1

Modul Bahan Kuliah

Jurusan Teknik Sipil UNS

Oleh: Wibowo

Metode Energi adalah metode yang sangat baik

(powerful) untuk memformulasi hubungan gaya

dan perpindahan

Pembahasan Metode energi termasuk:

1. Konservasi Energi2. Metode Kerja Nyata3. Metode Kerja Maya

2

Kerja Luar = Kerja Dalam

Sebagai ilustrasi misal sebuah elemen struktur dibebani gaya P dan q maka:

Kerja Luar (External Work) : adalah produk gaya luar

Kerja dalam (Internal Work) : adalah produk gaya dalam

Jika suatu struktur elastis bekerja beban Pi pada titik i

dan terjadi penambahan deformasi dvi oleh beban lain, sementara

Pi konstan, maka kerja oleh Pi akibat perpindahan dvi adalah :

ii

v

ii

v

ii

ii

vPdvPdvPW

dvPdw

ii

===

=

∫∫00

Pi Pi

vidvi

3

Bila displacement diakibatkan oleh beban Pi itu sendiri maka:

K

1

Pi

vi

Displacement vi adalah proporsional terhadap penambahan beban Pi

iiiiiiiii vPKvdvvKdvKvdvPW212

2

1===== ∫ ∫ ∫

Pi

vi

iivPW21=

Complimentary work

z

y

x

σσ

dy

dx

dz

Gaya dalam merespon beban luar yang diaplikasikan padastruktur serta deformasinya. GD mempunyai kapasitas untukmenghasilkan kerja dan menjaga struktur pada konfigurasiasalnya.

4

Energi dalam juga sering disebut energi regangan (strain energy)

Disimbolkan Ustrain

( )∫∫∫ == εσεσεσ dvoldddxdydzdxdydzd

Untuk material elastis : σ=ε.E , maka internal work elemen tak hingga :

∫ == )()()(212

21 voldvoldEdvolEd σεεεε

Internal work system yang diaplikasikan tegangan aksial adalah integral

dari energi utk elemen tak hingga atas volumenya.

∫ ∫ ∫=== )())((21

21

21 volddxdydzdxdydzUa σεσεεσ

Suatu batang elastis dibebani beban P dan

kekakuannya K, maka energi elastisnya:

∫ ∫ =====K

PPvKvKvdvPdvUa

2

2

212

21

Untuk batang dibebani beban aksial U mengakibatkan displacement u, maka

Energi elastisnya:

∫ ∫== dxuEAdxEA

UUa 2

21

2

21 )'(

5

Untuk elemen yang mengalami lentur (flexural)

∫∫ ∫

=

= dAydxI

Mvold

I

My

EUb

E

2

2

121

2

21 )(1

Inersia penampang

Maka:

∫ ∫== dxvEIdxEI

MUb 2

21

2

21 )''(

Dengan cara yang sama, ekspresi energi elastis untuk Geser:

∫ ∫ ∫== dAdxG

voldG

Us2

21

2

21 )(

ττ

Bila dimasukkan rumus tegangan geser di sembarang titik dipenampang:A

Vατ =

∫ ∫ ∫ ∫== dAdxG

VdAdx

G

VUs 2

2

21

22

21 αα

∫= dAA

21 ακ Adalah shape factor maka,

∫= dxGA

VUs

2

21 κ

6

Untuk torsi:

∫ ∫== dxGJdxGJ

TUt 2

21

2

21 )'(ψ

Bila lebih dari satu macam deformasi terjadi maka total energi regangan

adalah jumlah dari energi regangan dari berbagai deformasi tersebut.

Apa yang terjadi ketika struktur ber ‘deformasi ’ ?

Ketika Struktur berdeformasi gaya luar (external force) yang membebani

struktur tsb menunjukkan eksternal work (We). Pada saat bersamaan

struktur mengembangkan gaya dalam (internal force) yang melawan

eksternal force tsb. Kerja dari GD ini yang selaras dengan deformasi

disebut internal work (Wi).

Total Energi pada peristiwa ini tidak berubah, maka:

We = Wi

7

Hitung defleksi (v1) dari balok kantilever pada gambar:

P

L

v1

Modulus elastisitas E dan Momen Inersia Penampang I

Defleksi v1 diakibatkan oleh P, maka eksternal work adalah:

121PvWe =

Internal work adalah energi elastis pada saat balok mengalami momen:

PxM −=

∫ ∫ === 1

0

322

22

21

62 EI

lPdxx

EI

Pdx

EI

MU b

ie WW = maka

EI

Plv

EI

lPPv

3

6

3

1

32

121

=

=

8

Metode Kerja Maya (Virtuil Work)

� Jika struktur dalam keadaan setimbang maka akibatbeban luar akan menghasilkan gaya dalam yang sesuai.

� Bila diaplikasikan tambahan displacement atau gayaluar maya maka akan ada penambahan(penyesuaian) gaya dalam yang terjadi.

� Kerja dari real force pada virtual displacement atauvirtual force pada real displacement adalah ygdisebut virtual work (kerja maya) dari sebuahstruktur.

� Virtual work dari gaya luar dan gaya dalam adalahsama

Aplikasi untuk elemen dgnbeban aksial

uδ

U2

U1

x dx

L

Akibat beban aksial U maka displacement penampang pada x adalah u

dx

udx

du δδ +

9

Virtual work

∫ ∫ −===l

i uuUdxudx

dUdxu

dx

dUW

012 )()()( δδδδδ

Internal work pada elemen di atas:

Eksternal work:

)( 121122 uuUuUuUW e δδδδδ −=−=

V W lanjutan

Adxvold

dx

ud

AU

=

=

=

)(

)( δδε

σ

Internal virtual work juga bisa dinyatakan dalam bentuk tegangandan regangan:

Maka:

∫=vol

voldWi )(σδεδ

10

VW lanjutan

Jadi dari persamaan terakhir dapat digeneralisir bahwa internal work adalah sama dengan energi elastic dari system.

Dengan mengikuti prosedur yang mirip (dgn internal work), makauntuk semua system struktur dapat ditulis:

WeUs δδ =

VW lanjutan

∫ ∑=

=vol

n

i

ii vPvold1

)()( δδεσ

Pada struktur dengan n beban nyata Pi menyebabkan terjadinya tegangan σ. Bila struktur tersebut diberlakukan virtual displacement yang menyebabkandisplacement δvi searah dengan arah beban maka persamaan mejnadi:

Bila struktur dalam kondisi setimbang oleh beban maya δPi yg menyebabkantegangan δσ dan dikenai beban Pi yang menyebabkan displacement vi dilokasi dan arah dari gaya maya akan memeberi pers:

∫ ∑=

=vol

n

i

ii Pvvold1

)()( δδσε

11

Defleksi Struktur dgn VW

� Prinsip Virtual Work dapat digunakanuntuk menghitung defleksi struktur.

� Prinsip ini terutama cocok untukstruktur yang diaplikasikan tegangankombinasi dan beban yang diskontinyu.

� Contoh struktur yang defleksinyadihitung dgn prinsip VW adalah Trussdan Beam.

Formulasi defleksi dgn VW

� Prinsip Truss:

� Eksternal VW yg dilakukan oleh gaya satuan = 1 x v

� Internal VW oleh virtuil gaya batang (fi) =

ii lf ∆∑=υ

ii lf ∆∑

Persamaan VW truss :

Langkah-langkah:1. Hitung Gaya Batang akibat gaya luar2. Hilangkan Gaya luar, aplikasi beban 1 satuan di joint yg ditinjau, hit gaya batang3. Gunakan rumus VW utk menghitung defleksi

Persamaan defleksi truss : ∑=i i

iii

A

lfF

E

1υ

12

Defleksi balok dgn VW

� Analogi pada truss, pada balok perhitungan juga dilakukandengan aplikasi beban 1 satuan, hanya ekternal maupuninternal force yang dihitung adalah momen

dAydxEI

mMvold

I

my

EI

My l

i ∫ ∫ ∫==0

2

2)(υ

∫=l

i dxEI

mM

0

υ

Truss

contoh

20’ 20’ 20’ 20’

10’

P1 P2 P3

1

2 4 6

3 5 7

8

P1=P2=P3=10 kips

E=29000 ksi

Panjang batang (l) dan luas (A) penampang disajikan dalam tabel

13

Penyelesaian

∑ ∆=i

ii lfυ

i

iii

EA

lFl =∆

Untuk menyelesaikan soal diatas maka dilakukan aplikasi beban maya sbb:Kerja maya luar(ekternal vcirtual work) dilakukan dengan memberikanbeban satuan 1 x v, sementara kerja maya dalam (internal virtual work)

dengan menghitung gaya batang akkibat beban maya satu satuan dikalikandisplacement terjadi.Jadi persamaan kerja maya:

Dimana ∆li adalah:

Subtitusi pers di atas:

∑=i i

iii

A

lfF

E

1υ

Perhitungan disajikan dalam tabel

in0.54282772Defleksi pada titik 5 = 15742/E =

15742.004Jml

120013062407-8

1679.96046-1.12-33.546268.336-8

00041206-7

120013062405-7

591.0415471.1211.86268.335-6

3200-2-4062404-6

00-1041204-5

120013062403-5

591.0415471.1211.86268.332-5

3200-2-4062402-4

00041202-3

120013062401-3

1679.96046-1.12-33.546268.331-2

Fi x fi5 x li /Aifi5FiAiliBatang

14

Defleksi balok dgn Virtuil Work

Tentukan defleksi pada ujung bebas balok balok sbb:

2 kip/ft

20 ft 5 ft

Penyelesaian:

kipsR

kipsRR

25,3175,18252

75,180)5,1220(25220

2

11

=−×=

=⇒=−×−×

Reaksi perletakan akibat beban luar:

Reaksi perletakan akibat beban 1 satuan di ujung bebas balok:

kipsr

kipsrr

25,1)25,0(1

25,005120

2

11

=−−=

−=⇒=×+×

15

Penyelesaian lanjutan

xm

xxxxM

25,0

75,182/275,18 22

−=

−=−=

Momen akibat beban luar bekerja:

Untuk x< 20 ft:

Untuk x> 20 ft:

xxxm

xxxxxM

+−=−+−=

−+−=−+−=

25)20(25,125,0

50625)20(25,312/275,18 22

Lanjutan

∫ ∫ +−−+−+−−=20

0

25

20

22

3 )25)(50625(1

)25,0)(75,18(1

dxxxxEI

dxxxxEI

v

Persamaan kerja maya:

Hasil integrasi:

EI

ftkipv

3

3

.75,2343−=

16

Teorema Castigliano

∫ ∑=

=vol

n

i

ii vPvold1

)()( δδεσ

Teorema ini sangat berguna untuk menghitung defleksi stukturkhususnya yang mengalami tegangan gabungan.

Dengan mengassumsikan bahwa Us adaah fungsi dari virtuil displacement maka

Persamaan

Dapat ditulis:0)(

1

=− ∑=

n

i

iiis vPvU δδ

∑=

∂∂∂

=n

i

i

i

ss v

v

UU

1

δ

Variasi dari Us dapat ditulis dalam variabel vi:

Maka persamaan sebelumnya menjadi:

01

=

−

∂∂

∑=

i

n

i

i

i

s vPv

Uδ

Penyelesaian persamaan di atas:

i

i

i

i

s

v

UsP

atau

Pv

U

∂∂

=

=−∂∂

0

17

Diferensial parsiil dari energi elastic (Us) dari struktur yang sesuai dengandisplacement dari suatu titik adalah sama dengan gaya yang bekerja padatitik tersebut dengan arah yang sama dengan displacementnya.

Dengan cara yang sama (similar):

i

si

P

Uv

∂∂

=

1st theorem:

Lanjutan

2nd therem:

Differensial parsiil dari Energy Regangan/Elastik yang mempengaruhigaya Pi adalah sama dengan defleksi di lokasi yg sama dengan arahsama dengan Pi.

Teorema ini bisa digunakan untuk menghitung gaya redundant (reaksiperletakan) dengan cara memasukkan harga defleksi = 0.

Untuk balok dimana Us = Ub maka ekpresi theorema kedua Castigliano:

∫ ∂∂

=1

0

dxP

M

EI

Mv

i

i

18

Aplikasi Metode Energiuntuk perhitunganSlope Defleksi/rotasi danFixed End Moment (Momen Primer)

Rotasi / Slope Defleksi

Hitunglah rotasi di A dgn metode kerja maya

19

Penyelesaian

∫=L

dxEI

mM

0

..

θ

Integrasi

∫

−−=

L

dxL

xL

EI

xLxq

0

2

21 )(

θ

∫ −−=L

dxL

xxLx

EI

q

0

2 )1)((2

L

L

xx

xL

EI

q

0

43

2

43

2

2

.

2+−=

EI

qL

24

3

=

20

Fixed End Momen (MomenPrimer)

Penyelesaian

∫=L

dxEI

mM

0

..

θ

21

Integrasi Kerja maya

∫=L

dxEI

mM

0

..

θ

[ ]∫

−−=

L

dxEI

MMxLxq

0

2

21 )(

0

( )∫ −−=L

dxMxLxqEI

M

0

2

21 )(

−−= Mx

xq

xqL

L

EI

M

32

3

21

2

21

0

( )MLqLEI

M−= 3

1210

2

121 qLM =