Preços de Ativos:'jliüühceiros e

Ú4

Preços de Ativos:'jliüühceiros eCompcíí't àlúétit(i; dé lAgentes .

Marcelo Rabbat

DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO

INSTITUTO DE MATEMATIC'AE ESTATi'STI('A

DA UNIVERSIDADEDESÇO PAULO

PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE N]ES'l'ltE

EM ESTATI STIC:A

Área deConcentração:Estatística

Orientador: Prof. Dr. Jogo CardosPrandini

São Paulo. dezembro de 1994

l

Preçosde Ativos Financeiros eComportamento de Agentes.

Este exemplar corresponde à redução anal

da dissertação apresentada por Marcelo Rabbal,

devidamentecorrigida e aprovadapela comissãojulgadora.

São Paulo,22 de dezenibio de 1994

Banca examinadora

Prof. Dr. JoãoCarlosPrandini(orientador) IME-USP

Prof. Dr. SérvioWechsler IME-USP

Prof. Dr. AloísioAraújo EMPA

Conteúdo

1 EquilíbrioGeral

2 ModeloCAPM

3 Modelos Binomial e Black-Scholes

A Tópicos de Análise Convexa

B Preferênciase Utilidade Esperada

C Dominância Estocásticae Aversão ao Risco

D Bibliografia

25

34

63

71

101

113

CONTEÚDO 3

Abstract

The purposeof this dissertation is to present the mathematical fundainents for two

theoriesof wideutilization in financiammarkets: the pricingof optionson stocksand

theCapital AssetPricing Model (CAPM). Futheimore, it brieny discussesthe CAPM

own concepts, like a and P as options. Thus the two main refeiencesaie tlle Cox et al.

(1979)article and the first pareof Duche'swork (1988)

CONTEUDO

Abstract

A proposta deste trabalho é apresentaruma fundamentaçãomatemática para duas

teorias de ampla utilização nos mercadosfinanceiros: a de precificaçãodeopçõessobre

açõese o modelode precificaçãodeativos financeiros(CAPM). Além disso,discutir

brevementeconceitospróprios do CAPM, como a e o # pala opções.Pala.tal, asduas

principais referênciassão o artigo de Cox et a1. (1979) e a primeira parte do trabalho

de Dure (1988).

Agradecimentos

Inicialmentegostaria de agradecerao orientador Prof. Dr. Jogo (:arlos Prandini pol seu

empenhopara o término destetrabalho.

Gostaria de agradecer aos colegas do IME-USP, especialmente às professoras Iracema, Envia e

Zara e aoscolegaslvan, Pauta, Celma e Bia.

Gostaria de agradeceraos colegasdo Departamento de Economia da FEA, especialmenteaos

seguintes professores: Denisard Alves, José Cardosde Souza Santos, Marco Antõnio Vasconcelose

Maurício Barata e aoscolegasResina, Luciano, Drausio, Paulo e Robelto

Introdução

A proposta deste trabalho é apresentar uma fundamentação matemática pala duas teorias de

ampla utilização nos mercadosfinanceiros: a.da precificaçãode opçõessol)rea.iõese o modelo de

precificaçãode ativos financeiros (CAPM); além disso, discutir brevementeconceitospróprios do

CAPM, como o /3 e o a para opções. Para tal, as duas principais i'eferênciassão o antigo Cox et

al. (1979) e a primeira parte do trabalho de Duche(1988).

No Capítulo l são discutidosconceitosbásicosde eqtzí/ébriogera/. Esta.parte do texto segue

Dure (1988). Para facilitar a compreensão,exercícios propostos e proposiçõesnão pl'ovadas foi'ani

resolvidosecolocadosno Capítulo1. Adicionalmente,o ApêndiceA sobrealzd/{secolluezaauxilia

no entendimento do conceito de corede um conjunto. O Apêndice B auxilia no entendimento sobre

conceitosdepre/eréncía e utí/idade esperada.

No Capítulo 2, o objetivo é estabelecer o modelo CAPM de acordo com Dure (1988), e para fa-

cilitar o entendimento, o Apêndice C traz um compêndio de resultados sobre domÍnálzcia estocdsZÍca

e at;ersao a0 7''isco.

No Capítulo 3, o objetivo é estabelecero modelo binomial e a fóintula de B/acÉ-Sc/io/es.Para

isto,o artigo utilizado é de Cox et al.(1979) e o livro de Cox e Rubinstein(1985). Nesta parte do

trabalho estabelece-sea fórmula de B/ack- Sc/zo/espol' meio da.coilvei'gêltciado iiiodelo binon)ial.

Nestecapítulo ocorre uma leitura detalllada do artigo de Cox et al.(1979), discutindo algumasdas

questões colocadas pelo autor

6

Capítulo l

Equilíbrio Geral

Nesta seçãovamos forma]izar os conceitos referentesa equi]íbrio geral como eni Duche (]988),

utilizando resultadosde preferências,utilidade esperadae análiseconvexa.discutidos no Apêndice

1. 0 objetivo final desta seçãoé apresentaros resultados referentesaoequilíbrio gelamcom ativos

financeiros.

Seja (r,r) um espaço vetorial topológico e .X C r (a definição adequada.está no Apêndice

A). DenominaremosX espaçode escolhasqueé o lugar onde o indivíduo selecionao seuplano de

consumo(vetoresde quantidades). Para uma discussãomais detalhada, ver Hildenbrande Kirman

(1988). Um uetor de preçosé um e]ementode Z:', o düa] algébrico de C . Denotaremospor C' o

dual topológico de r . Tomando X = -0?xcomo o espaçodeescolhase p um funcional de preços,

a dualidade implica a existência de um único vetor r = (ri, . . . , m/y) tal que p z = r7'= para todo

z € Jlt'*

Seja 3 C X X X uma relação binária. No Apêndice B serão exibidos com mais detalhes os

conceitosrelativos à Teoria de Preferências.

7

8 Equilíbi'io Gei'al

Diremos que uma função Z/ : X ----. 2? preserva a ordem se vólei

3 1:y « Z/(z) 2 Z/(y) pala todoz,p c .\

Chamaremos Z/ de /unção utí/idade.

A seguir enunciaremosuma proposição que mostra. as condiçõe'spala a exisLêiiciada lepre

sentaçãode preferênciapor uma função utilidade:

Proposição l.l

a) Uma relaçãode preferênciaem um conjunto finito ou iníiliito enumerávelé representadapor

uma função utilidade.

Prova: Ver Apêndice B

b) Uma relaçãode preferênciacontínua em um subconjlmto convexode unl espaçosepaiável

normado é representado por uma função utilidade contínua.

Prova: Ver Apêndice B

Sendo g : #Z ---, #? estritamente crescente e :3 uma relação de prefei'êiicia (relação binária

transitava e completa) em X representada pela função utilidade Z/ , a composição tanibén) pieseiva

a ordem, ou sda,

gla(,)l Z g la(v)l «. , Ep.

Uma relaçãode preferência 1: em um subconjunto de C é z-monofónica enzz onde 2 C X C C e

z C C sez+az 1: z para todo a € (0, 1). Uma relação de preferência b é estri&a77e te z-ntoízotónica

emz sez + az » 3 para todoa C(0, 1). A relaçãob: é z-nzonotóz&ícaseé z-nlonotânica.paratodo

z CX. Analogamentepara estritamente z-monotõnica.

9

Uma relação de preferência b sobreX C Z:é não-saciada emz € .T seexiste z C X tal que

z » =. SeX C .C,então E:é nearby não-saciada em # € X se, para cada y C C tal que z € core(y)

(logoaçC y), existe g c y n x tal que g/» z. A definição de core(}') foi dada ilo Apêndice A.

Umarelaçãob: sobreX C Z:é /oca/mentenão-saciadaemz C X se,pala cadaZ C C com

a;C int(Z) existe z C int(z)nx tal que z » =. A relação entre pieferéitcias localmente não-saciados

e nearb3/não-saciadasremete à relação entre core (interior algébrico) e inteiiol topológico que é

discutida no Apêndice l.

Podemosprovar que, se1: é uma preferênciaem X C r nornlado e E é não-saciadartearbyem

z CX, então 1: é locallmentenão-saciadaem z. Para isso, seja Z aberto Lal (lue l C int(Z); colho

int(Z) C core(Z), então z C core(Z) e uti]izando a.hipótesede que ] y C .\ con) y » z, obtemoso

resultado

Seja1: uma relação de preferência sobre um conjunto convexo .\ Seja.ii) as tios condições abaixo

(a) z b:y :> az + (l - a) y 1:y

(b) z » 2/:> az + (l

(c) z «. 3/ + az + (l

'om z, y € X e a C(0,1)

Proposição 1.2:

(a) é equivalente à definição de convexidadede b, o que quer dizei (lue

G, = {, C.Y : a E y}

é convexopara todo 3/CX

Prova:

10 Equilíbi'io Geral

(:>) Sejamyi,y2 C G, e a C10,11;supondo yl E Z/2,temos agi + (] -- a)y2 b yZ; como g2b: 3

segue-se que ayl + (l -- a)y2 1: z e portanto, que G, é convexo. O

(4::) Suponha por absurdo que z E y e az + (l -- o)y < y para z,y C .V e a € (0,1). Seja

z = az + (l -- a)y; pela transitividade z < 3/ 3 z, contradizendo a convexidade de G'V'

D

Proposição 1.3:

Sobas condições da proposição acima, se X é um subconjunto de uin espaço normado separável e

1:éco«tín-, então(c):::>(b):>(a).

Prova:

(b) :> (a):

Suponhapor absurdoque]=,g/ € X e ]a C10,il de itiaiteiia(lue / gt

+(l -- a)y < g/;então,z < y e : < z.

aJ'+

para qualquer to C lz,zl temos z < to poi (b)

para qualquer 77C lz, pl temos z < 1?por (b). (1.2)

Então, para todo w € 1=,zl e ? Clz, yl temosw -' 77;casocontrário

i) se w -<7?então w < z, mas isso contradiz (1.1)

íi) se 77-< w então 77< z, mas isso contradiz (1.2)

Logo, para Vw C lz, zl e V77C lz, yl teremos to «' 77.

Agora fazendo 77= y: sabemos que {w C X : 10 N y} é fecllado (pois é intersecção

de dois fechados). Ainda, o conjunto {w C X : 10N g} ) l=,zl. Clonioo espaçoé

normado, separávele as preferênciassão coiiti'ilha.s,existe uilla. se(luêii(ia.{l',. C la, ;l

11

com w« '== z; logo, z c {lo € X : to ,- y}. Mas isso contradiz a. l)ipótese de que : < g

Logo, (b) :> (a). n

A demonstração das demais implicações é análoga.

Definição 1.4:

Um conjunto é algebricamente fechado se este inclui todos os seuspontos linearmente acessíveis

Nota: Sobre pontos linearmente acessíveis ver Apêndice A

Definição 1.5:

Uma rela,çãndepreferência b definida em X C Z:,onde r é um espaçovetorial, é algebricamente

contínua seos conjuntos {z C C : 1: y} e {= C C : y E: z}, para todo y C .V. são algebricamente

fechados.

A proposição a seguir nos mostra a relação entre preferênciascoREi'nuase algebl'icamente

contínuas:

Proposição 1.6:

Se ,Cé normadoe 1: é contínua, então 1: é algebricamente contínua

Prova:

SeE:é contínua,então o conjunto {y C X : z 1: g} pala todo a;C .\ é fechado

topologicamente . Então,

{g/CX : z l: /} cl({g/CX :z 1:g/})D lha({y CX : = E y})

Portanto,{cX:zl:y} Dlina({Z/CX:zb y}). D

Nota: A primeira inclusão da demonstraçãoacimaestá demonstradano Apêndice A

12 Equilíbrio Gei'al

Agora vamos introduzir os conceitos preliminares de equilíbrio geral. A notação seguida é a

adotada por Duche (1988) e Varian (1992).

Umaarma utiliza-se de yj unidadesdeum bem.j como insumoe produz y; de un] bem J como

produto; vamosdefinir o produto líquido do bem .j como sendoy, = ylo-- pj. O plantodeprodução

é um vetar y onde cada componente é o produto líquido de cada. bem. Neste vetou y , y, é negativo

seo j-ésimo bem servecomo insumo e positivo seserve como produto. O conjunto de todos os

planosde produçãoviáveis é chamadode conjunto de possibilida.dede produçãoe é denotado poi

y. O vedor de produto líquido (plano de produção) da firma .j é o vetou yj, e o conjunto de vetoies

deproduçãolíquidos viáveis (conjunto de possibilidadesde produção) da firma..j é dado por yJ

Sejap o vedor de preços tomado pela firma, então pyj será o lucro a.ssociadoa.oplano de plod ução

yj' A firma .j escolhesempreo plano de produçãoy; que maximiza.os lua'os. Seja./ = { 1,. . . , ./}

o conjunto de firmas; então podemosdefinir o conjunto de possibilidadesde produçãoagregada

y : 2:É:i y;' Ainda, o plano de produção y pertence a y sesomente sey = >:JJ:l y.f onde cada

yj C }'}. Então y representa todos os planosde produção que podem ser obtidos a partir de uma

dadadistribuição da produção entre as firmas .j = 1,. . . , ./

E fácil ver que um plano de produção agregado y maximiza o lucro agregado sesomente se cada

plano deproduçãoyj das firmas maximiza seu lucro individual.

Seja r o espaço de escolhas; o conjunto finito J = {1, . . . , ./} de íiinias indexa. o conjunto de

possibilidades de produção yJ C C. O conjunto finito Z = {1, . . . , /} de agentes possui as seguintes

características:um espaçode escolhasXf C Z:, uma.relaçã.ode preferência.E. soba'e.Yí. um vedor

dedotaçõesiniciais wi c Z:e uma parcelada firma j, isto é, OíjC lO,ll.

A renda total recebidapelo consumidorí é a soma das rendasque ele recebede cada unia

das firmas, isto é, E-J:i Oij (p yj). Nesta economia com produção, a. restrição orçainentária do

consumidor é dada por

P wf+ l: Oij Pyj

13

Ainda, comoo conjunto de todos os consumidoresé l)roprietáiio de toda.sas lirnlas, então para

cada firma vale )l,/ l Oíj = 1 para todo j C J

Umaeconomiade produçãoe troca é dada por:

f ((X{, l:i,t«i); (yJ); (Oij)); i e .[. i € :J

Comojá afirmamosanteriormente, cada firma maximiza seu lua'o com seuplano de produção,

sesomentese,o plano de produção agregadomaximiza o lucro total.

Para uma economia f a alocução de consumo é uma n /-upla x = (xi, . . .,x/) com xi € X,

para todo i € Z. A alocução de produção é uma n.J-upla y = (yi, . . . ,yJ) cona yj C yJ. VaDIos

definir uma alocuçãocomoo pai de (/ + J) ênuplasonde x é a alocuçãode consuliioe y a alocução

deprodução. Uma alocução(x, y) é dita uiáue/se:

>l:(xi- .«l)=>, yj

A relação acima nosmostra. que a alocução (x, y) é viá.vel se os rzlfgríga/í /lo/í/irlg sã.ocoiiipa.cíveis

coma oferta agregada.Ainda, uma.alocaçã.o(x, y) é Pa.7'e(o-e$ci(lz/(se ttãoexiste tienliuiila outra

a[ocaçãoviável (x', y') com xl bf x para todo i € Z.

Uma alocução (x, y) é stríctZy sup;mrted por um funcional linear de preços p C C' se p 740,

l lJ

(1.3)

z »í xf :+ PZ > pxi, VzCX{, VáCZ,

P yj ? P z, Vz € yj, V.j C J.

(1.4)

l i.s)e

Isto é, a alocução(x,y) é maximizantede lucros e se existir uma outra. alocuçãode consumo

preferida, esta será mais cara.

Para o vetar de preços p, a.resZrÍç(io orçan&ezz(áriapara. cada. [ C Z é dada por

«*.., [«*É':.,,]. (1.6)


Lema 1.7:

Se(x, y) é uma alocação viável que satisfaz a restrição orçanielltária. coiii o vetou /i C C', então vale

a igualdade na restrição orçamentáiia (1.6) para cada.agente C Z.

Prova:

Suponha por absurdo que, para algum agente, a alocaçã.oviá.vel (x. y) sa.tisfaça

l J l

Somando em { os dois membros da desigualdade obtemos

l J l

< >1,pwi+p : 1: aijyj com p# 0.{=1 i=i.j=i

Mudando a ordem da soma no último somatório obtemos

>l.pwi+p)ll: l:Oíjyj comp# 0;i=1 .j=ii=i

+

toJ; + )ll:Otjy, "«. /, # o.

wí + }: OijyjJ=l

pxi < }:P=1

sabendoque>1:!:i 0Íj = 1,então

E{=i .j=i

Obtemos assim uma contradição, pois para uma alocução viável deve ocorrer )ll:/: l (xf

D

E Ptoi + P yj com p # 0

toi)

Definição 1.8:

A tripla (x,y,p) € ,C/x Z:Jx r' é um equí/zbMoparaa economiaf se(x, y) é uma.alocuçãoviável

queé compatívelcom a restrição orçamentária e strÍcZ/ysupporledpor 7).

15

Anteriormente definimosuma economiade produção e trocas; apoia podciiios de niaiieira

análogadefinir umaeconomiade troca. Uma economiade brocaéa tripla

f = (Xi, l:i, to{); { € Z

comos componentesjá discutidosanteriormente.Para uma economiade troca a definiçãode

equilíbrio é dada pelo par (x,p) € rl x Z', onde x é uma alocução viável de consumo que satisfaz

a restrição orçamentária e é stríct/y supporZedpor p; quer dizer, 3 »i x. :> pz )' 7)xf apenas.

Uma economia /@ztfdade fracas é dada pela dupla. f = (.Vi,Ei), f C Z. Essaeconomia com

dotação inicial zero pode ser vista da seguinte maneira: Xí é visto como o conjunto de escolhas

que representa acréscimos potenciais de dotações. ou seja, o agente ; C Z expi'essa.sua piefei'êitcia

sobreesseconjunto uirlua/ X{. O equilíbrio nestetipo de economia.é da.(lopelo pai' (x. p) CC/ x C'

cotn p 7É 0 e >1'/ l x{ = 0 e para todo { vale px. = 0, x{ C .Xf e .- »i xí 4' p: )' px. pala todo

z C Xi. Em outras palavras o que é feito é uma translação dos conjuntos de escolhase das t'elações

depreferências pelo vedor de dotações iniciais.

Podemosconvertem'uma economiade trocas f = (.Yf,E., tí.}.)com / C Z pala unia ecoitoniia

líquida de trocas f' = (XÍ,a:l) com á C Z, fazendo a seguinte LI'aiislação: .V; = .V. {u:.} e

sb:;t + s+wi l:i Z+wi paratodos,í CX!

Podemosainda converter economiascom produção e troca para economiasde trocas de duas

maneiras diferentes:

(1) Se (x,y,p) é um equilíbrio para uma economiade produçãoe trocas, então (x,p) é um

equilíbrio para a seguinteeconomiade troca:

f" ; l .v:, E., «.+Eo..y, l , ; .z.

Neste rearranjo o que ocorre é que a renda provenientedas íiiinas é adicioltada iia dotação

inicial dosagentes. Para entendem'mosisso: ?p.é a dot.a.çã.oini('ial. ist.oó. a (lha.iluda.deinicial

que é dada ao agente para ele ir ao mercado, ou seja, é um ponto no self espaçode escolhas

J

lJ

a:


O termo}'lÍ:i Oilyj nosdiz qualé a parcelaque o agenteí detém)da firma .j, que também

pode ser vista como uma dotação inicial.

(2) (x,y,p) é um equilíbrio para a economiade produção e troca.se soiiieiite se (a;i

--g/i, - . . , --3/J,p) é um equilíbrio para a seguinte economia de tro

f'=(XI, a:l;,wl;),keÍI,...,/+J}

z/

onde

{ 3 \

El;, :«Í;) = IXk, Ei;, wj;+>1:0tjy,l . kcz\ .j=i /

(-l';, E:JP'0), X'= /+.j, .jCCZ

onde a relação de pi'eferência.EIP é definida. poi:

para todo z e u C --yj, J C .7. A idéia desta transformação é a. seguinte: os velozes

de produção com sinal negativo indicam queas firmas agemcolho agentescollsu77iidoresde

&nsumos.

Uma alocuçãode consumox CC/ domina x' sex{ >-i xl, Vá€ Z e don i71a/í'acalllerztex' quando

xi 1:{ xl para todo { C Z, comalgum k C Z satisfazendoxk »k xl;. Paraumaeconomiacom

produção e troca, a alocação viável (x, y) é e$cíeníe se não existe nenhuma alocução viável (x', y')

tal que x' domina fracamente x. Uma alocução viável (x, y) é /racaznenteejcienZe se não existe

nenhuma outra alocução viável (x', y') tal que x' domina x . Variaii ( 1992) apl'isenta. as condições

para existir a equivalência entre as dua.sdefinições. A proposição a seguir é o Pr r] e ro Tíarerrza

do Bem Estar

Proposição 1.9:

Para umaeconomia de trocas, sex é viável e sZricZ/ysupportedpoi alguiii vetoude preços,entãox

17

é fracamenteeficiente

Prova

Suponha por absurdo queexista x' viável quedoiitina x (ou seja..x liã.oé fraco eficiente),

então

Ei=1 i=1 {=1 i=l

o que é um absurdo.A primeira igualdade ocorre porque xl é viável; a desigualdade

ocorreporquex é strÍcZ/ysupporledpor p e a segunda.igualdadeocolie por(luex éviável. u

E E x, = p )l.'".P

O teorema seguinte relaciona equilíbrio e eficiência. utilizando o conceito de preferências não

saciadas nearby:

Teorema l.IO:

Suponhaquex é uma alocuçãoviável para uma economiade boca.c x é slrí(l/y u/)/)07'ledpoi unl

vedor de preços Se para todo í C Z, E:f é não-.sricia(/a nenrby Í)a.ia t.oda ( sfollia edil .V,. então x ó

eficiente.

Prova

Por absurdo,suponha que (x', y') é viável e que { C Z é tal quexl »Í xi; daí, 7)xl > pxf.

Para cada k ?é {, <k é não-saciada nearby xl:. Logo (tomando y = Z, por exemplo), há

xZ C Xt com

xl;+ axZ» xl; VaC10,il.

E comoxl: l:k xk segue-seque

xk + axh »k XÊ, k # {

18 Equilibi'io Gei'al

Logo, p(xl; + ax=) > pxt e somando sobre k # {

pE(*l + -Z) ; pE*l + «7,E *Z:» pE**

Contudo, pxl > pxf + c, para algum c > 0 fixado.

Somando as duas últimas desigualdades,

pE *; + «7, E *Z :» ,, E *, -p .;j=i k#i j=l

/ /

mas

Logo,

a P>1'xZ > f Va Cl0,tl.

Contudo, fazendo a ----- 0, o pi'imeiro lado tende a 0, enquanto (lue o segundo permaitece

constantee positivo, uma contradição. O

Existe uma outra maneira de definir precesupporZ: Seja uma economia de produção e troca ein

um espaçodeescolhas Z: , a alocução(x, y) é sup;)orledpelo vetoude preços7iCC'. /} ?É0, se:

zb:fxi:> pz2Pxf, Vze.X'i, V{CZ

Py, 2 P z, V= € }'1,, VJ C .'7

A relaçãoentre as duas definiçõesserámostrada por meio do uma ptoposiçã.onta.isa(lia.iit(

Agora vamos provar o Segundo Teoremado Bem Esgar, nova.mente livre cle considerações

topológicas. Para isso vamosenunciar um Teor'antade Hi;)erp/alto S'aparaor (lue utiliza a noção

decore e não de interior topológico:

e

Teorema l.ll:

SejaZ C É convexo de core não vazio. Então existe 7)CC' com p ?é0 Lalque p ; ? 0 para.todo

19

z C Z se ;ome«te se 0 g core(Z)

Prova: Ver Holmes (1975).

Agora vamosdiscutir algumasdefiniçõesnecessáriaspara a demonstraçãodo Leorenlaque virá

a seguir: Supondo que z = {zi,...,al}, sejaX' = )1:/:ilzi C .V, : .-. E .r.}, isLoé, .V' éo conjuittode velares z que podem ser decompostos em / parcelas tal que ; = :i + . . . + :/, : 1:1 z. e zi C .Y.-

para todo i € Z. Ainda, y = ::j;:: y; denota o conjunto de possibilita.des de pi'adução. Apoia

podemosdemonstrar o SegundoTeoremado Bem EsZac

Teorema 1.12:

Seja(x, y) uma alocução eficiente pata. a economia.satisfazendo as seguintes condições: (a) .X'' }

é convexode core não vazio; (b) pai'a.algum k € Z, l:k é estrita. =-nioiiotõiiica pa.ia.algum = C C

Então, (x,y) é supportedpol uin vetou de l)ieços.

Prova:

SejaZ = X' -- y -- {)ll:Í:i wi}. Mostraremos inicialmente que 0 g cole(Z): Suponhapor absurdo que 0 Ccore(Z) e seja z Cr para o qual b:t é estritamente 3-monotõnica.

Considerea direção --z, então existe p € 1O,--zl com lO,pl Ç Z, logo existe a € 1O,ll

com --a z C Z. Mas como --a z € Z, então -a 3 = E/:i zi - Ej:i ©j - E/:i wi com

zi C Xí, zi b:f xi. (Impor'tente notar que x = (xi,...,x/) está. fixado). Portanto,

E:l::i ,í + a z = Xj:. Új + E!:;i '-i.

Seja a alocução(zi,. . ., zk--l, ZJ;+a z,zk+i,. -., z/,Úi, . .., ÚJ). Como b;: é estritamente

z-monotõnica, eO < a < 1, segue que zk+az >-# xk(em particular temos (lue ;i; +a! C

C XA). Como Ei:i zf +a z = )1:JJ:i ãj + E/:. tf'i. segue-se (lue a a.Inca.ção ó xiá.vel. Ma.s

comoZJ;+ az »l; zk e zi 1: zi para.i 7ék, temos que(x,y) nã.oé eficieiltP. o (lueé unia

contradição.Logo,0g cole(Z).

20 Equilibi'io Gei'al

Pela hipótese (a), o core(Z) é não vazio, Z é convexo e 0 g coi'e(Z). Agora podemos

aplicar o Teoremado Hiperplano Separadore concluir queexiste 7)C C' com p # 0 tal

que pz 2: 0 para todo z C Z.

Agora, utilizando o resultado do Teorema do llipeiplano Separa.doi.\.a.lidoscoiicluii

que (x,y) é supporZedpor um vetou de pi'eços e collse(liientenleilte lx.y.p) será um

equilíbrio para estaeconomia(pois esta alocuçãoé viável). Suponha.que Dl:h xh para

algum h C Z. Como E'i:::l(XÍ -- toi) € y, pois a.alocução é viável, e por construção

t; + l:i# xi C X' (pois essevetor pode ser decomposto de maneira adequada),então

temos que u -- XA C Z, pois Z = X' -- y -- )I'/:l wi. Agora, pelo Teorenta de HiperplanoSeparador temos que p (u -- xh) 2 0, logo pu 2 pxA para. h C Z. Por um argumento

análogo temos que pu $ pyj para todo u C yJ e para todo j C .7. Logo. a alocaçãn

viável (x,y) é supporZed por um vedor de preços e coilsequeiiteiiieiiLe (x,y.7)l é uni

equilíbrio para estaeconomia. O

A próxima proposição a ser provada estabeleceunia relação entre os coitceitos de .sZ7'ícZsup;orZ

e support, conceitos essesjá enunciados.

Proposição 1.13:

Seja E uma relação de preferência soba'eX C Z, onde X é convexo, p C C' e /i ?é0. Cotlsideie

(a) x»y + px >py, VxC X

(b) x b:y + px 2 py, Vx € X

(c) x » y :> PX? Py, Vx C X

onde y é um elemento fixado em X. Se1: é algebricamente contínua e existe l C .X tal que p1 < 7)y

ente (c) <:: (b) :> (a).

Prova

21

Provaremosa implicação(b):>(a); a outra é análoga.

Suponhapor absurdoquex » y e px = py; por hipótese3 XC .\ tal (lue7ll < py

ComoX éconvexo,tomamost 1+ (1-- t) x comx,l € À'. Então

Ptl+ (l t)PX < ÍPy+ (l t)Py = Py

Sabemosquepara os pontostX+(] -- t)x deveocorl'er tl+( ] -- Z)x < y, VÍ C 10,il por

(b). Masoconjunto{a € X : a :3y} éalgebricanlentefechado.istoó. {a C.\' :a :3y}

contém seuspontos linearmente acessíveis,mas como x é linda.iiiieilt.eacessível,então

x :3 y, o que nos conduz a uma contradiçã.o. O

Agora o nossopróximo passoé garantir as condiçõespara a.existêitcia.do equilíbrio

Definição 1.14:

Seja f uma economiade produção e troca, se(x, y) C C/ x CJ é uma alo(a.çã.oviável (lttc ó su/}li07'ící/

por p C C' e satisfaz a restrição orçamentária, ente.o (x, y, p) é un equálzbría cí)Tiz7)elzsado.

A proposição aseguir estabelecea relaçãoentre equilíbrio eequilíbi'io compensado. Esta relação

é clara quando seusa a proposiçãoanterior, pois a relação entre essesdois conceitosse lesiiiiie à

relaçãoentre support e strÍct supporl

Proposição 1.15:

Seja (x,y,p) um equilíbrio compensado, tal que, para. todo i coiii .V; convexo. 1: algebi'icaniente

contínua e existe if € Xi tal que ?)1.< 7)xi. Eiitã.o (x.y.7i) ó ii]]] c'(ltiilíbrio

Prova: A demonstraçãodeste resultado segueimediatamente da.pioposiçã.oanteiioi

Sejauma economiacom dotaçãoinicial igual a zero, isto é, «}i = 0 pa.tatodo f CZ. Seja.taliil#iii

X = )1:!::i Xi o conjunto de consumo,analogamentepara o conjunto de produção }'. Uni conjunto


y C C é um conjuntodeproduçãoexpandidaparauma ecoitonlia.sc } c } c } n .v = }' n .\

isto é, y e y produzem asmesmasalocuçõesviáveis. I'iria csfollta : € .V,ó viável pai-auni agcliLc

í seexiste uma alocução viável (x,y) tal que z = x{. l)efiiie-sc .\, o foit.ltiiito (lc escolha.sviá.fieis

para o agenteáC Z. SejaD C Z:o subconjunto cujos elemeilLospodelil sei escl'elosda foi'ma

z :: zl + com zi »i xi, Vx{ C Xi, V{ CZ

Apresentaremosa seguir ascondiçõespara a existência do equilíbrio compettsa.dopara espaços

de escolha euclidianos (i.e. C C -a?lv):

(a) x n (--x) é limitado;

(b) Xi é fechado e convexo para todo i C Z;

(c) D é «ão -zio;

(d) bí é contínua e convexapara todo i CZ;

(e) y n x é limitado e não vazio

(f) 0 C yJ para todo j C ..7;

(g) Existe um ? conjunto de produção expandido fechado e convexo tal que 0 C ,4(i;') -- D

Xi, ViCZ.

Casoa economia com dotação inicial diferente de zero, podemosaplicam'asconvem'iõespara .YÍ

e b:ijá discutidas.

Teorema 1.16:

Se E é uma economia no espaçode escolhasC C #?N sa.tisfazendoas condiçõesacima.,então é:

possui um equilíbrio compensado (x,y,p). Ainda pode-se escola)elp pai'a.satisfa.zerp? É 0 para

23

todo z € Á(y') - .0.

Prova: Debreu (1959)

Seja r um espaçovetorialcom 4 C r e #l' um corpo. Podeíiiosdeíiítii o span(4) comoo

menor subespaço de C que contém .4. Naturalmente, o span(H) é o coltjuiito das combinam;ões

lineares finitas de elementos de .4. Então m C span(Á) $ 71} = )ll:::i Nna« colll {al, . . . ,aN} enl

4 e escaleres Pi, . . .,P/v. Ainda, se ,4 for linearmente indepeii(lente. eiit.â.o ,-l (l liiiia base l)a.ia o

span(.4).

Definiremosuma securily comoum vedorem C . O conjtittto de secuiiLiesé o conjuitto de todas

assecurities disponíveis para negociar. Seos mercados foi'em completos, o conjunto de secuiiLies é

o próprio ,C

O espaçode mercado relativo ao conjunto de seculities d C C é o spaii(.4). Os eleiiielltos do

span(.A) são as escolhas de mercado.Um portfólio é uma combinação linear de secul'ities.

Seum conjunto de securities .4 nãoé uma basepai'a.o espaçode mei'cado&d= span( 4), então

existe Á C .4que forma uma basepara ]W. Assim, a.ssecurities perteiiceilt.esa d/.4 sã.oieduilda.ates

no sentido que span(.4) = span( 4) = A4

Sejam C .A/' um vedor de preços; para todo m C A4 temos nz = )ll:=;;i d.a« e /}nl = ?}(>ll::: l d«a«)

EÍ::i P«(pa.) para únicos {al,...,a/y} eni .á e escalaiesNi,...,/JW

Dado o espaço de mercado /W, vamos foi iiiulai o e(luilíbiiu para. a.scgliinLc ccunuiitia de Louca;

f = (Xf, Eí, w{), { C Z ,/}

restrito ao espaçode mercado J14.Para.cada í C Z, seja .YT'/ = (.Y; -- {tí,l}) n M e definiitios a

relaçãode preferência b:lb/em XW por

m l:r n nl + wf b:f n + wf

para todo m e n em Xi . O equilíbrio para a economia C restrita a.A4é uni equilíl)I'io para a

24 E(luilíbi io Gei'al

seguinte economia líquida de trocas

ÉIM . (XÀ4 ,

sobre o espaçode escolhas.A/

Seja .4C Z:o conjunto de securities. Um portfólio em Á é unia.função ç : .4 #?, para cada

a C .4,g(a) indica,o número de unidades dea. Ainda, assume-sequeos agentespossuemum número

finito de diferentes securities. Define-se a g(a) como sendo quantode secutity a o indivíduo possui no

seu portfólio. Uma(/+1)-ênupla(gi, . . .,g/,p), onde p é um funcioital linear subi'e M = span(.4) é

um equilíbrio para a economia de trocas de security markels desde (ltie( J..i a çi( í/). . . . , J..{a p/(a), /})

seja um equilíbrio para a.economia.lí(luida.de ti'oca.s.cM e >1:/:l pf(a 1= 0. a C .-l

Setomarmos.4 um subconjuntolinear'menteindex)endeiltedo esl)a.ço(IPescolhas C . sp

('pi,...,g/) são portíólios soba'e 4 de nlaiteira. que (/H a'pi(a)....,J.4 aç/(a)l é uilla alocaçàoviável para fW, então vale que }:!;i gÍ(a) = 0, a C .4.

As principais referências, além de Duche (1988), são }lildenbiand c I'iiiiiiail (1988), \r'aiian

(1992),Merton(1982), Debreu(1983)e Arrow(1971).

Capítulo 2

Modelo CJ\PM

Seja (Q,F, P) com Q sendo o conjunto de estados de ilattii'eza (los (duais os /;í/yo#s das óec111'iZies

dependem. Seja r2(P) o espaçode escolhaspa.ia.llina. economia: liiii elelneiit.o:i C Z'Z(P) é unl

vedorde variáveis aleatórias que desci'evea quantidade z(lo) tecem)ida.lio estado u} C S!. Vaiiios

definir z C,C2(P) como um ativo. O vetar z C Za(P) possui esperançae vai'iãitcia finitas.

Sejam A C Z: = r2 o subconjunto das sec?lráZáe.snegociada.s e .44 = spa.ii(.ll o rialA:(Zc(/

space. Naturalmente, i14 C Z:2;se J\4= Z:2 = C dizemos que os mci'('a(los sã.o(oiiipletos. .Ainda.,

p : .A/ -.--.-.a?é um funcional linear que atribui preços aos ativos negociados.Sa,betiiosque, se .4

for um conjunto finito de securitíes,então À4= span(Á) tem dimeitsão íinita e 7)é coiitl'ituo

Antes de apresentarmosa próxima proposição,vamosapiesental alguns resultadosde análise

Definição 2.1:

Uma função / definida u.q.s. em Q com valores em J7? , /' -meiisuiá.vel. diz-se essencialmeiitc

[imitada se existe Ã' C 10,ool ta] que

P ({= C Ç2: l /(z) l > /\'}) ()

25

26 Modelo CAPM

l)efinição 2.2:

Se / é essencialmente limitada chamaremos de supre?7zoesse Iria/ d( ./' o iiúniero

11/11« inf{/t' € 1O,ool:/l({z C Q : l./'(r)l>/\'ll 0}

Definição 2.3:

ChamamosdeZ- (Q, .F, p) o conjuntodasfunçõesdefinidasu.q.s.ein í} comva.lotesenl #?que

são essencialmente limitadas .

Teorema 2.4:

O conjunto ,C. (Q, /', p) é um espaçovetoiial sobre m . A funçã.o

semmorma nesse espaço.

Prova: Ver Mukherjea e Pothoven (1986).

d(íiitida aciii)a ó liilia

Teorema 2.5:

O conjunto das classesde funções de r« (Q, .F, /l) determinada pela leia.çã.o/ -- g se, soliietiLe s(

/ = g u.q.s. designado por roü (Q. /'. p) por unl a.btiso de ilot.a.çã.o ó 11111osl)aço vpt.oi'ial so})le //?

A funçãoll . 11«deânidapor ll /ll« = ll /ll.., é uma.norma.emC.:..(Q. /. /i).


Teorema 2.6:

O espaçoCm (Q, /', p) com a norma definida acima é um espaçode Banaclt


27

Teorema 2.7:

Sendo (Q, /', p) um espaço de medida arbitrária e l $ p < w, o espaço noimado C. (Q, .F. p) é

completo.


Teorema 2.8 (Representação de Riesz):

Seja(Q, .F, p) um espaçode medidaa-finita e p um funcionallinear conta'nuoein C., com

l $ p < oo.Se l/p + l/q = 1, entãoexiste um único elemento n € Cv t(l.

z(m) r(m) dp( rll), Vz C C,,'À4

Prova: Ver Mukherjea e Pothoven ( 1986)

Proposição 2.9:

Suponha que o marÉeted space .A4é fechado e um funcional linear contínuo 7) : A4 ---- #?. Então

existe um único ativo n C À/ ta] que, para todo = C ]W,

E( za' ) E( n') E( # ) + (,:ov(=r.n'l (2.1)

Prova

SabemosqueC2 é espaçode Hi]bert com o pi'oduto interno (a. gr)-. t'(.t: #) e o dual de

r2 é o próprio r2. Ainda, qualquer subespaçovetou'ial fecha.dode uni essa.çodp Hilbert

é umespaçode Hilbert com o mesmoproduto interno (induzido). Então, pelo Teor'ema

da Representaçãode Riesz,para qualquerfuncional linearcoitLi'iluo/; C A4existeum

único n' C À4 ta] que pz =< n,z >= E(= n ). A seguitda. igualda.do decoiic da (lefiitição

decovariância. O

28 Modelo CAPM

O ativo r que satisfaza relação(2.1) é definido comoaZiuo/)recz$cíldar.Para.todo = € M

definimos o retorno de z como sendo a variável aleatória.

R. = -!JLZ' = 9

desdeque pz seja não nulo. Para um ativo z C r2 onde a variaçãoe picço sãodifeienLesde zelo,

define-seo beta de um ativo a;relativo a z como

Cov(R= R: )v,-l.R:l

Corolário 2.10:

Sob as hipóteses da proposição acima, suponha adicionalmente que E'(r) # 0. Var(r) ?é0, p, =

= -E(-R,)ep« = E(R,) onden éo aíít,oprecÚcadordescritona.relaçã.o(2.1). Sejar' = 1/E(r)

Então, qualquer ativo z cujo valor é diferente de zelo satisfaz:

IP, -- r) = /J,«(/(« -- rl

Prova

P', Co«(R,, R«)V*r(R , )

Co«(,,r)p«Var(r) p-

# à Co«(', ")

Dlpv',(")

por outro lado,

(p.-'):!:?-li: .:,{uw',. E(rz) --Cov(#,R) --pa' (P=) E(a')

e

@,-o : qP-zh : w"n -«« : '("'l;,X"'",-""

29

então

gk..:.0 : rul :gBD.=.gl11.!:!2.=..u(p.--t) \.pz,/ E(r2)-- Var(r)--pr

Então, pela proposição acima, temos que pz = E(r z) e 7)a-= E'(vrz), logo

(p, -- r) .E(nz) -- Cov(z,n ) -- L'(rl')(p«- r) E(r2) --Var(r) - E(a2)

qg (=)

P,. : (#t.:.0 -(P«- ,)

A relação(2.2) é denotado como bela 77}0de/e r é o retorno do ativo semfisco llZ

seja z = ln; então

então,

Explicação

z. : .L : ]B.

Por isso r é o retoi'no do ativo sem i'isco in.

1 1Ei;a : Ím : ''

Definição 2.11:

Uma rela,çãode preferência (relação binária coiiipleta. c tra.ilsiLiva) E sol)rc .\ C Z'Zó uaii(ill(.ia-

auersa se z E z + y sempre que =, z + 3/ € .V e .F(y) = Cov(3,y) = 0. Essa defiitição iio$ diz (lue

aumentos de variância são aceitou desde que aumentem o valor espetado. Analogamente define-se

z;ariáncia-atJersa esírÍfa.

Definição 2.12:

Uma relação de preferência (relação binária completa e transitival b sobre .V C C.Zé de média

t;aHáncía se z 1: z sempre que -E(z) = E(z) e Val(z) 5; Var(=) pala. todo =, ; C X

30 Modelo CAPM

Exemplo

Seja a relação de preferência b sobre X C C2 representada pelo fuiicioital ZIZ/(.)l

ondeZ/(a) = .4a-- .Ba2+ C, a C.#Z,para'4,B eC € #Z. SeB 2 0, então1:évariância-aversae de média-variância. Para vermos isso:

.Elzl(' + p) l .4.E(,)+ Á-E(y)+ C' .B(E(z2) + 2 E(=y) + E'(yz))

Como E(y) Co«(,,y) = 0,e«tão

rlz/(, + p) l .4.E(z) -- BE(]'' ) /?f.'(iU'Zl -Fr

Poroutro lado,

ZJZ/(z)l = .4.E(z) - BE(z2) + C

Então, como .B 2: 0, temos que

ZJZ/(=)12 Z;lÜ(= + v)l:+ z b z+ z/

A relaçãotambémé demédia-variância,pois,seE(z) = E(=)e I''a7'(=)É I'a7'(z),então

ZJZ/(z)l = A.E(a)--Z?E(z2)+C = .'i.E(z)--BE(z2)+C , mas l/ar(3) = E(z2)-E2(z) =

= .E(z2)-- .E2(z) $ yar(z)= E(z2) -- E2(z) ,istoé, --E(=2) 2 --E(3') ; como B ã 0,

.EJZ/(z)l= À.E(z) - B.E(=') + C 2 .4.E(z) - BE(z') + C = Zla(;)l . Logo, a: l: ;.

D

Podemos ver ainda que preferência média-va.riância.avessa.a.o i'isco itiiplica elii pi'efei'êitcia

variância-aversa.

Agora vamos estabelecer o CAPM ( Cáfila/ .4sseZ Prfcíng ./14o(/(/). Seja a seguint.e ecottottiia (le

trocaf = (Xi, bí, loi) para i CZ noespaçodeescolhasr2. Seja..4C Ci o secar'ityseZpala a

economia f , e da maneira que foi definida anteriormente,(gi, .. . , g/,p) um equilíbrio para (f, .4).

A dotaçãototal m = }1:L::iwi é conhecidacomo por!/õlío de mercado.

31

Teorema 2.13:

Dado um equiHürio (p,z) para a economia de troca com secTll'iZ#inarkeZ(f. .41e o espaçode

escolhas,C2.Suponha que:

(a) A relaçãode preferênciade cada agenteé variância-aversaestritamente

(b) A dotação wi de cada agente á está no maré;etedsubspaceM span(.41

(c) dim(M) < «,

(d) O espaço de escolhas é o C2

(e) O ativo semrisco in é negociadoe seu valor de mercadoé nã.o-nulo

(f) O portMliodemercadom tem variâncianão-itula

Então, qualquer ativo a;C .A4com valor de mercado iiào-nulo saLisfa.z('.\l'NI

(#l. - r) = /i, «.(/t.. - z')

Ainda vale o resultado acima se trocartnos (c) pol (c'), onde

(c') O marketedsubspaceÀ/ é fechadoe o funcional de plenosde equilíbrio 7)ó contínuo

Prova:

Seja (./.) o produto interno sobre M = span(Á) dado poi (z/w) = E(zto). Pelas

condições (c) ou (c'), .A/ é um espaço de Hilbert com o produto lUteI'no (./.). Dada

a alocuçãoz C J14,vamosdenotarâ a projeçãoortogoitaldez sobrespanlln,r},

onde a C .A4é o ativo precificante para.o funcional de preçosde e(luilíbi'io p. Vaiiios

definir w = i -- # C spanlln,all. Pelo teorema. da. plojeçã.o temos que (u,/r) =

(w/in) = (w/â) = 0 (pois 10 C spaniln,rll e n C it4, in C A4 e Ê C .M), implica

quepâ =pz(poispw = .E(wr)= (w/r)= 0:> + pw = pá--p# = 0:> pã = P=).

32 Modelo CAPM

Afirmamos (lue ié estritamente preterido a z, a menosque3 = z. Bastamostrar que

-E(a -- â) = Cov(3,= -- â) = 0 , pois então i+(z -- i) sei'á estiitaiiieiite l)leteiido aú, pela

propriedade de variância-aversão estrita da preferêitcia, lhas i + (l -- .í ) ó a L(.l -- i ) = 0

pois E(z--â) =(=--ê, in) = 0 eCov(â,z--}) = E(}(.i .i'l) -/'.'(.í )/'.'l.i .i ) =0

pois â é a projeção ortogonal de z sobrespanllO, r}. Portanto. podeiiios concluir que

z = â e m = }:!:::i wi pertence ao span'tln,a} pois Ê = lt; logo, 171= 4 + B7r com

Á, B C#Z. Então, supondoque Var(m) ?É0 e utilizando o corolário 2.10obtenlasa tese

deste teorema da seguinte maneira: precisamos mostrei que P,.(p«: -- I' 1= 0,«(p« -- r).

Comom = .4+ .Br

R. G;;j'FGa'Também

.'(Rm) 1l;lill:l;Z«'(R-).Dd,

P,. Cov( R,, R«. ) Co«(R,, a.)êlÍlllP

«'( R,)e;g19ÇE

/J.. «(P }i}. l

/i É;(rz la2(R.)

Portanto,

P,«(p«- ,) ,,.éf (ü*' g«.-,)«,, (ç#w * «.)

Mas

pm = p(.4+Br) = 41;(r) + B.E(r2),

a,SSIin 9

Á - ,(P«.).E(.'2) B

poisr-E(H') = 1. Logo,

,4-- r .4E(r) -- I' /?E(r2)B E(r2)

T,

P,«(p«- ,) = /3-(p«- «) D

33

Note também queo portfólio de mercado é uma combinaçãolinear do ativo precificante e do

ativo semrisco.

O resultado provado acima mostra que o equilíbrio em uma.economia.de troca 110espaçoC2(P)

implica a relaçãodo CAPM, ou seja,trata-se de uma condiçãonecessáriasobreo equilíbrio. Para

condições suâcientes precisamosde condições mais fortes do queaquelas utilizadas pala. a obtenção

do equibürio de Debreu (onde o espaçode escolhasé o P?/v). Essascondiçõesestão discutidas em

Araujo e Monteiro (1986), Zame (1987).

As principais referênciasdestecapítulo sã.o.alémde Dtifne( 19RR).lltil\itg p l.it ZPnboi'ger(19RR).

Merton(1982), Mossin(1966), Sharpe( 1970)eShaipe( 1985).Sobree(lttilíbi'io geral eni espaçosde

dimensão infinita, as principais referências são Zame(1987), Mas-Colel1(1986) e Duftie(1986). Este

último tópico foi exploradoneste trabalho. Finalmente, os conceitosrefeieiites à análisefuilcioilal

foram obtidos deMukherjea e Pothoven (1986), Conway (1990)e Bachmane Nai'ici( 1966).

Capítulo 3

Modelos Binomial e Black-Scholes

Umaopçãode compra(ca//) é uil] contratoclubassegura.o direito a.scli possuidorde coiiipiai

umaquantidade pieíixada de açõespoi iiiii picão previa.ii)cm.co tal)clpcitlu tl{ iil í-otlu uni liiiiit.t' du

tempo.

Uma opção de compra é chamada de etirope'iaquando essedireito pode sel' exercido apenas lla

datadevencimentodo conta'ato;quandoo exercíciopuxei sei feito oni (ltial(ltioidata a parLii (la

elaboraçãodo contrato, a opção é chamada de all tricana. De modo a.itálogodefine-seopção de

venda.

O preço acordadopara a compra ou venda da ação é chamadode /preçode ea;ci'c-zZáodeiloLado

por X; e o preço de mercado da opção de prémio. Definindo S' como o preço da anão, se .\ < b

dizemos que a opção está ín-&Ae-íltoneg; se S < X dizemos que a opção está al&(-i:!f-lAe-narleg.

A teoria de precificação de opções que vai ser apresentada. apoia. é válida. })al'a opções europé

que não paguem dividendos durante o período de ma.duração

ias

34

35

Definições Básicas

Inicialmente entraremos com as seguintes notações

a) S: preço da ação no presente

b) X: preço de exercício

c) T: data de vencimento

d) r: l mais a taxa de retorno do ativo sem risco

e) C': valor de uma opção européia de compra

O Modelo Bínomial

O modelo de preciâcação que estudaremos inicialmente assumeque os ativos evolueiii indepeiideii-

temente deacordo com uma distribuição binomial. SendoS' o preço do ativo ilo pi'esCUte,este pode

subir para uS com probabilidade q ou cair pagad.S'conaprobabilidade 1-- q:

ttS, coiiipior)al)ilibadoqS

Apósn passos,o valordo ativo seráukd"'k5' paraalgumk, com0 $1k $ n..O preçodo ativo

apósn passospode assumirn + l valores. A probabilidadedo valor do at.ivoser tíkd"'k.S' para

algum k com 0 $ É É n após n lançamentosseráde:

nti;il?-ijÍ q' (1 - q)"'*Ainda,

.z. ?&!

P(S« 2 u'd"''S) = >1: ;ii; . i)! q' (1 - q)"':,

36 Modelos Biuomial c:Black-Sclioles

ondeS. é o valor do ativo apósn passos Para fins de notação definiremos

4'(k, ", p) = >ll: ;íi;i!:l:-D q: (1 - g)"''

Suporemosd < r < u, casocontráriohaveriaarbitra.geiii.Poiexetitplo.seu > d > r. lim

investidor poderia tomar emprestado a taxa r e comprar o ativo, /a:r'lt o dí7z/!ei7'0do nada.

DefinimosC comoo valor correnteda cal/,C. o valor da.ca//iio íitii do períodoseo preçodo

ativo subir a uS eC'ao valor da ca//seo preçodo a.tive ca.ira í/.S'.'l'oma.ii(loo ca.sedo iilll pet'iodo

teremos:

C'. = maxj0,xS .rl

C

C'a= maxlo,a.s'- .vl

Vamosmostrar agora o seguinteportíólio: uma.quaiiLidadeA dc açõese unia.(luanLidadeB de

títulos; logo, o valor presente deste portfólio é AS + B. Após un] pei'iodo, dependendo do valor' de

S, o portíólio poderá valer AuS + r.B com probabilidade q ou AdS' + 7'B coiii probabilidade 1 -- q.

VamosescolherA e B de maneira que o poitblio seja equivalente à opção de coiiipra, ou seja,

l Au5'+1?7'= C.l AdS+ Br= C.z

Resolvendoo sistemaacima para A e B teremos:

C.- Cü

l tí --(/).9

uCa -- dC.lü-- d)7'

Sempreteremos0 $ A $ 1 e B $ 0. Mais adiante mostraremospara o casode 7zpassosque

.B < 0e 0 < a. < 1.

O portfólio obtido acima tem o nomede poí'efb/íacq?láuí//c/lt(.Va.iiiosrclaciuiiar agorac tc

portfólio equivalente com a opção de compra

(3.1)

(3.2)

37

Na ausência de arbitragens devemoster AS + .B $ C. Suponha (lue (,' < z\S' + B; então

compramosa cal/, vendemoso portfólio e ficamoscom a diferença(z\S + B -- C'). No fiiii do

período (como o portfólio é equivalente) recompramoso portfólio. A desigualdadeA.S'+ B < C'

dáorigem aoperaçõesde arbitragem (vender a ca//e coinpl'al o pol'Lrólio), dcpciideiido da lelaçào

en\ve6.S + B e S -- Xjr

Paracontinuarmosa discutir a relaçãoentreo portfólio e(llliva.lei\t,ee a ca// vaDIosestudei a

relação entre C' e S--X/r. (I' < S--X/r permite realizam a.seguinte a.rbit.ia.gcili: coiiipi-e a descoberto

o ativo e venda-o;com o resultadoda venda compreuma opçã.oe aplique .S'- ('. obtendo r( S'-- (.,')

queémaior do queX. Então exerçaa opção,devolvaa açãoíicalido coiii a direieiiça /( .S'-- (.') -- .\

Assim, S -- X/r < C' < S (nã.o se pode ter .S < (', pois seda.o po(leiíaiitos v('lidei a opçã.o. (oin])ia.r o

ativo, e sea opçãofosseexercida.entiegarl'amoso ativo, ca.secoiiLiáiio fi(a.iíaiiios coleia difeleitça ).

Sevaler a relação C' = AS'+ B(esta. relação sela. pl'ova.da.a.seguia) obt.Cíliosa seguinte explessào

substituindo A e .B por seus valores:

Ca.U

ac'. td)

{c'«+ :=c.T

(3.3)

deânindo À (« -- d)/(u - d), obtemos l À = (u -- 7')/(u -- d). Logo

ÀC'. + ( ] -- À)Ca (3.4 )

Já verificamos que C' 2 AS + B. Agora, se S' -- -h/r $ z\J)' + B (e nã.o .S - .\ $ z\.S t /i

como em Cox e Rubinstein (1985)) nã.opodeieillos tei' C > A.S'+ B, seiiã.o\eiideiiios a opção e

compramos o portfólio. Como o portfólio é equivalente à.opçã.oganhamos (' A.S'-- B. Nest.ecaso

a possibilidade de arbitragens está.excluída, pois S' -- .V/7' < ('. 1,ogo.iiecossa.iia.iiieiit.eteictiios

C' = a.S+ .B. Ainda sobre a condição S -- .r/7' < (' vale dizer' (lue. se a opçã.o fot Frei-(.ida. o agelit.e

que a exerceu gastaria C' + X para obter S; mas .X'/7' < X , logo, S -- .\' < S' -- .V/7 e S' -- X/7' < C

portanto, S -- X < (', isto é, S < .V + ('. Oti seja. o a.gelit.e est.alia l)oidctldo ri(lticza. Poli.a.alto a

7


opção não seria exercidae iremos para o próximo período quando z\.S'+ B valerá o mesmoque a

opção

Podemos provar que, se r > 1 e u > r > d, teremos S' -- À/r $ A.S + # (que é a condição para

'ermosC'= AS+ B).

la caso: uS $ X. Então S $ X/u < X/r, logo S < X/r e C'«= Ca = 0 (não existe exercício).

Logo, 0 = AS + .B > S -- X/r. 0

2a caso: dS Z X. Nesse caso por (3.4) teremos

r(As+ .B) = ÀC«+(l - À)ca = À(us - x)+(l - À)(ds - .v) = IÀü+(l - À)als

= vS-- x :+ b.S.[ B = S -- xlr. a

3acaso:&S> X > dS. Nessecaso,AS + B = À(uS-- .V)/r , mas

À(uS -- X)/r > S -- X/r «, ÀuS' -- ÀX > r5' -- .V «, ÀuS' - 7-S' > ÀÀ -- .\ o (Àu -- 7')S' >

>(À-l)Xo -(l-À)dS>(À-l).V«(l À)(/S'<(1-ÀI.V«,í/.S'< .\'«, .\' >d.S'D

Portanto, agora podemos afirmar que C'

Agora vamosfazer alguns comentáriossobrea fórmula (3.4):

1. Nesta fórmula não aparecea probabilidade q, ou seja, o valor teórico da.opção não depende

do valor das probabilidadessobreo movimento de preçosdo ativo.

2 O valor teórico da caZ/nãodependedo comportamento do investidor'fieilte ao risco. A lazão

é a seguinte:a atitude frenteao riscopi'oduzum efeitoououtro dependendodo valor do

retorno esperado p do ativo. Como -E(S) = Suq + (l -- q)d5', vê-se que a. determinação de

E(S) é equivalentea de q (u e d sãoconsideradosdados), masjá se viu que o valor da ca//

independe de q e portanto, de E(S). A única hipótese feita foi que o invesLidoi é nào-sociável

com relaçãoà riqueza(e é esta hipóteseque faz o investidor pi'octirar conseguirganhar a

partir de operações de arbitragem ).

o dependeapenasde uma única variável aleatória. o preçodo ativo.

!ria ter em equilíbriose os investidoresfossemiteuLtosenl ielaçào

;tem (1985) define que um investidor neutro elii telaçã.o ao risco é

/estimentocom retornocerto eoutro com ieLoiito iiiceiLo, desdeque

no retoi'noesperado).Pala veiillos issotiotaiiios (latef.'l.S'l= q([t.S)+

n q = (r -- d)/(u -- d) = À. Logo. peia fóitit.i]a 1=3..]). (' pode ser

herançado seu valor futuro desconta.donum mundo de neutralidade

]BlqnqPnmnnnnAn rTln Annnnn-.BB-.ni +r.abA AaAnnnmnnnn&nn

39

3. O valor teórico da opçãodependeapenasde uma única variável aleatória, o preçodo ativo

4 À é o valor que q deveria ter em equilíbrio se os invesLidoies fossetii iteutios enl i'elaçào

ao risco (Cox e Rubinstein(1985)defineque um investidorneutroell) relaçãoao riscoé

indiferenteentre um investimentocom retornocerto eoutro com tetoiiio incerto, desdeque

essesapresentem o mesmo retorno esperado). Para verti os isso tioLaiitos (ltie F.'(.S')= q( tt.S')+

+(l -- q)(dS) = rS com q = (r -- d)/(tt -- d) = À. Logo. pela f(3riiiula (3.4). (' pode ser

interpretado como a esperançado seu valor futuro desconta.donum mundo de neutralidade

ao risco.

Vamos expender agora a fórmula para n passos. Tomando o caso para 1} : 2 tecemos osseguintes

diagramaspara a evoluçãodo preçodo ativo e da caZ/:

u2S

uS

S udS

d2S

c"-,

c.

c.í

C c«'

40 Modelos 13inoiiiial ( Black-Scholes

Definindo C'uu = max {0,u2S -- .Y}, c'ud : max {0. ?ld.S'-- .V} p r'dd = lllax {0.(/2.S' -- .\'}. Da

mesmamaneira que para zi : 1, tecemos,para que nã.oseja possívelaibiliagpíii

c. IÀC'.«+(l À)C«al/r e C'a IÀC'Ú..+ ( l q)(',/al/r

Ainda, podemos calcular o portfólio equivalente A.S + B., (onde A.. e /3., sã.ocalculados da mesma

formaqueA e .B,usando(;«. e C«.fno lugar de C'. e C.Í) e o nlesiiiopa.iaA,/.S'+ Ba. Antesde

prosseguirmos valem duasobservações:

(1) No casoda fórmula dedeterminaçãodo preçoda.úa// pa.i'all = 1exist.cii lha (oiitcidêttcia c-iilio

o final do penodo e o vencimento da ot)çã.o. Pa.ra ll > 1essafoin(i(lên(ia iiã.o ( xist.e. Oll se.la.

para n = 2, quando se eiicelra o primeil'o pei'iodo (faltando iiiais uni) não iiecessaiiaiileiiLe

enste o equílibrio enfie a cíl// e o })oi't.fólio c(lliiva.loxit.o. l)ortaiil.u. se u iiivost.i(loí- rca.lixa.i

uma operaçãode aibitlagen] em zz= 0 vendendo lama.ra// supeiva.loi'izadae usa.lidopaire do

recurso para comprar o portfólio equivalente, encerra.i'posiçã.oenl n < 2 l)odes'áincorrer eni

perdas maiores do que o seu lucro inicial. Esta.perda. podo sel ovit.a.dasogtiiaii(lo o l)oit folia

até n = 2 (ou reajustando -Be A do portfólio equivalente). Ou seja. pala.?i > 1 é necessário

reajustar o portfólio a cadapasso,isto é, fa.zerum Aedgedinâmico.

(2) Tanto no exemplo para n - l como pa.ia. ]] = 2 litiliza.Rios a iilesiiia bota.çã.o ('., o CÚ. l\4a.s

o significado de C'. e Ca no exemplo com n = 1 difere do casocom 11.= 2. Não temos dais

necessariamente as igualdades C'. = iiiax {0. n..S-- .V } c-( './ = iria.x {0. (/.b -- .V }. O sigiiilica.do

para n > 1 de Cu e C'Ú: sã.ovalor'es que a.cal/ lí:'nz qTfr ZT'l'pai'a (rio itã.oexista.iii l)ossit)inda.des

de arbitragem.

Vamos finalmente obter a fórmula para n - 2: coithecidos('., e ('./. podemosescíevei'(' como

antes:

41

ÀC« + (l - À)Ca À29":E(:=À)ga + ( 1 - À)àg''Ll:(!=à)Éb

À'C'- + 2À(l - À)C.a + (l - À)2Cú.i

{À2maxlO,u2S--Xj+ 2À(l--À)maxlO,duS--Xj+(l --À)' iilax10,d' - 5'--X'l}

r2

r2

Vamos verificar a relação para n passos:

comCj 'lg max {ujd"'jS - X, 0}.

Vamosfazer a prova por indução:

c -Ê m;h*'', D"-''al,

i afiar ulll

P $ n é

a acão de valorinicialÇ

P

J

b, ovelo

onde C:j?= max {ujdp'jS -- X,0}.

Seja Cr,l o valor da opção que vence em

l vezes, 0 < / < k

P

.j=o

42

c',.,

CP c,..

C-,o

C,,o

Suponha p = n + 1. Então C':l l é o valor de uma. opção que vence cm ?].períodos pai'a

uma ação de valor inicial uS. Devido à llipótese de induçã.o:n / \

c':t' = }: 1? 1xJ(i- À)"'j('';J.'/ ,".j=o \. ' /

Do mesmo modo

'«' :ÊI l*'.-*'"''',*',nA seguir vamos provar que:

(;"+l = ÀC':t' + (l - À)CI.o/r e S - X/rP $ (,'p.

O argumento é praticamenteo mesmoque aquele em que seprecifica a.opção(luando

esta venceem um período.

Montante um portíólio deAS e .B títulos tal queapós l período temosAuS+rl? = C'.'.ti

ouÂdS+r.B= Ci,ii; supondoporinduçãoqueuS--X/r" $ C'i.il ed5'--.X/r" $ C.'i'.g,

43

ÀuS -- ÀX/r" .(l - À)dS'-(l - À)X/7'" , À(i'i'.T' +(l - À)('1'.3'

Logo, s -- x/r"+i $ 6.s+ B(porqueAs+ .B = IÀC'f.tj+( 1 -- À)("'r.ilil/I').

Agora, se6.S + .B < C, compramoso portíólio e vendemosa.opção. O comprador

da opçãonão poderia exercê-laimediatamente, pois gastaria ('' + .V l)a.iaoptei .S',mas

como S -- X < S -- X/rn+l < 6.S + B < C'. logo teríamos .S'< (' + .V ( o ('ompra.dor

perderia.

Portanto, passaríamospara o período seguintecom o poi'tfólio. lilás nesseperíodoo

portíólio vale a opção,logo, podetiios rc(oiiiptá.-la o tctíaiiio:.. f(.ilu lliiia ai-l)itiii.goiii (uni

C'- (ZkS+ -B).

SeC < AS + .B, compre a opção, venda o portíólio; após l pei iodo a opção de conlpia

valeo portfólio, recomprando-oe teríamos feito arbitragens com z\.S'+ /i -- ('

Agora, utilizando queC'"+i =(ÀC'i.i 1+(1 -- À)C'r.&i)/z' e a.s fórmula.s(le ('i-.ti e ('.'8'completamos a indução. O

então temos

r T 7

Podemosver queuld"'JS é crescentecomj, logo existe un) iilelioi iiiteiio /il. ? 0 a.partir do

qual se tem u"d"'"S > X. Em outras palavras, m é o menor núnlei'o de passosde nlaiieii'a que

terminássemos ín tàe money (existe o exercício). Quando 1} < 71?Oli .j < n teicliios (' = 0, pois

max 10,Ujdn'jS -- XI = 0; caso contrário, teremos

max10,uld"''S .\'l = uld"'' .S'-- .\'

e

u"'d"'"'S' > .X « in(Tz"'d"'"'S') > in .\

de onde conclui-se que

m = min lk ? o : k>W}


voltando ao caso onde m S n e .7 2 m, temos:

: ;K;il!! jÍÀj(l -À)"-j(«jd"-jS -.K)l,'' IE?#ç'»*'o -N'-'e:1l -.*,''lx ?õ;:T»'u'[Ê a=h($)'(aP)'''] - *,-«.',,:.«,*, :

S $(m, n, p) - X,'" 4'(m, n, À),

onde p = (Àu)/r e l /,«« 1(1 X)(1l/r. Logo, se r]] > 1]., eiit.ã.o (' 0: sc /i/ < ii

c' S' '>(llz, ll, /l ) .\' ?' " $( '111, 11.,À )

Análise de Risco e Retorno sobre Preço de Opções

Nestaseçãovamosdiscutir a relaçãoentre o risco e o ietoino espei'adode umaopção e o fisco e o

retorno esperado do ativo associados. Também através do CAPM l (''a/)ÍZa/ .ésse! Pricíng .P14ode/)

encontraremoso alfa e o belade uma opção. O assuntoa sei disclil.idoiicstasega.otemi)uma

relevância especial quando a opção está colocada.num portfólio comideitlais ativos.

O retorno de um atino para um único período é definido como o preço no fim do pei'iodo

adicionado com qualquer acréscimofeito no fim do período, dividido pelo preço no início do período.

No modelo binomial o retorno é u ou d. O retorno esperado nl, é definido coiiio

In. = q'tz+ ( 1 -- q)d. (3.5)

A variância do retorno é definida coiiio

z;? = q(u -- n},)' + ( l q)(d - lll,)' (3.6)

45

Substituindo(3.5) em(3.6) teremos

z},= lq( 1 -- q)( u -- a)'l'/'. (3.7)

ondeu, é o desvio padrãoou volatilidade do ativo. Algumas vezespod(iiios tia.balhai comia taxa

de retorno e não como retorno do ativo. Nessecasoa taxa de retoiito esperadaé igual a m, -- l e

o desviopadrão é u,.

Podemoscalcular também a elasticidadeda opção que é deíiiiida. (oillo o (lho('ieilte entre a

alteraçãopercentualldo valor da ca//e a alteraçãopercentual do valor do ativo:

Lu -- LdIZ 3: 1.)/t , IZ\ nnae Z\ =

111--d)s

Analogamente, para uma opção de venda puZ retemos

Z\= ÇÇL=-llP e Q= (5'/P)A(« - d)s

Ainda, para a ca/l temos que Q crescecom X. Vamos verificar essaanil'iiiaçãopai'a a cal/:

Sabemos que

r

/'1

Vamos tomar o caso onde uS > dS' > X (os demais casos são a.itá.logos). Então

Sr C'..- (''aÀC. + (l - À)Ca (u - d) S

r max(üS -- .Y,0) -- max(dS -- .Y.0)

(u--d)S Àmax(uS--X,0)+(1 -- À)max(dS-- .Y,0)

r uS -- dS

(u - d) S À(uS- X) + (l - À)(dS- .V)

À«s + (l - À)ds - x

Portanto, está verificada a afirmaçãoanterior. D


Agora podemosaplicar os resultadospara uma opção. O retorno esperado.mc, e o desvio

padrãodo retorno, u., de uma ca/l sãodefinidos como:

m.: «9-'-O-Üg: «'\''l;' !n (3.8)

(3.9)

e

[«.: -«, (Q?)'] '''.Combinando as equações(3.5),(3.6),(3.8) e(3.9) obtemos

o, = Ç2u.. (:i. lO)

Esta última equação relaciona o risco de uma.opção e o iis(o do ativo a.ssociado,isto é, o fisco

de uma hall é igual a sua elasticidade vezesa.vota.tilidade do ativo a.ssociado.

Podemosrepetir este cálculo agora para taxa de i'eterno, e aiit(la. nesteca.sepodeiiios \eiificai'

quea ca// não pode ter um risco menor' do que o ativo associado, isto é, uc 2 u,. Pai'a vei'iíicai'lhos

issobasta provar queQ Z 1. Sabemosde resultadosanteriores que

ÀClt (l À)Cfl. onde À= !-:.gr ?z. (

logo,

rlc. - ca - (u - d)cj + lüc'a - ac«l = o.

Comor > 1, selaca -- ac'«l $ 0, então

c. Ca-- (H--d)C? 0 o í22 1

Portanto, precisamosprovar que laca --ac'«l $ 0. Sabemosque6'a(C'..) é o valorespet'ado,seguttdo

uma probabilidadeÀ da açãosubir, da variável aleatória.maxi((/s)?tj(")d"-j(w) -- X,0} onde .j(w)

é o númerode vezesemque a ação subiu no período. Logo,

r"+idC. d ,rl maxlSuj(w)+ id"-j(") .x',o}l

47

EjdmaxlSuJ(")+id"-J("). A,0} l :

ZI maxlSuj(")+ld"+l'J(u') . (/.V.0} l

Analogamente,

r"+iuCa ; ZI maxtS&j(")+ld"+l'j(w) . aX,0} l.

Como maxÍSuj(")+ldn+l-j(w) -- uX,0} $ maxÍSuj(")+id"+i'J("') -- d.V.0}, Vu,, segue-se (lue

uC'aÉ dC'.. 0

Portanto, mostramos que sempre uC'a $ d(-;.. Logo, está verificado que ÇZ2: l e tambén] a

demonstração acima serve para mostrar que 1?$ 0 (como foi afirmado alia.eriornieilt,e)

Ainda podemosnotei queQ 2 1 implica.(lue (' -- .S.â< 0. pois

. - (g)' : -: '' - ''' ' ..Como-B= C'-- SA temosqueB $ 0

No casode uma put podemosanalogamentemostrar que

g+3Lt( 1- q)PóV

e

«,- l«o-üu'iwl ''

A volatilidade de uma puZseria:

UP : 'Ç2Us-

Podemosagora calcular a relação entre m, e m. pa.ra obter o retorno esperado de uma.opção

Para isso vamos retornar à idéia de portíólio equivalente; sabeiltos (lue

uSA +7'B C'. e dSA + rB = CÚ

48

Resolvendoeste sistema para a e B, obtemos C' = SA + .B. Coliibiiiattdo as Lié:súltiiiias equações

obtemos

uSA C'.=r(SA--C') e dS'A--C'a= r(.S'A--(')

Mu[tip[icandoa primeiraequaçãopor q e a segundapor (] -- q) e soiiia.indoiiteiiibi'oa menlbio

teremos:

qlu.sz\ -- c',,l + (1 -- a)lesa -- C'al = r( .S.â -- (')

ç[«szi - c«] + (l - ç)casa - ca] = SA](i - q)d + qu] - l!!g!! -!--.F-- - 7'(s'A - c')

Substituindo as expressõespor rrz. e m. tecemos

e

m.S'A -- rlt.C' = r(S'A -- C')

Reagrupandoa última equaçãoe utilizando a deíiniçã.odeQ teremos

«,"-«.':,''' -', :,«,(P)-F:, «,"-«.: ,(g)-, : «,«-«,.:,"-,

:> m. -- r = ç2(nt,-- r).

I'( .S'Â

('

(')+

(3.11)

A equação(3.11)nosdizqueo prémiopeloriscoda ra// ó igtia.ln ç} iiiiillil)lira.do pelo l)rõtiiio

pelo risco do ativo associado.ColmoQ 2 1, se ms > r e o prêmio pelo i'iscodo ativo for positivo,

entãoo prêmio pelo risco da ca//nunca serámenor do que o prémio pelo risco do ativo.

Para uma put teremosuma relação análoga:

m, -- r = Q(m, -- ,), com Q $ 0.

Agora, utilizando o modelo CAPM podemosdeterminam'o betade uma opção. Sendolli., o

retorno total esperadodo atino e mM éo retorno esperadoda carteira.de iiiercado. Elltão a.relação

fundamental do CIAPM será

nz. -- I' = d,(71zw -- ?') (3.12)

49

onde

Cov(R,, RÀf)S

Var(Rm )

ondeR, éa taxa deretorno doativo e .Rméa taxa de retorno da ca.iteiia.de iileicado

naequação(3.11)teremos

m. -- r = ç2P,(mAÍ -- r).

Substituindo

(3.13)

donde

$.= çlD, (3.14)

A relação(3.14) nosmostra queo betada opçãoé o belado ativo iliulLiplicadu pela elasticidade

da opção. E importante notarmos que Q muda.de valor de período a pet'ío(lodevido a altciações

no preçodoativo e aolongodo tempo. Logo,mesmoseo belado a.Lavol)el'lula,llecelconstaltLe.o

belada opção pode variar.

Podemos agora calculei o a{/a de uma. opçã.o. Validos supor (luo lli, l > .J.,( //i.v -- 1 ): iiesl.o (aso

o ativo estará subavaliado pagando um retorno espetado maior do (ltie o itível de risco a.ssociado.

Este retorno esperadoexcedenteé conhecido como a{/a associado ao ativo e ó dotei'minado poi

m. -- r = cl. + /i,(nzA/ -- I') (;3.15)

No casode análise de pi'eços de opções o que pode ocoiiei é que a ol)ção é piecificada eiii ielaçào

ao ativo associadoe que o ativo associado é precifica.do de acordo (.Olii o l)oit fólio de iiiei'cada pelo

CAPM. Portanto, estimativas independentesde1?1.e lli., podemnã.osa.Lisfazcra.srelaçõesespetadas

entre risco e retorno.

O alfa de uma opção pode ser decomposto em dois componentes: o algaa.ssociadoao ativo (a,)

e o relativo entre a opção e a anãoa.ssociada(â.). Então, reescreveitdoa.relação ente'ea ca// e o

ativo e incorporando â., teremos

m. -- r = â. + ç2(nz., -- r) (3.16)

50 Modelos Biiioinial e Black-Sclioles

com âc > 0 se a ca// estiver subavaliada e âc < 0 se a ca// estiver superavalia(la clll i'elação ao ativo

Reagrupando as duas últimas equaçõesteremos

7'nc -- T â. + ç2a, + (2/i,(nzÀ/ -- r) (3.17)

com clc = âc + Qas sendo o a{/a da.opção. Assim como pa.rao a.t.ivo.o ríCfrl(la ol)çã.odepeíidc do

espaço de tempo para que o equilíbrio entre risco e retomo seja iepsLabelccido.

Para opçõesde venda obtemos uma relação análoga,

n'&p-- r âp + (2a, + (2/i,(n&A/ l )

Fórmula de Black-Scholes

O número de tiansações será dado pol ?} num intervalo de Leiill)o dp t.a.iria.lítio/: logo. o período de

tempo entre duas transições é de A = t/7}, isto é, vaiiios supor (lue a.s l.ia.ilha.iões só })ossaili ocorrem

igualmente espaçadasno tempo

De acordo com a notaçãoanterior, z'é a unidade fetaisa taxa de i'eLolitosclii fisco sobre liiila

unidade de tempo (que é definida institucionalmente). Coillo esLanlosdividindo uni inLeivalo de

tempo de tamanho t em n partes iguais, definiremos o retorno nessesintervalos b. = t/n como f.

Logo, no fim do tempo f um retalho total de f", de maneira (lue f" = r', ou aiitda, f = rz/« : ,.b

Vamos manter a notação anterior para os retornou u e d, iilíls apoia.trabalhei'eiiios com in u

e Ind; ou sqa, utilizaremos o sistema.de capitalizaçã.ocottti'nua. Nest.osisLoiila de (a.pitaliza(ã.o

uma taxa R na unidadeé fixada, dividimos a unidade de tempo illlEiia(luaiil.ida.do(ria.lqtier. ni. de

subperíodos;a taxa é entãodividida por 111e composta.})OIestesin sul)palrados. Piore(lettdo desta.

maneira na unidadeondeo ietoino é I', tecemos7'= ( 1+ R/iii )". Qlia.ii(lo lii ó gia.It(IPu suíicit-ilt.o

obteremosr H eRe R = in r.

Seem n períodosa açãosubir u vezesatingindo o valor final 5'', eilLãolii(S;/S') = t;in ü+ (n --

o)Ind. Vamos calcular a espei'onça e a variância de lii(S'i/S):

51

-«'';';, :Ê*, « (;)*«--.'.onde Xr :: l se u ocorre eX, = 0 se d ocorre.Notamos que as .\', sã.o indcl)eildolltes e identicameilte

distribuídas, logo, yar(El?:oX,) = }ll:r;orar(X,). C:oliio L'(.V,) = /i c' \ «/'(.\,) = p(l -- P),

então

Podemos escrever

.';[-«'';,;,] - E''.*,, «(;) -'-«-««: ««-«(;) --«-«'e

".,[-«'';/',] - ««': -,,:« (;yVamos deânir

Ejln(S=/S)l = jpln(u/d)+ln(Zl7} Ê /lll

e

}'a, l in(Sl:/S)l = p(l -- p) l in(l./íl)I'n Ê â'7,

Note que â2 é a somadas variâncias dos increnleiitos in(S',) -- in(.S',-i ). É (ost.Hinodeitontinai âZ

uolatitidade do atãoa.

Agora o quedesejamosé que Pn e â2n.convirjam qua.ndovl-- m. Seja.m/íf p aZf os limites

A escolha u = e'«i, d = 1/u e p = 1 + { (.) v/i; faz com que An e â2n convirjam. De falo:

:,"«'«'',*:«',«; li;*;n l i'«=ãi*-«.1;-«."";--;(:)x -« '"" ---..-.";l1,x*;(;)X''a-'4«:

"]«

«vã+

52

No casoda variância a prova é análoga. Então teremos

Ün= Ht e õ'n la' - p'(z/it)if.

Com n ----+oo teremos â2n ----, a2t e pn = pZ para todo n.

Agora vamosdescrevera distribuição assintótica de in(.S=/.S): Itt(,S';/.S')ó. l)a.ia fada li. a soilia

de variáveis aleatórias independentese identicamente distribuídas. [iias coleia caia(-Le]ísLicade que

a médiae a variânciada distribuiçãose alteramcolll 1}. Pala isto Talitoscttuitciai e utilizei o

Teoremado Limite Central de Liapounov comoem C:llung (1974).

Antes de enunciarmoso teorema, vamosintroduzir algumasdefinições.Para cada n ? l sejam

k« variáveis aleatórias {X«j : l $ j $ k«}, onde k. n=m OO.

Xii, Xi2,

.A 21 } .A 22)

X iA;. ;

X2k, ;

[:].18 )

Xnl ) .Vn2)

Seja S. = S.,k. = }1:j=i X«j. O caso onde k. = ?} para cada li e .V,., = .\, pala cada l},

reduzo nossoarranjo (3.18)a unia única sequência{XJ,J 2 1}. Vaiiios assuiiiil queas variáveis

aleatórias em cada linha de (3.18) são independentes, ma.sa ind('pendêtt('ia itã.oé gai'a.ntida entre

linhas. Ainda, sejam

k,]

.E(Xnj) = a«j; E(S«) = }1:a.,J=l

aa( .V,, ;) = a:1}

E( l -V«j l3) = '«j

k.

E:a'(X«j)=l

V7z,VJ : a«j = 0

e l3.i9)

(3.20)

33

Na verdade podemos considerar =à:!!Ç;:u, isto é, a variável normalizadan

Teorema 3.1:

Assumindoo arranjo (3.18),as hipóteses(3.19)e (3.20), e que1«, é fiiiiLu pala.cada zie .j, se

I'. n=m 0, então S. convergeem distribuição para N(O, l).

Prova: Chung (1974).

A Condiçãode Liapounov a ser satisfeita será

p l Inu-/ ' +(l - p) l Ind-» I'

n'=ü Õ''7F

Para verifica-la

p l inu - A I' +(l - p) l in.l - AI'a'J'n

p l Inu -- pln(u/d) -- in d I' +( 1 -- 7)) l lil (7-- pln( i'/d) - lii (/ I'

IP(i - P)l;/: li«( «/d)l3«i

p l in(u/d)(l - p) I' +(l - p) j-pln(u/d) I'

Ip(i - p)l3/2 jln(u/d)I'vã

P(l-P)3+(l -P)P3 . P(l -P)l(1 -71)2+P21b(i - p)I'/'«ã p(i - p)«;ii;(í:T '

(l - P)'+ P''nP(l - P

Substituindo p = { + { (p) vi; e calculando o limite obtemos a C:oildiçã.o de Leal)ouiiox:

valeo TeoremadoLimite Central:

Portanto

n ,,{!''%à:':: ;}d=

'2z'

34 Modelos Binoniial e Black-Scholes

Agora vamosverificamquea íóinlula binomial convergepara a lórtiiula dc 131a.ck-Scliolescoiii

F, u, d e À já definidos e o preço do ativo com distribuição logliottiial (sol)le propriedadesda

distribuição lognormal ver Crow e Shimizv (1988)).

A fórmulade Black-Scholesé

C S/V(z) Xr-' ]V (z -- aV'il

onde

r = in(S//t'7''') + ! a«i.

Lembrando a fórmula de precificação do modelo binomial

C' = SQ(nz, 7z.PI .Y f ' "Õ( vlz, 11. À )

ondem é o menor inteiro não-negativomaior que in(.V/S'd")/lii(ll/d), À = (f: -- d)/(ü d)

p = (Xu)/, e f'" = «''

Iremos provar que @(n},n,P) n!==' /V(a:) e 'b(7}},1},À) '!==' .V(a' -- av/i):

Sabemosque q'(7n,n, À) é a.pi'obabilidadeda.soiiia.do 1/varilí.vos(luc assliiiiciii valor l

com probabilidade Àe 0 com pi'obabilidade 1-- À sei iiiaioi' ou igual a nl, ou seja,

!- /.)J;;.. \. 'c'.J

Seja u a variável aleatória com essa distiibuiçã.o: sabemos q\ie /ç(?,l = ?lÀ e l/a.7'(?,) =

E4'(m, n, À) = À'( l - ,x)"'"

nÀ(l -- À). Então

Da mesmamaneira que no casoanterior, consideramosliíli ativo (ltic pode assuinii

o valor uS com probabilidadeÀ e dS cair })robabilidade1-- À; eiiLão.In(S';l/S'l

uln(u/d) + nln d. A média e variância serão dadas por

.r l i«(s=/s)l = /lx lÀin(u/d)+inaln.P

Var l in(Sl;/S)l = â{ = À(l - À)jlnju/d)I'7i.

Claramente

1«(S:/S)- nl«d1«(u/d) '

então

In(Sl;/S)-- mina-- nÀln(u/d) in(S;/S')-- nl«d «Àl--(«/d)In(u/d)«nÀ(í - li) l«(t'/d)@iliÍí-'XI li.l«/./)-.,ó;liH'

D

Então,

'nÀ(l - À)tr -- 77À

'nÀ(l - À)N

In(S;/S) -- nPÀ ., -- nÀ

õ*«a ..,/iX(Í:'Dda fórmula binomial podemosdefiitir 7}1colho

m- l $ Ü1lli;lÍZaí< "'

Por outro lado,

Logo,

nt -- lIn(À/S'd" )In(u/d)

jlli( .v/s' 1 -- 71lit al

In(ü/d)(

onde 0 $ € < 1. Agora usando as definições de »À e õi teremos

.: . ] -1«(u/d)'

m -- 1 -- nÀ

'nÀ(l - À'In(.Y/S) -- n.Ind -- (in( tt/d) -- /i.À in( «/(/l

v/;i in(u/(í) -./ÃÍÍ':'D+

«nz -- l -- ?zÀ

hÀ(í : .x)

In(.X/S') -- ( in(u/d) -- /ljlnd+ À in( it/d)l

m -- 1 -- nÀ In(X/S) -- ( in(a/d) -- 7z/2X


Portanto,

:-'(m,«,N:', lbeyn-Êxn$ 1Antes de aplicarmos o Teoremado Limite Central, piecisainosvciiíicai a ('oiidiçào de

Liapounov (da mesmamaneira queChung (1974)):

Àjlnu--Axj3+(l--À)jlnd-Axj3(l-À)Z+À'õi«a

0

.ISsta condição vale. i)ols

À:ÍÍ-:.O. f;,''". .:..«m e a:.-'«n(« - d)'

Fazendo o limite para À teremos:

(f--d)(r'/"--e-''/i7;)(rh --e''"/i)" t --d)' (e''/;7;- .-'«iR)' (e'W- ''.W)

Aplicando a regra de L'Hospital e o limite teremos:

rh Inr + ac--''/i a llim . ' . = -=.- = --Ã=Õ ae«i + ae-'x/i

Agora podemos aplicar o Teorema do Limite Central. Seja a seguinte transformação:

Pr In(S;/S)--Axn + , +(in(u/d) < :..,/iâ* ' ' ..,/ãâ -:

(3.21)

onde

jln(X/S) -- (in r -- 1/2 a2) ll

Sabemos que de maneira. análoga. ao caso anterior t.emos:

p' IUK'!i$11=..êu $ ;1 n1:3' JVP, i)

57

e tam bém

In(X/S) + Axn + ( in( u/d)

Vamos mostrar que a relação (3.21) converge em distril)unção para .N(0. 1):

Para facilitar as contas vamos definir:

7

In(S;/S) - »xn x.aÀ

In(X/S +AÀn +(in(tl/(Z) : Ó/' A

Então pela nova notação temos que

P7' IÀ',: $ 31 '1=3' /V(0. 1l = -'/z d.i2n'

e queremosmostrar que

PZ' IX. + Ó. $ zl n1=3' /V(0, 1) = ,.,/z.!y.e

Vamosà prova: Como ó« 't:3' 0, ente.ofixados > 0. seja ?i(f) t.a.l(ltlo l)a.ia Vrl 2 TI(f)temos --c < ó. < c , então

x,:--f < .x,.+ó,,< .v,.+ !

Se

X. + c $ 3 :> .Y,.+ Ó,.$ : H.

:> 1.V,:$z-cl C l.V,.+Ó«$=1:>

:+ P7'l.V«$=-sl $ PT'l.V.+Õ«$:1

58 Modelos Binoniial e Black-Scholes

Assim,

limPrjÀ'«$z--cl $ 1lDP7 l.\,.+õ« $:1:>

:: .r.'.-':/'.3:$h«p,t .v«+ó,.$:].

Como vale pala qua.lqtiPrf p a integra.l indefittida om (lllr'slãn ó illil;\ hiiiçãn (oiitl'iiiia

de seu limite de integração, a desigualdade se preserva qtia.ndo s = 0. f:iitã.o

2-.:;L: $ !iJl! P7' [ X. + Ó. $ : 1.T

(3.22)

Por outro lado,

se X,.+ó«$z:> .Y,.$.-+!:> 1.V,.+ó,.S:lCI.V,.S:+:l:>

+ Pr lx« + ó« $ zl $ Pr l.v« $ : + fl +

:+ limPrjX«+ó« $ zl $!jtDPrjX« $ z+cl ,''/,.e

Logo,

Íiãp,- l.x'«+ó« $ ;1 $ / --'/' 'n«2n'

(3.23)

Então, utilizando (3.21) e (3.23) teremos

!jDPrjX« +ó«$ zl = iiãP7'lX.+ ó«$ ;1 = liiii/'z'l.V,,+ó,.$ ;1

.-,'/'-1l::i: = JV(o,i). oT

Então,

1 - $(m,«,N "= A'(4 : /v IUK:i5:!iU+ :l.,al

39

Utilizando o argumentoda simetria da distribuição normal. i.c

então quando n ----, oo teremos:

[ -- Q'(m,n,À)n=m ]V(Z) «, {'(m,n,À) n1=3' ] . A/(:) «

+ '(m,«,N n=m «,(-4 : «, l:-UÇl;:iza-:l.al

~["; a-;.«] : ~]"Ua-;."*.«~["=ü *;.« -.q:~',-."-.

D

«]

'' I'Ollde z foi definido a.nt.eiioí'menu('

De forma análoga.pode-se prova.i (lue

'>(m,71,p) 't=3' JV(=l

Agora vamosobter alguns resultados associadosà.fórmula.dc Black-Scltolcs. EssesiesulLados

não são rigorosos, pois vamos admitir que os processos são contínuos e ilào discretos. Mas esses

resultados vallem pela hetin'sííca. Inicialmente va.mos adorai uma. notaçà.o iiiais conveniente: (.' =

C(S,t); C'u = (uS,t -- A) e C'a = C.'(dS',Z -- b), Oltde /l é o intcl'\a.lo (l( toiilpo emiti-e altei'ações de

preçose l é o tempo até o exei'cicio. Desta maneira (1-- /}) pe(lticiio sigiiiíica.unia.i'igidezde preços

e(t -- A) grande significa. mobilidade de preços. Va.lhosobt.( i arar'l\ os loslilla.(los: slll)slituiiido l/ o

d pelosvaloresjá discutidos e expandindo C'(uS',f -- /z) e C'(dS',l -- /i.) l)oi sériede 'l'aylor em torno

do ponto (S, t) teremos:

C.-C'a C(uS,í-/z)-C'(dS,f b.)

(u --d)S (e'v;B -- .-.x/iB)S'

60 Mo(belos Biiioniial c Black-Scholes

CtS,t).+ te'ah -- \)S i)CjõS .+ \l2Çe'ah . \ )at)a('lt)zS- h t)('lt)t - ('\s.t} .

.e''J'l'- (-' J\l" IS

. '©K -- \)S aCji)S -- Lj2Çe''aK -- \)i)2CjiyzS -t l\ i)('lt)tke'''/tl" -- C'a'Jtll \S

Simplificandoa expressãoacimae fazendoA [/n teremos

te'ah - X)SaCjõS + \j'2te'ah - Vila'Cja'S .

k é'Jt lu

-te''h XÀSÍ)Cjt)S-- \l2(t-.mh . \ \2i)u('li)aS.e' qLI« - c-.'Jtl" \S

Vamos calcular o limite da expressão a.nLerioi de iria.iiciia scl)ara(la. \,a.iiios sopa.ia.i a expiessã.o

em quatro partes. Lembrando (lue 11. -- 00. Puta.o /i -- 0:

(e'*/h - l ).S'a('/a.S'linlke''J'l" -- c-''-J'ln bS

Aplicando a regra de L'Hospital e fazendo «/t = :y teremos

+

:«1"==:1sç: ; $,*W''aA - l ):

q..eox/tln . e-'-J'l« IS

Aplicando a regra de L'Hospital e fazendo b = y:

.: --(c 'b -- l).S'a('/1).S' l i)(ll I'll --

ke''Jii" -- e''~JiTi \S '} k)S

-1/2(e''@- l)'a2C/aS': .je''J'l" -- e-''J'l" IS

Portanto,

l n/' l ;)r'

e pela fórmula de Black-S('holes, obtemos que

logo A = .AI

e pela definição de elasticidade:

«:g$

Dois conceitosadicionais: podemosdefinir a sensobilidade

de preçodo ativo como o gangade uma.ca//:

De maneira similar' podemosdefinia'a.sensib

o teladeuma ca//:

Fórmula de Black-Scholespara opçõesde venda

Pela relação put-ca/l parity temos que:

P = C' -- S + XT'' ,

(r)

do (/c/Za(.X) ali ielaçào a iiiudaitças[

inda.de do valor da fa.//eiii leia.çã.oao teiiipo coiiio

onde P é o valor d

«a]fs li /v(=)lP .A'(a'+

= A'(3)

62 Mo(leias Biiioniial (- Black-Sclioles

Utilizando a propriedadeda simetria da distribuição noriiial Lercitiosa fóriiiula de Black-Scholes

para opções de venda (put):

P X,''.N(y + a~/i) S'Ar(y)

u;5P -; «".

Sobreeste capítulo, a principal referênciaé Cox et.a.l.(lç)7ç)).( 'oiiio rofoi(-li(.ill }i(lifional. Sttiit.h

(1976) e Merton(1973). Os conceitos de probabilidade estãoeito(:liuiig( ISIT4lc os collceltos sobre

distribuição lognormal estãoem Crow e Shimizv ( 198R).

Apêndice A

Tópicos de Análise Convexa

Esta parte do trabalhoapresentaos conceitosde aitálisecollvexa(ltle sei'àoUtilizadoslio estudo

de preferências. Osmais importantes serãoo de cal'cde uni conjtiiito. (ltic fuiidaliieiiLa a idéia de

nearby pre/eKnces, e de gonzoslínearmenle acesso'fieis,que é iiecessá.iio}) \.ra comi('eitua.ipreferência

algebricamente conta'nua. Essesconceitos coloca.dosei]) DuíHo 1198 l têlii (oilio ieferêitcia básica

Holmes(1975), Valentine( 1976) e Scha.efei ( 1971).

Neste segmentoserãoenunciadosuma série de resultados necessáriosl)ara o entendimento dos

conceitos, mas somente serão provados os mais importantes.

Definição A.l:

Dadoum espaçovetorial Z:e uma topologia de Ha?zsdor:#r, o pa.i'(C. r ) é cha.iiiadoespaçovetou'ial

topológico sobreo corpo #? sedois axiomas sã.osatisfeit,os:

(z,y) ----- z + g/ é contínua. em C x C enl Z:

(a,z) ----, az o«dea C J/?é co«tínua e«l #? x C e--l C

63

64 Tól)ices (l(! Aiiálisc Convexa

Definição A.2:

Sez € C, g/ C Z:, o segmentol ,yl ligando z e y é o conjtiíito (lo t.o(losos l)ont.osda forma

az + (l - a)3/, 0 $ a 5; 1.

Definição A.3:

Um conjunto S C C é star-sÀapedrelativo ao ponto z C r sepala ca.daponto .y€ .S',temos(]ue

1,,vlc s.

Definição A.4:

Denotaremos por int(.4) o inteiioi Lopológico do coiijtiiito ,l, I'i( .,1) \ froiit.eira dc .-l t- ( '1(.-1) o le(Itu

de .4.

Definição A.5:

Um subconjunto S C C é conota;o se for azar sAape(/ elii i-ilação a (letal(suei' .l C .S'ou e(luivalenLe-

mente, V=,y C S : az+(l -- a)3/ C 5, 0 $ a $ 1.

Teorema A.6:

SojaU uma vizinhança de0 CZ. Dado a;oC Z existe J/oC ü e a C #ZLalqueago = =o.

Prova:

Dado zo, seja g : #? ----, r definido poi p(a) = o=o.

SejaU vizinhança de 01g'i(t/) é um abei'to que contém 0C #Z. Seja.f > 0 tal que:

1--c/2,c/2lCg'i((/); tomandof #0tal(luc/Cl -s/2,f/zl o(Olllol--:/2.s/elcC y,-:(U), entãop( 1- c/2,c/21) c U

Logo, g(t) € U e comog({) = tz., então t=. C t/

Defino g/. = tzo, a = 1/t, ag/. = + lz., logo ago = ]ço. o

65

Existe umaconsequênciaimportante desseteorema: Seja /V(0) vizinhança.convexaa.bentade

0 C r e lz,3fl segmentocontendo0 comz # 0 e g # 0, eiiLãolJ:,#ln .v(o) ó uni segnieiiLo(lue

contém 0. Como observaçãovale mostrar que la;,yl niV(0) é ui]] segiiicliLo: scitdo o segiiieiito abri'Lo

denotadopor(a,g/), sabemos(lue0 C(z,y)n iv(0) e l=,yjn /vlo) :)(z,y)n iv(o) 3 0 e teiiios

que essaintersecção é um aberto que contém 0. Logo lz,g/l n A'(o) iiã.o podo sel uni ponto. Esse

resultado seráútil mais adiante no TeoremaA.18.

Definição A.7:

Subespaço Afim. Seja .A/ C C subespaço e a; C C, ente.o a' + ll/ = {.i + .y l g € ./14} é o subespaço

afim paralelo a .A/

Definição A.8:

Envoltória Convexa. SejaS C r; a envoltóriaconvexaC'.(S')é o illenol'convexode C (lue

contém S. Equivalentemente, Co(S) é igual a inteisecçã.odc Lodosos coiivoxos dp Z' (luo (oiitéiii

S

c.(s) n ; A=lHçc:sçH.//éco--«xol;H€A

pode se provar ainda que

C.(S) = {>. Àizí 1>11:Àf = 1; z.' C S', F' Íiliito}ieF ief'

onde >1:íCPÀízf é uma soma finita.

Definição A.9:

Sendo r um espaçolinear, sez C Z, g/€ C, z # y, então (z, g/)é o conjunto de todos os pontos da

forma az + Py, a > 0, P > 0, a + /i = 1.

66 Tópicos dc Análise Convexa

Definição A.IO:

Seja S C Z. Um ponto y é dito linearmente acesahe/ a.parLii de .S'sc exigi.ir uni palito .l c S', = # g

tal que lz,yl C S. O conjunto lha S é o conjunto de Lodosos poiiLosclip C (lue são liiiearilleilte

acessíveisde S. Também define-selinS = S Ulha.

Exemplo: SejaS o conjunto formadopor um triângulo e uni })oitLoa nãoperLeticeltLeao triângulo.

Então a € S, mas a Í lhas porque não existe um segmento que liga. a até o triângulo e que esteja

contido em S.

DefiniçãoA.ll:

Sejam Á e B subconjuntos de C . O fora de ./l tela.t.ivo a /i (('oleH..ll (Ollsislc (lc l.o(los os poiit.os

a € .4 tal que para cada b C B existe z C (a, b) tal (lue la, .rl C ,l

O corede .4 relativo a r é o coieÁ. Dizemosque ,4 é algébrica.mcliLeabri'to (lua.lido.4 = corei.

Definição A.12:

Envoltória Afim. Seja .Bo menor subespaçoafim de C que contém ..l C C. ilotaçào B = Aff(.4)

Aff(,4) { :a i,.Ffinito;>:a{ 1; fcÀ}

Exemplos

,) ..4= {,} e C = a:

AfT(.A) = {Eafzi,Eaf = 1;zÍ C .4} = {E: aiz,E a; l} {,} = .+ {o}

b) .4 = S: = {p c m: l lpl = i}

,- = (1,0) c S:

za= (-1,0) CS'

ai = z,a2 = 1-- z,ai = 0 V{ > 3

67

E,aizi =ai i+a2z2+ l:iZ3aízi =(z,0)+(--1+a,0)=(--1+2i',0)guia Lodoeixoz

ainda zl =(0,1) ; =2 =(0, --1) e Eoíz. =(0. -- 1+ 2.i') aitalogailtoiit-c gola todo eixo g

Então Aff(.4) = m'

Definição A.13:

Core Intrínseco: Dado 4 C Z:. Seja J? = AH'(.4), defiltimos o cole int.i'i'nseco

icr(.4) = corei(.4)

Exemplo:

Seja .B = AfK 4), X = #Z: e .4 = pontos de unia. parábola.

Então, icr(.4) = corei(.4) = ü e cole.4 = 0.

Definição A.14:

Um subconjunto .4 C Z com Á = {zo,. . .,z.} C C. n ? l é a$77z-Índ':'/)Pndenlí'+ {='i - zo.zz

zo, - . . , z. -- zo} é linearmente independente

Definição A.15:

Sda À4um subespaçode C . A dimensãode uin subespaçoaíini .r+ .\J ó a.diiiteiisão de ibd. Dado

um conjunto convexo 4 não vazio, dim,4 = dim AfT(.4).

Lema A.16:

Seja.4 um conjunto convexode um espaçolinear' C e seja.p C cole'(A). Pala.todo ]: C .4 teiiios

quelp,z) C core(4), logo core(.4) = Ullp,z): a;C ,4}.

Prova: Valentine(1976),pág.ll.

68 Tópicos de Análise Convexa

Teorema A.17:

Se 4 C ,Cé um convexo,entãocore(,4) e lin(.4) sãoco««exos

Prova: Valentine (1976), pág.ll.

Teorema A.18:

Se S C (,C, r) então int(S) C core(S')

Prova:

Tomando3 C int(S) e umavizinhançaU convexadez conal C ilil(.S'). Pelo'l'eoienia

1, para cada. g/ # z nós temos (/ n (/.y) = la'. :). assim ;i' C (OIP(.S') Oli se.ia. int(.S') C

C core(S).

Teorema A.19:

Seja C' C(Z,r) convexo. Se z € int(C), e y C ü, então(z,y) C int(C) cre iiit((') são convexos

Prova: Valentine (1976), pág.lO.

Lema A.20:

,4 C #?" convexo com a topologia usual(r, /R"). Sc int(.4) # 0. eilt.ão iitt( .4) = (oio( ..1)

Prova:

I' i«t(.A) Ç core(Á).

Já foi provado no TeoremaA.18

2a int(.4) D core(.4).

Considere os 2n vetores pü ei,.. .,pü e., onde ei,. ..,e. [olitiaiii a. base caitõitica do #Z"

Como p C core(.4), existem Ài,...,À. leais l)ositivos tais (lue ip,/}+ ÀJtjl Ç Ç .4 e

69

b,p--ÀjejlÇ ,4paratodo{ $ .j $ n.

(paraop+ej háumaj > 0comip,p+ajejlÇA,o ines]iiosucedecoiii/}--cJeuii]Z,,>0,

istoé, b,p-- bjejl Ç Á, escolhaÀj = minlaJ,bj}).

Para simplificar, seja À = minlÀi,. .., À.}, temos 0 < À.

Assim,b,p+ÀellÇ 4 e b,p ÀejlÇ ,4 paiatodo l $1$ /1.

Seja agora C = envoltória convexa dos pontos p ü Àej, l $ J $ ?}.. [)a' (' Ç À e 7}C (''

Daí, se Ig--p 1=maxl$j$n l qj então {g e//?" :1q--/il< À} Ç ('. istoé, a l)ola abeira

centradaemp de raio À segundoa métrica acima está dente'ode ,4.

Como no #?" todas as normas são equivalentes, 7)está no inteiioi de A

Então, da la e 2apai'tes temos: int(,4) cole( 4) n

Exemplo (Exercício llolmes (1975), pá.g.40.):

Vamosdiscutiruin exeiiiplode uni coiljuilLo.4 C /7iZttào(Olivexooiidt 0 e iiit(.4), lilás

0 C core(Á).

Seja uma cardióide com equação p = 1 -- cos 0 com 0 $ 0 < 2r, e (p, 0) coordenadas polares no

.ü?2.Vamos definir o conjunto ,4 = cardióide u int(cardióide)u l--2, 11.

Antes de realizar a demonstração vamosapresentei a heurística.desta. Pala provar que 0 g

g int( 4) nós vamos verificar que 0 é um ponto da ca.rdióide. logo 0 C Ft'(.4) e 0 # int.l.4). Pa.ia

provar que 0 € core(.4), tomaremos P c #Z2 com P g ,4; (luei'estios iiiosl.I'ai (lue lo, pl n ,4 = lo,!)

com z CÁ, i.e., 0 C coi'e(Á). RepresentaremosP em cooi'penadaspoial'es P(z'cos61,I' sen61)pai'a

algumr C #?e 0 $ 0 < 2r. Então fixado P. seja P' = 1 -- cosa?iim ponto da.ca.rdióidee

T : {0 + À.P : À Z 0} uma semi-neta por 0 e P. Esta gemi-rega intercepta a. caidióide ein P'. Assim

teremos três casos:

la 0 = 01trivial

2a 0 # 0 e P entre P' e 0

70 Tópicos de Análise Convexa

3a 0 # 0 eP' entre P e 0

Nessestrês casosexistirá um segmentocontendo zelo inteiramente deiltio de ,:l

Prova:

la 0 Í int(Á)

Prova: Para 0 = 0 temos p = 0, logo 0 C a cardióide; isto é. 0 C l-'r(.-11+ 0 g iiil(A)

2a 0 Ccore(.A)

Prova: Tomando o ponto P = (rcos0, r sen 0) com 0 e r fixa.dos

la caso: 0 = 0. Neste caso P está sob o eixo horizontal e nã.ohá nada a provei

2a caso: 0 ?é0. Seja a semi-neta. Z : {0 + ÀP : À 2 0l; esta. sciiii-i'eta. iiiLeicepLa a cardióide

(p = 1 -- coso com 0 $ 0 $ 2a ). Esta. semi-neta f enfant.ra a ('a.idióide no post.o P' da.(lo

por p' - 1 -- coso. Apoia. podemos tei duas situações:

(i) Se P estiver entre 0 e P', ente.o iiess( ('aso 10, PI C ..l o /' / 0: l)ois /' iiã.o pcitoiifoà cardióide.

(ii) SeP'estávelentre0eP,entãonessecaso,to,PIn ,4= to,/''l c ,4. p' # o

Logo,0 Ccorei

Teorema A.21:

Se S C (r, r), então linS C CIS.

Pi'ova: Valentine(1976),pág.ll

Sobre esta parte de Análise Convexa. as principais referêitcia.s sã.o Valeiltiile (1976), Holntes

(1975), Barbu e Precupanu (1986), Acker e Dickstein (1983). 1t.obeitsone Rocei'tson (19641e

Schaefer (1971).

Apêndice B

Preferências e Utilidade Esperada

Nesta parte do trabalho serão discutidos os conceitos relativos à 'l'eoiia (le Píefelêitcias. Esses

conceitosfundamentarão parte do estudo i'efel'elite a.oe(luilíbrio geral. Serãocoloca.dasasdefiitições

eosTeoremas(onde sei'ão piovadosos mais importa.nt.es). Poi'oia.o (ltlo nos interessa é lutldatiietttai-

o conceitode preferênciae a i'epresentaçãoda legaçãode preferênciapoi unia.função utilidade eni

conjuntos finitos, infinitos enumeiáveise não enumeráveis.

Uma relação binária sobre um conjunto X é um par ordenado {(z, gf): =, 3/€ X }. Seja./? C .V,

sendo R uma relação binária. Denotaiemos a;R# coillo sigttiíica.tido (i'. J/) C /?: aittda. ttegal' .l:/?.t/

significaque(z,3f)g R.

71

72

Algumas Deânições:

Sendo R C X uma relação binária, então ela é dita

Pi'(!fei-âiicias (- Utili(la(l(. Espei'ada

l

2

3

4

5

6

7

8

9

rePezit;a, se zR:c para cada a;C X

írrePeziua, se não zRz para cada 3 € X

siméfríca, se a;Ry + yJ?z, pala cada z, y C .\

assimétrica, se z-Rg/ :> não yR=, para cada z. y C .V . edil) :i: # .l/.

antissime'trica, se (zRg, g/-R=) + z = y, pai'a cada =, y C .V

[ransíZiua, se(aR3/, yR:):> ,R:, p"ia cada ..',g.: C .V

[ransitit,a negativa, se ( nã0 3J?y. nã.o :y/?;) :> irão «,/?:. l)a.i'i- (.a.(]a

coneza ou como/eZa, se zRy ou yJ?= (ou ambos), pai'a cada. #, # C .\

/faca coneza, se z # y :> (3Ry ou yR=) em todo .V

Comentários sobre essasdefinições:

1. Uma relação binária assimétrica é ineílexiva.

2. Uma relação binária irreflexiva e transiLiva.é a.ssiinétlifa.

Prova: Suponha por absurdo quezRy e #Rz, i.e., iiã.ova.lea tesea assinieti'ia: pela

tividade teremos que z./?=, violando assima propriedade da iiteílexividade. n

3. R é negativa transitava o para todo z,y,; C .V Lentos ;i:/?y :> (.i /?=Oli :/?y)

73

4. assimétricae transitavanegativa + transitava.

Prova: Suponha por absurdo que zJZgf,yRz e nào z/i: (i.p. (lue iià.o\ale a LiaiisiLividade)l

pela assimetria g/Rz + não z/ZZ/e pela transitividade negativa.. itã.o .i:/?:. liã.o :R.i/ :> não zRy

contradição. []

As relaçõesbinárias quesatisfazemcertas proprieda(les i'cccl)ciii iioilics especiais

Definição B.l:

Uma relação binária R C X é

1. ordem/Faca« R C X é assiméti'icae negativa.transitava (logo, seinl)te ti'ailsitiva)

2 ordemestrita $ R C X é ordem fl'acae fraca.conexo

3 equÍuaEncia «, R C .Y é reflexiva, siniéLiica e tia.ilsit.iva

SejaR(z) = {y C X : yRz}. Se R é unia equiva.lêiicia.cilLã.o/i(.i ) ó unia classedeequivalência.

geradapor z. Se R(z) = R(y) « a;Ry, portanto duas cla.ssesde e(lttivalência.são idêiitim.s ou

disjuntas. Dois elementos de um conjunto estão na. tnesma.classese somente se são equivalentes.

Quando -R C X é uma. equivalência denotaremos as classes dc e(ltiivalêiicia. de .Y soba'eR coiiio

X/-R

Preferências

Soja< uma preferência como uma ordem fraca (assin[étrica e nega.Lavati'ansiLiva); ]: < # significa

que = é menos pre/árido a.Z/ ou que z é preferido a y. Ainda., define-se indiferença. N como a.

ausência de estrita preferência:

a; -v g «- ( não u' < .y ilã.o .l/ < .i: )

74 Pi'cfci'ciicias ( Uti]ida(]t! E'sl)(:i'ada

A preferênciaé transitava (isto é consequênciada assimetria e Lia.ilsitividadc ilcgativa). Sol)ie

a transitividade da indifereça, Fishburn(1970) apieselita o seguinteexeiii})lo loii(le a sua validade

poderia ser questionada): sejao valor U$1000a melhor alocução})ossívc1..4 picferéitcia decresce

quandoo valor é desviadopara qualquer uma dasdireções, isto é, Li$955ó preferido a U$950. Dias

o indivíduo é indiferente entre U$955e U$1080e entre U$950e U$1080. Logo, li$950< U$955e

U$1080 ,- U$950 e U$1080 «., U$955. Portanto, neste exemplo a in(lifei'onça hão ó t.ra.nsitiva«

Definimosa preferência-indiferença:3comoa unia.ode < p -.. Isto (

a; :3 y 't+ z < g/ ou z "- #

A seguir serãoapresentadosos resultados mais importantes sobre preferências, com a finalidade

de facilitar o entendimento do trabalho.

Teorema B.2:

Seja < em Z ordem-fraca (assimétrica e trailsitiva negativa ). I':ilLão

(a) Uma e somente uma das seguintes I'elações z < y, y -< =, :i: - # \alelii pa.I'a .i:. y, C Z

(b) -< é transitava

(c) N é uma equivalência(reflexiva, siméti'ica e transitiva)

((1) z < y, g/''- z + z < e z v y, #<= :+ 1; <

(e) 3 é tr-sita« e co«exa

(f) com<' emZ/«, (conjuntodeclassesdeequivalênciasobreN) definidapora<' ü«-z < #

para algum z C a e g/C Z),então <' em Z/«. é uma ordem estrita.

75

Prova

(a) Sabemospela propriedadedaassimetria que zRy + nãogRa-;eilLãoíiclt claro que

só pode existir uma das seguintes relações: ]' < # ou # < .i . .Ágata. l)ola (loíiiiiçã.o

de indiferença: z '- 3/ # (não z < y, não y < z) logo, somente pode existir uma e

somenteuma das seguintesrelações:z < y, y < z e 2 -, #

(b) Já provado.

(c) Pela definição de transitividade: z -, y «, (não z -< :E/. iiã.o # -< ] ). de onde

conclui-seque v é reflexivae simétrica. Fa.Ita.prova.ia tiaiisilivi(lii.(lo: sul)otilia

por absui'do que a'N y, # -- : o iiã.o .I' -., :, eiit.ã.ol)clo il.cm (a), oti .l -< : ou : -<.l

ocorrem. Suponha z < !; daí. colho temos nã.o ] < .1/(pois .i -- .y) (' tido # < :

(pois 3/ -, z), teremos nã.o = < =. pela traiisitivida.de ilegal.iva. iiiiia ('oiiLi'adição

O caso z < z é análogo.

(d) Supondoquea;< g/,y '"-z; sez N z, então# «, = abstiido;se: -<:u.eiiLão: < y,

outra contradição.

A segundapartedesteitemé idêntica.

(e) Provandoinicialmentea transitividade: pelo iteiii (b), < ó t.ra.iisitiva,por (( ) '~

é transitava,entãopelo item (d) :3 é transitava.Pai'a.pi'ovala coiiexidadede :3

suponha por contradição que não z :3 g/ e não y :3 z, ente.o pela. definição de :3

temos que nãos: < y, nãos -, Z/e nã.o y < ]', o que ('ont.]a.diz o it.ci]] (a).

(f) Provando a assimetria de <' sobre Z/N: suponha.poi absurdo (lue <' subi'eZ/'-

não é assimétrica, então a </ b e b -<' a, mas isso implica. .i < # e #' < =' para

z,='C aey,y'e bcomr-v a''ey -,y' peladoíiiliçã.odeZ/- oitpnl(d)

temos que z' ,- a: e a: < # :> z' < y e aplicando o iLenl (d) tiovanieitte. z' < g e

Z/ ''' 3f' :+ z' < y', que contradiz a hipótese de que y' < ='

Provando a transitividade negativa: suponha que a < b b cC € <.1 yc0111 l y

76 Pi'eferênciase Utilidade Espei'ada

Tomando c € Z/«, e qualquer z C c temos pela.tra.nsitivida.de!lega.uvade < (lue ;z'< :

ou z < y. Logo, a -</c ou c <' b.

Provando a conexidadefraca: supondo a,b C Z/-' e a # b; como a e b sã.odisjuntor

(definiçãode classedeequivalência),logo,sez C a e y € 1P.ent.ã.otiã.o]' -- #. l::ntão.

pelo item (a), como é impossível a ocorrência. de z -, y, só podeocoriei exaLaiilente um

de: z < g/ e Z/< z, ou seja, a <' ó ou b <' a. Logo, -<' sobre Z/«. é coilexa. fraca. O

Sdaa

u(,), a(y)

Z ----- #? uma funçãoutilidade; a preservaa oidetii se sotileiiLeseos núnlei'os

são ordenados por < e reftete excita.mente a. ordeili do .I'. #. . . . subi( -<.

Teorema B.3:

Se < sobre Z é uma ordem fraca e Z/-. é finito Oli infinito etltinloi'á\.ol. celta.opxist.e llnia ftiiiçã.o

Z/ : Z ----» a? tal que z < y« ü(z) < Z/(y), para todo z,y C Z.

Este teorema ainda. implica. que pa.ia todo ]:, y C Z. ]: -- # «, //(.i') = /#(#l o .I' :3 g «,

+ Z/(z) $ Z/(3r), onde N e :3 como dehttidos a.nterioillioii'o

Prova

AssumaqueZ/v éinfinito enumerável.TomeumaenumeiaçãodeZ/,v comoai, a2,a3, .

e umaenumeraçãodosracionaiscomori,r2, rl . . .(definindo unia funçãoU : Z/'-- .a?,

assumindo que <' é uma ordem estrita em Z/«.. pelo teoieina a.ilt.eiioi)

FazendoZ/(ai) = 0 definimos:

1. Se a{ <' a. para todo { < nt, define-se Z/(a,,.) = li}.

2. Sea. <' ai para.todo i< 171..define-se?7(a.,,.)= -nl.

3. Se ai <' am <' a.f para {,.j < 77ze onde aÍ é o maior' aA l)i'atei'ido a.a.,, e a.Jé o lllellol'

ak preferidoa a« pai'ah < n}, define-seZ/(a«) contosendoigualaopi'iliieiio z'k

77

na enumeração ri, r2, r3 . . . que satisfaçaZ/(ai) < rk < //(al ). O liúiileio lx; existe

pois os racionais são densosem #?

Vamosprovar por indução que para cada.ca.seval(

i,j Ént, então af <'a, $Z/(ai) < Z/(a.) c //(íl.,) c l--,,..,lll

Param = 2 teremos

ai <' a2«, Z/(at) = 0 < Z/(a2) = Z,/(a,,.) = 2

a2 <' ai + Z/(ai) = 0 > Z/(a2) = Z/(a,,.) = -2

('

e ainda para vn= 2{U(ai), ü(a2)}Ç l-2,21

Hipótese de indução

&).7S m 1, então aí -<' aj »Z/(af) <Zy(nj) e Z/(a.) C l--(777 l ). (1??-- 1)

lg caso: para am e i,.j $ 71i -- l :

a« <' aj V.j, .j $ 711-- l

Z/(a«) = --m < Z/(aj) C l--(7n -- l),(nl -- l)j pela. hipótese (le indttçã.o. Então.

U(a«) < Z/(aj)V.j, .j É m -- le {Z/(ai),....//(a«.)} Ç l--iil.iiil

2acaso: aj <' amparatodo .j $ nz-- l:

Z/(a«) = m e pela hipótese de induçã.o, Zy(aj) C l--(7ii. -- l ).(27i l )l.

Então,Z/(a,) <Z/(a,«), V.j $ rli. - le {//("i)....,Z/(a.«.l} Ç l-,,,..,.l

3acaso: aP </am < aq param)q $ nt-- l:

Suponhaque ap é o maior'aJ preterido a a,,. e que a. é o iiieilor aJ piefeiido a

a«, com .j $ m -- 1. Por definição Z/(a.) = rk e Z#(a.) < lk < Z#(av), sendo

78 Pi'efei'ênciase Utilidade Espei'ada

rk o primeiro racional da enumeração fi, . . .,r.,. . . que está. entre os racionais

U(a,) e Z/(aÇ). Como {Z/(ai),...,Z/(a«.-i)} Ç l--(m l),7« il. tecemosque

Z/(a«) C l--(m -- 1),nz -- ll e por isso {Z/(ai ), . . . ,Z/(a«.)} Ç l--/il. /iil. Sea., <' ax;

com J # m, k # m e .j,k $ m -- 1, ente.o Z/(ajl < /J(aA.) poi induçã.o. Se

aj -<' a., J $ rlz - 1, então aj :3' ap; logo, a(aJ) $ //(aq) < ü(a«.). O caso

a« <' aj, .j $ m -- l é análogoe a indução está conlp]eta. []

Definição B.4:

Uma relação binária R C .X' é ordenapsZríZaparcía/ se sonlclito se essa iolaçào [oi ii'í'cf]oxiva o

transitiva.

Definição B.5:

A relação B é definida como

z H g/ 0 (z ,- z «. y '- ;, I'ara todo c z)

Essa relação é transitava quando < é ordem está'ita parcial

Teorema B.6:

Se< sobreZ é ordem estrita parcial (irreflexiva.e transitava.),eiitã.o

(a) Exatamenteumadasseguintesrelaçõesocorrem:z < g/,y < # pala cada z, 3fC X

(b) e é uma equivalência

(.) * y '» (, -< ; + y -< : e < ]' -» : -<y. pala t.odo : C ZI

(d) (' -< y, 3/ z) :+ z < :, e (a y, y -< ;) :>

79

(e) Seja <' em Z/a (o conjunto de classesdeequivalência de Z sobre =) deíiitido por a <' b «,

44'z < y para algunsz Ca e y C b, então <' sobic Z/e ó ]iii] \ oi'dolli estrita l)aicial.

Prova

(a)({) Suponhay<z;entãonãopodem ocorrerá < yer e g. A relaçãoa -< y não

pode ocorrer, pois é assimétrica e z B y nãopode ocoriei seita.oa: -. y, pois

y «' g/,já quea relaçãoé irreflexiva,masz N y acarieLa.tiã.og < a-

(íi) Sez B y nãopodemocorrerz -<Z/e y -<z, pois7 B y acaiieta.3 ,-

porsuavezacarretaque nãoy<ze nãos <y. a

(b) Vamos provei que e é de equiva.lência.:

(í) reflexidade: z & = pala Lodo z € Z é e(ltiivaletite a V: (.i: -- : '» .l; -- : 1. o (lue

é óbvio.

({i) siinetiia:

g/,o que

y - o (y -. 0 z «' :) é (= -- 0 # -- :) «, .i' y

( iií) transitividade

como : H y :> (z -, f :> y «' Z) e # :> (g N / + = -- t),

isto implica a; -, f + 3 -., / Poi outro lado,

z = Z/:>(z N [:> y -. t) e y H a;:>(y «, /:> Í ) ;

isto implica z '- í :> z «' t. Logo,

l a:-., / -» : '- f) o r

Portanto, z a g e y = : :> d 0

80 Pi'efei'ênciase Utilidade Espei'ada

(') (:>) Se3 a 3r,supondoz -<z, entãog/-<z, poisy -- = nãopodesei',senãoz = J/e 3/ ', z <P z «. z: absurdo; z < y não pode ser. pois nesse caso. a' < : e

z < g/ q' z < y: absurdo. Então, z < : <' .i/ < :. .Alia.logaliioiitp voriíica-se

que y -< : + a: < :. Eiitã.o, z < : + y -'{ :.

Demaneira análoga verifica-se que ; < z : < g.

(+) z «. Zé não(z < /) e não(t< z); pol liipóLesc.leão(.1< /) :+ tiã.o(.1/-</) e

não(f < z) :> nã.Q(f < y), mas não(g < 1) e llã.o(/ < #) :> + .y '» /. Logo

z«'g + y«.t. De maneiraanáloga,y-.,Z + l- --f. logo.i'=g. O

Teremos que provar:

({) (z < g/, y = z) :> z < 3 e

(Í{) (= B y, y -<;) :> z' -<:.

Prova de ({): Suponha poi absui(lo (lue =z: '-- 3; como va.le# :. e]]tã.o ]: -- :+

#' z '- g/: contradiçãocoma.hipótese.Ainda, supoiiliapor a.bsul'do(lue: -'<.i:

então, com a hipótese a: < y :> : < g: colltradição

A prova de (i{) é análoga. O

Provando a irreflexividade: suponha por a.bstii'do(ltlo a <' rr l)ara .I'..l/C í/ e a €

C Z/e; então z < Z/pala. l e y satisfazciido # B g, lilás issoó unia.coiiti'adição

(pois pelo item (a.) y o ]' < y itã.o l)odeiit ocos'i'prsinilllLa.iipaiiipiite). O

Provando a. tra.nsit.ividade: suponha que (a <' ó. /) -<' r). ptit.ã.o ]' -< y pa.ra

z C a, g/ € b; gf' < 3 pala y' C ó; ; C c e # a y' pa.I'a.#,#' C b. PeloiLciii

(d) temos que (= < g/, g/ H g/') :> a; < y' e pela transitividade de < temos que

(«<3/'e3/'<z):>«-<;,e«tüa<'c.[]

(d)

(.)

Teorema B.7:

Se< sobreZ é ordem estrita parcial e Z/e é enuineiá.vel,entãoexiste Z/ : Z --- l/i, tal que, pala

81

todo z, y C Z, temos

z < y :> Z/(a) < Z/(y)

z = y :> a(:«) = U(y)

Prova: Ver Fishburn (1970)

PreferênciasemConjuntos Não-inumeráveis

Definição B.8:

Seja .l? C X unia ielaçao biiiaiia. .-t (: .V ó /?-oi'doiii doiiso sol)ro .V s(. otlit-til(- sp. lo(la voz (lti(

zRZ/ com z, g C X mas z,y g ,4, existia = C ,4 t.al (lti( (]'/?:. :/?#).

Exemplos

1. Como os racionais são densosem -#?(existe sempre um racionalentre dois reais distintos),

um conjunto de números racionais é < oi'dem denso enl /7?

2 Munindo .IR2com a ordem lexicográhca,podciilos mosto'a.i(luo iicitlitilii sul)folijuilto faliu

merável de J7?2é ordem denso enl J7Z2.i.e.(zi,aZ) <(gi,gZ)«, .ti < gi ou(li = gi.zZ < g2).

Então, X/«u= {la;} : # C .V} de maneira (lue {=} <' {#} «' .l < g. l)a.i-a vci'ifi(aiiiios a

asserçãoacima tomamos os pa.i'es(zi,=Z).(z3. :z:,i). .. . que fot fila.iii ilili (on.lliiito eiiulneiá.vel:

tomemos a projeção nas abcissas l,enlos zi,=3, . . . e uni poiiLo =' que ttão pertence a essa

sequênciae consideremosa fobia z' x #Z. Toma.ndodois poiiLosbestalíbia. conLiadizeiiiosa

definição de ordem- denso.

82 Pi'cf(n'âiicias i! Utilidade Espei'ada

Teorema B.9:

Existe uma função Z/ : Z -----, #? tal que a; -< y «, Z/(=) < Z/(#), para todo ];, # C .X' se somente se

a relação de preferência < sobre X é uma ordem fraca e existe litii slibconjuiiLo conLável(finito ou

infinito enumerável) de Z/«' que é -<'-ordemdensosobre Z/«.

Prova: Ver Fishburn (1970).

Teorema B.IO:

Sda < sobreZ uma ordem estrita parcial e existe um subconjunto enuinetável de Z/e que é <

ordem denso sobre Z/=. Então existe uma função Z/ : Z ---, /7i tal que

z <y + Z/(=)<Z/(y), })a.ra todos:.#cZ

a:ey + //(=)=Z/(y). pa.ra todos'..ycZ

Prova: Ver Fishburn ( 1970)

Teorema B.l l :

Seja (Z,r) um espaço topológico com uma função Z/ : Z -----,m satisfazendo

, < / U(3) < a(g), pai'a todo #,y, CZ. (B.l)

Então existe uma função / Z ----, J7?satisfazendo (B.l ) e conta'nua. na topologia. r «

1. {z:=CZ,z<ylCr e {=:zCZ,Z/<alCr para('a.(layCZ otl

2. Sea;,3/C Z e z < 3r,então existem conjuntos T=, Ty C r tal que # C

cada=' C T= e z < g' para cada y' C Tg'

y C lrP, f < y pala

Prova: Ver Fishburn (1970)

83

SejaC um convexode umespaçovetorial C (qualquer. Dadosz, g C (l.'e À C 10.il, denotaieiilos

por aÀg/ o ponto Àz+(l --À)y que estáem C. Claramente zlg = ] t' .i'Ày = =y(l --À):r. além disso.

(,Py)Àg/ (pz+(l -- P)y)Ày= ÀPZ+ À(l -- /i)P+( 1-- ÀIP

ÀPZ + (l -- ÀP)y = z(À/z )3/.

Isto sugere a seguinte definição

Definição B.12:

À/ é um corÜunto de mistura se, para cada par ordena.do (a:, g/) C A/ x .A4e À C 10,il, é possível

associar um único elemento zÀy C À/ satisfazendo os seguintes axioiiias:

MI. #ly = a

M2. -Ày = y(l - À)'

M3. (,P3/).Xg/ a;(Àp)g comp c 10,il

Ainda MI e M3 impli(nm

M4. zÀz = z

M5. (z#g/)a(a7Z/) 2(a/3 + ( 1 a)'y)Z/coma,7,d C10,il

Prova de M14e M5

(i) M4:

zxz %:(zlz)Àz %2(zoz)Àz A!; a:oz Al2 zlz y:i #. D

({{) M5:

Tomando 0 < # $ ' < 1 para ' $ /3 a prova é similar.

(z/3y)a(z'y3/) g:3 l(=7y)(/3/7)yla(a7#) y:2 lv( l - .g/1' )(.?''7g)la'(.I'7y) AI'

84 Pi'efei'ências e U tilidade Espei'ada

Y: Z/(a -- c]#/'y)(z7y) Al2 (=7y)(l - a + aD/7 )y %' ]:(n/J + '( 1 - ct ))y

As demonstrações para os casosde fronteira são simples. O

Definição B.13:

Uma função Z./: JW-.--- .#Zé dita linear quando satisfaz

Z/(zÀg ) À Z/( z) + ( l À)Z/(yl pai'a. LodoÀ C lO.il o .l.p C .v

Definição B.14:

Duas funções lineares y : .A/ ----.-. J7? e Z/ : À4 -----, /R. são relacionadas por uma transfoimaçào afim

positiva seexiste a € #Z, a > 0 e b C #?de ma.negra.que

y(a;)= aZ/(a;)+ b, Vz c A/

Definição B.15:

O primeiro conjunto de axiomaspara < soba'eum conjunto de ntistui'asA4é devido a Jeitseii

apresentado em Fishburn(1982):

AI < sobre .A/é uma ordem assimétrica fraca

A2. para todo a;,y,zC A4e À C(0, 1), se= » g, então zÀ: » #À

A3. para todo z,3/,z C lv, se z » y e y » 3, eilt.â.oexistemíi./i € (0. 1) La.l(lue :n: » # e

y'» l0z.

O axiomaAI serefereao tipo de ordenação;A2 é o axioma.da.indepeiidêilcia e A3 é o axioma

arquimediano. Para ver comentários sobreessesaxiomas, ver Fishburn (1970), Fishbui'n (1982) e

Huang e Litzenberger (1988).

85

Sobreo axioma A2, a principal crítica está no Pal'adí)zode .4//ais.como a})ieseiltadoem Varian

(1992).

Um segundo conjunto de axiomas para -<sobre um conjunto de iiiisturas lv, devido a Heistein

eMilnor apresentadoem Fishburn (1982):

BI >- sobre À/ é ordem assimétrica fraca

B2. paratodo z,3/,zC M, sez «,y, entãoz$z «.,y' z

B3. para todo z,!r, z C .A/, {a : az » y} e {# : y 1: z/iz} são sub(-oii.ltiiitos fechadosdo lutei'velo

unitário.

O axioma BI é idêntico a.oaxioma.Al; o a.xioiita 132(liz (lidoa iii(lifoicitça ó l)tPS('l-va(lauttiuiil.(

para misturas do tipo meio a.meio. O axioma.B3 é linfa. condição de coliLiiiilidade, ou seja, se

zaÍZ 1: y para todo í e limo... aÍ = a, então =a; 1: g. I'ai a liiiia discussão subi'ea plausabilidade

deste axioma num contexto de escolhas lexicográíica.s.veí' llildenbia.nd e lÇiiiiiaii( 19HS).

Antes de provarmoso primeiro teorema,piovaieiiios dois resiilta.dosa.uxiliaies

Resultadosde Herstein-Milnor

A partir deBI, B2e B3pode-sepiovai (lue

HI. a;E y 1: z ::>y -, zÀz pai'a algum À C10,11e a, y, 2C À/

H2. {a : zag -. z} é fechadocom a C 10,11e =,g, C,M

H3. a; » g/ :+ z » a;$g/ » y com =.y.

H4.(z » y, 0 < À < 1):> z » zÀg » # coiii =,g.

H5. z «' 3/:> z «.' zÀZ/ com À C 10,11 e z,y,z C A4

86 Pi'efei'ências e Utilidade Espei'ada

H6. z>-3/:>(zÀy»zpy À>p)coma,pCl0,1jea,yC A4

H7. a «.,3/:> zÀz «.,yÀz com ÀC 10,11e z, y, z C A4

Prova HI

PorB3,{c]:=az1:y} éfechado;comoa:E yepoi Ml ]:lg = =. temos(ltie:cly = .t 1:y,

logo {a : a;az 1: g/} ) {l}. De maneira análoga, {# : y à: #N;} é fechado e contém

P = 0. Mas, {a : zaz b Z/} U {# : g/ 1: zPz} = 10, 11 e como esses conjuittos sào t\ão

vaziose fechados,logo tem intersecçãonão vaziapois 10,11é conexo. Para.todo À na

intersecção, vale y '- zÀz. n

Prova H2

O resultado segue do axioma B3, pois pala todo z,y, ; C }Ld, {a : a3 à: y} e {N : y E:

b: zPz} são conjuntos fechados, e a.intersecçã.ofinit.a.de fedia.(los é titii(onjuiit.o fe('dado

Jogo, {a : ay z} é fechado. []

Prova H3

Suponhapor absurdoquez$y 1: z » y. Por HI e M3, z q} (z2y)Ày m3z(7)y pala

algumÀ. SejaT = {À : z «.,z(X)3/} queé fechadoe não vazio poi f12.e poitaiito

possui um menor elemento À. que é positivo, pois senãoz «. zOy + = N y, o que é uma

contradição. Ainda, para À. c T temosz N =( 2 )y; poi B2 e R/13,l$y -. l.c(À./2)l l g =

= z(À')y ]: = » Z/ pe]a suposiçã-o de que (#$y ]: a' » #). Por ]]] e h43 t.amos que

z q) lz(à')ylpp %' a(àr)y pai'a algum p. Mas como af < , af C T, entra em

contradiçãocom o fato de À. ser o menor elementode 7'. Pala o casoda deilionsLiação

quez » 3/+' z$g/>"y, a provaé aná]oga. []

87

Provali4

Consideremosos diádicos de 10,11representadosna foiiiia /9 = }1:2:\iB . a. C {0. 1}

para cada {. Primeiro provaremosque, sez » y e p2 > pi o .I' » .tp2#» .t'/)ig » #

Prova: seja z » 3/;temos k > / + #â > !A :> z#iy » záiy com 0 $ / < k $ 2"

Provaremospor indução:para n-0; para n valea hipótesedc iii(liição p pala // + l

devemos mostrar que !;lh > 5;én' :> zÍ;1ln'g >" =!;ilÜ-y com 0 $ / < A. $ 2"+i

la caso: Z e b pares; então !;âÍ = (!ilZ) e 7;iln- = (láz): poisa.ilLo. (Oliio va.le a hipotese

de indução, este caso está. verificado.

pares. $ 2 l:$1n> !-1 , com 0 $ / < k < 2"+i

Pela hipótese deindução:

,(T)« : auJ-w ';' Z'l(/ - 1)/ZIP

Aplicando H3 em ('p) obtemos

.(g) , : a4pw » , l ; lu;w --uiul }« » abra"Reescrevendo a fórmula anterior temos

, (á) « » -(á) «.

Portanto, está provado.

3a caso: k ímpar, / ímpar, É )' /

Nessecaso,temos que k+ 1> k -- l? / + l> 1-- 1:

(k+1)/2 .(k- 1)/2 ...(/+1)/2 .(/.2 ./ .> --

2n ' 2n- 1)/22"


Pela hipótese deindução

, IWI«';',la-l;wl« :: ,leÇwl«';'.lu:,#l «.

Aplicando H3 em ('p) e ('p*), obtemos demaneira análoga.ao casoanterior

, [W],»,(á)«»,[KtW]« :

: ,[u;W]«»,(à)«»,[a\w] «.

Pela transitividade obt.cílios

, (b) « » , (A) «e portanto, a asserção está provada«

4acaso: k ímpar, / par e É > /. A prova é análoga ao casoanterior

Logo,concluímosquep2> pi e pl,p2 diádicos :+ z » p2#» zpi# » g.

Agora, continuando a demonstração de H4, para 0 < À < 1, tomando pi e p2 diádicos

tal que 0 < pi < À < p2 < 1. Fazendo z' = zp2y e y' = zpty, temos que, para. uni

diádicopi C(pi,p2), z » g/e Pa > Pl:> z » :Pay = z' b zpíy. Poroutro lado. com

pí > pi e a; » Z/ :+ a;plg/ » zpiy = y', aplicando o insultado provado aciiiia. Logo,

para pf € (pl,p2) e 3 >- g/ temos que =' 1: :tRiZ/ E y'. Agora« tollialido p; ade(luado

de maneira que limo-.opÍ = À e sa.l)endo que {p. : z' b: p.g} c {P, : -i'P.!f 1: g'} sào

conjuntosfechados,e pelaescolhade p.. to tios (lide.l » .l-' » .iÀ.ry» #' » # p pela

transitividade,z » =Ày» y. O

89

Prova H5

Por B2: z .., y q-rzli3 '~ g/{z; provando por indtiçã.oda íll('sina il)aiipira (lo (lu(' oni H4.

temos que 3 v y +, =piy -. z. Escolhendo p.- de itla.neii'a (rio liltl,.. p, = À (- sa.bando

que {pi : apfy «.,z} é fechadopoi' H2, então z -, zÀg/,pois uii) conjunto fechadocontém

todos os seus pontos de acumulação.

Prova H6

Assumindoz » g/e 1 > À > p > 0 temos0 < p/À < 1e utilizandoH4e M3, temos

zÀy g' (=Ày){(y) AI' (zÀÍy) = a;py. Os casos de fronteira. são siiiiples.

Agora provando que a; » y e zÀy » a;pg ,PÀ > p: supotilia })oi a.bsurdo (ltie H ? À;

então À < 1. Como z » gr,ente.oa;/ty >" # poi t14; logo, poí H.l tio\a.ttieiit.e..I'//p »

» zpg/(i;)y = a;Ày: conta'adição. (H4 exige p < 1; (luaJido p = 1 Laiill)éíii Letiios

ZPy = z » y).

Prova H7

la z -, z, logo # -v zÀ; (pol 115). Taiitbciti g -- = o l)oi llu y -v #À=. 1)oiLallLo.

zÀz «. yÀz

2Z Supondo # -, y e = » z, então temos que, por B2, z -- y :> -t$: - g$:; então.

fazendoa indução sobre B2 (da mesmamaneira que na.pi'ova.de H4), temos que

zpz - ypz para todo diádico p. Fixando À, definimosT = {p : apz 1: g/Àz}com

p C lO,lj; escolhemospf diádico de tal ma.fieira.que lim;-:.. p; = Àcoii] p, ? À pa.ra

todo í. Por H6, pí 2 À zpi! 1: a;Àz,e comoz «.,y obtemosa:pf: -- gpíz E:yÀ;.

Agora, comopi € T, ÀC T e usandoB3 (7' é fechado),Letnos(lue =À: à: gÀ;. Poi

simetria, g/Àz b zX:; logo, podemos con(luir que ='À: -- gÀ

3a Supondoa;«.,y e z >-= a provaé análoga. O

90 Pi'efei'ências e Utilidade Espei'ada

Consequências dos Axiomas de Jensen (AI,A2 e A3)

JI. (= » y, À > p) :> zÀy » zpy

J2. (z b y 1: z, z » ;) :> y «' zÀ para um único À

J3.(z»y, z»m) zÀz»gÀtl,(Àcl0,11)

J4. # «, g/ + z «, aÀy

J5. z N y :> a;Àz «., yÀz

Prova JI

Supondo z >-g/e À > p; suponhaque À= 1. Daí .rÀy = ]

se p = 0, então zOy = ylz = y; como z » # feitios .rÀg >" -z;ll#

se p > 0, então z M' z( 1 -- p)a; » y( 1 -- p)a; = :z;pg/.

Logo, com p = 0 ou p > 0 e À = 1, temos que = y:i zlg ; aÀy » zp3f.

Agora, comÀ< 1:

,.xv%'v( 1 -À)z A!? lv( 1- p)'lli-::llz AI' ('/'y)I'l:;'l.::U'

y:' , l+:-Íg ("/'#)..=.. ("/'w)lt":-H (-'/.d = .,'/'

D(+): foi utilizado o falo quc r » .clIP.

Prova J2

Por hipótese, a;1: g/1: z e a:» z.

Suponha primeiro que r "- y; então y -, a' » :: logo. poi 1''41.y -- .Tl: = ]' e l)oi .ll

temos que =lz >- zpz para todo /z < 1, ente.o, g «' zÀ: pa.ta. uni úitico À. O caso oitde

z >- y -., z é análogo.

91

Suponha a » y >- z; vamos provar que existe À C 10,11 com za

a > À > P, a,P cl0,il.Sd' S = {a € 1O,il : y -<,a;} e r = {p c lo, tl: ,p; < y}.

Note que l € S e 0 CT; sejamentão Ài = infS e Àz = supT

Afirmação: Ài = À2. Vejamos porque:

» # » l,-J: para Lodos

caso(í): ÀI < À2. Sejamp,0 comÀi $ p < 0 $ À2e comp CS e 0 € T

Daí, y < a;pz e zOz < Z/; logo, zOz < apz, mas JJ gai'ante (lue zp: < =0z, unia

contradição.

caso(t:): À2 < Ài. Seja.0 conaÀ2< 0 < À] (llial(luer. l)ai'. coiiio sul) / = Àz < 0 vciii

y :3 zOz; também, como 0 < Ài = infS' veili z6P; :3 #, Oli seja.. zd: -- #.

Tomando agora. 0 e p cona À-z< # < /) < Ài, t.c,ícitios .lél: "' g. # "' .i/9;, logoa;0z '" açpz;masJI garante (lue #0: < zp:. limo. (oiitra.diga.o

Consequentemente, Ài = Àz e chamemos esse valor de À

A$!inlç4gi y ' =Àz. Suponha o contrai'io.caso (i): y < aÀz. Daí, como z < y -< zÀz, existe por A3 uni 0 C lO.il tal que

(zÀz)0z >- 3/, ou seja, z(ÀO)z » y; ma.s ÀO < À, logo. ÀO C .9. iitna colit.ra.dica.opois À = inf S.

caso (i{): zÀz < y. Prova análoga ao caso ({).

Basta provar a unicidade de À:

Se À < À' com y «' a;Àz e y «' =À'z, tel'íamos #Àz «. zÀ':, lhas poi J l, =À: <

contradição. O

Prova J3:

unia

Se 0 < À < 1 e a; » 3r, ; >- w, então

zXz ''12yÀ U2 (l -- À)y » 10(1-- À)y /y:2yÀt., D

92 Pi'efei'êiicias c U ti]ida(]e Espei'ada

P Fava J4

Suponha por absurdo quez -, Z/» zÀy para algum À C 10.11.Então t.Pinos]' » zÀy e

/ » zX /; logo, 3À3/Ç' (zÀy)À(zÀy) = =.Xy: contradição.

Suponha agora por absurdo que zÀy >-= -- y para todo ÀC lO. lj: oiitão t(

e a;Ày» y. Logo, (zÀ3/)À(=À3/)Ç' a;Ày, ou seja, zÀy » zÀlf: contradição.

iiios J'Àg » l

D

Prova J5

SeÀ C {0,1} o resultado é trivial. Vamos assumir que ]: N 1/e À C (0. 1). Se ], .- z.

então, por J4, z -., z «' y + zÀz '- 3/Àz. Se z >- ;, então zÀ; ;À; = = poi A2

e M4. Agora, suponhapor absurdoque yÀ3 » =Àz, entãoteienlosyÀ.-» zÀ: » :,

então aÀz -, (g/Àz)az = y(Àa)z por J2 e M4 e })aia liiil úitico n C 10.11: como nesse

caso3 » z e por hipótesez -- g, entãoy » :. Pot'.JI yl= >- pcl:, t.etl)os# » ga: e

por transitividade,z » ya=; então,zÀ: > ga:(À:) = g(Àíi): l)ur lb1=3.u (lticcita.iaeil

contradição comi a assei'çãozÀ; «.,g(Àa): (lue foi obtida a.ciiiia« Logo. gÀ: » .uÀ; é

falso. Pelo mesmo raciocínio, :z:Àz » g/Àz é falso. Porta.isto. ]:À: N yÀ;. O

Teorema B.16:

Seja ]W um conjunto de misturas. Então são equivalentes

(a) AI, A2 e A3 ocorrem

(b) BI, B2 e B3 ocorrem

(c) Existe uma função linear Z/ : .A/ ----, #? que preserva < para todo a, y CA'í, 1 » # «, Z/(=) »

» Z/(3r).Adicionalmente,a função Z/ é únicasob ti'ailsfoiiilaçõcspositiva.sa.hiis. (Se // ó

linear e preserva. a. ordem, ente.o todas as futtções y ielaciolia.da.s coili // a.ti'avós de uma

transformaçãopositiva afim taliilx;nl são liítea.ipse l)ípsPiva.iiia oi(l(.iii).

93

Prova

A demonstração deste teorema será feita em três partes

l

2

3

Mostraremosque B3 :> A3.

Utilizaremosos resultadosjá provadosde llei'sLcili-i\,liliioipaili l)luva.r(ltic {BJ.

B2, B3 } + {A2} e consequentemente, {BI. 132, 13:! } :> {,\ l. ,\2. ..\3}

Utilizaremos as implicações dos axiomas de Jensen, já. l)iovadas, coiii a.fiitalidade

de construir uma funçãouti]idade linear que pi'enervaa oi'dememÀ4,e provara

unicidade

l Precisamosprovar quea;» g/» z e B3 :> zaz » y ey » aOzpala a, # C(0, 1).

Suponhapor absurdo que zaz » y para nenhum o C(0, 1): então 10, 1)C({a

a;az » y})' = {/i : y 1: zazl; mas por definição, {/3 : # 1: dz} é fechados

está contido em 10,11. Logo, 10, tl = {J : # » :r/J;}. 'l'oiiia.indo N = 1 ol)teiiios

3/b: zlz = z: contradiçã.o.

O outro caso é análogo.

Provaremosagora queosaxiomas(BI, B2, B3) implicam A2 (z » y, 0 < À< 1 :+

+ zÀz » yÀz):

Por hipótese,2 » y e 0 < À < 1.

la caso: z » a; » g/. Então por 111.2 -v ;ay para algum 0 < n-< 1. EiiLã.o

zÀz «F(zay)Àz Al2lv( 1 -- a)zlÀz A1.3vlÀ(1- a)l!.

masyÀz= z(l--À)ye l --À+Àa-> 1 À.puta.o:(l --À+Àri)» .yÀ:.i.e

y(À(l - a))z » yÀz.

2a caso: z -, a » y. Então por H5, z N =Àz e poi' HI temos z -. ;ay pala.algum

0 < a < 1. Então

; KJ zÀ; «y (;ay)À: ':' ly( 1 -- a);lÀ; '::' ylÀ( 1 - a )l;

2

94 Pi'efet'õncias í. U ti]ida(](! Esl)(:i'a(]a

epelo mesmoargumentodo item anterior temosy(À(l -- a))= » yÀ:

Os outros são análogos aos casosanteriores.

Construçãoda Utilidade Linear:

Nãoexiste nadaa provar se» é vazio. Supondo que = >- g pala z, y C A4,fixando

z e y, definimoslz,yl = {z : z b z b 3r}. Por J2, existeum único/(?) C lO,ll

para cada z C lz,yl tal que z ,- z/(z)g/ com/(z) = le/(g) = 0. Tomando ;,w €

C lz,yl e/(w) >/(z), então por JI temos z/(w)y » z/(z)y, e poi transitividade

temos w » z. Se por outro lado, /(lu) = /(:). ent.ã.o a'/(?í,)y N .i'./'(:):y: então

z N z/(z)Z/ -, z.f(w)3f ,- w. Logo, z N w. Portant.o, podemos coitcluir que /

preserva a oi'deln em la:, pl, ou seja, w » ; « /(w) > ./'(;) pala todo :, w C 1 , pl.

Vamos provar agora que/ é linear em lz, yl. Para.isso notamos (lue lz, yl é fechado

para operaçõesno espaçode mistura.s.Oli seja. =.u' C la'.yl :> :Àíl' C l.t'.#l. Pala

provar esta última asserção vamos dividia ciii dois (a.sos:

(,) Àc {o, ll;

seÀ = 0, # » zOwu2 w »

seÀ= 1, z b zlw M' z 1:y.

(b) se0 < À< 1,então

a;%l a:Àa: ; a;À,« AI' w( 1 -- À)= E to( 1 - À); g'

g' zelo 1: zÀyg:: y(l - À)z E y(l - À)y y:' y

As passagens anotadas com '#'' são justifica.das da.seguinte foi'tna:

(í; se : » ío então usamos A2: z(] - À)= » ?t,( ] - À)r Oli rÀr » I'Àu'

({0 se3 -.,w entãousamosJ4: =ÀzN a e z -. =Àw.

Tomando z,to € 1z,yl, então pela definição de / Lemos zÀzo «.,z/(zÀw)y. Mas

z -, a;/(z)y e to «' z/(w)y, ente.o zÀll (r./(:)y)À(a'/(u')y) YS .i'(À/(:) +

+ (l - À)/(««))y.

3

95

A linearidade de / em lz, yl seguede J2, ou seja

/(;À,«) À/(z) + ( l À)/(.«) em 1=,Z/l

O próximo passo é expender / para todo A4: Tomando :z > g. sejaili l.i t gi l (' lzZ g21

dois conjuntos da forma lz yl, onde zi 1: z e y 1: yi. Sejaiii /. funções liiteaies

que preservam a ordem em lzíyil e tais que' /,(z) = 1 e ./i(y) = 0 pa.ra i: 1,2.

Provaremos que /i(z) = /2(z) para z C lzi gil n laz /21. Se ; -- z ou = - g, então

/l(z) = /2(z) = 0 ou ./'i(z) = /2(z) = 1. As ouvi'a.s possibilita.dcs l)aia. : são as

seguintes:

a;» Z/» z; nessecaso,porJ2 existeum únicoa tal quey «.zaz; (B.2)

a;» z >"Z/; por J2 existe um único /i tal que z -. =/Jy; l B.3)

z » z » y; pol' J2 existe uni único ' Lal (lue = N ;'yg. (B.4)

Utilizando a linear'idade e a pi'eselvação de -u podeittos aplica.l / lias relaçõesacima

para obter

a + ( 1 -- a)/í( ;) = 0

/i(z) = P,

'y/.(z) = 1,

la' # l) (13.5)

(B.6)

(B.7)(7 # 0)

para { = 1,2. Logo, ./'i(z) = /2(:) edil cada ca.se.

SejaZ/(z) definida como o valor de cada/,(z) para lzf yil que contém z, 3fe z. Por

(B.2), (B.3) e (B.4) temos que cada :,w € À4 está em a.omenosuni lzi yil; logo,

por(B.5),(B.6) e(B.7), Z/ está definida em todo À/, é linear e preservaa ordem.

Vamos verificar a unicidade de U : Seja. Z/ uma. funçã.o linda.i (lue preserva a

ordem definida em A4. Definindo y(=) = ri.//(a) + ó com a > 0. ó cla.i'o(lue yé


linear e preservaa ordem A4. Agora suponha (ltie y sejalinear'e piesei'vea.ordem

em À/. Esse caso será dividido em dois:

(a) se Z/ é constante, então y também é e elas esta.o relacionada.s pela trans-

foi'mação linear y(z) = aZ7(z) + b, onde b = c' -- «, ü = --.- . V' = .-';

(b) se Z/ não é constante, então tomando z » y fixos dehnimos:

/:n:ggl-:gg, /2H;)para todo z C ]W.

Como /i e /2 são transformaçõeslineares positivas de Z/ e y . então essassão

lineares e preservam a lidem e tambén] /i(z) = /2(z) = 1e /i(y) = ./b(p) = 0.

Ainda, se z -, y :> /t(y) = /a(y) ou : -- a + /l(z) = ./b(.t), isto é, /i(:)

/2(z); ou, se(1),(B.3) ou(B.4) ocorrem. então/i(!) =/z(:) poi in.s).(B.õ) ou

(B.7), respectivamente. Então, pela definição de /i Ledos y(;) = aU(;) + b, onde

a = 1;1:1;;11g > 0 e ó = V(p) -- Z/(y)a. O

Representaçãode relaçõesde preferência por meio de utilidade

esperada

Nesta seçãosupomos que nossoconjunto de escolhasX é um subconjunto de val'dáveisaleatórias

de um espaçomensurável (Q, /) sobre o espaçomensurável de insultados (Z, Z). O nossoobjetivo

nestaseçãoé verificar que uma.relação de preferência b: sobre .\ pode ser repieseiltadapoi uma

utilidade esperada. Para isto, seja (í2,/',p) um espaço de pior)al)ilidade, z : !Z -- Z = J/Z uma

função mensurável (variável aleatória) e Z = M o empa.ço de result.a.dos. l:ssa varia.vel aleatói'ia. #

induz um espaçode probabilidade(#?,F..,p,); ain(la.,para.cada leal a. o conjtiíito r-i(( oc.al)é

mensurável.Definimos a função FI em #?como:

&(.) P(Z''( -w, 'l) p,(j - m, al)

97

F= é uma função distribuição que determina a medida p,.. e /',. é a a-álgebia dos conjuntos /i

mensuráveis;em Chung (1974, pág.34) prova-sequep,. é uma nie(li(la

Na teoria devon Neuman-Morgenstern, dado um espaçode pi'o])abi]i(jade( ç2..f. P). uma fuitção

Z/ : Z ----» #? é uma representação por utilidade esperada da. prefeiéncia 1: sobre .V se z' 1: y +

«, -EJZ/(z)12 .EIZ/(Zr)l para todo z e y € X eZ/(=) = Z/ . z é u-lla va.riá-l aleatóriaintegra«l

paratodo z CX

Uma relação de preferência » sobre X é independente do cóZadose duas variáveis aleatórias

z,3f C X commesmadistribuição forem indiferentes(r '~ 1/). Vamost.oillai o PXPmplode l)iiffip

(1989): considere o lançamento de uma. moeda honesta. (ÇZ,.f, /') oiidc í = {('.r}, f é a faittilia

de conjuntos {0, {C}, {C}, í2}, e P({C'} ) = P({r}) = 1/2. C:onsidei't- a.s valia.fieis aleatói'ias z e #

sobre o espaço de resultados Z = {0, 1}, com .Z = {0, {0}, { 1}, Z}, deíiitido poi:

J

z(C') = ylC') = l

z(C') = y(C') = 0

Senós interpretarmos o espaço de i'esultados Z conto sendo o valor' iliolieLái'io ciii dólares, obLei'eiiios

preferênciastransitivas e completas independentesdo estado lr e :l/ l.õtita tiieslila distribuição e sã.o

indiferentes).

Seja(Q, f, P) um dado espaçode probabilidades;comojá frisemos,nóspossuimosunia coleçào

de variáveisaleatórias que possuemuma estrutura de preferências. Sabemos também que uma

variável aleatória num espaçode probabilidades induz uma função de distribuição. Seja.n o conjunto

de medidasde probabilidade soba'eo espaçodc ieslilta.dosZ, o seja /l.. C n }i função distribuição

induzida pela variável aleatória # C .X'. SeE é uma.preferência.indcpcildelite dos estadossobre .V

então para a preferênciainduzida l:.Í soba'e7ré

P.;l:aPp+ I' 1:# pa.ra. todo .i, # € .\'

A diferenciaçãoentre E:ae E é útil para frisar quez e p, pertencema conjuntos distintos

98 Pi'efei'ências c U tilidade Espei'ada

Seja À/ um espaçode misturas com a C 10,11e # C lO,il, como definido iio Capítulo l.

Claramente vemosque um conjunto de medida deprobabilidade sobic (leal(lllei es})açoliiensuiável

(espaço de resultados) é um espaço de misturas. Para notarmos isso podettios inteipietar a;ay como

sendo a combinação convexa az + (l -- a)y.

Vamos repetir agorao enunciadode dois axiomas que aplicant a relaçãode piefeiência 1: sobre

o espaçode misturas ]14segundoDufbe (1988):

O Axioma Arquimediano. Para todo z,ye zC À4, se z » pcp » :.( liLà.ooxisl.p íl e /J C(0. 1)

tal quezaz » y e y » a;/iz.

O Axioma da Independência. Para.todoz,y e : C lv eQC10,il, se# b:g,ei]Lão];a; 1:yaz.

Enunciaremos agora o Teorema de Espaços de N'listura.s(este I'exulta.dofoi provado c dis('ut.ido

no Capítulo l):

Teorema B. 17:

Suponha que 1: é uma preferência definida. sobre um espaço de iilistuia A4. Então E obedece

os Axiomas da Independência e Aiquinlediaito se soittcnte se a t'(la(iã.o(1( 1)íofoiêiicia t.elii liiila

representação funcional !inear.

Antes deenunciarmoso piincipa] resultado desta seçã.ova.feiosteleinbia.i o (oii(eito de fuitção

mensurável simples (variável aleatória simples): Uma variável alem.tóiia.definida iiuni espaçode

probabilidade(Q, .f, P) sobre o espaço de resultados Z é simples seexiste liiiia. l)a.i'LiçãoBi ./?z. . . . . B.y

deQ e elementoszi, z2,..., ZN de Z tal que

,(«) n para todo w C B., l $ 1].5; .N.

isto é, uma variável aleatória é simplesquando assumeum núnleio finito de va.loi'esdifeleiites

Vamos agora enunciar e provar unia proposição pala replcscliLação dc utilidade esfolada pala

o casoonde X' denota o conjunto de variáveis aleatórias simples sol)le (Q..f, P) comi Z sendoo

99

espaçode resultadose n'' sendoo conjuntode funçõesdistribuiçãodoselementosde X'. Essa

proposição está enunciada e parcialmente provada em l)uMe ( 1988).

Proposição B.18:

Seja 1: uma relação de preferência independente do estado sobre .{'. Seja b:' a t;elação de preferência

induzida por E sobre z'. Então b' verifica os axiomas de independência e aiquiniediano sesomente

se 1: possui uma representação de utilidade esperada.

Prova

Vamos provar inicialmente a. necessida.de:inicialmente tiotattios (lu(- n'" é uni cs})aço

de mistura, pois r' é o conjunto de funçõesdistribuição dos eleiiiettos (lo .V'. Pelo

teorema anterior existe um funcional linear ü : n'' -----,/R de ma.fieiraque

a E:y «. Z/(P,) 2 a(P,) pai'a todo =, g/ C X' e p,, pV C n

Antes de prosseguirmos com a dc'monstraçã.o do t.eoi'ema va.illos (l( íittii .-z//lor'/í (/r/ (/f.K-

[dbtiíção p, de uma uaridue/a/eaZóra :z.comoo conjtitito íiiiit.o doosga.çodo icsu]tados

onde z assumeum valor estritamente positivo; ou seja,

s«PP(P,) = {:-,;2, , ;/«} c z,

ondep,({z«}) > 0 para todo n e p,(supp(p.)) = 1. O iiúnlei'o deeleilieiitos ilo supoiLe

dep, é denotadopoi #(p,) = ]V. Paratodo z C Z. p' € n denota.a.dista'ibuiçãocom

suporte {z}

Definindo Z/ : .Z ----, #? por Z/(z) = t/(p: ) })ai'a. todo : C Z. .Ainda sa.bebido que p,.

' )l.'Cs«PP(P,) p=({z})p; para. todo z C .V', i.e., a distribuição p..; é a média arilméZica

das distribuições com suporte {z} ponderadapelas probabilidadesH,( {;} ). Utilizaitdo

aumento de linearidade da utilidade e queZ#(z)= U(p:) teremos

t/(p,) = }ll: U(z)p,(z) = rlZ7(T)l pa.iat.o(l. .. CzesuPP(P;)

A demonstração da necessidade segue do Teorema B.16.

As pricipais referênciasdeste capítulo são Duche (1988), Fisht)

Araujo (1983); como referência adicional, Lindgren ( 1971 )

Prefei'ências e Utilidade Esperada100 eiei l

o ar

\

(1970)urll

Apêndice C

Dominância Estocástica e Aversão ao

Risco

A discussãoem questãoé quando uma.vai'lavei dICa.tói'ia}' ó illa{.- írlr'(r'/a (iria.ioi va.i'ia.bilidadc)do

que outra variável aleatói'ia X. As varia.vensX e y a.ssumem valores nos i'edis. a.menos de menção

contrária.

Definição C.l:

Diremosque X é mais incerta do que y quandoalguma da.scondiçõese(luivalent.esa.baixofor

satisfeita:

a) ./'Z/(z)dF(z) < .fZ/(z)dG(z) para a função utilidade Z/ câilcava, onde ZJ é unia função que

assume valores reais e /' e G são as funções distribuição de .V e }', leal)ectivamente. Todos

os indivíduos aves'sosao risco preferem }' a X

b) Sejam X e y variáveis aleatórias tais (lue }' Í .\' + Z. ist.o é. }' p .V + Z têiti a lllesilla

distribuição, e Z(ZI.V ) = 0 para. todo .V

c) Suponha queos pontos de crescimentode /? e 6' estejan} i'est.iit.osao intei'vala fechadola.ól

101

102 Dominância Estocástica t! Aval'são ao Risco

definimos

T(y) =/(F(z)-- (;(z)) d': pai« " $ .y$ 1'-

Então, T(y) 2 0 para todo y e 7'(a) = T(b) = 0. .\' tens lllaioi l)esolia suacauda do que }

y

As três deHtnições acima são equivalentes e, se .V e }' satisfazeili (al -- (c), ciiLão .Y é fetais

t;aríáue/ou mais incerta do que y

Definição C.2:

Uma ordem parcial $p sobre um conjunto é uma relação binária tralisitiva reflexiva. e aiitissimétrica.

A ordem parcial $p é definida sobreuin conjunto de funçõesdisLiibuiçãoeiii 10,11. } e G' são

funções de distribuição das variáveis aleatól'ias -V e }'. Escrevciitos .\ $/, }' (1uaitdo / $p G'

Definição C.3:

Seja a ordem parcial $/ definida como: F $/ G se e somente se r' e G satisfazem a condição (c)

da Definição C.l.

Lema C.4:

S;/ é uma ordem parcial.

Prova: Rothschild e Stiglitz (1970)

Definição C.5:

Seja a ordem parcial $u definida por f' Su G se somente se para toda fullção utilidade côncava

limitada Z/ , temos que

Z/(z)d/'(=) 2 / a(z)dG(=).0 JO

l

103

Lema C.6:

Sz/ é uma ordem parcial.


Definição C.7:

SejamF a distribuição de X, G a distribuição de }' e a oidetii pa.irial $« (1ucó (lcíiiiida da.seguiliLe

maneira:F $. G sesomenteseexiste uma vai'laveialeatói'ia.Z (le foiiiia (lttc. se H(=,;) é a

distribuição conjunta das variáveisaleatórias X e Z definida em 10.tl x 1--1,11e

.7(g) = p(.v + z $ v)

então

r'(z) = #(=, 1);

G(3/)= J(W);

Z(ZIX = z)= 0

0< z < l

para todo ze

Afirmar F $. (; é equivalente a dizer queexiste uma variável aleatória Z satisfazendo

y 4 X + Z com r(ZIX =) = 0 pai a. todo l=

Lema C.8:

SeXi, X2 e X3 são concentradasem um número filhito de pontos, eiitã.o.Vl <. .VZ<. .V3implica

Xi$.X'


Teorema C.9:

As três asserçõesseguintes são equivalentes

104 Dominância Estocásticae Amei'sãoao Risco

a) F Su G

b) /' $/ G

c) F $.G


Aversão ao Risco

Seja W. identificadocomoriqueza,Z/(W.) a utilidadeda riqueza.Ainda..liinw.oZ/(1'.) e

limo-+«Z/(W.) existem e são finitos. Define-se um jogo coiiio scitdo lioilesLo. coili probabilidade

deganhar p um montante hi e probabilidade de perdem1-- 7)uill iiioiiLaiiLo/i.z.seo /iayii! espetado

é igual a zero:

p/zi + (l - p)h2 = 0.

Definição C.IO:

Seja Z/(.) uma função utilidade. Um indivíduo é dito (estritamente) aves'sea.orisco se

U(Wo)(>) ? PU(Wo + Ai) + (l 7))Z/( IVú + b..zl

Utilizando a deânição de jogo honesto e substituindo na ielaçã.oacima, podemos i'edefinir

aversãoao risco como:

Ü(P (W. + Âi ) + ( l p)(14/.+ h2))(>) 2 7)Z#(14/.+/li)+ li 7)) /yl 14''., + /i.2 l

Ou seja,aversão(estrita) ao risco implica uma função utilidade (estritamente) côncava.Pode

mos demonstrar que a implicação contrária tamlMm vale

105

Considerandoo problema.de composiçãodeportfólio da.nlaiteiracoiiioa.presentadaem Roth-

schilde Stiglitz (1971)ou Huange Litzenberger(1988): sejauni ittdiví(luo ivcrsoau fiscoe quc

prefere mais riqueza a menos riqueza. Este investe aj dólares em j a.uivosde risco e ( }V. -- )l:j aJ)

emum ativo livre derisco. Definindo:

W = riqueza no fim do período (variável aleatória.);

W. = riqueza inicial;

r.f = taxa de retorno do atino sem risco;

Fj = taxa de retornodo ativode I'iscoj (variávelaleatória);

aj = montante em dólares investidos no .j-ésimo ativo de risc

Então:

l# =(W'. - >ll: a.i)(l+ r.f)+ >:1 a.j( 1+ F.j)J J

ou

IÀ/ = 14'.( 1 + r.f) + }. a.f(f; T'.f).

Dessamaneira o problema de escolhain(lividual s

J

( I'eSlllll( a

T.a} ZI z/(n'.(l+ r/)+ }. aJ(fj - r/)) l.

Assumindoquea função utilidade é côncavae queestamostrabalhando nunscontexto suficien

tementeregular de modo que valham as condiçõesde l)rimeira.ordem. tetttos:

JJ

rl Ü'(Ú')(Fj - I'/) l o, VJ

Sejaum indivíduo aversoao riscoe nãosaciado;este preferia'áinvestir eni ativos de t'iscosomente

sea taxade retornoesperadadeao menosum ativo de riscoexcedea.taxa.dejui'os de umativo

sem risco. Para que esseindivíduo não invista nada em ativos de risco e até os venda a descoberto

é necessárioque o máximo estejaem (0, . .. ,0); portanto

ZI a'(Wo( l + ,.f ))(F.f z'.f) l $ 0, Vj,

106 Dominância Estocástica e Aves'sãoao Risco

ou demaneira equivalente

U'(Wa(l+ ,.f)) l j ,.rl $ o. vj

Como por hipótese Z/'(.) > 0, temos que

zl íJ- ,/ l $ o,

ou seja,sea solução do problema

Uat rl Z/(Wo(l+ 7'.f)+ >ll: a.f(FJ- I'/ l) l

ocorre na fronteira, mais especificamente no (0. . . . . 0). isto é. se a soluça.o coilsist.ii pib nã.o invest.ir

emativos de risco (hipótese), segue-seque

JJ

l jl $ '.r, v.j

Portanto, para queuma soluçãodo problema de maximização da.utilidade espei'ada.da riqueza

envolva um investimento em algum a.uivode risco é necessá.rio que exista l)clo iiioiios liili deles (.oiii

retorno esperadomaior do que o ietoino do ativo sem fisco.

Casoalgum ativo de risco paguepi'êinios positivos pelo risco, então

r.f l > 0 para algum .j' :+ a.j tq. aj > 0

Seriaimportante frisar que na.relaçãoacima vale .j' = .j se vivei'moslinl a.t.ivosem ris('o e liin

ativo com risco. Caso contrário, sejamdois ativos com risco (lue pagaitl prêiitiospositivos,mas

que são negativamente correlacionados. Nesse caso pode ocorlei (ltie F l i;J - /.f 1 > 0 lilás a. < 0.

Concluindo,na presençade uin ativo conai'iscoe um ativo semfisco, prêiiiiospositivosinduzem

investimentospositivos no ativo de risco.

Agora tomando um outro caso:se um indivíduo investe toda a sua riquezaem um ativo de

risco a solução ocorre num ponto(0,...,1,...,0) onde o l ocorre na posição .j e devemos tel'

E l a'(Wo(l + Fj))(Fj ,/)l z o

107

Agora vamosdiscutir algumas medidasde aversãoao risco e suas iitlplica.iões

Podemosdizer que um risco é pequenoquando Z;lí -- 7'/IZ é pequenoe os termos envolvendo

Eli -- r/l3 e de ordem superior podem ser ignorados.

Tomando a expansão de Taylor de Z/'lW.(l + F)j em volta. de I'P.( 1+ 7'.f). iilultiplim.ndo ambos

os ladospelo prémio ao risco e aplicando a esperança:

E la'(Wo(l + F))(F ,.r)l Z/'(W.(] + r/ ))E'l F- 7'.fl +

+ Z/"(14'.(1+ r/))E' l (F -- I'/)z lt4/.,+

+ o( L' l (P - 7'/ )z l) (( '. 1)

ondeo(E l (F -- r/)2 1)estásendo usa.dono sentido usual introduzido por La.ndau.

Agora aplicando a definição de fisco pequenoe impondo a condição pala o indivíduo investir

toda sua riquezano ativo de risco, temos pela desigualda.dea.nterior. (ltie o liihiimo prêiiiio exigido

para Isso e:

EIF-r/1 2 - ll;ll:li-ir-if# ZI(P-r/)'l w.,

absolutaao riscoé devidoa Pi'att (1964). Tanlbénl Anow (1970) chegaao lliesiiio insultado

utilizando outra análise.

Ainda em Arrow e Hahn (1971), mostra-se quea aversãoabsoluta ao risco decrescenteimplica

que o ativo de risco é um bem normal; aversãoabsoluta ao fisco crescente implica. (lue o ativo de

risco é um bem inferior e aversãoabsoluta ao risco constante implica. (luea detitaiida peloativo de

risco é invariante com relação à i'iqueza inicial. ou seja:

dR ,.{(z ) H.,

jã »o, vw.

108 DominânciaEstocásticae Amei'sãoao Risco

qP». «; : á«., "-.'.

yP-. «; : á-., "«.

Em Huang e Litzenberger (1988) está provada a primeira asserçãode itlaneira muito clara, as

demais seguem de maneira análoga.

O conceito de aversãoabsoluta ao risco mede, pala pequenosdiscos,a inLeiisidadeda aversão

individual ao risco. Uma aversãoabsoluta ao risco alta implica uni alto prêinio pelo riscopara

induzir o indivíduo a investir toda a suariquezaem ativos de risco. De ouvia maneirapodemos

ver quea aversãoabsoluta ao fisco medea.curvatul'a da função utilidade individual

Podemos definir a aversão relatÍz;a ao r sco como RR(z) = /?..t(?) . =. .4 aversã.o rola.t.iva a.o risco

medeo negativo da elasticidade da utilidade marginal da i'iqueza,logo é inva.diantecom respeito a

mudançasnas unidades de utilidade e de i'iqueza. Ainda podemos lutei'})Fetal essamedida coiiio

a variação da riqueza inicial investida em ativos de risco qtia.lido a i-i(lti(za val'ia.. Pode-sepiava.r

que aversão relativa ao risco cresceitte ( dz > 0) intplica. ullla. ela.st.ácida(lci'i(lucza-(leiiia.tida poi'

ativo de risco estritamente menor que a unidade (77= aíi=1:l' < 1). .Adicionalmente:

df?n(z) . .= U :+ 77:: l

dRn(z)!-= < 0 + 77> l

O resultadoenunciado acimaé demonstradoem Huang e Litzenbergei (1988)

dz

d

e

TeoremaC.l l:

Seuma economiapossui um ativo de riscocujo retorno médioé maior (luc o da.moeda,então a

média, variância, má.Mmo e mínimo da taxa de retorno do portfólio como um todo são funções

crescentes,constantesou decrescentesda riqueza quando a aves'sãorelativa ao risco é uma função

decrescente, constante ou crescente da riqueza, iespectivanlente. Ou seja:

109

d7'min

dw.>

<

dz'....* 2 o<

quando

Prova: Cais e Stiglitz (1971)

Definição C.12:

O retorno certo r' que torna o investidor individual indifei'eiit.e ont i'o sua os(.olhaóLiliia (le poi'tfólio

e investir toda a sua riqueza.ao retorno r' é conhecidocomo fq /í a/emir rfrfo

Z/l7''m'.l = pafEül ll:aí(l+ F{)h''. l;

onde (l + Ff) é o retorno por dólar investido do i-ésimo ativo no estado 0

Teorema C.13:

O equivalente certo é uma funçã.ocrescente,constante ou deciesceliLeda.ri(lueza.a medida que a

aversão relativa ao risco é função deck'escente,constante ou ciesceitte da. i'i(lueza., icspectivaiiieiitc

#; g ' q«;«d. Í1lÍle : O.

Prova: Cais e Stiglitz (1971).

Resultadosadicionais estãoem Casae Stiglitz (1970,1971)

Teorema C.14:

SejamZ/Í e Z/k as funçõesutilidade de dois indivíduos aversosao riscoe com preferênciasltào

saciadas. Então, existe uma função côncavaestritamente crescente(.; tal queZ/i = G(Z#x;)se

110 Dominância Estocástica e Amei'sãoao Risco

some«teseXâ(,) Z Râ(z).

Prova: Huang e Litzenberger (1988)

O texto de Ross(1981)discute uma questãorelevante. A medidade aversãoao fisco de Arrow-

Pratt corrobora com a intuição económica,quando todas as loterias conaas quais um indivíduo se

depara podem ser segurados. No texto citado é construído um exemplo onde os segttios irãocobrem

todasasloteriaspossíveise portanto, a medidade aversãoao riscode Aliou-Piatt vai contraa

intuição económica. Ross(1981) define uma novamedida de aversãoao risco (mais forte), mostra

a,sua rela,çãocom a medida anterior. Ainda nestemesmo texto ti)osli'a-sc.ali-avósde exemplos,

quesituaçõesondea i'iqueza.inicial é ulila.va.Fiávelaleatoiia. o iio ra.seoit(lo oxisLoiiisoiileiiLeaLlvos

de risco (isto é, não existe ativo sem risco), a.illedida.de a.versãoao risco de Airow-Platt também

falha.

A questãorelevantea.sei'discutidaagoraé como un] indiví(Itio qtio possuil)iefeiêii(iasnão

sociáveise aversoao risco pode escolherentre dois ativos de risco.

Definição C.15:

Um ativo de risco A domina o ativo de risco .Bpelo conceito de D077zinánciaEsZocdsticade Pri7neíro

Grau, denotado por .4 ' 2: .B, se todos os indivíduos que possuem função utilidade crescente em

funçãoda riquezae contínua,preferem4 a B ousã.oindiferentesentre .4e B.

Teorema C. 16:

Sãoequivalentes as seguintes asserções

FSD1. Á > B.

2. FA(z) $ FB(z) Vz C 10,11onde /'( ) denota função dista'ibuição.

3. F,.14 Fa + â, à ? 0, onde f é a taxa de retorno e â é unia.vai'laveialem.Lóriapositiva

111

Prova: Huang e Litzenberger (1988)

Agora vamosdefinir um segundoconceito pa.ra.a compara.çà.o(lo at.avos(lc risco. supondoque

a única informação sobreo indivíduo é que este é avessoao i-isco. SoilieiiLccoili essainformação

vamosestabelecercondiçõespara afirmar se um indivíduo piefel'oo a.t.ivodo ris(o .4 ao ativo de

risco .B.

Definição C.17:

O ativo de risco ,4 domina o ativo de risco 1? pelo conceito de l)az71ílzíizzrja A.'.ç/riííí.ç/íra de Sega/fÍfIa

Ordem denotado por .4 2 B, se todos os indivíduos a.versosao i'isco possuemfunção utilidade

cujas primeiras derivadassãoconta'nuas,exceto em lim subconjunto conta.velde j1,21, piefei'em.4

SSD

a.B

Teorema C. 18:

As três asserçõessão equivalentes

SSD1. Á > B.

2. Elf.41 = EJFBjeS(y)=áoy(FH(;)-- FB(;)l(/=$ 0 V# € 1O.ll.

3. i;a :É F,4 + (, com .EI(IF.41 = 0; onde ( é uma variável aleatói'ia

Prova: Huange Litzenberger(1988) e Rothschild e Stiglitz(1970)

Na asserção (3), ZI(IP..ll = 0, mas sabemos que ElêlF.41 = 0 :> Cov(FÁ,O = 0 e logo Var(F..l) $

$ Var(Fa). ( a2(F.4 + O = a2(f,4) + a'((1) + 2Cov(F,.+,O; coliio C:ov(FH,o = 0 + a'(FÁ) $

É a'(f.4 + e) = a'(Fa). )

Então, sobreo conceitode Dominância.Estocástica.de SegundaOrdem. podemosobter uma re-

gra operacional. Se .4 2 B, então EIF.41 = rli l e Vai'(FH ) $ \''ai'(i:B). (-'larailieiiLe a. iiill)ligação

112 Dominância Estocástica e Aversão ao Risco

contrária não vale

Definição C.19:

O ativo de risco Á domina. o ativo de risco B pelo conceito (lo /)íi/n;llr;n.í;í/ /=.-/rlr-í;.-/íía h7ozioZórlica

deSegundo (lzfoudenotado por 4 >SSD B se todos os indivíduos }worsosao risco c colll pieferêitcias

não sociáveispreferem .4 a B.

/w

Teorema C.20:

As três asserçõesseguintes sãoequivalentes

1. .4ôsso B.

2. .EIF,412:.Elfal e S(z) $ 0 Vz c lO,ll

3. fa :ÉF,4+(, com ZI(lr,.ll $ 0.

Sobre o teorema acima, ver comentários em lluang e Litzenbergel (1988)

As principais referência.sdestecapítulo, alétnde Dtlme( 198R).sã.ollut\iig o l.it.zoiibolgpi ( 1988)

Arrow e Hahn(1971), Cais e Stiglitz(1971), R.othschilde Stiglitz( 1970).('ass e Stiglitz(1970)

Ross(1981), Prata(1964) e Rothschild e Stiglitz(1971 ).

Apêndice D

Bibliografia

113

111

Bibliografia

Acker,F., Dickstein,F. j1983j. ]'ntroduçãoà .4na'lÍseCampeã;a.ll\4P/\, it,io(lc Jaiiciio

Araujo, A.P. j1983). /nfrodução à Economia A/ale77tdtica.EMPA, it,io de Janeiro.

Araujo, A.P., Monteil'o, P. j19861.Ezíslezlce I't''iZhoul(/útil/orz7zCola(7ílíoils.INIPA, Rio de Jaiieii'o

Arrow, l<.J. j19701.Essays{n Z/teT#eorg o/ Riso'-/yfrlr'ál?g.Noi't.ll-llollall(l

Arrow, K.J., Hahn,F.H. j19711.Gelleral Col?/)eZitiue.4nalysis.Holden-Da

Bachman, G., Narici, L. j19661. F'unclÍona/ ,4na/ysís. Academic Press.

Barbu, V., Precupanu, T. j19661. Cor t;ea;iZyand OpZiiit :aZí07zi7i /ia71ac/i.S'/laca. li,cidcl, Bucaiesl.

Cais, D., Stiglitz, J.E. j19701."The Structule of Invertoi Piefereticesa.iid.\shot ltetuiiis, andSepa-

rability in PortfolioAllocation: A Contribuition to the PuneTheoryof MuLualI''unds".Jaurna/o/

Economia TÀeory, 2, 122-160.

Cass,D., Stiglitz, J.E. j19711."R

Reuieto of Economic Studies.

y

sk Aversion a.nd Wealth EHecLs oii Pote.folias wil.h h4aily Assel.s'l I'LIo b

[1974]Chung K.L 2"a ( dil,ionCourse in ProbabilityA I'heorlJ Aca.deii] i( P I'('ssí)o(1o1. ()

112

Conway,J.B. j19901. 4 Course in r'unctíoíza/ .4na/3/sís,2"a edition. Springer- Veilag

Cox, J.C., Ross, S.A., Rubinstein, M. j19791. "Option Pricing: A Simplified Appioach". Journa/ o/

Financia/ .Economícs,7,229-263.

Cox, J.C., Rubinstein, M. j198SI. Oplions A/arkets. Prentice

Crow, E.L., Shimizv, K. j19881.Lognorn a/ l)ísZdbuZíons7'Aeory

Debreu, G. j19591. TAeory o/ Ha/ue. New Haven, Cowles.

Debreu, G. j19831.À/atAematÍcal Economlcsi TwenZyPa/)ers o/ Gerara l)ebreu. (.lambiidge Univei'sity

Press.

Dufne,D. j19861."Compet

Economias,]{, 1-23.

Dufne,D. j19881.SecuHíy A4arketsStop/zastic/l/ode/s. Academia Press.

Fama, E.F., Miller, M.H. j19721. TAe TAeory o/ Finri7tce. Dryden Press

Fishburn, P.C. j19701. t/tál ZyTAeory/or Decisíon À4aking.John Wiley.

Fishburn, P.C. j19821. TAeFoundatíons o/ E /)ecZedÜZÍ/á/y.lteidel.

Hildenbrand,W., Kirman, A.P. j1988j. Eq?i/ábrÍti7n4lla/ysís. Norte-Holla.nd.

Holmes, R. j19751. Geometria Fui cZíoiza/.4na/ysís a7zdiZs ,4/)/)/ícaZioi&s.S})I'ingei'-Vel'lag

Huang, C.F., Litzenberger, R.H. j19881. Foundaelons /or r'ílzancía/ Ecoztonzics.North-Holland

Lindgren, B.W. 11971].E/emenísof Z)ecislon 7'/zeoru.Macmillan

'\ PPlic{ t.volts [)ekkeiJ7J

E(ltiilibria Genera] Choice SI)a.ces .lo }l i' t }. íi l « \4tl lti.( 111.{1i ií' n titive l l ] 1 11 J

Bibliogi'afia

113

Mas-Colell,A. j1986). "The PreceEquilibrium Existence Problenl in Tol)ological Vector Lattices"

EconometHca, vo1.54, na.5, 1039-1053.

Merton, R.C. j19731. "Theory of Racional

menuScience, {, 141-183.

Merton, R.C. j19821. "On the Microeconomic Theory

o/ À/aíAematíca/EconomÍcs, vo1.2.North-Holland.

Mossin, J. j1966j. "Equilibrium in a Capital Asset Ma

Mukherjea, A., Pothoven, 1<. j19861. J?ea/ alia Fnrlcli071a/ ,4na/gsix. Pleiitilii l)lesa.

Pratt, J.W. j19641."Risk Aversion in theSmall and in the Largo". /rc.azia/ii(Zrfca.3e,397-411.

Robertson, A.P., Robertson, W. j19641. Topo/ogíca/Vedor Spílces. Ca.ml)lidge llnivprsit.y Press.

Rosé,S.A. j19811. "SomeStrongerMeasui'esof Risk Aversion in the Sinall and the Laige with

Applications". Econométrica, vo1..49,na.3, 621-638.

Rothschild, M., Stiglitz, J.E. j19701. "lncieasing Risk

2, 225-243.

Rothschild, M., Stiglitz, J.E. j19711. "lncteasing Risk ll: Its Economia Conde(lllences". .Jotlr7ta/o/

Economác TÃeory, 3, 66-84.

Schaefer,H.H. j1971j. Topo/ogiva/ Vector Spaces.Springer-Verlag

Sharpe, W.F. j1970j. Porá/o/áo TAeory and Capita/ i]/arkeZs. h4cGraw-Hi]]

Sharpe, W.F. j198õl. /nuesZmenZs, 3tA edition. Prentice Hall

Option Pricing Bela Jouritul oJ Ecuitoiilics alta Mal\ugeé

of Investillent Undei Liiicertainty Hatl({bookS 0

lket ILCO[tO[i}.{l.]'].{:Í] vol 3.1 + 768 783'/1

l A Definition" Joul'l al oJEconoli\ic I'heul'b

80 a C.z C114 Büüi.,g«Mha

Smith, C.W. j19761."Option Pricing: A R.eview". Ja?irlza/o/ Fí7zarirla//rrri:zza/ilir.s..?,3-51.

Valentine, F.A. j19761. Conue=Seis. l<rieger Company

Varian, H. j19921.A/ícroeconomíc.4na/ysÍs,3th edition. Norton.

Zame, W.R. j19871. "Competitive Equilibria in Production E

Commodity Space". EconomeZríca, 5, 1075-1108

conomies with ali IníiniLe Dimensionarioni]

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