Tercera edición, julio de 1992 Segunda edición, febrero de 1992

Rosa María Mata CastrejónMa. Eugenia Cerritos Cruz

Ma. del Rocío Zuppa Guerrero

INTRODUCCIONA LA LOGICA

PROPOSICIONAL(Teoría y Práctica)

T IEDITORIALTORRES@ ASOCIADOS

Cuarta edición, diciembre de 1992Tercera edición, julio de 1992Segunda edición, febrero de 1992Primera edición, 1991

© EDITORIAL TORRES ASOCIADOS.

Otomíes Lt. 1, Mz. 15, Interior 6Colonia Ajusco. CP: 04300, Delegación Coyoacán.México, D.F.

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Impreso en México. Printed in Mexico.

A nuestros seres queridos.

A nuestros alumnos de Lógica.

INDICE

PRESENTACION, 9

PRIMERA PARTELenguaje y Lógica, 11

1.1 Lenguaje Natural y Lenguaje Simbólico, 131.2 Proposiciones, 16

1.3 Conectivas Lógicas, 201.4 Simbolización, 35

1.5Tablas de Verdad, 42

SEGUNDA PARTEDemostración de Argumentos, 51

2.1 Estructura del Argumento, 552.2 Clasificación de Argumentos, 56

2.3 Métodos de Prueba para la Demostraciónde Argumentos, 61

Explicación y Ejercicios de las Leyes, 64

Leyes de Implicación, 641. Modus Ponendo Ponens, 642. Modus Tollendo Tollens, 693. Modus Tollendo Ponens, 75

4. Silogismo Hipotético, 845. Conjunción, Simplificación, Adición, 86

Leyes de Equivalencia, 941. Doble Negación, 94

2. Conmutación, 953. De Morgan, 95

4. Contraposición, 965. Asociación, 966. Distribución, 97

Otras leyes de Implicación y de Equivalenciaque pueden ser de alguna utilidad, 99

Bibliografía, 117

PRESENT ACION

La mejor de las razones por las cuales se estudia y se vaa la escuela es la de aprender a pensar clara y correcta-mente... y la mejor forma de hacerlo es estudiando el "artede pensar" en sí y por sí mismo, como diría Aristóteles. Tales el fin primordial de este libro: introducir al estudiante demanera sencilla y práctica en el mundo de la Lógica.

El objeto de la Lógica es el estudio de los principios ymétodos para el razonamiento correcto y de la inferenciaválida. La palabra Lógica deriva del griego Logos; este vo-cablo tiene varios significados, siendo el clásico: pensa-miento, idea, espíritu, razón.

La Lógica tiene una historia más de dos veces milenariay su desarrollo ha sido siempre paralelo al de la Ciencia yal de la Filosofía. Numerosos científicos y filósofos han he-cho aportaciones fundamentales para el avance de laLógica. El fundador indiscutible es Aristóteles (siglo IVa.n.e.), quien por primera vez estudió y expuso sistemáti-camente los problemas de la Lógica en su Organon (nom-bre con que se designa a sus seis libros de Lógica).

A fines del siglo XVII, Leibniz estudió los problemas dela Lógica en relación con las matemáticas, aplicando a laLógica el método matemático, e intentando dar a esta cien-cia la estructura de un cálculo matemático, convirtiéndosepor esta razón en el precursor de la Lógica matemática.Cuatro nombres más sobresalen en los orígenes de la Ló-gica matemática, también llamada Moderna, Simbólica oFormal. Ellos son: G. Boole, G. Frege, G. Peano y B. Rus-sell.

Con las aportaciones de los autores anteriores y con elnacimiento del Método Axiomático, surgido de las investi-gaciones matemáticas, a fines del siglo XIX aparece la Ló-gica Matemática como Ciencia. y poco a poco se va

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ampliando, auxiliada por un lenguaje simbólico semejanteal de las mismas matemáticas (de ahí su nombre). Sin em-bargo, la Lógica Matemática no trata de cantidades o denúmeros, sino de procesos deductivos (cálculo) aplicablestanto a las matemáticas como a cualquiera otro terrenocientífico.

Dentro de la Lógica Matemática el nivel básico o ele-mental es el de la Lógica o cálculo proposicional.

A partir de nuestra experiencia docente, de ver y vivir losdistintos problemas a los que se enfrentan los estudiantesde Lógica, por la exigencia de abstracción que requiere lamateria, hemos emprendido la grata tarea de realizar untexto en el cual los contenidos teóricos se presentaran deuna manera simple y concreta, y siempre acompañados deuna gran cantidad de ejercicios.

La primera parte del libro pretende ayudar a los estu-diantes a adquirir la habilidad de analizar la forma lógicade los enunciados del lenguaje cotidiano, utilizando el len-guaje simbólico de la Lógica. Por esta razón el texto se ini-cia con la distinción entre lenguaje natural, cotidiano, ylenguaje simbólico. A partir del análisis de la forma lógica,se determinan las condiciones de verdad de los enuncia-dos: tautología, contradicción o contingencia. Por último,se interpretan distintas formas lógicas (enunciados simbo-lizados) con contenidos concretos.

La segunda parte pretende crear la habilidad para apli-car las técnicas y los métodos de la Lógica Simbólica enla determinación de la corrección o incorrección de los ar-gumentos.

Aspiramos a que nuestros colegas en Preparatorias, Co-legios de Bachilleres y Colegios de Ciencias yHumanidades encuentren, con sus alumnos, un apoyo útilen este libro para su labor y el aprendizaje de la materia,como nosotras lo hemos venido constatando con nuestrosestudiantes mediante preimpresos de este texto.

PRIMERA PARTE

Lenguaje y Lógica

Las Autoras.

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1.1 Lenguaje Naturaly Lenguaje Simbólico

El lenguaje es un medio, un instrumento por el cual se tras-mite información. Los libros, folletos, periódicos, etcétera,son buenos ejemplos del lenguaje escrito utilizado paratrasmitir información.

Sin embargo, no toda la información es trasmitida de es-ta manera, también puede hacerse por medio de señas,gritos, volutas de humo, combinación de colores, etcétera.Pero todo lenguaje, toda comunicación humana, a fin decuentas es un sistema de signos que representan algo, yasea utilizando cada signo individualmente o combinándo-los de alguna manera.

En el lenguaje natural, que aprendemos en forma es-pontánea y empleamos en nuestra vida cotidiana, los sig-nos utilizados son palabras, habladas o escritas, las cualestienen un determinado significado.

Sin embargo, es un hecho que una misma palabra pue-de tener o usarse con dos o más significados distintos, de-pendiendo de las circunstancias (ejemplo "diablito", quese utiliza para nombrar lo mismo a un niño travieso o a cier-to tipo de conexión eléctrica); también es común que doso más palabras tengan el mismo significado o se les utiliceen el mismo sentido (ejemplo "alumno" y "estudiante").Gracias a estas imprecisiones del lenguaje natural se pro-ducen muchos chistes (sobre todo los de doble sentido) ymuchas expresiones cómicas. Pero también se originanconfusiones y errores, que si bien en la vida diaria no esdel todo necesario evitar, en algunas actividades, como lacientífica, sí es preciso eliminar en lo posible. Es por elloque en las ciencias nos encontramos un lenguaje preciso.técnico y lleno de símbolos que son signos de signos, esdecir, signos elegidos cuidadosa y concientemente pararepresentar a otros signos.

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Por ser producto de una elección, los símbolos tienencarácter convencional, pero dentro de un lenguaje determi-nado poseen siempre el mismo significado, sin que varíede acuerdo con las circunstancias; por ejemplo, dentro dellenguaje de la geometría plana, el símbolo "71"" significa larelación cuantitativa que existe entre el diámetro y la cir-cunferencia de. un círculo cualquiera (3.1416). El símbolopuede variar de significado, pero no dentro del mismo len-guaje.

Existen varios lenguajes, tantos como ciencias particu-lares, entre los más conocidos están el de lasmatemáticas, el de la química y el de la lógica, que es elque vamos a examinar enseguida.

Si en la luna hay vida, entonces en la luna hay agua.No ocurre que en la luna hay vida.Luego, no es cierto que en la luna hay agua.

Ejemplos de Lenguaje Natural y Lenguaje Simbólico.

Lenguaje Natural:

- Amor es el pan de la vida.- El verde es vida.- El único ser pensante es el hombre.- La justicia es un don divino.- Los atardeceres son tristes.

Lenguaje Simbólico:Simbolización del Lenguaje Lógico

- C2 = a2 + b2 Teorema de Pitágoras (matemáticas)

Al simbolizar un lenguaje lo que se persigue es, básica-mente, sencillez, claridad y exactitud.

Es más sencillo y también resulta más claro y exacto re-presentar las cosas por medio de símbolos. Por ello, la sim-bolización del lenguaje lógico nos permite examinar másfácilmente las formas del pensamiento y sus leyes, las cua-les debemos seguir si queremos que nuestro pensamientosea correcto.

En la lógica proposicional se·examinan las posibles rela-ciones entre proposiciones, sin atender a su contenido. Poresto, es importante la utilización de un lenguaje simbólico,puesto que así se puede hacer abstracción del contenido,atendiendo sólo a la forma. Así por ejemplo, es más fácildeterminar la verdad o falsedad de una proposición com-pleja, o la corrección o incorrección de un argumento. Véa-se un ejemplo: El siguiente argumento, por su contenidoparece correcto, pero si se atiende sólo a su forma se veráque es incorrecto (el tema de la corrección de argumentosse estudiará en la Segunda Parte).

- A = b h2

Fórmula para hallar el área de untriángulo (matemáticas)

Fórmula para hallar el área deun cuadrado (matemáticas)

- H2 O Componentes del agua (química)

- F = ma Fuerza igual a masa por aceleración (flsica)

- [ ( p ... q) A P ] - q La proposición simbolizada expresaque la conjunción de dos enunciados esverdadera solamente cuando ambas sonverdaderas (lógica).

14 15

1.2 Proposiciones - La economía es una ciencia formal. (falso)- México esta saliendo de la crisis. (falso)

Los pensamientos son producto de una actividad mental,y como hemos visto, necesitan ser comunicados para po-derlos examinar.

Las proposiciones son pensamientos en los que se afir-ma algo acerca de un objeto y se distinguen de cualquierotro enunciado precisamente porque son los únicos quepueden ser falsos o verdaderos.

Los demás enunciados (oraciones) no pueden ser ni ver-daderos ni falsos, son en todo caso justos o injustos, ade-cuados o absurdos, sinceros o fingidos, etcétera.

Proposiciones Simples y Compuestas.

¡Qué susto! Esta oración es de tipo exclamativo ysólo expresa la emoción de un sujetoy no es ni falsa ni verdadera.

Hemos de distinguir además, que las proposicionespueden ser de dos tipos: Simples (atómicas) o Compues-tas (moleculares).

Las proposiciones Simples o Atómicas son aquellas enque no es posible distinguir a otras proposiciones comosus componentes o dicho de otra manera, carecen de tér-minos de enlace (exceptuando la negación).

En cambio, las proposiciones Compuestas oMoleculares son aquellas en las que sí se encuentran doso más proposiciones como sus componentes, es decir,contienen términos de enlace.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos:

¿Cuándo nacióEmiliano Zapata?

Este enunciado es de tipo Interrogati-vo, es una pregunta y las preguntasno son falsas ni verdaderas, sólo loson las respuestas.

¡No contamines! Esta, en cambio, es de tipo imperati-vo; expresa una orden, un mandato,el cual tampoco es falso o verdadero.

Así pues, los únicos enunciados que son falsos o verda-deros son los Declarativos, por que sólo ellos afirman oniegan (sin que identifiquemos verdad con afirmación y fal-sedad con negación, como se verá más adelante).

Proposiciones atómicas

- El petróleo es un hidrocarburo.- Terranova es una isla.- La lógica es una ciencia.- Terranova se encuentra en América.- Los soles son estrellas que brillan con luz propia.

Ejemplos:

Proposiciones Moleculares

- La lógica es una ciencia formal y se aplica en todas lasciencias.

- O el petroleo es un hidrocarburo o el petroleo es alcalino.- Nuestro sol es una estrella si y sólo si brilla con luz

propia.- No es cierto que: Terranova no se encuentra en Amé-

rica.- El ácido sulfúrico corroe la madera. (verdadera)- El año de 1968 es bisiesto. (verdadera)

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_ Si México posee mucho petróleo entonces podrá pagarsu deuda.

escribe una A o una M si la proposición es atómica o mole-cular, y encierra en un círculo las palabras que sirven deenlace.

Ejercicio No. 1

17. Todo es fácil.18. Una de las siete maravillas del mundo.19. La ciudad más grande del país más grande delcontinente más grande.20. 2 = 2

1. La botánica no es una rama de la geología.2. Estudiaré con ahínco o no aprenderé.3. Si agregamos la sustancia X al compuesto Y entonceshará una reacción Z.4. Acapulco es el puerto más bonito que se encuentra en

el Estado más bonito del país más bonito.5. No ocurre que: el neón no sea un gas.6. Los alumnos mayores están en la lista antes que los

jóvenes.7. Si hay fallas en las grandes masas rocosas entonces

es posible que ocurran terremotos.8. El viento sopla muy fuerte.9. Raíz cuadrada de 64 es 8.

10. 10 es un número par.11. La figura X es un triángulo equilátero si y sólo si tiene3 lados iguales.12. Tenemos edad para votar si y sólo si tenemos cuandomenos 18 años.13. No es verdad que la primavera no sea una estación delaño.14. Este no es un ejercicio.15. El día que todos seamos responsables d(~ nosotrosmismos, ese día será de paz.16. Alberto y Roberto son amigos.17. Luisa y María son compañeras de la escuela de cantoy baile.18. Si un individuo es libre y conciente entonces es respon-sable19. Elegimos por nosotros mismos u otros lo harán.20. Si sabemos abstraer entonces podremos resolver.

Instrucciones: Identifica los enunciados que sí son pro-posiciones anotando'a su margen derecho una P e indicasi es verdadero o falso. Si no son proposiciones anota NP.

1. La Independencia de México ocurrió en el siglo XII.2. Prohibido comer palomitas en la clase.3. iCómo me gusta la lógica!4. ¿Cuál es el número atómico del sodio?5. ¿Por qué hace mucho frío?6. Las ciencias naturales emplean el método experimental.7. Los gases no tienen forma.8. La tierra es el planeta más grande del sistema solar.9. La primavera es una estación muy lluviosa.

10. Las margaritas que se doblan al soplar el viento ...11. iEs sensacional, pero...!12. ¿Qué es la libertad?13. y cuando pase el tiempo ...14. "En torno a la función de la lógica en la investigación"15. El hombre que fue el primer presidente de México.16. Afrodita es el nombre de una diosa de la mitología griega

Ejercicio No. 2

Instrucciones: Al margen derecho de cada proposición

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1.3 Conectivas Lógicas. Ejemplos:

Como hemos visto, en las proposiciones moleculares exis-ten palabras que por muy cortas que sean, realizan unafunción muy importante; ésta es la de enlazar, conectarur,as proposiciones con otras. De acuerdo a la función querealizan reciben el nombre de conectivas lógicas (porqueconectan) o términos de enlace (porque enlazan).

Los términos de enlace son las palabras: y, o, si. ..entonces, si y sólo si, no. Las cuatro primeras sirven paraenlazar las proposiciones atómicas, mientras que el térmi-no no no conecta realmente las proposiciones, sino queactúa sobre una sola de ellas.

1. Los planetas de nuestro sistema solar giran alrededordel sol. (Este enunciado es verdadero, y al negarse ... )Los planetas de nuestro sistema solar no giran alrededordel sol. (...se convierte en falso)

2. Emiliano Zapata participó en la revolución rusa de1917. (Este enunciado es falso, y al negarse ... ) EmilianoZapata no participó en la revolución rusa de 1917. (...seconvierte en verdadero.)

Ejemplos:

Nota: Es importante observar que la negación de unenunciado no tiene que ver necesariamente con su false-dad; es decir, un enunciado negado puede ser falso o pue-de ser verdadero; aSI como un enunciado afirmativotambién puede ser falso o verdadero.

1. No es cierto que, el agua es un elemento.2. La ballena es un pez o la ballena es un mamífero.3. El cuarzo es una piedra ígnea y es valioso.4. Si estudio lógica entonces entenderé mejor a las

matemáticas.5. Podré ingresar a la universidad si y sólo si apruebo

el bachillerato.

Ejercicio No. 3

Instrucciones: Al margen derecho de cada una de las si-guientes proposiciones anota una V si es verdadera o unaF si es falsa.

Negación:1. Veracruz es un estado que cuenta con mu-

chos recursos naturales.2. Alaska pertenece a la Unión Soviética.3. Cuba no se inscribió para las olimpiadas

de Seúl.4. Todos los trabajadores mexicanos cuen-

tan con suficientes servicios de salud.5. Júpiter es el planeta más cercano al sol. _

La negación es un conectivo lógico, diferente a losdemás, en tanto que es el único que no conecta proposicio-nes, sino que se refiere a una sola proposición. En el len-guaje natural se expresa mediante los siguientes términos:"no", "no es cierto que", "no ocurre que", "no es el casoque", "no sucede que". Su función es la de cambiar el va-lor de verdad de una proposición; así un enunciado verda-dero al ser negado se convierte en falso y un enunciadofalso al negarse se convierte en verdadero.

Instrucciones: Niega ahora los enunciados anteriores yanota al margen derecho su respectivo valor de verdad.

2021

Conjunción:

La conjunción es un término de enlace que, como sunombre lo indica, conjunta, une a dos proposiciones utili-zando el lenguaje natural. Los siguientes términos de ex-presión: y, pero, aunque, además.

La regla de la conjunción indica que su verdad dependede la verdad de sus dos enunciados. Es decir, la conjun-ción es verdadera sólo si ambos enunciados son verdade-ros y es falsa cuando al menos uno de los enunciados esfalso o cuando ambos son falsos.

Ejemplos:

1. 4 en un número par y es submúltiplo de 20 = Verd.

2. Guadalupe Victoria fue el primer presidente de MéxicoVerdadero

y nació en Ejidos del Moral = Falso.Falso

Nota: La y tiene función de conectiva lógica sólo cuandoenlaza proposiciones, pero... no cuando enlaza conceptos.Ejemplo: Juan y María se aman.

(Aquí la y no tiene función de conjunción).

Ejercicio No. 4

Instrucciones: Anota debajo de cada proposición atómi-ca su valor (verdadera o falsa) y al margen derecho el valorque resulta de la conjunción.

1. El ángulo recto mide más de 90°,

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y el ángulo obtuso mide más de 180.

2. Lógica se estudia en segundo semestre

y Matemáticas I se estudia en sexto semestre.

3. La Lógica es una ciencia formal

y la Antropología es una ciencia social.

4. El cuadrado ·es un polígono y es regular

5. El delfín es un mamífero y la ballena es anfibio.

Disyunción.

La disyunción es un conectivo lógico que tiene comofunción expresar una disyuntiva, una alternativa entre dosenunciados. Existen dos tipos de disyunción: una inclusivay otra exclusiva.

Disyunción Inclusiva.

Se llama así porque incluye, admite la posibilidad deque sus enunciados sean al mismo tiempo verdaderos; enel lenguaje natural se expresa con el término o. Su reglaindica que es verdadera si cuando menos uno de sus enun-ciados es verdadero y es falsa sólo cuando sus dos enun-ciados son falsos.

Ejemplos:

1. Cervantes escribio El Quijote de la ManchaVerdadero

o nació en Ejidos del Moral = VerdaderoFalso

2. Marx fue un economista o Marx fue un filósofo = V.Verdadero Verdadero

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3. La luna es un planeta o Neptuno es una estrella = F.Falso Falso

Disyunción Exclusiva.

1. Los hongos son comestibles los hongos son aluci-nantes.2. Las cicadáceas son plantas masculinas las cica-

dáceas son plantas femeninas.3. Los helechos se reproducen por medio de esporas

las algas se reproducen en la tierra.4. Se es pagano se es cristiano.5. David es viudo David es enamorado.

Se llama así porque excluye, no admite la posibilidad deque sus dos enunciados sean al mismo tiempo verdaderoso al mismo tiempo falsos; en el lenguaje natural se distin-gue de la disyunción inclusiva expresándose con los térmi-nos o ... o (escribiéndose una "o" antes de la primeraproposición y otra enmedio de dos proposiciones). Su reglaindica que es verdadera sólo cuando sus enunciados tie-nen diferente valor de verdad, si ambos son verdaderos oambos son falsos entonces la disyunción exclusiva es falsa.

Ejemplos:

Ejercicio No. 6

Instrucciones: Anota el valor de verdad de cada una delas proposiciones simples e identifica el valor de la disyun-ción.

1. O Cuba es una islaVerdadero

o se encuentra en el continente europeo = Verdadero.Falso

2. O Veracruz es un EstadoVerdadero

o se encuentra en la República Mexicana = FalsoVerdadero .

3. O la historia es parte de las matemáticasFalso

o las matemáticas son parte de la historia = FalsoFalso

1. Los haliplancton son organismos que viven en aguassaladas o el limnoplancton vive en aguas dulces.2. El tabaco daña la salud o el alcohol dana la salud.3. O mercurio es una estrella o la luna brilla con luz propia.4. O la Revolución Rusa fue en 1917 o la Revolución Mexi-cana fue en este siglo.5. Los hongos son verdes o realizan la fotosíntesis.

Condicional

Ejercicio No. 5El condicional es un conectivo lógico que tiene como

función expresar la condición que existe entre dos enun-ciados; también se le llama implicación. En el lenguaje na-tural se expresa con los terminos: si... entonces.

Sin embargo algunas ~tras expresiones idiomáticasespañolas tienen aproximadamente el mismo significado,tales como:

Instrucciones: De cada uno de los siguientes pares deenunciados forma disyunciones y de acuerdo al sentido desu relación determina si debe ser inclusiva o exclusiva, es-cribiendo "o", "o ...0 ... " según sea el caso.

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" si. .."" siempre que ... "" es condición suficiente de "" es condición necesaria de "

- Si Atenas se encuentra en Grecia entoncesCondición suficiente

se en cuentra al Sur de Europa.

En el siguiente ejemplo se puede observar que estas ex-presiones son equivalentes:

Se llama condición necesaria al enunciado que resultanecesariamente de otro enunciado; como es consecuencia(necesaria) se le llama también consecuente.

Si circulan más de un millón de autos en la ciudad deMéxico entonces hay contaminación.

Este enunciado puede formularse de la siquiente mane-ra:

Para que se afirme que en la ciudad de México hay con-taminación, es suficiente saber que circulan más de un mi-llón de autos.

O:Es necesario afirmar que hay contaminación en la ciu-

dad de México si circulan más de un millón de autos.

Ejemplos:

- Si llueve entonces (necesariamente) se moja el pastoCondición necesaria

o Consecuente

De esto concluimos que el antecedente de un enuncia-do condicional es condición suficiente para el conse-cuente; y a su vez, el consecuente del enunciado escondición necesaria del antecedente. Es decir, existendos tipos de condición: una suficiente y otra necesaria.

Se llama condición suficiente al enunciado que permiteinferir otro enunciado, dicho de otra manera, su formula-ción es "suficiente", basta para que se formule el otro, co-mo se enuncia antecediendo al condicional se le llamatambién antecedente.

Como observamos en los ejemplos anteriores, el condi-cional es el único conectivo cuyas proposiciones compo-nentes reciben cada una un nombre específico: Elantecedente es su condición suficiente. En este caso, lacausa sí se identifica con la condición, pero con la condi-ción suficiente, no con cualquier condición. La condiciónnecesaria nunca es causa de un enunciado, sino su con-secuencia.

Ejemplo:

1. Si el agua hierve a 100°c. entonces se evapora.Antecedente Consecuente

Ejemplos:

(Como se observa en el ejemplo, el antecedente es preci-samente la causa del consecuente y éste es resultado delantecedente).

- Si 2 + 2 = 4 entonces 4 > 2Condición Suficiente

o Antecedente

Regla del Condicional: El condicional es verdadero entodos los casos, menos cuando el antecedente es verdade-ro y el consecuente es falso; dicho de otra manera, puededarse el caso de que ambos enunciados sean verdaderos

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o ambos sean falsos o incluso que el antecedente sea falsoy el consecuente verdadero; pero el condicional no es ver-dadero si su antecedente es verdadero y su consecuentees falso.Ejemplos:

1. Si Cuba es socialista entoncesAntecedente Verdadero

pertenece a los países no alineados = VerdaderoConsecuente Verdadero

2. Si los nacidos en Iztapalapa son marcianos entoncesAntecedente Falso

son de color verde = VerdaderoConsecuente Falso3. Si México es un país imperialista entonces

Antecedente Falsoes capitalista = VerdaderoConsecuente Verdadero4. Si la ballena vive en el agua entonces

Antecedente Verdaderoes un pez = FalsoConsecuente Falso5. Si Sócrates fue un moralista entonces

Antecedente verdaderofue canonizado = FalsoConsecuente falso

2. Los jóvenes tienen 18 años tienen edad paravotar.3. 64 es mayor que 8 raíz cuadrada de 64 es 8.4. En la ciudad de México transitan 8 millones de automó-viles en la ciudad de México hay contamina-ción.5. Hay buena cosecha hay buena siembra.

Ejercicio No. 8

Intrucciones: A los siguientes enunciados dales la formade un condicional y subraya la condición suficiente.

1. Los mexicanos tienen libertad de elegir a sus gobernan-tes México es un país democrático.2. La lógica es la ciencia que estudia la corrección del pen-samiento la lógica es de gran utilidad.3. Aprobaré el curso con notas excelentes es-

tudio con ahinco.4. Platón es antecedente de Aristóteles Sócra-tes es antecedente de Aristóteles.5. Plácido Domingo sabe italiano Plácido Do-

mingo canta opera.

Ejercicio No. 7 Ejercicio No. 9

Instrucciones: A los siguientes pares de enunciados da-les la forma lógica de un condicional y subraya el antece-dente.

Instrucciones: Anota el valor de verdad a cada proposi·ción simple e identifica el valor del condicional.

1. El cuerpo transpiraratura.

el cuerpo baja su tempe-1. Si el Río Balsas se encuentra en Guerrero

entonces desemboca en el Pacífico.2. Si el PRI ha gobernado al país por más de 50 años

2829

entonces es el único partido que existe.3. Si España es un país republicano

entonces no hay reyes.4. Si Bangladesh se encuentra en América

entonces se encuentra en Oriente.5. Si Mexicana de Aviación vuela a Rusia

entonces Aeroméxico vuela a Europa.

Bicondicional

Es el término de enlace que se expresa mediante las pa-labras: si y sólo si, que indican una recíproca relación condi-cional entre dos proposiciones; es decir, cada enunciadoes al mismo tiempo condición suficiente y condición nece-saria del otro.Ejemplo:

México es un país subdesarrollado si y sólo si es un paísdel tercer mundo.

La proposición" México es un país subdesarrollado" escondición suficiente para enunciar que "es un país del ter-cer mundo". y la proposición "México es un país del tercermundo" también es condición suficiente para afirmar que"es un país subdesarrollado".

La proposición "México es un país subdesarrollado" esconsecuencia (condición necesaria) de la proposición "esun país del tercer mundo". De igual manera la proposición"México es un país del tercer mundo" también es conse-cuencia necesaria de la proposición "es un país subdesa-rrollado" .

Aquí pues, es necesario observar que en la relación con-dicionallas proposiciones son condición suficiente o condi-ción necesaria, pero en la relación, bicondicional ambas

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proposiciones son al mismo tiempo condición suficiente ycondición necesaria; esto nos impide hablar de anteceden-te y consecuente en el bicondicional puesto que los enun-ciados son equivalentes, por esto mismo al bicondicionaltambién se le llama Equivalencia.

La regla del bicondicional dice que "una proposición bi-condicional es verdadera, si y sólo si sus dos miembrosson ambos verdaderos o ambos falsos, es decir, cuandosus dos componentes tienen el mismo valor de verdad".Ejemplos:

Dos ángulos de un triángulo son iguales si y sólo siVerdadero

los lados opuestos a esos ángulos son iguales = Verd.Verdadero

La miel es amarga si y sólo siFalso

no es dulce = VerdaderoFalso

El Sol es un astro si y sólo siVerdadero

gira alrededor de la Tierra = FalsoFalso

La Luna es un planeta si y sólo siFalso

es un cuerpo opaco = FalsoVerdadero

Ejercicio No. 10

Instrucciones: Lee cuidadosamente las proposIcionesde la columna "A" e identifica su proposición equivalenteen la columna "B" y escribe su forma lógica (bicondicio-nal).

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"A" HB"1. Hoyes sábado2. El trigo es una monocoti-ledónea3; Los alumnos aprueban

Métodos de Investigación4. Un triángulo es rectán-

gulo5. X2 = 4

1. X = 22. Los alumnos tienen un

promedio mínimo de 63. Ayer fue viernes

4. La semilla de trigo tieneun solo cotiledón5. El ángulo mayor mide

90°.

Ejercicio No. 11

Instrucciones: identifica el valor de cada una de las pro-posiciones simples y anota el valor del bicondicional.

1. Sócrates fue maestro de Platón si y sólo si vivió en Gre-cia.2. Lázaro Cárdenas fue presidente de México si y sólo si

ahora es candidato a la presidencia de la República.3. La lechuga es un cereal si y sólo si se utiliza para ensa-

ladas.4. Los cigarros no son nocivos para la salud si y sólo si na-die los fuma.5. La gente conciente reacciona en contra del proyecto

de Laguna Verde si y sólo es obsoleto y causa trastornosecológicos.

Ejercicio No. 12

Instrucciones: Identifica que tipo de relación tienen lassiguientes proposiciones moleculares, anotando al margenderecho el nombre de su conectivo.

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1. Los patitos no se transforman en cisnes.2. Si hace mucho frío entonces habrá inversión térmica.3. Pegaso es un caballo alado y forma parte de la mitologíagriega.4. La música es una manifestación artística o Mozart no

fué artista.5. Las matemáticas no son difíciles.6. Si el camarón se duerme, entonces se lo lleva la corrien-te.7. O X es mayor que dos o es menor que dos.8. El agua es un compuesto si y sólo si tiene cuando me-

nos dos elementos.9. Febrero es loco y Marzo es otro poco.10. Utilizamos bien el lenguaje o nos expresamos incorrec-tamente.

Ejercicio No. 13

Instrucciones: Identifica el valor de verdad de cada unade las proposiciones atómicas y anota al margen derechoel valor del conectivo.

1. Si el condicional es un conectivo entonces enlaza pro-posiciones.2. Esta proposición es verdadera si y sólo si es bicondicio-nal.3. En el desierto crecen los cactus o el jardín del plantel

tiene cactus.4. Hoyes domingo y hay clases.5. O Mozart nació en el siglo XVIII o fue maestro de Betho-

veen.6. No es cierto que Fidias construyó el Partenón de Durazoy es griego.7. El Colegio de Bachilleres pertenece a la Universidad si

y sólo si es descentralizado del Estado.

33

8. O el quarzo es un metal o no es un gas.9. Si el hombre es libre entonces de ninguna forma es de-

terminado.10. No es cierto que, los patos no sean plantígrados.

34

1.4 Simbolización.

La lógica al igual que las otras ciencias requiere de un len-guaje exacto, es decir, un lenguaje simbólico.

Para utilizar correctamente el lenguaje simbólico de lalógica es necesario redactar un conjunto de reglas que se-an perfectamente claras y definidas y que estén libres devariedades que puedan hallarse en nuestro lenguaje co-rriente.

Las reglas que se emplearán en este texto son las si-guientes:1. Las proposiciones atómicas se simbolizan con las letrasminúsculas (proposicionales): p, q, r, s, t.

Ejemplos:

- La rosa es una flor: p- El mercurio es un metal: q- El arsénico es mortal: s

2. Los conecctivos lógicos se simbolizan de la siguientemanera:

Nombre Término de expresión Símbolo

Negación "no" - , -Conjunción "y" A, ., &Disyunción exclusiva "o': . ."01

' V-=---Disyunción inclusiva ~o ..." VCondicionalo Implicación "si. .. entonces ..." j-t>, :)

Bicondicionalo Equivalencia \ "si y sólo si" <=;1-

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Ejemplos de simbolización:

- No es cierto que México sea una isla : - t- Tengo mi Antología y hago mis ejercicios: r A s- Estudio guitarra o estudio violín : p v q- Si quiero triunfar en la vida entonces debo esforzarme:

p - e- 7 - 2 = 5 si y sólo si 5 + 2 = 7 : t~q

Observaciones:a) Por cada proposición simple se utilizará una letra dife-

rente.b) El símbolo de la negación se escribe siempre a la iz-

quierda de la proposición negada, ya sea ésta simple ocompuesta.

c) Los demás símbolos de los conectivos (A, V, V, -'1>,)siempre se escriben entre las letras que representan a lasproposiciones relacionadas.

Ejercicio No. 14

Instrucciones: Simboliza cada una de las proposicionesdel ejercicio 13.

3. Agrupación de proposiciones moleculares.

Así como en la escritura del lenguaje natural usamossignos de puntuación (, ; . : etcétera) con los cuales indica-mos pausas y entonación, de igual manera en el lenguajesimbólico de la lógica empleamos algunos signos que sellaman signos de agrupación, a saber:

Los paréntesis ( )Los corchetes [ ]Las llaves { }

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Ejemplos:

- s(P A q)[(r v s) - rJ{ q - [(P v q) A r]}(P - q)[(s ~ t) v - (r A q)]{[(s v - s) - r] ~ [(t v - t) - s ] }

Nota: Los signos de puntuación nos orientan para la uti-lización de los signos de agrupación, así generalmente:

La "," nos indica que debemos de utilizar ( )El ";" nos indica que debemos utilizar [ ]El "." nos indica que debemos utilizar { }

Sin embargo, debemos atender cuidadosamente a la je-rarquización de los signos de puntuación que aparezcan,ir de lo simple a lo complejo:

. y seguido

. y aparte

Ejemplos de simbolización de enunciados:

1. Júpiter tiene 9 satélites. r2. La fórmula del potasio no es p. - q3. Miguel Angel es pintor y Fidias es escultor. ( r A s )4. Si pierdes el autobús entonces, tendrás que caminar y

no llegarás a tiempo a tu clase. [p - ( q A - r ) ]5. O el delfín es un pez o es cetáceo, si y sólo si, si es ma-mífero entonces tiene respiración pulmonar.

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[ ( t V q ) ~ ( s - p )]6. Platón fue griego y también fue filósofo, y si fue filósofo

entonces fue científico; si y sólo si fue maestro de Aristóte-les. {[ ( P A q ) A ( q - r) ] ~ s }7. Dos es un número par y es submúltiplo de diez, o diez

es submúltiplo de cien; entonces, si diez es submúltiplo decien entonces también es submúltiplo de mil.[(pAq)Vr]-(r-T)8. No ocurre que: no es cierto que: los batracios respiran

a través de la piel y no sufren metamorfosis entonces, lospeces no tienen respiración bronquial o son vertebrados; siy sólo si, o los batracios no respiran a través de la piel olos peces viven en el agua, o los peces tienen respiraciónbronquial y no son vertebrados.{- [- (sA - r)-( - pVt)]~[( - sVq)V(p

A-t)]}9. Mozart no compuso las Cuatro Estaciones o Hyden fue

el padre de la Sinfonía entonces no ocurre que, Verdi com-puso La Polonesa y Chopin compuso la 21 Opertura parapiano y orquesta; entonces Verdi compuso las Cuatro Esta-ciones si y sólo si Mozart compuso la 21 Opertura para pia-no y orquesta. {[ ( - s V t) - - ( r A q ) ] - ( p ~ q ) }

Así como podemos simbolizar cualquier enunciado dellenguaje natural, también podemos interpretar o traducir allenguaje natural cualquier enunciado simbolizado. Es de-cir, de cualquier enunciado podemos eliminar su contenidoy abstraer únicamente su forma (simbolizándolo). y a cual-quier forma lógica, a cualquier enunciado simbolizado sele puede asignar o dar un contenido (traduciéndolo al len-guaje natural).

Ejemplos:

1. s Puede traducirse como: "El ro-

38

cío de la mañana humedece lasplantas" .

2. ( r - q ) Si estudio con ahínco entoncesseré mejor cada día.

3. [ - (t A - q) - - T] No es cierto que, estemos devacaciones y no vayamos a laescuela, entonces no estamosde vacaciones.

4. [ ( s V p ) A ( r - t )] Las matemáticas son cienciasformales o utilizarían como mé-todo la experimentación. y si laética estudia la conducta nor-mal entonces es una disciplinafilosófica.

5. {q - [ s V ( r A p )J} Si Pericles fue un buen gober-nante entonces, fue filósofo o,fue amigo de Sócrates y fomen-tó el desarrollo de las artes.

Ejercicio NO.15

Instrucciones: De acuerdo a los criterios anteriormente se-ñalados, simboliza los siguientes enunciados:

1. O la catedral de Notre Dame es de estilogótico o, es de estilo churrigueresco y no seconstruyó en el siglo XII.2. No ocurre que: la mañana sea lluviosa y

el pasto no esté mojado, si y sólo si las mar-garitas no son flores y las rosas no tienen es-pinas.3. Si esta planta no crece, entonces necesitamás agua o necesita mejor abono.4. 82 = 64 si y sólo si la raíz cuadrada de 64

es 8.

39

5. Si se conoce el período del movimiento dela luna y se sabe la distancia de la tierra a laluna, entonces se puede calcular la acelera-ción centrípeta de la luna.6. Kant escribio la Crítica de la razón pura y

escribio la Fundamentación de la Metafísicade las costumbres si y solo si; fue filósofo, yle tnteresó el conocimiento y fue moralista.7. Hacemos los ejercicios y aprendemos.8. No todas las regiones de Africa tienen un

clima cálido y húmedo, y no toda el Africaecuatorial es una tierra de vegetación espesay exhuberante.9. Estos problemas no son fáciles para rní.

10. Si Pericles fue un gran gobernante enton-ces, favoreció la obra de Fidias y a él se debeque Grecia haya tenido un gran esplendor enel arte; si y sólo si aún podemos admirar laAcrópolis Ateniense.11. Si apruebo todas las materias del Bachi-llerato y tengo promedio de 8, entonces po-dré ingresar a la Universidad. O si noapruebo todas las materias ni alcanzo prome-dio de 8, entonces tendré que ponerme a tra-bajar.12. Si los líquidos se calientan entonces setransforman en vapor; y si el alcohol etílico secalienta entonces se transforma en vapor.13. Las ciencias factuales emplean el Métodoexperimental y las ciencias formales utilizanel Método demostrativo; entonces, si la físicaes una ciencia factual entonces emplea elMétodo experimental, y si la lógica es unaciencia formal entonces no ocurre que lasciencias factuales no empleen el Método ex-perimental.

14. Si la luz fuera simplemente un movimien-to ondulatorio contínuo entonces la luz másbrillante daría lugar siempre a una emisión deelectrones con mayor energía que los origina-dos por la luz más tenue, pero la luz más bri-llante no siempre emite electrones con mayorenergía que los originados por la luz más te-nue; entonces, la luz no es simplemente unmovimiento ondulatorio contínuo.15. Traducir enunciados al lenguaje naturalno es difícil y podemos demostrarlo en el pró-ximo ejercicio.

Ejercicio No. 16

Instrucciones: Traduce al lenguaje natural cada uno delos siguientes enunciados:

1. - (pAq)

2. [ - P /\ ( s V t ) ]

3. [ s ~ ( q V t) ]4. (- s V - t )

5. [ - ( P /\ q ) ~ ( - p V - q ) ]6. [ ( t V q ) ~ ( r /\ q )]7. [ r - ( s A - t ) ]

8. ( P V - P )9. - - ( s ~ s)

10. {(q-p)~[q-+(pAp)]}

11. {[(pVq)Ap]-+ - q}12. [ ( P -+ q ) /\ ( q -+ q ) ]

13. {[ ( - P /\ q ) V ( r - s ) ] ~ ( p '!.. s ) }14. {[ ( p -+ q ) /\ ( q - - s ) ] -+ ( p -+ - s ) }15. [(p-+q)~(p/\ - q)]

4041

1.5 Tablas de VerdadDisyunción exclusiva: pq p V q-ITv v

v f vf v vf f f

Condicional: pq p-q

v v I vv ff v

Iv

f f v

Bicondicional: pq p~q

v v vv f ff v ff f v

En el punto 1.3 se analizó los nombres, las funciones y lasreglas de los conectivos empleando siempre el lenguajenatural. En el lenguaje simbólico de la lógica existen gráfi-cas que nos permiten visualizar las reglas de los conecti-vos combinando los posibles valores de verdad quepueden tener los enunciados atómicos que constituyenenunciados moleculares; por tal razón, estas gráficas reci-ben el nombre de Tablas de Verdad.

A continuación se observará la tabla de verdad de cadauno de los conectivos y se comprobará que ésta, efectiva-mente, expresa gráficamente la regla de dicho conectivo.

Negación: p - p

~f v

Conjunción: pq p t\ q

vv vv f ff v ff f f

Disyunción inclusiva: pq p V q

v v vv f vf v vf f f

Recuérdese que cada proposición simple tiene dos posi-bilidades: ser falsa o ser verdadera, pero en la medida enque se combinan o enlazan proposiciones, es decir, en lamedida que se forman enunciados compuestos complejos,la combinación de sus valores se va haciendo a su vezcompleja.

Las mismas tablas de verdad nos muestran cómo dosproposiciones enlazadas tienen cuatro posibles combina-ciones de sus valores. ¿Qué hacer, entonces, para sabercuántas posibles combinaciones de valores tienen enun-ciados más complejos?

Para conocer el número de combinaciones aplicamos lafórmula 2n.

Donde "2" significa las dos posibles combinacionesque cada proposición tiene y "n" el número de proposicio-nes diferentes que contiene el enunciado compuesto.

42 43

Ejemplos: p q r [ ( p A q ) V ( r - q ) ] 2n = 23 =v v v

8 Combinaciones.v f vv f vv f ff v vf v ff f vf f f

s t q t [( s V t ) - ( q V r )] 2n = 24 = 16 combinaciones.

v v v vv v v fv v f vv v f fv f v vv f v fv f f vv f f ff v v vf v v ff v f vf v f ff f v vf f v ff f f vf f f f

( P 1\ q ) -+ r Como hay tres proposiciones ( p, q, r) sustitui-mos la "n" de la fórmula por 3 quedando de la siguientemanera: 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Significa que el enunciado tiene 8 posibles combinacio-nes de valores.

{ r -+ [ ( r V s ) ~ ( t 1\ q ) J} Como hay cuatro proposicio-nes ( r, s, t, q ) sustituimos la "n" de la fórmula por 4 que-dando de la siguiente manera:

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16Significa que el enunciado tiene 16 posibles combina-

ciones de valores.

La mejor forma para no equivocarse en la realización dela tabla de verdad de un enunciado complejo, es seguir lossiguientes pasos:

1° Identificamos cuántas letras proposicionales diferentescontiene el enunciado.2° Aplicamos la fórmula 2n.3° Hacemos un eje en el cual anotamos el enunciado ya

su izquierda sus letras. *

4° Debajo de cada una de las letras de la izquierda escribi-mos su respectiva columna de valores. Empezando por lacolumna de la derecha anotamos una V y una F hasta com-pletar el número de renglones (combinaciones).

La siguiente columna se forma escribiendo dos veces Vy dos veces F hasta llenar los renglones, así sucesivamen-te se duplican las V y las F en las columnas restantes.

Ejemplos: 5° Se copian los valores que corresponden a cada letra,invirtiéndolas solamente cuando aparece una negación an-tecediendo inmediatamente a la letra. Cuando apareceuna negación fuera de un paréntesis o de un corchete no* (en el mismo orden en que aparecen en la proposición)

44 45

se cambian los valores de la letra, sino que se cambia el 4° P r sresultado de la operación correspondiente. v v v6° Se aplican las reglas de los conectivos (tablas de ver- v v f

dad) empezando por los paréntesis, después localizando el v f vconectivo principal de un corchete, etcétera. v f f7° Al terminar toda la tabla de verdad del enunciado se f v v

marca la columna del conectivo principal, el cual es el últi- f v fmo conectivo en ser calculado. f f v8° Se anota el tipo de enunciado que es. f f f

De acuerdo a los valores que aparecen en la columna 5° P r s [p-+(- rVs)]del conectivo principal, los enunciados reciben el nombre v v v v f vde: Tautología, Contradicción o Contingencia. v v f v f f

Un enunciado es Tautológico cuando los valores de la v f v v v vcolumna del conectivo principal son todos verdaderos. v f f v v f

Un enunciado es Contingente cuando los valores de la f v v f f vcolumna del conectivo principal algunos son verdaderos y f v f f f fotros falsos. f f v f v v

y un enunciado es Contradictorio cuando los valores f f f f v fque aparecen en la columna del conectivo principal son to-dos falsos.Ejemplo: 6° p r s [p-+(- rVs)]

v v v v f v v

p-( - rVs)v v f v f f fv f v v v v v

1° El enunciado contiene tres letras: p, r, sv f f v v v f

2° 2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8 combinaciones.f v v f f v v

3° p r s [p-( - rVs)]f v f f f f ff f v f v v vf f f f v v f

LJU

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7° P r s [p - (- r V s ) ] Ejercicio No. 17

v v vv f fv v vv v vf v vf v ff v vf v v

Instrucciones: Realiza la tabla de verdad de los siguien-tes enunciados y anota de qué tipo es:

p q r {[( p - q ) A ( q - r )] - ( p - r )}v v v v v v v v v v v v v vv v f v v v f v f f v v f fv f v v f f f f v v v v v vv f f v f f . f f v f v v f ff v v f v v v v v v v f v vf v f f v v f v f f v f v ff f v f v f v f v v v f v vf f f f v f v f v f v f v f

*EnunciadoLLJ Lj-l L...L.J

I ICondicional ITautológico

1. [(P¡\q)~ - (p¡\ - q)]2. [ ( p ¡\ - q ) ~ - ( - p V q ) ]3. [ ( - s ~ p ) ~ - ( q V s ) ]4. [ ( P ~ q ) ¡\ ( q ~ p ) ]

5. [ ( p ¡\ q ) ¡\ - p ]6. [ ( P V q ) V ( r ~ q ) ]7. [ ( P ~ q ) ~ ( p V - q )8. { [( r ¡\ t ) V P ] ~ ( - t ¡\ - p) }9. { [p ¡\ ( q V r ) ] ~ [ ( p ¡\ q ) V ( pAr)] }

10. {[(p~q)¡\p]~q}11. {[(p~q)¡\ - q]~ - p}

12. { [( p V q ) ¡\ - p ] ~ q }13. { [( r V s ) ¡\ - s ) ] ~ r }

14. {[(t~r)¡\(r~s)]~(t-s)}

15. [ ( p ¡\ q ) ~ p ]16.[(p¡\q)~q]17. [(p¡\q)~(p¡\q)]

18.[p~(pVq)]

19. { P ~ [ p V ( q ¡\ s )] }20. [ ( r V s ) ~ ( s V r ) ]21. ( r ¡\ s ) ~ ( s ¡\ r )

22. { [( p V q ) V r ] ~ [ p V ( q V r )] }23. { [( p ¡\ q ) ¡\ r ] ~ [ P A ( q ¡\ r )] }

24. [ - ( t ¡\ s ) ~ ( - t V - s ) ]

Enunciado Contingente

Ahora bien, no se piense que la tabla de verdad de unenunciado se realiza tal cual lo muestran las gráficas ante-riores, en forma separada. No, todos los pasos se aplicanen el mismo eje, sólo que en el ejemplo anterior se hizo conuna finalidad didáctica.

Veamos el siguiente ejemplo:

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SEGUNDA PARTE

Demostraciónde Argumentos

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La lógica es la ciencia de las ciencias, su _Organon. Encuanto que toda ciencia y toda filosofía está constituída porpensamientos - "No hay ciencia, ni filosofía sin lógica."(Aristóteles)

La lógica es el estudio de los métodos y p~incipios usa-dos para distinguir el buen (correcto) razonamiento del ma-lo (incorrecto). Esto no quiere decir que sólo razonan bienquienes estudian Lógica, pero sí se puede decir que unapersona que estudia las reglas de la lógica tiene __mayoresposibilidades de razonar correctamente. Por ejemplo, siafirmamos que todos los peces viven en el agua y que eldelfín vive en el agua y que por lo tanto el delfín es un pez,elaboraríamos un razonamiento incorrecto aunque aparen-temente parezca correcto, sólo podemos darnos cuenta desu incorrección, conociendo las leyes del razonamiento(que son objeto de estudio de la_Lógica). Así pues, el cono-cimiento de las leyes de la Lógica ayuda a rebatir las ideaserróneas con que a veces nos enfrentamos en discusionesy polémicas de toda suerte. Su conocimiento nos permitedesarrollar "concientemente" el proceso del pensar y al-canzar un mayor grado de perfección en la esfera del pen-samiento.

Cabe aclarar que existen diversos tipos de pensamien-to, distintas formas, uno de ellos es el razonamiento, obje-to fundamental de la lógica.

El razonamiento es un tipo especial de pensamiento enel cual se realizan inferencias, o sea, en el que se derivanconclusiones a partir de premisas. La distinción entre el ra-zonamiento correcto e incorrecto, es el problema centralque debe tratar la Lógica.

Desde el punto de vista lógico existen diversas formasde abordar el razonamiento, ya sea como raciocinio, infe-rencia, argumento; evidentemente cada uno de estos tér-minos tiene un significado diferente, pero por cuestionesde aplicación se utilizarán indistintamente.

Así se denomina razonamiento a la operación discursi-va por medio de la cual obtenemos un conocimiento nue-

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vo, inferido, partiendo de otro conocimiento. De acuerdo aesta definición se identifica razonamiento con inferencia.

De igual forma al raciocinio se le define como el actodel entendimiento por el que, de dos o más juicios, inferi-mos otro que tiene relación con ellos, o bien como lo define

I Santo Tomás: "Es una operación mental por la que de unaverdad conocida llegamos a una verdad desconocl ja porla relación (o conexión) que hay entre ellas".

Nuevamente se observa que esta definición coincidecon la anterior. Abundando en el tema, un Argumento esuna secuencia o serie de proposiciones en la que una deellas, llamada conclusión, se obtiene o se desprende (seinfiere) de las restantes, llamadas premisas.

En suma, en cada una de estas definiciones, aparece elconcepto de Inferencia que no es otra cosa sino el des-prendimiento y la Consecuencia Lógica que se da entreunos enunciados y otros. La inferencia es el tránsito lógicode una proposición a otra.

2.1. Estructura del Argumento

Un razonamiento no es una mera colección de proposicio-nes, sino que tiene una estructura lógica. Es decir, estácompuesto de premisas y conclusiones.

Se llaman premisas a los juicios o enunciados que fun-damentan nuestro razonamiento, son los juicios iniciales,de los cuales partimos en cualquier inferencia.

y se llama conclusión a la proposición o juicio que sedesprende, o se obtiene de las premisas. La conclusión detodo razonamiento nos proporciona un conocimiento nue-vo en relación con el que se expresa en las premisas.

Hay ciertas palabras que sirven para introducir la con-clusión de un razonamiento, algunas de ellas son: por lotanto, por ende, así, luego, por consiguiente, se sigue que,podemos inferir, podemos concluir, en consecuencia. ypara indicar premisas: puesto que, porque, pues, en tantoque, por la razón que.

Los argumentos se presentan siempre numerados, susproposiciones se escriben renglón por renglón y en el últi-mo se anota la conclusión.

Ejemplos:

a) Premisas 1. Si el mercurio es un metal,entonces el mercurio es buenconductor de la electricidad.2. El mercurio es un metal.

Conclusión: 3. El mercurio es buen con-ductor de la electricidad.

b) Premisas 1. A es igual a B2. B es igual a C

Conclusión: 3. A es igual a C

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2.2. Clasificación de argumentos. En el razonamiento analógico después de reconocer al-gunas semejanzas comunes entre dos o más objetos, sidescubrimos alguna característica en alguno de ellos, infe-rimos que el otro o los otros (objetos que estamos compa-rando), también posee(n) ésa característica.

Los raciocinios se clasifican en: deductivos, inductivos yanalógicos.

Si la conclusión de un raciocinio se obtiene por un pro-ceso descendente, de lo universal a lo particular o de lo ge-neral a algo menos general, será un raciocinio deductivo.

Ejemplos:

Ejemplos:a) 1. S tiene las propiedades A, B Y C.

2. X tiene las propiedades A y B.3. Por lo tanto, X probablemente tiene la propiedad C.

a) 1. Todo ser que piensa es espiritual.2. Juan piensa.

Por lo tanto 3. Juan es espiritual.

b) 1. Ningún metal es viviente.2. El oro es metal.

Luego 3. El oro no es viviente.

b)1. Júpiter está formado por una gran masa y elsol también.2. Por su gran masa Júpiter atrae y hace quesus 12 satélites giren alrededor de él.3. Por lo tanto el Sol por su gran masa atrae alos planetas ocasionando que estos giren alre-dedor de él.

En el raciocinio inductivo, de lo particular se induce alo universal, es decir, parte de la experiencia y sube a louniversal. Es un proceso ascendente.

Ejercicio 1-A

Ejemplos:Instrucciones: De los siguientes fragmentos identifica

cuáles son razonamientos y cuáles no lo son, anotando almargen derecho R o NR según sea el caso.

a) 1. Este metal A es dilatable con el calor.2. Este metal B es dilatable con el calor.3. Este metal e es dilatable con el calor.

Lueqo 4. Todos los metales se dilatan con el calor.

b) 1. Venus es un planeta y gira alrededor del Sol.2. Mercurio es un planeta y gira alrededor del Sol.3. Marte es un planeta y gira alrededor del Sol.

Luego 4. Todos los planetas giran alrededor de! Sol.

1. En una democracia, los pobres tienen más poderque los ricos, porque son más, y la voluntad de la ma-yoría es suprema. (Aristóteles, Política.)

2. Juan Pérez es deshonesto, pues es político y to-dos los políticos son deshonestos.

3. Pídeme lo que quieras, pues los amigos debentener todas las cosas en común.

4. Si tu enemigo tiene hambre, dale de comer; sitiene sed, dale de beber; pues haciendo así amonto-

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narás ascuas de fuego sobre su cabeza. (Romanos,12:20)

5. Si soy movilizado en una guerra, esta guerra esmi guerra, está en mi imagen y la merezco. La merez-co primero porque siempre puedo eludirla por el suici-dio o por la deserción; éstas últimas posibilidades sonlas que siempre debemos tener presentes cuando setrata de considerar una situación. Por no salir de ellala he elegido. (Jean-Paul Sartre, El ser y la nada.)

6. Es verdad que la mayoría de los directores sepreocupan más por asuntos ajenos a la educación,que son inaccesibles a maestros y estudiantes, y queun desalentador número de ellos ha llegado a unaedad y una etapa de la vida en que se defienden con-tra las ideas nuevas. No es sorprendente, por lo tan-to, que profesores y estudiantes no tengandemasiada confianza en los directores. (CharlesFrankel, La educación y las barricadas.)

7. Del parecido que existe entre el muy conocidomezcal con la droga "mezcalina" que se utiliza paraliberar la autocensura de la conciencia, inferimos quela pérdida de conciencia y las visiones que producela segunda, deben ser atroces.

8. Si yo no soy para mí, quién será; y si sólo soypara mí, quién soy yo?; qué esperas, si no es ahoracuándo.

9. Las universidades están rebosantes de conoci-mientos. Los estudiantes de primer año aportan unpoquito, los del último año no se llevan nada, y el co-nocimiento se acumula. (A.L. Lowell, Presidente deHarvard)

10. El albañil empleado en la edificación de una ca-sa tal vez ignore totalmente su plano general; o en to-do caso, tal vez no lo recuerda constantemente. Lomismo sucede con el hombre; mientras trabaja a lolargo de los días y las horas de su vida, piensa poco

en el carácter de ésta como totalidad. (Arthur Scho-penhauer, Consejos y máximas)

Nota: Algunos de estos pensamientos se obtuvieron dellibro de Irving M. Copi: Lógica Simbólica.

Ejercicio No. 1-8

Instrucciones: A los pensamientos del ejercicio anterior,que sí son razonamientos, dáles una forma lógica.

Ejercicio No. 2

Instrucciones: De los siguientes conjuntos de premisasinfiere la conclusión que les corresponde e identifica quétipo de razonamiento es:

1. 1. Hitler fue un dictador y era implacable.2. Stalin fue un dictador y era implacable.3. Mussolini fue un dictador y era implacable.

Por lo tanto:

2. 1. Todas las vacas son mamíferos y tienen pulmones.2. Todos los caballos son mamíferos y tienen pulmo-nes.3. Todos los hombres son mamíferos y tienen pulmo-nes.

Por lo tanto:

3. 1. Todo concepto es científico si y sólo si, es explicati-vo, objetivo y racional.2. Todo concepto es explicativo, objetivo y racional siy sólo si, no es metafísico.

Por lo tanto:

58 59

4. 1. Todo animal pluricelular es metazoario.2. Todo animal que tiene sistema nervioso es plurice-lular.

Por lo tanto:

2.3 Métodos de pruebapara la demostración de argumentos.

5. 1. Cuba y Nicaragua tuvieron una revolución socialen contra del sistema capitalista.2. Cuba y Nicaragua han sido bloqueadas económi-camente por Estados Unidos.3. Cuba recibió ayuda de la URSS.

Por lo tanto:

Como ya se ha mencionado, una propiedad del argumentoes la corrección, de ahí que una finalidad fundamental dela lógica sea precisamente la comprobación de lacorrección o incorrección de los argumentos. Esta compro-bación se da a un nivel formal y dentro de la lógica recibeun nombre específico: demostración.

La demostración lógica se realiza a través de diversosmétodos de prueba, tales como: métodos directos y méto-dos indirectos.

Nuestro propósito es abordar la demostración directaempleando las leyes de inferencia; es decir, a partir deciertas tautologías demostraremos si un enunciado se in-fiere correctamente de otro u otros.

Así pues, la presencia de leyes de inferencia tiene sumaimportancia, ya que son éstas las que avalan o fundamen-tan la consecuencia lógica entre enunciados. Estas leyesse clasifican en dos grupos: de Implicación y de Equivalen-cia.

Se llaman leyes de !mplicación aquellas tautologías cu-yo conectivo principal es una Il!lBlicación y se llamanleyes de Equivalencia a aquellas tautologías cuyo conecti-vo principal es una Equivalencia.

Ejemplos:

1. Algunas leyes de Implicación:a) [ ( p - q ) A P ] - qb) [ ( p V - t ) A t ] - P

2. Algunas leyes de Equivalencia:a) ( p A q) == (q A P )b) ( P V q) == (q V P )

6061

Recuérdese que una tautología es un enunciado com-puesto que al hacerle la tabla de verdad, su conectivo prin-cipal es verdadero en todos los casos.

A un nivel elemental las reglas de inferencia más co-múnmente' utilizadas son las siguientes:

LEYES DE IMPLlCACIONNombre Abr. Fórmula1. Modus ponendo ponens m.p.p. 1. p - q

2. P:. q

2. Modus tollendo tollens m.U. 1. p - q2. - q:. - p

3. Modus tollendo ponens m.t.p. 1. p V q 1. P V q2. - P 2. - q:. q :. p

4. Silogismo hipotético s.h. 1. P - q2. q - r:. p - r

5. Adición ad. 1. p:. p V q

6. Conjunción conj. 1. P2. q:. p A q

7. Simplificación simpl. 1.pAq 1.pAq:. p :. q

Abr. = Abreviatura

<C(3zW...J<C>~Owweenw>W...J

,.........,""""'"--..... .....<>a. a. ,.........,,........., ---,........., -..... - >< .....-- ..... -- t

0-0- >< 0-0-0-0- <> o- -I I - - a.- a. a.

>< >< -- t I-- a.a. a. a. '--' '--' a.a. a. '--' ........ 11/ '--' t<> I I

1111 111 111 o-0-0- -- ,.........,,........., ,.........,,........., 111-- 111 111 ..... ..... -- I

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62 63

Explicación y Ejercicios de las Leyes antecedente.

LEYES DE IMPLlCACION Por ejemplo:

1. Modus Ponendo Ponens 1) P - q2) q:. pLa expresión de esta ley significa: "el modo en que afir-

mando afirmamos". Esta ley, además de ser de implica-ción, en su funcionamiento utiliza la regla del condicional.Es decir, cuando se tiene un enunciado condicional cual-quiera como una de las premisas (se sabe que es verdade-ro aún cuando no se conozca el valor de cada una de lasproposiciones que lo forman), y se tiene como otra premisaa un enunciado que es el antecedente del condicional, en-tonces necesariamente como conclusión debe obtenersela afirmación del consecuente del condicional. Esto no esotra cosa sino la aplicación de la regla del condicional quedice que si el antecedente es verdadero, el consecuentetambién debe serlo.

Ahora bien, es importante recordar que la veracidad deun enunciado es independiente del sentido afirmativo o ne-gativo en que se expresa; así, cuando se habla de afirmarel consecuente, debe entenderse como una reafirmación,como una repetición con los valores que tenga, por ejem-plo: si el consecuente es - r, la conclusión debe ser - r.

Esto es incorrecto.

Ejemplos de aplicación de la ley:

a) 1) s - - P2) s:. - p

b) 1) - r--+q2) - r:. q

c) 1)(s--+r)--+q2) ( s --+r ):. q

Ejercicio No. 3-A

La fórmula de la ley m.p.p. es la siguiente:

Instrucciones: Aplicando la ley del Modus ponendoponens (m.p.p.) concluye el enunciado que se desprendede cada conjunto de premisas. Escribe la conclusión en elmismo lenguaje en que se encuentra el argumento.

1) P - q2) P:. q

Es importante señalar que esta fórmula parte de unaafirmación del antecedente para llegar a una afirmacióndel consecuente, pero no a la inversa; de la afirmación delconsecuente, no podemos garantizar la afirmación del

1. 1) Si la forma del modus ponendo ponens es la de uncondicional, entonces es una ley de implicación.2) La forma del modus ponendo ponens es la de uncondicional.

Por lo tanto,

64 65

2. 1) s - ( q V t )2) s

3. 1) Si Juan entiende las leyes de implicación y de equi-valencia, entonces podrá hacer bien los ejercicios.2) Juan entiende las leyes de implicación y de equiva-lencia.

Por lo tanto,

4. 1) s -+ - ( r V q )2) s

5. 1) Si Cuba es una isla y se encuentra en el Caribe, en-tonces tiene clima cálido.2) Cuba es una isla y se encuentra en el Caribe.

Por lo tanto,

6. 1) ( r A s )2) ( r A s ) -+ - p

7. 1) Si como mucho y no hago ejercicio, entonces subi-ré de peso.2) Como mucho y no hago ejercicio.

Por lo tanto,

8. 1) q2) q - - ( s V p )

66

9. 1) Si los trabajadores son concientes y responsables,entonces exigen sus derechos.2) Los trabajadores son concientes y responsables.

Por lo tanto,

10. 1) ( s - r ) - - q2) ( s - r )

Ejercicio No. 3-8

Instrucciones: Aplicando la ley del Modus ponendo po-nens (m.p.p.), demuestra que la conclusión se infiere delconjunto de premisas dado. En cada caso, además de ano-tar el nombre de la ley, escribe el número de las premisasutilizadas.

1. Demostrar p de:1) s - q P

/2) r - s P3) r P4) q - P P

7. I .J

\ 1

2. Demostrar s de:1) p - s P2) r P3) q - P P4) r - q P

3. Demostrar r de:1) s P2) P - q P3) s - p P4) q - r P

67

4. Demostrar p de:1) r - - t2) s - r3) s4) - t - P

5. Demostrar q de:1) - P - - s2) - P3) - s - r4) r - q

6. Demostrar q A P de:1) r - s P2) t P3) s - ( q A P ) P4) t - r P

7. Demostrar - s de:1) p - - q P2) P P3) - q - r P4) r -+ - s P

8. Demostrar p' de:1) - P -+ q P2) q -+ r P3) - P P4) r - - s P5) - s -+ t P6) t - p' P

9. Demostrar r de:1) p- ....q P2) q -+ r P3) P D

68

PPPP

10. Demostrar r de:1) s - - t P2) s P3) - t - r P

PPPP

2. Modus Tollendo Tollens

El significado etimológico de esta leyes: "El modo en quenegando se niega", lo cual quiere decir que cuando se nie-ga el consecuente de un enunciado, debe negarse su ante-cedente. Dicho en otras palabras, cuando se tiene una pre-misa cuyo conectivo es un condicional y otra en la que seexpresa la negación del consecuente de la misma, la con-clusión debe ser la negación del antecedente. Esta ley,igual que el m.p.p., trabaja con la regla del condicional.

La fórmula del m.U. es la siguiente:

1) P -+ q2) - q..- p

Pero el siguiente ejemplo es incorrecto:

1) P -+ q2) - P:. - q

porque la ley no garantiza que de la negación de un ante·cedente se concluya la negación del consecuente. Lo quesi garantiza es que al negar el consecuente necesariamen-te debe negarse el antecedente.

Ejemplos de aplicación de la ley:

69

a)1) r - s2) - s

r

b)1) q - - t2) t:. - q

5. 1) Si la materia se crea o se destruye, entonces no escierto que sólo se transforma.2) La materia sólo se transforma.

Por lo tanto,

c)1)p-(qAr)2) - ( q 1\ r):. - p

d)1) - P - q2) - q:. p

6. 1) ( P - - s ) - ( q V r )2) - ( q V r )

Ejercicio No. 4-A 7. 1) Si esta planta es un hongo, entonces no realiza lafotosíntesis.2) No es cierto que esta planta no realice la fotosínte-sis.

Por lo tanto,

Instrucciones: Aplicando la ley del Modus TollendoTollens (m.t.t.) concluye el enunciado que se desprende decada conjunto de premisas; escribe la conclusión en elmismo lenguaje en que se encuentra el argumento.

1. 1) Si la tierra es una estrella, entonces brilla con luzpropia.2) La tierra no brilla con luz propia.

Por lo tanto,

8. 1) q - p2) - P

2.1)(Sl\q)-t2) - t

9. 1) Si sus salarios son justos, entonces los trabajado-res no protestan.2) Los trabajadores protestan.

Por lo tanto,

3. 1) Si no he cursado la secundaria, no puedo ser estu··diante de Bachilleres.2) Soy estudiante de Bachilleres.

Por lo tanto,

10. 1) ( P K q ) - ( q A - - P )2) - ( q A - - P )

Ejercicio No. 4-84. 1) - s - r

2) - r Instrucciones: Utilizando la ley del Modus Tollendo To-lIens (m.U.) demuestra que la conclusión se desprende delconjunto de premisas dado, anotando en cada caso, las lí-neas y leyes que permiten hacer la inferencia.

70 71

1. Demostrar t de:1) - t - q P2) P - s P3) q - P P4) - s P

7. Demostrar ( s A t ) de:1) - s - q P2) - ( s A t ) - - p P3) - q P4) - P - - s P

2. Demostrar - s de:1YS - q P2) - t - P P3) q -+ - t P4) - P P

8. Demostrar - r de:1) - - q P2) P - - q P3) r - s P4) s - P P

3. Demostrar ( r A t ) de:1)-(r/\t)-+q P2) q - s P3) - s P

9. Demostrar p de:1) - s - - q P2) - P - - r P3) q \ P4) - r - - s P

4. Demostrar r de:1)s-+(qVp) P2) - r - s P3) - ( q V P ) P

5. Demostrar - t de:1)p-+s P2) t -+ q P3) - s P4) q -+ P P

10. Demostrar - r de:1) ( s A q ) - ( r V s ) P2) s - ( s A q ) P3) r - s P4) - ( r V s ) P

Ejercicio No. 5

6. Demostrar - p de:1) p - q P2) q - r P3) r - s P4) - s P

Instrucciones: Aplicando las leyes del m.p.p. y m.U.,demuestra que la conclusión se desprende del conjunto depremisas señalado.

1:""Demostrar q' de:t)-p--q P2) r - - p P3) q P4) - r - q' P

72 73

2. Demostrar - s de:1) p - q P2) q - r P3) s - - r P4) P P

8. Demostrar p de:1) - r - - s P2) - s - q P3) - P - - q P4) - r P

3. Demostrar t de:1) s P2) q - r P3) s - q P4) - t - - r P

9. Demostrar t de:1) - s P2) - r - - q P3) - s - - r P4) - t - q P

4. Demostrar q de:1) r - s P2) s - - p P3) - r - q P4) P P

10. Demostrar t de:1) p - q P2) - r - s P3) q - - r P4) - t - - s P5) P P

5. Demostrar p de:1) q - s P2) r - - s P3) q P4) - r - p P

3. Modus Tollendo Ponens

7. Demostrar -1) s2) q - t3) s - q4) P - - t

p de:PPPP

El nombre de esta leyes parecido al de las dos leyes deinferencia anteriores (m.p.p. y m.t.t.) pero procede de ma-nera muy diferente.

En primer I.ugar, recurriendo a su significado etimológi-co, expresa "La manera en que negando afirmamos"; ensegundo lugar, su diferencia estriba en que no se refiereal condicional sino a la disyunción. Si recordamos la reglade este conectivo fácilmente entendemos la aplicación delModus Tollendo Ponens.

6. Demostrar s de:1) t - r P2) - q - t P3) - s - - r P4) - q P

La disyunción es verdadera cuando al menos uno desus enunciados es verdadero.

Así, si uno de los enunciados de una disyunción es falso(si se niega) entonces el otro necesariamente debe ser

74 75

verdadero, pues de lo contrario la disyunción sería falsa.Eso es lo que expresa la regla.

Dicho de otra forma: si en las premisas se tiene una dis-yunción cualquiera, es decir, cualquier enunciado cuyo co-nectivo es una disyunción y si se tiene como otra premisala negación de uno de los enunciados de la disyunción, en-tonces debe concluirse la verdad del otro enunciado. Lafórmula del Modo Tollendo Ponens (m.t.p.) es la siguiente:

1) P V q2) - P:. q

Ejércicio No. 6-A

Instrucciones: Anota la conclusión que se desprende decada conjunto de premisas al aplicar la ley del m.t.p., si noprocede la inferencia escribe una X.

1. 1) t2) - t V s

o1) P V q2) - q

:. p

2. 1) r V s2) r

Ejemplos de aplicación de esta ley:3. 1) - q V P

2) - P

a) 1) P V r2) - r:. p

b) 1)sVt2) - t

:. s4. 1) s V t

2) - t

c) 1) r d) 1) ( P - q ) V - s2) - r V - t 2) - (p - q ):. - t :. - s

5. 1) q2) - q V r

Esta ley no justifica la inferencia de la negación de unenunciado cuando tenemos una disyunción y la afirmaciónde un elemento de la disyunción, así:

1) r V s2) r o

:. s

6. 1) t2) t V - s

1) P V t2) t:. p

7. 1) - r2) r V p

Son incorrectos

7677

9.1)pv-(rAs)2) - P

3. Demostrar r de:1) p V t p2) - t V q P3) - q P4) - P V r p

8. 1) s V q2) - s

10. 1) (s q) V - r2) r

4. Demostrar r de:1) q V t p2) - t p3) - q V P P4) - P V r P

( l,(

.'7I

Instrucciones: Utilizando la ley del Modus TollendoPonens (m.t.p.) demuestra que la conclusión se desprendedel conjunto de premisas dado, anotando en cada caso laslíneas y la ley que permiten hacer la inferencia.

5.Demostrar ( s - q ) de:1) r P2) t V - P P3) - r V - t P4) P V ( s - q ) P

Ejercicio No. 6-8

1. Demostrar - t de: 41)-sVr P 112) - q P3) - r V - t P4) s V q P

6. Demostrar - p de:1) s P2) - q V r P3) - r V - P P4) - s V q P

2. Demostrar s de:1) r V q P2) - r P3) - q V P P4) - P V s P

7. Demostrar ( p V r ) de:1) - ( r V s ) V ( q V t ) P2) ( r V s ) P3) ( s A s ) V ( P V r ) P4) - ( q V t ) V - ( s A s ) P

8. Demostrar p de:1) r P2) - s' V p P3) s V s' P4) - r V - s P

78 79

9. Demostrar ( t A q ) de:1) - (s t) V (t A q) P2) (s t) V - r P3) - ( P V q ) V r P4) ( P V q ) P

4. Demostrar s de:1) - q P2) P - - r P3) q V r P4) - P - s P

10. Demostrar q de:1) r V s P2) - s V t P3) - r P4) - t V q P

5. Demostrar - t de:1) p - q P2) P P3) q - r P4) r - - t P

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjunto de premisas, utilizando las siguientes leyesde inferencia: m.p.p., m.U. y m.t.p.

6. Demostrar p de:1) s - - t P2) - P - q P3) q - s P4) t P

Ejercicio No. 7

r 1¡Demostrar r de:~1)SV-t P

2) q - - s P3) t P4) - q - r P

7. Demostrar q de:1) p P2) - t V - r P3) r V q P4) - P V t P

2. Demostrar p de:1) r - ( - r V t) P2) t - q P3) - q V P P4) r P

. Demostrar t de:1)(s-q)Vr P2) - r P3) ( s -+ q ) - p P4) - P V t P

3. Demostrar p de:1) s P2) - t V q P3) - P - - q P4) s - t P

9. Demostrar - q de:1) r - s P2) r P3) s - t P4) q - - t P

80'81

10. Demostrar s de:1) - P P2) q - P P3) r - q P4) r V s P

Ejercicio No. S-A

Instrucciones: Escribe el enunciado que se desprendede cada conjunto de premisas al aplicar el s.h.

a)1) s - q2) q - r:. s - r

b)1) r - - s2) P - r:. p - - s

'\

1. 1)s-qv 2) q - t

..

2. 1) r - p2) P - s

3. 1) q - t2) P - q

4. 1) ( t V P ) - s2) r - ( t V P )

5. 1)q-(sVr)2) t - q..

6. 1) s - q2) q - r

7. 1) P - q2) t - P

8. 1) ( q V r ) - ( t A P )2) ( s V q ) - ( q V r )

4. Silogismo Hipotético

Esta ley se refiere al condicional Sabemos que los enun-ciados condicionales se componen de un antecedente y deun consecuente; bien, cuando el antecedente de un condi-cional es al mismo tiempo el consecuente de otro, puedeinferirse que el antecedente de este otro es también el an-tecedente del primero. Si p es antecedente de q y si q (quees consecuente de p), es antecedente de r entonces p estambién antecedente de r, -o también: r es consecuente dep.

La fórmula del Silogismo Hipotético (s.h.) es:

1) P - q2) q - r:. p - r

Ejemplos de aplicación de esta ley:

c)1) - s - q2) P - - s:. p - q

d)1) q - t2) t - s:. q - s

82 83

9. 1) r - s2) t - r..

10. 1) P - t2) t - q..

4. Demostrar s - t de:1) s - P P2) q - r P3) P - q P4) r - t P

Ejercicio No. 8-8

5. Demostrar p - s' de:1) p - p' P2) r - s P3) s - s' P4) p'- r P

Instrucciones: Aplicando la ley del Silogismo Hipotético(s.h.), demuestra que la conclusión se desprende del con-junto de premisas dado, anotando en cada caso las lineasy la ley que permiten la inferencia.

1. Demostrar r - t de:1) s - t P2) r - p P3) q - s P4) P - q P

6. Demostrar ( s - s ) - ( p V - P ) de:1) ( s - s ) - ( r A r) P2) ( r A r ) - ( t V t ) P3) ( t V t ) - ( q A q ) P4) ( q A q ) - ( p V - P ) P

2. Demostrar r - t de:1) r - s P2) s - ( P A q ) P3) ( P A q ) - t P

7. Demostrar s - t de:1) s - q P2) r - p P3) q - r P4) P - t P

3. Demostrar s - q de:1) s - P P2) P - t P3) t - q P

8. Demostrar p - s de:1)q-(sVt) P2) r - s P3) ( s V t ) - r P4) P - q P

9. Demostrar ( r V s ) - ( p ==1) ( s V t ) - ( t V r )2) ( t V r ) - ( p V q )3) ( P V q ) - ( p == r )4) ( r V s ) - ( s V t )

r ) de:PPPP

8485

10. Demostrar r - p de:1) r - s P2) t - P P3) s - q P4) q - t p

gado. La fórmula de la Adición (Ad.), se expresa de lasiguiente manera:

1) P:. p V q

5. Conjunción, Simplificación, AdiciónEjemplos de aplicación de esta ley:

Se verá ahora el significado y la fórmula de tres leyes deinferencia muy sencillas.

La ley de la Conjunción justifica la inferencia de la con-junción de dos enunciados que aparecen como premisas.Es decir, se puede inferir la conjunción de dos premisascualesquiera que sean. La fórmula de la ley de la conjun-ción (conj.) es:

a)1) s2) t:. s A t conj.

b)1) r2) q

:. r A q conj.

c)1) r A t

:. r simpl.

d)1)qA(rAt)

:. r A t simpl.

1) P2) q:. p A q

e)1) q

:. q V P ad.

f)1) s

:. s V ( r - T] ad.

La ley de la Simplificación, en cambio, permite inferirun enunciado que forma parte de una conjunción. Si unaconjunción aparece como premisa puede concluirse la ver-dad de cualquiera de los dos enunciados que la compo-nen. La fórmula de la simplificación (simpl.) es la siguiente:

Ejercicio No. 9

1) P A q:. q

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjunto de premisas, utilizando la ley de la Conjun-ción, la Simplificación o, si es necesario, la de Adición.

La ley de la Adición permite "adicionar", agregar a unenunciado otro cualquiera, conectándolos con una disyun-ción; debe ser una disyunción ya que es el único conectivoque garantiza la verdad del enunciado inferido aún desco-nociendo el valor de verdad que tenga el enunciado agre-

1. Demostrar ( q V P ) A ( r A t ) de:1)(qVp) p2) r p3)t p

86 87

2. Demostrar ( p A q ) A ( r A s ) de:1) p P2) r P~q P~s P

Ejercicio No. 10

Instrucciones: Utilizando las leyes de Conjunción, Simplifi-cación o Adición, deriva la conclusión que se te pide, ano-tando las líneas de las cuales se desprende cadaenunciado y la ley.

3. Demostrar r de:1) ( P A q ) A ( r A t ) p 1. Demostrar ( q V P ) A ( r A t ) de:

1)qVp P~r P~t P

4. Demostrar t de:1)(r-r)A[sAt) p

6. Demostrar [ s V ( q V P ) ] V t de:1) r P

2. Demostrar ( p A q ) A ( r A s ) de:1) p P2) r P~q P~s P

5. Demostrar ( r V s ) V t de :1) r

7. Demostrar r A ( s A q ) de:1) q P2) r P3) s p

3. Demostrar ( r A s ) A ( q A r ) de:1) r P~s P3) q P

9. Demostrar [ ( p V q ) V r ] V s de:

4. Demostrar ( p A P1 ) A ( t V q ) de:1) p P2) p' P~tVq P

8. Demostrar ( p - q ) de:1)[(p-q)As]A(sVt) P

1) P P 5. Demostrar ( p - q ) A ( q A P ) de:1) p - q P2) q P3) P P

10. Demostrar [ ( s V t ) V ( t V r ) ] V q de:1) s P

6. Demostrar r de:1) ( P A q ) A ( r A s ) P

88 89

8. Demostrar p - q de:1) [( P - q) A s] A (s - t)

2. Demostrar - q de:1) q - s P2) ( P A q' ) A r P3) P - ( - s A t) P

7. Demostrar t de:1)(r-r)A(sAt) P

P

9. Demostrar p de:1) ( s A r ) A ( q A P ) P

3. Demostrar - r de:1) r - p P2) s A q P3) q -- - p P

10. Demostrar s == s de:1) [ (s == s) A ( P == P ) ] A ( q == q )

11. Demostrar ( r V s ) V t de:1) r P

P 4. Demostrar p A t de:1)(tVq)-r P2) - r V s P3) t P4) s - P P12. Demostrar [ s V ( q V P ) ] V t de:

1) s P

14. Demostrar ( - t V q ) V P de:1) - t P

5. Demostrar ( q A P ) A l' de:1) t - q P2) ( s A t ) A r P3) s - ( r - p ) P4) - P V l' P

13. Demostrar [ ( p V q ) V r ] V s de:1) p P

15. Demostrar [ ( t V s ) V s' ] V t' de:1) t P

6. Demostrar t de:1) - P - s P2) - s A r P3) P - ( r - t) P

Ejercicio No. 117. Demostrar r A - q de:

1) p - q P2) - P - r P3) - q P

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjunto de premisas dado, anotando de qué líneasse desprende cada enunciado y el nombre de la ley de im-plicación que se utiliza en cada caso.

1. Demostrar t V P de:1)(rAq)Aq' P2) r - ( s A t ) P

8. Demostrar - r A t de:1) - s - t P2) r - - q P3) ( q A P ) A - s P

90 91

9. Demostrar - t V P de:1) - s P2) t - q P3) s V - q P

4. Demostrar p - t de:1) q - s P2) P - q P3) ( P - s ) - ( p - r) P4) r - t P

10. Demostrar - s de:1) s - - r P2) P P3) P - ( q A r ) P

5. Demostrar r de:1)(tAq)-p P2) ( - s A t ) A q P3) ( P A q ) - ( r V s) P

Ejercicio No. 126. Demostrar r de:

1) - s -+ ( p V t) P2) q P3) ( P V t ) -+ r P4) q - - s P

Instrucciones: Utilizando las leyes de implicación, de-muestra que la conclusión se desprende del conjunto depremisas señalado. Anota de qué líneas se infiere cadaenunciado y el nombre de la ley que justifica cada paso.

1. Demostrar p V p' de:1) s - - q P2) ( r - - q ) - ( p V t) P3) r -+ s P4) - t P

7. Demostrar p' de:1) r P2) t -+ q P3) r -+ ( s - t ) P4) P V p' P5) P - - ( s - q) P

2. Demostrar pAr de:1) q - P P2) q A s P3) s - r P

8. Demostrar - p - s de:1) ( r - s ) V ( P - r) P2) - ( P - r ) P

3) - P - q P4) q - r P

3. Demostrar p /\ s de:1) - s - - q P2) r - q P3) r P4) q - P P

9. Demostrar ( q - l' ) de:1) r - s P2) ( r - p ) - ( q - t) P3) t - t' P4) s - P P

9392

10. Demostrar t de:1) p - q P2) q - - s P3) r - p P4) - s - t P5) r P

Leyes de Equivalencia


a) b)1) - - - s 1) - - q

s :. q

c) d)1) - - ( s A t ) 1) - - p:. ( s A t ) :. p

Hasta aquí se ha demostrado que la conclusión se des-prende del conjunto de premisas que se señalan, con la so-la aplicación de las leyes de implicación, sin embargo hayargumentos que exigen la introducción de otras leyes parapoder demostrar su corrección. Estas leyes llamadas deequivalencia tienen como conectivo principal una equiva-lencia, un bicondicional, lo cual indica que sus dos enun-ciados son equivalentes, intercambiables, de uno de ellospuede inferirse el otro y viceversa.

Las leyes de equivalencia más conocidas son:1. Doble negación (d.n.)2. Conmutación (conm.)3. De Morgan . (d.M.)4. Contraposición (contrap.)5. Asociación (asoc.)6. Distribución (distr.)

2. La ley de Conmutación permite cambiar de lugar lasproposiciones de una conjunción o de una disyunción sinque se altere su valor de verdad, ni su conectivo. Su fórmu-la se expresa de la siguiente manera:

a) p A qb) P V q

- q A P== q V P


a) 1) r A s:. s A r

b) 1) - q V P:. p V - q

c) 1) q A - t:. - t A q

d) 1) - r V - s:. - s V - r

1. La ley de Doble Negación ya ha sido utilizada en va-rios ejercicios puesto que muchas veces negamos enun-ciados que ya estan negados y en lugar de anotar unadoble negación, simplemente eliminamos la negación. Laley de d.n., indica que una doble negación es equivalentea una afirmación. Así:

3. La Ley de Morgan, en cambio, permite combinar lasreglas de la disyunción, la conjunción y la negación; cam-bia la conjunción por la disyunción y viceversa, modifican-do el valor de verdad de cada proposición simple y de laproposición molecular en general. Su fórmula se expresade las siguientes maneras:

- - p == p

Lo cual permite inferir de p, - - p y de - - p, pa) - ( p A q) -b) - ( P V q) ==

- p V - q- P A - q

94 95


a) 1) - s A p:. - ( s V - P )

b) 1) - ( - r A - t ):. r V t

c) 1) q V - s:. - ( - q A s )

d) 1) - ( t V - r):. - t A r

4. La Ley de Contraposición se aplica a enunciadoscondicionales; permite contraponer el antecedente con elconsecuente; cambia el antecedente al lugar del conse-cuente y el consecuente al lugar del antecedente, modifi-cando el valor de verdad d8 las proposiciones quecomponen el condicional. Su fórmula es:


a) 1) - q - r:. - r - q

b) 1) r - - s:. s - - r

c) 1) - q -- - p:. p - q

d) 1) r - t:. - t - - r

5. La ley de Asociación también hace referencia al uso deconjunciones o de disyunciones. En una proposición com-puesta por la conjunción de dos enunciados, de los cualesuno de ellos es también una conjunción permite asociar,agrupar indistintamente a sus enunciados; es decir si p yq forman una conjunción con r, entonces se puede conjun-

96

tar p con la conjunción de q y r. De igual forma se aplicacon las disyunciones. Su fórmula se expresa de las si-guientes maneras:a) ( p A q ) A r == p A ( q A r )b) ( p V q ) V r == p V ( q V r )

Se cambian de lugar las proposiciones sin alterar su va-lor de verdad y sin cambiar el conectivo.


a) 1) r A ( s A t ):. ( r A s ) A t

b)1)(-pVt)Vq:. - p V ( t V q )

c) 1) ( - t A q ) A - P:. - t A ( q A - P )

d) 1) s V ( - t V s' ):. ( s V - t ) V s'

6. Ley de Distribución. Nuevamente, esta ley se aplica ala conjunción y a la disyunción de enunciados compuestos.Una proposición enlazada con una disyunción a través deuna conjunción, puede "distribuirse" junto con el conecti-vo principal respecto de las otras proposiciones; como laconjunción, que es el conectivo principal, queda distribuí-do, entonces la disyunción que forma parte de uno de loselementos de la proposición molecular, se convierte en elconectivo principal. De igual manera, cuando queda distri-buida una disyunción la conjunción se convierte en el co-nectivo principal. Su fórmula se expresa de las siguientesmaneras:a) p A ( q V r) == (p A q ) V ( pAr )b) p V ( q A r) == ( p V q ) A ( P V r )


a) 1) r A ( t V q ):. ( r A t ) V ( r A q )

b) 1) s V ( t A P ):. ( s V t ) A ( s V p )

97

e) 1) ( q V s ) A r:. ( q A r ) V ( s A r )

d) 1) - P V ( q A t ):. ( - p V q ) A ( - P V t )

Ejercicio No. 13

Instrucciones: Anota el enunciado que se puede con-cluir de cada una de las siguientes premisas y escribe elnombre de la ley de equivalencia que lo justifica.

2. 1) s A ~ q

3. 1) - r

4. 1) ( s V t )

5. 1) ( - s V - t ) V - q

6. 1) q

7. 1) s - t

8. 1) - ( P A - r)

9. 1) ( r V t ) A ( s V q )

10. 1) ( s A q ) V ( r A p )

11. 1)( s A - r) A t

98

12. 1) ( s A - P ) V q

13. 1) - ( r V - q )

14. 1) [ P A ( r V s ) ] - t

15. 1) t - [ ( r ==s ) - p ]

Otras leyes de implicación y de equivalencia que pue-den ser de utilidad:

- Ley de Exportación:1)(pAq)-r:. p - ( q - r)

- Ley de Importación:1) p - ( q - r):. ( p A q ) - r

- Ley del Absurdo:1) p - ( q A - q ):. - p

- Ley de equivalencia para Implicación y Disyunción(Condicional Material):(p-q) == -pVq

- Ley de la Negación para la Implicación:-(p-q) == pA-q

- Ley del Bicondicional:(p==q) == (p-q)A(q-p)

99

- Otra ley del Bicondicional:(p==q) == (pAq)V( - pA - q) 9. 1) ( r A t ) A q

- Ley del Tercero Excluido:(pV - p)

10. 1) s V ( r V p )

- Ley de No Contradicción:-(pA-p)

11.1)-pVr

Ejercicio No. 1412. 1) - ( - r V - q )

Instrucciones: Anota el enunciado que se desprende decada una de las siguientes premisas y escribe el nombrede la ley de equivalencia que lo justifica.

13. 1) q A r

14. 1) - q .... t

1) 1) - P - - s15. 1) 1 ( p V - t ) 1\ r 1--+ q

2) 1) s V t

3) 1) r A ( t V q ) Ejercicio No. 15

5. 1) - ( s V - t )

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se desprendedel conjunto de premisas señalado, anotando en cada pa-so de qué líneas se infiere el enunciado y el nombre de laley de implicación o de equivalencia que lo justifica.

4. 1) - P V ( - s V t )

7. 1) - (s A - P )

1. Demostrar s V r de:1) - - t A s' P2) ( q V P ) - r P3) t - ( P V q ) P

2. Demostrar - ( p V q ) de:1) - r P2) P - q P3) - q V r P

6. 1) - r V s

8. 1) - s - q

100101

3. Demostrar - t V r de:1) p A s P2) ( P A q ) - r P3) q P

4. Demostrar - ( q V - P ) de:1) p A - r P2) q - r P

5. Demostrar t de:1) - q V - r P2) - P - t P3) P - ( q A r) P

6. Demostrar ( r A t ) V ( r /\ p ) de:1) p P2) r P

7 Demostrar - ( r V t ) de:1) - P V q P2) r - ( p V q ) P3) t - P P4) - q P

8. Demostrar - t /\ P de:1)p/\q P2) - P V r P3) ( q /\ t ) -+ - r P

9. Demostrar p' V q' de:1) s - q P2) ( r V - p) - - ( s - t ) P3) P - p' P4) q - t P

10. Demostrar - q de:1) q - s P2) ( P A q' ) A r P3) P - ( - s A t ) P

102

Ejercicio No. 16

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se desprendedel conjunto de premisas señalado, anotando en cada pa-so, de qué líneas se infiere el enunciado y el nombre de laley de implicación o de equivalencia que lo justifica.

1. Demostrar p' A - q de:1)(qVr)-(pAt) P2) s P3) ( P A t ) - - s P4) p' P

2. Demostrar - r A t de:1) ( P A - s ) - t P2) r - - q P3) ( q A P ) A - s P

3. Demostrar - t V P de:1) - - - s P2) t - q P3) s V - q P

4. Demostrar - r de:1) - q P2) ( r A t ) - ( q V s) P3) - s P4) t P

5. Demostrar - p de:1) r P2) P - - ( q V - t) P3) r - ( - t A s ) P

6. Demostrar q de:1) r - s P2) - P P3) s - s' P4) ( r - s' ) - ( p V q ) P

103

7. Demostrar t de:1) t V - r p2)- q P3) - r - p P4) - ( P A - q) P

8. Demostrar ( t V q ) A ( t V - s ) de:1) - q V - s p~p-q p~p p

9. Demostrar - p - s de:1)(r-s)V(p-r) P2) - ( P - r ) P3) - P - q P4) q - r P

10. Demostrar q' de:1)-(rVs) P2) P P3) ( P V q ) - ( q - r) P4) t - q' P5) - q - ( s V t ) P

Ejercicio No. 17

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se des-prende del conjunto de premisas señalado, anotando encada paso, de qué líneas se desprende el enunciado y elnombre de la ley de implicación o de equivalencia que lojustifica.

1. Demostrar q' de:1) - r A p2) ( P V q ) - ( q - r )3) - q - ( s V t )4) ( t - q~) A - s

104

2. Demostrar s de:1) p V - q P2) r - q P3) - r - s P4) - P P

3. Demostrar ( q - - s ) A t de:1) - P A q P2) s - - q P3) t V ( r A p ) P

4. Demostrar ( s - - r ) A ( - t V q ) de:1) r - - s P~p-q P3) q - ( - t V q ) P4) P P

5. Demostrar ( s A r ) de:1) s P2) P A ( r V t ) P3) - p V - t P

6. Demostrar ( pAr) V t de:1)pA(rVt) P2) - P V - t P

7. Demostrar q V t1) P P2) P - - ( r V s ) P3) r V ( s V q ) P

8. Demostrar - ( r V q ) de:1) p - q P2) - P - r P3) - q P

9. Demostrar - ( r V t ) de:1) - P - q P

105

2) - - - s V q' P3) ( - r A - t) V - q' P4) ( - q - p ) - s P

10. Demostrar p' A s' de:1)sV(tAq) P2) ( s V q ) - ( p' V p ) P3) - P P4) - ( r V - s' ) P

Ejercicio No. 18

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjunto de premisas señalado, anotando en cadapaso, de qué líneas se desprende el enunciado y el nombrede la Ley de Implicación o de equivalencia que lo justifica.

1. Demostrar r de:1) p - q P2) - q - s P3) - q P4) ( s A - P ) - r P

2. Demostrar - t de:1) - s P2) q - P P3) t - q P4) P --+ s P

3. Demostrar p de:1)s--q P2) ( r - - q ) - ( p V t ) P3) r --+ s P4) - t p

106

4. Demostrar t de:1) q A P P2) s - - ( P A q) P3) - s - t P

5. Demostrar ( s - - q ) A P de:1)pV(rAt) P2) q - - s P3) - t A s P

6. Demostrar q A t de:1) - P A t P2) - s - ( q V p) P3) s - s' P4) - ( r V s' ) P

7. Demostrar q de:1)s-(r-p) P2) ( s A t ) /\ r P3) - P V t P4) t --+ q P

8. Demostrar - ( p V q ) de:1)(pAr)--+s P2) q --+ ( r - s ) P3) - ( r --+S ) P

9. Demostrar - ( P V - t ) de:1) - p¡\q2) s3) ( q ¡\ s ) -+ r4) - r V t

10. Demostrar - ( q' V s ) de'1) q' -+ - (r V s')2) - s -+ q3) s -+ ( p ¡\ t )4) q --+ r5) ( - P V - t ) ¡\ s'

107

11. Demostrar q A P de:1)s-(r-p) p2) ( s A t ) A r p3) - P V t p4) t - q P

12. Demostrar t V q de:1) p - q P2) - P - r P3) - p' P4) ( - r --+ q ) - ( - q - p') P

13. Demostrar t de:1)- p-s P2) - s A r P3) P --+ ( r --+ t) P

14. Demostrar s de:1)(p/\q)--+r P2) "" ( q --+ r ) P3) s V p P

15. Demostrar - r A t de:1) p/\ q P2) t P3) r --+ ( p V q ) P

Ejercicio No. 19

Instruccio""s: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjt..llto de premisas indicado, anotando en cadapaso, de qué líneas se infiere el enunciado y el nombre dela ley de implicación o equivalencia que lo justifica.

1 Demostrar - ( s V p ) de:1) t ,\ r P

108

2) P - ( t V r ) P3) - s A -, q P

2. Demostrar - s de:1) s - - r P2) P P3) P - ( q A r) P

3. Demostrar - s V t de:1) q - P P2) - s V q P3) - P P

4. Demostrar ( t A - P ) de:1) - r V t P2) ( q A s ) - r P3) s P4) - P A q P

5. Demostrar t A r de:1) - s - t P2) q A r P3) s - - ( P A q) P4) P P

6. Demostrar - s de:1) - q A - r P2) P P3) ( s A P ) - ( q V r ) P

7. Demostrar - ( s V p ) de:1) q - s P2) - s P3) P - q P

8. Demostrar - t de:1) - s V r P2) - q A P P

109

3) r - - t P4) s V q P

9. Demostrar r de:1) ( s A - p) - r P2) - q P3) P - q P4) - q - s P

10. Demostrar r de:1) p A t P2) ( P A q ) - r P3) q P

11. Demostrar s de:1) p - q P2) - P - s P3) - q A t P

12. Demostrar t' de:1)t-t' P2) ( - s A - r) A p P3) ( P V q ) - ( q - r) P4) - q - ( s V t ) P

13. Demostrar -1) - s - t2) t - - P3) - - P V q4) - q

- s de:PPPP

14. Demostrar t de:1) r V s P2) s - q P3) - q V t P4) - r P

110

15. Demostrar - ( - r V q ) de:1) p - q P2) - P - r P3) - q P

Ejercicio No. 20

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjunto de premisas señalado, anotando en cadapaso, de qué líneas se desprende el enunciado y el nombrede la ley de implicación o de equivalencia que lo justifica.

1. Demostrar - ( p V q ) de:1) r A - s P2) r - - q P3) P - s P

2. Demostrar t V P de:1) s - q P2) - r P3) s V t P4) q - r P

3. Demostrar - ( q V -1) - q2) - ( P A q ) ~ r3) - P V - q4) - P - q

r ) p de:PPPP

4. Demostrar s /\ r de:1) q - s P2) P - q P3) P /\ r P

111

5. Demostrar q' A r de:1) - t - ( q A r ) p2) - s A q' P3) - s - - ( p V t) P

6. Demostrar s A t de:1) r - q P2) ~ ( P V q ) P3) s A ~ s' P4) - r - ( t V s' ) P

7. Demostrar r A q de:1)-t-(qAr) P2) ~ s - ~ ( p V t) P3) - s P

8. Demostrar - r V t de:1) - q A s P2) P - - r p3) P V q p

9. Demostrar t A -1) - ( P V - q )2) s3) ( q A s ) - r4) - r V t

p de:pppp

10. Demostrar p A t de:1)(tVq)-r p2) _. r V s P3) t p4) s - P P

11. Demostrar q de:1)-s--+q P2) - P V - t p3) ~ - ( P /\ t ) Jl

112

12. Demostrar q V t de:1) p - - ( r V s ) P2) r V ( s V q) P3) P P

13. Demostrar q A t de:1) - s - ( q V p) P2) s - p' P3) - P A t p4) ~ ( r V p' ) P

14. Demostrar - ( - s /\ ~ t ) de:1) r 1)2) P V ( q V s ) 1>3) r --+ - ( p V q ) P

15. Demostrar r /\ - q de:1) p - q P2) ~ P --+ r p3) - q p

Ejercicio No. 21

Instrucciones: Demuestra que la conclusión se despren-de del conjunto de premisas señalado, anotando en cadapaso, de qué líneas se desprende el enunciado y el nombrede la ley de implicación o de equivalencia que la justifica.

1. Si Antonio ganó la carrera, entonces Bernardo fue elsegundo o Carlos fue el segundo. Si Bernardo fue el se-gundo, entonces Antonio no ganó la carrera. Si Darío fueel segundo entonces Carlos no fue el segundo, Antonio ga-nó la carrera.

Por lo tanto, Darío no fue el segundo.2. Si Tomás tiene 17 años entonces Tomás tiene la mis-

ma edad que Manuel. Si Joaquín no tiene la misma edad

113

que Tomás entonces Joaquín no tiene la misma edad queManuel, Tomás tiene 17 años y Joaquín tiene la mismaedad que Manuel.

Por lo tanto, Joaquín tiene la misma edad que Tomás yTomás tiene la misma edad que Manuel.

3. Si no llueve suficiente entonces la cosecha se perde-rá. Si se pierde la cosecha entonces no habrá suficiente ali-mento en el país. Hay suficiente alimento en el país o elgobierno tendrá que importarlo. El gobierno no importaráalimento.

Por lo tanto, llueve suficiente.

4. Si Kant fue un filósofo moralista entonces, se planteóproblemas acerca de la conducta humana y escribió la Me-tafísica de las Costumbres. Si fue discípulo de Hume en-tonces no escribió la Metafísica de las Costumbres. Fuediscípulo de Hume o vivió en el siglo XVIII. Kant fue un filó-sofo moralista.

Por lo tanto, Kant vivió en el siglo XVIII.

5. Si Sudáfrica es un país democrático, entonces elpueblo es libre y el gobierno es elegido por las mayorías.Sin embargo, no es cierto que, el pueblo sea libre y el go-bierno sea elegido por las mayorías. Si Sudáfrica no es unpaís democrático entonces el gobierno Sudafricano estáimpuesto.

Por lo tanto, el gobierno sudafricano está impuesto.

6. Si los trabajadores requieren un salario que satisfagasus necesidades entonces los patrones deben pagar sala-rios justos. Los patrones no deben pagar salarios justos olos trabajadores tienen razón. Y si los trabajadores tienenrazón entonces tienen derecho a protestar. Si los trabaja-dores tienen derecho a protestar entonces tienen derechoa huelga. Y, Si los trabajadores tienen derecho a huelga y

114

si requieren de un salario que satisfaga sus necesidades,entonces las huelgas son justas. Por supuesto, los trabaja-dores requieren un salario que satisfaga sus necesidades.

Por lo tanto, las huelgas son justas.

7. Si David es más alto que Goliat entonces Salomé esmás baja que Magdalena. Salomé no es más baja queMagdalena. Si David y Joel tienen la misma estatura, en-tonces David es más alto que Goliat.

Por lo tanto, David y Joel no tienen la misma estatura.

8. Si José Martí vivió en Estados Unidos y era pro-imperialista entonces, se opuso a Bolívar. No se opuso aBolívar o Bolívar era proimperialista. Sin embargo, Bolívarnunca fue proimperialista. José Martí sí vivió en Estad0sUnidos.

En consecuencia, José Martí no era pro-imperialista.

9. Si diciembre es un mes caluroso entonces, es un meslluvioso o en diciembre se inicia el verano. Sin embargo, endiciembre no se inicia el verano y tampoco es un mes llu-vioso. Además el verano no es la última estación del añoy tampoco lo es la primavera.

Por lo tanto, no ocurre que, el verano sea la última esta-ción del año o que diciembre sea un mes caluroso.

10. Si Dante es el autor de la Divina Comedia, entoncesesta obra fue escrita en la Edad Media y refleja la teologíamedieval. Pero si Dante vivió en el siglo pasado, entoncesla Divina Comedia no refleja la teología medieval. Sin em-bargo, Dante es el autor de la Divina Comedia.

Por lo tanto, Dante no vivió en el siglo pasado.

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA

Aristóteles, Lógica (Organon). México, Ed. Porrúa. (Sepancuántos ... , 124.)

Cohen, Morris Rafael, Introducción a la Lógica. México,Fondo de Cultura Económica. (Breviario 67.)

Cohen, M. y E. Nagel, Introducción a la Lógica y al MétodoCientífico. Ts. 1 y 2. Buenos Aires, Amorrortu eds.

Copi, Irving, Lógica Simbólica. México, C.E.C.S.A.Introducción a la Lógica. Buenos Aires, EUDEBA.

Deaño Gamallo, Alfredo, Las concepciones de la Lógica.Madrid, Ed. Taurus.Introducción a la Lógica Formal. Madrid, Alianza Ed.

Ferrater Mora, José, Lógica Matemática. México, Fondo deCultura Económica.

Mates, Benson, Lógica Matemática Elemental. Madrid, Ed.Tecnos.

Stebring, L. Susan, Introducción Moderna a la Lógica.México, UNAM.

Suppes y Hill, Introducción a la Lógica Matemática.México, Ed. Reverté.

Suppes, Patrick, Introducción a la Lógica Simbólica.'México, C.E.C.S.A.

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INTRODUCCION A LA LOGICA PROPOSICIONAL,en su cuarta edición, se terminó de imprimirel 7 de diciembre de 1992, en los talleres de

JAM., Arte Gráfico (Av. Baja California 210-304, Col. Roma Sur).La edición estuvo al cuidado de las autoras

y de José Alfredo Torres.

Tercera edición, julio de 1992 Segunda edición, febrero de 1992

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