Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 3

SINH HOẠT CHUYÊN MÔN CỤM THPT THUẬN THÀNH THÁNG 12 NĂM 2019

MÔN TOÁN HỌC - ÔN THI THPT QUỐC GIA

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I) PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1). Phương trình mũ cơ bản: Là phương trình dạng: ax = b (*) với a, b cho trước và 0 < a 1 + b 0: (*) VN + b > 0: logx

aa b x b (0<a1 và b>0) 2) Phương pháp giải phương trình mũ a. Phương pháp đưa về cùng cơ số

1 f x g xa a a hoặc

0 1

af x g x

b. Phương pháp dùng ẩn phụ. Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau:

B1: Đưa pt về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải pt với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT mũ cơ bản B5: Kết luận.

Sau đây là một số dấu hiệu. Loại 1: Các số hạng trong pt, bpt có thể biểu diễn qua ( )f xa đặt t = ( )f xa Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: 2 ( ) ( ). . 0f x f xA a B a C bậc 2 ẩn t. + Dạng 2: 3 ( ) 2 ( ) ( ). . . 0f x f x f xA a B a C a D bậc 3 ẩn t. Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với ( )f xa và ( )f xb . Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: 2 ( ) ( ) 2 ( ). .( . ) . 0f x f x f xA a B a b C b Chia 2 vế cho 2 ( )f xa loại 1(dạng 1) + Dạng 2: 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ). .( . ) ( . ) . 0f x f x f x f xA a B a b C a b D b

Chia 2 vế cho 3 ( )f xa loại 1(dạng 2) Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho ( )nf xa hoặc ( )nf xb với n là số tự nhiên lớn nhất có trong pt Sau khi chia ta sẽ đưa được pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: ( ) ( ). .. 0f x f xA a B b C với a.b = 1 + Dạng 2: ( ) ( ) ( ). .. . 0f x f x f xA a B b C c , với a.b = c2

Với dạng 1 ta đặt ẩn phụ t = ( )f xa ( )f xb = 1/t ; còn với dạng 2 ta chia cả 2 vế của pt cho ( )f xc để đưa về dạng 1. Loại 4: Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

● 1 1 1 0u v uv u v với đặt , 0, 0f x g xu a v b u v

● 0Au Bv Av Bu A B u v với đặt , 0, 0f x g xu a v b u v

c. Phương pháp logarit hóa Đôi khi ta không thể giải một PT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b c d ( nói chung là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

Dạng hay gặp

● Phương trình

0 1, 0

log

f x

a

a ba b

f x b.

● Phương trình log log .log f x g x f x g xa a aa b a b f x g x b

hoặc log log .log . f x g xb b ba b f x a g x

d.Giải bằng phương pháp đồ thị

o Giải phương trình: xa f x 0 1 a .

o Xem phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị xy a

0 1 a và y f x . Khi đó ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số xy a 0 1 a và y f x . Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Tính chất 1. Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên

;a b thì số nghiệm của phương trình f x k trên ;a b không nhiều hơn một

và , f u f v u v , ; u v a b .

Tính chất 2. Nếu hàm số y f x liên tục và luôn đồng biến ; hàm số y g x

liên tục và luôn nghịch biến trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x không nhiều hơn một.

Tính chất 3. Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên

D thì bất phương trình hoac , , f u f v u v u v u v D .

Tính chất 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp k liên tục trên ;a b . Nếu

phương trình 0kf x có đúng m nghiệm thì phương trình 1 0kf x có nhiều nhất là 1m nghiệm. f. Sử dụng đánh giá

Giải phương trình f x g x .

Nếu ta đánh giá được

f x m

g x m thì

f x mf x g x

g x m . II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1. Phương trình lôgarit cơ bản: PT logax = b ( a > 0, 1a ) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mọi b 2.Cách giải một số phương trình logarit đơn giản : a. Đưa về cùng cơ số:

( ) 0log ( ) log ( )

( ) ( )

a a

f xf x g x

f x g x với mọi 0 1 a log ( )a f x b f(x) = ab

Lưu ý rằng với các PT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0. b. Đặt ẩn phụ Với các PT mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x). Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các PT có nghĩa. c. Mũ hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT logarit bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at

PT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa) Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau Dạng 1: loga f x b Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:

Từ phương trình 0 1

loga b

af x b

f x a

.

Dạng 2: loga f x g x Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:

Từ phương trình

0 1loga g x

af x g x

f x a

.

Dạng 3: log loga bf x g x

Phương pháp giải: Đặt

log logt

a b t

f x af x g x t

g x b

. Khử x trong

hệ phương trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x. d. Phương pháp đồ thị , hàm số và đánh giá: Tương tự như phương trình mũ B. BÀI TẬP CÁC DẠNG : I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 1) Phương trình cơ bản Câu 1: Phương trình 8 4x có nghiệm là

A. 23

x . B. 12

x . C. 12

x . D. 2 x .

Lời giải Chọn A.

Ta có: 8 4x8log 4 x 3

22

2log 23

x

Câu 2:Nghiệm của phương trình 1 12 2 3 3 x x x x là:

A. 32

3log4

x . B. 1x . C. 0x . D. 43

2log3

x .

Lời giải

1 132

3 3 32 2 3 3 3.2 4.3 log2 4 4

xx x x x x x x

Câu 3: Nghiệm của phương trình 112.3 3.15 5 20 x x x là: A. 3log 5 1 x . B. 3log 5x . C. 3log 5 1 x . D.

5log 3 1 x . Lời giải

112.3 3.15 5 20 x x x 3.3 5 4 5 5 4 0 x x x 15 4 3 5 0 x x 13 5 x 3log 5 1 x

Câu 4:Tập nghiệm của phương trình 2 4 1216

x x là

A. 2; 2 . B. . C. 2;4 . D. 0;1 . Lời giải

Chọn D.

Ta có 2 4 42 2 x x 2 4 4 x x 2 0 x x 01

xx

.

Câu 5: Phương trình 13 .5 7 x x có nghiệm là A. 15log 35. B. 21log 5. C. 21log 35. D.

15log 21. Lời giải

Chọn A. PT 15 35x 15log 35x Câu 6: Tìm các nghiệm của phương trình 2 1002 8 x . A. 204x . B. 102x . C. 302x . D.

202x . Lời giải

Chọn C. 2 1002 8 x 2 3002 2 x 2 300 x 302x

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình 2 3 .xx

A. 1x . B. 1 x . C. 0x . D. 2x . Lời giải

Chọn C.

2 3xx 2 1

3

x

0. x

Câu 8: Số nghiệm của phương trình 22 7 52 1 x x là: A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .

Lời giải Chọn D. Phương pháp: +Giải phương trình tìm tất cả các nghiệm của phương trình.

+ Áp dụng công thức lũy thừa ta được phương trình tương đương với: 22 7 5 0 x x .

Cách giải: Phương trình có 2 nghiệm là: 1 1x và 252

x .

Câu 9: Cho phương trình: 3 1 x m . Chọn phát biểu đúng A. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m. B. Phương trình có nghiệm với 1 m . C. Phương trình có nghiệm dương nếu 0m . D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất 3log 1 x m .

Lời giải Chọn C. + A sai vì với 2 m phương trình đã cho 3 1 x (Vô lý). + B sai vì với 1 m phương trình đã cho 3 0 x (Vô lý). + C đúng. Vì với 0m phương trình đã cho 3log 1 0 x m do 3 1 1 1. và m

+ D sai vì với 2 m thì 3log 1m không tồn tại. 2) Phương pháp quy về cùng cơ số: Câu 1: Tập nghiệm của phương trình 2 5 62 1 x x là A. 1;2 . B. 1;6 . C. 6; 1 . D. 2;3 .

Lời giải Chọn D.

2 25 6 5 6 0 22 1 2 2 5 6 0 x x x x x x 2 x hoặc 3x . Câu 2: Phương trình 2 9 162 4 x x có nghiệm là A. 2x , 7x . B. 4x , 5x . C. 1x , 8x . D. 3x ,

6x . Lời giải

Chọn A

Ta có: 2 9 16 2 2 72 4 9 16 2 9 14 0

2

x x x

x x x xx

.

Câu 3: Tổng các nghiệm của phương trình 4 233 81 x x . A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4 .

Lời giải Chọn A. Ta có

4 233 81 x x 4 23 4 x x 4 23 4 0 x x2

22

14 2

4

x x xx

Vậy Tổng các nghiệm của phương trình 4 233 81 x x bằng 0 .

Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình2 63 1 .27 3

xx

A. 4x . B. 2x . C. 5x . D. 3x . Lời giải

Chọn D. 2 6 2

6

3 1 3 127 3 3 .27 3

x xx x

22 9

9

3 3 3 3 2 9 33

x

x x x x x x .

Câu 5:Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng:

A. B. C. D. Lời giải

Chọn B.

Ta có 2

23 2 3 2 2 115 5 5 3 2 .25

xx x x x

x xx

Vậy tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 .

Câu 6:Cho phương trình: 228 4

x 132 16

x

. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên. C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải

228 4

x 1 23 2

2

1 11 1 3228 32 16 4 4 x 1 7 3 3x 3 733

77 3 3x 3 303

x

x xx x x

x xx xx

x x x

.

Nghiệm của phương trình là : 7 ;33

S .

Vì 7 .3 7 03

.

Chọn A. 3)Phương pháp đặt ẩn phụ :

2

3 2 155

xx

0. 5. 2. 3.

Câu 1 : Cho phương trình 14 2 3 0.x x Khi đặt 2xt ta được phương trình nào sau đây A. 22 3 0t t B. 4 3 0t C. 2 3 0t t D. 2 2 3 0t t

Lời giải Chọn D Phương trình 4 2.2 3 0x x Câu 2: Tập nghiệm của phương trình 2 2 24 3 7 6 2 3 95 5 5 1x x x x x x là A. 1; 1;3 . B. 1;1;3;6 . C. 6; 1;1;3 . D. 1;3 .

Lời giải Chọn C

2 2 24 3 7 6 2 3 95 5 5 1x x x x x x 2 22 2 4 3 7 64 3 7 65 5 5 1x x x xx x x x .

Đặt 2

2

4 37 6

a x xb x x

, ta được phương trình:

5 5 5 1a b a b 5 5 5 .5 1a b a b 1 5 1 5 0a b 5 15 1

a

b

00

ab

Khi đó 2

2

4 3 07 6 0

x xx x

13

16

xxxx

.

Tập nghiệm của phương trình là 6; 1;1;3 . Câu 3: Phương trình 2 19 6 2x x x có bao nhiêu nghiệm âm? A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 .


Phương trình 2

2 1 3 39 6 2 9 6 2.4 22 2

x xx x x x x x

.

Đặt 32

x

t

với 0t , phương trình trở thành 2 1 (L)2 0

2t

t tt

.

Với 32

32 2 log 2 02

x

t x

.

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Câu 4:Tổng các nghiệm của phương trình 4 6.2 2 0x x bằng A. 0 . B. 1. C. 6 . D. 2 .

Lời giải Chọn B

22

2

log 3 72 3 74 6.2 2 0 2 6.2 2 0

2 3 7 log 3 7

xx x x x

x

x

x

.

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là

2 2 2 2log 3 7 log 3 7 log 3 7 3 7 log 2 1 .

Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình 1 13 3 10x x là A. 1. B. 0. C. 1 . D. 3.

Lời giải

Chọn B .Ta có: 1 1 33 3 10 3.3 103

x x xx

Đặt 3xt 0t , phương trình trở thành: 23

33 10 3 10 3 0 13

tt t t

t t

.

Với 3t ta có 3 3 1x x .

Với 13

t ta có 113 3 3 13

x x x .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: 1 1 0 .

Câu 6 :Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình 2 3 2 3 4x x

. Khi

đó 2 21 22x x bằng

A. 2. B. 3 . C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B

Ta có: 2 3 . 2 3 1x x

. Đặt 12 3 , 0 2 3x x

t tt

.

Phương trình trở thành: 21 4 4 1 0 2 3t t t tt

.

Với 2 3 2 3 2 3 1x

t x .

Với 12 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1

x xt x

.

Vậy 2 21 22 3x x .

Câu 7: Phương trình 2 1 16 5.6 1 0x x có hai nghiệm 1x , 2x .

Khi đó tổng hai nghiệm 1 2x x là. A. 5. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải Chọn D

1

2

22 1 1 2 6 26 5.66 5.6 1 0 1 0 6 5.6 6 0

6 6 6 3

xxxx x x x

x

.

1 2 1 21 26 .6 3.2 6 6 1x x x x x x .

Câu 8: Cho hàm số .5 .xf x x Tổng các nghiệm của phương trình

25 ' .5 .ln5 2 0x xf x x là A. 2 B. 0 C. 1 D. 1

lời giải: Chọn B Ta có .5 ' 5 .5 .ln5x x xf x x f x x

Nên 25 ' .5 .ln5 2 0 25 5 2 0x x x xf x x

Đặt 5 0xt t

Ta được phương trình

21

2 0 5 1 02

xt

t t xt l

Câu 9: Phương trình 2 1 2 1 2 2 0x x

có tích các nghiệm là?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 1. Lời giải

Chọn C . Đặt 12 1 (t > 0) 2 1x x

tt

Phương trình đã cho trở thành 1 2 2 0tt

2 2 2 1 0

1 2

1 2

t t

t

t

Với 1 2 2 1 1 2 1x

t x

Với 1 2 2 1 1 2 1x

t x

Vậy tích 2 nghiệm của phương trình đã cho là 1 Câu 10: Gọi 1 2;x x là 2 nghiệm của phương trình 2 2 14 2 3x x x x .Tính 1 2x x A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn D Đặt 2

2 ( 0)x x t t . Phương trình tương đương với

2 12 3 0

3t

t tt

Vì 2 00 1 0

1x

t t x xx

1 2 1x x

Câu 11: Giải phương trình: 1 1 2 24 4 2 2 2 8x x x x Lời giải

1 1 2 2 1 1 1 14 4 2 2 2 8 4 4 4 2 2 8x x x x x x x x

Đặt 1 1 2 1 12 2 4 4 8x x x xt t Phương trình trở thành:

1 1 1 1

21 1 2

2

1 100 2 2 0 2 2

4 2 1 2 ( )log 1 24 2 2 4 2 2.2 1 0

2 1 2

x x x xx

x x x xx

x x xtt t VN

xt

Câu 12: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 1 216 .4 5 45 0x xm m có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A. 6 B. 4 C. 13 D. 3

Lời giải Chọn D Đặt 4 , 0xt t . Phương trình trở thành:

2 24 5 45 0t mt m (1). Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0t .

' 000

PS

2

2

45 05 45 04 0

mmm

3 5 3 5

3 30

mm mm

3 3 5m .

Vì m nguyên nên 4;5;6m . Vậy S có 3 phần tử. Câu 13: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 19 2.3 0x x m có hai nghiệm thực 1x , 2x thỏa mãn 1 2 1x x . A. 3m B. 1m C. 6m D. 3m

Lời giải Chọn A Ta có 19 2.3 0x x m 23 6.3 0x x m . Phương trình có hai nghiệm thực 1x , 2x thỏa mãn 1 2 1x x

1 2

1 2

9 03 3 6 0 33 3

x x

x x

mm

m

.

Câu 14: Cho phương trình .16 2 2 .4 3 0 1x xm m m . Tập hợp tất cả các giá trị dương của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là khoảng ; .a b Tổng 2T a b bằng: A. 14 B. 10 C. 11 D. 7

Lời giải Chọn C +) Đặt: 24 ( 0) 1 . 2 2 3 0 2x t t m t m t m

+) Để 1 có 2 nghiệm phân biệt thì 2 phải có hai nghiệm dương phân biệt

Điều kiện:

2

00

4 002 3 0 20 3 4

2 00 0( )00 3

3 00

mm

mmm m m m m

m mS m lmP m

m mm

+) Vậy 33 4 2 11

4a

m a bb

Câu 15:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 22 2 1 2 4 24.4 2 2 6 6 3 3 0x x x x x xm m có hai nghiệm thực phân biệt.

A. 4 3 2 4 3 2m B. 4 3 2m hoặc 4 3 2m

C. 1m hoặc 12

m D. 11

2m


2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 1 2 4 2

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

4.4 2 2 6 6 3 3 0 (1)

4 2 2 6 6 3 9 0

4 22 2 6 3 0 (2)9 3

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

m m

m m

m m

Đặt 2 22 1 ( 1) 02 2 2 1

3 3 3

x x x

t

. Suy ra 0 1t

Pt (2) trở thành: 2 (2 2) 6 3 0 (3)t m t m

3 ( )2 1

t loait m

Để phương trình (1) có 2 nghiệm x phân biệt Phương trình

2 (2 2) 6 3 0t m t m có đúng một nghiệm t thuộc khoảng 0;1 0 2 1 1m

112

m .

Chú ý: Nếu 1t thì phương trình 2( 1)2 1

3

x

chỉ có nghiệm duy nhất là 1x .

Câu 16: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình 4 .2 2 2019 0x xm m có hai nghiệm trái dấu? A. 1008 . B. 1007 . C. 2018 . D. 2017 .

Lời giải Chọn A 4 .2 2 2019 0x xm m (1 ) Đặt 2 0xt t . Phương trình (1 ) trở thành 2 2 2019 0t mt m ( 2) Phương trình ( 1) có hai nghiệm 1 2;x x thỏa 1 20x x khi và chỉ khi phương trình ( 2) có hai nghiệm 1 2;t t thỏa 1 20 1t t

2

1 2

1 2

1 2 1 21 2

4 2 2019 00 000 020190 2 2019 0

21 01 1 02 2019 1 0

m mmS t t m

P t t m mt t t tt t

m m

2 8 8076 00 2019 20182019 2

22018

m m mm

mm

m

. Do m nên 1010 2017m

Số giá trị nguyên m thỏa đề là 1008 .

Câu 17: Cho phương trình 4 15 2 1 4 15 6 0x x

m . Để

phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn 1 22 0x x . Ta có m

thuộc khoảng nào? A. 3;5 . B. 1;1 . C. 1;3 . D.

; 1 . Lời giải Chọn A

Đặt 4 15x

t , 0t . Khi đó phương trình ban đầu trở thành:

22 16 0 6 2 1 0, 0

mt t t m t

t

(*)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn 1 22 0x x khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt 1 2,t t thỏa mãn

(*)

21 2

010 42

0t t S m

P

Theo Viet, ta có:

1 21 23

1 2 22 2

31 2 1

66. 2 1 2 1

2 1

t tt tt t m t m

t t t m

2

3 3 3 72 1 2 1 6 2 1 2 3;52

m m m m .

Câu 18:Phương trình 2 3 1 2 2 3 4 0 x x

a có 2 nghiệm phân biệt

1 2,x x thỏa mãn 1 2 2 3log 3

x x . Khi đó a thuộc khoảng

A. 3;2

. B. 0; . C. 3 ;2

. D.

3 ;2

.


Đặt 2 3 , 0x

t t

Phương trình trở thành 21 24 0 4 1 2 0

at t t a

t

(1)

GT: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn

1 2

1 2 2 3log 3 2 3 3

x xx x

Khi đó 1 23t t YCBT phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn 1 23t t

1 21

1 22

1 21 2

1 2

03 2 0

0; 0 334 12

11. 1 2

1 23

at t

t at t a

tat t a

t t at t

Câu 19:Biết rằng 0m m là giá trị của tham số m sao cho phương trình

9 2 2 1 3 3 4 1 0x xm m có hai nghiệm thực 1 2,x x thỏa mãn 1 22 2 12x x

. Khi đó 0m thuộc khoảng nào sau đây

A. (3;9) . B. 9; + . C. 1;3 . D. -2; 0 . Lời giải

Chọn C 9 2 2 1 3 3 4 1 0 (1)x xm m

Đặt 3 , 0xt t . Pt(1) trở thành: 2 2 2 1 3 4 1 0 t m t m 3

.4 1

tt m

Để pt(1) có 2 nghiệm thì điều kiện cần và đủ là 14 1 04

m m .

Khi đó pt (1) có hai nghiệm 1 1x và 2 3log 4 1x m .

Từ giả thiết 1 22 2 12x x 33 log 4 -1 2 12m 3log 4 1 2m

21 5. 3 14 2

m . Vậy 1;3 .m

Câu 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 24 49 4.3 2 1 0x x x x m có nghiệm?

A. 27 . B. 25 . C. 23 . D. 24 . Lời giải Chọn B

ĐKXĐ: 0;4x .

Đặt 24t x x với 0;4x thì 0;2t Đặt 3tu với 0;2t thì 1;9u Khi đó, tìm m đề phương trình 2 4 2 1 0u u m có nghiệm thuộc đoạn 1;9 .

22 4 1m u u , với 1;9u Xét hàm số 2 4 1f u u u .

2 4 0 2f u u u . Ta có, 1 4f , 2 5f , 9 44f .

Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 544 2 5 222

m m .

Vậy có 25 số nguyên của tham số m . Câu 21 : Gọi ;a b là tập các giá trị của tham số m để phương trình

22 8 0x xe e m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; ln 5 . Tổng a b là A. 2. B. 4. C. 6 . D. 14 .


Đặt xt e ; 0; ln 5x tương ứng 1;5t . Phương trình thành 22 8t t m . Xét hàm số 22 8f t t t với 1;5t có 4 8f t t

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0; ln 5 khi phương trình f t m có hai nghiệm 1;5t 8 6m . Câu 22: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương

trình 2 1 2 1 8x x

m có hai nghiệm dương phân biệt. Số phần tử của S

bằng A. 8. B. 7. C. 10. D. 9.

Lời giải Chọn A

Đặt 2 1 , 0x

t t . Vì 2 1 . 2 1 1x x

nên 12 1x

t .

Phương trình đã cho trở thành 28 8mt t t m

t (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Xét 2 8f t t t , trên 1; .

Ta có 2 8f t t .

0 4f t t

Bảng biến thiên của hàm f t

Từ bảng biến thiên ta có (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi

16 7m . Vậy số phần tử của S là 8. Câu 23:Tìm số giá trị nguyên của tham số 10;10m để phương trình

2 2

2 110 1 10 1 2.3x x xm có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 14 . B. 15 . C. 13 . D. 16 . Lời giải

Chọn B

2 2

2 22 1 10 1 10 110 1 10 1 2.3 6

3 3

x xx x xm m

(1)

Đặt 2 2

10 1 10 1 1, 03 3

x x

t tt

21(1) . 6 6 0t m t t mt

(2)

Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1.

2(2) 6m t t . Xét hàm số 2( ) 6f t t t trên khoảng (1; ) , ta có: 2 6; 0 3f t t f t t .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 5m hoặc 9m là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do 10;10m nên 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4;9m . Suy ra có 15 giá trị m cần tìm. 3) Phương pháp logarit hóa

Câu 1: Gọi 1 ,x 2x là hai nghiệm của phương trình 2 22 .5 1.x x x Khi đó tổng 1 2x x bằng A. 52 log 2 . B. 52 log 2 . C. 52 log 2 .D. 22 log 5 .

Lời giải

Chọn A

2 22 2 25 5 5

1

2 5

2 .5 1 log 2 .5 0 log 2 2 0 log 2 2 0

0.

2 log 2

x x x x x x x x x x x

xx

.

Câu 2. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 13 5x x là A. 1 . B. 32 log 5 . C. 3log 45P .D. 3log 5P .


2 2 13 5x x 232 1 log 5x x 2

3 3log 5 2 log 5 0x x .

Ta có 23 3log 5 4log 5 8 2

3log 5 2 4 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo Vi-ét, ta có 1 2 32 log 5x x 2

3 3log 3 log 5 3log 45 .

Câu 3. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 13 5x x là A. 1 . B. 32 log 5 . C. 3log 45P . D.

3log 5P . Lời giải

Chọn C

2 2 13 5x x 232 1 log 5x x 2

3 3log 5 2 log 5 0x x .

Ta có 23 3log 5 4log 5 8 2

3log 5 2 4 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo Vi-ét, ta có 1 2 32 log 5x x 2

3 3log 3 log 5 3log 45 .

Câu 4. Cho số thực 1, 1 a b . Biết phương trình 2 1 1 x xa b có hai nghiệm phân

biện 1 2,x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

1 21 2

1 2

4

x xS x xx x

.

A. 4 B. 33 2 C. 33 4 D. 3 4 Lời giải

Chọn C.

Ta có 1 22

1 2

log1 log 0

1

b

b

x x ax x a

x x.

Thay vào biểu thức S rồi áp dụng BĐT ta được kết quả Câu 5. Cho hai số thực dương ,a b lớn hơn 1 và biết phương trình 2 1 1 x xa b có

nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4loglog

aa

P abb

.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 Lời giải

phương trình tương đương với: 2 21 log 0 log log 0 a a ax x b x x b b Điều kiện để phương trình có nghiệm là

2log 4 log 0 log 4 log 0 a a a ab b b b

Khi đó 4;4 4log 1 1 min 4 6

log aa

P b f t t f t fb t

Với log 4 at b . Chọn C. 4) Phương pháp đồ thị :

Câu 1:Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 3 1 x mx có hai nghiệm phân biệt?

A. 0m . B. 0ln3

mm

. C. 2m . D. Không

tồn tại m . Lời giải

Chọn B. Ta có: 3 1 x mx là phương trình hoành độ giao điểm của 3 xy và 1 y mx .

Ta thấy 1 y mx luôn đi qua điểm cố định 0; 1 nên + Nếu 0m thì 1 y mx là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số

3 xy tại một điểm duy nhất. + Nếu 0m thì để đồ thị hàm số 1 y mx cắt đồ thị hàm số 3 xy tại hai điểm phân biệt thì phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 xy tại điểm 0; 1 , tức là

ln 3m .

Vậy 0

.ln 3

mm

5) Phương pháp hàm số Câu 1: Phương trình 1 .2 1 xx x có bao nhiêu nghiệm thực A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .


Vì 1x không là nghiệm của phương trình nên ta có 11 .2 1 21

x x xx x

x

Hàm số 2 xy đồng biến trên R , hàm số 11

xyx

nghịch biến trên ;1 và

1; . Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm. Câu 2: Phương trình: 2 1 2 0 xx có:

A. 1 nghiệm duy nhất thuộc vào 0; B. 1 nghiệm duy nhất. C. Vô nghiệm. D. Có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải *Cách 1:

2 1 2 0 2 1 2 x xx x **Cách 2: Dùng Casio Nhập vào máy phương trình: 2 1 2 xx SOLVE với giá trị bất kì ta được 0x ,vậy 0x là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhận xét: 0 (0; ) x Chọn B. Câu 3: Phương trình 3 223 3 22 .2 1024 23 10 x x x x x x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45.

Lời giải Chọn D Ta có 3 2 3 223 3 2 23 3 10 22 .2 1024 23 10 2 23 2 10 x x x x x xx x x x x x Hàm số 2 tf t t đồng biến trên nên

3 223 3 10 2 3 22 23 2 10 23 10 0 x x xx x x x x x x hoặc 5 223

x

Tổng các nghiệm bằng 10 0,434723

Mẹo: Khi làm trắc nghiệm có thể dùng “Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba” Nếu phương trình 3 2 0 ( 0) ax bx cx d a có ba nghiệm 1x , 2x , 3x thì:

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 3; ; xb c dx x x x x x x x x x x xa a a

Câu 4: Tính tổng các nghiệm phương trình 2 1 1 1.5 3 3.5 2.5 3 0. x x x x xx x

A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . Lời giải

Chọn C. Cách 1: Sử dụng chức năng CALC của MTCT ta thay các đáp án vào thấy

1 x thỏa mãn. Cách 2: Biến đổi phương trình thành: 2 1 23 2 .5 1 .3 0 1 2 .5 3 0

x x x xx x x x x

1

1

32 .5 3 2 5. 15

xx x

x

x x

Ta thấy phương trình 1 có vế phải là hàm nghịch biến, vế trái là hàm đồng biến nên phương trình 1 có nghiệm duy nhất 1x . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 x . Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình 2 2 1 21 .2 2 1 4 2 x xx x x x

bằng A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .

Lời giải Chọn B. 2 3 21 .2 2 2 2.2 4 x xx x x x 2 22 1 2 .2 2 2 1 xx x x x x .

2 2 1 2 2 0 xx x x .

2 2 1 0 1

2 2 2

x

x x

x

Phương trình 1 có tổng 2 nghiệm bằng 2. Xét 2 2 xf x x . Có 2 ln 2 2 xf x .

220 log

ln 2 f x x .

Vì phương trình 0 f x có 1 nghiệm nên phương trình 2 có tối đa 2 nghiệm. Vì 1 2 0 f f nên phương trình 2 có hai nghiệm 1x và 2x . Các nghiệm của phương trình 1 và 2 không trùng nhau. Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho 2 1 2 5 .

Câu 6: Phương trình 3 2 3 2 10 x x x

có tất cả bao nhiêu nghiệm

thực? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.


3 2 3 2 10 x x x 3 2 3 2 1

10 10

x x

Xét hàm số 3 2 3 210 10

x x

f x

Ta có: 2 1f

Hàm số f x nghịch biến trên do các cơ số 3 2 3 21; 110 10

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 2x .

Câu 7: Phương trình 23 2 3 1 4.3 5 0 x x xx có tất cả bao nhiêu nghiệm không

âm? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn A

23 2 3 1 4.3 5 0 x x xx 23 1 2 3 1 4.3 4 0 x x xx

3 1 3 1 2 4 3 1 0 x x xx 3 2 5 3 1 0 x xx 3 2 5 0 x x

Xét hàm số 3 2 5 xf x x , ta có : 1 0f .

' 3 ln 3 2 0; xf x x . Do đó hàm số f x đồng biến trên . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 1x BÌNH LUẬN Có thể đặt 3 0 xt sau đó tính delta theo x Câu 8: Tìm số nghiệm của phương trình 2 3 4 ... 2016 2017 2016 x x x x x x . A. 1. B. 2016 . C. 2017 . D. 0 .

Lời giải Chọn A. Xét phương trình 2 3 4 ... 2016 2017 2016 x x x x x x (*) có: Vế trái (*): 2 3 4 ... 2016 2017 ( ) x x x x x f x là hàm số đồng biến trên R . Vế phải (*): 2016 ( ) x g x là hàm số nghịch biến trên R . Khi đó phương trình (*) có không quá 1 nghiệm. Mà (0) 2016 (0) f g nên suy ra (*) có 1 nghiệm duy nhất là 0x . Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2 3 38 3 .4 3 1 .2 1 1x x xx x m x m x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc

0;10 . A. 101 B. 100 C. 102 D. 103


2 3 3

3 3

8 3 .4 3 1 .2 1 1 (1)

2 2

x x x

x x

x x m x m x

x x mx mx

Xét hàm số 3 f t t t

Ta có 2 xt x mà 1 2 10240 10 1 2 1034 1 1034

0 10

xxx x t

x

Xét hàm số 3 , 1;1034 . f t t t t

23 1 0, 1;1034 f t t t hay 3 f t t t đồng biến trên 1;1034

Suy ra 22 2

xx xx mx m

x

Xét hàm số 2 1, 0;10 . x

g x tx

2 2

2 .ln 2 1.2 ln 2 2 xx x xxg x

x x

210 log

ln 2 g x x e

BBT

.ln 2 1 104,4ycbt e m

mà m Z nên 3,104.m Có tất cả 102 số nguyên m thoả mãn. Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

3 2 22 1 1 1 m me e x x x x có nghiệm.

A. 10; ln 22

B. 1; ln 22

C. 10;

e

D.

1 ln 2;2


Đặt 2

2 2 2 2 11 1 2 1 12

tt x x t x x x x .

Ta có 2

2

1 1' , ' 021

x xt t xx

.

Vậy 1; 2t .

Phương trình trở thành 2

3 3 312 12

m m m m mte e t e e t t e t

. (sử dụng

hàm đặc trưng).

Phương trình có nghiệm khi và chi khi 11 2 ln 2 ( ; ln 2]2

me m m .

6)Phương pháp đánh giá:

Câu 1:Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .

Lời giải. Chọn D. Điều kiện

- Nếu , dấu bằng xẩy ra khi và , dấu bằng xẩy ra

khi suy ra 1 1

4 42 2 4, 0, 1

xx

x x x

- Nếu , dấu bằng xẩy ra khi

và , dấu bằng xẩy ra khi

Suy ra 1 1

4 42 2 1, 0

xx

x x x , 2

Từ 1 và 2 suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 2 : Phương trình 22 214 2 2 1 xx x x có bao nhiêu nghiệm dương. A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .

Lời giải Chọn B.

2 22 2 2 221 12 2 2 22 14 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 x x xx x xx x x x x x

Xét hàm số 2 tf t t có ' 2 ln 2 1 0, R tf xt . Do đó hàm số đồng biến trên R .

Phương trình tương đương với 221

2 1 2 1 12

xf x f x x x

x.

II) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT: 1) Phương trình cơ bản

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của phương trình 4log 2 2 x . A. 16S . B. 18S . C. 10S . D.

14S .

1 14 42 2 4

xxx x

0x 10 1

4x x

x

12

x 1 14x

x

2x 1

41 1 10 1 1 24 4 2

xxx x x

x x

12

x

141 1 11 1 2

4 4 2

xxx x

x x

2x

Lời giải Chọn B. Ta có

4log 2 2 x 2

4 4

2 0log 2 log 4

xx 2

22 4

xx

218

18

xx

x.

Câu 2: Tìm nghiệm của phương trình 2log 1 3. x A. 9x . B. 7x . C. 8x . D. 10x .


Điều kiện: 1x . Phương trình tương đương với 1 8 9 x x

Câu 3: Tìm số nghiệm thực của phương trình A. B. C. D.


Điều kiện: 1

0

xx

. Ta có phương trình tương đương

3 2 3 2 3 22 2 3 1 3 3 1 6 0 0 3 2. x x x x x x x x x x x x Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 3x .

Câu 4: Phương trình 4

222

log 2 8 x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. 2. B. 3. C. 4. D. 8.


4

222

log 2 8 x 1 ĐK: 2 2 0 2 x x

822 41 2 2 x 22 2 4 x 2

2

4 2 20.0

x x xxx

Câu 5: Số nghiệm của phương trình 2log 1 2 x . A. 2 . B. 1. C. 0 . D. một số khác.


Ta có 2 22 11log 1 2 log10 1 100

9

xx x

x.

Câu 6: Số nghiệm của phương trình 2log 2 1 2 x bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .


Ta có 2log 2 1 2 x2

2

02 1 0 5log51 4log2 144

x

x

xx

x.

3 21log 2 2 3 1 3.x x x x

0. 1. 2. 3.

Câu 7: Số nghiệm của phương trình 2log 1 1 x x là A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .

Lời giải Chọn C.

1 2 x xpt 2 2 0 x x 1 x hoặc 2x . Câu 8: Gọi 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình 2log 3 1 x x . Khi đó 1 2x x bằng:

A. 3 . B. 2 . C. 17 . D. 3 17

2 .


[Phương pháp tự luận]

Điều kiện: 30

xx

22log 3 1 3 2 3 2 0 x x x x x x

Vậy 1 2 3. x x [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3.

Câu 9: Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình 2log 1 1 x x . Khi đó tích 1 2.x x bằng: A. 2 . B. 1. C. 1 . D. 2.

Lời giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện 0x hoặc 1x

122 1 2

2

1log 1 1 2 0 . 2

2

xx x x x x x

x

Vậy chọn đáp án A. Câu 10: Điều kiện xác định của phươg trình 9

2 1log1 2

x

x là:

A. 1; x . B. \ [ 1;0] x . C. 1;0 x . D. ;1 x .


Biểu thức 92log

1x

x xác định:

2 0 1 0 ( ; 1) (0; )1

x x x x

x 2) Phương pháp quy về cùng cơ số Câu 1:Tìm tập nghiệm S của phương trình 12

2

log 1 log 1 1.x x

A. 3S B. 2 5;2 5S

C. 2 5S D. 3 132

S


Điều kiện 1 01 (*)

1 0x

xx

.

Phương trình 2 22log 1 log 1 1x x

2 2 22log 1 log 1 log 2x x

22 2log 1 log 2 1x x

2 2 1 2 2x x x 2 2 5

4 1 02 5

x Lx x

x

. Vậy tập nghiệm phương trình 2 5S

Câu 2: Số nghiệm của phương trình 23 1

3

log 4 log 2 3 0x x x là

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D

Viết lại phương trình ta được

23 3log 4 log 2 3x x x

2

2 3 04 2 3

xx x x

32

13

x

xx

1x .

Câu 3: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình

3 9 27 812log .log .log .log3

x x x x bằng

A. 0. B. 80 .9

C. 9. D. 82 .9

Lời giải Chọn D Điều kiện 0x . Phương trình đã cho tương đương với

343 3 3 3 3

3

9log 21 1 1 2log . .log . log . log (log ) 16 1log 22 3 4 39

xxx x x x

x x

Câu 4: Nghiệm của phương trình 2 4 12

log log log 3x x là

A. 3

13

x . B. 3 3x . C. 13

x . D. 13

x

. Lời giải Chọn A

Điều kiện: 0x

Ta có: 2 4 1 2 2 22

1 1log log log 3 log log log 32 2

x x x x

2 2 2 2 22log log log 3 0 3log log 3 0x x x

3 3 32 2 2 3

1log log 3 0 log 3 0 3 13

x x x x .

So với điều kiện, nghiệm phương trình là 3

13

x .

Câu 5: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 222log 1 log 2 1x x .

Số phần tử của tập S là A. 2 B. 3 C. 1 D. 0


ĐK: 1x

2

2222

0( )2log 1 log 2 1 14( )2

x TMxx x xx L

Vậy tập nghiệm có một phần tử Câu 6: Số nghiệm thục của phương trình 3

3 13

3log 1 log 5 3x x là

A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải

Chọn B Điều kiện: 5x

33 1

3

3log 1 log 5 3x x 3 33log 1 3log 5 3x x

3 3log 1 log 5 1x x 3log 1 5 1x x 1 5 3x x 2 6 2 0 3 7x x x

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm 3 7x

Câu 7: Tổng các nghiệm của phương trình 233log 2 log 4 0x x là

2S a b (với ,a b là các số nguyên). Giá trị của biểu thức .Q a b bằng A. 0. B. 3. C. 9. D. 6.


Điều kiện: 2 4x . Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

3 3 32log 2 2log 4 0 log 2 4 0 2 4 1x x x x x x

2

2

2 4 1 6 7 0 3 22 4 1 36 9 0

x x x x xx x xx x

So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm 1 23 2; 3x x Ta được: 1 2 6 2 6; 1S x x a b . Vậy . 6Q a b . Dạng 1.3.2 Phương trình chứa tham số Câu 8:Cho hàm số 2 2

27 13

3log 2 3 1 log 1 3 0x m x m x x m . Số các giá

trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa mãn 1 2 15x x là: A. 14 B. 11 C. 12 D. 13

Lời giải Chọn D Ta có: 2 2

27 13

3log 2 3 1 log 1 3 0x m x m x x m

2 23 3log 2 3 1 log 1 3x m x m x x m

2

2 2

1 3 02 3 1 1 3x x m

x m x m x x m

22

2

1 3 0 *1 3 0 *

2 2 0 12

x x mx x m

x mx m x m

x

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn (*)

22

2

1 3 04 1 0

2 1 1 3 0 2 34 3 0

2

m m mm m

m mm

m

.

Theo giả thiết 2 2

1 2 1 2 1 215 4 225 4 221 0 13 17x x x x x x m m m Do đó

13 2 3m . Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13. Câu 9: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m với 64m để phương trình 1 5

5

log log 2 0x m x có nghiệm. Tính tổng tất cả các phần tử

của S . A. 2018. B. 2016. C. 2015. D. 2013.


Ta có: 1 55

log log 2 0x m x 5 5log log 2x m x 22

2

xmx

.

Vì 2x nên 2 2 22

m m .

Kết hợp với 64m . Khi đó 2 64m . Vì m nên 1;0;1...63m có 65 giá trị. Vậy tổng S các giá trị của m để phương trình có nghiệm là:

1 63 .652015

2S

.

Câu 10:Cho phương trình 29 3 3log log 6 1 logx x m ( m là tham số thực). Có

tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 7 . B. 6 . C. 5 . D. Vô số.

Lời giải Chọn C Xét phương trình 2

9 3 3log log 6 1 logx x m .

Điều kiện: 160

x

m

.

Khi đó

29 3 3 3 3 3log log 6 1 log log log log 6 1

6 1 6 1 1

x x m x m x

mx x x m

+) Với 6m , phương trình (1) trở thành 0 1 (vô lý).

+) Với 6m , phương trình (1) có nghiệm 16

xm

1 1 1 1 06 6 6 6m m

0 0 66

m mm

.

Vậy 0 6m . Mà 1; 2;3;4;5m m . Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 11: Cho phương trình 2

9 3 3log 4log 4 1 logx x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 5 . B. 3 . C. Vô số. D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 14

x . Phương trình đã cho 3 3 3log 4log 4 1 logx x m

43 3 3

1log log 4 1 logx xm

4

3 34

4 11log log4 1

xx m f xm xx

Xét hàm số 44 1f

xx

x

có

3 4 3

2 2

16 4 1 4 1 4 1 12 1 10,4

x x x x xf x x

x x

.

Suy ra bảng biến thiên:

Do đó phương trình có nghiệm khi 0m . Vậy có vô số giá trị nguyên của m . Câu 12: Cho phương trình 2

5 5log 6 12 log 2 mx mxx x x , gọi S là tập hợp

tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.


+ Điều kiện 2 0 20 5 1 5 6

x xmx mx

Với điều kiện trên, phương trình 25 5log 6 12 log 2 *

mx mxx x x

25 5log 6 12 log 2 mx mxx x x

2 26 12 2

5

xx x x

x.

2x là nghiệm phương trình * khi 55 2 6 32

m m , vì m Z4

mm Z

.

5x là nghiệm phương trình * khi 65 5 6 15

m m , vì m Z2

mm Z

.

+ Phương trình 25 5log 6 12 log 2

mx mxx x x có nghiệm duy nhất khi 2m

hoặc 3m Thử lại

2m : 2 22 5 2 5 2 52 5log 6 12 log 2 log 6 12 log 2

x x xxx x x x x x

0

+

+

+

0

1/4-

f(x)

f''(x)

x

2 6 12 22 0 5

0 2 5 1

x x xx x

x.

3m : 2 23 5 3 5 3 53 5log 6 12 log 2 log 6 12 log 2x x xxx x x x x x

2 6 12 2

2 0 50 4 5 1

x x xx x

x

.

Vậy có hai giá trị m Z thỏa mãn ycbt. Câu 13: Cho phương trình 2 2 2 2

2 5 5 2log 2 4 2 log 2 0x x m m x mx m

.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm 2 2

1 2 3x x ? A. 1 B. 0 C. 3 D. 4

Lời giải Chọn B Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2 2 2 22 5 5 2log 2 4 2 log 2 0x x m m x mx m

2 2 2 25 2 5 2log 2 4 2 log 2 0x x m m x mx m

2 22 2

2 22 2 2 2

2 2 02 2 01 2 2 02 2 4 2

x mx mx mx mx m x m mx x m m x mx m

2 2

1

2

2 021

x mx mx mx m

Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2,x x thỏa 2 21 2 3x x

2 2 2

2 2 2

22 2

2 2 2 0 4 01 1 2 0 2 1 0

5 2 2 02 1 3

m m m m mm m m m m m

m mm m

01 1 1112 5

1 11 1 11;5 5

m

m m

m m

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu đề bài

3) Phương pháp đặt ẩn phụ

Câu 1:Phương trình 25log 2 log2

x x .

A. Có một nghiệm âm và một nghiệm dương. B. Vô nghiệm. C. Có một nghiệm âm. D. Có hai nghiệm dương.

Lời giải Chọn D. Điều kiện: 0 1 x .

25log 2 log2

x x2

22 2

log 2 41 5log 0 1log 2 log 22

x xx

x x x.

Câu 2: Nghiệm bé nhất của phương trình 3 22 2 2log 2 log log 2 x x x là:

A. 4x . B. 14

x . C. 2x . D. 12

x .


TXĐ: 0x PT 3 2 3 2

2 2 2 2 2 2log 2 log log 2 log 2 log log 2 0 x x x x x x 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2log log 2 log 2 0 log (log 1) 2(log 1) 0 x x x x x x

222 2

2 2 22

2

2log 1log 1 0 1(log 1)(log 2) 0 log 1

2log 2 0log 2 4

xxx

x x x xx

x x

12

x là nghiệm nhỏ nhất.

Câu 3: Nếu đặt 2logt x thì phương trình2 2

1 2 15 log 1 log

x x

trở thành phương trình

nào? A. 2 5 6 0 t t . B. 2 5 6 0 t t . C. 2 6 5 0 t t . D.

2 6 5 0 t t . Lời giải

Đặt 2logt x

PT 1 2 1 2(5 )1 1 1 2(5 ) (5 )(1 )5 1 (5 )(1 )

t t t t t t

t t t t

2 211 5 4 5 6 0 t t t t t . Câu 4: Phương trình 2

5 5log (2 1) 8log 2 1 3 0 x x có tập nghiệm là: A. 1; 3 . B. 1;3 . C. 3;63 . D. 1;2 .

Lời giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : 1

2x

2 25 5 5 5

5

5

log (2 1) 8log 2 1 3 0 log (2 1) 4log 2 1 3 0

log 2 1 1 363log 2 1 3

x x x x

x xxx

[Phương pháp trắc nghiệm] Thay 1x (thuộc B, D) vào vế trái ta được 3 0 vô lý, vậy loại B, D, Thay 1 x vào 5log 2 1x ta được 5log 3 không xác định, nên loại A Vậy chọn đáp án C.

Câu 5: Gọi 1x , 2x là các nghiệm của phương trình 22 2log 3log 2 0 x x . Giá trị của biểu

thức 2 21 2 P x x bằng bao nhiêu?

A. 20 . B. 5 . C. 36 . D. 25 . Lời giải.

Chọn A. Điều kiện 0x . Giải phương trình bậc hai với ẩn là 2log x ta được:

22 2log 3log 2 0 x x 2

2

log 1 2log 2 4

x xx x

.

Khi đó, 2 2 2 21 2 2 4 20 P x x .

Câu 6:Giả sử phương trình: 2 25 25log 2 log 3 0 x x có hai nghiệm 1 2 1 2, x x x x . Khi đó giá

trị biểu thức 1 21155

P x x bằng:

A. 1876625

. B. 100. C. 2825

. D. 28.

Lời giải Chọn D. Điều kiện 0x

Pt 525 5

5

1log 1log 2log 3 0 5

log 3 125

x xx x

x x

Vì 1 2x x nên 115

x và 2 125x suy ra 1 2115 285

P x x

Câu 7: Nghiệm lớn nhất của phương trình 3 2log 2 log 2 log x x x là :

A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000. Lời giải

[Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0x

3 2

1log 1 10

log 2 log 2 log log 2 100log 1 10

xxx x x x x

x x

[Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 3 2log 2 log 2 log X X X

Nhấn CALC và cho 1000X (số lớn nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án D. Nhấn CALC và cho 100X ta thấy đúng.

Câu 8 Nghiệm của phương trình 2

2 2 2log 2 log 6 log 44 2.3 x xx có dạng ab

tối giản, tính a b

A. 1 . B. 1. C. 5 . D. 4 . Lời giải

Điều kiện: 0 1 x Ta có:

22 2 2 2 2 2 2 2 2log 2 log 6 log 4 1 log log 2 2log log log log4 2.3 4 6 2.3 4.4 6 19.9 (1) x x x x x x x xx

Chia 2 vế cho 2log4 x .

2 2log log9 3(1) 18. 4 04 2

x x

. Đặt 2log

2

43 90. 18 4 0

12 (l)2

x tt PT t t

t

2log 22

23 4 3 1log 2 2 .2 9 2 4

x

x x (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 14

S .

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2

2 2log 2 log 0 x x m có nghiệm 2.x A. 1. m B. 3.m C. 3.m D. 3.m


22 2log 2 log 0 x x m (1).

Đặt 2logt x , phương trình (1) trở thành: 2 22 0 2 t t m t t m (2). Phương trình (1) có nghiệm 2 x phương trình (2) có nghiệm

2 21 log log 2 1 t do t x . Xét hàm số 2 2 ' 2 2, ' 0 1 y t t y t y t ( loại). Bảng biến thiên

Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm 1 3. t m

Câu 10: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình

22 2log ( 1) log 4 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;4 là

x

y

y

1

3

A. 3 4 m . B. 1033

m . C. 10 43 m D. 103

3 m .

Lời giải Chọn D. Đặt 2logt x . Vì 1;4x nên 0;2 .t

Phương trình trở thành 2

2 41 4 0 .1

t tt m t m m

t

Xét hàm số 2 4

1

t tf tt

trên đoạn 0;2 .

Ta có

22

2

12 3 0 2 3 0 .31

tt tf t t ttt

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;4 thì

103 .3

m

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2log log 2 03 3 x x m có nghiệm 1;9x . A. 0 1 m . B. 1 2 m . C. 1m . D. 2m .

Lời giải Chọn B. Đặt: 3logt x . Vì 1;9x nên 0;2t

2 22 2 0 2 2 pt t t m t t m Đặt 2 2 2 h t t t với 0;2t ' 2 2 h t t , ' 0 1 h t t 1 1 , 0 2 2 h h h

[0,2][0,2]

max 2 , min 1 h t h t Pt có nghiệm 1 2. m

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2

3 3log 2 log 3 1 0 x m x m có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2. 27.x x ?

A. 2 m . B. 1 m . C. 1m . D. 2m . Lời giải

Điều kiện 0.x Đặt 3log .t x Khi đó phương trình có dạng: 2 2 3 1 0 t m t m .

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

2 2 4 2 22 4 3 1 8 8 0 *

4 2 2

mm m m m

m

Với điều kiện * ta có: 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3log log log . log 27 3. t t x x x x Theo Vi-ét ta có: 1 2 2 2 3 1 t t m m m (thỏa mãn điều kiện) Vậy 1m là giá trị cần tìm.

Câu 13: Giá trị nào của m để phương trình 2 23 3log log 1 2 1 0 x x m có ít nhất một

nghiệm thuộc đoạn 31,3 .

A. 1 16 m . B. 4 8 m . C. 0 2 m . D. 3 8 m .


2 2 2 23 3 3 3

1log log 1 2 1 0 log log 1 12

x x m m x x

Đặt 23t log , 0 3 x t . Ta có 1 1 1

2 f t t t

1 11 ; 02 2 1

f t f tt

vô nghiệm.

0 0; f 3 2 f . Vậy 0 2 m . Câu 14 Xét các số nguyên dương ,a b sao cho phương trình 2ln ln 5 0 a x b x có hai

nghiệm phân biệt 1 ,x 2x và phương trình 25log log 0 x b x a có hai nghiệm phân biệt 3 ,x 4x thỏa mãn 1 2 3 4x x x x . Tính giá trị nhỏ nhất minS của 2 3 S a b . A. min 30S . B. min 25S . C. min 33S . D.

min 17S . Lời giải

Chọn A. Điều kiện 0x , điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2 20b a . Đặt lnt x , logu x khi đó ta được 2 5 0(1) at bt , 25 0(2) u bu a . Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một x .

Ta có 1 2 1 21 2. .

b

t t t t ax x e e e e , 1 2 53 4. 10 10

b

u ux x , lại có 51 2 3 4 10

b bax x x x e

5ln10 35 ln10

b b a aa

( do ,a b nguyên dương), suy ra 2 60 8 b b .

Vậy 2 3 2.3 3.8 30 S a b , suy ra min 30S đạt được 3, 8 a b . Câu 15: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

221 12 2

11 log 2 4 5 log 4 4 02

m x m mx

có nghiệm thực trong đoạn 5 ;44

: A. 3 m . B. 73

3 m .

C. 73

m . D. 733

m .

Lời giải. Chọn B. Điều kiện: 2x .

221 12 2

22 2

11 log 2 4 5 log 4 4 02

4 1 log 2 4 5 log 2 4 4 0 *

m x m mx

m x m x m

Đặt 2log 2 x t , 5 ;4 0 2 24

x x (Kết hợp với điều kiện). Vậy 1t .

Phương trình (*) có dạng: 24 1 4 5 4 4 0 ** m t m t m Ta cần tìm m sao cho PT (**) có nghiệm thỏa mãn 1t .

21 5 1 0 m t m t m2

2

5 11

t tmt t

.

Đặt 2

2

5 11

t tf tt t

;

2

22

4 4

1

tf tt t

.

Lập bảng biến thiên ta có

Vậy 73

3 m thì phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 2 4log 5 1 .log 2.5 2 x x m có nghiệm .1x

A. 1 ;2

. B. 1 ;4

. C. 1; . D. 3;

. Lời giải

Chọn D. Ta có: 2 4log 5 1 .log 2.5 2 1 x x m

2 2 2 21 1log 5 1 . log 5 1 2 log 5 1 log 5 1 12 2

x x x xm m

Đặt 2log 5 1 xt , PTTT: 21 1 11 22 2 2

t t m t t m

PT (1)có nghiệm 1x khi và chỉ khi PT(2) có nghiệm 2t Xét hàm số 21 1

2 2 f t t t 1'

2 f t t

Dựa vào BBT, PT(2) có nghiệm 2t khi và chỉ khi 3m .

4) Phương pháp mũ hóa

Câu 1: Phương trình 2log (4 2 ) 2 x x tương đương với phương trình nào sau đây? A. 4 2 2 x x B. 24 2 2 x x C. 2(2 ) 4.2 4 0 x x D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Lời giải Nhắc lại: 2 phương trình tương đương thi từ 1 phương trình này ta có thể biến đổi thành phương trình kia và ngược lại. 2 phương trình tương đương có cùng tập nghiệm.

2: 4 2 0 2 2 2 x xDK x

2 22

22log (4 2 ) 2 4 2 2 4 2 2 4.2 4 0 22

x x x x x xxx x

So với điều kiện phương trình vô nghiệm.

2

2 2 4.2 4 0log (4 2 ) 2

2

x xx x

x

Chọn D. Câu 2 :Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 5 5log 25 log x m x có nghiệm duy

nhất.

A. 4

1 .5

m B. 1m . C. 4

1.1

5

m

m D. 1.m

Lời giải. Chọn C. PT 525 log 5 x xm 5 0 2

5log xt t t m

Xét 2 g t t t trên 0; ta có bảng biến thiên:

318

+-

y

y' 0

2 12 + ∞ ∞x

PT đã cho có nghiệm duy nhất 5 4

5

11log4 5

log 0 1

mm

m m.

Câu 3: Cho x thỏa mãn phương trình 25.2 8log 32 2

x

x x . Giá trị của biểu thức 2log 4 xP x

là A. 4P B. 1P C. 8P D. 2P

Lời giải Chọn C. Ta có

2

5.2 8 05.2 8 2 205.2 8 2 2log 3 2 4 2422 2 5.2 8 8 52 2 2 2 4

xx

xx x

xxx x

x xx

x x

Vậy 2log 4.22 8 P . Câu 4: Phương trình 2log 3.2 1 2 1 x x có bao nhiêu nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải

[Phương pháp tự luận]

2 12

2 1 0log 3.2 1 2 1 3.2 1 2 2.4 3.2 1 0 1 12

2

x

x x x x xx

xx

x

[Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 2log 3 2 1 2 1 0 Xx X Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn =. Máy hiện X=0. Ấn Alpha X Shift STO A

Ấn AC. Viết lại phương trình: 2log 3 2 1 2 10

Xx XX A

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1. Ấn Alpha X Shift STO B.

Ấn AC. Viết lại phương trình: 2log 3x2 1 2 1

0

X XX A X B

Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=

Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình 3

2log (4 2 ) x m x có 2 nghiệm phân biệt?

A. 12

m B. 342

x

m C. 102

m D. 0m

Lời giải *Cách 1: Dùng công thức biến đổi Điều kiện 34 2 0 x m Với điều kiện trên phương trình trở thành: 34 2 2 0 x xm (1) Đặt 2 xt ta được: 2 32 0 t t m (2) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình 2 có nghiệm dương phân biệt.

3

3

0 1 8 0 10 1 0 2

00 2 0

mm

SmP m

Chọn C.

5) Phương pháp hàm số , đánh giá

Câu 1: Số nghiệm của phương trình 2 2

3 5log 2 log 2 2 x x x x là A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Chọn B. ĐK: 0; 2 x x . Đặt 2 2 t x x 2 2 2 2 x x t 3 5log log 2 t t .

Đặt 3 5log log 2 t t u

3

5

log

log 2

t u

t u3

2 5

u

u

t

t

5 2 3 u u 5 2 35 2 3

u u

u u

5 3 23 2 5

u u

u u

5 3 2 (1).3 12 1 (2)

5 5

u u

u u

Xét 1 :5 3 2 u u Ta thấy 0u là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm 0u là duy nhất. Với 20 1 2 1 0 u t x x , phương trình này vô nghiệm.

Xét 3 12 : 2 15 5

u u

Ta thấy 1u là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm 1u là duy nhất. Với 20 3 2 3 0 u t x x , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa

0; 2 x x . BÌNH LUẬN: Cho 1f x g x nếu ,f x g x đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g x const và f x tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất.

Câu 2:Cho phương trình 3 22log cotx log cos x . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm

trên khoảng ;6 2

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Lời giải:

Điều kiện sin 0,cos 0 x x . Đặt 2log cosu x khi đó 2cot 3

cos 2

u

u

xx

Vì 2

22

coscot1 cos

xxx

suy ra

2

2

2 43 4 1 031 2

u uu u

uf u

4 4' ln 4 ln 4 0,3 3

u

uf u u . Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra

phương trình 0f u có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy 1 0 f suy ra

1cos 22 3

x x k k .

Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là 23 x k . Khi đó phương

trình nằm trong khoảng 9;6 2

là 7,3 3

x x . Vậy phương trình có hai

nghiệm trên khoảng 9;6 2

.

Chọn C. Câu 3: Phương trình 2

3 3log 1 2 log x x x x x có bao nhiêu nghiệm A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm

Lời giải Chọn A. điều kiện x > 0

Phương trình tương đương với 2

23

1log 2

x x x xx

Ta có 222 1 1 1 x x x

Và 22

3 3 3 31 1 1log log 1 log 3 log 3 1

x x x xx x x

Do đó 2

22

3

1 01log 2 11 0

xx x x x x

x xx

Câu 4: Cho phương trình 2

23

2 1log 1 3

x x x xx

có tổng tất cả các nghiệm bằng

A. 5 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải

Chọn B. Điều kiện 0x và 1x

2

2 2 23 3 3

2 1log 1 3 log 2 1 log 2 1 0

x x x x x x x x x xx

2 23 3log 2 1 2 1 log x x x x x x (*)

Xét hàm số 3log f t t t với 0t và 1t

Nên 1 1 0ln 3

f tt

với với 0t và 1t nên f t đồng biến với với 0t và

1t

Do đó: 2 2 2 3 52 1 2 1 3 1 02

f x x f x x x x x x x

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 3 . Câu 5: Phương trình: 2 2 2ln 1 ln 2 1 x x x x x có tổng bình phương các nghiệm

bằng: A. 5 . B. 1. C. 9 . D. 25 .

Lời giải Chọn B. Ta có 2 2 2ln 1 ln 2 1 x x x x x .

2 2 2 2ln 1 ln 2 1 2 1 1 x x x x x x

2 2 2 2ln 1 1 ln 2 1 2 1 x x x x x x . Nhận xét: 2 1 0, x x x và 22 1 0, x x . Xét hàm số ln f t t t với 0; t .

Ta có 1 1 0, 0; f t tt

, nên hàm số ln f t t t đồng biến trên 0; .

Do đó 2 2 2 2 01 2 1 1 2 1

1

xf x x f x x x x

x.

Vậy tổng bình phương các nghiệm là 1.

Câu 6: Tổng tất cả các giá trị của m để phương trình

21 2

2 22 . 2 3 4 . 2 2 x mx log x x log x m có đúng ba nghiệm phân biệt là: A. 4 B. 2 C. 0 D. 3

Lời giải Chọn D. Ta có

21 22 22 . 2 3 4 . 2 2 x mx log x x log x m 1

2 2 21

2 22 . 1 2 2 . 2 2 x mx log x log x m 2

Xét hàm số 22 . 2 , 0. tf t log t t Vì 0, 0 f t t hàm số đồng biến trên 0;

Khi đó 2 22 1 2 1 2 f x f x m x x m

2

2

4 1 2 0 3

2 1 4

x x m

x m Phương trình 1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau: +) PT 3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 4

32

m , thay vào PT 4 thỏa mãn

+) PT 4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 3 12

m , thay vào PT 3 thỏa mãn

+) PT 4 có hai nghiệm phân biệt và PT 3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

4 2 1 x m ,với 1 3 .2 2 m Thay vào PT 3 tìm được 1.m

KL: 1 3;1; .2 2

m

BÌNH LUẬN: B1: Đưa phương trình về dạng f u f v với ,u v là hai hàm theo x . B2: Xét hàm số , .f t t D B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số , f t t D tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên .D B4: f u f v u v

Câu 7: Tập hợp các giá trị của m để phương trình ln 1 2 xm x m có nghiệm thuộc ;0 là A. ln 2; . B. 0; . C. 1;e . D. ;0

. Lời giải

Chọn B. Điều kiện: 1 2 0 x 0 x . Phương trình đã cho tương đương với:

ln 1 2 1

x

xm .

Xét hàm số ln 1 2 1

x

xf x với 0x . Có

2

2 .ln 2ln 1 2 1 .1 2

ln 1 2 1

xx

x

x

xf

2

1 2 ln 1 2 1 2 1 .2 .ln 2

1 2 ln 1 2 1

x x x x

x x

x. Vì 0x nên 0 1 2 1 x , do đó

0 0 f x x . Vậy f x nghịch biến trên ; 0 . Mặt khác, dễ thấy lim

xf x ;

0lim 0

xf x . Ta có BBT sau:

Vậy phương trình có nghiệm khi 0m .

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3

2log 1

x mx

có hai

nghiệm phân biệt. A. 01 m . B. 1 m .C. Không tồn tại m .D. 1 0 m .


Điều kiện: 1 0 11 1 0

x xx x

Xét hàm số

23 3

2 2; 1 0, 1;0 0 :log 1 1 .ln 3.log 1

f x x f x xx x x


Từ bảng biến thiên suy ra phương trình

3

2log 1

x mx

có hai nghiệm phân

biệt khi và chỉ khi 1 m

Câu 9: Biết phương trình 5 32 1 1log 2log

2 2

x xx x

có nghiệm duy nhất 2 x a b

trong đó ,a b là các số nguyên. Tính a b ? A. 5 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải.

5 3 5 32 1 1 2 1 1log 2log log 2log

2 2 2

x x x xx xx x

Đk: 01

1 0

xx

x

25 5 3 3

25 3 5 3

Pt log 2 1 log log ( 1) log 4

log 2 1 log 4 log log ( 1) (1)

x x x x

x x x x

Đặt 22 1 4 1 t x x t (1) có dạng 2 2

5 3 5 3log log ( 1) log log ( 1) (2) t t x x Xét 2

5 3( ) log log ( 1) f y y y , do 1 3 1 x t y .

Xét 1y : 2

1 1'( ) .2( 1) 0ln 5 ( 1) ln 3

f y yy y

( ) f y là hàm đồng biến trên miền 1; (2) có dạng ( ) ( ) 2 1 2 1 0 f t f x t x x x x x

1 23 2 2 ( )

1 2 (vn)

xx tm

x.

Vậy 3 2 2 x . Chọn A.

0 + +

III/ Một số bài toán thực tế liên quan phương trình mũ và phương trình logarit

Câu 1:Số lượng vi khuẩn trong một phòng thí nghiệm A được tính theo công thức 0 .2ts t s , trong đó 0s là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t là số lượng

vi khuẩn có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn A là 20 triệu con A. 7 phút. B. 12phút. C. 48 phút. D. 8 phút.

Lời giải

Chọn D Theo giả thiết: 3 3 33 625.10 0 .2 625.10 0 78125s s s Gọi 1t (phút) là thời gian kể từ lúc ban đầu đến thời điểm vi khuẩn A đạt 20 triệu con, ta có : 1 1 1 17 7 7 8

1 12.10 0 .2 2.10 71825.2 2.10 2 256 2 2 8t t t ts t s t . Câu 2: Ông A vay 60 triệu đồng của một ngân hàng liên kết với một cửa hàng bán xe

máy để mua xe dưới hình thức trả góp với lãi suất 8% / năm. Biết rằng lãi suất được chia đều cho 12 tháng, giảm dần theo dư nợ gốc và không thay đổi trong suốt trong thời gian vay. Theo qui định của cửa hàng, mỗi tháng ông A phải trả một số tiền cố định là 2 triệu đồng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng thì ông A trả hết nợ? A. 33. B. 34. C. 35. D. 32.

Lời giải Chọn B Gọi số tiền vay là A; lãi suất là r ; n là số tháng phải trả; N là số tiền trả hàng tháng. Ta có: Số tiền gốc cuối tháng 1: 1A Ar N A r N .

Số tiền gốc cuối tháng 2: 21 1 1 1 1A r N A r N r N A r N r .

Số tiền gốc cuối tháng 3: 3 21 1 1 1A r N r r .

Tổng quát: Số tiền gốc cuối tháng n : 1 1 1n nNA r rr .

Ông A trả hết nợ khi 1 1 1 0n nNA r rr .

Số tháng ông A trả hết nợ là: 1 2 160 1 . 1 1 01150 150150

n n

151150

1 5 51 log 33,58298.150 4 4

n

n

Vậy ông A cần ít nhất 34 tháng để trả hết nợ. Câu 3:Số lượng của một loài vi khuẩn sau t (giờ) được xấp xỉ bởi đẳng thức

0.1950 . tQ t Q e , trong đó 0Q là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn

ban đầu là 5000 con thì sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn có 100.000 con? A. 20 . B. 24 . C. 15,36 . D. 3,55 .

Lời giải Chọn C. Từ giả thiết ta suy ra 0.1955000. tQ t e . Để số lượng vi khuẩn là 100.000 con thì

0.1955000. 100.000 tQ t e 0.195 12 ln 20 15.360.195

te t h .

Câu 4: Theo số liệu của Tổng cục thống kê, năm 2016 dân số Việt Nam ước tính khoảng 94.444.200 người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,07% . Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức . NrS Ae (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người A. 2040 . B. 2037 . C. 2038 . D. 2039 .

Lời giải Chọn D. Gọi n là số năm để dân số đạt mức 120 triệu người tính mốc từ năm 2016

Ta có: .0,0107120 .000.000 94.444.200 ne ln1,27 22.340,0107

n .

Vậy trong năm thứ 23 (tức là năm 2016 23 2039 ) thì dân số đạt mức 120 triệu người

Câu 5: Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức . rtS A e , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng 0r , t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Biết số vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong các kết quả sau đây. A. 3 giờ 20 phút. B. 3 giờ 9 phút. C. 3 giờ 40 phút. D. 3 giờ 2 phút.

Lời giải Chọn B. Ta có: 5 5 ln 3300 100. 3 5 ln 3

5 r re e r r

Gọi thời gian cần tìm là t . Theo yêu cầu bài toán, ta có: 200 100. 2 rt rte e 5.ln 2ln 2 3,15

ln 3 rt t h

Vậy t 3 giờ 9 phút Câu 6: Một loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận một lượng nhỏ Carbon 14

(một đơn vị của Carbon). Khi cây đó chết đi thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ

ngưng và nó sẽ không nhận Carbon 14 nữa. Lượng Carbon 14 của nó sẽ phân hủy chậm chạp và chuyển hóa thành Nitơ 14 . Gọi P t là số phần trăm Carbon 14 còn lại trong một bộ phận của cây sinh trưởng t năm trước đây thì P t được

cho bởi công thức 5750100. 0,5 %t

P t . Phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc gỗ, người ta thấy lượng Carbon 14 còn lại trong gỗ là 65,21% . Hãy xác định số tuổi của công trình kiến trúc đó. A. 3574 (năm). B. 3754 (năm). C. 3475 (năm). D. 3547 (năm). Lời giải Chọn D. Ta có 5750

0,5 0,565, 21 65, 21100. 0,5 65, 21 log 5750.log

5750 100 100

t t t 3547 t .

Câu 7: Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức . NrS Ae (trong đó A là dân

số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào? A. 1.424.300;1.424.400 . B. 1.424.000;1.424.100 . C. 1.424.200;1.424.300 . D. 1.424.100;1.424.200 .

Lời giải Chọn C. Gọi 1S là dân số năm 2015, ta có 1 1.153.600, 5, 1.038.229 S N A

Ta có: 1

. . 11

ln.

5 N r N r

SS AS A e e rA

Gọi 2S là dân số đầu năm 2025, ta có ln

15.15. 52 . 1.038.229. 1.424.227,71

SA

rS A e e Câu 8 : Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số

năm đó là 1,7% . Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức . NrS Ae (trong đó A : là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 150 triệu người? A. 2035 . B. 2030 . C. 2038 . D. 2042 .

Lời giải Chọn C. Theo giả thiết ta có phương trình 0.017150.000.000 78.685.800. 37.95 Ne N (năm) Tức là đến năm 2038 dân số nước ta ở mức 150 triệu người.

Câu 9:Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni 239Pu là 24360 năm(tức là một

lượng 239Pu sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức rtS Ae , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ

lệ phân hủy hàng năm ( 0r ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t . Hỏi 10 gam 239Pu sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? A. 82230 (năm). B. 82232 (năm). C. 82238 (năm). D. 82235 (năm).

Lời giải. Chọn D. - 239Pu có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có:

.24360 ln 5 ln105 10. 0,00002824360

re r .

-Vậy sự phân hủy của 239Pu được tính theo công thức ln 5 ln10

24360.

t

S A e .

-Theo đề: ln5 ln10

24360 ln10 ln101 10. 82235ln 5 ln10 0,00002824360

te t (năm).

Câu 10: Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% . Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm t C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f t % thì ( ) . tf t k a (trong đó ,a k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng

thêm bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ? A. 9,3C . B. 7,6C . C. 6,7C . D. 8, 4C .


Theo đề bài ta có: 2

5

. 3%1

k.a 10%

k a . Cần tìm t thỏa mãn . 20%tk a .

Từ 2

3%1 ka

và 3103

a . Khi đó . 20%tk a 22

3% 20. 20%3

t ta aa

3 103

202 log3

t 6,7 t .

IV/Một số câu hỏi vận dụng :

Câu 1. Cho số thực và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Phương trình có

nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn ?

m y f x

2 2 x xf m 1;2

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn B Đặt với . Hàm số liên tục trên có và

. Bảng biến thiên:

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên với mỗi có giá trị của thỏa mãn

và với mỗi có duy nhất giá trị thỏa mãn

.

Xét phương trình với .

Dựa vào đồ thị phương trình có số nghiệm nhiều nhất khi và chỉ

khi phương trình có nghiệm , trong đó có: và

.

2 3 4 5

2 2 x xt t x 1;2 x

t t x 1;2 2 ln 2 2 ln 2 x xt x 0 t x

2 ln 2 2 ln 2 0 x x 2 2 x x 0 x

52;2

t 2 x

2 2 x xt 5 172 ;2 4

t 1 x

2 2 x xt

f t m172;4

t

2 2 x xf m

f t m 2 1t 2t 152;2

t

25 17;2 4

t

–

Vậy phương trình có nhiều nhất nghiệm phân biệt thuộc đoạn

.

Câu 2. Biết 1 2,x x 1 2x x là hai nghiệm của phương trình

22 3 13log 3 2 2 5 2x xx x và 1 2

122

x x a b với ,a b là hai số nguyên

dương. Tính 2a b ? A. 5. B.

1. C. 1. D. 9.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định của phương trình: 2 23 2 0

1x

x xx

.

Đặt 2 3 2t x x với 0t . Phương trình đã cho trở thành 2 13log 2 5 2 0tt

. Xét hàm số 2 1

3log 2 5 2tf t t .

Ta có: 2 11 2 .5 ln 5 0

2 ln 3tf t t

t

, 0t .

Suy ra f t luôn đồng biến trên 0; . Mà 390 log 2 05

f

Do đó phương trình 0f t có đúng 1 nghiệm trên khoảng 0; .

Xét 1t ta có 21 13log 1 2 5 2 0 (đúng)

Suy ra 1t là nghiệm duy nhất.

1t 1

2

1

3 523 2 1

3 52

xx x

x

1 212 9 52

x x .

Suy ra 9, 5a b . Vậy 2 1a b . Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

2 2 x xf m 3

1;2

Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình

2 1 08

x mf có hai nghiệm phân biệt là

A. 5 . B. 4 . C. 7 . D. 6. Lời giải

Chọn A Để phương trình x k có 1 nghiệm thì 0k .

Do đó để 2 1 08

x mf

2 18

x mf

có 2 nghiệm thì đường thẳng 2 18

my phải cắt đồ thị y f x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0.

Dựa vào đồ thị ta thấy 2 11 18

m 2 27 9 0 9m m 3;3m .

Mà 5;m m .Vậy 2; 1;0;1;2m . Có tất cả 5 giá trị.

Câu 4:Cho phương trình 55 logx m x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị

nguyên của 20;20 m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 20. B. 21. C. 9. D. 19.

Lời giải Chọn D Ta có 55 log x m x m * . Đặt 5 xt m .

Suy ra * 5logt x m 5 tx m 5 tx m .

Ta có hệ 55

x

t

t mx m

5 5 x tt x 5 5 x tx t (1).

O x

y

1

1

2

-1

-2-1

3

Xét hàm số 5uf u u có 1 5 .ln 5 0 uf u , u nên hàm số đồng biến trên . 1 x t . Khi đó ta được 5 xx m 5 xx m . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 5 xy x và đường thẳng y m song song hoặc trùng trục hoành.

Xét 5xy x có 1 5 ln5xy . Suy ra 0 y 51log

ln5x

.


Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm

51log 1;0

ln 5m f

Vì 20;20

mm

nên 19; 18;...; 1 m . Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa

bài toán. Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 2 nghiệm phân biệt?

A. 7. B. 6. C. 5. D. Vô số. Lời giải

Chọn A Ta có . Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số

cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt. Ta có . +) Nếu thì nên đồ thị hàm số không thể cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt. +) Nếu thì . Ta có bảng biến thiên:

m 3 e xx m

3 e xx m e 3 0xm x

e 3xy m x

e 1xy m

0m 0,y x e 3xy m x

0m 0 lny x m

Suy ra . Vậy . Do đó các giá trị nguyên của m là 1, 2, …,7. Nhận xét: Những bài toán về số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào tham số m ta thường tìm cách cô lập m rồi khảo sát hàm số, tuy nhiên với bài toán này, nếu làm vậy thì gặp khó khăn trong việc khảo sát hàm số nhận được. Do đó ta xét vị trí tương đối của đồ thị một hàm khác với trục hoành. Bài toán này cần đến các kĩ năng khảo sát hàm số, giải phương trình mũ và bất phương trình logarit.

Câu 6:. Có bao nhiêu số nguyên 200; 200a để phương trình

ln 1 ln 1x x ae e x x a có nghiệm thực duy nhất. A. 399 . B. 199 . C. 200 . D. 398 .

Lời giải

Chọn B Vì 0,x x ae e x nên ln(1 ) ln(1 ) 1 1 0.x x a x x a a

Điều kiện của phương trình là 1 0

1 , 0.1 0

xx a a

x a

Phương trình tương đương với: 1 ln( 1) ln( 1) 0.x xe e x x a Xét hàm số ( ) ln( 1) ln( 1).x x af x e e x x a Ta có

1 1'( ) 01 1 ( 1)( 1)

x x a x x a af x e e e ex x a x x a

0, 1.a x a

Suy ra f x đồng biến trên 1 ;a với 0a . Ta có

( 1)lim ( ) ; lim ( )

x x af x f x


( ) 0f x luôn có một nghiệm thực duy nhất với mọi 0a .

Vì 200; 200a nên có 199 số a nguyên thỏa mãn.

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 2019; 2019m để phương trình

2ln 2 0 em m 20 em

2 1 2 12019 01 2

x x mx mx x

. Có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

A. 4038 . B. 2019 . C. 2017 . D. 4039 . Lời giải

Chọn C TXĐ: \ 1;2 .D Ta có

2 1 2 12019 01 2

2 1 ( 2) 12019 01 2

2 1 12019 . (*)1 2

x

x

x

x mx mx xx m x

x xx m

x x

Đặt 2 1 1( ) 2019 .1 2

x xf xx x

Khi đó

2 2

3 1'( ) 2019 ln 2019 0 .( 1) ( 2)

xf x x Dx x

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì

2 2.m m Mà 2019; 2019m và m nên có 2017 giá trị m thỏa mãn.

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x , y thỏa mãn đồng thời 3 5 10 3 9 1 2 2x y x ye e x y và

2 25 5log 3 2 4 6 log 5 9 0x y m x m .

A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. 6 . Lời giải

Chọn B

3 5 10 3 9 1 2 2x y x ye e x y 3 5 10 3 9 3 9 3 5 10x y x ye e x y x y

3 5 10 3 93 5 10 3 9x y x ye x y e x y Xét hàm số , tf t e t t .

Ta có: 1 0, .tf t e t Suy ra hàm số luôn đồng biến trên .

Khi đó phương trình 0f t có nghiệm là duy nhất. Tức là:

3 9 25 13 10 2x y yx xy . Thay vào phương trình thứ 2, ta được:

2 25 5

2 25 5

log 3 2 4 6 log 5 9 0

log 5 6 log 5 9 0 1 .

x y m x m

x m x m

Đặt 5log 5 , 5x t t x . Khi đó phương trình (1) trở thành

2 26 9 0t m t m (2). Tồn tại x , y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm, tức là: 2 26 4 9 0m m 23 12 0m m 0 4m .

Vậy có 5 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Nghiệm dương của phương trình 21 2 3

22

1log 2 3 1 22

x x

x x

có dạng

, ,a b a b cc

. Giá trị của a b c bằng:

A. 20 . B. 23 . C. 24 . D. 42 . Lời giải

Chọn C

Điều kiện: 20

2 3 0 32

xx x

x

.

Ta có: 21 2 3

22

1log 2 3 1 22

x x

x x

22 2 3 12log 2 3 1 2 2x xx x

22 2 3 12log 2 3 1 2 2 (*)x xx x

Đặt 22 3 ; 0t x x t . Khi đó phương trình (*) trở thành: 2 12log ( 1) 2 2tt 1 .

Nhận thấy rằng phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 2y log ( 1)t luôn đồng biến trên 0; và 2 12 2ty luôn nghịch

biến trên 0; . Do đó phương trình 1 có nghiệm duy nhất 1t ( nhận ).

Từ đó ta có phương trình: 2 2

3 1742 3 1 2 3 1 0

3 174

xx x x x

x

.

Vậy 3; 17; 4a b c . 24a b c . Câu 10 Cho ,a b là các số dương lớn hơn 1, thay đổi thỏa mãn 2019a b để phương

trình 5log .log 4log 3log 2019 0a b a bx x x x luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x .

Biết giá trị lớn nhất của 1 2ln x x bằng 3 4ln ln5 7 5 7

m n

, với ,m n là các số

nguyên dương. Tính 2 .S m n A. 22209. B. 20190. C. 2019. D. 14133.

Lời giải

Chọn A Điều kiện: 0x .

Ta có 5log .log 4log 3log 2019 0a b a bx x x x ln ln ln ln5 . 4 3 2019 0.ln ln ln ln

x x x xa b a b

Đặt lnt x . Ta được phương trình: 25 3ln 4ln 2019 0

ln .ln ln .lnt a b t

a b a b

(*)

Do , 1a b ln .ln 0a b . Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2,t t . Suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x .

Mặt khác ta có: 1 2

3ln 4 ln 20193ln 4ln5 5

a aa bt t

.

1 2 1 2 1 2

3ln 4ln 2019ln . ln ln

5a a

x x x x t t

Vì 1a , 1b và 2019a b nên 1;2018a .

Xét hàm số 3ln 4 ln 2019( )

5u u

f u

trên 1; 2018 .

Ta có

6057 7( )5 2019

uf uu u

6057( ) 07

f u u


Vậy giá trị lớn nhất của 1 2ln x x bằng 3 6057 4 8076ln ln5 7 5 7

.

Do đó 6075, 8076m n hay 2 22209S m n . Câu 11 Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực của phương trình 2 1xf f e là

A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Lời giải

Chọn B Ta có

2 12 1

2 , 2 3

x

x

x

f ef f e

f e a a

1

2 1 3 01

xx x

x

ef e f e x

e b VN

1

2 2, 0 2 1 0 ln2

x

x x x

x

e cf e a f e a a e d x t

e t

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt Câu 12:Tìm các giá trị m để phương trình sin 5 cos 5

sin 5 cos 103 log 5x x m

x x m

có nghiệm.

A. 6 6m . B. 5 5m .C.5 6 5 6m . D.

6 5m . Lời giải

Ta có :

sin 5 cos 5sin 5 cos 10

sin 5 cos 10

5

5sin 5 cos 10

3 log 5

ln 533 ln sin 5 cos 10

3 .ln sin 5 cos 10 3 .ln 5

x x mx x

x x

m

mx x

m

m

x x

x x m

Xét ln .3 , 5tf t t t

13 ln 3 ln 3 0, 5t tf t t tt

Vậy hàm số f t đồng biến .

sin 5 cos 10 5

sin 5 cos 10 5

sin 5 cos 5

f x x f m

x x m

x x m

Mà 6 sin 5 cos 6x x Vậy để phương trình có nghiệm ta phải có 5 6 5 6m

Câu 13: Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: 2 12 1 2 2 21 2 1 2 .2 1 .2 .mx mmx xx m m x x mx x m x

A. 0 . B. 2 . C. 12

. D. 12

.

Lời giải

Chọn C

2

2 2 2 2

12 1 2 2 2

1 1 12 2 2 2 2 2

1 2 1 2 .2 1 .2

1 1 .2 1 .2 1 .

mx mmx x

x mx x m x x mx

x m m x x mx x m x

x mx x m x x mx x m x

Đặt 2 2 21 , 1a x mx b x m x thì phương trình trên trở thành

.2 .2 .2 .2 2 1 2 1 0a b a b a b aa b a b a b a b a b (*).

Nếu 0a hoặc 0b thì phương trình (*) thỏa mãn.

Nếu 0a và 0b thì phương trình (*) tương đương 2 1 2 1 0b a

b a

(**).

Nhận xét:

Với 0a thì 2 1a , tức là 2 1 0a nên 2 1 0a

a

.

Với 0a thì 2 1a , tức là 2 1 0a nên 2 1 0a

a

.

Suy ra 2 1 0, 0a

aa

.

Tương tự: 2 1 0, 0b

bb

.

Nên 2 1 2 1 0, 0, 0b a

a bb a

. Suy ra phương trình (**) vô nghiệm.

Do đó: (*) 00

ab

.

Tức là phương trình đã cho tương đương 2

2 2

1 01 0

x mxx m x

.

Hai phương trình 2 1 0x mx và 2 2 1 0x m x có ít nhất 1 nghiệm trùng nhau khi 0m hoặc 1m . Nếu 0m thì hai phương trình đều là 2 1 0x nên phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó là 1 0T . Nếu 1m thì hai phương trình đều là 2 1 0x x nên phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó là 2 1T . Khi 0m và 1m thì hai phương trình 2 1 0x mx và 2 2 1 0x m x không có nghiệm nào trùng nhau. Phương trình bậc hai 2 1 0x mx có . 0a c nên có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là 1 2x x m . Phương trình bậc hai 2 2 1 0x m x có . 0a c nên có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là 2

3 4x x m . Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt và tổng của chúng là

22

3 1 2 3 41 1 12 4 4

T x x x x m m m

.

31 14 2

T m , nên 31min4

T .

So sánh 1 2 3, , minT T T thì được giá trị nhỏ nhất của tổng các nghiệm của phương

trình đã cho là 14

và đạt tại 12

m .

Câu 14. Cho phương trình 2ln 1 2 ln 1 2 0 1 . m x x m x x Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

1 20 2 4 x x là khoảng ;a . Khi đó a thuộc khoảng A. 3,8;3,9 . B. 3,6;3,7 . C. 3, 7;3,8 . D.

3,5;3,6 . Lời giải

Chọn C Điều kiện: 1. x

Vì 0x không thỏa mãn phương trình nên ta có

1 ln 1 2 ln 1 1 0 m x x x

ln 1 2

ln 1 1

m x x

x

2 , 2ln( 1)

1 1

xmx

xe

.

Do nghiệm 1 1 0e

x nên phương trình 1 có hai nghiệm thoả mãn

1 20 2 4 x x khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt sao cho

1 20 2 4 x x .

Xét hàm số 2

ln 1

xf xx

trên khoảng 0 ; + ta có

2

2ln 11

ln 1

xxxf x

x.

20 ln 1 01

xf x xx

, 3 .

Xét hàm số 2ln 11

xh x xx

có 2

1 1 01 1

h xx x

, 0 x nên h x

đồng biến trên 0; do đó phương trình 0 f x có không quá một nghiệm. Mà 2 . 4 0 f f và f x là hàm số liên tục trên 2;4 suy ra phương trình 3 có duy nhất một nghiệm 0 2;4x . Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

1 20 2 4 x x khi và chỉ khi 6 6 ;ln 5 ln 5

m m .

Vậy 6 3,7 ;3,8ln 5

a .

Câu 15: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 33 3 3 2 33 9 24 .3 3 1x m x x xx x x m có ba nghiệm phân biệt bằng

A. 45 . B. 3 8 . C. 3 4 . D. 27 . Lời giải

Chọn D

Phương trình tương đương với 3 3 33 3 2 3 3 33 9 24 27 3 3 3 3 3m x x m x xx x x m m x x

Xét hàm đặc trưng: 3 23 3 ln 3 3 0t tf t t f t t t .

3 3 33 3 33 3 3 3 3 3 3 3m x xm x x m x x m x x 3 29 24 27m x x x .

Đặt 3 29 24 27g x x x x 2 23 18 24 0

4x

g x x xx

.

Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 7 11 8;9;10m m . Vậy tổng các giá trị m bằng 27 .

Câu 16:. Cho phương trình 21 2

2 22 .log 2 3 4 log 2 2x mx x x x m với m là

tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn 2019;2019 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. A. 4036 . B. 4034 . C. 4038 . D. 4040 .

Lời giải

Chọn C Điều kiện: x .

21 2

2 22 .log 2 3 4 log 2 2x mx x x x m

1 .

Xét hàm số 22 .log 2ty t với 0t . Hàm số 22 .log 2ty t xác định và liên tục trên 0; .

Ta có 222 .log 2 .ln 2 0, 02 ln 2

tty t t

t

.

Vậy hàm số 22 .log 2ty t đồng biến trên 0; .

Từ

22 2

2

1 21 1 2 1 2

1 2

x x mf x f x m x x m

x x m

2

2

2 4 1 1

2 1 2

m x x

m x

* .

2 2 21

2 22 .log 1 2 2 log 2 2x mx x x m

Xét phương trình 22 4 1m x x . Ta có bảng biến thiên của hàm số 2 4 1g x x x

Phương trình 22 4 1m x x có 2 nghiệm phân biệt khi 32 3

2m m .

Phương trình 22 4 1m x x có 1 nghiệm khi 32 32

m m .

Phương trình 22 4 1m x x vô nghiệm khi 32 32

m m .

Xét phương trình 22 1m x . Ta có bảng biến thiên của hàm số 2 1h x x

Phương trình 22 1m x có 2 nghiệm phân biệt khi 12 1

2m m .

Phương trình 22 1m x có 1 nghiệm khi 12 12

m m .

Phương trình 22 1m x vô nghiệm khi 12 12

m m .

Khi 32

m : phương trình 22 4 1m x x có nghiệm 2x ,

phương trình 22 1m x có 2 nghiệm phân biệt 2x . Vậy * có 3 nghiệm

phân biệt, suy ra loại 32

m .

Khi 12

m : phương trình 22 4 1m x x có 2 nghiệm phân

biệt 2 2x , phương trình 22 1m x có nghiệm 0x . Vậy * có 3 nghiệm

phân biệt, suy ra loại 32

m .

Xét phương trình 2 2 24 1 1 2 4 2 0 1x x x x x x suy ra không tồn tại m để phương trình 1 và 2 có cùng tập nghiệm gồm 2 phần tử. Vậy không tồn tại m để * có 2 nghiệm phân biệt .

Yêu cầu bài toán * có 2 nghiệm phân biệt .

TH1: 1 có 2 nghiệm phân biệt và 2 vô nghiệm 3

121 22

mm

m

.

TH2: 2 có 2 nghiệm phân biệt và 1 vô nghiệm 1

323 22

mm

m

.

TH3: 1 có nghiệm 2x và 2 có nghiệm 0x 3212

mm

m

.

Kết hợp với điều kiện m thuộc đoạn 2019;2019 ta có 1 32019; ;20192 2

m

. Vì m nguyên nên nên ta có 4038 giá trị của m .

Câu 17 Cho hàm số 2ln 1 x xf x x x e e . Hỏi phương trình 3 2 1 0xf f x

có bao nhiêu nghiệm thực? A. 3. B. 0 . C. 2 . D. 1.

Lời giải Chọn D Điều kiện: Ta có 2 1 0x x , x nên hàm số f x xác định trên .

Ta có 2ln 1 x xf x x x e e 2ln 1 x xx x e e

2ln 1 x xx x e e f x với x . Suy ra f x là hàm số lẻ.

Mà 2

2

2 12 1

1x x

xxf x e e

x x

2

2

2 2

111 0

1 1x x x x

x xx e e e e

x x x

, x

Suy ra f x đồng biến trên .

Ta có: 3 2 1 0xf f x 3 2 1xf f x 3 1 2xf f x 3 1 2x x .

Điều kiện: Ta có 2 1 0x x , x nên hàm số f x xác định trên .

Ta có 2ln 1 x xf x x x e e 2ln 1 x xx x e e

2ln 1 x xx x e e f x với x . Suy ra f x là hàm số lẻ.

Mà 2

2

2 12 1

1x x

xxf x e e

x x

2

2

2 2

111 0

1 1x x x x

x xx e e e e

x x x

, x .

Suy ra f x đồng biến trên .

Ta có: 3 2 1 0xf f x 3 2 1xf f x 3 1 2xf f x 3 1 2x x .

Xét hàm số 3xg x . Hàm số g x đồng biến trên , hàm số 1 2h x x

nghịch biến trên nên đồ thị hàm số y g x và y h x có nhiều nhất một điểm chung. Vì 0 0g h suy ra phương trình 3 1 2x x có một nghiệm duy nhất 0x . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0x .

Câu 18 : Có bao nhiêu số nguyên để phương trình

có hai nghiệm phân biệt?

A. . B. . C. . D. . Lời giải

Chọn D

Ta có

Điều kiện xác định .

Đặt hàm số có TXĐ

2019;2019a

1 1

ln 5 3 1x x ax

0 2022 2014 2015

1 1 1 1

ln 5 3 1 ln 5 3 1x xx a x ax x

ln 5 0 45 0 5

03 1 0x

x xx x

x

1 1( )ln( 5) 3 1xf x x

x

5; 4 4;0 0;D

Suy ra nên nghịch biến trên từng

khoảng xác định

Tính : ;

;


Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Do . Vậy có giá trị của .

Câu 19:. Cho hàm số ( )y f x có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của m để phương trình: 3 213 32 72 2e

f x f x f xm có nghiệm trên

đoạn 0;2 .

A. 5e . B. 1513e . C. 3e . D. 4e .

Lời giải

Chọn D

Ta có: 3 213 32 72 2e

f x f x f xm 3 213 32 7 ln

2 2 f x f x f x m .

22

1 3 ln 3'( ) 1 05 ln 5 3 1

x

xf x

x x

( )f x

55

1 243lim ( ) 5 53 1 242x

f x

4 4

lim ( ) ; lim ( )x x

f x f x

0 0lim ( ) ; lim ( )x x

f x f x

lim ( )x

f x

( )f x a2435242

a

2019;2019 4;2018aa

a a

2018 4 1 2015 a

Đặt 3 213 32 72 2

g x f x f x f x .

2' ' 6 13 7 g x f x f x f x .

' 0 1; 3' 0 1 1; 3

076

f x x xg x f x x x a

x bf x

.

Bảng biến thiên trên đoạn 0;2 :

Giá trị lớn nhất của m để phương trình có nghiệm trên đoạn 0;2 là:

4ln 4 e m m . Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để tồn tại các số thực thỏa

mãn đồng thời và

A. . B. . C. . D. . Lời giải

Chọn C Ta có

Do hàm số đồng biến trên nên

Khi đó phương trình

, đặt .

Phương trình đã cho trở thành

có nghiệm

.

m ,x y3 5 10 3 9 1 2 2x y x ye e x y

2 25 5log 3 2 4 6 log 5 9 0x y m x m

3 5 4 6

3 5 10 3 9 3 5 10 3 91 2 2 3 9 3 5 10x y x y x y x ye e x y e e x y x y

3 5 10 3 93 5 10 3 9x y x ye x y e x y 1

tf t e t ;

1 3 5 10 3 9 2 2 1x y x y x y

2 25 5log 3 2 4 6 log 5 9 0x y m x m

2 25 5log 5 6 log 5 9 0x m x m 5log 5 ,t x t

2 26 9 0 2t m t m

2 2 2 26 4 9 3 12 0m m m m

0 4m

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số thỏa mãn là giá trị . Câu 21. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2

24 5 2

4 62 log 1x x mx x m

có đúng 1 nghiệm là A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 4 .

Lời giải Chọn B Ta có

2 22 2

2 2

4 6 14 5 2 24 6 4 6

2 log 1 2 log 1x x mx x mx x x x

m m

.

Đặt 2

2

4 61

a x xb m

, ta có 2; 1a b , phương trình đã cho trở thành 2 loga b

a b .

Nếu a b thì 2 1log 1

a b

a b

không thỏa mãn.

Nếu a b thì 2 1log 1

a b

a b

không thỏa mãn.

Do đó a b , khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 24 6 1 4 5x x m x x m

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của parabol 2 4 5y x x và đường thẳng 2y m Ta có hình ảnh minh họa sau

Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi

2 1 1m m . Vậy tổng các giá trị của tham số m là 0.

Câu 22. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

22

1 2 4 6log 22 1

x x x x x mx m

có đúng ba nghiệm phân biệt là

A. 2 . B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải

Chọn B

m 4

Điều kiện: 22 4 6 0

1x x xx m

.

Phương trình: 2

22

1 2 4 6log 22 1

x x x x x mx m

*

2

22

2 4 6log 2 41

x x x x x mx m

2 22 2log 2 4 6 log 1 2 4 4x x x m x x x m

2 22 2log 2 4 6 2 4 6 log 1 2 4 4x x x x x m x m

2 22 2log 2 4 6 2 4 6 log 4 4 4 4x x x x x m x m 1

Xét hàm 2logf t t t trên khoảng 0; .

có 1' 1 0 , 0ln 2

f t tt

suy ra f t đồng biến trên khoảng 0; .

Khi đó 1 22 4 6 4 4f x x f x m 2 2 4 6 4 4x x x m 22 2 1x m x x

2

2

2 2 2 1

2 2 2 1

x m x x

x m x x

( do 2 22 1 ( 1) 0,x x x x )

2

2

2 4 12 1

m x xm x

2

Vẽ đồ thị hai hàm số 2 4 1g x x x và 2 1h x x trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

(Chú ý: Hai đồ thị hàm số ( )y g x và ( )y h x tiếp xúc với nhau tại điểm (1; 2)A ) Để phương trình * có đúng ba nghiệm phân biệt thì 2 phải có đúng ba nghiệm phân biệt đường thẳng 2y m và hai đồ thị trên có đúng ba điểm chung phân biệt.

12 1 22 2 12 3 3

2

mmm mm m

.

Vậy tổng tất cả các giá trị của m bằng 3. Câu 23. Tìm số giá trị nguyên của m thuộc 20;20 để phương trình

2 2 22log ( 4) (2 9) 1 (1 2 ) 4x m x x m x m x có nghiệm?

A. 12. B. 23. C. 25. D. 10. Lời giải

Chọn B Điều kiện xác định: 2 2 4 0x m x x .

2 2 22log 4 2 9 1 1 2 4x m x x m x m x

2 2 22log 4 2 9 1 4 2 4x x x m mx x x m x

2 22 2

4log 2 9 1 4 2 44x m mx x x m x

x x

22 2

2 2

4 4log 2 9 1 4 2 44

x m x mx mx x x m xx x

2 2 2 22 2log 4 4 8 2 4 2 1 log 4 4x m x mx x m x mx x x x x

2 2 2 2

2 2log 8 2 4 2 8 2 4 2 log 4 4 1x m x mx x m x mx x x x x

Xét hàm số 2logf t t t , 0;t .

1 1 0, 0;ln 2

f t tt

nên hàm số luôn đồng biến trên TXĐ.

Khi đó 1 2 28 2 4 2 4x m x mx x x

2 22 4 4 8m x x x x x

2

82 14

xmx x

28 42 1

4

x x xm

22 1 2 4m x x x 2 2 1 24

2mx x x

.

Xét hàm số 2 2( ) 4g x x x x với ;x .

Ta có 2

2

2

4( ) 0,

4

x xg x x

x

.

2lim lim 4x x

g x x x x

2

4lim4x

xx x

2

4lim 241 1

x

x

;

22

4lim lim 1 1x x

g x xx

.

Ta có bảng biến thiên của ( )g x

Để phương trình có nghiệm thì 1 2 52

2 2m m .

Do m nguyên thuộc 20;20 nên số giá trị m là 23.

Câu 24. Biết rằng phương trình 22 3log 2 1 1 log 4 4 1 x m m x x có nghiệm thực

duy nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 0;1m . B. 1;3m . C. 3;6m . D.

6;9m . Lời giả Chọn D

Ta có: 2 2

2 3 2 3log 2 1 log 3 4 4 1 log 2 1 log 3 (2 1)x m m x x x m m x .

Nếu 02 1x là nghiệm của phương trình thì 02 1 x cũng là nghiệm của phương trình.

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì 0 0 012 1 2 12

x x x .

Với 012

x thay vào phương trình ta có: 2 3log log 3m m t

32

log 3

32

2 33.2 3 3 log 3 2 6,5423 3

ttt t

t

mt m

m

.

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

23 9log 1 log 9 1 mx x x có hai nghiệm thực phân biệt.

A. 1;0 .m B. 2;0 .m C. 1; .m D.

1;0 .m Lời giải

Chọn C Điều kiện: 1.x Nhận thấy với 0x thì phương trình đã cho trở thành 0 1 (vô lí), nên 0x không là nghiệm của phương trình với mọi m . Xét 1 0x ta có:

23 9 3 3log 1 log 9 1 log 1 log 3 1

ln 31 3ln 1

ln 3ln 1

m x m

x m

x x x x x

x x mx

m xx

Đặt ln 3

ln 1f x x

x

với 1 0x

2

ln 3' 1 0, 1; \ 0 .1 ln 1

f x xx x

Ta lập được bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình

ln 3

ln 1m x

x

có hai nghiệm thực

phân biệt khi 1; .m Câu 26:. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để phương trình

3cos 2 3cos 3 2 cos 2 cos 12 cos 6sin 9cos 6 2 2 1x m x x xx x x m có nghiệm thực . Khi

đó tổng của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập S bằng A. 28 . B. 21. C. 24 . D. 4 .

Lời giải

Chọn A Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau

3cos 2 3cos 3 2 cos 2 cos 12 cos 6cos 9cos 2 2 1x m x x xx x x m .

3 3cos 2 3cos cos 2 cos 12 cos 2 8 3cos 2 2 1x m x x xx m x .

3 3cos 2 3cos cos 22 cos 2 3cos 2 1x m x xx m x .

Đặt cos 2x a và 3 3cosm x b . Ta có phương trình : 3 32 2 1a b aa b 1 .

Nhận thấy 0a b thỏa mãn phương trình 1 .

Nếu 0a b thì 02 2 1a b và 3 3 2 0aa b nên phương trình 1 vô nghiệm .

Nếu 0a b thì 2 1a b và 3 3 2 0aa b nên phương trình 1 cũng vô nghiệm .

Vậy 0a b suy ra 3 3cos 2 cosm x x 3 2cos 6cos 9cos 8x x x m . Đặt cos x t với điều kiện 1;1t , suy ra 3 26 9 8f t t t t m . Dễ thấy

1;1min 4t

f t

và

1;1

max 24t

f t

nên phương trình đã cho có nghiệm khi và

chỉ khi 4;24m . Suy ra 4;5;...;24S nên tổng của hai phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của S bằng 28 . Cách khác : Ta có 3 3cos 2 3cos cos 22 cos 2 3cos 2 1x m x xx m x .

3 3 33cos 2 cos32 3cos 2 2 cosm x xm x x .

Xét hàm số đặc trưng 32uf u u , đây là hàm số đồng biến trên .

Khi đó ta cũng suy ra được 3 3cos 2 cosm x x . Câu 27. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

4 82 22log 2 log 2 2018 0x x m có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;2 . Số

phần tử của S là A. 7. B. 9. C. 8. D. 6.

Lời giải

Chọn A ĐK : 0x

4 82 22log 2 log 2018 2x x m .

Đặt 2logt x . Vì 21;2 log 0;1 .x x 2( ) 4 2 1009f t t t m có nghiệm thuộc 1;2

'( ) 8 2 0, 0;1f t t t Bảng biến thiên:

1009 1015 {1009;1010;1011;1012;1013;1014;1015}.m S

Số phần tử của S là: 7.

Câu 28: Cho hàm số 4 7( ) 3 ( 1).2 6 3x xf x x x . Giả sử 0amb

( ,a b , ab

là phân số tối

giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình

27 4 6 9 2 1 0f x x m có số nghiệm nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức 2.P a b

A. 11.P B. 7.P C. 1.P D. 9.P Lời giải

Chọn D Đặt 27 4 6 9 1t x x thì 1 2 2f t m .

2

4 6 18 1' ' 0 .32 6 9

xt t x

x x

Từ BBT suy ra nếu 3;7t thì phương trình (1) có 2 nghiệm x. Xét hàm số 4 7( ) 3 ( 1).2 6 3x xf x x x

4 7 73 ln 3 2 1 2 ln 2 6x x xf x x

4 2 73 ln 3 2 ln 2 1 ln 2 2 0 3;7x xf x x x

Do đó hàm số f x đồng biến trên 3;7 . Mặt khác, 6 . 7 0f f nên phương trình 0f x có một nghiệm 6;7x .

Vậy, phương trình 1 2f t m có nhiều nghiệm nhất khi

151 2 42 2

ff m m

Kết luận, GTNN của m là 5 5, 2.2

a b

Câu 29. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019 ; 2 để phương trình

3 51 log 4 1 log 2 1 2x x x x m có đúng hai nghiệm thực là A. 2 . B. 2022 . C.1 . D. 2021 .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 14

x .

Trường hợp 1: 2m , phương trình đã cho trở thành:

3 53 5

11 log 4 1 log 2 1 2 0

log 4 1 log 2 1 2 0 1x

x x xx x

Xét hàm số 3 5log 4 1 log 2 1 2f x x x là hàm đồng biến trên khoảng 1 ; +

4

.

Khi đó, nếu 0x là nghiệm của phương trình 1 thì 0x là nghiệm duy nhất. Ta có: 0 2 ; 1 0f f , suy ra 0 1 0f f .

Theo hệ quả của định lý trung gian, tồn tại 0 0 ; 1x sao cho 0 0f x . Do vậy: 2m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: 2m , dẫn đến 1x không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Phương trình đã cho trở thành:

3 52log 4 1 log 2 1 0

1x mx xx

Xét hàm số 3 52log 4 1 log 2 1 ,

1x mg x x xx

có tập xác định:

1 ; 1 1; +4

D

Đạo hàm: 24 2 2 0,

4 1 ln 3 2 1 ln 5 1mg x x D

x x x

.


Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: phương trình 0g x có đúng hai nghiệm

11; 1

4x

; 2 1; +x với mọi 2.m

Vậy với mọi giá trị nguyên của tham số 2019 ; 2m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2

22 1 2

2 33 log 2 2x x x m

x xx m

có đúng ba nghiệm phân biệt là

A.3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 . Lời giải

Chọn C Ta có

2

2

2

2

2 1 22 3

2 3

2 2 2

2 22 2 3

3 log 2 2

ln 2 23ln 2 33

ln 2 3 .3 ln 2 2 .3

x x x mx x

x x

x m

x mx x

x m

x mx x

x x x m

Xét ln .3 , 2tf t t t

13 ln 3 ln 3 0, 2t tf t t tt

Vậy hàm số f t đồng biến .

2

2

2

2

2

2 3 2 2

2 3 2 2

2 1 2

1 2 1

4 1 2 2

f x x f x m

x x x m

x x x m

x m

x x m

Điều kiện cần để phương trình có 3 nghiệm là :

Th1 : 1 có nghiệm kép 12

m thử lại ta thấy thỏa mãn

Th2 : 2 có nghiệm kép 32

m thử lại ta thấy thỏa mãn

Th3 : 1 và 2 có nghiệm chung x m .Thế 1 vào ta có 1m

Ta có 1 3 1 32 2

Bình luận : Bài toán là sự giao thoa giữa phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số với biện luận nghiệm . Câu 31:Phương trình có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn là A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0

Lời giải Chọn B Ta có 4 1 2 cosx x m x 2 2 cosx x m x

Ta thấy nếu 0x x là một nghiệm của phương trình thì 0x x cũng là nghiệm của phương trình nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì 0 0x . Với 0 0x là nghiệm của phương trình thì 2m . Thử lại: Với 2m ta được phương trình 22 2 2 cos *x x

2; 2VT VP nên 22 2 2

* 02 cos 2

x

xx

thỏa mãn. Vậy 2m .

Câu 32: Cho phương trình 2 .2 .cos 4x xm x , với m là tham số. Gọi

0m là giá trị của msao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 0 5; 1 .m B. 0 5.m C. 0 1;0 .m D. 0 0.m

Lời giải Phương trình 24 .2 .cos 4 2 2 .cosx x x xm x m x

Điều kiện cần: nếu 0x là một nghiệm của phương trình thì 02 x cũng là nghiệm. Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên 0 1x

4 1 2 . .cos( )x x m x

Thay vào phương trình ta có: 4.m Điều kiện đủ:

Với 4m ta có 2 24 4.2 cos 4 0 2 2cos 4sin 0x x xx x x

2 2cos2 2cos 2 2

1cos 1cos 1sin 0

cos 1

xx x

xx

xxxx

x

.

Vậy 4m thỏa mãn

Câu 33:Tính số nghiệm của phương trình cot 2xx trong khoảng 11 ; 201912

A. 2020. B. 2019. C. 2018. D. 1. Lời giải

Điều kiện: x k , k . Ta có cot 2 cot 2 0x xx x . 1

Xét hàm số cot 2xf x x trên 11 ; , ;2 ,..., 2018 ; 201912

.

Có 2

1 2 .ln 2 0sin

xf xx

11 ; , ;2 ,..., 2018 ; 201912

x

.

Hàm số f x nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Trên 11 ;12

ta có 111211 11cot 2 0

12 12f x f f x

0f x vô

nghiệm. Ta có hàm số f x nghịch biến trên từng khoảng ;2 ,..., 2018 ;2019 và trên mỗi khoảng đó hàm số có tập giá trị là Suy ra trên mỗi khoảng ;2 ,..., 2018 ;2019 , phương trình 0f x có nghiệm duy nhất. Vậy phương trình 1 có 2018 nghiệm.

Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc

Documents

Transcript of Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc