О КРИВИЗНЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В БАССЕЙНЕ Р. КУБАНИ

Ж.А. Думит, А.В. Погорелов

Морфометрическое описание земной поверхности выполняется

посредством основных параметров – высоты, наклона, ориентации,

кривизны. В сущности, данные параметры представляют собой

взаимодополняющие (комплементарные) и вытекающие друг из друга

геоморфометрические переменные. Применение совокупности этих

количественных переменных достаточно для выделения морфологических

элементов на земной поверхности. Это, в свою очередь, создает основу для

геоморфологической интерпретации самих географических ландшафтов,

поскольку рельеф является одним из главных структуроформирующих его

факторов.

Понятие кривизны земной поверхности. Из перечисленных выше

метрик кривизна реже всего используется в морфометрических описаниях,

однако она в наибольшей степени отвечает оценке формы поверхности.

Некоторые вопросы понятия и разновидностей кривизны остаются

дискуссионными и разноречивыми [12], в том числе и в части предлагаемых

алгоритмов расчета и даже знаков кривизны (положительная, отрицательная).

Следуя [8, 9] и другим авторам, кривизну земной поверхности можно

характеризовать с применением направления градиента ее наклона:

профильная кривизна kv (profile curvature) измеряется в направлении

градиента (т.е. по нормали к горизонталям), плановая (тангенциальная)

кривизна kh (plan curvature) – перпендикулярно градиенту.

Во множестве работ, посвященных геоморфометрии, указывается

главное свойство профильной кривизны, заключающееся в отражении

изменений угла наклона поверхности и контролировании скорости движения

вещественных потоков по склону. Иначе профильную кривизну можно

связывать с параметрами ускорения и дальнодействия. Плановая кривизна

отражает горизонтальную составляющую направления – ориентацию, а

также расхождение (дивергенцию) и схождение (конвергенцию) токов. От

показателей плановой кривизны, таким образом, зависит поли- и

моновекторность потоков, их концентрирующий или рассеивающий

характер.

Иначе говоря, профильную и плановую кривизну можно определить как

две ортогональные компоненты, где эффект гравитационных процессов либо

достигает максимума (вертикальная выпуклость), либо минимизируется

(горизонтальная выпуклость) [11, 13].

Плановая кривизна kh обычно измеряется в горизонтальной плоскости

как кривизна горизонталей, поэтому ее другое название – горизонтальная

кривизна. Ряд авторов отождествляет горизонтальную и тангенциальную

кривизну. Профильная кривизна kv известна также как «вертикальная» или

«нормальная» кривизна [2].

В данной работе мы сосредоточимся на наиболее распространенных в

настоящее время приемах расчета кривизны, ориентированных на цифровые

модели рельефа (DEM – digital elevation model), где высота z выступает

функцией плановых координат x и y. Следует отметить, что большинство

морфометрических переменных рассчитываются как частные производные

высоты z плановых координат x, y. Это иллюстрирует рисунок 1, где

представлены способы задания некоторых морфологических параметров на

одном и том же участке поверхности в бассейне р.Учкулан с получением

изоповерхностей. Для наглядности использована отмывка рельефа.

Рис.1. Морфологические параметры участка поверхности водосбора р.Учкулан: а –

абсолютная высота топографической поверхности (интервал сечения 250 м), б –

градиенты топографической поверхности или первая производная абсолютной

высоты (шаг изолиний 100 в диапазоне 10-600), в – профильная кривизна или вторая

производная абсолютной высоты (шаг изолиний 0,5 в диапазоне величин

профильной кривизны -2,05…+2,36)

В работе [13], ссылки на которую имеются в огромном количестве

научных публикаций, даны способы расчета основных морфометрических

переменных (высоты, уклона, ориентации, плановой и профильной кривизны

склонов) для матрицы высот 3×3 ячейки. Применительно к ЦМР в виде

регулярной сетки такой метод вычисления локальных значений

морфометрических переменных можно считать оптимальным.

Предложенные Л. Зевербергеном и С. Торном алгоритмы в настоящее время

широко используются в ряде программ и приложений, предназначенных для

морфометрического анализа поверхностей.

Приемы расчета кривизны, распространенные в современной

геоморфометрии, прошли путь от стадии методологической апробации к

б

1

в

а а

1

в

б

1

в

в

попыткам прикладного использования результатов расчетов. ГИС-

технологии и цифровое моделирование рельефа, на которые ориентирована

нынешняя геоморфометрия, по сути дела, создали новую среду для

морфометрического анализа. Известно, что отображение рельефа на

топографических картах имеет ряд недостатков, вызванных существенными

искажениями элементов рельефа при использовании горизонталей.

Сложившиеся традиции проведения горизонталей, в частности, так

называемая «укладка горизонталей», приводят к снижению

геоморфологической информативности топографических карт [1, 3 и др.] в

части выделения морфологических элементов поверхности, структурных

линий и анализа самой структуры поверхности. Решение этой проблемы

лежит в области получения объективных геоморфометрических параметров

земной поверхности с привлечением первичных материалов в виде ЦМР.

Одним из таких параметров и является кривизна, хорошо отражающая

положение на поверхности структурных линий, выпуклых и вогнутых форм

(водоразделы, тальвеги, линии выпуклых и вогнутых перегибов,

морфоизографы).

Границы генетически однородных поверхностей на соответствующих

картах проводят, как правило, по точкам с экстремальными значениями

вертикальной кривизны [2]; максимальные значения горизонтальной

кривизны способны показать положение структурных линий земной

поверхности. Для геоморфологического анализа может быть полезным

расчет вертикальной кривизны вдоль характерных линий в виде продольных

профилей.

По мнению И.Н. Степанова [5], топографические карты вообще

должны издаваться, помимо горизонталей, с изолиниями кривизны, что

позволит повысить наглядность и информативность карт, главным образом,

за счет идентифицируемых таким образом выпуклостей и вогнутостей

земной поверхности.

Основное прикладное значение расчетов кривизны заключается в

описании механизмов денудационных и аккумулятивных процессов, как,

например, в работе [12] применительно к тангенциальной и профильной

кривизне, и расчете самих величин аккумуляции-денудации на реальных

склонах как функций кривизны.

Расчеты кривизны. Нами построены карты вертикальной и

горизонтальной кривизны для поверхности бассейна р. Кубани. В качестве

цифровой основы использованы данные радарной съемки SRTM 3,

преобразованные в матрицу (грид) с разрешением приблизительно 65 м.

Такое разрешение соответствует локальному уровню анализа кривизны

поверхности. Построения выполнялись в основном в программах ArcGIS

(ESRI Inc., США) и SAGA (System for Automated Geo-scientific Analyses).

Расчеты произведены по формулам, используемым в ArcGIS.

Обобщенное представление о пределах изменчивости исследуемой

морфометрической переменной в бассейне р.Кубани и представляющих ее

частных водосборах в виде стандартных статистических показателей дает

табл. 1.

Таблица 1

Статистические показатели значений локальной кривизны поверхности в

бассейне р. Кубани (по данным 13,9 млн ячеек ЦМР)

Кривизна Min Max σ 1 Quar-

tile

2 Quar-

tile

3 Quar-

tile S E

Плановая

кривизна kh -3,19 3,88 0,088 -0,01 0 0,01 0,787 24

Профильная

кривизна kv -5,92 5,24 0,096 -0,01 0 0,01 0,092 130

Общая

кривизна k -7,65 9,12 0,151 -0,02 0 0,02 0,728 52

Здесь: Min и Max – минимальное и максимальное значение; σ – стандартное

отклонение, м; S – коэффициент асимметрии; E – коэффициент эксцесса; 1 Quartile,

2 Quartile и 3 Quartile – квартили, характеризующие в распределении значений

кривизны совокупные доли 25, 50 и 75% соответственно.

Отдавая отчет в условности экстремальных величин локальной

кривизны (табл. 1), тем не менее, мы приводим их как показатели,

определенным образом демонстрирующие информативные свойства

созданной модели рельефа. По данным [9] на холмистых, среднегорных

территориях уместно ожидать значения кривизны поверхности от -0,5 до 0,5,

а в местностях с экстремальным высокогорным рельефом – от -4 до 4.

Величины стандартных отклонений, а также квартили свидетельствуют

об относительно небольшой изменчивости показателей плановой и

профильной кривизны и о преобладании в целом ее невысоких значений. Это

вполне объяснимо в связи с представительностью плоских равнинных

поверхностей в бассейне р. Кубани. Коэффициенты асимметрии S

положительны, что означает наличие левосторонней асимметрии в

распределении кривизны. Однако левосторонняя асимметрия гораздо больше

выражена у плановой кривизны, что означает, что в распределении kh в

большей мере преобладают значения ниже среднего или, иначе говоря,

вогнутые в плане формы рельефа на исследуемой территории доминируют.

Это, в свою очередь, означает, что в целом на земной поверхности процессы

конвергенции (сходящиеся направления линий токов) господствуют над

дивергенцией (расходящиеся линии токов), т.е. водно-эрозионные процессы

имеют благоприятные морфологические условия. Профильная кривизна kv

имеет распределение, близкое к нормальному, что следует трактовать как

соразмерное представительство выпуклых и вогнутых в профиле форм.

Обращают на себя внимание весьма высокие значения коэффициентов

эксцесса (табл. 1), что говорит о феноменально высокой повторяемости

значений кривизны в очень узком диапазоне вблизи моды и, наоборот, очень

низких частотах экстремальных значений kh и kv. В наибольшей мере это

свойственно профильной кривизне (E=130).

Карты кривизны поверхности бассейна р. Кубани, выполненные с

использованием одноцветной полутоновой затемняющейся шкалы,

представлены фрагментами на примере водосборов рр. Афипса и Учкулана

(рис. 2, 3), отличающихся в сравнении друг с другом контрастными

гипсометрическими и морфологическими показателями.

Рис. 2. Плановая кривизна поверхности в водосборах рек Афипс (а) и Учкулан (б)

Рис. 3. Профильная кривизна поверхности в водосборах рек Афипс (а) и Учкулан

(б)

Перед настоящей работой не ставились задачи детальной

интерпретации полученных результатов расчетов кривизны, однако, нельзя

не заметить, что на картах горизонтальной кривизны (рис. 2) четко

идентифицируются структурные линии поверхности в виде гребней,

тальвегов и перегибов. На картах профильной кривизны (рис. 3) в

соответствии со значениями kv визуально различимы генетически и

морфологически однородные поверхности (морфологическая триада –

водоразделы, склоны и долины во всем многообразии своего проявления).

По нашему убеждению, классификация (группировка) ячеек растра,

представляющего какую-либо модель кривизны поверхности, несет в себе

широкие возможности распознавания форм рельефа по структурным,

генетическим, ярусным и прочим признакам. Несомненно, что подобные

модели должны способствовать обоснованию морфодинамического анализа

и решению актуальной задачи [4, с. 21] – разработки приемов

количественной оценки вещественно-энергетических соотношений между

элементами морфологической триады. В этом случае кривизна выступает

фактором вещественно-энергетического обмена.

Варианты трехмерного (точнее, 2,5-мерного) представления ЦМР

водосбора р. Учкулана, драпированной картами плановой и профильной

кривизны, показаны на рис. 4.

Рис. 4. Трехмерное представление ЦМР бассейна р. Учкулан, драпированной

картами плановой (а) и профильной (б) кривизны. Вид с севера.

Параметры кривизны в пространстве бассейна р. Кубани весьма

неоднородны (рис. 2, 3), однако структурные свойства этого параметра

раскрываются при рассмотрении статистических характеристик в границах

частных водосборов. С этой точки зрения, функция кривизны заключается в

регулировании эрозионных и стоковых процессов в водосборах посредством

ускорения и замедления стока, дивергенции и конвергенции линий тока [11].

При всей относительности экстремальных величин плановой и

профильной кривизны, которые, разумеется, увязаны с установленным

разрешением модели, необходимо отметить, что локальные максимумы kh

(3,88) и kv (5,24) приходятся на массив Хакель (3645 м) в истоках Теберды.

Локальные минимумы kh (-3,19) и kv (-5,92) отмечаются там же.

Приведенные величины уникальны во всей совокупности 13,94 млн ячеек

цифровой модели.

Построение морфоизограф. Следующим за расчетом кривизны

поверхности логическим этапом морфоструктурного анализа является

дифференциация (дискретизация) поверхности на вогнутости и выпуклости.

Для лучшего восприятия положительных и отрицательных форм рельефа

разработан так называемый метод пластики рельефа, известный как

картографический метод вторых производных [5-7]. Метод основан на

геометрическом преобразовании горизонталей по точкам их нулевой

плановой кривизны в морфоизографы или «потоки» (по выражению И.Н.

Степанова). Морфоизографа – это линия, соединяющая точки перегиба

(нулевой кривизны) поверхности и отделяющая на карте выпуклые участки

от вогнутых.

Содержательный компонент анализа морфоизограф основан на

следующем. Выпуклости трактуются как «потоки», характеризующие

многовековое перемещение вещества в гравитационном поле по подложке, в

качестве которой выступают вогнутости. Согласно представлениям [5],

движение потока, имеющего древовидную структуру, происходит от верхней

точки (репеллера) к конечной точке бассейна стока (аттрактору), проходя

через точки бифуркации. При этом вещество и энергия потоков при

движении от верхней точки подвержено дивергенции, но после

определенного предела в условиях конвергенции потоки начинают сходиться

к аттрактору.

Фрагмент карты изолиний нулевой кривизны или «пластики рельефа»

бассейна р. Кубани, построенной нами, показан на рисунке 5.

Рис. 5. Фрагмент карты изолиний нулевой кривизны бассейна р. Кубани (район

Лагонакского нагорья), построенной по модели кривизны поверхности.

Выпуклости затемнены.

Итак, впервые для бассейна р. Кубани по данным ЦМР SRTM 3

выполнены расчеты кривизны земной поверхности – одной из ключевых

геоморфометрических переменных. Опыт расчета показал информативность

профильной и плановой кривизны при идентификации структурных линий

поверхности, генетически и морфологически однородных элементов.

Классификация (группировка) ячеек растра, представляющего модель

кривизны поверхности, несет в себе широкие возможности последующего

распознавания форм рельефа по структурным, генетическим, ярусным и

прочим признакам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Волков В.В., Кудинова Т.М. Построение достоверных

геоморфологических карт стереофотограмметрическим методом /

Информация и космос, 2004, №4, с. 32-36.

2. Геоморфология: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / Под. ред.

А.Н. Ласточкина и Д.В. Лопатина. – М.: Издательский центр «Академия»,

2005. – 528 с.

3. Лазаревич И.К. Гипсометрическая карта как частная геоморфологическая

карта / Геоморфология, 1991, №2.

4. Морфология рельефа // Под. ред. Д.А. Тимофеева и Г.Ф. Уфимцева. – М.,

Научный мир, 2004. – 184 с.

5. Степанов И.Н. Теория пластики рельефа и новые тематические карты. М.:

Наука, 2006, 230 с.

6. Шарый П.А. Топографический метод вторых производных // Геометрия

структур земной поверхности. Пущино: Пущинский НЦ АН СССР, 1991,

с. 28-58.

7. Шарый П.А., Степанов И.Н. О методе вторых производных в геологии /

Доклады АН СССР, 1991, 319(2), с. 456-460.

8. Evans I.S. An integrated system of terrain analysis and slope mapping. Z Geo-

morph NF Suppl-Bd, 1980, 36, p. 274-295.

9. Evans I.S. An integrated system of terrain analysis and slope mapping. Final re-

port on grant DA-ERO-591-73-G0040, University of Durham, England, 1979.

10. Garg P.K., Harrison A.R. Quantitative Representation of Land Surface Mor-

phology from Digital Elevation Models // Proc. 4th Int. Symp. on Spatial Data

Handling,1990, p. 273-284.

11. Moore I.D., Grayson R.B., Landson A.R. Digital Terrain Modelling: A Review

of Hydrological, Geomorphological, and Biological Applications. Hydrological

Processes, 1991, 5, p. 3-30.

12. Shary P.A. Land surface in gravity points classification by a complete system of

curvatures. Mathematical Geology, 1995, 27(3), p. 373-390.

13. Zeverbergen L.W., Thorne C.R. Quantitative Analysis of Land Surface Topog-

raphy. Earth Surface Processes and Landforms, 1987.Vol. 12, p. 47 -56.