Universite de Montreal

Sur les solutions invariantes et conditionnellement invariantesdes equations de la magnetohydrodynamique

par

Philippe Picard

Departement de Physique

Faculte des arts et des sciences

These presentee a la Faculte des etudes superieures

en vue de l’obtention du grade de

Philosophiæ Doctor (Ph.D.)

en Physique

decembre 2003

c© Philippe Picard, 2003

ii

Universite de MontrealFaculte des etudes superieures

Cette these intitulee

Sur les solutions invariantes et conditionnellement invariantesdes equations de la magnetohydrodynamique

presentee par :

Philippe Picard

a ete evaluee par un jury compose des personnes suivantes :

Pavel Winternitz

(president-rapporteur)

Alfred Michel Grundland

(directeur de recherche)

Alain Vincent

(membre du jury)

Willy Hereman

(examinateur externe)

Veronique Hussin

(representante du doyen de la FES)

These acceptee le :

v

TABLE DES MATIERES

Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Liste des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Liste des abreviations et Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CHAPITRE 1. Notions de magnetohydrodynamique. . . . . . . . . 6

1.1 Les equations de la magnetohydrodynamique. . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Les lois de conservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 La vorticite en MHD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Le theoreme de la conservation du flot magnetique. . . . . . . . . . 17

CHAPITRE 2. Solutions conditionnellement invariantes des equations

MHD. Ondes multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Les ondes simples pour des systemes quasilineaires d’EDP. . . . . . . 19

2.2 Les ondes simples decrites par le systeme MHD. . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Les ondes simples entropiques (E). . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Les ondes simples d’Alfven (A). . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Les ondes simples magnetoacoustiques rapide (F) et lente (S). . . 40

2.3 Les ondes multiples pour des systemes quasilineaires d’EDP. . . . . . 50

2.4 Les ondes doubles decrites par le systeme MHD. . . . . . . . . . . 55

2.4.1 Les ondes doubles entropiques (E1E1). . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.2 Les ondes doubles d’Alfven (AA). . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.3 Les ondes doubles Alfven-Entropique (AE1). . . . . . . . . . . 62

2.4.4 Les ondes doubles magnetoacoustiques (FF). . . . . . . . . . . 70

2.4.5 Les ondes doubles magnetoacoustique et entropique (FE1). . . . . 74

vi

2.5 Resolution du systeme MHD par imposition de contraintes differentielles. 78

CHAPITRE 3. Reduction par symetrie des equations de la MHD. . 83

3.1 Notions fondamentales sur la theorie des groupes. . . . . . . . . . . 83

3.1.1 Groupe local de transformations. . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.2 Generateur infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.1.3 Groupes et equations differentielles. . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.4 Prolongation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 La methode de reduction par symetrie des equations differentielles. . . 95

3.2.1 Conditions frontieres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.3 La M.R.S appliquee aux equations de la MHD. . . . . . . . . . . . 100

CHAPITRE 4. Conclusion : Discussion et developpements futurs. . 164

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

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7

iii

Resume

Cette these est consacree a la resolution des equations de la magnetohydrody-

namique en (3 + 1) dimensions suivant deux methodes distinctes qui sont basees sur

les reductions par symetries et sur les symetries conditionnelles.

Dans le Chapitre 1, nous rappelons les equations constituant la magnetohydrodyna-

mique (MHD) : celles-ci decrivent l’ecoulement compressible et isentropique d’un flu-

ide ideal et conducteur soumis a un champ magnetique ~H et dont la conductivite

electrique tend vers l’infini. Dans le Chapitre 2, nous presentons d’abord une version

de la methode des symetries conditionnelles pour resoudre des systemes d’equations

aux derivees partielles du premier ordre, quasilineaires, homogenes et du type hyper-

bolique, cela afin d’obtenir des solutions de rang un (ondes simples) qui s’expriment en

termes des invariants de Riemann. Dans la section 2, nous appliquons cette methode

au systeme constitue des equations MHD pour obtenir les ondes simples de type en-

tropiques, d’Alfven, magnetoacoustique lente et rapide qui correspondent aux trois

modes de propagation en MHD. Dans la section 3, nous generalisons cette methode

aux ondes multiples. Ce qui nous permettra dans la section 4 de construire des

ondes doubles decrites par le systeme MHD qui resultent de la superposition non

lineaire de deux ondes simples. Dans la section 5, nous imposons au systeme MHD

des contraintes differentielle desquelles nous obtenons de nouvelles solutions. Dans le

chaptre 3, nous appliquons la methode de reductions par symetries au systeme MHD.

Precisons que l’algebre de symetrie et la classification des sous-algebres (dont les di-

mensions varient entre 1 et 4) par classes de conjugaison ont deja ete calculees dans

un travail anterieur [17]. Ici, nous considerons seulement les sous-algebres du type

similitude galileenne de dimension trois qui nous permettent de reduire le systeme

MHD de depart en un systeme compose d’equations differentielles ordinaires qui don-

nent alors des solutions G-invariantes. Dans le Chapitre 4 nous concluons cette these

par l’analyse des resultats obtenus et des possibles travaux futurs qui en decoulent.

Mots cles: MHD, symetries conditionnelles, invariants de Riemann, onde simple,

onde double, Groupe de Lie, reductions par symetrie, solutions G-invariantes.

iv

Abstract

This thesis is devoted to the resolution of the equations of magnetohydrody-

namics in (3 + 1) dimensions with two different approaches based on the methods of

conditional and classical symmetry reductions.

In Chapter 1, we briefly introduce the equations that constitute magnetohy-

drodynamics. The flow under consideration is assumed to be ideal, nonstationary

and isentropic for a compressible conductive fluid placed in a magnetic field ~H. The

electrical conductivity of the fluid is assumed to be infinitely large. In Chapter 2,

we present in Section 1 a version of the conditional symmetry method for resolving

quasilinear hyperbolic systems of partial differential equations of the first order. The

rank-one solutions (also called simple waves solutions) obtained by this method are

expressed in terms of Riemann invariants. In Section 2, we use it to obtain simple

waves of MHD system equations. Section 3 generalizes the above construction to the

case of many simple waves described in terms of Riemann invariants. In Section 4

we present some double waves solutions admitted by the MHD equations. Finally,

in Section 5 we impose some differential constraints in order to get some new classes

of solutions. In Chapter 3, we have applied the symmetry reduction method to the

MHD system of equations. The symmetry algebra and its classification by conju-

gacy classes of r-dimensional subalgebras (1 ≤ r ≤ 4) was already known [17]. We

restrict our study to the three dimensional galilean similitude subalgebras that give

systems of ordinary differential equation from which we obtain G-invariant solutions.

Finally, Chapter 4 contains conclusions of the obtained results and possible futures

developments.

Key words : MHD, conditional symmetry, Riemann invariants, simple wave, double

wave, Lie groups, symmetry reduction, G-invariant solutions.

viii

Liste des abreviations

E.D.O. : equations differentielles ordinaires

E.D.P. : equations aux derivees partielles

M.H.D. : magnetohydrodynamique

M.R.S. : methode de reduction par symetrie

M.S.C. : methode des symetries conditionnelles

Onde Ei (i = 1, 2, 3) : onde simple entropique

Onde A : onde simple d’Alfven

Onde S/F : onde simple magnetoacoustique lente (S)/rapide (F )

Notation

εijk : symbole de Levi-Cevita

δij : symbole de Kronecker

E : espace des variables independantes

U : espace des variables dependantes

Γf : graphe de la fonction u = f(x)

~ei ; (i = 1, 2, 3) : vecteurs orthonormes formant le repere de coordonnees cartesiennes

x =(t, ~x = (x, y, z)

)∈ E ⊂ IR4 : variables independantes

ρ : densite du fluide

p : pression hydrodynamique du fluide

~v = (ui) = (u, v, w), (i = 1, 2, 3) : velocite du flot

~H = (Hi) = (H1,H2,H3), (i = 1, 2, 3) : champ magnetique

u =(ρ, p, ~v, ~H) ∈ U ⊂ IR8 : variables dependantes

κ : exposant adiabatique du fluide

a =(κp/ρ

) 12

: vitesse de propagation du son dans le fluide

~Fm = − 14π

~H × (∇× ~H) = − 18π∇| ~H|2 +

14π

( ~H · ∇) ~H : la force de Lorentz

ix

M = Ji, Ki, Pµ, F, G, H : l’algebre de symetrie du type similitude-galileenne des

equations de la MHD dont voici la liste des generateurs infinitesimaux qui l’engendrent

Pµ = ∂xµ , (µ = 0, 1, 2, 3) : translations,

Ki = t∂xi + ∂ui , (i = 1, 2, 3) : boosts galileens,

Jk = εijk

(xj∂xj + uj∂uj + Hj∂Hj

), (i, j, k = 1, 2, 3) : rotations,

F = xµ∂xµ , (µ = 0, 1, 2, 3) : dilatation,

G = −t∂t − 2ρ∂ρ + u∂u + v∂v + w∂w : dilatation,

H = 2ρ∂ρ + 2p∂p + H1∂H1 + H2∂H2 + H3∂H3 : dilatation et centre de l’algebre M ,

R et A : les invariants des sous-algebres etudiees qui sont associes respectivement a

la densite et a la pression du fluide,

U , V et W : les invariants des sous-algebres etudiees qui sont associes respectivement

aux composantes de la vitesse ~v du flot,

X, Y et Z : les invariants des sous-algebres etudiees qui sont associes respectivement

aux composantes du champ magnetique ~H,

s est designee comme etant la variable de symetrie de la sous-algebre etudiee.

( )′ =d

ds[ ] : la derivee d’une quantite par rapport a la variable s.

Les constantes arbitraires sont denotees par Co, C1 et C2 ∈ IR ; Ro, Ao; Uo, Vo, Wo; Xo,

Yo, Zo sont des constantes arbitraires reelles associees respectivement a la densite ρ et

a la pression p, aux composantes de la vitesse ~v et du champ magnetique ~H.

x

Remerciements

Comme il est coutume de le faire, l’etudiant temoigne d’abord sa profonde

gratitude envers son directeur de these. Dans mon cas, je dois souligner avec em-

pressement sa contribution inestimable a l’avancement de ma these, en l’occurence le

professeur Alfred Michel Grundland. En effet, je lui serais toujours redevable pour

m’avoir initie a la physique mathematique notamment grace a son excellent cours

“Equations de la Physique Mathematique” et de ses innombrables cours personnels

traitant de l’application de la theorie des groupes aux equations differentielles. Sans

cet apport academique absolument indispensable, cette these n’aurait pas abouti. Je

le remercie aussi pour son support financier.

Aussi, je voudrais exprimer ma profonde reconaissance envers le professeur Pavel

Winternitz qui a fortement enrichi mes connaissances sur le sujet notamment avec

son cours “Symetries et Equations Differentielles” et ses judicieux conseils.

Je tiens a souligner la contribution des professeurs Raynald Laprade, ancien directeur

du departement de physique, et Jean Le Tourneux qui m’ont permis d’entreprendre

ce present doctorat a l’automne 1999 sous la gouverne du professeur Alfred Michel

Grundland et surtout pour avoir veille a son bon deroulement.

Egalement, je ne peux passer sous silence le soutien constant et le professionnal-

isme du personnel du Centre de Recherches Mathematiques, dont le travail contribue

grandement a creer un milieu propice a la recherche.

J’aimerais ensuite remercier les membres du jury pour le temps consacre a l’evaluation

de ce present travail.

Finalement, je ne peux oublier le support tant materiel (couvert et gıte) que

psychologique de mes parents, soient mon pere Jean Picard et ma mere Marie Marthe

Gauthier. Sans leur aide, l’accomplissement de cette these n’aurait ete possible.

1

Introduction

L’objectif de cette these est de trouver certaines classes de solutions pour

les equations de la magnetohydrodynamique (MHD) avec l’approche des symetries

ponctuelles de Lie. Celles-ci sont effectuees en appliquant d’abord des cas partic-

uliers de la methode des symetries conditionnelles dans le but de construire des ondes

multiples de Riemann, et ensuite d’y appliquer la methode de reduction par symetrie

(MRS). Les equations MHD etudiees dans ce travail decrivent le flot isentropique et

non stationnaire d’un fluide ideal, conducteur et compressible soumis a un champ

magnetique ~H. Les effets dissipatifs sont negligeables: la viscosite et la conductivite

thermique du fluide sont nulles. La conductivite electrique σ est suffisament elevee

pour que σ 7→ ∞. Nous supposons qu’il n’y a aucune force externe agissant sur le

fluide. Le milieu considere est isotrope, sans conditions frontieres et initiales. Sous

les hypotheses ci-haut considerees, les equations MHD en (3 + 1) dimensions peuvent

s’exprimer par un systeme d’equations aux derivees partielles (EDP) du premier ordre

qui est quasilineaire et hyperbolique

∂ρ

∂t+ (~v · ∇)ρ + (∇· ~v)ρ = 0 ,

ρ∂~v∂t

+ ρ(~v · ∇)~v +∇p +14π

~H × (∇× ~H) = 0 ,

∂p

∂t+ (~v · ∇)p + κ(∇· ~v)p = 0 ,

∂ ~H

∂t−∇× (~v× ~H) = 0 ,

∇· ~H = 0 .

(I)

Les variables dependantes sont notees par ρ, p, ~v = (u, v, w), et ~H = (H1,H2,H3), qui sont

respectivement la densite et la pression hydrodynamique du fluide, la vitesse du flot

2

et le champ magnetique, κ est l’exposant adiabatique. Les variables independantes

sont denotees par (xµ) = (t, x, y, z) ⊂ IR4 , µ = 0, 1, 2, 3.

Dans la premiere partie de la these, nous introduisons une nouvelle variante

de la methode des symetries conditionnelles (MSC) telle que presentee par A.M.

Grundland et J. Tafel [14], [15] pour construire des ondes multiples. Le principe

de base de cette approche consiste a ajouter au systeme de depart certaines con-

traintes differentielles du premier ordre qui doivent satisfaire le critere de symetrie

infinitesimal. Le systeme d’equations surdetermine ainsi obtenu, donne dans certains

cas un plus large eventail de symetries de Lie ponctuelles et permet alors d’obtenir

de nouvelles classes de solutions du systeme de depart. La MSC a ete developpee

a l’origine par G. Bluman et J. D. Cole [9], puis developpee notamment par P. A.

Clarkson et P. Winternitz [6], P. J. Olver et P. Rosenau [28], W. I. Fushchych [13].

Pour plus amples informations a ce sujet, on consultera les auteurs P. J. Olver et

E.M. Vorobev qui donnent une revue de la MSC dans [29] (vol.3, chap. 11).

Concernant la methode de reduction par symetrie (MRS) appliquee aux equations

MHD, certaines etapes ont deja ete completees. Voici brievement le travail accompli.

L’algebre de symetrie du systeme MHD, denotee par M , a ete determinee par A.M.

Grundland et al. [16], et independamment par J.C. Fuchs [12]. Elle est engendree par

les 13 generateurs suivants

Pµ =∂xµ , F = xµ∂xµ , i = 1, 2, 3, µ = 0, 1, 2, 3,

K1 =t∂x + ∂u, K2 = t∂y + ∂v, K3 = t∂z + ∂w,

qui sont identiques a ceux obtenus pour la dynamique des fluides compressibles et

ideaux [16], auxquels viennent s’ajouter les generateurs

G =− t∂t − 2ρ∂ρ + u∂u + v∂v + w∂w,

H =2ρ∂ρ + 2p∂p + H1∂H1 + H2∂H2 + H3∂H3 ,

J1 =(y∂z − z∂y) + (v∂w − w∂v) + (H2∂H3 −H3∂H2),

J2 =(z∂x − x∂z) + (w∂u − u∂w) + (H3∂H1 −H1∂H3),

J3 =(x∂y − y∂x) + (u∂v − v∂u) + (H1∂H2 −H2∂H1).

3

Les generateurs Pµ, Ki, et Jk sont associes respectivement aux translations spatiales

et temporelle, aux boosts galileens, et aux rotations. Les generateurs F , G et H

representent des dilatations. Les relations de commutation entre les generateurs sont

les suivantes :

(I) L’algebre galileenne est engendree par Pµ, Jk,Ki:

[Ji, Jj ] = εijkJk , [Ji, Pj ] = εijkPk , [Ji, Po] = 0,

[Ji,Kj ] = εijkKk , [Ki, Po] = −Pi, [Ki,Kj ] = 0,

[Pi, Pj ] = 0, [Ki, Pj ] = 0.

Ici εijk est le symbole de Levi-Cevita avec i, j, k = 1, 2, 3.

(II) L’algebre similitude-galileenne est engendree par Pµ, Jk,Ki, F, G,H:

[F, Po] = −Po, [F, Pi] = −Pi, [F,Ki] = 0,

[F, JG] = 0, [G, Ji] = 0, [F,Ki] = 0,

[G,Po] = Po, [G, Pi] = 0, [G,Ki] = −Ki ,

ou H est le centre de l’algebre M .

Par la suite A.M. Grundland et al. [17] ont classifie les sous-algebres du type similitude

galileenne par les classes de conjugaison dont les dimensions varient entre 1 et 4 inclu-

sivement. Leur methode de classification est basee sur un algorithme developpe par

J. Patera et al. [31] [32]. Precisons que la classification des sous-algebres galileennes

a ete etablie precedemment par L. Gagnon et al. [26].

Dans cette these, nous utilisons systematiquement la structure des sous-groupes

d’invariance de la MHD pour obtenir toutes les reductions par symetrie. Nous nous

limitons ici au cas quand les variables de symetrie sont invariantes par rapport aux

sous-groupes ayant des orbites generiques de codimension 1 dans l’espace des vari-

ables independantes. La MRS permet de reduire le systeme MHD de depart en un

systeme compose d’equations differentielles ordinaires (EDO). Ensuite, on etudie la

structure des singularites des EDO pour determiner si elles possedent les proprietes

4

de Painleve. Nous donnons en detail la procedure de construction des solutions des

systemes reduits et nous presentons une interpretation physique des resultats obtenus.

De nombreux travaux sur les equations MHD ont ete effectues en employant les

algebres galileenes, citons notamment Fuchs [12], Coggeshall [8], Infeld [23]. A

notre connaissance, aucune recherche basee sur les sous-algebres similitude-galileennes

n’a ete effectuee jusqu’a maintenant. Par consequent, dans ce travail nous utilisons

systematiquement ce type de sous-algebres pour etudier les equations MHD en (3+1)

dimensions. Le nombre de sous-algebres de dimension trois determinees par les classes

de conjugaison est egale a 104. Parmis tous ces representants, 92 de ceux-ci nous

menent a des systemes reduits d’EDO. Pour les douze sous-algebres restantes, le rang

de la matrice caracteristique constituee des champs vectoriels associes a ces sous-

algebres est de rang 1 (i.e. le defaut de structure de la solution δ = rang [Qαk ] = 1).

Donc les solutions correspondantes sont partiellement invariantes (SPI), cependant

nous ne les abordons pas de maniere systematique dans cette these.

Le corps de la these sur ce sujet comporte trois chapitres. Dans le Chapitre

1, nous introduisons les equations classiques de la MHD (cf.(I)) par une breve in-

terpretation physique de celles-ci. Ensuite nous donnons les lois de conservation de

l’impulsion et de l’energie. Puis nous concluons par le theoreme de Kelvin concernant

la vorticite du fluide et le theoreme de conservation du flot magnetique.

Dans le Chapitre 2, a la section 1 ; nous presentons la methode de construc-

tion des solutions de rang un (ondes simples de Riemann) pour des systemes d’EDP

hyperboliques et quasi-lineaires du premier ordre. Pour obtenir ces classes de solu-

tions, une version de la MSC a ete developpee a partir d’une distribution abelienne

de champs vectoriels constituant les symetries du systeme d’EDP de depart et qui

est sujette a certaines contraintes differentielles du premier ordre. Dans la section

2, nous appliquons cette methode pour construire des ondes simples de Riemann qui

sont admises comme solutions du systeme MHD en (3 + 1) dimensions. Par la suite

nous retrouvons les trois modes de propagation presents en MHD ; ceux-ci sont deja

5

connus dans la litterature traitant du sujet: Boillat [3], L. Landau et E. Lifshitz [25];

les ondes entropiques, d’Alfven et magnetoacoustiques lente et rapide. La section 3

contient une generalisation de la MSC ayant comme but de construire des solutions

de rang k (k ≥ 2). Cela inclut les ondes multiples de Riemann (k-ondes). Dans la

section 4, on applique la methode presentee dans la section 3 pour construire des

ondes doubles admises comme solutions du systeme MHD : nous en avons trouve

une quinzaine. Finalement la section 5 est consacree a la resolution du systeme

MHD par l’imposition de contraintes differentielles du type “side conditions” telles

que discutees dans [30]. Dans certains cas, nous retrouvons les resultats obtenus par

la MSC mais aussi de nouvelles solutions sont trouvees et une certaine interpretation

physique y sera donnee.

Dans le Chapitre 3, section 1 nous resumons l’application de la theorie des

groupes aux equations differentielles. Ce qui nous permet d’introduire dans la section

2 la MRS par une breve synthese de celle-ci et de son application aux equations MHD

dans la section 3 : nous presentons les solutions des systemes reduits et donnons

une certaine interpretation physique des resultats obtenus.

Le Chapitre 4 contient les conclusions et les developpements futurs. En parti-

culier, nous considerons la possibilite de traiter les solutions partiellement invariantes

en y presentant un exemple. Nous voudrions souligner que tres peu de ces classes de

solutions sont donnees dans la litterature traitant de MHD. Celles-ci feront l’objet

d’un travail futur.

Finalement, soulignons que cette these a fait l’objet de deux publications (sous

presse) :

A.M. Grundland and P. Picard, “On Conditionally Invariant Solutions of Magneto-

hydrodynamic Equations. Multiple Waves”,J. Nonlinear Math. Phys. 11,1,(2004).

A.M. Grundland and P. Picard, “Invariant and Conditionally Invariant Solutions

of Magnetohydrodynamic Equations in (3+1) Dimensions”, Proceedings of the Fifth

International Conference SYMMETRY in Nonlinear Mathematical Physics,(2004).

6

1. Notions de magnetohydrodynamique.

1.1 Les equations de la magnetohydrodynamique.

Dans ce chapitre, nous debutons par une breve description des equations for-

mant la magnetohydrodynamique ideale et leurs conditions de validite. Ensuite nous

donnons les lois de conservation (impulsion et energie) et la vorticite du fluide. Puis

nous conclurons par le theoreme de conservation du flot magnetique. Nos principales

references sont les ouvrages de Davidson [10], Landau et Lifshitz [25], et Shih-Pai [37].

Nous considerons un fluide conducteur, de densite ρ, qui s’ecoule dans un

champ magnetique externe ~B sans dissiper d’energie ; le fluide est dit parfait ou ideal.

La presence du champ ~B influence le mouvement hydrodynamique des porteurs de

charge qui composent le fluide : des champs electriques y sont induits et il en resulte

des courants electriques. Mais, des forces d’origine electromagnetique agissent sur ces

courants et peuvent alors modifier notablement le mouvement du fluide. D’autre part,

ces memes courants electriques changent le champ magnetique lui-meme. Les effets

hydrodynamiques et electromagnetiques sont donc inter-relies. Qualitativement pour

decrire le mouvement du fluide, on doit ajouter aux equations de l’hydrodynamique

celles de Maxwell qui regissent les interactions electromagnetiques entre ~B et la vitesse

du flot ~v. Nous obtenons alors un systeme d’equations couplees qui composent la

magnetohydrodynamique (MHD).

Nous commencons par l’equation de continuite :

∂ρ

∂t+∇· (ρ~v

)= 0. (1.1.1)

qui represente la conservation de la masse a l’interieur d’un volume fixe.

7

On introduit la derivee lagrangienne (ou convective) qui donne la variation d’une

quantite dans le referentiel se deplacant avec une particule de fluide :

d

dt≡ ∂

∂t+ (~v · ∇) . (1.1.2)

Dans l’equation (1.1.2), la partie ∂/∂t donne la variation dans le temps en un point

fixe alors que (~v · ∇) traduit le changement spatial dans la direction de ~v resultant du

deplacement du fluide a un instant donne.

L’equation de continuite se recrit dans le referentiel en mouvement comme suit :

dρ

dt+ ρ

(∇· ~v)= 0. (1.1.3)

Ensuite nous avons l’equation d’Euler

ρd~vdt

= −∇p + ~Fem . (1.1.4)

qui donne le bilan des forces volumiques (force par unite de volume) agissant sur un

element de fluide : p etant la pression hydrodynamique exercee par la matiere envi-

ronnante, les seules forces exterieures presentes sont d’origine electromagnetique: ~Fem

(on y reviendra plus loin), l’influence de la gravite est supposee ici comme negligeable.

Les interactions electromagnetiques sont decrites par les equations de Maxwell ex-

primees en unites gaussiennes (cgs) :

∇× ~E = −1c

∂ ~B

∂t; loi de Faraday, (1.1.5)

∇× ~H =4π

c~J +

1c

∂ ~E

∂t; loi d’Ampere, (1.1.6)

∇· ~B = 0 ; inexistance de monopoles magnetiques, (1.1.7)

ou c est la vitesse de la lumiere dans le vide, ~E, ~H, et ~J sont respectivement le champ

electrique, l’intensite magnetique et la densite de courant. Le milieu considere n’est

pas magnetique si bien que la permeabilite µm est proche de l’unite : ~B ∼ ~H.

8

Par ailleurs, la densite de courant ~J est reliee aux champs ~E et ~B par la loi d’Ohm

~J = σ

(~E +

~v× ~B

c

), (1.1.8)

ou le champ d’induction electrique (~v× ~B)/c s’ajoute au champ electrique ~E produit

dans le repere fixe, la conductivite electrique σ est scalaire et elle n’est pas modifee

par la presence du champ magnetique ~B ; le milieu considere est isotrope.

La validite de la magnetohydrodynamique repose sur trois conditions auxquelles sont

associees les trois parametres suivants :

(i) la vitesse du flot est non relativiste :

Rc ≡ |~v|2c2

¿ 1,

(ii) le champ electrique mesure ~Eo et le champ d’induction sont du meme ordre :

Re ≡ cEo

voHo∼ 1,

ou l’indice “o” specifie les valeurs experimentales. Puisque le fluide est un conducteur

parfait (σ →∞), pour des valeurs finies de ~J et ~B il faut donc que ~E + (~v× ~B)/c = 0.

(iii) l’echelle de temps consideree to est du meme ordre que le rapport entre la longueur

caracteristique L : la distance sur laquelle ~v et ~H varient notablement et ~vo :

Rt ≡ tovo

L∼ 1 ,

autremement dit, les phenomenes de hautes frequences sont ignores.

Ces conditions nous permettent de faire certaines approximations. Pour les justifier,

nous introduisons les variables sans dimension suivantes (toutes proches de l’unite) :

x∗ =x

L, ∇∗ = L · ∇, t∗ =

t

to, ~V ∗ =

~vvo

,

~E∗ =~E

Eo, ~H∗ =

~H

Ho, ~J∗ =

c ~J

σvoHo.

9

La loi d’Ampere (1.1.6) s’exprime en terme de ces quantites comme suit:

1Rσ

∇∗ × ~H∗ = ~J∗ +Rc

Rσ

∂ ~E∗

∂t∗, (1.1.9)

ou

Rσ =4πσ

c2Lvo

est une quantite sans dimension appelee le nombre de Reynolds magnetique. En

pratique, pour un fluide conducteur, on a Rc/Rσ ¿ 1. Par consequent, le courant

de deplacement, qui correspond au dernier terme de l’equation (1.1.9), est toujours

negligeable par rapport au rotationnel de ~H.

Ainsi la loi d’Ampere (1.1.6) se resume a

∇× ~H =4π

c~J , (1.1.10)

ou l’on note que ∇· ~J = 0 : le courant de deplacement est effectivement nul.

Maintenant nous pouvons determiner l’equation d’evolution de ~H a partir de

la loi de Faraday (1.1.6) dans laquelle les variables ~E et ~J sont eliminees aux moyens

des equations (1.1.8) et (1.1.10) pour obtenir :

∂ ~H

∂t= ∇× (~v× ~H) + νH∇2 ~H , (1.1.11)

ou

νH =c2

4πσ=

Lvo

Rσ

est la viscosite magnetique. L’equation (1.1.11) met en evidence le couplage entre ~H et

le champ de vitesse ~v ; si le mouvement du fluide est connu, elle decrit l’evolution de

~H. De plus, il ressort de cette equation deux mecanismes differents qui font evoluer

~H en un point donne : le premier depend de la vitesse du fluide alors que l’autre est

proportionnel a sa resistivite.

Supposons que le fluide soit au repos, l’equation (1.1.11) se reduit a

∂ ~H

∂t= νH∇2 ~H.

10

Sous cette forme, on retrouve l’analoge vectorielle d’une equation de diffusion : νH

etant le coefficient de diffusion de ~H. Ceci exprime le fait que toute perturbation

locale de ~H tend a s’attenuer par diffusion dans un temps de relaxation τd ∼ 1/νH .

Au contraire, quand la conductivite electrique σ → ∞ ⇔ νH → 0 (ou Rσ À 1),

c’est-a-dire pour des durees t ¿ τd : ce qui correspond aux conditions de validite de

la MHD, on a comme equation d’evolution de ~H :

∂ ~H

∂t= ∇× (~v× ~H). (1.1.12)

Le mecanisme de convection est dominant: les lignes de force sont alors entraınees

avec le fluide. Nous le prouverons dans la derniere section de ce chapitre.

Pour calculer ~v a partir de l’equation d’Euler (1.1.4), on doit d’abord faire le bilan des

forces volumiques d’origine electromagnetique :

~Fem = ρe~E + ~Fm

ou ρe~E est la force electrique par unite de volume engendree par la densite de charge

ρe et ~Fm est la force de Lorentz volumique :

~Fm =1c

~J × ~H .

En comparant la force electrique et la force de Lorentz ~Fm, on a

|ρe~E|

1c | ~J × ~B|

∼ Rc ¿ 1 :

ceci confirme l’hypothese du conducteur parfait car tout ecart a la neutralite electrique

du fluide est immediatement compensee, on peut donc considerer ρe = 0.

En tenant compte de l’expression (1.1.9), la force de Lorentz s’ecrit

~Fm = − 14π

~H × (∇× ~H) ,

qui peut egalement s’exprimer sous la forme

~Fm = − 18π∇| ~H|2 +

14π

( ~H · ∇) ~H. (1.1.13)

11

Pour mettre en evidence l’action qu’exerce ~H sur la matiere fluide, on exprime ~Fm

dans le repere de Frenet-Serret fixe a une ligne de force locale qui se deplace avec le

fluide [11]. On note par ~τ , ~n et ~b les vecteurs unitaires formant ce repere et ceux-ci

sont respectivement tangentiel, normal et binormal a cette ligne de force locale. Les

derivees dans ces directions respectives sont notees par : ∂/∂τ , ∂/∂n et ∂/∂b.

Dans le repere de Frenet-Serret, on exprime

( ~H · ∇) ~H = ~H∂

∂b(H~τ) =

τ

2∂

∂b(| ~H|2) +

| ~H|2Rc

~n

en precisant que

∂~τ

∂b=

~n

Rc

ou Rc est le rayon de courbure locale. La force de Lorentz s’ecrit donc dans ce repere:

~Fm =14π

(| ~H|2Rc

− 12

∂

∂n(| ~H|2)

)~n− 1

8π

(∂

∂b(| ~H|2)

)~b . (1.1.14)

Ainsi, dans le plan perpendiculaire a ~H (i.e. le plan normal forme par les vecteurs ~n et

~b), la force de Lorentz ~Fm est la somme d’un gradient de pression isotrope, appelee la

pression magnetique : pM = | ~H|2/8π, et d’une tension magnetique (ou force de traction)

qui “tend” les lignes de force (comme des cordes elastiques soumises a une tension)

dans la direction ~n (i.e. le terme | ~H|2/Rc provenant de ( ~H · ∇) ~H).

Nous obtenons alors la forme definitive de l’equation d’Euler (1.1.4) :

ρd~vdt

+∇p +14π

~H × (∇× ~H) = 0. (1.1.15)

Pour decrire completement le flot, on doit ajouter aux equations (1.1.1), (1.1.12)

et (1.1.15) l’equation d’etat qui relie la densite ρ et la pression p. Le fluide etant parfait:

il n’y aucune dissipation d’energie sous forme de frottement, ni d’echange de chaleur

entre le fluide et le milieu environnant. Ces conditions sont verifiees par les relations:

Rν ≡ voL

ν¿ 1 , RK ≡ K

cp¿ 1

12

ou Rν est le nombre de Reynolds hydrodynamique, ν est la viscosite cinematique, K est

la conductivite thermique, et cp est la chaleur specifique du fluide a pression constante

par unite de volume.

L’ecoulement du fluide est adiabatique (absence d’apport calorifique) de sorte que

l’entropie s du fluide est une quantite conservee le long du flot :

ds

dt= 0.

Ceci implique que tout processus est par nature reversible. Le flot est dit isentropique.

En MHD, l’approximation du gaz parfait est valable pour decrire la fonction d’etat du

fluide en equilibre thermodynamique. Selon la theorie cinetique classique, l’equation

d’etat d’un tel gaz s’exprime par

p = ρRT

ou R est la constante specifique propre au gaz et T est sa temperature. La chaleur

specifique a volume constant cv est reliee a cp par l’equation de Mayer :

cp − cv = R .

On considere ici cp et cv comme des constantes. Dans ce cas l’entropie est donnee par

s = cv ln [pρ−κ] + so ,

ou so est une constante arbitraire et κ = cp/cv est l’exposant adiabatique qui vaut en

particulier 5/3 pour un gaz monoatomique situe dans un espace a trois dimensions.

On peut alors relier p et ρ par une fonction de l’entropie

A (s) =p

ρκ,

ou A(s) satisfait la loi de conservation (1.1.15) qui donne en considerant (1.1.3) :

dp

dt+ κ(∇· ~v)p = 0 . (1.1.16)

13

Maintenant nous sommes en mesure d’introduire le systeme MHD qui se compose des

equations (1.1.1), (1.1.15), (1.1.16), (1.1.12) et (1.1.7) disposees dans l’ordre suivant

dρ

dt+ (∇· ~v)ρ = 0 ,

ρd~vdt

+∇p +14π

~H × (∇× ~H) = 0 ,

dp

dt+ κ(∇· ~v)p = 0 ,

∂ ~H

∂t−∇× (~v× ~H) = 0 ,

∇· ~H = 0 .

(1.1.17)

Celles-ci, appelees aussi les equations de Lundquist, decrivent completement le mou-

vement du fluide et le champ magnetique ~H dans lequel il s’ecoule. Elles forment un

systeme hyperbolique compose de neuf equations aux derivees partielles quasilineaires

du premier ordre dont les inconnues sont les composantes de ~v = (u, v, w), la densite

ρ, la pression p, et les composantes de ~H = (H1, H2, H3).

Les equations (1.1.17) sont invariantes sous les transformations de Galilee entre

deux referentiels K et K ′ en mouvement l’un par rapport a l’autre suivant une vitesse

constante ~vo. Les lois de transformations correspondantes s’ecrivent :

t′ = t , ~x′ = ~x + ~vo t , ~v′ (~x′, t′) = ~v (~x, t) + ~vo t ,

ρ′ (~x′, t′) = ρ (~x, t) , p′ (~x′, t′) = p (~x, t) ,

~H ′ (~x′, t′) = ~H (~x, t) , ~E′ (~x′, t′) = ~E (~x, t)− ~vo × ~H (~x, t) .

Cela traduit le caractere non-relativiste du flot exprime par la condition (i).

Nous terminons cette section a propos des systemes d’unites employes en

MHD. Dans le present travail, nous optons pour le systeme cgs dont les unites fon-

damentales sont la longueur (en cm), la masse (en g) et le temps (en seconde). En

unites MKSA ou SI, les equations MHD conservent la meme forme que celles ex-

primees en unites cgs a l’exception de l’equation d’Euler (1.1.15) dont le facteur 1/4π

est remplace par 1/µo ou la permeabilte du milieu considere est proche de celle du

vide (i.e. µm ∼ µo).

14

1.2 Les lois de conservation.

Dans cette section nous resumons les lois de conservation de l’impulsion et de

l’energie qui sont obtenues a partir des equations de la MHD.

Conservation de l’impulsion.

A l’aide des equations (1.1.3) et (1.1.5) on obtient la loi de conservation de l’impulsion

∂(ρui)∂t

= −∂Πhik

∂xk− ∂Πm

ik

∂xk, i, k = 1, 2, 3 , (1.2.1)

avec la sommation implicite sur l’indice k, cette equation contient les termes :

Πhik = ρuiuk + p δik : le tenseur flux de densite d’impulsion hydrodynamique, (1.2.2)

ou ρ ui uk correspond au transport de la composante ρui dans la direction i de

l’impulsion par les particules de fluide en mouvement dans la direction k, et p δik

est le transport de l’impulsion associe aux forces de pression :

Πmik =

14π

[12δik| ~H|2 −HiHk

]: le tenseur des contraintes de Maxwell, (1.2.3)

dont la divergence donne la force de Lorentz ~Fm (e.g. (1.1.13))

Conservation de l’energie.

La loi de conservation de l’energie s’exprime sous la forme abregee

∂

∂t(Eh + Em) = −∇· (~qh + ~S) . (1.2.4)

Les quantites Eh et ~qh sont respectivement la densite d’energie et le flux d’energie

hydrodynamique qui resultent exclusivement du mouvement du fluide :

Eh = Ec + ρK (1.2.5)

ou Ec =12ρ|~v|2 est l’energie cinetique et K =

1κ− 1

p

ρest l’energie interne.

~qh = ~qc + ρW~v ; (1.2.6)

~qc =ρ|~v|2

2~v est le flux associe a l’energie cinetique et W = K +

p

ρest l’enthalpie.

15

On doit ajouter aux equations (1.2.5) et (1.2.6) la densite d’energie magnetique Em :

Em =| ~H|28π

, (1.2.7)

precisons que la densite d’energie electrique est negligeable puisque Ec ∼ Rc| ~H|2/8π.

Le flux d’energie electromagnetique est donne par le vecteur de Poynting ~S :

~S =14π

~H × (~v× ~H). (1.2.8)

Maintenant nous pouvons prouver l’assertion du debut : a savoir que les effets

hydrodynamiques et electromagnetiques sont effectivement couples. Pour cela, nous

separons l’equation de conservation de l’energie en deux sous-equations :

∂Ec

∂t= −∇· ~qc − (~v · ∇p) + (~Fm · ~v) , (1.2.9)

qui signifie que la variation temporelle de l’energie cinetique Ec resulte des puissances

exercees par les forces de pression et de Lorentz et aussi des pertes causees par le flux

d’energie cinetique ~qc traversant la surface de l’element de fluide.

De meme que

∂Em

∂t= −(~Fm · ~v)−∇· ~S , (1.2.10)

indique egalement que la variation temporelle de l’energie magnetique Em resulte de

la puissance exercee par la force de Lorentz et des pertes causees par le flux d’energie

de Poynting traversant la surface de l’element de fluide.

Les deux equations (1.2.9) et (1.2.10) nous demontre clairement qu’un change-

ment dans l’energie cinetique amene un changement dans les forces magnetiques qui

consequemment influencent a leur tour le mouvement du fluide.

16

1.3 La vorticite en MHD.

La circulation de la vitesse se definit par l’integrale

Γc =∮

C

~v · ~d` =∫

S

~ω · n ds (1.3.1)

faite le long d’un contour ferme entourant l’element de fluide considere. En utilisant

le theoreme de Stokes, ou l’integration est faite sur la surface S bornant l’element

de fluide, on a introduit le champ de vecteur ~ω = ∇× ~v qui est appele vorticite de

l’ecoulement.

En presence d’un champ magnetique ~B, la variation de Γc est donnee par

dΓc

dt=

∮

C

d~vdt· ~d` =

∫

S

d~ω

dt· n ds . (1.3.2)

Pour determiner la variation de ~v, on utilise l’equation d’Euler (1.1.4) exprimee sous

la forme de Lamb

d~vdt

≡ ∂~v∂t

+ ~ω × ~v +12∇[ |~v|2] = −1

ρ∇p− 1

4πρ~H × (∇× ~H). (1.3.3)

En prenant le rotationnel de l’equation (1.3.3), on obtient la variation de ~ω

D [~ω] ≡ d~ω

dt+ (∇· ~v)~ω − (~ω · ∇)~v = − 1

ρ2[∇ρ×∇p] +

14π∇×

[1ρ

[ ~H × (∇× ~H)]]

. (1.3.4)

En l’absence de ~H, pour un fluide parfait dont la densite ρ s’exprime comme une fonc-

tion de la densite (fluide barotrope) et soumis a des forces conservatrices (i.e. derivant

d’un potentiel), la circulation est une quantite conservee (i.e. dΓc/dt = 0) et ~ω obeit

a une equation d’evolution ayant la meme forme que l’equation (1.1.12) ; les lignes

de vorticite sont entraınees avec celles du fluide. C’est precisement le theoreme de

Kelvin.

Par contre, ce theoreme n’est plus valide en MHD du fait que la force de

Lorentz n’est pas necessairement conservatrice : elle communique au fluide un mou-

vement de rotation. Dans ce cas, il demontrable que D [~ω] ≥ 0 et |~ω| est donc une

fonction croissante [37].

17

1.4 Le theoreme de la conservation du flot magnetique.

Suite a l’equation (1.1.12), nous avons affirme que pour un fluide parfait, les

lignes de force de ~H etaient entraınees avec le flot par convection. Dans cette section,

nous l’attesterons en prouvant le theoreme de la conservation du flot magnetique ou

aussi connu comme le theoreme de convection. Celui-ci a ete enonce par Alfven [2].

Considerons un fluide conducteur dont l’ecoulement est adiabatique et soumis

a un champ magnetique ~H. A un instant t donne, soient C un contour ferme bornant

un element de fluide et ` une ligne de force de ~H. A un instant ulterieur t′, les elements

du fluide se sont deplaces : les points de la ligne ` decrivent maintenant la ligne `′,

idem pour le contour C qui s’est transforme en un contour C ′. Par le theoreme de

convection, il s’ensuit que le flux magnetique Φ(C ′) passant a travers C ′ est egale au

flux initial Φ(C) passant par C, de meme que la ligne de force magnetique `′ se confond

avec la ligne de force initiale `. Il y a donc conservation du flot magnetique.

La demonstration de ce theoreme comporte deux parties. Debutons par l’equation

(1.1.5) que l’on integre comme suit :

∫

s

(∇× ~E) · n ds = −1c

∫∂ ~H

∂t· n ds , (1.4.1)

ou n est un vecteur unitaire normal a la surface S delimitant l’element de fluide. Par

le theoreme de Stokes et a l’aide de l’equation (1.1.6), l’expression (1.4.1) se recrit :

∮

C

[ ~E +(~v× ~H)

c] · ~d` =

dΦdt

,

ou Φ est le flux magnetique :

Φ =∫

~H · ~ds.

Or nous savons que pour un conducteur parfait (σ → ∞) ; ~E + (~v × ~H/c) = 0,

donc la variation dans le temps du flux magnetique est nulle. Consequemment le

nombre de lignes de force traversant le contour ferme demeure toujours constant.

Nous venons de prouver la loi de Faraday.

18

La demonstration se complete a partir de l’equation (1.1.12) recrite sous la forme :

∂ ~H

∂t= ( ~H · ∇)~v− (~v · ∇) ~H − ~H(∇· ~v) (1.4.2)

dans laquelle on elimine ∇· ~v a l’aide de l’equation (1.1.3) pour finalement obtenir

d

dt

(~H

ρ

)=

(~H

ρ· ∇

)~v . (1.4.3)

Maintenant prenons une ligne de fluide quelconque se deplacant avec les par-

ticules qui la compose. Pour etablir sa variation dans le temps, on considere un arc

infinitesimale ~δ` de cette ligne. Si ~v est la vitesse de l’une de ces extremites, l’autre

bout aura une vitesse ~v + (~δ` · ∇)~v. Pendant une duree dt, cet arc aura varie de la

quantite dt(~δ` · ∇)~v de sorte que la variation dans le temps de ~δ` est donnee par

d

dt[~δ`] = (~δ` · ∇)~v . (1.4.4)

Ainsi les lignes de force ~H/ρ obeissent a la meme equation differentielle que l’arc ~δ` .

Par consequent, les particules de fluide situees sur une meme ligne de force magnetique

y demeuront indefiniment et la grandeur | ~H|/ρ va varier proportionnellement a la

distance qui les separe. On dit alors que “les lignes de force magnetiques et la matiere

fluide sont gelees l’un et l’autre”. Donc, lorsque la conductivite electrique est tres

elevee ; i.e. σ 7→ ∞, les lignes de force du champ magnetique ~H sont entraınees par le

fluide, on peut alors leur associer des proprietes elastiques (pression et tension) qui

ressortent finalement comme celles du fluide.

19

2. Solutions conditionnellement invariantes des equations MHD. Ondes multiples.

2.1 Les ondes simples pour des systemes quasilineaires d’EDP.

Nous etudions les systemes composes de m equations aux derivees partielles

(EDP) du premier ordre, qui sont quasilineaires (QL), homogenes et du type hyper-

bolique. Ceux-ci sont exprimes sous la forme :

p∑

i=1

q∑α=1

Ai lα (u)uα

xi = 0 , l = 1, . . . , m , (2.1.1)

avec p variables independantes x = (x1, . . . , xp) ∈ E ⊂ IRp et q variables dependantes

u = (u1, . . . , uq) ∈ U ⊂ IRq ; les derivees partielles sont notees par uαxi = ∂uα/∂xi. Le

systeme (2.1.1) est dit bien determine si m = q. Nos considerations seront toujours

locales ; il suffit de determiner les solutions definies au voisinage de l’origine x = 0. Les

fonctions considerees ici seront suffisament lisses pour en justifier les manipulations.

Le systeme (2.1.1) peut se mettre sous la forme matricielle (avec la sommation

implicite sur les indices) :

Aµ (u)uxµ = 0 , µ = 1, . . . , p , (2.1.2)

ou A1, . . . , Ap sont des matrices de dimensions m × q. Il est convenu d’adopter la

notation suivante pour les variables independantes : t = xo, x1, . . . , xn avec p = n + 1,

de sorte que l’equation (2.1.2) se recrit :

Ao (u)ut +n∑

i=1

Ai (u)uxi = 0. (2.1.3)

Si m = q, la matrice Ao est l’identite et nous obtenons la forme evolutive de (2.1.2) :

ut +n∑

i=1

Ai (u)uxi = 0 .

20

Definition 2.1.1. Un vecteur d’onde associe aux matrices A1, . . . , Ap est un

vecteur non nul

λ (u) = (λ1 (u), . . . , λp (u))

tel que

ker (λµAµ) 6= 0 .

Cette definition implique la relation d’onde :

γ ∈ U tel que(λµ (u)Aµ

α (u))γα = 0. (2.1.4)

L’equation (2.1.4) admet des solutions non triviales pour le vecteur de polarisation γ:

1) si m = q, det [ λµ (u)Aµ (u)] = 0,

2) si m 6= q, rang [ λµ (u)Aµ (u)] < min (m, q).(2.1.5)

L’equation (2.1.5) est appelee la relation de dispersion.

Definition 2.1.2. La fonction

r (x,u) = λµ (u)xµ (2.1.6)

est appelee un invariant de Riemann associe au vecteur d’onde λ.

L’equation

u = f (r (x,u)) (2.1.7)

definit de maniere unique la fonction u(x) au voisinage de l’origine x = 0 pour toute

fonction f : IR → IRq.

Sa derivee partielle par rapport a xµ est donnee par

∂uα

∂xµ= φ (x)−1

λµ

(u(x)

)f ′α

(r (x,u)

), (2.1.8)

ou l’on a introduit la notation suivante :

φ (x) = 1− ∂r

∂uα

(x,u(x)

)f ′α est un scalaire suppose non nul, (2.1.9)

21

et la derivee de la fonction f par rapport a r est notee par

f ′α =df

dr

α

.

Demontrons l’expression (2.1.8) en calculant explicitement la derivee partielle de uα

par rapport a xµ :

∂uα

∂xµ=

df

dr

α ∂r

∂xµ+

∂r

∂uβ

∂uβ

∂xµ

,

sachant que λµ = ∂r/xµ, on recrit l’equation ci-haut sous la forme

Ψαβ

∂uβ

∂xµ= λµ f ′α , (2.1.10)

ou Ψαβ est une matrice supposee inversible :

Ψαβ ≡ δα

β −∂r

∂uβf ′α. (2.1.11)

Multiplions l’equation (2.1.10) par la matrice inverse (Ψ−1)αβ qui donne

∂uα

∂xµ= λµ(Ψ−1)α

β f ′ β . (2.1.12)

Pour completer la demonstration, il suffit de determiner la matrice (Ψ−1)αβ de la

maniere suivante. On multiplie d’abord l’equation (2.1.11) par f ′ β pour obtenir :

Ψαβ f ′β =φ (x) f ′α . (2.1.13)

Ensuite, apres avoir multiplie l’equation (2.1.13) par Ψ−1, on compare membre a mem-

bre avec l’equation (2.1.12) pour finalement aboutir a l’expression (2.1.8).

Les solutions de l’equation (2.1.2) ayant la forme prescrite par l’expression (2.1.7)

sont appelees ondes de Riemann ou ondes simples. Le rang de la solution u(x) est au

plus egale a un. En effet car la formule (2.1.8) exprime le fait que les derivees partielles

de u(x) soient decomposables dans le sens

∂uα

∂xµ∼ γα (u) λµ (u) (2.1.14)

22

avec

γα =df

dr

α

, α = 1, . . . , q. (2.1.15)

Afin d’en donner une interpretation geometrique, on introduit les vecteurs suivants:

ξa (u) =(ξ1a (u), . . . , ξp

a (u))T

, a = 1, . . . , p− 1 , (2.1.16)

qui satisfont la relation d’orthogonalite

λ · ξa = 0. (2.1.17)

En fixant le vecteur d’onde λ, nous pouvons alors choisir un ensemble de vecteurs

ξa qui soint orthogonaux a λ. Notons que le choix des ξa n’est pas unique et que

l’ensemble des vecteursλ, ξ1, . . . , ξp−1

forment une base dans l’espace des variables

independantes E.

Multiplions l’equation (2.1.8) par ξa, nous obtenons l’expression

ξµa

(u(x)

)∂uα

∂xµ= 0

impliquant que u1 (x), . . . , uq (x) soient des invariants par rapport aux champs vectoriels

ξµa

(u(x)

) ∂

∂xµ

agissant dans l’espace E. Par consequent le graphe Γ =(

x,u(x))

(qui est une sous-

variete de dimension p) est invariant sous l’action de chaque champ vectoriel :

Xa = ξµa (u)

∂

∂xµ, a = 1, . . . , p− 1 , (2.1.18)

agissant dans l’espace des variables independantes et dependantes E × U ⊂ IRp × IRq.

Ces champs vectoriels forment une distribution abelienne :

[Xa, Xb] = 0 , a, b = 1, . . . , p− 1. (2.1.19)

23

Reciproquement, si u (x) est une fonction a q composantes, definie au voisinage

de x = 0, tel que son graphe Γ =(

x,u(x))

soit invariant sous l’action de tous les

champs vectoriels donnes par (2.1.18) satisfaisant la relation (2.1.17) alors u (x) est

une solution de l’equation (2.1.7) pour une certaine fonction f . Ainsi, on caracterise

geometriquement les solutions exprimees sous la forme (2.1.7).

Si u (x) est solution de (2.1.7) alors

Aµ(u(x)

) ∂u∂xµ

= φ−1 (x)λµ

(u(x)

)Aµ

(u(x)

)f ′

(r (x,u)

), (2.1.20)

donc u (x) est une solution de l’equation (2.1.2) si et seulement si

λµ (f)Aµ (f) f ′ = 0 (2.1.21)

autrement dit ; si et seulement si f ′ est un element de ker (λµAµ).

Resumons les caracteristiques des solutions de rang un.

(1). L’equation (2.1.21) constitue un systeme sous-determine d’equations differentielles

ordinaires (EDO) du premier ordre pour la fonction f qui depend de la dimension de

ker (λµAµ). Par exemple : si λµAµ = 0 alors il y a aucune contrainte sur la fonction f .

(2). Le rang de la solution de l’equation (2.1.2) est au plus egal a un. Le graphe

Γ =(

x,u(x))

est invariant sous l’action des champs vectoriels donnes par l’expression

(2.1.18) qui satisfont la relation d’orthogonalite λ · ξa = 0 et commutent entre eux.

(3). On peut faire un changement d’echelle du vecteur d’onde λ sans que la solu-

tion (2.1.7) soit changee (ces solutions appartiennent a la meme classe d’equivalence)

puisque l’equation de depart (2.1.2) est homogene : seule la direction de λ importe et

non sa norme.

Maintenant, nous choisissons un repere de coordonnees dans l’espace E ×U de

maniere a rectifier les champs vectoriels (2.1.18) et d’obtenir les conditions d’invariance

qui assurent l’existence des solutions de rang un. Supposons que l’une des com-

posantes de λ soit non nulle : choisissons λ1 6= 0. A partir de la relation d’orthogonalite

24

(2.1.17), nous exprimons les composantes des vecteurs ξa ; a = 2, . . . , p, en termes des

composantes du vecteur d’onde λ :

ξ2 (u) =(−λ2

λ1, 1 , . . . , 0 , . . . , 0

)T

, . . . , ξp (u) =(−λp

λ1, 0 , . . . , 0 , 1

)T

. (2.1.22)

En substituant les expressions (2.1.22) dans la formule (2.1.18), on obtient (p−1) champs

vectoriels qui sont lineairement independants

X2 =∂

∂x2− λ2

λ1

∂

∂x1, . . . , Xp =

∂

∂xp− λp

λ1

∂

∂x1, (2.1.23)

et ceux-ci forment une distribution abelienne.

Ensuite on fait le changement de coordonnees dans l’espace E × U :

x 1 = r(x,u) , x 2 = x2, . . . , x p = xp , u 1 = u1 , u 2 = u2 , . . . , u q = uq , (2.1.24)

ou les champs vectoriels donnes par (2.1.23) deviennent rectifies comme suit :

X2 =∂

∂x 2 , . . . , Xp =∂

∂x p . (2.1.25)

Pour prouver l’expression (2.1.25), on prend par exemple le champ vectoriel X2

X2 =∂

∂x2− λ2

λ1

∂

∂x1=

∂x 1

∂x2

∂

∂x 1 +∂x 2

∂x2

∂

∂x 2 −λ2

λ1

∂x 1

∂x1

∂

∂x 1 ,

en particulier∂x 1

∂x2=

∂r(x,u)∂x2

=∂r

∂x2+

∂r

∂uα

∂uα

∂x2,

∂x 1

∂x1=

∂r(x,u)∂x1

=∂r

∂x1+

∂r

∂uα

∂uα

∂x1,

(2.1.26)

puisque r = λµ (u)xµ, alors

∂r

∂uα=

∂λµ

∂uαxµ ,

et a l’aide de la formule (2.1.8) nous obtenons

X2 =

λ2 +(

∂λµ

∂uαxµ

) (φ−1(x)λ2

)f ′α

∂

∂x1 +∂

∂x 2 −λ2

λ1

λ1 +

(∂λµ

∂uαxµ

) (φ−1(x)λ1

)f ′α

∂uα

∂x1

=∂

∂x 2 .

Cette demonstration se generalise aisement aux autres champs vectoriels Xa.

25

L’ensemble des invariants sous l’action des champs vectoriels (2.1.25) est

x 1 = r(x,u), u1, . . . , uq

. (2.1.27)

Notons qu’une sous-variete a p dimensions est transversale a la projection (x,u) → x

a l’origine x = 0 si et seulement si elle est transversale a la projection (x,u) → x a

x = 0. Ces sous-varietes transversales, invariantes sous l’action des champs vectoriels

X2, . . . , Xp, sont definies par les equations ayant la forme :

u = f (x1) (2.1.28)

ou f : IR → IRq est une fonction arbitraire (comparee a (2.1.7)), i.e. u = f (x1) est une

solution generale des conditions d’invariance :

ux2 = 0 , . . . ,uxp = 0 . (2.1.29)

Le systeme (2.1.2) se recrit en termes des nouvelles coordonnees (x,u) comme suit :

Ai (

x,u,ux)uxi = 0 , (2.1.30)

ou

Ai ≡ Dx i

DxjAj ,

en particulier :

A1

=Dr

DxiAi , A

2= A2 , . . . , A

p= Ap , (2.1.31)

ou

Dr

Dxi

∣∣∣∣ux2 , ... ,uxp=0

= Φ−1λi avec Φ = 1− ∂r

∂uα uα1 .

La demonstration de l’expression (2.1.31) est directe. D’abord on recrit l’equation de

depart (2.1.2) comme ceci :

Ai (u)uxi = Aiα (u)

∂uα

∂xj

∂xj

∂xi= 0.

26

Puis en utilisant les equations (2.1.26) et (2.1.29), on arrive a

A1 (u)∂u∂x1

[∂r

∂x1+

∂r

∂uα

∂uα

∂x1

]+ . . . + Ap (u)

∂u∂x1

[∂r

∂xp+

∂r

∂uα

∂uα

∂xp

]= 0 ,

qui donne effectivement l’expression (2.1.31) compte tenue de la formule (2.1.8).

En ajoutant les conditions d’invariance (2.1.29) au systeme (2.1.30), nous obtenons le

systeme surdetermine

∆ :

[λi (u)Ai (u)

]ux1 = 0,

ux2 = 0 , . . . ,uxp = 0,

(2.1.32)

qui admet comme solution generale

u(x)

= f(x1

)

ou f : IR → IRq est une fonction satisfaisant l’equation (2.1.21).

Supposons maintenant que la courbe integrale Γ, associee au champ vectoriel

γα (u)∂/∂uα agissant dans l’espace des variables dependantes U , satisfait les equations

differentielles ordinaires (2.1.15). Supposons egalement que le vecteur d’onde λ (u)

soit ramene sur la courbe Γ par “pull back” ; i.e. f∗(λ). Alors les fonctions λµ (u)

deviennent des fonctions du parametre r defini sur la courbe Γ. Les ensembles (2.1.6)

et (2.1.7) definissent des relations implicites entre les variables uα, xµ et r qui peuvent

s’ecrire sous la forme

uα = fα (r) , r = λµ (r)xµ . (2.1.33)

27

2.2 Les ondes simples decrites par le systeme MHD.

Dans cette section nous utilisons les ondes simples pour resoudre le systeme

MHD (1.1.17). Rappelons que ce systeme comporte m = 9 EDPs qui sont quasilineaires

et du premier ordre, il est homogene et hyperbolique. Ce systeme peut s’exprimer

sous la forme normale (Cauchy-Kovalewski) si on le dispose de cette facon :

dρ

dt+ (∇· ~v)ρ = 0 ,

d

dt

[p

ρκ

]= 0 ,

d~vdt

+1ρ∇p +

14πρ

[12∇(| ~H|2)− ( ~H · ∇) ~H

]= 0 ,

∂ ~H

∂t−∇× (~v× ~H) = 0 ,

(2.2.1)

ou l’equation (1.1.7) est alors consideree comme une contrainte differentielle ;

∇· ~H = 0. (2.2.2)

Pour justifier cette affirmation, il suffit de prendre la divergence de la loi de Faraday

(1.1.5) pour obtenir que

∇· ∂ ~H

∂t=

∂

∂t(∇· ~H) = −1

c∇· (∇× ~E) = 0 :

si les donnees initiales satisfont l’equation (2.2.2) a l’instant t = 0 alors elles la satis-

fairont pour tout instant t > 0 [7]. Introduit de cette facon, le systeme MHD (1.1.17)

comporte dorenavant m = 8 equations avec p = 3+1 variables independantes: x = (t, ~x),

et q = 8 variables dependantes : u =(ρ, p, ~v = (u, v, w), ~H = (H1,H2, H3)

).

Maintenant on ecrit le systeme MHD (2.2.1) sous la forme evolutive (2.1.3) :

Ao ut + A1 ux + A2 uy + A3 uz = 0 , (2.2.3)

ou les matrices carrees 8× 8 sont les suivantes :

Ao =

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 ρ 0 0 0 0 00 0 0 ρ 0 0 0 00 0 0 0 ρ 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

, A1 =

u 0 ρ 0 0 0 0 00 u κp 0 0 0 0 00 1 ρu 0 0 0 H2

4πH34π

0 0 0 ρu 0 0 −H14π 0

0 0 0 0 ρu 0 0 H14π

0 0 0 0 0 u 0 00 0 H2 −H1 0 0 u 00 0 H3 0 −H1 0 0 u

,

28

A2 =

v 0 ρ 0 0 0 0 00 v κp 0 0 0 0 00 0 ρv 0 0 −H2/4π 0 00 1 0 ρv 0 H1/4π 0 H3/4π0 0 0 0 ρv 0 0 −H2/4π0 0 −H2 H1 0 v 0 00 0 0 0 0 0 v 00 0 0 H3 −H2 0 0 v

,

A3 =

w 0 0 0 ρ 0 0 00 w 0 0 κp 0 0 00 0 ρw 0 0 −H3/4π 0 00 0 0 ρw 0 0 −H3/4π 00 1 0 0 ρw H1/ 4π H2/4π 00 0 −H3 0 H1 w 0 00 0 0 −H3 H2 0 w 00 0 0 0 0 0 0 w

.

Nous cherchons les elements simples du systeme (2.2.1) en employant la formule

(2.1.15). Ainsi, pour chaque variable dependante on lui associe une composante du

vecteur de polarisation γ tel que note par

(ρ, p, ~v, ~H

)

(γρ ≡ dρ

ds, γp ≡ dp

ds, ~γ ≡ d~v

ds, ~h ≡ d ~H

ds

), (2.2.4)

et les variables independantes sont associees aux composantes du vecteur d’onde λ :

(t, ~x

)

(λo, ~λ

).

Les derivees partielles se recrivent en termes des elements simples :

∂uα

∂t→ λoγ

α ,∂uα

∂xµ→ λµγα, µ = 0, 1, 2, 3 ; α = 1, . . . , 8 , (2.2.5)

et la derivee lagrangienne (1.1.2) s’ecrit comme suit :

d

dt≡ ∂

∂t+ (~v · ∇) −→ λo + ~v · ~λ ≡ δ|~λ| , (2.2.6)

ou on definit la grandeur δ|~λ| comme etant la frequence caracteristique de l’onde simple

mesuree dans le referentiel se deplacant avec le fluide.

29

Donc, en decomposant les derivees partielles du systeme (2.2.1) et de la contrainte

differentielle (2.2.2) suivant les elements simples (2.2.5), on obtient

γρ δ|~λ|+ ρ (~γ · ~λ) =0 ,

ρ δ|~λ|(γp − κp

ργρ

)=0 ,

ρ δ|~λ|~γ + γp~λ +

14π

( ~H · ~h)~λ− 14π

( ~H · ~λ)~h =0 ,

δ|~λ|~h + (~γ · ~λ) ~H − ( ~H · ~λ)~γ =0 ,

~h · ~λ =0 .

(2.2.7)

Le systeme (2.2.7) est appele le systeme caracteristique, il admet des solutions non-

triviales pour le vecteur de polarisation γ =(γρ, γp, ~γ,~h

)si et seulement si le determinant

caracteristique de sa forme matricielle apparaissant dans l’equation (2.2.3) est nul :

c’est la relation de dispersion (e.g. equation (2.1.5));

δ2|~λ|2(

δ2|~λ|2 − ( ~H · ~λ)2

4πρ

)[δ4|~λ|4 − δ2|~λ|2

(| ~H|24πρ

+ a2

)+ a2 ( ~H · ~λ)2

4πρ

]= 0 , (2.2.8)

ou

a =[(

∂p

∂ρ

)

s

] 12

=(

κp

ρ

) 12

est la vitesse de propagation du son dans le fluide.

(2.2.9)

L’equation (2.2.8) est un polynome du huitieme degre en δ|~λ| dont les racines donnent

les frequences caracteristiques des trois branches de propagation des ondes en MHD:

(1) δE |~λ| = 0 pour les ondes entropiques, (2.2.10)

(2) δAε |~λ| = ε( ~H · ~λ)√4πρ

pour les ondes d’Alfven, (2.2.11)

(3) δF |~λ| =ε

2

(a~λ +

~H√4πρ

)2

12

+

(a~λ−

~H√4πρ

)2

12 ,

δS |~λ| =ε

2

(a~λ +

~H√4πρ

)2

12

−

(a~λ−

~H√4πρ

)2

12 ,

(2.2.12)

30

pour les ondes simples magnetoacoustiques rapides (F) et lentes (S), ε = ±1 indique

que dans une direction donnee, l’onde peut se propager dans un sens ou dans l’autre.

On peut etablir certaines correspondances entre les ondes simples et les modes propres

qui sont obtenus en resolvant le systeme MHD (1.1.17) par linearisation [1], [38] ;

c’est-a-dire en y remplacant u = (u)o + (u)1 ou (u)o sont les variables dependantes a

l’equilibre et (u)1 sont celles perturbees par le passage de l’onde ; on fait l’hypothese

que (u)1 ¿ (u)o. Les solutions du systeme MHD ainsi linearisees s’expriment en termes

d’ondes planes et de leurs superpositions lineaires comme

(uα)1 = Aα exp[i(~k · ~x− ωkt)

], α = 1, . . . , 8 , (2.2.13)

ou Aα est l’amplitude du mode propre et correspond au vecteur de polarisation :

Aα ←→ γα. Ensuite, (ωk,~k) ←→ λ = (λo, ~λ) ; ωk est la frequence d’oscillations des modes

propres et correspond a λo, ~k est le vecteur d’onde et correspond a ~λ : la famille

constituee de plans d’onde se propage suivant la direction de ~k avec la vitesse de

phase vφ = ωk/|~k| qui correspond a la vitesse caracteristique δ. Selon notre approche,

la vitesse de groupe se definit par

~vg = −dλo

d~λ. (2.2.14)

Dans la section suivante, nous presentons les solutions de rang un du systeme

MHD (1.1.17) qui sont obtenues en resolvant le systeme reduit (2.2.7) (cf.(2.1.21)). Les

equations (2.1.4), (2.1.5) et (2.1.17) determinent les directions caracteristiques λ, γ et ξa

pour lesquelles il en existe de quatre types. Les differentes symetries associees aux

champs vectoriels Xa (2.1.18) nous conduisent a quatre types de solutions.

31

2.2.1 Les ondes simples entropiques (E).

En substituant δE |~λ| = 0 dans le systeme caracteristique (2.2.7) nous obtenons

le systeme qui determine les elements simples entropiques :

~γ · ~λ =0 ,

γp~λ +

14π

( ~H · ~h)~λ− 14π

( ~H · ~λ)~h =0 ,

( ~H · ~λ)~γ =0 ,

~h · ~λ =0 ,

(2.2.15)

La resolution du systeme (2.2.15) nous conduisent a trois types de solutions. D’abord

deux de ces solutions sont donnees par

γ =(γρ,− ( ~H · ~h)

4π,~γ ,~h

)et λ =

(− ~v · ~λ,~λ), (2.2.16)

avec les contraintes vectorielles :

~γ · ~λ = 0 , ~H · ~λ = 0 , ~h · ~λ = 0 . (2.2.17)

L’analyse des relations (2.2.17) nous amene a conclure que les vecteurs ~H, ~λ et ~h doivent

etre lineairement dependants. Il en decoule deux possibilites auxquelles sont associees

les ondes entropiques de types E1 et E2.

La troisieme solution, appelee l’onde entropique de type E3, est donnee par :

γ =(γρ, 0,~0 ,~0

)et λ =

(− ~v · ~λ,~λ). (2.2.18)

(i). Le Cas E1 : les ondes de type E1 se caracterisent par le fait que les vecteurs

~γ ,~h , ~H forment un plan (i.e. ne sont pas paralleles l’un a l’autre). Ainsi pour chaque

vecteur ~γ, il existe un seul et unique vecteur ~λ = (λ1, λ2, λ3).

Comme choix des vecteurs ξa orthogonaux au vecteur d’onde λ, nous prenons

ξ1 =

(λ1

(~v · ~λ), 1, 0, 0

)T

, ξ2 =

(λ2

(~v · ~λ), 0, 1, 0

)T

, ξ3 =

(λ3

(~v · ~λ), 0, 0, 1

)T

, (2.2.19)

32

desquels sont determines les champs vectoriels par l’expression (2.1.18)

X1 =λ1

(~v · ~λ)

∂

∂t+

∂

∂x, X2 =

λ2

(~v · ~λ)

∂

∂t+

∂

∂y, X3 =

λ3

(~v · ~λ)

∂

∂t+

∂

∂z. (2.2.20)

Les invariants de la sous-algebre X1, X2, X3 sont

s = ~λ(s) · ~x− (

~λ(s) · ~v)t ; ρ, p, ~v, ~H

. (2.2.21)

En faisant le changement de coordonnees (2.1.24) dans l’espace E × U :

x = r(x,u) = ~λ(s) · ~x− (~λ(s) · ~v)

t t = t , y = y , z = z ,

ρ = ρ , p = p , u = u, v = v, w = w, Hi = Hi , i = 1, 2, 3 ,

les champs vectoriels (2.2.20) sont rectifies comme suit :

X1 =∂

∂t, X2 =

∂

∂y, X3 =

∂

∂z.

L’ensemble des invariants sous l’action de ces champs rectifies coıncide avec celui des

invariants (2.2.21) par rapport aux invariants des champs vectoriels (2.2.20).

En posant que ρ, p, ~v, ~H soient toutes des fonctions de la variable de symetrie

s, et apres les avoir substituees dans le systeme de depart (2.2.1), nous obtenons les

solutions suivantes :

ρ = ρ (s), p (s) +18π| ~H|2 = po, ~v =u (s)~e1 + v (s)~e2 + w (s)~e3 ,

~H =H1 (s)~e1 + H2 (s)~e2 + H3 (s)~e3 ,

(2.2.22)

ou po est une constante arbitraire, et les vecteurs ~v et ~H doivent satisfaire la relation:

(d ~H

ds× d~v

ds

)· ~H = 0 , (2.2.23)

attestant que ~γ, ~h et ~H sont situes dans plan, et le vecteur ~λ(s) est donne par

~λ =~H

| ~H|2× d ~H

ds. (2.2.24)

De ces resultats, nous pouvons deduire certaines proprietes des ondes entropiques E1.

D’abord, on en deduit par la forme de la variable de symetrie s que les solutions

33

(2.2.22) sont constantes sur les plans perpendiculaires au vecteur ~λ(s) : les ondes E1

sont donc des ondes planes, et ~H demeure toujours tangent a ces plans. De plus, les

ondes E1 n’existent que dans un fluide incompressible, comme l’indique la relation

~γ · ~λ = 0, et se propagent avec le flot puisque leur vitesse de groupe ~vg = ~v.

La force de Lorentz associee aux ondes entropiques E1 est donnee par :

~Fm = − 18π∇(| ~H|2) = ∇p , (2.2.25)

il y a donc equilibre entre la force magnetique et la pression hydrodynamique :

l’element de fluide n’est pas soumis a des forces de torsion provenant du terme ( ~H ·∇) ~H.

Consequemment, en vertu du theoreme de Kelvin, la circulation

Γc =∮

C

~v · ~d` (2.2.26)

autour d’un element de fluide est preservee. Le fait que

~Fm · ~v 6= 0 (2.2.27)

indique la presence d’un couplage entre les effets hydrodynamique et magnetique dans

le bilan de l’energie cinetique (1.2.9).

L’action de l’operateur d/dt (donne par l’expression (2.2.6)) sur les fonctions ρ, p, ~v, et

~H est identiquement nulle. Consequemment toutes ces quantites sont conservees le

long du flot.

A partir de la loi de conservation de l’impulsion (1.2.1) ;

∂(ρvi)∂t

= −∂Πhik

∂xk− ∂Πm

ik

∂xk, i, k = 1, 2, 3 , (2.2.28)

qu’on peut reformuler a l’aide de (2.2.25) comme suit :

∂(ρ~v)∂t

= −(~v · ∇)(ρ~v) , (2.2.29)

cela signifie que pour les ondes E1 la variation de l’impulsion d’une particule de fluide

n’a pas d’incidence sur l’evolution du champ magnetique ~H.

34

Finalement considerons le cas stationnaire, c’est-a-dire quand ~v ·~λ = 0, on peut

exprimer la solution (2.2.22) sous la forme

~λ = ~eo ; ρ = ρ (s), ~v = ~α (s)× ~eo, ~H = ~β (s)× ~eo, p (s) +18π| ~H|2 = po, (2.2.30)

ou ~eo est vecteur unitaire constant, ~α et ~β sont des vecteurs arbitraires, et po est une

constante arbitraire. La solution (2.2.30) est constante sur les plans orthogonaux a ~eo

qui sont engendres par les vecteurs ~v et ~H.

(ii). Le cas E2 de la solution (2.2.16) correspond a la situation ou les vecteurs ~γ, ~h et ~H

sont paralleles l’un a l’autre. Alors les solutions sont appelees des ondes entropiques

de type E2 : les vecteurs ~γ et ~h sont tous les deux colineaires a ~H ;

~γ = ζ ~H, et ~h = χ ~H , (2.2.31)

ou ζ et χ sont des fonctions arbitraires de u. Les elements simples correspondants

s’ecrivent

γ =(γρ,− ( ~H · ~h)

4π,~γ ,~h

)et λ =

(− ~v · (~α i × ~H), ~α i × ~H

), i = 1, 2, (2.2.32)

ou ~α 1 et ~α 2 sont deux vecteurs lineairement independants dont les composantes sont

des fonctions arbitraires de u.

Dans ce cas, pour un vecteur ~γ donne, il existe deux vecteurs ~λ 1 et ~λ 2 lineairement

independants qui engendrent un plan orthogonal a ~γ.

Par simplicite, nous choisissons le repere de coordonnees tel que

~H = (0, 0,H), ~α 1 = (α1, α2, 0) et ~α 2 = (−α2, α1, 0) .

Les vecteurs d’onde s’ecrivent

λ1 =(− ~v · ~λ 1, α2H,−α1H, 0

)et λ2 =

(− ~v · ~λ 2, α1H, α2H, 0

). (2.2.33)

Nous choisissons comme vecteurs orthogonaux a λ1 et λ2 :

ξ1 =(1, 1/v, u/v, 1, 0

)T

et ξ2 =(0, 0, 0, 1

), (2.2.34)

35

desquels nous obtenons les champs vectoriels

X1 =1v

∂

∂t+

u

v

∂

∂x+

∂

∂y, X2 =

∂

∂z. (2.2.35)

Les invariants sont de la sous-algebre X1, X2 sont

s = x + y − (u + v)t ; ρ, p, ~v, ~H

. (2.2.36)

En substituant dans le systeme (2.2.1) les fonctions ρ, p, ~v, ~H, qui dependent de la

variable de symetrie s, on obtient les solutions associees aux ondes entropiques E2

ρ = ρ (s), p(s) +18π| ~H|2 = po, ~v = u(s)~e1 + v(s)~e2 + w(s)~e3, ~H = H(s)~e3 , (2.2.37)

ayant comme contrainte que

u (s) + v (s) = Co , (2.2.38)

ou po et Co sont des constantes arbitraires. Cependant nous devons tenir compte de la

relation (2.2.31) et de l’orientation prise pour ~H : les composantes de la vitesse situees

dans le plan genere par les vecteurs ~e1 et ~e2 sont donc des constantes ; u = uo et v = vo,

ceci satisfait evidemment la contrainte (2.2.38).

Par une transformation de Galilee appropriee, nous pouvons toujours choisir un

referentiel tel que uo = vo = 0, la solution (2.2.37) se resume alors a

ρ = ρ(s), p(s) +18π| ~H|2 = po, ~v = α(s)~e3, ~H = β(s)~e3 ; ~H · ~λi = 0 , i = 1, 2 , (2.2.39)

ou ρ,α et β sont des fonctions arbitraires de la variable de symetrie s = x + y, et po est

une constante arbitraire. Dans ce cas, l’onde entropique E2 est une onde stationnaire

qui se propageant dans un fluide incompressible s’ecoulant suivant ~H.

La force de Lorentz est donnee par l’expression (2.2.25) mais elle n’a pas de com-

posante suivant ~e3 ; il n’y a donc pas de couplage entre les effets hydrodynamique et

magnetique dans le bilan de l’energie cinetique car ~Fm · ~v = 0.

36

(iii) Finalement, il reste la troisieme solution (2.2.18) qui correspond aux ondes en-

tropiques de type E3. Dans ce cas, pour chaque vecteur ~γ = ~0, il existe trois vecteurs ~λ

lineairement independants qui sont normalises par les trois vecteurs unitaires ~ei. Les

vecteurs d’ondes λ i s’ecrivent alors

λ i =(− ~v · ~ei, ~ei

)avec |~ei|2 = 1, ~ej · ~ei = 0, i = 1, 2, 3 (2.2.40)

Le vecteur ξ orthogonal a chaque λ i (i = 1, 2, 3) est donne par

ξ =(1, u, v, w

)T

, (2.2.41)

duquel on deduit le seul champ vectoriel

X =∂

∂t+ u

∂

∂x+ v

∂

∂y+ w

∂

∂z. (2.2.42)

Les invariants de la sous-algebre X sont

s = x + y + z − (u + v + w)t ; ρ, p, ~v, ~H

. (2.2.43)

Nous obtenons les solutions associees aux ondes E3 en remplacant ρ, p, ~v, ~H dans le

systeme de depart (2.2.1)

ρ = ρ (s), ~v = u (s)~e1 + v (s)~e2 + w (s)~e3, ~H = H1 (s)~e1 + H2 (s)~e2 + H3 (s)~e3, (2.2.44)

ayant comme contraintes que

u (s) + v (s) + w (s) = Co, H d

ds[~v] = ~0,

H1 (s) + H2 (s) + H3 (s) = Ho, ∇ [p +

18π| ~H|2 ]

=14π

( ~H · ∇) ~H ,

(2.2.45)

ou Co et Ho sont des constantes arbitraires.

En se reportant a l’expression (2.2.18), nous avons que γp = 0, ~γ = ~0 et ~h = ~0 : la

vitesse du fluide et le champ magnetique sont donc des vecteurs constants ; ~v = ~vo et

~H = ~Ho, et la pression est constante : p = po. Dans ce cas, les contraintes (2.2.44) sont

effectivement verifiees, la solution (2.2.43) se recrit alors

ρ = ρ (s), p = po, ~v = ~vo~H = ~Ho . (2.2.46)

Par une transformation de Galilee appropriee, on peut toujours poser que ~vo = ~0

de telle sorte que l’onde E3 soit une onde stationnaire se propageant dans un fluide

incompressible et la force de Lorentz qui en resulte est evidemment nulle.

37

2.2.2 Les ondes simples d’Alfven (A).

On substitue la frequence caracteristique (2.2.11) des ondes d’Alfven

δAε |~λ| = ε( ~H · ~λ)√

4πρ, ε = ±1 ,

dans le systeme (2.2.7) pour obtenir le systeme caracteristique correspondant :

ε( ~H · ~λ)√

4πργρ + ρ (~γ · ~λ) =0 ,

ε( ~H · ~λ)√

4πρ

(γp − κ

p

ργρ

)=0 ,

ε( ~H · ~λ)√

4πρ~γ +

γp

ρ~λ +

14πρ

( ~H · ~h)~λ− 14πρ

( ~H · ~λ)~h =0 ,

ε( ~H · ~λ)√

4πρ~h + (~γ · ~λ) ~H − ( ~H · ~λ)~γ =0 ,

~h · ~λ =0 .

(2.2.47)

La resolution du systeme (2.2.47) donne les elements simples d’Alfven suivants:

γ =

(0, 0,

ε~h√4πρ

,~h

), ε = ±1 ,

λ =(λo, ~λ

)ou λo ≡ ε( ~H · ~λ)√

4πρ− ~v · ~λ , et ~λ = (λ1, λ2, λ3) .

(2.2.48)

En fixant le vecteur d’onde λ, on choisit les trois vecteurs ξa qui lui sont orthogonaux:

ξ1 =(−λ1

λo, 1, 0, 0

)T

, ξ2 =(−λ2

λo, 0, 1, 0

)T

, ξ3 =(−λ3

λo, 0, 0, 1

)T

,

desquels, par l’expression (2.1.18), on calcule les champs vectoriels correspondants :

X1 = −λ1

λo

∂

∂t+

∂

∂x, X2 = −λ2

λo

∂

∂t+

∂

∂y, X3 = −λ3

λo

∂

∂t+

∂

∂z. (2.2.49)

Les invariants de la sous-algebre X1, X2, X3 sont

s = ~λ(s) · ~x + λot ; ρ, p, ~v, ~H

. (2.2.50)

Soulignons que le changement de coordonnees (2.1.24) dans l’espace E × U :

x = r(x,u) = ~λ · ~x + λot , t = t , y = y , z = z ,

ρ = ρ , p = p , u = u, v = v, w = w, Hi = Hi , i = 1, 2, 3 ,

38

mene a la rectification des champs vectoriels (2.2.49) :

X1 =∂

∂t, X2 =

∂

∂y, X3 =

∂

∂z

et que l’ensemble des invariants sous leur action est identique a (2.2.50).

On pose que les fonctions ρ, p, ~v, ~H soient toutes des fonctions de la variable de

symetrie s. Apres les avoir substituees dans le systeme de depart (2.2.1), on obtient

les solutions suivantes

ρ = ρo, p = po, ~v =ε ~H√4πρo

, | ~H|2 = H2o , ε = ±1 , (2.2.51)

ou ρo, po et H2o sont des constantes arbitraires, et avec les contraintes :

~γ · ~λ = 0, ~h · ~λ = 0. (2.2.52)

De ces resultats, nous en deduisons que les ondes d’Alfven ne modifient ni la densite

ni la pression du fluide ; l’ecoulement est incompressible ; ~γ · ~λ = 0, et suit les lignes

de force. Aussi, nous avons que λo = 0, celles-ci sont donc des ondes stationnaires

n’ayant pas de vitesse de groupe ; elles ne sont pas dispersives, ce qui est en accord

avec la theorie lineaire [25].

De meme, la norme de ~H est preservee. Cela s’explique par la force de Lorentz

~Fm =14π

( ~H · ~λ)~h ,

qui ne contient que le terme associe aux forces de tension suivant les lignes de force

magnetiques : elle est orientee perpendiculairement a la direction de propagation de

l’onde ~λ ; ainsi on dit que l’onde d’Alfven est une onde transversale bien qu’elle se

propage longitudinalement aux lignes de force magnetiques [38].

Les ondes d’Alfven n’existent qu’en MHD comme en temoigne leur mecanisme

de propagation que nous en resumons ainsi. La matiere fluide et le champ magnetique

etant geles l’un dans l’autre, le deplacement transversal des particules de fluide,

39

resultant de la force de Lorentz, courbe les lignes de force qui les composent, et

consequemment les eloignent ou les pacquent par endroits. Mais en tenant compte

des proprietes des forces electromagnetiques exprimees par le tenseur des contraintes

de Maxwell (cf. (1.2.3) ) ; les lignes de force sont comprimees tout en se repoussant

mutuellement. Pour le prouver, supposons que l’une de ces lignes de force coıncide

avec l’axe ~e3 ; la contrainte longitudinale est donnee par Πmzz = −H2

o/8π tandis que les

contraintes transversales Πmxz et Πm

yz sont egales au terme positif H2o/8π.

Les lignes de force peuvent se comparer a des cordes vibrantes tendues par la force

magnetique ~Fm, il en resulte des forces quasi-elastiques qui tendent a les redresser de

nouveau vers leur etat de repos, d’ou l’apparition d’oscillations qui se propagent a la

vitesse d’Alfven :

vA =Ho√4πρo

. (2.2.53)

Concernant les lois de conservation de l’impulsion (1.2.1) et de l’energie (1.2.4), celles-ci

sont identiquement verifees. En effet, la densite d’impulsion d’un element de fluide

s’ecrit

~P =√

ρo

4π~H .

Par le caractere stationnaire des ondes d’Alfven, on a que ∂ ~P∂t = 0. Le tenseur

d’impulsion total (cf. (1.2.2) et (1.2.3) ) s’exprime alors comme une matrice diagonale

de dimensions 3× 3 dont les elements sont des constantes :

Πii = po +H2

o

8π, i = 1, 2, 3 .

L’energie totale E = Eh + Em et le flux d’energie correspondant ~q sont donnes par :

E =1

κ− 1po +

H2o

4π,

~qE =ε ~H√4πρo

(H2o

8π+

2κ− 1κ− 1

po

).

Il n’y a pas d’influx d’energie magnetique puisque ~S = ~0 (cf.(1.2.8)), ni meme de

couplage entre les energies hydrodynamique et magnetique car ~Fm · ~v = 0. Ainsi les

ondes d’Alfven ne modifient que la direction du champ magnetique ~H sans en changer

la norme.

40

2.2.3 Les ondes simples magnetoacoustiques rapide (F) et lente (S).

En premier lieu, rappelons que l’equation de dispersion de ces ondes correspond

a l’expression (2.2.12)

δ4|~λ|4 − δ2|~λ|2(| ~H|24πρ

+ a2

)+ a2 ( ~H · ~λ)2

4πρ= 0 , (2.2.54)

ou a =√

kpρ est la vitesse de propagation du son dans le fluide. Les racines du polynome

(2.2.54) sont les frequences caracteristiques des ondes simples magnetoacoustiques:

δF |~λ| =ε|~λ|√

2

(a2 +

| ~H|2√4πρ

)+

√√√√(

a2 +| ~H|2√4πρ

)2

− a2

πρ( ~H · ~λ)2

12

,

δS |~λ| =ε|~λ|√

2

(a2 +

| ~H|2√4πρ

)−

√√√√(

a2 +| ~H|2√4πρ

)2

− a2

πρ( ~H · ~λ)2

12

,

(2.2.55)

qui peut aussi s’exprimer sous la forme plus commode :

δF |~λ| =ε

2

√√√√(

a~λ +~H |~λ|√4πρ

)2

+

√√√√(

a~λ−~H |~λ|√4πρ

)2 ,

δS |~λ| =ε

2

√√√√(

a~λ +~H |~λ|√4πρ

)2

−

√√√√(

a~λ−~H |~λ|√4πρ

)2 ,

(2.2.56)

ou ε = ±1. Le systeme caracteristique des ondes magnetoacoustiques est obtenu en

substituant la valeur δ|~λ|, donnee par (2.2.56), dans le systeme (2.2.7) :

γρ δM + ρ (~γ · ~λ) =0 ,

ρ δM

(γp − κ

p

ργρ

)=0 ,

ρ δM ~γ + γp~λ +

14π

( ~H · ~h)~λ− 14π

( ~H · ~λ)~h =0 ,

δM~h + (~γ · ~λ) ~H − ( ~H · ~λ)~γ =0 ,

~h · ~λ =0 ,

(2.2.57)

41

ou l’indice M designe respectivement F pour l’onde magnetoacoustique rapide et S

pour l’onde magnetoacoustique lente. La resolution du systeme (2.2.57) donne les

elements simples magnetoacoustiques :

γ =

(ρδ2

M|~λ|2 − ( ~H · ~λ)2, κp[δ2M |~λ|2 −

1ρ( ~H · ~λ)2

], εδM |~λ|

[( ~H · ~λ)

~H

ρ− δ2

M~λ], δ2

M

[|~λ|2~H − ( ~H · ~λ)~λ

]),

λ =(δM |~λ| − ~v · ~λ, ~λ

), ε = ±1 .

(2.2.58)

Soulignons que les elements simples magnetoacoustiques (2.2.58) peuvent egalement

s’exprimer sous la forme

γ =

(γρ, κ

p

ργρ,

|~h|√4πρ

[|~h|2 − γρ

ρ ( ~H · ~h)] (~h− γρ

ρ~H), ~h

),

λ =

(± |~h|| ~H × ~h|2√

4πρ[|~h|2 − γρ

ρ ( ~H · ~h)] − ~v · [~h× ( ~H × ~h) ] , ~h× ( ~H × ~h)

),

ou pour chaque ~λ fixe, il existe quatre vecteurs lineairement independants ~γ, γρ et |~h|

sont des parametres qui doivent satisfaire la contrainte

|~h|24πρ

[γρ

ρ| ~H|2 − ~H · ~h

]− κp

ρ

γρ

ρ

[|~h|2 − γρ

ρ~H · ~h

]= 0 .

Pour resoudre le systeme (2.2.57) par la MSC, nous fixons d’abord le vecteur d’onde ~λ =

(λ1, λ2, λ3) donne par (2.2.58) et nous choissisons les vecteurs ξa qui lui sont orthogonaux:

ξ1 =(−λ1

λo, 1, 0, 0

)T

, ξ2 =(−λ2

λo, 0, 1, 0

)T

, ξ3 =(−λ3

λo, 0, 0, 1

)T

,

desquels nous obtenons par la formule (2.1.18) les champs vectoriels suivants :

X1 = −λ1

λo

∂

∂t+

∂

∂x, X2 = −λ2

λo

∂

∂t+

∂

∂y, X3 = −λ3

λo

∂

∂t+

∂

∂z. (2.2.59)

Les invariants de la sous-algebre X1, X2, X3 sont

s = ~λ(s) · ~x +

(δM |~λ| − ~v · ~λ(s)

)t ; ρ, p, ~v, ~H

. (2.2.60)

42

On peut verifier que le changement de coordonnees (2.1.24) dans l’espace E × U :

x = r(x,u) = ~λ(s) · ~x +(δM |~λ| − ~v · ~λ(s)

), t = t , y = y , z = z ,

ρ = ρ , p = p , u = u, v = v, w = w, Hi = Hi , i = 1, 2, 3 ,

permet de rectifier les champs vectoriels (2.2.60) sous la forme

X1 =∂

∂t, X2 =

∂

∂y, X3 =

∂

∂z,

et que l’ensemble des invariants sous l’action de ces champs rectifies coıncide avec

l’ensemble des invariants de la sous-algebre X1, X2, X3.

Ensuite on pose ρ, p, ~v, ~H comme etant des fonctions de la variable de symetrie s que

l’on remplace dans le systeme de depart (2.2.1) pour obtenir le systeme reduit constitue

d’EDO non lineaires :

γρ =η (s)δ2M

ρ[δ2M − ( ~H · λ)2

4πρ

],

~γ =− η (s)δM

[δ2M λ− ( ~H · λ)

4πρ~H

],

~h =η (s)[~H − ( ~H · λ) λ

]

(2.2.61)

ou λ = ~λ/|~λ| et le coefficient η (s) est defini par

η = a2

[δ2M − | ~H|2

4πρ

]−1

. (2.2.62)

Quand δ2M = | ~H|2/4πρ, les vecteurs ~H et ~λ sont alors colineaires : nous traitons ce cas

particulier subsequemment. Au systeme reduit (2.2.61) s’ajoutent les contraintes:

p = Aoρκ, ~H · (~λ× ~h) = 0, ~H · (~λ× ~γ) = 0 (2.2.63)

ou Ao est une constante arbitraire. La premiere relation de l’equation (2.2.63) signifie

que les ondes magnetoacoustiques n’existent que dans un fluide compressible, les deux

relations restantes indiquent que les vecteurs ~λ et ~H generent un plan dans lequel se

trouve les vecteurs ~h et ~γ et donc ~H demeure toujours dans ce plan.

43

La vitesse de groupe de l’onde magnetoacoustique F est donnee par

~vgF= ~v+

εa

2√

4πρ

(

(a~λ +

~H√4πρ

)2− 1

2

+

(a~λ−

~H√4πρ

)2− 1

2 )[~λ×

(~H × ~λ

)]

− ε

2

(

(a~λ +

~H√4πρ

)2

12

+

(a~λ−

~H√4πρ

)2

12 )

~λ , ε = ±1 ,

(2.2.64)

et celle pour l’onde magnetoacoustique S par

~vgS= ~v+

εa

2√

4πρ

(

(a~λ +

~H√4πρ

)2− 1

2

−(

a~λ−~H√4πρ

)2− 1

2 )[~λ×

(~H × ~λ

)]

− ε

2

(

(a~λ +

~H√4πρ

)2

12

−

(a~λ−

~H√4πρ

)2

12 )

~λ , ε = ±1 .

(2.2.65)

La force de Lorentz associee a ces ondes s’ecrit

~Fm = η(s) ~H × ( ~H × ~λ). (2.2.66)

Les effets hydrodynamiques et magnetiques sont couples sauf quand ~v ‖ ~H pour lequel

~Fm · ~v ≡ 0 et consequemment les lois de conservation des energies hydrodynamique

(1.2.9) et magnetique (1.2.10) sont separees.

La resolution du systeme (2.2.61) s’avere etre une tache ardue. Neanmoins, on

peut aborder le probleme en prenant deux cas limites ou les vecteurs ~H et ~λ sont

perpendiculaires et paralleles l’un a l’autre, on en tire les deux theoremes suivants.

Theoreme 2.2.1. Pour ~H · ~λ = 0 ;

la direction de ~H est constante ⇔

δS = 0 ,

∇× ~v = 0 ⇔ δF = ε

√a2 +

| ~H|24πρ

, ε = ±1 .

D’apres l’expression (2.2.56), les ondes magnetoacoustiques S deviennent des ondes en-

tropiques. Les ondes magnetoacoustiques F se propagent transversalement au champ

44

magnetique ~H qui pointe dans une direction fixe, et dans ce cas l’ecoulement est ir-

rotationnel ; le champ des vitesses ~v derive d’un potentiel. Nous obtenons comme

solutions

ρ = ρ (s), p = Ao ρκ, ~H = ρ ~Ho , (2.2.67)

ou Ao et po sont des constantes arbitraires, ~Ho est un vecteur constant et perpendic-

ulaire a ~λ. La vitesse du flot est colineaire au vecteur ~λ :

~v = εv(ρ)~λ , ε = ±1 , (2.2.68)

dont sa norme est donnee par

v(ρ) = 2

√Ao

[√βoρ + 1− arc tanh[

√βoρ + 1]

]pour κ = 1 ,

√2Ao(βo + 1)

√ρ pour κ = 2 ,

√κAo

(κ− 1)

√ρκ−1 + βoρ

[1 +

(κ− 2)√

βo√ρκ−2 + βo

]2F1

(a1, b1, c1;

−ρκ−2

βo

)pour κ 6= 1, 2 ,

(2.2.69)

ou 2F1 (a1, b1, c1; z) est une fonction hypergeometrique de seconde espece dependant de

la variable z = −ρκ−2/βo, avec

βo ≡ | ~Ho|24πκAo

∼ δ2A

a2, (2.2.70)

et des parametres a1 = 1/2(κ− 2), b1 = 12 , c1 = 1 + 1/2(κ− 2).

Le parametre βo donne l’importance relative entre le pression magnetique pM =

| ~Ho|2/8π et la pression hydrodynamique ρv2/2 ∼ Ao (| ~Ho|2 et Ao etant des donnees

experimentales) qui agissent toutes deux sur l’ecoulement du fluide. Si βo ∼ 1, les

effets hydrodynamiques et magnetiques sont comparables. Au contraire, si βo À 1 :

l’action de champ magnetique ~H devient predominante sur l’ecoulement du fluide .

Les solutions (2.2.67)− (2.2.69) dependent de la variable de symetrie

s = ~λ(s) · ~x +

([κAoρ

κ−1 +ρ| ~Ho|2

4π

] 12

− ~v · ~λ(s)

)t. (2.2.71)

45

Par analogie avec des ondes acoustiques, l’onde magnetoacoustique F se propage dans

le fluide par compressions et extensions des lignes de force des regions fortes en densite

magnetique vers des regions moins denses sans en changer la direction. Ceci s’explique

par la force de Lorentz qui derive du gradient de pression magnetique pM = | ~Ho|2/8π:

~Fm = − 18π∇(| ~H|2) = −|

~Ho|24π

ρdρ

ds~λ ;

il n’y a pas de torsion des particules de fluide causee par le terme ( ~H · ∇) ~H. Puisque

∇× ~v = 0, le fluide n’a pas de vorticite, et du fait que ~Fm soit une force conservatrice

force, la circulation (1.3.1) est une constante en vertu du theoreme de Kelvin.

Theoreme 2.2.2. Pour ~H ‖ ~λ .

Si δ2A ≡ | ~H|2/4πρ < a2 ≡ κp/ρ ;

~H est constant ⇔ δF = a,

| ~H| est constant ⇔ δS = δA .

Si δ2A ≡ | ~H|2/4πρ > a2 ≡ κp/ρ ;

~H est constant ⇔ δS = a,

| ~H| est constant ⇔ δF = δA .

Si δA < a, l’onde magnetoacoustique F (ou S si δA > a) devient simplement une onde

acoustique qui se propage dans la direction d’un champ magnetique constant ~Ho. La

vitesse d’ecoulement est aussi orientee suivant ~Ho et il n’y a pas ici d’effet magnetique

car ~Fm ≡ ~0. L’onde magnetoacoustique S (ou F si δA > a) devient une onde d’Alfven;

δS = δA, qui a la particularite de se propager dans un fluide compressible: l’onde

magnetoacoustique S (ou F si δA > a) est dite une onde d’Aflven compressive [38].

Pour l’onde S (ou F si δA > a), les solutions du systeme caracteristique (2.2.57) s’ecrivent

en terme du parametre βo :

ρ =[(

2κ + 12βo

)(1+2/κ)

− (κ + 2)βo

s

]−1/(κ+2)

, p = Aoρκ , ~H = Hoλ(s) , (2.2.72)

46

ou Ao et Ho sont des constantes arbitraires. La vitesse du flot s’exprime comme

la somme vectorielle de deux composantes qui sont respectivement longitudinale et

transversale au vecteur unitaire λ :

~v = εv[sin θ λ(s)− cos θ λ⊥(s)] , ε = ±1 (2.2.73)

dont l’angle θ = 6 (λ, ~γ) est donne par

tan θ ≡ −δ2A

a2∼ −βoρ

−κ , (2.2.74)

et sa norme par

v (ρ) =Ho√

πρ−(κ+ 1

2 )

[√ρ2κ + βo

2 − 2κβo

(1 + 2κ) 2F1

(a1, b1, c1 ;−ρ2κ

βo2

)](2.2.75)

ou 2F1 (a1, b1, c1; z) est une fonction hypergeometrique de seconde espece dependant de

la variable z = −ρ2κ/βo2, avec βo = H2

o/4πκAo, et des parametres a1 = −(1 + 2κ)/4κ,

b1 = 12 , c1 = 1− (1 + 2κ)/4κ.

La densite ρ est une fonction de la variable de symetrie

s = λ(s) · ~x +(δA − v sin θ

)t .

Ainsi pour βo ∼ 1, les lignes de force, etant gelees a la “matiere fluide”, subissent en

alternance des compressions et des extensions resultant de la composante longitudi-

nale de ~γ suivant λ mais aussi des forces de torsion qui proviennent de la force de

Lorentz :

~Fm =H2

o

4πρλ⊥(s) .

Pour βo À 1, le champ magnetique est si intense que le fluide devient incompressible :

(λ · ~γ) =a2

δ2A

−→ 0 ⇔ θ → π

2;

la densite et la pression sont alors des constantes. Dans cette limite, les expressions

(2.2.73)− (2.2.75) donnent comme vitesse du flot :

~v =εHo√4πρo

λ(s) , ε = ±1 ,

47

qui correspond a l’expression (2.2.51) obtenue pour l’onde d’Alfven decrite dans la

section (2.2.2) : dans cas on l’appelle l’onde d’Alfven de torsion [38] car elle se

propage dans un fluide incompressible et stationnaire en “tordant” les lignes de force.

Dans la situation plus generale ou l’onde magnetoacoustique se propage dans

une direction donnee (i.e. ~λ est constant), les solutions du systeme reduit (2.2.61)

peuvent se reformuler en terme de la densite ρ :

~v = −(∫

δMdρ

ρ

)~λ + v⊥(ρ)~λ⊥ , p = Ao ρκ . (2.2.76)

En tenant compte des theoremes (2.2.1) et (2.2.2), la composante longitudinale de ~H

suivant ~λ ; Ho, demeure constante alors que sa composante transversale a ~λ varie en

fonction de la densite ρ :

~H = Ho~λ + H⊥(ρ)~λ⊥ . (2.2.77)

Les fonctions v⊥(ρ) et H⊥(ρ) sont determinees en resolvant les EDO suivantes :

dH⊥dρ

≡ 4πδ2M H⊥

(4πρ δ2M −H2

o ),

dv⊥dρ

≡ Ho δM

(4πρ δ2M −H2

o )

(H⊥ρ

),

ou la vitesse caracteristique δM est egale a

δM =12

[a2 +

H2⊥ + H2

o

4πρ+

2aHo√4πρ

] 12

± 12

[a2 +

H2⊥ + H2

o

4πρ− 2aHo√

4πρ

] 12

,

et la densite ρ une fonction arbitraire de la variable de symetrie

s =(

δM −∫

δMdρ

ρ

)t + ~λ · ~x.

48

En conclusion, nous resumons les liens entre les ondes simples et la MHD. D’abord,

nous donnons dans le tableau (2.1) les relations entre les vitesses caracteristiques des

ondes simples selon des criteres lies a leur direction de propagation par rapport au

champ magnetique ~H et les caracteristiques physiques du fluide.

Tableau 2.1. Degenerescence des vitesses caracteristiques pour des ondes simples.

δA = 0 ⇔ ~H · ~λ = 0

δS = 0 ⇔ δF = ±√

a2 + | ~H|24πρ ⇔ ~H ⊥ ~λ

Si | ~H|24πρ < a2 alors

(δS = ( ~H·~λ)√

4πρ, δF = a

)⇔ ~H ‖ ~λ

Si | ~H|24πρ > a2 alors

(δS = a , δF = ( ~H·~λ)√

4πρ

)⇔ ~H ‖ ~λ

δS = δF ⇔ a2 = | ~H|24πρ et ~H ‖ ~λ

En vertu de l’equation (2.2.55), les vitesses caracteristiques δM satsifont la relation :

(δ2M − a2)

(δ2M − ( ~H · ~λ)2

4πρ

)= δ2

M

(| ~H|24πρ

− ( ~H · ~λ)2

4πρ

)≥ 0

de laquelle nous tirons les inegalites :

δS ≤ a ≤ δF , δS ≤ ( ~H · ~λ)√4πρ

≤ δS

qui menent finalement a

0 = δE ≤ δS ≤ δA ≤ δF . (2.2.78)

Pour conclure cette section, nous faisons la synthese des proprietes des ondes

simples de la magnetohydrodynamique en presentant dans le tableau (2.2) la propaga-

tion de ces ondes dans fluide soumis a certaines contraintes physiques.

49

Tableau 2.2.Proprietes des ondes simples MHD soumises a des contraintes physiques.

Contraintes Physiques E1 E2 E3 A F S

ρ = constante × × − + − −

p = constante × × + + − −

p = Aoρκ × × − + + +

~v est constant × × + − − −

~H est constant × × + − a −

| ~H |2= constante × × + + a A

p2 + | ~H|28π = constante + + + + × E

∇× ~v = 0 × × + − × E

~Fm = 0 × × + − a a

~H · (∇× ~H) = 0, ~H · (∇× ~v) = 0 E2 + + + + +

Legende

+ Aucune contrainte sur la propagation

× Contrainte sur la propagation de l’onde

− L’onde simple n’existe pas

E L’onde simple devient une onde entropique

A L’onde simple devient une onde d’Alfven

a L’onde simple devient une onde acoustique

Les solutions de rang un coıncident avec les ondes de Riemann. Les resultats obtenus

pour les ondes simple sont une reconstruction deja etablie dans la litterature traitant

de la MHD : [1], [24], [37].

50

2.3 Les ondes multiples pour des systemes quasilineaires d’EDP.

Dans cette section, nous generalisons la theorie des ondes simples donnee dans

la section (3.1) au cas des ondes multiples qui resultent de la superposition de plusieurs

ondes simples : celles-ci sont decrites en termes des invariants de Riemann. Pour cela,

nous fixons d’abord k vecteurs d’onde lineairement independants

λ1, . . . , λk, 1 ≤ k ≤ p ,

pour lesquels sont associes les invariants de Riemann correspondants

r1 (x,u) = λ1µ (u)xµ, . . . , rk (x,u) = λk

µ (u)xµ . (2.3.1)

L’equation

u = f(r1 (x,u), . . . , rk (x,u)

)(2.3.2)

definit de maniere unique la fonction u(x) au voisinage de l’origine x = 0 pour toute

fonction f : IRk → IRq. La matrice de Jacobie est donnee par

∂uα

∂xµ=

(φ−1 (x)

)l

jλj

µ

(u(x)

) ∂fα

∂rl

(r (x,u)

), l, j = 1, . . . , k ; µ = 1, . . . , p ; α = 1, . . . , q ,

(2.3.3)

ou(φ (x)

)l

j= δl

j −∂rl

∂uα

∂fα

∂rj

(r (x,u)

).

est une matrice de dimensions k × k consideree comme inversible. Cette supposition

exclut la catastrophe du gradient pour la fonction u. La preuve de la formule (2.3.3)

est analogue a celle faite pour l’onde simple (2.1.8). Notons que le rang de la matrice

de Jacobie est au plus egal a k.

Nous choisissons un ensemble de (p− k) vecteurs

ξa (u) =(

ξ1a (u), . . . , ξp

a (u))T

, a = 1, . . . , p− k , (2.3.4)

51

tels qu’ils soient tous orthogonaux a chaque vecteur d’onde λi :

λi · ξa = 0 , i = 1, . . . , k. (2.3.5)

L’ensemble des vecteursλ1, . . . , λk, ξ1, . . . , ξp−k

forment une base dans l’espace des

variables independantes E ⊂ IRp. Soulignons que le choix des vecteurs ξa n’est pas

unique et que seule la direction des vecteurs d’onde importe et non leur norme.

Alors, nous obtenons de l’equation (2.3.3) que

ξµa

(uα (x)

)∂uα

∂xµ= 0 , a = 1, . . . , p− k , (2.3.6)

impliquant que u1 (x), . . . , uq (x) soient invariants par rapport aux champs vectoriels

ξµa

(u(x)

) ∂

∂xµ, a = 1, . . . , p− k ,

agissant dans l’espace E. Par consequent le graphe Γ =(

x,u(x))

est une sous-variete

invariante sous l’action de chaque champ vectoriel :

Xa = ξµa

(u) ∂

∂xµ, a = 1, . . . , p− k , (2.3.7)

agissant dans l’espace des variables independantes et dependantes E × U ⊂ IRp × IRq.

Si u(x) est une fonction a q composantes, definie au voisinage de x = 0, tel que

son graphe Γ =(

x,u(x))

soit invariant sous l’action de tous les champs vectoriels Xa

(2.3.7) satisfaisant la propriete (2.3.5) alors u(x) est une solution de l’equation (2.3.2)

pour une certaine fonction f . Les fonctions r1, . . . , rk, u1 . . . , uq forment un ensemble

complet d’invariants de l’algebre abelienne engendree par les champs vectoriels Xa.

Cela caracterise geometriquement les solutions exprimees sous la forme (2.3.2). En

substituant l’expression (2.3.2) dans le systeme (2.1.3), on obtient le systeme reduit

(φ−1 (x)

)l

jλj

i

(u(x)

)Ai

(u(x)

)∂fα

∂rl

(r(x,u(x)

))= 0 . (2.3.8)

La comparaison avec (2.1.20) nous laisse entrevoir qu’une reduction semblable a celle

menant a (2.1.21) est plus difficile a obtenir ici car φ est dorenavant une matrice k× k.

52

En consequence de ces faits nous pouvons enonce ceci.

Proposition. Une fonction u(x), definie au voisinage de x = 0, satisfait

l’equation (2.3.2) pour une certaine fonction f : IRk → IRq si et seulement si son graphe

Γ =(

x,u(x))

est invariant sous l’action de tous les champs vectoriel Xa (2.3.7). Une

telle fonction u(x) est une solution du systeme (2.1.3) si et seulement si les equations

aux derivees partielles (2.3.8) sont satisfaites.

Maintenant, nous faisons un changement de variables qui permet de rectifier

les champs vectoriels Xa et d’obtenir consequemment un systeme reduit qui admet

comme solutions des ondes multiples. Pour cela, nous introduisons la matrice carree

k × k supposee inversible :

Λ =(

λ ij

), 1 ≤ i, j ≤ k . (2.3.9)

Les champs vectoriels s’expriment comme

Xk+1 =∂

∂xk+1−

k∑

i,j=1

(Λ−1

)j

iλi

k+1

∂

∂xj, . . . , Xp =

∂

∂xp−

k∑

i,j=1

(Λ−1

)j

iλi

p

∂

∂xj, (2.3.10)

qui ont la meme forme que l’expression (2.1.18) avec la propriete d’orthogonalite (2.3.5).

Le changement des variables independantes et dependantes

x 1 = r1(x,u), . . . , x k = rk(x,u), x k+1 = x k+1 , . . . , x p = xp, u1 = u1, . . . , u q = uq

(2.3.11)

permet de rectifier les champs vectoriels comme suit

Xk+1 =∂

∂x k+1, . . . , Xp =

∂

∂x p . (2.3.12)

La preuve de cette rectification est analogue a celle faite dans la section (2.1) pour

l’expression (2.1.25). Par consequent, le graphe Γ =(

x,u(x))

, etant invariant par

rapport aux champs vectoriels Xk+1, . . . , Xp, est defini par les equations de la forme:

u = f ( x1, . . . , xk ) (2.3.13)

ou f : IRk → IRq est une fonction arbitraire(comparativement a (2.3.2)

)qui est une

solution generale des conditions d’invariance :

uxk+1 = 0 , . . . ,uxp = 0. (2.3.14)

53

Le systeme (2.1.2) se recrit en termes des nouvelles variables (x,u) comme :

Ai (

x,u,ux)uxi = 0 , (2.3.15)

ou l’on a introduit la notation :

Ai ≡ Dx i

DxµAµ ,

en particulier pour chaque terme :

A1

=Dr1

DxµAµ, . . . , A

k=

Drk

DxµAµ , A

k+1= Ak+1, . . . , A

p= Ap , (2.3.16)

ou

Dri

Dxµ

∣∣∣∣u

xk+1 , ... ,uxp=0

=(Φ−1

)i

jλj

µ ,

avec

(Φ−1)i

j= δi

j −∂ri

∂uα uαj , i, j = 1, . . . , k.

En ajoutant les conditions d’invariance (2.3.14) au systeme (2.3.15), on obtient alors un

systeme d’EDP quasilineaire et surdetermine qui s’exprime en termes des nouvelles

variables (x,u) sous la forme :

∆ :

k∑i,j=1

p∑l=1

(Φ−1

)i

jλj

l Aluxi = 0 ,

uxk+1 = 0 , . . . , uxp = 0 .

(2.3.17)

Pour k ≥ 2, le systeme (2.3.17) devient plus complique a resoudre que son correspondant

(2.1.32) de rang un puisque Φ n’est plus ici un scalaire mais une matrice k × k.

Comme il a ete demontre dans [14] (page 885, Theoreme 2) ; le critere in-

finitesimal nous assure l’existence de solutions G-invariantes (2.3.2) (i.e. solutions de

rang-k) du systeme surdetermine (2.3.17) tant que

pr(1) Xa [∆] = 0 , a = 1, . . . , p− k (2.3.18)

ou les equations ∆ = 0 sont satisfaites.

54

Nous completons notre construction de solutions de rang k par “pullback” des vecteurs

d’onde λ1, . . . , λk sur la sous-variete S ⊂ U de dimensions k qui est obtenue en resolvant

le systeme (2.3.17). Alors les vecteurs d’onde λ1 (u), . . . , λk (u) deviennent des fonctions

des parametres r1, . . . , rk. Les ensembles (2.3.1) et (2.3.2) definissent des relations im-

plicites entre les variables uα, xµ et r1, . . . , rk qui peuvent s’exprimer ainsi :

u = f(r), rs = λsµ (r)xµ , s = 1, . . . , k (2.3.19)

ou r = (r1, . . . , rk). Notons que les solutions (2.3.19) incluent les k-ondes de Riemann.

Il a ete prouve dans [19] et [33] que si les conditions initiales sont suffisament

petites pour les fonctions Rs (t, ~x) telles que

(i) les derivees partielles ∂Rs/∂xµ possedent supports compacts et disjoints :

∃ as, bs ∈ IR1, s = 1, 2, supp

(∂Rs

∂xµ

)(to, ~x) ⊂ [as, bs] ,

supp

(∂R1

∂xµ

)(to, ~x) ∩ supp

(∂R2

∂xµ

)(to, ~x) = ∅ ,

(ii) la condition suivante est satisfaite :

∃ c > 0, ∀(t, ~x), (t′, ~x′) ∈ [to, T ]× IR3 tel que |v1 (t, ~x)− v2 (t′, ~x′)| ≥ c ;

c’est-a-dire que chaque caracteristique de la famille C1 a une tangente dont l’angle

d’inclinaison est plus petit que toute caracteristique de la famille C2.

Alors la superposition de deux ondes simples, qui peuvent etre decrites en termes

des invariants de Riemman, se decompose exactement en deux ondes du meme type

presentes a l’instant initial t = 0. Dans ce cas, il y a conservation du nombre et du

type d’ondes simples. Suivant la terminologie employee [7], on est en presence d’une

“interaction elastique” d’ondes simples.

55

2.4 Les ondes doubles decrites par le systeme MHD.

Dans cette section, nous construisons des ondes doubles pour le systeme MHD

(2.2.1) qui resultent de la superposition non lineaire de deux ondes simples telles que

decrites dans la section (2.2). D’abord, nous appliquons la theorie des ondes multiples

introduite dans la section precedente pour le cas k = 2. Puis nous posons certaines

hypotheses de travail afin d’en simplifier les calculs.

Soient les deux vecteurs d’onde lineairement independants suivants :

λs =(λs

o,~λs

), ou λs

o = δs − ~v · ~λs, s = 1, 2, (2.4.1)

dont les vecteurs unitaires ~λs s’expriment dans le repere de coordonnees spheriques:

~λ1 =(

sin β cosϕ, sin β sin ϕ, cos β), ~λ2 =

(sin γ cos θ, sin γ sin θ, cos γ

). (2.4.2)

ou les angles β = β(u), γ = γ(u), ϕ = ϕ(u) et θ = θ(u) sont des fonctions a etre

determinees. On introduit le vecteur ~n = (n1, n2, n3) = ~λ1 × ~λ2 donne par

~n =(

sin β cos γ sin ϕ−sin γ cos β sin θ, sin γ cos β cos θ−sin β cos γ cos ϕ, sin γ sin β sin(θ − ϕ))

(2.4.3)

qui n’est pas forcement un vecteur unitaire, le fait qu’il ne soit pas nul nous assure

que les vecteurs d’onde λ1 et λ2 sont lineairement independants.

Nous determinons les vecteurs ξa (u) =(

ξoa (u), ξ1

a (u), ξ2a (u), ξ3

a (u)), a = 1, 2; qui sont

orthogonaux a chaque vecteur d’onde λs ; s = 1, 2, en resolvant la relation (2.3.5) :

ξ1 =(

n3

det[Λ],

1det [Λ]

[δ2 sin β sin ϕ− δ1 sin γ sin θ + n3 u− n1 w

], 1 , 0

)T

,

ξ2 =(− n2

det [Λ],

1det [Λ]

[δ2 cos β − δ1 sin γ + n2 u + n1 v

], 0 , 1

)T

,

(2.4.4)

ou det[Λ] est le determinant de la matrice Λ de dimensions 2× 2(cf. (2.3.9)

)

det[Λ] ≡ δ1 sin γ cos θ − δ2 sin β cos ϕ + n3 v − n2 w . (2.4.5)

56

De la formule (2.3.7) on deduit l’expression des champs vectoriels Xa:

X1 = ξ01

∂

∂t+ ξ1

1

∂

∂x+

∂

∂y, X2 = ξ0

2

∂

∂t+ ξ1

2

∂

∂x+

∂

∂z. (2.4.6)

Les invariants de la sous-algebre X1, X2 forment l’ensemble suivant

s, r ; ρ, p, ~v, ~H

ou les variables de symetrie s et r coıncident avec les invariants de Riemann:

s = λ1µxµ = (δ1 − ~v · ~λ1)t + ~λ1 · ~x , r = λ2

µxµ = (δ2 − ~v · ~λ2)t + ~λ2 · ~x . (2.4.7)

Ensuite, nous supposons que les fonctions inconnues u = (ρ, p, ~v, ~H) s’expriment en

termes des invariants de Riemann s et r

ρ = ρ (s, r), p = p (s, r), ~v =u (s, r)~e1 + v (s, r)~e2 + w (s, r)~e3 ,

~H =H1 (s, r)~e1 + H2 (s, r)~e2 + H3 (s, r)~e3 ,

(2.4.8)

et consequemment ces fonctions sont invariantes sous l’action des champs vectoriels

(2.4.6). En les remplacant dans le systeme de depart (2.2.1), nous obtenons ainsi

un systeme reduit compose d’EDPs qui decrit les ondes doubles a partir des vecteurs

d’onde λs relatifs aux deux ondes simples superposees. Vu la complexite de ce systeme

reduit, nous posons certaines hypotheses supplementaires sur les differentes orienta-

tions possibles des vecteurs ~λs. De cette facon, nous abordons le probleme en deux

cas elementaires qui vont nous permettre de construire des ondes doubles.

I) Configuration planaire. Dans ce cas, nous fixons les deux vecteurs ~λs dans le

plan genere par les vecteurs ~e1 et ~e2 de sorte que la dependence en z des solutions

(2.4.8) disparait. Cela se traduit dans l’expression des champs vectoriels (2.4.6):

X1 =sin(θ − ϕ)

det[Λ]∂

∂t+

[δ2 sin ϕ− δ1 sin θ + u sin(θ − ϕ)]det[Λ]

∂

∂x+

∂

∂y,

X2 =∂

∂z, ou det[Λ] = δ1 cos θ − δ2 cosϕ + v sin(θ − ϕ) .

(2.4.9)

Nous retrouvons l’analogue de l’ecoulement plan en hydrodynamique : le champ

magnetique et la vitesse n’ont que deux composantes alors que la troisieme suiv-

ant l’axe z est un parametre qu’on peut fixer. Puisque ∇· ~H = 0, le champ magnetique

57

peut s’exprimer a partir d’une certaine fonction scalaire Φ(s, r) appelee la fonction

courant [36] telles que ses composantes s’ecrivent sous la forme :

H1 =∂Φ∂s

, H2 = −∂Φ∂r

. (2.4.10)

De meme si le fluide est incompressible ; ∇· ~v = 0, le champ de vitesse peut aussi

s’exprimer directement a partir d’une seule composante d’une fonction courant Ψ(s, r).

II) Configuration axiale. Dans ce cas, on fixe le vecteur ~λ1 le long de l’axe z tandis

que l’autre vecteur ~λ2 est libre de circuler dans le plan genere par les vecteurs ~e1 et

~e2. Le vecteur ~n n’a que deux composantes et il est perpendiculaire a ~λ2. Les champs

vectoriels (2.4.6) s’ecrivent donc

X1 = − tan θ∂

∂x+

∂

∂y, X2 =

∂

∂t+ (u + v tan θ − δ2)

∂

∂x+ (w − δ1)

∂

∂z. (2.4.11)

Dans la section suivante, nous presentons les solutions de rang-2 qui resultent

des differentes combinaisons possibles des champs vectoriels Xa. Nous les denotons par

EiEj, AεAε, AεEi, FF , FEi, . . . , i, j = 1, 2, 3, ou les indices i, j represente la dimension

generee par les vecteurs λs. Pour chaque type de solution, nous faisons une breve

description physique de la synergie obtenue par la superposition non lineaire de deux

ondes simples. Les resultats de notre analyse sont resumes dans le tableau (2.3).

Tableau 2.3. Les ondes doubles de Riemann decrites par les equations MHD, +

indique que l’onde double existe ; − indique que l’onde double n’existe pas, ε = ±1.

Ondes E Aε F ε Sε

E + + + −

Aε + + − −

F ε + − + −

Sε − − − −

58

2.4.1 Les ondes doubles entropiques (E1E1).

Dans l’analyse des ondes doubles entropiques E1E1, on a traite separement les

deux cas suivants.

1). Configuration planaire. Les deux vecteurs ~λ1 et ~λ2 sont situes dans le plan

genere par les vecteurs unitaires ~e1 et ~e2. On a donc

λ1 =(− (~λ1 · ~v), ~λ1

), λ2 =

(− (~λ2 · ~v), ~λ2),

~λ1 =(cosϕ, sin ϕ, 0) , ~λ2 = (cos θ, sin θ, 0) ,

(2.4.12)

ou ϕ et θ sont des fonctions des invariants de Riemann s et r a etre determinees. La

solution du type E1E1 est invariante sous l’action des champs vectoriels (2.4.9)

X1 =1v

∂

∂t+

u

v

∂

∂x+

∂

∂y, X2 =

∂

∂z, (2.4.13)

qui est determinee par le systeme d’equations

d

dtρ, p, ~v, ~H = 0 , (i)

∇p = − 18π∇| ~H|2 +

14π

( ~H · ∇) ~H , (ii)

( ~H · ∇)~v = 0 , (iii) ,

∇· ~v = 0 , ∇· ~H = 0 , (iv)

(2.4.14)

ou ρ, p, ~v et ~H sont des fonctions arbitraires des invariants de Riemann

s = ~λ1 (s, r) · (~x− ~vt), r = ~λ2 (s, r) · (~x− ~vt). (2.4.15)

Le systeme reduit (2.4.14) decrit la propagation d’une onde double entropique E1E1

dans un fluide incompressible pour lequel les quantites ρ, p, ~v et ~H sont conservees le

long de son flot. Dans le bilan des forces agissant sur celui-ci, il y a equilibre entre le

gradient de pression hydrodynamique et la force de Lorentz qui resulte d’un gradient

de pression magnetique | ~H|2/8π et d’une force de tension ( ~H · ∇) ~H. Le vecteur ∇p est

en tout point dirige suivant la surface normale a la surface isobarique passant par ce

59

point. En se referant aux equations (1.1.10) et (1.1.13), la contrainte (ii) indique que les

vecteurs ~J et ~H sont situes dans le plan tangent a cette surface isobarique. Soulignons

que la contrainte (ii) avec la loi d’Ampere (1.1.10) servent de base a la theorie simplifiee

du confinement d’un plasma par un champ magnetique [11].

La contrainte ( ~H · ∇)~v = 0 implique que la vitesse de l’ecoulement demeure constante

suivant les lignes de force de ~H. Par consequent, les lignes de force magnetiques

et les lignes de courant sont tracees sur des surfaces isobariques et sur lesquelles la

vitesse du flot demeure constante. L’onde double entropique genere de la vorticite,

et la circulation du fluide est preservee puisque la force de Lorentz bien qu’etant non

conservatrice (i.e. elle ne derive d’un potentiel) est contrebalancee par la pression

hydrodynamique. Si nous imposons que la force de Lorentz ne depend que de la

pression magnetique, nous obtenons alors comme solution

ρ = ρ(s, r), p(s, r) +12| ~H(s, r)|2 = po, ~v = w(s, r)~e3, ~H = H (s, r)~e3 , (2.4.16)

ou po est une constante arbitraire ; ρ, w et H sont des fonctions arbitraires des invari-

ants de Riemann ;

s = ~λ1(s, r) · ~x , r = ~λ2(s, r) · ~x. (2.4.17)

L’onde double entropique se propage dans un fluide incompressible dont le flot est

unidimensionel et stationnaire sans vorticite.

2). Configuration axiale. On fixe la direction du vecteur ~λ1 suivant ~e3 tandis que le

vecteur ~λ2 circule dans le plan perpendiculaire a ~λ1. Les vecteurs d’onde entropiques

s’ecrivent sous la forme

λ1 =(− w, 0, 0, 1), λ2 =

(− (~λ2 · ~v), ~λ2), (2.4.18)

ou ~λ2 = (cos θ, sin θ, 0) ; θ est une fonction des invariants de Riemann s et r qui sont a

etre determines. Les champs vectoriels correspondants (2.1.7) sont donnes par

X1 = − tan θ∂

∂x+

∂

∂y, X2 =

∂

∂t+ (u + v tan θ)

∂

∂x+ w

∂

∂z. (2.4.19)

60

Maintenant, on peut considerer deux types de solutions MHD, invariantes sous l’action

de l’algebre X1, X2, qui dependent de l’orientation choisie pour le champ magnetique

~H par rapport aux vecteurs ~λ1 et ~λ2.

2.a). Le champ magnetique ~H est perpendiculaire aux deux vecteurs ~λ1 et ~λ2.

Dans ce cas, la solution est donnee par

ρ = ρ(s, r), p(s, r) +12| ~H(s, r)|2 = po, ~v = v(s, r)~λ2

⊥(r) + w(s)~e3, ~H = H(s, r)~λ2⊥(r), (2.4.20)

ou po est une constante arbitraire; ρ, v, w et H sont fonctions arbitraires de leurs ar-

guments, le vecteur unitaire ~λ2⊥ =

(−sin θ (r), cos θ (r), 0

)est perpendiculaire au vecteur

~λ2 et l’angle θ est une fonction arbitraire de r. Les invariants de Riemann s et r sont

donnes par

s = ~λ2 (r) · ~x, r = z − w(s)t . (2.4.21)

2.b). Le champ magnetique ~H est perpendiculaire au vecteur constant ~λ2o. Dans ce

cas, la solution s’ecrit sous la forme

ρ = ρ(s, r), p(s) +12| ~H(s)|2 = po, ~v = v(s)~eo + w(s)~e3, ~H = H⊥(s)~eo + H3(s)~e3 , (2.4.22)

ou po est une constante arbitraire, le vecteur constant ~eo =(− sin θo, cos θo, 0

)est

perpendiculaire au vecteur ~λ2o, ρ est une fonction arbitraire des deux invariants de

Riemann s et r ; de meme pour v, w, H⊥ et H3 qui sont des fonctions arbitraires de

l’invariant de Riemann s. Les invariants s et r sont donnes par

s = ~λ2o · ~x, r = z − w(s)t . (2.4.23)

Dans les deux cas 2.a) et 2.b), La force de Lorentz force est contrebalancee par le

gradient de pression hydrodynamique. Donc, le fluide n’est soumis a aucune force, et

en vertu du theoreme de Kelvin, la circulation du fluide est preservee.

61

2.4.2 Les ondes doubles d’Alfven (AA).

Nous discutons de la superposition de deux ondes d’Alfven Aε pour lesquelles

leurs vecteurs d’onde sont de la forme

λ1 =(λ1

o , λ11, λ

12, λ

13

), λ2 =

(λ2

o , λ21, λ

22, λ

23

), (2.4.24)

ou

λio = ε

( ~H · ~λi)√4πρ

− ~v · ~λi , i = 1, 2, ε = ±1 . (2.4.25)

Nous supposons que les vecteurs ~λ1 et ~λ2 soient lineairement independants ; et donc

il en va de meme pour les vecteurs d’onde λ1 et λ2 qui leurs sont associes.

Les champs vectoriels correspondants sont donnes par

X1 =(λ1

1λ22 − λ1

2λ21)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂t+

(λ12λ

2o − λ1

oλ22)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂x+

∂

∂y,

X2 =(λ1

1λ23 − λ1

3λ21)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂t+

(λ13λ

2o − λ1

oλ23)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂x+

∂

∂z.

(2.4.26)

Les solutions invariantes sous l’action de X1, X2 sont

ρ = ρo, p = po, ~v (s, r) =ε√

4πρo

~H (s, r), | ~H|2 = H2o, ε = ±1 , (2.4.27)

ou ρo, po, H2o sont des constantes arbitraires, ~v et ~H sont des fonctions vectorielles des

invariants de Riemann suivants

s = ~λ1 (s, r) · ~x , r = ~λ2 (s, r) · ~x . (2.4.28)

Le champ magnetique ~H doit satisfaire les contraintes suivantes

d ~H

ds· ~λ1· = 0,

d ~H

dr· ~λ2 = 0 . (2.4.29)

L’onde double d’Alfven AA se propage dans un fluide incompressible et stationnaire

qui s’ecoule suivant les lignes de force du champ magnetique ~H.

62

2.4.3 Les ondes doubles Alfven-Entropique (AE1).

Dans cette sous-section, nous construisons des ondes doubles AE1 a partir des

vecteurs d’onde respectifs de l’onde simple d’Alfven Aε et de l’onde entropique E1 :

λ1 =(λ1

o , λ11, λ

12, λ

13

), λ2 =

(λ2

o, λ21, λ

22, λ

23

), (2.4.30)

ou les vecteurs ~λ1 et ~λ2 sont associes respectivement aux vecteurs ~λA de l’onde d’Alfven

et ~λE de l’onde entropique, et

λ1o = ε

( ~H · ~λ1)√4πρ

− ~v · ~λ1 , ε = ±1 , λ2o = −~λ2 · ~v . (2.4.31)

Les solutions du systeme MHD (2.1.2) doivent etre invariantes sous l’action des champs

vectoriels (2.3.7) :

X1 =(λ1

1λ22 − λ1

2λ21)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂t+

(λ12λ

2o − λ1

oλ22)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂x+

∂

∂y,

X2 =(λ1

1λ23 − λ1

3λ21)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂t+

(λ13λ

2o − λ1

oλ23)

(λ1oλ

21 − λ1

1λ2o)

∂

∂x+

∂

∂z,

(2.4.32)

celles-ci sont donnees par

ρ =ρ(r) , p(r) +18πH2(r) = po , | ~H|2 = H2 (r) ,

~v =ε ~H√4πρ(r)

+ ~φ(r), ~H = α(s, r)~φ + β(s, r)~φ + ~ψ(r), ε = ±1 ,

(2.4.33)

et elles s’expriment en termes des invariants de Riemann s et r :

s = ~λ1 (s, r) · ~x , r = ~λ2 (s, r) · ~x−(~λ2 (s, r) · ~v

)t . (2.4.34)

Precisons que po est une constante arbitraire, ρ, p et H sont des fonctions arbitraires

de r. Les fonctions vectorielles ~φ et ~ψ doivent satisfaire les relations :

~φ · ~λ1 = 0, ~φ · ~λs = 0, ~φ · ~λs = 0,...

~φ ·~λ2 = 0, ~ψ · ~λ2 = 0, ~ψ · ~λ2 = 0 pour s = 1, 2. (2.4.35)

Dans les expressions (2.4.33) et (2.4.35) nous avons adopte la notation suivante:

~φ =d~φ

dr, ~φ =

d2~φ

dr2,

...

~φ=d3~φ

dr3, ~ψ =

d~ψ

dr. (2.4.36)

63

La fonction α (s, r) s’exprime en termes de β (s, r), des fonctions vectorielles ~φ, ~ψ et de

leurs derivees respectives :

α =−[(~φ · ~φ)β + (~φ · ~ψ)]±√∆

|~φ|2, (2.4.37)

ou la solution (2.4.37) est reelle si le discriminant ∆ est positif, i.e.

∆ =[(~φ · ~φ)β + (~φ · ~ψ)

]2

− |~φ|2[|~φ|2β2 + 2(~φ · ~ψ)β + |~ψ|2 −H2(r)

]≥ 0 . (2.4.38)

Pour determiner la fonction β, on doit resoudre une equation differentielle non-lineaire

dont les coefficients sont exprimes en termes de ~φ, ~ψ et de leurs derivees respectives:

[(~φ× ~ψ) · ~φ

]∂β

∂r+

[(~φ× ~φ)·

...

~φ

]β2 +

[(~φ× ~ψ)·

...

~φ +(~φ× ~φ) · ~ψ − |~φ|−2[(~φ× ~ψ) · ~φ(~φ · ~φ) ]]β

− |~φ|−2[(~φ× ~ψ) · ~φ][(~φ · ~ψ)∓

√∆

]+ [(~φ× ~ψ) · ~ψ] = 0.

(2.4.39)

Notons que la dependance de la fonction β en terme de s intervient de maniere

parametrique. Donc l’equation (2.4.39) peut etre consideree comme une EDO du

premier ordre pour la fonction β par rapport a la variable r.

La force de Lorentz ~Fm resulte de l’action combinee des ondes simples E1 et A. En

effet, le gradient de pression magnetique provient seulement de l’onde E1 alors que

les forces de tension exercees sur les lignes de force sont associees a l’onde d’Alfven.

L’ecoulement est rotationnel (∇× ~v 6= 0) et incompressible (∇· ~v = 0). La circulation

du fluide n’est pas preservee a cause des forces de tension qui rendent ~Fm non conser-

vatrice. La norme et la direction de la vitesse s’en trouvent ainsi modifiees. De plus,

le terme ~Fm ·~v 6= 0 indique la presence d’un couplage entre les effets hydrodynamiques

et magnetiques dans l’equation de conservation de l’energie(cf.(1.2.9) et (1.2.10)

).

64

Onde double AE1 stationnaire.

En imposant que l’onde double AE1 soit stationnaire, les calculs pour obtenir des solu-

tions du systeme MHD (2.2.1) s’en trouvent simplifier notamment si nous considerons

les configurations planaire et axiale. Voici les resultats obtenus.

1). Configuration planaire. Les deux vecteurs ~λ1 et ~λ2 sont contraints de circuler

dans le plan genere par les vecteurs unitaires ~e1 et ~e2. On a donc

λ1 =(δA − (~λ1 · ~v), ~λ1

), λ2 =

(− (~λ2 · ~v), ~λ2),

~λ1 =(cosϕ, sinϕ, 0) , ~λ2 = (cos θ, sin θ, 0) ,

(2.4.40)

ou ϕ et θ sont des fonctions des invariants de Riemann s et r a etre determinees, et

δA = ε( ~H · ~λ1)√

4πρ, ε = ±1.

La solution du type AE1 est invariante sous l’action des champs vectoriels (2.4.9)

X1 = sin(θ − ϕ)∂

∂t− [δA sin θ + u sin(ϕ− θ)]

∂

∂x+ [δA cos θ + v sin(θ − ϕ)]

∂

∂y, X2 =

∂

∂z.

(2.4.41)

Nous posons que les fonctions inconnues u = (ρ, p, ~v, ~H) sont des fonctions des invariants

de Riemann s = ~λ1 ·~x+(δA− (~λ1 ·~v)

)t et r = ~λ2 ·~x− (~λ2 ·~v)t, et apres les avoir substituees

dans le systeme (2.2.1), nous obtenons comme solutions stationnaires

ρ = ρ(r), p(r) +18πH2(r) = po, ~v =

ε ~H√4πρ(r)

+ w(r)~e3, ε = ±1,

~H =H(r)[cosϕ(s)~e1 + sin ϕ(s)~e2],

(2.4.42)

ou po une constante arbitraire, ρ, p, w H et ϕ sont des fonctions arbitraires de leurs

arguments respectifs : les invariants de Riemann r et s sont donnes par

s = x cosϕ + y sin ϕ , r = y cosϕ− x sin ϕ . (2.4.43)

Les solutions (2.4.42) decrivent la propagation d’une onde double AE1 dans un fluide

incompressible et stationnaire : le vecteur ~λ1 est colineaire au champ magnetique

65

~H, et tous deux sont perpendiculaires au vecteur ~λ2. De plus, le fait que ~v · ~λ2 = 0

confirme le caractere stationnaire de l’onde entropique E1 (cf. (2.2.30)). Soulignons

que les solutions (2.4.42) satisfont les contraintes

~λ1 · ∇ρ = 0 , ~λ1 · ∇p = 0 , ~λ1 · ∇w = 0 , (2.4.44)

qui nous indiquent que ρ, p et w sont des quantites conservees dans la direction ~λ1

mais varient suivant ~λ2 : ainsi l’onde entropique E1 modifie la densite, la pression et

la norme du champ magnetique (et donc celle de la vitesse) suivant sa direction de

propagation alors que la contribution de l’onde d’Alfven consiste seulement a modifier

la direction du champ magnetique ; θ ≡ θ (s).

Prenons le cas pour lequel l’ecoulement est bidimensionnel ; i.e. w(r) ≡ 0. Les lignes de

courant (qui coıncident avec les lignes de force de ~H) sont des cercles concentriques

de rayon r = constante et le champ de vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur

s = constante. L’ecoulement etant stationnaire : le gradient de pression magnetique

contrebalance celui de la pression hydrodynamique, le reste de la force de Lorentz,

associe aux forces de tension ( ~H · ∇) ~H ∼ ( ~H · ~λ1)∂ ~H/∂s, agit sur le fluide comme une

force centripete. Quant a la circulation du fluide, elle est conservee sur chaque ligne

de courant r = constante .

En guise de comparaison, l’action de l’onde double AE1 sur le fluide est l’analogue

en hydrodynamique d’un champ de vitesse engendre par un fil tourbillonnaire infini-

ment long et de diametre tres petit pour un ecoulement plan et incompressible [36];

l’onde d’Alfven induit la circulation du fluide alors que l’onde entropique maintient

l’equilibre entre les gradients de pression ci-haut mentionnes.

II). Configuration axiale. L’onde d’Alfven circule dans le plan genere par les

vecteurs ~e1 et ~e2, et l’onde entropique se propage suivant la direction ~e3. Les vecteurs

d’onde sont donnes par

λ1 =(δA − (~λ1 · ~v), ~λ1

), λ2 =

(− (~λ2 · ~v), ~λ2),

~λ1 =(cos θ, sin θ, 0) , ~λ2 = (0, 0, 1) ,

(2.4.45)

66

ou θ est une fonction des invariants de Riemann s et r a etre determinee, et

δA = ε( ~H · ~λ1)√

4πρ, ε = ±1.

Les champs vectoriels (2.4.11) s’expriment dans ce cas-ci sous la forme

X1 = − tan θ∂

∂x+

∂

∂y, X2 =

∂

∂t+ (u + v tan θ − δA)

∂

∂x+ w

∂

∂z. (2.4.46)

Etant donne le caractere stationnaire de l’onde AE1, nous obtenons comme solutions:

ρ = ρ(r) , p(r) +18πH2(r) = po , ~v =

ε ~H√4πρ(r)

, ε = ±1 ,

~H =H(r)[cos θ(s)~e1 + sin θ(s)~e2] ,

(2.4.47)

ou po une constante arbitraire, ρ, p, θ et H sont des fonctions arbitraires de leur

argument respectif : c’est-a-dire en termes des invariants de Riemann

s = x cos θ + y sin θ , r = z . (2.4.48)

Pour la configuration axiale, l’onde double AE1 se propage dans un fluide incompress-

ible et stationnaire dont le flot est bidimensionnel et s’ecoule suivant les lignes de

force du champ magnetique ~H. Dans le plan z = constant, la densite et la pression du

fluide ainsi que la norme de ~H demeurent constantes. Autrement dit, l’onde d’Alfven

ne modifie pas ces quantites :

~λ1 · ∇ρ = 0 , ~λ1 · ∇p = 0 , ~λ1 · ∇[H] = 0 . (2.4.49)

Quant a la force de Lorentz agissant sur le fluide : nous avons dans la direction ~e3

un equilibre entre les pressions hydrodynamique et magnetique (comme l’indique la

contrainte obtenue dans (2.4.47)). La contribution de l’onde d’Alfven est attribuable

aux forces de tension ( ~H · ∇) ~H, situees dans le plan ou circule ~λ1, qui agissent sur les

lignes de force suivant la direction du vecteur ~n (cf.(1.1.14)).

67

Sous la configuration axiale, l’onde double AE1 stationnaire contribue a la generation

d’une densite de courant ~J (cf.(1.1.10)) suivante

~J =4π

c∇× ~H = −4π

c

dHdr

[sinθ ~e1 − cos θ ~e2]− 4π

cHdθ

ds~e3 (2.4.50)

ainsi une partie du courant produit circule dans le plan ou s’ecoule le fluide, con-

trairement a la configuration planaire ou celui-ci ne circule que dans la direction

transvsersale a l’ecoulement.

Outre les configurations planaire et axiale, nous pouvons aussi examiner le cas

plus general pour lequel les vecteurs ~λ1 et ~λ2 sont orthogonaux a un certain vecteur

unitaire constant ~eo qui n’est cependant jamais colineaire au champ magnetique ~H:

~λ1 · ~eo = 0 , ~λ2 · ~eo = 0 . (2.4.51)

Pour construire l’onde doubles AE1 a partir de cette configuration, nous procedons

de la meme facon que precedemment : les expressions generales des vecteurs d’onde

λ1 et λ2 sont donnees par (2.4.30) et (2.4.31) et les champs vectoriels, qui laissent les

solutions du systeme MHD (2.2.1), s’expriment sous la forme (2.4.32).

Ensuite, apres avoir remplacees les fonctions inconnues u = (ρ, p, ~v, ~H) qui dependent

des invariants de Riemann s = ~λ1 · ~x + (δA − (~λ1 · ~v)t et r = ~λ2 · ~x− (~λ2 · ~v)t, nous devons

tenir compte des conditions de consistance des elements simples entropiques du type

E1 et d’Alfven Aε; cf. (2.2.17), (2.2.30), (2.2.52) :

~λ1 · ∂ ~H

∂s= 0 , ~λ1 · ∂~v

∂s= 0 , ~λ2 · ~H = 0 , ~λ2 · ∂ ~H

∂r= 0 , ~λ2 · ∂~v

∂r= 0 . (2.4.52)

Ce qui nous amene aux solutions stationnaires suivantes

ρ = ρ(r) , p(r) +H2(r)8π

= po , ~v =ε ~H√4πρ(r)

+ a(r)~eo , ε = ±1 , (2.4.53)

ou po est une constante arbitraire, ρ et a sont des fonctions arbitraires de leurs argu-

ments respectifs. L’expression du champ magnetique ~H reste indeterminee : la seule

contrainte imposee sur celle-ci est que sa norme H soit une fonction arbitraire de r.

68

Les invariants de Riemann sont donnes par

s =

(∂ ~H

∂s× ~eo

)· ~x , r =

(~H × ~eo

) · ~x . (2.4.54)

Soulignons que pour cette configuration, les vecteurs ~λ1 et ~λ2 s’ecrivent

~λ1 =∂ ~H

∂s× ~eo , ~λ2 = ~H × ~eo

(2.4.55)

puisque les vecteurs ~H et ∂ ~H/∂s sont toujours orthogonaux, nous avons donc que ~e1

et ~e2 sont lineairement independants et generent un plan perpendiculaire a ~eo.

La force de Lorentz associee a l’onde double AE1 s’exprime

~Fm =14π

( ~H · ~λ1)∂ ~H

∂s− H

4π

dHdr

~λ2 ; (2.4.56)

le premier terme a droite de l’egalite de (2.4.56) represente la contribution de l’onde

d’Afven : les forces de tension agissant transversalement aux lignes de force, alors que

le second terme, qui provient du gradient de pression magnetique, est contrebalance

par la pression hydrodynamique dans la direction ~λ2 (cf. (2.4.53)).

Notons qu’en choisissant ~eo = ~e3 et en prenant pour le champ magnetique la forme

particuliere:

~H = H(r)H(s) (2.4.57)

ou H est un vecteur unitaire situe dans le plan genere par ~e1 et ~e2, alors les solutions

(2.4.53) coıncident avec celles obtenues pour la configuration planaire (2.4.42).

Finalement, nous pouvons aussi considerer le cas particulier ou la direction

de propagation de l’onde entropique E1 est fixee suivant ~e3 alors que l’onde d’Alfven

balaie tout l’espace. Nous tenons compte encore des conditions de consistance (2.4.52)

et de la forme (2.4.57) pour le champ magnetique ~H. Apres avoir repeter les memes

etapes de calculs que precedemment, nous aboutissons aux solutions suivantes:

ρ = ρ(r) , p(r) +H2

8π= po , ~v =

ε ~H√4πρ(r)

, ε = ±1,

~H =H(r)(

cosϕ(s) , sin ϕ(s) , 0)

,

(2.4.58)

69

ou po est une constante arbitraire ; ρ, α et ϕ sont des fonctions arbitraires de leurs

arguments respectifs. Les invariants de Riemann sont donnes par

s = x cos ϕ + y sin ϕ + χz , r = z . (2.4.59)

ou χ est une fonction arbitraire de s qui resulte du fait que l’onde d’Alfven se propage

hors du plan genere par ~e1 et ~e2 :

~λ1 =(

cosϕ(s), sinϕ(s), χ(s))

.

Les solutions (2.4.58) sont similaires a celles obtenues pour la configuration axiale :

elles decrivent la propagation d’une onde double AE1 dans un fluide incompressible

et stationnaire dont l’ecoulement est bidimensionnel et suit les lignes de force du

champ magnetique ~H. Il en va de meme pour le bilan des forces agissant sur le fluide:

cancellation des gradients de pression hydrodynamique et magnetique, les forces de

tension de ~Fm agissent sur les lignes de force magnetiques comme des forces centripetes

orientees suivant le rayon de courbure Rc.

Sur chaque plan z = constant, les fonctions ρ, p et H demeurent constantes. Cependant

la direction du champ magnetique (et consequemment la vitesse du flot) varie d’un

plan z = constant a l’autre etant donnee la presence de la fonction χ.

Pour cette configuration, nous avons comme densite de courant ~J:

~J =4π

c

(χHdθ

dscos θ − dH

drsin θ

)~e1 +

4π

c

(χHdθ

dssin θ +

dHdr

cos θ

)~e2 − 4π

cHdθ

ds~e3 (2.4.60)

comparativement a l’expression obtenue pour la configuration axiale (2.4.50), nous

avons certains termes supplementaires lies a la fonction χ qui s’ajoutent au courant

circulant dans le plan ou s’ecoule le fluide.

70

2.4.4 Les ondes doubles magnetoacoustiques (FF).

Nous traitons separement deux cas pour lesquels la direction de propagation

de chaque onde simple magnetoacoustique F est fixe et orientee perpendiculairement

au champ magnetique ~H.

(1). Nous considerons que les directions de propagation des ondes simples F soient

transversales : nous les choisissons suivant ~e1 et ~e2, respectivement, avec ~H = (0, 0,H).

Leurs vecteurs d’onde respectifs a chaque onde simple F sont

λ1 =(δF − u, 1, 0, 0

), λ2 =

(δF − v, 0, 1, 0

). (2.4.61)

ou la vitesse caracteristique de l’onde magnetoacoustique s’ecrit

δF = ε

[κp

ρ+| ~H|2

ρ

] 12

, ε = ±1 .

Les champs vectoriels (2.3.7) correspondants sont donnes par

X1 =∂

∂t+ (u− δF )

∂

∂x+ (v − δF )

∂

∂y, X2 =

∂

∂z. (2.4.62)

Nous posons que les fonctions inconnues u = (ρ, p, ~v, ~H) sont des fonctions des invariants

de Riemann s = x + (δF − u)t et r = y + (δF − u)t. En les remplacant dans le systeme

MHD (2.2.1), nous obtenons les solutions

ρ = ρ(s, r), p = Aoρκ, ~v =

[v(s, r) +

12[f(r) + g(s)]

]~e1 + v(s, r)~e2 + w(s− r)~e3, ~H = Hoρ~e3,

(2.4.63)

ou Ao et Ho sont des constantes arbitraires, v et w sont des fonctions arbitraires de

leurs arguments respectifs. Les invariants de Riemann s’exprime alors sous la forme

s = x +(

δF − 12[f(r) + g(s)]− v

)t, r = y + (δF − v)t (2.4.64)

et les fonctions f et g (egalement arbitraires) sont reliees a la densite ρ par

f(r)− g(s) = 4ε

√Ao

[√βoρ + 1− arc tanh[

√βoρ + 1]

]pour κ = 1 ,

√2Ao(βo + 1)

√ρ pour κ = 2 ,

√κAo

(κ− 1)

√ρκ−1 + βoρ

[1 +

(κ− 2)√

βo√ρκ−2 + βo

]2F1

(a1, b1, c1;

−ρκ−2

βo

)pour κ 6= 1, 2 ,

(2.4.65)

71

ou ε = ±1, 2F1 (a1, b1, c1; z) est une fonction hypergeometrique de seconde espece qui

depend de la variable z = −ρ(κ−2)/βo, avec βo = H2o/4πκAo, et des parametres a1 =

1/2(κ− 2), b1 = 12 , c1 = 1 + 1/2(κ− 2).

Pour l’onde double FF , la force de Lorentz presente dans le fluide est donnee par

~Fm = − 18π∇[| ~H|2] = −H2

o

4πρ

[∂ρ

∂s~e1 +

∂ρ

∂r~e2

]. (2.4.66)

Par consequent, l’onde double FF se propage dans le fluide en causant des com-

pressions et des extensions sur les lignes de force magnetiques dans les directions ~e1

et ~e2 qui leurs sont perpendiculaires. Le fait que ~Fm · ~v 6= 0 indique que les effets

hydrodynamiques et electromagnetiques sont couples.

Sous ces conditions, la vorticite du fluide ∇× ~v n’est pas nulle. Puisque la force de

Lorentz derive du gradient de pression magnetique pM = | ~H|2/8π (les forces de tension

etant nulles) : ~Fm est une force conservatrice. Par consequent, la circulation du fluide

est preservee selon le theoreme de Kelvin.

(2). Nous considerons maintenant le cas unidimensionnel pour lequel les deux on-

des magnetoacoustique F se propagent dans une meme direction fixe (mais en sens

contraire) que nous choisissons suivant ~e2, avec des vitesses de phases λεo = δF + εu,

ε = ±1. Ainsi, le champ magnetique peut avoir deux composantes : ~H =(0, H2,H3

).

Neanmoins, les vecteurs d’onde correspondants sont lineairement independants :

λ1 =(δF − u, 1, 0, 0

), λ2 =

(− (δF + u), 1, 0, 0). (2.4.67)

ou

δF =

[κp

ρ+| ~H|28π

] 12

.

Dans ce cas, les champs vectoriels (2.3.7) sont simplement

X1 =∂

∂y, X2 =

∂

∂z. (2.4.68)

72

Les solutions invariantes sous l’action X1, X2 sont

ρ = ρ (s, r) , p = Aoρκ , ~v =

12[f(r) + g(s)]~e1 + v(s + r)~e2 + w(s + r)~e3 ,

~H =ρHo[cosϕ(s + r)~e2 + sinϕ(s + r)~e3] ,

(2.4.69)

ou Ao et Ho sont des constantes arbitraires, v, w et ϕ sont des fonctions arbitraires de

leurs arguments respectifs. Les invariants de Riemann sont

s = x +(

δF − 12[f(r) + g(s)

])t , r = x−

(δF +

12[f(r) + g(s)

])t , (2.4.70)

de meme que les fonctions f et g qui sont reliees a la densite ρ par l’expression (2.4.65).

L’onde double FF agit sur la composante de la vitesse longitudinale a sa direction de

propagation alors que les composantes transversales de la vitesse : v et w, sont des

fonctions arbitraires qui ne sont pas reliees a la densite ρ et leurs presences contribuent

a la vorticite du fluide. Notons que la circulation du fluide est conservee d’apres la

solution (2.4.69) puisque les forces de tension ( ~H · ∇) ~H = 0.

La valeur κ = 2 represente un cas interessant pour lequel nous considerons un flot uni-

dimensionnel qui s’ecoule transversalement au champ magnetique ~H. Nous obtenons

alors comme solutions du systeme MHD (2.2.1)

ρ =[f(r)− g(s)]2

16[2Ao + H2o ]

, p = Aoρ2 , ~v =

12[f(r) + g(s)]~e1 , ~H = ρHo~e3 , (2.4.71)

ou Ao et Ho sont des constantes arbitraires, f et g sont des fonctions arbitraires des

invariants de Riemann r et s, respectivement. Ceux-ci sont donnes par les relations

s = x− 14(3g + f)t, r = x− 1

4(3f + g)t . (2.4.72)

Dans ce cas, la force de Lorentz prend la forme

~Fm = − 18π∇[| ~H|2] = −Ho

2

4πρ

[∂ρ

∂s+

∂ρ

∂r

]~e1 .

Ainsi l’onde double FF se propage dans le fluide par la combinaison d’une onde de

compression associee a la fonction arbitraire f [x− (δF + u)t] et d’une onde d’expansion

associee a la fonction arbitraire g[x+(δF −u)t]. Ici, le flot est irrotationnel car ∇×~v = 0.

73

Ce cas particulier illustre le principe de base du generateur MHD [10]: le fluide s’ecoule

suivant la direction ~e1 a l’interieur d’une cloison ou regne un fort champ magnetique

oriente dans la direction ~e3. Par la loi d’Ampere (cf. (1.1.10)), il en resulte un courant

electrique qui s’exprime par

~J =c

4π∇× ~H =

cHo

32π

[f(r)− g(s)][2Ao +

H2o

4π

][dg

ds− df

dr

]~e2 .

(2.4.73)

Consequemment, ce meme courant electrique ~J avec le champ magnetique ~H con-

tribuent a leur tour a l’entretient de la force de Lorentz. Ce processus permet ainsi

de convertir l’energie cinetique du fluide en energie electrique.

3) Finalement, considerons le cas unidimensionnel ou l’onde double FF se propage

dans la direction du champ magnetique ~H. Les solutions invariantes sous les champs

vectoriels (2.4.68) sont alors donnees par:

ρ = ρ(s, r), p = Aoρκ, ~v =

12[f(r) + g(s)]~e1, ~H = Ho ~e1 , (2.4.74)

ou Ao et Ho sont des constantes arbitraires, f et g sont des fonctions arbitraires de

leur argument respectif : elles sont reliees a la densite ρ par

f(r)− g(s) =

4κ− 1

√κAoρ(κ−1) pour κ 6= 1,

ln ρ pour κ = 1.

(2.4.75)

Les invariants de Riemann s’expriment sous la forme

s = x−(

12[f(r) + g(s)] +

√κAoρ(κ−1)

)t, r = x−

(12[f(r) + g(s)] +

√κAoρ(κ−1)

)t.

(2.4.76)

Dans ce cas, l’onde double FF devient simplement une onde double acoustique (comme

decrite en hydrodynamique [35]) qui se propage le long des lignes de force d’un champ

magnetique constant ~Ho et celui-ci n’a aucune influence sur l’ecoulement du fluide.

74

2.4.5 Les ondes doubles magnetoacoustique et entropique (FE1).

Nous imposons que le vecteur ~λF de l’onde magnetoacoustique F et le vecteur

~λE1 de l’onde entropique E1 soient tous deux orthogonaux au champ magnetique ~H.

Sous cette hypothese de base, nous etudions les deux cas suivants.

1.a). Nous considerons le cas unidimensionnel pour lequel l’onde magnetoacoustique

F et l’onde entropique E1 se propagent suivant la direction ~e3, et le champ magnetique

est dispose selon ~H = (H1,H2, 0). Leur vitesse de phase sont donnees respectivement

par λFo = δF − w et λE

o = −w.

Les vecteurs d’onde correspondants s’ecrivent

λF =(δF − w, 0, 0, 1

), λE1 =

(− w, 0, 0, 1)

, (2.4.77)

ou

δF = ε

[κp

ρ+| ~H|24πρ

] 12

, ε = ±1 . (2.4.78)

Dans ce cas, les champs vectoriels (2.3.7) sont simplement

X1 =∂

∂x, X2 =

∂

∂y. (2.4.79)

Nous posons que les inconnues u = (ρ, p, ~v, ~H) sont des fonctions des invariants de

Riemann s = z + (δF − w)t et r = z − wt. Apres les avoir subsituees dans le systeme

MHD (2.2.1), nous trouvons comme solutions invariantes sous X1, X2

ρ = ρ(s), p = Aoρκ, ~v = ~α(r)× ~e3 + w(ρ)~e3, ~H =Ho ρ(s) [cosϕ(r)~e1 + sinϕ(r)~e2] , (2.4.80)

ou Ao et Ho sont des constantes arbitraires, ρ, ϕ et ~α = (α1, α2, 0) sont des fonctions

arbitraires de leurs arguments respectifs. Les invariants de Riemann invariants s et r

sont donnes par

s = z −(

w(ρ)− ε

[κAoρ

(κ−1) + H2oρ

] 12)

t , r = z − w(ρ)t , ε = ±1 . (2.4.81)

75

La fonction w s’exprime sous la forme

w(ρ) =2

√Ao

[√βoρ + 1− arc tanh[

√βoρ + 1]

]pour κ = 1 ,

√κAo

(κ−1)

√ρκ−1 + βoρ

[1 +

(κ− 2)√

βo√ρκ−2 + βo

]2F1

(a1, b1, c1;

−ρκ−2

βo

)pour κ 6= 1, 2

(2.4.82)

ou 2F1 (a1, b1, c1; z) est une fonction hypergeometrique de seconde espece dependant de

la variable z = −ρκ−2/βo, avec βo = H2o/4πκAo, et des parametres : a1 = 1/2(κ− 2), b1 = 1

2 ,

c1 = 1 + 1/2(κ− 2).

La force de Lorentz associee a l’onde double FE1 derive du gradient de pression

magnetique :

~Fm = − 18π∇[| ~H|2] = −H2

o

4πρdρ

ds~e3 (2.4.83)

qui resulte de l’onde magnetoacoustique F: les forces de tension sur les lignes de force

sont nulles. Notons que les effets hydrodynamiques et magnetiques sont couples etant

donne que ~Fm · ~v 6= 0.

Le gradient de pression hydrodynamique provient lui aussi de l’onde F :

∇p = κAoρ(κ−1) dρ

ds~e3 , (2.4.84)

il s’ensuit que les lignes de force subissent des compressions et des extensions suivant

la direction de propagation de l’onde magnetoacoustique F (i.e. ~λF ). D’autre part,

l’onde entropique E1 contribue a la vorticite du fluide:

∇× ~v = ~e3 ×(

d~α

dr× ~e3

). (2.4.85)

Puisque ~Fm est une force conservatrice, la circulation du fluide est preservee selon le

theoreme de Kelvin.

1.b). Pour le cas particulier ou κ = 2, les solutions (2.4.80) se recrivent comme suit:

ρ = ρ(s), p = A(r)ρ2, ~v = ~α(r)× ~e3 + 2ε√

C2ρ~e3, ~H = ρ(s)H(r)[cosϕ(r)~e1 + sinϕ(r)~e2], ε = ±1

(2.4.86)

76

ou C2 est une constante arbitraire, les fonctions A(r) et H(r) doivent satisfaire

2A(r) +14πH2(r) = C2 . (2.4.87)

L’onde entropique E1 agit sur | ~H| et sur p toutefois, comme l’indique la relation

(2.4.87), sans perturber l’equilibre entre les gradients de pression hydrodynamique et

magnetique. Cela se traduit egalement dans le bilan des energies hydrodynamique et

magnetique(cf.(1.2.5) et (1.2.7)

):

E = Ec + Em =12ρ |~α|2 +

12ρ w2 +

1κ− 1

p +| ~H|28π

; (2.4.88)

pour κ = 2 : l’onde entropique E1 agit sur tous les termes alors que pour κ 6= 2 son

action se limite a l’energie cinetique Ec. La contribution de l’onde magnetoacoustique

F est independante de κ : elle modifie l’energie totale E via la densite.

2). Nous considerons le cas ou les ondes simples magnetoacoustique F et entropique

E1 se propagent dans des directions transversales que nous choisissons comme etant

~λF = (1, 0, 0) et ~λE1 = (0, 1, 0), avec pour orientation du champ magnetique ~H = (0, 0,H).

Les vecteurs d’onde sont alors donnees par :

λF =(δF − u, 1, 0, 0

), λE1 =

(− v, 0, 1, 0)

. (2.4.89)

ou

δF = ε

[κp

ρ+

H2

4πρ

] 12

, ε = ±1 .

Les champs vectoriels (2.3.7) s’expriment sous la forme

X1 =1v

∂

∂t+

(u− δF )v

∂

∂x+

∂

∂y, X2 =

∂

∂z. (2.4.90)

Pour κ 6= 2, les solutions invariantes sous l’action de X1, X2 sont donnees par

ρ = ρ(s), p = Aoρκ, ~v = [b(r)− f(ρ)]~e1 + vo~e2 + w(r)~e3, ~H = Hoρ(s)~e3 , (2.4.91)

ou Ao, vo et Ho sont des constantes arbitraires, ρ, b et w sont des fonctions arbitraires

de leurs arguments respectifs; i.e. en termes des invariants de Riemann s = x+(δF −u)t

et r = y − vot. La fonction f est reliee a la densite par la relation (2.4.82).

77

L’analyse physique est identique a celle faite pour le cas 1.b), soulignons que les

compressions et les extensions des lignes de force se font dans la direction ~e1 (i.e. ~λF )

et le fluide demeure incompressible suivant les directions ~e2 et ~e3.

Le cas κ = 2 met davantage en evidence la synergie entre les ondes magnetoacoustique

F et entropique E1. Les solutions du systeme (2.2.1) sont alors donnees par

ρ = ρ(s), p = A(r)ρ2, ~v = [b(r)− 2ε√

C2ρ(s)]~e1 + vo~e2 + w(r)~e3, ~H = ρ(s)H(r)~e3 , (2.4.92)

ou ε = ±1, C2 et vo sont des constantes arbitraires, ρ, b et w sont des fonctions arbitraires

de leurs arguments respectifs. Les invariants de Riemann sont

s = x +(3ε

√C2ρ(s)− b(r)

)t , r = y − vot , ε = ±1 .

Les fonctions A(r) et H(r) doivent satisfaire la relation

2A(r) +14πH2(r) = C2 . (2.4.93)

Le caractere spatial de la synergie ressort dans l’expression de la force de Lorentz qui

comporte alors deux composantes :

~Fm = − 18π∇[| ~H|2] = −ρH

4π

[Hdρ

ds~e1 + ρ

dHdr

~e2

], (2.4.94)

de meme que pour le gradient de pression hydrodynamique qui s’ecrit

∇p = 2Aρdρ

ds~e1 + ρ2 dA

dr~e2. (2.4.95)

Dans l’equation d’Euler (1.1.15), en tenant compte de la contrainte (2.4.93), la somme

des forces agissant sur le fluide est nulle suivant ~e2 (i.e. ~λE1). Par consequent, les

lignes de forces subissent des compressions et des extensions que dans la direction de

propagation l’onde magnetoacoustique F .

La vorticite du fluide est associee a l’onde entropique E1

∇× ~v =dw

dr~e1 − db

dr~e3 ,

et la force de Lorentz ~Fm etant conservatrice, la circulation du fluide est preservee

par le theoreme de Kelvin.

78

2.5 Resolution du systeme MHD par imposition de contraintes differentielles.

Par la methode des symetries conditionnelles, nous avons pu exprimer les so-

lutions des equations MHD en termes des invariants de Riemann. Le but de cette

section est d’obtenir des solutions en imposant directement certaines contraintes

differentielles aux equations de la MHD. Nous serons alors en mesure d’etablir des

comparaisons avec les resultats de la derniere section.

I) Nous debutons en considerant que le fluide soit incompressible :

∇· ~v = 0 . (2.5.1)

Dans ce cas, les equations de la MHD sont donnees par

dρ

dt= 0 , (i)

d~vdt

+1ρ∇p +

14πρ

[12∇| ~H|2 − ( ~H · ∇) ~H

]= 0 , (ii)

d ~H

dt= ( ~H · ∇)~v , (iii)

∇· ~H = 0 . (iv)

(2.5.2)

I.1) Dans le referentiel se deplacant avec le fluide, les equations MHD se trouvent

etre les contraintes obtenues pour les ondes doubles E1E1 : i.e. les quantites ρ, p, ~v et

~H sont conservees le long du flot et les equations (2.5.2)− (ii) et (iii) se resument a

∇p = − 18π∇| ~H|2 +

14π

( ~H · ∇) ~H , (2.5.3)

( ~H · ∇)~v = 0 , (2.5.4)

ou l’equation (2.5.3) represente l’equilibre statique entre les gradients de pression hy-

drodynamique et magnetique et les forces de tension agissant sur les lignes de force.

L’equation (2.5.4) exprime le fait que le champ des vitesses demeure constant suivant

~H et cela nous permet de poser comme hypothese que la vitesse s’ecrit,

~v = f(ρ) ~H , (2.5.5)

79

ou f est une fonction arbitraire de la densite ρ que l’on fixe pour certains cas.

I.2) En premier lieu, imposons la contrainte suivante

~v =ε ~H√4πρ

, ε = ±1 .

En tenant compte des equations (2.5.2), nous avons les contraintes

~H · ∇ρ = 0 , ~H · ∇p = 0 , ~H · ∇[ | ~H|2 ] = 0 . (2.5.6)

Pour des densites ; ρ = ρo, pressions ; p = po et | ~H| = Ho constantes, nous obtenons les

ondes doubles d’Alfven (AA).

I.3) Prenons encore

~v =ε ~H√

4πρ(x, y), ε = ±1 ,

mais avec ρ comme fonction arbitraire de x et y, le champ magnetique circule dans le

plan genere par les vecteurs ~e1 et ~e2 :

~H = H(x, y)[sin θ~e1 + cos θ~e2] ,

ou θ est une fonction arbitraire de x et y, la fonction H est reliee a la pression par

p2 +18πH2 = po

ou po est une constante arbitraire. Les fonctions ρ, p et H obeissent aux contraintes

(2.5.6). Ce cas correspond a une onde double stationnaire de type AE1 que l’on a

obtenue pour la configuration planaire.

I.4) Considerons le cas pour lequel nous posons que

~v =ε ~H√4πρ

+ w(x, y)~e3 , ε = ±1 ,

ou ρ = ρ(z) et w sont des fonctions arbitraires de leurs arguments respectifs, le champ

magnetique circule dans le plan genere par ~e1 et ~e2 :

~H = H(z)[sin θ~e1 + cos θ~e2] ,

80

ou θ est une fonction arbitraire de x et y, H est reliee a la pression par

p2 +18πH2 = po ,

ou po est une constante arbitraire. Ceci correspond a l’onde double stationnaire de

type AE1 obtenu pour la configuration axiale.

II) Nous considerons que le fluide soit compressible :

∇· ~v 6= 0 . (2.5.7)

II.1) Supposons que le flot s’ecoule au travers des lignes de force :

~H · ~v = 0 , (2.5.8)

avec comme choix d’orientation : ~H = (0, 0, H3) et ~v = (u, v, 0).

La compressibilite du fluide implique la relation d’adiabacite

p = Aoρκ (2.5.9)

ou Ao est une constante arbitraire.

Sous les hypotheses (2.5.7) et (2.5.9), le systeme MHD se resume aux equations :

∂ρ

∂t+ (~v · ∇)ρ + (∇· ~v)ρ = 0 , (2.5.10)

∂~v∂t

+ (~v · ∇)~v +∇[Aoρ

κ +Ho

2

8πρ2

]= 0 , (2.5.11)

qui determinent la densite du fluide ρ = ρ(t, x, y) et la vitesse de son ecoulement :

~v = u(t, x, y)~e1 + v(t, x, y)~e2. Precisons que le champ magnetique obeit a une equation

ayant la meme forme que celle pour ρ : ~H s’exprime donc en terme de ρ ;

~H = Ho ρ(t, x, y)~e3 ou Ho est une constante arbitraire.

Ce cas correspond aux ondes doubles magnetoacoustiques de type FF.

81

II.2) Nous supposons encore que le flot s’ecoule au travers des lignes de force :

~H · ~v = 0 , (2.5.12)

avec comme orientation : ~H = (0, 0,H3) et ~v = (u, vo, 0) ou vo est une constante arbitraire.

Prenons le cas particulier κ = 2 pour lequel la relation d’adiabacite s’ecrit

p = A(t, y)ρ2(t, x) (2.5.13)

Sous les hypotheses (2.5.12) et (2.5.13), le systeme MHD se resume aux equations :

∂ρ

∂t+ (~v · ∇)ρ + (∇· ~v)ρ = 0 , (2.5.14)

∂u

∂t+ (~v · ∇)u +

po

2π

∂ρ

∂x= 0 , (2.5.15)

qui determinent ρ et la vitesse du flot : ~v = u(t, x, y)~e1 + vo~e2.

Puisque ~H obeit a une equation de la meme forme que (2.5.14), nous l’exprimons

comme suit

~H = H(t, y) ρ(t, x)~e3 ,

dont sa norme H est reliee a la fonction A(t, y) par l’expression

A (t, y) +H2

8π= po ,

po etant une constante arbitraire.

Dans ce cas, nous retrouvons les ondes doubles de type magnetoacoustique F et

entropique E1.

II.3) Finalement, en imposant les contraintes

p = Aoρκ ~v = Co

~H/ρ (2.5.16)

82

ou Co et Ao sont des constantes arbitraires, et la force de Lorentz est nulle

~Fm = − ~H × (∇× ~H) = ~0, (2.5.17)

et avec

∇· ~H = 0 . (2.5.18)

Sous les contraintes (2.5.16), le systeme MHD se reduit a une seule equation

C2o

2| ~H|2ρ2

+ Aoκ

κ− 1ρκ−1 = Do pour κ 6= 1 ,

C2o

2| ~H|2ρ2

+ Ao ln ρ = Do pour κ = 1 ,

(2.5.19)

ou Do est une constante arbitraire.

Le fait que

~Fm = − ~H × (∇× ~H) = ~0 avec ∇· ~H = 0 (2.5.20)

ameme a deux possibilites.

(1) Si on impose que ∇× ~H = 0 alors on peut ecrire :

~H = ∇φ ,

et la condition (2.5.18) implique que

4φ = 0. (2.5.21)

Par consequent, φ est une fonction harmonique, il en va de meme pour ~H, et ρ via

l’equation (2.5.19). Les fonctions p et ~v telles que donnees par (2.5.16) sont stationnaires.

(2) En considerant

∇× ~H = α (~x) ~H (2.5.22)

duquel on prend la divergence et compte tenu de (2.5.18), nous obtenons que

( ~H · ∇)α = 0 ,

ou α (~x) est une fonction scalaire arbitraire pour laquelle la valeur α = constante definie

une surface magnetique [11].

83

3. Reduction par symetrie des equations de la MHD.

3.1 Notions fondamentales sur la theorie des groupes.

Dans cette section, nous debutons par des notions elementaires concernant la theorie

des groupes et de son application a la resolution d’equations differentielles. Notre

synthese se base principalement sur un resume de Winternitz [39] et les livres d’Olver

[27] et d’Ibragimov [22]. Nous terminons cette section en introduisant la methode de

reduction par symetrie (MRS) afin de resoudre les equations de la MHD.

Definition 3.1.1. Un groupe est un ensemble G muni par une loi de composition

interne, qui a deux elements quelconques x, y, en fait correspondre un troisieme note

par x · y. Celle-ci satisfait les trois axiomes suivants.

(i) Elle est associative : (x · y) · z = x · (y · z) , ∀x, y, z ∈ G.

(ii) Il existe dans G un seul et unique element neutre note e tel que :

x · e = e · x = x , ∀x ∈ G.

(iii) Tout element x de G possede un seul et unique inverse note x−1 tel que

x · x−1 = x−1 · x = e .

L’ordre d’un groupe est le nombre d’elements le constituant. Si la loi de composition

interne est commutative : x · y = y · x, alors le groupe est commutatif ou abelien. Un

sous-groupe H d’un groupe G est une partie de G qui est un groupe pour la loi de

composition interne definie dans G.

84

Definition 3.1.2. Soient g1, g2 et x les trois elements d’un groupe G tels que

x−1 · (g1 · x) = g2 : ou g2 resulte de la transformation de similarite de g1 par x ; les

elements g1 et g2 sont des conjugues l’un de l’autre qui ont les proprietes suivantes :

(1) Tout element de G est le conjugue de lui-meme.

(2) Si g1 est le conjugue de g2 et reciproquement : g1 = x−1 · g2 · x, alors il existe

y ∈ G tel que g2 = y−1 · g1 · y.

(3) Si g1 est le conjugue de g2 et g3 alors g2 et g3 sont conjugues l’un de l’autre.

Voici en vrac la nomenclature suivante. Une classe de conjugaison est un ensemble

complet d’elements d’un groupe qui sont les conjugues les uns des autres. Tout

element d’un groupe possede sa periode n telle que gn = e, n ∈ IN . Si pour un

groupe fini donne il existe des elements s’exprimant comme le produit fini de leur

puissance alors ceux-ci forment l’ensemble generateur. Un groupe ne possedant qu’un

seul generateur est dit cyclique. La definition abstraite d’un groupe represente un

ensemble de regles auxquelles satisfont les generateurs.

Definition 3.1.3. Un groupe de Lie G est un ensemble muni d’une structure de

variete analytique separee reelle, de dimension finie et d’une structure de groupe telles

que les applications de multiplication et d’inversion :

(x, y) → xy de G×G dans G, ∀x , y ∈ G,

x → x−1 de G dans G

soient analytiques. Un groupe de Lie a r parametres est un groupe de Lie dont la

variete analytique est de dimension r. Deux groupes de Lie sont isomorphes s’il

existe entre eux un diffeomorphisme tel qu’il preserve la structure de groupe.

Un groupe de Lie est dit local lorsque les applications de multiplication et d’inversion

sont definies au voisinage de l’element neutre e.

85

3.1.1 Groupe local de transformations.

Nous definissons la transformation d’un ensemble comme une application bi-

jective de cet ensemble sur lui-meme. Une famille de transformations forment un

groupe si elle contient toute transformation et son inverse ainsi que tout produit de

deux transformations de celle-ci. Cette definition s’etend aux ensembles munis de

structures algebrique (celle de groupe) et geometrique (celle de variete).

Definition 3.1.4. Un groupe local de transformations agissant sur une variete

analytique M est constitue d’un groupe local de Lie G, d’un ouvert U defini tel que

e × M ⊂ U ⊂ G × M , et d’une application differentiable Φ: U → M satisfaisant les

conditions suivantes :

(i) Φ(e, x) = x , ∀x ∈ M,

(ii) Φ (g, Φ(h, x)) = Φ (g · h, Φ(h, x)) ,

pour g, h ∈ G ; x ∈ M ; et (h, x), (g, Φ(h, x)), ( g · h, x) ∈ U.

Definition 3.1.5. Soit M une variete et x ∈ M , le sous-ensemble de M resultant de

l’action du groupe de Lie local de transformations Φ sur x :

Gx =

Φ(g, x)∣∣g ∈ G

s’appelle l’orbite du point x.

Dorenavant nous utiliserons la notation Φ(g, x) ≡ g · x qui sous-entend l’action de

l’application Φ telle qu’etablit dans la definition (3.1.4).

86

3.1.2 Generateur infinitesimal.

Prenons un groupe de Lie local de transformations a un seul parametre reel identifie

par a. Soit la transformation Ta : IRn → IRn (n ∈ IN) telle que

x = f(x, a) , x, x ∈ IRn, (3.1.1)

ou f est la loi de composition etablie dans la definition (3.1.4).

Faisons ensuite l’expansion de Ta en serie de Taylor au voisinage de a = 0 :

xi ' xi + a ξ(xi) , i = 1, . . . , n,

ou ξ (x) =∂

∂a

[f i(x, a)

]a=0

;

on obtient alors une transformation infinitesimale ou ξ =(ξ1(x), . . . , ξn(x)

)represente

le vecteur tangent a l’orbite Gx au point x et s’appelle le generateur infinitesimal

du groupe de Lie local de transformations. De celui-ci nous definissons le champ de

vecteurs

X =n∑

i=1

ξi (x)∂

∂xi (3.1.2)

qui correspond a un operateur differentiel agissant sur des fonctions analytiques

F : IRn → IR.

Theoreme 3.1.1. Soient G un groupe de Lie local a un parametre reel a et Ta une

transformation infinitesimale telle que definie par l’expression (3.1.1) alors xi = f i(x, a)

satisfait le systeme d’equations differentielles ordinaires appelees equations de Lie :

dxi

da= ξ (x) , i = 1, . . . , n ,

ayant comme conditions initiales : xi∣∣∣a=0

= xi .

87

Geometriquement, la solution de ce systeme est la courbe integrale passant par le

point x ∈ IRn et le champ de vecteurs tangent a celle-ci est donne par l’expression

(3.1.2).

Definition 3.1.6. Une algebre de Lie L est un espace vectoriel reel de dimension

finie qui est muni d’une application bilineaire L × L → L, notee (X,Y ) → [X, Y ], et

verifiant les deux identites suivantes :

(i) [X,Y ] = −[Y,X] , ∀X, Y ∈ L, (antisymetrie).

(ii)[[X, Y ], Z

]+

[[Z,X], Y

]+

[[Y,Z], X

]= 0 , ∀X, Y, Z ∈ L, (identite de Jacobi).

En general le produit [X, Y ], appele commutateur ou crochet de X et Y, n’est pas

associatif, cependant pour une algebre dont le produit l’est : [X, Y ] → XY , dans ce cas

on peut la munir d’une structure algebrique de Lie en posant [X, Y ] = XY − Y X.

Ceci s’applique a l’algebre formee par les champ de vecteurs definis par l’expression

(3.1.2). Cette algebre de Lie est identifiee par Lr ou l’indice r specifie sa dimension.

Soient Xα = ξα(x)∂/∂xi , α = 1, . . . , n , les generateurs formant une base dans

Lr. Ainsi tout champ de vecteurs X ∈ Lr s’exprime dans cette base comme une

combinaison lineaire X = Cα Xα ou Cα est une constante, en particulier pour :

Xi, Xj ∈ Lr =⇒ [Xi, Xj ] ∈ Lr .

Consequemment [Xi, Xj ] = Cγαβ Xγ ; α, β = 1, . . . , r ou les coefficients Cγ

αβ sont appeles

les constantes de structure et elles dependent de la base choisie. Celles-ci satisfont

les deux identites (i) et (ii) de la definition (3.1.6) et donnent un systeme d’equations

algebriques qui determine completement l’algebre de Lie Lr.

Les concepts d’algebre et de groupe de Lie sont relies par le theoreme suivant.

88

Theoreme 3.1.2. Soit L une algebre de Lie ; il existe un groupe local de Lie G

dont L en est l’algebre. De plus il existe l’application exponentielle ; exp : L → G

qui est un diffeomorphisme d’un voisinage de l’origine dans L vers un voisinage de

l’element neutre dans G tel que exp[tα] soit un sous-groupe a un parametre α de G.

Donc tout element de G suffisament proche de l’element neutre, reste uniquement sur

un sous-groupe a un parametre.

Connaissant le sous-groupe a un parametre : φ (exp[tα], x) ≡ (φ1(t, x), . . . , φn(t, x)

), nous

pouvons calculer le generateur infinitesimal correspondant :

ξα =d

dt[φi (t, x)]

∣∣∣t=0

duquel nous obtenons le champ de vecteurs

X = ξα(x)∂

∂xi.

On generalise le concept de groupe de Lie a plusieurs parametres reels a l’aide du

theoreme suivant.

Theoreme 3.1.3. Soit E un espace vectoriel a r dimensions qui est engendre par

les champs de vecteurs suivants :

Xα = ξiα(x)

∂

∂xi, α = 1, . . . , r,

et la transformation infinitesimale Ta = Tar ( . . . )Ta1 resultant de la composition des r

transformations infinitesimales qui sont associees chacune a un groupe de Lie local a

un seul parametre. Pour chaque Xα, le groupe de Lie local a r parametres correspon-

dant est obtenu en resolvant les equations de Lie donnees par

dxi

daα= ξi

α (x) ; xi∣∣∣aα=0

= xi, aα = a1, . . . , ar ; i = 1, . . . , n.

Tous ces sous-groupes de Lie locaux a un seul parametre engendrent un groupe de Lie

local a r parametres si et seulement si E est une algebre de Lie.

89

3.1.3 Groupes et equations differentielles.

Soit S le systeme compose de m equations aux derivees partielles (EDP) d’ordre k :

∆l(x,u(k)) = 0, l = 1, 2, ...,m,

ayant p variables independantes et q variables dependantes que l’on note par

x =(x1, x2, ..., xp) ∈ E ⊂ IRp,

u =(u1, u2, ..., uq) ∈ U ⊂ IRq.

ou E et U sont respectivement les espaces des variables independantes et dependantes,

u(k) designe un vecteur contenu dans l’espace des derivees U (k) ≡ U × . . . × Uk ou Uk

est un espace dont la dimension est egale au nombre de derivees de u d’ordre k.

L’objectif est d’obtenir des solutions du systeme S en determinant un groupe local de

transformations : appele le groupe de symetrie qui agit dans l’espace E×U de maniere

a transformer l’une des solutions de S en une autre.

Definition 3.1.7. Pour un systeme S d’EDP donne, on definit comme groupe de

symetrie : le groupe de Lie local de transformations G agissant sur l’espace M ⊂ E×U

tel que si u = f(x) est une solution de S alors

f = g · f est aussi une solution de S (g ∈ G).

Nous considerons des transformations infinitesimales et ponctuelles qui ne dependent

pas des derivees de u, celles-ci s’expriment en terme d’un parametre ε ¿ 1 :

xi =xi + ε ξi(x,u) , i = 1, . . . , p ,

uα =uα + ε φα(x,u) , α = 1, . . . , q ,

ou ξi(x,u) et φα(x,u) sont des fonctions a etre determinees. Ces transformations

infinitesimales permettent de lineariser le systeme S d’equations differentielles puisque

tous les termes en serie de puissance suivant εn ; n ≥ 2, seront negliges dans le calcul

de toutes les derivees.

90

L’expression des champs de vecteurs correspondants s’ecrit

X =p∑

i=1

ξi(x,u)∂

∂xi+

q∑α=1

φα(x,u)∂

∂uα. (3.1.3)

Une fois que ξi(x,u) et φα(x,u) sont connus (nous verrons comment les obtenir plus

loin), nous determinons ensuite chaque sous-groupe a un seul parametre en resolvant

le systeme des equations de Lie :

dxi

dλ= ξi (x, u) ; xi |λ=0 = xi, i = 1, . . . , p ,

duα

dλ=φα (x, u) ; uα |λ=0 = uα, α = 1, . . . , q .

(3.1.4)

Par le theoreme (3.1.3), le groupe de symetrie G est alors engendre par tous les sous-

groupes a un parametre

g = g(λ1)g(λ2) . . . g(λr)

ou r est la dimension de l’algebre de Lie L associee a G.

Precisons que l’action du groupe de symetrie G se fait sur le graphe Γf de la fonction

u = f(x) :

Γf = (

x, f(x))∣∣∣x ∈ Ω

⊂ E × U ,

ou Ω est le domaine de definition de f. En prenant une partie suffisament petite de Ω

et g ∈ G proche de l’element neutre, l’action de g sur Γf s’exprime comme le graphe

g ·Γf ≡ Γf

d’une certaine fonction u = f (x) que nous definissons comme la transformee

de f par g.

Maintenant il reste a determiner les fonctions ξi(x,u) et φα(x,u). Mais nous devons

au prealable introduire le concept de prolongation d’une fonction et celle d’un champ

de vecteurs.

91

3.1.4 Prolongation.

Soit la fonction f : E → U que l’on exprime sous la forme uα = fα(x), α = 1, . . . , q. En

la derivant jusqu’a l’ordre k par rapport a toutes les variables independantes, nous

obtenons pk ≡(p+k−1

k

)derivees partielles de f . Pour abreger les expressions de celles-ci,

il est convenu d’utiliser la notation a indice multiple pour les derivees partielles de f :

uαJ ≡

∂|J|uα

∂xj1∂xj2 ...∂xjpou J = (j1, j2, . . . , jp) ∈ INp et |J | = j1 + j2 + ... + jp

qui nous donne les q · pk derivees partielles d’ordre k = j1 + j2 + ... + jk .

Definition 3.1.8. Soit la fonction analytique f : E → U , on definit la fonction

pr(k)[f ]: E → U (k) comme la kieme prolongation de f et son graphe est donne par les

equations : uαJ = ∂J fα (x); ou α = 1, . . . , q et J = (j1, j2, . . . , jp) ∈ INp.

La prolongation pr(k)[f ] s’interprete comme l’expansion de f en polynomes de Taylor

d’ordre k qui est evaluee a un certain point xo :

fα (xo) =∑

J

uαJ

J !(xo − x)J , x, xo ∈ E.

Definition 3.1.9. Soit J (k) = E × U (k) l’espace qu’on appelle fibre de jet ou k-jet.

Nous pouvons maintenant reformuler le systeme d’EDP S comme une application

∆: J (k) → IRm agissant dans la sous-variete (qui represente le systeme d’EDP) :

S∆ =

(x,u(k)) ∈ J (k)∣∣ ∆(x,u(k)) = 0

⊂ J (k)

qui est reguliere de codimension m si la matrice de Jacobie

∂ (∆1, . . . , ∆m)∂(x, u(k))

est toujours de rang m dans un domaine ouvert de J (k).

En associant S a une sous-variete de J (k), nous avons transforme un systeme d’EDP

en un systeme d’equations algebriques. Ainsi nous pouvons redefinir une solution du

systeme S∆ comme suit.

92

Definition 3.1.10. Soient Ω une sous-variete de E et l’application differentiable

f : Ω → U , f est une solution du systeme S∆ si

∆(x, pr(k)[f(x)] ) = 0 , ∀x ∈ Ω ,

et le graphe correspondant est donne par : Γ(k)f = (x, pr(k)[f(x)] ) ⊂ S∆.

Nous etendons le concept de prolongation a un groupe local de transformations qui

agit maintenant dans l’espace J (k). Prenons g ∈ G et proche de l’element neutre e, la

fonction g · f definie au voisinage de (x, u) = g (x,u) a pour kieme prolongation :

pr(k)[g · (x,u(k) )] = (x, u(k))

ou uk a pour composantes uαJ = ∂J [ (g · f)α (x)]. Notons que l’action de G sur la

prolongation de f est independante de la fonction elle-meme. Consequemment la

nieme prolongation : pr(n)[G] est identique a pr(m)[G] pour toutes les derivees dont

l’ordre est m ≤ n.

Finalement pour des groupes de Lie locaux, nous arrivons au theoreme du critere

infinitesimal qui conlue notre synthese.

Theoreme 3.1.4. Soit S∆ le systeme compose de m equations aux derivees partielles

d’ordre k :

∆l(x,u(k)) = 0 , l = 1, 2, . . . ,m,

qui sont definies dans M ⊂ E × U et dont la matrice de Jacobie

∂ (∆1, . . . , ∆m)∂(x, u(k))

est toujours de rang m pour (x,u(k)) ∈ S∆ .

Si G est un groupe de Lie local de transformations agissant sur M , et

pr(k)[ξ∣∣∣(x,u(k))=0

∆l]

= 0, i = l, . . . , m, chaque fois que ∆l(x,u(k)) = 0 ,

pour tout generateur infinitesimal ξ ∈ G, alors G est le groupe de symetrie de S·.

93

Suite a la definition (3.1.10) au theoreme (3.1.4), nous pouvons calculer ξi (x,u) et

φα (x,u) a l’aide d’un algorithme [21] qui se compose des etapes suivantes.

(1) Construire la kieme prolongation du champ de vecteurs X a l’aide de

pr(k) [X] = X +q∑

α=1

∑

J

ψJα(x,u(k))

∂

∂uαJ

, 1 ≤ |J | ≤ k,

ou les coefficients ψJα sont determines de maniere recurrente comme suit. D’abord les

coefficients de la premiere prolongation sont donnes par

ψJiα = Diφα(x,u)−

p∑

j=1

uαJj

Diξj(x,u) ,

ou Ji est un p-uplet compose de 1 a la iieme position et de zeros partout ailleurs, et

on introduit la derivee totale :

Di =∂

∂xi+

q∑α=1

∑

J

uαJ+Ji

∂

∂uαJ

, 0 ≤ |J | ≤ k.

Les prolongations d’ordres superieurs sont calculees avec la relation de recurrence :

ψJ+Ji

l = DiψJl −

p∑

j=1

ulJ+Jj

Diξj(x,u), |J | ≥ 1.

Notons que les prolongations des champs de vecteurs sont lineaires et satisfont les

crochets de Lie :

pr(k)[αX + βY ] =α pr(k)[X] + β pr(k)[Y ] , ou α et β sont des constantes,

pr(k)[X, Y ] =[pr(k)[X] , pr(k)[Y ]

].

Si l’ensemble X forme une algebre de Lie L alors les prolongations de ces champs

de vecteurs engendrent aussi une algebre de Lie qui est isomorphe a L.

Selon cet algorithme, les variables xi,uα et uαJ sont traitees comme des variables

independantes tandis que les variables dependantes sont ξi (x,u) et φα (x,u).

(2) Le systeme S· est equivalent a un systeme algebrique ou les m composantes du

vecteur u(k) sont renomees v1, . . . , vm. Celles-ci sont choisies, si c’est possible, telles

que chaque vi soit au moins la derivee partielle de uα (α = 1, . . . , q) par rapport a une

94

seule des variables xi (i = 1, . . . , p). Le systeme S peut alors se resoudre algebriquement

ou vi s’exprime en termes des composantes restantes de u(k) que l’on note par w. Ainsi,

on obtient des relations vi = Si(x, w).

(3) On applique pr(k)[X] a chaque equation ∆i(x,u(k)) en imposant que

pr(k)[ X ∆i ]∣∣∣∆j=0

= 0 , i, j = 1, . . . ,m.

Cette condition nous garantie que le champ de vecteurs X est un element de l’algebre

de symetrie L, autrement dit : u(x) est une solution de S∆ chaque fois que u(x) est

une solution de S∆. Ensuite on utilise les relations vi = Si(x, w) calculees a l’etape

(2) pour eliminer vi et toutes ses derivees de sorte que les variables restantes soient

independantes les unes des autres. Le resultat final doit s’exprimer sous la forme d’un

polynome en uαJ .

(4) Chaque coefficient des monomes en uαJ doit etre pose comme nul, on obtient

alors pour les coefficients ξi (x,u) et φα (x,u) un systeme habituellement surdetermine

d’equations differentielles lineaires appelees les equations determinantes.

(5) La resolution du systeme forme des equations determinantes mene aux trois types

de solutions distinctes pour les symetries du systeme differentiel considere :

(i) Le systeme determinant admet seulement la solution triviale : ξi (x,u) ≡ 0

et φα (x,u) ≡ 0. On a alors X ≡ 0 et g ≡ α : i.e. la transformation identite.

(ii) La solution generale des equations determinantes depend de r constantes

d’integration (r < ∞). La dimension de l’algebre L et du groupe G de symetrie est

dimL = dimG = r.

(iii) La solution generale depend de fonctions arbitraires. L’algebre et le

groupe de symetrie sont alors de dimension infinie.

95

3.2 La methode de reduction par symetrie des equations differentielles.

Dans cette section, nous introduisons la methode de reduction par symetrie

(MRS) pour resoudre des equations differentielles a l’aide d’une definition et de deux

theoremes qui en sont le fondement. Ensuite, nous la resumons par un algorithme.

Definition 3.2.1. Soit G un groupe de symetrie d’un systeme d’EDP S. Une

solution u = f(x) de S est dite G-invariante si g · Γf = Γf , ∀ γ ∈ G. Le graphe Γf est

alors un ensemble G-invariant.

Theoreme 3.2.1. Considerons un groupe de symetrie G d’un systeme S dont

l’action est reguliere et qui donne des orbites de dimension r dans l’espace des vari-

ables independantes. Il existe trois possibilites pour les solutions de S:

(i). Toutes les solutions G-invariantes du systeme S sont obtenues en resolvant le

systeme reduit d’equations differentielles, note ∆/G = 0, en termes de p − r variables

independantes (r < p).

(ii). Si r = p, les solutions G-invariantes sont obtenues en resolvant un systeme

d’equations algebriques.

(iii). Si r > p, il n’y a pas de solution G-invariante.

Theoreme 3.2.2. Supposons que G soit un groupe de Lie local de transformations

ayant comme champs de vecteurs :

Xk =p∑

i=1

ξk(x,u)∂

∂xi+

q∑α=1

φkα(x,u)

∂

∂uα, k = 1, . . . , r ,

et Q1, . . . , Qr sont les caracteristiques des champs de vecteurs X1, . . . , Xr.

Alors u est une solution G-invariante si et seulement si elle est une solution du

systeme d’EDP du premier ordre :

Qαk (x, u(1)) ≡ φk

α(x,u)−p∑

i=1

ξk(x,u)∂uα

∂xi= 0 , k = 1, . . . , r ; α = 1, . . . , q .

96

Le principe de base est de considerer un certain sous-groupe Go ⊂ G telle que

la solution du systeme d’equations differentielles soit invariante sous l’action de Go

(au lieu de la transformer en une autre solution). Cependant ce principe d’invariance

impose des contraintes sur la solution qui debouchent sur des equations aux derivees

partielles lineaires du premier ordre. En resolvant ces contraintes, nous obtenons des

solutions qui apres les avoir substituees dans le systeme de depart, le simplifient.

La methode de reduction par symetrie MRS consiste principalement a reduire le

nombre de variables independantes de maniere a obtenir un systeme d’equations

differentielles ordinaires (EDO), voire meme un systeme d’equations algebriques.

Differents sous-groupes Go menent a des solutions differentes, mais deux sous-groupes

conjugues a un meme groupe G menent a des reductions equivalentes. Il est donc

important d’en faire une classification.

Generalement, il n’est pas necessaire de prendre tous les sous-groupes de G, on tient

seulement compte de ceux qui agissent de facon appropriee dans l’espace M ∼ E ×

U . En fait, n’importe lequel des sous groupes Go ⊂ G va agir sur l’espace M et

consequemment associer certaines orbites dans cet espace. Ceci implique qu’il existe

des invariants Ii (x,u) fonctionnellement independants dont leur nombre N = p + q − r

est egal a la codimension des orbites generiques (de dimension r) resultant de l’action

de Go sur l’espace M . Ces invariants forment une base I1 (x,u), . . . , IN (x,u). Puisque

les coefficients ξk(x,u) des champs vectoriels Xk sont independants des derivees de uα;

l’action du groupe de symetrie est dite projective, la base des invariants comporte

deux parties :

I1 (x), . . . , Ip−r (x)∣∣∣ Ip−r+1 (x,u), . . . , Ip−r (x,u)

.

Le sous-groupe Go ⊂ G nous donne des solutions explicites du groupe invariant si les

invariants satisfont aux deux conditions suivantes :

(i) Les N invariants existent et dependent seulement des variables independantes xj,

on les appelle les variables de symetrie denotees par η1, . . . , ηp−r

97

(ii) Il existe q autres invariants tel que le Jacobien correspondant ne soit pas nul :

det

[∂Ii

∂uα

]6= 0 , i = p− r + 1, . . . , p + q ; α = 1, . . . , q . (3.2.1)

Si ces deux conditions sont satisfaites, les q invariants s’expriment sous la forme

ηp−r+j (x,u) = Fj ( η1 (x), . . . , ηp−r (x)) , j = 1, . . . , q , (3.2.2)

ou Fj sont des fonctions arbitraires dependantes des variables de symetrie η1, . . . , ηp−r.

En vertu de (3.2.1) et du theoreme des fonctions implicites, il est possible de resoudre

le systeme (3.2.2) en termes des variables dependantes ;

ul = U l (F1 (η) , . . . , Fq (η), x1, . . . , xp) , l = 1, . . . , q , (3.2.3)

ou η ≡ (η1, . . . , ηp−r) et U l sont des fonctions arbitraires.

En substituant ul dans le systeme de depart, nous obtenons un systeme d’equations

pour Fµ; µ = 1, . . . , q, ne comprenant que les variables de symetries. Les vari-

ables independantes x qui ne peuvent etre exprimees en terme des variables de

symetries seront eliminees des equations reduites. L’explication reside dans le fait que

ηj , Fµ forme un ensemble complet d’invariants pour la transformation du groupe G

et consequemment

ηj , Fµ,∂Fµ

∂ηj,

∂2Fµ

∂ηj∂ηi, . . .

forme un ensemble complet d’invariants pour pr(k)G .

Les equations reduites sont alors de la forme

∆j

(ηj , Fµ,

∂Fµ

∂ηj,

∂2Fµ

∂ηj∂ηi, . . .

)= 0 .

Voici les etapes a suivre pour effectuer la MRS pour le systeme S∆.

(1) Determiner le groupe de symetrie du systeme d’EDP S a l’aide de l’algorithme

decrit dans la derniere section. Cette tache peut etre en grande partie accomplie par

des programmes informatiques ; [5], [21].

98

(2) Classifier tous les sous-groupes Go ⊂ G par classes de conjugaison. Ensuite les

ordonner suivant leur dimension egale ou inferieure a r. Choisir un representant Go

de chacune des classes de conjugaison.

(3) Pour chaque representant des sous-groupes Go, determiner les invariants de chaque

sous-groupe Go agissant dans l’espace M ∼ E × U . Ceux-ci sont calculer en resolvant

le systeme d’EDP du premier ordre

Xk

[H(x,u)

]= 0 , k = 1, . . . , r ,

ou Xk est un champ de vecteurs de l’algebre de Lie associee a Go qui agit sur une

certaine fonction arbitraire H(x,u).

(4) Substituer ul dans le systeme de depart S, on obtient alors le systeme reduit

d’equations differentielles, note par ∆µ/G = 0, pour F1, . . . , Fq.

(5) Resoudre le systeme reduit dont les solutions substituer dans l’expression (3.2.3)

donne les solutions G-invariantes du systeme de depart S. Appliquer une transforma-

tion generale de groupe de symetrie au resultat. Cela donnera une famille de solutions

particulieres.

3.2.1 Conditions frontieres.

Nous terminons cette section en faisant certaines remarques sur les conditions

frontieres qui peuvent etre imposees aux solutions obtenues par la MRS, notamment

concernant les solutions stationnaires [40].

Une solution stationnaire (pour t = to) d’un systeme d’EDP S est specifiee en imposant

de maniere appropriee les conditions frontieres pour le cas etudier sur une frontiere

donnee F dans l’espace euclidien a trois dimensions. La surface F et les conditions

frontieres imposees sur celle-ci ne sont pas necessairement invariantes sous l’action

du groupe de symetrie G. Les conditions frontieres vont alors briser la symetrie et les

solutions obtenues sont invariantes sous l’action de certains sous-groupes de G. En

regle generale, les conditions frontieres generiques brisent entierement la symetrie du

99

probleme et les solutions correspondantes sont invariantes sous l’action de l’element

identite d’un certain sous-groupe de G.

La methode de reduction par symetrie nous fournit des solutions particulieres qui sont

invariantes sous l’action de certains sous-groupes (non triviaux) Go ⊂ G. Cependant,

cela entraıne de severes restrictions sur les conditions frontieres. Consequemment,

la surface F doit etre une orbite du sous-groupe Go dans l’espace euclidien et les

conditions frontieres sur F doivent etre compatibles avec le groupe de symetrie Go.

En particulier, si la reduction conduit a une EDO du premier ordre, la condition

ayant la forme u = φ(ξ)Y(x) implique que la surface F soit determinee par l’equation

ξ (x, y, z) = ξo pour t = to. (3.2.4)

Dans le cas d’une EDO du second ordre, la solution correspondante est determinee

en imposant deux conditions initiales que l’on peut specifier par

P (ξo) = Po ,dP

dξ(ξo) = Qo . (3.2.5)

Selon l’expression u = φ(ξ)Y(x), les conditions frontieres pour u (to, x, y, z), qui sont

compatibles avec le groupe de symetrie Go, s’expriment sous la forme

u∣∣ξ=ξo

= φ (x, y, z)∣∣ξ=ξo

Po . (3.2.6)

Les conditions frontieres permises sont soit des plans, des cylindres, des spheres, des

hyperboloıdes, des cones, des demi-plans et des surfaces helicoıdales.

En resume : pour une solution G-invariante u (x), le groupes d’invariance Go determine

la variable ξ (x) et le multiplicateur φ (x). Les conditions frontieres ne peuvent etre

imposees que sur les surfaces de niveaux de l’invariant ξ comme (3.2.4). La fonction

P (ξ) satisfait l’ODE obtenue par reduction et la solution specifique va dependre de

deux constantes Po et Qo figurant dans les conditions frontieres (3.2.6). Le choix de ces

constantes va nous indiquer si les fonctions sont finies ou possedent des singularites,

reelles ou complexes, periodiques ou non periodiques, etc.

100

3.3 La M.R.S appliquee aux equations de la MHD.

L’objectif de cette section est de trouver des solutions G-invariantes du systeme

MHD (1.1.17) a l’aide de la MRS qui se resume a l’algorithme donne dans la sec-

tion precedente. En premier lieu, faisons un bref bilan du travail jusqu’a main-

tenant accompli. Les deux premieres etapes de la MRS ont deja ete completees par

A.M. Grundland et al. [16], [17]: ceux-ci ont d’abord determine l’algebre de symetrie

du systeme MHD qui est engendree par les 13 generateurs tels que donnes dans

l’introduction, puis ils ont classifie les sous-algebres du type similitude galileenne

par classes de conjugaison dont les dimensions varient entre 1 et 4 inclusivement.

Notre tache est de completer les etapes 3,4 et 5 de la MRS. En particulier, les etapes

intermediaires 3 et 4 qui consistent successivement a calculer les N = p+q−r invariants

de chaque representant des sous-algebres de dimension r = 3 qui proviennent des clas-

sifications ci-haut mentionnnees et d’en extraire les orbites de groupe correspondantes

qui s’expriment en fonction d’une seule variable de symetrie. Dans le tableau (3.1),

nous avons dresse la liste des sous-algebres suivant les differents types de variables de

symetrie obtenues.

Ensuite, pour chacune de ces 104 sous-algebres de dimension trois, on substitue dans

le systeme MHD les orbites de groupe pour finalement obtenir un systeme reduit (on

en a calcule 92) compose d’EDO. En dernier lieu, il nous reste a resoudre chaque

systeme reduit surdetermine qui se compose dans notre cas de neuf EDO pour huit

inconnues et qui mene finalement aux solutions G-invariantes. Nous avons regroupe

ensemble certains systemes reduits qui ont en commun la meme equation reliee a la

contrainte differentielle ∇· ~H = 0. Il s’avere que la resolution de ces systemes reduits

ainsi regroupes est tres similaire. Nous en donnons la liste dans les tableaux (3.2)-(3.5).

101

Tableau 3.1. Liste des variables de symetrie (variables independantes) des sous-

algebres de la MHD dont la dimension est trois et la codimension dans l’espace des

variables independantes est un ; α et ν ∈ IR.

Variables de symetrie No. des sous-algebres

s = t M3,7,M3,8,M3,9,M3,10,M3,14,M3,15,M3,52,M3,53,M3,54,M3,56,M3,89,M3,92

s = y M3,24

s = z M3,4,M3,12,M3,23,M3,42,M3,43,M3,85

s = zν/t, M3,18,M3,28,M3,33,M3,37,M3,38,M3,48,M3,49,M3,83,M3,88,M3,90

s = x/y M3,17,M3,19,M3,26,M3,27,M3,63,M3,94

s = z exp [αt] M3,29,M3,34,M3,51

s = α ln[t] + z M3,25,M3,44,M3,45,M3,46,M3,47,M3,86M3,87,M3,91

s = ln[t]− xi

t M3,20,M3,21,M3,36,M3,39,M3,40,M3,41M3,84,M3,93

s = β(z − 12 t2)− αy M3,2,M3,11

s =12 βt2−βx+y

z M3,50,M3,55

s =√

x2 + y2 M3,1,M3,5,M3,31,M3,69,M3,70,M3,71,M3,96,M3,97,M3,98

s =√

x2 + y2

tνM3,64,M3,66,M3,67,M3,74,M3,95,M3,99

s =√

x2 + y2

z M3,65,M3,72,M3,73,M3,77,M3,81,M3,104

s =√

x2 + y2 exp [αϕ] M3,30,M3,32,M3,35,M3,61,M3,80,M3,102

s =√

x2 + y2

tνexp [αϕ] M3,78,M3,82,M3,101,M3,103

s =√

x2 + y2 exp [αϕ + βt] M3,75,M3,76

s =√

x2 + y2

z − t/2 M3,100

102

Tableau 3.2. Solutions des systemes reduits ayant en commun comme contrainte

sur les composantes de ~H

H3 = 0 ou Zo ∈ IR.

Variables de symetrie No. des sous-algebres

s = t M3,7,M3,8,M3,9,M3,10,M3,14,M3,15,M3,52,M3,92

s = z M3,12,M3,85

σ = z − 12 t2 M3,11

s = z e−t M3,29,M3,34,M3,51

s = α ln[t] + z M3,86,M3,87,M3,91

s = α ln[t]− zt M3,21,M3,36,M3,93

s = zα

t M3,18,M3,28,M3,33,M3,48,M3,49,M3,88,M3,90

Dans le tableau (3.2), nous avons regroupe tous les systemes reduits ayant en

commun la relation Zo = 0; cela implique que le champ magnetique n’a que deux

composantes ~H = (H1,H2, 0). Pour les sous-algebres ayant pour variable de symetrie

s = t, nous avons pu resoudre completement les systemes reduits a l’exception des

sous-algebres M3,52 et M3,92 pour lesquelles nous aboutissons a des EDO du second

ordre non-lineaires qui ne possedent pas les proprietes de Painleve. Pour le reste

des sous-algebres, nous sommes arrive par eliminations et substitutions a une seule

equation de type integro-differentielle qu’il est possible de resoudre dans certains cas.

Nous en donnons l’exemple pour les sous-algebres M3,85 et M3,91 qui menent a des

solutions non-triviales.

103

M3,7; J3 + α1K3 + α2P3 + α3H, K1 + P2,K2 − P1

variable de symetrie: s = t

Soient les fonctions suivantes

I =∫

dt(t2 + 1)(1−κ)

(α1t + α2)κ,

A =Ao[(t2 + 1)(α1t + α2)](1−κ) ,

R =Ro

(t2 + 1)(α1t + α2)exp

[ −1(α1t + α2)

[α2+

ηo

α1+

α23X

2o

2α21π

]−α2

3X2o

2α21π

ln[α1t + α2](α1t + α2)

+4α23Ao

∫I(t) dt

(α1t + α2)2

],

V =Vo − 12α3

ln[(α1t + α2)(t2 + 1)R] , θ = V − z

(α1t + α2),

W =1

2α3(α1t + α2)

[ηo − α2

1t + 4α23

∫dtA(t) +

α23

α21

X2o

2πln[α1t + α2]

]+

α1

2α3,

X =Xo

√R

(α1t + α2),

Y =Yo + arctan(t) + V .

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ = exp[

2α3z

(α1t + α2)

]R ,

p = exp[

2α3z

(α1t + α2)

]AR ,

u =t(x− Uo sin θ) + (y − Uo cos θ)

t2 + 1,

v =t(y − Uo cos θ)− (x− Uo sin θ)

t2 + 1,

w =α1z

(α1t + α2)−W ,

H1 = exp[

α3z

(α1t + α2)

]X sin

(Y − z

(α1t + α2)

),

H2 = exp[

α3z

(α1t + α2)

]X cos

(Y − z

(α1t + α2)

),

H3 =0 ,

ou Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, ηo ∈ IR; α1 > 0; α2, α3 ∈ IR.

104

M3,8; J3 + α1P3 + α2H, K1 + P2,K2 − P1

variable de symetrie: s = t

Soient les fonctions suivantes

A =Ao(t2 + 1)(1−κ) ,

R =Ro

(t2 + 1)exp

[−2α2

α1Wot +

α22

α21

X2o

4πt2 + 4

α22

α21

∫dt

∫dξA(ξ)

],

V =Vo +Wo

α1t− α2

α21

[2

∫dt

∫dξA(ξ) +

X2o

8πt

],

θ =Vo +Wo

α1t− α2

α21

[2

∫dt

∫dξA(ξ) +

X2o

8πt

]− z

α1,

W =Wo − 2α2

α1

∫dtA(t)− α2

α1

X2o

8πt ,

Y =Yo + Vo + arctan(t) +Wo

α1t− α2

α21

[2

∫dt

∫dξA(ξ) +

X2o

8πt

].

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ = exp[2α2z

α1

]R ,

p =Aρ ,

u =t(x− Uo sin θ) + (y − Uo cos θ)

t2 + 1,

v =t(y − Uo cos θ)− (x− Uo sin θ)

t2 + 1,

w =W ,

H1 = exp[α2z

α1

]√R sin

(Y − z

α1

),

H2 = exp[α2z

α1

]√R cos

(Y − z

α1

),

H3 =0 ,

ou Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, Yo ∈ IR; α1 > 0, α2 ∈ IR.

105

M3,9; J3 + K3 + α1P1 + α2H,K1,K2

variable de symetrie: s = t

Soient les fonctions suivantes

A = Ao[t2(t + α1)](1−κ) , I(t) =∫

dtA(t) ,

R =Ro

t2(t + α1)exp

[ −1(t + α1)

[5α1 + ηo +

X2o

2π

]− X2

o

2π

ln[t + α1](t + α1)

+ 4α22

∫dt

I(t)(t + α1)2

],

V =− 12α2

ln

[Vo

t2(t + α1)R

],

W =1

2α2(t + α1)

[5α1 + ηo + 4α2

2

∫dtA(t) + α2

2

X2o

2πln[t + α1]

],

X =Xo

√R

(t + α1),

Y =− 12α2

ln

[Yo

t2(t + α1)R

].

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ = exp[

2α2z

(t + α1)

],

p =Aρ ,

u =1t

[x− Uo sin

(V − z

α1 + t

)],

v =1t

[y − Uo cos

(V − z

α1 + t

)],

w =W +z

α1 + t,

H1 = exp[

α2z

(t + α1)

]X sin

(Y − z

α1 + t

),

H2 = exp[

α2z

(t + α1)

]X cos

(Y − z

α1 + t

),

H3 =0 ,

ou Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, ηo, Xo et Yo ∈ IR; α1, α2 ∈ IR.

106

M3,10; J3 + P3 + αH, K1,K2

variable de symetrie: s = t

Soient les fonctions suivantes

R =

Ro

t2exp

[α2

[2Ao

(3− 2κ)(2− κ)t2(1−κ) +

X2o

4π

]t2 + Cot

]pour κ 6= 3/2, 2 ,

Ro

t2exp

[α2

[4Ao

∫dt ln[t] +

X2o

4πt2

]+ Cot

]pour κ = 3/2 ,

Rot−(1+4α2Ao) exp

[α2 X2

o

4πt2 + Cot

]pour κ = 2 ,

W =

−α

[2Ao

(3− 2κ)t2(1−κ) +

X2o

4π

]t− Co

2αpour κ 6= 2 ,

−α

[2Ao ln[t] +

X2o

4πt

]− Co

2αpour κ = 2 .

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ =e2αz R ,

p =Aot2(1−κ)ρ ,

u =x

t− Uo

tsin

(Vo − 1

αln

[t√

R

]− z

),

v =y

t− Uo

tcos

(Vo − 1

αln

[t√

R

]− z

),

w =W ,

H1 =Xoeαz√

R sin

(Yo − 1

αln

[t√

R

]− z

),

H2 =Xoeαz√

R cos

(Yo − 1

αln

[t√

R

]− z

),

H3 =0 ,

ou Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, Co, Yo ∈ IR; α ∈ IR∗.

107

M3,14; J3 + P3 + αH, P1, P2

variable de symetrie: s = t

Soient les fonctions suivantes

R =Ro exp[α2

[2Ao +

X2o

4π

]t2 +

Co

2αt

], V = Vo − α

[2Ao +

X2o

4π

]t2 +

Co

2αt , Y = Yo + V .

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ = e2αz R , u = Uo sin(V − z) , H1 = Xoeαz√

R sin (Y − z) ,

p = Aoρ , v = Uo cos(V − z) , H2 = Xoeαz√

R cos (Y − z) ,

w = − 12α

[Co + α2

[4Ao +

X2o

2π

]t

], H3 = 0,

ou Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, Co, Yo ∈ IR∗; α ∈ IR∗.

M3,15; J3 + K3 + αH, P1, P2

variable de symetrie: s = t

Soient les fonctions suivantes

A = Aot2(1−κ) ,

R =

Ro

t exp[

4α2Ao

(2− κ)(1− κ)t−κ − α2 X2

o

2π

ln[t]t

− 2α

t[Wo +

αX2o

4π]]

pour κ 6= 1, 2 ,

Ro

texp

[−2α

t[Wo + α(2Ao +

X2o

4π)]− α2[4Ao +

X2o

2π]ln[t]

t

]pour κ = 2 ,

Ro

t(1−4α2Ao)exp

[−2α

t[Wo + α

X2o

4π]− α2 X2

o

2π

ln[t]t

]pour κ = 1 ,

V = Vo − 12α

ln

[tR

], Y = Yo + V .

W =

Wo + 2Ao

(2−κ) t(2−κ) +

X2o

4πln[t] pour κ 6= 2 ,

Wo + α

[2Ao +

X2o

2π

]ln[t] pour κ = 2 .

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ = e2α zt R , u = Uo sin

(V − z

t

), H1 = Xoe

α zt

√Rt sin

(Y − z

t

),

p = Aρ , v = Uo cos(V − z

t

), H2 = Xoe

α zt

√Rt sin

(Y − z

t

),

w =z −W

t, H3 = 0,

Ao, Ro, Uo, Xo > 0; Vo, Wo, Yo ∈ IR; α ∈ IR.

108

M3,52; F + G + αH, K1 + P2, P1

variable de symetrie: s = t

Il existe trois types de solutions MHD qui sont lies aux valeurs de α ∈ IR.

(I) Si α 6= 12. Soit ν = 1/(2α− 1),

ρ = z2(α−1) R , u = y − z Vo (Uo + t) Rν , H1 = zα Yo(Xo + t) Rν(1+α) ,

p = z2αAo R−(κ+2α)ν , v = Voz Rν , H2 = zα Yo Rν(1+α) ,

w =z

2α− 1R′

R, H3 = 0 .

La fonction R est determinee par l’EDO

R R′′ + 2α (R′)2 + 2α(1− 2α)Ao Rν(κ+4α) + α(2α− 1)Y 2

o

4π[(t + Xo)2 + 1] Rν(4α+3) = 0 ,

avec la contrainte que R(s) > 0, Ao, Uo, Xo > 0; Vo, Yo ∈ IR.

(II) Si α = 12 , . Soit µ = 1/(κ + 1)

ρ =Ro

z, u = y − z Vo (Uo + t) Aµ , H1 = z

12 Yo(Xo + t)A

32 µ ,

p = z A , v = Voz Aµ , H2 = z12 Yo A

32 µ ,

w =z

κ + 1A′

A. H3 = 0

La fonction A est determinee par l’EDO

AA′′ − κ (A′)2 +(κ + 1)

RoA3 − (κ + 1)Y 2

o

8π Ro[(t + Xo)2 + 1]Aµ(5+2κ) = 0 ,

avec la contrainte que A(s) > 0, Ao, Uo, Xo > 0; Vo, Yo ∈ IR.

(III) Si α = 0,

ρ = Ro(Wo + t)

z2, u = y − z

(Uo + Vot)Wo + t

, H1 =Xo + (Yo − ZoUo)t

Wo + t,

p =Ao

(Wo + t)κ, v =

Vo z

Wo + t, H2 =

Yo + ZoVot

Wo + t,

w =z

Wo + t, H3 = Zo ,

avec Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, Wo, Yo, Zo ∈ IR.

109

M3,92; J1 + α1(F + G) + α2H, K1 + P2,K2 − P1

variable de symetrie: s = t

Il existe deux types de solutions lies aux valeurs des coefficients α2 et α1.

I) Soit β ≡ 2α2 − α1 6= 0. On introduit d’abord les fonctions suivantes

U =Uo[(t2 + 1)R]α1/β ,

V =Vo − 1β

ln

[(t2 + 1)R

], θ = V − 1

α1ln[z] ,

X =Xo(t2 + 1)2α1/β R(α1+α2)/β ,

Y = arctan(t) + V .

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ =z2α1/(α2−α1) R ,

p =Ao (t2 + 1)a R(2α2+κα1)/β ou a ≡ 2[(α1 − α2)κ− α2]β

,

u =t(x− zU sin θ) + (y − zU cos θ)

t2 + 1,

v =t(y − zU cos θ)− (x− zU sin θ)

t2 + 1,

w =α1

βz

[R′

R+

2t

(t2 + 1)

],

H1 =zα2/α1 X sin

(Y − 1

α1ln[z]

),

H2 =zα2/α1 X cos

(Y − 1

α1ln[z]

),

H3 =0 .

La fonction R est determinee par l’EDO :

RR′′ − 2α2

β(R′)2 − 2β

α1

t

(t2 + 1)RR′ − 2βα2Ao(t2 + 1)a Rb − βα2

X2o

4π(t2 + 1)

4α1β R

(4α2+α1)β

− 2β

[2α1t4 + (2α2 + α1)t2 + α1 − 2α2]

R2

(t2 + 1)2= 0 ,

ou b = α1(κ−1)+4α2β , avec R(s) > 0; Ao, Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, Wo, Yo ∈ IR; α1 6= 0; α2 ∈ IR.

110

II) Pour le cas particulier ou α1 = 2α2. Introduisons les fonctions suivantes

U =Uo[(t2 + 1)A]−1/(κ+1) ,

V =Vo − 1α1(κ + 1)

ln

[(t2 + 1)A

],

θ =V − 1α1

ln[z] ,

X =Xo(t2 + 1)(1−2κ)/(κ+1) R3/(κ+1) ,

Y = arctan(t) + V.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont :

ρ =Ro

z(t2 + 1),

p =zA ,

u =t(x− zU sin θ) + (y − zU cos θ)

t2 + 1,

v =t(y − zU cos θ)− (x− zU sin θ)

t2 + 1,

w =− z

(κ + 1)

[A′

A+

2t

(t2 + 1)

],

H1 =√

z X sin

(Y − 1

α1ln[z]

),

H2 =√

z X cos

(Y − 1

α1ln[z]

),

H3 =0 .

La fonction A est determinee par l’EDO :

AA′′ − (κ + 2)(κ + 1)

(A′)2− 1(κ + 1)

2t

(t2 + 1)AA′ − X2

o

4πRo(t2 + 1)

(2−κ)(κ+1) A

(5+2κ)(κ+1) − (κ + 1)

R2o

(t2 + 1)A3

− 1(κ + 1)

[4t4 + 2(κ + 3)t2 − 2(κ + 1)]A2

(t2 + 1)2= 0 ,

ou A(s) > 0; Ro, Uo, et Xo > 0; Vo, Wo, Yo ∈ IR; α1 = 2α2 6= 0; α1 ∈ IR.

111

M3,12; J3 + Po + H,P1, P2

variable de symetrie: s = z

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont

ρ =Ro

Wexp

[2αt− 2α

∫ds

W

],

p =Ao

Wκexp

[2αt− 2α

∫ds

W

],

u =Uo sin

(∫ds

W− t + Vo

),

v =Uo cos

(∫ds

W− t + Vo

),

w =W ,

H1 =Xo

Wexp

[αt− α

∫ds

W

]sin

(∫ds

W+ Yo − t

),

H2 =Xo

Wexp

[αt− α

∫ds

W

]cos

(∫ds

W+ Yo − t

),

H3 =0 .

La fonction W est donnee implicitement par

s + so =

αWX2

o

Ro−

(X2

o

πAo+

4Ro

)2F1

(1

(2− κ), 1, 1 +

1(2− κ)

,−8πAo

X2o

W (2−κ)

)

−2α

κW 4

2F1

(4

(2− κ), 1, 1 +

4(2− κ)

,−8πAo

X2o

W (2−κ)

)pour κ 6= 2 ,

[α

(2Ao +

X2o

4π

)]−1

W

(Ro

4W 2 +

X2o

4π− 2Ao

)pour κ = 2 ,

(3.3.1)

ou Ao > 0, Ro > 0, so, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR ; α1 > 0, β 6= 0, α ∈ IR.

M3,85; G + α H, K1, K2

variable de symetrie: s = z

Pour cette sous-algebre, nous obtenons deux types de solution MHD.

I) α ∈ IR.

ρ =Ro

Wt−2α exp

[2(α− 2)

∫ds

W

],

p =Ao

Wκt−2α exp

[2(α− κ)

∫ds

W

],

112

u = x−Uo

t , H1 = Xo

W t−α exp[(α− 1)

∫dsW

],

v = y−Vo

t , H2 = Yo

W t−α exp[(α− 1)

∫dsW

],

w = Wt , H3 = 0 .

La fonction W est determinee par l’equation integro-differentielle

W 3 W ′−W 3+Ao

Ro[2(α−κ)−κW ′] W (2−κ) exp

[2(2−κ)

∫ds

W

]+

X2o

4πRo[W ′+α−1] exp

[3

∫ds

W

]= 0

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Vo et Xo ∈ IR.

Nous pouvons resoudre cette equation en posant que

W = s + C2, ou C2 ∈ IR .

Ce qui fixe κ = 2 et la constante Ao = αX2o/8π(3− α) avec 0 < α < 3.

ρ = Rot−2α(s + C2)(2α−5) , u = x−Uo

t , H1 = Xo

tα (s + C2)α−1

p = Aot−2α(s + C2)2(α−3) , v = y−Vo

t , H2 = Xo

tα (s + C2)α−1 ,

w = s+C2t , H3 = 0 .

II) Pour α = 2, nous considererons Zo 6= 0 et ainsi obtenir les solution suivantes

ρ = R , u =x

t− 1

t[Uo − Zo

4πRoX] , H1 =

X

t2,

p = Ao

t4

(RRo

)κ

exp[2(2− κ)

∫dsR

], v =

y

t− 1

t[Vo − Zo

4πRoY ] , H2 =

Y

t2,

w =Ro

R t, H3 =

Zo

t2,

ou nous avons introduit les fonctions

X =Xo

Ro

R

[1− ηo R]exp

[1

Ro

∫R ds

[1− ηo R]

], Y =

Yo

Ro

R

[1− ηo R]exp

[1

Ro

∫R ds

[1− ηo R]

],

ou Ao > 0, Ro, Uo, Vo Xo, Yo, Zo ∈ IR; ηo = Z2o/4πR2

o . La fonction R satisfait la relation

(1− ηo R)[R2

o + (Co −Ro s)R]+

Ao

Rκo

(1− ηo R) R(κ+1) exp[2(2− κ)

Ro

∫R ds

]

+(X2

o + Y 2o )

8π R2o

R3 exp[

2Ro

∫R ds

[1− ηo R]

]= 0 ,

avec la condition que R(s) > 0, Co ∈ IR

113

M3,11; K3 + βPo + α1J3 + α2H,P1, P2

variable de symetrie: s = z − t2

2β

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont

ρ =Ro

Wexp

[2α2

βt− 2α2

β

∫ds

W

],

p =Ao

Wκexp

[2α2

βt− 2α2

β

∫ds

W

],

u =Uo sin

(α1

β

∫ds

W+ Vo − α1

βt

),

v =Uo cos

(α1

β

∫ds

W+ Vo − α1

βt

),

w =W +t

β,

H1 =Xo

Wexp

[α2

βt− α2

β

∫ds

W

]sin

(α1

β

∫ds

W+ Yo − α1

βt

),

H2 =Xo

Wexp

[α2

βt− α2

β

∫ds

W

]cos

(α1

β

∫ds

W+ Yo − α1

βt

),

H3 =0 .

La fonction W est donnee implicitement par

s + so =

αWX2

o

Ro−

(X2

o

πAo+

4Ro

)2F1

(1

(2− κ), 1, 1 +

1(2− κ)

,−8πAo

X2o

W (2−κ)

)

−2α

κW 4

2F1

(4

(2− κ), 1, 1 +

4(2− κ)

,−8πAo

X2o

W (2−κ)

)pour κ 6= 2 ,

[α

(2Ao +

X2o

4π

)]−1

W

(Ro

4W 2 +

X2o

4π− 2Ao

)pour κ = 2 ,

(3.3.2)

ou Ao > 0, Ro > 0, so, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR ; α1 > 0, β 6= 0, α2 ∈ IR.

114

M3,29; F + G + βPo + αH, P1, P2

variable de symetrie: s = z e−tβ

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ =Ro

Gexp

[2(α− 1)

βt + (1− 2α)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκexp

[2αt

β− (2α + κ)

∫ds

G

],

u =Uo exp[

t

β−

∫ds

G

],

v =Vo exp[

t

β−

∫ds

G

],

w =1β

etβ [G + s] ,

H1 =Xo

Gexp

[α

βt− (1 + α)

∫ds

G

],

H2 =Yo

Gexp

[α

βt− (1 + α)

∫ds

G

],

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle :

G3G′ + 2G3 + sG2 − β Ao

Ro[κG′+κ + 2α]G(2−κ) exp

[−(1 + κ)

∫ds

G

]+

− β(X2o + Y 2

o )4π Ro

[G′ + 1 + α] exp[−3

∫ds

G

]= 0.

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR; β 6= 0 ; α ∈ IR.

M3,34; J3 + α1(F + G) + Po + α2H, P1, P2

variable de symetrie: s = ze−α1t

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ =Ro

Gexp

[2(α2 − α1)t + (α1 − 2α2)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκexp

[2α2t + (κα1 + 2α2)

∫ds

G

],

115

u =Uo exp[α1t− α1

∫ds

G

]sin

(∫ds

G+ Vo − t

),

v =Uo exp[α1t− α1

∫ds

G

]cos

(∫ds

G+ Vo − t

),

w =eα1t

[G + α1s

],

H1 =Xo

Gexp

[α2t− (α1 + α2)

∫ds

G

]sin

(∫ds

G+ Yo − t

),

H2 =Xo

Gexp

[α2t− (α1 + α2)

∫ds

G

]cos

(∫ds

G+ Yo − t

),

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3G′ + 2α1 G3 + α21sG2 − Ao

Ro

[κG′ + 2α2 + κα1

]G(2−κ) exp

[−α1(κ + 1)

∫ds

G

]

− X2o

4πRo

[G′ + α1 + α2

]exp

[−3α1

∫ds

G

]= 0

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 6= 0 ; α2 ∈ IR.

M3,51; F + G + γPo + αH,K1 + βP2, P1

variable de symetrie: s = z e−tγ

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par :

ρ =Ro

Gexp

[2(α− 1)

γt + (1− 2α)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκexp

[2αt

γ− (2α + κ)

∫ds

G

],

u =1β

[y − e

tγ Uo exp

[−

∫ds

G

]],

v =etγ Vo exp

[−

∫ds

G

],

w =t

γe

tγ [G + s] ,

H1 =[

1β

∫ds

G+ Xo

]exp

[α

γt− (1 + α)

∫ds

G

],

H2 =Yo

Gexp

[α

γt− (1 + α)

∫ds

G

],

H3 =0 .

116

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle :

G3G′+2G3 + sG2 − β Ao

Ro[κG′ + κ + 2α]G(2−κ) exp

[−(1 + κ)

∫ds

G

]+

− γY 2o

4πβ2 Ro

[ ∫ds

G+ βXo − [G′ + 1 + α]

[(∫ds

G+ βXo

)2

+ β2

] ]exp

[−3

∫ds

G

]= 0.

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, γ 6= 0 ; α ∈ IR.

M3,86; G + P1 + α1P3 + α2 H, K1,K2

variable de symetrie: s = α1 ln[t] + z

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2(1−2α2) exp

[2(α2 − 2)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt−2α2 exp

[2(α2 − κ)

∫ds

G

],

u =1t

[ln[t] + x− Uo +

∫ds

G

],

v =y − Vo

t,

w =G− α1

t,

H1 =Xo

Gt−α2 exp

[(α2 − 1)

∫ds

G

],

H2 =Yo

Gt−α2 exp

[(α2 − 1)

∫ds

G

],

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle :

G3G′ −G3+α1 G2 − Ao

Ro[κG′ + 2(α2 − 2)] G(2−κ) exp

[2(2− κ)

∫ds

G

]+

− (X2o + Y 2

o )4π Ro

[G′ + 1− α2] exp[2

∫ds

G

]= 0.

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 ≥ 0; α2 ∈ IR.

117

M3,87; G + βP3 + α H, K1,K2

variable de symetrie: s = β ln[t] + z

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2(1−2α) exp

[2(α− 2)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt−2α exp

[−2(α− κ)

∫ds

G

],

u =x− Uo

t,

v =y − Vo

t,

w =G− β

t,

H1 =Xo

Gt−α exp

[(α− 1)

∫ds

G

],

H2 =Yo

Gt−α exp

[(α− 1)

∫ds

G

],

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle :

G3G′ −G3+β G2 − Ao

Ro[κG′ + 2(α− 2)] G(2−κ) exp

[2(2− κ)

∫ds

G

]+

− (X2o + Y 2

o )4π Ro

[G′ + 1− α] exp[2

∫ds

G

]= 0.

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, β ≥ 0; α ∈ IR.

M3,91; J3 + α1(F + G) + Po + α2H,K1, K2

variable de symetrie:s = ν ln[t] + z ou ν ≡ 1α1

Les solutions MHD sont

ρ =Ro

Gt2(1−να2) exp

[2(να2 − 2)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt−2να2 exp

[2(να2 − κ)

∫ds

G

],

118

u =x

t− Uo

tsin

(Vo − ν

∫ds

G+ ν ln[t]

),

v =y

t− Uo

tcos

(Vo − ν

∫ds

G+ ν ln[t]

),

w =1t

[G− ν

],

H1 =Xo

Gt−να2 exp

[−ν(α2 + 1)

∫ds

G

]sin

(Yo − ν

∫ds

G+ ν ln[t]

),

H2 =Xo

Gt−να2 exp

[−ν(α2 + 1)

∫ds

G

]cos

(Yo − ν

∫ds

G+ ν ln[t]

),

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3G′ −G3 + νG2 − Ao

Ro

[κG′ + 2(κ−να2)

]G(2−κ) exp

[2(2− κ)

∫ds

G

]

− X2o

4πRo

[G′ + ν(α2 + 1)

]exp

[4− 2ν(1 + α2)

∫ds

G

]= 0,

ou Ao, Ro, Uo, Xo > 0, Vo et Yo ∈ IR; α1 6= 0, ν = 1/α1, α2 ∈ IR.

Pour resoudre cette equation integro-differentielle, nous posons que

G = C1s + C2 ou C1, C2 ∈ IR.

Il en resulte les solutions MHD particulieres suivantes

ρ =Rot2(1−να2)(C1s + C2)[(2να2−4)/C1−1] ,

p =Aot−2να2(C1s + C2)[2(να2/−κ)/C1−κ] ,

u =x

t− Uo

tsin

(Vo + ν ln[t]− ν

C1ln[C1s + C2]

),

v =y

t− Uo

tcos

(Vo + ν ln[t]− ν

C1ln[C1s + C2]

),

w =1t

[C1s + C2 − ν

],

H1 =Xo

tνα2(C1s + C2)−[ν(α2+1)/C1+1] sin

(Yo + ν ln[t]− ν

C1ln[C1s + C2]

),

H2 =Xo

tνα2(C1s + C2)−[ν(α2+1)/C1+1] cos

(Yo + ν ln[t]− ν

C1ln[C1s + C2]

),

H3 =0 .

119

On distingue quatre types de solutions MHD qui correspondent aux valeurs de C1.

1.a) C1 = 1, κ = 4/3, ν = 1/(1 + 2α2).

La constante Ro est reliee a Ao et Xo par la relation

Ro = (3α2 + 2)[2Ao +

X2o

4π

];

indiquant un couplage entre la densite et la pression du fluide, et le champ magnetique.

La valeur particuliere α2 = −1/2 implique que Xo ≡ 0 : ce qui correspond au cas

hydrodynamique. α2 ∈ ]− 2/3,−1/2[ ∪ ]− 1/2,+∞[

1.b) C1 = 1, κ = 4/3, ν = −1/(1 + α2).

La constante Ro est donnee par

Ro = −2(3α2 + 2)Ao ,

ou α2 < −2/3, Ao > 0. Le champ magnetique ~H produit une force de Lorentz nulle.

2.a) C1 =2(2− κ)

κ, κ =

6[5− ν(1 + 2α2)]

.

Les constantes Ao et Xo sont donnees par

Ao =Ro

2(2α1 − α2), X2

o =4π(4− 3κ)Ro

4 + κ[ν(α2 + 1)− 2]

2.b) C1 = 2− ν(1 + 2α2), κ =(4− C1)(C1 + 2)

.

Les constantes Ao et Xo sont donnees par

Ao =[1− ν(1 + 2α2)]Ro,

κ[4− ν(1 + 2α2)]− 2να2X2

o =4π Ro

(2α1 − α2).

Les cas 2.a) et 2.b) montrent que la pression hydrodynamique et l’intensite du champ

magnetique sont reliees a la densite du fluide.

M3,21; F + βK3 + αH, P1, P2variable de symetrie: s = β ln[t]− z

t

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2α exp

[−(2α + 1)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt2α exp

[−(2α + κ)

∫ds

G

],

120

u = Uo , H1 = Xo

G tα exp[−(α + 1)

∫dsG

],

v = Vo , H2 = Yo

G tα exp[−(α + 1)

∫dsG

],

w = β ln[t] + β − (G + s) , H3 = 0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3[G′+1]−βG2+(1−κ)Ao

RoG(2−κ)[1+G′] exp

[(1−κ)

∫ds

G

]− (X2

o + Y 2o )

4πRo[1+α+G′] exp

[−∫

ds

G

]= 0.

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, β 6= 0 ; α ∈ IR.

M3,36; J3 + α1F + K3 + α2H,P1, P2

variable de symetrie: s = 1α1

ln[t]− zt

Les solutions MHD sont

ρ =Ro

Gt2

α2α1 exp

[− 2

α1(α2 + α1)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt2

α2α1 exp

[− 2

α1(α2 + κα1)

∫ds

G

],

u =Uo exp[−

∫ds

G

]sin

(Vo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

v =Uo exp[−

∫ds

G

]cos

(Vo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

w =1α1

ln[t] +1α1

− [G + s] ,

H1 =Xo

Gt

α2α1 exp

[− 1

α1(α2 + α1)

∫ds

G

]sin

(Yo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

H2 =Xo

Gt

α2α1 exp

[− 1

α1(α2 + α1)

∫ds

G

]cos

(Yo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3G′ + G3 − G2

α1− Ao

Ro

[κG′ +

2α2

α1+ κ

]G(2−κ) exp

[(1− κ)

∫ds

G

]

− X2o

4πRo

[G′ +

α2

α1+ 1

]exp

[−

∫ds

G

]= 0

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 6= 0, α2 ∈ IR.

121

M3,93; J3 + α1F + K3 + α2H,K1, K2

variable de symetrie: s =1α1

ln[t]− z

t

Les solutions MHD sont

ρ =Ro

Gt2

α2α1 exp

[− 1

α1(2α2 + α1)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt2

α2α1 exp

[− 1

α1(2α2 + 3κα1)

∫ds

G

],

u =x

t− Uo exp

[−

∫ds

G

]sin

(Vo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

v =y

t− Uo exp

[−

∫ds

G

]cos

(Vo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

w =1α1

ln[t] +1α1

− [G + s] ,

H1 =Xo

Gt

α2α1 exp

[− 1

α1(α2 + 2α1)

∫ds

G

]sin

(Yo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

H2 =Xo

Gt

α2α1 exp

[− 1

α1(α2 + 2α1)

∫ds

G

]cos

(Yo +

1α1

∫ds

G− 1

α1ln[t]

),

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3G′ + G3 − G2

α1− Ao

Ro

[κG′ +

2α2

α1+ 3κ

]G(2−κ) exp

[3(1− κ)

∫ds

G

]

− X2o

4πRo

[G′ +

α2

α1+ 2

]exp

[−

∫ds

G

]= 0

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 6= 0; α2 ∈ IR.

M3,18; F + αH, P1, P2

variable de symetrie: s = zt

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2α exp

[−(2α + 1)

∫ds

G

], u = Uo , H1 =

Xo

Gtα exp

[−(α + 1)

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt2α exp

[−(2α + κ)

∫ds

G

], v = Vo , H2 =

Xo

Gtα exp

[−(α + 1)

∫ds

G

],

w = G + s , H3 = 0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3[G′+1]+ (1−κ)AoG(2−κ)[1+G′] exp

[(1−κ)

∫ds

G

]− (X2

o + Y 2o )

4π Ro[1+α+G′] exp

[−

∫ds

G

]= 0.

122

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α ∈ IR.

M3,28; F + α G + βH, P1, P2

variable de symetrie: s = zσ

t ou σ ≡ 1− α 6= 0

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =t2(β−α)

σRo

Gexp

[1σ

[2(α− β)− 1]∫

sασ

Gds

],

p =t2βσ

Ao

Gκexp

[− 1

σ(2β + κ)

∫s

ασ

Gds

],

u =tασ Uo exp

[−α

σ

∫s

ασ

Gds

],

v =tασ Vo exp

[−α

σ

∫s

ασ

Gds

],

w =1σ

tασ [G + s

1σ ] ,

H1 =tβσ

Xo

Gexp

[− (1 + β)

σ

∫s

ασ

Gds

],

H2 =tβσ

Yo

Gexp

[− (1 + β)

σ

∫s

ασ

Gds

],

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G[(α + 1)sασ + σG′]+αs

α+1σ − σ3 Ao

Gκ

[(κ + 2β)

σs

ασ + κG′

]exp

[(1− 2α− κ)

σ

∫s

ασ

Gds

]+

− σ3

4π Ro

(X2o + Y 2

o )G2

[(1 + β)

σs

ασ + G′

]exp

[− (1 + 2α)

σ

∫s

ασ

Gds

]= 0.

Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α 6= 0, β ∈ IR.

M3,33; J3 + α1F + α2G + α3H, P1, P2

variable de symetrie: s = z/tβα1 ou β = 1(α1−α2)

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2β(α3−α2) exp

[β[2(α2 − α3)− α1]

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt2βα3 exp

[−[β(2α3 + κα1)]

∫ds

G

],

123

u =Uotβα2 exp

[−βα1

∫ds

G

]sin

(Vo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

v =Uotβα2 exp

[−βα1

∫ds

G

]cos

(Vo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

w =tβα2 [βα1s + G] ,

H1 =Xo

Gtβα3 exp

[−β(α1 + α3)

∫ds

G

]sin

(Yo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

H2 =Xo

Gtβα3 exp

[−β(α1 + α3)

∫ds

G

]cos

(Yo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3[G′+β(α1 + α2)] + βα1α2sG2 − X2

o

4πRo

[G′ + β(2α1 + α3 − α1)

]exp

[β(2− 3α1)

∫ds

G

]

− κAo

Ro

[G′ + β(α1 + 2α3) + 2

]G(2−κ) exp

[β[(1− κ)(α1 + 2)− 2α2]

∫ds

G

]= 0 ,

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 ou α2 6= 0; α1 6= α2 ; α3 ∈ IR.

M3,48; F + α1 G + α2 H,K1, P1 + βP2

variable de symetrie: s = zσ

t ou σ ≡ 1− α1 6= 0

Soient les fonctions suivantes :

V =Vo exp[−α1

σ

∫s

α1σ

Gds

], U = Uo exp

[− 1

σ

∫s

α1σ

Gds

]− V ,

Y =Yo

Gexp

[1σ

(α1 − α2 − 2)∫

sα1σ

Gds

], X =

1β

Y +Xo

Gexp

[−1σ

(α2 + 1)∫

sα1σ

Gds

].

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2(α2−α1)/σ exp

[1σ

[3α1 − 2(α2 + 1)]∫

sα1σ

Gds

], u =

x

t− tα1/σ

βU , H1 = tα2/σ X ,

p =Ao

Gκt2α exp

[−(2α + κ)

∫ds

G

], v = tα1/σV , H2 = tα2/σ Y ,

w = G + s , H3 = 0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G[(α1 + 1)sα1σ + σG′] +

σ3Ao

RoGκ

[κG′ +

s1σ

σ+ as

α1σ

]exp

[b

∫s

α1σ

Gds

]+ α1s

α1+1σ +

18π

d

ds

[X2 + Y 2

]= 0,

124

ou a = 2α2/σ + κ, b = [3(1 − κ) − 2α1(κ − 2)]/σ, Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR,

α1 6= 0, β ≥ 0, α2 ∈ IR.

M3,49; F + α1 G + α2 H,K1, P2

variable de symetrie: s = zσ

t ou σ ≡ 1− α1 6= 0

Soient les fonctions suivantes :

X =Xo

Gexp

[1σ

(α2 + 1)∫

sα1σ

Gds

], Y =

Yo

Gexp

[−1σ

(α1 − α2 − 2)∫

sα1σ

Gds

].

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt

2σ (α2−α1) exp

[1σ

[3α1 − 2(α2 + 1)]∫

sα1σ

Gds

],

p =Ao

Gκt

2α2σ exp

[1σ

[κ(α1 − 2)− 2α2]∫

sα1σ

Gds

],

u =x

t− t

α1σ

βUo exp

[− 1

σ

∫s

α1σ

Gds

], H1 = t

α2σ X ,

v = tα1σ Vo exp

[−α1

σ

∫s

α1σ

Gds

], H2 = t

α2σ Y ,

w = tα1σ [G + s

1σ ] , H3 = 0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G[(α1 + 1)sα1σ + σG′] +

σ3Ao

RoGκ

[κG′ +

s1σ

σ+ as

α1σ

]exp

[b

∫s

α1σ

Gds

]+ α1s

α1+1σ +

18π

d

ds

[X2 + Y 2

]= 0,

ou a = 2α2/(σ + κ), b = [3(1− κ)− 2α1(κ− 2)]/σ; Ro > 0, Ao > 0; Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR,

α1 6= 0, α2 ∈ IR.

M3,88; F + α1G + α2H, K1,K2

variable de symetrie: s = zσ

t ou σ ≡ 1− α1 6= 0

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt

2σ (α2−α1) exp

[1σ

[4α1 − 2α2 − 3]∫

sα1σ

Gds

],

p =Ao

Gκt2

α2σ exp

[1σ

[κ(2α1 − 3)− 2α2]∫

sα1σ

Gds

],

125

u =x

t− Uo t

α1σ exp

[− 1

σ

∫s

α1σ

Gds

], H1 =

Xo

Gt

α2σ exp

[1σ

(α1 − α2 − 2)∫

sα1σ

Gds

],

v =y

t− Vo t

α1σ exp

[− 1

σ

∫s

α1σ

Gds

], H2 =

Yo

Gt

α2σ exp

[1σ

(α1 − α2 − 2)∫

sα1σ

Gds

],

w =1σ

tα1σ [G + s

1σ ] , H3 = 0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G[(α1 + 1)sα1σ + σG′]− σ3

4π Ro

(X2o + Y 2

o )G2

[1σ

(α2 − α1 + 2)sα1σ + G′

]exp

[− (1 + 2α1)

σ

∫s

α1σ

Gds

]

+α1sα1+1

σ − σ3 Ao

Ro Gκ

[[3κ + 2(α2 − α2)]

σs

ασ + κG′

]exp

[[3(1− κ)− 2α1(κ− 2)]

σ

∫s

α1σ

Gds

]= 0 ,

ou Ro > 0, Ao > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 6= 0; α2 ∈ IR

M3,90; J3 + α1F + α2G + α3H, K1,K2

variable de symetrie: s = z/tβα1 ou β = 1(α1−α2)

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont donnees par

ρ =Ro

Gt2β(α3−α2) exp

[−β[2(α3 − α2) + 2 + α1]

∫ds

G

],

p =Ao

Gκt2βα3 exp

[−[κ(βα1 + 2) + 2βα3]

∫ds

G

],

u =x

t− Uot

βα2 exp[−βα1

∫ds

G

]sin

(Vo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

v =y

t− Uot

βα2 exp[−βα1

∫ds

G

]cos

(Vo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

w =tβα2 [βα1s + G] ,

H1 =Xo

Gtβα3 exp

[−β(2α1 + α3 − α2)

∫ds

G

]sin

(Yo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

H2 =Xo

Gtβα3 exp

[−β(2α1 + α3 − α2)

∫ds

G

]cos

(Yo + β

∫ds

G− β ln[t]

),

H3 =0 .

La fonction G est determinee par l’equation integro-differentielle

G3[G′+β(α1 + α2)] + βα1α2sG2 − X2

o

4πRo

[G′ + β(2α1 + α3 − α2)

]exp

[β(2− 3α1)

∫ds

G

]

− Ao

Ro

[κG′ + β(κα1 + 2α3) + 2κ

]G(2−κ) exp

[β[(1− κ)(α1 + 2)− 2α2]

∫ds

G

]= 0 ,

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Vo, Xo et Yo ∈ IR, α1 ou α2 6= 0; α1 6= α2 ; α3 ∈ IR.

126

L’analyse physique de toutes ces solutions permet de degager certaines proprietes

du fluide et du champ magnetique ~H qui sont communes a l’ensemble des solutions

obtenues.

• L’ecoulement du fluide est compressible (sauf pour M3,14) et est non stationnaire.

• Le champ magnetique ~H circule dans le plan (xOy) et depend seulement de t et z.

Consequemment la force de Lorentz derive du gradient de pression magnetique et est

dirigee suivant ~e3 ; les forces de tension ( ~H · ∇) ~H sont nulles. La circulation du fluide

est donc preservee par le theoreme de Kelvin.

• Le courant de conduction ~J =c

4π∇× ~H circule dans le plan (xOy) et est perpendic-

ulaire au champ magnetique ~H.

• ~Fm · ~v 6= 0 indique la presence d’un couplage entre les effets magnetiques et hydro-

dynamiques.

Tableau 3.3. Solutions des systemes reduits ayant en commun comme contrainte

sur les composantes de ~H

βγX − βY + (1− γt)Z = 0

ou β et γ sont des coefficients qui dependent de la sous-algebre consideree.

Variables de symetrie No. des sous-algebres

s = t M3,53,M3,54,M3,56,M3,89

127

M3,53; F + G + αH, K1 + P2 + β P3, P1 + γ P2

variable de symetrie: s = t

Il existe deux types de solution MHD lies a la valeur de α ∈ IR.

I) Pour α 6= 12 , on introduit le coefficient ν = 1/(2α− 1) et les fonctions suivantes :

U =Rν

[βαγ

∫ 2AoR

κν +R2ν

4π

[(Xo +

Zo

βt

)2

+ Y 2o + Z2

o

] dt +

∫R−νW dt + Uo

],

V =Rν

[α

∫ 2AoR

κν + βR2ν

4π

[(Xo +

Zo

βt

)2

+ Y 2o + Z2

o

] dt + Vo

],

W =Rν

[α

∫(1− γt)

2AoR

κν +R2ν

4π

[(Xo +

Zo

βt

)2

+ Y 2o + Z2

o

] dt + Wo

],

ou

R = Ro exp[

1ν

∫[γU + βV − (1− γt)W ] dt

],

γ ≥ 0; β ∈ IR, Ro, Ao, Uo, Vo et Wo sont des constantes arbitraires reelles; Xo,Yo et Zo

sont des constantes reelles qui satisfont la relation

βγXo − βYo + Zo = 0 .

Les solutions MHD sont donnees par

ρ =R

[β(γx− y) + (1− γt)z

]2(α−1)

,

p =AoRν(κ−γ)

[β(γx− y) + (1− γt)z

]2α

,

u =1β

[z − [β(γx− y) + (1− γt)z]U

],

v =[β(γx− y) + (1− γt)z]V ,

w =[β(γx− y) + (1− γt)z]W ,

H1 =[Xo +Zo

βt]Rν(1+α)

[β(γx− y) + (1− γt)z

]α

,

H2 =βYo Rν(1+α)

[β(γx− y) + (1− γt)z

]α

,

H3 =Zo Rν(1+α)

[β(γx− y) + (1− γt)z

]α

.

128

II) Si α = 12 , on redefinit les fonctions U , V et W en introduisant µ = 1/(κ + 1)

U =Aµ

[βγ

∫ Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ]

[(Xo +

Zo

βt

)2

+ Y 2o + Z2

o

]dt +

∫A−µW dt + Uo

],

V =Aµ

[β

∫ Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ]

[(Xo +

Zo

βt

)2

+ Y 2o + Z2

o

]dt + Vo

],

W =Aµ

[∫(1− γt)

Aκµ

R2o

+18π

[(Xo +

Zo

βt

)2

+ Y 2o + Z2

o

]dt + Wo

],

ou

A = Ao exp[

1µ

∫[γU + βV − (1− γt)W ] dt

],

γ ≥ 0; β ∈ IR, Ro, Ao, Uo, Vo et Wo ∈ IR; Xo, Yo et Zo sont des constantes reelles qui

satisfont la relation

βγXo − βYo + Zo = 0 .

Les solutions du systeme MHD sont donnees par :

ρ =Ro

[β(γx− y) + (1− γt)z],

p =[β(γx− y) + (1− γt)z] A ,

u =1β

[z − [β(γx− y) + (1− γt)z]U

],

v =[β(γx− y) + (1− γt)z] V ,

w =[β(γx− y) + (1− γt)z] W ,

H1 =[Xo +Zo

βt] A

32 µ

[β(γx− y) + (1− γt)z

] 12

,

H2 =βYo A32 µ

[β(γx− y) + (1− γt)z

] 12

,

H3 =Zo A32 µ

[β(γx− y) + (1− γt)z

] 12

.

129

M3,54; F + G + αH, K1 + P3, P1 + βP2

variable de symetrie: s = t

Il existe deux types de solution MHD lies a la valeur de α ∈ IR.

I) Pour α 6= 12 , introduisons le coefficient ν = 1/(2α− 1) et les fonctions suivantes :

U =Rν

[βα

∫ 2AoR

κν +R2ν

4π[(Xo + Zot)2 + β2X2

o + Z2o ]

dt +

∫R−νW dt + Uo

],

V =Rν

[α

∫ 2AoR

κν +R2ν

4π[(Xo + Zot)2 + β2X2

o + Z2o ]

dt + Vo

],

W =Rν

[βα

∫t

2AoR

κν +R2ν

4π[(Xo + Zot)2 + β2X2

o + Z2o ]

dt + Wo

],

ou

R = Ro exp[

1ν

∫[βU + V + βtW ]dt

],

β ≥ 0 ; Ro, Ao, Uo, Vo, Wo; Xo, Yo et Zo sont des constantes arbitraires reelles.

Les solutions MHD sont donnees par

ρ = [β(x− tz)− y]2(α−1) R , u = z − [β(x− tz)− y]U , H1 = [Xo + tZo][β(x− tz)− y]αRν(1+α) ,

p = AoRν(κ+2α)[β(x− tz)− y]2α, v = [β(x− tz)− y]V , H2 = βXo[β(x− tz)− y]αRν(1+α) ,

w = [β(x− tz)− y]W , H3 = Zo[β(x− tz)− y]αRν(1+α) .

II) Pour α = 12 , introduisons le coefficient µ = 1/(κ + 1) et les fonctions suivantes :

U =Aµ

[β

∫ Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ] [(Xo + Zot)2 + β2X2o + Z2

o ]

dt +∫

A−µW dt + Uo

],

V =Aµ

[β

∫ Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ] [(Xo + Zot)2 + β2X2o + Z2

o ]

dt + Vo

],

W =Aµ

[β

∫t

Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ] [(Xo + Zot)2 + β2X2o + Z2

o ]

dt + Wo

],

ou

A = exp[

1µ

∫[βU + V + βtW ]dt

],

β ≥ 0; Ro, Ao, Uo, Vo, Wo; Xo, Yo et Zo sont des constantes arbitraires reelles.

130

Les solutions du systeme MHD sont donnees par

ρ = Ro

[β(x−tz)−y] , u = z − [β(x− tz)− y]U , H1 =[Xo[β(x− tz)− y]

12 + tZo

]A

32 µ ,

p = [β(x− tz)− y] A , v = [β(x− tz)− y]V , H2 = βXo[β(x− tz)− y]12 A

32 µ ,

w = [β(x− tz)− y]W , H3 = Zo[β(x− tz)− y]12 A

32 µ .

M3,56; F + G + αH, K1 + P3, P2

variable de symetrie: s = t

Il existe trois types de solution MHD lies a la valeur de α ∈ IR.

I) Si α = 0, introduisons les fonctions

R(t) = Ro exp[−Uot

], M(t) = ηo exp

[Wo

R+ Wo Uot

], Z(t) = Zo +

∫dtM,

ou Ro > 0 et Uo, Vo, ηo et Zo sont des constantes arbitraires reelles.

Les solutions MHD sont donnees par

ρ =Ro

(x− tz)2, u = z − (Uo −Wot)

R(x− tz) , H1 =

1Wo

[RM − [Uo − tWo]Z

],

p = Ao[x− tz]R−(κ+2) , v =Vo(x− tz)

R, H2 =

[Z exp

[1R

]+ Yo

]exp

[Uo

R

],

w =Wo(x− tz)

R, H3 = Z,

II) Si α 6= 12 , introduisons le coefficient ν = 1/(2α− 1) et les fonctions suivantes :

U =Rν

[α

∫ 2AoR

κν +R2ν

4π[Y 2

o + Z2o (t2 + 1)]

dt +

∫R−νW dt + Uo

], V = Vo Rν ,

W =Rν

[α

∫t

2AoR

κν +R2ν

4π[Y 2

o + Z2o (t2 + 1)]

dt + Wo

],

ou

R = Ro exp[

1ν

∫[U + tW ] dt

],

Ro, Ao, Uo, Vo, Wo; Xo, Yo et Zo sont des constantes arbitraires reelles.

Dans ce cas, les solutions MHD sont donnees par

ρ = (x− tz)2(α−1) R , u = z − (x− tz)U , H1 = Xo (x− tz)α tRν(1+α) ,

p = Ao(x− tz)2αRν(κ+2α) , v = (x− tz)V , H2 = Yo (x− tz)α Rν(1+α) ,

w = (x− tz)W , H3 = Zo (x− tz)α Rν(1+α),

131

III) Pour α = 12 , introduisons le coefficient µ = 1/(κ + 1) et les fonctions suivantes :

U =Aµ

[∫ Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ] [Y 2o + Z2

o (t2 + 1)]

dt +∫

A−µW dt + Uo

], V = Vo Aµ ,

W =Aµ

[∫t

Aκµ

R2o

+18π

A[(1−κ)µ] [Y 2o + Z2

o (t2 + 1)]

dt + Wo

],

ou

A = exp[

1µ

∫dt[U + tW ]

],

Ro, Ao, Uo, Vo, Wo; Xo, Yo et Zo sont des constantes arbitraires reelles.

Les solutions MHD sont donnees par

ρ =Ro

(x− tz), u = z − (x− tz)U , H1 = Xo(x− tz)

12 tA

32 µ ,

p = (x− tz)A , v = (x− tz)V , H2 = Yo (x− tz)12 A

32 µ ,

w = (x− tz)W , H3 = Zo(x− tz)12 A

32 µ.

M3,89; F + G + αH,K1 + α1P2 + α2P3, K2 + β1P1 + β2P2 + β3P3

variable de symetrie: s = t

On definit les fonctions suivantes :

C(t) = β1α2 − β3t , B(t) = α2t + α2β2 − β3α1 , ξ = C(t)(α2y − α1z)−B(t)(α2x− tz),

ou αi, βi ∈ IR; αi et βi ne sont jamais nuls simultanement. Il existe quatre types de

solution qui dependent des valeurs respectives de α et β3.

I) Si α 6= 12 et β3 6= 0, soient ν ≡ 1/(2α− 1) et σ = α2β1/β3 et

U =Rν

Cσ

[β1

∫R−νCσ−1 W dt− αα2

∫Cσ B t

2AoR

κν + R2νH2

4π

dt + Uo

],

V =Rν

[α2

∫U

CtR−ν dt +

∫Wt

CR−ν dt− αα2

∫C

2AoR

κν + R2νH2

4π

dt + Vo

],

W =Rν

[∫[α1 C −Bt]

2(α− 1) AoR

κν + αR2νH2

4π

dt + Wo

],

avec

R = Ro exp[

1ν

∫ [α2

B

tU + α2 CV + [B t− α1C]W − β3

C

]dt

],

132

ou

H2 ≡[β1

β3Zo + XoC(t)

]2

+[(

Zo

β3+ α2Xo

)t + Yo

]2

+ Z2o ;

Ro, Ao, Uo, Vo, et Wo ∈ IR; Xo,Yo et Zo ∈ IR et satisfont la relation :

[α2β2 − β3α1] Xo − Yo +β2

β3Zo = 0 .

Les solutions MHD sont donnees par

ρ =ξ2(α−1) R ,

p =Aoξ2α Rν(κ+2α) ,

u =x

t− 1

t

[ξU +

β1

C(α2x− tz)

],

v =ξV +1C

(α2x− tz) ,

w =ξW ,

H1 =ξα

[β1

β3Z + XoC Rν(1+α)

],

H2 =ξα

[(Zo

β3+ α2Xo

)t + Yo Rν(1+α)

],

H3 = Zo ξα Rν(1+α) ,

II) Si α = 12 et β3 6= 0, soient µ = 1/(κ + 1), σ = α2β1/β3 et les fonctions suivantes :

U =Aµ

Cσ

[β1

∫A−µCσ−1 W dt− α2

2

∫CσB(t) t

2Aκµ

R2o

+ A[(1−κ)µ]H2

4π

dt + Uo

],

V =Aµ

[α2

∫U

CtA−µ dt +

∫Wt

CA−µ dt− α2

2

∫C

2Aκµ

R2o

+ A[(1−κ)µ]H2

4π

dt + Vo

],

W =Aµ

[∫[α1C −Bt]

A[(1−κ)µ]H2

8π− Aκµ

R2o

dt + Wo

],

avec

A = exp[− 1

µ

∫dt

[α2

B

tU + α2 CV + [B t− α1 C]W − β3

C

]],

ou

H2 ≡[β1

β3Zo + XoC(t)

]2

+[(

Zo

β3+ α2Xo

)t + Yo

]2

+ Z2o ,

133

Ro, Ao, Uo, Vo, et Wo ∈ IR; Xo, Yo et Zo ∈ IR et satisfont la relation

[α2β2 − β3α1] Xo − Yo +β2

β3Zo = 0 .

Les solutions MHD sont donnees par

ρ =Ro

ξ, u =

x

t− 1

t

[ξU +

β1

C(α2x− tz)

], H1 =

√ξ

[β1

β3Z + Xo C A

32 µ

],

p = ξ A , v = ξV +1C

(α2x− tz) , H2 =√

ξ [Z

β3+ α2X]t + Yo A

32 µ ,

w = ξW , H3 = Zo

√ξ A

32 µ ,

III) Si α 6= 12 et β3 ≡ 0, soit ν = 1/( 2α− 1) et les fonctions suivantes :

U =Rνet

[1α2

∫e−tR−νW dt− αα2

∫e−tB t[2AoR

κν + R2νH2

4π] dt + Uo

],

V =Rν

[1β1

∫U

tR−ν dt +

1β1α2

∫WtR−ν dt− αβ1(α2)2

∫[2AoR

κν + R2νH2

4π] dt + Vo

],

W =Rν

[∫[α1 C −Bt]

2(α− 1)AoR

κν + αR2νH2

4π

dt + Wo

],

avec

R = Ro exp[

1ν

∫ [α2

B

tU + α2 CV + [B t− α1C]W

]dt

],

ou

H2 ≡[

t

α2Zo + Xo

]2

+[

t

β1Xo + Yo

]2

+ Z2o ,

Ro, Ao, Uo, Vo, et Wo ∈ IR; Xo,Yo et Zo ∈ IR et satisfont la relation

α2[β2 Xo − β1Yo] + α1β1Zo = 0.

Les solutions MHD sont donnees par

ρ = ξ2(α−1) R , u =x

t− 1

t

[ξU +

1α2

(α2x− tz)]

, H1 = ξα

[1α2

tZ + Xo Rν(1+α)

],

p = Aoξ2α Rν(κ+2α) , v = ξV +

1β1α2

(α2x− tz) , H2 = ξα

[1β1

Xo t + Yo

]Rν(1+α) ,

w = ξW , H3 = Zo ξα Rν(1+α) .

134

IV) Si α = 12 et β3 ≡ 0, soit µ = 1/(κ + 1) et les fonctions suivantes :

U =Aµet

[1α2

∫e−tA−µW dt− αα2

∫e−tB t

[2Aκµ

R2o

+ A[µ(1−κ)]H2

4π

]dt + Uo

],

V =Aµ

[1β1

∫A−µ

tU dt +

1β1α2

∫WtA−µ dt− αβ1(α2)2

∫[2Aκµ

Ro+ A[µ(1−κ)]H2

4π] dt + Vo

],

W =Aµ

[∫[α2α1β1C −Bt]

A[(1−κ)µ]H2

8π− Aκµ

R2o

dt + Wo

],

avec

A = exp[− 1

µ

∫dt

[α2

B

tU + α1α2β1V + [B t− α1α2β1]W

]]

ou

H2 ≡[

t

α2Zo + Xo

]2

+[

t

β1Xo + Yo

]2

+ Z2o ,

Ro, Ao, Uo, Vo, et Wo ∈ IR ; Xo,Yo et Zo ∈ IR et satisfont la relation :

α2[β2 Xo − β1Yo] + α1β1Zo = 0 .

Les solutions MHD sont donnees par

ρ = Ro

ξ , u = xt − 1

t

[ξU + 1

α2(α2x− tz)

], H1 = ξ

12

[1

α2tZ + Xo A

32 µ

],

p = ξ A , v = ξV + 1β1α2

(α2x− tz) , H2 = ξ12

[1β1

Xo t + Yo

]A

32 µ ,

w = ξW , H3 = Zo ξ12 A

32 µ.

L’analyse physique de ces solutions nous permet de deduire les faits suivants.

• L’ecoulement du fluide est compressible, non stationnaire et tridimensionnel.

• La force de Lorentz ~Fm pointe dans une direction fixe et sa norme depend de t (a

l’exception du cas (I) de la sous-algebre M3,56 ou elle nulle). La circulation du fluide

est donc conservee par le theoreme de Kelvin.

• Il existe deux types de solutions qui dependent des coefficients de la sous-algebre

etudies. Pour le premier type : la densite, les composantes de la vitesse ~v et l’intensite

magnetique | ~H| sont couplees l’une a l’autre, la pression est reliee a la densite via la

fonction R. Dans l’autre type, la pression remplace la densite pour le couplage entre

~v et | ~H|, la densite n’est reliee a aucune de ces quantites (i.e. R = Ro).

• ~Fm · ~v 6= 0 indique la presence d’un couplage entre les effets magnetiques et hydro-

dynamiques.

135

Tableau 3.4. Solutions des systemes reduits ayant en commun comme contrainte

sur les composantes de ~H

βX + γY +dZ

ds= 0

ou β et γ sont des coefficients qui dependent de la sous-algebre consideree.

Variables de symetrie No. des sous-algebres

s = z M3,23

s = ln[t] + z M3,25

s = ln[t]− zt M3,84

s = zt M3,37,M3,83

La resolution des systemes reduits associes a type de sous-algebre s’avere etre

difficile. On peut le constater en prenant comme exemple la sous-algebre Po+αH, P1+

βH,P2 + βH (qui ne figure pas dans le tableau (3.1)) ou α, β, γ ∈ IR ; il s’agit tout

simplement des trois generateurs de translation auxquels s’ajoutent le centre H de

l’algebre de symetrie des equations MHD. Le calculs des invariants de cette sous-

algebre nous donne la variable de symetrie s = z et les orbites de groupe :

ρ = R(s) exp [2(αt + βx + γy)], u = U(s), H1 = X(s) exp [αt + βx + γy],

p = A(s)ρ, v = V (s), H2 = Y (s) exp [αt + βx + γy],

w = W (s), H2 = Z(s) exp [αt + βx + γy].

En remplacant ces orbites de groupe dans le systeme MHD (1.1.17), nous obtenons un

systeme reduit qui est similaire aux systemes reduits associes aux sous-algebres du

tableau 3.4.

136

Systeme reduit

pour la sous-algebre

M3 Po + αH, P1 + βH, P2 + γ Hvariable de symetrie: s = z

W

R

dR

ds+

dW

ds+ 2βU + 2γ V + 2α = 0

RWdU

ds+ 2β A +

14π

[β[Y 2 + Z2]−

[γY X +

dX

dsZ

]]= 0

RWdV

ds+ 2γ A +

14π

[γ[X2 + Z2]−

[βXY +

dY

dsZ

]]= 0

RWdW

ds+

dA

ds+

18π

d

ds

[X2 + Y 2

]− 18π

[βX + γY ]Z = 0

W

A

dA

ds+ κ

dW

ds+ 2βU + 2γV + 2α = 0

[βU + γV + α]X +d

ds[WX]− Z

d

ds[U ] = 0

[βU + γV + α]Y +d

ds[WY ]− Z

d

ds[V ] = 0

[βU + γV + α]Z + WdZ

ds= 0

βX + γY + dZds = 0

Par substitutions et eliminations succesives, nous parvenons aux solutions MHD :

ρ =Z2

Z2o

1W

exp[2(αt + βx + γy)

], u =

[W

X

Z+ Uo

], H1 = X(s) exp

[2(αt + βx + γy)

],

p =Ao

Z2o

Z2

Wκexp

[2(αt + βx + γy)

], v =

[W

Y

Z− 1

γ(α + βUo)

], H2 = Y (s) exp

[2(αt + βx + γy)

],

w = W (s), H3 = Z(s) exp[2(αt + βx + γy)

],

ou Ao et Zo ∈ IR, α, β, γ ∈ IR, les fonctions X et Y s’expriment en termes

X = − 1(β2 + γ2)

[β

dZ

ds+ εγ

√∆

], Y = − 1

γ

[βX +

dZ

ds

], ε = ±1 ,

pour lesquelles on a introduit la fonction

∆ =(

4π

Z2o

[d

ds

[W

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds

]−(β2 + γ2)

[8πAo

Z2oWκ

+ 1]− d

ds

[1Z

dZ

ds

])Z2−

(dZ

ds

)2

> 0 .

Les fonctions inconnues W et Z sont determinees par les deux EDO :d2G

ds2+ 2

[1η

dη

ds+ η +

(β2 + γ2)η

]dG

ds+

[1η

d2η

ds2+ 2

dη

ds

]G = 0 ,

η3 − 1G

dG

dsη2 +

(G + Go)2Go

Λ η +(β2 + γ2)

2Go+

14π

d

ds[ΛG] = 0 ,

(3.3.3)

137

ou pour abreger les expressions nous avons adopte les notations suivantes :

G = W −Go, η =1Z

dZ

ds, Λ = (β2 + γ2)

[2Ao

G(G + Go)κ+

Go

G

]+

Go

C2o

1G3

; Go = Z2o/4π, Co ∈ IR.

Etant donnee la complexite du systeme d’EDO (3.3.3), nous avons du poser certaines

hypotheses pour pouvoir le resoudre. Ainsi en considerant W = 0, nous obtenons

ρ = R(z) exp [2(αt + βx + γy)] ,

p =18π

C2o

η2o(β2 + γ2)

[η2o − (ζ2

o + β2 + γ2)] sin2 (ηoz + θo) exp [2(αt + βx + γy)] ,

u = Uo , v = − 1γ

(α + βUo) , w = 0 ,

H1 = − Co

ηo(β2 + γ2)

[βηo cos (ηoz + θo) + εγζo sin (ηoz + θo)

]exp [αt + βx + γy] ,

H2 =Co

ηo(β2 + γ2)

[εβζo sin (ηoz + θo)− γηo cos (ηoz + θo)

]exp [αt + βx + γy] ,

H3 =Co

ηosin (ηoz + θo) exp [αt + βx + γy] ,

ou ε = ±1, R est une fonction arbitraire definie positivement; Uo, θo ∈ IR ; ηo et ζo sont

des constantes reelles qui doivent satisfaire la contrainte η2o > (ζ2

o + β2 + γ2). Dans ce

cas particulier, la vitesse du flot est constante : il y a equilibre des forces entre le

gradient de pression hydrodynamique et la force de Lorentz.

Pour W 6= 0 (sans qu’on aille pu resoudre le systeme (3.3.3)) nous constatons que le flot

devient compressible et non stationnaire : la circulation du fluide n’est pas conservee

puisque la force de Lorentz n’est pas conservatrice. Les composantes u et v de la

vitesse sont alors couplees aux composantes H1 et H2 du champ magnetique.

Nous presentons maintenant les resultats obtenus pour les systemes reduits

associes aux sous-algebres du tableau 3.4. Ceux-ci s’apparentent au systeme reduit

donne en exemple. Cependant leurs resolutions menent a des equations integro-

differentielles en raison des generateurs de dilatations F et G presents dans les sous-

algebres rencontrees.

138

M3,23; G + αH, P1 + β H, P2 + γ H

variable de symetrie: s = z

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ =t2(1−α)

Wexp

[2(βx + γy)− 2F

]Z2

Z2o

,

p =Ao

Z2o

t2(1−α)

Wκe2(βx+γy) Z2 ,

u =1t

[W

X

Z− βα

(β2 + γ2)

],

v =1t

[W

Y

Z+

α(2β2 + α2)γ(β2 + γ2)

],

w =W

t,

H1 =tαe(βx+γy)X ,

H2 =tαe(βx+γy)Y ,

H3 =tαe(βx+γy)Z ,

ou Ao et Zo ∈ IR, α, β, γ ∈ IR. Les fonctions F , X et Y s’expriment en termes des

fonctions W (s) et Z(s)

F =∫

ds

W,

X = − 1(β2 + γ2)

[β

dZ

ds+ εγ

√∆

], Y = − 1

γ

[βX +

dZ

ds

], ε = ±1 ,

ou l’on definit la fonction

∆ =(

4π

Z2o

e−2F

[d

ds

[W

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

α

W

]−(β2 + γ2)

[8πAo

Z2oWκ

+ 1]− d

ds

[1Z

dZ

ds

])Z2−

(dZ

ds

)2

> 0.

Les fonctions W et Z sont determinees par les EDO suivantes:

dW

ds− 1 +

Z2o

8πZ2

e2F

(β2 + γ2)d

ds

[4πe−2F Z2

Z2o

(d

ds

[W

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

α

W

)− d

ds

[1Z

dZ

ds

]Z2

]= 0 ,

e2F

(W − Z2

o

4π

)d

ds

[√∆

Z

]+

(dW

ds− 1

) √∆

Z= 0 .

139

M3,25; G + P3 + αH, P1 + βH, P2 + γ H

variable de symetrie: s = ln[t] + z

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ =t2(1−α)

fexp

[2(βx + γy)− 2F

]Z2

Z2o

,

p =Ao

Z2o

t2(1−α)

fκe2(βx+γy) Z2 ,

u =1t

[W

X

Z− βα

(β2 + γ2)

],

v =1t

[W

Y

Z+

α(2β2 + α2)γ(β2 + γ2)

],

w =f − 1

t,

H1 =tαe(βx+γy)X ,

H2 =tαe(βx+γy)Y ,

H3 =tαe(βx+γy)Z ,

ou Ao et Zo ∈ IR, α, β, γ ∈ IR. Les fonctions F , X et Y s’expriment en termes des

fonctions f(s) et Z(s)

F =∫

ds

f,

X = − 1(β2 + γ2)

[β

dZ

ds+ εγ

√∆

], Y = − 1

γ

[βX +

dZ

ds

], ε = ±1 ,

ou l’on definit la fonction

∆ =(

4π

Z2o

e−2F

[d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

α

f

]−(β2 + γ2)

[8πAo

Z2ofκ

+ 1]− d

ds

[1Z

dZ

ds

])Z2−

(dZ

ds

)2

> 0.

Les fonctions f et Z sont determinees par les equations integro-differentielles :

f

(df

ds− 1

)+

1f

+Z2

o

8πZ2

e2F

(β2 + γ2)d

ds

[4πe−2F Z2

Z2o

(d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

α

f

)− d

ds

[1Z

dZ

ds

]Z2

]= 0,

e2F

(f − Z2

o

4π

)d

ds

[√∆

Z

]+

(df

ds− 1

) √∆

Z= 0 .

140

M3,83; F + αH, K1 + βH, K2 + γH

variable de symetrie: s = zt

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = =t2α

fexp

[F +

2t[βx + γy]

]Z2

Z2o

,

p =Ao

Z2o

t2α

fκexp

[(4− 3κ)F +

2t[βx + γy]

]Z2 ,

u =x− Ut

t,

v =y − V t

t,

w =f + s ,

H1 =tα exp[1t[βx + γy]

]X ,

H2 =tα exp[1t[βx + γy]

]Y ,

H3 =tα exp[1t[βx + γy]

]Z ,

ou Ao et Zo ∈ IR, α, β, γ ∈ IR. Les fonctions F , X et Y s’expriment en termes des

fonctions f(s) et Z(s)

F =∫

ds

f,

X = − 1(β2 + γ2)

[β

dZ

ds+ εγ

√∆

], Y = − 1

γ

[βX +

dZ

ds

], ε = ±1 ,

ou l’on definit la fonction

∆ =(

4π

Z2o

eF

[d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

α + 2f

]−(β2 + γ2)

[8πAo

Z2ofκ

+ 1]− d

ds

[1Z

dZ

ds

])Z2−

(dZ

ds

)2

> 0,

U =X

Zf +

β(2 + α)(β2 + γ2)

, V =Y

Zf +

(2 + α)γ

− β2(2 + α)γ(β2 + γ2)

.

Les fonctions f et Z sont determinees par les equations integro-differentielles :

df

ds− 1 +

Z2o

8πZ2

e−F

(β2 + γ2)d

ds

[4πeF Z2

Z2o

(d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

(α + 2)f

)− d

ds

[1Z

dZ

ds

]Z2

]= 0 ,

e−F

(f − Z2

o

4π

)d

ds

[√∆

Z

]+

(df

ds− 1

) √∆

Z= 0 .

141

M3,84; F + K3 + αH, K1 + βH, K2 + γH

variable de symetrie: s = ln[t]− zt

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = =t2α

fexp

[F +

2t[βx + γy]

]Z2

Z2o

,

p =Ao

Z2o

t2α

fκexp

[(4− 3κ)F +

2t[βx + γy]

]Z2 ,

u =x− Ut

t,

v =y − V t

t,

w = ln[t]− (f + s) + 1 ,

H1 =tα exp[1t[βx + γy]

]X ,

H2 =tα exp[1t[βx + γy]

]Y ,

H3 =tα exp[1t[βx + γy]

]Z ,

ou Ao et Zo ∈ IR, α, β, γ ∈ IR. Les fonctions F , X et Y s’expriment en termes des

fonctions f(s) et Z(s)

F =∫

ds

f,

X =1

(β2 + γ2)

[β

dZ

ds+ εγ

√∆

], Y =

1γ

[dZ

ds− βX

], ε = ±1 ,

ou l’on definit la fonction

∆ =(

4π

Z2o

eF

[d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

α + 2f

]−(β2 + γ2)

[8πAo

Z2ofκ

+ 1]− d

ds

[1Z

dZ

ds

])Z2−

(dZ

ds

)2

> 0,

U =X

Zf +

β(2 + α)(β2 + γ2)

, V =Y

Zf +

(2 + α)γ

− β2(2 + α)γ(β2 + γ2)

.

Les fonctions f et Z sont determinees par les equations integro-differentielles :

fdf

ds−f− 1

f+

Z2o

8πZ2

e−F

(β2 + γ2)d

ds

[4πeF Z2

Z2o

(d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

(α + 2)f

)− d

ds

[1Z

dZ

ds

]Z2

]= 0 ,

e−F

(f − Z2

o

4π

)d

ds

[√∆

Z

]+

(df

ds− 1

) √∆

Z= 0 .

142

M3,37; F + αH, K1 + βH, P1 + γP2

variable de symetrie: s = zt

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = =t2α

fexp

[2β

γt(γx− y)

]Z2

Z2o

,

p =Ao

Z2o

t2α

fκexp

[2(κ− 1)F +

2β

γt(γx− y)

]Z2 ,

u =[γx− y]

γt+

X

Zf +

1γ

∫ds

Y

Z,

v =Y

Zf +

∫ds

Y

Z+

γ

β(α + 1) ,

w =W ,

H1 =tα exp[

β

γt(γx− y)

]X ,

H2 =tα exp[

β

γt(γx− y)

]Y ,

H3 =tα exp[

β

γt(γx− y)

]Z ,

ou Ao et Zo ∈ IR, α, β, γ ∈ IR. Les fonctions F , X et Y s’expriment en termes des

fonctions f(s) et Z(s)

F =∫

ds

f,

Y =γ

(γ2 + 1)

[1β

Z ′εγ√

(γ2 + 1)ξ2 − γ2(Z ′)2]

, X =1γ

Y − 1β

Z ′ , ε = ±1 ,

ou l’on definit la fonction

∆ =(

4πγ2

Z2oβ2

[d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

(α + 1)f

]− (1 + γ2)

[8πAo

Z2ofκ

exp[2(1− κ)F

]+ 1

])Z2

− d

ds

[1Z

dZ

ds

]Z2 −

(dZ

ds

)2

> 0.

Les fonctions f et Z sont determinees par les equations integro-differentielles :

df

ds+ 1 +

γ2Z2o

8πβ2(1 + γ2)Z2

d

ds

[4πγ2

Z2oβ2

([d

ds

[f

Z

dZ

ds

]− 1

Z

dZ

ds+

(α + 1)f

])Z2 − d

ds

[1Z

dZ

ds

]Z2

]= 0 ,

(Z2

4π+ f

)d

ds

[√∆

Z

]+

(df

ds+

Z2

Z2o

) √∆

Z− (α + 1)

βf

Z2

Z2o

= 0 .

143

Tableau 3.5. Solutions des systemes reduits ayant en commun comme contrainte

sur les composantes de ~H

βXi +dXj

ds= 0 (i 6= j)

ou β est un coefficient qui depend de la sous-algebre.

Variables de symetrie No. des sous-algebres

s = z M3,4,M3,42,M3,43

s = α ln[t] + z M3,44,M3,45,M3,46,M3,47

s = zt M3,38

s = ln[t]− yt M3,41

M3,4; Po + αH, K1 + P2 + βH, P1

variable de symetrie: s = z

Introduisons les fonctions

A =Ao W (1−κ) ,

V =12β

1R

d

ds[RW ] + 2α

,

X =Yo

√RW

W − Z2o

α

βZo

∫ds

W+ Xo

, Y = − 1

2β

Zo√RW

d

ds[RW ] , Z = Zo

√RW ,

ou Ao > 0, Xo, Yo et Zo sont des constantes arbitraires reelles, α, β ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = e2(αt+βy)R, u = y +∫

dsRW

[Z

d

ds[X]− d

ds[Z] X

]−

∫ds

v

W+ Uo, H1 = eαt+βy X ,

p = Aρ , v = V , H2 = eαt+βy Y ,

w = W , H3 = eαt+βy Z .

Les fonctions W et R sont determinees par

(RW )d

ds[V ] + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0 ,

(RW )d

ds[W ] +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

144

M3,42; G + αH, K1, P1 + γ1 P2 + γ2 H

variable de symetrie: s = z

Introduisons F =∫

ds

Wet les fonctions suivantes

A =Ao W (1−κ) e(3−κ) F ,

U =γ1

∫ds

RW[d

ds[Z]X − Z

d

ds[X]]−

∫ds

V

W+ Uo , V = − 1

2β

1R

d

ds[RW ] + 3− 2α

,

X =

√(RW )

(W − Z2o eF )

e32 F

(1− α)

γ2Zo e−F + Xo

,

Y =− Zo

2β (RW )

d

ds[RW ] + R

, Z = Zo

√(RW ) e

12 F ,

ou Ao > 0, Uo, Xo et Zo ∈ IR; β = γ2/γ1, γ1 ≥ 0, α, γ2 ∈ R.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2(1−α)e2βy R , u =[γ1x− y − U ]

γ1t, H1 = t−αeβy X , ,

p = t−2 Aρ , v =V

t, H2 = t−αeβy Y ,

w =W

t, H3 = t−αeβy Z .

Les fonctions W et R sont determinees par

(RW )d

ds[V ]−RV + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0 ,

(RW )[d

ds[W ]− 1] +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

M3,43; G + αH, K1, P2 + βH

variable de symetrie: s = z

Soit F =∫

ds

Wet les fonctions suivantes

A =Ao W (1−κ) e(3−κ) F ,

U =∫

ds

RW

[d

ds[Z] X − Z

d

ds[X]

]+ Uo , V = − 1

2β

1R

d

ds[RW ] + 3− 2α

,

X =Xo

√RW

(W − Z2o eF )

e32 F , Y = − 1

2β RW

d

ds[RW ] + R

Z, Z = Zo

√RWe

12 F ,

ou Ao > 0, Uo, Xo et Zo sont des constantes arbitraires reelles, α , β ∈ IR.

145

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2(1−α)e2βy R , u =x− U

t, H1 = t−αeβyX ,

p = t−2Aρ , v =V

t, H2 = t−αeβyY ,

w =W

t, H3 = t−αeβyZ .

Les fonctions W et R sont determinees par

(RW )d

ds[V ]−RV + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0

(RW )[

d

ds[W ]− 1

]+

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

M3,44; G + P2 + α1 P3 + α2H, K1, P1 + β1 P2 + β2 H

variable de symetrie: s = α1 ln[t] + z

Introduisons f = f(s) et F =∫

ds

f, ainsi que les fonctions suivantes

A =Ao f (1−κ) e(3−κ) F ,

U =β1

∫ds

Rf

[d

ds[Z] X − Z

d

ds[X]

]− β1

∫ds

V

f− F + Uo, V = − 1

2β

1R

d

ds[Rf ] + 3− 2α2

,

X =√

Rf

f − Z2o eF

e32 F

[(1− α)

β2− 1

β1

]Zo e−F + Xo

,

Y =− Z

2β Rf

d

ds[Rf ] + R

, Z = Zo

√(Rf)e

12 F ,

ou Ao > 0, Uo et Zo ∈ IR ; β = β2/β1, α1 ≥ 0, α2, β1 β2 ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2(1−α2)e2νy R , u =1

tβ1[β1x− U − (ln[t] + y)] , H1 = t−α2eνy X ,

p = t−2Aρ , v =V

t, H2 = t−α2eνy Y ,

w =f − α1

t, H3 = t−α2eνy Z .

Les fonctions f et R sont determinees par les EDO suivantes :

(Rf)d

ds[V ]−RV + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0 ,

(Rf)[d

ds[f ]− 1] + α1R +

d

ds[AR] +

β

8π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

146

M3,45; G + P3 + αH, K1, P1 + β1 P2 + β2 H

variable de symetrie: s = ln[t] + z

Introduisons f = f(s), F =∫

ds

fet les fonctions suivantes

A =Ao f (1−κ) e(3−κ) F ,

U =β1

∫ds

Rf

[d

ds[Z]X − Z

d

ds[X]

]−

∫ds

V

f+ Uo, V = − 1

2β

1R

d

ds[Rf ] + 3− 2α

,

X =√

Rf

(f − Z2o eF )

e32 F

(1− α)

β2Zo e−F + Xo

,

Y =− 12β Rf

d

ds[Rf ] + R

Z, Z = Zo

√(Rf) e

12 F ,

ou Ao > 0, Uo, Xo et Zo ∈ IR ; ν = β2/β1, β1 ≥ 0, α, β2 ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD correspondant a cette sous-algebre sont:

ρ = t2(1−α)e2νy R , u =1

tβ1[β1x− U − y] , H1 = t−αeνy X ,

p = t−2Aρ , v =V

t, H2 = t−αeνy Y ,

w =f − 1

t, H3 = t−αeνy Z .

Les fonctions f et R sont determinees par

(Rf)d

ds[V ]−RV + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0 ,

(Rf)[d

ds[f ]− 1] + R +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

M3,46; G + P1 + α1 P3 + α2H, K1, P2 + βH

variable de symetrie: s = α1 ln[t] + z

Introduisons f = f(s), F =∫

ds

fet les fonctions suivantes

A =Ao f (1−κ) e(3−κ) F ,

U =∫

ds

Rf

[d

ds[Z] X − Z

d

ds[X]

]+ F + Uo, V = − 1

2β

1R

d

ds[Rf ] + 3− 2α2

,

X =1

f − Z2o eF

Z + Xo

√Rfe

32 F

, Y = − Z

2β(Rf)

d

ds[Rf ] + R

, Z = Zo

√(Rf)e

12 F ,

ou Ao > 0, Uo, Xo et Zo ∈ IR ; α1 ≥ 0, α2, β ∈ IR.

147

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2(1−α2)e2βy R , u =x− U + ln[t]

t, H1 = t−α2eβy X ,

p = t−2α2Aρ , v =V

t, H2 = t−α2eβy Y ,

w =f − α1

t, H3 = t−α2eβy Z .

Les fonctions f et R sont determinees par

(Rf)d

ds[V ]−RV + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0 ,

(Rf)[d

ds[R]− 1] + R +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

M3,47; G + P3 + αH, K1, P2 + βH

Introduisons f = f(s), F =∫

ds

fet les fonctions suivantes

A =Ao f (1−κ) e[(3−κ) F ,

U =∫

ds

Rf

[d

ds[Z] X − Z

d

ds[X]

]+ Uo, V = − 1

2β

1R

d

ds[Rf ] + 3− 2α

,

X =Xo

√(Rf)

e32 F

(f − Z2o eF )

, Y = − Z

2β(Rf)

d

ds[Rf ] + R

, Z = Zo

√(Rf)e

12 F ,

ou Ao > 0, Uo, Xo et Zo ∈ IR ; α, β ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2(1−α)e2βy R , u =x− U

t, H1 = t−αeβy X ,

p = t−2αAρ , v =V

t, H2 = t−αeβy Y ,

w =f − 1

t, H3 = t−αeβy Z .

Les fonctions f et R sont determinees par

(Rf)d

ds[V ]−RV + 2βAR +

β

4π[X2 + Z2]− Z

4π

d

ds[Y ] = 0 ,

(Rf)[d

ds[R]− 1] + R +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

M3,38; F + αH, K1 + βH, P2

variable de symetrie: s = zt

148

Introduisons f = f(s) et les fonctions suivantes

A =Ao f (1−κ) exp[2(1− κ)

∫ds

f

],

U =12β

1R

d

ds[Rf ] + 2(α + 1)

, V =

∫ds

Rf

[d

ds[Z]Y − Z

d

ds[Y ]

]+ Vo ,

X =− 12β

Z

Rf

d

ds[Rf ] , Y = Yo

√Rf

f − Z2o

exp[−

∫ds

f − Z2o

], Z = Zo

√Rf ,

ou Ao > 0, Uo, Vo, Xo, Yo et Zo ∈ IR; α, β ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2αe2βx/t R , u =x− U

t, H1 = tαeβx/t X ,

p = t2αAρ , v =V

t, H2 = tαeβx/t Y ,

w =f + s

t, H3 = tαeβx/t Z .

Les fonctions f et R sont determinees par

(Rf)d

ds[U ] + RU − 2βAR− β

4π[Y 2 + Z2] +

Z

4π

d

ds[X] = 0

(Rf)[d

ds[f ] + 1] +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 ,

M3,41; F + K2 + αH, K1 + β H, P3variable de symetrie: s = ln[t]− y

t

Introduisons f = f(s) et les fonctions suivantes :

A =Ao f (1−κ) exp[2(1− κ)

∫ds

f

], U =

12β

1R

d

ds[Rf ] + 2(α + 1)

,

X =− 12β

Y

Rf

d

ds[Rf ] , Y = Yo

√Rf, Z = Zo

√Rf

f − Y 2o

exp[−

∫ds

f − Y 2o

],

ou Ao > 0, Uo, Vo, Xo, Yo et Zo ∈ IR ; α, β ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD associees a cette sous-algebre sont:

ρ = t2αe2βx/t R , u =x− Ut

t, H1 = tαeβx/t X ,

p = Aρ , v = ln[t]− [f + s] + 1 , H2 = tαeβx/t Y ,

w =∫

ds

Rf

[d

ds[Y ] Z − Y

d

ds[Z]

], H3 = tαeβx/t Z .

Les fonctions f et R sont determinees par

(Rf)d

ds[U ] + RU − 2βAR− β

4π[Y 2 + Z2]− Y

4π

d

ds[X] = 0 ,

(Rf)[

d

ds[f ] + 1

]−R +

d

ds[AR] +

18π

d

ds

[X2 + Y 2 + Z2

]= 0 .

149

Pour les sous-algebres du tableau (3.5), nous avons reduit le systeme MHD a deux

equations integro-differentielles que nous n’avons pu resoudre. Cependant, nous pou-

vons souligner certaines caracteristiques physiques des solutions MHD obtenues:

• le flot est compressible, non stationnaire et tridimensionnel,

• la force de Lorentz est non conservatrice : les forces de tension sont presentes. Il

s’ensuit que la circulation du fluide n’est pas conservee.

Tableau 3.6. Solutions des systemes reduits ayant en commun comme contrainte

sur les composantes de ~H

αX + sdX

ds− s2 dY

ds= 0

ou α est un coefficient qui depend de la sous-algebre consideree.

Variables de symetrie No. des sous-algebres

s = x/y M3,17,M3,19,M3,26

s = α2(z − 12 t2)− α1y M3,2

En resolvant les systemes reduits associes aux sous-algebres du tableau (3.6),

nous constatons que

U

V=

X

Y= η

ou η est une fonction de la variable de symetrie s a etre determinee. Ce qui nous

indique par la nature meme des orbites de groupe, que les composantes de la vitesse

et du champ magnetique qui sont situees dans le plan xOy possedent la meme polari-

sation. En exploitant cette carcteristique, nous sommes parvenu a reduire le systeme

MHD a deux equations integro-differentielles. Voici les resultats que nous avons

obtenus.

150

M3,17; F + αH, Po, P3

variable de symetrie: s = xy

Introduisons

η = η (s) , F =∫

ds

(η − s),

et les fonctions suivantes:

R =Ro

(η − s)Vexp

[−

∫(2αη + s)s(η − s)

ds

], A = Ao[(η − s)V ](1−κ) exp

[(1− κ)

∫ds

(η − s)

],

Y =Yo

(η − s)exp

[−

∫(αη + s)s(η − s)

ds

], Z =

Zo[(η − s)V eF − Y 2

o

4πRo

] exp[−α

∫η ds

s(η − s)

],

ou Ao > 0, Ro > 0, Yo et Zo ∈ IR ; α ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD s’expriment en termes de η et V :

ρ = x2α R, u = η (s)V , H1 = xαη (s)Y ,

p = Aρ , v = V (s) , H2 = xαY ,

w =YoZo

[4πRo(η − s)V eF − Y 2o ]

+ Wo , H3 = xαZ .

Les fonction η et V sont determinees par les equations integro-differentielles :

s(η − s)RVd

ds[ηV ] + 2αAR + s

d

ds[AR] +

α

4π[Y 2 + Z2] +

s

8π

d

ds

[Y 2 + Z2

]+

s2

4πY

d

ds[ηY ] = 0 ,

(η − s)RdV

ds− s

d

ds[AR]− s

8π

d

ds

[(1 + η2)Y 2 + Z2

]+

Y 2

4π

dη

ds= 0 .

M3,19; F + K3 + αH, Po, P3

variable de symetrie: s = xy

Introduisons

η = η (s) , F =∫

ds

(η − s),

et les fonctions suivantes:

R =Ro

(η − s)Vexp

[−

∫(2αη + s)s(η − s)

ds

], A = Ao[(η − s)V ](1−κ) exp

[(1− κ)

∫ds

(η − s)

],

Y =Yo

(η − s)exp

[−

∫(αη + s)s(η − s)

ds

], Z =

Zo

[(η − s)V eF − Y 2o

4πRo]exp

[−α

∫η ds

s(η − s)

],

ou Ao > 0, Ro > 0, Yo et Zo ∈ IR ; α ∈ IR.

151

Les solutions du systeme MHD s’expriment en termes de η et V :

ρ = x2α R , u = η (s)V , H1 = xαη (s)Y ,

p = Aρ , v = V (s) , H2 = xαY ,

w = ln[x]− YoZo[4πRo(η − s)V eF − Y 2

o

] −∫

η

s(η − s)ds , H3 = xαZ .

Les fonction η et V sont determinees par les equations integro-differentielles :

s(η − s)RVd

ds[ηV ] + 2αAR + s

d

ds[AR] +

α

4π[Y 2 + Z2] +

s

8π

d

ds

[Y 2 + Z2

]+

s2

4πY

d

ds[ηY ] = 0 ,

(η − s)RdV

ds− s

d

ds[AR]− s

8π

d

ds

[(1 + η2)Y 2 + Z2

]+

Y 2

4π

dη

ds= 0 .

M3,26; F + α1 G + α2 H,Po, P3

variable de symetrie: s = xy

Introduisons

η = η (s) , F =∫

[s + α1η] ds

s(η − s),

et les fonctions suivantes:

R =Ro

(η − s)Vexp

[−

∫(2α2 − α1)η + s

s(η − s)ds

], A =

Ao

[(η − s)V ]κexp

[−

∫[(2α2 + α1)η + κs]ds

s(η − s)

],

Y =Yo

(η − s)exp

[−

∫α2η + s

s(η − s)ds

], Z =

Zo

[(η − s)V eF − Y 2o

4πRo]exp

[−α2

∫ηds

s(η − s)

],

ou Ao > 0, Ro > 0, Yo et Zo ∈ IR ; α1 6= 0, 1, α2 ∈ IR.

Les solutions du systeme MHD s’expriment en termes de η et V :

ρ = x2(α2−α1) R , u = x−α1η (s)V , H1 = x−α2η (s)Y ,

p = x2α2 A, v = x−α1V (s) , H2 = x−α2Y ,

w = x−α1 exp[−α1

∫η ds

s(η − s)

]YoZo

[4πRo(η − s)V eF − Y 2o ]

]+ Wo

, H3 = x−α2Z .

Les fonctions η et V sont determinees par les equations integro-differentielles :

s(η−s)RVd

ds[ηV ]+α1 R(ηV )2+2α2A+s

d

ds[A]+

α2

4π[Y 2+Z2]+

s

8π

d

ds

[Y 2 + Z2

]+

s2

4πY

d

ds[ηY ] = 0 ,

s(η − s)RdV

ds+ α1 Rη V 2 − s2 d

ds[A]− s2

8π

d

ds

[(1 + η2)Y 2 + Z2

]+

sY 2

4π

dη

ds= 0 .

152

M3,2; K3 + Po + αH, K1 + α1 P3 + α2 P2 + α3 H, P1variable de symetrie: s = α2(z − 1

2 t2)− α1 y

Introduisons

η = η (s) , F = 2α

∫ds

(α2 − α1η)W, Λ = (α2 − α1η)W e−F − Z2

o

4πRo, Γ = α

∫ds

e−F

Λ,

et les fonctions suivantes:

R =Ro

(α2 − α1η)Wexp

[−2

∫(βηW + α)

(α2 − α1η)Wds

], A = Ao[(α2 − ηα1)W ](1−κ),

U =α2ZoXo

4πRo

[1Λ

exp [Γ + F ]− 2α

∫exp [Γ + F ]

Λ(α2 − α1η)Wds

]+ Uo ,

X =Xo

Λexp

[−

∫ds

[2α

e−F

Λ+

βη

(α2 − ηα1)

] ], Z =

Zo

(α2 − α1η)exp

[−β

∫η ds

(α2 − α1η)

],

ou Ao > 0, Ro > 0, Uo, Xo et Zo ∈ IR ; α, α1, α2, α3 ∈ IR, β = α3/α2.

Les solutions du systeme MHD s’expriment en termes de η et W :

ρ = e2(βy+αt) R, u = 1α2

(U + y) , H1 = e(βy+αt) X ,

p = Aρ , v = η(s)W , H2 = e(βy+αt) η(s)Z ,

w = W , H3 = e(βy+αt) Z .

Les fonction η et W sont determinees par les equations integro-differentielles :

[(α2−α1η)W−α2]Rd

ds[ηW ]+2βAR−α1

d

ds[AR]+

β

4π[X2+Z2]−α1

8π

d

ds

[X2 + Z2

]−α2Z

4π

d

ds[ηZ] = 0,

[(α2 − α1η)W − α2]RdW

ds+ R + α2

d

ds[AR] +

α2

8π

d

ds

[(1 + η2)Z2 + X2

]− α1Z2

4π

dη

ds= 0 .

De ces resultats, nous constatons que les solutions MHD sont stationnaires (sauf

pour M3,2). Le flot est compressible, tridimensionnel et soumis a une force de Lorentz

non-conservatrice.

Maintenant, nous considerons les sous-algebres dont la variable de symetrie

est respectivement du type cylindrique, conique et spirale logarithmique. Les systeme

reduits qui leurs sont associes sont d’une grande complexite. Consequemment, nous

avons choisi les sous-algebres possedant une symetrie axiale (a l’exception de M3,65).

Cela nous a permis de reduire le systeme MHD a deux equations integro-differentielles

qui determinent variables angulaires des composantes de la vitesse et du champ

magnetique (etant V et Y respectivement).

153

M3,1; J3 + K3 + αH, Po + βH, P3

variable de symetrie: s =√

x2 + y2

Pour cette sous-algebre, nous avons exploite la symetrie axiale (i.e. suivant l’axe z),

c’est-a-dire de poser dans le systeme reduit correspondant que Z = 0. Nous obtenons

alors que β = 0, V = Y et il en decoule les solutions particulieres suivantes

ρ =Ro

sU cos(V )exp

[−2αϕ− 2α

∫ds

stan(V )

], ou ϕ ≡ arctan [x/y] ,

p =Ao

[sU cos(V )]κexp

[−2αϕ− 2α

∫ds

stan(V )

],

u =U sin(ϕ− V )

v =U cos(ϕ− V ) ,

w =− ϕ−∫

ds

stan(V ) ,

H1 =Xo

scos(V )exp

[−αϕ− α

∫ds

stan(V )

]sin(ϕ− V ) ,

H2 =Xo

scos(V )exp

[−αϕ− α

∫ds

stan(V )

]cos(ϕ− V ) ,

H3 =0 .

Les fonctions U et V sont determinees par les deux EDO suivantes:

[Uκ − κAoU

−1[s cos(V )](1−κ)

]dU

ds+ κAos

(2−κ)[cos(V )]−κ sin(V )dV

ds− κAos

−κ[cos(V )](1−κ) = 0,

([κAo

Ros(2−κ)U (1−κ)[cos(V )]−κ sin2(V ) +

X2o

4πRoU [cos(V )]−1 − sU2 cos(V )

]dV

ds

− κAo

Ros(2−κ)U−κ[cos(V )](1−κ) sin(V )

dU

ds− U2 sin(V )− αX2

o

4πRos−1U [cos(V )]−2

− Ao

Ro[sU cos(V )](1−κ)

[sin(V )[κ + 2α tan(V )] + 2α cos(V )

]= 0

)

avec Ao, Ro, et Xo > 0, α, β ∈ IR.

154

M3,64; J3 + αH, F + βH,P3

variable de symetrie: s =√

x2+y2

t

Pour cette sous-algebre, nous avons fixe α = 0 et β = −1. De plus, en exploitant la

symetrie axiale nous avons suppose que l’ecoulement soit plannaire (w = 0) et que

H3 = 0. Nous introduisons d’abord les fonctions suivantes

ϕ = arctan [x/y] ,

U =s[Yo cos(Y ) + Xo sin(Y )]

sin(Y − V ),

R =Ro

s[U cos(V )− s],

A =Ao[sU cos(V )− s2]−κ ,

X =Xo

s cos(Y ),

ou Ao > 0, Ro > 0, Wo et Xo sont des constantes arbitraires.

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont

ρ =R

t2, u = U sin(ϕ− V ) , H1 =

X

tsin(ϕ− Y ) ,

p =A

t2, v = U cos(ϕ− V ) , H1 =

X

tcos(ϕ− Y ) ,

w = 0 , H3 = 0 .

Les inconnues V et Y sont determinees par les deux EDO suivantes :

12

d

ds

[U2 + (XU)2 sin2(Y − V )

]+ sU cos(V )

dA

ds= 0

UdV

ds+ RU2 sin(V )− s sin(V )

dA

ds−X cos(Y − V )

d

ds[XU sin(Y − V )] = 0

M3,65; J3 + αH, F + βH,Po

variable de symetrie: s =√

x2+y2

z

La resolution du systeme reduit correspondant s’avere tres difficile. Neanmoins, nous

sommes arrive a reduire le systeme MHD a trois equations integro-differentielles en

posant α = 0 et β = −2 et en utilisant la representation polaire pour les composantes

de la vitesse ~v et du champ magnetique ~H :

f = U sin(V ), g = U cos(V ), h1 = X sin(Y ), h2 = X cos(Y ) .

155

Introduisons les fonctions suivantes

R =Ro

s[g − sW ]exp

[2

∫Wds

s[g − sW ]

],

A =Ao

sκ[g − sW ]κexp

[(4− 3κ)

∫Wds

s[g − sW ]

],

h1 =1

s[g − sW ]exp

[∫g ds

s[g − sW ]

](∫ds exp

[−

∫g ds

s[g − sW ]

](Xo

df

ds− (Xo + s2)

sf

)+ ho

)

h2 =Xo[sW + 1]s[g − sW ]

,

Z =Xo W

s[g − sW ].

Les solutions MHD associees a cette sous-algebre sont

ρ =R

z4, u =

[gy − fx]√x2 + y2

, H1 =[h2y − h1x]√

x2 + y2,

p =A

z4, v =

[gx + fy]√x2 + y2

, H1 =[h2x + h1y]√

x2 + y2,

w = W , H3 =Z

z2.

Les inconnues f , g et W sont determinees sont determinees par les equations integro-

differentielles:(s[g − sW ]

dg

ds− f2 − Ao

Rosκ[g − sW ]κ

[κ

d

ds[s(g − sW )] + (3κ− 4)

]exp

[(2− 3κ)

∫W ds

s[g − sW ]

]

+1

4πRoexp

[−2

∫W ds

s[g − sW ]

](12[g − sW ]

d

ds

[s2h2

1

]− sX2oW

d

ds

[(sW + 1)g − sW

]) )= 0 ,

s[g − sW ]df

ds+ gf − Xo

4πRoexp

[−2

∫ds

W

s[g − sW ]

](s

d

ds

[s2h1

]− [sW + 1]d

ds[sh1]

)= 0 ,

(W 2 + [g − sW ]W +

[3κsW + κ

d

ds[s(g − sW )]

]exp

[(2− 3κ)

∫W ds

s[g − sW ]

]

+[g − sW ]

4πRoexp

[∫ −2Wds

s[g − sW ]

][2s[h2

1 + h22]+ s2 d

ds

[h2

1 + h22

]+

X2o [sW + 1](g − sW )

d

ds

[W

s(g − sW )

]])= 0 ,

ou Ro, Ao et ho sont des constantes arbitraires reelles.

156

M3,30; J3 + α1F + α2G + α3H, Po, P3

variable de symetrie: s =√

x2 + y2 eα1ϕ

ou ϕ ≡ arctan [x/y], α1 6= α2, α1 6= 0; α3 ∈ IR

Introduisons les fonctions suivantes

S(V ; 1,−α1) = cos(V )− α1 sin(V ) ,

F =∫

ds[sin(V )− s]

sS(V ; 1,−α1).

Nous obtenons comme solutions MHD

ρ =Ro

sUS(V ; 1,−α1)exp [2(α2 − α3)ϕ− (2α3 − α2 + α1)F ] ,

p =Ao

[sUS(V ; 1,−α1)]κexp [−2α3ϕ− (2α3 + κα2 + α1)F ] ,

u = exp [−α2ϕ]U sin(ϕ− V ) ,

v = exp [−α2ϕ]U sin(ϕ− V ) ,

w =Wo exp [−α2(ϕ + F )] ,

H1 =Xo

sS(V ; 1,−α1)exp [−α3ϕ− (α1 + α3)F ] sin(ϕ− V ) ,

H2 =Xo

sS(V ; 1,−α1)exp [−α3ϕ− (α1 + α3)F ] cos(ϕ− V ) ,

H3 =0 ,

ou Ao > 0, Ro > 0, Wo et Xo sont des constantes arbitraires.

Les fonctions U et V sont determinees par les equations integro-differentielles:

Ao

Ro[sUS(V ; 1,−α1)](1−κ) exp [−(κ + 1)α2F ]

[κ

U

d

ds[US(V ; 1,−α1)] + (κα2 + α1) sin(V )

]

− sUS(V ; 1,−α1)dU

ds− α2U

2 sin(V ) = 0 ,

[sU2S(V ; 1,−α1)]dV

ds+ U2 sin(V ) +

X2o

4πRo

U exp [−(α1 + α2)F ]s[S(V ; 1,−α1)]2

[α1 + α3 + (1 + α1)s

dV

ds

]

− Ao[sU ](1−κ)exp [−(κ+1)α2F ]

Ro[S(V ; 1,−α1)]κ

[S(V ; 1,−α1)

[κ

U

d

ds[US(V ; 1,−α1)]+(κα2 + α1) sin(V )

]+2α3

]= 0.

157

M3,82; J3 + α1 F + α2H,F + β1 G + β2 H,P3

variable de symetrie: s =√

x2+y2

t1σ

exp [νϕ].

ou ϕ ≡ arctan [x/y], σ ≡ 1− β1, ν = −α1β1σ

En choisissant : α1 = −α2, β2 = −1, β2 = −1, et en introduisant la notation suivante

S(V ; α, β) = α cos(V ) + β sin(V ) , S(Y ; α, β) = α cos(Y ) + β sin(Y ) .

Soient les fonctions suivantes

U =s[Co cos(Y ) + βBo sin(Y )]

(Bo − νCo) sin(Y − V ), G = s

[S(V ; 1,−ν)U − s

σ

],

R =Ro

Gexp

[2

∫ds

G

[νU sin(V )− β1s

σ

]], A =

Ao

Gκexp

[2(1− κ)

∫ds

G

[νU sin(V )− s

σ

]],

X =σ(Bo − νCo)σS(Y ; 1,−ν)

,

ou Ao > 0, Ro > 0, Bo et Co sont des constantes arbitraires.

Nous obtenons comme solutions MHD

ρ =t−2σ (1+β1) exp

[2ν(1− α1)ϕ

],

p =t−2σ exp [2νϕ] ,

u =tν exp [να1ϕ]U sin(ϕ− V ) ,

v =tν exp [να1ϕ]U cos(ϕ− V ) ,

w =0 ,

H1 =t−1σ exp [νϕ]X sin(ϕ− V ) ,

H2 =t−1σ exp [νϕ]X cos(ϕ− V ) ,

H3 =0 .

Les fonctions V et Y sont determinees par les equations integro-differentielles:

GdU

ds+ U [

β1s

σ+ νU sin(V )]+

[2σ

s2

Gcos(V )− sκ

GS(V ; 1, β)

(dG

ds+ 2[νU sin(V ) +

s

σ])]

A

R

+(ν2 + 1)

4π

sX2

RS(Y ; 1,−ν)]sin(Y − V )

dY

ds= 0 ,

sGUdV

ds+ U2 sin(V )− s

G

[κS(V ;−β, 1)

(dG

ds+ 2[νU sin(V ) +

s

σ])

+ 2[νU sin(V ) +s

σ]]A

R

− (ν2 + 1)4π

sX2

RS(Y ; 1,−ν)]cos(Y − V )

dY

ds= 0 .

158

M3,75; J3 + Po + αH, F + G + β1 Po + β2 H, P3

variable de symetrie : s =√

x2 + y2 exp[

1β1

(t + ϕ)]

ou ϕ ≡ arctan [x/y]

En choisissant : α = 0, β1 ≡ 1β > 0, β2 = −1, et en introduisant la notation suivante

S(V ;α, β) =α cos(V ) + β sin(V ) ,

S(Y ;α, β) =α cos(Y ) + β sin(Y ) .

Soient les fonctions suivantes

U =s[Co cos(Y ) + βBo sin(Y )]

(Co + Bo) sin(Y − V ),

G =s

[S(V ; 1, β)U − βs

], F =

∫ds

G

[U sin(V )− s

],

ou Bo et Co sont des constantes arbitraires.

Nous obtenons comme solutions MHD

ρ =Ro

Gexp [−2β(ϕ + 2t)− 2βF ] ,

p =Ao

Gκexp [−2β(ϕ + 2t) + 2(κ− 1)βF ] ,

u = exp [−2β(ϕ + 2t)]U sin(ϕ− V ) ,

v = exp [−2β(ϕ + 2t)]U cos(ϕ− V ) ,

w =0 ,

H1 =(Co + Bo)sS(Y ; 1, β)

exp [−2β(ϕ + 2t)] sin(ϕ− V ) ,

H2 =(Co + Bo)sS(Y ; 1, β)

exp [−2β(ϕ + 2t)] cos(ϕ− V ) ,

H3 =0 ,

ou Ao > 0 et Ro > 0 sont des constantes arbitraires.

Les fonctions V et Y sont determinees par les equations integro-differentielles:

sGdU

ds+ βU [s− U sin(V )]+

sAo

RoGκexp [2κF ]

[2βs cos(V )− κS(V ; 1, β)

(dG

ds− 2β[U sin(V )− s]

)]

+ (β2 + 1)(Bo + Co)2

4πRo

G

[S(Y ; 1, β)]3exp [2βF ] sin(Y − V )

dY

ds= 0 ,

sGUdV

ds+ U2 sin(V )+

sAo

RoGκexp [2κF ]

[κS(V ;−β, 1)

[dG

ds− 2β[U sin(V )− s]

]+ 2β[U − s sin(V )]

]

+ (β2 + 1)(Bo + Co)2

4πRo

G

[S(Y ; 1, β)]3exp [2βF ] cos(Y − V )

dY

ds= 0 .

159

M3,24; G + P1 + αH, P3 + βH, Po

variable de symetrie: s = y

Pour cette sous-algebre, nous avons obtenu deux types de solutions MHD en

considerant les deux cas suivants. (I) En imposant que ~Fm = 0. (II) En posant U = V

et βX = αZ dans le systeme reduit correspondant.

I) Introduisons d’abord les fonctions

F (s) = α− ωo tan(ϕ), G(s) =α

ωotan(ϕ) , ϕ = ωo s + δo .

desquelles nous exprimons les solutions MHD comme suit

ρ =(

12αAo

)(2α−1)/ν

exp[2[(α− 1)x + βz]

]V a/ν

[F (s)UV + G(s)V 2 − U2

](2α−1)/ν

,

p =A

(1−2α)/νo

(2α)(2α+κ)/νexp

[2(αx + βz)

]V a/ν

[F (s)UV + G(s)V 2 − U2

](2α+κ)/ν

,

u =exU, v = exV, w = ex

[βωo U2 + β[ωo(1− α)− α tan(ϕ)] UV

]

[αωoU − α2 tan(ϕ)],

H1 =αZo

βe(αx+βz) sin(ϕ), H2 =

ωoZo

βe(αx+βz) cos(ϕ), H3 = Zoe

(αx+βz) sin(ϕ) ,

ou ωo =√

α2 + β2, ; Ao, δo et Zo ∈ IR ; α, β ∈ IR, a = 2[(α− 1)κ− α], ν = κ + 1.

Les inconnues U et V sont determinees par le systeme d’equations algebriques

([β2

α+ (1− 2α)− ωo cot(ϕ)

]U3 + [1− ωo cot(ϕ)] [2α + G(s)] V 3+

+[(

(2α− 1) +β2

α− ωo cot(ϕ)

)G(s) + [ωo cot(ϕ)− 1]F (s) + r(s) + 2α

]UV 2+

−[(

(2α− 1) +β2

α− ωo cot(ϕ)

)F (s) + [ωo cot(ϕ)− 1]− q(s)

]U2V

)= 0 ,

([(κ− 1)

(ωo cot(ϕ)− β2

α

)− (κ + 1)

]U3 +

[(κ− 1)[ωo cot(ϕ)− 1]G(s) + n(s)

]V 3+

+[(κ− 1)[1− ωo cot(ϕ)] F (s) +

[(κ− 1)

(ωo cot(ϕ)− β2

α

)− (κ + 1)

]G(s) + r(s)

]UV 2+

+[(1− κ)[1− ωo cot(ϕ)]−

[(κ− 1)

(ωo cot(ϕ)− β2

α

)+ (κ + 1)

]F + q(s)

]U2V

)= 0

160

ou pour abreger les expressions nous avons definie les fonctions suivantes

n(s) =α− 2α tan2(ϕ) +α(α− 2)

ωotan(ϕ) ,

r(s) =α(α + 2)−(

ωo(2α + 1 + β2) +2α

ωo

)tan(ϕ)− αωo cot(ϕ) ,

q(s) =α(α + 2) +β2

α(2α− ωo)− αωo cot(ϕ)− 2ωo tan(ϕ) .

En definissant une nouvelle variable U/V (ou V/U) avec V 6= 0 (ou U 6= 0), on peut

resoudre ce systeme d’equations algebriques par la methode de Cardano, ce qui permet

alors d’exprimer U et V en terme de s.

Dans ce cas particulier, la force de Lorentz est nulle : cela resulte du choix des

composantes du champ magnetique. L’ecoulement du fluide est stationnaire (comme

d’ailleurs les solutions MHD) et compressible, evidemment la circulation du flot est

conservee.

II) En posant que U = V et βX = αZ, nous obtenons comme solutions MHD :

ρ =Ro

Vexp

[2[(α− 1)x + βz] + (1− 2α)

∫U

Vds

],

p =Ao

V κexp

[2(αx + βz)− (κ + 2α)

∫U

Vds

],

u =exU, v = exV, w = exU

H1 = − 1α

dY

dse(αx+βz), H2 = Y e(αx+βz) H3 = − 1

α

dY

dse(αx+βz) ,

ou Ro > 0 et Ao > 0 sont des constantes arbitraires reelles ; α, β ∈ IR.

Les inconnues U , V et Y sont determinees par le systeme d’equations

Ud2Y

ds2+

[d2U

ds2+ 2

dU

ds− (α + 1/2)

]dY

ds− (α + 1/2)Y = 0,

VdU

ds+U2+2α

Ao

Roexp

[−(1+κ)

∫U

Vds

]V (1−κ)+

V Y

4πRoexp

[(2α−1)

∫U

Vds

][αY +

12α

d2Y

ds2

]= 0,

VdV

ds+ UV − Ao

RoV κexp

[−(1 + κ)

∫U

Vds

][κ

dV

ds+ (κ + 2α)U

]

− V Y

4πRoexp

[(12α− 1)

∫U

Vds

][1

2α2

d2Y

ds2− dY

ds

]= 0.

Nos hypotheses de depart repose sur la symetrie suivant l’axe y. Le flot est stationnaire

et compressible. La force de Lorentz presente est non conservatrice, donc la circulation

du fluide n’est pas conservee par le theoreme de Kelvin.

161

M3,20; F + K3 + αH, P2, P3 + βP1

variable de symetrie: s = β ln[t] +x− βz

t

Pour κ = 3, nous obtenons les solutions particulieres suivantes :

ρ =Ro t2α(C1 − s/2

)4α+1,

p =Ro t2α

(β2 + 1)(4α + 3)(C1 − s/2

)4α+3,

u =1

(1 + β2)2β ln

(C1 − s/2

)+ s/2

+

C1 + β(C2 − 1)(1 + β2)

,

v =Vo ,

w = ln(t) +1

(1 + β2)2 ln

(C1 − s/2

)− βs/2

+C2 + β(β − C1)

(1 + β2),

H1 =βZotα(C1 − s/2

)2α+1,

H2 =Yotα(C1 − s/2

)2α+1,

H3 =Zotα(C1 − s/2

)2α+1.

Les constantes Ro, Ao, Zo et Yo doivent satisfaire la relation suivante:

−β Ro

8π(2α + 1)(1 + β2)= [Y 2

o + (1 + β2)Z2o ]

ou β ≥ 0 ; −3/4 < α < −1/2 ; Vo, C1 et C2 ∈ IR.

On retrouve des cas similaires en hydrodynamique comme par exemple les tourbillons

de Benard-von Karmen [36]. Etant donne que la force de Lorentz ~Fm derive du

gradient de pression magnetique et qu’elle agisse sur le fluide par compressions et

extansions des lignes de force suivant les deux directions ~e1 et ~e3, la circulation du

fluide est conservee selon le theoreme de Kelvin. De plus, le fait que ( ~H ·∇)~v = 0 indique

que le champ des vitesses est constant suivant les lignes de forces magnetiques. Le

couplage entre les effets magnetiques et hydrodynamiques est confirme par ~Fm · ~v 6= 0.

162

Parmis les 104 algebres de dimension trois, certaines d’entre elles menent a

des solutions partiellement invariantes (S.P.I.), cela provient du fait que le defaut

de structure de la solution δ = rang [Qαk ] = 1. Les systemes reduits pour de telles

sous-algebres forment alors des systemes d’EDP a deux variables independantes. En

particulier, la sous-algebre M3,16 constitue un exemple interessant, notamment a cause

de sa symetrie spherique, pour lequel nous avons applique directement l’algorithme

developpe par A.M. Grundland et al. [17] pour les SPI.

Sous-algebre M3,16; J1, J2, J3

Les invariants de cette sous-algebre sont

t, s =√

x2 + y2 + z2, Φ1 =√

u2 + v2 + w2, Φ2 = xu + yv + zw,

Φ3 =√

H21 + H2

2 + H23 , Φ4 = xH1 + yH2 + zH3, Φ5 = ρ, Φ6 = p .

(3.3.4)

Nous avons que

rang

(∂Φi

∂uj

)= 7, i = 1, . . . , 6, j = 1, . . . , 8 .

Donc, nous ne pouvons obtenir a partir de ces invariants des solutions G-invariantes

par la MRS [17]. Le calcul des orbites de groupe donne comme resultat

ρ =R(t, s), p = A(t, s),

u =u(t, ~x), v =(V − xu)− zw

y, w =

z(V − xu) + εy√

[U2 − u2](y2 + z2)− (xu− V )2

y2 + z2,

H1 =H1(t, ~x), H2 =(X − xH1)− zH3

y2 + z2,

H3 =z(Y − xH1) + εy

√[X2 −H2

1 ](y2 + z2)− (xH1 − Y )2

y2 + z2

ou ε = ±1, Φ1 = U(t, s), Φ2 = V (t, s) ; Φ3 = X(t, s), Φ4 = Y (t, s) ; Φ5 = R(t, s) et Φ6 = A(t, s)

sont des fonctions arbitraires. En substituant ces orbites de groupe dans le systeme

MHD (1.1.17), nous obtenons un systeme reduit compose d’EDP qu’il est possible de

resoudre sous les hypotheses suivantes :

uj = xj f(t, s), Hj = xj g(t, s), j = 1, 2, 3, (3.3.5)

163

ou f et g sont des fonctions a etre determinees par le systeme MHD (1.1.17). Puisque

Ji

(uj − xj f(t, s)

)= 0, Ji

(Hj − xj g(t, s)

)= 0 , i, j = 1, 2, 3,

les fonctions donnees par (3.3.5) sont donc invariantes sous l’action de J1, J2, J3.En remplacant les fonctions (3.3.5) dans le systeme MHD (1.1.17) et en prenant que

p = Ao ρκ, nous arrivons au systeme reduit suivant∂R

∂s+ sf

∂R

∂s+ (3f + s

∂f

∂s)R =0,

∂f

∂t+ (f + s

∂f

∂s)f + κ

Ao

sR(κ−2) ∂R

∂s=0,

3g + s∂g

∂s= 0, Ao ∈ IR .

(3.3.6)

Par la methode de separation des variables, nous resolvons le systeme (3.3.6) pour

obtenir les solutions MHD:

ρ = ρo

[s2

2α

d2α

dt2− s2

α2

(dα

dt

)2

+ C1α3(κ−1)

]1/(κ−1)

, p = Aoρκ, uj = −xj

α

dα

dt, Hj =

α

s3xj , (3.3.7)

ou

ρo =(

κ− 1κAo

)1/(κ−1)

, α (t) = C2 exp[∫

η(t′) dt′], C1, C2 ∈ IR, j = 1, 2, 3 .

La fonction η satisfait l’EDO suivante

d2η

dt2− (1 + 3κ)η

dη

dt+ (3κ− 1)η3 = 0 (3.3.8)

qui peut se resoudre comme suit. D’abord, on introduit le changement de variable

ζ(η) =dη

dt,

si bien que l’EDO (3.3.8) se recrit

ζdζ

dη− (1 + 3κ)ηζ + (3κ− 1)η3 = 0 . (3.3.9)

En employant un second changement de variable

ζ(η) = η2χ(τ) , ou τ = ln η ,

nous resolvons l’EDO (3.3.9) pour finalement obtenir

τ = −∫

χdχ

2χ2 − (1 + 3κ)χ + (3κ− 1)+ τo , τo ∈ IR .

Dans ce cas, l’ecoulement du fluide est compressible et irrotationnel. La force de

Lorentz est nulle etant donnee que ∇× ~H = 0. La circulation du fluide est donc

conservee par le theoreme de Kelvin.

164

4. Conclusion : Discussion et developpements futurs.

Dans le Chapitre 2, nous avons developpe la methode des symetries conditionnelles

comme moyen pour obtenir certaines classes de solution d’un systeme d’EDP hyper-

bolique et quasilineaire qui ont ete exprimees en termes d’invariants de Riemann et de

leurs superpositions. Le principe meme de cette approche a d’abord ete enonce dans

l’article de A.M. Grundland et J. Tafel [14], ou notamment, le critere de symetrie

pour des solutions G-invariantes de rang k y a ete demontre. Le progres effectue dans

cette these reside dans le fait d’avoir adapte la methode des symetries conditionnelles

afin d’exprimer des solutions sous la forme d’invariants de Riemann. L’element fonda-

mental de cette approche repose sur la condition que le graphe de la solution doit etre

invariant par rapport aux champs vectoriels (2.3.7) avec la propriete d’orthogonalite

(2.3.5). Lorsque ces conditions sont satisfaites, on peut par un changement de vari-

ables approprie rectifier les champs vectoriels (2.3.7), et consequemment, determiner

les conditions d’invariances qui sont imposees au systeme d’EDP de depart.

Les ondes de Riemann et leurs superpositions ont deja ete largement etudiees dans

le cadre de la methode generale des caracteristiques [34]. Cette approche repose

sur l’imposition de certaines conditions sur les champs vectoriels γs et λs des on-

des simples qui entrent en interaction. Pour comparer ces deux methodes, il faut

d’abord resumer les principes de bases qui sous-tendent la methode generale des car-

acteristiques (MGC).

On postule que la forme de la solution, appelee k-onde simple, s’exprime a l’aide de

l’application tangentielle du comme suit :

du =∂uα

∂xµ(x)dxµ =

k∑s=1

ξs (x)γαs (u)λs

µ (u)dxµ , (4.1.1)

165

ou ξs 6= 0 sont traitees comme des fonctions arbitraires de x et les champs vectoriels

γ1, . . . , γk sont lineairement independants. On suppose que les commutateurs de tous

les champs vectoriels γl = γαl ∂/∂uα et γs = γα

s ∂/∂uα soient des combinaisons lineaires

de ceux-ci :

[γl, γs] ∈ span γl, γs , ∀l 6= s = 1, . . . , k . (4.1.2)

Si ces conditions sont satisfaites alors, a cause du caractere homogene de la rela-

tion d’onde (2.1.4), on peut changer la norme des vecteurs γl et γs de sorte que les

commutateurs de ces champs vectoriels deviennent nuls

[γl, γs] = 0 , ∀l 6= s = 1, . . . , k . (4.1.3)

Par consequent, les champs vectoriels γ1, . . . , γk forment une distribution abelienne

dans l’espace des variables dependantes U . Il existe alors une parametrisation de

l’integrale de surface S dans l’espace U qui est tangente a ces champs

S : u = f(r1, . . . , rk

), (4.1.4)

de telle sorte que

∂f

∂rs= γs , ∀ s 6= l = 1, . . . , k . (4.1.5)

Les vecteurs d’onde λs (u) deviennent alors des fonctions des parametres r1, . . . , rk.

Consequemment les differentiels de (4.1.4) sont donnes par

du =k∑

s=1

∂f

∂rsdrs , drs =

p∑µ=1

∂rs

∂xµdxµ , (4.1.6)

desquels, avec la forme postulee (4.1.1), menent au systeme compose des formes

exterieures

drs = ξs (x)λsµ (r1, . . . , rk) dxµ . (4.1.7)

Tel qu’il est montre dans [4] et [33] le systeme (2.1.3) admet des solutions si les condi-

tions suivantes sont satisfaites :

∂λs

∂rl∈ span λs, λl , ∀ s 6= l = 1, . . . , k . (4.1.8)

166

Les conditions (4.1.3) et (4.1.8) assurent que l’ensemble des solutions du systeme de

depart (2.1.3), sujet a la forme prescrite par (4.1.1), depend de k fonctions arbi-

traires a une seule variable. Il a ete demontre dans [33] que toutes les solutions

(i.e. les integrales generales) du systeme (4.1.7), sous les conditions (4.1.8), peuvent

etre obtenues en resolvant (par rapport aux variables r1, . . . , rk) le systeme exprime

sous la forme implicite

λsµ (r1, . . . , rk)xµ = ψs (r1, . . . , rk) (4.1.9)

ou ψs sont des fonctions arbitraires de k variables r1, . . . , rk. Les solutions exprimees

sous la forme (4.1.9) sont constantes sur les hyperplans a (p − k) dimensions perpen-

diculaires aux vecteurs d’onde λs.

Comme on vient de le voir, les deux methodes discutees exploitent les pro-

prietes d’invariance du systeme d’equations de depart. Dans la MGC, on emploie

l’aspect geometrique de la surface integrale (4.1.4), alors que pour la MSC on con-

sidere les proprietes d’invariance comme des proprietes des groupes de symetrie du

systeme de depart (2.1.3). Donc, ces deux approches decrivent deux facettes d’un

meme objet geometrique.

Il existe neanmoins deux differences essentielles entre la methode generale des car-

acteristiques et notre approche. Les ondes multiples de Riemann definies par la

formule (4.1.1) constituent une classe de solutions plus limitees que les solutions de

rang k telles que postulees dans la methode des symetries conditionnelles. Cette

difference provient du fait que les fonctions scalaires ξs(x) presentes dans l’expression

(4.1.2) (decrivant les profils des ondes simples) sont remplacees dans notre cas (i.e. dans

l’expression (2.3.3)) par des matrices Φ de dimensions k×k, cela permet en consequence

un plus large eventail de donnees initiales.

La seconde difference resulte des conditions (4.1.3) et (4.1.8) faites sur les champs

vectoriels γs et λs, et qui assurent la solvabilite du probleme par la methode generale

167

des caracteristiques, ne sont plus necessaires dans le contexte de la methode des

symetries conditionnelles. Cela nous permet de considerer des configurations plus

complexes pour les ondes simples qui entrent en interactions.

Pour tester l’efficacite de notre approche, nous l’avons employee pour construire des

solutions de rang deux admises par le systeme MHD. Les resultats trouves sont tres

similaires a ceux deja obtenus par la methode generale des caracteristiques. Toutes nos

solutions de rang deux sont en faites des ondes doubles (dans le sens de la definition

(4.1.1)). Cela est largement du aux simplifications aditionnelles qui ont ete faites pour

simplifier les calculs : on a pose certaines configurations particulieres pour les vecteurs

d’ondes λs. La plupart des solutions trouvees sont deja traitees dans la litterature:

cf. [3] [24]. En outre, certaines solutions comme (2.4.63)-(2.4.65), (2.4.69)-(2.4.70), (2.4.80)-

(2.4.82) sont nouvelles. Mentionnons, qu’au moins dans le cas des equations MHD,

notre methode s’avere etre plus commode a utiliser que la MGC. En particulier, les

conditions d’invariance (2.3.14) nous fournissent un choix de coordonnees qui facilite

grandement l’integration du systeme reduit (2.3.17).

Il existe une extension de la methode generale des caracteristiques, discutee

dans [34] et [20]. Celle-ci permet de decrire d’autres types de superposition non-

lineaire d’ondes simples qui ne peuvent s’exprimer en termes d’invariants de Riemann.

La condition necessaire pour l’existence de telles classes de solutions du systeme (4.1.1)

se pose comme suit

[γs, γp] = Clsp γl ∀ s 6= p ∈ 1, . . . , k (4.1.10)

Lγs λp ∈ span λs, λp , (4.1.11)

ou les coefficients Clsp ne sont plus necessairement des constantes (ils peuvent en

generale dependre de u), et Lγsλp represente la derivee de Lie d’une forme λp le long

du champ vectoriel γs. Il s’ensuit des equations (4.1.10) et (4.1.11) que l’ensemble des

champs vectoriels γ1, . . . , γk genere le module de Lie |γ1, . . . , γk| (i.e. ces champs

168

sont fermes par rapport a leurs commutateurs). Il est prouve que si la condition

(4.1.10) est satisfaite alors il existe des sous-systemes d’equations (appeles systemes

reduits) relies a un module de Lie donne qui possedent les proprietes suivantes.

(i) Les sous-systemes obtenus sont fortement hyperboliques.

(ii) Les sous-systemes contiennent k equations pour k variables. Cela signifie qu’il

existe une certaine parametrisation de la surface integrale S du systeme de depart

(2.1.3) donnee par

u = f ( τ1, . . . , τk ) , (4.1.12)

telle que

∂f

∂τ s= α1

sγ1 + . . . + αksγ(s) , s = 1, . . . , k . (4.1.13)

(iii) Chaque solution d’un systeme reduit mene a une solution du systeme d’equations

de depart.

L’interpretation physique de ces classes de solutions recouvre egalement les cas ou de

nouveaux types d’onde sont produits lors des superpositions d’ondes simples d’autres

types. Par exemple, la generation d’ondes peut se manifester quand les commuta-

teurs (4.1.10) des champs vectoriels γs et γp sont des combinaisons lineaires de ces

deux champs mais aussi d’autres champs vectoriels γl, . . . , γt. Cela implique que les

ondes associees aux champs vectoriels γl, . . . , γt prennent part dans le processus de

superposition.

Dans le cas d’une superposition de deux ondes simples, on obtient de nouvelles ondes

de differents types qui ne sont pas initialement presentes a l’instant t = 0. Si ces

nouvelles ondes ne disparaissent pas asymptotiquement lorsque t → ∞, l’effet est

permanent. Selon la terminologie employee, ce phenomene est interprete comme une

“superposition non elastique”.

Les resultats de l’analyse des equations MHD nous donnent que les commutateurs des

champs vectoriels γl, . . . , γ8 generent des modules de Lie dans les deux cas suivants

[34].

169

1. Quand ~H = (H1,H2, 0)

|F−, A−, S−, S+, A+, F+|

,

|F−, S−, E, S+, F+|

,

|F−, S−, S+, F+|

. (4.1.14)

2. Quand ~H = (0, 0,H3)

|F−, A−, E, A+, F+|

,

|E, A−, A+, F+|

,

|F−, E, F+|

. (4.1.15)

Ceci nous permet de determiner quel type d’onde est associe a l’ensemble des champs

generes durant le processus de superposition. Par exemple, quand ~H = (H1, H2, 0) le

resultat de la superposition de deux ondes magnetoacoustiques rapides F+ et F− peut

se representer symboliquement par

F+ + F− −→ F ′+ + S′+ + S′− + F ′− . (4.1.16)

Dans ce cas particulier, le module de Lie contient les deux champs vectoriels γF+ et γF−

mais aussi les deux champs γS+ et γS− . Cela signifie que les ondes magnetoacoustiques

lentes S+ et S− associees aux champs γS+ et γS− participent au processus de superposi-

tion. Donc, lorsque deux ondes magnetoacoustiques rapides F+ et F− se superposent;

deux nouvelles magnetoacoustiques lentes S+ et S− en resultent (i.e. un autre type

d’onde que celui present a l’instant initial t = 0). Si cet effet est permanent, c’est-a-

dire que les ondes produites ne sont pas evanescentes pour t →∞, alors ce phenomene

correspond a une superposition non-elastique d’ondes magnetoacoustiques rapides F+

et F− et lentes S+ et S−. Cet exemple illustre pourquoi la superposition de deux ondes

magnetoacoustiques lentes et rapides ne peut s’expliquer, de maniere generale, a par-

tir des invariants de Riemann tels que decrits dans le Chapitre 2: seules certaines

solutions ont ete y obtenues sous certaines conditions particulieres.

La MRS nous a fournit plusieurs classes particulieres de solutions qui sont donnees

sous des formes explicites et dans certains cas sous une forme implicite. Selon la sous-

algebre M3,i a laquelle elles sont associees, nous resumons ces solutions de la maniere

suivante :

170

• Les solutions MHD dont le champ magnetique ~H n’a que deux composantes. Pour

cela, on se refere au tableau (3.2) dans lequel il faut distinguer deux types de solutions

exprimees sous une forme explicite. A l’exception des solutions M3,18, M3,28, M3,29,

M3,48−49, M3,51, M3,85−88, qui s’expriment en termes de fonctions elementaires, toutes

les autres solutions s’expriment a l’aide des fonctions trigonometriques. Notons que

pour toutes ces solutions, la force de Lorentz est conservatrice et ~Fm · ~v 6= 0 : les effets

magnetiques et hydrodynamiques sont couples. La circulation du fluide est conservee

selon le theoreme de Kelvin.

• Les solutions MHD donnees dans le tableau (3.3) s’expriment sous des formes im-

plicites. Notons qu’elles sont des fonctions de t et ~x. Elles decrivent un flot non

stationnaire et compressible qui est soumis a un champ magnetique ~H produisant une

force de Lorentz de direction constante et dont la norme ne depend que du temps. La

circulation du fluide est donc conservee. Egalement, nous avons que ~Fm · ~v 6= 0 donc

les effets magnetiques et hydrodynamiques sont couples.

• Pour les solutions donnees dans les tableaux (3.4) et (3.5) nous avons reduit le systeme

MHD de depart (1.1.17) a un systeme compose de deux equations integro-differentielles

qui dans certains cas particuliers nous avons pu les resoudre (voir l’exemple base sur

la sous-algebre M3 ; Po +αH,P1 +βH, P2 +βH). Certaines proprietes qualitatives com-

munes a toutes ces solutions. Le flot est tridimensionnel compressible et stationnaire,

la force de Lorentz ~Fm n’est pas conservatrice (les forces de tension sont presentes) et

~Fm · ~v 6= 0. De maniere explicite, nous constatons que les composantes de la vitesse ~v

sont couplees aux composantes du champ magnetique ~H.

• Pour les solutions donnees dans le tableau (3.6) se caracterisent par le fait qu’elles

soient stationnaire (a part M3,2) et que les composantes de la vitesse et celles du

champ magnetique possedent la meme polarisation dans le plan xOy. Le systeme

reduit se resume a deux equations integro-differentielles. L’ecoulement du fluide est

compressible et tridimensionnel. La force de Lorentz n’est pas conservatrice et les

effets magnetiques et hydrodynamiques sont couples car ~Fm · ~v 6= 0.

171

Pour la plupart des sous-algebres dont la variable de symetrie est du type cylin-

drique, conique et spirale logarithmique (voit tableau (3.1)), les systemes reduits qui

leurs sont associes n’ont pu etre completement resolus du fait de la grande complexite

des equations reduites. Neanmoins pour chaque type de variable de symetrie, nous

avons obtenu certaines solutions particulieres : solutions cylindriques ; M3,1 ; J3+K3+

αH, Po + βH,P3, solutions coniques ; M3,64 ; J3 + αH,F + βH, P3 et M3,65 ; J3 + αH, F +

βH,P3, solutions du type spirale logarithmique ; M3,30; J3 + α1F + α2G + α3H, Po, P3,

M3,75; J3 +Po +αH, F +G+β1 Po +β2 H, P3 et M3,82; J3 +α1 F +α2H, F +β1 G+β2 H, P3.

Pour le reste des sous-algebres, nous nous sommes limites a certains cas parti-

culiers auxquels nous avons pu resoudre le syteme reduit. Par exemple la sous-algebre

M3,24 pour laquelle nous avons obtenu un systeme d’equations algebriques en imposant

que la force de Lorentz soit nulle.

En ce qui concerne le cas des solutions partiellement invariantes, dans le cas

de la sous-algebre M3,16, on a obtenu une solution invariante (a symetrie spherique) a

partir de la methode de la transversalite faible [18]. Cette these demontre le potentiel

d’application des differentes techniques basees sur l’approche de Lie aux equations de

la MHD.

172

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