jurnal: PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY...

PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY FORECASTING MODEL (1,1)

1

[email protected]

PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS

MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION

GREY FORECASTING MODEL (1,1)

Cendra Puspa Nuswantri, Suyono dan Widyanti Rahayu

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

Jl. Rawamangun Muka, Jakarta Timur 13220, Indonesia

[email protected]

Abstrak Peramalan jangka pendek sangat diperlukan untuk menyelesaikan hal yang

mendesak. Namun jika data masa lalu yang tersedia sulit didapatkan atau terbatas maka

bisa mengakibatkan sulitnya mendapatkan ramalan yang akurat. Model peramalan

dikatakan baik jika nilai keakuratan peramalannya mendekati data sebenarnya. Grey

Forecasting Model atau GM (1,1) merupakan model peramalan yang menggunakan

persamaan differensial orde satu dan satu variabel. Fourier Residual Modification Grey

Forecasting Model atau FGM (1,1) merupakan modifikasi GM(1,1) dengan

menggunakan Deret Fourier demi meningkatkan keakuratan ramalan jangka pendek

untuk data terbatas.

Kata kunci: Grey Forecasting Model, Fourier Residual Modification Grey Forecasting

Model, Deret Fourier, peramalan jangka pendek, data terbatas.

1 Pendahuluan

Metode peramalan terbagi menjadi dua yaitu metode peramalan kualitatif dan

kuantitatif. Metode peramalan kualitatif digunakan jika metode peramalan kuantitatif

sulit digunakan. Metode peramalan kuantitatif adalah peramalan untuk data-data yang

bisa dikuantitatifkan. Berdasarkan waktunya, peramalan terbagi menjadi peramalan

jangka pendek, peramalan jangka menengah dan peramalan jangka panjang. Peramalan

jangka pendek digunakan untuk kurun waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.

Peramalan jangka pendek berguna untuk untuk mengambil keputusan yang sifatnya

mendesak seperti ketenagakerjaan, penjadwalan, produksi, dan perencanaan keuangan

(Makridakis, 1990).

Sebelum tahun 1990-an, pendekatan dengan regresi tradisional mendominasi

literatur peramalan, tapi kondisi ini berubah setelah pertengahan 1990-an sebagian besar

peneliti lebih banyak yang menggunakan teknik ekonometrik modern, misalnya model

kointegrasi dan model koreksi kesalahan (Error Correction Model) untuk pemodelan dan

meramalkan permintaan. Selain itu, penelitian sebelumnya telah difokuskan pada analisis

ekonometrik tradisional, dengan model regresi, model deret waktu dan model ARIMA.

Namun model-model tersebut hanya efektif untuk meramalkan permintaan jangka

panjang dan tidak bagus untuk peramalan jangka pendek dan pada data dengan

karakteristik berfluktuasi (Huang & Lee, 2011).

Peramalan menggunakan Grey Forecasting Model pertama kali ditemukan oleh

Deng, 1982. Model peramalan ini merupakan salah satu pengembangan dari Grey

Theory. Keberadaan informasi grey yang belum diketahui pada setiap sistem di berbagai

kehidupan nyata mendorong perkembangan Grey Forecasting Model sangat penting


2

[email protected]

untuk dilakukan. Peramalan akan menghasilkan informasi baru yang akan terjadi di masa

depan. Informasi ini tentu sangat bermanfaat bagi para pembuat kebijakan, pebisnis dan

pengambil keputusan. Namun tidak setiap data mudah didapatkan sehingga data tersebut

jumlahnya terbatas. Peramalan jangka pendek merupakan hal yang sulit dilakukan

apalagi dengan data terbatas. Peramalan dengan GM(1,1) bisa digunakan untuk jumlah

data yang kecil atau dengan kata lain data terbatas. Peramalan ini digunakan untuk

peramalan barisan, prediksi interval, peramalan bencana alam, peramalan musim dan

peramalan pasar modal (Liu & Lin, 2006). Grey Forecasting Model (1,1) atau GM(1,1)

telah berhasil diterapkan untuk data permintaan pariwisata di Taiwan yang volatilitasnya

tinggi (Huang & Lee, 2011). Peramalan ini dilakukan untuk periode jangka panjang.

Model GM(1,1) dengan bentuk umum GM(d,v) dimana d adalah order atau tingkat

persamaan differensial dan v adalah jumlah variabel pada persamaan model (Nguyen &

Huang, 2011). GM (1,1) adalah model peramalan Grey yang menggunakan persamaan

differensial tingkat pertama dengan satu variabel. Dengan demikian diperlukan model

peramalan yang tepat agar hasil peramalannya akurat.

Pada penelitian ini akan digunakan GM (1,1) yang dilanjutkan dengan modifikasi

Deret Fourier demi mendapatkan peramalan jangka pendek untuk data terbatas.

Penggunaan Fourier awalnya dikembangkan oleh Brigham tahun 1998 lalu dilanjutkan

oleh Hsu tahun 2003 untuk peramalan. Modifikasi Grey Forecasting Model dengan

Deret Fourier diharapkan dapat memberikan metode yang lebih efektif untuk menangani

peramalan jangka pendek untuk data terbatas.

2 Landasan Teori

1. Peramalan

Peramalan adalah esensi dari perencanaan dan operasi kontrol dalam berbagai

bidang seperti manajemen produksi, sistem inventori, kontrol kualitas, perencanaan

keuangan dan analisis investasi (Wei, 2006:88). Peramalan dilakukan karena adanya

time lag atau senjang waktu antara kesadaran akan peristiwa atau kebutuhan

mendatang dengan kejadian yang terjadi di masa depan. Adanya lead time atau waktu

tenggang ini merupakan alasan utama bagi perencanaan dan peramalan. Jika waktu

tenggang panjang dan dan hasil peristiwa akhir bergantung pada faktor-faktor yang

diketahui maka perencanaan menjadi sangat penting. Dengan demikian, peramalan

diperlukan untuk menetapkan kapan suatu kejadian terjadi sehingga bisa diputuskan

tindakan untuk mengantisipasi (Makridakis, 1983:3).

Menurut Heizer (2005), berdasarkan waktu peramalan dikelompokkan

menjadi tiga yaitu peramalan jangka panjang, peramalan jangka menengah dan

peramalan jangka pendek . Peramalan jangka pendek adalah peramalan untuk jangka

waktu tidak lebih dari 3 bulan ke depan.

2. Grey Forecasting Model

Grey System Theory pertama kali dikembangkan oleh Deng (1982) yang

difokuskan pada model ketidakpastian dan informasi yang tidak cukup dalam

menganalisis dan memahami sistem melalui riset pada analisis bersyarat, prediksi dan

pengambilan keputusan. Dalam kehidupan nyata sering dijumpai sistem

ketidakpastian sehingga peneliti mendapatkan keterbatasan informasi mengetahui

struktur sistem, parameter dan karakteristik. Contoh yang merupakan sistem grey

misalnya sistem sosial, sistem ekonomi dan sistem cuaca. Dalam sistem tersebut

banyak dijumpai ketidakpastian. Sistem yang pasti misalnya sistem komputer, sistem


3

[email protected]

mesin dan sistem yang eksak lainnya. Grey Forecasting Model merupakan adaptasi

dari bagian inti Grey System Theory dan telah berhasil diaplikasikan dalam bidang

finansial, integrated circuit industry dan pemasaran jasa perjalanan udara. Grey

Forecasting Model menggunakan Operasi Pembangkit Akumulasi atau Accumulated

Generating Operation disingkat AGO untuk membangun persamaan differensial.

Grey Forecasting Model atau disingkat GM memberikan solusi untuk model

ketidakpastian pada data terbatas (minimal terdapat empat data) yang biasa disebut

"partial known, partial unknown" (Liu & Lin, 2006). Model umum peramalan ini

adalah GM (d,v) dimana d adalah order dari persamaan differensial dan v adalah

jumlah variabel dalam persamaan (Nguyen & Huang, 2011). Grey Forecasting Model

digunakan untuk peramalan jangka pendek tanpa perlu memisalkan distribusi data

yang akan diolah. Grey Forecasting Model pada skripsi ini adalah GM(1,1) dimana

menggunakan turunan orde pertama dengan satu variabel.

Untuk mendapatkan model GM(1,1) diperlukan barisan data asli atau data

mentah yang disusun berdasarkan waktu. Data asli dapat dinyatakan dalam definisi

berikut (Huang & Lee, 2011).

Definisi 1. Barisan data asli atau data mentah berdasarkan urutan waktunya

didefinisikan sebagai

{ } ( )

dimana adalah urutan dari dari data periode paling lampau hingga

data terkini.

Definisi 2. Barisan data first order Accumulated Generating Operation atau AGO

orde pertama dari dinotasikan . Misal ∑ , AGO orde

pertama ditulis sebagai

∑

∑

∑

∑

Definisi 3. Inverse Accumulated Generating Operation disingkat IAGO didefinisikan

sebagai

Pada model peramalan GM(1,1) ini, IAGO nantinya akan digunakan untuk

mendapatkan restored value atau nilai ramalan di masa datang yang dinotasikan

sebagai . Dari barisan data kemudian didapatkan Barisan pembangkit

Rata-Rata yaitu .

Definisi 4. Misal adalah nilai rata-rata dari dua data yang berdekatan

yaitu

[ ]


4

[email protected]

Generated Mean Sequence atau Barisan Pembangkit Rata-Rata dari dinotasikan

( )

Selanjutnya untuk setiap pasang nilai dan dibentuk menjadi

persamaan GM(1,1). Namun sebelum membentuk GM(1,1) perlu diketahui definisi

persamaan diferensial order pertama Grey.

Definisi 5. Persamaan differensial Grey didefinisikan sebagai

dimana disebut background value dari

dan a dan b adalah parameter -

parameternya.

Proposisi 1. Misalkan barisan data mentah yaitu

{ } ( )

dan barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama yaitu

{ } ( )

dimana ∑

Turunan pertama grey dari adalah

(Liu & Lin, 2006:197).

Definisi 6. Misal { } ( ) adalah

barisan data mentah dan { } ( )

adalah barisan Operasi Pembangkit Akumulasi pertama. Bentuk asli dari GM(1,1)

dinyatakan sebagai

Simbol GM(1,1) menyatakan bahwa model menggunakan persamaan diferensial orde

pertama dan satu variabel. Misal ( ) adalah Barisan

Pembangkit Rata-Rata dimana

[ ]

Bentuk dasar GM(1,1) dinyatakan sebagai

(Liu & Lin, 2010:107).

Pada pembahasan selanjutnya yang digunakan adalah bentuk dasar GM(1,1).

Definisi 7. Parameter a dan b pada GM(1,1) masing-masing disebut development

coefficient dan grey action quantity (Liu & Lin, 2010:203).


5

[email protected]

Untuk mendapatkan nilai parameter a dan b digunakan metode least square estimate

atau estimasi kuadrat terkecil seperti pada teorema berikut ini.

Teorema 1. Misal terdefinisi sebelumnya, non-negatif. Jika

* + adalah barisan parameter dan

[

]

,

[

]

maka estimasi kudrat terkecil dari

memenuhi

[ ] (Liu & Lin, 2006:199).

Definisi 8. Asumsikan barisan non-negatif, barisan AGO orde pertama dari

dan adalah barisan rataan dari yang berdekatan. Jika

* + [ ]

maka

disebut whitenization atau image equation dari

Teorema 2. Misalkan terdefinisi seperti pada Teorema 1. Jika

* + [ ]

terpenuhi maka berlaku

1. Solusi (fungsi respon waktu) dari fungsi whitenization

adalah

(

)

2. Barisan respon waktu dari persamaan differensial grey GM(1,1)

adalah

(

)

3. Misal maka

(

)

4. Restored value atau nilai ramalan dari adalah

(Liu & Lin, 2006:203).


6

[email protected]

3. Keakuratan Model Peramalan Grey Forecasting Model

Keakuratan model peramalan dapat dilihat dari nilai selisih data asli dan data

hasil ramalan. Setelah mendapatkan hasil ramalan menggunakan Grey Forecasting

Model, untuk melihat keakuratan ramalan dibutuhkan Residual Series, Residual Error

dan Average Residual Error.

Misal adalah data asli dan adalah ramalan dengan Grey

Forecasting Model. Residual series didefinisikan sebagai

( )

dimana

|

|

∑|

|

Seringkali Residual Error dan Average Residual Error dinyatakan dalam persen.

∑|

|

Untuk mengetahui tingkat keakuratan ramalan dapat dilihat pada table berikut.

Tabel 2.1 Kriteria keakuratan model peramalan

Tingkatan Kriteria

Residual Error Keakuratan

I (Sangat bagus) 1% 90%

II (Bagus) 5% 80%

III (Mencukupi) 10% 70%

IV (Tidak mencukupi) 20% 60%

Sumber: Liu dan Lin, 2010: 135

4. Modifikasi Grey Forecasting Model

Peramalan diawali menggunakan model GM(1,1). Dengan membandingkan

nilai ramalan dan data asli, maka didapatkan residu GM(1,1). Selanjutnya hasil residu

GM(1,1) dimodifikasi menggunakan Fourier sehingga didapatkan FGM(1,1). Dengan

membandingkan kembali antara ramalan FGM(1,1) dengan data asli, akan dihasilkan

residu untuk model FGM(1,1). Berdasarkan Tabel 2.1, semakin kecil Residual Error

maka semakin baik keakuratannya.

5. Deret Fourier

Deret Fourier adalah fungsi periodik dengan periode dan frekuensi

yang dinyatakan dengan

∑[ ]

dimana

(Brigham, 1988:74).

Pada pembahasan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau yang

dikenal sebagai FGM(1,1) ini, koefisien dan kan didapatkan dengan cara least

square estimate.


7

[email protected]

3 Pembahasan

Model peramalan Fourier Residual Modification Grey Forecasting Model atau

FGM(1,1) merupakan modifikasi dari model GM(1,1), dalam hal ini yang

dimodifikasi adalah barisan nilai error atau residual series berdasarkan ramalan

GM(1,1). Misal adalah original input dan adalah hasil ramalan

dengan GM(1,1). Residual series dinotasikan sebagai

( )

dimana untuk

Jika dinyatakan dalam Deret Fourier seperti pada persamaan (2.17)

maka menjadi

∑[ (

) (

)]

dimana *

+ adalah frekuensi minimum sebaran Deret Fourier dan

periode Jika persamaan (3.1) dinyatakan sebagai Deret Fourier maka bisa

ditulis sebagai berikut.

[

]

[

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

]

[

]

[

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)]

[

]

(3.4)

Dengan menuliskan persamaan (3.4) sebagai

(3.5)

maka parameter {

} diperoleh dengan least square estimate

yaitu [ ] .

Setelah estimasi parameter {

} diperoleh, Residual

Series yang telah dimodifikasi kemudian dinotasikan kembali sebagai

sehingga


8

[email protected]

∑[ (

) (

)]

Misal deret original dari FGM(1,1). Selanjutnya untuk

memperoleh ramalan FGM(1,1) adalah

Pada persamaan (3.7) menunjukkan bahwa FGM(1,1) adalah usaha

meningkatkan keakuratan ramalan GM(1,1) dengan mencari estimasi nilai Residual

Series. Untuk melihat efektifitas ramalan FGM(1,1) selanjutnya dilakukan uji coba

pada data empiris yang memiliki tingkat varian yang berbeda. Untuk mengetahui

keakuratan ramalan FGM(1,1) digunakan persamaan (2.15), (2.16) dan Tabel 2.1

sebagai acuan.

Gambar 3.1 Diagram Alir Prosedur Peramalan dengan Fourier Residual Modification

Grey Forecasting Model (1,1)


9

[email protected]

Peramalan jangka pendek untuk data terbatas menggunakan FGM(1,1)

diterapkan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan berikut ini.

Tabel 3.1 Data permintaan tiket pesawat

Hari Jumlah

Penumpang

Senin 4889

Selasa 4771

Rabu 5311

Kamis 5421

Jumat 5868

Sabtu 6002

Minggu 6101

Sumber: Tang dkk, 2005

Tabel 3.2 Hasil peramalan untuk data permintaan tiket pesawat

Hari k Data

sebenarnya

GM (1,1) FGM (1,1)

Ramalan Residual

value

Residual

error Ramalan

Residual

value

Residual

error

Senin 1 4889

Selasa 2 4771 4953,82 -183 3,83% 4790,14 -19 0,40%

Rabu 3 5311 5188,06 123 2,31% 5254,83 56 1,06%

Kamis 4 5421 5433,37 -12 0,23% 5505,89 -85 1,57%

Jumat 5 5868 5690,28 178 3,03% 5783,08 85 1,45%

Sabtu 6 6002 5959,34 43 0,71% 6058,21 -56 0,94%

Minggu 7 6101 6241,12 -140 2,30% 6081,85 19 0,31%

Average Residual Error 2,07% 0,95%

Keakuratan 97,93% 99,05%

Gambar 3.2 Grafik hasil peramalan permintaan tiket pesawat

Peramalan pada data permintaan tiket pesawat pada musim liburan dengan

menggunakan GM(1,1) memperoleh keakuratan 97,93% dan dengan menggunakan

FGM(1,1) memperoleh keakuratan 99,05%. Selanjutnya untuk melihat efektifitas

4500

4700

4900

5100

5300

5500

5700

5900

6100

6300

6500

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Data sebenarnya

GM(1,1)

FGM(1,1)


10

[email protected]

model peramalan FGM(1,1) juga diterapkan pada data lain dengan tingkat varian

kecil, sedang dan tinggi dan hasilnya adalah FGM(1,1) tetap konsisten memiliki

keakuratan yang lebih tinggi daripada GM(1,1).

4 Penutup

Berdasarkan pada pembahasan mengenai bagaimana melakukan peramalan jangka

pendek untuk data terbatas menggunakan Fourier Residual Grey Forecasting Model atau

FGM(1,1) maka didapatkan kesimpulan bahwa peramalan FGM(1,1) didapatkan dengan

memodifikasi Residual Series atau selisih dari data mentah dan hasil ramalan GM(1,1).

Untuk data mentah yang sama, hasil peramalan jangka pendek dimana datanya terbatas

menggunakan model peramalan FGM(1,1) lebih akurat dibandingkan dengan model ramalan

GM(1,1). FGM(1,1) dapat digunakan untuk meramalkan data yang memiliki varian kecil,

sedang dan bahkan varian besar dengan nilai keakuratan lebih tinggi dibandingkan GM(1,1)

sehingga model peramalan FGM(1,1) lebih efektif dibandingkan GM(1,1).

Pustaka

[1] Brigham, E. Oran. (1988). The Fast Fourier Transform and It’s Applcations. New

Jersey: Prentice Hall.

[2] Deng, Julong. (1982). Control Problems of Grey System, Problems and Control

Letters, Vol.5, 288-294. China.

[3] Heizer, J. dan Render B. (2005).Operation Management, Edisi 7. Jakarta: Penerbit

Salemba Empat.

[4] Huang, Y.L. dan Lee, Y.H. (2011). Accurately Forecasting Model for the Stochastic

Volatility Data in Tourism Demand, Modern Economy, Vol.2, 823-829. China.

[5] Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2006). Grey Information: Theory and Practical

Applications. London: Springer-Verlag.

[6] Liu, Sifeng dan Lin, Yi. (2010). Grey Systems: Theory and Applications. United

States of America: Springer.

[7] Makridakis, Spyros G. (1990). Forecasting, Planning and Strategy for 21st Century.

United States of America: Collier Macmillan, Inc.

[8] Makridakis, Spyros G., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1983). Forecasting

Methods and Applications, Second Edition. Canada: John Wiley and Sons.

[9] Nagle, R. Kent. (2012). Fundamentals of Differential Equations, 8th Edition.

Boston: Pearson Education, Inc.

[10] Nguyen, T.L. dan Huang, Y.F. (2011). Forecasting Energy Intensity with Fourier

Residual Modified Grey Model: An Empirical Study in Taiwan. Taiwan: National

Kaohsiung University of Applied Sciences.

[11] Tang, dkk. (2005). Study on Grey Model GM (1,1) Forecasting for Airport

Passenger Throughput, China-USA Business Review, Vol. 4. China: Beijing Jiaotong

University.

[12] Wei, William W. S. (2006). Time Series Analysis : Univariate and Multivariate

Methods, Second Edition. United States of America: Pearson Addison Wesley.

[13] Xinping, Xiao dan Rongjiao, Zheng. (2011). Multi-Level Recursive Method of

Short-Term Traffic Flow Forecast Based on PGAGO GM(1,1) Model, Management

Science and Engineering, Vol.5, No.3, 6-10. China: Wuhan University of

Technology.

jurnal: PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY...

Documents

Transcript of jurnal: PERAMALAN JANGKA PENDEK UNTUK DATA TERBATAS MENGGUNAKAN FOURIER RESIDUAL MODIFICATION GREY...