BÀI TẬPNội dung tóm tắt lý thuyết

CHƯƠNG 1. TẬP HỢP – QUAN HỆ - ÁNH XẠ1.1 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp.

Tập hợp là một khái niệm ban đầu của toán học, đượchiểu một cách trực giác mà không định nghîa. Có thể hiểurằng tập hợp là các vật hay các đối tượng có thể liệt kêra được hoặc có cùng một tính chất chung nào đó. Ta kí hiệu: (x là phần tử của tập hợp X hay x thuộc X).

Nếu x không thuộc tập hợp X, ta kí hiệu hay . 1.1.1 Định nghĩa.

(a) Tập hợp A được gọi là tập con của một tập X (kíhiệu là ) nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều thuộctập X.

(b) Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, kí hiệu:.

Quy ước rằng, tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.1.1.2 Các phép toán trên tập hơp.

Với A, B, C là các tập hợp tùy ý. Ta có các tính chất sau:(1) ; (2) ; ; ;(3) ; .(4) ; (5)(6) (7) (8) (9) (10)(11) và thì (cần kiểm tra lại)(12) thì (13) (14) 1.2 Quan hệ hai ngôi.

1.2.1 Định nghĩa.Cho X, Y là hai tập hợp tùy ý. Tích Đềcác của hai tập

hợp X và Y, kí hiệu là , là tập hợp tất cả các cặp (x, y) có thứ tự, với x thuộc tập X và y thuộc tập Y. Ta có:

Tổng quát:

1.2.2 Định nghĩa.Cho X là một tập bất kì. Tập con của được gọi

là một quan hệ hai ngôi trên tập X.Với mọi , ta nói x có quan hệ hai ngôi

với y, kí hiệu là .Quan hệ trên tập X bất kì có các tính chất sau:

(a) Có tinh phản xạ nếu .(b) Có tính đối xứng nếu thì , với mọi .(c) Có tính bắc cầu nếu và thì , với mọi

.(d) Có tính phản đối xứng nếu và thì .1.2.3 Định nghĩa.

Một quan hệ hai ngôi trên tập X bất kì được gọi làmột quan hệ tương đương nếu thỏa tính chất phản xạ, đốixứng và bắc cầu.1.2.4 Định nghĩa.

Một quan hệ hai ngôi trên tập X bất kì được gọi làmột quan hệ thứ tự nếu thỏa tính chất phản xạ, phản đốixứng và bắc cầu.1.3 Ánh xạ1.3.1 Định nghĩa.Một ánh xạ đi từ tập hợp vào tập hợp là một quy tắc tương ứng: với mỗi phần tử x thuộc tập X có một và chỉmột phần tử y thuộc tập Y sao cho và được kí hiệu là:

f: X

trong đó, X là tập nguồn (miền xác định); Y là tập đích (miền giá trị)1.3.2 Định nghĩa. Cho A là một tập con của tập X và B là một tập con của tập Y. Xét ánh xạ f đi từ X vào Y.

(a) Tập là được gọi là ảnh của tập con A qua ánh xạ f. Tập gọi là ảnh của ánh xạ f.

(b) Tập được gọi là tạo ảnh của tập con B qua ánh xạ f.1.3.3 Định lí. Cho ánh xạ và A, B là hai tập con bất kì của X; C và D là hai tập con bất kì của Y. Khi đó:

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

1.3.4 Định nghĩa.Cho một ánh xạ f đi từ tập X vào tập Y.

(a) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với mọi , thì . Điều này có nghĩa là nếu thì

.(b) Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ;điều này có nghĩa là

(c) Ánh xạ f được gọi là một song ánh nếu f vừa đơn ánh vàvừa toàn ánh.1.3.5 Định nghĩa.

Cho một song ánh đi từ tập X vào tập Y .Ánh xạ f gọilà có ánh xạ ngược nếu tồn tại một ánh xạ đi từ Y vào Xsao cho:

Kí hiệu: .- Ánh xạ f gọi là có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là một song ánh.- Ánh xạ ngược nếu có là duy nhất.- Nếu f có ánh xạ ngược là thì ánh xạ cũng có ánh xạ ngược là .CHƯƠNG 2. CẤU TRÚC ĐẠI SỐ - SỐ PHỨC – ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC

HỮU TỶ2.1. Số phức.2.1.1 Dạng đại số của số phức.

Trong đó: là phần thực của số phức z và là phần ảo của z. Phần tử i là đơn vị ảo ( ) và i là nghiệm của phương trình .

Cho số phức . Khi đó, số phức liên hợp của z, kí hiệu là , là một số phức xác định bởi: .

Một số tính chất.(a) z là số thực khi và chỉ khi (b) (c) (d)

(e) ;

2.1.2 Dạng lượng giác của số phức. Xét mặt phẳng tương ứng với hệ tọa độ Đềcac Oxy, ta

biểu diễn số phức bởi điểm M có tọa độ . Mỗi số phức dạng có thể biểu diễn dưới dạng:

Công thức (*) được gọi là dạng lượng giác của số phứcz.

và góc cực tương ứng .Giá trị thực r gọi là mođun của số phức z; là

Acgument của số phức z, kí hiệu: ; với

Ta có:

2.1.3 Lũy thừa bậc n của số phức.Xét số phức

Công thức (2) được gọi là công thức Moirve.Tuy nhiên công thức (2) vẫn đúng với n là số nguyên âm.Ngoài ra, ta cũng có:

Công thức (3) gọi là công thức Ơ le (công thức dạng mũ củasố phức).Đặc biệt, nếu thì |z| = 1, .2.1.4 Căn bậc n của số phức z.

Căn bậc n của số phức z là một số phức nếu . Kí hiệu: .

Như vậy, có tất cả n giá trị phân biệt sao cho, tức là có n giá trị căn bậc n của số phức z. Các

giá trị này có cùng module là và được biểu diễn bởi các điểm là các đỉnh của đa giác đều nội tiếp tâm đường tròn tâm 0, bán kính .2.1.5 Căn bậc n của đơn vị. Tương tự, căn bậc n của đơn vị là:

2.2 Đa thức và phân thức hữu tỷ.2.2.1 Phép chia đa thức.Gỉa sử f(x) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng :

trong đó: Đa thức được gọi là đa thức thương và được gọi làphần dư trong phép chia f cho g.Nếu thì ta nói f(x) chia hết cho g(x), hay g là ước của f.Kí hiệu: hay ).2.2.2 Định nghĩa.Cho đa thức f có dạng: là một đa thức theo biến x trên .

Phần tử được gọi là nghiệm của đa thức f nếu

Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sau:Phần tử là nghiệm của đa thức f(x) nếu .

2.2.3 Định nghĩa.Ta nói là nghiệm bội bậc n của đa thức f nếu:

và 2.2.4 Định lí.

Mỗi đa thức bậc trên trường số phức đều có nghiệm phức.2.2.5 Mệnh đề.

Nếu là một nghiệm của đa thức f thì cũng là một nghiệm của đa thức f.2.2.6 Định nghĩa.

Cho là trường số. . Khi đó, được gọi là

một phân thức thật sự nếu .Giả sử , thực hiện phép chia có dư f cho g, ta được:

Điều này tương đương:

;

trong đó là một phân thức thực sự.

Do đó, mỗi phân thức hữu tỷ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức thực sự.Phân thức đơn giản. Là phân thức có dạng:

;

Phân thức đơn giản trên chỉ có hai dạng sau:

(a)

(b) ,

2.2.7 Định lí.Mỗi phân thức thực sự đều có thể biểu diễn dưới dạng

tổng của các phân thức đơn giản và dạng phân tích là duy nhất.CHƯƠNG 3. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH3.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận.3.1.1 Định nghĩa. Một bảng gồm m x n số được viết thành m dòng n cột được gọi là một ma trận cấp (m,n) và có dạng:

Phần tử là phần tử nẳm ở dòng thứ i và cột thứ j;

Nếu thì A gọi là ma trận vuông cấp n.Tổng các phần tử trên đường chéo chính của A được gọi là vết của ma trận A; kí hiệu là Tr(A).

Ta có:

3.1.2 Định nghĩa.Cho ma trận A cấp (m,n) có dạng:

Nếu lấy mỗi dòng của ma trận A sắp thành cột tương ứng thì ta thu được ma trận cấp (n,m) và gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Kí hiệu: (đọc là A chuyển vị).3.1.3 Các phép toán trên ma trận.(a) Phép công hai ma trận.Cho 2 ma trận cấp (m, n): .Tổng của 2 ma trận A và B là một ma trận C cấp (m, n), Kí hiệu:

(b) Phép nhân một số thực với một ma trận. Cho ma trận . Ma trận , trong đó

gọi làtích của số thực r với ma trận A.Kí hiệu:

Như vậy, muốn nhân một số với một ma trận ta nhân số đó với mọi phần tử của ma trận đó.

Các tính chất. Cho các ma trận A,B,C cùng cấp, . Khi đó, ta có các tính chất sau:

(a) (b) (c) ; ( là ma trận không).

(d) (e) (f) (g)

- Hiệu của hai ma trận A và B chính là phép cộng matrận A với ma trận – B, kí hiệu C= A – B = A+(-B).

(c) Phép nhân hai ma trận.

Cho 2 ma trân: . Khi đó, tích của 2 ma trận A và B là một ma trận cấp (m, n) và được cho bởi công thức:

;

Một số tính chất.(a) (b) ; .(c) nếu tích AB xác định.3.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận.(a) Nhân một dòng của ma trận A với một số khác 0 thuộc .

(b) Đổi vị trí hai dòng bất kì trong ma trận.

(c) Cộng vào một dòng của ma trận với lần một dòng khác.

Các phép biến đổi trên vẫn đúng nếu ta thay từ “dòng”bởi từ “cột”.3.1.5 Định nghĩa.

Cho A và B là các ma trận cùng cấp. Ta nói ma trận Agọi là tương đương với ma trận B, kí hiệu nếu tồntại các phép biến đổi sơ cấp biến ma trận A thành ma trậnB.3.1.6 Định nghĩa.

1. Một ma trận A được gọi là ma trận bậc thang dòng nếu thỏa hai điều kiện: (a) Các dòng = 0 (nếu có) phải nằm về phía dưới các dòngkhác 0.(b) Đối với hai dòng khác 0 bất kì của A, phần tử khác 0đầu tiên của dòng (tính từ trái qua phải) của dòng dướiluôn nằm về phía bên phải so với cột chứa phần tủ khác 0đầu tiên của dòng trên.

2. Ma trận A là được gọi là ma trận bậc thang dòngrút gọn nếu thỏa các điều kiện sau:(a) A là ma trận bậc thang dòng.(b) Các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trong ma trận Ađều bằng 1 (gọi là số 1 chuẩn).

(c) Các phần tủ còn lại của cột chứa số 1 chuẩn đều bằng0.3.1.7 Định nghĩa.

Hạng của ma trận A chính là số dòng khác 0 có trong dạng bậc thang rút gọn của ma trận A, kí hiệu: hay rank(A).3.2 ĐỊNH THỨC3.2.1 Định nghĩa. Cho tập hợp gồm n phần tử, . Gọi là tập hợp tất cả các song ánh đi từ X vào chính nó. Mỗi phần tử của được gọi là phép thế trên tập hợp X.Một số tính chất của phép thế (a) Tích của hai phép thế (kí hiệu là ) là phép hợp nối ánh xạ .(b) Nghịch đảo của phép thế (kí hiệu là ) là ánh xạ ngược của ánh xạ .(c) Ánh xạ là đồng nhất thì phép thế được gọi là phépthế đồng nhất, kí hiệu là .3.2.2 Định nghĩa. 1. Giả sử là một phép thế trên tập X. , tanói cặp là một nghịch thế của nếu với nhưng . 2. Phép thế là một phép thế chẳn nếu nó có một số chẳn các nghịch thế. là một phép thế lẻ nếu nó có một sốlẻ các nghịch thế. Kí hiệu: . Quy ước. Dấu của phép thế chẳn bằng 1, dấu của phép thế lẻ bằng -1.3.2.3 Định nghĩa. - Đối với định thức cấp 2:

- Đối với định thức cấp 3: Sử dụng 3! = 6 phép thế trong S3, ta có công thức sau:

. - Đối với định thức cấp n:

3.2.4 Một số tính chất của định thức.(a) Nếu một định thức mà các phần tử của một dòng là tổng của hai số hạng thì có thể phân tích định thức thành tổngcủa các định thức.(b) Có thể lấy ra ngoài dấu định thức một bội chung của một dòng.(c)Nếu đổi vị trí hai dòng của định thức thì định thức đổidấu.(d) Định thức có hai dòng bằng nhau, hoặc tỉ lệ nhau thì bằng 0.(e) Định thức có một dòng bằng 0 thì bằng 0.(f) Nếu cộng vào một dòng của định thức một dòng khác (hayhữu hạn các dòng khác) đã được nhân với một số thì giá trịđịnh thức sẽ không thay đổi.(g) .(h) Với mọi ma trận vuông A, B cùng cấp, ta luôn có

Nhận xét. Các tính chất trên của định thức cũng đúng nếu được thay từ "dòng" bởi từ "cột".3.2.5 Định thức con – Phần bù đại số Cho định thức D cấp n.(a) Nếu từ định thức ta chọn ra r dòng và r cột

( thì các thành phần nằm ở phần giao của r dòng và r cột lập thành một định thức, kí hiệu: và được gọi là định thức con của D có cấp là r.(b) Nếu xóa đi các r dòng và r cột đã chọn thì các thành phần còn lại lập thành một định thức, kí hiệu và được gọi là định thức con bù của định thức .(c) được gọi là phần bù đại số của .

Để đơn giản, ta gọi định thức con bù của phần tử là và phần bù đại số của là và . Định lí.(Khai triển định thức theo một dòng)

Cho định thức D cấp n có các thành phần là ,, ta đều có:

Với là phần bù đại số của phần tử .Hoàn toàn tương tự, ta có công thức khai triển định thức theo cột thứ j như sau:

Định lí Laplace.Giả sử trong định thức D, ta chọn ra r ( ) dòng cố định ; gọi là tất cả các định thức con cấp r của D chọn trong r dòng này và là các phần bù đại số tương ứng. Khi đó:

3.3 Ma trận nghịch đảo.3.3.1 Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n. Ma trận B cấp n được gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu ) (trong đó là ma trận đơn vị).

Kí hiệu: là ma trận nghịch đảo của A.3.3.2 Tính chất. (a) Nếu A là ma trận nghịch đảo của B thì B cũng là matrận nghịch đảo của A. (b) Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất. (c) Khi A có ma trận nghịch đảo thì ta nói A khả nghịch.

A khả nghịch A không suy biến (d) Ma trận không không khả nghịch vì là ma tr§n cấp n. (e) Ma trận đơn vị luôn khả nghịch và .3.3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.(1) Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng các phép biến đổi sơ cấp.- Lập ma trận khối (1) - Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến đổi (1) vềdạng (2).

Khi đó: Nếu (1) không biến đổi được về dạng (2) thì A không khả nghịch.(2) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức (phần bù đại số)

(a) Tính |A|; - Nếu |A| = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo. - Nếu thì kết luận A có ma trận nghịch đảo.

(b) Tính , với là phần bù đại số của phần tử , .

Lập ma trận phụ hợp:

Khi đó,

3.3.4 Định thức con cấp r của ma trận A.Cho ma trận cấp (m,n). Nếu từ ma trận A, chọn ra r dòng vàr cột thì các thành phần nằm ở giao của r dòng và r cộtlập thành một định thức và gọi là định thức con cấp r củama trận A.3.3.5 Định nghĩa.Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức conkhác 0 của A.Kí hiệu: Hạng của ma trận A là (hay ). Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơcấp.3.4 Hệ phương trình tuyến tính – Phương pháp Gauss.3.4.1 Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng:

Trong đó, - là các hệ số của các ẩn số, . - là các ẩn số của hệ phương trình. - là các hệ số tự do.

Đặt ma trận

Ma trận A được gọi là ma trận của hệ phương trình (1).

Ta đặt:

- Ma trận : ma trận các ẩn số.

- Ma trận : ma trận các hệ số tự do.

- Ma trận được

gọi là ma trận mở rộng ( hay ma trận bổ sung) của hệ phương trình (1).

Khi đó, hệ phương trình (1) được viết dưới dạng ma trận là

Các phép biến đổi sau đây gọi là các phép biến đổitương đương trên hệ phương trình tuyến tính:(a) Thay đổi thứ tự các phương trình của hệ.(b) Loại ra khỏi hệ các phương trình có các hệ số của cácẩn và hệ số tự do đều bằng 0.(c) Nhân hai vế của một phương trình với một số .(d) Cộng hai vế của một phương trình vào hai vế của một phương trình khác.3.4.2 Định lí Kronerker- Capelli.Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi

.3.4.3 Hệ Cramer

Cho hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn:

Hệ phương trình (2) được gọi là hệ Cramer nếu Do đó, hệ phương trình (2) gọi là hệ Cramer nếu ma trận các hệ số của hệ không suy biến.Hệ Crame có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

Trong đó, là định thức thu được từ định thức của A bằng cách thay cột thứ j bởi cột các hệ số tự do. 3.4.4 Định nghĩa.Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng:

Hệ phương trình (3) còn gọi là hệ phương trình thuần nhất liên kết với hệ (1).Nhận xét. (a) Hệ phương trình thuần nhất luôn có nghiệm, và nghiệm

được gọi là nghiệm tầm thường của hệ. Nếu hệ cónghiệm khác nghiệm tầm thường thì hệ vô số nghiệm.(b) Hệ phương trình thuần nhất n phương trình n ẩn số chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0.

CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTƠ – KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLIDE4.1 Không gian vectơ – Định nghĩa và ví dụ.4.1.1 Định nghĩa. Cho là một trường số. Tập V , các phần tử của V gọilà các “vectơ”. Giả sửtrên V được trang bị 2 phép toán sau:(a) Phép cộng hai vectơ: (b) Phép nhân một vectơ với một vô hướng: .Nếu hai phép toán trên V thỏa mãn 8 tiên đề sau:

(i) (ii)

(iii) (iv) (v)

(vi) (vii) (viii)

thì V cùng với 2 phép toán trên lập thành một không gian vectơ trên trường (haygọi tắt là - không gian vectơ V).- Nếu thì V được gọi là không gian vectơ thực.- Nếu thì V được gọi là không gian vectơ phức.4.1.2 Một số tính chất suy ra từ định nghĩa. Giả sử V là một - không gian vectơ. Ta có các tính chất sau:

(a) V chỉ có mộtt vectơ là duy nhất.(b) Với ; vectơ đối của là là duy nhất.(c) .(d) .

(e)

4.2 Sự độc lập tuyến tính – Sự phụ thuộc tuyến tính.4.2.1 Định nghĩa.

Cho n vectơ trong - không gian vectơ V, là n vô hướng trong . Vectơ

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ với hệ số . Và u gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ .

Nếu thì ta có một tổ hợp tuyến tính tầm thường; nếu tồn tại thì ta có một tổ hợp tuyến tính không tầm thường.4.2.2.Định nghĩa.

Hệ vectơ trong - không gian vectơ gọi là độc lập tuyến tính nếu với thì

Hệ không độc lập tuyến tính thì được gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại sao cho

4.2.3 Một số tính chất. (a) Mọi hệ chứa hai vectơ tỉ lệ nhau thì phụ thuộctuyến tính. (b) Mọi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tínhcũng là một hệ phụ thuộc tuyến tính. Nói riêng, mọi hệchứa vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. (c) Hệ gồm một vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉkhi vectơ đó khác vectơ không. (d) Mọi hệ con của một hệ độc lập tuyến tính đều là hệđộc lập tuyến tính. (e) Hệ gồm n vectơ là hệ phụ thuộc tuyến tínhkhi và chỉ khi tồn tại một vectơ nào đó của hệ biểu thịtuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.4.2.4 Hạng của hệ vectơ – Hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại.

Cho hệ vectơ W bất kì của không gian vectơ V, tập conU của W được gọi là hệ độc lập tuyến tính cực đại của Wnếu U là hệ độc lập tuyến tính, và mọi vectơ của W đều làtổ hợp tuyến tính của các vectơ trong U.

Nếu hệ W là hệ độc lập tuyến tính thì hệ độc lậptuyên tính cực đại của W chính là W.

Hạng của một hệ vectơ chính là số vectơ trong mỗi hệđộc lập tuyến tính cực đại của hệ đó.4.3. Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ.4.3.1 Định nghĩa. 1. Một hệ vectơ độc lập tuyến tính và sinh ra khônggian vectơ V khác gọi là một cơ sở của không gian đó.

Điều này có nghĩa là một hệ là một cơ sởkhi và chỉ khi là hệ sinh và là hệ độc lập tuyến tính.

Nói cách khác, môt hệ vectơ của V được gọi là một cơsở của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính duynhất qua hệ này. Như vậy, mỗi cơ sở của V đều là hệ sinh.4.3.2 Định nghĩa. Trong không gian vectơ V, cơ sở không tồn tại duy nhấtnhưng số vectơ trong cơ sở thì bằng nhau và gọi là sốchiều của không gian V. Kí hiệu: dim (V)

- Nếu thì ta quy ước .

(a) Không gian vectơ V gọi là hữu hạn chiều nếu V đượcsinh bởi một hệ sinh hữu hạn các vectơ. (b) Trong không gian vectơ V - n chiều, mọi hệ gồm nvectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V. Nếu trongkhông gian V - n chiều, hệ W gồm k vectơ (k < n) thì baogiờ ta cũng có thể bổ sung thêm (n – k) vectơ vào hệ W đểđược một cơ sở của V.4.4 Không gian con4.4.1 Định nghĩa.Cho V là một - không gian vectơ. Tập con W của V được gọi là một không gian vectơ con của V (gọi tắt là không gian con) nếu W cũng là một không gian vectơ đối với 2 phép toán đã cho trên V.4.4.2 Định lí.Giả sử V là một không gian vectơ trên , W là một tập concủa V. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:(a) W là một không gian con của V.(b) .(c) .4.4.3 Không gian con sinh bởi hệ vectơ. Giả sử là một hệ vectơ của không gian vectơ V trên trường . Khi đó, với mọi vectơ y của V, tập hợp

là một không gian con của V và được gọi là không gian consinh bởi hệ , và hệ được gọi là một hệ sinh của U. 4.4.4 Tổng và giao của hai không gian con.

Trong không gian vectơ V, giả sử U và W là hai khônggian con của V. Ta kí hiệu:

lần lượt là giao và tổng của hai không gian con U và W. Nếu thì U + W gọi là tổng trực tiếp của U và W, kí hiệu là .4.4.5 Định lí về số chiều của giao và tổng.Nếu U và W là 2 không gian con của K – không gian vectơ V thì

4.5 Tọa độ của vectơ đối với cơ sở - Ma trận chuyển cơ sở.4.5.1 Định nghĩa. Giả sử hệ vectơ là một cơ sở của - khônggian vectơ V. Khi đó, với mọi vectơ , u biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Bộ n số được gọi là tọa độ của vectơ u đối với cơ sở . Kí hiệu:

Ta có các tính chất sau:

(a)

(b) (c) Tọa độ của một vectơ trong các cơ sở khác nhau thì khác nhau.4.5.2 Định nghĩa.

Giả sử trong - không gian vectơ V có 2 cơ sở: và

Giả sử rằng hay ; .

Lập ma trận

Khi đó, ma trận T được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở sang cở sở . Như vậy, để tìm ma trận chuyển từ cơ sở sang cởsở , ta lần lượt tìm các tọa độ của các vectơ của cơ sởtrong cơ sở , ma trận chuyển cần tìm chính là ma trận

gồm các cột là tọa độ tương ứng của các vectơ của cơ sở trong cơ sở

Với x là một vectơ bất kì của V. Giả sử rằng:

Công thức: là công thức đổi tọa độ.

Nhận xét. Nếu gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở sang cởsở thì ma trận chính là ma trận chuyển từ cơ sở (2)sang cơ sở (1).4.6 Không gian vectơ Euclide4.6.1 Định nghĩa. Không gian vectơ Euclide là một không gian vectơ trên trường số thực , trong đó với mỗi cặp được tương ứng với một số thực, kí hiệu là , gọi là một tích vô hướng của x và y, sao cho các điều kiện sau được thỏa:(a) ; (b) ; (c) ; (d) ; 4.6.2 Hệ vectơ trực giao – Hệ vectơ trực chuẩn

Xét hệ vectơ (1) trong không gian vectơ .(a) Hệ vectơ (1) gọi là hệ trực giao nếu và

(b) Hệ vectơ (1) gọi là hệ trực chuẩn nếu và\\

(c) Mỗi vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.(d) Ðối với mọi vectơ của không gian , vectơ

là một vectơ đơn vị và gọi là chuẩn hóa vectơ x.

4.6.3 Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt. Đây là một phương pháp chuyển một hệ gồm n vectơ độclập tuyến tính của không gian sang hệ n vectơ không chứa vectơ không và trực giao với nhau từng đôi một. Giả sử là một hệ vectơ độc lập tuyến tính của không gian Euclide.Ta sẽ xây dựng một hệ gồm các vectơ trực giao của như sau: Đặt ;

Tiếp tục quá trình trên, sau hữu hạn bước ta tìm được p vectơ trực giao từng đôi một. Vectơ thứ p được tính theo công thức sau:

Vậy, hệ là một hệ vectơ cần tìm.CHƯƠNG 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1 Định nghĩa và ví dụ.5.1.1 Định nghĩa. Cho và là các - không gian vectơ. Ánh xạ

được gọi là ánh xạ tuyến tính xác định trên nếu f thỏa các điều kiện sau:(a) (b) Nếu thì ánh xạ tuyến tính được gọi là mộttoán tử tuyến tính (hay một phép biến đổi tuyến tính).Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sau:Nhận xét.(a) Ánh xạ là tuyến tính khi và chỉ khi

, ta đều có

(b) Nếu là một ánh xạ tuyến tính thì 5.1.3 Định nghĩa. Cho f là một ánh xạ tuyến tính đi từ không gian vetơ V vào không gian vectơ W. (a) f gọi là một đơn cấu nếu f là một đơn ánh.(b) f là gọi là một toàn cấu nếu f là một toàn ánh.(c) f gọi là một đẳng cấu nếu f là một song ánh.5.1.4 Định lí. [Về sự xác định ánh xạ tuyến tính] Cho V, W là các không gian vectơ trên trường . Hệ vectơ

là một cơ sở của V; là n VT bất kì của W. Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho .5.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính.5.2.1 Định nghĩa.

Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K, ánh xạ

là một ánh xạ tuyến tính.

(a) Tập được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ tuyến tính f.

Tập được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f. Kí hiệu:

(b) Tập được gọi là tạo ảnh (nghịch ảnh) của tập B.Tập gọi là hạt nhân của ánh xạ f. Kí hiệu:

Với ánh xạ tuyến tính , ta có nhận xét sau: (a) Imf là một không gian con của W. (b) Kerf là một không gian con của V.5.2.2 Mệnh đề. Gỉa sử là một ánh xạ tuyến tính.(a) f là một toàn cấu khi và chỉ khi .(b) f là một đơn cấu khi và chỉ khi Nếu f vừa là một đơn cấu vừa là một toàn cấu thì f được gọi là một đẳng cấu. Khi đó, ta nói đẳng cấu với , kí hiệu là . Một đẳng cấu f đi từ V vào chính nó được gọi là một tựđẳng cấu.5.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.5.3.1 Định nghĩa. Giả sử V, W là 2 không gian vectơ hữu hạn chiều. Gọi

là một cơ sở của V; là một cơ sở của W. Giả sử là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, mỗi vectơ có thể biểu diễn tuyến tínhduy nhất qua các vectơ cơ sở của W. Giả sử

Ta đặt ma trận

Ma trận được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với 2 cơ sở đã cho.5.3.3 Trường hợp đặc biệt.

(a) Xét ánh xạ tuyến tính đi từ vào . Khi đó, ma trận của đối với cặp cơ sở chính tắc của và là :

trong đó được viết dưới dạng cột.Ma trận A trong trường họp này gọi là ma trận chính

tắc của . Vì cơ sở chính tắc là duy nhất nên A là duy nhất.(b) Nếu thì ta chọn và ma trận tương ứng gọi là ma trận của f ðối với cơ sở . Khi đó, ta có công thức đổi tọa độ:

5.3.4 Định nghĩa. Cho ánh xạ tuyến tính và V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Khi đó, giá trị được gọi là hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu là .5.3.5 Định lí. Giả sử V, W là các không gian vectơ hũu hạn chiều và

là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, hạng của ánh xạtuyến tính f bằng hạng của ma trận của nó đối với cặp cơ sở nào đó.5.4 Ma trận đồng dạng.5.4.1 Định nghĩa. Mỗi ánh xạ tuyến tính từ - không gian vectơ V vào chính nó được gọi là một phép biến đổi tuyến tính (hay gọilà một toán tử tuyến tính trên V). 5.4.2 Định nghĩa. Hai ma trận A và B cùng cấp được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịch S sao cho .Nhận xét. Hai ma trận của cùng một toán tử tuyến tính trong không gian vectơ hữu hạn chiều đối với hai cơ sở khác nhau thì đồng dạng.

CHƯƠNG 6. TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – DẠNG TOÀN PHƯƠNG6.1 Trị riêng và vectơ riêng.6.1.1 Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều. Vectơ được gọi là mộtvectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính trên V nếu tồntại sao cho: . Khi đó: giá trị được gọi là trị riêng ứng với vectơriêng x.

Nhận xét.(a) Nếu vectơ x là vectơ riêng ứng với giá trị riêng thì là duy nhất.(b) Nếu vectơ x là vectơ riêng ứng với giá trị riêng thì cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng .(c) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau nhau thì độc lập tuyến tính. 6.1.2 Định nghĩa. Cho toán tử tuyến tính f trên - không gian vectơ V. Gọi là ma trận của f đối với một cơ sở nào đó của V. Đa thức đặc trưng của toán tử tuyến tính f là đa thức có dạng:

. Ta nhận thấy rằng đa thức không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở mà chỉ phụ thuộc vào toán tử tuyến tính f.Nghiệm của đa thức đặc trưng của f chính là các giá trị riêng của f. Đa thức cũng được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Các nghiệm của đa thức đặc trưng cũnggọi là các giá trị riêng của ma trận A. Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng, dođó chúng có cùng giá trị riêng. Nếu thì các vectơ riêng của toán tử tuyến tính f cũng gọi là các vectơ riêng của ma trận A (trong đóA là ma trận của f đối với một cơ sở nào đó của V) . Nếu A là ma trận tam giác thì các giá trị riêng của A nằm trên đường chéo chính của ma trận A.6.1.3 Định nghĩa. Mọi ma trận đồng dạng với ma trận đường chéo được gọi là ma trận chéo hóa được.

Điều này có nghĩa là, ma trận gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch sao cho

có dạng đường chéo. Khi đó, ma trận T được gọi là ma trận làm chéo hóa ma trận A.Nhận xét.- Mọi ma trận cấp n có n giá trị riêng khác nhau thì chéohóa được.- Ma trận A cấp n là chéo hóa được khi và chỉ khi A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

6.1.4 Thuật toán chéo hóa ma trận vuông cấp n. Thuật toán chéo hóa ma trận vuông cấp n là công việc đi tìm ma trận làm chéo hóa ma trận A và tìm dạng chéo củama trận A. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ðể tìm ma trận làm chéohóa ma trận A và tìm dạng chéo của A, ta thực hiện các bước sau:- Bước 1: Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng là .- Bước 2: Lập ma trận P gồm các cột là các vectơ riêng

. Ðây là ma trận làm chéo hóa ma trận A.- Bước 3: Ma trận dạng chéo của A sẽ là ma trận

6.2 Dạng toàn phương.6.2 .1 Định nghĩa. Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên . Ánhxạ được gọi là một dạng song tuyến tính xác định trên nếu , ta có: (i) (ii) (iii) (iv) 6.2.2 Ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng.

Giả sử f là một dạng song tuyến tính trên không gian vectơ n chiều V. Trên V, chọn một cơ sở xác định (1).

Khi đó, có biểu diễn:

Suy ra:

Dạng song tuyến tính hoàn toàn được xác định nếu biết được các giá trị của .Đặt . Khi đó, ma trận là ma trận của dạngsong tuyến tính f trong cơ sở (1).6.2.3 Định nghĩa.

Dạng toàn phương trên không gian vectơ hữu hạn chiều V là một dạng song tuyến tính trên V thu được bằng cách thay y bởi x, kí hiệu là . Khi đó, dạng song tuyến tính trên V gọi là dạng song tuyến tính gốc sinh ra dạng toàn phương .

6.2.4 Phân loại dạng toàn phương. Ta nói dạng toàn phương xác định trên V được gọi là:

(a) xác định dương nếu ; (b) nửa xác định dương nếu ; (c) xác định âm nếu ; (d) nửa xác định âm nếu ; (e) dấu không xác định} nếu nó có thể dương cũng như

âm.6.2.5 Ma trận của dạng toàn phương.Cho dạng toàn phương xác định trên không gian vectơ V hữu hạn chiều; (I) là một cơ sở nào đó của V.

Đặt , ma trận được gọi là ma trậncủa dạng toàn phương đối với cơ sở .

Biểu thức được gọi là dạng tọa độ

của dạng toàn phương .Tuy nhiên, có thể viết biểu thức dạng tọa độ của dưới dạng ma trận:

Xét một cơ sở khác của V là (II). Giả sử B là ma trận của dạng toàn phương đối với cơ sở (II).Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở (I) sang cơ sở (II). Ta có: .6.2.6 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.(a) Phương pháp Largange.

Xét dạng toàn phương khác 0 :

Nếu mọi hệ số ; thì khi đó phải có . Chẳng hạn, , thực hiện phép biến đổi tọa độ:

Ta được biểu thức tọa độ mới của có hệ số củalà .

Do đó, không mất tính tổng quát có thể giả thiết rằngcó hệ số , chẳng hạn . Ta có:

Thực hiện phép biến đổi tọa độ sau:

Khi đó, dạng toàn phương có tọa độ mới là

Giữ nguyên biến , tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên đối với các biến , cuối cùng ta nhận được dạng chính tắc của dạng toàn phương.(b) Phương pháp Jacobian

Cho dạng toàn phương . Giả sử trong cơ sở của không gian vectơ , có ma trận là:

Ðặt : ; ;

Nếu thì tồn tại một cơ sở của sao cho có dạng chính tắc:

trong đó:

Chú ý. Phương pháp Jacobian chỉ là điều kiện đủ với điều kiện ; i = 1,...,n. 6.2.7 Định lí. Ta gọi số các hệ số khác không trong một dạng chính tắccủa dạng toàn phương là chỉ số quán tính của dạng toànphưong. Nếu hệ số dưong thì chỉ số quán tính dương; nếu hệsố âm thì chỉ số quán tính âm.6.2.8 Tiêu chuẩn Sylvester. (a) xác định dương nếu chỉ số quán tính dương của bằng n hay ; . (b) xác định âm nếu chỉ số quán tính âm của bằng n hay ; . (c) nửa xác định dương nếu chỉ số quán tính âm bằng 0 và chỉ số quán tính dương nhỏ hơn n. (d) nửa xác định âm nếu chỉ số quán tính dương bằng 0 và chỉ số quán tính âm nhỏ hơn n.