Cilindros y Superficies Cuádricas.

I. Cilindros:

Definición:

Un cilindro es una superficie compuesta que:

1. Son paralelas a una recta dada en el espacio.

2. Pasan por una curva plana dada; la curva es una curva generatriz para el cilindro.

En geometría sólida, donde cilindro significa cilindro circular, las curvas generatrices son

círculos, pero ahora consideraremos curvas generatrices de cualquier clase.

Ejemplo 1. Encuentre una ecuación para el cilindro formado por las rectas paralelas al eje z

que pasa por la parábola 2y x , 0z .

Suponga que el punto 20 0 0, ,P x x z se encuentra sobre la parábola 2y x en el plano xy.

Entonces para cualquier valor de z , el punto 20 0, ,Q x x z está sobre el cilindro porque se

encuentra sobre la recta 20 0,x x y x que pasa por 2

0 0 0, ,P x x z , paralela al eje z .

Inversamente, cualquier punto 20 0, ,Q x x z , cuya coordenada “y” es el cuadrado de cualquier

“x”, está sobre el cilindro porque se encuentra sobre la recta 20 0,x x y x que pasa por

0P , paralela al eje z. De manera que independientemente del valor de z, los punto sobre la

superficie son los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 2y x . Esto hace a la

expresión 2y x una ecuación para el cilindro.

Curva generatriz en el

plano Y Z

Rectas que pasan por la

curva generatriz paralela al

eje x

Universidad centroamericana José Simeón Cañas Matemática 3 (Ingeniería)

Ingeniero Daniel Augusto Sosa

1

Cilindro Parabólico 2y x

En el ejemplo anterior se sugiere que toda curva de la forma ,f x y c , en el plano xy

define un cilindro paralelo al eje z cuya ecuación también es ,f x y c . Los cilindros

también pueden tener diversas orientaciones, por ejemplo si su ecuación es ,g x z c en el

plano xz , obtendremos un cilindro paralelo al eje y; si su ecuación es ,h y z c en el plano yz

, obtendremos un cilindro paralelo al eje x.

Ejemplo 2. Cilindro circular recto.

La ecuación 2 2 2x y a define el cilindro circular formado por las rectas paralelas al eje z

que pasan por el círculo 2 2 2x y a en el plano.

Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se

extenderá paralelo al eje z

En el plano: En el Espacio:

Curva generatriz

a

x

Y

2

Ejemplo 3. Represente los cilindros

a) 2 24 4x z (cilindro elíptico)

b) 2 2 1y z (cilindro hiperbólico)

Elipse generatriz Traza elíptica

(Sección transversal)

Hipérbola generatriz

Traza Hiperbólica

(Sección transversal

perpendicular al eje x )

3

elipse 12b

2y2a

2x 0z Si

II. Superficies Cuádricas

Definición:

Una superficie cuadrática ( o cuádrica ) es la gráfica de una ecuación de segundo grado

con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

0JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx 222

donde A, B, C, …, J son constantes.

1. Elipsoide.

Tiene por ecuación 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con

planos paralelos a los planos coordenados es una elipse

2. Hiperboloide de una hoja.

Tiene por ecuación 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Las trazas del hiperboloide son hipérbolas en planos paralelos al

plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las

trazas son elipses.

elipse 12c

2z2b

2y 0x Si

elipse 12c

2z2a

2x 0 ySi

Nota: Una esfera es un elipsoide con a=b=c

Siendo sus trazas círculos

4

El eje por donde se abre el hiperboloide es por el eje cuya

variable aparece en la ecuación negativa ( en este caso eje z).

La diferencia fundamental entre el hiiperboloide de una hoja y

el elipsoide es que tiene una variable con signo negativo.

3. Hiperboloide de dos hojas.

Tiene por ecuación 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Las trazas de esta superficies son :

Para planos paralelos a XZ son hipérbolas al igual que para

planos paralelos al YZ

Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas.

Hiperbola 12c

2z2b

2y 0x Si

Hiperbola 12c

2z2a

2x 0 ySi

Elipse 12b

2y2a

2x 0z Si

hiperbola 12b

2y2c

2z 0x si

hiperbola 12a

2x2c

2z 0 ysi

gráfica hay no !!imposible! 12b

2y2a

2x 0z si

5

4. Paraboloides

Tiene por ecuación c

z

b

y

a

x2

2

2

2

Las trazas del paraboloide son:

Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos

al XZ o al YZ son parábolas

Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que

no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo

signo.

5. Paraboloide hiperbólico (Silla de montar)

Tiene por ecuación c

z

b

y

a

x2

2

2

2

Su diferencia fundamental con las otras

superficies es que ella tiene en su ecuación una

variable que no está elevada al cuadrado, y las otras

variables tienen el signo contrario.

Trazas:

Esta última traza genera en general una hipérbola cuando

z toma valores constantes, las rectas anteriores son sus asíntotas.

parábola c

z2b2y c

z2b

2y 0x Si

parábola c

z2a2x c

z2a

2x 0 ySi

Círculo ba si y,Elipse c

k2b

2y2a

2x K z Si

parábolas c

z2a

2x 0 ysi parábolas

c

z2b

2y 0x si

6

!rectas! Dos yb

ax 0

2b

2y2a

2x 0z si

6. Conos

La superficie cuádrica que tiene por ecuación

Se denomina Cono.

Las trazas del cono son:

Dejara de ser elipse y se convierte en círculo, obteniéndose un cono circular recto

Referencias:

THOMAS / FINNEY, Cálculo varias variables, Ed. Pearson Educación©

LARSON/HOSTETLER/EDWARDS, Cálculo Vol.2, Ed. McGraw Hill©

Algunas gráficas fueron generadas por WOLFRAM MATHEMATICA 7 © y otras de las

referencias bibliográficas.

2c

2z2b

2y2a

2x

rectas Dos zc

b y

2c

2z2b

2y 0x Si

rectas Dos zc

a x

2c

2z2a

2x 0 ySi

b?a si ¿Y Elipse, 2c

2k2b

2y2a

2xK z si

7

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Para las ecuaciones siguientes, hacer un estudio completo: trazas, cortes con los ejes,

identificar la superficie y hacer un gráfico aproximado.

1. 2 2 24 8 2 2 3 0x y z x y z (Hiperboloide de una hoja con centro en ( 1 , 1, -1) )

2. 2 2 2 8 8 6 24 0x y z x y z (Esfera)

3. 2 2 22 4 8x y z (Cono elíptico de 2 hojas)

4. 2 2 2 10 25 0x y z z (Cono circular abierto sobre eje y)

5. 2 236 36 9y x z (Paraboloide elíptico)

6. 2 2 5x z y (Paraboloide hiperbólico)

7. 2 2 24 4 6 16 16 5 0x y z x y z (Hiperboloide de una hoja)

8. 2 2 2 0y z x (Paraboloide circular abierto sobre eje x)

9. 2 23 2 11z x y (Paraboloide abierto hacia arriba en z )

10. 2 2 2

14 9 9

z y x (Hiperboloide de dos hojas simétrico a z)

11. 2 2 1x z (Cilindro circular paralelo al eje y)

12. 2 1x z (Cilindro parabólico paralelo al eje y)

13. 2 24 1x y (Cilindro hiperbólico paralelo al eje z)

14. 2 24 36x y (Cilindro elíptico paralelo al eje z)

15. 24x y (Cilindro parabólico paralelo al eje z)

16. 2 24 16x z (Cilindro elíptico paralelo al eje y)

8

II. trazar las gráficas compuestas por:

1. Trace la región limitada por 2 2 2 22 1 2x y y z x y para z

2. Obtener la curva de intersección de las superficies 2 2 2 2 2 22 3 1 2 4 2 5 0x y z x y x y z y y hacer su gráfica.

3. La parte del paraboloide elíptico 2 26 3 2x z y que se encuentra a la derecha del

plano xz.

4. La parte de la esfera 2 2 2 4x y z que se encuentra arriba del cono

2 2z x y .

5. La parte del cilindro 2 2 1x z que se encuentra entre los planos y=-1 y y=3.

6. La parte del plano z=5 que se encuentra dentro del cilindro 2 2 16x y .

7. La parte del plano z=x+3 que se encuentra dentro del cilindro 2 2 1x y .

8. La parte del plano x+2y+z=4 que se encuentra dentro del cilindro 2 2 1x y .

9. La parte de la superficie 2z x y que se encuentra arriba del triángulo de vértices

(0,0), (1,1) , y (0,1).

10. La parte del paraboloide hiperbólico 2 2z y x que se encuentra entre los

cilindros 2 2 2 21 4y x y x

III. Graficar los sólidos indicados, marcando los cortes con los ejes coordenados.

1. Sólido limitado 2 2 1y x , el plano z= y+3 y el plano xy

2. Sólido limitado por 2 2 1z x y los planos y=0 y x+y=2

3. El sólido limitado por 2 24z x y y z=0

4. El sólido limitado por 2 2 2 1z y x y arriba de 2 2z x y

5. El sólido limitado por el plano 1x y z y los planos coordenados en el primer

octante.

6. El sólido limitado por 2 29z x y y z=-1

7. El sólido limitado por 2 2 2 23 2 3z x y y z x y

8. El sólido dentro del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) y (0,0,1)

9

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