Pensamiento Algebraico

Pensamiento AlgebraicoPor M. en C. Víctor M. Hernández L.

Tomando como base la propuesta operativa de organización para la construcción de conocimiento disciplinar propuesta en el artículo “Redes de Estudio: Propuesta Operativa para la Producción Académica” en este escrito se da cuenta de la concreción de un Curso – Taller: Pensamiento Algebraico, y los problemas metodológicos y técnicos asociados con ello.

Concluyo con algunas observaciones producto del pilotaje de que fue objeto la propuesta llevada a la práctica con un Curso-Taller en línea.

AntededentesLa realización, en el mundo, en los últimos años de una gran cantidad de

investigaciones en Educación Matemática, ha sido potenciada por la

necesidad de mejorar los resultados de la enseñanza de las matemáticas en

la escuela.

Paulatinamente, los investigadores se han percatado cada vez con más

precisión de que el tratar de incidir sobre los resultados de la educación

matemática requiere abordar los procesos de la educación matemática y en

particular aquellos que han formado y conformado a quienes la profesan.

Este artículo es un producto parcial del Proyecto "Centro Virtual de Servicios Docentes" bajo la Clave: SON-2004-CO2-037 correspondiente al Fondo Mixto de Fomento a la Investigación Científica y Tecnológica CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. 2004-2

Fundamentos Teórico – Prácticos para una Propuesta de Formación Docente en Linea. Universidad de Sonora . México.

Por: M. en C. Víctor M. Hernández L.

Las investigaciones realizadas han ayudado, en mayor o menor medida, a

mejorar la comprensión de algunos aspectos medulares para abordar el

problema de la mejoría de los resultados de la educación matemática, entre

los que podrían mencionarse la:

• Naturaleza del conocimiento matemático, en cuanto sus contenidos,

sus métodos y sus recursos de validación

• Forma en la que se aprende matemáticas

• Forma en la que se enseña matemáticas

El paso del tiempo ha permitido el reflejo de estas investigaciones en la

formulación de:

• Modificaciones curriculares

• Escritura de nuevos textos

• Nuevas propuestas de enseñanza

Poco a poco, después de un largo camino de observaciones empíricas e

investigación sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas, la investigación se ha visto encaminada hacia la formulación

de teorías sobre la educación matemática; es decir, hacia la formulación de

cuerpos conceptuales y argumentativos que tienen como propósito el

sustentar la validez de principios derivados de las observaciones iniciales,

buscando así1, instituir un marco teórico desde el que sea posible explicar

una fenomenología determinada.

La reorientación metodológica de las investigaciones está relacionada con la

reorientación de sus objetivos, pues el hacer teoría en al área de educación

matemática, requiere una metodología con más énfasis en la observación

1 Sierpinska, A., Kilpatrick, J., Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity an International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). © 1998 Kluwer Academic Publishers.Página 2 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)

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de los procesos que de sus resultados, es decir, más cualitativa que

cuantitativa.

En la actualidad existen diversos grupos de investigadores que desarrollan

programas de investigación formulados en el marco de algún paradigma de

la didáctica de la matemática y, como producto de ello, se tienen más

avances en la comprensión de la problemática de la educación matemática

y las condiciones de las que se dispone para abordarla, toda vez que, en

términos de sus principios es posible tanto el interpretar una fenomenología

didáctica como el diseñar situaciones o contextos para “conducir” las

actividades de aprendizaje.

Aproximaciones muy recientes2 indican nuevas y desafiantes tareas para los

educadores:

... las tareas de los educadores habrán de resultar duales y dualmente desafiantes: por un lado, inculcar las disciplinas tradicionales y formas de pensamiento .... y, por otro lado, ayudar a los estudiantes a vérselas con y, posiblemente, tomar un rol activo en la decisión sobre cómo tratar con este desarrollo vertiginoso, el cual como digo, no está más restringido a las páginas de la ciencia ficción.

En su artículo, Gardner establece como antecedentes al señalamiento dual

de las tareas del educador, la multiplicidad existencial de lo que él ha

llamado inteligencias, señalando seis o siete, a más3 de las dos que

tradicionalmente se han privilegiado en el currículo mundial; la lingüística y

la lógica.

En articulación con lo anterior, queremos enfatizar un viraje a la tendencia

general de pretender en las actividades de enseñanza que los estudiantes

accedan de primera intención sólo a los objetos matemáticos en calidad de

información existente y disponible, sino alternativamente, el enfocarlas

hacia la promoción de habilidades del pensamiento matemático, tomando la

2 Gardner, Howard. UNA EDUCACIÓN PARA EL FUTURO: Las Bases de la Ciencia y los Valores. Artículo presentado ante El Symposium Real Invitado por Su Majestad, la Reina Beatriz. Amsterdan, Marzo 13 del 2001. Trad. al español para fines estrictamente académicos de Víctor M. Hernández L. Y Martha C. Villalba G. Junio 2001.

3 ibid. ...mi investigación ha definido 8 o 9 inteligencias humanas (lingüística, lógico-matemática, espacial, musical, corpórea-cinestésica, interpersonal, intrapersonal, naturalista, posiblemente una inteligencia existencial)...Página 3 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)




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promoción de este desarrollo como objetivo de la enseñanza de las

matemáticas.

Sugiero que este tipo de pensamiento –que a su vez, quizá podría afinarse

en su caracterización en cuanto algebraico, geométrico, variacional

(determinista y estocástico)- puede aproximarse en términos de habilidades

que son también propias de la ciencia y de la tecnología, de las que se hace

un recuento en Adams, D. y Hamm M. (1998- p 47-52)4 como sigue:

Conforme los estudiantes construyen el conocimiento (o proceso, como Piaget lo explica) en lugar de acumularlo, hacen que la ciencia, las matemática y la tecnología sean relevantes y personales. Los estudiantes debieran introducir y planear las discusiones de indagación y actividades que cubran cada una de las habilidades para:

ObservarLa observación involucra el uso de todos los sentidos: ver, oír, probar, oler y sentir. Las observaciones efectivas hacen uso de todos los sentidos primarios, trabajando juntos para acceder a tanta información como sea posible. Es la reacción inmediata a su propio ambiente. Los estudiantes debieran ser conducidos a que describan lo que ellos ven, oyen, huelen, tocan y posiblemente prueben. Los estudiantes debieran entrenar y motivar a los estudiantes a establecer algunas medidas específicas de sus observaciones. Los profesores debieran ser precavidos de no influenciar sus observaciones con su interpretación. Incluso niños muy pequeños son capaces de hacer observaciones significativas. La observación es el fundamento de todas las otras habilidades del proceso de indagación. La observación son los hechos no interpretados de la ciencia y las matemáticas.

ClasificarLa clasificación se apoya principalmente sobre la observación. A medida que los estudiantes están más habilitados en reconocer las características de los objetos, ellos aprenden a reconocer parecidos y diferencias. La clasificación es una parte importante de nuestras vidas: Comprar en el supermercado, encontrar un libro en la biblioteca, o aún el poner la mesa para cenar sería una tarea tremenda y tardada si las cosas no fueran clasificadas. A temprana edad, los niños son capaces de clasificar, o tipificar objetos en grupos por color, tamaño o forma; reacomodar el conjunto y poner los grupos en cierta clase de orden.

CompararUna vez que los niños aprenden a observar y describir los objetos, ellos empiezan muy pronto a compararlos. Los niños pequeños pueden decir si desean más o menos, y también pueden decir qué es lo mismo o diferente. El ser capaz de comparar objetos individuales o conjuntos de objetos ayudará a los niños a decidir si cuatro es más o menos que seis. La comparación no es sólo una habilidad para los estudiantes en los primeros grados: Los estudiantes usarán esta habilidad en cada grado y a través de su trabajo en cada disciplina.

SeriarLos estudiantes viven con sucesiones y patrones. Ellos pueden advertir patrones en la naturaleza, tales como la simetría de una hoja y las alas de un insecto. Ellos pueden observar patrones en los edificios, tales como la forma en que los ladrillos se ajustan unos con otros o los dibujos sobre el piso. La seriación es encontrar o traer orden a sus observaciones. Los patrones que existen alrededor de los estudiantes son experimentados cuando los profesores proponen a sus estudiantes actividades de observación y detección de patrones.

MedirLas experiencias activas en ciencias proporcionan muchas oportunidades para describir y comparar en términos de cantidades. Los niños pequeños usan automáticamente a los

4 Adams, Dennis & Hamm, Mary. Collaborative inquiry in science, math, and technology. Heinemann. Portsmouth. 1998.Página 4 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






números cuando comparan cantidades -un niño es más alto que otro, un libro es más pesado, una pelota es más grande y así sucesivamente. La medición proporciona los datos duros necesarios para confirmar hipótesis y hacer predicciones. Estas proporcionan información cuantificable de primera mano. Las medición incluye hacerse de datos sobre el tamaño, peso y cantidad. Las herramientas de medición (por ejemplo: reglas, termómetros, escalas) y las habilidades tienen una variedad de usos en la vida diaria. El ser capaz de medir conecta el ambiente con la ciencia y las matemáticas.

ComunicarLas habilidades de comunicación enfatizan la importancia de ser capaz de hablar, escribir, describir y argumentar las ideas en ciencia y matemáticas. El simbolismo, tanto como las ayudas visuales como los mapas y gráficas, se constituirán en parte de las formas en que los estudiantes pueden expresar sus ideas científicas y matemáticas a los otros. Esto significa que los estudiantes debieran aprender no sólo a interpretar el lenguaje de la ciencia y las matemáticas, sino también a usar ambos lenguajes dentro y fuera más allá del salón de clases. Todos los estudiantes ampliarán su conocimiento base e incrementarán sus habilidades de aprendizaje mediante la regularidad en el hablar, escribir, dibujar y graficar, usando para ello símbolos, números y tablas que los ayuden a pensar y comunicarse sus ideas. El lograr comunicar a otros el sentido de sus ideas indirectamente les conduce a los conceptos de una manera significativa para ellos mismos.El lenguaje de la ciencia y las matemáticas está entrelazado, como lo están el pensamiento científico y matemático. Del mismo modo, estos procesos están ligados a la vida diaria de los estudiantes. Ellos se sobreponen y refuerzan uno a otro. Si los estudiantes practican el pensar y comunicarse científica y matemáticamente, y conectan sus habilidades a las experiencias de su vida diaria, descubrirán la riqueza de las nuevas técnicas en ambas áreas.El aprender a comunicarse efectivamente hace más accesible el mundo de la ciencia y las matemáticas fuera de la escuela. También se promueve la interacción y la investigación de ideas al interior del salón de clases conforme los estudiantes aprenden en un ambiente verbal y activo. El trabajo con la comunicación de ideas científicas y matemáticas beneficia a todos los estudiantes en la medida en que experimentan avances en la precisión del discurso y escritura que demandan la ciencia y las matemáticas.

Uso de datosLas disciplinas de la ciencia y las matemáticas identifican a la estadística y la probabilidad como enlaces importantes a los contenidos de muchas áreas. Las habilidades de colección de datos, análisis, registro, uso de tablas y la lectura de gráficas proporcionan muchas oportunidades para la representación, interpretación y registro que aplica muchas de los conceptos y habilidades científicas y matemáticas.Muchas decisiones están basadas en la investigación y la proyección. Si estos datos deben ser usados y entendidos, los estudiantes deben ser capaces de procesar tal información eficientemente. Por ejemplo, considere los conceptos científicos y matemáticos involucrados en las siguientes situaciones:Reportes del clima --decimales, porcentajes, probabilidad, patrones climáticos, zonas climáticas, frentes climáticos, temperatura, lecturas de humedad, etc.Encuestas de opinión pública -técnicas de muestreo, errores de medición, número de participantes, colapso de resultados, y por el estilo.Anuncios publicitarios –prueba de hipótesis, investigación de productos, encuestas, registros de ventas, proyecciones y así sucesivamente Reporte mensuales de gobierno – desempleo, inflación, tasas de interés, abastecimiento de energía, análisis de presupuestos, y otros. Todos los medios de comunicación dependen de estas técnicas para resumir información. La radio, televisión y periódicos nos bombardean con información estadística. La demanda usual por habilidades en procesamiento de información continua creciendo a medida que los estudiantes viven y aprenden en un contexto estadísticamente poblado.

GraficarLas habilidades en graficación incluyen la construcción y lectura de gráficas, y la interpretación de información gráfica. Estas habilidades deberían ser introducidas en los grados tempranos. Los datos deberían depender de la maduración de los niños. Aquí están unas pocas de fuentes de datos de inspección que pudieran ser colectados en el salón:

• Características físicas –estatura, color de ojos, tamaño de zapatos

• Características sociológicas - cumpleaños, número de miembros en la familia, número de mascotas

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• Preferencias personales – programa favorito de televisión, libro favorito, deporte favorito, comida favorita.

Cada una de estos conceptos da a los estudiantes la oportunidad de coleccionar datos por sí mismos. Las gráficas son una importante forma de comunicación en ciencia y matemáticas. Los mensajes gráficos pueden proveer grandes cantidades de información en un vistazo. Las gráficas a menudo son usadas para hacer predicciones. Al crear una gráfica es importante hacerla grande y suficientemente clara para ser manipulada por los estudiantes, y para que los otros estudiantes hagan interpretaciones, predicciones ó análisis (Heddent y Speer 1994). Usar el lenguajeEl lenguaje es una ventana hacia el pensamiento y entendimiento del estudiante. Para la mayoría de los individuos, el lenguaje oral es el medio primario de comunicación. Uno de los objetivos cardinales en el salón de clase cooperativo es facilitar el uso del lenguaje oral y el escuchar como medios de comunicación y aprendizaje. El lenguaje también revela la calidad de comunicación científica y matemática del estudiante. Escuchar al lenguaje del estudiante es una valiosa forma de conseguir retroalimentación de los esfuerzos de los estudiantes. Existen muchas maneras de dar oportunidades a los estudiantes para practicar y usar el lenguaje efectivamente. La comunicación efectiva dependerá por supuesto, sobre conocimientos de tópicos, pero también en que los estudiantes estén conscientes de cómo comunicarse oralmente. CompartirEl proceso de compartir, ayuda a los estudiantes a sentirse más cómodos y menos inhibidos al hablar ante una audiencia. Los estudiantes desarrollan independencia a medida que comparten su trabajo e ideas (Templeton 1991). Las discusiones en clase son sostenidas después que los niños han tenido tiempo para explorar una actividad o idea particular. Los profesores usan estos tiempos compartidos por el grupo para resumir e interpretar datos de las exploraciones. Compartir con el grupo es un tiempo para que los estudiantes discutan sus ideas, se centren sobre relaciones científicas y matemáticas, y hagan conexiones entre las actividades. Usar las Relaciones Espacio - TiempoA medida que los niños comparan, clasifican y ordenan objetos, ellos pronto miran a las relaciones entre los objetos. Las relaciones son reglas o acuerdos usados para asociar uno o más objetos o conceptos con otros. Ciencia y matemáticas es una colección de relaciones entre objetos o conceptos. Una relación básica en la naturaleza es la conexión entre aire, alimento, agua y espacio. Esta variedad de factores afecta la habilidad de la vida salvaje para sostener su supervivencia en el tiempo. Todo en los sistemas naturales está entrelazado. Si una de las necesidades fuera eliminada la población animal decrecería y moriría. En matemáticas existen muchos ejemplos de relaciones. Ideas tales como seis, triángulo, unidades-decenas-centenas (como en el valor posicional), suma, producto, razón, y equivalente son todos ejemplos de relaciones. PredecirLos niños aprenden que no todas las predicciones son exactas. A menudo existe un alto grado de incertidumbre en la predicción. La habilidad para hacer predicciones está basada en observaciones habilidosas, inferencia, cuantificación, y comunicación. Los estudiantes que entienden la predicción están conscientes de que eventos imprevistos pueden cambiar las condiciones de una predicción y que una exactitud de ciento por ciento no es probable. InferirLa habilidad básica del proceso de inferencia involucra hacer conclusiones basadas en razonamiento. Las inferencias están basadas sobre observaciones y experiencias. Los estudiantes son a menudo muy creativos al hacer inferencias basadas en lo que han observado. Las inferencias extienden la observación permitiendo a los aprendices explicar sus hallazgos y predecir lo que ellos piensan que pasará.

Los procesos de indagación básicos que se han discutido son globales en su aplicación, y no están limitados a la investigación científica y matemática. Por ejemplo, los estudiantes pudieran usar el proceso de inferencia para tratar de entender porqué su profesor estaba enojado con ellos ayer en el laboratorio. Un estudiante pudiera organizar y clasificar sus bastimentos para un viaje de campo.

La referencia anterior aclara que aunque el objeto de postura didáctica es

único -la matemática-, a éste se tiene acceso y requiere para su desarrollo,







de una gama suficientemente amplia de habilidades como para complejizar

nuestros acercamientos didácticos.

Muy recientemente, en la escuela norteamericana (Driscoll, 1999)5 se ha

venido trabajando en la dirección de precisar más recursos para la

caracterización y conformación del Pensamiento Algebraico.

Otro factor de considerable importancia, es lo que podría llamarse una

tipología de objetos matemáticos de estudio, --algoritmos cuasi algoritmos,

conceptos, definiciones, teoremas, álgebras, etc., - y el papel que juega

cada uno de estos objetos matemáticos al interior de la disciplina

matemática.

Este hecho disciplinar, genera preguntas importantes para los fines

didácticos de promoción de experiencias aprendizaje:

¿Qué habilidades del pensamiento matemático potencian el acercamiento a

cada uno de los objetos matemáticos de estudio? O alternativamente, ¿qué

objetos matemáticos de estudio están implicados en cada aspecto del

pensamiento matemático (algebraico, geométrico, variacional: en sus

vertientes determinista y estocástica)?

¿Bajo qué estrategias didácticas es posible acercarse a cada uno de estos

objetos matemáticos? ¿En qué contribuye el estudio de cada uno de estos

objetos a la conformación en el individuo del pensamiento matemático?

y/o en todo caso,

¿Cómo podríamos formular, corregir y mejorar las conjeturas matemáticas

que son producto de la postura didáctica que se ensaya?

Aún incipientemente, la aproximación a alguna respuesta para estas

preguntas podría ser de considerable ayuda para el diseño de actividades

de enseñanza de las matemáticas con el propósito deseado: promover los

desarrollos de un “inventario” amplio de habilidades del pensamiento

5 Driscoll, Mark, Fostering Algebraic Thinking. Editorial Heinemann. 1999.Página 7 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






matemático pertinentes y competentes para el desarrollo autónomo en el

individuo de estrategias de acercamiento exitoso a un contexto

problemático dado.

De los parágrafos que anteceden, se desprende la advertencia de un cierto

tránsito desde las posturas escolásticas cerradas como la euclídea, la

empirista y la inductivista, hacia posturas más abiertas ante el

conocimiento como el falibilismo crítico popperiano y aun hacia una postura

fundamentada en los sistemas complejos.

Debido a la temporalidad intrínseca y la validez localizada –en forma,

tiempo y espacio- de las conjeturas que se han formulado en el contexto de

la complejidad apenas bosquejada por las anteriores consideraciones, lo

relevante podría ser, no el tener un gran cúmulo de información sobre los

objetos matemáticos, sino el tener las habilidades de indagación que

permitan tanto el formular conjeturas; como criticarlas, corregirlas y

mejorarlas y, ya que para ello se reconocen ocho o nueve posibles formas

de inteligencia; afirmamos que parece estarse dando un tránsito en

educación desde un Estado A hacia un Estado B; el primero acartonado y

cerrado metódicamente, el segundo más flexible, abierto e incluyente.

En la siguiente tabla se proporcionan algunas características de este

tránsito:

Estado A

Paradigma Mecanicista

Estado B

Paradigma Emergente Holista

Metáfora guía: la máquina, desarrollo lineal

Metáfora guía: organismos en red, conciencia, danza, arte.

Multidisciplinariedad Transdisciplinariedad Fragmentación del conocimiento Integración del conocimiento Sistematizada Holística

Conocimiento empírico - analítico Conocimiento empírico - analítico -

holístico Desarrollo del pensamiento Desarrollo de la inteligencia Cientificismo y/o dogmática Espiritual Reduccionista Integral Centrado en enseñar Centrado en aprender Currículum estático predeterminado Currículum dinámico indeterminado

Currículum centrado en disciplinas Currículum centrado en preguntas

relevantes

Centrado sólo en la ciencia Centrado en el conocimiento humano:

ciencia - arte - espiritualidad - tradiciones







Estado A

Paradigma Mecanicista

Estado B

Paradigma Emergente Holista

Indaga la dimensión externa, cuantitativa

Indaga las dimensiones externa - interna del universo cuantitativa - cualitativa del universo

Podemos conocer académicamenta el planeta sin conocernos a nosotros mismos

Sólo conociéndonos a nosotros mismos podemos conocer adecuadamente el planeta

Sólo existe la inteligencia lógico - matemática

Existen por lo menos siete inteligencias igual de válidas

Fundado en organizaciones burocráticas (p.e. universidades, escuelas, etc.)

Fundado en comunidades de aprendizaje

Cambios superficiales de la conducta Cambios profundos de la conciencia Disciplina académica Campo de indagación

Basada en la conciencia mecanicista de Descartes - Newton - Bacon

Basado en la ciencia de frontera de Bohm . Varela, Maturana, . Prigogine

Débil presencia de la psicología Fuerte presencia de la psicología holista

transpersonal Paradigma de la simplificación Paradigma de la complejidad

Nota: Tabla tomada de

http://fractus.uson.mx/Papers/Varios/Edu-Hol.html

En este contexto, y el desprendido del análisis de documentos recientes de

Sfard (1997)6, Maturana (1997-1998)7, Adams & Hamm (1998), nos

percatamos de que un recurso metodológico y contextual influyente,

mediante el cual actualmente se está intentando realizar el tránsito antes

descrito es el del diálogo8, la conversación o interacción de las

coordinaciones recursivas derivadas de la convivencia en el lenguaje a

través de la WWW.

Las consideraciones teóricas anteriores, nos hacen creer en la necesidad de

intentar –en la medida de lo posible- un trabajo de articulación de algunas

6 Ver http://fractus.uson.mx/Papers/Sfard/Anna_Sfard.html

7 Ver http://fractus.uson.mx/Papers/Maturana/metadesign.htm

8 Lee Mark, El diálogo en la educación: un verdadero arte del aprendizaje. Artículo publicado en: El destino indivisible de la educación. Propuesta holística para redefinir el diálogo humanidad-naturaleza en la enseñanza. Fundación Internacional Nuevos Paradigmas del Hombre. p 124-125., Editorial Pax. México, S.A., 1997. <<Como maestro, Krishnamurti hacía uso de un enfoque de formulación de preguntas y de indagaciones para permitir que la verdad se revelara a sí misma. Declaró que nadie podía dar la verdad a otro, la verdad no puede enseñarse. De suerte que el diálogo asociado a esto es el proceso de "ser juntos" y de "ver juntos" donde se permite que la potencia de una pregunta actúe dentro de un grupo. El término diálogo proviene de la raíz griega dia más logos. Logos significa "el verbo" y dia significa "a través de" y no dos. Esto sugiere que el significado está pasando a través de, o fluyendo entre los participantes. Esto distingue al diálogo de la conversación o la discusión, donde el escuchar y el entender no son tan importantes como es expresar y el ganar argumentos intelectuales.>>Página 9 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)




http://fractus.uson.mx/Papers/Maturana/metadesign.htm

http://fractus.uson.mx/Papers/Sfard/Anna_Sfard.html

http://fractus.uson.mx/Papers/Varios/Edu-Hol.html



de ellas para los fines específicos de la educación matemática y de la

matemática educativa.

Por su lado, el contexto particular de la WWW –en el que nos hemos

propuesto realizar este trabajo- ofrece un nuevo y gigantesco reto a la

educación, pues en ella se han multiplicado vertiginosamente los recursos

para la interacción de un individuo con su entorno, y éstos no se

encuentran ya más restringidos a la producción semiótica: oral y/o escrita,

sincrónica, comunal, en una vecindad espacial o temporal - limitada en sus

formas de organización o sistemas de representación y suscrita a la

administración tutelar o institucional para los efectos de coordinación

recursiva de las interacciones de un individuo con los objetos tangibles,

conceptuales, relacionales y estructurales que demanda su educación en

cualquier campo de experiencias.

Así pues, la WWW está obligando a los pedagogos y a las instituciones a

repensar –en toda disciplina y en particular con relación a los objetos

matemáticos- un nuevo cuño pragmático de la docencia, no sólo en lo

referido al

• Dónde (ahora es posible desde cualquier parte del mundo) y el

• Cuándo (ahora es posible en cualquier momento - día o noche- y

modo -sincrónico o asincrónico- y aún de época –diacrónico-) de las

actividades de enseñanza y aprendizaje

sino también en lo relacionado con el

• Qué -cualitativo, enfocado a los procesos de desarrollo de un

campo de experiencias - y el

• Con qué –instrumental, ahora altamente tecnologizado y, por ello,

necesariamente acompañado de nuevas exigencias pragmáticas-

inherentes a toda aproximación didáctica, esto es a toda actividad de

estudio.







Desde luego, nuestros subsistemas educativos no están exentos de la

influencia de este movimiento didáctico mundial sobre la enseñanza de las

matemáticas y así en el tercero y cuarto párrafos de la fundamentación

teórico metodológica que introduce al Programa de Matemáticas I

(DGBPPEPR14RE-011) y, más generalmente, al currículo matemático para

el Nivel Medio Superior, encontramos un par de frases que precisan tanto la

necesidad de que los estudiantes del nivel aborden la consecución de un

campo de experiencias en un tipo especial de pensamiento, como un

bosquejo incipiente de algunas de las características que éste debiera

poseer.

Transcribo textualmente,

Ya que las matemáticas juegan un papel central en la cultura moderna, es

indispensable una comprensión básica de ellas en la formación científica. Para lograr

esto, los estudiantes deben percatarse de que las matemáticas forman parte del

quehacer científico, comprender la naturaleza del pensamiento matemático y

familiarizarse con las ideas y habilidades de esta disciplina,…9

El enfoque para el campo de conocimiento matemático se conforma con contenidos

referidos al pensamiento numérico, algebraico, geométrico y probabilístico, que

permite el desarrollo de la capacidad para formular razonamientos matemáticos a

partir de la observación, generalización y formalización de patrones, de plantear,

modelar y resolver problemas. …10

Las declaratorias antecedentes para el currículo matemático del nivel medio

superior de educación son consistentes con aquello que hemos encontrado

en el eje de estudio de la escuela secundaria que lleva por título Sentido

Numérico y Pensamiento Algebraico, en la página 27 de cuyos programas

puede leerse:

“La idea central de este eje en el nivel secundario es que los alumnos desarrollen una forma de pensamiento11 que les permita construir modelos matemáticos para resolver situaciones problemáticas en diversos contextos, operar con dichos modelos e

9 Tercer parágrafo en la fundamentación del Programa de Matemáticas I (DGBPPEPR14RE-011)

10 Ibid., cuarto parágrafo

11 el énfasis en cursiva es míoPágina 11 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






interpretar los resultados obtenidos para contestar las preguntas que se hayan planteado inicialmente.”

JustificaciónDesde hace ya algún tiempo, es conocido en nuestro país el estado

deplorable de las estadísticas de reprobación en matemáticas.12

Por otro lado, la evolución los resultados desprendidos de los grupos de

investigación de la educación matemática, señalan la existencia de un

panorama cada vez más complejo en su conformación y, aún inédito en la

investigación generalizada de su operación.

Por tanto, es de hacerse notar la urgente necesidad de formar y/o

actualizar a los profesores en la articulación pragmática de asuntos como:

• los paradigmas de educación matemática más recientes, es decir en

aquello que podría perfilar a la enseñanza de las matemáticas, como

la promoción de una forma particular de pensamiento que conlleva –

en su caso óptimo- tanto a una forma especial de actuar, como de

elegir ante una situación problemática, las estrategias o modos de

acción que es posible adoptar en calidad de recursos óptimos para

encontrar posibles respuestas a satisfacción de los requerimientos

impuestos por ella.

12 De antemano indico que este problema es un asunto de orden social y que si empezamos a trabajar hoy bajo un programa serio para su abatimiento, sería irreal el esperar resultados positivos en un tiempo menor a dos generaciones.

La indicación anterior tiene que ver con la naturaleza intrínseca del problema –social- y la necesaria correspondencia entre éste y la unidad de tiempo requerida para observar cambios en sus variables. Por ejemplo, podemos suponer que las semanas, los meses o aún los años son unidades de tiempo adecuadas para observar cambios en las variables implicadas con la construcción de una obra de ingeniería, o que los nanosegundos son la unidad adecuada para la observación de eventos en un proceso de cómputo, o que los millones de años son unidad adecuada para un proceso cósmico. De manera análoga, podría pensarse que los fenómenos sociales tienen como unidad adecuada para la observación de cambios en sus variables a las generaciones.

Aclarado el punto, conviene aclarar también que lejos de descorazonarnos, en algún momento hay que empezar el trabajo aunque quizá –por la escala de tiempo- no alcancemos a ver cambios significativos en el tiempo que nos ha tocado vivir.Página 12 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






• Las nuevas tecnologías de comunicación, información y la posición

influyente de éstas en la conformación de nuevas formas sociales de

organización para la producción de conocimiento y/o –más

generalmente- para la exploración del espacio y el tiempo actuales.

Todo lo anterior, supone desde luego que todo el esfuerzo del profesor en

su calidad de director de estudio13, esté enfocado hacia un conocimiento

más amplio del objeto y modalidades para su estudio –en este caso de las

matemáticas- y de las relaciones de estos objetos con las posibles

actividades del estudiante. Quizá está demás decirlo, pero es sólo un

conocimiento claro de las nociones que se van a estudiar lo que puede

permitir al profesor comprender las dificultades del estudio de las

matemáticas y, consecuentemente, de la necesidad de la adopción de

metodologías que den cuenta de ellas.

Este conocimiento claro no puede soslayar el análisis de las nociones

matemáticas y de sus niveles de complejidad, distinguiendo claramente

entre la necesidad del matemático de localizar los axiomas lógicamente

más generales y de mayor alcance y, por otro lado, la necesidad del

profesor –director de estudio- por localizar las nociones y relaciones más

simples desde el punto de vista cognitivo.

La diferencia en intencionalidad del matemático y la del profesor, señala

dos formas y objetos operativos totalmente diferentes, pues mientras que

la necesidad y generalidad lógica plantea esquemas lineales del estilo

...A B C D E F→ → → → →

el desarrollo de la mente humana –en su aparentemente simple, vaguedad

y desorden- plantea multiplicidad de órdenes parciales

13 Chevallard, Y., Bosch, M., Gascón., ”Estudiar matemáticas: El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. 1998. SEP-Cooperación Española, Fondo Mixto de Cooperación Técnica y Científica México-España. Página 13 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






lo que da lugar a la adquisición simultánea de nociones relativamente

independientes, incrementando la complejidad de la tarea del profesor que

debiera tener esto en cuenta para la dirección de las actividades de estudio

de las matemáticas.

Otro análisis a tener en consideración es el análisis de las labores de

estudio, las que suelen ser de muy diversa índole: estudio de situaciones

nuevas, manipulaciones operativas, conferencias del profesor, discusiones

colectivas y su análisis, ejercicios, etc.

Esto plantea la necesidad de instaurar un programa de investigación que de

cuenta de aquello que se espera del estudiante y acerca de cómo variar –en

la medida de lo posible de manera exhaustiva- las nociones y relaciones

matemáticas, los criterios de actuación aceptables (resultados,

descripciones, verificaciones o criterios de validación de resultados,

estrategias posibles, etc.) y las condiciones de estudio (individual, colectiva,

presencial, sincrónica por parejas o con toda la clase, con ayuda o

autónoma, etc.)

De la confrontación de las labores de estudio de las matemáticas y de las

operaciones del estudiante, surge la posibilidad de abordar un análisis de

los aciertos y errores.


A

B

C

E

D

F

G

H

I

J






Se esperaría que al análisis –por cierto poco común- de los procedimientos

operativos exitosos, de los estudiantes arrojara información sobre los

medios y/o estrategias empleados por el estudiante para alcanzar el

objetivo de estudio propuesto, las etapas u órdenes parciales usados por el

estudiante, a fin de ir perfilando aquellos que son usados más

frecuentemente como los más simples para el estudiante, aquellos que son

más eficientes en su búsqueda y cortos en su extensión, aquellos que están

restringidos a cierto nivel y/o condiciones de estudio, etc.

Por otro lado, la necesidad de análisis de los procedimientos es aún más

clara con relación a los que resultan ser erróneos, pues se esperaría que

éstos arrojaran luz en la identificación de las dificultades asociadas con los

objetos de estudio y la probable determinación de medios para

transcenderlas.

Y, desde luego, los medios utilizados por el estudiante, los caminos que

sigue para resolver un problema o alcanzar el objetivo solicitado, están

profundamente imbricados con la representación que él se hace de la

situación.

Así pues, se hace necesario un análisis de las representaciones, pues

según el estudiante perciba y articule o no las relaciones, las

transformaciones y las nociones que intervienen sustancialmente en la

situación de estudio y las propiedades conocidas por él acerca de ellas,

genera o no un procedimiento, una estrategia u otra y/o eventualmente,

abandona la labor de estudio emprendida.

Cabe aclarar que la noción de representación no debiera reducirse a la

noción de símbolo o signo y/o en todo caso, ésta abarca también la noción

de concepto; un ejemplo claro de ello es que la escritura simbólica del

número es distinta del concepto de número.

La diferencia –no trivial- entre significantes (símbolos o signos) y

significados (objetos de orden cognitivo) remite a la precisión de que la

representación, en tanto sistema simbólico, no remite directamente al







mundo material, donde los significantes representan directamente objetos

materiales.

Así pues, el símbolo no es más que la parte directamente visible del iceberg

conceptual; la sintaxis de un sistema simbólico no es más que la parte

directamente comunicable del campo de experiencias que se representa y,

desde luego, la sintaxis es el producto final de todo aquello que no es

directamente visible o comunicable pero en la que tiene sustento y en todo

caso, constituye lo que dio lugar y razón a la sintaxis; los procesos y

acciones cognitivas materiales y conceptuales del sujeto que le dan un

significado.

Propuesta Académica

ComponentesPara la disciplina matemática y, a fin de dar atención a las necesidades

expuestas en el apartado de justificación, preveo la posibilidad de organizar

una elección de objetos de estudio y fuentes de experiencia, atendiendo

fundamentalmente a dos entradas al sistema:

1. La conformación epistemológica de los tipos de pensamiento

matemático que dan lugar a disciplinas matemáticas, esto es,

aquello que es emergente de una caracterización pragmática de


Procesos, Tecnología, Sintaxis

Mentalidad, Actitudes, Procesos cognitivos






recursos de acción e interacción con los objetos de estudio a fin de

promover componentes del Pensamiento Algebraico, Geométrico,

Variacional (determinista y estocástico)

2. La coordinación de las acciones e interacciones de los

participantes mediante el uso de una plataforma tecnológica,

que permita su realización bajo las siguientes características:

o Dialógica

o Recursiva

o Autosimilar a cualquier escala de su desarrollo

En el caso particular de la primera entrada al sistema, propongo indagar y,

en la medida de lo posible precisar, acerca los siguientes campos de

experiencia:

1. Una Casuística del Pensamiento (…Matemático):

a. Algebraico

b. Geométrico

c. Variacional (Determinista y Estocástico)

2. Las Matemáticas como un objeto de estudio

En el caso de la segunda entrada al sistema, propongo que:

• todas las actividades de estudio sean realizadas atendiendo a la

conformación de formas de organización social para la producción de

conocimientos más acordes con los recursos tecnológicos de los que

actualmente se dispone.

• el uso de una plataforma tecnológica de las clasificadas como

Multimediated Content Management Systems, con las características

antes mencionadas.







La metodología de trabajo se perfila a través de un sistema de enseñanza que se desprende del esquema conceptual y operativo que se muestra en el diagrama.

Sistema de enseñanza reportado en el Proyecto "Centro Virtual de Servicios Docentes"

bajo la Clave: SON-2004-CO2-037 correspondiente al Fondo Mixto de Fomento a la Investigación Científica y Tecnológica

CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. 2004-2

• En un primer momento, se proponen contenidos y preguntas de manera heterónoma a fin de provocar la reflexión individual y colectiva de los participantes (Identifíquese con los Problemas en las Actividades de cada Sección de estudio).

• En un segundo momento, se intenta promover la participación autónoma relacionada con una temática específica, tanto en el decir como en el organizar de sus acciones e interacciones dejando que los participantes precisen tanto sus propios intereses de estudio como las características distintivas de su quehacer y formas de organización alrededor de un objeto o tema de estudio (Identifíquese con Foros de Discusión).

La expectativa general es que esto redunde y se concrete en la producción de aproximaciones conceptuales que pasen a formar parte de una base de conocimiento institucional (Identifíquese con los productos por grupo de trabajo y la resolución de Tareas) con una doble valencia:

• por un lado, a manera de Memoria Académica para el apoyo de las nuevas generaciones

• por otro, como un punto de partida para el siguiente ciclo de vida (curso, época, semestre, etc.,) así como de trabajo y precisión sobre los objetos de estudio elegidos.







Este sistema de enseñanza está fundamentado en la acción e interacción de los profesores participantes en los Foros de Discusión, normada por un "Colegio Invisible"14 de observadores expertos con la función de reorientar las discusiones y/o proponer nuevos contextos en los que podría darse una nueva discusión o tema, ya sea durante el transcurso o en una siguiente versión del Curso-Taller.

Así pues, nos proponemos abrir discusiones por bloques de significación conceptual (ver programa de trabajo) y lograr que las participaciones de los profesores planteen, tanto de manera individual (profesor-estudiante) como colectiva (como agrupación académica en cada comunidad de estudio local) formalizaciones objetales locales y globales.

En cualquier caso, se espera que de cada una de las discusiones se obtenga un "producto" -a manera de formalización local- sobre un tema específico de los que, una vez valorado por el "Colegio Invisible", habrá de conservarse y publicarse debidamente como parte del Patrimonio Académico Temático de la institución o comunidad que adopte este Curso-Taller como ejercicio docente formativo.

Estas formalizaciones locales irán conduciendo a la sintonía de formas de organización de la comunidad académica en vías de la precisión de los objetos de estudio de su interés y/o en todo caso, de precisiones y formalizaciones locales que, de manera posterior a su valoración conjunta pon el "Colegio Invisible", habría que conservar y publicar debidamente como parte del Patrimonio Académico de la comunidad que lo ha emprendido.

En resumen, en este Curso-Taller se trabaja con una metodología que contempla fundamentalmente tres características operativas:

• Dialógica• Recursiva y,

• Autosimilar a cualquier escala de su operación y desarrollo.

Estas tres características de la metodología de trabajo, permiten inscribir a este Curso-Taller en el contexto teórico, práctico y propositivo de las formas de organización social para la producción de conocimiento que,

14 Parece que la expresión “colegio invisible” la empleó por primera vez el inglés Roberto Boyle (1627-1691) quien bautizó así al grupo de científicos con los que intercambiaba información acerca de las investigaciones llevadas a cabo por cada uno de ellos. Este grupo informal fue el germen de las creación en 1662 de la Royal Society. “La compañía, que ya no se limitaba a los eminentes y respetables residentes de una capital se convirtió en un “colegio invisible”. Para ser escuchado en la Royal Society de Londres no era necesario asistir a sus reuniones. John Beale podría escribir desde Herefordshire, en el oeste de Inglaterra, y describir los problemas de las huertas […] Nathaniel Fairfax de Suffolk, informó sobre unas personas que comían personas y sapos […] La lista también incluía a John Flamsteed, que escribió sobre astronomía desde Derby-shire y a Martin Lister que escribió desde York sobre biología. Y, desde luego, había frecuentes comunicaciones de Boyle y Newton.”

(D. J. Boorstin, Los descubridores, Ed. Crítica, Barcelona 1986, p. 378.)Página 19 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






enfocadas desde la Teoría de los Sistemas Complejos, se proponen potenciar en los participantes la experiencia de una mirada de tercer orden.

Esquema reportado en el Proyecto "Centro Virtual de Servicios Docentes"

bajo la Clave: SON-2004-CO2-037 correspondiente al Fondo Mixto de Fomento a la Investigación Científica y Tecnológica

CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. 2004-2

La metodología de trabajo propuesta en los dos esquemas anteriores, ha sido propuesta como una concreción a las consideraciones teóricas establecidas en los siguientes dos principios:

1. La Continuidad Funcional de los procesos constructivos, como producto del rechazo a las posiciones empiristas y aprioristas, en tanto no hay algún factor específico (intuiciones, sensaciones) a partir del cual se elabora el conocimiento, no hay un momento preciso en el cual “comienza” la actividad cognoscitiva.

a. La ruta que va desde los procesos puramente biológicos, incluyendo los reflejos más elementales, hasta los movimientos voluntarios y las actividades con características que permiten considerarlas como







cognoscitivas, muestra una transición gradual, sin puntos de discontinuidad.

b. El conocimiento es caracterizado como un proceso que toma sentido en un contexto social, y cuyos “grados” o “niveles” también adquieren significados en dichos contextos.

c. La ciencia es caracterizada como una institución social, cuya significación se pone de manifiesto a partir de las circunstancias históricas que llevaron a establecer lo que cada sociedad consideró como la ciencia de su época.

2. La generalidad de los mecanismos constructivos, en analogía al principio que condujo al Principio de la continuidad de los procesos constructivos, los mecanismos de adquisición del conocimiento deben ser comunes a todas las etapas de desarrollo, no sólo desde la niñez hasta la persona adulta, sino también hasta los niveles más altos del conocimiento científico, ya que los procesos constructivos son inseparables de los mecanismos con los cuales se desarrollan15.

Así pues, esto nos ha conducido a proponer una metodología de trabajo prototípica que en virtud de la generalidad de los mecanismos constructivos del conocimiento, es aplicable a cualquier disciplina y a cualquier nivel educativo.

Como organismos vivientes y por tanto entidades cognitivos, somos funcionalmente abiertos, pero estructuralmente cerrados, pues en última instancia nadie –excepto nosotros mismos- decide cuándo y cómo reestructurar nuestros esquemas de pensamiento.

Así pues, para romper la “concha autopoiética16”, proponemos que, es sólo en la medida en que logremos un incremento en nuestra capacidad conjunta de acción, interacción y atención docente, que tendremos alguna idea de cómo impacta lo que hacemos en otros.

El acercamiento reflexivo y denso a los aciertos o desaciertos de mi propia práctica docente, es una condición propedéutica para su transformación y, es sólo el "prisma" de la opinión compartida con otros, lo que puede ayudarme a ver cómo "difracta" -en otros- lo que yo hago, obteniendo así, considerable ayuda para mejorarla.

15 Piaget y García. Psicogénesis e historia de la ciencia. 1983. Capítulo 8, p. 216.

16 http://es.wikipedia.org/wiki/Autopoiesis:La autopoiesis (del griego αυτο-, auto, "sí mismo", y ποιησις, poiesis, "creación" o "producción"), es un neologismo propuesto en 1971 por el médico y sociólogo chileno Humberto Maturana y el biólogo Francisco Varela, para designar el tipo de organización de los sistemas vivos. Se define muy ligeramente como la capacidad de los sistemas de producirse a sí mismos.Página 21 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)




http://es.wikipedia.org/wiki/Francisco_Varela

http://es.wikipedia.org/wiki/Humberto_Maturana

http://es.wikipedia.org/wiki/Chile

http://es.wikipedia.org/wiki/Neologismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griego



Selección y organización de objetos de estudio: el caso del Pensamiento Algebraico

A continuación se presentan los materiales elegidos para atender una parte

de la casuística antes presentada, en particular para la denominada

Pensamiento Algebraico.

A este fin, se ha elegido un cierto número de problemas que, organizados

en actividades para los profesores, permiten lograr un “acercamiento vivo”

a aquello que podríamos llamar Pensamiento Algebraico.

El acercamiento vivo al que se hace mención en el párrafo anterior, tiene

que ver con el aspecto metodológico que se profesa, razón por la que las

actividades que se promueven tienen como hilo conductor tanto la actividad

autónoma del profesor participante en la resolución de problemas, como la

reformulación dialógica de los mismos en el esfuerzo de adecuación a las

exigencias de sus interlocutores que –continuamente- están planteando

diferentes contextos y exigiendo nuevos niveles de precisión.

Más explícitamente, esto último estará fundamentado en el escalamiento

sucesivo de exigencias de respuesta a preguntas que, aunque toman como

pretexto a la misma situación problemática, permiten ir planteando –ante

cada nueva exigencia inquisitiva- contextos que fuerzan a un nivel más

avanzado de reflexión:

• tanto del estado de reconocimiento anticipado de aquello que podría

constituirse en una solución(es) al problema,

• como sobre los recursos que permiten elaborar una estrategia como

forma de tránsito entre la situación original y aquel estado de ella en

que es posible reconocer una o varias soluciones,

• para finalmente, en una visión retrospectiva, hacer un recuento y

formalización local -en lo posible- de todos aquellos elementos que

podrían ayudarnos a precisar componentes de nuestro objeto de







estudio; una forma especial de pensamiento, en este caso el

algebraico.

Siguiendo a Driscoll, Mark (1999), en la figura se propone el “Hacer-

Deshacer” como recurso para lograr el correlato conceptual entre la

“Abstracción desde los cálculos” y la “Construcción de reglas para

representar funciones”.

En términos de ello, se ha perfilado la adaptación a esta metodología de

trabajo de una colección de actividades17 organizadas en diez secciones

que, al ser montadas en una plataforma tecnológica con las características

antes descritas, permiten ir cubriendo ciertos objetivos de aprendizaje

mediante la revisión comentada de los profesores participantes, con salidas

parciales de productos académicos, algunos de los cuales pasarían a formar

parte del patrimonio institucional, todo ello según la metodología de trabajo

descrita y esquematizada antes.

17 ver: http://www.learner.org . Aunque las actividades han sido tomadas en su totalidad del sitio mencionado, cabe indicar que no nos eran útiles en su estado original pues estaban en inglés y montadas en un sitio web en el que la única interacción posible era verlas y eventualmente reactivar -para volver a ver- alguna de las demostraciones o presentaciones flash o en video contenidas en ellas. La adaptación consistió en traducirlas, adaptar el lenguaje de las situaciones y montarlas en una plataforma en la que fuera posible la interacción dinámica entre los participantes, entre los participantes y los contenidos del curso y sus productos parciales de acción e interacción con ellos, a fin de posibilitar el que la tesis expuesta en este escrito tuviera el sustento operativo y funcional requeridos.Página 23 de 30http://fractus.uson.mx (Academic Server)vhernanfractus@ gmail.com (e – mail) +52 (662) 848 81 26 (Personal phone)+52 (662) 220 56 11 (Home phone)






Objetivo general del Curso-Taller: Pensamiento Algebraico

Introducir al profesorado al tipo de herramientas de las que podría disponer

para promover en sus estudiantes un tipo especial de pensamiento, el

algebraico.

Objetivos específicos Éstos se han asimilado a la segunda columna de la tabla descriptiva del

listado de contenidos.

Dirigido a: Profesores del Área de Matemáticas en el Nivel Medio, así como

coordinadores y tomadores de decisiones relacionadas con el área de ese

nivel educativo.

Duración La duración prevista del curso es de aproximadamente 80 horas de trabajo.

Contenidos Se puede acceder a la organización de los objetos perfilados para su estudio

y las actividades específicas para cada uno de ellos en la liga que se

proporciona.

Evaluación y acreditación de los participantes Para efectos de evaluación, el Colegio Invisible tendrá especial interés en

atender continuamente las participaciones de los profesores en las

diversas instancias de trabajo:

• Socialización oportuna de la solución a los problemas y actividades propuestas

• Participación y réplica en los foros de discusión• Entrega y socialización de cada una de las tareas de estudio

propuestas

El Curso – Taller: Pensamiento Algebraico fue sometido al fuego de la validación académica y práctica del Subsistema de Educación Media Superior denominado Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora.





http://fractus.uson.mx/CV/main/course_description/index.php?cidReq=PM&id_session=0&gidReq=0

http://fractus.uson.mx/CV/main/course_description/index.php?cidReq=PM&id_session=0&gidReq=0

http://fractus.uson.mx/CV/courses/PENMAT/

http://fractus.uson.mx/CV/courses/PENMAT/



En el Curso – Taller participaron los profesores de las academias de matemáticas de los veintiún planteles (Alamos, Caborca, Empalme, Ernesto López Riesgo, Etchojoa, Huatabampo, Magdalena, Navojoa, Nogales, Nuevo Hermosillo, Obregón 1, Obregón 2, Pitiquito, Pueblo Yaqui, Puerto Peñasco, Quetchehueca, Reforma, San Ignacio Río Muerto, San Luis Río Colorado, Sonoita, Villa de Seris) del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora.

Uno de los resultados de este Curso-Taller en línea, fue la concreción de perspectivas de trabajo conjuntas y distribuidas. Los profesores tomaron conciencia de que ninguno de ellos, ni los planteles ni aún las autoridades de la institución, pueden dar cuenta de los problemas asociados con el estudio de las matemáticas en la región y que, en todo caso, esto es un problema de corresponsabilidad distribuida, tanto institucional como interinstitucional.

Se cuenta también entre los logros de esta interacción, el que los profesores tomaran conciencia de que pueden hacer trabajo académico con repercusión regional aunque no estén en la misma locación –ciudad o plantel- pues les es posible coordinar sus acciones e interacciones para la producción académica de manera remota y distribuida.

Uno de las iniciativas más notables a partir de la experiencia tenida en el área de matemáticas, resultó en la extensión de la idea y formas de organización para el trabajo en otras disciplinas, precisando la idea de hacer un cuerpo académico interdisciplinar para la producción de materiales de ciencias básicas (física, química y matemáticas) y geografía.

Entre las dificultades técnicas que hubo que resolver fue el de la instalación de un Multimediated Knowledge Management System en un servidor virtual remoto a fin de asegurar que esta plataforma no estaría influida por la circunstancia temporal de falta de servidores de la Dirección de Informática local y ni por las eventualidades del suministro de energía y problemas de configuración derivados de los fallos repentinos en la red de suministro municipal.

Comentarios sobre las Redes de EstudioDesde luego, es bastante aventurado precisar alcances y limitaciones del “estudio en línea”, pues el término cubre tal variedad de tecnologías y formas de operar con ellas que no nos queda sino expresar o asumir un cierto escepticismo respecto a las afirmaciones que se hacen a este respeto. No obstante hemos tenido oportunidad de experimentar con la metodología de trabajo propuesta en la figura anterior y precisar de ello ciertas ventajas y desventajas de la promoción de redes de estudio.







La experiencia con el Curso – Taller: Pensamiento Algebraico 18 desarrollada durante el periodo comprendido de septiembre de 2006 a febrero de 2007 con los profesores de matemáticas del Colegio de Bachilleres de Sonora, institución educativa de cobertura estatal de nivel medio superior, me permitieron hacer las observaciones que se consignan a continuación.

Flexibilidad interactiva física y temporal

Las redes de estudio tienen una gran cantidad de grados de libertad para la interacción entre los participantes y de los participantes con los objetos de estudio. Las formas convencionales de educación suponen el que la interacción con sus compañeros requiera de una manifestación física presencial, en cambio las redes de estudio potencian la interactividad y la flexibilidad de atender lo requerido en el tiempo y espacio requerido por el participante.

Co-responsabilidad

La flexibilidad interactiva, puede ser aprovechada para plantear tareas que promuevan formas más comprometidas, autónomas y corresponsables de interacción entre los participantes y con los objetos de estudio.

Profundización reflexiva

La interacción asíncrona en línea, presupone al participante más tiempo para considerar lo que otros han estado “diciendo” como apoyo para reflexionar, para consultar libros y otras fuentes, en la preparación de sus contribuciones. Esto contrasta fuertemente con las interacciones que se dan en una dinámica sincrónica en “tiempo real” –tales como en los seminarios cara a cara- donde hay mucho menos oportunidad para considerar y preparar sus propios argumentos. Esta oportunidad reflexiva podría sugerir un procesamiento más profundo de la información, aunque esto no es garantía de que suceda.

Registros permanentes

Lo que se dice en un seminario presencial desaparece rápidamente de la memoria y en mucho menos tiempo del empleado en decirlo –sea bueno o malo- ya no estará disponible para subsecuentes relaciones. En contraste con esto, están las discusiones en ambientes de estudio en línea que dejan una traza más duradera, en virtud de que es posible colectar las bitácoras de acción e interacción entre todos los participantes y/o con el objeto de estudio en cuestión.

Trabajo en equipo

Las oportunidades para el trabajo en equipo están seriamente restringidas en la enseñanza convencional. Estas restricciones llegan a su punto más sensible cuando los participantes tienen que trasladarse a considerables

18 Este Curso-Taller es un producto parcial del Proyecto "Centro Virtual de Servicios Docentes" bajo la Clave: SON-2004-CO2-037 correspondiente al Fondo Mixto de Fomento a la Investigación Científica y Tecnológica CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora. 2004-2


http://fractus.uson.mx/CV/courses/PM/






distancias para entablar una actividad en equipo, lo que plantea serias dificultades para encontrar el tiempo y el espacio para ello. De esta manera, el estudio en línea constituye una opción importante para el trabajo en equipo pues prácticamente desaparecen la mayor parte de las restricciones impuestas por el tiempo y el espacio.

Interacción social

Es fácil subestimar y aún desestimar la importancia que tiene la interacción social para los fines de una red de estudio. Las críticas abundan cuando se trata la temática del uso del correo electrónico y de otros medios electrónicos para fines sociales. No obstante, podemos afirmar que no es sencillo entablar una relación de interacción crítica con los objetos de estudio sin tener o cultivar cierta “intimidad” en el compartir muchos más materiales que los estrictamente necesarios o consignados en las labores y actividades de estudio. Por otro lado y sin lugar a dudas, toda actividad de estudio presupone una forma de organización social, la que le da sustento al estudio. Así pues, parece poco afortunado el fraccionar lo “académico” de lo “social”, pues es precisamente del incremento en la densidad de estas interacciones de donde podemos colectar las mejores trazas de difracción de la profesión académica personal.

Facilidad de acceso a los recursos globales de información

Los participantes incrementan rápidamente su experiencia para usar los recursos globales de la WWW. La valía de ésta experiencia se pone en evidencia rápidamente cuando se trata de organizar discusiones y estudios exclusivamente a partir de materiales publicados en la WWW.

Grupos Sub - representados

Podemos afirmar que la mayor flexibilidad espacio – temporal de acción e interacción en ambiente de redes de estudio, permite que ciertos grupos de participantes tengan acceso a materiales y experiencias de estudio de las que usualmente no hubieran podido disponer. Así pues, las redes de estudio permiten la integración de miembros de grupos minoritarios que hacía mucho tiempo habían suspendido el interés y ejercicio de las actividades de estudio. Así pues, los patrones de sub participación que se dan en las actividades presenciales de estudio no se replican necesariamente en los ambientes de estudio en línea.

Intercambio de roles

El cambio en el rol de los participantes de una red de estudio cambian radicalmente moviéndose de la conferencia unidireccional del profesor en las actividades tradicionales de estudio hacia el acompañamiento experimentado del profesor en las actividades de estudio.

Desde luego, las ventajas antes enunciadas tienen que ver tanto con la tecnología elegida y disponible para su uso como con las formas en las que ésta es usada.







Sin importar qué tan fina o sofisticada sea la tecnología usada, ésta en sí misma no nos proporcionará los beneficios esperados, excepto por un afortunado accidente.

Por otro lado, un uso eficiente, planificado y con seguimiento de una tecnología, aun que ésta sea modesta, puede proporcionar resultados adecuados a las expectativas.

Así pues, en gran medida las “ventajas” dependen de una adecuada combinación entre una tecnología eficiente en sí misma y de una pedagogía apropiada. Sin un uso sensible de la tecnología, las ventajas antes enunciadas no se materializan y, en ocasiones lo hacen pero de manera contraproducente.

En los siguientes párrafos se consignan algunas “limitaciones” del estudio en línea que, con una adecuada visión, podrían convertirse fácilmente en áreas de oportunidad.

Carencia de riqueza expresiva

Los mensajes escritos no tienen la riqueza expresiva de un rápido intercambio verbal y en vivo, pero por otro lado, un texto bien trabajado puede ser más rico que la improvisación atropellada que todos hemos oído y producido en un seminario presencial.

Con cierta frecuencia se intenta suplir la necesidad de una expresión más rica usando los llamados “emoticons”, incluyendo símbolos como ;<) para representar ironía o juego. No obstante la pretendida “riqueza expresiva” tiene aciertos –o fallas- dependiendo del contexto o nivel de los comunicados.

Dilación en la respuesta

Algunas temáticas de estudio necesitan una comunicación con giros conversacionales y respuestas rápidas a las cuestiones que en ella se plantean.

En general esto no ocurre en las formas asíncronas de comunicación y, para puede convertirse en un serio obstáculo en el avance consistente de la experiencia de estudio, debido principalmente a la pérdida de enfoque e interés sobre lo estudiado.

Dilación en la toma de decisiones

Cuando la decisión o discusión de un grupo de trabajo se prolonga por días en lugar de minutos, la espera para lograr un consenso puede ser lenta, dura y eventualmente conducir hacia el abandono de las actividades de estudio.

Requerimientos de acceso técnico y competencia

Las interacciones plantean en general una gran cantidad de pequeños problemas de requerimientos técnicos y de competencias en el uso de interfases de los protocolos de comunicación y transferencia de archivos.







Algunos están esperando el video como una solución a estos problemas.

Mi anticipación es que sin importar cuál sea el medio de transferencia de datos, el verdadero problema no son los datos sino las operaciones cognitivas que es necesario que el individuo realice para el desarrollo de sus esquemas de acción e interacción en línea con sus compañeros y con los objetos de estudio. Como antes hemos indicado, el conocimiento es un producto temporal dinámico, esencialmente autócrata en sus estructuras, personal e intransferible.

Un estilo diferente de comunicación

Aunque las conversaciones en línea son a través de mensajes de texto cortos e irregulares, las personas que no tienen una digitación rápida suelen sentirse incómodas con ello y por ello prefieren “liberarse” mediante la comunicación asíncrona que es menos demandante y, por otro lado, liberadora de la presión que supone un debate digital sincrónico.

Niveles dispares de discurso

En los foros de discusión y entre las contribuciones a una discusión en línea, es bastante común encontrar una disparidad lingüística.

Algunas contribuciones pueden ser largas, profundas, analíticas y atinadas. Por el contrario, otras pueden ser más bien espontáneas y frívolas. Ninguno de estos extremos puede ser tachado de inapropiado, aunque algunas veces la mezcla que se da resulta desesperante para algunos participantes.

Despersonalización

El estrecho ancho de banda de las comunicaciones basadas en texto, reduce el rango de las señales de las que disponemos para construir una figura o esquema mental en la gente con quienes estamos interactuando, y para opinar sobre aquello que realmente quieren decir. Esto puede hacer que el discurso se torne más impersonal y analítico, lo que puede ser conveniente o inconveniente según las circunstancias.

La necesidad de las tareas compartidas como sustento de la actividad

Es poco común el que los participantes de un curso en línea compartan mucho tiempo de manera sincrónica a la manera en que se conducen los seminarios cara a cara -los que normalmente se llevan a la práctica en tiempos bajo un calendario- pues es precisamente el uso flexible del tiempo lo que resulta atractivo de un curso en línea.

Por otro lado, la ausencia de calendarios para los eventos en línea podría reflejarse en un compromiso muy débil del participante para avanzar en las actividades de estudio.







Recursos de apoyo

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