Ú4
Preços de Ativos:'jliüühceiros eCompcíí't àlúétit(i; dé lAgentes .
Marcelo Rabbat
DISSERTAÇÃO APRESENTADA AO
INSTITUTO DE MATEMATIC'AE ESTATi'STI('A
DA UNIVERSIDADEDESÇO PAULO
PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE N]ES'l'ltE
EM ESTATI STIC:A
Área deConcentração:Estatística
Orientador: Prof. Dr. Jogo CardosPrandini
São Paulo. dezembro de 1994
l
Preçosde Ativos Financeiros eComportamento de Agentes.
Este exemplar corresponde à redução anal
da dissertação apresentada por Marcelo Rabbal,
devidamentecorrigida e aprovadapela comissãojulgadora.
São Paulo,22 de dezenibio de 1994
Banca examinadora
Prof. Dr. JoãoCarlosPrandini(orientador) IME-USP
Prof. Dr. SérvioWechsler IME-USP
Prof. Dr. AloísioAraújo EMPA
Conteúdo
1 EquilíbrioGeral
2 ModeloCAPM
3 Modelos Binomial e Black-Scholes
A Tópicos de Análise Convexa
B Preferênciase Utilidade Esperada
C Dominância Estocásticae Aversão ao Risco
D Bibliografia
25
34
63
71
101
113
CONTEÚDO 3
Abstract
The purposeof this dissertation is to present the mathematical fundainents for two
theoriesof wideutilization in financiammarkets: the pricingof optionson stocksand
theCapital AssetPricing Model (CAPM). Futheimore, it brieny discussesthe CAPM
own concepts, like a and P as options. Thus the two main refeiencesaie tlle Cox et al.
(1979)article and the first pareof Duche'swork (1988)
CONTEUDO
Abstract
A proposta deste trabalho é apresentaruma fundamentaçãomatemática para duas
teorias de ampla utilização nos mercadosfinanceiros: a de precificaçãodeopçõessobre
açõese o modelode precificaçãodeativos financeiros(CAPM). Além disso,discutir
brevementeconceitospróprios do CAPM, como a e o # pala opções.Pala.tal, asduas
principais referênciassão o artigo de Cox et a1. (1979) e a primeira parte do trabalho
de Dure (1988).
Agradecimentos
Inicialmentegostaria de agradecerao orientador Prof. Dr. Jogo (:arlos Prandini pol seu
empenhopara o término destetrabalho.
Gostaria de agradecer aos colegas do IME-USP, especialmente às professoras Iracema, Envia e
Zara e aoscolegaslvan, Pauta, Celma e Bia.
Gostaria de agradeceraos colegasdo Departamento de Economia da FEA, especialmenteaos
seguintes professores: Denisard Alves, José Cardosde Souza Santos, Marco Antõnio Vasconcelose
Maurício Barata e aoscolegasResina, Luciano, Drausio, Paulo e Robelto
Introdução
A proposta deste trabalho é apresentar uma fundamentação matemática pala duas teorias de
ampla utilização nos mercadosfinanceiros: a.da precificaçãode opçõessol)rea.iõese o modelo de
precificaçãode ativos financeiros (CAPM); além disso, discutir brevementeconceitospróprios do
CAPM, como o /3 e o a para opções. Para tal, as duas principais i'eferênciassão o antigo Cox et
al. (1979) e a primeira parte do trabalho de Duche(1988).
No Capítulo l são discutidosconceitosbásicosde eqtzí/ébriogera/. Esta.parte do texto segue
Dure (1988). Para facilitar a compreensão,exercícios propostos e proposiçõesnão pl'ovadas foi'ani
resolvidosecolocadosno Capítulo1. Adicionalmente,o ApêndiceA sobrealzd/{secolluezaauxilia
no entendimento do conceito de corede um conjunto. O Apêndice B auxilia no entendimento sobre
conceitosdepre/eréncía e utí/idade esperada.
No Capítulo 2, o objetivo é estabelecer o modelo CAPM de acordo com Dure (1988), e para fa-
cilitar o entendimento, o Apêndice C traz um compêndio de resultados sobre domÍnálzcia estocdsZÍca
e at;ersao a0 7''isco.
No Capítulo 3, o objetivo é estabelecero modelo binomial e a fóintula de B/acÉ-Sc/io/es.Para
isto,o artigo utilizado é de Cox et al.(1979) e o livro de Cox e Rubinstein(1985). Nesta parte do
trabalho estabelece-sea fórmula de B/ack- Sc/zo/espol' meio da.coilvei'gêltciado iiiodelo binon)ial.
Nestecapítulo ocorre uma leitura detalllada do artigo de Cox et al.(1979), discutindo algumasdas
questões colocadas pelo autor
6
Capítulo l
Equilíbrio Geral
Nesta seçãovamos forma]izar os conceitos referentesa equi]íbrio geral como eni Duche (]988),
utilizando resultadosde preferências,utilidade esperadae análiseconvexa.discutidos no Apêndice
1. 0 objetivo final desta seçãoé apresentaros resultados referentesaoequilíbrio gelamcom ativos
financeiros.
Seja (r,r) um espaço vetorial topológico e .X C r (a definição adequada.está no Apêndice
A). DenominaremosX espaçode escolhasqueé o lugar onde o indivíduo selecionao seuplano de
consumo(vetoresde quantidades). Para uma discussãomais detalhada, ver Hildenbrande Kirman
(1988). Um uetor de preçosé um e]ementode Z:', o düa] algébrico de C . Denotaremospor C' o
dual topológico de r . Tomando X = -0?xcomo o espaçodeescolhase p um funcional de preços,
a dualidade implica a existência de um único vetor r = (ri, . . . , m/y) tal que p z = r7'= para todo
z € Jlt'*
Seja 3 C X X X uma relação binária. No Apêndice B serão exibidos com mais detalhes os
conceitosrelativos à Teoria de Preferências.
7
8 Equilíbi'io Gei'al
Diremos que uma função Z/ : X ----. 2? preserva a ordem se vólei
3 1:y « Z/(z) 2 Z/(y) pala todoz,p c .\
Chamaremos Z/ de /unção utí/idade.
A seguir enunciaremosuma proposição que mostra. as condiçõe'spala a exisLêiiciada lepre
sentaçãode preferênciapor uma função utilidade:
Proposição l.l
a) Uma relaçãode preferênciaem um conjunto finito ou iníiliito enumerávelé representadapor
uma função utilidade.
Prova: Ver Apêndice B
b) Uma relaçãode preferênciacontínua em um subconjlmto convexode unl espaçosepaiável
normado é representado por uma função utilidade contínua.
Prova: Ver Apêndice B
Sendo g : #Z ---, #? estritamente crescente e :3 uma relação de prefei'êiicia (relação binária
transitava e completa) em X representada pela função utilidade Z/ , a composição tanibén) pieseiva
a ordem, ou sda,
gla(,)l Z g la(v)l «. , Ep.
Uma relaçãode preferência 1: em um subconjunto de C é z-monofónica enzz onde 2 C X C C e
z C C sez+az 1: z para todo a € (0, 1). Uma relação de preferência b é estri&a77e te z-ntoízotónica
emz sez + az » 3 para todoa C(0, 1). A relaçãob: é z-nzonotóz&ícaseé z-nlonotânica.paratodo
z CX. Analogamentepara estritamente z-monotõnica.
9
Uma relação de preferência b sobreX C Z:é não-saciada emz € .T seexiste z C X tal que
z » =. SeX C .C,então E:é nearby não-saciada em # € X se, para cada y C C tal que z € core(y)
(logoaçC y), existe g c y n x tal que g/» z. A definição de core(}') foi dada ilo Apêndice A.
Umarelaçãob: sobreX C Z:é /oca/mentenão-saciadaemz C X se,pala cadaZ C C com
a;C int(Z) existe z C int(z)nx tal que z » =. A relação entre pieferéitcias localmente não-saciados
e nearb3/não-saciadasremete à relação entre core (interior algébrico) e inteiiol topológico que é
discutida no Apêndice l.
Podemosprovar que, se1: é uma preferênciaem X C r nornlado e E é não-saciadartearbyem
z CX, então 1: é locallmentenão-saciadaem z. Para isso, seja Z aberto Lal (lue l C int(Z); colho
int(Z) C core(Z), então z C core(Z) e uti]izando a.hipótesede que ] y C .\ con) y » z, obtemoso
resultado
Seja1: uma relação de preferência sobre um conjunto convexo .\ Seja.ii) as tios condições abaixo
(a) z b:y :> az + (l - a) y 1:y
(b) z » 2/:> az + (l
(c) z «. 3/ + az + (l
'om z, y € X e a C(0,1)
Proposição 1.2:
(a) é equivalente à definição de convexidadede b, o que quer dizei (lue
G, = {, C.Y : a E y}
é convexopara todo 3/CX
Prova:
10 Equilíbi'io Geral
(:>) Sejamyi,y2 C G, e a C10,11;supondo yl E Z/2,temos agi + (] -- a)y2 b yZ; como g2b: 3
segue-se que ayl + (l -- a)y2 1: z e portanto, que G, é convexo. O
(4::) Suponha por absurdo que z E y e az + (l -- o)y < y para z,y C .V e a € (0,1). Seja
z = az + (l -- a)y; pela transitividade z < 3/ 3 z, contradizendo a convexidade de G'V'
D
Proposição 1.3:
Sobas condições da proposição acima, se X é um subconjunto de uin espaço normado separável e
1:éco«tín-, então(c):::>(b):>(a).
Prova:
(b) :> (a):
Suponhapor absurdoque]=,g/ € X e ]a C10,il de itiaiteiia(lue / gt
+(l -- a)y < g/;então,z < y e : < z.
aJ'+
para qualquer to C lz,zl temos z < to poi (b)
para qualquer 77C lz, pl temos z < 1?por (b). (1.2)
Então, para todo w € 1=,zl e ? Clz, yl temosw -' 77;casocontrário
i) se w -<7?então w < z, mas isso contradiz (1.1)
íi) se 77-< w então 77< z, mas isso contradiz (1.2)
Logo, para Vw C lz, zl e V77C lz, yl teremos to «' 77.
Agora fazendo 77= y: sabemos que {w C X : 10 N y} é fecllado (pois é intersecção
de dois fechados). Ainda, o conjunto {w C X : 10N g} ) l=,zl. Clonioo espaçoé
normado, separávele as preferênciassão coiiti'ilha.s,existe uilla. se(luêii(ia.{l',. C la, ;l
11
com w« '== z; logo, z c {lo € X : to ,- y}. Mas isso contradiz a. l)ipótese de que : < g
Logo, (b) :> (a). n
A demonstração das demais implicações é análoga.
Definição 1.4:
Um conjunto é algebricamente fechado se este inclui todos os seuspontos linearmente acessíveis
Nota: Sobre pontos linearmente acessíveis ver Apêndice A
Definição 1.5:
Uma rela,çãndepreferência b definida em X C Z:,onde r é um espaçovetorial, é algebricamente
contínua seos conjuntos {z C C : 1: y} e {= C C : y E: z}, para todo y C .V. são algebricamente
fechados.
A proposição a seguir nos mostra a relação entre preferênciascoREi'nuase algebl'icamente
contínuas:
Proposição 1.6:
Se ,Cé normadoe 1: é contínua, então 1: é algebricamente contínua
Prova:
SeE:é contínua,então o conjunto {y C X : z 1: g} pala todo a;C .\ é fechado
topologicamente . Então,
{g/CX : z l: /} cl({g/CX :z 1:g/})D lha({y CX : = E y})
Portanto,{cX:zl:y} Dlina({Z/CX:zb y}). D
Nota: A primeira inclusão da demonstraçãoacimaestá demonstradano Apêndice A
12 Equilíbrio Gei'al
Agora vamos introduzir os conceitos preliminares de equilíbrio geral. A notação seguida é a
adotada por Duche (1988) e Varian (1992).
Umaarma utiliza-se de yj unidadesdeum bem.j como insumoe produz y; de un] bem J como
produto; vamosdefinir o produto líquido do bem .j como sendoy, = ylo-- pj. O plantodeprodução
é um vetar y onde cada componente é o produto líquido de cada. bem. Neste vetou y , y, é negativo
seo j-ésimo bem servecomo insumo e positivo seserve como produto. O conjunto de todos os
planosde produçãoviáveis é chamadode conjunto de possibilida.dede produçãoe é denotado poi
y. O vedor de produto líquido (plano de produção) da firma .j é o vetou yj, e o conjunto de vetoies
deproduçãolíquidos viáveis (conjunto de possibilidadesde produção) da firma..j é dado por yJ
Sejap o vedor de preços tomado pela firma, então pyj será o lucro a.ssociadoa.oplano de plod ução
yj' A firma .j escolhesempreo plano de produçãoy; que maximiza.os lua'os. Seja./ = { 1,. . . , ./}
o conjunto de firmas; então podemosdefinir o conjunto de possibilidadesde produçãoagregada
y : 2:É:i y;' Ainda, o plano de produção y pertence a y sesomente sey = >:JJ:l y.f onde cada
yj C }'}. Então y representa todos os planosde produção que podem ser obtidos a partir de uma
dadadistribuição da produção entre as firmas .j = 1,. . . , ./
E fácil ver que um plano de produção agregado y maximiza o lucro agregado sesomente se cada
plano deproduçãoyj das firmas maximiza seu lucro individual.
Seja r o espaço de escolhas; o conjunto finito J = {1, . . . , ./} de íiinias indexa. o conjunto de
possibilidades de produção yJ C C. O conjunto finito Z = {1, . . . , /} de agentes possui as seguintes
características:um espaçode escolhasXf C Z:, uma.relaçã.ode preferência.E. soba'e.Yí. um vedor
dedotaçõesiniciais wi c Z:e uma parcelada firma j, isto é, OíjC lO,ll.
A renda total recebidapelo consumidorí é a soma das rendasque ele recebede cada unia
das firmas, isto é, E-J:i Oij (p yj). Nesta economia com produção, a. restrição orçainentária do
consumidor é dada por
P wf+ l: Oij Pyj
13
Ainda, comoo conjunto de todos os consumidoresé l)roprietáiio de toda.sas lirnlas, então para
cada firma vale )l,/ l Oíj = 1 para todo j C J
Umaeconomiade produçãoe troca é dada por:
f ((X{, l:i,t«i); (yJ); (Oij)); i e .[. i € :J
Comojá afirmamosanteriormente, cada firma maximiza seu lua'o com seuplano de produção,
sesomentese,o plano de produção agregadomaximiza o lucro total.
Para uma economia f a alocução de consumo é uma n /-upla x = (xi, . . .,x/) com xi € X,
para todo i € Z. A alocução de produção é uma n.J-upla y = (yi, . . . ,yJ) cona yj C yJ. VaDIos
definir uma alocuçãocomoo pai de (/ + J) ênuplasonde x é a alocuçãode consuliioe y a alocução
deprodução. Uma alocução(x, y) é dita uiáue/se:
>l:(xi- .«l)=>, yj
A relação acima nosmostra. que a alocução (x, y) é viá.vel se os rzlfgríga/í /lo/í/irlg sã.ocoiiipa.cíveis
coma oferta agregada.Ainda, uma.alocaçã.o(x, y) é Pa.7'e(o-e$ci(lz/(se ttãoexiste tienliuiila outra
a[ocaçãoviável (x', y') com xl bf x para todo i € Z.
Uma alocução (x, y) é stríctZy sup;mrted por um funcional linear de preços p C C' se p 740,
l lJ
(1.3)
z »í xf :+ PZ > pxi, VzCX{, VáCZ,
P yj ? P z, Vz € yj, V.j C J.
(1.4)
l i.s)e
Isto é, a alocução(x,y) é maximizantede lucros e se existir uma outra. alocuçãode consumo
preferida, esta será mais cara.
Para o vetar de preços p, a.resZrÍç(io orçan&ezz(áriapara. cada. [ C Z é dada por
«*.., [«*É':.,,]. (1.6)
14 Equilíbi'io Gei'al
Lema 1.7:
Se(x, y) é uma alocação viável que satisfaz a restrição orçanielltária. coiii o vetou /i C C', então vale
a igualdade na restrição orçamentáiia (1.6) para cada.agente C Z.
Prova:
Suponha por absurdo que, para algum agente, a alocaçã.oviá.vel (x. y) sa.tisfaça
l J l
Somando em { os dois membros da desigualdade obtemos
l J l
< >1,pwi+p : 1: aijyj com p# 0.{=1 i=i.j=i
Mudando a ordem da soma no último somatório obtemos
>l.pwi+p)ll: l:Oíjyj comp# 0;i=1 .j=ii=i
+
toJ; + )ll:Otjy, "«. /, # o.
wí + }: OijyjJ=l
pxi < }:P=1
sabendoque>1:!:i 0Íj = 1,então
E{=i .j=i
Obtemos assim uma contradição, pois para uma alocução viável deve ocorrer )ll:/: l (xf
D
E Ptoi + P yj com p # 0
toi)
Definição 1.8:
A tripla (x,y,p) € ,C/x Z:Jx r' é um equí/zbMoparaa economiaf se(x, y) é uma.alocuçãoviável
queé compatívelcom a restrição orçamentária e strÍcZ/ysupporledpor 7).
15
Anteriormente definimosuma economiade produção e trocas; apoia podciiios de niaiieira
análogadefinir umaeconomiade troca. Uma economiade brocaéa tripla
f = (Xi, l:i, to{); { € Z
comos componentesjá discutidosanteriormente.Para uma economiade troca a definiçãode
equilíbrio é dada pelo par (x,p) € rl x Z', onde x é uma alocução viável de consumo que satisfaz
a restrição orçamentária e é stríct/y supporZedpor p; quer dizer, 3 »i x. :> pz )' 7)xf apenas.
Uma economia /@ztfdade fracas é dada pela dupla. f = (.Vi,Ei), f C Z. Essaeconomia com
dotação inicial zero pode ser vista da seguinte maneira: Xí é visto como o conjunto de escolhas
que representa acréscimos potenciais de dotações. ou seja, o agente ; C Z expi'essa.sua piefei'êitcia
sobreesseconjunto uirlua/ X{. O equilíbrio nestetipo de economia.é da.(lopelo pai' (x. p) CC/ x C'
cotn p 7É 0 e >1'/ l x{ = 0 e para todo { vale px. = 0, x{ C .Xf e .- »i xí 4' p: )' px. pala todo
z C Xi. Em outras palavras o que é feito é uma translação dos conjuntos de escolhase das t'elações
depreferências pelo vedor de dotações iniciais.
Podemosconvertem'uma economiade trocas f = (.Yf,E., tí.}.)com / C Z pala unia ecoitoniia
líquida de trocas f' = (XÍ,a:l) com á C Z, fazendo a seguinte LI'aiislação: .V; = .V. {u:.} e
sb:;t + s+wi l:i Z+wi paratodos,í CX!
Podemosainda converter economiascom produção e troca para economiasde trocas de duas
maneiras diferentes:
(1) Se (x,y,p) é um equilíbrio para uma economiade produçãoe trocas, então (x,p) é um
equilíbrio para a seguinteeconomiade troca:
f" ; l .v:, E., «.+Eo..y, l , ; .z.
Neste rearranjo o que ocorre é que a renda provenientedas íiiinas é adicioltada iia dotação
inicial dosagentes. Para entendem'mosisso: ?p.é a dot.a.çã.oini('ial. ist.oó. a (lha.iluda.deinicial
que é dada ao agente para ele ir ao mercado, ou seja, é um ponto no self espaçode escolhas
J
lJ
a:
16 Equilíbi'io Gei'al
O termo}'lÍ:i Oilyj nosdiz qualé a parcelaque o agenteí detém)da firma .j, que também
pode ser vista como uma dotação inicial.
(2) (x,y,p) é um equilíbrio para a economiade produção e troca.se soiiieiite se (a;i
--g/i, - . . , --3/J,p) é um equilíbrio para a seguinte economia de tro
f'=(XI, a:l;,wl;),keÍI,...,/+J}
z/
onde
{ 3 \
El;, :«Í;) = IXk, Ei;, wj;+>1:0tjy,l . kcz\ .j=i /
(-l';, E:JP'0), X'= /+.j, .jCCZ
onde a relação de pi'eferência.EIP é definida. poi:
para todo z e u C --yj, J C .7. A idéia desta transformação é a. seguinte: os velozes
de produção com sinal negativo indicam queas firmas agemcolho agentescollsu77iidoresde
&nsumos.
Uma alocuçãode consumox CC/ domina x' sex{ >-i xl, VဠZ e don i71a/í'acalllerztex' quando
xi 1:{ xl para todo { C Z, comalgum k C Z satisfazendoxk »k xl;. Paraumaeconomiacom
produção e troca, a alocação viável (x, y) é e$cíeníe se não existe nenhuma alocução viável (x', y')
tal que x' domina fracamente x. Uma alocução viável (x, y) é /racaznenteejcienZe se não existe
nenhuma outra alocução viável (x', y') tal que x' domina x . Variaii ( 1992) apl'isenta. as condições
para existir a equivalência entre as dua.sdefinições. A proposição a seguir é o Pr r] e ro Tíarerrza
do Bem Estar
Proposição 1.9:
Para umaeconomia de trocas, sex é viável e sZricZ/ysupportedpoi alguiii vetoude preços,entãox
17
é fracamenteeficiente
Prova
Suponha por absurdo queexista x' viável quedoiitina x (ou seja..x liã.oé fraco eficiente),
então
Ei=1 i=1 {=1 i=l
o que é um absurdo.A primeira igualdade ocorre porque xl é viável; a desigualdade
ocorreporquex é strÍcZ/ysupporledpor p e a segunda.igualdadeocolie por(luex éviável. u
E E x, = p )l.'".P
O teorema seguinte relaciona equilíbrio e eficiência. utilizando o conceito de preferências não
saciadas nearby:
Teorema l.IO:
Suponhaquex é uma alocuçãoviável para uma economiade boca.c x é slrí(l/y u/)/)07'ledpoi unl
vedor de preços Se para todo í C Z, E:f é não-.sricia(/a nenrby Í)a.ia t.oda ( sfollia edil .V,. então x ó
eficiente.
Prova
Por absurdo,suponha que (x', y') é viável e que { C Z é tal quexl »Í xi; daí, 7)xl > pxf.
Para cada k ?é {, <k é não-saciada nearby xl:. Logo (tomando y = Z, por exemplo), há
xZ C Xt com
xl;+ axZ» xl; VaC10,il.
E comoxl: l:k xk segue-seque
xk + axh »k XÊ, k # {
18 Equilibi'io Gei'al
Logo, p(xl; + ax=) > pxt e somando sobre k # {
pE(*l + -Z) ; pE*l + «7,E *Z:» pE**
Contudo, pxl > pxf + c, para algum c > 0 fixado.
Somando as duas últimas desigualdades,
pE *; + «7, E *Z :» ,, E *, -p .;j=i k#i j=l
/ /
mas
Logo,
a P>1'xZ > f Va Cl0,tl.
Contudo, fazendo a ----- 0, o pi'imeiro lado tende a 0, enquanto (lue o segundo permaitece
constantee positivo, uma contradição. O
Existe uma outra maneira de definir precesupporZ: Seja uma economia de produção e troca ein
um espaçodeescolhas Z: , a alocução(x, y) é sup;)orledpelo vetoude preços7iCC'. /} ?É0, se:
zb:fxi:> pz2Pxf, Vze.X'i, V{CZ
Py, 2 P z, V= € }'1,, VJ C .'7
A relaçãoentre as duas definiçõesserámostrada por meio do uma ptoposiçã.onta.isa(lia.iit(
Agora vamos provar o Segundo Teoremado Bem Esgar, nova.mente livre cle considerações
topológicas. Para isso vamosenunciar um Teor'antade Hi;)erp/alto S'aparaor (lue utiliza a noção
decore e não de interior topológico:
e
Teorema l.ll:
SejaZ C É convexo de core não vazio. Então existe 7)CC' com p ?é0 Lalque p ; ? 0 para.todo
19
z C Z se ;ome«te se 0 g core(Z)
Prova: Ver Holmes (1975).
Agora vamosdiscutir algumasdefiniçõesnecessáriaspara a demonstraçãodo Leorenlaque virá
a seguir: Supondo que z = {zi,...,al}, sejaX' = )1:/:ilzi C .V, : .-. E .r.}, isLoé, .V' éo conjuittode velares z que podem ser decompostos em / parcelas tal que ; = :i + . . . + :/, : 1:1 z. e zi C .Y.-
para todo i € Z. Ainda, y = ::j;:: y; denota o conjunto de possibilita.des de pi'adução. Apoia
podemosdemonstrar o SegundoTeoremado Bem EsZac
Teorema 1.12:
Seja(x, y) uma alocução eficiente pata. a economia.satisfazendo as seguintes condições: (a) .X'' }
é convexode core não vazio; (b) pai'a.algum k € Z, l:k é estrita. =-nioiiotõiiica pa.ia.algum = C C
Então, (x,y) é supportedpol uin vetou de l)ieços.
Prova:
SejaZ = X' -- y -- {)ll:Í:i wi}. Mostraremos inicialmente que 0 g cole(Z): Suponhapor absurdo que 0 Ccore(Z) e seja z Cr para o qual b:t é estritamente 3-monotõnica.
Considerea direção --z, então existe p € 1O,--zl com lO,pl Ç Z, logo existe a € 1O,ll
com --a z C Z. Mas como --a z € Z, então -a 3 = E/:i zi - Ej:i ©j - E/:i wi com
zi C Xí, zi b:f xi. (Impor'tente notar que x = (xi,...,x/) está. fixado). Portanto,
E:l::i ,í + a z = Xj:. Új + E!:;i '-i.
Seja a alocução(zi,. . ., zk--l, ZJ;+a z,zk+i,. -., z/,Úi, . .., ÚJ). Como b;: é estritamente
z-monotõnica, eO < a < 1, segue que zk+az >-# xk(em particular temos (lue ;i; +a! C
C XA). Como Ei:i zf +a z = )1:JJ:i ãj + E/:. tf'i. segue-se (lue a a.Inca.ção ó xiá.vel. Ma.s
comoZJ;+ az »l; zk e zi 1: zi para.i 7ék, temos que(x,y) nã.oé eficieiltP. o (lueé unia
contradição.Logo,0g cole(Z).
20 Equilibi'io Gei'al
Pela hipótese (a), o core(Z) é não vazio, Z é convexo e 0 g coi'e(Z). Agora podemos
aplicar o Teoremado Hiperplano Separadore concluir queexiste 7)C C' com p # 0 tal
que pz 2: 0 para todo z C Z.
Agora, utilizando o resultado do Teorema do llipeiplano Separa.doi.\.a.lidoscoiicluii
que (x,y) é supporZedpor um vetou de pi'eços e collse(liientenleilte lx.y.p) será um
equilíbrio para estaeconomia(pois esta alocuçãoé viável). Suponha.que Dl:h xh para
algum h C Z. Como E'i:::l(XÍ -- toi) € y, pois a.alocução é viável, e por construção
t; + l:i# xi C X' (pois essevetor pode ser decomposto de maneira adequada),então
temos que u -- XA C Z, pois Z = X' -- y -- )I'/:l wi. Agora, pelo Teorenta de HiperplanoSeparador temos que p (u -- xh) 2 0, logo pu 2 pxA para. h C Z. Por um argumento
análogo temos que pu $ pyj para todo u C yJ e para todo j C .7. Logo. a alocaçãn
viável (x,y) é supporZed por um vedor de preços e coilsequeiiteiiieiiLe (x,y.7)l é uni
equilíbrio para estaeconomia. O
A próxima proposição a ser provada estabeleceunia relação entre os coitceitos de .sZ7'ícZsup;orZ
e support, conceitos essesjá enunciados.
Proposição 1.13:
Seja E uma relação de preferência soba'eX C Z, onde X é convexo, p C C' e /i ?é0. Cotlsideie
(a) x»y + px >py, VxC X
(b) x b:y + px 2 py, Vx € X
(c) x » y :> PX? Py, Vx C X
onde y é um elemento fixado em X. Se1: é algebricamente contínua e existe l C .X tal que p1 < 7)y
ente (c) <:: (b) :> (a).
Prova
21
Provaremosa implicação(b):>(a); a outra é análoga.
Suponhapor absurdoquex » y e px = py; por hipótese3 XC .\ tal (lue7ll < py
ComoX éconvexo,tomamost 1+ (1-- t) x comx,l € À'. Então
Ptl+ (l t)PX < ÍPy+ (l t)Py = Py
Sabemosquepara os pontostX+(] -- t)x deveocorl'er tl+( ] -- Z)x < y, VÍ C 10,il por
(b). Masoconjunto{a € X : a :3y} éalgebricanlentefechado.istoó. {a C.\' :a :3y}
contém seuspontos linearmente acessíveis,mas como x é linda.iiiieilt.eacessível,então
x :3 y, o que nos conduz a uma contradiçã.o. O
Agora o nossopróximo passoé garantir as condiçõespara a.existêitcia.do equilíbrio
Definição 1.14:
Seja f uma economiade produção e troca, se(x, y) C C/ x CJ é uma alo(a.çã.oviável (lttc ó su/}li07'ící/
por p C C' e satisfaz a restrição orçamentária, ente.o (x, y, p) é un equálzbría cí)Tiz7)elzsado.
A proposição aseguir estabelecea relaçãoentre equilíbrio eequilíbi'io compensado. Esta relação
é clara quando seusa a proposiçãoanterior, pois a relação entre essesdois conceitosse lesiiiiie à
relaçãoentre support e strÍct supporl
Proposição 1.15:
Seja (x,y,p) um equilíbrio compensado, tal que, para. todo i coiii .V; convexo. 1: algebi'icaniente
contínua e existe if € Xi tal que ?)1.< 7)xi. Eiitã.o (x.y.7i) ó ii]]] c'(ltiilíbrio
Prova: A demonstraçãodeste resultado segueimediatamente da.pioposiçã.oanteiioi
Sejauma economiacom dotaçãoinicial igual a zero, isto é, «}i = 0 pa.tatodo f CZ. Seja.taliil#iii
X = )1:!::i Xi o conjunto de consumo,analogamentepara o conjunto de produção }'. Uni conjunto
22 Equilíbi'io Gei'al
y C C é um conjuntodeproduçãoexpandidaparauma ecoitonlia.sc } c } c } n .v = }' n .\
isto é, y e y produzem asmesmasalocuçõesviáveis. I'iria csfollta : € .V,ó viável pai-auni agcliLc
í seexiste uma alocução viável (x,y) tal que z = x{. l)efiiie-sc .\, o foit.ltiiito (lc escolha.sviá.fieis
para o agenteáC Z. SejaD C Z:o subconjunto cujos elemeilLospodelil sei escl'elosda foi'ma
z :: zl + com zi »i xi, Vx{ C Xi, V{ CZ
Apresentaremosa seguir ascondiçõespara a existência do equilíbrio compettsa.dopara espaços
de escolha euclidianos (i.e. C C -a?lv):
(a) x n (--x) é limitado;
(b) Xi é fechado e convexo para todo i C Z;
(c) D é «ão -zio;
(d) bí é contínua e convexapara todo i CZ;
(e) y n x é limitado e não vazio
(f) 0 C yJ para todo j C ..7;
(g) Existe um ? conjunto de produção expandido fechado e convexo tal que 0 C ,4(i;') -- D
Xi, ViCZ.
Casoa economia com dotação inicial diferente de zero, podemosaplicam'asconvem'iõespara .YÍ
e b:ijá discutidas.
Teorema 1.16:
Se E é uma economia no espaçode escolhasC C #?N sa.tisfazendoas condiçõesacima.,então é:
possui um equilíbrio compensado (x,y,p). Ainda pode-se escola)elp pai'a.satisfa.zerp? É 0 para
23
todo z € Á(y') - .0.
Prova: Debreu (1959)
Seja r um espaçovetorialcom 4 C r e #l' um corpo. Podeíiiosdeíiítii o span(4) comoo
menor subespaço de C que contém .4. Naturalmente, o span(H) é o coltjuiito das combinam;ões
lineares finitas de elementos de .4. Então m C span(Á) $ 71} = )ll:::i Nna« colll {al, . . . ,aN} enl
4 e escaleres Pi, . . .,P/v. Ainda, se ,4 for linearmente indepeii(lente. eiit.â.o ,-l (l liiiia base l)a.ia o
span(.4).
Definiremosuma securily comoum vedorem C . O conjtittto de secuiiLiesé o conjuitto de todas
assecurities disponíveis para negociar. Seos mercados foi'em completos, o conjunto de secuiiLies é
o próprio ,C
O espaçode mercado relativo ao conjunto de seculities d C C é o spaii(.4). Os eleiiielltos do
span(.A) são as escolhas de mercado.Um portfólio é uma combinação linear de secul'ities.
Seum conjunto de securities .4 nãoé uma basepai'a.o espaçode mei'cado&d= span( 4), então
existe Á C .4que forma uma basepara ]W. Assim, a.ssecurities perteiiceilt.esa d/.4 sã.oieduilda.ates
no sentido que span(.4) = span( 4) = A4
Sejam C .A/' um vedor de preços; para todo m C A4 temos nz = )ll:=;;i d.a« e /}nl = ?}(>ll::: l d«a«)
EÍ::i P«(pa.) para únicos {al,...,a/y} eni .á e escalaiesNi,...,/JW
Dado o espaço de mercado /W, vamos foi iiiulai o e(luilíbiiu para. a.scgliinLc ccunuiitia de Louca;
f = (Xf, Eí, w{), { C Z ,/}
restrito ao espaçode mercado J14.Para.cada í C Z, seja .YT'/ = (.Y; -- {tí,l}) n M e definiitios a
relaçãode preferência b:lb/em XW por
m l:r n nl + wf b:f n + wf
para todo m e n em Xi . O equilíbrio para a economia C restrita a.A4é uni equilíl)I'io para a
24 E(luilíbi io Gei'al
seguinte economia líquida de trocas
ÉIM . (XÀ4 ,
sobre o espaçode escolhas.A/
Seja .4C Z:o conjunto de securities. Um portfólio em Á é unia.função ç : .4 #?, para cada
a C .4,g(a) indica,o número de unidades dea. Ainda, assume-sequeos agentespossuemum número
finito de diferentes securities. Define-se a g(a) como sendo quantode secutity a o indivíduo possui no
seu portfólio. Uma(/+1)-ênupla(gi, . . .,g/,p), onde p é um funcioital linear subi'e M = span(.4) é
um equilíbrio para a economia de trocas de security markels desde (ltie( J..i a çi( í/). . . . , J..{a p/(a), /})
seja um equilíbrio para a.economia.lí(luida.de ti'oca.s.cM e >1:/:l pf(a 1= 0. a C .-l
Setomarmos.4 um subconjuntolinear'menteindex)endeiltedo esl)a.ço(IPescolhas C . sp
('pi,...,g/) são portíólios soba'e 4 de nlaiteira. que (/H a'pi(a)....,J.4 aç/(a)l é uilla alocaçàoviável para fW, então vale que }:!;i gÍ(a) = 0, a C .4.
As principais referências, além de Duche (1988), são }lildenbiand c I'iiiiiiail (1988), \r'aiian
(1992),Merton(1982), Debreu(1983)e Arrow(1971).
Capítulo 2
Modelo CJ\PM
Seja (Q,F, P) com Q sendo o conjunto de estados de ilattii'eza (los (duais os /;í/yo#s das óec111'iZies
dependem. Seja r2(P) o espaçode escolhaspa.ia.llina. economia: liiii elelneiit.o:i C Z'Z(P) é unl
vedorde variáveis aleatórias que desci'evea quantidade z(lo) tecem)ida.lio estado u} C S!. Vaiiios
definir z C,C2(P) como um ativo. O vetar z C Za(P) possui esperançae vai'iãitcia finitas.
Sejam A C Z: = r2 o subconjunto das sec?lráZáe.snegociada.s e .44 = spa.ii(.ll o rialA:(Zc(/
space. Naturalmente, i14 C Z:2;se J\4= Z:2 = C dizemos que os mci'('a(los sã.o(oiiipletos. .Ainda.,
p : .A/ -.--.-.a?é um funcional linear que atribui preços aos ativos negociados.Sa,betiiosque, se .4
for um conjunto finito de securitíes,então À4= span(Á) tem dimeitsão íinita e 7)é coiitl'ituo
Antes de apresentarmosa próxima proposição,vamosapiesental alguns resultadosde análise
Definição 2.1:
Uma função / definida u.q.s. em Q com valores em J7? , /' -meiisuiá.vel. diz-se essencialmeiitc
[imitada se existe Ã' C 10,ool ta] que
P ({= C Ç2: l /(z) l > /\'}) ()
25
26 Modelo CAPM
l)efinição 2.2:
Se / é essencialmente limitada chamaremos de supre?7zoesse Iria/ d( ./' o iiúniero
11/11« inf{/t' € 1O,ool:/l({z C Q : l./'(r)l>/\'ll 0}
Definição 2.3:
ChamamosdeZ- (Q, .F, p) o conjuntodasfunçõesdefinidasu.q.s.ein í} comva.lotesenl #?que
são essencialmente limitadas .
Teorema 2.4:
O conjunto ,C. (Q, /', p) é um espaçovetoiial sobre m . A funçã.o
semmorma nesse espaço.
Prova: Ver Mukherjea e Pothoven (1986).
d(íiitida aciii)a ó liilia
Teorema 2.5:
O conjunto das classesde funções de r« (Q, .F, /l) determinada pela leia.çã.o/ -- g se, soliietiLe s(
/ = g u.q.s. designado por roü (Q. /'. p) por unl a.btiso de ilot.a.çã.o ó 11111osl)aço vpt.oi'ial so})le //?
A funçãoll . 11«deânidapor ll /ll« = ll /ll.., é uma.norma.emC.:..(Q. /. /i).
Prova: Ver Mukherjea e Pothoven (1986).
Teorema 2.6:
O espaçoCm (Q, /', p) com a norma definida acima é um espaçode Banaclt
Prova: Ver Mukherjea e Pothoven (1986).
27
Teorema 2.7:
Sendo (Q, /', p) um espaço de medida arbitrária e l $ p < w, o espaço noimado C. (Q, .F. p) é
completo.
Prova: Ver Mukherjea e Pothoven (1986).
Teorema 2.8 (Representação de Riesz):
Seja(Q, .F, p) um espaçode medidaa-finita e p um funcionallinear conta'nuoein C., com
l $ p < oo.Se l/p + l/q = 1, entãoexiste um único elemento n € Cv t(l.
z(m) r(m) dp( rll), Vz C C,,'À4
Prova: Ver Mukherjea e Pothoven ( 1986)
Proposição 2.9:
Suponha que o marÉeted space .A4é fechado e um funcional linear contínuo 7) : A4 ---- #?. Então
existe um único ativo n C À/ ta] que, para todo = C ]W,
E( za' ) E( n') E( # ) + (,:ov(=r.n'l (2.1)
Prova
SabemosqueC2 é espaçode Hi]bert com o pi'oduto interno (a. gr)-. t'(.t: #) e o dual de
r2 é o próprio r2. Ainda, qualquer subespaçovetou'ial fecha.dode uni essa.çodp Hilbert
é umespaçode Hilbert com o mesmoproduto interno (induzido). Então, pelo Teor'ema
da Representaçãode Riesz,para qualquerfuncional linearcoitLi'iluo/; C A4existeum
único n' C À4 ta] que pz =< n,z >= E(= n ). A seguitda. igualda.do decoiic da (lefiitição
decovariância. O
28 Modelo CAPM
O ativo r que satisfaza relação(2.1) é definido comoaZiuo/)recz$cíldar.Para.todo = € M
definimos o retorno de z como sendo a variável aleatória.
R. = -!JLZ' = 9
desdeque pz seja não nulo. Para um ativo z C r2 onde a variaçãoe picço sãodifeienLesde zelo,
define-seo beta de um ativo a;relativo a z como
Cov(R= R: )v,-l.R:l
Corolário 2.10:
Sob as hipóteses da proposição acima, suponha adicionalmente que E'(r) # 0. Var(r) ?é0, p, =
= -E(-R,)ep« = E(R,) onden éo aíít,oprecÚcadordescritona.relaçã.o(2.1). Sejar' = 1/E(r)
Então, qualquer ativo z cujo valor é diferente de zelo satisfaz:
IP, -- r) = /J,«(/(« -- rl
Prova
P', Co«(R,, R«)V*r(R , )
Co«(,,r)p«Var(r) p-
# à Co«(', ")
Dlpv',(")
por outro lado,
(p.-'):!:?-li: .:,{uw',. E(rz) --Cov(#,R) --pa' (P=) E(a')
e
@,-o : qP-zh : w"n -«« : '("'l;,X"'",-""
29
então
gk..:.0 : rul :gBD.=.gl11.!:!2.=..u(p.--t) \.pz,/ E(r2)-- Var(r)--pr
Então, pela proposição acima, temos que pz = E(r z) e 7)a-= E'(vrz), logo
(p, -- r) .E(nz) -- Cov(z,n ) -- L'(rl')(p«- r) E(r2) --Var(r) - E(a2)
qg (=)
P,. : (#t.:.0 -(P«- ,)
A relação(2.2) é denotado como bela 77}0de/e r é o retorno do ativo semfisco llZ
seja z = ln; então
então,
Explicação
z. : .L : ]B.
Por isso r é o retoi'no do ativo sem i'isco in.
1 1Ei;a : Ím : ''
Definição 2.11:
Uma rela,çãode preferência (relação binária coiiipleta. c tra.ilsiLiva) E sol)rc .\ C Z'Zó uaii(ill(.ia-
auersa se z E z + y sempre que =, z + 3/ € .V e .F(y) = Cov(3,y) = 0. Essa defiitição iio$ diz (lue
aumentos de variância são aceitou desde que aumentem o valor espetado. Analogamente define-se
z;ariáncia-atJersa esírÍfa.
Definição 2.12:
Uma relação de preferência (relação binária completa e transitival b sobre .V C C.Zé de média
t;aHáncía se z 1: z sempre que -E(z) = E(z) e Val(z) 5; Var(=) pala. todo =, ; C X
30 Modelo CAPM
Exemplo
Seja a relação de preferência b sobre X C C2 representada pelo fuiicioital ZIZ/(.)l
ondeZ/(a) = .4a-- .Ba2+ C, a C.#Z,para'4,B eC € #Z. SeB 2 0, então1:évariância-aversae de média-variância. Para vermos isso:
.Elzl(' + p) l .4.E(,)+ Á-E(y)+ C' .B(E(z2) + 2 E(=y) + E'(yz))
Como E(y) Co«(,,y) = 0,e«tão
rlz/(, + p) l .4.E(z) -- BE(]'' ) /?f.'(iU'Zl -Fr
Poroutro lado,
ZJZ/(z)l = .4.E(z) - BE(z2) + C
Então, como .B 2: 0, temos que
ZJZ/(=)12 Z;lÜ(= + v)l:+ z b z+ z/
A relaçãotambémé demédia-variância,pois,seE(z) = E(=)e I''a7'(=)É I'a7'(z),então
ZJZ/(z)l = A.E(a)--Z?E(z2)+C = .'i.E(z)--BE(z2)+C , mas l/ar(3) = E(z2)-E2(z) =
= .E(z2)-- .E2(z) $ yar(z)= E(z2) -- E2(z) ,istoé, --E(=2) 2 --E(3') ; como B ã 0,
.EJZ/(z)l= À.E(z) - B.E(=') + C 2 .4.E(z) - BE(z') + C = Zla(;)l . Logo, a: l: ;.
D
Podemos ver ainda que preferência média-va.riância.avessa.a.o i'isco itiiplica elii pi'efei'êitcia
variância-aversa.
Agora vamos estabelecer o CAPM ( Cáfila/ .4sseZ Prfcíng ./14o(/(/). Seja a seguint.e ecottottiia (le
trocaf = (Xi, bí, loi) para i CZ noespaçodeescolhasr2. Seja..4C Ci o secar'ityseZpala a
economia f , e da maneira que foi definida anteriormente,(gi, .. . , g/,p) um equilíbrio para (f, .4).
A dotaçãototal m = }1:L::iwi é conhecidacomo por!/õlío de mercado.
31
Teorema 2.13:
Dado um equiHürio (p,z) para a economia de troca com secTll'iZ#inarkeZ(f. .41e o espaçode
escolhas,C2.Suponha que:
(a) A relaçãode preferênciade cada agenteé variância-aversaestritamente
(b) A dotação wi de cada agente á está no maré;etedsubspaceM span(.41
(c) dim(M) < «,
(d) O espaço de escolhas é o C2
(e) O ativo semrisco in é negociadoe seu valor de mercadoé nã.o-nulo
(f) O portMliodemercadom tem variâncianão-itula
Então, qualquer ativo a;C .A4com valor de mercado iiào-nulo saLisfa.z('.\l'NI
(#l. - r) = /i, «.(/t.. - z')
Ainda vale o resultado acima se trocartnos (c) pol (c'), onde
(c') O marketedsubspaceÀ/ é fechadoe o funcional de plenosde equilíbrio 7)ó contínuo
Prova:
Seja (./.) o produto interno sobre M = span(Á) dado poi (z/w) = E(zto). Pelas
condições (c) ou (c'), .A/ é um espaço de Hilbert com o produto lUteI'no (./.). Dada
a alocuçãoz C J14,vamosdenotarâ a projeçãoortogoitaldez sobrespanlln,r},
onde a C .A4é o ativo precificante para.o funcional de preçosde e(luilíbi'io p. Vaiiios
definir w = i -- # C spanlln,all. Pelo teorema. da. plojeçã.o temos que (u,/r) =
(w/in) = (w/â) = 0 (pois 10 C spaniln,rll e n C it4, in C A4 e Ê C .M), implica
quepâ =pz(poispw = .E(wr)= (w/r)= 0:> + pw = pá--p# = 0:> pã = P=).
32 Modelo CAPM
Afirmamos (lue ié estritamente preterido a z, a menosque3 = z. Bastamostrar que
-E(a -- â) = Cov(3,= -- â) = 0 , pois então i+(z -- i) sei'á estiitaiiieiite l)leteiido aú, pela
propriedade de variância-aversão estrita da preferêitcia, lhas i + (l -- .í ) ó a L(.l -- i ) = 0
pois E(z--â) =(=--ê, in) = 0 eCov(â,z--}) = E(}(.i .i'l) -/'.'(.í )/'.'l.i .i ) =0
pois â é a projeção ortogonal de z sobrespanllO, r}. Portanto. podeiiios concluir que
z = â e m = }:!:::i wi pertence ao span'tln,a} pois Ê = lt; logo, 171= 4 + B7r com
Á, B C#Z. Então, supondoque Var(m) ?É0 e utilizando o corolário 2.10obtenlasa tese
deste teorema da seguinte maneira: precisamos mostrei que P,.(p«: -- I' 1= 0,«(p« -- r).
Comom = .4+ .Br
R. G;;j'FGa'Também
.'(Rm) 1l;lill:l;Z«'(R-).Dd,
P,. Cov( R,, R«. ) Co«(R,, a.)êlÍlllP
«'( R,)e;g19ÇE
/J.. «(P }i}. l
/i É;(rz la2(R.)
Portanto,
P,«(p«- ,) ,,.éf (ü*' g«.-,)«,, (ç#w * «.)
Mas
pm = p(.4+Br) = 41;(r) + B.E(r2),
a,SSIin 9
Á - ,(P«.).E(.'2) B
poisr-E(H') = 1. Logo,
,4-- r .4E(r) -- I' /?E(r2)B E(r2)
T,
P,«(p«- ,) = /3-(p«- «) D
33
Note também queo portfólio de mercado é uma combinaçãolinear do ativo precificante e do
ativo semrisco.
O resultado provado acima mostra que o equilíbrio em uma.economia.de troca 110espaçoC2(P)
implica a relaçãodo CAPM, ou seja,trata-se de uma condiçãonecessáriasobreo equilíbrio. Para
condições suâcientes precisamosde condições mais fortes do queaquelas utilizadas pala. a obtenção
do equibürio de Debreu (onde o espaçode escolhasé o P?/v). Essascondiçõesestão discutidas em
Araujo e Monteiro (1986), Zame (1987).
As principais referênciasdestecapítulo sã.o.alémde Dtifne( 19RR).lltil\itg p l.it ZPnboi'ger(19RR).
Merton(1982), Mossin(1966), Sharpe( 1970)eShaipe( 1985).Sobree(lttilíbi'io geral eni espaçosde
dimensão infinita, as principais referências são Zame(1987), Mas-Colel1(1986) e Duftie(1986). Este
último tópico foi exploradoneste trabalho. Finalmente, os conceitosrefeieiites à análisefuilcioilal
foram obtidos deMukherjea e Pothoven (1986), Conway (1990)e Bachmane Nai'ici( 1966).
Capítulo 3
Modelos Binomial e Black-Scholes
Umaopçãode compra(ca//) é uil] contratoclubassegura.o direito a.scli possuidorde coiiipiai
umaquantidade pieíixada de açõespoi iiiii picão previa.ii)cm.co tal)clpcitlu tl{ iil í-otlu uni liiiiit.t' du
tempo.
Uma opção de compra é chamada de etirope'iaquando essedireito pode sel' exercido apenas lla
datadevencimentodo conta'ato;quandoo exercíciopuxei sei feito oni (ltial(ltioidata a parLii (la
elaboraçãodo contrato, a opção é chamada de all tricana. De modo a.itálogodefine-seopção de
venda.
O preço acordadopara a compra ou venda da ação é chamadode /preçode ea;ci'c-zZáodeiloLado
por X; e o preço de mercado da opção de prémio. Definindo S' como o preço da anão, se .\ < b
dizemos que a opção está ín-&Ae-íltoneg; se S < X dizemos que a opção está al&(-i:!f-lAe-narleg.
A teoria de precificação de opções que vai ser apresentada. apoia. é válida. })al'a opções europé
que não paguem dividendos durante o período de ma.duração
ias
34
35
Definições Básicas
Inicialmente entraremos com as seguintes notações
a) S: preço da ação no presente
b) X: preço de exercício
c) T: data de vencimento
d) r: l mais a taxa de retorno do ativo sem risco
e) C': valor de uma opção européia de compra
O Modelo Bínomial
O modelo de preciâcação que estudaremos inicialmente assumeque os ativos evolueiii indepeiideii-
temente deacordo com uma distribuição binomial. SendoS' o preço do ativo ilo pi'esCUte,este pode
subir para uS com probabilidade q ou cair pagad.S'conaprobabilidade 1-- q:
ttS, coiiipior)al)ilibadoqS
Apósn passos,o valordo ativo seráukd"'k5' paraalgumk, com0 $1k $ n..O preçodo ativo
apósn passospode assumirn + l valores. A probabilidadedo valor do at.ivoser tíkd"'k.S' para
algum k com 0 $ É É n após n lançamentosseráde:
nti;il?-ijÍ q' (1 - q)"'*Ainda,
.z. ?&!
P(S« 2 u'd"''S) = >1: ;ii; . i)! q' (1 - q)"':,
36 Modelos Biuomial c:Black-Sclioles
ondeS. é o valor do ativo apósn passos Para fins de notação definiremos
4'(k, ", p) = >ll: ;íi;i!:l:-D q: (1 - g)"''
Suporemosd < r < u, casocontráriohaveriaarbitra.geiii.Poiexetitplo.seu > d > r. lim
investidor poderia tomar emprestado a taxa r e comprar o ativo, /a:r'lt o dí7z/!ei7'0do nada.
DefinimosC comoo valor correnteda cal/,C. o valor da.ca//iio íitii do períodoseo preçodo
ativo subir a uS eC'ao valor da ca//seo preçodo a.tive ca.ira í/.S'.'l'oma.ii(loo ca.sedo iilll pet'iodo
teremos:
C'. = maxj0,xS .rl
C
C'a= maxlo,a.s'- .vl
Vamosmostrar agora o seguinteportíólio: uma.quaiiLidadeA dc açõese unia.(luanLidadeB de
títulos; logo, o valor presente deste portfólio é AS + B. Após un] pei'iodo, dependendo do valor' de
S, o portíólio poderá valer AuS + r.B com probabilidade q ou AdS' + 7'B coiii probabilidade 1 -- q.
VamosescolherA e B de maneira que o poitblio seja equivalente à opção de coiiipra, ou seja,
l Au5'+1?7'= C.l AdS+ Br= C.z
Resolvendoo sistemaacima para A e B teremos:
C.- Cü
l tí --(/).9
uCa -- dC.lü-- d)7'
Sempreteremos0 $ A $ 1 e B $ 0. Mais adiante mostraremospara o casode 7zpassosque
.B < 0e 0 < a. < 1.
O portfólio obtido acima tem o nomede poí'efb/íacq?láuí//c/lt(.Va.iiiosrclaciuiiar agorac tc
portfólio equivalente com a opção de compra
(3.1)
(3.2)
37
Na ausência de arbitragens devemoster AS + .B $ C. Suponha (lue (,' < z\S' + B; então
compramosa cal/, vendemoso portfólio e ficamoscom a diferença(z\S + B -- C'). No fiiii do
período (como o portfólio é equivalente) recompramoso portfólio. A desigualdadeA.S'+ B < C'
dáorigem aoperaçõesde arbitragem (vender a ca//e coinpl'al o pol'Lrólio), dcpciideiido da lelaçào
en\ve6.S + B e S -- Xjr
Paracontinuarmosa discutir a relaçãoentreo portfólio e(llliva.lei\t,ee a ca// vaDIosestudei a
relação entre C' e S--X/r. (I' < S--X/r permite realizam a.seguinte a.rbit.ia.gcili: coiiipi-e a descoberto
o ativo e venda-o;com o resultadoda venda compreuma opçã.oe aplique .S'- ('. obtendo r( S'-- (.,')
queémaior do queX. Então exerçaa opção,devolvaa açãoíicalido coiii a direieiiça /( .S'-- (.') -- .\
Assim, S -- X/r < C' < S (nã.o se pode ter .S < (', pois seda.o po(leiíaiitos v('lidei a opçã.o. (oin])ia.r o
ativo, e sea opçãofosseexercida.entiegarl'amoso ativo, ca.secoiiLiáiio fi(a.iíaiiios coleia difeleitça ).
Sevaler a relação C' = AS'+ B(esta. relação sela. pl'ova.da.a.seguia) obt.Cíliosa seguinte explessào
substituindo A e .B por seus valores:
Ca.U
ac'. td)
{c'«+ :=c.T
(3.3)
deânindo À (« -- d)/(u - d), obtemos l À = (u -- 7')/(u -- d). Logo
ÀC'. + ( ] -- À)Ca (3.4 )
Já verificamos que C' 2 AS + B. Agora, se S' -- -h/r $ z\J)' + B (e nã.o .S - .\ $ z\.S t /i
como em Cox e Rubinstein (1985)) nã.opodeieillos tei' C > A.S'+ B, seiiã.o\eiideiiios a opção e
compramos o portfólio. Como o portfólio é equivalente à.opçã.oganhamos (' A.S'-- B. Nest.ecaso
a possibilidade de arbitragens está.excluída, pois S' -- .V/7' < ('. 1,ogo.iiecossa.iia.iiieiit.eteictiios
C' = a.S+ .B. Ainda sobre a condição S -- .r/7' < (' vale dizer' (lue. se a opçã.o fot Frei-(.ida. o agelit.e
que a exerceu gastaria C' + X para obter S; mas .X'/7' < X , logo, S -- .\' < S' -- .V/7 e S' -- X/7' < C
portanto, S -- X < (', isto é, S < .V + ('. Oti seja. o a.gelit.e est.alia l)oidctldo ri(lticza. Poli.a.alto a
7
38 Modelos Binomial e Black-Scholes
opção não seria exercidae iremos para o próximo período quando z\.S'+ B valerá o mesmoque a
opção
Podemos provar que, se r > 1 e u > r > d, teremos S' -- À/r $ A.S + # (que é a condição para
'ermosC'= AS+ B).
la caso: uS $ X. Então S $ X/u < X/r, logo S < X/r e C'«= Ca = 0 (não existe exercício).
Logo, 0 = AS + .B > S -- X/r. 0
2a caso: dS Z X. Nesse caso por (3.4) teremos
r(As+ .B) = ÀC«+(l - À)ca = À(us - x)+(l - À)(ds - .v) = IÀü+(l - À)als
= vS-- x :+ b.S.[ B = S -- xlr. a
3acaso:&S> X > dS. Nessecaso,AS + B = À(uS-- .V)/r , mas
À(uS -- X)/r > S -- X/r «, ÀuS' -- ÀX > r5' -- .V «, ÀuS' - 7-S' > ÀÀ -- .\ o (Àu -- 7')S' >
>(À-l)Xo -(l-À)dS>(À-l).V«(l À)(/S'<(1-ÀI.V«,í/.S'< .\'«, .\' >d.S'D
Portanto, agora podemos afirmar que C'
Agora vamosfazer alguns comentáriossobrea fórmula (3.4):
1. Nesta fórmula não aparecea probabilidade q, ou seja, o valor teórico da.opção não depende
do valor das probabilidadessobreo movimento de preçosdo ativo.
2 O valor teórico da caZ/nãodependedo comportamento do investidor'fieilte ao risco. A lazão
é a seguinte:a atitude frenteao riscopi'oduzum efeitoououtro dependendodo valor do
retorno esperado p do ativo. Como -E(S) = Suq + (l -- q)d5', vê-se que a. determinação de
E(S) é equivalentea de q (u e d sãoconsideradosdados), masjá se viu que o valor da ca//
independe de q e portanto, de E(S). A única hipótese feita foi que o invesLidoi é nào-sociável
com relaçãoà riqueza(e é esta hipóteseque faz o investidor pi'octirar conseguirganhar a
partir de operações de arbitragem ).
o dependeapenasde uma única variável aleatória. o preçodo ativo.
!ria ter em equilíbriose os investidoresfossemiteuLtosenl ielaçào
;tem (1985) define que um investidor neutro elii telaçã.o ao risco é
/estimentocom retornocerto eoutro com ieLoiito iiiceiLo, desdeque
no retoi'noesperado).Pala veiillos issotiotaiiios (latef.'l.S'l= q([t.S)+
n q = (r -- d)/(u -- d) = À. Logo. peia fóitit.i]a 1=3..]). (' pode ser
herançado seu valor futuro desconta.donum mundo de neutralidade
]BlqnqPnmnnnnAn rTln Annnnn-.BB-.ni +r.abA AaAnnnmnnnn&nn
39
3. O valor teórico da opçãodependeapenasde uma única variável aleatória, o preçodo ativo
4 À é o valor que q deveria ter em equilíbrio se os invesLidoies fossetii iteutios enl i'elaçào
ao risco (Cox e Rubinstein(1985)defineque um investidorneutroell) relaçãoao riscoé
indiferenteentre um investimentocom retornocerto eoutro com tetoiiio incerto, desdeque
essesapresentem o mesmo retorno esperado). Para verti os isso tioLaiitos (ltie F.'(.S')= q( tt.S')+
+(l -- q)(dS) = rS com q = (r -- d)/(tt -- d) = À. Logo. pela f(3riiiula (3.4). (' pode ser
interpretado como a esperançado seu valor futuro desconta.donum mundo de neutralidade
ao risco.
Vamos expender agora a fórmula para n passos. Tomando o caso para 1} : 2 tecemos osseguintes
diagramaspara a evoluçãodo preçodo ativo e da caZ/:
u2S
uS
S udS
d2S
c"-,
c.
c.í
C c«'
40 Modelos 13inoiiiial ( Black-Scholes
Definindo C'uu = max {0,u2S -- .Y}, c'ud : max {0. ?ld.S'-- .V} p r'dd = lllax {0.(/2.S' -- .\'}. Da
mesmamaneira que para zi : 1, tecemos,para que nã.oseja possívelaibiliagpíii
c. IÀC'.«+(l À)C«al/r e C'a IÀC'Ú..+ ( l q)(',/al/r
Ainda, podemos calcular o portfólio equivalente A.S + B., (onde A.. e /3., sã.ocalculados da mesma
formaqueA e .B,usando(;«. e C«.fno lugar de C'. e C.Í) e o nlesiiiopa.iaA,/.S'+ Ba. Antesde
prosseguirmos valem duasobservações:
(1) No casoda fórmula dedeterminaçãodo preçoda.úa// pa.i'all = 1exist.cii lha (oiitcidêttcia c-iilio
o final do penodo e o vencimento da ot)çã.o. Pa.ra ll > 1essafoin(i(lên(ia iiã.o ( xist.e. Oll se.la.
para n = 2, quando se eiicelra o primeil'o pei'iodo (faltando iiiais uni) não iiecessaiiaiileiiLe
enste o equílibrio enfie a cíl// e o })oi't.fólio c(lliiva.loxit.o. l)ortaiil.u. se u iiivost.i(loí- rca.lixa.i
uma operaçãode aibitlagen] em zz= 0 vendendo lama.ra// supeiva.loi'izadae usa.lidopaire do
recurso para comprar o portfólio equivalente, encerra.i'posiçã.oenl n < 2 l)odes'áincorrer eni
perdas maiores do que o seu lucro inicial. Esta.perda. podo sel ovit.a.dasogtiiaii(lo o l)oit folia
até n = 2 (ou reajustando -Be A do portfólio equivalente). Ou seja. pala.?i > 1 é necessário
reajustar o portfólio a cadapasso,isto é, fa.zerum Aedgedinâmico.
(2) Tanto no exemplo para n - l como pa.ia. ]] = 2 litiliza.Rios a iilesiiia bota.çã.o ('., o CÚ. l\4a.s
o significado de C'. e Ca no exemplo com n = 1 difere do casocom 11.= 2. Não temos dais
necessariamente as igualdades C'. = iiiax {0. n..S-- .V } c-( './ = iria.x {0. (/.b -- .V }. O sigiiilica.do
para n > 1 de Cu e C'Ú: sã.ovalor'es que a.cal/ lí:'nz qTfr ZT'l'pai'a (rio itã.oexista.iii l)ossit)inda.des
de arbitragem.
Vamos finalmente obter a fórmula para n - 2: coithecidos('., e ('./. podemosescíevei'(' como
antes:
41
ÀC« + (l - À)Ca À29":E(:=À)ga + ( 1 - À)àg''Ll:(!=à)Éb
À'C'- + 2À(l - À)C.a + (l - À)2Cú.i
{À2maxlO,u2S--Xj+ 2À(l--À)maxlO,duS--Xj+(l --À)' iilax10,d' - 5'--X'l}
r2
r2
Vamos verificar a relação para n passos:
comCj 'lg max {ujd"'jS - X, 0}.
Vamosfazer a prova por indução:
c -Ê m;h*'', D"-''al,
i afiar ulll
P $ n é
a acão de valorinicialÇ
P
J
b, ovelo
onde C:j?= max {ujdp'jS -- X,0}.
Seja Cr,l o valor da opção que vence em
l vezes, 0 < / < k
P
.j=o
42
c',.,
CP c,..
C-,o
C,,o
Suponha p = n + 1. Então C':l l é o valor de uma. opção que vence cm ?].períodos pai'a
uma ação de valor inicial uS. Devido à llipótese de induçã.o:n / \
c':t' = }: 1? 1xJ(i- À)"'j('';J.'/ ,".j=o \. ' /
Do mesmo modo
'«' :ÊI l*'.-*'"''',*',nA seguir vamos provar que:
(;"+l = ÀC':t' + (l - À)CI.o/r e S - X/rP $ (,'p.
O argumento é praticamenteo mesmoque aquele em que seprecifica a.opção(luando
esta venceem um período.
Montante um portíólio deAS e .B títulos tal queapós l período temosAuS+rl? = C'.'.ti
ouÂdS+r.B= Ci,ii; supondoporinduçãoqueuS--X/r" $ C'i.il ed5'--.X/r" $ C.'i'.g,
43
ÀuS -- ÀX/r" .(l - À)dS'-(l - À)X/7'" , À(i'i'.T' +(l - À)('1'.3'
Logo, s -- x/r"+i $ 6.s+ B(porqueAs+ .B = IÀC'f.tj+( 1 -- À)("'r.ilil/I').
Agora, se6.S + .B < C, compramoso portíólio e vendemosa.opção. O comprador
da opçãonão poderia exercê-laimediatamente, pois gastaria ('' + .V l)a.iaoptei .S',mas
como S -- X < S -- X/rn+l < 6.S + B < C'. logo teríamos .S'< (' + .V ( o ('ompra.dor
perderia.
Portanto, passaríamospara o período seguintecom o poi'tfólio. lilás nesseperíodoo
portíólio vale a opção,logo, podetiios rc(oiiiptá.-la o tctíaiiio:.. f(.ilu lliiia ai-l)itiii.goiii (uni
C'- (ZkS+ -B).
SeC < AS + .B, compre a opção, venda o portíólio; após l pei iodo a opção de conlpia
valeo portfólio, recomprando-oe teríamos feito arbitragens com z\.S'+ /i -- ('
Agora, utilizando queC'"+i =(ÀC'i.i 1+(1 -- À)C'r.&i)/z' e a.s fórmula.s(le ('i-.ti e ('.'8'completamos a indução. O
então temos
r T 7
Podemosver queuld"'JS é crescentecomj, logo existe un) iilelioi iiiteiio /il. ? 0 a.partir do
qual se tem u"d"'"S > X. Em outras palavras, m é o menor núnlei'o de passosde nlaiieii'a que
terminássemos ín tàe money (existe o exercício). Quando 1} < 71?Oli .j < n teicliios (' = 0, pois
max 10,Ujdn'jS -- XI = 0; caso contrário, teremos
max10,uld"''S .\'l = uld"'' .S'-- .\'
e
u"'d"'"'S' > .X « in(Tz"'d"'"'S') > in .\
de onde conclui-se que
m = min lk ? o : k>W}
44 Modelos Binomial e Black-Scholes
voltando ao caso onde m S n e .7 2 m, temos:
: ;K;il!! jÍÀj(l -À)"-j(«jd"-jS -.K)l,'' IE?#ç'»*'o -N'-'e:1l -.*,''lx ?õ;:T»'u'[Ê a=h($)'(aP)'''] - *,-«.',,:.«,*, :
S $(m, n, p) - X,'" 4'(m, n, À),
onde p = (Àu)/r e l /,«« 1(1 X)(1l/r. Logo, se r]] > 1]., eiit.ã.o (' 0: sc /i/ < ii
c' S' '>(llz, ll, /l ) .\' ?' " $( '111, 11.,À )
Análise de Risco e Retorno sobre Preço de Opções
Nestaseçãovamosdiscutir a relaçãoentre o risco e o ietoino espei'adode umaopção e o fisco e o
retorno esperado do ativo associados. Também através do CAPM l (''a/)ÍZa/ .ésse! Pricíng .P14ode/)
encontraremoso alfa e o belade uma opção. O assuntoa sei disclil.idoiicstasega.otemi)uma
relevância especial quando a opção está colocada.num portfólio comideitlais ativos.
O retorno de um atino para um único período é definido como o preço no fim do pei'iodo
adicionado com qualquer acréscimofeito no fim do período, dividido pelo preço no início do período.
No modelo binomial o retorno é u ou d. O retorno esperado nl, é definido coiiio
In. = q'tz+ ( 1 -- q)d. (3.5)
A variância do retorno é definida coiiio
z;? = q(u -- n},)' + ( l q)(d - lll,)' (3.6)
45
Substituindo(3.5) em(3.6) teremos
z},= lq( 1 -- q)( u -- a)'l'/'. (3.7)
ondeu, é o desvio padrãoou volatilidade do ativo. Algumas vezespod(iiios tia.balhai comia taxa
de retorno e não como retorno do ativo. Nessecasoa taxa de retoiito esperadaé igual a m, -- l e
o desviopadrão é u,.
Podemoscalcular também a elasticidadeda opção que é deíiiiida. (oillo o (lho('ieilte entre a
alteraçãopercentualldo valor da ca//e a alteraçãopercentual do valor do ativo:
Lu -- LdIZ 3: 1.)/t , IZ\ nnae Z\ =
111--d)s
Analogamente, para uma opção de venda puZ retemos
Z\= ÇÇL=-llP e Q= (5'/P)A(« - d)s
Ainda, para a ca/l temos que Q crescecom X. Vamos verificar essaanil'iiiaçãopai'a a cal/:
Sabemos que
r
/'1
Vamos tomar o caso onde uS > dS' > X (os demais casos são a.itá.logos). Então
Sr C'..- (''aÀC. + (l - À)Ca (u - d) S
r max(üS -- .Y,0) -- max(dS -- .Y.0)
(u--d)S Àmax(uS--X,0)+(1 -- À)max(dS-- .Y,0)
r uS -- dS
(u - d) S À(uS- X) + (l - À)(dS- .V)
À«s + (l - À)ds - x
Portanto, está verificada a afirmaçãoanterior. D
46 Modelos Binomial e Black-Scholes
Agora podemosaplicar os resultadospara uma opção. O retorno esperado.mc, e o desvio
padrãodo retorno, u., de uma ca/l sãodefinidos como:
m.: «9-'-O-Üg: «'\''l;' !n (3.8)
(3.9)
e
[«.: -«, (Q?)'] '''.Combinando as equações(3.5),(3.6),(3.8) e(3.9) obtemos
o, = Ç2u.. (:i. lO)
Esta última equação relaciona o risco de uma.opção e o iis(o do ativo a.ssociado,isto é, o fisco
de uma hall é igual a sua elasticidade vezesa.vota.tilidade do ativo a.ssociado.
Podemosrepetir este cálculo agora para taxa de i'eterno, e aiit(la. nesteca.sepodeiiios \eiificai'
quea ca// não pode ter um risco menor' do que o ativo associado, isto é, uc 2 u,. Pai'a vei'iíicai'lhos
issobasta provar queQ Z 1. Sabemosde resultadosanteriores que
ÀClt (l À)Cfl. onde À= !-:.gr ?z. (
logo,
rlc. - ca - (u - d)cj + lüc'a - ac«l = o.
Comor > 1, selaca -- ac'«l $ 0, então
c. Ca-- (H--d)C? 0 o í22 1
Portanto, precisamosprovar que laca --ac'«l $ 0. Sabemosque6'a(C'..) é o valorespet'ado,seguttdo
uma probabilidadeÀ da açãosubir, da variável aleatória.maxi((/s)?tj(")d"-j(w) -- X,0} onde .j(w)
é o númerode vezesemque a ação subiu no período. Logo,
r"+idC. d ,rl maxlSuj(w)+ id"-j(") .x',o}l
47
EjdmaxlSuJ(")+id"-J("). A,0} l :
ZI maxlSuj(")+ld"+l'J(u') . (/.V.0} l
Analogamente,
r"+iuCa ; ZI maxtS&j(")+ld"+l'j(w) . aX,0} l.
Como maxÍSuj(")+ldn+l-j(w) -- uX,0} $ maxÍSuj(")+id"+i'J("') -- d.V.0}, Vu,, segue-se (lue
uC'aÉ dC'.. 0
Portanto, mostramos que sempre uC'a $ d(-;.. Logo, está verificado que ÇZ2: l e tambén] a
demonstração acima serve para mostrar que 1?$ 0 (como foi afirmado alia.eriornieilt,e)
Ainda podemosnotei queQ 2 1 implica.(lue (' -- .S.â< 0. pois
. - (g)' : -: '' - ''' ' ..Como-B= C'-- SA temosqueB $ 0
No casode uma put podemosanalogamentemostrar que
g+3Lt( 1- q)PóV
e
«,- l«o-üu'iwl ''
A volatilidade de uma puZseria:
UP : 'Ç2Us-
Podemosagora calcular a relação entre m, e m. pa.ra obter o retorno esperado de uma.opção
Para isso vamos retornar à idéia de portíólio equivalente; sabeiltos (lue
uSA +7'B C'. e dSA + rB = CÚ
48
Resolvendoeste sistema para a e B, obtemos C' = SA + .B. Coliibiiiattdo as Lié:súltiiiias equações
obtemos
uSA C'.=r(SA--C') e dS'A--C'a= r(.S'A--(')
Mu[tip[icandoa primeiraequaçãopor q e a segundapor (] -- q) e soiiia.indoiiteiiibi'oa menlbio
teremos:
qlu.sz\ -- c',,l + (1 -- a)lesa -- C'al = r( .S.â -- (')
ç[«szi - c«] + (l - ç)casa - ca] = SA](i - q)d + qu] - l!!g!! -!--.F-- - 7'(s'A - c')
Substituindo as expressõespor rrz. e m. tecemos
e
m.S'A -- rlt.C' = r(S'A -- C')
Reagrupandoa última equaçãoe utilizando a deíiniçã.odeQ teremos
«,"-«.':,''' -', :,«,(P)-F:, «,"-«.: ,(g)-, : «,«-«,.:,"-,
:> m. -- r = ç2(nt,-- r).
I'( .S'Â
('
(')+
(3.11)
A equação(3.11)nosdizqueo prémiopeloriscoda ra// ó igtia.ln ç} iiiiillil)lira.do pelo l)rõtiiio
pelo risco do ativo associado.ColmoQ 2 1, se ms > r e o prêmio pelo i'iscodo ativo for positivo,
entãoo prêmio pelo risco da ca//nunca serámenor do que o prémio pelo risco do ativo.
Para uma put teremosuma relação análoga:
m, -- r = Q(m, -- ,), com Q $ 0.
Agora, utilizando o modelo CAPM podemosdeterminam'o betade uma opção. Sendolli., o
retorno total esperadodo atino e mM éo retorno esperadoda carteira.de iiiercado. Elltão a.relação
fundamental do CIAPM será
nz. -- I' = d,(71zw -- ?') (3.12)
49
onde
Cov(R,, RÀf)S
Var(Rm )
ondeR, éa taxa deretorno doativo e .Rméa taxa de retorno da ca.iteiia.de iileicado
naequação(3.11)teremos
m. -- r = ç2P,(mAÍ -- r).
Substituindo
(3.13)
donde
$.= çlD, (3.14)
A relação(3.14) nosmostra queo betada opçãoé o belado ativo iliulLiplicadu pela elasticidade
da opção. E importante notarmos que Q muda.de valor de período a pet'ío(lodevido a altciações
no preçodoativo e aolongodo tempo. Logo,mesmoseo belado a.Lavol)el'lula,llecelconstaltLe.o
belada opção pode variar.
Podemos agora calculei o a{/a de uma. opçã.o. Validos supor (luo lli, l > .J.,( //i.v -- 1 ): iiesl.o (aso
o ativo estará subavaliado pagando um retorno espetado maior do (ltie o itível de risco a.ssociado.
Este retorno esperadoexcedenteé conhecido como a{/a associado ao ativo e ó dotei'minado poi
m. -- r = cl. + /i,(nzA/ -- I') (;3.15)
No casode análise de pi'eços de opções o que pode ocoiiei é que a ol)ção é piecificada eiii ielaçào
ao ativo associadoe que o ativo associado é precifica.do de acordo (.Olii o l)oit fólio de iiiei'cada pelo
CAPM. Portanto, estimativas independentesde1?1.e lli., podemnã.osa.Lisfazcra.srelaçõesespetadas
entre risco e retorno.
O alfa de uma opção pode ser decomposto em dois componentes: o algaa.ssociadoao ativo (a,)
e o relativo entre a opção e a anãoa.ssociada(â.). Então, reescreveitdoa.relação ente'ea ca// e o
ativo e incorporando â., teremos
m. -- r = â. + ç2(nz., -- r) (3.16)
50 Modelos Biiioinial e Black-Sclioles
com âc > 0 se a ca// estiver subavaliada e âc < 0 se a ca// estiver superavalia(la clll i'elação ao ativo
Reagrupando as duas últimas equaçõesteremos
7'nc -- T â. + ç2a, + (2/i,(nzÀ/ -- r) (3.17)
com clc = âc + Qas sendo o a{/a da.opção. Assim como pa.rao a.t.ivo.o ríCfrl(la ol)çã.odepeíidc do
espaço de tempo para que o equilíbrio entre risco e retomo seja iepsLabelccido.
Para opçõesde venda obtemos uma relação análoga,
n'&p-- r âp + (2a, + (2/i,(n&A/ l )
Fórmula de Black-Scholes
O número de tiansações será dado pol ?} num intervalo de Leiill)o dp t.a.iria.lítio/: logo. o período de
tempo entre duas transições é de A = t/7}, isto é, vaiiios supor (lue a.s l.ia.ilha.iões só })ossaili ocorrem
igualmente espaçadasno tempo
De acordo com a notaçãoanterior, z'é a unidade fetaisa taxa de i'eLolitosclii fisco sobre liiila
unidade de tempo (que é definida institucionalmente). Coillo esLanlosdividindo uni inLeivalo de
tempo de tamanho t em n partes iguais, definiremos o retorno nessesintervalos b. = t/n como f.
Logo, no fim do tempo f um retalho total de f", de maneira (lue f" = r', ou aiitda, f = rz/« : ,.b
Vamos manter a notação anterior para os retornou u e d, iilíls apoia.trabalhei'eiiios com in u
e Ind; ou sqa, utilizaremos o sistema.de capitalizaçã.ocottti'nua. Nest.osisLoiila de (a.pitaliza(ã.o
uma taxa R na unidadeé fixada, dividimos a unidade de tempo illlEiia(luaiil.ida.do(ria.lqtier. ni. de
subperíodos;a taxa é entãodividida por 111e composta.})OIestesin sul)palrados. Piore(lettdo desta.
maneira na unidadeondeo ietoino é I', tecemos7'= ( 1+ R/iii )". Qlia.ii(lo lii ó gia.It(IPu suíicit-ilt.o
obteremosr H eRe R = in r.
Seem n períodosa açãosubir u vezesatingindo o valor final 5'', eilLãolii(S;/S') = t;in ü+ (n --
o)Ind. Vamos calcular a espei'onça e a variância de lii(S'i/S):
51
-«'';';, :Ê*, « (;)*«--.'.onde Xr :: l se u ocorre eX, = 0 se d ocorre.Notamos que as .\', sã.o indcl)eildolltes e identicameilte
distribuídas, logo, yar(El?:oX,) = }ll:r;orar(X,). C:oliio L'(.V,) = /i c' \ «/'(.\,) = p(l -- P),
então
Podemos escrever
.';[-«'';,;,] - E''.*,, «(;) -'-«-««: ««-«(;) --«-«'e
".,[-«'';/',] - ««': -,,:« (;yVamos deânir
Ejln(S=/S)l = jpln(u/d)+ln(Zl7} Ê /lll
e
}'a, l in(Sl:/S)l = p(l -- p) l in(l./íl)I'n Ê â'7,
Note que â2 é a somadas variâncias dos increnleiitos in(S',) -- in(.S',-i ). É (ost.Hinodeitontinai âZ
uolatitidade do atãoa.
Agora o quedesejamosé que Pn e â2n.convirjam qua.ndovl-- m. Seja.m/íf p aZf os limites
A escolha u = e'«i, d = 1/u e p = 1 + { (.) v/i; faz com que An e â2n convirjam. De falo:
:,"«'«'',*:«',«; li;*;n l i'«=ãi*-«.1;-«."";--;(:)x -« '"" ---..-.";l1,x*;(;)X''a-'4«:
"]«
«vã+
52
No casoda variância a prova é análoga. Então teremos
Ün= Ht e õ'n la' - p'(z/it)if.
Com n ----+oo teremos â2n ----, a2t e pn = pZ para todo n.
Agora vamosdescrevera distribuição assintótica de in(.S=/.S): Itt(,S';/.S')ó. l)a.ia fada li. a soilia
de variáveis aleatórias independentese identicamente distribuídas. [iias coleia caia(-Le]ísLicade que
a médiae a variânciada distribuiçãose alteramcolll 1}. Pala isto Talitoscttuitciai e utilizei o
Teoremado Limite Central de Liapounov comoem C:llung (1974).
Antes de enunciarmoso teorema, vamosintroduzir algumasdefinições.Para cada n ? l sejam
k« variáveis aleatórias {X«j : l $ j $ k«}, onde k. n=m OO.
Xii, Xi2,
.A 21 } .A 22)
X iA;. ;
X2k, ;
[:].18 )
Xnl ) .Vn2)
Seja S. = S.,k. = }1:j=i X«j. O caso onde k. = ?} para cada li e .V,., = .\, pala cada l},
reduzo nossoarranjo (3.18)a unia única sequência{XJ,J 2 1}. Vaiiios assuiiiil queas variáveis
aleatórias em cada linha de (3.18) são independentes, ma.sa ind('pendêtt('ia itã.oé gai'a.ntida entre
linhas. Ainda, sejam
k,]
.E(Xnj) = a«j; E(S«) = }1:a.,J=l
aa( .V,, ;) = a:1}
E( l -V«j l3) = '«j
k.
E:a'(X«j)=l
V7z,VJ : a«j = 0
e l3.i9)
(3.20)
33
Na verdade podemos considerar =à:!!Ç;:u, isto é, a variável normalizadan
Teorema 3.1:
Assumindoo arranjo (3.18),as hipóteses(3.19)e (3.20), e que1«, é fiiiiLu pala.cada zie .j, se
I'. n=m 0, então S. convergeem distribuição para N(O, l).
Prova: Chung (1974).
A Condiçãode Liapounov a ser satisfeita será
p l Inu-/ ' +(l - p) l Ind-» I'
n'=ü Õ''7F
Para verifica-la
p l inu - A I' +(l - p) l in.l - AI'a'J'n
p l Inu -- pln(u/d) -- in d I' +( 1 -- 7)) l lil (7-- pln( i'/d) - lii (/ I'
IP(i - P)l;/: li«( «/d)l3«i
p l in(u/d)(l - p) I' +(l - p) j-pln(u/d) I'
Ip(i - p)l3/2 jln(u/d)I'vã
P(l-P)3+(l -P)P3 . P(l -P)l(1 -71)2+P21b(i - p)I'/'«ã p(i - p)«;ii;(í:T '
(l - P)'+ P''nP(l - P
Substituindo p = { + { (p) vi; e calculando o limite obtemos a C:oildiçã.o de Leal)ouiiox:
valeo TeoremadoLimite Central:
Portanto
n ,,{!''%à:':: ;}d=
'2z'
34 Modelos Binoniial e Black-Scholes
Agora vamosverificamquea íóinlula binomial convergepara a lórtiiula dc 131a.ck-Scliolescoiii
F, u, d e À já definidos e o preço do ativo com distribuição logliottiial (sol)le propriedadesda
distribuição lognormal ver Crow e Shimizv (1988)).
A fórmulade Black-Scholesé
C S/V(z) Xr-' ]V (z -- aV'il
onde
r = in(S//t'7''') + ! a«i.
Lembrando a fórmula de precificação do modelo binomial
C' = SQ(nz, 7z.PI .Y f ' "Õ( vlz, 11. À )
ondem é o menor inteiro não-negativomaior que in(.V/S'd")/lii(ll/d), À = (f: -- d)/(ü d)
p = (Xu)/, e f'" = «''
Iremos provar que @(n},n,P) n!==' /V(a:) e 'b(7}},1},À) '!==' .V(a' -- av/i):
Sabemosque q'(7n,n, À) é a.pi'obabilidadeda.soiiia.do 1/varilí.vos(luc assliiiiciii valor l
com probabilidade Àe 0 com pi'obabilidade 1-- À sei iiiaioi' ou igual a nl, ou seja,
!- /.)J;;.. \. 'c'.J
Seja u a variável aleatória com essa distiibuiçã.o: sabemos q\ie /ç(?,l = ?lÀ e l/a.7'(?,) =
E4'(m, n, À) = À'( l - ,x)"'"
nÀ(l -- À). Então
Da mesmamaneira que no casoanterior, consideramosliíli ativo (ltic pode assuinii
o valor uS com probabilidadeÀ e dS cair })robabilidade1-- À; eiiLão.In(S';l/S'l
uln(u/d) + nln d. A média e variância serão dadas por
.r l i«(s=/s)l = /lx lÀin(u/d)+inaln.P
Var l in(Sl;/S)l = â{ = À(l - À)jlnju/d)I'7i.
Claramente
1«(S:/S)- nl«d1«(u/d) '
então
In(Sl;/S)-- mina-- nÀln(u/d) in(S;/S')-- nl«d «Àl--(«/d)In(u/d)«nÀ(í - li) l«(t'/d)@iliÍí-'XI li.l«/./)-.,ó;liH'
D
Então,
'nÀ(l - À)tr -- 77À
'nÀ(l - À)N
In(S;/S) -- nPÀ ., -- nÀ
õ*«a ..,/iX(Í:'Dda fórmula binomial podemosdefiitir 7}1colho
m- l $ Ü1lli;lÍZaí< "'
Por outro lado,
Logo,
nt -- lIn(À/S'd" )In(u/d)
jlli( .v/s' 1 -- 71lit al
In(ü/d)(
onde 0 $ € < 1. Agora usando as definições de »À e õi teremos
.: . ] -1«(u/d)'
m -- 1 -- nÀ
'nÀ(l - À'In(.Y/S) -- n.Ind -- (in( tt/d) -- /i.À in( «/(/l
v/;i in(u/(í) -./ÃÍÍ':'D+
«nz -- l -- ?zÀ
hÀ(í : .x)
In(.X/S') -- ( in(u/d) -- /ljlnd+ À in( it/d)l
m -- 1 -- nÀ In(X/S) -- ( in(a/d) -- 7z/2X
56 Modelos Binomial e Black-Scholes
Portanto,
:-'(m,«,N:', lbeyn-Êxn$ 1Antes de aplicarmos o Teoremado Limite Central, piecisainosvciiíicai a ('oiidiçào de
Liapounov (da mesmamaneira queChung (1974)):
Àjlnu--Axj3+(l--À)jlnd-Axj3(l-À)Z+À'õi«a
0
.ISsta condição vale. i)ols
À:ÍÍ-:.O. f;,''". .:..«m e a:.-'«n(« - d)'
Fazendo o limite para À teremos:
(f--d)(r'/"--e-''/i7;)(rh --e''"/i)" t --d)' (e''/;7;- .-'«iR)' (e'W- ''.W)
Aplicando a regra de L'Hospital e o limite teremos:
rh Inr + ac--''/i a llim . ' . = -=.- = --Ã=Õ ae«i + ae-'x/i
Agora podemos aplicar o Teorema do Limite Central. Seja a seguinte transformação:
Pr In(S;/S)--Axn + , +(in(u/d) < :..,/iâ* ' ' ..,/ãâ -:
(3.21)
onde
jln(X/S) -- (in r -- 1/2 a2) ll
Sabemos que de maneira. análoga. ao caso anterior t.emos:
p' IUK'!i$11=..êu $ ;1 n1:3' JVP, i)
57
e tam bém
In(X/S) + Axn + ( in( u/d)
Vamos mostrar que a relação (3.21) converge em distril)unção para .N(0. 1):
Para facilitar as contas vamos definir:
7
In(S;/S) - »xn x.aÀ
In(X/S +AÀn +(in(tl/(Z) : Ó/' A
Então pela nova notação temos que
P7' IÀ',: $ 31 '1=3' /V(0. 1l = -'/z d.i2n'
e queremosmostrar que
PZ' IX. + Ó. $ zl n1=3' /V(0, 1) = ,.,/z.!y.e
Vamosà prova: Como ó« 't:3' 0, ente.ofixados > 0. seja ?i(f) t.a.l(ltlo l)a.ia Vrl 2 TI(f)temos --c < ó. < c , então
x,:--f < .x,.+ó,,< .v,.+ !
Se
X. + c $ 3 :> .Y,.+ Ó,.$ : H.
:> 1.V,:$z-cl C l.V,.+Ó«$=1:>
:+ P7'l.V«$=-sl $ PT'l.V.+Õ«$:1
58 Modelos Binoniial e Black-Scholes
Assim,
limPrjÀ'«$z--cl $ 1lDP7 l.\,.+õ« $:1:>
:: .r.'.-':/'.3:$h«p,t .v«+ó,.$:].
Como vale pala qua.lqtiPrf p a integra.l indefittida om (lllr'slãn ó illil;\ hiiiçãn (oiitl'iiiia
de seu limite de integração, a desigualdade se preserva qtia.ndo s = 0. f:iitã.o
2-.:;L: $ !iJl! P7' [ X. + Ó. $ : 1.T
(3.22)
Por outro lado,
se X,.+ó«$z:> .Y,.$.-+!:> 1.V,.+ó,.S:lCI.V,.S:+:l:>
+ Pr lx« + ó« $ zl $ Pr l.v« $ : + fl +
:+ limPrjX«+ó« $ zl $!jtDPrjX« $ z+cl ,''/,.e
Logo,
Íiãp,- l.x'«+ó« $ ;1 $ / --'/' 'n«2n'
(3.23)
Então, utilizando (3.21) e (3.23) teremos
!jDPrjX« +ó«$ zl = iiãP7'lX.+ ó«$ ;1 = liiii/'z'l.V,,+ó,.$ ;1
.-,'/'-1l::i: = JV(o,i). oT
Então,
1 - $(m,«,N "= A'(4 : /v IUK:i5:!iU+ :l.,al
39
Utilizando o argumentoda simetria da distribuição normal. i.c
então quando n ----, oo teremos:
[ -- Q'(m,n,À)n=m ]V(Z) «, {'(m,n,À) n1=3' ] . A/(:) «
+ '(m,«,N n=m «,(-4 : «, l:-UÇl;:iza-:l.al
~["; a-;.«] : ~]"Ua-;."*.«~["=ü *;.« -.q:~',-."-.
D
«]
'' I'Ollde z foi definido a.nt.eiioí'menu('
De forma análoga.pode-se prova.i (lue
'>(m,71,p) 't=3' JV(=l
Agora vamosobter alguns resultados associadosà.fórmula.dc Black-Scltolcs. EssesiesulLados
não são rigorosos, pois vamos admitir que os processos são contínuos e ilào discretos. Mas esses
resultados vallem pela hetin'sííca. Inicialmente va.mos adorai uma. notaçà.o iiiais conveniente: (.' =
C(S,t); C'u = (uS,t -- A) e C'a = C.'(dS',Z -- b), Oltde /l é o intcl'\a.lo (l( toiilpo emiti-e altei'ações de
preçose l é o tempo até o exei'cicio. Desta maneira (1-- /}) pe(lticiio sigiiiíica.unia.i'igidezde preços
e(t -- A) grande significa. mobilidade de preços. Va.lhosobt.( i arar'l\ os loslilla.(los: slll)slituiiido l/ o
d pelosvaloresjá discutidos e expandindo C'(uS',f -- /z) e C'(dS',l -- /i.) l)oi sériede 'l'aylor em torno
do ponto (S, t) teremos:
C.-C'a C(uS,í-/z)-C'(dS,f b.)
(u --d)S (e'v;B -- .-.x/iB)S'
60 Mo(belos Biiioniial c Black-Scholes
CtS,t).+ te'ah -- \)S i)CjõS .+ \l2Çe'ah . \ )at)a('lt)zS- h t)('lt)t - ('\s.t} .
.e''J'l'- (-' J\l" IS
. '©K -- \)S aCji)S -- Lj2Çe''aK -- \)i)2CjiyzS -t l\ i)('lt)tke'''/tl" -- C'a'Jtll \S
Simplificandoa expressãoacimae fazendoA [/n teremos
te'ah - X)SaCjõS + \j'2te'ah - Vila'Cja'S .
k é'Jt lu
-te''h XÀSÍ)Cjt)S-- \l2(t-.mh . \ \2i)u('li)aS.e' qLI« - c-.'Jtl" \S
Vamos calcular o limite da expressão a.nLerioi de iria.iiciia scl)ara(la. \,a.iiios sopa.ia.i a expiessã.o
em quatro partes. Lembrando (lue 11. -- 00. Puta.o /i -- 0:
(e'*/h - l ).S'a('/a.S'linlke''J'l" -- c-''-J'ln bS
Aplicando a regra de L'Hospital e fazendo «/t = :y teremos
+
:«1"==:1sç: ; $,*W''aA - l ):
q..eox/tln . e-'-J'l« IS
Aplicando a regra de L'Hospital e fazendo b = y:
.: --(c 'b -- l).S'a('/1).S' l i)(ll I'll --
ke''Jii" -- e''~JiTi \S '} k)S
-1/2(e''@- l)'a2C/aS': .je''J'l" -- e-''J'l" IS
Portanto,
l n/' l ;)r'
e pela fórmula de Black-S('holes, obtemos que
logo A = .AI
e pela definição de elasticidade:
«:g$
Dois conceitosadicionais: podemosdefinir a sensobilidade
de preçodo ativo como o gangade uma.ca//:
De maneira similar' podemosdefinia'a.sensib
o teladeuma ca//:
Fórmula de Black-Scholespara opçõesde venda
Pela relação put-ca/l parity temos que:
P = C' -- S + XT'' ,
(r)
do (/c/Za(.X) ali ielaçào a iiiudaitças[
inda.de do valor da fa.//eiii leia.çã.oao teiiipo coiiio
onde P é o valor d
«a]fs li /v(=)lP .A'(a'+
= A'(3)
62 Mo(leias Biiioniial (- Black-Sclioles
Utilizando a propriedadeda simetria da distribuição noriiial Lercitiosa fóriiiula de Black-Scholes
para opções de venda (put):
P X,''.N(y + a~/i) S'Ar(y)
u;5P -; «".
Sobreeste capítulo, a principal referênciaé Cox et.a.l.(lç)7ç)).( 'oiiio rofoi(-li(.ill }i(lifional. Sttiit.h
(1976) e Merton(1973). Os conceitos de probabilidade estãoeito(:liuiig( ISIT4lc os collceltos sobre
distribuição lognormal estãoem Crow e Shimizv ( 198R).
Apêndice A
Tópicos de Análise Convexa
Esta parte do trabalhoapresentaos conceitosde aitálisecollvexa(ltle sei'àoUtilizadoslio estudo
de preferências. Osmais importantes serãoo de cal'cde uni conjtiiito. (ltic fuiidaliieiiLa a idéia de
nearby pre/eKnces, e de gonzoslínearmenle acesso'fieis,que é iiecessá.iio}) \.ra comi('eitua.ipreferência
algebricamente conta'nua. Essesconceitos coloca.dosei]) DuíHo 1198 l têlii (oilio ieferêitcia básica
Holmes(1975), Valentine( 1976) e Scha.efei ( 1971).
Neste segmentoserãoenunciadosuma série de resultados necessáriosl)ara o entendimento dos
conceitos, mas somente serão provados os mais importantes.
Definição A.l:
Dadoum espaçovetorial Z:e uma topologia de Ha?zsdor:#r, o pa.i'(C. r ) é cha.iiiadoespaçovetou'ial
topológico sobreo corpo #? sedois axiomas sã.osatisfeit,os:
(z,y) ----- z + g/ é contínua. em C x C enl Z:
(a,z) ----, az o«dea C J/?é co«tínua e«l #? x C e--l C
63
64 Tól)ices (l(! Aiiálisc Convexa
Definição A.2:
Sez € C, g/ C Z:, o segmentol ,yl ligando z e y é o conjtiíito (lo t.o(losos l)ont.osda forma
az + (l - a)3/, 0 $ a 5; 1.
Definição A.3:
Um conjunto S C C é star-sÀapedrelativo ao ponto z C r sepala ca.daponto .y€ .S',temos(]ue
1,,vlc s.
Definição A.4:
Denotaremos por int(.4) o inteiioi Lopológico do coiijtiiito ,l, I'i( .,1) \ froiit.eira dc .-l t- ( '1(.-1) o le(Itu
de .4.
Definição A.5:
Um subconjunto S C C é conota;o se for azar sAape(/ elii i-ilação a (letal(suei' .l C .S'ou e(luivalenLe-
mente, V=,y C S : az+(l -- a)3/ C 5, 0 $ a $ 1.
Teorema A.6:
SojaU uma vizinhança de0 CZ. Dado a;oC Z existe J/oC ü e a C #ZLalqueago = =o.
Prova:
Dado zo, seja g : #? ----, r definido poi p(a) = o=o.
SejaU vizinhança de 01g'i(t/) é um abei'to que contém 0C #Z. Seja.f > 0 tal que:
1--c/2,c/2lCg'i((/); tomandof #0tal(luc/Cl -s/2,f/zl o(Olllol--:/2.s/elcC y,-:(U), entãop( 1- c/2,c/21) c U
Logo, g(t) € U e comog({) = tz., então t=. C t/
Defino g/. = tzo, a = 1/t, ag/. = + lz., logo ago = ]ço. o
65
Existe umaconsequênciaimportante desseteorema: Seja /V(0) vizinhança.convexaa.bentade
0 C r e lz,3fl segmentocontendo0 comz # 0 e g # 0, eiiLãolJ:,#ln .v(o) ó uni segnieiiLo(lue
contém 0. Como observaçãovale mostrar que la;,yl niV(0) é ui]] segiiicliLo: scitdo o segiiieiito abri'Lo
denotadopor(a,g/), sabemos(lue0 C(z,y)n iv(0) e l=,yjn /vlo) :)(z,y)n iv(o) 3 0 e teiiios
que essaintersecção é um aberto que contém 0. Logo lz,g/l n A'(o) iiã.o podo sel uni ponto. Esse
resultado seráútil mais adiante no TeoremaA.18.
Definição A.7:
Subespaço Afim. Seja .A/ C C subespaço e a; C C, ente.o a' + ll/ = {.i + .y l g € ./14} é o subespaço
afim paralelo a .A/
Definição A.8:
Envoltória Convexa. SejaS C r; a envoltóriaconvexaC'.(S')é o illenol'convexode C (lue
contém S. Equivalentemente, Co(S) é igual a inteisecçã.odc Lodosos coiivoxos dp Z' (luo (oiitéiii
S
c.(s) n ; A=lHçc:sçH.//éco--«xol;H€A
pode se provar ainda que
C.(S) = {>. Àizí 1>11:Àf = 1; z.' C S', F' Íiliito}ieF ief'
onde >1:íCPÀízf é uma soma finita.
Definição A.9:
Sendo r um espaçolinear, sez C Z, g/€ C, z # y, então (z, g/)é o conjunto de todos os pontos da
forma az + Py, a > 0, P > 0, a + /i = 1.
66 Tópicos dc Análise Convexa
Definição A.IO:
Seja S C Z. Um ponto y é dito linearmente acesahe/ a.parLii de .S'sc exigi.ir uni palito .l c S', = # g
tal que lz,yl C S. O conjunto lha S é o conjunto de Lodosos poiiLosclip C (lue são liiiearilleilte
acessíveisde S. Também define-selinS = S Ulha.
Exemplo: SejaS o conjunto formadopor um triângulo e uni })oitLoa nãoperLeticeltLeao triângulo.
Então a € S, mas a Í lhas porque não existe um segmento que liga. a até o triângulo e que esteja
contido em S.
DefiniçãoA.ll:
Sejam Á e B subconjuntos de C . O fora de ./l tela.t.ivo a /i (('oleH..ll (Ollsislc (lc l.o(los os poiit.os
a € .4 tal que para cada b C B existe z C (a, b) tal (lue la, .rl C ,l
O corede .4 relativo a r é o coieÁ. Dizemosque ,4 é algébrica.mcliLeabri'to (lua.lido.4 = corei.
Definição A.12:
Envoltória Afim. Seja .Bo menor subespaçoafim de C que contém ..l C C. ilotaçào B = Aff(.4)
Aff(,4) { :a i,.Ffinito;>:a{ 1; fcÀ}
Exemplos
,) ..4= {,} e C = a:
AfT(.A) = {Eafzi,Eaf = 1;zÍ C .4} = {E: aiz,E a; l} {,} = .+ {o}
b) .4 = S: = {p c m: l lpl = i}
,- = (1,0) c S:
za= (-1,0) CS'
ai = z,a2 = 1-- z,ai = 0 V{ > 3
67
E,aizi =ai i+a2z2+ l:iZ3aízi =(z,0)+(--1+a,0)=(--1+2i',0)guia Lodoeixoz
ainda zl =(0,1) ; =2 =(0, --1) e Eoíz. =(0. -- 1+ 2.i') aitalogailtoiit-c gola todo eixo g
Então Aff(.4) = m'
Definição A.13:
Core Intrínseco: Dado 4 C Z:. Seja J? = AH'(.4), defiltimos o cole int.i'i'nseco
icr(.4) = corei(.4)
Exemplo:
Seja .B = AfK 4), X = #Z: e .4 = pontos de unia. parábola.
Então, icr(.4) = corei(.4) = ü e cole.4 = 0.
Definição A.14:
Um subconjunto .4 C Z com Á = {zo,. . .,z.} C C. n ? l é a$77z-Índ':'/)Pndenlí'+ {='i - zo.zz
zo, - . . , z. -- zo} é linearmente independente
Definição A.15:
Sda À4um subespaçode C . A dimensãode uin subespaçoaíini .r+ .\J ó a.diiiteiisão de ibd. Dado
um conjunto convexo 4 não vazio, dim,4 = dim AfT(.4).
Lema A.16:
Seja.4 um conjunto convexode um espaçolinear' C e seja.p C cole'(A). Pala.todo ]: C .4 teiiios
quelp,z) C core(4), logo core(.4) = Ullp,z): a;C ,4}.
Prova: Valentine(1976),pág.ll.
68 Tópicos de Análise Convexa
Teorema A.17:
Se 4 C ,Cé um convexo,entãocore(,4) e lin(.4) sãoco««exos
Prova: Valentine (1976), pág.ll.
Teorema A.18:
Se S C (,C, r) então int(S) C core(S')
Prova:
Tomando3 C int(S) e umavizinhançaU convexadez conal C ilil(.S'). Pelo'l'eoienia
1, para cada. g/ # z nós temos (/ n (/.y) = la'. :). assim ;i' C (OIP(.S') Oli se.ia. int(.S') C
C core(S).
Teorema A.19:
Seja C' C(Z,r) convexo. Se z € int(C), e y C ü, então(z,y) C int(C) cre iiit((') são convexos
Prova: Valentine (1976), pág.lO.
Lema A.20:
,4 C #?" convexo com a topologia usual(r, /R"). Sc int(.4) # 0. eilt.ão iitt( .4) = (oio( ..1)
Prova:
I' i«t(.A) Ç core(Á).
Já foi provado no TeoremaA.18
2a int(.4) D core(.4).
Considere os 2n vetores pü ei,.. .,pü e., onde ei,. ..,e. [olitiaiii a. base caitõitica do #Z"
Como p C core(.4), existem Ài,...,À. leais l)ositivos tais (lue ip,/}+ ÀJtjl Ç Ç .4 e
69
b,p--ÀjejlÇ ,4paratodo{ $ .j $ n.
(paraop+ej háumaj > 0comip,p+ajejlÇA,o ines]iiosucedecoiii/}--cJeuii]Z,,>0,
istoé, b,p-- bjejl Ç Á, escolhaÀj = minlaJ,bj}).
Para simplificar, seja À = minlÀi,. .., À.}, temos 0 < À.
Assim,b,p+ÀellÇ 4 e b,p ÀejlÇ ,4 paiatodo l $1$ /1.
Seja agora C = envoltória convexa dos pontos p ü Àej, l $ J $ ?}.. [)a' (' Ç À e 7}C (''
Daí, se Ig--p 1=maxl$j$n l qj então {g e//?" :1q--/il< À} Ç ('. istoé, a l)ola abeira
centradaemp de raio À segundoa métrica acima está dente'ode ,4.
Como no #?" todas as normas são equivalentes, 7)está no inteiioi de A
Então, da la e 2apai'tes temos: int(,4) cole( 4) n
Exemplo (Exercício llolmes (1975), pá.g.40.):
Vamosdiscutiruin exeiiiplode uni coiljuilLo.4 C /7iZttào(Olivexooiidt 0 e iiit(.4), lilás
0 C core(Á).
Seja uma cardióide com equação p = 1 -- cos 0 com 0 $ 0 < 2r, e (p, 0) coordenadas polares no
.ü?2.Vamos definir o conjunto ,4 = cardióide u int(cardióide)u l--2, 11.
Antes de realizar a demonstração vamosapresentei a heurística.desta. Pala provar que 0 g
g int( 4) nós vamos verificar que 0 é um ponto da ca.rdióide. logo 0 C Ft'(.4) e 0 # int.l.4). Pa.ia
provar que 0 € core(.4), tomaremos P c #Z2 com P g ,4; (luei'estios iiiosl.I'ai (lue lo, pl n ,4 = lo,!)
com z CÁ, i.e., 0 C coi'e(Á). RepresentaremosP em cooi'penadaspoial'es P(z'cos61,I' sen61)pai'a
algumr C #?e 0 $ 0 < 2r. Então fixado P. seja P' = 1 -- cosa?iim ponto da.ca.rdióidee
T : {0 + À.P : À Z 0} uma semi-neta por 0 e P. Esta gemi-rega intercepta a. caidióide ein P'. Assim
teremos três casos:
la 0 = 01trivial
2a 0 # 0 e P entre P' e 0
70 Tópicos de Análise Convexa
3a 0 # 0 eP' entre P e 0
Nessestrês casosexistirá um segmentocontendo zelo inteiramente deiltio de ,:l
Prova:
la 0 Í int(Á)
Prova: Para 0 = 0 temos p = 0, logo 0 C a cardióide; isto é. 0 C l-'r(.-11+ 0 g iiil(A)
2a 0 Ccore(.A)
Prova: Tomando o ponto P = (rcos0, r sen 0) com 0 e r fixa.dos
la caso: 0 = 0. Neste caso P está sob o eixo horizontal e nã.ohá nada a provei
2a caso: 0 ?é0. Seja a semi-neta. Z : {0 + ÀP : À 2 0l; esta. sciiii-i'eta. iiiLeicepLa a cardióide
(p = 1 -- coso com 0 $ 0 $ 2a ). Esta. semi-neta f enfant.ra a ('a.idióide no post.o P' da.(lo
por p' - 1 -- coso. Apoia. podemos tei duas situações:
(i) Se P estiver entre 0 e P', ente.o iiess( ('aso 10, PI C ..l o /' / 0: l)ois /' iiã.o pcitoiifoà cardióide.
(ii) SeP'estávelentre0eP,entãonessecaso,to,PIn ,4= to,/''l c ,4. p' # o
Logo,0 Ccorei
Teorema A.21:
Se S C (r, r), então linS C CIS.
Pi'ova: Valentine(1976),pág.ll
Sobre esta parte de Análise Convexa. as principais referêitcia.s sã.o Valeiltiile (1976), Holntes
(1975), Barbu e Precupanu (1986), Acker e Dickstein (1983). 1t.obeitsone Rocei'tson (19641e
Schaefer (1971).
Apêndice B
Preferências e Utilidade Esperada
Nesta parte do trabalho serão discutidos os conceitos relativos à 'l'eoiia (le Píefelêitcias. Esses
conceitosfundamentarão parte do estudo i'efel'elite a.oe(luilíbrio geral. Serãocoloca.dasasdefiitições
eosTeoremas(onde sei'ão piovadosos mais importa.nt.es). Poi'oia.o (ltlo nos interessa é lutldatiietttai-
o conceitode preferênciae a i'epresentaçãoda legaçãode preferênciapoi unia.função utilidade eni
conjuntos finitos, infinitos enumeiáveise não enumeráveis.
Uma relação binária sobre um conjunto X é um par ordenado {(z, gf): =, 3/€ X }. Seja./? C .V,
sendo R uma relação binária. Denotaiemos a;R# coillo sigttiíica.tido (i'. J/) C /?: aittda. ttegal' .l:/?.t/
significaque(z,3f)g R.
71
72
Algumas Deânições:
Sendo R C X uma relação binária, então ela é dita
Pi'(!fei-âiicias (- Utili(la(l(. Espei'ada
l
2
3
4
5
6
7
8
9
rePezit;a, se zR:c para cada a;C X
írrePeziua, se não zRz para cada 3 € X
siméfríca, se a;Ry + yJ?z, pala cada z, y C .\
assimétrica, se z-Rg/ :> não yR=, para cada z. y C .V . edil) :i: # .l/.
antissime'trica, se (zRg, g/-R=) + z = y, pai'a cada =, y C .V
[ransíZiua, se(aR3/, yR:):> ,R:, p"ia cada ..',g.: C .V
[ransitit,a negativa, se ( nã0 3J?y. nã.o :y/?;) :> irão «,/?:. l)a.i'i- (.a.(]a
coneza ou como/eZa, se zRy ou yJ?= (ou ambos), pai'a cada. #, # C .\
/faca coneza, se z # y :> (3Ry ou yR=) em todo .V
Comentários sobre essasdefinições:
1. Uma relação binária assimétrica é ineílexiva.
2. Uma relação binária irreflexiva e transiLiva.é a.ssiinétlifa.
Prova: Suponha por absurdo quezRy e #Rz, i.e., iiã.ova.lea tesea assinieti'ia: pela
tividade teremos que z./?=, violando assima propriedade da iiteílexividade. n
3. R é negativa transitava o para todo z,y,; C .V Lentos ;i:/?y :> (.i /?=Oli :/?y)
73
4. assimétricae transitavanegativa + transitava.
Prova: Suponha por absurdo que zJZgf,yRz e nào z/i: (i.p. (lue iià.o\ale a LiaiisiLividade)l
pela assimetria g/Rz + não z/ZZ/e pela transitividade negativa.. itã.o .i:/?:. liã.o :R.i/ :> não zRy
contradição. []
As relaçõesbinárias quesatisfazemcertas proprieda(les i'cccl)ciii iioilics especiais
Definição B.l:
Uma relação binária R C X é
1. ordem/Faca« R C X é assiméti'icae negativa.transitava (logo, seinl)te ti'ailsitiva)
2 ordemestrita $ R C X é ordem fl'acae fraca.conexo
3 equÍuaEncia «, R C .Y é reflexiva, siniéLiica e tia.ilsit.iva
SejaR(z) = {y C X : yRz}. Se R é unia equiva.lêiicia.cilLã.o/i(.i ) ó unia classedeequivalência.
geradapor z. Se R(z) = R(y) « a;Ry, portanto duas cla.ssesde e(lttivalência.são idêiitim.s ou
disjuntas. Dois elementos de um conjunto estão na. tnesma.classese somente se são equivalentes.
Quando -R C X é uma. equivalência denotaremos as classes dc e(ltiivalêiicia. de .Y soba'eR coiiio
X/-R
Preferências
Soja< uma preferência como uma ordem fraca (assin[étrica e nega.Lavati'ansiLiva); ]: < # significa
que = é menos pre/árido a.Z/ ou que z é preferido a y. Ainda., define-se indiferença. N como a.
ausência de estrita preferência:
a; -v g «- ( não u' < .y ilã.o .l/ < .i: )
74 Pi'cfci'ciicias ( Uti]ida(]t! E'sl)(:i'ada
A preferênciaé transitava (isto é consequênciada assimetria e Lia.ilsitividadc ilcgativa). Sol)ie
a transitividade da indifereça, Fishburn(1970) apieselita o seguinteexeiii})lo loii(le a sua validade
poderia ser questionada): sejao valor U$1000a melhor alocução})ossívc1..4 picferéitcia decresce
quandoo valor é desviadopara qualquer uma dasdireções, isto é, Li$955ó preferido a U$950. Dias
o indivíduo é indiferente entre U$955e U$1080e entre U$950e U$1080. Logo, li$950< U$955e
U$1080 ,- U$950 e U$1080 «., U$955. Portanto, neste exemplo a in(lifei'onça hão ó t.ra.nsitiva«
Definimosa preferência-indiferença:3comoa unia.ode < p -.. Isto (
a; :3 y 't+ z < g/ ou z "- #
A seguir serãoapresentadosos resultados mais importantes sobre preferências, com a finalidade
de facilitar o entendimento do trabalho.
Teorema B.2:
Seja < em Z ordem-fraca (assimétrica e trailsitiva negativa ). I':ilLão
(a) Uma e somente uma das seguintes I'elações z < y, y -< =, :i: - # \alelii pa.I'a .i:. y, C Z
(b) -< é transitava
(c) N é uma equivalência(reflexiva, siméti'ica e transitiva)
((1) z < y, g/''- z + z < e z v y, #<= :+ 1; <
(e) 3 é tr-sita« e co«exa
(f) com<' emZ/«, (conjuntodeclassesdeequivalênciasobreN) definidapora<' ü«-z < #
para algum z C a e g/C Z),então <' em Z/«. é uma ordem estrita.
75
Prova
(a) Sabemospela propriedadedaassimetria que zRy + nãogRa-;eilLãoíiclt claro que
só pode existir uma das seguintes relações: ]' < # ou # < .i . .Ágata. l)ola (loíiiiiçã.o
de indiferença: z '- 3/ # (não z < y, não y < z) logo, somente pode existir uma e
somenteuma das seguintesrelações:z < y, y < z e 2 -, #
(b) Já provado.
(c) Pela definição de transitividade: z -, y «, (não z -< :E/. iiã.o # -< ] ). de onde
conclui-seque v é reflexivae simétrica. Fa.Ita.prova.ia tiaiisilivi(lii.(lo: sul)otilia
por absui'do que a'N y, # -- : o iiã.o .I' -., :, eiit.ã.ol)clo il.cm (a), oti .l -< : ou : -<.l
ocorrem. Suponha z < !; daí. colho temos nã.o ] < .1/(pois .i -- .y) (' tido # < :
(pois 3/ -, z), teremos nã.o = < =. pela traiisitivida.de ilegal.iva. iiiiia ('oiiLi'adição
O caso z < z é análogo.
(d) Supondoquea;< g/,y '"-z; sez N z, então# «, = abstiido;se: -<:u.eiiLão: < y,
outra contradição.
A segundapartedesteitemé idêntica.
(e) Provandoinicialmentea transitividade: pelo iteiii (b), < ó t.ra.iisitiva,por (( ) '~
é transitava,entãopelo item (d) :3 é transitava.Pai'a.pi'ovala coiiexidadede :3
suponha por contradição que não z :3 g/ e não y :3 z, ente.o pela. definição de :3
temos que nãos: < y, nãos -, Z/e nã.o y < ]', o que ('ont.]a.diz o it.ci]] (a).
(f) Provando a assimetria de <' sobre Z/N: suponha.poi absurdo (lue <' subi'eZ/'-
não é assimétrica, então a </ b e b -<' a, mas isso implica. .i < # e #' < =' para
z,='C aey,y'e bcomr-v a''ey -,y' peladoíiiliçã.odeZ/- oitpnl(d)
temos que z' ,- a: e a: < # :> z' < y e aplicando o iLenl (d) tiovanieitte. z' < g e
Z/ ''' 3f' :+ z' < y', que contradiz a hipótese de que y' < ='
Provando a transitividade negativa: suponha que a < b b cC € <.1 yc0111 l y
76 Pi'eferênciase Utilidade Espei'ada
Tomando c € Z/«, e qualquer z C c temos pela.tra.nsitivida.de!lega.uvade < (lue ;z'< :
ou z < y. Logo, a -</c ou c <' b.
Provando a conexidadefraca: supondo a,b C Z/-' e a # b; como a e b sã.odisjuntor
(definiçãode classedeequivalência),logo,sez C a e y € 1P.ent.ã.otiã.o]' -- #. l::ntão.
pelo item (a), como é impossível a ocorrência. de z -, y, só podeocoriei exaLaiilente um
de: z < g/ e Z/< z, ou seja, a <' ó ou b <' a. Logo, -<' sobre Z/«. é coilexa. fraca. O
Sdaa
u(,), a(y)
Z ----- #? uma funçãoutilidade; a preservaa oidetii se sotileiiLeseos núnlei'os
são ordenados por < e reftete excita.mente a. ordeili do .I'. #. . . . subi( -<.
Teorema B.3:
Se < sobre Z é uma ordem fraca e Z/-. é finito Oli infinito etltinloi'á\.ol. celta.opxist.e llnia ftiiiçã.o
Z/ : Z ----» a? tal que z < y« ü(z) < Z/(y), para todo z,y C Z.
Este teorema ainda. implica. que pa.ia todo ]:, y C Z. ]: -- # «, //(.i') = /#(#l o .I' :3 g «,
+ Z/(z) $ Z/(3r), onde N e :3 como dehttidos a.nterioillioii'o
Prova
AssumaqueZ/v éinfinito enumerável.TomeumaenumeiaçãodeZ/,v comoai, a2,a3, .
e umaenumeraçãodosracionaiscomori,r2, rl . . .(definindo unia funçãoU : Z/'-- .a?,
assumindo que <' é uma ordem estrita em Z/«.. pelo teoieina a.ilt.eiioi)
FazendoZ/(ai) = 0 definimos:
1. Se a{ <' a. para todo { < nt, define-se Z/(a,,.) = li}.
2. Sea. <' ai para.todo i< 171..define-se?7(a.,,.)= -nl.
3. Se ai <' am <' a.f para {,.j < 77ze onde aÍ é o maior' aA l)i'atei'ido a.a.,, e a.Jé o lllellol'
ak preferidoa a« pai'ah < n}, define-seZ/(a«) contosendoigualaopi'iliieiio z'k
77
na enumeração ri, r2, r3 . . . que satisfaçaZ/(ai) < rk < //(al ). O liúiileio lx; existe
pois os racionais são densosem #?
Vamosprovar por indução que para cada.ca.seval(
i,j Ént, então af <'a, $Z/(ai) < Z/(a.) c //(íl.,) c l--,,..,lll
Param = 2 teremos
ai <' a2«, Z/(at) = 0 < Z/(a2) = Z,/(a,,.) = 2
a2 <' ai + Z/(ai) = 0 > Z/(a2) = Z/(a,,.) = -2
('
e ainda para vn= 2{U(ai), ü(a2)}Ç l-2,21
Hipótese de indução
&).7S m 1, então aí -<' aj »Z/(af) <Zy(nj) e Z/(a.) C l--(777 l ). (1??-- 1)
lg caso: para am e i,.j $ 71i -- l :
a« <' aj V.j, .j $ 711-- l
Z/(a«) = --m < Z/(aj) C l--(7n -- l),(nl -- l)j pela. hipótese (le indttçã.o. Então.
U(a«) < Z/(aj)V.j, .j É m -- le {Z/(ai),....//(a«.)} Ç l--iil.iiil
2acaso: aj <' amparatodo .j $ nz-- l:
Z/(a«) = m e pela hipótese de induçã.o, Zy(aj) C l--(7ii. -- l ).(27i l )l.
Então,Z/(a,) <Z/(a,«), V.j $ rli. - le {//("i)....,Z/(a.«.l} Ç l-,,,..,.l
3acaso: aP </am < aq param)q $ nt-- l:
Suponhaque ap é o maior'aJ preterido a a,,. e que a. é o iiieilor aJ piefeiido a
a«, com .j $ m -- 1. Por definição Z/(a.) = rk e Z#(a.) < lk < Z#(av), sendo
78 Pi'efei'ênciase Utilidade Espei'ada
rk o primeiro racional da enumeração fi, . . .,r.,. . . que está. entre os racionais
U(a,) e Z/(aÇ). Como {Z/(ai),...,Z/(a«.-i)} Ç l--(m l),7« il. tecemosque
Z/(a«) C l--(m -- 1),nz -- ll e por isso {Z/(ai ), . . . ,Z/(a«.)} Ç l--/il. /iil. Sea., <' ax;
com J # m, k # m e .j,k $ m -- 1, ente.o Z/(ajl < /J(aA.) poi induçã.o. Se
aj -<' a., J $ rlz - 1, então aj :3' ap; logo, a(aJ) $ //(aq) < ü(a«.). O caso
a« <' aj, .j $ m -- l é análogoe a indução está conlp]eta. []
Definição B.4:
Uma relação binária R C .X' é ordenapsZríZaparcía/ se sonlclito se essa iolaçào [oi ii'í'cf]oxiva o
transitiva.
Definição B.5:
A relação B é definida como
z H g/ 0 (z ,- z «. y '- ;, I'ara todo c z)
Essa relação é transitava quando < é ordem está'ita parcial
Teorema B.6:
Se< sobreZ é ordem estrita parcial (irreflexiva.e transitava.),eiitã.o
(a) Exatamenteumadasseguintesrelaçõesocorrem:z < g/,y < # pala cada z, 3fC X
(b) e é uma equivalência
(.) * y '» (, -< ; + y -< : e < ]' -» : -<y. pala t.odo : C ZI
(d) (' -< y, 3/ z) :+ z < :, e (a y, y -< ;) :>
79
(e) Seja <' em Z/a (o conjunto de classesdeequivalência de Z sobre =) deíiitido por a <' b «,
44'z < y para algunsz Ca e y C b, então <' sobic Z/e ó ]iii] \ oi'dolli estrita l)aicial.
Prova
(a)({) Suponhay<z;entãonãopodem ocorrerá < yer e g. A relaçãoa -< y não
pode ocorrer, pois é assimétrica e z B y nãopode ocoriei seita.oa: -. y, pois
y «' g/,já quea relaçãoé irreflexiva,masz N y acarieLa.tiã.og < a-
(íi) Sez B y nãopodemocorrerz -<Z/e y -<z, pois7 B y acaiieta.3 ,-
porsuavezacarretaque nãoy<ze nãos <y. a
(b) Vamos provei que e é de equiva.lência.:
(í) reflexidade: z & = pala Lodo z € Z é e(ltiivaletite a V: (.i: -- : '» .l; -- : 1. o (lue
é óbvio.
({i) siinetiia:
g/,o que
y - o (y -. 0 z «' :) é (= -- 0 # -- :) «, .i' y
( iií) transitividade
como : H y :> (z -, f :> y «' Z) e # :> (g N / + = -- t),
isto implica a; -, f + 3 -., / Poi outro lado,
z = Z/:>(z N [:> y -. t) e y H a;:>(y «, /:> Í ) ;
isto implica z '- í :> z «' t. Logo,
l a:-., / -» : '- f) o r
Portanto, z a g e y = : :> d 0
80 Pi'efei'ênciase Utilidade Espei'ada
(') (:>) Se3 a 3r,supondoz -<z, entãog/-<z, poisy -- = nãopodesei',senãoz = J/e 3/ ', z <P z «. z: absurdo; z < y não pode ser. pois nesse caso. a' < : e
z < g/ q' z < y: absurdo. Então, z < : <' .i/ < :. .Alia.logaliioiitp voriíica-se
que y -< : + a: < :. Eiitã.o, z < : + y -'{ :.
Demaneira análoga verifica-se que ; < z : < g.
(+) z «. Zé não(z < /) e não(t< z); pol liipóLesc.leão(.1< /) :+ tiã.o(.1/-</) e
não(f < z) :> nã.Q(f < y), mas não(g < 1) e llã.o(/ < #) :> + .y '» /. Logo
z«'g + y«.t. De maneiraanáloga,y-.,Z + l- --f. logo.i'=g. O
Teremos que provar:
({) (z < g/, y = z) :> z < 3 e
(Í{) (= B y, y -<;) :> z' -<:.
Prova de ({): Suponha poi absui(lo (lue =z: '-- 3; como va.le# :. e]]tã.o ]: -- :+
#' z '- g/: contradiçãocoma.hipótese.Ainda, supoiiliapor a.bsul'do(lue: -'<.i:
então, com a hipótese a: < y :> : < g: colltradição
A prova de (i{) é análoga. O
Provando a irreflexividade: suponha por a.bstii'do(ltlo a <' rr l)ara .I'..l/C í/ e a €
C Z/e; então z < Z/pala. l e y satisfazciido # B g, lilás issoó unia.coiiti'adição
(pois pelo item (a.) y o ]' < y itã.o l)odeiit ocos'i'prsinilllLa.iipaiiipiite). O
Provando a. tra.nsit.ividade: suponha que (a <' ó. /) -<' r). ptit.ã.o ]' -< y pa.ra
z C a, g/ € b; gf' < 3 pala y' C ó; ; C c e # a y' pa.I'a.#,#' C b. PeloiLciii
(d) temos que (= < g/, g/ H g/') :> a; < y' e pela transitividade de < temos que
(«<3/'e3/'<z):>«-<;,e«tüa<'c.[]
(d)
(.)
Teorema B.7:
Se< sobreZ é ordem estrita parcial e Z/e é enuineiá.vel,entãoexiste Z/ : Z --- l/i, tal que, pala
81
todo z, y C Z, temos
z < y :> Z/(a) < Z/(y)
z = y :> a(:«) = U(y)
Prova: Ver Fishburn (1970)
PreferênciasemConjuntos Não-inumeráveis
Definição B.8:
Seja .l? C X unia ielaçao biiiaiia. .-t (: .V ó /?-oi'doiii doiiso sol)ro .V s(. otlit-til(- sp. lo(la voz (lti(
zRZ/ com z, g C X mas z,y g ,4, existia = C ,4 t.al (lti( (]'/?:. :/?#).
Exemplos
1. Como os racionais são densosem -#?(existe sempre um racionalentre dois reais distintos),
um conjunto de números racionais é < oi'dem denso enl /7?
2 Munindo .IR2com a ordem lexicográhca,podciilos mosto'a.i(luo iicitlitilii sul)folijuilto faliu
merável de J7?2é ordem denso enl J7Z2.i.e.(zi,aZ) <(gi,gZ)«, .ti < gi ou(li = gi.zZ < g2).
Então, X/«u= {la;} : # C .V} de maneira (lue {=} <' {#} «' .l < g. l)a.i-a vci'ifi(aiiiios a
asserçãoacima tomamos os pa.i'es(zi,=Z).(z3. :z:,i). .. . que fot fila.iii ilili (on.lliiito eiiulneiá.vel:
tomemos a projeção nas abcissas l,enlos zi,=3, . . . e uni poiiLo =' que ttão pertence a essa
sequênciae consideremosa fobia z' x #Z. Toma.ndodois poiiLosbestalíbia. conLiadizeiiiosa
definição de ordem- denso.
82 Pi'cf(n'âiicias i! Utilidade Espei'ada
Teorema B.9:
Existe uma função Z/ : Z -----, #? tal que a; -< y «, Z/(=) < Z/(#), para todo ];, # C .X' se somente se
a relação de preferência < sobre X é uma ordem fraca e existe litii slibconjuiiLo conLável(finito ou
infinito enumerável) de Z/«' que é -<'-ordemdensosobre Z/«.
Prova: Ver Fishburn (1970).
Teorema B.IO:
Sda < sobreZ uma ordem estrita parcial e existe um subconjunto enuinetável de Z/e que é <
ordem denso sobre Z/=. Então existe uma função Z/ : Z ---, /7i tal que
z <y + Z/(=)<Z/(y), })a.ra todos:.#cZ
a:ey + //(=)=Z/(y). pa.ra todos'..ycZ
Prova: Ver Fishburn ( 1970)
Teorema B.l l :
Seja (Z,r) um espaço topológico com uma função Z/ : Z -----,m satisfazendo
, < / U(3) < a(g), pai'a todo #,y, CZ. (B.l)
Então existe uma função / Z ----, J7?satisfazendo (B.l ) e conta'nua. na topologia. r «
1. {z:=CZ,z<ylCr e {=:zCZ,Z/<alCr para('a.(layCZ otl
2. Sea;,3/C Z e z < 3r,então existem conjuntos T=, Ty C r tal que # C
cada=' C T= e z < g' para cada y' C Tg'
y C lrP, f < y pala
Prova: Ver Fishburn (1970)
83
SejaC um convexode umespaçovetorial C (qualquer. Dadosz, g C (l.'e À C 10.il, denotaieiilos
por aÀg/ o ponto Àz+(l --À)y que estáem C. Claramente zlg = ] t' .i'Ày = =y(l --À):r. além disso.
(,Py)Àg/ (pz+(l -- P)y)Ày= ÀPZ+ À(l -- /i)P+( 1-- ÀIP
ÀPZ + (l -- ÀP)y = z(À/z )3/.
Isto sugere a seguinte definição
Definição B.12:
À/ é um corÜunto de mistura se, para cada par ordena.do (a:, g/) C A/ x .A4e À C 10,il, é possível
associar um único elemento zÀy C À/ satisfazendo os seguintes axioiiias:
MI. #ly = a
M2. -Ày = y(l - À)'
M3. (,P3/).Xg/ a;(Àp)g comp c 10,il
Ainda MI e M3 impli(nm
M4. zÀz = z
M5. (z#g/)a(a7Z/) 2(a/3 + ( 1 a)'y)Z/coma,7,d C10,il
Prova de M14e M5
(i) M4:
zxz %:(zlz)Àz %2(zoz)Àz A!; a:oz Al2 zlz y:i #. D
({{) M5:
Tomando 0 < # $ ' < 1 para ' $ /3 a prova é similar.
(z/3y)a(z'y3/) g:3 l(=7y)(/3/7)yla(a7#) y:2 lv( l - .g/1' )(.?''7g)la'(.I'7y) AI'
84 Pi'efei'ências e U tilidade Espei'ada
Y: Z/(a -- c]#/'y)(z7y) Al2 (=7y)(l - a + aD/7 )y %' ]:(n/J + '( 1 - ct ))y
As demonstrações para os casosde fronteira são simples. O
Definição B.13:
Uma função Z./: JW-.--- .#Zé dita linear quando satisfaz
Z/(zÀg ) À Z/( z) + ( l À)Z/(yl pai'a. LodoÀ C lO.il o .l.p C .v
Definição B.14:
Duas funções lineares y : .A/ ----.-. J7? e Z/ : À4 -----, /R. são relacionadas por uma transfoimaçào afim
positiva seexiste a € #Z, a > 0 e b C #?de ma.negra.que
y(a;)= aZ/(a;)+ b, Vz c A/
Definição B.15:
O primeiro conjunto de axiomaspara < soba'eum conjunto de ntistui'asA4é devido a Jeitseii
apresentado em Fishburn(1982):
AI < sobre .A/é uma ordem assimétrica fraca
A2. para todo a;,y,zC A4e À C(0, 1), se= » g, então zÀ: » #À
A3. para todo z,3/,z C lv, se z » y e y » 3, eilt.â.oexistemíi./i € (0. 1) La.l(lue :n: » # e
y'» l0z.
O axiomaAI serefereao tipo de ordenação;A2 é o axioma.da.indepeiidêilcia e A3 é o axioma
arquimediano. Para ver comentários sobreessesaxiomas, ver Fishburn (1970), Fishbui'n (1982) e
Huang e Litzenberger (1988).
85
Sobreo axioma A2, a principal crítica está no Pal'adí)zode .4//ais.como a})ieseiltadoem Varian
(1992).
Um segundo conjunto de axiomas para -<sobre um conjunto de iiiisturas lv, devido a Heistein
eMilnor apresentadoem Fishburn (1982):
BI >- sobre À/ é ordem assimétrica fraca
B2. paratodo z,3/,zC M, sez «,y, entãoz$z «.,y' z
B3. para todo z,!r, z C .A/, {a : az » y} e {# : y 1: z/iz} são sub(-oii.ltiiitos fechadosdo lutei'velo
unitário.
O axioma BI é idêntico a.oaxioma.Al; o a.xioiita 132(liz (lidoa iii(lifoicitça ó l)tPS('l-va(lauttiuiil.(
para misturas do tipo meio a.meio. O axioma.B3 é linfa. condição de coliLiiiilidade, ou seja, se
zaÍZ 1: y para todo í e limo... aÍ = a, então =a; 1: g. I'ai a liiiia discussão subi'ea plausabilidade
deste axioma num contexto de escolhas lexicográíica.s.veí' llildenbia.nd e lÇiiiiiaii( 19HS).
Antes de provarmoso primeiro teorema,piovaieiiios dois resiilta.dosa.uxiliaies
Resultadosde Herstein-Milnor
A partir deBI, B2e B3pode-sepiovai (lue
HI. a;E y 1: z ::>y -, zÀz pai'a algum À C10,11e a, y, 2C À/
H2. {a : zag -. z} é fechadocom a C 10,11e =,g, C,M
H3. a; » g/ :+ z » a;$g/ » y com =.y.
H4.(z » y, 0 < À < 1):> z » zÀg » # coiii =,g.
H5. z «' 3/:> z «.' zÀZ/ com À C 10,11 e z,y,z C A4
86 Pi'efei'ências e Utilidade Espei'ada
H6. z>-3/:>(zÀy»zpy À>p)coma,pCl0,1jea,yC A4
H7. a «.,3/:> zÀz «.,yÀz com ÀC 10,11e z, y, z C A4
Prova HI
PorB3,{c]:=az1:y} éfechado;comoa:E yepoi Ml ]:lg = =. temos(ltie:cly = .t 1:y,
logo {a : a;az 1: g/} ) {l}. De maneira análoga, {# : y à: #N;} é fechado e contém
P = 0. Mas, {a : zaz b Z/} U {# : g/ 1: zPz} = 10, 11 e como esses conjuittos sào t\ão
vaziose fechados,logo tem intersecçãonão vaziapois 10,11é conexo. Para.todo À na
intersecção, vale y '- zÀz. n
Prova H2
O resultado segue do axioma B3, pois pala todo z,y, ; C }Ld, {a : a3 à: y} e {N : y E:
b: zPz} são conjuntos fechados, e a.intersecçã.ofinit.a.de fedia.(los é titii(onjuiit.o fe('dado
Jogo, {a : ay z} é fechado. []
Prova H3
Suponhapor absurdoquez$y 1: z » y. Por HI e M3, z q} (z2y)Ày m3z(7)y pala
algumÀ. SejaT = {À : z «.,z(X)3/} queé fechadoe não vazio poi f12.e poitaiito
possui um menor elemento À. que é positivo, pois senãoz «. zOy + = N y, o que é uma
contradição. Ainda, para À. c T temosz N =( 2 )y; poi B2 e R/13,l$y -. l.c(À./2)l l g =
= z(À')y ]: = » Z/ pe]a suposiçã-o de que (#$y ]: a' » #). Por ]]] e h43 t.amos que
z q) lz(à')ylpp %' a(àr)y pai'a algum p. Mas como af < , af C T, entra em
contradiçãocom o fato de À. ser o menor elementode 7'. Pala o casoda deilionsLiação
quez » 3/+' z$g/>"y, a provaé aná]oga. []
87
Provali4
Consideremosos diádicos de 10,11representadosna foiiiia /9 = }1:2:\iB . a. C {0. 1}
para cada {. Primeiro provaremosque, sez » y e p2 > pi o .I' » .tp2#» .t'/)ig » #
Prova: seja z » 3/;temos k > / + #â > !A :> z#iy » záiy com 0 $ / < k $ 2"
Provaremospor indução:para n-0; para n valea hipótesedc iii(liição p pala // + l
devemos mostrar que !;lh > 5;én' :> zÍ;1ln'g >" =!;ilÜ-y com 0 $ / < A. $ 2"+i
la caso: Z e b pares; então !;âÍ = (!ilZ) e 7;iln- = (láz): poisa.ilLo. (Oliio va.le a hipotese
de indução, este caso está. verificado.
pares. $ 2 l:$1n> !-1 , com 0 $ / < k < 2"+i
Pela hipótese deindução:
,(T)« : auJ-w ';' Z'l(/ - 1)/ZIP
Aplicando H3 em ('p) obtemos
.(g) , : a4pw » , l ; lu;w --uiul }« » abra"Reescrevendo a fórmula anterior temos
, (á) « » -(á) «.
Portanto, está provado.
3a caso: k ímpar, / ímpar, É )' /
Nessecaso,temos que k+ 1> k -- l? / + l> 1-- 1:
(k+1)/2 .(k- 1)/2 ...(/+1)/2 .(/.2 ./ .> --
2n ' 2n- 1)/22"
88 Pi'efei'ências e U tilidade Espei'ada
Pela hipótese deindução
, IWI«';',la-l;wl« :: ,leÇwl«';'.lu:,#l «.
Aplicando H3 em ('p) e ('p*), obtemos demaneira análoga.ao casoanterior
, [W],»,(á)«»,[KtW]« :
: ,[u;W]«»,(à)«»,[a\w] «.
Pela transitividade obt.cílios
, (b) « » , (A) «e portanto, a asserção está provada«
4acaso: k ímpar, / par e É > /. A prova é análoga ao casoanterior
Logo,concluímosquep2> pi e pl,p2 diádicos :+ z » p2#» zpi# » g.
Agora, continuando a demonstração de H4, para 0 < À < 1, tomando pi e p2 diádicos
tal que 0 < pi < À < p2 < 1. Fazendo z' = zp2y e y' = zpty, temos que, para. uni
diádicopi C(pi,p2), z » g/e Pa > Pl:> z » :Pay = z' b zpíy. Poroutro lado. com
pí > pi e a; » Z/ :+ a;plg/ » zpiy = y', aplicando o insultado provado aciiiia. Logo,
para pf € (pl,p2) e 3 >- g/ temos que =' 1: :tRiZ/ E y'. Agora« tollialido p; ade(luado
de maneira que limo-.opÍ = À e sa.l)endo que {p. : z' b: p.g} c {P, : -i'P.!f 1: g'} sào
conjuntosfechados,e pelaescolhade p.. to tios (lide.l » .l-' » .iÀ.ry» #' » # p pela
transitividade,z » =Ày» y. O
89
Prova H5
Por B2: z .., y q-rzli3 '~ g/{z; provando por indtiçã.oda íll('sina il)aiipira (lo (lu(' oni H4.
temos que 3 v y +, =piy -. z. Escolhendo p.- de itla.neii'a (rio liltl,.. p, = À (- sa.bando
que {pi : apfy «.,z} é fechadopoi' H2, então z -, zÀg/,pois uii) conjunto fechadocontém
todos os seus pontos de acumulação.
Prova H6
Assumindoz » g/e 1 > À > p > 0 temos0 < p/À < 1e utilizandoH4e M3, temos
zÀy g' (=Ày){(y) AI' (zÀÍy) = a;py. Os casos de fronteira. são siiiiples.
Agora provando que a; » y e zÀy » a;pg ,PÀ > p: supotilia })oi a.bsurdo (ltie H ? À;
então À < 1. Como z » gr,ente.oa;/ty >" # poi t14; logo, poí H.l tio\a.ttieiit.e..I'//p »
» zpg/(i;)y = a;Ày: conta'adição. (H4 exige p < 1; (luaJido p = 1 Laiill)éíii Letiios
ZPy = z » y).
Prova H7
la z -, z, logo # -v zÀ; (pol 115). Taiitbciti g -- = o l)oi llu y -v #À=. 1)oiLallLo.
zÀz «. yÀz
2Z Supondo # -, y e = » z, então temos que, por B2, z -- y :> -t$: - g$:; então.
fazendoa indução sobre B2 (da mesmamaneira que na.pi'ova.de H4), temos que
zpz - ypz para todo diádico p. Fixando À, definimosT = {p : apz 1: g/Àz}com
p C lO,lj; escolhemospf diádico de tal ma.fieira.que lim;-:.. p; = Àcoii] p, ? À pa.ra
todo í. Por H6, pí 2 À zpi! 1: a;Àz,e comoz «.,y obtemosa:pf: -- gpíz E:yÀ;.
Agora, comopi € T, ÀC T e usandoB3 (7' é fechado),Letnos(lue =À: à: gÀ;. Poi
simetria, g/Àz b zX:; logo, podemos con(luir que ='À: -- gÀ
3a Supondoa;«.,y e z >-= a provaé análoga. O
90 Pi'efei'ências e Utilidade Espei'ada
Consequências dos Axiomas de Jensen (AI,A2 e A3)
JI. (= » y, À > p) :> zÀy » zpy
J2. (z b y 1: z, z » ;) :> y «' zÀ para um único À
J3.(z»y, z»m) zÀz»gÀtl,(Àcl0,11)
J4. # «, g/ + z «, aÀy
J5. z N y :> a;Àz «., yÀz
Prova JI
Supondo z >-g/e À > p; suponhaque À= 1. Daí .rÀy = ]
se p = 0, então zOy = ylz = y; como z » # feitios .rÀg >" -z;ll#
se p > 0, então z M' z( 1 -- p)a; » y( 1 -- p)a; = :z;pg/.
Logo, com p = 0 ou p > 0 e À = 1, temos que = y:i zlg ; aÀy » zp3f.
Agora, comÀ< 1:
,.xv%'v( 1 -À)z A!? lv( 1- p)'lli-::llz AI' ('/'y)I'l:;'l.::U'
y:' , l+:-Íg ("/'#)..=.. ("/'w)lt":-H (-'/.d = .,'/'
D(+): foi utilizado o falo quc r » .clIP.
Prova J2
Por hipótese, a;1: g/1: z e a:» z.
Suponha primeiro que r "- y; então y -, a' » :: logo. poi 1''41.y -- .Tl: = ]' e l)oi .ll
temos que =lz >- zpz para todo /z < 1, ente.o, g «' zÀ: pa.ta. uni úitico À. O caso oitde
z >- y -., z é análogo.
91
Suponha a » y >- z; vamos provar que existe À C 10,11 com za
a > À > P, a,P cl0,il.Sd' S = {a € 1O,il : y -<,a;} e r = {p c lo, tl: ,p; < y}.
Note que l € S e 0 CT; sejamentão Ài = infS e Àz = supT
Afirmação: Ài = À2. Vejamos porque:
» # » l,-J: para Lodos
caso(í): ÀI < À2. Sejamp,0 comÀi $ p < 0 $ À2e comp CS e 0 € T
Daí, y < a;pz e zOz < Z/; logo, zOz < apz, mas JJ gai'ante (lue zp: < =0z, unia
contradição.
caso(t:): À2 < Ài. Seja.0 conaÀ2< 0 < À] (llial(luer. l)ai'. coiiio sul) / = Àz < 0 vciii
y :3 zOz; também, como 0 < Ài = infS' veili z6P; :3 #, Oli seja.. zd: -- #.
Tomando agora. 0 e p cona À-z< # < /) < Ài, t.c,ícitios .lél: "' g. # "' .i/9;, logoa;0z '" açpz;masJI garante (lue #0: < zp:. limo. (oiitra.diga.o
Consequentemente, Ài = Àz e chamemos esse valor de À
A$!inlç4gi y ' =Àz. Suponha o contrai'io.caso (i): y < aÀz. Daí, como z < y -< zÀz, existe por A3 uni 0 C lO.il tal que
(zÀz)0z >- 3/, ou seja, z(ÀO)z » y; ma.s ÀO < À, logo. ÀO C .9. iitna colit.ra.dica.opois À = inf S.
caso (i{): zÀz < y. Prova análoga ao caso ({).
Basta provar a unicidade de À:
Se À < À' com y «' a;Àz e y «' =À'z, tel'íamos #Àz «. zÀ':, lhas poi J l, =À: <
contradição. O
Prova J3:
unia
Se 0 < À < 1 e a; » 3r, ; >- w, então
zXz ''12yÀ U2 (l -- À)y » 10(1-- À)y /y:2yÀt., D
92 Pi'efei'êiicias c U ti]ida(]e Espei'ada
P Fava J4
Suponha por absurdo quez -, Z/» zÀy para algum À C 10.11.Então t.Pinos]' » zÀy e
/ » zX /; logo, 3À3/Ç' (zÀy)À(zÀy) = =.Xy: contradição.
Suponha agora por absurdo que zÀy >-= -- y para todo ÀC lO. lj: oiitão t(
e a;Ày» y. Logo, (zÀ3/)À(=À3/)Ç' a;Ày, ou seja, zÀy » zÀlf: contradição.
iiios J'Àg » l
D
Prova J5
SeÀ C {0,1} o resultado é trivial. Vamos assumir que ]: N 1/e À C (0. 1). Se ], .- z.
então, por J4, z -., z «' y + zÀz '- 3/Àz. Se z >- ;, então zÀ; ;À; = = poi A2
e M4. Agora, suponhapor absurdoque yÀ3 » =Àz, entãoteienlosyÀ.-» zÀ: » :,
então aÀz -, (g/Àz)az = y(Àa)z por J2 e M4 e })aia liiil úitico n C 10.11: como nesse
caso3 » z e por hipótesez -- g, entãoy » :. Pot'.JI yl= >- pcl:, t.etl)os# » ga: e
por transitividade,z » ya=; então,zÀ: > ga:(À:) = g(Àíi): l)ur lb1=3.u (lticcita.iaeil
contradição comi a assei'çãozÀ; «.,g(Àa): (lue foi obtida a.ciiiia« Logo. gÀ: » .uÀ; é
falso. Pelo mesmo raciocínio, :z:Àz » g/Àz é falso. Porta.isto. ]:À: N yÀ;. O
Teorema B.16:
Seja ]W um conjunto de misturas. Então são equivalentes
(a) AI, A2 e A3 ocorrem
(b) BI, B2 e B3 ocorrem
(c) Existe uma função linear Z/ : .A/ ----, #? que preserva < para todo a, y CA'í, 1 » # «, Z/(=) »
» Z/(3r).Adicionalmente,a função Z/ é únicasob ti'ailsfoiiilaçõcspositiva.sa.hiis. (Se // ó
linear e preserva. a. ordem, ente.o todas as futtções y ielaciolia.da.s coili // a.ti'avós de uma
transformaçãopositiva afim taliilx;nl são liítea.ipse l)ípsPiva.iiia oi(l(.iii).
93
Prova
A demonstração deste teorema será feita em três partes
l
2
3
Mostraremosque B3 :> A3.
Utilizaremosos resultadosjá provadosde llei'sLcili-i\,liliioipaili l)luva.r(ltic {BJ.
B2, B3 } + {A2} e consequentemente, {BI. 132, 13:! } :> {,\ l. ,\2. ..\3}
Utilizaremos as implicações dos axiomas de Jensen, já. l)iovadas, coiii a.fiitalidade
de construir uma funçãouti]idade linear que pi'enervaa oi'dememÀ4,e provara
unicidade
l Precisamosprovar quea;» g/» z e B3 :> zaz » y ey » aOzpala a, # C(0, 1).
Suponhapor absurdo que zaz » y para nenhum o C(0, 1): então 10, 1)C({a
a;az » y})' = {/i : y 1: zazl; mas por definição, {/3 : # 1: dz} é fechados
está contido em 10,11. Logo, 10, tl = {J : # » :r/J;}. 'l'oiiia.indo N = 1 ol)teiiios
3/b: zlz = z: contradiçã.o.
O outro caso é análogo.
Provaremosagora queosaxiomas(BI, B2, B3) implicam A2 (z » y, 0 < À< 1 :+
+ zÀz » yÀz):
Por hipótese,2 » y e 0 < À < 1.
la caso: z » a; » g/. Então por 111.2 -v ;ay para algum 0 < n-< 1. EiiLã.o
zÀz «F(zay)Àz Al2lv( 1 -- a)zlÀz A1.3vlÀ(1- a)l!.
masyÀz= z(l--À)ye l --À+Àa-> 1 À.puta.o:(l --À+Àri)» .yÀ:.i.e
y(À(l - a))z » yÀz.
2a caso: z -, a » y. Então por H5, z N =Àz e poi' HI temos z -. ;ay pala.algum
0 < a < 1. Então
; KJ zÀ; «y (;ay)À: ':' ly( 1 -- a);lÀ; '::' ylÀ( 1 - a )l;
2
94 Pi'efet'õncias í. U ti]ida(](! Esl)(:i'a(]a
epelo mesmoargumentodo item anterior temosy(À(l -- a))= » yÀ:
Os outros são análogos aos casosanteriores.
Construçãoda Utilidade Linear:
Nãoexiste nadaa provar se» é vazio. Supondo que = >- g pala z, y C A4,fixando
z e y, definimoslz,yl = {z : z b z b 3r}. Por J2, existeum único/(?) C lO,ll
para cada z C lz,yl tal que z ,- z/(z)g/ com/(z) = le/(g) = 0. Tomando ;,w €
C lz,yl e/(w) >/(z), então por JI temos z/(w)y » z/(z)y, e poi transitividade
temos w » z. Se por outro lado, /(lu) = /(:). ent.ã.o a'/(?í,)y N .i'./'(:):y: então
z N z/(z)Z/ -, z.f(w)3f ,- w. Logo, z N w. Portant.o, podemos coitcluir que /
preserva a oi'deln em la:, pl, ou seja, w » ; « /(w) > ./'(;) pala todo :, w C 1 , pl.
Vamos provar agora que/ é linear em lz, yl. Para.isso notamos (lue lz, yl é fechado
para operaçõesno espaçode mistura.s.Oli seja. =.u' C la'.yl :> :Àíl' C l.t'.#l. Pala
provar esta última asserção vamos dividia ciii dois (a.sos:
(,) Àc {o, ll;
seÀ = 0, # » zOwu2 w »
seÀ= 1, z b zlw M' z 1:y.
(b) se0 < À< 1,então
a;%l a:Àa: ; a;À,« AI' w( 1 -- À)= E to( 1 - À); g'
g' zelo 1: zÀyg:: y(l - À)z E y(l - À)y y:' y
As passagens anotadas com '#'' são justifica.das da.seguinte foi'tna:
(í; se : » ío então usamos A2: z(] - À)= » ?t,( ] - À)r Oli rÀr » I'Àu'
({0 se3 -.,w entãousamosJ4: =ÀzN a e z -. =Àw.
Tomando z,to € 1z,yl, então pela definição de / Lemos zÀzo «.,z/(zÀw)y. Mas
z -, a;/(z)y e to «' z/(w)y, ente.o zÀll (r./(:)y)À(a'/(u')y) YS .i'(À/(:) +
+ (l - À)/(««))y.
3
95
A linearidade de / em lz, yl seguede J2, ou seja
/(;À,«) À/(z) + ( l À)/(.«) em 1=,Z/l
O próximo passo é expender / para todo A4: Tomando :z > g. sejaili l.i t gi l (' lzZ g21
dois conjuntos da forma lz yl, onde zi 1: z e y 1: yi. Sejaiii /. funções liiteaies
que preservam a ordem em lzíyil e tais que' /,(z) = 1 e ./i(y) = 0 pa.ra i: 1,2.
Provaremos que /i(z) = /2(z) para z C lzi gil n laz /21. Se ; -- z ou = - g, então
/l(z) = /2(z) = 0 ou ./'i(z) = /2(z) = 1. As ouvi'a.s possibilita.dcs l)aia. : são as
seguintes:
a;» Z/» z; nessecaso,porJ2 existeum únicoa tal quey «.zaz; (B.2)
a;» z >"Z/; por J2 existe um único /i tal que z -. =/Jy; l B.3)
z » z » y; pol' J2 existe uni único ' Lal (lue = N ;'yg. (B.4)
Utilizando a linear'idade e a pi'eselvação de -u podeittos aplica.l / lias relaçõesacima
para obter
a + ( 1 -- a)/í( ;) = 0
/i(z) = P,
'y/.(z) = 1,
la' # l) (13.5)
(B.6)
(B.7)(7 # 0)
para { = 1,2. Logo, ./'i(z) = /2(:) edil cada ca.se.
SejaZ/(z) definida como o valor de cada/,(z) para lzf yil que contém z, 3fe z. Por
(B.2), (B.3) e (B.4) temos que cada :,w € À4 está em a.omenosuni lzi yil; logo,
por(B.5),(B.6) e(B.7), Z/ está definida em todo À/, é linear e preservaa ordem.
Vamos verificar a unicidade de U : Seja. Z/ uma. funçã.o linda.i (lue preserva a
ordem definida em A4. Definindo y(=) = ri.//(a) + ó com a > 0. ó cla.i'o(lue yé
96 Pi'efei'ências e U tilidade Espei'ada
linear e preservaa ordem A4. Agora suponha (ltie y sejalinear'e piesei'vea.ordem
em À/. Esse caso será dividido em dois:
(a) se Z/ é constante, então y também é e elas esta.o relacionada.s pela trans-
foi'mação linear y(z) = aZ7(z) + b, onde b = c' -- «, ü = --.- . V' = .-';
(b) se Z/ não é constante, então tomando z » y fixos dehnimos:
/:n:ggl-:gg, /2H;)para todo z C ]W.
Como /i e /2 são transformaçõeslineares positivas de Z/ e y . então essassão
lineares e preservam a lidem e tambén] /i(z) = /2(z) = 1e /i(y) = ./b(p) = 0.
Ainda, se z -, y :> /t(y) = /a(y) ou : -- a + /l(z) = ./b(.t), isto é, /i(:)
/2(z); ou, se(1),(B.3) ou(B.4) ocorrem. então/i(!) =/z(:) poi in.s).(B.õ) ou
(B.7), respectivamente. Então, pela definição de /i Ledos y(;) = aU(;) + b, onde
a = 1;1:1;;11g > 0 e ó = V(p) -- Z/(y)a. O
Representaçãode relaçõesde preferência por meio de utilidade
esperada
Nesta seçãosupomos que nossoconjunto de escolhasX é um subconjunto de val'dáveisaleatórias
de um espaçomensurável (Q, /) sobre o espaçomensurável de insultados (Z, Z). O nossoobjetivo
nestaseçãoé verificar que uma.relação de preferência b: sobre .\ pode ser repieseiltadapoi uma
utilidade esperada. Para isto, seja (í2,/',p) um espaço de pior)al)ilidade, z : !Z -- Z = J/Z uma
função mensurável (variável aleatória) e Z = M o empa.ço de result.a.dos. l:ssa varia.vel aleatói'ia. #
induz um espaçode probabilidade(#?,F..,p,); ain(la.,para.cada leal a. o conjtiíito r-i(( oc.al)é
mensurável.Definimos a função FI em #?como:
&(.) P(Z''( -w, 'l) p,(j - m, al)
97
F= é uma função distribuição que determina a medida p,.. e /',. é a a-álgebia dos conjuntos /i
mensuráveis;em Chung (1974, pág.34) prova-sequep,. é uma nie(li(la
Na teoria devon Neuman-Morgenstern, dado um espaçode pi'o])abi]i(jade( ç2..f. P). uma fuitção
Z/ : Z ----» #? é uma representação por utilidade esperada da. prefeiéncia 1: sobre .V se z' 1: y +
«, -EJZ/(z)12 .EIZ/(Zr)l para todo z e y € X eZ/(=) = Z/ . z é u-lla va.riá-l aleatóriaintegra«l
paratodo z CX
Uma relação de preferência » sobre X é independente do cóZadose duas variáveis aleatórias
z,3f C X commesmadistribuição forem indiferentes(r '~ 1/). Vamost.oillai o PXPmplode l)iiffip
(1989): considere o lançamento de uma. moeda honesta. (ÇZ,.f, /') oiidc í = {('.r}, f é a faittilia
de conjuntos {0, {C}, {C}, í2}, e P({C'} ) = P({r}) = 1/2. C:onsidei't- a.s valia.fieis aleatói'ias z e #
sobre o espaço de resultados Z = {0, 1}, com .Z = {0, {0}, { 1}, Z}, deíiitido poi:
J
z(C') = ylC') = l
z(C') = y(C') = 0
Senós interpretarmos o espaço de i'esultados Z conto sendo o valor' iliolieLái'io ciii dólares, obLei'eiiios
preferênciastransitivas e completas independentesdo estado lr e :l/ l.õtita tiieslila distribuição e sã.o
indiferentes).
Seja(Q, f, P) um dado espaçode probabilidades;comojá frisemos,nóspossuimosunia coleçào
de variáveisaleatórias que possuemuma estrutura de preferências. Sabemos também que uma
variável aleatória num espaçode probabilidades induz uma função de distribuição. Seja.n o conjunto
de medidasde probabilidade soba'eo espaçodc ieslilta.dosZ, o seja /l.. C n }i função distribuição
induzida pela variável aleatória # C .X'. SeE é uma.preferência.indcpcildelite dos estadossobre .V
então para a preferênciainduzida l:.Í soba'e7ré
P.;l:aPp+ I' 1:# pa.ra. todo .i, # € .\'
A diferenciaçãoentre E:ae E é útil para frisar quez e p, pertencema conjuntos distintos
98 Pi'efei'ências c U tilidade Espei'ada
Seja À/ um espaçode misturas com a C 10,11e # C lO,il, como definido iio Capítulo l.
Claramente vemosque um conjunto de medida deprobabilidade sobic (leal(lllei es})açoliiensuiável
(espaço de resultados) é um espaço de misturas. Para notarmos isso podettios inteipietar a;ay como
sendo a combinação convexa az + (l -- a)y.
Vamos repetir agorao enunciadode dois axiomas que aplicant a relaçãode piefeiência 1: sobre
o espaçode misturas ]14segundoDufbe (1988):
O Axioma Arquimediano. Para todo z,ye zC À4, se z » pcp » :.( liLà.ooxisl.p íl e /J C(0. 1)
tal quezaz » y e y » a;/iz.
O Axioma da Independência. Para.todoz,y e : C lv eQC10,il, se# b:g,ei]Lão];a; 1:yaz.
Enunciaremos agora o Teorema de Espaços de N'listura.s(este I'exulta.dofoi provado c dis('ut.ido
no Capítulo l):
Teorema B. 17:
Suponha que 1: é uma preferência definida. sobre um espaço de iilistuia A4. Então E obedece
os Axiomas da Independência e Aiquinlediaito se soittcnte se a t'(la(iã.o(1( 1)íofoiêiicia t.elii liiila
representação funcional !inear.
Antes deenunciarmoso piincipa] resultado desta seçã.ova.feiosteleinbia.i o (oii(eito de fuitção
mensurável simples (variável aleatória simples): Uma variável alem.tóiia.definida iiuni espaçode
probabilidade(Q, .f, P) sobre o espaço de resultados Z é simples seexiste liiiia. l)a.i'LiçãoBi ./?z. . . . . B.y
deQ e elementoszi, z2,..., ZN de Z tal que
,(«) n para todo w C B., l $ 1].5; .N.
isto é, uma variável aleatória é simplesquando assumeum núnleio finito de va.loi'esdifeleiites
Vamos agora enunciar e provar unia proposição pala replcscliLação dc utilidade esfolada pala
o casoonde X' denota o conjunto de variáveis aleatórias simples sol)le (Q..f, P) comi Z sendoo
99
espaçode resultadose n'' sendoo conjuntode funçõesdistribuiçãodoselementosde X'. Essa
proposição está enunciada e parcialmente provada em l)uMe ( 1988).
Proposição B.18:
Seja 1: uma relação de preferência independente do estado sobre .{'. Seja b:' a t;elação de preferência
induzida por E sobre z'. Então b' verifica os axiomas de independência e aiquiniediano sesomente
se 1: possui uma representação de utilidade esperada.
Prova
Vamos provar inicialmente a. necessida.de:inicialmente tiotattios (lu(- n'" é uni cs})aço
de mistura, pois r' é o conjunto de funçõesdistribuição dos eleiiiettos (lo .V'. Pelo
teorema anterior existe um funcional linear ü : n'' -----,/R de ma.fieiraque
a E:y «. Z/(P,) 2 a(P,) pai'a todo =, g/ C X' e p,, pV C n
Antes de prosseguirmos com a dc'monstraçã.o do t.eoi'ema va.illos (l( íittii .-z//lor'/í (/r/ (/f.K-
[dbtiíção p, de uma uaridue/a/eaZóra :z.comoo conjtitito íiiiit.o doosga.çodo icsu]tados
onde z assumeum valor estritamente positivo; ou seja,
s«PP(P,) = {:-,;2, , ;/«} c z,
ondep,({z«}) > 0 para todo n e p,(supp(p.)) = 1. O iiúnlei'o deeleilieiitos ilo supoiLe
dep, é denotadopoi #(p,) = ]V. Paratodo z C Z. p' € n denota.a.dista'ibuiçãocom
suporte {z}
Definindo Z/ : .Z ----, #? por Z/(z) = t/(p: ) })ai'a. todo : C Z. .Ainda sa.bebido que p,.
' )l.'Cs«PP(P,) p=({z})p; para. todo z C .V', i.e., a distribuição p..; é a média arilméZica
das distribuições com suporte {z} ponderadapelas probabilidadesH,( {;} ). Utilizaitdo
aumento de linearidade da utilidade e queZ#(z)= U(p:) teremos
t/(p,) = }ll: U(z)p,(z) = rlZ7(T)l pa.iat.o(l. .. CzesuPP(P;)
A demonstração da necessidade segue do Teorema B.16.
As pricipais referênciasdeste capítulo são Duche (1988), Fisht)
Araujo (1983); como referência adicional, Lindgren ( 1971 )
Prefei'ências e Utilidade Esperada100 eiei l
o ar
\
(1970)urll
Apêndice C
Dominância Estocástica e Aversão ao
Risco
A discussãoem questãoé quando uma.vai'lavei dICa.tói'ia}' ó illa{.- írlr'(r'/a (iria.ioi va.i'ia.bilidadc)do
que outra variável aleatói'ia X. As varia.vensX e y a.ssumem valores nos i'edis. a.menos de menção
contrária.
Definição C.l:
Diremosque X é mais incerta do que y quandoalguma da.scondiçõese(luivalent.esa.baixofor
satisfeita:
a) ./'Z/(z)dF(z) < .fZ/(z)dG(z) para a função utilidade Z/ câilcava, onde ZJ é unia função que
assume valores reais e /' e G são as funções distribuição de .V e }', leal)ectivamente. Todos
os indivíduos aves'sosao risco preferem }' a X
b) Sejam X e y variáveis aleatórias tais (lue }' Í .\' + Z. ist.o é. }' p .V + Z têiti a lllesilla
distribuição, e Z(ZI.V ) = 0 para. todo .V
c) Suponha queos pontos de crescimentode /? e 6' estejan} i'est.iit.osao intei'vala fechadola.ól
101
102 Dominância Estocástica t! Aval'são ao Risco
definimos
T(y) =/(F(z)-- (;(z)) d': pai« " $ .y$ 1'-
Então, T(y) 2 0 para todo y e 7'(a) = T(b) = 0. .\' tens lllaioi l)esolia suacauda do que }
y
As três deHtnições acima são equivalentes e, se .V e }' satisfazeili (al -- (c), ciiLão .Y é fetais
t;aríáue/ou mais incerta do que y
Definição C.2:
Uma ordem parcial $p sobre um conjunto é uma relação binária tralisitiva reflexiva. e aiitissimétrica.
A ordem parcial $p é definida sobreuin conjunto de funçõesdisLiibuiçãoeiii 10,11. } e G' são
funções de distribuição das variáveis aleatól'ias -V e }'. Escrevciitos .\ $/, }' (1uaitdo / $p G'
Definição C.3:
Seja a ordem parcial $/ definida como: F $/ G se e somente se r' e G satisfazem a condição (c)
da Definição C.l.
Lema C.4:
S;/ é uma ordem parcial.
Prova: Rothschild e Stiglitz (1970)
Definição C.5:
Seja a ordem parcial $u definida por f' Su G se somente se para toda fullção utilidade côncava
limitada Z/ , temos que
Z/(z)d/'(=) 2 / a(z)dG(=).0 JO
l
103
Lema C.6:
Sz/ é uma ordem parcial.
Prova: Rothschild e Stiglitz (1970)
Definição C.7:
SejamF a distribuição de X, G a distribuição de }' e a oidetii pa.irial $« (1ucó (lcíiiiida da.seguiliLe
maneira:F $. G sesomenteseexiste uma vai'laveialeatói'ia.Z (le foiiiia (lttc. se H(=,;) é a
distribuição conjunta das variáveisaleatórias X e Z definida em 10.tl x 1--1,11e
.7(g) = p(.v + z $ v)
então
r'(z) = #(=, 1);
G(3/)= J(W);
Z(ZIX = z)= 0
0< z < l
para todo ze
Afirmar F $. (; é equivalente a dizer queexiste uma variável aleatória Z satisfazendo
y 4 X + Z com r(ZIX =) = 0 pai a. todo l=
Lema C.8:
SeXi, X2 e X3 são concentradasem um número filhito de pontos, eiitã.o.Vl <. .VZ<. .V3implica
Xi$.X'
Prova: Rothschild e Stiglitz (1970)
Teorema C.9:
As três asserçõesseguintes são equivalentes
104 Dominância Estocásticae Amei'sãoao Risco
a) F Su G
b) /' $/ G
c) F $.G
Prova: Rothschild e Stiglitz (1970)
Aversão ao Risco
Seja W. identificadocomoriqueza,Z/(W.) a utilidadeda riqueza.Ainda..liinw.oZ/(1'.) e
limo-+«Z/(W.) existem e são finitos. Define-se um jogo coiiio scitdo lioilesLo. coili probabilidade
deganhar p um montante hi e probabilidade de perdem1-- 7)uill iiioiiLaiiLo/i.z.seo /iayii! espetado
é igual a zero:
p/zi + (l - p)h2 = 0.
Definição C.IO:
Seja Z/(.) uma função utilidade. Um indivíduo é dito (estritamente) aves'sea.orisco se
U(Wo)(>) ? PU(Wo + Ai) + (l 7))Z/( IVú + b..zl
Utilizando a deânição de jogo honesto e substituindo na ielaçã.oacima, podemos i'edefinir
aversãoao risco como:
Ü(P (W. + Âi ) + ( l p)(14/.+ h2))(>) 2 7)Z#(14/.+/li)+ li 7)) /yl 14''., + /i.2 l
Ou seja,aversão(estrita) ao risco implica uma função utilidade (estritamente) côncava.Pode
mos demonstrar que a implicação contrária tamlMm vale
105
Considerandoo problema.de composiçãodeportfólio da.nlaiteiracoiiioa.presentadaem Roth-
schilde Stiglitz (1971)ou Huange Litzenberger(1988): sejauni ittdiví(luo ivcrsoau fiscoe quc
prefere mais riqueza a menos riqueza. Este investe aj dólares em j a.uivosde risco e ( }V. -- )l:j aJ)
emum ativo livre derisco. Definindo:
W = riqueza no fim do período (variável aleatória.);
W. = riqueza inicial;
r.f = taxa de retorno do atino sem risco;
Fj = taxa de retornodo ativode I'iscoj (variávelaleatória);
aj = montante em dólares investidos no .j-ésimo ativo de risc
Então:
l# =(W'. - >ll: a.i)(l+ r.f)+ >:1 a.j( 1+ F.j)J J
ou
IÀ/ = 14'.( 1 + r.f) + }. a.f(f; T'.f).
Dessamaneira o problema de escolhain(lividual s
J
( I'eSlllll( a
T.a} ZI z/(n'.(l+ r/)+ }. aJ(fj - r/)) l.
Assumindoquea função utilidade é côncavae queestamostrabalhando nunscontexto suficien
tementeregular de modo que valham as condiçõesde l)rimeira.ordem. tetttos:
JJ
rl Ü'(Ú')(Fj - I'/) l o, VJ
Sejaum indivíduo aversoao riscoe nãosaciado;este preferia'áinvestir eni ativos de t'iscosomente
sea taxade retornoesperadadeao menosum ativo de riscoexcedea.taxa.dejui'os de umativo
sem risco. Para que esseindivíduo não invista nada em ativos de risco e até os venda a descoberto
é necessárioque o máximo estejaem (0, . .. ,0); portanto
ZI a'(Wo( l + ,.f ))(F.f z'.f) l $ 0, Vj,
106 Dominância Estocástica e Aves'sãoao Risco
ou demaneira equivalente
U'(Wa(l+ ,.f)) l j ,.rl $ o. vj
Como por hipótese Z/'(.) > 0, temos que
zl íJ- ,/ l $ o,
ou seja,sea solução do problema
Uat rl Z/(Wo(l+ 7'.f)+ >ll: a.f(FJ- I'/ l) l
ocorre na fronteira, mais especificamente no (0. . . . . 0). isto é. se a soluça.o coilsist.ii pib nã.o invest.ir
emativos de risco (hipótese), segue-seque
JJ
l jl $ '.r, v.j
Portanto, para queuma soluçãodo problema de maximização da.utilidade espei'ada.da riqueza
envolva um investimento em algum a.uivode risco é necessá.rio que exista l)clo iiioiios liili deles (.oiii
retorno esperadomaior do que o ietoino do ativo sem fisco.
Casoalgum ativo de risco paguepi'êinios positivos pelo risco, então
r.f l > 0 para algum .j' :+ a.j tq. aj > 0
Seriaimportante frisar que na.relaçãoacima vale .j' = .j se vivei'moslinl a.t.ivosem ris('o e liin
ativo com risco. Caso contrário, sejamdois ativos com risco (lue pagaitl prêiitiospositivos,mas
que são negativamente correlacionados. Nesse caso pode ocorlei (ltie F l i;J - /.f 1 > 0 lilás a. < 0.
Concluindo,na presençade uin ativo conai'iscoe um ativo semfisco, prêiiiiospositivosinduzem
investimentospositivos no ativo de risco.
Agora tomando um outro caso:se um indivíduo investe toda a sua riquezaem um ativo de
risco a solução ocorre num ponto(0,...,1,...,0) onde o l ocorre na posição .j e devemos tel'
E l a'(Wo(l + Fj))(Fj ,/)l z o
107
Agora vamosdiscutir algumas medidasde aversãoao risco e suas iitlplica.iões
Podemosdizer que um risco é pequenoquando Z;lí -- 7'/IZ é pequenoe os termos envolvendo
Eli -- r/l3 e de ordem superior podem ser ignorados.
Tomando a expansão de Taylor de Z/'lW.(l + F)j em volta. de I'P.( 1+ 7'.f). iilultiplim.ndo ambos
os ladospelo prémio ao risco e aplicando a esperança:
E la'(Wo(l + F))(F ,.r)l Z/'(W.(] + r/ ))E'l F- 7'.fl +
+ Z/"(14'.(1+ r/))E' l (F -- I'/)z lt4/.,+
+ o( L' l (P - 7'/ )z l) (( '. 1)
ondeo(E l (F -- r/)2 1)estásendo usa.dono sentido usual introduzido por La.ndau.
Agora aplicando a definição de fisco pequenoe impondo a condição pala o indivíduo investir
toda sua riquezano ativo de risco, temos pela desigualda.dea.nterior. (ltie o liihiimo prêiiiio exigido
para Isso e:
EIF-r/1 2 - ll;ll:li-ir-if# ZI(P-r/)'l w.,
absolutaao riscoé devidoa Pi'att (1964). Tanlbénl Anow (1970) chegaao lliesiiio insultado
utilizando outra análise.
Ainda em Arrow e Hahn (1971), mostra-se quea aversãoabsoluta ao risco decrescenteimplica
que o ativo de risco é um bem normal; aversãoabsoluta ao fisco crescente implica. (lue o ativo de
risco é um bem inferior e aversãoabsoluta ao risco constante implica. (luea detitaiida peloativo de
risco é invariante com relação à i'iqueza inicial. ou seja:
dR ,.{(z ) H.,
jã »o, vw.
108 DominânciaEstocásticae Amei'sãoao Risco
qP». «; : á«., "-.'.
yP-. «; : á-., "«.
Em Huang e Litzenberger (1988) está provada a primeira asserçãode itlaneira muito clara, as
demais seguem de maneira análoga.
O conceito de aversãoabsoluta ao risco mede, pala pequenosdiscos,a inLeiisidadeda aversão
individual ao risco. Uma aversãoabsoluta ao risco alta implica uni alto prêinio pelo riscopara
induzir o indivíduo a investir toda a suariquezaem ativos de risco. De ouvia maneirapodemos
ver quea aversãoabsoluta ao fisco medea.curvatul'a da função utilidade individual
Podemos definir a aversão relatÍz;a ao r sco como RR(z) = /?..t(?) . =. .4 aversã.o rola.t.iva a.o risco
medeo negativo da elasticidade da utilidade marginal da i'iqueza,logo é inva.diantecom respeito a
mudançasnas unidades de utilidade e de i'iqueza. Ainda podemos lutei'})Fetal essamedida coiiio
a variação da riqueza inicial investida em ativos de risco qtia.lido a i-i(lti(za val'ia.. Pode-sepiava.r
que aversão relativa ao risco cresceitte ( dz > 0) intplica. ullla. ela.st.ácida(lci'i(lucza-(leiiia.tida poi'
ativo de risco estritamente menor que a unidade (77= aíi=1:l' < 1). .Adicionalmente:
df?n(z) . .= U :+ 77:: l
dRn(z)!-= < 0 + 77> l
O resultadoenunciado acimaé demonstradoem Huang e Litzenbergei (1988)
dz
d
e
TeoremaC.l l:
Seuma economiapossui um ativo de riscocujo retorno médioé maior (luc o da.moeda,então a
média, variância, má.Mmo e mínimo da taxa de retorno do portfólio como um todo são funções
crescentes,constantesou decrescentesda riqueza quando a aves'sãorelativa ao risco é uma função
decrescente, constante ou crescente da riqueza, iespectivanlente. Ou seja:
109
d7'min
dw.>
<
dz'....* 2 o<
quando
Prova: Cais e Stiglitz (1971)
Definição C.12:
O retorno certo r' que torna o investidor individual indifei'eiit.e ont i'o sua os(.olhaóLiliia (le poi'tfólio
e investir toda a sua riqueza.ao retorno r' é conhecidocomo fq /í a/emir rfrfo
Z/l7''m'.l = pafEül ll:aí(l+ F{)h''. l;
onde (l + Ff) é o retorno por dólar investido do i-ésimo ativo no estado 0
Teorema C.13:
O equivalente certo é uma funçã.ocrescente,constante ou deciesceliLeda.ri(lueza.a medida que a
aversão relativa ao risco é função deck'escente,constante ou ciesceitte da. i'i(lueza., icspectivaiiieiitc
#; g ' q«;«d. Í1lÍle : O.
Prova: Cais e Stiglitz (1971).
Resultadosadicionais estãoem Casae Stiglitz (1970,1971)
Teorema C.14:
SejamZ/Í e Z/k as funçõesutilidade de dois indivíduos aversosao riscoe com preferênciasltào
saciadas. Então, existe uma função côncavaestritamente crescente(.; tal queZ/i = G(Z#x;)se
110 Dominância Estocástica e Amei'sãoao Risco
some«teseXâ(,) Z Râ(z).
Prova: Huang e Litzenberger (1988)
O texto de Ross(1981)discute uma questãorelevante. A medidade aversãoao fisco de Arrow-
Pratt corrobora com a intuição económica,quando todas as loterias conaas quais um indivíduo se
depara podem ser segurados. No texto citado é construído um exemplo onde os segttios irãocobrem
todasasloteriaspossíveise portanto, a medidade aversãoao riscode Aliou-Piatt vai contraa
intuição económica. Ross(1981) define uma novamedida de aversãoao risco (mais forte), mostra
a,sua rela,çãocom a medida anterior. Ainda nestemesmo texto ti)osli'a-sc.ali-avósde exemplos,
quesituaçõesondea i'iqueza.inicial é ulila.va.Fiávelaleatoiia. o iio ra.seoit(lo oxisLoiiisoiileiiLeaLlvos
de risco (isto é, não existe ativo sem risco), a.illedida.de a.versãoao risco de Airow-Platt também
falha.
A questãorelevantea.sei'discutidaagoraé como un] indiví(Itio qtio possuil)iefeiêii(iasnão
sociáveise aversoao risco pode escolherentre dois ativos de risco.
Definição C.15:
Um ativo de risco A domina o ativo de risco .Bpelo conceito de D077zinánciaEsZocdsticade Pri7neíro
Grau, denotado por .4 ' 2: .B, se todos os indivíduos que possuem função utilidade crescente em
funçãoda riquezae contínua,preferem4 a B ousã.oindiferentesentre .4e B.
Teorema C. 16:
Sãoequivalentes as seguintes asserções
FSD1. Á > B.
2. FA(z) $ FB(z) Vz C 10,11onde /'( ) denota função dista'ibuição.
3. F,.14 Fa + â, à ? 0, onde f é a taxa de retorno e â é unia.vai'laveialem.Lóriapositiva
111
Prova: Huang e Litzenberger (1988)
Agora vamosdefinir um segundoconceito pa.ra.a compara.çà.o(lo at.avos(lc risco. supondoque
a única informação sobreo indivíduo é que este é avessoao i-isco. SoilieiiLccoili essainformação
vamosestabelecercondiçõespara afirmar se um indivíduo piefel'oo a.t.ivodo ris(o .4 ao ativo de
risco .B.
Definição C.17:
O ativo de risco ,4 domina o ativo de risco 1? pelo conceito de l)az71ílzíizzrja A.'.ç/riííí.ç/íra de Sega/fÍfIa
Ordem denotado por .4 2 B, se todos os indivíduos a.versosao i'isco possuemfunção utilidade
cujas primeiras derivadassãoconta'nuas,exceto em lim subconjunto conta.velde j1,21, piefei'em.4
SSD
a.B
Teorema C. 18:
As três asserçõessão equivalentes
SSD1. Á > B.
2. Elf.41 = EJFBjeS(y)=áoy(FH(;)-- FB(;)l(/=$ 0 V# € 1O.ll.
3. i;a :É F,4 + (, com .EI(IF.41 = 0; onde ( é uma variável aleatói'ia
Prova: Huange Litzenberger(1988) e Rothschild e Stiglitz(1970)
Na asserção (3), ZI(IP..ll = 0, mas sabemos que ElêlF.41 = 0 :> Cov(FÁ,O = 0 e logo Var(F..l) $
$ Var(Fa). ( a2(F.4 + O = a2(f,4) + a'((1) + 2Cov(F,.+,O; coliio C:ov(FH,o = 0 + a'(FÁ) $
É a'(f.4 + e) = a'(Fa). )
Então, sobreo conceitode Dominância.Estocástica.de SegundaOrdem. podemosobter uma re-
gra operacional. Se .4 2 B, então EIF.41 = rli l e Vai'(FH ) $ \''ai'(i:B). (-'larailieiiLe a. iiill)ligação
112 Dominância Estocástica e Aversão ao Risco
contrária não vale
Definição C.19:
O ativo de risco Á domina. o ativo de risco B pelo conceito (lo /)íi/n;llr;n.í;í/ /=.-/rlr-í;.-/íía h7ozioZórlica
deSegundo (lzfoudenotado por 4 >SSD B se todos os indivíduos }worsosao risco c colll pieferêitcias
não sociáveispreferem .4 a B.
/w
Teorema C.20:
As três asserçõesseguintes sãoequivalentes
1. .4ôsso B.
2. .EIF,412:.Elfal e S(z) $ 0 Vz c lO,ll
3. fa :ÉF,4+(, com ZI(lr,.ll $ 0.
Sobre o teorema acima, ver comentários em lluang e Litzenbergel (1988)
As principais referência.sdestecapítulo, alétnde Dtlme( 198R).sã.ollut\iig o l.it.zoiibolgpi ( 1988)
Arrow e Hahn(1971), Cais e Stiglitz(1971), R.othschilde Stiglitz( 1970).('ass e Stiglitz(1970)
Ross(1981), Prata(1964) e Rothschild e Stiglitz(1971 ).
111
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