BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC——————————————–

PHAN VĂN LỢI

NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNBẬC PHÂN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

PHAN VĂN LỢI

NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP

TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Toán Giải tíchMã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Đình Kế

Thanh Hóa, 2013

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị 41.1 Giải tích bậc phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén . . . . . . . . 7

2 Tính giải được và tính ổn định nghiệm 102.1 Tính giải được trong trường hợp tổng quát . . . . . . . 102.2 Tính giải được trong trường hợp hàm phi tuyến không

chứa trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Tính ổn định tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân bậc phân số thu hút sự quan tân của nhiều nhànghiên cứu trong những năm gần đây do tính ứng dụng cao của nótrong khoa học và công nghệ. Phương trình vi phân bậc phân số chophép mô hình hóa nhiều bài toán trong lưu biến học, điện hóa học,mạng điện tử, nhớt đàn hồi,... Chi tiết về các vấn đề cơ sở của phươngtrình vi phân bậc phân số có thể tìm thấy trong các cuốn sách chuyênkhảo của Miller & Ross [21], Podlubny [23], và Kilbas et. al. [17]. Ngoàira có thể kể đến những nghiên cứu gần đây [3, 7, 8, 13, 22, 26, 28, 29].Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đã đạt được tập trung vào tính giảiđược duy nhất nghiệm.

Một trong những bài toán quan trọng và thú vị nhất của lý thuyếtphương trình vi tích phân là nghiên cứu tính ổn định nghiệm. Trongkhi những nghiên cứu về ổn định nghiệm cho các hệ vi phân với đạohàm bậc nguyên (không trễ/có trễ) đã có quá trình phát triển lâu dàivà đạt được những thành tựu quan trọng (xem, chẳng hạn [9, 10] vàcác tài liệu tham khảo liên quan), thì vấn đề tương tự với phươngtrình vi phân bậc phân số còn ít được biết đến, đặc biệt là trong cáckhông gian vô hạn chiều.

Trong bản luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính giải được vàtính ổn định tiệm cận nghiệm của hệ vi phân sau

CDα0u(t) = Au(t) + f(t, u(t), ut), t > 0, (1)

u(s) + g(u)(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (2)

trong đó hàm u lấy giá trị trong không gian Banach X, ut là trạng tháilịch sử của hệ tính đến thời điểm t, tức là ut(s) = u(t+s),∀s ∈ [−h, 0],CDα

0 , α ∈ (0, 1], là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A là mộttoán tử tuyến tính đóng và là phần tử sinh của một C0-nửa nhóm trênX, f và g là các hàm phi tuyến sẽ được mô tả trong mục 3. Bài toán(1)-(2) là mô hình tổng quát của nhiều lớp bài toán Cô-si quan trọng

2

đối với phương trình vi phân.Bài toán với điều kiện ban đầu không cục bộ (ta gọi tắt là bài toán

không cục bộ) đối với phương trình vi phân bậc nhất được nghiên cứuđầu tiên bởi Byszewski [6]. Chủ đề này sau đó đã được nghiên cứurộng rãi do dạng bài toán không cục bộ cho phép mô tả chính xáchơn các bài toán thực tế so với bài toán Cô-si cổ điển. Chúng tôi giớithiệu một số kết quả tiêu biểu theo hướng này, trong các công trình[12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 28].

Có một số khó khăn khi nghiên cứu bài toán dạng này do ta phảilàm việc với đạo hàm bậc phân số cũng như phải xử lý điều kiện banđầu không tuyến tính. Để vượt qua khó khăn này, ta có thể sử dụng lýthuyết điểm bất động để tìm nghiệm và chứng minh tính ổn định tiệmcận của nó. Việc sử dụng phương pháp điểm bất động để nghiên cứutính ổn định nghiệm cho các phương trình vi phân thường/vi phânhàm đã được đề xuất bởi Burton và Furumochi trong [4, 5] và sau đóđược phát triển cho một số lớp phương trình đạo hàm riêng (ví dụ

[2, 13]). Ý tưởng chính của phương pháp này là xây dựng một tập conổn định mà trong đó toán tử nghiệm có điểm bất động.

Với mục tiêu cải tiến các điều kiện tồn tại nghiệm, chúng tôi sửdụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén. Có thể nói đây là lýthuyết điểm bất động có tính khái quát, nó bao gồm nguyên lý ánh xạco và định lý điểm bất động Krasnoselkii.Từ đó, các kết quả về tínhgiải được là mở rộng của các kết quả trước đó cho phương trình viphân bậc phân số trong các công trình [8, 22, 27, 28]. Một khó khănvề mặt kỹ thuật ở đây là xây dựng các độ đo không compact (MNC)phù hợp và thực hiện các ước lượng qua MNC để chứng minh tính néncủa toán tử nghiệm. Để chứng minh nghiệm ổn định tiệm cận, chúngtôi sẽ sử dụng tính ổn định của các giải thức sinh bởi bài toán tuyếntính.

3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Giải tích bậc phân số

Ký hiệu L1(0, T ;X) là không gian các hàm khả tích trên [0, T ], theonghĩa tích phân Bochner.

Định nghĩa 1.1.1. Tích phân bậc α > 0 của hàm số f ∈ L1(0, T ;X)xác định bởi

Iα0 f(t) =1

Γ(α)

∫ t

0

(t− s)α−1f(s)ds,

trong đó Γ là hàm Gamma.

Định nghĩa 1.1.2. Với f ∈ CN([0, T ];X), đạo hàm Caputo bậc α ∈(N − 1, N ] xác định bởi

CDα0 f(t) =

1

Γ(N − α)

∫ t

0

(t− s)N−α−1f (N)(s)ds.

Chú ý rằng có một số khái niệm khác nhau về đạo hàm bậc phânsố, trong đó có hai khái niệm được sử dụng nhiều là đạo hàm bậcphân số Riemann-Liouville và đạo hàm bậc phân số Caputo. Do cácbài toán ứng dụng thường gắn với những điệu kiện ban đầu liên quanđến u(0), u′(0), ... nên đạo hàm Caputo được cho là thích hợp để môtả các bài toán này. Với u ∈ CN([0, T ];X), ta có các công thức sau

CDα0 I

α0 u(t) = u(t),

Iα0CDα

0u(t) = u(t)−N−1∑k=0

u(k)(0)

k!tk.

4


Xét bài toán tuyến tính

CDα0u(t) = Au(t) + f(t), t > 0, (1.1)

u(0) = u0, (1.2)

trong đó α ∈ (0, 1], f ∈ L1loc(R+;X). Sử dụng phép biến đổi Laplace,

nghiệm của (1.1)-(1.2) được biểu diễn dưới dạng

u(t) = Sα(t)u0 +

∫ t

0

(t− s)α−1Pα(t− s)f(s)ds, (1.3)

trong đó Sα và Pα là các giải thức xác định bởi

L(Sα)(λ) = λα−1(λαI − A)−1,

L((·)α−1Pα)(λ) = (λαI − A)−1,

ở đây L là phép biến đổi Laplace. Theo nguyên lý phụ thuộc (xem [3]),Sα và Pα, α ∈ (0, 1], tồn tại nếu A sinh ra một C0-nửa nhóm T (t)t≥0.Biểu diễn của Sα và Pα đã được thiết lập trong bài báo [29]:

Sα(t)x =

∫ ∞0

φα(θ)T (tαθ)xdθ,

Pα(t)x = α

∫ ∞0

θφα(θ)T (tαθ)xdθ,

trong đó φα là hàm mật độ xác suất xác định trên (0,∞), tức là,φα(θ) ≥ 0 và

∫∞0 φα(θ)dθ = 1. Ngoài ra, φα có biểu diễn

φα(θ) =1

αθ−1− 1

αψα(θ−1α ),

ψα(θ) =1

π

∞∑n=1

(−1)n−1θ−αn−1 Γ(nα + 1)

n!sin(nπα).

Bây giờ ta nhắc lại một số kết quả sẽ dùng cho phần sau.

Bổ đề 1.1.1. Giả sử A sinh ra một C0-nửa nhóm T (t)t≥0 trên X.

i) Nếu T (t) là compact với t > 0, thì Sα(t) và Pα(t) cũng compactvới t > 0;

ii) Nếu T (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, thì Sα(t) và Pα(t) cũngliên tục theo chuẩn với t > 0.

5


Khẳng định thức nhất đã được chứng minh trong bài báo [29], cònkhẳng định thứ hai có trong bài báo [26].

Cho Φ(t, s) là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn trong X vớit, s ∈ [0, T ], s ≤ t. Kết quả sau đây đã được chứng minh trong bài báo[24, Bổ đề 1].

Bổ đề 1.1.2. Giả sử Φ thỏa mãn các điều kiện:

(Φ1) Tồn tại hàm ρ ∈ Lq(J), q ≥ 1 sao cho ‖Φ(t, s)‖ ≤ ρ(t − s) vớimọi t, s ∈ [0, T ], s ≤ t;

(Φ2) ‖Φ(t, s)− Φ(r, s)‖ ≤ ε với 0 ≤ s ≤ r − ε, r < t = r + h ≤ T ở đóε = ε(h)→ 0 khi h→ 0.

Toán tử S : Lq′(0, T ;X)→ C([0, T ];X) xác định bởi

(Sg)(t) :=

∫ t

0

Φ(t, s)g(s)ds

biến các tập bị chặn thành các tập liên tục đồng bậc, ở đây q′ là số mũliên hợp của q (q′ = +∞ nếu q = 1).

Denote

Qα : L1([0, T ];X)→ C([0, T ];X),

Qα(f)(t) =

∫ t

0

(t− s)α−1Pα(t− s)f(s)ds. (1.4)

Sử dụng hai bổ đề vừa nêu, ta có kết quả sau.

Mệnh đề 1.1.3. Giả sử A sinh ra một C0-nửa nhóm T (t)t≥0 trongX. Khi đó với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ L1(0, T ;X), Qα(Ω) là một tập liêntục đồng bậc trong C([0, T ];X) nếu nửa nhóm T (t)t≥0 liên tục theochuẩn với t > 0.

Chứng minh. Do T (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, nên Pα(t) cũng cótính chất này bởi Bổ đề 1.1.1. Khi đó ta có Φ(t, s) = (t−s)α−1Pα(t−s)thỏa mãn các điều kiện (Φ1)− (Φ2) nêu trong Bổ đề 1.1.2. Do vậy tacó kết luận của mệnh đề.

6


1.2 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén

Giả sử E là một không gian Banach. Ký hiệu B(E) là tập các tập conkhác rỗng, bị chặn của E . Ta sử dụng định nghĩa sau đây về độ đokhông compact.

Định nghĩa 1.2.1. Hàm β : B(E)→ R+ được gọi là một độ đo khôngcompact (MNC) trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ B(E),

trong đó co Ω là ký hiệu bao lồi đóng của Ω. MNC β được gọi là

i) đơn điệu nếu Ω0,Ω1 ∈ B(E), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra β(Ω0) ≤ β(Ω1);

ii) không kỳ dị nếu β(a ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E ,Ω ∈ B(E);

iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tậpcompact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ B(E);

iv) nửa cộng tính nếu β(Ω0 + Ω1) ≤ β(Ω0) + β(Ω1) với mọi Ω0,Ω1 ∈B(E);

v) chính quy nếu đẳng thức β(Ω) = 0 tương đương với tính compacttương đối củaΩ.

Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorffχ(·), xác định như sau

χ(Ω) = infε : Ω có ε-lưới hữu hạn.

Độ đo không compact Hausdorff còn có các tính chất sau:

• nửa thuần nhất: χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với mọi Ω ∈ B(E) và t ∈ R;

• Nếu E tách được, χ(Ω) = limm→∞

supx∈Ω

d(x, Em), trong đó Em là dãy

các không gian con hữu hạn chiều của E sao cho Em ⊂ Em+1,m =

1, 2, ... và∞⋃m=1

Em = E .

7


Dựa trên độ đo không compact Hausdorff χ trong E , ta có độ đo khôngcompact theo dãy χ0 xác định như sau:

χ0(Ω) = supχ(D) : D ∈ ∆(Ω), (1.5)

ở đây ∆(Ω) tập các tập con không quá đếm được của Ω (xem [1]). Tacó

1

2χ(Ω) ≤ χ0(Ω) ≤ χ(Ω), (1.6)

với mọi tập bị chặn Ω ⊂ E . Ta có tính chất sau đây:

Mệnh đề 1.2.1. Giả sử χ là độ đo không compact Hausdorff trong Evà Ω ⊂ E là một tập bị chặn. Khi đó với ε > 0, tồn tại dãy xn ⊂ Ωsao cho

χ(Ω) ≤ 2χ(xn) + ε.

Ta cũng cần kết quả sau đây (xem [15]).

Mệnh đề 1.2.2. Nếu wn ⊂ L1(0, T ; E) thỏa mãn

||wn(t)||E ≤ ν(t), for a.e. t ∈ [0, T ],

với ν ∈ L1(0, T ), thì ta có

χ(∫ t

0

wn(s)ds) ≤ 2

∫ t

0

χ(wn(s))ds

với mọi t ∈ [0, T ].

Giả sử J là một đoạn (compact) của R và χC là độ đo khôngcompact Hausdorff trong C(J ; E). Ta có kết quả sau (see [1]): với mỗitập bị chặn D ⊂ C(J ; E),

• χ(D(t)) ≤ χC(D), với mọi t ∈ J , ở đó D(t) := x(t) : x ∈ D.

• Nếu tập D là liên tục đồng bậc thì

χC(D) = supt∈J

χ(D(t)).

Cho T ∈ L(E), tức T là một toán tử tuyến tính bị chặn từ E vàochính nó. Ta có định nghĩa χ-chuẩn của toán tử T (xem [1]) như sau:

‖T ‖χ := infM : χ(T Ω) ≤Mχ(Ω), Ω ⊂ E là tập bị chặn. (1.7)

8


χ-chuẩn của T có thể xác định bởi

‖T ‖χ = χ(T S1) = χ(T B1),

trong đó S1 và B1 tương ứng là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vịtrong E . Hiển nhiên, ta có

‖T ‖χ ≤ ‖T ‖L(E). (1.8)

Định nghĩa 1.2.2. Một ánh xạ liên tục F : Z ⊆ E → E được gọi lànén ứng với độ đo không compact β (còn gọi là β-nén) nếu với mọitập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω.

Cho β là một độ đo không compact có tính đơn điệu và không kỳ

dị trong E . Ứng dụng của lý thuyết bậc tô-pô cho ánh xạ nén cho tanguyên lý điểm bất động sau đây (xem [1, 15]).

Định lý 1.2.3. [15, Bổ đề 3.3.1] Giả sửM là một tập con lồi, đóngvà bị chặn của E và F :M→M là một ánh xạ có tính chất β-nén.Khi đó tập các điểm bất động của F , FixF := x = F(x) là tập khácrỗng và compact.

9

Chương 2

Tính giải được và tính ổn địnhnghiệm

Cố định T > 0. Ký hiệu CT = C([−h, T ];X), Ch = C([−h, 0];X).

2.1 Tính giải được trong trường hợp tổng quát

Ta đưa ra điều kiện cho bài toán (1)-(2) như sau:

(A) Nửa nhóm T (t)t≥0 sinh bởi A là liên tục theo chuẩn với t > 0.

(F) Hàm phi tuyến f : R+ ×X × Ch → X thỏa mãn:

(1) f(·, v, w) đo được với mỗi (v, w) ∈ X × Ch, f(t, ·, ·) liên tụcvới hầu khắp t ∈ [0, T ] và

||f(t, v, w)||X ≤ m(t)Ψf(||v||X + ||w||Ch),

với mọi (v, w) ∈ X×Ch, trong đó m ∈ Lploc(R+), p > 1α và Ψf

là một hàm thực, liên tục và không giảm;

(2) tồn tại hàm k : R2+ → R+ sao cho k(t, ·) ∈ Lp(0, t), t > 0, và

với mọi tập bị chặn V ⊂ X,W ⊂ Ch, ta có

χ(Pα(t− s)f(s, V,W )) ≤ k(t, s)[χ(V ) + ϑ(W )],

với hầu khắp t, s ∈ [0, T ], s ≤ t, ở đây χ và ϑ lần lượt là cácđộ đo không compact Hausdorff trong X và Ch.

(G) Hàm cục bộ g : CT → Ch thỏa mãn các điều kiện:

10

Tính giải được và tính ổn định nghiệm

(1) g liên tục và||g(u)||Ch ≤ Ψg(||u||CT ),

với mọi u ∈ CT , ở đó Ψg là một hàm liên tục và không giảmtrên R+;

(2) tồn tại số η ≥ 0 sao cho với mọi tập bị chặn D ⊂ CT , ta có

ϑ(g(D)) ≤ ηχC(D),

trong đó χC là độ đo không compact Hausdorff trong CT .

Nhận xét 2.1.1. Ta đưa ra các trường hợp đặc biệt cho điều kiện(F)(2) và (G)(2).

1. Nếu f(t, ·, ·) thỏa mãn điều kiện Lipschitz,

||f(t, v1, w1)− f(t, v2, w2)||X ≤ kf(t)(||v1 − v2||X + ||w1 − w2||Ch),

với kf ∈ Lploc(R+), thì (F)(2) được thỏa mãn với k(t, s) = ||Pα(t−s)||kf(s). Mặt khác, nếu Pα(t), t > 0, compact hoặc f(t, ·, ·) hoàntoàn liên tục (với mỗi t cố định) thì (F)(2) được thỏa mãn vớik = 0.

2. Tương tự với điều kiện (G)(2), nếu g thỏa mãn điều kiện Lips-chitz:

||g(u)− g(v)||Ch ≤ η||u− v||CT ,thì (G)(2) được kiểm tra. Điều kiện này cũng được thỏa mãn vớiη = 0 nếu g là hoàn toàn liên tục.

Theo công thức (1.3), ta có định nghĩa sau cho nghiệm tích phân củabài toán (1)-(2).

Định nghĩa 2.1.1. Hàm u ∈ CT được gọi là nghiệm tích phân củabài toán (1)-(2) trên khoảng (0, T ) nếu u(t) = ϕ(t) − g(u)(t) với t ∈[−h, 0], và

u(t) = Sα(t)[ϕ(0)− g(u)(0)] +

∫ t

0

(t− s)α−1Pα(t− s)f(s, u(s), us)ds

với mỗi t ∈ [0, T ].

11


Đặt

F(u)(t) =

Sα(t)[ϕ(0)− g(u)(0)]

+∫ t

0 (t− s)α−1Pα(t− s)f(s, u(s), us)ds, t > 0,

ϕ(t)− g(u)(t), t ∈ [−h, 0].

(2.1)Khi đó u là nghiệm tích phân của bài toán (1)-(2) nếu và chỉ nếu nólà điểm bất động của toán tử nghiệm F . Từ các giả thiết áp đặt chof và g, ta thấy F liên tục trên CT .

Chú ý rằng, do f và g nói chung không thỏa mãn điều kiện Lipschitz,nên sự tồn tại nghiệm của (1)-(2) không thể có được nhờ nguyên lý

ánh xạ co. Ở đây, chúng tôi sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánhxạ nén bằng cách thiết lập các ước lượng theo độ đo (MNC) để chứngminh tính nén của F .

Ta có bổ đề quan trọng sau đây.

Bổ đề 2.1.1. Giả sử các điều kiện (A), (F) và (G) được thỏa mãn.Khi đó toán tử nghiệm F xác định bởi (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức

χC(F(D)) ≤[η supt∈[0,T ]

||Sα(t)||+ 8 supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds]χC(D),

với mọi tập bị chặn D ⊂ CT .

Chứng minh. Giả sử D ⊂ CT là một tập bị chặn. Ta có

F(D) = F1(D) + F2(D),

trong đó

F1(u)(t) =

Sα(t)[ϕ(0)− g(u)(0)], t > 0,

ϕ(t)− g(u)(t), t ∈ [−h, 0];

F2(u)(t) =

∫ t0 (t− s)α−1Pα(t− s)f(s, u(s), us)ds, t > 0,

0, t ∈ [−h, 0].

Khi đóχC(F(D)) ≤ χC(F1(D)) + χC(F2(D)).

12


Với z1, z2 ∈ F1(D), tồn tại u1, u2 ∈ D sao cho

z1(t) = Sα(t)[ϕ(0)− g(u1)(0)], z2(t) = Sα(t)[ϕ(0)− g(u2)(0)] nếu t > 0,

z1(t) = ϕ(t)− g(u1)(t), z2(t) = ϕ(t)− g(u2)(t) nếu t ∈ [−h, 0].

Vậy

||z1(t)− z2(t)||X ≤ ||Sα(t)||||g(u1)(0)− g(u2)(0)||X≤ ||Sα(t)||||g(u1)− g(u2)||Ch nếu t > 0,

||z1(t)− z2(t)||X ≤ ||g(u1)(t)− g(u2)(t)||X≤ ||g(u1)− g(u2)||Ch nếu t ∈ [−h, 0].

Do supt∈[0,T ] ||Sα(t)|| ≥ 1, ta có

||z1 − z2||CT ≤ supt∈[0,T ]

||Sα(t)||||g(u1)− g(u2)||Ch.

Do đóχC(F1(D)) ≤ sup

t∈[0,T ]

||Sα(t)||ϑ(g(D)).

Sử dụng (G)(2), ta thu được

χC(F1(D)) ≤ η supt∈[0,T ]

||Sα(t)||χC(D). (2.2)

Với ε > 0, bởi Mệnh đề 1.2.1 ta có thể chọn dãy un ⊂ CT sao cho

χC(F2(D)) ≤ 2χC(F2(un)) + ε. (2.3)

Từ giả thiết (A) và Mệnh đề 1.1.3, ta suy ra F2(un) là tập liên tụcđồng bậc trong C([0, T ];X). Do vậy

χC(F2(un)) = supt∈[0,T ]

χ(F2(un)(t))

≤ 2 supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1χ(Pα(t− s)f(s, un(s), (un)s)

)ds

≤ 2 supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)(χ(un(s)) + ϑ((un)s)

)ds

≤ 4χC(un) supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds

≤ 4χC(D) supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds,

13


ở đây ta sử dụng Mệnh đề 1.2.2. Theo (2.3), ta có

χC(F2(D)) ≤ 8χC(D) supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds,

do ε > 0 có thể chọn nhỏ tùy ý.Kết hợp bất đẳng thức cuối với (2.2), ta đi đến

χC(F(D)) ≤[η supt∈[0,T ]

||Sα(t)||+ 8 supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds]χC(D).

Bổ đề được chứng minh.

Định lý 2.1.2. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1.1 được thỏa mãn.Khi đó bài toán (1)-(2) có ít nhất một nghiệm tích phân trong CT nếu

η supt∈[0,T ]

||Sα(t)||+ 8 supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds < 1, (2.4)

lim infr→∞

1

r

[Ψg(r) sup

t∈[0,T ]

||Sα(t)||

+ Ψf(2r) supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds]< 1.

(2.5)

Chứng minh. Do có bất đẳng thức (2.4), ta nhận được tính chất χC-nén của F . Để có thể áp dụng Định lý 1.2.3, ta còn phải chứng tỏrằng F(BR) ⊂ BR với R > 0 nào đó, ở đây BR là hình cầu đóng trongCT có tâm tại 0 và bán kính R. Giả sử ngược lại, ta tìm được dãyun ⊂ CT sao cho ||un||CT ≤ n nhưng ||F(un)||CT > n. Từ cách xácđịnh F , ta có ước lượng

||F(un)(t)||X ≤ ||ϕ||Ch + Ψg(||un||BC) ≤ ||ϕ||Ch + Ψg(n) với t ∈ [−h, 0],

trong khi với t > 0, ta có

||F(un)(t)||X ≤ (||ϕ||Ch + Ψ(||un||CT )) supt∈[0,T ]

||Sα(t)||

+

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)Ψf(||un(s)||X + ||(un)s||Ch)ds

≤ (||ϕ||Ch + Ψ(n)) supt∈[0,T ]

||Sα(t)||

+ Ψf(2n)

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds.

14


Từ đó suy ra

1 ≤1

n||F(un)||CT ≤

1

n

[||ϕ||Ch + Ψ(n) sup

t∈[0,T ]

||Sα(t)||]

+1

n

[Ψf(2n) sup

t∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds],

do ta có supt∈[0,T ] ||Sα(t)|| ≥ 1. Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức

cuối ta nhận được bất đẳng thức mâu thuẫn với giả thiết của địnhlý.

Nhận xét 2.1.2. Xét trường hợp Ψf(r) = Cf(1+rβ),Ψg(r) = Cg(1+rγ) với β, γ ∈ [0, 1]. Nếu β, γ < 1 (trường hợp dưới tuyến tính), điềukiện (2.5) rõ ràng được thỏa mãn. Nếu β = γ = 1, thì (2.5) đượcchuyển thành

Cg supt∈[0,T ]

||Sα(t)||+ 2Cf supt∈[0,T ]

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds < 1.

2.2 Tính giải được trong trường hợp hàm phi tuyến

không chứa trễ

Ta sẽ chứng tỏ rằng, nếu không có yếu tố trễ (tức h = 0) trong khi ghoàn toàn liên tục, thì điều kiện (2.4) không còn cần thiết bởi ta cóthể xây dựng một độ đo không compact thích hợp thay cho χC . Thậtvậy, ký hiệu ωC là mô-đun liên tục đồng bậc trong CT , nghĩa là,

ωC(D) = limδ→0

supy∈D

max|t1−t2|<δ

‖y(t1)− y(t2)‖, D ∈ CT . (2.6)

Khi đó, như đã chứng minh trong [15], độ đo không compact χ∗ xácđịnh bởi

χ∗(D) = supt∈[0,T ]

e−Ltχ(D(t)) + ωC(D), (2.7)

với L là một số không âm, thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trongĐịnh nghĩa 1.2.1.

Trong trường hợp không có trễ, bài toán (1)-(2) chuyển thành

CDα0u(t) = Au(t) + f(t, u(t)), t > 0, (2.8)

u(0) + g(u) = ϕ, (2.9)

15


với ϕ ∈ X cho trước. Các giả thiết (F) and (G) chuyển thành:

(Fa) Hàm f : R+ ×X → X thỏa mãn:

(1) f(·, v) đo được với mỗi v ∈ X, f(t, ·) liên tục với hầu khắpt ∈ [0, T ] và

||f(t, v)||X ≤ m(t)Ψf(||v||X),

với mọi v ∈ X, trong đó m ∈ Lploc(R+), p > 1α, Ψf là một

hàm liên tục và không giảm;

(2) tồn tại hàm k : R2+ → R+ sao cho k(t, ·) ∈ Lp(0, t), t > 0, và

với mọi tập bị chặn V ⊂ X, ta có

χ(Pα(t− s)f(s, V )) ≤ k(t, s)χ(V ),

với hầu khắp t, s ∈ [0, T ], s ≤ t.

(Ga) Hàm g : CT → X thỏa mãn các điều kiện:

(1) g liên tục và||g(u)||X ≤ Ψg(||u||CT ),

với mọi u ∈ CT . Ở đây Ψg là một hàm liên tục và không giảm;

(2) tồn tại số không âm η sao cho

χ(g(D)) ≤ ηχC(D),

với mọi tập bị chặn D ⊂ CT .

Chọn L trong công thức (2.7) sao cho

4 supt∈[0,T ]

∫ t

0

e−L(t−s)(t− s)α−1k(t, s)ds < 1,

ta sẽ chứng minh rằng toán tử nghiệm có tính nén ứng với độ đo khôngcompact χ∗.

Mệnh đề 2.2.1. Giả sử (A), (Fa) và (Ga) được thỏa mãn. Nếu hàmg hoàn toàn liên tục, thì F có tính chất χ∗-nén.

16


Chứng minh. Giả sử D là một tập bị chặn trong CT . Khi đó ta có

F(D)(t) = Sα(t)[ϕ− g(D)] +Qα(D)(t),

trong đó Qα được các định trong (1.4). Do g(D) compact tương đốitrong X, ta có

ωC(Sα(·)[ϕ− g(D)]) = 0. (2.10)

Mặt khác, Qα(D) là tập liên tục đồng bậc trong CT bởi Mệnh đề 1.1.3.Do vậy

ωC(Qα(D)) = 0. (2.11)

Từ đó ta có

χ(F(D)(t)) ≤ χ(Sα(t)g(D)) + χ(Qα(D)(t)) = χ(Qα(D)(t)), t ≥ 0.(2.12)

Với ε > 0, chọn dãy un ⊂ D sao cho

χ(Qα(D)(t)) ≤ 2χ(Qα(un)(t)) + ε

≤ 2χ(∫ t

0

(t− s)α−1Pα(t− s)f(s, un(s)))

+ ε

≤ 4

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)χ(un(s))ds+ ε

≤(

4

∫ t

0

eLs(t− s)α−1k(t, s)ds)

supt∈[0,T ]

e−Ltχ(D(t)) + ε.

Do ε > 0 nhỏ tùy ý, ta nhận được

e−Ltχ(Qα(D)(t)) ≤(

4

∫ t

0

e−L(t−s)(t−s)α−1k(t, s)ds)

supt∈[0,T ]

e−Ltχ(D(t)).

(2.13)Kết hợp các đánh giá (2.10)-(2.13), ta đi đến bất đẳng thức

χ∗(F(D)) ≤(

supt∈[0,T ]

4

∫ t

0

e−L(t−s)(t− s)α−1k(t, s)ds)χ∗(D).

Mệnh đề được chứng minh.

17


Trong trường hợp hệ không có trễ, ta có thể loại bỏ điều kiện (2.5)nếu hàm cục bộ g bị chặn đều và hàm phi tuyến f có độ tăng khôngquá tuyến tính, tức là, Ψg(r) = Cg và Ψf(r) = Cf(1 + r).

Đặt Mψ = u ∈ CT : ||u(t)||p ≤ ψ(t), t ∈ [0, T ], trong đó ψ lànghiệm của phương trình tích phân

ψ(t) = (||ϕ||+ Cg)p supt∈[0,T ]

||Sα(t)||p + CP

∫ t

0

|m(s)|p(1 + ψ(s))ds, t ∈ [0, T ],

CP = 2pCpf supt∈[0,T ]

||Pα(t)||p( p− 1

pα− 1

)p−1

T pα−1.

Rõ ràngMψ là một tập lồi, đóng và bị chặn của CT . Ta chứng tỏ rằngMψ bất biến với toán tử nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9).

Mệnh đề 2.2.2. Giả sử g bị chặn đều và f có độ tăng tuyến tính, tứclà, Ψg(r) = Cg,Ψf(r) = Cf(1 + r) với mọi r ∈ R+. Với F là toán tửnghiệm của bài toán (2.8)-(2.9), ta có F(Mψ) ⊂Mψ.

Chứng minh. Toán tử nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9) xác định bởi

F(u)(t) = Sα(t)[ϕ− g(u)] +

∫ t

0

(t− s)α−1Pα(t− s)f(s, u(s))ds.

Do đó

||F(u)(t)|| ≤ (||ϕ||+ Cg) supt∈[0,T ]

||Sα(t)||

+ Cf

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)(1 + ||u(s)||)ds

≤ (||ϕ||+ Cg) supt∈[0,T ]

||Sα(t)||

+ Cf supt∈[0,T ]

||Pα(t)||∫ t

0

(t− s)α−1m(s)(1 + ||u(s)||)ds

≤ (||ϕ||+ Cg) supt∈[0,T ]

||Sα(t)||

+ 2Cf supt∈[0,T ]

||Pα(t)||( p− 1

pα− 1

)p−1p

Tpα−1p

[ ∫ t

0

|m(s)|p(1 + ||u(s)||p)ds] 1p

,

18


nhờ sử dụng bất đẳng thức Holder inequality. Vậy

||F(u)(t)||p ≤ (||ϕ||+ Cg)p supt∈[0,T ]

||Sα(t)||p

+ 2pCpf supt∈[0,T ]

||Pα(t)||p( p− 1

pα− 1

)p−1

T pα−1

∫ t

0

|m(s)|p(1 + ||u(s)||p)ds.

Bất đẳng thức này chứng tỏ ||F(u)(t)||p ≤ ψ(t), nếu ||u(t)||p ≤ ψ(t)for all t ∈ [0, T ].

Ta có kết quả sau đây là hệ quả của Mệnh đề 2.2.1, 2.2.2 và Địnhlý 1.2.3.

Định lý 2.2.3. Giả sử các giả thiết (A), (Fa) và (Ga) được thỏa mãn.Nếu hàm g hoàn toàn liên tục và bị chặn đều, hàm f có độ tăng tuyếntính, thì tập nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9) là khác rỗng và compact.

2.3 Tính ổn định tiệm cận

Để thiết lập các kết quả ổn định cho bài toán (1)-(2), ta xét bài toánnày trong không gian các hàm liên tục và bị chặn trên nửa khoảng vôhạn [−h,+∞):

BC = u ∈ C([−h,+∞);X) : supt≥−h||u(t)|| < +∞,

với chuẩn||u||BC = sup

t≥−h||u(t)||.

Ký hiệu πT , T > 0, là hàm cắt trên BC, tức là, với D ⊂ BC, πT (D) làhạn chế của D trên đoạn [−h, T ]. Khi đó độ đo không compact χBCtrê BC xác định bởi

χBC(D) = supT>0

χC(πT (D))

thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trong Định nghĩa 1.2.1. Sử dungBổ đề 2.1.1, ta có tính chất nén của toán tử nghiệm F trên BC.Bổ đề 2.3.1. Giả sử (A), (F) và (G) được thỏa mãn với mọi T > 0.Khi đó toán tử nghiệm F xác định trên BC là χBC-nén nếu

η supt≥0||Sα(t)||+ 8 sup

t≥0

∫ t

0

(t− s)α−1k(t, s)ds < 1. (2.14)

19


Để chứng minh tính ổn định nghiệm cho bài toán (1)-(2), ta cầngiả thiết về tính ổn định của các giải thức của bài toán tuyến tính.Cụ thể

(R) Các giải thức Sα(t), Pα(t)t≥0 là ổn định tiệm cận, tức là,

limt→∞||Sα(t)|| = 0, lim

t→∞||Pα(t)|| = 0.

Ta sẽ chỉ ra một trường hợp, trong đó điều kiện (R) được thỏa mãn.

Mệnh đề 2.3.2. Nếu nửa nhóm T (t)t≥0 sinh bởi A ổn định mũ, tứclà, tồn tại các số dương a,M sao cho

||T (t)|| ≤Me−at,

thì (R) đúng.

Chứng minh. Gọi Eα,β là hàm Mittag-Leffler, cho bởi

Eα,β(z) =∞∑n=0

zn

Γ(αn+ β), α, β > 0, z ∈ C.

Sử dụng tính chất (xem [26])∫ ∞0

φα(θ)e−zθdθ = Eα,1(−z),∫ ∞0

αθφα(θ)e−zθdθ = Eα,α(−z),

ta có

||Sα(t)|| ≤∫ ∞

0

φα(θ)||T (θtα)||dθ

≤M

∫ ∞0

φα(θ)e−atαθdθ = MEα,1(−atα),

||Pα(t)|| ≤∫ ∞

0

αθφα(θ)||T (θtα)||dθ

≤M

∫ ∞0

αθφα(θ)e−atαθdθ = MEα,α(−atα).

20


Mặt khác, ta có khai triển tiệm cận đối với Eα,β khi z → ∞ (xem[11]):

Eα,β(z) =

1αz

(1−β)/α exp z1/α + εα,β(z) if | arg z| ≤ 12πα,

εα,β if | arg(−z)| ≤ (1− 12α)π,

trong đó

εα,β(z) = −N−1∑n=1

z−n

Γ(β − αn)+O(|z|−N), as z →∞.

Như vậy, trong trường hợp này

||Sα(t)|| ≤MEα,1(−atα) = Mεα,1(−atα),

||Pα(t)|| ≤MEα,α(−atα) = Mεα,α(−atα).

Hai bất đẳng thức cuối chứng tỏ ||Sα(t)|| và ||Pα(t)|| tiến đến 0 khit→ +∞. Mệnh đề được chứng minh.

Định lý sau cho ta tính chất ổn định tiệm cận của nghiệm.

Định lý 2.3.3. Giả sử (A), (F), (G), (R) và điều kiện (2.14) đượcthỏa mãn. Khi đó tồn tại một nghiệm tích phân u của bài toán (1)-(2)thỏa mãn lim

t→+∞u(t) = 0, nếu Ψf(0) = 0 và

lim infr→∞

1

r

[Ψg(r) sup

t≥0||Sα(t)||+Ψf(2r) sup

t≥0

∫ t

0

(t−s)α−1||Pα(t−s)||m(s)ds]< 1.

(2.15)

Chứng minh. Với mỗi ϕ ∈ Ch, sử dụng lý luận trong chứng minh Địnhlý 2.1.2, ta thấy điều kiện (2.15) đảm bảo tồn tại R > 0 sao choF(BR) ⊂ BR. Ta ký hiệu

MR = u ∈ BR : u(t)→ 0 khi t→ +∞.

Ta đã có F là χBC-nén bởi điều kiện (2.14), nên chỉ cần chứng minhF(MR) ⊂MR. Giả sử u ∈MR, ta chứng minh rằng F(u)(t)→ 0 khit→ +∞. Với ε > 0 cho trước, tồn tại t1 > 0 sao cho

||u(t)||X < ε, với mọi t ≥ t1, (2.16)

||u(t+ τ)||X < ε, với mọi t ≥ t1 + h, τ ∈ [−h, 0]. (2.17)

21


Sử dụng điều kiện (R), ta tìm được t2, t3 > 0 sao cho

||Sα(t)|| < ε, for all t ≥ t2, (2.18)∫ t1+h

0

(t1 + h− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds < ε, với mọi t ≥ t3. (2.19)

Từ đó, với t > t1 + h,

||F(u)(t)|| ≤ ||Sα(t)||(||ϕ(0)||X + ||g(u)(0)||X)

+

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)Ψf(||u(s)||X + supτ∈[−h,0]

||u(s+ τ)||X)ds

≤ ||Sα(t)||(R + Ψg(R)) + Ψf(2R)

∫ t1+h

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds

+ Ψf(2ε)

∫ t

t1+h

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds,

≤ ||Sα(t)||(R + Ψg(R)) + Ψf(2R)

∫ t1+h

0

(t1 + h− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds

+ Ψf(2ε)

∫ t

t1+h

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds.

Bây giờ với t > maxt1 + h, t2, t3, ta có

||F(u)(t)|| ≤ [R + Ψg(R) + Ψf(2R)]ε+ C0Ψf(2ε),

ở đó

C0 = supt≥0

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds

là hữu hạn do (2.5). Vì Ψf liên tục và Ψf(0) = 0, nên Ψf(2ε)→ 0 khiε→ 0.

Vậy F(MR) ⊂ MR và Định lý 1.2.3 đảm bảo sự tồn tại mộtnghiệm tích phân u(·, ϕ) của hệ (1)-(2) trong MR. Định lý đã đượcchứng minh.

Hệ quả 2.3.4. Giả sử các giả thiết của Định lý 2.3.3 đúng và Ψg(0) =Ψf(0) = 0. Nếu nghiệm của bài toán (1)-(2) là duy nhất với mỗi giátrị ban đầu ϕ, thì nghiệm 0 của nó là ổn định tiệm cận.

Chứng minh. Do Ψg(0) = Ψf(0) = 0, u = 0 là một nghiệm của (1)-(2) ứng với giá trị ban đầu ϕ = 0. Kết luận được suy ra từ Định lý2.3.3.

22


Nhận xét 2.3.1. 1. Tính duy nhất nghiệm của bài toán (1)-(2) đượckiểm tra nếu ta thay (F) và (G) bởi các giả thiết mạnh hơn sau đây:

(F∗) hàm phi tuyến f thỏa mãn f(t, 0, 0) = 0 và

||f(t, u, ξ)− f(t, v, η)||X ≤ m(t)(||u− v||X + ||ξ − η||Ch),

trong đó m ∈ Lploc(R+), p > 1α.

(G∗) Hàm g thỏa mãn g(0) = 0 cùng với điều kiện Lipschitz:

||g(u)− g(v)||Ch ≤ η||u− v||BC,

với mọi u, v ∈ BC.

2. Trong trường hợp α = 1, ta biết rằng Sα(t) = Pα(t) = T (t), bởi khiđó ta có

L(S1)(λ) = L(P1)(λ) = (λI − A)−1 = L(T )(λ).

Ngoài ra nếu hàm cục bộ bị loại bỏ cùng với trễ trong hàm phi tuyến,tức là g = 0, h = 0 và f = f(t, u), thì điều kiện (2.5) được chuyểnthành

lim infr→∞

1

rΨf(r) sup

t≥0

∫ t

0

||T (t− s)||m(s)ds < 1. (2.20)

Trong trường hợp đặc biệt hơn, nếu Ψf(r) = r, m là hằng số và||T (t)|| ≤ e−at, thì điều kiện (2.20) được thỏa mãn với m < a. Điềukiện này chính là kết quả trong bài báo của Travis và Webb [25].

Ngược lại với trường hợp α = 1, khi 0 < α < 1, bài toán sẽ phứctạp hơn theo nghĩa các giải thức Sα(t) và Pα(t) không có tính chất ổnđịnh mũ giống như T (t) khi t→ +∞.

2.4 Ví dụ áp dụng

Xét bài toán đối với phương trình đạo hàm riêng bậc phân số sau đây:

∂αt u(x, t) = ∂2xu(x, t) + µ(t) ln(1 + u2(x, t))

+

∫ π

0

dy

∫ t

t−hξ(t, y)K(x, y, u(y, s))ds, α ∈ (0, 1], (2.21)

23


với x ∈ (0, π), t > 0, thỏa mãn điều kiện biên:

u(0, t) = u(π, t) = 0, (2.22)

và điều kiện ban đầu không cục bộ:

u(x, s) +

p∑j=1

βju(x, tj + s) = ϕ(x, s), s ∈ [−h, 0], x ∈ [0, π], (2.23)

trong đó βj ∈ R, tj > 0, j = 1, ..., p, cho trước. Trong mô hình này,∂αt là đạo hàm Caputo bậc α theo biến thời gian t, ∂x là đạo hàm suyrộng theo biến x.

Với A = ∂2x có miền xác đinh D(A) = H2(0, π) ∩H1

0(0, π) và X =L2(0, π) với chuẩn

||v|| =( ∫ π

0

|v(x)|2dx) 1

2 ,

ta biết rằng A sinh ra một nửa nhóm compact (và do đó liên tục theochuẩn) T (t)t≥0 thỏa mãn

||T (t)|| ≤Me−t, t ≥ 0.

Rõ ràng khi đó các giải thức Sα(t), Pα(t)t≥0 là compact và ổn địnhtiệm cận bởi Bổ đề 1.1.1 và Mệnh đề 2.3.2. Vậy các giả thiết (A) và(R) đã được kiểm tra.

Liên quan đến hàm phi tuyến trong phương trình (2.21), ta giảthiết

1. µ ∈ Lploc(R+), p > 1α , là hàm không âm, ξ liên tục và |ξ(t, y)| ≤

ν(t) với mọi y ∈ [0, π], t ≥ 0, ở đó ν ∈ Lploc(R+);

2. K xác định trên [0, π]× [0, π]× R sao cho K liên tục và

K(x, y, 0) = 0,

|K(x, y, z1)−K(x, y, z2)| ≤ w(x)|z1 − z2|, ∀x, y ∈ [0, π], z1, z2 ∈ R,

với w ∈ L2(0, π).

Khi đó

||f2(t, φ)|| ≤ ν(t)||w||√π

∫ 0

−h||φ(·, s)||ds ≤ ν(t)||w||h

√π‖φ‖Ch.

24


Với f1(t, z) = µ(t) ln(1 + z2), ta có

f1(t, 0) = 0,

|f1(t, z1)− f(t, z2)| ≤ µ(t)|z1 − z2|, ∀t ≥ 0, z1, z2 ∈ R.

Do vậy hàm phi tuyến

f(t, v, φ) = f1(t, v) + f2(t, φ)

thỏa mãn (F∗) với m(t) = µ(t) + ν(t)||w||h√π, Ψf(r) = r.

Đối với hàm không cục bộ, ta thấy g(u)(s) =∑N

j=1 βju(tj +s) thỏa

mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz η =∑N

j=1 βj. Do vậy,

(G∗) được thỏa mãn.Do Ψg(r) = Ψf(r) = r, ta thấy điều kiện (2.5) tương đương với

η supt≥0||Sα(t)||+ 2 sup

t≥0

∫ t

0

(t− s)α−1||Pα(t− s)||m(s)ds < 1. (2.24)

Chú ý rằng, Pα(t) compact với t > 0 nên ta có k(t, s) = 0, vậy (2.24)suy ra (2.14). Do đó nếu (2.24) được thỏa mãn thì nghiệm 0 của(2.21)-(2.23) ổn định tiệm cận.

25

Tài liệu tham khảo

[1] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina,B.N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and CondensingOperators, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1992.

[2] C.T. Anh, L.V. Hieu, Existence and uniform asymptotic stabilityfor an abstract differential equation with infinite delay, Electron.J. Diff. Eqns Vol. 2012 (2012), No. 51, 1-14.

[3] E.G. Bajlekova, Fractional Evolution Equations in BanachSpaces, PhD Thesis, 2001.

[4] T.A. Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Dif-ferential Equations, Dover Publications, New York, 2006.

[5] T.A. Burton, T. Furumochi, Fixed points and problems in stabil-ity theory for ordinary and functional differential equations, Dyn.Sys. Appl. 10 (2001), 89-116.

[6] L. Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness ofsolutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J.Math. Anal. Appl. 162 (1991), 494-505.

[7] Y.-K. Chang, M.M. Arjunan, G.M. N’guérékata, V. Kavitha, Onglobal solutions to fractional functional differential equations withinfinite delay in Fréchet spaces, Comput. Math. Appl. 62 (2011),1228-1237.

[8] X.W. Dong, J.Z. Wang, Y. Zhou, On nonlocal problems for frac-tional differential equations in Banach spaces, Opuscula Mathe-matica 31 (2011), 341-357.

[9] R.D. Driver,Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag, New York Inc., 1977.

26


[10] J.K. Hale, S.M. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Dif-ferential Equations, Springer, 1993.

[11] H.J. Haubold, A.M. Mathai, R.K. Saxena, Mittag-Leffler func-tions and their applications, J. Appl. Math. Vol. 2011, Art ID298628, 51 pages.

[12] E.M. Hernández, Existence of solutions to a second order par-tial differential equation with nonlocal conditions, J. DifferentialEquations 51 (2003), 1-10.

[13] L. Hu, Y. Ren, R. Sakthivel, Existence and uniqueness of mildsolutions for semilinear integro-differential equations of fractionalorder with nonlocal conditions, Semigroup Forum 79 (2009), 507-514.

[14] G.-F. Jesús, Existence results and asymptotic behavior for nonlo-cal abstract Cauchy problems, J. Math. Anal. Appl. 338 (2008),639-652.

[15] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing MultivaluedMaps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in:de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7,Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001.

[16] T.D. Ke, V. Obukhovskii, N.-C. Wong, J.-C. Yao, On semilinearintegro-differential equations with nonlocal conditions in Banachspaces, Abstract and Applied Analysis, Volume 2012 (2012), Arti-cle ID 137576, 26 pages.

[17] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applica-tions of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam,2006.

[18] Y. Lin, J.H. Liu, Semilinear integrodifferential equations withnonlocal Cauchy problem, Nonlinear Anal. 26 (1996), 1023-1033.

[19] J.H. Liu, A remark on the mild solutions of non-local evolutionequations, Semigroup Forum 66 (2003), 63-67.

27


[20] H. Liu, J.-C. Chang, Existence for a class of partial differentialequations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70 (2009),3076-3083.

[21] K. S. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calcu-lus and Fractional Differential Equations, A Wiley-IntersciencePublication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.

[22] G.M. N’Guérékata, A Cauchy problem for some fractional ab-stract differential equation with nonlocal conditions, NonlinearAnal. 70 (2009), 1873-1876.

[23] I. Podlubny, Fractional Differential Equations. An Introductionto Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, toMethods of Their Solution and Some of Their Applications, Math-ematics in Science and Engineering. 198. Sandiego, CA: AcademicPress, 1999.

[24] T.I. Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear per-turbations, SIAM J. Control Optim. 25 (5) (1987), 1173-1191.

[25] C.C. Travid, G.F. Webb, Existence and stability for partial func-tional differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 200 (1974),395-418.

[26] R.-N. Wang, D.-H. Chena, T.-J. Xiao, Abstract fractional Cauchyproblems with almost sectorial operators, J. Differential Equa-tions 252 (2012), 202-235.

[27] Z. Zhang, B. Liu, Existence of mild solutions for fractional evolu-tion equations, J. Frac. Calc. Appl. 2 (2012), 1-10.

[28] Y. Zhou, F. Jiao, Nonlocal Cauchy problem for fractional evolu-tion equations, Nonlinear Anal.: RWA 11 (2010), 4465-4475.

[29] Y. Zhou, F. Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutralevolution equations, Comp. Math. Appl. 59 (2010), 1063-1077.

[30] T. Zhu, C. Song, G. Li, Existence of mild solutions for abstractsemilinear evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Anal.75 (2012), 177-181.

28

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

Documents

Transcript of BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC