Logika MatematikaLogika MatematikaAljabar BooleanAljabar Boolean

TEKNIK INFORMATIKATEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS PASUNDANUNIVERSITAS PASUNDAN

TAHUN AJARAN 2012/2013TAHUN AJARAN 2012/2013

Pertemuan ke-3

Definisi Aljabar BooleanDefinisi Aljabar Booleanmerupakan aljabar yang terdiri atas :merupakan aljabar yang terdiri atas : suatu himpunan Bsuatu himpunan B dua operator biner yang didefinisikan dua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut, yaitu :pada himpunan tersebut, yaitu :– Penambahan (+)Penambahan (+)– Perkalian (.)Perkalian (.)

Sehingga untuk setiap a,b,c Sehingga untuk setiap a,b,c B B berlakuberlaku

aksioma-aksioma atau postulat aksioma-aksioma atau postulat berikut :berikut :

Postulat Huntington1. Closure :

i. a + b Bii. a . b B

2. Identitas :i. Ada elemen unik 0 B, sehingga berlaku :

a + 0 = 0 + a = aii. Ada elemen unik 1 B, sehingga berlaku :

a . 1 = 1 . a = a3. Komutatif :

i. a + b = b + aii. a . b = b . a

4. Distributif :i. a . ( b + c) = (a . b) + (a . c)ii. a + (b . c) = (a + b) . (a + c)iii.(a . b) + c = (a + c) . (b + c)

5. Komplemen : Untuk setiap a B, ada elemen unik a’ B,

sehingga berlaku :a + a’ = 1 dan a . a’ = 0

6. Terdapat paling sedikit dua buah elemen , a dan b B sedemikian sehingga a ≠ b.

Turunan Postulat Turunan Postulat HuntingtonHuntingtonAksioma 1 sampai 6 diformulasikan secara Aksioma 1 sampai 6 diformulasikan secara

formalformaloleh E. V. Huntington pada tahun 1904, oleh E. V. Huntington pada tahun 1904,

sehinggasehinggadinamakan dinamakan Postulat HuntingtonPostulat Huntington, sedangkan aksioma, sedangkan aksiomaberikut :berikut :7.7. Idempoten :Idempoten :

i.i. a . a = aa . a = aii.ii. a + a = aa + a = a

8.8. Asosiatif :Asosiatif :i.i. a + (b + c) = (a + b) + ca + (b + c) = (a + b) + cii.ii. a . (b . c) = (a . b) . a . (b . c) = (a . b) . cc

diturunkan dari aksioma yang lain.diturunkan dari aksioma yang lain.

Perbedaan aljabar boolean Perbedaan aljabar boolean dengan aljabar biasadengan aljabar biasa1.1. Aksioma distributif a + (b . c) = (a + b) . Aksioma distributif a + (b . c) = (a + b) .

(a + c) benar untuk aljabar boolean tetapi (a + c) benar untuk aljabar boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa,tidak benar untuk aljabar biasa,

2.2. Aljabar boolean tidak memiliki kebalikan Aljabar boolean tidak memiliki kebalikan perkalian dan penjumlahan, oleh karena itu perkalian dan penjumlahan, oleh karena itu tidak ada opersi pembagian dan pengurangan,tidak ada opersi pembagian dan pengurangan,

3.3. Aksioma ke-5 mendefinisikan operator Aksioma ke-5 mendefinisikan operator komplemen yang tidak ada pada aljabar biasa,komplemen yang tidak ada pada aljabar biasa,

4.4. Aljabar biasa memperlakukan bilangan real Aljabar biasa memperlakukan bilangan real dengan himpunan elemen yang tidak berhingga, dengan himpunan elemen yang tidak berhingga, aljabar boolean memperlakukan himpunan elemen aljabar boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan.B yang sampai sekarang belum didefinisikan.

Persyarat aljabar Persyarat aljabar booleanboolean1.1. Menentukan elemen himpunan B,Menentukan elemen himpunan B,2.2. Menentukan aturan operasi untuk Menentukan aturan operasi untuk

operator biner,operator biner,3.3. Himpunan B bersama-sama dengan Himpunan B bersama-sama dengan

aturan operator biner tersebut aturan operator biner tersebut harus memenuhi Postulat harus memenuhi Postulat Huntington.Huntington.

Aljabar Boolean Dua Aljabar Boolean Dua NilaiNilaiDidefinisikan sebagai sebuah himpunan dengan duaDidefinisikan sebagai sebuah himpunan dengan duabuah elemen.buah elemen.1.1. B = { 0 , 1 }B = { 0 , 1 }2.2. Aturan operator biner sebagai berikut:Aturan operator biner sebagai berikut:

aa bb a + a + bb

00 00 0000 11 1111 00 1111 11 11

aa a’a’00 1111 00

aa bb a . a . bb

00 00 0000 11 0011 00 0011 11 11

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :1.1. Closure, jelas terlihat pada tabel Closure, jelas terlihat pada tabel

aturan operasi biner berikut :aturan operasi biner berikut :aa bb a + a +

bb00 00 0000 11 1111 00 1111 11 11

aa bb a . a . bb

00 00 0000 11 0011 00 0011 11 11

Semua hasil operasinya bernilai 0 atau 1, dimana 0 dan 1 B

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :2.2. Identitas, jelas terlihat pada tabel Identitas, jelas terlihat pada tabel

aturan operasi biner berikut :aturan operasi biner berikut :aa bb a + a +

bb00 00 0000 11 1111 00 1111 11 11

aa bb a . a . bb

00 00 0000 11 0011 00 0011 11 11

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :3.3. Komutatif, jelas terlihat dari simetri Komutatif, jelas terlihat dari simetri

tabel aturan operasi biner berikut :tabel aturan operasi biner berikut :

aa bb A + A + BB

00 00 0000 11 1111 00 1111 11 11

aa bb A . A . BB

00 00 0000 11 0011 00 0011 11 11

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :4.4. Distributif a . (b + c) = (a . b) + (a . c), dapat Distributif a . (b + c) = (a . b) + (a . c), dapat

ditunjukkan benar berdasarkan tabel operator biner ditunjukkan benar berdasarkan tabel operator biner dengan membentuk tabel kebenaran berikut :dengan membentuk tabel kebenaran berikut :

aa bb cc b + b + cc

a . (b a . (b + c)+ c)

a . a . bb

a . a . cc

(a . b) + (a . b) + (a . c)(a . c)

00 00 00 00 00 00 00 0000 00 11 11 00 00 00 0000 11 00 11 00 00 00 0000 11 11 11 00 00 00 0011 00 00 00 00 00 00 0011 00 11 11 11 00 11 1111 11 00 11 11 11 00 1111 11 11 11 11 11 11 11

sama

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :4.4. Distributif a + (b . c) = (a + b) . (a + c), dapat Distributif a + (b . c) = (a + b) . (a + c), dapat

ditunjukkan benar berdasarkan tabel operator biner ditunjukkan benar berdasarkan tabel operator biner dengan membentuk tabel kebenaran berikut :dengan membentuk tabel kebenaran berikut :

aa bb cc b . b . cc

a + a + (b . c)(b . c)

a + a + bb

a + a + cc

(a + b) . (a (a + b) . (a + c)+ c)

00 00 00 00 00 00 00 0000 00 11 00 00 00 11 0000 11 00 00 00 11 00 0000 11 11 11 11 11 11 1111 00 00 00 11 11 11 1111 00 11 00 11 11 11 1111 11 00 00 11 11 11 1111 11 11 11 11 11 11 11

sama

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :4.4. Distributif (a . b) + c = (a + c) . (b + c), dapat Distributif (a . b) + c = (a + c) . (b + c), dapat

ditunjukkan benar berdasarkan tabel operator biner ditunjukkan benar berdasarkan tabel operator biner dengan membentuk tabel kebenaran berikut :dengan membentuk tabel kebenaran berikut :

aa bb cc a . a . bb

(a . b) (a . b) + c+ c

a + a + cc

b + b + cc

(a + c) . (b (a + c) . (b + c)+ c)

00 00 00 00 00 00 00 0000 00 11 00 11 11 11 1100 11 00 00 00 00 11 0000 11 11 00 11 11 11 1111 00 00 00 00 11 00 0011 00 11 00 11 11 11 1111 11 00 11 11 11 11 1111 11 11 11 11 11 11 11

sama

3. Memenuhi Postulat Huntington, 3. Memenuhi Postulat Huntington, buktinya :buktinya :5.5. Komplemen, diperlihatkan oleh tabel berikut:Komplemen, diperlihatkan oleh tabel berikut:

aa a’a’ a + a + a’a’

00 11 1111 00 11

aa a’a’ a . a . a’a’

00 11 0011 00 00

a + a’ = 1 a . a’ = 0

6.6. Postulat ke-6 dipenuhi, karena Postulat ke-6 dipenuhi, karena aljabar boolean dua nilai memiliki aljabar boolean dua nilai memiliki dua buah elemen yang berbeda yaitu 0 dua buah elemen yang berbeda yaitu 0 dan 1, dimana 0 ≠ 1dan 1, dimana 0 ≠ 1

Perjanjian !!!Perjanjian !!!

Selanjutnya, aljabar boolean

yang di maksud adalah aljabar boolean

dua nilai, OK ?!!!

Sesi pertanyaanSesi pertanyaan

@#$*@$&*#?!!!

Prinsip DualitasPrinsip DualitasJika S adalah kesamaan tentang aljabar boolean Jika S adalah kesamaan tentang aljabar boolean

yangyangmelibatkan operasi +, . , dan komplemen, maka jika melibatkan operasi +, . , dan komplemen, maka jika

S*S*diperoleh dengan cara mengganti :diperoleh dengan cara mengganti :

++ . ... + +00 1 111 0 0

Maka kesamaan S* juga benar.Maka kesamaan S* juga benar.S* merupakan dual dari SS* merupakan dual dari S

Sifat-sifat Aljabar BooleanSifat-sifat Aljabar Boolean1. Hukum identitas1. Hukum identitas

- a + 0 = a- a + 0 = a- a . - a . 1 1 = a= a

2. Hukum dominansi2. Hukum dominansi- - a . a . 0 = 00 = 0- a + - a + 1 1 = = 11

3. Hukum komplemen3. Hukum komplemen- a + a’ = - a + a’ = 11- a . a’ = 0- a . a’ = 0

4. Hukum involusi4. Hukum involusi- (a’)’ = a - (a’)’ = a

5. Hukum idempoten5. Hukum idempoten- a + a = a- a + a = a- a . a = a- a . a = a

6. Hukum penyerapan6. Hukum penyerapan- a + ( a . b ) = a- a + ( a . b ) = a- a . ( a + b ) = a- a . ( a + b ) = a

7. Hukum komutatif7. Hukum komutatif- a + b = b + a- a + b = b + a- a . b = b . a- a . b = b . a

8. Hukum De Morgan8. Hukum De Morgan- ( a + b )’ = a’ . - ( a + b )’ = a’ . b’b’- ( a . b )’ = a’ + - ( a . b )’ = a’ + b’ b’

Sifat-sifat Aljabar BooleanSifat-sifat Aljabar Boolean9. Hukum asosiatif9. Hukum asosiatif

- - a + (b + c)a + (b + c) = (a + b) + c = (a + b) + c- a . (b . c)- a . (b . c) = (a . b) . c= (a . b) . c

10. Hukum distributif10. Hukum distributif- a + (b . c) = (a + b) . (a + c)- a + (b . c) = (a + b) . (a + c)- a . (b + c) = (a . b) + (a . c)- a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

11. Hukum 0/111. Hukum 0/1- 0’ = 1- 0’ = 1- 1’ = 0 - 1’ = 0

Perjanjian !!!Perjanjian !!!

ab = a . b

Fungsi BooleanFungsi BooleanMerupakan ekspresi yang dibentuk oleh variabel Merupakan ekspresi yang dibentuk oleh variabel

boolean,boolean,operator boolean, komplemen, tanda kurung dan tanda operator boolean, komplemen, tanda kurung dan tanda

samasamadengan.dengan.

Variabel boolean adalah variabel yang nilainya Variabel boolean adalah variabel yang nilainya merupakanmerupakan

elemen dari himpunan B.elemen dari himpunan B.

Setiap variabel boolean termasuk komplemennya dalam Setiap variabel boolean termasuk komplemennya dalam fungsifungsi

boolean disebut sebagai boolean disebut sebagai literalliteral..

Contoh Fungsi BooleanContoh Fungsi Boolean

f ( x , y ) = x’ y + x y’ + y’f ( x , y ) = x’ y + x y’ + y’

Variabel

boolean

literal

suku

Contoh Fungsi BooleanContoh Fungsi Boolean

1.1. f (x) = xf (x) = x2.2. F (x,y) = x’y + xy’ + y’F (x,y) = x’y + xy’ + y’3.3. F (x,y) = x’y’F (x,y) = x’y’4.4. F (x,y) = (x + y)’F (x,y) = (x + y)’5.5. F (x,y,z) = xyz’F (x,y,z) = xyz’

Contoh Fungsi BooleanContoh Fungsi BooleanSelain secara aljabar, fungsi boolean dapat dinyatakan dengan menggunakanSelain secara aljabar, fungsi boolean dapat dinyatakan dengan menggunakantabel kebenaran.tabel kebenaran.Untuk fungsi dengan n variabel, maka kombinasi dari nilai variabelnya Untuk fungsi dengan n variabel, maka kombinasi dari nilai variabelnya

adalahadalahsebanyak 2sebanyak 2ⁿn..Maka tabel kebenaran untuk fungsi : h (x, y, z) = xyz’ adalah :Maka tabel kebenaran untuk fungsi : h (x, y, z) = xyz’ adalah :

xx yy zz z’z’ h (x, h (x, y, z)y, z)

00 00 00 11 0000 00 11 00 0000 11 00 11 0000 11 11 00 0011 00 00 11 0011 00 11 00 0011 11 00 11 1111 11 11 00 00

Contoh Fungsi BooleanContoh Fungsi BooleanFungsi boolean tidaklah unik, sehingga dua buah fungsi yang ekspresiFungsi boolean tidaklah unik, sehingga dua buah fungsi yang ekspresialjabarnya berbeda, mungkin saja merupakan dua buah fungsi yangaljabarnya berbeda, mungkin saja merupakan dua buah fungsi yangsama. Cara pembuktiannya bisa menggunakan tabel kebenaran.sama. Cara pembuktiannya bisa menggunakan tabel kebenaran.Buktikan bahwa : x’ y’ z + x’ yz + x y’ = x’ z + x y’Buktikan bahwa : x’ y’ z + x’ yz + x y’ = x’ z + x y’

xx yy zz xx’’

yy’’

zz’’

x’ x’ y’ zy’ z

x’ x’ yzyz

x y’x y’ x’ y’ z + x’ yz x’ y’ z + x’ yz + x y’+ x y’

x’ x’ zz

x x y’y’

x’ z + x x’ z + x y’y’

00 00 00 11 11 11 00 00 00 00 00 00 0000 00 11 11 11 00 11 00 00 11 11 00 1100 11 00 11 00 11 00 00 00 00 00 00 0000 11 11 11 00 00 00 11 00 11 11 00 1111 00 00 00 11 11 00 00 11 11 00 11 1111 00 11 00 11 00 00 00 11 11 00 11 1111 11 00 00 00 11 00 00 00 00 00 00 0011 11 11 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00

sama

Fungsi komplemenFungsi komplemenFungsi komplemen dari f, yaitu f ’ Fungsi komplemen dari f, yaitu f ’

dapatdapatdicari dengan cara mengganti :dicari dengan cara mengganti :

0 0 1 dan 1 1 dan 1 0 0

Ada 2 cara untuk membentuk fungsiAda 2 cara untuk membentuk fungsikomplemen, yaitu :komplemen, yaitu :1.1. Menggunakan hukum de Morgan,Menggunakan hukum de Morgan,2.2. Menggunakan prinsip dualitas.Menggunakan prinsip dualitas.

Fungsi komplemen,Fungsi komplemen,menggunakan hukum de morganmenggunakan hukum de morganUntuk dua buah variabel xUntuk dua buah variabel x11 dan x dan x22 : :

(x(x11 + x + x22) ’ = x) ’ = x11’ x’ x22’ dualnya (x’ dualnya (x11 . x . x22) ‘ = ) ‘ = xx11’ + x’ + x22’’

Untuk tiga buah variabel xUntuk tiga buah variabel x11, x, x22 dan x dan x33 : :(x(x11 + x + x22 + x + x33) ’ = (x) ’ = (x11 + y)’ + y)’ y = x y = x22 +x +x33

= x= x11’ y’’ y’= x= x11’ (x’ (x22 +x +x33) ‘) ‘= x= x11’ x’ x22’ x’ x33’ ’

Untuk n buah variabel xUntuk n buah variabel x11, x, x22, ... , x, ... , xnn : :(x(x11 + x + x22 + ... + x + ... + xnn ) ’ = x ) ’ = x11’ x’ x22’ ... x’ ... xnn’’

Dualnya :Dualnya :(x(x11 . x . x22 . ... x . ... xnn) = x) = x11 + x + x22 + ... +x + ... +xnn

Fungsi komplemen,Fungsi komplemen,menggunakan hukum de morganmenggunakan hukum de morgan

Contoh : f (x, y, z) = x (y’ z’ + Contoh : f (x, y, z) = x (y’ z’ + yz) yz) maka fungsi komplemennya (f ‘ (x, y, maka fungsi komplemennya (f ‘ (x, y, z) ) ?z) ) ?

Solusi :Solusi : f ‘ (x, y, z) = (x (y’ z’ + f ‘ (x, y, z) = (x (y’ z’ + yz))‘yz))‘ = x’ + (y’ z’ + yz)’= x’ + (y’ z’ + yz)’ = x’ + (y’ z’)’ . (yz)’= x’ + (y’ z’)’ . (yz)’ = x’ + (y + z) . (y’ + z’)= x’ + (y + z) . (y’ + z’)

Fungsi komplemen,Fungsi komplemen,menggunakan prinsip dualitasmenggunakan prinsip dualitas

Langkah-langkahnya :Langkah-langkahnya :1.1. Cari dual dari fungsi tersebutCari dual dari fungsi tersebut2.2. Komplemenkan setiap literal yang Komplemenkan setiap literal yang

ada dalam fungsi dualnya.ada dalam fungsi dualnya.

Fungsi komplemen,Fungsi komplemen,menggunakan prinsip dualitasmenggunakan prinsip dualitas

Contoh : f (x, y, z) = x (y’ z’ + yz) Contoh : f (x, y, z) = x (y’ z’ + yz) maka fungsi komplemennya (f ‘ (x, y, maka fungsi komplemennya (f ‘ (x, y, z) ) ?z) ) ?

Solusi :Solusi :1.1. Cari dual dari f :Cari dual dari f :

f ‘ (x, y, z) = x + (y’ + z’) . (y + z)f ‘ (x, y, z) = x + (y’ + z’) . (y + z)2.2. Komplemenkan setiap literal dari dual Komplemenkan setiap literal dari dual

tersebut :tersebut :f ‘ (x, y, z) = x’ + (y + z) . (y’ + f ‘ (x, y, z) = x’ + (y + z) . (y’ + z’)z’)

Sesi pertanyaanSesi pertanyaan

@#$*@$&*#?!!!

LatihanLatihan

Cari fungsi komplemen dari fungsi Cari fungsi komplemen dari fungsi berikut : berikut :

f (x, y) = x ( x’ + y)f (x, y) = x ( x’ + y) F (x, y, z) = y’ (xz’ + z + x’ F (x, y, z) = y’ (xz’ + z + x’

z’)z’) F (w, x, y, z) = w’ z + w (xy + F (w, x, y, z) = w’ z + w (xy +

x’y z)x’y z)

PenutupPenutup

Sampai jumpaMinggu

depan ...