >H���%"-35/2��6835/�&�� 45" $�� 98>!>H��12��683I9;J�?�6�/P683!��<<76�68 #>H��3I9;1#"7/ <76�� ,I98<-12���I"7> 683 9 1#68 2�5/

T 16 ���� " 2��/#" 1#6 1245" � 9;�!� " >!"-�� #"7"7/)6;F�F #"7"7>!6��@&�� 45"�5 #/21 F 68�! >H���%"-35/#��6835/�6;F 1245" 1#"-3C>H���%"-35/2��683I9;JH45"-1#"- #6812��<Y/212 2��3!� <768 2 #"7/2,�6835>R1#6 1245"��E��3�� 6 B /����/2,I98<7"�� 4 &

mR = 0"0���a(*�F��,��(

bi−1/2|0〉R

�����?���8-/�+����5>)$d>EF�I�g���PY(,�+E+�?����<\�� 1�"0���di

0|0〉R���=�?� �8�6��8����1

(,�+E+�,����#xXZ���.�������H�~�,�?���(����+�,(��4� C>E����?��?����� (bi−1/2|0〉R

"0����� �,� �x���+E+�?���,����m�,�+; �,�+(,���I�?��?�����8v

��"SO(8)

�� 1D�:���7|�����(W�:��(,����(W"0����� �,� �a(,;7�E��+�,���4�~;O�+�,(�;O�+E+�?�N����#��D�,� �a���?� �+�Z�7�� 1�<7(,����E��~�?� �a��(�E�������j�?����(

di0

���O�{�M�?� �8buzA���/+O����1�eA�������� �,{

i√

2di0, i

√2dj

0

}= 2ηij ,

b 5 # 5 e

�?���=���,��5�� 1B(��Fj�?�di

0|0〉R"0���,�4(YS(,;���� ��������/�,�+; �,�+(,�+�H�?��?�����B�W���?�_6�D����|��'E����4;O��� ���I�?(+# RT�

����1 ���/�?�}�8��,EF���?�����H5 �x�:���6��"l���>) (,� �+���w"0�����8����� ��Ea�� 1��:��(���� ��E21 �+���,�+��(��"v"0�,���+1 ���D<O��� ���7�(�?�=���I�?�,�G1 5 E+�Y n r�� ; �,������E+�,������� 6�I �u<m�W� ��EF�Q1 �G��(.�����.��� �N�^����1 5�E��M�?���Y�G5��x�O�+�.��"/�}�(,(,����(�(1 �+���,�+��(A��"J"0�,�+��1 ��� �I�82"c�E{�?��� 1

2

<G� 5��A���(����+� (,5 ����(Z��}���H57��O�H5 �x�:���t��"J�:��(���� (g�� 18"0�+�,�4����� (��6�|�EF���}�(�(6���+������<O�(/�,�,�G5����,�+1��I�D(,5 ;:����(��G�8�4�+�,����#/3/" �?�+�6�?��� n r�� ;��,� ���+E+�?�����J<��A����,�a�?��������{" �Z�W���,�_�,� �

8s

�,�+; �,�+(,���I�?��?��������"SO(8)

���_�,� �2�6��8����1D(���E{�?���+#K7���!E����I���+� ���+� E���< |q〉R

�W����� 1���� ���,�/�,� �/�,�����H�*)T�4� �>��� �~������5 � 14(��?��?�W"0���l�:���?�4(,�+E+�?���,(�<G�W� �����q(*�F�� 1�(/"0���g�,� �~�A�+�����I�,(/��"\�,� �aE������,��(�;O��� 1 �����

SO(8)����; ����(,�+�I�F��,�����D����zg��*�F��>)�]^�{�G�w����:����(

|q〉R =

{ ∣∣±1, 0, 0, 0⟩

R∼ 8v , ������o�! r �#"%$'&)(%*∣∣ ± 1

2, ±1

2, ±1

2, ±1

2

⟩R

∼ 8s ,(%& q� �

b 5 #=<Ie

� �&� � ����� ��� ���)��' � ��� ����� � O

�W� �+�,���,� �2(,; ��� ���W�,�+; �,�+(,���I�?��?�������7�('��D�+�����=�H5 �x�:���W��"v; ��5�(6(������ (+#AXZ� ��5 � 1 �+�,����� �a1 �+� ���?�+(;:���,��5��F��,�����Y��"\�,� �a���I�?������(+#!RT�D�,� ��(Z� ���F��,�����J<>����#\b 5 #76 eA�:��E+���8�+(

m2R

4=

1

2q2 − 1

2.

b 5 #>EHe

� W���L�� � X � W M �

XZ� ��E��G���,1 ���7��,��(q��"'�,� �D�O��(���� ��ED(*�?����� �o��,�_1 �+� ���,��1k�I�X i

L, i = 1, . . . , 10<A�� 1

XIL, I =

1, . . . , 16#W3'(6"0���/�,� ���������I��) �8� �����,(+<7�?� ��E��G���,1 ���7��,��(/E������,��(�;O��� 1 �����8�?�

i = 1, 2��,�Z82C>��1=�I�

�?���.�������H�*)TE+��� �x�I�5 ����#�XZ� �q�+�G��1 �+�I���4��(��}j�?EF�������,� �.�H5 �x�:���a��"n(,; ��?����m1 ���8�+� (,����� (��"n���+" ��)�� 1S�������I�*)T�4� ������(x��(.��8�+� 1 ��1S�I�^E����4;7�E{�?��" �G��� ���,� �YE��G���,1����7��,��(

XIL

���Q 6�Dj) 1 ���4��� (������ ���?���,5 (

T 16 �W���,�h�?�1 ���W�(8(,�8����W�(4�,� ��(*�?�,��� �9(,E|�����<W�(8������5�(��?�,��?�+1Q���R8 � # 5 #96�#�3'(M9�,�+(,5 �N���"2�?� ��(_E����4;7�E{�?�98 E|��,�����J<W�?��� 6QDj)T1 ���8�+� (,�����7��6���I�?�+�,�7���8���8�+�H�?

p��,��� ���I���� ��(,� ��� �U�� 1

; ����;O�����?�����7��:�?�.�?���a�W��� 1 ��� �.��"\(��Fj�?��(/���Y�,� �aE����4;7�E{�?�98 ��1_(,;7�E���#XZ� �2�}�(�(,�+(/��"\�,� �a���+" �*)T�4� �>��� �x(*�F��,��(6�" �?�+�g�?� �aE����8;7�E+�?�787E|j�?�����Y��,�a���N���+�D�I�

m2L

4=

1

2p2 + N − 1 ,

b 5 #=:�e

�W� �+�,�NE���5��H�,(a���+" �*)T�4� �>��� �}��(,E���������?���/� C>E+���Fj�?����� (a�� 1 −1

��('�,� �qP������_;O�����I�~��� �+�,������"t�,� ��:��(,������E~(��,�,��� � #!�!�EF�DE����4;7�E{�?�98 ��1_1 ���4����(,�����YE����I�?����� 5>�?��(Z�W�N�?� 1

2(pI)2 �,�4�,� �a�}�(,(�#

`2�5 ���4�� 19���?|�G���?��?�����7��\�� ���}��N��E��� E+��������?�����=��(~��57��?��H�,���+1^�I�=��� � )T���>��;��4�>1�5 ����6���>)����,���� E+��#lR �Z���8;:��(,�+(g(,�{���+�,�2E���� (*�?�,����I�?(Z���_�,� ��?�������*��#!RT�_;7����,��E+5 ����+<G�,� �~5 � 1����,�N�G��� �q��j�,�?��E����"l�,� � 6�Dj) 1 ���4����(,�����7��w�?����5 (

T 16 �x5 (*�a�O����5 E+����1��|��J<��+���+�9�� 1=(,�+��"�) 1 57��u#~XZ� �����q��,�x��� ����T�t��(,5�EF�S������?��E+��(~���R6�DD1 ���4����(,����� (�Ja�?� �4�,�G���2��j�,�?��E��.��"

E8 × E8

�� 1o�,� �q�A�+�����I��������?��E+�.��"d>; ���pbT< 5 e 1A

2

#YzA��� (,�,�G5����I�?�N��<v�,� ��b0� ���7��O�+�������e6�I�5����q���,��5�; G ��"g�?�� � 6�D_; �,� �G��1 �+1o�I���?���E����8;7�E+�?�787E|j�?�����^E|��S�O�M�+���,� ���E8 × E8

���SO(32)

<m1 ��;:����1 ��� �=�����?� �MEF������E+�M��"Λ#��!�EF�

��j�,�?��E��'�G������1�(W������ 1 �+;O�+� 1 ���I�/E���� (,��(��?�+�I�'� �{�?�+�,���,��E~(��,�,��� �.�?� �+������#3ZE�E+���,1 ��� �q�?�q����#&b 5 #F:�e <���Z�?���2�8�(�(,���+(,(W���{���+�J�A�a�7|���a�?���a"0������� �W��� �x���{" ��) �8� �G��� ��(��Fj�?��(KJ

αi−1|0〉L i = 3, . . . , 10 ,

b 5 #=D�IeαI−1|0〉L I = 1, . . . , 16 ,

b 5 #>D���e|p〉L p2 = 2.

b 5 #=D�E|eXZ� �����}��,� E@;1?_���I�?�+�,�7��m�8���8�+�H�?

p"05��987���������

p2 = 2#836(a�t�q�W�����v(,���4�:����� �a<p���a��(~� ����

E������ E+��1 �+� E��/�?�7��t�?� ��1 �������H�t�,�+; �,�+(,�+�H�?��?�����M��" G E+���I�F���� ( E1;1?�EF�7�������1Y�:��(���� (�<G�?�G� #mRT�}"c�E+�|<�?���.(��Fj�?��( |p〉LE������,��(�;O��� 1=�?�M�?���.���+" �*)T�4� �>��� �}; ����~��"n�,� �.�I�5����x�:��(,����(4bu�� 1=���5 ����� ��(FeW��"

�?����(W�?� �+������#'K7���W�?�7j��,���(,���J<:�t���W�����w�,�+; �,�+(,�+�H�p�I�D�,� ������E{�?����(����zg����?��>) ]o�+�G�&����:����(/"0���

�?���2E+���,����(�;O����1 ��� �qEF�7��,���+1��:��(,����(

G = E8 × E8 : p ∈

((±1)2, 06

)(08

),

(08

)((±1)2, 06

),

((±1

2)8

)(08

),

(08

)((±1

2)8

),�{���+��� ��"WX

,

b 5 #=I�Ie

G = SO(32) : p ∈((±1)2, 014

),

b 5 #FI��7e

�@[ ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

�W� �+�,�~�?� �~� C>;O�������I�'��"v��D�+�I�?���ME���5 �I�,(W�,� �~�H5 �x�:���Z��"&�?���8�+(A�?� ��Z(,5�EF����_���I�,���_�;�;O����,(Z����?��� 6QDj)T1 ���8�+� (,�����7������+E+�,����<:�� 1Y�,� �a5 � 1 �+�,����� �~(��?�� 1 (+<:�(W�O�{"0���,��<�"0���W����J;O�+�,�x5>�F��,����� (+#

� ��� ���#W � ��� W�L W M�X L N K � W LIM����

�w�+�a5 (a��7����GP+�x�?� �.(�;O�+E+�?��5 � ��"!�,� �.� �+�,�������?��E.(��?����� ��#��l�I�G(,��E���l(��?��?�+(~�x5 (*�~"05 �987���&�,� �.���{���+��8��?EF� ��� �.E���� 1 ���,�����

m2R = m2

L ,b 5 #=;Ie

�W� ��EF�M"0������� �W(n"0�,��� �?���'����,����?�����}��"w�,� ��t���,��1 (,� �+�+�Z�4�+�,�,��E�#mXZ� ��(gE���� (��,�?����H�g���4; ������(!�?�7���<����E����H�,�?�(*�a�?�_���?�����~(��,�,��� �M�?� �+���,����(+<&�����?� �q� �{�?�+�,���,��E.(��,�,��� �M�?� �in r�� ; �,������E+�,��������(� ���2���4; ���{)�4���I�?�+1����9���,1������,��|������19�?� �8; �,�+(,����E��M��"A�F�EF�I����� (�#�d>��� E+�4�,� �}�8�(�(���"A�?� �4��� �t��(������ �+�,������{" ��) �8� �G��� ��(*�F��,�Qb

N = 0, p = 0e4��(

m2L = −1

�W� �����|�(8�?� ���8�(�(}��"�,� ���������I�*)T�4� �G��� �bu-/�+����5>)$d>EF�I�g���P e��F�EF�H�����Vb

NR = 0e2��(

m2R = −1

2

<m�,� ���S�,��#Zb 5 #=;Ie~���>"0���,E+��(x�?���Y�� (���� E+�M��"(��?��?�+(Z�W���?�D� �+�I��?�N���~�8�(,(W( �G5 ��,�a���Y�,� �a(,;:��E+�,�,5 � ��"\�,� �a� �+�,���,���?��E~(*�?����� � #3g�A�,� �'�8�(,(����+(,(n���+�����u<>E+���x� ��� ��� �~�,� �'�������I�A�� 1}���+" �*)T�4� �G��� �a(��Fj�?��(t��"w�,�G(+#Jb 5 #><Ien�� 1�b 5 #=DIe

���N����(W����(,��,�.�?� �~"0������� �W��� ��(��Fj�?��(KJ

• x�,���>) 1 ���4��� (������ �� N = 13Q��,MfG� �4��. ����� �R* ��% ����,"%�f@�

|q〉R ⊗ αj−1|0〉L , i = 3, . . . , 10 ,

b 5 #>sIe��� E���5 1 �����/�,� �g���, �G�N�?���

gij <��?� �g1�����j�?��� φ<j�?� �Z��H�,��(*�>�4�4�+�?����E!�?�+� (,���

Bij �� 1x�,� ����� r o r �;7����?�����,(�� �

• 6QD �� �� � .e� �4fN�2�4./� �4fg!M��3��� �3 bu���1��I�5 ��������(Fe

|q〉R ⊗ αI−1|0〉L , I = 1, . . . , 16

b 5 #96Q?Ie�W� ��EF��E+���4; �,��(,��?���2(��+�/��"mzg����?��D����� �+�?��,���,(

HI

��"\�,� �a�I�5 ���~���,��5�; G �

• E1;1? � � .e� �4fN�2�4./� �4f !M��3��� �3 bu�� 1����5 ����� ��(Fe

|q〉R ⊗ |p〉L , p2 = 2 ,b 5 #9616 e

�W�N�?�p���������D�I�_����#&b 5 #=I�eF#

f6� EF� ��,���+1����19EF� ��,���+1^�I�5 ���.�:��(,����(a�,�����{�?� �+�a"0���,� �,� � E@s1Dj) 1 ���4����(,�����7��\�1 �������H��,��;G)�,�+(,�+�H�?��?�����a��"l�,� �.�I�5 ����������5 ; G #~]^��� ���?��E����,�7���,� �x� +��+E+�?�N���x�,� �����*���W�N�?���,� �.�}�(,(,����(�(E����H�,���I��; �,� �G��1 �+1o�:�+"0���,�.��( N = 1

(�5 ;O�+�,���,|�>�N�T�=���=�,���91 ���4��� (�������(~E���5 ;�����1=�,��Lt�����)*��������(�#d>5 EF�qW�?� �+�������7�(v6���,|�>�N�F��,����� ��H�� ���8��N�~��"/E@s�D65 � �N�?(+<��W� ��EF��E|��x�:�AE��� E+��������1��H������E���5�1 ��� ��?��� E@s1D��I�5 ����� ��(~�?� ����t�M�7|���M��x�7�� 1J#�XZ����(�E��� E+��������?�����9��(2� ���x(�5 �,;��,��(���� ���O�+E|�5�(,�M�?���� �{�?�������?��E~(��,�,�����4��(�< �I�_E+��� (��,�,5 E{�?�����J<7�4�>1 5�����t���I����,����I�W�� 1_�?�H5 (/�� ���}��N�8"0������#

��� /���� 8�':����#%�|q〉R

.�'� (.�'70 ')$���0A9B/���� 9B/�0 /6$(��8*#%$�&�� ',.�@ �=/6$(� 8 &-')��.�',')0A/���� .�')')&-/6@�1 #�8)8�/�. &-��$(� ��/ '��BE����-E ��� E��'78,#%<�< #%< 0�/A����#3� ���('�� 9�/60�/�$(� 8��

q8,#�.�.���')04# 0� �#68�'����=@ ';��$�&-'��

iE

�� �(' #�&"!!/���$6��.�'� (.�')0�',$�� #3����/�$*/��E8 × E8

.�')#�&�0(248,1) ⊕ (1,248)

E

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � � U

� � � � ��� � � ���� ��� ������ � � � � � ��� � � �R �W��(ZE+������A�?� ��Z�?� �~���+�?�+�,���,��E~(*�?�,��� �.�I�Y���,(,�+��"&��(g�����/x�?� �+�����8�W� ��EF�D1 ��(�E������:��(Z�?� �~��� (,�+������ ���5 � �N���+�,(,��#m3U(��?�����H�����61 � +��+�,�+� E��n��"��,� ��(p�?�������*�~�W���?���,�+(,;:��E+�\�?�/�?� �!"0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7���(,;7�E+�+�,���4���"l�{���+���G17|�=� C>;:����������E��x��(6�?� ��6�,� �x� �{�?�+�,���,��E2(��?����� �}��(W�?���G)T1 ���8�+� (,�����7��u#WK�5����?������<:�?� ���I�5 ���(��G�4�8�{�?�*�q���,��5�; G ��(l�?�G�������aE����4;7�����14�?�a�?� �/��� �W��"O�?� � r�q ���!���,(n(�5 ;:���,(*�G�8�4�+�,�,��EZ�����,(�������<�?��� qSrkr�q #xXZ�����,�{"0���,��<p���=����1 ���"0���6�?� �.� �{�?�+�,���,��Ex(*�?�,��� �Y�?� �+�������?�Y�8����.E+���I�F�E{�~�W���,�9��� �

��������,���a; �I�>(���E+(�<������t�7�(&�,�6���H�,�,�G1 5 E+�AW�8�+EF�7�� ��(,� ���2�,� �!�?� �+�����a�+� (,5 ����� �/�?�7j�&�,� �t�1 1 �N�?�����7��1 ���8�+� (,����� (W����a�(W(,�8������(Z�?�q��(�E|�;:��1��+�?�+E+�,�����J#zA���4;7�E+�,�987E���?��������"�� CG�?�,U1 ���8�+� (,����� (Y���[E����,E+����(_�� 1[�,���,�~� ���o�:���+� 1 ��(,E+5 (,(���1 (���� E+�

�?����; ����� ���+�,�����^�A���,�H(Y�I�kya���5 P|��� 1�y~���+��� � 6 5 <k6�<��u# %6� �t�+������<6��"~�,� ��� �{�?�������?��E�(*�?�,��� ����(E����8;7�E+�?�787��1B�?�S"0��5��D1����4��� (������ (_���VQ(,�7CH)��?����5 (�<'�,� ���,�+(,5 �N�?�����U�,� �����*����(Y"c��Y"0����� �:�������; � �+� ���4��� ����������E|��������E�E+��;��?�� ����#DRT�^�?����5 (�E+���4;7�E+�,�987E���?����� (a� ��(,5 ;:����(��G�8�4�+�,���o��(2� �,��������<(,�������Y���+�,( N = 4

r o r�� ����"0��5 �x1 ���8�+� (,����� (�#oRT�Q(,5 ;:����(��G�8�4�+�,�,��EM�?� �+���,����(x�W���,� N ≥ 2<

�:���?�����+E+�,������ 1V�8����?���}(,5 ;:�����x5 ���,��; ���+�,(M�?�?�� (�"0����� �E+E�����1 �����Q�,�S�?� ��(?��8���I�5����=���,��5 ;�,�+; �,�+(,�+�H�?��?�����J#n%6�+� E���<7�?� �+(,�a�?� �+���,����(Z�7|���a�?���25�� 1 ��(����,�� ���"0����?5��,�a��"\�O�+��� �q� ����EF� ���,���#��,� �N"0����1qE����8;7�E+�?�787E|j�?����� ( �><�?�<&<26��:����6�x5�EF�}�4���,�/����?�?�E+�?�N����#!��,� �N"0����1 (!��,�W�����*�4(,���4������

�?�hzg����� �N)TLt�5B�}�� ��"0����1 (M���[�,� �o(���� (��o�,�7��D�O���?� ��"��?����� E|�� �����1B�?�Q"0��5 �*) 1 ���4����(,�����7���?������������(6�W���?� N = 1

#'XZ� �.�1�����I�?����x��"!���,� �N"0����1 (/��(/�?�7j�'�?���+�=��,�x�W���+�}�� � ��j�|<O�W�N�?���,� �� C>E+��;��,�����k��"a-87� �N�?�D(,�{�M��"~;:�����H�,(�#BXZ� �+�,�+"0���,��<Z�,� ���4�+�,�,��E�<A�W� ��EF�h"0���8����4��(��8����/zg����� �N)Lt�5L�}�����"0����1 (x��(4(��,�����g5 � �H� � �W�J<WE|��h�:�����(,�����SE+���8;�5��?�+1h���U����� ��"0����1 (�#kzA��� (����H5 ���I�,����<W����?����(,�=E+��� (*�?�,5�E+�?����� (Y�N�M��(8E����4;7��,��?�N���+���U(��,�?������I�,"0���*�g���1h�?�S���I����(*�?���I��?��; � �������8�+� ����������E���; ����;O�+���,����(+<!(,5 EF�L�(x�?���Y��� �

��������,�����I�5����Y(��G�4�8�{�?����<l�?� �Y;7����?��E����M(,;:��E{�?�,5���<l�?��� Ln5 �j �A

E���5 ; ����� ��(W���1_�,� �2yai�� ���+�Z;O���?���I�,����u< ��4��� �.���,� ����(�#RT�h���+� ���,���<t��Q����� ��"0����1S��(q1 � 87� ��1U�?���:�D�,� ��G5����?�����I�4��"~=�8�� ��"0����1��I�U�1 ��(�E��,�{�?�_(,�{�

��"6���,(4��(,���4�+�,�,����(�<!E��������1��?���$ & ����� #��'& ��$P#UXZ����(����4; ���+(��.� C ��8; ���_��(q=��� �D1 ���4����(,�����7��

E����,E+���S1 1 ���G��1 ��1=�I���,� �.;O�����I�~������5 ; P =

A2

#�36(a������5 (��,�?��,��1���� 87� # 5 # 5 <��?� �.;:�����H�,(x�� 1

−x����q��1 �+�H�,�987�+1��H� A

2

#.XZ� ��(~��1 ���I�?�787E|j�?�����=���,�������7j�?��(/�?� �q(�;7�E��4��"t;O�����I�?(~1 �+(,E+�,������� �Y�?���E����8; ���+�,������� ��"0����1Y�?�M�����a���D�?� �����I�?�+������

x ∈ [0, π]bc�u# ��#W��� ��� ���"v��"

S1 e{<��W� ��EF���t�x(��7����pE������?��� �,���(� ������� *("� #�� & �8��"v�,� �����,� �N"0����1J#!3 (,;:��E+����J"0����?5 ������"m����� ��"0����1 (Z��(Z�,� ���; ;O����?�� E��2��"(,��� ��5 ����,�N�?����(�#&RT�Y�?� �'E|�(��~��"

S1/A

2<G�?� �;:�����H�,(

x = 0�� 1

x = �����{" �g���H���������I�bc��� 82C>��1�e

�I�^�,� �_�E+�,�����^��" A2#�3'�N�?� ��5������ ���x���I�>����5 (x���S��5 �x��� �M1 ���8�+� (,�����7��!� C���4; ����<l;:�����I�?(����+" �

���I���������I�Z5 ��1 ���/��I�_� ���I�,�,���G������+�����4���I�W��"P�8�;Y�?�q(,��� ��5 ����g;:�����I�,(Z��"\�,� �a���,����"0����1J#

� ��� ��� S�X M�X N � � � � M��CN �7X � ��X&�.E���� (*�?��5 E+�/x� �{�?�+�,���,��E����� ��"0����1J<H��� � 87�,(*�WE����4;7�E{�?�98 ��(g(��7C}1 ���4��� (�������(A���_��,���,5 (

T 6 #lXZ� �(,� CH) �?���,5 (2��(a5 � 1����,(*�?�G�>1��(2�,� � �G5����?�����I��� 6/Γ

<p�W� �+�,���(2�,� �4������?��E+�q��"ZD(,���4��(����4; ���q�w���

�������� �,x��"\�?�� � D�#!�\�����I�?(W����� 6 1��/+O���,��� �.�I�_������?��E��'����E+�,���,(6����~��1 �+�H�,�987�+1����_�,� �~�?����5 (�<7�u# ��#

X i ∼ X i + nαeiα , nα ∈ A , i = 5, . . . , 10 ,

b 5 #76 5 e�W� �+�,�

1 �+� ���,�a�,� �a�7�(���(Z���+E+�?���,(/��"\�,� �a������?��E��Γ#

� l ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

π

−π

ϑ

x

x = 0

ϑ

x = 0

�����! #" �H& �H'��D6�� ,I98<-12���I<�9;12��683 6;F 6835" >H���%"-35/2��683%683%9;3��

268 2?!� F 68J�>�&�� 68��3�1#/G��3C1245"D<76�� ,I98<-1�

���I"7> >H���%"-35/2��683S1 9; #" ��>!"-3 12���I"7> ?�AE1245"��

2,�68��3 1 �� #68�!, "-J�" �%"-3�1

ϑ&�� J�"�9; 2J�A���1245" ,�68��3 1#/

9;1x = 0

9;35>x = π

9; #" J�"�F 1 ��!"7> ? A 1245"�298<-12��683 & � 45")F �!35>59 �%"-3 1P9;J #"-����683@6;F

S1/�

2��/

x ∈ [0, π]&

RT��o(���E+��� 1k(*�?��;�<Z��� ��� �(8�,�^E���� E��+������o(�5 ���?�� ���_;:�����I�4������5 ;P#�� zA��� (���1 �+�,��� �o��� ���

��:��������Y;:�����I�Z���,��5 ;�(�< �t������~���{" �Z�W���?�Y�,� �aE+�GE�����E~������5 ; (

AN =

{θ = ϑk | 0 ≤ k < N

} �� 1 b 5 #76�<�IeA

N × A M ={θ = ϑkω` | 0 ≤ k < N ; 0 ≤ ` < M

},

b 5 #76�<���e�W� �+�,�

ϑN = ωM = < M ��(!��8���I�?�������!�x5 �N�?��;����g��" N �� 1 k, ` ∈ A6#mXZ� �/;O�����I�!���,��5 ;8����� �+�?j)�?���,(ϑ�� 1

ω<>���(,��E|������+1 � � � ��� �{<���,�/1 ��(,E����+�,��,���?��?�����4����� �+�?��,���,(A�E+�,��� �2E��*�G(��F����������?�;�� ��E�����N�

���M�,� �'�?���,5 (g����,�,��E+�Γ#l3'����;O�����I�g������5 ; (g��"w�?� �+(,�~�H��� 1�(g�7|���~�:���+������,���1��4E����(,(��987�+1 �><�?�<$;1< ��#

R �4��(qE����8�4���S�?�9E������ ��� �Y�,� ���E+�?�����U��"'�,� �_;O�����I�8���,��5 ;U����W���,�U�,� ����1 ���I�,�987E���?�����S��"

;:�����I�?(l1�5 �Z�?��?���W�,���,5�(nE+���4;7�E+�,�987E���?�����J<�����#:b 5 #76 5 eF#mXZ� �W����(,5����!��(m�,� �Z(,�j)TE|������+1�� $� # � #��'& ��$:<1 � 87� ��1��I�

S = P n Γ ={g = (θ, nαeα) | θ ∈ P, nα ∈ A }

,b 5 #76QEHe

�W� �+�,�a�?� �a(,5�� � ������(Z5�� 1 ����(��,�>�G1J#!�'5 �a�?�.�,� �a; �,��;:���*�?����(Z��"&�?� �a(����4��1 ���,��E{�W; �,�G1 5 E{���

nN<

�?���2��5 ���,��; ����E|j�?�����8��"&�T�t�8(�;7�E��2������5 ;_�������4���I�?(W��(Z�������+�_�H�

g1g2 = (θ1, nαeα)(θ2, mαeα) = (θ1θ2, nαeα + mαθ1eα) ∈ S .b 5 #96�:�e

�� �aE|������(,�x���+�,�N" �M�?�7j�/�,� �~���I�����,(�����"mq(,;7�E��a���,��5 ;��+���+�8�+�H�W��(Z���������D�I�

g−1 = (θ, nαeα)−1 = (θ−1, −nαθ−1eα) .b 5 #76�DIe

���$ �.���$�8�� (<�'�1 /6$('*8,/�+(< & � .�',')<=> 8 �(/"/�0 ' �!2 / &-��� ',.�',$�� ��/6.�� 1T 6

L

#%$�&T 6

R

1 � /�. <='�� ��� #%$B& .���������� @ /35�').�0 #%$�& 18�/6.�.�')0� �/�$�&-��$(�6<=>61 �!2 / &(��� ',.�',$�� �/���$6�A��.�/�+ �0)1

PL

#%$�&PR

E�� .�9(� � /�< &(0 8�/6$���#%��$(��$(�:���('70 ' ',<�',@ ',$���0 #%.�' 8)#%<�<='7&#�0�>"@ @ ',��.���8�� ����1������ E �$ ���(' (.�')0�',$�� 24/�."! 16��/32 ')5�',.71�24' 2���<�< � /-8,+�04/�$ ���(' 8,#�0�' / � 0 >"@ @ '���.�� 8 /6.�9(� � /�< &(0)1"2��(',.�'T 6

L = T 6R

#%$B&PL = PR

E

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � �2m

��������� ���+��<��,� �Z�E{�?�����x��":'(�;7�E��A���,��5�;.�����+�8�+�I�g = (θ, nαeα)

���x�?� �g(��7C�E����8;7�E+�m1����4��� (������ (��(Z;��,� �G��1 �+1��I�

X i g−→ (θX)i + nαeiα , i = 5, . . . , 10 .

b 5 #96�I�e���G1 5 ����6���H����������E��2�,���H5 ���,�+('�?� �x�E+�,��������"l�?� ��(,;7�E��x������5 ;

S�,�M�O�����x�:��1�1 ��1=���H�,�}�?���

6�D.�I�5����~1 �����,���+(6��"\"0������1����S ↪→ G ,

b 5 #96�;�e�W� �+�,�x�?��� # �� #� ��� � ���%����# #��!& � $

G��(�<��������+� ���,���<�}(,5�� ���,��5 ;���"l�?� �x�5��?���8����; � ��(,�4(6��"!�,� �

E8×E8

���SO(32)

�p���Z�������� �,�(�#md>;7�E+�Z���,��5 ;.�������4���I�?(!����Z�}�; ;O�+1x�?�~�+�����4���I�,(l��"��?� �Z�I�5 ����T�W��(*�?��� �q���,��5�;J<7�E+E�����1 ��� �.�,�

AN : (ϑk, nαeα) 7→ (kV, nαAα)A

N × A M : (ϑkω`, nαeα) 7→ (kV1 + `V2, nαAα)k, `, nα ∈ A ,

b 5 #76�sIe

�W� �+�,�6�,� �P6QDj)T1 ���8�+� (,�����7��(�!��� �%����! �� & ���V, Vi

;7��?��4�+�,�,��P+�Z�?� �/���x�:��1�1 ��� ���5��,���8���,; � ��(,�4(l��"�?����,�+(,;:��E+�,������T�W��(��,(�#��MXZ� �'(,� �N" �?(

�,��;��,��(����I��� � ( � & � ( ������ �H< 5 <$< E <$;@:���<G��# ��#v�,� �+�M��,�6�I�5 ����?�,�� (*"0���,�8��?����� (a�(�(,�GE�����?�+1o�?�D�?� �4� ����E����I�?�,�E+�,��� ���q���G��; (a���������?j�?��1^�H�

#M36���������4���I�2��"�?���'�I�5����/�T�W��(��,��� �2���,��5 ;M�E{�?(t���8�,� �P6�D2�I�5 ���61 �+���,�+��(g��"J"0�,�+��1 ��� ��"J�?� �6� �+�,�������?��E6(*�?�,��� �x�(

AN : XI −→ XI + kV I + nαAI

αAN × A M : XI −→ XI + kV I

1 + `V I2 + nαAI

α

I = 1, . . . , 16 .b 5 # 5 ?Ie

Kv��� ����N��<7�A�q��,�x����;O��(,���,�����_�?�Y1��K87� �q8� �+�,���,���?��E����,� �N"0����1�#63 ���+�?�+�,���,��Ex���,� �N"0����1D��(6�}�1��5 ;D��"&�?� �a; ���>1 5�E+�/��"&�?� � �H5 ���,�����I�W(�;7�E��+(6��"

T 6/P�� 1

T 16/GJ

O = T 6/P ⊗ T 16

/G =

� 6/S ⊗ T 16

/G ,

b 5 # 5 6 e�W� �+�,�a�A�a�7|���2�8�1 �~5 (�����"&�?���21��K87� �N�?�����Y��"&�?� �a(,; �E��2���,��5 ;J#

� ,�./�1f � ������, ')�� ���� �4./� � 'P%&./3�3�f 3-6���.����l�����+�8�+�I�?(x��"A�?� �8(,;7�E+�M������5 ;�1 �+(,E+�,���:�M�1 ��(*�?����E+���E+�,�����o���^�?���}����� ��"0����1J#Y3 5�(,�+"05��E���� E��+;����,�Q�I��?�����Y�?� ��(,���������4���I�?(_; ���>1 5�E������Q�,� ��(?��4�=�,+O��E{�����B�,� �����,����"0����1���(M�?� ��_��" !& ��,��# # " ( ���{#mX&�t�.(,; �E��~������5 ;Y�+�����4���I�,(

g1, g2 ∈ S��,� !& ��,��# �� n��"w�?�����,�'� C>��(*�?(W�� ���?� �+�

(,; �E��2���,��5 ;_�����+�8�+�I�h ∈ S

<7(,5�EF���?� ��

hg1h−1 = g2 ⇔ g1 w g2 .

b 5 # 515 e�� �a(?|�G(/�,� ���_�?� ��W�O���?�

g1

�� 1g2

�:������� �x�?�.�,� �a(?��4�aE���� ��5��I�E+�ME����(,([g]< 1��K87� �+1��I�

[g] ={h g h−1 | h ∈ S

},

b 5 # 5 <Ie�� 1������?� �+�,�+"0���,�a���H5 �N��������I��#

� � � 0 �/60�0��=9(<�' ��/�')@ 9�')& ���('*#68 ����/�$ /�� #�0� �#�8,' ��.�/�+ ',<�',@ ',$��(θ, eα)

#�0(Θ, Aα)

1�2��(',.�'Θ&-')$(/%��')0 #

.�/%��#%����/�$*�=$:����';�6#%+���' &-',�6.�')')0 /�� � .�')')&-/6@ � � �(1 ��� � E

�� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

]B���,�[������;���"��,�G(+#2b 5 #76�:�e8�� 1 b 5 #76�DIeF<'��� �=E|��B���(,�����h��������" �h�,�7��_E+��� ��5 �Ij�?�����k��"g =

(θ, nαeα)5 ��1 ���6��D��,�����?�,����}���,��5 ;_�����+�8�+�I�

h = (θh, mαeα)�G������1�(

h g h−1 = (θh, mαeα) (θ, nαeα) (θ−1h , −mαθ−1

h eα)

= (θ, nαθheα + ( − θ)mαeα) .

b 5 # 5 EHe

XZ�H5 (�<7�,� �aE���� ��5��I�E+�ME����(,(�b 5 # 5 <IeA��"m.���+� ���,��w(,;7�E��2���,��5�;D�+���+�8�+�H�g�:��E����8�+(

[g] = {(θ, nαθheα + ( − θ)mαeα) | θ, θh ∈ P} .b 5 # 5 :�e

R �D��(_�+�G��1����I�_�?�7��_�,� �����o��,��(,�{�����,��21 �/+O�������I�DE���� ��5��I�E+�kE����(,(,�+(�# R �D��(_E����I����� �����I���,������I�� ��P��6�,� ��� ���I�,���T�A�.E���?�+����������(KJlIe

θ = �� 1M�7e θ 6= #lXZ���~E���� ��5��I�E+�8E����(,(���(g��"&�,� �"0�����8�+�6E��(,�xE+���4;O��(����,� �x(,�j)TE|������+1 ������� � ��� ��� ! �� & � <�1���� ���,��1U#XZ� ��(,�x��"l�,� �x(���E���� 1=E|�(��

E���� (��,���?5>�?�Z��� �Z���l�8������� � � ��� � � ! �� & � �{<I1 ��� ���?��1Tk,`

<I1���;:��� 1 ��� �a���.�?� �Z�H5 ���O�+�n��"O�����I�?�,�N�G����θ(6|��������� ����#!XZ� �������������_�� 1��8���� �����4��"m�?� �a�F���( �'��� � � ��� ���� 1 � � � ��� �a�W�����J�:��E+������987�+1����(,�+E+�,����� 5 #><�#-6���,��E+�W�,�7��n�?� �W�+�����4���I�,(t��"O�?� �/5 �I�T�W��(*�?�+1M(,�+E+�?���A�������5 (��t������?��E��g�?�,�� (�����,����� (+<

( , nαeα)#

XZ� �aE����,�,�+(,;:��� 1 ��� �4E���� ��5��I�E+�ME����(,(,�+(�<��E+E�����1 �����q�,�8�,��#&b 5 # 5 :�eF<��E��H5 ���,��,� ���D�?� �~"0�����

[( , nαeα)] = {( , nαθheα) | θh ∈ P} .b 5 # 5 D�e

� ��� � � � X)O � N �!L WGO Z � X O � N L N#X O�

]o�/� ���6(����+�8���4(���E{�?����� 5 #96Z�?� ��!�?� �Z� �{�?�+�,���,��EW(��,�,�����~�7�(!���I�?����� (���EA�,� �����,�+�,��E��� E���� (��,�?����H�,(!������,(g���+���8�{�?�*�}�� 1_(,;:��E+�,�,5 �D#lR �Z��(A�?� �+�Y�7��,5 �?��:�?�.� C�;:��E{�/(,���4�'�����H5 �������4���I�?(g"0���A�?� �'� ���+1 ��1;7��,��4�+�?�+�,(Z���D���,� �N"0����1YE+���8; �E+�,�987E���?����� (�#\XZ� ��(���E+��� (��,�?����I�?(Z"c����O���I�?�.�,� �,�+�2E+���(�(,�+(�J

• N = 1r o r�� �

• S ↪→ G�+�x�:��1 1 ��� �qE�����1 ���,����� (�� ���1

• �4�G1 5 ����A���I��������� E+��#

N = 1��� ���

zA���4;7�E{�?�98 E|��,�����.��":�?���/���+�?�+�,���,��EW(��,�,��� �a��(l(,5�; ;O��(,��14�?�2; �,� �G��1��6�,� �����*�.E|�;7�� ���/��"�1 �+(,E+�,���G)����� <!��4��� �����,� �����?� ��� ��(�<!; �I�G(,��E�(4��.��� � �+� ���������+(�#93'(x�t�_�7|���_�8�+�I�?����� ��1J<m�,� �����,���+(��W���,�N > 1

��,�2� ��� EF�����?��v���1��?�H5 ('5 � �,�������(��,��E�#/��D�?� �����?� �+�'�7�� 1J<:�8�G1 ����(/�W�N�?��� �}(�5 ;O�+�,(*�>�.)�4�+�?�*�q����/;�� ��� ���8�+� ����������E�����N��1���(�"c|�����,�+1M�(l�?���+�qE|�� � ���A������+�G��j�?�g(����8�W��":�?���/"05 ��17��4���I�F��; 5 P+P�����(g��"��?� �(*�F���17��,1}�8�G1 ���u#vXZ�H5 (+<7��7��,5 �?��O; ����� ���4��������������E|��7�,���H5 ���,�+�8�+�H�t"0���n���,� �N"0����1�4�>1 �+��(��('�?�_�7|��� N = 1

r o r�� #�XZ� ��(2E�����O�.��57��?��H�,���+1o�I����9�;�; �,��;��,��j�?�xEF� ����E��.��"t�,� �;:�����I�W������5 ;

P#

RT�_��:��������}���,� �N"0����1 (+<I�?� �~;:�����I�t���,��5 ;Y��(+<����8���������?���< �(,5 � (��+�/��"w�,� �'"05 ���O� ������� �����q���,��5 ;bc�u# ��#t�,� �����,��5 ;D��"v�,���?��?����� (Z���D(,� C_1 ���8�+� (,����� (Fe <

P ⊂ � (6)#ART� (���(��,��� �4��� N = 1

����1 5�E���(6�?� �� ������� �����}������5 ;_�?�

SU(3)<��G���+��1 ��� �x�?� �+�,�{"0���,�

P ⊂ SU(3) ⊂ � (6) .b 5 # 5 I�e

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � �!

�\�����I�6���,��5 ;P

D�� �p��,�,��E��Γ

Xp�W��(*�Z���+E+�?���vA

3 SU(3)3 13(0, 1, 1, −2)A

4 SU(4)2

SO(5) × SU(4) × SU(2) 14(0, 1, 1, −2)

SO(5)2 × SU(2)2

A6

) RG2

2 × SU(3) 16(0, 1, 1, −2)A

6

)TR�RG2 × SU(3) × SU(2)2 1

6(0, 1, 2, −3)

SU(6) × SU(2) 16(0, 2, 1, −3)

SU(3) × SO(8)

SU(3) × SO(7) × SU(2)A7 SU(7) 1

7(0, 1, 2, −3)A

8

) RSO(9) × SO(5) 1

8(0, 1, −3, 2)A

8

)TR�RSO(10) × SU(2) 1

8(0, 1, 3, −4)

SO(9) × SU(2)2

A12

)TRE6

112

(0, 1, −5, 4)

F4 × SU(3)A12

) R,RF4 × SU(2)2 1

12(0, 1, 5, −6)

��9;?!J�" �H&�$�'��Y> � ��/#/2��?!J�":/2� ���>H���%"-35/2��683I9;J <- 2AH/21P9;J�J�68�� P9;,!4!��<:J9;1212��<7"7/���������9;35>%1 BY��/21) "7<-1#68 #/ F 68 �

N68 2?!� F 68J�>!/�& � 45"�68 #>!"- %6;F)1245"�/2�!?!J9;1212��<7"7/C��3 "�98<P4

Γ<768��35<-��>!"7/%BY��124 1245"�68 #>!"- %6;F)1245"

<76�� ,�6835"-3 1#/:6;F�1245" <768 2 #"7/2,�6835>H��3!� 1�BY��/21 "7<-1#68 �&

3'����� �t��19;O�����I�a���,��5�; (2��,�.�?���8E{�>E+����E4���,��5 ;�(PAN

<p�W���,�N = 3, 4, 6, 7, 8, 12

<w���1 AN × A M

<�W���,�

N, M = 2, 3, 4, 6�� 1

M��=���I�?�������'��5 ���,��; ������"

N#�36('�t�q��,�.��O��5>��?�M(�����<w���'�,5 �,��(

��5��Z�,�7��W�?���2(�;O�+E��787E~"0���,� ��"\�,� �~�T�W��(*�ϑ��(W���(��.E�����(��?�,�������1D�H� N = 1

#X\��(,���8; ����" �D�?� �q� ���F��,�����J<w�,� �8(��7C�E+���4;7�E+�2E+�>����1 ��� ��?�+(2��"A�?���4�,���,5 (

X i < i = 5, . . . , 10<

����2E+���I���+� ���+�H�,���YE+���x� ��� ��1_���H�,�.�?� �����aE����4; ��� CYE+�>���,1 ���7��?�+(

Z1 =1√2

(X5 + iX6

), Z2 =

1√2

(X7 + iX8

), Z3 =

1√2

(X9 + iX10

).

b 5 # 5 ;IeRT�~�?� �l�������I�*)TE���� �v�I�5 ����< �,� �l��� (�������������l(,; �E��{�?���4�mE���a�O�l����; ����(,�+�I�?��1��I�

Z0 = 1√2(X3 + iX4)

#K75 ���,� ���+</�t���W�����6�(,(,5��8���,� ���?���,5 (

T 6 �,�S�O�� # �� & �,� � ��( {<����# ��# �N�ME|����O���W�������?���B�(T 6 = T 2 ⊗ T 2 ⊗ T 2 #^RT�Q�,� �_�7�(���(_b 5 # 5 ;Ie{<l�?���M�T�W��(��q��" A

N

���,� �N"0����1���(��?�����L�1 ��������7��3 × 3) �}j�?�,� C8��"\�,� �~"0���,�

ϑ = diag(e2πiv1

, e2πiv2

, e2πiv3)

.b 5 # 5 sIe

� .�9�� � /6<�&(0 ��$ $(/�$ � #68 ��/�.���7#%9(<�' ��/�.�����# 5�' 9�',',$ #%< 0�/:'��"��',$B0 ��5�')<=> 0 ��+�&(�='7& E �(/�. &('���#��=< 0)1 0 ')' '�E ��E � ���"1"� � � E�� �/60�0 ��9(<�'4.�',< #3���=/6$A9�'��!24',')$A/6.�9�� � /6<�&(0 /6$ � #68 ��/�.���7#%9(<�'�#%$�&A$(/�$ � #�8 ��/�.���7#%9(<�'4<�#%� ��� 8�'70�2 #�0���. 0!� 8,/�$"!!'78 ��+�.�'7& ��$ ��� � � E

�� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

�\�����I�W���,��5 ;PX&�W��(��Z���+E+�,���

v1

Xp�W��(*�Z���+E+�?���v2A

2 ×A

212(0, 1, 0, −1) 1

2(0, 0, 1, −1)A

2 ×A

412(0, 1, 0, −1) 1

4(0, 0, 1, −1)A

3 ×A

313(0, 1, 0, −1) 1

3(0, 0, 1, −1)A

2 ×A

6

)TR 12(0, 1, 0, −1) 1

6(0, 0, 1, −1)A

2 ×A

6

) R,R 12(0, 1, 0, −1) 1

6(0, 1, 1, −2)A

4 ×A

414(0, 1, 0, −1) 1

4(0, 0, 1, −1)A

3 ×A

613(0, 1, 0, −1) 1

6(0, 0, 1, −1)A

6 ×A

616(0, 1, 0, −1) 1

6(0, 0, 1, −1)

��9;?!J�" �H& �H' � BY��/21 "7<-1#68 #/ F 68 ��N × �

M68 2?!� F 68J�>!/ J�"�98>H��3!� 1#6 N = 1

&V*�� ���>H���%"-35/2��683I9;J<76�� ,I98<-12���I<�9;12��683 J9;1212��<7"7/)<�9;3@?�":F 68�!35> ��3@"�& �5& ������� � ��� ( /#"7"=9;J�/#6 9;,!,�"-35>H� ���=.�&

�W� �+�,�v = (0, v1, v2, v3)

��(~E|������+1��?� � � � � ��� ��! �� & ����19E���,�����+(�?� �."05 ���m����"0���,�8��?��������"n�?���;:�����I�~������5 ;��E{�?�����J#���XZ� �q�E{�?�����=��"!�?� �.;:�����I�~���,��5 ;=�����?� �.E+���8;���� C�E����8;7�E+�aE��G����1 ���7j�?��(��(g�,� ���D���N�����D�I�

Za ϑ−→ exp{2πiva}Za, a = 1, 2, 3 ,b 5 #><1?Ie

�W� �+�,�~�A�~E���_��� E+��5 1��'�?� ��,�,�N�>����O�E+�,�����M��"\�,� ��T�W��(*�Z���Y�?� �~��� (,�+������ ���(,;7�E��+�,���4�; ���� �Z0 #

RT� N = 1r o r � �?� �+�,�~��(A��� �N�}��� �~���?|�G���,��� ��#ld>� <>�A�~� �+��1Y�?�.1��+�?�+�,�4��� �6�W�7��Z�?���'"0���,� ��"

�?���a�T�W��(��Z����E+�,���W�x5 (*�6�:�~(,�8�(g�,�4�+� (,5��,�a�?�7��W��� ���}��� �~���, �G�N�?�����.(,5 �*�>�N���+('�" �,���ZE+���8; �E+�,�98�)E|j�?�����J#mXZ� �~�?�+�>)T1����4��� (������7��O���,|�>�N�?��� �xE����H�?�������1_���Y�?���~(,5 ;:�������?|�G���T�Y��5 ���,��; ���+�b 5 #>sIet��"&�?���� �{�?�������?��E~(��,�,�����4(�; ���N�?(Z���H�,�."0��5 �Z���, �G�N�?���������Y"0��5��Z1 ���4��� (�������(�J

∣∣∣ ± 1

2; ±1

2, ±1

2, ±1

2

⟩R⊗ αν

−1

∣∣∣ 0⟩

L,

�+���+��� ��"+(,����� (

.b 5 #=<26 e

XZ� ��87�,(*�4E����4;O��� ���I�4��"'�,� �_�,�����I��)T�4� ���+�.; �,� �G��1 �+(8�:���,�UEF�����?������,���+(�"0���x�?�������,|�>�N�?��� ��#S�65 ��?�4�?� ��E����4;7�E{�?�787E|��,������<��,� �����(��/�?���,����E����4;:��� ���I�,(��������I�,���,� ��p��� 1 ��E��+(/�,�7��~�E�E���5 �I�'"0���6�x5 �N�?��; ����E����T�4"c�E{�?���/��"m"0��5��/"0���/�|�EF��EF� ���,����N�T��#WdG��� E+���?�������{" ��) �8� ���+�WE|����,���+(6�����,�+�I�?P��������� 1 � C�<��� �N�}�,� �a�,�����H�*)T�4� �����g�,�?���(�"0�����8(Z5 ��1 ���Z�?���2���,� �N"0����1Y�E+�?�����

∣∣ ± 12

; ±12, ±1

2, ±1

2

⟩R

ϑ−→ e−2πi(± 12v1± 1

2v2± 1

2v3)∣∣ ± 1

2; ±1

2, ±1

2, ±1

2

⟩R

.b 5 #>< 5 e

XZ� ��(�;O�+E+�,�,5 � ��"2��k���,� �N"0����1UE����I�?���� (8��� �N�Q(��Fj�?��(8�?�7��M��,�����I����,����I�}5�� 1 ���8�?� �����,� �N"0����1�E{�?�����J#ZXZ�H5 (�<J��������1 ���W�?�8���+� N = 1

<��?����; � �(,�exp{−πi (±v1 ± v2 ± v3)} ��5 (��'�O�2�?�,�N�G����"0���t��� �'���?|�G���?��� � #m�~���'� ���,��E+��(A�,�7��A�,� �'E+��� 1 �N�?����� ±v1 ± v2 ± v3 = 0

"0���t��� �6E����x�����7��,�����4��"(,����� (/�(�(,5 ����(W�?� �a; ����(,�+� E�����"\(,���������}��� �a���, �G�N�?�����.���_�?� �a����� ��"0����1M(,;:��E{�?��5 ��#nXZ� �+�,�+"0���,��<������E|���EF� �G��(��a�,� �aE����4;:��� ���I�,(/��"\�,� �~�T�W��(��W����E+�,���Z�?�4(?��,��(*" �

v1 + v2 + v3 = 0 ,b 5 #=<1<�e

���$�N ×

�M

/6.�9�� � /6<�&(0)1"����',.�';��0 /6$(' �!2���0 � 5�'78 ��/6. � /�.�')#68 �*/ � ���(' �!2 / �/���$�� ��.�/�+ *��',$�',. #3��/6.�0)1ϑ#%$B&

ωE

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � ���

a) SO(4) b) SU(3)

e1

e2

e1

e2

A3

A3

�������! #" �H&��H' � 1�BD6 �>H���%"-35/2��683I9;J��312 P9;35/ F 68 �� 9;12��683 9 . >!6�"7/=35681 98<-1R<- 2AH/21P9;J�J�68�� P9;,!4!��<�9;J�J�A

683 1245") #6�681DJ9;1212��<7" 6;FSO(4)

&�� 3 <7683 12 P98/#1��H? . 1245" #6�681DJ9;1212��<7" 6;FSU(3)

��/�� 9;,!,�"7> 1#6R��1#/#"-J F�!35>!"- �

3&

(,�~�,�7�� |±(12; 1

2, 1

2, 1

2)〉R⊗ αν

−1|0〉L�:�g�?� �Z(�5 ���G�N�>��� �~���, �G�N�?����� #m�D���,�+� �����+<>�(m�?� �g�T�W��(��l���+E+�,���

v��"MA

N���,� �N"0����1 (AE������,��(�;O��� 1 (Z�?�4.�T�W��(��

ϑ ∈ P��"\���,1����

NbϑN = e < �?� �+���N�?(ZE����8;:��� �+�H�,("05 �787���p��������� �+�?��

Nva ∈ A , a = 1, 2, 3#-/���?���?�7��'��"!�����

va ��(6P������9bc���6���I�?�+�����?e{<��t�x���>�F����N = 2

����"0��5 �61����4��� (������ (+<O���8;����G��� �x�,�7������wE+���8;:��� �+�I�?(va ��"! A

N����� ��"0����1Y�T�W��(*�'���+E+�,���

�x5 (*�g�:�'� ���H�,�,�N�>�����#&RT�}�,� �6�,� ����1}E�����5 �4�}��"��F�� ��� 5 #96�<H�t�; �,�+(,�+�H�g��5 �nEF� ����E+�'��"w�T�W��(��n���+E+�?���,("0���W����J�1��8��(,(,��� ���SA

N

���,����"0����1 (�#RT� A

N × A M

���,����"0����1 (�<I�?�����,�'��,�/�T�A�x�T�W��(��t����E{�?����(�<v1

�� 1v2

<G�?�7j�Z���(,��"05��987���7����#wb 5 #=<�<Ie #�� �����?� �+���aE������ ��� �+1^�E+�?�������x5 (*�����|�1��?� N = 1

#}RT���?����(aE|�(���<\��� �qE|��oEF� �G��(,�q�?� �q�T�W��(*����+E+�,���,(2�(~(�� � �W�o�����F�� ��� 5 # 5 #x-/���?��E����,�7��a���EF����"t�,� �x�T�W��(*�~���+E+�?���,(a�����1 (�?� N = 2

<w��5���?�������ZE+��� �������I�/�E+�,�����Y; ��� �>��1 ��(6x�?� �+�����}�W���?� N = 1

<7�(W�����H5 ������1J#3 (,��E+��� 17����_�,+O��E{�'��"\�,� �a�,��(*�?����E+�,����� N = 1

�>E+E�5 ��(6���_�,� �a(,� CG) 1 ���4����(,�����7���E+���4;7�E+�,�987�+1(,; �E���#l3'(n������|�1>�x�4���I�?����� ��1�<��?� �Z;:�����I�!������5 ;

P�7�(!�,�2�E+�!E+���G(��?����������?�; � ��E�����N�a���.�?� �W���>���

��j�,�?��E����"\x(��7CH)T1 ���8�+� (,�����7��:�w���������+� �?>#mRT�Y���?�����g�t���,1 (+< �?� �'������?��E+�'��"p�,� ��?����5 (

T 6 �x5 (*��:��}�; ;O�+1M�?�.�N�?(,�+��"p5 ��1 ���g�,� �~�E{�?�����Y��"

P#!�l��� �G��1 ��1_x;:�����I�Z���,��5 ;

P<G� ���W��I�}�,�G���Z��j�,�?��E��

��(A�1 �4��(�(,��������#\3'(Z��Y� C���4; ����<�E���� (,��1 ��� 8 � # 5 #=<2Jl���}�T�t�.1 ���4��� (�������(�<H�?� �~�E+�?�����M��""A3E���Y�:�

�,�+�I���1 ��1��(W.�,���?��?�����Y�I�2π/3#!zA���|�������<��W� �����|�(W�?���~�,�G���W������?��E��'��"

SU(3)��(Z���{" �Z���I���������I�

5 � 1���� A3<G�?� �'�,�G���g����,�,��E��/��"

SO(4)��(A� ���|#nd>5 �N�F������/�,�G���g����,�,��E��+(t"0��� A

N����� ��"0����1 (t��,��������+�

���D�F������ 5 #76�#Z]^���7|���.���(,�4E����4; ������1�8����(*�6��"l(,���4�x������ �t��1D������?��E���(W"0��� AN × A M

����� ��"0����1 (���Y�?�� ���a��# 5 #

S ↪→ G�S*g!Mf �����& � 'P�� ���� ������ �3

XZ� �~�+�x�O�+1 1 ��� �x��"p�?���(,;7�E��~������5 ;Y���I�,���?� �~���5 ���61 ���������+(/��"w"0�,���+1 ��� ���4;O��(���(t(,���4�E���� 1 �N)�?����� (6�����?� �.(�� ��" �6���+E+�?��� bc(?e

V�� 1��,� ��]B����(,������������(

Aα#2Kv����(��'��"n����u<O�+�x�:��1 1 ��� �M�?�����T�W��(*�

(?j�?��(*" �G��� �ϑN = ���4; ������(n�?�7j�/�,� �2�(,(��>E+����,��1_(,����" �Z���+E+�,���W�7�(Z�?�4�O�a���(,�q��"\����1 ��� N <7�u# ��#

NV ∈ Λ ,b 5 #=<�EIe

�W� �+�,���(g�?��� 6QDj)T1 ���8�+� (,�����7����t�������H�/����,�,��E��'��"\�,� �aE������,�+(,;:��� 1 ��� �q� �+�,���,���?��Ea(*�?�,��� � #

�4� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

��Q�,� �Y���,� ���.�7�� 1J<l]B����(,��������� �+(.����M(,5 � ����E+�4�?�=E+���*�F����SE���� 1����?����� (�1 ��;:��� 1���� �����S�?���E����8;7�E+�?�787E|j�?�����9����,�,��E+�

Γ#4]B����(,���9����� ��(a����4�,� �4���x�:��1 1���� ��(2��"t�?� �4(,� C9������?��E+�.���������?j�?����(

<m�?�����,�{"0���,�Y��� �Y�8�����I�x�:�M���I�,��E��+1U�,���?� ��� ���?�7����?� �+�,�_����Y(,�7C^1 ��(��?��� E+��]B����(���������� �+(Aα

#%6� �t�+������<p� ���a����\1 ������E{�?����� (

����x��� 1���;:��� 1 �+�I�a�����?���x���,����"0����1J#2zA��� (���1 �+�'"0���� C ��8; �����?����T�t��)T1 ���8�+� (,�����7��

SU(3)����,�,��E+����"Z87� # 5 #=<># �� �=(,�+��(Y�,�7��D A

3

�?�?�� (�"0�����}j�?�����k�}�; (e1�?�

e2

<v���8;����G��� �M�,�7��2�?� �8E������,�+(,;:��� 1 ��� ��]B����(,���o����� �+(A1

�� 1A2

�7|���}�,���:�8�,�G5���������+�I������?���4���,� �N"0����1J#xzA��� (����H5 ���I�,����<&���-A

3

����� ��"0����1 (6�W�N�?��E����8;7�E+�?�787E|j�?�����=������?��E+�à = SU(3)3 bcE+"$#

�F�� ��� 5 #76 e < ��� �S87� 1�(

eαϑ−→ eα+1 =⇒ Aα ≈ Aα+1 , α = 1, 3, 5; ϑ ∈ A 3 ,

b 5 #><@:�e�W� �+�,� �≈ 7����1 ��E���?�+(g�?�7��Z�,� �~]B����(,���Y����� �+(W��,�a��1����I�?��E|��O5 ;D�,�8����,�,��E+�'�?�,�� (,����?����� (g���

Λ#

RT�����+� ���,���<�������j�?����� (Z�O�{�T�A�+�����,� ��]B����(����_��������(/��,�a� +��+E+���"m���H5 �N������+� E��+(6�:�+�T�t���+�=(,;7�E+�������5 ;.�������4���I�?(+#m3'(m�t�Z�7|���Z(����+�8�:�+"0������<I�+�����4���I�,(m��"O���������qE���� ��5 �I�E{��E+���(�(!��,�A���H5 ����������I�|#3ZE�E+���,1���� �q�?�8����#\b 5 # 5 DIeF<7�?� �2E�������5 �I�E{�_E����(,(W��"l4������?��E��'�,�?�� (�����,�����

g = ( , nαeα)��(/�������+�

�I�[( , nαeα)] = {( , nαθeα) | θ ∈ P} b 5 #=<�DIe

�� 1DE����H�?�����(Z�����+�8�+�I�?(W1 ��(�E������ ��� �.�?� �~(,��8�a����� ��"0����1Y�E{�?�����J#lK7���Z� C ��8; ����< ���M�?� �aE��(,�2��""A3����� ��"0����1 (�<G�?� �a������j�?�����

( , e1) w (ϑ, 0)( , e1)(ϑ, 0)−1 = ( , e2) ,b 5 #><@I�e

���4; ������(n�?�7j�( , e1)

�� 1( , e2)

��,�a��� 1 ��(*�?��� ��5 ��(,�7������6"0����� �,� �a���,� �N"0����1};O�+�,(,;:��E{�?�N����#tXZ� ����<�?�������n�����O�+1 1 �����x���I�?�2�?� �6�I�5 ���'1 �+���,�+��(g��"�"0�,���+1 ��� (,� ��5 ��1}���(����:�'��1����I�?�787��1J#lXZ����(A����(*�?�,��E+�,(A1

�� 1A2

�?�q�:�a���H57��w5 ;_�?�q����,�,��E��6����E{�?����(�<:�(Z�t���7�1�����,���1��}(,� � �W�J#R �2��(~� ���2�7��,1=�?�_�,�������P��x�,�7��2���(,�Y�?� �q����1 ���a��"n�?���q]B����(����=����� ��(~���{�?(a�,�+(��,�,��E{�?�+1o�I�=�?���

EF� ����E��Z��"Γ#!zA��� (���1 �+�l���.�?��� A

3���,� �N"0����1��,� �g"0������� �W��� �'�����+�8�+�I�?(l��":�?� �Z(,��4�ZE���� ��5��I�E+�xE����(,(�J

( , e2) w (ϑ, 0)( , e2)(ϑ, 0)−1 = ( , −e1 − e2) .b 5 #><1;Ie

�l�x�:��1 1 ��� �.�?� ��(Z�,�+����,�����Y���H�,�.�?� �a�I�5����~1 �����,���+(6��"\"0������1���� �� 1D5 (���� �A1 ≈ A2

�G���+��1 (

A2 ≈ −A1 − A2 ≈ −2A2 ⇔ 3A2 ≈ 0 .b 5 #=<1s�e

RT�9���?� �+�~�A����1 (�<A2

bu�(�A�+���!�(A1

e~� �(~�?�_�O�4M]B����(,���=����� �.��"A����1 ���Z<><3A2 ∈ Λ

#8d>���4�������,�+����,������('�;�; �������(,�}"0���/�?� �����?� �+�'�T�t�

SU(3)"c�E+�,���,(��"l�?� �x����,�,��E+�

Γ#a%6�+� E���<w����\���=����u<7�A�

�����?����3A1 ≈ 3A3 ≈ 3A5 ≈ 0 ; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4, A5 ≈ A6 .

b 5 #HE@?IeXZ� �x�H5 ���O�+�'��"!��� 1 ��;:����1 ���I�]B����(,��������� ��(

�� 1��,� �����'����1 ���Nα

"0���'�1 �4��(�(,�������aEF� ����E���(6��"����A

N

����� ��"0����1 (t��,�6; �,� �G��1 �+1Y���}�?�� �����#76�#��}d>�+��F������6��# 5 "0���AE���� (��,�?����H�,(g���M]B����(,���}����� ��(��"WA

N × A M

����� ��"0����1 (�#� � /���� 8�' ���B#3� 0�',5�').�#�<��!> �/60 / � ���(';<=�=��').�#%��+(.�' ��# 5�' 9�',',$ 8,/�.�.�'78 ��'7&?���(',.�'�E

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � �4O

e2

e1

�3

�3

e1

e2

�������! #" �H& �5'%��� �H"7> ,�68��3 1#/%9; 2��/#" 3I9;12�! P9;J�J�A ?�A 1245" 98<-12��683 6;F:9 >H��/#<- #"-1#"�/2A���%"-12 2A 683 1245"1#68 2�5/�& � 3 9;3

SU(3)J9;1212��<7"�� 1245" 98<-12��683 6;F��

3��/ <768�!3�1#"- P98<-1#"7> ? AVJ9;1212��<7" 12 P9;35/2J9;12��6835/��

J�"�9� ���3!� 124! #"7" ,�68��3�1#/���!"7>�&

] ������%�.e� �K �e.2� ��./ ��1fX&���,�4(!��"��,� �W��� � )T���G��;.;7����?�N�?�����x"05 � E{�?�����4��"J��:��������.���,� �N"0����1 (m�E��H5 ���,�W���q���+� ���,��:a�����I�?�,�N�G����; �7�(,�D5 � 1 �+�8�4�>1�5 ������?�?�� (�"0�����}j�?����� ( �H;1s�< s1?��u#h�6���8�� 1 ��� �=�?� �D;7��*�?���,�����o"05 � E+�,�����Q�?�9�:��4�>1 5�����!���I���������I�t(?�"0�+��57���1 (A�?����,�+(,5 �N�?�������?� �+�����4"0�,��� �� ���8�������(�#&XZ� �+�,�+"0���,��<>�A�a����'E+���q)�4���,�,��1��?�D�,�,�G5����,��� �_�?� �8; �7�(��8�?� ��x��,��(���(a"0�,��� �8�G1 5 �����?�,�� (�"0���,�8��?����� (~�?�_���� ��(��J#YXZ� ��(���4;:��(,�+(.E���� (*�?�,����I�?(q���S�,� �_���,� �N"0����1^;7��?��8�{�?����(x�W� ��EF��<t"0��� A

N���,� �N"0����1 (2�W���,� ��5��.]B����(,���

����� ��(+<7����~5 (,57������}� C>; ����(,(���1=�( �H<26�< s�?�< s26��

N(V 2 − v2) = 0 mod 2 .b 5 #>E26 e

RT�=����E���5�1 ��� �q]B����(,��������� ��(xbu�� 1�}(,�+E���� 1=�T�W��(����"l�?� �x;:�����H�6������5 ;=���D�?� ��E|�(��x��" AN × A M����� ��"0����1 (Fe <��,�:#&b 5 #HEe6 eA�7�(Z�,�4�:�a�,�+; ���E+��1D�I� �=IkE*�

N(V 2

1 − v21

)= 0 mod 2 ,

b 5 #>E 5 IeM

(V 2

2 − v22

)= 0 mod 2 ,

b 5 #>E 5 ��eM (V1 · V2 − v1 · v2) = 0 mod 2 ,

b 5 #>E 5 E eNα (Aα · Vi) = 0 mod 2 ,

b 5 #>E 5 1�eNα

(A2

α

)= 0 mod 2 ,

b 5 #>E 5 � eQαβ (Aα · Aβ) = 0 mod 2 (α 6= β) ,

b 5 #>E 5 "Fe�W� �+�,�

E������,��(�;O��� 1 (��,�h�?� �o���,1�������".�?� �9]B����(���� ����� �Aα

bNαAα ∈ Λ

e <2�� 1Qαβ ≡��E+1

(Nα, Nβ)1 �+� ���?�+(~�?� �q�����|��,��(��aE+���4�8����1 ���G��(������"

���1Nβ

#��QK7���ZAN

���,� �N"0����1 (+<�������7�(

V1 = V, v1 = v�� 1D���H(+#vb 5 #HE 5 E eg�� 1ob 5 #HE 5 1�eg��,�aE����|������85 � � �+E���(�(?��*��#

� ��� ��� � M�� N �7X � ��� WGX � W�L M Z

Kv� C��+1�;:�����I�,('�;�;O����6� ��?5 �,����N�M��������� ��"0����1_E����4;7�E{�?�98 E|��,����� (Z1�5 ���,�8�?�����E{�?��������"\�?� �2�T�W��(*����M�,� �E����8;7�E+�g(�;7�E+��#!3'(W��Y� C���8;�����<GE���� (,��1 ���Zx��� �{) E����4; ��� CH)T1 ���8�+� (,�����7���A

3

���,� �N"0����18������$ ����'A8,#60 ';/ ���!2 / &(��� ',.�',$�� �

2 ��=< 0 /6$ <=��$('70 24' ��$�& ����#%� � �(E � � � ��8)#%$ 9�' .�',< #"�-')& 1B� E '�EB�68)&

(Nα, Nβ)8,#�$

9�' .�'� (< #�8�'7&:9�>Nα Nβ = 4

1 (.�/35"��&-'7&*���(').�';'��"� 0 ��0 $�/g ∈ P

2�� �������(' �.�/� B'). �!>g eα 6= eα

9(+-�g eβ = eβ

E�@ B/�0 ��$(� ����';2 '7# !�').�8�/�$B&-� ���=/6$*<�')#6&(0)1(#�0 24' �B$�& 1-��/ #%$(/6@ #�<=> ��� .�')' 0� B'78 ��.�#�E

�e[ ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

e1

e2

�������! #" �H&��H'�� 45"DF �!35>59 �%"-3�1P9;J5 #"-����683%6;F�9:6835" �<76�� ,!J�" ���>H���%"-35/2��683I9;J �368 2?!� F 68J�>C��/ #"7>H�5<7"7>

1#6 6835")124!�� #> 6;F 1245")F �!35>59 �%"-3�1P9;J�<7"-J�J�6;F 1245"SU(3)

#6�681DJ9;1212��<7"�&G�568J�>H��3!�%9;,!,! #68,! 2�9;1#"-J�A 1245"F �!35>59 �%"-3 1P9;J! #"-����683�� 6835" <�9;3C/#"7" 124I9;1�1245" �

368 2?!� F 68J�> ��/G9�� 9;1�� 9;3!� F 68J�>C" "- 2A�BY45"- #" " �!<7"-,!1

9;1 1245" 124! #"7" /2��3!���!J9; 2��12��"7/ <768 2 #"7/#,�6835>H��3!�%1#6%1245" ��H"7>�,�68��3 1#/ &

��SU(3)

�?����5 (t����,�,��E+��#MA3

�E+�,(g�(t������Fj�?�����4�I�2π/3���8�,� �6E+���4; ��� C4; �������#l�m�G��1 �+�I�?����<G�,� �

;:�����I����2�?� �4���,����������(2�����x +��+E+�?�+1^�I���?� � A3

�E+�?�����o�� 1^��(~�?� �+�,�+"0���,�i8NC��+1J#DK75 ���,� �����8������<E���� (,��1 ������� �W�?����5 (p�?�?�� (,����?����� (�< ����� 8 � 1 (\�,�7��p�?�����,�A��,�l�T�t��1�1 ���,�����7���82C>��1x;:�����H�,(p��� (���1 �l�?���"05 � 1 ��8�+�I�F��mE+�����m��"!�?� �.�,���,5 (+#q�� (,�+�����4�,� �.(,�N�?57��,�����=1���; ��E+�?�+1����g87��5 ��� 5 #HE #�XZ� �q1 ��(,E+�,�+�,��,���F��,��������"/�,� ��(��Y;O�����I�?(x��(xE���5��H�,���,�E+�,��1Q�I���?�,�� (,����?����� (����^�,� �M�?����5 (.��j�,�?��E���<m(,���,�7��.�?���;:�����I�?(Z�����8����Y5��7�+O��E+�,��1����Y�?� �a����� ��"0����1J#�w�+�5�(�}������T�t�M�����8��,�H(�#'Kv����(���<:�����?���,�7��/�?� �2�?� �����P8NC��+1=;O�����I�?(/1 ��(�E������:��1���:� ���xE���

�:�8������j�?��19� �+���?�����a�I�9"05����?�����a������?��E��x�?�,�� (�����,����� (~�������I�=�,� �8����;:�|��,��1^�E+�,�����9��" A3#MXZ� ��(

����1 ��;:��� 1���� E+�2EF� ��?�E{�?�+�,��P+��(W����/82C>��1D;O�����I�?(A���M�?� ����,� �N"0����1J#��8d>��E+��� 1 �N��<>��"p��� �'E���� (���1 �+�,(Z� ������ �N�^�,� �D"05�� 17��4���I�F��ZE������g��"6�?� �Y�?���,5 (q������5 (*�?�,��?�+1S��� 87��5 ��� 5 #>E <n� 5��q�,� �_���I�?���,�obc���287� �N�?� e�,�G���6������?��E��2��"

SU(3)<�E����|�������<O�����)87� 1�(~������287� �N�?��(,�+�'��"M82C>��1�;:�����I�,(�# Ln�{�~����p��"l�?� �+� ��,�

��1����I�?�787��1=�?�Y�,� �x�?� �����j82C>��19;:�����I�?(~�����,� �q���,����"0����1��I���?� �.E+��� �������I�2�E+�,�����=��" A3

�,���F��,����� (�� 1D��j�,�?��E���,�?�� (�����,������(�<��,�7��/��(+<7�H�Y�,� �2�E+�,�����_��"\�?� �2(,; �E��2���,��5 ;J#t%6����E���<��?���Z8NC��+1�;:�����I�,(�:������� ���?�.��� ���4�?� �����~1 � +��+�,�+�H�gE����(,(,�+(/�� 1J<G"0���g1 �+(,E������ ��� �q����O��"p�,� ���D<��N�g(,5 �8E+��(W�?�x�?����~������,�+; �,�+(,�+�H�?��?�N���2��5��/��"\�|�EF�D��"&�?� �+(,�2E����(,(���(�#��,� �N"0����1 ('��,�.����� �+�?�����P|j�?����� (6��"t�8�� �N"0����1�(6�����?� �.(���� (��q�,�7���,� �+�=��,�x(��8�G���,�Ubu����8��(*� e

�+�����*�G�W�����,��<��W���,��� C�E+��;��,��������"7WE�����(��?�,�������12(,�+�v��" ;:�����H�,(�< �W� �+�,�t�,� �nE�5 �*��j�?5 ���tE+��� E��+�I�?�?j�?��(����# ��#&����� ��"0����1 (&�1 �4���&(,��� ��5 ����,�N�?����(�#wXZ� ��mE�����:�A���|�����P��+1����2�,� �A���(��\� C���4; ����<��I�2��� (������G��� �'�?���(,; �E��g����(�5 ���,��� �6�" �?�+�v�4�>1���� �W��5��\�?� �t1 ��(�E����+�?�t���,��5 ;jA

3

#\RT���?� ��vE��(,��<��?���A���I�,���,�t(,;7�E��gE���x�:�1 �+(,E������:��1��H�a��� �l�?� ���,1a��"��,� �t��,��W��"��?���!�,���,5�(�<��,� �!(,��) E|������+1a"05�� 17��4���I�F��I�,���������J<j�(p(����+�,EF� ��1��� 8 ��5 �,� 5 #=:>#\XZ� ���J<H�����/�����?��E���(m�,�7��l;:�����H�,(!������ ��?� �Z�:��5 ��17��,����(l��"��,� �Z"05 � 17��4���I�?�� �,�+���������"w�,� ������ ��"0����1M������1����I�?�787��1M5�� 1 ���g�,� �~�E{�?�����M��"w�,� �(,; �E��~������5 ;J#lX&���G��(�57�����P��/�?� �'���,� �N"0����1(,; �E���<I��� �A� �(v�?�6"0����12�?� �A"05�� 17��4���I�F��>�����������x���1x;7�(*�?�A�,� �g��1�����(v�,�����{�?� �+��#vXZ���Z��5��?E+���4�t��(6�,�,���� ��5 ����p; ������� �g)T�������!��� ����E+�v�W���?��(,�7���;.E������ ����(m���GE|j�?��1x��v�,� � 82C>��1q;:�����I�,(�#v�~���gE|��.;��,�G��"�?� ��a(,5 EF�9E����,� �+�,(2��,�.E+��� ��E|��m(���� ��5 ��������,����(/�?�7j�~E�����E����I�,�?��,�4�,� �.E�5 �*����?5 ���q��"t�,� �.����� ��"0����1J#XZ� ��(6�4�|���(6�?� ��'��� ���_j�6�,� �)82C>�+1=;O�����I�?(Z�?� ��� ������� �����M���,��5�;���(/� ���I�,�,���G����nbc���+� ������E�����N��<7�����(W.(�5 � ������5 ;D��" A

N

e{#

� � 0424' 2���<=< 0 ')'�1�����',.�' #%.�' 0�� ��+�#3���=/6$�0 �=$ 2�����8 �:0 /6@ ' B/6�=$���04#%.�' � �"'7&?+($�&(',. ���(' #�8�����/�$ / � /�$('� B/6�=$�� �6.�/6+ ',<�',@ ')$6�71B9�+-� #�.�' 8,/�$($('78 ��')&���/ /%���(',. � �-')& �/���$6� 0 9">*���('A#�8 ���=/6$ /�� #�$(/%���(',. /6$('�E �$ ����#%� 8,#60 '61B$(/�� #%<�< � �"'7& �/���$6� 0 �=$:���(' ��/6.�+�0�#�.�' ��$�&-'� B')$�&-',$�� � �-'7& �/���$���0 /6$ ���(';/�.�9(� � /�< & E

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � �4U

RT�B��I�h(��7CH)T1����4��� (������7��Z���,� �N"0����1�< 82C>��1�;:�����I�,(M�����1 �{�?�����8��� ��1h�H�hE�����(,��1����,��� �o�,� ��5 �G)1 �+�,���G��� ��������?��E+�_�� 1Q�?� �_(�;7�E��D������5 ;L�E+�,�����J#QX&�^�:�_�8�����Y; �,�+E���(,��<AE���� (���1 �+�4��h��,� �N�?�?����(,; �E��q������5 ;��������4���I�

g = (θ, nαeα)#xK�������� �W��� �8"0����� �,��#nb 5 #76�I�eF<w���,(a�E+�,�����������,� �qE����4; ��� C

E��G����1 ���7j�?��(Za ��(Z���N���+���I�

Zg−→ θZ + nαeα ,

b 5 #HE@<Ie�W� �+�,�_�?� �D�7�(���(.���+E+�?���,(

e�"/�?� �D(,� CH) �?���,5 (4����D��� � � C>; ����(,(���1����Q�,� �DE����4; ��� C>�987�+1U� �(,��(

����#&b 5 # 5 ;Ie{<7�� 1θ1 �+� ���,��(6��D��,� �N�?�,����};O�����I�Z���,��5 ;��+���+�8�+�H�Z�?��H��� �.�,� �~"0���,�

θ = ϑk "0��� AN����� ��"0����1 (m���

θ = ϑk ω` "0���dAN × A M

����� ��"0����1 (�#&3B;O�����I�Zf

���x�,� �WE����4;7�E{�!(,;7�E��/��(l(?���1.�?�a�:�82C>��1����_�?� �a����� ��"0����1Y��"\���W��(W���I����,����I�W5 � 1 �+�W�,� ���E+�,�����_��"m4;7����?��E�5 ����g(�;7�E��2������5 ;D�����+�8�+�I�gf

#nXZ����(Z�4�|�� (Z�,�7��Y82C>��1�;O�����I�?(Z(,��?��(�" �

Zf = gfZf = θZf + nαeα ⇔ ( − θ) Zf ∈ Γb 5 #HE1EHe

"0���W.���N�����gf ∈ S

#R �4��(qE����I����� �����I�}�,�9����:���W 82C>��1k;:�����H�q�I�S�,� �_E������,��(�;O��� 1 �����o(�;7�E��D������5 ;U�����+�8�+�I�

gf����(��?���1=��"!�I���N�?(6(,;7��,����&E��G����1 ���7j�?��(Za

f

#~XZ� �.(,; �E��.������5 ;��+���+�8�+�H�,(gf

�W�����p�:�xE|������+1� !& ������%��� ��%����# ( ���������{#AXZ����(/� ���Fj�?�����D��(W�?��,� ���/E����I����� �����I�'"0���W(��+���+�?��\�,���(,����(�#A]o���H� � � �,�7��|<�+�����D�?� ��5����Y�?� �a�H5 �x�:���W��"\(,����5��?����� (g��"v�,�:#\b 5 #>E�EHet��(Z���287� �N�?��< ��� �N�Mq�,�+1 5 E��+187�����?�~�H5 ���O�+���"w;:�����H�,(n��,�/��� �,�H5 ����������I�A���4�,� �/���,� �N"0����1�#\RT�}"c�E+�|<G�������H5 ����������I�n;O�����I�?(!���4�?� �/E����8;7�E+�t(,;7�E+�����4��������?�+1��,�_(,;7�E+�8���,��5 ;��+�����4���I�,(a"0����� 1 � +��+�,�+�H�aE+��� ��5 ����?������E����(,(,�+(�#}d>��E+��� 1 �N��<w�t�8E���(?|�M�,�7��W;:�����I�,(Z� C>; �,�+(,(���1��I�

gf = ( , nαeα)�O�+�������x�?�.�?� �*����� � � ��� �~(,�+E+�?����#tK�5����?������<N82C>��1

;:�����I�?(~����; ����(����I�?�+1S�H�gf = (θ, nαeα)

�W�N�?�θ 6= � ���N������������ �4��"n�?� � � � � ��� �q(,��E{�?����(�#}K����

� C���4; ����< 82C>��1o;O�����I�?(~���+" �a���I���������I�~5 ��1 ���a�?� �4�E{�?�����=��"θ = ϑk 6= ��"gA N

����� ��"0����1=����(?���1}�,�.�O�+����� �2�?�x�,� �

k)��?�}�T�W��(��,��1Y(,�+E+�,���2b

k = 1, . . . , N − 1e{#l36�7���������5 (�����<G���I����,����H�t;:�����I�?(

5 � 1����θ = ϑkω` 6= ���VA N × A M

��,�~E|������+1 82C>��1�;O�����I�?(Z��"&�?� �(k, `)) �,�Y�T�W��(��,��1D(,�+E+�?����#

XZ� �}�H5 ���O�+����"g1 ��(*�?����E+�}bcE+��� ��5 �I�E+��E����(,(���(���"Fe 82C>�+1�;O�����I�?(~����,����(a"0���a1 �/+O�������I��(,��E{�?����(��"A������,����"0����1J#x�� � 8 �,(��2� ���?��E+��(�,�7��a�����,� �q5 �I�T�W��(*�?��19(,�+E+�,����<p�+�����*��;O�����I�~��"n�?� �.(�;7�E��q��(�+�G��1 ���I�?�N�=���I���������I�~�� 1

gf = ( , 0)#xXZ�H5 (+<&�t�4��� 195 ;=�W���,�oY(��7CH)T1 ���8�+� (,�����7�� 82C>��19�?����5 (

�W���,� ��5��m(,������5 ����,���,���+(\�����?� �Z5��H�T�W��(��,��14(,��E{�?���+#m3����+(,(m�:������� �(����,57��?�����.�;�;O����,(l�����?� �g�T�W��(��,��1(,�+E+�,���,(+#6XZ� �+�,��<��?� �2(,����5��,����� (/��"l�,��#mb 5 #>E�EHe/��,�2�����,� ���/��(�����j�?��1�82C>��1=;:�����H�,(6���6�����{)TE+���4; ��� CG)1 ���8�+� (,�����7��Z���H���������I�8(,5 �*"c�E��+(�<WE����8�4��� �N�SE|������+1 ���' � � & ��� #[XZ� ��"0���,�4���4E|�(����; ;������+(4�,�;:�����I�?(W8NC��+185�� 1 ���

θ(,5�EF�4�,�7�� −θ

��(l� ��� (���� ��5 ����Zbc��# ��#det( −θ) 6= 0

e{#\XZ� �W������?�+�!�; ;:�|���(�W� �+� − θ

��(Z(,��� ��5 �����#\XZ� ��(W��(g�|�(*�Y�?�.5 ��1 ����(��F�� 1��:��E��5 (,� − θ��(Z(,��� ��5 ����A��� ���}��"&��� �~��"

�?���2�+�����+�I�����5 �+(g��"�(Z��� �~����< (*�F��,��1D1 �/+O�������I�?�N��< �������8��"&��� �~E+���8;���� CM; ���� �~��(g���+" �Z���I����,����H�

5 � 1����θ#

RT�=E|�(����,�7��det( − θ) 6= 0

�� 1��,� �x����,�,��E��a��"v�?� �xE+���4;7�E+�6(,; �E��x��(6"c�E{�?������P��� ����< ��� �?����H5 �x�:���q��"6��(�������,��1 82C>�+1h;:�����I�?(.���S�?� �Y�T�W��(*�?�+1h(,�+E+�,���qE������,��(�;O��� 1 �������,�

�(.���������Q�I�U��

bc� �����Fe$(,���8; ���987�+1M���+�,(,�����D��"\�,� �2�w�+"0(,EF���+�?P 82C>��1�;O�����I�g�?� �+���,�+� �>s 5 �

#Zf = det( − θ) =

3∏

a=1

4 sin2(πva) ,b 5 #HEG:�e

��� � E '�E ����'*0�� � �&-�=@ ')$�0 ��/�$B#%< < #3����� 8�':8,#%$ 9B'*2�.��=� ��',$ #60 ���(' (.�/-&-+�8��A/������(.�',' �!24/ �&-��@ ',$�0��=/6$�#%< 0 +(9�<�#%� ��� 8�'70,1')#68 �*/ � 2��(� 8 � 8�/6.�.�')0� B/6$�&(0 ��/ # 8�/6@ (<='�� (< #%$(' 2��=��� 8�/"/6.�&-��$�#%��'

Za#%$�&

a� �"'7& E

�4l ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

ϑ

e1

e2

e1

e2ϑ2

�������! #" �H& �H'�� � �!"7>C,�68��3 1#/ 6;F�1245"ϑ2 1�BY��/#1#"7> /#"7<-1#68 683 1245" 1#68 2�5/G/2,I9;3!35"7> ?�A 1245" #6�681GJ9;1212��<7"

6;FG2

& � 45" ,�68��3 1:�� #68�!, � "-35"- P9;1#68 ϑ98<-1#/ 98/:9 #681P9;12��683 ?�A

2π/6&:*�6��%"R,�68��3�1#/ ��3 89; 2�9;3�1

�!35>!"- ϑ2 683 1245" 1#68 2�5/:9; #" ��>!"-3 12���I"7> 683@1245"=68 2?!� F 68J�> ? A 1245" 98<-12��683E6;F

ϑ&

�W� �+�,�va ��,�_�?� �D���I�?�����+(8��"6�?� �Y�T�W��(��4����E{�?���+#�K7���,��5 ��Qb 5 #>E@:�ex��(�<A�� 87�,(*�}(������I��<t���+���L�;>)

;:�|������ � <O(,��� E��q���'1 �G��(a� ���a1 �+;O�+� 19�����?� �q;7����?��E�5 ����'�������4�+�,������"t�,� �.5 � 1����,�N�G��� �_��j�,�?��E��Γ#

-6��� �+�,� ������(,(+<:�,� ��������,�a�?�G�q"0�{� E|�(,��(/"0���Z�W� ��EF������#vb 5 #HEG:�eg�;�; ������(�#AK7���W� C���4; ����<7���D�8��(*�W��"�?��� A

N

����� ��"0����1 (+<O�������D�?� �x�H5 ���O�+�~��"M82C>��19;O�����I�?(6�����?���P87�,(*�~�T�W��(*�?��1�(���E+�,���4bθ = ϑ1 e'����

1 �{�?�����8��� ��18�I�8�,�7��n"0���,�x5����#vK��{�B���?�����t�T�W��(��,��1M(���E+�,���,(A��"w�:���?� AN

�� 1�AN × A M

����� ��"0����1 (E|������(,�.�:�2�1 1 ����(,(���1����M�?� ��(g�g|��#RT��; ����(,�+� E��Y��"Y82C>��1��?���,��<p�?� ��x��(�<\�W�����

det( − θ) = 0<v��� �8�8�����I�2E���� ���+E+�,5 �,�}�,�7������

(,5 �8E+��(q�?��� CG�,�?�E{�.�?� �_� ���I�,�,���G����t�T�t��)TE+���4; ��� CG) 1 ���4����(,�����7��!;7��*�q��"� 1S�,� ���Q�?���;�; ���

"0�����x5 ���b 5 #>EG:�e #/f6�>"0�����,5 �7��,������<7�?� ���,��(�5 ���'�����?���� �+1����D�,�7��/�g|����(�<:���D���+� ���,���<��W�,����� #WXZ� ��,���(,���LE���h�:�Y�?�?�E���1U�7�EF���,�9�,� �_���,�������S��"'"0�����x5 ��Qb 5 #HEG:�eF#LRT�L9�4�����YE����4; ��� C������,(�������<�?���q�p�{"0(,EF� �{�?Pj82C>��19;:�����I�'�,� �����,��� � � (��?��?�+(�?�7��~�,� �x�H5 �x�:���~��"d8NC��+1o;:�����H�,(qbc��� 82C>��1=�?���,� e��('�����������I���?���.��� 1 � C=��"!�,� �.(,;7�E��q��"n�������4���I�?(

gf

bu�(�(,�GE���j�?��1��,�Y�?� � 82C>�+19;:�����H�,(Fe61����G��1 �+1�I�Y�?� �a����,���+(��W(��+�6��"Zb0(,5 �7e*(��G�4�8�{�?������(W��"&�?����(�;7�E��2������5 ;_�,�+����,��� � 82C>�+1�;:�����I�?(/��4��� �.���EF����,� ���+#n�~�����M�N"p�?� �~(��+�/��"\�8�G1 1 �+1Y��5��W(��G�4�8�{�?������(ZE+���4; �,��(,��(� � ( � ��� �� ( "'����,�,��E+�6�?�,�� (�����,����� (���q�?� �W����,�,��E��

Γbu�� 1

��(m"c�E+�,���,��P|�� ��� e <��?� �+�4"0�����x5 ��qb 5 #HEG:�eWbc���!2��� �t���!1 ���8�+� (,�����7��G���+�,(,�����

��"\���Fet�>������1 (W.E������,��E{�/�,��(�5 ����#�w�+�_5 (Y� C ��8��� ���4���,��E�����(,���N�L�,� ��(}(,���,57��,�����k���B���� C���4; ����# RT� A

N

����� ��"0����1 (�< − θ��(8(,��� ��5 ����8��� ���Q"0���8� ���������8�T�W��(��,��1�(,�+E+�,���,(YE+���,����(,;:��� 1���� ���,�θ = ϑk �W���,� 1 < k < N

#d>5 ;�;O��(��

ϑ�?�8�O�� A

6���������?j�?���6�� 1��,� �2E����4;7�E{�'(�;7�E��2�?�8�O�2(,;7�� � ��1=�I�_�?�������>���6��j�,�?��E��

��"G2 × SU(3) × SO(4)

#=36(x�����W�����n�:�M1 �+�?�������1o(,� ���*�?�N��<m�?���Y�E+�,�����^��"ϑ2 ��(��,�,���G����t���^�?���

(,5�� ������?��E��a(,;7�� � ��1��H�SO(4)

<:(��8�,�7��W�A�����+� 82C>��1D�?�����p���_�?� �2(,�+E���� 1��T�W��(��,��1�(,��E{�?���+#W-6� �a<"0�GE�5 (Z���Y�,� �a(,5 � ����,�,��E+�(,;7�� � ��1D�I�

G2

#lXZ� �a;O�����I�Z������5 ;_���������?j�?���ϑ�E+�?(/�(W.�����F��,�����}�H�

2π/6���.�?���

G2

;����� � ���?� �+�,�{"0���,��<G8NC��+18;:�����H�,(/b0�,���,��e&��":�?� �ϑ2 �T�W��(��,��14(,�+E+�?���t��,�g�?����(,�Z;:�����I�,(

���{" �~���I���������I�~5 ��1 ���2Y�,���?��?�����=�I� 6 5 ?Y1 �+���,�+��(+#4RT� 87��5��,� 5 #>D�<J�t�8; ����(����I���,� �x�?���,���q;:�����I�,(��"w�,� �

G2

(,5�� ������?��E��/���+" �t���I���������I�t�H�4�?����(A�����Fj�?�����J#m-/���?��E��W�?�7��g���� � )TE+���8;���� CH) 1 ���4��� (������ �����+�,(������D��"&"0���,�x5���_b 5 #>EG:�eA���(��q���|�1 (g�?�q�?� �����a���I���������I�Z;:�����I�,(�J

#ZG2

f =∣∣ 1 − e2×2πi/6

∣∣ =

∣∣∣∣∣3

2− i

√3

2

∣∣∣∣∣ =9

4+

3

4= 3 .

b 5 #>E@D�e

��� � ',';'6E �BE�#� �',$�&(� � � /�� .�'��!E � ��� � E

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � �+m

Fixed Points

27

e4e2 e6

e1 e3 e5

ϑ1

�������! #" �H&���'� 45" � "76��%"-12 2A 6;F �368 2?!� F 68J�>!/C<76�� ,I98<-12���I"7> 683 9;3

SU(3)3J9;1212��<7"�& � 45" ���

��!"7> ,�68��3 1#/ 6;F 1245"ϑ1 9;35>

ϑ2 1�BY��/21#"7>@/P"7<-1#68 #/)9; #" ��>!"-3 12��<�9;J+&

XZ� �D;O�����I�?(q���I���������I�q5 � 1����ϑ2 ���U�,� � G2

(,5 ��������?��E+�D��,�_�,�+; �,�+(,�+�H�,��1��I�Q�?� �D(,; �E��D���,��5 ;�������4���I�?(

g1 = (ϑ2, 0)<g2 = (ϑ2, e1)

�� 1g3 = (ϑ2, 2e1)

#�-6�{�����*�?� �+���+(,(�<!�?��E���� E+��5 1��}�?�7j��?�����,���,�/�?� ����� 8NC��+1_;O�����I�?(n���}�,� �

G2

; ���� �'��"J�?� �'(,��E+��� 1M�T�W��(��?�+1M(,�+E+�,���g��(n�W�,����� #mR �Z��(t� ����7���1D�,�.��������" �M�,�7��

g3 = (ϑ, e1) g2 (ϑ, e1)−1 ,

b 5 #HEGI�e(,�N�?57j�?�����M�?�7��W��(Z���(,�q1 ��;���E+�,��1D��� 87��5 �,� 5 #>D�#lXZ� �+�

g2

�� 1g3

�:������� �.�?�.�?� �~(,��4�~E���� ��5��I�E+�E����(,(+<p���4; ���G�����}�?�7j����� �����?� �qE���� ��5 �I�E{�=E����(,(���(2��"

g1

�� 1g2

����4��� 1 �+;O�+� 1 ���I��#8XZ� �+�,�{"0���,��<��� �N�8�T�t�4;O�����I�?(ab �?����� eA����'�?��5 ���i82C>��1D5 � 1 �+�g�?� �2�E{�?�����M��"&�?� �~���,� �N"0����1M���M�?� �

G2

(,5 ��������?��E+��#@A�+"0���,�2; �,�GE��+��1 ��� �.�?�q�?� �a1 �{�F�����(Z��"\�T�A�8���4;O���*�F��I�Z� C���8;�����(+<7���{�W5 ('�1 1�.�����8��,��#nXZ� �

E����8;7�E+�?�787E|j�?������������?��E��M; ��|�>(q������������4;O���*�F��I�.�������}�����?���D�H5 ���O�+�.��" 8NC��+1L;:�����H�,(�#SK7���� C���4; ����<��,� ��5�(,57���A

2 ×A

2

����� ��"0����1ME����8;7�E+�?�787E|j�?�����Y���D�,� �~"c�E+�,���,��P|����������,�,��E��'��"SU(2)6

�1 �4���,(x�T�W��E+�D�,� ����4��5 �I�4��" 82C>��1h�,���,�Z��"6�?� �D(?��8�D���,����"0����1S���L�,� ��������"c�E{�?������P|�� ���Y���>�����j�,�?��E��x��"

SO(12)�Hs�E*�u#qRT�="c�E+��<&�N�a��(~;:��(,(���� ���x�?�_(��?��?�.�,�7��~�?���4�H5 ���O�+�2��" 82C>�+1^;:�����I�?(4b0���

�?���,� e���"7���,����"0����1 (J�W���,�2"c�E{�?������P��� ���lE+���4;7�E+�\(,; �E��t��(�<j���2���+� ���,���<j� ���������w�?� ����,�7��\��"��,� �t(,��4������ ��"0����14�W�N�?�_�������"c�E{�?������P|�� ���/������?��E���#m�5 �g1 ��(,E�5�(,(,�����Y� �+�,�'�W�����:�,��(*�?����E+�t�?�x�,� �'"c�E{�?������P|�� ���E|�(,��#

�+��./ ���.e�k�)� ��.e* ,"%�f � � � f h3

� ��!"��#$��%&�XZ� � A

3

����� ��"0����1Q�7�(}�:���+�k����� �o(*�?5 1�����1h(,����E��_�?� ���8��1>)T�+�����I�?����(�H<1?�< < 5 <Ks@:>< s1D �6�8���� ���^�O� )E|�5 (,�����6��(Z�?� ��(,���8; ����(*�6���,� �N"0����1D�� 1��O�+E|�5 (���<O�+���+�=���_�?�7j�'(�E���;:��<:�?� �+�,�x��,�2EF�7�� E+��('�,�}���{�(,�+�8���,�������(��?��E'�4�>1�����( �><�E�< E@s��u#XZ� �ME+���8; �E+��(,;7�E��}��"g�?� � A

3

����� ��"0����19��(2(,;7���� ��1��I�9�?� �8�,�G���2������?��E��q��"SU(3)3 #_XZ� �

�T�W��(*�W����E{�?���W; ����(������G��� � N = 1r o r�� ��(Z�������+�_�H�

v = (0, 1/3, 1/3, −2/3) ,b 5 #>E1;Ie

���4; �N�>��� �Z�?�7j�\�,� � A3

;:�����H�\������5 ;������ �+�?��,���ϑ�E+�,(m�(v'(,���x5 �N�F�� �+��5 (&�,���?��?�����2�H�

2π/3���.����

�?���,���SU(3)

(,5 ��������?��E+��(+#ZXZ� �jA3

���,� �N"0����1_�7�(6�?���,����(,�+E+�?���,(�Jg�,� �25 �I�T�W��(��,��1=(���E+�,����bϑ0 = e�� 1M�T�t�x�T�W��(*�?�+1D(���E{�?����(2b

ϑ1 �� 1 ϑ2 e #mRT�M�?���~5 �I�T�W��(��,��1_(,�+E+�,���A�?���a�E+�,�����M��"w�?� �;:�����H�A���,��5 ;��(g�,�,�N�>����J�� 1J< �?�����,�{"0���,��<�����O;O�����I�?(W����a���I����,����I�|#X\�i87� 1��?����;:�����I�?( 82C>��1=5�� 1 ���

ϑ<:�A�x5�(,���,� ��"c�E{�'�,�7��'�,� ��5�� 1 �������G�����}��j�,�?��E��2��(W"c�E+�,���*)

��P��� ����#�]o�M�7|���Y������|�1>�o(*�?5 1�����1��,� ��A3

�E+�?�����^���Q�(,��� �����SU(3)

������?��E+��#_]^�}�7|���Y(,�+���

��� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

�?� ��~�?� �����q����1 ��;:��� 1����I��;:�����H�,(a��,�.���+" �a���H���������I�~�I� A3

#.3'(2���� CG�?�+� (,�����9��"t�,�7��aE��(,��<&�t�87� 1D�?�7j�W�|�EF����"v�,� �~�?� �����2(,5 � ����,�,��E+��(W�7�(Z�?���,���2����1 ��;:��� 1����I� 8NC��+1�;:�����I�,(�<7(,�q�?� ��W�?� �a(,� CH)1 ���8�+� (,�����7��p(,; �E��x��"l�?� � 87�,(*��T�W��(*�?��1=(���E{�?���E+���I�F���� (4�?���?��\��" 5 I 82C>��1=;:�����H�,(�<O1 ��(�; ��|���+1��� 87��5 �,� 5 #=I>#lXZ� ��(Z�,��(�5 ���/E�����:����+�,�787��1��H�M5 (,��� �."0���,�x5���_b 5 #>EG:�e #XZ� � 82C>��1[;:�����I�?(8��"a�?� �

ϑ2 �T�W��(*�?�+1[(���E{�?���_�������1����I�?��E|��W�?���,� ��(,�=��"~�?� � 87��(��M�T�W��(��,��1(,�+E+�,����#!XZ� �+�,�+"0���,��< �,� �����~��(g���4������1Y�,�4E+��� (���1 �+�g�?� �+(,��T�t�8(���E+�,���,(Z(���;7��?��,������#l]^��W�����:(,���a���(,�+E+�,����� 5 #=<.�?� ��6�,� ��(W(*�?�,5�E+�?5��,���W�����w�:����� �7�+E+�,��1����D�,� ���8��,�,���W(,;:��E{�?��5 � ��"v�,� ������� ��"0����1J#nRT���I�8���,� �N"0����1�<G��� �'E���Y(,� � �B�?� ��A�,� � 82C>��1Y;:�����H�A(��,�,5 E{�?5 �����"w�?���(,�+E+�?���

�(A���H57��O�?���?�7��A��"

�?���2(���E{�?���θ−1 #!-/���?�~�,�7��W���Y�,� �)A

3E��(,�

ϑ2 = ϑ−1 #

� � f-h6

` ���i� ��!��&# �+%&�XZ� � A

6) R,Rp���,����"0����1��g�( 8 �,(��n(*�?5 1 ����1q���q1 �{�F��������4���+"$# � EGI><�s1I ��#\RT�.�?� ��(��Z�A�����H(�<H�?� �Z(*�?�,5�E+�?5��,�W��"

�?��� 82C>��1Y;:�����H�,(n�A�(t(,5 ������(��,��1_�(A2�,�>���7�,�����{�g�4�>1 �+��(l�W���,�}; ����� ���4��������������E|������x�E�E+��;��?�� ���"0�|j�?5 ����(�#}d>��� E��.�?���4;��,��(����I�2�?� �+(,��(a��(2� �(,�+1o�����?��� A

6)TR,R/����� ��"0����1J<��t�81���(,E+5 (,(a���91��+�F����m�?���

(��,�,5 E{�?5 ������"v�N�?( 82C>��1D;:�����I�?(+#l]^�~������5�(��?�,��?�'��5 �Z�,�+(,5 �N�?(W��� 87��5 �,� 5 #>;�#]^�2�W�����wE���� (���1 �+�6�,� ��E+���8; �E+�6(,;7�E�����"m�?� � A

6

) R,Rg����� ��"0����1Y�?�M�:�2(,;7���� ��1=�I�_�?� �2"c�E+�,���*)��P��� ���������?��E�� �

Γ � 6−II = G2 × SU(3) × SO(4) .b 5 #HE@sIe

3'�x�1�����I�F����t��"��?� �n������?��E��Γ � 6−II

�O�+��� �/"c�E+�,���,��P|�������< ��(&�,�7��&�A�tE|��P8 � 1��,� � 82C>�+1x;O�����I�?(&���>)1 �+;O�+� 1 ���I�,���x"0���\�|�EF�4(,5�� ������?��E��t�W�N�?� ��5��l����(,(m��":����"0���,�8��,�����J<j���1x�?� �+�4;�5��l�?� �+� ����G�,�����{�?� �+����_����1 ���g�,�8�����F����M�?� �a�+�H�,�����Z8NC��+1�;:�����H�W(*�?��5 E+�,5 �,��#XZ� �Y;:�����I�x���,��5 ; A

6

)TR�Ra��(������ �+�?��,��1S�I�ϑ�W� ��EF�Q�E{�?(x(����x5����F�� ����5�(,���9�(.��,���F��,�����o�H�

2π/6���.�?���

G2

;����� ��<H�,���?��?�����.�I�2π/3���.�?���

SU(3); ���� ��<I�� 1}~��� �7�+E+�?�����q���.�?� �Z���,�������

��"&�?� �SO(4)

(�5 � ��j�,�?��E���#lXZ� �2�E+�,�����_��"ϑ��(g�,� ���D1 ��(�E������:��1��I�M�,� �~�T�W��(*�/����E{�?���

v = (0, 1/6, 1/3, −1/2) .b 5 #F: ?Ie

XZ� �+�,����,� 8 ���2�T�W��(��,��1D(,��E{�?����(6E+���,����(�;O����1 ��� �.�,�4�,� �a1 �/+O�������I�W;O� �t����(6��"ϑ#

�w�+�65 (6E+��� (���1 �+�/�,� � 8 �,(��/�T�W��(*�?�+1�(,�+E+�,����#WK7�����x5 ��_b 5 #HEG:�eA�?�+����(Z5�(6�?� ��W�?� �+�,����,� 6 5 82C>��1;:�����I�?(+#WXZ� �����6; ����E+��(,�����GE|��,�����_�����?����E����8;7�E+�6(,;7�E+��E����� � �t�+���+�~��� �N�_�O�a"0��5 � 1��H�D�4�|���(��"\����#&b 5 #>E1EIe{#lXZ� �2E�����(��?��5 E+�,��� �q�+�����4���I�,(/E+���,����(�;O����1 ��� �.�,�4�,� �S82C>��1D;O�����I�?(W����2�������+���I�

gϑf ∈

{(ϑ, n5e5 + n6e6), (ϑ, e3 + n5e5 + n6e6), (ϑ, e3 + e4 + n5e5 + n6e6)

} b 5 #=:N6 e�W���,�

n5, n6 = 0, 1#

XZ� �M�E+�?�����9��"ϑ2 ��(a�+� E��G1 ��1^��� 2v = (0, 1/3, 2/3, −1)

#YXZ� ��(2�4�|�� (2;7��*�?��E�5 ����,�N���,�7������A;:�����I�?(.��"/�,� �

SO(4)(,5 ��������?��E+�Y����Y���+" �x���I����,����I�|#^XZ�����,�{"0���,��<n�,� �D�E+�,�����S��"

ϑ2 ���S�?���E����8;7�E+�6(,;7�E+�����H�,�,�G1 5 E+��( 8NC��+1��?���,��#ZRT�D�?� ��(6E��(,��<O"0�����x5 ���b 5 #HEG:�eZ1 �>�+('� ���'E+��5 �I�E+���,����E+�,����?���M�H5 �x�:���.��"Y82C>�+1U;:�����H�,(�#�%/� �t�+�����+<n"0����� ;��,�+�G����5 (x1 ��(,E+5 (,(������ (x�t�Y�H� � � �,�7���<l5 � 1 �+�.�,���F��,�����Y��"

2 × 2π/3���D�,� �

SU(3)(,5�� ������?��E���<>�?� �����2;O�����I�?(W����2���+" �Y82C>�+1J#gK75 �*�?� �+��< �t���7|���

� � �6

� ����/6.�9(� � /�< &(0 /�$?$(/6$ � #�8���/�.�� �)#%9�<='�< #3����� 8�')048,#�$ #%< 0�/;<='7#�& ��/ �=$���',.�')0 ����$(� .�')0�+(<=��0)E � /6@ ' /�� ���(',��. �.�/� B'). ���='70#%.�' 9(.��='���> &-� 0�8,+�0�0 '7& ��$ #� �',$�&(� ��� E

� �9��� ' � ] � \ ' � ��# ��'P\$�)����� ��� � � * ��# � b 1 � ��!

6

8

12

Fixed Pointse2 e4

e1 e3 e5

e6

e3

e4

e5

e6e2

e1

e2

e1

ϑ

ϑ

ϑ1

ϑ3

ϑ2

�������! #" �H&��H' � 45"E� "76��%"-12 2A 6;F��6 � � 68 2?!� F 68J�>!/�<76�� ,I98<-12���I"7> 683 9

G2 × SU(3) × SO(4)J9;1212��<7"�& ��� �!"7> ,�68��3�1#/ 6;F 1245"ϑ1 � ϑ2 9;35>

ϑ3 1�BY��/#1#"7> /#"7<-1#68 #/ 9; #"@,! #"7/#"-3�1#"7>�& � 45" ��!"7>,�68��3 1#/ 6;F 1245"

ϑ4 9;35>ϑ5 1 BY��/21#"7> /#"7<-1#68 #/=9; #"R��>!"-3 12��<�9;JG1#6 12456�/#" 6;F 1245"

ϑ1 9;35>ϑ2 1�BY��/21#"7>

/#"7<-1#68 #/��! #"7/2,�"7<-12�� "-J�A &

���(,�q(,�+�����,�7��W�?�����,�2����a��� ���}�T�A�4��� �,�H5 ����������I�Y82C>��1�;O�����I�?(W���Y�?���G2

(,5 � ����,�,��E+��#!3'���J���D�����<�t� 87��1

2 × 38NC��+1��,���,�J���Y�?� �a(,�+E�����1��T�W��(*�?�+1�(���E+�,����#!XZ� �2E���� (��,�,5 E{�?�����4�+���+�8�+�H�,(/��,�

gϑ2

f ∈{(ϑ2, 0), (ϑ2, e1), (ϑ2, e4), (ϑ2, e1 + e4), (ϑ2, e3 + e4), (ϑ2, e1 + e3 + e4)

}.b 5 #=: 5 e

RT�x�?� �g�,� ����1��T�W��(*�?�+1.(,��E{�?���+<��?� �Z;:�����H�\������5 ;q�E{�?�����J<�1 �+(,E+�,���:��1q�I�3v = (0, 1/2, 1, −3/2)

<�E{�?(t�,�,�N�>������N�����4�,� �

SU(3)(�5 � ����,�,��E���<>����� E+��<>�t�'�����F���� 82C>��1M�?���,�����q�?� ��(tE��(,�/�?�G� #mR �t��(n�|�(*�

�?�o(,�+���?�7j�M����#'b 5 #HE1EHe.�����1 (4�?�o"0��5 �}���H���������I�4;:�����I�?(45 � 1����ϑ3 ���L�|�EF����"�?� �����?�����8�T�t�

(,5�� ������?��E���(+#g%/� �t�+�����+<O�?����;:�����I�,(/��5��/��"v�,� �����,�������Y��"\�?� �G2

(,5�� ������?��E��2��,�a�,�G5���������+�I�|#g�w�{�5 (.1 �+� ���,�M�?� �Y�(,(,�GE�����?�+1S(,;7�E��Y������5 ;S�������4���I�?(��H�

g1 = (ϑ3, e1)<g2 = (ϑ3, e1 + e2)

�� 1g3 = (ϑ3, e2)

#!R �W��(Z���(��Y�,�q��������" �M�,�7��

g1 w (ϑ, e1) g1 (ϑ, e1)−1 = g2

�� 1g2 w (ϑ, 2e1 − e2) g2 (ϑ, 2e1 + e2)

−1 = g3 ,b 5 #=:�<Ie

�W� �+� E��a���A"0������� �W(n�?�7j�/������?� �����~�+�����4���I�,(Z�O�+����� �x�,�x�?� �~(,��4�E�������5 �I�E{�YE����(,(+#m]^�a����'�?��������{" �Z�W���,��x�,���F�����"

2 × 48NC��+1��,���,�u<�1 �+(,E������:��1D�I�Y�?� �~"0������� �W��� ��E�����(��?��5 E+�,��� �4�������4���I�?(KJ

gϑ3

f ∈{(ϑ3, n5e5 + n6e6), (ϑ3, e2 + n5e5 + n6e6)

} b 5 #=: EHe

O� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

e1

e2

e1

e2

�7e�e

θ

�������! #" �H&��H' � J�6�/#"7>�/212 2��3!� / ��3�68 2?!� F 68J�> <76�� ,I98<-12���I<�9;12��6835/ & 9 .��)3�1�BY��/21#"7> /#12 2��3!� / 9; #":<-J�6�/P"7>683@1245"=1#68 2�5/��HBY45"- #"�98/ ? .D1 BY��/21#"7>@/212 2��3!� /)683!J�A�<-J�6�/P" 124! #68�!��4E1245"=98<-12��683 6;F 1245" 1�BY��/#1

θ&

�W���,�n5, n6 = 0, 1

#XZ� �6"0��5 ���,�M�� 1 8 " �?�4�T�W��(*�?��1}(,��E{�?����(A;:��(,(���(A�,� �/(��?��5 E+�,5 �,�6��"J�,� �6(���E+��� 1_�� 1 87�,(*�t�T�W��(��,��1

(,�+E+�,���,(+< �,�+(,;:��E+�,����������#!XZ� �����+"0������< �N�g��(A��� ��5����M�?�x(*�?5 1>�}�?���'�?� ������T�W��(��?�+1Y(,�+E+�?���,(Z1 �+; ��E{�?��1_���87��5��,� 5 #>;�#

� ��� � � � ����� ��� ��� ��� �� �� � � � ��� � � ��XZ� � 87�7��l��� ������1 �����I�a��"t���,� �N"0����1=E+���4;7�E+�,�987E���?����� (��(�?� �+���a(,;:��E{�?��5 � ��"t�}����?�+��#8������?���a���� �{�?�������?��E����,� �N"0����1 (Z��(61���(,E+�,���O�+1��I�DE�����(,��1�(��,�,������(�#Z3 (,;:��E+����w"0�|j�?5 ������"m���,� �N"0����1_E+���8; �E+�,�98�)E|j�?����� (~��(�,�7��~�?���+���1��8�N�'�T�t�D�T�G;:��(2��"AE+����(���1�(��,�,��� ��(�J*����� � � ��� �q�� 1 ��� � ��� �.(��?����� ��(4bc(,�+�87��5��,� 5 #>sIe{#!f/�H�T�W��(��,��1�(*�?����� ��(g"05��987���O�?���a"0������� �W��� �x�:��5 � 17����YE+��� 1 �N�?����� (�J

Z(τ, σ + π) = Z(τ, σ) + nαeα .b 5 #=:1:�e

XZ� ��(Y��� 1 ��E|��,��(M�,�7��M�,� �+�B��,�=E�����(,�+1[������|�1��h�����?� ���,���,5�(��� 1�"0�,�����,�Q; �,��; ��I��,�������?���E����8;7�E+�/(,;7�E���#ART��E����H�,�?�(*�|<7�T�W��(*�?�+1�(��,�,��� ��(/��,�aE+����(���1���� ���_j" �?���W��1 ���I�?�N" �G��� �.;:�����I�,(/�I�_�?����T�W��(*�

θ<7�E+E�����1 �����q�,�.�?� �+���Z�:��5 � 17����YE+��� 1 �N�?����� (

Z(τ, σ + π) = θZ(τ, σ) + nαeα ,b 5 #=:�DIe

�W� �+� E��2���t"0������� �W(t�?�7��Z�,� �+�M��,�~�:��5 ��1_�,�.�?� � 82C>�+1�;:�����I�,(�#lXZ� �a�,�+����,�����8�O�{�T�A�+���D�?� �~�T�G;O�+(��"w(*�?����� ��(n���8��8���,� �N"0����14���1}�?� �6�E{�?�����}��"J�,� �/;O�����I�A������5 ;8��(l�?� �6�,���(,���8�W�H�q�t��7|���6E|������+15 �I�T�W��(*�?�+1��?���,� �}(�;7�E+�}������5 ;^�+���+�8�+�H�,(��W�N�?��_�?�����G����l;:�����H�2������5 ;S�E+�?�����J<\�� 19�T�W��(��,��1^�,��?����(,�a���,� ���Z�W� ��EF����� E���5 1 �a.� ���I�?�����G������������4���I�/��"&�?� �a;:�����I�Z������5 ;J#d>����E����8�(�(,������(*�?����� ��(4�7|�����}�(�(,�+(}��"�,� �����,1 �+�8��"

Mstr

<g�?� �{�h��,�_�?�G�o� ��|�G�U�?�oE����G)�?����� 5>�?�41 ������E+�,���=�,����� �

��+� �������9; �I�G(,��E+(�#DXZ� �����+"0������<v�t�}�W�����lE���� (,��1 ���2�?� �4(,;:��E{�?�,5�� ��"g� �+�*)

�������?��Ex����� ��"0����1 (6�,�_�O�.E+���8;:��(���1���� �N����"t�8�(,(�����(�(~(��,�,�����Y(��Fj�?��(+<p(?��,��(�" �G��� �_�1 1 �N�?�����7������Y�?������{���+�w�}��,EF� �����.E���� 1����?�����Y"0���Z�,�����I��)n�� 1_���+" �*)T�4� ������(�< �,��#vb 5 #>;Ie #���(�(,���+(,(.(*�F��,��(x1 � +��+��"0���2�?� �8(,�{�����,��gE+��� (��,�,5 E{�?��� �=�������4���I�?(

g#=��^�?���M��� �M� �� 1J<m5��>)

�T�W��(*�?�+1�(*�F��,��(�b0�W���,�_E���� (*�?��5 E+�,��� �q�������4���I�g = ( , 0)

eg�����W�,�N�,�?�+�����Y���������?��p�(

|q〉R ⊗ αx−1|p〉L ,

b 5 #=:1I�e

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � O��

�W� �+�,�q��('q�A�+�����I�6��"

SO(8)�� 1

p ∈ Λ�(6�������������D����#mb 5 #=I�e{#

αx−1

�,��;��,��(����I�?(a�����(�E���������,���� C>E+���Fj�?�����[���B��� �91 ������E+�,�����B��"����N�?� �+�Y�?� �^��������� �W(,�H�2(,;7�E+�kb

αµ−1

eY���_�,� ��E����4;7�E{�D(,;7�E+�bαa−1, α

a−1

eg���g�,� �a�I�5 ���~1�����������(/��"&"0�,�+��1 ��� bαI−1

e{#��o�?���8���,� ���a�7�� 1J<&�}�(�(,����(,(2(��?��?�+(��(,(,�GE�����?�+19�,��_�T�W��(*�?��1oE�����(��?��5 E+�,��� �D�������4���I�

g =(ϑk, nαeα)

b0�W�N�?�k = 1, . . . , N − 1

eg����2���_����� �+�?��w� C>; �,�+(,(,�+1=�(

|q ��� 〉 ⊗ α |p ��� 〉 ≡ |q + vg〉R ⊗ α |p + Vg〉L ,b 5 #=:�;Ie

�W� �+�,�α1 �+� ���?�+(a�����?����(E��(,�qY; ���>1 5�E+�~��"n��(�E�������j�?����('��"!�?���x"0���,�

αa−ηa

b0���αa−1+ηa

e'�����?���E����8; ��� C41 ���,�+E+�?����� (

a = 1, 2, 3b0���!�?� �+���nE���� ��5��I��?�+(

a = 1, 2, 3e <��W���?�

ηa = k va mod 1<G(,5 EF�

�?� ��0 < ηa ≤ 1

#t%6�+�,�~�A�����(,�q1 �K8 � ��1��,� � ( & *(���� � ���p�� 1D�,� � ( & *(��!��� �%�J���+E+�?���,(6�(,(��>E+����,��1�?�.�,� �aE���� (*�?��5 E+�,��� �4�������4���I�

g�(

vg = k v�� 1

Vg = k V + nα Aα ,

b 5 #=:�sIe

�,�+(,;:��E{�?�������N��#4�� �qE|��=�,�,���G������N�_� CG�?�+� 1o�,� ��(��4����(�5 ���,(�?�AN × A M

���,����"0����1 ('�I�=��� E���5 1 �����Y(,�+E�����1��T�W��(*�Z���+E+�?���

v2�� 1�.(���E���� 1�(�� ��" �Z����E+�,���

V2���_�,�:#&b 5 #=:�sIe{#

� ��!��&#$��%&� � ��� ��f �������� �33'(g�t�a�7|���2����,�|�1��}�4���I�,����� �+1J<>�,� �~�8��,�,���g(�;O�+E+�?��5 � ��"&����� ��"0����1 (n�W�����:�:�~E����4;O��(,��1Y��� ���8��"�?����(,�M�8�(�(,���+(,(�(��Fj�?��(��W� ��EF�S��,�}���I����,����H�25 ��1 �����,� �M�E+�?�����^��"Z�?� �8(,;7�E+�M������5 ;

S�� 1^���?(

E���5 �I�?����;7��*�|<I�?� �Z���5 ���g�T�W��(��?��� �~������5 ;G<��?�7j�!��(�<I5�� 1 ���m�,� �W���,����"0����1�������5 ;

O ⊂ S⊗G#mXZ� �

; ����� ���+� �����,�q��('�?� 87� 19M; ����(�E��,��;��?�����=�?� 87��5 �,�.��5>�~�W� �+�,� ���2M�8�(,(�����(�(~(��?��?�.��(~; �,� ���+E+�,��1��5��W�I�Y�,� �a���,� �N"0����1M�E+�,�����J#!�w�{�W5 (W�}����a(,���4�a����� �+�?������ (,�+������,����� (+#XZ� ���:��5 � 1 ����LE�����1 ���,����� (q"0���4E�����(,�+1k(��,�,������(}���h���,� �N"0����1�(�<g�,�G(+#~b 5 #F:�:�e4�� 1 b 5 #F:�D�e{<W����

(,5��8�8��,��P��+1Y�H�Z(τ, σ + π) = gZ(τ, σ)

b 5 #>D1?Ie"0���}�E���� (*�?��5 E+�,��� �S�+�����4���I�

g# XZ����(,�{�_��"2����/(��?��?�+(M�W���,�kE����8;7�E+�ME+�>���,1 ���7��?�+(}"05 �787������� �

����#&b 5 #=D�?IeA1 �K8 � ������ ( ����%��� $� # � Hg

#X\�=�+� (,5��,�YE����8;7j�?���������N�T����"Z�?� �M(*�F��,��(x"0����� Hg

�W���,�^�?� �}���,� �N"0����1�<&�t�Y���{�.��S��,� �N�?�?����(,; �E��q������5 ;��������4���I�

h ∈ S�E+�a�����,� �.E��G����1 ���7j�?��(~1���(,E+�,��� ��� �M�,� �q(��,�,������(�#xXZ���4�:��5 ��17����

E���� 1 ���,�����Y�:��E+���4��((hZ)(τ, σ + π) = hgZ(τ, σ)

= hgh−1(hZ)(τ, σ) ,

b 5 #>D26 e�W� �+�,�.�A�q�7|���.�}�1��.5 (,�.��"n�,�:#nb 5 #>D1?IeF#�X&�D���I�?����; �,�{��?����(�<J�t�.�7|���.�,�D1���(��,��� ��5 ��(����O�{�T�A�+����T�t�8E��(,�+(�JtIe

hE����8�x5>�?��(g�W�N�?�

g<7���1���e

h1 �>�+(W� ���/E����4�x5��,��W���,�

g#

.�- �p�{�/5 (WE���� (���1 �+�Y87�,(*�/�,�7��hE+���4�x5��?�+(g�W���,�

g<���# ��#

[g, h] = 0 .b 5 #=D 5 e

RT�_�?� ��(ZE|�(���<�����#&b 5 #=D26 et�?�?�� (,����?�+(g�?�

(hZ)(τ, σ + π) = g(hZ)(τ, σ)b 5 #>D1<Ie

O4� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

XZ� ��(Z�O��5�� 17��*�YE�����1 ���,�����M��� 1 ��E|��,��(g�?� ��Z(��?��?�+(W1 ��(�E��,���O�+1��I�M�,� �aE��G���,1����7��,��(h Z�O�+����� �x�,�

�?���2(,��4�a%6�����O�+���Z(�;7�E+� Hg

#tzA����(,���H5 �+�I�?����<h�x5 (*�/�E+�W�?�����G��������q���D�,� �a(��Fj�?��(Z"0����� Hg

J

|q ��� 〉R ⊗ α |p ��� 〉L h7−→ Φ |q ��� 〉R ⊗ α |p ��� 〉L != |q ��� 〉R ⊗ α |p ��� 〉L .

b 5 #>D�EHedG�?��?�+(W"0����� Hg

�?� ��W1 �4� ���Z"05 �787���O����#\b 5 #>D�EHet� ���2�,�q�O�a; ��� ����E{�?��1���5���#�w�+�t5 (t1��K87� �W�?��� �����%�� *( � � �� Zg

��"waE���� (��,�,5 E{�?�������������4���I�g�(!�?���6(��+�t��"w���� (,; �E��/���,��5 ;

�������4���I�?(hE����4�x5��,��� �x�W�N�?�

gJ

Zg = {h ∈ S | [g, h] = 0} .b 5 #>D@:�e

XZ� �/�}�(,(,����(�(n�8����?���l(�;O�+E+�,�,5 � ��"O���,����"0����1.E����4;7�E{�?�98 E|��,����� (v��(l�?� �+�4"0���,�4��1q�I�.�?� �/�}�(,(,����(�((��?��?�+(Z�W� ��EF����,�a���H���������I�Z5�� 1 ���/����J�������4���I�?(W��"&�?���2E+���I�?�,�����P��+��#! - zA��� (���1 �+�W� � � .� ��� E+���4�x5��?��� �.(,; �E��a������5 ;D�����+�8�+�I�

h<

[g, h] 6= 0 .b 5 #=D�DIe

RT���,� ��(WE��(,��<O�,�:#\b 5 #=DN6 eg��� 1 ��E|��,��(g�,�7��h�}�; (W(��Fj�?��(/"0�,��� 4���N���+��%6�����:���*�W(,;7�E+� Hg

���I�?�81 � +��+�,���I�6%6�����:���*�Z(,;7�E�� Hh g h−1

#ndG5 � (,�,�H5 ���I�a�;�; ����E|��,�����8��"h�?� �+�����|�1 (Z�,�q�,� �a(,�,�G5���� E+�

Hgh−→ Hh g h−1

h−→ Hh2 g h−2h−→ Hh3 g h−3

h−→ . . . .b 5 #=D@I�e

XZ� �2E���5 E�����w;O�����I�/��(W� � � �?� ��|<�(,��� E��g�� 1

hgh−1 �:������� �.�?�q�?� �2(?��8�aE���� ��5 �I�E{�_E����(,(+< h Z�� 1Z��,�W��1 ���I�?�787��14���.�?���/���,� �N"0����1J#&XZ� ��(n�4�|�� (l�?�7���<I���q�?� �W����� ��"0����1J<��,� �W1 �/+O�������I�t%6�����O�+���

(,; �E��+( Hhn g h−n

��,�.�?�_�:�4E+���x� ��� ��1����H�,�_Y(,���������.����� ��"0����1=%/�����:���*�~(,; �E���#4RT�I���������I�a(��?��?�+(����6�?�����M����� ����!E����x�����7��,������(l��"p(��?��?�+(t"0�,��� ���� Hhn g h−n

#!d>5 EF�Y����� ����!E����x�����7��,������(n���I�����N����<���_���+� ���,���<��,������?�N���~; � �(,�~"c�E{�?����(�b0��" �?�+�_E|�������1

γ �$ �� � e �>I�;��u#

�w�+�g5�(t�+�8; � �(,��P��/� �����6�?� ��t�,� ��E+�?�����4��"J� ��� E����4�x5��,��� �2(,; �E��6���,��5�;}�������4���I�?(n���8; �I�>($)��E���J(*�F��,��(W��" Hg

�#& �� � &�� $(�'& � ! �� & � �p��I�_(*�F��,�a"0����� �,� �a(,;:��E{�?�,5���#

� � � ��� � O)L � N �!L�W � K W L�XYM

RT�Q�?� �D5 �I�T�W��(*�?��1L(,�+E+�?���U<t�,� �_���{�����W�8��?EF����� �=E+��� 1 �N�?�����Q"0���.�}�(�(,����(,(q(*�F��,��(4��"����� ��"0����1 (

E������ E+��1 �+(g�W���?�Y�,�7��/��"&�?� �a5 � E+���4;7�E+�,�987�+1_� �+�,���,���?��E~(*�?����� � <>�?�7��/��(�<

m2L

4=

1

2p2 + N − 1 = 0 =

1

2q2 − 1

2=

m2R

4,

b 5 #>D1;Ie�W� �+�,�

p��(}���>�����"!�+���?�����

E8 × E8���

SO(32)bc(����.�,�:#mb 5 #=I�e�e{<

q1 �+� ���?�+(�?� �

SO(8)�t�������H�

���+E+�,���.��"W�?� �}�,�����H�*)T�4� �������� 1NE+��5 �I�?(x�,� �Y�H5 �x�:���x��"6��(,E���������?���a� C�E+���?��?����� (�#�36(x�����,� �

5 � E+���4;7�E+�,�987�+1����+�?�+�,���,��Ea(��,�,��� � < �,�:#\b 5 #=D�;IeA�7�(/(,����5��?�����Y��� �N�Y��"q2 = 1

"0���g�,� �a�,�����H�*)T�4� ������(�� 1Q�+���?�����

p2 = 0, N = 1���

p2 = 2, N = 0"0���x�,� �Y���{" ��)T�4� ���+�,(�#^XZ� �_(,;:��E+�,�,5 � ��"6�,� �

5 �I�T�W��(*�?�+1L(���E+�,����<!� �{���+���?�������+(,(+<A��(�1 �/+O�������I�."0�,��� �,�7��.��"W�,� �M� �{�?�������?��EM(��,�,��� �=1 ��(�E�5 (�(,�+1L���(,�+E+�,����� 5 #96�#vXZ� ��,���(,���Y�O�+��� �2�?�7��A(,���4�'(*�F��,��(Z��,�';��,� ���+E+�?�+1Y��5��A�H�4�?����E{�?�����}��"p�+�����4���I�,(��"&�?� �aE+���I�?�,�����P����+#

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � O4O

� ��./ �3�#$�4�k* .2������ ����.e3�fRT�~�?� �!; ��� ����E{�?�����aE���� 1����?�����J< �,�:#Gb 5 #>D�EHeF< �t�!�7|���nE�����(,��1����,�+12�,�7��w�8�(�(,���+(,(p(��?��?�+(p��" Hg

�E,�H5 �����q; �7�(��

Φ5 ��1 ���W�?� ���E{�?��������"m�����,� �N�?�?����M�+���+�8�+�H�

h��"\�?� �2E��+�I�?�?�����P+��� Zg

#tRT��"c�E{�|<��+�����*��������4���I�n��":�?� �/�}�(,(,����(�(n(*�F��,��(!�?�,�� (�"0���,� 1 � +��+�,�+�H�,���.5�� 1 ���l�,� �'�E+�?�����q��"���8�+���+�8�+�H�

h��"��?���

E��+�I�?�?�����P+���+#l�l�x�O�+1 1 ��� �h���I�?���,� ��I�5����'1 �+���,�+��(W��"w"0������1���� (�� ��" �,(A�?����O��(,��� ��EE��G����1 ���7j�?��(

XI �I� V Ih

<G�W�����,�Vh

��(n�?� �6���GE|���(�� ��" �t����E{�?���A��"hbc(,�+�~����#wb 5 #=:�sIe*e{#lRT�}�,� ��4���8�+�I�?5 � (,; �E���<

�?����(g�E�E���5 �I�?(A"0���t�; � �(,�'�,�7��t1 ��;:����1 (Z���}�,� �'�4���4���I�?5 �p��"w�?���'(��?��?�'�� 1M�,� �'���>E����(,� �N" �

���+E+�,���Vh

J|p〉L h7−→ e2πip·Vh|p〉L .

b 5 #>D1sIeXZ� �2�E{�?�����D��"

h;��,� �G��1 �+(W�,� �a�,�����I��)T�4� �G��� �x(*�F��,��(Z�W���,��.(����4������t; � �(,�

|q〉R h7−→ e2πiq·vh |q〉R ,b 5 #=I�?Ie

�W� �+�,�vh

��(g�,� �a���GE|����T�W��(��Z����E+�,���6�(,(��>E+����,��1Y�?�h#nKv���7�������<>��(,E���������?����(g�����?�,�� (�"0���,�4��1��(

αI−1

h7−→ αI−1 , I = 1, . . . , 16 ,

αµ−1

h7−→ αµ−1 , µ = 2, 3 ,

αa−1

h7−→ e2πivah αa

−1 ,

αa−1

h7−→ e−2πivah αa

−1 .

b 5 #=IN6 e

�w�+" ��)m�� 18�,�����I��)T�4� �G��� �a�4���8�+�I�Fa�����Z���M��8�+���+�J< (�����"�) 1 57��7����,�,��E+�/��"J�����,���I�,P�����8(������7j�?5 ���b 5�5 <=D�e �>s1; ��<6���4; ���G�����SS�,������?�N���=(������B�:�+�T�t�����[�?� ��; � �(,�+(���"2�?���9���+" �*)8�� 1B�,�����I�_�8� ���+�,(+#XZ� �+�,�+"0���,��<:�?� �2; �7�(,�x�E��H5 ������1��I�D5 �I�T�W��(*�?�+1��}�(,(,����(�('(��?��?�+('5 ��1 ���/�?� ���E+�,�����D��"

h��(6�������+�

�I�|q〉R ⊗ |p〉L : Φ = e2πi[p·Vh − q·vh]

|q〉R ⊗ αx−1|0〉L : Φ = e2πi[− q·vh+(δx,a−δx,a)va

h] ,

b 5 #=I 5 e�W� �+�,�

x(��?�� 1 (Z"0���g�,� �a1 ������E{�?�����D���M�W� ��EF�_�?���2��(,E���������?���t� C>E��N�F��,������(W�E+�,(�#

� +� i�T3K�QfN�)� ,Mf �����k��*XZ� �nE�����(��?��5 E+�,��� �/�������4���I�&��"��,� �n5 �I�T�W��(��,��1�(,��E{�?���&��(

g = ( , 0)�� 1�<j�,� �����+"0������<��,� �n�(,(��>E+����,��1

E��+�I�?�?�����P+���tE����I�F���� (Z����:�����+�8�+�I�?(g��"p�,� �(,; �E��~������5 ;J#lXZ���~(,;:��E+�,�,5 � ��"p�?� �'5 �I�T�W��(��,��1_(,�+E+�,�����(YE+���4;O��(���1B�I�k�?����(,���8�(,(�����(�(Y(��?��?�+(D��"��,� ��5 � E����8;7�E+�?�787��1B� �{�?�+�,���,��E=(��,�,��� ���W� ��EF�V�������I���������I�a5 � 1����x����l�������4���I�?(2��"g�,� �4(,;7�E+�}������5 ;J#YRT�9�?� �q"0������� �W��� ��<J�A�8�+�����5 ��?�q�?� �4�,+O��E{���"Z�,� �Y���,����"0����1^; ��� ����E{�?�����������?���M�}�(,(,����(�(.(,;:��E+�,�,5 � ��"Z�?���Y� �+�,���,���?��E}(��?����� ��<m1 ��(�E�5 (�(,�+1L���(,�+E+�,����� 5 #76�#XZ� � ��f �`c���&* f �3Q�&�� ./% 3���,MfG� �4�k. � � � �R* ��% ���&,�%�fG� ��"&�?� �a� �{�?�������?��E~(��,�,�����4(�; ���N�?(Z���H�,�eJ

• # �+� �Q` ���&* f �3Q���� �.e%��4��. � � ���� gµν ����T%�.2����

ϕ �./ ����T3 � * * f@���k�&�Y�QfN �3��4�

Bµν b �W� ��(��1 5 ��p��(Z�?� �2�4�>1 �+�N) ��� 1 �+;O�+� 1 �+�H�6kC>�����

aMI

e <O�� 1��,� �����/(�5 ;:���,; ����,� ����(�#WXZ� �+��������������+��I�M�,� �a(,;7�E+�{) ���,��5�;>)T���H���������I�ZE+���4;O�������I�?(W��"

|q〉R ⊗ αν−1|0〉L .

b 5 #=I�<Ie

Oe[ ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

d>��� E��x�,� �x���+" ��) �8� �����,(αν−1|0〉L

1��Y� ���~�?�,�� (*"0���,� 5 � 1 �+�a��I�h<��?�������?� �x�������I�*)T�4� ������(

|q〉R�x5�(��n�?�?�� (�"0����� �?�����G��������2�?�G� #mK7����� ����#�b 5 #=I�?Ie <I�A�6(,���/�?�7j�t�,� ��(n�>E+E�5 ��(t��� ���q�N"��?���

(��7CH)T1 ���8�+� (,�����7��:�4���8�+�I�Fq���_�,�:#&b 5 #=I�<IeAE����,�,�+(,;:��� 1_�?� � �

q =

{ ±(

12, 1

2, 1

2, 1

2

)

± (1, 0, 0, 0) .

b 5 #=I EHe

XZ� ��(~��(aM�?�����G����vE���� (,�,�G5���� E+�}��"t�,�,�G5����,��� �M�?�_; ����(�������� N = 1r o r�� ���=���,� �N"0����1�E+���.)

;7�E+�?�787E|j�?����� (abcE{"$#!(,��E{�?����� 5 # 5 # 5 e��

• (����4� ��fG��* f@���k�&�1./% *-������%&� ���N�����D�I�Y(��?��?�+(W��"v�,� ��T�G;O�

|q〉R ⊗ αa/a−1 |0〉L

b 5 #=I1:�e(,��?��(�" �G��� �x�,� �a���I����,���� E+�~E���� 1����?�����

q · vh ± vah = 0 mod 1 ,

b 5 #FI DIe�W� �+�,�x�,� �.�,�+����,������(,����� − b + e/��(�(,(,�GE�����?�+1��W���,����=��(,E+��������,���6E���,�*�G��� �M���������4����; � ��E��� 1 � C

abu��I�,��� �������4���,; ����EA��� 1 � C

ae{#mXZ� �+(,�6(��Fj�?��(t����6�I�5 ���W(,��� �����{�M87����1 (�<>�����(,��� �"0�,���

�,� �xE����8;7�E+�E+���4;O�������I�?(��"l�?� ���,���>) 1 ���4����(,�����7��p���?|�G���,���=���1=��I�?��(��G�8�4�+�,�,��E2�,��� (����bc�� 18�,� �����!(,5 ;:����;7����,� ����(Fe #nRT�8;7��*�?��E+5 �����<��?���'(��G�4�8�{�?����EWE������ ���7j�?����� (!��,�W�?���'�4�>1 5����"0���g�,� ������W�4�+�,�,��E~��"\�,� �aE����4;7�E{�W(,;7�E+��< �W� ��EF��E���_�O�~�W�,�N�,�,���D�(

Gαβ = eα · eβ ,b 5 #=I1I�e

�W� �+�,�eαE+���,����(,;:��� 1.�,�'�?� �A�7�(,��(v���+E+�,���,(l��"7�,� �gE+���8; �E+�v(,;7�E+��#lXZ� �A(,5 �*�>�N�G��� �E+���4;O��)

� �+�I�?('��"m�?� ����I�?��(��G�8�4�+�,�,��E�?����(,���6������������(,�a�?�4�?� ��(,��) E|������+1D�4�G1 ��� )T1 �+;O�+� 1 ���I�'kC>������(aMD

#W-/���?�a�?�7j�|<O�1 1 �N�?�����7����N�q�?�8�,� ��(���(��?��?�+(6�,�7��61 �}� ���'(,��?��(�" �Y�?�������H����������E��aE����G)1 �N�?�����^�,�:#Zb 5 #=I�DIeF<!���(���(��?��?�+(.(,5 EF�L�( |q〉R ⊗ α

ν/I−1

����M; �,������E+�,��1Q��5��x�H�o�?� �}���,� �N"0����1�E{�?�����J#XZ� �n�E+�,�����~��"

h���~�?� �Y6QD �QfN `c���&* f �3��&�� ./%4�� �� � .e� �4f ���4./� ��f !M��3��� �3 ����|����(w���I����,����H�

��� �N�}�,� �����g"0��5 �*) 1 ���4����(,�����7��:E����4;O��� ���I�?(W(�;O�+E��98 ��1D�H�

|q〉R ⊗ αI−1|0〉L

b 5 #=I�;Ie�W���,�U�,� �_�,�����I��)T�4� ���+�.�8���4���I�?

q���(��9�������+�h�I�S�,�:#6b 5 #FIkEHe�1 5 �_�?���?� �_���H����������E��Y��"

αI−1

#XZ� �+(,�}(*�F��,��(���,�.�,� � �Nl(').e����.e �4f f ��.2�Q���k3 ��# �?���q"0��5 �*) 1 ���4��� (������ ��v�I�5 ���.������5 ;

G4D

#XZ� �+�,�+"0���,��<O�?� �x�,�� �D��"m�,� �x�I�5�����������5 ;�E��� � ���~�O���,�+1 5 E��+1��H��E����4;7�E{�?�N" �>��� �4�����?����('�H��� 1��"\���,����"0����1 (�# � �XZ� � [��� � � .e� ��f � �4./� �4f !M��3��� �3 ��,�8��"Z�?� �4"0���,� |q〉R ⊗ |p〉L

#�XZ����(,�M(*�F��,��(x���+" �����>)����,����I�a5 � 1 �+�~�?� �4�E{�?�����9��"t�,� �q(,;7�E+�8���,��5 ;9�E,�H5 �����41��/+O���,�+�I��� ��?5 ����(a1 �+;O�+� 1 �����������?��������?�,�� (*"0���,�8��?�����M; ����;:�����,���+(�J� �� �(' � � � ��� 2 ')�=�6����0

q�=$�'���E ���-E�� � �48)#%.�.�>?��@ (<=� 8��=��<�> @ ��$ !�/32 0�!"��#�$ ��$�&-'��

µE

� � � � 0 �/60�0 ��9(<�' ��/ .�')&-+B8�' ����' .�#�$ !�/ � ���(' #�<=�6',9(. #:9">�',@A9B'7&(&-��$(� ���('� �/���$6�A��.�/�+ ��')$(',. #3��/�.�$6��/ ����'

�6#�+(��' &-')��.�',')04/ � � .�','7&-/�@ #60�# .�/���#3���=/6$�=$B0!��')#�&*/���# 0 ��� � � 56')8 ��/�.

VE

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � O4U

• �,� � � � .e� �4fN� �4./� ��f(!M��3��� �3 bu�� 1U�I�5������ ��(Fex��"'�,� �_"0��5 �*) 1 ���4����(,�����7��A���5 ���_������5 ;G4D

�����?� ��(��a(��Fj�?��(W�W� �+�,�a�O���?�_���{" ��)n���1��������I��) �8� �����,(g�,�?���(�"0����� �?�����G��������q5�� 1 ���W�?����E{�?�����S��"6��I���+�����4���I�

h��"/�?� �Y(�;7�E��_������5 ;J<m�,�7��q��(�<l�W� �����

q · vh = 0 mod 1�� 1

p · Vh = 0 mod 1<t��� 1 �+;O�+� 1 ���I�,����#SXZ���D��� ���^�,�����H�*)T�4� �>��� ���4���4���I�F�(,��?��(�" �G�������,� �

"0�����8�+�tE+��� (*�?�?����I�Z����6�,� ��(,�6; �,� �G��1���1Y���8����#wb 5 #=I EHeF<>�W� ��EF�Y��,�'���(����,� ��,�����I��) �8� ���+�,(n��"�,� �tzg����?�������� �+�?��,���,(p��">�?� �!5 �H� �������+�x�I�5 ���n���,��5 ;�#\XZ� �!E+��� 1 �N�?�����a"0���J�?� �!���{" ��) �8� �G��� ��4���4���I�Fx�x5�(��/�O�~"05 �787������1}"0���W��I�

h< �?� �+���N�WE|��D�O�~����(*�F��,��1����|��,���Y�(

p · V = 0 mod 1 ,b0"0���

V1���1

V2���A

N × A M����� ��"0����1 (Fe b 5 #=I�s�Ie

p · Aα = 0 mod 1 , α = 1, . . . , 6 ,b 5 #=I�s���e

�W� �+�,�Aα

����x]B����(,��������� �+(�#2XZ� ��(��q(��Fj�?��(~�,�?�� (*"0���,� �����,� �4�1 �������I��,�+; �,�+(,�+�H�?��?��������"G4D

#m�l�,� �G��1 �+1��?� ��m� ���m����GE@;1?W���+" �*)T�4� �>��� �W�8���8�+�H�?p��" �,� �t�,���>) 1 ���4��� (������ ��IEF�7�������1

�:��(,��� (Z(?��,��(*" �}�,�G(+#pb 5 #FI�s�e < �{���+�D�,� ��5 ���M�,� ��,�� �}��(A� ���Z�,�+1 5 E��+1J< �?���~�I�5 ���'(��G�8�4�+�,���E�����:�~� �������+� �

• �,� ��(��=(��Fj�?��(Y�W� ��(,�=���{" ��)4�� 1��,�����I��)T�4� �G��� �oE����4;O��� ���I�?(M�,�?���(�"0����� � ���I�,�,���G������N�U�� 1(,��?��(�" �}�,� �a���I����,���� E+�~E���� 1����?�����

p · Vh − q · vh = 0 mod 1b 5 #=;�?Ie

E+��� (��,���,5��?�.�?���4(���)TE��������1 �� +� �&3K��f � � � .e� ��f �_* .2����fG� ��"t���,����"0����1=�8�G1 ����(�#.XZ� �q����*)����5 (�8��,�,���(*�F��,��(~"0����� (��+���+�?�� r o r�� EF� ���,��N) �x5 �N�?��;����+�,(�#XZ�������~���5 �����,�?���(�"0�����}��,�����; ����;:�����,���+(g�W���?�_����(,;:��E{�6�,� G4D

1���;:��� 1����D�,� �����g�4���8�+�I�Fp#

� � � � � S � N �!L W � K W L XYM �

���������4�>1���(2��"g�T�W��(*�?�+1�(,�+E+�?���,(Tk(,`)

����M�(�(,�GE���j�?��19�?�D�?� �4E�����(��?��5 E+�,��� �������+�8�+�I�?(g��"g�?���

82C>��1=;:�����H�,(�#W�W���H5 ���,�����8�?����(��?��?�+(6�,�}�:���8�(,(�����(�('�E�E���5 �I�?('"0���W�?����"0������� �W��� �qE+��� 1 �N�?����� (W����?���2���+" �*)n�� 1D�,�����I��)T�4� �G��� �x�4���4���I�FNJ

14m2

L = 12p2��� + N − 1 + δc

!= 0 ,

14m2

R = 12q2��� − 1

2+ δc

!= 0 ,

b 5 #>;26 e

�W� �+�,�δcE������,��(�;O��� 1 (��,�=�EF� �� ���M���o�,� �}P+���,��;O�����I���+� �������9�,������?�+1^�?�D�?� �}�; ;:�|��,�� E+�}��"

�T�W��(*�?�+1���(�E�������j�?����(α

a/a−ηa

#lR �6��(Z� C>; ����(,(���1��I�

δc =∑

a

ηa(1 − ηa)b 5 #>; 5 e

�W���,�ηa = va

g mod 1< (,5 EF�_�?� ��

0 < ηa ≤ 1#!K7���A�8�(�(,���+(,(Z(*�F��,��(�<���� �~E|��_�W�����,�'�?� �6�T�W��(��,��1

b0"0�,�E+�,����� �� e!��(,E+��������?���A�H5 �x�:���N�(

N =

3∑

a=1

ηa(Na

g + N∗ag

).

b 5 #>;1<Ie

%6�+�,��<Na

g

�� 1N∗a

g

��,�9���I�,�����+�D��(,E���������?���}�G5��x�O�+��<~E+��5 �I�?��� �h����(,;:��E{�?�N�����N���?� �9�H5 �x�:���D��"� C>E+���Fj�?����� (Z���Y�?���2���������4����; � ��E

a�� 1���H�,��� �������4���,;�� ��E

a1 ���,�+E+�?����� (+#

O4l ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

� ��./ �3�#$�4�k* .2������ ����.e3�fXZ� �4�?�?�� (�"0�����}j�?�����9��"Z���{" ��)'�� 1o�,�����H�*)T�4� �>��� �_(��?��?�+( |p ��� 〉L, |q ��� 〉R

5 � 1 �+���?���M�E{�?�����o��"Z������ ���,�?��*�YE��+�H�,�?�����P+���/�����+�8�+�I�

hE|��=���(��8�:�����|�1��*+�"0�,��� �,�G(+#lb 5 #=D�sIeZ�� 1Qb 5 #FI ?Ie <��W� �+�,���t�

�7|���2��� �N�}�,�4(�5 � (*�?���,5��?�p"0���

p ����� 1

q"0���

q ���#

K75 ���,� ���+<���5 (��6�(Z���_�,� �~5 �I�T�W��(*�?�+1�(,�+E+�,����<7�������}�,� �a��(,E+��������,���A� C�E+���?��?����� (g���_�?���~E����4;7�E{�1 ���,��E{�?����� (

a�� 1

a�?�,�� (*"0���,� � ���I�?�����G���������#vXZ� �+���Z�?�,�� (�"0���,�8��?����� (g��,�a���������D�I�

αa−ηa

h7−→ e2πivah αa

−ηa

αa−ηa

h7−→ e−2πivah αa

−ηa

b 5 #>;�EHe

�l5��,�,��� �M�{���+���H�?� ��� �M�?�����+�,� ���+<O�?���xE����4; ���+�?�a�?�,�� (*"0���,�8��?�����D; �7�(��x��"n}�8�(,(����+(,(6�T�W��(��,��1(��?��?�+(W�,�|�1 (

Φ = e2πi [p ��� ·Vh−q ��� ·vh+( eNg− eN∗

g )·vh] Φvac ,b 5 #>;@:�e

�W� �+�,�a�?� �~���E�5�5 � ; �7�(,�

Φvac = e2πi [− 12(Vg ·Vh−vg ·vh) ] b 5 #>;1DIe

�����(,�+(Y�(8E���� (����H5 �+� E��9��"~�?�����������8�{�?�,��E|��W; ����;:�����,���+(M��"~�T�W��(*�?�+1�(��?����� ��(=bcE{"$# �; ;:��� 1��7CL��"�,�{"$# �=IkE*� e #

� � � ��� � �3 ���

� ��� �#W

XZ� �Z�4�>1�����(*�?5 1�����1.�����,�g�A�(!; ����(,�+�I�?��14���.���+"0(+#��H<�E <aE@s ��#\RT�q�,� ��(��g�A�����H(�<I�?� �E8×E8

� �+�,�������?��E(��,�,��� ���A�(xE����8;7�E+�?�787��1o���QgA

3���,� �N"0����1��W���,�S��:��������o���x�:��1 1���� ���� 1��T�t��]B����(����^����� �+(�#

%6�+�,��<7���+�g5 ( 87�,(*�/(��?5�1��M�?���~(,;:��E+�,�,5 � ��"p�?� �a�4�>1 �+�����M�?� �a���(,����E��2��"p]B����(����M����� �+(Z�� 1Y�?�����E���� (,��1 ���Z�?���2� +��+E+�/��"&�?� �+(,�2�7�EF�H������5 � 1 87����1 (�#XZ� �4���x�:��1 1���� �_��"t�?� �q;:�����I�a������5 ;9���I�?�Y�?���4���5 ���q1 �+���,�+��(2��"t"0�����+1 ��� ��(~EF����(,�+�o�?�D�:�

���N�����D�I�M�?���2(�� ��" �Z����E{�?���

V =

(1

3

4

,2

3, 03

) (2

3, 07

),

b 5 #>;@I�e

�W� ��EF�J<\�,�����+�,� ���a�W���,�o�,� �8�T�W��(��2����E{�?������"ZVA3

����� ��"0����1J<v = (0, 1/3, 1/3, −2/3)

<&(?��,��( 87��(�?���2�4�G1 5 ����A���I��������� E+�~E�����1 ���,�����J<>����#&b 5 #>Ee6 e{#

� +� i�T3K�QfN�)� f �����4�3'(���1 �"0����� �,� �S87����1 (

Gµν < Bµν ���1 ϕbc�� 1Y�?� �+���g(�5 ;:���,; ����,� ����(Fe{<7�t�a�7|���2� ��� �'�������4�+�,�,��E|��

�4�>1 5�������"\�,� �~�T�>;:�

|q〉R ⊗ αa|0〉L .b 5 #>;1;Ie

XZ� �{�_��,��(,�a�(g"0������� �W(+#mRT�Y�?� �2�� (���� E+�a��"\]B����(����Y����� ��(+<>�?����?�?�� (�"0�����}j�?�����M; �,��;O�+���?����(Z��"&�?���(��?��?�+(W���M�?���~���,� �N"0����1}(,;:��E+�,�,5 � ��,�~1 �{�?�+�,�4��� �+1Y�H�}�?� �a�E{�?�����Y��"p�?� �a;:�����I�Z���,��5 ;Y����� �+�?��,��1

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � O+m

�I�θ#qXZ� �+�,�+"0���,��<&1 �+� ���?��� �

% = e2πi/3 <w�t�8E���9E����(,(,�N" ���,� �q�,�����H�*)T�4� ������(a�E�E+���,1���� �Y�?�_�?����������������I�����5 ��(g�W�N�?�D�,��(�;O�+E+�W�?�q�?���~(,;7�E+�����,��5 ;_�+�����4���I�

h = (ϑ, 0)J

%0 : |q〉R�W�N�?�

q = ±( 12, 1

2, 1

2, 1

2), ±(1, 0, 0, 0) ,

%1 : |q〉R�W�N�?�

q = ( 12, 1

2, −1

2, −1

2), (0, 1, 0, 0) ,

%2 : |q〉R�W�N�?�

q = (−12, −1

2, 1

2, 1

2), (0, −1, 0, 0) ,

b 5 #>;1sIe

�W� �+�,��<:�(W5 (�57��u<��?� �a5 ��1 ����(,E����,�21 ��� ���?��(6�����;:���,��5��F��,������(�#n��Y�?� �a���,� ���W�7���1J< ���{" ��) �8� �G��� ���(�E���������,���,(n�W���,�D���I�?�����7��w��� 1 ��E+��(W���(,�x�,�?�� (*"0���,� J

%1 : αa−1 ,

%2 : αa−1 .

b 5 #>s1?Ie

XZ� �+�,�+"0���,��<H"0���!�|�EF�ME����4; ��� C.1����,�+E+�,�����a�t�'���>�F����4(��7C

(%1)R(%2)L

���H���������I�!(*�F��,��(t�� 1}���?� �+�(,� C4�W���?�

(%2)R(%1)L

#!%/� �A�{�����+<7� ���,�6�?� ��A�,� �6"0�����8�+�t(*�F��,��(Z��,�E+��� ��5 �Ij�?�6�,���?���'��j�,�?�+�t��� ��(+#X&�����+�,� ���+<&�,� �+�����I�?�+�����H�,�D_(���� �����.; �I�G(,��E|��l(*�F��,��<&(,�_�?�7��a�N�a��(~�+� ��5 �����?�DE���5 �I� ( �%� � !������ *((��?��?�+(�<\��# ��#M(*�F��,��(a�W� �����8�?���}�/��4��� 1hbc�7��N"�)T���H�,�����+�Fe

SO(8)�t�������H���7�(

q0 = −12

# � � RT�o�?���; ����(,�+�I�}� C ��8; ����<!�A�DE���5 �I�8��� ���o�?� �_(,� C

(%2)R(%1)L���H���������I�.(*�F��,��(+#hK75 �*�?� �+�,�4���,��<t(���� E+�

r o r�� ��(/; ����(,�+������1J<w4; �I�G(,��E���&(��Fj�?�2��"m�?����(�;O�+E+�?��5 � �x5 (��6E����H�?�����}�/��4��� 1_�A�+�����I�'���������W���,�Y��}-6�+����5>)$d>EF�I�g��,P}bc���I�,�����+�Fem�A�+�����I�|#lRT�8�?� ��(t�A ��<��t�E����4�/5 ;}�?���?� ��������H���������I�n(��?��?�+("0���n�|�EF�}��"��,� �6�,� �,�+�'E����8; ��� Cq1����,�+E+�,����� (+<G�(A���N���+�}���4����#�b 5 #>;1;IeF#nzA���x�����7��,������(l��"J�?����(,�6� ������4�>1 5�����E+���,����(�;O����1��?�.�,� ������� �~��� 1 ��;:����1 ���I�61 �+"0�����}j�?�����Y;7��?��8�{�?����(W��"\�,� �aE����4;7�E{�/(,;7�E+���"v A

3

���,� �N"0����1 �Hs1s��u#XZ� ��5��G���,���������I�5��������,��5 ;L�7�(4�?����U(��7CG�?�+���k�:��E��5 (�������/zg����?��h���+� ���,��?���,(}�������+�h���

����#/b 5 #FI ;Ie�����Y���I����,����I�|#9XZ� �_� C>; ����E��N�x� ���|��H�����9��"E8 × E8

��(.���>�F���� ��1��,� �,��5����S�?� �Y���+" ��)�4� �G��� �_�8���4���I�?

pb0��# ��#q�?� �4�,�G���?(a��"

E8 × E8

��������#tb 5 #FI��e,e(?��,��(*" �>��� �p · V = 0 mod 1

#XZ� �+�,�D��,� I 5 ���I����,����H�x�8���4���I�?

p"0�,��� �?� � 87��(��

E8

�� 1 ;�E="0�,��� �?� �Y(���E���� 1E8

"c�E+�,����#3Z1 1 ��� ���,���?� ��(t�H5 ���O�+�A�?� �6�������I�Wzg��*�F��M����� �+�?��,���,(t��"p�|�EF�

E8

; ��� �>��1 ��(n�?� �'1 ���4��� (������ ����N�T���"6�?� ���1 �������I�q��"'�,� ��5��G���,�������k�I�5 ���_���,��5 ;J#hRT�U�?� ��(qE|�(��

72 + 8 → 80E����,�,�+(,;:��� 1 (q�?�

�?���M�1 �������I�2��"SU(9)

���184 + 8 → 91 ⊕ 1

E+���,����(�;O����1^�?�_�?� �}�1 �������I����"SO(14) × U(1)

#XZ� ��E������,��(�;O��� 1 �����o�4���4���I�F

pE+��� (*�?���,5��?�_�?�������>���,(q��"�?����5 �H� �������+�k�I�5��������,��5 ;�#kXZ� �

���{" ��) �8� �G��� �.(*�F��,��(W�W���,�_�,� ��(����4���4���I�F |p〉Lb0�,�?���(�"0�����8��� �4�(

%0 eg�,��� (����Z�?�����+�?�����W�W���?�_�?������I���������I�8b

%0 e�������I��) �8� �����,(a��"A����#tb 5 #>;1sIe #Yd>��� E��q�?���8�H5 �x�:���a��"A���{" ��)TEF�����?��m(��?��?�+(����N����(a�?����x5 �N�?��; ����E����T�9��"(��Fj�?��(+<g�A� 87� 1h�,�7��4�?� �+(,���I�5 ���D�:��(,����(M�; ;:�|���<g�(}� C>;:��E{�?��1�</��� ���S��� E���#XZ� �+�,�+"0���,��<7�,� �a���,� �N"0����1M�E+�,�����Y�W���,�Y�?� �a(,����" �Z���+E+�,���W����#\b 5 #>;@I�et���,�|��G(W�?���2���5 ���~������5 ;��(

G = E8 × E8 −→ G4D = SU(9) × SO(14) × U(1) ,b 5 #=sN6 e

�W� �+�,�a�?� �U(1)���+� ���,��?���Z��(W���������_�I�Y�?� �~����E+�,���

t =(08

) (−18, 07

).

b 5 #>s 5 e� �� /���' ���B#3������' &-')0��=�6$�#3���=/6$ / � 8 �(��. #%<�� �!>?� 0 #%.�9(�=��. #%.�>�E

O�� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

�������4;��,��E+��(�������<\���=���,1����~�?�D1 �+�,�����8��� �x�?� �q5 �H� �������+�^�I�5 ���q���,��5 ;J<p��� �q�7�(~�,�_�?����q�?���72+84

���I���������I�p�,�G���,(p���1�EF� ��(,�t/�7�(,��(J�,�7�� 82C>��(\W(,���4�����,1 �+�,�����Z���~�?� �l�t�������I�v(�;7�E�� � 6�?1?��u#

K7�,��� �?� �a(,�+�8�����,1����,��� � < ��� ��E����87� 1��,� �a(,���8; ���~�,�G���?(αi

<�1 � 87� ��1��(W�?� ��(��a�,�G���?(Z�W� ��EF������;:��(,�N�?�������� 1�E|�� � ���'�O�2�W�,�����?�+�=�(6�,� ��(�5 � ��"m�T�t�M;O��(,���,���������>���,(�#6�l�,� �G��1 �+1��?�7��/�?�����,�G���,(�7|���Z( �H57��,�+1.���+� ���?� 5 <���� �tE|��x�,� ���.E+���4; 5��?�n�?� �Zzg����?��.�}j�?�,� C

Aij = αi ·αj

"0���v���EF�.�I�5 ���������5 ;�"c�E{�?���

Ga

b0��# � #2"0���SU(9)

e <��W� ��EF�91���(,E+�,���O�+(25�� � �H5 �+���D�?� �q������+� �?�#23 �4���,��1 �+�?�������11 ��(,E�5�(,(,�����^���o� � � �,�������F����=�?� �45 �H� �,�������S���5 ���q������5 ;9���9���,� �N"0����1=E+���4;7�E+�,�987E���?����� (~E����:�a"0��5 � 1_���_(,�+E+�,�����<�# 5 ��"v���+"$# � 6�?26��u#XZ� �D5 �I�T�W��(��,��1kEF� ��,���+1L�8����?���.��(."0���,�4��1Q�I�S�?�+� (,������� ���?�����+�,� ���q���{" ��) �8� �G��� � |p〉L

�� 1�,�����I��) �8� �G��� � |q〉L

(��?��?�+(A�W� ��EF��< (,�+;7��?j�?���N��<��E��H5 ���,�� ���H�,�,�N�>����7�?�,�� (�"0���,�8��?�����8;��7�(,�+(Z5 � 1 �+��?���}�E{�?�����o��"

h = (ϑ, 0)#MXZ� �+�,�M��,�

2 [84 + (14 + 64)]�8���8�+�H�?

p"0�,��� �,��#Ab 5 #=I�Ie'�W� ��EF�

�����1}�,�x� ���I�?�����G����O; � �(,�+(g"0���t�,� ����{" ��) �8� �G��� �2(��?��?�+(�J84 + (14 + 64)

��"w�?� �+� �?�,�� (*"0���,� �W���,��;��7�(,�

%1 ���1o�?���8�����8���� ��� � 84 + (14 + 64)�W���,�

%2 #_�D���,�+� �����+< 2 × 84�4���8�+�I�FYE����4�

"0�,��� �?� � 87�,(*�E8

�W� �+�,�|�(2× (14+64)

E����4�/"0����� �?���'(,�+E�����1M��� ��#lXZ� �'�I�5 ���/; �,��;:���*�?����(n��"�?���x(��?��?�+(a��,����� E+�>1 �+1������,� �x�4���8�+�I�F

p#~XZ� �.� ��� ��O�+��������I�5 ��� �H57��H�,5 � �H5 ���O�+�,('�W�N�?�

�,�+(,;:��E{�6�,� G4D

< ����#\b 5 #>s26 eF<7����a�����F���� �+1D�I�Y���+�W�����?��� �.�?� �~�4���4���I�F.�����/�>���G��������:����(KJ

p → pDL(Ga) = (α1 · p, . . . , αn · p)"0���Z���EF�

Ga ,b 5 #>s1<Ie

�W� �+�,�αi��,�a�?� ���,�G���?(/��"m�,� ���I�5 ���a"c�E+�,���

Ga ⊂ G4D��"l�?����

n#6zA���8; ��,��� �.�?� ���8���4���I�?

���9�6�G� �H���^����O�+��(pDL�W�N�?���?� �q����(,5����?(a�����,� �q�F�� ����(~��"A�,�{"$# �76�? 5 ��<w��� �8��1 ���I�,�987�+(�?� �4�,�+; �,� )

(,�+�I�F��,����� (+#^RT�Q��5 �.� C���8;�����<m�t�_(,5 �4�8��,��P��8�,� �Y; ����;O�+���,����(.��"/�,� �Y���{" ��) �8� �G��� ��(��?��?�+( |p〉L�I�|p〉L�W���,�

%1 ∼ (84, 1)0 ⊕ (1, 14)+18 ⊕ (1, 64)−9 ,

|p〉L�W���,�

%2 ∼ (84, 1)0 ⊕ (1, 14)−18 ⊕ (1, 64)+9 .

b 5 #>s�EHe

XZ� �U(1)EF�7��,����<O1 �+� ���,��1=�I�_�?� ��(,5 � (�E�����;���<���(/���N�������H�

t · p <:�W�N�?� t����; ����(����I�?��� �}�?���

U(1)���+� ���,��?���'���������������,��#!b 5 #>s 5 e #2Kv���7�������<:�,� �.; �I�G(,��E|��m(*�F��,��(a������?���.�,��(�5 �����"nE����x����� ��� �}�?������{" ��) �8� ���+�,(t1 ��(�E��,���O�+1M���}����#wb 5 #=s EHel�W�N�?�4�?� ��������I�t�8� �����,(A���������M���}����#Jb 5 #>;1sIe <G�W� ��EF�Y; �,� �G��1���?���.(��Fj�?��(�W�N�?�9M�x5 �N�?��; ����E����T�}"c�E+�,�����"!�?���,����#�36�I�����<���� � 8 � 1 (~�?�7j�

(%1)R(%2)L���+" ��) EF� ���,��

�W� �+�,�|�((%2)R(%1)L

��,�~�������I��) EF� ���,������I����,����H�g(��Fj�?��(+< �?�H5 (W�?� �{�Y���I�,���Z�?�����+�?�����W���I�?�.;��H�G(���E|��(��?��?�+(�#!XZ� �25 �I�T�W��(*�?��1�EF�7�������1D�}j�,�?�+�Z(,;:��E{�?�,5�� ��(

3(84, 1)0 ⊕ 3(1, 14)−18 ⊕ 3(1, 64)+9

� i�&3K��f �+� f �����4� 33'(A1 ��(�E�5 (�(,��1_���}(,�+E+�,����� 5 # 5 #><�<H�?� �ZA

3���,� �N"0����14�7�( 5 I 82C>�+1D;:�����H�,(t���Y�|�EF�Y��"p�N�?(!�T�A�x�T�W��(��,��1

(,�+E+�,���,(+<A����O�+����1T1�� 1

T2"0���x�?� �_�E{�?�����S��"

ϑ1 �� 1 ϑ2 <n����(�;O�+E+�?�N���+����#^X&�W��(��?�+1L(*�F��,��(4��������F�EF� �+1~�?�Z�?� �W8NC��+1�;:�����H�,(�#pXZ� �{�2��,�m1���(,E+�,���O�+1��I��,� �l�8���8�+�H�?A(?j�?��(*" �G��� �g�,� �l�}�(,(,����(�(,� �+(,(E���� 1 ���,������(t�,�:#Jb 5 #>;26 eF<

q ��� = q + vg

�� 1p ��� = p +Vg

<>�W�����,�p ∈ Λ

<>�� 1vg

�� 1Vg

1 ��;:����1Y����?���2E+��� (*�?�,5�E+�?��� �4�����+�8�+�I�

gbc(����a����#\b 5 #F:�s�e�e #

�w�+��5 (�E+���4; 5��?�q�?���8(�;O�+E+�?��5 �s��"A�,� �i8 �,(��2�T�W��(*�?�+1^(,�+E+�,����#DzA����(,��1����a�?� � 82C>��1�;:�����H�2j��?���'�����������J#\R �,(AE+��� (��,�,5 E{�?��� ���+�����4���I�t��(

g = (ϑ, 0)�G�?� �+�,�{"0���,��<G�,� �'���>E��� �T�W��(*�A���+E+�,���A��(

vg = v

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � O�!

(9, 1)12T2

�������! #" �H&�$��H' ��3 1245":9;?5/P"-35<7":6;F�� ��J�/#683 J���35"7/��H9;J�J ��!"7>%,�68��3 1#/ 9; #":>!"-� "-35"- P9;1#"�&%� 45" 1�BY��/21#"7>� 9;121#"- :<7683 1#"-3 1:<768 2 #"7/2,�6835> 1245"-3@1#6 ���C<768,!��"7/ 6;F

(9, 1)12&

�� 1o�?� �8���GE|��l(�� ��" �2���+E+�?������(Vg = V

#�d>����E��8�,� �8]B����(����o����� �+(���,�8�,�,�N�>����m���o�?����(2� C���4; ����<� ���,��E+���?�7j�'�?���.���GE|��w�T�W��(*�a�� 1=(�� ��" �'����E{�?����(a��,���?� �x(,��4��"0�������&E���� (*�?��5 E+�,��� �Y�+�����4���I�,(��"�?����(�(���E{�?���+#�XZ� ���S�N��"0������� �W(a�?�7j���?���M�}j�,�?�+��(�;O�+E+�,�,5 � ������EF�S��"Z�,� � 82C>��1S;:�����H�,(���(��?���(?��8��< (,�q�?�7j�/�,� �~(,;:��E{�?��5 � ��"&�?� �a(,�+E+�,���6��(Z���������_�I� 5 IxE���;�����(W��"&�?���2�8����?���g��Z�?� �a�����������J#XZ� �2E���� 1����?����� (g���D�,� �a���+" �*)n�� 1D�,�����I��) �8� �G��� ���8���4���I�?�"0���Z�}�(,(,����(�(/(*�F��,��(W�,���1

p2��� = (p + V )2 !

= 2 − 2N − 2 δc = 43− 2N ,

q2��� = (q + v)2 !

= 1 − 2δc = 13,

b 5 #>s@:�e

�W� �+�,�8�t�}� ���85�(,��1^����#gb 5 #>; 5 e'�?�DE����4; 5��,�δc = 1/3

#MK75 ���,� ���+<v(���� E+�V 2 = 4/3

�� 1N��(

� ����� ���Ij�?������<J�,��#lb 5 #=s@:�e/�7�('(,����5��?�������������D"0���N = 0

#~XZ� �����.����x��� �N������� �p ����� 1��T�t�

q ����?� ��W(,���N���a����#\b 5 #=s@:�e J

p ���J (

−23, 1

3

3, −1

3, 03

) (23, 07

) <q ���J (

0, 13, 1

3, 1

3

) <(

13

4, 2

3, 03

) (23, 07

) < (12, −1

6, −1

6, −1

6

) #(−1

6

4, 1

6, 1

2

2, −1

2

) (23, 07

) <(−1

6

4, 1

6, −1

2

3) (

23, 07

) #

-6���?��E+�/�,�7��t�?� �6(��Fj�?��( |q ��� 〉R ⊗ |p ��� 〉L��"J�,� � 87��(��t�T�W��(��,��1Y(���E+�,���g��,�'�������I�*)TEF� ���?��&b

q0��� = +1/2"0���g�,� �2�6��4��� 1Y�4���4���I�?5��Me #

R �6�,5 �,��(6��5>�/�,�7��/���Y�,� �T1

bc�� 1TN−1

eg(,�+E+�?���6��"MAN

���,����"0����1 (Z����J(,����5��?����� (g�,�4�,� ���8�(�(���H57j�?�����}���I�,���g���H�,����M���I����,����I�n(��Fj�?��#lRT�8���?�����t�t����1 (�< ./%T%M3 ��.2��f 3)# �k��* � � f 0"�k3K� � �&3K��f �3�f �����4� .2�kf �T �2.e�k�&.e +� �� �� f � � ��f)����!��&# �+%&�.e�����&�� #\XZ���A�,���(,���x��(&�(p"0������� �W(�#&XZ� �A�+�����4���I�,(h��"&�,� �aE��+�H�,�?�����P+��� Zg

E�������(��.�O�~� C�;��,��(�(,�+1��(gi �W���,� i = 0, . . . , N − 1

#lRT�_�,� ��(ZE��(,��<7��� �E|��D�����,�N" �M�?� ��W�8���8�+�H�?

p ������1

q ���(,���N�G��� �x�,� �a�}�(�(,����(,(�� ��(�(6E+��� 1 �N�?����� (W��N�g|�G(W(?��,��(�" �

p ��� · Vh − q ��� · vh + (Ng − N∗g ) · vh −

1

2(Vg · Vh − vg · vh) = 0 mod 1

b 5 #=s�DIe"0���W��I�YE+���I�?�,�����P��+�Z�����+�8�+�I�

h#

XZ� �����+"0������<W����g�?� ���8���8�+�H�?p ����� 1

q ������������k��O� ����(,5 �*�G�����D�?� �D����� ��"0����1Q; �,� ���+E+�,�����J<

; ��� �G��1 ��� ��<�����E���� (,��1 ������� �'����I�?��� 82C>��1�;O�����I�?(v��" �?� �T1

(,��E{�?���+< 5 IW�,�����H�*)TEF� ���?��I(�5 ;:���,��5 ���,��; ���+�?(�W� ��EF�D�,�?�� (*"0���,� �(

27(9, 1)−12

b 5 #>s@I�e

[" ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

5 � 1����W�I�5 ���a�,�?���(�"0�����}��,������(�#RT�D�,� �

T2

(���E+�,����< �,� �~(,�N�?57j�?�����M��(Z(����4�������#&3'(Z���Y�,� �T1

(,�+E+�,����<7�N�Z(,5��4E+��(W�?�.E���� (,��1 ���Z�?���E���� (��,�,5 E{�?�����x�������4���I�g��"w�,� � 8NC��+1_;O�����I�g��t�?� �'���,�������

g = (θ2, 0)���1ME���5��H� 5 I2E+��; ���+(g��"w�,� �

�(�(,�GE���j�?��14�8��,�,���!E����I�,���I�|<>�(n������5 (��,�?��,��1.��� 87��# 5 #96Q?�#mXZ� �6�(,(��>E+����,��14�}�(,(,����(�(t�4���4���I�Fa�������N�����D�I�

p ���J (

23, −1

3

3, 1

3, 03

) (− 2

3, 07

) <q ���J (

0, −13, −1

3, −1

3

) <(−1

3

4, − 2

3, 03

) (− 2

3, 07

) < (−1

2, 1

6, 1

6, 1

6

) #(

16

4, −1

6, −1

2

2, 1

2

) (− 2

3, 07

) <(

16

4, −1

6, 1

2

3) (

− 23, 07

) #

d>��� E���,� ��(��2�4���4���I�F�1 �/+O���A"0����� �?� ��(��a��"p�?� �T1

�H�M.(,�����J<>�,� �~(��?��?�+( |q ��� 〉R ⊗ |p ��� 〉L��"&�?���

T2

(���E{�?���~E+���,����(,;:��� 1=�,�M�?� �xE+��� ��5 ����?�.��"l�,� �.(��?��?�+(~�����,� �T1

(���E{�?���+#x�� �.E���=��������" �D�?�7j��?����(,�2(��?��?�+(W�7|���a�?� �~"0������� �W��� ���I�5 ����,�?���(�"0�����}��,������(

27(9, 1)+12 .b 5 #>s1;Ie

-6���?��E+�2�,�7��/�?� �+(,��(��Fj�?��(��,�2���{" ��)TEF�����?��p�� 1J<7�?�����,�{"0���,��<�E+���x� ��� �2�W�N�?�_�?� ��(,��(*�F��,��('"0����� �?���T1

(���E+�,���Z�?�q"0���,� E����4; ���+�?� r o r�� �x5 �N�?��;����+�,(�#RT��(,5 �4�}�����<:�?� ���}����?�+�'E����H�,���I�a��"!�?���x; �,�+(,�+�H�PA

3

���,� �N"0����1��8�G1 ���&��(6���������=�����?�����8(6��"�?���2���5 ���~����; ����(,�+�I�F��,����� (/��"&�?� �a(*�F��,��(W�I�

d>�+E+�,��� ��j�,�?�+�WE����I�?�+�I�

U 3(84, 1)0

3( 1, 14)−18

3( 1, 64)9

T2 27( 9, 1)12

]o�2���8�N�g� �+�,�a�?� �a���, �G�N�T�M�x5 �N�?��; ���{�|<H�?� �a�4�>1 5����J�� 1����5 ���~�:��(,��� (�#

�K ��@%&�����& � ( �T%&3��� bd�T f 3]o�2���I�?�,�G1 5 E+�~� � � �?���a�T�t�q]B����(����Y����� ��(Z�������+�_�H�Y�,� �~���+E+�?���,( �><�E�< E@s��

A1 =(07, 2

3

) (0, 1

3

2, 05

),

A3 =(

13

3, 2

3, 1

3, 0, 1

3

2) (

13

2, 06

).

b 5 #>s1sIe

]B����(,���_����� �+(Aα

��,�a�I�5 ���a�,�?���(�"0�����}��,������(Z�(,(��>E+����,��1_�?�.�?����� ��� E����I�,�?�E{�?�������~E+�GE+����(/���_�?���1 ���,��E{�?����� (

��"&�?����E+���8; �E+�/(,; �E���#A]^�2�7|���2(,�+�����:�+"0���,�~�?�7j�|<�1 5 �~�?�q�?����(*�?�,5�E+�?5��,����"v�?���E����8;7�E+�x(�;7�E+��<l�?� �8]B����(����^����� �+(���" A

3

���,� �N"0����1�(�(,��?��(�" �Aα = Aα+1

�W���,�α = 1, 3, 5

bcE{"$#����#&b 5 #=<1:�e,e #

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � [��

`a�+���4�+�?����E���v�4�>1�5 ���u<O�?���.���?|�G���,���J<J�?���41�����j�?���=�� 1=�?� �4��I�?��(��G�4�8�{�?�,��E��?�+� (,���Z8 ����1�(~1 �� ���_"0�+���~�?� �9; ����(,�+� E��o��"��,� ��]B����(����B����� ��(Y�:��E��5 (,�9�?� �+���M�,�?�� (*"0���,�8��,������; ����;:�����,���+(D��� ���1 �+;O�+� 1=�����,� �����+���4�+�?�*�_��"l�?����E����8;7�E+�6(,;7�E+�_bc�������,� ���/�A���,1 (+<J�����,� ���T�W��(��'����E{�?���

v�� 1

�?���8�������I��) �8� �G�����Y�8���4���I�?qe{#M`2�5 ���q�O��(,��� (a�W���,�o���+" �*)T�4� �G��� �Y�8���8�+�H�?

p<&���9�,� �4���?� �+�

�7���1J<7�7|���a�?�q(?j�?��(*" �Y�1�1 ���,�����7������

p · Aα = 0 mod 1b 5 #96�?�?Ie

���L���,1����q�?�^�:�D���I����,����I��b0E+"$#B����#'b 5 #=I�s��7e�e #[RT�U�?� ��(4�A|��<Z�?�����I�5 ����(*�G�8�4�+�,���Q��(q"05 �*�?� �+�� �������+�J#RT�8�,� �W; �,�+(,���I�A� C���4; ����<��?� �6�E+�,�����q��"O]B����(,���q����� ��(l���||���W���H���������I�!�������.�+�����I�!�4���8�+�I�F

p"0�,��� �?���Z8 �,(��E8

�� 1�E@?x"0�,��� �?� �~(���E+��� 1E8

#m]o�S87� 1Y�?�7j�|< �?�����+�,� ���g�W�N�?�Y�?� � 6�Dx���I����,����H�zg��*�F��x����� �+�?��,���,(+<��?� �{�xE+��� (��,���,5��?�n�?� �Z�1 �������I�\�,�+; �,�+(,���I�?��?����� (m��"7�,� �g5 �H� �������+�q�I�5 ���t���,��5 ;���Y"0��5��Z1 ���4��� (�������(

G4DAα−→ G ′

4D = SU(3) × SU(2) × [U(1)5 × SO(10) × U(1)3] .b 5 #76�?26 e

%6�+�,��</�t���7|���=(,�+;7��,��?�+1[(*�G�x�O������E�����N���W�7��Y�t���W�����6E������� �� &���� �� � ��( � ! �� & �q"0�,��� �?������%� ���� � ! �� & � <EF� ����E��0��5 (��,�987�+1 ���B�?� �o�; ;:�|��?�� E+�o��"��?���

SU(3) × SU(2)�I�5 ���="c�E{�?����(�#

�;��?���8��(��,��E|�������<������'E���5 ��1}��A�,� ��(n;O�����I�A(,|�8�,�7��A��8�G1 �+���W�N�?�8(,5 EF�D����5 ���6���,��5�;}��(A����G�G1E|�� 1 ��1 ��?�Z"0���n1 ��(�E������ ��� �2�,� �/(��F�� 17���1}�4�>1 �+�7��"J; ����,��E����W; �I�>(���E+(�#lXZ� �6�������H�

U(1)���+� ���,��?���,(

����2����:�����+1ti

�W���?�i = 1, . . . , 8

#3'� ���?� �+�x�,+O��E{�.��"Z�?���M; �,�+(,�+� E��Y��"W�����I�?�,�N�G����l]B����(,���o����� ��(���(a�?� �MEF� �� ���M��"Z�?� �M�8����?���

(,;:��E{�?��5 ��#/����I�_��"m�?���2"0�����8�+�,�N�M���I���������I�W�4���8�+�I�Fp���1

p �������2�����'���I����,����H�/��H�D�4���,�

�W���,�8����(�;O�+E+�n�?�2����������+�8�+�I�?(!��"��,� �WE��+�H�,�?�����P+��� b0(Fe #l�w�+�n5 (!"0�>E+5 (M87�,(*�A���.�,� �65��H�T�W��(��,��1}(���E{�?���+#XZ� �gE+���I�?�,�����P��+�\��"��?� �tE���� (*�?��5 E+�,��� ��+���+�8�+�H�

g = ( , 0)��(�<��(v�4���I�?����� �+1��:�+"0������<��,� �AE+���8;����+�,�

(,; �E��2���,��5 ;J#l3 �������1Y�7�(���(W��" Zg

��(Z���N�����_�I�

Zg = {(ϑ, 0), ( , e1), ( , e2), ( , e3), ( , e4), ( , e5), ( , e6)} .b 5 #76�? 5 e

RT��; ����,��E�5�����+<>�?�����E{�?�����_��"v�,� �a(,;7�E+��������5 ;D�������4���I�?(h = ( , eα)

���4;O��(���(W� �{� E�����(��?�,����I�,(���Q�?� �D�4���8�+�I�F

p��"'�?����5 �I�T�W��(��?�+1hEF�7��,���+1h�8��,�,����#hK7�,��� �,��#'b 5 #>;1?IeYb0�W�N�?�

Vh = Aα

e{<���Y"0������� �W(M�,�7��_�?� �+(,�9E�����(��?�,����I�,(�����9���(��U�������+�V�I�B�,�:#�b 5 #96Q?1?IeF# ]o�o��,�=�?� �+� ���+" �Y�W���,�2[(3 + 3 × 2 + 2) + 16]

�8���4���I�?p#g36" �,���Z�?�+� (,���,�����8���+" ��)A���1��������I��) �8� �G�����.(��Fj�?��(/�?�����+�?�����

�� 1.E+���4; 5��?��� �'�,� �����m�I�5 ��� �H57��I�?5�� �H5 �x�:���,(+<��A� 8 � 1.�?� �A"0������� �W��� �'�8��,�,���\�,��;��,��(����I�Fj�?����� (��"

SU(3) × SU(2) × SO(10)b �A�a���4���g�,� �

U(1)EF�7�������(?e J

3(3, 1, 1) ⊕ 3(3, 1, 1) ⊕ 3(1, 2, 1) ⊕ 3(1, 1, 16)

XZ� �4E����4; 5��?��?�����=��"A�,� �q�}j�,�?�+�~(��?��?�+(������,� �.�T�W��(*�?��1o(,�+E+�?���,(2���+�,(2�4�����4���I�����N����1��?� ���:�+"0������#ART�D�?� �a; ���+�G����5 (61���(,E+5 (,(�������<��t��� ����5�(,��1��?� �a"c�E+�W�,�7��|<7������ (,�+� E�����"v]B����(,���D����� �+(�<�?����(�����5��,������(x�?�^�8�(�(4�,�H57��?����� (8�� 1U�?� �D; �,������E+�,�����UE���� 1 ���,�����U�������1 ���I�,��E|��Z��}��I� 82C>��1;:�����I����"/����N�������T�W��(��,��1S(,�+E+�,����#�XZ�����,�{"0���,��<l���^�,�7���E|�(���<!���� 8NC��+1Q;O�����I�?(x��,�}1������+� ���,��?��#XZ� ��(�(,�N�?57j�?�����oEF�7�� ����(����o; �,�+(,����E��Y��"g]B����(����o����� �+(�#�zA��� (���1 �+��<v"0����� C ��8; ����<&�T�A��1��/+O���,�+�I�

[+� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

A3A1

T2

�������! #"��H&�$�$�'�� 45" 98<-12��683 6;F 1245" � ��J�/#683@J���35"7/A1

9;35>A3

J�� F 1#/ 1245"=>!"-� "-35"- P98<-A@6;F 1245" ��!"7>,�68��3 1#/ 6;FD1245" �5 #/#1 9;35> /#"7<76835> <76�� ,!J�" � ,!J9;35"7/�&��:681#" 124I9;1:1245" � ��J�/#683 J���35"

Ai��/ #"-J9;1#"7>

1#6 1245" >H�� #"7<-12��6835/eα

9;35>eα+1

6;F 1245" <76�� ,I98<-1 /2,I98<7"�&

E���� (��,�,5 E{�?�����S�����+�8�+�I�?(}��"~�?� �T2(,�+E+�?����J

g1 = (ϑ2, 0)�� 1

g2 = (ϑ2, e2)# XZ� �=�}�(,(,����(�(

�4���8�+�I�Fp ��� = p + Vg1

"0���g1E+���,����(�;O����1��?�4�?� ��(���"0��5 ��1����D�?� ��E|�(����W�N�?� ��5>�6]B����(,��������� ��(

�:��E|�5 (,�Vg1 = 2V

#mXZ� �W�,�����I��)T�4� �G��� �6�8���4���I�?��(l� ���n����?�+�,�+1.�H���?� �W���I�,�,�G1 5 E+�,�����.��":]B����(��������� ��(+#lXZ� �a(��?��?�+( |q ��� 〉R ⊗ |p ��� 〉L

��g1

"0���,� �,� �a�I�5 ���~�,��;��,��(����I�Fj�?����� (

1(1, 2, 1) ⊕ 1(3, 1, 1) ⊕ 4(1, 4, 1)b 5 #76�?1<Ie

5 � 1����Z�?� �a�I�5 ���a���,��5 ; G ′4D

�������+�����Y����#\b 5 #76�?26 ebc� C�E+��5 1���� �.�?���U(1)EF� ��,���+(Fe #

K7���g2

�?���'���GE|��:(�� ��" �n���+E+�,���gEF�7�������(A�,�Vg2 = 2V + A2 = 2V + A1

#!%6�+� E���<��?���'(,����5��,����� (�?�.�,� �a�}�(�(W���H57��,�����Y"0���g�,� �a���+" �*)T�4� ������(g�F����2q1��/+O���,�+�I�/"0���,� J

p ���J (

−13

4 − 23, 03

) (13

2, −2

3, 05

) <(

16

4, −1

6, −1

2, 1

2, 1

6

) (−2

3, 1

3

2, 05

) #

XZ� �+(,��� ��� �_�8���8�+�H�?o������ ���W���,�U�,� �D�,�����H�*)T�4� �>��� ���8���8�+�H�?q �����"'�,� �����,� �N"0����1��W�N�?� ��5>�

]B����(,���.����� �+(mE����8; ����(��g�?� �Z�8��,�,���l(�;O�+E+�?��5 � ��":�?��� 82C>��1};:�����H�v�W���?�qE+��� (��,�,5 E{�?��� �a�����+�8�+�I�g2

<�W� ��EF�=��(6�W�������?����1 � �W�9�����,���,�4(��"l�,� �xE+���,����(,;:��� 1���� �M���5 ��� �G5 ��I�?5 � �G5��x�O�+�,(qb0� C>E���5 1 ��� �U(1)EF�7��,���+(Fe J

9(1, 1, 1) .b 5 #76�?�EIe

XZ� ��1 �/+O������� E+���O�{�T�A�+���V�,� �=�8��,�,���ME+���I�?���I�_"0���g1

�� 1g2

<'�,�G(+#2b 5 #76�?1<�e}�� 1 b 5 #96�? EHe <�8����+('�8�� ��"0�+(��/�?�7j�']B����(,���D����� ��(/���N" �W�?� ��1 �����+� ���,�E+����"m�,� �P82C>��1=;:�����H�,(�#'�� ���Y�,� ��;:�����I�,(�W���,�kE��G����1 ���7j�?��(8���U�?� �����(��8�?����5 (}E+��� (��������=�?� ��1������+� ���,�E+�k�(}(�� � �W�[���R87��# 5 #7616�#VXZ� �1 �+����� �+�?�E{�Y��"w�,� �~���(*�A�,���,5 (A��������(g�?�����_x�x5 �N�?��; ����E����T��"c�E+�,���g��"p�,� �,�+�'"0���A�,� �'�T�W��(*�?�+1D(*�F��,��(+#RT��; ����� E+��; ����<w�t�ME���5���1^� C>;O�+E+�qD1 �/+O�������I���8����?���2E����H�,���I�.j�x�|�EF����"g�,� �}� ��� � 82C>��1�;:�����I�,(�W���,��1��/+O���,�+�I�6E+�>���,1 ���7��?�+(W���_�?� �Z87�,(*�W�T�A�ME+���4; ��� CY; ���� ��(+#t]o������(*�W���Y�F������ 5 #><q�,� ���8����?���E����H�,���I�/�(�(,�GE���j�?��18�?�x�?���1 �/+O�������I� 82C>�+1D;:�����H�,(A��"w�,� �

T2

(,��E{�?���+#n-6���,��E��/�?�7j�A�?�����,�a��,�'��� ���8 ����E+���(�(,��(W��"\�8��,�,���gE+���I�?���I��#t36(W�t�a(,�7����J1 ��(,E+5 (,(W(,�������,����<>�?� �aE����(,(W��"&�8��,�,���ZE+���I�?���I�/��"vE���� (��,�,5 E{�?�����8�+�����4���I�

g��(Z�,�+����,��1Y�?�q�N�?(Z���GE|���(,����" �

Vg

#XZ� �~�8��,�,���A(*�F��,��(Z���M�?� �

T1

(,�+E+�?���Z��,��<7�(g�:�+"0���,��<>�?� ��������I�*)TEF� ���?���;7��*�?� �+�,(Z��"p�,� �(��?��?�+(���_�?���

T2

(,�+E+�,����#/%6�+� E���<����D�,���,�4(/��"l���{" ��) EF� ���,��J(��?��?�+(�<:�?� �2�}j�,�?�+�W(,;:��E+�,�,5 � ��"\�?� ��(6�4�>1�����(��(Z(�5 �4�}�����P+��1_�(Z"0������� �W(�J

� �9O�� � ��� �3� � � ��� ����� ��� ���)��' � � * �3#Y� b 1 � [+O

zA��� (��,�,5 E{�?�����8�+�����4���I� bc(Feg

����,�,���ZE+���I�?���I�

(ϑ2, n5e5 + n6e6) 1(1, 2, 1) ⊕ 1(3, 1, 1) ⊕ 4(1, 1, 1)

(ϑ2, e3 + n5e5 + n6e6)

(ϑ2, e1 + e2 + e3 + n5e5 + n6e6) 2(1, 2, 1) ⊕ 1(3, 1, 1) ⊕ 1(3, 1, 1) ⊕ 8(1, 1, 1)

(ϑ2, e1 + e2 + e3 + e4 + n5e5 + n6e6)

(ϑ2, e3 + e4 + n5e5 + n6e6) 1(1, 2, 1) ⊕ 1(3, 1, 1) ⊕ 4(1, 1, 1)

(ϑ2, e2 + e3 + e4 + n5e5 + n6e6)

(ϑ2, e2 + n5e5 + n6e6) 9(1, 1, 1)

(ϑ2, e1 + e2 + n5e5 + n6e6)

(ϑ2, e2 + e3 + n5e5 + n6e6) 3(1, 2, 1) ⊕ 3(1, 1, 1)

��9;?!J�" �H&��H' � 45" � 9;121#"- %<7683 1#"-3�1 9;121P98<#45"7> 1#6 1245" ��H"7> ,�68��3 1#/%6;F:1245"T2

/#"7<-1#68 %6;F=9 �368 2?!� F 68J�> �%6�>!"-J BY��124@1�BD6 � ��J�/#683 J���35"7/�&

d>�+E+�,��� ��j�,�?�+�WE����I�?�+�I� d>�+E+�,��� ��j�,�?�+�WE����I�?�+�I�

U 3(3, 1, 1) T2 15(3, 1, 1)

3(3, 2, 1) 12(3, 1, 1)

3(1, 2, 1) 36(1, 2, 1)

3(1, 1, 16) 171(1, 1, 1)

�w�+�Z5 (t(,;:��� 1M"0�{�B�A����1 (g���}(,���4�'; ����� ���4��������������E|��7; �,��;:���*�?����(A��"w�?� ��(A�4�>1 �+��#\R "&�(��,�,�����E����8;7�E+�?�787E|j�?��������(/�,�M�,�+; �,�G1 5 E+���?� ��(��?�� 17���1=�8�G1 �+�&��"l;7��*�?��E+���2; �I�G(,��E+(�<J�N�'��5 (��'�7|���x�?����I�5����������5 ;

GSM = SU(3) × SU(2)× U(1)Y

#lR �W�7�(Z�:���+��(�� � �W�D�,�7��Z���M�?� �~; ����(����I�'�4�G1 ������!��(l;O��(,(,��� ���g�,�S87� 18aE+���x� ���7��,�����.��"

U(1) (!; ���>1 5�E������a�,� �WE������,�+E+�n(,;:��E{�?��5 � ��":�?� � r�q ; ��5 (

�1 1����?�����7��v;7����,��E+����(+<w�W� ��EF�^�,5 �,�o��5��a�?���O�q���+E+�,���,�������q�W���,�o����(�;O�+E+���,�GSM

bc(,�+�8�?�� ����64��"�,�{"$# �HE@s � e #mXZ� �W����E{�?�����������'EF� ��?�E{�?�+�t��"O�?� �6� C>���,��EW;7��*�?��E+���+(n��� (,���H57��?�+(n�,�7��t(,5 EF�};7����,��E+����(!E����E,�G5����,�2����,���a�8�(,(���(';��,� �G��1 �+1��?�7j��1����H57��,��E���5 ; ����� ��(W� C>��(��6�����,� �a�?� �+������#/36(6�t���W�����w(,�+����Y(���E{�?����� 5 #F:G#96�<���� (�5 �,��� �x�?�7j�Z(,5 EF�DE���5 ; ����� ��(g1��.� ���Z���� ��(,�Y��( �G5����?�'� ���I�?�����G����u<G"0���Z������ �A�+1� ���I���� ��(,� ��� �qE���5�; ����� ��(g���D(*�?����� �.�?�������*�Y�7|���a�?�q(?j�?��(*" �Y(��,�,�����4E+��� (*�?�?����I�?(+#�'�?� �+� �G5 ����N�?���+(t��"&�,� ��(A�8�G1 ���O��� E+��5 1��'; ����(,�+������,�����Y��" N = 1

r o r�� �� 1M�?� �~(�;O���H�?�� �+��5 (� ���|��H��������"g�,� �M� ��1 1 ���^(,��E{�?���+# Ln�{�x��(�(,5 �+(x(,5�EF�L�(�E����,�,�+E+�PLn5���|�Aj)T�8�(�(��?� CG�?5 ����(�<l;��,���,���1 �+E||��<�� �+5��?����� �q�8�(,(���(/�� 1DE����4;7��,��� �����N�T�.�W���?�nMo p��?� �+���,����(W�,�,�G5����,�~"05 �*�?� �+�W���I���+(��?���I��,�����J#

� � � ��� � X �� � K URN ��L�� W L XYM � � O � � X � � K � W LIM �

]o�6�7|���'(,�+���4�?�7��!�,� ��������� 8����'E+���(�(,�+(t��"����GE|���(,;:��E+�,�?���!�?� �/1 �/+O�������I�d82C>��1};:�����H�,(!��"w)A3����� ��"0����1}�4�>1����O�W�N�?�M]B����(,���M����� ��(+#mR �Z�?5 ��� (Z��5��A�?�7��A�?� ��(g��(Zx�4�G1 ��� )T����1 ��;:��� 1����I�Z(��?��?�+�8�+�I�

"0���W�����A3

����� ��"0����1Y�8�G1 �+��(�<��(Z�A�a�W������� C�;�������Y���Y�?� �~"0������� �W����� #zA��� (���1 �+�Z8 �,(�����9���� ���,�?��*� A

N

��� AN × A M

����� ��"0����1=�4�>1 �+��#.�w�GE|�������<w��� 82C>��1^;:�����H�

[4[ ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

�W���,��E+��� (��,�,5 E{�?��� �M�������4���I�g<7�?���PE@;1?4�I�5 �����:��(,����('��"v�?� ���,����1����4��� (������7��w�I�5 ���2������5 ; G����q�+��+E+�,��1���� �N���I���,� �q�E+�,�����=��"n�,� �.���GE|��v(,����" �

Vg

#�XZ� �+�,�{"0���,��<p�,� �.���GE|��v�I�5����x������5 ; Gg�� 1S�,� �Y���GE|��n�8��,�,���x(�;O�+E+�?��5 � E+����� E+��1 �8�W���?���,� �Y"0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7��!�I�5����M������5 ;U�� 1S�?���(,;:��E{�?��5 � ��A��� �~��,� �N�?�?����j82C>��1_;:�����I�t��"&��Y����� ��"0����14�8�G1 �����W���,�M�������7���(,����" �A����E{�?���

V = Vgbu�� 1Q� �=]B����(���������� �+(Fe{#oXZ� �_�,�G���?(.��"/�,� �Y���GE|��A�I�5����Y���,��5 ;��W�����A�:�M�?� ��(��_�,�G���?(p��"6�,� �

�?�+�>)T1����4��� (������7����I�5����~���,��5 ; G (?j�?��(*" �G��� �

p · Vg = 0 mod 1 p2 = 2 .b 5 #76�?@:�e

zA������,�N��<J�8����?���'(��Fj�?��(~�,�?�� (*"0���,� ( & *( ( "�5 ��1 ��� Gg

�?��,� ����,�7��=5 ��1 ���~�?���x"0��5 �*) 1 ���4����(,�����7���I�5����6���,��5 ;�#lXZ� ��(t�,��(*�?����E+�,(t�,� �'�H5 �x�:���t��"w���>E���7�I�5 ���'������5 ; (bu�� 1}���GE|��7(�;O�+E+�?�,Ie!�,�x�:�6�?����H5 �x�:���W��"gbc��� ���H5 �N��������I�FeA�1 �4��(�(,�������(�� ��" �Z����E+�,���,(/��"&�?� �a(*�?5 1 ����1D���,����"0����1J#XZ� �.���I�,���,(���E{�?�����=��"!�?� �x���>E���&�I�5 �������,��5�; (��"!�?���.1 �/+O�������I� 82C>��1�;:�����I�,(���=M; ����,��E�5�����

�4�>1 �+���G���+��1 (g�,� �8bc�������7���e!"0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7��:�I�5����~���,��5 ; G4D

J

G4D = Gg1 ∩ Gg2 ∩ Gg3 ∩ . . . ,b 5 #76�?1DIe

�W� �+� E��2���Z"0������� �W(A�,�7��Z�?���2���>E���J(*�>�4�4�+�?�*�M������5 ;D��(+< ���_���+� ���,���< ���������+�A�?� ��D�,� � G4D

<7�u# ��#

G4D ⊂ Ggi, i = 1, 2, 3, . . . .

b 5 #96�?1I�e

K7�,��� }�������7��&;:����(,;:��E{�?�����.���D"0��5 �1 ���8�+� (,����� (+<O���>E���p�}����?�+�6(*�F��,��("0����� ����; ����(����I�F��,������(��"G4D

#_XZ� �+(,�YE|��^�:�}1 �+�,������1S�I���?� �8� �?�� EF� �������,5 ���8��"g�?� �8���GE|��l����; ����(����I�F��,������(x5 � 1 �+���?���� ���|��H����� Gg → G4D

#qRT�9� ����������T�W��(*�?�+1o(���E+�,���,(+<\(����4�4��"t�,� �q���GE|��\(��Fj�?��(2E|��o�:�q; �,� ���+E+�,��1��5��/"0�,��� 4�������7��w;:���,(�;O�+E+�,������<J(,�8�?�7��6��� �N�_��� E+���4; ���{�?�a���GE|��p����; ����(,�+�I�F��,������(�5 ���G�N���x�����?���"05 ���J���,����"0����1J#]^�}E|��S� � � �,�{�?5 �����?����5�� A

3� C���4; ����#�d>��� E���<l���^�,� �ME��(,�M��" A

3���,� �N"0����1�(�<\�,� �����Y����

��� �N�R8����9�1 �4��(�(,�������D(,� �N" �M���+E+�?���,(Vbc(������F�� ���=��#>EHe <'��H�h���GE|��/(,����" �M����E+�,���

Vg�x5�(��_�:�

���H5 �N������+�H�W�,�8��������"\�?� �+��#tR �W"0������� �W(g�,� ���D�?�7j�6�,� ����������2���(�� 8 ����E+���(�(,�+('��"v1 �/+O�������I�/���GE|��(,;:��E{�?�,�<O��������,�+���4���I�'�W�N�?�_�F�� ��� 5 #=<�#gK����/E+��� E+�,�+�,��� �+(,(+<JE�����(,��1����6�,� �2E���� (*�?��5 E+�,��� �8�����+�8�+�I�g2 = (ϑ2, e2)

#!XZ� �aE������,�+(,;:��� 1 ��� �q���GE|��J(�� ��" �Z����E{�?���W��(

Vg2 = 2V + A1 =

(2

3

4

,4

3, 02,

2

3

) (4

3,

1

3

2

, 05

)W+Λ−→

(2

3,

1

3

2

, 06

) (2

3,

1

3

2

, 06

),b 5 #76�?1;Ie

�W� �+�,� W + Λ1 ��� ���?��(a]o�+�G�!�,���?��?����� (a�E+E����4;7�� ����1��I�

E8 × E8

������?��E��x�?�,�� (�����,����� (+#8�~���E|������+�,��" �D�?� ��

Vg2

E+���,����(�;O����1 (�?�4�?� �x(�� ��" �6���+E+�?���V (2) ����(��,��1������?�� ��� 5 #><�#'XZ�����,�{"0���,��<��?���

���GE|����I�5����~���,��5 ;_��( Gg2 = E6 × SU(3) × E6 × SU(3)�� 1_�?���~���GE|��O�}����?�+�ZE����I�?�+�I�6��(Z���������

�?���.� ��"05 ��17��4���I�F��\�,�+; �,�+(,���I�?��?�����(1, 3, 1, 3)

#�R �a��(�����a1 ���4E+5 ����,�YE����N87�,� �?�7��~�,� �.� ��� �(,��� �����+�?(Z��"v�,�:#&b 5 #76�?�EHeA5 ��1 ��� G ′

4D

��,��(,�"0����� �?���2���,�|��G��� � Gg2 → G ′4D

#]^�2�W�����w(,�������DEF�7�;��,��� E8�?� ��6�,� �2���GE|��w; ��E+�,5 �,�2; �,� ����('�,�8�:�x45 (,�{"05 �&�,�>���w���_�?� ��(,�|��,EF�

�" �,���Z����� ��"0����1Y�8�G1 �+��(A�W�N�?�_�,�������(��?��E; ����;O�+���,����(+< (,5�EF���(W���,�� 1_5 � �787E|��,������#

� � [ � 1 � ��' � ����� �j� ��� ����� ��� � � * ��# � b 1 ] � 1 �Sb � [+U

� � � ��� � O X � � �2Z � � O W���� � L N#X)O

��,� �N"0����1_�4�>1�����(W; ����(����I�~���+� ������E|������M��� �x�� ���8�����5�(U(1)(*�G�8�4�+�,����<

U(1)A

�>:1: �u#6%/� �A�{�����+<������(��,���(,��� �� ���4�?��� C>;O�+E+�.�,�7��2�?� �}�,� �������o���o"0��5 ��1 ���8�+� (,����� (2(,� ��5 ��1��:�M�� ���8�����"0�����Y�(���~��,��(,��("0����� �,� �.� �{�?�������?��E.(��,�,����� <J�W� �����4�� ���8����DE��� E��+������?��������(a�EF� ���{����19�I���?���4`a�������G)d>EF�I�A��,Px�4��EF� �� ��(�� � 5 <���#AR �'�7�(6�:���+��(,� � �W� � 6�?1< �w�?�7��6�4�>1 5�����Z���H����������E��a��"v�,� �2���,� �N"0����1��57��?��I�?�+��(4�?�7��4�?����������}����S;:�����G� ���8����A���L"0��5 �q1 ���8�+� (,����� (q"c�E+�,���,��P��+(8�(

trF 2 − trR2 #K7�,��� �,� �����'�N�t"0������� �W(l�?�7j�A�?����� ���}��N�.E|��}�:�'E|�� E��+�����+1M�I�q�?� �6����� �+�?�����P+��1Y`~�,�+���>)$d>EF�I�g��,P�4��EF�7�����(,� �76�? E

�6�?1I ��#t@A�+(,��1���(�<7�,� �a(,��) E|�������1

U(1)A

5 � ��������(?������T�YE+��� 1 �N�?�����Y� ����1�(6�5��?���8��,�N)E|������%�>:�D�< 6�?1; �

1

2tr (` QA) =

1

2|tj|2tr Q2

jQA =1

6|tA|2tr Q3

A =1

24tr QA

(≡ 8π2δGS

)j 6= A ,

b 5 #76�?1s�e

�W� �+�,�`1 �������?�+(D�,� �o��� 1 � CB��".Q���N�����[�,�+; �,�+(,�+�H�?��?�����[5 � 1 �+��Q� ���7��O�+��������I�5 ����������5 ;J#

K75 ���,� �����8���,��<tj��,���,� �����+� ���,��?���,(M��"a�,� �

U(1)"c�E+�?���,(�b

tAE������,�+(,;:��� 1 (Y�?�

U(1)Ae4�?�7j�

1 � 87� �a�?� �aEF�7������Qj

�(�JQj|p ��� 〉L = (tj · p ��� ) |p ��� 〉L .

XZ� �2E�����(��F��H�δGS�+�I�?����('���_�,� �a�?�?�� (�"0�����}j�?�����Y��"v�,� ��1�����j�?���Y���D�,� �x`~�,�+���>)$d>EF�I�g��,P��4��EF�G)

�� ��(,�D#!��,� �N"0����14�4�>1 �+��(tE����I�F����Y��A�8��(��Z�����~�� ���8�����5 (U(1)#l%/��� E+��?� �'�,�+�}���� �����

U(1) (

(?j�?��(*" �

1

2tr (` Qi) =

1

2|tj|2tr Q2

jQi =1

6|ti|2tr Q3

i =1

24tr Qi = 0 i, j 6= A .

b 5 #9616Q?Ie

XZ� �}5�� �������,(,����N�T��E+��� 1 �N�?�����J<p����#tb 5 #76�?1sIeF<&(��Fj�?��(����(,�Y�?�7j��; 5��,�4��:��������J<w�4�7C>��1o��:���������� ��� ��O�+������J<G�� 1M�4�7C>�+1M��:��������

����?|�G���?��?�����7����� ���8�������(n����6� ���g����1 ��;:��� 1����I�Z��"p���EF�Y���?������#

XZ� �+�,�+"0���,��<J����w��"l�,� ��� E��� E��+�v(����x5 �N�F�������5 (�����#/RT���,�+"$# � 6�?1s��&���6��(/(,��� �W���,�7��6�?� ��(6� ����1 ('���(��"0���~1 ��(,E+�,�+�,�q(��G�8�4�+�,�,����(a; �,�+(,�+�H����������� ��"0����1�E+��� (��,�,5 E{�?����� (�#}�'�?� �+�2�� ���8�������(+<�(,5�EF���(a; 5 ���� ��� ��O�+������9�� ���8�������(���a]B�N�,�,��� (��� ���8���� �7616Q?���<w���� ��(,�^�5��?���}��,��E�����N���������,� �N"0����1�(�#4XZ� �E���� 1 ���,������('b 5 #76�?1sIem���1=b 5 #9616Q?Iem�7|���'�:���+�}E+���287���8�+18"0���n���� �8�G1 �+��(n�; ;:�|������ �a���4�,� �6;��,��(����I��t���,��#

� ��� � � �� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � ��R �x��(2�t�����t�H� � �W���,�7��x1���(,E+�,�{�?�8�,���,(������ �>sN6��n���I�?���>1 5�E���(���S�1�1 ���,�����7��l1 ���������8��"g"0�,�+��1 ��� ���A

N × A M���,����"0����1hE���� (��,�,5 E{�?����� ( �>;�<���# -/��� �+�,� ������(�(�<6�,� ��������,��(,���4��"0�|j�?5 ����(Y��"a1 ��(,E+�,�+�,�

�?���,(,�����Y���_����� ��"0����1 (A�W� ��EF��� ���a�,��E+���N����1����N�,�?���'j�,�?�+�I�?�����J#n�� ���}�,��E+���I�?�N�M�t�2� ���������?�+1 �>I E*��?� ��A

N����� ��"0����1 (}���(��Q�1 �4���M1���(,E+�,�{�?�=�?����(,�����B�� 1J</�4���,�+� �����+<6�?� ��_1 ��(�E����+�?�=�,���,(�������E���

�1 19�4���,�x�,�7��9��� �41 ���������4��"n"0�,���+1 ��� �,������� ��"0����1 ('�W�N�?�=]B����(,��������� �+(�#qRT�o�,� ��(~(���E+�,������<&�t�(��,5 1��^� �,��� � � A

N × A M

�� 1 AN

���,� �N"0����19�4�>1 �+��(a�W���,��1 ��(�E����+�?�8�?����(,�����S�� 1����I�?�,�G1 5 E+�}�?���E���� E��+;��m��" #������ *( � � � ��� � �� �� � & � ��� & �7#\XZ�����x�t�g��7����GP��t������I�?������(*�?�����'���H5 �N������+� E��n�O�{�T�A�+����4�>1 �+��(J�W�N�?������� �+�?�����P��+1�1���(,E+�,�{�?�!�?����(,���������1��?���,(,����� ����(,( ���'&�� ���� � &��� ( �{#\K7���&/�4���,�!1 �{�F������+11 ��(,E�5�(,(,�����J<7���+"$# � 61616�����(W�,�+E����4�8�+� 1 �+1J#

[+l ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

XZ� ����� �{) ���G��;_;7����,���,�����Y"05 � E{�?�����Z"0���W���,����"0����1YE����4;7�E{�?�98 E|��,����� (W�7�(/�,� ��� �����?����p(��,�,5 E )

�?5��,�

Z =∑

g,h[g,h]=0

ε(g, h) Z(g, h) , g, h ∈ S .b 5 #761616 e

XZ� �M��������?�N���4; �7�(���(ε(g, h)

����}E��������1 ��� � ����� � & ����� & � $ �� � ��{#_XZ� �+���������5 ��(2E|��^������9�:�{)�T�t�������?� �a1 � +��+�,���I�W�?�+�,�4(W���Y�?� �2;7��*�?�N�?�����M"05 � E+�,�����D���1D�,�G5�(6�:�+�T�t���+���?� �21 � +��+�,���I�/(,�+E+�,���,(+#�'� +��+�,���I�q�(,(,����� �4���I�?(���"W; �7�(���(.���|�1J<v�������+� ���,���<\�?��1 � +��+�,�+�H�x���,� �N"0����19�4�>1 �+��(+#�XZ� �_���� �N)�?�,��,��� ��(�(6��"

ε(g, h)E+���,����(,;:��� 1�(6�?�q�?���2"0������1���� ��"\�?5 ��� ��� �4����4�7�EF�G���,��5 ��1=��I�?��(��G�8�4�+�,�,��E

87�+��1_���_�?� �~�?���,5 (��Hs26��u#3'�N�?� ��5����8�,� �'1 ��(,E+�,�+�,�6�,���,(������8; �7�(���(Z�;�;O����n�,�x�:�'���� ���,�?��*��<H�4�>1 5�����!���I��������� E+�/��g�����

���G��;����19"c�E{�?������P��� �������T�_��"n�?���4; ����,���?������"05 ��E+�?�����9��a�T�A�D���G��; ('���4;O��(��.E��+���F�����E�����(��?�,����I�,(���Y�?���a�,���,(������_; � �(,�+(�#nXZ� �+�D����~���������D�I�

ε(g1g2, g3) = ε(g1, g3) ε(g2, g3) ,b 5 #7616 5 Ie

ε(g1, g2) = ε(g2, g1)−1 .

b 5 #7616 5 ��eε(g, g) = 1 .

b 5 #7616 5 E e

XZ� �q���(��~�,�G5 ��?�����=��(~ME+���I���+�H�,������<&�,��?������?� ��9ME���� (*�?�,����I�|<p�� 1�E|����:�x(,�+���o�(aY(,���*�~��"� �����}�����P���?�����}��"\�,� �a; �7�(���(�#

� � � ��� � N � M�W�L�W S�X M�� N#X O � N L U X �=L�� N�� �IX)O � N#O W �

RT�Y����� ��"0����1 (l�W���,� ��5��t]B����(����}����� �+(�<g�� 1

h����'EF� ��(����Y�?���O��+���+�8�+�H�,(A��"w�,� �;:�����I�t���,��5 ;

P#

R �W"0������� �W(A�?� �+�D�,�7��Z"0��� AN

���,� �N"0����1�(A�?� �a(�����5��,�����Y��"v�,�G(+#\b 5 #7616 5 en��(g�?�����G���� J

ε(g, h) = 1 ∀g, h ∈ P .b 5 #7616�<Ie

XZ� �+�,�+"0���,��<n���S�,� �YE|�(��_��" AN

���,����"0����1 (��W�N�?� ��5>�x]B����(,���S����� �+(�<l� ���G) �?�����G����t1 ��(,E+�,�+�,�Y�?����(,�����E|�� � ���/�:�~���I�?���>1 5�E���1�#RT� A

N × A M

���,� �N"0����1 (+<�(��,�������W���,� ��5��l]B����(,���.��������(�<��,� �/(,���,57��,�����.��(l1 �/+O�������I�n�O�+E|�5 (��/�,� ���������.��� 1 �+;O�+� 1 �+�H�2;7����,('��"A�+���+�8�+�H�,(�W� ��EF��E+���8��5��?���W�N�?���|�EF�9���?� �+��#xR "n�A�.�?����x�T�t��;:�����H�������5 ;��+�����4���I�,(

g = ϑk1ω`1�� 1

h = ϑk2ω`2<O�,� �����,� �x1 ��(,E+�,�+�,���?���,(,������;��7�(,����('1��+�?�+�,�4��� �+1

�I�Y���H(+#vb 5 #7616 5 et�,�4�:� �>;�<��

ε(g, h) = ε(θk1ω`1, θk2ω`2) = exp{

2πiaN

(k1`2 − k2`1)}

, a = 0, 1, . . . , N ,b 5 #96�6QEHe

�W� �+�,�N��(m�?� �/����1 ���!��"O�?� �Z�T�W��(*�

ϑ# � � -6���?�Z�?�7j�n�,� �����/��,�/��� �N�

N��� �,�H5 ����������I�n�(,(��������8�+�H�,(

��"ε#

� ��� +(. 8�/6$"5�',$����=/6$�� /�. �N ×

�M

/6.�9�� � /6<�&(04� 0 ���B#3�M = n N

2��=���n ∈

� E

� � [ � 1 � ��' � ����� �j� ��� ����� ��� � � * ��# � b 1 ] � 1 �Sb � [ m

� � � � � � WGO W M�� �PN�� W � � N � M�W�L W S�XYM �IN#X)O

�������_�,��E+���I�?�N��<!�?� �_E+��� E��+;��8��"'1���(,E+�,�{�?�Y�?����(,�����S�7�(q�:�����U� CG�,��� 1 �+1h�I�Q���I�,�,�G1 5 E���� �� #�������� *( � � � ��� � �� �� �� & � ��� & �L; � �(,�����k�,� ��E����I�,� CG�D��"��T�G;:��R,RT3 �@ (*�?����� ���,� �����*� � 616 5 �u# XZ� ��(���+� ���,�����P���1��,���,(������^; �7�(��D1���;:��� 1 (.���Q�,� � 82C>��1Q;:�����I�,(x�?��,� ���x�,�7��S�����,� �Y(,�+E+�,���,(q��"W�?�������� ��"0����1J#vXZ�����,�{"0���,��<���� �a�7�(Z�?�qE+��� (,��1 ���

g�� 1

h�,�4�:�a�������4���I�?(Z��"\�?� �~(�;7�E+��������5 ;

S#

zA��� (���1 �+�,�����4�,� ��(�;7�E��2������5 ;��+���+�8�+�H�,(g = (ϑk1ω`1, nαeα)

�� 1h = (ϑk2ω`2, mαeα)

<7�?������+� ���,��w(,����5��?�����M�?�q�,�G(+#\b 5 #7616 5 e!"0���g�?� �a1 ��(,E+�,�+�,�2�,���,(������Y;��7�(,�2��(g�W�������?���_1 � �W���(

ε(g, h) = e2πi [a (k1 `2−k2 `1)+bα (k1 mα−k2 nα)+cα (`1 mα−`2 nα)+dαβ nα mβ ] .b 5 #7616�:�e

�W� �+�,�Z�?� �Z(�5 � � �����α, β��(m5�� 1 ����(��,�>�G1J#mXZ� �Z�����5 ��(m��"

a, bα, cα, dαβ��,�Z�,�,�H5 ������1q�I�x�4�>1 5�����

���I��������� E+�a�� 1Y�?���2�������4�+�,���M��"v�?���2����,�,��E+��,�4(,��?��(�" �

N a, Nα bα, Nα cα, Nαβ dαβ = 0 mod 1 ,

dαβ = − dβα ,

b 5 #7616�DIe

"0���l���EF�α, β = 0, . . . , 6

#m%6�+�,�N��(l�?� �W����1 ���!��":�?���/�T�W��(��

ϑ<Nα

�?� �W����1 ���!��":�?� �W]B����(,���.����� �Aα

<O�� 1Nαβ

��(/�,� �x�����|��,��(*�E����8�4����1����G��(����W��"Nα

�� 1Nβ

bcE+���8; ��,�a�W���,���?� ��E�����1 ���,����� ("0���W�4�>1 5�����Z���H����������E���<7�,�H(�#vb 5 #HE 5 e�e{#g3Z1 1����?�����7���E���� (*�?�,����I�?(/���D�?� �2;7��,��8�{�?�+�,(

<cα

<dαβ1 5 �g�,��?� �ZEF������E+�g��"��?� �Z����,�,��E+�

�; ;:�|��m���q(,���8������w"c�(�� �����x�(m�?� ��(,�Z���x�,� �Z���,1����m��"�]B����(,���

����� ��(+<7� C>; ������ �+1_���D(,��E{�?����� 5 # 5 # 5 #nR �/��(Z� ���/�7��,1��,�q(,���2�?�7j�6�N"eα ' eβ

���D�,� �a���,� �N"0����1�<>�?�����bα = bβ, cα = cβ

�� 1dαβ = 0

�x5 (*�W� ����1J#XZ� ������� �+�?�����P��+1�1���(,E+�,�{�?�a�?����(,��������(/�����/�,��(*�?����E+�,��1���� ���}�?� A

N × A M����� ��"0����1 (+<7�(W���W�A�(

E����8�4��� �N�.�O�+�����+���+1J<���5��A�W�������������+�W��(,�'�; ;:�|��t���8�,� �ZAN

E|�(,��#tzA���|�������<H(���� E+���� AN

����� ��"0����1 (�?�����,�a��(Z��� ���}��� �a(,����" �|<>�?� �a;7��,��4�+�?�+�,(

a�� 1

���� ��(��J#

� ��%�f�4# 1 �&3Q�1��f@��f�� �4� 3��&�� R�� � ��!��&# �+%&��3XZ� ���4��(*�M���4;:�����?��I�}E+��� (,�,�H5 ��� E+����"a� ���I�?�����G����

ε)T;��7�(,�+(}"0���8��5 �}1���(,E+5 (,(���������(8�,�7��}�,� �{�

�4�>1 �N" �8�,� �a�O��5 � 17��*�_E�����1 ���,����� (g"0���g�T�W��(��,��1D(��?��?�+('���1D�,�G5�(6EF�7�� ���a�?� �~�T�W��(*�?�+1�(,;:��E{�?��5 ��#XZ� ��('E|��=�O��(,���+�="0�,��� �?�����?�,�� (*"0���,�8��?�����D; �7�(��

��"!����#lb 5 #>D�EHeF<O�W� ��EF�=��(/�8�G1 �98 ��1������?���

; ����(,�+� E�����"\1 ��(�E��,�{�?�~�?���,(,�����_�E+E�����1 ��� �.�,�

Φ 7−→ Φ′ = ε(g, h) Φ .b 5 #9616�I�e

zA������,�N��<7�?����; � �(,�+(Φ′ 1���;:��� 1������?����E���� (��,�,5 E{�?�����}�������4���I� g �� 1�����+�����4���I� h ��"l�N�?(/E��+�>)�?�,�����P��+� Zg

<G��# ��#Φ′ = Φ′(g, h)

#\XZ� �'; ��� ����E{�?�����}; � �(,�+(Φ′ �� 1 Φ

;��,� ���+E+�g��5��n1 �/+O�������I�t�T�W��(��,��1�8��,�,���q(��?��?�+(�#h�!�+���S"0�,�,�H5 ���I�?�N�L����A�,� �D(��Fj�?��(8���GE|��,��1U��4(,���8��82C>��1k;:�����H�4��,�D; �,� ���+E+�,��1��5��6�I���,� �2�,+O��E+���"m�?�����4�>1��987�+1�; �7�(,�

Φ′ #'�� ��E���5���1�(,|�D�,�7��/�?� �+(,� � ���4;��T� 482C>��1�;:�����I�,(1 ��(?�; ;:�|���"0�,��� �?� �M(�;O�+E+�,�,5 � ����<v���^���?� �+���t���,1 (+<m�?�7j���?���+�^��,�8� ��� ; �I�G(,��E|��bu����}�(,(,����(�(���{���+� e{#\XZ� ��(!"0�|j�?5 ���/��(l���I�?�+�,�+(��?��� �2�O�+E|�5 (��6�N�n������ �W(m�?�2���I�?�+�,; ���+�!�?� �W� +��+E+�t��"�1���(,E+�,�{�?�W�?����(,��������Y�,���,�4(Z��"v4EF� �� ���a���Y�,� �a�8�{�?�,��E��"&�?� �aE+���8; �E+�W(�;7�E���<:�(W��(Z1 ��(,E�5�(,(,�+1����D(���E{�?����� 5 #>E #HE #

[�� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

� ��.e* ,"%�f 3h

3

� ��!��&# �+%&��3 #x�w�+�a5�(2E+��� (���1 �+��?� � A3

����� ��"0����1�E����8;7�E+�?�787��1=���o��SU(3)3 ������?��E���#23'(~�t�

�7|���=(����+�[(���E{�?����� 5 # 5 # 5 <Z�,� ����j�,�?��E��D����E{�?����(Y��"��,����������?�+1k�I�h�?���=�E+�,�����h��"a�?� ��;:�����H�

������5 ;9����� �+�?��,����#}RT�^;7��*�?��E�5 �����<w�t�8�7|���8�?� ��eα ' eα+1

<&"0���α = 1, 3, 5

<p���o�,� �8���,� �N"0����1J#XZ� ��(2���8;������+('�?� ��a�?� �+�,�8��,�q��� �N���,� �,�+�8��� 1 ��;:����1 ���I�

<&�7��4���N�b1, b3, b5

<&�W� �����x�,� �8���?� �+�b)T;7��?��4�+�,���,(W(,��?��(�" �

b2 = b1, b4 = b3, b6 = b5

#AK75 �*�?� �+��< �?� �2��I�,��(��G�4�8�{�?����E�8��?���7Cdαβ

�?����+(�?���a"0���,�

dαβ =

0 0 d1 d1 d2 d2

0 0 d1 d1 d2 d2

−d1 −d1 0 0 d3 d3

−d1 −d1 0 0 d3 d3

−d2 −d2 −d3 −d3 0 0

−d2 −d2 −d3 −d3 0 0

.b 5 #7616�;Ie

XZ� �+�,�+"0���,��<>�?� �+�,���,�'(��7C8����1 ��;:��� 1����I�Z1 ��(,E����+�,�'�?����(,�����};7��?��4�+�,����<H�W� ��EF�YE|��}�?����6�?� �/�����5 �+(0< 1

3

��� 23

#h

3 ×h

3

�j�k!���#$��%T��3 #mXZ� �SA3×A

3

���,����"0����18��(n�������}(,���8������m�,�jA3

#!dG��� E+�'�?� �6E����4;7�E{�?�787E|��,�������j�,�?��E��n��(&�?�7��v��"7�?��� A

3

����� ��"0����1J< �?� �A(,�7C�1 ��(,E����+�,�A�?����(,������;7��?��4�+�,���,(bα

�� 1dαβ

b0����#7b 5 #96�6�;Ie*e����x���(,�M�1 �8��(,(���� ���~�����,� ��(6E|�(���#63Z1 1 ���,����� ����N��<��,� ��;7��?��4�+�,���,(

�; ;:�|��6�����,� ���,� ��������#6RT��?���x(?��4���A|���(

<O�?� �{������x�,�+(��,�,��E{�?�+1=�H���?� ���������4�+�,����<�(,�M�,�7��'��� ���cα

�W���,�α = 1, 3, 5������� 1���;:��� 1 �+�I�|#!RT� E���5 1 ��� �

a<��t�~�����?����}�,���Y��� 1 ��;:����1 ���I�/1 ��(�E����+�?�6�?����(,�����M;7��,��8�{�?�+�,(A�W�N�?�

�����5���(0< 1

3

��� 23

#h

6

` ����� ��!"��#$��%T��3 # K����}�?� �-A6

)TR,R4����� ��"0����1h���[G2×SU(3)×SO(4)

������?��E�����V��7���������5 (E���� (,��1 ���,��?�����S(,� � �W(4�?�7��.�,� �����D��,�Y�������^"0�{� � ���H�,�,�N�>����g1 ��(,E+�,�+�,�Y�?����(,�����S;7��?��8�{�?����(�#S]o�87� 1o�?�7����?� �8��� �N��1 ��(�E��,�{�?�4�?����(,�����^;7��,��4�+�?�+�,(a�?�7j�.�E+E���;>�x� ����P������������5���(x��,�

b3 = b4 =0, 1

3, 2

3

<b5, b6 = 0, 1

2

�� 1d56 = −d65 = 0, 1

2

�g�?� ��4��(�<n��� �N�^"0��5��4��� 1 �+;O�+� 1 ���I�8;7��,��8�{�?�+�,(�#%6� �t�+������<I��������"0�,�,�G5����I�?�N���,� �t"c�E{�?����(l�E+E����4;7��I�G��� �/�?� �+(,�Z;7��?��4�+�,���,(\��������#7b 5 #96�6�:�enbc(,5�EF�8�((k1 mα −k2 nα)

"0���l�?� �/;7��,��8�{�?�+�,(bα

el���� ��(,�J<H���8; �N�G��� ��,�7��!�?� �6E������,�+(,;:��� 1 ��� ��; ��?��4�+�,����(����.� ��� ; �I�G(,��E|��u#.XZ� ��(~��(~� C>; ������ �+1��H���F��H�����D���I�?�_�E+E���5 �I�2�?� �.(�;7�E+�8������5 ;��������4���I�?(

g, h���I�,���,��� �8�,� �ε) ; �7�(���(+<:�,�7��6��(�<:����wE�����(��?��5 E+�,��� �}�� 1�E����I�,�?�����P��+�W�����+�8�+�I�?(�#ZR �/�?5��,� (/��5��/�?� ��

�?����(W�7�; ;:����(6"0���/����J1 ��(�E����+�?�a�?���,(,�����D;7��?��8�{�?����(W��" A6

) R,Rt���,� �N"0����1�(�#n%6�+� E���< ��� � �� �� �� & � ��� & �� ������� ( �� ���� ��� A

6

������& ����� � & ( � ���mXZ� ��(t�W�������O�6���4;O�����F��H�n���MEF�7�;��,��� E�"0���n�,� �E+���(�(,�98 E|��,�����4��"����� ��"0����1 (g��"&�?����(g�T�G;O��#

� � � ��� � M�X L U W M � X � W�� �

RT�D�8��(*�Z��"&�?� �a(*�?5 1 ����(Z��"\����� ��"0����1M�4�>1 �+��(+<����W��(gE�������4��1M�,�7��Z�T�t�8�4�G1 ����(A�W� ��(��2; ��?��4�+�,����((V1, V2, Aα)

1 �/+O���/��� �N�Y�I������,�,��E+��?�?�� (,����?����� (W������,�G5���������+�I�|#gXZ� ��(6��(�<����D���+� ���,���<�� ���/�?��5 ��#XZ� �����|�(����k�:����� �o�,�7��8������?��E+�Y�?�?�� (,����?����� (q����� 5 ��� E+���?����; ��� ����E{�?�����hE���� 1 ���,�����U��"�T�W��(��,��1(��?��?�+(�<�����#&b 5 #=D EHe #3 b0�,���,(������ ����(�(Fe��4�>1 �+�Z� ��(x1��K87� �+1h�I�

(V1, V2, Aα)#�3 � �,���?� �+�4�4�G1 ���g� ′ �; ;:�|���(.�H�

� � [ � 1 � ��' � ����� �j� ��� ����� ��� � � * ��# � b 1 ] � 1 �Sb � [�!

�1 1���� �q��j�,�?��E��'����E{�?����(/�,�q�,� �a(,� �N" �?(W���1D]B����(,���Y��������(�<���# ��#�� ′ ��(Z1 �K87����1��I�

(V ′1 , V

′2 , A

′α) = (V1 + ∆V1, V2 + ∆V2, Aα + ∆Aα) ,

b 5 #7616�sIe�W���,�

∆Vi, ∆Aα ∈ Λ#K7�,��� �?� �xE+��� 1 �N�?����� (�b 5 #HE 5 eF<O�,� ��EF� ����E�����"l��j�,�?��E��a���+E+�?���,(

(∆Vi, ∆Aα)��(ZE+��� (*�?�?���� �+1��I�

M (V1 · ∆V2 + V2 · ∆V1 + ∆V1 · ∆V2) = 0�8�G1

2 ≡ 2 x ,b 5 #96 5 ?�Ie

Nα (Vi · ∆Aα + Aα · ∆Vi + ∆Vi · ∆Aα) = 0�8�G1

2 ≡ 2 yiα ,b 5 #76 5 ?���e

Qαβ (Aα · ∆Aβ + Aβ · ∆Aα + ∆Aα · ∆Aβ) = 0�8�G1

2 ≡ 2 zαβ ,b 5 #96 5 ?�E e

�W�����,�x, yiα, zαβ ∈ Z

#�� ��E|������+�,�N" �h�?� ��Y�?� �=��� E���5 (,�����k��"2�?���=������?��E+������E+�,���,(

(∆V1, ∆V2, ∆Aα)��N�?�+�,(M�?���

; ��� ����E{�?�����D;��7�(,�2��"\� �,���?� �+�/�4�G1 ����(Z�(

Φ 7−→ Φ′ = ε(g, h) Φ ,b 5 #96 5 6 e

�W� �+�,�a�?� � � � �,���,� ���W; � �(,�B�(Z�������+���I�

ε(g, h) = exp

{−2πi

[(k1 `2 − k2 `1)

(V2 · ∆V1 −

x

M

)+ (k1 mα − k2 nα)

(Aα · ∆V1 −

y1α

)

+(`1 mα − `2 nα)

(Aα · ∆V2 −

y2α

)+ nα mβ

(Aβ · ∆Aα − zαβ

Qαβ

)]},

( �H&�$���� .

E+���,����(�;O����1 ��� �q�?�q�?����E+��� (��,�,5 E{�?��� �8�+���+�8�+�H�g = (θk1ω`1, nαeα)

�� 1��,� �aE����I�,�?�����P��+�W�����+�8�+�I�h = (θk2ω`2, mαeα)

#l�� �ZE|��.(,���g�,�7��Dαβ ≡ Aβ ·∆Aα−zαβ/Qαβ

��(Zbc����4��(*� e\��H�,��(*�>�4�4�+�?����E���

α, β<

Dαβ = −Dβα

�8�G11 .

b 5 #76 5 <�e�w�����g�?� �Z1 ��(,E+�,�+�,�Z�?����(,�����.; �7�(���<I�?� �Z���,���,� ���!; �7�(,�Z��(l�����l�?� �Z(,��4�g"0���l����N82C>��14;:�����I�?(��H� ��� E+��?���2���>E����(�;O�+E+�,�,5 � ��(ZEF�7�� ���+1J#XZ� �� �����?�����A;��7�(,�

� 1}�?���'���+� ���,�����P��+1}1 ��(,E����+�,�'�?����(,�����8;��7�(,�'����#wb 5 #96�6�:�e!��,�6� ���t��� ���

���+����(����4�������<���5��2E|��J<p����"c�E+�|<p�:�q�}�1��4E+������E���1���#.XZ� ��(2���8;������+(��95 � � C>;O�+E+�?�+1�E���� � ��E{�?������:�+�T�t�����S����,�,��E+�q�,�?���(,��j�?����� (~��"g�,� �};7��?��4�+�,���,(

(∆V1, ∆V2, ∆Aα)�� 1o1 ��(�E��,�{�?�4�?����(,�����J#YRT�

���,� ���q�A���,1 (+<W�t�8 � 1h�?� ��}�4�G1 ����(q�W�N�?�L1 ��(�E��,�{�?�D�?����(,�����LE���k�:���4���4��EF����1U�H�U�?���,(,����� ����(,(�4�>1 �+��(.�W���,�h�4�>1��987�+1L(�� ��" �q���+E+�,��� b0(Fe}���1h�7�EF�H������5 � 1R87����1 (�#�]o� 87��1k� � �A�{���+�M�?�7��4�?���� �������I�?�+����������5 ��(��"n�,� �.;7��,��4�+�?�+�

dαβ

1 �Y� ���a������ � ������I�?�+�,; ���+�Fj�?�����������,���,�4(��"t��j�,�?��E���?�,�� (�����,����� (\���x�4�G1 ����(\�W���,�x�?�����G����I]B����(,���x����� ��(+#\XZ� �+�,�{"0���,��<G1���(,E+�,�{�?�g�?���,(,�����x��(�<������?� ��(m(,�+� (,��<�4���,�~���+� ���,��J�?� ��Y�?� �aE���� E��+;��'��"v� �����?�����W�8�G1 �+��(�#3'(���o������5 (��,�?��,�����=��"t�?� �4�,�+����,�������:�+�T�t���+�S� �,���,� ���2�4�>1 �+��(2�� 1o���,����"0����1 (�W���,�o1 ��(,E+�,�+�,�

�?���,(,�����J<G�A�~�7|���~���I���+(��?���I��,��1M�?���~1 ��(*�?����E+� AN × A M

����� ��"0����1}�4�G1 ����(t�W���,�Y(��?�� 17���1Y���x�:��1G)1 ��� ���?� ��g�����E|�� 8 � 1M"0���A1��/+O���,�+�I�g� ����P������x�����5 �+(g��"w�,� �1 ��(,E����+�,�'�?����(,�����M;7��,��4�+�?�+�

a#m]o�

�7|���M"0��5 � 1��?� ��x�����ME|����,�?�1��}�?� �};7��?��8�{�?���a"0���x�;7�������"W������?��E+�4����E{�?����(

(∆V1, ∆V2)�W� ��EF�J<!�1 1 �+1^�?���M(��?�� 17���1S���x�:��1�1 ��� ��(,� �N" ������E+�,���,(+<!���|�1o�?���?� �M(�;O�+E+�,�?������?�������1^���^�?����4�>1 �+��(A�W�N�?�_1 ��(,E����+�,�2�,���,(������J#l�~5�� 8 � 1 ������(W��,�a����(��,��1Y���_�?�� ���a��#=D>#

U� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

� � � ��� � N � M�W�L�W S�X M�� N#X O � O ��� X O � �� L XYM�N���� � �PW � �YL5L N �W ��w�+��5 (2E����4�8�+�I�����9��� �8���(*�2���I�?�+�,��(*�?��� ����� (,�+������?�����J#}]o�4�7|���8"0��5 � 1o�,�7������9�}��H��E��(,�+(����� ��"0����1��4�>1 �+��(a� �W���,��E����*�F������������4�+�,����<w��# ��#JE+���8; �E+�,�987E���?��������j�,�?��E��

Γ<p���1o���+� ���,�����P��+1

1 ��(,E����+�,�4�,���,(�������(��W�N�?EF� �+1����o��,�q�,�G5���������+�I�2�,�D�,���,(�����������(�(a�8�G1 ����(2� ′ �7�(,�+1����oD1��/+O���,�+�I���j�,�?��E��

Γ′ #l���G1 �+�7� ′ �7�(m���+(,(W82C>��1q;:�����I�,(\�?� ��4�o<I���1x�?� �g�4��(��}j�?EF���,5 �,� (v��5��m�,�~E���� (*�?�N�?5��,�; ����E���(,�+���M�,� � � �+�8;��T� e82C>�+1�;:�����I�?(Z��"v�4�>1����p� 1 5 �~�?�.�,� �a1 ��(�E��,�{�?�~�?���,(,�����_; �7�(���#XZ� �4(,���4; ����(��� C���4; ���+(a��,�.�7�(,��19��� A

2 ×A

2

���,� �N"0����1 (6�W���?�=(*�F���17��,19�����O�+1 1 �������� 1�W���,� ��5��6]B����(,��������� �+(�#~@n������*�>��� �}�,� �.������ �A�+1�1 ��(,E����+�,�{) �,���,(�������;7��?��8�{�?����(��"l�,� ��(6���,� �N"0����1bc�+(,;:��E+���������<

dαβe{<!�A�_�7|���_"0��5 � 1Q�������I�q1 �/+O�������I�q�8�G1 �+��(��W�N�?�Q� ��� P+�����9���+�q�H5 �x�:���q��"

27)

; ���+�?(~��"E6b0(,�+�4���+"$# �>I E*��e{#xRT�I�,���,�+(��,��� ���N��<w�?����(,�4�4�>1 �+��(� ���}����,���1����O�+���91 ��(�E�5 (�(,��1o���=�?���

���N�?�+�?��,5 �,��<v� 5��x���S�(����4�+�W�7��x1 �/+O�������I�.E����H�,� CG�|#�XZ� �{�S�;�;O����,�+1 87�,(*�.�������+"$# �7616Q<��A���^�?���E����H�,� CG���"m"0�,�+�2"0�+�,�4����� ��E~(��,�,�����8�4�>1�����(W������j�?��1_�?�4�?� �PA

2 ×A

2

����� ��"0����1Y�W���?������1 1 �N�?�����7��"0�,�+���N�S�E{�?�����9(�� ��" ��#Q�������_�,��E+���I�?�N��<t� �+� A

2 × A 2

���,� �N"0����1^E���� (*�?��5 E+�,����� (q�7|�����:���+�U"0��5�� 1���Q(*�?5 1��G��� �^����� ��"0����1 (x��"� ���G) "c�E{�?������P|�� ���M(��7CH) �,���,� �>;@IG<Ks E*��#LK7���.�|�EF�h��"/�?� �D�4�>1 �+��(x"0��5�� 1�I�M�1 1 ������� ���I���� ��(,� ��� ��1���(,E+�,�{�?�6�,���,(������8; �7�(���(+<��?� �+�,���(A�E������,��(�;O��� 1 ����� � �����>) "c�E+�?���,��P��� �����4�>1 �+�p� ′ �W���,�Y�?� �~"0������� �W��� ��; �,��;:���*�?����(�J6�#/�!�EF� � � ���>)T�+�8;��T� �82C>��1�;O�����I�|< ��# ��# �|�EF�)82C>��1�;O�����I�w�W���?�����GE|���P�������)T�4�G1 ��(+<����2�,� �t�4�G1 ���� E|��D�:�~�}�;�;O�+1_�,�} 82C>�+1�;:�����I�g�W�N�?�Y�?� �a(,��8�a(�;O�+E+�?��5 � ���Y�4�G1 ���p� ′ #

5 #WXZ� �A�G5��x�O�+�l��" � � ���>) ���4;��T� 82C>��1.;:�����H�,(m���.� E������ E���1 ��(&�W���?���?� �A�,���F����H5 �x�:���m��"/82C>��1;:�����I�,(Z����� ′ #

XZ� ��(��x�,�+����,������(6��,�2� ���6�����4���,��1M�,� A2 ×

A2

����� ��"0����1 (+<7�?��,� ���W�A� 87� 1=����� ���������5 (WE����G)� �+E+�?�����=���(,�8�������?� �+�ZA

N × A ME|�(,��(4bTA

N × A M���,����"0����1 (W�7�(,�+1=����� ���>) "c�E{�?������P��� ���aE+���q)

;7�E{�?�787E|��,�����o������?��E���(2�7|���}�,��E+���I�?�N�^�:���+�S1 ��(�E�5 (�(,�+1U��� �H;1;���e{#�XZ� ��(x����(�5 ����� ���I�?(2�?� �A��,1 (x�����I�,�,����5 ��� �Y���8; �E+�~��"g���+� ���,�����P���1�1 ��(,E+�,�+�,�4�,���,(������������?���8���H�,����; �,�{�F��,��������"t���,����"0����1=�������4�{)�?�*��#�]B� ��~�?� �Db0P��+�,��) �8�G1 � e/(,;:��E+�,�?_E�����E������ (�<&���I�,�,�G1 5 E���� �M���+� ���,�����P��+191���(,E+�,�{�?�x�?���,(,�����Ubc���E���� (,��1 ������� �.���+� ���,�����P��+1D���,���,� ���Z�4�>1�����(?et��(Z�,�H5 ����������I�Z�?�qEF�7�������� �x�,� �a�������8�{�?���}��"&�?� �~5 �G)1 �+�,���G��� �qE����4;7�E{�W(,;7�E+��<

Γ → Γ′ #tX&�q��(��?�� ����(,�DE����8; ���+�,�~���H5 ���������� E+�a�O�{�T�A�+�����,� ��(����4�>1�����(�t��5 ��1_�����H5 ������?�q; ��� ���~�?�7��Z�,� �~E���5 ; ����� ��(g��"&�,� �aE������,�+(,;:��� 1 ��� �.(��?��?�+(6��,��?���2(,��4��<>�W����EF���(6�O�{������1��?� ��(,E���;O�x��"l�?� �x;��,��(����I�~(*�?5 1���#~R ���(�<:� � �A�{�����+<J�?�+�8;��,��� �4�?�M(�;O�+E�5 ����?�2�?�7j�� ���G)�,�+(,���N���� ���.(���� ��5 ��������,����(xb�82C>�+1^;:�����I�?(�W�N�?�9� �_(��?��?�+(�����F�EF����1�e~1 �_� ��� � �,�|������ J� C>��(����(a�����E|��Y����A|�G(AEF� �G��(,�xb0"0���t����N���+�}(,;:��E{�?��5 �Mel�?� �6E����4;7�E{�?�787E|��,�����4��j�,�?��E��

���8(,5 EF�_a�g|�4�?�7j�

�?�����,�2����a� � � �+�8;��T� e82C>�+1�;:�����I�?(+#

� ��� � � � ��� � � ��� � ����� ����� � ��� � � ��� � ��� �����X&�YE�����(,���,� ��(EF� �;��?�+��<w���+�~5 (~� C���8��� �x�����xE���5 E�����v�+�����4���I�~����E��+(,(,����=���=���,1����'�,�Y(��?5�1����?������ ���+� �������V8 ����1��?� �+�����������4���/��"!���,� �N"0����1�E����4;7�E{�?�98 E|��,����� (KJY87����1=���I�?�+�?�E{�?����� (�#aRT�=E����H�,�?�(*�

�?�}; 5 �,�)87����1��?� �+������<��W� �+�,�xE+��5 ; ����� ��(6�O�{�T�A�+�����8��,�,��� 8 ����1�(~��,��EF� ��(���� �0� & {<O�������,� �N"0����1E����8;7�E+�?�787E|j�?����� (A�?���+�_����a1 �+�,���,�4������1_�I�_(��?����E{�W�,5 ����(Z1 �+�,������1D"0�,��� (��?����� �.�,� �����*��#

� �9U�� � ��� �3� � �3� ���:� \ ' � ����� � ��� � � \ (_\^' � � �Pb �3� � � U��

� � � ��� K:LIM�N#O Q K W��#W L N#X)O � �PW �

zA��� (���1 �+�~�?� �n �;O�����I�aE������,������?������"05 � E{�?��������"t�T�t�_"0���,�4����� (a�� 1

n − 2�:��(���� (�#4XZ� �qE����,�,� )

(,;:��� 1���� �D; �I�G(,��E���n(��Fj�?��(�(,�7����!�O�41 �+� ���?�+1^�I�Ψi

<i = 1, . . . , n

#MXZ�����J<m���9�,� �i8 ����1��?�������*������8�N�|<j'� ���

����� ��(,� ��� �'E+���,������j�?������"05 � E{�?�����x����1 5 E��+(v�?���A"0������� �W��� �W�?�+�,� �����,� �g(,5�;O�+�,;:���?�+�H�,����

W ⊃ Ψ1 Ψ2 Ψ3 . . .Ψn .b 5 #76 5 EHe

3 E����4; ���{�?�_�+�����57��,�����Q��"�,� �DE������,������?�����S"05 � E{�?�����h�7�(4��� �N�Q�O�+���L;O�+��"0�����8�+1L"0��� <�;:�����H�

E���5 ; ����� ��(2�� 19�G������1 (���4�>1 5����m1 �+;O�+� 1 �+�H�xE���5 ;���������(*�?�,�+� ���,� � 616QE <Q6�6�:><�s1s�<Q616QD���#}�/�+E��+�H�,����<�?���2E+���,��������?�����M"05 � E{�?�����D��"

n�;O�����I�ZE���5 ; ����� ��(Z�7�(/�:���+��1���(,E+5 (,(���1���/(,���4�~� CG�?�+�I� � 616�I �u#

��a�,� �!���?�����w�7���1J< (��G�8�4�+�,�,����(w��"H�?���lE������,������?�����'"05 ��E+�?�����a�������l�,��(,�v�,�W�,� �l(,�j)TE|������+1~(��,�,�����(,�+���+E+�?�����=�,5�����(+#�XZ� �+(,�q�,5�����(~1��+�?�+�,�4��� ���W� �+�,� ���2M���N������E+��5 ; ����� �}�������(,����(~��������|#2]^�.5 (���?���"0������� �W��� �������F��,����� J\�?���~E���� (*�?��5 E+�,��� �.�+�����4���I�,(Z��"

Ψi

��,�1 �+� ���,��1_�I�gi = (θi, n

iαeα) ∈ S�� 1q�?�������l���+" �*)\�� 14�,�����H�*)T�4� �>��� �(�� ��" �,��14�8���4���I�?�<I�I�

psh,i�� 1

qsh,i<H�,��(�;O�+E+�,�����+����#lXZ� ���J<H�?���

(��,�,��� �q(,������E{�?�����D��5 ���+(Z�,���1 J• � � � Q W N#O � �YM�N � O�W �d>��� E���,� �j6�Dj) 1 ���4��� (������ ������+" �

��4� �G��� �x�4���8�+�I�F�1 �+(,E+�,���:�~�?� �~���5 ��� �H57��I�,5 � �H5 �x�:����(�< �?���

(,5�� � �����6��������{" ���4� �G��� �.(�� ��" �,��1_�8���8�+�H�?

psh,i

��5 (��W���� ��(,� J∑

i

psh,i = 0b 5 #76 5 :�e

XZ� ��(q�,�?���(,��j�?��(.�,�9�,� � 8 ����1Q�?���������+�?��E_�,���H5 ���,�+�8�+�H�4��"'�I�5 ���D���I����,���� E��M"0���4������ �t��1S�?�+�,�4(�����,� ��(,5 ;:����;O���,���I�?�����# %6� �A�{���+��<~� ���,�=�?�7��_(�5 �4�8��� �Q����6�8���8�+�H�?S��(�<6����; �,�E+�,��E+��<6�����*�E�5��x�O�+�,(����8��#}RT� (*�?���1J<v��� �8E������������" ���I�5 ���q���I����,���� E+�41����,�+E+�,�����I�9E����8; 5>�?����������l��:���������� 1�� ���7��:��������a����; ����(,�+�I�F��,����� (vE������,��(�;O��� 1 �����'�?�/�?� �t;7����,��E+����(p�����?���A(,;:��E{�?��5 � �� 1��?�����x5 (���t����� )T�H� � �W�=�,5�����(/�?�}"0���,� �I�5 ���x���I����,����I�'E+���x� ���7��,����� (W��"6b0(,5 ;:���?e 87�+��1 (+#~]^���t��5 ��1��?j�?� �+��; ;����}�,� ��(Z(���E+��� 1��; ; �,���EF�J#

• � X O � W M�� � L N#X)O X � �� �U�YM�Q W �RT�k����� ��"0����1UE���� (*�?��5 E+�,����� (+</�

�(*�G�8�4�+�,�,���+(}��,��1���(,E+�,�{�?��(*�>�4�4�+�?�����+(8���h�?� ��(,� CG) 1 ���4����(,�����7��

(,; �E��=��� � �������,��1k"0�,��� �w�������I�?P=���I����,���� E�����"a�?� ���,���>) 1 ���4����(,�����7��W�?� �+������# @A�(,��E|�������<g�,� �+������(,�"0����� 1 �+�}�� 1 �����4���I����,���� E��~��"&�?����E+���8; �E+�W(�;7�E��25 � 1����W�?� �~�T�W��(*�|#A`a�+� ������E�����N��<>�,� ���������2�,� �,�+��(,5�EF�=(��G�8�4�+�,�,����(

���� �2"0���W�|�EF��E����4; ��� CD; ���� �

��W� ��(,� �H57��I�?5 � �H5 �x�:����('E�����:�

��1����I�?�787��1^�W�N�?�^�,� �M���(��2�?� �����ME+���4;O�������I�?(x��"Z�?� �SO(8)

�A�+�����I���8���4���I�?q �����"Z�?� �}�,�����H�

�4� ������(�#9d>��� E��q �����(������.���I���������I�25 � 1 �+�x�?� �}��� ��(*�x; ��E+�?5��,�}EF� �� ����� � � EGI �u<m�?� �}�

�EF� ��,���+(

�7|���a�?�q�:�2��8�+� 1 �+1��I�Y(����8�~��(,E���������?���tE����I�,�,����5��?����� (�<��,��(�5 ���,��� �q���

Ri = qsh,i − Ng,i + N∗g,i

b 5 #76 5 DIe�W� ��EF����������_�,� �

SO(8)�A�+�����I�W����,�,��E���#l%6�+�,�

Ng,i

�� 1N∗

g,i

����}b ���+E+�?���,(/��"Fen���I�?�+�����W��(�E���������,����H5 �x�:����(�<7E���5 �I�?�����q�,� �a�H5 �x�:���W��"\� �������8����; � ��E'���1���I�,��� �������4���,; ����E/��(,E+��������?���A� C>E+���Fj�?����� (�<�,�+(,;:��E{�?�������N��#!K7�,��� �?� �W1 � 87� �N�?�����4��"O�,� �6EF� ��,���+(6b 5 #76 5 DIeF<H��� �W� ���,��E+��(l�?�7j�n�,� �WE������,�+(,;:��� 1 ��� ���(��G�4�8�{�?�,����(Z1 �q1 ��(��,��� ��5���(,�Y�:�+�T�t���+���:��(,����(6�� 1Y"0���,�4����� (�# � �� � ��')8)#%<�< ���B#3� � ',.�@ �=/6$�0�#%$�&:9�/60�/�$�04��# 56';&-��� ',.�',$���.��=�6�6� �@ /35"�=$��A@ /�@ ')$6� #(E

U4� ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

� �� �

��

� �� �

� �� �

g3Z3!= Z1

g2Z2

g1Z1

Z3!= g2Z2

Z2

Z1

⇒ g1g2g3 = ( , 0)g1Z1!= Z2

�������! #" �H&�$��H' � 45"C/2,I98<7"C�� #68�!, /#"-J�"7<-12��683 2�!J�" <�9;3 ?�"' ���/2�I9;J�����"7> 98/ 1245"%9;?!��J���1 A 6;FD1�BY��/21#"7>/212 2��3!� /)1#6�� 68��3 &

gi>!"-35681#"=124! #"7"=<76835/#12 2�5<-12��3!� "-J�" �%"-3 1#/�&

RT�o�,� �q5 �I�T�W��(��,��1�(���E{�?���+<&�,� �8�:��(���� ��E4��EF�7�������(+<\�,��#Ab 5 #76 5 DIeF<\� ���8��� �����,� �,�+�81��/+O���,�+�I�

�����5���(�#QXZ� ��(4������ �W(��?��(,; �����.�,� �_5 �I�T�W��(��,��1L(,��E{�?���U���Q"05����?�����.5 �I�T�W��(*�?�+1h(,�+E+�,���,(

U1

<U2�� 1

U3

E����4; ����(,�+1k�I� bc(�5 ;:���Fe 87����1 (M�W���,�B��EF�7��,����(

(0, 1, 0, 0)<

(0, 0, 1, 0)�� 1

(0, 0, 0, 1)<

�,�+(,;:��E{�?�������N��#RT�I����,���� E��a��"p�?���a�,� �������Y5 ��1 ���/�

�(��G�4�8�{�?�,����(gE+��� (*�?�?���� (g�,� �a(,5 ;:����;O���,���I�?����J��"p�,� �~�?� � )

���*��#nd>��� E��'�,� ��(��(��G�4�8�{�?������(g��,�61 ��(�E��,�{�?�qbc�(A�,� �+�M��,��(,�6"0����� 1 ��(�E����+�?�'�,���?��?����� (Fe <G�,� ����H������N)�� E+�aE���� 1����?����� (ZE���_�O�a(��?��?�+1��(

i

Rai = 0 mod Na "0���

a = 1, 2, 3 ,b 5 #96 5 I�e

�W� �+�,�Na 1 ��� ���?��(m�,� �Z����1 ���l��"7�,� �g�T�W��(*�n�E+�,���������x�?� � ath E����4; ��� C�; �������<��u# ��#����v��(v�,� �Z(,�8����N)

��(*�W���I�?�+������(Z(,5 EF�_�?� ��Nava ∈ Z

bc� �.(�5 �8�8��,������e #m%/���,��< �T�A�q��"p�,� �Ri

E����4�"0�,��� "0�+�,�4����� (�� 1_�?��������(��/"0�,��� �O��(,��� (/���D����1 ���Z�?�4�:�������� �t��1_���_�?� �a(�5 ;O�+�,;:���?�+�I�?�����#tK����/E+���4; 5��Fj�?�����7��; 5 ��;O��(,��(+<w���'��('�4������E����H����� �����I�a�?�Y5 (����?���.; 5 �,�+�����O��(,��� ��E�� ���F��,�����J<:�W� �����.����#lb 5 #76 5 I�eW�O� )E����8�+(

i

Rai = −1

�4�>1Na .

b 5 #76 5 ;Ie

3 E||���|��4��(����S����1 ����� ������J}���Q����n�4���8�+�I���t�Y�7|���_�(�(,5 �4��1S�?� ��x�?���M������?��E����"W�?���

E����8;7�E+�D(,;7�E��^��(Y"c�E+�,���,��P|�� ����<'�,�7��D��(+<'�?� ��ΓE��� �:�=�W�,�N�,�?�+� �(_�?���o; ���>1�5 E+����"��,� �,�+�

��� � )TE+���8;���� CH) 1 ���4��� (������ ��O(�5 � ����,�,��E��+(�<7���EF����"&�W� ��EF��E+���,����(,;:��� 1�(/�,�}.E����8; ��� C_;����� �Za ��"

�?���8���H�,�����7��!1 ���4����(,����� (�#MR "��(2� ����"c�E{�?������P��� ����<p����#gb 5 #76 5 I�e�7�(a�?���O�4�4�>1 �787��1�#M3 ���,���{"

1 ��(,E�5�(,(,�����D���Y�?� ��(Z��(,(�5 �a��(W; ��� �G��1 ��1_���D�;�;O�+� 1 �7CDz'#• K �����W QYM�X � � � W��#W L�N#X O M�� �#W �d>��� E��'�,� �(*�F��,��(g�+�H�,������� �x�,� �(,5�;O�+�,;:���?�+�H�,����OE|������}���(��x(,���8�6����"0�����}j�?�����}��:��5��t�?� �+���t(,;7�E+�������5 ;�; ����;:�����,���+(�<��?� �x;��,�G1 5 E+�'��"!E���� (��,�,5 E{�?�����M�������4���I�?(

gi

�x5 (��'�����������?���x(?��4�2E���� ��5��I�E+�E����(,(/�(g�,� �a��1 �+�I�?���T��<7��# ��#

i

gi ' ( , 0) .b 5 #96 5 sIe

� �9U�� � ��� �3� � �3� ���:� \ ' � ����� � ��� � � \ (_\^' � � �Pb �3� � � U4O

RT�_�?�����8(Z��"vE+��� ��5 �Ij�?�a�������4���I�?(higih

−1i

��"gi

< �,� ��(ZE+��� 1 �N�?�����YE|��D�:�~�,�+"0���,�x5 ����?�+1D�( �76�6�;��∏

i

higih−1i = ( , v)

�W���,�v ∈

i

( − θi)Λ .b 5 #76�<1?�e

-6���?��E+��?�7j�Z�?� ��(/��5 ���~���8;������+(A���Y;7����,��E+5 ����t�?�7��∏

i

θi = ,b 5 #76�<26 e

E���� 1 ���,�����8�W� ��EF�D��(g�H� � �W�D���M�,� �~���N�?���,��?5��,�~�(g�,� � $ & ����� #��'& ��$�� ( ! ��%� & � �,�#( {#ndG�Fj�?��1_���M�?� ��(�A ��<J�?� ��;O�����I�������5 ;=(������+E+�,��������5 ����E|��=�:���������H�,����; �,�{�?��19�(}1 ��(�E����+�?��(��G�8�4�+�,��� �76Q?1s��u#RT�"c�E{�|<����(,�x�?���2�,�?�� (�����,����� ��O; ����/���Y�?����(�;7�E��a������5 ;D�,5 ���4b

v ∈ ∑i( − θi)Λ

eZE���D�O�a(,�+�����(.1 ��(�E����+�?�8b ��|�����?eZ(*�G�8�4�+�,����#XZ� ��(n(,�+���+E+�?�����}��5 ���WE���M�:�/�G��(�57�����P��+1}�(n�,� �6�������4�+�,�,��E������ �����N�T�x��"O�T�W��(��,��1M(*�?����� ��(!�?� �������

bc(����Z87� # 5 #96 5 e{#

� � � fγ� � ��%�f , 3 -

RT�S�?� �}�����,���,��?5 ����<m�,� �����Y� C>��(*�?(q��Q�1�1 ���,�����7��n(�������E+�,�����S��5 ����<l5 (,5 ����N�^E��������1γ ���5 ����#�RT�U��5 �

� ���?��?�����J<>���W�,���1 (�� EGI>< s1s��∑

i

γi = 0 mod 1 ,b 5 #96�< 5 e

�W� �+�,�γi

1 �+� ���,��(\�,� �n(,��) E|�������1γ �; �7�(��t��"

Ψi

#vR ">�A�n(,5 ;�;O��(��t�,�7��p�?� �!(*�F��,��(Ψi

����t�(,(,�GE�����?�+1�?�W�?���tE+��� ��5 �I�E+�aE����(,(���(\��"

gi ∈ S<�W; �7�(��

e2πiγi(h) ��,��(���(w"0�,��� �?� �t�E+�,�����a��" 6� ��� E����4�x5��,��� ��������4���I�

hb[gi, h] 6= 0

e'���=�?� �q���+���8�{�?����E|��v;7��*�2��"Ψi

#q%/� �A�{�����+<v(���� E+�q�,� �q; �I�G(,��E���l(��?��?�+(Ψi

��,��<w�I�=1 �K8 � ���,�����J<�(,;7�E+�q���,��5�;9���I����,����H��<��?����(~; �7�(,�.E����8�+(�����A �G(a������ �M�W�N�?��Y; �7�(��Φ(p ��� , q ��� , h)

< (�5 EF���,�7��

Ψih−→ e2πiγi(h) Φi(p ��� , q ��� , h) Ψi = Ψi .

b 5 #76�<1<IeR �a"0������� �W(�?� �+�o�?� ��a�?� �4�I��4�}M;��7�(,�+(

γi(h)E|��^���(��_�O�.�W�,�N�,�,���9�����?�����8(a��"

p ��� , q ����� 1

�?���������O�+1 1 �����}��"h�����?�����I�5�����1 �+���,�+��(��"m"0�,�+��1 ���D#6zA��� (���1 �+�,�����M}E+��5 ; ����� �

Ψ1Ψ2Ψ3 . . .<

���Z�,5 �,��(/��5��Z�?�7j�Z�?� ��(/��������?�����M���4; ������(n�?�7j�

e−2πiP

i γi(h) =∏

i

Φi(p ��� , q ��� , h) .b 5 #76�<�EHe

K75 ���,� ���+<A�t���7|����(,� � �W� �>I�;��Z�,�7�� ∏i Φi(p ��� , q ��� , h) = 1

"0������� �W(."0�,��� �?� ��(,�+����E{�?�����L��5 ���+(����(��,��1D��:� ����#!XZ� �+�,�+"0���,��<7�,� �a� C>; �,�+(,(������

i

γi(h) = 0 mod 1b 5 #96Q<@:�e

�W���,�M��}��,�����?�,����x(,;7�E+�'������5 ;8�����+�8�+�I�h ∈ S

<>��(A��N�g|�G(!�?�,5��6"0���!�?� ��(,�/E���5 ;���������(A������ �t��14�I��?���Z; �,�{�>����5 (l��5 ���+(�#l-/���?��E��A�,�7��l�N":�t�ZE���� (,��1 ���m�,�7��m�,� �Z�������4���I�?(

h1 = (ϑ, 0)<h2 = (ω, 0)

�� 1hα+2 = ( , eα)

"0���,� �7�(���(m��"S<��t�ZE|��.�7|���/��l�4��(��v�������I�

γ ��$��5 ���+( �?#\XZ� �Z��� �g�?�,�1 ���,����� ����N�

E���� (,��1 ������1QE������,�+(,;:��� 1 (.�?�=�,�7��q�(�(,�GE�����?�+1Q�,���?� �Y(�;7�E+�D���,��5 ;S�+���+�8�+�H�h = (ϑ, 0)

��" AN����� ��"0����1 (�#�K7���~M���+����1 �{�F������+1�1 ��(�E�5 (�(,�����o�����,� �.1 �+�,������,�������� 1=�?�����G��������T�D��"!�?���

γ) �,5 ���Ib0(Fe{<

�t�����+"0���g�,�%� 61616,��#

Ue[ ' �V\ ������� ��� � � * �3#Y� b 1 ' � ] � \ ' � ��# ��'P\ � ����� �

� ����� � ��� �

� � � � � � � ��� � � � ��� ��� ���

XZ� ��(_EF�7�;��,���D��(Y1 �{�����,��1 �,�Q�,� ���?��EF��� � �H5 �+(�5 (���1V�,�U��,��������(*�>(*�?�+�}��,��E�����N�L�,���� ���H5 �N��������I�A���,� �N"0����18E����4;7�E{�?�787E|��,������(A��"p�?���� �+�,�������?��E~(��?����� ��#v]^�~���+�G���{� 8 �,(���,� �l"0�,���H5 �+�I�?���aE��������1 � " � ) ��� ���% #��� �� ����.� &���<j�7�(���12����Z�?����������� �I�2ya���#&XZ� ��(�4�+�,� �>1���(~5 (,�+1^�8���� �N���,�_E����(,(,�N" �=�4�>1 �+��('�W�N�?� ��5��a�7�EF�H������5 � 1 87����1 (8b0]B����(,�������� �+(Fe{#���G1 ����('�W���,��]B����(,������������('E���=�:��E����(,(��987�+1=�8���,��� +��+E+�,�����+�����I��5 (���� �M; ����;:���W�� (,��?P~�,�7��WEF�7��,�E+�,������P��+(/]B����(����Y����� ��(g��"m.���N�����D����1 ���+<7�(W1 ��(�E�5 (�(,�+1����(���E+�,����� <�# 5 #_Kv��� ����N��<��t�M���I�,�,�G1 5 E���� �� ����� � ����� � & ( ���� <\�E+���8;�5��?�+�2;��,�����,��1 �{���+����;:��1_�?�4E����(,(���" �M���,� �N"0����1M�4�G1 ����(Z�� 1DE����4; 5��,��?� �+���Z; ����;:�����,���+(�#

� ��� �N

� � � � � ��� � � � ���� � �������� � �� � �RT���?� �4�� (���� E+�}��"n]B����(,���=����� �+(�<w�?��� � " � ) ��� ���% #��� �� ����.� &���>s�<�<�616Qs�<�6 5 ?��m��(�?� �4(��?�� 17���1(��,�?��,�����2�?�6�����?����2�?� �g���5 ���t���x�:��1 1���� ��(\��"7�?���A;:�����I�\���,��5�;

P#\R �mE+��� (,��(��,(m������1 �+�H�,��" �G�����6�?���

����� ���~�5��?���4����; � ��(��8(6��"!�?� �q�w���x�������� �,M��"!�?� �.���5 ���x���,��5 ; G bc�+���,� ��� E8×E8

���SO(32)

e <�(Z�t�a�W�����J��� � 1 ��(�E������:��#zA��� (���1 �+�v�?� �A� CG�?�+� 1 ��14�6�G� �H���.1 ������?�� ��"

E8

�� 1SO(32)

���������.��� 87� # <�#76�#vXZ� �A�G5��x�O�+�,(����F�EF� �+12�,�Z�?� �!� �G1 ��(&����l�?� �tzA�QC>�+�?�+�\���py2��l����:����(

ki

< �W� ��EF�2����n�I�~1��K87� �N�?�����~�?� �!� C>;7�� (,�����E��G� �4E+�����I�,(6��"&�?���2������� �+(��W���>���

αH

���_�,�����8(W��"&�?� �a(����4; ������>���?(�<>�?�7��W��(

αH = k1α1 + . . . + krαr ,bT<>#96 e

�W� �+�,�r��(6�?� �.�,�� � � ��"n�,� �4�������� �,�#�K7���'E����I���+� ���+� E���<&�,� �4ya��.����:���\��"!�?� � � & ��� ��# ��%� ��

�'& &��α0 ≡ −αH

��('(,�+�'�?�k0 = 1

#XZ�����J<J�I��8�?� �+���,�+� 1�5 �x�?�Yya�� �76 5 6��u<J����\����1 ���$)N��� �����

�5��,���4���,; ����(,�4(g��"v��D�������� �,.5 ;D�,�qE���� ��5��I��?�����_����2�������+�_�H�

σs(Eαi) = exp (2πisi/N)Eαi

, i = 0, . . . , r,b&<�# 5 e

�W� �+�,�Eα

����2�,� �2(��?�+;���;:���,��?����(W��"m�?�����w���2����������?q��" G ���1��?����(����H5 ����E�� s = (s0, . . . , sr)�8 �q�:�'EF����(,�+�_��,� �N�?�,��,������(,5 �#���+E+�g�,���,� �'E+��� 1 �N�?����� (l�?�7��n�?���'E��G� �4E+�����I�,(si

�:�'� ��� � ������?�N����<�� �(';. #%$ ! / �

E8

��0r = 8

2��(').�'7#�0 ���(';. #%$�!?/��SO(32)

� 0r = 16

E

:1:

U4l ' �V\ �����:� O � 'Pb \�� � �3# ��' \$� ����� ��#�� � * ��# � b 1 �

α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

1 2 3 4 5 6 4 2

3

α0

α1

α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 α13 α14

α15

α16

1

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

1

�������! #" �H&�$�'�� ��1#"-35>!"7> �:A�3�����3@>H�9;�� P9 � 6;FE8

9;35>SO(32)

9;35>�1245" 98/#/#6�<-�9;1#"7> �D6 �!"-1#"- )68 �=9�� J9;?�"-J�/�&

�,�+����,���������8; �����4�~���I�?�+������(6�� 1r∑

i=0

kisi = N.b&<�#=<�e

� � f �%����# �'& f �����4�XZ� �4���x�:��1�1 ��� �D��"n�?� �4;:�����I�a������5 ;9�����?� �q�I�5����q1 ���������+(���"n"0�,�+��1 ���D<p1 ��(�E������:��1^�I�

XI 7→XI + V I bc(����a����#\b 5 #96�s�e�e <7��� 1 5�E���(Z�,� �~�?�?�� (�"0�����}j�?����� (

σV (Hi) = Hi, σV (Eα) = exp (2πi α · V ) Eα

bT<>#>EHe���4�?� �zg����?��M���+� ���,��?����(

Hi

�� 1}(*�?��;Y��;O�+�?��,���,(Eα

��"J�?����w���6�������� �,���" G <H�W���,� α�O�+��� ��

�,�G���!��" G <H�� 1 V�?� �W(�� ��" �l����E+�,����#lXZ����(,�W�?�,�� (*"0���,�8��?����� (mE+������,�N�x1 �+(,E������:�/��4�5��?���8����; � ��(,�

��"&�?� �2����������?�#X\�_1 �+�,�N�����,� �.(,� �N" ����+E+�,���~E������,�+(,;:��� 1 ��� �M�?�_}�������+�9�5��?���8����; � ��(,� ��(6� � � ;7����?��E�5 ����,�N�

�|�(���#tzA���4;7������ �.�,��#vb&<�# 5 et�?�q����#&b&<�#>EIe{< �N�Z"0������� �W(t�?�7��

αi · V =si

N, i = 1, . . . , r,

b&<�#=:�e

"0���x�,� �r����� �|��,���9��� 1 ��;:����1 ���I�4(,���8; ���M�,�G���,(

αi

#Sf6(���� ���,�7��.�?���D(����4; ���8�,�G���?(αi

�� 1Q�?���"05 � 1 ��8�+�I�F��w�t�������H�,(.b �?� �+���/1 57���(FeZ(?��,��(�" �

αi · α∗j = δij

<O������E����� C>;7�� 1��?����(,����" �/����E{�?���V���Y�,���,�4(Z��"&�?� �~"05 ��17��4���I�F��J�t�������I�?(/�(

V =

r∑

i=1

si

Nα∗

i ,bT<>#=DIe

��# ��#\�?� �/���I�?�+������(si

1 ���G��1���14�H�q�,� �'����1 ���N��,�W�?� �6�6�G� �H���}����:����(n��"

V#m3V1 ������E{�tE����E+5 ��j�?�����

�,�{�������(x�,�7��x�,� ��(x(�� ��" ������E{�?���4���(,���������+(x�?� �YE+���,����E{�.�?�?�� (�"0�����}j�?�����o"0�����,� �M(*�?��;U��;:���,��?���E����,�,�+(,;:��� 1 ��� �.�?�q�?� �a�4��(��g� ���Ij�?�����a�,�G���

α0

<σV (Eα0) = exp (2πi α0 · V )Eα0

#

O �&� � AN� � * �3# � b 1 � ( �3� � � � � ( �Kb ����� b �3����� U+m

α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

1 2 3 4 5 6 4 2

3

α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

1 2 3 4 5 6 4 2

3

�������! #" �H& �H' *�A���%"-12 2AV?! #"�9 ����3!� ��35>H�5<7"7> ? A 9;3E8×E8

��3!35"- 9;�!1#6��%68 2,!4!��/�� 6;F 68 #>!"- N = 6

>!"7/#<- 2��?�"7> ? Asa = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

9;35>sb = (4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)

&

zA��� (*�?�,5�E+�?��� �~(,����" �v����E{�?����(l��"E8×E8

�,�,�G5����,�+(v�?� 8 � 1x�T�A�~(����H5 �+� E��+(sa = (sa

0, . . . , sa8)�� 1

sb = (sb0, . . . , s

b8)<v�|�EF�S��"Z�W����EF�����|�1 (2�?����� 1 �+;O�+� 1 ���I�q�5��?���4����; � ��(���<

V a �� 1 V b <l�E{�?�����1 � +��+�,���I�,���M�������EF����"\�,� �~�T�A�

E8

�I�5����"c�E+�,���,(+#n�� �aE|��D(,� � � �,�7��Z�,� �aE����x�����7��,�����

V = (V a) (V b)bT<>#FI�e

"0����� ��D��� �����W�5��,���4���,; ����(,� ��"E8×E8

#X\��E����4; 5��,�8�?���}� C>; ����E+���2"0���,�s��"g�,� �}(�� ��" �����+E+�?���,(�<m�t�M5 (��}�F�� ���+(���#=I��� 1���#=;><v�W� �����

�t�~; �,� �G��1 �6��5 �gEF������E+���"w�?����7�(���(t"0���t�?���(,���8; ���6���>���?(g�� 1M"05 � 17��8�+�H�?����A�+�����I�?(A��"SO(32)�� 1

E8

<7�,�+(,;:��E{�?�������N��#

� � f � !����"�4f � .e� �4f � �k��� ,G4D

X&��1 �+�,�����8��� ���,� ��5 �H� �������+�[���5 �������,��5�; G4D

<W��� ���7�(}�,�^���+�,��" �U�?���=�E+�,�����L��"2��k��� � �+��5��,���4���,; ����(,� ���4�,� �'zg����?��}���+� ���,��?���,(

Hi

�� 14�?� �/(��,��;M��;O�+�?��,���,(Eα

"0���l�?� �/(,���8;����Z�,�G���,(αi

��"a�?� ������������?^��" G # XZ� �����}�?�,�� (�"0���,�8��?����� (}1�5 ���?���,� �=(,� �N" �M���+E+�,��� V��,���������+�B�H�

����#nb&<�#>EIe{#x]o�4(����j87��(��a�?�7j�~�?� �8zg��*�F������+� ���,��?����(a1 �_� ���a�?�,�� (�"0���,�D<JE����N87�,�4��� �M�,�7��a�?����?�� �q��(A�����A����1 5�E���1_�I�4�?� �'�E+�,�����8��"J�?���(,� �N" �t����E{�?���+< �(n�A����|����I�g���8(,�+E+�?����� 5 #><�#76�#l@A�+(,��1 ��(+<"0�,��� �?� �2�?�?�� (�"0�����}j�?�����D;��,��;:���*�?���+(6��"v�?����(��,��;���;O�+�?��,���,(+<O�,�:#vbT<>#>EHeF<��A��� ���?�2�?�7j�6�,� ����� ���(��,��;D��;:���?j�?����(W�,�7��/����a���I����,����I�Z5 � 1 �+�Z�?� �2�5��,���4���,; ����(,� ����a�,� ��(��a�,�7��W(,��?��(�" �

αi · V = 0 mod 1 .b&<�#>;Ie

f6(���� ��,�7��αi ·α∗

j = δij

<��t�/E+��� E+��5 1 �g�,� ���q�?� ��!���x�,� �Z� CG�?�+� 1 �+1M�6�G� �H���q1 ������,���b0(Fep1 ��; ��E+�,��1���i87� #N<�#96�<>�?���(,���8; ���W�,�G���

αi

bi = 0, . . . , r

el��(A;��,� ���+E+�?�+1_��5��|<>��"p�� 1Y��� �N�8�N"J�?���E��G� �4E������I�si���_�,�:#&b&<�#><IeA��(Z� ��� P��+�,� #

XZ� ��(W������ �W(A��Y���I�?�+�,; ���+�?��?�����M���M�,�����8(g��"&�,� �a�6�G� �H���_1 ������,�� ��"p�?� �~E+���,����(,;:��� 1���� �q�w����������� �,�#S`~�������S�?���D; ��?��4�+�,����(

(s1, . . . , sr)<!�?� �_�6�G� �H���L1 ������,�� ��"6�,� �Y5 �H� �,�������L�I�5 ���

������5 ; G4D��(/�����F���� ��1D�" �,���W1 �+���+�,��� �.�,� �����>1 �+(/"0���W�W����EF�

si 6= 0"0�,��� �?� ���6�G� �H����1 ������?��

��"&�?� �a�����������7��:�I�5 ���2���,��5 ; G #X\�4������5 (*�?�,��?�6��5 �W1 ��(�E�5 (�(,�����J< ���+�W5 (WE���� (,��1 ���Z�?���E8×E8

�w���a����������?�#mXZ���2; ��?��4�+�,����(

sa = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)�� 1

sb = (4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)b&<�#=s�e

�E{�?�����4���_�,� �S87�,(*�6�� 1_(,�+E���� 1E8

"c�E{�?����(�<7����(,;:��E{�?�N�����N��<71 �+(,E+�,���:�2����5��?���8����; � ��(,� ��"v���,1 �+�N = 6

�:��E��5 (,�8∑

i=0

kisai =

8∑

i=0

kisbi = 6 ,

bT<>#96�?�e

U�� ' �V\ �����:� O � 'Pb \�� � �3# ��' \$� ����� ��#�� � * ��# � b 1 �

�W� �+�,�ki

��,�6�,� ��4���I�?����� �+1Mya��'����:����(+#m@t�85 (���� ���,� �'� �(,��(A���N�����}���8�?�� �����#>;�<>�t� 87��1}�?�7j��?���2E+���,����(�;O����1 ��� �q�+�����I��) 1 ���4����(,�����7��:(,� �N" �Z����E{�?����('��,�a���������D�I�

V a =1

6(α∗

1 + α∗3) =

1

6

(4, 2, 12, 04

) ���1V b =

1

6α∗

7 =1

6

(2, 07

).

bT<�#7616 e

XZ� �+(,�A����E+�,���,(m��,�!�?� �!�T�t�E����4;:��� ���I�,(v��" 6(,����" �&����E{�?���v�E+�,��� �/���2�?� � 6�Dj)T1����4��� (������7���1 �����,���+(��"&"0�,�+��1 ��� ��"\�,� �a� �+�,�������?��E2(*�?����� � #vXZ� �����+"0������<7�A�2�����?����

V SO(10),1 =1

6

(4, 2, 12, 04

) (2, 07

).

bT<�#76 5 e

XZ� �a5 �H� �������+���I�5 ���~���,��5�;D��(Z"0��5 � 1Y"0�,��� 87� #4<># 5 �?�q�:�

G = E8×E8V SO(10),1

−→ G4D = [SO(10)×SU(2)×SU(2)×U(1)]× [SO(14)×U(1)] .b&<�#76�<Ie

XZ� �U(1)

(/�; ;:�|��/�:��E��5 (��2�,� �a�?�� �8��(Z� ���6����1 5�E���1��I�V SO(10),1 #

3'(A�(,��1 �'�����8��,��<H�A�/�A��5 ��18�������/�,��;:�����I�n��5��t�?�7j�t�,� �6(�� ��" �n���+E+�,���V SO(10),1 �?5 ��� (A��5��t�,�

�:�~��"&;7����,��E+5 ����t���I�?�+�,�+(��|#l]o��W������(,�+�a���YEF�7�;>�?��� Ex�,�7��Z�?���~; � �������8�+� ���������8��"v�4�G1 ����(t�W���,��?����(~(,����" �����E+�,���a��('�����*��; �,���4��(���� ��#2XZ����("0�|j�?5 ���x�W�����\�O�q�(,(,�GE�����?�+1��?�Y�?���.� C>��(*�?����E��4��"t��SO(10)

���5 ���~������5 ;_���M�,� �~�,�+(,5 �N�?��� � G4D

�� 1_E����*�F����_; �,��;:���*�?����(g��"&�?���~(,;:��E+�,�,5 � ; �,�G1 5 E+��1�I�

V SO(10),1 #

� f 3K���k�&�������+ �3P�� R� � f �%����# �'& f �����4�-6���Z�+�������M(,� �N" �g���+E+�?���

V�W� ��EF�_1 �+(,E������:��(W��_�5��?���4����; � ��(�� ��"p�?� �a����������?���(Z��_�1 �4��(�(,��� ���

EF� ����E��W"0���l�4�>1 �+�7E�����(��?��5 E+�,������#v]^�/�7|���'������|�1>�x(,�+���M���8(���E{�?����� 5 # 5 # 5 �,�7��!"0���n~�T�W��(��ϑ ∈ P��"n����1 ���

N<ϑN = ���8;������+(/�,�7�� N V

(,����5 ��1��E+�2�(�,� �q��1 �+�H�,���T�����=�?� �.���5 ���.1 �+���,�+��(a��""0�,�+��1 ����#!%/��� E+��<:.E���� (���(*�?����E+�_E���� 1 ���,�����Y���D�,� �a(,� �N" �Z����E{�?���

V��(

N V ∈ Λ.bT<>#96QEIe

K75 ���,� ���+<7�8�G1 5 ����A���I����,���� E��~��"&�?���2; ����,���?�����}"05 ��E+�?�����_�,�,�G5����,�+(Z�?�7��

N(V 2 − v2

)= 0�8�G1

2b&<�#96�:�e

�7�(~�,�D�:�.(?j�?��( 87��1�<p�W�����,�v��(�?���q�T�W��(��~����E+�,����<\�E{�?�����Y���=�?���.E����4; ��� C>�987�+19E+�>���,1 ���7��?�+(��"

�?���2E+���4;7�E+�W(�;7�E+��#K7�,��� �,��#vb&<�#76QEHeA���W��(WE�������g�?� ��W"0���W4�������+�����,1 �+�

N��"\�?� �~�T�W��(��

ϑ<:����J(,����" �?(

V��"v���,1 �+�

N ′ ��,�D���(,�o�1 �4��(�(,��������<t�(4�������o�( N ′ 1 �N�>��1 ��( N#�RT�h; ����� E+��; ����<!�A��E���5���1U1 �+�,���,�4�����D�,� �

�1 �4��(�(,��� ���a(,����" �?(6"0���'���EF�N ′ (���;7��?��,������<J� 5��~}�8���,�2; �?�E{�?��E|��\�; ; ���I�EF�=��(6�?�}�,5 ���,� �,��5����

�?���=��5��?����� �+1k; ���>E+��1 5 ���="0���N<'1 ����; ; ��� ���?� �=E+��� 1 �N�?�����k�����?���=�,������?�N��� )T; �����4��� �+(,(}��"��,� �

(,�,�H5 ��� E+�s = (s0, . . . , sr)

#YR �x��(a� ���x� ��,19�?����������" �=�?� ��|<\�H�91 ����; ; ��� ���,�7���E�����1 ���,�����J<p�?�������1 ���W��"&�?� �a(�� ��" �WE���_�O�a(,���8�

N ′ �W� ��EF����(Z(,�8��������n�?�7�� N#

O �&� � AN� � * �3# � b 1 � ( �3� � � � � ( �Kb ����� b �3����� U�!

α0

α1

α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 α13 α14

α15

α16

( 9 .��D #"�9 ����3!� >H�5" 1#6�� (3) 6;F�1P9;?!J�" �C&��H&

α1

α0

α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α9 α10 α11 α12 α13 α14

α15

α16

( ? .��D #"�9 ����3!� >H�5" 1#6�� (4) F #6�� 1P9;?!J�" �C&��H&

�������! #" �H&��H' ���H1#"-35>!"7> � A�3�����3E>H�9;�� P9 � 6;FSO(32)

<768 2 #"7/#,�6835>H��3!� 1#6%1245" ?! #"�9 ����3!� >H�5"=1#61245"=/#4!� F 1#/�� (3) 9;35>�� (4) 6;F 1245" �

468 2?!� F 68J�>

RT���,� ��;��,�+�G����5 (W� C���4; ����<7�?� �a(,����" �W���+E+�?���V SO(10),1 ��"v���,1 �+� D4���N���+�����_�,�:#vbT<>#96 5 et"05 �987����(

�?�����G��������a�,��#�bT<�#76QEHe&�O�+E|�5 (���<G�I�xE���� (��,�,5 E{�?�����J<6 V ∈ Λ∗ �� 1.�?���Z������?��E+� Λ ��(m(,�+��"�)T1�57���#&RT�q�����G)���,���<�����G(,� �N" �v����E+�,���,(!���+� ���,��?�+1.�I���?���W�6�G� �H���q1 ������?�� �4�+�,� �>1�(?��,��(�" �

N V ∈ Λ∗ = Λ#mK75 �$)

�?������< �t�t(����!�?�7��w�,� ��(p(�� ��" �w����E+�,���&E����x����� �+1a�W�N�?�~�?��� A6

)TR,R��T�W��(*�p����E{�?���v = (1/6, 1/3, −1/2)E����8; �N�}�W�N�?�Y�?� �a�4�>1�5 ����t���I����,���� E+�~E���� 1����?����� J

6((V SO(10),1)2 − v2

)= 6

(1318

− 718

)= 2 = 0 mod 2 X .

b&<�#76�DIe%6�+� E���<

V SO(10),1 ��(W��D������ �A�+1A6

)TR�Rt(�� ��" �Z����E{�?���+#

1 �T3��1� �&* �& �.N���T � ��� �����e./%�f +� ] ��� fN%&3-6���?��E+���?�7j�D�,� �="0���,� ��"2�?� ��(,����" �

V��(Y� ���_5�� � �H5 �9�O�+E|�5�(,���?� ��EF� ����E�����"2�?� ���7�(,��(Y"0���

�?���M(,���8; ���q�,�G���?(αi

�� 1��?�������21 57���(���(�� ���x5 � �/�H5 ��#�XZ����(����8;������+(~�?� �8;O��(�(,��� �������T���,�7����T�t��; ; ��,�+�H�,���}1 �/+O�������I�/(,� �N" �Z����E{�?����(WE|��D�����1Y�?�q��1 �+�I�?��E�������,� �N"0����1M�4�G1 ����(�#mXZ� �2�,���(,���D��(g�?�7j��?���~�5��,���8���,; � ��(,�4(

σV��"&.�w���'����������?�����(,;:��E{�ZE��+���?����M(*�G�8�4�+�,�,���+(�#!�w�+�A5 ( 87��(��Z�+�H5 �8�+�?��,�

�?�����D#( f � % ��f�"f �������� �3�� XZ� �a�E{�?�����Y��"&��Y�������4���I�

w��"&�,� �']o�+�G�J������5 ; W ���_x(,����" �g����E+�,���

V��(Z���N���+���I�

Vw−→ w(V ) = V − 2

α · Vα2

α ,bT<�#76�I�e

�W� �+�,��(!��4���� ���,�?��*�����>���|#vXZ���W]o�+�G�7��� �7�+E+�?����� (!E����,�,�+(,;:��� 1 ��� �~�?�

α1, . . . , αr"0���,� a� �(,��(

w1, . . . , wr

< (����?�7j�W��I�}���?� �+�g�������4���I�Z��"w�,� �']o�+�G�J������5 ;Y��(t1 ��(�E������:��1Y�I�M; ���>1�5 E+�,(g��"p�?� �+(,��#RT�

SO(32)<v���2��(�� �����7��,1^�,�����+�,�N" �=�?�7����?� �4������5 ;���"A]^�{�>�n�,� �7��E{�?����� (x����?�+�,(a�?� �8(,� �N" �

���+E+�,��� ��5 (��q�I�S;:�����x5��?��� �=���,(.���I�?�����+(.���.EF�7�� ����� ��(,���x5 �N�F�� �+��5 (������?� �_(������S��"/�T�t�9�+�I�?�,����(+#XZ� ��(n"0������� �W(l"0�,��� �,� �W"c�E+�n�?�7j�g����7(,���8; ���Z�,�G���?(n�7|���6���I�?�+�����n���I�,�,���+(

0, ±1#v]^�{�G�O��� �7�+E+�?����� (

l� ' �V\ �����:� O � 'Pb \�� � �3# ��' \$� ����� ��#�� � * ��# � b 1 �

V (#) Ud>��E{�?���

T1

dG��E+�,���T2

d>��E{�?���<

2(20, 6) � 12

<

1(1, 15)1

<1(1, 15) � 1

16(1, 15) 14

<80(1, 1) � 3

4

10(1, 15) � 12

<6(1, 15) 1

2

<10(1, 1) 3

2

<6(1, 1) � 3

2E2(20, 6) � 1

2

<

1(1, 15) � 1

<1(1, 15)1

16(20, 1) � 34

<

32(1, 6) � 14

10(1, 15) � 12

<6(1, 15) 1

2

<10(1, 1) 3

2

<6(1, 1) � 3

2

��9;?!J�" �H&�$�' *�,�"7<-12 P9 6;F 1 B 6��468 2?!� F 68J�> �%6�>!"-J�/D6;F 1245"

SO(32)45"-1#"- #6812��< /#12 2��3!�RBY��124�/2��� ��J9;

/2A���%"-12 2A�?! #"�9 ��>!6 BY3E,I9;121#"- 235/�& � 45"U(1)

<P4I9; 2� "7/:9; #" BY 2��121#"-3 98/ /2�!?!��35>H��<7"7/�&

���E8×E8

��,�M�4�����}E����8; ����E���?�+1J#�XZ� ��(��Y�,�+����,��1��?���,�G���?(��W�N�?�����I�?�������x�+�H�,�,����(q�E{�.�����?���(,����" �/;O�+�,�x5>�?�����8���/;7������W��(,�a(,�����>) � ��; ; ��� �.���,(6�+�I�?�,����(+#W%6� �A�{���+��<��N"

�(/8� ���"�) ���I�?�+�����g�t�������I�

��"E8×E8

bu���(,��E��������1S(,;���� ���������e{<v�,� �Y(,����" �.���+E+�,���qE|��QEF�7������_� ���I�?�����G���������#^zA��� (,��1 ���+<n"0�������(��F�� E���<H�,� �Z]^�{�G�:�+���+�8�+�H�

w�(�(,�GE�����?�+14�,�a�,� �

E8

�,�G���α =

(12, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2

) �; ; �����+1�?���O���,�}�+�����I��) 1 ���4����(,�����7��7E����8;:��� �+�H�,(A��"w�,� �'(�� ��" �t���+E+�?���

V SO(10),1 �������+�M���8����#wb&<�#76 5 eF#lXZ� ��,�+(,5 �N�W�,���1 (

w(V SO(10),1

)=

1

6

(2, 0, −1, 2, 1, −23

).

(3

2, −1

4

7) bT<�#76�;Ie

�'�+(,; �N�?�6�,� �'1��/+O���,�+� E��'�O�{�T�A�+���M�?���'�����������7��7(,����" �V�� 18���,(t�����F��,��1ME+��5 �I�?�+�,;7����

w(V )<G�O���?�

�7|���q�?���8(,��8�q� +��+E+�����9�,� �4�������� �,�#qXZ� ��(aE|��o�:�8(����+���(~"0������� �W(�#q3 ]^�{�G�n�����Fj�?�����91��>�+(� ���A�+O��E{�g��� �N�.�?� �6(,� �N" �|<G� 5��t�?� �6E����4; ���{�?�/(,;7�E���<>��� E+��5 1���� �a�?� �6(,���8; ���W�,�G���?(n��"J�,� �����������?�#RT��"c�E{�|<7�?����]o�+�G�\���,��5 ;���(6�����(,���4����; � ��(�� ��"\�?� ��������+� �?>#Z%6�+� E���<�(,E������6; ���>1�5 E+�,(������ ����4�>1 �787��1�#�XZ� ��(����8; �����+(2; ����,��E�5�����������,�7��

V · αi = w(V ) · w(αi)<m�u# ��#&�,� �}5��G���,�������Q�I�5 ���

������5 ;D��(Z� ���/�4�>1��987�+1Y�H�Y]o�+�G�p�,� �7��E{�?����� (�#!3 ���+(,(W���I�G����5�(/E+��� (����H5 ����E��x��(g�?�7��W�,� �a���,� �N"0����1(,;:��E{�?��5 � ��(Z� ���/����,���,�+1_�����,� ���+#bd.N�Q���&�1f ����./ �3Q%&.N���&�� �3�� ]^�=�7|���9(����+�V����(,��E{�?����� 5 #>E�#=<^�,�7��_��j�,�?��E��D�?�?�� (,����?����� (ME���

�7|���2��_�����75 �+� E��a���Y���,� �N"0����18�8�G1 ����(�#l-6��4������<��4�>1�����(t�W� ��(,�a�I�5 ���~�����O�+1 1 �����.��(g�4�>1��987�+1�I�9������?��E+�.����E{�?����(�<l�u# ��#&���,���,� �����8�G1 ����(�<&E|��o�8���8��Ex�?� �8�,+O��E{�x��"Z1���(,E+�,�{�?�8�,���,(�������#M]^�}���(��;:�����I�?�+1q��5��|<H� �{���+���?�������+(,(+<>�?� ��n���.�?� �WE��(,�W��"�A

N

���,����"0����1x�8�G1 �+��(m�W���,� ��5��l]B����(����.����� ��(+<��?� ��(E|�� � ���/�GE�E�5���#AR �W"0������� �W(g�?�����_�?�7��6�1�1 ��� �4��j�,�?��E��'����E{�?����(6�?� A

N

(�� ��" �Z����E+�,���,(6��(/��������� �A�+1(��G�4�8�{�?�*�Y��"&�?� �2�5��,���4���,; ����(,�4(

σV

#� ��* * f@���k�&f 3 ��#S� � f 1 �� ���& ����. �4�k.e* � R �~��('5 (�57���������,��5 ��1��,�7��~(*�>�4�4�+�?�����+('��"!�?���

bc� CG�?����1 ��1�em�/�>���G���x1 ������?�� E|��x������;��?�~|������1�����1 5�� 17�� E+���+(�#v]B� �+�,���(E8×E8

1 �G��(\� ���m� �����I�o(��G�8�4�+�,���o��"Z�?����(��T�G;:��<

SO(32)�7�(.j�x�����(����?� �8(��G�8�4�+�,���o1 �K8 � ��1Q�I�o�,� �M��;:���,��?�����

αi ↔ α16−i

<7�u# ��#A.��� �7�+E+�?����������x���+���,��E|��\�C���(WE��,��(,(,��� �α8

#nXZ� �2�8�G1 �+��(Z1 �+(,E������:��1��H�D�5��?��)�4���,; ����(,�4('���O�{�>��� �M�?����(~(��G�4�8�{�?�*�����|�1��,�D��1 ���I�,��E|��\(�;O�+E+�?�,��� 1=�I�5 ���.���,��5�;J<JE����287�,�4������?�����,�+�I�Y�?� ��(Z(��G�8�4�+�,����#%6� �t�+���+��< � &�� *( ( � " �*����$�,��� & � � �� � " � ) ��� ���% #��� �� �� � " �*����%�,����& � �.�� �� � & � & �%�

$ ��� �����{<&�(��t�}��� � � C>; ������J#M36� ���,� ���2(��G�4�8�{�?������"g�?� �SO(32)

�6�G� �H���^1 ������?�� ��(a(,; ��� ���E���� ��5 �I��,������<!�,�7��4��(+<t�,� �_�,��1��K87� �N�?�����Q��"'�,� �_(,���4; ���Y�,�G���?(

α15 ↔ α16

#L�m�����U�?� ��5 ���Q�?� ��(��;:���,��?��������(/8(��G�4�8�{�?�*�_��"v�,� �x�6�G� �H����1 ������?��D< �N�6��( � &��\4(��G�4�8�{�?���_��"l���,����"0����1 (�#t3'(6��� C���4; ����<HE�����(,��1����l�?� � A

4

(,� �N" �?(V (3) �� 1 V (4) ��"O�F������/��#=:>#mXZ� �{�8�:���,�8��� 1 5 E+�W�,� �/5 �H� �,�������

O �&� � AN� � * �3# � b 1 � ( �3� � � � � ( �Kb ����� b �3����� l��

ZN E8 × E8 SO(32)

Z3

: DZ4

6 5 6�DZ6

) R : ; ;1?Z6) R,R DN6 I1:

Z7

E1? :�DZ8) R 6QEG: 6�s1D

Z8

) R,R 6QE@D 6�s�EZ12) R 6�D1D1s 515 s@:

Z12

) R,R 6�D1D1< 51515 <

��9;?!J�" �H& �H' �D6�� ,I9; 2��/#683 ?�"-1 B "7"-3 1245" 3 ���R?�"- 6;F ��35" � �!�� �9;J�"-3 1 �N

/24!� F 1#/ ��3V1245"E8×E845"-1#"- #6812��<R/212 2��3!� 9;35>���3@1245"

SO(32)45"-1#"- #6812��< /212 2��3!� ��� ����&

�I�5����~���,��5 ; G4D = SO(20) × SU(6) × U(1)bc(,�+�S87� #4<�#><Ie{<�� 5��Z�?�������g�T�W��(��,��1D�}����?�+�g(,;:��E{�?�?

1 � +��+��<7�(W�{�>��1 ���I�W"0�,��� �F�� ���Z<�#76�#@t�45 (,��� �x� +��+E+�?�N���+���q�?� �+(,�(*�G�8�4�+�,�,���+(�<G��� �6E|��81 ��(�E��,���8���7��,�W�,� �'�H5 ���O�+�A��"w��� ���H5 �N������+�H�

AN

�4�>1�����(t�W���?����5��Z]B����(,���Y����� �+(�#

\ � �2./ +��. �4f 3 ./ �� 1 �&3�./� �e./ ���. �4f 3XZ� �2E����(,(��987E���?�����_(��?�,��?�+���Y1 �+(,E+�,���:��1����_�?� ��(W(,��E{�?������;:��(�(,��(�(,�+(E��+���F����Y"0�|��,5 �,�+(/�W����EF���8�������t5 (��+"05 ���,�x�����?����M�����(,����" �g�+�x�:��1 1 ��� ��(t��"�A

N

���,� �N"0����1 (+#m@t�8E���� (��,�,5 E{�?�����J<>�,� ���� �N�4�,���H5 ���,� )�4���I�~�����,� �.(,����" �'����E{�?����(~��('���8;:��(���1��I���4�G1 5 ����/���I����,���� E���<�����#mbT<�#76�:�e #2�~���xE|��=1����,�+E+�,���1 �{�?�����8��� �6�,� �~5 �H� �������+�D���5 ������,��5 ;M�W�N�?� ��5��g� �+��1_��"w"05 �*�?� �+�g���>"0���,�8��?�����8��O��5��A�,� �~�}�(,(*)���+(,(.(�;O�+E+�?��5 �D#�R �q��(q���(,�=(*�?�?������I�,"0�����A��,1��,�9�+�����8���7��?�4�,�+1 5 � 1 �� E�����(q�����,� �YE����(,(��987E���?�����J#%6� �t�+������<G�?� ��(l�8�{�?� �G14���(��~�7�(!(,���8�W1 �, �W� �EF�H(�#lRT�4E���� (���1 �+�,��� �)A

N × A M

�4�>1 �+��(m���l��� E+��5 1>)�����4]B����(,��������� �+(�<:8E+���8;����+�,��E+���(�(,�787E|��,�����_�����H5 ������(/�?�}���I�������.�1 1 �N�?�����7��J�4��EF� �� ��(��8(+<O(�5 EF��(.�1 1 �����=�������|��2E������ ���7j�?����� (���"

U(1)1 ������E{�?����� (��?���,� �M(�� ��" �x����E{�?���|bc(Fe.�� 1�]B����(,��������� �+(

bc(����2��# � # �Hs1<���e{#lRT�_�?�7j�6E��(,��< �?� �a�:�|�5>�?��"05��J(,���8; ����E+���T�4��"&�?� ��(Z�8�{�?� �G1_��(Z����(��|#

� � � ��� SVURW � � ��� �IN ���� L N#X O

]o�Z�7|���/5 (,�+14�,� �Z�8�{�?� �G1.1 �+(,E������:��14���.(���E+�,����� <�#76g�?�aE+���(�(,��" �������(,����" �!�����O�+1 1 ������(m��"E8×E8�� 1

SO(32)� �{�?�+�,���,��Ea���,����"0����1 (�#lRT�_�F������Z<�# 5 �t�2����(*�g�?���2�H5 ���O�+�6��"\�4�>1 �+��(g�W�N�?� ��5>�Z]B����(����

����� ��(6"0��5 � 1�"0������EF� AN���,� �N"0����1�#2]B�N�?��� C>E��+;��?��������"n�?� �q�H5 �x�:���~��"t�4�>1 �+��('"0��� A

8)TR�R'�� 1

A12���,� �N"0����1�(�< ��5��6����(,5����?(W"0���Z�?���

E8×E8��������a�W���?�_�?����(,�2; �,�+(,�+�H�,��1=���D���+"$# � 6 515 �u#t]o��� ���

���+�,�787��1D�?�7��/�?��������(,5����?(/����(��,��1_� �����x����aE������,��E{�|#WdG��� E+��� ���'����SO(32)

����� ��"0����1Y�8�G1 �+��(Z�A�+�,��H� � �W�J<��t�~�7|���'�,� ��5 ���H�g���n�A��5���1M�:�5 (��+"05 �:�?�x1 ��(,; ��|�4�,� ��� ���M��A�+�Y;7���� �76 5 <���<H�W� �+�,��?���"0������� �W��� ��1 �+�?�����(g��"\�|�EF����"\�,� ��(����4�G1 ����(Z��,�~;��,� �G��1 �+1 J

• �,� �~�T�W��(*�Z����E{�?��� v �� 1D�,� �a�,�G���W��j�,�?��E�� Γ<��W����EF�D(,;:��E��787��(W�?���2�������4�+�,����<

l4� ' �V\ �����:� O � 'Pb \�� � �3# ��' \$� ����� ��#�� � * ��# � b 1 �

• �,� �a(,� �N" �Z���+E+�?��� V ���1D�,� �aE������,��(�;O��� 1 �����4���5 ���a������5 ;J<

• �,� ���}j�,�?�+�_E����I�?�+�I�|<~����(��,��1B�I�B(,��E{�?����(�<~��� E���5 1 �����Q���� U(1)EF� ��,���+(�<�W� �+�,�9�A�9�7|���

1 �+� ���,��1_�?� �2�� ���}�����5 (g��� �a�H�Yf1A

#

zA���4;7��,��� �~�?� �W�H5 �x�:����(t��"���� ���H5 �N��������I�SO(32)

�4�>1�����(m�,�~�?� ��(��6��"E8×E8

<I�A� 87� 1q�?�7j��?���

SO(32)� �+�,�������?��E/(*�?����� �~���|�1 (m�,�2a����,�����l��4��5 �I�!��"O�4�>1 �+��(+#\XZ� ��(!1 �/+O������� E+�/E���q�O�+E����4�

���4;:�����?��I�m��"�]B����(,���.��������(!����Z; �,�+(,���I��#m]^�W�7|���W���|����H�!���q(,��E{�?����� 5 #=<>#>E~�?� ��l�?� �Z���>E����(�;O�+E+�,�?��6�?� � 82C>��1=;:�����I�?(6��"l����� ��"0����1D�8�G1 ����(/�W�N�?�D]B����(���������� �+(6E+���,����(�;O����1�����A|�>(/�?�}�,� ���T�W��(��,��1(,;:��E{�?�,���"/�,� �Y�4�>1 �+��(��W�N�?� ��5��x]B����(,���^��������(�#9RT�Q���?�������t���,1�(�<n��"/��� �Y1 � 87� �+(8����>E���A(�� ��" ����+E+�,���

Vg

"0���x���EF�L��"6�,� �YE�����(��?��5 E+�,��� ���+�����4���I�,(41���� ���,��� ���,� � 82C>��1L;O�����I�?(+<!�,� ���Q���EF�Vgb0�W����EF�9��� E+��5 1 �+(]B����(,��������� ��(?e6�7�(~�,���:�.���H5 �N��������I�a�?�_�����4��"t�,� �q(,� �N" �~����E{�?����(

V�t�8� ���

�:�+"0�����8� ���H�,�,�N�>����m]B����(,��������� �+(�����8(*�W���,EF� ��1����J#MRT�^�,� ��(a(,�+� (,��<SO(32)

���,����"0����1 (~�����1o�,���,��EF� ���Z��������+�T�}��"\�8�G1 ����(�#3Q�,���8������(w���2���,1 �+��#&RT��E+���(�(,��" �G��� �Z���,����"0����1~�8�G1 ����(J�7�(���1����2�,� �

SO(32)� �{�?�������?��E!(��?����� ��<

�t�8�t���,�8(,���4����� � (�5 �,;��,��(���1o�H���,� �8E+���4�8���9; ����(,�+� E��}��"g(�; ��� ���,(2�����?� �8(,;:��E+�,�?�#M]o�4�������(,���8��1 �+�?�����(6��O��5>�'�?����(W"0�|��,5 �,�x�����;�;O�+� 1 �7C�@'#/XZ� ��('(,�N�?57j�?������E+���I�?�?�(��?(6�W���?���?� ��;O��;�5 ����� ���,�����_�?� ��'��� ���

E8×E8

���,� �N"0����1 (/�1��8�N�|<7(?|��<SO(10)

(,;���� ����(���1��?�����,�{"0���,� r�q "c��8��������(g��"�H57����G(a�� 1=���+;��?����(�# Ln�+�'�A�.�7|���x�?�Y�1��8�N�|<��?�7��(,; ��� ���,('��,���8������"0�����H5 ���I�,�����+� E���5 �I�?������1���

E8×E8

�?� ������SO(32)

���,����"0����1 (�<G�W�7��W�,�+� 1 �+�,(E8×E8

�8���,�a����?�?�E+�?�N����#�5 �'E+���(�(,�98 E|��,�����D��" A

N

���,����"0����1 (WE�����(,��(6��� ����"m�?���x5 �287����(,����1��?�(,�H((*�F��*�?��1�������|�1��D����?���.����,�x�������I�?���+(�#�-6�����+�?�������+(,(+<p_E+���(�(,�787E|��,��������"t����"A

N

����� ��"0����1 (6��('"c��6"0�,��� �O�+��� �Y5�(,�+"05����"g��� �M1 �G��(�� ���.��� E���5 1 �q]B����(���������� �+(�<v"0���2�?� �{�o�,�,���������a"05 �*�?� �+�x(��G�4�8�{�?���o� ���|��H1 � �W�U�� 1J<� �+� E���<:�,� �2�; ;:�|��,�� E��a��"v�8�G1 �+��(Z�,�+(,�+�x� ����� �x�?��� r�q < �W� ��EF����(+< �I�Y�?� �a�A ��<7�?� �~�?��5 �2���� ��"��I�.(*�?5 1��x��"��?� ��(l�G��� 1J#\XZ� �����+"0������<H��� �Z��(m"0���,E+��1.�?�S87� 14~5 (��+"05 � �A|�x�?�~(*�?5 1��q(*�G(��?�+�}j�?��E�����N��4�>1 �+��(A�W�N�?�Y]B����(,���_����� �+(�#

� � � � � �������� ��� � � � � � � � � � �N ×

�M

� � � ��� � � ��3 E����I�G����E������^�;�; �,�I�EF�L�?�9E����(,(���" �^���,� �N"0����1S�4�G1 ����(x�W���?�Q]B����(,���Q����� �+(q�A�( 87�,(*�4; �,��;:��(���1�����,� �.E����H�,� CG�2��" A

3

���,� �N"0����1�('���=���+"$# �Hs1D��u#�XZ���4;��,��;:��(?��mE�����(,��(*�?(~���oM����� �+�,��Eq�� (?��,Px�?�7j�1 �+(,E������:��(}��I�Vbc(,����" �q���+E+�?���8���?e�]B����(����U�������Y��"����1 ���q�?���,����#k3'(4� C>; ���������1U���U�8�����_1 �+�?�������^�; ;:��� 1��7Co3�<m�t� 87� 1o�?�7����?� ��(x�;�; �,�I�EF��E|��S���(,�������:�}� C>�,��� 1���1S�?�=��H�o����1 ���+#��w�+��5 ((,5��8�8��,��P�������,�a��5�� 8 � 1 ������(�#@t����1 ���I�,��" �G��� �D�?� ��(,�M�4�>1�����(a�W� ��(��Y(,� �N" �?(.�� 1�]B����(,���o��������(��8��,EF�S�" �?�+���?���Y�E+�,�����o��"

��j�,�?��E��4�?�?�� (,����?����� (x�� 1�]^�{�G�g�,� �7��E{�?����� (�<n��� � 8 � 1 (.�?� �}(,� �N" �?(.��"W����1 ���N, M

�� 1�]B����(��������� ��(Z��"v����1 ���

�?����2.� ���GEF��) "0�����J

Vj = (Vj, � ������� � , Vj, � ������� , Vj, � ������� � , . . .) ,bT<�#76�s�Ie

Aα = (Aα, � ������� � , Aα, � ������� , Aα, � ������� � , . . .) ,bT<�#76�s���e

�W� �+�,�}�,� �}� ���>EF�H(Vj, � ������� �� 1 Aα, � �������� ���� mi

) 1 ���4��� (������ ��v���+E+�,���,(+#�XZ� �M(�;O�+E��787E8"0����� ��"�?����(,�6� ���GEF�H(!1 ��;:��� 1�(A���4�?� �W����1 ���n��"��,� �/�,��(�;O�+E+�,�����/(,����" �!���+E+�?���

Vj

�� 14]B����(����q����� �Aα

#l�w�{�

O �9��� ���g'Pb � 1 ����� ( ��b ����� bd�3����� \ � 1^AN × A M

� � * �3#Y� b 1 � l4O

5 (61 ��� ���?�x�I�X � ������� ������� ���,�?��*�_� ���GEF�Y��"!8(,� �N" �'���W]B����(,���D����� �2��"l����1 ��� N #/XZ� ��"0���,� ��"�?����(Z� ���>EF�M��(g�?� �+��� C>; �,�+(,(,�+1��I�9bc(������; ;:��� 1��7C_3e

X ��� ����� =

1eN

((±j)α,

�(N

�j)β , 0n0 , 1n1 , . . . , (N

�j)n

(fN−j)−α−β , . . . ,

(eN2

)n fN2

) � ���������

1

2 eN

((±j)α,

�(2N

�j)β , 1n1 , 3n3 , . . . , (2N

�j)n

(2fN−j)−α−β, . . . , (N

�1)nfN−1

) � ��������

1eN

((±j)α,

�(N

�j)β , 0n0 , 1n1 , . . . , (N

�j)n

(fN−j)−α−β, . . . ,

(eN � 12

)n„ fN−12

«)� ���������

� �(E ��� �

�W�����,�� 1

�,�a���N�?� �+�

0���

1(,5 EF���?�7��

α + β = 0, 1�� 1 ∑

k nk = mi

#AK75 ���,� �����8������<j1 �+;O�+� 1 (A���4�,� �Z�����5 �W��"

N�� 18�,� �W�H��� 14��"J��5 ����1 ��� �~�����GEF�:<G�E+E�����1 �����2�,�a�,� �W"0������� �W��� �~E|�(,��(KJ

• ."- f ��f ����k� fG� N ��� �+f �����4�k��./%���!�%&��� � � � �!��E{�?�����������4�|�� (W� �+�,�~�?� ��W�?� �a���I�,�,���+(6� ���.�8kC>���8��O1���� ���4��� ��?���A��"

N#lRT�D�,� ��(ZE��(,�

j�?����+(/�,� �~�����5 �+( { eN

2+ 1, . . . , N − 1} �

• ! - f ��f �4�k� f � N ��� 3�,��T �4� ��./% � !�%&��� � � � d>; ��� ���������n�4�|�� (Y�?�7��Y�,� �����I�?�����+(D� ���^�8kC>���8��Z1 �+� ���4���7j�?���q��"

2N�� 1k�G1 1k�H5 �4���,��?���,(�#V]^���7|���

j ∈ {N + 1, N +

3, . . . , 2N − 1} �

• ��-)����� �4� � fG� N� RT�_�?����(WE|�(�� � ���+E+�,���,�����7�� 1 � (,;���� ����������� ���>EF�H(/������,�G5���������+�I� �7(,�4���

(�5��4E���(W�?�4���N���~��� �2���(?��,P�< �W� �+�,�j ∈ { eN+1

2,

eN+32

, . . . , N} #

d>� �N" �'���+E+�,���,(a���1�]B����(���������� �+('���>�F���� ��1��I���?� �x����;:�|��,��1=5 (��.��"l�?���.�� (,��?P_b&<�# 5 ?Ie/� ����?�^(?��,��(�" �U�?�����8�G1 5 ����4���I����,���� E���E�����1 ���,����� (+<Z����#~b 5 #HE 5 e{</���1k�?� ���+�x�:��1 1 ��� ��E+��� (��,�?����I�NV1, MV2, NαAα ∈ Λ

#lRT�DE+���I�?�,�(��Z�,�q�,� �a�6�G� �H���_1 ������,�� (*�?�,��?�+����<��,� �~��j�,�?�+�g�,�,�H5 �������4���I���(�� ���x�5��?���}��,��E�����N��"05 �787������1J#�RT� 1 ���+1J<l�?�7j�x�,�,�H5 ��(����?�8���4; ������(~�?� ��q����n�����GEF�G(���"/�(,����" �x���]B����(,���Y����� �6�x5 (*�W�O�~��"p�,� �~(?��4��T�G;O�8b0�����,� ���g�< �_���gE|e{#t�� E��~�:���?�_E+��� (,��(��,��� E{�YE�����1 ���,����� (�����8�{�Z�I�Y.(,�{�W��"p;7��,��4�+�?�+�,(+< ��� �~�7�(g��� E+��5 �I�?�+�,�+1���_�1��8��(,(,��� ���/����� ��"0����1}�4�>1�����#vRT�M�?� ��(�A ��<���� �2��,��������(W��6.�8���,�~���+� ���,��wE����(,(��987E���?�����Y��"\���,� �N"0����1}�8�G1 ����(�#XZ� ��������(g� � �t�+���+�.(,5����?���+�T��#!36(W�t�a�7|���a� C>; ���������1_���Y(���E+�,����� 5 #HE #><�<"���'&�� ���� � &��� ( �tE���

�; ;:�|��/�I�DE���� (,��1 ������� �q��j�,�?��E���,�?�� (�����,������(Z��"v�,� ��(�� ��" � bc(?eW�� 1�����Z]B����(,���D����� �+(�#nXZ� ���8����?���(,;:��E{�?��5 � ��"~=� �����?�����.�?�o��U���,� �N"0����1^�8�G1 ���A1 �/+O����(4���S�?� �_�T�W��(*�?��1U(,�+E+�,���,(+#hXZ� �+�,�+"0���,��<A�4�>1 �+�Z�� 1Q�N�?(.� �����?� �+�q��,�_� ���q���H5 ����������I�|#Sd>��� E+�Y���S�?���D1����,�N����?��������"/�?� �D���(?i��,P��obT<�# 5 ?Ie�t���7|���2�?����+������,�,��E���,�?���(,��j�?����� (Z�(/.(��G�4�8�{�?���M��"\�,� �~�?� �+������<�� �,���,� ���W�4�>1�����(A�7|���2�O�+���1 ��(,�,�+�I���1 ��1=�� 1��?�H5 (a4E����(,(��987E���?�������7�(,��1=�����?� ��('�4�+�,� �>1���(6� ���E+���4; �,�+� ��� (�������#a����?������,� ���q�7���1J<g���q��(.�A���*�?�Q�?�9�8�+�I�?�����Q�,�7��4�4�>1 �+��(x�W�N�?�Q�?� �D(?��4�_�}j�,�?�+�.(,;:��E{�?�,5�� ��"'�?���� �����?� �+�Z�8�G1 �+��(gE���_�O�"0��5�� 1_�H�}������G��� �x�,� �~1 ��(,E����+�,�a�,���,(������};7��?��8�{�?����(�#!RT�Dx(,�+� (,��<��,� ����<.E����(,(��987E���?�����M�7�(���1D���M�?���2;��,��;:��(,�+1D�� (?ij�?P��~;��,� �G��1 �+(/5�(g�W���?�Y�,� �"05 ���O(,�{�6��"\��� ���H5 �N������+�H��?���,(,����� ����(,(Z�4�G1 ����(�#

1 �T3��1� �&* �& �.N���T � ��� �����e./%�f +� ] ��� fN%&3RT���?����('�4�+�,� �G1J<:�t�.�7|���x�,�,����1��,�Y|������1��,�+1 5 � 17�� E�����(�I��1���(,�����I��,1 ��� �8�,� ��(,���I�5 �������x�:��1G)1 ��� ��(q1 �/+O������� ���I�Q��j�,�?��E��M�,�?�� (�����,������(�<n�� 1U;7������W��(��_(,�����>) �7��; (q�� 1U;:���,��5��F��,������(4��"'�?����������I�,�,���+(�#!%/� �t�+�����+< ���

E8×E8

�4�>1 �+��(+<H�(A�4���I�?����� �+1}���4(,�+E+�,����� <�#96�<G�,� ���������'�1�1 ���,�����7���]^�{�G�

le[ ' �V\ �����:� O � 'Pb \�� � �3# ��' \$� ����� ��#�� � * ��# � b 1 �

�,� �7��E{�?����� (4b0�,� ��(��.�7�(,�+1������?� �.(�; �������,����\(����4; �����,�G��� e <O�W� ��EF���8�G1 ��" �_���=���������?��m(,� �N" �?(~�� 1]B����(,���.����� �+(l���4~�����*�q5 � ; ����1 ��E+�?�� ���g�A|��#lRT�4���?�����l�A���,1 (+<>��5��l; �,�+(,���I�A(��?�,��?�+���.�7�(n�����n; �,��)����E{�?�+1=��5��~����p1 5 ; ����E+���?����(+#ZRT� (,;:��E{�?�����M�?� ��(��G�8�4�+�,�,����('1�5 ���,�}�?� ��(,�����?� �+�6]o�+�G�v(*�>�4�4�+�?�����+(��(W� ��;O�+����(�('1 5��2�,�8�?�����H5 ������4��5 �I�/��"l�������4���I�?(/��"\�?� �2]^�{�>�&������5 ; W #W%/��� E+��<:�A���7|�����,����G���q"0���W�������,�����7��?�N���'�,�8�+�����8���7��?�/���H5 �N������+�H�W�4�G1 ����(�#R �M�?5��,� (8��5��M�4������; �,�E+�,��E|��W�,��5 (���(,� �N" �?(}�� 1h]B����(,���h����� ��(q�?�^E����4; 5��,���?�����}�(,(,����(�(

(,;:��E{�?��5 � ��"p���EF�_�8�G1 �+�����1J<>�,� ���J<�E���� (���1 �+�A�T�t�.�8�G1 ����(g�(A��� �,�G5���������+�I�A�N"&�� 1Y��� �N�4��"w�?��������8�(,(�����(�(�(�;O�+E+�,�?���,�q1 �/+O�������I�|#Y�"AE���5��,(,��<\�,� ��( �����9���+�,(2�,�>����x�����?����5 (~�N"A�����8�7�(���2�7�� 18���,�|j��8��I���4�G1 ����(6�� 1���� �����EF�H(6E����4; 5��,���'(�5 ; ;:������#6XZ� ���4�����I�6�O����� ����"m�?�����,���(,��� (�W�I�D.E����4; �,�+� ����(,������E+���(�(,�787E|��,�����Y��"v����� ��"0����1 (g� �(W�O�+���D;O��(*�?;:��� �+1D"0���Z(��+�����?��p���|���(�#X\�_;:���*"0���,� �?� ��E����4;7�����(,������"!�?� �.(�;O�+E+�,�?M����M���|�(����7��������,���4��<O�t�.E����8;7��,���,� �x� ���G)

3'�:����������}�(,(,����(�(v(,;:��E{�?�,~�� 1x�?���g�H5 �x�:���v��"�(,���������{�?(�<j�?�7j�m��(+<��t�Z|������1.'E����8;7��,��(�������"U(1)EF�7�������(+#lXZ� ��(!5 ��1 ������(��,���8��?�+(n�,� �Z�?��5 �W�G5��x�O�+�t��"��4�>1�����(l(����4�+�W�7���#mRT1 ������N��<��t�6(�� ��5 ��18� ���

��� �N�_E����4;7������,� ��"05 ���p�}�(�(,����(,(6(,;:��E{�?�?�b0��� E+��5 1���� �U(1)EF�7��,����(Fe <J� 5>�~���(,�8�,� �����>E������P|��,�����

��"n�?� �.; ����,��E�����(a���1��,� �qE���5�; ����� ��(~��4��� �M�,� ���D#.K75 �*�?� �+�,�4���,��<w���~�4�����I�~�:�q���(,�_� ��E+��(�(?��*��?�qE+��� (,��1 ���Z�,� �2y2���5 P�j)$y~���+���4�?� �A�+�6��"v� ��� P��+�,�4�8�G1 ��(+#lXZ� ��(W��(Z�+�G��1 �+�I�?���M5 ��"0�|�(,��������#]^�g�t��5 ��1.�������A�,�~;O�����I�m��5��v�?�7��v�?� �Z; ����� ����� ��":��1 �+�H�,��" �G�����'�������H5 ����������I�m�4�G1 ����(v1 �G��(l� ���

�; ;:�|��'��� �N�_���D�?� ��('�4�+�?���>1J#/3'��(,�Y�/�>���G����1 ������?�� �?��EF��� � �H5 �+(~(,5 +O�����"m�?� ��(?��4��;��,��� ������W� �+�}E���� (,��1 ������� �a]B����(,���q����� ��(+#v36�}���I�,���,�+(��,��� ���H5 ��(*�?�����8�t��5 ��14�:�/�,� 87��18��5>�t�W� �{�?� �+�n�,� �������(W�� ���?�����Z�g|�M�,�81���(,E+�,���8���7��?�61 5 ; ����E+���?����(t���D.E����(,(,�787E|j�?�����J#

\ � �2./ +��. �4f 3 ./ �� 1 �&3�./� �e./ ���. �4f 3XZ� �DE����(,(��987E���?�����Q�8�{�?� �G1Q; �,�+(,���I�,��1����S�,� ��(q(,�+E+�,�����U��(4��L����,�����7��?�N���Y�?�9E����(,(���" �^���,� �N"0����1�4�>1 �+��(/�W���?��]B����(���������� ��(+#a@t���4�|�� (��"!E+���8;�5��?�+�; �,�����?��4(�<���� �xE���=���������?j�?�q����\�4�>1�����(��"!4�������������,� �N"0����1_����}1 ���,��E{�'�8�� ������#/%/� �t�+�����+<��?� ��('�4�+�,� �>1�� ��������E{�?(6� �,���,� ���/�4�>1 �+��(+<:�����7���������5 (,�N��<l�4�>1 �+��(��W�N�?�Q1 ��(,E����+�,�M�?����(,�����J#�XZ� �+�,�+"0���,��<t��� �Y��(x"0���,E+��1S�?�=������^�?� �Y1 ��(,E+�,�+�,��?���,(,������;7��?��4�+�,���,(.��������1 ���x�,����,�������8�?���E����8; ���+�,�}(,�{�q��"/�8�G1 �+��(�#9K75 �*�?� �+��<l��� �YE��� � ���|������19�,�_� ������E���5 �I��(,���4�q�8�G1 ����(�<J�W� ��EF�^E���o��� �����O�q��1����I�?�787��19�I��1 ������E+�,����E����4;7������ �Y�?���(��?��?�+(W��"\�,� �����Z�}j�,�?�+�Z(,;:��E{�?�?>#

� ��� ��� K � ��� �#W � � ��� � N �� � L�N#X O X � �3 ×

�3

� N L U X �=L � N�� � X O � N#O W �

3'(��E+��� E����+�,�M�; ;�����E���?�����J<p���{�25 (�1 �+(,E+�,���:�8�,� �4E����(,(,�787E|j�?�����o��" A3 ×

A3

����� ��"0����1 (�W�N�?� ��5>�]B����(,���Y����� �+(�#!%/���,�~�t�a�}����a5 (,�a��"\�O���?�DE����(,(,�787E|j�?�����M�8�{�?� �G1 (W���I�,�,�G1 5 E��+1_���Y�?� ��(ZEF�7�;��,���+#3 A

3 ×A

3

���,� �N"0����1}�8�G1 ������(Z1 �+(,E������:��1D�I�Y�?� �~�T�W��(*�W����E{�?����(

v1 = (0, 1/3, 0, −1/3)�� 1

v2 = (0, 0, 1/3, −1/3) ,bT<># 5 6 e

�T�t�.(,� �N" �A���+E+�,���,(V1

�� 1V2

��"p����1 ���t�?� �����~���1M�?� �����']B����(,���}����� ��(+<G�W����EF�_����� ���A���4;O���*�F��I�"0���/��5 �WE�5��,�,�+�I�~1 ��(�E�5 (�(,�����J#g]o������ � ������� �(,��E|������_��'qE����(,(,�787E|j�?��������"l����p�1��8��(,(,��� ���~(�� ��" ������O�+1 1 ������(�#

O �9��� ���g'Pb � 1 ����� ( ��b ����� bd�3����� \ � 1^AN × A M

� � * �3#Y� b 1 � l4U

V (#) d>� �N" �g���+E+�,���V1

D�� �I�5����~���,��5 ; G6D6 13(06, 12) ( 08 ) E7×E85 1

3(06, 12) (05, 12, 2) E7×E6×SU(3)< 1

3(03, 14, 2) ( 08 ) SU(9)×E8E 1

3(06, 14, 2) (05, 12, 2) SU(9)×E6×SU(3): 1

3(06, 16, 2) (06, 16, 2) SO(14)×SO(14)

��9;?!J�" �H&��H' ���� "C��35" � �!�� �9;J�"-3 1 E8×E8/24!� F 1 "7<-1#68 #/

V16;FD1245"��

3 × �368 2?!� F 68J�> 9;35> 1245"-��

��35>H�5<7"7>E� 9;�!� "=/2A���%"-12 2A ?! #"�9 �H>!6�BY3 &

Kv����(���<��I��5�(,�����'�?� �g�6�G� �H���.1 ������?�� (��,�?��,������1 ��;���E+�,��1.����(,�+E+�,�����j<>#96�<���� � 8 � 1 (v�,�7��v�,� ���������2��� ���i8 ���aE���� (,��(��?�+�I�'(�� ��" �Z����E+�,���,(

V1

< �W� ��EF�DE|����:��W�,�N�,�?�+�����Y�?� �~���+� ������E~"0�����

V1 =1

3(0n0 , 1n1, 2α) (0n′

0, 1n′

1, 2β),bT<�# 515 e

�W� �+�,�� 1

βE���8�:�W���N�?� �+� ?a���Y6�<G�� 1

ni, n′i ∈A6<H(�5 EF�8�,�7��

n0 +n1 +α = n′0 +n′

1 +β = 8#

XZ� ���1 �4��(,(���� ���M(,����" �?(�bc����(*�?��1U���S�?�� ��� <�#><Ie.E|��L�O�_���>�F���� ��1L�H�S��������" �G��� ���?����E+��� (,��(��,��� E{�E���� 1 ���,������(

3(V 21 − v2

1) = 0 mod 2�� 1

3V1 ∈ Λ .-6���?�a�?�7��W�,� ���4�G1 5 ����Z���I����,���� E��~E+��� 1 �N�?�����Y"0���,� ��1 (Z�?� �2�?�����G����O(,� �N" �

V1 = (08)(08)#gXZ� ��(W��(

.1 �/+O������� E+�~�W���?�D�,�+(,;:��E{�/�,�4�,� �)A3

���,� �N"0����1�#K7�,��� �,� �/�� (,��?P�bT<># 5 ?�e{<I���l"0������� �W(m�,�7��l�?���6(���E���� 1}(�� ��" �

V2

��"J����1 ���l�?���,���W�7�(n�,� �W����� �+�,��E"0�����

V2 =1

3

3EEE�2

,

(1

0

)n0−1

,

1

0�1

n1+α

3EEE�2

,

(1

0

)n′

0−1

,

1

0�1

n′

1+β .

� �(E ��� �

X&�����{�?� �+�2�W�N�?�9��� �4��"A�,� �8(�� ��" �a����E+�,���,(V1

"0�,��� �?�� ���i<>#=<�<w�,� �8(�� ��" �2���+E+�,���,(������ �+�?��,��1o�H��?����(6�� (?j�?Px��,��(�5 �#���+E+��,�8�?����5 (�57��&������?��E+�aE���� 1����?����� (6�� 1��4�G1 5 ����Z���I����,���� E���<�����#lb 5 #>E 5 e #�'��(,�,�+�I���1 ��� �M�,� ��(��4�4�G1 ����('�?�7j�2��,�.�,�G5���������+�I�2��a�}�(,(,����(�(2���+������<J�t�q���+� 6Q?1sY(,� �N" �~���x�:��1G)1 ��� ��(�#

� f fG�k.e%T� /@f � 1 �T3Q�1��f@��f�� �4�k3Q�&�� ]o�45�(,�4� � � �?���4(��+����"t(,� �N" �a���x�:��1 1���� ��(~�,�D����� �+�?��,�}����m�1��8��(,(,��� �����8�G1 ����(�#.36(21���(,E+5 (,(���1���Q�?����� C ��8; ����(4��"(���E{�?����� 5 #HE # 5 <A�?�����,������D�,���h��� 1 �+;O�+� 1 ���I�}����� �+�?�����P+��1U1 ��(�E��,�{�?�D�?����(,�����;7��,��4�+�?�+�,(+<p�W����(,�.�����5���(2��,�

0, 13

��� 23

#4�� �q�4�����I�~�:�.�?���4;��,��1=�?�_1 �+1 5 E��q�?� ��a�?� �.�?���F���H5 �x�:���Y��"a�4�G1 ����(}��(

109 × 310 <6� 5>�Y��5��Y��"2�,� ��� ��� �N� 6Q?1; 5 �4�>1 �+��(�bc���8�8������; ����E���(,�+����<�8�(,(�����(�(6(�;O�+E+�,�?IeW��,�2�������H5 ����������I�|#tXZ� ��(��x�4�>1 �+��(ZE+���8;��,��(��~�?� �2E����4; ���+�?�a(��+���"l�1 �4��(�(,��� ����4�>1 �+��(n�W���?����5��g]B����(,���M����� ��(+#mXZ� �~�4�>1 �+��1 � 87� �N�?����� (Z�� 1M�,� �~�,�+(,5 �N�?��� �x(,;:��E{�?�,4��,�1 �{�F������+1���_��5��g�A�+��;7���� �76 5 <���#

l4l ' �V\ �����:� O � 'Pb \�� � �3# ��' \$� ����� ��#�� � * ��# � b 1 �

� ��� � � � ����� � � � � � � � ���XZ� �x� CG�?����(,�����x�A���,�_�?�7��'������,� �N"0����1DE����(,(��987E���?�����������H5 ���,��(+<��t��5 ��1�� ���6�O�2"0�|�(���� ���2�W�N�?� ��5>�E����8; 5>�?���n; �������?��8(+#vRT�ME+��������O���?��,�������W�N�?�}�\# yq# dO#H�n�5 1 ���+���� ���'���1M3�#I]B���������*�?���+<I�A�� ����W�,�N�,�,��� � �� ����� � � ��� � & ( ���� #&XZ����(v;��,�����,��D<j�W� ��EF���W�����I�O�A|��������� ���m�,�6�?���g(,E+�����I�,�987EnE����4�x5>)� �N�T��<�� �(m�:�����x�,� ��5 ���H�\�?�E+� �����\�?� �g������1�(m��":'����(,����,EF�����l���I�,���,�+(��,��1.���2�?� �A; � �������8�+� ����������E���E���� (,�,�G5���� E+��(x��"t����� ��"0����1�E����8;7�E+�?�787E|j�?����� ('�W���,� ��5��a1��|������ �}�W�N�?�=�?���q�,���4�{) E���� (�5 �4��� �Y�� 1E�5��x�O�+�,(����8�aE+���8;�5��F��,������#�l�,� �G��1 �+1Q�,� �M(�� ��" ������E{�?���|bc(?eq�� 1�]B����(,���o��������(�<\�?� �DzYXZX �~��� ��"0����1 �+��E���SE����4; 5��,�}�?���

�8�(,(�����(�(!(,;:��E+�,�,5 � ��"O�,� �E8×E8

���SO(32)

���+�?�+�,���,��EW(��,�,��� �aE����4;7�E{�?�98 ��1q���4��I�q(��G�4�8�{�?�,��EA

N

�� 1�AN × A M

����� ��"0����1q���8�x5 EF�Y���+(,(n�?�7��M�(,�+E���� 1Y���Y 5 #>D1D.`a%6P6E����4; 5��,���+#mR �?(g����(�5 ���,(����D�������+�L���U9�H5 �8��Q�,���17�� ���Y"0���,�8��|<l�W� ��EF�LE���h�:�_(?|���+1k�(4X��XA)����.XW� �/)$87����#UXZ� �5 � 1����,�N�G��� �a��j�,�?��E��

�(l�A�+�����(l�?���/��� E���5 (,�����.��"O���������?�����P+��1q1 ��(,E����+�,�W�,���,(������qE���8�:�WEF� ��(����Mj�

�W������#gRT��E����4; 5��,��� �8���,� �N"0����1_(�;O�+E+�?�,�<O�,� ��;��,�����,�� ���+�,�787��(~����pE�����(,��(*�?�+� E+��E�����(��?�,����I�,(�<�(�5 EF��(Z�?���2E+��� 1 �N�?����� (A"0���ZE��� E+��������?�����Y��"v�� ���8�������(A�� 1D�8�G1 5 ����A���I����,���� E���#�� �WE|��q; ����8 �!��":�?� �W(�;O�+��14��"O�,� �/zYXZX ��,����"0����1 ���m���q~E����(,(,�787E|j�?�����x��"O���,� �N"0����1��8�G1 ����(�#

d>���4������5��?��� ��(Y��"��,� ��(M;��,�����,�� 5�(,���?���9E+���(�(,�787E|��,�����h�8�{�?� �G1 (Y��5��,����� ��1k���k�?� ��(YEF�7�;��,���+#XZ�H5 (�<&��� �.E�������������?j�?�4Y��������x��4��5 �I�a��"n�4�>1�����(6�W���?�9���1��W�N�?� ��5��~1 ��(,E����+�,�q�,���,(������=�����,���(,���7�� ���q�,���4��#.RT�9;7��*�?��E+5 �����<��,� �qE����4;7�����(,���9��"t�T�t��1 � +��+�,�+�H�2(�;O�+E+�?�,_�?����+(�����(�(a�,�7��o(,�+E�����1J<���� 1 �+;O�+� 1 �+�H�,���Y��"v� � � E����4; ����E|��,��1M�,� �+�D�����#3[�����*�85�(,�+"05��:"0����?5 ���W��"��,� ��(n; �,�����?�� ��(l�?�7j�t�N�n��(!E|�; �� ���Z�,��1 �{�?�+�,�4��� �/����7� ���I���� ��(�� �����

E���5 ; ����� ��(n���I�?�+�,��� �x���4�?� �6(,5 ;:����;O���?���I�,����:��"p��������+�M�4�>1 �+��<H�E+E�����1 �������?�2�?� �6(��?����� ��(,�+����E{�?������,5�����(W�+�G5��8�+�?��,��1D���_(,�+E+�?����� 5 #F:G#96�#!XZ� ��(W; �,�GE��+(,(/�7�(Z�?�4�O�a;:���*"0���,�4��1_����1 ���W�I�_���,1����Z���_�?���(,5�;O�+�,;:���?�+�H�,����t�� 1o�?� �+�,�+"0���,�}��(2�����*��1 �+�}���1 ��� ��#D36(����+�x�,� �}; �������,�� E|��^1 �+�,���,�4�����8�?���(,5�;O�+�,;:���?�+�H�,����G"0���"A

6

)TR�Rw���,� �N"0����1�(\5 ;��?�~����1 ���\�������H�v�����,� � 87�+��1 (&�W���,� ���x��� �t�t���+�:<H���.|�����,�����#K7������,� ���a����� ��"0����1 (+<��������.��# � #jA

3

��� A12

<J�?� ��(~E����4; 5��?��?������E���9�?����q(������ �787E|��H�,�������+(,(�?���8��:��E|�5 (,�a�?� �+�,�2����2����(�(/; ����,��E�����(g���Y�?� �a(,;:��E{�?�,8���1�����Z����(,(/������ �t��1_E���5�; ����� ��(�#3 ;�� ��� ���8�+� ����������E���O�G���� ���~����� ��"0����1Y�4�>1 �+�J�x5 (*�/�7|���xj�W���|�(��W�?� � r�q �I�5 ���a���,��5 ;��� 1

����&;:��(�(,�������2� C>���?��E�; ����,��E�����(/�7|�����,�M�:��1 �+E���5�; ���+1�"0�,��� �,� ����� ����� �+�,���D(,;:��E{�?��5 ��#6X\�}; ��EF�

5 ;�9� ���7�� ���8�����5�(4����� ����qE������ ���7j�?�����U��"U(1)

(8�,�7��8; ��|�Q�?�����,�����_��"�,� ���I�G;:���,EF� ��,�����(4�EF�7�������������#Q]^�_�7|����1 �{��������;:��1h����5��,��� �+(q�,�o;:���*"0���,� �?�7��q�?�(,�S���Q�,� �DE|�(��D�W� �+�h�?����I�G;O�+�,EF�7������=E|��k�O�����x�:��1 1���1����h��

SU(5)nMo pV�?� �+���*��# �����,��� ������<W�?���=��,� �N"0����1����4E|��

��1����I�?�N" �9�,� � r�q ;7��*�?��E+���+(x�� 1S1��+�?�+�,�4��� �4�W� �+�,� ���q�1 1 ���,����� ��!� C>���?��E�(.�E��H5 �����M����,���4�}�(,(,�+(�W� �+��(,���8� r�q (���� �����+�,(Z���+� �����\(W��"&�?���2���,1 �+�/��"\�,� �a(��?����� �q�8�(,(Z(�E|�����#XZ� �'zYX XV��,� �N"0����1 �+�m��(+<I� � �A�{���+��<G(��?�����>5 � 1 �+�n1��+���+����;��8�+�H��#nd>���4�Z��":�?� �W�(�;O�+E+�,(n�,�7��n����

E�5��,�,�+�I�?����������9�1������E���19(��?����.��� E���5 1 ��J'1 ��(�E��,�{�?� ��|�����~(��G�8�4�+�,�,����(~��"!�?���4(�5 ;:���,;:���,���I�?�����<E����H�,���H5 ��5�(2�������7��m�E+E���1����I�F��l(*�G�8�4�+�,�,���+(~��"n�?� �q(,5�;O�+�,;:���?�+�H�,����u<p�� 19�,�+(,����5��?�����=��"t���,� �N"0����1(,��� ��5 ����,�N�?����(�#&�� �!�4�����I�p�:�!���I�?�+�,��(*�?�+1x���(,�W���aE���� (,��1 ������� �6�(��G�4�8�{�?����El����� ��"0����1E���� (��,�,5 E{�?����� (�� 1Dx(*�>(*�?�+�}��,��E~(*�?5 1��M��"&1 ��(�E��,�{�?�2�E+E���1����I�F���(��G�8�4�+�,�,����(g��"p�,� �~(,5 ;:����;O���?���I�,����u<>�W� ��EF��E���(,����1��������I��<>"0���Z��� (��?�� E���<7���M�,� �a(,����5��?�����M�?�.�?���2;��,��� ����� ��"v; �����?���D(*�F��������N�T��#

� ����� � ��� �

� ��������� � �� ��� � � � �6� � � � � � ��� ���

RT� (�; ������1��I�D�?� �2�A���,�H('�I��y6���7|���(,� �\�+����# �Hs@I �\�� 1�@A5 EF� �x�������+�6�{�~��u# �HE1;���<��t����� j�l; �,���8��(,������8�G1 �+��(v��":�,� � A

6) R,Rp���,����"0����1J#&]o�Z;:����"0���,� a(*�G(��?�+�}j�?��EZ(��|���EF�

��"p�4�G1 ����(n�W�N�?�8�T�t�x]B����(,���8����� ��(n��5 ��1 ��1M�I�4�?� �'E���� E+��;��g��" ( & *( nMo p �{<G�W� ��EF�M��(���H�,�,�G1 5 E+��1q���q(,�+E+�,����� E #76�#vR �!�,5 �,� (l��5��l�?�7j�!��5��!��"

3×104 A6

) R,Rp����� ��"0����1x�4�>1 �+��(�W�N�?�h���>E��� nMo pJ(�<g��O��5>� 5 ?�?9�4�>1�����(q�7|�����?� �D� C��E{�M�8��,�,���q(,;:��E{�?��5 � ��"�?� �qSr�r�q �� 1Y(,���4����,� ���A�,�|�����(*�?��E'; ����;O�+���,����(+#lXZ� ��(AEF�7�;��,���g"0�GE�5 (���(Z�8���� �N�q���Y�?� ��4�+�,� �>1�������������"A��5��~(,�|��,EF�J#x]o�.����(���,� �q�}������,�+(,5 �N�?(~� �+�,�4�� 1=�,� �q1 ��(�E�5 (�(,�������"&�?���2;�� ��� ���8�+� ���������M��"&�?���2�4�G1 ����(g��(Z���+" �Z"0���ZEF�7�;��?�+� :G#

����� � � � � � ��� � � ����������w�+�'5 (6"0�GE�5 (/��� A

N���,� �N"0����1DE����4;7�E{�?�787E|��,������(�#WzA����(,��1���� 82C>��1=;:�����I�/��� 82C>��1��,���,5 (W�W���,�

E���� (��,�,5 E{�?�������������4���I�g = (ϑk, nαeα)

#VXZ�H5 (+</�,� ���(�(,�GE�����?�+1k���GE|��W�I�5 ����(�� ��" �}�� 1h���GE|���T�W��(*�M���+E+�,���_��,�������������I�

Vg = kV + nαAα�� 1

vg = kv<W�,��(�;O�+E+�,�����+����# ]o���7|����(������

���h(,��E{�?����� 5 #=<>#>E^�,�7��_j�M�?� �82C>��1B;O�����I�g<g�?� �=���>E���/�I�5 �������,��5 ; Gg

��(M����,���+�4�,�7����?���"0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7��:5 �H� �������+���I�5����~���,��5 ; G4D

#!K75 ���,� �����8������<��,� �a�}j�,�?�+�g(��?��?�+(6�����G�����.��Z�?���82C>��1�;:�����I�

g"05 �,� ��(,�=E+���8;����+�,������; ����(����I�F��,������(~5 � 1 �+� Gg

<O�W� ��EF�=E|��=����� �+�,� ������(�(~�O�x; ����,���; ��� ����E{�?��1^��5��a�W� ���^E���� (���1 �+�,��� �D�,� �4E����4; ���{�?�.����� ��"0����1��I�=�?� �8�E+�,�����9��"t]B����(���������� ��(+#Y���?������?�����g�7�� 1J<��8�(�(,���+(,(g�4�G1 ��(g��"p5 �I�T�W��(��,��1obc��5 ���>e 8 ����1�(Z���(��x� 5 ����18�,��;��,��(����I�Fj�?����� (Z5 � 1 �+�Gg

<&� 5��a�?���+�o��,�4��N�g|�G(a;7��*�?����; �,� ���+E+�,��1^��5��}bc�+���������=�?� �8�� (���� E+�}��"A�7�EF�H���,��5 � 1-8 ����1�(Fe{#XZ� �+�,�+"0���,��<p� 5�����(*�F��,��(2�����<w���=����� �+�?��u<w��� E+���8;����+�,�Ybc���(��YE|�������1 � (,;������� e/�x5 ���,��; ���+�,(6"0�,��� �?���"0��5 �$)T1 ���8�+� (,�����7��:;:���,(�;O�+E+�,������#3V5�(,�+"05��OE+��� E��+;��g���8���,� �N"0����1.E+���8; �E+�,�987E���?����� (!��(l�?� ��A��"J���GE|�� ���?�� 1}5 ���987E���?�����J<I��� ( & *(

nMo p �{<j�W� ��EF�q�; ;:�|��&�W� ���x�,� �g���>E���I(��G�4�8�{�?��� Gg��v(,���4� 8NC��+1.;O�����I� b0(Few��(m nMo�p}(*�G�8�4�+�,����<

(,5�EF���(SO(10)

���E6#lRT��;��,��(���� E+����"\���GE|���nMo pJ(�<��,� � rkq �I�5 ���~(��G�8�4�+�,���YE������,��(,�a�(Z�?���

���I�,���,(���E{�?�����D��"v1 � +��+�,�+�H�/���>E����nMo p9���,��5 ;�(�#R "��t�o(�5 ; ;:��(,��<"0���Y� C���4; ����<6�,�7��_�?���9���>E���'���5 ����(��G�4�8�{�?�*����(

SO(10)�W�����,���(��,� �

5 �H� �������+�D���5 ���6���,��5�;Y���8"0��5 �g1 ���8�+� (,����� (n��( G4D = GSM = SU(3)c × SU(2)L ×U(1)Y

<>�?������?���2(*�F��,��(/����F�EF� �+1D�,�.�?� �S82C>��1�;O�����I�?(ZE���Y�?�?�� (�"0����� ���GE|������4�(

16 �; ���+�,(�<��W� ��EF��5�� 1 ���W�?���

D@I

l�� ' �\ � � ��� [ � \ ] ��� � `cb \ � 1 ��'P\ � � ��#�h6

` ���i� � * ��# � b 1 �

SU(5)

Gg = SO(10)G4D = GSM=⇒

r�q ����� �+�?��,�����

r�q ����� �+�?��,����� r�q ���+� ���,��?�����

16

(4,2,1)

r�q ���+� ���,��?�����

(4,1,2)

10 + 5 + 1

SU(4) × SU(2)2

SU(5)f l × U(1)

10 + 5

�������! #" �5&�$�'�� 6�<�9;J�������/ 9;1 >H���"- #"-3�1 ��H"7>=,�68��3�1#/�'�J�6�<�9;J� �/�& ��J�68?I9;J ,!��<-12�! #"�&�� 45"G��3 1#"- #/#"7<-12��6836;F 9;J�J J�6�<�9;J��� #68�!,5/ ��/ G4D = GSM

&

r�q �I�5 ���~������5 ;J< "0����� �,� �a�,��;��,��(����I�Fj�?����� (

16 = (3, 2)1/6 + (3, 1)−2/3 + (3, 1)1/3 + (1, 2)−1/2 + (1, 1)1 + (1, 1)0 .b&E�#96 e

d>���8�����������<10 �;����+�,(���"

SO(10)E|��S�; ;O����2�����?� �8(?��4��b0���2����D1 �/+O�������I� e~���GE|��n(�;O�+E+�,�,5 �D#

XZ� �{�_E������,��(�;O��� 1D�,�.�?� � r�q ����; ����(,�+�I�F��,����� (

10 = (3, 1)−1/3 + (1, 2)1/2 + (3, 1)1/3 + (1, 2)−1/2 ,b&E�# 5 e

�W� ��EF�=��,�2�?� ��(,����"m�?� ��%6������(/1 ��5 � ���+�,(�� 1�%6������(/�,�,��; ���{�?(�#Z36('�t�x����,�|�1��D�8�+�H�,��������1J<���� E+��t�x��7�� 1 ���D�?� �2���GE|��w;���E+�,5 �,���� 1�E�����(,��1����W�?� �����,� �N"0����1Y�������7�������< (,���8�a;7��*�?(6��"v�,� �

16����

10�; ���{�?(�4�����H�6� ���'�O��; �,�+(,���I�2�����?� �x�������7��&(�;O�+E+�,�,5 � 1 5 ���,�M�?� �x���,� �N"0����1D; �,������E+�,������(�#aRT�

�?���}�:��(�����"g�,� �}E��(,�+(�<v�,� �}; ����,(���"Z����GE|��10 �;����+�2�W� ��EF������8; ��� ����E{�?�+1S��5��2�W�����l�:�q�?� ��(��

E����,�,�+(,;:��� 1 ��� �_�?�D%6������(~�?����; ���+�?(+<J�W� �����|�(a�?���8E+���8;����+�,�16 �; ���{�?(a��"n�?� �4�}j�,�?�+�~���������?j�?�����

�W����� (,5����G������#lXZ� ��(n(����,57��?�����x�t��5 ��1q�?�����}�+� 1 � �k�,� �Z�?� �+�����x�W�N�?�82� ��?5 �,�� � C�;�����7j�?�����4��"��?���(��,�,5 E{�?5 ������"\�,� � r�q "c��8��������( �HE@;>< :�?�< :�<�< :kE*��#vR �/�t��5 ��1��1 1 ���,����� ����N�q; �,� �G��1 �2q(,����5��?�����M�?�q�?���1 ��5�� ���{��) �,�,��; ���{�g(,;��������?��� �x; ����� ���+� ��"�EI� nMo�pJ( � 6 5 E���#R �W��(g�����?�{�A���*�?�I�M�,�7��Z(�5 EF����D��1 �|��OE��(,�2�(g�,� �~� C���4; ��� ��5 (��W;��,��(����I�?�+1J<���� E+��5 1���� �x���?� �+�

nMo p}(��G�4�8�{�?�,����(+<�E|��x�O�A�,�|�����P+��1��������,� �N"0����12E�����(��?��5 E+�,������(�#v]o�A�7|���A�?�1����8�� 1��,�7��m�8����?������+� ���,��?����� (x�; ;O�����"0����� ���GE|�� nMo pJ(����>E������P���1^��x(�;O�+E��787EM;:�����I�?(+<v�W� �+�,�}�,� �Y�E{�?��������"Z�?�������� ��"0����1~���,��5 ;����a�?���A�(�(,�GE�����?�+1�(��?��?�+(\��(w�?�,�N�G����u#pK�5����?�����,�4������<j���p��(&� �+E���(�(?��*�a�?�7��&�?���A%/������(�,�+; �,�+(,�+�H�?��?����� (tE����4�Z"0�,��� �,� �/� 5 �������l"0�,��� 8NC��+1M;:�����I�?(l�W� �+�,�W�?� �/����� ��"0����1.; �,������E+�,������(tE���;7��*�?�N�.��N�?���\�?� �+���l(��,�,5 E{�?5 ����#!dG��� E+�/(������+����� ����� ���m�T�W��(��?�+1>)T(���E{�?���M87�+��1 (n����W�+��+E+�,��14�H�x���,� �N"0����1; ��� ����E{�?����� (�<!�?� � 8 �,(��q�����H5 ���,���4���I�q��(.�8�{�x�W� ���U���GE|��YnMo pJ(.�; ;:�|��qj�.�?� � 82C>�+1L;:�����I�,(x��"�?��� 87�,(*�~�T�W��(��,��1�(,�+E+�,��� ��(���?� �.���>E���\�8����?���6(,;:��E{�?�,5�� ��� E+��5 1���(ZnMo pS����� �+�?��,������(qbc(�5 EF�^�(27�; ���{�?(Z��"

E6���

16 �; ���+�,(Z��"

SO(10)e{# �

RT��(���E+�,����� 5 #><�#HE <��t���7|����E���� E���5 1 ��1_�?� ��64���>E����(�� ��" �W���+E+�,���Vg

� �(Z�?�q�O�2���H5 �N������+�H�Z�,���� �6��"w�?���'(,����" �A����E{�?����(

V�?� ��g1 � 87� �ZA

N

����� ��"0����14�8�G1 ����(n�W�N�?� ��5��t]B����(����}����� �+(�#mXZ� �+�,�{"0���,��<�� ��#3� ���(' 0 ��#%��')0 �=$����(' ��. 0!���!2�� 0!��')& 0�')8���/�. #�.�' $(/�� # � ')8���'7&*9"> ���(' /6.�9�� � /6<�& (.�/�!!')8�����/�$ � /�<�<�/32 0 � .�/6@ ����'

� #�8�� ����#%� ���(' (.�/ !!')8�����/�$ (�B#�0�'�1%'��BE ���-E �� � 1%��0 ��.���5"��#�<�� /6.T1

� #�$�&T5

� �!2�� 0 ��')& 0 ��#3��')0 0�#%��� 0 � >"��$(� ���(' @?#�0�0 <�')0�0�$(')0�08�/6$�&-�=����/�$ 1-'���E�� �(E ����� E

[ �9����������� �%�S\ � ' � �%� � \$� � � � l�!

87� 1���� �.���>E��� nMo pJ(A�W�N�?� r�q �8����?���t���������?j�?����� (Z�� 8NC��+1�;:�����H�,(g��"p�?���T1

(,�+E+�,���W��4��5 �I�?(A�,�87��(�����1 �+�H�,��" �G�����M�?� ��(��8(�� ��" �,(a���|�1 ��� �M�,�D�,� �41 ��(����,�+1 nMo pQ(��G�8�4�+�,���9�(~�,� �8���5 ���q������5 ;���"�?�����?�������*������"0��5 �/1 ���8�+� (,����� (6�� 1 nMo po���+� ���,��?����� (6�����,� �

T1

(���E+�,����<J�� 1��,� ����(�������E+�,��� �}(,5����F�� ���/(,�{�Z��"w]B����(,���8����� ��(t��� 1 5�E��������?���(��G�4�8�{�?���4� ���|��H1 � �W� GGUT → GSM

bc(,�+� 87� # E #76 e{#�� �M��"g�,� �0�H57������,����(a��"Z�,� ��(��8�{�?� �G1^��(��,�7��x�N���+� (,5��,��(x�,� �}� C>��(��,��� E+�Y��"W(��?�� 17��,1 nMo p

�I�G;O�+�,EF�7�������<I�W� ��EF�q��(mE+��� (,��(��,���I�l�W���,�.�I�5 ���AE���5 ;��������5 � �787E|��,������<���N�?� ��5����x� � nMo p_�; ;:�|���(���-EI��#p3'�����?� �+�x�1>����H�?����4��(a�?�7j�|<v�{���+���?� ��5������8��,�,���S87����1 (�"0���,� ���GE|�������E����8; ���+�,� nMo p�,�+; �,�+(,�+�H�?��?����� (+<\���H�,���,�E+�,����� (a���+� ���,����N��� ���|��gnMo�pQ�,�+����,����� (~(���� E+�q1 �/+O�������I�2���GE|�� nMo pJ(a����(,5�; ;O�����?�+1�j�Z1 �/+O�������I�Y82C>��1D;:�����I�?(+#lRT�_;7����,��E+5 ����+<��4�7C>��������"&�?� �~���>E������P��+1M���������?j�?����� (A�W���,����+E+�,���,�������a� 5����}(*�F��,��(/� �,����H(/�,� �a5 �I�g��H�,��1 nMo�p��,�+����,����� (t"0���g�?� �~"0�+�,�4�����Y�8�(,(���(�� E@;�< 6 5 :���#3'('������|�1>�_�8�+�H�,��������1J<7�?����(6�; ; ���I�EF��E����� C�;�������D�W�I�D�?� � rkq �I�5 ������ 1�%6������(W�O��(���� (61 �� ���Z"0���,� E+���8;����+�,�ZnMo p9�x5����?��; ���{�?(+<G�W� ������,� �a�}����?�+� 87����1 (Z1 � #RT�}�?���/"0������� �W�����~(,��E{�?����� (�<G�?� �/E���� E��+;��g��"����GE|���nMo pJ(!��(n5 (,�+1Y�(t���5���1 ��� �a; �,��� E���; ���Z���8�?���

(,����,EF�D"0���Z����� ��"0����1M�4�>1 �+��(A�W�N�?�D�,�������(��?��E6"0����?5 ����(+#

��� � ����� � � � � � � � � � ���R �m��(w�A�+���G�G��� �W�x�,�7��&�W���,�x6(�5 ���?�� ���tEF� ����E��t��"�]B����(���������� �+(&�N�v��(\�����v1����4E�5 �N�p�?����>�F����2�,� � r�q�I�5����������5 ;_5 ;Y�?�

U(1)"c�E+�?���,(�#lXZ���2���|��OEF�7������������~��(A�,�.���+�Z�,� �~� C��E{�/�}j�,�?�+�A(�;O�+E+�?��5 � ��"

�?��� rkq ���+<I�8�����g; ����E���(,�+����<I��"O�N�?(l�4��� ���}��I(,5 ;:����(��G�8�4�+�,�,��EZ� CG�?�+� (,�����J<��?��� qSr�r�q #l�'�+�}�� 1 ������1 1����?�����7������6�I�5 ���tE+��5 ; ����� �/5 � �787E|��,�����2E���� (��,�?���� (v;:��(,(���� ���t�4�G1 ����(�# xRT�x����1 ���p�?� 87� 1x�4�>1�����(�W� ��EF��E����x� �����n�:���,��; ����;O�+���,����(+<j�t�A� �(,�t��5 �p(��,�?��,�����2���a�?� �nE���� E��+;��m��" ���GE|��GnMo pJ(p1 ��(�E������:��1���Y�,� �a; �,�{�>����5 (W(,�+E+�,�����J#3'�

SO(10)nMo�p � �(}���+���hE����4;O�+������� �="0�|j�?5 ����(M�W� ��EF���}������N�Y�; ;��,��; ������,��"0���8�8�G1 �+�

� 5 ����1 ��� � �>: 5 �u#S3'�4��� �=���,� ���q���|�(���� (�<n���q��� E����,;:���?��,��(��,� �_(,5 E+E��+(,(}��"~`~���������N)$`a���(,��� � �� 1�vj�?�N)$d������ nMo�pJ(+< ; �,� �G��1���(6q(���� ������I�5 ���~E���5 ; ����� � < ;��,��1���E+�,(Z�?� �~� C���(��,��� E+����"\�,�����I��) �7�� 1 �+1� �+5��?����� ��(g�� 1Y�I��,� ����(ZxE����8; ���+�,� r�q ����� �+�?��,�����8�W���?�����Yx(���� �����'����; ����(,�+�I�F��,�����J#!%/��� E+��< �t�(,� ����m�:�.�4��(��,�������I�?�+�,��(*�?�+1o�����?� �.�I�5 ���.(,����" �?(

V�W� ��EF�9������ � "0���_���>E���

SO(10)#�36��(��

E6���GE|�� nMo pJ(gE|��D�:�~�,���(,���7�� ���; �,���8��(,�����x�(g�,� �+�}���x�:��1Y�?���SO(10)

(��,�,5 E{�?5 ����#!XZ�7��W��(�<��,� �(,����" �Z���+E+�,���,(

V�A�a�W������E���� (,��1 ���/����~(,5 EF�D�?�7��W�,� �~���{" �

��4� �>��� �.�4���8�+�I�F

p(?��,��(*" �>��� �

p · V = 0 mod 1 , p2 = 2b�E #=<�e

����~�,�G���?(g��"SO(10)

���E6

b05 ;Y�?�q� CG�?�,.���,��5�;M"c�E+�,���,(?e{#!K75 ���,� �����8���,��<>�?� �~�8�(,(����+(,(Z(��?��?�+(Z��"�?���

T1

(���E+�,���a����.�,���H5 ���,�+1��?�YE����H�?����16 �; ���+�,(��"

SO(10)j��?� � 8NC��+1�;O�����I�?('�W�N�?�

SO(10)(��G�4�8�{�?�*�Y���27�; ���{�?(Z��"

E6��Z�,� �S82C>��1D;O�����I�?(Z�W���,�

E6(��G�4�8�{�?�*��#

d>����E��m�?����(,�!�8�(,(����+(,(p(��?��?�+(J"0�,���T1��,�m�5��?���}��,��E�����N�W���I����,����I�J5 � 1����w�?� �l���,� �N"0����1~�E+�?�����J<

�?���+�}�����(,5����G��������iEI� �� 1M�; ;:�|��t�(AE+���4; ���{�?�SnMo p���5 ���,��; ���+�?(+#vRT�}�,� �'E��(,�'��"SO(10)

<G�,�7�����N����(t��� �6E����4; ���{�?� r�q ����� �+�?��,������<H�W�������/���4�?� �6E|�(����"

E6

�t��7|���27 = 16+10+1

5 ��1 ���SO(10)

#lR �W��(g�?�H5 (W� �+E��+(,(?����_�?�q1 �+E���5 ;����a����!bc���A;7����FeA��"&�?� �10�; ���{�?(g"0����� �,� �a��� �

��������,���

�?�������*��#� �$*.�'�� 0)E � ����1 � � � 1�/�$(<�> @ /-&-',< 042�� ���(/�+(��0 ��#�$�&(#�.�& ��> �',. 8 ��#%.���' #%.�' ��$�56')0 �����6#%��')& E

�' ��# 5�' 5�').����')& ����#%�)1-��$

� #�8��)1 �3

#�$�& �4

/6.�9�� � /6<�&(0 &-/ $(/�� #%<�<=/32 � /�.� ���� �"> B').�8 �B#%.���' $�/�.�@ #�<=� �)#%����/�$ E

m ' �\ � � ��� [ � \ ] ��� � `cb \ � 1 ��'P\ � � ��#�h6

` ���i� � * ��# � b 1 �

d>� �N" � EI� �I�5 ���2���,��5 ; G4D

V SO(10),1 SO(10) × SU(2)2 × SO(14) × U(1)2

V SO(10),2 SO(10) × SU(3) × E7 × U(1)2

V E6,1 E6 × E8 × U(1)2

V E6,2 E6 × SU(3) × E7 × U(1)

��9;?!J�" �5&�$�'�� 9;�!� "@�� #68�!, 98/#/#6�<-�9;1#"7> 1#6 /#4!� F 1 "7<-1#68 #/ BY��124 J�6�<�9;J ����� /#12 2�5<-12�! #"�& � 45"-�� � 9;121#"- :/2,�"7<-12 2��� ��3E1245"

T1( 68 )" � �!�� �9;J�"-3 12J�A T5

.D/P"7<-1#68 ��35<-J��5>!"7/ $�� ����� F+9 � ��J���"7/�&

XZ� �Z]B����(,���.����� �+(v�W�������:�ZEF� ��(,�+�}(�5 EF�8�,�7��m�,� �W(��F�� 17���14�4�G1 ��� ���5 ���Z������5 ;.��(l���x�:��1 1���1���I�,�q�,� �a���GE|�� nMo�p��(

GSM ⊂ SU(5) ⊂ SO(10)���

E6 .b&E�#>EHe

R �x"0������� �W(��,� �����,�7��x�,� �Y�I�G;O�+�,EF�7������Y��(��?�7��x��"W(��?�� 17���1RnMo�pJ(��� 1��?�H5 (.E+��� (���(��,���I�.�W���,��I�5����_E���5 ;��������=5 � �98 E|��,�����J#U%W�>;:����EF�7��������W�����g�; ;O����4�(8������ ����.E����x� ��� ��?�����S��"6(,�+�����,��U(1)(6�� 1J<��,�G5�(�<7�?� �a���+� ���,��?���/��"v�I�G;O�+�,EF�7��,���}bc����.(*�F�� 1 ��,1D�7�(���(Fe <

tY =

(−1

2, −1

2,

1

3,

1

3,

1

3

),

b&E�#F:�e

�W�����7�O�/�����O�+1 1 ��1}���M 6�Dj) 1 ���4��� (������ ��>����E+�,���Z�E{�?��� �����8�?���'�I�5����61�����������(t��"J"0������1�����#m-6���,��?� ��A���5 ���/E���5�; ����� �a5 � �98 E|��,�����4���4���,����"0����14�4�G1 ����(n��(t1�5 �/�,���,� �6"c�E{�t�,�7��!�?���P6�?�� bc� ��� EI�e�?�������*�Y��(Z1 �+(,E+�,���:��1D�I�D.(,���������~E+��5 ; ����� � #�5 �x�4�>1 �+�t(��|���EF�Q��(xE���,������1^��5��.���^�?� � A

6

)TR�R~���,� �N"0����1oE����4;7�E{�?�787E|��,�����9��"W�?���E8×E8� �{�?�������?��E.(��,�,����� #xdG���8�.;��,��;:���*�?���+(��"n�?� ��(����� ��"0����1��t���,�q1 �+(,E+�,���:��1����=(,��E{�?����� 5 # 5 #=<9bc(����.�?���

1 ��(,E�5�(,(,�����D��,��5 � 1_����#&b 5 #>E@s�e�e #nRT�Y�,� ��(ZE+��� (��,�,5 E{�?�����J<��,� ��������,��T�t�4���5 ���~(�� ��" �,(Z���|�1 ��� �x�,�q���GE|��

SO(10)nMo p��Hs1<�< 6 5 D��u<

V SO(10),1 =(

13, 1

2, 1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

),

V SO(10),2 =(

13, 1

3, 1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (16, 1

6, 0, 0, 0, 0, 0, 0

),

b&E�#=DIe�� 1 5 (,� �N" �?(Z���|�1 ��� �x�?�4q���GE|��

E6nMo pm<

V E6,1 =(

12, 1

3, 1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ,

V E6,2 =(

23, 1

3, 1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (16, 1

6, 0, 0, 0, 0, 0, 0

).

b&E�#FI�eXZ� �.(*�>�4�4�+�?�*��� ���|��H1 � �W�9��"

E8×E81 5 �x�,�M�?� �+(,�q(,� �N" ����+E+�,���,(a��('���������=�����?�� ���PE #76�#2XZ� �

(,����" �V SO(10),1 ��"\�,��#pbT<�#76 5 et�� 1Y�?� �~��� �~; �,�+(,�+�H�,��1�� �����a��,�~�,�G5���������+�I�|#lXZ� �{�Y1 �/+O���A�O�+E|�5 (��

�t�}�7|���}5 (,�+1^]^�{�G�n�,�?�� (*"0���,�8��,����� (�,������1 5 E+�}�?���8�H5 �x�:������"g����� P��+�,���+�I�?�,����(����9���,1 �+�2�,�"c�E+�����N�F��,���j�?���W��7����G(���(�#n]^�a�W������"0�GE�5 (/���_�?� �+(,��(�� ��" �,(/�� 1�(�E|���� �����6;O��(,(,��� ���]B����(���������� �+(�<���4; ��� �G��� �.�?� ��E����(,(,�787E|j�?�����D�4�+�,� �G1���"m(,��E{�?����� <�# 5 <7�?�4���{�6�,� � r�q �I�5 ���2���,��5�;J#Z�'5 �2�?�8���?(���+���8�{�?�*��<v�,� ��A

6

) R,R~����� ��"0����1��W���?�^������?��E+�G2×SU(3)×SO(4)

������ �W(2"0���25 ;��?���T�t��]B����(,�������� ��(!��"J���,1 �+� 5 <

A5

�� 1A6

<>�� 14"0���!��� �/]B����(����q����� �W��"J����1 ��� <�<A3

<>�(n������5 (*�?�?j�?��1q��� 87��# E�# 5 #

[ �9����������� �%�S\ � ' � �%� � \$� � � � m �

e2 e4

e1 e3 e5

e6

T1

�������! #" �5& �H'T1

/#"7<-1#68 =6;F 1245" �6 � �)68 2?!� F 68J�> 683 9

G2×SU(3)×SO(4)J9;1212��<7"�& � 45"

SU(3)1#68 2�5/=98> � ��1#/ 6835" � ��J�/P683 J���35"A3

6;F 68 #>!"- � ( �� #"7"-3 .:98/#/#6�<-�9;1#"7>E1#6 1245"C>H�� #"7<-12��6835/e3

9;35>e4

BY4!��J�"C1245"SO(4)

1#68 2�5/ <�9;3 9;J�J�6�<�9;1#" �!, 1#6 1 B 6 � ��J�/#683 J���35"7/��A5

( ?!J��5" . 9;35>A6

( #"7>I. �6;FG68 #>!"- �H&

XZ� �2� � CG� �G5���(��,��������(W� � � �,�8���+�W�?� �����2�}j�,�?�+�Z���������?j�?����� (�#n3 �������4�+�,�,��E~� C>; ���� ��?�����Y��"�?���8�����������=��"n�?� �q�?� �����4���������?j�?����� (a��(a(,���4����� � ��,�,�?�E{�?�N���4�� 1oE|��9�O�q���|�����P��+1o�������,� �N"0����1E����8;7�E+�?�787E|j�?����� (�#�3'(x1 �+; ��E{�?�+1S��� 87��#"E # 5 <v�,� �����_��,�

3 × 482C>��1Q;:�����I�?(����^�,� �

T1(���E{�?���+<

�W� ��EF�J<����Y�?� �2���(,����E��2��"v]B����(,���D����� �+(�<7��,�a1 ������� �+�?��,��<7�?�7j�W��(�<���,�~"05 �,����(,����1_�W���?�D��1����I�?��E|���8��,�,���A(�;O�+E+�,�,5 �D#l]B����(����M����� �+(A���N" �t�,� ��(A1 �����+� ���,�E+�M���M�?���~1 ������E+�,�����8�?� �{�Y�E{�|#!K7���A� C���8;�����<��"O�?� �/]B����(,���4����� �

A5

������j�?��14�?�2�?� �/�?����5 (t1����,�+E+�,�����e5

��(!� ���I�,�,���G�����<��,� ���M���8�,� �SO(4)

�?����5 (�?���Z;O�����I�?(

��� 1 • �(m�t�����7�( × �� 1 N

��,�g�,�H5 ����������I�|<I� 5>�l�?� �W� ������P+���I�F��>(��G�8�4�+�,������(m����(���# �XZ� �q;:�����I�?(6�?�7�������+;9�,� ��������GE|��MnMo p�(��?��5 E+�,5 �,�4����.�����,� ��(~E��(,�x�,� �.(,� C=������(~�,�+����,��1��,�

��� 1 • ���D�,� � SO(4); ���� ��#Z%/��� E+��<:�?� �2(,���8; ����(*�6;:��(�(,���������N�T�}�,�}���{�/�,� �,�+���8��,�,���W���+� ���,��?����� (

��(t�?�.5 (���?� �����~���H5 �N������+�H� 82C>��1_;O�����I�?(A�W�N�?�16 �; ���+�?( �=: <����W� ��EF�D�; ;:�|��g���M�4�>1 �+��(n�W���?�M�T�t�

]B����(,���.����� �+(m��"O���,1���� 5 #vR ":�?���/� CG�?�?a(��?��?�+(n��,�g����E+�,���,�������6�� 1qE|��q�:�/�������+�q��������g�8�(,(���(�<H�?������ ���+� �������=(�;O�+E+�?��5 � �W�����mE����I�?����=�?���,���4�8��,�,���"c��4��������(+#.%6� �t�+������<v��"t��� �q(��?����,(2"0����� �?���

(,����" �?(t���������Y��O� ����<>�,� ��(n(��,�?��,�����4"c�����(l(,��� E��~����7(,5�EF�D�4�G1 ����(nE+���I�F����}EF� ���?��:� C>���,��E6(��Fj�?��( �HE1;���#RT�M�?���~E|�(��~��"

E6

< ���A1 �>�+(g� ���A�A�����}�+���?�����g(���� E+�~x(,���8; ���'��7����G(���(g��"w�,� �a�6�G� �H���_1 ������,�� ��"E6�,�+���|���(Z�?�7��g��� �~E|�� � ���Z�����F����

GSM ⊂ SU(5) ⊂ E6�W���?�M�T�t�.]B����(,���Y����� �+(A��"&����1 ��� 5 #

XZ� �}��� CG���,��(����4; ���+(��2;O��(,(,��� �������T����(~�?��5 (,�q�T�t�����H5 �N��������I�Z82C>��1^;O�����I�?(~�W� ��EF�^�������4����(��

�?���T�t���}j�,�?�+�q����� �+�?��,������(�#hXZ����(4(,���,57��,�����QE|��h�:�����>�F���� ��1U���U�8�G1 �+��(.�W���,�L�����D]B����(,�������� �M��"6����1 ��� <��� 1U������?� �+�.��"6���,1 �+� 5 #�XZ� �Y�,� ����1U����� �+�?��,�������t��5 ��1Q�,� ���U�7|���Y�,�9E+���4�"0�,��� ���,� ���Z�T�W��(*�?�+1����Z5��H�T�W��(��,��1�(���E{�?����(�#nXZ� �2�; ;:�|��,�� E��a��"&�?���a�,� ����1 !& � $ ( �� t"c��4�����4E����:������� ����1L�,�o�,� � r�q �� ���}��N��E��� E��+������?�����J#kRT� 1�����1�<Z(,����E����,� ��(�� ��" �q����E+�,���,(}��"~���H(+#~b&E�#=DIe�� 1�b&E #=I�eZ�����1D�,� nMo p9"c��4�������+(g���D�?� ��5 �I�T�W��(��,��1�(���E{�?���+<:�,�7��6(,��E{�?���6E����I�?���� (6;7��*�'��"m

16�; ���+�8�" �?�+�4�,� �D��� E+��5 (������Q��"]B����(����Q��������(�#LXZ� ���L�?� ��(,���4; ����(��q��;��?����� (qE�����(,��(*�?�+�H�8�W���,�L�?���r�q �� ���8��N�=E|���E���������,�����o����8�?� ����,� �}�����8���� ��� �_�}j�,�?�+���+���,� ����E����4; ���{�?�+(��?���

16�; ���{�����

; ��� �G��1 ��(n����E{�?�����������/;7����,� ����(A��"O�?� �65 �I�T�W��(*�?��1}(,��E{�?���+#lRT�}�4���,�/E����8; ����E���?�+14E��(,�+(�<��1 1 �N�?�����7��16����

16�; ���+�?(4E|��h�;�;O�����#LXZ� �����>E������P��+1

16 ��� 1

27 �; ���{�?(8��,�Y�?��5 �VnMo�pB�x5 �N�?��;����+�,(�<

�W� �+�,�|�(g�?� �/�?� ���,1M��� �$��5 ��� �/���+� ���,��?�����M��� �N�q�7�(A�,� � r�q �H57��I�?5�� �H5 �x�:����(g��"&��M�1 1 �N�?�����7��16�; ���{�|#]^�Y87��14�,�7��!�?� �/��:� ���W(��,�?��,�����x��(l(,5�E�E��+(,(*"05 ��#nKv���,(���<��A�W� ���?��E+�g�?�7j�n�,� �W�8�G1 �+� ; �,�+(,�+�H�,��1� �(' .�')@ #��=$��=$(�*5�'). ����8)#%< 0 >"@ @ '���.�>���0 +�0�+�#�<=<�>���&-')$������')& 2�� ���

D4

/�.S2

1 2��(� 8 ����$ #6&-'���+�#%��'A@ /-&-')<�0 8,#�$9�';�=$���').� �.�',��')&:#�0�# � #�@ ��<�>*0�>�@ @ '���.�>6E

me� ' �\ � � ��� [ � \ ] ��� � `cb \ � 1 ��'P\ � � ��#�h6

` ���i� � * ��# � b 1 �

A5A3

A3

2 × 16T1

�������! #" �5&��H' � /#�5<7<7"7/#/ F �!JD9;,!,! #6 98<#4 1#6E� "-1 �%6�>!"-J�/ BY��124 124! #"7" � 9;121#"- � "-35"- P9;12��6835/�& � B 6����� � "-35"- P9;12��6835/=9; #" J�6�<�9;1#"7> 9;1 ��!"7>E,�68��3 1#/ 6;F 1245"

T1/#"7<-1#68 :BY4!��J�" 1245" 124!�� #> 6835"R<76��%"7/

F #6�� 681245"- �!3�1�BY��/21#"7> 68 1�BY��/21#"7>E/#"7<-1#68 #/�&

���Q���+"0(�# � E@;�<K:�? �W�1 ��5 (*�?(q; ����E���(,�+�����,�9�,� ��(.(�EF� ���4��#hd>��E+��� 1 �N��<A���(��=���S�?� �_E��(,�D��"E6

nMo�pJ(�t����� (����������?�7j�M���8��(4� ���}1 ���4E+5 ���4�?�������F����L�,� � r�q �I�5�����������5 ;J#V3'(}�t���W�����Z1 �{�F����6���(,�+E+�,�����-E #>E�<\���9"c�E{�|<\���?� �+���8�(�(,���+(,(2(��?��?�+(�; ����(,�+�I�x���9�?� �4(,;:��E{�?�,���"Z�4�G1 ����(2� �(,�+1^���9�?� ��((��,�?��,�����9��,�q��" �?�+�o����E+�,���,�������4�W�N�?�9�,��(�;O�+E+�2�?�D�?� � r�q �I�5����q���,��5�;��� 19E|��^�:�8���N���+�o����,����8�(,(���(WE�����(,��(*�?�+�H�/�W���,�_(��?����� �q(������+E+�,�����_�,5�����(+#�� E��W��(*�F�������(�� ��1.�,� �Z�7�(���(l��":��5 �l(*�?5 1>��<H���{�!5 (l(,;:��E+��" �x��� �k����>���?�����l1 �{�F�����(m��":��5��l(,�|��,EF�

(��,�?��,������#l]^�a���H5 �4���,��?�~�,� �a(��?�+; (/��"v��5 �Z(,����,EF���(Z"0������� �W(KJ➀`a�+� ���,��?�2����J�4�>1 �+��(A�W�N�?�Y�T�t�4]B����(,���D����� �+(�#

➁RT1 ���I�,��" � �T��� �,�G5���������+�I� �'�8�G1 ����(�#

➂d>������E{�6�4�G1 ����(A�W���,�

GSM ⊂ SU(5) ⊂ SO(10)���

E6

#

➃d>������E{�6�4�G1 ����(A�W���,�D�,� �,�+�2���+�

(3, 2)#

➄d>������E{�6�4�G1 ����(A�W���,��� ���7�� ���8�����5 (

U(1)Y ⊂ SU(5)#

➅d>������E{�6�4�G1 ����(A�W���,��� �{�W�?� ����� r�q "c��4��������( X %/������(,��( X ����E{�?������������#-6���,��E+�2�,�7��/���D(��,��;

➀�t���7|����1 ��E+��1 �+1�� ���/�?�4(,;:��E+�������P+�a�,�4�,� �2E|�(�����"l��� �2]B����(����_�������

��"p����1 ��� 5 �� 1Y��� ���"w���,1 �+�Y<�#l�m���+�Y�?� ��5����M�A�������|�1��4�H� � �B�?�7j�Z��� �N�q���}�,�7��gE��(,�6�A�~E��������?����9�,�������(��,��E.�4�>1 �+��(+<&�t�}�t��5 ��1o�������4���(����,���H� � � � � � "0�,�,�G5����I�?�N�9�,� ��(��}�4�>1 �+��(2�; ;:�|�������,� �.���� 1 (,E��;:�x;7��,EF���,�7���t�q�7|���.EF� ��(,����#xRT�����?� �+�'�t���,1 (+<p����4�����H�'�O�.5�(,�+"05��v�?�YE+��5 �I��W���,�9�,� �q�?���?��m�H5 �x�:���2��"g�4�G1 ����(~�������,1����a�?�D1 �?|� (����4�8���������� ���x(��?��?��(��?��E|��v�,��(�5 ���,(a��5��2��"��5 �.(��|���EF�J#�X&��1 ��(,� <!�A�_�; ; ���o�?� �YE+���(�(,�787E|��,�����S�4�+�,� �G1S1 ��(�E��,���O�+1Q���S(,�+E+�,����� <�# 5 <l�?�7j���(+<m�A�_; ����;:��(,�_��Q�� (?��,PY1 ��(�E������ ��� �=���������,��E|�������]B����(,���S����� �+(���"/����1 ��� 5 �� 1 <�<!�7�(,�+1Q������H(+#vb&<�#76�s���eg���1^b&<�# 5 ?Ie{#-6���\������4�>1 �+��(w���>�F���� ��12���a(��,��;

➀��,�!��� �,�H5 ����������I�|#&RT��(*�?�+;

➁<|�t�tE+��� (���1 �+�p�T�t�'�4�G1 ����(J�?�

�:� �$�,�G5���������+�I� �/��"��?� �{�}�7|���~��1 �+�H�,��E����(,;:��E+�,�?��W�N�?�M����(,;:��E{�Z�?�x�����7��:��������4�I�5 ���'������5 ; (Z�� 1�7|���~�,� �(?��8�~�H5 �x�:���A��"&� ���7��:��������}(,���������{�?(�#vXZ�G5�(�<7�4�>1 �+��(g1��/+O���,��� ����� ���8���

U(1)EF�7�������(

����/�,�,�|j�?��1M�(t�,�H5 ����������I�|#mRT�M�1 1 �N�?�����J<I(,���4�/�8�G1 ����(!1 �/+O���n��� �N�.�I�8�,� �6���>E������P|��,��������"w(��?��?�+(���U�?� ��1 �/+O�������I�i8NC��+1k;:�����I�?(+#k]^���H� � � �?�7��4�?����(,����x� ����5 ���,���+(x�>E+E�5 �}�� 1L���4��(4;O��(,(,��� ����?� ��W���Y(����8�~E��(,�+( Ln5 �j �AqE���5 ;���������(Z����a�+��+E+�,��1J#n%6�+� E��2��5 �ZE+�,�N�?���������}�}|�M5�� 1 ������(*�?���8��,�(,���8�{�W�7��W�?� �a�H5 �x�:���W��"&�?��5 ���}��� �,�H5 ����������I�Z�4�>1 �+��(+#XZ� �_E������?�+�,�����

➂��(�E��,5�E�����t"0���x�����F���� �������G���� ���M�4�>1 �+��(+#9]o�Y�,�,�G5����,�Y; ����,��E�5���������=�?� ��

SU(3)×SU(2)�;�;O����,(g�+�x�:��1 1 �+1_���Y��

SU(5)(�5 � ������5 ;Y��"w�,� ����GE|�� nMo pJ(�#mXZ����(gE+��� (��,�?����I�

[ �9O�� \ # �:�$�)�Kb � � \$�j' � ��� ������bd\ � 1 ��' \ � � meO

��(&���4;:��(,�+1���������1 ���p"0���p�?� �n�I�G;O�+�,EF�7������A�,�'�:�t��"7`a�+���,���N)*`~���(,� � �9�T�>;:�g�� 1J<������ E+��<�E+��� (,��(��,���I��W���,�_�I�5 ���~E+��5 ; ����� �q5 ���987E���?�����J#�'"mE���5 �,(���< �t��E+��5 ��1Y�,���Y���8�4��1 ����?�+���q�?�q��1 ���I�?�N" �Y��D�;�; �,��;��,��j�?�~�I�G;O�+�,EF�7�������#tR �W; �,� ����(

� � �t�+���+�=�?���:���8���,�^;��?�E{�?��E�����,� 87��(����,�+1 5 E+��"05 ���,� �����,� �S�H5 �x�:������"8�4�G1 ����(�|��������� ����#zA�,�N�?�+�,�����

➃��8��5��H�,(Y�?� 87� 1 ��� �U�,� ��(��9�4�G1 ����(M�W� �����o�?���,����E+��; ���+(���" �H57�����)T1 ��5�� ���{��)T�������

;7��*�?��E����+(=� C>��(*�|# �w�+�o5 ( ��5 (��o�,�+�}����V�,�7��|<.��� ����� �+�?��u<x�O���?� �,��;��,��(����I�Fj�?����� ((3, 2)

�� 1(3, 2)

5 � 1 �+�SU(3)×SU(2)

�; ;O��������o�,� �M(,;:��E{�?�,�#�XZ� �{�o"0�����s(,���4�8����E+�,���,�������M;7����,(a�?�7���W������+�����I�?5 ����N��1 ��E+��5 ; ���9"0����� �,� �9��� �

��������,����(,;:��E{�?�,5���# XZ�H5 (�<a��� �N�k�4�>1�����(Y(,��?��(�" �G�����

|#(3, 2) − #(3, 2)| = 3�W�����O���|�1_�,�q�,�|�����(*�?��E'; � �+� ���4��� ����������#

36" �,���l�?� �6��:� ���/; �,�GE��+1 5 �,��<H���!��(l�,� ���4(��,�?������I�,"0���*�g���14�,�a��1 �+�H�,��" �x�,� �W�I�>;:����EF�7�������#!RT�8����1��|���E��(,��<��,� �t�I�G;:���,EF� ��,���t���������?j�?���J�t��5 ��1��:�t�������+���I�}b&E�#F:�e��+�x�:��1 1 �+1x���2Z6�Dj) 1 ���4��� (������ �����+E+�,����#t%6� �t�+���+��<7�?����(Z"0���,� ��(Z�7�(,��($)T1 �+;O�+� 1 �+�H��#tRT�D���+� ���,���<��W� ��W��� �a1 �G��(W��(g�,�qE����4;7�����?���=(,���4; �����,�G���,(M��"a�?� �

SU(5)�����O�+1 1 ��1[���L�?� �

nMo pk���,��5�;Q�,���?� ��(,�Y��"SU(3)×SU(2)

#�d>��� E+�}�?����,�G���,([��"

SU(5)(�;7�� "0��5��*)T1����4��� (������7���(,; �E��

�W� �+�,�|�(A�?� ��(,���"SU(3)×SU(2)

��� �N�q(,;7��_2�?� �����{)1 ���8�+� (,�����7��O(,;7�E+��<7�?���2�I�G;:���,EF� ��,���2���+� ���,��?���

tY

α1 α2

tYα4

α1 α2 α3 α4 JSU(3)×SU(2)×U(1)Y

JSU(5)

��(\5 � �/�G5������21 �{�?�+�,�4��� �+1x�I���,� �A(������t1 ������E+�,�����������,� �������7��I�?�'�,� �g(����4; ���!�,�G���,(v��"SU(3)×SU(2)�W� ��EF�Y�����+(A���}�?� �'(,;7�E+���"

SU(5)#mRT�Y���,� ���A�t����1 (�<>�?� ��I�G;:���,EF� ��,���~����(�5 ���,(g1 ������E{�?���q"0����� �,� �

(��G�4�8�{�?�*��� ���|��H1 � �W�SU(5) −→ GSM

#o3'�x� ����5 �N�?���+(x�����(��M���SE+�����?����Q(�����1���� E��(,�+(q�W�����U(1)Y

E|��o�O�q1 � 87� ��1^���91 �/+O�������I���A|�G(�#MRT�9�?� ��(2E��(,��<\�t�}�7|���8�?�DE���5 �I���,� �8�4�G1 ���v�T�W��E���#��Y�?� �a���,� ���Z�7�� 1J< �?���2�I�G;:���,EF� ��,���2���+� ���,��?���ZE���_5 ��"0���*�?5 � ��?�+���M�4�7C8�W���,�Y�?� �2�� ���}�����5 (U(1)

��"!�,� �.���,����"0����1J<O�W�7j�a���|�1 (�?�M�,� �.5 � 1 �+(,���?�� ���.E�����(,���H5 �+� E��4�?�7j�~����7�(�?�_�:�.� �,���������Z�������M� �����_�+� ���������+(�#lXZ� �+�,�+"0���,��<:��g(��?�+;

➄< ��� �a��(A"0���,E+��1_�?�.1 ��(,�����I���1Y�?� ��(��a�8�G1 ����(A�W� �+�,�

�?���2�I�G;:���,EF� ��,�����; ;:�|��,(/�� ���8�����5 (�#]^�����������;:��(,�N�?�����Y�?�4��1 �+�H�,��" �M�,� � qSr�r�q E��� 1 ��17��?�+(�#gRT��(��,��;

➅< �A���7|�����,�4��������" �Y�?� ��

�?���.�,��(�5 ���,��� �Y(�;O�+E+�,�,5 � E+���I�F���� (~� C��E{�?�N���?���.(,;:��E+�,�,5 � ��"!�?� � qSr�r�q <p��# ��#a�?� �����q� �+�a�8����?������+� ���,��?����� (x�� 1J<mj�x�����(���<v�����};7�������"/%6����(,(*) 1 ��5 �����+�,(2�W�N�?�9�?� �ME+���,����E{� �H57��I�?5�� �H5 �x�:����(5 � 1����

GSM = SU(3)c × SU(2)L ×U(1)Y

#!�'�,� ���g(*�F��,��(g���}�?���(,;:��E{�?�?x��"&�1 �4��(,(���� ���W�8�G1 ����(�<���+� ������E|������8E|������+1Y� C>���,��E�(W�x5�(��W"0���,� ���+E+�?���,�������a;7����,(+#

����� � � ��� ��� � � � � � � �� � � � ��� � � � �������� ���������������������� ������������� ��� !#"$����&%��� ��� '(���*),+�'-���#.��/�10�24352768'(���*�� ����+�'�!���"-� '9����!��;:<����+��������#��� !�"=�>���?���/���A@B� )=���C���&D>'�)E3�3#F1�HGI%���+/�*+��J�HG9��KL%��/�*�J@�+����7���9�NMPOAO MQK1�#����� J� ��'(���*'(�P%��/�9���)�)9+���+���'>���SR�� �*�������+/T#�U%>�����+/�*�/� �*2V����� ����K1�5)�� ���W�� %��� ���*'(��XK1�AY������ ��������+/'Z�����U� ��'(���HG5�N��������+�'�![� ��KL%>���H��+\D>�]�#��+/��'9�^��'�)_����?� ��'���+�)�� �� )_��'��P���`���9�P� � '(������;�� �������������<����+/�B@a���Tb2dc-�P���*������#�dK1�����d���e�����JMPOAOAMf� ��'�)�+�)>�#���*�g���+����^�h���Ki�P�/�5�]���

SO(10) jSkml 2onC�#pqR��*��"�:�@B�r�]��'L� ��'9��+/)9� ���9+/�P��*�����\�P����.e�1�#'������9� s���!���KL� '(�P@��("

SO(10) jSkml �CK1+�!��(�P.t�N%���*�h�*���*)E�����������* jSkml �*2u '-�����&������� v�>��'9);:o+\��KL+/!��w�^Y������W��*x>�*�*�������L�y���*�v���>� �v�8@B�7cz+��/����'-��+/'��*�v� ��'�'��#�W.���]��TE6� '9����!��[���P!��*�d�?�*��K1%������.9�/�^�#K1���9'w�{���eK1�5)�� ���<@�+\���

GSM

!(�#��!��^��"IKLKL�*���"�2 u '��aK1+�!��(�o���9� '�HGI%e� �H�a�����#�^�#)�)�+/'9!��P����+��)1cz+��/����'1��+/'��#:(K&�#'w"NKL����JKL�I)9� �/�S@�+\���&%9���KL+/��+/'�!P%����%e� ���+/�*�a���+/���

��� ���������� ����������������������� "!#������%$'&)(6

�*�+�,$- ./��&0$'�1 2!

3 �+\��� �+/��'V SO(10),1 V SO(10),2 V E6,1 V E6,2

➁+/'��54w��+�R#����� '(��KL�I)��*�/�^@�+\���=3Wcz+/�/����'U�/+�'�� �

22, 000 7, 800 680 1, 700

➂OAM !(�#��!��s!������% ⊂ SU(5) ⊂ SO(10) 6 �� E6 7 3, 563 1, 163 27 63

➃F['��*�

(3, 2) 1, 170 492 3 32

➄'���'>�#'���K1���/���9�

U(1)Y ⊂ SU(5) 528 234 3 22

➅��%e� �H����9K

=F[!�� '9� �� ��+/��'��

+R�� �*�������+/T#�

128 90 3 2

8:9�;=<?> �A@CBED FHGI9�GKJ?LMGKJ?NOL P�Q R6 SUTIT PWVK;=JXQYPW<?Z [\PHZ=>�<?L ;]9WLM>OZ PW^ GK_A> LK_=JXQ`GML

V SO(10),1, V SO(10),2, V E6,1, V E6,2 a JbGK_-G a P �cJb<?LMPW^d<bJb^A>OLe@

�h���K ���9�E6

����+\� ��� 2cZ��D>'�)L���>� �g������%����%t�*���+�� �d���t�����rK1�5)��*�/�{@�+����L�����r����+/����bMPOAOAM K&� �����*d� ��'(���*'(�]:5�������U�#�

���9�W'w��K�.e� C��'�)7�8"5%e�����SR��*�*�������+/T����HGI����+/� �C��'�) OAM ��+/'�!����*��� :t����������+/KL+/� �#a���>� �C���9� ��W+/�r'��KL�I)��*�5@��9+/���[�]�#'[.t�B%���H�h� ��� )�fhgji�kmlni�k 2o���9+/�o+�K1%9�/+/�*� ���>�#� :��*R�� '[���9����!��[��'9�a+/�o���/���?+/'(��� ��*����� )+/'L������)9"5+/'9!W�����J%����*'���KL� '�������!�+��]���9�h� �#���9�� �B��� � �����KL�I)��*� :(����K1�r+/'(��� ��*����+/'�!�� ��'��*�/����+/��'9�B� ��'.e�v)9��]@�'=+�'_�N!�� '��*�+/�P�h���K=2o�����s)��*����+/�������<�����sK1�5)��*�/������s�/+/�����*)U+/'porq 3�FHsq2

6 �{+��o+/'9��������*��+�R��B���J� ��KL%>����a���9<KL�I)9� �w��� ��'����J�������*��*2{68'�� �*�����+/'v�8"I%e� �S�#�>+/'(���*���� �*��+/'�!�tvu.����'��rK1�5)�� ��� :(+\�S@^���d�h����'9)1�����#�d������%����.>��.�+��/+\�8"W��� ��.9����+/'�+�'�!?���9�?OAM !(�#��!���!������%&�#'�)L������*�!��*'�� ��#��+���'��r���w4w�>���T5�C��'�)=�/� %I����'��*:e@��9+/�/�v�����/� @�+/'9!��h��J���9+/��#�m� GI����+�� � :e+/�

10−9 o 0(F9: 0�0xsq2zy=������*� �*'w����"�:<+�'-��*� 2{o 0A|nsd+/'(��� ���� �H��+/'9!"tvuw.����'9� �v��'~}

6 � 6�6J���.9+��h����)��?�>�]R��1�/� ��)V���������L� ��'9� �/�9��+/��'�����#�?���9��%����.>��.�+��/+��8"��#�gD�'�)�+/'9!U������� K1�#����� C�*��'9D>!�����#��+/��'9�?�]��'V.e�[� '9�>��'��*� )V���

10−8 2s������ �+���� �+���'V@���+/���Z� ��KL� �v� �������*���v���������1���4w��+���*K1�*'w����+�K1%e����� )E+/'E��*�h�*2�o 0(F�u(0A|nsd+��

➃2;cZ�ND>'�)

�����#��@�+�����+/'����������KL%��/�?�����s� ����� ��%t��'�)�+/'9!L%9���.>�#.�+/��+��8"1+/�z|w�268' ��*�h� 2zo 0=�9: 0�q�sq:a���+/�*'(��+��h���/)����#�\�P� %�'��*1KL�5)�� ����@a�*��7���]��'9'�� ) �h��L���9+/��#�rMPO OAM K1�#�����

��%e� �H����9: �#'�)X+���@a���J�h����'�)7���>�#�r�����v�h����H��+/��'=���{�������XKL�5)�� ���J+��10−14 2�68'X����r���H�?���{K1�5)�� ��� :

���9�1�*����� ��%e��'�)9+/'�!=%����.���.�+/��+��8"�:m+q2 �#2 �����N�h����H��+���'-�#��K1�5)��*�/�P%>������+�'�!7�*�+���� �+/��'➅:`+/�s���^���)��*q��2?nr�����W���/���1�����#�]:e+/'7���/�`���S����CKL�I)9� �/�*:b�w"5%e� ����>���!��[+/�r'����K1����+�� �*)7�#�C+/'=������'�)>���) jSkml ���'�)����w�����*��'���+������ '(�J@�+\����!(���9!��P� ���9%��/+�'�![��'�+\D>�]�#��+/��' 2

����+/�_� ��K1%>�#�+/����'z����� @��7���>�#�_����_���#K1%����V�����9�*���*�����+/�E���.9+��h����)��U+/����'w�����>���/�\"��8�h�*���+/�/���� ��K1%>�#�� )����N������� r� ��'���������H��+/��'�� 2g�����v%����.���.�+/��+��8"1���oD�'�)�+/'9!L����KL�*���9+/'�!N� �������P���L������MPO OAM+/�PKW�����-�9+/!����*C������'V���>�#�s+�' �������*P%>�#������� �v���g�����[�/��'�)����]��%e�L��'>���\"��*� ) ���U�y��*2�6 �s@a�����/) .e�+/'(��� ��*����+/'�!r���r�HG5���*'�)������*���B�� ���������<���J������� m��*!�+/��'��<�#�������g� �#'�)���� ��%e�g@����*��B%����KL+/��+/'�!�KL�I)9� �/��HGI+�����o�|]q�:OqA3E�+u�qA3x�ns 2

cZ�S@B������)v��+/T#�o����K1��T��d��'v��)9)�+���+/��'>�#����*K&�#�Tb2 u �9 ������#���*!�"?���r)9�*���*�KL+/'��{�����S�("5%t�*����>���!��+/�*:t�#�S� ���9����#:;'����r���9�W��'��\"_������+/�*��2 u '��W�*�����/)=+/'������ ��)X�HGI%��� ���

U(1)Y���C��'V���.�+�������"��/+/'9�]��

� ��K�.�+/'��#��+���'U���o���/�U(1) � � 6 '����r��'��\"���m���9�����v� K�.e� )9)�� )=+/'U�����s���I� ��� jSk`l ��"5K1KL�*���" 7 @���+/���

!�+\R�� �B�����P�*����� �*�aR��#�/���*�^���`�("5%t�*����>���!��P���W�����sMPOAOAM %������+/� ��� �*2{����+/�^��%�%���(�����@a���^�h���/��� @a�*)+/' ��H� 2zorq Fx�Hs 2 ���9�X���9��������1���C��H� 2�o?q FE�nsrD�'�),���>�#�L�����=K&�AY����+��8"Z���?�����=KL�5)�� ���1� �&����� %

➃�����/� @ �h��s�_)9�*D>'�+\��+���'V�����U'���'>��'���K1���������U(1)Y

2,�r� @a�HR�� *:{��'��\"X+�'�q 3w� ���g���������NK1�5)�� ��� :�("5%t�*����>���!��?+��B+�'&�>���K1��'w"[@�+\���1� ����%9�/+/'9!���'9+�D>� �#��+���';2o�����#�^KL�]��'9� :5+/'&%������+/� �9� ��*:����>�#�B�*R�� '

���?���%-$�� � � "!~ � ���{��! ��+� ! � ����� � $- ���h! ���+/' �UKL����[!�� '��*����{������� KL��:m��*� � GI+�'�!&���9�L)9� K1��'�)

U(1)Y ⊂ SU(5): 6 ���/KL����� 7 ��'���"=���������13�3�F

KL�I)��*�/��� �J�����*%➅

���<��������]������7KL� �H�C�#�/�t�����s%����*'���KL� '�������!�+��]���t%����%e� ���+�� �^@B�����4w��+/���2���� ��� ���� ������� ����� ��� ��� � �!�#"�$ % � ��� � ��<��Tw+/'�!E���L� .>���������9�7MPOAOAM � ��'�)�+�)>�#��� �N%>������+/'9!-�*�+���� �+ �

➂ � ➅ :o����� ��=�#���'�� @ K1��'("$@a� "5����_��)9)���*���s�����d4w���*����+���'E���B����� +�?%����*'���KL� '����/��!�+��]���mR5+ ��.�+��/+\�8"�2 u '9�[� ������);:;�h��P� G��#K1%�����: ��%I��h��r�NK1�5)�� �bu5.("Eu5K1�5)��*� ��%�%���(�����;:b+�'7��'=�#����� KL%9�����L+/)9� '(��+\� "U��'��vK1�5)��*�;@�+����_K1��'("�h�]�#������*������#�PK1�#�����7�����[Tw'�� @�' �/� @�u5� '9� �!#"7%��("5��+�� �s��'9);:;��+�K����\����'��*��������"�:e���&D�'�)V�����������/�I��+/��'=�����#�K1��'("E����%e������+/.9�/�N���a�����&�*����� '(���\" ��%e� ' 4w���*����+/��'���+/' �����*����H��+��]���d��+�!��-�*'�� �!�"E%��("5��+/�*� 2�&B"�����#�1��%�%���(�����;:g� �*����#+/'��\"$��'���KL+/!��(�[D>'9),��'9�_KL�5)�� �a@�+\��� ����KL�U.e�]���9��+��h����%9���%e� ���+/�*�����>� ��������U!�+\R�� �v��'9��@B� s��������KL�[%����5� ��� � 2'�r�A@B�*R�� *:{�U)�+('t� �� '(�sKL�I)��*�o@�+/���o�>�]R��L����KL�L�#�����*P'�+/�*��h�]� ������ �r��'�)�@�+/��� ������R��s����K1�P�#�����*r%9���.���� KL� 2

cZ��@B������) ��#����� ?�h�����/� @ ��'E���\���*�'>�#��+�R��[��%�%���(�����;2*)S�� R5+/)��*) ���>�#�?�����1MPOAO Mi�]�#'�)�+/)��#���*�����LR�� �"-��+�K1+�� ��*: ��'��L� ���9�/)$�#��T !�� '9� ��#��4w���*����+���'��*:{�������$����@����H�����*������1R�� �*�������+/T#�&�HGI����+/�*�)��*� ����%9�/��:#�� @����*����� {O k O#+�%��� ���*�R5+/'9!JR#��� �9��K � ��'ID>!�����#��+���'��m����d��]����+��]�#.��/�{�h���K ���9� ���BK1�5) �� ��� :5��KL��'�!s������� dK1�#����� ��*2o�����J��'���@a�*��g���s���������v45�9� ����+/��'9�a�����:w��� � ��������#:IKL�I)9� ��)��*%t�*'�)��*'w� :.��9� :9��'�W�����#��+�����+��]���>�h�5����+�'�!�:(���9�*"L@�+/�/�b%����.>��.9��"N"5+/� ��)&����K1�C%���*)�+/�H��+/��'��B�� :�� �^�/� ����� :I� GI� �/�9)������K1�P�� !�+���'������m�����s�/��'�)����]��%e��2

,�-.,�-0/ 13254�687:9:;=<?>A@�70@�BDCE902F;HGI4=7:@�JK9:;ML6 NPOQOR �*�g���d��������d.("[�����#��+/'�!P�����������+/'�!s��� �/�*�*��+/��'N��9�/� �{@��9+/���N@�+/�/�I.t���� %e�]�#��� )��\"������ )&+�'N����S������)9"�2S ������KL���?�*����%���+/'�!J.t�H�8@a�*� '1�C'w��K�.e� {���b�����#��� �

Ψi

2T&^����� )[��'�����{)�+���� �9����+���'[���b��� �*��+/��'[3I2X|52 q�:� ����%��/+�'�!����*'w��� �+/'�![���9�v����%e� �%e����� '(��+/��� K����������#��+/��� "&�����P�h�����/� @�+/'�!W������ � 2��UWVYXDZ\[.]_^�Ua`b[cUW]edfZ � �����P�����>���;����/�?��'������P�/�H� � � K1� R5+/'�!�K1��K1�*'w���

psh,i

���m�����C����� ��� �Ψi

:∑

i psh,i = 0:���%�%���+/� �*2 hgidbjYU�`PXDZIdfkl]em#Zn`o^�UapP[ckl]1�rqts +/'��*�1���9�&�8@�+/����R�� �*�������]��)��

v = (0, 1/6, 1/3,−1/2):`�����

���)�� J���{���9��� �����*��%e��'�)�+�'�! 6 )�+/��� ��H��� 7=u uw��"5K1KL�*���+�� �r+/�r�� ��%t�*�*��+�R��*��"6:3��'�)

22r����� ��*�h�����:

�&�*����%���+/'�!1+/'7���������9%t�*�%e�����*'w��+ ���<+/�J+/'(R#���+/��'(�C+\�{����� u u5�������!��*�?���S�����������#���*�P+/'(R�����R��*)X�h����D��/����9�v�*��'�)�+\��+���'��

i

R1i = −1 mod 6 ,

i

R2i = −1 mod 3 ,

i

R3i = −1 mod 2 . 6 0�2wv 7

!ixeUWdfZyXD`PklVexzm#ZQ{cZQd|pP[.kl]t`bVe{cZj� 68' !��*'�� ���� :S���9+/������/���]��)9� ∏i gi ' ( } , 0)

@�+\���gi =

(ϑi, niαeα) ∈ S

)��*'�����+�'�!���9�L�*��'�������9�*��+�'�!U� ��� KL� '(���P�#�B�����[�����#���*�P� '(���*�+/'9!������[� ����%��/+�'�!�2v6 ��]�#'=.e�s�� �����#��� )_+/'�}

6 � 6�6g���.9+��h����)����������9�s�h���/�/� @�+�'�!����H�r���o�*��'�������#+/'(����~1

6

i

ki = 0 mod 1 , 6 0�2���� 7�����������A���0�����w�����o�=�P���.�����P�����������|�:�c���0�����������A�����������b���|���������� |���P�����0�������� ¡���*�����A�¢��£P£P������¤¥�P���¢¦w§�¨P§0©ª |��������0�«�����P���P���P����¤:���:�������P�P�������P£¬���r�������P������­����P�5���P�����F���#�A�A�:���������i¤����=�_��®w®¡�|�T���P�0�#���w¯����=���w�������

R�#£������w�c��°a±*��o�A�P��������®�®w�²�³���P�´����£P£����#��¤¥�n°

��� ���������� ����������������������� "!#������%$'&)(6

�*�+�,$- ./��&0$'�1 2!

1

3

i

(ni3 + ni

4) = 0 mod 1 , 6 0�2 ��. 71

2

i

ni5 = 0 mod 1 , 6 0�2��#� 7

1

2

i

ni6 = 0 mod 1 . 6 0�2 ��) 7

nJ�#��+/�*�U���>�#� :^+/' ���9+/�N'������#��+���';:B����� ���7����/�*�L� ��' .e�_+/)��*'w��+�D>�*),@�+\��� � ��'���� �R�� ��+/��' ���C� � �����+�')�+���� ��*���-}

n

��"5K1KL�*���+/�*�J@�+\��� 6 +/'(���*!�� 7 ���>���!�� � k:n3 + n4

:n5

��'�)n6

2 s ��KL�W�*��'����54w��� '��*� ����m�����v��%9%t� �����'9� �s���m�����*���v��"5K1KL�*���+�� ���>�]R��v.e� � '_������)�+�� )_+/'���H� 2 orqW�E�Hsq2,�-.,�-�� � @�B_2F4¬687:9:;=<���� 2�CE9:B��� ECE9:B�7:@�JnJ� @ @a������s+�'_%e����+���+���'&���1+�'wR�� ����+/!��#���?������)9� � ����%��/+�'�![���<R�� �H������/+�T��s�HG5����LK1�#����� {xi}

2 u '��� �����/)z���!����7���>�#������X� G9+������ '��*�E�#�v����� ���V�HGI����+/� �U+�' ���9�V��%e� �*����$���v���9�MPOAO M �]�#'�)�+/)��#���*�� ��'�����+����I��� �W�_%9���.���� K .("E+������ �\�^��+/'��*�LR�� �*�������+/T#� '��*����)��5� ��'�����!��>�����'(���*�1+�K1KL� )�+/�#���*��"_���>� ����9���U�HGI����+�� �B!��*�B� ���!���K&�#�����*� 2S�����*��H�h����#:9@a�J�>�]R��C���W�*������.t����#���r@����H�����*B�����C� GI����WK1�#����� �]�#'_.e�s!�+�R�� '_�[� ���!��?K1������.("U� GI%��/+�� +���� �\"&�*��K1%9�9��+�'�!������P�*����%���+/'�!��^���>�#�^� '�)�� @ � GI����+�� �^@�+����K1������� � 2d�����vK1�����^��� �KL���h������9���7�����#���*�r����s%���AR5+�)�� )_.("�����s����%t�*�%e�����*'(��+ �#�

W = xi xj Mijxx ≡ xi xj 〈s1 s2 . . . 〉 , 6 0�2rq+� 7

@����*��s1, s2, . . .

����UO M ��+/'�!����*��� 2 s ��KL�&��+/'�!����*���[����&���4w��+���*)$���V!��H�[� ���!�� 6 � �������&���Mstr 7����� �[+/' ���)�� ���� �]��'��*� �^�������b� "��*�Mu568�/+���%t�����/��� 6 �o6 7 ��� �K ���r�������#'���K1���/���9�

U(1)+�'(���+�'���+��

���1������K&�AY����+��8"��#�S���.9+��h����)=�*��K1%����*��+�D>� �#��+���'�� 2������*';: +\�{���9����*�/�*R#��'(���g��T �]@^��*����%���+/'�!��J���������/� @a�*) .(",�����X�����+�'�!$��� �/�*�*��+/��' ����/�*�&)�+����*������� )f��.e�AR���:rK&�#���1��� �K1�U�#�1�����#����s�54b2 6 0�2rq+� 7��%�%e�]�# : K1��Tw+/'9!1���9��R��*�*�������+/T��WK&�#�����*C��� � Rw"�2P���5�9�C�����W�HGI����+��W%>�#���+�� ��� �C)9� � ����%��/���h���K ���9��/� @�u5�*'�� �!�"����� ���"�23 �/� ����\"�:9��'��P�]��'9'�������@�+\�����_��'U�����P��+/'�!��/�*� ����� ���#�^@�+/��� 2<68'������]��);:>��'��P�>���^���L�*'����9��P���>� ����9�*"=����v� ��'���+������*'(�C@�+����VO k O�+B2 s ��%e� ���"5KLK1�H���"_���4w��+/�� �rR��#'�+/����+/'�!

Fu���'9)

Duw��� �K1�*2������

'w��K�.e� r���o�����Fuw��� �K ��4w�>�#��+/��'��r��4w�>�#�/�������v'w��K�.e� r���{�*��K1%9�/�HGU��+/'9!��/�H��D>� ��)��

si

:b����� ��*�h�������9� ��W����v+/'_!��*'�� ����`'���'(���+�R5+ ��� ��+/'�!��/�*�r�*��'9D>!��9��#��+/��'���@�+����_R#��'9+/���9+/'�!

Fuw%t����� '(��+/��� 2B�����

Du

���*�KL���]��'=.t�vK&�#)��\� � ��&.("�� ��K1%����HGI+�D�� )_!(����!��P�����'����h���K1�#��+/��'��\o?q F(3�s`+��{� �����=D�� �/)_� '(��� ��C�!(���9!��B+�'(R��#�+ �#'w�mKL��'���KL+ �#� orq]F�FHsq2<���w���*:����C�*'����9��a���>�#�m�����B)�� �*����%���+/'�!r���>� G9�#��+/�*�o+��<�*��'���+������ '(�@�+�����O k O�+B:{��'9�&�>���v���=����� @ ���>� �������BO M ��+/'�!��/�*���W�#%�%t� ���+�'�!7+�'-�����&K1������K&� ���+�� �*�s�h������9��HGI����+/�*�{� '(���*S!(����!��^+/'(R#���+/��'(�oKL��'���K1+/���/�`+/'(R�����R5+/'9!?��'��\"�OAM ��+�'�!����*���o��'�)[� ����"I+�'�!s��'���K&������������>���!���2z�r�A@B�*R�� *:t�h��r��+�K1%���+/�*+��8"�:I@a�v@�+/�/�;��������K1��K1��K1�*'w�����+���"L���>� �?�����mOAM ��+/'9!��/�H����� '(���*�+�'�!���9�vK1������K&�#���+�� � ��)9�*R��*�/��%_� �#�!��P����%t�*���"IKLKL�*���+/� ����� �*2��

68'�K&�#'w" � �����*� :{R�� �*�������+/T#��HGI����+/� ���>��%�%e� '-���X�>�]R��&�����1����KL� 4w�>�#'w����K '5�9K�.t�*��[�#�����9�OAM %������+/� ��� �*2��r� '��*��:`+/'X�����[%���I�*� ���s���g)��*� ���9%��/+�'�!�:t������R��*�*�������+/T��[�����#��� �P� ��' K1+ G=@�+\���V���9����i�P�´�D�����.����£P�������5����®�®P�b��¤0���o¯����A���¢�w�¢�������P�����D¤¥����£P���0�W���T���o���A�w�P���P�T¤0�����0���P®�®w�����P�Y�o��¤0���P£�®w���P�����|���o������¤����� ��!"��# £������.���%$����P�&$²��¤:����°

���?���%-$�� � � "!~ � ���{��! ��+� ! � ����� � $- ���h! � ��/�5�]�#�/+��*� )

16u���'�)

27uw%��/�H��� 6 �#�g����'�!s���d+\�S+/�d�����/� @B� )N.("[�����JOAM 4w�>�#'w����Ki'w��K�.e� �� 7 �������L���>� �

���9��%��("5��+/� ���o�����#��� �s�#�C�/� @ � '9� �!�+/� �?��������ek������eiL�/�5�]����+��*� )�:lnid� ����9�e� jSkml K�������+/%����*��� 2�SR�� '���9����!��-%>����v���a�����L.t� ���9�8"E���^�=!��*��K1�H���+/�]�#�{�HGI%��/��'>�#��+/��' ���^�����N�y��K1+���"=��������H������&)�+���������R��*����9� ��*.("�:;+\�J+��C�*�/�]�#r���>�#�r@��>�#���HR��*C������K1+ GI+/'�!�:>+�'=�����W�*'�)V�HG9���H����"�������*�[OAM �y��KL+/�/+�� �a@�+��/�`.e��/�H� ��+��`���9�vK1�����rK1�#���+/�*� � Mxx

�>�]R���K1� GI+/K1���e���'�Tb2tC� �*����%���+/'�!P�#�t� GI����+�� �S+/'LO k O#+X%��� ���*�R5+/'9!sR#���*�>�?�>���d�#)�)�+���+/��'����I��' �*�*���S��'[���������A@�uw� '��*�!�"���9� ���"�2��s�*'�� ����/�\"�:9����� ��v����s���9%t�*���"5KLK1�H���+/�?R#��� ���L+�'�@��9+/���=���/�;���K1���������o������OAM ��+�'�!����*���!��H�&�/���!�� ����� �*2 S �1� � ��'�����4w���*'�� �#:rK1��'(" ���J����� 6 ��.e� ��+ ��' �#'�) '���'>��.e� �/+/��' 7 !(�#��!���!������%�y���H������P!��*�P��%t��'w����'��*�������\"V.����T��*';:`������� ���>� �?�����N���A@�uw� '��*�!�"7!(����!��W!�����9%E� ��'V.e�

GSM��%

���L�[��+�)�)�� '_���*�*����#~GSM × Ghidden , 6 0�2rqEq 7

@����*��N�����1OAM K1�#����� ?+��P'�� �I����#�S��'�)��*Ghidden

2[���9+/� 6 ������ 7 �9+/)�)��*' ��� �H����v+/�P+�K1%e�������'(�C���)�� ���;@�+����������s%����.��/�*K ���<�/� @�u5�*'�� �!�"_O k O#+�.9��]�#T5+�'�!�:b���^@B�v���>�����;���9���/+�'��?+/'���� �*��+/��'"|I2 F92

68'$%�����*��+/� �#:m���7����� @i���>�#�v���9�1)��*� ���9%��/+�'�!=�#���HGI����+/� �v+/�v� ��'���+������*'(�W@�+����-�����+/'�!_���*�/� �H��+���'��9�/� �a+/�^�W��� ����'9+/�]�#�/��"L+�'wR�����R�� )���'9)���+/KL�J�*��'�����K1+�'�!�+������9��2d68'U���)9� a���[��+/KL%���+�� "������C���#��T�#'�)���N�� )����*�v�����s'w��K�.e� ����<K1�5)��*�/� :I@a�PD>����r+/KL%t�����P��'_��)9)�+���+/��'>�#� � ��'�)�+���+/��' 2ocZ�s���4w��+/��?���>� ����9�1KL�I)9� �/�s%e������� �����=�� '����K1���/+ �]��.���������%]u �g��T �]@a�=� ����%��/+�'�!=����KL����+�R#�#���*) .w" %9��� '���K1�*'���� ���!�" 6 '>��KL� �\"�:o.(" ���9�&� �#�!��NK1�����v���^�����1����%]u]4w�>���T 7 2�cZ�1%t��+�'(�����9�����>�#������+������4w��+/�� KL� '(�]:'��HR�� ������*�/�*��� :e+/��'��#�J+�K1%e� ��#��+\R��?��+/'��*�v�L�/���!��?����%]u �g�9T#�]@a�L�*����%���+/'�![� ��'=���/���L.e�s��.9����+/'��*)7�#��[��*�����\�J�#�{�[� ��'���%�+�����H"U���m����� ����� �����m�����PD>�*�/)������.("U�#�����*rKL�]�#'�� 2S ���_��� �*��'�)Z��� ����'�+��]���S��+/KL%��/+\D>�]� ��+/��';: @B�1�*��'���+�)�� s��'9��"V����%t�*�%e�����*'(��+ �#�S� ����%9�/+/'9!��s��%E������)�� �� +�!��(�]2S���w���*:b�����s'��HG5���8@B�1����� %9�J+�'_�������� ��� �H��+/��'_%9��5� � )9����v����|~

➆s � ��� �H�JKL�5)�� ���a@�+����7��� �9�]�]Rw"����%]��2

➇s � ��� �H�JKL�5)�� ���^+/'U@���+����_�����s�HGI����+�� ��)��*� ����%9�/�v�#�����)�� �v92

68'=�����*%➆:I@a�s��54w��+/����[�� '����K&�#�/+�� ��.���� O(1)

�g�9T#�]@a�L�*����%���+/'�!N���m���9�s�8"5%e� �

q u hu ∼ (3, 2)1/6 (3, 1)−2/3 (1, 2)1/2 . 6 0�2rqA3 7�m�[��� �*��KL%��/+����1����+/�B� ��'9)�+���+/��';:(@B�?�>�]R��JD>����^���WR�� �+�� "N@����*����� ����������W�*����%���+/'�!�+/�^�#�/�/� @B� )1.w"�����+�'�!U�����*���"�2�68'E�����'}

6 � 6�6r���.�+\�h���/) : � ��K�.�+/'9+/'�!&�����N%t��+/'(�P!������% ���*�/� �H��+���' �������: ��4b2 6 0�2���� 7 :@�+���� u u5�������!����*��'����*�R#�#��+/��';:(��'��^D>'�)��d�����#�d��'��\"���*'����K&����+�� ��.��/�g� ����%��/+�'�!��S���eD>�*�/)��{�h���K ���9����*�*������

U1 U2 U3 , U3 T2 T4 , U2 T3 T3 , T1 T2 T3 , T1 T1 T4 6 0�2rq F 7����v'9��'(R��#'�+/����+/'�!92 u '����9�v�#�����*��>��'�);:>�����s� ����%9�/+/'9![������ '�!#���_���{�����+�'�!N+/'(���*����H��+���'���+/��!�+�R��*'.("V�����*+/P�*����� � � ��+/��'X�h��'��*��+/��' :;@���+/��� �h��s��*'����K1����+��]�#.��/�v� ���9%��/+�'�!��P�>���s.e� �*'Z� ��K1%��I��� )-��' ����\"5��+/� ���/�\" orqxq]0�:nqEq�|nsq2 6 ����9�'�����9������#����9�X� ���9%��/+�'�!Z������*'�!����f�����U�$)��*%t�*'�)�� '9� � ��' ���9��/�5�]�#�/+�� �#��+���'����S���9�WD>� ��)��?+�'wR�����R�� );2s68'V%>�#���+�� ���/�� :b���9��� ���9%��/+�'�!1�h��r�8@�+/����� )VD>�*�/)��C+/�C%9���%e�� ���+���'>��� ���

e−A :e@��9� �� A )�� '��#��� �J�����W���� �&���{���������+ �#'�!��/�P�h���K1�*)7.("_�����vD9GI� )V%e��+/'(���r@���� �����9������+/'9!��[�����/�5�]�#��� )��d���*'�� �#:B+\�W� ��' .t�&��+/!��9��" ���9%�%���*����� ) +\�������&�����+/'�!��[����&�/�5�]�#��� )Z�y�����Y�����´¤:�!�������i���l��������®���$���®b�w�i��������£|�������w�P®��Y�����P���.�����P��������� �|�:�c���0�0�¬®w��£o�����¬�o���P�P®��:�¥�

¯����� �P£o���c��£b���Y�����#�.���

hu

°

��� ���������� ����������������������� "!#������%$'&)(6

�*�+�,$- ./��&0$'�1 2!

V SO(10),1 V SO(10),2 V E6,1 V E6,2

3 �+\��� �+/��'➆ ➆ ➆ ➆ ➆ ➆

➅��%e� �H����9K

=FN!�� '��*��#��+/��'9�

+R�� �*�������+/T#� ��3 |�� F=� |#F F 3

➇�HGI����+/� ��)��*� ���9%��/�v�#�����)�� �v |�� |x� F(3 |�F F 3

8:9�;=<?>��A@��ED L��=;ALM>�G0P�Q#GK_A>� ���� N�9�^AZEJ?ZA9�GM>OL�@ 8 _A>�^��=[z;�>�VvP�Q#[\PxZ=>�<?L a JbGK_��U_A>�9����'GMP����9�VM>h<bJ?LMGM>OZ��=^AZ=>�V➆@➆Z=>�^APWGM>OL1^AP��U_A>�9����/GMP����I@

��%>�#��a�h���K �]������������� *2S����� ��*�h�����:��*����%���+/'�!��B+/'��*�/��)9+/'�!W��'U��'(�8@�+/����� )UD>�*�/)�����?��'�����%�%��� ����� )@����*��]�#�

T T T � �*����%���+/'�!��v����&��+/!�'�+\D>�]�#'w�v��'9��"V@����*'$�����N�8@�+/����� )-D>� ��)�������1���I� ���/+ � �*)-� �W���9����#K1�dD9GI� )�%e��+�'w� 2mc-�g)�+/���]���)WKL�I)��*�/�`+/'v@���+/���v�����a��.e�AR��B�*����%���+/'�!��mR#��'�+����v��<����g����%9%���*�����*);2

68'V������'9�HG5�s����� %➇:e@a�[��� ��� �*�?K1�5)�� ���C+�'7@���+/���X������K1�����CK&�#���+�� � � Mxx

�h��J�����[�HGI����+/�*�6 �H� 2{��4b2 6 0�2 qW� 7 7 ��� R��_� K1� GI+/K1���g���'9TZ���9��� ���>�#�N'�� �HGI����+/�U�����#��� �L��%�%e�]����#�N�/� @ � '��*�!�+�� �*2�J�*��#:�@a�s� ��'���+�)�� ���'��\"����%t�*�%e�����*'(��+ �#�;� ���9%��/+�'�!��^��%����N���)�� ��*+/!��(�r��'9)_�h��B����+�����'>���\"I��+/�^@B���������KL�P���>�#�r�#�/�`OAM ��+/'�!��/�*���^�]�#'=��.I����+�'_����%e� ���"5K1KL�*���+/� ����� �*2

68'Z���#.��/�,|I2 3U@B�&����KLK&���+��*�L����s�� ��������� 6 ��� �1��H� 2�o?qA3�FnsS�h��P�h�������� �)��*����+/��� 7 2LcZ�LK1��T��1�)�+�����+�'��*��+/��'1.t�H�8@a�*� '����������P�>�]R5+/'�!���� ��� � Rw"1����%���:9�#��+/'����� %

➆:���'9)���������C@�+��������9�^+��]:

➆2{c-�

+/)9� '(��+\� "'��FWKL�I)��*�/�S�����#�^%>�#���^���4w��+/�� KL� '(���➆

��'9)➇25����+/�BK1� ��'��B���>�#�a�W��+�!�'�+\D>�]��'(�g�h����H��+���'

���<�����KL�I)9� �/��� ��'_��� �R������r��'���������]R5+/�����*���*��KL%��/�H��+/��'���m������MPOAOAM +/'������+�'�![�����*���"�2����� ��_������������VK1��'("$KL�I)9� �/�v@���+/��� )��V'��#�[�h����D>���B�*�+\��� �+/��'

➆2 S �N���/��]��)9"-KL� '(��+���'�� ) :

���\�������9!��-����s'>�#p R����%9%���(�#���Z+/'9)�+/� �#���*�s���>�#��'��_���]�]Rw"-����%E�]��'$.e�N�h����'�)E)�+/�� �H����" +�'E����� ���KL�I)��*�/�*:e+\�C� ��'X.e�����>�#�r�h�������� C��'>���\"I��+/�r��HR��]�#�/�C���>�#�J�������V�*��'�� ������+���'7+��C+�'�� �����*�*�]2 �>������>� ��� ������';:e@B�v�>�]R����#'>����"]�*� )X�#�/���N���9��)��*� ���9%��/+�'�!1�#�{�����v�HGI����+/�*�J+�'_����� ���[MPOAOAM �]��'9)�+/)>� ��� �*2�68'���9+/�N���H�]:^� G9�#��+/�_%>�����+�� �/�*�[�]��',!��*�1� �#�!��UK1������� �1+/' q+��F K1�5)��*�/� 2 S ���^+/',���/�q:S@a�=��� �_���>� �1+\����9���*�+���� �+/��'

➆+/����T5+�%�%e� );:b���9�r���S3�3�F1MPOAO M �]��'9)�+/)>� ��� �*:�q+���N)��1'9���r%���*��� '(�C�HGI����+�� �J�#���/� @

� '9� �!�+/� �*2S @B���)$��'$%t������+�.��/�1�/+�!��(��� GI����+�� ��+��W+/'-���)9� 2768'$��H� 2�o?q F�0xsB+����>���W.t�*� '�� ��'���+�)�� �� )$���9�

%e������+/.����a%��� ���*'�� �r���e�?��%t�*� + �#�9Tw+/'�)[�#�eR�� �H������/+/T#���HGI����+/� � 6 .>��%I��+��*� ) ����l �Uk �*f 7 +/'����������A@�uw� '��*�!�"��%e� �H�����K=21����� ���&� G9�#��+/�N%>�#���+�� ��� � : @���+����$��%9%t� ��s+/'E����KL�N���^���9vKL�5)�� ��� :;@B�����/)-'������b't� �H�!(���9!����*����%���+/'�!L��'�+\D>�]� ��+/��'7��'9)7� �����/)=�>�]R����N�h����H��+���'>��� �*�/� �H���+/�s���>���!���2 S �\��������!��7�9'��/+�T�� �\"�:��'��@B��'�)9� ��N@����H�����*L������� %������+/� ��� ��KL+/!��w�[��%�%e�]��[+�'$�h�9�������� �����/+/)9� ��*2-6 �J+����>��%�%e� '��*:B@B�@B�����/)��>�]R��v���1�� � ��'���+�)�� �'��������N)�� �*����%������#�/�;� G9�#��+/�*� 2

cZ��@B������)L��+/T#�^���s%t��+/'(�S���9�g�#'1��.9��� �R#�#��+���';2<c-�^D>'�)N�����#�S�����*��r����r+�'[����SKL�I)9� �/�o���*R�� ����%>��+���r���w�r+/!�!��r)9����.����*���r@�+����7�LK&�#���+ G����

µu5�/+�T��sK&�#������� �K1�*2z�s�*'�� ����/�\"�:e�������J+/!�!���)�����.����*���

�]�#'$���545�9+/��N�/���!��[K1������� ��Y����������s���9� 6 �������* 7 R��*�*�������+/T��L�HGI����+/�*�v)9��2&�����1���>�����/� '9!��[+/�P���9� '���1)�� �*����%������������J+�!�!�� � )�����.9�/�*�r%>�#+/��rKL+/'w������'��#:t@���+����=@�+/���;���+/!�!��*r�������J+/!�!��JKL� ������'�+/��K ������9�POAM K1�5)��*� 2m�<��!��*�B��'���"N��'��C%>�#+/d��� K1�������/�*���0�r+/!�!��g)9����.����*���B���������/�\"[��545�9+/��*�BD>'9� � ����'�+�'�!+/'1����� ����� �^�#�m�����vOAM ��+/'9!��/�H���^�������U���>�#�a�����PK1�����aK&�#���+ G1�h��B���9�

(1, 2)−1/2, (1, 2)1/2

�����#���*�!��H���?�'� �*��&�*+/!��*'(R��#�/���#2�����+/�r+/�������v'��������+������r����%e� ���"5KLK1�H���+��

µu5%����.��/�*K=2B������D>'9� � ����'�+�'�!�]�#'[.t���#K1�*�/+/����#��� )v+��������aR#��� �9��K �� ��%e� �H���S�*� �����+/' 6 ��%�%9��]GI+/K1�#��� 7 ��"5KLK1�H���+/� ��orq]F=|I:mq]F��Hsq2<c-�

@�+/���tD>'9)7+/'���� �*��+/��'�|I2 0N���>�#���������7��"5K1KL�*���+/�*��K1+�!��(����%�%e�]����� !����/����\"&+�'�%����KL+/��+/'�!W���.�+\�h���/)

���?���%-$�� � � "!~ � ���{��! ��+� ! � ����� � $- ���h! ���� ��'���������H��+/��'�� 2

68'1�*��'��*�/����+/��';:#@a�r�>�]R����h����'9)1�?R�� �"�+/'(���*�� ����+�'�!s���*�g���e��� KL+ � ��]����+/����+/�gKL�I)��*�/�*2o68'[������KL�������%9��+/KL+/����+/�g�]�#����:(@B��D>'�)N���>�#�g�#'w"W���#q+���?KL�I)��*�/�{�*������)NR�� �"�@a�*�/�>�������������9��%��("I��+/�*�B���b�����JO MW2�J� @B�*R�� :S@B�����&����+/���{�y��v����K1��Tw+/'�!=��'("E%���� '9��K1�*'�������!�+/� ���S� ��' Y�� �H������1�h���K �����+/'�!������*���"��.e���9��%9�w"5��+/� ��� ���/� @z� '9� �!�+/� �*2d�<��R�� �+\� "1@��9�*���9� �����^MPO OAM �]��'9)�+/)>� ��� �^����?�*��'���+/����� '(��@�+����%����*'���KL� '����/��!�"N���4w��+��� �a��)�)��� ����+/'9!W���HR��*���� 45�9� ����+/��'9� 2 s ��KL�r+/KL%t�������'(�d+������9� �a@B�CK��9���B����+��/�� �/���+\� "&+�'�� ����)��

• O k O#+�%���*���*�R5+/'�!NR#��� ���1�#���9+/!���� '9� �!�+/� �*:• �9+/� �������9+/�]�#�/��"L��K&����� O k O�+$.��� ��Tw+/'�!�:• ��]����+/����+/�rxb�]R����������9�*���9�� �*: �#'�)• �#.����*'�� �v���m�y������%��������'=)��*�]�]"�2

�����*������'�)_����KL�P�����9� �%����*'���KL� '�������!�+��]��� 45�9� ����+/��'9��@�+��/�t.t�s)�+���� �9�����*)7+�'������s'��HG5�r���>��%I��� *2

��� ���������� ����������������������� "!#������%$'&)(6

�*�+�,$- ./��&0$'�1 2!

� ��������� �

��� � � ����� � ����������� !#"%$ & �'���"�����( #)*�+ !"-,�.��

60/21436587:9;3=<?>@14ACB�@DAEAHGF<�KG5H/6AG1436A�>F36AC/6I�KJAK/6IMLHI?NM5H9C<?L!>6BOIM>PACBQ1458AC7RI?ST1O36AUKJIVU6AKLH7WSXI?Y6/6U5H/�1O36AZ>6BOAHRV5HIMY67E9;3=<[>F14AKBC\��]58BO7Q1]:�@^A_7`1OY6UFa�1O36A_U6AK14<?5HL87bI?Sc143FAVKb<[1`14AKBd7O>PAC9e14B4<fI?SW<9;3=<?BO<?9K1OACBO587`1O5H9rKJIVU6ACLb@g581O3J1O36AhA G6<[9K1T7`>iAK9K14B`Y�KjI?S�1436A?MPOAO MW:5@g365H9;3b7OACB�RMAK7k<[7^AHGF<�KG>6L8A<?LHLl143FBOIMY6N?3:1436587]9;3=<?>@14ACBK\nmT36AC/[@DAT>6BOIV9CAKACUR14IoAHR[<?LHY=<p14AD1O36AT5/KG>6L85H9q<p145HI?/67�I?S=143FAT365HU6UFAC/7OAK9K14I?BO7rI?S]1436A�MPO OAM � LH5/T[AsKJIVU6ACL87C\�csAW58/wR?AC7Q145HNM<[14At<J9CI?BOBOAKLu<[1O5HIM/vPAK18@DACAC/w1O36AtB`Aq<?L85H7Q145H9>6BOI?>iAKB`1458AC7�I?Sl1O36AC7`AgKGIVU6ACL87�<?/6UvO k O�+dv6BOAC<�Tl5H/6N^RV5u<TNx<[Y6NM5H/FIy9CIM/FU6AC/67O<[1458IM/+\ S 7OY6B`>6BO587O58/6NBOAK7OY6Lz1{5H7r1436<[1o1436ARvFBOAq<#TVUFIA@g/sI?S^O k O#+|IV9C9CYFBO7{NMAC/FACBO589q<?L8L8a#<[1c<?/_58/l1OACB�KJAKU65u<[1OA:AC/FACBON[a7O9C<?LHA[\ S /6I?1O36ACB{5H/x1OACBOAK7`1O5H/6NE>6B`IMv6LHA*K}5H7?@g3FAK143FACBc581{5H7o>PIM7`7O5HvFLHA:14IE5�KJ>PIM7OA

R � >=<?B`5810a~5H/IMBOUFACB!14IcNMY=<?BO<?/x14ACAk>6BOI[14IM/G7`14<?v65HL85810a?\<csArD=/FU�<c9;36<?/69CA#:FU6AHD=/658/6N:<vKb<[1`14AKB�>6<?BO5z10a:SXBOI�K1436Ab7O>PIM/x1;<?/6AKIMY67�v6B`Aq<�Tl5H/FNwI?S

U(1)B−L

@g36589;3'36I @^AHRMACBG9q<[/'IM/6L8a�vPA�U6A*D6/6ACUf5H/�7OI�KGAKJIVU6AKLH7C\ u 1436AKBy>6Lu<[Y67O58v6LHAg>PIM7O7`5Hv658LH581O5HAK7!<?BOAk/6I?1yUF5H7O9KY67O7`ACUE36AKBOA?\ ��5H/=<?L8L8a�:�@^Ao<[U6U6BOAK7O7y1O36A4lY6AC7Q145HI?/�I[S�1O36A�RV5u<?vF5HLH5z10aEI?S!1436AR7`ACAK74<]@iKGAC9;3=<?/F5H7�K�5H/wI?BOv65zSXIMLHUXKGIVU6ACL87C\ 3 IM/x14BO<?B`a#14I>6BOAHRV5HIMY67T7Q1;<[1OA KGAC/x147*:�@^APD=/FU1O3=<[1y1O36A{>6BOAK7OAC/F9CAcI?S O(100)

BO58NM3x1 � 3=<?/6U6AKUE/6ACYF1OBO58/6IM7T5H/MPOAO M � LH5�T?APKGI@U6AKLH7y7`Y6>6>PIMB`1O7T1436A{7OYF9C9CAK7O7rI[S�1O36A{7OACAK74<]@ KGAC9;3=<[/65H7�K�5H/�143FAC7OAsKGI@UFACLH7K\� �C� � " �z�����K�����C�b�6���D�!����� ��� ���60/~1O36A:Lu<[7`1k9;3=<?>F1OACBh�DAtSXIMY6/FUw�JI?BOA{143=<?/��H�E�J�GI@UFACLH7g�g581O3#1O36A��o�����%�b<[1`14AKBh7O>PAC9e14B`Y6��<[/6U� AK9K1OIMBOL85H�?A�Ae�@I?1O5H9K7C\F&Da�U6AK�b<[/6U65H/FNc1O3=<[1�1436A � AK9K14I?BOLH58�?A�Ae�@I?1O5H9C7�U6AK9CIMY6>FLHAkSXB`IM�%1O36AhL8I���ulAC/6AKBON?a7O>PAC9e14B`Y6�=:+�DA�3=< � AG7OAKAC/_143=<[1o1O36AR/lY6�:vPACBoI?SD�GI@U6AKLH7r587rv=<?B`ACLzawBOAKU6Y69KACU+\�csA:1436AK/sI?>F14AKU_1OI1;<[�?AG<��JIMB`A�<?NMNMB`AC7`7O5 � AG<?>6>6B`Ix<?9;3i~r�DA�U65H7`BOACNM<?BOU6AKU�1O36IM7`AG�GIVU6ACL87h�g36ACB`Ab<d1OBO5HL85H/6AC<?B ��Y6�p<��^<9CI?Y6>6LH58/6N

q u hu

5H7 � <?/65H7`365H/FN~IMB:7`Y6>6>6B`AC7`7OACU�<?9K9CIMB`U65H/6N14IZ7Q14BO58/6N~7`ACL8AC9K1O5HIM/�BOY6L8AC7C\ n�I?14AG143=<p1143F5H7�BOA�4lY658BOAK�JAK/l1^5H7�/6I?1D5H�G>iAKB4<[1O5 � Ag<?/6Ub�^<?7^58�J>FLHAC�GAC/x1OACUGIM/6L8aG<[7^<W1OAC9;36/F5H9q<[LP7`5H�G>6LH5z =9q<p145HI?/+\6¡1�14Y6B`/67hIMY@1k1O3=<[1�1436587�9KBO5z14ACB`5HIM/5H7�B4<p1436AKBk7Q14BO589K1h<?/6U#BOACUFY69CAK7h1436AW<?�GIMY6/x1�I?SnB`Aq<?L85H7`1O5H9o�GI@UFACLH7vxa2<S¢<?9K1OIMB

1/2\mT36AdB`AC�J<?5H/F5H/6N O(100)

�GIVU6ACL87W3=< � Ad�b<[/la�9KIM�J�GIM/�>6BOI?>iAKB`1458AC7t<?/6U��g58LHLLHAC<?UEY67T14I�5H/x1OACBOAK7`1O5H/6N�>636AK/6IM�GAC/6I?LHIMNM589q<?Li9CIM/F9CLHYF7O5HI?/67g<?LHI?/6N:1436A{L85H/6AK7TI?S�1O365H7T9;36<?>F14AKBC\c�A�7Q14Y6U@a'/6I���I?/6A�NMAC/FACBO589��JIVU6AKLDIMY@1�I?Sg1436A�7`AK1�I?S�>6B`IM�J587O58/6NZ�o������9C<?/6U658U=<[14AK7t�g581O3�£3FAq< � a�14IM>���:6�g365H9;3E�g5HL8L+vPAWB`AKSXACB`BOAKU#14IG<?7dlniK¤�k ¥Wlp¦z§?¨¢�o���p�t\!mT36Ac�GI@U6AKL�5H7gv=<?7`ACU#IM/1O36A{Nx<?Y6N?A

v q

����/�������� M� ���0$�� � ���� ��� �����2!:���-! &0 $'� ��� ��� $'��+�$- ./��&0$'�1 2!

� � > �=VM>OLI>�^nGI9�GKJ?PW^ � ���|�0® � � 1^HGKJ S � > �=V�@ � ���|�0®�

(3, 2; 1, 1)1/6 qiv(1, 2; 1, 1)−1/2 `i

|(1, 2; 1, 1)1/2

¯i�

(1, 1; 1, 1)1 ei�(3, 1; 1, 1)−2/3 ui�(3, 1; 1, 1)1/3 di � (3, 1; 1, 1)−1/3 di

� (3, 1; 1, 1)1/6 vi � (3, 1; 1, 1)−1/6 vi�H�(1, 1; 1, 1)1/2 s+

i

�x�(1, 1; 1, 1)−1/2 s−i�

(1, 1; 1, 2)1/2 x+i

�(1, 1; 1, 2)−1/2 x−

i

� � > �=VM>OLM>�^nGI9�GKJ?PW^ � ���b��®� (1, 2; 1, 1)0 mi�

(1, 2; 1, 2)0 yi

� � (1, 1; 1, 1)0 s0i���

(1, 1; 1, 2)0 hi�(1, 1; 8, 1)0 wi

8:9�;=<?>� E@��+D��9WLMLK<?>OLML L � >ON�GKV��=[-@:8 _A>����]9�^nG��=[�^��=[z;�>�VML 9�VM>�LM_AP a ^ a JbGK_zVM>OL�� >ON�G GMP SU(3)c×SU(2)L × SO(8) × SU(2) � GK_A>h_�����>�VMNM_]9�V���>zJ?L��+J ��>�^-;���GK_A>vL �=;ALMN�VKJ �=G�@

7O3F58S 1

V SO(10),1 =(

13, −1

2, −1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (12, −1

6, −1

2, −1

2, −1

2, −1

2, −1

2, 1

2

). 6 |V\ q 7

�g36AKBOAo�^Ao36< � Ac<?U6U6AKU#<[/ E8×E8

LH<[1O1O5H9KA � AK9K1OIMBT14IR7O58�J>FLH58S a�9KIM�G>6YF1;<p145HI?/67C\ mT3FA�� 58LH7`IM/dLH58/6AC7<?B`Ac9;3FIM7OAK/w<?7

A3 =(−1

2, −1

2, 1

6, 1

6, 1

6, 1

6, 1

6, 1

6

) (103, 0, −6, −7

3, −4

3, −5, −3, 3

),

A5 =(

14, −1

4, −1

4,−1

4, −1

4, 1

4, 1

4, 1

4

) (1, −1, −5

2, −3

2, −1

2, −5

2, −3

2, 3

2

). 6 |V\ � 7

mT36A{3xaV>iAKBO9;3=<?B`NMAtN?AC/6AKB4<[1OIMBT5H7T58U6AC/x145z =ACUE�g581O3�1436ASU(5)

7`1;<[/6U=<?B`USXIMB`�

tY =(0, 0, 0, −1

2, −1

2, 1

3, 1

3, 1

3

) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

). 6 |V\ � 7

mT36A{Nx<?YFNMA{NMBOIMYF>#<pS 14ACBT9KIM�G>=<?9K1O58 =9C<[1458IM/�5H7

GSM × SO(8) × SU(2) × U(1)7 , 6 |V\ �A7�g3658LHA:143FAJ�J<?7O7`LHAK7O7{7O>PAC9e14BOYF��5H7{NM5 � AC/�5H/_1;<?vFLHA'|@\rqM\ � B`IM��1O36ACB`A�: �^AG7OAKAJ1O3=<[1o143FAG1O36BOAKAd���>=<?BQ14589CLHAK7

`i

<?/6Udi

9KIM�GA~<?9K9CIM�G>=<?/F5HACUf�g581O3�<[U6U6581O5HIM/6<?L � AK9K1OIMBOL85H�?A>=<?58BO7 ` − ¯ <[/6U d − d:

BOAK7O>PAC9e145 � ACLzaM\ ]�@I?1O5H9C7o�g5z143_/6IM/��KACB`I~3xaV>iAKBO9;3=<?B`NMA�:�7OY69;3�<?7 x+i

<?/FUx−

i

:]<[BOAG<?LH7`I � AC9e14IMB`LH58�?A?\s 58/69CA1436A#Ae�@I?14589C7G�g58143�/6I�3xaV>PACBO9;36<?BONMAmi

<?/6Uyi<[BOAU6IMY6v6L8AK1O7bY6/6UFACB

SU(2)L:D1436Aea�9C<?/

<?L8LHI���9KIMY6>6L85H/6N?7�7`Y69;3�<?7mimj

<?/FUbU6AK9CIMY6>FLHAgSXBOIM�-1O36AkL8I���uVAC/6AKBON?a�7`>iAK9K1OBOY6�\nmT36A�BOAC�J<?58/65H/6N>=<?BQ14589CLHAK7d<?B`AwAC5z1436AKBE���}7O5H/FNMLHAe147bI?Bb1436Aw1O36BOAKA_���*�J<[1`14ACBJNMAC/FACB4<p145HI?/67J�g36589;3 /6ACAKU /FI?1�vPAU6AK9CIMY6>FLHACU \

nkI?1OAW1O3=<[1 �k5HN?NM7gU6IMY6v6L8AK1O7h<?/FUwLHAK>F14IM/U6IMYFv6LHAe147h9C<?/6/6I[1hvPAtU6587`1O5H/6NMYF5H7O3FACU5H/#<J7OYF>iAKBO7`aV� ��GAK14B`5H9n143FACIMBQa�:[1O36ACB`AKSXIMB`A^vPI?143c9CLH<?7O7`AC7�I?S=>=<?BQ14589CLHAK7 <?BOA�U6AC/FI?14AKU:vxa`\ mT3=<[1]5H�G>6LH58AC7+>=<[B`14589CY6LH<?BOLza

1436<[1y143FAoU6I��g/]ul10aV>iA���5HNMNM7hd

587yNM5 � AC/�vxaE<:L85H/6AC<?BD9KIM�:v658/=<[1O5HIM/dI[S 7OIM�GA `i

:@�g3FACBOAC<?7T1436AoYF>]u10aV>iA���5HNMNM7

hu 6 BOA54lY65HB`ACU5H/E7OY6>PACB`7`aV�G�JAe14BO589r1436AKIMBO58AC7 7 5H7�<R7OY6>PACB`>iIM7`581O5HIM/�I?S ¯i

\

� ��� �%��� $- �./�5&h$-�� ��������� � �

u d

`

d

d

u

u

d

e+

p

dπ0

q

�:J�� �=VM> E@��+D �h9�^ ��>�VMP��ALdNOPW^nGKVKJb; �=GKJ?PW^ GMP �=VMPWGMPW^~Z=>ON�9 �pGK_=VMP�� �+_ >��=NM_]9�^ ��>P�QvGK_A>,LIN�9�<r9�VNOPW[ ��PW^A>�^nG�P�QdZ��A>�GMP-ZEJb[\>�^ALKJ?PW^�Q`P��=VzP���>�VI9�GMPWVML P�Q GK_A>�G ��� >

qi `j dk9�^AZ

uidj dk@�8 _A>

�=VMPWGMPW^ Z=>ON�9��ELwVI9��=J?ZE< �-9WLp → π0e+ @

� -�/F-0/ GI@�;=2� �� �57:9�� ���=70@t13254�687:9:;=<FJ������ @ ��� �"! 2T6$# �F;&% �2�CE2F; � @�B ���S 1o14B`5HL85H/6AC<?BkL8A � ACL : 7`14B`5H/6NE7`ACLHAK9K1O5HIM/ZB`Y6LHAK7 6 7`ACA�7OAK9K1458IM/ � \ � \ q 7 <?LHL8I���IM/6L8aSXAK�%9CIMYF>6LH58/6NM7hI[ST���>=<?BQ14589CLHAK7C\�mT36AKBOAG5H7{IM/6A�9CI?Y6>6LH58/6N�I?SD1436AR10aV>iA

qi¯j uk

�g5z143�IM/6LzawY6/x10�g5H7Q14AKU� =ACL8U67 :��g36589;3s�DA9CI?/67O58U6ACBc14IwvPAJ1O36A ��Y6�p<q�^<w9CIMY6>FLH5H/FN#1436<[1tN?5 � AK7:�J<?7O7c14I#1O36Ab1OIM>]u]4lY=<?B`� \('kI[145H9KAJ1O3=<[1c14365879CI?Y6>6LH58/6NW<?LHL8I��g7�Y67�14It58U6AC/x1O58S aR143FAhBO58NM3x1IuV36<?/6U6AKUJ14I?>;:@1O36AhY6>Aul10aV>iA �k5HN?NM7DUFIMY6v6L8AK1

hu

<[/6Ub143FA4lY=<?B`�dU6IMY6vFLHAK1�I?S 143FA{1O365HB`U�NMAC/FACB4<p145HI?/+\mT36ACB`A{<?BOAr<?LH7`ItSXIMY6BD9CIMY6>FLH5H/FNM7^I?S�1O36Ar10aV>iA

qi `j dk<?/FUbSXIMY6ByI[S�1436Ah10aV>PA

ei `j `k\nmT36Aead9C<?/

>6B`I@U6YF9CAr143FAoU6I��g/]ul10aV>iA 4lY=<[BO�d<[/6UELHAC>@14IM/��J<?7O7`AC7g<?7D�^AKLHL�<?7^LHAC>@14IM/�/lY6�:vPACB � 58IMLu<p145H/FNt5H/x1OACB �<?9e145HI?/67C\ 3 L8Aq<?B`L8a�:VU6AK>iAK/6U65H/FNGI?/d1436Ar7`>iAK9C5z =9C7gI?S 143FA � <?9CY6YF��9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/E<?/6U :F>=<?BQ14589CY6LH<?BOLza�:IM/E1436A{9;36I?5H9CA{I?S�1436A{U6I��g/]ux10a@>PA��k5HN?NM7

hd

:=5z1g9q<?/vPA{1O3=<[1gL8AC>F1OIM/ � 58IMLu<[1O5H/6NtIM>iAKB4<[1OIMBO7TUFIJ/6I[1<?>6>PAq<[BT5H/�1436587T�JIVU6AKL \�=Y6B`1O36ACB*: �DAt/FI?14A{143=<p1kL8AC>F1OIM/~/lY6�tviAKB � 5HI?Lu<[1O5H/6N:58/x14ACBO<?9K1O5HIM/F7 qi `j dk

<?BOAc3=<?B`�JL8AC7O7T1OIJ143FA7`14<?v658LH5810a_I[Sy1436Ab>6BOI?1OIM/'<?7tLHIM/6N~<?7W1O36AKasU6IZ/6I[1:9CI?�JAb<?9C9KIM�J>6<?/65HAKU�vxa~4lY=<[BO��5H/x14AKB4<?9e145HI?/67 :uidjdk 6 7`ACA^ 6N6\=|@\rq 7 \�mT3lY67*:V58/t143F5H7]�GIVU6ACLq:[U6YFAy14Ih1O36AT<?v67`AC/69KATI?S uidj dk

IM>PACBO<[14IMB`7 :p1436Ay>FBOI?1OIM/5H7D7`14<?v6LHAh<[1�14BO58LH58/6Aq<?B!L8A � AKL :V7OI:1O3=<[1DU=<?/6NMAKBOIMYF7yA�'iAC9e145 � ArU658�JAK/67O58IM/JSXIMYFB^IM>PACBO<[14IMB`7^9C<?/�<?>6>PAq<[BIM/6Lzad7`Y6>6>6B`AC7O7`ACUwvxaEU65 ' AKBOAK/l1g>PI��^AKBO7�I?S

Mstr

\

� -�/F-�� >A6 25;5C �F;¬@�254¬J >)�$�*� @�C" +�-, a@ �/.A90;¬< �5;0% � @�B_254�687:9:;=< 2/1 ��� 2�Ca9:B_JR�AK1�Y67�7OY6>F>iIM7`Ac1O3=<[1k<?L8L ����7O58/6NMLHAe147

s0i

UFA � AKLHIM>/6IM/ �CACB`I ����� 7K\ s 58/69CAo1O36AKa<?B`AWI?/6L8ab9;3=<?BON?ACUY6/6UFACBg7OIM�GA{365HUFU6AC/U(1) � 7*:61436A{Nx<?YFNMA{NMBOIMYF>N?AK147g7`>iIM/x14<?/6ACI?Y67OLza�v6BOI?�?AC/14I

GSM × Ghidden , 6 |V\X| 7�g36AKBOA

Ghidden = SO(8) × SU(2)\2'kI?1OA1O3=<[1J58Sh�JIMB`A�143=<?/�IM/6AE =ACL8U67

hi

�DACB`Aw<?L8LHI��^AKU�1OIU6A � ACL8IM> ����� 7 :6143FAcYF/VvFBOIM�[AC/~3F5HU6U6AK/#NM<?Y6NMAoNMB`IMY6>E�^I?Y6LHUE9CAKB`14<?5H/6LzadvPA Ghidden = SO(8)

\S U6U65z145HI?/=<?LHLza�:F1O36A � AC9e14IMB`LH5H�[At7Q1;<[1OAC7hN?AK1rLH<?BON?Ac�J<?7`7OAC7K\J60/~IMBOU6AKB�1OI � ACBO5zS aE1436587 :PIM/6Ac3=<?7k1OIIMvF14<?5H/�1O36AW�J<?7`7k�J<[14B`5H9KAC7 Mxx

I[S]143FAWA �FI[145H9K7h<[/6U~<[7O7OYF�JA{143=<p1k1O36A ����� 7�I?S�1436Ac7O58/6NMLHAe147s0

i<?B`AoI?S�1O36A{74<?�GAoIMB`U6ACB 〈s0i 〉 ≈ s ≈ Mstr

\ u AK>6Lu<[9C5H/FN:1436A{7O58/6NML8AK147^vla�1O36AC58B ����� 7 :=I?/6A{9q<?/�143FAC/9CI?�J>6Y@14AD1O36A^BO<?/6�{I?S61O36A^A�' AK9K1O5 � A^�b<?7`7]�J<[14B`5H9KAC7C\ S �b<?7`7]�J<[14B`5z�o�g5z143:�J<p�@5H�J<?LMBO<?/6�{AC/F7OY6B`AC7

������������� ��������� ������ ��� ��� ����� � � & ��� ������� � � �

� .�� �����"!��

1436<[1o<?L8L�A �@I?14589C7hI[Sn1436A:9KIMBOB`AC7`>iIM/FU65H/6Nb9CLu<[7O7rIMv@1;<?58/~�J<?7O7`AC7r>6B`IM>PIMB`1O5HIM/=<[L 1OIb143FA ����� 7s\ �sA

�J<?�?AR<p1h143F5H7h>PIM58/l1r<b7`1OBOIM/FNE<?7O7`Y6�J>@145HI?/;:i/6<?�JAKL8aE1436<[1o<?L8L�7`5H/6N?LHAK1O7r<?954lY65HB`A ����� 7r9KIM/67O587`1OAC/x1�g581O3f7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OB`a�:D1436<[1�5H7*:D<[LHIM/6N

Du'<[/6U

Fu$#=<[1�U65HB`AC9e145HI?/67C\2mT3F5H7�<?7`7OY6�G>F1458IM/'�g5HL8L^vPA

9CI?/F =BO�GACULu<p14ACBK\��A~3=< � Aw9;36AK9;�?AKU 1O3=<[1b1O36A~BO<?/6�fI?Sc<?L8LT1436A#�b<?7`7b�J<[14B`5H9KAC7G5H7b�J<p�@5H�J<?Lq:�7`Y69;3|143=<p1b143FAAe�@I?1O5H9K7tU6IwUFAC9CI?Y6>6LHAGSXBOIM��1O36AbA�' AK9K145 � AdL8I�� � AC/FACBON[a�1O36ACI?B`aM\ &^ACL8I�� �^Ad>FBOAC7`AC/x1��GIM7`1WI?ST143FA

�J<[14B`5H9CAK7C\!mT36AKBOA�:sn 5H/6UF5H9q<p14AC7T1O36A{U6IM�G5H/=<?/x1g�J<?7O7T1OACBO��SXI?BTAq<?9;3wAK/x14B`a�: 5 \ A?\

sn UFAC/6I?1OAC7g143=<p1143FAc9KIMBOB`AC7`>iIM/FU65H/6NG9CI?Y6>6LH58/6N�<?>6>PAq<[BO7g =BO7Q1��g3FAC/n7`5H/6NML8AK1O7g<?BOA{5H/ � IML � ACU+\ !<?9;3~AK/l1OB`aEY67`Y=<?L8L8a9CI?/l14<?5H/F7t�J<?/xa�1OACB`�J7t<?/6U258/ � IML � AC7:UF5('iACBOAK/x1:7O58/6NML8AK147t<?7W�DACL8L^<[7:9CIMYF>6LH58/6N#7Q14B`AC/6N?1O367 : �g3F5H9;3<?B`Ac>FBOAC7`Y6�GACUE14I�viA{I?S�IMB`U6ACB\q{5H/E7`1OBO58/6N�Y6/6581O7C\

Mmm =

0 s5 s6 s6

s5 0 s6 s6

s6 s6 0 s5

s6 s6 s5 0

,

Mvv =

s5 s5 s5 s5

s5 s5 s5 s5

s6 s6 s1 s5

s6 s6 s5 s1

,

Mx+x− =

(s5 s5

s5 s5

),

Myy =

(s1 s5

s5 s1

),

Mdd =

s6 s6 s3 s6 s6 s1 s1

s6 s6 s3 s6 s6 s1 s1

s3 0 0 s3 0 s6 s6

s6 s3 0 s6 s3 s6 s6

,

M`¯ =

s3 s1 s1 s1 s1

s1 s3 s3 s3 s3

s1 s3 s3 s3 s3

s1 s3 s3 s3 s3

s1 s3 s3 s3 s3

s1 s3 s6 s6 s3

s4 s2 s6 s2 s2

s4 s2 s6 s2 s2

.

s 5H�G5HLH<?BOLza�:?1O36A20× 20

�b<[7O7^�J<[1OBO5z� Ms+s−3=<?7T<?L87OIW�b<p�@58�b<?L=BO<?/6� \ mT36A

dd�J<?7`7^�J<[14B`5z�

5H74 × 7

7OYF9;3#1436<[1g1436AKBOAW<?BOAo143FBOACAc�J<?7O7`LHAC7`7d7`1;<p14AC7K\^mT36A

`¯�b<[7O7g�b<p14BO5 ��587

8 × 5:=7OI�1436AKBOA

<?B`AcA�' AK9K1O5 � AKL8ad1O36BOAKA{�b<?7`7OL8AC7O7gL8AC>F1OIM/EU6IMY6v6L8AK1O7C\S 7r�DAR<?L8BOAq<[UFa~�GAC/x1O5HIM/6AKU;:i�g5z1436I?YF1o<?UFU6581O5HIM/=<[L 58/FSXIMB`�b<[1O5HIM/ :=581r587h/6I[1o>iI?7O7O58v6LHAc14I�U6587`1O5H/ �NMY6587O3EvPAK10�DACAC/~LHAC>@14IM/U6IMY6vFLHAK1O7�<?/6U��k5HN?NM7TU6IMY6vFLHAK1O7C\!mT36AKBOAKSXI?BOA�: 7`5H/69KA{1O36Ac�b<?7`7T�b<p14BO5 � M`¯3=<?7g�J<p�@5H�J<?L B4<?/F�e: <[LHL >PIM7`7O5HvFLHA ��5HNMNM7T>6<?5HB`7T<?BOA{�J<?7O7`5 � A?\S6¡S�IM/6Ar�g5H7`36AC7g14IRB`AC9KI � ACBg1436A���5HNMNM7�GAC9;3=<?/F5H7O�_:�581�5H7R/FAC9CAK7O7O<?B`af14I�9;36IVIM7OA#<Z7O>PAC9K5u<?L � <?9KY6Y6� 9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/'�g36ACB`A1O36AEB4<?/F�2I?S143FAc�J<[1OBO5z� M`¯

587TBOAKU6Y69CAKU+\�mT365H7T9KIMBOB`AC7O>PIM/6UF7�>FBOAC9K5H7`ACL8ab14IR1436A{7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14B`5H9µul>6BOIMvFLHAC�_:

1436<[1c5H/s<E =B`7`1t<?>6>6B`Ix<?9;3s5H7{/6I?1W<?YF1OIM�J<[14589q<?L8L8a7OIML � AKU+\ 'kI[14A�143=<[1 :�7`5H/69KAG1O36AG�b<[1OBO5 � M`¯587

/6I?1yU65u<?N?IM/=<?L g��ei&% �H:@1O36AoBOAK7OY6Lz145H/FN-�k5HN?NM7yU6IMYFv6LHAe147^�g58LHLPviAo58/6U6ACAKUELH5H/FAq<?BD9CIM�:vF5H/=<[1O5HIM/F7^I?S 143FA =AKLHU67

`i

<?/6U ¯i

\('k/FSXIMBQ14Y6/6<[14AKL8a�:n1O365H7R7`>iIM58LH7WIMY6B�<?B`NMY6�GAC/x1G<?vPIMYF1:1O36AE5HU6AK/l1O58 =9C<[1458IM/2I?S�143FA�k58NMNM7y =AKLHU67y1O36BOI?Y6NM3E1436Ao14B`5HL85H/6AC<?B^9KIMY6>6L85H/6NRI?S 143FA{1OIM> 4lY=<?BO� \s Y6�G�J58/6NbYF>_<?LHL 1436At5H/6NMB`ACU658AC/x147*)`Y67`1oUFAC7O9KBO58viAKU;:+�^ARAK/6UZY6>w�g5z143w143FA:Ae�F<?9e1W�o�p���-7O>PAC9 �14B`Y6�\R�AK1yYF7D7Q14BOAK7O7^1O3=<[1�1436AK7OAk>6BOIM>PACBQ1458AC7 :@<?Lz1436IMYFNM3J>6<?B`1O5H9CYFLu<?B 1OIW143F5H7�IMBOv65zSXIMLHU � �o�����W:l<?BOAz4lY6581OA

7O58�J58Lu<?Bn1OI�1O36IM7`AoI?S I?1436AKBT�JIVU6AKLH7C\]mT3=<[1g5H7*:6<?L8L � � �o����� 9q<?/6UF5HU=<[1OAC7y�g5z143,�£3FAq< � ad14IM>]�o<?9K9CAK>F1143F5H7^UFAC7O9KBO58>F1458IM/+\T) ACBO36<?>67TIM/6AkI?S�143FAh�GIM7`1^BOACL8A � <?/x1yUF5('iACBOAK/69CAK7^�g5HL8L viAh1O36Ah/lY6�tviAKByI?S LHAK>F14I?/

��� � � � � ���� � ��� � ��� � ����� � � � �D�U6IMYFv6LHAe147

`<?/6U ¯ 1O3=<[1�9q<[/wviAc5H/x1OACBO>FBOAK1OACU~<?7 ��5HNMN?7�UFIMY6v6L8AK147K\�60/~7`IM�JAc9q<[7OAC7*:i1O36ACB`A:<?B`AcI?/6L8aSXIMY6BT��� �#+2 =AKLHU67

`i

<?/FUI?/6A ¯i

:F�g36589;3E�b<qadvPAo7OAKAC/#<?7y143FBOACAoL8AC>F1OIM/�U6IMYFv6LHAe147g<?/6UEIM/FAo>=<?5HBDI?S�k58NMNM7`AC7C\nmT3F5H7g9q<?/LHAC<?U�14I�9CI?/67O58U6ACB`5H/6NG<R>=<?BQ145H9KY6Lu<[By�JIVU6AKL+�JI?BOAo>6B`ACU6589K145 � Ar1O3=<?/#<?/6I?1O36ACBK\R�AK1TY67^7`14I?>dIMY6BDU65H7`9CY67`7O5HI?/�IM/b143F5H7^�GIVU6ACL 36AKBOAo<?/FU�>6BOIV9CAKACUd14IWAe�@>6LH<?5H/d3FI�� 1OI:NMY=<?BO<?/x14AKA�����#+�<[1o3658NM3wAK/6ACB`NM5HAK7r5H/~1O36AC7`AR�JIVU6AKLH7C\omT3F5H7r�GI@UFACL �g5HLHL <?>F>iAC<?BrBOAKNMY6LH<?BOLzaE5H/~1O36A:SXIMLHL8I��g5H/6N7OAK9K1O5HIM/67g58/I?BOU6AKBg1OI�Ae�@AC�G>6LH5zS ab7`IM�GAcI[S�1O36A{/6AK� ACLHAK�JAK/x147g5H/x14B`I@UFY69CAKU+\

� ��� �� � � �� �� � �A� �!�#��� ������60/'1436Ab>6BOA � 58IMY67R7`AC9K1O5HIM/ :!�DA�3=< � A<?7`7OY6�GACU21O3=<[1G<?L8Ly����7O58/6NML8AK147t9q<?/f<?9��lY65HB`A�/6IM/ � <?/65H7`365H/FN����� 7T�g581O36IMYF1�U6AK7`14B`I�a@58/6Nb7`IM�GAcI[S�1O36AW>FBOIM>PACBQ145HAK7gI?S IMYFB�I?BOv65zSXIMLHU � �o���p�t\{��I��^A � ACB*:i1O365H7g5H7g58/NMAK/6ACBO<?L+/6I?1^14BOYFA?\S60/�1436587y7OAK9K1O5HIM/d�DAoU65H7`9CY67`7T1436Ar9KIM/67Q14B4<[5H/x147y1OIRNMAK1T7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OBO5H9 � <[9CY6Y6�9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/67*:F1436AK5HBT9KIM/67OA��lY6AC/69KAC7o<[/6U~<R�GAK1O36I@U�1OIGI?vF1;<?58/�7OY69;3 � <?9CY=<@\y#IM�GAC/x1;<[BO5HLza�:�LHAe1 Y67]<[7O7OYF�JA�IM/6LzaoNMLHI?v=<?LM7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14BQaM\ ��A!�^I?Y6LHUWLH5H�[An14I � ACB`58S ao�g36Ae1436AKB143FA��o���p�-9C<?/6U658U=<[14AK7o<?U6�G581�7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14B`5H9 � <?9KY6Y6��9CIM/@ =NMY6BO<[1458IM/67C\hmT365H7o<[�JIMYF/l1O7k1OId5H/ �7O>PAC9e1458/6NG�g3FAK143FACBr<�9CI?�:v65H/6<[1458IM/�I?S  =ACL8U67k9C<?/#<[1O14<?5H/ ����� 7 : 7`Y69;3#1O3=<[1g1436A

Dud<?/6U

Fux14ACB`�J7

� <?/6587O3+\�mT365H7�5H7 Ae�@>6Lu<[5H/6AKUR<?7�SXI?LHLHI��g7K\�mT36AD7O9C<?Lu<?B�>iI[14AC/x1O5u<?Ll5H/t<h7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14B`5H9^NM<?Y6NMA!1436AKIMB`a5H7TN?5 � AK/;:=5H/�1OACBO�G7TI?S 1436Ac<?YV�F58LH5H<?B`a� =AKLHU67 Da

<?/6UFi

I?S 143FAcNM<?Y6NMA{<?/FU#9;3658B4<?L �:Y6L81O5H>6L8AK1O7^vxa

V (φi, φ†i) =

1

2

a

Da(φi, φ†i)

2 +∑

i

|Fi|2 , � |V\ ���

�g36AKBOAR1436AG<?YV�F58LH5H<?B`aE =AKLHU67{<?B`ARAe�@>6B`AC7O7`ACU258/w14AKBO�G7oI?SD1O36A: =AKLHU67φi, φ

∗i

<?/FU_1O36ARNx<?YFNMARNMBOI?Y6>NMAK/6ACBO<[14IMB`7

ta

5H/�143FAcB`AC>6B`AC7`AC/x1;<[1O5HIM/I?Sφi

\�mT3FAW<[Y@�@5HLH5H<?B`a� =AKLHU67�<?B`A{NM5 � AC/Evxa

Da =∑

i

φ†i taφi , � |V\X���

Fi =∂W

∂φi

� |V\�v���g581O3

W = W (φi)vPAC58/6N�1436A{7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L \ �=B`IM� <R =ACL8U1O36ACIMB`AK1O5H9q<[L�>iAKBO7O>PAC9e145 � A�:P7OI?LHYF1O5HIM/67I?S A��l7K\ � |@\����^<[/6U � |@\wv��DB`AC>6B`AC7`AC/x1�7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OBO589 � <?9CY=<@\{�kI��^A � AKB :=7`1OBO58/6N:1436AKIMB`ab5H/x14B`I@UFY69CAK7<Z/6AK��ACL8AC�GAC/x1]:�/=<?�GACLza2<?/�<?/6I?�b<?L8IMY67

U(1)7`aV�G�JAe14B`a�:

U(1)A � 7`Y69;3�1O3=<[1 tr tA 6= 0�e\�60/

>6B`AC7OAK/69CA#I?SU(1)A

:D143FA9KIMBOB`AC7`>iIM/FU65H/6NDul1OACB`� <?/=<?L8IMNMIMYF7:14I_A�� \ � |@\����:NMAe147G<?/�<?U6U65z145HI?/=<?L9CI?/l1OBO58v6YF1458IM/��

ξo?q � �nsq:6NM5 � 58/6NRBO587OAr1OI�1O36A{7OI � 9q<?L8LHAKU��o6 D

ux14ACB`�

DA =∑

i

φ†i tAφi + ξ ≡

i

qAi |φi|2 +

g M2Pl

192π2tr tA , � |V\����

�g36AKBOAtA

587T1436A{NMAK/6ACBO<[14IMBgI?SU(1)A

<?/FUg587y1436A{SXIMY6B � U658�JAK/67O58IM/=<?Li9CIMYF>6LH58/6N�9CIM/67Q1;<?/x1 :PN?5 � AK/vxaZ1436A ����� I[S^143FAGSXIMYFB � UF5H�GAC/67`5HIM/=<[L]U658Lu<[1OIM/ ϕ

<[7g = e〈ϕ〉

\&60/sIMY6B{9CI?/ � AC/x1458IM/67*: tr tA > 0� �Q�«�«� �����A�����T¤:���P�����.�����Q o�P�����«��®�®w�

ξ���e¤0��®�®����! #"_�������8°��Y�����������²�

DA

�´�Y¤0��®w®����¬�P�����$ %"D���������8°

� ����������� ��������� ������ ��� ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

<?/6Ud1O3lY67ξ > 0

\/'�I?14Ak143=<[1T1O36A�� 14BO<?U6581O5HIM/6<?L � � <?9KY6Y6� 〈φi〉 = 0587y/6I?1y7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OBO589o<?7 � SXI?B

g 6= 0�D143FAcA �V14B4<R14AKBO�

ξ5H/6U6YF9CAC7k��� ��+2v6BOAC<?�lU6I��g/w<[1�<�7O9C<?LHAr1OI@I�Lu<[BONMAh1OI�viA{BOAC<?LH587`1O5H9?\

s Y6>PACB`7`aV�J�GAK1OB`a�B`AC�J<?5H/67nYF/VvFBOIM�[AC/b5zS+<[/6UJI?/6L8at58SP1436Ag7O9C<?Lu<[Bn>iI?1OAC/x145H<?L=<?UF�J5z147!<o�J58/65H�tY6�φi = 〈φi〉

7OYF9;3~143=<p1V (〈φi〉, 〈φ†

i〉) = 0\!mT36ACB`AKSXIMB`A�:i<?/xa�7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14B`5H9{NMBOI?Y6/6U7`1;<p14Ac3=<?7T14I

74<p145H7QS ad143FADud<?/6U

Fu$#=<[14/6AK7O7g9CI?/6U6581O5HIM/F7

〈Da〉 = 0 ∀ a , � |V\ q+�?<��〈Fi〉 = 0 ∀ i . � |@\rq+�?v �

'kI[14Ao143=<p1T1436AKBOAc<?BOAc<?7T�J<?/xaFi

uV9KIM/67`1OB4<?58/x147�<?7T =ACL8U67φi

\)nBOI � 5HU6AKUf<~7OAe1RI?ST =AKLHU67 φi:]7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OBO589J =AKLHU29KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/67t<?BOAJNM5 � AC/2vxa�1436Ab7OAK1O7I?S ����� 7 〈φi〉

74<[1O5H7`S aV58/6NsA��l7C\ � |@\rq+���;\ 'h<�� � ACLza�:y5z1J<?>6>PAq<?B`7G1O3=<[1G1436A#/VYF�:viAKBJI[So9CIM/F7`14BO<?5H/x1O75H7WLu<?B`NMACB{1436<?/21436Ab/VYF�:viAKB:I?S � <?B`5u<?v6L8AC7*:]7OIw1O3=<[1:1O36Ad7Qa@7Q14AK� 7OAKAC�G7:14IwvPAdI � AKBO9KIM/67`1OB4<?58/6ACU \�kI��DA � ACB :�1436587c587{/6I?1c1436AG9q<?7`A?\ S 7c�DACL8Ln�l/6I��g/;: 9CI?�J>6L8Ae�@58 6ACU�Nx<?Y6NMAR1OB4<?/67QSXIMBO�J<[1O5HIM/67r<?LHIM/FN� F u%� # <[1�U65HB`AC9e145HI?/67^<[LHLHI���Y67D1OItAKLH5H�G5H/6<[14A^1O36A D

ul14AKBO� 9CI?/67`1OB4<?58/l1O7�� :V7OY69;3J143=<[1�143FAh/lY6�:vPACB�I?S� <?BO5H<?v6L8AC7yA��VY6<?LH7T143FAc/lY6�tviAKB�I[S]A��VY6<[1458IM/67C\

� - �A-0/D � 7��TCE;¬@�JEJ

R�AK1�Y67 BOA � 58AK�' =B`7`1 1436A�5H7`7OY6A�I?S D u$# <[1O/6AC7`7 <?/6UW9q<?/F9CACL8Lu<[1O5HIM/oI[SF143FA �o6P14ACB`�)orqW� � :Uq � � :Uq � ��u�q � q5s \s 58/69CA#: 5H/2>6<?B`1O5H9CYFLu<?B*:DA

�:Y67`1 � <[/65H7`325H/�<~7OY6>PACB`7`aV�G�JAe14BO589 � <?9KY6Y6�_:n<[1:L8Aq<?7Q1:7`IM�JAJI?ST143FA7O9C<?Lu<[BO7�<?BOA!SXIMBO9KACUt1OIh<p1O1;<[5H/cLu<?B`NMA ����� 7 :[10aV>6589q<?L8L8ao/FI?1�S¢<[B vPACL8I��21436AD7`1OBO5H/FNk7`9q<?L8A?\]mT3F5H7 7OAK1O7]143FA7O9C<?LHAkI?S�143FArv6BOAC<?�l5H/6NtI?S

U(1)A

<?/6UdI[1436AKByNx<?Y6N?Ah7`aV�G�JAe14B`5HAC7*:FY6/FU6ACB^�g3F5H9;3d143FAh7O9C<?Lu<[BO7^�G5HN?3l1vPAG9;36<?BONMAKU+\L60/sI?1O36ACBo�DIMBOUF7 : � <[/65H7`365H/6N�I[S^143FA �<6 D

ux14ACB`��14B`5HNMN?ACBO7o7`>iI?/l14<?/6AKIMY67c7`aV�J�GAK1OB`av6B`Aq<?�l5H/FNb<[1k< � AKB`a365HN?37`9q<?L8A?\��o/E143FAWI?1O36ACB�3=<?/FU;:=1436A{9CI?/6U6581O5HIM/ DA = 0

<?LH7`IG58�J>FLH5HAK7^1436<[1143FACBOAk�:Y67Q1^vPAr<[1DLHAC<?7`1�IM/FAk =AKLHUJ�g3FIM7OAh<?/6IM�J<?LHI?Y67!9;3=<?BON?A

qA 5H7 � 5H/JIMY6B�9CIM/ � AC/x1458IM/ ��/FACNx<[1O5 � A� 5 \ A[\nIM>6>PIM7O5z14Ao58/7`5HNM/�1OI tr tA

� \Du$# <p14/6AK7O7r9C<?/wvPA:<?9;3658A � ACUZvxa#1O36At/FI?14589CAq<[v6LHAcIMv67`ACB � <[1O5HIM/143=<p1]:P5H/~N?AC/6AKB4<?Lq:iA � ACBQaw36I?LHI ��GIMBO>63F5H9TNx<?YFNMAT5H/ � <?BO5H<?/x1!�JI?/6IM�G5u<?L � �r6Iy � BOAC>FBOAC7`AC/x147y<

Du$# <[1�U658BOAC9e1458IM/ orq � � s \T)]<?BQ14589CY6LH<?BOLza�:

5H/#1436AKIMBO58AC7r�g581O36IMYF1r<?/�<?/6IM�J<?L8IMY67U(1)

: 1O36AR9CI?/6U6581O5HIM/ � |@\rq+�M<��g5H7r7O<[1O5H7` 6ACUZ58Sn1O36ACB`ARAe�@5H7Q147{<�GIM/6IM�G5u<?LI(φi)

\!mT36AK/;:=1436A ����� 7gI?S 1436Ac7O9C<?Lu<[By =ACL8U67g5H/<Du$# <[1 � <?9KY6Y6��9KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/<?B`A

BOAC<?UI|'wSXBOI?�⟨

∂I

∂φi

⟩= c〈φ†

i〉, � |@\rqEq���g36AKBOA

c587o<d9CI?�J>6L8Ae�#U658�JAK/67O58IM/=<?L 9CIM/F7`1;<[/l1 :

c 6= 0\{mT36587rBOAK�b<[BO�p<?v6L8AtBOAK7OY6Lz1rSXIML8LHI��g7k7`5H�G>6L8a

SXBOI?��1436AcNx<?YFNMAW58/ � <[BO5u<[/69CAoI?S I(φi)o?q � � s \B60/#143FAW9C<?7OA{143=<p1

U(1)A

5H7g>6BOAK7OAK/l1 :i1O36AW�GIM/6I?�J5H<?LI(φi)

�tY67`1nvPAy58/ � <?B`5u<?/x1 �g581O3:BOAK7O>PAC9K1n1OIo<?L8L@Nx<[Y6NMA^7QaV�J�GAK1OBO5HAK7]A �F9KAC>F1 U(1)A

\�mT36Ag<?/6I?�b<?L8IMY679;3=<?B`NMAbI[ST1436587W�GIM/6IM�G5u<[L �:Y67Q1:vPAb/6AKNx<[145 � A"orq � q�s \ R�AK1tY67tA �F>FLu<?58/s143F5H7t58/��GIMBOAGU6Ae1;<?58LD<[/6U>6B`IM>iI?7OAc<R�JAe1436IVU�14IR =/6U7OY69;3"�J6Iy#7K\

P���i�5¯���®����ª�����0�����:����¤ �o�´��¤0�����.�����n ����0� ��° ��°����0�c°f¦w§�¨��P #£n°����������²© °��!�:�¥����®������¬�P�:���0��������¤!�����P�w����®´�P�_¤����¬�b� ������������=���:�c°¡¦ ����©

��� � � � � ���� � ��� � ��� � ����� � � � ���

60/~7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14B`5H9{1436AKIMBO58AC7g�g581O3~<�7O58/6NMLHAU(1)

Nx<[Y6NMA{1436AKIMB`a�: 1O36Ac7OI � 9q<?L8LHAKU Dul14AKBO� >PI �14AK/x145u<[L+5H7TNM5 � AK/#vxa

VD ∝[∑

i

qi |φi|2]2

. � |@\rq����� IM/67`5HU6AKBc<?7{<d =BO7Q1WA �F<?�J>FLHA�<

U(1)Nx<?YFNMAR1436AKIMB`a#�g58143Z10�DI# =AKLHU67

φ±9C<?BOBQaV5H/6N�143FAG9;36<?BONMAK7

±1\ s 5H/69KA

V1/2D ∝ |φ+|2 − |φ−|2

:VD

� <?/6587O36AK7h<p1�1O36A{NMBOI?Y6/6U7`1;<p14A |〈φ+〉| = |〈φ−〉|\DmT36<[1�5H7 :

IM/6AW3=<?7o<Du$# <[1kU658BOAC9e1458IM/;:P>=<?B4<[�JAe14BO5 �CAKU~vxa

c = |〈φ+〉| = |〈φ−〉|\&'kI?1OAW1436<[1]:i58S I?/6At�gBO5z14AK7

143FA/�J6IyI(φ±) = φ+φ−

:P�g365H9;3~5H7g1436AWIM/6L8aE>PIM7`7O5HvFLHAc36IMLHI?�JIMB`>636589W<[/6U~58/ � <?B`5u<?/x1k�JI?/6IM�G5u<?Lq:A�� \ � |@\ qxq��DaV5HACL8U67y143FAc7O<?�GAcB`AC7`Y6L81C\� IM/67`5HU6AKBt/6I���<E1436AKIMB`aZ�g5z143�IM/6A� =ACL8U � φ1

�r�g58143�9;3=<?B`NMA2<?/FUs10�DI~ =ACL8U67 � φ2, φ3

�h�g581O39;3=<?B`NMAC7 −1

\wmT36AC/2�DAd3=< � Ad�b<[/la # <[1tU65HB`AC9e145HI?/67 :�U6AC7`9CBO58viAKU'vxas1O36AbB`I@I?1O7tI?ST1O36AbA��lY=<[1458IM/2|〈φ1〉|2 − |〈φ2〉|2 − |〈φ3〉|2 = 0

\nmT36Ac7OIML8YF1458IM/67T<[BOAo1436Ar1O36BOAKAWUF5HBOAK9K1O5HIM/67

|〈φ1〉| = |〈φ2〉| = |〈φ3〉| = c ; � |@\rq � <��|〈φ2〉| = 0 , |〈φ3〉| =

√2|〈φ1〉| = c′ ; � |@\rq � v �

|〈φ3〉| = 0 , |〈φ2〉| =√

2|〈φ1〉| = c′′ � |@\rq � 9 ��g581O3~9KIM�J>FLHAe��>=<?B4<[�JAe14ACB`7

c, c′<[/6U

c′′\^6¡1h5H7g9CI?/ � AC/658AC/x1r1OId<?7`7OIV9C5u<p14Ao1436AK7OA:UF5HBOAK9K1O5HIM/67T1OIJ143FA�J6Iy7

φ1 φ2 φ3 , φ1 φ23 , φ1 φ2

2 , � |@\rq � �BOAK7O>PAC9e145 � ACLzaM\�=BOIM��1O365H7TA �F<?�J>FLHA�:6�DAc/6I?14589CAr1O3=<[1k<G�GIM/6I?�J5H<?L

I(φi) = φn11 φn2

2 · · ·φnk

k

B`AC>6B`AC7`AC/x147h< # <p1U658BOAC9e1458IM/�U6AK 6/6ACU#vla�1O36A{BOAKLu<[1O5HIM/

|〈φ1〉|√n1

=|〈φ2〉|√

n2= . . . =

|〈φk〉|√nk

<?/6U |〈φj〉| = 0SXI?B

nj = 0 . � |V\ q�| �6¡1E5H7*:h36I��DA � ACB :{9KLHAq<[Bd143=<[1�1O36ACB`A_5H7�IM/6Lza|<2 =/65z14AZ/lY6�:vPACBEI?SWLH58/6Aq<[BOL8a�58/6U6AC>PAC/FU6AC/x1 D

u$# <[1U658BOAC9e1458IM/67C\_60/�1O36Ab>6B`A � 5HI?Y67:Ae�F<?�G>6L8A�:�1O36AJ1O365HB`U�U658BOAK9K1458IM/�587W/FI?1:58/6U6AC>PAC/FU6AC/x1RI?ST1O36AbI[1436AKB10�DI6\P60/ZI?143FACBk�DIMB`U67 : 1O36A:B`A��lY65HB`AC�GAC/x1

VD = 0>PIM7OAK7oIM/6Lza#I?/6At9KIM/67`1OB4<?58/x1oIM/~1O36At143FBOACAtBOAq<[L

� <?BO5H<?v6L8AC7 � |〈φi〉|2� AC/x14AKBO58/6NkA�� \ � |@\rq����;\]mT36A!7O>6<?9CA�I?S=<[v67OIML8YF14A � <?L8Y6AC7 |〈φi〉|

5H7+10�DI � UF5H�GAC/67`5HIM/=<[L \mT36Ak>iI��DACB�I?S+Y67`5H/6N{143FAk�GIM/6IM�G5u<[LH7 587!1O3=<[1�9;36AK9;�V58/6Nt�g36Ae1436AKB^9KACB`14<?5H/G�GIM/6IM�G5u<?L87 <?B`AkL85H/6AC<?BOLza5H/FU6AC>PAC/6UFAC/x1wIMBE/6I[1#587�S¢<?5HB`L8a�7`5H�G>6LHA[\ �o/FAs58U6AC/x145z =AC7E�g581O3 AC<?9;3 �GIM/6I?�J5H<?Lk1O36A � AC9e14IMBI?SAe�@>PIM/6AK/l1O7 :

n = (n1, n2 . . . )\�mT3FA�# <[1hU65HB`AC9e145HI?/67�<?BOAW5H/6U6AK>iAK/6U6AK/l1h58S!<[/6U~IM/FL8aE58S]1436A � AK9K14I?BO7<?B`AZLH5H/FAq<?B`L8a�5H/6UFAC>PAC/6U6AK/x1q\Q60/ 1436AZ>FBOA � 58IMY67�Ae�F<?�G>6L8AZIM/6Aw�DIMY6LHU NMAe1�1436A � AC9e14IMB`7 (1, 1, 1)

:(1, 0, 2)

:F<?/6U(1, 2, 0)

:FIMY@1gI?S��g3F5H9;3~I?/6L8aJ10�^IJ<?BOAoL85H/6AC<?BOLzab58/6U6AK>iAK/6U6AC/x1C\6¡1�5H7g<?L87OIR9CL8Aq<?BT3FI�� 14I�IMvF14<?5H/d1O36AC7`A � AC9e14IMB`7#~D<?LHLiI?S�1O36AC��<?BOA{IMBQ1436IMN?IM/=<?LP14IR1436A � AC9K1OIMBgI?S9;3=<?B`NMAC7

q = (q1, q2, . . . )\tmT3=<[1c587 : 1O36A�>6BOIMvFLHAC��I?S� =/6U658/6Nd143FAJ<[viI � AR�GIM/6I?�J5H<?LH7 � <?/FU_1O3lY67143FA

Du$# <p1:U658BOAC9e1458IM/67 �{5H7WBOACUFY69CAKUf1OIw1436Ab>6BOIMvFLHAC�*I?ST 6/6U65H/FN � AK9K14I?BO7 n

�g5z1432143FAbSXIMLHL8I��g5H/6N>6B`IM>iAKB`1O5HAC7�~qM\

q · n = 0:

� �

���������� ��������� ������ ��� ��� ����� � � � ��� ������� � � �� �� � �����"!��

�@\ni ∈ � 0

\mT36Ak>6BOIM>PACBQ10a�143=<[1�143FA

ni

viAk5H/x14AKNMACB � � <?L8Y6ACUGU6IVAC7^/FI?1^>PIM7`Ar<W9KIM/67Q14B4<[5H/x1^58/bIMYFBD�GI@UFACLH7�~]7`5H/69KA143FAG9;36<?BONMAK7c<?BOA�B4<p145HI?/=<?L :iIM/6A�9q<[/�B`AC7`9q<?L8AJ<[/lan36< � 58/6N�1436AR =B`7`1c>6BOI?>iAKB`10aZ7`Y69;32<?7o1OI36< � A5H/x1OACNMAKBrAC/x14B`5HAK7C\/��I��^A � ACB*: 1O36A:B`A��lY65HB`AC�GAC/x1o1436<[1r143FARAC/x14B`5HAC7ovPAR/6IM/F/6ACNx<p145 � A�:+�g36589;3ZBOA #=AC9e1471436<[1T1436A{�GIM/6IM�G5u<[LH7�IMY6NM3x1g14I�vPAc3FIMLHIM�GIMB`>6365H9#:@587g<G9KIM/67Q14B4<[5H/x1q\

mT36A_U65H7`9CY67`7O58IM/|7OI'S¢<?Bd9C<?/ Aq<?7`5HLza�vPAwAe�V1OAC/6U6AKU 1OIU(1)m 1O36ACI?BO5HAK7C\ �kAKBOAw143FA

Dul14AKBO�

>PI?14AK/l1O5u<?L 5H7

VD ∝m∑

j=1

[∑

i

q(j)i |φi|2

]2

, � |@\rq ����g36AKBOA

q(j)i

5H7�1436AT9;3=<[BONMATI?S 1O36Ay =ACL8Uφi

YF/6U6ACB 1O36Ajth U(1)

S¢<?9K1OIMBC\ 'kI���<Du$# <[1]U65HB`AC9K1O5HIM/R36<?7

14IG74<p145H7QS ad143FAt<?vPI � Ac9CIM/F7`14BO<?5H/x1O7�SXIMBgAC<?9;3 U(1)S¢<?9e14IMBg7`AC>=<?BO<[14AKL8a?\ S NM<?5H/ :6581�5H7�<?U � <[/l14<?NMAKIMY6714I{B`AC>6B`AC7OAK/x1

Du # <[1!U658BOAC9e1458IM/67nvxaR36IML8IM�GIMBO>63F5H9^NM<?Y6NMAT58/ � <?B`5u<?/x1n�GIM/6I?�J5H<?LH7K\ mT3FAC/�1436A � AK9K1OIMB

nI?S A �F>PIM/6AK/x147r3=<[7�1OIJvPAWI?B`143FIMNMIM/=<[L+14IGA � AKB`a#9;3=<?B`NMA � AC9e14IMB q(j) = (q

(j)1 , q

(j)2 , . . . )

\^60/~I[1436AKB�DIMBOU67*:

n3=<?7T14IGviAo58/�1436A{�?AKBO/6AKL I?S�1O36A{9;3=<?B`NMA{�b<[1OBO5 �

Q:

Q · n = 0 ,�g5z143

Q =

q(1)1 q

(1)2 . . .

q(2)1 q

(2)2 . . .\\\ \\\ \\\

q(n)1 q

(n)2 . . .

. � |@\rq����

�kAK/69CA#:61436Ao>FBOIMv6L8AC� I?S  =/6U658/6N:1436ADu$# <[1TUF5HBOAK9K1O5HIM/67^I?S�<

U(1)m NM<?Y6NMAr1O36ACIMBQad587yBOAKU6Y69CAKU1OI143FA!14<?7O�hI?SV9q<?L89CY6LH<[1458/6N^143FA��[ACB`/6ACLlI?SV1436An9;36<?BONMA!�J<[14B`5z�

Q:?<?/FU{1OITSXIMBO�G5H/6N^LH5H/FAq<?B+9KIM�:v658/=<[1O5HIM/67

I?S�ACL8AC�GAC/x147RI[S�1O365H7t�?ACB`/6ACLT58/'7OY69;3�<w�^<�as143=<p1:1436A�AK/x14BO58AC7�<?B`A�/6IM/6/FACNx<[1O5 � A�5H/x14AKNMACB`7C\�mT36A�J<p�@5H�J<?LxLH58/6Aq<?B 58/6U6AC>PAC/FU6AC/x1!7OAe1 I?S 7`Y69;3�LH58/6Aq<?B 9KIM�:v658/=<[1458IM/67 5H7 5H/:I?/6A � 14I � IM/6A�9CIMB`BOAC7`>iI?/6U6AC/F9CA�g581O3o1436An58/6U6AC>PAC/FU6AC/x1Du$# <p1�U65HB`AC9e145HI?/67C\m6¡1 5H7+7Q14BO<?5HNM3x1`SXIMB`�^<?BOUr1OIg7OACAn1O3=<[1�143FAnBOAC7`Y6L81O7 IMvF1;<[5H/6AKU

7OI�S¢<?BTNMAK/6ACBO<?LH5 �CAh1OIG1O36A{/6IM/=<[viAKLH5u<[/d9q<?7`A o?q � � s \��AG9q<[/�/6I�� B`A � 5HAe�-1436AG5H7`7OY6AJI?Sy9C<?/69KACLHL85H/6Nd1O36A �o6h14AKBO�\��=IMB{<?/�<?/6IM�J<?L8IMY67 U(1)

: 1O36ADul1OACB`��>PI?14AK/l1O5u<?L

VDSXIMLHL8I��g7^SXBOIM�j1436A �o6

Dul1OACB`�=:6A�� \ � |@\ ���H:

V AD ∝

[∑qAi |φi|2 + ξ

]2

. � |@\rqov��u AC9q<[LHLH58/6Nw1436<[1 ξ > 0

58/�IMYFBG9KIM/ � AK/l1O5HIM/F7 :y14I�9q<[/69CAKL�1O36A �<6W14AKBO� IM/FA1O3VYF7J3=<[7G1OI� =/FU�<36IML8IM�GIMBO>63F5H9h�GIM/6I?�J5H<?L :

I = φn11 sn2

2 . . . � |@\rq+����g581O3E/6AK1�/6AKNx<[145 � A{9;3=<?B`NMA{Y6/6U6AKB U(1)A

:=5 \ A?\∑

i

ni qAi < 0 . � |V\ �x���

m�Ih7OY6�G�b<[BO5��KA�:�143FADu$#=<[1]UF5HBOAK9K1O5HIM/67�<?B`AD58/tIM/6A � 1OI � IM/FA�9KIMBOB`AC7`>iIM/FU6AC/69KA^�g581O3t36I?LHIM�GIMBO>F365H9Nx<?YFNMAd5H/ � <?B`5u<?/x1W�JIM/FIM�J5H<?LH7K\�60/f1O36A�<?vPACL85u<?/s9q<?7`A�:n7`Y69;3��GIM/6I?�J5H<?LH7o9C<?/'viAb5HU6AK/l1O58 =AKU��g581O3

ACL8AC�GAC/x147 I?S@1436A!�[ACBO/FACLlI?SF1O36A!9;3=<?B`NMA!�b<[1OBO5 �Q�g5z143{/6IM/6/FACNx<[1O5 � AD58/l1OACNMAKB�AC/x14B`5HAK7C\ � <[/69CAKLHLu<p145HI?/I?S 143FA �o6n14ACB`��B`A��lY65HB`AC7y1O36AoAe�@5H7Q14AK/69CA{I?S <R36IML8IM�GIMBO>63F5H9g�JI?/6IM�G5u<?L=�g581O3�/6AK1g/FACNx<[1O5 � Ar9;3=<?B`NMAY6/6UFACB

U(1)A

:6�g365H9;35H7TNM<?Y6NMAo58/ � <?B`5u<?/x1y�g5z143EBOAK7O>PAC9e1k1OIJ<[LHL+I?1O36ACBTN?BOIMY6>ES¢<?9e14IMB`7C\

��� � � � � ���� � ��� � ��� � ����� � � � � �

� - �A-��F � 7��TCE;¬@�JEJR�AK1kY67h/FI�� 1OY6BO/14IG1436AWU65H7`9CY67`7O5HI?/~I?S

Fu$# <p14/6AK7O7C\ s 58/69CA{143FAt7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L

W587g/6IM/6B`AC/6IMB ��J<?LH5 �q<?v6L8A�:�7Q14Y6UFaV58/6Nk1O365H7 �lY6AC7Q1458IM/t58/WU6Ae1;<?58Ll5H7 7OIM�GAK�g36<[1]L8AC7`7�NMAK/6ACBO<?Lx143=<[/

Du$#=<[14/6AK7O7�viAK9q<?Y67`A

�GIM7`1gI?S 143FAc7Q1;<[1OAC�GAC/x147gIM/FAc9C<?/IMvF1;<[5H/E<?B`AcI?BOU6AKB � UFAC>PAC/6U6AK/x1q\�kI��DA � AKB :gAC/F7OY6B`5H/6N_143=<p1b< � <?9CYFY6� 9CIM/@ =NMY6BO<[1458IM/f5H7Fu # <[1 � 58NM/6IMB`5H/6NZ�GIM�GAC/x1;<[BO5HLza D

u# <[1O/6AC7`7 �T5H7T�GIM7`1OL8aG14B`5 � 5u<?LiviAK9q<?YF7OA{1436A{/lY6�:vPACBgI?S�A��lY=<[1O5HIM/F7

〈Fi〉 =

⟨∂W

∂φi

⟩= 0 ∀ i � |V\ ��q �

9CI?5H/69K5HU6AK7��g5z143#1O36At/lY6�tviAKBkI?S � <[BO5u<[v6LHAK7k<[/6U;:P5H/NMAC/6AKB4<?Lq:=�g36AC/w1O36AW7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L�587�<J/6IM/ �14B`5 � 5u<[L >PIML8aV/6IM�G5u<[L :l7OIM�GAoI?S 1436AK5HBT7`IMLHYF1O5HIM/F7g<?BOAo/6I?/l1OBO5 � 5H<?L \60/f>=<?B`1O5H9KY6Lu<?B*: /6IM/x1OBO5 � 5H<?L^7`IMLHYF1O5HIM/F7t9q<[/�<[L8�^<�aV7RvPAdSXIMY6/6U'58/'IMBOvF58SXIML8U�9CI?�J>=<[9K145z =9q<p145HI?/67C\R�AK1GY67�5HL8LHY67Q14BO<[14Ad5z1�5H/'143FA9C<?7OAI?S�}

N

IMB`v658SXIML8U67C\�6¡Sk1436AE7`Y6>iAKBO>PI?14AK/x145u<[LW0

<[1GIMBOUFACBx58/

143FAG =AKLHU67φi

5H7W<?L8LHI��^AKUsvxa�7`1OBO58/6N#7`ACL8AC9K1O5HIM/�BOYFLHAC7*:�1O36AC/�<?/ � Ae�V14AK/6U6AKU � 7`Y6>iAKBO>PI?14AK/x145u<[L W ∼W0 + W N+1

0 + W 2N+10 + . . .

587g<?LH7`IJ<[U6�J587O7`5Hv6L8A?\S 7^<?/JA �F<?�J>FLHA�:V<?7`7OY6�GAr<�}3I?BOv65zSXIMLHU:1OI�a � �JIVU6ACL6�g5z143G10�^IW>=<?B`1O5H9KLHAC7*: φ1

<[/6Uφ2\ s Y6>F>iIM7`A

SXY6BQ1436AKBk1436<[1h1O36A:7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L��W0 = φ1φ

22

5H7k<?LHL8I��^AKU+\ � L8Aq<?B`L8a�: 143FAt7OI?LHYF1O5HIM/14IdA��P\ � |@\ ��q��5H7gNM5 � AK/~vxa 〈φ2〉 = 0<?/6U 〈φ1〉

<?BOv65z14BO<?B`a?\ s YF>6>iI?7OAt/FI�� 143=<[1 〈φ2〉 = 05H7gY6/x�^<?/x14AKUwSXIMBg7OIM�GA

BOAC<?7OI?/+\ S /~<?LHL8I��^AKU#A �@1OAC/67`5HIM/~I?SW0

�DIMY6L8U#vPAWN?5 � AK/~vxa W ∼ W0 + W 40 = φ1φ

22 + φ4

1φ82

\^60/143F5H7{7O9KAC/=<?B`5HI�:�1O36AJ>FBOA � 58IMY67c7OIML8YF1458IM/Z5H7{7`1O5HL8Ln< � <?L85HUZIM>@145HI?/;: v6YF1{1436AKBOAG5H7c<?L87OI<?/s<?U6U65z145HI?/=<?L/6IM/x1OBO5 � 5H<?L F

u$# <[1 � <[9CY6Y6��9CIM/F 6NMY6B4<p145HI?/;:+>=<?BO<?�GAK14B`5��KACUZvxa 〈φ62〉 = −1/4 〈φ3

1〉<?/FUs<[BOv65z14B4<[B`a

〈φ31〉 6= 0

\ 'kI?1O5H9KAE1O3=<[1 〈φ2〉58/�1O365H7 � <?9KY6Y6� 9KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/f5H7�/6I?/l1OBO5 � 5H<?L \'mT3F5H7�U65H7`9CY67`7O58IM/�J<?�?AK7h�J<?/658SXAK7`1g143FAWIMB`U6ACB � U6AK>iAK/6U6AK/69CA:I[S F

u # <[14/FAC7O7K\�60/#143F5H7�7OAC/F7OA�: � AKBO58S aV58/6N Fu$# <p14/6AK7O7h<[1

<RNM5 � AC/IMBOUFACBg5H/d1O36A{7OY6>PACB`>iI?1OAC/x145H<?L�5H7T>F3laV7`5H9q<[LHL8ab/6I?1g7`IJB`ACLHA � <?/x1k58/�IMBOvF58SXIML8U��JIVU6ACL87C\S S 1OACB{<?B`BO5 � 58/6NJ1OIE<?/ Fu # <[1 � <?9KY6Y6��9CIM/F 6NMY6B4<p145HI?/;:i1O36AR/=<[1OY6B4<?L �lY6AC7Q145HI?/Z5H7h�g36Ae1436AKBoBOA �9CI � ACBO58/6N D

u$# <[1O/6AC7`7n5H�G>iI?7OAC7!<[U6U6581O5HIM/6<?L@9KIM/6U65z1458IM/67n<?/FU;:M1436AKBOAeSXIMBOA#:VI � ACBO9KIM/67Q14B4<[5H/67n143FA�9;3FIM5H9KAI?Si1436A � <?9CY6YF� >=<?B4<[�JAe14ACB`7C\{6¡1�3=<[7DvPACAK/b7O3FI��g/"o � vHs=143=<p1D58/JI?BOv65zSXIMLHUR�GI@UFACLH7*:xNM5 � AC/J<W7`IMLHYF1O5HIM/14IG1436AFul14AKBO� A��lY=<p145HI?/67 � |@\ ��q���:P9KIM�G>6LHA �F5z =ACUNx<?YFNMAc1OB4<?/F7`SXIMB`�b<[1O5HIM/F7T7O9q<[LHA{1436587�7`IMLHY@145HI?/E1OINM5 � A�<dS¢<?�G5HL8aI?S�7`IMLHYF1O5HIM/F7C\ u AC�J<?BO�p<?vFL8a�: >=<?B`1O5H9KY6Lu<?BkBOAK7O9q<[LH5H/FNM7o7OY69K9CAKACU�58/ZBOAK/6U6ACB`5H/6N<?L8L]143FA

Dul1OACB`�J7 � 5H/69KLHY6U658/6Nt1O36A �o6 D

ux14ACB`� �1�CACB`I6\

〈W 〉 = 0'k>Z1OI/FI��s:�I?Y6Bo9CIM/F7O5HUFACB4<p145HI?/67o<?B`A � <[LH5HU~IM/6L8aSXIMBrN?LHIMv=<[LHL8a7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14B`5H9:�GIVU6ACL87o<[1o>PACB �14YFBOv=<[1O5 � A:LHA � ACL \ S /_<?U6�G5H7`7O58v6LHA � <?9CY6YF��9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/Z<?B`5H7`5H/6NbSXB`IM��7`14B`5H/6NJ1436AKIMB`a�:�36I��^A � ACB*:�:Y67Q1o<?L87OIJviAW9CIM/67`5H7Q14AC/x1r�g5z143wL8I@9C<?L������#+D\J60/wS¢<?9e1]:P7OY6>PACB`NMB4< � 5810a~<?7��^AKLHL�<?7r/6IM/F>iAKB`14YFBOv=<[1O5 � AA�'iAC9e147�9q<?/�GI@U65zS a�1436A{>6B`IM>iAKB`1O5HAC7gI?S]<R>=<?BQ145H9KY6Lu<[B � <?9CY6YF��9CIM/@ =NMY6BO<[1458IM/+\

60/b<[/b<[1`14AK�J>F1]14IcU6Aq<?L@�g58143�143FIM7OA�<?U6UF581458IM/=<?LVA�'iAC9e147*:V1O36Ag9CIM/6UF581458IM/ 〈W 〉 = 0587n9CIM�G�JI?/6L8a

5H�G>PIM7OAKU58/1O36Ac74<?�GAoSXI@I?1O5H/6NG<?7Fu$# <[1O/6AC7`7 � 7OACAcA?\ N6\yB`AKSX7K\#o � �9:Oq � q�s �e\ s 14B`5H9K1OL8a�7`>iAC<?�l5H/6N9:614365879CI?/6U6581O5HIM/G3=<?7D/6I?1O365H/6Nc14IWU6It�g581O3b>6B`AC7`ACB � <[1O5HIM/JI?S������#+D\ s 58/69CA�5H/J7OY6>PACB`NMB4< � 5810aG1436AkNMB4< � 581O5H/6I

� �Y���������b�²�Y��� ���A� �e��®w®n¤0�#��� ¤:���0�#����°

���

���������� ��������� ������ ��� ��� ����� � � � ��� ������� � � �� �� � �����"!��

�J<?7O7T587�N?5 � AK/Evlam3/2 ∝ |〈W 〉|2 , � |@\ �M���

〈W 〉 = 05H�G>6LH58AC7

m3/2 = 0<?/FUs143FACBOAeSXIMBOA#:�1O36BOIMYFNM3s1O36AJB`ACLH<[1458IM/

Λ = −3 M 2Pl m

23/2

:�< � <?/ �5H7`365H/FN:9CIM7`�JI?LHIMNM589q<?L 9KIM/67`14<?/x1Λ\ u AC9C<?LHLP143=<[1y5H/d143FAo9CIM/x14A �V1gI?S 7OY6>PACB`NMB4< � 5810a�: <:/6IM/ � <?/65H7`365H/FNNMBO< � 5z145H/FI��b<?7`7{U6I@AK7W/FI?1c/6AC9KAC7O7O<?BO58L8a_58�J>6Lza~vFBOAq<[�VUFI��g/sI?Sy7`Y6>PACBON?B4< � 5810aM\JmT3=<[1c5H7*: 5H�G>iIM7`5H/6N143FAh9CI?/6U6581O5HIM/ 〈W 〉 = 0

<?�GIMY6/x147!14IcBOA��lY65HB`5H/6N{1436AkAe�@5H7Q14AK/69CArI[S�</y5H/6�[I��g7`�l5 � <?9CYFY6� � 7O58�J58Lu<?B14IR1O36A � <[9CY6Y6� �^AW<?BOA{L85 � 5H/6Nt5H/ �^BO<[1436AKBy143=<[/#Y6/lv6B`IM�?AK/~7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14BQaM\S 9q< � AC<[1h587g5H/EIMBOUFACBC\d60/IMBOUFACBT14IG9CIM�G>6YF1OAoA?\ N6\!1436A{NMBO< � 5z145H/FIR�b<?7`7 :=A��P\ � |@\ �?��� : <[/6U1O3lY6714ItU65H7`9CBO58�J58/=<[1OAg< � <?9CY6YF� <[9C9CI?BOU658/6NW1OI:581O7D/=<p14Y6B`A � y5H/6�[I��g7`�l5 : thA s 581`14AKB^IMBD<?/x145 � thA s 581`14ACB��H:581d5H7dSXY6/6U6<?�JAK/x1;<?Lr1OI�9KIM/67`5HU6AKBE1O36A_9CIM�G>6L8AK14A~7OY6>PACB`>iI?1OAC/x145H<?LW

:h58/69CL8Y6U65H/FN�:g5H/ >=<?BQ145H9KY6Lu<[B :9CI?/l1OBO58v6YF1458IM/67WU6Y6Ab1OI~/6IM/F>iAKB`14YFBOv=<[1O5 � AdA�'iAC9e147C\ ��I��^A � ACB*:�1O36Ab7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L^9KIM/67O58U6ACB`ACU'58/>6B`A � 5HIMYF7�7`AC9K1O5HIM/F7]U6IVAC7 /6I?1�5H/69KLHY6UFA�1O36IM7OA�9CI?/l1OBO58v6YF1458IM/67 viAK9q<?YF7OA�:M<[1 1436587�L8A � AKL :�1436AeaW<?BOA�3=<?B`U6L8a9CI?/l1OBOIML8Lu<?vFLHAc5H/wIMB`v658SXI?LHU9CIM/67Q14B`Y69K1O5HIM/67K\WmT3FACBOAeSXIMBOA#:�BOA��VYF5HBO58/6N 〈W 〉 14I � <?/6587O3ZU6IVAC7h/6I?1{<b'iAC9e1U658BOAC9e14Lza~143FA ����� 7{I?S�1436A� =AKLHU67

φi

: 9CIM/x14BO<?B`aZ1OI1O36ADuw<?/6U

Fu # <[14/FAC7O7c9CI?/6U6581O5HIM/F7r143=<[1{�DA

U6587O9CYF7O7OAKUw<?vPI � A[\

� - �A-�� � ������� �FB�4¬4 � 2/1 C�¬@ � �=9�1²257�% N�� ����

�sA_<?BOAZ/6I���5H/|>PIM7O5z145HI?/�14I � AKBO5zS a��g36Ae1436AKBE1O36AZIMB`v658SXIML8U � �o������5H/x1OBOIVU6Y69CAKU 5H/|7OAK9K1O5HIM/ |@\rq>PIM7O7`AC7O7`AC7�<~7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OBO5H9 � <?9CYFY6�#\ &Da_SXIML8LHI��g5H/6N�1O36Ab�GAK1O36I@UsU6AC7`9CB`5HvPACU'<?vPI � A#: �^AG =/6U143FA��r6Iy

I = s01 s0

2

(s03

)3 (s05

)3 (s08

) (s022

) (s035

)2 (s041

)3 (s043

)4 (s046

)3h4

2 h3 h55 h2

9 h213 h2

14 h20 h321 h6

22 � |@\ � � ��g581O3d/6Ae1T<?/6I?�b<?L8IMY67!9;3=<?B`NMA ∑

i qAi = −52/3

\ �sAkSXYFB`143FACBy58U6AC/x145zS aR143=<p1y7OI?�JA� =ACL8U67^7`3=<?BOAk1436A74<[�JAoNx<[Y6NMA �lY=<?/x14Y6��/VYF�:viAKBO7�~

s05 ↔ s0

12 ↔ s09 ↔ s0

16 , s08 ↔ s0

15 , s022 ↔ s0

24 . � |@\ � � �mT36AKBOAKSXI?BOA{�^A{9q<[/#9KIM/67O58U6ACB�< � <?9CYFY6��9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/��g36ACB`Ac1O36AW����7`5H/6NML8AK1O7 q

{si} = {s01, s

02, s

03, s

05, s

08, s

09, s

012, s

015, s

016, s

022, s

024, s

035, s

041, s

043, s

046, h2, h3, h5, h9, h13, h14, h20, h21, h22}

� |@\ �E|��U6A � ACL8IM>�/FIM/��CAKBOI ����� 7G�g3F5HLHAd1O36AEAe�@>PAC9K14<[1458IM/ � <?L8Y6AC7�I?Sh<?L8LyI?143FACBR =ACL8U67 � <[/65H7`3+\ ��5HACL8U67 s0i<?B`At7O58/6NML8AK147�Y6/6UFACBr<[LHL�/6IM/6<?viAKLH5H<?/#NM<?Y6NMAcS¢<?9K1OIMBO7k<?/6Uw3xaV>PACBO9;36<?BONMA#:+v6YF1h9q<?B`B`a � 3F5HU6U6AK/ � U(1)9;3=<?B`NMAC7 �� =AKLHU67

hi

<?B`ARU6IMY6v6L8AK1O7oY6/6U6AKB{1O36A�365HUFU6AC/SU(2)

<[/6Us9;36<?BONMAKU�Y6/6U6AKB{1O36AU(1) � 7{Ae� �9CAK>F1458/6N�3xa@>PACB`9;3=<?B`NMA � 9KS£\ 1;<[v6LHAK7z|@\ qW<?/6U �^\ ��� \R�AK1gY67�<?7`7OY6�GAr143=<p1�<?LHLP>=<?BQ145H9KLHAK7T<[1O14<?5H/ � <?LH�GIM7Q1 �!1O36Ao74<[�JA ����� 〈si〉 ≈ s

\ �=BOIM�jA�� \ � |@\�����g581O3tr tA = 170/3

SXIMBy143FAcI?BOv65zSXIMLHU�o�����W:6�^Ac7OAKAo143=<[1g1O36A �o6Dul14AKBO��587TNM5 � AC/vxa

〈DA〉 ≈ −52

3s2 +

g M2Pl

192π2

170

3. � |@\ �����

� " �=������®w�$ �° �5���P���c�_�����\�.���P��®��:�¥�s01, 2

��� $��!�|�0�����o�0�P�����������χ1, 2

° �i�P�T���������������w®�®n�|��¤:���A�!����������£������0�#����P���=�����w�#�����o�o��¤0�B−L

�����.��¤���w��� �P° �b°

��� � � � ���� � ��� � ��� � �� ������ !���� � � �

mT36AKBOAKSXI?BOA�:i5H/#IMBOU6AKB�SXI?B�1O36At9;36I?7OAC/ � <?9KY6Y6� 14IJviADu$# <p1]:=1436AWAe�@>PAC9K14<[1458IM/ � <?L8Y6AC7�I?S 1O36AR���7O58/6NML8AK147T7`36IMY6L8UEviA

s ≈ √g MPl × 10−2 ≈ � SXAe� � × 1016 �{A��t\

60/w1436A � <[9CY6Y6��9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/ � |@\ �x|�� :P1436AtNx<?Y6NMAW7`aV�G�JAe14B`a#NMB`IMY6> G4D

N?5 � AK/Z5H/#A�� \ � |V\ � �v6B`Aq<?�l7�7O>PIM/x1;<?/6AKIMY67`L8a�: <[7�A �@>iAK9K14AKU;:=14I

GSM × Ghidden , � |@\ �E����g36AKBOA

Ghidden = SO(8)\ 'kI[145H9KA�1O3=<[1 1436A^B4<?/6�{I?S

Ghidden

587 SXI?Y6BC\ mT365H7 �g5HL8Ll1OY6BO/tIMYF1 14IrvPA � ACBQaNMAK/6ACBO<?L 58/b�GI@U6AKLH7!�g581O3dBOAC<?LH587`14589TSXAq<[1OY6BOAK7T<?/6Ub�g58LHL LHAC<?Ud58/J143FAr/6Ae�V1T7`AC9e145HI?/b14It1O36Ar9KIM/ )`AC9e14Y6B`A1436<[1#�����#+ v6B`Aq<?�l58/6N'1436B`IMY6NM3 Nx<?YFNM5H/6I�9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/ IV9C9KY6BO7�N?AC/6AKB4<?L8L8a�<[1<?/ 5H/x14AKBO�GACU65H<[14AAC/FACBON[aE7O9q<[LHArSXIMBTB`Aq<?L85H7`1O5H9r3FAK14AKBOI?1O5H9oIMB`v658SXI?LHUd�GI@UFACLH7K\�=IMBW9KIM�G>6LHAe14AC/FAC7O7*: LHAe1tYF7:<?U6UFBOAC7`7

Fu$# <[1O/6AC7`7t5H/�1436AJIMBOvF58SXIML8U � �o�����t\dm I � AKBO58S a_�g36Ae1436AKB143F5H7 � <[9CY6Y6� 5H7W<?L87OI

Fu$# <p1]:��DAJ�DIMY6L8U2/6AKACU2143FAb7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L

WY6>s14IZ<?/xa�IMB`U6ACBW5H/'���

7O58/6NML8AK147K\ u AC<?LH587`1O5H9q<[LHL8a�:M�^A{3=< � A{1OI�7`14I?>9KIM�G>6YF1458/6N:143FAo7OY6>PACB`>iI?1OAC/x145H<?L�<[1T<�N?5 � AK/EIMBOU6AKBC\��sA9CI?/67O58U6ACBg36AKBOA�:6SXI?BT7O5H�G>6L85H9C5z10a�:l1436A{IMB`U6ACB � 7`5z��7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?LW = s0

32h5(s05h1 + s0

12h2) + (s015h15 + s0

8h13)(s042 + s0

43)(h23 + h25)

+ (s022h14 + s0

24h16)(s042 + s0

43)(h18 + h20) � |V\ �|v��+ h22(s

05h3 + s0

12h4)(s041(s

026 + s0

28) + s032(s

042 + s0

43) + s035(s

045 + s0

46))�

mT36A�B`AC7OYFL81458/6NFul14AKBO�G7:<?B`A�>6BOI � 5HUFACU'5H/�A��l7C\ � �^\ ����� \ �sAdIMv67`ACB � A�143=<p1:�g581O3'/6IM/ � <?/65H7`365H/FN

����� 7tSXIMBW1436Ad =AKLHU67 � |@\ �E|���: 1436AKBOAE<?B`A�7`1458LHL�7OIM�GAd/6I?/��CAKBOI Fux14ACB`�J7*:n5H�G>6L8aV58/6N1O3=<[1R7`IM�GAdI?S

143FIM7OA =ACL8U67J7`36IMY6L8U�3=< � A~14B`5 � 5u<?L ����� 7C\ �kI��DA � AKB :�<?7G�^A#3=< � A~�GAC/x1O5HIM/6AKU�vPAKSXIMB`A�:yI?/6A~9C<?/<?B`NMY6Ah1O3=<[1]:@58S��DAoNMIt1OIR365HNM3FACB^I?BOU6AKBO7T5H/W

:@/6IM/x14B`5 � 5u<[Li7`IMLHYF1O5HIM/F7D14I:<?LHL Fi = 0A��lY=<[1458IM/67y9C<?/

vPAtSXIMY6/6U \ S 7o<J�b<[1`14AKBkI?SnS¢<[9K1]:P�^A: 6/6Uw143=<p1r58S]�^ARNMIJ14IdIMB`U6ACBkAC58NM3x1r5H/#1436A:7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L :7OYF9;3~/6IM/x1OBO5 � 5H<?L 7`IMLHYF1O5HIM/F7TAe�@5H7Q1q\ �

� ��� �� � � �� �� � �A� � � � � ��J���¬ ?"60/:143FAy>6BOA � 5HIMY67�7OAK9K1458IM/;:?�DAT3=< � ADSXIMY6/6U:1O3=<[1 7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OBO5H9 � <?9CY=<r9C<?/:vPAT<?9;3658A � ACU�5H/:�o�p���9q<[/6U65HU6<[14AK7 � <[1gL8Aq<?7Q1g<[1g>PACB`1OY6BOv6<[145 � A�¡LHA � ACL �e\ ��I��^A � ACB*:P<?7k��� �#+2587yv6BOI?�?AC/5H/E/=<p14Y6B`A�:6B`Aq<?L85H7`1O5H9�GI@U6AKLH7+7`36IMY6L8Ut<[U6�J5z1+7`>iIM/x14<?/6ACI?Y67 ��� �#+�v6BOAC<?�l5H/6N�<[1 <[/W58/l1OACB`�JAKU65u<[1OA 7O9C<?LHA[\ u AC�J<?B`�[<[v6L8a�:�581�587�l/6I��g/G1O3=<[1n58/R�JI?7`1 N = 1 � <?9CY=<{��� �#+w5H7]v6BOIM�[AC/G7O>PIM/x1;<?/FACIMY67`L8atvla:/6IM/6>PACBQ14Y6B`v=<[145 � ATA�' AK9K147K\�rY6B^YF/6U6ACB`7`14<?/6U658/6N:I?S�/FIM/6>PACB`1OY6BOv6<[145 � AhvFBOAq<[�V58/6N:I?S+7`14B`5H/6Nc1436AKIMB`aJ5H7D<?7�aMAK1 � ACBQabL85H�G581OACU;:xv6Y@1vPACLHI���1O36Ah7Q14B`5H/6NW7O9q<[LHAg�^Ak9q<?/b�DIMB`�G58/J1O36AhA�' AK9K145 � A �VY6<?/x14Y6�� =ACL8UJ1O36ACIMBQaM\S60/6UFACACU :@143FACBOAk5H7D<BOAC<?7OI?/=<?v6Lza{9CIM36AKBOAK/l1 Y6/6U6AKBO7`14<?/6U658/6NrI?S6/6IM/6>PACBQ14Y6B`v=<[145 � ADv6BOAC<?�l5H/6NkI?SP�����#+5H/c =ACL8UW1O36ACIMBQa�:x<[/6U143FAbLHI����VAK/6ACB`N?a_1436AKIMBO58AC7cAC�GACB`NM5H/6N9:�58/�>=<?BQ14589CY6LH<?B :�SXBOI?� 3FAK14AKBOI?1O5H9GIMBOvF58SXIML8U67c<?BOA�10aV>65H9C<?LHLzaZI?S143FAc10aV>PAt5H/E�g36589;3~1436587gv6BOAC<?�l5H/6NJ3=<?>6>PAC/67K\gmT365H7g14IM>F5H9{5H7 �lY6581OAW58/ � IML � ACUw<?7�1O36ACB`At<[BOAc7OA � ACBO<?L7`aV�G�JAe14BQa�¡v6BOAC<?�l5H/6NZ�GAC9;36<?/65H7`�J7*:n7OY69;3�<?7RNM<?Y6NM58/6I~9KIM/6U6AK/674<[1O5HIM/ :�58/67`14<?/x14IM/F7:IMB:9KIM�J>PIM7`5814ANMIML8U67`1O5H/6I?7C\� �i�P�F�o�0������®´������� �b�²��������®w®�� � $²����®����P®w� ������� ���P�F���P���P�����P£b���¬�����#�P���c��°

������������� ��������� ������ ��� ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

60/wIMB`v658SXIML8UE�JIVU6ACL87T�g58143#BOAC<?LH587`14589rSXAq<[1OY6BOAK7 : 1436AKBOAt<?BOA{SXBOA��VYFAC/x14Lzaw<?UFU6581O5HIM/=<[L � /6I?/=<?vPACLH5H<?/ �Nx<?YFNMAo7`aV�G�JAe14BO58AC7^1O3=<[1gB`AC�J<?5H/dYF/VvFBOIM�[AC/A � AK/w<[S 1OACBT<[LHL A �@I?14589C7T3=< � Ac<?9��lY65HB`ACUELu<?B`NMAr�J<?7O7`AC7K\mT36587�3F5HU6U6AK/~7`AC9K1OIMB �Ghidden

Y67`Y=<?L8L8ad9KIM/x1;<?58/67gLH5z1O14L8ArIMBg/6IG�b<p1O14AKB�<[1k<?LHL \nmT36AC7`A:<?B`AW>6B`AC9K5H7OAKL8a143FA�58/6NMB`ACU658AC/x147d1O3=<[1E9q<[/ 1OBO5HN?NMACBd7`>iI?/l14<?/6AKIMY67~��� �#+ v6B`Aq<?�l5H/FN � 5H<f3F5HU6U6AK/ 7OAC9e14IMBENx<[Y6NM5H/FI9CI?/6U6AC/F74<[1O5HIM/������ �����I:� � �� \

� <[Y6NM5H/FI29CIM/FU6AC/67O<[1458IM/|IV9C9CYFBO7d�g36AK/ I?/6AwIMBd�GIMB`A~Nx<?YFNMAwNMB`IMY6>67d58/�1436A~365HU6UFAC/|7OAK9K1OIMBvPAC9CI?�JAT7Q14BOI?/6NML8at9CIMYF>6LHAKUb<[1�<[/G58/x14ACB`�JAKU65u<p14Ay7`9q<?L8A

Λ\]m IcU6AK1OACBO�G5H/FAy1436ATA �6<[9K1D7O9q<[LHAT5H/:�g3F5H9;3

581�3=<[>6>iAK/67 : �DAt/6AKACU~1OIb�l/6I�� 1436AWBOY6/F/65H/6NGI?S 1O36Ac9CIMY6>FLH5H/FNJI?S�1436AW365HUFU6AC/#7OAC9e14IMBK\�6¡1h587kN?5 � AK/vxag2

Ghidden(µ) ≈ 1

g−2(MGUT) − βhidden ln(M2GUT/µ2)

, βhidden =b0

16π2, � �@\ �����

�g36AKBOAg587y1436AoSXIMY6B 0U658�JAK/67O58IM/=<?L � 7Q14B`5H/6N �^9KIMY6>6L85H/6NR9KIM/67Q1;<?/x1�NM5 � AC/vxa g−2 = e−2〈φ〉 = Re〈S〉 :<?/6U

b0

5H7o1O36AG�DACL8L!�V/FI��g/�viAe1;< ¡9CIVA� G9C58AC/x1{�g365H9;3sU6AC>PAC/6UF7tIM/�1436AGNx<?Y6N?AGN?BOIMY6>Ghidden

<[/6U143FA � 3658U6U6AC/ �J�b<p1O14AKBb9KIM/x14AC/x1C\�mT36A R <?/FU=<?Y|>PIMLHA#I?S{1436AZ3658U6U6AK/|7OAC9e14IMB�587bU6Ae14AKBO�G5H/6AKU|vlag2

Ghidden→ ∞ \ ��AC/69KA�:=�DAWIMv@1;<?58/

Λ ≈ MGUT exp

{− 1

1

g2(MGUT)

}, � �@\ ��� �

�g36AKBOA~�DAw3=< � AZI?�J5z1O14AKU�1O36AwLH<?viAKLhidden

14I2�[ACAK> 1O36A~B`AC7`Y6L81O7d7O36I?B`1q\ 'kI?1OA~1436<[1J1O36Aw7`9q<?L8AΛ5H7tvPACL8I��-1436AJ7`1OBO5H/FN � <?/FU��$��� �{7`9q<?L8A�: v6Y@1R<?vPI � AJ1O36Ab7`9q<?L8AJ�g36AKBOA�<[/la�I?ST1O36AbI?v67OAKB � <?v6L8ANx<?YFNMAkN?BOIMY6>F7^vPAC9CI?�JAk7`14B`IM/6N6\��?Y67`1g<[7D�g581O3��lY=<?B`�l7y5H/������g:x143FAh7`1OBOIM/FNR<[1O1OB4<?9e1458IM/J9C<?Y67`AC7y143FA

Nx<?YFNM5H/6I?7^14IG9CIM/FU6AC/67`A�������q:〈λλ〉 ≈ Λ3 . � �@\ � ���

S 7G5H/������d:D1O365H7�9CI?/6U6AC/F74<[1OA~v6B`Aq<?�l7J<�9;3658B4<?LT7QaV�J�GAK1OB`a�:Dv6YF1J5H/'143FA#>6YFBOA7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OBO589Nx<?YFNMAr1436AKIMB`a � 9CI?/l14<?5H/F5H/6NRIM/FL8adNM<?Y6NMA{vPIM7OIM/<?/FU#Nx<[Y6NM5H/FIM7 �D5z1gU6IVAC7g/6I?1gv6B`Aq<?���� �#+^\60/�7`14B`5H/6Nk1436AKIMB`a�:l1O36A^ =AKLHU67nI[SP1O36Ay3658U6U6AK/G7`AC9e14IMBn9KIMY6>6L8A^14IoIM/FAy7O>PAC9K5u<?L@�JIVU6Y6L85 :p/=<?�GACL8ac143FAU658Lu<[1OIM/

S\o60/J>=<[B`14589CY6LH<?B :M1O36Ak<?Y@�@5HL85u<?BQat =AKLHUGI?S

S9KIMY6>6L8AC7!14Ic1436A � 3658U6U6AK/ � Nx<?Y6NM58/6IM7!5H/FU6Y69C58/6N�:<[1g7`9q<?L8AC7gviAKLHI��

Λ:=<R/6IM/6>PACBQ14Y6B`v=<[1O5 � A{A�' AK9K145 � Ac5H/x14AKB4<?9e1458IM/ � 9KIM�J>6<?BOAr�g5z143EA�� \ � �@\ ��� � �

FS 〈λλ〉 ≈ FS Λ3 ≈ FS M3GUT e−

32β

S . � �@\ � ���6¡1�5H7tY67OY=<[L^14I_U6Ae =/6Ad143FA>6<?B4<?�GAK1OACB

a ≡ 3/2β1O3=<[1 :�58/f<~�y<qa�:D9C<?/fviA�Y67`ACUf14IZU6Ae14AKBO�G5H/6A

�g36Ae1436AKBr��� ��+2v6BOAC<?�l5H/6N�IV9C9CYFBO7k<[1�<RBOAq<[LH5H7Q14589rAC/6AKBON?ad7O9q<[LHA � 7`ACA{A?\ N6\!BOAeS£\�� � � � � \mT36AcAe�@5H7Q14AC/F9CAcI?S]7`Y69;3~9KIMY6>6L85H/6NR58�J>FLH5HAK7y<?/EA�' AK9K145 � Ac/6IM/6>PACBQ14Y6B`v=<[1O5 � A{7`Y6>iAKBO>PI?14AK/x145u<[LW ≈ M3

GUTe−aS , a =3

2β. � �@\ � � �

mT36587h7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L v6B`Aq<?�l7r7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OB`aM\"!hAK7O>65z14AW1O36AWS¢<[9K1h1O3=<[1h<JNM5 � AK/w�JIVU6AKL 9KIMY6L8U~vPA7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14B`5H9{<[1k<?L8L IMB`U6ACB`7�I[S]>PACBQ14Y6B`v=<[1458IM/�1436AKIMB`a�:=/6IM/6>PACBQ14Y6B`v=<[1O5 � AKL8a�:F1436Ao1OACBO�

FS =∂W

∂S≈ −aM3

GUTe−aS � �@\ � � �� �Y�����´¤:�8���b�²� �*��� �����w���0�A�0�#����� ¤0��®w®��w�$#.�P�����o�0� �.��¤�����&%¬���������²�A���P���������0��$²���P®��=�A���.���0�('���° �b°h���P� � � ���£����.����¤0®w�T��£b��¤�����P�*)��|�T�P��¤¥����������� �����o�0�

Ghidden

°

� � � � � ���� � ��� � ��� � �� ������ !���� � �

5H7�/6IM/��CACB`IR<?/6U :V1O3VYF7 :FvFBOAq<[�V7T��� �#+^\�� YFB`143FACBO�GIMB`A�:x1436AF�x14ACB`��5H/GA�� \ � �@\ � � � LHAq<[U67D1OI S → ∞<[1r1O36AR�G5H/658�:Y6� I?S!143FA:BOAK7OY6Lz145H/FN�7O9q<[Lu<?Bk>iI?1OAC/x145H<?L \omT3F5H7o5H7k1436A:/FI?14IMB`5HIMYF7rU65HLH<[14I?/~BOYF/ £<q�^<�a

>6B`IMv6LHAK� 143=<p1 <?>F>iAC<?BO7�5H/c�JIVU6ACL87��g58143t<k7`5H/6NML8ADNM<?Y6NM58/6Ig9CIM/6UFAC/67O<[14AT<[/6UR<k9KLu<?7`7O589q<?L � Y6/65 � ACB`74<?L ����?36L8ACBT>PI?14AK/l1O5u<?L

K = − ln(S + S) . � �@\ � ���m Ib7OI?L � A{143F5H7�>6BOIMvFLHAC�_:=IM/6Ac9q<[/~AC5z1436AKBkAK�J>FLHI�a��:Y6Lz1458>6LHArNM<?Y6NM58/6IJ9KIM/6U6AK/674<p14AC7hIMBg/6IM/6>PACBQ14Y6B v=<[1O5 � AT9CIMB`BOAC9e1458IM/67]1OIr1436A����?36L8ACB >PI?1OAC/x145H<?L \m60/�IMBOv65zSXIMLHUW�JIVU6AKLH7 :?/6A � ACB`1O36ACL8AC7`7 :l1436Ay =B`7`1!IM>@145HI?/5H7kNMAC/FACBO589q<?L8L8a�B`Y6LHAKUwIMYF1h7O58/69CAc1436AKBOA:587k�GIM7`1OL8a)`Y67Q1oIM/6AWY6/lv6BOI?�?AC/_Nx<[Y6NMAtN?BOIMY6>#S¢<?9K1OIMBk58/~143FA3658U6U6AC/b7OAC9e14IMBDIMB!1436Ak9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/d7O9C<?LHA�I?S <c>iIM7`7O58v6LHA�7OAK9CIM/6U�3F5HU6U6AK/bNx<[Y6NMAkS¢<[9K14I?BD587�1OI@IcLHI��� <[7W587{1O36AG9q<?7`AJSXIMB{A?\ N6\ SU(2)

I?BSU(3)

� \dmT3lY67 :]�DAd<[BOA�LHAeS 1c�g5z143�1436AG7OAK9CIM/6U�IM>F1458IM/�IM/6L8a?\6¡1T9KIM/67O587`1O7y5H/E<?�GAC/FU65H/6Nc1436Ah9CLu<[7O7O589q<?L���?36LHAKB^>PI?14AK/x145u<[LPSXIMB�1436AhU65HLH<[14IM/Jvxa�<:/6IM/F>iAKB`14YFBOv=<[1O5 � ASXY6/69e1458IM/=<?L SXI?BO�_:F7OYF9;3#1436<[1

K = − ln(S + S) + ∆Knp . � �@\ � ���mT36ArSXY6/F9K1458IM/=<?LPSXIMBO�jI?S

∆Knp

36<?7yvPACAC/7`1OY6U658ACU�5H/d1O36ArL85814AKB4<[1OY6BOA � � � � � � � v \ � I?By<tS¢< � IMBO<?v6L8A9;36IM589CAGI?S�1436AG>=<?BO<?�JAe14AKBO7 : 143F5H7o9CI?BOBOAK9K1O5HIM/s<?LHL8I��g7oIM/6A�14I7`1;<[v65HL85�CAW1436AGU65HLH<[14I?/_<[1W<B`Aq<?L85H7`1O5H9� <?LHYFA�: Re S ' 2

:y�g3F5HLHAv6B`Aq<?�l5H/FN�7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14BQa � � � � : � � � � � � � \ mT36AT�l�JIVU6Y6L85T9q<?/�vPA

7`14<?v658LH5�KACU#<[1h1O36At7O<?�GAW1458�JA{vxa#5H/69KLHY6U658/6NT�lU6AC>PAC/6UFAC/69KAR5H/#1O36At7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L�B`A��lY658BOACU~vla

T�VU6Y=<[LH5810a � � ����:�� �?�� \J60/Z7O58�J>6L8AWA �F<?�J>FLHAC7*:i1O36A:I � AKB4<?L8L T

�V�GI@U6YFLHY67�5H7k7`1;<[v65HL85�CAKUw<[1k1436AR7`ACLzS �U6Y=<[L]>PIM5H/x1k7OY69;3Z1436<[1

FT = 0\rmT36587rLHAC<?U67k1OIdU658Lu<[1OIM/#UFIM�J58/=<[1OACU_��� ��+�v6B`Aq<?�l5H/FN6\hmT36AKBOA�<?B`A

�J<?/xa:>6B`IMv6LHAK�J7!<p1O1;<[9;36ACU�14I{�GI@U6YFLH5F7Q1;<?vF5HLH5��q<[1O5HIM/c143=<p1]:l5H/R>6B`5H/69K5H>6L8A�:M9C<?/G3=< � A�7OIM�GAT5H/ #6Y6AC/69KAIM/EIMY6BgB`AC7OYFL8147K\ �kI��^A � AKB : 1436AeaE<?BOA{vPAKa?IM/6UE1436A{7O9KIM>PAcI[S]143F5H7y143FAC7O587C\6¡S@1O36AnU658Lu<[1OIM/r5H7 7`1;<[v65HL85�CAKU{<[1 <TBOAC<?LH587`1O5H9 � <?L8Y6A Re〈S〉 ≈ 2

:�Nx<?Y6NM58/6Iy9KIM/6U6AK/674<[1O5HIM/o1OB4<?/67`Lu<[1OAC75H/x1OI{�����#+wvFBOAq<[�V58/6Nr�g581O3t143FATNMB4< � 581O5H/6Ik�b<?7`7 U6Ae14ACB`�J58/6ACURvxaW1436A ����� I?S 1O36A � 3F5HU6U6AK/ ��Nx<[Y6NM5H/FI9CI?/6U6AC/F74<[1OA����|v

m3/2 ≈〈λλ〉M2

Pl

≈ Λ3

M2Pl

. � �@\ � ���60/>=<?B`1O5H9KY6Lu<?B*:F/6I[145H9KAr143=<p1

Λ ∼ 1013 � A�� � �@\ � v��LHAC<?U67r1OI1O36A�NMB4< � 581O5H/6I��J<?7O7o58/Z1436AGm�A��jBO<?/6NMA[\L6¡1{587{9CLHAC<?Br1436<[1oSXIMBo9CAKB`14<?5H/ � 3658U6U6AK/ �hNx<?Y6N?ANMB`IMY6>67�<?/6UE�J<[1O1OACBT9KIM/x14AC/x1 :Λ9C<?/viA{5H/�1O36AoBO58NM3x1gB4<?/6N?A?\R�AK1:YF7t>PIM5H/x1WIMYF1c143=<[1 :]A � AC/f5zS^143FAb7O9C<?LHAGI?STNM<?Y6NM58/6I#9KIM/6U6AK/674<p145HI?/25H7W<?U6A��VY6<[14A � ∼ 1013

� A�� �H:i1436AKBOAG<?BOAR�J<?/xa~S¢<[9K14I?BO7o143=<p1{9q<?/�<b'iAC9e1W5z1q\�60/s>=<[B`14589CY6LH<?B :P1436AKBOAG<?B`AR7`14B`5H/6N�1O36BOAK7O36IML8U9CI?BOBOAK9K1O5HIM/67 � � � � � � ������g365H9;3�L8Aq<?U�14I�UF5('iACBOAK/x1dNx<?YFNMA~9KIMY6>6L85H/6NM7G5H/�1436A � 587O58v6LHA#<?/6U�3F5HU6U6AK/7OAK9K1OIMBO7K\ � 36ACB`Aq<?7d58/�1O36A � 5H7`5Hv6L8A#7`AC9K1OIMB :gU6YFA~14I2NM<?Y6NMA#9CIMY6>FLH5H/FN�Y6/65z =9q<p145HI?/;:yIM/6A#BOA��VYF5HBOAK7g−2(MGUT) ≈ 2

:658/�1436A{3658U6U6AC/7OAK9K1OIMBg7`14B`5H/6NR1O36BOAK7O36IML8U#9KIMBOB`AC9e145HI?/67T9q<?/#<?Lz14ACBT5z147 � <?L8Y6Ao<?7g−2hidden(MGUT) ≈ 2 (1 − ∆) , � �@\ � ���

�g36AKBOA∆>=<?BO<?�GAK14B`5�KAC7G7OY69;3|9KIMBOB`AC9K1O5HIM/F7C\z60/�143F5H7b9C<?7OA#:y1436A#BOY6/F/65H/6NsI?Sr1O36A~3658U6U6AK/�Nx<?Y6N?A

9CI?Y6>6LH58/6NR9;3=<?/FNMAC7k<?/6U;:=3FAC/69KA�: 7OI�U6I�1436A{9KIMBOB`AC7O>PIM/6UF5H/6N�9CI?/6U6AC/F74<[1O5HIM/7O9C<?LHAb~Λ ≈ MGUT exp

{− 1

2β2(1 − ∆)

}. � �@\ � � �

������������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

� <��

11 12 13 14 15 16 17log10 H�GeVL

0.51

1.52

2.53

3.54

gHΜL D=00.1

0.20.3

� v �

11 12 13 14 15 16 17log10 H�GeVL

0.51

1.52

2.53

3.54

gHΜL D=00.1

0.20.3

����� ����� ��� � ������� � ����������������� ��� � � ��������������� ���!��� � � Ghidden = SO(8)� ����"��#�$���&%('� � �� ����% � " Ghidden = SU(4) ) �+*-,.�$���/%��#01�2���2� �3���������������&%������������2���&�����

∆ �

60/_1436AG/6Ae�V1c7OAK9K1O5HIM/;: �DAG�g58LHL]36< � AG1O36AGIM>6>PIMB`1OY6/65810a#14I7OAKAJ36I���1436AK7OAG9CIMB`BOAC9e1458IM/67c<b'iAC9K1c143FAv6B`Aq<?�l5H/FNGI[S]7`Y6>iAKBO7Qa@�G�GAK14BQaM\

� - � -0/ ����� � , �@ ��.�%¬254K;H90; C�=@ � �89�1²2F7�% N�� � ��

60/_7OAK9K1458IM/��@\ �@\ � : �^A�3=< � AG7`ACAK/�1O3=<[1{5H/_<[/s<[U6�J587O7`5Hv6L8A � <?9KY6Y6�}9KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/w1O3=<[1o>6B`AC7`ACB � AC7�����#+�<[1k365HNM3~AC/6AKBONM58AC7 � <?7h3F5HNM3Z<[7k143FAt7`1OBO58/6Nd7O9C<?LHA �g1O36AtY6/lv6B`IM�?AK/_365HU6UFAC/w7`AC9K1OIMBr587kB`ACU6Y69KACU14IGhidden = SO(8)

\�� YFB`143FACBO�GIMB`A�: �^AdI?v67OAKB � AJ143=<[1c143FACBOAb<?BOAG7OI?�JA 8�V>6LHAe147c5H/_1436587W7`AC9e14IMB

� 9eS£\]1;<[v6LHA"�@\ ���e\�mT36AC7`Ah7Q1;<[1OAC7^9C<?/GviA�7O>6L8581!58/�10�DIt7`AK1O7 :@�g3F5H9;3JSXI?BO�-�J<?7O7n1OACBO�G7!5H/6UFAC>PAC/6U6AK/x14L8a� 7`ACA{1;<?vFLHA �^\ ��� \S60/1O36A � <[9CY6Y6��9CIM/F 6NMY6B4<p145HI?/ � �@\ ������:61436AK5HBT�J<?7O7T�J<[14B`5H9KAC7g<?B`AoNM5 � AC/vla

Mww =

s s5 0 s5 s5

s5 s 0 s5 s5

0 0 0 s3 s3

s5 s5 s3 s6 s6

s5 s5 s3 s6 s6

, Mff =

(0 s3

0 s3

). � �@\ � ���

mT36At 6BO7`1rI?S 143FAC7OAR�J<[1OBO5H9KAC7�3=<?7r�J<p�@5H�J<?L+BO<?/6�b:+v6Y@1hSXBOI?� 1O36A:7`AC9CI?/6UZ�b<p14BO5 �E1436AKBOAW5H7r<J>=<?5HBf, f

1O3=<[1�7`14<qa@7g�J<?7O7`LHAK7O7gY6>E14I�AC/FACBON?5HAC7gL8I��DACBT1O3=<?/MGUT

\R�AK1!Y67!>6B`I@9KACACUR1OIc9KIM�G>6YF14AD1436AgNMBO< � 5z145H/FIr�b<[7O7 m3/2

\��sAy�g5HL8LFB`A��lY65HB`Ay1436ATvPAK14< 09KI@A G9C5HAK/x11436<[1g9q<?/vPAc9KIM�G>6YF14AKU#vxa

bSO(2N)0 = 6 · (N − 1) − #(2N

�V>6LHAe147) ; � �@\ � ���

5H/�IMY6Bt9C<?7OA�5z1t587b0 = 16

\wmT3FACBOAeSXIMBOA#:n�g58143s1436AdB`Aq<?L85H7Q145H9 � <?L8Y6AJSXIMBc1436Ab7`1;<[v65HL85�q<p145HI?/�I[S�1O36AU658Lu<[1OIM/;:Re〈S〉 ≈ 2

:F�DAWI?vF1;<?58/dSXBOIM��A�� \ � �@\ ��� �

Λ ≈ MGUTe−π2 ≈ 1012 � A��, � �@\ � � �

� � � � � ���� � ��� � ��� � �� ������ !���� � � �

�g3=<[1t5H/�1OY6BO/sa@58ACL8U67W1O36AdNMBO< � 5z145H/FI#�J<?7O7 m3/2 ≈ 1� A��:\ mT36587t7O9C<?LHAb5H7c>636AC/FIM�JAK/6IML8IMNM5H9C<?LHLza

Y6/=<[9C9CAK>F1;<[v6LHAgvPAC9q<[Y67OAT1436<[1!7O9C<?LHAT3=<[7nviAKAC/J<?LHB`Aq<?UFaWBOYFLHACU�IMY@1!vla:Ae�@>iAKBO58�JAK/l1C\ ��I��DA � ACB*:6<?7 �DA�GAC/x1458IM/6ACUJviAeSXIMBOA#:@1O36BOAK7O36IML8Ud9CI?BOBOAK9K1O5HIM/67�9q<[/d�JIVU65zS a:1436587^7`9q<?L8A?\{60/bS¢<[9K1]:@vxaJYF7O5H/FN:A��l7C\ � �@\ �����<?/6U � �@\ � � � :+�DAR =/6UZ1436<[1o1436B`AC7`36IMLHUZ9KIMBOB`AC9e145HI?/67oAC/636<?/69CAR1O36A�7O9q<[LHA:I?SDNx<?YFNM5H/6Ib9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/<?/6U : 1436AKBOAeSXIMBOA#: <?LH7`Id1436A:N?B4< � 581458/6Id�J<?7O7K\s60/_ 6N6\ � �@\ � ���^AR>FBOAC7`AC/x1{1436ARB`Y6/6/658/6N�I?Sn1O36ARNx<?Y6N?A9CI?Y6>6LH58/6N

g(µ)SXIMB�10�^I'U65 ' AKBOAK/l1b9q<?7`AC7K\ �]58N6\ � �@\ ��� � <���5HLHL8Y67`1OB4<[1OAC7R143FA~5H/ #=Y6AC/F9CA~I[S{U65('iACB`AC/x1� <?LHYFAC7rI?S ∆

IM/w1O36A:vPAC3=< � 5HIMBhI?Sn1436ARNM<?Y6NMAW9CIMY6>FLH5H/FN6\ �sA:/6I?1O5H9CAW143=<[1hSXIMB ∆ = 0�^ARB`AC9KI � ACB143FAtBOAK7OY6Lz1rNM5 � AK/w5H/#A�� \ � �@\ � � �y�g36ACB`Aq<?7hSXI?B ∆ = 0.3

1436AW9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/w7O9C<?LHAWviAK9CIM�GAC7h<?LH�GIM7Q11014

� A��:\ 60/: =N6\ � �@\ ��� � v � :?�^A^9CIM�G>=<?B`AyIMY6B�BOAC7`Y6L81]�g58143:<h9q<?7`Ay�g36ACB`Ay1436A^365HU6UFAC/R7OAK9K1OIMB 3=<?7 <?/SU(4)

Nx<[Y6NMA�NMBOIMYF>b<?/FUb/6Ic�b<[7O7OL8AC7`7D�J<[1O1OACBn58/G1O3=<[1�7OAK9K1OIMBC\ �sAk�G5HN?3l1!7O<qaR143=<[1�143FAk7`5814Y6<[1458IM/5H/

SO(8)5H7:7`IM�GAK�g3=<[1:viAe1O14AKB:143=<[/'5H/

SU(4)\ �kI��^A � AKB :D�DA��:Y67Q1�BOAK9q<?L8L�1O3=<[1:1O36ACB`AE<?BOAdI[S9CI?Y6BO7`A�I?1436AKB:S¢<?9K1OIMBO7:1O3=<[1R9C<?/�<b'iAC9K1:IMY6BRAC7Q1458�b<[1OAC7K\ �=IMBWAe�F<?�G>6LHA#:!�DA�3=< � AE/6I[1RU6AC7`9CB`5HvPACU>6B`AC9C587OAKL8a_1436Ab�JAK9;3=<?/6587O��14Iw7Q1;<?vF5HLH5��CA�1436AJU65HLH<[14I?/+\ � YFB`143FACB :��^A�3=< � AdY67OAKU21436Ab7`aV�:vPIML �≈ �5H/s�b<[/la_I[SgIMY6BcA��lY=<[1O5HIM/67WviAK9q<?YF7OAb1O36IM7OA � <?LHY6AK7:<?B`AJ/FI?1:>6B`AC9K5H7OA[\#mT3FACBOAeSXIMBOA#:n5H/�1436587W7Q14Y6UFa143FA��JIM7Q1R5H�G>PIMB`14<?/x1:BOAK7OY6Lz1R5H7W143=<[1t1436A�7`9q<?L8A�I?Sh��� �#+ L85HAC7:<?BOIMYF/6U21436A�>F36AC/6I?�JAK/6IMLHI?NM5H9C<?LHLza

5H/x1OACBOAK7`1O5H/6N�5H/x1OACB � <?L \

� - � -�� ����� � , �@ ��.�%¬254K;H90; C�=@���� 9:;=9 N���� �F;0%=JQB �T6*@S S 1OACBo3=< � 5H/FN#A �6<[�J58/6ACU_7OI?�JARI?S�143FAG�GIM7Q1o5H�G>iI?B`1;<[/l1o<?7O>PAC9e147{I?SDNx<?Y6NM58/6I�9CI?/6U6AC/F74<[1O5HIM/;:��DA�DIMY6LHURL85H�[AD14Io9KIM/x1458/VYFAyIMY6B 7Q14Y6U@a:IM/:1O36Ay7OAe1!I?S �o���p� ¡9q<?/FU65HU=<p14AC7]IMvF1;<[5H/6AKU:5H/t1O36ATLu<[7`1 9;36<?>F14AKB143FBOIMY6N?3�<_7OAC<?BO9;3�N?Y65HU6AKU�vxafNMBO<?/6U�Y6/65z =9q<[1O5HIM/ \ �sA3=< � A#SXI?Y6/6U � ���_IMBOv65zSXIMLHU'�GIVU6ACL87 � 9KS£\1;<[v6LHA � \ � �D�g5z143�1436AoSXIML8LHI��g5H/FN:>6BOI?>iAKB`1458AC7�~

• �p� Nx<?YFNMA{NMBOIMYF>E1O5H�GAC7g<?UFU6581O5HIM/=<[LiNx<[Y6NMArS¢<?9e14IMB`7 :• /6I?/=<?/6IM�J<?L8IMY67{3xa@>PACB`9;3=<?B`NMAdI?ST1O36A � ACIMB`NM5 � LH<?7O3FI�� 10aV>iA#: 5 \ A?\9CI?/67O587`14AK/x1:�g581O3�Nx<?YFNMA

9CIMY6>FLH5H/FNRY6/658 69q<[1O5HIM/;:• 1436B`ACAW�o���p���b<p1O14AKBTNMAC/FACB4<p145HI?/67T>6LHYF7 � AC9e14IMB`LH58�?A{Ae�@I?1O5H9C7*:• <?LHL � AC9e14IMB`LH58�?A{Ae�@I?1O5H9C7�<?B`AoU6AC9KIMY6>6L8ACUESXBOIM� 1436A{�J<?7O7`LHAC7`7g7O>PAC9K1OBOY6�\

60/EIMBOUFACB^1OIR74< � Ao7`IM�JAh9CIM�G>6YF14<[1458IM/b1458�JA#:V�DAo3=< � A{58�J>PIM7OAKU�<?/E<?UFU6581O5HIM/=<[LP9KIM/67Q14B4<[5H/x1TIM/�143FA�GI@U6AKLH7K\ 'h<[�JAKL8a�:M�DA�3=< � A�U6AC�J<?/6U6AKUJI?/6AT14BO58LH58/6Aq<?B�9CIMYF>6LH58/6N{I?Si1O36Ag10a@>PA q ` u�g36589;3J�G5HNM3x1!vPA

BOAK7O>PIM/67`5Hv6L8ArSXIMBy1436A{36AC< � aE�J<?7`7TI?S�1O36Ao14IM> �lY=<?B`�P\ S L8143FIMY6NM3�143F5H7T9CI?/6U6581O5HIM/�587T/6I?1�<?B`v6581OB4<?BQa�:581W5H7t<?LH7`I~/6I[1:5H�G>PACB4<p145 � A�7O5H/F9CA�<~3FAq< � as1OIM> �lY=<?B`�s�G5HNM3x1t<?LH7`Iw<?>F>iAC<?BW1O36BOIMYFNM3'<?Lz14ACB`/=<[1O5 � A�GAK143FI@U67K\ �kI��DA � AKB : SXIMBT9CI?/67O587`14AK/69Ka�:=�^A{�g5HL8L 7`1O5H9;�b1OIR143=<[1�9KIM/67`1OB4<?58/x1g5H/�1436587T7OAK9K1458IM/+\mT36Ad7Q14B4<p14ACN[a��DAb36< � AbSXIML8LHI��^AKU�9KIM/67O587`1O7t5H/� =BO7Q1t =/FU65H/6N~<#7`AK1:I[S��o���p��9C<?/6U658U=<[1OAC7:<[/6U143FAC/�7`1OY6UFaV5H/FN:9CIM�G�GIM/JSXAC<[14Y6B`AC7^1O3=<[1D9CIMYFLHUdL8Aq<?Ub1OIt7`IM�JAk7OIMBQ1yI?S L8I����VAC/6AKBON?aJ>6B`ACU6589K1458IM/67K\{60/143F5H7T7OAK9K1O5HIM/;:6�DA{9CIM/F9CAC/x1OB4<[1OAWIM/�1O36A �VYFAC7`1O5HIM/EI?S �����#+'vFBOAq<[�V58/6N6\F)�<?B`1O5H9CYFLu<?B`L8a�:V�^Ao�DIMY6L8U#L85H�?A14IJ =NMY6B`A:IMYF1r�g3FAK143FACBoIMY6Br�o���p� 9q<[/6U65HU6<[14AK7kaV5HAKLHUZ<dB`Aq<?7`IM/=<?v6L8At7`9q<?L8A:I?SD�����#+�v6BOAC<?�l5H/6N � 5H<3658U6U6AC/7OAK9K1OIMBgNx<?Y6NM58/6IR9CI?/6U6AC/F74<[1O5HIM/+\

� 581O3E1O3=<[1�>6Y6B`>iI?7OA�:6�DAo�g5HL8L+5H�G>iI?7OAo<?/<?UFU6581O5HIM/=<[L 9CB`581OACBO58IM/�5H/EIMYFBT7OAq<[BO9;3➈

s ACLHAK9K1��GI@U6AKLH7^�g3FACBOAcAe�@I?1O5H9K7�UFAC9CI?Y6>6LHA�Nx<?Y6NM58/6IR9CI?/6U6AC/F74<[1O5HIM/S 1r1O365H7k7`14AK>;: �DA:7OAKLHAK9K1o�GI@UFACLH7k5H/�g365H9;3w1O36A:U6AK9CIMY6>FLH5H/FNdI?Sn143FAR���-Ae�@I?14589t7Q1;<[1OAC7o5H7k>iI?7O7O58v6LHA�g581O36IMYF1gvFBOAq<[�V58/6NR1436AoLH<?BON?AC7`1gNM<?Y6NMAoNMB`IMY6>E5H/d1O36A{365HUFU6AC/E7OAK9K1OIMBC\��sA{ 6/6U1O3=<[1�<?L8L IMBg<[LH�GIM7`1

� ����������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

� BO5z14AKBO5HI?/V SO(10),1 V SO(10),2 V E6,1 V E6,2

➆36AC< � a�1OIM> �M� � � � �

➇Ae�@I?1O5H9K7�UFAC9CI?Y6>6LHAc<[1gI?BOU6AKB v ��� � � � �

➈Ae�@I?1O5H9K7�UFAC9CI?Y6>6LHA�Nx<?Y6NM58/6IR9CI?/6U6AC/F74<[1O5HIM/ � � ��� � �

� ��"��&� ��� ����"����2�/���������� � �� � ����%��&%�������� �<?L8L�I?S]1O36At�J<[1O1OACBg7`14<[14AK7k9;36<?BONMAKUwY6/6UFACBk1O365H7gNMB`IMY6>~<?LH7`Ib<[1`1;<?58/ELu<?B`NMA{�b<?7`7OAK7k�g36589;3w<?L8LHI�� SXIMB7O>PIM/x1;<[/6ACIMYF7r��� ��+2v6BOAC<?�l5H/6N � 5u<RNx<?YFNM5H/6IR9KIM/6U6AK/674<p145HI?/+\mT36AZ�GI@U6AKLH7G74<[1O5H7QS a@58/6N2<[LHL�IMY6Bb9KBO5z14ACB`5u<9:

➁�➈:n�^AZ9KIM/67`5HU6AKBJ143FAw�JI?7`1d>FBOIM�G5H7`5H/6N��o���p�

9q<[/6U65HU6<[14AK7C\ �rY6B:BOAK7OY6Lz147�<?B`Ad>6B`AC7OAK/x14ACU�5H/214<?v6L8A � \ �@\��#IMB`AdU6AK14<?5HL87t9C<?/fviAbSXI?Y6/6U'5H/ � � �bv \�sA_ 6/6U 5z1�BOAK�b<[BO�p<?v6L8A~143=<p1#I?YF1EI?S O(104)

58/6A��lY65 � <[LHAC/x1E�GI@UFACLH7*: O(102)>=<?7`7~<[LHLhI[StIMYFB

BOA��lY65HB`AC�GAC/x147*:h5H/F9CLHYFU65H/6N�<2365HUFU6AC/ 7OAK9K1OIMBd143=<p1E<?LHL8I��g7������#+%v6BOAC<?�l5H/6N6\ 60/|1436587d7OAK/67OA#:h143FABOAKNM5HI?/~I?Sn1O36A:36Ae14ACB`I?14589tLH<?/6U67`9q<?>PA:AC/FU6I��^AKU_�g5z143wL8I@9C<?L

SO(10)<[/6U

E6

�$���+7k587h>=<[B`14589CY6LH<?BOLza<[1`14B4<[9K145 � A[\S 9CIM�G�JAK/x1n5H7n58/GI?BOU6AKBC\ �sAT5H�G>iI?7OATvxaR3=<?/FU�1O36AgBOA��VYF5HBOAK�JAK/x1�1O3=<[1!Nx<[Y6NM5H/FIo9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/vPAo<?LHL8I��^AKU+\F&Dab<?7O7`5HNM/658/6N ����� 7^1OI�<?LHL ��� 7O5H/FNMLHAe147 :@5 \ A?\ �g5z1436IMY@1 � AKBO5zS a@58/6NRAe�@>6L85H9K5814AKL8a D

�b<[/6UF�$# <[1O/6AC7`7 :�1O36Ab3F5HU6U6AK/�7`AC9K1OIMBcNx<?Y6NMAGNMB`IMY6>�587{v6BOIM�[AC/2vxa��J<[1O1OACB ����� 7W9;36<?BONMAKU2Y6/6UFACB{1436587

NMB`IMY6>+\ s 5H�G5HLH<?BOLza�:=1436AG����Nx<?Y6NMAtNMBOIMYF>�587rv6B`IM�?AK/s58/Z�JIMB`A:NMAK/6ACBO<?L�� � <?9KY6Y6���t9KIM/F =N?Y6B4<[1O5HIM/F7�g36AKBOAb�J<?/xa_I?1O36ACB{ =ACL8U67t9C<?/2<[LH7OI#<?9��VYF5HBOA ����� 7C\ � L8Aq<?B`L8a�: �GIM7`1WI?SD1436AJ7`14B`5H/6NLu<[/6U67O9C<?>PAJ587/6I?1DBOAKLHA � <[/l1D14IWIMY6B^>F3laV7`5H9q<[LP�DIMBOL8U+\S6¡1D5H7�IM/6L8aG>PIM7O7`5Hv6L8AT14I:IMv@1;<?58/JY67`AKSXY6Li>6BOAKU65H9e1458IM/67!SXBOIM� 143FALu<[/6U67O9C<?>PAJIM/F9CAG9CACBQ1;<?58/�9KBO581OACB`5u<E<?BOAG5H�G>PIM7OAKU+\ ��ACBOAG�^AJBOA��VYF5HBOA�1436<[1cNx<?Y6NM58/6I9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/vPAh<?L8LHI��DACUb7`IW1O3=<[1y��� �#+_9q<?/bviA�v6BOI?�?AC/ \ s 5H/69KA�1O36AkLH<?BON?AC7`1D3658U6U6AC/J7OAK9K14I?B^NMB`IMY6>�S¢<?9K1OIMB��DIMY6L8UU6IM�G5H/6<[14AJ�����#+ v6BOAC<?�l5H/6N9:��DAbSXI@9KY67tI?/ � <?9CY=<#5H/s�g3F5H9;32143F5H7{S¢<?9K1OIMBW587t>6B`AC7`ACB � ACUfvxa��J<[1`14ACB����� 7C\ � 5z143658/b143FAo7OAK1gI[S IMY6By>6B`IM�G5H7O58/6Nt�GIVU6ACL87 :@�DAo9q<[//FI�� 7Q14Y6UFad>6BOAKU65H9e145HI?/67^SXIMB�1436Ao7`9q<?L8AI?S �����#+'v6B`Aq<?�l58/6N6\

�rY6Bc�o���p� 9q<[/6U65HU6<[14AK7r3=< � AR143FAR/6AC9KAC7O7O<?B`aw5H/6NMB`ACU658AC/x147kSXIMBr7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14BQaZv6BOAC<?�l5H/6N � 5H<Nx<?YFNM5H/6Ib9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/_5H/~1O36AR365HUFU6AC/_7OAK9K1OIMBC\�60/�>6<?B`1O5H9CYFLu<?B*:i143FAKaw9KIM/x1;<?58/Z/6IM/=<[viAKLH5u<[/wNx<?Y6N?ANMB`IMY6>67o�g581O3s/FI#IMBoL8581`14LHAt�b<[1`14AKBC\�mT36AG9CIMB`BOAC7`>iI?/6U65H/FNNM<?Y6NMA�5H/x1OACB4<[9K1458IM/67ovPAC9KIM�JA�7Q14BOI?/6N~<p17OI?�JAR58/l1OACB`�JAKU65u<[1OA:7O9C<?LHAR�g36589;3s9C<?/_LHAC<?UZ14IE7O>PIM/x1;<?/FACIMY67c7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14BQaZv6BOAC<?�lU6I��g/+\GmT36A7O>PAC9K58 =9K7yU6AK>iAK/6U�IM/J1O36Ah�GIVU6Y6LH5=7Q1;<?vF5HLH5��q<[1O5HIM/��GAC9;3=<[/65H7`�=:lv6YF1D1436Ak�b<[5H/�SXAq<[1OY6BOAK7y7OY69;3E<[7D143FA7O9C<?LHA{I?S]7OY6>PACB`7`aV�G�JAe14B`aEvFBOAq<[�V58/6N�36IML8U#�GIMBOAoN?AC/6AKB4<?L8L8aM\d60/>=<?BQ145H9KY6Lu<[B :F1O36A{NMB4< � 581O5H/6IR�J<?7O7g587NM5 � AC/vxa

m3/2 ≈Λ3

M2Pl

, � �@\ � � ��g3658LHAr143FAc>FBOIM>PIMB`1O5HIM/6<?LH5z10a�9CIM/67Q1;<?/x1k5H7T�GI@UFACL ¡U6AC>PAC/FU6AC/x1q\

mT36AhNM<?Y6NM58/6I{9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/b7`9q<?L8AΛ5H7!NM5 � AK/bvxa�1436A�BOAK/6IMBO�J<?L85�q<p145HI?/:NMBOI?Y6>b58/ � <?B`5u<?/x1!7`9q<?L8AI?S 1436A{9KIM/6U6AK/67O58/6NJNM<?Y6NMAoNMB`IMY6>;:

Λ ∼ MGUT exp

{− 1

1

g2(MGUT)

}. � �@\ � ���

� 581O3t<[/t<?>F>6BOIM>FBO5u<p14A!�JAK9;3=<?/6587O�_:�1436A�U65HLH<[14I?/o9q<?/WviA�7`14<?v65HL85�KACU{<[1]<�B`Aq<?L85H7Q145H9 � <[LHY6A Re〈S〉 ≈ 2

� � � � � ���� � ��� � ��� � �� ������ !���� � ���

� <��

2 3 4 5 6 7 8 9N

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

%of

mod

els

� v �

2 3 4 5 6 7 8 9N

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

%of

mod

els

����� ������ � � � � �� ��� "1�2������� �(%��2�&� �(� � ����� ����� � ��� � ����� ����� �+��� � � � ����� ��� ������� ���&%�%��2�������2����� �N

� ��" �2�&�SU(N) � SO(2N) � EN

� ����� ��� � � ��� " ����� � ��������% �������������1����%�� ��� ����� �➁ � ��� �&������ �$����� � ��������% �������������1����%�� ��� ����� �

➅� ����� ����"��&� � �� � � " � " � �$����� � " ��� � ����� �(%��2�&� ���

����� �➇

���/����� �$����� � ��������% ��g3658LHAcv6BOAC<?�l5H/6Nd��� �#+^\ S 7r<?L8BOAq<[UFaE�JAK/x145HI?/6ACU;: �DA:7OAKAt143=<p1kSXIMB

Λ ∼ 1013� A���: 1436AWNMB4< � 581O5H/6I�J<?7O7gLH58AC7T58/E1O36Acm�A���B4<?/FNMAo�g365H9;35H7TS¢< � IMB`ACU#vlaE>F36AC/6I?�JAK/6IMLHI?N?aM\D�����#+fv6B`Aq<?�l58/6NJ587T9CIM�G�:Y /6589q<[1OACU�14I�1436A{IMvF7OACB � <?v6LHAo7`AC9e14IMBgvxaENMB4< � 5810a ������ \

60/' =N6\��V\ � � <��H:��^A�U6587O>6LH<qa�1O36AdSXBOA��lY6AC/69ea'I?SgIV9C9KY6BOB`AC/69KAI[S � <[BO5HI?Y67tNx<[Y6NMAdNMB`IMY6>67t5H/2143FA3658U6U6AC/|7`AC9e14IMBK\�mT36AZ>FBOAKSXAKBOB`ACU 7O5��CA � N �JI?S{1O36AwNx<?YFNMAwNMB`IMY6>67�U6AK>iAK/6U67�IM/�1O36AZ9CI?/6U6581O5HIM/F75H�G>PIM7OAKUbIM/G1436Ak7O>PAC9K1OBOY6�\ � 36AK/E<?LHL=58/6A��lY65 � <[LHAC/x1D�JIVU6AKLH7n�g581O3J10�DI � 5HLH7`IM/GLH5H/FAC7D<?BOA�9CIM/F7O5HU ACB`ACU;:

N = 4, 5, 6<?>6>PAq<[Bh�g581O3Z7O5H�G5HLH<?B�LH5H�[ACL85H36IVI@U#<?/6U

N = 45H7r7`IM�JAe�g3=<[1{>6B`AKSXAKBOBOAKU+\W6¡S��DA

BOA��lY65HB`A�1O36Ah�J<?7O7`LHAK7O7^7`>iAK9K1OBOY6� 14IWviAg143FAo�o����� � AC9e14IMB`LH58�?A��b<[1`14AKB :x1436A�SXB4<?9e1458IM/67!I?S��GI@UFACLH7�g581O3N = 4, 5, 6

vPAC9KIM�JAJA � AC/f9CL8IM7OAKBC\ �kI��DA � ACB :�58S^�^AdSXY6BQ1436AKB:BOA��lY65HB`Ad<w36AC< � as14IM> �lY=<[BO�<?/6U'1O36A�U6AC9KIMY6>6L85H/6N~I?S�Ae�@I?14589C7�<[1:IMBOU6AKBRAC58NM3x1]:N = 4

587:9CL8Aq<?B`L8as>6BOAeSXACBOB`ACU �  6NMY6BOA �V\ � � v � � \60/w143F5H7h9C<?7OA#:SU(4)

<?/6USO(8)

>6BOI � 5HU6AW1436AWU6IM�G5H/=<?/x1k9CIM/x1OBO5HvFYF1458IM/+\ s 5H/69KAR<?LHL IMBh<?LH�GIM7Q1r<?L8L�J<[1O1OACBT9;3=<?B`NMACUY6/6UFACBT1436AK7OAcNMBOI?Y6>67g5H7TU6AK9CIMYF>6LHAKU;:61436587TLHAC<?U67y14I�Nx<[Y6NM5H/FIR9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/~<p1�<?/5H/x1OACBO�GACUF5u<[1OAr7O9C<?LHA[\ � )�IM7`7O5HvFLHA{7O9C<?LHAK7�I[S]Nx<[Y6NM5H/FIR9CIM/6UFAC/67O<[1458IM/<?BOA{7O3FI��g/#5H/� =N6\ �@\ � \mT36Ac9CIMB`BOACLH<[1458IM/�vPAK10�DACAC/#1436AcIMv67`ACB � <?vFLHAc<?/6U365HUFU6AC/7OAK9K14I?BO7�9CIM�GAC7�<?vPIMYF1gSXIMBg<RSXAK� BOAq< 7OI?/67C\ �]5HB`7`1]:�5z1{5H7{U6Y6AR1OI#�GI@UFY6Lu<?Bh5H/ � <?BO5H<?/69CA:�g3F5H9;3_145HAK7o1436A�Nx<?YFNMA�7O365zS 147c<?/6U � 5HL87OIM/_LH58/6AC75H/Z1O36AR10�^I7OAK9K14I?BO7C\ s AK9CIM/FU;: 1O36A�Nx<?Y6N?AR7O365zS 147c<?/6U � 5HL87OIM/_L85H/6AK7r5H/Z143FAG3F5HU6U6AK/_7OAC9e14IMBW<b'iAC9e1>6B`IM>iAKB`1O5HAC7TI[S�1O36A{�b<?7`7OL8AC7O7g7`>iAK9K14B`Y6�_:6SXIMBT5H/67Q1;<?/F9CA�:61O36BOI?Y6NM3E1436A{�J<?7O7`LHAC7`7O/6AK7O7�A��lY=<[1O5HIM/F7C\

��Ab7OACAd1O3=<[1:<?�JI?/6N~143FAb>6B`IM�J587O58/6N~�GI@UFACLH7*: )`Y67Q1�<?7:58/�143FAdIMBOvF58SXIML8U Q�o�����j>6B`AC7`AC/x14AKU�58/7OAK9K1O5HIM/ �@\ � \ ��:g5H/x14AKBO�GACU65H<[14A#7O9C<?LHAw7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OB`a�vFBOAq<[�V58/6N2587d>6BOAeSXACB`BOACU \�mT36AZYF/6U6ACB`L8aV5H/FNBOAC<?7OI?/s587r143=<[1{B`Aq<?L85H7Q145H9W7O>PAC9e14B4<EBOA��lY65HB`AG9KIM�G>6LH589q<[1OACU � 58LH7OI?/ZLH5H/FAC7 :+�g3F5H9;3�v6BOAC<?�~143FAG3F5HU6U6AK/7OAK9K1OIMByNx<?YFNMArNMB`IMY6>+\ mT3FAo7OY6B � 5 � 5H/6N:NM<?Y6NMAhS¢<[9K14I?BO7y<[BOAr/6AK581O36ACB^1OI@IWv65HN � Y6/6L85H�[Ah5H/ � <?Lu<?vF5 � �D<?Y9CI?�J>=<[9K145z =9q<p145HI?/67^�g581O3�1436A{7`14<?/6U=<[BOUAC�:vPACU6UF5H/6N �^/FIMBy14IVI�7O�J<?LHL \

mT36ACB`Aw<?B`A#7`5HNM/F58 =9C<?/x1bY6/F9CACBQ1;<?58/x145HAK7J58/�1O36AAC7`1O5H�J<[1458IM/fI?Sh1O36A~7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OB`a 0v6B`Aq<?�l58/6N7O9C<?LHA[\ �]5HB`7`1 :+1436A�5HUFAC/x145z =9q<[1O5HIM/ZI[S

Λ�g5z143Z1436A�B`AC/6IMB`�b<[LH5�C<[1458IM/~N?BOIMY6>_58/ � <?B`5u<?/x1o7`9q<?L8AR5H7o/6I[1>6B`AC9C587OA[\ S S¢<?9e14IMBWI?S�<#SXAK�jY6/F9CACBQ1;<?58/x10a�58/�1436587tB`ACLu<p145HI?/sL8Aq<?U67c14I~10�DIZIMB`U6ACB`7:I?Sg�J<?NM/65z14Y6U6A

�0± �¢�P�����T���b�²�e�|�:�������F�.����£➇ ��#���P���w�P�«¤0�����o�������²���������o�����Y�P���e�o¤0¤:���Y�w���«�����8¤0���.���Y�o�P�T���«�����F£P�������0��¤0������P�´�P�o���8����¤:�������«���.������°

� �

���������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �� �� � �����"!��

2 4 6 8 10 12 14 16log10 HL�GeVL0

5

10

15

20

25

#of

mod

els

����� ����� � � � ��� "1�2�3��� � � %��2�&� ��� � ��� ���&�!��� �+��� � � ��� ������%��2��� �����&��� �Y6/69KACBQ1;<?58/l10a�58/

m3/2\ S LH7`I�:M143FACBOA�9CI?Y6LHUGviAg7`5HNM/65z =9q<[/l1!7Q14B`5H/6N{1436B`AC7`36IMLHUG9CI?BOBOAK9K1O5HIM/67n�g36589;3b9C<?/

<b'iAC9e1 1436ATAK7`1O5H�J<[14A^<?L81O36IMY6NM3W�^AT7`ACAySXBOI?�  =NF\ � �V\ ��� 143=<[1]1436B`AC7O3FIMLHUR9KIMBOB`AC9K1O5HIM/F7 �J58NM3x1 AK/63=<?/69KA143FAG7`9q<?L8ARI?Sy��� �#+|v6B`Aq<?�l5H/FN6\:mT3lY67 : 143FAGB`AC7`Y6L81O5H/6N �0>6BOAKU65H9e145HI?/ �cSXIMBr1436A�7`Y6>iAKBO>=<[B`14/FACB{�b<[7O7OAK77O3FIMY6LHUEvPA{Y6/6U6AKBO7`1OI@IVUE�g58143F5H/� � I?BOU6AKBO7gI?S��b<?N?/6581OY6U6A?\

� � � R�6������� ���E� � �������� �������

S /�AK7O7OAK/x145u<[L=>6BOIM>PACBQ10aRI?SP1436A��o����� 1O3=<[1�<oBOAC<?LH587`1O5H9^�GIVU6ACL@�:Y67`1�A �F3F5Hv65z1n5H7R¡>=<?B`5810aM\ mT36587�36<?7

143FA^<?U � <[/l14<?NMA!I?SFNMBOAC<[14LzaoBOAKU6Y69C58/6Ng1436A�/lY6�:vPACB I?S=<?B`v6581OB4<?BQar>=<[B4<?�GAK1OACBO7 58/c1O36AD7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L :SXIMB`v65HU6UF5H/6N�U65H�GAC/F7O5HI?/�1O36BOAKAw<?/6U�SXIMY6Bbv6<?B`a?IM/�IMBGLHAK>F14IM/�/lY6�:vPACB � 58IMLu<[1O5H/6N_IM>PACBO<[14I?BO7 :g<[/6U>6B`AC7OAKB � 5H/FN#< � 5u<[v6LHAWU=<?BO�#�b<p1O14AKBr9q<[/6U65HU6<[14A#:+5 \ A?\{1436A R s ) \ �kI��DA � ACB : IMvF14<?5H/F5H/6Nb<E9KIM/67`ACB � ACUR0>6<?BO5z10a�58/|7`14B`5H/6Nf9KIM/67`1OBOY69e1458IM/67�7OAe147ESXBOA��VYFAC/x14Lza <?/ 5H/F7OY6B`�JIMYF/l14<?v6L8A~3lY6BOUFLHA�:��g365H9;3 �:Y67Q1

36I��DA � AKBhvPA{I � ACB`9CIM�GA{5H/EIMBOUFACBy14IGBOAC<?9;3E1436AW�o�����t\�rY6Bt7Q14B4<p14ACN[aZSXIMBt<[9C9CI?�J>6L85H7`365H/6N�1O365H7c5H7*:]5H/�>6B`5H/69K5H>6L8A�: �VYF5814AG7O58�J>FLHA?\ ��AJ5HU6AK/l1O58S aw 6BO7`1:<U(1)B−L

Nx<[Y6NMAR7`aV�G�JAe14BQaZ<?/6UZ1O36AC/_NM5 � A ����� 7r1OI7`IM�GA�����7`5H/6NML8AK1O7h143=<p1{v6BOAC<?�U(1)B−L

1OI143FAcUF5H7O9KBOAe14A{7OY6vFNMBOIMYF> �

M2 : (−1)3(B−L) . � �@\ � ���mT36587JY6/lv6B`IM�?AK/|U65H7`9CB`AK14A7`aV�G�JAe14BQaf5H7�1436A7OI ¡9q<?L8LHAKU�S¢<?�G5HLza�B`A #=AK9K1O5HIM/�7`aV�J�GAK1OB`afIMB���� � � ��

� ��� ���"! � � � q:V�g36589;3;:FUFY6Ak1OI:581O7D>6B`IM>PACB`1O5HAK7 :V9q<?/dvPAh9KIM/67`5HU6AKBOACUd<?/R¡>=<?BO5z10aM\ mT3F5H7�5H7y<cNMLHI?v=<?L

�27`aV�G�JAe14BQad�g365H9;3#5H7 �# � �JIM/1O36A�k58NMNM7TU6IMYFv6LHAe147�<?/6U%$C§x§cIM/#<?L8L ��� �lY=<?B`�E<?/6ULHAC>@14IM/E =ACL8U67C\

�=Y6B`1O36ACB*:n581cSXIMBOvF5HU67WU=<?/6NMAKBOIMYF7Rv=<?B`a?IM/'IMBWLHAC>@14IM/2/lY6�tviAKB � 5HIMLH<[1458/6N#I?>iAKB4<[1OIMBO7WI?SgU65H�GAC/F7O5HI?/143FBOACAc<?/FUSXIMYFB#~ud d , q d ` , ` ` e

<?/FU` hu . � �@\ � ���

�r/1O36AcI?1436AKBg3=<?/6U;: 5z1�<?LHL8I��g7 �lY=<?B`�E<?/6ULHAK>F14IM/ ��Y6�p<q�y<G9CIMYF>6LH58/6NM7g<?7g�^AKLHL <?7g143FA �#< )`IMB4<[/=</6AKYF14B`5H/6I��J<?7O7hIM>iAKB4<[1OIMB

νν\ ��I��^A � ACB*:�1436AKBOA�<?B`A:9CAKB`1;<[5H/ZU658�JAK/67O58IM/~  � AGI?>iAKB4<[1OIMBO7h1O3=<[1{<[BOA<?L8LHI��^AKUEvlab1436587T7`aV�J�GAK1OB`al~κ

(1)ijklqi qj qk `l , κ

(2)ijklui uj dk el , � �@\ � v��

� � � �R �

� �� � � � � ! �� � � � ! ���� � � �

u ν

p

uπ+, K+

d

u

d, s

W

q

q

q

`

κ(1)

����� ����� � � � ����� "��&� ����� ����� " �����&������� ������������%���� � � � � � � ��� �(� � ������� %���� �2�����&����� � � ���1�2���������q q q ` � � ��� ����������� %���� � �(� ���

p → K+ν���

π+ν �

�g36589;3�9q<?/�58/6U6Y69KAh>6B`I?14IM/bU6AC9C<�a � 7`ACAr =N6\ � �V\ ��� �e\ κ(1) <?/FU κ(2) <?BOAr9KIMY6>6L85H/6NW9CIM/F7`1;<[/l1O7C\d60/d143FA�o�����κ(1) 587T9CIM/67Q14BO<?5H/6AKU#vxa � � ���

κ(1)1121

Λcut≈ κ

(1)1122

Λcut. 16π2M ������

M2 ���� �@\ � ���

<?/6Uκ(2) 9q<[/E14<?�?A{<[BOv65z14B4<[B`a � <[LHY6AK7T<?7TLHI?/6NR<?7y1O36AKad<?BOAr9KIM/67`5H7`1OAC/x1g�g581O3�>iAKB`14YFBOv=<[1O5HIM/J1436AKIMB`a?\

�kAKBOA#:Λcut UFAC/6I?1OAC7!<?/R58/x14ACB`�JAKU65u<p14A^9KYF1�¡I|'d7`9q<?L8Ag<?/6U M � ���� ≈ 104

� A��|587]1436AT7`9q<?L8AT<[1 �g3F5H9;3�����#+'587T7OY6>F>iIM7`ACU14I�v6BOAC<?� \

��A�vFY65HL8U�1436AU(1)B−L

7`aV�J�GAK1OB`a2<?7R<w7OYF>iAKBO>PIM7O5z145HI?/'I?Sk<?LHL�Nx<?Y6N?AU(1) � 7RI?Sg143FAE�o���p�9q<[/6U65HU6<[14AK7WA �F9KAC>F1O5H/6N#1436AJ<?/6IM�J<?L8IMY67oIM/6A[\��f60/�I?Y6B:�o����� 9C<?/6U658U=<[14AK7 :]<#/=<[1OY6B4<[Ln9;36IM5H9KAJSXIMB

143FAcN?AC/6AKB4<[1OIMBTI?SU(1)B−L

SXI?LHLHI��g7^SXB`IM� 1O36A{7`14<?/6U=<?B`U#vFBOAq<[�V58/6N

SO(10) → SU(5) × U(1)X → GSM × U(1)X , � �@\�� � ��g36AKBOA{1436A{NMAK/6ACBO<[14IMB`7gI?S]3xaV>PACBO9;36<?BONMAW<?/6U

B − L<[BOA{NM5 � AC/vxa

tY =

(−1

2, −1

2,

1

3,

1

3,

1

3

), � �@\������

tB−L =2

5(2 tY + tX) =

(0, 0,

2

3,

2

3,

2

3

)� �@\��M���

�g581O3tX = (15)

NMAC/6AKB4<[1O5H/6N�1436A2<?U6U65z145HI?/=<?LU(1)X

\ '�/6U6AKB~1436AK7OA27QaV�J�GAK1OBO5HAK7 :{5H/F9CLHYFU65H/6NSU(3)c × SU(2)L

:6<?/w�o����� �J<[1`14ACB^NMAC/6AKB4<[1O5HIM/E3=<[7g1O36A �lY=<?/x14Y6� /lY6�tviAKBO7

16 = (3,2) 16 , 1

3+ (3,1)− 2

3 ,− 13+ (3,1) 1

3 ,− 13+ (1,2)− 1

2 ,−1+ (1,1)1,1+ (1,1)0,1 ,

q u d ` e ν� �@\�� � �

�g36AKBOAT1436Ag7`Y6v67O9KBO58>F147!U6AK/6I?14AT3xaV>PACBO9;36<?BONMAk<?/6UB−L

9;3=<?B`NMA�:lBOAK7O>PAC9e145 � ACLzaM\��=Y6BQ1436AKB :M143FA ��5HNMN?7U6IMYFv6LHAe147φ<?/6U

φ3=< � A U(1)

9;3=<[BONMAK7(−1/2, 0)

<?/6U(1/2, 0)

:@BOAC7`>iAK9K1O5 � AKL8a?\� " ��� ��¤�� f���P�´� ¤0�����.���¥�����#�e�A�w���#�!�|�¢���0®´� �o���n°��D�0� ���������²�T¤0���.�� |���P�5�b���e���¬�P����®����w�������P�A���P���«��®��w���Y�A�����¤0�����0���P®�®w��°

� � ����������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

'k/FSXI?B`14YF/=<[14AKL8a�: 1O36Ac7`aV�J�GAK1OB`a�N?AC/6AKB4<[1OACU~vxatB−L

�G5z�@AK7��g5z143U(1)A

5H/IMY6Bk�o������9q<[/6U65 U=<[1OAC7t<?/6U2587 :]3FAC/69KA�:nBOYFLHACU�IMYF1q\ �sAb3=< � Ab14Iw7`Aq<?B`9;32SXIMBW<#U65 ' AKBOAC/x1 �£7OYF581;<[v6LHA ��U6AK 6/6581O5HIM/�I?SU(1)B−L

�g36589;3#3=<[7g1OI�74<[1O5H7`S ab10�^IG9CIM/FU6581O5HIM/67�~� 5 �!581T�tY67`1g<[7O7O58NM/�1436Ao7Q1;<?/FU=<?BOU B−L

9;3=<?B`NMAC7*:=A�� \ � �@\ � � ��14I�<[LHL���� >=<?BQ145H9KLHAK7 � 58/69CL8Y6U65H/FN:<>=<?58ByI?S �k5HN?NM7^ =AKLHU67��H: <?/6U� 5H5 ��5z1g�:Y67`1gN?5 � A{�GIM7`1k����7O5H/FNMLHAe147T< � <?LHY6Ar1O3=<[1g7O<[14587` =AK7 3(B−L) = 0 mod 2

\� IM/6U65z1458IM/ � 5 �T5H7h9KLHAC<?B :iv6YF1h1O36A:7`AC9CI?/6UZ9CIM/FU6581O5HIM/#BOA��lY658BOAK7r7OIM�GA:<[BONMY6�GAC/x14<[1458IM/+\ �]5HB`7`14Lza�:���-7O5H/FNMLHAe147g�g58143~9;3=<?BON?AC7

3(B−L) = 0 mod 29q<?/ZIMv@1;<?58/ ����� 7kSXI?BhU6AK9CIMY6>FLH5H/FNbAe�@I?1O5H9K7 :�<?7

�DACLHLD<?7WNM5 � 5H/FN#A�' AK9K145 � A �lY=<[BO��<?/6U2L8AC>F1OIM/ ��YF�[<q�^<~9CI?Y6>6LH58/6NM7K\ s AC9CI?/6U6L8a�: 58S^1436AKBOAd<[BOAb7`IM�GA7O58/6NML8AK147 � LHAK1 Y67 9q<[LHLM143FAC� χi�+74<[1O5H7QS a@58/6N

3(B−L) = 0 mod 2<?/FUW�g581O3W/FIM/x14BO5 � 5u<?L B−L

9;36<?BONMA#:143FAKa�g5HLHL v6B`Aq<?�

U(1)B−L

: v6YF1k�g5HL8L L8Aq< � Ac1436A R0>=<?B`5810a�:

�M2

:iYF/VvFBOIM�[AC/+\ �#I?BOACI � ACB : /6I?14Ac143=<p158S�7`5H/6NML8AK1O7r�g581433(B−L) = 1 mod 2

U6A � ACL8IM>�/6IM/ � <?/65H7`365H/FN ����� 7*: R0>=<[BO5810a#5H7ovFBOIM�[AC/2<[/6U

U658�JAK/67O58IM/�SXIMY6Bbv=<?B`a?IM/��[L8AC>F1OIM/|/lY6�:vPACB � 5HI?Lu<[1O5H/6NsIM>iAKB4<[1OIMBO7d<?BOA~10aV>6589q<?L8L8a�NMAC/FACB4<p14ACU \ �sA�DIMY6LHU~LH5H�[Ac1OIdBOAK�b<[BO�d1436<[1h1O365H7h<?>6>6B`Ix<?9;3~1OIdNMAK1

R0>6<?BO5z10aE5H7�/6I?1rYF/65 �lY6A[\ S Lz14ACB`/=<[1O5 � AK7h<[BO5H7`ASXBOI?� 9KIM/67`5HU6AKBO5H/FNrI?143FACB 58/l1OACB`/=<?LV7`aV�J�GAK1OBO58AC7 :?7OY69;3G<?7 u ¡9;3=<?BON?A��n9CI?/67OAKB � <[1458IM/ � 58/636AKBO581OACUcSXBOIM�R�IMBOAK/x1 �{5H/ � <?BO5H<?/69KAo5H/�14AK/#U658�JAK/67O58IM/67�� � � � � �IMB

T�VUFY=<?LH5z10a � � � � \s Aq<[BO9;3658/6NRSXIMByNMAK/6ACBO<[14IMB`7TI?S

U(1)B−L

5H7y/FI?1gU65 G9KY6L81 :Fv6YF1 �lY65z14Ao9KY6�:vPACBO7`IM�GA?\ �r/6Ao3=<?7y1OIAe�@>6B`AC7`7

tB−L

<?7�<�7`Y6>PACBO>PIM7`581458IM/EI?S]<?LHLU(1) � 7 :6A �F9KAC>F1O5H/6NG1436Ac<?/FIM�b<[LHIMY67 U(1)

:

tB−L =∑

i6=A

xiti , � �@\�� � �

<?/6UJ7OIML � A � /6I?/ �QL85H/6AC<?B A��lY=<p145HI?/67DI?/J143FAkB`Aq<?L=>=<[B4<?�GAK1OACBO7 xi

NMY=<?BO<?/x14ACAK5H/6N{1436<[1!1436A�9CIM/FU6581O5HIM/67� 5 �D<?/FU � 5H5 �!A �F>FLu<?58/6ACUE<?vPI � AovPArSXY6L8 6LHLHAKU+\]mT3FAo>6BOAK9C5H7`AoU6AC7`9CB`5H>F1O5HIM/�I?S 1O36Ao�JAe1436IVU�5H7^>6BOI � 5HU6AKU5H/<?>F>iAK/6U65z� ! I[S]B`AKS£\����|v \� -.,�-0/ >«4¬6 @ �J��$�*� @�C" �9:B

�����

1 �F;&%¬9 % ��Ca@�J&^AeSXIMBOA�NMIM58/6N�<?/xa|SXY6B`1O36ACB*:{1O36ACB`As587< �lY6AC7Q1458IM/ 1O3=<[1E�^As3=< � A�14I�9CLu<[BO58S a?\ 60/ 7OAC9e1458IM/ � \ � :581R�^<?7b<?7O7`Y6�JAKU�1O3=<[1J<?LHLT�p��7O5H/FNMLHAe147�9q<?/�<?9��VYF5HBOA ����� 7C\ 'kA � ACBQ1436AKLHAK7O7 :T�DA#36< � A~L8Aq<?B`/l1G58/7OAK9K1O5HIM/ �@\ �t<:7Q14B4<p14ACN[aJ1OI:5HU6AK/x1458S aG143FIM7OAr7`5H/6N?LHAK1O7D�g36589;3E<?U6�G581^<:/6IM/ �KACB`I ����� 5H/E<t9KIM/67O587`1OAC/x17OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14B`5H9 � <?9KY6Y6�\?60/~1O36A:>6B`AC7OAK/x1{9q<?7`A�:+7`5H/69KA

B−L�tY67`1hviA:vFBOIM�[AC/Z7O>PIM/x1;<[/6ACIMYF7OL8a�:

581gB`AC7`Y6L81O7T5H�G>iIM7`7O58v6LHAh1OI�>iIM7Q14>PIM/6Ao143FA{14<?7O�bI?S � ACB`58S aV5H/6N D� # <[14/FAC7O7�<?/xa�L8IM/6NMAKBC\R�AK1�Y67TSXI@9KY67TIM/�143FAc�GIVU6ACL87yv=<?7`ACUIM/�1436A{7O3F58S 147

V SO(10),1 <?/6U V SO(10),2 :F1O3=<[1g587 :658/d1436IM7`A1436<[1d9KIM/69CAK/x14B4<p14Aw�GIM7`1J>6B`IM�J587O58/6Ns�GIVU6ACL87C\ S 9C9KIMBOU658/6N�1OI2IMY6BG>6BOA � 5HIMY67bU65H7`9CY67`7O5HI?/;:g<?LHLT�DA3=< � Ac14IGU6Ib587T14I � ACB`58S a��g36Ae1436AKBk1O36ACB`AWA �F587`1k36IML8IM�JI?BO>636589r5H/ � <?B`5u<?/x1��JI?/6IM�G5u<?L87 � �r6 �#7 �y�g581O3/6Ae1�/6ACNx<p145 � A�<?/6I?�b<?L8IMY67c9;3=<?B`NMA?\ S L8L� =AKLHU67RAK/x14ACB`5H/6Nw1O36Ad�GIM/6IM�G5u<[LH7c<?BOAd<?LHL8I��DACU21OIZ<[1`1;<?58//6IM/ � <?/6587O3658/6N ����� 7g<?/6U;:61O36ACB`AKSXIMB`A�:=9KIM/x14BO58v6YF1OA{1OIR1436A{�J<?7O7`AC7gI?S 1436A{Ae�@I?1O5H9K7C\��AGBOAK9q<?L8LnIMY6B{BOAK7OY6Lz147{SXBOIM��9;3=<?>F1OACB � <?/6U�9CI?�J>6L8AC�GAC/x1{1436AK�}�g581O3sIMYFBc/FAK�- =/FU65H/6N?7W58/1;<[v6LHA(�V\ � \o60/>6<?B`1O5H9CYFLu<?B*:@IMvF7OACB � Ao1436<[1y�DAc36< � Ao5H/69KIMBO>PIMBO<[14AKUd1436Ar/FIM/x14BO5 � 5u<?Li9CBO5z14AKBO5HI?/ ➇ � \ �sA3=< � A � ACB`58 =AKU~1436<[1r<[LHL � AK9K14I?BOLH58�?AcAe�@I?1O5H9C7h<?9��lY658BOAWLu<?B`NMA{�b<?7`7OAK7C\�mT36AC7`A:BOAK7OY6Lz147r<[BOAc9CBOYF9C5u<[L SXIMB143FAcUF5H7O9KY67O7`5HIM/IM/Ev6B`Aq<?�l5H/FNGI[S

U(1)B−L\

� ± �T���:�������P�0��� ���«���P�����Q���P�F���0®���¤���w�����i���P®w���0°������F�.��¤���w��� �P° �P°

� � � �R �

� �� � � � � ! �� � � � ! ���� � � � �

V SO(10),1 V SO(10),2

� BO581OACB`5HIM/➆ ➆ ➆ ➆

➅7O>PAC9K1OBOY6�

=� N?AC/6AKB4<[1O5HIM/67

+ � AK9K1OIMBOL85H�?A �M� ��� � � � �➇Ae�@I?14589C7gU6AK9CIMY6>FLHAc<[1gIMB`U6ACB�v ��� � � � � � �

➇ � A �FI[145H9K7gU6AC9KIMY6>6L8Ac58/#��� �#+'9CI?/F =NMY6BO<[1458IM/67 ��� � � � � � �����"��&�� � � ����"����2� ��� ������ ���� � ����%��&%�������� � � ��� ����� "1�2� ��� � �(%��2�&� � ����� ��� ����� ������������ � �&������%�����%��2�

➆ � ➆ %��2��������� ��� � ��� ����� ������� ��� ��� � � � ����� � � %��2� � � � ��� ����� �1� ����� "��&�/�������% ��� � � �2����� � � �2�����&� � ��� � ��� ����� � � ���������&��� ���2��� ��� �.���������&��� %�������� ���&� �'kI?1O5H9KA:143=<[1{�DA�3=< � AG/6I?1cU65H7`9CY67`7OAKU F

�$# <[1O/6AC7`7cI?BW<[/lawI?1436AKBc<?U6U65z145HI?/=<?L 9CIM/67Q14BO<?5H/x1 � A[\ N6\〈W 〉 = 0

� \ S 7:�DA��JAK/l1O5HIM/FACU258/27OAK9K1458IM/ �@\ �I:]1O36A�BOAC<?7OIM/'587W1O3=<[1RI?1O36ACBt9CIM/6UF581458IM/67W<?BOAb/6I?1BOAKLHA � <[/l1 7`5H/69KAn1436AeaoU6AC>PAC/FUWIM/{14AK9;36/6589q<?LM>6<?B`1O5H9CYFLu<?B`581458AC7iI?S@1O36An�GI@U6AKLH7*:�7OY69;3t<?7�1436AnIMB`U6ACB I?SV143FA>PACB`1OY6BOv6<[145 � A!>iI[14AC/x1O5u<?Lx<p1 3=<?/6U+\ �r/{1O36A�I?1436AKB�3=<?/6U :p�DADUFIk/6I[1 3=< � AD<?/xa{>6BOAK7O9CB`5H>F1O5HIM/o1OIg�gB`581OA143FAWSXY6L8L 7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L�58/69CL8Y6U658/6Nb<[LHL�>PIM7O7`5Hv6L8AW/6I?/6>iAKB`1OY6BOv=<p145 � At9KIM/x14BO58v6YF1O5HIM/67K\ S UFU6581O5HIM/=<[LHL8a�:�DAh3=< � Ak7O36I��g/b1O3=<[1�IM/69KAhIM/FAk3=<[7�SXIMYF/6Ud< D

�$# <p1D9KIM/F =N?Y6B4<[1O5HIM/ :V5z1�5H7�<?L8�^<qaV7D>PIM7O7`5Hv6L8AT14I{ =/6U<R/6IM/x14B`5 � 5u<[L+7OIML8YF1458IM/d14IR1O36A F

�l1OACB`��A��lY=<p145HI?/67C\

������� �R N ��� �� ���� � �� ����� �

����� ��� &%���% � �����=IMB�7O5H�G>6L85H9C5z10a�:M�DAhSXIV9CY67D36ACB`ArIM/6Lza�IM/b143FIM7OAk�JIVU6ACL87�SXB`IM� 1;<?vFLHA �@\ � �g581O3�<W9KY6v65H9�14IM>���Y6�p<��^<

9CI?Y6>6LH58/6N�: 1O3=<[1�5H7*:!IM/21436I?7OA ��� � �Z�o������9C<?/6U658U=<[14AK7R74<[1O5H7QS a@58/6NZ7O58�:Y6Lz1;<?/6AKIMY67`L8a�9CB`5814AKBO5H<➆<?/6U

➇ � \��Ab/6I?14589CA�143=<p1t143FAd7O365zS 1V SO(10),1 7OAKAC�G7:7`1O5HL8L!1OIwvPAb�GIMBOAG>6BOI?�J587O5H/FN#58/29CIM�G>=<?B`5H7`IM/�1OI

V SO(10),2 \ � 58143�IMY6BG�GAK143FI@U;:D�^A =/6U�1O3=<[1 � � I?Sr143FA ��� � �_I?Sh1O36A � � �G�o������9q<[/6U65HU6<[14AK7SXBOI?��1O36Ah =B`7`1 � 7OAK9CIM/6U �^7O365zS 1 � AK9K1OIMBg<?U6�G581�/6IM/6<?/6IM�J<?LHI?Y67DUFAK =/65z1458IM/67^I[S B−L

\���<[9;3 � $C§��e¦ :/6A � ACBQ1436AKLHAK7O7 :=9KIMBOB`AC7`>iIM/FUd14IR<tvF5HNtS¢<?�G5HLza:I?S� $"!$#&%(' � �()"� $"! % �g58143bU65H7Q145H/F9K1T<[9C9CAK>F1;<[v6LHA U(1)B−L7`aV�G�JAe14B`5HAC7K\nmT36ACB`At<[BOAr10�DIbBOAC<?7OI?/ESXI?By1436587g1OI�3=<?>6>PAC/+*

• 60/��J<?/xaw9C<?7OAK7o1436AKBOA�<?B`A � AC9e14IMB`LH58�?ARAe�@I?1O5H9K7r�g58143s��� Nx<?Y6NMAt9;3=<?BON?AC7{5HU6AK/x145H9C<?L�1OId1436I?7OAI?S �lY=<?B`�l7k<[/6U�LHAK>F14IM/F7C\,�=Y6BQ1436AKB :F�g5z1436IMY@1

B−L:6Aq<?9;3�L8AC>F1OIM/�U6IMYFv6LHAe1

`9CIMYFLHU � AKB`aJ�^AKLHL vPAo<

�k58NMNM7 vPIM7`IM/φ\]mT3lY67!1436AKBOA�<?B`ATU65.-iACB`AC/x1n�y<qaV7!14I{9;36IVIM7OAT�g36589;3JI?SP143FAC7OAg7Q1;<[1OAC7!3=< � A�7`14<?/6U=<?B`U

B−L9;3=<?B`NMAC7K\��!<?9;3�9;3FIM5H9KAr9q<?/�L8Aq<?UJ14IR<tUF5.-iACBOAK/x1 � <?/FU�/6IM/=<?/FIM�b<[LHIMY67��!UFAK =/65z1458IM/bI?S B−L\

• �=IMBTAC<?9;3w9;36IM589CA{I?Sn�p� >=<?B`1O5H9KLHAC7�<?vPI � A#: 1O36ACB`AW�J<qaEviA{�GIMBOAo1O3=<?/~I?/6A B−LU6Ae =/6581O5HIM/ \

mT36A:7QaV7`14AK��I[S!A��lY=<[1O5HIM/67g1436<[1rU6Ae14AKBO�G5H/6A{1436A � <?LHY6AK7hI?S]1436A � <[BO5u<[v6LHAK7 xi

5H/~A�� \ � �V\ � � �T�G5HN?3l1vPAbY6/6UFACBO9KIM/67Q14B4<[5H/6AKU+\ZmT36ACB`AKSXIMB`A�:n58/27OIM�GAb9C<?7OAK7 :n143FACBOAb<?BOA � 9CI?/l1O5H/lY6IMYF7 �{S¢<[�J58LH5HAK7{I?S B−LNMAK/6ACBO<[14IMB`7 � 5 \ A[\n7OIM�GArI?S 143FA xi � 7g<[BOAhSXB`ACAoIMBySXY6Lz =LHLPA��lY=<p145HI?/67^�g581O3E<?/EY6/6U6Ae14AKBO�G5H/6AKU/lY6�tviAKBI?S�7OIML8YF1458IM/67��e\mT36AC7`Ad<?�tv65HNMYF581458AC7*:�<?L81O36IMY6N?3�UF5H7`1OY6BOvF5H/6N<[1{ =B`7`1c7O58NM3x1]: �J58NM3x1{<?LH7`IEviA�9CI?/67O58U6ACB`ACU2<EBO589;3

7OI?Y6BO9KA~I?Sh/6AK� >63xaV7O589C7K\ �kI��^A � AKB :g581G5H7�9KLHAq<[B�1O3=<[1��DA~/6AKACU�1OIs58�J>6L8AC�GAC/x1�/6Ae� 9CBO5z14AKBO5u<Z58/IMB`U6ACB!14IWBOACUFY69CA�1436Ak/VYF�:viAKBDI[S

B−L9KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/67K\ �sAkB`A��lY65HB`Ak1O36Ak>FBOAC7`AC/69KAoI?S ��� 7`5H/6NML8AK1O7

��� ����������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

�g581O3E9;3=<?BON?AC7B−L = 0,±2,±2/3,±2/5, . . . ,±6/7

5H/d1O36A{7O>PAC9e14BOYF� ����\ � IM/@ =NMY6BO<[1458IM/67y�g581O37O58/6NML8AK147g3=< � 5H/FN B−L

9;3=<?B`NMAC7k9CIM/67`5H7Q14AC/x1��g581O33(B−L) = 0 mod 2

:=v6YF1kU65.-iACB`AC/x1gSXBOIM��1O36A� <?LHYFAC7 )`Y67Q1k�GAC/x1O5HIM/6AKU<?BOAc<?YF1OIM�J<[14589q<?L8L8a�U6587OBOAKNx<?B`U6ACU+\

60/69CL8Y6U658/6NbIM/FL8a�143FAC7OAW>iI?7O7O58v65HL8581O5HAC7*:F�DAW =/6U � � � � � � � � �g9KIM/67`5H7`1OAC/x1 B−LN?AC/6AKB4<[1OIMBO7gSXBOIM�

143FA~ =BO7Q1 � 7`AC9CI?/6U � SO(10)7O365zS 147C\�mT36A �lY6AK7`1O5HIM/|587d/6I�� �g36AK1O36ACBE<?L8L�1O36AC7`AZ9CIM/@ =NMY6BO<[1458IM/67

<?B`A�5H/6A��VYF5 � <?LHAK/x1RIMB:/6I[1q\Z6¡1�9C<?/fviAE<[BONMY6AKU'143=<[1 :!58S�IM/6A�9KIM/67O58U6ACB`7�IM/6A�7O58/6NML8Ab�GI@U6AKL � 7`3658S 1� AK9K1OIMB +� 5HLH7`IM/�L85H/6AK7 �3laV>PACB`9;3=<?BON?AZNMAC/6AKB4<[1OIMB ���g58143|7`A � ACB4<[L B−L

9KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/67*:T�^A9CI?Y6LHUGU65H7Q1458/6NMY6587O3�1436A�5H/6A��lY65 � <?L8AC/x1�9CIM/F 6NMY6B4<p145HI?/67!vlaG9KIM�J>6<?BO58/6No1436Ak7OAK1O7^I?S���� 7O58/6NMLHAe147n�g581O39;3=<?B`NMAC7GSXY6L8 6LHLH58/6N

3(B−L) = 0 mod 2\ 6¡Sr1436AK7OAw7`AK1O7 � <?/FU�/6I?1G143FA~9;3=<?B`NMAC7��G9KIM5H/69K5HU6A5H/10�DI��JIVU6ACL87 :PIM/6AW�J58NM3x1h7Q1;<[1OAW1436<[1h1O36AKa~<?BOAWA��lY65 � <[LHAC/x1r<?/6U;:P143lY67 :i143=<[1hIM/6A:I[S 1436AK��9C<?/ZvPA

5HN?/6IMBOAKU+\nmT36587T5H7T5H/FU6ACAKU1O36Ac<?>6>6B`Ix<?9;3E�^A{SXIMLHL8I��{\ � �60/�1436587T<?>6>6B`Ix<?9;3;:V�^Ao =/FUd143=<[1^1436AKBOA{<?B`A �£IM/FL8a ��� � � ���D5H/6A��lY65 � <?L8AC/x1 B−L

9CIM/F 6NMY6B4<p145HI?/67SXBOI?�

V SO(10),1 � V SO(10),2 �e\,�=Y6BQ1436AKB :F<?7^�DAo<?BOAk5H/x14AKBOAK7`14AKUE5H/b�GIVU6ACL87D9KIM/x1;<?58/65H/6NW7OIML8ACLzaG1O36A{���Nx<?YFNMAbNMB`IMY6>�1O5H�GAC7W<#3658U6U6AK/27OAK9K14I?BtSXIMBcNx<?Y6NM58/6I~9KIM/6U6AK/674<p145HI?/;: IM/6AJ9q<?/ � ACB`58S a��g36AK1O36ACB:<?LHLAe�V1OB4<WYF/VvFBOIM�[AC/U(1) � 7�v6BOAC<?�:�g36AK/b =ACL8U67!�g58143J>6BOI?>iAKB B−L

9;3=<[BONMAK7y<[1`1;<?58/�����7K\���A��lY65HB`5H/6N143FAt<?vF7OAC/F9CA:I?S]Ae�V14BO<bY6/lv6B`IM�?AK/

U(1) � 7hB`ACU6YF9CAC7�1436587k7`AK1k14I � � � � �T<?9C9KAC>F14<?v6L8AW9KIM/F =NMYFB4<[1O5HIM/67K\�]58/=<?LHLza�:[U6AC�J<?/6U658/6No143=<p1^<[LHLFA �@I?14589C7�U6AC9KIMY6>6L8Ak<[LHIM/6ND�$# <[1!U658BOAK9K1458IM/67!LHAC<?U67 1OI � � � � �n<?9C9KAC>F1 <?v6L8Ah7`IMLHYF1O5HIM/F7D�g581O3�<?/�A �6<[9K1TL8I�� AK/6ACB`N?a

R¡>=<?B`5810aM\���AhLH5H7Q1D1O36Ao9CI?BOBOAK7O>PIM/6U658/6N:7`3658S 1O7 : � 58LH7`IM/

LH58/6AC7�<?/FUwNMAC/FACB4<p14IMB`7kI?S 3laV>PACB`9;3=<?BON?AR<?/6UB−L

5H/E1;<?v6L8A �T\ �M\gmT36AC7`A:5H/F>6YF1k>=<?B4<[�JAe14ACB`7k9C<?/vPAcYF7OACUE14IGU6Ae14ACB`�J58/6A{<?L8L I?1O36ACBg>6B`IM>iAKB`1O5HAC7TI[S�1O36A{�JIVU6ACL87C\

mT365H7WBOAK7OY6Lz1:5H7c7O>PAC9K58 =9G14IwI?Y6B(B−L)

¡v=<?7OAKUf7`14BO<[14AKN?as<?/6U��DAdA �F>PAC9e1]:n58/�NMAK/6ACBO<?L :��JIMB`A<?9K9CAC>@1;<?v6L8A��JIVU6ACL87r14IEAe�@587`1q\ �sAG>PIM58/l1{I?YF1{143=<[1o1O36ACB`AJ587{<vF5HN�Y6/69KACBQ1;<?58/l10a_58/Z1436587c/lY6�tviAKB<?/6U :61436AKBOAKSXI?BOA�:=5z1T7O3FIMY6LHUvPA{14<?�?AK/~<[7k<RL8I��DACBgvPIMY6/6U \

������� �R �� ��� � � � ��� � � � ��1�����% � � �

�mT36ADIMBOv65zSXIMLHU Q�o������<?L8LHI��g7�Y67 14I�U6AK =/FAy<k7`Y65814<?v6L8AB−L

NMAK/6ACBO<[14I?B �g36589;3tL8Aq<?U67 14Ig143FA^7`14<?/6U=<[BOU9;3=<?B`NMAC7gSXIMBy1O36AW�p� �J<[1O1OACB :FA�� \ � �@\�� � �;\nmT36AcNMAC/6AKB4<[1OIMBT5H7TN?5 � AK/#vxa

tB−L =(−1, −1, 0, 0, 0, 2

3, 2

3, 2

3

) (−2x + 1

2, −1

2, 0, −x, −x, 0, 0, 0

), � �@\������

�g581O3<?BOv65z14BO<?B`ax\���Ae1gY67T1;<?�[A

x = 12

\nmT36AC/1436AB−L

NMAK/6ACBO<[14I?Bg�DA{7O3=<[LHL+Y67`AW587

tB−L =(−1,−1, 0, 0, 0, 2

3, 2

3, 2

3

),(−1

2,−1

2, 0,−1

2,−1

2, 0, 0, 0

). � �@\������

� /'58/x14ACB`AC7Q145H/FNwSXAq<[1OY6BOAd587W1O3=<[1:1O36Ad7O>PAC9e14B`Y6� 9KIM/x1;<?58/67R<w>=<?58BtI?ST 6ACLHUF7t�g581O3B−L

9;3=<?BON?AC7±2

: 7`I~143=<p1]:]5zS^1O36AB−L

Nx<?Y6NMAG7`aV�G�JAe14BQas587WvFBOIM�[AC/'vxa����� 7tI?Sy1O36AC7`Ab =AKLHU67*:]1436AJ�b<p1O14AKB>=<?B`5810a

(−1)3(B−L) 587D9KIM/67OAKB � ACU�<?/FUb>6B`I?14IM/JU6AC9C<qaJUFY6A�1OIWUF5H�GAC/67`5HIM/�1436B`ACAk<?/6UGSXIMY6B!IM>PACB4<p14IMB`7�����! #"%$�"'&�(�"*)+$�&�(-,.$�/10�24315768$96:(#3<;% =2>&�(@?'A#$�;+"%&�(@"*,B/1 .3<(@"%$"%&C$�2D #0768/E"'/1 .0

3(B−L) = 0 mod 2 FHG &�/<;*/<;!(#3<;% (#6CIJ/K;';�/<LC3<$ML�$929(@5�;%$M #"%&C$9?N68/<;'2D?'$D"'$;%OBIPIJ$4"%?'/1$�;+?%$�;�5C31"%/<0CA�QR?% .IS"%&C$�LC?'$9(#TB/10CA� @QU(1)B−L

IP/1A.&U"+L�$�(#;+A# B 86V(.;WM2 F 5C?�"'&C$4?M68$D">(@/<3<;N29(@0�L7$�QR .5C0�6�/10:(#XCX7$90�68/1Y:Z[ @Q?%$4Q F]\ � ��^� �D�!$9,#$4?%"%&�$43<$9;';4_�;� B #0`)+$�QR #5�0�6`"%&7(�"M;% #IP$a24 #08b�A.5C?>(�"%/< #07;c)N/E"'&d/<6C$40U"%/K24(#3e;%$D"';* @Qf;%/10CA.31$4"';*)N/E"'&g2D .?%?'$92D"

B−L2>&�(#?%A.$9;P3<$96h"' i68/1j�$9?%$90."�2>&�(@?'A#$�;P/10k"'&C$ �Ml�l�� I=(�"�"'$4?Vb�$43K6C;V(#0�6h"%&�$4?'$DQR #?'$d68/1j�$9?%$90U"VXC&C$90C #IP$40� #3< #A#/K24(#3XC?' #X�$4?%"%/<$9; F " "*;�$9$4I=;c0C$924$9;';%(#?%OP"' J"%?'OV(P68/Ejm$4?'$40U"*(#XCXC?' .(#2>& F

� � � �R �

� �� � � � � ! �� � � � ! ���� � � �

5H7^7OY6>6>FBOAC7`7OAKU+\B60/�14<?v6LHA��^\ ��:@�DAo3=< � Ao7`Y6�J�J<?B`5�CAKUb143FAo�b<[1`14AKB^7O>PAC9e14B`Y6��I?S 1O36Ao�JIVU6AKL \ � 5H/69KA/6I�� �DAt5H/F9CLHYFU6A

B−L:=�^AW9q<?/#/6I���U65H7Q145H/FNMY65H7`3#vPAK10�DACAK/w =ACL8U67g�g581435HUFAC/x14589q<?L ��� �lY=<?/x14YF�

/lY6�:vPACB`7��=5H/E>=<[B`14589CY6LH<?B :V�^Ac9q<[/UF5H7`1O5H/6N?Y65H7`3/FI�� viAe10�^AKAC/ �k5HN?NM7g<?/6ULHAK>F14IM/EU6I?Y6v6LHAe147K\mT36A � <?9CYFY6� 9KIM/F =N?Y6B4<[1O5HIM/ � �@\ �����R5H7J7`1458LHLk<?U6�G5H7`7O5HvFLHAE5H/�>FBOAC7`AC/69KAZI?S

U(1)B−L

\ 60/�14365879CI?/F =NMY6BO<[1458IM/;:]����7O5H/FNMLHAe147{�g58143

B−L9;36<?BONMAK7 ±2

:]LH<?vPACLHAKUχ1 ≡ s0

1

<[/6Uχ2 ≡ s0

2

: <[1`1;<?58//6IM/��CACB`I ����7!<[/6UR143lY67!v6BOAC<?�

B−Lvlat10�^IcY6/65z147 :x7`Y69;3J1O3=<[1 :xA?\ N6\]>=<[B`14589CL8AC7 �g581O3

B−L9;36<?BONMA

1<[BOA:A��VYF5 � <?LHAK/x1h14Ib>=<?B`1O5H9KLHAC7��g581O3 B−L

9;3=<[BONMA:A��lY=<?L�1OI −1\omT36587rAe�F<?�G>6LHAt<?>6>6L85HAK7�1OId1436A

BO58NM3x1 �V36<?/6U6AKU/FACYF1OBO5H/FIM7T14I�viA{7Q14Y6U658ACU5H/d1O36A{/6Ae�V1k7OAC9e1458IM/+\��AK1�Y67�/FI��2>6BOIV9CAKACUW1OIkAK/lY6�JAKB4<[1OAD7`IM�GA�I[SF143FAD>6B`IM>PACB`1O5HAK7 1O3=<[1 143FADIMB`v658SXI?LHU £�o�p���'<?9��VYF5HBOAK7

<[S 1OACBTv6B`Aq<?�l5H/FNB−L

\������������ ������� ��� ������������ �� �!���"�� ��#�$ ����&%(')�&�*%+ ,-��.&���!����&�/�0 �1&� � mT365H7 5H7*:?I?S69CIMY6B`7OA#:/6I?1g7`Y6BO>FBO5H7`5H/6N�7`5H/69KA{�DAc3=< � Ac5H�G>iIM7`ACU B−L

)`Y67Q1�1OIG< � IM5HU�1O36AC7`AWIM>PACBO<[14I?BO7C\�2��&����343+�"��%+ ,5 ��$��.&�

µ6���!�#' � mT36A ��5HNMN?7T�b<?7`7y14AKBO�G7k<[BOA

φi (Mφφ)ij φj ,�g36ACB`A Mφφ =

s4 0 0 s

s s3 s3 s6

s5 0 0 s3

s 0 0 s3

. � �@\������

mT36A{Y6> 10aV>iA �k58NMNM7hu

587g<GL85H/6AC<?B^9KIM�:v658/=<[1O5HIM/�I?Sφ1

:φ3

<?/6Uφ4

:

hu ∼ s2φ1 + φ3 + s4 φ4 , � �@\�������g3658LHAr143FAcUFI��g/ ¡10aV>iA��5HNMNM7T587T9CIM�G>PIM7OAKU#IMY@1gI?S

φ2<[/6U

φ3:

hd ∼ φ2 + φ3 . � �@\��������AK1�Y67gBOAK�b<[BO�J1O3=<[1T1O365H7g7O>PIM58LH7yIMYFBg<?BONMYF�JAK/l1�<[viIMY@1T1436A{Ae�@587`14AK/69CAcI?S �£36AC< � ad1OIM> �4\

'kI?1O5H9KA#1436<[1�5H/�1436587 � <?9KY6Y6� 9KIM/F =N?Y6B4<[1O5HIM/�1436Aµ¡1OACBO�_:yvPAC58/6N2U6Ae =/6ACU <?7J1436Aw7`�b<[LHLHAK7`1

AC58NMAC/ � <?L8Y6AoI?S Mφφ

:

µ =∂2W

∂hd ∂hu

∣∣∣∣hu=hd=0

, � �@\1� � �

� <?/6587O36AK7cYF>�1OII?BOU6AKB s6 : <p1o�g365H9;3_�^A��DIMBO� \[6¡1c5H7{<d�^<�a~14IU6Aq<?L��g58143Z1O36A�7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OBO589µ�V>FBOIMv6L8AC�\

�7.&�"�#8���9�0�!�#':%+ , � 1&;��!<7�)'=�"���#%(���� � mT36A{Y6> �k5HN?NM7 ��Y6�p<q�y<�9CIMYF>6LH58/6NM7TU6AK9CIM�G>iI?7OA{5H/x14I

WYukawa ⊃4∑

k=1

(Yu)(k)ij qi uj φk , � �@\1� ���

�g36AKBOAT1436AT�J<[1OBO5H9KAC7Y

(i)u<?B`ATNM5 � AC/�5H/R<[>6>iAK/6U65 � �^\�mT3VYF7 :l1436AT>63xaV7O589q<?L 3×3

Y6> ��5HNMN?7���Y6�p<q�y<�J<[14B`5z�b5H7

Yu ∼ s2 Y (1)u + Y (3)

u + s4 Y (4)u =

0 0 s8

0 0 s8

s5 s5 s2

. � �@\1�x���

��� ����������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

'kI[14A:1436<[1{U6Y6AR14I�1O36A �k58NMNM7o�G5z�@5H/6NJ1436A:1OIM> �VY6<?BO� ��YF�[<q�^<9KIMY6>6L85H/6NdSXI?Bh1436587 � <?9CY6YF�}9CIM/  =NMYFB4<[1O5HIM/2587tNM5 � AK/'vla s2 \ZmT36ACB`AKSXIMB`A�:n143FAd9CIMB`BOAK7O>PIM/6U658/6N s

����7t<?B`AdBOA��VYF5HBOAKU'14IwvPA �lY6581OALu<[BONMA[\

mT36AcU6I��g/ ��5HNMNM7 ��YF�[<q�^<G9KIMY6>6L85H/6N?7TU6AC9KIM�J>PIM7`Ac58/x14I

WYukawa ⊃4∑

k=1

(Yd)(k)ij qi dj φk , � �@\1� � �

�g36AKBOAW<?Nx<?58/d1436A ��Y6�p<q�y<��J<[14B`5H9CAK7g<?BOAo>FBOI � 5HU6AKU#58/#<[>6>iAK/6U65 � �^\mT36A�>63xaV7O589q<?L

3 × 3UFI��g/ �k58NMNM7 ��YF�[<q�^<Z�b<[1OBO5 ��AK�JAKBONMAK7:vxa258/l1OACNMBO<[1458/6NwIMY@1�<~>=<?58BtI?S

� AK9K1OIMBOL85H�?A d− <?/FUd− �lY=<?BO�l7*:

Yd =

1 s3 0

1 s3 0

s s4 0

. � �@\1� � �

�sA�/FI?14AZ1436<[1viI?1O3 1O36A_Y6> <?/6U U6I��g/ �lY=<?B`�V7#<?B`A��J<?7`7OLHAK7O7<[1EIMB`U6ACBE7`5z� 58/ ��� 7`5H/6N?LHAK1O7C\�kI��DA � ACB :g�DAw3=< � AZ9;36AK9;�?AKU 1O3=<[1G1436AwYF> �lY=<?BO��vPAC9CI?�JAK7b�J<?7O7`5 � A~<[1JIMBOU6AKBd7OA � AK/ <[/6U�143FAU6I��g/ �VY6<?BO��NMAe147�<R�b<[7O7g<[1�IMB`U6ACBTAK5HNM3x1q\

� /=<[LHIMNMI?Y67OLza�:@1O36Ao>63xaV7O589q<?L3 × 3

�b<p14BO5 �JAC�GACBON?AC7Tvxa�5H/x1OACNMBO<[1458/6N:IMYF1�<R>=<[5HByI?S � AC9K1OIMB ¡LH58�?A`− <?/6U ¯− L8AC>F1OIM/67*:

Ye =

1 1 s

s s s2

0 0 s6

. � �@\1� ���

! %('=��&�*%+ �����,�7��� ���� ����&� 3+�!�&�* ,� 1�'/� �!����%+ �34����%(�8 �� ����"�* ��#� � �sAD3=< � AyLHIVIM�?AKUWSXIMBA -iAC9e145 � A:U658�JAK/67O58IM/#  � ARv=<?BQaMIM/_<[/6UwLHAK>F14I?/w/lY6�:vPACB � 58IMLu<[1O5H/6NGIM>PACBO<[14IMB`7h58/~1436587k�GIVU6ACL \ �sA =/6Uw1O3=<[1k14IdIMB`U6ACBs6 /FId7OY69;3_IM>PACBO<[14I?BO7hA �@5H7`1C\ �kI��DA � ACB :�1O36AC7`ARIM>iAKB4<[1OIMBO7k9q<?/ZvPAtN?AC/6AKB4<[1OACUIM/69KA�1O36AgAe�@I?1O5H9C7

δi, δi<?BOAg5H/x1OACNMBO<[14AKUJIMY@1q\��=IMBQ14Y6/6<[14AKL8a�:l<{9CL8A � ACB�9;36IM5H9KAgI?Sc����7nSXIMB 1O36A� 6ACLHUF7

{si}9C<?/2NMY6<?B4<?/x1OACAd7`Y G9C5HAK/x1�7OY6>6>FBOAC7`7O58IM/'I?S�<?L8L�58/6U6Y69KACU

q q q `IM>PACBO<[14I?BO7 :]9CIM/67`5H7Q14AC/x1:�g5z143

9CYFBOBOAK/x1hvPIMY6/6UF7�I?/>FBOI?1OIM/#UFAC9q<qa�:=A�� \ � �@\ � ���;\µ ����!�#' ��&� � %4&;� �< ��; % ���&����� � 60/Z�J<?/xaw�o����� 9q<?/6UF5HU=<[1OAC7*:+581k3=<?>6>PAC/F7r143=<[1k1436A

µ�

14AKBO��5H7r58U6AC/x145z =ACUw�g5z143Z143FAG�p�-7`5H/6NML8AK1o7`Y6>PACBO>PI?1OAC/x145H<?L :W (si)

\'k/FSXI?B`14YF/=<[14AKL8a�: 1436587rBOAKLu<[1O5HIM/U6IVAC7k/6I?1r3FIMLHUE1436AWIMBOvF58SXIML8U Q�o�����t\TmT365H7k5H7�5H/x1458�b<p14ACLzadB`ACLu<p14ACU14Ib1O36At/lY6�tviAKBhI?S ��5HNMN?7k>=<[5HBO7SXIMY6/FU+\X60/�1O36AdIMB`v658SXIML8U Q�o������1O36ACB`A�<?B`AJSXIMY6Bc =ACL8U67tI[ST1436587W10aV>iAd<?/6U�1O36AKas�J5 �i\760/2�GI@UFACLH7�g36AKBOAk1O36AgBOAKLu<[1O5HIM/

µ = 〈W (sj)〉 = 03FIMLHU67*:x1436AKBOA�5H7!IM/6LzaRIM/6Ag>=<?58B!I?S ��5HNMNM7`AC7�<?/6UJNMAC/FACBO589q<?L8L8a

143FAKaE<?B`A{v6Y6LH�G =ACL8U67C\60/J1O36AkI?BOv65zSXIMLHU £�o���p���DAh9CI?Y6LHUG/6I?1� =/6Ub<?/xaG<?BONMYF�JAK/l1D<?NM<?5H/67Q1!1436A�A � AC/x14Y=<[L 5H/F7`1;<[Y6B4<[1O5HIM/I?S]<RU6ACAK>w<?/x145 !hA � 581O1OACB � <?9KY6Y6�\�=Y6B`1O36ACBRU6Ae1;<?58LH7WI?Sk1O36A�IMB`v658SXIML8U Q�o����� B`ACNx<?B`U65H/FNw1436A�A - AK9K1�I?S�IMY6B

B−L9;36IM589CA�IM/'1O36A

/6AKYF14B`5H/6Is�b<?7`7OAK7J�g5HL8LTviA#U65H7`9CY67`7OAKU|5H/�1O36A~/FAe�V1d7`AC9K1O5HIM/ \ mT3FAwU6AK14<?5HL8ACU��b<[7O7G�b<[1OBO589CAC7J<?B`AU6587O>6LH<�a?ACU5H/<?>6>PAC/FU65z� �^\

� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ��� � � � ����� ���mT36A�7OAKAC74<q� �GAC9;3=<[/65H7`� �1� � � � � 587!>iAKBO3=<?>F7�1O36Ag�JIM7Q1D<[1O1OB4<?9e145 � AT�y<qaR14IcAe�@>6LH<?5H/R1O36Ak7`�b<[LHLH/FAC7O7I?S�1436AR/FACYF1OBO5H/FI�J<?7`7OAC7K\�6¡147{AK7O7OAK/x145u<[Ln5H/6NMB`ACU658AC/x147{<[BOAR36AC< � a��~< )`IMB4<?/6<d/6ACYF1OBO58/6IM7{<?/6U_143FAC5HB��Y6�p<q�y<W9CIMY6>FLH5H/FNM7n14IW1O36A�LHAKS 1 �V3=<?/FU6ACUJ/6ACYF1OBO58/6IM7C\nmT3FAh7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14B`5H9�7OACAK74<q� �JAK9;3=<?/6587O� 587U6AK7O9CB`5HvPACUvxa�1436A{7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L

W = Y ijν φ `i Nj +

1

2MjkNj Nk , � �@\1�m���

�g36AKBOAφ<?/FU

`i � i = 1, 2, 3� <?BOAT143FAkY6>��l10aV>iA �k5HN?NM7!<?/6UJLHAC>@14IM/GU6IMY6vFLHAK1O7 :V<?/6U

Nj � 1 ≤ j ≤ n�

<?B`Ay7OIM�GAT36AC< � aR7Q1;<?/FU=<?BOUR�GIVU6ACL@7O5H/FNMLHAe147C\ � 1!LHI���AC/6AKBONM58AC7*:M1436587 LHAC<?U67]1OIr1436B`ACATLH58NM3x1 /6AKYF14B`5H/6I?7�g581O3:�J<?7O7`AC7nI?S IMB`U6ACB(Yν 〈φ〉)2/M

:M�g36ACB`AYν

<?/6UMBOAK>6BOAK7OAC/x1!10aV>65H9C<?L � <?L8Y6AC7]I?S Y ij

ν

<?/6UMjk

:BOAK7O>PAC9e145 � ACLzaM\ �=IMB Yν ∼ 1

<?/6UM ∼ 1016 GeV

: IM/6AJ3=<?7mν ∼ 10−3eV

\#mT36Ad7O9C<?LHAK7:I?ST1O36A<[1O�JIM7`>636AKBO5H9{<[/6UE7OIMLH<?BT/6ACY@14BO58/6I�IM7O9K5HL8Lu<[1O5HIM/67*: � �8� ��

√∆m2

atm ' 0.04 eV ,√

∆m2sol ' 0.008 eV , � �@\1� ���

<?B`Ac7`Y67O>F5H9C58IMY67`L8ad9KLHIM7`Ar14I�1436587T7O9C<?LHA[\nmT365H7g3658/l1O7�<[1"�$� �Z7Q14BOYF9K14YFBOAC7�vPAC3658/6U1O36A{7OAKAC74<q�{\60/�9CI?/ � AC/x1458IM/=<?L �$���+7 :

Nj

<[BOA�JAK�:viAKBO7GI?S �$��� �J<[1O1OACB��:Y6Lz1458>6LHAe147 :�A?\ N6\D<16�V>6L8AK1GI?S

SO(10):]<?/FU

Mjk

<?BOA�B`ACLu<p14ACU�14I~< ��� I[ST<#LH<?BON?A��$����B`AC>6B`AC7`AC/x1;<[1O5HIM/ :]A?\ N6\ <126

�V>6L8AK1cI?SSO(10)

\^60/#1O365H7g9q<[7OAW1O36A �~< )`IMBO<?/=<J�J<?7`7g1OACB`�J7�IMBO58NM5H/6<[14ArSXB`IM��143FAW9KIMY6>6L85H/6N1616 126 � 9KS£\A?\ N6\�� �8�x�� �e\

��� ����� � ����� � 4 � � � �� �+� 4 �� � ����� ��� ��� � � � � ���� � AK/w1436IMYFNM3~58/~IMY6B�7O9;3FAC�GAt�^AW3=< � A:L8I@9C<?L �$���+7 : 1436A ��Y6�p<q�y<b9KIMY6>6L85H/6N?7kU6IJ/6I?1k/6AC9KAC7`74<?B`5HL8a>6B`AC7OAKB � A_1O36AZ7`aV�G�JAe14BQa�I?S{1O36AC7`A �$� �+7K\ mT3FAZ7`aV�J�GAK1OB`a�I?S{1436A~/6IM/6L8I@9C<?Lk9KIMY6>6L85H/6N�5H/�14AK/U658�JAK/67O58IM/67o5H7c<?/�5H/x1OACBO7`AC9e145HI?/sI?SD1436AGLHIV9q<[L Nx<?Y6N?AGN?BOIMY6>F7W<p1c1O36A � ACBQ14589CAC7K\dmT36587c58�J>FLH5HAK7 :+SXIMBAe�F<?�G>6L8A�:=143=<p1�1O36A��#< )`IMB4<[/=<G�J<?7`7�1OACBO�G7gSXIMBT1436AW/6ACYF1OBO58/6IJ9KIM�G>iIM/FAC/x147�I?S 1O36A

16�V>6L8AK1O7k9C<?/

IMB`5HNM58/=<[14A�SXBOIM� 1436A{9CI?Y6>6LH58/6N

ν16 × ν16 × (��� 7`5H/6NML8AK1O7

) , � �V\<�m����g36AKBOA{1436A{7O58/6NML8AK147TvPACL8IM/6NR/6AK581O36ACBT14I (−−−)

16/FIMBT14I (−−−−−)

126I?S

SO(10)\�=Y6B`1O36ACB`�JIMB`A�: <?/xa#����7`5H/6NML8AK1g9C<?/#>FLu<qa�1436A{B`IMLHA{I?S�1436A{BO58NM3x1 �V36<?/6U6AKU#/6AKYF14B`5H/6IJ<?7�LHIM/FNJ<[7

581c3=<[7t< ��Y6�p<q�y<9CIMY6>FLH5H/FNE1OI#1O36AJL8AC>F1OIM/�U6IMY6v6L8AK1O7W<[/6U2<ELu<?B`NMA �~< )`IMBO<?/=<E�b<[7O7C\bmT36AC7`Ad<?B`A<?v6YF/6U=<?/x1�5H/EIMB`v658SXIML8Ud�GI@U6AKLH7g<?/FUE10aV>6589q<?L��GIVU6ACL87y9CIM/x14<?5H/ O(100)

7`Y69;3~7`5H/6NML8AK1O7C\�o���p��9q<?/FU65HU=<p14AC7g9KIM/x1;<?58/#<[/~<?/FIM�b<[LHIMY67

U(1)�g365H9;35H/FU6Y69CAK7T1436A �o6

D 14ACB`�=:

Danom =g M2

Pl

192π2tr tanom +

i

qi |φi|2 , � �@\1�����

�g36AKBOAtA

5H7�1436Ag<?/FIM�b<[LHIMY67U(1)

NMAK/6ACBO<[14I?B :qi

<?B`A^143FAg<?/6IM�J<?LHI?Y67]9;3=<[BONMAK7�I[SP 6ACLHUF7φi

<?/FUg587

143FAcNM<?Y6NMA{9CI?Y6>6LH58/6N6\ mT3F5H7T14B`5HNMNMAKBO7T7`>iIM/x14<?/6ACI?Y67kNM<?Y6NMAo7Qa@�G�GAK14BQa�v6B`Aq<?�l5H/FN��g3F5HLHAo>FBOAC7`ACB � 58/6N

��������������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

7OYF>iAKBO7`aV�G�JAe14BQa � � � � \ � IM�GAhI[S�1436Ah 6ACLHUF7y9;3=<?B`NMACU�Y6/FU6ACB^1O36Ao<?/FIM�b<[LHIMY67U(1) � <?/FU;:F58/�<?U6U65 1458IM/;:6YF/6U6ACB�I?1O36ACBgNx<?YFNMA{NMBOIMYF>67 �yU6A � ACL8IM>~/FIM/ �CAKBOIi���� 7T1436AKBOACvxaBOAKU6Y69K5H/6NGNx<?Y6N?Ac7QaV�J�GAK1OB`aM\mT36A�7O9C<?LHARI[SD1O36AC7`A�����7o587o7OAK1cvxaw1O36A �o6g14ACB`���g36589;3s587r7OIM�GAK�g36<[1cviAKLHI���1O36AR7`1OBO58/6NE7O9q<[LHA?\

mT36587nA � AK/x14Y=<?L8L8atU6AK1OACBO�G5H/FAC7]1O36AT7OAKAC74<q�|7`9q<?L8A?\{60/�NMAK/6ACBO<?L :M<?/xa���� 7`5H/6N?LHAK1O7 9q<[/GN?AK1nLH<?BONMAJ���� 7<?7:L8IM/6N~<?7:581W5H7t9CIM/67`5H7Q14AC/x1:�g5z14327`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OB`a�:�<?/FU'IM/6Ab9C<?/'IMvF14<?5H/s1436Ad7Q1;<?/FU=<?BOU'�GIVU6ACLNx<?YFNMAo7`aV�G�JAe14B`ab145H�GAC7y1O3=<[1gI?S 143FAc3F5HU6U6AK/#7`AC9e14IMB*:

G4D −→ GSM × Ghidden . � �@\�� � �mT36AW7O5H/FNMLHAe1�����7k<?BOAW/6I?1k/6AC9KAC7`74<?B`5HL8a#<?7`7OIV9C5H<[14AKU#�g581O3�# <p1rU658BOAC9e1458IM/67g5H/1436Ac =ACL8U~7O>6<?9CAR<[/6UNMAK/6ACBO<?LHLzaZ9CIMB`BOAK7O>PIM/6U�1OI#587OIMLH<[14AKUs7`IMLHYF1O5HIM/F7{1OI#7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OB`a�A��lY=<[1O5HIM/F7�� � � \�mT36Ab3F5HU6U6AK/�J<[1O1OACBhNM<?Y6NMA:N?BOIMY6>

Ghidden

9C<?/ZvPARBOAC7`>iI?/67O58v6LHAcSXIMBr7O>PIM/x1;<[/6ACIMYF7o7OY6>PACB`7`aV�J�GAK1OB`a~v6BOAC<?�l5H/6N6\60/~S¢<?9e1]: �g581O365H/E1436AW9CLH<?7O7kI?Sn�GI@U6AKLH7T�g581O3#1O36AR�o�����%7O>PAC9e14BOYF�=:PNx<?Y6N?5H/6IG9CIM/FU6AC/67O<[1458IM/w58/#143FA3658U6U6AC/f7`AC9K1OIMB:S¢< � IMB`7Rm�A�� �V7O9C<?LHA�7`I?S 1��J<?7O7`AC7:SXIMBt1O36A�IMv67`ACB � <[v6LHAd =AKLHU67*:�<?7:�^AE3=< � A7`ACAK/�58/7OAK9K1O5HIM/ �@\ � \ �V\

mT36Ac/6IM/ �KACBOIG7O58/6NML8AK1=����7gLHAC<?U�14IR143FAc�J<?7`7y14ACB`�J7TSXIMBy1O36A � AK9K14I?BOLH58�?A{7`14<[14AK7 :

W = xi xj 〈sa sb . . . 〉 , � �@\�������g36AKBOA

xi, xj

<?BOAb1O36A � AK9K14I?BOLH58�?A�A �FI[145H9K7�<?/6U 〈sk〉<?BOAd1O36A��� 7`5H/6NML8AK1 ���� 7R5H/'7`1OBO58/6NZY6/65z147C\

� Y69;3w<J9CI?Y6>6LH58/6N��:Y67Q1hvPAW9KIM/67`5H7`1OAC/x1h�g5z1437`1OBO5H/FNJ7`ACLHAK9K1O5HIM/#BOY6L8AC7C\a60/~7OAK9K1O5HIM/ �@\ � :P5z1�3=<?7�viAKAC/7O3FI��g/G143=<p1!�b<?/xa�

6

86�6��GI@UFACLH7]74<[1O5H7`S at1436587nBOA��lY658BOAK�JAK/l1�<[/6Ub<[LHLFI[Si1O36A � AC9e14IMB`LH58�?AgAe�@I?1O5H9C7!9C<?/vPAcUFAC9CI?Y6>6LHAKU+\!mT365H7TB`AC7`Y6L81O7�58/�1436AW�o����� 7O>PAC9e14B`Y6� <[1gLHI�� AC/6AKBONM58AC7K\� 5H�G5HLH<?BOLza�:p1436Ak7O5H/FNMLHAe1�����7D5H/6UFY69CA � �~< )`I?B4<?/=< �g�b<[7O7!14ACB`�J7!SXIMB!1436Ar��� 7O5H/FNMLHAe147D<?7��DACL8L <[7

143FAc/FACYF1OBO5H/FI ��YF�[<q�^<G9KIMY6>6L85H/6N?7TI?S]A�� \ � �@\1�m��� :Mij ∼ 〈sa sb . . . 〉 , Y ij

ν ∼ 〈sα sβ . . . 〉 , � �@\��M���<?7gLHI?/6N�<?7g581T587T9CIM/F7O5H7Q14AK/l1��g581O3E7`14B`5H/6N�7`ACLHAK9K1O5HIM/EBOYFLHAC7K\

60U6AC/x1O58 =9C<[1458IM/oI?S@BO5HN?3l1 �V3=<?/FU6ACUo/6AKYF14B`5H/6I?7�5H7+58/l1O5H�J<[14AKL8agB`ACLu<p14ACUr1OIT1436An587O7OYFAnI?SVv=<?B`a?IM/��[L8AC>F1OIM//lY6�:vPACB � 58IMLu<p145HI?/+\�60/ZNMAC/FACBO589 � <?9KY=<9:+<[/la~���-7O58/6NMLHAe1h9C<?/w>6LH<qa1O36AtB`IMLHAcI?Sn1O36AtB`5HNM3x1 �l3=<?/6U6AKU/6AKYF14B`5H/6I6\ ��I��^A � ACB*: 7OYF9;3 � <?9CY6<<[LH7OIE7`Y - AKBoSXBOIM�}A �@9CAC7`7O5 � A R

0>=<?B`5810a � 58IMLu<p145H/FNd5H/x14AKB4<?9e1458IM/67C\mT36Ar7`5H�G>6LHAK7`1!�^<�aG14IW7OY6>F>6BOAK7O7y143FAC7OAh5H/x14AKB4<?9e145HI?/67D587�1OIt58U6AC/x145zS aG<B−L

Nx<?Y6N?Ak7Qa@�G�GAK14BQaJ<?/6UAC/@SXIMBO9KAtAC5z1436AKBk5z147k<?>6>6B`Iq�F58�b<p14A{9CIM/F7OACB � <[1458IM/~IMB�9CI?/67OAKB � <[1458IM/~I[Sn581O7�UF5H7O9KBOAe14A � �b<p1O14AKBg>=<?BO5z10a%�7OYFv6NMBOI?Y6>+\ 60/�LHIV9q<?L*�$���+7 :�1436A

B−LNMAC/FACB4<p14IMBGBOAK7OAC�tv6LHAK7G1O36A#7Q1;<?/FU=<?BOU �$� �

B−L:Tv6YF1

<?L87OI{BOA��VYF5HBOAK7^A �@1OB4<U(1)

9CIM�G>iI?/6AC/x147!vPAKa?IM/6USO(10)

\o6¡1D5H7!/6I?/=<?/6IM�J<?L8IMY67!<?/6UG>6B`I@U6YF9CAC7�1436A7`14<?/6U=<[BOU

B−L9;3=<?B`NMAC7nSXIMB 1O36Ak�p� �b<p1O14AKBC\m6¡S

B−L5H7nv6B`IM�?AK/Jvxa �� � 7nI?SP =ACL8U67!9q<?B`B`aV5H/FNoA � AK/9;3=<?B`NMAC7RYF/6U6ACB

B−L: 143FAd�b<p1O14AKBt>=<[BO5810a

(−1)3(B−L) 5H7t9KIM/67`ACB � ACU+\�mT36587tSXIMBOvF5HU67cU=<?/6N?ACBOI?Y67R0>6<?BO5z10a � 5HI?Lu<[1O5H/6NW5H/x14AKB4<?9e145HI?/67g<?/6UEBOA��lY65HB`AC7y143FAcB`5HN?3l1 03=<[/6U6ACU�/FACYF1OBO5H/FI�1OI�9q<?B`B`ab1O36Ao9;3=<?B`NMA

qB−L = ±1\ � /6I?143FACB{>iI?7O7O58v65HL85810a5H7k143=<[1

U(1)B−L

5H7ovFBOIM�[AC/2<p1{<?/�5H/x14AKBO�GACU65H<[14AW7O9q<[LHAMB−L7OYF9;3~143=<p1h<[LHL

R¡>=<?BO5z10a � 5HIMLH<[1458/6NR9CI?Y6>6LH58/6NM7g<?B`A{7OY6>F>6BOAK7O7OAKU_vla MB−L/MPl

\B60/#1O365H7g9q<[7OA�: �~< )`IMBO<?/=<b�J<?7O7k14ACB`�J7kSXIMBk1O36ARBO58NM3x1 �V3=<[/6U6ACU~/6ACYF1OBO58/6IM7o<?B`AR<?L8LHI��^AKUwIM/6Lza~YF>iIM/

B−Lv6BOAC<?�l5H/6N9:

�g36589;3L8I��^AKBO7T1436Ao7`ACAK74<q� 7O9C<?LHAr1OI�5H/x14AKBO�GACU65H<[14AkAC/6AKBONM58AC7C\d60/��g3=<[1gSXIML8LHI��g7 :V�^A{9KIM/67O58U6ACBy1O36AC7`A>PIM7O7`5Hv658LH581O5HAK7D58/7`>iAK9C5z =9{36AK1OACBOI[145H9{IMB`v658SXI?LHUd�GI@UFACLH7K\

� � � � ��� � � � � � � � � � � � � � �

��� ����� � ����� � 4 � � � �� �+� �� � � � � � ��1���� % � ����mT36A

B−LNMAC/FACB4<p14IMBT587�58U6AC/x1O58 =AKUE�g5z143

tB−L =(−1,−1, 0, 0, 0, 2

3, 2

3, 2

3

) (−1

2,−1

2, 0,−1

2,−1

2, 0, 0, 0

). � �@\�� � �

60/wNMAK/6ACBO<?L]7`Y6>PACBO7QaV�J�GAK1OBO5H9W9CIM/@ =NMY6BO<[1458IM/67 :P�J<?/xaw���%7`5H/6NML8AK1O7hNMAe1r/6IM/��CACB`Ik�� � 7C\ � 36I@I?7O5H/FN<R7OY6vF7OAK1kI?S�7OY69;3#7O58/6NMLHAe147y�g5z143 � I?B ±2 B−L

9;3=<?B`NMAC7*:=1436A{Y6/lv6B`IM�?AK/~Nx<?YFNMA{7`aV�J�GAK1OB`ab5H7

GSM × Ghidden , � �@\�� � ��g36AKBOA

Ghidden = SO(8):=�g3658LHAW<?LHL�I?S]1436AWAe�@I?14589t7Q1;<[1OAC7hN?AK1rLH<?BON?Ac�J<?7`7OAC7h<?/6UwUFAC9CI?Y6>6LHA[\kmT3F5H7

� <?9CYFY6��>6B`AC7OAKB � AC7h1O36A{�b<[1`14AKBy>=<?B`5810a (−1)3(B−L) \��Ac =/6U~1O3=<[1�1436AKBOAW<?BOA � ��BO5HN?3l1 �V3=<?/FU6ACU#/6ACYF1OBO58/6IM7�U6AK =/FACUZvxaqB−L = ±1

:P10�DIdI?S��g365H9;3<?B`AT�JAK�:viAKBO7nI?S 1O36AgLHIV9q<?L85�CAKU

16�V>6L8AK147K\ mT36AeaR3=< � A ��Y6�p<q�y<o9CI?Y6>6LH58/6NM7]1OIo1436ATL8AC>F1OIM/�U6IMY6v6L8AK1O7<?/6U�Lu<?B`NMA �~< )`IMBO<?/=<#�J<?7`7W14AKBO�G7C\ �sAb3=< � Ab9q<?L89CY6LH<[14AKUs143FA 3 × 39

��Y6�p<q�y<w�J<[1OBO5z�Yν

<[/6U39 × 39

�~< )`IMBO<?/=<G�b<?7`7k�J<[1OBO5z�MI?SnA��P\ � �V\<�m���gY6>14IJIMBOU6AKBh7`5z�5H/1436Ac7O58/6NML8AK1 ���� 7C\gmT3=<[15H7*: SXIMBtAC<?9;3f�b<p14BO5 �sACLHAK�JAK/x1]: �DA�3=< � A�U6Ae14ACB`�J58/6ACUf<p1:�g365H9;3'I?BOU6AKB:5H/21O36Ad7OYF>iAKBO>PI?14AK/l1O5u<?L^</6IM/��CACB`I�9CIMY6>FLH5H/FNR5H7T<?L8LHI��DACU�vxad7Q14BO58/6N�7OAKLHAC9e1458IM/�BOY6L8AC7K\���<[9;3#AK/l1OB`a�UFAC>PAC/6U67gIM/�1O36A �lY=<?/x14Y6�

/lY6�:vPACB`7^<?/FUJ143FAkL8I@9C<?LH5��q<[1O5HIM/:I[S 143FA �~< )`IMB4<?/6<W/6AKYF14B`5H/6IM7*:V<?/6Ub58/ � IML � AC7�>6B`I@U6YF9K147DI?S+UF5.-iACBOAK/x17O58/6NML8AK147�<?/6Ut�JIVU6Y6L85 0UFAC>PAC/6U6AK/x1 ��YF�[<q�^<h9CI?Y6>6LH58/6NM7K\ �sAD1O36AC/�<?7`7OY6�GAD1O3=<[1 1436AD�b<[5H/c365HAKB4<?B`9;3la5H/J1436AK7OAoAC/x1OBO5HAK7y9CI?�JAK7DSXBOI?�j>FBOIVU6Y69K1O7TI?S 7O58/6NML8AK1����� 7y7OIt1O3=<[1y1O36AC7`Ar�J<[14B`5H9CAK7^9C<?/�viAk14BOAC<[14AKU<?7T14A �V14Y6B`AC7C\mT36AcA -iAC9K1O5 � Ac�J<?7`7��J<[1OBO5z�JSXIMBy1O36A{LHAKS 1 �V3=<?/FU6ACUE/6AKYF14B`5H/6IM7*:

Meff = − v2u Yν M−1 Y T

ν � �@\�������g581O3

vu

viAK5H/6NR143FAcYF> �l10aV>iA��5HNMNM7=���B:F9q<?/viA{B`AC>6B`AC7OAK/x14ACU~vlab1436Ao14A �V14Y6B`A

Meff ∼ − v2u

M∗

1 s s

s s2 s2

s s2 s2

. � �@\������

�kAKBOAs < 1

BOAC>FBOAC7`AC/x147r<JNMAK/6ACB`5H9c7O5H/FNMLHAe1 ���f5H/~7Q14B`5H/6NGY6/65z147k<?/6UM∗

5H7g1436AWA -iAC9K1O5 � At7OAKAC7O<��7O9C<?LHA[\Yν

9KIM/x1;<?58/67hAK/x14BO58AC7h�g5z143#>iI��DACBO7oI[SsviAe10�^AKAC/ �R<?/6U �I:P�g3F5HLHA{143FA:U6AC>PAC/FU6AC/69KARI?Sn143FA

AC58NMAC/ � <?L8Y6AC7:I[S MB4<?/6N?AC7tSXB`IM�

s1OI

s8 � �g581O32/6Iw�J<?7O7`LHAK7O7:AK5HNMAK/67`14<[14AK7�<[1:NMAK/6ACB`5H9J>iIM58/x147:58/�GI@U6YFLH5y7`>=<?9CA �e\ mT36587JB`AC7OYFL8147G5H/�<s7Q14B`IM/6Ns¡U6AC>PAC/6UFAC/69KA~I?Sr1O36AA -iAC9K1O5 � A~7OAKAC7O<���7`9q<?L8A

M∗\

mT36587r7O9C<?LHAW5H7kSXYFB`143FACBr7`Y6>6>6B`AC7O7`ACU�vxa#1O36A:Lu<[BONMAW�:Y6L81O5H>6L85H9K5810aJI?S!36Aq< � aw7`5H/6N?LHAK1O7 N:M∗ ∝ N−x�g581O3

0 < x < 2\ mT36A � <[LHY6AI?S x

U6AK>iAK/6U67dI?/�1436A14A �@1OY6BOA[\ �=IMBGAe�F<?�G>6L8A�:^�g36AK/|<?L8Lg1O36A7O58/6NML8AK147g9KIM/x14BO58v6YF1OAcA��lY=<?LHLza�:

x = 2:6�g36ACB`Aq<?7

x = 058S�IM/6LzaE<� @�FAKU~/lY6�:vPACB�I?S�/6ACY@14BO58/6IM7�3=< � A/6IM/F/6ACNML85HNM58v6LHAk9CIMYF>6LH58/6NM7C\�� I?By1436A{>6B`AC7OAK/x1h�GI@UFACL :V�^Ao =/FU

M∗ ∼ 0.1 s5 Mstr ∼ 1014 GeV , � �V\ ��� �SXIMBc1436A�7Q14BO58/6Nw7`9q<?L8A

Mstr = 2 · 1017 GeV<[/6U

s ∼ 0.3\ZmT36A�IMvF14<?5H/FACU214A �V14Y6B`A � �@\������{5H7tI[S9CI?Y6BO7`AW�GI@UFACL UFAC>PAC/6U6AK/x1q\

��������������� � ������� ������ �� � ��� ����� � � � ��� ������� � � �

� �� � �����"!��

mT36Ac9CIMB`BOAC7`>iI?/6U65H/FNG9;36<?BONMAKU#L8AC>F1OIM/ ��Y6�p<q�y<G�b<[1OBO5 �d587TI?S�1O36AoSXIMBO�

Ye ∼

1 1 c

c c c2

0 0 0

, � �@\������

�g36AKBOA � � �gU6AK/6I?1OAC7y<[v67OAK/69CArI[S+1436A�9CI?Y6>6LH58/6NcY6>J1OItIMB`U6ACB�7O5 �G5H/�1436Ak7O5H/FNMLHAe1�����7c\ � Y69;3 �KACB`IM7

<?B`ARAe�@>iAK9K1OACUs1OI�viA: 6LHLHAKUZ5H/_<[1{3F5HNM36AKBrIMB`U6ACB`7C\ �kAKBOA:�DAG<?BOA�<?NM<?5H/wYF7O5H/FN#<�7`5H/6NML8A:Ae�@>=<[/67O58IM/>=<?BO<?�GAK14AKBg<?L81O36IMY6N?3�5H/E>6B4<[9K14589CAo143FACBOAc<?B`Ao�b<[/la � <[BO5u<[v6LHAK7C\mT36AC7`AD9KBOY6UFA�AK7`1O5H�J<[14AK7�7O36I���1O3=<[1�B`Aq<?7`IM/=<?vFLHA SXACB`�J58IM/o�J<?7O7`AC7�9q<[/W58/o>6BO58/69C58>6LHA�viAnIMv@1;<?58/6ACU+\60/67`ACB`1O5H/6NGIMB`U6ACBTIM/FAc9KI@A G9C5HAK/x147�5H/d143FA{1OAe�V14YFBOAC7*:iI?/6Ar =/6U67g1436<[1T1436A{AK5HNMAK/ � <?L8Y6AC7g7`9q<?L8A{<?7

mνi∼ (1, s2, s2)

v2u

M∗, mei

∼ (1, c, 0) vd , � �@\�������g36AKBOA

vd

5H7{143FAbU6I��g/ �l10aV>PA��k58NMNM7d�� ��\ �=IMBs ∼ 0.3

<?/6Uc ∼ 0.1

1436AG14Ae�V1OY6BOAK7:BOAK>6BOIVU6Y69KABOI?Y6NM36Lza:1436A�IMv67`ACB � ACUbLHAC>@14IM/G�b<[7O7�365HAKB4<?B`9;3la?\ mT36Ah<?viI � A�1OAe�V14Y6B`AkS¢< � I?BO7!1436A�/6IMB`�b<?LF/6ACYF1OBO58/6I�J<?7O7W365HAKB4<?B`9;3las<?/FU29q<?/�<?9C9KIM�G�JIVU=<[1OAG7`�b<[LHL�<?/6UsLu<?B`NMAJ�G5z�@58/6N<?/6NML8AC7C\ �=Y6BQ1436AKBtU6Ae1;<?58LH7{I?S143FAc�GIVU6ACL�<[BOA{< � <?5HLH<?v6LHAk5H/<?>6>PAC/FU65z� �D\

� ��������� �

� ������������� ���� ����� � ������ � ��

"!$#&%(')!$*+%,#&%.-0/1%32$/1%,*+465176518,2$#:9;5=<>4�?@5=ACBD/1?E')#&F$?G/H',#>5=7$%I519J')!K*L!$*+',*@8,5H')#>?M%N')8N#>7$OKPRQS*T!D/GU1*C*+A B$!D/H%,#�+*@4#&',%"8,*@<>/H')#&5=7V',5C<&5W-��X*@7$*+8,O1YZB$!$*@7K5=A[*+7$5=<&5=O1YV/17$4;:$',!$*@8N*+9;5=8N*�:D#&',%0UX#\/12$#&<>#:YC/1%I/^]K7$#&FD*+4')!K*@5=8_Y�519R/1<&<05=2$%N*@8NU1*@4`9;5=8N?@*+%@P 6a7bB$/18N',#>?@]K<\/18*:c-d*e!D/GU1*�9;5X?@]$%N*@4b517�')!K*�B$!K*@7$5=AC*@7K5=<>5=OHYf519/12g*@<&#\/17�5=8N2$#&9;51<>4Z?+5=A[B$/1?+',#&FD?@/H')#&5=7$%0519h')!K*

E8×E8

!$*E')*@8N51')#&?3%N',8,#>7KO^',!$*@518NY=PQi*j!$/WU1*j4$*@%N?@8N#>2g*@4k#>7`4K*+'l/H#><m',!$*n!$*E')*+8,51',#>?n%_')8,#&7$O�/17$4oBK8,5WUX#>4$*+4p%N5=AC*e8,*+?@#&Bq*+%Z9;5=8V')!K*

?@51A[B$]r'l/H',#>5=7s519.',!$*�4K#>8,*+?+'VB$8,5=Bg*@8_')#&*@%C51935=8N2$#&9;5=<&4�A[5X4$*@<&% :d%,]$?l!k/1%C')!$*+#>8LFKtr*@4oBg5=#&7u',%V/H7$4')!K*@#>8vA[/H',',*@8R%,Bg*@?E')8)/rP � <>5=7$Ow-x#&',!S',!$#>%y/17D/1<:YX%,#>%*:z-d*V!D/GU1*Z?@5=ACAC*@7{')*+4|/12g5=]K'v')!$*[#>7$?+<>]$%N#>5=7519}%,5=AC*v/14$4$#:')#>517D/1<�4$*+O=8,*+*@%m519}9;8N*@*@4K5=A~4$*@7K5=A[#&7D/H',*@44$#>%N?@8,*E')*R')5=8N%,#&5=7�Pg6a7e?@517$?@8N*+')*#:g-d*M!$/WU1*%,!K5�-x7�')!$/H']:c?@5=7{',8)/18_Y|')5jB$8N*+UX#>51]$%^%N'l/�')*@AC*@7{',% :

�N

5=8,2K#&9;5=<&4$%y-x#:')!fQk#><&%,5=7f<&#>7$*+%L/1%T-d*@<><x/H%�N ×

�M

5=8,2$#:9;5=<>4iA[5X4$*@<&%L/14$AC#&'M4$#>%N?@8N*+')*�',5=8,%N#>5=7�P ��]K8N')!K*@8 :�-d*�!$/WU1*�9;5=]$7$4�5=]K'^',!D/H'L')!K*/1%N%,#>O17$A[*+7{')%�519v4$#&%,?@8N*+',*�',5=8,%N#>5=7o?@/17k2q*n',8)/14K*@4o9;5=8Z')8,/17$%N<\/H',#>5=7$%[519R')!$*�O{/H]$O=*n*+AT2q*+4$4$#&7$OBD/18,/1AC*+')*+8,%v�;%,!$#:9�')%I/17$4�Qk#><&%,5=7w<&#>7$*+%l�d#&7w',!$*R<\/H'N')#&?@*

ΛP

Qi*3!$/WU1*3*EtrB$<>/1#>7$*+4w/17$4�*�tr',*@7$4K*@4%,5=AC*.?@517uU1*@7{')#&5=7D/1<�A[*E')!$5X4$%0*+A[B$<&5WY=*@4Z',5L?@<>/1%,%N#&9�Y[5=8,2 #&9;51<>4MAC5X4$*@<&% :=BD/GYX#>7KO3%,Bg*@?@#>/1<$/�',')*+7{')#>517T')5.')!K*"?@5=7$%_')8N]$?+',#>5=7^519q/17$% �H' �+*0')!D/�'J/1<><&5W-�]$%�')535=2r'l/1#&7%NYX%_')*@A[/H',#>?G/H<><&YM/1<&<$#>7$*+�u]$#&UH/1<&*@7{'�#>7KB$]K'cBD/18,/1A[*E')*+8,%�519q5=8,2K#&9;5=<&4L?@5=ACBD/1?E')#&F$?G/H',#>5=7$%*:1')!$/H'J#>%*:X%N!$#&9�'U=*+?+',5=8,%y/17$4�Qk#><&%,5=7j<&#>7$*+%@PL "!$*^?@<>/1%,%N#&FD?@/H')#&5=7jAC*+')!K5r4�5=2K')/1#>7K*@4�#>%.U1*@8NYj�$*Etr#>2$<&*^/17$46?G/1762g*/14D/HBK')*+4n')5Z2g51')!

E8×E8

/17$4SO(32)

!$*E')*@8N51')#&?T%N',8,#&7$O[',!$*@5=8N#>*+%@PR�.]$8.AC*+',!$5X4$%(!D/GU1*L/1<>8N*G/14rY2g*@*@7')*+%N')*+4n#>7�/1<&<

�N

/17$4�

N ×

�M

5=8N2$#&9;51<>4$%+PcQS*y!$/WU1*MA[/14$*v/17*Etr!D/1]K%N')#:U=*T?+<\/1%N%,#:FD?G/H',#>5=7519

�N

5=8,2$#:9;5=<>4K%�-x#&')!K5=]K'c2D/1?l�uO=8N5=]$7$4CFD*@<&4$%�/H7$4Z/1<&%,5v/y?+5=ACB$<>*E')*"?@<>/1%,%N#&FD?@/H')#&5=7C519�

�3

5=8,2 #&9;51<>4VAC5X4$*@<&% :K#&7$?@<&]$4$#&7$OT4$#&%,?@8N*+',*.')5=8N%,#>517�P}Qk!$*+7$*+U1*@8IBq5=%N%,#&2$<>*#:r-d*v!$/WU1*R?@5=ACBD/18N*@4�5=]$8"8N*@%N]$<&',%')5L',!$5=%,*R519h')!K*v<&#&',*@8)/�')]$8N*1P

6�'V#&%^?@<>*@/18 :c!$5W-d*+U=*+8 :"')!$/H'^')!$*w'l/1%N�f519.O1*+',',#>7$OS/1<&<05=8,2K#&9;5=<&4fA[5X4$*@<&%L5=8^?@5=ACB$]K',#>7$O�')!K*@#>8B$8N5=Bq*+8N',#>*@%R8N*@�u]$#>8N*@%R%,51A[*C/1]K',5=A[/H')#��G/H',#>5=7�PvQi*C!D/GU=*C2$]$#&<&' )�� ���0�3�~���+� � � $��:���� :�/�B$8,5=O18)/1A-x8,#:',',*@7C#>7C? �<\/17KO=]D/1O=*"?@/1BD/12K<>*x')5v?@5=ACB$]K',*IAC5=%_'d5H9�')!$*x9;*G/�')]$8N*@%c519�5=8N2$#&9;51<>4L?@517$%N',8,]$?E')#>517$%#>7n/V9;8)/1?E')#>517e519c/Z%N*@?@517$4�P3Qi*L?+5=7$%N#>4$*+8(')!D/�'.%,]K?l!S/V',5r51<zAC#>O=!{'m2q*M519J%,5=AC*T#&7u',*@8N*@%N'(9;5=8(')!K*%,?+#>*+7u',#&FD?R?+5=A[AM]$7$#&'aYV/17$4 :$')!$*+8,*+9;518,*�:$-d*vB$<\/17�',5CBK]$2$<>#&%,!w#&'0#>7�')!$*39;]K',]$8,*HP

Qi*(!D/GU=*R/17D/H<&Y �@*+4�BD/18N',#>?+]$<\/18N<&YT',!$*.!$*E')*+8,51',#>?E8×E8

%_')8N#>7$OT?+5=ACBD/1?+',#&FD*+4V5=7w/�

6 � 6�6�5=8,2 �#&9;51<>4;:�/1<&<>5W-x#>7KOC9;5=8I]$Be',5V'a-d5�4$#>%N?@8,*E')*vQk#><>%N5=7e<&#>7$*+%@P ��A[B$<&5WYr#&7$O[/V%,*@/18,?l!j%_')8)/�')*@OHY�2$/1%,*+4j5=7')!K*[?+5=7$?@*+BK'y5190<&5r?@/1< ������% :�-�*[!D/GU=*C5=2K')/1#>7$*+4i/H2q5=]r'

3 × 104 #>7$*+�u]$#&UH/1<&*@7{'vA[5X4$*@<&%@P[�.]K'v519')!K*@A_:��r�B�AC5r4K*@<>%R*�tK!K#>2$#:'v',!$*��3����� O{/H]$O=*CO=8,5=]KBi%N',8,]$?E')]$8N*�:h')!$8N*@*V<&#>O=!{'39¡/1AC#><&#>*+%3/17$46U=*@? ��W¢1£

��� � �������� � �����������������������������! "���#�$�%��&

')518,<>#&�1*w*Etr51',#>?+%@PkQi*�%,!$5W-~')!$/H'Z/H<><"')!$*wU=*+?+',5=8,<&#>�1*�*Etr51',#>?@%[?G/17b4$*@?+5=]$B$<&*-x#:')!$5=]r'V2$8N*G/1�u#&7$O%,]KBq*+8,%NYXACA[*E')8_YC9;518I�G£=¢v5H9�')!$*+%,*mA[5X4$*@<&%@Pz "!$#>%cA[*@/17$%J')!D/�'0/1<&A[51%N'x�('�5=]K'd519

3× 104 AC5r4K*@<>%!D/GU=*y')!$*TO=/1]$O=*yO=8,5=]KBn/17$4�')!$*T?l!K#>8)/H<zA[/H',',*@8I?@5=7{',*@7{'3519�',!$*L�3�����MP. "!$#&%(8,*+%,]$<:'.%N!$5W-x%(')!D/�'5=8N2$#&9;5=<&4^?@5=ACBD/1?E')#&F$?G/H',#>5=7$%J519�',!$*(!K*+')*+8,51',#>?I%N',8,#>7KOM?@518,8,*+%,Bg5=7$4Z',5T/yB$/18N',#>?@]K<\/18N<&YT9;*+8N')#&<>*x8,*+O=#>517#>7j',!$*^<\/17$4K%,?G/HBq*C/17$4�')!$/H'R')!$*^B$8N5=2D/12$#&<>#:'aYe519dO=*E',')#&7$Ow%,5=AC*+',!$#>7KO?+<>5=%N*L')5�')!$*[�3����� #>%3%N#>O �7$#:FD?G/17{',<&YZ!K#>O=!$*+80')!D/H7',!D/H'x#>7w51',!$*@8"?+5=7$%_')8,]K?+')#&5=7$%+PB6�'"-d5=]$<&4�2g*3#>7{')*+8,*+%N')#&7$O^')5^*EtX')*+7$4�',!$*@%N*8,*+%,]$<:')%"')5^51',!$*@8x8N*@O=#&5=7$%"519h')!$*R<>/17$4$%N?G/1Bg*.-x!$*@8N*y%N5=AC*vBK8,5=AC#>%N#>7$OTAC5X4$*@<&%"/1<>%N5^*Etr#>%_'GP�D]$8N',!$*@8NA[5=8N*�:h-�*[!D/GU=*V9;5=]K7$4S',!D/H'y8,*@�u]$#&8,#&7$Oe8N*G/1<&#>%N',#>?T9;*@/H')]$8N*@%y#>7S',!$*C%,*+'M519I�3����� ?G/17 �4$#&4D/H')*+%3#>%3?+5=8,8N*@<\/�')*@4j-x#:')!n')!K*C%N]$Bg*@8,%_YXA[AC*+',8NYj2$8N*G/1�u#&7$Ow%,?G/H<>*L%,]K?l!S')!$/H']:�#&7n')!$*^?@517u',*EtX'v519O{/1]KO=#>7$5�?+5=7$4$*+7$%)/H',#>5=7 :�#>7{',*@8,AC*@4K#\/H',*�%,?G/H<>*S� ∼ 1

h**)R�L519.���z�,+ 2$8N*G/1�u#>7KOS#&%^9¡/GU15=8,*+4�Pb "!$#&%5X?@?@]K8,%"2g*@?G/H]$%,*RAC5=%N'�519�')!$*3AC5r4K*@<>%c-x#&',!�8,*G/H<>#>%_')#&?I9;*@/H')]$8N*@%"!D/GU1*y/T!K#>4$4$*+7�%,*+?+')5180-x#&')!

SU(4)5=8SO(8)

7$517D/12g*@<>#>/17�%NYXACA[*E')8_Y=P6a7L5=8,4K*@8}',53O=*+'�?+<>5=%N*@8h')5.')!K*x�3�����W:=-d*"4$*EFD7$*@4C/(%N]$?@?+*@%N%N9;]$<�%N',8)/H',*@O1Yv9;5=8z5=2K'l/H#>7$#&7$O(AC5r4K*@<>%

-x#&',!�/17�*�t$/H?+'R � BD/18,#:'aY�:r2D/1%,*+4�5=7�%,Bg5=7{'l/H7$*@5=]K%"2$8,*@/1�u#>7$OM519h/TO{/1]$O1* U(1)B−L

%NYXACA[*E')8_Y=P�QS*FD7$4i�.-IA[5X4$*@<&%z-x!$#&?l!^!D/GU=*x/.8,*+7$5=8NAV/1<&#0/@/12$<>*�',5=B �c]$��/G-0/.?+5=]$B$<&#>7$O$P}�.]K'�519�',!$*@%N*�:{-�*"#&4$*@7{',#&9�Y�21MAC5r4K*@<>%c-x#&',!�/H7�*EtK/1?+'

R � BD/18,#:'aY�:X7$5^<>#&O=!{'0*Etr51',#>?+%"5=8 U(1)O{/1]$O=*32g5=%N5=7$%x/17$4/17�518,4$*+8"5=7$*

')51Bo�X]$/18,� �c]K�H/G-�/f?@5=]$BK<>#>7KO$P Qi*n-d5=]$<&4o<>#>�H*e')5f8N*@A[/18,��')!$/H'�')!$*j7u]$AM2q*+8j�21i#>%�/|<&5W-�*+82g5=]$7$4;:�A[/1#>7K<&Y[%,#>7K?@*R5=]$8I%,*@/18,?l!�#>%x2D/1%N*@4e517e/^%,Bg*@?+#&FD?v%N',8)/H',*@O1Yw8N*@<\/�')*@4w')5

B−L%NYXA[AC*+',8NY1P

� 4$4$#:')#&5=7D/1<&<&Y�:�A[/17{Yi5H9x5=]$8M?+5=7$%_')8)/H#>7{')%*:�%,]$?l!�/1%M4$*@A[/17$4$#&7$On/�8,*@7K5=8,A[/1<>#3/G/12K<>*^?@5=]KB$<>#&7$O�9;5=8')!K*[')51Bi�u]D/18N�S/H8,*54N]$%N'M/18N',#&9¡/1?E')%v#>7{U=51�1*@4i#>7i518,4$*+8v',5e%,#&A[BK<>#&9�Y�5=]$8y/17D/H<&YX%,#&%@P� "!$*+8,*+9;518,*�:�/17#>7{',*@8,*+%N',#>7$O��u]$*@%_')#&5=7p-d5=]$<&4 2g*j')5�5=2K')/1#>7k%N#>AC#><\/H8[8N*@%,]K<&')%w#&7p?@/1%,*+%�-x!$*+8,* *b/{�V7K5s',8,#><&#>7$*@/18?@51]$B$<>#&7$Oy9;518d')!K*m')51BZ�u]D/18,�C#>%d4$*@A[/17$4K*@4;:r2��d7$5MU1*@?E')5=8N<>#>�H*@7$*+%,%"519�',!$*3��� A[/H',',*@8cO=*@7$*+8)/H',#>5=7K%-x#&',![8N*@%NBq*+?+'0',5

B−L#>%J#>ACBg5=%,*+4;:u?W�J/1<>%N5yAC5r4K*@<>%�-x#:')!V/17$5=A[/1<>51]$%

B−L/18,*m/14$AC#&',*@4;:u/17K4V4��

R � B$/18,#:'aYZ8,*+%,]$<:')%x4$#&8,*@?E')<:YV9;8,51A ')!K*v%N5 � ?@/1<><&*@4 � � ?l!D/H8,O=*3?+5=7$%N*@8NUH/H',#>5=7i�¡%_')8N#>7$Ou�c%,*@<&*@?E')#>5178N]$<>*HP�.7',!$*R51')!$*+8x!D/17$4;:$-d*v7$51')#&?@*.',!D/H'x4$#&A[*+7$%,#&5=7�F$U=*v2D/18_Y=5=7�/17$4<>*+BK')5=7w7u]$AT2g*@8"UX#>51<\/H',#>7$O5=Bg*@8,/H')5=8N% :h<>#&�1*

q q q `/1B$Bg*G/H8y#&7S5=8N2$#&9;51<>4jAC5r4$*+<>%R�u]$#&',*^8,*@O1]$<\/18N<&Yj*EU=*+7|#&9

B−L#>%R#>ACBg5=%,*+4�P

"!$*EYw/18,*3*+#&',!$*@80O1*@7$*+8)/H',*@4#>7Z')!K*3%,]$Bg*@8NBq51',*@7{')#>/1<q',5^%,5=AC*.5=8N4$*@8"#&7��� %,#&7$O=<&*+')%*:K5=80',!$*+YVAV/GY/1<&%,5^2q*RO=*+7$*@8,/H')*+4�-x!$*+7e#&7u',*@O=8,/H')#&7$O^5=]K'I!$*@/WUuYw*�tK5H')#>?+%@PB6a7�%N5=A[*R?@/1%,*+% :�5=7$<:YZFD7$* � ')]K7$#>7$O^')!K*�� �h%J519�%N5=AC*(��� %N#>7$O1<>*+',%J?G/17[/1<><&*+UX#\/�')*�',!$#>%JB$8N5=2$<>*+A�P��.7$*m#&%�')!u]$%c*@7$?+5=]$8)/HO=*@4C')5v#>7{U=*+%N')#&O{/H',*51',!$*@8xBg5=%,%N#>2$<&*.%,5=<&]K')#&5=7$%*:$%,]$?l!e/1%"')!$*R#&4$*@7{')#:FD?G/�')#>517�519}%N5=AC*34$#>%N?@8,*E')*R%NYXACA[*E')8N#>*@%+P

� 7$5H')!$*+8�/1%NBq*+?+'�5H9$B$!$*+7$5=AC*@7$51<>5=O1Y3',!D/H'z?G/1Br')]$8N*@4T5=]K8}/H'N')*+7u',#>5=7v#>%�')!K*d%N*@*@%,/G-bAC*@?l!D/H7$#>%NA�P� #&7$?@*.',!$*@8N*R/18,*37$5L]KB$Bq*+8x2q5=]K7$4$%"5=7Z',!$*v/1A[51]$7{'"519h8,#&O=!{'76X!D/H7$4$*@4�7K*@]K',8,#>7K5=%0')!D/�'"A[#&O=!{'x/1B �Bg*G/18*:H-d*�FD7$4M',!D/H'}#>7T/I%,?+*@7D/18N#>5(-x#:')! O(100)

8N#>O=!{'86X!D/17$4K*@4M7K*@]K',8,#>7K5=% :1',!$*�%N*@*+%)/G-bAC*@?l!$/17$#>%NA#>%I8,*@/1<>#3/@*+49;8N5=A~5=8,2K#&9;5=<&4?+5=7$%_')8,]K?+')#&5=7$%+P 95=8,*+5�U1*@8*:��¡<&*+9�'86X!D/17$4K*@4��"7$*@]r')8,#&7$5VA[/1%N%,*@%(/18,*R')!K*@7*@7K!D/17$?+*@4o�;#>7j?+5=A[B$/18,#&%,5=7e',5�')!$*^7D/;: U=*L*+%N')#&AV/�')*T519c')!K*L7$*@]K',8,#&7$5wAV/1%N%,*+%3#>7=<��(>�%)�I')5wAC5=8,*8,*@/1<>#&%N',#>?RU1/H<>]$*+%@PRQi*L?+5=7$%,#&4$*@8m')!$#&%.%,*E')]$Bj')5�2g*LB$<>/1]$%,#&2$<>*M/17$4jBg*@8N!D/1B$%3*EU=*@764$*+%,#>8,/12$<&*�:�%N#>7$?+*%,51A[*m?@5=7$%N*@�u]$*+7$?@*+%m519�',!$*.*Etr#&%N')*+7$?@*35H9�AV/17{Y[8,#&O=!{'76X!D/H7$4$*@4V7$*@]K',8,#&7$5=%0?+5=]$<>4V%,!$*+4%N5=AC*(<>#&O1')!#>7L%N5=AC*"5=Bq*+7^#>%,%N]$*@%*:u%,]$?l![/1%�<>*+BK')51O=*@7$*+%,#&%@?:�8�BA9:a�8�BCBD P�Qi*"AC#>O=!{'}*+U=*+7V?+5=7$%,#&4$*@8�',!$*x/12$]K7$4D/17$?+*519z8,#&O=!{'76X!D/H7$4$*@4w7$*+]K')8N#>7$51%x',5^2q*v/LB$8,*+4$#>?E')#&5=7w519}%_')8N#>7$OL')!K*@5=8_Y=P

Qi*c!D/GU=*�/1<>%N5m%_')]$4K#>*@4v#>7v4$*E'l/1#&<{5=7$*cA[5X4$*@<=',!D/H'�-d*d!D/GU1*�?G/H<><>*+4�EGF@�,H �IE��:�BJ¡�3�����MPm6a7y9¡/1?E']:�')!$#&%AC5r4$*+<$#>%J7$5H'd%NBq*+?@#>/1<D#>7^')!$*x%N*@7$%N*m')!$/H'c51')!$*+8d�3����� ?@/17$4$#&4D/H',*@%JBq51%,%,*+%,%cU=*@8_YC%,#>AC#><>/18h�X]$/1<>#:')#>*+% *5=7$<:Y.')!K*�*EtK/1?E'}A[/H'N')*@8�%NBq*+?+')8N]$A 519K',!$*0�3����� �¡]KBy')5mAV/H7uYR���b%N#>7$O1<>*+'�F$*@<>4K%l� �=/14$AC#>%,%N#>2$<&*

B−L%NYXACA[*E')8_Y6-x!K#>?l!f#>%y%,Bg5=7{'l/17K*@5=]$%N<&YS2$8,51�1*@7f',5nAV/�',')*+8yB$/18,#:'aYS#&7f/e%N]$Bq*+8,%_YrACAC*+')8N#>?CU1/H?@]$]$A

� ���

?@517KFDO=]$8,/H')#&5=7 �mO{/1]$O=#&7$5i?+5=7$4$*+7$%)/�')#>517`%,?@/1<>*n<&*G/14K#>7$O6')5����h�I+�2$8N*G/1�u#>7KOf/H'�/H7`#>7{')*+8,AC*@4$#>/H')*%,?@/1<>* �=UH/17$#>%N!$#>7KO

µ6u',*@8NA �1/17$4LB$8N51')5=7M4$*@?@/WYv')!K8,5=]$O1!T4$#>AC*@7K%,#>517yF$U1*"5=Bq*+8)/H',5=8,%z?G/17M2q*"/GU15=#>4$*+4

2{Y�%,51A[*.FD7K* � ',]$7$#&7$O$P� "!$*3',5=B �c]$��/W-�/^?@5=]$BK<>#>7KOT#>%"5=8N4$*@8 s2 4$]$*3',5��m#>O1O=%04$5=]K2$<>*E'xA[# tK#&7$OT#&7')!K#>%JA[5X4$*+< P��D]$8_')!$*+8 :X2q5H')!^')!$*I]$BZ/H7$4V4$5W-x7Z�u]D/H8,�u%0/18N*xAV/1%N%,<&*@%,%�/H'c5=8,4K*@8c%,#:tC#&7Z��� %N#>7$O1<>*+',%@P�m5W-d*+U1*@8 :�')!K*T]$B��u]D/18,��2q*+?@5=AC*@%3A[/1%N%,#&U1*^/H'35=8N4$*@8(%,*+U1*@7i/17$4n')!K*L4$5W-x76�u]D/H8,�eO1*+')%R/ZA[/1%N%/H'3518,4$*+8.*@#&O=!{'GP3 "!$*+%,*^B$8,51Bq*+8N')#&*@%3/H8,*MU1*@8NYn#>7{')*+8,*@%_')#&7$O�:�2K]K'3-�*L2g*@<&#>*EU=*M',!D/H'(',!$*L2g*@%N'RAC5X4$*@</G-0/H#&')%x%_')#><&<�#&7�%,5=AC*R?@5=8N7$*@8x519h')!$*R<>/17$4$%N?G/1Bg*1P

"!$*@8N*L/18N*M%,51A[*vB$!$*+7$5=AC*@7$5=<&5=O=#&?G/1<�#&%,%,]K*@%m',!D/H'I-�*M!D/GU=*T7$5H'./14K4$8,*+%,%,*+4�#>7�',!$#>%x')!K*@%,#&%@Pr6a7BD/18_')#&?@]$<>/18 :z5=7$*V#&%,%N]$*Z?@517$?@*+8,7$%LB$8N51')517f%N'l/H2$#><&#&'aY=P "!$*Z*�tK/1A[BK<>*@%y-�*Z%_')]$4K#>*@4�/H8,*V?l!$/1<><&*@7$O=*+42{Y�',!$*MBK8,*@%N*@7$?+*L519�4$#&A[*+7$%,#&5=7�FKU=*TB$8N51')517e4$*+?G/GYe51Bq*+8)/H',5=8,%+Pm "!$*+#>8m%,]$B$BK8,*@%N%,#&5=7jAV/GY8,*+�u]$#>8N*/14$4K#&')#&5=7D/1<L�¡4$#&%,?@8N*+',*W�Z%NYXACA[*E')8,#&*@%5=8w*+U1*@7 /�?l!D/17$O1*S#&7p',!$*SO1*@5=AC*+',8NYo519y')!$*65=8N2$#&9;5=<&4;:./H%%,]KO=O=*@%_')*+4Z#>7V/1B$Bg*@7$4$# t��(P� "!$*+8,*3/18N*(/H<>%,5v4$#&A[*+7$%,#&5=7^%,#:tC51Bq*+8)/H',5=8,%*:rO=*+7$*@8,/H')*+4V2{Y%<��(>O{/1]$O1*2g5=%,5=7*Etr?l!D/H7$O=*�:D-x!$#&?l!-d*R!D/GU=*v7$51'I4$#&%,?@]K%,%,*+4�P�D]$8N',!$*@8*:c-d*w!D/GU=*w7$51'^%_')]$4$#&*@4sB$8,*+?@#&%,#>517fO{/1]$O=*�?+5=]$B$<&#>7$Oe]$7$#&F$?G/H',#>5=7�P � <:')!$5=]KO=!f!{YrBg*@8 �?l!D/18NO=*.#&%�7$5=8NAV/H<>#0/+*@4V/1%0#>7[9;5=]$8 � 4$#>AC*@7K%,#>517D/1< <�� >�%d')!u]$%x/H<><>5W-x#&7$OyO=/1]$O=*m?@5=]$BK<>#>7KOM]$7$#:FD?G/�')#>517#>7�')!K*^F$8,%N'M/1B$BK8,5Gtr#>A[/H')#&5=7;:�')!K*@8,*[/18N*CUH/18N#>5=]$%3?+5=8,8N*@?E')#>517$%v',!D/H'v?G/H7i2g*C#&A[Bg5=8_'l/17{'GP��}#&8,%_']:h/4$*E'l/1#&<>*@4�/17D/H<&YX%,#&%x-d5=]$<&4e8N*@�u]$#>8N*y',!$*y?@/1<>?+]$<\/�')#>5175H9�%N',8,#&7$O[',!$8,*+%,!$5=<&4e?+5=8,8N*@?+',#>5=7K%m#&7',!$*MB$8N*@% �*@7K?@*519.4$#&%,?+8,*+',*Qk#&<>%N5=7f<>#&7$*@%+P��I5�-d*+U1*@8[#>7�%,Bg*@?+#&FD??G/1%N*@%^')!$*+%,*�?@5=8N8,*@?E')#&5=7$%C/18,*w�u7$5W-x7�',52g*L%,A[/1<>< ?:�8� 1GD P � *@?+5=7$4;:�')!$*+8,*C/18N*L?@5=8N8,*@?E')#&5=7$%.9;8,51A�')!K*^U1*@?E')5=8N<>#>�H*^*Etr51')#&?L%N')/H')*+%@P[6�'v#>%.Bg5=% �%,#&2$<>*v')!D/�'3B$8,*+?@#&%,#>517jO{/1]$O=*M?@5=]$BK<>#>7KOZ]$7$#:FD?G/H',#>5=7�AV/GY�8,*+�X]K#>8,*^/H7$#>%N51')8N5=B$#>?v?@51A[BD/H?+')#:FD?G/�')#>517$% :<>*@/14$#&7$OT')5C/17* -q*@?E')#&U1*R5=8,2$#:9;5=<>4�<��(>�P ? C -I:l�B�m�26$�8�m�;D P�}#>7$/1<><:Y�:�')!$*+8,*x/18N*�')!$*�]$%,]D/H<$�u]$*@%_')#>517$%�519gA[5X4$]$<&#u%N'l/H2$#><&#0/G/�')#>517M/17K4L%,]$Bg*@8N%NYXA[AC*+',8NYM2$8,*@/1� �4$5W-x7�#>7V/ 9�#&7$�15W-x%,�u#gU1/H?@]$]$AP � 5=AC*I519�')!$*+A -�*.4K#>%,?+]$%,%N*@4wB$8N*+UX#>5=]K%,<&YC#&7�? -��;D P�Qi*m!D/GU=*.7$5H'/14$4K8,*@%N%,*+4j/1<><�519}',!$*@%N*M#>%N%,]$*+%m!K*@8,*HPx�.7',!$*v51')!$*+8x!D/17$4;:�#:'x#>%x?@<&*G/18"')!$/H'I#&9zO=#&U1*@7�',!$*39;8,*+*@4$5=A519d/18N2$#&',8)/18N#><&YV')]$7$#&7$O�AC5r4$]K<>#!����h%.-�*^/H8,*T7$5H'R/12$<&*M')5ZFD7K4n')!$*C�3�����W:�')!$*T-x!K5=<>*L/HB$B$8,5=/1?l!-d5=]$<>4�2g*T9;]K')#&<>*HP��I5W-�*EU=*@8*:h-x#:')!6/Z7u]$AT2g*@835190�3����� ?@/17$4$#&4D/H')*+%3#>7n',!$#>%.9;*+8N')#&<>*yBD/H')?l!�519c')!K*<\/H7$4$%,?@/1Bg*�:D#&'0#>%"7$5W- #&A[Bg*@8,/H')#:U=*(',5C')/1?l�u<>*.',!$*R!D/18,4B$8N5=2$<>*+A[% 4N]K%N'xAC*@7{')#&5=7$*@4�P

����� �������� � �����������������������������! "���#�$�%��&

� ��� �b������� �

� ��� �� �~����}� �b�i�w ��� ����� �����Z �� ����� �b�

��U=*+7 ')!K5=]$O=!o')!K*@8,*�#&%w/�%_')8,/1#>O=!r9;5=8N-�/18,4kB$8N*@%N?@8,#&BK')#&5=7`')5�5=2r'l/1#&7 /H<><��N

%,!$#:9�'�U=*+?+')518,%i�¡%,*+*%,*+?+',#>5=7AKP:���H:�#&'�#&%�7$*@?+*@%N%)/18_Yv',5m#&A[BK<>*@AC*@7{'�/"AC*+',!$5r43-x!$#&?l!M?@/17y2g*J*G/1%N#><:Y.*EtX',*@7$4$*+4y',5 �

N× � M5=8N2$#&9;5=<&4$%x/17$4e5=8,2$#:9;5=<>4K%0-x#&')!Qk#><&%,5=7<>#&7$*@%+P � 7n5=Br')#>517�#&%m/H7j/17$%,/H' /R')!D/�'(4$*+%,?+8,#>2g*@%./17{Y�%N!$#&9�'5=8.Qk#&<>%,517j<>#>7K*1PM h5w%N')/18N'3-x#:')!;:�<&*+'3]$%R%NBq*+?@#&9�Yj/176/17$%)/�' /T9;5=8��

N%,!$#:9�')%3519

SO(32)5=8N2$#&9;5=<&4$%@P

QS*R-x#&<><q%,*@*v#>7w%N*@?+',#>5=7 � P �T')!D/�'"')!$*R8,*+%,]$<:')#&7$O^/17$%,/H' /R?G/H7�2g*3')!$*+7',8,#&UX#>/1<><:Y[O1*@7$*+8)/1<&#0/@*+4�P

����� �N �����������! #"$�&%(' � %)� SO(32) * ',+-���.%�/�0 �

QS*�-x#><&<r?@/1<><21(� )8EGF H431��%,!K#&9�')%h')5.',!$5=%,*"%N!$#&9�'zU=*+?+')518,%J519�5=8N4$*@8N�NV ∈ Λ

��-x!$51%,*"*@7{',8,#>*+%�!D/GU=*x/A[/�tr#>A[/1<$4$*+7$5=AC#>7D/H',5=8J519

NP6587 H !�EGF H431�=%,!$#:9�')%J-x#><&<D2q*I')!$5=%N*.51',!$*@8J-x!$#>?l!V!D/GU=*3/M4K*@7$5=AC#>7$/H')5=8

5192N

/17$4j/H7j5r4$4e7X]KA[*+8)/H',5=8@P � %3/17n*�tK/1A[BK<>*�:q?@5=7K%,#>4K*@8(',!$*9�4

%,!K#&9�'(U1*@?E')5=8N%3519�'l/12K<>*;:yP 1rP "!$*MF$8,%N'T���[519�',!$*@A /18,*vU=*@?E')5=8N#\/1<q:g-x!K*@8,*@/1%.')!K*T<\/1%_'(9;5=]K8./18N*T%,B$#&7$5=8N#\/1< PJ6�'(#>%(?+5=7{U=*+7$#>*+7u'3',54$*+%,?@8N#>2g*(%N*@BD/18,/H')*+<&YL',!$*@%N*('a-�5M?G/1%N*@%0/H7$4V9;]$8_')!$*+8d4$#&%N',#>7$O=]K#>%,!C2g*+'a-d*@*@7<�

N%N!$#&9�',%c-x#:')!

N*EU=*@7

/17$4N5X4$4�P

z5e5=2K'l/H#>7S',!$*ZO=*+7$*@8,/1<J9;5=8,A 519I/e%N!$#&9�' :z-d*V'l/H�1*V9;5=8yO=8)/H7u',*@4i',!D/H'y'a-�5j%N!$#&9�'vU=*+?+')518,%^/18N**@�u]$#:UH/1<>*+7u'I#:9}')!K*+Y�/18,*R8N*@<\/�')*@4�2{Yw<\/H'N')#>?+*.U=*+?+')518,%.5=8x2{YwQi*EYX<h8N*+�D*+?+',#>5=7$%*:q# P *HP02{Y/17{YBq*+8,AT] �'l/�')#>517�519z',!$*R*@7{')8N#>*+%m/H7$4�B$/1#>8_-x#>%,*3%N#>O=7��D#&B$%@P>=�@?�A �� �� �� %+��3 � .&%+� ��� ��&�

N� ���

6a7{UH/18,#>/17$?@*^]$7K4$*@8v<\/H'N')#&?@*M',8)/17$%N<\/H',#>5=7K%3#>ACB$<>#&*@%m',!D/H'R')!K*C*+7{')8,#&*@%Vi

519�/w%,!$#:9�'R519�518,4$*+8N/18N*

?@517$%N',8)/1#&7$*@42{Y −(N − 1)/N ≤ Vi ≤ 1P� "!$*+8,*E9;5=8,*#:�-d*v?G/17w%N')/18N'x-x#:')!�')!$*v/17K%)/H' /

V =1

N

(− (N − 1)n

−(N−1) , −(N − 2)n−(N−2) , . . . , 0n0, 1n1, . . . , NnN

) � � P&�W�9;5=8I/CU1*@?E')5=8N#\/1<�%,!K#&9�'GP � %I]$%,]D/H< :D')!$*y*EtrBg5=7$*@7{'

ni

519J/17�*@7{')8_Yi?@51]$7{')%(!K5�- AV/17{Y�',#>AC*@%"')!D/�'

*@7{',8NY[#>%�8N*@Bg*G/H',*@4 �r9;5=8�#&7$%N')/17$?@*#:r',!$*.*@7{',8NY −(N − 1)/1B$Bg*G/18N%

n−1(N−1)

')#&A[*+%@P� "!K*@8,*E9;5=8,*#:K')!K*B W

N

.?%LC/1QR #3K6�IP 868$43K;�)N/1"%&C .58"DC[/<3K;� .0�31/<0C$9; 68 !0� @"e2>&�(#0CA#$ 5�0�68$4? 3K(�"�"'/<24$ "%?>(@07;�3K(�"'/1 .0�;4_�5C0C3<$9;';� .0C$f/<0U"%?' B6C5�2D$�;3K(�"�"'/<24$FE ,�(@3<5C$96�C[/13K;% #0h31/<0C$9; FHG 0[;�5�2>&k24(.;�$._f"'&C$:0C$4) IP B6C$43*29(@0hL7$:(�IFJLKNMPORQSJ�T6KVU�QSW F-X 5�?�"'&C$4? 68$4"'(#/13K;=(@?'$XC?' �,B/<68$�6 /<0:;�$�2 "%/< #0�Y F Z�F [CF�=�IA

����� ��� �� �! ���� ����� ����� ��� ���!���$ A �������!� ���� �,� � ��� � � �!��

*EtrBg5=7$*+7u',%ni

/18,*R#>7{',*@O=*+8,%x%)/H',#>%_9�Yr#&7$O∑

i

ni = 16 .���MP �=�

#&7$?@*3BD/H#>8N-x#&%,*3%N#>O=7 � �D#>BK%"/18,*R/H<><>5W-d*@4;:X-�*v%,*+*3')!D/H'I/H<><�7K*@O{/H',#&U1*3*@7{')8N#>*@%x?@/17w2q*3A[/14$*37$517$7$*@O �/H',#&U=*m/1%c<>5=7KOM/1%d/H'd<>*@/1%N'c5=7$*n−i

#>%J*+U1*@76�i = 1, . . . , N

�EP �m5W-�*EU=*+8 :$#:9�')!K*@8,*I#>%d/17[5r4$4[7u]$AT2g*@8519d7$*@O=/H')#:U=*^*@7{')8N#>*+%M/17K4

n0 = 0:�5=7$*^7$*+O{/H',#&U=*^*+7u',8NYj-x#&<><�8N*@A[/1#>7�P ��51AT2$#>7K#>7$O�2g51')!�8N*@%,]K<&')%*:

-d*yO=*E'

V =1

N

((−j)α, 0n0, 1n1 , . . . , jnj−α, . . . , (N − 1)nN−1

), 1 ≤ j ≤ N − 1

���MP A{�

-x#&',!α = 0, 1

PZ "!$#&%M/H7$%)/H' /[?+5=7{'l/1#&7$%v%N')#&<><�%N5=A[*C8,*+4$]$7$4$/17$?@#&*@%+P���/H'N')#&?@*L')8,/17$%,<>/H')#&5=7$%R5190',!$*%,!K#&9�')%V/1AC5=]$7{')%C')5f/14K4$#>7$O ±1

')5f/H7`*+U1*@7k7u]$AT2g*@8V5H9R*@7{')8N#>*@%[519VP �.7$*n?G/H7b')!u]$%�/HB$B$<&Y

Vi → Vi − 19;5183/17j*+U1*@767u]$AT2g*@8.519c*+7u',8,#&*@%.9;]$<:FD<><&#>7$O

Vi > N2

/17K4n')!$*+7��$#>Bn')!K*@#>8m%,#&O=7$%@P��dY')!K#>%"5=Bg*@8,/H')#&5=7;:$/��

N

U1*@?+',5=8,#>/1<�%N!$#&9�'x?@/17�2g*3FD7D/1<&<&Y[*EtrB$8N*@%,%N*@4n2{Y

V =1

N

((±j)α,−(N − j)β, 0n0, 1n1, . . . , (N − j)n(N−j)−α−β, . . . ,

(N

2

)n N2

),

���yP C{�

-x!$*+8,*α, β = 0, 1

%,]$?l!')!D/H'α + β = 0, 1

/17K4j?G/17w'l/1�H*v',!$*3UH/1<>]$*+% {N

2+ 1, . . . , N − 1} P

�(%J/(%N#>4$*�8,*@A[/18N�e:H]$%,#&7$O.')!K*0%,!$#:9�'V5H9�*@��P����yP C{�z/17$4T',!$*

SO(32)%,#&A[B$<&*�8N5r51',%

αi

B$8,5WUX#>4$*+4#>7w'l/H2$<>*�:MP -I:�5=7$*v?G/17�?@5=ACB$]K',*

αi · VP #&7$?@*R')!K5=%,*y8,5X51')%"-x#&',!

αi · V 6= 0/18,*vB$8,524N*@?+',*@4n51]K'

-x!$#&<>*�',!$*x51')!$*+8,%�9;5=8NA ',!$* :mYX7$�u#>7C4$#\/1O18)/1A 519g')!$*"]$7u2$8N5=�1*+7VO{/H]$O=*"O=8N5=]$B G4D

:u5=7$*0F$7$4$%�')!D/�'')!K*y%_YrACAC*+')8_Yw2$8,*@/1�u4$5W-x7n#>7K4$]$?@*+4n2{Y�/CO=*+7$*@8N#>?RU=*+?+')518,#\/H<h%N!$#&9�'I519

SO(32)5=8,2K#&9;5=<&4$%x#>%xO=#&U1*@7

2{YSO(32) −→ SO(2n0) × U(n1) × . . . × U(n(N

2−1)) × SO(2nN/2) ,

���yP 11�8,*+?G/1<&<>#&7$OM')!$/H'

U(n) = SU(n) × U(1)P

� ? ���������������! $�#"$��%�&(')�!��*N

�,+.-/�

�(7e/17D/1<&5=O=5=]K%m/H7D/1<&YX%N#>%x')5[',!D/H'IB$8N*@%,*+7{')*@4�#&7',!$*MB$8N*+UX#>51]$%m?@/1%,*y<>*@/14$%x')5[',!$*M?+5=7$?+<>]$%N#>5=7w')!D/�'/LO=*@7K*@8,#&?R%,B$#&7$5=8,#>/1<�%N!$#&9�'x?@/172q*.-x8N#&',',*@7�/1%

V =1

2N

((±j)α,−(2N − j)β, 1n1, 3n3, . . . , (2N − j)n(2N−j)−α−β, . . . , (N − 1)nN−1

),���yP10=�

-x#&',!j ∈ {N + 1, N + 3, . . . , 2N − 1} PS6�'"#>%�/1O{/1#&7Z7$51'0!D/18,4Z',5T?@517KFD8,A ')!D/�'"/T%,!K#&9�'�U1*@?E')5=8"519

')!K#>%"�u#>7$4<>*@/14$%0',5^',!$*R2$8,*@/1�u#>7$O

SO(32) −→ U(n1) × U(n3) × . . . × U(nN−3) × U(nN−1) .���yP -1�

��� � � ����� �#�5����� ��� � � �� � ���

� ?N

��*$* "!$*O=*@7K*@8)/H<�9;5=8,A 519m',!$*w%,!$#:9�'LU=*+?+')518,%C?l!D/17$O=*+%[%N<>#&O=!{')<&Y1P��}#&8,%N' :c/1%^*EtrB$<\/H#>7$*+4s#&7�8,*+9 P ?:� 01£;D :#>7s')!$#&%V?@/1%,*j#:'V#&%V*@7K5=]$O=!b',5|4$*E')*@8NA[#&7$*e*+#&',!$*@8C')!$*eU1*@?E')5=8N#\/1<I5=8[',!$*e%NB$#>7K5=8,#>/1<x%,!$#:9�')% :x%N#>7$?+*5=7$*C%,BK#>7$5=8N#\/1<z%,!$#:9�'v?G/17i/1<&-�/GYr%v2g*^',8)/17K%N9;5=8NA[*+4S#&7u',5e/�U=*+?+',5=8,#>/1<�5=7$*C2{Yj')!$*[/1?+',#>5=7�519dQi*EYX<8,*E�D*@?E')#&5=7$%3/17K4j<\/H'N')#>?+*vU1*@?E')5=8N%@P ��!$5r51%,#>7KOV')!$*TU1*@?E')5=8N#\/1<�9;5=8,A_:q-d*L5=2K')/1#>7')!$*y9;5=<><&5�-x#&7$OV%N!$#&9�'U=*+?+',5=8m5H9}5X4$4w5=8,4K*@8

V =1

N

((±j)α,−(N − j)β , 0n0 , 1n1 , . . . , (N − j)n(N−j)−α−β , . . . ,

(N − 1

2

)n(N−12 )

), � �������

-x!K*@8,*j ∈ {N+1

2, N+3

2, . . . , N} P� "!K*y8N*@%,]K<&')#&7$OT9;5=]$8"4K#>AC*@7$%N#>5=7D/H<�O{/1]KO=*RO=8,5=]KB#&%

SO(32) −→ SO(2n0) × U(n1) × . . . × U(n(N−32 )) × U(n(N−1

2 )) .���yP £=�

"!$*T%N!$#&9�',%m5=2r'l/1#&7$*@4�2uY')!K*T/17$%��H' /+*MO=#:U=*+7n#>7�*@�u%@P����MP Cu� 6����yP��{�x/18N*v9;]$8_')!$*+8(8N*@%N',8)/1#&7$*@4e2uYNV ∈ Λ

/17K4y')!K*d8N*@�u]$#>8N*@AC*@7{'�')!D/�'z9;5=<&<>5W-x%�9;8,51A #>7{UH/18,#>/17$?+*c5H9K')!K*d5=8N2$#&9;51<>43BD/18_')#:')#>517.9;]$7$?+',#>5=7�

N(V 2 − v2

)= 0

A[5X42

���MP:�W¢{�9;5=8^/nO=#:U=*+7s'a-x#&%N'LU=*+?+',5=8

v519I5=8N4$*@8

NP��.7$<&YS')!$5=%N*w%,!$#:9�')%L%)/�')#>%_9�YX#>7$On',!$*@%N*?+5=7$4$#:')#&5=7$%L/18N*

?@517$%,#&%N')*+7{'m-x#:')!w5=8,2K#&9;5=<&4�?@5=ACBD/1?E')#&F$?G/H',#>5=7$%+P� "!$*y/17$%���' /@*V���yP C{� 6����MP��{�0?@5=7K%N')#:')]K',*���/1%"-d*v-x#&<><%,*+*m#&7L')!$*I7$*EtX'c%,*+?+',#>5=7��{',!$*m2$/1%,#&?"?@5=7$%_')8N]$?+',#>7$Ov2$<>5X?l�u%d5H9�O=*+7$*@8,/1<2�

N × �M

%,!K#&9�')%c/17K4CQk#&<>%,517<>#&7$*@%+P

����� � � ! - 6'#"(/ � %$&"(�&'

(m5W- -d*^/18,*y#>7nBg5=%,#:')#&5=7�',5ZB$8,51Bq5=%N*L/17j/H7$%)/H' /M-x!$#&?l!j?@5WU=*+8,%v/1<><�5=8N2$#&9;51<>4$%)�q#&7$?@<&]$4$#>7KOCQk#&<>%,517<>#&7$*@%+P ��517$%,#&4$*@8}/(A[5X4$*+<u-x#:')!M/(O=#&U1*@7T%N!$#&9�'hU=*+?+',5=8

VP+*a7$4$*@Bg*@7K4$*@7{')<:YM5H9$-x!$*+',!$*@8

V2q*+<>5=7KO=%h',5

/17E8×E8

5=8�/H7SO(32)

5=8,2$#:9;5=<>4��uQS*+YX<g8,*E�D*Etr#>517$%"/17$4V<\/H'N')#>?+*"')8)/H7$%,<>/H')#&5=7$%d/1<><&5�-�')5TA[/1�H*(#&',%*@7{',8,#>*+%h/1%z%NAV/H<><=/H%hBg5=%N%,#>2K<>*c/17$4R')5xO{/H',!$*@8�',!$*@A #&7v2K<>5X?l�X%

V ,�-/.10 2&3 � 4N]K%N'z/1%�#>73')!K*�/17K%��H' /@*m���yP Cu� 6���yP��=�4V =

1

N(V ,�-/.10 2 = , V ,�-/.10 265 , V ,�-/.10 267 , . . .) ,

���yP&�=�W�-x!$*+8,*.*@/1?l!�%,]$2{U1*@?+',5=8

V ,�-/.80 2&3 ?+5=7{'l/1#&7$% mi

#>4$*+7u',#>?@/1<�#>7{')*+O=*@8d5=8�!D/H<&9 � #&7{')*@O1*@8J*@7{')8N#>*+%�$%N]$?l!Z')!D/�'∑i mi = 16

Pv�3]K8('l/1%N��#&%(')!K*@7n')5ZF$7$4�/Z]$7$#:U=*@8N%)/1<z%,*+?@5=7$4�%N!$#&9�'V2

519J5=8,4K*@8M

��#&7e')!K*T?G/1%N*519 �

N × �M

5=8N2$#&9;51<>4$%)�h518:91/17K4i')!$*[O=*@7K*@8)/H<c9;5=8NA�519x/�Qk#&<>%N5=7S<&#>7$*Aα

519"5=8N4$*@8Nα

�}',8NYX#>7KO')5Z/WU15=#>4e8,*@4K]$7$4D/17K?@#>*+%R/H'.A[/�tr#>AM]$A�P;�D8,51A ',!$*T2$<&5r?l� � %N')8N]$?+',]$8,*M519�')!$*y%,!$#:9�'(U1*@?+',5=8�q-�*L?@/17*EtrBg*@?E'

V2/H7$4

Aα/1<>%N5^',5^2q*R%,BK<>#&'N')*+4#&7�2$<>5X?l�u%x519}<&*@7$OH')!

mi/1%

V2 = (V2, ,�-/.80<2 = , V2, ,�-/.10 265 , V2, ,�-/.80<2+7 , . . .) ,���MP:���1/{�

Aα = (Aα, ,�-/.80 2 = , Aα, ,�-/.80<2+5 , Aα, ,�-/.10 267 , . . .) .���MP:���H2D�

"!$#&%d-d5=]$<>4VA[*@/17[',!D/H'0*@/1?l!Z2$<&5r?l�V2, ,�-/.10 2&3 /17$4 Aα, ,�-/.10 263 #>%d#>7$4K*@Bg*@7$4$*+7{'x/17$4Z?@/17��u')!$*+8,*E9;5=8,*=�2g*Z4$*@%N?@8N#>2g*@4f%,*+BD/18,/H')*+<&Y=P>*a7|51')!K*@8M-d5=8,4K%��-d*�!D/GU=* 4N]$%_'T')5�FD7$4�/17f/H7$%)/H' /V9;5=8M/e%,]$2{U1*@?+',5=8

����� ��� �� �! ���� ����� ����� ��� ���!���$ A �������!� ���� �,� � ��� � � �!��

V2, ,�-/.80<263 5=8 Aα, ,�-/.80 2&3 519K',!$*J?@5=8N8,*+%,Bg5=7$4$#&7$O(5=8N4$*@8d� M 5=8Nα

��/H7$4y',!$*@7v')5m/1B$B$<:Y.#&'h?+5=7$%,*+?@]K',#&U1*@<&Y5WU=*+8(/1<&<�2$<&5r?l�u%+P

*a7L')!$*0BK8,*+UX#&5=]$%�%,*+?+',#>5=7��=-d*"!D/GU=*"%N*@*+7C',!D/H'�',!$*"/17$%��H' /+*v���yP Cu� 6����yP��=�z4$*@%N?@8N#>2g*0')!$*0AC#>7K#>A[/1<9;5=8NA 5H9I/n%,!$#:9�'T519x5=8N4$*@8

NPj "!K*+Y|?@/17f2g*Z]$%,*+4f#>7|518,4$*+8M')5n2K]$#><&4S')!K*Z2$<>5X?l�u%

V2, ,�-/.80 2&3 /H7$4Aα, ,�-/.80 2&3 �D2{Y�8N*@B$<>/1?@#&7$O N

2{YM518

/H7$4�4K*@A[/17$4$#&7$OT')!D/�'∑

j

nj = mi

���yP&��A=�

9;5=8c*G/1?l!V2$<>5X?l��P}Qi*m!D/GU=*(/14$4$#:')#>517D/1<><:Yy',5MO=]$/18)/17{',*@*m',!D/H'c')!$*xU=*+?+',5=8,%0512K'l/1#&7$*@4[#>7^')!$#&%c-�/GYC<>#>*5=7')!$*y<\/H'N')#>?+*

��# P *1P�5=7K*y!D/H%m')5[#>ACBq51%,*

MV2, NαAα ∈ ΛP" "!$#>%I?@517$4$#&',#>5=7#>ACB$<&#>*@%d')!D/H'�g9;518

*+U1*@7N�$/1<&<g2K<>5X?l�X%dAT]$%_'02g*.519�',!$*.%)/HA[*I'aYrBg*L�;*@#:')!$*+8dU=*+?+',5=8,#>/1<q518�%,BK#>7$5=8N#\/1<\�EP ��<>*@/18,<:Y �r/14$AC#>% �%,#&2$<>*^5=8N2$#&9;51<>4jAC5r4$*+<>%v/18N*C517$<&Yj',!$5=%,*^-x#&',!S%N!$#&9�'W�¡%)�v/17K4SQk#><&%,5=7�<&#>7$*+%R9;]K<&FD<&<>#>7KOV')!$*CAC5r4$]K<\/18

#>7{UH/18N#\/17$?+*3?@5=7K4$#&',#>5=7$%�B$8,5WUX#>4$*+4�#&7w*@��Ph� �rP Cu�=�lP

� ��� �b������� �

��� ��� ��� ��� ��� ������� � � ��J ������

J/18,<:Yf-�518,�u%Z5=7`518,2$#:9;5=<>4s?@5=ACBD/1?E')#:FD?G/H',#>5=7K%C?+5=7$%N#>4$*+8,*@4�')!$*SO(32)

!$*E')*+8,51',#>?%N')8N#>7$O6')5|2g*B$!$*+7$5=AC*@7$51<>5=O=#&?G/1<&<&Yj4K#>%N9¡/GU15=8,*+4�P��.7$*Z519I')!K*�8,*G/H%,5=7$%L2g*@#&7$On')!$/H'T')!K*Z')!$*+5=8NYf2{Yi#&')%N*@<:9m4K5r*+%7$51'I#&7$?@<&]$4$*3%,BK#>7$5=8N%x#>7w#&',%"AV/1%N%,<&*@%,%x%NBq*+?+')8N]$APc "!K#>%x%,#:')]D/H',#>5=7Z-�/1%I%,!$5W-x7')5C2q*RB$8N*@%,*+8NU1*@4n#&7')!K*y%N#>ACB$<>*+%N'I5=8,2K#&9;5=<&4�?@5=ACBD/1?E')#&F$?G/H',#>5=7$%)�D<>*@/14$#>7KO^',5C',!$*v%,5=AC*+-x!D/�'(7D/G: U=*v?@517$?@<&]$%,#&5=7',!D/H'�g#:9%,BK#>7$5=8N%m?@/172q*R9;5=]$7$49;8,5=A ')!$*

SO(32)!$*+',*@8N51')#&?v%_')8N#>7$O[/H'(/1<>< �r')!K*+YAT]$%_'./1BKBq*@/18x#>7�/C�u]$#:')*

]$7$7$/H')]$8,/1<�-�/WY1P�.7$<&Yw8N*@?@*+7{')<&Y��g',!$*v#>7{')*+8,*@%_'(#&79;51]$8 � 4$#>AC*@7$%N#>5=7$/1<�!$*E')*+8,51',#>? SO(32)

5=8,2$#:9;5=<>4�?+5=7$%_')8,]K?+')#&5=7$%!D/1%x2g*@*+7e8,*EUX#&U=*+4 ? �2-1¢ �l��-r�,D P *a7',!$*R?G/1%N*y519 �

N

5=8N2$#&9;5=<&4$%�K/L?@5=ACB$<>*E')*3?+<\/1%N%,#&F$?G/H',#>5=7w519zO{/1]$O1**@AM2q*+4$4$#>7KO=%d#&7Z/12K%,*@7K?@*.519�2D/1?l�uO=8,51]$7$4VFD*+<>4$%d!D/1%d2q*+*@7�/1?l!K#>*+U1*@4�? -BA �_� 0=£;D P#*a7{',*@8,*+%N',#>7$O=<:Y �u')!D/�'?@<>/1%,%N#&FD?@/H')#&5=7`!D/H%Z%,!$5W-x7k')!D/�'�%,B$#&7$5=8N%�519

SO(2n)O{/H]$O=*nO=8N5=]$B$%Z/1B$Bg*G/18�8,/H')!$*+8V9;8,*+�u]$*@7{')<:Y

#>7s')!$*w'a-x#>%_')*+4o%,*@?E')5=8N%V519SO(32)

518,2$#:9;5=<>4$%+P B$#&7$5=8N%[519SO(10)

�0#&7bBD/H8N')#&?@]$<>/18�d/18N*�9;5=]$7K4<>5X?G/H<><&YZ/H'IFKtr*@4nBg5=#>7{',%m519}')!$*vFD8,%_'('a-x#>%_')*+4n%,*+?+')518(519�A[/17{Yw5=8N2$#&9;5=<&4wA[5X4$*@<&%@P 9�518,*@5WU1*@8�g')!D/�'?@<>/1%,%N#&FD?@/H')#&5=7j8,*EU=*@/1<>%3')!$/H'.')!K*[/HA[5=]K7u'R5H9�/GUH/1#&<\/12$<&*

SO(32)518,2$#:9;5=<>4nAC5X4$*@<&%.#>%.?+5=ACBD/18)/H2$<>*=�

/H'I')!$*y%)/1AC*M<&*+U1*@< ��')5C')!D/�'(519�#&')%IAC5=8,*R9¡/1AC5=]$%I2$8,51',!$*@8)0')!$*E8 × E8

%N')8N#>7$OKPI "!u]$%)��#:'(#&%m7$5H'/14KU1*@7{')]K8,5=]$%(8)/H',!$*@8x')5[?@5=7$?+<>]$4K*y')!$/H'(AC5X4$*@<�2$]K#><>4K#>7$O^2D/1%N*@4n517�')!K*M!$*E')*@8N51')#&?

SO(32)%_')8,#&7$O

')!K*@5=8_Y�A[#&O=!{'"2g*y/H%I#&7{')*@8N*@%_')#>7KO[/H%0')!D/H'I2D/H%,*@45=7w')!$*E8 × E8

')!K*@5=8_Y=P�.7w',!$*R51')!K*@8"!D/17K4��K')!K*y/HB$Bq*@/18)/H7$?@*3519z%,BK#>7$5=8N%"5=7wA[5X4$*+<>%04$*+8,#:U=*@4�9;8N5=A ',!$*

SO(32)!$*E' �*@8N51')#&?.%N',8,#&7$OTAC#>O=!{'"/H<>%,5M2q*3#&A[Bg5=8N')/17{'d9;518"/TBq51%,%,#&2$<>*m]$7$4$*+8,%_'l/17$4K#>7$O^519�')!K*

SO(32)!$*E')*+8,51',#>?

'aYXBq*�*x4$]$/1<>#:'aY�#&7e9;5=]$8m%,BD/H?@*+',#>AC*T4$#&A[*+7$%,#&5=7$%@PmQi*L�u7$5W- ')!D/H'(%,B$#&7$5=8N%.4$5�7$51'3/1B$Bg*G/18m#>7n')!K*Bg*@8N',]$8,2$/H')#:U=*^'aYrBg* *m')!$*+5=8NY1P "!u]$%)�}')!K*[AC*@7{')#&5=7$*+4i4$]D/H<>#&'aYn8,*@�u]$#&8,*+%v',!$*V#&A[B$<&*@AC*@7{'l/�')#>517n5197$5=7KBq*+8N')]K8,2D/H',#&U1*v*���*+?+',%@P

���SO(10) ���-�) -%('#$ " -0 � ���������! #"$�&%(' $

��*+'J]$%�#&7{U=*@%_')#&O{/H')*�!$*@8N*0')!$*"Bg5=%,%N#>2$#&<>#:'aYR519g!D/GUr#&7$O3')!$*(� 0 � 4K#>AC*@7$%N#>5=7D/H<X%NB$#>7K5=8�8,*+B$8,*+%,*+7u')/H')#&5=7^519 �^�_�G¢{�d#>7<�N

5=8,2$#:9;5=<>4K%�519�')!K*SO(32)

!$*+',*@8N51')#&?3%N')8N#>7$OT',!$*@518NY=P *a7w')!K*3%N'l/H7$4D/18N42$/1%,#&%"519z',!$*�=��-

����� ��� �� �! �������� ���� ��� �!� � � � ����� � ? ����� � � ���� ��8,5X51',%d519

SO(10)�{')!K*(!$#&O=!$*@%_'d-d*@#&O=!{'0519q')!$*

166uB$<>*E'�#&%dO=#:U=*+7V2{Y^')!$*IF$U=* � 4$#&A[*+7$%,#&5=7D/1<$U1*@?+',5=8 =

16 � =

(1

2

5)

.���(P&�W�

h5(2g*c#&7$?@<&]$4$*+4y#&7v',!$*d%NBq*+?+',8,]$A 519$/17y518,2$#:9;5=<>4R?@51A[BD/H?+')#:FD?G/�')#>517��G')!$#&%�U=*@?E')5=8zAT]$%_'z2g*cBD/18N'h519$/� 0 � 4$#>AC*@7K%,#>517D/1<X%,5=<&]K')#&5=7 p � � ')53')!$*xA[/1%,%�9;518,AT]$<>/m9;5=8�A[/1%,%N<>*+%,%�%N')/H')*+%�u*@��Pg� �rP10��{�}5=8�*@��Pg� �rP��r����P "!$*+8,*+9;518,*��

p � � AT]$%_'m2g*3-x8,#:',')*+7/1%

p ��� = p + Vg =

(1

2

5

, a1, . . . , a11

),

���(P �1�

-x!$*+8,*p ∈ Λ ��� 3���� 7 5�� / � 2

�Vg

#&%M')!$*�<&5r?@/1<c%,!$#:9�'T519m/n?@517$%N',8,]$?E')#>7KOj*@<>*+A[*+7{'g/H7$4

ai ∈ � /18N*%,*+<>*+?+')*+4S%N5Z')!D/�'

p ��� 9;]K<&FD<&<>% Np ��� ∈ Λ ��� 3���� 7 5�� / � 2

/17$4j')!$*LA[/1%N%(9;5=8,AM]$<\/KP3 "!K*@8,*^?@/17�2q*LAC5=8,*')!$/17^5=7$*0?+5=AT2$#&7D/H')#&5=7T519g4$# ��*+8,*+7u'

ai � %�9;5=8z-x!$#>?l!L')!K*"8,*@%N]$<&',#>7$O p ��� %,/H')#&%NFD*+%J/1<><X')!$*"?+5=7$4$#:')#>517$%@P� F$8,%N'�?@517$%,*+�X]K*@7$?+*f519T*+�gPy���(P �1�w#&%w',!D/H'�5=7$*�?G/H7$7$51'�O=*+'

166XB$<>*E')%w519

SO(10)#&7p',!$*

]$7{'a-x#>%_')*+4Z%,*+?+')518�519�/17{Y[518,2$#:9;5=<>4^?@51A[BD/H?+')#:FD?G/�')#>517�Pz "!K*(8,*@/1%,517V#>%J')!$/H'd',!$*I5=7$<&Yp ��� /WUH/1#&<\/12K<>*9;5=8R]$7{'a-x#>%_')*+4|AV/H%,%,<&*@%N%y%_'l/H',*@%v?@5=8N8,*@%NBq517$4i')5w')!K*[8N5r51',%R519

SO(32)�h-x!K#>?l!|/H8,*C*EtrB$8,*+%,%N*@4f2{Y

')!K* C �=¢TU=*@?E')5=8N%(±1, ±1, 014)

P�(%I/L%,*+?@5=7$4�?@5=7K%,*@�u]$*+7$?@*=�q517$*3FD7$4$%"')!$/H'x#&'x#&%"7$51'xBg5=%,%N#>2$<&*(')5^O=*E'

166XB$<&*+',%"519

SO(10)#>7

')!K*;�3

5=8N2$#&9;5=<&4�P� "!$#&%I?@/17e2g*R]$7$4$*+8,%_')5X5r4�/1%x9;5=<><&5�-x%+P #>7$?+*R#>7 �3

518,2$#:9;5=<>4$%3p ��� AT]K%N'I<>#&*35=7')!K*(<\/�',')#&?@*

Λ ��� 3�����7 5�� / � 2

/17K4V')!$*IFD8,%_'�F$U1*.*@7{',8,#>*+%05193p ��� /18,*I!D/1<:9 � #>7{',*@O=*+8�X/1<>< ai � %�AM]$%N'0/1<>%N5M2g*!D/1<:9 � #&7u',*@O=*+8� 3ai ∈ Z + 1/2

P �m%,%,]KA[#&7$Ow#>7n')!K*C2g*@%_'R519c')!$*^?G/H%,*@%3',!D/H'3ai = 1/2

��#:'.9;5=<&<>5W-x%')!$/H'

p2� � ≥ 14/9P �I5�-d*+U1*@8)�gA[/1%N%,<>*+%,%N7$*@%N%"519�')!$*.%_'l/H',*@%0#&7-�

3

518,2$#:9;5=<>4$%c?@517$%N',8)/1#&7$%p � � ')5L!$/WU1*/H'xAC5=%N'x%N�u]D/18,*+4e<&*@7$O1',!

4/3P

*�'#>%wBq51%,%,#&2$<>*n',5sF$7$4p',!$*j9;5=8,A 519y',!$*6<>5X?G/1<m%,!$#:9�'U1*@?E')5=8N%�B$8N5r4K]$?@#&7$OSO(10)

%,B$#&7$5=8,%+P�D8,5=A *+�gP0���(P �=� ��9;5=8T/1<&<$�

N

5=8N2$#&9;51<>4$%R-x#&',!N > 3

')!$*V<>5X?G/1<J%,!K#&9�'��;%l�RO=#&UX#>7KOe8,#&%,*V',5e')!K*168,*+B$8,*+%,*+7u')/H')#&5=7519

SO(10)?G/172q*3-x8N#&',',*@7/1%

Vg = p � � − p���(P A{�

-x#&',!p ��� O=#:U=*@7/1%x#&7*+��Ph���(P �=�EP�m*+7$?@*=�c-d*w?G/17�4$*E')*@8NA[#&7$*V',!$*�%,!$#:9�'TU=*+?+',5=8

V519m/17f5=8N2$#&9;5=<&4|AC5r4$*+<d?+5=7{'l/1#&7$#>7KO

SO(10)%,BK#>7$5=8N%^#>7f')!$*wFD8N%N'^'a-x#>%_')*@4�%,*+?+')518��8N*@<&*+UH/17{'^9;5=8^B$!$*@7K5=A[*+7$5=<&5=O1Y �c/1%^-d*�!D/GU1*�4$#&%,?+]$%,%N*@4`#&7%,*+?+',#>5=7�CKP&�=P�*a7�/12$%,*+7$?@*L5H9�Qk#><>%N5=7e<&#>7$*+%��')!$*M<>5X?G/1<�%,!K#&9�'(U1*@?E')5=8

Vg

/H'3/H7uYFKtr*@4jBg5=#&7u'(519�')!K*FD8N%N'x'a-x#>%_')*@4%,*+?+',5=8x?@5=#&7$?@#&4$*@%"-x#&',!

V�$')!K*@8,*E9;5=8,*

V = p ��� − pp=0−→ p � � , ���(P C{�

-x!$*+8,*(-d*.!D/GU=*(?l!$5=%,*+7p = 0

2g*@?@/1]$%N*('a-�5M%,!$#:9�')%0/H8,*(*+�u]$#&UH/1<&*@7{'�#:9�')!K*+Y[4$# �q*@8c2{YV/H7�/18,2K#&')8,/18NY<\/�',')#&?@*RU=*+?+')518@Pv "!$#>%.%N!$#&9�'mU=*+?+')5183#>%./H]K')5=A[/H',#>?G/H<><&YVA[5X4$]$<>/18I#>7{UH/18,#>/17{'GP �D5=8m*G/1?l!6/1<&<>5W-�*+4

p � �9;8,51A *@��Pq���(P �=�4�X5=7$*I?G/H7[U=*+8,#:9�YC',!D/H'J')!K*(%,!K#&9�'JU=*+?+')518V5=2K'l/H#>7$*+4[')!K8,5=]$O1![*+�gP����mP Cu��<>*@/14$%J')5y/

9;5=]$8 � 4$#&A[*+7$%,#&5=7D/1< SO(10)O=/1]$O=*3O=8N5=]$Bw2{Yw/1B$BK<&YX#>7$OT',!$*RBD/H'N')*@8N7$%xB$8,5WUX#>4K*@4w#>7/1B$Bg*@7K4$#:t �MP:�=P

B���� �!�"�$#&% ')(+*-,/.�01�2*&34#&56.�5�780:9;08.�(<0:.��8.�5�7/=$*-,�*>3?7:.�5@78=!#-7A.�5�7:089;BC�D0:.�(+.�#-7:.�E@BF5G7:=<.IH&.KJL78*M0�N

��� � �SO(10)

���� ��� �!� ���! ���!���$ A �������!� �����

�(%M/17i*�t$/HA[B$<&*���-�*C?@517$%,#&4$*@8v')!$* �4

518,2$#:9;5=<>4j-x#&',!$5=]K'RQk#&<>%,517S<&#>7$*+%@PZ "!$*C5=7$<:Y�Bq51%,%,#&2$<>*%,!K#&9�'TU1*@?+',5=8^?@5=7K%,#>%_')*+7u'L-x#:')!

4V ∈ Λ ��� 3�����7 5�� / � 2

��',!$*�AV/H%,%,<&*@%N%,7$*+%,%C?@5=7$4K#&')#&5=7|*+�gP"� �rP��K���M/H7$4*@��Ph���(P C{�"#&%

V = p ��� =

(1

2

5

,1

4

2

, 09

),

���(P 11�-x!$#&?l!�#&%"5=7$*R519h')!$*v/14$AC#>%N%,#&2$<>*m%,!$#:9�'"U=*@?E')5=8N%I9;5180')!$*)�

4

5=8,2K#&9;5=<&4��K<&#>%N',*@4�#&7w')/12$<&*(:MP 1XP

����� ��� �� �! �������� ���� ��� �!� � � � ����� � ? ����� � � ���� ��

� ��� �b������� ��

6 ����� �� � �� ����� � ����� � ��� � ����������`�

�6 � *�*J5=8,2K#&9;5=<&4Z?@5=ACBD/1?E')#:FD?G/H',#>5=7K%05=7�')!$*R<>/H',',#>?@* G2 × SU(3) × SO(4)

!D/GU1*vBK8,5WU=*+7�')5^<&*G/14Z',58,*@/1<>#&%N',#>?IA[5X4$*@<&%@P� "!K*3�X]K*@%N',#>5=7w!$*+8,*3#&%0!$5W-k')!$*3B$8N5=Bg*@8N',#>*+%0519h%,]$?l!AC5r4$*+<>%�/18,*.#&7K�D]$*+7$?@*+4w2uY')!K*M]$%N*T519J5=7$*y519�')!K*M51',!$*@8(/1<><&5�-d*@4�<\/H'N')#&?@*@%I519$�

6 � *�*lP *a7e',!$*T2g*@%N'(519�')!K*M?G/H%,*@%)��')!K*TBq51%,%,#&2$<>*?l!D/17KO=*@%x%,!$/1<><�2g*3519h8,*+<>*EU1/H7$?@*3-x!$*+7�4$*@/1<>#&7$OM-x#:')!w]$7$%N5=<&U1*@4wB$!$*+7$5=AC*@7$5=<&5=O=#&?G/1<g#>%N%,]$*+%I%N]$?l!n/H%B$8N51')5=7w4$*+?G/GY=P

� ��� �"�� �&��" !$ " -0 ��� #"$� '����

"!$*x/1<&<>5W-d*@4T<>/H',',#>?@*+%z5H9�6 � *8*h518,2$#:9;5=<>4$%z/18N*�B$8N*@%,*+7{')*@4C#>7y'l/12$<&* �(P:�=P (I51')*�',!D/H'�1-x#&',!T*Etr?@*+BK')#&5=7519z')!$*v<\/H'N')#&?@*^���3�4�

G2 × SU(3) × SO(4)�g/1<&<�<\/�',')#&?@*+%x/18,*R7$5=7r9¡/1?+',5=8,#3/G/12$<&*1Pc "!$*@%N*M<>/H',',#>?@*+%x/18,*

#>7K4$*@Bg*@7$4K*@7{'Z#&7s',!$*�%N*@7$%N*e')!$/H'[',!$*+Ys?@/17$7$51'[2g*�4$*E9;5=8,AC*@4s?@517u',#>7u]$5=]K%,<&Ys#&7u',5S517$*e/H7$51')!K*@8@P "!$*+8,*+9;518,*��u5=7K*"�X7K5�-x%�',!D/H'�5=8N2$#&9;51<>4$%z5=7T')!$51%,*"<\/�',')#&?@*+%}-x#><&<r!D/GU1*I?+*@8_'l/1#&7$<&Yv4$#&%N')#&7$?+'�B$8,5=Bg*@8_')#&*@%@P

"!$*xO=*@51A[*E')8NYy519g')!$*"?+5=ACBD/1?+'�%,BD/1?+*"-x#><><r/ �q*@?E'J%,5=AC*"51')!K*@8�B$8N5=Bq*+8N',#>*@%}519�518,2$#:9;5=<>4yA[5X4$*@<&%@P�}#&8,%N',<&Y��K5=7$*3FD7K4$%"')!D/H'x',!$*R7X]KAT2q*+8x519zFrtK*+4�Bg5=#&7u',%"519}',!$*R5=8,2K#&9;5=<&4VUH/18,#&*@%x/1?+?@5=8N4$#>7$OL',5

� �/& &(� � - T1 T2 T3

(A) G2 × SU(3) × SO(4) 12 6 8

(B) SU(3) × SO(8) 12 3 8

(C) SU(3) × SO(7) × SU(2) 12 3 8

(D) SU(6) × SU(2) 12 3 4

-x!$*+8,*���/1%m]K%,]D/1< �Ti4K*@7$51',*@%(',!$*

ith'a-x#>%N',*@4n%N*@?E')5=8+P *+?@5=7$4K<&Y �g')!$*y7u]$AT2g*@8./H7$4n5=8N4$*@8I519�')!K*

/1<&<>5W-�*+4iQk#><&%,5=7S<>#&7$*@%y?l!D/17$O=*+%��<&*G/14$#&7$Oe*HP OKPn')5e',!$*ZB$8N*@%,*+7$?@*�5H9I/��¡B$8N*+UX#>5=]K%,<&Y64$#&%,8N*@O{/18N4$*@4D�Qk#><&%,5=7�<&#>7$*35H9}5=8N4$*@8"%N#:tw#&7�')!$*R?G/H%,*R519

SU(6) × SU(2)P

"!$#>%I'a-�5Z9;*@/H')]K8,*@%m!D/GU=*T?+8,]$?+#\/1<h* �q*@?E')%.517e')!$*yAV/�',')*+8m%NBq*+?+',8,]$A�519�5=8N2$#&9;51<>4A[5X4$*@<&%@P��U �#>4K*@7{')<:Y �D')!$*y7u]$AT2g*@8I519�%N')/H')*+%(519�5=8,2$#:9;5=<>4K%"5=7e7$517K9¡/1?+',5=8,#3/G/12K<>*R<\/H'N')#&?@*@%"-x#&<><�2g*y8N*@4$]$?+*@4j?+5=A �BD/18N*@4n',5V')!$*M7X]KAT2q*+8.519c%N')/H')*+%.5=7n',!$*T]$%N]D/1<}<>/H',',#>?+*1PmQk!$/H'3#>%m%,5=AC*@!K5�- AC5=8,*y#>7{')*+8,*+%N')#&7$OZ#&%')!$/H'"')!$*RAC#>%N%,#>7KOL%N'l/�')*@%I#>7�7K5=7K9¡/1?E')5=8N#0/G/H2$<>*.518,2$#:9;5=<>4$%d9;5=8,A U=*@?E')5=8N<>#&�1*RBD/1#&8,%@P��5=7$%N#>4$*+8��9;5=8m#>7$%_'l/17$?+*���',!$*T%NBq*+?+')8N]$A 519�',!$*T5=8N2$#&9;51<>4 � �3������<&#>%_')*@4e#>7e')/12$<>* �(P �rP3QS*T%,*+*

')!$/H'x')!$*v7u]$AT2g*@8I519�*�tK5H')#>?+%x?G/17�2q*v?@5=7K%,#>4K*@8)/H2$<&Y�8N*@4$]K?@*@4e?@5=ACBD/1?E')#&9�YX#&7$OL5=7e7K5=7K9¡/1?E')5=8N#0/G/H2$<>*���X�

��� � ��� �� �! ���� � ���6 � ��� ���"����� ����������%��� � � ��� ��� � �2���

��������� ����à �� ���

v ������� �� ��� � ����� ���� ��� �� � ���� � � G2 × SU(3) × SO(4) 1

6(0, 1, 2, −3) 3A3 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ 0, A3 ≈ A4

� � � SU(3) × SO(8) 16(0, 2, 1, −3) 3A1 ≈ 2A5 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4 ≈ 0, A5 ≈ A6

�!� � SU(3) × SO(7) × SU(2) 16(0, 2, 1, −3) 3A1 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4 ≈ 0

� � � SU(6) × SU(2) 16(0, 2, 1, −3) 6A1 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ A5

� ��"#��� � ��$&% � ��� �'� � � �(���� ������*) ��+-, 6 .0/1/ ��+ "# 2) � � � �3� ��� � ��� �� + �� � 1� ��� �4�� � ���� ��� �� � ��� �5� ��4�76#���98#� ���:� ) � � �7; �����<�(���� ������=� + � ����� )!���9 ��+ �>?��"#��� �<\/�',')#&?@*+%@P$�(<><X7$5=7r9¡/1?+',5=8,#3/G/12$<&*J<\/H'N')#>?+*@%������ ��� :3�zYX#>*@<&4M#&7M')!$*d5=2$%N*@8NUH/12K<>*0%N*@?+',5=8�5=7K<&Y3')!K8,*@*"�3�����O=*+7$*@8,/H')#&5=7$%IB$<>]$%I'a-�5VBD/1#>8N%m5H9 �m#&O=O=%,*+%@PI "!D/H'(A[*@/17$%m',!D/H'm]$7{-0/H7u',*@4��u]D/18N�w',8,#&B$<>*E')%m/17$4�'a-d5�m#&O=O=%mBD/1#>8N%(!D/GU1*L4$#>%,/1B$Bg*G/18N*@4�P �I5�-d*+U1*@8)��-�*L<&5=%,*y%,#>AM]$<&')/17$*@51]$%,<:Yw%,5=AC*T7$*+?@*@%N%)/18_YjBD/18_')#&?@<>*+%�%,]K?l!�/H%0%,5=AC*R��� %,#&7$O=<>*E')%

s0, h�r]$%,*+4w',5T4$*+?@5=]$BK<>*3*Etr51',#>?+%�$/H7$4�%,5=AC*.8N#>O=!{' � !D/17$4K*@4Z7$*+]K')8N#>7$51%

n, n, η, ηP� "!$#&%x#>%"8)/�')!$*+8m/L?+]$8,#&5=%,#:'aYV')!$/17/CB$8N5=2$<&*@AP

"!$#>%3%N#&',]D/H')#&5=7n#&%3%,#>AC#><>/18"')5�-x!D/H'R#&%.5=2$%N*@8_U=*@4S2q*E'a-�*+*@762$8,5H')!$*+83A[5X4$*@<&%.519 �2 ×

�2

5=8,2 �#&9;51<>4$%+P *a7�')!$/H'v?G/1%N*��}7K5=7{U1/H7$#>%N!$#>7$Ow4$#&%,?+8,*+',*C',5=8,%N#>5=7�5=765=8N2$#&9;5=<&4$%(-x#:')!S/O=#:U=*+76',5=8,]$%v<\/�',')#&?@*B$8N5G4N*@?E')%R5=]K'R%N5=A[*L5H9d',!$*L%N')/H')*+%v<&#&UX#>7KO�/H'RBD/18_')#&?@]$<>/18mFKtr*+4SBg5=#>7{',%��8,*+4$]$?+#>7$O�')!K*@8,*+2{Yj')!$*L*E9 �9;*@?E')#:U=*(7u]$AM2q*+8�519�FrtK*+4ZBg5=#>7{')%+P �m*+7$?@*=�K')!K*(A[/1%,%N<>*@%N%d%NBq*+?+',8)/T519�AC5X4$*@<&%J-x#:')![4$#>%N?@8,*E')*I')5=8N%,#>5175=76/�O=#&U1*@76<\/H'N')#&?@*M',]$8,7�5=]K'3',5w2q*^#>4K*@7{')#&?G/1<h')5�')!$*^%NBq*+?+')8,/5H9�AC5r4K*@<>%m-x#&')!K5=]K'R4$#&%,?@8N*+',*^',5=8 �%,#&5=7|5=7|/e4$# �q*@8N*@7{'L<>/H',',#>?@*!? -;CBD P � 7D/�')]$8,/1<��u]$*+%N')#&5=7f#>%R')!K*@7f-x!$*+',!$*@8M4$#>%N?@8,*E')*V',5=8,%N#>5=7|/1<>%N58,*+<\/H',*@%R')!$*[%,Bg*@?E')8)/�519 �

6 � *�*.518,2$#:9;5=<>4$%R?+5=A[B$/1?+',#&FD*+4S5=7S4$# �q*@8N*@7{'T<>/H',',#>?+*@%@PA@I7K9;5=8_')]$7D/�')*@<:Y �z/?@<&5=%,*L#&7$%,Bg*@?E')#&5=7n519J')!K*LBD/18)/HA[*E')*@8N%3519c4$#>%N?@8N*+')*T',5=8,%N#>5=7j#&7 �

6 � *�*x5=8,2K#&9;5=<&4$%(?+5=7{Ur#&7$?@*+%R]$%.')!D/�'4$#&%,?@8N*+',*V')5=8N%,#&5=7k� /H%T#>7{')8N5r4K]$?@*+4f#>7i8N*+9 P ? -;C;D��R4$5r*+%L7$51'M!D/GU=*w/17{YS* �q*@?+'^517i')!$*V%,Bg*@?+',8,]$A 519')!K*VAC5r4$*+<>%+P �m5W-�*EU=*+8�J#&'v-0/H%M4$]$8N#>7$O�<>5=7KO',#>AC*���-x#&')!K5=]K'y?@<>*@/18 4N]$%N',#&FD?@/H')#&5=7��}2g*@<&#>*EU=*@46')!D/�'4$#&%,?@8N*+',*(%NYXACA[*E')8_Y[517$<&YC/ �q*@?E')*+4<�

N × �M

5=8,2K#&9;5=<&4$%@Ph "!$*@8N*+9;5=8N*��D/RU=*+8NY[#>7{')*+8,*@%_')#&7$OT�u]$*@%_')#&5=7-d5=]$<>4w2g*3')5L')8_YZ')5LFD7$45=]K'x-x!$*E')!$*+8I-d*v/18,*R%_')#><&<�AC#>%N%,#>7KOL%,5=AC*+',!$#>7$OKP

� ��� � � ' �) AB � /� #"$�&� % C ��/ !$��5=ACBD/1?E')#&9�YX#&7$Oe5=7i7$5=7K9¡/1?E')5=8N#0/@/12$<>*[<\/H'N')#&?@*@%y/ �q*@?E')%LAC5=8,*C')!D/17|',!$*Z%NBq*+?+')8N]$APj "!$*�?@5=ACB$] �'l/�')#>517f519EDc]K�H/G-�/6?+5=]$B$<&#>7$O1%L#>7|9¡/1?E')5=8N#0/G/H2$<>*Z518,2$#:9;5=<>4|AC5X4$*@<&%L#>%L2D/1%N*@4s5=7�?@*+8N'l/H#>7�%,*+<>*@?E')#&5=78,]K<>*@%^%_'l/H',*@4s#>7s/n9;5=8,A ')!D/H'CA[/1�1*+%^]$%,*519I')!$*�9¡/1?E')5=8N#0/G/H2$#><&#&'aY�519m')!$*w<\/�',')#&?@*HPGF}/18_')#&?@]$<>/18,<:Y �?@517$%,*+8NUH/H')#&5=7w519

R � ?l!D/18NO=*R#>7 � 6 � *�*J9¡/1?+',5=8,#3/G/12K<>*.5=8N2$#&9;51<>4$%0#&%"*EtrB$8N*@%,%N*@4j/H%∑

i

R1i = −1 mod 6 ,

i

R2i = −1 mod 3 ,

i

R3i = −1 mod 2 ,

� �(P:���

-x!$*+8,*(',!$*.%,]KA 8N]$7$%05WU=*+8�')!K*(%N')/H')*+%0519h/MO1#&U=*+7Z?@51]$B$<>#&7$O$PRa

i

?+5=8,8N*@%,Bg5=7$4K%�')5M',!$*IH � ?l!$/18,O=*m519')!K*ithBD/18_')#&?@<>*(519z',!$*R?@5=]KB$<>#&7$OL5=7�')!$*

ath ?+5=A[BK<>*EtZB$<\/H7$*3519h')!$*R?@51A[BD/H?+'x%,B$/1?@*HP*a7S',!$*[<&#&',*@8)/�')]$8N* ?:�IC=¢ �@�2-1�GD ��#:'y#&%R]$%,]D/H<><&Yn%N'l/�')*@46')!D/�'JH � ?l!$/18,O=*^?+5=7$%,*+8NUH/H',#>5=7��h*@��P�� �(P:���4�9;5=<&<>5W-x%09;8,5=A ')!$*v%NYXACA[*E')8,#&*@%x519z')!$*R')!$8N*@*v?@5=ACB$<&*EtwB$<>/17$*+%I5H9�/L9¡/1?+',5=8,#3/G/12$<&*35=8,2K#&9;5=<&4�P *a7�')!K*?G/H%,*^519c9¡/1?+',5=8,#3/G/12$<&*9�

6 � *�*I5=8,2K#&9;5=<&4$%��#:'3#>%3?+<>*@/18(')!$/H'3')!$*L',!$8,*+*C#&7$4$*+Bq*+7$4$*@7{'V�¡4K#>%,?+8,*E')*W�.8N51'l/ �')#&5=7$%IO=*@7K*@8)/�')*@4j2{Y')!$* �0/18N')/17nO=*+7$*@8,/H')518,%Ha 519}')!$*y]$7$4$*+8,<&YX#&7$O SO(6)

� ' SU(4)� ��518,*@7{' /

� � � � �6 � ��� ��� SU(6)×SU(2)

��� �

�3

e6

e1, e3, e5e2, e4

e2e3

e1e4

e5

e1, e4

e2, e5

e3

� ���� + � � ��$&% � 4�� +1� � �(���� ���� � ) SU(6)×SU(2)) ��+ , 6 .0/1/ ��+ "# 2) � � � � � � ��� 8#���76 � � ��+1� � ��1��� �

%NYXACA[*E')8_Yn<>*@/GU=*L')!$*^?+5=A[B$/1?+',#&FD?@/H')#&5=7n<\/�',')#&?@*w���3�(#&7uUH/18N#\/17{'@PT "!$*@8N*+9;5=8N*���')!$*L518,#>O1#>7D/1<SO(6)Fz51#>7$?@/18�Z%_YXA[AC*+',8NY|5H9I',!$*Z?+5=A[B$/1?+'L%NBD/1?+*#&%T2$8N5=�1*+7�',5 �

6 �

3 �

2

#>7|',!$*Z9¡/1?E')5=8N#0/G/H2$<>*5=8N2$#&9;5=<&4�P

Qi*(A[#&O=!{'0/1%N%,]$AC*(',!D/H'�',!$#>%d#>%�/1<>%N5y')8N]$*(9;5=8c?@51A[BD/H?+')#:FD?G/�')#>517$%d517Z51')!K*@80<>/H',',#>?@*+%�/H7$4V')!K*@7-d*Z?@5=]K<>4|/HB$B$<&Y�',!$*V%,/1A[* H � ?l!D/18NO=*[?+5=7$%N*@8NUH/H',#>5=7iO=#&U1*@7|#&7i*@��P0� �(P:���EP �m5W-d*+U=*+8�c/1%v-�*V-x#&<><%,*+*R2q*+<>5W- �$#>7K4$*@Bg*@7$4K*@7{'x8,51')/H')#&5=7$%0517*@/1?l!w519h')!$*3?+5=A[BK<>*EtVB$<>/17$*@%x/H8,*.7$5H'x%NYXA[AC*+',8,#&*@%0519h')!K*<\/�',')#&?@*HP

� �� �� �� �6 ����� % SU(6) × SU(2)

��*+'3]K%3?@5=7$%N#>4$*+8��/1%./17j*EtK/1ACB$<>*=��')!K*SU(6) × SU(2)

<\/H'N')#&?@*1P( "!$*^2D/1%N#>%(U1*@?+',5=8,%R519�',!$*L8,5X51'<\/�',')#&?@*.5H9

SU(6)×SU(2)/18N*v*�trB$8,*+%,%,*+4n#>7�',!$*R%,#:t � 4$#>AC*@7$%N#>5=7$/1<g5=8N',!$5=O=5=7$/1<�?@5X5=8N4$#>7D/�')*@%"2{Y

e1 = (1, 0, 1/√

3, 0,√

2/3, 0) ,

e2 = (−1/2,√

3/2, 1/2√

3, 1/2, −√

2/3, 0) ,

e3 = (−1/2, −√

3/2, −1/2√

3, 1/2,√

2/3, 0) ,

e4 = (1, 0, −1/√

3, 0, −√

2/3, 0) ,

e5 = (−1/2,√

3/2, −1/2√

3, −1/2,√

2/3, 0) ,

e6 = (0, 0, 0, 0, 0,√

2) .

� �(P �1�

(m5H')#>?+*v',!D/H'I')!$*v'a-x#>%_'mU1*@?+',5=8.#&7',!$#>%I2D/1%N#>%(#&%xO=#&U1*@7n2{Yv = (0, 1/3, 1/6, −1/2)

P" "!$*T<>/H',',#>?+*#>%"#&<><&]$%N',8)/H',*@4�#>7ZF$O$P �(P&�1P

�.7$*R%,*@*+%I',!D/H'x')!K*y/H?+')#&5=7�519R1 ≡ e2πi 1

3H1 ∈ �

3 ⊂ SO(6)5=7w*1P O$P�')!K*v2$/1%,#&%0U=*@?E')5=8

e1

#&%

R1 e1 =1

2(e1 + e2 − e4 + e5) .

� �(P A=�

#&7$?@*(',!$*.?+5r*��[?+#>*+7u',%"5=7V',!$*.8,#&O=!{' � !D/17$4Z%N#>4$*./18,*.7K51'0#&7u',*@O=*+8�X')!$*+7 R1#>%�7$51'"/T%_YXA[AC*+',8NYC519

')!K*C<>/H',',#>?+*SU(6)×SU(2)

P^�.7$*^?G/H7S%N!$5W-�')!$/H'3')!$*^5=7K<&Yn*+<>*+A[*+7u'R5H9SO(6)

?@517u')/1#>7K#>7$OZ517$<&Y

��� � ��� �� �! ���� � ���6 � ��� ���"����� ����������%��� � � ��� ��� � �2���

�0/18_'l/17O=*@7K*@8)/�')5=8N%0')!D/H'I<&*G/GU=*+%x',!$*R<\/H'N')#&?@*.#&7uUH/18N#\/17{'"#&%

Rt ≡ e2πi 16(2H1+H2−3H3) � �(P C{�

/17$4Bg5�-d*@8N%m5H9}#:'GPQi*"?@/17L')!$*+7^?@5=7G4N*+?+',]$8,*"')!$/H'�')!K*"?@5=8N8,*@%NBq517$4$#>7KO�� H � ?l!D/18NO=*0?+5=7$%,*+8NUH/H',#>5=7^8,]K<>*����1#&7^/17D/1<&5=O1Y')5L',!$*39¡/1?+',5=8,#3/G/12$<&*.?G/H%,*���#&%

i

Rti ≡

i

(2R1 + R2 − 3R3)i = 0 mod 6 .� �(P 1=�

(m*EU=*+8N')!K*@<>*+%,%)�}5=7$*L7K51')#&?@*@%3#&A[AC*@4K#\/H',*@<&Yw517$*LB$8,512$<>*+A m?l!D/18,O1*@%Rt

i

5H9�2g5=%,517$#>?L/H7$4j9;*@8,AC#>517$#>?%,]KBq*+8,BD/18_')7$*+8,%Z?+5=#>7K?@#>4K*��0# P *HP`')!$* �

6

%_YrACAC*+')8_YsO=*@7$*+8)/H',*@4`2{Y2H1 + H2 − 3H3

#>%C7$51'V/17H � %NYXACA[*E')8_Y=PJ "!$#>%x#&%,%,]K*v#&%x7$51'I5=7$<:YZ#>7{',*@8,*+%N',#>7$O;7�� F����4�D2$]K'I#&',%x?@5=7$%N*@�u]$*+7$?@*+%.A[#&O=!{'"2g*RU1*@8_Y#>ACBg5=8N')/17{'(9;5=83B$!K*@7$5=AC*@7K5=<>5=O1#>?G/H<z?+5=7$%,#&4$*@8,/H')#&5=7$%+P *a76BD/18N',#>?+]$<\/18)�q-d*^!D/GU=*^U=*@8N#&FD*+46',!$*L* �q*@?E'519h')!$*�� 8N]$<>*�.*+��P}� �(P 11�"517',!$*R?@5=]$BK<>#>7KO=%"519h')!$*y�3������5=8,2K#&9;5=<&4�P}QS*RF$7$4�',!D/H' �KO=#&U1*@7w')!D/H'x-d*!D/GU=*v<>*+%,%x?@517$%N',8)/1#&7u',%x#>7Z')!K*v7K5=7K9¡/1?E')5=8N#0/G/H2$<>*.?@/1%,*=��AV/17{YVA[5=8N*3?@5=]KB$<>#&7$O=%x/18N*R/1<><&5�-d*@4�P

#>7K?@*y',!$*v7X]KAT2q*+8(519�%N'l/�')*@%m#>7w')!$*yAV/H%,%,<&*@%I%,Bg*@?E')8,]KA�#&%m8N*@4$]$?+*@4���/1<>%N5C',!$*M?+5=]$B$<&#>7$O1%x-x#&<><2g*y8N*@%N',8,#&?+')*+4�Px "!$#>%IAC#>O=!{'I!D/GU=*y#>ACBq5=8_'l/17{'x?+5=7$%,*+�u]$*@7$?+*@%R5=7�2q51',!',!$*M4K*@?@51]$B$<>#&7$OC519�*Etr51',#>?+%/17$4w')!K*y/HB$Bq*@/18)/H7$?@*R519z4D/17$O1*@8,51]$%xB$8,51',5=7w4$*@?@/GYw5=Bq*+8)/H',5=8,%)�K-x!$#&?l!e/18N*R%N')#&<><g')5^2q*R%_')]$4$#&*@4�P

#-7878BCJ�.� ��� .�(<0KN #��!.�% � ��� ����� ����� �����

�1'2�(−1/2,0) φ Z Y Y Y

�1'2�(1/2,0) φ Z Y Y Y

�3'1�(1/3,−1/3) d Z [ [ [�

3'1�(−1/3,1/3) d � � � ��

1'2�(−1/2,−1) ` Z [ [ [�

1'2�(1/2,1)

¯ � � � ��3'2�(1/6,1/3) q [ [ [ [�

1'1�(1,1) e [ [ [ [�

3'1�(−2/3,−1/3) u [ [ [ [�

1'1�(0,1) n, η

Y � �SZ � Z � Y�1'1�(0,−1) n, η ��� ��� � � !�

1'1�(0,0) h, s0, w ! � "�� " � # Y�

1'1�(0,−2) χ1 � � � ��

1'1�(0,2) χ2 � � � ��

1'1�(0,1/2) f ��" � � ��

1'1�(0,−1/2) f ��" � � �

#>7"78BCJ�.�$�%� .�(<0KN #��!.�% � ��� ����� �&��� �����

�1'1�(1/2,1) s+, x+ �SZ � Z �SZ �$��

1'1�(−1/2,−1) s−, x− �SZ � Z �SZ �$��

1'1�(1/2,0) s+ � � � "�

1'1�(−1/2,0) s− � � � "�

1'1�(1/2,2) s+

Y Y Y Y�1'1�(−1/2,−2) s−

Y Y Y Y�3'1�(−1/3,−2/3) δ [ � � ��

3'1�(1/3,2/3) δ [ � � ��

3'1�(−1/6,2/3) v

Y Y Y ��3'1�(1/6,−2/3) v

Y Y Y ��3'1�(−1/6,−1/3) v

Y Y Y Y�3'1�(1/6,1/3) v

Y Y Y Y�1'2�(0,−1) m

Y Y Y Y�1'2�(0,1) m

Y Y Y Y�1'2�(0,0) y Z Z Z Z

� ��"#��� � �(' %�) �#��� �8#�� ��9 �+* � )*�4��-,/.10 �9� � � � )*�4�� ��+ "# 2) � � � . .2,�,3. � �4�� � 54<� + � � � � � ��1�1 �"#���� ��� 8 ���9� 50 �'��� ��� �(���� ������ � ) , 6 .0/1/ � � 4�� 4# �#� � � . � ���9 ��+�6 � � � � ��� � � " � + � 4 �7 � " ��� � ��� � .1� � �:� 4�� �(��" �9��� � � � �9 � � � ��4 �4 � �1� � ) ��"#��� � �(' � � � �E� � ��� 1��� �4�� )!���9 ��+ �>?��"#���J�(���� ����G2×SU(3)×SO(4) �98=� 1� �4 ��*� ��� � 8 �� + � � ) �76 � � ���� � �� ��8#8 �'� + � ����� )!���9 ��+ �>?��"#��� �(���� ������� � ; �=; � ���

� ��� ��������� �

� �������� ������

P08: �������������

��������� �����!�#"$�!�%��&��(')��* "��!�+* ������"

�3 SU(3)3 3A1 ≈ 3A3 ≈ 3A5 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4, A5 ≈ A6�4 SU(4)2 4A1 ≈ 4A4 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3, A4 ≈ A5 ≈ A6

SU(4) × SO(5) × SU(2) 4A1 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A3 ≈ A4, A4 ≈ 0

SO(5)2 × SU(2)2 2A2 ≈ 2A4 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A3 ≈ 0�6 , * G2

2 × SU(3) 3A5 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ 0, A5 ≈ A6�6 , *8* SU(6) × SU(2) 6A1 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ A5

G2 × SU(3) × SU(2)2 3A3 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ 0, A3 ≈ A4

SU(3) × SO(8) 3A1 ≈ 2A5 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4 ≈ 0, A5 ≈ A6

SU(3) × SO(7) × SU(2) 3A1 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4 ≈ 0�7 SU(7) 7A1 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ A5 ≈ A6�

8 , * SO(9) × SO(5) 2A4 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A5 ≈ 0�8 , *8* SO(10) × SU(2) 2A4 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ 0, A4 ≈ A5

SO(9) × SU(2)2 2A4 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ 0�12 , * E6 3A1 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ A5, A6 ≈ 0

F4 × SU(3) 3A5 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ 0, A5 ≈ A6�12 , *�* F4 × SU(2)2 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ 0

� ��"#��� � ��$&% � ���� ��� �� � ���E� + � � ��� �� + �� � � � � ��+ "# 2) � � � � ��� 8 ���9� 50 �'��� ��� � � ��� � �4�� � ��� .8 ���9� 50 �'��� ��� �(���� ����Γ � � 4�� � * � " � �#-≈ . � �'� � �*� 6 �# 7������ � ��� �#8 � + � � ���(��� ��� �* � �4�� � � ��� ��(���� ����

Λ ; �4 ���NαAα ≈ 0 � �'� � � �4 ��

NαAα ∈ Λ �0/ ��� � ) + � 6 ��� � +* 8 � � � �4��I� � +�+ � � �� �1� + �� � + �E4 � 7 � " ��� � � ��+�+ ���91� � 4�� + � �132 1

��� � ��� � � �� �� � � � � � � � ���� � � � ��

P��������� ����

Γ ������� �� ��� � ��� �4�� � ���� ��� �� � ���, 2 × , 2 SU(2)6 2A1 ≈ 2A2 ≈ 2A3 ≈ 2A4 ≈ 2A5 ≈ 2A6 ≈ 0

SU(3) × SU(2)4 �

SU(3)2SU(2)2 �

SU(4) × SU(2)3 �

SU(4) × SU(3) × SU(2) �

SU(4)2 �

SU(3)3 �

, 2 × , 4 SU(2)2 × SO(5)2 2A1 ≈ 2A2 ≈ 2A4 ≈ 2A6 ≈ 0; A3 ≈ A5 ≈ 0

, 2 × , 6 .0/ SU(2)2 × SU(3) × G2 2A1 ≈ 2A2 ≈ 0; A3 ≈ A4 ≈ A5 ≈ A6 ≈ 0

, 2 × , 6 .0/1/ G22 × SU(3) A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ A5 ≈ A6 ≈ 0

, 3 × , 3 SU(3)3 3A1 ≈ 3A3 ≈ 3A5 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4, A5 ≈ A6

E6 3A1 ≈ 3A3 ≈ 0; A1 ≈ A2 ≈ A4 ≈ A5 ≈ A6

, 3 × , 6 SU(3) × G22 3A1 ≈ 0; A1 ≈ A2, A3 ≈ A4 ≈ A5 ≈ A6 ≈ 0

, 4 × , 4 SO(5)3 2A2 ≈ 2A4 ≈ 2A6 ≈ 0; A1 ≈ A3 ≈ A5 ≈ 0

, 6 × , 6 G32 A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ A4 ≈ A5 ≈ A6 ≈ 0

� ��"#��� � �(' % ����� �� + �� � 1� ��� �4�� � ���� ��� �� � ��� � ) , N × , M ��+ "# 2) � � � � � � 4�� ��� ��� ��� �� �4��� � � � ��� � ��"#��� � ��$ �

, N ��+ "# 2) � � � � , N × , M ��+ "# 2) � � � �� � � � +1� �#8

P �� ��� 7 ���9 ��+ v� � � � +1� �#8

P � � ��� 7 ���9 ��+ v1 � � ��� 7 ���9 ��+ v2

, 313(0, 1, 1, −2) , 2 × , 2

12(0, 1, 0, −1) 1

2 (0, 0, 1, −1)

, 414(0, 1, 1, −2) , 2 × , 4

12(0, 1, 0, −1) 1

4 (0, 0, 1, −1)

, 6 .0/ 16(0, 1, 1, −2) , 3 × , 3

13(0, 1, 0, −1) 1

3 (0, 0, 1, −1)

, 6 .0/1/ 16(0, 1, 2, −3) , 2 × , 6− / 1

2(0, 1, 0, −1) 16 (0, 0, 1, −1)

, 717(0, 1, 2, −3) , 2 × , 6− /1/ 1

2(0, 1, 0, −1) 16 (0, 1, 1, −2)

, 8 .0/ 18(0, 1, 2, −3) , 4 × , 4

14(0, 1, 0, −1) 1

4 (0, 0, 1, −1)

, 8 .0/1/ 18(0, 1, 3, −4) , 3 × , 6

13(0, 1, 0, −1) 1

6 (0, 0, 1, −1)

, 12 .0/ 112(0, 1, 4, −5) , 6 × , 6

16(0, 1, 0, −1) 1

6 (0, 0, 1, −1)

, 12 .0/1/ 112(0, 1, 5, −6)

� ��"#��� � ��� %3�� ��� 7 ���9 ��+ � ) ��+ , N� ���:, N × , M ��+ "# 2) � � � � �

� ���

V (#) � =<B 3?7AH&.�J�78*M0 V Z ���M#&���&.��&0:*&�$(G4D U

�8.�J�78*M0T2

�8.�J�78*M0� ( 08 )( 08 ) E8 × E8 27× 9(1, 1)

�(

23 , 1

3

2, 06

)(08

)E6 × SU(3) × E8 3(27, 3, 1) 27× 1(27, 1, 1)

27× 3(1, 3, 1)Y (23 , 1

3

2, 06

)(23 , 1

3

2, 06

)E6 × SU(3) × E6 × SU(3) 3(27, 3, 1, 1) 27× 1(1, 3, 1, 3)

3(1, 1, 27, 3)[ (23 , 07

)(13

2, 06

)SO(14) × E7 3(64, 1)

3(14, 1) 27× 1(14, 1)

3(1, 56) 27× 4(1, 1)

3(1, 1)Z (13

4, 2

3 , 03)(

23 , 07

)SU(9) × SO(14) 3(84, 1)

3(1, 64) 27× 1(9, 1)

3(1, 14)

� ��"#����� � ��% � � � ��1�� �"#��� ��4# 2) 7 ���9 ��+ �3� ��� � ��+�+ ����8 ����� � � � ���1� + � ��� 1� � *) ��+ �4�� , 3 ��+ "# 2) � � �� )*�4��E8 × E8

4��91� +1� � �� �� + � � �

V (#) � ��3 ���� 0�<.�� V ����������� � � . � � G4D= 14

`12, 2, 013

´SO(26) × SU(2) × U(1)A × U(1)5 1

4

`12, 23, 011

´SO(22) × SU(4) × SU(2) × U(1)7 1

4

`16, 010

´SO(20) × SU(6) × U(1)A

� 14

`15, 3, 010

´SO(20) × SU(6) × U(1)A� 1

4

`12, 25, 09

´SO(18) × SO(10) × SU(2) × U(1)A� 1

4

`16, 22, 08

´SO(16) × SU(2)2 × SU(6) × U(1)A� 1

4

`12, 27, 07

´SO(14) × SO(14) × SU(2) × U(1)� 1

4

`16, 24, 06

´SO(12) × SO(8) × SU(6) × U(1)A� 1

4

`110, 2 , 05

´SO(10) × SU(10) × U(1)A × U(1)= � 1

4

`110, 23, 03

´SU(4)2 ××SU(10) × U(1)= = 1

4

`114, 02

´SU(2)2 × SU(14) × U(1)= 5 1

4

`113, 3, 02

´SU(2)2 × SU(14) × U(1)A= 7 1

8

`114, ! 1, 3

´SU(15) × U(1)A × U(1)= � 1

8

`110, ! 1, 35

´SU(11) × SU(5) × U(1)A × U(1)= � 1

8

`16, ! 1, 39

´SU(7) × SU(9) × U(1)A × U(1)= � 1

8

`12, ! 1, 313

´SU(3) × SU(13) × U(1)A × U(1)

� ��"#��� � �#" % � ��� � � � ��1�� �"#��� �14# 2) �7 ���9 ��+ �3) ��+ �4�� , 4 ��+ "# 2) � � � � ) �4��SO(32)

4��91� +1� � �� �� + � � �/ 4# 2) -7 ���9 ��+ � ���'� � � �: � �4�� � � � � ) � � + . � � � � �1 ��� ��� � � ��� � � +1� �#8 � ��+�+ ����8 ����� � � � � �9���� ��4 � 54<� + � � � ���1� + � ��� 1� � � � � + �4�� + � �9 �� ���� � + � 8 +1� 7 � � � � � � + � �9"��1 �1�%$ $' �'& �

��� � ������� �� �� � ���� � � ������ � � � � � �

����� ��� �!*�� � � � "�� �!�ε

&���� ���!����� � �V1

&#��� ����� ����� �V2�

2 �

2 1(

12, 0,−1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (0, 1

2,−1

2, 0, 0, 0, 0, 0

)

−1(

12,−1,−1

2, 1, 0, 0, 0, 0

) (1, 1

2,−1

2, 0, 1, 0, 0, 0

)�

2 �

4 1(0, 1

2,−1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (14, 0,−1

4, 0, 0, 0, 0, 0

)

−1(2, 1

2,−1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (14,−1,−1

4, 1, 0, 0, 0, 0

)�

2 �

6 , * 1(0, 1

2,−1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (16, 0,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)

−1(3, 1

2,−1

2, 0, 1, 0, 0, 0

) (16,−1,−1

6, 1, 0, 0, 0, 0

)�

2 �

6 , *�* 1(

12, 0,−1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (16, 1

6,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

)

−1(

12, 3,−1

2, 1, 0, 0, 0, 0

) (−5

6, 7

6,−1

3, 1, 1, 0, 0, 0

)�

3 �

3 1(

13, 0,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (0, 1

3,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

)

e2πi13

(13,−1,−1

3, 1, 0, 0, 0, 0

) (1, 1

3,−1

3, 0, 1, 0, 0, 0

)

e2πi23

(13,−2,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (2, 1

3,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

)�

3 �

6 1(0, 1

3,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (16, 0,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)

e2πi13

(2, 1

3,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (16,−1,−1

6, 1, 0, 0, 0, 0

)

e2πi23

(4, 1

3,−1

3, 0, 0, 0, 0, 0

) (16,−2,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)�

4 �

4 1(

14, 0,−1

4, 0, 0, 0, 0, 0

) (0, 1

4,−1

4, 0, 0, 0, 0, 0

)

i(

14,−1,−1

4, 1, 0, 0, 0, 0

) (1, 1

4,−1

4, 0, 1, 0, 0, 0

)

−1(

14,−2,−1

4, 0, 0, 0, 0, 0

) (2, 1

4,−1

4, 0, 0, 0, 0, 0

)

−i(

14,−3,−1

4, 1, 0, 0, 0, 0

) (3, 1

4,−1

4, 0, 1, 0, 0, 0

)�

6 �

6 1(

16, 0,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

) (0, 1

6,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)

e2πi16

(16,−1,−1

6, 1, 0, 0, 0, 0

) (1, 1

6,−1

6, 0, 1, 0, 0, 0

)

e2πi13

(16,−2,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

) (2, 1

6,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)

−1(

16,−3,−1

6, 1, 0, 0, 0, 0

) (3, 1

6,−1

6, 0, 1, 0, 0, 0

)

e2πi23

(16,−4,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

) (4, 1

6,−1

6, 0, 0, 0, 0, 0

)

e2πi56

(16,−5,−1

6, 1, 0, 0, 0, 0

) (5, 1

6,−1

6, 0, 1, 0, 0, 0

)

� ��"#��� � � � %5, N× , M � � � �9��� � ��4 � ��1� + �91� ��+ �1 ��� � ��� �1 � ��� � +1� � � " � �#� � � � + �3� 6 �# 7&����� � � � � � �9��� � ��4 � �# � ��1� + �91� ��+ �� ��� � ���:����� . �� � ��� � +1� � � " � �#� � � � � � � + �1� �4�� ��+ �1 ���8#4 ���1� ) ���9 ��+ ���ε = e−2πi V2·∆V1 � � 4��E� ��� 8 ��� � � 1� � ) �4�� ��4# 2) 1� � ��4# � �4��E�1��� ����� E8

�����7&� � ���4 � � 4# �� + ��� �#�� ����� � ��8#8#�� ���� � ��+ "# 2) � � � � � � �9���= � /�� � ��'��7; � 4�� + � �4�� �1��� ����� 4 ���2) � )�4�� �14# 2) 7 ���9 ��+ ����� � 7�� � ���4���� �

� � �

� B�� (<% .I0:* *>71�D*>3 SO(32)

α1 � (1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α2 � (0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α3 � (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α4 � (0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α5 � (0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α6 � (0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α7 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α8 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α9 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α10 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0)

α11 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0)

α12 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0)

α13 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0)

α14 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0)

α15 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1)

α16 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)

X �$5$E<#�� .�5M71#>% ,/.�B �&=�7:�D*&3 SO(32)

α∗1 � (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗2 � (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗3 � (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗4 � (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗5 � (1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗6 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗7 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗8 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗9 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗10 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗11 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗12 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

α∗13 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

α∗14 � (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0)

α∗15 �

(12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 ,

E12

)

α∗16 �

(12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 12 , 1

2

)

� ��"#���E� � � % / � 8#��� +1� � 1�αi

� ��� ) � ��� � � � � ��� � �9 ��&4 1�α∗

i � ) SO(32)

���CB�* � � � ��� "$� �E8

α1 � (0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 0)

α2 � (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0)

α3 � (0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0)

α4 � (0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0)

α5 � (0, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0)

α6 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1)

α7 �(

12,−1

2,−1

2,−1

2,−1

2,−1

2,−1

2, 1

2

)

α8 � (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)

������ �� � � � ��*�� � �>O�& ��" � �E8

α∗1 � (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗2 � (2, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗3 � (3, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)

α∗4 � (4, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0)

α∗5 � (5, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0)

α∗6 �

(72, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2,−1

2

)

α∗7 � (2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

α∗8 �

(52, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2, 1

2

)

� ��"#��� � ��� % / � 8#��� +1� � 1�αi

� ��� ) � ��� � � � � ��� � �9 ��&4 1�α∗

i � ) E8

� � � ��������� �� � ���� � � ������ � � � � � �

� ��� ��������� �

��� � � ����� � � � ���B−L

� � ����� � � � ���

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312 − 1

612 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6163 −5 − 17

3 −5 − 173 − 17

3 − 133

143

A5 − 12 − 1

2 0 12

12 0 0 0 13

4 − 174 − 13

4 − 134 − 13

4 − 134 − 9

494

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 1 0 1 0 0 − 23 − 2

3 − 23− 11

2 − 12

52 − 1

252

52

112 − 5

2

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312 − 1

612 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6 − 23 0 2

3 0 23

23

323 − 32

3

A5 − 12 − 1

2 0 12

12 0 0 0 13

4 − 174 − 13

4 − 134 − 13

4 − 134 − 9

494

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 1 0 1 0 0 − 23 − 2

3 − 23 − 1

6 − 12

16 − 1

216

16

16 − 1

6

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312 − 1

6 − 12

16

16

16

16

16

72 − 5

2 − 196 − 19

6 − 196 − 19

6 − 256

116

A512

12 0 − 1

2 − 12 0 0 0 13

4 − 174 − 13

4 − 134 − 13

4 − 134 − 1

4174

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 23

23

23 −1 0 − 1

5 − 15 − 1

5 − 15 − 1

5 0

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 − 12 − 1

216

16

16

16

16

16

13 0 0 2

3 0 53 −2 0

A5 0 − 12 − 1

2 − 12

12 0 0 0 4 −3 − 7

2 −4 −3 − 72 − 9

272

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 23

23

23 −2 0 0 2 0 −6 0 0

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 − 12 − 1

216

16

16

16

16

16

13 0 0 0 2 − 4

323 1

A5 0 − 12 − 1

2 − 12

12 0 0 0 4 −3 − 7

2 −4 −3 − 92 − 3

2112

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 23

23

23 −2 0 0 0 0 −2 −2 0

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312

12 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 1 0 − 1

3 − 23

53 − 8

313

43

A5 0 12

12 − 1

2 − 12 0 0 0 4 −3 − 7

2 −4 −3 − 92 − 3

2112

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 1 1 0 0 0 − 23 − 2

3 − 23 − 1

2 − 12 − 5

2 − 112

112

52

52

52

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312

12 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 1 0 − 1

3 − 23

53 − 8

313

43

A5 0 12

12 − 1

2 − 12 0 0 0 4 −3 − 7

2 −4 −3 − 92 − 3

2112

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 − 23 − 2

3 − 23 0 0 −2 −6 6 2 2 2 ����������������������

1�� 1

� ��� ��������������� � ��� ��� ��� ���� � � ���B−L

� � ����� �� � � � � � �

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312

12 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16

13 0 0 2

3 1 − 43 0 0

A5 0 12

12 − 1

2 − 12 0 0 0 4 −3 − 7

2 −4 −3 − 92 − 7

272

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 − 23 − 2

3 − 23 −2 0 0 2 0 −6 0 0

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312

12 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 4 −4 −4 −4 −4 − 11

3 − 133

83

A5 0 12

12 − 1

2 − 12 0 0 0 4 −3 − 7

2 −4 −3 − 92 − 3

2112

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 − 23 − 2

3 − 23 0 0 −4 0 0 2

3 − 23 − 2

3

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 1 −2 − 43 − 4

3 − 43 − 4

3 − 43

53 2 −1 − 5

3 − 53 − 5

3 − 53 − 8

313

A512 0 0 0 −1 − 1

2 − 12

12

12 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

32

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 23

23

23 0 0 − 2

3 − 23 − 2

3 − 23 − 2

3 − 23

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 1 −2 − 43 − 4

3 − 43 − 4

3 − 43

53

13 0 0 2

353 −2 0 0

A512 0 0 0 −1 − 1

2 − 12

12

12 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12

12

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 23

23

23

23 0 0 − 2

3 − 23 0 0 0

V − 13

12

12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A312

12 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16 − 1

6 − 16

13 0 0 2

353 −2 0 0

A5 0 12

12 − 1

212 −1 0 0 3

2 − 32 − 3

2 − 32 − 1

2 − 52 − 3

232

tY 0 0 0 12

12 − 1

3 − 13 − 1

3 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L 0 0 0 0 0 − 23 − 2

3 − 23

23 0 0 − 2

3 − 23 0 0 0

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 − 12 − 1

216

16

16

16

16

16 5 −5 −5 − 16

3 −5 − 143 − 10

3 6

A514 − 1

4 − 14 − 1

4 − 14

14

14

14 1 −1 −1 −1 −1 − 1

272 6

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L −1 −1 0 0 0 23

23

23 0 − 1

2 0 − 72 0 − 3

232 0

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 − 12 − 1

216

16

16

16

16

16

103 0 −6 − 7

3 − 43 −5 −3 3

A514 − 1

4 − 14 − 1

4 − 14

14

14

14 1 −1 − 5

2 − 32 − 1

2 − 52 − 3

232

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L −1 −1 0 0 0 23

23

23

72 − 1

2 0 32

32 0 0 0

V 13 − 1

2 − 12 0 0 0 0 0 1

2 − 16 − 1

2 − 12 − 1

2 − 12 − 1

212

A3 − 12 − 1

216

16

16

16

16

16

13 0 0 2

3 0 0 143 5

A5 − 14

14 − 1

4 − 14 − 1

414

14

14

54 − 5

4 − 34 − 5

4 − 54 − 5

414

94

tY 0 0 0 − 12 − 1

213

13

13 0 0 0 0 0 0 0 0

tB−L −1 −1 0 0 0 23

23

23 −1 − 1

2 0 1 0 0 − 52 0� ��"#����� ��$&% / 4# 2) �7 ���9 ��+ � ;*� ���� ��� �� � ��� ; 4 * 8 � + �14 � + � � � � � � + �� ��+ � ��� B−L

� � � � + �� ��+ � )$ " B−L� ��� 0 ��� + ��� ��� � � ) �4�� .2,�,/. �'� ��� � ��1��� " ��� � � ��� �4�� �14# 2) �7 ���9 ��+ � � ��4 � � �'���

SO(10)�� + ���9 � + � � � ��� 8 +1� 8 � + � ���� � )�4��=� ��+�+ ����8 ����� � � � � � �9��� �'� � " � � ��� 8��#1� � �4 +1� ���&4�4# �� � �� � �

� ��� ��������� �� � � ��������� ��� ��� �

� ��� ����

* � ��&���" �1B$B � �#��� � � � ��� ",B�*���� ��� � ��*�*��� � ��� * � &�� � �!" � ���CB � � � ��� �RB � �=B � � ������" � ��� &�� "�� , � ��* *����������� ����� ����� �!��� ��� � � � � ��� ��� � � � &��1B#� � �#" P �$&���" � � �#� * & ��" � � ��� " � �%$ � � � � � ��� ��* � "���" ��* "�� ��� � � �B � � � ��� �#" � � �'& ")� � � � "+P)(+* " �,*-* �,*���. P/10�2 3 46587:9 7#;

=<?>)< 4 %$ " 5 @

�7BA >DC ���

�$&�� � � ����* ��"$�#�+F ����� � �+� ��""O ��$O�� � � � � ���#���$OFE#� P �1P�" &���� � ���#�%')� *�"���� *����#� "G(H* " E,*-*�.V SO(10),1 =

(13, −1

2, −1

2, 0, 0, 0, 0, 0

) (12, −1

6, −1

2, −1

2, −1

2, −1

2, −1

2, 1

2

), IKJ P 1 �ML

A3 =(−1

2, −1

2, 1

6, 1

6, 1

6, 1

6, 1

6, 1

6

) (103, 0, −6, −7

3, −4

3, −5, −3, 3

), IKJ P 1 � L

A5 =(

14, −1

4, −1

4,−1

4, −1

4, 1

4, 1

4, 1

4

) (1, −1, −5

2, −3

2, −1

2, −5

2, −3

2, 3

2

). IKJ P 1 ��L

�$&�� ��� � � � & ���nO ��$O��3O � � �KB � � � � � ��� �[B��������&F � ��� � �!� ��"

G4D = [SU(3) × SU(2)] × [SO(8) × SU(2)] × U(1)8 . IKJ P 2 L�$&��

U(1)O!����� � ��� � � " � � � � &���"�� �%� � � �

t1 = tY =(0, 0, 0,−1

2,−1

2, 1

3, 1

3, 1

3

)(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , IKJ P � �ML

t2 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , IKJ P � � Lt3 = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , IKJ P � ��Lt4 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , IKJ P � ��Lt5 = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , IKJ P � ��Lt6 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , I�J P � �NLt7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , IKJ P � O%Lt8 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0) . IKJ P � &�L

�$&�� ������ ��* � ��"U(1)

� ""O!� �#� � � � � � � �tA =

∑ci ti ,

� &#� � �ci =

(0,

7

3,−1,−5

3,1

3,2

3,−2

3,−2

3

). IKJ PHOPL

1�� �

� ��� ����� � ����� � � � � � � � � � ��� � ��������� � � � � � � �

�$&�� " � � � � ����� � ��*�� �#" � & � � O!� " ��"

tr tA =170

3> 0 . I�J P " L

�$&�� � � ��� * ��*�* � � " ��"$� � ���+F���� � " ��� � � � *��B − L

O!� ��� � ����� � EtB−L =

(−1,−1, 0, 0, 0,

2

3,2

3,2

3

),

(−1

2,−1

2, 0,−1

2,−1

2, 0, 0, 0

). IKJ P �ML

� � ��& � ��� ���CB � � � ��� �0B � �=B � � � � � " I � � P�� � � *�� J P 1 L��• ��&��("NB ����� � � � � ��� * ������"�� &�� � �� � *�� � "� ��� � � �'& " ���#� *��+B#� �!�#"0B�*��#" �!����� � � *�� & �(�?� ��� � � " � � � &� � ",B � � � ���

GSM × U(1)B−L

E �����

• ��&�� � � � � � �!� " ���$O�*�����" � � ��&B−L

� & � � O�� ±2E *�� � � *����+��"

χi

P

� � �98 + ���1� � ��� ��� ���" �9�� (3,2;1,1)(1/6,1/3) qi

� (1,1;1,1)(1,1) ei

� (3,1;1,1

)(1/3,−1/3)

di

� (1,2;1,1)(−1/2,−1) `i

� (1,2;1,1)(−1/2,0) φi

�(3,1;1,1

)(1/3,2/3)

δi

'�� (1,1;1,1)(1/2,∗) s+i

$ " (1,1;1,1)(0,1) ni

� (1,1;1,2)(0,1) ηi

'�� (1,1;1,2)(0,0) hi

' (1,1;1,2)(1/2,1) x+i

' (1,1;1,1)(0,±2) χi

� (3,1;1,1

)(−1/6,∗) vi

' (1,1;8,1)(0,−1/2) fi

" (1,1;8,1)(0,0) wi

� � �98 + ���1� � ��� ��� ���" �9��

(3,1;1,1

)(−2/3,−1/3)

ui

� (1,2;1,1)(0,∗) mi

$ (3,1;1,1)(−1/3,1/3) di

$ (1,2;1,1)(1/2,1)¯i

� (1,2;1,1)(1/2,0) φi

� (3,1;1,1)(−1/3,−2/3) δi

'�� (1,1;1,1)(−1/2,∗) s−i

$' (1,1;1,1)(0,−1) ni

� (1,1;1,2)(0,−1) ηi

' (1,2;1,2)(0,0) yi

' (1,1;1,2)(−1/2,−1) x−i

$�� (1,1;1,1)(0,0) s0i

� (3,1;1,1)(1/6,∗) vi

' (1,1;8,1)(0,1/2) fi

� ��"#��� ��� $&%�/ 8 ���9 + � � � � � � � + * � � 4�� 6 � � � � � � � � " � + � � ��� � + SU(3)×SU(2)× [SO(8)×SU(2)]

� + � �14 �'� � � " � � � )!������� 4 * 8 � + � 4 � + � � � ��� B−L� 4 � + � �=��8#8 �'� + ��� � �#"��1� + �8#1� � 8=� 1��4 �� �4�� �� ��1���

s±i ; mi� ��� vi

4 � 7 � � 54<� + � � � . � �14 � + � ����) ��+�� 54<� + � � i ; � 4# �� 4 � � �#�E��� �76 8#�� ��9 ��� * �� ��� � � � + �4�� + � �9 �� ����=� + � �& 7 � � � �1���9� ��� ��� ���

� � � ��������� � � ������� � � � � �� � ��R � ��� � � � ���

/10�� ������� � 4�� ; B � C�� >)< 4�� � < > � R ��� �GC < >�� �!��" ����� � ������ � � � ���!�KFDO� � �������!� � &�� � � � &��3F ��*���"

{si} = {χ1, χ2, s03, s

05, s

08, s

09, s

012, s

015, s

016, s

022, s

024, s

035, s

041, s

043, s

046, h2,

h3, h5, h9, h13, h14, h20, h21, h22}IKJ P *-L

��� �!� * �=B �0������! � � �#"%$&" � &�� *�� � &�� � �rB ����� ��� � �!� ����*�����" � � ��*�* ��� &#� � F�� *��#" ������� "�&�P �$&�� � � � � O!���KO�(' � � � ���!� � &���� � � &���"$� &�� � �!* *�� � ���$OyB � �1B � � � � � "��

1 P$��&�� ��� � � � & � ��O ��$O!� ",� � � ��� � ����" � � �

GSM × Ghidden� � � &

Ghidden = SO(8) . I�J P*)ML2 P " �������

B−L��" � � � & ��� � � � � � �#��� ��"�E�� &#� � � � " ��� �+' ���������!� � ������� � B � � � � �-, M

2

P� P$��&��/. �>O1O!" � ��"�" � � � � " � � �

φi (Mφφ)ij φj

� &�� � � Mφφ =

s4 0 0 s

s s3 s3 s6

s5 0 0 s3

s 0 0 s3

. IKJ P10ML

�$&�� �$B , � �XB ��. �&O=O!"hu

��" � *�� ��� � � � � � � ��� �������!� � �φ1

Eφ3

�����φ4

Ehu ∼ s2φ1 + φ3 + s4 φ4 , IKJ P 1�2 L

� &�� *��(��&�� ��� � � , � �XB ��. �>O=O�"$��"$� ��[B �!"���� ��#� � �φ2

�����φ3

Ehd ∼ φ2 + φ3 . IKJ P 1!1 L

�$&�� ����� � � � � �!�KF$O � � � � ����� � " " ��� &���& ��� � &��µ 3 ��� � � E � �����$O ���+F���� � ��" ��&�� " � ��*�*���" �

���>O!��� ����* ��� � � Mφφ

Eµ =

∂2W

∂hd ∂hu

∣∣∣∣hu=hd=0

IKJ P 132 L������� "�&���" �$B%��� � � ��� �

s6 E ��� � &���� & � � � � �'& PO$P � � � &���� & ��& ��� " � � � � &�� �$O ��� {si} 3 F � * ��" ��*�* � � " ��" � � � ���#� � *� &#� J%4 � � � � � � ��&�� �#� ��� ,� �#� ���KO

D , � � � � " I � � P�"������ � �!� J P � LEP" P ��* * �?�#��� ����" ��� ��� �$B�* � I � � P " � �������!� J P " L�P�KP ��� �#� � ����� � ��"�" � " � � � " �$B$B � � " "�� � � ��� � &�� "���� "�� � � � � &�������" � I � � P "����������!� J P �MLEP

� ��� ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� � ��������� � � � � � � �

�$&�� � � � � � ��E ��� & � �!� � � � �����#� � � " �$B � � ",� � � ��� � ��������� � � � � � ��& � &��xB � � � � "�� � � ��� � � � �!� ��� � �� � � &�� � �!�!� ���#�

R 3 B�� � � � �=P�$&�� �$B 3 . �>O=O!"=D � & � ��� ��� �$B�* ���$O�" ��� ��� �CB �!" � ��� � �

WYukawa ⊃4∑

k=1

(Yu)(k)ij qi uj φk , IKJ P 1�� L

� &�� � �

Y (1)u =

0 0 s6

0 0 s6

s3 s3 1

, Y

(2)u =

0 0 0

0 0 0

0 0 s6

, IKJ P 1 O �ML

Y (3)u =

0 0 0

0 0 0

0 0 s6

, Y

(4)u =

0 0 0

0 0 0

0 0 s6

.

�$& ��"�E � &#�vB#&P� " ��� ��*3 × 3

�KB 3 . �&O=O!" D � & � ��� � ��� � � � ��"

Yu ∼ s2 Y (1)u + Y (3)

u + s4 Y (4)u =

0 0 s8

0 0 s8

s5 s5 s2

. IKJ P 1 " L

' �xF���� ��& ��� ��� � � �#� � "�� � ��� �!� "�� �$O!* ����F ��*���"�EYu

��� ��" �#��� & � �!� � ��� � � ��* � ��� & E � &�� � & � � ���#"� &����� &�� �$B 3 � � � �'& ��" � ��"�" *�� " "�� � ��&���"*�� �!��* P . � � � ��� � E���� � � �#� � "�� �!� � � � �!� " ���$O�*�����"

Yd

� � & ��"� &#� � � � �

Yu ∼ s2 Y (1)u + Y (3)

u + s4 Y (4)u =

s7 s7 s8

s7 s7 s8

s5 s5 s2

, IKJ P 1 �ML

B � � � � �����$O ��&�� � � ��"�"���"�� � � ��*�* �$B 3 � �XB � � � � � & "@P�$&�� ��� � � 3 . �&O=O!"=D � & � ��� ��� �$B�* ���$O!"$�#� � ��[B �!"�� � � ���

WYukawa ⊃4∑

k=1

(Yd)(k)ij qi dj φk , IKJ P 1 *-L

� &�� � �

Y(1)d =

s4 s4 s5 s5

s4 s4 s5 s5

s5 s5 s6 s6

, Y

(2)d =

1 s4 0 0

s4 1 0 0

s s 0 0

, IKJ P 1 )!�ML

Y(3)d =

1 s4 0 0

s4 1 0 0

s s 0 0

, Y

(4)d = 0 .

� � � �D �� � � � � � � � � ���

�$&��ZB�&M� "�� � ��*3 × 3

�#� � � 3 . �&O=O!" D � & � ��� � � � � � � � � � � O!� " � � � � ���@O � ��� � �$O%� �#� ��B ��� � � ��!������� � * � & �

d− ���#�d 3 � � � � & "�E

Yd =

1 s3 0

1 s3 0

s s4 0

. IKJ P 1 0ML

' �RF����%��& ��� ��� � � ��� � � � � �!� "�� �$O!*�� �"F � * ��"�EYd

��� ��" ����� & � �!� � ��� ��� ��* � ��� & E � &�� � & � � ���#"� &���� � &�� ��� � � 3 � � � � & ��" � ��"�" *���"�" ��� � &�� " *�� ��� * P . � ��� �!� � E ��� � � ��� � � �&O!& � ��� �!� "�� �$O!* ��� "

Yd� � & � " � &#� � � � �

Yd =

1 s3 0

1 s3 s8

s s4 s8

. IKJ P 2 2 L

B � � � � �����$O ��&�� � � ��"�"���"�� � � ��*�* ��� � � 3 � �XB � � � � �'& "@P�$&�� � & � � O�� �%*��@B � �!� D � & � � � � ��$B�*�� �$O!"$����� � �CB �!"�� ��� ���

WYukawa ⊃4∑

k=1

(Ye)(k)ij `i ej φk , IKJ P 2 1 L

� &�� � �

Y (1)e =

s4 s4 s5

s4 s4 s5

0 0 0

0 0 0

, Y

(2)e =

1 s4 s

s4 1 s

0 0 s6

0 0 s6

, IKJ P 2!2 �ML

Y (3)e =

1 s4 s

s4 1 s

0 0 s6

0 0 s6

, Y

(4)e =

0 0 s5

0 0 s5

0 0 s6

0 0 s6

.

�$&��"B�&M� "�� � ��*3×3

� ��� � � � � � � � O!� " � � � � � �@O � �������$O � �#��.B ��� � � � ��� � � � � *�� & �`− ����� ¯− * �@B#���!��"�E

Ye =

1 1 s

s s s2

0 0 s6

. IKJ P 2 � L

/10 D �

/ 9 � > �87 ���� ��� � ��� � � � ������ � �TO ��$O�� � ����� � � ��� � � �!���� ����*�" � &���� & � � ��� � ����� ���+O ��� ���!� ������ ��* � ��"�� & � � O!�HP� �%� �#��CB�* ��� � � " ��� & � � �!�#� � ����* �����!�!*�� ���$O ��* *

si��"

I(si) = χ1 χ2 (s03)

3

s05

s09

s012

s016

3

(s08

s015

) (s022

s024

)(s0

35)2

(s041)

3(s0

43)4

(s046)

3

× h42 h3 h5

5 h29 h2

13 h214 h20 h3

21 h622 .

IKJ P 2 OPL

� ��� ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� ��� ������� � � � � � � �

. � � � EDO ��$O!� ��� �#������*���� � � �rB � ��"�" ���!��" � � � � ��� ���$O!� � ��� � ����� ��*�* �-E#�HP OKPs022

�����s024

� � ��� � � &#� "��� �� & � � O!� " I � � P#� � � *�� J P 2 L�P �$&�� � �!�#� � ����* � � � � ����" ����� � ��*����"�� & � � O!� ∑

i qAi = −52/3

P

/10��F �

/ 9 � > �=7 ���F � � � �������%��&�� " �$B � � B ��� � � ��� ��*���� � � ��� � " � �

W = s032h5(s

05h1 + s0

12h2) + (s015h15 + s0

8h13)(s042 + s0

43)(h23 + h25)

+ (s022h14 + s0

24h16)(s042 + s0

43)(h18 + h20) IKJ P 2 " L+ h22(s

05h3 + s0

12h4)(s041(s

026 + s0

28) + s032(s

042 + s0

43) + s035(s

045 + s0

46)) �

� &#�F 3 ��� � � "$� � � &�� " � � ����*�� � �

Fs05

= h1h5s032 + h22h3((s

026 + s0

28)s041 + s0

32(s042 + s0

43) + s035(s

045 + s0

46)) , � ��� '���Fs0

8= h13(h23 + h25)(s

042 + s0

43) , � ��� '�� ��Fs0

12= h2h5s

032 , � ��� '�����

Fs015

= h15(h23 + h25)(s042 + s0

43) , � ��� '�����Fs0

22= h14(h18 + h20)(s

042 + s0

43) , � ��� '�����Fs0

24= h16(h18 + h20)(s

042 + s0

43) , � ��� '�����Fs0

26= h22h3s

041s

05 , � ��� '� � �

Fs028

= h22h3s041s

05 , � ��� '�����

Fs032

= (h22h3(s042 + s0

43)s05 + h5(h2s

012 + h1s

05)) , � ��� '�����

Fs035

= h22h3(s045 + s0

46)s05 , � ��� '�����

Fs041

= h22h3(s026 + s0

28)s05 , � ��� '��� �

Fs042

= (h18 + h20)(h14s022 + h16s

024) + h22h3s

032s

05 + (h23 + h25)(h15s

015 + h13s

08) , � ��� '��!��

Fs043

= (h18 + h20)(h14s022 + h16s

024) + h22h3s

032s

05 + (h23 + h25)(h15s

015 + h13s

08) ,� ��� '� �"�

Fs045

= h22h3s035s

05 , � ��� '��#��

Fs046

= h22h3s035s

05 , � ��� '��$%�

Fh1 = h5s032s

05 , � ��� '��&��

Fh2 = h5s012s

032 , � ��� '�36'�

Fh3 = h22((s026 + s0

28)s041 + s0

32(s042 + s0

43) + s035(s

045 + s0

46))s05 , � ��� '��(��

Fh5 = s032(h2s

012 + h1s

05) , �*) � '��+��

Fh13 = (h23 + h25)(s042 + s0

43)s08 , �*) � '��,��

Fh14 = (h18 + h20)s022(s

042 + s0

43) , �*) � '��-��

� � � � � � � � � � � ��� � � � ���

Fh15 = (h23 + h25)s015(s

042 + s0

43) , �*) � '� 7 �Fh16 = (h18 + h20)s

024(s

042 + s0

43) , �*) � '��� �Fh18 = (h14s

022 + h16s

024)(s

042 + s0

43) , �*) � '�����Fh20 = (h14s

022 + h16s

024)(s

042 + s0

43) , �*) � '� * �Fh22 = h3((s

026 + s0

28)s041 + s0

32(s042 + s0

43) + s035(s

045 + s0

46))s05 , �*) � '�����

Fh23 = (s042 + s0

43)(h15s015 + h13s

08) ,

Fh25 = (s042 + s0

43)(h15s015 + h13s

08) .

� � � � ��� � "�� � ��� � &�� ��� "����KO!*�� � "�E � &#� ������� � � � �!�rFDO � � ��� � �!� I�J P+*-L *�� � ��� " " � � � ���!� ! � � �F 3� � � � " � &�� � & � ��� �!��* � � � � ����� ��*�* � � ��� " � � � "�� �$O!*�� � " & � �!� � � ��� � ��* "%$�" "+P�. � � � ��� � E ��" �#��"�� ��"�" � �

��� " � �������!� " P 2 P 2 E ���� � �#� � � �&O!& � � � � &�� " �KB � � B ��� ��� ��� ��*KE �!��� ��� � "JF ��� ���!� � � ��� � ��*�"��!* �#� � �!��"+P ' ���� ����� * ��" ��� &�� � &�� � � � ��� � � � &���� � * � �$O���&�P

/10�� 3 � ��� 3 �G>DC < A 7 �4 � � &�� " "�� � � � �!��E ���%"�&#� � � & � � � & ��� ��*�* �?�#��� ����" � ��� � � � ���#� � ��" "����!�1P �$&#�%�?� ��� � � "� � ��" "� � � � " � � �

xi Mijxx xj . IKJ P 2 *-L

4 �+� &�� � �!* *�� � ���$O E � � *���" � � &#� " � � ����� � � � � � � &�� � � ��� ��",B �!����� �$O � ��"�" � � � � � � ��"@P

M ¯ =(

s2 s2 s3 s3)

, ��� ��������Mdd =

(s6 s6 s3 s3

), ��� �������

Mx+x− =

(s5 s5

s5 s5

), ��� ��������

Mmm =

0 0 s6 s6

0 0 s6 s6

s6 s6 0 s6

s6 s6 s6 0

,��� �������

Mvv =

s s5 0 0

s5 s 0 0

0 0 s5 s5

0 0 s5 s5

, ��� ��������

Myy =

(s1 s5

s5 s1

), ��� ������ �

Mδδ =

s3 s3 s3

s3 s3 s3

0 s3 s3

, !�� ���� � �

Mff =

(0 s3

0 s3

), ��� ����"��

Mww =

s s5 0 s5 s5

s5 s 0 s5 s5

0 0 0 s3 s3

s5 s5 s3 s6 s6

s5 s5 s3 s6 s6

, !�� �����#$�

� ��� ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� ��� ������� � � � � � � �

Ms+s− =

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es6 es6 es6 0 es6 es6 es6

es6 0 es6 es6 0 es6 0 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 es6 0 0 0

es6 0 0 es6 0 0 0 0 0 0 es6 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es6 es6 es6 0 es6 es6 es6

es6 0 es6 es6 0 es6 0 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0

es6 0 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0

0 es 0 0 es5 0 es 0 0 es5 0 0 0 es6 es6 es5 0 es6 es6 es5

es5 0 es6 es5 0 es6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

es6 0 es6 es6 0 es6 0 es6 0 0 0 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0

0 es5 0 0 es 0 es5 0 0 es 0 0 0 es6 es6 es5 0 es6 es6 es5

es5 0 es6 es5 0 es6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

es6 0 es6 es6 0 es6 0 0 0 0 es6 0 es6 0 0 0 es6 0 0 0

0 0 es6 0 0 es6 0 es6 0 0 es6 0 es5 0 0 0 es5 0 0 0

0 0 0 0 0 0 es5 0 0 es5 0 0 0 es5 es5 es5 0 es5 es5 es5

0 0 0 0 0 0 es5 0 0 es5 0 0 0 es5 es5 es5 0 es5 es5 es5

0 0 0 0 0 0 es6 0 0 es6 0 0 0 es5 es5 es5 0 es5 es5 es5

0 0 es6 0 0 es6 0 es6 0 0 es6 0 es5 0 0 0 es5 0 0 0

0 0 0 0 0 0 es5 0 0 es5 0 0 0 es5 es5 es5 0 es5 es5 es5

0 0 0 0 0 0 es5 0 0 es5 0 0 0 es5 es5 es5 0 es5 es5 es5

0 0 0 0 0 0 es6 0 0 es6 0 0 0 es5 es5 es5 0 es5 es5 es5

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

.����� � ���

/10 � � 7�� >DC < �84 3 � ��� 7 �' � � �!�#"����#� � ����� � � � &�� � �

SU(2)��" � � � & ����P �$&���" � � ����" � & � � � &#�

ηi

���#�ηi

O����!� � � "�� ��� � � � � &�� ��!� " ���$O!* ����" � � � &qB−L = ±1

Eη1 =

(n16

n17

), . . . η3 =

(n20

n21

)����� η1 =

(n13

n14

), . . . η3 =

(n17

n18

). !�� ������

Mnn =

0 0 0 s2 0 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 s6 0 s2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

s2 s6 0 s6 0 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

s6 s2 0 s6 0 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

, !�� [������

� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �

Mnn =

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

0 es3 0 0 es6 0 es6 0 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es2 es6 es6 0 0 0 0

0 es6 0 0 es3 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 0 0 0 0

es6 0 0 es6 0 0 es6 es6 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 0 0 0 0

es es2 es3 es5 es4 es4 es6 es6 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 0 0 es6 es6 es6 es6

es6 0 0 es6 0 0 es6 es6 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 0 0 0 0

es5 es4 es4 es es2 es3 es6 es6 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 0 0 es6 es6 es6 es6

0 0 es6 0 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 es6 0 0 es3 es6 es6 0 0 0 0

0 0 es6 0 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 es6 0 0 es3 es6 es6 0 0 0 0

es6 0 0 es6 0 0 es6 es6 0 0 0 0 es5 es5 0 0 0 0 0 0 0

es6 0 0 es6 0 0 es6 es6 0 0 0 0 es5 es5 0 0 0 0 0 0 0

0 es3 0 0 es3 0 es2 es6 es3 es3 0 0 es2 es6 0 0 0 0 0 0 0

0 es3 0 0 es3 0 0 0 0 0 es3 es3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 0 es6 es6 es3 es3 es3 es3

0 0 0 0 0 0 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 es6 0 es6 es6 es3 es3 es3 es3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 es3 es3 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 es3 es3 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 es3 es3 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 es6 es6 0 0 0 es3 es3 0 0 0 0

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

� � � � ���

Mnn=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 s4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s3 s3 0 0 0 0

0 s4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s3 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 s4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s3 s3 0 0 0 0

0 0 0 0 s4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 s3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s3 0 0 s3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s3 0 0 s3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

.!�� [ �����

�$&�� ��� �#� � � ��� � ��" " � � � � � � � " � &����eO!���!��� � �Mνν =

( Mnn MTnn

Mnn Mnn

), IKJ P �#1 L

�����%& ��"�� ��* * � ��� & P

� ��� ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� ��� ������� � � � � � � �

�$&�� ��� �#� � � ����� � & � ��� � � �$B#*����KO!"$��� ��� �CB �!" � ��� � �

WYukawa ⊃4∑

k=1

(Yn)(k)ij `i nj φk + (Yn)

(k)ij `i nj φk IKJ P � 2 L

� &�� � �

Y (1)n =

0 0 0 0 0 s3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 s3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

, !�� [�[����

Y (2)n =

0 0 0 s6 0 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 s6 0 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

, !�� [�[�� �

Y (k>2)n = 0 , ��� [ [����

Y(1)n =

0 s5 0 0 s4 0 0 0 s6 s6 s5 s5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s4 0 0 s5 0 0 0 s6 s6 s5 s5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s5 0 0 s5 0 0 0 0 0 1 s4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s5 0 0 s5 0 0 0 0 0 s4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

!�� [�[����

Y(2)n =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s5 s5 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s5 s5 0 0 0 s4 s4 0 0 0 0

0 s2 s6 0 s2 s6 0 0 0 0 s6 s6 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

0 s2 s6 0 s2 s6 0 0 0 0 s6 s6 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

!�� [ [����

Y(3)n =

0 s6 0 0 s6 0 0 0 0 0 s s 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

0 s6 0 0 s6 0 0 0 0 0 s s 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

0 s2 s6 0 s2 s6 0 0 0 0 s6 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s2 s6 0 s2 s6 0 0 0 0 s6 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

!�� [ [ � �

Y(4)n =

0 s6 0 0 s6 0 0 0 0 0 s s 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

0 s6 0 0 s6 0 0 0 0 0 s s 0 0 0 s5 s5 0 0 0 0

0 s2 s6 0 s2 s6 0 0 0 0 s6 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 s2 s6 0 s2 s6 0 0 0 0 s6 s6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

.!�� [ [ � �

')� ��& � &���"�� � � �$B#*����KO!"�E �!��� � ���%� ��*�� �#* �����0� &�� �+' ����� ���!�`� � *�� ��� � �

Meff`` =

1

2Yν M−1

νν Y Tν , IKJ P � OPL

� &�� � �Yν = (Yn, Yn)

P�� � ��� � �+O � �������$O � �#� � &�� &#� � �P�`E��!��� � ��� ����� " ��� ��&��

3 × 3�+' ����� ���!�

��� �#� � ����� � ��"�" �=B � � ��� � �κE � &#��� &%��" � ��* ����� � � � � &#� * �>O!& ����� �#� � � ��� � ��" " � ��� � � � � � �

mν = v2u κ IKJ P � " L

� � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � �� � ��&

vu

� � � �$O ��&�� �$B 3 � �rB � . �&O=O!"�"�$�"cP � � �#"����KO � &�� � � � &�� � � �rB�*������#� � ��� "�� � � � �!� " P " P 1 E � �F ���+� &����

��" I ��� � � � � �$O�&�* � L�O!���!� � � �Meff ∼ − v2

u

M∗

1 s s

s s2 s2

s s2 s2

, IKJ P � �ML

�����+� &#� �+' ���������!� " � � "�� � "�� ��*�� ��""O����!��� � �M∗ ∼ 0.1 s5 Mstr , IKJ P � *-L

� &�� � �Mstr = 2 · 1017 GeV

��" ��&�� " � � ���KO " � ��* �(� � & � � ��" � &�� � �!� � ��* *�"�� ��*�� � � Mνν

P

/10 � � 7 > ��< 9 7B5 @�� 7BA >DC ���

4 � � &�� " "������ � �!��E � �%�#��"��#* ��� ��&��� � �� � � ����� " � � � ��� & " � � � � ��� ��&�� "�� � � � � � ��P �$&��+"�� � ��� � � �*�� " ��� �%&�� � � ��� ' � � " �!��* � ��� " � &�� � ��� ��*�* � � � ��& � � "�� �����(��� ��&�� � � " �#* � "�� � � "���� � � � � � � � � P (+* ) . P �$&��� � ��"���� � � � �$O � &����(� &#� � � ��" � ��� � � � � � � & � �!� ��"���� ��� � &���� � � � & ����� &�� � � ��� ' � ��� � � � ��� ��""��&O!��P

� '! � ) ����� � � + & � � ,�(�-�� $�� ,�� � $�(� '� �*$�! ����������� � #�, � (�� + $������! �"!#%$�&('*)%+�� +�,��, � + �, � �.- �%/�������(�0�� + ( ��� � ( , $ ,�� � ��+�� + $��10�� # � (��, $�( + � �32 � �*) � ��� � Ri �'� # $�, � $+ $�#'� � R � � ���(�0�� + � γ(ϑ)� + ,�� � +�$4� � �! ! � � γ � &'���+ � �'��5 # � � � # + � � �6� � " � Tk(n1,n2,n3,n4,n5,n6) �'� # $�, � + ,�� � k � ,���, � � + , � �+�� � , $�( � $�(�( � +�& $�# � � #�0 , $ ,�� � � $�# +�,�(�- � ,�� #�0 � ! �7� � #%, g = (ϑk, nαeα)�

� ����8:9<; = ?> � ?@ ?A � CBED�A qY q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 qB−L R1 R2 R3 γ(ϑ)

U1 (1,1,1,1) 0 − 12 − 1

212

52 0 0 0 2 −1 0 0 0 χ2

(1,1,1,1) 0 1 1 0 0 0 0 0 −2 −1 0 0 0 χ1

(3,2,1,1) 16 − 1

212 − 1

212 0 0 0 1

3 −1 0 0 0 q3

(1,1,8,1) 0 0 0 0 0 12 − 1

2 −1 12 −1 0 0 0 f1

U2 (1,1,1,1) 1 12 − 1

2 − 12

12 0 0 0 1 0 −1 0 0 e3

(3,1,1,1) − 23

12 − 1

2 − 12

12 0 0 0 − 1

3 0 −1 0 0 u3

(1,1,1,1) 0 12

12

12

52 0 0 0 0 0 −1 0 0 s0

3

U3 (1,2,1,1) − 12 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 −1 0 φ1

(1,2,1,1) 12 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 φ1

T2(0,0,0,0,0,0) (1,2,1,1) − 12 − 1

3 0 0 1 0 23 0 0 − 2

3 − 13 0 0 φ2

(3,1,1,1) − 13 − 1

3 0 0 −1 0 23 0 − 2

3 − 23 − 1

3 0 0 δ1

(1,1,1,2) 0 23 0 0 0 0 − 1

3 −1 0 − 23 − 1

3 0 0 h18

(1,1,1,2) 0 23 0 0 0 0 − 1

3 1 −1 − 23 − 1

3 0 0 η2

(1,1,8,1) 0 23 0 0 0 0 − 1

3 0 − 12 − 2

3 − 13 0 0 f1

T2(0,0,1,1,0,0) (1,1,1,1) 0 − 56

12 − 1

6 − 56 − 1

3 − 13

23 0 − 2

3 − 13 0 2

3 s042

(1,1,8,1) 0 16 − 1

2 − 16 − 5

616

16 − 1

3 0 − 23 − 1

3 0 23 w4

(1,2,1,1) − 12

16

12 − 1

616 − 1

3 − 13

23 −1 − 2

3 − 13 0 1

3 `3F���������������� �����

� � � ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� ��� ������� � � � � � � �

� ����8:9<; = ?> � ?@ ?A � CBED�A qY q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 qB−L R1 R2 R3 γ(ϑ)

T2(0,0,0,1,0,0) (1,1,1,1) 0 − 13 0 2

3 − 53

13 − 1

3 − 23 0 − 2

3 − 13 0 2

3 s045

(1,1,1,2) 0 16 − 1

216

56

13

23

13 0 − 2

3 − 13 0 2

3 h23

(1,1,1,2) 0 16 − 1

216

56 − 2

3 − 13

13 1 − 2

3 − 13 0 0 η2

T2(1,0,0,0,0,0) (1,2,1,1) − 12 − 1

3 0 0 1 0 23 0 0 − 2

3 − 13 0 0 φ3

(1,1,1,1) 0 − 13 0 1 0 0 2

3 0 0 − 23 − 1

3 0 12 s0

41

(3,1,1,1) − 13 − 1

3 0 0 −1 0 23 0 − 2

3 − 23 − 1

3 0 0 δ2

(1,1,1,2) 0 23 0 0 0 0 − 1

3 −1 0 − 23 − 1

3 0 0 h20

(1,1,1,2) 0 23 0 0 0 0 − 1

3 1 −1 − 23 − 1

3 0 0 η3

(1,1,1,1) 0 − 13 1 0 0 0 2

3 0 −1 − 23 − 1

3 0 12 n11

(1,1,8,1) 0 23 0 0 0 0 − 1

3 0 − 12 − 2

3 − 13 0 0 f2

T2(1,0,1,1,0,0) (1,1,1,1) 0 − 56

12 − 1

6 − 56 − 1

3 − 13

23 0 − 2

3 − 13 0 2

3 s043

(1,1,1,2) 0 16 − 1

2 − 16 − 5

6 − 13

23 − 1

3 0 − 23 − 1

3 0 12 h22

(1,1,1,2) 0 16 − 1

2 − 16 − 5

623 − 1

3 − 13 0 − 2

3 − 13 0 5

6 h21

(1,1,1,1) 0 16

12

56 − 5

6 − 13 − 1

323 −1 − 2

3 − 13 0 5

6 n12

(1,1,8,1) 0 16 − 1

2 − 16 − 5

616

16 − 1

3 0 − 23 − 1

3 0 23 w5

(1,2,1,1) − 12

16

12 − 1

616 − 1

3 − 13

23 −1 − 2

3 − 13 0 1

3 `4

(3,1,1,1) − 13 − 1

3 0 13

23 − 1

3 − 13

23

13 − 2

3 − 13 0 1

2 d1

T2(1,0,0,1,0,0) (1,2,1,1) − 12 − 1

3 0 − 13 − 2

313 − 1

3 − 23 0 − 2

3 − 13 0 1

6 φ4

(1,1,1,1) 0 − 13 0 2

3 − 53

13 − 1

3 − 23 0 − 2

3 − 13 0 2

3 s046

(3,1,1,1) − 13

16

12

16 − 1

613 − 1

3 − 23 − 2

3 − 23 − 1

3 0 12 δ3

(1,1,1,2) 0 16 − 1

216

56

13

23

13 0 − 2

3 − 13 0 2

3 h25

(1,1,1,1) 0 − 56

12

16

56

13 − 1

3 − 23 1 − 2

3 − 13 0 5

6 n15

(1,1,1,2) 0 16 − 1

216

56 − 2

3 − 13

13 1 − 2

3 − 13 0 0 η3

T3(0,0,0,0,1,0) (1,1,1,1) 12

14 − 3

414

14

12 − 1

2 0 1 − 12 0 − 1

212 s+

14

(1,1,1,1) − 12

34 − 1

4 − 14 − 1

4 − 12

12 0 −1 − 1

2 0 − 12 0 s−14

T3(0,0,0,0,1,1) (1,1,1,1) 12

14 − 3

414

14

12 − 1

2 0 1 − 12 0 − 1

212 s+

18

(1,1,1,1) − 12

34 − 1

4 − 14 − 1

4 − 12

12 0 −1 − 1

2 0 − 12 0 s−19

T3(0,1,0,0,0,0) (1,1,1,2) 0 0 − 12

12 0 0 0 1 0 − 1

2 0 − 12

23 h14

(1,1,1,2) 0 0 12 − 1

2 0 0 0 −1 0 − 12 0 − 1

223 h13

(1,1,1,1) 0 0 12 − 1

2 0 1 0 0 −1 − 12 0 − 1

223 n9

(1,1,1,1) 0 0 − 12

12 0 −1 0 0 1 − 1

2 0 − 12

23 n13

T3(0,1,0,0,0,1) (1,1,1,2) 0 0 − 12

12 0 0 0 1 0 − 1

2 0 − 12

23 h16

(1,1,1,2) 0 0 12 − 1

2 0 0 0 −1 0 − 12 0 − 1

223 h15

(1,1,1,1) 0 0 12 − 1

2 0 1 0 0 −1 − 12 0 − 1

223 n10

(1,1,1,1) 0 0 − 12

12 0 −1 0 0 1 − 1

2 0 − 12

23 n14

T3(0,1,0,0,1,0) (1,1,1,1) 12 − 3

414

14

14

12 − 1

2 0 1 − 12 0 − 1

213 s+

16

(1,1,1,1) 12

14

14 − 3

414 − 1

212 0 0 − 1

2 0 − 12

16 s+

13

(1,1,1,1) 12

14 − 3

414

14

12 − 1

2 0 1 − 12 0 − 1

212 s+

15

(1,1,1,1) − 12 − 1

4 − 14

34 − 1

412 − 1

2 0 0 − 12 0 − 1

216 s−13

(1,1,1,1) − 12 − 1

434 − 1

4 − 14 − 1

212 0 −1 − 1

2 0 − 12

56 s−16

(1,1,1,1) − 12

34 − 1

4 − 14 − 1

4 − 12

12 0 −1 − 1

2 0 − 12 0 s−15

(3,1,1,1) − 16 − 1

4 − 14 − 1

434

12 − 1

2 0 23 − 1

2 0 − 12

23 v3

(3,1,1,1) 16

14

14

14 − 3

4 − 12

12 0 − 2

3 − 12 0 − 1

223 v3

T3(0,1,0,0,1,1) (1,1,1,1) 12 − 3

414

14

14

12 − 1

2 0 1 − 12 0 − 1

213 s+

20F���������������� �����

� � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � �

� ����8:9<; = ?> � ?@ ?A � CBED�A qY q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 qB−L R1 R2 R3 γ(ϑ)

(1,1,1,1) 12

14

14 − 3

414 − 1

212 0 0 − 1

2 0 − 12

16 s+

17

(1,1,1,1) 12

14 − 3

414

14

12 − 1

2 0 1 − 12 0 − 1

212 s+

19

(1,1,1,1) − 12 − 1

4 − 14

34 − 1

412 − 1

2 0 0 − 12 0 − 1

216 s−17

(1,1,1,1) − 12 − 1

434 − 1

4 − 14 − 1

212 0 −1 − 1

2 0 − 12

56 s−20

(1,1,1,1) − 12

34 − 1

4 − 14 − 1

4 − 12

12 0 −1 − 1

2 0 − 12 0 s−18

(3,1,1,1) − 16 − 1

4 − 14 − 1

434

12 − 1

2 0 23 − 1

2 0 − 12

23 v4

(3,1,1,1) 16

14

14

14 − 3

4 − 12

12 0 − 2

3 − 12 0 − 1

223 v4

T4(0,0,0,0,0,0) (1,1,1,1) 0 13 0 −1 0 0 − 2

3 0 0 − 13 − 2

3 0 0 s026

(1,1,1,1) 0 13 −1 0 0 0 − 2

3 0 1 − 13 − 2

3 0 0 n9

T4(0,0,1,0,0,0) (1,1,1,2) 0 − 16

12

16

56 − 2

313

13 0 − 1

3 − 23 0 2

3 h8

(1,1,1,2) 0 − 16

12

16

56

13 − 2

313 0 − 1

3 − 23 0 0 h7

(1,1,1,1) 0 − 16 − 1

2 − 56

56

13

13 − 2

3 1 − 13 − 2

3 0 23 n11

(3,1,1,1) 13

13 0 − 1

3 − 23

13

13 − 2

3 − 13 − 1

3 − 23 0 0 d3

T4(0,0,1,1,0,0) (1,2,1,1) 12

13 0 1

323 − 1

313

23 0 − 1

3 − 23 0 1

3 φ3

(1,1,1,1) 0 56 − 1

2 − 16 − 5

6 − 13

13

23 −1 − 1

3 − 23 0 2

3 n7

(3,1,1,1) 13 − 1

6 − 12 − 1

616 − 1

313

23

23 − 1

3 − 23 0 0 δ2

T4(−1,1,0,0,0,0) (1,1,8,1) 0 − 23 0 0 0 0 1

3 0 12 − 1

3 − 23 0 1

2 f3

(1,2,1,1) 12

13 0 0 −1 0 − 2

3 0 0 − 13 − 2

3 0 12 φ2

(1,1,1,1) 0 13 0 −1 0 0 − 2

3 0 0 − 13 − 2

3 0 0 s028

(1,1,1,2) 0 − 23 0 0 0 0 1

3 1 0 − 13 − 2

3 0 12 h5

(1,1,1,2) 0 − 23 0 0 0 0 1

3 −1 1 − 13 − 2

3 0 12 η1

(1,1,1,1) 0 13 −1 0 0 0 − 2

3 0 1 − 13 − 2

3 0 0 n10

(3,1,1,1) 13

13 0 0 1 0 − 2

3 0 23 − 1

3 − 23 0 1

2 δ1

T4(−1,1,1,0,0,0) (1,1,1,1) 0 56 − 1

216

56

13

13 − 2

3 0 − 13 − 2

3 0 56 s0

32

(1,1,1,2) 0 − 16

12

16

56 − 2

313

13 0 − 1

3 − 23 0 2

3 h10

(1,1,1,2) 0 − 16

12

16

56

13 − 2

313 0 − 1

3 − 23 0 0 h9

(1,1,8,1) 0 − 16

12

16

56 − 1

6 − 16

13 0 − 1

3 − 23 0 5

6 w3

(1,1,1,1) 0 − 16 − 1

2 − 56

56

13

13 − 2

3 1 − 13 − 2

3 0 23 n12

(3,1,1,1) 13

13 0 − 1

3 − 23

13

13 − 2

3 − 13 − 1

3 − 23 0 0 d4

(1,2,1,1) 12 − 1

6 − 12

16 − 1

613

13 − 2

3 1 − 13 − 2

3 0 16

¯1

T4(−1,1,1,1,0,0) (1,2,1,1) 12

13 0 1

323 − 1

313

23 0 − 1

3 − 23 0 1

3 φ4

(1,1,1,1) 0 13 0 − 2

353 − 1

313

23 0 − 1

3 − 23 0 5

6 s035

(1,1,1,2) 0 − 16

12 − 1

6 − 56 − 1

3 − 23 − 1

3 0 − 13 − 2

3 0 56 h12

(1,1,1,2) 0 − 16

12 − 1

6 − 56

23

13 − 1

3 −1 − 13 − 2

3 0 12 η1

(1,1,1,1) 0 56 − 1

2 − 16 − 5

6 − 13

13

23 −1 − 1

3 − 23 0 2

3 n8

(3,1,1,1) 13 − 1

6 − 12 − 1

616 − 1

313

23

23 − 1

3 − 23 0 0 δ3

T5(0,0,0,0,0,0) (3,2,1,1) 16

16 0 0 1

2 0 − 13 0 1

3 − 16 − 1

3 − 12 0 q2

(1,1,1,1) 1 16 0 0 1

2 0 − 13 0 1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 e2

(3,1,1,1) − 23

16 0 0 1

2 0 − 13 0 − 1

3 − 16 − 1

3 − 12 0 u2

(1,1,1,1) 0 23 − 1

212 0 0 − 1

3 0 0 56 − 1

3 − 12 0 s0

8

(1,1,1,1) 0 − 13

12

12 0 0 − 1

3 0 0 116 − 1

3 − 12 0 s0

9

(1,1,1,1) 0 − 13

12

12 0 0 − 1

3 0 0 − 16

23 − 1

2 0 s05

(1,1,1,1) 0 23

12 − 1

2 0 0 − 13 0 −1 5

6 − 13 − 1

2 0 n1

(1,2,1,1) − 12

16 0 0 − 3

2 0 − 13 0 −1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 `2F���������������� �����

� � � ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� ��� ������� � � � � � � �

� ����8:9<; = ?> � ?@ ?A � CBED�A qY q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 qB−L R1 R2 R3 γ(ϑ)

(1,1,1,1) 0 − 13 − 1

2 − 12 0 0 − 1

3 0 1 116 − 1

3 − 12 0 n3

(1,1,1,1) 0 − 13 − 1

2 − 12 0 0 − 1

3 0 1 − 16

23 − 1

2 0 n2

(1,1,1,1) 0 16 0 0 5

2 0 − 13 0 1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 n1

(3,1,1,1) 13

16 0 0 − 3

2 0 − 13 0 − 1

3 − 16 − 1

3 − 12 0 d2

T5(0,0,0,0,0,1) (3,2,1,1) 16

16 0 0 1

2 0 − 13 0 1

3 − 16 − 1

3 − 12 0 q1

(1,1,1,1) 1 16 0 0 1

2 0 − 13 0 1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 e1

(3,1,1,1) − 23

16 0 0 1

2 0 − 13 0 − 1

3 − 16 − 1

3 − 12 0 u1

(1,1,1,1) 0 23 − 1

212 0 0 − 1

3 0 0 56 − 1

3 − 12 0 s0

15

(1,1,1,1) 0 − 13

12

12 0 0 − 1

3 0 0 116 − 1

3 − 12 0 s0

16

(1,1,1,1) 0 − 13

12

12 0 0 − 1

3 0 0 − 16

23 − 1

2 0 s012

(1,1,1,1) 0 23

12 − 1

2 0 0 − 13 0 −1 5

6 − 13 − 1

2 0 n2

(1,2,1,1) − 12

16 0 0 − 3

2 0 − 13 0 −1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 `1

(1,1,1,1) 0 − 13 − 1

2 − 12 0 0 − 1

3 0 1 116 − 1

3 − 12 0 n6

(1,1,1,1) 0 − 13 − 1

2 − 12 0 0 − 1

3 0 1 − 16

23 − 1

2 0 n5

(1,1,1,1) 0 16 0 0 5

2 0 − 13 0 1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 n4

(3,1,1,1) 13

16 0 0 − 3

2 0 − 13 0 − 1

3 − 16 − 1

3 − 12 0 d1

T5(0,0,0,0,1,0) (1,1,1,1) 12 − 1

1214

14

14 − 1

2 − 56 0 1 − 1

6 − 13 − 1

212 s+

1

(1,1,1,1) 12 − 1

1214

14

14

12

16 0 0 11

6 − 13 − 1

212 s+

3

(1,1,1,1) 12 − 1

1214

14

14

12

16 0 0 − 1

623 − 1

212 s+

2

(1,1,1,1) − 12 − 7

12 − 14 − 1

4 − 14

12

16 0 0 5

6 − 13 − 1

2 0 s−3(1,1,1,1) − 1

2512 − 1

434 − 1

412

16 0 −1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 s−2(1,1,1,1) − 1

2512

34 − 1

4 − 14

12

16 0 −2 − 1

6 − 13 − 1

2 0 s−1(3,1,1,1) − 1

6512 − 1

4 − 14

34

12

16 0 − 1

3 − 16 − 1

3 − 12

12 v1

(1,2,1,1) 0 512 − 1

4 − 14 − 5

412

16 0 −1 − 1

6 − 13 − 1

212 m1

T5(0,0,0,0,1,1) (1,1,1,1) 12 − 1

1214

14

14 − 1

2 − 56 0 1 − 1

6 − 13 − 1

212 s+

4

(1,1,1,1) 12 − 1

1214

14

14

12

16 0 0 11

6 − 13 − 1

212 s+

6

(1,1,1,1) 12 − 1

1214

14

14

12

16 0 0 − 1

623 − 1

212 s+

5

(1,1,1,1) − 12 − 7

12 − 14 − 1

4 − 14

12

16 0 0 5

6 − 13 − 1

2 0 s−6(1,1,1,1) − 1

2512 − 1

434 − 1

412

16 0 −1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 s−5(1,1,1,1) − 1

2512

34 − 1

4 − 14

12

16 0 −2 − 1

6 − 13 − 1

2 0 s−4(3,1,1,1) − 1

6512 − 1

4 − 14

34

12

16 0 − 1

3 − 16 − 1

3 − 12

12 v2

(1,2,1,1) 0 512 − 1

4 − 14 − 5

412

16 0 −1 − 1

6 − 13 − 1

212 m2

T5(0,0,1,1,0,0) (1,1,1,2) 0 16 0 − 2

3 − 56 − 1

3 − 13 − 1

3 0 − 16 − 1

3 − 12

23 h1

(1,1,1,1) 0 16 0 − 2

3 − 56 − 1

323

23 −1 − 1

6 − 13 − 1

213 n4

(1,1,1,1) 0 16 0 − 2

3 − 56

23 − 1

323 −1 − 1

6 − 13 − 1

223 n3

T5(0,0,1,1,0,1) (1,1,1,2) 0 16 0 − 2

3 − 56 − 1

3 − 13 − 1

3 0 − 16 − 1

3 − 12

23 h2

(1,1,1,1) 0 16 0 − 2

3 − 56 − 1

323

23 −1 − 1

6 − 13 − 1

213 n6

(1,1,1,1) 0 16 0 − 2

3 − 56

23 − 1

323 −1 − 1

6 − 13 − 1

223 n5

T5(0,0,1,1,1,0) (1,1,1,2) 12 − 7

12 − 14

112 − 7

1216

16 − 1

3 1 − 16 − 1

3 − 12 0 x+

1

(1,1,1,2) − 12 − 1

1214 − 5

12 − 1312

16

16 − 1

3 −1 − 16 − 1

3 − 12

56 x−

1

(1,2,1,2) 0 512 − 1

4112

512

16

16 − 1

3 0 − 16 − 1

3 − 12

23 y1

T5(0,0,1,1,1,1) (1,1,1,2) 12 − 7

12 − 14

112 − 7

1216

16 − 1

3 1 − 16 − 1

3 − 12 0 x+

2

(1,1,1,2) − 12 − 1

1214 − 5

12 − 1312

16

16 − 1

3 −1 − 16 − 1

3 − 12

56 x−

2

(1,2,1,2) 0 512 − 1

4112

512

16

16 − 1

3 0 − 16 − 1

3 − 12

23 y2F���������������� �����

� � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � �

� ����8:9<; = ?> � ?@ ?A � CBED�A qY q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 qB−L R1 R2 R3 γ(ϑ)

T5(0,0,0,1,0,0) (1,1,1,1) 0 16 0 − 1

356

13

23 − 2

3 0 56 − 1

3 − 12

23 s0

22

(1,1,1,2) 0 16 0 − 1

356

13 − 1

313 0 5

6 − 13 − 1

2 0 h3

(1,1,8,1) 0 16 0 − 1

356 − 1

616

13 0 − 1

6 − 13 − 1

223 w1

(1,1,1,1) 0 16 0 − 1

356 − 2

3 − 13 − 2

3 1 56 − 1

3 − 12 0 n7

T5(0,0,0,1,0,1) (1,1,1,1) 0 16 0 − 1

356

13

23 − 2

3 0 56 − 1

3 − 12

23 s0

24

(1,1,1,2) 0 16 0 − 1

356

13 − 1

313 0 5

6 − 13 − 1

2 0 h4

(1,1,8,1) 0 16 0 − 1

356 − 1

616

13 0 − 1

6 − 13 − 1

223 w2

(1,1,1,1) 0 16 0 − 1

356 − 2

3 − 13 − 2

3 1 56 − 1

3 − 12 0 n8

T5(0,0,0,1,1,0) (1,1,1,1) 12 − 7

12 − 14

512

1312 − 1

616 − 2

3 2 − 16 − 1

3 − 12

16 s+

8

(1,1,1,1) 12 − 1

1214 − 1

12 − 1712 − 1

616 − 2

3 0 56 − 1

3 − 12

16 s+

9

(1,1,1,1) 12

512 − 1

4 − 712

1312 − 1

616 − 2

3 1 − 16 − 1

3 − 12

13 s+

7

(1,1,1,1) − 12 − 1

1214 − 1

12712 − 1

616 − 2

3 0 116 − 1

3 − 12

13 s−9

(1,1,1,1) − 12 − 1

1214 − 1

12712 − 1

616 − 2

3 0 − 16

23 − 1

213 s−8

(1,1,1,1) − 12 − 1

1214 − 1

12712 − 1

616

43 −1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 s−7(3,1,1,1) 1

6512 − 1

4512

112 − 1

616 − 2

313 − 1

6 − 13 − 1

256 v1

(1,2,1,1) 0 − 112 − 3

4 − 112 − 5

12 − 16

16 − 2

3 1 − 16 − 1

3 − 12

12 m3

T5(0,0,0,1,1,1) (1,1,1,1) 12 − 7

12 − 14

512

1312 − 1

616 − 2

3 2 − 16 − 1

3 − 12

16 s+

11

(1,1,1,1) 12 − 1

1214 − 1

12 − 1712 − 1

616 − 2

3 0 56 − 1

3 − 12

16 s+

12

(1,1,1,1) 12

512 − 1

4 − 712

1312 − 1

616 − 2

3 1 − 16 − 1

3 − 12

13 s+

10

(1,1,1,1) − 12 − 1

1214 − 1

12712 − 1

616 − 2

3 0 116 − 1

3 − 12

13 s−12

(1,1,1,1) − 12 − 1

1214 − 1

12712 − 1

616 − 2

3 0 − 16

23 − 1

213 s−11

(1,1,1,1) − 12 − 1

1214 − 1

12712 − 1

616

43 −1 − 1

6 − 13 − 1

2 0 s−10(3,1,1,1) 1

6512 − 1

4512

112 − 1

616 − 2

313 − 1

6 − 13 − 1

256 v2

(1,2,1,1) 0 − 112 − 3

4 − 112 − 5

12 − 16

16 − 2

3 1 − 16 − 1

3 − 12

12 m4

� � � ����� � ����� � � � � � ��� � � ��� ��� ������� � � � � � � �

� ��� � � ������ �

( ��.��qP��JP��������������GE ��! �#"K� ! �%$'&)(*(,+-"��?�.+0/ � �213+ !5476-8 "9+ � !;: "�� � 8 / E=<?>A@B� PDCE�M�;�@P ��� I ��0 �F�!L E" * 0 3 " ) )rP(HG�. � PI�����J�)KL��M�NPOKP PRQS��TUN�E�V ��+ : "K� �5( !XW�8 +-"�� :Y!�8 �[ZD+ !54 � 8 "\+ � !;: "�� � 8 / EICE�M�;�@PI�^]B_U_GPa` �I ��0 ��OPL?E���� ) 3 �!*F�=P( � .��qPAQb]dceMgfh]BT,OFEji�k ���;+ � � �mln+9oj" � 8 / EpCq�M�;�@Pjr=]-sgPh�^]-_�_GP�` � I ��0 �-*-L Eh��G���O 3 ��G�� �KP( O�. �TP � P������etu��MANv��MANxw"PDCzPy�zc & �g_�K,�)M�E{V}| "\+ 8 / � � 8 � ��"�~p+ i � W +���� ! � � � ��� 8�:�! �����#�N�5�Xo�?+ 8 + � ! " ���0/ !�8 ���)� ��� ! "�� � 8 � �Do 6-8p�5! �?� !�8�: + EAO�wE�%CP�z]-_�_@Pz` � I ��0M*;�!L E � G � 3 � G��KP( " .��MPF�TP��E��� & �Xs,��MAN��TPpChP � & >����Xs Eh� �X/0/ ������+ � 8 � � + �0/ ! � 8 +-�F"��?� 8 � � 8 "9+ � !;: "�� � 8�EpO�wq�%C2�^]-_�_GP` � I ��0M*�G-L?E O � ) 3 O-O 2 P( � .�OKPaQb]d������MAN �(P?��>AK3c�MA� E $'�Xop+ � W�! � W +P�F� !�8 / �����#( ! "K� � 8 / � 8�� �5� �?�.�G��(,+ 8 / � � 8 / E=<?>�@d� PCq�M�;�@P ��� � I ��0-* OPL E � 0 3 " 2 P(H*�./.vPDChPD<=c����e]d��E $'�Xop+ �0/-&5(*(,+-"��-&X��$'�Xop+ � W � !�� ��"�& !�8 � �a! �#"�� : ��+ � ~;&X/ � : / EaCq�M�;�@P�r%]4�F_GP?`j` �I ��0 )�OPL?E�� 3 � ��GrP( ) ./.vP�� ]d��TNO�c��)MAN3�qP���P����������A�X�GE}�n8 ��"u& � � ! � �j+ ��+-(,+ 8 " ! �#&Do ! �-"�� : ��+������ : +0/ E�Cq�M�;�@P�r%]BsgP��^]-_�_GP� � I ��0M* OPL?E O � ) 3 O-OA�1P( 0 .�OKP PFC}�)_�ch�)MAN � PF���)�J��K E lz+9oj" � 8�8 �;(6�-+ � ! /{"�~p+ ���5�%�#"�~ : ��� ��� EFCq�M�;�@P�r=]-sqP � ` � I ��0M*�OPL EG-* " 3 G ) 0rP( � 2 ./.vP�� ]d��TNO�c En�z8 � ��+ � W�! � W +D"�~p+N���?�.+0/d�z��" ! � 40 �E)c�M �zC¡��TU_�c�@d�e]d�¡��MAN J c�]d�eNA�E��0M* O E)]BN�P P)w"P �)T��£¢�U��M I � 4 C E'< � E^� 0M* " L,��P " * " P( ����./.vP J T�ce_ !d�U@0�x��MANxCzPa¤�c�M & �X�%� & c E��n8 � ��+ � � 8 "9+ � !;: "�� � 8 / � � ��+9oj" � 8 / !�8 ��~ ! ��� � 8 / E � MAM�PCq�M�;�@P � � I ��0-* " L E���0 � 3 G � �KP( ��G�.��3Py¥�����>�!d� E*¦�8 "�~p+§o �N������+-( � ��� 8 ��"u& � 8 op~;&�/ � : / Ea�Fce_ !d>AM$O���fj]dT@PyCqT�]B>A���+P � & ��N�PIQxce���@P�D]BT��ec�M�¨�` I ��0�G;�!L E 0 � �KP( � � .�©TPa¥ ��]Bc�M�E�ª � !�8 "��;( "�~p+N���#& !�8 ��� � + ����(,+ 8 / � � 8j! �%"�~p+N���-& � � �0+ � ! "�� � ��"u& Em�}PaCq�P�;�+P � �I ��0�G��ML?E&) 0 " P

��O 0

` � � � � � � ��� ������� � ( ��O�.��3P �I��M�]���� E ª � !�8 "��;( W � !�� ��"u& !�8 � "�~p+��5+ � ��/ � �0op+ � ��( ��" � � "�~p+ W + 8 + � ! � ��5+ � �)� � ! /���� �

( ���;+ � Ep<=>A�Xs�� c�KPp�^]B_U_GP � I ��0M* � L E�0 " � 3 0 "�" P( � " .��3P �I��MA]���� E� � 8p8 + : "K� � 8 � �y� � ! � k ���;+ � /%" � V ��+ : "�� ����& 8j! ( � : / !�8 ���#� !�� ����& 8j! ( � : / E�CqT��=O$P�a�A]B��T@PjCq�M�;�@P � ` I � 0M* OPL?E���0 2 * 3 ��0�G 2 P( ��� .�OKP'�;@0�A]dT & ��MANYOKP&.vPp�F@0���D��T ! E ��� ! � k ���;+ � / ����� � � 8 ~ ! ��� � 8 / E�<?>A@B� PACq�M�;�@P � � ` I ��0M*�OPL E��� ) 3 ��O-OKP( �!*�. J PF� ��ce� ! !Bc E;OKPF�F@0�A]BT & Ep��MAN,�MP 4 PA©m��c£s�] E $'�Xop+ � /-&)(*(,+-"��#&��¡$'�Xop+ � W � !�� ��"u& ��~p+N���?�.+0/ !�8 �*"�~p+��� ! ��$�o � 8 ��� k ���;+ � Ep<?>A@B� PpCq�M�;�@P � ` � � I ��0-*-*-L EAG " � 3 G 0 2 P( ��) .���P �DT�ceM & EjOKP .yPh�F@0�����)T !�E���MAN OKPh�F@0�A]dT & E $'�Xop+ �0/-&5(*(,+-"�� � :��'!�8;W � k � � � /���~p+N���?�.+0/ Ep<?>�@d� PCq�M�;�@P � ` � ` I ��0M*�*-L EF*-*rP( ��0 .�OKP .vP{�;@0�g�D��T !�E ��~p+,o��5ZD+ �� � k "�~p+N���#& E Cq�M�;�@P?�^]B_�_@P � ��� � I ��0 0��ML E 0M* 3 � 2 � E ( �A]4�;¢_���� 0 " � 2 2 ) � . P(HG 2 .�ChP'¥^P��¡�X�%MA�U]dMAN�E^� �5� � ��+ : "u� � +0/ � 8 k �9"�~p+N���#& E I ��0 0 �ML EF�A]4�;¢�_ ��� 0 ����G;��GF�=P(HGF��.��MPpOKP'��TU������E'OKP � P&.{�)TUs�] �-E'w"P'OKPA¤ ��TU_�c�MA]B@�Ep�)MANYrvP�r=����K E ��~p+{~p+-"9+ �N�5"�� : /-"��?� 8;W�EACq�M�F�+Pr%]BsgP'�^]B_U_GP � � I � 0 ) " L?E " 2 G 3 " 2 " P(HG�G�.��MPhOKPh� T����U��EhOKP � P .{��T s�] �-EhwxPhOKPh¤ ��T _ ceMA]d@ Eh�)MAN rRPjr=���AK E�� +-"9+ �N�5"�� : /-"K�?� 8;W "�~p+N���#&������

"�~p+ �?� +0+ ~p+-"\+ � �5"�� : /-"K�?� 8;W�E'<=>A@d� PpCq�P�;�+P � � ��� I ��0 ) " L?EpG " � P(HG � .�¤SP �(Py� T�]B]dMv��MAN OKP�.vPy�F@0������T !�E=i{8 �5( ! � & E!�8�: + � � ! "�� � 8 � 8 $'�Xop+ �0/-&5(*(,+-"�� � : �������� ! � W +���~p+N���#& !�8 �3$'�Xop+ � /-"K�?� 8;W ��~p+N���#& EpCq�M�F�+P��^]-_�_GP � ` � � I ��0 )�OML E����!* 3 ��G�GrP(HG O�.�¤SP �(P�� T�]B]dM§��M�N§OKP .vP��F@0���D��T ! E�6#8 � 8 ��"�& E!�8�: + � � ! "K� � 8 / � 8 $ ¦ �����   $'��op+ � /-"��?� 8;W ��~p+N���#& ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � ` � ` I ��0 ) " L EAGF� 3 G " P(HG " .�OKP^Cn����@0��c�MA� & cKE �G� �?� : ~%��+-"K�! :� !�8 +0/ !�8 ��" ! ( � 8 ���!" ! ( � 8 � ~ ! � W +0/ E�CE�M�;�@Pzr%]BsgPz�^]B_U_GP � �I ��0 0 " L?EFOP*�G�O 3 OP*�G�* E ( �A]<�F¢�_���� 0 " � 2 2 �!*�. P(HG�� .�OKP'Cn����@0�AceMA� & cKE lz+ : "��%� +0/ � 8 �G�,��� !�8 +0/ E I � 0 0 �ML?E��A]<�F¢�_���� 0 ����� 2 " 2 P(HG-*�.�OKP'Cn����@0�AceMA� & cKE $'"K�?� 8;W "�~p+N���-&�� � ���£�#��$?$'�Xop+ � /-"K�?� 8;W "�~p+N���-& !�8 �8�-+-&M� 8 � E ��K�fATUc�N$O�]�E�%?¥ �%=MAcesgP'CqT@P E^��0 0 ) E " � ��ChP

(HG ) . � PD¤6P&%=T ��M$O�� E l)� :�! �a( ���;+ � /G�����=� 8 "\+ � /X+ : "�� 8;W ��� !�8 +�Z ���?� �5/ E%O .{wEC ` � I G 2 2 G-L E 2 " ) E( �A]4�;¢�_ ��� 2 G 2 ) 2 ��O�. P(HG 0 .�ChP ��M�NA]d������E��^Pg�3P .?��T��X�%ce_ !�E � PF�;_ TU��K3c�M$O�]BT�Eg��M�N�w"PgQxc£_�_�]dM�E � !;: �F�;( � 8 � W � � ! "�� � 8 /����� $'�Xop+ �0/-"��?� 8;W / Ep<?>�@d� PACE�M�;�@P � � ��� I � 0 ) " L?E O � 3 * O$P( � 2 .���P'OKPp�?c �F��M�E'OKP � P&.?��TUs�]��-E P��I�5tu� Ep��MANYw"P�Qxc£_�_ ]BM�E $'"��?� 8;W / � 8 ������� ����� �5/ E�<=>A@d� PpCq�M�F�+P

� � � ` I ��0 ) " L?E �M* ) 3 � ) �KP

� � � � ��� ������� � ` � `( � ��.���PEOKPq�?c �F��M�EIOKP � P .{�)TUs�] �-E P}�I�)tu� EE�)MAN wxP¡Qxce_�_�]dM�E $'"��?� 8;W / � 8 ������� ����� �5/d� � EE<?>�@d� PCq�M�;�@P � ��� � I ��0 )��ML EAG ) " 3 � ��O$P( � G�.���PhwxP 4 f ��� ] !�E�.yPhCzPh<?c��e��]B��Ej��MAN J P��m>A]-s�]dN��FEa¦ ����� ����� �5/ !�8 �v18� � /�� 8 � � 8 +0/ E�Cq�M�;�@P^�^]-_�_GP

� ` � � I ��0 )M*-L?E'G " 3 � GrP( � � .���P'w"P 4 f ��� ](!�E .yP'ChP'<?ce����]B��E���MAN J P��m>A]Bs�]dNA�FE "%+ ��� : � 8;W "�~p+�� !�8�4 � ��"�~p+ W�! � W + W �N�5�Xo � 8������� ����� � : �5({o !;: "�� � :�! "K� � 8 / � ��"�~p+{~p+-"\+ � �5"�� : /-"K�?� 8;W�EpCq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � ` � � I ��0 )-*-L E � � GrP( � O�.���Pqw"P 4 f ��� ] ! E�OKP}w"Pq¥ c�K E .yP}CzPq<=c����e]d��Eq��MAN J P��m>A]Bs�]dNA�FE�¦ ����� ����� � : �5({o !;: "�� � :�! "�� � 8 /Z ��"�~Y"�~%� +0+ � ! ( � � �.+0/ � � SU(3) × SU(2) × U(1) ��8�EpCq�P�;�+Ph�^]-_�_GP � ` � ` I ��0 )M*�L E'G )�G 3 G ) �rP( � " . Q PF�^]dT�@0��]�Ep�MP���A�U_�EA��MAN � PF<yP��F@0�A]d�e��] & ]dM���E ~%� � ! �!���5� �?�,����(,+ 8 / � � 8j! ��~p+-"9+ �N�5"�� : /-"K�?� 8;W /�?� �5( /X+ � ����� ! ��� ! "�"�� : +0/ Ep<=>A@d� PpCq�P�;�+P � � � � I ��0 )M*-L?EFOP*-*XP( � � .�rRP �D��>A�U���7��M�N OKPnC¡���e@0�Ac�M�� & c E?ª � !�8 "��� ! "�� � 8 � � ���5�%�?� �����#( �D� | +0/ !�8 � ��& 8j! ( � :�! � 8 +-�%�

"�� ! � �� ! "K� � 8 � � "�~p+ : �X/-( ��� � W � :�! � : � 8 /-" !�8 " E'O .{wEC � � I G 2 2 2 L?E 2 2 � E�( �A]4�F¢._ ��� 2 2 2 OA� � O�. P( � *�. J P�� >�]Bs�]BNA�FE ��~p+m/-"�� � 8;W �9"�~p+N���#& � !�8 �5/ :�! op+ EACq�M�F�+PjQb��TU��N ` ��� `'` I G 2 2 � L?EpGF� 3 G�GrP( � ) .���Pj�F>A�U� & c�M�N�E ��~p+ !�8 "�~%� �0o � : � !�8 �5/ :�! op+ � �m/-"K�?� 8;W "�~p+N���#& E I G 2 2 � L EA�A]<�F¢�_���� 2 � 2 G�GF��0rP( � 0 .��3PyCzPE�3PI�{c $'& � _ T � Ea��PyrRP�.?>�c�� !B�F��M�Ea��MAN � PI<yPy�F@0��]d���e] & ]dMA��E ~%� � ! �D/-�Xop+ � /-&)(*(,+-"��?� :/-" !�8 � ! �'� ( ���;+ �F/9op+ : "K� ! �?� �5( ���?�.+ 8 "�� ����� �5/ � ���?+9o 8 + �%( ���;+ � / E�Cq�M�F�+P��^]-_�_GP � � � � I G 2 2 " L EO 2 ) 3 OA�!*%E�( �A]4�F¢._ ��� 2 O 2 � � 0 � . P( O 2 .��3PaChP��3Pa�{c $'& �U_ T�� E?�JP�rvP .?>Ace� !d�;��M�E?��MAN � Pa<yPa�F@0�A]d�e��] & ]dM���E $'�Xop+ � /-&)(*(,+-"��?� : /-" !�8 �� ! �'� ( ���;+ �}/9op+ : "K� ! �?� �5( " ¡� �1���?�.+ 8 "K� ����� �5/ E¡<?>�@d� PnCq�M�;�@P ��� ` � I G 2 2 " L E � 3 " * E#( �A]4�;¢_���� 2 OA������G 0 . P

( OA��.�ChP � Mp�)�U_0�)����j��>A�e����E��3P�ChP��3Pg�{c $'& � _ T�� Egw"P�¥ c�T�c£_ �Uc���E���MAN � P�<yPg�F@0��]d���e] & ]dMA��E¡¦ �?�.+ 8 "�� ����� �5/0�~;&0op+ � : ~ ! � W + +-(6�-+ �M��� 8;W / !�8 ��"�~p+ /-" !�8 � ! �'��( ���;+ � E I G 2 2 �ML EA��]4�F¢._ ��� 2 � 2 " G�G �KP( OgG�.�¤SPnrRPz�{��>$O��J����E ��~p+*/-" ! "K��/-"�� : /8� ��/-"�� � 8;W��pk �9"�~p+N���-& �5!;: � !�E}CqT�]<�p��TU]dNbt���T G5MAN 4 M�_ ]BT�Mp��¢_�c���Mp�)� ��M�t�]dTU]dMA@B] ��M��;_�T�c�MKO�Cq�A]dM���K�]BMA���e�=O��,G 2 2 � E��{>�T��p��K EFwEMKO��J��M�N�EAG 0*O�>A�p¢ O � >$OG 2 2 � P

( O � . J Py� K�]Bc�MA]BT�EDrvP �D�e>AK�]BMA�p�1O�]dM�E��^P .?��MA]d@ & ]dT�E=�MPy��A�U_�Ea��MANv�3PIQb]dc&O���MAN E�¦�8 + � 8 !��� � � � � 8 $ k $p$ k � � � 4 +m�G�,��� !�8 +m/-" ! "K��/-"�� : / E'O .{wEC � ` I G 2 2 �-L E 2 2 OFED( �A]4�F¢._ ��� 2 " � 2 ��* 2 . P( O-O�.�¤SPFrRPF�?��>$O������D�)MAN�Q Pg�¡���;�e��T�E ��~p+ � !�8 �5/ :�! op+ � � � 8 "9+ � /X+ : "K� 8;W ��� !�8 +?( ���;+ � / E�O .?wEC � `I G 2 2 *-L?E 2 � ��ED( ��]4�F¢._ ��� 2 � 2 ��� 2 0 . P( O " . J P;� K3]dc�M�]dTE��MAN,�LP .?��MA]B@ & ]BT�Ejk7! o�o � 8;W*!�8�6 / � !�8 � � 8 "�~p+%l !�8 �5/ :�! op+ E;O .?wEC � � I G 2 2 *-L E��G ) ED( 2 * 2 )KP G�G ) " . P

( O � .��qP J�� T��U_�]�E .yPECzPI<=c����e]d��EyChPI¥^PI�gPR�I��>ANATU]Bs)��M$O�] Ea��MAN � PqQxceM$O�]dT _ ]BT�E � +-"9+ �N�5"�� : ��� !�8 +Z ���?� � EpCq�M�;�@Phr=]-sqP � � � I G 2 2 OML E�� 2 � 2 2 ) E ( ��]4�F¢._ ��� 2 O 2 ��G 2 ) . P

` � � � � � � ��� ������� � ( OP*�.��3Pg¥=��fp�������U�Ac EF�qP�r?��fM��EF�)MAN3rvP ¢ OKPg���A��M$OFE $�+ ! � : ~%� 8;W �����:� + ! � ��/-"�� :�� ��/-"K�?� 8;W ( ���;+ � /%Z ��"�~!Y��! "�� ��$ ! � ! ( /-&)(*(,+-"��#&�$ ¦ ����� ����� � W � !�8 � � 8 � ��+ ��"�~p+N��� �.+0/B�?� �5( ~p+-"9+ � �5"K� : /-"��?� 8;W[: �5( �

o !;: "�� � :�! "K� � 8 � 8[!�� ���   ������� ����� � Ep<?>�@d� PACE�M�;�@P ��� � � I G 2 2 " L?E � 3 "�" ED( �A]4�F¢%�A��� 2 O 2 0 2 0 ) . P( O ) . Q P �D>A@0�AK A�e��]dT�E;¥^P .{�)K,�1O�>A@0�Ac EF©TP;�^]dfj]dNA]-s EA��MAN�¤6P�r=�)_�! E $'�Xop+ � /-&)(*(,+-"��?� : /-" !�8 � ! �'�( ���;+ ���?� �5( "�~p+ ~p+-"9+ �N�5"�� : /-"�� � 8;W � � � E I G 2 2 �ML EF�A]4�F¢._ ��� 2 � 2 ��� )M*rP( O 0 .�OKP � P ��� ���%�)MAN Pp¤Y> � � ! E ��~%� +0+ W + 8 + � ! "�� � 8 SU(3)× SU(2)×U(1)Y ×U(1) ������� ����� �( ���;+ � /�"�~%� �5� W ~ �I! &g+-"�� 6 � � �0o��5�%� �X/ "9+ �#( / EpCq�P�;�+P��^]B_U_GP � � � � I ��0 ) )ML?EpGF��O$P( " 2 . Q P �D>A@0�AK A���e]dT�ED¥LP�.?��K��1O�>A@0�AcKEa©TPI�^]dfj]dNA]-s E%�)MAN ¤SPyr=�)_�! E $'��op+ � /-&5(*(,+-"K�?� : /-" !�8 �� ! �'�P( ���;+ � �?� �5( "�~p+7~p+-"9+ � �5"K� : /-"��?� 8;W�E�CE�M�;�@Pmr=]-sqP?�^]B_U_GP � � I G 2 2 �-L E*��GF� � 2 G E ( �A]4�;¢�A��� 2 " ��� 2 � " . P

( " ��.�OKPqw"PE¥ c�K ��MAN �(P}¥ ����] E $'"��?� 8;W k $p$ k "�~%� �5� W ~ � � o�op+ � $ � ���   �?�N�5( � � � �   ������� ����� � EI G 2 2 �ML?EA�A]<�F¢�_���� 2 � 2 ) 2 ) " P( " G�./.vP CzP�<?c��e��]B��E � � � + W ��� �;+ 8 �#�%��+0/ ����� /-�Xop+ � /-"K�?� 8;W op~p+ 8 �5(,+ 8 ��� � W & E I G 2 2 OPL E �A]4�;¢_���� 2 OA� 2 ��� 2 P( " � . Q P �D>�@0�AK A�e��]dT�E�¥LP .{��K��1O�>�@0�Ac Eg©TP��^]Bfh]BNA]Bs EF��MAN�¤SPgr=�)_�! E ��� ! �p( ���;+ � / � � W�! � W +%� 8 � �

� :�! "�� � 8 � 83�5! �?� �5�g/:����(,+ 8 / � � 8 / E5<?>A@B� P)Cq�P�;�+P ��� ` � I G 2 2 " L EF� � 0 3 � " � E%( ��]4�F¢%�A��� 2 O���G � ��)�. P( " O�. Q P �y>A@0�AK A���e]dT�E�¥^P�.{��K��1O�>A@0��c Ez©TP^�^]dfj]dN�]Bs En��MANb¤SP^r=�)_�! E l)� :�! � W � !�8 �Y� 8 � � :�! "K� � 8�EI G 2 2 " L?EA�A]<�F¢��A��� 2 " ��G � G��KP( "-" .�w"P^Qxce_U_ ]dM E $��5(,+ � � �0op+ �#"��.+0/8� � ¦ �����   $'��op+ � /-"��?� 8;W / E¡Cq�M�;�@P¡�^]B_�_@P � ` � � I ��0 ) OPL E � " � 3� " �KP( " � .�OKP � P ��������Eaw"Py¥LPy¥��)_�]d�A��>�E���M�N PD¤�> � � ! E�� � �   : ~ ! � W +0/=� 8 ������� ����� �5/ $ i{8 �5( ! � &:�!�8�: + � � ! "�� � 8 !�8 ��op~p+ 8 �5(,+ 8 ��� � W � :�! � : � 8 /X+�d�'+ 8�: +0/ E�<?>A@B� PpCq�M�;�@P � � ` � I ��0 ) 0ML Eh�!*F�=P( " *�./.vPACzP�<?ce����]B��E ��& 8j! ( � :�! � � & ��� � 4 + 8 /-�Xop+ � W � !�� ��"u& !�8 �*"�~p+m~%�.+ � ! � : ~;&?o � ������+-( EFCE�M�;�@P'�^]-_�_GP

� `'` � I ��0 )�G-L?E���0 � P( " ) .��qP J ]BT�T���T � E��JP���ceT ��TUNA]d�e���FE)��MAN .yP�CzP�<=c����e]d��E B� + !54 �%�5Z 8 � �#� � :�! �F/-��op+ � /-&5(*(,+-"K�#&�"�~%�N�5� W ~W�! � W + ��+ �#( � � 8[: � 8 �;+ 8 / ! "9+0/ EpCq�P�;�+Ph�^]-_�_GP � ` � � I ��0 ) � L E O " *rP( " 0 .�OKP^ChP��{]BT�]BMANAc�MKO�]dT�Ez�JP�w"P 4 f ��� ] !�En��M�N .yP�ChP�<=c����e]d��E�¦�8 "�~p+ � �5Z ��+ 8 + � W & d = 4 � N = 1/-�Xop+ � W � !�� ��"u&,"�~p+N���#&Y+ | "�� !;: "\+ � �?� �5( "�~p+ d = 10 � N = 1 /-�Xop+ � /-"K�?� 8;W�EjCq�M�F�+P��^]-_�_GP � ` ���I ��0 ) " L?E � " P( � 2 .��qP��{c�K3��j��>A������Eh�qP^r=��fM�-E^�)MAN J PhQxce��@(!d] & E¡� � �5" � 8 ��+ :�! & � 8 $'��op+ � /-&5(*(,+-"K�?� :�k ���;+ � / ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � `'` � I ��0 )�G-L Eh� � � P( ����.�ChPq¤�ceM & �X�%� & cKE (*� → + W�! (*( ! ! " ! " ! "\+ � � ¦�8 + ¦ �;" � � ���! B� � � � � 8Sk ��� 8 ��+ :�! &�/� ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � � � I ��0-*-*-L E OgGF�=P

� � � � ��� ������� � ` ���( ��G�.��3P �y�)Mp�1O�ceNp� E%c�M�� � � : +0+ ��� 8;W /� � "�~p+x16��� 4 /0~��0o � 8 "�~p+ �n8 � ��+ � ��~p+N���-& !�8 � ! �#&M� 8

�{�F(6�-+ � � 8 "�~p+ �z8 � � + � /X+ I �n��> & >�fp� E�O����p�)M L I ©TP%�����D��Np�P�)MAN � P=�F>$O��)K���_��FE=]dNA�+P L?E��0-* 0 Ep¥�wE¥TU]4�j��TU_ * 05¢ ��) E6��P�0 " P

( � � .�¤SP^��]B���£¢\¤ ��MAM E�ChP^r?�)K���M�N�E���M�NbrRP^�;�J��MA� & �-E^c�M $'��op+ � W � !�� ��"�& I � K�� _ ]BT�Np��K E .=��������MAN LI CzPAs)��M�<?c�]B>��D]BMA�g>Ac !B]dM �)MAN �yPj�}P J T�]d]BNAK���M�EA]BNA�@P+L Ez��0M* 0 E ��P � � " P( ��O�.�w"P'Qxce_�_�]dM�E ��+-Z 6 /0/-�p+0/�� 87k7!�8 � ����� �5/ � � $ � ���   � ��� � 8 �5(*& Eh<=>A@d� PjCE�M�;�@P � � ��� I ��0 )��ML E* 0rP( � " .�OKP���ce]dN�_�Eh�^P'��Ph¥��)MA]�EhCzPj�z��M$O��)@ & ]dT�E���M�N �(Ph�MPh<?]d�e����M Ezk7! /0/ � � + 8 +-�F"��?� 8 �X/ !�8 � ��~p+-"��

+ � �5"�� :9  /-"K�?� 8;W "�~p+N���#& E'Cq�M�;�@Phr=]-sqP � � ` I G 2 2 " L E���� " 2 � � E ( ��]4�F¢._ ��� 2 " 2 G 2 � G�. P( � � .���Pnw"P 4 f � MA] ! E J Pn¤ �)T�@0�A]B� ��MA� Eq��MAN�rvPnr=��fp��Np�)M�E �?+-"u"�� 8;W�� ��/-"{"�~p+*/-" !�8 � ! � � ( ���;+ � ! "� 8 "9+ � /X+ : "K� 8;W ��� !�8 +0/ E'O .?wEC `j` I G 2 2 �!L E 2 2 G ED( �A]<�F¢�_���� 2 � 2 " � "-" . P( �M*�. 4 P � M�_ ��MAc���NAce��Ezw"P^¥ c�TUce_ �Uc���E^OKP^r%c !B����Ez��M�N[�3P�<yP^�n��K,�)T ����E �G�,��� !�8 +0/ !�8 �Y"�~p+�/-" !�8 � ! �'�( ���;+ � Ep<=>A@d� PpCq�M�F�+P � ��� � I G 2 2 � L E�)F� 3 ��� " ED( ��]4�F¢._ ��� 2 GF� 2 G�� � . P( � ) .�rRP �D��>�K�]BMA�p�1O�]BM�E;¤SP s�]-_ c��@�EF��MAN3�3P�Q�]Bc>O���M�N�E $�o !;: +-"K��(,+B� 8 /-" !�8 " � 8 : ��� � + : "�� � 8 / � 8 � �/-"��?� 8;W,�5!;: � ! �D"�~p+ /X+0+0/ ! Z2(,+ : ~ !�8 ��/-( �����m�G�,��� !�8 + ( ���;+ � / Ep<=>A@d� PpCq�M�F�+P ���j� ` I G 2 2 *-L E��� � 3 ��OgG%E�( �A]4�F¢._ ��� 2 � 2 0�� 0���. P( � 0 .���Pzw"P 4 f � MA](!,��M�N � Pn¤SP�%?T���M$O�� E ��+-�F"��?� 8 � k !�� ��� !�8j! ( ! /0/X+0/ �?�N�5( /-"��?� 8;W "�~p+N���-& � 8 �/-" !�8 " � 8 +��m+ : "�/ E'O .?wIC � � I G 2 2 *-L E 2 " G ED( �A]<�F¢�_���� 2 � 2 0�GF� � . P(H* 2 .�¤SP s�]-_ c��@�E^rRPjr=ce@0�g_�]dT�E���MAN��3PhQb]dc&O���MAN�E �5({oj�;" ! "�� � 8 � ��� �,��� !�8 + � 8 /-" !�8 " � 8 � 8 ��� : + �/-�Xop+ ��o��5"\+ 8 "�� ! � : �5��o � � 8;W / � k !�� ��� !�8j! ( ! /0/X+0/ �?� �5( /-"K�?� 8;W "�~p+N���-& E�Cq�M�;�@P r%]BsgP � � �I G 2 2 *-L?E 2 ) � 2 2 G E ( �A]<�F¢�_���� 2 * 2 � 2 G )�. P(H*F��.�OKPIw"PI¥�ceK E �F�?� 8 � � :�! "�� � 8 Z ��"�~ / � 8 �� �'��"�~p+-" ! ��1  0  � � ��� !�8 �[/X+0+0/ ! Z 8 +-�;"K�?� 8 �[( ! /0/ ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � ��� ` I G 2 2 OPL Eh����0 3 �XG�� E�( �A]<�F¢��A��� 2 O 2 � ��0 � . P(H*�G�.�OKP�CzP ��MA����M E��MP T�]dK���NA]B��Eg��M�N J P �m>A]-s�]BNA�FE ! +0~%��+ �¡o��5"9+ 8 "K� ! � / � � : ~%� � ! �;( ! "�"9+ ����+ � �5/����� E! � ! ��� � �'! � /-"K�?� 8;W�: �5({o !;: "�� � :�! "�� � 8 / EpO .{wEC � ` I G 2 2 *�L E 2 G�G ED( �A]4�;¢�_ ��� 2 � 2 0F��) 2 . P(H* � ./.vP'CzPj<?ce����]B��EA�qP'r?�)K����\¢ � � MA@0�A] ! EjCzP'¥LPj�qPA�I��>AN�T�]Bs)��MKO�]�Ej��MAN � PAQxceM$O�]BTU_ ]BT�E�V}| o � ���?� 8;W"�~p+�$ ¦ �����   ~p+-"9+ �N�5"�� : /-"��?� 8;W�EjO .{wEC � � I G 2 2 �ML?E 2 " 2 ED( ��]4�F¢._ ��� 2 � 2 � 2 )�� . P(H* O�. J P�CE� � O�]BT�En�qPzr=��K3��� ¢\� � MA@0�A](!�E¡¤SPzr=�)_�! En��MAN[CzPz¥LPz�qP��I�)>ANAT�]-s)��M$O�] Eqk � � !XW +§" ���0/ � � 8�EO .?wIC � � I G 2 2 *-L E 2 � � ED( �A]4�;¢�_ ��� 2 * 2 G;�!*�� . P(H* " .�©TPI�^]dfj]dNA]-sP]-_���� P E�i ( � 8 � � � !�8 �5/ :�! op+ � � + |g!;: " � �!��� /9op+ : "�� ! � 8 ~p+-"9+ � �5"K� : ������� ����� �5/ ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � � � � I G 2 2 *-L E ) ) 3 0�O ED( ��]4�F¢._ ��� 2 ����� 2 0 " . P(H*�� .�©TPE�^]dfj]dNA]-s ]B_���� P E l)�5Z + 8 + � W & /-��op+ � /-&5(*(,+-"K�#& �?� �5( "�~p+ ~p+-"\+ � �5"�� : � !�8 �5/ :�! op+ EECq�M�F�+Pr%]BsgP'�^]B_U_GP ��� I G 2 2 *-L?E���)�� � 2 G E ( �A]<�F¢�_���� 2 �F����G 2 � . P

` � � � � � � ��� ������� � (H*-*�. Q P �D>A@0�AK �����]BT�E^¥LP .{��K��1O�>�@0�Ac E�©LP��^]dfj]dNA]-s En�gP^r?�)K����\¢ � � MA@0�A] ! E^��MAN[¤6P�r=�)_�! E $�+0+ �

/ ! Z 8 +-�;"K�?� 8 �X/ �?� �5( "�~p+§~p+-"\+ � �5"�� : /-"K�?� 8;W�ERCq�M�;�@P}r=]-sqP¡�^]B_U_GP � � I G 2 2 *-L?E 2 GF��� 2 ��E ( �A]4�;¢�A��� 2 * 2 � 2 * ) . P(H* ) .�©TPA�^]Bfh]BNA]Bs,]B_%��� P E ��~p+ � +-"9+ �N�5"�� : "B� ! �§" �§"�~p+ ������� Z ��"�~ " o ! �?��"u& E�CE�M�;�@P'r%]BsgP � �'�I G 2 2 )ML?E 2 O � 2 � � E (H��T��mc£s � 2 * 2 )KP G � 0�� ( �A]4�;¢�_ � . . P(H* 0 .�¤SP �(P���TU]d]BM�EpOKP .yP��F@0���D��T ! Ep��MAN�w"PgQxce_U_ ]dM E $'�Xop+ � /-"K�?� 8;W "�~p+N���#&�� � ���£��� $ 6#8 "K� ����� : "K� � 8�E ��K fAT�ceN$O�]�E�% & � %=MAcesgP�CET+P I � 0 )M*-L)O � 0mChP I �)K�fAT�ceN$O�]�¤���MA�=O�T ���A���E©mM3¤ �)_ ��]dK��)_ ce@����Cq�M�;��c�@B�NL�P( ) 2 .�¤SP �(P}��TU]d]dM EEOKP%.vPR�;@0�g�D��T !�EI��MAN w"PzQxce_U_ ]dM E $'�Xop+ �0/-"��?� 8;W "�~p+N���#&�� � ���£� ��$�l)���0o ! ( �

o � ��"u�F�;+0/0� !�8 �5( ! � �.+0/ !�8 ��op~p+ 8 �5(,+ 8 ��� � W & E ��K�fATUc�N$O�] E % & � %?M�cesgPjCET+P I ��0 )-*-L " 0 �,ChP I ��K fAT�ceN$O�]�¤���M��=O�T � �A�A�?©mM ¤��)_ �A]BK,�5_ c�@d���^Cq�M�;��c�@B�NL�P( )���.�¥LP;�qP;<{�)T ��ceM�E;¤SP .yP;���)T�K���NAc Eg�)MAN P��I�)tu� E;i /-&5(*(,+-"K�?� : ¦ ����� ����� �5/ Eg<?>A@B� PgCq�M�;�@P � � ���I ��0 )M*-L?E "-" �1P( )�G�.���P^w"P 4 f � � ] ! E}OKP^¤ ����E .vP ¢9CzP^<=c����e]d��E���MAN J P��m>A]Bs�]dNA�FE � +-"\+ � �5"�� : /-"K�?� 8;W / � 8 /-&)(*(,+-"��?� :!�8 � ! /-&5(*(,+-"�� � : ������� ����� � � !;:04dW �N�5� 8 �5/ Ep<=>A@d� PpCq�P�;�+P � � � ` I ��0 ) )ML?E�� " *rP( ) � . � P J ��M�_�Eg��P�w"P 4 f ��� ](!�E;��MAN J P �m>A]Bs�]dNA�FE , N×

,M������� ����� �5/ !�8 � ����/ : � +-"\+a" ��� / � � 8�EgCq�M�F�+P�^]B_U_GP � � ` � I ��0 ) 0ML?E'G-*�GXP( )�O�.��qP J�� T��U_�]�E .yPnCzPn<=c����e]d��Ez��MAN � P^Qxc�M$O�]BTU_�]dT�E �?+N�5(,+-"��#& � � � !�8�4 � + ��� : "�� � 8�E}Cq�M�;�@P¡r=]-sgP

� � � I G 2 2 " L?E 2 G�� 2 2 �-E ( �A]<�F¢�_���� 2 " 2 OA���!*!. P( ) " .��MP ����ce��ceM�E � PI�z�Xs�]�E=��MAN2�qPy�a����K,�)��E?� + �#( � � 8 W + 8 + � ! "K� � 8 /=� 8 ������� ����� � : �5({o !;: "�� ��+ �/-�Xop+ � /-"K�?� 8;W "�~p+N��� �.+0/ EACE�M�;�@Pj�^]B_U_GP � ` ��� I ��0 )M*-L?E���0 � P( ) � .��3Pn¥?��fp�������U�AcI��MANb<yP¡©m�g_���>Afj�FE �?+N�5(,+-"K�?� :�! � ! /9op+ : "�/ � � ZN

������� ����� �§op~p+ 8 �5(,+ 8 ��� � W & E4 M�_GPjOKPj¤Y�FN�P'Cq�M�;�@P � � I ��0 0�OML E&)M* 3 ��G��KP( )M*�.��qP J�� T�� _ ] E{�3Pa¥=��fp�������U�Ac E .yP%©m� & cKE{��M�N�¥LP ¢ $ Py�}� & ���A�����AcKE ��� 8 � � !;: " ���?��/ ! ����+ � � �   ×� � �   ~p+-"\+ � �5"�� : ������� ����� � ( ���;+ � / !�8 � � � 4�! Z !S: �5��o � � 8;W / EIO .?wIC � � I G 2 2 *-L?E 2 ���-EB( �A]4�;¢_���� 2 ���XG 2 O-O�. P

( ) ) .�¥LP ¢ $ P��¡� & ���p�)���AcKE � +-"\+ � �5"�� : ������� ����� �§( ���;+ � / � 8 l �.+ � ! "u"K� : + Z ��"�~=����/ : �0+-"9+ " ��� / � � 8�EpO .?wIC� � I G 2 2 *-L?E�� 2 � ED( �A]4�F¢._ ��� 2 * 2 G 2 G " . P( ) 0 .�OKP � P;¤�c�Mp�)�p��M�En¦�8 +B� ���0o ! ({o � ��"u�F�;+0/ � 8 ������� ����� �5/ !�8 � "�~p+ � + 8 ���-( ! � �� ! "�� � 8 � � : �5�Xo � � 8;W: � 8 /-" !�8 "�/ EA<?>A@B� P'Cq�M�F�+P � � ��� I ��0 ) )ML E � �KP( 0 2 . 4 Pg�;]dMANp����MAN � Pg�F>$O��)K���_��FE^¦ ����� ����� ��( ���;+ � / !�8 ��( ����� � ! �a"�� !�8 / �����#( ! "K� � 8�E�<=>A@d� P�Cq�M�F�+P� � � � I ��0 ) )ML?E'G 0��1P( 0���. PE�I�)tu� E%k �����%� ! �=� 8p�5! � � !�8�: + !�8 � ����/ : � +-"\+Y" ��� / � � 8 � 8 ������� ����� �5/ E�<?>�@d� PICq�M�;�@P � ��� �I ��0 ) �ML?E " 0�GXP

� � � � ��� ������� � ` ���( 0�G�.�ChP}� T�c��§_ �A����MANSOKP .{��TUT�c���EE� �?� 8�: � o ��+0/8� � ! � W +���� ! � :�W +N�5(,+-"��-&X�=/X+0+ o�� � ����� � � � EzQxce��] �g¢

4 M�_ ]BT��U@dc�]BMA@d] E�<=]B� �I��T & E^��0M* ) E&)�� � ��P( 0 � . � PFQxc�MKO�]dT _ ]dT�Epi /9op+ : "�/ � � W � !�8 �*� 8 � � :�! "�� � 8 � 8 ~%� W ~p+ � ����(,+ 8 / � � 8 / E;Cq��P �yP�_ �A]B��ce��E �D��MAM

%=MAces�]dT��Uce_ ��EjG 2 2 " E ��P^����GrP( 0�O�. � PAw"P J ��T��1O=O�cKE;�qP J�� T��U_�]�E���MAN PF�ac�K3c�T,O�� !dce>�E � � �   | � � �   ~p+-"9+ � �5"K� : ������� ����� �§( ���;+ � /G� �8 � 8 � !;: " ���?��/ ! ����+m/ � | ����(,+ 8 / � � 8j! �j" ��� ����� ! �^( !�8 � ����� �5/ E I G 2 2 �-L E���]4�F¢._ ��� 2 � 2 " ����*rP( 0 " .�OKP � P ��� ����ER¤6Pn¤���MANAT��1O���M Ez��MAN Pn¤�> � � ! E "%+ ��� : � 8;W "�~p+ 8 �F(6�-+ � � � :�!�8 ����� ! "9+0/*" �

/-" !�8 � ! �'��( ���;+ ��� 8 "�~p+ ,3������� ����� � EpCq�M�F�+Pj�z]-_�_@P ��� � � I ��0 ) 0ML E ���KP( 0 � .�OKP���ce]dN�_�E �5({o ��+-"�� � 8 � �y/-" !�8 � ! �'��( ���;+ � � � � 4 +=+-(6�-+ �M��� 8;W / E � MAM�P�CE�M�;�@P � ��� I G 2 2 �!L E�G " �-E( �A]4�;¢�_ ��� 2 2 2 0F� 2 O�. P

( 0M*�.��3P=¥?��fp�������U�Ac E��qP%r=��fM�-E��)MAN rRP ¢ OKP=���p��MKOFE� � 8 /-"��-� : "�� 8;W �M� ������� ����� � W � !�8 �v� 8 � ��+ �"�~p+N���?�.+0/)�?�N�5(�~p+-"9+ � �5"K� : /-"K�?� 8;W / E;Cq�P�;�+PF�^]-_�_GP � ����� I G 2 2 OML EgG���G 3 G-* 2 E�( ��]4�F¢%�A��� 2 O 2 � 2 � " . P( 0 ) .�¥LP}�qPR<?��T ��ceM�E ��+-Z � +-"9+ � �5"K� : $'"K�?� 8;W ��~p+N���?�.+0/ � 8��z8�: �5({o !;: "K� ��+ �Y� ��(,+ 8 / � � 8 / ��� ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � ` � � I ��0 )��ML E OA�=P( 0 0 .�OKP � P ��������E J P�����K�](!�E��)MAN Pg¤�> � � !�E �5({o ��+-"9+y/-"��#� : "u� � +G� � � � 8�  � � 4�! Z !�: �5��o � � 8;W / E4 M�_GPjOKPj¤Y�FN�P'Cq�M�;�@P � � I ��0 0��-L EFO "�" 3 " 2 � E�( �A]4�F¢._ ��� 0���� 2 2 � 2 . P( � 2 2 .�rRP�<vP �)�AM�E $�+-( ��/ ��({o ��+El �.+ ! � W +���� ! / !�8 ��"�~p+ � � � +9o � +0/X+ 8 " ! "�� � 8 / E �y]dM $ ��K3c�M��)@d>AK3K3c�M$O���E��0 )�OFE�� " )3ChP

( � 2 ��.�ChPR¥LPR�gP¡�I��>AN�T�]Bs)��MKO�]�E �?+N�5(,+-"��?� :�! � i /9op+ : "�/ � � � +-"9+ � �5"K� :7¦ ����� ����� �5/ E}K����U_�]dT���n_��A]d�Uc���E�D��MAM %=MAces�]dTU��ce_ ��EjG 2 2 " P

( � 2 G�.�rRPj�F�J�)MA� & �-E �#� �5�Xo["�~p+N���#&B������� 8 � ��+ ��( ���;+ �D�d� � � ��� 8;W�EpCq�M�;�@Pjr%]4��_@P � � I ��0 )��!L E�� 3 ��G )rP( � 2 � . � Pg<yPF�F@0�A]B����] & ]BMA�D�)MAN,<vP;CzP�Q���T�MA]BT�EFi{8 �5( ! � �.+0/0� ~ ! � !;: "\+ � / !�8 ��$'"��?� 8;W / Eg<?>A@B� PgCq�M�F�+P��� � � I ��0 )M*-L?E����!*XP( � 2 O�.�¤SPn�{ceMA]�En<vP}�;]dc�fj]dTNOFEn��MANbw"P�Qxce_�_�]dM�Eq�^! &g+-"�� 6 � � �0o��5�%� �X/�"9+ �#( /6� 8 /-"K�?� 8;W "�~p+N���#& E¡<?>�@d� PCq�M�;�@P ��� ��� I ��0 )-*-L E " ) 0KP( � 2 " . � PA���HO�MA��_U_ c EFi ���5"9+ � 8 "�~p+��#� +0+ 8 ��$ : ~;Z ! �� (,+ : ~ !�8 ��/-( � 8 �0op+ 8 /-"K�?� 8;W "�~p+N���?�.+0/ E;Cq�M�F�+P�^]B_U_GP ��� � � I ��0 0�G-L?E���0 � 3 G 2 � E ( ��]4�F¢._ ��� 0�GF� 2 ��G�*�. P( � 2 � .�¤SP �D]BT & �F� ! ]-_ ��� P Emi{8 �5( ! � �.+0/0�§��� ! � ��"��.+0/0� !�8 � � �0o���� � W & � � ��� � � ��� $'�Xop+ � /-"K�?� 8;W� !;: � !�Ep<?>�@d� P'Cq�M�;�@P � ��� � I � 0 0 �ML?E���� " 3 ��O ) E ( �A]<�F¢�_���� 0 � 2 " ��)�O . P( � 2 *�.�rRP �y��>AK3]dMA�A�1O�]dM E �LP/.?��MA]B@ & ]BT�E���MAN��3P�Qb]dc&O���MAN�E $'�Xop+ �0/-&5(*(,+-"�� � : � 8 � 8 �  �! �-+ � � !�8�d� 8 � ��+0/ � 8 "�~p+ "u&#op+ 6 !�8 � $ ¦ �����   ~p+-"9+ � �5"K� : /-"K�?� 8;W�E*O .?wEC � � I G 2 2 " L?E 2 2 0 E ( �A]4�;¢_���� 2 " 2 * 2 OA��. P

` ��� ��� � ��� � ������� ��( � 2 ) .��3P;¥?��fp�������U�Ac��)MAN .vP;<{� & ��MA� E�� i 8 �5( ! � �5��/�� � � �   /-&5(*(,+-"K�#& � 8 ������� ����� ��/-"�� � 8;W ( ���;+ � / E<=>A@d� P'CE�M�;�@P � � ��� I ��0 0M*-L?E�� 2 � 3 � ���-E ( ��]4�F¢._ ��� 0�����G 2 ��� . P( � 2 0 .��3P � T � & cKE}�3P¡¥?��fA����������c EIOKP¡¥�>�fh�FER�qP¡r?��K3���\¢ � � M�@0�A] ! EE¤SPRr=�)_ !�ER�)MAN CzP}¥LP}�gP¡�I��>F¢

NATU]Bs)��M$O�]�E � ��� 8 �  di �-+ � � !�8 �G��/ : � +-"\+ i{8 �5( ! � �.+0/ EA��T��mces � 2 ) 2 " P 2 G 2 * ( �A]4�F¢._ � . P( ��� 2 .�w"PAQxce_U_ ]BM�E'i{8 $ � � �  ,!�8 �5( ! � & E�CE�M�;�@Ph�^]B_U_GP � `'` � I � 0 )�G-L?E ��G O 3 ��G )KP( ������.�ChP'¥^Pp�qPA�I��>ANATU]Bs)��M$O�]�E'Cq��PH�MPp_ �A]B��c���E �D��MAM�%?M�ces�]BT��Uce_ �-EjG 2 2 )KP( ����G�.�¤SP;rRP;���)fh]BT�NAce]d�'��MAN�CzP;¥���� _ ]�E �?+ 8 + � ! � ��/X+ � ����/ : � +-"\+?" ��� / � � 8Y!�8 �*( � �?� ����/-&)(*(,+-"��#& �����

� � �   ( !�8 � ����� �5/ EAO .{wEC � � I G 2 2 OPL?E 2 2 ��ED( ��]4�F¢._ ��� 2 O 2 ����G " . P( ��� � .�rRPn�{��Mp�1O�cD��M�N � P¡w"P J ��T��1O=O�cKE%¦�8 "�~p+ 8 �;(6�-+ �=� � : ~%� � ! � W + 8 + � ! "K� � 8 /6� 8 � � �  ,| � � �  ������� ����� �5/ Ep<=>A@d� PpCq�P�;�+P � ��� � I G 2 2 OPL?E���)-* 3 G 2 " E�( �A]4�F¢._ ��� 2 O 2 ��G�*�G�. P( ����O�.���PDOKPD�{c �F��M�Ea�MP J T�ce]dNp��M Eaw"P�OKPD¤ ��T _ c�M�]d@�E���MANx�qP�.yPy�F��]dM & ]dT�E ��~p+ : � 8 �����#( ! ����+ � �"�~p+N���#&=� � ������� ����� �5/ EA<=>A@d� P'Cq�P�;�+P ��� � � I ��0 )M*�L E�� � 3 * �KP( ��� " .��qP�.?��K3c�NAc���MAN PA�I�)tu� E'6#8 "\+ � !;: "�� � 8 / � 8 ������� ����� �5/ EA<=>A@d� P'CE�M�;�@P ���h� � I ��0 )M*-L?EFO � " P( ����� .�OKPzwqT��e]dT�E¡�yPnO�>AM$O�MAce@ & ]B� E}¤SPn�6�p���ec�MA� & c E^��M�NS�qPn�g_ c�]Bfh]BT,O�]BT�E � � W ~p+ �*"�Z ��/-"9+ �Y/X+ : " ��� : �5�%�o � � 8;W / � � � � �   ������� ����� �5/ Ep<=>A@d� PpCq�P�;�+P � ��� � I ��0 0��ML?E �M* 0 3 OA��� E�( �A]4�F¢._ ��� 0�G 2 * 2 O 0 . P( ���!*�.�¥LP ¢ �qP ����c^��MAN��3P'¥=��fp�������U�Ac E � � W ~p+ � ¦ �'�;+ � �5�Xo � � 8;W / �?� �5( � +-"\+ � �5"�� :�¦ ����� ����� �7��~p+ ����#& E'<?>A@B� PpCq�M�;�@P ��� � � I G 2 2 )ML EAG 0 " 3 ��GF�-E�( ��T��mces � 2 *F���1PHO ) 0�O=( ��]4�F¢._ � . . P( ����) .��3P�¥?��fp���������AcR��MAN <yP�©m�g_���>Afj�FE � � 4�! Z ! : �5��o � � 8;W : � 8 ����"K� � 8 � � � � �   ������� ����� ��( ���;+ � / ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P ����� � I ��0 0 2 L E O-OA� 3 O�O �KP( ����0 . �MPz�^Ph¥��§��MAN �yP .yP�C¡]B_�]dTU����M�E � � � : � 8 /-"K�#� : "K� � 8 / � ��"�~p+6� ! / � : �0+9o � +0/X+ 8 " ! "K� � 8 � ��"�~p+� ���0o W � �5��o � � V � �B �Ej��0 ) " E 4 M�� � T,O���MAMA] �)@0�Ac�@d�1O�����0 ) " EFCqT��;@d]B]dNAceM$O�� � MA��K�����ce]d��E�� ]d��K§¢]-_ T'��Ep�¡���h���e�=O����PE � ��PjG-*�� 3 G 0 )KP( ��G 2 .�¥LP ¢ �qP �A��cKEj¥^P .%����MKOFE��)MAN7OKPhw"Ph¥ ceK E ��& 8�4 � 8 ��� !XW � ! ( /-"K� ! "9+ W & ����� ������� ����� ��� 8;W Z ��"�~18� � /�� 8 � � 8 +0/ EA<=>A@d� P'CE�M�;�@P � ��� � I G 2 2 �ML?EFOP*�� 3 O 0 2 E ( ��]4�F¢._ ��� 2 � 2 OgG O�� . P( ��GF��. �MPI�^Pq¥�� E�i �;" �5( ���9op~%��/-( / � �m� 8 ��"9+ ���'�;+ � � �,/X+-( ��/ ��({o ��+ � �.+ ! � W +���� ! / E J >AM�@1P � MA��� P� � �A� P � I ��0�� 0ML EAG " GrP( ��G�G�. �TP'¥��5_ ��> & c^]-_?��� P E � � �   ������� ����� ��( ���;+ � / Ep<?>�@d� PACE�M�;�@P � � � ` I ��0 0 2 L?E ����� 3 ��O 2 P( ��G � .�©TP �^]Bfh]BNA]Bs ]B_ ��� P E ¦ ����� ����� � " ! ����+0/ E G 2 2 � E �g_U_7� � ���5�a�a�RP _ ��P �A�M�;��c & PH>AM�c£¢fj��MAM�P NA] �)MAc��e��]B� �)��TUfAcet�����NA� �rP

( ��G O�. �TP ¥������)K�>AT � E $�o � ��"Y(*� � "�� o ��+-"�/0� : �5�Xo � � 8;W � 8 � � :�! "K� � 8 !�8 � + | "K� ! ����(,+ 8 / � � 8�E3CqT��=O$P�a�A]B��T@PjCq�M�;�@Pn` � � I G 2 2 �!L E�� 0�� 3 � 0 � E�( �A]<�F¢��A��� 2 2 ��G � " G�. P

��� � � � � ������� � ` � �( ��G " .��3P � ��� & � E�Q P �y>A@0�AK A���e]dT�E;��M�N ��P ��s;cKE¡ª � ! � 4 / !�8 � ��+9oj" � 8 / �-+-"�ZD+0+ 8 ��� !�8 +0/ !�8 � �d� � 4�ECq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � ��� � I G 2 2 �ML EAG 2 0 3 G;��� E�( �A]<�F¢��A��� 2 � 2 O���OgG�. P( ��G�� . �TP'¥��5_ ��> & c^]-_?��� P E � ! ����+0/ � � � � �   ������� ����� �3( ���;+ � / EA�mCE¥ %%¢ ) 0 2 O$P( ��G-*�. �MP �yT ��>AM E �LP ¢ .vP .?]�E �(P � P¡©{s;T�>�_�ER��MANb�3P}C¡��M�_ ]-s E ��~p+�+ |g!;: "?( /0/-( /9op+ : "��#�F( �?� �5(

/-"��?� 8;W "�~p+N���#& E I G 2 2 " L EF�A]4�F¢._ ��� 2 " ��GF��*-*rP( ��G ) . �MP �y��>A@0�p��TUN ��M�N rRPh�?��Mp�1O�cKEji{8 $ � ���   ~p+-"9+ � �5"K� : /-" !�8 � ! � �,( ���;+ � E'Cq�M�;�@Ph�^]B_�_@P � � ���I G 2 2 �ML?E * )�� 3 * 0��-E ( ��]4�F¢._ ��� 2 " ��GF��O 0 . P( ��G 0 .��LP �(P ��]d��s�]dT�E � PzwxP J ��T��1O=O�cKE^��MANb�MP^�TPz<?��MA��j��>A�e����E $'"��?� 8;W �;+ � � � + �Y( /0/-( !�8 ��( �"�~p+N���#&�� 8 � � :�! "K� � 8�EACE�M�;�@Pj�^]B_U_GP � � ��� I ��0 0 0ML?E�� � " 3 ��O � E ( ��]4�F¢%�A��� 0 )F����OgG-*!. P( � � 2 .��qPzr=��fM� ��M�N � P�Qxc�M$O�]dTU_�]dT�E E!�8 $'"K�?� 8;W ��~p+N���#& � �0+ ��� : "%"�~p+�13+ � 8 �-+ � W,i{8;W ��+� EzCq�M�F�+Pr%]BsgP�� � � I G 2 2 *-L E 2 ) � 2 2 � ED( 2 * 2 �rP 2 G;�!*�. P( � ����.��3P � T � & cKEE¥^P ¢ �gP �A��cKEq�3Pq¥?��fp�������U�Ac EIOKPq¥ >Afj�FEE��M�N�.yPE©m� & c E � ��/ : �0+-"9+ " �./-&5(*(,+-"��-&!�8 �5( ! � �.+0/ � 8 ~p+-"\+ � �5"�� : ������� ����� �3( ���;+ � / E�CE�M�;�@Pjr%]BsgP�� � � I G 2 2 *-L?E 2 � � 2 2 � E ( 2 * 2 " P � 2 * " . P( � ��G�. �(P � P�©ms;TU>�_q��M�N3OKP)Qb]d����E $'��op+ � /-&5(*(,+-"K�?� : "�� | �  %W�! � W + !�8 ��� ! ��� ! "�� � +y/-&5(*(,+-"K�#& ��� + !54 �� 8;W�EpCq�M�;�@Phr=]-sgP�� � � I ��0 )�G-L EFO 2 0KP( � ��� . J P �y>A@d@B]d����� EnOKPzCzPn�{]BT�]BMANAc�MKO�]dT�ER�qP J ]BT�T �)T � Ez��M�N P � Pn�F�Xs����-Eq�a! "u"9+ � 8 /8� ��/-&5(*(,+-"��-&��� + !54 � 8;W � 8 /-�Xop+ � /-&)(*(,+-"��?� :?W�! � W + "�~p+N���?�.+0/ EpCq�M�;�@Ph�z]-_�_@P � `'` � I ��0 )�G-L E �M* " P( � ��O�.��qPIr=��fM�v��MAN � PqQxc�M$O�]BTU_�]dT�E � ! � W + : �5�Xo � � 8;W � 8 � � :�! "K� � 8 !�8 � � � W ~;"§+ | �5"K� :�! � 8 /-"K�?� 8;W"�~p+N���#& E'Cq�M�;�@Pjr=]-sgPh�^]-_�_GP � � I G 2 2 *-L E 2 " ��) 2 G ED( 2 * 2 " P 2 G 0 O�. P( � � " .�OKPgw"P;¥ c�K �)MAN .vPgCzPg<=c����e]d��E ��~p+=(*� � � ������+-( !�8 � "�~p+%$'"�� � 8;W�¡�v� � ������+-( EgCq�M�F�+P��^]-_�_GP� ` ��� I ��0 )�OPL?E�� " 2 P( � � � .��LP J P'� c�>�NAc�@B]���MAN � Pj¤ �)��c�]BT��FEpi 8j! "u� � ! ��/���� �;"K� � 8 " �3"�~p+�(*�§o � ������+-( � 8 /-��op+ � W � !�� ��"�&"�~p+N���?�.+0/ EpCq�P�;�+P��^]B_U_GP ��� � � I ��0 ) )ML?E O ) 2 3 O )�OKP( � �M*�.�OKP'OKP � _ ce@ & E'��PAOKPA�{c ����M�Ep��MAN � Pp�F]BM�E $'"�� � 8;W�E! � : � � ! "�� � 8 � � �z! &�+-"K� 6 � � �0o��5� � �X/=� �h+ �#( /� 8Yi ������"�� ! �#&§$'��op+ � /-&5(*(,+-"K�?� : �5({o !;: "�� � :�! "�� � 8 / EA<?>�@d� PACE�M�;�@P ��� � � I � 0 )M*-L?E�� 2 0 3 ��O 0KP( � � ) .�OKPAQb]d�U�{��M�N OKP �D�1O=O�]BT�E $'�Xop+ � /-&)(*(,+-"��#& !�8 �§/-�Xop+ � W � !�� ��"�& E'CqT�c�M�@d]B_���M�E�%{� � ��%=MAcesgP'CqT@PI ��0 0�G-LaG " 0 ��P

( � � 0 .�rRPF���)_U_ ����MAN �^P;���)TU_ ��T�c E� � 8 /X+�d�p+ 8�: +0/ � �="�~p+ : �5({o ��+ |�: ~ ! � !;: "\+ � � �="�~p+ � 8 "9+ � 8j! �p/-&5( �(,+-"��#& � 8 /-�Xop+ � /-&)(*(,+-"��?� : "�~p+N���?�.+0/ E ��K�K�>�M�P'¤ �)_���P'Cq�M�F�+Pn` � � I ��0 )M*�L E ��G-*rP( ��O 2 . � P J ��M�_�E��JP)w"P 4 f � � ] ! E .yP)CzP)<?c��e��]B��E)��MAN J P��m>A]Bs�]dNA�FE � + W + 8 + � ! "9+ ������� ����� �5/ E)<?>�@d� P)Cq�M�F�+P� � ��� I ��0 ) )ML?E�� 2 0 EpwqT�T �5_ >AK ��������� � � ` � P

` ��� ��� � ��� � ������� ��( ��OA��.��LP �e]���s�]BT�EF¤SP s�]B_ c��@�E;OKP�rRP�wq���Ac�MA��� � Eg��P���P�wRs�]dT�]-_�_�EF�)MAN§CzP��z��MKO���@ & ]BT�E � ! /0/ � � :�! "�� � 8� � � ! " ��� � + : "K� � 8 / � 8 op+ �#"��%��� ! "K� � +�~p+-"\+ � �5"�� : /-��op+ � /-"��?� 8;W[�5!;: � ! Z ��"�~ !�8 �5( ! � �5�g/ � � �  �E<=>A@d� P'CE�M�;�@P � � � � I ��0 0 )ML?E�� 3 G � E�( �A]4�;¢�_ ��� 0M*F�����!* ) . P( ��OgG�.�¤SP��{c�MA] EzrvP�r=���AK E�<yPz�;]dc�fj]dTNOFE^��M�N wxPhQxce_�_�]dM�E �#� � � 8 � : � 8 �;+ 8 / ! "�� � 8 � 8 /-�Xop+ � /-"K�?� 8;W

( ���;+ � / EpCq�M�;�@Pj�^]B_U_GP � ` ��� I � 0 ) " L?E "-" P( ��O�� .�OKP � P ��� ����E ��~p+ W + 8 + � ! � �� 5+ � ��� � ! " � 8 /-��op+ � /-&5(*(,+-"K�#& ���0+ !54 � 8;W / : + 8j! �?� � ERCq�M�;�@Pq�^]-_�_GP� ��� � I ��0 0 �ML?E�� 2 � 3 ��� 2 E ( ��]4�F¢._ ��� 0�� 2 " ��) 2 . P( ��O-O�.��qP .vP��;�A]dM & ]dT�E ��~p+ /-"�� + 8;W "�~� � 8 � 8 op+ �#"��%��� ! "K� � +*+��m+ : "�/�� 8 /-"K�?� 8;W "�~p+N���#& E ��~p+ /-"��0+ 8;W "�~� � 8 � 8 op+ �-"u�%��� ! "�� � + +��m+ : "�/ � 8 /-"�� � 8;W "�~p+N���#& E �AT�]B��]BMg_�]dNP�)_�_ ��] ��T,O�]B��]�Qb��T & ������ ��Mr=��MANA��K �F>AT tu��@d]B��E �m>p��M�_ >�K � T ��s;ce_ �7�)MAN[�;_ TUc�M$O���E ��TNO�]d�U]�E J T ��MA@B]�En¤ ���7G )�¢ O�>AM �-E��0 0 2 P

( ��O " .��3P ����M & �{��MAN ¤SPj�{c�MA] E �0o � 8;W Z ��"�~�/-"�� � 8;W � & : �5�Xo ��+ �3/-"K�?� 8;W "�~p+N���-& EjCq�P�;�+P�r%]BsgP � � �I ��0 0�OPL?E * O " O 3 * O ��� E ( �A]<�F¢�_���� 0�O 2 ��� ��G�. P( ��O � .�ChP �Dc�MA]-_ TU> � ��MAN��LP^rvP��?s)����cKE �G�9"\+ �#( � 8 � ! "�� � 8�EzCE�M�;�@P¡�^]B_U_GP � ����� I � 0 0 �ML?EnG OA� 3 G�O � E( �A]4�;¢��A��� 0 � 2 ��� OgG�. P( ��OP*�.�ChP �DceM � _�T�> ��Ep¤SPF¥LPA����c��e�J��TUN�E���M�N �LP ¢ �LPgQb>�Ejk ����� � ! � � 8p�5! � � !�8 " �����-(*�%� ! "�� � 8 � �?(*� � "�� �W�! � W � 8 � !�8 �?( ! "u"\+ � : � 8 �;+ 8 / ! "�� � 8�E�<?>A@B� PXCq�M�;�@P � � � � I � 0 0M*-L?E5G-* 3 "-" EP( �A]<�F¢�_���� 0 �F������O 0�. P( ��O ) .�ChP �Dc�M � _ TU> �-Eh¤SP'¥LPj����c��e�J��TUN�E;��MAN �LP ¢ �LPAQb>�E $'�Xop+ � /-&)(*(,+-"��#& ��� + !54 � 8;W !�8 �,ZD+ !54 � & � /d�

/-"�� � 8;W � & : �5�Xo ��+ �§/-"�� � 8;W "�~p+N���#& E'Cq�M�;�@Pj�^]B_U_GP � � ` � I � 0 0M*-L?EpG ) ) 3 G 0 " E ( ��]4�F¢._ ��� 0-* 2 GF� 2 " . P( ��O 0 .��3P ����T�TU]dceT��FE �(PnNA] ��TU������ER��M�N w"PROKP ��j]d�J�)MAN�Em¦�8 8 � 8 ��op+ �#"u� ��� ! "�� � + : ���?� + : "�� � 8 /," �"�~p+ ! +0~%��+ �Do��5"\+ 8 "�� ! � EpCq�M�;�@Phr=]-sqP�� � � I ��0 0 )-L E * � " O 3 * ��� 2 E ( �A]<�F¢������ 0M*F�XG O-O�� . P( � " 2 . Q P �D>A@0�AK A���e]dT�E�¥LP .{��K��1O�>A@0��c EF©TPA�^]dfj]dNA]-s Ep��MAN�¤6PAr=�)_�! E �G� � ! " � 8 �;+0/-" ! ��� � �� ! "�� � 8 ! "~%� W ~�"9+-({op+ � ! "��%� + E'<?>A@B� PpCq�M�;�@P � ��� � I G 2 2 OPL EAG 0�G 3 � 2 ) E ( �A]<�F¢�_���� 2 O 2 OA��� )�. P( � " ��. � P J ��M�_�E���P5wxP 4 f � � ] ! E��MP5��A�U_�E���MAN J P �m>A]Bs�]dNA�FE $'��op+ � /-&5(*(,+-"K�#&G��� + !54 � 8;W �?� �5( ��� ! � ��"�&� 8p�5! �?� !�8 " W�! � W � 8 � : � 8 �;+ 8 / ! "K� � 8�E�CE�M�;�@Ph�^]B_U_GP ����� � I � 0 0 2 L?E O 2 � 3 O 2 )KP( � " G�./.vPFChP;<?c��e��]B�y�)MAN�¤SPF©m��]B@0�A�X�%� & c E � ! � W � 8 � : � 8 �;+ 8 / ! "�� � 8Y!�8 � ��� ! � ��"u& � 8p�5! �?� !�8�: + EgCq�M�F�+P�^]B_U_GP ����� � I ��0 0 2 L?E'G�� ) 3 G-*�GrP( � " � .���P^w"P 4 f � � ] !§��M�N .vP�ChP^<?ce����]B��E l �5Z ��+ 8 + � W &8� +-( 8j!�8 "�/ � ��/-��op+ � /-"�� � 8;W !�8 �5( ! � & :�!�8�: + � �� ! "�� � 8 "\+ �#( / EpCq�M�;�@Pj�^]B_U_GP � ` ��� I � 0 ) �ML?E�� " O$P( � " O�.���P'OKPp�?c �F��M�E��MPA¥����A�e>AMA�Xs;� & �-E'�)MAN�OKPp�^��>Ac���Ejk ����� � � �;+9op+ 8 �;+ 8�: + � �?/-"��?� 8;W � ���0o : ���?� + : �"�� � 8 /�" � W�! � W + : �5�Xo � � 8;W�: � 8 /-" !�8 "�/ Ep<=>A@d� P'Cq�P�;�+P � ����� I ��0 0���L E ��O 0 3 � ) )rP( � "-" .�ChPp¤ ���;Ta��MANY�gPA�;_�c�]Bfh]BT,O�]BT�E ��~%� +0/0~���� � : ���?�0+ : "�� � 8 /{" � W�! � W + : �5��o � � 8;W / � 8 ������� ����� � : �5( �o !;: "�� � :�! "K� � 8 / EA<?>A@B� PpCq�M�;�@P � ����� I ��0 0 �ML EF*�G " 3 *�O ) E�( �A]<�F¢�_���� 0�� 2 � 2 �!*�. P

��� � � � � ������� � ` ���

( � " � ./.vP CzP <=c��e��]d� ��MAN �qP �;_ ce]dfj]dT,O�]dT�E $'"K�?� 8;W � 8 � � :�! "�� � 8 ��� 8 � � + � / ! � � 8 + � � ���0o : ��� � + : "�� � 8 /!�8 ��/-"��N� 8;W � & : �5��o ��+ �Y~p+-"9+ � �5"K� : /-"K�?� 8;W "�~p+N���-& Eq<=>A@d� P¡Cq�M�;�@P � � ��� I � 0 0M*-L?E � 3 G ) E#( �A]4�;¢_���� 0M* 2 GF��� 2 . P( � " *�.��qPp�;_ ce]dfj]dT,O�]dT�E � �X� �   ~p+-"\+ � �5"�� :?W�! � W + : �5��o � � 8;W / !�8 ��"�~p+ � � k �9"�~p+N���#&=���?� W � 8�EA<=>A@d� PpCq�M�F�+P

� � � ` I ��0 0 0ML?E�� 2 0 3 ��O-OFE ( ��]4�F¢._ ��� 0 ) 2 *F��G�O�. P( � " ) . Q P �D>A@0�AK A�e��]dT�E�¥LP .{��K��1O�>�@0�Ac E)©TP��^]Bfh]BNA]Bs E;�qP5r=��K���� ¢ � � MA@0�A](!�E���M�N*¤SP)r?�5_�!�E $�+0+0/ ! Z( ! "9+ �?� ! � E'G 2 2 *%E��������������� ����������� ������������ ��������������������! ���"$#�%�&���"������'��()*"rP

+ �-, 0/. 4 P .=c�MA@0�A�ec 'h]���M�N3�3Pg¥���]BNAc�MKOFE B 0 !�8�1 L 0 ��2�3$4£! " 2�8;W§:53 �Xo 462�8;W / 2�8 "�~p+=( 2�8*2 ( !�4 /-�Xop+87 /-&)(:9(,+-";7 2.: /-" !�8�1�! 7 1 ( 3�1 + 4 EpCq�<;�@Pjr%]BsgP�� �^� I ��0 0 �ML EAG�= 0 3 G )�O$P+ ��� 2 .�¤SP�¥LP�����ce���J�)T�N�E ">9�o ! 7 2 "u&@?A7 3 ( "�~p+E~p+-"\+87 3 " 2.: /-"�7 2�8;W�E5Cq� <;�+P)r%]BsgP��^]B_U_GP � � I G 2 2 ,�L E���OA� � 2 �-E+ �A]4�;¢�_ ��� 2 OA��G 2 = 0/. P+ ������.�¤SPn¤����e_���MAc Eh�3Pn�F@0���D]-_�! Eq¤SP � P^�¡��TU_ ���J� E���MAN�OKP�Q P J P��I�)����] E $'" ! "���/ 3 ? W�4B3�C0!�4 �E"�/§" 38 +-�;"�7 2�8D3E3 / :82F4F4£! " 2�358 / EA<=]B� OKPpCq�<;�@P � I G 2 2 OPL?E���G�G%E + ��]4�F¢%�A��� 2 O 2 ,F�-=�G-. P+ ����G$.�rRP}<vPq¤����p���p�)_�T � �)MAN � P �LPR�FK�ceT�MA�Xs E ��+-�;"�7 2�8D3 ( ! /0/ !�8�1 8 +-Z op~;&�/ 2.: / E � MAM�P}r=]-sgP<=>A@d� P'C}��T _GP'�F@Bc P ��� I G 2 2 �-L E�,�� 0 3 ��G ) E + �A]4�F¢%�A��� 2 � 2 ����� )/. P+ �����/.�¤SP ¢9�3Pnwqc��U]d�e]�E ln+9oj" 3�W + 8 +0/ 2 /[1 2 "�~ k7!�8 &���+-�;"�7 2�8D3 / E¡Cq� <;�+P}r%]BsgP � �j� I G 2 2 )-L E 2 O���,F� 2 E+ 2 = 2 �rP 2 G 2 2 . P+ ����O�.�OKP�rvP�wE�e��ce�{��M�N[©LP��^]dfj]dNA]-s E ��~p+ $�+0+0/ ! ZxZ 2 "�~ k !�8 & " 2£W ~;";9 � !�8�1 + 1 ��+-�F";7 2�8D3 / E^Cq�<F�+P�^]B_U_GP � ����� I G 2 2 =-L?EFOA��� 3 OA��) E + 2 = 2 =rP ��OA��0$. P+ ���,$.�ChPA¤ �G<;T�E�.yPFCzPF<?c��e��]B��E;��MAN��gPA�;_�c�]Bfh]BT,O�]BT�E $'"�7 2�8;W � 8*2 � :�! " 2�358 !�8�1 "�~�70+0/0~ 3$4H1,:53 7A7 + : " 2�358 / ECq�<;�@Ph�z]-_�_@P � � ` � I ��0 0 �ML E�, � 3 , 0 E + ��]4�F¢._ ��� 0 � 2 =F�-=;��. P+ ��� �/.�w"P�Qxc£_�_ ]BM�E $'";7 358;W I3 ��o 462�8;W�V}| o !�8 / 2�358�¦ ? E!�4£!C�2 9 �'! � I3 ({o !;: " 2 � :�! " 2�358�E�<=>A@d� PACq�<F�+P

� ��� ` I ��0 0 �ML?E�� �, 3 �-, ) E + ��]4�F¢._ ��� 0�� 2 G 2 = 2 . P+ ���=$.���P�w"P 4 fp��MA](!*��MAN �MP���A�U_�E ��� !�462 "�& !�8D3 ( !�4 & :�!�8�: + 4F4£! " 2�358 �y( 2�8*2 ( !�4 /-"�7 2�8;W � 8*2 � :�! " 2�358!�8�1 "�~p+ +��m+ : " 2�� + 4B3 ZJ9�+ 8 +87 W & 4£!XW 7 !�8;W�2u!�8K3 ? � 9 1 /-";7 2�8;W / Eg<?>A@B� P�Cq�<;�@P � ��� � I ��0 0�G-L?E�� 2 , 3

� � OFE + �A]4�F¢._ ��� 0�G 2 G 2 O �/. P+ ��� )/. � P%.=]dfj]d@5L�]BT§��MAN ¤6P}�nT ���A�e]B_U_ c E � ! � W + � 8*2 � :�! " 2�358M2�8 ~ 2£W ~ 4 & !�8*2 / 3 ";7 3 o 2.: /-"�7 2�8;W�:53 (:9

o !;: " 2 � :�! " 2�358 / EA<?>A@B� PpCq�<;�@P ��� ` � I G 2 2 ,-L Eh�-= � 3 G 2 � E + �A]<�F¢�_���� 2 OA����� ����. P+ ��� 0/.�¥LP ¢ �qP �A��c E^�qP^� T��;��_ <=c�fAfj]d�ec�M�L E���MAN[¤SP��nT � �A��]-_�_ cKE � +-"\+87 3 " 2.: $ ¦ �����   ( 3�1 + 4NC � 2F4H1�2�8;W

2�8 ? 3 ��7 1�2 (,+ 8 / 2�358 / EAO .?wIC ` � I G 2 2 OPL E 2 ��� E + �A]4�;¢�_ ��� 2 OA� 2 G ��G$. P+ �-= 2 .�OKPE� c�]BN�_�E � ���  O3 7 C�2 ? 3$4H1 / 3 ? "�~p+ $ ¦ �����   ~p+-"9+87 3 " 2.: /-";7 2�8;W $ ��1 2F4 / 358P462�8 +Y+-( C + 11�2�8;W / E<=>A@d� P'CE�<;�@P � � � ` I G 2 2 �ML?E�� ��� 3 ��O = E + ��]4�F¢._ ��� 2 � 2 ��G ��G$. P

` � � ��� � ��� � ������� ��+ �-=F��.��qPn�LP^<=c�fAfj]d�ec�M�L Ez¤SP��¡T����A��]-_�_�c Ez��MANb¤SP�Q����£_ ]dT�E "%+0/ 3$4 �F" 2�358 / 3 ? �� 8�� � � 8�  3 7 C�2 ? 3$4H1 /0�"�~p+ 2 7 � � �   C � 8�1'4 +0/0� !�8�1 ! o�o 462.:�! " 2�358 / " 3 /-"�7 2�8;W ( 3�1 + 4 C � 2F4H1�2�8;W�EpO .?wEC � � I G 2 2 =-L E 2 �, E+ �A]4�;¢�_ ��� 2 = 2 �XG�G�=$. P+ �-=�G$.�¥LP ¢ �qP �A��cq��M�N[OKP^w"P^¥ c�K EDª � ! 7 4 / !�8�1 4 +9oj" 358 /I?A7 3 ( 3 7 C�2 ? 3$4H1 + 1 /-�Xop+87 /-"�7 2�8;W�E^�^]d@-_ >ATU]<=��_ ]B�=��M Cq�<;��c�@B� � 0 � E �D]BT��ec�MF¢ .?]dceNA]d�efh]BT,OFE�� ]dT�K���M< �I�6�ATUc�M$O�]BT I G 2 2 �ML O 2 � ��P

���������

aMD

E ��OaMI

E �����MA��K,���H<,@d��MA@B]d�����)_ ce��M

�A]B_�]dTU��_ ce@ �U_ TUc�M$O E���O��T�f�cet����eN @d��K �p��@-_ cp@��)_�c���M���E O,

��>��Fce��cJ�)T < p]d�eNA��E'�%¢��)MAN J ¢NE&)�,�I¢9� E�0 0�I¢9�b@d��M�DO�>AT��)_ ce��MA��E�� ����I¢9� E��U_0�)MANp��TUN�E�0 0fAT���MA] �D��T���N���E�,fATU��_ �A]BT%K��;NA]d�e��E O ) ������fAc£¢ �y��>�E',@d]BM�_ T �)��c !B]dT�E���G@d�������Uc�p@d�)_ ce��M�E�,

3×,

3E ��O

@d��MANA]dM�� �)_�c���MY��@d����] E&0�G@d��> �A��ceM$O*@d��MA�U_ ��M�_�E'�U_�T�c�MKOFE&) �@d��> �A��ceM$O*@d��MA�U_ ��M�_�Ep_ �ATU]d�U�A����N�@B��T�TU]d@B_�c���M���E�0���=¢��'�)_%NAceT�]d@-_ ce��M�E&)=�=¢��'�)_ M�]d����E ) �

�A���e��K���T��A�Ace@¡ceM�s��)T�cJ�)Mg_�K���M���K�c������ I . 4 ¤ L?E) ��=¢._ ]dTUK E�),

J ��<�]B_ ¢ 4 ��ce��j��>A�����y_ ]BT�K E&),NA]B@d��> ����c�MKO3]��F��_ ce@d��E�= �NAce�J�)_���M�E���OFE����NAce�J�)_���M���> �j]dT��h�)_ ]dM�_�cJ���KE�0�GNAce��@dTU]B_�]�_���T��Uc���M EFO , 3 , 2fAT��)_ �A]BT=K3�;NA]d�e��E O )

O�]dM�]dT �)��c !B]dN�E O =� <;M�Lgc�MYNAc��1O�T �)K

��T�f�cet����eN @d�������Uc�p@d�)_ ce��M�E*,�, 3 ��GSO(32)

��MANE8

E�,�,>AMgfAT���L�]dM�O���>$O�]vO�T���> � G4D

E*,�=

]����)_ c�@d� E�= )J ¢��'�)_�MA]d�U��E�) 0J ¢._ ]BT�K E�),tu��@-_ ��TUc !d��fA��]{�J�)_U_ c�@B]�Eh��0�'��s���T �)N�c���@BT�]-_ ]�� <;K�K3]B_�T�ce]d��E&,

6

¢ 4 4 E�=��O��)>$O�c�M��*@d��MAN�]dMA���)_ ce��M�E�0�GO�T���sFc£_ ceMA�*K,�)����E�0���A]-_ ]BT���_�c�@ �U_�T�ceM$OFE����

��]-t�_U¢�K��Xs�]BT���E�� �K������U��]d�U�%���j]d@B_�T�>AK E^��OT�c&O���_U¢�K��Xs�]BT���E����_0�)@0� <���MA��E¡��O

�AceNANA]BM��U]d@B_���T�E'r���w:E�0�G�< �h]BT�@0�p�)T,O�] Ej� _0��M�Np��T�N E�0 0ceMA] �g>Ac£s��)��]dM�_%K3�FN�]d����E����¥����A�e]dT �j��_ ]BM�_ cJ�)� E�0 �¥����A�e]dT �j��_ ]BM�_ cJ�)� E�>�MAces�]dT������ E�0��¥����e>�!��5¢9¥ ��]dceM�E%O�e�F@d������������E ��=�e�F@d�����U�Acet�_��?�)MAN����;@��������h]B@B_�T � E�O���e�F@d���h_9�%ce�U_%s�]B@B_ ��T�E ���K��)_�_�]dT �p�)T�ce_ <�E&0 )K3�FN�]d�£¢�NA]4�j]dM�NA]dM�_=���Fc���M�E���OK3�FN�]d�£¢�c�MAN�]4�j]dMANA]BM�_=���Fc���M�E ���������� @d��MANAceNp�)_ ]B��E�= )MA��M�tu��@B_���T�c !���f���]m���)_�_�c�@d] E���0 E���GF���TUfAcet�����N @B��MA�U_�T�>A@-_ ce��MA��E^��, 3 O ,@d��K��p�)@B_ cp@��5_ c���M��J�)_U_ c�@B]d��E���) EpGF�

��F]dN �h��c�M�_ ��E'G ����F�

` � � � � �����

K��;NA>A����TDceM�s��)T�cJ�)MA@d] @B��MANAc£_ c���MA��E'G ��h��c�M�_xO�T���> ��E��-,_9�%c�� _=s�]d@-_ ��T�E^��0

��TUfAcet����eN ���j]d@-_ TU>AK E � 2.?ce��fj]dTU_����p��@B]d��E �F�_9�%c�� _ ]dNY��]B@B_���T���E ��,>AM�_9�%c�� _ ]dN���]B@B_ ��T�E ���

��TUfAcet����eNF¢ ������� E�)F�-E&0 2 E�0�O�j��c�M�_xO�TU��> ��T�>A�e]�E�,

6¢ 4 4 E*=�,�j��c�M�_xO�TU��> ��T�>A�e]�E�,

6

¢ 4 4 EF_ T�ce��ceMA]���T�E�=�=�ATU��_ ��M�NA]B@��G<@d��M��U_ T���c�M�_���E�0 0NAc�K O§��h]BT �)_���T���E�0 )NAc�K ,���h]BT �)_���T���E�0 )

��@d���J�)T �h��_�]dM�_ c���� E ),��]B]d���X� K3]d@0�A��MAc��UK Eh� 2 ,��]B��]B@B_ ce��M�T�>A�e]d��E ,

6

¢ 4 4 E�=�,����cet�_as�]B@B_���T�Ez�-= EpGF�����cet�_as�]B@B_���T�Ej��MA���)_�! E ��G���A��@d]vO�T���> ��E����

@d��M��U>$O���@8<�@d��������E^�-=@d��M��U_ TU>A@B_�c�M$O3]d�e]dK3]dM�_ ��EjG�,_9�%c�� _ ]dNY��]B@B_���T���En� )>AM�_9�%c�� _ ]dN���]B@B_ ��T�E^��)

����c�MA��T�E'�A© I � 2 L E � )��> �h]BT�� <;K3K�]-_ T <�fAT�]d��Lgc�M$O E�0��� � ��� @B��MA� _ T �)c�M�_ ��E�) �_ T���MA� t���T�K��)_ ce��M �A�A����]

_9�%c�� _ ]dNY��]B@B_���T���E ���>AM�_9�%c�� _ ]dN���]B@B_ ��T�E ���

_9�%c�� _ ]BN�� _ T�ceM$O���E � 2>AM�_9�%c�� _ ]BN �U_�T�ceM$O���E � 2Qxc��e����M��ec�MA] Ep��MA���)_�! E ��GQxc��e����M��ec�MA]B��E���= E'GF�

��T�N�]dT%��t E'G�G%E���G�,�I>�L5�����§@d��> �A��ceM$O*��]B��]B@B_ ce��M�T�>A�e]d��E�,F�

@d��M���]dT s)�)_ ce��M���tRr 3 @0�p�)T,O�] E�,F�γ 3 T�>���]�E*, �O���>$O�] c�M�s)��T�c���MA@d] E�,F�

���A��@d]vO�T���> ����]d�e]d@-_ c���MYTU>A��] E�,�G,

3O�]B��K�]-_ T <-E'G�=,

3

���j]d@-_ TU>AK Ep]�����K�����]�E � � 3 O-O���;@��)�����j]d@-_ T�� E OgG�%ce_���Qxc����U��M���ceMA]d��E O 2�%ce_��A��>�_aQxce���U��M���ceMA]d��E�� �,

6

¢ 4 4 O�]d��K�]-_ T <�E'G )