Peramalan Penjualan Speedy di daerah Gegerkalong Bandung dengan menggunakan metode box-jenkins

PERAMALAN PENJUALAN SPEEDY DENGAN

MENGGUNAKAN METODE BOX-JENKINS

MAKALAH disusun untuk memenuhi Ujian Akhir Semester mata kuliah Metode Runtun Waktu

Disusun oleh :

ASEP RIDWAN LUBIS

NIM : 1205344

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2015

i

KATA PENGANTAR

Puji Syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, Allah SWT dengan karunianya

saya selaku penulis makalah ini diberikan kekuatan mulai dari mencari data, mengolah

data hingga akhirnya terbentuk suatu makalah ini.

Sekilas tentang laporan peramalan yang ditulis dalam judul “Peramalan

Penjualan Speedy dengan menggunakan metode Box-Jenkins” menyajikan tentang

suatu metode peramalan menggunakan metode Box-Jenkins yang biasa digunakan

untuk meramalkan data runtun waktu.

Data yang digunakan dalam peramalan ini yaitu penjualan speedy di daerah

Gegerkalong-Bandung yang didapatkan dari PT Telekomunikasi Indonesia Tbk yang

terdapat pada suatu skripsi berjudul “Generalized Space Time Autoregressive” karya

Gabriel Novianti.

Pada Bagian Landasan Teori, dijelaskan Metode Box-Jenkins mulai dari

penentuan model, estimasi parameter, verifikasi model lalu difiksasi suatu model

berdasarkan prinsip Parsimony. Selain makalah ini menjadi laporan tentang

peramalan, diharapkan juga menjadi referensi materi untuk kegiatan perkuliahan

Metode Runtun Waktu.

Tidak lupa saya ucapkan terimakasih kepada dosen pengampu Entit Puspita,

S.Pd.,M.Si yang senantiasa membimbing penulisan makalah ini.

Terakhir, tidak ada gading yang tidak retak karya tulis ini masih banyak

kekurangan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca memberikan masukan yang

membangun kepada penulis.

ii

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR .............................................................................................................. i DAFTAR ISI .......................................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .......................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah .................................................................................... 2 1.3 Batasan Masalah ...................................................................................... 2 1.4 Tujuan Penulisan ...................................................................................... 2 1.5 Sistematika Penulisan ............................................................................... 3

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu ................................................................... 4 2.1.1 Stasioneritas ................................................................................ 5 2.1.2 Fungsi Autokorelasi (FAK) ............................................................ 5 2.1.3 Fungsi Autokorelasi Parsial (FAKP) .............................................. 6 2.1.4 Proses white noise ....................................................................... 6

2.2 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Stasioner ............................... 7 2.2.1 Proses Autoregressive (AR) ......................................................... 9 2.2.2 Proses Moving Average (MA) ...................................................... 10 2.2.3 Proses Autoregressive Moving Average (ARMA) ........................ 12

2.3 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Nonstasioner ......................... 12 2.4 Pembentukan Model Runtun Waktu Box-Jenkins .................................... 14

2.4.1 Identifikasi Model ........................................................................ 14 2.4.2 Estimasi Parameter dalam Model ............................................... 15 2.4.3 Verifikasi Model .......................................................................... 16

2.5 Peramalan (Forecasting) ........................................................................... 18 BAB III PENGOLAHAN DATA

3.1 Proses pengolahan di Minitab .................................................................. 19 3.2 Identifikasi model ..................................................................................... 25 3.3 Estimasi Parameter .................................................................................. 26 3.4 Verifikasi model ......................................................................................... 29 3.5 Peramalan ................................................................................................ 36

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan ............................................................................................... 38 4.2 Saran ......................................................................................................... 38

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 39

LAMPIRAN .......................................................................................................................... 40

1 | P e r a m a l a n P e n j u a l a n S p e e d y

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan teknologi dan informasi berbasis internet sangat cepat.

Internet merupakan jaringan komputer seluruh dunia yang diatur oleh server

sehingga para pengguna internet bisa mengirim dan menerima e-mail, unduh

berbagai konten keilmuan, hiburan, dan lain-lain.

Di Indonesia, salah satu perusahaan penyedia layanan internet yaitu PT.

Telekomunikasi Indonesia Tbk. Salah satu penyediaan jasa koneksi internet yang

ditawarkan perusahaan tersebut diberi nama speedy. Dengan produk speedy

komputer personal dapat dihubungkan dengan jaringan internet. Berikut penjelasan

yang saya kutip dari situs telkomspeedy.com

Speedy merupakan layanan broadband akses internet dari Telkom Indonesia

berkualitas tinggi bagi perumahan serta SME (Small Medium Enterprise). Speedy

menggunakan teknolgi ADSL (Asymmetric Digital Line Subcriber), MSAN (Multi Service

Acces Node), dan GPON (Gigabit Passive Optical Network), yang menghantarkan

sinyal digital berkecepatan tinggi melalui jaringan telepon secara optimal bagi

keperluan konsumsi konten internet, kecepatan data minimal 512kbps (PT

Telekomunikasi Indonesia Tbk, n.d.).

Salah satu daerah di kota Bandung, Gegerkalong menjadi kota tujuan saya

untuk melakukan peramalan penjualan speedy karena daerah ini sangat potensial

untuk lebih dikembangkan bisnis pemasangan produk internet speedy. Gegerkalong

menjadi pusat kampus Universitas Pendidikan Indonesia dan semakin banyak kantor

didirikan tidak hanya itu, kompleks pondok pesantren Daarut Tauhiid juga berpusat

di daerah ini.

Metode peramalan data berdasarkan analisis data runtun waktu yang dicatat

per hari dengan menggunakan metode Box-Jenkins. Proses peramalan ini dibantu


dengan menggunakan software Minitab versi 16. Data penjualan speedy berasal dari

PT. Telekomunikasi Indonesia Tbk. Dengan dilakukan peramalan maka bisa diketahui

perkiraan banyak produk speedy yang terjual pada hari-hari berikutnya.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada

makalah ini adalah sebagai berikut :

1) Bagaimana mengidentifikasi model penjualan speedy di daerah

gegerkalong?

2) Bagaimana mengestimasi parameter dalam model penjualan speedy di

daerah gegerkalong?

3) Bagaimana memverifikasi model penjualan speedy di daerah

gegerkalong?

4) Bagaimana meramalkan penjualan speedy per hari selama satu bulan di

daerah gegerkalong?

1.3 Batasan Masalah

Dalam makalah ini, masalah akan dibatasi pada peramalan berdasakan data

yang memenuhi stasioneritas dengan metode Box-Jenkins, yaitu model

Autoregressive (AR), Moving Average (MA) dan autoregressive Moving Average

(ARMA).

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan makalah ini sebagai berikut :

1) Mengidentifikasi model dari data runtun waktu.

2) Mengestimasi parameter dalam model.

3) Memverifikasi model penjualan speedy di daerah gegerkalong

4) Meramalkan penjualan speedy per hari selama satu bulan di daerah

gegerkalong


1.5 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.2 Rumusan Masalah

1.3 Batasan Masalah

1.4 Tujuan Penulisan

1.5 Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu

2.2 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Stasioner

2.3 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Nonstasioner

2.4 Pembentukan Model Runtun Waktu Box-Jenkins

2.5 Peramalan (Forecasting)

BAB III PENGOLAHAN DATA

3.1 Proses pengolahan di Minitab

3.2 Identifikasi model

3.3 Estimasi Parameter

3.4 Verifikasi model

3.5 Peramalan

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan

4.2 Saran


BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Konsep Dasar Runtun Waktu

Runtun waktu adalah serangkaian data hasil pengamatan suatu peristiwa,

kejadian, gejala, atau variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat menurut

urutan waktu terjadinya kemudian disusun sebagai data statistik. Ciri-ciri analisis

runtun waktu yang menonjol adalah bahwa deretan observasi pada suatu variabel

dipandang sebagai realisasi dari variabel random berdistribusi bersama. (Zanzawi

Soejati, 1987).

Jenis runtun waktu dilihat dari polanya :

1) Runtun waktu deterministik

Jika dari sejarah data masa lalu keadaan yang akan datang dari suatu runtun

waktu dapat diramalkan dengan pasti.

2) Runtun waktu stokastik

Jika dari sejarah data masa lalu keadaan yang akan datang suatu runtun waktu

hanya dapat menentukan struktur probabilistik keadaan yang akan datang, maka

runtun waktu tersebut disebut stokastik (statistik). Runtun waktu statistik dapat

dianggap sebagai realisasi dari suatu proses stokastik (statistik), yaitu proses di

mana seseorang tidak bisa memperoleh himpunan observasi serupa seperti yang

sudah diperolehnya.

Menurut , ada beberapa faktor yang mempengaruhi data masa lalu, yaitu

1) Trend adalah suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara

umum baik yang mengalamai pertumbuhan ataupun yang mengealami

penurunan. Bentuk pola ini terjadi apabila penurunan atau kenaikan data

berlangsung lama.

2) Variasi musiman menunjukkan perubahan yang berulang secara periodik dalam

runtun waktu. Gerakan musiman sering dijumpai pada data kuartalan, bulanan,

atau mingguan.


3) Gerak siklis yang sering juga disebut siklis bisnis. Gerak siklis menunjukkan

ekspansi dan penurunan aktivitas bisnis disekitar nilai normal. Panjang dari setiap

siklis relatif pendek dan tidak tetap.

2.1.1 Stasioneritas

Setelah kita mengetahui beberapa faktor yang memepengaruhi masa lalu kita

dapat mengklasifikasikan data yaitu : data stasioner dan data non stasioner. Secara

umum, data stasioner adalah data yang tidak mengalami ketiga faktor diatas sehingga

data runtun waktu tersebut tidak terjadi trend, variasi musiman atau gerak siklis. Data

nonstasioner adalah data runtun waktu yang mengalami trend, variasi musiman atau

gerak siklis.

Suatu data dikatakan stasioner jika data tersebut mempunyai nilai rata-rata

dan variansi yang relatif konstan dari waktu ke waktu. Sebaliknya, data yang tidak

stasioner mempunyai rata-rata dan variansi yang tidak konstan atau berubah

dikarenakan beberapa faktor yang mempengaruhi data masa lalu.

Syarat stasioner dibutuhkan agar kita bisa melakukan peramalan

menggunakan metode Box-Jenkins.

2.1.2 Fungsi Autokorelasi (FAK)

Fungsi autokorelasi digunakan untuk menghitung koefisien korelasi yang

berurutan dalam runtun waktu dengan selisih waktu (lag) 0, 1, 2 periode atau lebih,

ditulis {𝜌𝑘: 𝑘 = 1,2, … } dengan 𝜌0 = 1. Autokorelasi lag ke-𝑘 didefinisikan sebagai :

𝜌𝑘 =𝐶𝑜𝑣(𝑍𝑡, 𝑍𝑡−𝑘)

√𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡)√𝑉𝑎𝑟(𝑍𝑡−𝑘)=

𝛾𝑘

𝜆𝑜

Pada umumnya, 𝜇 dan 𝛾𝑘 ditaksir oleh

�� = �� =1

𝑛∑ 𝑍𝑡

𝑛𝑡=1 dan 𝑌�� = 𝐶𝑘 =

1

𝑛∑ (𝑍𝑡 − ��)(𝑍𝑡−𝑘 − ��)𝑛

𝑡=1 ,

sehingga autokorelasi lag ke-𝑘 ditaksir oleh:

𝜌�� = 𝑟𝑘 =𝐶𝑘

𝐶𝑂


Untuk runtun waktu stasioner yang normal, Bartlett menyatakan bahwa variansi 𝑟𝑘

dirumuskan sebagai:

𝑉𝑎𝑟(𝑟𝑘) ≈1

𝑛(1 + 2∑ 𝑟𝑖

2𝑘

𝑖=1)

Dan akar positifnya adalah sesatan standar 𝑟𝑘 untuk lag besar.

2.1.3 Fungsi Autokorelasi Parsial (FAKP)

Fungsi autokorelasi parsial (fakp) adalah himpunan autokorelasi parsial untuk

berbagai lag, ditulis {𝜙𝑘𝑘, 𝑘 = 1, 2, … }.

Matriks autokorelasi berukuran N didefinisikan oleh:

PN =

[

1ρ1

ρ2

ρ3

⋮ρN−1

ρ1

1ρ1

ρ2

⋮ρN−2

ρ2

ρ1

1ρ1

⋮ρN−3

ρ3

ρ2

ρ1

1⋮

ρN−4

…………⋱…

ρN−1

ρN−2

ρN−3

ρN−4

⋮1 ]

Autokorelasi parsial lag ke- dinotasikan oleh ϕkk yang didefinisikan oleh: ϕkk =|Pk

∗|

|Pk|

, di mana Pk∗ adalah Pk dengan kolom terakhir di ganti oleh [

ρ1

ρ2

⋮ρk

]

Untuk lag yang cukup besar, Quinouille menyatakan bahwa:

Var(ϕkk) ≈1

N

Jika |rk| < 2𝑆𝐸(rk), maka fakp tidak berbeda secara segnifikan dengan nol (terputus

setelah lag ke-𝑘).

2.1.4 Proses white noise

White noise adalah proses yang dibentuk oleh variabel random berdistribusi

independen identik normal dengan rata-rata nol dan variansinya konstan yang dapat

ditulis sebagai:

𝑎𝑡 ∼ 𝑁(0, 𝜎𝑎2)


dari pengertian tersebut white noise adalah stasioner dengan fungsi autokovariansi

𝛾𝑘 = {𝜎𝑎

2, 𝑘 = 00, 𝑘 ≠ 0

fungsi autokorelasi

𝛾𝑘 = {1, 𝑘 = 00, 𝑘 ≠ 0

dan fungsi autokorelasi parsialnya

𝛾𝑘 = {1, 𝑘 = 00, 𝑘 ≠ 0

Residual dari model diharapkan bersifat white noise artinya residual tersebut

berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan variansinya konstan. Jika residual

bersifat white noise, maka residual hanya merupakan suatu proses gangguan kecil

yang tidak perlu diperhatikan.

2.2 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Stasioner

Metode Box-jenkins untuk analisis runtun waktu menggunakan operator

backshift B yang didefinisikan sebagai

B𝑧𝑡 = 𝑧𝑡−1

dan operator differensi yang didefinisikan sebagai

zt = 𝑧𝑡 − 𝑧𝑡−1 = (1 − B) 𝑧𝑡

dengan demikian kedua operator ini memiliki hubungan

= (1 − B)

Bentuk linier umum yang sering dijumpai dalam pemodelan runtun waktu :

(B)zt = (B) 𝑎𝑡 (1)

(B) dan (B) adalah polinom

𝑧𝑡 adalah runtun waktu

𝑎𝑡 adalah runtun getaran yang dibangkitkan oleh suatu proses white noisse


White noisse adalah suatu proses yang independen dan berdistribusi normal

dengan mean 0 dan variansinya konstan

𝑎𝑡~𝑁(0, 𝜎𝑎2)

Bentuk persamaan (1) dapat dituliskan sebagai

𝑧𝑡= = φ(B) at , (2)

dengan φ(B) =(B)

(B)

φ(B) dapat dianggap bahwa runtun waktu 𝑧𝑡 dihasilkan dengan melewatkan

𝑎𝑡 mealui linier filter dengan fungsi transfer φ(B).

Representasi bentuk (2) disajikan dalam bentuk :

𝑧𝑡 = 𝜇 + 𝑎𝑡 + 𝜑1𝑎𝑡−1 + 𝜑2𝑎𝑡−2 + ⋯ (3)

Keterangan :

𝜇 = rata-rata proses

𝑧𝑡 = 𝜇 + (𝑎𝑡 + 𝜑1𝐵𝑎𝑡 + 𝜑2𝐵2𝑎𝑡 + ⋯)

𝑧𝑡 = 𝜇 + (1 + 𝜑1𝐵 + 𝜑2𝐵2 + ⋯)𝑎𝑡

𝑧𝑡 = 𝜇 + 𝜑(𝐵)𝑎𝑡

𝑧𝑡 − 𝜇 = 𝜑(𝐵)𝑎𝑡

zt = 𝜑(𝐵)𝑎𝑡

Umumnya ditulis zt = zt dengan asumsi 𝜇 = 0

Pandang 𝜑(𝐵) = (1 + 𝜑1𝐵 + 𝜑2𝐵2 + ⋯)

Pada praktiknya 𝜑1, 𝜑2, 𝜑3, … dapat berhingga/ tak berhingga. Jika

𝜑1, 𝜑2, 𝜑3, … berhingga atau tidak berhingga tetapi konvergen maka fungsi transfer

tersebut disebut stabil, dan runtun waktu yang dihasilkannya dikatakan stasioner.

Dari bentuk (3) dapat dikatakan bahwa zt dapat dinyatakan sebagai jumlah terboboti

proses white noise sekarang dan yang lalu.

Bentuk (1) dapat juga disajikan dalam bentuk :

𝜋(𝐵)𝑧𝑡 = 𝑎𝑡 (4)

Representasi (4) adalah


𝑧𝑡 − 𝜋1𝑧𝑡−1 − 𝜋2𝑧𝑡−2 − ⋯ = 𝑎𝑡

𝑧𝑡 = 𝜋1𝑧𝑡−1 + 𝜋2𝑧𝑡−2 + ⋯+ 𝑎𝑡

Dapat dikatakan bahwa zt diregresikan kepada nilai 𝑧𝑡−1, 𝑧𝑡−2 , …

Model zt = 𝜑(𝐵)𝑎𝑡 dikatakan invertible jika disajikan dalam bentuk 𝜋(𝐵)𝑧𝑡 jika

𝜋1 , 𝜋2 , . .. merupakan deret yang konvergen.

Hubungan antara 𝜋(𝐵) dan 𝜑(𝐵)

Jika bentuk (2) dikalikan dengan 𝜋(𝐵) maka

𝜋(𝐵)𝑧𝑡 = 𝜋(𝐵) 𝜑(𝐵)𝑎𝑡

dari bentuk (4) 𝜋(𝐵)𝑧𝑡 = 𝑎𝑡

𝑎𝑡 = 𝜋(𝐵) 𝜑(𝐵)𝑎𝑡

𝜋(𝐵)𝜑(𝐵) = 1

𝜋(𝐵) =1

𝜑(𝐵)

2.2.1 Proses Autoregressive (AR)

Proses Autoregressive (AR) pertama kali dikembangkan oleh Yule pada tahun

1926 dan kemudian dikembangkan oleh Walker pada tahun 1931.

Bentuk umum dari proses AR tingkat p, ditulis AR (p) adalah

𝑧𝑡 = 𝜙1𝑧𝑡−1 + 𝜙2𝑧𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝𝑧𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡

atau

𝜋(𝐵)𝑧𝑡 = 𝑎𝑡

di mana 𝑎𝑡~𝑁(0, 𝜎𝑎2).

1) AR (1)

Bentuk umum dari proses AR (1) adalah

𝑧𝑡 = 𝜙𝑧𝑡−1 + 𝑎𝑡

Variansi dari 𝑧𝑡 adalah 𝜎𝑧2 =

𝜎𝑎2

1−𝜙2, sehingga daerah stasioneritas untuk proses AR (1)

harus memenuhi −1 < 𝜙 < 1. Adapun ciri dari proses AR(1) yaitu:


Fak untuk AR(1) adalah ρk = ϕk. Pada selang −1 < 𝜙 < 0, fak akan turun

berganti tanda secara eksponensial menuju nol, sedangkan pada selang 0 <

𝜙 < 1, fak turun secara eksponensial tanpa berganti tanda.

Fakp terputus setelah lag ke-1

(𝜙11 = 𝜌1 = 𝜙, 𝜙𝑘𝑘 = 0; 𝑘 ≥ 2).

2) AR (2)

Bentuk umum dari proses AR(2) adalah

𝑧𝑡 = 𝜙1𝑧𝑡−1 + 𝜙2𝑧𝑡−2 + 𝑎𝑡

Varians dari zt adalah σz2 =

(1−ϕ2)σa2

(1−ϕ2)(1−ϕ1−ϕ2)(1+ϕ1−ϕ2) , sehingga daerah stasioneritas

untuk proses AR(2) harus memenuhi berikut:

−1 < ϕ2

ϕ1 + ϕ2 < 1

−ϕ1 + ϕ2 < 1

Adapun ciri dari AR(2) adalah:

Fak untuk AR(2) adalah ρk = ϕ1ρk−1 + ϕ2ρk−2, turun secara eksponensial

menuju nol.

Fakp terputus setelah lag ke-2 (ϕ11 =ϕ1

1−ϕ2 , ϕ22 = ϕ2, ϕkk = 0; k ≥ 3)

Secara umum, ciri teoritik proses AR(p) adalah:

Fak turun secara eksponensial menuju nol.

Fakp terputus setelah lag ke-p.

2.2.2 Proses Moving Average (MA)

Proses Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky pada tahun

1927(Wei,2006). Bentuk umum dari proses MA tingkat q, ditulis MA(q) adalah

𝑧𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝜃1𝑎𝑡−1 + 𝜃2𝑎𝑡−2 + ⋯+ 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞

atau


𝑧𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡, di mana 𝑎𝑡~𝑁(0, 𝜎𝑎2)

Jika q berhingga, maka runtun waktu tersebut selalu stasioner. Bentuk 𝑧𝑡 =

𝜃(𝐵)𝑎𝑡 dapat ditulis sebagai 𝜃(𝐵)−1𝑧𝑡 = 𝑎𝑡 atau (1 − 𝜋1𝐵 − 𝜋2𝐵2 − ⋯)𝑧𝑡 = 𝑎𝑡.

Jika 𝜋1, 𝜋2, … merupakan deret yang konvergen, maka proses MA (q) tersebut

dikatakan invertibel (dapat dibalik).

Dengan kata lain, proses MA ekivalen dengan proses AR, yaitu :

MA (q) dengan model 𝑧𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡 ekivalen dengan proses AR 𝜋(𝐵)𝑧𝑡 =

𝑎𝑡 dengan orde ~

AR (p) dengan model π(B)zt = at ekivalen dengan proses MA zt = θ(B)at

dengan orde ~

1) MA (1)

Bentuk umum dari proses MA (1) adalah

𝑧𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝜃𝑎𝑡−1

Adapun ciri dari proses MA (1) , yaitu :

a) Fak terputus setelah lag ke-1 (ρ1 =θ

1+θ2 , ρk = 0; k ≥ 2).

b) Fakp untuk proses MA (1) adalah ϕkk =(-1)k-1θk(1-θ2)

1-θ2(k+1) , turun secara

geometris menuju nol.

c) Daerah invertibel memenuhi −1 < 𝜃 < 1

2) MA (2)

Bentuk umum dari proses MA (2) adalah

𝑧𝑡 = 𝜃1𝑎𝑡−1 + 𝜃2𝑎𝑡−2 + 𝑎𝑡

Adapun ciri dari proses MA (2) , yaitu :

a. Fak terputus setelah lag ke-2


(ρ1 =θ1 + θ1θ2

1 + θ12 + θ2

2 , ρ2 =θ2

1 + θ12θ2

2 , ρk = 0; k ≥ 3)

b. Fakp turun secara geometris menuju nol.

c. Daerah invertibel memenuhi :

−1 < −θ2

−θ1 − θ2 < 1

θ1 − θ2 < 1

Secara umum, ciri teoritik proses MA (q) adalah:

Fak terputus setelah lag ke-q

Fakp turun secara geometris menuju nol.

2.2.3 Proses Autoregressive Moving Average (ARMA)

Model ARMA (p,q) adalah model campuran yang merupakan perluasan dari model

Autoregressive (AR(p)) dan model Moving Average (MA(q)). Dasar-dasar teoritis ARMA

pertama kali digunakan oleh Wold pada tahun 1938.

dituliskan ARMA(p, q). Bentuk umum dari proses ARMA(p, q) adalah

zt = ϕ1zt−1 + ⋯+ ϕpzt−p + 𝑎𝑡 + θ1𝑎𝑡−1 + ⋯+ θq𝑎𝑡−𝑞 ............. (5)

Bentuk (5) dapat ditulis sebagai

𝜙(𝐵)𝑧𝑡 = 𝜃(𝐵)𝑎𝑡

Untuk stasioneritas dan invertibilitas harus memenuhi −1 < 𝜙 < 1 dan −1 <

𝜃 < 1. Adapun ciri teoritik dari proses ARMA(p, q) adalah:

Fak dari proses ARMA(p, q) menyerupai fak dari proses AR(p), yakni turun

secara ekponensial menuju nol.

Fakp dari proses ARMA(p, q) menyerupai fakp dari proses MA(q), yakni turun

menuju nol.

2.3 Model-Model Runtun Waktu Box-Jenkins Nonstasioner

Pada kenyataannya sangat jarang sekali ditemui data runtun waktu yang

stasioner, namun stasioneritas merupakan asumsi penting pada pemodelan runtun

waktu. Model ARIMA merupakan bentuk model untuk runtun waktu nonstasioner.


Biasanya, runtun waktu nonstasioner disebabkan karena runtun waktu mempunyai

rata-rata yang tidak tetap atau terjadi trend selama selang waktu tertentu.

Adapun runtun waktu nonstasioner homogen adalah runtun waktu yang

walaupun bergerak bebas pada suatu lokasi tetapi gerakannya pada lokasi lain pada

dasarnya sama. Runtun waktu ini ditandai oleh suatu runtun waktu di mana selisih

data yang berurutannya adalah stasioner. Banyaknya penyelisihan yang dilakukan

dinotasikan dengan 𝑑.

Misalkan runtun waktu stasioner 𝑤𝑡 adalah runtun waktu stasioner,

𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛−1 adalah data runtun waktu selisih pertama.

Misalkan kita memiliki model ARMA (p, q)

wt = ϕ1wt−1 + ⋯+ ϕpwt−p + 𝑎𝑡 + θ1𝑎𝑡−1 + ⋯+ θq𝑎𝑡−𝑞 ............ (6)

dan misalkan data para wt diperoleh dari selisih data para zt yang tidak stasioner (data

mentah). Karena, wt = zt − zt−1, maka persamaan bentuk (6) dapat ditulis sebagai

zt = (1 + ϕ1)zt−1 + (ϕ1 − ϕ2)zt−2 + ⋯− ϕpzt−p−1 + 𝑎𝑡 + θ1𝑎𝑡−1 + ⋯+ θq𝑎𝑡−𝑞

................................................... (7)

Persamaan bentuk (7) disebut dengan persamaan differensi.

Dari bentuk wt = zt − zt−1 diperoleh zt = wt + zt−1, zt−1 = wt−1 + zt−2,

zt−2 = wt−2 + zt−3, ... , sehingga zt = wt + wt−1 + wt−2 + ⋯. Sehingga runtun

waktu nonstatsioner zt disebut dengan Integrated Auto Regressive Moving AverageI

(ARIMA), dituliskan ARIMA(p, d,q). Bentuk umum proses ARIMA(p,d,q) adalah

φ(B)zt = θ(B)at

Secara umum, ARIMA (p, d, q) adalah runtun waktu nonstasioner yang jika

diselisihkan 𝑑 kali menjadi stasioner dengan model ARMA(p,q).

wt = ∇d zt

Adapun ciri teoritik untuk runtun waktu nonstasioner adalah:

Plot data tidak berfluktuasi (memiliki trend untuk selang yang cukup lebar).


Fak turun secara lambat dan cenderung linier.

Pada grafik fakp, hanya ϕ11 yang nilainya mendekati 1 atau −1, sedangkan

yang lainnya tidak berbeda secara signifikan dengan nol.

2.4 Pembentukan Model Runtun Waktu Box-Jenkins

Langkah-langkah pembentukan model secara iteratif adalah sebagai berikut :

2.4.1 Identifikasi Model

Identifikasi model bertujuan untuk menentukan model yang merupakan

representasi data runtun waktu Z1, 𝑍2, … , Zn. Adapun langkah-langkah yang dilakukan

sebagai berikut:

1. Menentukan rata-rata dan varians dari data runtun waktu.

2. Menentukan fak beserta 2𝑆𝐸(𝜌𝑘) dari data runtun waktu.

3. Menentukan fakp beserta 2𝑆𝐸(𝜙𝑘𝑘) dari data runtun waktu.

4. Membandingkan fak dan fakp data runtun waktu dengan fak dan fakp teoritik.

Berikut ini adalah tabel pendekatan {rk} dan {ϕkk} untuk berbagai model.

Pendekatan Model

ϕkk~N(0,1

N) , k > 𝑝 AR(p)

rk~N(0,1

N(1 + 2∑ri

2

q

i=1

)) MA(q)

Baik ϕkk maupun rk tidak teputus ARMA(p, q)

Sebelum pemodelan dilakukan, hal berikut adalah mutlak diperlukan.

a. Plot data untuk melihat kestasioneran data.

b. Grafik dari distribusi frekuensi untuk melihat asumsi normalitas.

c. Informasi lain (kemiringan, keruncingan, dll).


Jika E(zt) = z ≠ 0, maka model dituliskan sebagai zt = zt − z, sehingga

perlu diuji apakah z = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah

H0 ∶ z = 0 (rata-rata tidak berbeda secara signifikan dengan 0)

H1 ∶ z ≠ 0 (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)

Kriteria:

Tolak H0 , jika |z| > 2𝑆𝐸(z) (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)

Tabel: nilai pendekatan Var(z) untuk proses ARMA(p, q) dengan p + q ≤ 2.

Model Pendekatan

AR(1) C0(1 + r1)

N(1 − r1)

MA(1) C0(1 + 2r1)

N

AR(2) C0(1 + r1)(1 − 2r1

2 + r2)

N(1 − r1)(1 − r2)

MA(2) C0(1 + 2r1 + 2r2)

N

ARMA(1, 1) C0

N(1 +

2r12

r1 − r2)

2.4.2 Estimasi Parameter dalam Model

Setelah beberapa model di identifikasi, langkah selanjutnya adalah

menentukan estimasi terbaik (paling efesien) untuk setiap parameter yang tedapat

pada model. Estimasi yang efisien yaitu estimasi yang meminimumkan kuadrat selisih

antara nilai parameter taksiran dengan nilai parameter sebenarnya. Untuk data yang

cukup banyak, estimasi yang efesien adalah estimasi yang memaksimumkan fungsi

Likelihood.


Diperlukan taksiran interval untuk estimasi parameter. Di sini perlu diuji

apakah θ dan ϕ berbeda secara signifikan dengan nol. Jika |θ| < 2𝑆𝐸(θ), maka θ

tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Begitu pula jika |ϕ| < 2𝑆𝐸(ϕ), maka ϕ

tidak berbeda secara signifikan dengan nol.

Tabel: Daerah diterima, estimasi awal beberapa proses

Proses Daerah diterima Estimasi awal

AR(1) −1 < r1 < 1 ϕ0 = r1

AR(2)

−1 < r2 < 1

r12 <

1

2(r2 + 1)

ϕ0 =r1(1 − r2)

1 − r12

ϕ0 =r2 − r1

2

1 − r12

MA(1) −0,5 < r1 < 0,5 θ0 =1 − √1 − 4r12

2r1

ARMA(1, 1) 2r12 − |r1| < r2 < |r1|

ϕ0 =r2

r1

θ0 =(b±√b2−4)

2, dengan

b =(1 − 2r2 + ϕ0

2)

r1 − ϕ0

dimana |ϕ0| < 1

2.4.3 Verifikasi Model

Langkah selanjutnya adalah verifikasi, yaitu memeriksa apakah model yang

diestimasi cukup sesuai dengan data yang dimiliki. Verivikasi model dilakukan dengan

membandingkan nilai dari masing-masing model tentatif yang didapatkan yang

kemungkinan sesuai dengan data. Jika terjadi penyimpangan yang cukup serius, maka

model baru harus dirumuskan kembali. Langkah-langkah yang harus dilakukan pada

tahap verifikasi adalah sebagai berikut:

1. Uji Keberartian Koefisien

Hipotesis yang harus diuji adalah

H0 ∶ koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.


H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.

Adapun kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah.

Tolak H0 , jika :

|ϕ| > 2𝑆𝐸(ϕ)

|θ| > 2𝑆𝐸(𝜃)

Tolak H0 , jika 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 5%

2. Nilai Variansi Sesatan

Nilai variansi sesatan bisa langsung dilihat dari output Minitab 16 atau dihitung

dengan menggunakan rumus

𝜎𝑎2 =

𝑆𝑆−𝑀𝑆

𝐷𝐹

SS : Kuadrat jumlah (Sum Square)

MS : Kuadrat rata-rata (Mean Square)

DF : Derajat kebebasan (Degree Free)

3. Uji Kecocokan (lack of fit)

Hipotesis yang diuji

H0 ∶ Model sesuai

H1 ∶ Model tidak sesuai

Dengan statistik uji:

R =1

N∑ri

2

k

i=1

ri menyatakan fak lag ke-I dan 𝑘 menyatakan berapa banyak lag yang

dipertimbangkan. Kemudian membandingkan dengan statistik tabel

R~ χ2(k−p−q)


Adapun kriteria uji kecocokan adalah sebagai berikut.

Tolak H0 jika χhit2 > χtabel

2 , atau

Tolak H0 jika 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 5%

Jika pada langkah verifikasi menghasilkan lebih dari satu model cocok dengan

data maka dalam penentuan model terbaik digunakan prinsip parsimony, yaitu

dengan memilih model yang paling sederhana.

2.5 Peramalan (Forecasting)

Langkah terakhir dari sebuah pemodelan adalah peramalan beberapa periode

ke depan. Artinya, berdasarkan model yang paling sesuai, ingin ditentukan distribusi

bersyarat observasi yang akan datang berdasarkan pola data masa lalu. Model yang

diturunkan dari data runtun waktu bukan merupakan model yang sebenarnya, tetapi

hanya merupakan pendekatan yang tentunya memiliki kesalahan baik pada tahap

identifikasi maupun tahap estimasi.

Sebuah ide yang mengilhami harga harapan bersyarat dipertimbangkan

sebagai metode peramalan adalah karena harapan bersyarat merupakan sebuah nilai

yang memiliki sifat-sifat yang baik, yaitu memiliki sesan kuadrat rata-rata minimum,

artinya jika terdapat penaksir yang lain maka dia akan memilliki sesatan yang

kuadratnya lebih besar.

zt(k) = E( zt+k| z1, z2, … , zt = Ht) adalah ramalan untuk zt+kpada saat kita

memiliki data sampai dengan ke zt.


BAB III

PENGOLAHAN DATA

3.1 Proses pengolahan di Minitab

Dengan menggunakan Minitab versi 16. Langkah –langkah untuk memodelkan

data runtun waktu metode Box-Jenkins :

1. Input data

Tabel 3.1 data terlampir pada lampiran

2. Menampilkan Plot data

Stat Time Series Time Series Plot

klik Penjualan Speedy lalu klik select, OK

Melihat adanya trend atau tidak


Stat Time Series Trend Analysis

klik Penjualan Speedy lalu klik select, OK

817263544536271891

7

6

5

4

3

2

1

0

Index

Pe

nju

ala

n S

pe

ed

y MAPE 42.3435

MAD 1.1159

MSD 1.9967

Accuracy Measures

Actual

Fits

Variable

Trend Analysis Plot for Penjualan SpeedyLinear Trend Model

Yt = 1.264 + 0.00210*t

Perhatikan bahwa plot data mengalami trend yang ditunjukan dengan garis

merah yang cenderung naik sehingga bisa disimpulkan bahwa data penjualan speedy

nonstasioner.

Akan dilakukan differencing 1

Stat Time Series Differences


klik Penjualan Speedy lalu klik select, Store differences in: untuk meletakan

runtun data hasil differencing 1. misal ketik C2 maka kolom C2 akan terisi, sehingga

Beri nama ‘Dif-1’

Plot Data Dif-1


817263544536271891

7.5

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Index

Dif

-1

Time Series Plot of Dif-1

Trend analysis

817263544536271891

7.5

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Index

Dif

-1

MAPE 99.5074

MAD 1.2278

MSD 3.0801

Accuracy Measures

Actual

Fits

Variable

Trend Analysis Plot for Dif-1Linear Trend Model

Yt = 0.024 + 0.000236*t

Perhatikan plot data dif-1 cenderung bergerak disekitar rata-rata bisa

disimpulkan data stasioner. Untuk menambah keakuratan klaim bahwa data tersebut

stasioner perhatikan juga trend analysis, garis merah yang menunjukan trend tidak

berbeda secara signifikan dengan nol (y=0) sehingga menambahkan fakta bahwa data

stasioner.

Proses selanjutnya data runtun waktu yang akan digunakan adalah dif-1

karena data memenuhi kriteria stasioner.

3. Menampilkan FAK

Stat Time Series Autocorrelation


klik Dif-1 lalu klik select, beri nama pada title “FAK Penjualan Speedy Dif-1” OK

222018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Au

toco

rre

lati

on

FAK Penjualan Speedy Dif-1

Secara intuisi, FAK diatas merepresentasikan model MA(1) karena lag terputus

setelah lag ke-1

4. Menampilkan FAKP

Stat Time Series Partial Autocorrelation


klik Dif-1 lalu klik select, beri nama pada title “FAKP Penjualan Speedy Dif-1”

OK

222018161412108642

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Lag

Pa

rtia

l A

uto

co

rre

lati

on

FAKP Penjualan Speedy Dif-1

5. Pengolahan Model

Pengolahan untuk model-model yang telah diklaim sebagai model runtun

waktu. Berdasarkan langkah sebelumnya model-model yang akan diestimasi

parameter yaitu : MA(1), AR(2) dan ARMA (2,1)

Stat Time Series ARIMA

Klik Dif-1 lalu select

1. Untuk MA (1)

Isikan 1 pada kolom Moving Average, 0 untuk yang lainnya


2. Untuk AR (2)

Isikan 2 pada kolom Moving Average, 0 untuk yang lainnya

3. Untuk ARMA (2,1)

Isikan 1 pada kolom Autoregressive, 2 pada kolom Moving Average, 0

untuk yang lain

3.2 Identifikasi model

Perhatikan grafik FAK dan FAKP penjualan speedy, diperoleh beberapa model yang

mungkin merepresentasikan runtun waktu tersebut yaitu :

1. FAK merepresentasikan model MA(1) karena lag terputus setelah lag ke-1 dan

turun secara eksponensial

2. FAKP merepresentasikan model AR(2) karena lag terputus setelah lag ke-2 dan

turun secara eksponensial


3. Model campuran ARMA (p, q) adalah ARMA (2, 1)

3.3 Estimasi Parameter

3.1 Model MA(1)

Berikut output model MA (1) yang dapat dilihat pada jendela session

ARIMA Model: Penjualan Speedy Dif-1

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 245.167 0.100 0.135

1 217.876 0.250 0.086

2 195.709 0.400 0.060

3 178.039 0.550 0.045

4 165.133 0.700 0.035

5 160.849 0.842 0.025

6 160.524 0.816 0.025

7 160.522 0.818 0.025

8 160.522 0.818 0.024

Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P

MA 1 0.8176 0.0688 11.89 0.000

Constant 0.02449 0.02837 0.86 0.391

Mean 0.02449 0.02837

Number of observations: 86

Residuals: SS = 159.860 (backforecasts excluded)

MS = 1.903 DF = 84

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48

Chi-Square 5.2 14.3 19.6 31.7

DF 10 22 34 46

P-Value 0.879 0.889 0.977 0.946

Jika E(wt) = w ≠ 0, maka model dituliskan sebagai wt = wt − w,

sehingga perlu diuji apakah w = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah

H0 ∶ w = 0 (rata-rata tidak berbeda secara signifikan dengan 0)


H1 ∶ w ≠ 0 (rata-rata berbeda secara signifikan dengan 0)

Kriteria : Tolak H0 , jika |w| > 2𝑆𝐸(w) .

Berdasarkan output diatas model MA(1) yang mungkin adalah 𝑤𝑡 = 𝑎𝑡 +

𝜃𝑎𝑡−1 atau (𝑤𝑡 − ��) = 𝑎𝑡 + 𝜃𝑎𝑡−1. dengan 𝑤𝑡 = 𝑧𝑡 − 𝑧𝑡−1

Karena |w| = |0.02449| ≯ 2(0.02837) = 2𝑆𝐸(z) maka H0 diterima sehingga w

tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Akibatnya, model yang dipilih adalah

model dengan bentuk 𝑤𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝜃𝑎𝑡−1.

Jadi, model untuk MA (1) adalah 𝑤𝑡 = 𝑎𝑡 + 𝜃𝑎𝑡−1.

3.2 Model AR(2)

Berikut output model AR (2) yang dapat dilihat pada jendela session : ARIMA Model: Penjualan Speedy Dif-1



0 301.395 0.100 0.100 0.108

1 252.317 -0.050 -0.021 0.098

2 214.211 -0.200 -0.143 0.093

3 187.048 -0.350 -0.265 0.091

4 170.835 -0.500 -0.387 0.089

5 165.625 -0.635 -0.498 0.087

6 165.595 -0.645 -0.507 0.087

7 165.595 -0.646 -0.508 0.087

8 165.595 -0.646 -0.508 0.087




AR 1 -0.6463 0.0967 -6.68 0.000

AR 2 -0.5077 0.0984 -5.16 0.000

Constant 0.0869 0.1519 0.57 0.569

Mean 0.04034 0.07054



MS = 1.985 DF = 83


Lag 12 24 36 48

Chi-Square 6.5 16.7 22.4 31.1

DF 9 21 33 45

P-Value 0.685 0.727 0.919 0.942


Jika E(wt) = w ≠ 0, maka model dituliskan sebagai wt = w − w, sehingga

perlu diuji apakah w = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah



Kriteria: Tolak H0 , jika |��| > 2𝑆𝐸(��)

Berdasarkan output diatas model AR (2) yang mungkin adalah

𝑤𝑡 = 𝜙1𝑤𝑡−1 + 𝜙2𝑤𝑡−2 + 𝑎𝑡 atau

(𝑤𝑡 − ��) = 𝜙1(𝑤𝑡−1 − ��) + 𝜙2(𝑤𝑡−2 − ��) + 𝑎𝑡 , dengan 𝑤𝑡 = 𝑧𝑡 − 𝑧𝑡−1

karena |��| = |0.0403| < 2(0.07054) = 2𝑆𝐸(w) maka H0 diterima sehingga w


model dengan bentuk 𝑤𝑡 = 𝜙1𝑤𝑡−1 + 𝜙2𝑤𝑡−2 + 𝑎𝑡

3.3 Model ARMA (2,1)

Berikut output model ARMA (2,1) yang dapat dilihat pada jendela session : ARIMA Model: Penjualan Speedy Dif-1



0 277.729 0.100 0.100 0.100 0.108

1 257.866 -0.050 0.043 0.014 0.114

2 250.819 -0.200 0.011 -0.111 0.127

3 247.983 -0.350 -0.012 -0.251 0.143

4 246.439 -0.500 -0.033 -0.395 0.159

5 245.385 -0.650 -0.053 -0.541 0.176

6 244.585 -0.800 -0.073 -0.688 0.192

7 243.910 -0.950 -0.093 -0.836 0.208

8 239.961 -1.100 -0.132 -0.966 0.216

9 219.836 -1.234 -0.282 -0.969 0.149

10 211.758 -1.369 -0.432 -0.968 0.088

11 211.525 -1.388 -0.454 -0.968 0.086

12 211.485 -1.389 -0.456 -0.967 0.086

13 211.456 -1.389 -0.457 -0.967 0.086





AR 1 -1.3888 0.1003 -13.85 0.000

AR 2 -0.4566 0.0983 -4.64 0.000

MA 1 -0.9672 0.0405 -23.87 0.000

Constant 0.0861 0.3390 0.25 0.800

Mean 0.0303 0.1192



MS = 2.558 DF = 82


Lag 12 24 36 48

Chi-Square 21.7 35.3 41.0 50.2

DF 8 20 32 44

P-Value 0.005 0.018 0.131 0.242

Jika E(wt) = w ≠ 0, maka model dituliskan sebagai wt = w − w, sehingga perlu

diuji apakah w = 0. Hipotesis yang harus diuji adalah



Kriteria: Tolak H0 , jika |��| > 2𝑆𝐸(��)

Berdasarkan output diatas model AR (2) yang mungkin adalah

𝑤𝑡 = 𝜙1𝑤𝑡−1 + 𝜙2𝑤𝑡−2 + 𝜃𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 atau

(𝑤𝑡 − ��) = 𝜙1(𝑤𝑡−1 − ��) + 𝜙2(𝑤𝑡−2 − ��) + 𝜃𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 ,

dengan 𝑤𝑡 = 𝑧𝑡 − 𝑧𝑡−1

karena |��| = |0.0303| < 2( 0.1192) = 2𝑆𝐸(w) maka H0 diterima sehingga w


model dengan bentuk 𝑤𝑡 = 𝜙1𝑤𝑡−1 + 𝜙2𝑤𝑡−2 + 𝜃𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡

3.4 Verifikasi model

Untuk alasan efektifitas kerja, urutan langkah verifikasi model yaitu :

1. Uji keberartian koefisien,


2. Uji kecocokan

3. Nilai variansi sesatan

MA (1)

Akan dilakukan verifikasi terhadap model MA (1).

Adapun uraian setiap langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

1. Uji Keberartian Koefisien


H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.


Kriteria : Tolak H0, jika |𝜃| > 2𝑆𝐸(𝜃) atau

Tolak H0, jika 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 = 5%

Karena 𝜃 = |0.8176 | > 2|0.0688| = 2𝑆𝐸(𝜃), atau 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =

0,000 < 𝛼 = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien 𝜃 berbeda

secara signifikan dengan nol.

Model MA (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai

��𝑡 = 0.8176 𝑎𝑡−1+𝑎𝑡.

2. Uji Kecocokan (lack of fit)

Hipotesis yang diuji adalah

H0 ∶ Model sesuai


Kriteria : Tolak H0 jika χhit2 > χtabel

2 , atau



lag P-value

12 0.879

24 0.889

36 0.977

48 0.946

Karena 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 = 5% untuk berbagai lag, maka H0 diterima.

Artinya, runtun waktu penjualan speedy sesuai jika dimodelkan sebagai

MA (1).

3. Nilai Variansi Sesatan

Berdasarkan output Minitab 16,

Variable Mean Variance

RESI1 0.009 1.881

nilai variansi sesatan adalah 𝜎2 =159.860−1.903

84= 1.881, sedangkan rata-

rata (𝑎𝑡) = 0,009, yang tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Ini

berarti bahwa 𝑎𝑡~𝑁(0; 1.881). Model MA (1) yang telah diperoleh dapat

dituliskan sebagai

��𝑡 = 0.8176 𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 ,

dengan 𝑎𝑡~𝑁(0; 1.881)

AR(2)

Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model AR (2).

Adapun langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

a. Uji Keberartian Koefisien





Kriteria : Tolak H0, jika |ϕ| > 2𝑆𝐸(ϕ)



AR 1 -0.6463 0.0967 -6.68 0.000

AR 2 -0.5077 0.0984 -5.16 0.000

Karena 𝜙1 = |−0.6463| > 2|0.0967 | = 2𝑆𝐸(𝜙1), atau

𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,000 < 𝛼 = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa

koefisien 𝜙1 berbeda secara signifikan dengan nol.

𝜙2 = |−0.5077| > 2|0.0984 | = 2𝑆𝐸(𝜙2) atau 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =

0,000 < 𝛼 = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien 𝜙2

berbeda secara signifikan dengan nol.

Model AR (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai

��𝑡 = −0.6463𝑤𝑡−1 − 0.5077𝑤𝑡−2 + 𝑎𝑡

b. Uji Kecocokan (lack of fit)


H0 ∶ Model sesuai



2 , atau


Berdasarkan Output Minitab 16 diperoleh


lag P-value

12 0,685

24 0,727

36 0,919

48 0,942

Karena 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 = 5% untuk berbagai lag, maka H0

diterima. Artinya, data runtun waktu penjualan speedy sesuai jika

dimodelkan sebagai AR (2).

c. Nilai Variansi Sesatan



RESI2 0.007 1.938

nilai variansi sesatan adalah 𝜎𝑎2 = 1.938, sedangkan rata-rata

(𝑎𝑡) = 0,007 yang tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Ini berarti

bahwa 𝑎𝑡~𝑁(0; 1.938). Model AR (2) yang telah diperoleh dapat

dituliskan sebagai

��𝑡 = −0.6463𝑤𝑡−1 − 0.5077𝑤𝑡−2 + 𝑎𝑡


ARMA (2, 1)

Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model ARMA (2, 1).

Adapun langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :

a. Uji Keberartian Koefisien





Kriteria : Tolak H0, jika |ϕ| > 2𝑆𝐸(ϕ)



AR 1 -1.3888 0.1003 -13.85 0.000

AR 2 -0.4566 0.0983 -4.64 0.000

MA 1 -0.9672 0.0405 -23.87 0.000

Karena 𝜙1 = |−1.3888| > 2| 0.1003 | = 2𝑆𝐸(𝜙1), atau

𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,000 < 𝛼 = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa

koefisien 𝜙1 berbeda secara signifikan dengan nol.

𝜙2 = |−0.4566| > 2|0.0983| = 2𝑆𝐸(𝜙2) atau 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =

0,000 < 𝛼 = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien 𝜙2


𝜃1 = |−0.9672| > 2|0.0405| = 2𝑆𝐸(𝜃1) atau 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =

0,000 < 𝛼 = 0,05 maka H0 ditolak. Ini berarti bahwa koefisien 𝜃1


Model ARMA (2, 1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai

𝑤𝑡 = −1.3888𝑤𝑡−1 − 0.4566𝑤𝑡−2 − 0.9672𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡

b. Uji Kecocokan (lack of fit)


H0 ∶ Model sesuai



2 , atau


Berdasarkan Output Minitab 16 diperoleh


lag P-value

12 0.005

24 0.018

36 0.131

48 0.242

Lag 36 dan Lag 48 nilai 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 = 5%, maka H0 diterima.

Artinya, data runtun waktu penjualan speedy sesuai jika dimodelkan

sebagai ARMA (2, 1).

c. Nilai Variansi Sesatan



RESI3 0.008 2.468

nilai variansi sesatan adalah 𝜎𝑎2 = 1.938, sedangkan rata-rata

(𝑎𝑡) = 0,008 yang tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Ini berarti

bahwa 𝑎𝑡~𝑁(0; 1.938). Model AR (2) yang telah diperoleh dapat

dituliskan sebagai

��𝑡 = −1.3888𝑤𝑡−1 − 0.4566𝑤𝑡−2 − 0.9672𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡



Didapatkan model-model yang lolos verifikasi yaitu

MA (1) ��𝑡 = 0.8176 𝑎𝑡−1 +𝑎𝑡

𝑎𝑡~𝑁(0; 1.881)

AR (2) ��𝑡 = −0.6463𝑤𝑡−1 − 0.5077𝑤𝑡−2 + 𝑎𝑡

𝑎𝑡~𝑁(0; 1.938)

ARMA (2, 1) ��𝑡 = −1.3888𝑤𝑡−1 − 0.4566𝑤𝑡−2

− 0.9672𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 𝑎𝑡~𝑁(0; 2.468)

Berdasarkan tabel diatas, karena MA(1) memiliki varians yang paling kecil

maka akan dipilih model MA(1) untuk digunakan sebagai peramalan.

3.5 Peramalan

Setelah dilakukan identifikasi, estimasi, dan verifikasi terhadap berbagai model,

diperoleh model MA (1) sebagai model yang paling sesuai untuk data runtun waktu

penjualan speedy di daerah Gegerkalong Bandung, yaitu :

��𝑡 = 0.8176 𝑎𝑡−1 +𝑎𝑡

𝑧𝑡 − 𝑧𝑡−1 = 0.8176 𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡

𝑧𝑡 = 0.8176 𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 + 𝑧𝑡−1


Berikut adalah ramalan banyaknya penjualan speedy 10 periode berikutnya

dari data runtun waktu penjualan speedy di daerah Gegerkalong Bandung yang

dihasilkan software Minitab 16.


Berdasarkan output diatas, ramalan untuk penjualan speedy di daerah

gegerkalong untuk 30 hari (21 April – 20 Juni ) mendatang adalah

Tanggal Forecast Penjualan

Speedy Tanggal Forecast

Penjualan

Speedy

21 2.94443 3 6 3.31173 3

22 2.96891 3 7 3.33622 3

23 2.99340 3 8 3.36071 3

24 3.01789 3 9 3.38519 3

25 3.04238 3 10 3.40968 3

26 3.06686 3 11 3.43417 3

27 3.09135 3 12 3.45866 3

28 3.11584 3 13 3.48314 3

29 3.14032 3 14 3.50763 4

30 3.16481 3 15 3.53212 4

1 3.18930 3 16 3.55660 4

2 3.21378 3 17 3.58109 4

3 3.23827 3 18 3.60558 4

4 3.26276 3 19 3.63006 4

5 3.28725 3 20 3.65455 4


BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Setelah dilakukan proses pengolahan data runtun waktu, diperoleh model MA (1)

untuk merepresentasikan forecasting (peramalan) penjualan speedy di daerah

Gegerkalong, Bandung, yaitu :

𝑧𝑡 = 0.8176 𝑎𝑡−1 + 𝑎𝑡 + 𝑧𝑡−1


Model tersebut bisa digunakan untuk peramalan n-hari kedepan tidak hanya

terbatas untuk 30 hari kedepan.

Berdasarkan data pada tabel peramalan, penjualan speedy pada hari-hari

berikutnya antara 3-4 produk terjual per hari. Hal ini bisa berguna untuk distributor

dan penjual untuk menyediakan sesuai dengan perhitungan peramalan ini.

4.2 Saran

Adapun beberapa saran terkait dengan proses peramalan dari data runtun waktu

ini adalah :

1. Kuantitas data runtun waktu lebih banyak lebih baik untuk keakuratan

peramalan.

2. Diperlukan ketelitian dan kesabaran dalam proses pengolahan data runtun waktu

karena ketelitian dalam menentukan model yang tepat sangat dibutuhkan dalam

peramalan ini.

3. Untuk bagian marketing produk speedy, diperlukan program yang lebih kreatif

agar permintaan kostumer meningkat signifikan.


DAFTAR PUSTAKA

PT Telekomunikasi Indonesia Tbk. (n.d.). Speedy True Broadband. Retrieved

Desember 31, 2014, from telkomspeedy: http://telkomspeedy.com/product-

description

Zanzawi Soejati, P. (1987). ANALISIS RUNTUN WAKTU. Jakarta: Karunika Jakarta.

Puspita, Entit. 2010. Petunjuk Praktikum Metode Runtun Waktu. Jurusan Pendidikan

Matematika Universitas Pendidikan Indonesia

Universitas Pendidikan Indonesia. 2012. Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.

Bandung: UPI Press.

Sulistiawati, R. (2012). Ramalan Pembelian Ayam di CV Sumber Jaya dengan Metode

Runtun Waktu. Bandung: tidak diterbitkan


LAMPIRAN A. Tabel penjualan Speedy di daerah Gegerkalong-Bandung dari tanggal 20 Januari-20

April 2011

Bulan Tanggal Produk terjual Bulan Tanggal Produk Terjual

Januari

20 0

Maret

9 0

21 2 10 0

22 1 11 0

24 0 12 0

25 0 13 0

26 0 14 0

27 2 15 1

28 2 16 1

29 1 17 0

31 3 18 1

Februari

1 3 19 1

2 0 20 0

3 0 21 1

4 0 22 0

5 0 23 1

6 2 24 1

7 3 25 1

8 3 26 0

9 1 27 1

10 1 28 0

11 4 29 0

12 0 30 2

14 2 31 0

16 2

April

1 1

17 3 2 0

18 4 3 1

19 2 4 2

20 1 5 1

21 3 6 2

22 4 7 0

23 2 8 1

24 4 9 1

25 0 10 1

26 1 11 2

27 0 12 2


28 2 13 0

Maret

1 0 14 1

2 1 15 6

3 2 16 0

4 2 17 1

5 1 18 7

6 2 19 4

7 2 20 3

8 3

PT TELEKOMINUKASI INDONESIA TBK

Peramalan Penjualan Speedy di daerah Gegerkalong Bandung dengan menggunakan metode box-jenkins

Documents

Transcript of Peramalan Penjualan Speedy di daerah Gegerkalong Bandung dengan menggunakan metode box-jenkins