BASIS DAN DIMENSI
Definisi : Jika ๐ sebarang ruang vektor dan VnvvvS
...,,2,1 , maka ๐ disebut
basis dari ๐ jika: (i) ๐ membangun/merentang V dan (ii) ๐ bebas linear.
1...,,0,0,0...,,0...,,0,1,0,0...,,0,0,1 merupakan basis standar dari nR Bukti: M isalkan
0...,,0,0,11e ,
0...,,0,1,02e , ...,
1...,,0,0,0ne maka persamaan vektornya:
0...2211 nenkekek
0...,,0,0,01...,,0,0,0...0...,,0,1,020...,,0,0,11 nkkk
Sehingga diperoleh
0...,,0,0...,,2,1 nkkk m aka 01k , 02k , โฆ, dan 0nk .
Contoh
Jadi
neeeS ...,,2,1 adalah himpunan yang bebas linear di dalam .Dan karena
untuk setiap vektor di dalam dapat ditulis sebagai
nenvevevv ...2211 maka ๐ merentang sehingga ๐ adalah basis dan basis
tersebut dinamakan basis standar untuk .
nR
nvvvv ...,,, 21 nR
nR
nR
Teorema : Jika
nvvvS ...,,2,1 adalah basis untuk suatu ruang vektor ๐, maka setiap vektor ๐ข di ๐ hanya
dapat dinyatakan dengan tepat satu cara kombinasi linear yaitu : nvncvcvcu ...2211
Bukti
Definisi : Sebuah ruang vektor tak nol ๐ dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor
n...,v,v,v 21 yang
membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu maka ๐ dinamakan berdimensi tak berhingga (infinite dimensional).
Teorema : Jika V adalah ruang vektor berdimensi hingga dan
nvvvS ...,,2,1 adalah sebarang basis, maka
1. Setiap himpunan yang anggotanya lebih dari ๐ vektor akan bergantung linear. 2. Tidak ada himpunan yang anggotanya kurang dari ๐ vektor akan membangun ๐.
Bukti
Teorema : Semua basis dari suatu ruang vektor berdimensi hingga mempunyai banyak vektor yang sama.
Definisi : Dimensi dari suatu ruang vektor ๐ berdimensi hingga, dinotasikan sebagai ๐๐๐(๐) adalah banyaknya vektor yang menjadi anggota basis dari ๐. Didefinisikan pula bahwa ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.
Bukti
Tentukan basis dan dimensi dari ruang penyelesaian SPL homogen berikut ini :
0543
053221
05433221
0532212
xxxxxxx
xxxxxxxxx
Contoh
Pembahasan
RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM
M isal ๐ด matriks ๐ ร ๐ dengan ๐ด = เตฆ๐11 ๐12 โฏ ๐1๐๐21 ๐22 โฏ ๐2๐โฎ
๐๐1โฎ
๐๐2โฎ
๐๐๐
เตฆ
M aka vektor-vektor baris dari ๐ด adalah vektor-vektor yang dibentuk dari baris-baris m atriks ๐ด ๐1 = เตฆ๐11 ๐12 โฆ ๐1๐เตฆ , ๐2 = เตฆ๐21 ๐22 โฆ ๐2๐เตฆ , ...,
๐3 = เตฆ๐๐1 ๐๐2 โฆ ๐๐๐ เตฆ Sedangkan vektor-vektor kolom dari ๐ด adalah vektor-vektor yang dibentuk dari kolom-kolom m atriks ๐ด
๐1 = เตฆ๐11๐21โฎ
๐๐1
เตฆ , ๐2 = เตฆ๐12๐22โฎ
๐๐2
เตฆ , ..., ๐๐ = เตฆ๐1๐๐2๐โฎ
๐๐๐เตฆ
Definisi 1: Jika ๐ด matriks ๐ ร ๐ maka (a) ruang baris (row space) dari ๐ด adalah subruang dari ๐ ๐ yang direntang oleh vektor-vektor baris (b) ruang kolom (column space) dari ๐ด adalah subruang dari ๐ ๐ yang direntang oleh vektor-vektor kolom (c) Himpunan semua ๐ฅ di ๐ ๐ sedemikian hingga ๐ด๐ฅ = 0 (yang juga subruang ๐ ๐ menurut Teorema 2 pada bagian Subruang) disebut ruang nol (null space)dari๐ด.
Definisi 2: Dimensiruang nol (null space) dari ๐ด disebut nullity dari๐ด dan dinotasikan olehnullity(๐ด).
Teorema 1: Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks. Teorema 2: Vektor-vektor baris yang tak nol dalam sebuah bentuk eselon baris dari sebuah matriks ๐ด membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari ๐ด. CONTOH Carilah sebuah baris yang direntang oleh vektor-vektor ๐ฃ1 = เตฆ1,โ2,0,0,3เตฆ ๐ฃ2 = เตฆ2,โ5,โ3,โ2,6เตฆ๐ฃ3 = เตฆ0,5,15,10,0เตฆ๐ฃ4 = เตฆ2,6,18,8,6เตฆ
Pembahas
an
Teorema 3: Jika ๐ด adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari ๐ด mempunyai dimensi yang sama. Definisi 3: Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks ๐ด dinamakan rank A Teorema 4: M isalkan ๐ดadalah matriks ๐ ร ๐ maka rank (๐ด) + nullity (๐ด) = ๐
Diketahui
1227134260281244465121
A . Carilah basis ruang nol, ruang baris, dan
ruang kolom matriks berikut. Tentukan pula rank dan nullity matriks tersebut!
Contoh
Pembahasan
Teorema 5: Jika ๐ ruang vektor berdimensi ๐ dan ๐ himpunan dalam ๐ dengan tepat ๐ vektor, maka ๐ basis untuk ๐ jika ๐ membangun ๐ atau ๐ bebas linear. Teorema 6: M isalkan ๐ himpunan dari vektor-vektor dalam ruang vektor ๐ berdimensi hingga. 1. Jika ๐ membangun ๐ tetapi bukan basis untuk ๐, maka ๐ dapat direduksi menjadi basis untuk ๐.
2. Jika ๐ bebas linear tetapi bukan basis untuk ๐, maka ๐ dapat diperluas menjadi basis untuk ๐.
Carilah sebuah sub himpunan dari vektor-vektor ๐ฃ1 = (1,โ2,0,3),๐ฃ2 = (2,โ5,โ3,6),๐ฃ3 = (0,1,3,0),๐ฃ4 = (2,โ1,4,โ7),๐ฃ5 = (5,โ8,1,2) yang membentuk sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor tersebut.
Contoh
Pembahasan
Teorema 7: Jika ๐ด adalah sebuah matriks ๐ ร ๐, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain: a. ๐ด dapat diinverskan b. ๐ด๐ฅ = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial c. ๐ด ekivalen baris dengan ๐ผ๐ d. ๐ด๐ฅ = ๐ konsisten untuk tiap-tiap matriks ๐ yang berukuran ๐ ร 1 e. ๐ท๐๐ก(๐ด) โ 0 f. ๐ ๐๐๐(๐ด) = ๐ g. Vektor-vektor baris dari ๐ด bebas linear h. Vektor-vektor kolom dari ๐ด bebas linear.
1. Tentukan basis dari ruang baris, ruang kolom dari matriks berikut.
a.
267445311
b.
223103122541
Latihan Soal
Top Related