“BASIS DAN DIMENSI, RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM”

BASIS DAN DIMENSI

Definisi : Jika 𝑉 sebarang ruang vektor dan VnvvvS

...,,2,1 , maka 𝑆 disebut

basis dari 𝑉 jika: (i) 𝑆 membangun/merentang V dan (ii) 𝑆 bebas linear.

1...,,0,0,0...,,0...,,0,1,0,0...,,0,0,1 merupakan basis standar dari nR Bukti: M isalkan

0...,,0,0,11e ,

0...,,0,1,02e , ...,

1...,,0,0,0ne maka persamaan vektornya:

0...2211 nenkekek

0...,,0,0,01...,,0,0,0...0...,,0,1,020...,,0,0,11 nkkk

Sehingga diperoleh

0...,,0,0...,,2,1 nkkk m aka 01k , 02k , …, dan 0nk .

Contoh

Jadi

neeeS ...,,2,1 adalah himpunan yang bebas linear di dalam .Dan karena

untuk setiap vektor di dalam dapat ditulis sebagai

nenvevevv ...2211 maka 𝑆 merentang sehingga 𝑆 adalah basis dan basis

tersebut dinamakan basis standar untuk .

nR

nvvvv ...,,, 21 nR

nR

nR

Teorema : Jika

nvvvS ...,,2,1 adalah basis untuk suatu ruang vektor 𝑉, maka setiap vektor 𝑢 di 𝑉 hanya

dapat dinyatakan dengan tepat satu cara kombinasi linear yaitu : nvncvcvcu ...2211

Bukti

Definisi : Sebuah ruang vektor tak nol 𝑉 dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor

n...,v,v,v 21 yang

membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu maka 𝑉 dinamakan berdimensi tak berhingga (infinite dimensional).

Teorema : Jika V adalah ruang vektor berdimensi hingga dan

nvvvS ...,,2,1 adalah sebarang basis, maka

1. Setiap himpunan yang anggotanya lebih dari 𝑛 vektor akan bergantung linear. 2. Tidak ada himpunan yang anggotanya kurang dari 𝑛 vektor akan membangun 𝑉.

Bukti

Teorema : Semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama.

Definisi : Dimensi dari suatu ruang vektor 𝑉 berdimensi hingga, dinotasikan sebagai 𝑑𝑖𝑚(𝑉) adalah banyaknya vektor yang menjadi anggota basis dari 𝑉. Didefinisikan pula bahwa ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

Bukti

Tentukan basis dan dimensi dari ruang penyelesaian SPL homogen berikut ini :

0543

053221

05433221

0532212

xxxxxxx

xxxxxxxxx

Contoh

Pembahasan

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

M isal 𝐴 matriks 𝑚 × 𝑛 dengan 𝐴 = ൦𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚1⋮

𝑎𝑚2⋮

𝑎𝑚𝑛

൦

M aka vektor-vektor baris dari 𝐴 adalah vektor-vektor yang dibentuk dari baris-baris m atriks 𝐴 𝑟1 = ൦𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛൦ , 𝑟2 = ൦𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛൦ , ...,

𝑟3 = ൦𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 ൦ Sedangkan vektor-vektor kolom dari 𝐴 adalah vektor-vektor yang dibentuk dari kolom-kolom m atriks 𝐴

𝑐1 = ൦𝑎11𝑎21⋮

𝑎𝑚1

൦ , 𝑐2 = ൦𝑎12𝑎22⋮

𝑎𝑚2

൦ , ..., 𝑐𝑛 = ൦𝑎1𝑛𝑎2𝑛⋮

𝑎𝑚𝑛൦

Definisi 1: Jika 𝐴 matriks 𝑚 × 𝑛 maka (a) ruang baris (row space) dari 𝐴 adalah subruang dari 𝑅𝑛 yang direntang oleh vektor-vektor baris (b) ruang kolom (column space) dari 𝐴 adalah subruang dari 𝑅𝑚 yang direntang oleh vektor-vektor kolom (c) Himpunan semua 𝑥 di 𝑅𝑚 sedemikian hingga 𝐴𝑥 = 0 (yang juga subruang 𝑅𝑚 menurut Teorema 2 pada bagian Subruang) disebut ruang nol (null space)dari𝐴.

Definisi 2: Dimensiruang nol (null space) dari 𝐴 disebut nullity dari𝐴 dan dinotasikan olehnullity(𝐴).

Tentukan basis untuk ruang nol matriks berikut

4242410110021322142

A

Contoh

Pembahasan

Teorema 1: Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks. Teorema 2: Vektor-vektor baris yang tak nol dalam sebuah bentuk eselon baris dari sebuah matriks 𝐴 membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari 𝐴. CONTOH Carilah sebuah baris yang direntang oleh vektor-vektor 𝑣1 = ൦1,−2,0,0,3൦ 𝑣2 = ൦2,−5,−3,−2,6൦𝑣3 = ൦0,5,15,10,0൦𝑣4 = ൦2,6,18,8,6൦

Pembahas

an

Teorema 3: Jika 𝐴 adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari 𝐴 mempunyai dimensi yang sama. Definisi 3: Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks 𝐴 dinamakan rank A Teorema 4: M isalkan 𝐴adalah matriks 𝑛 × 𝑚 maka rank (𝐴) + nullity (𝐴) = 𝑚

Diketahui

1227134260281244465121

A . Carilah basis ruang nol, ruang baris, dan

ruang kolom matriks berikut. Tentukan pula rank dan nullity matriks tersebut!

Contoh

Pembahasan

Teorema 5: Jika 𝑉 ruang vektor berdimensi 𝑛 dan 𝑆 himpunan dalam 𝑉 dengan tepat 𝑛 vektor, maka 𝑆 basis untuk 𝑉 jika 𝑆 membangun 𝑉 atau 𝑆 bebas linear. Teorema 6: M isalkan 𝑆 himpunan dari vektor-vektor dalam ruang vektor 𝑉 berdimensi hingga. 1. Jika 𝑆 membangun 𝑉 tetapi bukan basis untuk 𝑉, maka 𝑆 dapat direduksi menjadi basis untuk 𝑉.

2. Jika 𝑆 bebas linear tetapi bukan basis untuk 𝑉, maka 𝑆 dapat diperluas menjadi basis untuk 𝑉.

Carilah sebuah sub himpunan dari vektor-vektor 𝑣1 = (1,−2,0,3),𝑣2 = (2,−5,−3,6),𝑣3 = (0,1,3,0),𝑣4 = (2,−1,4,−7),𝑣5 = (5,−8,1,2) yang membentuk sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor tersebut.

Contoh

Pembahasan

Teorema 7: Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain: a. 𝐴 dapat diinverskan b. 𝐴𝑥 = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial c. 𝐴 ekivalen baris dengan 𝐼𝑛 d. 𝐴𝑥 = 𝑏 konsisten untuk tiap-tiap matriks 𝑏 yang berukuran 𝑛 × 1 e. 𝐷𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 f. 𝑅𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑛 g. Vektor-vektor baris dari 𝐴 bebas linear h. Vektor-vektor kolom dari 𝐴 bebas linear.

1. Tentukan basis dari ruang baris, ruang kolom dari matriks berikut.

a.

267445311

b.

223103122541

Latihan Soal

.c.

00000000310003105421

2. Tentukan rank dari matriks-matriks di atas.

Pembahasan

Terima Kasih