Mecánica 2015-0

Sesión 18

Tema:

Productos de Inercia

Emprendedores sin fronteras

1

Temario

Producto de inercia para un área.

Momentos de inercia para un área con respecto a ejes inclinados.

Momento de inercia maximo y minimo.

Circulo de Mohr

Ejemplos.

2

RESUMEN DE LA CLASE ANTERIOR

2

2

xA

yA

I y dA

I x dA

2

2

x x xx

y y yy

I I Ad

I I Ad

xx

y

y

OO

Ik

A

Ik

A

Jk

A

Momentos de Inercia. Casos particulares

Teorema de Steiner para Momentos de Inercia

Radios de giro

Producto de inercia

4

Con el fin de determinar los momentos de inercia máximo y mínimo para un área es necesario definir el producto de inercia. Los valores máximos y mínimos de los productos de Inercia son propiedades necesarias para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas, columnas, etc. El producto de inercia se define como:

xyA

I xydA

5

Si el elemento de área elegido tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, para evaluar el producto de inercia debe utilizarse una integral doble. Sin embargo con frecuencia es más fácil elegir un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una dirección, en cuyo caso la evaluación requiere sólo una integración simple.

Nota:

xyA

I xydA

6

El producto de inercia para un área será cero si por lo menos un eje ya sea el eje x o el eje y es un eje de simetría para el área.

Nota:

0xyI

xyA

I xydA

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Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

El teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia está dado por:

xy x y x yI I Ad d

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Para el área mostrada, determine

1.- El Momento de Inercia respecto del eje X.(dm4)

2.- El Momento de Inercia respecto del eje X.(dm4)

3.- El Producto de Inercia respecto de los ejes X e Y.(dm4)

4.- El valor del Momento de inercia máximo.(dm4)

5.- El valor del Momento de inercia mínimo.(dm4)

9

10

40,01647xyI R

40,01647xyI R

Ejemplo

11

Problema:

12

Problema:

Determine el producto de inercia del área que se muestra en la figura con respecto a los ejes centroidales x e y.

Momentos principales de inercia

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En el diseño estructural, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados. Para eso hacemos uso de las ecuaciones de transformación siguientes:

cos sin

cos sin

u x y

v y x

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Después de algunas arribamos a la siguiente ecuación:

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x y

u xy

x y x y

v xy

x y

uv xy

I I I II I

I I I II I

I II I

Note que: O x y u vJ I I I I

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Momentos de inercia máximo y mínimo

tan 2( ) / 2

xy

p

x y

I

I I

Se determinan, ahora, los momentos principales de inercia que corresponden a los valores máximos y mínimos de los momentos de inercia y que dependen del ángulo de inclinación .

2 sin 2 2 cos 2 02

x yuxy

I IdII

d

Entonces:

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Substituyendo estas relaciones obtenemos las siguientes expresiones para los momentos principales de inercia:

2

2minmax 2 2

x y x y

xy

I I I II I

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Problema:

Determine los momentos principales de inercia y la orientación de los ejes principales para la sección de la figura.

Momento de inercia de masa

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El momento de inercia de masa de un cuerpo es una medida de resistencia del cuerpo a la aceleración angular.

2

mI r dm

Las unidades que se utilizan comúnmente para esta medida son kg.m2

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Problema:

Para el sólido mostrado en la figura, determine el momento de inercia de masa con respecto al eje y.