Giao trinh toan roi rac

95

Transcript of Giao trinh toan roi rac

Create by F4VN Ebook Team !Upload and edit by lythanhthuan --http://free4vn.org-- [email protected]

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 1

Ch­ng 1 : cÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1.1. Quy nÂčp tožn hĂ€c 1.1.1. NguyÂȘn lĂœ quy nÂčp tožn hĂ€c Gi¶ sö r»ng vĂ­i mçi sĂš nguyÂȘn d­ng n = 1,2,... ta cĂŁ mÖnh ¼Ò l«gic S(n) hoÆc Ÿóng hoÆc sai. Gi¶ thiÕt

a) B­íc cÂŹ sĂ« : S(1) Ÿóng. b) B­íc qui nÂčp : NÕu vĂ­i mĂ€i k > 1, S(i) Ÿóng vĂ­i mĂ€i i < k , th× S(k) Ÿóng. Khi Ÿã S(n) Ÿóng vĂ­i mĂ€i n.

Ta cĂŁ thÓ minh hoÂč nguyÂȘn lĂœ qui nÂčp qua h×nh ¶nh sau : Cho mĂ©t d·y viÂȘn bi xÕp theo thĂž tĂč 1,2,..., n,... Gi¶ sö viÂȘn bi thĂž nhÊt cĂŁ m”u Ÿå v” nÕu vĂ­i mĂ€i k > 1, k-1 viÂȘn bi ¼Çu m”u Ÿå th× viÂȘn bi thĂž k cĂČng m”u Ÿå. Khi Ÿã ta kÕt luËn r»ng tÊt c¶ viÂȘn bi ¼Òu m”u Ÿå. 1.1.2. B”i tožn xÕp Tromino Tromino l” vËt gĂ„m 3 « vu«ng Ÿn vÞ kÝch th­íc 1x1 ghÐp lÂči dÂčng bÂȘn Cho mĂ©t h×nh B gĂ„m nhiÒu « vu«ng Ÿn vÞ ghÐp lÂči. Ta nĂŁi h×nh B cĂŁ thÓ phñ Tromino nÕu cĂŁ thÓ dĂŻng cžc qu©n Tromino xÕp kÝn h×nh B vĂ­i ÂźiÒu kiÖn Tromino kh«ng chĂ„ng lÂȘn nhau v” kh«ng phñ ra ngo”i h×nh B. B”n cĂȘ kÝch th­íc n x n gĂ€i l” khuyÕt nÕu thiÕu 1 « vu«ng Ÿn vÞ. Ta chĂžng minh r»ng b”n cĂȘ khuyÕt 2n x 2n cĂŁ thÓ phñ Tromino. a) B­íc cÂŹ sĂ« : n =1. Tromino chÝnh l” b”n cĂȘ khuyÕt 2x2. B”n cĂȘ khuyÕt 4x4 cĂŁ thÓ phñ Tromino nh­ h×nh bÂȘn: b) B­íc qui nÂčp : Gi¶ thiÕt r»ng b”n cĂȘ khuyÕt 2n−1x2n−1 cĂŁ thÓ phñ Tromino. Ta ph¶i chĂžng minh r»ng b”n cĂȘ khuyÕt 2nx2n cĂŁ thÓ phñ Tromino. ThËt vËy b”n cĂȘ khuyÕt 2nx2n cĂŁ thÓ chia th”nh 4 b”n cĂȘ khuyÕt con 2n−1x2n−1 nh­ sau : 2n-1 2n−1 2n

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 2

B”n cĂȘ con chĂža « khuyÕt cĂŁ thÓ phñ Tromino theo gi¶ thuyÕt qui nÂčp. Qu©n Tromino Ă« giĂ·a l”m cho cžc b”n cĂȘ con khžc bÞ khuyÕt. Nh­ vËy cĂČng theo gi¶ thiÕt qui nÂčp chĂłng cĂČng cĂŁ thÓ phñ Tromino. Nh­ vËy b”n cĂȘ khuyÕt 2nx2n cĂČng Ÿ­ßc phñ b»ng cžc qu©n Tromino. TĂŠng qužt ta cĂŁ thÓ chĂžng minh : MĂ€i b”n cĂȘ khuyÕt n x n vĂ­i n2 -1 chia hÕt 3 v” n ≠ 5 ¼Òu cĂŁ thÓ phñ Tromino. ‱ B”i tËp Sö dĂŽng nguyÂȘn lÝ qui nÂčp tožn hĂ€c chĂžng minh cžc ÂźÂŒng thĂžc sau Ÿóng vĂ­i mĂ€i n nguyÂȘn d­ng.

1. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 2. 12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n + 1)/6 3. 1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) = (n + 1)! − 1

4. !2

1 +

!32

+ ... + )!1( +n

n = 1 −

)!1(1+n

5. 12 − 22 + 32 − ... + (−1)n+1.n2 = (−1)n+1.n(n+1)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 3

1.2. TËp hĂźp 1.2.1. Cžc khži niÖm cÂŹ b¶n ‱ §Þnh nghÜa: Khži niÖm tËp hĂźp l” khži niÖm nÒn t¶ng cho tožn hĂ€c cĂČng nh­ Ăžng dĂŽng cña nĂŁ. TËp hĂźp Ÿ­ßc coi l” kÕt hĂźp cžc ŸÚi t­ßng cĂŁ cĂŻng b¶n chÊt (thuĂ©c tÝnh, dÊu hiÖu) chung n”o Ÿã. TËp hĂźp th­ĂȘng Ÿ­ßc kĂœ hiÖu b»ng cžc chĂ· cži A, B, C , ... Cžc phÇn tö cña tËp hĂźp kĂœ hiÖu b»ng cžc chĂ· th­ĂȘng a, b, c,... §Ó chØ x l” phÇn tö cña X ta viÕt : x ∈ X (ŸÀc : x thuĂ©c X ) §Ó chØ x kh«ng ph¶i l” phÇn tö cña X ta viÕt : x ∉ X (ŸÀc : x kh«ng thuĂ©c X ) TËp kh«ng cĂŁ phÇn tö gĂ€i l” tËp rçng v” kĂœ hiÖu ∅ ‱ BiÓu diÔn tËp hĂźp:

‱ LiÖt kÂȘ cžc phÇn tö : A = { a, b, c } X = { x1, x2, ... , xn }

‱ BiÓu diÔn tËp hĂźp b»ng cžch m« t¶ tÝnh chÊt : C = { n | n l” sĂš chÂœn } Y = { x | x l” nghiÖm ph­ng tr×nh x2 + 2x - 5 = 0 } ‱ LĂčc l­ßng tËp hĂźp: SĂš phÇn tö cña A, kĂœ hiÖu l” A hoÆc card(A), gĂ€i l” lĂčc l­ßng cña tËp A. NÕu A < ∞ , ta nĂŁi A l” tËp hĂ·u hÂčn, nÕu A = ∞ , ta nĂŁi A l” tËp v« hÂčn. Trong ch­ng tr×nh n”y ta gi¶ thiÕt cžc tËp hĂźp l” hĂ·u hÂčn . ‱ Quan hÖ bao h”m: Cho hai tËp A, B.

NÕu mçi phÇn tö thuĂ©c A cĂČng thuĂ©c B ta nĂŁi A l” tËp con cña B (hoÆc A bao h”m trong B) v” kĂœ hiÖu

A ⊂ B NÕu A kh«ng ph¶i tËp con cña B ta kĂœ hiÖu

A ⊄ B

NÕu A ⊂ B v” B ⊂ A ta nĂŁi A b»ng B v” kĂœ hiÖu

A = B

TËp tÊt c¶ tËp con cña A kĂœ hiÖu l” P(A) ‱ §Þnh lĂœ 1. NÕu A = n , th× P (A) = 2n Chứng minh Quy nÂčp theo n. ‱ §Þnh lĂœ 2. Quan hÖ bao h”m cĂŁ cžc tÝnh chÊt sau Ÿ©y. ‱ Ph¶n xÂč ∀ A : A ⊂ A ‱ Ph¶n ŸÚi xĂžng ∀A, B : A ⊂ B & B ⊂ A ⇒ A = B ‱ BŸc cÇu ∀A, B, C : A ⊂ B & B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 4

Chứng minh HiÓn nhiÂȘn. 1.2.2. Cžc phÐp tožn tËp hĂźp Cho cžc tËp A v” B. Ta ¼Þnh nghÜa cžc phÐp tožn sau. ‱ PhÐp hiÖu: HiÖu cña A v” B, kĂœ hiÖu A \ B l” tËp:

A \ B = { x x ∈ A & x ∉ B } ‱ PhÇn bĂŻ: Cho tËp X v” A ⊂ X. PhÇn bĂŻ cña A (trong X) l” tËp

A X = X \ A ‱ PhÐp hĂźp: HĂźp cña A v” B, kĂœ hiÖu A âˆȘ B l” tËp

A âˆȘ B = { x x ∈ A hoÆc x ∈ B } ‱ PhÐp giao: Giao cña A v” B, kĂœ hiÖu A ∩ B l” tËp

A ∩ B = { x x ∈ A & x ∈ B } ‱ Ph©n hoÂčch:

- NÕu A ∩ B = ∅, ta nĂŁi A v” B rĂȘi nhau.

- NÕu cžc tËp X1, X2, ... , Xn tho¶

A = X1 âˆȘ X2 âˆȘ ... âˆȘ Xn v” chĂłng rĂȘi nhau tĂ”ng Ÿ«i mĂ©t, ta nĂŁi { X1, X2, ... , Xn } l” mĂ©t ph©n hoÂčch cña tËp hĂźp A. ‱ §Þnh lĂœ 1 (nguyÂȘn lÝ cĂ©ng). Gi¶ sö { X1, X2, ... , Xn } l” mĂ©t ph©n hoÂčch cña tËp S. Khi Ÿã

S= X1+ X2 + ... + Xn Chứng minh HiÓn nhiÂȘn. ‱ HÖ qu¶ :

A âˆȘ B = A+ B − A ∩ B ‱ §Þnh lĂœ 2. Cho cžc tËp A, B, C trong tËp vĂČ trĂŽ U, khi Ÿã ta cĂŁ : a) LuËt kÕt hĂźp :

( A âˆȘ B ) âˆȘ C = A âˆȘ ( B âˆȘ C ) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

b) LuËt giao ho¾n :

A âˆȘ B = B âˆȘ A A ∩ B = B ∩ A

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 5

c) LuËt ph©n bĂš : A âˆȘ ( B ∩ C ) = (A âˆȘ B) ∩ (A âˆȘ C ) A ∩ ( B âˆȘ C ) = (A ∩ B) âˆȘ (A ∩ C )

d) LuËt phñ ¼Þnh kÐp

A = A

e) LuËt ¼ùi ngÉu De Morgan:

BABA ∩=âˆȘ & BABA âˆȘ=∩

nn AAAAAA ∩∩∩=âˆȘâˆȘâˆȘ ...... 2121

nn AAAAAA âˆȘâˆȘâˆȘ=∩∩∩ ...... 2121 Chứng minh HiÓn nhiÂȘn 1.2.3. TÝch §Ò-cžc ‱ §Þnh nghÜa: ‱ TÝch §Ò-cžc cña hai tËp A, B l” tËp

A x B = { (a,b) a ∈ A & b ∈ B } ‱ TÝch §Ò-cžc cña cžc tËp X1, X2, ... , Xn l” tËp

X1x X2 x ... x Xn = { (x1, x2, ... , xn) x1∈ X1 & x2 ∈ X2 & ... & xn ∈ Xn } ◊ VÝ dĂŽ. Cho A = {a, b} v” B = {1, 2, 3}. Ta cĂŁ

A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} v”

B x A = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} ‱ §Þnh lĂœ 3. Ta cĂŁ

X1x X2 x ... x Xn = X1. X2. ... . Xn ‱ B”i tËp 1. ChĂžng minh cžc tÝnh chÊt sau Ÿ©y. a. ∀ A, B, C : A ⊂ B ⇒ (A \ C) ⊂ (B \ C) b. ∀ A, B, C : A ⊂ B ⇒ (A∩C) ⊂ (B∩C) c. ∀ A, B, C : A ⊄ B ⇒ A \ B ≠ ∅ d. ∀ A, B, C : A ⊄ B v” B ∩ C = ∅ ⇒ (A âˆȘ C) ⊄ (B âˆȘ C) 2. ChĂžng minh cžc tÝnh chÊt sau Ÿ©y. a. ∀ A, B : A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A & A âˆȘ B = B b. ∀ A, B : A \ B = A ⇔ B \ A = B c. ∀ A, B, C : A⊂ (BâˆȘC) ⇔ A \ B ⊂ C d. ∀ A,B, C : A⊂ B⊂ C ⇔ AâˆȘB = B∩C

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 6

3. ChĂžng minh cžc tÝnh chÊt sau Ÿ©y. a. ∀ A, B, C : (A∩B)×C = (A×C)∩(B×C) b. ∀ A, B, C : (AâˆȘB)×C = (A×C)âˆȘ(B×C) c. ∀ A, B, C : (A \ B)×C = (A × C) \ (B × C) d. ∀ A, B : A × B = ∅ ⇔ A = ∅ hoÆc B = ∅

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 7

1.3. Quan hÖ 1.3.1. §Þnh nghÜa ‱ Quan hÖ hai ng«i R tĂ” tËp X v”o tËp Y l” tËp con cña tÝch X x Y. NÕu X = Y th× ta nĂŁi R l” quan hÖ (hai ng«i) trÂȘn X. NÕu (x,y) ∈ R ta viÕt x R y . ‱ Quan hÖ R trÂȘn X gĂ€i l” ph¶n xÂč nÕu ∀ x ∈ X : (x,x) ∈ R ‱ Quan hÖ R trÂȘn X gĂ€i l” ŸÚi xĂžng nÕu (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R ‱ Quan hÖ R trÂȘn X gĂ€i l” ph¶n ŸÚi xĂžng nÕu (x,y) ∈ R & (y,x) ∈ R ⇒ x = y ‱ Quan hÖ R trÂȘn X gĂ€i l” bŸc cÇu (truyÒn Ăžng) nÕu (x,y) ∈ R & (y,z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R ◊ VÝ dĂŽ. 1. Quan hÖ â€œÂźĂ„ng nhÊt” I = {(x, x) | x ∈ X} 2. Quan hÖ “chia hÕt” D = {(x, y) ∈ N2 | ∃n ∈ N, y = n.x } 3. Quan hÖ ŸÄng d­ ‘’modul p’’ M = {(x, y) | ∃n ∈ N, x − y = n.p } 4. Quan hÖ ‘bao h”m’ trÂȘn tËp cžc tËp con cña tËp X,

B = {(A, B) | A ⊂ B , A, B ∈ P(X) } 5. Quan hÖ ‘’song song’’ P = {(d, e) | d // e, d, e ∈ tËp hĂźp cžc Ÿ­ĂȘng thÂŒng} 1.3.2. Quan hÖ t­ng Ÿ­ng v” ph©n hoÂčch ‱ §Þnh nghÜa. Quan hÖ R trÂȘn X gĂ€i l” t­ng Ÿ­ng nÕu nĂŁ l” ph¶n xÂč, ŸÚi xĂžng v” bŸc cÇu. ‱ §Þnh lĂœ 1. Cho ph©n hoÂčch

S = { X1, X2, ... , Xn } cña tËp X. Ta ¼Þnh nghÜa quan hÖ R trÂȘn X nh­ sau

x R y ⇔ ∃ i : x ∈ Xi & y ∈ Xi Khi Ÿã R l” quan hÖ t­ng Ÿ­ng. Chứng minh HiÓn nhiÂȘn. ‱ §Þnh lĂœ 2. Cho R l” quan hÖ t­ng Ÿ­ng trÂȘn X. VĂ­i mçi a ∈ X ta ¼Æt

[a] = { x ∈ X | x R a }.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 8

Khi Ÿã

S = {[a] a ∈ X } l” mĂ©t ph©n hoÂčch cña X. Chứng minh HiÓn nhiÂȘn. ‱ Ghi chĂł. Cžc tËp [a] Ă« ¼Þnh lÝ trÂȘn gĂ€i l” cžc lĂ­p t­ng Ÿ­ng. TËp hĂźp cžc lĂ­p t­ng Ÿ­ng n”y gĂ€i l” tËp th­ng cña tËp X v” kÝ hiÖu l” X/~ ◊ VÝ dĂŽ 1. X l” tËp 10 viÂȘn bi hoÆc m”u Ÿå, hoÆc m”u xanh, hoÆc m”u trŸng. GĂ€i A l” tËp cžc viÂȘn bÞ m”u Ÿå, B l” tËp cžc viÂȘn bÞ m”u xanh v” C l” tËp cžc viÂȘn bÞ m”u trŸng. HiÓn nhiÂȘn {A,B,C} l” ph©n hoÂčch cña X v” chĂłng cĂČng l” cžc lĂ­p t­ng Ÿ­ng cña quan hÖ R sau :

x R y ⇔ x, y cĂŻng m”u. ◊ VÝ dĂŽ 2. XÐt quan hÖ â€˜â€™ÂźĂ„ng d­ modul p’’ trÂȘn tËp sĂš nguyÂȘn N. Khi Ÿã ∀ k ∈ N, 0 ≀ k < p ta cĂŁ [k] = { x | x = q.p + k} v” N /~ = {[0], [1], ..., [p -1]} 1.3.3. Quan hÖ thĂž tĂč ‱ §Þnh nghÜa. Quan hÖ hai ng«i R xžc ¼Þnh trÂȘn tËp X gĂ€i l” quan hÖ thĂž tĂč nÕu cĂŁ ŸÄng thĂȘi c¶ ba tÝnh chÊt ph¶n xÂč, ph¶n ŸÚi xĂžng v” bŸc cÇu. Quan hÖ thĂž tĂč cĂŁ thÂȘm tÝnh chÊt

∀ x, y ∈ X : x R y hoÆc y R x

gĂ€i l” quan hÖ thĂž tĂč to”n phÇn.

NÕu quan hÖ kh«ng cĂŁ tÝnh chÊt trÂȘn th× gĂ€i l” quan hÖ thĂž tĂč bĂ© phËn. TËp hĂźp trÂȘn Ÿã cĂŁ xžc ¼Þnh mĂ©t quan hÖ thĂž tĂč gĂ€i l” tËp hĂźp sŸp thĂž tĂč. Ta dĂŻng kÝ hiÖu ≀ ¼Ó chØ quan hÖ thĂž tĂč, khi Ÿã kÝ hiÖu x ≀ y ŸÀc l” ‘’x bÐ hÂŹn hoÆc b»ng y’’. ◊ VÝ dĂŽ. TrÂȘn tËp sĂš tĂč nhiÂȘn N, quan hÖ “bÐ hÂŹn hoÆc b»ng” l” quan hÖ thĂž tĂč to”n phÇn, quan hÖ “chia hÕt” D l” quan hÖ thĂž tĂč bĂ© phËn. ‱ §Þnh nghÜa. Cho A l” tËp con cña tËp sŸp thĂž tĂč < X, ≀ > ‱ PhÇn tö a ∈ A gĂ€i l” phÇn tö cĂčc tiÓu (cĂčc ÂźÂči) cña tËp A nÕu

∀ x ∈ A, x ≀ a (a ≀ x) ⇒ x = a

‱ PhÇn tö b ∈ A gĂ€i l” phÇn tö bÐ nhÊt (lĂ­n nhÊt) cña tËp A nÕu

∀ x ∈ A, b ≀ x (x ≀ b)

‱ PhÇn tö c ∈ X gĂ€i l” cËn d­íi (cËn trÂȘn) cña tËp A nÕu

∀ x ∈A, c ≀ x (x ≀ c)

‱ KĂœ hiÖu Inf(A) = { c ∈ X | c l” cËn d­íi cña tËp A}

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 9

Sup(A) = { c ∈ X | c l” cËn trÂȘn cña tËp A}

PhÇn tö lĂ­n nhÊt (bÐ nhÊt ) cña Inf(A) (Sup(A)), nÕu tĂ„n tÂči, gĂ€i l” cËn d­íi ( cËn trÂȘn ) Ÿóng cña

tËp A v” kÝ hiÖu l” ∧(A) ( √(A)). MĂ©t tËp cĂŁ thÓ cĂŁ nhiÒu cĂčc tiÓu (cĂčc ÂźÂči), tuy nhiÂȘn kh«ng ph¶i lĂłc n”o nĂŁ cĂČng cĂŁ phÇn tö bÐ nhÊt (lĂ­n nhÊt). ‱ §Þnh lĂœ 3. Cho A l” tËp con cña tËp sŸp thĂž tĂč ( X, ≀ ). NÕu tËp A cĂŁ phÇn tö bÐ nhÊt (lĂ­n nhÊt), th× phÇn tö Ÿã l” duy nhÊt. ChĂžng minh Gi¶ sö, trži lÂči, tËp A cĂŁ cžc phÇn tö bÐ nhÊt l” b v” b ’. Theo ¼Þnh nghÜa ta cĂŁ b ≀ b’ v” b’ ≀ b Do tÝnh ph¶n ŸÚi xĂžng suy ra b = b’ T­ng tĂč chĂžng minh ŸÚi vĂ­i phÇn tö lĂ­n nhÊt . ‱ HÖ qu¶. PhÇn tö cËn d­íi Ÿóng ∧(A) (cËn trÂȘn Ÿóng √(A)) nÕu tĂ„n tÂči l” duy nhÊt . ◊ VÝ dĂŽ. XÐt quan hÖ “chia hÕt” trÂȘn tËp hĂźp M = N \ {0,1}. 1. TËp A = {2, 4, 6} cĂŁ cĂčc tiÓu l” 2 v” cĂČng l” phÇn tö bÐ nhÊt. CĂŁ cžc cĂčc ÂźÂči l” 4 v” 6 nh­ng kh«ng cĂŁ phÇn tö lĂ­n nhÊt. 2. Inf (A) ={2}, ∧(A) = 2 v” Sup(A) = {12k | k ∈ M}, √(A) = 12 3. TËp M cĂŁ cžc phÇn tö cĂčc tiÓu l” cžc sĂš nguyÂȘn tĂš, kh«ng cĂŁ cžc phÇn tö bÐ nhÊt, phÇn tö cĂčc ÂźÂči, phÇn tö lĂ­n nhÊt. ‱ B”i tËp 1. T×m quan hÖ hai ng«i cĂŁ tÝnh chÊt. a. Ph¶n xÂč v” bŸc cÇu nh­ng kh«ng ph¶n ŸÚi xĂžng b. Ph¶n xÂč v” ŸÚi xĂžng nh­ng kh«ng bŸc cÇu c. §Úi xĂžng v” bŸc cÇu nh­ng kh«ng ph¶n xÂč d. Ph¶n xÂč v” ŸÚi xĂžng nh­ng kh«ng bŸc cÇu 2. Cho R l” quan hÖ hai ng«i xžc ¼Þnh trÂȘn tËp X. KÝ hiÖu R−1 = {(x, y) | (y, x) ∈ R}. T×m cžc tÝnh chÊt cña R−1 theo cžc tÝnh chÊt cña R. 3. ChĂžng minh r»ng quan hÖ ŸÄng d­ modul 5 l” quan hÖ t­ng Ÿ­ng trÂȘn tËp N. T×m lĂ­p t­ng Ÿ­ng [2] v” tËp th­ng N /~ . 4. ChĂžng minh r»ng quan hÖ chia hÕt l” quan hÖ thĂž tĂč trÂȘn tËp hĂźp N \ {0,1}. T×m cžc phÇn tö cĂčc ÂźÂči, cĂčc tiÓu, bÐ nhÊt v” lĂ­n nhÊt. 5. TrÂȘn tËp X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} cĂŁ quan hÖ chia hÕt D v” A = {2, 4, 6}. T×m cžc phÇn tö cĂčc ÂźÂči, cĂčc tiÓu, bÐ nhÊt, lĂ­n nhÊt cña A v” X.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 10

1.4. žnh XÂč 1.4.1. §Þnh nghÜa Cho tËp X, Y v” quan hÖ R ⊂ X x Y. MiÒn xžc ¼Þnh cña R trÂȘn X Ÿ­ßc ¼Þnh nghÜa v” kĂœ hiÖu l”

dom(R) = { x ∈ X ∃ y ∈ Y : (x,y) ∈ R} Quan hÖ f ⊂ X x Y gĂ€i l” žnh xÂč tĂ” X v”o Y nÕu: i) dom(f) = X ii) if (x,y) ∈ f & (x,y’) ∈ f , th× y = y’ ‱ KĂœ hiÖu f : X → Y v” y = f(x) nÕu (x,y) ∈ f . TËp X gĂ€i l” tËp nguĂ„n (miÒn xžc ¼Þnh), tËp Y l” tËp ¼Ých (miÒn giž trÞ) cña žnh xÂč f. PhÇn tö y gĂ€i l” ¶nh cña phÇn tö x qua žnh xÂč f. Hai žnh xÂč f : X → Y v” g : X→ Y gĂ€i l” b»ng nhau, kÝ hiÖu l” f ≡ g, nÕu

∀ x ∈ X, f(x) = g(x)

◊ VÝ dĂŽ 1 Quan hÖ â€œÂźĂ„ng nhÊt” I = {(x, x) | x ∈ X} xžc ¼Þnh trÂȘn tËp X kh«ng rçng bÊt kĂș l” žnh xÂč IdX : X→X , IdX(x) = x ∀ x ∈X ◊ VÝ dĂŽ 2 Quan hÖ “ lÊy tĂŠng” S = {(x, y, z) | x + y = z } xžc ¼Þnh trÂȘn tËp sĂš tĂč nhiÂȘn N l” žnh xÂč s : N x N → N , s(x, y) = x + y ∀ (x,y) ∈ N2

◊ VÝ dĂŽ 3 Cho X = {1, 2, 3, 4} v” Y = {a, b, c, d, e}. Quan hÖ f = {(1, a), (2, a), (3, c), (4, d)} l” žnh xÂč f : X → Y, f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c, f(4) = d Quan hÖ g = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} l” žnh xÂč g : X → Y, g(1) = a, g(2) = b, g(3) = c, g(4) = d ‱ Cho žnh xÂč f : X → Y v” cžc tËp con A ⊂ X, B ⊂ Y. TËp f(A) = { f(x) | x ∈ A} gĂ€i l” ¶nh cña tËp A. TËp f−1(B) = { x ∈ X | f(x) ∈ B} gĂ€i l” tÂčo ¶nh to”n phÇn cña tËp B. §Æc biÖt Im(f) = f(X) v” Dom(f) = f−1(Y). ◊ VÝ dĂŽ 4

Trong vÝ dĂŽ 3 Ă« trÂȘn chĂ€n A = {2, 3} v” B = {a, c}. Ta cĂŁ

f(A) = {a, c}, f−1(B) = {1, 2, 3}, f−1(e) = ∅, Im(f) = {a, c, d} ‱ §Þnh lĂœ 1. Cho žnh xÂč f : X → Y v” A, B l” tËp con cña X cßn C, D l” tËp con cña Y. Khi Ÿã 1. f(AâˆȘB) = f(A) âˆȘ f(B)

2. f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

3. f−1(CâˆȘD) = f−1(C) âˆȘ f−1(D) 4. f−1(C∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) Chứng minh Ta chĂžng minh tÝnh chÊt 1:

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 11

∀ y: y ∈ f(AâˆȘB) ⇔ y ∈ f(A) âˆȘf(B)

ThËt vËy y ∈ f(AâˆȘB) ⇔ ∃ x ∈ AâˆȘB sao cho y = f(x) ⇔ ( ∃ x ∈ A : y = f(x)) hoÆc ( ∃ x ∈ B : y = f(x))

⇔ y ∈ f(A) hoÆc y ∈ f(B) ⇔ y ∈ f(A) âˆȘ f(B)

T­ng tĂč chĂžng minh cžc tÝnh chÊt cßn lÂči. ‱ D·y cžc phÇn tö cña tËp X l” h”m f tĂ” tËp {1, 2, 3, ...} v”o X. KĂœ hiÖu fn = f(n) ∀ n ∈ {1, 2, 3, ...} ta cĂŁ d·y

f1, f2, ..., fn ,... ‱ žnh xÂč f : X → Y gĂ€i l” Ÿn žnh nÕu

∀x, x’ ∈ X : f(x) = f(x’) ⇒ x = x’ ◊ Ghi chĂł: NÕu tĂ„n tÂči Ÿn žnh f : X → Y , th× X ≀ Y ‱ žnh xÂč f : X → Y gĂ€i l” to”n žnh nÕu

∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f(x) ◊ Ghi chĂł: NÕu tĂ„n tÂči to”n žnh f : X → Y , th× Y ≀ X ‱ žnh xÂč f : X → Y gĂ€i l” song žnh nÕu f vĂ”a l” Ÿn žnh vĂ”a l” to”n žnh. ◊ Ghi chĂł: NÕu tĂ„n tÂči song žnh f : X → Y , th× X = Y ◊ VÝ dĂŽ 5. žnh xÂč â€œÂźĂ„ng nhÊt” IdX Ă« vÝ dĂŽ 1 l” song žnh. žnh xÂč “lÊy tĂŠng” s Ă« vÝ dĂŽ 2 l” to”n žnh. žnh xÂč g Ă« vÝ dĂŽ 3 kh«ng l” Ÿn žnh v” cĂČng kh«ng l” to”n žnh. žnh xÂč f Ă« vÝ dĂŽ 3 l” song žnh. 1.4.2. Cžc phÐp tožn žnh xÂč ‱ §Þnh nghÜa. Cho žnh xÂč f : X → Y, x |→ f(x) v” žnh xÂč g : Y → Z, y|→ g(y) . žnh xÂč h : X → Z, x → h(x) = g[f(x)] gĂ€i l” tÝch cña žnh xÂč f v” žnh xÂč g v” kĂœ hiÖu l” h = g o f. ◊ VÝ dĂŽ 6. Cho cžc žnh xÂč f, g : R → R vĂ­i f(x) = 2x + 1 v” g(x) = sin(x) ∀ x ∈ R. Ta cĂŁ

(g o f)(x) = sin(2x + 1) & (f o g)(x) = 2sin(x) + 1 ‱ §Þnh lĂœ 2. TÝch cžc žnh xÂč cĂŁ tÝnh kÕt hĂźp

h o (g o f) = (h o g) o f ChĂžng minh

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 12

Gi¶ sö f : X → Y, g : Y → Z v” h : Z → V. Ta chĂžng minh r»ng ∀ x ∈ X, [h o (g o f)](x) = [(h o g) o f](x)

ThËt vËy ∀ x ∈ X, [h o (g o f)](x) = h[(g o f)(x)] = h[g[f(x)]] ∀ x ∈ X, [(h o g) o f](x) = (h o g)[f(x)] = h[g[f(x)]]

TĂ” Ÿã suy ra ∀ x ∈ X, [h o (g o f)](x) = [(h o g) o f](x)

‱ §Þnh lĂœ 3. Cho f : X → Y, g : Y → Z v” h = g o f : X → Z. Khi Ÿã 1. NÕu f v” g l” Ÿn žnh (to”n žnh) th× h l” Ÿn žnh (to”n žnh) 2. NÕu h l” Ÿn žnh (to”n žnh) th× f l” Ÿn žnh (to”n žnh) 3. NÕu h l” Ÿn žnh v” f l” to”n žnh th× g l” Ÿn žnh 4. NÕu h l” to”n žnh v” g l” Ÿn žnh th× f l” to”n žnh ChĂžng minh Cho f v” g Ÿn žnh, ta chĂžng minh h cĂČng Ÿn žnh, tĂžc l”

∀ x1 , x2 ∈ X, h(x1) = h(x2) ⇒ x1 = x2

ThËt vËy

h(x1) = h(x2) ⇒ g[f(x1)] = g[f(x2)] ⇒ f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 Suy ra h l” Ÿn žnh. T­ng tĂč chĂžng minh cžc tÝnh chÊt cßn lÂči. ‱ §Þnh nghÜa. žnh xÂč f : X → Y gĂ€i l” žnh xÂč kh¶ nghÞch nÕu cĂŁ žnh xÂč g : Y → X sao cho g o f = IdX v” f o g = IdY. Trong tr­ĂȘng hĂźp Ÿã ta gĂ€i g žnh xÂč ng­ßc cña žnh xÂč f v” kĂœ hiÖu l” g = f−1. Do tÝnh ŸÚi xĂžng nÂȘn nÕu g l” žnh xÂč ng­ßc cña f th× f cĂČng l” žnh xÂč ng­ßc cña g.

◊ VÝ dĂŽ 7. Cžc cÆp žnh xÂč sau Ÿ©y l” žnh xÂč ng­ßc cña nhau. (1) f : R → R, x |→ 2x + 1 v” g : R → R, x |→ (x − 1)/2 (2) f : {1, 2, 3}→{a, b, c}, f = {(1,a), (2,b), (3,c)} v” g : {a, b, c}→{1, 2, 3}, g = {(a,1), (b,2), (c,3)} ‱ §Þnh lĂœ 4. žnh xÂč f l” kh¶ nghÞch khi v” chØ khi f l” song žnh. ChĂžng minh Gi¶ sö f : X → Y cĂŁ žnh xÂč ng­ßc l” g : Y → X. Theo ¼Þnh nghÜa ta cĂŁ

g o f = IdX (i) v” f o g = IdY (ii) V× IdX l” Ÿn žnh nÂȘn tĂ” (i) v” ¼Þnh lĂœ 3 suy ra f l” Ÿn žnh. V× IdY l” to”n žnh nÂȘn tĂ” (ii) v” ¼Þnh lĂœ 3 suy ra f l” to”n žnh. VËy f l” song žnh. Ng­ßc lÂči, gi¶ sö f : X → Y l” song žnh. Khi Ÿã, vĂ­i mĂ€i y ∈ Y, tËp hĂźp f−1(y) cĂŁ Ÿóng mĂ©t phÇn tö. LËp žnh xÂč

g : Y → X, y α f-1(y)

DÔ d”ng thÊy r»ng žnh xÂč g xžc ¼Þnh nh­ trÂȘn l” thĂĄa m·n ÂźiÒu kiÖn (i) v” (ii). TĂžc l” žnh xÂč f kh¶ nghÞch v” g l” žnh xÂč ng­ßc cña f. ‱ §Þnh lĂœ 5. žnh xÂč ng­ßc nÕu tĂ„n tÂči l” duy nhÊt. ChĂžng minh Ta chĂžng minh r»ng, nÕu g, h : Y → X ¼Òu l” žnh xÂč ng­ßc cña f : X → Y th× g ≡ h. ThËt vËy, ta cĂŁ

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 13

g = g o IdY ( IdY l” žnh xÂč ŸÄng nhÊt trÂȘn Y) = g o (f o h) ( v× h l” žnh xÂč ng­ßc cña f) = (g o f) o h ( sö dĂŽng tÝnh kÕt hĂźp cña tÝch žnh xÂč) = IdX o h (v× g l” žnh xÂč ng­ßc cña f) = h

‱ B”i tËp 1. Cho cžc tËp A = {0, 1, 2} v” B = {a, b, c}. T×m tÊt c¶ žnh xÂč a) tĂ” A v”o B b) Ÿn žnh tĂ” A v”o B c) to”n žnh tĂ” A v”o B d) kh«ng ph¶i l” Ÿn žnh v” cĂČng kh«ng ph¶i l” to”n žnh tĂ” A v”o B. 2. Cho f : X → Y l” Ÿn žnh, chĂžng minh cžc tÝnh chÊt sau. a. ∀ A, B ⊂ X, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) b. ∀ A, B ⊂ X, f(A − B) = f(A) − f(B) c. ∀ A, B ⊂ X, f−1(A − B) = f−1(A) − f−1(B) d. ∀ A, B ⊂ X, A ⊂ B ⇒ f−1(A) ⊂ f−1(B) 3. Ta nĂŁi r»ng X ≀ Y nÕu cĂŁ Ÿn žnh f : X → Y. ChĂžng minh r»ng quan hÖ trÂȘn l” quan hÖ thĂž tĂč theo nghÜa tĂŠng qužt. 4. LĂ­p hĂ€c cĂŁ 30 sinh viÂȘn. Trong Ÿã cĂŁ 15 sinh viÂȘn ÂźÂčt m«n Tožn , 10 sinh viÂȘn ÂźÂčt m«n tin v” 10 sinh viÂȘn ÂźÂčt c¶ hai m«n. HĂĄi cĂŁ bao nhiÂȘu ng­ĂȘi kh«ng ÂźÂčt c¶ hai m«n?

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 14

1.5. c«ng thĂžc truy hĂ„i 1.5.1. Khži niÖm c«ng thĂžc truy hĂ„i ◊ VÝ dĂŽ 1

XÐt b”i tožn ¼Õm sĂš tËp con P(X) cña tËp X. GĂ€i s(n) l” sĂš tËp con cña tËp cĂŁ n phÇn tö . Cho x l” phÇn tö cña X. Tžch P(X) ra l”m hai nhĂŁm, nhĂŁm tËp con chĂža x v” nhĂŁm tËp con kh«ng chĂža x. Ta cĂŁ c«ng thĂžc

s(n) = 2.s(n−1) ∀n §©y l” mĂ©t c«ng thĂžc truy hĂ„i. ‱ §Þnh nghÜa.

C«ng thĂžc truy hĂ„i cña d·y s(0), s(1), s(2),... l” ph­ng tr×nh xžc ¼Þnh s(n) b»ng cžc phÇn tö s(0), s(1), s(2), ..., s(n−1) tr­íc nĂŁ.

s(n) = F(s(0), s(1), s(2),..., s(n−1)) §iÒu kiÖn ban ¼Çu l” cžc giž trÞ gžn cho mĂ©t sĂš hĂ·u hÂčn cžc phÇn tö ¼Çu. Trong vÝ dĂŽ trÂȘn ta cĂŁ ÂźiÒu kiÖn ban ¼Çu l” s(0) = 1. 1.5.2. Gi¶i c«ng thĂžc truy hĂ„i b»ng ph­ng phžp lÆp NĂ©i dung cña ph­ng phžp n”y l” thay thÕ liÂȘn tiÕp c«ng thĂžc truy hĂ„i v”o chÝnh nĂŁ, mçi lÇn thay bËc n gi¶m Ýt nhÊt 1 Ÿn vÞ, cho ¼Õn khi ÂźÂčt giž trÞ ban ¼Çu. ◊ VÝ dĂŽ 1: Quay lÂči b”i tožn ¼Õm sĂš tËp con cña tËp X. Ta cĂŁ

s(n) = 2.s(n − 1) & s(0) = 1 Ta cã

s(n) = 2.s(n − 1) = 2.2.s(n − 2) = ... = 2.2.....2.s(0) = 2n ◊ VÝ dĂŽ 2: B”i tožn thžp H” nĂ©i. Ph­ng phžp di chuyÓn cžc ¼Üa nh­ sau:

ChuyÓn n−1 ¼Üa tĂ” cĂ€c 1 sang cĂ€c 2, chuyÓn ¼Üa lĂ­n nhÊt tĂ” cĂ€c 1 sang cĂ€c 3, v” cuĂši cĂŻng chuyÓn n−1 ¼Üa tĂ” cĂ€c 2 sang cĂ€c 3. Nh­ vËy ta cĂŁ c«ng thĂžc truy hĂ„i tÝnh sĂš lÇn di chuyÓn Âź Üa :

s(n) = 2.s(n−1) + 1 & s(1) = 1 Ta cã s(n) = 2.s(n−1) + 1 = 2(2.s(n−2) + 1) + 1 = 22.s(n−2) + 2 + 1 = 2(2.s(n−3) + 1) + 2 + 1 = 23.s(n−3) + 22 + 2 + 1 ... = 2n-1.s(1) + 2n-2 + 2n-3 + ... + 2 + 1 = 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + ... + 2 + 1 = 2n - 1

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 15

1.5.3. Gi¶i c«ng thĂžc truy hĂ„i b»ng ph­ng tr×nh ¼Æc tr­ng C«ng thĂžc truy hĂ„i tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt bËc k cĂŁ dÂčng s(n) = c1.s(n−1) + c2.s(n−2) + ... + ck.s(n−k) , ck ≠ 0 (1) trong Ÿã ci , i=1,...,k , l” cžc h»ng sĂš.

§iÒu kiÖn ban ¼Çu l”

s(0) = C0 , s(1) = C1 , ... , s(k−1) = Ck-1 . (2)

Ph­ng tr×nh ¼Æc tr­ng cña c«ng thĂžc truy hĂ„i (1) l” tk − c1.t

k−1 − c2.tk−2 − ... − ck = 0 (3)

‱ §Þnh lĂœ 1: NÕu s1 v” s2 l” nghiÖm cña ph­ng tr×nh (1) th×

a.s1 + b.s2 cĂČng l” nghiÖm cña (1) vĂ­i mĂ€i h»ng a, b. Chứng minh HiÓn nhiÂȘn. ‱ §Þnh lĂœ 2: NÕu r l” nghiÖm bĂ©i m cña ph­ng tr×nh ¼Æc tr­ng (3) th×

rn , n.rn , ... , nm−1.rn l” cžc nghiÖm cña (1). ‱ §Þnh lĂœ 3: NÕu k = 2 v” α v” ÎČ l” hai nghiÖm ph©n biÖt cña (3) th× tĂ„n tÂči h»ng a, b sao cho

s(n) = a.αn + b.ÎČn l” nghiÖm cña (1) v” tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn ban ¼Çu (2). ‱ §Þnh lĂœ 4: NÕu k = 2 v” α l” nghiÖm kÐp cña (3) th× tĂ„n tÂči h»ng a, b sao cho

s(n) = a.αn + b.n.αn l” nghiÖm cña (1) v” tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn ban ¼Çu (2). ◊ VÝ dĂŽ 3: D·y Fibonacci Ÿ­ßc ¼Þnh nghÜa nh­ sau :

fn = fn -1 + fn -2 & f0 = f1 = 1 Ph­¬ng tr×nh ¼Æc tr­ng

t2 − t − 1 = 0 cĂŁ hai nghiÖm l”

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 16

α = 2

51+ v” ÎČ =

251−

Nh­ vËy d·y Fibonacci cĂŁ dÂčng

fn = a.αn + b.ÎČn Gi¶i hÖ

a + b = 1 & a.α + b.ÎČ = 1 ta Ÿ­ßc

a = 2

51.5

1 + & b = −

251.

51 −

CuÚi cïng ta cã c«ng thÞc :

fn =

1

251.

51

+

+n

−

1

251.

51

+

−n

◊ Ghi chĂł: MĂ©t ÂźiÒu thĂł vÞ l” fn l” sĂš tĂč nhiÂȘn, nh­ng lÂči Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng mĂ©t biÓu thĂžc v« tØ. ‱ B”i tËp

Gi¶i cžc c«ng thÞc truy hÄi sau

1. a(n) = 2.n.a(n-1) vĂ­i n ≄ 1, a(0) = 1 2. a(n) = a(n-1) + n vĂ­i n ≄ 1, a(0) = 0 3. a(n) = 6.a(n-1) - 8.a(n-2) vĂ­i n ≄ 2, a(0) = 1, a(1) = 0 4. a(n) = 7.a(n-1) - 10.a(n-2) vĂ­i n ≄ 2, a(0) = 5, a(1) = 16 5. a(n) = a(n-1) + 6.a(n-2) vĂ­i n ≄ 2, a(0) = 3, a(1) = 6 6. a(n) = a(n-1) + 1 + 2n-1 vĂ­i n ≄ 1, a(0) = 0 7. a(n) = 6.a(n-1) - 9.a(n-2) vĂ­i n ≄ 2, a(0) = 1, a(1) = 1

8. )(na = )1( −na + 2. )2( −na víi a(0) = a(1) = 1 (¼Æt b(n) = )(na )

9. a(n) = )1()2(

−−

nana

vĂ­i a(0) = 0, a(1) = 22

1 (lÊy l«ga hai vÕ v” ¼Æt b(n) =

lg(a(n)) 10. a(n) = - 2.n.a(n-1) + 3.n(n-1).a(n-2) vĂ­i n ≄ 2, a(0) = 1, a(2) = 2

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 17

1.6. HÖ SĂš NHÞ THĂžC ‱ §Þnh nghÜa. VĂ­i mĂ€i n, k ∈ N, ta ¼Þnh nghÜa hÖ sĂš nhÞ thĂžc

C(n, k) = )!!.(

!knk

n−

‱ Cžc tÝnh chÊt cÂŹ b¶n VĂ­i mĂ€i n, k ∈ N, k ≀ n (i) TÝnh ŸÚi xĂžng

C(n, k) = C(n, n−k) C(n, 0) = C(n, n) = 1

(ii) C«ng thÞc tam gižc Pascal

C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) (iii) C«ng thĂžc gi¶m bËc

k.C(n,k) = n.C(n−1,k−1) ‱ NhÞ thþc Newton Víi n ∈ N, x, y ∈ C ta cã

(x+y)n = C(n,0).xn + C(n,1).xn-1.y +...+ C(n,n−1).x.yn-1 + C(n,n).yn Chứng minh Qui nÂčp theo n. ‱ HÖ qu¶. (i) C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2n (sĂš cžc tËp con cña n phÇn tö l” 2n ) (ii) C(n,0) − C(n,1) + ... + (−1)nC(n,n) = 0

(iii)

[ ] [ ]∑∑

−

==

+=2

12

00

)12,()2,(nn

jjjnCjnC = 2n - 1

(sĂš tËp con chÂœn b»ng sĂš tËp con lÎ). ‱ C«ng thĂžc Vandermonde Cho a, b, n ∈ N. Ta cĂŁ

),(),().,(0

nbaCknbCkaCn

k+=−∑

=

Chứng minh GĂ€i E l” tËp cĂŁ a+b phÇn tö, A, B ⊂ E rĂȘi nhau, A cĂŁ a phÇn tö v” B cĂŁ b phÇn tö. Khi Ÿã mçi tĂŠ hĂźp chËp n cña cžc phÇn tö trong E l” mĂ©t kÕt hĂźp cña mĂ©t tĂŠ hĂźp chËp k cña cžc phÇn tö trong A v” tĂŠ hĂźp chËp n−k cña cžc phÇn tö trong B. TĂ” Ÿã suy ra c«ng thĂžc. žp dĂŽng c«ng thĂžc cho a = b = n suy ra

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 18

‱ HÖ qu¶: VĂ­i n ∈ N ta cĂŁ

),2(),(0

2 nnCknCn

k=∑

=

‱ B”i tËp ChĂžng minh cžc ÂźÂŒng thĂžc sau

1. C(p,p) + C(p+1,p) + 
 + C(n,p) = C(n+1,p+1)

2. C(n,1) + 2.C(n,2) + 
 + n.C(n,n) = ∑=

n

kknCk

1),(. = n.2n−1

3. C(n,0) + 21

C(n,1) + 31

.C(n,2) + 
 + 1

1+n

.C(n,n) = ∑= +

n

kknC

k0),(

11

= ( )121

1 1 −+

+n

n

4. C(n,0) + 2.C(n,1) + 22.C(n,2) + 
 + 2n.C(n,n) = 3n 5. C(2n,2) + C(2n,4) + 
 + C(2n,2n) = 22n – 1 - 1

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 1 . CÂŹ sĂ« tožn hĂ€c 1 − 19

‱ Test 1. Sö dĂŽng nguyÂȘn lÝ qui nÂčp tožn hĂ€c ¼Ó chĂžng minh mÖnh ¼Ò S(n) Ÿóng vĂ­i mĂ€i n ≄ n0 l” A. ChĂžng minh trĂčc tiÕp S(n) vĂ­i n ≄ n0 bÊt k× B. (i) ChĂžng minh S(n0)

(ii) Cho n > n0 bÊt k×. Gi¶ thiÕt S(k) Ÿóng vĂ­i mĂ€i k > n. ChĂžng minh S(n) Ÿóng. C. (i) ChĂžng minh S(n0)

(ii) Cho n > n0 bÊt k×. Gi¶ thiÕt S(k) Ÿóng vĂ­i mĂ€i k < n. ChĂžng minh S(n) Ÿóng. D. (i) ChĂžng minh S(n0)

(ii) Cho n > n0 bÊt k×. Gi¶ thiÕt tĂ„n tÂči k < n sao cho S(k) Ÿóng. ChĂžng minh S(n) Ÿóng.

2. LĂčc l­ßng cña tËp A âˆȘ B âˆȘ C l”

A. card(A) + card(B) + card(C) B. card(A) + card(B) + card(C) – card(A.B.C)

C. card(A) + card(B) + card(C) – card(A.B.C) + card(A.B) + card(B.C) + card(A.C)

D. card(A) + card(B) + card(C) – card(A.B) – card(B.C) – card(A.C) + card(A.B.C)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 2 . NhËp m«n tĂŠ hĂźp 2 − 1

Ch­ng 2 : nhËp m«n tĂŠ hĂźp

2.1. sÂŹ l­ßc lÞch sö CĂŁ thÓ nĂŁi t­ duy tĂŠ hĂźp ra ÂźĂȘi tĂ” rÊt sĂ­m. V”o thĂȘi nh” Chu Trung quĂšc ng­ĂȘi ta Ÿ· biÕt ¼Õn nhĂ·ng h×nh vu«ng thÇn bÝ. ThĂȘi cĂŠ Hi-lÂčp, thÕ kĂ» thĂž 4 tr­íc C«ng nguyÂȘn, nh” triÕt hĂ€c Kxenokrat Ÿ· biÕt cžch tÝnh sĂš cžc tĂ” khžc nhau lËp tĂ” b¶ng chĂ· cži cho tr­íc. Nh” tožn hĂ€c Pitagor v” hĂ€c trß Ÿ· t×m ra Ÿ­ßc nhiÒu sĂš cĂŁ tÝnh chÊt ¼Æc biÖt. ChÂŒng hÂčn 36 kh«ng nhĂ·ng l” tĂŠng 4 sĂš chÂœn v” 4 sĂš lÎ ¼Çu tiÂȘn, m” cßn l” tĂŠng lËp ph­ng cña 3 sĂš tĂč nhiÂȘn ¼Çu tiÂȘn

36 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 13 + 23 + 33

TĂ” ¼Þnh lĂœ Pitagor ng­ĂȘi ta cĂČng Ÿ· t×m ra nhĂ·ng sĂš m” b×nh ph­ng cña nĂŁ b»ng tĂŠng b×nh ph­ng cña 2 sĂš khžc. Cžc b”i tožn nh­ vËy ¼ßi hĂĄi ph¶i cĂŁ nghÖ thuËt tĂŠ hĂźp nhÊt ¼Þnh. Tuy nhiÂȘn cĂŁ thÓ nĂŁi r»ng, lĂœ thuyÕt tĂŠ hĂźp Ÿ­ßc h×nh th”nh nh­ mĂ©t ng”nh tožn hĂ€c mĂ­i v”o thÕ kĂ» 17 b»ng mĂ©t loÂčt c«ng tr×nh nghiÂȘn cĂžu cña cžc nh” tožn hĂ€c xuÊt sŸc nh­ Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz,... Cžc b”i tožn tĂŠ hĂźp cĂŁ ¼Æc tr­ng bĂŻng nĂŠ tĂŠ hĂźp vĂ­i sĂš cÊu h×nh tĂŠ hĂźp khĂŠng lĂ„. ViÖc gi¶i chĂłng ¼ßi hĂĄi mĂ©t khĂši l­ßng tÝnh tožn khĂŠng lĂ„ (cĂŁ tr­ĂȘng hĂźp mÊt h”ng chĂŽc nšm). V× vËy trong thĂȘi gian d”i, khi m” cžc ng”nh tožn hĂ€c nh­ PhÐp tÝnh vi ph©n, PhÐp tÝnh tÝch ph©n, ph­ng tr×nh vi ph©n,.. phžt triÓn nh­ vĂČ b·o, th× d­ĂȘng nh­ nĂŁ n»m ngo”i sĂč phžt triÓn v” Ăžng dĂŽng cña tožn hĂ€c. T×nh thÕ thay ŸÊi tĂ” khi xuÊt hiÖn mžy tÝnh v” sĂč phžt triÓn cña tožn hĂ€c hĂ·u hÂčn. NhiÒu vÊn ¼Ò tĂŠ hĂźp Ÿ· Ÿ­ßc gi¶i quyÕt trÂȘn mžy tÝnh. TĂ” chç chØ nghiÂȘn cĂžu cžc trß chÂŹi, tĂŠ hĂźp Ÿ· trĂ« th”nh ng”nh tožn hĂ€c phžt triÓn mÂčnh mÏ, cĂŁ nhiÒu Ăžng dĂŽng trong cžc lÜnh vĂčc tožn hĂ€c , tin hĂ€c ...

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 2 . NhËp m«n tĂŠ hĂźp 2 − 2

2.2. b”i tožn tĂŠ hĂźp LĂœ thuyÕt tĂŠ hĂźp nghiÂȘn cĂžu viÖc ph©n bĂš cžc phÇn tö v”o cžc tËp hĂźp, tho¶ m·n yÂȘu cÇu n”o Ÿã. Mçi cžch ph©n bĂš nh­ thÕ gĂ€i l” mĂ©t cÊu h×nh tĂŠ hĂźp. Ta th­ĂȘng gÆp cžc dÂčng b”i tožn sau: 1. B”i tožn tĂ„n tÂči: ChĂžng minh sĂč tĂ„n tÂči cÊu h×nh tĂŠ hĂźp. 2. B”i tožn ¼Õm : §Õm sĂš cÊu h×nh tĂŠ hĂźp. 3. B”i tožn liÖt kÂȘ: LiÖt kÂȘ cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp. 4. B”i tožn tĂši ­u: T×m cÊu h×nh tĂši ­u theo h”m mĂŽc tiÂȘu n”o Ÿã.

ChĂłng ta sÏ t×m hiÓu mĂ©t sĂš b”i tožn tĂŠ hĂźp tiÂȘu biÓu. 2.2.1. B”i tožn thžp H” nĂ©i B”i tožn n”y do Edouard Lucas Ÿ­a ra Ă« cuĂši thÕ kĂ» 19 (€ng cĂČng l” ng­ĂȘi Ÿ­a ra d·y Fibonacci). B”i tožn phžt biÓu nh­ sau. CĂŁ 3 cĂ€c, cĂ€c thĂž nhÊt cĂŁ n ¼Üa kÝch th­íc khžc nhau xÕp chĂ„ng nhau, ¼Üa nhĂĄ n»m trÂȘn ¼Üa lĂ­n. H·y chuyÓn cžc ¼Üa tĂ” cĂ€c thĂž nhÊt sang cĂ€c thĂž ba, sö dĂŽng cĂ€c trung gian thĂž hai, sao cho lu«n ٦m b¶o ¼Üa nhĂĄ trÂȘn ¼Üa lĂ­n. H·y ¼Õm sĂš lÇn di chuyÓn ¼Üa. T×m ph­ng žn di chuyÓn ¼Üa tĂši ­u. SĂš lÇn di chuyÓn l” 2n − 1. Khi n = 64, ta cĂŁ sĂš lÇn di chuyÓn l”:

18 446 744 073 709 551 615 2.2.2. B”i tožn xÕp n cÆp vĂź chĂ„ng B”i tožn n”y cĂČng do Lucas Ÿ­a ra nšm 1891. B”i tožn phžt biÓu nh­ sau. CĂŁ n cÆp vĂź chĂ„ng cÇn xÕp v”o b”n trßn sao cho kh«ng cĂŁ cÆp n”o ngĂ„i gÇn nhau. CĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp nh­ vËy ? B”i tožn n”y dÉn ¼Õn viÖc nghiÂȘn cĂžu mĂ©t khži niÖm quan trĂ€ng l” sĂš ph©n bĂš v” m·i ¼Õn nšm 1934 mĂ­i cĂŁ lĂȘi gi¶i . SĂš cžch xÕp l”

2.n!.Un trong Ÿã Un l” sĂš ph©n bĂš. B¶ng sau cho thÊy sĂč bĂŻng nĂŠ tĂŠ hĂźp ghÂȘ gĂ­m cña sĂš ph©n bĂš

n = 4 5 6 7 8 9 10 11

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 2 . NhËp m«n tĂŠ hĂźp 2 − 3

Un = 2 13 80 579 4 738 43 387 439 792 4 890 741 2.2.3. B”i tožn Ÿ­ĂȘng Âźi qu©n ngĂča trÂȘn b”n cĂȘ Cho b”n cĂȘ vua vĂ­i kÝch th­íc 8 x 8 = 64 «. T×m Ÿ­ĂȘng Âźi cña qu©n ngĂča qua tÊt c¶ cžc «, mçi « chØ 1 lÇn, v” quay vÒ « xuÊt phžt. Ng­ĂȘi ta chĂžng minh tĂŠng qužt Ÿ­ßc r»ng: TrÂȘn b”n cĂȘ vu«ng cĂŁ sĂš cÂčnh chÂœn lĂ­n hÂŹn hoÆc b»ng 6 bao giĂȘ cĂČng tĂ„n tÂči Ÿ­ĂȘng Âźi. §­ĂȘng Âźi cña Euler (1759) cĂŁ tÝnh chÊt: hiÖu cžc « ŸÚi xĂžng qua t©m b”n cĂȘ b»ng 32.

37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 1 26 15 20 7 32 13 22 16 19 8 25 14 21 6 31 27 2 17 10 29 4 23 12 13 9 28 3 24 11 30 5

§­ĂȘng Âźi cña Beverle (1848) cĂŁ tÝnh chÊt : tĂŠng cžc « trÂȘn cĂ©t v” h”ng b»ng 260.

1 30 47 52 5 28 43 54 48 51 2 29 44 53 6 27 31 46 49 4 25 8 55 42 50 3 32 45 56 41 26 7 33 62 15 20 9 24 39 58 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 60 37 22 11

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 2 . NhËp m«n tĂŠ hĂźp 2 − 4

2.2.4. H×nh vu«ng la tinh H×nh vu«ng la tinh cÊp n l” h×nh vu«ng gĂ„m cžc sĂš 1, 2, ..., n-1, n tho¶ m·n tĂŠng mçi h”ng v” tĂŠng mçi cĂ©t ¼Òu b»ng nhau v” b»ng

1 + 2 + ... + n = 2

)1( +nn

H×nh vu«ng la tinh chuÈn cÊp n l” h×nh vu«ng la tinh cÊp n cĂŁ dßng ¼Çu v” cĂ©t ¼Çu l” 1, 2, ..., n. B¶ng sau Ÿ©y l” h×nh vu«ng la tinh chuÈn cÊp 7

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 1 2 4 5 6 7 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6

C«ng thĂžc tÝnh sĂš h×nh vu«ng la tinh ¼Õn nay vÉn cßn bĂĄ ngĂĄ. Tuy nhiÂȘn ta cĂŁ thÓ lËp ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ tÊt c¶ h×nh vu«ng la tinh chuÈn. D­íi Ÿ©y l” mĂ©t sĂš giž trÞ

n = 1 2 3 4 5 6 7 ln = 1 1 1 4 56 9 408 16 942 080

( ln l” sĂš h×nh vu«ng la tinh chuÈn cÊp n). 2.2.5. H×nh lĂŽc gižc thÇn bÝ Nšm 1910 Clifford Adams Ÿ­a ra b”i tožn h×nh lĂŽc gižc thÇn bÝ sau: TrÂȘn 19 « lĂŽc gižc h·y ÂźiÒn cžc sĂš tĂ” 1 ¼Õn 19 sao cho tĂŠng theo sžu h­íng cña lĂŽc gižc b»ng nhau (= 38). Sau 47 nšm trĂȘi kiÂȘn nhÉn cuĂši cĂŻng «ng ta Ÿ· t×m ra lĂȘi gi¶i. Nh­ng do sÂŹ Ăœ Ÿžnh mÊt b¶n th¶o «ng Ÿ· tĂšn thÂȘm 5 nšm nĂ·a ¼Ó kh«i phĂŽc lĂȘi gi¶i. Nšm 1962 Adams c«ng bĂš lĂȘi gi¶i. §©y cĂČng l” lĂȘi gi¶i duy nhÊt.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 2 . NhËp m«n tĂŠ hĂźp 2 − 5

15 14 13

9 8 10 6 4

11 5 12 1 2

18 7 16 17 19

3

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 3. B”i tožn tĂ„n tÂči 3 − 1

ch­ng 3. b”i tožn tĂ„n tÂči Trong nhiÒu tr­ĂȘng hĂźp viÖc xžc ¼Þnh sĂč tĂ„n tÂči mĂ©t cÊu h×nh tho¶ m·n tÝnh chÊt n”o Ÿã cĂČng cĂŁ Ăœ nghÜa quan trĂ€ng vÒ mÆt lĂœ thuyÕt cĂČng nh­ thĂčc tÕ. V× thÕ mĂ©t dÂčng b”i tožn tiÕp theo trong TĂŠ hĂźp l” b”i tožn tĂ„n tÂči : XÐt sĂč tĂ„n tÂči cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp tho¶ m·n cžc tÝnh chÊt cho tr­íc. B”i tožn tĂ„n tÂči Ÿ­ßc nghiÂȘn cĂžu tĂ” rÊt l©u v” gĂŁp phÇn Ÿžng kÓ thĂłc ŸÈy sĂč phžt triÓn cña lĂœ thuyÕt tĂŠ hĂźp cĂČng nh­ nhiÒu ng”nh tožn hĂ€c khžc. Cžc b”i tožn sau mĂ©t phÇn n”o minh hoÂč ÂźiÒu Ÿã. 3.1. mĂ©t sĂš vÝ dĂŽ 3.1.1. B”i tožn 36 sÜ quan B”i tožn n”y do nh” tožn hĂ€c Euler Ÿ­a ra, nĂ©i dung cña nĂŁ nh­ sau. Ng­ĂȘi ta triÖu tËp tĂ” 6 trung Âźo”n , mçi trung Âźo”n 6 sÜ quan cĂŁ 6 cÊp bËc khžc nhau : thiÕu uĂœ, trung uĂœ, th­ßng uĂœ, ÂźÂči uĂœ, thiÕu tž v” trung tž. HĂĄi cĂŁ thÓ xÕp 36 sÜ quan n”y th”nh h×nh vu«ng 6 x 6 sao cho trong mçi h”ng ngang cĂČng nh­ h”ng dĂ€c ¼Òu cĂŁ ÂźÂči diÖn cña 6 trung Âźo”n v” cĂŁ c¶ 6 cÊp bËc khžc nhau ? §Ó Ÿn gi¶n ta dĂŻng cžc chĂ· cži lĂ­n A, B, C, D, E, F ¼Ó chØ 6 trung Âźo”n v” cžc chĂ· cži nhĂĄ a, b,c, d, e, f ¼Ó chØ 6 cÊp bËc. B”i tožn cĂŁ thÓ tĂŠng qužt hož b»ng cžch thay sĂš 6 b»ng n. Tr­ĂȘng hĂźp n = 4 ta cĂŁ mĂ©t lĂȘi gi¶i sau :

Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bd Dc Aa Da Ac Cb Bd

Tr­ĂȘng hĂźp n = 5 ta cĂŁ mĂ©t lĂȘi gi¶i sau :

Aa Bd Cc Dd Ee Cd De Ea Ab Bc Eb Ac Bd Ce Da Be Ca Db Ec Ad Dc Ed Ae Ba Cb

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 3. B”i tožn tĂ„n tÂči 3 − 2

Do lĂȘi gi¶i cña b”i tožn cĂŁ thÓ biÓu diÔn bĂ«i hai h×nh vu«ng vĂ­i cžc chĂ· cži hoa v” th­ĂȘng xÕp cÂčnh nhau nÂȘn cßn cĂŁ tÂȘn gĂ€i l” b”i tožn h×nh vu«ng la tinh trĂčc giao. Euler Ÿ· mÊt nhiÒu c«ng sĂžc ¼Ó t×m lĂȘi gi¶i cho b”i tožn nh­ng kh«ng th”nh c«ng. V× vËy «ng Ÿ­a ra gi¶ thuyÕt r»ng cžch xÕp nh­ vËy kh«ng tĂ„n tÂči. Gi¶ thuyÕt n”y Ÿ­ßc nh” tožn hĂ€c Phžp Tarri chĂžng minh nšm 1901 b»ng cžch duyÖt tÊt c¶ kh¶ nšng xÕp. DĂča trÂȘn gi¶ thuyÕt kh«ng tĂ„n tÂči lĂȘi gi¶i cho n = 2 v” n = 6 Euler cßn Ÿ­a ra gi¶ thuyÕt tĂŠng qužt hÂŹn l” : Kh«ng tĂ„n tÂči h×nh vu«ng la tinh trĂčc giao cÊp 4k + 2. Gi¶ thuyÕt n”y tĂ„n tÂči suĂšt 2 thÕ kĂ». M·i ¼Õn nšm 1960 ba nh” tožn hĂ€c MĂŒ l” Boce, Parker, Srikanda mĂ­i chØ ra mĂ©t lĂȘi gi¶i vĂ­i n = 10 v” sau Ÿã Ÿ­a ra ph­ng phžp x©y dĂčng h×nh vu«ng la tinh trĂčc giao cÊp 4k + 1 vĂ­i k >1. B”i tožn cĂŁ nhiÒu Ăžng dĂŽng trong quy hoÂčch thĂčc nghiÖm, h×nh hĂ€c xÂč ¶nh ... 3.1.2. B”i tožn 2n ÂźiÓm trÂȘn l­íi n x n ÂźiÓm Cho l­íi « vu«ng gĂ„m n x n ÂźiÓm. HĂĄi cĂŁ thÓ chĂ€n trong chĂłng 2n ÂźiÓm sao cho kh«ng cĂŁ 3 ÂźiÓm n”o thÂŒng h”ng hay kh«ng ? HiÖn nay ng­ĂȘi ta mĂ­i biÕt lĂȘi gi¶i ŸÚi vĂ­i n ≀ 15. D­íi Ÿ©y l” lĂȘi gi¶i vĂ­i n = 12.

‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱

‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱ ‱

‱ ‱

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 3. B”i tožn tĂ„n tÂči 3 − 3

3.2. NguyÂȘn lÝ Dirichlet 3.2.1. NguyÂȘn lÝ Dirichlet (nguyÂȘn lĂœ chim bĂ„ c©u) NÕu xÕp nhiÒu hÂŹn k ŸÚi t­ßng v”o k cži hĂ©p th× tĂ„n tÂči hĂ©p chĂža Ýt nhÊt 2 ŸÚi t­ßng. ◊ VÝ dĂŽ 1. Trong 367 ng­ĂȘi bao giĂȘ cĂČng cĂŁ hai ng­ĂȘi trĂŻng ng”y sinh nhËt, bĂ«i v× trong nšm chØ cĂŁ nhiÒu nhÊt 366 ng”y. ◊ VÝ dĂŽ 2. M­ĂȘi ng­ĂȘi cĂŁ hĂ€ TrÇn, LÂȘ, NguyÔn v” tÂȘn l” HĂŻng, H­ng, Hai. Khi Ÿã sÏ cĂŁ Ýt nhÊt 2 ng­ĂȘi trĂŻng hĂ€ v” tÂȘn, bĂ«i v× chØ cĂŁ 9 cÆp hĂ€ tÂȘn khžc nhau. 3.2.2. NguyÂȘn lÝ Dirichlet tĂŠng qužt NÕu xÕp nhiÒu hÂŹn N ŸÚi t­ßng v”o k cži hĂ©p th× tĂ„n tÂči hĂ©p chĂža Ýt nhÊt N/k ŸÚi t­ßng( x l” sĂš nguyÂȘn nhĂĄ nhÊt ≄ x). ◊ VÝ dĂŽ 1. Trong 100 ng­ĂȘi bao giĂȘ cĂČng cĂŁ Ýt nhÊt 9 ng­ĂȘi trĂŻng thžng sinh. ChĂžng minh. ThËt vËy, xÕp nhĂ·ng ng­ĂȘi cĂŻng thžng sinh v”o 1 nhĂŁm. CĂŁ 12 nhĂŁm tÊt c¶. Ta cĂŁ 100/12 = 9. VËy theo nguyÂȘn lĂœ Dirichlet tĂ„n tÂči nhĂŁm cĂŁ Ýt nhÊt 9 ng­ĂȘi. ◊ VÝ dĂŽ 2. Trong hĂ©i nghÞ cĂŁ n ng­ĂȘi bao giĂȘ cĂČng cĂŁ 2 ng­ĂȘi cĂŁ sĂš ng­ĂȘi quen b»ng nhau. ChĂžng minh. ThËt vËy, xÕp nhĂ·ng ng­ĂȘi cĂŁ sĂš ng­ĂȘi quen b»ng nhau v” b»ng i v”o cĂŻng 1 nhĂŁm, kÝ hiÖu nhĂŁm i , 0 ≀ i ≀ n - 1. Ta ph©n 2 tr­ĂȘng hĂźp:

(i) CĂŁ 1 ng­ĂȘi kh«ng quen ai c¶. Trong tr­ĂȘng hĂźp n”y kh«ng cĂŁ ai quen (n−1) ng­ĂȘi. V× vËy ta cĂŁ tĂši Âźa (n−1) nhĂŁm 0,1,2,...,n−3,n−2. Nh­ vËy theo nguyÂȘn lĂœ Dirichlet ph¶i tĂ„n tÂči nhĂŁm cĂŁ Ýt nhÊt 2 ng­ĂȘi.

(ii) Ai cĂČng cĂŁ ng­ĂȘi quen. Ta cĂŁ tĂši Âźa (n−1) nhĂŁm 1,2,...,n−2,n−1. Nh­ vËy

theo nguyÂȘn lĂœ Dirichlet ph¶i tĂ„n tÂči nhĂŁm cĂŁ Ýt nhÊt 2 ng­ĂȘi. ◊ VÝ dĂŽ 3. Trong mÆt phÂŒng cho 6 ÂźiÓm . Cžc ÂźiÓm Ÿ­ßc nĂši vĂ­i nhau tĂ”ng cÆp mĂ©t bĂ«i cžc cÂčnh xanh hoÆc Ÿå. ChĂžng minh r»ng lu«n tĂ„n tÂči tam gižc cĂŁ cžc cÂčnh cĂŻng m”u. ChĂžng minh.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 3. B”i tožn tĂ„n tÂči 3 − 4

ChĂ€n ÂźiÓm P bÊt kĂș tĂ” 6 ÂźiÓm. TĂ” P cĂŁ 5 cÂčnh nĂši ¼Õn 5 ÂźiÓm cßn lÂči. Nh­ vËy theo nguyÂȘn lĂœ Dirichlet sÏ cĂŁ 3 = 5/2 cÂčnh cĂŻng m”u PP1,PP2,PP3 . Gi¶ sö Ÿã l” m”u xanh. NÕu cžc cÂčnh P1P2,P2P3,P3P1 m”u Ÿå th× ta cĂŁ ∆P1P2P3 cĂŻng m”u. NÕu mĂ©t trong cžc cÂčnh P1P2,P2P3,P3P1 cĂŁ m”u xanh , gi¶ sö Ÿã l” PiPj th× ∆PPiPj cĂŻng m”u xanh. ◊ VÝ dĂŽ 4. ChĂžng minh r»ng trong n+1 sĂš nguyÂȘn d­ng ≀ 2n, bao giĂȘ cĂČng t×m Ÿ­ßc 2 sĂš chia hÕt cho nhau. ChĂžng minh ViÕt mçi sĂš ai trong n+1 sĂš trÂȘn d­íi dÂčng :

ai = ik2 .qi , i = 1,2,...,n+1 trong Ÿã ki l” sĂš nguyÂȘn kh«ng ©m, qi l” sĂš lÎ. Cžc sĂš q1,q2,...,qn+1 l” cžc sĂš lÎ ≀ 2n. Trong ÂźoÂčn tĂ” 1 ¼Õn 2n chØ cĂŁ n sĂš lÎ. Nh­ vËy theo nguyÂȘn lĂœ Dirichlet cĂŁ hai sĂš qi v” qj b»ng nhau. Khi Ÿã ai v” aj sÏ chia hÕt cho nhau.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 3. B”i tožn tĂ„n tÂči 3 − 5

B”i tËp

1. MĂ©t Ÿéi bĂŁng thi ¼Êu liÂȘn tĂŽc trong 30 ng”y cña thžng 9, mçi ng”y Ýt nhÊt 1 trËn v” tĂŠng sĂš trËn ¼Êu kh«ng quž 45 trËn. ChĂžng minh r»ng t×m Ÿ­ßc sĂš ng”y liÂȘn tĂŽc n”o Ÿã trong thžng 9 m” Ÿéi chÂŹi Ÿóng 14 trËn. H­íng dÉn: KĂœ hiÖu ai l” tĂŠng sĂš trËn thi ¼Êu ¼Õn hÕt ng”y i. a1, a2, ..., a30 l” d·y sĂš nguyÂȘn d­ng tšng, 1 ≀ ai ≀ 45. Suy ra ta cĂŁ d·y 60 sĂš trong kho¶ng tĂ” 1 ¼Õn 59.

1 ≀ a1, a2, ..., a30 , a1+14, a2 +14, ..., a30 +14 ≀ 59

Theo nguyÂȘn lĂœ Dirichlet tĂ„n tÂči i ≠ j sao cho aj = ai + 14, suy ra tĂ” ng”y i+1 ¼Õn ng”y j cĂŁ Ÿóng 14 trËn. 2. ChĂžng minh r»ng trong nhĂŁm 10 ng­ĂȘi cĂŁ 2 ng­ĂȘi cĂŁ tĂŠng hoÆc hiÖu cña tuĂŠi chia hÕt 16. H­íng dÉn. KĂœ hiÖu a1, a2, ..., a10 l” tuĂŠi cña 10 ng­ĂȘi. §Æt ri = ai mod 16 , si = ri nÕu ri ≀ 8 v” si = 16 - ri nÕu ri > 8. s1 , ..., s10 l” 10 sĂš tĂ” 0 ¼Õn 8, suy ra tĂ„n tÂči i ≠ k tho¶ si = sk 3. Cho song žnh f tĂ” X = {1,2,...,n} v”o X. KĂœ hiÖu k lÇn hĂźp cña h”m f vĂ­i chÝnh nĂŁ l”

fk = f o f o ... o f ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči i v” j tho¶

fi(x) = fj(x) vĂ­i mĂ€i x ∈ X. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči k tho¶

fk(x) = x vĂ­i mĂ€i x ∈ X. H­íng dÉn: f1, f2, ..., fk, ... l” cžc song žnh tĂ” X v”o X. SĂš song žnh hĂ·u hÂčn, suy ra tĂ„n tÂči i < j sao cho fi = fj . §Æt k=j-i ta cĂŁ fk(x) = x ∀x∈X. 4. Cho b”n cĂȘ kÝch th­íc 3 x 7 vĂ­i cžc « Ÿ­ßc t« m”u xanh hoÆc Ÿå. ChĂžng minh r»ng b”n cĂȘ chĂža h×nh chĂ· nhËt kh«ng tÇm th­ĂȘng (tĂžc kh«ng cĂŁ cÂčnh b»ng 1) sao cho cžc « Ă« bĂšn gĂŁc cĂŻng m”u. H­íng dÉn: GĂ€i 2 « cĂŻng m”u trÂȘn 1 cĂ©t l” cÆp ŸÄng m”u. Mçi cĂ©t cĂŁ Ýt nhÊt 1 cÆp ŸÄng m”u. CĂŁ 4 cĂ©t cĂŁ cÆp ŸÄng m”u Ÿå hoÆc xanh, Ÿå chÂŒng hÂčn. Mçi cĂ©t chØ cĂŁ 3 tĂŠ hĂźp cÆp. Suy ra cĂŁ hai cÆp ŸÄng m”u Ÿå, tÂčo 4 ŸØnh h×nh chĂ· nhËt. 5. Cho p sĂš 1 v” q sĂš 0 xÕp th”nh vßng trßn. Gi¶ sö p ≄ k.q , k nguyÂȘn d­ng. ChĂžng minh r»ng cĂŁ Ýt nhÊt k sĂš 1 xÕp liÒn nhau. H­íng dÉn: žp dĂŽng trĂčc tiÕp nguyÂȘn lĂœ Dirichlet tĂŠng qužt, hoÆc ph¶n chĂžng. 6. Cho X l” tËp con n+2 phÇn tö cña tËp {1,2,...,2n+1} v” m l” phÇn tö lĂ­n nhÊt cña X. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči i ≠ j trong X tho¶ i+j = m.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 3. B”i tožn tĂ„n tÂči 3 − 6

H­íng dÉn: §Æt ak = k nÕu k ≀ m/2 v” ak = m-k nÕu k > m/2 ∀k∈X\{m}. TĂ„n tÂči i ≠ j tho¶ ai = aj . Suy ra i+j=m. 7. ChĂžng minh r»ng d·y n2 +1 sĂš khžc nhau ai , i =1,...,n2 +1, chĂža d·y con n+1 phÇn tö tšng hoÆc gi¶m . H­íng dÉn: GĂ€i bi l” sĂš phÇn tö cña chuçi tšng d”i nhÊt, ci l” sĂš phÇn tö cña chuçi gi¶m d”i nhÊt xuÊt phžt tĂ” ai. Ta cĂŁ n2 +1 cÆp (bi,ci) khžc nhau. Suy ra ph¶i cĂŁ bi > n hoÆc ci > n. 8. ViÕt ch­ng tr×nh t×m d·y tšng d”i nhÊt cña mĂ©t d·y cho tr­íc. 9. Cho 5 ÂźiÓm trÂȘn mÆt phÂŒng cĂŁ toÂč Ÿé nguyÂȘn. ChĂžng minh r»ng tĂ„n tÂči hai ÂźiÓm cĂŁ trung Ÿé nguyÂȘn. H­íng dÉn: XÕp loÂči cžc ÂźiÓm theo tÝnh chÂŒn lÎ cña toÂč Ÿé th× cĂŁ 4 loÂči (c,c), (c,l), (l,c) v” (l,l) (c l” sĂš chÂœn, l l” sĂš lÎ). Khi Ÿã cĂŁ hai ÂźiÓm cĂŻng loÂči, cĂŁ trung ÂźiÓm nguyÂȘn.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 1

Ch­ng 4. b”i tožn ¼Õm 4.1. cžc nguyÂȘn lĂœ cÂŹ b¶n 4.1.1. NguyÂȘn lÝ nh©n ◊ VÝ dĂŽ: MĂ©t nh” h”ng cĂŁ thĂčc Ÿn sau:

C Khai vÞ :

1. Salad 2. SĂłp C MĂŁn šn chÝnh : 1. ThÞt bß 2. ThÞt lĂźn 3. Cž C §Ä uĂšng: 1. Tr” 2. SĂ·a 3. Bia 4. Cola

CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n bĂ·a šn gĂ„m 1 mĂŁn khai vÞ, 1 mĂŁn šn chÝnh, 1 loÂči ŸÄ uĂšng ? SĂš cžch chĂ€n cĂŁ thÓ tÝnh nh­ sau:

2 cžch chĂ€n khai vÞ * 3 cžch chĂ€n mĂŁn chÝnh * 4 cžch chĂ€n ŸÄ uĂšng = 24 ‱ NguyÂȘn lĂœ nh©n: Gi¶ sö mĂ©t cÊu h×nh tĂŠ hĂźp Ÿ­ßc x©y dĂčng qua k b­íc, b­íc 1 cĂŁ thÓ Ÿ­ßc thĂčc hiÖn n1 cžch , b­íc 2 cĂŁ thÓ Ÿ­ßc thĂčc hiÖn n2 cžch ,..., b­íc k cĂŁ thÓ Ÿ­ßc thĂčc hiÖn nk cžch. Khi Ÿã sĂš cÊu h×nh l”:

n1. n2 . ... . nk ◊ VÝ dî 1:

i) CĂŁ bao nhiÂȘu chuçi 4 kĂœ tĂč Ÿ­ßc tÂčo th”nh tĂ” cžc chĂ· cži A,B,C,D,E nÕu kh«ng cho phÐp lÆp lÂči ? KĂœ tĂč thĂž nhÊt cĂŁ 5 cžch chĂ€n. KĂœ tĂč thĂž hai cĂŁ 4 cžch chĂ€n. KĂœ tĂč thĂž ba cĂŁ 3 cžch chĂ€n. KĂœ tĂč thĂž t­ cĂŁ 2 cžch chĂ€n.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 2

Nh­ vËy theo nguyÂȘn lĂœ nh©n sĂš x©u kĂœ tĂč khžc nhau l”

5 * 4 * 3 * 2 = 120

ii) CĂŁ bao nhiÂȘu chuçi trong c©u i) bŸt ¼Çu b»ng chĂ· B ?

1 * 4 * 3 * 2 = 24

iii) CĂŁ bao nhiÂȘu chuçi trong c©u i) bŸt ¼Çu kh«ng ph¶i b»ng chĂ· B ?

120 − 24 = 96 ◊ VÝ dĂŽ 2 : Cho tËp S = {x1 , x2 , ..., xn}. §Õm sĂš tËp con cña S. Gi¶i: MĂ©t tËp con cña S cĂŁ thÓ Ÿ­ßc x©y dĂčng trong n b­íc kÕ tiÕp nh­ sau : NhÆt hoÆc kh«ng nhÆt x1 , NhÆt hoÆc kh«ng nhÆt x2 ,..., NhÆt hoÆc kh«ng nhÆt xn . Mçi b­íc Ÿ­ßc thĂčc hiÖn nhiÒu nhÊt l” 2 cžch. Nh­ vËy sĂš tËp con l”

2 . 2 . 2 ..... 2 = 2n n lÇn

4.1.2. NguyÂȘn lĂœ cĂ©ng ◊ VÝ dĂŽ: CĂŁ bao nhiÂȘu chuçi 8 bit bŸt ¼Çu b»ng 101 hoÆc 111 ? Gi¶i: Theo nguyÂȘn lĂœ nh©n cĂŁ 25 chuçi bŸt ¼Çu b»ng 101 v” cĂŁ 25 chuçi bŸt ¼Çu b»ng 111. V× hai loÂči chuçi n”y khžc nhau nÂȘn ta cĂŁ

2 . 25 = 64 chuçi 8 bit bŸt ¼Çu b»ng 101 hoÆc 111. ‱ NguyÂȘn lĂœ cĂ©ng: Gi¶ sö { X1, X2, ... , Xn } l” mĂ©t ph©n hoÂčch cña tËp S. Khi Ÿã

S= X1+ X2 + ... + Xn ◊ VÝ dĂŽ 1: §Õm sĂš cžch chĂ€n 2 quyÓn sžch chuyÂȘn ng”nh khžc nhau tĂ” 5 quyÓn tin hĂ€c khžc nhau, 3 quyÓn tožn khžc nhau, v” 2 quyÓn kinh tÕ khžc nhau.

Gi¶i: Theo nguyÂȘn lĂœ nh©n ta cĂŁ : 5 . 3 = 15 cžch chĂ€n 1 quyÓn tin hĂ€c, 1 quyÓn tožn hĂ€c 5 . 2 = 10 cžch chĂ€n 1 quyÓn tin hĂ€c, 1 quyÓn kinh tÕ 3 . 2 = 6 cžch chĂ€n 1 quyÓn tožn hĂ€c, 1 quyÓn kinh tÕ Theo nguyÂȘn lĂœ cĂ©ng ta cĂŁ :

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 3

15 + 10 + 6 = 31

cžch chĂ€n sžch. ◊ VÝ dĂŽ 2: MĂ©t hĂ©i ŸÄng gĂ„m cĂŁ 6 ng­ĂȘi l” : A, B, C, D, E, F. CÇn chĂ€n 1 chñ tÞch, 1 th­ kĂœ v” 1 thñ quĂŒ.

i) CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n. ii) CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n m” A hoÆc B l” chñ tÞch. iii) CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n m” E giĂ· 1 trong cžc chĂžc vĂŽ trÂȘn. iv) CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n m” c¶ D v” F ¼Òu giĂ· chĂžc vĂŽ.

Gi¶i.

i) Theo nguyÂȘn lĂœ nh©n sĂš cžch chĂ€n l” 6 . 5 . 4 = 120 ii) NÕu A l” chñ tÞch th× cĂŁ 5 . 4 = 20 cžch. NÕu B l” chñ tÞch th× cĂŁ 5 . 4 =

20 cžch. Theo nguyÂȘn lĂœ cĂ©ng cĂŁ tÊt c¶ 20 + 20 = 40 cžch.

iii) NÕu E l” chñ tÞch th× cĂŁ 20 cžch. NÕu E l” th­ kĂœ th× cĂŁ 20 cžch, NÕu E l” thñ quĂŒ th× cĂŁ 20 cžch. Theo nguyÂȘn lĂœ cĂ©ng cĂŁ tÊt c¶ 20 + 20 + 20 = 60 cžch.

iv) Cã 3 cžch gžn D v”o cžc chÞc vÎ, 2 cžch gžn F, v” 4 cžch gžn 1 trong 4

ng­ĂȘi cßn lÂči v”o chĂžc vĂŽ cuĂši cĂŻng. Theo nguyÂȘn lĂœ nh©n ta cĂŁ 3 . 2 . 4 = 24 cžch.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 4

4.2. Cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp 4.2.1. ChØnh hĂźp lÆp ‱ §Þnh nghÜa: MĂ©t chØnh hĂźp lÆp chËp k cña n phÇn tö l” mĂ©t bĂ© cĂŁ thĂž tĂč gĂ„m k th”nh phÇn lÊy tĂ” n phÇn tö Ÿ· cho. Cžc th”nh phÇn cĂŁ thÓ Ÿ­ßc lÆp lÂči. MĂ©t chØnh hĂźp lÆp chËp k cña n cĂŁ thÓ xem nh­ mĂ©t phÇn tö cña tÝch §Ò-cžc Xk , vĂ­i X l” tËp n phÇn tö. Nh­ vËy sĂš tÊt c¶ cžc chØnh hĂźp lÆp chËp k cña n l”

nk ◊ VÝ dĂŽ: TÝnh sĂš h”m tĂ” tËp X cĂŁ k phÇn tö ¼Õn tËp Y cĂŁ n phÇn tö. Mçi h”m tĂ” X v”o Y t­ng Ăžng vĂ­i mĂ©t bĂ© cĂŁ thĂž tĂč k th”nh phÇn cña n phÇn tö cña Y, cžc phÇn tö cĂŁ thÓ lÆp lÂči . Nh­ vËy sĂš h”m tĂ” X v”o Y l” nk . 4.2.2. ChØnh hĂźp kh«ng lÆp ‱ §Þnh nghÜa: MĂ©t chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp k cña n phÇn tö l” mĂ©t bĂ© cĂŁ thĂž tĂč gĂ„m k th”nh phÇn lÊy tĂ” n phÇn tö Ÿ· cho. Cžc th”nh phÇn kh«ng Ÿ­ßc lÆp lÂči. MĂ©t chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp k cña n cĂŁ thÓ Ÿ­ßc x©y dĂčng qua k b­íc kÕ tiÕp nh­ sau : ChĂ€n th”nh phÇn¼Çu : cĂŁ n kh¶ nšng. ChĂ€n th”nh phÇn thĂž hai : cĂŁ n - 1 kh¶ nšng. ... ChĂ€n th”nh phÇn thĂž k : cĂŁ n - k + 1 kh¶ nšng. Nh­ vËy, theo nguyÂȘn lĂœ nh©n, sĂš tÊt c¶ chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp k cña n phÇn tö l”

A(n,k) = n.(n − 1).....(n − k + 1) = )!(!kn

n−

◊ VÝ dĂŽ: TÝnh sĂš h”m Ÿn žnh tĂ” tËp X cĂŁ k phÇn tö ¼Õn tËp Y cĂŁ n phÇn tö. Gi¶i : Mçi h”m Ÿn žnh tĂ” X v”o Y t­ng Ăžng vĂ­i mĂ©t chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp k cña n phÇn tö cña Y. Nh­ vËy sĂš cÇn t×m l” A(n,k) = n.(n−1).....(n−k+1).

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 5

4.2.3. Hožn vÞ ‱ §Þnh nghÜa : MĂ©t hožn vÞ cña n phÇn tö l” mĂ©t cžch sŸp xÕp thĂž tĂč cžc phÇn tö Ÿã. Hožn vÞ cĂŁ thÓ coi nh­ tr­ĂȘng hĂźp riÂȘng cña chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp k cña n trong Ÿã k = n. Ta cĂŁ sĂš hožn vÞ l”

P(n) = n! ◊ VÝ dĂŽ: CĂŁ 6 ng­ĂȘi xÕp th”nh h”ng ngang ¼Ó chĂŽp ¶nh. HĂĄi cĂŁ thÓ bĂš trÝ bao nhiÂȘu kiÓu khžc nhau ? Gi¶i: Mçi kiÓu ¶nh l” mĂ©t hožn vÞ cña 6 ng­ĂȘi. VËy sĂš kiÓu ¶nh l” 6! = 720. 4.2.4. TĂŠ hĂźp ◊ §Þnh nghÜa: MĂ©t tĂŠ hĂźp chËp k cña n phÇn tö l” mĂ©t bĂ© kh«ng kÓ thĂž tĂč gĂ„m k th”nh phÇn khžc nhau lÊy tĂ” n phÇn tö Ÿ· cho. NĂŁi cžch khžc ta cĂŁ thÓ coi mĂ©t tĂŠ hĂźp chËp k cña n phÇn tö l” mĂ©t tËp con cĂŁ k phÇn tö tĂ” n phÇn tö Ÿ· cho. GĂ€i sĂš tĂŠ hĂźp chËp k cña n phÇn tö l” C(n,k) ta cĂŁ :

A(n,k) = C(n,k) * k! Suy ra

C(n,k) = )!!.(!

knkn−

◊ VÝ dĂŽ: CĂŁ n Ÿéi bĂŁng thi ¼Êu vßng trßn. Ph¶i tĂŠ chĂžc bao nhiÂȘu trËn ¼Êu bĂŁng tÊt c¶ ? Gi¶i : Mçi trËn Ăžng vĂ­i mĂ©t tĂŠ hĂźp chËp 2 cña n. VËy cĂŁ C(n,2) trËn ¼Êu. ‱ HÖ qu¶ : TÝch k sĂš tĂč nhiÂȘn liÂȘn tiÕp chia hÕt k! ChĂžng minh. V× C(n,k) = (n−k+1).(n−k+2).....n / k! l” sĂš nguyÂȘn. ‱ TÝnh chÊt : - C(n,k) = C(n,n-k) - C(n,0) = C(n,n) = 1 - C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) ‱ NhÞ thĂžc Newton: (x+y)n = C(n,0).xn + C(n,1).xn−1.y +...+ C(n,n−1).x.yn−1 + C(n,n).yn

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 6

‱ HÖ qu¶ nhÞ thĂžc Newton: ‱ C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2n (sĂš cžc tËp con cña n phÇn tö l” 2n ) ‱ C(n,0) − C(n,1) + ... + (−1)nC(n,n) = 0 (sĂš tËp con chÂœn b»ng sĂš tËp con lÎ). 4.2.5. Hožn vÞ lÆp ◊ VÝ dĂŽ: CĂŁ 3 viÂȘn bi Ÿå, 2 viÂȘn bÞ xanh v” 4 viÂȘn bi trŸng. HĂĄi cĂŁ bao nhiÂȘu cžch sŸp cžc viÂȘn bi trÂȘn theo h”ng ngang. Ta cĂŁ tÊt c¶ 9 chç trĂšng ¼Ó xÕp cžc viÂȘn bi. Ta cĂŁ C(9,3) kh¶ nšng xÕp 3 viÂȘn bi Ÿå, C(6,2) kh¶ nšng xÕp 2 viÂȘn bi xanh, cßn lÂči 1 kh¶ nšng xÕp cžc viÂȘn bi trŸng. Theo nguyÂȘn lĂœ nh©n ta cĂŁ

C(9,3).C(6,2) = !4!.2!.3

!9!4!.2

!6.!6!.3

!9=

cžch xÕp. ‱ §Þnh nghÜa: Hožn vÞ lÆp l” hožn vÞ trong Ÿã mçi phÇn tö Ÿ­ßc Ên ¼Þnh mĂ©t sĂš lÇn lÆp lÂči cho tr­íc. ‱ §Þnh lĂœ: Gi¶ sö tËp S cĂŁ n phÇn tö, trong Ÿã cĂŁ n1 kiÓu 1, n2 kiÓu 2, ..., nk kiÓu k. Khi Ÿã sĂš cžc hožn vÞ n phÇn tö cña S l”

( )!!...!.

!,...,,21

21k

kn nnnnnnnC =

4.2.6. TĂŠ hĂźp lÆp ◊ VÝ dĂŽ: Gi¶ sö ta cĂŁ 3 quyÓn sžch : Tožn, Tin, LĂœ v” mçi quyÓn cĂŁ Ýt nhÊt 6 b¶n photocopy. HĂĄi cĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n ra 6 quyÓn. Gi¶i: B”i tožn ¼Æt ra l” chĂ€n 6 phÇn tö, kh«ng kÓ thĂž tĂč v” cho phÐp lÆp lÂči. Mçi cžch chĂ€n Ÿ­ßc xžc ¼Þnh duy nhÊt bĂ«i sĂš l­ßng cña mçi loÂči sžch. Nh­ vËy ta cĂŁ thÓ biÓu diÔn mçi cžch chĂ€n nh­ sau

Tožn Tin LĂœ x x x | x x | x

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 7

trong Ÿã 6 dÊu x chØ quyÓn sžch chĂ€n v” 2 dÊu | chØ ph©n cžch giĂ·a cžc loÂči sžch. Nh­ vËy mçi cžch chĂ€n t­ng Ÿ­ng vĂ­i tĂŠ hĂźp chËp 2 (dÊu |) tĂ” 8 phÇn tö. Ta cĂŁ sĂš cžch chĂ€n l”

C(8,2) = 28 ‱ §Þnh nghÜa: TĂŠ hĂźp lÆp chËp k tĂ” n phÇn tö l” mĂ©t nhĂŁm kh«ng ph©n biÖt thĂž tĂč gĂ„m k phÇn tö trÝch tĂ” n phÇn tö Ÿ· cho, trong Ÿã cžc phÇn tö cĂŁ thÓ Ÿ­ßc lÆp lÂči. ‱ §Þnh lĂœ: Gi¶ sö X cĂŁ n phÇn tö. Khi Ÿã sĂš tĂŠ hĂźp lÆp chËp k tĂ” n phÇn tö cña X l”

C(k + n − 1, n − 1) = C(k + n − 1, k). ◊ VÝ dî: Ph­¬ng tr×nh

x1 + x2 + x3 + x4 = 10 cĂŁ bao nhiÂȘu bĂ© nghiÖm nguyÂȘn kh«ng ©m ? Gi¶i : Mçi bĂ©i nghiÖm nguyÂȘn kh«ng ©m cña ph­ng tr×nh t­ng Ăžng 1-1 vĂ­i mĂ©t cžch chĂ€n 10 phÇn tö, trong Ÿã phÇn tö kiÓu i lÆp lÂči xi lÇn, i=1,
,4. VËy sĂš bĂ© nghiÖm l” sĂš tĂŠ hĂźp lÆp chËp 10 cña 4. VËy ta cĂŁ sĂš nghiÖm l”

C(10 + 4 -1 , 4 - 1) = C(13, 3) = 286

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 8

4.3. mĂ©t sĂš b”i tËp Ăžng dĂŽng 4.3.1. B”i tožn ¼Õm cžch xÕp chç ◊ B”i 1: CĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp cžc chĂ· cži A,B,C,D,E,F chĂža x©u DEF ? Gi¶i. X©u DEF Âźi liÒn nhau coi nh­ 1 phÇn tö. VËy cĂŁ tÊt c¶ 4! = 24 cžch xÕp. ◊ B”i 2: CĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp cžc chĂ· cži A,B,C,D,E,F chĂža cžc chĂ· D,E,F kÒ nhau ? Gi¶i. Ăžng vĂ­i mçi hožn vÞ con cña D,E,F ta cĂŁ 4! hožn vÞ cña A,B,C,D,E,F chĂža hožn vÞ con. VËy ta cĂŁ tÊt c¶ 3! * 4! = 144 cžch xÕp. ◊ B”i 3: CĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp cžc chĂ· cži A,B,C,D,E,F sao cho A,B kh«ng ŸÞng kÒ nhau ? Gi¶i. SĂš cžch xÕp A, B ŸÞng gÇn nhau l” 2! * 5! = 2 . 120 = 240. VËy , theo nguyÂȘn lĂœ cĂ©ng, sĂš cžch xÕp m” A,B kh«ng kÒ nhau l”

6! − ( 2! * 5!) = 720 - 240 = 480 ◊ B”i 4: MĂ©t tĂŠ sinh viÂȘn cĂŁ 7 nam v” 5 nĂ· xÕp th”nh h”ng dĂ€c. HĂĄi cĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp h”ng ¼Ó kh«ng cĂŁ hai sinh viÂȘn nĂ· ŸÞng gÇn nhau ? Gi¶i. Mçi cžch xÕp h”ng t­ng Ăžng vĂ­i mĂ©t hožn vÞ cña 7 (SV nam A1,A2,...,A7) v” mĂ©t chØnh hĂźp chËp 5 (SV nĂ·) cña 8 (kho¶ng trĂšng kĂœ hiÖu b»ng dÊu gÂčch ngang):

_A1_A2_A3_A4_A5_A6_A7_ Nh­ vËy ta cĂŁ tÊt c¶

7! * P(8,5) = 5040 . 6720 = 33 868 800 cžch xÕp h”ng. ◊ B”i 5: CĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp k bit 0 v” m bit 1 trÂȘn h”ng ngang sao cho kh«ng cĂŁ 2 bit 0 kÒ nhau. Gi¶i. Cžc bit 0 Ÿ­ßc xÕp chen v”o m+1 kho¶ng trĂšng giĂ·a cžc bit 1. Nh­ vËy ta cĂŁ sĂš cžch xÕp l” :

C(m+1,k). ChĂł Ăœ r»ng ¼Ó cĂŁ lĂȘi gi¶i ph¶i tho¶ m ≄ k .

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 9

◊ B”i 6: CĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp k bit 0 v” m bit 1 trÂȘn vßng trßn Ÿ­ßc Ÿžnh sĂš tĂ” 1 ¼Õn m+k (vÞ trÝ m+k kÒ vĂ­i vÞ trÝ 1) sao cho kh«ng cĂŁ 2 bit 0 kÒ nhau. Gi¶i. CĂš ¼Þnh vÞ trÝ 1. Ta cĂŁ 2 tr­ĂȘng hĂźp. ‱ Tr­ĂȘng hĂźp vÞ trÝ 1 l” bit 0. LĂłc n”y ph¶i xÕp bit 1 v”o vÞ trÝ 2 v” vÞ trÝ m+k. Ta cßn m−2 bit 1 v” k−1 bit 0 v” quay lÂči b”i tožn trÂȘn. Nh­ vËy sĂš cžch xÕp trong tr­ĂȘng hĂźp n”y l” :

C(m−1,k−1) ‱ Tr­ĂȘng hĂźp vÞ trÝ 1 l” bit 1. Ta cßn m−1 bit 1 v” k bit 0 v” quay lÂči b”i tožn trÂȘn. Nh­ vËy sĂš cžch xÕp trong tr­ĂȘng hĂźp n”y l” :

C(m,k) TĂŠng cĂ©ng sĂš cžch xÕp l”

C(m−1,k−1) + C(m,k) = )!)!.(1(

)!1(kmk

m−−

− + C(m,k)

= mk

. C(m,k) + C(m,k) = m

mk +. C(m,k)

ChĂł Ăœ r»ng ¼Ó cĂŁ lĂȘi gi¶i ph¶i tho¶ m ≄ k . 4.3.2. B”i tožn ¼Õm sĂš Ÿ­ĂȘng Âźi ◊ B”i 1: Cho l­íi cžc « vu«ng sau : (0,m) (n,m)

(0,0) (n,0) HĂĄi cĂŁ bao nhiÂȘu Ÿ­ĂȘng Âźi khžc nhau tĂ” nĂłt (0,0) ¼Õn nĂłt (n,m) nÕu chØ cho phÐp Âźi trÂȘn cÂčnh cžc « vu«ng theo chiÒu sang ph¶i hoÆc lÂȘn trÂȘn. Gi¶i : Mçi Ÿ­ĂȘng Âźi gĂ„m m + n ÂźoÂčn, trong Ÿã cĂŁ m ÂźoÂčn lÂȘn trÂȘn, v” n ÂźoÂčn sang ph¶i, t­ng Ăžng tĂŠ hĂźp chËp m (lÂȘn trÂȘn) tĂ” m + n phÇn tö , vÝ dĂŽ :

→↑→→↑→→↑→→↑→→↑

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 10

VËy sĂš Ÿ­ĂȘng Âźi l” C(n+m,m) ◊ B”i 2: Cho l­íi cžc « vu«ng kÝch th­íc n * n sau : (0,n) (n,n)

(0,0) (n,0) Cžc Ÿ­ĂȘng Âźi tĂ” nĂłt (0,0) ¼Õn (n,n) (xem vÝ dĂŽ 1) gĂ€i l” tĂšt nÕu nĂŁ kh«ng v­ßt lÂȘn trÂȘn Ÿ­ĂȘng chÐo chÝnh. Cžc Ÿ­ĂȘng khžc gĂ€i l” xÊu. H·y ¼Õm sĂš Ÿ­ĂȘng Âźi tĂšt. Gi¶i : KĂœ hiÖu Gn l” tĂŠng sĂš Ÿ­ĂȘng Âźi tĂšt, Bn l” sĂš Ÿ­ĂȘng Âźi xÊu. Ta cĂŁ, theo vÝ dĂŽ 1,

Gn + Bn = C(2n,n) VĂ­i mçi Ÿ­ĂȘng Âźi xÊu P ta kĂœ hiÖu (x,y) l” nĂłt ¼Çu tiÂȘn n»m bÂȘn trÂȘn Ÿ­ĂȘng chÐo chÝnh. Ta x©y dĂčng mĂ©t Ÿ­ĂȘng Âźi P’ tĂ” nĂłt (0, 0) ¼Õn nĂłt (n−1,n+1) nh­ sau : §oÂčn tĂ” (0,0) ¼Õn (x,y) P’ trĂŻng vĂ­i P. §oÂčn tĂ” (x,y) ¼Õn (n−1,n+1) ŸÚi xĂžng vĂ­i P qua Ÿ­ĂȘng thÂŒng nĂši hai ÂźiÓm (0,1) v” (n−1,n). GiĂ·a P v” P’ l” quan hÖ 1-1. Nh­ vËy ta cĂŁ

Bn = C(2n,n−1) Suy ra

Gn = C(2n,n) − C(2n,n−1) =

!!.)!2(

nnn −

)!1)!.(1()!2(

+− nnn =

)1(),2(

+nnnC

SĂš Gn gĂ€i l” sĂš Catalan (mang tÂȘn nh” tožn hĂ€c BØ Eugene Catalan ,1814-1894). 4.3.3. žp dĂŽng c«ng thĂžc truy hĂ„i

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 11

◊ B”i 1: TrÂȘn mÆt phÂŒng kÎ n Ÿ­ĂȘng thÂŒng sao cho kh«ng cĂŁ ba Ÿ­ĂȘng n”o ŸÄng qui v” kh«ng cĂŁ hai Ÿ­ĂȘng n”o song song. HĂĄi mÆt phÂŒng Ÿ­ßc chia l”m mÊy phÇn ? Gi¶i : GĂ€i sĂš phÇn mÆt phÂŒng chia bĂ«i n Ÿ­ĂȘng thÂŒng l” s(n). Gi¶ sö Ÿ· kÎ n−1 Ÿ­ĂȘng thÂŒng. B©y giĂȘ kÎ thÂȘm Ÿ­ĂȘng thÂŒng thĂž n th× sĂš phÇn mÆt phÂŒng Ÿ­ßc thÂȘm sÏ b»ng sĂš giao ÂźiÓm cĂ©ng 1 (n−1 + 1 = n). V× vËy ta cĂŁ c«ng thĂžc truy hĂ„i sau

s(n) = s(n−1) + n & s(1) = 2

Gi¶i c«ng thĂžc trÂȘn b»ng ph­ng phžp lÆp ta cĂŁ

s(n) = s(n-1) + n = s(n-2) + (n-1) + n ... = s(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n = 1 + n(n+1)/2 ◊ B”i 2: TÝnh sĂš mÊt thĂž tĂč Dn . Gi¶i : Mçi kÕt hĂźp mÊt thĂž tĂč l” mĂ©t hožn vÞ a1 , a2 , ... , an cña n sĂš 1, 2, ..., n sao cho ai ≠ i ∀i=1,..,n. Th”nh phÇn a1 cĂŁ thÓ nhËn (n−1) giž trÞ . VĂ­i mçi giž trÞ k = a1 ta cĂŁ 2 tr­ĂȘng hĂźp : i) ak = 1 : Khi Ÿã cžc th”nh phÇn cßn lÂči tÂčo th”nh mĂ©t mÊt thĂž tĂč cña n-2 phÇn tö. Nh­ vËy sĂš mÊt thĂž tĂč trong tr­ĂȘng hĂźp n”y l” (n-1).Dn-2 . ii) ak ≠ 1 : Khi Ÿã, coi 1 nh­ l” k, cžc th”nh phÇn cßn lÂči tÂčo th”nh mĂ©t mÊt thĂž tĂč cña n-1 phÇn tö. Nh­ vËy sĂš mÊt thĂž tĂč trong tr­ĂȘng hĂźp n”y l” (n-1).Dn-1 . CuĂši cĂŻng ta cĂŁ c«ng thĂžc

Dn = (n−1).(Dn-1 + Dn-2 ) §Ó t×m c«ng thĂžc t­ĂȘng minh ta biÕn ŸÊi c«ng thĂžc trÂȘn th”nh

Dn − n.Dn-1 = − (Dn-1 − (n−1).Dn-2 ) §Æt Vn = Dn − n.Dn−1 ta cã

Vn = − Vn-1 = ... = (−1)n - 2 V2 = (−1)n-2 = (−1)n Suy ra

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 12

!nDn −

)!1(1

−−

nDn =

!)1(

n

n−

CĂ©ng cžc hÖ thĂžc trÂȘn , vĂ­i n=1,...,n, ta Ÿ­ßc

!nDn = 1 −

!11

+ !2

1 + ... +

!)1(

n

n−

TÔ Ÿã ta cã

Dn = n! . (1 − !1

1 + !2

1 + ... + !)1(

n

n− )

D­íi Ÿ©y l” mĂ©t v”i giž trÞ cña Dn

n = 4 5 6 7 8 9 10 11 Dn = 9 44 256 1 854 14 833 133 496 1 334 961 14 684 570

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 13

4.4. nguyÂȘn lĂœ bĂŻ trĂ” 4.4.1. NguyÂȘn lĂœ Cho hai tËp A , B. Theo nguyÂȘn lĂœ cĂ©ng ta cĂŁ ‱ C«ng thĂžc 1: A âˆȘ B = A + B - A ∩ B Cho n tËp X1, X2 ,..., Xn b»ng quy nÂčp ta cĂŁ ‱ C«ng thĂžc 2:

X1 âˆȘ X2 âˆȘ... âˆȘ Xn = ∑=

−−n

k

k knS1

1 ),()1(

trong Ÿã

S(n,k) = ∑≀≀≀≀

∩∩∩nii

iiik

kxxx

...1 1

21...

Trong tĂŠng S(n,k) (i1 , i2 , ... , ik ) lÊy tÊt c¶ cžc tĂŠ hĂźp chËp k cña n v” nh­

vËy S(n,k) l” tĂŠng cña C(n,k) sĂš hÂčng. NĂŁi riÂȘng ta cĂŁ

S(n,1) = X1 + X2 + ... + Xn v”

S(n,n) = X1 ∩ X2 ∩... ∩ Xn B©y giĂȘ ta cho cžc tÝnh chÊt α1 ,..., αn trÂȘn tËp X. XÐt b”i tožn : ‱ §Õm sĂš phÇn tö trong X kh«ng tho¶ m·n mĂ©t tÝnh chÊt αk n”o c¶. Gi¶i. VĂ­i mĂ€i k = 1, ..., n, ta kĂœ hiÖu:

Xk = { x ∈ X x tho¶ m·n αk } Nh­ vËy phÇn bĂŻ cña Xk l”

kX = { x ∈ X x kh«ng tho¶ m·n αk } KĂœ hiÖu N l” sĂš cÇn ¼Õm, ta cĂŁ :

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 14

N = 1X ∩ 2X ∩... ∩ nX = nXXX âˆȘâˆȘâˆȘ ...21

= X − X1 âˆȘ X2 âˆȘ... âˆȘ Xn

TÔ c«ng thÞc 2 suy ra

N = X − ∑=

−−n

k

k knS1

1 ),()1( = X + ∑=

−n

k

k knS1

),()1(

TĂ” Ÿã ta cĂŁ ‱ NguyÂȘn lĂœ bĂŻ trĂ” :

N = ∑=

−n

k

k knS0

),()1(

trong Ÿã

S(n,0) = X v”

S(n,k) = ∑≀≀≀≀

∩∩∩nii

iiik

kXXX

...1 1

21... ∀k=1, ..., n

4.4.2. B”i tožn Ăžng dĂŽng ◊ B”i tožn bĂĄ th­: CĂŁ n lž th­ v” n phong b× ghi sÂœn ¼Þa chØ. BĂĄ ngÉu nhiÂȘn cžc lž th­ v”o phong b×.

i) HĂĄi sžc xuÊt ¼Ó kh«ng lž th­ n”o Ÿóng ¼Þa chØ l” bao nhiÂȘu ? ii) HĂĄi sžc xuÊt ¼Ó Ÿóng r lž th­ Ÿóng ¼Þa chØ l” bao nhiÂȘu (r ≀ n) ?

Gi¶i . i) GĂ€i X l” tËp hĂźp tÊt c¶ cžc cžch bĂĄ th­. Ta cĂŁ X = n! . GĂ€i αk l” tÝnh

chÊt lž th­ k göi Ÿóng ¼Þa chØ, Xk l” tËp hĂźp cžch bĂĄ th­ sao cho lž th­ th­ k kh«ng göi Ÿóng ¼Þa chØ (k=1, ..., n). KÝ hiÖu N(n, k) l” sĂš cžch bĂĄ th­ sao cho cĂŁ Ÿóng k lž th­ Ÿóng ¼Þa chØ. Nh­ vËy theo nguyÂȘn lĂœ bĂŻ trĂ” sĂš cžch bĂĄ th­ sao cho kh«ng cĂŁ lž th­ n”o göi Ÿóng ¼Þa chØ l”.

N(n,0) = ∑=

−n

k

k knS0

),()1(

trong Ÿã

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 15

S(n,0) = X = n!

v”

S(n,k) = ∑≀≀≀≀

∩∩∩nii

iiik

kXXX

...1 1

21... ∀k=1, ..., n

VĂ­i mçi bĂ© k lž th­ i1, i2, ..., ik ta cĂŁ (n−k)! cžch bĂĄ th­, tĂžc hožn vÞ cžc lž th­ cßn lÂči, sao cho cžc lž th­ i1, i2, ..., ik bĂĄ Ÿóng ¼Þa chØ. Nh­ vËy ta cĂŁ

S(n,k) = C(n,k). (n−k)! = !!

kn

Suy ra

N(n,0) = n!.( )

−+++−

!1...

!21

!111

n

n

Nh­ vËy sžc xuÊt cÇn t×m l”

( )

−+++−

!1...

!21

!111

n

n

MĂ©t ÂźiÒu lĂœ thĂł l” sžc xuÊt trÂȘn tiÕn ¼Õn 1/ e khi n → ∞ . SĂš N(n,0) trÂȘn cĂČng chÝnh l” tĂŠng sĂš hožn vÞ f(i) cña tËp {1,2,...,n} tho¶ m·n f(i) ≠ i . V× vËy N(n,0) Ÿ­ßc gĂ€i l” sĂš mÊt thĂž tĂč v” Ÿ­ßc kĂœ hiÖu l” Dn .

ii) Cho tĂŠ hĂźp i1, i2, ..., ir . SĂš cžch bĂĄ th­ ¼Ó chØ cžc lž th­ i1, i2, ..., ir göi Ÿóng ¼Þa chØ Ÿóng b»ng N(n−r,0). Nh­ vËy sĂš cžch bĂĄ th­ ¼Ó cĂŁ Ÿóng r lž th­ göi Ÿóng ¼Þa chØ l”

N(n,r) = C(n,r). N(n−r,0) = C(n,r). (n−r)!. ( )

−

−+++−

−

)!(1...

!21

!111

rn

rn

◊ B”i tožn xÕp khžch (Lucas) : MĂ©t b”n trßn cĂŁ 2n ghÕ . CÇn sŸp n cÆp vĂź chĂ„ng sao cho Ÿ”n «ng ngĂ„i xen kÏ Ÿ”n b” v” kh«ng cĂŁ cÆp n”o ngĂ„i cÂčnh nhau (cĂŁ tÝnh ¼Õn vÞ trÝ ghÕ v” thĂž tĂč chç ngĂ„i) . HĂĄi cĂŁ bao nhiÂȘu cžch xÕp ?

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 16

Gi¶i. GĂ€i sĂš ph¶i t×m l” Mn . XÕp cžc b” tr­íc (cĂž mĂ©t ghÕ xÕp th× mĂ©t ghÕ ¼Ó trĂšng d”nh cho cžc «ng). VĂ­i n ghÕ chÂœn ta cĂŁ n! cžch xÕp v” vĂ­i n ghÕ lÎ ta cĂČng cĂŁ n! cžch xÕp. Nh­ vËy sĂš cžch xÕp cžc b” l” 2.n! . GĂ€i sĂš cžch xÕp cžc «ng Ăžng vĂ­i mĂ©t cžch xÕp cžc b” l” Un , ta cĂŁ

Mn = 2.n!.Un B©y giĂȘ ta Âźi tÝnh Un.

§žnh sĂš cžc b” (Ÿ· xÕp ) tĂ” 1 ¼Õn n. §žnh sĂš cžc «ng t­ng Ăžng vĂ­i cžc b” («ng i l” chĂ„ng b” i ). §žnh sĂš cžc ghÕ trĂšng theo nguyÂȘn tŸc : ghÕ sĂš i n»m giĂ·a b” i v” i+1 (quy ­íc n+1 = 1). Mçi cžch xÕp cžc «ng Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng mĂ©t hožn vÞ f(i) cña tËp {1,2,...,n}, tĂžc l” ghÕ i Ÿ­ßc xÕp cho «ng f(i). §Ó tho¶ m·n yÂȘu cÇu b”i tožn f(i) ph¶i tho¶ m·n f(i) ≠ i & f(i) ≠ i + 1 (*)

Nh­ vËy sĂš Un l” sĂš cžc hožn vÞ tho¶ m·n (*). SĂš Un gĂ€i l” sĂš ph©n bĂš. XÐt tËp hĂźp X cžc hožn vÞ f cña {1,2,...,n}. Ta gĂ€i

Pi l” tÝnh chÊt f(i) = i v”

Qi l” tÝnh chÊt f(i) = i + 1 KÝ hiÖu Pn+i l” tÝnh chÊt Qi . TiÕp theo kÝ hiÖu Xi l” sĂš cžc hožn vÞ cña trong X tho¶ tÝnh chÊt Pi , i = 1, ..., 2n. Nh­ vËy theo nguyÂȘn lĂœ bĂŻ trĂ” sĂš cžch xÕp chç l”

Un = ∑=

−n

k

k knS2

0),2()1(

trong Ÿã

S(2n,0) = X = n! v”

S(2n,k) = ∑≀≀≀≀

∩∩∩nii

iiik

kXXX

2...1 1

21... ∀k=1, ..., 2n

ChĂł Ăœ r»ng kh«ng thÓ x¶y ra ŸÄng thĂȘi Pi v” Qi hoÆc ŸÄng thĂȘi Pi+1 v” Qi , tĂžc l” :

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 17

Xi ∩ Xn+i = ∅ & Xi+1 ∩ Xn+i = ∅ ∀i=1,...,n

Nh­ vËy ta cã

S(2n,k) = 0 ∀k > n v” kÐo theo

Un = ∑=

−n

k

k knS0

),2(.)1(

GĂ€i g(2n,k) l” sĂš cžch lÊy ra k tÝnh chÊt tho¶ m·n kh«ng thÓ x¶y ra ŸÄng

thĂȘi Pi v” Qi hoÆc ŸÄng thĂȘi Pi+1 v” Qi ( g(2n,0) = 1). V” vĂ­i mçi cžch lÊy k tÝnh chÊt nh­ vËy ta cĂŁ (n-k)! cžch ph©n bĂš cžc tÝnh chÊt cßn lÂči. Nh­ vËy ta cĂŁ

Un = ∑=

−−−n

k

nk knkng0

)!.()1).(,2(.)1(

B©y giĂȘ ta cßn ph¶i tÝnh g(2n,k). NÕu xÕp theo vßng trßn P1 , Q1 , P2 , Q2 ,..., Pn , Qn , ta thÊy g(2n,k) chÝnh l” sĂš cžch lÊy ra k phÇn tö sao cho kh«ng cĂŁ hai phÇn tö kÒ nhau. §©y chÝnh l” sĂš cžch xÕp k sĂš 0 vĂ­i (2n-k) sĂš 1 sao cho kh«ng cĂŁ hai sĂš 0 kÒ nhau. Theo b”i tožn 6 Ă« phÇn III ta cĂŁ

g(2n,k) = kn

n−2

2 C(2n - k , k)

Nh­ vËy sĂš ph©n bĂš

Un = ∑ (-1)k . kn

n−2

2 C(2n - k,k).(n-k)!

(Touchard J. 1934 France ).

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 4. B”i tožn ¼Õm 4 − 18

b”i tËp

B”i 1. H·y ¼Õm sĂš cžch chĂ€n n cÆp tĂ” 2n phÇn tö khžc nhau. (§žp sĂš: Sn = Sn-1 + 2(n-1)Sn-1 = (2n-1)Sn-1 = (2n-1)!!) B”i 2. CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n 2 sĂš nguyÂȘn tĂ” 1,2,...,2n sao cho tĂŠng cña chĂłng l” sĂš lÎ, sĂš chÂœn. (§žp sĂš: TĂŠng lÎ = n.n = n2 , TĂŠng chÂœn = C(2n,2) - n2 = 2.C(n,2)2 ) B”i 3. Trong 2n phÇn tö cĂŁ Ÿóng n phÇn tö giĂšng hÖt nhau. CĂŁ bao nhiÂȘu cžch chĂ€n n phÇn tö. (§žp sĂš: C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) +...+ C(n,n) = 2n ) B”i 4. CĂŁ bao nhiÂȘu cÆp sĂš tĂ” 1,2,...,n-1 cĂŁ tĂŠng lĂ­n hÂŹn n . (§žp sĂš: n=2k : 1+3+...+(2k-1) = (k-1)2 n =2k+1 : 2+4+...+(2k-2) = k(k-1) ; h­íng dÉn: vÏ h×nh)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 1

Ch­ng 5. b”i tožn liÖt kÂȘ 5.1. Phžt biÓu b”i tožn liÖt kÂȘ ‱ VÝ dĂŽ

MĂ©t bšng video cĂŁ thÓ ghi Ÿ­ßc C gi©y. Ta cĂŁ n phim video vĂ­i thĂȘi gian

t­ng Þng l” t1, t2 , ... , tn . Ta ph¶i chÀn k phim i1, i2 , ... , ik sao cho tÊng

∑∈ },...,,{ 21 kiiii

it

kh«ng v­ßt quž C v” lĂ­n nhÊt. MĂ©t cžch gi¶i ch©n ph­ng l” liÖt kÂȘ tÊt cžc tËp con {i1, i2 , ... , ik} ⊂ {1, 2 , ... ,

n} v” chĂ€n tËp cĂŁ tĂŠng trÂȘn l” lĂ­n nhÊt kh«ng v­ßt quž C. V× vËy trong nhiÒu tr­ĂȘng hĂźp, khi kh«ng cĂŁ thuËt tožn hiÖu qu¶ ¼Ó gi¶i quyÕt nhĂ·ng b”i tožn nh­ trÂȘn, th× ph­ng phžp liÖt kÂȘ vĂŁi sĂč trĂź giĂłp cña mžy tÝnh vÉn l” gi¶i phžp kh¶ dÜ.

‱ Phžt biÓu b”i tožn liÖt kÂȘ

Xžc ¼Þnh thuËt tožn x©y dĂčng lÇn l­ßt cÊu h×nh quan t©m. ThuËt tožn cÇn ٦m

b¶o cžc yÂȘu cÇu sau: - Kh«ng lÆp lÂči cÊu h×nh - Kh«ng bĂĄ sĂŁt cÊu h×nh

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 2

5.2. Ph­ng phžp sinh §Ó cĂŁ thÓ liÖt kÂȘ tÊt c¶ cÊu h×nh ta cÇn sŸp xÕp cžc cÊu h×nh theo thĂž tĂč n”o Ÿã, sau Ÿã liÖt kÂȘ chĂłng theo thĂž tĂč tĂ” nhĂĄ ¼Õn lĂ­n th× ٦m b¶o hai yÂȘu cÇu cña b”i tožn liÖt kÂȘ. MĂ©t loÂči thĂž tĂč hay Ÿ­ßc dĂŻng l” thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn. Trong b”i n”y chĂłng ta sÏ nghiÂȘn cĂžu ph­ng phžp tÂčo ra mĂ©t cÊu h×nh tĂŠ hĂźp liÒn kÒ ngay sau mĂ©t cÊu h×nh Ÿ· cĂŁ theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn. §ã chÝnh l” Ăœ t­ëng ph­ng phžp sinh. 5.2.1. ThĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn v” ph­ng phžp sinh ‱ ThĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn

Cho α = s1 s2 ... sp v” ÎČ = t1 t2 ... tq l” cžc d·y sĂš hoÆc kĂœ tĂč. Ta nĂŁi r»ng α nhĂĄ hÂŹn ÎČ (theo kiÓu tĂ” ÂźiÓn) , kĂœ hiÖu α < ÎČ, nÕu hoÆc

(i) p < q v” si = ti víi mÀi i = 1,2,...,p

hoÆc

(ii) TĂ„n tÂči k ≀ min{p, q} sao cho si = ti vĂ­i mĂ€i i = 1,2,...,k-1 v” sk < tk ◊ VÝ dĂŽ: - BANANA < BANDIT - AN < ANH - 132 < 1324 - 13246 < 1342 Trong cžc thuËt tožn liÖt kÂȘ tiÕp theo chĂłng ta sÏ liÖt kÂȘ cžc cÊu h×nh theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn. ThuËt tožn cĂŁ cžc b­íc chung nh­ sau: ‱ ThuËt tožn sinh tĂŠng qužt KÝ hiÖu s l” cÊu h×nh hiÖn h”nh, s0 l” cÊu h×nh ¼Çu tiÂȘn (theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn). B­íc 1. KhĂ«i tÂčo, gžn s := s0. B­íc 2. KÕt xuÊt s. B­íc 3. KiÓm tra tiÂȘu chuÈn kÕt thĂłc. NÕu s l” cÊu h×nh cuĂši cĂŻng th× kÕt thĂłc, ng­ßc lÂči sang b­íc 4. B­íc 4. T×m cÊu h×nh t ŸÞng kÒ sau s theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn. Gžn s := t v” quay lÂči b­íc 2. ◊ L­u Ăœ. TuĂș theo b”i tožn cĂŽ thÓ cĂŁ thÓ gĂ©p b­íc 3 v” 4 th”nh 1 b­íc ¼Ó tšng hiÖu qu¶ thuËt tožn. žp dĂŽng thuËt tožn tĂŠng qužt cho cžc b”i tožn cĂŽ thÓ, ta chØ cÇn xžc ¼Þnh cÊu h×nh ¼Çu tiÂȘn s0 v” ph­ng phžp t×m cÊu h×nh t kÕ tiÕp sau cÊu h×nh s.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 3

Sau Ÿ©y chĂłng ta sÏ nghiÂȘn cĂžu mĂ©t sĂš b”i tožn liÖt kÂȘ quan trĂ€ng. 5.2.2. LiÖt kÂȘ tÊt c¶ cžc d·y nhÞ ph©n cĂŁ Ÿé d”i b»ng n ‱ Phžt biÓu b”i tožn. Cho n ∈ N. H·y liÖt kÂȘ, theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn, tÊt c¶ cžc d·y nhÞ ph©n Ÿé d”i n, tĂžc l” cžc d·y [ b1, ..., bn], trong Ÿã bi ∈ {0, 1} ∀ i=1, ..., n. SĂš d·y nhÞ ph©n l” 2n v” d·y ¼Çu tiÂȘn s0 = [0, 0, ..., 0]. Ph­ng phžp t×m d·y kÕ tiÕp nh­ sau. ‱ Ph­ng phžp t×m d·y kÕ tiÕp: Cho d·y nhÞ ph©n s = [s1 , s2 ,... ,sn ], ta t×m d·y tiÕp theo t = [t1 , t2 ,... ,tn ]. XuÊt phžt tĂ” sn, Âźi tĂ” ph¶i sang trži, ta t×m phÇn tö ¼Çu tiÂȘn sm , 1 ≀ m ≀ n, tho¶ sm = 0.

NÕu kh«ng t×m thÊy th× s = [1, 1, ..., 1] l” d·y cuĂši cĂŻng, kÕt thĂłc t×m kiÕm. NÕu t×m thÊy ta x©y dĂčng d·y t = [t1 , t2 ,... ,tn ] nh­ sau:

ti = si vĂ­i mĂ€i i = 1,2,...,m-1 tm = 1 ti = 0 vĂ­i mĂ€i i = m+1,m+2,...,n TĂ” Ÿã suy ra thuËt tožn liÖt kÂȘ d·y nhÞ ph©n sau. ‱ ThuËt tožn:

- §Çu v”o: n - §Çu ra : Danh sžch tÊt c¶ d·y nhÞ ph©n Ÿé d”i n theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn tšng dÇn. - Cžc b­íc: 1. KhĂ«i tÂčo d·y xuÊt phžt : Gžn si := 0 vĂ­i mĂ€i i = 1,2,..., n .

2. KÕt xuÊt s. 3. T×m m tho¶

m = max{i si = 0 } NÕu kh«ng t×m thÊy th× s = [1, 1, ..., 1] l” d·y cuĂši cĂŻng, kÕt thĂłc. NÕu t×m thÊy ta ¼Æt

sm := 1 si := 0 vĂ­i mĂ€i i = m+1,m+2,...,n Quay lÂči b­íc 2.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 4

5.2.3. LiÖt kÂȘ tĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö XÐt b”i tožn liÖt kÂȘ tÊt c¶ tĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö {1,2,...,n}. V× tĂŠ hĂźp l” tËp hĂźp cžc phÇn tö, kh«ng kÓ thĂž tĂč, nÂȘn ta qui ­íc mçi tĂŠ hĂźp sÏ Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng danh sžch [s1, s2 ,... , sr ] vĂ­i s1 < s2 <... < sr . Nh­ vËy, theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn, tĂŠ hĂźp ¼Çu tiÂȘn l” [1, 2,..., r] v” tĂŠ hĂźp cuĂši cĂŻng l” [n−r+1, n−r+2,..., n]. ◊ VÝ dĂŽ: XÐt tĂŠ hĂźp chËp 5 cña [1,2,3,4,5,6,7]. TĂŠ hĂźp ¼Çu l” [1,2,3,4,5]. TĂŠ hĂźp tiÕp theo l” [1,2,3,4,6] v” [1,2,3,4,7]. TĂŠ hĂźp liÒn sau sÏ l” [1,2,3,5,6] v” [1,2,3,5,7]. TĂŠ hĂźp cuĂši l” [3,4,5,6,7]. T×m tĂŠ hĂźp Âźi sau [1,3,4,6,7]. Kh«ng d·y 5 sĂš n”o bŸt ¼Çu b»ng 1,3,4 v­ßt qua [1,3,4,6,7]. V× vËy d·y ph¶i t×m bŸt buĂ©c bŸt ¼Çu b»ng 1,3,5 . V× vËy tĂŠ hĂźp tiÕp theo l” [1,3,5,6,7]. ‱ Ph­ng phžp t×m tĂŠ hĂźp kÕ tiÕp: Cho tĂŠ hĂźp α = {s1 , s2 ,... ,sr } , ta t×m tĂŠ hĂźp tiÕp theo ÎČ = {t1 , t2 ,... ,tr }. Tr­íc hÕt ta nhËn xÐt thÊy r»ng th”nh phÇn thĂž i trong tĂŠ hĂźp kh«ng thÓ v­ßt quž n−r+i . Giž trÞ n”y gĂ€i l” trÞ cĂčc ÂźÂči cña th”nh phÇn thĂž i . Ta t×m

m = max{i si < n-r+i } Sau Ÿã ta ¼Æt ti = si vĂ­i mĂ€i i = 1, 2,..., m−1 tm = sm + 1 tm+i = sm + i + 1 vĂ­i mĂ€i i =1, 2, ..., r−m ‱ ThuËt tožn:

- §Çu v”o: r, n - §Çu ra : Danh sžch tÊt c¶ tĂŠ hĂźp chËp r cña [1,2,...,n] theo thĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn tšng dÇn. - Cžc b­íc: 1. KhĂ«i tÂčo d·y xuÊt phžt : Gžn si := i vĂ­i mĂ€i i = 1,2,...,r .

2. KÕt xuÊt s. 3. NÕu tho¶ ÂźiÒu kiÖn kÕt thĂłc

s1 = n − r+1

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 5

thuËt tožn kÕt thĂłc. Ng­ßc lÂči sang b­íc 4.

4. T×m m tho¶ m = max{i si < n−r+i } §Æt sm := sm + 1 si := si−1 + 1 vĂ­i mĂ€i i = m+1,m+2,...,r Quay lÂči b­íc 2. 5.2.4. LiÖt kÂȘ hožn vÞ XÐt b”i tožn liÖt kÂȘ tÊt c¶ hožn vÞ cña n phÇn tö {1,2,...,n}. Mçi hožn vÞ sÏ Ÿ­ßc biÓu diÔn nh­ l” d·y s1, s2 ,... , sn . Nh­ vËy hožn vÞ ¼Çu tiÂȘn l” [1,2,...,n] v” hožn vÞ cuĂši cĂŻng l” [n,n-1,...,1]. ◊ VÝ dĂŽ: Gi¶ sö ta ph¶i t×m hožn vÞ t = [t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ] cña {1,2,3,4,5,6} tiÕp theo sau hožn vÞ s = [1,6,3,5,4,2]. LiÖu 4 sĂš ¼Çu cña t cĂŁ thÓ l” 1,6,3,5 Ÿ­ßc kh«ng ? Kh«ng ! BĂ«i v× trong cžc hožn vÞ bŸt ¼Çu b»ng 1,6,3,5 (chØ cĂŁ 2 hožn vÞ l” s v” [1,6,3,5,2,4]) th× s cĂŁ thĂž tĂč lĂ­n nhÊt. LiÖu 3 sĂš ¼Çu cña t cĂŁ thÓ l” 1,6,3 Ÿ­ßc kh«ng ? Kh«ng ! ThËt vËy, cžc hožn vÞ bŸt ¼Çu b»ng 1,6,3 gĂ„m : s=[1,6,3,5,4,2], [1,6,3,5,2,4], [1,6,3,4,2,5], [1,6,3,4,5,2], [1,6,3,2,5,4], [1,6,3,2,4,5] V” hiÓn nhiÂȘn l” trong cžc hožn vÞ Ÿã s l” hožn vÞ cĂŁ sĂš thĂž tĂč lĂ­n nhÊt.

LĂœ do viÖc t kh«ng thÓ bŸt ¼Çu bĂ«i 1,6,3,5 hoÆc 1,6,3 l” v× trong c¶ hai

tr­ĂȘng hĂźp n”y cžc sĂš cßn lÂči cña s tÂčo th”nh d·y gi¶m dÇn. Nh­ vËy xuÊt phžt tĂ” bÂȘn ph¶i ta t×m sĂš ¼Çu tiÂȘn d nhĂĄ hÂŹn sĂš bÂȘn ph¶i nĂŁ.

Trong vÝ dĂŽ n”y Ÿã l” sĂš 3. V” t bŸt ¼Çu b»ng 1,6 . SĂš tiÕp theo cña t ph¶i lĂ­n hÂŹn 3. V× ta muĂšn t l” hožn vÞ nhĂĄ nhÊt trong cžc hožn vÞ lĂ­n hÂŹn s, sĂš tiÕp theo ph¶i l” sĂš nhĂĄ nhÊt trong cžc sĂš cßn lÂči (tĂžc trĂ” 1 v” 6) lĂ­n hÂŹn 3. SĂš Ÿã ph¶i l” 4. Ba sĂš cßn lÂči ph¶i tšng dÇn. Nh­ vËy ta cĂŁ t = [1,6,4,2,3,5]. ‱ Ph­ng phžp t×m hožn vÞ kÕ tiÕp:

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 6

Cho hožn vÞ s = [s1 , s2 ,... ,sn ] , ta t×m hožn vÞ tiÕp theo t = [t1 , t2 ,... ,tn ]. §i tĂ” ph¶i sang trži ta t×m phÇn tö ¼Çu tiÂȘn sm tho¶ sm < sm+1 . Sau Ÿã t×m chØ sĂš k lĂ­n nhÊt tho¶ sm < sk . Sau Ÿã ta ¼Æt ti = si vĂ­i mĂ€i i = 1,2,...,m−1 tm = sk n−m phÇn tö tiÕp theo l” cžc sĂš cßn lÂči sŸp xÕp theo thĂž tĂč tšng dÇn. ‱ ThuËt tožn: - §Çu v”o: n - §Çu ra : Danh sžch tÊt c¶ hožn vÞ cña {1,2,...,n} theo thĂž tĂč tšng dÇn. - Cžc b­íc: 1. KhĂ«i tÂčo d·y xuÊt phžt : Gžn si := i vĂ­i mĂ€i i = 1, 2,..., n. 2. KÕt xuÊt s 3. NÕu tho¶ ÂźiÒu kiÖn kÕt thĂłc

s = [n, n−1,..., 2,1] thuËt tožn kÕt thĂłc. Ng­ßc lÂči sang b­íc 4. 4. T×m m l” chØ sĂš lĂ­n nhÊt tho¶ sm < sm+1 . T×m k l” chØ sĂš lĂ­n nhÊt tho¶ sm < sk . Hožn vÞ sm v” sk SŸp xÕp lÂči sm+1 , sm+2 ,..., sn theo thĂž tĂč tšng dÇn. Quay lÂči b­íc 2.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 7

5.3. ThuËt tožn quay lui 5.3.1. NĂ©i dung thuËt tožn Ăœ t­ëng chÝnh cña thuËt tožn n”y l” x©y dĂčng dÇn cžc th”nh phÇn cña cÊu h×nh b»ng cžch thö tÊt c¶ cžc kh¶ nšng. Gi¶ thiÕt cÊu h×nh cÇn Ÿ­ßc m« t¶ b»ng mĂ©t bĂ© gĂ„m n th”nh phÇn x1, x2, ..., xn . Gi¶ sö Ÿ· xžc ¼Þnh Ÿ­ßc i−1 th”nh phÇn x1 , x2 , ... , xi-1 . Ta xžc ¼Þnh th”nh phÇn thĂž i b»ng cžch duyÖt tÊt c¶ kh¶ nšng cĂŁ thÓ ¼Ò cö cho nĂŁ (Ÿžnh sĂš cžc kh¶ nšng tĂ” 1 ¼Õn ni ). VĂ­i mçi kh¶ nšng j, kiÓm tra xem kh¶ nšng j cĂŁ chÊp nhËn Ÿ­ßc kh«ng. CĂŁ thÓ x¶y ra 2 tr­ĂȘng hĂźp : - NÕu chÊp nhËn j th× xžc ¼Þnh xi theo j , sau Ÿã nÕu i = n , th× ta Ÿ­ßc mĂ©t cÊu h×nh, cßn trži lÂči ta tiÕn h”nh xžc ¼Þnh xi+1. - NÕu thö tÊt c¶ kh¶ nšng m” kh«ng kh¶ nšng n”o Ÿ­ßc chÊp nhËn th× quay lÂči b­íc tr­íc ¼Ó xžc ¼Þnh lÂči xi−1. §iÒu quan trĂ€ng cña thuËt tožn l” ph¶i ghi nhĂ­ , tÂči mçi b­íc Ÿ· Âźi qua, nhĂ·ng kh¶ nšng Ÿ· thö ¼Ó tržnh trĂŻng lÆp. RĂą r”ng nhĂ·ng th«ng tin n”y cÇn Ÿ­ßc l­u trĂ· theo cÂŹ cÊu ngšn xÕp (stack - v”o sau ra tr­íc). V× thÕ thñ tĂŽc ¼Ö qui rÊt phĂŻ hĂźp vĂ­i thuËt tožn n”y. B­íc xžc ¼Þnh xi cĂŁ thÓ diÔn t¶ qua thñ tĂŽc Procedure Try(i:integer); var j:integer; begin for j:=1 to ni do if <chÊp nhËn j> then begin <xžc ¼Þnh xi theo j> if i = n then <ghi nhËn cÊu h×nh> else Try(i+1); end; end; PhÇn quan trĂ€ng nhÊt trong thñ tĂŽc trÂȘn l” viÖc Ÿ­a ra Ÿ­ßc mĂ©t danh sžch cžc kh¶ nšng ¼Ò cö v” viÖc xžc ¼Þnh giž trÞ cña biÓu thĂžc logic <chÊp nhËn j>. Th«ng th­ĂȘng giž trÞ n”y ngo”i viÖc phĂŽ thuĂ©c j cßn phĂŽ thuĂ©c v”o kh¶ nšng Ÿ­ßc chĂ€n Ă« cžc b­íc tr­íc. V× thÕ cÇn ghi nhĂ­ trÂčng thži mĂ­i cña quž tr×nh t×m kiÕm sau khi <xžc ¼Þnh xi theo j> v” tr¶ lÂči trÂčng thži cĂČ sau lĂȘi gĂ€i Try(i+1) . Cžc trÂčng thži n”y Ÿ­ßc ghi nhËn nhĂȘ mĂ©t sĂš biÕn to”n cĂŽc (global), gĂ€i l” biÕn trÂčng thži.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 8

Sau khi x©y dĂčng thñ tĂŽc ¼Ö qui Try , ch­ng tr×nh chÝnh gi¶i b”i tožn liÖt kÂȘ cĂŁ dÂčng : Begin Init ; Try(1) ; End. trong Ÿã Init l” thñ tĂŽc khĂ«i tÂčo cžc giž trÞ ban ¼Çu (nhËp cžc giž trÞ tham sĂš cña b”i tožn, khĂ«i gžn cžc biÕn trÂčng thži, biÕn ¼Õm ...). 5.3.2. LiÖt kÂȘ cžc d·y nhÞ ph©n cĂŁ Ÿé d”i n

Ta biÓu diÔn d·y nhÞ ph©n d­íi dÂčng x1, x2,.. xn , trong Ÿã xi ∈ {0,1}. Thñ tĂŽc Try(i) xžc ¼Þnh xi ∈ {0,1}. Cžc giž trÞ n”y Ÿ­ßc mÆc nhiÂȘn chÊp nhËn m” kh«ng cÇn ph¶i tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn g× (v× thÕ b”i tožn kh«ng cÇn biÕn trÂčng thži). Thñ tĂŽc Init nhÊp giž trÞ n v” khĂ«i gžn biÕn ¼Õm count . Thñ tĂŽc Result Ÿ­a ra d·y t×m Ÿ­ßc. Var n:integer; x:array[1..20] of 0..1; count:integer; Procedure Init; begin write('n = ');readln(n); count := 0; end; Procedure Result; var i:integer; begin count := count + 1; write(count : 5, '.'); for i := 1 to n do write(x[i] : 2); writeln; end; Procedure Try(i:integer); var j : integer; begin for j := 0 to 1 do

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 9

begin x[i] := j; if i = n then Result else Try(i+1); end; end; Begin Init ; Try(1) ; End. 5.3.3. LiÖt kÂȘ cžc hožn vÞ cña {1,2,..., n}

BiÓu diÔn hožn vÞ d­íi dÂčng x1, x2,.. xn , trong Ÿã xi ∈ {1,2,...,n} v” xi ≠ xj vĂ­i i ≠ j . Cžc giž trÞ j chÂčy tĂ” 1 ¼Õn n Ÿ­ßc lÇn l­ßt ¼Ò cö cho xi v” j Ÿ­ßc chÊp nhËn nÕu nĂŁ ch­a Ÿ­ßc dĂŻng. V× thÕ cÇn ghi nhĂ­ ŸÚi vĂ­i mçi giž trÞ j xem nĂŁ Ÿ· Ÿ­ßc dĂŻng hay ch­a. §iÒu n”y Ÿ­ßc thĂčc hiÖn nhĂȘ d·y biÕn logic b[j] , trong Ÿã b[j] = true nÕu j ch­a Ÿ­ßc dĂŻng. Cžc biÕn n”y cÇn ph¶i Ÿ­ßc gžn giž trÞ true trong thñ tĂŽc Init. Sau khi gžn j cho xi cÇn gžn false cho b[j] v” gžn lÂči true khi thĂčc hiÖn xong thñ tĂŽc Result hay Try(i+1). Var n:integer; x:array[1..20] of integer; b:array[1..20] of boolean; count:integer; Procedure Init; begin write('n = ');readln(n); for i := 1 to n do b[i] := true; count := 0; end; Procedure Result; var i:integer; begin count := count + 1; write(count : 5, '.'); for i := 1 to n do write(x[i] : 3); writeln; end;

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 10

Procedure Try(i:integer); var j : integer; begin for j :=1 to n do if b[j] then {chÊp nhËn} begin x[i] := j; b[j] := false; {ghi nhËn trÂčng thži mĂ­i} if i = n then Result else Try(i+1); b[j] := true; {tr¶ lÂči trÂčng thži cĂČ} end; end; Begin Init ; Try(1) ; End. 5.3.4. TĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö XÐt b”i tožn liÖt kÂȘ tÊt c¶ tĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö {1,2,...,n}. Mçi tĂŠ hĂźp sÏ Ÿ­ßc biÓu diÔn nh­ l” d·y [x1, x2 ,... , xr ] vĂ­i x1 < x2 <... < xr . Nh­ vËy cžc giž trÞ ¼Ò cö cho xi l” tĂ” xi-1 + 1 ¼Õn n−r+i . §Ó ÂźiÒu n”y Ÿóng cho c¶ tr­ĂȘng hĂźp i = 1 ta thÂȘm v”o x0 vĂ­i x0 = 0. Var n, r : integer; x : array[0..20] of integer; count : integer; Procedure Init; begin write('n, r = '); readln(n, r); x[0] := 0; count := 0; end; Procedure Result; var i:integer; begin count := count + 1; write(count : 5, '.');

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 11

for i := 1 to r do write(x[i] : 3); writeln; end; Procedure Try(i:integer); var j : integer; begin for j := x[i-1]+1 to n-r+i do begin x[i] := j; if i = r then Result else Try(i+1); end; end; Begin Init ; Try(1) ; End. 5.3.5. B”i tožn xÕp HËu XÐt b”i tožn liÖt kÂȘ tÊt c¶ cžc cžch xÕp n qu©n HËu trÂȘn b”n cĂȘ n x n sao cho chĂłng kh«ng šn lÉn nhau.

§žnh sĂš cĂ©t v” dßng cña b”n cĂȘ tĂ” 1 ¼Õn n. Mçi dßng xÕp Ÿóng 1 qu©n HËu. TĂ” Ÿã dÉn ¼Õn viÖc biÓu diÔn mçi cžch xÕp b»ng mĂ©t hožn vÞ x1 , x2 ,... , xn cña {1,2,...,n}, trong Ÿã xi = j nghÜa l” qu©n HËu dßng i Ÿ­ßc xÕp v”o cĂ©t j . Nh­ vËy cžc giž trÞ ¼Ò cö cho xi l” tĂ” 1 ¼Õn n . Giž trÞ j Ÿ­ßc chÊp nhËn nÕu « (i,j) ch­a bÞ cžc qu©n HËu tr­íc chiÕu ¼Õn. §Ó kiÓm sožt ÂźiÒu n”y ta cÇn ghi nhËn trÂčng thži cña b”n cĂȘ tr­íc cĂČng nh­ sau khi xÕp Ÿ­ßc mĂ©t qu©n HËu. ChĂł Ăœ r»ng qu©n HËu cĂŁ thÓ chiÕu ngang, dĂ€c v” chÐo. ViÖc kiÓm sožt chiÒu ngang l” kh«ng cÇn thiÕt v× mçi dßng Ÿ­ßc xÕp Ÿóng 1 qu©n HËu. ViÖc kiÓm sožt chiÒu dĂ€c Ÿ­ßc thĂčc hiÖn nhĂȘ d·y biÕn logic a[j] vĂ­i quy ­íc a[j] = true nÕu cĂ©t j cßn trĂšng. Ph­ng tr×nh mĂ©t Ÿ­ĂȘng chÐo l” i + j = const (2 ≀ i+j ≀ 2n) v” cña Ÿ­ĂȘng chÐo thĂž hai l” i - j = const (1-n ≀ i-j ≀ n-1). TĂ” Ÿã Ÿ­ĂȘng chÐo thĂž nhÊt Ÿ­ßc ghi nhËn nhĂȘ d·y biÕn logic b[t] (2 ≀ t ≀ 2n) v” Ÿ­ĂȘng chÐo thĂž 2 nhĂȘ d·y biÕn logic c[h] (1-n ≀ h ≀ n-1) vĂ­i qui ­íc cžc Ÿ­ĂȘng chÐo n”y ch­a bÞ qu©n HËu khĂšng chÕ nÕu biÕn t­ng Ăžng cĂŁ giž trÞ true. Nh­ vËy giž trÞ j Ÿ­ßc chÊp nhËn khi v” chØ khi c¶ 3 biÕn a[j] , b[i+j] v” c[i-j] cĂŁ giž trÞ true. Cžc biÕn n”y cÇn gžn false sau khi xÕp qu©n HËu dßng i v” tr¶ lÂči true sau khi gĂ€i Result hay Try(i+1).

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 12

Const Max = 20; Var n : integer; x : array[1..Max] of integer; a : array[1..Max] of boolean; b : array[2.. 2*Max] of boolean; c : array[1-Max..Max-1] of boolean; count:integer; Procedure Init; var i : integer; begin write('n = ');readln(n); for i := 1 to n do a[i] := true; for i := 2 to 2*n do b[i] := true; for i := 1-n to n-1 do c[i] := true; count := 0; end; Procedure Result; var i:integer; begin count := count + 1; write(count : 5, '.'); for i := 1 to n do write(x[i] : 3); writeln; end; Procedure Try(i:integer); var j : integer; begin for j := 1 to n do if a[j] and b[i+j] and c[i-j] then begin {chÊp nhËn} x[i] := j; {ghi nhËn trÂčng thži mĂ­i} a[j] := false; b[i+j] := false; c[i-j] := false; if i = n then Result else Try(i+1); {tr¶ lÂči trÂčng thži cĂČ} a[j] := true; b[i+j] := true; c[i-j] := true;

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 13

end; end; Begin Init ; Try(1) ; End. D­íi Ÿ©y l” sĂš cžch xÕp HËu Ăžng vĂ­i mĂ©t sĂš giž trÞ n:

n = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Sn = 2 10 4 40 92 352 724 2680 14200 73712 365596

5.3.6. B”i tožn h×nh chĂ· nhËt La tinh Gi¶ sö S = {1,2,...,n}. MĂ©t h×nh chĂ· nhËt La tinh trÂȘn S l” b¶ng p dßng q cĂ©t sao cho mçi dßng l” mĂ©t chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp q cña S v” mçi cĂ©t l” mĂ©t chØnh hĂźp kh«ng lÆp chËp p cña S. Theo ¼Þnh nghÜa ta cĂŁ p ≀ n v” q ≀ n . §Æc biÖt trong tr­ĂȘng hĂźp q = n, mçi dßng l” mĂ©t hožn vÞ cña S sao cho kh«ng cĂ©t n”o chĂža phÇn tö lÆp lÂči. H×nh chĂ· nhËt La tinh dÂčng p x n gĂ€i l” chuÈn nÕu dßng ¼Çu l” 1,2,...,n. ThÝ dĂŽ

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 1 2

l” mĂ©t h×nh chĂ· nhËt la tinh chuÈn trÂȘn S = {1,2,3,4,5,6,7}. GĂ€i L(p,n) l” sĂš h×nh chĂ· nhËt la tinh p x n v” K(p,n) l” sĂš h×nh chĂ· nhËt la tinh chuÈn p x n. Ta cĂŁ

L(p,n) = n! . K(p,n) v”

K(2,n) = Dn trong Ÿã Dn l” sĂš mÊt thĂž tĂč. SĂš ph©n bĂš Un l” sĂš cžc h×nh chĂ· nhËt la tinh chuÈn 3 x n vĂ­i 2 dßng ¼Çu cĂš ¼Þnh l”

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 14

1 2 .............. n − 1 n 2 3 .............. n n − 1 Nh” tožn hĂ€c Riordan J. (1946) Ÿ· chĂžng minh

K(3,n) = ∑=

−−

m

kknkkn UDDknC

02..).,(

trong Ÿã m = [n/2] ( [x] kĂœ hiÖu sĂš nguyÂȘn lĂ­n nhÊt ≀ x ) v” U0 = 1. B”i tožn ¼Õm sĂš h×nh chĂ· nhËt la tinh vĂ­i sĂš dßng nhiÒu hÂŹn ¼Õn nay vÉn ch­a Ÿ­ßc gi¶i quyÕt. Ng­ĂȘi ta mĂ­i chØ Ÿ­a ra mĂ©t v”i dÂčng tiÖm cËn cho L(p,n). NÕu p = q = n th× ta cĂŁ h×nh vu«ng la tinh. MĂ©t h×nh vu«ng la tinh gĂ€i l” chuÈn nÕu dßng ¼Çu v” cĂ©t ¼Çu l” hožn vÞ 1,2,...,n−1,n. VÝ dĂŽ sau Ÿ©y l” h×nh vu«ng la tinh chuÈn cÊp 7

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 1 2 4 5 6 7 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6

GĂ€i ln l” sĂš h×nh vu«ng la tinh chuÈn ta cĂŁ

L(n,n) = n! . (n-1)! . ln

C«ng thĂžc tÝnh ln ¼Õn nay vÉn cßn bĂĄ ngĂĄ. Tuy nhiÂȘn ta cĂŁ thÓ lËp ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ tÊt c¶ h×nh vu«ng la tinh chuÈn. D­íi Ÿ©y l” mĂ©t sĂš giž trÞ

n = 1 2 3 4 5 6 7 ln = 1 1 1 4 56 9 408 16 942 080

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 5. B”i tožn liÖt kÂȘ 5 − 15

b”i tËp

1. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ tĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö theo ph­ng phžp sinh. 2. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ hožn vÞ cña n phÇn tö theo ph­ng phžp sinh. 3. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ cžc d·y nhÞ ph©n Ÿé d”i n theo ph­ng phžp sinh. 4. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ hožn vÞ tĂŠng qužt theo thuËt tožn quay lui. 5. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ tĂŠ hĂźp tĂŠng qužt theo thuËt tožn quay lui. 6. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ h×nh vu«ng la tinh chuÈn theo thuËt tožn quay lui. 7. ViÕt ch­ng tr×nh liÖt kÂȘ Ÿ­ĂȘng Âźi qu©n ngĂča trÂȘn b”n cĂȘ theo thuËt tožn quay lui.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 1

ch­ng 6. b”i tožn tÚi ­u

6.1. GiĂ­i thiÖu 6.1.1. Phžt biÓu b”i tožn tĂši ­u Trong rÊt nhiÒu vÊn ¼Ò Ăžng dĂŽng thĂčc tÕ cña b”i tožn tĂŠ hĂźp cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp Ÿ­ßc gžn giž trÞ b»ng sĂš Ÿžnh giž giž trÞ sö dĂŽng (hay chi phÝ sö dĂŽng) cña cÊu h×nh ŸÚi vĂ­i mĂŽc ¼Ých sö dĂŽng cĂŽ thÓ n”o Ÿã. Khi Ÿã xuÊt hiÖn b”i tožn : LĂča chĂ€n trong cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp chÊp nhËn cÊu h×nh tĂšt nhÊt ( cĂŁ giž trÞ sö dĂŽng lĂ­n nhÊt hay chi phÝ sö dĂŽng thÊp nhÊt ). Cžc b”i tožn nh­ vËy gĂ€i l” cžc b”i tožn tĂši ­u tĂŠ hĂźp. Ta cĂŁ thÓ phžt biÓu b”i tožn tĂši ­u tĂŠ hĂźp mĂ©t cžch tĂŠng qužt nh­ sau :

min (max ) {f(x) : x ∈ D} trong Ÿã D l” tËp hĂ·u hÂčn phÇn tö. H”m f(x) gĂ€i l” h”m mĂŽc tiÂȘu, mçi phÇn tö x ∈ D gĂ€i l” mĂ©t ph­ng žn, cßn tËp D gĂ€i l” tËp cžc ph­ng žn cña b”i tožn. Trong b”i tožn tĂši ­u tĂŠ hĂźp, tËp ph­ng žn D Ÿ­ßc m« t¶ nh­ l” tËp cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp tho¶ m·n mĂ©t sĂš tÝnh chÊt cho tr­íc n”o Ÿã. Ph­ng žn x* Âźem lÂči giž trÞ nhĂĄ nhÊt (lĂ­n nhÊt) cho h”m mĂŽc tiÂȘu gĂ€i l” ph­ng žn tĂši ­u. Khi Ÿã trÞ f(x*) gĂ€i l” trÞ tĂši ­u cña b”i tožn. 6.1.2. MĂ©t sĂš vÝ dĂŽ a) B”i tožn ng­ĂȘi du lÞch MĂ©t ng­ĂȘi du lÞch muĂšn Âźi tham quan n th”nh phĂš 1,2,...,n. XuÊt phžt tĂ” th”nh phĂš n”o Ÿã ng­ĂȘi du lÞch Âźi qua tÊt c¶ cžc th”nh phĂš, mçi th”nh phĂš chØ qua Ÿóng mĂ©t lÇn, sau Ÿã quay vÒ nÂŹi xuÊt phžt. Chi phÝ Âźi tĂ” th”nh phĂš i ¼Õn th”nh phĂš j l” cij . H·y t×m Ÿ­ĂȘng Âźi sao cho tĂŠng chi phÝ l” nhĂĄ nhÊt. RĂą r”ng ta cĂŁ thÓ thiÕt lËp quan hÖ t­ng Ăžng 1-1 giĂ·a h”nh tr×nh

v = v(1)→ v(2)→ ... → v(n−1)→ v(n)→ v(1) trong Ÿã v(i) kĂœ hiÖu th”nh phĂš thĂž i trÂȘn h”nh tr×nh, vĂ­i hožn vÞ (v(1), v(2), ... , v(n) ). §Æt

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 2

f(v) = cv(1),v(2) + cv(2),v(3) + ... + cv(n-1),v(n) + cv(n),v(1)

KĂœ hiÖu P l” tËp tÊt c¶ cžc hožn vÞ cña {1,2,...,n}. Khi Ÿã b”i tožn ng­ĂȘi du

lÞch cĂŁ thÓ phžt biÓu d­íi dÂčng b”i tožn tĂši ­u tĂŠ hĂźp sau :

min { f(v) : v ∈ P } CĂŁ thÓ thÊy r»ng tĂŠng sĂš h”nh tr×nh cña ng­ĂȘi du lÞch l” n!, trong Ÿã chØ cĂŁ (n−1)! h”nh tr×nh thĂčc sĂč khžc nhau ( bĂ«i v× cĂŁ thÓ xuÊt phžt tĂ” th”nh phĂš bÊt kĂș nÂȘn cĂŁ thÓ cĂš ¼Þnh mĂ©t th”nh phĂš n”o Ÿã). b) B”i tožn ba-l« MĂ©t nh” thžm hiÓm cÇn mang theo mĂ©t sĂš ŸÄ vËt cho mĂ©t chuyÂȘn Âźi xa. CĂŁ n vËt vĂ­i trĂ€ng l­ßng t­ng Ăžng l” a1, a2, ..., an (kg) v” giž trÞ sö dĂŽng t­ng Ăžng l” c1, c2, ..., cn . ChiÕc ba l« chØ cho phÐp ÂźĂčng tĂši Âźa b (kg). B”i tožn ¼Æt ra l” nh” thžm hiÓm cÇn chĂ€n nhĂ·ng vËt n”o mang theo ¼Ó tĂŠng giž trÞ sö dĂŽng l” lĂ­n nhÊt ? MĂ©t ph­ng žn Âźem ŸÄ cña nh” thžm hiÓm Ÿ­ßc xem nh­ mĂ©t vectÂŹ nhÞ ph©n Ÿé d”i n : x = (x1, x2, ..., xn), trong Ÿã xi = 1 cĂŁ nghÜa l” ŸÄ vËt thĂž i Ÿ­ßc mang theo v” xj = 0 cĂŁ nghÜa l” ŸÄ vËt thĂž j kh«ng Ÿ­ßc mang theo. VĂ­i ph­ng žn x, giž trÞ sö dĂŽng l”

f(x) = ∑=

n

iii xc

1.

v” tÊng trÀng l­ßng l”

g(x) = ∑=

n

iii xa

1.

GĂ€i S l” tËp cžc vecto nhÞ ph©n Ÿé d”i n, b”i tožn cĂŁ thÓ phžt biÓu d­íi dÂčng

max { f(x) : x ∈ S & g(x) ≀ b } c) B”i tožn cho thuÂȘ phßng MĂ©t khžch sÂčn cĂŁ mĂ©t phßng (hĂ€p, hĂ©i th¶o, ...) ¼Ó cho thuÂȘ. §Çu nšm khžch sÂčn nhËn Ÿ­ßc cžc yÂȘu cÇu thuÂȘ phßng cña n khžch h”ng. Mçi khžch h”ng i sÏ cho biÕt tËp Ni cžc ng”y thuÂȘ (trĂ€n ng”y). Khžch sÂčn chØ cĂŁ quyÒn nhËn hoÆc tĂ” chĂši yÂȘu cÇu cña khžch h”ng. HĂĄi khžch sÂčn ph¶i chĂ€n khžch h”ng nh­ thÕ n”o ¼Ó tĂŠng sĂš ng”y sö dĂŽng phßng l” cao nhÊt. KĂœ hiÖu I = {1,2,...,n} l” tËp cžc chØ sĂš khžch h”ng. Khi Ÿã tËp cžc ph­ng

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 3

žn cho thuÂȘ phßng l”

D = { J ⊂ I : Nk ∩ Nl = ∅ ∀ k, l ∈ J , k ≠ l } VĂ­i mçi ph­ng žn J ∈ D , sĂš ng”y sö dĂŽng phßng l”

f(J) = ∑∈Jj

jN

B”i tožn Ÿ­a vÒ dÂčng

max { f(J) : J ∈ D } d) B”i tožn lËp lÞch gia c«ng Gi¶ sö mçi chi tiÕt trong n chi tiÕt 1, 2, ... , n, cÇn ph¶i gia c«ng lÇn l­ßt trÂȘn m mžy 1, 2, ... , m. ThĂȘi gian gia c«ng chi tiÕt j trÂȘn mžy i l” tij . H·y t×m lÞch (tr×nh tĂč gia c«ng) cžc chi tiÕt trÂȘn cžc mžy sao cho ho”n tÊt gia c«ng tÊt c¶ chi tiÕt l” sĂ­m nhÊt. Ta sÏ xÐt b”i tožn n”y vĂ­i thÂȘm gi¶ thiÕt l” cžc chi tiÕt ph¶i Ÿ­ßc gia c«ng mĂ©t cžch liÂȘn tĂŽc, tĂžc l” quž tr×nh gia c«ng cña mçi chi tiÕt ph¶i Ÿ­ßc tiÕn h”nh liÂȘn tĂŽc, kh«ng cho phÐp thĂȘi gian dĂ”ng chĂȘ Ÿßi khi chuyÓn tĂ” mžy n”y sang mžy khžc. T×nh huĂšng nh­ vËy rÊt hay gÆp trong s¶n xuÊt c«ng nghiÖp. ChÂŒng hÂčn trong d©y chuyÒn luyÖn thÐp vËt liÖu ph¶i Ÿ­ßc gia c«ng liÂȘn tĂŽc tržnh gižn ÂźoÂčn l”m gi¶m nhiÖt Ÿé c¶n trĂ« viÖc gia c«ng tiÕp theo. RĂą r”ng mçi lÞch gia c«ng t­ng Ăžng mĂ©t hožn vÞ v = (v(1),v(2),...,v(n)) cña n sĂš tĂč nhiÂȘn 1,2,...,n. ThĂȘi gian ho”n th”nh theo lÞch v Ÿ­ßc tÝnh theo c«ng thĂžc:

f(v) = ∑−

=+

1

1)1(),(

n

jjvjvc + ∑

=

m

knvkt

1)(,

trong Ÿã cij = Sj − Si , Sj l” thĂȘi ÂźiÓm bŸt ¼Çu thĂčc hiÖn gia c«ng chi tiÕt j (i,j = 1,2,...,n). Ăœ nghÜa cña cij cĂŁ thÓ gi¶i thÝch Ÿ©y l” tĂŠng thĂȘi gian gižn ÂźoÂčn (Ÿ­ßc tÝnh kÓ tĂ” khi bŸt ¼Çu gia c«ng chi tiÕt i) g©y ra bĂ«i chi tiÕt j khi nĂŁ Ÿ­ßc gia c«ng sau chi tiÕt i. V× vËy cij Ÿ­ßc tÝnh theo c«ng thĂžc:

cij =

− ∑∑−

==≀≀

1

111max

k

llj

k

llimk

tt , i, j = 1, 2, ..., n

KĂœ hiÖu P l” tËp tÊt c¶ hožn vÞ cña {1,2,...,n} ta cĂŁ b”i tožn tĂši ­u sau:

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 4

min {f(v) : v ∈ P } e. Ph­ng phžp ÂźiÓm diÖn MĂ©t trong nhĂ·ng ph­ng phžp hiÓn nhiÂȘn nhÊt ¼Ó gi¶i b”i tožn tĂši ­u tĂŠ hĂźp l”: TrÂȘn cÂŹ sĂ« cžc thuËt tožn liÖt kÂȘ tĂŠ hĂźp ta duyÖt tĂ”ng ph­ng žn v” tÝnh trÞ h”m mĂŽc tiÂȘu tÂči nĂŁ, so sžnh vĂ­i giž trÞ tĂšt nhÊt ¼Õn thĂȘi ÂźiÓm Ÿã. Ph­ng phžp n”y gĂ€i l” ph­ng phžp ÂźiÓm diÖn. Ph­ng phžp n”y hiÖu qu¶ thÊp. VÝ dĂŽ ta ph¶i liÖt kÂȘ

15! = 1 307 674 368 000 hožn vÞ vĂ­i tĂšc Ÿé tÝnh tožn 1 tĂ» phÐp tÝnh trÂȘn gi©y. Gi¶ sö mçi hožn vÞ cÇn 100 phÐp tožn. Khi Ÿã ph¶i hÕt 130 767 gi©y ( 36 giĂȘ) mĂ­i liÖt kÂȘ hÕt.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 5

6.2. ThuËt tožn Johnson gi¶i b”i tožn lËp lÞch gia c«ng trÂȘn 2 mžy XÐt b”i tožn lËp lÞch gia c«ng trÂȘn 2 mžy A, B. §©y l” tr­ĂȘng hĂźp riÂȘng cña b”i tožn lËp lÞch nÂȘu trong mĂŽc tr­íc. Mçi chi tiÕt i cÇn gia c«ng lÇn l­ßt trÂȘn mžy A v” B vĂ­i thĂȘi gian t­ng Ăžng l” ai v” bi (i=1,...,n). H·y t×m lÞch (tr×nh tĂč) gia c«ng sao cho ho”n th”nh gia c«ng tÊt c¶ chi tiÕt l” sĂ­m nhÊt. Gi¶ thiÕt r»ng tr×nh tĂč gia c«ng trÂȘn 2 mžy l” nh­ nhau (tr­ĂȘng hĂźp tr×nh tĂč khžc nhau cĂČng quy vÒ tr­ĂȘng hĂźp n”y). Khi Ÿã mçi lÞch gia c«ng sÏ t­ng Ăžng mĂ©t hožn vÞ

v = (v(1), v(2),..., v(n)) cña n sĂš tĂč nhiÂȘn 1,2,...,n. VĂ­i i = 1,2,...,n v” x = A, B ta kĂœ hiÖu s(i,x) l” thĂȘi ÂźiÓm bŸt ¼Çu gia c«ng chi tiÕt i trÂȘn mžy x f(i,x) l” thĂȘi ÂźiÓm kÕt thĂłc gia c«ng chi tiÕt i trÂȘn mžy x VĂ­i mĂ€i lÞch gia c«ng v, ta cĂŁ thÓ gi¶ thiÕt mžy A bŸt ¼Çu gia c«ng Ă« thĂȘi ÂźiÓm s(v(1),A) = 0 (1) RĂą r”ng l” f(i,A) = s(i,A) + ai ; f(i,B) = s(i,B) + bi ,∀i=1, 2,..., n (2) Mžy A bŸt ¼Çu gia c«ng chi tiÕt v(i) chØ sau khi gia c«ng xong chi tiÕt v(i−1), tĂžc l” s(v(i),A) ≄ f(v(i-1),A) , i = 2,3,...,n. (3) Mžy B cĂŁ thÓ bŸt ¼Çu gia c«ng chi tiÕt v(1) sau khi mžy A gia c«ng xong chi tiÕt v(1)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 6

s(v(1),B) ≄ f(v(1),A) (4) Mžy B bŸt ¼Çu gia c«ng chi tiÕt v(i) chØ sau khi gia c«ng xong chi tiÕt v(i−1) v” sau khi mžy A gia c«ng xong chi tiÕt v(i), tĂžc l” s(v(i),B) ≄ max{ f (v(i-1),B), f (v(i),A)} , i = 2,3,...,n. (5) ThĂȘi gian ¼Ó ho”n th”nh lÞch gia c«ng v l” T(v) = f(v(n),B) (6) RĂą r”ng l” vĂ­i mçi lÞch gia c«ng v, T(v) ÂźÂčt giž trÞ nhĂĄ nhÊt khi tÊt c¶ cžc dÊu bÊt ÂźÂŒng thĂžc Ă« (3) , (4), (5) trÂȘn trĂ« th”nh ÂźÂŒng thĂžc, tĂžc l” s(v(i),A) = f(v(i-1),A) , i = 2,3,...,n. (3') s(v(1),B) = f(v(1),A) (4') s(v(i),B) = max{ f (v(i-1),B), f(v(i),A)} , i = 2,3,...,n. (5') ◊ VÝ dĂŽ: XÐt b”i tožn vĂ­i 5 chi tiÕt. ThĂȘi gian gia c«ng cžc chi tiÕt cho Ă« b¶ng sau

Chi tiÕt M¾y 1 2 3 4 5 A 3 4 6 5 6 B 3 3 2 7 3

Gi¶ sö lÞch gia c«ng l”

v = (1,2,3,4,5,6) Khi Ÿã theo cžc c«ng thĂžc (1),(2),(3'),(4'), (5') ta tÝnh Ÿ­ßc s(1,A) = 0 ; f(1,A) = s(1,A) + a1 = 0 + 3 = 3 s(2,A) = f(1,A) = 3 ; f(2,A) = s(2,A) + a2 = 3 + 4 = 7 s(3,A) = f(2,A) = 7 ; f(3,A) = s(3,A) + a3 = 7 + 6 = 13 s(4,A) = f(3,A) = 13; f(4,A) = s(4,A) + a4 = 13 + 5 = 18 s(5,A) = f(4,A) = 18; f(5,A) = s(5,A) + a5 = 18 + 6 = 24 s(1,B) = f(1,A) = 3; f(1,B) = s(1,B) + b1 = 3 + 3 = 6 s(2,B) = max {f(1,B), f(2,A) }= max {3, 7} = 7 ; f(2,B) = s(2,B) + b2 = 7 + 3 = 10 s(3,B) = max {f(2,B), f(3,A) }= max {13, 10} = 13 ; f(3,B) = s(3,B) + b3 = 13 + 2 = 15

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 7

s(4,B) = max {f(3,B), f(4,A) }= max {15, 18} = 18 ; f(4,B) = s(4,B) + b4 = 18 + 7 = 25 s(5,B) = max {f(4,B), f(5,A) }= max {25, 24} = 25 ; f(5,B) = s(5,B) + b5 = 25 + 3 = 28 §Ó biÓu diÔn lÞch gia c«ng ng­ĂȘi ta th­ĂȘng sö dĂŽng sÂŹ ŸÄ Gant. KÕt qu¶ trong vÝ dĂŽ trÂȘn ta cĂŁ thÓ biÓu diÔn nh­ sau:

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

ThĂȘi gian ho”n th”nh lÞch gia c«ng l” T(v) = f(5,B) = 28. Ta cĂČng nhËn xÐt r»ng mžy B cĂŁ cžc kho¶ng thĂȘi gian chÕt ¼Ó chĂȘ gia c«ng chi tiÕt tiÕp theo. CĂš ¼Þnh thĂȘi ÂźiÓm f(5,B), ta cĂŁ thÓ ŸÈy thĂȘi gian gia c«ng trÂȘn mžy B sang ph¶i sao cho kh«ng cĂŁ thĂȘi gian chÕt giĂ·a chĂ”ng, tĂžc l” mžy B hoÂčt Ÿéng liÂȘn tĂŽc. KÕt qu¶ ta cĂŁ sÂŹ ŸÄ sau

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Nh­ vËy ¼Ó cžc mžy hoÂčt Ÿéng liÂȘn tĂŽc cžc thĂȘi ÂźiÓm sÏ thay ŸÊi nh­ sau: s(1,B) = 10; s(2,B) = 13 ; s(3,B) = 16. Trong tr­ĂȘng hĂźp tĂŠng qužt ta cĂČng cĂŁ thÓ gi¶ thiÕt hai mžy l”m viÖc liÂȘn tĂŽc. GĂ€i dB(v) l” thĂȘi ÂźiÓm mžy B bŸt ¼Çu thĂčc hiÖn gia c«ng theo lÞch v (trong vÝ dĂŽ trÂȘn dB(v) = 10). Khi Ÿã ta cĂŁ

T(v) = dB(v) + ∑=

n

iib

1

trong Ÿã sĂš hÂčng thĂž 2 kh«ng phĂŽ thuĂ©c lÞch gia c«ng v. VÊn ¼Ò cßn lÂči l” t×m lÞch gia c«ng cho dB(v) nhĂĄ nhÊt. Ta cÇn t×m c«ng thĂžc tÝnh dB(v). DÔ thÊy r»ng dB(v) l” tĂŠng av(1) v” cžc kho¶ng thĂȘi gian chÕt cña mžy B, nÕu ta bĂš trÝ mžy B theo cžc c«ng thĂžc (1), (2), (3'), (4') v” (5'). Ta cĂŁ c«ng thĂžc sau

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 8

dB(v) = ( )vknk∆

≀≀1max

trong ¼ã ∆1(v) = av(1) (7)

∆k(v) = ∑=

k

iiva

1)( − ∑

−

=

1

1)(

k

iivb = ∆k−1(v) + av(k) − bv(k−1)

k = 2, 3,..., n.

Trong vÝ dĂŽ trÂȘn ta cĂŁ ∆1(v) = 3 ∆2(v) = 3 + 4 - 3 = 4 ∆3(v) = 4 + 6 - 3 = 7 ∆4(v) = 7 + 5 - 2 = 10 ∆5(v) = 10 + 6 - 7 = 9 VËy dB(v) = 10. B”i tožn Ÿ­ßc quy vÒ min { dB(v) : v ∈ P } (*) ‱ BĂŠ ¼Ò 1. Gi¶ sö lÞch gia c«ng v’ thu Ÿ­ßc tĂ” lÞch gia c«ng v b»ng cžch hožn vÞ 2 phÇn tö v(k) v” v(k+1):

v’ = ( v(1),..., v(k-1), v(k+1), v(k), v(k+2), ..., v(n)). Khi ¼ã nÕu

min { av(k), bv(k+1) } ≀ min { bv(k), av(k+1) } (8) th× dB(v) ≀ dB(v') (9) ChĂžng minh. Do v v” v' chØ khžc nhau Ă« vÞ trÝ thĂž k v” k+1 nÂȘn ta cĂŁ

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 9

∆i(v) = ∆i(v') , ∀i = 1, 2, ..., k−1, k+2, ..., n. TĂ” Ÿã ¼Ó chĂžng minh (9), theo (7) ta chØ cÇn chĂžng minh max {∆k(v), ∆k+1(v) } ≀ max {∆k(v’), ∆k+1(v’) } (10) ThËt vËy (10) t­ng Ÿ­ng vĂ­i max {∆k(v) - x , ∆k+1(v) – x } ≀ max {∆k(v’) – x, ∆k+1(v’) – x } trong Ÿã x l” giž trÞ bÊt kĂș. ChĂ€n

x = ∑+

=

1

1)(

k

iiva − ∑

−

=

1

1)(

k

iivb

ta nhËn Ÿ­ßc bÊt ÂźÂŒng thĂžc t­ng Ÿ­ng max { −av(k+1), −bv(k) } ≀ max { −av(k), −bv(k+1) } ⇔ − min { av(k+1), bv(k) } ≀ − min { av(k), bv(k+1) } ⇔ min { av(k), bv(k+1) } ≀ min { av(k+1), bv(k) } NghÜa l” (10) t­ng Ÿ­ng (8). Ta cĂŁ Âźpcm. ‱ BĂŠ ¼Ò 2. NÕu i, j , k l” ba chØ sĂš tho¶ m·n min { ai , bj } ≀ min { aj , bi } (11) v” min { aj , bk } ≀ min { ak , bj } (12) th× min { ai , bk } ≀ min { ak , bi } (13) ChĂžng minh. Gi¶ sö trong (11) ta cĂŁ ai ≀ bj v” aj ≀ bi , cßn trong (12) ta cĂŁ aj ≀ bk v” ak ≀ bj . Khi Ÿã tĂ” (11) suy ra ai ≀ aj v” tĂ” (12) suy ra aj ≀ ak . TĂžc l” ta cĂŁ ai ≀ ak v” tĂ” Ÿã suy ra (13). Cžc tr­ĂȘng hĂźp khžc chĂžng minh t­ng tĂč. ‱ PhÐp hožn vÞ. Cho lÞch gia c«ng

v = (v(1), v(2), ..., v(n))

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 10

PhÐp hožn vÞ i↔j lÂȘn v cho ta lÞch gia c«ng v' thu Ÿ­ßc tĂ” v b»ng cžch hožn vÞ hai phÇn tö v(i) v” v(j). ‱ §Þnh lĂœ Johnson (1954). T(v) ÂźÂčt giž trÞ nhĂĄ nhÊt khi lÞch gia c«ng

v = (v(1), v(2), ..., v(n)) tho¶ m·n min { av(k), bv(k+1) } ≀ min { bv(k), av(k+1) }, ∀ k = 1,2,...,n-1 (14) ChĂžng minh. Cho lÞch gia c«ng

v' = (v'(1), v'(2), ..., v'(n)) bÊt kĂș. Ta x©y dĂčng d·y hožn vÞ

v = v0 , v1, v2,..., vk, vk+1, ..., vm = v' nh­ sau: §Æt v0 = v. Gi¶ sö Ÿ· cĂŁ vk v” vk ≠ v' ta x©y dĂčng vk+1 qua cžc b­íc sau: - T×m tham sĂš p nhĂĄ nhÊt (p < n) cĂŁ vk(p) ≀ v'(p). - T×m tham sĂš q tho¶ vk(q) = v'(p) . HiÓn nhiÂȘn l” q > p, v× vk(j) = v'(j),∀j <p - ThĂčc hiÖn liÂȘn tiÕp (q−p) phÐp hožn vÞ q↔q−1, q−1↔q−2, ... , p↔p+1 lÂȘn vk . §Æt vk+1 l” hožn vÞ kÕt qu¶. Nh­ vËy sau k b­íc ta cĂŁ Ýt nhÊt k phÈn tö ¼Çu cña vk v” v' trĂŻng nhau. B»ng cžch n”y sau nhiÒu nhÊt n b­íc ta nhËn Ÿ­ßc v'. V× ta chØ thĂčc hiÖn cžc phÐp hožn vÞ hai phÇn tö kÒ nhau v” BĂŠ ¼Ò 2 lu«n ٦m b¶o tho¶ m·n ÂźiÒu kiÖn (8) cña BĂŠ ¼Ò 1, nÂȘn , žp dĂŽng liÂȘn tiÕp BĂŠ ¼Ò 1, ta cĂŁ

dB(v) = dB(v0) ≀ dB(v1) ≀ dB(v2) ≀ ... ≀ dB(vk) ≀ dB(vk+1) ≀ ... ≀ dB(vm) = dB(v') Nh­ vËy ta chĂžng minh Ÿ­ßc

dB(v) ≀ dB(v') , ∀ v' tĂžc l” v l” lÞch gia c«ng tĂši ­u. TĂ” ¼Þnh lĂœ trÂȘn ta nhËn Ÿ­ßc thuËt tožn sau.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 11

‱ ThuËt tožn Johnson (i) Chia cžc chi tiÕt th”nh 2 nhĂŁm:

N1 = { i : ai < bi } v”

N2 = { i : ai > bi } Cžc chi tiÕt cĂŁ ai = bi xÕp v”o nhĂŁm n”o cĂČng Ÿ­ßc. (ii) SŸp xÕp N1 theo chiÒu tšng cña ai v” N2 theo chiÒu gi¶m cña bi. (iii) NĂši N2 v”o Âźu«i N1 . D·y thu Ÿ­ßc l” lÞch gia c«ng tĂši ­u. ◊ VÝ dĂŽ. Quay lÂči vÝ dĂŽ trÂȘn. Ta cĂŁ b¶ng thĂȘi gian Chi tiÕt

Mžy 1 2 3 4 5 A 3 4 6 5 6 B 3 3 2 7 3

ThĂčc hiÖn thuËt tožn Johnson theo tĂ”ng b­íc (i) Chia nhĂŁm :

N1 = {1, 4} & N2 = {2, 3, 5} (ii) SŸp xÕp : N1 theo chiÒu tšng cña ai v” N2 theo chiÒu gi¶m cña bi

N1 = {1, 4} & N2 = {2, 5, 3} (iii) NÚi N2 v”o Ÿu«i N1 :

v = (1, 4, 2, 5, 3) SÂŹ ŸÄ Gant cña lÞch gia c«ng tĂši ­u thu Ÿ­ßc nh­ sau:

1 4 2 5 3 1 4 2 5 3

B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

hoÆc vĂ­i ph­ng žn mžy B hoÂčt Ÿéng liÂȘn tĂŽc

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 6. B”i tožn tĂši ­u 6 − 12

1 4 2 5 3 1 4 2 5 3

B A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

v” giž trÞ tĂši ­u T(v) = 26.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 1

ch­ng 7. ÂźÂči sĂš boole

TÂȘn tuĂŠi nh” tožn hĂ€c thÕ kĂ» 19 George Boole gŸn liÒn vĂ­i nhiÒu khži niÖm tožn hĂ€c quan trĂ€ng nh­ §Âči sĂš Boole, h”m Boole, BiÓu thĂžc Boole, V”nh Boole, .... Boole l” mĂ©t trong nhĂ·ng nh” khoa hĂ€c tiÂȘn phong nghiÂȘn cĂžu cÂŹ chÕ biÓu diÔn quž tr×nh t­ duy l«gic. Nšm 1854 «ng viÕt cuĂšn Cžc qui luËt t­ duy. §ãng gĂŁp lĂ­n nhÊt cña Boole l” phžt triÓn lĂœ thuyÕt l«gic b»ng kĂœ hiÖu thay cho tĂ” ngĂ·. GÇn 100 nšm sau, nšm 1938, C.E. Shannon Ÿ· phžt hiÖn ra r»ng cĂŁ thÓ sö dĂŽng §Âči sĂš Boole ¼Ó nghiÂȘn cĂžu mÂčch ÂźiÖn. Trong ch­ng n”y chĂłng ta sÏ nghiÂȘn cĂžu cžc tÝnh chÊt cÂŹ b¶n cña ÂźÂči sĂš Boole. 7.1. ÂźÂči sĂš boole 7.1.1. §Âči sĂš Boole ‱ §Þnh nghÜa 1. §Âči sĂš Boole l” hÖ thĂšng {S, +, ⋅ , , 0, 1} , trong Ÿã tËp S chĂža phÇn tö 0 v” 1, phÐp lÊy tĂŠng Boole + v” phÐp lÊy tÝch Boole ⋅ l” cžc phÐp tožn 2 ng«i trÂȘn S v” phÐp bĂŻ Boole l” phÐp tožn 1 ng«i trÂȘn S tho¶ m·n cžc tÝnh chÊt sau Ÿ©y. (1) LuËt kÕt hĂźp

∀ x, y, z ∈ S : (x + y) + z = x + (y + z) & (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) (2) LuËt giao ho¾n

∀ x, y ∈ S : x + y = y + x & x ⋅ y = y ⋅ x (3) LuËt ph©n phĂši

∀ x, y, z ∈ S : x ⋅ (y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z) & x + (y ⋅ z) = (x + y) ⋅ (x + z)

(4) LuËt ŸÄng nhÊt

∀ x ∈ S : x + 0 = x & x ⋅ 1 = x (5) LuËt bĂŻ trĂ”

∀ x ∈ S ∃x ∈ S : x +x = 1 & x .x = 0

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 2

◊ VÝ dĂŽ 1. Cho U l” tËp vĂČ trĂŽ v” S l” tËp tÊt c¶ tËp con cña U. Ta ¼Þnh nghÜa cžc phÐp tožn trÂȘn S nh­ sau

∀ X, Y ∈ S : X + Y = X âˆȘ Y & X ⋅ Y = X ∩ Y & X = U \ X TËp rçng Ÿãng vai trß phÇn tö 0 v” tËp U ∈ S Ÿãng vai trß phÇn tö 1. Khi Ÿã hÖ thĂšng { S, âˆȘ, ∩, , ∅, U} l” §Âči sĂš Boole. ◊ VÝ dĂŽ 2. Cho tËp B = {0, 1} vĂ­i cžc phÐp tožn sau PhÐp bĂŻ : 0 = 1, 1 = 0 PhÐp + : 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0 PhÐp ⋅ : 1 ⋅ 1 = 1, 1 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 1 = 0, 0 ⋅ 0 = 0 l” mĂ©t ÂźÂči sĂš Boole. ‱ §Þnh lÝ 1. Trong §Âči sĂš Boole, phÇn tö bĂŻ l” duy nhÊt. §Æc biÖt, nÕu

x + y = 1 & x ⋅ y = 0 th× y = x. Chþng minh y = y ⋅ 1 = y ⋅ (x + x ) = y ⋅ x + y ⋅ x = x ⋅ y + y ⋅ x = 0 + y ⋅ x = x ⋅x + y ⋅ x = x ⋅ x + x ⋅ y = x ⋅ ( x + y ) = x ⋅ 1

= x ‱ §Þnh nghÜa 2. PhÇn tö x gĂ€i l” phÇn bĂŻ cña x ‱ §Þnh lĂœ 2. Cho §Âči sĂš Boole {S, +, ⋅ , , 0, 1} . Khi Ÿã ta cĂŁ cžc tÝnh chÊt sau (6) LuËt luĂŒ ÂźÂŒng (Idempotent)

∀ x ∈ S : x + x = x & x ⋅ x = x (7) LuËt giĂ­i nĂ©i (Bound)

∀ x ∈ S : x + 1 = 1 & x ⋅ 0 = 0 (8) LuËt hÊp thî (Absortion)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 3

∀ x, y ∈ S : x + x ⋅ y = x & x ⋅ (x + y) = x (9) LuËt bï kÐp (Involution)

∀ x ∈ S : x = x (10) LuËt 0 v” 1

0 = 1 & 1 = 0 (11) LuËt de Morgan

∀ x, y ∈ S : yx + = x ⋅y & yx ⋅ = x + y ChĂžng minh (6) x = x + 0 , luËt ŸÄng nhÊt (4)

= x + x.x , luËt bĂŻ trĂ” (5) = (x + x).(x + x) , luËt ph©n phĂši (3) = (x + x).1 , luËt bĂŻ trĂ” (5) = x + x , luËt ŸÄng nhÊt (4)

x = x . 1 , luËt ŸÄng nhÊt (4) = x .(x + x) , luËt bĂŻ trĂ” (5) = x . x + x .x , luËt ph©n phĂši (3) = x . x , luËt bĂŻ trĂ” (5)

(7) x + 1 = (x + 1).1 , luËt ŸÄng nhÊt (4) = (x + 1).(x +x) , luËt bĂŻ trĂ” (5) = x + 1.x , luËt ph©n phĂši (3) = x +x.1 , luËt giao hožn (2) = x +x , luËt ŸÄng nhÊt (4) = 1 , luËt bĂŻ trĂ” (5)

x . 0 = x . 0 + 0 , luËt ŸÄng nhÊt (4) = x . 0 + x .x , luËt bĂŻ trĂ” (5) = x.( 0 + x) , luËt ph©n phĂši (3) = x.x , luËt ŸÄng nhÊt (4) = 0 , luËt bĂŻ trĂ” (5)

(8) x + x.y = x.1 + x.y , luËt ŸÄng nhÊt (4) = x.(1 + y) , luËt ph©n phĂši (3) = x.1 , luËt giĂ­i nĂ©i (7) = x , luËt ŸÄng nhÊt (4)

x.(x+y) = x.x + x.y , luËt ph©n phĂši (3)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 4

= x + x.y , luËt luĂŒ ÂźÂŒng (6) = x , ÂźÂŒng thĂžc trÂȘn

(9) x = x + 0 , luËt ŸÄng nhÊt (4) = x + (x +x) , luËt bĂŻ trĂ” (5) = x + (x + x) , luËt giao hožn (2) = ( x + x ) + x , luËt kÕt hĂźp (1) = (x + x ) + x , luËt giao hožn (2) = x , luËt bĂŻ trĂ” (5)

(10) 0 = 0 + 0 , luËt ŸÄng nhÊt (4) = 1 , luËt bĂŻ trĂ” (5)

1 = 1.1 , luËt ŸÄng nhÊt (4) = 0 , luËt bĂŻ trĂ” (5)

(11) LuËt de Morgan

§Ó chþng minh: yx + = x ⋅y

theo ¼Þnh lÝ 1 ta chØ cÇn chþng minh (x + y).x ⋅y = 0 (*)

v” (x + y) +x ⋅y = 1 (**)

Ta cĂŁ (x + y).x ⋅y = x ⋅y . (x + y) , luËt giao hožn (2) = (x ⋅y) . x + (x ⋅y) . y , luËt ph©n phĂši (3) = (y .x ) . x + (x ⋅y) . y , luËt giao hožn (2) = y .(x . x) + x ⋅(y . y) , luËt kÕt hĂźp (1) = y .(x.x ) + x ⋅(y.y ) , luËt giao hožn (2) = y . 0 + x ⋅ 0 , luËt bĂŻ trĂ” (5) = 0 + 0 , luËt giĂ­i nĂ©i (7)

= 0 , luËt ŸÄng nhÊt (4)

v” (x + y) +x ⋅y = ((x + y) +x )⋅((x + y) +y ) , luËt ph©n phĂši (3)

= ((y + x) +x )⋅((x + y) +y ) , luËt giao hožn (2) = (y + (x +x ))⋅(x + (y +y )) , luËt kÕt hĂźp (1) = (y + 1 )⋅(x + 1 ) , luËt bĂŻ trĂ” (5) = 1 + 1 , luËt giĂ­i nĂ©i (7)

= 1 , luËt ŸÄng nhÊt (4) TiÕp theo, theo ÂźÂŒng thĂžc trÂȘn ta cĂŁ

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 5

yx + = x . y = x.y TĂ” Ÿã , sö dĂŽng luËt bĂŻ kÐp, suy ra

yx ⋅ = yx + =x + y ‱ §Þnh nghÜa 3. §Úi ngÉu cña mĂ©t biÓu thĂžc Boole l” biÓu thĂžc nhËn Ÿ­ßc tĂ” biÓu thĂžc Ÿ· cho b»ng cžch thÕ 0 b»ng 1, 1 b»ng 0, + b»ng . v” . b»ng +. ◊ VÝ dĂŽ 3. §Úi ngÉu cña biÓu thĂžc

yx + = x ⋅y l” biÓu thĂžc

yx ⋅ = x + y ‱ §Þnh lĂœ 3 (NguyÂȘn lĂœ ŸÚi ngÉu) . §Úi ngÉu cña mĂ©t ÂźÂŒng thĂžc Boole cĂČng l” ÂźÂŒng thĂžc Boole. ChĂžng minh Gi¶ sö T l” ÂźÂŒng thĂžc Boole v” P l” chĂžng minh cña T. P bao gĂ„m d·y cžc ÂźÂŒng thĂžc cÂŹ b¶n cho Ă« ¼Þnh nghÜa 1. KĂœ hiÖu P’ l” d·y cžc ÂźÂŒng thĂžc ŸÚi ngÉu cña P (chĂł Ăœ r»ng mçi ÂźÂŒng thĂžc Ă« ¼Þnh nghÜa 1 ¼Òu cĂŁ ÂźÂŒng thĂžc ŸÚi ngÉu). Khi Ÿã P’ chÝnh l” chĂžng minh cña ŸÚi ngÉu T’ cña T.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 6

7.1.2. H”m Boole ‱ §Þnh nghÜa 1. Cho B = {0, 1}. BiÕn x gĂ€i l” biÕn Boole, nÕu nĂŁ chØ nhËn cžc giž trÞ trong B.

MĂ©t h”m tĂ” Bn v”o B, f(x1, ..., xn), gĂ€i l” h”m Boole bËc n. Cžc h”m Boole th­ĂȘng Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng b¶ng. ◊ VÝ dĂŽ 1. H”m f : B2 → B , f(x,y) = 1 khi x = 1, y = 0 v” f(x,y) = 0 trong cžc tr­ĂȘng hĂźp khžc Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng b¶ng sau

x y f(x,y) 1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0

Cžc h”m Boole cĂČng cĂŁ thÓ Ÿ­ßc biÓu diÔn bĂ«i cžc biÓu thĂžc Boole. ‱ §Þnh nghÜa 2. Cho B = {0, 1} vĂ­i cžc phÐp tožn bĂŻ, tĂŠng v” tÝch Boole. BiÓu thĂžc Boole vĂ­i cžc biÕn x1, ..., xn, Ÿ­ßc ¼Þnh nghÜa ¼Ö quy nh­ sau

(1) 0, 1, x1, ..., xn l” biÓu thĂžc Boole (2) NÕu E l” biÓu thĂžc Boole, th× E cĂČng l” biÓu thĂžc Boole

(3) NÕu E1 v” E2 l” cžc biÓu thĂžc Boole, th× E1 + E2 v” E1⋅E2 cĂČng l” biÓu thĂžc Boole. ◊ VÝ dĂŽ 2. T×m b¶ng giž trÞ cña h”m f(x,y,z) cho bĂ«i biÓu thĂžc sau

f(x,y,z) = x ⋅ y + z

Gi¶i Cžc giž trÞ cña h”m cho bĂ«i b¶ng sau

x y z x ⋅ y z f(x,y,z) = x ( y +( z

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1 0 1

‱ §Þnh nghÜa 3. Hai h”m Boole f(x1, ..., xn) v” g(x1, ..., xn) gĂ€i l” b»ng nhau nÕu

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 7

f(x1, ..., xn) = g(x1, ..., xn) ∀(x1, ..., xn) ∈ Bn

Hai biÓu thĂžc Boole gĂ€i l” t­ng Ÿ­ng , nÕu chĂłng cĂŻng biÓu diÔn mĂ©t h”m. ◊ VÝ dĂŽ 3. Cžc biÓu thĂžc x ⋅ y, x ⋅ y + 0, x ⋅ y ⋅ 1 t­ng Ÿ­ng nhau. ‱ §Þnh nghÜa 4. PhÇn bĂŻ cña h”m f(x1, ..., xn) l” h”m f ¼Þnh nghÜa nh­ sau

f(x1, ..., xn) = ( )nxxf ,...,1 ∀(x1, ..., xn) ∈ Bn

TĂŠng Boole cña h”m f(x1, ..., xn) v” h”m g(x1, ..., xn) l” h”m f + g ¼Þnh nghÜa nh­ sau

(f + g)(x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn) + g(x1, ..., xn) ∀(x1, ..., xn) ∈ Bn

TÝch Boole cña h”m f(x1, ..., xn) v” h”m g(x1, ..., xn) l” h”m f ⋅ g ¼Þnh nghÜa nh­ sau

(f ⋅ g)(x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn) ⋅ g(x1, ..., xn) ∀(x1, ..., xn) ∈ Bn

‱ §Þnh lĂœ 1. SĂš h”m Boole bËc n l” n22

ChĂžng minh Theo quy tŸc nh©n cĂŁ 2n bĂ© n phÇn tö khžc nhau gĂ„m cžc sĂš 0 v” sĂš 1. V× h”m Boole l” sĂč gžn 0 hoÆc 1 cho mçi bĂ© trong sĂš 2n bĂ© n phÇn tö Ÿã, nÂȘn lÂči theo

quy tŸc nh©n sÏ cĂŁ n22 cžc h”m Boole khžc nhau. Âźpcm.

B¶ng sau cho sĂš cžc h”m Boole khžc nhau tĂ” bËc 1 ¼Õn bËc 6

BËc SĂš h”m Boole 1 4 2 16 3 256 4 65 536 5 4 294 967 296 6 18 446 744 073 709 551 616

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 8

7.2. biÓu diÔn cžc h”m boole Hai b”i tožn quan trĂ€ng trong ÂźÂči sĂš Boole sÏ Ÿ­ßc nghiÂȘn cĂžu trong b”i n”y. B”i tožn thĂž nhÊt l”: cho cžc giž trÞ h”m Boole, l”m thÕ n”o t×m Ÿ­ßc biÓu thĂžc Boole biÓu diÔn h”m Ÿã. B”i tožn n”y Ÿ­ßc gi¶i b»ng cžch chĂžng minh r»ng mĂ€i h”m Boole ¼Òu cĂŁ thÓ Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng tĂŠng cžc tÝch Boole cña cžc biÕn v” phÇn bĂŻ cña chĂłng. LĂȘi gi¶i b”i tožn n”y chĂžng tĂĄ r»ng mĂ€i h”m Boole ¼Òu cĂŁ thÓ Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng cžch dĂŻng ba tožn tö Boole l” tÝch ( ⋅ ), tĂŠng ( + ) v” bĂŻ ( ). B”i tožn thĂž hai l”: liÖu cĂŁ thÓ dĂŻng mĂ©t tËp tožn tö nhĂĄ hÂŹn ¼Ó biÓu diÔn cžc h”m Boole hay kh«ng. Ta sÏ thÊy r»ng mĂ€i h”m Boole ¼Òu cĂŁ thÓ Ÿ­ßc biÓu diÔn b»ng cžch dĂŻng chØ mĂ©t tožn tö. Cžc b”i tožn n”y cĂŁ tÇm quan trĂ€ng thĂčc tiÔn trong viÖc thiÕt kÕ cžc mÂčch. 7.2.1. Cžc dÂčng chuÈn tŸc XÐt vÝ dĂŽ sau. ◊ VÝ dĂŽ 1. T×m cžc biÓu thĂžc Boole biÓu diÔn cžc h”m f(x,y,z) v” g(x,y,z) cĂŁ cžc giž trÞ cho trong b¶ng sau

x y z f g 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

Gi¶i CÇn ph¶i lËp biÓu thĂžc cĂŁ giž trÞ 1 khi

x = z =1 & y = 0, v” cĂŁ giž trÞ 0 trong cžc tr­ĂȘng hĂźp cßn lÂči, ¼Ó biÓu diÔn h”m f. BiÓu thĂžc

x.y. z tho¶ m·n yÂȘu cÇu n”y. §Ó biÓu diÔn h”m g ta cÇn biÓu thĂžc b»ng 1 khi

x = y = 1 & z = 0 hoÆc x = z = 0 & y = 1

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 9

v” cĂŁ giž trÞ 0 trong cžc tr­ĂȘng hĂźp cßn lÂči. BiÓu thĂžc

x.y.z + x.y. z tho¶ m·n yÂȘu cÇu n”y. ‱ §Þnh nghÜa 1. MĂ©t biÕn Boole hoÆc bĂŻ cña nĂŁ gĂ€i l” mĂ©t tĂŽc biÕn. TÝch Boole

y1.y2.....yn trong Ÿã

yi = xi hoÆc yi = xi ∀ i = 1, ..., n vĂ­i xi l” cžc biÕn Boole, Ÿ­ßc gĂ€i l” mĂ©t tiÓu hÂčng (minterm) MĂ©t tiÓu hÂčng cĂŁ giž trÞ 1 chØ khi

yi = 1 ∀ i = 1, ..., n tĂžc l”

xi = 1, nÕu yi = xi & xi = 0, nÕu yi = xi ∀ i = 1, ..., n ◊ VÝ dĂŽ 2. T×m tiÓu hÂčng cĂŁ giž trÞ b»ng 1 nÕu x1 = x3 = 0 v” x2 = x4 = x5 = 1 v” b»ng 0 trong cžc tr­ĂȘng hĂźp cßn lÂči. Gi¶i Theo trÂȘn, tiÓu hÂčng cÇn t×m l”

x1. x2 . x3 . x4 . x5

B»ng cžch lÊy tĂŠng Boole cña cžc tiÓu hÂčng ph©n biÖt ta cĂŁ thÓ lËp Ÿ­ßc biÓu thĂžc Boole vĂ­i tËp cžc giž trÞ cho tr­íc. §Þnh lĂœ sau khÂŒng ¼Þnh mĂ€i h”m Boole ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn b»ng tĂŠng cžc tiÓu hÂčng. ‱ §Þnh lĂœ 1. Cho h”m Boole cÊp n f(x1, ..., xn) ≠ 0. Gi¶ sö A1, ..., Ak ∈ Bn , B = {0, 1}, l” cžc bĂ© giž trÞ tho¶ f(Ai) = 1 ∀i=1, ..., k. VĂ­i mçi Ai = (a1, ..., an), ta ¼Æt

mi = y1 . ... . yn trong Ÿã

yj =

==

0,1,

jj

jj

axax

, ∀j = 1, ..., n

Khi Ÿã

f(x1, ..., xn) = m1 + m2 + ... + mk

ChĂžng minh

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 10

VĂ­i mĂ€i i =1, ..., k, ta kĂœ hiÖu mi(a1, ..., an) giž trÞ cña mi sau khi thay xj b»ng aj vĂ­i mçi j = 1, ..., n. Ta cĂŁ

mi(A) =

≠=

i

i

AAAA

,0,1

, ∀ i = 1, ..., k

Khi Ÿã víi mÀi A ∈ Bn ta cã

m1(A) + m2(A) + ... + mk(A) = 1, nÕu ∃i: A = Ai v”

m1(A) + m2(A) + ... + mk(A) = 0, nÕu ∀i: A ≠ Ai TĂ” Ÿã suy ra ¼Þnh lĂœ. ‱ §Þnh nghÜa 2. BiÓu diÔn

f(x1, ..., xn) = m1 + m2 + ... + mk

Ă« ¼Þnh lĂœ 1 gĂ€i l” dÂčng tuyÓn chuÈn tŸc cña h”m Boole f. ◊ VÝ dĂŽ 3. T×m dÂčng tuyÓn chuÈn tŸc cña h”m f(x,y,z) = (x + y). z . Gi¶i. Tr­íc tiÂȘn ta t×m cžc giž trÞ cña h”m f. Cžc giž trÞ cho Ă« b¶ng sau

x y z x + y z (x + y). z 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 0

TiÕp theo ta t×m cžc tiÓu hÂčng t­ng Ăžng vĂ­i cžc bĂ© giž trÞ cho biÓu thĂžc giž trÞ 1. Ta cĂŁ

m1 = x.y. z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 2 m2 = x. y . z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 4 m3 = x .y. z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 6 VËy

f(x,y,z) = x.y. z + x. y . z + x .y. z ‱ §Þnh nghÜa 3. Téng Boole

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 11

y1 + y2 + ... + yn

trong ¼ã yi = xi hoÆc yi = xi ∀ i = 1, ..., n

vĂ­i xi l” cžc biÕn Boole, Ÿ­ßc gĂ€i l” mĂ©t ÂźÂči hÂčng (maxterm) MĂ©t ÂźÂči hÂčng cĂŁ giž trÞ 0 chØ khi

yi = 0 ∀ i = 1, ..., n tĂžc l”

xi = 0, nÕu yi = xi & xi = 1, nÕu yi = xi ∀ i = 1, ..., n §Þnh lĂœ sau khÂŒng ¼Þnh mĂ€i h”m Boole ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn b»ng tÝch cžc ÂźÂči hÂčng. ‱ §Þnh lĂœ 2. Cho h”m Boole cÊp n f(x1, ..., xn) ≠ 0. Gi¶ sö A1, ..., Ak ∈ Bn , B = {0, 1}, l” cžc bĂ© giž trÞ tho¶ f(Ai) = 0 ∀i=1, ..., k. VĂ­i mçi Ai = (a1, ..., an), ta ¼Æt

Mi = y1 + y2 + ... + yn trong Ÿã

yj =

==

1,0,

jj

jj

axax

, ∀j = 1, ..., n

Khi Ÿã

f(x1, ..., xn) = M1 . M2 . ... . Mk

ChĂžng minh VĂ­i mĂ€i i =1, ..., k, ta kĂœ hiÖu Mi(a1, ..., an) giž trÞ cña Mi sau khi thay xj b»ng aj vĂ­i mçi j = 1, ..., n. Ta cĂŁ

Mi(A) =

≠=

i

i

AAAA

,1,0

, ∀ i = 1, ..., k

Khi Ÿã víi mÀi A ∈ Bn ta cã

M1(A) . M2(A) . ... . Mk(A) = 0, nÕu ∃i: A = Ai v”

M1(A) . M2(A) . ... . Mk(A) = 1, nÕu ∀i: A ≠ Ai TĂ” Ÿã suy ra ¼Þnh lĂœ. ‱ §Þnh nghÜa 4. BiÓu diÔn

f(x1, ..., xn) = M2 . ... . Mk

Ă« ¼Þnh lĂœ 2 gĂ€i l” dÂčng hĂ©i chuÈn tŸc cña h”m Boole f.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 12

◊ VÝ dĂŽ 4. T×m dÂčng hĂ©i chuÈn tŸc cña h”m f(x,y,z) = (x + y). z . Gi¶i. Tr­íc tiÂȘn ta t×m cžc giž trÞ cña h”m f. Cžc giž trÞ cho Ă« b¶ng sau

x y z x + y z (x + y). z 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 0

TiÕp theo ta t×m cžc ÂźÂči hÂčng t­ng Ăžng vĂ­i cžc bĂ© giž trÞ cho biÓu thĂžc giž trÞ 0. Ta cĂŁ

M1 = x + y + z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 1 M2 = x + y + z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 3 M3 = x + y + z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 5 M4 = x + y + z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 7 M5 = x + y + z , Ăžng vĂ­i h”ng thĂž 8 VËy

f(x,y,z) = ( x + y + z ).( x + y + z ).(x + y + z ).(x + y + z ).(x + y + z) 7.2.2. TÝnh ¼Çy Ÿñ KÕt qu¶ cña mĂŽc trÂȘn cho thÊy mĂ€i h”m Boole cĂŁ thÓ biÓu diÔn b»ng cžc phÐp tožn Boole +, . , . ‱ §Þnh nghÜa 1. MĂ©t tËp hĂźp cžc phÐp tožn Boole gĂ€i l” ¼Çy Ÿñ nÕu mĂ€i h”m Boole ¼Òu cĂŁ thÓ biÓu diÔn b»ng cžc phÐp tožn cña nĂŁ.

Nh­ vËy, ta cĂŁ ‱ §Þnh lĂœ 1. TËp hĂźp 3 phÐp tožn { +, . , } l” ¼Çy Ÿñ. Ta cĂŁ thÓ t×m Ÿ­ßc tËp ¼Çy Ÿñ cžc phÐp tožn nhĂĄ hÂŹn kh«ng ? Ta cĂŁ thÓ l”m Ÿ­ßc ÂźiÒu Ÿã nÕu mĂ©t trong ba phÐp tožn trÂȘn cĂŁ thÓ biÓu diÔn qua hai phÐp tožn cßn lÂči. §iÒu n”y cĂŁ thÓ l”m Ÿ­ßc nÕu ta sö dĂŽng luËt de Morgan.

Tr­íc tiÂȘn, ta cĂŁ thÓ loÂči bĂĄ tĂŠng Boole + b»ng cžch dĂŻng ÂźÂŒng thĂžc

x + y = yx.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 13

(suy ra tĂ” ÂźÂŒng thĂžc de Morgan thĂž nhÊt yx + = x ⋅y ) Nh­ vËy, ta cĂŁ

‱ §Þnh lĂœ 2. TËp hĂźp 2 phÐp tožn { . , } l” ¼Çy Ÿñ.

T­ng tĂč, ta cĂŁ thÓ loÂči bĂĄ tÝch Boole . b»ng cžch dĂŻng ÂźÂŒng thĂžc

x ‱ y = yx + (suy ra tĂ” ÂźÂŒng thĂžc de Morgan thĂž nhÊt yx ⋅ = x + y )

§iÒu n”y chĂžng minh

‱ §Þnh lĂœ 3. TËp hĂźp 2 phÐp tožn { + , } l” ¼Çy Ÿñ. ◊ ChĂł Ăœ: TËp { +, ‱ } kh«ng ¼Çy Ÿñ, v× kh«ng thÓ biÓu diÔn x b»ng hai phÐp tožn +, ‱ (b”i tËp). LiÖu cĂŁ tĂ„n tÂči tËp ¼Çy Ÿñ chØ cĂŁ 1 phÐp tožn kh«ng ? C©u tr¶ lĂȘi l” tĂ„n tÂči. Ta sÏ x©y dĂčng cžc phÐp tožn nh­ vËy. ‱ §Þnh nghÜa 2. PhÐp tožn ↑ hay NAND:

x1 ↑ x2 = x1 NAND x2 = ( )

≠∀=∀

)1,1(,,1)1,1(),(,0

21

21

xxxx

PhÐp to¾n ↓ hay NOR:

x1 ↓ x2 = x1 NOR x2 = ( )

≠∀=∀

)0,0(,,0)0,0(),(,1

21

21

xxxx

‱ §Þnh lĂœ 4. Cžc tËp hĂźp 1 phÐp tožn { ↑} v” { ↓ } l” ¼Çy Ÿñ. ChĂžng minh LËp b¶ng giž trÞ cña cžc biÓu thĂžc ta thÊy

x = x ↑ x v” x.y = (x ↑ y) ↑ (x ↑ y) Nh­ vËy phÐp tožn bĂŻ v” nh©n ‱ biÓu diÔn Ÿ­ßc b»ng phÐp tožn ↑. MÆt

khžc tËp { ‱ , } ¼Çy Ÿñ, suy ra tËp hĂźp 1 phÐp tožn { ↑ } cĂČng ¼Çy Ÿñ. T­ng tĂč ta cĂŁ thÓ chĂžng minh

x = x ↓ x , x.y = (x ↓ x) ↓ (y ↓ y) v” x+y = (x ↓ y) ↓ (x ↓ y)

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 14

v” suy ra tËp hĂźp 1 phÐp tožn { ↓ } cĂČng ¼Çy Ÿñ. b”i tËp

1. T×m cžc giž trÞ cña cžc biÓu thĂžc sau

a) 1. 0 b) 1 + 1 c) 0 .0 d) 01+ 2. T×m cžc giž trÞ cña biÕn Boole x tho¶ cžc ph­ng tr×nh sau a) x.1 = 0 b) x + x = 0 c) x.1 = x d) x. x = 1 3. T×m cžc giž trÞ cña cžc biÕn Boole x v” y tho¶

x.y = x + y 4. CĂŁ bao nhiÂȘu h”m Boole bËc 7 khžc nhau 5. ChĂžng minh a) x + x.y = x b) x. y + y. z + z. x = x .y + y .z + z .x Tožn tö Boole ⊕ , Ÿ­ßc gĂ€i l” tožn tö XOR, Ÿ­ßc ¼Þnh nghÜa nh­ sau

1 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 = 1, 1 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 =1 6. RĂłt gĂ€n cžc biÓu thĂžc sau a) x ⊕ 0 b) x ⊕ 1 c) x ⊕ x d) x ⊕ x 7. ChĂžng minh a) x ⊕ y = (x + y). yx. b) x ⊕ y = x. y + x .y 8. Cžc ÂźÂŒng thĂžc sau Ÿóng hay kh«ng ? a) x ⊕ y = y ⊕ x b) x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z c) x + (y ⊕ z) = (x + y) ⊕ (x + z) d) x ⊕ (y + z) = (x ⊕ y) + (x ⊕ z) 9. T×m cžc ŸÚi ngÉu cña cžc biÓu thĂžc sau a) x + y b) x . y c) x.y.z + x . y . z d) x. z + x.0 + x .1 10*. Cho h”m Boole F(x1, ..., xn). ChĂžng minh

Fd(x1, ..., xn) = ( )nxxF ,...,1 11*. Cho h”m Boole F(x1, ..., xn), G(x1, ..., xn). ChÞng minh

F = D ⇒ Fd = Gd

12*. CĂŁ bao nhiÂȘu h”m Boole F(x,y,z) khžc nhau sao cho

F( x , y , z ) = F(x, y, z) ∀ x, y, z 13*. CĂŁ bao nhiÂȘu h”m Boole F(x,y,z) khžc nhau sao cho

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

Ch­ng 7. §Âči sĂš Boole 7 − 15

F( x , y, z) = F(x, y , z) = F(x, y, z ) ∀ x, y, z 14. T×m tÝch Boole cña cžc biÕn x, y, z hoÆc phÇn bĂŻ cña chĂłng, biÕt r»ng tÝch Ÿã cĂŁ giž trÞ 1 nÕu v” chØ nÕu a) x = y = 0, z = 1 b) x = 0, y = 1, z = 0 c) x = 0, y = z = 1 d) x = y = z = 0 15. T×m khai triÓn tĂŠng cžc tÝch cña cžc h”m Boole hai biÕn x, y a) x + y b) x. y c) 1 d) y 16. T×m khai triÓn tĂŠng cžc tÝch cña cžc h”m Boole ba biÕn x, y, z a) x + y + z b) (x + z).y c) x d) x. y 17. T×m khai triÓn tĂŠng cžc tÝch cña cžc h”m Boole F(x, y, z) biÕt F = 1 nÕu v” chØ nÕu a) x = 0 b) x.y = 0 c) x + y = 0 d) x.y.z = 0 18. T×m khai triÓn tĂŠng cžc tÝch cña cžc h”m Boole F(w, x, y, z) biÕt F = 1 nÕu v” chØ nÕu mĂ©t sĂš lÎ cña w, x, y, z cĂŁ giž trÞ 1. 20. T×m khai triÓn tĂŠng cžc tÝch cña cžc h”m Boole F(v, w, x, y, z) biÕt F = 1 nÕu v” chØ nÕu sĂš biÕn cĂŁ giž trÞ 1 lĂ­n hÂŹn hoÆc b»ng 3.

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

MĂŽc lĂŽc i

MĂŽC LĂŽC Ch­ng 1 : ng«n ngĂ· tožn hĂ€c 1 - 1 1.1. quy nÂčp tožn hĂ€c 1 - 1 1.1.1. NguyÂȘn lĂœ quy nÂčp tožn hĂ€c 1 - 1 1.1.2. B”i tožn xÕp Tromino 1 - 1 ‱ B”i tËp 1 - 2 1.2. tËp hĂźp 1 - 3 1.2.1. Cžc khži niÖm cÂŹ b¶n 1 - 3 1.2.2. Cžc phÐp tožn tËp hĂźp 1 - 4 1.2.3. TÝch §Ò-cžc 1 - 6 ‱ B”i tËp 1 - 6 1.3. quan hÖ 1 - 7 1.3.1. §Þnh nghÜa 1 - 7 1.3.2. Quan hÖ t­ng Ÿ­ng v” ph©n hoÂčch 1 - 7 1.3.3. Quan hÖ thĂž tĂč 1 - 8 ‱ B”i tËp 1 - 10 1.4. žnh xÂč 1 - 11 1.4.1. §Þnh nghÜa 1 - 11 1.4.2. Cžc phÐp tožn žnh xÂč 1 - 13 ‱ B”i tËp 1 - 15 1.5. c«ng thĂžc truy hĂ„i 1 - 16 1.5.1. C«ng thĂžc truy hĂ„i 1 - 16 1.5.3. Gi¶i c«ng thĂžc truy hĂ„i b»ng ph­ng phžp lÆp 1 - 16 1.5.4. Gi¶i c«ng thĂžc truy hĂ„i b»ng ph­ng tr×nh ¼Æc tr­ng 1 - 17 ‱ B”i tËp 1 - 19 1.6. hÖ sĂš nhÞ thĂžc 1 - 20 ‱ B”i tËp 1 - 21

Ch­ng 2 : NHáșŹP M€N TĂŠ HĂźP 2 - 1 2.1. S„ LŠßC LÞCH Sö 2 - 1 2.2. B”I TOžN TĂŠ HĂźP 2 - 2 2.2.1. B”i tožn thžp H” nĂ©i 2 - 2 2.2.2. B”i tožn n cÆp vĂź chĂ„ng 2 - 2 2.2.3. B”i tožn Ÿ­ĂȘng Âźi qu©n ngĂča 2 - 3 2.2.4. B”i tožn h×nh vu«ng La-tinh 2 - 4 2.2.5. B”i tožn h×nh lĂŽc gižc thÇn bÝ 2 - 4 Ch­ng 3: b”i tožn tĂ„n tÂči 3 - 1 3.1. mĂ©t sĂš vÝ dĂŽ 3 - 1 3.1.1. B”i tožn 36 sÜ quan 3 - 1 3.1.2. B”i tožn 2n ÂźiÓm trÂȘn l­íi n x n ÂźiÓm 3 - 2 3.2. nguyÂȘn lĂœ dirichlet 3 - 3 3.2.1. NguyÂȘn lĂœ Dirichlet 3 - 3 3.2.2. NguyÂȘn lĂœ Dirichlet tĂŠng qužt 3 - 3 B”I TËP 3 - 5

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

MĂŽc lĂŽc ii

Ch­ng 4 : b”i tožn ¼Õm 4 - 1 4.1. CžC nguyÂȘn lĂœ cÂŹ b¶n 4 - 1 4.1.1. NguyÂȘn lĂœ nh©n 4 - 1 4.1.2. NguyÂȘn lĂœ cĂ©ng 4 - 2 4.2. cžc cÊu h×nh tĂŠ hĂźp cÂŹ b¶n 4 - 4 4.2.1. ChØnh hĂźp lÆp 4 - 4 4.2.2. ChØnh hĂźp kh«ng lÆp 4 - 4 4.2.3. Hožn vÞ 4 - 5 4.2.4. TĂŠ hĂźp 4 - 5 4.2.5. Hožn vÞ lÆp 4 - 6 4.2.6. TĂŠ hĂźp lÆp 4 - 6 4.3. mĂ©t sĂš b”i tËp Ăžng dĂŽng 4 - 8 4.3.1. B”i tožn ¼Õm cžch xÕp chç 4 - 8 4.3.2. B”i tožn ¼Õm sĂš Ÿ­ĂȘng Âźi 4 - 9 4.3.3. žp dĂŽng c«ng thĂžc truy hĂ„i 4 - 11 4.4. nguyÂȘn lĂœ bĂŻ trĂ” 4 - 13 4.4.1. NguyÂȘn lĂœ 4 - 13 4.4.2. B”i tožn Ăžng dĂŽng 4 - 14 b”i tËp 4 - 18 ch­ng 5 : b”i tožn liÖt kÂȘ 5 - 1 5.1. phžt biÓu b”i tožn liÖt kÂȘ 5 - 1 5.2. ph­ng phžp sinh 5 - 2 5.2.1. ThĂž tĂč tĂ” ÂźiÓn v” ph­ng phžp sinh 5 - 2 5.2.2. D·y nhÞ ph©n Ÿé d”i n 5 - 3 5.2.3. TĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö 5 - 4 5.2.4. Hožn vÞ 5 - 5 5.3. thuËt tožn quay lui 5 - 7 5.3.1. NĂ©i dung thuËt tožn 5 - 7 5.3.2. LiÖt kÂȘ d·y nhÞ ph©n Ÿé d”i n 5 - 8 5.3.3. LiÖt kÂȘ hožn vÞ 5 - 9 5.3.4. TĂŠ hĂźp chËp r tĂ” n phÇn tö 5 - 10 5.3.5. B”i tožn xÕp HËu 5 - 11 5.3.6. B”i tožn h×nh chĂ· nhËt La tinh 5 - 13 b”i tËp 5 - 15

Ch­ng 6: b”i tožn tĂši ­u 6 - 1 6.1. GiĂ­i thiÖu 6 - 1 6.1.1. Phžt biÓu b”i tožn tĂši ­u 6 - 1 6.1.2. MĂ©t sĂš vÝ dĂŽ 6 - 1 6.2. thuËt tožn johnson gi¶i b”i tožn

lËp lÞch gia c«ng 2 mžy 6 - 5 Ch­ng 7: ÂźÂči sĂš boole 7 - 1 7.1. ÂźÂči sĂš boole 7 - 1 7.1.1. §Âči sĂš Boole 7 - 1

TrÇn QuĂšc ChiÕn Tožn rĂȘi rÂčc

MĂŽc lĂŽc iii

7.1.2. H”m Boole 7 - 6 7.2. biÓu diÔn h”m boole 7 - 8 7.2.1. Cžc dÂčng chuÈn tŸc 7 - 8 7.2.2. TÝnh ¼Çy Ÿñ 7 - 12 b”i tËp 7 - 14 Ch­ng 8: mÂčch tĂŠ hĂźp 8 - 1 8.1. mÂčch tĂŠ hĂźp 8 - 1 8.1.1. §Þnh nghÜa 8 - 1 8.1.2. TĂŠ hĂźp cžc cĂŠng 8 - 2 8.2. cĂčc tiÓu hož mÂčch 8 - 4 8.2.1. B”i tožn cĂčc tiÓu hož mÂčch 8 - 4 8.2.2. Ph­ng phžp b¶n ŸÄ Karnaugh 8 - 5 8.2.3. Ph­ng phžp Quine-McCluskey 8 - 10 8.3. Ăžng dĂŽng 8 - 14 8.3.1. MÂčch biÓu quyÕt theo Âźa sĂš 8 - 14 8.3.2. MÂčch ÂźiÒu khiÓn nhiÒu c«ng tŸc 8 - 16 b”i tËp 8 - 19 t”i liÖu tham kh¶o