Modeliranje i simulacija u mikroelektronici

Sadrzaj

Predgovor vii

Uvod ix

Deo I Modeliranje tehnoloskih procesa

1 CMOS tehnologija 11.1 Uvod 11.2 Izbor supstrata 11.3 Formiranje aktivne oblasti 21.4 Plitka trench izolacija 41.5 Formiranje N- i P-well oblasti 51.6 Razliciti nacini formiranja aktivnih i well oblasti 7

1.6.1 Field implantacija ispod LOCOS oblasti 71.6.2 Ukopani i epitaksijalni slojevi 7

1.7 Formiranje gejta 101.8 Formiranje LDD oblasti 131.9 Formiranje sorsa i drejna 161.10 Formiranje kontakata 17

2 Proces jonske implantacije 192.1 Teorijske osnove procesa jonske implantacije 20

2.1.1 Zaustavljanje implantiranih jona usled sudara sa jezgrima atoma 222.1.2 Zaustavljanje implantiranih jona usled interakcije sa elektronima 22

iii

iv SADRZAJ

2.2 Analiticki modeli procesa jonske implantacije 232.2.1 Gaussian model implantacije 232.2.2 Pearson model implantacije 232.2.3 Dual Pearson model implantacije 252.2.4 SIMS verifikovan Pearson (SVDP) model 25

2.3 Implantacija u viseslojnim strukturama 262.3.1 DOSE.MATCH metod 262.3.2 RP.SCALE i MAX.SCALE metode 262.3.3 MOM.SCALE metoda 27

2.4 2D simulacija procesa jonske implantacije 282.4.1 Konvolucioni metod 282.4.2 Lateralna funkcija raspodele 29

2.5 Monte Carlo metoda 31

3 Proces difuzije 333.1 Fermi model procesa difuzije 34

3.1.1 Koeficijent difuzije primesa 353.1.2 Uticaj elektricnog polja 383.1.3 Efekat klasterovanja 39

3.2 2D model procesa difuzije 413.2.1 Model procesa difuzije tackastih defekata 41

3.2.1.1 Uticaj tackastih defekata na koeficijent difuzije primesa 433.3 FC - "fully coupled" model procesa difuzije 46

Problemi 46

4 Proces oksidacije 534.1 Modeliranje procesa oksidacije 55

4.1.1 Deal-Grove (linearno-parabolicni) model 554.1.2 Narastanje tankih oksidnih slojeva 61

4.2 2D model procesa oksidacije 624.2.1 Modeli oksidacije bazirani na difuziji tackastih defekata 64

Deo II Simulacija elektricnih karakteristika komponenata

5 Sistem osnovnih poluprovodnickih jednacina 795.1 Poisson-ova jednacina 795.2 Jednacine kontinuiteta 805.3 Transportne jednacine 815.4 Koncentracija nosilaca 855.5 Jednacina provodjenja toplote 88

6 Modeli fizickih parametara 91

SADRZAJ v

6.1 Modeliranje pokretljivosti nosilaca 916.1.1 Rasejavanje na termickim vibracijama kristalne resetke 916.1.2 Rasejavanje na jonizovanim primesama 936.1.3 Rasejavanje nosilac-nosilac 956.1.4 Rasejavanje na neutralnim primesama 966.1.5 Saturacija driftovske brzine 96

6.2 Modeliranje generacije-rekombinacije nosilaca 986.2.1 Jednostavni model generacije-rekombinacije nosilaca 996.2.2 Direktna rekombinacija nosilaca 1006.2.3 Shockley-Read-Hall rekombinacija nosilaca 1006.2.4 Povrsinska rekombinacija 1006.2.5 Auger-ova rekombinacija 101

6.3 Modeliranje termicke provodnosti 101

7 Diskretizacija sistema osnovnih poluprovodnickih jednacina 1037.1 Domen simulacije i granicni uslovi 1037.2 Metoda konacnih razlika 106

Deo III Primeri simulacije

8 Simulacija tehnoloskih procesa 1238.1 1D simulacija procesa programom SSUPREM3 123

8.1.1 1D simulacija NMOS tranzistora - presek kroz kanal i sors/drejnoblasti 123

8.1.2 1D simulacija NMOS tranzistora - presek kroz izolacionu oblast 1248.2 Simulacija procesa jonske implantacije 127

8.2.1 Poredjenje analitickih modela procesa jonske implantacije 1278.2.2 Simulacija procesa implantacije pod uglom 1278.2.3 Simulacija implantacije fosfora u Si3N4/Si strukturu 1288.2.4 Formiranje LDD strukture koriscenjem tilt implantacije 1308.2.5 Monte Carlo implantacija u "trench" strukturi 131

8.3 Simulacija procesa difuzije 1328.3.1 Simulacija procesa implantacije i odzarivanja bora 1328.3.2 Simulacija defektima ubrzane difuzije arsena 1348.3.3 Simulacija emitor-push efekta 136

8.4 Simulacija procesa oksidacije 1368.4.1 Simulacija oksidacijom ubrzane difuzije bora 1368.4.2 Simulacija oksidacije u razlicitim oksidacionim ambijentima 1388.4.3 Primer simulacije pticjeg kljuna ("bird’s beak") 139

9 Simulacija elektricnih karakteristika komponenata 1419.1 Simulacija MOS tranzistora 141

vi SADRZAJ

9.1.1 NMOS & PMOS: Ids/Vds karakteristike 1419.1.2 NMOS & PMOS: Ids/Vgs karakteristika i ekstrakcija napona

praga 1449.1.3 Poredjenje modela pokretljivosti 1479.1.4 Efekat dopiranja polisilicijuma na napon praga 1489.1.5 3D simulacija n-kanalnog MOS tranzistora 151

9.2 Simulacija bipolarnih tranzistora 1539.2.1 NPN & PNP: Gummel-ova i Ic/Vce karakteristika 1539.2.2 3D simulacija NPN bipolarnog tranzistora 160

9.3 Simulacija snaznih komponenata 1629.3.1 Simulacija "turn-on" karakteristika vertikalnog DMOS

tranzistora 1629.3.2 Simulacija probojnih karakteristika LDMOS tranzistora 164

9.4 Simulacija Holovih magnetnih senzora 1689.4.1 2D simulacija vertikalnog Holovog senzora 168

9.4.1.1 Simulacija CMOS tehnoloskog niza vertikalnogHolovog senzora 169

9.4.2 Simulacija elektricnih karakteristika vertikalnog Holovogsenzora 172

9.4.3 3D simulacija krstastog Holovog senzora 1809.4.3.1 Simulacija tehnoloskog niza krstastog Holovog senzora 1809.4.3.2 Konstrukcija 3D strukture i generisanje diskretizacione

mreze 1829.4.3.3 Simulacija elektricnih karakteristika krstastog

Holovog senzora 183

Dodatak A Internacionalni sistem jedinica 191

Dodatak B Fizicke konstante 193

Dodatak C Osobine silicijuma 195

Predgovor

Ova skripta je nastala kao rezultat realizacije CDP+ projekta finansiranog od strane WUSAustrija Belgrade Office, No: 034/04. U okviru ovog projekta, na Elektronskom fakul-tetu u Nis, formiran je program novog predmeta pod nazivom Modeliranje i simulacijau mikroelektronici, namenjen studentima cetvrte godine na smerovima Mikroelektron-ika i mikrosistemi i Elektronika. Ovaj predmet je nastavak predmeta Mikroelektronsketehnologije sa trece godine, u okviru koga studenti sticu osnovna znanja o tehnoloskimprocesima i tehnikama koje se koriste u poluprovodnickoj tehnologiji. Ovim novim pred-metom, predvidjeno je da student prosiri stecena znanja iz ove oblasti i da nauci da pro-jektuje, simulira i optimizuje kompletan tehnoloski niz za proizvodnju poluprovodnickihkomponenata uz pomoc racunara i odgovarajucih softverskih paketa. Takodje, studentstice i znanja neophodna za projektovanje i optimizaciju struktura poluprovodnickih kom-ponenata i direktno povezivanje procesnih parametara sa elektricnim karakteristikamakomponenata, sa ciljem da se, konacno, proizvede komponenta i IC najboljih karakteris-tika i maksimalne pouzdanosti. Pored toga, novi predmet daje studentu i osnovna znanjao numerickim tehnikama koje se koriste za diskretizaciju i resavanje sistema osnovnihpoluprovodnickih jednacina.

U trecem delu skripte dat je niz karakteristicnih primera simulacije tehnoloskih procesa(jonska implantacija, difuzija i oksidacija) i elektricnih karakteristika komponenata (MOSi bipolarni tranzistori, komponente snage i Holovi magnetni senzori). Ovaj deo skriptepokriva gradivo koje studenti obradjuju na racunskim i laboratorijskim vezbama u okviruovog predmeta. U svim primerima simulacije su date i detaljno opisane ulazne datotekeprograma koji se koriste za simulaciju, kao i neki od najznacajnijih dobijenih rezultatasimulacije. Na ovaj nacin studenti se osposobljavaju da potpuno samostalno koristetrenutno najsavremenije Silvaco i ISE TCAD (Technology Computer-Aided Design)softverske pakete.

Naravno, ovo je prva verzija skripte, koja je nastala u veoma kratkom vremenskomperiodu, zbog cega ce se autori potruditi da pojedina poglavlja u narednom perioduposire jos nekim lekcijama koje ce studentima omoguciti da jos lakse savladaju znanja

vii

viii PREDGOVOR

predvidjena ovim kursom, kao i da steknu i neka znanja koja nisu predvidjena programomovog predmeta, ali im mogu biti od koristi u daljem radu.

Na kraju, zelimo da se jos jednom zahvalimo WUS Austrija Belgrade Office, sto sunam kroz ovaj projekat pruzili mogucnost da visegodisnji ulozeni rad konacno sakupimoi objavimo u obliku ove skripte.

D. P., T. P. I E. J.

Septembar 2005., Nis, Srbija

Uvod

Od otkrica tranzistora, 1947. godine (slika I.1), i pojave prvog integrisanog kola, previse od pet decenija (slika I.2), elektronika u bukvalnom smislu te reci utice na razvojcovecanstva. Na samom pocetku, tehnologija skromnih mogucnosti dopustala je inte-graciju nekoliko poluprovodnickih i pasivnih komponenata na zajednickom supstratu, dabi danas prerasla u tehnologiju koja pruza mogucnost integracije vise desetina milionakomponenata po cm2 silicijumskog cipa. Na slici I.3, kao i u tabeli I.1, prikazan je trendrazvoja poluprovodnicke tehnologije u poslednjih 45 godina, kao i predvidjanja razvojau narednih nekoliko decenija. Razvoj tehnologije je bio takav da se broj tranzistora pocipu duplirao na dve godine (tzv. Moore-ov zakon), pri cemu je smanjivanje dimenzijakomponenata bilo uslovljeno pre svega razvojem procesa litografije. Dimenzije kompo-nenata, tj. minimalna duzina kanala MOS tranzistora, se smanjivala oko 13% godisnje,a predvidjanja su da ce u narednom periodu trend smanjivanja biti oko 10% godisnje. Uisto vreme povecavana je povrsina cipa oko 16% godisnje, cime je pruzena mogucnostintegracije ogromnog broja komponenata na istom cipu i izrade veoma kompleksnih ibrzih integrisanih kola i mikroprocesora.

Osnovni principi na kojima se zasniva rad poluprovodnickih komponenata, kao i samekomponente koje se danas uglavnom koriste pri izradi integrisanih kola, MOS i bipolarnitranzistori, su otkriveni davno pre tehnologije kojom su mogli da se proizvode. Cak su i

Slika I.1 Prvi tranzistor i njegovi pronalazaci: William Shockley, John Bardeen i Walter Brat-tain, 1947. godina, Bell Labs.

Slika I.2 Prvo integrisano kolo napravljeno 1960. godine.

Slika I.3 Istorijski razvoj poluprovodnicke tehnologije.

ix

x UVOD

Tabela I.1 Pregled razvoja CMOS tehnologije na osnovu SIA NTRS.

Godina 1997 1999 2003 2006 2009 2012

Minimalna duzina kanala 250 nm 180nm 130nm 100nm 70nm 50nm

DRAM bits/cipu 256M 1G 4G 16G 64G 256G

DRAM velicina cipa (mm2) 280 400 560 790 1120 1580

Broj tranzistora/cip 11M 21M 76M 200M 520M 1.4B

Broj nivoa metalizacije 6 6-7 7 7-8 8-9 9

Broj maski 22 22/24 24 24/26 26/28 28

Napon (V) 1.8-2.5 1.5-1.8 1.2-1.5 0.9-1.2 0.6-0.9 0.5-0.6

Slika I.4 "Grown junction" tehnologija proizvodnje bipolarnih tranzistora 50-tih godina.

Slika I.5 "Alloy junction" tehnologija proizvodnje bipolarnih tranzistora 50-tih godina.

neke osobine poluprovodnickih materijala, kao na primer fotoprovodnost, uocene jos pre1900. godine, medjutim, tada nisu mogle biti shvacene i objasnjene na pravi nacin. Prvekomponente, fotodetektori, pojavile su se tridesetih godina proslog veka, kada pocinju iprva ozbiljnija istrazivanja karakteristika spoja metal/poluprovodnik (Schottkey i Mott).Znacajan pomak u razumevanju karakteristika povrsine poluprovodnika, koja ima kljucnuulogu u radu vecine savremenih komponenata, nacinio je Liandrat, koji je 1935. godinepredlozio metodu kod koje se provodnost povrsine poluprovodnika modulira primenomperpendikularnog elektricnog polja. Sledecih nekoliko decenija rad vecine naucnika jebio usmeren ka proucavanju efekta polja, sto je konacno kao rezultat imalo i otkriceFET-a ("Field Effect Transistor").

Rat je na kratko prekinuo istrazivanja u ovoj oblasti, da bi vec 1947. godine grupanaucnika iz Bell Telephone Laboratories, John Bradeen, Walter Brattain i William shock-ley, demonstrirali rad "point contact" tranzistora, otkrice za koje su 1956. godine dobiliNobelovu nagradu.

Pedesete godine proslog veka su obelezila intenzivna istrazivanja u ovoj oblasti (do-bijanje monokristalnog silicijuma, formiranje oksidnog sloja na silicijumu, itd.) koja subila osnova moderne poluprovodnicke tehnologije, a kao rezultat tih istrazivanja pojavilesu se dve komercijalne tehnologije za proizvodnju bipolarnih tranzistora, tzv. "grownjunction" (slika I.4) i "alloy junction" (slika I.5) tehnologije.

Obe navedene tehnologije nisu pruzale mogucnost formiranja i medjusobnog povezi-vanja vise komponenata na istoj podlozi sa ciljem da se proizvede integrisano kolo,pa su zbog toga trazena nova tehnoloska resenja. Delimicno resenje je pruzilo otkriceprocesa difuzije iz gasne faze, sto je omogucilo komercijalnu proizvodnju difundovanihmeza bipolarnih tranzistora (slika I.6). Konacno, proizvodnja prvog integrisanog kola1959. godine se zasnivala na idejama koje su sematski prikazane na slikama I.7 i I.8i koje u stvari predstavljaju osnovu danasnje moderne planarne tehnologije. Naime,koriscenjem maski i procesa fotolitografije i nagrizanja moguce je preneti patern vise

UVOD xi

Slika I.6 Tehnologija proizvodnje dvostruko-difundovanog meza bipolarnog tranzistora.

Slika I.7 Planarna tehnologija proizvodnje tranzistora.

Slika I.8 Sematski prikaz fotolitografskog postupka.

poluprovodnickih komponenata na zajednicki supstrat, medjusobno ih povezati i dobitiintegrisano kolo.

Naravno, tehnologija koja se danas koristi za proizvodnju IC je veoma slozena, inajcesce se sastoji od nekoliko stotina tehnoloskih procesa i postupaka koji su podjed-nako vazni za konacne elektricne karakteristike komponente i njen pouzdani rad. Poredtoga, velika paznja se danas posvecuje proucavanju novih poluprovodnickih materijala iunapredjenju kriticnih tehnoloskih procesa, kao i novih struktura komponenata sa ciljemda se nastavi trend daljeg smanjivanja dimenzija komponenata.

Deo IModeliranje tehnoloskih

procesaPrvi deo ove skripte posvecen je modeliranju tehnoloskih procesa koji se koriste za

proizvodnju poluprovodnickih komponenata. Najpre je veoma detaljno opisan komple-tan, standardan CMOS tehnoloski niz, kako bi se student postepeno upoznao sa svimprocesima koji se tom prilikom koriste. Pri opisivanju CMOS tehnologije, date su i nekevarijacije tehnologije, pre svega kada se radi o razlicitim tehnikama izolacije.

Nakon upoznavanja sa CMOS tehnologijom, sledi detaljno upoznavanje sa modelimapojedinih procesa. Osnovna paznja je posvecena modelima jonske implantacije, difuzijei oksidacije, s obzirom da su modeliranja procesa nagrizanja i depozicije predmet drugogkursa (Projektovanje MEMS-a).

U okviru modela procesa jonske implantacije date su, u kratkim crtama, teorijskeosnove ovog procesa, a zatim i pregled 1D analitickih modela, analitickih modela zaviseslojne strukture, 2D modela i konacno Monte Carlo modela procesa jonske im-plantacije. U okviru poglavlja koje se odnosi na proces difuzije, veoma detaljno su opisanimodeli procesa difuzije, pocevsi od najjednostavnijeg Ferijevog modela, pa zavrsno sanajkompleksnijim "fully coupled" modelom. Konacno, dat je 1D Deal-Grove modelproces oksidacije, razmatrani su problemi vezani za narastanje tankih oksida, i na krajusu dati veoma slozeni 2D modeli procesa oksidacije.

1CMOS tehnologija

1.1 UVOD

Savremena digitalna integrisana kola na silicijumu mogu sadrzati vise desetina hiljada,pa i miliona pojedinacnih komponenata. Realizacija ovakvih kola visokog stepena inte-gracije je omogucena CMOS tehnologijama koje na istom cipu mogu integrisati NMOSi PMOS tranzistore, ali i razlicite tipove otpornika, kondenzatora i savremenih tranzis-tora kod kojih se aktivna oblast formira u vrlo tankom silicijumskom filmu. OpisivanjeCMOS tehnoloskog niza u ovom poglavlju bice ograniceno na opisivanje pojedinacnihpostupaka neophodnih za dobijanje osnovnih tranzistorskih struktura, NMOS i PMOStranzistora.

Na slici 1.1 prikazan je poprecni presek strukture koja se dobija kao krajnji rezul-tat tehnoloskog niza koji ce ovde biti razmatran. Za proizvodnju ovakve strukture,neophodno je 16 fotolitografskih postupaka i vise od 100 pojedinacnih procesnih koraka.Kao sto je vec napomenuto, konacno integrisano kolo moze sadrzati milione ovakvihkomponenata, pri cemu svaka od njih mora raditi ispravno. Na poprecnom presekusa slike 1.1 mogu se uociti dve aktivne komponente, NMOS (desna) i PMOS tranzistor(leva struktura), kao i oblasti sorsa, drejna i gejta ovih tranzistora. Takodje, na poprecnompreseku su uocljive i oblasti koje sluze da poboljsaju performanse komponenata, da med-jusobno elektricno izoluju pojedinacne tranzistore ili da omoguce njihovo povezivanje uvise nivoa kako bi se ostvarile odredjene, unapred definisane, funkcije kola.

1.2 IZBOR SUPSTRATA

Pre pocetka proizvodnje, neophodno je izabrati odgovarajuci supstrat, odnosno podlogu,sto pre svega podrazumeva specificiranje tipa (N ili P), nivoa dopiranja (specificne ot-pornosti) i kristalografske orijentacije. Konacna struktura sa slike 1.1 ima P-tip supstrata.U najvecem broju CMOS integrisanih kola, supstrat ima umereno visoku specificnu ot-pornost (25-50 Ωcm) sto odgovara koncentraciji dopiranja koja je reda velicine 1015cm−3.

1

2 CMOS TEHNOLOGIJA

Slika 1.1 Sematski prikaz poprecnog preseka finalne strukture CMOS integrisanog kola.PMOS tranzistor se nalazi na levoj, NMOS tranzistor na desnoj strani strukture.

Sa slike se moze uociti da se tranzistorske strukture zapravo formiraju u well oblastimakoje su dobijene difuzijom odgovarajuce vrste primesa u supstratu. Nivoi dopiranjaovih oblasti odredjeni su tako da daju najoptimalnije elektricne karakteristike aktivnihtranzistora i u blizini povrsine supstrata ove koncentracije su obicno reda velicine 1016-1017cm−3.

NMOS tranzistor se moze dobiti i koriscenjem samo poluprovodnickog P-tip supstrata,bez dodatne P-well oblasti u blizini povrsine supstrata. Iako se neka CMOS integrisanakola proizvode i na ovakav nacin, najcesce se ona realizuju sa obe well oblasti jer sejonska implantacija, koja se koristi za dobijanje P-well oblasti, moze bolje kontrolisatinego dopiranje supstrata. Takodje, kako su koncentarcije P-well i N-well istog redavelicine, jednostavnije je poceti proizvodnju sa znatno slabije dopiranom podlogom i za-tim odvojeno kreirati well oblasti za NMOS i PMOS tranzistore. Za definisanje podloge,neophodno je jos izabrati kristalografsku orijentaciju supstrata, pri cemu je potrebnoznati da se najveci broj savremenih integrisanih kola proizvodi na poluprovodnickomsupstratu kristalografske orijentacije (100). Glavni razlog za koriscenje supstrata saovakvom orijentacijom kristalografske ravni povrsine lezi u dobijanju znacajno boljihelektricnih osobina medjupovrsine Si/SiO2.

1.3 FORMIRANJE AKTIVNE OBLASTI

Savremena CMOS integrisana kola sadrze milione aktivnih komponenata (NMOS iPMOS tranzistora) koje su proizvedene na zajednickom silicijumskom supstratu. Kodprojektovanja ovakvih kola, pretpostavlja se da tranzistori medjusobno ne deluju, osimpreko medjuveza koje se formiraju iznad aktivnih oblasti tranzistora. Drugim recima,neophodno je obezbediti da pojedinacne komponente na cipu budu medjusobno izolo-vane. Ovo se najcesce postize narastanjem prilicno debelog sloja SiO2 izmedju svihaktivnih tranzistora. Ovaj proces lokalne oksidacije silicijumskog supstrata se nazivaLOCOS proces, a oblasti izmedju debelih slojeva SiO2 oksida su zapravo aktivne oblastisupstrata.

Formiranje aktivnih oblasti tranzistora pocinje procesnim koracima koji su prikazani naslici 1.2. Poluprovodnicke silicijumske plocice se prvo ciste hemijskim postupcima kakobi se uklonile necistoce sa povrsine. Zatim, u visokotemperaturnoj peci, na silicijumskupodlogu narasta termicki SiO2. Ovaj proces narastanja oksida najcesce traje 15 minuta na900oC u atmosferi H2O, pri cemu se dobija oksid cija je debljina oko 40 nm. Posle ovogprocesa, silicijumske plocice se prebacuju u drugu pec koja se koristi za deponovanjesloja Si3N4 (debljine oko 80 nm) pri temperaturi oko 800oC.

Poslednji korak koji je prikazan na slici 1.2 predstavlja depoziciju sloja fotorezista.Kako su fotorezisti na sobnoj temperaturi u tecnom stanju, obicno se oni jednostavnorazliju po povrsini silicijumske plocice, pri cemu brzina razlivanja i viskoznost rezistaodredjuju njegovu konacnu debljinu koja najcesce iznosi oko 1µm. Nakon nanosenjafotorezista na plocicu, ona se pece na temperaturi od 100oC. Koriscenjem maske saotvorima za LOCOS oblasti, fotorezist se osvetljava najcesce ultraljubicastom svetloscu.Na mestima gde je rezist osvetljen dolazi do promena hemijskih osobina tako da seosvetljeni sloj (u najvecem broju slucajeva; za neke vrste fotorezista to je neosvetljeni

PLITKA TRENCH IZOLACIJA 3

sloj) lako moze ukloniti. Sledeci procesni korak prikazan je na slici 1.3. Nakon formiranja

Slika 1.2 Inicijalno ciscenje, formiranje SiO2 sloja, depozicija nitrida LPCVD procesom inanosenje fotorezista.

otvora, vrsi se suvo nagrizanje Si3N4 na mestima koja nisu zasticena rezistom. Nakon stoje nagrizanje nitrida zavrseno, ostatak rezista se hemijski uklanja i silicijumske plocicese smestaju u pec u kojoj se vrsi narastanje debelog sloja oksida. Sloj nitrida na povrsinisprecava oksidaciju na mestima na kojima se on nalazi, tako da ce debeo sloj oksidanarasti samo na mestima koja nisu zasticena nitridom (slika 1.4). Ova lokalna oksidacijaili LOCOS proces odvija se u H2O atmosferi pri temperaturi koja obicno iznosi 1000oCu trajanju od 90 min. Debljina ovako naraslog sloja oksida iznosi oko 500 nm.

1.4 PLITKA TRENCH IZOLACIJA

Alternativni metod opisanom LOCOS procesu za formiranje izolacionih oblasti izmedjuaktivnih komponenata je plitka trench izolacija. Kao sto ce ovde biti opisano, ovommetodom se najpre stvaraju otvori koji su useceni u silicijumski supstrat, koji se zatimpopunjavaju oksidom. Ovakav proces kompletno eliminise pticji kljun, koji je karakter-istican za LOCOS izolaciju, cime je omoguceno formiranje fizicki manjih izolacionihoblasti.

Proces plitke trench izolacije pocinje na isti nacin kao kod LOCOS procesa. Nakontermicki naraslog oksida i deponovanog nitrida, na plocicu se nanosi fotorezist, cijimse osvetljavanjem kroz masku definisu oblasti koje ce posluziti kao izolacione, kao naslici 1.3. Sledeci korak kod formiranja trench izolacije prikazan je na slici 1.5 i predstavljauklanjanje silicijumskog supstrata u oblastima formiranih otvora na plocici do dubine oko500 nm. Zatim sledi narastanje tankog (10-20 nm) ’linearnog’ sloja oksida na bocnimstranama i dnu formiranih otvora na plocici. Iako ce najveci deo formiranih praznina bitipopunjen deponovanim oksidom, termicko narastanje prvog dela je pozeljno iz razlogasto se na taj nacin dobija kvalitetnija Si/SiO2 medjupovrsina, i s obzirom da se ovaoksidacija izvrsava pri relativno visokim temperaturama (oko 1100oC), to ce ona pomocipri zaobljavanju uglova formiranih otvora. Nakon termicke oksidacije, sledeci korakje formiranje debelog sloja SiO2 depozicijom iz gasne faze (slika 1.6), nakon cega sepoliranjem skida suvisni oksid pri cemu je granica prestanka poliranja nitrid. Na ovajnacin je dobijena planarna struktura sa trench izolacijom, prikazana na slici 1.6. Nakonovog procesa, silicijumske plocice su pripremljene za proizvodnju tranzistora u aktivnimoblastima.

Slika 1.3 Fotopostupak I - Uklanjanje nitridnog sloja koji nije zasticen fotorezistom.

Slika 1.4 Proces formiranja LOCOS-a.

Slika 1.5 Formiranje plitkih trench-ova i "linearnog" oksida u njima.

4 CMOS TEHNOLOGIJA

Slika 1.6 Deponovanje oksida sa ciljem da se formirane trench oblasti popune i CMP proces(poliranje) radi planarizacije strukture.

Slika 1.7 Fotopostupak II - Implantacija P-well oblasti NMOS tranzistora.

Slika 1.8 Fotopostupak III - Implantacija N-well oblasti PMOS tranzistora.

Slika 1.9 Visokotemperaturni proces difuzije za formiranje N i P-well oblasti.

1.5 FORMIRANJE N- I P-WELL OBLASTI

Za nastavak CMOS tehnoloskog niza bice odabrana struktura sa LOCOS izolacijom saslike 1.4. Na takvu silicijumsku plocicu se nanosi fotorezist, koji se zatim, koriscenjemmaske 2 sa definisanim otvorima za P-well oblasti, osvetljava, nakon cega sa uklanjaosvetljeni fotorezist. P-well oblasti se dobijaju ubacivanjem jona (najcesce bora, B+)odredjenje energije procesom jonske implantacije (slika 1.7). Energija implantacije morabiti dovoljno velika da B+ joni mogu probiti i tanak i debeo sloj oksida, ali nedovoljno daprodju kroz sloj fotorezista koji sluzi kao maska u procesu implantacije. Tipicne vrednostienergije za ovaj proces iznose oko 150-200 keV. Broj B+ jona koji se implantiraju odred-jen je u odnosu na zahtevane karakteristike komponente. Na primer, za formiranje P-welloblasti sa koncentracijom 5·1016-1017cm−3, potrebna je doza reda velicine 1013cm−2. Sobzirom da proces jonske implantacije uzrokuje pomeranje silicijumskih atoma iz nji-hovih ravnoteznih polozaja u kristalnoj resetki, nakon procesa implantacije obnavljanjeresetke se vrsi pomocu odzarivanja u toku kratkog vremena na visokoj temperaturi (10sekundi na 1000oC) ili duzeg vremena na nizoj temperaturi (30 minuta na 800oC). Nakonsto je implantiran bor i formirana P-well oblast, uklanja se suvisni fotorezist. Zatim se,za formiranje N-well oblasti, koristi novi fotorezist i maska 3, kao sto je prikazano naslici 1.8. Proces je identican onom koji je opisan za formiranje P-well oblasti, samosto se umesto bora implantiraju joni N-tipa, kao sto su: fosfor, arsen ili antimon. Uovom slucaju je to fosfor. S obzirom da su atomi fosfora tezi od atoma bora, za njihovoimplantiranje do iste dubine u silicijumu potrebna je veca energija (300-400 keV). Dozaimplantiranog fosfora je istog reda velicine kao sto je bio slucaj kod formiranja P-welloblasti.

Posle zavrsetka implantacije fosfora, uklanja se fotorezist i silicijumske plocice seociste. Zatim se smestaju u difuzione peci, gde se procesom difuzije N- i P-well oblastipomeraju dublje u silicijumsku plocicu, obicno do 2-3µm (slika 1.9). Ovaj se procesodvija na temperaturi 1000-1100oC, u trajanju od 4 do 6 sati. Proces se odvija u inert-noj atmosferi jer nije potrebna dodatna oksidacija povrsine plocice u ovom procesnomkoraku.

1.6 RAZLICITI NACINI FORMIRANJA AKTIVNIH I WELLOBLASTI

Na ovom nivou, zavrsena je priprema silicijumske plocice za proizvodnju aktivnih kom-ponenata. Na svakom nivou procesnog CMOS tehnoloskog niza, postoje brojne mogucno-

RAZLICITI NACINI FORMIRANJA AKTIVNIH I WELL OBLASTI 5

Slika 1.10 Implantacija bora pre procesa LOCOS oksidacije.

Slika 1.11 Procesom difuzije formiraju se P oblasti ispod formiranog LOCOS-a.

Slika 1.12 Struktura nakon formiranja N- i P-well oblasti.

sti kako se nesto moze izvesti. Ovde ce ukratko biti opisana dva opciona nacina formiranjaaktivnih oblasti, pre nego sto se vratimo na poslednji opisani korak u procesnom nizu saslike 1.9.

1.6.1 Field implantacija ispod LOCOS oblasti

Prvi opcioni proces koji ce ovde biti opisan odnosi se na LOCOS elektricnu izolacijuizmedju susednih komponenata. U procesnom nizu koji je do sada bio objasnjavan,energije primesa za formiranje N- i P-well oblasti izabrane su tako da ovi atomi ilijoni mogu prodreti u silicijum kroz debeo sloj oksida cime je povecana koncentracijaprimesa ispod LOCOS-a. Medjutim, u prakticnim primenama ovo ne izgleda bas takojednostavno. Alternativni pristup ranije opisanom formiranju well oblasti ilustrovan jena slikama 1.10 do 1.12. U procesnom nizu, pre narastanja oksida u polju (LOCOS), vrsise implantacija bora malih energija, pri cemu je maska za oblasti gde bor nije pozeljanzapravo blok rezist/nitrid/oksid, jer joni bora nemaju dovoljnu energiju da prodru krozovaj blok. Ovo je prikazano na slici 1.10. Nakon formiranja LOCOS-a, implantirani borse siri ispred oksida formirajuci P oblast, kako je to prikazano na slici 1.11. Koncentracijaprimesa u ovim oblastima (field oblasti) veca je nego u supstratu. Tipicne vrednosti zadozu i energiju kod formiranja ovih oblasti su 1013cm−2 i 50 keV. Sada se formiranjeN- i P-well oblasti moze izvesti na isti nacin koji je vec ranije bio opisan (slike 1.7 i1.8), osim sto energije implantiranih primesa moraju biti znacajno nize (oko 50 keV)kako bi se obezbedilo da primese ne mogu proci kroz debeo LOCOS. Vazno je uocitida prikazana opcija ne zahteva dodatnu masku, jer se formiranje P oblasti vrsi kroz isteotvore u kojima kasnije narasta oksid. Dobijena struktura prikazana na slici 1.12 je sadaspremna za formiranje aktivnih komponenata.

1.6.2 Ukopani i epitaksijalni slojevi

Neka CMOS integrisana kola izgradjena su na silicijumskim plocicama koje imajujako dopiran ukopani sloj. Procesni koraci, neophodni za formiranje ukopanih slojeva,prikazani su na slikama 1.13 do 1.18. Kao pocetna, koristi se struktura sa slike 1.2. Prvamaska sluzi za definisanje oblasti u kojima ce biti formiran N+ ukopani sloj (slika 1.13).Zatim se vrsi implantacija As+ jona. Kako je svrha postojanja ukopanog sloja zapravodobijanje oblasti male otpornosti (jako dopirane oblasti), to ce doza biti reda velicine1015cm−2, dok energija u ovom slucaju nije kritican parametar i obicno iznosi 50 keV.S obzirom na zahtev da ovaj sloj bude ukopan ispod povrsine silicijuma i da tu i ostane,pozeljno je izabrati element koji slabo difunduje u silicijum (ovde je odabrano da to budearsen).

Nakon implantacije, uklanja se rezist i plocica se ubacuje u pec, gde se u visokotem-peraturnom procesu desava nekoliko procesa od koji su najvazniji spustanje ukopanog

6 CMOS TEHNOLOGIJA

Slika 1.13 Fotopostupak kojim se definise oblast N+ ukopanog sloja.

Slika 1.14 Ukopani sloj posle procesa difuzije u oksidacionom ambijentu.

Slika 1.15 Postupak formiranja P+ ukopanog sloja (kao maska se koristi formirani oksidnisloj).

Slika 1.16 Sematski prikaz strukture nakon formiranja ukopanih slojeva.

Slika 1.17 Formiranje epitaksijalnog sloja.

Slika 1.18 Povezivanje ukopanih i well oblasti i formiranje LOCOS-a.

sloja do dubine 1-2µm i narastanje debelog sloja oksida, ali samo iznad N+ oblasti, jeru preostalim delovima plocice nitrid sprecava narastanje oksida. Celokupni proces trajeoko 2 sata na temperaturi od 1000oC, pri cemu se 60 minuta difuzija odvija u atmosferiH2O kako bi narastao sloj oksida debljine oko 0.4µm. Struktura nakon ovog procesa jeprikazana na slici 1.14.

Sledeci procesni korak je uklanjanje preostalog nitrida sa plocice i formiranje P+

ukopanog sloja (slika 1.15). Debeo oksid iznad N+ ukopanog sloja sprecava prodiranjeimplantiranih jona bora, sto uslovljava da vrednost energije implantacije za ovaj procesbude u intervalu od 50-75 keV, dok tanak oksid to dozvoljava. U ovom procesu koristi seniza doza implantacije (oko 1014cm−2), jer bor poseduje znatno vecu sposobnost difuzijeu odnosu na arsen. Nakon ove implantacije, u difuzionim pecima vrsi se odzarivanje navisokim temperaturama (1000-1100oC) u trajanju od nekoliko sati kako bi se formiraliukopani slojevi (slika 1.16).

Aktivne komponente zahtevaju znatno slabije dopirane oblasti nego sto su ovi ukopanislojevi. Zbog toga iznad ukopanih slojeva moraju da se formiraju N i P slojevi nizekoncentracije (well oblasti). Najpre se uklanja oksidni sloj (slika 1.16), nakon cega seplocice hemijski ciste i smestaju u epitaksijalni reaktor u kome se izlazu gasnoj atmosferikoja sadrzi silicijum i malu koncentraciju primesa. Slika 1.17 ilustruje CMOS plocicunakon narastanja epitaksijalnog sloja. Ovaj epitaksijalni sloj je obicno debeo nekolikomikrometara. Sledeci procesni koraci, u ovakvom nacinu formiranja aktivnih oblasti,bili bi isti oni koji su vec opisani za formiranje LOCOS-a (slike 1.2 do 1.4) i well oblasti(slike 1.7 do 1.9). Nakon odzarivanja, well oblasti se spajaju sa ukopanim slojevima kojise takodje dublje spustaju u svakom visokotemperaturnom procesu (slika 1.18).

Na kraju, potrebno je napomenuti da formiranje ukopanih oblasti i epitaksijalnog slojazahteva samo jedan dodatni fotolitografski proces, ali i mnogo dodatnih procesnih koraka.Kao sto je to bio slucaj sa strukturom sa slike 1.9, i struktura prikazana na slici 1.18 jespremna za proizvodnju aktivnih komponenata.

FORMIRANJE GEJTA 7

Slika 1.19 Fotopostupak IV - Podesavanje napona praga PMOS tranzistora.

Slika 1.20 Fotopostupak V - Podesavanje napona praga NMOS tranzistora.

Slika 1.21 Formiranje oksida gejta.

1.7 FORMIRANJE GEJTA

Sad se vracamo na strukturu prikazanu na slici 1.9. Ukoliko se koristi i neki od nacinaformiranja aktivnih oblasti (slika 1.12 ili 1.18) koji su opisani u prethodnom poglavlju,od ove tacke dalji tok CMOS tehnoloskog niza ce biti isti za sve opisane mogucnosti.Narednih nekoliko procesnih koraka, koji su prikazani na slikama 1.19 do 1.23, pro-jektovani su tako da formiraju najkriticnije delove i oblasti MOS tranzistora. Svakakonajvazniji parametar NMOS i PMOS tranzistora je napon praga. Kod modernih CMOSkola, zeljeni napon praga je u opsegu od 0.5V do 0.8V za obe vrste tranzistora. Zapodesavanje napona praga NMOS tranzistora, najpre se nanosi fotorezist, pa se krozmasku 4 definisu oblasti u kojima se implantira bor (slika 1.19), obicno energije 50-75keV i doze 1-5·1012cm−2. Slika 1.20 ilustruje istu procesnu sekvencu, ali primenjenu naPMOS tranzistor, koriscenjem maske 5. Tip primesa u ovom slucaju moze biti ili N ili P,u zavisnosti od nivoa dopiranja u N-well oblasti i od zeljene vrednosti napona praga. Uovom primeru se radi o primesi N tipa, arsenu, pri cemu su vrednosti doze implantacije1-5·1012cm−2, dok su energije implantacije nesto vece nego kod implantacije bora, zbogvece mase arsena.

Na slici 1.21 prikazani su naredni koraci u CMOS tehnoloskom nizu. Tanak sloj oksidakoji postoji iznad aktivnih oblasti se uklanja u razredjenom HF rastvoru, koji je odlicnoselektivno sredstvo za nagrizanje koje ce ukloniti samo oksid do silicijuma. Kako se ovajproces nagrizanja realizuje bez maske, tokom nagrizanja bice uklonjen i deo oksida upolju. Medjutim, debljina sloja oksida koji se skida je oko 10-20 nm, sto je zanemarljivou odnosu na debljinu LOCOS-a. Razlog za ovo uklanjanje oksida i ponovno narastanjenovog oksida je sto je ovaj prvobitni oksid suvise debeo da bi sluzio kao oksid gejtaMOS tranzistora, a sem toga, prilicno je ostecen tokom prethodnih nekoliko implantacijai termickih procesa. Sadasnji konvencionalni MOS tranzistori imaju oksid gejta debljineispod 10 nm koji se moze formirati razlicitim varijacijama procesnih parametara (temper-aturnim i vremenskim). Na primer, oksidacija u O2 atmosferi u toku 2 sata na temperaturi800oC rezultovace oksidom debljine 10 nm; isti debljina se moze postici oksidacijom uH2O atmosferi na istoj temperaturi u toku 25 minuta. Na slici 1.21 data je struktura poslenarastanja oksida gejta.

Nakon formiranja oksida gejta, preko cele poluprovodnicke plocice se deponuje polisili-cijumski sloj na temperaturi od 600oC (slika 1.22). Tipicna debljina polisilicijumskogsloja je 0.3-0.5µm. Polisilicijum se zatim dopira primesama N tipa (arsen ili fosfor) uprocesu jonske implantacije da bi se dobio niskootporni polisilicijumski sloj. Energijaimplantacije primesa mora biti takva da onemoguci prodiranje primesa dalje od polisili-cijuma, dok doza nije kritican parametar, uobicajeno je da iznosi vise od 5·1015cm−2.U nekim sistemima za depoziciju polisilicijuma, on se dopira u toku depozicije (tzv."in-situ" dopiran polisilicijum).

8 CMOS TEHNOLOGIJA

Slika 1.22 Depozicija i dopiranje polisilicijumskog sloja.

Slika 1.23 Fotopostupak VI - Definisanje gejta NMOS i PMOS tranzistora.

Slika 1.24 Fotopostupak VII - Definisanje LDD oblasti NMOS tranzistora.

Poslednji procesni nivo u ovoj sekvenci, definisanje oblasti gejta, prikazan je naslici 1.23. Na plocicu se najpre nanosi fotorezist, pa se nakon pecenja on osvetljavakroz masku broj 6, posle cega sledi proces razvijanja. Odstranjivanje polisilicijuma samesta na kojima on nije pozeljan vrsi se procesom nagrizanja.

1.8 FORMIRANJE LDD OBLASTI

Nekoliko sledecih procesnih koraka koji ce biti opisani u ovom delu prikazani su naslikama 1.24 do 1.27. Prvo ce biti opisano formiranje slabije dopiranih N i P oblasti(LDD - Lightly Doped Drain), a zatim tankog sloja oksida sa bocnih strana gejta ("side-wall spacer"). Oba ova procesna koraka uvedena su u CMOS tehnoloski niz sa smanji-vanjem dimenzija komponenata i napona napajanja. Naime, kao sto je poznato, sman-jivanje dimenzija komponenata nije praceno linearnim smanjivanjem napona napajanjaintegrisanih kola, tako da se kod tranzistora sa kratkim kanalima u oblasti kanala po-javljuje povecano elektricno polje u odnosu na tranzistore sa dugim kanalima koje mozeprouzrokovati probleme u radu tranzistora. Ovi problemi su uglavnom povezani sa po-javom vrucih nosilaca usled velike energije koju nosioci mogu postici pri velikim elek-tricnim poljima. Takodje, usled velike energije, nosioci naelektrisanja mogu izazvatiudarnu jonizaciju kojom se stvaraju dodatni parovi slobodnih nosilaca naelektrisanja.U nekim slucajevima, nosioci naelektrisanja mogu imati dovoljnu energiju za savla-davanje barijere izmedju provodne zone silicijuma i oksida, tako da se mogu naci uoksidu i uzrokovati velike probleme vezane za pouzdanost tranzistora. Zbog ovih jakihelektricnih polja, u projektovanju MOS tranzistora su ucinjeni znacajni napori kako bitranzistori izdrzali ova jaka polja. Jedna od inovacija je uvodjenje LDD oblasti. Ideja jeda se, umesto strmog spoja, dobije gradirani N+NP profil primesa kod NMOS tranzistora,odnosno P+PN profil kod PMOS tranzistora. Ovo omogucava da napon na drejnu opadaduz veceg rastojanja nego sto je slucaj kod strmog spoja, cime se smanjuje maksimalnavrednost elektricnog polja u blizini drejna. Sa smanjivanjem dimenzija, kod tranzistorase javljaju i efekti kratkih kanala koji se pojavljuju kad elektricno polje koje potice oddrejna prodire kroz oblast kanala i pocinje da utice na potencijalnu barijeru izmedjusorsa i kanala. Za smanjenje ovih efekata se koriste plitki spojevi. LDD komponentaobezbedjuje ovako plitke spojeve koji se nazivaju i prosirene oblasti s obzirom da semoraju kombinovati sa dubljim spojevima sorsa i drejna dalje od oblasti kanala kako bise obezbedili pouzdani kontakti.

Kao sto je prikazano na slici 1.24, na plocicu se nanosi fotorezist i koristi maska 7 dazastiti sve komponente osim NMOS tranzistora. Za formiranje niskodopirane N oblastikoristi se implantacija fosfora, sa dobro kontrolisanim vrednostima doze i energije kakobi se dobili spojevi zeljenih karakteristika (vrednosti doza implantacije su obicno od5·1013cm−2 do 5·1014cm−2 za nize energije). Slicni procesni koraci obavljaju se i kodPMOS tranzistora (slika 1.25).

FORMIRANJE SORSA I DREJNA 9

Slika 1.25 Fotopostupak VIII - Definisanje LDD oblasti PMOS tranzistora.

Slika 1.26 Depozicija SiO2 radi formiranja spacer-a.

Slika 1.27 Anizotropno nagrizanje deponovanog oksida i formiranje spacer-a.

Slika 1.28 Fotopostupak IX - Narastanje "screen" oksida i formiranje sors/drejn oblasti NMOStranzistora.

Slika 1.29 Fotopostupak X - Formiranje sors/drejn oblasti PMOS tranzistora.

Slika 1.30 Definisanje konacnih dubina spojeva i aktiviranje svih implantiranih primesa uprocesu odzarivanja.

Nakon formiranja LDD oblasti kod svih tranzistora, u CMOS tehnoloskom nizu sledidepozicija sloja oksida (moze i nitrida) na povrsinu plocice, kao sto je prikazano naslici 1.26, cija debljina odredjuje sirinu spacer-a na bocnim stranama gejta. Koriscenjemmogucnosti savremenih tehnika anizotropnog plazma nagrizanja, oksid se uklanja sa svihsuvisnih mesta, tako se na kraju dobija struktura sa slike 1.27.

1.9 FORMIRANJE SORSA I DREJNA

U dosadasnjem toku CMOS tehnoloskog niza zavrseno je formiranje najveceg broja dopi-ranih oblasti strukture tranzistora, sa izuzetkom oblasti sorsa i drejna. Kod prethodnoguklanjanjanja oksida za formiranje spacer-a, sklonjen je oksid i sa oblasti sorsa i drejna.Implantacija se uobicajeno realizuje kroz tanak sloj "screen" oksida, cija je uloga da ublaziefekat kanalovanja primesa i minimizira inkorporaciju male kolicine drugih primesa izjonskog implantera. Prvi proces implantacije za formiranje sorsa i drejna NMOS tranzis-tora je ilustrovan na slici 1.28. Kod savremenih CMOS tehnologija se koristi implantacijaarsena zbog mogucnosti formiranja veoma plitkih spojeva. Uobicajene vrednosti doza ienergija za ovaj proces su 2-4·1015cm−2 i 75 keV.

Poslednji fotopostupak, maska 10, a u isto vreme i poslednji proces implantacije uovom tehnoloskom nizu je prikazan na slici 1.29. Fotorezist i maska 10 definisu oblastisorsa i drejna PMOS tranzistora. Kod ovog procesa, doza je 2-4·1015cm−2, ali je energijanesto niza i iznosi 50-75 keV. Ove visokodopirane oblasti smanjuju parazitne otpornostioblasti sorsa i drejna.

Na slici 1.30 ilustrovan je poslednji procesni korak koji se koristi za proizvodnjuaktivnih komponenata. U pecima se vrsi odzarivanje na temperaturi oko 900oC u toku30 minuta, ili za 60 sekundi na temperaturama 1000-1050oC. Ovo odzarivanje aktivirasve primese i postavlja konacne dubine spojeva.

10 CMOS TEHNOLOGIJA

Slika 1.31 Nagrizanje oksida i formiranje otvora za kontakte.

Slika 1.32 Formiranje TiSi2 u N2 ambijentu na 600oC.

Slika 1.33 Fotopostupak XI - Nagrizanje TiN.

1.10 FORMIRANJE KONTAKATA

U prethodnim procesnim koracima je zavrseno formiranje aktivnih komponenata na sili-cijumskoj plocici. Medjutim, neophodno je omoguciti njihovo povezivanje kako bise formirala kola, kao i ulazno/izlazne veze cipa. CMOS proces koji je ovde opisanomogucava povezivanje komponenata u tri nivoa. Prvi i najnizi nivo se cesto nazivalokalna veza, a procesni koraci za izvodjenje medjuveza su prikazani na slikama 1.31 do1.33. Ostali nivoi povezivanja nece biti razmatrani, jer nam nisu trenutno od interesa.Prvim procesom (slika 1.31) se najpre uklanja oksid sa mesta na kojima ce biti kontakti.S obzirom da je ovo najnizi nivo strukture medjuveza, on ce omoguciti povezivanje svihbitnih oblasti u silicijumu i svih polisilicijumskih oblasti. Uklanjanje oksida se obavljabez maske, jer je oksid tanak na onim mestima na kojima zelimo da budu kontakti (sors idrejn). Zatim se na silicijumsku plocicu deponuje tanak sloj titana. Plocice se potom za-grevaju u N2 atmosferi na oko 600oC u toku kratkog vremenskog internala (oko 1 minut).Na ovoj temperaturi, Ti reaguje sa silicijumom stvarajuci TiSi2, pri cemu je iskoriscendeo silicijuma iz podloge (slika 1.32). TiSi2 je odlican provodnik i formira niskootpornekontakte i za N+ i P+ silicijum ili polisilicijum. Titat reaguje sa N2 i formira TiN (tackastisloj na slici 1.32). I TiN je takodje provodnik, ali ne tako dobar kao sto je najveci brojmetala, pa se zbog toga koristi samo za kratke medjuveze. Preko TiN se nanosi slojfotorezista i maska 11 koja ce zastititi delove TiN koji ce nakon osvetljavanja i razvijanjaostati na plocici (slika 1.33). Posle otklanjanja rezista, plocica se uobicajeno zagreva upeci na 800oC u toku jednog minuta, kako bi se smanjile rezistivnosti TiN i TiSi2 slojevado njihovih konacnih vrednosti.

2Proces jonske implantacije

Jonska implantacija je tehnoloski proces koji se primenjuje vise od 50 godina, kojimse naelektrisani i ubrzani atomi ili molekuli direktno ubacuju u poluprovodnicki sup-strat, pri cemu se energije implantiranih jona krecu u intervalu od nekoliko keV, pa svedo nekoliko MeV u nekim specificnim aplikacijama. U tehnologijama za proizvod-nju mikroelektronskih komponenata i integrisanih kola, proces jonske implantacije sekoristi za selektivno dopiranje supstrata. Ovaj proces je patentirao Shockley 1957 go-dine, ukazujuci i na cinjenicu da je posle procesa jonske implantacije neophodno izvrsitidodatno odzarivanje poluprovodnika kako bi se redukovala koncentracija defekata i elek-tricno aktivirali implantirani primesni joni.

Zbog mnogobrojnih prednosti koje proces jonske implantacije ima u odnosu na drugeprocese dopiranja, kao sto su predepozicija, difuzija, itd., u tehnoloskim nizovima zaproizvodnju savremenih integrisanih kola jonska implantacija je gotovo potisnula klasicnemetode dopiranja. Osnovne prednosti procesa jonske implantacije su:

• precizna kontrola kolicine primesa koja se implantira u poluprovodnicki supstrat;

• smanjuje se lateralno prostiranje primesnih atoma, tako da postoji mogucnost zaproizvodnju komponenata manjih lateralnih dimenzija;

• primesni atomi se mogu implantirati u poluprovodnik i kroz slojeve koji se nalazena povrsini supstrata; mogu se formirati veoma strmi p-n spojevi;

• proces jonske implantacije je niskotemperaturni proces; profili implantiranih prime-sa su uniformni;

• postoji mogucnost da se u supstrat, koriscenjem jednog implantera, implantira viserazlicitih vrsta primesnih atoma;

• proces jonske implantacije se veoma uspesno modelira, pri cemu se dobija veomadobro slaganje sa eksperimentalno odredjenim profilima primesa.

Medjutim, potrebno je napomenuti da postoje i odredjeni problemi i ogranicenja kojaprate proces jonske implantacije, i to:

11

12 PROCES JONSKE IMPLANTACIJE

• proces jonske implantacije prouzrokuje ostecenja kristalne poluprovodnicke struk-ture, pa je zbog toga potrebno kratkotrajno termicko odzarivanje kako bi se defektieliminisali;

• maksimalna dubina implantiranih jona je relativno mala, narocito kod implantacije"teskih" jona, za energije manje od 300 keV. Primenom vecih energija, reda neko-liko MeV, mogu se dobiti i vece dubine;

• lateralno rasejavanje primesnih jona, iako mnogo manje, nije zanemarljivo;

• pri implantaciji vecih doza proces jonske implantacije je dugotrajan;

• oprema potrebna za realizaciju procesa jonske implantacije je veoma slozena iskupa.

2.1 TEORIJSKE OSNOVE PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE

Prva istrazivanja koja se odnose na domet i rasejavanje naelektrisanih cestica u cvrstimmaterijalima otpoceli su pocetkom dvadesetog veka Lenard i Rutherford, koji je tomprilikom, prvi put na osnovu svojih istrazivanja, izneo pretpostavku da se atomi sastojeod jezgra i omotaca. Ubrzo zatim, Bohr je dao prvu teoriju o zaustavljanju implantiranihcestica i uspeo da za "teske" naelektrisane cestice izracuna gubitak energije po jedinicipredjenog puta, pri cemu je izneo pretpostavku da je gubitak energije posledica njihovihsudara i interakcije sa pozitivno naelektrisanim jezgrima (nuclear stopping) i elektron-ima (electronic stopping). Pri tome, najveci problem pri odredjivanju gubitka energijepredstavlja odredjivanje efektivnog naelektrisanja pokretnih jona u materijalu. Bohr jepretpostavio da se uticaj elektrona jona koji imaju orbitalnu brzinu manju od brzine jonamogu zanemariti. Nesto kasnije, Bethe i Bloch uvode kvantno mehanicki pristup priodredjivanju gubitka energije usled interakcije sa elektronima, dok je Fermi proucavaokako naelektrisana cestica utice na polarizaciju elektronskog gasa i menja interakciju.Fermi i Teller su zatim, na osnovu svojih istrazivanja, dosli do zakljucka da je gubitakenergije usled interakcije sa elektronima direktno proporcionalan brzini cestice. Gu-bitak energije zbog interakcije sa jezgrom atoma je tretiran kao elastican sudar ubrzane,naelektrisane cestice sa Coulomb-ovim poljem pozitivno naelektrisanog jezgra atomamaterijala u koji se joni implantiraju.

Najznacajniji pomak u ovim istrazivanjima nacinili su Lindhard, Scharff i Schiott svo-jom LSS teorijom kojom se moze izracunati gubitak energije i odrediti domet proizvoljnogjona u proizvoljnom materijalu. Dalja poboljsanja ove teorije su ucinjena koriscenjemizracunavanja koja uzimaju u obzir kvantno mehanicku strukturu atoma (numerickoodredjivanje putanje jona pri interakcijama sa atomima, a ne na osnovu asimptotskihaproksimacija sudara, popravljanje aproksimacije efektivnog naelektrisanja jona, uticajstrukture resetke kristalnih materijala na putanju jona, itd.).

Koriscenjem savremenih i snaznih racunara moguce je precizno izracunati putanjevise hiljada implantiranih jona, uzimajuci u obzir strukturu materijala, eventualno pris-ustvo oksida na povrsini, tilt i rotaciju. Na taj nacin se na osnovu pozicije u kojoj sezaustavlja svaki implantirani jon moze odrediti konacan profil implantiranih primesa.Ovaj pristup je poznat pod nazivom Monte Carlo simulacija. Kod amorfnog silicijuma,pozicija silicijumovih atoma se odredjuje proizvoljno, na osnovu date gustine materijalaN . Prema tome, srednje rastojanje izmedju atoma amorfnog silicijuma, tj. srednji putizmedju dve interakcije je (1/N)1/3. Kod monokristalnog silicijuma, koji se i primen-

TEORIJSKE OSNOVE PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE 13

Slika 2.1 Ilustracija dometa R i projektovanog dometa Rp.

juje u poluprovodnickim tehnologijama, putanju implantiranog jona odredjuje strukturakristalne resetke silicijuma. Brzina kojom jon gubi energiju zavisi od oba mehanizmazaustavljanja i odredjuje se kao:

−dEdx

= −N [Sn(E) + Se(E)] , (2.1)

gde jeE energija jona u bilo kojoj tacki, dok su procesi gubitaka energije usled sudara sajezgrima atoma i interakcije sa elektronima okarakterisani efektivnim presecima zaus-tavljanja Sn(E) i Se(E), respektivno, koji predstavljaju gubitak energije implantiranogjona po jedinici predjenog puta.

Poznato je da ubrzani joni, koji se implantiraju u poluprovodnik, gube svoju energijuusled interakcije sa elektronima i sudara sa jezgrima atoma materijala u koji se implan-tiraju, tako da se posle odredjenog broja sudara, kada izgube celokupnu svoju energiju,zaustavljaju. Ukupni put koji tom prilikom predje implantirani jon naziva se domet R(slika 2.1), pri cemu je jasno da zbog sudarnih procesa putanja jona nije prava linija. Primodeliranju procesa jonske implantacije je daleko vaznije poznavati parametar Rp kojipredstavlja projekciju dometa na pravac koji je paralelan ulasku jona u supstrat i nazivase projektovani domet. Kako je broj sudara implantiranog jona sa atomima supstrataslucajna promenljiva, joni sa istom pocetnom energijom ce biti prostorno raspodeljeniu supstratu, pri cemu ce se najveci broj jona zaustaviti na rastojanju Rp od povrsine, pace na tom mestu koncentracija implantiranih jona imati svoj maksimum. Parametar kojiodredjuje statisticku fluktuaciju implantiranih jona u pravcu ulaska jona u supstrat nazivase projektovana standardna devijacija ∆Rp. Lateralno rasejavanje implantiranih jona,u pravcu normalnom na pravac ulaska jona u supstrat, definise parametar koji se nazivalateralna standardna devijacija ∆Rl.

Teorijske osnove procesa jonske implantacije postavljene su u poslednjih pet decenija izasnivaju se na istrazivanjima Bohr-a i Rutherford-a koja su bila usmerena ka odredjivanjuprofila koncentracije implantiranih jona i defekata koji se pri tome formiraju u amorfnimmaterijalima. Pored toga, oni su proucavali i dodatne, parazitne efekte koji prate procesjonske implantacije, a posebnu paznju su posvetili proucavanju sudarnih procesa izmedjuimplantiranih jona i atoma supstrata. Naime, implantirani joni pri prolasku kroz supstratgube energiju usled sudara sa jezgrima atoma i Coulomb-ove interakcije sa elektronima.Zbog ovih procesa energija implantiranog jona se smanjuje, sve dok se on konacnone zaustavi. Prema tome, ukupna izgubljena energija implantiranog jona po jedinicipredjenog puta moze se odrediti kao:

dE

dx= Sn(E) + Se(E), (2.2)

pri cemu je uvedena pretpostavka da su ova dva mehanizma zaustavljanja medjusobnonezavisna. Ukupni predjeni put implantiranog jona, tj. domet R, se moze odrediti kao:

R =

R∫0

dx =1

N

E0∫0

dE

Sn(E) + Se(E), (2.3)

gde je E0 pocetna energija implantiranog jona.


Slika 2.2 Ilustracija sudara implantiranog jona mase M1 i brzine ν0 sa jezgrom mase M2.

2.1.1 Zaustavljanje implantiranih jona usled sudara sa jezgrima atoma

Ovaj mehanizam zaustavljanja se odnosi na gubitak energije implantiranih jona pri su-darima sa jezgrima atoma supstrata. Proucavanje ovog mehanizma se moze znacajnouprostiti ako se uvede analogija izmedju ovih procesa i sudara dve sfere (slika 2.2).Medjutim, znatno preciznija aproksimacija se dobija ako se pored sudara implantira-nog jona i jezgra uzme u obzir i rasejavanje jona na jezgrima atoma koje se opisujedejstvom Coulomb-ovih sila. Pri tome je neophodno odrediti odgovarajuci potencijalrasejavanja, V (r), da bi se mogao odrediti ugao rasejavanja. Kod LSS modela, kojima seveoma uspesno i precizno odredjuje profil koncentracije implantiranih jona, kao poten-cijal rasejavanja se koristi Thomas-Fermi potencijal. Izracunavanje efektivnog presekarasejavanja Sn(E) koriscenjem ovog modela pokazuje da on pri malim energijama skorolinearno zavisi od energije implantacije, a sa daljim povecanjem energije pocinje daopada. Potrebno je napomenuti da Sn(E) zavisi i od mase implantiranog jona, tako da"teski" joni, kao npr. joni arsena, daleko brze gube energiju usled sudara sa jezgrimaatoma nego sto je to slucaj sa "lakim" jonima, kao sto su npr. joni bora.

2.1.2 Zaustavljanje implantiranih jona usled interakcije sa elektronima

Joni koji se implantiraju u supstrat gube svoju energiju i usled interakcije sa elektron-ima, pri cemu se u ovom slucaju moze uspostaviti analogija izmedju ovog mehanizmazaustavljanja i zaustavljanja cestice koja ulazi u neki viskozni medijum. U tom slucajuefektivni presek zaustavljanja usled interakcije sa elektronima Se(E) je proporcionalanbrzini jona, tj. kvadratnom korenu energije:

Se(E) = ke · E0.5. (2.4)

2.2 ANALITICKI MODELI PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE

2.2.1 Gaussian model implantacije

Kao sto je vec receno, postoji nekoliko nacina za odredjivanje 1D profila implantiranihjona, a svakako najjednostavniji je koriscenje Gaussian funkcije raspodele:

C(x) =φ√

2π∆Rp

exp−(x−Rp)

2

2∆R2p

, (2.5)

gde je φ doza implantacije.

2.2.2 Pearson model implantacije

Generalno, Gaussian model implantacije ne opisuje dobro implantirane profile s obziromda su realni profili primesa u najvecem broju slucajeva asimetricni. Najjednostavniji,i u isto vreme najvise koriscen model koji omogucava dobijanje asimetricnih profilaimplantiranih jona je primena Pearson raspodele, a posebno Pearson IV funkcije.

ANALITICKI MODELI PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE 15

Pearson funcija se odnosi na citavu familiju krivih koje se dobijaju kao resenje difer-encijalne jednacine:

df(x)

dx=

(x− a)f(x)

b0 + b1x+ b2x2, (2.6)

gde je f(x) funkcija ucestanosti, dok su konstante a, b0, b1 i b2 povezane sa momentimafuncije f(x) na sledeci nacin:

a = −∆Rpγ(β + 3)

A, (2.7)

b0 = −∆R2

p(4β − 3γ2)

A, (2.8)

b1 = a, (2.9)

b2 = −4β − γ2 − 6)

A, (2.10)

gde jeA = 10β− 12γ2− 18, pri cemu su γ i β parametri asimetrije (skewness) i ekscesa(ekurtosis), respektivno. Ovi parametri Pearson-ove raspodele su direktno povezani sacetiri momenta (µ1, µ2, µ3, µ4) funkcije raspodele f(x):

Rp = µ1,∆Rp =√µ2, γ =

µ3

R3p

, β =µ4

R4p

. (2.11)

µi se definise kao:

µ1 =

∞∫−∞

xf(x)dx, (2.12)

µi =

∞∫−∞

(x−Rp)if(x)dx, i = 2, 3, 4, . . . (2.13)

Forma resenja diferencijalne jednacine (2.6) zavisi od prirode korena jednacine b0+b1x+b2x

2 = 0. Oblici Pearson-ovih krivih su razliciti, pri cemu se za opisivanje implantiranihprofila koristi kriva zvonastog oblika. Moze se pokazati da f(x) ima maksimum samokada je b0 + b1x+ b2x

2 < 0, tj. dobija se veza izmedju parametara β i γ:

β > 9(6γ2 + 5) + [(9γ6)/16 + 8γ4 + 25(γ2 + 1)]

1/2

50− γ2, (2.14)

uz dodatno ogranicenje da je γ2 < 50. Samo Pearson IV raspodela ima jedinstvenimaksimum za x = a+Rp i monotono opada prema nuli sa obe strane i zbog toga se onakoristi za opisivanje profila implantiranih jona. Ona se dobija kao resenje diferencijalnejednacine (2.6) kada su zadovoljeni uslovi:

β =39γ2 + 48 + 6(γ2 + 4)3/2

32− γ2, 0 < γ2 < 32, (2.15)


i onda Pearson IV raspodela ima oblik:

f(x) = K[b0 + b1(x−Rp) + b2(x−Rp)

2]1/(2b2)

exp

[− b1/b2 + 2a√

4b1b2 − b21atan

(2b2(x−Rp) + b2√

4b1b2 − b21

)], (2.16)

pri cemu se koeficijent K odredjuje iz uslova:∞∫

−∞

f(x)dx = 1. (2.17)

Pearson model jonske implantacije se pokazao kao dobro resenje za veliki broj jon/sup-strat kombinacija, kao i za sirok opseg energija i doza implantacije. Medjutim, postojii dosta slucajeva kada dobijeni rezultati, pre svega zbog efekta kanalovanja, nisu zado-voljavajuci, pa se zbog toga moraju koristiti drugi analiticki modeli.

2.2.3 Dual Pearson model implantacije

U cilju resenja problema simulacije procesa jonske implantacije primenom analitickihmodela, kada je efekat kanalovanja jako izrazen, Al Tasch predlaze dual Pearson model.Kod ovog modela, profil implantiranih primesa se odredjuje kao linearna kombinacijadve Pearson funkcije:

C(x) = φ1f1(x) + φ2f2(x). (2.18)Obe funkcije f1(x) i f2(x) su normalizovane svojim momentima, pri cemu prva opisujeprofil implantiranih primesa u okolini maksimuma, a druga u oblasti kanalovanja, ili tzv.repa implantiranog profila. Izraz 2.18 se moze napisati i kao:

C(x) = φ [<f1(x) + (1−<)f2(x)] , (2.19)

gde je φ = φ1 +φ2 ukupna doza implantacije, dok je < = φ1/φ. Ova analiticka funkcijaima devet parametara, po cetiri momenta za svaku Pearson funkciju, i jedan za odnosdoza <.

2.2.4 SIMS verifikovan Pearson (SVDP) model

Vecina programa koji se koriste za simulaciju tehnoloskih procesa koristi analiticke mod-ele procesa jonske implantacije koji se baziraju na veoma kvalitetnim i preciznim eksper-imentalnim podacima, dobijenim iz ogromnog broja SIMS profila, koji su najpre obrad-jeni, a zatim smesteni u baze podataka odakle se po potrebi koriste. U tabelama senalaze vrednosti svih momenata dual Pearson modela za primese: B, BF2, P i As kojese i najcesce koriste u poluprovodnickoj tehnologiji. Naravno, primena ovog modela jeogranicena na odredjeni opseg doza, energija, tilt i rotacionog ugla i debljinu oksidnogsloja kroz koji se implantacija vrsi u skladu sa realizovanim eksperimentima i meren-jima. Ove vrednosti su date u tabeli 2.1. Potrebno je napomenuti da su podaci za Beksperimentalno verifikovani u opsegu 5-80 keV, za opseg 1-5 keV se koristi interpo-lacija na osnovu izracunavanja programom UT-MARLOWE za 0.5 keV, dok se u opsegupreko 80 keV koristi ekstrapolacija. Podaci za BF2 su eksperimentalno verifikovani u

IMPLANTACIJA U VISESLOJNIM STRUKTURAMA 17

Tabela 2.1 Opseg u kojem se moze primenjivati SVDP model.

Jon Energija (keV) Doza (cm−2) Tilt ugao (o) Ugao rotacije (o) Debljina oksida (nm)

B 1-100 1013 - 8·1015 0-10 0-360 native oksid - 50

BF2 1-80 1013 - 8·1015 0-10 0-360 native oksid

P 12-200 1013 - 8·1015 0-10 0-360 native oksid

As 1-200 1013 - 8·1015 0-10 0-360 native oksid

opsegu 5-65 keV, za opseg 1-5 keV se koristi interpolacija na osnovu izracunavanja pro-gramom UT-MARLOWE, a u opsegu preko 80 keV se takodje koristi ekstrapolacija. ZaP podaci su eksperimentalno verifikovani u opsegu 15-80 keV, dok se van ovog opsegakoristi numericka ekstrapolacija. Konacno, u slucaju As se koristi interpolacija izmedju5 keV i UT-MARLOWE odredjenog profila za 0.5 keV. Ukoliko su vrednosti parametaraimplantacije van definisanih opsega koristi se dual Pearson model.

2.3 IMPLANTACIJA U VISESLOJNIM STRUKTURAMA

Dobro je poznato da se u velikom broju slucajeva proces implantacije primesa u poluprovo-dnicki supstrat realizuje kroz oksidni sloj. Ima vise razloga za to: ublazavanje efekatakanalovanja, podesavanje maksimuma profila uz samu povrsinu silicijuma, itd. Da bi se uovakvim slucajevima, kada se joni implantiraju u strukturu koja se sastoji od vise slojevarazlicitog materijala, mogla da koristi neka od opisanih analitickih funkcija raspodele zasimulaciju procesa jonske implantacije, neophodno je koristiti metod skaliranja od kojihce neki koji se najcesce koriste biti opisani u ovom delu.

2.3.1 DOSE.MATCH metod

Istorijski gledano, ovo je prvi i najcesce koriscen metod u skoro svim programima kojise koriste za simulaciju procesa jonske implantacije u viseslojnim strukturama. Segmentprofila u i-tom sloju se odredjuje kao:

Ci(x) = φf(x− xt + xeff ), (2.20)

gde je f(x) odabrana funkcija raspodele (Gauss, Pearson ili dual Pearson) sa momentimakoji odgovaraju i-tom sloju, xt je rastojanje od povrsine strukture do i-tog sloja:

xt =

k≤i−1∑k=1

tk. (2.21)

tk je debljina k-tog sloja, a xeff efektivna debljina koja se izracunava iz:

xeff∫0

Ci(x) =

k≤i−1∑k=1

φk, (2.22)


Slika 2.3 Sematski prikaz DOSE.MATCH metode (A=xt, B=xeff ).

pri cemu je φk deo ukupne doze implantacije koji se zadrzava u k-tom sloju viseslojnestrukture. Sematski prikaz ove metode je dat na slici 2.3.

2.3.2 RP.SCALE i MAX.SCALE metode

Druge dve metode za izracunavanje implantiranih profila primesa u viseslojnim struk-turama su skaliranje projektovanog dometa (RP.SCALE) i skaliranje maksimalne du-bine (MAX.SCALE). Ove dve metode se razlikuju od prethodne po nacinu na koji seizracunava efektivna dubina xeff . Raspodela implantiranih primesa u prvom sloju seracuna direktno sa momentima koji odgovaraju ovom sloju, tj. materijalu. U narednimslojevima profil se odredjuje prema:

Ci(x) = Nf(x− xt + xeff ), (2.23)

N =

(φ−

i−1∑k=1

φk

)/φi, (2.24)

gde je N je faktor normalizacije. U slucaju skaliranja projektovanog dometa za i-ti sloj,xeffse odredjuje kao:

xeff =i−1∑k=1

tkRk

p

Rk+1p . (2.25)

Rkp je projektovani domet za specificirani jon u k-tom sloju. Za slucaj skaliranja maksi-

malnog dometa, xeff se odredjuje kao:

xeff =i−1∑k=1

tkRk

p + 3∆Rkp

(Rk+1p + 3∆Rk−1

p ), (2.26)

gde je ∆Rkp projektovana standardna devijacija u k-tom sloju. U ovoj aproksimaciji se

uzima da je procenjeni maksimalni domet jona u odgovarajucem materijaluRp +3∆Rp.

2.3.3 MOM.SCALE metoda

U sve tri prethodno opisane metode, parametri u svakom sloju viseslojne strukture se raz-matraju nezavisno od prisustva ostalih slojeva. Medjutim, potpuno je jasno da raspodelazaustavljenih jona u dubljim slojevima zavisi od debljina i karakteristika slojeva krozkoje joni prethodno prolaze. Metod korekcije momenata (MOM.SCALE) uzima u obzirovu cinjenicu. Naime, projektovani domet, kao i ostali parametri raspodele u svakomsloju su normalizovani tako sto se uzima u obzir verovatnoca da implantirani jon prodredo tog sloja. Jedina mera ove verovatnoce je deo ukupne doze koja se akumulira u odgo-varajucem sloju, tako da se korigovani projektovani domet Rpc i korigovana standardnadevijacija ∆Rpc u i-tom sloju izracunavaju kao:

Rpc = φiRip

i−1∑k=1

φkRkp, (2.27)

2D SIMULACIJA PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE 19

∆Rpc = φi∆Rip

i−1∑k=1

φk∆Rkp, (2.28)

gde je

φi = φ−i−1∑k=1

φk. (2.29)

Sa ovako odredjenim vrednostima parametara raspodele moguce je koristiti bilo koji odtri prethodno opisana metoda.

2.4 2D SIMULACIJA PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE

Do sada smo razmatrali samo metode i analiticke modele za 1D simulaciju procesa jonskeimplantacije. Medjutim, potreba za 2D, pa cak u poslednje vreme i 3D simulacijama,uslovila je razvoj 2D analitickih modela za simulaciju procesa jonske implantacije. Kodovih modela, 2D raspodela implantiranih primesa se, za razliku od veoma kompleksnihizracunavanja kod Monte Carlo ili BTE (Boltzmann Transport Equation) metoda, odred-juje daleko jednostavnije. Najpoznatiji 2D analiticki model procesa jonske implantacijeje konvolucioni metod, koji je implementiran u najvecem broju simulatora tehnoloskihprocesa.

2.4.1 Konvolucioni metod

Kod ovog metoda je najpre neophodno odrediti pravac implantacije u 2D simulacionojravni na osnovu poznatih parametara implantacije Θ (TILT ) i ϕ (ROTATION ), kaosto je prikazano na slici 2.4.1, gde je Θ ugao izmedju pravca mlaza jona i y-ose, a ϕugao izmedju pravca mlaza jona i simulacione ravni. Efektivni ugao implantacije α seodredjuje kao:

tan(α) = tan(Θ) · cos(ϕ). (2.30)

Posle odredjivanja efektivnog ugla, implantacioni front, normalan na pravac α se delina Ns preseka (najcesce > 100) sirine a. Zatim se koncentracija primesa u svakoj tackidiskretizacione mreze (xi, yi) odredjuje sumiranjem doprinosa svakog preseka k, kao stoje to dato sledecim izrazom:

C(xi, yi) =∑

1≤k≤Ns

Ck(xi, yi). (2.31)

Doprinos svakog preseka Ck se odredjuje integracijom tackastog izvora 2D funkcijeraspodele f2D(x, y):

Ck(xi, yi) = φ

a/2∫−a/2

f2D(di, ti)dt. (2.32)

Primer ovakvog odredjivanja 2D profila programom DIOS za slucajeve TILT = 0,ROTATION = 0 i TILT = 30o, ROTATION = −45o, prikazan je na slici 2.5.


Slika 2.4 Integraciona geometrija kod konvolucionog metoda.

Slika 2.5 2D implantirani profili primesa odredjeni programom DIOS: TILT = 0,ROTATION = 0 (gore) i TILT = 30o, ROTATION = −45o (dole).

2.4.2 Lateralna funkcija raspodele

Najjednostavniji tip 2D funkcije raspodele je proizvod longitudinalne funkcije fl(x) (kojamoze biti Gauss-ova, Pearson ili dual Pearson raspodela) i transverzalne funkcije ft(y),cija vrednost ne zavisi od dubine, kao sto je dato izrazom:

f2D(x, y) = fl(x) · ft(y). (2.33)

Na osnovu dosadasnjih razmatranja, potpuno je jasno da i funkcija ft(y) mora bitisimetricna i zvonastog oblika. Zbog toga se za ovu funkciju najcesce bira Gauss-ovafunkcija raspodele, kod koje se uzima da je parametar βy = 3, tako da se dobija:

C(xi, yi) =1

2φfl(di)

[erfc

ti − a/2√2∆Y

− erfcti + a/2√

2∆Y

], (2.34)

gde ∆Y predstavlja lateralnu standardnu devijaciju:

∆Y =

∫ ∫ ∞

−∞f2D(x, y)y2dxdy. (2.35)

Vrednost lateralne standardne devijacije se definise na identican nacin kao sto se definisuvrednosti ostalih parametara i momenata funkcija raspodele kojima se opisuju implanti-rani profili primesa.

Medjutim, poredjenje ovako odredjenih implantiranih profila i eksperimentalnih rezul-tata je pokazalo da vrednost ft(y) nije nezavisna od dubine, tj. rastojanja od povrsine.Korelacija izmedju longitudinalnog i transverzalnog kretanja implantiranih jona se mod-elira lateralnom standardnom devijacijom cija vrednost zavisi od dubine σy(x), koja senajbolje moze aproksimirati parabolicnom funkcijom:

σ2y(x) = c0 + c1(x−Rp) + c2(x−Rp)

2. (2.36)

Da bi se odredile vrednosti koeficijenata iz gore navedenog izraza uvode se jos dvaparametra: mesoviti parametar asimetrije γxy i mesoviti eksces βxy.

c0 = ∆Y 2(1−B), (2.37)

c1 =∆Y 2

∆Rp

(γxy − γB), (2.38)

c2 =∆Y 2

∆R2p

B, (2.39)

gde je:

B =βxy − 1− γγxy

β − 1− γ2. (2.40)

MONTE CARLO METODA 21

Eksperimentalna merenja, kao i detaljna Monte Carlo simulacija procesa implantacijepokazuju da u najvecem broju slucajeva transverzalna funkcija raspodele ft nije Gauss-ova. Drugim recima, vrednost βy nije uvek jednaka 3 i, uz to, vrednost takodje zavisi oddubine. Nekoliko funkcija raspodele zadovoljava ovaj kriterijum, kao na primer PearsonII (βy ≤ 3) ili Pearson VII (β > 3) koje daju veoma dobro slaganje sa Monte Carlosimulacijama procesa jonske implantacije u amorfnom silicijumu. Dobri rezultati supostignuti i kada se kao lateralna funkcija raspodele koristi modifikovana Gauss-ovaraspodela.

2.5 MONTE CARLO METODA

Analiticki modeli koji su do sada opisani daju veoma dobre rezultate kada se primene nasimulaciju procesa implantacije primesnih jona u jednostavne, planarne poluprovodnickestrukture. Medjutim, kod struktura koje sadrze veci broj neplanarnih slojeva, neophodnoje koristiti sofisticiranije simulacione modele. Svakako da je u ovim slucajevima na-jbolje koristiti Monte Carlo tehniku simulacije procesa jonske implantacije koja pred-stavlja najfleksibilniju i univerzalnu metodu za simulaciju ovog procesa. Ovaj pristupomogucava korisniku da odredi profil implantiranih primesa u poluprovodnickoj strukturiproizvoljnog oblika, sa tacnoscu koja je uporediva sa analitickim modelima primenjenimna jednostavne strukture.

Posebno je vazno napomenuti da se ova metoda veoma uspesno koristi za simulacijuprocesa jonske implantacije, kako kod amorfnih (Amorphous Material Model - AMM),tako i kod kristalnih (Crystalline Material Model - CMM) supstrata. Oba pomenutamodela se baziraju na BCA (Binary Collision Aproximation), o cemu je bilo vise recikada smo govorili o teorijskim osnovama procesa jonske implantacije, ali se razlikujuaproksimacije vezane za strukturu materijala i propagaciju implantiranih jona kroz ma-terijal.

Da bi razumeli postupak simulacije procesa jonske implantacije metodom MonteCarlo, jos jednom cemo razmotriti samu prirodu ovog procesa. Mlaz ubrzanih jona kojipada na povrsinu amorfnog ili kristalnog materijala, naglo usporava i dolazi do procesarasejavanja jona usled njihove interakcije sa jezgrima atoma podloge i elektronima. Nasvom putu implantirani joni mogu da izazovu formiranje tzv. "recoil" atoma koji daljeizazivaju nove sudare usled kojih dolazi do pomeranja atoma supstrata. Ovi atomi, unasem slucaju se najcesce radi o atomima silicijuma, zbog toga mogu biti ili pomereni naneko drugo mesto u kristalnoj ili amorfnoj strukturi materijala, ili mogu cak biti izbaceniiz podloge. Ubrzani joni zbog sudarnih procesa takodje mogu da napuste podlogu ili dase ugrade u strukturu materijala, formirajuci pri tome defekte. U zavisnosti od kristalneorijentacije poluprovodnickog supstrata i pravca mlaza jona dobijaju se veoma razliciteprostorne raspodele implantiranih primesa.

Monte Carlo metodom se simulira putanja svake cestice primenom vec pomenuteBCA aproksimacije za kristalne, polikristalne i amorfne materijale. Za svaki sudarniproces sa jezgrom odredjuje se ugao rasejavanja i impakt parametar na osnovu kristalnestrukture materijala, dok se kod amorfnih materijala ovi parametri odredjuju koriscenjemgeneratora slucajnih brojeva. Naravno, kako nije moguce simulirati putanju bas svihimplantiranih jona, uvodi se pretpostavka da je svaki simulirani jon reprezent odredjenegrupe jona, pa se na kraju simulacije kao rezultat dobija profil implantiranih jona, kao ikoncentracije formiranih defekata (intersticija i vakancija) koje imaju veoma veliki uticajna procese difuzije primesa.


Naravno, ovaj proces je veoma zahtevan u pogledu potrebnih racunarskih resursa ineophodnog CPU vremena simulacije, ali s obzirom na pojavu dovoljno brzih racunara,kao i na preciznost i mogucnosti metoda Monte Carlo, ovakav pristup modeliranju procesajonske implantacije pocinje polako da potiskuje ostale metode.

3Proces difuzije

Poznato je da, sa stanovista tacnosti i efikasnosti simulacije, modeliranje procesa difuzijeprimesnih jona u poluprovodniku predstavlja najkriticniji korak u procesu projektovanja,simulacije i optimizacije celokupnog tehnoloskog niza za proizvodnju integrisanih kolai komponenata snage. Sa smanjivanjem dimenzija komponenata VLSI kola javlja sepotreba za dvodimenzionalnim, pa cak i trodimenzionalnim modeliranjem procesa di-fuzije, ne samo zbog precizne kontrole dubina lateralnih i vertikalnih p-n spojeva, vec izbog ostvarivanja ultimativnog cilja simulacije procesa da se koriscenjem programa zasimulaciju tehnoloskih procesa, komponenata i integrisanih kola, formira sprega izmedjuosnovnih parametara tehnoloskih procesa i elektricnih karakteristika komponenata i in-tegrisanih kola.

Zbog toga se u savremenim simulatorima procesa koriste veoma slozeni, fundamen-talni modeli procesa difuzije primesa, cime se omogucava simulacija velikog brojaefekata koji prate proces difuzije primesa u silicijumu, a koji su ranije simulirani samofenomenoloski. Pored toga, imajuci u vidu cinjenicu da se u savremenim poluprovodni-ckim tehnologijama veliki broj procesa difuzije odvija u oksidacionim ambijentima, pro-ces difuzije primesa se ne moze posmatrati odvojeno od procesa oksidacije, s obziromda fizicko-hemijski procesi koji se odvijaju na medjupovrsini Si/SiO2 u toku narastanjaoksida mogu znacajno da promene uslove difuzije u silicijumu. Supstitucioni primesnijoni u silicijumu difunduju usled interakcije sa tackastim defektima (intersticijama ivakancijama) koji se generisu u toku procesa oksidacije. Zbog toga je potrebno da seuporedo resavaju problemi difuzije tackastih defekata i primesa, s obzirom da je poz-navanje raspodela intersticija i vakancija u domenu simulacije neophodno za preciznoodredjivanje koeficijenta difuzije primesa i simulaciju procesa difuzije.

Medjutim, simulatori procesa koji simultano resavaju difuzione jednacine tackastih de-fekata i primesa pojavili su se tek pre desetak godina, pri cemu je ovo kasnjenje posledicakako odredjenih poteskoca vezanih za simultano resavanje difuzionih jednacina tackastihdefekata i primesa, tako i problema vezanih za odredjivanje parametara modela procesadifuzije tackastih defekata. Potrebno je napomenuti da su ova dva problema medjusobnoveoma cvrsto povezana. Naime, izbor pogodne numericke metode u velikoj meri zavisi

23

24 PROCES DIFUZIJE

od vrednosti parametara modela, pri cemu najznacajniji uticaj ima vrednost koeficije-nata difuzije intersticija i vakancija. Sa druge strane, odredjivanje parametara modelaprocesa difuzije tackastih defekata u tako slozenom sistemu, kao sto je simultana difuz-ija tackastih defekata i primesa, gotovo je nezamislivo bez pomoci numericke simulacijeovog procesa uz pomoc racunara.

Kod svih postojecih procesnih simulatora, kao sto su na primer ATHENA (SSUPREM4)i ISE DIOS, difuzija primesa i tackastih defekata se simulira koriscenjem veceg brojarazlicitih modela, od kojih su najvazniji: Fermi model, 2D model i "fully coupled" (FC)model difuzije (imena modela difuzije su usaglasena sa imenima koje ovi modeli imaju uulaznim datotekama programa ATHENA (SSUPREM4) u primerima koji su dati u trecemdelu ove skripte. Razlika izmedju ovih modela je u nacinu na koji se uticaj tackastih de-fekata ukljucuje u simulaciju procesa difuzije. Izbor modela zavisi pre svega od uslovau kojima se odvija proces difuzije, da li je ili nije pracen generacijom defekata, i zeljenetacnosti simulacije.

3.1 FERMI MODEL PROCESA DIFUZIJE

Kod ovog modela je uvedena pretpostavka da su tackasti defekti u termodinamickojravnotezi, pa zbog toga nije potrebno u toku simulacije voditi racuna o njihovoj raspodeli.Svi efekti tackastih defekata se ukljucuju preko difuzionog koeficijenta. Osnovna pred-nost ovog modela je velika brzina simulacije, s obzirom da se ne simulira raspodeladefekata u domenu simulacije, ali se on zbog toga ne moze primenjivati na simulacijunekih efekata koji se javljaju u procesu difuzije primesa koje uslovljava povecano pris-ustvo tackastih defekata, kao sto su na primer: oksidacijom ubrzana difuzija (OED),emitor-push efekat, itd.

U tehnoloskom nizu za proizvodnju poluprovodnickih komponenata proces difuzijese karakterise transportom cestica (primesnih jona i tackastih defekata) pod dejstvomistoimenog fizicko-hemijskog mehanizma i elektricnog polja. Fluks j-te cestice u di-fuzionom sistemu koji se sastoji od M razlicitih cestica (j = 1, . . . ,M ) opisan je I Fick-ovim zakonom:

Jj = −DjgradCj + ZjµjNj · gradψ, (3.1)

gde je Cj koncentracija j-te cestice, Nj koncentracija elektricno aktivnih primesa, µj

pokretljivost cestice, Zj stanje naelektrisanosti cestice (+1 za jednostruko jonizovanedonorske primese, -1 za jednostruko jonizovane akceptorske primese i 0 za neutralnecestice), ψ elektricni potencijal i Dj koeficijent difuzije j-te cestice. U opstem slucajukoeficijent difuzije je nelinearna funkcija temperature i koncentracija svih ostalih prisut-nih cestica u posmatranoj tacki simulacionog domena:

Dj = Dj(T ;C1, C2, . . . , CM). (3.2)

Prostorna raspodela j-te cestice u toku procesa difuzije opisana je II Fick-ovim za-konom:

∂Cj

∂t+ divJj −Rj = 0, (3.3)

gde je Rj generaciono-rekombinacioni clan. U jednacinama kontinuiteta za primesnejone generaciono-rekombinacioni clan se najcesce zanemaruje (Rj = 0), pa se zamen-

FERMI MODEL PROCESA DIFUZIJE 25

jujuci (3.1) u (3.3) i uzimajuci u obzir da vazi Einsteinn-ova relacija:

µj

Dj

=q

kT, (3.4)

dobija klasicna forma difuzione jednacine, tj. jednacina kontinuiteta za j-tu cesticu:

∂Cj

∂t= div

[Dj

(gradCj − Zj

q

kTNj · gradψ

)]. (3.5)

Na medjupovrsini Si/SiO2 se za primese primenjuje granicni uslov:

Dj∂Cj

∂y= Cj

(1

m · α− 1

)· ~vox, (3.6)

gde je m ravnotezni koeficijent segregacije, α predstavlja kolicinu Si koja se utrosi naformiranje jedinicne zapremine SiO2 (α = 0.44), dok je ~vox brzina oksidacije koja se uvecini simulatora procesa odredjuje na osnovu jednodimenzionalnog Deal-Grove-ovogmodela procesa oksidacije. Na donjoj povrsini silicijuma koja se tretira kao tzv. "daleka"granica simulacionog domena primenjuje se Dirichlet-ov granicni uslov:

Cj = Cmin, (3.7)

gde je Cmin minimalna koncentracija j-te primese od interesa za simulaciju procesadifuzije. Ova granica, kao i linije simetrije, uvodi se sa ciljem da se iz simulacije iskljucenepotrebne (simetricne i neaktivne) oblasti poluprovodnika i da se na taj nacin smanjepotrebni racunarski resursi i eliminise nepotreban racunarski rad.

3.1.1 Koeficijent difuzije primesa

Dobro je poznato da se proces difuzije primesnih jona u silicijumu, u zavisnosti od tipatackastih defekata preko kojih se primesni joni krecu, zasniva na vakancijskom i inter-sticijskom mehanizmu. Ukoliko se ova dva mehanizma difuzije posmatraju odvojeno,ukupni koeficijent difuzije primesnih jona se moze predstaviti kao:

Dj = DVj +DI

j , (3.8)

gde su DVj i DI

j koeficijenti difuzije j-te cestice koji poticu od vakancijskog i interstici-jskog mehanizma difuzije, respektivno.

Korektna simulacija procesa difuzije primesa zahteva da se uporedo sa resavanjemsistema difuzionih jednacina za sve primese prisutne u domenu simulacije resavaju idifuzione jednacine vakancija i intersticija, s obzirom da se samo na taj nacin moguprecizno da odrede koeficijenti difuzije primesa i konacan profil primesa. Takodje, i poredtoga sto je koeficijent difuzije tackastih defekata konstantan i nekoliko redova velicinaveci od koeficijenata difuzije primesnih jona, pretpostavka o uniformnoj koncentracijiintersticija i vakancija u celom domenu simulacije najcesce ne vazi, s obzirom da seu toku nekih tehnoloskih procesa (oksidacija, nitridacija, jonska implantacija) generisutackasti defekti, cime se narusava njihova termodinamicka ravnotezna koncentracija. Pritome se, svakako, menjaju i koeficijenti difuzije primesnih jona, sto znacajno utice nakonacan profil primesa koji se dobija na kraju procesa difuzije.

26 PROCES DIFUZIJE

Simultano resavanje difuzije primesnih jona i difuzije tackastih defekata predstavljaveoma tezak numericki problem. Naime, velika razlika karakteristicnih difuzionih duzinaprimesa i tackastih defekata dovodi do tzv. numericke ”ukocenosti“ problema. Zbog togase veci broj postojecih simulatora procesa zasniva na vakancijskom mehanizmu difuzijeprimesa. Naime, utvrdjeno je da se u silicijumu vakancije mogu pojaviti u najmanjecetiri stanja: V neutralne, V − i V = jednostruko i dvostruko negativne (akceptorske),respektivno, i V + pozitivne (donorske) vakancije. Koncentracija vakancija se menja uzavisnosti od temperature i promene Fermi-jeve energije, pri cemu je pokazano da natemperaturama koje su manje od 300K dominira koncentracija neutralnih vakancija, dokna visokim temperaturama dominiraju V − ili V + vakancije.

Prema vakancijskom modelu difuzije koji je opste prihvacen i primenjuje se u ve-likom broju postojecih simulatora procesa, koeficijent difuzije primesnih jona se mozepredstaviti kao suma:

Dj = Dj +D−

j

(n

ni

)+D+

j

(ni

n

)+D=

j

(n

ni

)2

. (3.9)

Koeficijenti Dj , D−

j , D+j i D=

j predstavljaju sopstvene vrednosti koeficijenata difuzijekoje odgovaraju mehanizmu difuzije preko neutralnih, negativnih, pozitivnih i dvostrukonegativnih vakancija za slucaj sopstvenog poluprovodnika, respektivno. Clan (n/ni) uz-ima u obzir promene koncentracija vakancija u zavisnosti od nivoa dopiranja poluprovod-nika. Vrednosti koeficijenata Dx

j se najcesce daju u Arrhenius-ovom obliku:

Dxj = Dx

0j · exp[−Ex

aj

kT

], (3.10)

pri cemu su vrednostiDx0j i aktivacione energijeEx

aj za elemente III i V grupe periodnogsistema koji se najcesce koriste u poluprovodnickoj tehnologiji date u tabeli 3.1.

Tabela 3.1 Vrednosti Dx0j i aktivacione energije Ex

aj koje se koriste za odredjivanje difuzionogkoeficijenta elemenata III i V grupe periodnog sistema.

Element D00 E0

a D−0 E−a D=

0 E=a D+

0 E+a

[cm2/s] [eV ] [cm2/s] [eV ] [cm2/s] [eV ] [cm2/s] [eV ]

B 0.037 3.46 0.72 3.46Al 1.385 3.41 2480 4.20Ga 0.374 3.39 28.5 3.92In 0.785 3.63 415 4.28Ti 1.37 3.70 351 4.26

P 3.850 3.66 4.44 4.00 44.20 4.37As 0.066 3.44 12.0 4.08Sb 0.214 3.65 15.0 4.08N 0.05 3.65Bi 1.08 3.85 396 4.12

Treba naglasiti da vakancijski model difuzije primesa daje dobre rezultate u slucajukada se simulira proces difuzije u neutralnom ambijentu. Medjutim, kada se difuzija


primesa odvija u oksidacionoj atmosferi, pa cak i u slucaju kada se radi o neutralnim alikratkotrajnim difuzijama koje su sve prisutnije u savremenim tehnologijama, s obziromna stalno prisutnu tendenciju smanjivanja dimenzija poluprovodnickih komponenata iintegrisanih kola, vakancijski model difuzije ne daje zadovoljavajuce rezultate. Naime,u toku procesa jonske implantacije, koji najcesce prethodi procesu difuzije primesa, iprocesa oksidacije generisu se intersticijski defekti, cime se narusavaju termodinamickeravnotezne koncentracije tackastih defekata, tako da se znacajno menjaju uslovi difuzije usilicijumu. Pri tome se javljaju efekti oksidacijom ubrzane difuzije (OED1) i oksidacijomusporene difuzije (ORD2) koji se mogu korektno objasniti i simulirati samo u slucajukada se u modelu za simulaciju procesa difuzije, pored vakancijskog mehanizma, koristii intersticijski mehanizam difuzije.

Da bi se izbeglo simultano resavanje sistema difuzionih jednacina za primese i tackastedefekte, sto moze da dovede do ozbiljnih numerickih poteskoca, u velikom broju pos-tojecih simulatora procesa koriste se daleko jednostavniji pristupi. Na primer, u jednodi-menzionalnom simulatoru procesa SSUPREM3 je pretpostavljeno da u uslovima neu-tralne difuzije, termicke ravnoteze i slabo dopiranog silicijuma, koeficijent difuzije kojipotice od intersticijskog mehanizma predstavlja neki deo, tj. frakciju fI , koeficijentadifuzije koji je posledica vakancijskog mehanizma:

Dj = DVj + fI ·DV

j , (3.11)

pri cemu parametar fI predstavlja doprinos intersticijskog mehanizma difuzije ukupnomkoeficijentu difuzije i zavisi od tipa primese i temperature.

Prema prethodnom izrazu, do promene koeficijenta difuzije j-te primese dolazi uslucaju kada se menja koncentracija vakancija, tj. menja se vrednost prvog clana uizrazu (3.11), dok se uticaj promene koncentracije intersticijskih defekata na koeficijentdifuzije Dj uzima preko drugog clana istog izraza. Prema tome, koeficijent difuzije semoze generalnije prikazati kao:

Dj = DVj + fI ·DV

j

[SiI ]

[SiI ]i, (3.12)

pri cemu je [SiI ]i koncentracija intersticija u uslovima termicke ravnoteze i neutralnedifuzije, dok [SiI ] predstavlja koncentraciju intersticijskih defekata koji se generisu utoku procesa oksidacije.

Pored toga sto veliki broj razlicitih efekata utice na koncentraciju tackastih defekata utoku procesa difuzije primesa u oksidacionom ambijentu, potrebno je imati u vidu i med-jusobnu interakciju vakancija i intersticija koja postoji i u uslovima termicke ravnoteze:

SiV + SiI Sis, (3.13)

[SiV ] [SiI ] = K(T ), (3.14)gde Sis predstavlja atom silicijuma u kristalnoj resetki, dok je K konstanta koja zavisisamo od temperature. Izraz (3.14) predstavlja zakon dejstva masa za intersticije i vakan-cije. Vazno je napomenuti da aktivaciona energija ovog procesa definise vreme "opo-ravka" poluprovodnika, tj. vreme do uspostavljanja ravnoteznih koncentracija tackastihdefekata.

1Od izraza na engleskom jeziku Oxidation Enhanced Diffusion2Od izraza na engleskom jeziku Oxidation Retarded Diffusion

28 PROCES DIFUZIJE

Da bi se ostvarila precizna simulacija procesa difuzije primesa u oksidacionom am-bijentu neophodno je da se uspostavi i veza izmedju koncentracije intersticija koje segenerisu u toku procesa oksidacije i brzine oksidacije koja se moze eksperimentalnoutvrditi. Podesavanjem izraza (3.12) i eksperimentalno odredjenih profila primesa uslucaju OED, utvrdjeno je da se [SiI ] ponasa kao (dx/dt)n, pri cemu je (dx/dt) brzinarasta oksida u toku procesa oksidacije, dok je n empirijska konstanta cije se vrednostikrecu u intervalu 0.3 ÷ 0.8. Pri tome je jasno da je prava zavisnost daleko slozenija;medjutim, treba napomenuti da i ovaj model za vecinu primera simulacije daje zadovol-javajuce rezultate.

Prema tome, koeficijent difuzije j-te primese se moze predstaviti kao suma:Dj = DjN + ∆Djox, (3.15)

gde je prvi clan DjN koeficijent difuzije u neutralnom ambijentu koji se, imajuci u viduizraze (3.12) i (3.14), moze predstaviti u obliku:

DjN = DVj + fI ·DV

j

[SiV ]i[SiV ]

. (3.16)

Kod odredjivanjaDjN uzimaju se u obzir vakancijski i intersticijski mehanizmi difuzije.U slucaju kada se difuzija odvija u oksidacionom ambijentu, drugi clan izraza (3.15),∆Djox, predstavlja dodatni uticaj intersticijskog mehanizma difuzije na koeficijent di-fuzije primesa koji je posledica generacije intersticija na medjupovrsini Si/SiO2 u tokuprocesa oksidacije:

∆Djox = fI ·DVj

[SiV ]i[SiV ]

(dx

dt

)n

. (3.17)

U jednodimenzionalnom simulatoru procesa SSUPREM3 usvojena vrednost empirijskekonstante je n = 0.5. Treba napomenuti da u nekim primerima simulacije, u zavisnostiod oksidacionih uslova, ∆Djox moze da bude cak i vece od DjN .

Ovakva simulacija procesa difuzije, kao sto je vec ranije spomenuto, ne omogucavasimulaciju veceg broja efekata koji su posledica uticaja prisustva tackastih defekata nadifuziju primesa, kao sto su difuzija pri visokim koncentracijama primesa u oblasti uzpovrsinu poluprovodnika, tzv. "emitter push" efekat, itd. Medjutim, ovakve metodese ne mogu primeniti kod visedimenzionalnog modeliranja procesa difuzije. Prematome, korektna i precizna simulacija procesa difuzije kako u neutralnom, tako i u ok-sidacionom ambijentu, zahteva simultano numericko resavanje kompletnog sistema di-fuzionih jednacina koji se sastoji od difuzionih jednacina za sve primese prisutne udomenu simulacije i difuzionih jednacina za intersticije i vakancije. Takodje, treba imatiu vidu da se broj jednacina koje je potrebno resiti povecava ako zelimo da korektno simuli-ramo efekat uticaja elektricnog polja na redistribuciju primesa i efekte klasterovanjaprimesa. Pred ovako postavljenim fizicko-hemijskim modelom procesa difuzije pos-tojece numericke tehnike simulacije postaju gotovo nemocne, pa je neophodna primenanovih, efikasnijih numerickih metoda koje su u stanju da prate brzi razvoj i neprekidnousloznjavanje fizicko-hemijskih modela tehnoloskih procesa.

3.1.2 Uticaj elektricnog polja

Korektna simulacija uticaja elektricnog polja na difuziju primesnih jona zahteva da sesimultano sa sistemom jednacina (3.5) resava i Poisson-ova jednacina:

div(ε · gradψ) = −q(p− n+Nnet), (3.18)


pri cemu se kao resenje dobija raspodela potencijala u domenu simulacije. Nnet je ukupnakoncentracija elektricno aktivnih primesa koja se definise kao:

Nnet = −n∑

j=1

Zj ·Nj, (3.19)

gde je ε je dielektricna konstanta poluprovodnika, q elementarno naelektrisanje elektrona,a n i p su koncentracije elektrona i supljina, respektivno, na temperaturi procesa difuzije.

Simultano resavanje sistema jednacina (3.5) i Poisson-ove jednacine moze da dovededo velikih problema i znacajnog povecanja CPU vremena simulacije u slucaju kada seprimenjuju standardne numericke metode. Zbog toga, kod vecine postojecih simulatoraprocesa koristi se aproksimativni izraz za elektricni potencijal koji je izveden primenomBoltzmann-ove statistike pod pretpostavkom elektroneutralnosti:

ψ =kT

qarsinh

[Nnet

2 · ni

], (3.20)

gde je ni sopstvena koncentracija nosilaca na temperaturi procesa difuzije. U ovomslucaju je elektricni potencijal identican sa ugradjenim potencijalom ("built-in" poten-cijal). Lako se moze pokazati da je na visokim temperaturama, koje su karakteristicneza proces difuzije, ova aproksimacija veoma dobra. Prema tome, gradijent elektricnogpotencijala je:

gradψ = −kTq

gradNnet

[C2net + 4 · n2

i ]0.5 . (3.21)

Usvajanjem aproksimacije (3.20) eliminisana je potreba za resavanjem Poisson-ovejednacine. Medjutim, pri resavanju sistema difuzionih jednacina (3.5), dobija se dafluks j-te cestice zavisi od gradijenta ukupne koncentracije elektricno aktivnih primesa.U slucaju kada se posmatra difuzija samo jedne cestice, pod pretpostavkom da su svecestice elektricno aktivne, difuziona jednacina se moze uprostiti uvodjenjem faktora dfkoji uzima u obzir efekat ubrzane difuzije usled prisustva elektricnog polja:

∂C

∂t= div (D · df · gradC) , (3.22)

df = 1 +C

[C2 + 4 · n2i ]

0.5 . (3.23)

3.1.3 Efekat klasterovanja

U slucaju kada je koncentracija cestica koje difunduju bliska njihovoj granici rastvorljivo-sti u poluprovodniku, sto je veoma cest slucaj u prakticnim primerima difuzije u tehnologi-jama za proizvodnju VLSI kola i komponenata snage (formiranje emitora, sorsa, drejna,itd.), javlja se efekat klasterovanja cestica. Naime, odredjeni broj cestica formira novucesticu (klaster), cije se transportne karakteristike bitno razlikuju u odnosu na maticnucesticu. Fizika ovog problema je u poslednje vreme predmet intenzivnog proucavanja, sobzirom da se u slucaju zanemarivanja ovog efekta pri simulaciji procesa difuzije dobijajukonacni profili primesa koji znacajno odstupaju od eksperimentalno odredjenih profila.

30 PROCES DIFUZIJE

Posebno je vazno napomenuti da su najveca odstupanja u lateralnim i vertikalnim dubi-nama p-n spojeva. Takodje, znacajna su odstupanja koncentracija primesa u oblastima uzpovrsinu poluprovodnicke strukture koje imaju veliki uticaj na elektricne karakteristikekomponenata.

U literaturi se najcesce mogu naci pretpostavke da klasteri ili difunduju sa istim ko-eficijentom difuzije kao i maticne primese, ili su nepokretni. Sa stanovista simulacijeprocesa difuzije je najkorektnije da se klasteri posmatraju kao poseban tip cestice. U tomslucaju je neophodno da se u difuzione jednacine klasterovanih i neklasterovanih cesticaukljuce generaciono-rekombinacioni clanovi. Na ovaj nacin, u jednacinu kontinuitetaklasterovanih cestica veoma jednostavno moze da se ukljuci i eventualna difuziono-driftovska komponenta fluksa klasterovanih cestica, pod uslovom da se usvoji pret-postavka da je klaster pokretan. Efekat klasterovanja je narocito izrazen kod kratkihprocesa difuzije (t ≤ 1 minut) i pri nizim temperaturama difuzije (T ≤ 900C), kada jeneophodno koristiti dinamicki model klasterovanja.

Kinetika fenomena klasterovanja je opisana izrazom:

∂Cc

∂t= −kd · Cc + kc · n ·Nm, (3.24)

gde je Cc koncentracija klastera, kc brzina formiranja klastera, kd brzina deklasterovanjai m broj cestica u jednom klasteru. Proces klasterovanja arsena, kod kojeg je efekatklasterovanja u silicijumu najizrazeniji, moze se opisati sledecom reakcijom:

3 · As+ e−odzarivanje

=⇒ As2+3

25=⇒ As3. (3.25)

Prema tome, 3 atoma As i jedan elektron formiraju klaster koji je elektricno aktivan natemperaturi odzarivanja, dok je na sobnoj temperaturi elektricno neutralan.

Ravnotezni koeficijent klasterovanja keq, koji predstavlja odnos koeficijenta klas-terovanja i koeficijenta deklasterovanja arsena definise se na osnovu zakona o dejstvumasa kao:

keq =kc

kd

=

[As2+

3

][As+]3 · n

, (3.26)

gde je n koncentracija nosilaca naelektrisanja na temperaturi odzarivanja:

n '[As2+

]+ 2 ·

[As2+

3

]. (3.27)

Imajuci u vidu da je koncentracija klasterovanog dela arsenovih primesa jednaka razliciukupne i elektricno aktivne koncentracije arsena; tj.

m · Cc = C −N, (3.28)

zamenom izraza (3.28) u (3.24), pod pretpostavkom da su klasteri nepokretni, dobija sedifuziona jednacina za elektricno aktivni deo primesa:

∂Nj

∂t= div

[Dj

(gradNj − Zj

q

kTNjgradψ

)]−m · ∂Cc

∂t, (3.29)

cijim se numerickim resavanjem korektno simulira efekat klasterovanja primesa i dobijajurezultati koji se daleko bolje slazu sa eksperimentalnim vrednostima.

2D MODEL PROCESA DIFUZIJE 31

3.2 2D MODEL PROCESA DIFUZIJE

Ovaj model procesa difuzije primesa eksplicitno uzima u obzir uticaj tackastih defekata,pri cemu se njihova koncentracija odredjuje u toku procesa difuzije. Ako u pojedinimoblastima domena simulacije postoji saturacija tackastih defekata oni ce znacajno uticatina difuziju prisutnih defekta; u slucaju ravnoteze tackastih defekata njihov uticaj se neprimecuje, tj. ovaj model se svodi na Fermi model procesa difuzije. Medjusobni uticajprimesa i defekata u ovom modelu se uzima jednosmerno, tj. defekti bitno uticu nadifuziju primesa, dok je uticaj primesa na difuziju tackastih defekata zanemaren.

Osnovna razlika izmedju 2D modela i Fermi modela procesa difuzije je sto se ovderesava sistem od tri parcijalne diferencijalne jednacine: jedna za primesu, i po jedna zaintersticije i vakancije. I u ovom modelu je neohodno uzeti u obzir efekte kao sto suklasterovanje primesa-defekt, rekombinacija defekata u supstratu i na medjupovrsinamai povrsinama domena simulacije, kao i generacija defekata u toku procesa oksidacije.

Jednacina kontinuiteta za primese kod ovog modela je:

∂Cc

∂t= −

∑X=I,V

gradJAX , (3.30)

JAX = −fXDAX

[grad

(CA

CX

C∗X

)− ZA

(CA

CX

C∗X

)qE

kT

], (3.31)

gde su CI i CV koncentracije intersticija i vakancija, C∗I i C∗V ravnotezne koncentracijeintersticija i vakancija, dok je fX empirijski temperaturno zavistan faktor defekata defin-isan preko Arrhenius-ovog izraza:

fI = FI.0exp(−FI.E

kT

), (3.32)

pri cemu se parametri FI.0 i FI.E definisu u programu za simulaciju procesa difuzije.U slucaju vakancija je:

fV = 1− fI . (3.33)

3.2.1 Model procesa difuzije tackastih defekata

Kinetika procesa difuzije tackastih defekata u silicijumu, u slucaju kada se zanemariuticaj elektricnog polja, opisana je sistemom diferencijalnih difuzionih jednacina sa kon-stantnim koeficijentom difuzije i rekombinacionim clanom:

∂(CI − CT )

∂t= DI∇2CI − kR(CI · CV − C∗I · C∗V ), (3.34)

∂CV

∂t= DV∇2CV − kR(CI · CV − C∗I · C∗V ), (3.35)

gde je kR rekombinaciona konstanta tackastih defekata u unutrasnjosti poluprovod-nika, indeksi I i V oznacavaju koncentracije intersticija i vakancija, respektivno, dok∗ oznacava njihove termodinamicke ravnotezne koncentracije.CT predstavlja koncentraciju intersticijskih trapova koja je ukljucena u model procesa

difuzije tackastih defekata kako bi se objasnile razlike do kojih se doslo pri eksperi-mentalnom odredjivanju koeficijenta difuzije intersticija. Naime, primeceno je da kod

32 PROCES DIFUZIJE

eksperimenata sa geterovanjem, koji su korisceni za ekstrakciju parametara modela, kon-centracija intersticija brze ulazi u superzasicenje i koeficijent difuzije intersticija ima vecevrednosti nego u slucaju OED eksperimenata. Ovo se objasnjava time da se u slucajugeterovanja intersticijski trapovi popunjavaju brze, tako da predstavljaju samo malu bar-ijeru za transport defekata, dok je u slucaju OED transport tackastih defekata usporenvremenom koje je potrebno za popunjavanje intersticijskih trapova.

Pod pretpostavkom da su trapovi nepokretni, njihova koncentracija se moze odreditikao:

∂CT

∂t= −kT

[CT · CI −

C∗ET

CTot − C∗ET

C∗I (CTot − CT )

], (3.36)

gde je CTot ukupna koncentracija intersticijskih trapova, CT koncentracija nepopun-jenih intersticijskih trapova, kT rekombinaciona konstanta trapova iC∗ET termodinamickaravnotezna koncentracija nepopunjenih intersticijskih trapova u silicijumu.

Na medjupovrsini Si/SiO2 se za intersticije i vakancije primenjuje granicni uslovmesovitog tipa koji povezuje fluks tackastih defekata sa generacionim i rekombinacionimprocesima:

DI∂CI

∂y+ kI(CI − C∗I ) = gI , (3.37)

DV∂CV

∂y+ kV (CV − C∗V ) = 0, (3.38)

gde su kI i kV brzine povrsinske rekombinacije intersticija i vakancija, respektivno. gI

predstavlja fluks intersticija koje se injektuju u silicijum sa povrsine koja je izlozenaprocesu lokalne oksidacije i definise se kao:

gI = nSi · θ · ~vox · ~n, (3.39)

gde je ~n jedinicni vektor normalan na medjupovrsinu Si-SiO2, nSi atomska gustina sili-cijuma, θ procenat silicijumovih atoma koji se u procesu oksidacije injektuju u supstratsilicijuma kao intersticije, dok je ~vox brzina oksidacije koja se odredjuje na osnovu Deal-Grove-ovog modela procesa oksidacije. Brzine povrsinske rekombinacije intersticija ivakancija, takodje, zavise od brzine oksidacije i date su kao:

kI = kImax

(vox

v0ox

)αI

+ kImin, (3.40)

kV = kV max

(vox

v0ox

)αV

+ kV min, (3.41)

gde je v0ox pocetna brzina rasta oksida, kImax i kV max su maksimalne brzine rekombinacija

intersticija i vakancija na povrsini koja je izlozena procesu oksidacije, respektivno, doksu kImin i kV min minimalne brzine rekombinacija intersticija i vakancija na povrsinizasticenoj od oksidacije, respektivno. Potrebno je napomenuti da se koriscenjem izraza(3.40) i (3.41) izbegavaju ostre promene vrednosti kI i kV i obezbedjuje glatkost granicnihuslova (3.37) i (3.38), sto znacajno utice na povecanje numericke stabilnosti metodaprimenjenih za resavanje problema difuzije tackastih defekata u silicijumu.


3.2.1.1 Uticaj tackastih defekata na koeficijent difuzije primesa Veza kojapostoji izmedju procesa difuzije tackastih defekata i primesa se ostvaruje preko koefici-jenta difuzije primesa, cija je zavisnost od lokalne koncentracije intersticija i vakancijadata izrazom:

Dj = D∗j

[f j

I

CI

CIF

+ (1− f jI )CV

CVF

], (3.42)

gde je D∗j ravnotezni koeficijent difuzije primese, f(I)

j parametar koji predstavlja uticajintersticijskog mehanizma na difuziju j-te primese, a CIF

i CVFsu ukupne ravnotezne

koncentracije intersticija i vakancija, respektivno, koje zavise od temperature i polozajaFermi-jevog nivoa u zabranjenoj zoni silicijuma. Vrednosti parametra f j

I u zavisnosti odtemperature su date u tabeli 3.2.

Tabela 3.2 Vrednosti parametra f jI .

T [C ] 900 1000 1100 1200

fB 0.14 0.17 0.19 0.21fP 0.11 0.16 0.23 0.31fAs 0.08 0.12 0.19 0.26

Ravnotezne koncentracije intersticija i vakancija, CIFi CVF

, su konstantne i jednaketermodinamickim ravnoteznim koncentracijama C∗I i C∗V u slucaju kada se radi o niskimnivoima dopiranja kod kojih je koncentracija primesa u poluprovodniku manja od sop-stvene koncentracije nosilaca ni na temperaturi procesa difuzije. Medjutim, kada jekoncentracija primesa u poluprovodniku veca od ni, ukupne ravnotezne koncentracijeintersticija i vakancija zavise od koncentracije primesa, tj. od polozaja Fermi-jevog nivoa.U ovom slucaju, odredjivanje koeficijenata difuzije primesa zavisi od lokalnih koncen-tracija tackastih defekata i zahteva poznavanje polozaja energetskih nivoa intersticija ivakancija u zabranjenoj zoni. S obzirom da u silicijumu vakancije imaju dva akceptorska(E−V i E=

V ) i dva donorska (E+V i E+2

V ) nivoa, ukupna koncentracija vakancija je jednakasumi:

CVF= C∗V + CV − + CV = + CV + + CV +2 , (3.43)

34 PROCES DIFUZIJE

pri cemu su koncentracije neutralnih, negativnih, dvostruko negativnih, pozitivnih idvostruko pozitivnih vakancija date kao:

CV − =

(n

ni

)2

exp[Ei − E−Vk · T

]· C∗V

= δ−(n

ni

)2

· C∗V (3.44)

CV = =

(n

ni

)2

exp[2 · Ei − E−V − E=

V

k · T

]· C∗V

= δ−2

(n

ni

)2

· C∗V (3.45)

CV + =(ni

n

)2

exp[E+

V − Ei

k · T

]· C∗V

= δ+(ni

n

)2

· C∗V (3.46)

CV +2 =(ni

n

)2

exp[E+

V + E+2V − 2 · Ei

k · T

]· C∗V

= δ+2(ni

n

)2

· C∗V (3.47)

gde je Ei energija Fermi-jevog nivoa u sopstvenom poluprovodniku.Ukupna koncentracija intersticija koje se javljaju u tri stabilna stanja jednaka je zbiru

neutralnih, negativnih i pozitivnih intersticija:

CIF= C∗I + CI− + CI+ , (3.48)

pri cemu su koncentracije negativnih i pozitivnih intersticija date kao:

CI− =

(n

ni

)2

exp[Ei − E−Ik · T

]· C∗I

= γ−(n

ni

)2

· C∗I (3.49)

CI+ =(ni

n

)2

exp[E+

I − Ei

k · T

]· C∗I

= γ+(ni

n

)2

· C∗I (3.50)

Odredjivanje δ−, δ=, δ+ i δ+2 na temperaturi procesa difuzije T zahteva poznavanjezavisnosti energija Ei, E−V , E=

V , E+V i E+2

V od temperature. Pod pretpostavkom da supromeneEc−E−V ,Ec−E=

V ,Ec−E+V iEc−E+2

V srazmerne promenama sirine zabranjenezone silicijuma sa temperaturom, ove zavisnosti se mogu predstaviti kao:(

Ec − E−V)

T=(Ec − E−V

)0

Eg(T )

Eg(0), (3.51)


gde jeEc energija dna provodne zone, indeksiT i 0 oznacavaju vrednosti na temperaturiTi na temperaturi apsolutne nule, respektivno, dok je Eg sirina zabranjene zone silicijumacija promena sa temperaturom je data kao:

Eg(T ) = 1.17− 4.73 · 10−4 T 2

T + 636(eV). (3.52)

S druge strane polozaj Fermi-jevog nivoa u zavisnosti od temperature je dat kao:

Ec − Ei = 0.5

(Eg − kT ln

Nv

Nc

). (3.53)

Uzimajuci da je odnos Nv/Nc = 0.57 i da su (Ec − E−V )0 = 0.57eV, (Ec − E=V )0 =

0.12eV, (E+V −Ev)0 = 0.04eV i [(E+

V +E+2V )/2−Ev]0 = 0.084eV, gde je Ev energija

vrha valentne zone, dobija se:

δ− = 0.754exp[

0.07 · TT + 636

]exp

[−0.015eV

k · T

], (3.54)

δ= = 0.569exp[2.252 · TT + 636

]exp

[−0.480eV

k · T

], (3.55)

δ+ = 1.326exp[2.557 · TT + 636

]exp

[−0.545eV

k · T

], (3.56)

δ+2 = 1.758exp[4.702 · TT + 636

]exp

[−1.002eV

k · T

]. (3.57)

Na slican nacin se odredjuju vrednosti parametara γ− i γ+ u funkciji temperature:

γ− = 0.754exp[0.868 · TT + 636

]exp

[−0.185eV

k · T

], (3.58)

γ+ = 1.326exp[0.868 · TT + 636

]exp

[−0.185eV

k · T

]. (3.59)

Za ovaj primer ekstrakcije parametara γ− i γ+ uzima se da je (Ec−E−I )0 = (E+I −Ev)0 =

0.4eV.Prema tome, u slucaju visokih nivoa dopiranja poluprovodnika, kada su koncen-

tracije vece od sopstvene koncentracije nosilaca ni za datu temperaturu procesa difuzije,ravnotezne koncentracije intersticija i vakancija nisu jednake i konstantne, vec njihovekoncentracije zavise od polozaja njihovih odgovarajucih energijskih nivoa u zabranjenojzoni i profila primesa. Usled uticaja elektricnog polja jedan deo tackastih defekata nedifunduje vec je vezan za profil primesa. U ovom slucaju kod odredjivanja raspodelaintersticija i vakancija u n- i p- tipu silicijuma, uzima se da su termodinamicke ravnoteznekoncentracije intersticija i vakancija jednake i date kao:

CI∗,V ∗ = 1.25 · 1029exp[−3.26eV

k · T

]cm−3. (3.60)

Poslednjih nekoliko godina svedoci smo veoma intenzivnog razvoja modela procesadifuzije tackastih defekata, zbog cega u postojecoj literaturi postoje velike razlike u

36 PROCES DIFUZIJE

vrednostima parametara modela procesa. Ove razlike su posledica razlicitih uslova imetodologija merenja. Medjutim, potrebno je napomenuti da pri odredjivanju pojedinihparametara modela procesa difuzije tackastih defekata, kod nekih autora dolazi cak ido kvalitativnih neslaganja. U radovima ovih autora, vrednost aktivacione energije uizrazu za koeficijent povrsinske rekombinacije intersticija je negativna, pri cemu josuvek ne postoji prihvatljivo fizicko objasnjenje ove pojave. To samo znaci da se jos uvekne moze govoriti o potpunom razumevanju svih fizicko-hemijskih procesa koji pratevisokotemperaturne tehnoloske procese difuzije i oksidacije, pa se ne moze govoriti i onekom konacnom matematickom modelu ovih procesa. Naime, ovi modeli su trenutnopredmet veoma intenzivnog izucavanja velikog broja naucnika. Opisani model procesadifuzije je u ovom trenutku prihvacen kao korektan i ugradjen je u opste prihvacenidvodimenzionalni procesni simulator SSUPREM4.

3.3 FC - "FULLY COUPLED" MODEL PROCESA DIFUZIJE

Ovaj model je skoro identican opisanom 2D modelu. Jedina razlika je sto se u ovomslucaju uzima i uticaj primesa na difuziju tackastih defekata. Prema tome, sada postojiprava, dvosmerna interakcija izmedju difuzije primesa i difuzije defekata, sto se mozezakljuciti iz imena modela. FC model difuzije je nesto zahtevniji sto se tice CPU vremenapotrebnog za simulaciju, ali je zbog toga tacniji posebno u slucaju simulacije efekata kaosto je na primer emitor-push efekat, koji drugim modelima nije moguce simulirati.

Dvosmerni uticaj izmedju primesa i defekata na difuziju modelira se dodavanjem josjednog fluksa, koji predstavlja fluks uparenih defekata i primesa, u jednacine koje opisujudifuziju tackastih defekata, koje u ovom slucaju izgledaju ovako:

∂

∂t

(CV +

∑A,c

CAV c

)= −grad

(JV +

∑A,c

JAV c

)−R (3.61)

∂

∂t

(CI +

∑A,c

CAIc

)= −grad

(JI +

∑A,c

JAIc

)−RB +RT −R<311> (3.62)

RB je brzina rekombinacije u supstratu:

RB = kr(CICV − C∗IC∗V ), kr = KR.0exp

(−KR.E

kT

)(3.63)

pri cemu se sumiranje vrsi po svim prisutnim primesama i parovima primesa-defekt.Ostale jednacine ovog modela su identicne jednacinama koje se pojavljuju u vec opisanom2D modelu procesa difuzije.

FC model je moguce dodatno prosiriti uzimajuci u obzir dodatna uparivanja defekt-primesa/defekt kako bi se u model ukljucili dodatni mehanizmi rekombinacije tackastihdefekata. Ovo je neohodno za preciznu simulaciju procesa difuzije u slucaju kada jekoncentracija primesa u silicijumu izrazito velika, kao i u slucaju kada je prisutno viseprimesa. Na ovaj nacin se u model mogu ukljuciti dva dodatna mehanizma rekombinacijeu supstratu i na medjupovrsini Si/SiO2. Mehanizmi su veoma kompleksni i nisu predmetproucavanja procesa difuzije u okviru ovog kursa.

PROBLEMI 37

PROBLEMI

3.1 Poprecni presek strukture otpornika, koji je sastavni deo visokofrekventnog analognog IC, prikazan je naslici 3.1. Otpornik je napravljen u N- epitaksijalnom sloju. Ako je sirina otpornika 2.5µm, kolika bi trebala da budenjegova duzina, da bi otpornost otpornika bila 50kΩ? Epitaksijalni sloj je dopiran fosforom, koncentracije 1015cm−3,a njegova debljina je 3µm.

Slika 3.1

Resenje:Otpornost n oblasti koncentracije 1015cm−3, sa slike ??, je ρ = 4Ωcm. Slojna otpornost je onda:

ρS =ρ

eepi=

4

3× 10−4= 7500

Ω

square

Neophodan broj kvadrata da bi se dobila zeljena otpornost otpornika je:

n =R

ρS=

50× 103

7500= 6.66

pa je onda duzina otpornika:X = 6.66× 2.5 = 16.66µm

3.2 Proces predepozicije bora se realizuje u Si supstratu n-tipa (1016cm−3). Proces predepozicije traje 15 minutana 975oC. Data je solid rastvorljivost bora na 975oC, CS = 3.5 · 1020cm−3 i koeficijent difuzije bora na 975oC,DB = 1.5 · 10−14cm2s−1.

a) Izracunajte dubinu spoja xj?

b) Kolika je deponovana doza bora Q?

Resenje:(a)

C(x, t) = CSerfc

x

2√Dt

1016 = 3.5 · 1020erfc

x

2√Dt

⇒ x

2√Dt

= erfc−1(2.9 · 10−5) = 2.9

Posto je 2√Dt = 0.73× 10−5cm, dobijamo da je:

xj = 0.73× 10−5 × 2.9 = 0.21µm.

(b)

Q =2CS

√Dt√π

=0.73× 10−5 × 3.5 · 1020

1.77= 1.45 · 1015cm−2

3.3 Difuzija p-tip (bor) oblasti je realizovana na sledeci nacin:

Pre-dep: 30 minuta, 900oC, solid solubility,

Drive-in: 60 minuta, 1000oC.

a) Kolika je deponovana doza Q?

b) Ako je supstrat dopiran fosforom (1015cm−3), kolika je dubina spoja xjB?

c) Kolika je slojna otpornost formiranog p-tip sloja?

Resenje:Koeficijenti difuzije bora na 900oC i 1000oC su:

D900B = 1.0 exp

− 3.5

k(900 + 273)

= 9.27 · 10−16cm2s−1

38 PROCES DIFUZIJE

D1000B = 1.0 exp

− 3.5

k(1000 + 273)

= 1.41 · 10−14cm2s−1

(a) Proces predepozicije se odvija na 900oC i na ovoj temperaturi je, iz Tabele 7.4, solid solubility bora CS =1.2 · 1020cm−3. Tada je deponovana doza:

Q =2CS√π

√Dt =

2(1.2 · 1020)√π

p(9.27 · 10−16)(30× 60) = 1.75 · 1014cm−2

(b) Razumljiva pretpostavka koju najpre uvodimo je da se pocetni profil koji je dobijen predepozicijom mozeaproksimirati delta funkcijom, a zatim cemo izracunati dubinu spoja koristeci "one-sided" Gaussovu difuziju u blizinipovrsine. Najpre cemo proveriti uvedenu pretpostavku:

(Dt)900 = 30× 60× 9.27 · 10−16 = 1.67 · 10−12 << (Dt)1000 = 60× 60× 1.4 · 10−14 = 5.0 · 10−11

Vidimo da je proizvod (Dt) na 900oC 30 puta manji nego u toku drive-in procesa, sto potvrdjuje nasu pretpostavkuda se pocetni profil dobijen predepozicijom moze aproksimirati delta funkcijom u odnosu na konacni profil. Prematome, dubina spoja je:

xjB =

vuut(4Dt) ln

Q

CB

√πDt

!

xjB =

vuut(4× 1.41 · 10−14 × 60× 60) ln

1.75 · 1014

1015√π · 1.41 · 10−14 × 60× 60

!

xjB = 0.4410−4cm = 0.44µm

(c) Gauss-ov profil p-tipa sa povrsinskom koncentracijom 1.2× 1020cm−3 ima efektivnu provodnost (slika7.17):

σ =1

ρSxjB= 300(Ω · cm)−1,

odaklse se dobija da je slojna otpornost:

ρS =1

300× 0.44 · 10−4= 75.75Ω/kvadrat

3.4

3.5 U n-tipu Si supstrata dopiranog fosforom (1016cm−3) formiran je pn spoj dubine 2µm. Spoj se formira iz dvakoraka. Prvi korak je predepozicija na 900oC, a drugi korak je drive-in proces na 1100oC. Na kraju se dobija slojnaotpornosti 150Ω/. Odrediti odgovarajuca vremena predepozicije i drive-in procesa. Poznato je: D0 = 10.5cm2/s iEa = 3.69keV za odredjivanje koeficijenta difuzije bora i solid rastvorljivost bora na temperaturi predepozicije 900o,CS = 1.1 · 1020cm−3.

Resenje:

RSxj = 150Ω/× 2µm = 300Ωµm

Koriscenjem Irvinovih krivih za half-Gaussov profil (p u n) iNB = 1016cm−3, dobija se da je povrsinska koncentracijaC0 = 6 · 1018cm−3.

Za xj = 2µm imamo da je:

C0 exp

−

x2j

4D2t2

= NB

odakle se dobija da je D2t2 = 1.56× 10−9cm2. Koeficijent difuzije bora na 1100oC je:

DB(1100oC) = D0 exp

−Ea

kT

= 10.5 exp

− 3.69

8.614 · 10−5 × 1373

= 2.69 · 10−13cm2/s

PROBLEMI 39

Prema tome, vreme drive-in procesa je t2 = 5270s = 1.5 casova.

Qpredep = Qdrive−in = C0

√πD2t2 = 4.2 · 1014cm−2

Kako je solid rastvorljivost bora na 900oC≈ 1.1× 1020cm−3 = CS , dobijamo da je:

Qpredep =CS2

√D1t1√π

= 4.2 · 1014cm−2 ⇒ D1t1 = 1.15× 10−11cm2

Kako je koeficijent difuzije bora na 900oC:

DB(900oC) = D0 exp

−Ea

kT

= 10.5 exp

− 3.69

8.614 · 10−5 × 1173

= 1.45 · 10−15cm2/s

dobijamo da je vreme predepozicije je t1 = 7931s = 2.2 casa.

3.6 U silicijumu se odvija proces difuzije bora tako da je maksimalna koncentracija bora 1018cm−3. U kom ceopsegu difuzionih temperatura biti od znacaja efekat elektricnog polja i zavisnost koeficijenta difuzije od koncentracije?

Resenje:Efekti elektricnog polja i zavisnost koeficijenta difuzije od koncentracije su od znacaja kada je koncentracija primesa

veca od sopstvene koncentracije elektrona (ili supljina). Sopstvena koncentracija elektrona ni raste sa povecanjemtemperature, cime se obezbedjuje obilje elektrona ili supljina u kristalnoj resetki. Kada nivo dopiranja nadmasispostvenu koncentraciju onda ovi spoljasnji efekti imaju znacajan uticaj na proces difuzije.

Kada je temperatura ispod temperature na kojoj je ni = 1018cm−3, ovi efekti postaju dominantni posto oni zaviseod odnosa n/ni, gde je u prvoj aproksimaciji n = NA ili n = ND .

Kako je:

ni = 3.9 · 1016T 3/2 exp

−0.605

kT

,

metodom pokusaja i greske, ili nekom iterativnom metodom, dobijamo da je ni = 1018cm−3 na temperaturi T =720oC.

3.7 N+ oblast dubine xj formira se u P- supstratu (slika 3.2). Kod ove komponente je neophodno minimiziratislojnu otpornost N+ oblasti.

a) Ako se moze dobiti idealni box-profil, kao sto je to i prikazano, on bi imao apsolutno minimalnu vrednost ρS .Izvedite aproksimativni izraz za ovu vrednost ρS .

b) Ako se kao primesa koristi As, odrediti apsolutnu minimalnu vrednost ρS sloja dubine xj = 0.1µm, ako se koristimetastabilno dopiranje, pri cemu je vrednost solid rastvorljivosti od 2 ·1021cm−3 u box-profilu dobijena lasermelting metodom. Granicna pokretljivost nosilaca u N+ oblasti silicijuma je 85cm2/(Vs).

c) Ako je profil opisan normalnom funkcijom greske sa koncentracijom na povrsini koja odgovara metastabilnoj solidrastvorljivosti, kolika je vrednost ρS sloja dubine xj = 0.1µm.

d) Ponoviti izracunavanje pod c) ako se arsen deaktivira na svoju normalnu vrednost elektricne rastvorljivosti.

Slika 3.2

Resenje:(a) Slojna otpornost uniformnog box-profila se moze izracunati pomocu izraza:

ρS =1

Nqµxj(3.64)

(b) Slojna otpornost je:

ρS =1

(2 · 1021cm−3)(1.6 · 10−19C)(85cm2V−1s−1)(0.1× 10−4cm)= 3.67Ω/ (3.65)

40 PROCES DIFUZIJE

(c) Ako se profil opisuje funkcijom greske, srednja provodnost sloja se moze odrediti koriscenjem Irvinovih krivih,tako da se ekstrapolacijom dobija:

σ =1

ρsxj= 1500(Ωcm)−1, (3.66)

pa je:

ρs =1

1500 (0.1× 10−4)= 66.7Ω/ (3.67)

(d) Elektricna rastvorljivost arsena u silicijumu je za jedan red velicine manja od solid rastvorljivosti, zbog formiranjaklastera As-vakancija koje inaktiviraju arsen. Irvinove krive za aktivnu povrsinsku koncentraciju od 2 · 1020cm−3daju:

σ = 400(Ωcm)−1, (3.68)

pa je:

ρs =1

400 (0.1× 10−4)= 250Ω/, (3.69)

sto je tipicna vrednost za visoko dopirane S/D oblasti.

3.8 Silicijumska plocica p-tipa je uniformno dopirana borom (2 ·1015cm−3) i fosforom (1 ·1015cm−3). Termickomoksidacijom se na plocici formira sloj SiO2 debljine 1µm. Oksidni sloj je zatim uklonjen i merenjem je utvrdjeno daje plocica n-tipa. Objasniti zasto se povrsina plocice konvertovala iz p-tipa u n-tip.

Resenje:

3.9 Plitko implantirani fosfor (doza implantacije je 1014cm−2) je porkiven slojem deponovanog inertnog nitrida.Posle procesa odzarivanja na 1000oC u dry O2 ambijentu, merenjem je utvrdjeno da je dubina spoja u inertnojoblasti ispod nitrida 0.5µm, dok je u u oblastima ispod oksida 1.2µm. Koliko je povecanje difuzionog koeficijentau oksidacionim oblastima? Ako je fI za fosfor 0.9, kolika je supersaturacija intersticija koje se generisu u procesuoksidacije?

Resenje:Pretpostavicemo da se oba profila mogu predstaviti kao Gauss-ovi posto su dubine spojeva duboke u odnosu na

pocetni implantirani profil, tako da je:

C(x, t) =Q√πDt

exp

− x2

4Dt

(3.70)

Ako je nivo dopiranja u supstratu 1015cm−3, tada je u inertnim oblastima pokrivenim nitridom:

1015 =1014

√πDt

exp

−0.5× 10−4

24Dt

!(3.71)

odakle se iteracijom dobija:DN t = 7.1× 10−11cm2 (3.72)

dok je u oksidacionoj oblasti:

1015 =1014

√πDt

exp

−1.2× 10−4

24Dt

!(3.73)

pa je onda:DOt = 4.55× 10−10cm2 (3.74)

Povecanje difuzionog koeficijenta je onda:

D

D∗ =DN t

DOt=

4.55× 10−10cm2

7.1× 10−11cm2= 6.4 (3.75)

3.10Resenje:

4Proces oksidacije

Silicijum je jedini poluprovodnicki materijal cija se povrsina moze lako pasivizirati formiranjem oksidnog sloja.Medjupovrsina Si/SiO2 je svakako najvise i najdetaljnije ispitivana medjupovrsina od svih materijala, i njene elektricnei mehanicke osobine su, kao i osobine formiranog oksidnog sloja, skoro idealne. SiO2 slojevi se veoma lako formirajuna povrsini Si termickim procesima koji se odvijaju u oksidacionom ambijentu, ili se jos lakse deponuju na razlicitesupstrate. Dobro se vezuju za podlogu, blokiraju difuziju primesa, otporni su na veliki broj hemikalija koje se koristeu poluprovodnickoj tehnologiji, fotopostupcima se lako na oksid moze preneti patern kola ili komponente, lako seuklanja (nagriza) specificnim hemikalijama, odlican je izolator i ima stabilne i reproduktibilne osobine. Ove osobinesilicijuma i oksida su znacajno doprinele razvoju celokupne poluprovodnicke industrije, s obzirom da je postalo veomajednostavno realizovati MOS strukturu na silicijumu, pri cemu su dobijene veoma pouzdane komponente stabilnihelektricnih karakteristika. Sve ostale kombinacije poluprovodnik/izolator imaju nedostatke, zbog cega su njihoveprimene ogranicene.

Postoji vise tehnika koje se koriste za formiranje oksidnog sloja na silicijumu: termicka oksidacija - termickiproces u oksidacionom ambijentu (koristi se kada je potrebno da medjupovrsina Si/SiO2 bude sa malom gustinomnaelektrisanja), CVD procesi depozicije (kada se oksidni sloj formira preko metalnog sloja), plazma oksidacija, itd.Osnovne primene oksidnog sloja u poluprovodnickoj tehnologiji u zavisnosti od nacina formiranja debljine su prikazanena slici 4.1. Prema tome, oksid se koristi kao:

a) maska kod procesa jonske implantacije i difuzije,

b) jedan od nacina za pasivizaciju povrsine silicijuma,

c) izolacija izmedju komponenata,

d) dielektrik, sastavni deo komponente (MOS - oksid gejta) i

e) elektricna izolacija kod IC sa viseslojnom metalizacijom.

S obzirom na ovako znacajne primene i vaznu ulogu koju oksid ima, precizna kontrola rasta oksida u toku termickihprocesa predstavlja veoma vaznu komponentu u procesu projektovanja, simulacije i optimizacije kompletnog tehnoloskogniza za proizvodnju integrisanih kola. S obzirom na medjusobnu povezanost procesa oksidacije i procesa difuzije,razumevanje fizicko-hemijskih procesa koji se odvijaju u toku procesa oksidacije silicijuma predstavlja osnovu zapreciznu simulaciju i kontrolu procesa difuzije primesa u silicijumu i korektnu simulaciju efekata kao sto su OED iORD, kao i efekta ubrzane difuzije usled visokih nivoa dopiranja u oblastima uz povrsinu poluprovodnika.

S obzirom da Si na povrsini ima veliki afinitet prema kiseoniku, oksidni sloj (naive oxide debljine 0.5-1nm) napovrsini silicijuma se formira veoma brzo kada se silicijumska plocica nadje u oksidacionom ambijentu. Hemijskereakcije koje opisuju proces termicke oksidacije u slucaju kada se silicijum nalazi u ambijentu koji je bogat kiseonikom

41

42 PROCES OKSIDACIJE

Slika 4.1 Primene oksida u poluprovodnickoj tehnologiji.

Slika 4.2 Hemijske reakcije na medjupovrsini Si/SiO2 u toku procesa oksidacije.

Slika 4.3 Sirenje zapremine u toku procesa oksidacije.

Slika 4.4 Ilustracija poprecnog preseka oksidacione strukture i oksidacionih flukseva linearno-parabolicnog Deal-Grove-ovog modela procesa oksidacije.

ili vodenom parom date su u sledecem obliku (slika 4.2):

Si(solid) +O2 −→ SiO2(solid) (4.1)

Si(solid) + 2H2O −→ SiO2(solid) + 2H2 (4.2)

Detaljan sematski prikaz reakcija linearno-parabolicnog modela procesa oksidacije dat je na slici 4.2.Takodje, vazno je napomenuti da se u toku procesa oksidacije potrosi odredjena kolicina silicijuma, pa se med-

jupovrsina Si/SiO2 pomera dublje u oblast silicijuma. Pored toga, dolazi i do sirenja zapremine zbog cega spoljasnjapovrsina SiO2 vise nije koplanarna sa polaznom povrsinom silicijuma. Na osnovu gustina i molekulskih tezina Sii SiO2, pokazuje se da je za oksidni sloj debljine d potrebno utrositi 0.44d od debljine Si, kao sto je prikazano naslici 4.3.

4.1 MODELIRANJE PROCESA OKSIDACIJE

Poznato je da precizna simulacija procesa oksidacije u visedimenzionalnim simulacionim domenima zahteva resavanjekompletnog sistema jednacina dinamike fluida. Medjutim, ovaj pristup je povezan sa velikim brojem ozbiljnih nu-merickih problema (neplanarni domen simulacije, diskretizacija u okolini pokretnih granica, itd.). Zbog toga se kodvelikog broja simulatora procesa pretpostavlja da su domeni simulacije planarni i da je granica Si/SiO2 nepokretna,pa se za simulaciju procesa oksidacije u tom slucaju moze da koristi jednodimenzionalni Deal-Grove-ov model kojiomogucava relativno jednostavnu karakterizaciju procesa oksidacije u funkciji temperature, oksidacionog ambijenta,koncentracije primesa i orijentacije kristala.

4.1.1 Deal-Grove (linearno-parabolicni) model

Osnovna ideja na kojoj se zasniva Deal-Grove ili linearno-parabolicni model procesa oksidacije je ilustrovana naslici 4.4. Uvodi se pretpostavka da je oksid debljine xi prisutan na povrsini silicijuma, kao i da je struktura jednodi-menzionalna. Ovaj model vazi za temperature u opsegu 700-1300C, parcijalne pritiske izmedju 0.2 i 1.0 atm i debljineoksida od 30 do 2000 nm, za oksidacione ambijente bogate kiseonikom i vodenom parom.

Na slici 4.4 je prikazan silicijumski supstrat prekriven oksidnim slojem koji je u kontaktu sa gasnom fazom. Uzavisnosti od oksidacionog ambijenta, O2 ili H2O se najpre transportuje iz gasne faze do povrsine - fluks F1 (flukspredstavlja broj atoma ili molekula koji prodje kroz jedinicu povrsine u jedinici vremena), zatim molekul difundujekroz postojeci sloj oksida - fluksF2 i konacno reaguje sa Si na medjupovrsini Si/SiO2 - fluksF3. U uslovima ravnotezeispunjen je uslov F1 = F2 = F3.

Fluks iz gasne faze F1 se moze linearno aproksimirati pod pretpostavkom da je fluks kiseonika iz gasne faze domedjupovrsine gas-oksid proporcionalan razlici koncentracije kiseonika u gasnoj fazi CG i koncentracije kiseonikana povrsini oksidnog sloja CS :

F1 = hG(CG − CS), (4.3)

gde je hG koeficijent transfera mase u gasnoj fazi.

MODELIRANJE PROCESA OKSIDACIJE 43

Koncentracija oksidanta uz samu ivicu oksidnog sloja C0 moze se odrediti primenom Henry-jevog zakona kojidaje vezu izmedju ravnotezne koncentracije kiseonika u oksidu i gasnoj fazi:

C0 = Hps, C∗ = HpG, (4.4)

gde jeC0 ravnotezna koncentracija kiseonika na povrsini, C∗ ravnotezna koncentracija kiseonika u zapremini oksida,ps parcijalni pritisak u gasu, pG parcijalni pritisak u zapremini gasne faze i H je Henry-eva konstanta. KoriscenjemHenry-jevog zakona i zakona idelnog gasa, CG i CS mozemo predstaviti kao:

CG =pG

kT,CS =

pS

kT. (4.5)

Kombinacijom gore navedenih izraza dobija se da je fluks F1:

F1 = h(C∗ − C0), (4.6)

gde je h koeficijent transfera mase u gasnoj fazi u odnosu na koncentraciju u cvrstoj fazi, dat kao h = hG/HkT . Kadaje koncentracija oksidanta u oksidu na medjupovrsini gas-oksid C0 manja od ravnotezne koncentracije u zapreminioksida, fluks F1 je pozitivan.

Fluks F2 koji predstavlja fluks oksidanta kroz oksidni sloj je prema Fick-ovom zakonu:

F2 = −D∂C

∂d. (4.7)

D je difuzioni koeficijent, dok je ∂C/∂d gradijent koncentracije oksidanta u oksidnom sloju. Sledeci pretpostavku oravnotezi, fluks F2 mora da bude isti u bilo kojoj tacki unutar oksida (tj. ∂F2/∂d = 0) tako da se dobija da je:

F2 =D(C0 − Ci)

x0, (4.8)

gde je Ci koncentracija oksidanta u oksidu neposredno uz medjupovrsinu oksid-silicijum, dok je x0 debljina oksida.Treca faza oksidacionog procesa je reakcija na medjupovrsini Si/SiO2. Pod pretpostavkom da je fluks koji odgovara

reakciji na medjupovrsini Si/SiO2 proporcionalan Ci dobija se:

F3 = ksCi, (4.9)

gde je ks konstanta brzine hemijske reakcije na medjupovrsini.Na osnovu F1 = F2 = F3, sto predstavlja uslov ravnoteze, simultanim resavanjem jednacina se dobijaju sledeci

izrazi za Ci i C0, imajuci u vidu cinjenicu da je h veoma veliko:

Ci =C∗

1 +ks

h+ksd0

D

∼=C∗

1 +ksd0

D

, (4.10)

C0 =

1 +

ksd0

D

C∗

1 +ks

h+ksd0

D

∼= C∗. (4.11)

Granicni slucajevi za ove izraze nastaju u slucaju kada difuzioni koeficijent oksidanta ima veoma malu, ili veomaveliku vrednost. Kada je difuzioni koeficijent veoma mali, Ci −→ 0 i C0 −→ C∗ (diffusion-controlled case). Uovom slucaju, fluks oksidanta kroz oksid je mali u poredjenju sa fluksom koji odgovara reakciji na medjupovrsiniSi/SiO2. U drugom granicnom slucaju, kada je D veoma veliko, Ci = C0 = C∗/(1 + ks/h) (reaction-controlledcase). Velika kolicina oksidanta dolazi do medjupovrsine Si/SiO2, tako da je brzina oksidacije kontrolisana samobrzinom reakcije.

Da bi izracunali brzinu rasta oksida, sto nam je i konacni cilj, definisemo N1 kao broj oksidacionih molekula kojise ugradjuju u jedinicu zapremine oksidnog sloja. S obzirom da oksid ima 2.2 · 1022 SiO2 molekula/cm3 i da se pojedan molekul O2 ugradjuje u svaki molekul SiO2,N1 je 2.2 ·1022cm−3 za tzv. "dry" oksidaciju, dok je dva puta veceza oksidaciju u vodenoj pari ("wet"), s obzirom da se po dva H2O molekula ugradjuju u svaki molekul SiO2, tako daje N1 = 4.4 · 1022cm−3.


Kombinacijom gore navedenih izraza dobija se da je fluks oksidanta koji stigne do oksid-silicijum medjupovrsinedat sledecom diferencijalnom jednacinom:

N1∂x0

∂t= F3 =

ksC∗

1 +ks

h+ksx0

D

. (4.12)

Ova diferencijalna jednacina se resava pod pretpostavkom da na povrsini silicijuma postoji oksid (x0 = xi u t = 0).Resenje je:

x20 +Ax0 = B(t+ τ), (4.13)

gde je:

A = 2D

1

ks+

1

h

, (4.14)

B =2DC∗

N1, (4.15)

τ =x2

i +Axi

B. (4.16)

τ predstavlja pomeraj u vremenskom koordinatnom sistemu kako bi se uzelo u obzir prisustvo pocetnog oksidnogsloja debljine xi. Izraz (4.13) predstavlja dobro poznatu linearno-parabolicnu zavisnost. Njenim resavanjem se dobijax0 u funkciji vremena:

x0

A/2=

1 +

t+ τ

A2/4B

1/2

− 1. (4.17)

Granicni slucaj je za duga vremena oksidacije, t τ , kada je:

x20 = Bt. (4.18)

Izraz 4.18 je tzv. parabolicni zakon, gde je B konstanta parabolicne brzine rasta oksida. Drugi granicni slucaj jeza veoma kratka vremena oksidacije kada je (t+ τ) A2/4B, pa je:

x0 =B

A(t+ τ). (4.19)

Izraz (4.19) je tzv. linearni zakon, a B/A je konstanta linearne brzine rasta data kao:

B

A=

ksh

ks + h

C∗

N1

. (4.20)

Za prakticne simulacije najcesce se B i B/A daju u obliku Arrheius-ovih izraza:

B = C1exp−E1

kT

, (4.21)

B/A = C2exp−E2

kT

, (4.22)

gde su vrednosti koeficijenata C1, E1, C2 i E2 za razlicite oksidacione ambijente dati u tabeli 4.4, dok su zavisnostiB i B/A od temperature prikazane na slici 4.5. U tabeli 4.1 su date numericke vrednosti konstanti A i B u slucajuH2O oksidacije dobijene Deal-Grove modelom. A raste sa smanjivanjem temperature, dok vrednost B opada. Koddry O2 oksidacije pocetna debljina oksida xi nije jednaka nuli u t = 0, kao sto je to slucaj kod H2O oksidacije, vecje xi ∼ 25 nm za temperaturni opseg od 700 - 1200C. Veca brzina oksidacije u pocetnoj fazi oksidacije zahtevarazmatranje i nekih drugih mehanizama, pa zbog toga izraz 4.13 zahteva poznavanje vrednosti τ koja se odredjujegraficki, ekstrapolacijom u linearnoj oblasti. Vrednosti konstantiA,B i τ su date u tabeli 4.2. Ravnotezne koncentracijeoksidanta C∗ u SiO2 odredjuju se na osnovu izraza 4.15 i date su u tabeli 4.3. I pored toga sto je difuzioni koeficijentvode u SiO2 manji nego difuzioni koeficijent kiseonika, parabolicna brzina B je veca kod H2O oksidacije. Razlog je

MODELIRANJE PROCESA OKSIDACIJE 45

Tabela 4.1 Wet oksidacija Si.

Oksidaciona Parabolicna Linearnatemperatura brzina brzina

(C) A (µm) B (µm2/h) B/A (µm/h)

1200 0.05 0.720 14.401100 0.11 0.510 4.641000 0.23 0.287 1.27920 0.50 0.203 0.204

Tabela 4.2 Dry oksidacija Si.

Oksidaciona Parabolicna Linearnatemperatura brzina brzina

(C) A (µm) B (µm2/h) B/A (µm/h) τ (h)

1200 0.004 0.045 1.12 0.0271100 0.090 0.027 0.30 0.0761000 0.165 0.0117 0.071 0.37920 0.235 0.0049 0.0208 1.40800 0.370 0.0011 0.0030 9.0700 0.00026 81.0

Slika 4.5 Zavisnost linearne i parabolicne brzine od temperature za razlicite oksidacione am-bijente.

Slika 4.6 Debljine formiranog oksida na <100> silicijumu u wet O2 ambijentu izracunate naosnovu Deal-Grove modela.

taj sto je fluks oksidanta, a samim tim iB, proporcionalan ravnoteznoj koncentraciji C∗ koja je skoro tri reda velicineveca kod vode nego kod kiseonika.

Tabela 4.3 C∗ u SiO2 na temperaturi 1000C.

Oksidant C∗ (cm−3)

O2 5.2 · 1016

H2O 3.0 · 1019

Koristeci parametre date u tabeli 4.4 dobijene su debljine formiranog oksidnog sloja u zavisnosti od temperature ioksidacionog ambijenta, prikazane na slikama 4.6 (dry O2 ambijent) i 4.7 (H2O ambijent).

Na osnovu opisanih reakcija koje se desavaju na medjupovrsini Si/SiO2 moze se zakljuciti da oksidacija predstavljaizvor pokretnih intersticija SiI i/ili ponor vakancija SiV u zavisnosti od nivoa dopiranja poluprovodnika. U slucajukada se proces oksidacije odvija u O2 oksidacionom ambijentu, molekul O2 se iz gasne faze injektuje u oksidni sloj,difuzijom se krece do medjupovrsine Si/SiO2, reaguje sa atomima Si i formira oksid. Na visokim temperaturama,koje su karakteristicne za procese difuzije i oksidacije, moze da se pokaze da u oksidnom sloju dominira kiseonik


Tabela 4.4 Vrednosti koeficijenata za izracunavanje B i B/A.

Oksidacioni Parabolicna Linearnaambijent brzina brzina

B (µm2/h) B/A (µm/h)

Dry O2 C1 = 7.72 · 102µm2/h C2 = 6.23 · 106µm2/hE1=1.23eV E2=2.0eV

Wet O2 C1 = 2.14 · 102µm2/h C2 = 8.95 · 107µm2/hE1=0.71eV E2=2.05eV

H2O C1 = 3.86 · 102µm2/h C2 = 1.63 · 108µm2/hE1=0.78eV E2=2.05eV

Slika 4.7 Debljine formiranog oksida na <100> silicijumu u H2O ambijentu izracunate naosnovu Deal-Grove modela.

u obliku dvostruko negativnih intersticijskih jona. Pazljivim proucavanja procesa oksidacije dolazi se do zakljuckada se na medjupovrsini Si/SiO2 odigravaju najmanje dva razlicita tipa reakcije. Prva reakcija je izmedju jona O=

2 isilicijumovog atoma, pri cemu se atomi silicijuma najpre prebacuju u intersticijske polozaje, da bi u sledecem korakuSiI i dva kiseonika u atomskom obliku formirali SiO2. U slucaju kada se ova veza ne formira, dobija se pokretansilicijumski intersticijski atom koji se injektuje u poluprovodnik, sto dovodi do povecanja koncentracije tackastihdefekata u silicijumu i znacajno utice na promenu difuzionih karakteristika poluprovodnika.

Druga reakcija je izmedju jona O=I i vakancija SirV , gde r pokazuje o kom se tipu vakancija radi i moze da ima

vrednosti −2,−1, 0, 1 ili 2. Kod reakcije sa dvostruko negativnim vakancijama, kiseonik u atomskom obliku koji setom prilikom oslobadja reaguje sa atomima Si i formira SiO2. S obzirom da se kod ove reakcije ne formiraju pokretneintersticije SiI , koje bi se kasnije injektovale u silicijum, moze da se zakljuci da ova reakcija ne utice bitno na difuzijuprimesa, sto se slaze sa eksperimentalno odredjenim rezultatima.

Na osnovu svega sto smo do sada rekli, moze se zakljuciti da jednostavan Deal-Grove model procesa oksidacijesilicijuma daje odlicno slaganje sa eksperimentalnim rezultatima, kako za wet, tako i za dry oksidacione ambijente.Neslaganja postoje samo u slucaju kada se radi o oksidnim slojevima cija je debljina manja od 30 nm koji narastajuu dry O2 ambijentu. Medjutim, odredjenim modifikacijama Deal-Grove modela moze se i u ovom slucaju ostvaritiveoma dobro slaganje.

4.1.2 Narastanje tankih oksidnih slojeva

Pojava savremenih MOS komponenata uslovila je potrebu za tankim ( 30 nm), uniformnim i visoko kvalitetnimoksidnim slojem. Pored toga, postoji i potreba za tankim pad oksidima debljine od 3 do 10 nm, koji se koriste ispodmaskirnih nitridnih slojeva, kako bi se smanjili naprezanjem indukovani defekti u silicijumu.

Sa prakticnog stanovista, narastanje tankih oksida mora da bude dovoljno sporo kako bi se dobio uniformni i repro-duktibilni oksid. U tu svrhu se koriste razlicite tehnike narastanja (dry oksidacija, dry oksidacija sa HCl, sekvencijalneoksidacije u razlicitim ambijentima i na razlicitim temperaturama, wet oksidacija, oksidacija u uslovima smanjenogpritiska, pa cak i niskotemperaturna oksidacija u uslovima visokog pritiska). Naravno, na nizim temperaturama ipritiscima brzina oksidacije je manja. Ultratanki oksidni slojevi ( 5 nm) dobijaju se koriscenjem hot nitric acid,zagrejane vode (do temperature isparavanja) i zagrejanog vazduha na sobnoj temperaturi. Pravilnim izborom temper-ature i vremena oksidacije moze se dobiti oksidni sloj zeljene debljine, s obzirom da uslovi u kojima se odvija procesoksidacije dominantno uticu na karakteristike dobijenog oksida, pa se mora imati u vidu:

a) sa smanjenjem oksidacione temperature povecava se gustina oksida,

b) dodavanjem HCl u oksidacioni ambijent pasiviziraju se joni Na, cime se popravljaju probojne karakteristike,dok se primese i defekti geteruju u silicijum. Ovaj pasivizacioni efekat se desava tek na visokim temperaturama.Zbog toga se proces oksidacije odvija u dva koraka. U prvom koraku se formira uniformni oksidni sloj sa malom

2D MODEL PROCESA OKSIDACIJE 47

gustinom defekata na srednjim oksidacionim temperaturama (1000C ili manje) u dry O2, HCl ambijentu.Drugi korak je oksidacija u N2, O2 i HCl ambijentu na 1150C, cime se obezbedjuje pasivizacija i zeljenadebljina oksida.

Smanjivanjem pritiska pruza se mogucnost veoma dobre kontrole narastanja tankih oksidnih filmova. Oksididebljine od 3 do 14 nm formiraju se u CVD reaktoru na temperaturama od 900 do 1000C i pritisku od 0.25 do2.0 atm. Sa smanjivanjem pritiska dobijaju se veoma uniformni i homogeni tanki oksidni filmovi, koji po svojimkarakteristikama odgovaraju debljim oksidima koji su dobijeni na atmosferskom pritisku.

Najzad, razmotricemo narastanje tankih oksida primenom niskotemperaturne oksidacije u vodenoj pari, u uslovimavisokog pritiska. Na pritisku od 10 atm i 750C, oksidni sloj debljine 30 nm se formira za 30 min. Promenomtemperature, pritiska i vremena moze se menjati debljina oksidnog sloja. Ovakva tehnika narastanja oksida se koristiza formiranje oksida gejta kod MOS dinamickih RAM-ova. U isto vreme sa narastanjem tankog oksida, formirase i debeo oksidni sloj preko dopiranog polisilicijuma, kao rezultat koncentracijom ubrzane oksidacije. Potrebno jenapomenuti da osobine oksida u vecoj meri zavise od oksidacione temperature nego od pritiska. Temperatura je uintervalu od 700 do 1000C, dok se pritisak menja od 5 do 10 atm.

Kao sto je ranije receno, struktura samog oksida u blizini medjupovrsine oksid-silicijum, kao i sam proces oksidacijesu jos nedovoljno prouceni. Dodatni problem predstavlja uocena brza pocetna oksidacija silicijuma kod dry oksidacije.Jos su Deal i Grove u svojim prvim publikovanim radovima konstatovali da njihov linearno-parabolicni model procesaoksidacije ne daje dobre rezultate za oksidne slojeve debljine do 20 nm u dry O2 ambijentu. Bilo je vise pokusajada se nekim manjim modifikacijama popravi Deal-Grove model procesa oksidacije, kako bi se dobilo dobro slaganjerezultata simulacije i eksperimentalnih rezultata i u slucaju narastanja tankih oksida, pri cemu ni jedan od njih nije sirokoprihvacen. Ovde cemo bez detaljnog opisivanja navesti nekoliko modela koji su dali koliko toliko zadovoljavajucerezultate:

a) Reisman-ov modelx0 = a(t+ ti)

b, (4.23)

ili

x0 = a

t+

xi

a

1/bb

, (4.24)

gde su a i b parametri modela cije su vrednosti dobijene fitovanjem prema eksperimentalnim rezultatima.

b) Han-Helms modeldx0

dt=

B1

2x0 +A1+

B2

2x0 +A2. (4.25)

Dva clana u gornjem izrazu predstavljaju dve paralelne reakcije koje se najverovatnije odvijaju u toku procesaoksidacije: O2 i O difuziju ili difuziju O2 i OV (vakancija) kroz oksidni sloj.

c) Massoud modeldx0

dt=

B

2x0 +A+ Cexp

−x0

d1

, (4.26)

gde je:

C = C0exp−EA

kT

, (4.27)

C0 ≈ 3.6·108µm/h, EA ≈ 2.35 eV i d1 ≈ 7 nm. Sve ove vrednosti vaze za <100> i <111> silicijum. Prviclan u gornjem izrazu je naravno Deal-Grove model, dok drugi clan predstavlja dodatni mehanizam oksidacijekoji je vazan pri narastanju prvih desetak nm, a njegov uticaj eksponencijalno opada za vrednosti vece od d1.Sa ovim dodatkom model vazi za ceo opseg debljina oksida.

4.2 2D MODEL PROCESA OKSIDACIJE

Cinjenica da postoji znacajna razlika u nacinu oksidacije izmedju planarne i neplanarne povrsine silicijuma, iako dugopoznata, dobila je ogroman tehnoloski znacaj tek pocetkom devedesetih godina sa proizvodnjom elektronskih strukturaveoma malih dimenzija. 2D, pa cak i 3D efekti, vezani za narastanje oksida mogu se uociti na primerima formiranjaLOCOS stukture u blizini ivica nitridnog sloja. Kako silicijum oksidise i ispod nitrida, opravdano se pretpostavilo daje uocena razlika u nacinu oksidacije posledica slobodne, odnosno ogranicene ekspanzije zapremine oksida prilikom


rasta. Ekspanzija prilikom oksidacije koja ima pravac upravan na povrsinu silicijuma, rezultira odnosom zapremine od2:1. Nije tesko zakljuciti da ce u ostrom uglu oksidacija biti otezana u poredjenju sa oksidacijom na ravnoj povrsini.

Kvantitativno objasnjenje i razumevanje fizickih mehanizama vezanih za pomenute efekte potrazeno je kroz nizeksperimenata vrsenih na silicijumskim strukturama. Suvim postupkom anizotropnog nagrizanja, formirane su sili-cijumske strukture razlicitih oblika koje su zatim izlozene oksidaciji pod razlicitim uslovima. Merenjem dobijenedebljine oksida SEM tehnikama dobijene su zavisnosti debljine oksida od precnika zakrivljenosti povrsine na kojoj jevrsena oksidacija. Na osnovu dobijenih rezultata izvedeno je vise znacajnih zakljucaka vezanih za retardaciju oksida(smanjenje zapremine konacnog oksida u odnosu na nominalnu usled neplanarnosti povrsine). Prvo, retardacija je bilanajizrazenija kod ostrih uglova - za slucaj nominalne debljine od 500nm debljina oksida se smanjila dva puta. Drugizakljucak je vezan za temperaturu oksidacije - retardacija se pokazala znacajno izrazenijom kod niskotemperaturnihprocesa, dok kod oksidacije pri temperaturi od 1200C prakticno nije ni postojala. Poslednji zakljucak tice se oblikaneravnine: kod konkavnog oblika povrsine silicijuma javljao se veci stepen retardacije u poredjenju sa konveksnim,ali treba naglasiti da je u poredjenju sa ravnom povrsinom efekat bio veoma izrazen u oba slucaja.

Izdvojeno je i nekoliko fizickih faktora od presudnog znacaja za efekat:

1. Orijentacija kristala: neplanarna povrsina sadrzi vise kristalografskih pravaca sto veoma utice na lokalnubrzinu oksidacije. Efekat se moze modelovati koriscenjem jednacine:

B

A

111

= 1.68

B

A

100

(4.28)

s tim da svakom kristalografskom pravcu treba dodeliti odgovarajucu vrednost multiplikacione konstante zaB/A.

2. 2D difuzija oksidanta: u oblastima oko uglova i neravnina problem transporta atoma oksidanta do Si/SiO2

medjupovrsine postaje dvo- pa cak i trodimenzionalan. Kako se oksid nalazi u amorfnom stanju, difuzionikoeficijenti O2 i H2O ne bi trebalo da budu uslovljeni pravcem, ali je sa aspekta numerickog pristupa problemuneohodno predvideti resavanje difuzione jednacine u vise pravaca.

3. Naprezanje usled ekspanzije zapremine: oksidni slojevi narasli na silicijumu trpe znacajno naprezanje usledpritiska. Naprezanje je posledica ekspanzije zapremine tokom oksidacije kao i razlicitih koeficijenata termickeekspanzije Si i SiO2. Razlika u koeficijentima ima posebno vazan uticaj na proces hladjenja jer uzrokujedodatno naprezanje kada se uzorak hladi sa temperature oksidacije na sobnu. Pomenuti uzroci naprezanjaimaju daleko izrazenije posledice kod neplanarne povrsine zbog geometrijske uslovljenosti rasta oksida, jeruticu na transport oksidanta kroz SiO2 i samu reakciju na Si/SiO2 medjupovrsini.

Za modeliranje efekata naprezanja, predlozene su sledece modifikacije parametara koji se koriste kod linearnogparabolicnog modela:

ks(stress) = ksexp− σnVR

kT

exp− σtVT

kT

(4.29)

D(stress) = Dexp− (P )(VD)

kT

(4.30)

C∗(stress) = C∗exp− (P )(VS)

kT

(4.31)

gde jeks brzina reakcije upravno na medjupovrsinu, σn naprezanje upravno na pravac granice narastanja, σt naprezanjetangencijalno na pravac granice narastanja,D difuzivnost oksidanta pri pritisku od 1 atm, C∗ rastvorljivost oksidanta,P hidrostaticki pritisak u rastucem oksidu, Vr , Vt, Vd i Vs aktivacione zapremine zavisne od naprezanja, koje se koristeza fitovanje modela.

Poslednji parametar oksida potreban za numericko modeliranje rasta na neplanarnim strukturama je viskoznostoksida. Kao staklo, SiO2 ima sposobnost delimicne relaksacije naprezanja vezanog za postupak rasta oksida, koja jeposledica visokoelasticnosti. Naprezanje koje eskalira tokom oksidacije je tako visokog stepena da i sama viskoznostmora biti modelirana kao njegova funkcija. Funkcionalna zavisnost koja obezbedjuje dobro slaganje sa eksperimen-talno dobijenim rezultatima ima oblik:

ηstress = η(T )σsVc/2kT

sinh(σsVc/2kT )(4.32)


Slika 4.8 Simulacija procesa oksidacije bez naprezanja (levo) i sa modelima koji uzimaju uobzir uticaj naprezanja (desno).

gde je η(T ) temperaturno zavisna viskoznost oksida u odsustvu naprezanja, σs naprezanje oksida na zakrivljenimpovrsinama i Vc parametar za fitovanje.

Poslednjih godina ulozeno je mnogo truda u razvijanje modela namenjenih preciznom modeliranju izolacionihprocesnih postupaka poput savremenih tehnika LOCOS, poli-bafer LOCOS, plitke trench strukture i, uopste, svihonih kod kojih se koristi oksidacioni proces na neplanarnoj povrsini. Pored modelovanja parametara koji se odnosena sam SiO2, neohodno je uzeti u obzir cinjenicu da se kod mnogih od pomenutih tehnika koriste polisilicijum iSi3N4, pa je samim tim neohodno u modeliranje ukljuciti i visokoelasticne parametre ovih materijala. Nelinearnapriroda viskoznosti oksidnih slojeva pri visokim temperaturama podstakla je istrazivanje ponasanja ostala dva mater-ijala u takvim uslovima. Tanki nitridni slojevi u uslovima visoke temperature ispoljavaju stohiometrijski uslovljenuviskoznost dok je, u slucaju polisilicijuma, kompleksna priroda viskoznosti pripisana slozenoj zavisnosti od velicinezrna u sloju.

Kako se oblik narastajuceg oksida menja u vremenu, parametri ks, D i ni se takodje menjaju u vremenu tokomprocesa oksidacije. Implementacija modela ovih parametara uspesno je izvrsena u veci broj programa za simulacijutehnoloskih procesa, kao npr. SSUPREM4 koji tacno predvidja vremenski zavisne oblike oksida i nivoe naprezanjaprisutne, kako u oksidu, tako i u silicijumu na kome oksid narasta. Kao primer koji ilustruje uticaj svih pomenutihmodela procesa oksidacije na tacnost simulacije data je slika 4.8. Levo je prikazan rezultat simulacije kada su koriscenimodeli koji ne uzimaju u obzir uticaj naprezanja, dok je desna slika rezultat simulacije uz koriscenje opisanih modelanaprezanja i viskoznosti. Ocigledno je da primena pomenutih modela ima za posledicu duzi pticji kljun koji seproteze ispod nitridne maske. Bez ukljucivanja efekata naprezanja brzina rasta oksida ne odrazava efekat retardacijeispod nitridne maske. Postoji jedna veoma vazna implikacija izlozenih rezultata. Uobicajeno je da se tokom jednogtehnoloskog postupka proizvodnje izvrsi vise razlicitih oksidacionih koraka. Ukoliko pretpostavimo da oksidacija nanizoj temperaturi prethodi oksidaciji na visim temperaturama, moze se zakljuciti da ce uslovi na pocetku oksidacije navisoj temperaturi podrazumevati izvestan nivo zaostalog naprezanja, sto ima za posledicu manju brzinu rasta oksida udrugom termickom postupku. U suprotnom, kada je prva oksidacija vrsena pri visoj temperaturi u odnosu na narednu,u drugom koraku oksid ce narastati brze od ocekivanog. Modeli koji ukljucuju efekte vezane za predistoriju procesaoksidacije u okviru tehnoloskog niza jos uvek su predmet istrazivanja pa se njihova implementacija moze tek ocekivatiu buducnosti. Pored toga, savremeni trendovi u industiji poluprovodnika okrenuti su razvoju opreme namenjene RTAtehnoloskim postupcima, kod kojih se temperatura uzorka rampira od sobne do zeljene temperature na kojoj se procesodvija za svega nekoliko sekundi, zbog cega opisani efekti pamcenja postaju sve znacajniji.

4.2.1 Modeli oksidacije bazirani na difuziji tackastih defekata

Eksperimentalni rezultati dokazuju da postoji snazna korelacija izmedju procesa oksidacije i drugih procesnih korakapoput difuzije. Prva zapazanja ovih efekata odnosila su se na promenu brzine difuzije primesa koja je pratila oksidacioniproces. Ovaj fenomen, u slucaju povecanja brzine difuzije poznat je pod nazivom difuzija ubrzana oksidacijom(OED). Suprotan efekat smanjenja brzine difuzije usled oksidacije silicijumske povrsine naziva se difuzija usporenaoksidacijom (ORD). Za razliku od fenomena opisanih u prethodnom poglavlju koji su vezani za efekte lokalne prirode,OED, ORD i njima slicni efekti dovode do preraspodele primesa, pa samim tim i konacnog profila dopiranja, tese ne mogu tretirati kao lokalni. Kako posledica ekspanzije zapremine tokom procesa oksidacije, o kojoj je vecbilo reci, pored naprezanja u samom oksidu javlja se i znacajno poduzno naprezanje silicijumskog supstrata, koje jenajintenzivnije na samoj povrsini. Posmatrajuci silicijum na nivou atoma, nije tesko zakljuciti da je prilikom narastanjaoksida prisutan proces raskidanja kovalente veze u atomima na medjupovrsini. Atomi kiseonika se ugradjuju u resetkusilicijuma formirajuci molekule dioksida. Ekspanzija zapremine nakon oksidacionog procesa zapravo je posledica"prostora" koji su zauzeli atomi kiseonika.

Postoje dva najvaznija tipa tackastih defekata u silicijumskoj resetki: vakancije (V) - odsustvo Si atoma i intersticije(I) - prisustvo viska atoma Si. Oba tipa tackastih defekata mogu biti neutralni ili imati neko naelektrisanje, o cemuje bilo vise reci kada smo razmatrali proces difuzije. Njihova koncentracija raste eksponencijalno sa temperaturom.Pri reakciji oksidacije, zapremina potrebna za narastanje moze se obezbediti na dva nacina: generacijom intersticija


Slika 4.9 Sematski prikaz reakcija na medjupovrsini SiO2 u toku oksidacije.

Slika 4.10 Sematski prikaz reakcija na medjupovrsini SiO2 u toku oksidacije.

ili konzumiranjem vakancija, sto je ilustrovano slikom 4.9, a opisano relacijom:

(1 + 2γ)Si + 2OI + 2βV ↔ SiO2 + 2γI + stress. (4.33)

Na osnovu poslednjeg izraza koji opisuje formiranje SiO2 molekula moze se zakljuciti da atomi kiseonika jednimdelom zauzimaju pozicije vakancija u kristalnoj resetki i drugim delom dovode do izmestanja Si atoma pretvarajuci ihu intersticijske. γ je broj intersticija koje ucestvuju u oksidacionom procesu po atomu kiseonika, dok je β odgovarajuciparametar koji se odnosi na vakancije. U jednacinu je ukljucen i faktor naprezanja jer je eksperimentalno dokazanoda vakancije i intersticije ne obezbedjuju dovoljno prostora za ekspanziju zapremine.

Generacija intersticija smatra se odgovornom za interakciju oksidacionog procesa sa ostalim procesnim koracimapoput difuzije (OED, ORD). Razlog za to lezi u sposobnosti intersticije da difunduje duboko ispod povrsine silicijumai, u interakciji sa atomima primesa, utice na njihovu difuziju. Oksidacioni proces koji se odvija uz prisustvo visokekoncentracije vakancija ubrzan je cinjenicom da takva resetka omogucava lakse povecanje zapremine. To objasnjavavecu brzinu oksidacije jako dopiranog silicijuma koji karakterise prisustvo visoke koncentracije vakancija. Naprezanjekoje nastaje kao posledica oksidacije ukazuje na cinjenicu da je doprinos tackastih defekata povecanju zapreminerelativno mali. Procenat intersticijskih atoma silicijuma koji difunduju u supstrat je veoma mali i stoji u odnosu1:1000 prema broju Si atoma koji difunduju ka oksidu gradeci molekule SiO2. Bez obzira na tako mali broj, uticajikoje difuzija intersticija u supstrat ima na difuziju primesnih atoma se veoma znacajni.

Udruzivanja kinetickih efekata oksidacije sa efektima drugih tehnoloskih procesa modelira se reakcionim di-fuzionim jednacinama uz konceptualni pristup ilustrovan slikom 4.10. Oksidaciona medjupovrsina se karakteriseodredjenim brzinama generacije i rekombinacije tackastih defekata. Ravnotezni uslov izmedju rekombinacije i gen-eracije defekata determinise prisustvo njihovog fluksa u pravcu ka, ili u pravcu od medjupovrsine. Kada se za slucajprocesa oksidacije sumira ukupan fluks, dobija se rezultat u vidu intersticija koje difunduju od povrsine, dakle kasupstratu. Ove intersticije reaguju sa atomima primesa koji usled te reakcije difunduju brzinom koja je proporcionalnalokalnoj koncentraciji tackastih defekata. Ovaj nacin modeliranja daje dobre rezultate, ali ima nedostatak da nje-gova preciznost zavisi od eksperimentalno odredjenih vrednosti koncentracije vakancija V i intersticija I , njihovihdifuzionih koeficijenata, brzine rekombinacije defekata u supstratu, kao i mnogih drugih parametara. U programuSSUPREM4 vrednosti G i R na oksidacionoj medjupovrsini se odredjuju na osnovu izraza:

G = θdx0

dtN, (4.34)

R = KinertKrat

dx0/dt

B/A

Kpow

+Kinert, (4.35)

gde je θ frakcija atoma silicijuma koji se injektuju u supstrat kao intersticije, dx0/dt brzina oksidacije, N broj atomasilicijuma po jedinici zapremine, Kinert brzina rekombinacije na inertnoj Si/SiO2 medjupovrsini i Krat uvecanjebrzine rekombinacije na oksidacionoj medjupovrsini. θ treba razlikovati od parametra γ jer se odnosi samo na onaj deointersticija koje su injektovane u supstrat. θ, kao iK parametri, se odredjuju eksperimentalno. Slicni izrazi koriste se iza modeliranje drugih medjupovrsina, poput Si/Si3N4, naravno uz koriscenje razlicitih vrednosti parametara. Ovakavpristup treba tretirati kao fenomenoloski jer ne postoji njihov opste prihvacen fizicki model.

LITERATURA

1. N. Bohr, “On the Theory of the Decrease of Velocity of Moving Electrified Particles on Passing Through Matter,”The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 6, pp. 10-31, 1913.


2. H. Bethe, “Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie.,” Annalen der Physik, vol.5, pp. 325-400, 1930.

3. F. Bloch, “Brensvermögen von Atomen mit mehreren Electronen,” Zeitschrift für Physik, vol. 81, pp. 363-376,1930.

4. N. Bohr, “The Penetration of Atomic Particles Through Matter,” Mat.Fys.Medd.Dan.Vid.Selsk., vol. 18, no. 8,pp. 142-143, 1948.

5. M. Blackman, Kristallphysik, vol. 7.1 of Handbuch der Physik, Springer, Berlin, 1955.

6. H.H. Andersen and J.F. Ziegler, Hydrogen Stopping Powers and Ranges in All Elements, vol. 3 of The Stoppingand Ranges of Ions in Matter, Pergamon Press, New York, 1977.

7. S.P. Ahlen, “Theoretical and Experimental Aspects of the Energy Loss of Relativistic Heavily Ionizing Particles,”Rev.Mod.Phys., vol. 52, no. 1, pp. 121-173, 1980.

8. W. Brandt and M. Kitagawa, “Effective Stopping-Power Charges of Swift Ions in Condensed Matter,” PhysicalReview B, vol. 25, no. 9, pp. 5631-5637, 1982.

9. W. Bohmayr, Simulation der Ionenimplantation in Kristalline Siliziumstrukturen, Dissertation, Technische Uni-versität Wien, 1995.

10. W. Bohmayr, A. Burenkov, J. Lorenz, H. Ryssel, and S. Selberherr, “Statistical Accuracy and CPU Time Char-acteristic of Three Trajectory Split Methods for Monte Carlo Simulation of Ion Implantation,” In H. Ryssel andP. Pichler, editors, Simulation of Semiconductor Devices and Processes, vol. 6, pp. 492-495, Springer, Wien,Austria, 1995.

11. W. Bohmayr, A. Burenkov, J. Lorenz, H. Ryssel, and S. Selberherr, “Trajectory Split Method for Monte CarloSimulation of Ion Implantation,” IEEE Trans.Semiconductor Manufacturing, vol. 8, no. 4, pp. 402-407, 1995.

12. M.D.J. Bowyer, D.G. Ashworth, and R. Oven, “Representation of Two-Dimensional Ion Implantation Rest Dis-tributions by Pearson Distribution Curves for Silicon Technology,” Solid-State Electron., vol. 39, no. 1, pp.119-126, 1996.

13. R.J. Baker, H.W. Li, and D.E. Boyce, CMOS Circuit Design, Layout, and Simulation, IEEE Press, New York,1998.

14. A. Burenkov, K. Tietzel, A. Hössinger, J. Lorenz, H. Ryssel, and S. Selberherr, “A Computationally EfficientMethod for Three-Dimensional Simulation of Ion Implantation,” In Simulation of Semiconductor Processes andDevices, pp. 55-58, Kyoto, Japan, 1999.

15. T. Diaz de la Rubia and G.H. Gilmer, “Structural Transformation and Defect Production in Ion Implanted Silicon:A Molecular Dynamics Simulation Study,” Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, vol. 74, no.13, pp. 2507 - 2510, 1995.

16. R. Dizon, H. Han, A.G. Russell, and M.L. Reed, “An Ion Milling Pattern Transfer Technique for Fabrication ofThree-Dimensional Micromechanical Structures,” IEEE J.Microelectromech.Syst., vol. 2, no. 4, pp. 151-159,1993.

17. A. Dygo, P.J.M. Smulders, and D.O. Boerma, “Simulation Analysis of Ion Channeling Spectra: Thermal Vibra-tional Amplitude in Si,” Nucl.Instr.Meth.B, vol. 64, pp. 701-705, 1992.

18. F.H. Eisen, G.J. Clark, J. Bottiger, and J.M. Poate, “Stopping Power of Energetic Helium Ions TransmittedThrough Thin Silicon Crystals in Channeling and Random Directions,” Rad.Eff., vol. 13, pp. 93-100, 1972.

19. B. El-Kareh, Fundamentals of Semiconductor Processing Technologies, Kluwer, Boston, 1995.

20. F. Faggin and T. Klein, “Silicon Gate Technology,” Solid-State Electron., vol. 13, pp. 1125-1144, 1970.

21. F. Fasching, The Viennese Integrated System for Technology CAD Applications-Data Level Design and Imple-mentation, Dissertation, Technische Universität Wien, 1994.

22. F. Fasching, C. Fischer, S. Selberherr, H. Stippel, W. Tuppa, and H. Read, “A PIF Implementation for TCADPurposes,” In W. Fichtner and D. Aemmer, editors, Simulation of Semiconductor Devices and Processes, vol. 4,pp. 477-482, Hartung-Gorre, Konstanz, 1991.

23. C. Froese-Fischer, The Hartree-Fock method for atoms: a numerical approach, Wiley, New York, 1977.


24. A.F. Gérodolle and J. Pelletier, “Two-Dimensional Implications of a Purely Reactive Model for Plasma Etching,”IEEE Trans.Electron Devices, vol. 38, no. 9, pp. 2025-2032, 1991.

25. S.K. Ghandhi, VLSI Fabrication Principles: Silicon and Gallium Arsenide, Wiley, New York, second ed., 1994.

26. J.F. Gibbons, W.S. Johnson, and S.W. Mylroie, Projected Range Statistics, Halstead Press, Strandsberg, 1975.

27. J.F. Gibbons and S. Mylroie, “Estimation of Impurity Profiles in Ion-Implanted Amorphous Targets Using JoinedHalf-Gaussian Distributions,” Appl.Phys.Lett., vol. 22, no. 11, pp. 568-569, 1973.

28. P. Gombas, Die statistische Theorie des Atoms und ihre Anwendungen, Springer, Wien, 1949.

29. L. Gong, S. Bogen, L. Frey, W. Jung, and H.Ryssel, “Analytical Description of High Energy Implantation Profilesof Boron and Phosphorus into Crystalline Silicon,” Radiation Effects and Defects in Solids, vol. 127, no. 3-4, pp.385-395, 1994.

30. G. Hobler, Simulation der Ionenimplantation in ein-, zwei- und dreidimensionalen Strukturen, Dissertation, Tech-nische Universität Wien, November 1988.

31. G. Hobler, Physikalische Modellierung der Ionenimplantation in Silizium, Habilitationsschrift, Technische Uni-versität Wien, 1995.

32. G. Hobler, “Net Point Defect Concentrations after Ion Implantation in Silicon,” In Proceedings of the FourthInternational Symposium on Process Physics and Modelling in Semiconductor Technology, pp. 509-521, 1996.

33. G. Hobler, E. Langer, and S. Selberherr, “Two-Dimensional Modeling of Ion Implantation with Spatial Moments,”Solid-State Electron., vol. 30, no. 4, pp. 445-455, 1987.

34. G. Hobler, P. Pichler, and K. Wimmer, PROMIS 1.5 User Guide, Institut für Mikroelektronik, Technische Uni-versität Wien, 1991.

35. G. Hobler, H. Pötzl, L. Gong, and H. Ryssel, “Two-Dimensional Monte Carlo Simulation of Boron Implantation inCrystalline Silicon,” In W. Fichtner and D. Aemmer, editors, Simulation of Semiconductor Devices and Processes,vol. 4, pp. 389-398, Hartung-Gorre, Konstanz, 1991.

36. G. Hobler, H. Pötzl, L. Palmetshofer, R. Schork, J. Lorenz, C. Tian, S. Gara, and G. Stingeder, “An EmpiricalModel for the Electronic Stopping of Boron in Silicon,” COMPEL, vol. 10, no. 4, pp. 323-330, 1991.

37. G. Hobler, A. Simionescu, L. Palmetshofer, C. Tian, and G. Stingeder, “Boron Channeling Implantations inSilicon: Modeling of Electronic Stopping and Damage Accumulation,” J.Appl.Phys., vol. 77, no. 8, pp. 3697-3703, 1995.

38. W.K. Hofker, “Concentration Profiles of Boron Implantations in Amorphous and Polycrystalline Silicon,” PhilipsRes.Rep., vol. 8, pp. 41-57, 1975.

39. M. Inokuti, Y. Itikawa, and J.E. Turner, “Inelastic Collisions of Fast Charged Particles with Atoms and Molecules- The Bethe Theory Revisited,” Review of Modern Physics, vol. 50, no. 1, pp. 23-35, 1978.

40. F. Jahnel, H. Ryssel, G. Prinke, K. Hoffmann, K. Müller, J. Biersack, and R. Henkelmann, “Description ofArsenic and Boron Profiles Implanted in SiO, SiN and Si Using Pearson Distributions with Four Moments,”Nucl.Instr.Meth., vol. 182/183, pp. 223-229, 1981.

41. M. Jaraiz, J. Arias, E. Rubio, L.A. Marqués, L. Pelaz, L. Bailón, and J. Barbolla, “Dechanneling by ThermalVibrations in Silicon Ion Implantation,” In 10th Int. Conf. on Ion Implantation Technology, p. 2.19, Catania,Italy, 1994.

42. H. Jensen, “Die Ladungsverteilung in Ionen und die Gitterkonstante des Rubidiumbromids nach der statistischenMethode,” Z. F. Physik, vol. 77, pp. 722, 1932.

43. R.A. Johnson, “Empirical Potentials and their Use in the Calculation of Energies of Point Defects in Metals,”J.Phys.F, vol. 3, no. 2, pp. 295-321, 1973.

44. G.H. Kinchin and R.S. Pease, “The Displacement of Atoms in Solids by Radiation,” Reports on Progress inPhysics, vol. 18, pp. 1-51, 1955.

45. Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York, sixth ed., 1986.

46. K.M. Klein, C. Park, and A.F. Tasch, “Modeling of Cumulative Damage Effects on Ion-Implantation Profiles,”Nucl.Instr.Meth.B, vol. 59/60, pp. 60-64, 1991.


47. W. Kohn and L.J. Sham, “Self-consistent equations including exchange and correlation effects.,” Physical ReviewA, vol. 140, pp. 1133, 1995.

48. H.J. Leamy, G.E. Pike, and C.H. Seager, Grain Boundaries in Semiconductors, North Holland, 1982.

49. W. Lenz, “Über die Anwendbarkeit der Statistischen Methode auf Ionengitter,” Z. F. Physik, vol. 77, pp. 713,1932.

50. J. Lindhard, “On the Properties of a Gas of Charged Particles,” Mat.Fys.Medd.Dan.Vid.Selsk., vol. 28, no. 8, pp.57, 1954.

51. J. Lindhard and M. Scharff, “Energy Dissipation by Ions in the keV Region,” Physical Review, vol. 124, no. 1,pp. 128-130, 1961.

52. U. Littmark and J.F. Ziegler, “Handbook of Range Distributions of Energetic Ions in All Elements,” Techn. Report34401, IBM, San Jose, 1979.

53. U. Littmark and J.F. Ziegler, “Ranges of Energetic Ions in Matter,” Physical Review A, vol. 23, no. 1, pp. 64-72,1981.

54. J. Lorenz, A. Barthel, L. Gong, H. Ryssel, and R.J. Wierzbicki, “Analytical Description of Ion ImplantationProfiles,” Radiation Effects and Defects in Solids, vol. 127, no. 3-4, pp. 385-395, 1994.

55. J. Lorenz, K. Tietzel, A. Burenkov, and H. Ryssel, “Three-Dimensional Simulation of Ion Implantation,” InSimulation of Semiconductor Processes and Devices, pp. 23-24, Business Center for Academic Societies Japan,Tokyo, Japan, 1996.

56. J. Lorenz, R.J. Wierzbicki, and H.Ryssel, “Analytical Modeling of Lateral Implantation Profiles,” Nuclear Instru-ments and Methods in Physics Research, vol. B96, no. 1-2, pp. 168-172, 1995.

57. R.J. Mathar and M. Posselt, “Effective-Charge Theory for the Electronic Stopping of Heavy Ions in Solids:Stripping Criteria and Target-Electron Models,” Physical Review B, vol. 51, no. 1, pp. 107-116, 1995.

58. G. Moliere, “Theorie der Streuung schneller geladener Teilchen I: Einzelstreuung am abgeschirmten Coulomb-Feld,” Z.Naturforschung, vol. 2a, pp. 133-145, 1947.

59. V.L. Moruzzi, J.F. Janak, and A.R. Williams, Calculated Electronic Properties of Metals, Pergamon Press, Oxford,1978.

60. M.J. Norgett, M.T. Robinson, and I.M. Torrens, “A Proposed Method of Calculating Displacement Dose Rates,”Nucl.Eng.Des., vol. 33, pp. 50-54, 1975.

61. O.S. Oen and M.T. Robinson, “Computer Studies of the Reflection of Light Ions from Solids,” Nucl.Instr.Meth.,vol. 132, pp. 647-653, 1976.

62. C. Park, K.M. Klein, and A.F. Tasch, “Efficient Modeling Parameter Extraction for Dual Pearson Approach toSimulation of Implanted Impurity Profiles in Silicon,” Solid-State Electron., vol. 33, no. 6, pp. 645-650, 1990.

63. M. Posselt, “Channeling Effects and Defect Accumulation in Ion Implantation,” Nucl.Instr.Meth.B, vol. 90, pp.373-377, 1994.

64. M. Posselt, “Crystal-TRIM and its Application to Investigations on Channeling Effects during Ion Implantation,”Radiation Effects and Defects in Solids, vol. 130-131, pp. 87-119, 1994.

65. M. Posselt, “A Novel Method to Investigate Ion-Beam-Induced Defect Evolution in Si,” In Electrochemical SocietyProceedings, vol. 99-2, pp. 58 - 74, Seatle, Washington, USA, 1999.

66. E. Rimini, Ion Implantation: Basics to Device Fabrication, Kluwer, Boston, 1995.

67. H. Ryssel, “Implantation and Diffusion Models for Process Simulation,” In K.M. DeMeyer, editor, VLSI Processand Device Modeling, pp. 1-41. Katholieke Universiteit Leuven, 1983.

68. H. Ryssel, W. Krüger, and J. Lorenz, “Comparison of Monte Carlo Simulations and Analytical Models for theCalculation of Implantation Profiles in Multilayer Targets,” Nuclear Instruments and Methods in Physics Research,vol. B19-20, pp. 40-44, 1987.

69. H. Ryssel, G. Prinke, K. Haberger, K. Hoffmann, K. Müller, and R. Henkelmann, “Range Parameters of BoronImplanted into Silicon,” Appl.Phys.A, vol. 24, pp. 39-43, 1981.


70. G. Schumicki and P. Seegebrecht, Prozeßtechnologie, Springer, 1991.

71. S. Selberherr, Analysis and Simulation of Semiconductor Devices, Springer, 1984.

72. Semiconductor Industry Association, The National Technology Roadmap for Semiconductors, 1999.

73. A. Simionescu, Monte-Carlo-Simulation der Ionenimplantation in kristallinem Silizium, Dissertation, TechnischeUniversität Wien, 1995.

74. A. Simionescu, S. Herzog, G. Hobler, R. Schork, J. Lorenz, C. Tian, and G. Stingeder, “Modeling of ElectronicStopping and Damage Accumulation during Arsenic Implantation in Silicon,” Nuclear Instruments and Methodsin Physics Research B, vol. 100, no. 4, pp. 483 - 489, 1995.

75. A. Simionescu, G. Hobler, S. Bogen, L. Frey, and H. Ryssel, “Model for the Electronic Stopping Power ofChanneled Ions in Silicon around the Stopping Power Maximum,” Nucl.Instr.Meth.B, vol. 106, pp. 47-50, 1995.

76. M. Snir, S. Otto, S. Huss-Lederman, D. Walker, and J. Dongarra, MPI–The Complete Reference, The MPI Core,vol. 1, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 2nd ed., 1998.

77. A. Sommerfeld, “Asymptotische Integration der Differentialgleichung des Thomas-Fermischen Atoms,” Z.Phys.,vol. 78, pp. 283-309, 1932.

78. H. Stippel, Simulation der Ionen-Implantation, Dissertation, Technische Universität Wien, 1993.

79. H. Stippel and S. Selberherr, “Monte Carlo Simulation of Ion Implantation for Three-Dimensional StructuresUsing an Octree,” IEICE Trans.Electronics, vol. E77-C, no. 2, pp. 118-123, 1994.

80. K. Suzuki, R. Sudo, and T. Feudel, “Simple Analytical Expression for Dose Dependent Ion-Implanted Sb Profilesusing a Joined Half Gaussian Function and One with Exponential Tail,” Solid-State Electron., vol. 42, no. 3, pp.463-465, 1998.

81. K. Suzuki, R. Sudo, T. Freudel, and W. Fichtner, “Compact and Comprehensive Database for Ion-Implanted AsProfiles,” IEEE Trans.Electron Devices, vol. 47, no. 1, pp. 44-49, 1985.

82. K. Suzuki, R. Sudo, Y. Tada, M. Tomotani, Th. Feudel, and W. Fichtner, “Comprehensive Analytical Expressionfor Dose Dependent Ion-Implanted Impurity Concentration Profiles,” Solid-State Electron., vol. 42, no. 9, pp.1671-1678, 1998.

83. S.M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, Wiley, New York, second ed., 1981.

84. K. Tabatabaie-Alavi and I. W. Smith, “Channeling, Exponential Tails and Analytical Modeling of Si Implantsinto GaAs,” IEEE Trans.Electron Devices, vol. 37, no. 1, pp. 96-106, 1990.

85. S. Tian, M.F. Morris, S.J. Morris, B. Obradovic, G. Wang, Al F. Tasch, and Ch.M. Snell, “A Detailed PhysicalModel for Ion Implant Induced Damage in Silicon,” IEEE Trans.Electron Devices, vol. 45, no. 6, pp. 1226-1238,1998.

86. S. Tian, S.J. Morris, M. Morris, B. Obradovic, and A.F. Tasch, “Monte Carlo Simulation of Ion ImplantationDamage Process in Silicon,” In Int.Electron Devices Meeting, pp. 713-716, 1996.

87. R.J. Wierzbicki, J. Lorenz, and A. Barthel, “Simulation of Ion Implantation into Multilayer Structures,” In A.Heuberger, H. Ryssel, and P. Lange, editors, Proc. 19th European Solid State Device Research Conference -ESSDERC’89, pp. 193-197, Springer, Berlin, 1989.

88. W.D. Wilson, L.G. Haggmark, and J.P. Biersack, “Calculations of Nuclear Stopping, Ranges, and Straggling inLow-Energy Region,” Physical Review B, vol. 15, no. 5, pp. 2458-2468, 1977.

89. K. Wimmer, Two-Dimensional Nonplanar Process Simulation, Dissertation, Technische Universität Wien, 1993.

90. J.F. Ziegler, editor, Ion Implantation: Science and Technology, Academic Press, Orlando, 1984.

91. J.F. Ziegler, Ion Implantation Science and Technology, Ion Beam Press, 1996.

92. J.F. Ziegler, J.P. Biersack, and U. Littmark, The Stopping and Range of Ions in Solids, vol. 1 of The Stopping andRanges of Ions in Matter, Pergamon Press, New York, 1985.

93. Ed. by G. BACCARANI AND M. RUDAN, Proc. 26th European Solid State Device Research Conference,Gif-sur-Yvette Cedex, France, 1996, Editions Frontieres.

94. R.E. Bank, D.J. Rose, “Global Approximate Newton Methods”, Numer.Math., Vol. 37, 1981, pp. 279-295.


95. S. BATRA, K. PARK, J. LIN, S. YOGANATHAN, J.C. LEE, S.K. BANERJEE, S.W. SUN, AND G. LUX, “Effectof Dopant Redistribution, Segregation, and Carrier Trapping in As-Implanted MOS Gates,” IEEE Trans.ElectronDevices, Vol. 37, No. 11, 1990, pp. 2322-2330.

96. R. BAUER, Numerische Berechnung von Kapazitäten in dreidimensionalen Verdrahtungsstrukturen, Dissertation,Technische Universität Wien, 1994.

97. E. BIERMANN, Gegenseitige Beeinflussung von Dotierung und Oxidation bei hochdotiertem Silizium, Disserta-tion, Technische Universität Berlin, 1990.

98. W. BOHMAYR, G. SCHROM, AND S. SELBERHERR, “Investigation of Channeling in Field Oxide Cornersby Three-Dimensional Monte Carlo Simulation of Ion Implantation,” In Proc. Fourth Int. Conf. on Solid-Stateand Integrated-Circuit Technology, Beijing, China, 1995, Ed. by G.L. BALDWIN, Z. LI, C.C. TSAI, AND J.ZHANG, pp. 304-306.

99. D.S. BONING AND P.K. MOZUMDER, “DOE/Opt: A System for Design of Experiments, Response SurfaceModeling, and Optimization Using Process and Device Simulation,” IEEE Trans.Semiconductor Manufacturing,Vol. 7, No. 2, 1994, pp. 233-244.

100. G. CHIN AND R.W. DUTTON, “A Tool Towards Integration of IC Process, Device, and Circuit Simulation,”IEEE J.Solid-State Circuits, Vol. 27, No. 3, March 1992, pp. 265-273.

101. B.E. DEAL AND A.S. GROVE, “General Relationship for the Thermal Oxidation of Silicon,” J.Appl.Phys., Vol.36, No. 12, 1965, pp. 3770-3778.

102. Y.J. VAN DER MEULEN, “Kinetics of Thermal Growth of Ultra-Thin Layers of SiO2 on Silicon. Part I:Experiment,” In Proc. Journal of Electrochemical Society, 1972, Vol. 119, p. 530.

103. P.M. FAHEY, P.B. GRIFFIN, AND J.D. PLUMMER, “Point Defects and Dopant Diffusion in Silicon,” Reviewof Modern Physics, Vol. 61, No. 2, 1989, pp. 289-384.

104. R.B. FAIR. Concentration Profiles of Diffused Dopants. In: Impurity Doping Processes in Silicon, Ed. by F.F.Y.WANG. North-Holland, Amsterdam, 1981, pp. 315-442.

105. Ed. by F. FASCHING, S. HALAMA, AND S. SELBERHERR. Technology CAD Systems, Wien, 1993, Springer.

106. MINIMOS 6 User’s Guide. C. FISCHER, P. HABASS, O. HEINREICHSBERGER, H. KOSINA, PH. LIN-DORFER, P. PICHLER, H. PÖTZL, C. SALA, A. SCHÜTZ, S. SELBERHERR, M. STIFTINGER, AND M.THURNER. Institut für Mikroelektronik, Technische Universität Wien, Austria, March 1994.

107. C. FISCHER AND S. SELBERHERR. Optimum Scaling of Non-Symmetric Jacobian Matrices for ThresholdPivoting Preconditioners. In: NUPAD V [NUP94], pp. 123-126.

108. P. FLEISCHMANN AND S. SELBERHERR. A New Approach to Fully Unstructured Three-dimensional Delau-nay Mesh Generation with Improved Element Quality. In Proceedings: International Conference on Simulationof Semiconductor Processes and Devices, Tokyo, Japan, 1996, Business Center for Academic Societies Japan,pp. 129-130.

109. A.F. FRANZ, G.A. FRANZ, S. SELBERHERR, C. RINGHOFER, AND P. MARKOWICH. Finite Boxes - A Gen-eralization of the Finite Difference Method Suitable for Semiconductor Device Simulation. IEEE Trans.ElectronDevices, Vol. ED-30, No. 9, 1983, pp. 1070-1082.

110. A. GÉRODOLLE AND J. PELLETIER. Two-Dimensional Aspects of Ion Enhanced Reactive Etching of Siliconwith SF6. In Proceedings: 19th European Solid State Device Research Conference - ESSDERC’89, Berlin, 1989,Ed. by A. HEUBERGER, H. RYSSEL, AND P. LANGE, Springer, pp. 206-209.

111. P.B. GRIFFIN AND C.S. RAFFERTY. A Viscuous Nitride Model for Nitride/Oxide Isolation Structures. InProceedings: Int.Electron Devices Meeting, 1990, pp. 741-744.

112. Ed. by W. HAHN AND A. LEHMANN. Proc. 9th European Simulation Symposium, Budapest, Hungary,October 1997, Society for Computer Simulation International.

113. S. HALAMA, F. FASCHING, C. FISCHER, H. KOSINA, E. LEITNER, CH. PICHLER, H. PIMINGSTORFER,H. PUCHNER, G. RIEGER, G. SCHROM, T. SIMLINGER, M. STIFTINGER, H. STIPPEL, E. STRASSER,W. TUPPA, K. WIMMER, AND S. SELBERHERR. The Viennese Integrated System for Technology CADApplications. In: Fasching et al. [Fas93], pp. 197-236.


114. M. HEINRICH, M. BUDIL, AND H.W. PÖTZL. Simulation of Arsenic and Boron Diffusion During Rapid Ther-mal Annealing in Silicon. In Proceedings: 20th European Solid State Device Research Conference - ESSDERC90, Bristol, 1990, Ed. by W. ECCLESTON AND P.J. ROSSER, IOP, pp. 205-208.

115. E.A. IRENE. The Effects of Trace Amounts of Water of the Thermal Oxidation of Silicon in Oxigen. InProceedings: Journal of Electrochemical Society, 1974, Vol. 121, p. 1630.

116. E.A. IRENE AND Y.J. VAN DER MEULEN. Silicon Oxidation Studies: Analysis of SiO2 Film Growth Data.In Proceedings: Journal of Electrochemical Society, 1976, Vol. 123, p. 1380.

117. E.A. IRENE, E. TIERNEY, AND J. ANGILELLO. A Viscous Flow Model to Explain the Appearance of HighDensity Thermal SiO2 at Low Oxidation Temperatures. J.Electrochem.Soc., Vol. 129, No. 11, 1982, pp. 2594-2597.

118. W. JOPPICH AND S. MIJALKOVIC. Multigrid Methods for Process Simulation. Springer, Wien, 1993.

119. N. KHALIL. ULSI Characterization with Technology Computer-Aided Design. Dissertation, Technische Uni-versität Wien, 1995.

120. N. KHALIL, J. FARICELLI, D. BELL, AND S. SELBERHERR. The Extraction of Two-Dimensional MOSTransistor Doping via Inverse Modeling. IEEE Electron Device Lett., Vol. 16, No. 1, 1995, pp. 17-19.

121. H. KIRCHAUER AND S. SELBERHERR. Rigorous Three-Dimensional Photolitography Simulation Over Non-planar Structures. In: Baccarani and Rudan [Bac96], pp. 347-350.

122. H. KIRCHAUER. Photolithography Simulation. Dissertation, Technische Universität Wien, 1998.

123. H.B. LEE. An Implementation of Gaussian Elimination for Sparse Systems of Linear Equations. In Proceedings:Sparse Matrices Symp., 1968, IBM, pp. 75-83.

124. E. LEITNER AND S. SELBERHERR. Three-Dimensional Grid Adaptation Using a Mixed-Element Decompo-sition Method. In: Ryssel and Pichler [Rys95], pp. 464-467.

125. E. LEITNER. Diffusionsprozesse in dreidimensionalen Strukturen. Dissertation, Technische Universität Wien,1997.

126. L.N. LIE, R.R. RAZOUK, AND B.E. DEAL. High Pressure Oxidation of Silicon in Dry Oxygen. In Proceedings:Journal of Electrochemical Society, 1981, Vol. 129, p. 2828.

127. J. LORENZ, J. PELKA, H. RYSSEL, A. SACHS, A. SEIDL, AND M. SVOBODA. COMPOSITE - A CompleteModeling Program of Silicon Technology. IEEE Trans.Computer-Aided Design, Vol. CAD-4, No. 4, 1985, pp.421-430.

128. M.M. MANDURAH, K.C. SARASWAT, AND C.R. HELMS. Dopant Segregation in Polycrystalline Silicon.J.Appl.Phys., Vol. 51, No. 11, 1980, pp. 5755-5763.

129. H. MATSUMOTO AND M. FUKUMA. A Two-Dimensional Si Oxidation Model Including Viscoelasticity. InProceedings: Int.Electron Devices Meeting, 1983, pp. 39-42.

130. J.J.H. MILLER AND S. WANG. A Tetrahedral Mixed Finite Element Method for the Stationary SemiconductorContinuity Equations. SIAM J.Numer.Anal., Vol. 31, No. 1, 1994, pp. 196-216.

131. R. MLEKUS AND S. SELBERHERR. An Object Oriented Approach to the Management of Models. In Pro-ceedings: Basics and Technology of Electronic Devices, Grossarl, Austria, March 1997, Ed. by K. RIEDLING,Gesellschaft für Mikroelektronik, pp. 53-56. Proc. of the Seminar “Grundlagen und Technologie ElektronischerBauelemente”.

132. G.E. MOORE. Cramming More Components onto Integrated Circuits. Proc.IEEE, Vol. 86, No. 1, 1998, pp.82-85.

133. E.H. NICOLLIAN AND J.R. BREWS. MOS (Metal Oxide Semiconductor) Physics and Technology. Wiley,1982.

134. Proc. Int. Workshop on Numerical Modeling of Processes and Devices for Integrated Circuits NUPAD V,Honolulu, 1994.

135. Ed. by E. ONATE, J. PERIAUX, AND A. SAMUELSSON. The Finite Element Method in the 1990’s. Springer,1991.


136. J.P. PENG, D. CHIDAMBARRAO, AND G.R. SRINIVASAN. NOVEL: A Nonlinear Viscoelastic Model forThermal Oxidation of Silicon. COMPEL, Vol. 10, No. 4, 1991, pp. 341-353.

137. CH. PICHLER AND S. SELBERHERR. Process Flow Representation within the VISTA Framework. In: Sel-berherr et al. [Sel93], pp. 25-28.

138. H. PIMINGSTORFER. Integration und Anwendung von Simulatoren in der CMOS-Entwicklung. Dissertation,Technische Universität Wien, 1993.

139. R. PLASUN, CH. PICHLER, T. SIMLINGER, AND S. SELBERHERR. Optimization Tasks in TechnologyCAD. In: Hahn and Lehmann [Hah97], pp. 445-449.

140. A. PONCET. Finite-Element Simulation of Local Oxidation of Silicon. IEEE Trans.Computer-Aided Design,Vol. CAD-4, No. 1, 1985, pp. 41-53.

141. H. PUCHNER AND S. SELBERHERR. Dynamic Grain-Growth and Static Clustering Effects on Dopant Dif-fusion in Polysilicon. In: NUPAD V [NUP94], pp. 109-112.

142. H. PUCHNER AND S. SELBERHERR. An Advanced Model for Dopant Diffusion in Polysilicon. IEEETrans.Electron Devices, Vol. 42, No. 10, 1995, pp. 1750-1755.

143. H. PUCHNER. Advanced Process Modeling for VLSI Technology. Dissertation, Technische Universität Wien,1996.

144. H. PUCHNER, P. NEARY, S. ARONOWITZ, AND S. SELBERHERR. A Transient Activation Model for Phos-phorus after Sub-Amorphizing Channeling Implants. In: Baccarani and Rudan [Bac96], pp. 157-160.

145. M. PUTTI AND C. CORDES. Finite element approximation of the diffusion operator on tetrahedra. In Pro-ceedings: Society for Industrial an Applied Mathematics, 1998, Vol. 19 of Journal of Scientific Computing, pp.1154-1168.

146. M. RADI. Simulation der Diffusion mit zellularen Automaten. Diplomarbeit, Technische Universität Wien, 1994.

147. C.S. RAFFERTY. Stress Effects in Silicon Oxidation - Simulation and Experiments. PhD Thesis, StanfordUniversity, 1990.

148. E. RANK AND U. WEINERT. A Simulation System for Diffusive Oxidation of Silicon: A Two-DimensionalFinite Element Approach. IEEE Trans.Computer-Aided Design, Vol. 9, No. 5, May 1990, pp. 543-550.

149. W.B. RICHARDSON, G.F. CAREY, AND B.J. MULVANEY. Modeling Phosphorus Diffusion in Three Dimen-sions. IEEE Trans.Computer-Aided Design, Vol. 11, No. 4, 1992, pp. 487-496.

150. Ed. by H. RYSSEL AND P. PICHLER. Simulation of Semiconductor Devices and Processes, Wien, 1995, Vol.6, Springer.

151. R.R. SCHALLER. Moore’s Law: Past, Present, and Future. IEEE Spectrum, June 1997, pp. 53-59.

152. Ed. by S. SELBERHERR, H. STIPPEL, AND E. STRASSER. Simulation of Semiconductor Devices andProcesses, Wien, 1993, Vol. 5, Springer.

153. V. SENEZ, S. BOZEK, AND B. BACCUS. 3-Dimensional Simulation of Thermal Diffusion and OxidationProcesses. In Proceedings: Int.Electron Devices Meeting, 1996, pp. 705-708.

154. H. STIPPEL, F. FASCHING, C. FISCHER, S. HALAMA, H. PIMINGSTORFER, W. TUPPA, K. WIMMER,AND S. SELBERHERR. Implementation of a TCAD Framework. In Proceedings: Proc. European SimulationMulticonference ESM 92, 1992, pp. 131-135.

155. H. STORK. TCAD: Will the Virtual Wafer Fab Become Reality? IEEE Circuits & Devices, September 1994, p.7.

156. T.Y. TAN, R. GAFITEANU, AND U.M. G¨OSELE. Diffusion Segregation Equation and Simulation of theDiffusion Segregation Phenomena. In Proceedings: Seventh International Symposium on Silicon MaterialsScience and Technology - Semiconductor Silicon, 1994, p. 920.

157. W. TAYLOR, U. GÖSELE, AND T.Y. TAN. Present Understanding of Point Defect Parameters and Diffusion inSilicon: An Overview. In Proceedings: Process Physics and Modelling in Semiconductor Technology, 1993, Ed.by G.R. SRINIVASAN, K. TANIGUCHI, AND C.S. MURTHY, The Electrochemical Society, pp. 3-19.


158. TMA TSUPREM-4, Two-Dimensional Process Simulation Program, Version 6.5 User’s Manual. TECHNOL-OGY MODELING ASSOCIATES, INC. Sunnyvale, California, May 1997.

159. H.A. VAN DER VORST. Iterative Solution Methods for Certain Sparse Linear Systems with a Non-SymmetricMatrix Arising from PDE-Problems. J.Comp.Phys., Vol. 44, 1981, pp. 1-19.

160. D.M.H. WALKER, J.K. KIBARIAN, C.S. KELLEN, AND A.J. STROJWAS. A TCAD Framework for Devel-opment and Manufacturing. In: Fasching et al. [Fas93], pp. 83-112.

161. D.W. YERGEAU, E.C. KAN, M.J. GANDER, AND R.W. DUTTON. ALAMODE: A Layered Model Devel-opement Environment. In: Ryssel and Pichler [Rys95], pp. 66-69.

162. G. ZANDLER, A. DI CARLO, K. KOMETER, P. LUGLI, P. VOGL, AND E. GORNIK. A Comparision ofMonte Carlo and Cellular Automata Approaches for Device Simulation. IEEE Electron Device Lett., Vol. 14,No. 2, 1993, pp. 77-53.

163. W. Fichtner, (ed. S.M. Sze). “Process Simulation”, VLSI Technology. McGraw-Hill, p. 422, 1988.

164. B.R. Penumalli, “A Comprehensive Two-Dimensional VLSI Process Simulation Program, BICEPS”, IEEE Trans.on Electron Dev. vol. ED-30(9), p. 986, Sept. 1983.

165. P.M. Fahey, “Point Defects and Dopant Diffusion in Silicon”, PhD Thesis, Integrated Circuits Laboratory,Department of Electrical Engineering, Stanford University, June 1985.

166. D. Mathiot, and J.C. Pfister. “Dopant Diffusion in Silicon: A Consistent View Involving NonequilibriumDefects”, J. of Appl. Physics, vol. 55, No. 10, p. 3518, May, 1984.

167. W. Shockley, and J.T. Last. “Statistics of the charged Distribution for a Localized Flow in a Semiconductor”,Phys. Rev. vol. 107, No. 2, p. 392, July, 1957.

168. S.M. Hu, “On Interstitial and Vacancy Concentration in Presence of Injection”, J. Appl. Phys., vol. 57, p. 1069,1085.

169. M.D. Giles, “Defect Coupled Diffusion at High Concentrations”, IEEE Trans. on CAD. vol. 8, No. 5, p. 460,1989.

170. G.D. Watkins, (ed. F.A.Huntley). “EPR Studies of the Lattice Vacancy and Low Temperature Damage Processesin Silicon”, Lattice Defects in Semiconductors. 1974, Inst. Phys. Conf. Ser. 23, London, 1975.

171. P.B. Griffin, and J.D. Plummer. “Process Physics Determining 2-D Impurity Profiles in VLSI Devices”, Inter-national Electron Devices Meeting., p. 522, Los Angeles, Dec. 1986

172. M.E. Law, and R.W. Dutton. “Verification of Analytic Point Defect Models Using SUPREM-IV”, IEEE Trans.on CAD. vol. 7, No. 2, p. 181, Feb. 1988.

173. M.E. Law, “Two Dimensional Numerical Simulation of Dopant Diffusion in Silicon”, PH.D. Thesis, Departmentof Electrical Engineering, Stanford University, Jan. 1988.

174. H.Z. Massoud, “Thermal Oxidation of Silicon in Dry Oxygen-Growth Kinetics and Charge Characterization inthe Thin Regime”, Technical Report, Stanford Electronic Laboratories, Stanford University, Jun. 1983.

175. C.P. Ho, and J.D. Plummer, J. Electrochem. Soc. Vol. 126, No. 9, p. 1576, Sep. 1979.

176. N. Guillemot, “A New Analytical Model of the Bird’s Beak”, IEEE Trans. on ED. vol. ED-34, No.5, May 1987.

177. D. Chin, “Two Dimensional Oxidation. Modeling and Applications”. Ph.D Thesis, Department of ElectricalEngineering, Stanford University, Jun. 1983.

178. H. Eyring, “Viscosity, Plasticity, and Diffusion as Examples of Absolute Reaction Rate”, J. Chem. Phys., v. 4,p. 283, 1936.

179. J. Lindhard, M. Scharff, and H.E. Schiott. “Range Concepts and Heavy Ion Ranges”, Kgl. Dan. Vid. Selsk.Mat.-fys. Medd Vol.33, No 14, 1963.

180. A.F. Burenkov, F.F. Komarov, M.A. Kumakhov, and M.M. Temkin. Tables of Ion Implantation Spatial Distribu-tions. Gordon & Breach Science Publishers, 1986.

181. A. F. Tasch, “An Improved Approach to Accurately Model Shallow B and BF2 Implants in Silicon”, J. Elec-trochem. Soc., Vol. 136, No. 3, March, 1989.


182. G.A.J. Amaratunga, K. Sabine, and A.G.R. Evans. “The Modeling of Ion Implantation in a Three-Layer StructureUsing the Method of Dose Matching”, IEEE Trans. Electron. Dev. Vol. ED-32, No. 9, p. 1899, Sep. 1985.

183. A.F. Burenkov, F.F. Komarov, and M.M. Temkin. “Analytical Calculation of Ion Implantation through MaskWindows” (in Russian), Microelektronika, vol. 16, No. 1, p. 15, Jan. 1987.

184. H.R. Yeager and R.W. Dutton. “An Approach to Solving Multi-Partial Diffusion Exhibiting Nonlinear StiffCoupling”, IEEE Trans. on Electron Dev. vol. ED-32, pp. 1964-1976, Oct.1985.

185. R.E. Bank, et.al. “Transient Simulation of Silicon Devices and Circuits”, IEEE Trans. on Electron Dev. vol.ED-32, pp. 1992, Oct. 1985.

186. H.C. Elman, “Preconditioned Conjugate Gradient Methods for Nonsymmetric Systems of Linear Equations”,Research Report, vol. 203, Apr. 1981.

187. B.E. Deal, “Thermal Oxidation Kinetics of Silicon in Pyrogenic H2O and 5% HCl/H2O Mixtures”, J. Elec-trochem. Soc. Vol. 125, No. 4, pp. 576-579, Apr. 1978.

188. R.R. Razouk, L.N. Lie, and B.E. Deal. “Kinetics of High Pressure Oxidation of Silicon in Pyrogenic Steam”, J.Electrochem. Soc. Vol. 128, No. 10, pp. 2214-2220, Oct. 1981.

189. D.W. Hess and B.E. Deal. “Kinetics of the Thermal Oxidation of Silicon in O2/HCl Mixtures”, J. Electrochem.Soc. Vol. 124, No. 5, pp. 735-739, May 1977.

190. C.P. Ho and J.D. Plummer. “Si/SiO2 Interface Oxidation Kinetics: A Physical Model for the Influence of HighSubstrate Doping Levels”, J. Electrochem. Soc. Vol. 126, pp. 1516-1522, Sept. 1979.

191. D.B. Kao, J.P. McVittie, W.D. Nix, and K.C. Saraswat. “Two Dimensional Thermal Oxidation of Silicon I.Experiments”, IEEE Trans. Electron. Dev. May 1987.

192. R.B. Fair, (ed.F.F.Y. Wang). “Impurity Doping Process in Silicon, North Holland, Amsterdam”, 1981.

193. H.F. Wolf,”Semiconductors”, Interscience, p. 361, 1971.

194. D.A. Antoniadis, A.G. Gonzalez, and R.W. Dutton. “Boron in Near-Intrinsic d and o Silicon under Inert andOxidizing Ambients Diffusion and Segregation”, J. Electrochem. Soc., Vol. 125, No. 5, pp. 813-819, May 1978.

195. P.H. Langer and J.I. Goldstein. “Boron Autodoping during Silane Epitaxy”, J. Electrochem. Soc., Vol. 124, No.4, pp. 591-598, Apr. 1977.

196. G.L. Vick and M. Whittle. “Solid Solubility and Diffusion Coefficients of Boron in Silicon”, J. Electrochem.Soc. Vol. 116, No. 8, pp. 1142-1144, Aug. 1969.

197. F.A. Trumbore “Solid Solubilites of Impurity Elements in Germanium and Silicon”, Bell System Tech.J. Vol. 39,pp. 205-233, Jan. 1960.

198. G.B. Bronner and J.D.Plummer. “Gettering of Gold in Silicon: A Tool for Understanding the Properties ofSilicon Interstitials”, J. Appl. Phys. Vol. 61, No.12, p. 5286, June, 1987.

199. P. Packan, Private Communication.

200. T.Y. Tan and U. Gosele. “Point Defects, Diffusion Processes, and Swirl Defect Formation in Silicon”, Appl.Phys. vol. A37, No.1, p.1, 1985.

201. E. Guerrero “Determination of the Retarded Diffusion of Antimony by SIMS Measurements and NumericalSimulations”, J. Electrochem. Soc. Vol. 133, No.10, p. 2182, Oct., 1986.

202. F.J. Morin and J.P. Maita. “Electrical Properties of Silicon Containing Arsenic and Boron”, Phys. Rev. Vol. 96,No. 1, p. 28, Oct. 1954.

203. R.B. Fair and J.C.C. Tsai. “A Quantitative Model for the Diffusion of Phosphorus in Silicon and the Emitter DipEffect”, J. Electrochem Soc., v. 124, No. 7, p. 1107; July 1977.

204. E.A. Irene “Residual Stress in Silicon Nitride Films”, J. Electronic Mat., vol. 5(3), p. 5; 1976. 49. S.M.Hu,”Film-edge-induces Stress in Silicon Substrates”, Applied Physics Letters, Vol. 32, p. 5; 1978.

205. S.P. Timoshenko and J.N. Goodier. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New York, 1970.

206. E. Kutludemirlioglu, “Oxidation Kinetics of Polycrystalline Silicon”, SRC Technical Report, No. G502-10,December, 1988.


207. B.J. Mulvaney, W.B. Richardson, T.L. Crandle, “PEPPER - A Process Simulator for VLSI”, IEEE Trans. onComputer-Aided Design, Vol. 8, No. 4, April 1989.

208. S.P. Murarka, Silicides for VLSI Applications, p. 60, Academic Press, Orlando, Florida 32887, 1983.

209. Conor S. Rafferty, Stress Effects in Silicon Oxidation - Simulation and Experiments, pp. 123-125, IntegratedCircuits Laboratory, Department of Electrical Engineering, Stanford University, Stanford, CA 94305, 1989.

210. S.E. Hansen and M. Deal, “SUPREM-IV.GS: Two-Dimensional Process Simulation for Silicon and GalliumArsenide”, Integrated Circuits Laboratory, Stanford University (1993).

211. P. Packan, Physical Modeling of Transient Diffusion Effects in Silicon Due to Surface Oxidation and Ion-Implantation, Ph.D. dissertation, Department of Electrical Engineering, Stanford University, Dec. 1990.

212. A.F. Burenkov, A.G. Kurganov, G.G. Konoplyanik, “Two-Dimensional Local Ion Implantation Distribution” (inRussian), Povekhnost (Surface Sciences), vol.8, p.52-58, 1989.

213. J. Lorenz, W. Kruger, A. Barthel “Simulation of the Lateral Spread of Implanted Ions: Theory”, NASECODE-VI,Ed. J.J.H.Miller, Boole Press (1989), p.513-520.

214. G. Hobler, E. Langer, and S. Selberherr, “Two-Dimensional Modeling of Ion Implantation with Spatial Moments”,Solid-State Electronics, 30, 445 (1987), IEDM 91, p.693.

215. C.P. Ho, J.D. Plummer, J.D. Meindl, and B.E. Deal, “Thermal Oxidation of Heavily Phosphorous-Doped Silicon,”Journal of the Electrochemical Society, Vol. 125, No.4, pp. 665-671, 1978.

216. B.E. Deal and M. Sklar, “Thermal Oxidation of Heavily Doped Silicon,” Journal of the Electrochemical Society,Vol. 112, No. 4, pp. 430-435, 1965.

217. E.A. Irene and D.W. Dong., “Silicon Oxidation Studies: The Oxidation of Heavily B- and P-Doped Single CrystalSilicon,” Journal of the Electrochemical Society, Vol. 125, No. 7, pp. 1146-1151, 1978.

218. S.M. Sze, VLSI Technology, Chapter 3, McGraw-Hill, New York, 1988.

219. .W. Shockley and J. L. Moll, “Solubility of Flaws in Heavily-Doped Semiconductors,” I, Vol. 119, No. 5, pp.1480-1482, 1960.

220. J.A. Van Vechten and C. D. Thurmond, “Entropy of Ionization and Temperature Variation of Ionization Levelsof Defects in Semiconductors,” Physical Review B, Vol. 14, No. 8, pp. 3539-3350, 1976.

221. F. Lau, “A Model for Phosphorus Segregration at the Silicon-Silicon Dioxide Interface”, Appl. Phys. A, Vol. 49,pp 671-675.

222. Y.-s. Oh, D. Ward, “A Calibrated Model for Trapping of Implanted Dopants at Material Interface DuringAnnealing, IEDM-98, pp. 509-512.

223. K. Rajendran, "Simulation of Boron Diffusion in Strained SiGe Epitaxial Layers", SYSPAD-2000, p.206.

224. R.F. Lever, "Boron diffusion across silicon-SiGe boundaries" J. of Appl. Phys. v.83, p.1988, 1998.

225. Yang, S. H., Lim, D., Morris, S., and Tasch, A. F., “A more efficient approach for Monte Carlo simulation ofdeeply-channeled implanted profiles in single-crystal silicon, in Proc.” NUPAD, 1994, pp. 97-100.

226. Hernández-Mangas, J. M., Arias, J., Jaraiz, M., Bailón, L., and Barbolla, J., “Algorithm for statistical noisereduction on three-dimensional ion implant simulations”. Nuclr. Instr. Meth. in Physics Research B, 174, 2001,p, 433-438.

Deo IISimulacija elektricnih

karakteristikakomponenata

5Sistem osnovnih

poluprovodnickih jednacina

Da bi se mogle precizno simulirati elektricne karakteristike poluprovodnickih komponenata najpre je potrebno definisatimatematicki model. Jednacine koje cine ovaj matematicki model se najcesce nazivaju osnovne poluprovodnickejednacine i one su izvedene iz Maxwell-ovih jednacina:

rot ~H = ~J +∂ ~D

∂t, (5.1)

rot ~E = −∂~B

∂t, (5.2)

div ~D = ρ, (5.3)

div ~B = 0. (5.4)~E i ~D su vektori elektricnog polja i dielektricnog pomeraja, a ~H i ~B su vektori magnetnog polja i magnetne indukcije,respektivno. ~J predstavlja gustinu struje, dok je ρ gustina naelektrisanja. ~x = (x, y, z) ∈ <3 su nezavisne prostornepromenljive, a t ≥ 0 vremenska promenljiva.

Pri izvodjenju osnovnih poluprovodnickih jednacina koriste se i neki osnovni izrazi iz fizicke elektronike koji seodnose na poluprovodnike, kao i neke pretpostavke - uproscenja, koje ne uticu bitnije na preciznost matematickogmodela.

5.1 POISSON-OVA JEDNACINA

Poisson-ova jednacina u sustini predstavlja trecu Maxwell-ovu jednacinu (5.3). Medjutim, ona se mora najpre malomodifikovati, kako bi se mogla direktno primeniti za resavanje poluprovodnickih problema. Najpre uvodimo relacijuizmedju vektora dielektricnog pomeraja ~D i elektricnog polja ~E:

~D = ε · ~E, (5.5)

gde je ε dielektricna konstanta medijuma za koju se uvodi pretpostavka da je vremenski nepromenljiva i homogenau celom domenu poluprovodnika, ili oksida ako je on prisutan. Realno, ε je tenzor, tj. 3×3 matrica, ali s obziromda smo pretpostavili da je materijal izotropan, tretiracemo ε kao skalarnu velicinu. Potrebno je napomenuti da je

63

64 SISTEM OSNOVNIH POLUPROVODNICKIH JEDNACINA

ova pretpostavka korektna za najveci broj simulacija karakteristika poluprovodnickih komponenata, sa izuzetkomsimulacije piezoelektricnih i feroelektricnih efekata.

U sledecem koraku, uvodimo vezu izmedju vektora elektricnog polja ~E i elektrostatickog potencijalaψ. Resavamo(5.4) uvodeci vektor polja ~A, uz podsecanje da je "div rot" bilo kog vektora jednako nuli:

~B = rot ~A div(rot ~A) = 0. (5.6)

Ovde je uvedena jos jedna pretpostavka da je brzina svetlosti velika u poredjenju sa brzinama nosilaca naelektrisanjakoji su od interesa za simulaciju poluprovodnicke strukture. Zamenom (5.6) u (5.2) dobijamo:

rot

~E +

∂ ~A

∂t

!= 0. (5.7)

Na osnovu elementarnog poznavanja diferencijalnog racuna, poznato je da se vektor polja ~z moze izraziti kao gradijentpolja, ako je rot~z=0, pa je onda vektor elektricnog polja:

~E = −∂~A

∂t− gradψ. (5.8)

Sada, zamenjujuci (5.8) u (5.5), a zatim dobijeni rezultat u (5.3) dobijamo:

~D = −ε · ∂~A

∂t− ε · gradψ, (5.9)

div

ε · ∂

~A

∂t

!+ div(ε · gradψ) = −ρ. (5.10)

Prvi clan u (5.10) je nula posto smo uveli pretpostavku da je ε homogeno, tako da konacno dobijamo Poisson-ovujednacinu:

div(ε · gradψ) = −ρ. (5.11)

Prostorna gustina naelektrisanja ρ u poluprovodniku (x ∈ Ω) se moze predstaviti kao:

ρ = q · (p− n+ C), (5.12)

gde je q elementarno naelektrisanje, p koncentracija pozitivno naelektrisanih supljina, n koncentracija negativnonaelektrisanih elektrona i C razlika koncentracija primesa (donora i akceptora). Uvodi se pretpostavka da je oksidelektricno neutralan, pa je u oksidu ρ = 0. Konacno, dobijamo Poisson-ovu jednacinu koja se koristi u simulacijielektricnih karakteristika poluprovodnickih komponenata:

div(gradψ) =q

ε· (n− p− C). (5.13)

5.2 JEDNACINE KONTINUITETA

Jednacine kontinuiteta se mogu direktno da izvedu iz prve Maxwell-ove jednacine (5.1). Primenjujuci operator "div"na ovu jednacinu dobijamo:

div(rot ~H) = div ~J +∂ρ

∂t= 0. (5.14)

Gustinu struje ~J podelimo na dve komponente:

~J = ~Jp + ~Jn, (5.15)

gde su ~Jn i ~Jp gustine struja elektrona i supljina, respektivno. Dalje uvodimo pretpostavku da su naelektrisanjau poluprovodniku, osim pokretnih naelektrisanja (elektroni i supljine), vremenski invarijantna, cime zanemarujemouticaje naelektrisanih defekata (vakancije, dislokacije, itd.) koji mogu promeniti svoje naelektrisanje u vremenu.

TRANSPORTNE JEDNACINE 65

Prema tome:∂C

∂t= 0, (5.16)

pa zamenjujuci (5.12) i (5.15) u (5.14) i imajuci u vidu (5.16) dobijamo:

div( ~Jp + ~Jn) + q · ∂∂t

(p− n) = 0. (5.17)

Dobijeni rezultat je predstavljen prilicno trivijalno, s obzirom da je uvedena pretpostavka da su izvori i sink ukupnestruje potpuno kompenzovani vremenskom promenom pokretnih nosilaca naelektrisanja. Da bi dobili dve odvojenejednacine kontinuiteta, jednu za elektrone, a drugu za supljine:

div ~Jn − q ·∂n

∂t= q ·R, (5.18)

div ~Jp + q · ∂p∂t

= q ·R, (5.19)

uvodimo parametar R koji se fizicki moze predstaviti kao razlika brzina generacije i rekombinacije parova elektron-supljina. Ako je R > 0 preovladava rekombinacija, a za R < 0 generacija.

5.3 TRANSPORTNE JEDNACINE

Izvodjenje transportnih jednacina nosilaca naelektrisanja u poluprovodniku je veoma slozeno, tako da cemo ovde priizvodjenju neke korake preskociti, a neke relacije jednostavno dati bez dokazivanja. Gustina struje naelektrisanihcestica se moze predstaviti kao proizvod naelektrisanja cestice, koncentracije cestica i srednje driftovske brzine nosi-laca:

~Jp = q · p · ~vp, (5.20)~Jn = −q · n · ~vn. (5.21)

Najveci problem predstavlja odredjivanje veze izmedju srednje brzine nosilaca i elektricnog polja i koncentracijenosilaca naelektrisanja. Da bi dobili informaciju o driftovskoj brzini, potrebno je opisati koncentraciju nosilacapomocu funkcije raspodele fν u faznom sedmodimenzionalom prostoru (koordinate ~x = (x, y, z)T , momenti ~k =(kx, ky, kz)

T i vreme t). Funkcija raspodele odredjuje koncentraciju nosilaca u jedinici zapremine faznog prostora,tako da se njenim integraljenjem po zapremini Vk dobija koncentracija nosilaca ν(~x, t), pri cemu ν moze biti n ili p,oznacavajuci elektrone ili supljine. Normalizacijom (5.22), fν se definise kao verovatnoca:

ν(~x, t) =1

4 · π3

ZVk

fν(~x,~k, t) · d~k. (5.22)

Funkcija raspodele ima osobinu da su njeni izvodi po t duz putanje cestice u faznom prostoru jednaki nuli, sto jeu skladu sa Liouvill-ovom teoremom:

d

dtfν(~xν(t),~kν(t), t) = 0. (5.23)

(5.23) u stvari predstavlja Boltzmann-ovu transportnu jednacinu u implicitnom obliku, pa se razvojem izvoda dobija:

∂fν

∂t+ gradkfν ·

d~kν

dt+ gradxfν ·

d~xν

dt= 0, (5.24)

pri cemu gradk predstavlja gradijentni operator u odnosu na koordinate momenta ~k, a gradx gradijentni operator uodnosu na prostorne koordinate ~x. (5.24) pokazuje da su varijacije funkcije raspodele u svakoj tacki faznog prostora(~x,~k) posledica kretanja cestice u normalnom prostoru (~x) i prostoru momenata (~k). Izvodi~kν po vremenu t pomnozeniPlank-ovom konstantom izjednacavaju sumu svih sila ~F :

d~kν

dt· h = ~Fν gde je h =

h

2π. (5.25)


pri cemu je:

h =h

2π. (5.26)

Ove sile se mogu podeliti u dve grupe:~Fν = ~Fνe + ~Fνi, (5.27)

gde ~Fνe obuhvata sile usled delovanja makroskopskog spoljasnjeg polja, a ~Fνi oznacava unutrasnje lokalne sile usledprisustva defekata i termickih vibracija kristalne resetke. Kako je nemoguce na osnovu zakona dinamike izracunatiuticaj unutrasnjih sila ~Fνi na funkciju raspodele, umesto njih se koriste statisticke zakonitosti. Uvodeci velicinuSν(~k,~k′) · d~k′ koja predstavlja verovatnocu po jedinici vremena da ce nosilac u stanju ~k biti rasejan u zapremini d~k′,mozemo da pisemo:

gradkfν ·~Fνi

h=

ZVk′

[fν(~x,~k, t) · (1− fν(~x,~k′, t)) · Sν(~k,~k′)

− fν(~x,~k′, t) · (1− fν(~x,~k, t)) · Sν(~k′,~k)] · d~k′, (5.28)

pri cemu se (5.28) naziva sudarni integral. Prvi clan podintegralne funkcije predstavlja broj nosilaca koji se iz stanja~k rasejava u elementu zapremine d~k′ u jedinici vremena. fν(~x,~k, t) predstavlja verovatnocu da se nosilac nalazi ustanju~k. [1−fν(~x,~k′, t)] je verovatnoca da je element zapremine d~k′ nezauzet i da zbog toga moze prihvatiti cesticu.Sν(~k,~k′) daje a priori verovatnocu da ce se rasejavanje dogoditi. U skladu sa ovim, drugi clan podintegralne funkcijedaje broj nosilaca rasejanih iz elementa zapremine d~k′ u stanje ~k u jedinici vremena.

Izvod ~xν po vremenu predstavlja grupnu brzinu nosilaca:

d~xν

dt= ~uν . (5.29)

Smenjujuci izraze (5.25) do (5.29) u (5.24), dobija se Boltzmann-ova transportna jednacina u eksplicitnom obliku:

∂fν

∂t+

~Fνe

h· gradkfν + ~uν · gradxfν =

= −Z

Vk′

[fν(~x,~k, t) · (1− fν(~x,~k′, t)) · Sν(~k,~k′)

− fν(~x,~k′, t) · (1− fν(~x,~k, t)) · Sν(~k′,~k)] · d~k′. (5.30)

Resavanje ove jednacine, da bi se odredile koncentracije nosilaca i driftovske brzine, predstavlja veoma tezak problem, sobzirom da se radi o integro-diferencijalnoj jednacini sa sedam nezavisnih promenljivih. Zbog toga se koriste iterativnemetode za njeno resavanje, koje su takodje veoma teske i komplikovane sa numericke tacke gledista, pa je zbog toganeophodno uvesti neke pretpostavke kako bi se procedura resavanja pojednostavila.

Alternativna mogucnost je da se Boltzmann-ova transportna jednacina resava Monte Carlo metodom, tj. da sesimulira kretanje svake od cestica posebno na mikroskopskom nivou, ali i ova metoda ima svojih nedostataka zbogtoga sto je veoma zahtevna u pogledu potrebnih racunarskih resursa i potrebnog CPU vremena za resavanje.

Zbog toga se, da bi se procedura resavanja pojednostavila, uvode odredjene pretpostavke:

• verovatnoca rasejavanja je nezavisna od spoljasnjih sila;

• vreme trajanja sudara je daleko krace od srednjeg vremena kretanja cestice izmedju dva sudarna procesa;

• interakcije nosilac-nosilac su zanemarljive;

• spoljasnje sile su konstantne u okviru dimenzija koje su kompatibilne sa fizickim dimenzijama talasnog paketakoji opisuje kretanje cestice.

Pretpostavljajuci da su svi procesi rasejavanja elasticni, Boltzmann-ova transportna jedna-cina se moze aproksimiratiobicnom diferencijalnom jednacinom:

∂fv

∂t+~Fνe

h· gradkfν + ~uν · gradxfν = −fν − fνo

τν. (5.31)

TRANSPORTNE JEDNACINE 67

Ako pretpostavimo da u trenutku t = 0 sve spoljasnje sile prestanu da deluju i da je fν homogeno, tada je:

∂fv

∂t+~Fνe

h· gradkfν + ~uν · gradxfν = 0, (5.32)

pa onda sledi da ce se funkcija raspodele menjati samo zbog uticaja sudara, tako da je:

∂fv

∂t+ = −fν − fνo

τν, (5.33)

pri cemu je resenje ove diferencijalne jednacine:

fν(~x,~k, t) = fνo(~x,~k) + (fν(~x,~k, 0)− fνo(~x,~k)) · e−t/τν . (5.34)

fνo je ravnotezna funkcija raspodele, dok je τν vreme relaksacije, tj. vreme potrebno da se cestica iz eksitovanogstanja vrati u stanje ravnoteze. Da bi dobili strujne jednacine, pomnozicemo relaciju (5.31) grupnom brzinom ~uν iintegraliti je po Vk, tako da dobijamo:

ZVk

~uν ·∂fν

∂t· d~k +

ZVk

~uν ·

~Fνe

h· gradkfν

!· d~k +

ZVk

~uν · (~uν · gradxfν) · d~k =

= −ZVk

~uν ·fν − fνo

τν· d~k. (5.35)

Za resavanje (5.35) koristicemo poznata resenja cetiri integrala koja se mogu pronaci u literaturi:ZVk

~uν ·∂fν

∂t· d~k = 4π3 · ∂

∂t(ν · ~vν), (5.36)

ZVk

~uν ·

~Fνe

h· gradkfν

!· d~k = −4π3 · ~Fνe ·

ν

m∗ν

, (5.37)

ZVk

~uν · (~uν · gradxfν) · d~k =4π3

m∗ν

· gradx(ν · kT ), (5.38)

ZVk

~uν ·fν − fνo

τν· d~k = 4π3 ν · ~vν

τν. (5.39)

~vν je driftovska brzina, m∗ν efektivna masa i τν srednje vreme sudara. Spoljasnje sile ~Fνe se mogu izraziti preko

elektricnog polja ~E, ukoliko zanemarimo uticaj magnetnog polja, tj. Lorentz-ove sile, kao:

~Fne = −q · ~E, ~Fpe = q · ~E. (5.40)

Takodje, u (5.38) je pretpostavljeno da je driftovska energija nosilaca zanemarljivo mala u poredjenju sa njihovomtermickom energijom, pa zbog toga ova relacija ne vazi za slucaj "vrucih" nosilaca.

Koristeci gornje relacije dobijamo diferencijalne jednacine za driftovske brzine elektrona i supljina:

∂

∂t(n · ~vn) +

q

m∗n

· n · ~E +1

m∗n

· grad(n · kT ) = −n · ~vn

τn, (5.41)

∂

∂t(p · ~vp) +

q

m∗p

· p · ~E +1

m∗p

· grad(p · kT ) = −p · ~vp

τp, (5.42)

koje nazalost nemaju resenje u zatvorenom obliku. Da bi dobili neko priblizno resenje, uvodimo efektivne pokretljivostielektrona i supljina µe i µp:

µn =q · τn

m∗n

, (5.43)


µp =q · τp

m∗p

. (5.44)

Posle mnozenja (5.41) i (5.42) odgovarajucim srednjim vremenima sudara τν i naelektrisanjem (+q ili −q), imajuciu vidu (5.20) i (5.21) konacno dobijamo:

τn ·∂ ~Jn

∂t+ ~Jn = q · µn · n

~E +

1

n· grad

n · kT

q

, (5.45)

τp ·∂ ~Jp

∂t+ ~Jp = q · µp · p

~E − 1

p· grad

p · kT

q

. (5.46)

Srednja vremena sudara τν su veoma mala i reda su desetog dela pikosekunde tako da se jednacine (5.45) i (5.46)mogu posmatrati kao singularno perturbacione, pa zbog toga njihova resenja razvijamo u redove po perturbacionomparametru a to je vreme sudara:

~Jn(τn) =

∞Xi=0

~Jni · (τn)i, (5.47)

~Jp(τp) =

∞Xi=0

~Jpi · (τp)i. (5.48)

Nulti clanovi redova (i = 0) su algebarske jednacine:

~Jno = q · µn · n~E +

1

n· grad

n · kT

q

, (5.49)

~Jpo = q · µp · p~E − 1

p· grad

p · kT

q

, (5.50)

tako da je:~Jn = ~Jno +O(τn), (5.51)~Jp = ~Jpo +O(τp). (5.52)

Ako sada pretpostavimo da je temperatura resetke konstantna (T =const.) i uvedemo Einstein-ove relacije:

Dn = µn ·kT

q, (5.53)

Dp = µp ·kT

q, (5.54)

kako bi definisali difuzione koeficijente Dn i Dp, dobijamo strujne jednacine u dobro poznatom obliku kao sumudriftovske i difuzione komponente struje:

~Jn∼= q · n · µn · ~E + q ·Dn · gradn, (5.55)

~Jp∼= q · p · µp · ~E − q ·Dp · gradp. (5.56)

Na kraju, sumiracemo sve pretpostavke koje su uvedene pri izvodjenju ovih jednacina.

• Pretpostavljeno je da su svi procesi rasejavanja elasticni, sto znaci da je rasejavanje na optickim fononima,koje predstavlja osnovni mehanizam rasejavanja kod GaAs, zanemareno.

• Prostorne varijacije vremena sudara i zonske strukture je zanemareno sto podrazu-meva sporu promenu kon-centracije nosilaca.

• Zanemareni su efekti degeneracije pri aproksimaciji integrala rasejavanja.

• Zanemarene su prostorne varijacije spoljasnjih sila sto podrazumeva sporu promenu vektora elektricnog polja.

• Ignorise se uticaj Lorentz-ove sile s obzirom da je pretpostavljeno da je ~B = 0.

• Prostorne i vremenske varijacije temperature nosilaca su zanemarene, a takodje, pretpostavljeno je da sutemperature nosilaca i resetke jednake. Zbog toga je nekorektna simulacija difuzije "vrucih" nosilaca.

KONCENTRACIJA NOSILACA 69

• Pretpostavljen je parabolicni oblik energetskih zona, sto je dodatni razlog da se degenerisani poluprovodnicitretiraju nekorektno.

• Dimenzije poluprovodnika su beskonace. Kod realnih struktura funkcija raspodele se menja na veoma kom-pleksan i neregularan nacin u zavisnosti od granica strukture i eventualno prisutnih kontakata i medjupovrsina.

5.4 KONCENTRACIJA NOSILACA

Da bi dobijeni rezultati simulacije bili kvalitativno i kvantitativno korektni neophodni su precizni modeli za odred-jivanje koncentracije nosilaca u poluprovodnickim strukturama. Zbog toga cemo najpre razmotriti klasicne modeleza modeliranje koncentracije nosilaca. Pretpostavljajuci parabolicnu i izotropnu zonsku strukturu poluprovodnika,gustina mogucih stanja u provodnoj i valentnoj zoni u funkciji energije se moze predstaviti kao:

ρc(E) =4π · (2 ·m∗

n)3/2

h3

√E − Ec, (5.57)

ρv(E) =4π · (2 ·m∗

p)3/2

h3

√Ev − E. (5.58)

Ec i Ev predstavljaju energije dna provodne i vrha valentne zone, i njihova razlika je jednaka sirini zabranjene zoneEg = Ec − Ev . Sirina zabranjene zone zavisi od temperature i u slucaju silicijuma se moze dosta dobro modeliratiizrazom:

Eg = 1.17eV −7.02 · 10−4eV ·

TK

21108 +

TK

, (5.59)

ili

Eg = 1.1785eV − 9.025 · 10−5eV ·T

K

− 3.05 · 10−7eV ·

T

K

2

. (5.60)

Sirine zabranjene zone osnovnih nedopiranih poluprovodnickih materijala na temperaturi od 300K date su u Tabeli 5.1.

Tabela 5.1 Sirine zabranjene zone osnovnih nedopiranih poluprovodnickih materijala naT=300K.

Poluprovodnik Eg [eV] dEg/dT [eVK−1]

Si 1.12 -2.7· 10−4

GaAs 1.35 -5.0· 10−4

Ge 0.67 -3.7· 10−4

Temperaturna zavisnost efektivnih masa elektrona i supljina modelira se polinomima, pri cemu su vrednosti koefi-cijenata fitovani na osnovu eksperimentalno dobijenih rezultata:

m∗n = mo ·

1.045 + 4.5 · 10−4 ·

T

K

, (5.61)

m∗p = mo ·

0.532 + 1.4 · 10−3 ·

T

K

− 1.48 · 10−6 ·

T

K

2!. (5.62)

Vrednosti efektivnih masa osnovnih nedopiranih poluprovodnickih materijala na T=300K su date u Tabeli 5.2.


Tabela 5.2 Vrednosti efektivnih masa osnovnih nedopiranih poluprovodnickih materijala naT=300K.

Poluprovodnik m∗n/m0 m∗

p/m0

Si 1.18 0.5GaAs 0.068 0.5Ge 0.55 0.3

Da bi dobili izraze za koncentracije nosilaca potrebno je integraliti po energiji funkciju gustine stanja pomnozenuodgovarajucom funkcijom raspodele:

n =

∞ZEc

ρc(E) · fn(E) · dE, (5.63)

p =

EvZ∞

ρv(E) · fp(E) · dE, (5.64)

gde se za funkcije raspodela fn(E) i fp(E) uzimaju Fermi-jeve funkcije:

fn(E) =1

1 + exp

E−Efn

kT

, (5.65)

fp(E) =1

1 + exp

Efp−E

kT

. (5.66)

Efn i Efp su Fermi-jeve energije elektrona i supljina, respektivno. Koriscenjem Fermi-jevih integrala:

F1/2 =

∞Z0

√y

1 + ey−x· dy, (5.67)

(5.63) i (5.64) postaju:

n = Nc ·2√π· F1/2

Efn − Ec

kT

, (5.68)

p = Nv ·2√π· F1/2

Ev − Efp

kT

. (5.69)

Nc i Nv predstavljaju efektivne gustine stanja u provodnoj i valentnoj zoni:

Nc = 2 ·

2π · kT ·m∗n

h2

3/2

, (5.70)

Nv = 2 ·

2π · kT ·m∗p

h2

3/2

, (5.71)

dok je F1/2(x), kao sto je vec receno, Fermijev integral koji na zalost nema resenje u zatvorenoj formi. Postojivise nacina za aproksimaciju ovog integrala, pri cemu je, sa stanovista tacnosti, najprihvatljivija tzv. asimptotska iracionalna Chebyshev-ljeva aproksimacija. Primenom ove aproksimacije dobija se:

n = Nc · expEfn − Ec

kT

, (5.72)

KONCENTRACIJA NOSILACA 71

p = Nv · expEv − Efp

kT

. (5.73)

U cilju potpunog razumevanja izraza za koncentraciju nosilaca neophodno je precizno definisati Ec, Ev i Fermijeveenergije Efn i Efp. Ivice zabranjene zone se mogu predstaviti kao:

Ec = Eco − δEc − q · ψ, (5.74)

Ev = Evo − δEv − q · ψ. (5.75)

Eco i Evo su energije koje odgovaraju dnu provodne i vrhu valentne zone kod intrinsicnog poluprovodnika. δEc iδEv su pomeraji ivica zabranjene zone usled prisustva primesa u poluprovodniku, dok je ψ, kao i do sada potencijal.

Fermijeve energije Efn i Efp se mogu predstaviti kao:

Efn = Ei − q · ϕn, (5.76)

Efp = Ei − q · ϕp, (5.77)

gde suϕn iϕp kvazi-Fermijevi potencijali elektrona i supljina koji opisuju devijaciju odgovarajucih funkcija raspodeleu odnosu na ravnotezno stanje. Vazno je napomenuti da je samo razlika izmedju kvazi-Fermijevih potencijala ielektrostatickog potencijala relevantna za koncentraciju nosilaca. Definisacemo da je elektrostaticki potencijal jednaknuli za intrinsicni poluprovodnik kada su funkcije raspodele u ravnotezi, pa prema tome Ei predstavlja Fermijevuenergiju intrinsicnog poluprovodnika. Koristeci gore navedene izraze, koncentracije elektrona i supljina mozemonapisati kao:

n = Nc · expEi − Eco + δEco

kT

· exp

q · (ψ − ϕn)

kT

, (5.78)

p = Nv · expEvo + δEvo − Ei

kT

· exp

q · (ϕp − ψ)

kT

. (5.79)

Poisson-ova jednacina u odsustvu primesa i spoljasnjih sila dobija trivijalni oblik:

p(ψ = ϕn = 0)− n(ψ = ϕp = 0) = 0, (5.80)

pa se primenjujuci ovaj izraz dobija da je:

Nc · expEi − Ec

kT

= Nv · exp

Ev − Ei

kT

, (5.81)

odakle se veoma jednostavno moze izracunati intrinsicna Fermijeva energija Ei, odnosno odredjujemo razliku Ei ijedne granice zabranjene zone:

Ei − Ec =kT

2· lnNv

Nc

− Eg

2. (5.82)

Kada uslov (5.80) nije ispunjen, da bi odredili Ei neophodno je resiti:

Nc · F1/2

Ei − Ec

kT

= Nv · F1/2

Ev − Ei

kT

(5.83)

primenom neke od numerickih metoda. Medjutim, kod skoro svih poluprovodnika Ei se nalazi na sredini zabranjenezone, udaljeno od obe granice zabranjene zone. U najvecem broju aplikacija pogodno je definisati tzv. intrinsicnukoncentraciju nosilacani, kao geometrijsku sredinu koncentracija nosilaca u poluprovodniku koji se nalazi u ravnotezi:

ni =√n · p, (5.84)

pri cemu ovaj izraz vazi i u slucaju kada su u poluprovodniku prisutni defekti. Pod pretpostavkom da za nosiocenaelektrisanja vazi Boltzmann-ova statistika, ni je moguce izracunati kao:

ni =√Nc ·Nv · exp

− Eg

2 · kT

. (5.85)


Konacno, izrazi za koncentraciju elektrona i supljina se mogu napisati u dobro poznatoj i opste prihvacenoj formi, ufunkciji 5 parametara: intrinsicne koncentracije nosilaca ni, elektrostatickog potencijala ψ, kvazi-Fermijevih poten-cijala ϕn i ϕp i temperature T :

n = ni · expq · (ψ − ϕn

k · T

, (5.86)

p = ni · expq · (ϕp − ψ

k · T

. (5.87)

U prisustvu primesa iz Poisson-ove jednacine sada mozemo da izracunamo tzv. ugradjeni ("built-in") potencijalψb

za koji se pomeraju Fermijeve energijeEfn iEfp. Pri ovom izracunavanju se uvodi pretpostavka da je poluprovodnikhomogeno dopiran i da nema spoljasnjih uticaja. Tada je Laplasijan elektrostatickog potencijala jednak nuli, pa je,pod pretpostavkom da vazi Boltzmann-ova statistika, Poisson-ova jednacina:

ni · exp−q · ψb

kT

− ni · exp

q · ψb

kT

+N+

D −N−A = 0. (5.88)

Pretpostavicemo da se fiksna naelektrisanja C sastoje samo od jonizovanih donora N+D i jonizovanih akceptora N−

A :

C = N+D −N

−A , (5.89)

pa se onda iz (5.88) ugradjeni potencijal moze predstaviti kao:

ψb =kT

q· arsinh

N+

D −N−A

2 · ni

. (5.90)

Ukoliko u poluprovodniku jedan tip primesa dominira u odnosu na drugi, ovaj izraz se moze dodatno pojednostaviti:

N+D >> N−

A −→ ψb∼=kT

q· lnN+

D

ni

, (5.91)

N−A >> N+

D −→ ψb∼= −kT

q· lnN−

A

ni

. (5.92)

Medjutim, pretpostavka da Boltzmann-ova statistika vazi ne stoji u slucajevima kada je koncentracija nosilaca visoka,zbog toga sto se u ovom slucaju Fermijeve energije Efn i Efp pomeraju preko granica zabranjene zone. U ovomslucaju, da bi se dobili korektni rezultati pri simulaciji elektricnih karakteristika komponenata, neophodno je da seugradjeni potencijal ψb odredjuje iz daleko kompleksnijeg izraza:

Nv ·2√π· F1/2

Ev − Efp

kT

−Nc ·

2√π· F1/2

Efn − Ec

kT

+N+

D −N−A = 0, (5.93)

sto ce biti razmatrano u okviru drugog kursa.

5.5 JEDNACINA PROVODJENJA TOPLOTE

Simulacija snaznih poluprovodnickih komponenata veoma cesto zahteva razmatranje elektrotermickih fenomena, tj.uticaja povisene temperature, usled zagrevanja, na njihove elektricne karakteristike. Naime, zbog povecane disipacijedolazi do povecanja temperature u nekim oblastima komponente i ukoliko se komponenta ne hladi moze doci doostecenja komponente i nepovratnih promena njenih elektricnih karakteristika, pa cak i do otkaza komponente. Zbogtoga je veoma vazno simulirati ovaj efekat i pri projektovanju komponente voditi racuna o njenom hladjenju, tj.odvodjenju viska toplote i uspostavljanju ravnoteznog stanja u kojem komponenta stabilno i pouzdano radi. Da bi seovi efekti mogli ukljuciti u simulaciju, neophodno je da se u sistem osnovnih poluprovodnickih jednacina ukljuci ijednacina provodjenja toplote:

ρ · c · ∂T∂t−H = divk(T ) · gradT. (5.94)

JEDNACINA PROVODJENJA TOPLOTE 73

ρ i c predstavljaju specificnu gustinu i specificnu toplotu materijala, u ovom slucaju je to najcesce silicijum. Vred-nosti ovih parametara, za materijale koji se najcesce koriste u poluprovodnickoj tehnologiji su date u Tabeli 5.3.Temperaturna zavisnost ρ i c se u ovom slucaju zanemaruje. k(T ) i H predstavljaju termicku provodnost i lokalno

Tabela 5.3 Vrednosti ρ i c na T=300K.

Materijal c [m2s−2K−1] ρ [VAs−3m−5]

Si 703 2328SiO2 782 2650Si3N4 787 3440GaAs 351 5316Ge 322 5323

generisanu toplotu, a njihove modele cemo razmatrati nesto kasnije.Samo odredjivanje raspodele temperature u domenu simulacije bez razmatranja uticaja temperaturnog gradijenta

na vrednost struje je veoma gruba aproksimacija i zadovoljava samo u vrlo ogranicenom broju aplikacija. Detaljnijaanaliza zahteva da se u jednacine gustine struja elektrona i supljina dodaju clanovi, tako da dobijamo:

~Jn = q · n · µn · ~E + q cotDn · gradn+ q · n ·DTn · gradT, (5.95)

~Jp = q · p · µp · ~E − q cotDp · gradp− q · p ·DTp · gradT. (5.96)

Poslednji clanovi u gornjim izrazima predstavljaju driftovsku komponentu ciji je uzrok temperaturni gradijent. Termickidifuzioni koeficijenti DT

n i DTp su dati kao:

DTn∼=

Dn

2 · T , (5.97)

DTp∼=

Dp

2 · T . (5.98)

Konacno, nakon svih ovih razmatranja i izvodjenja dobijamo kompletan sistem osnovnih poluprovodnickih jednacina,koji predstavlja "srce" svakog programa koji se koristi za simulaciju elektricnih karakteristika poluprovodnickih kom-ponenata:

div(gradψ) =q

ε· (n− p− C), (5.99)

div ~Jn − q ·∂n

∂t= q ·R, (5.100)

div ~Jp + q · ∂p∂t

= −q ·R, (5.101)

~Jn = q · n · µn · ~En + q ·Dn · gradn, (5.102)~Jp = q · p · µp · ~Ep − q ·Dp · gradp, (5.103)

ρ · c · ∂T∂t−H = divk(T ) · gradT. (5.104)

Resavanjem gore navedenog sistema dobijamo raspodele razlicitih fizickih velicina u domenu simulacije sto nampomaze da bolje shvatimo kako komponente rade i da uocimo neke nepravilnosti koje su posledica loseg dizajna,a mogu da dovedu do otkaza komponente. Koriscenjem simulatora ove greske je moguce eliminisati u najranijojfazi projektovanja sto bitno utice na pojeftinjenje komponente, tj. celog sistema, i znacajno ubrzava proces razvoja iprojektovanja novih tehnologija i uredjaja.

6Modeli fizickih parametara

Osnovne poluprovodnicke jednacine, cije je izvodjenje detaljno objasnjeno u prethodnom poglavlju, predstavljaju setdiferencijalnih jednacina koje je neophodno resiti da bi odredili raspodele odredjenih velicina u definisanom domenusimulacije i na taj nacin simulirali elektricne karakteristike poluprovodnickih komponenata. Informaciju o geometrijikomponente i raspodelu primesa u domenu simulacije, koja takodje predstavlja jedan od fizickih parametara, dobijamosimulacijom tehnoloskog niza za proizvodnju komponente. Pored toga, postoji jos nekoliko fizickih parametarapovezanih sa osnovnim poluprovodnickim jednacinama. Kvantitativna, pa cak i kvalitativna simulacija elektricnihkarakteristika zahteva precizne i uz to primenljive modele ovih parametara.

U ovom poglavlju ce biti reci o modelima pokretljivosti elektrona i supljina u polupro-vodniku. Posebna paznjaje posvecena preciznosti ovih modela s obzirom da oni visest-ruko uticu na struju kroz strukturu, a to je jedan odnajvaznijih rezultata koje nam simulacija daje. Takodje, dat je i pregled novih, savremenih modela pokretljivosti kojisu ugradjeni u TCAD softverske pakete. Modeli procesa generacije i rekombinacije nosilaca, koji dominantno uticuna parazitne struje i probojne karakteristike komponenata su razmatrani u nastavku ovog poglavlja.

6.1 MODELIRANJE POKRETLJIVOSTI NOSILACA

U proceduri izvodjenja izraza za struju, koja je opisana u prethodnom poglavlju, uvodimo vremena relaksacije τn i τp,koja odredjuju srednje vreme izmedju dva rasejavanja elektrona, odnosno supljina. Takodje, definisemo i pokretljivostnosilaca µn i µp, s obzirom da je ovaj pojam intuitivno daleko lakse razumeti. Sada cemo razmotriti razlicitemehanizme koji uticu na pokretljivost nosilaca. Elektroni i supljine se u poluprovodniku rasejavaju na termicimvibracijama resetke, jonizovanim primesama, neutralnim primesama, defektima (vakancije, intersticije i dislokacije),povrsinama i medjupovrsinama, kao i na drugim prisutnim elektronima i supljinama. Nazalost, najveci broj ovihmehanizama, a posebno njihov medjusobni uticaj, je veoma komplikovan i samim tim tezak za modeliranje pa cemonajpre razmotriti nekoliko dobro poznatih pristupa koji se baziraju na fenomenoloskim izrazima koji su izvedeni naosnovu eksperimentalno dobijenih rezultata.

6.1.1 Rasejavanje na termickim vibracijama kristalne resetke

Osnovni proces koji utice na rasejavanje nosilaca je njihova interakcija sa termicki uzrokovanim vibracijama atomau kristalnoj resetki poluprovodnika. Ove vibracije su zavisne od temperature tako da se sa povecanjem tempera-ture pojacavaju vibracije sto dovodi do smanjenja pokretljivosti elektrona i supljina. Teorijski izvedeni izrazi za

75

76 MODELI FIZICKIH PARAMETARA

pokretljivosti µLn i µL

p su veoma slozeni:

µLn =

2√

2π

3· q · h4 · C1

(m∗n)5/2 · E2

ac · (kT )3/2, (6.1)

µLp =

2√

2π

3· q · h4 · C1

(m∗p)5/2 · E2

av · (kT )3/2. (6.2)

C1 je srednja longitudinalna konstanta elasticnosti poluprovodnika i vrednost joj je reda 105VAScm−3. Eac i Eav sukonstante deformacionog potencijala provodne i valentne zone, respektivno, i njihova vrednost iznosi nekoliko eV. Zapotrebe simulacije se umesto ovih komplikovanih koriste jednostavni izrazi:

µLn = µo

n ·

T

300K

−αn

, (6.3)

µLp = µo

p ·

T

300K

−αp

, (6.4)

pri cemu se temperatura daje u kelvinovim stepenima, a vrednosti konstantiµLn , µL

p ,αn iαp se odredjuju fitovanjem naosnovu eksperimentalno odredjenih vrednosti pokretljivosti. U publikovanim radovima vrednosti ovih koeficijenatasu razlicite, a ovde su u tabeli 6.1 date njihove maksimalne i minimalne vrednosti.

Tabela 6.1 Maksimalne i minimalne vrednosti parametara.

Materijal min max min max min max min maxµo

n µon µo

p µop αn αn αp αp[

cm2

Vs

] [cm2

Vs

] [cm2

Vs

] [cm2

Vs

]Si 1240 1600 438 600 2.2 2.6 2.2 2.7

GaAs 7500 9000 250 500 1 1 2.1 2.1

Ge 2694 3900 1800 1900 1.6 1.66 1.3 2.33

Sah i njegovi saradnici su predlozili nesto drugaciji model kojim se moze odrediti vrednost pokretljivosti nosilacau silicijumu u temperaturnom opsegu od 4.2 do 600K:

µLn =

1

1

4195cm2

Vs ·

T

300K

!−1.5 +1

2153cm2

Vs ·

T

300K

!−3.13

, (6.5)

µLn =

1

1

2502cm2

Vs ·

T

300K

!−1.5 +1

591cm2

Vs ·

T

300K

!−3.25

. (6.6)

Ovaj model kombinuje rasejavanje nosilaca na akusticnim i optickim fononima kristalne resetke koristeci jednostavnoMathiessen-ovo pravilo. Sa stanovista simulacije i ugradnje ovog modela u softverski paket, ne dobija se neko bitnijepoboljsanje dobijenih rezultata simulacije u pogledu tacnosti.

MODELIRANJE POKRETLJIVOSTI NOSILACA 77

6.1.2 Rasejavanje na jonizovanim primesama

Sledeci mehanizam je rasejavanje nosilaca na jonizovanim primesama. Prvi primenljivi model izveden na osnovuteorijskih istazivanja dali su Conwell i Weiskopf:

µIn,p =

64 · ε2 · (2kT )3/2

q3 · CI ·r

π

M∗n,p

· gCW

12π · ε · kTq2 · CI1/3

, (6.7)

gde je:

gCW (x) =1

ln(1 + x2). (6.8)

CI predstavlja sumu jonizovanih primesa pomnozenu njihovim naelektrisanjem:

CI =

nXi=1

|Zi| · Ci. (6.9)

Za najveci broj primesa koje se koriste u poluprovodnickim tehnologijamaZ = 1, osim u nekim slucajevima, kao sto jena primer proizvodnja solarnih celija gde se koristi cink koji ima dva akceptorska nivoa, pa kada je dvostruko jonizovanimamo da je Z = 2. Izraz (6.7) daje reciprocnu zavisnost pokretljivosti od ukupne koncentracije jonizovanih primesaza umereno visoke koncentracije, dok je u slucaju jako visokih koncentracija ova zavisnost nesto ublazena (∼ CI−1/3).Funkcijom gCW (x) modelira se uticaj susednih jonizovanih primesa koje zbog Coulomb-ovog potencijala "zaklanjaju"jedni druge, tako da postaju neaktivni kao centri rasejavanja. Brooks je donekle popravio ovaj model uzimajuci u obzirrasejavanje na slobodnim elektronima i supljinama:

µIn,p =

64 · ε2 · (2kT )3/2

q3 · CI ·r

π

m∗n,p

· gB

24 ·m∗

n,p · ε · (kT )2

q2 · h2 · (n+ p)

, (6.10)

pri cemu je:

gB(x) =1

ln(1 + x)−x

1 + x

. (6.11)

(6.10) daje dobre rezultate za umereno jako dopirane poluprovodnike (CI < 1019cm−3), dok za degenerisanepoluprovodnike jos uvek ne postoji dovoljno dobar model pokre-tljivosti. (6.7) i (6.10) daju priblizno slicne rezultatesve dok je koncentracija slobodnih nosilaca priblizno jednaka koncentraciji jonizovanih primesa. Kada je koncen-tracija slobodnih nosilaca znacajno manja, sto je slucaj kod kompenzovanih materijala i u oblasti osiromasenja, izraz(6.10) daje nize vrednosti pokretljivosti zbog cinjenice da je u tom slucaju rasejavanje na jonizovanim primesamamnogo efikasnije.

Da bi dobili efektivnu pokretljivost, neophodno je na neki nacin povezati dve komponente pokretljivosti koje suposledica rasejavanja na termickim vibracijama kristalne resetke i rasejavanja na jonizovanim primesama. S obziromda ova dva mehanizma rasejavanja nisu potpuno nezavisna ne moze se primeniti Mathiessen-ovo pravilo, vec se koristiizraz koji su u svom radu predlozili Debye i Conwell:

µLIn,p = µL

n,p ·1 + x2 · (Ci(x) · cos(x) + si(x) · sin(x))

, (6.12)

gde je:

x =

s6 · µL

n,p

µIn,p

, (6.13)

Ci(x) = −∞Z

x

cos(t)

t· dt, (6.14)

si(x) = −∞Z

x

sin(t)

t· dt. (6.15)


Ovaj model je veoma komplikovan za programiranje i ugradnju u simulator pa se zbog toga koristi daleko jednostavnijaaproksimacija:

µLIn,p = µL

n,p ·

0BBBBB@

1.025

1 +

2.126 ·

µLn,p

µIn,p

!0.715 − 0.025

1CCCCCA . (6.16)

Ovom aproksimacijom se odredjuje pokretljivost sa maksimalnom greskom od 2% ukoliko vazi:

µLn,p < 13.5 · µI

n,p, (6.17)

sto i nije neko ozbiljnije ogranicenje.Drugi pristup kombinovanog modeliranja pokretljivosti nosilaca usled ova dva mehanizma rasejavanja su predlozili

Caughey i Thomas, pri cemu su izraz:

µLIn,p = µmin

n,p +µL

n,p − µminn,p

1 +

CI

Crefn,p

!αn,p(6.18)

fitovali prema eksperimentalnim rezultatima. Numericke vrednosti parametara pokre-tljivosti za elektrone i supljineza Si na 300K, variraju u zavisnosti od autora publikovanih radova, a opseg njihovih promena tj. njihove minimalne imaksimalne vrednosti su date u tabelama 6.2 i 6.3.

Tabela 6.2 Opseg promene vrednosti parametara modela pokretljivosti elektrona usled rase-javanja na jonizovanim primesama.

min min min max max maxµmin

n αn Crefn µmin

n αn Crefn[

cm2

Vs

][cm−3]

[cm2

Vs

][cm−3]

52.2 0.711 8.5·1016 92 0.91 1.3·1017

Tabela 6.3 Opseg promene vrednosti parametara modela pokretljivosti supljina usled raseja-vanja na jonizovanim primesama.

min min min max max maxµmin

p αp Crefp µmin

p αp Crefp[

cm2

Vs

][cm−3]

[cm2

Vs

][cm−3]

47.7 0.61 6.3·1016 65 0.76 2.4·1017

Model koji su predlozili Scharfetter i Gummel za rasejavanje na jonizovanim primesama u silicijumu na T=300K,koji ima samo dva parametra i koji se veoma mnogo primenjuje, je:

µLIn,p =

µLn,pvuuut1 +CI

Crefn,p +

CI

Sn,p

, (6.19)


a vrednosti parametara su: Crefn = 3 · 1016cm−3, Sn = 350, Cref

p = 4 · 1016cm−3, Sp = 81.Konacno, dacemo i model koji je predlozio Sah sa saradnicima, koji kombinuje rasejavanje na jonizovanim prime-

sama i rasejavanje usled termickih vibracija kristalne resetke:

µIn = 90

cm2

Vs·

1 +2 · 1018cm−3

CI·

T

300K

, (6.20)

µIp = 45

cm2

Vs·

1 +1.2 · 1018cm−3

CI·

T

300K

, (6.21)

µLIn,p =

1

1

µLn,p

+1

µIn,p

, (6.22)

koji i pored ogranicenja o kojima je vec bilo reci koristi jednostavno Mathiessen-ovo pravilo. Za pokretljivostiµL

n,p se koriste izrazi (6.5) i (6.6). Ovaj jednostavan model daje veoma dobre rezultate u opsegu koncentracija(1011,1020)cm−3.

6.1.3 Rasejavanje nosilac-nosilac

Sledeci mehanizam koji cemo analizirati je rasejavanje nosilac-nosilac, koji je posebno vazan kod snaznih kompone-nata, s obzirom da kod njih, kada su u stanju provodjenja, koncentracija slobodnih nosilaca moze biti daleko iznadkoncentracije primesa. Zbog toga se umesto koncentracije jonizovanih primesa CI mora koristiti tzv. efektivnakoncentracija CIeff i pri tome se kao centri rasejavanje ne uzimaju samo jonizovane primese vec i koncentracijaslobodnih elektrona i supljina:

CIeff = 0.34 · CI + 0.66 · (n+ p). (6.23)

Adler je predlozio model dodavanjem jednog clana modelu koji su dali Caughey i Thomas, tako da dobijamo izraz:

µLICn,p = µmin

n,p +µL

n,p − µminn,p

1 +

CI

Crefn,p

!αn,p

+

√n · p

14 · Crefn,p

!αn,p. (6.24)

Sledeci pristup, koji je takodje predlozio Adler, je daleko precizniji. Ovde je rasejavanje nosilac-nosilac modeliranokao:

µC =1.428 · 1020

1

cmVs√n · p · ln (1 + 4.54 · 1011cm−2 · (n · p)−1/3)

, (6.25)

a onda je ono koriscenjem Mathiessen-ovog pravila kombinovano sa originalnim Caughey-Thomas-ovim modelom:

µLICn,p =

1

1

µLIn,p

+1

µCn,p

. (6.26)

Prakticno identican izraz Adler-ovom (6.25) predlozen je nesto kasnije, uz uzimanje u obzir i temperaturne zavisnostikoeficijenata:

µC =

1.04 · 10211

cmVs·

T

300K

!3/2

√n · p · ln

1 + 7.45 · 1013cm−2 ·

T

300K

!2

· (n · p)−1/3

! . (6.27)


6.1.4 Rasejavanje na neutralnim primesama

Rasejavanje nosilaca na neutralnim primesama nije toliko izrazeno na sobnoj temperaturi, tako da se veoma cesto zane-maruje. Medjutim, ovaj mehanizam postaje veoma bitan kada se radi o simulacijama na veoma niskim temperaurama(T<77K). Jedan od prvih modela pokretljivosti koji je davao ovu zavisnost je:

µNn,p =

q ·m∗n,p

20 · aB · h ·m0 · ε · CN. (6.28)

aB je Bohr-ov radijus (5.2917706·10−11m), dok je CN koncentracija neutralnih primesa. Izraz kojim se nestopreciznije modelira ovaj mehanizam rasejavanja:

µNn,p =

0.041 · q ·m∗n,p

aB · h ·m0 · ε · CN·

2

3·

sk · TENn,p

+1

3·rENn,p

k · T

!, (6.29)

gde je:

ENn,p = 0.71(eV) ·m∗

n,p

m0· ε0ε

2

, (6.30)

publikovan je tek nedavno, i njime se veoma dobro modelira temperaturna zavisnost na veoma niskim temperaturamaispod 50K. Kao i u prethodnim slucajevima, ova komponenta pokretljivosti sa ostalim mehanizmima rasejavanja jeukljucena pomocu Mathiessen-ovog pravila:

µLICNn,p =

1

1

µLICn,p

+1

µNn,p

. (6.31)

6.1.5 Saturacija driftovske brzine

Efekat koji veoma znacajno utice na pokretljivost nosilaca je saturacija brzine nosilaca u uslovima jakih elektricnihpolja. Kao sto je poznato, driftovska brzina se odredjuje kao proizvod pokretljivosti i komponente elektricnog poljau pravcu toka struje:

| ~υn| = −µ∗n ·~E · ~Jn ~Jn

, (6.32)

| ~υp| = µ∗p ·~E · ~Jp ~Jp

. (6.33)

Medjutim, navedeni izrazi vaze samo u slucaju kada je difuziona komponenta struje zanemarljivo mala. Zato jebolje umesto komponente elektricnog polja u pravcu toka struje koristiti gradijent odgovarajuceg kvazi-Fermijevogpotencijala:

| ~υn| = µ∗n · |gradϕn| , (6.34)

| ~υp| = µ∗p · |gradϕp| . (6.35)

Verovatno prvi izraz koji razmatra uticaj zagrevanje nosilaca na njihovu driftovsku brzinu, pa samim tim ipokretljivost, dao je jos davne 1951. godine Schockley:

µLICNEn =

µLICNnvuuut 1

2+ 1

2·

vuut1 + 3π8

µLICN

n · En

CS

!2

, (6.36)

gde je CS brzina longitudinalnih akusticnih fonona (∼ 1.66 · 106cms−1).


Drugi izraz koji se veoma mnogo koristi u simulaciji je:

µLICNEn =

µLICNn0

@1 +

En,p

Ecritn,p

!βn,p1A

1/βn,p. (6.37)

Vrednosti kriticnog polja Ecritn,p i parametra βn,p za silicijum na T=300K se mogu naci u velikom broju publikovanih

radova koji se bave ovim modelom, dok se njihova temperaturna zavisnost modelira pomocu izraza:

Ecritn = 6.98 · 103 V

cm·

T

300K

1.55

, βn = 1.11 ·

T

300K

0.66

, (6.38)

Ecritp = 1.80 · 104 V

cm·

T

300K

1.68

, βp = 1.21 ·

T

300K

0.17

. (6.39)

Jedan drugaciji pristup modeliranju ovog problema predlozili su Scharfetter i Gummel:

µLIE =µLIvuut1 + (µLI)2 ·

(E/(µL ·A))2

µL · E/(µL ·A) + F+

E

µL ·B

!2! . (6.40)

Za µLI se koristi izraz 6.19, dok su vrednosti parametara: An = 3.5 · 103V/cm, Fn = 8.8, Bn = 7.4 · 103V/cm,Ap = 6.1 · 103V/cm, Fp = 1.6 i Bp = 2.5 · 104V/cm. Ovaj model se cesto pise u malo drugacijem obliku:

µLIE =µLIvuut1 +

CI

Cref + CI/S+

(E/A)2

E/A+ F+

E

B

!2. (6.41)

Ovaj izraz je veoma pogodan za implementaciju u programe za simulaciju zbog toga sto se clanµL ·B moze predstavitikao saturaciona brzina koja je nezavisna od rasejavanja primesa, tako da se izvodjenjem za saturacione brzine dobijajuvrednosti:

υsatn = 1.04 · 107 cm

s, (6.42)

υsatp = 1.20 · 107 cm

s. (6.43)

Vrednosti ovih brzina su veoma temperaturno zavisne i mogu se modelirati izrazima:

υsatn = 107 cm

s·

T

300K

−0.87

, (6.44)

υsatp = 8.37 · 106 cm

s·

T

300K

−0.52

. (6.45)

Svakako jedan od modela koji se prvi pojavio i koji se veoma cesto koristi je onaj koji je predlozio Yamaguchi. Uovom modelu se koristi formula koju su dali Scharfetter i Gummel za rasejavanje nosilaca na jonizovanim primesama iredukciju pokretljivosti usled saturacije brzine, ali je dodat i faktor redukcije pokretljivosti zbog prisustva komponenteelektricnog polja normalne na tok struje:

µLIESn,p = µLIE

n,p · 1vuuut1 +

~E × ~Jn,p

Ecrit

n,p · ~Jn,p

, (6.46)


Slika 6.1 Mehanizmi rekombinacije nosilaca u poluprovodniku.

Slika 6.2 Generacija nosilaca usled apsorpcije svetlosti i jonizacije naelektrisanim cesticamavelike energije.

Slika 6.3 Udarna jonizacija i lavinska multiplikacija elektrona i supljina u prisustvu jakogelektricnog polja.

a vrednosti kriticnog polja za elektrone i supljine su:

Ecritn = 6.49 · 104 V

cm, Ecrit

p = 1.87 · 104.Vcm

(6.47)

Vecina ovde predstavljenih modela pokretljivosti je ugradjena u TCAD softverske pakete Silvaco i ISE, a njihovuticaj na rezultate simulacije, kao i pregled nekih novijih modela pokretljivosti ce biti razmatrani u trecem delu oveskripte gde su predstavljeni primeri simulacije.

6.2 MODELIRANJE GENERACIJE-REKOMBINACIJENOSILACA

Rekombinacija elektrona i supljina je proces u kojem dolazi do anihilacije oba nosioca, tj. elektron zauzima u jednom,ili iz vise koraka upraznjeno mesto. Usled razlike u energiji koju elektron ima pre i posle procesa, ovaj procesje pracen emisijom energije i u zavisnosti od toga kakva je ta emisija procesi rekombinacije se mogu podeliti naradijativne, kod kojih dolazi do emisije protona, i neradijativne kod kojih se oslobodjena energija u vidu kinetickeenergije predaje drugom elektronu. Druga klasifikacija rekombinacionih procesa je napravljena prema nacinu na kojise proces odvija, a vezano za energetske nivoe u zabranjenoj zoni poluprovodnika i cestice koje ucestvuju u procesu.Razliciti tipovi procesa rekombinacije nosilaca su prikazani na slici 6.1. Direktna ("band-to-band") rekombinacijase desava kada se elektron prebacuje iz provodne zone u valentnu zonu, i pri tome se rekombinuje sa supljinom.Ovaj direktan prelaz je tipican primer radijativne rekombinacije. Kod indirektne ("trap") rekombinacije se desavatzv. indirektan prelaz, pri cemu elektron iz provodne zone najpre biva zahvacen energetskim nivoom koji se nalazi uzabranjenoj zoni poluprovodnika, koji je posledica prisustva primesnih atoma ili defekata u poluprovodniku, a zatim seprebacuje u valentnu zonu i rekombinuje sa supljinom. Ovaj proces rekombinacije je poznat kao Shockley-Read-Hall(SRH) rekombinacija. Konacno, Auger-ova rekombinacija u stvari predstavlja direktni prelaz, ali u ovom slucaju seoslobodjena energija predaje drugom elektronu ili supljini. Prisustvo trece cestice i njen uticaj na brzinu rekombinacijeje razlog sto ovaj tip rekombinacije razmatramo razlicito od direktne rekombinacije. Potrebno je napomenuti da svakiod tri opisana mehanizma rekombinacije ima i odgovarajuci inverzni proces generacije nosilaca naelektrisanja.

Pored toga, postoje i mehanizmi generacije nosilaca naelektrisanja kojima se ne moze pridruziti odgovarajucimehanizam rekombinacije nosilaca. To su, na primer, generacija nosilaca usled apsorpcije svetlosti, ili generacijanosilaca usled jonizacije koja je izazvana visokoenergetskim naelektrisanim cesticama. Ovi procesi su u literaturipoznati kao jonizacioni procesi i oni su sematski prikazani na slici 6.2. Generacija nosilaca usled apsorpcije svetlostise desava ukoliko je energija fotona svetlosti Eph veca od sirine zabranjene zone poluprovodnika. U ovom slucaju segenerise par elektron-supljina, a visak energije Eph − Eg se predaje drugom elektronu ili supljini u vidu kinetickeenergije. Generacija nosilaca usled jonizacije mlazom visokoenergetskih cestica je slican proces, pri cemu je razlikajedino u tome sto energija ovih cestica moze biti visestruko veca od energije koja odgovara sirini zabranjene zonepoluprovodnika, pa se tom prilikom stvara veci broj parova elektron-supljina.

Na kraju, postoji i generacioni proces usled udarne jonizacije, i ovaj mehanizam generacije je sinonim Auger-ovojrekombinaciji, s obzirom da udarnu jonizaciju izazivaju elektroni ili supljine cija je energija mnogo veca ili manja odenergije koja odgovara sirini zabranjene zone. Sematski prikaz ovog mehanizma generacije nosilaca je prikazan naslici 6.3. Visak energije koji se javlja pri generaciji para elektron-supljina, dovoljan je da u inverzno polarisanoj diodiu prisustvu jakih elektricnih polja izazove lavinsku multiplikaciju. Naime, nosioci dobijaju energiju i bivaju ubrzani

MODELIRANJE GENERACIJE-REKOMBINACIJE NOSILACA 83

usled dejstva elektricnog polja. Dobijena kineticka energija elektrona iz valentne zone je dovoljna da se generise parelektron-supljina, a zatim dva nova generisana elektrona generisu nove, sto dovodi do lavinskog multiplikacionogefekta.

6.2.1 Jednostavni model generacije-rekombinacije nosilaca

Ovaj najjednostavniji model generacije-rekombinacije nosilaca se zasniva na pretpostavci da je generaciono-rekombinacionabrzina proporcionalna ekscesu gustine nosilaca. Ovim modelom se potvrdjuje cinjenica da ne postoji rekombinacijanosilaca ako su gustine nosilaca jednake svojim vrednostima u uslovima termicke ravnoteze. Dobijeni izraz za rekom-binaciju elektrona u p-tipu poluprovodnika je:

Un = Rn −Gn =np − np0

τn, (6.48)

a slican izraz vazi i za rekombinaciju supljina u n-tipu poluprovodnika:

Up = Rp −Gp =pn − pn0

τp, (6.49)

gde je parametar τ srednje vreme posle kojeg se visak koncentracije (eksces) manjinskih nosila rekombinuje. Navedeniizrazi vaze samo za kvazi-neutralne poluprovodnike. Brzine rekombinacije vecinskih nosilaca su jednake brzinamarekombinacije manjinskih nosilaca posto mehanizmi rekombinacije u stacionarnom stanju podrazumevaju jednak brojelektrona i supljina. Zbog toga je brzina rekombinacije vecinskih nosilaca odredjena viskom manjinskih nosilaca, pabrzinu rekombinacije odredjuju manjinski nosioci.

6.2.2 Direktna rekombinacija nosilaca

Direktna rekombinacija nosilaca zavisi pre svega od gustine raspolozivih elektrona i supljina, s obzirom da su ielektroni i sipljine neophodni za proces rekombinacije. Zbog toga se moze pretpostaviti da je brzina rekombinacijeproporcionalna proizvodu koncentracija elektona i supljinan·p. U uslovima termicke ravnoteze, brzina rekombinacijemora biti jednaka brzini generacije, s obzirom da nema dodatne rekombinacije ili generacije. Kako je u uslovimatermicke ravnoteze n · p = n2

i , brzina rekombinacije je:

Ubb = b · (n · p− n2i ), (6.50)

gde je b bimolekularna rekombinaciona konstanta.

6.2.3 Shockley-Read-Hall rekombinacija nosilaca

Brzina rekombinacije u slucaju indirektne rekombinacije nosilaca je data izrazom:

USRH =pn− n2

i

p+ n+ 2n2i cosh

Ei − Et

kT

! ·Nt · νth · σ, (6.51)

ali samo izvodjenje navedenog izraza nije predmet ovog kursa. Gore navedeni izraz se moze uprostiti, tako da u slucajup >> n dobijamo:

Un = Rn −Gn =np − np0

τn, (6.52)

dok je u slucaju da je n >> p:

Up = Rp −Gp =pn − pn0

τp, (6.53)

gde je:

τn = τp =1

Nt · νth · σ. (6.54)


6.2.4 Povrsinska rekombinacija

Rekombinacija na povrsini poluprovodnika, kao i na medjupovrsinama koje su prisutne u strukturi komponente mozeimati veoma veliki uticaj na elektricne karakteristike. Razlog lezi u tome sto se na povrsinama i medjupovrsinamanalazi velika koncentracija rekombinacionih centara usled narusavanja kristalne strukture materijala. Pored toga,veliki broj primesa i ostalih necistoca se nalazi na povrsini poluprovodnika, s obzirom da je ona neposredno izlozenarazlicitim uticajima u toku procesa proizvodnje. U ovom slucaju brzina rekombinacije se definise kao:

Us,SRH =pn− n2

i

p+ n+ 2n2i cosh

Ei − Es,t

kT

! ·Ns,t · νth · σs. (6.55)

Ovaj izraz je skoro identican izrazu za SHR rekombinaciju. Jedina je razlika to sto se ovde uzima u obzir gustinatrapova Ns,t na povrsini ili medjupovrsini. Navedeni izraz se moze uprostiti za slucaj manjinskih nosilaca u kvazi-neutralnim oblastima, tako da na primer za elektrone u kvazi-neutralnoj oblasti p-tipa, gde je p >> n i p >> ni takoda je Ei = Est pa se dobija izraz:

Us,n = Rs,n −Gs,n = νs(np − np0), (6.56)

pri cemu je rekombinaciona brzina νs:νs = Ns,t · νth · σs (6.57)

6.2.5 Auger-ova rekombinacija

Kod Auger-ove rekombinacije se, kao sto je vec receno, moraju posmatrati tri cestice koje ucestvuju u procesurekombinacije: elektron i supljina koji se rekombinuju u direktnom, zona-zona prelazu, i elektron ili supljina kojiprimaju visak energije. Zbog toga je izraz za brzinu rekombinacije slican onom za brzinu kod direktne rekombinacije,s tim sto je ovde dodata i gustina elektrona i supljina koji primaju energiju usled anihilacije para elektron-supljina:

UAuger = Γnn(np− n2i ) + Γpp(np− n2

i ). (6.58)

Navedeni izraz ima dva clana, s obzirom da postoje dva moguca mehanizma rekombinacije.

6.3 MODELIRANJE TERMICKE PROVODNOSTI

Najveci broj postojecih modela termicke provodnosti u silicijumu i germanijumu se zasniva na radovima Glassbrenner-a i Slack-a. Formula za termicku provodnost u poluprovodnicima koju su oni predlozili je:

k(T ) =1

a+ b · T + c · T 2, (6.59)

gde su a, b i c konstante cije su vrednosti date u tabeli 6.4. Uporedjivanjem merenih rezultata termicke provodnosti idobijenih rezultata simulacije dobija se veoma dobro slaganje, odstupanja su manja od 5% u temperaturnom opsegu250-1000oC za silicijum i 50-700oC za germanijum.

Tabela 6.4 Vrednosti parametara za modeliranje termicke provodnosti.

Parametar Si Ge

a [V−1,A−1, cm K] 0.03 0.17b [V−1,A−1, cm] 1.56 · 10−3 3.95 · 10−3

c [V−1,A−1, cm K−1] 1.65 · 10−6 3.38 · 10−6

MODELIRANJE TERMICKE PROVODNOSTI 85

Veoma dobri rezultati se dobijaju pri simulaciji elektricnih karakteristika komponenata i primenom jednostavnogizraza:

k(T ) = 1.5486VA

cm K·

T

300K

−4/3

. (6.60)

Poseban problem predstavlja modeliranje termicke provodnosti kod jako dopiranih polu-provodnika (>1019cm−3),zbog povecanog broja nosilaca. Eksperimentala merenja poka-zuju da je u ovom slucaju termicka provodnost manjaza vise od 30%, ali se modelima koji ukljucuju i ovaj efekat ovde necemo baviti.

7Diskretizacija sistema osnovnih

poluprovodnickih jednacina

Sistem parcijalnih diferencijalnih jednacina koji predstavlja sistem osnovnih poluprovo-dnickih jednacina, zajedno sadefinisanim domenom simulacije i odgovarajucim grani-cnim uslovima, ne moze se resiti eksplicitno, vec se moraresavati nekom od pogodnih numerickih tehnika. Resavanje jednog ovakvog problema:

λ2 · div gradψ − n+ p+ C = 0, (7.1)

div(Dn · gradn− µn · n · gradψ)−R(ψ, n, p) = 0, (7.2)

div(Dp · gradp− µp · p · gradψ)−R(ψ, n, p) = 0, (7.3)

predstavlja veoma kompleksan numericki problem koji podrazumeva najpre njegovu diskretizaciju, imajuci u vidudomen simulacije i granicne uslove a zatim i ostale probleme vezane za izbor najpogodnije tehnike resavanja, kon-vergenciju, itd. Prvi problem sa kojim se ovde susrecemo je domen simulacije, koji je najpre potrebno podelitiu konacan broj oblasti (silicijum, oksid, polisilicijum, itd.), u zavisnosti od strukture cije elektricne karakteristikesimuliramo. Drugi problem je diskretizacija diferencijalnih jednacina, tj. njihova aproksimacija odgovarajucim al-gebarskim jednacinama. U zavisnosti od izabrane metode diskretizacije u najvecoj meri zavisi tacnost resenja, kao iCPU vreme potrebno za resavanje problema. To se najbolje moze videti sa slike 7.1 gde su prikazane cetiri metodeza diskretizaciju jednog jednostavnog profila primesa. Jasno je da ce resavanje na uniformnoj mrezi koja ima viseod 9000 diskretizacionih cvorova zahtevati najvise CPU vremena za simulaciju. Primena metoda konacnih razlika,konacnih kutija ili konacnih elemenata znacajno smanjuje broj tacaka diskretizacije u domenu simulacije i skracujepotrebno vreme simulacije. Pored toga, primena neuniformnih i adaptivnih diskretizacionih mreza ima svojih pred-nosti u pogledu brzine konvergencije pri resavanju sistema osnovnih poluprovodnickih jednacina. Ovde cemo detaljnoobjasniti metodu konacnih razlika, dok su preostale dve metode predmet proucavanja u okviru drugih kurseva.

7.1 DOMEN SIMULACIJE I GRANICNI USLOVI

Sistem osnovnih poluprovodnickih jednacina je potrebno resiti u domenuD ∈ Rn(n = 1, 2, 3) koji u stvari predstavljageometriju komponente. U sustini sve poluprovodnicke strukture su trodimenzionalne, medjutim, u velikom brojuslucajeva dovoljno je problem resavati u 2D, pa nekad cak i u 1D, sto zavisi od dimenzija komponente i samog problema.Na ovaj nacin se procedura diskretizacije sistema jednacina i njihovog resavanja mogu znacajno pojednostaviti.

87

88 DISKRETIZACIJA SISTEMA OSNOVNIH POLUPROVODNICKIH JEDNACINA

Slika 7.1 Broj diskretizacionih cvorova mreze u zavisnosti od metoda diskretizacije.

Slika 7.2 Geometrija domena simulacije i granica kod planarnog MOS tranzistora.

Granica domena simulacije ∂D, koja predstavlja ravan u slucaju 3D simulacije, ili pravu definisanu jednostavnosa dve tacke u slucaju 2D simulacije, se moze podeliti na dva dela:

∂D = ∂DP ∪ ∂DA, (7.4)

gde je ∂DP deo koji odgovara tzv. fizickim granicama domena, npr. medjupovrsina Si/SiO2, dok ∂DA predstavljatzv. vestacke ("artificial") granice domena simulacije koje se uvode da bi se komponenta cije karakteristike simuliramoodvojila od ostalih komponenata integrisanog kola. Na slici 7.2 prikazan je domen simulacije planarnog MOS tranzis-tora. Ukupni domen simulacije je poligonA−B−C−D−E−F −G−H−A. Sistem osnovnih poluprovodnickihjednacina se resava u subdomenu A−B −E − F −G−H −A, dok se u subdomenu B −C −D −E −B, kojipredstavlja izolator, resava Laplace-ova jednacina:

div(gradψ) = 0, (7.5)

s obzirom da se u ovoj oblasti zanemaruje prisustvo pokretnih nosilaca, tj. n = p = C = 0.Granice A − B, E − F , C − D i B − E predstavljaju fizicke granice domena ∂DP , tj. tri idealna kontakta i

medjupovrsinu poluprovodnika i izolatora. Granice A − H , B − C, D − E, F − G i G − H su vestacke granice∂DA. Ove granice ne postoje kod realne komponente i uvode se samo za potrebe simulacije. Medjutim, ove granicese ne uvode a priori, vec na osnovu prethodnih znanja o radu komponente. Pored ostalog, ove granice se uvode i dabi se pojednostavio postupak resavanja sistema osnovnih poluprovodnickih jednacina. Granica G − H predstavljatzv. "daleku" granicu, koja se uvodi kako bi se domen simulacije ogranicio samo na oblast komponente koji je odinteresa za rad komponente. Ako znamo da je debljina plocice oko 500µm, a da se skoro svi znacajniji efekti kojiuticu na rad MOS tranzistora desavaju u uskoj oblasti uz povrsinu poluprovodnika, jasno je da se uvodjenjem vestackegranice G − H drasticno smanjuje domen simulacije bez znacajnijeg uticaja na tacnost simulacije. ∂DP se grubomoze podeliti na tri dela, i to:

∂DP = ∂DO ∪ ∂DS ∪ ∂DI . (7.6)

∂DO je deo fizickih granica domena koji predstavlja omske kontakte, ∂DS Schottky-jeve kontakte, dok su ∂DI

medjupovrsine poluprovodnika i izolacionih oblasti.Kod omskog kontakta granicni uslov se uvodi kao jednostavan Dirichlet-ov granicni uslov gde su povrsinski

potencijal ψS , koncentracije elektrona i supljina nS i pS fiksirani. Kvazi-Fermijev potencijali manjinskih i vecinskihnosilaca su jednaki primenjenom naponu, tj. φn = φp = Vappl. Povrsinski potencijal ψs ima vrednost koja jekonzistentna sa uslovom neutralnosti, tj. resavanjem:

nS +N−A = pS +N+

D (7.7)

po ψS , nS i pS , posto su vrednosti φn i φp poznate, pod pretpostavkom da vazi Boltzmann-ova statistika, dobija se:

nS =1

2

N+

D −N−A

+

qN+

D −N−A

2+ 4n2

ie

, (7.8)

pS =n2

ie

nS, (7.9)

ψS = φn +kT

qlnnS

nie= φp −

kT

qlnpS

nie. (7.10)

Priroda Schottky-jevog kontakta je veoma kompleksna, medjutim, za potrebe simulacije se najcesce koristi veomauproscen model. U programima se ovaj kontakt modelira na dva nacina, tako sto se definise funkcija izlaznog radametala od kojeg je elektroda (WF - "Work Function" metod) ili se definise brzina povrsinske rekombinacije na elektrodi(SR - "Surface Recombination" metod).

METODA KONACNIH RAZLIKA 89

WF metod definise povrsinski potencijal na Schottky-jevim kontaktima kao:

ψS = AFFINITY +Eg

2q+kTL

2qlnNC

NV−WORKFUN + Vappl, (7.11)

gde je AFFINITY afinitet elektrona poluprovodnickog materijala, Eg sirina zabranjene zone, NC gustina stanja uprovodnoj zoni, NV gustina stanja u valentnoj zoni i T temperatura. U praksi se uzima da je:

WORKFUN = AFFINITY + φB , (7.12)

gde je φB visina barijere medjupovrsine Si/SiO2 u eV.Kod SR metod Schottky-jev kontakt se definise preko SURF.REC parametra. U ovom slucaju kvazi-Fermijevi

nivo vise nisu jednaki primenjenom naponu Vappl. Umesto toga, ovi parametri se definisu preko strujnih granicnihuslova na povrsini:

Jsn = q · V SURFN(nS − neq)exp

∆φb

kT

, (7.13)

Jsp = q · V SURFN(pS − peq)exp

∆φb

kT

, (7.14)

gde su Jsn i Jsp struje elektrona i supljina na kontaktu, nS povrsinska koncentracija elektrona i pS povrsinskakoncentracija supljina. neq i peq su ravnotezne koncentracije elektrona i supljina u uslovima kada je brzina povrsinskerekombinacije beskonacna (φn = φp = Vappl). Ako brzine povrsinske rekombinacije elektrona i supljina nisudefinisane u ulaznoj datoteci programa, onda se njihova vrednost racuna kao:

V SURFn =RICHn · T 2

q ·NC, (7.15)

V SURFp =RICHp · T 2

q ·NV, (7.16)

gde su RICHn = 110A/cm2/K2 i RICHp = 30A/cm2/K2 efektivne Richardson-ove konstante elektrona i supljinakoje uzimaju u obzir efekte kvantno-mehanicke refleksije i tunelovanja.

Kontakt koji nije povezan sa strujnim ili naponskim izrazom i potpuno je izolovan dielektrikom naziva se plivajucikontakt ("floating contact"). U najvecem broju simulatora za ovakve kontakte, a to su na primer plivajuci gejtovi kodEPROM-a, se uzima da je raspodela naelektrisanja:Z

S

DdS = QFG, (7.17)

gde je D vektor dielektricnog pomeraja, a QFG injektovano naelektrisanje.Sto se, na kraju, vestackih granica domena tice, uzimaju se tzv. prirodni granicni uslovi, tj. prvi izvodi potencijala,

koncentracije elektrona i supljina u pravcu normale na povrsinu su jednaki nuli:

∂ψ

∂~n= 0,

∂n

∂~n= 0, (7.18)

∂p

∂~n= 0.

7.2 METODA KONACNIH RAZLIKA

Kod klasicnog metoda konacnih razlika, domen simulacije u kojem se resava sistem osnovnih poluprovodnickihjednacina je podeljen na subregione uz pomoc diskretizacione mreze koja se formira linijama koje su paralelnekoordinatnim osama. Zbog toga je ovaj pristup veoma pogodan kod rektangularnih domena, s obzirom da se tadalinije diskretizacione mreze poklapaju sa granicama domena simulacije. Primer diskretizacione mreze konacnih razlika


Slika 7.3 Usvojena nomenklatura kod izvodjenja diskretizacije metodom konacnih razlika.

je prikazan na slici 7.1. Mreza imaNX linija paralelnih y-osi, iNY linija paralelnih x-osi, sto znaci da imaNX ·NYcvorova u kojima je potrebno odrediti resenje sistema diferencijalnih jednacina (7.1-7.3). Zbog toga je potrebno dase izvede algebarska jednacina za svaki cvor diskretizacione mreze. Zamenicemo najpre diferencijalne jednacineu unutrasnjim cvorovima diskretizacione mreze diferencnim jednacinama primenjujuci klasicnu diskretizaciju sa 5cvorova. Pri tome koristimo sledece oznake, kao sto je to prikazano na slici 7.3:

hi = xi+1 − xi, i = 1, NX − 1, (7.19)

kj = yj+1 − yj , j = 1, NY − 1. (7.20)

Da bi dodatno uprostili pisanje komplikovanih izraza, usvojicemo da je:

ui,j = u(xi, yj), i = 1, NX; j = 1, NY, (7.21)

ui+1/2,j = uxi + xi+1

2, yj

, i = 1, NX − 1; j = 1, NY, (7.22)

ui,j+1/2 = uxi,

yj + yj+1

2

, i = 1, NX; j = 1, NY − 1. (7.23)

Postoji nekoliko nacina za izvodjenje diferencnih jednacina iz diferencijalnih jednacina, a ovde ce biti prikazan ianaliziran najjednostavniji nacin. Najpre cemo eksplicitno predstaviti operatore "div" i "grad":

λ2 ·∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2

− n+ p+ C = 0, (7.24)

∂

∂x

Dn ·

∂n

∂x− µn · n ·

∂ψ

∂x

+

∂

∂y

Dn ·

∂n

∂y− µn · n ·

∂ψ

∂y

−R(ψ, n, p) = 0, (7.25)

∂

∂x

Dp ·

∂p

∂x− µp · p ·

∂ψ

∂x

+

∂

∂y

Dp ·

∂p

∂y− µp · p ·

∂ψ

∂y

−R(ψ, n, p) = 0. (7.26)

Pretpostavljamo da je problem dvodimenzionalan, tako da su parcijalni izvodi svih parametara po trecoj dimenzijijednaki nuli. Prema tome, ako je u tri puta diferencijabilna funkcija, onda njene parcijalne izvode po x i y mozemopisati kao:

∂u

∂x

i,j=ui+1/2,j − ui−1/2,j

hi + hi−1

2

+hi−1 − hi

4· ∂

2u

∂x2

i,j

+O

h3

i + h3i−1

hi + hi−1

, (7.27)

∂u

∂y

i,j=ui,j+1/2 − ui,j−1/2

ki + ki−1

2

+ki−1 − ki

4· ∂

2u

∂y2

i,j

+O

k3

i + k3i−1

ki + ki−1

. (7.28)

Lokalna greska odsecanja O prakticno predstavlja reziduum koji dobijamo kada resenje kontinualnog problema za-menimo u diskretizacionu semu. Ako definisemo:

h = max(hi; i = 1, NX − 1), (7.29)

k = max(kj ; j = 1, NY − 1), (7.30)

onda O(h) ili O(h2) predstavljaju linearnu ili kvadratnu gresku odsecanja. U izrazima (7.27) i (7.28) lokalna greskaodsecanja je drugog reda za slucaj uniformne i kvazi-uniformne diskretizacione mreze, pri cemu je kvazi-uniformnamreza ona za koju vazi:

hi+1 = hi · (1 +O(hi)), i = 1, NX − 2, (7.31)

kj+1 = kj · (1 +O(kj)), j = 1, NY − 2. (7.32)


Medjutim, kao sto je vec nekoliko puta spomenuto, resenje poluprovodnickih jednacina se u nekim delovima dom-ena simulacije veoma brzo menja, dok je u drugim delovima skoro konstantno, tako da je u najvecem broju slucajevaneophodna veoma neuniformna diskretizaciona mreza kako bi se smanjio broj diskretizacionih tacaka. U tim slucajevimausvajamo najgori slucaj po nas da je lokalna greska odsecanja prvog reda, tako da sistem osnovnih poluprovodnickihjednacina (7.24-7.26), za diskretizacione cvorove u unutrasnjosti domena simulacije (1 < i < NX i 1 < j < NY ),mozemo napisati u sledecem obliku:

λ2 ∂ψ∂x|i+1/2,j −∂ψ

∂x|i−1/2,j

hi + hi+1

2

+O(h) · ∂3ψ

∂x3|i,j +

+

∂ψ

∂yIi,j+1/2 −

∂ψ

∂y|i,j−1/2

ki + kj+1

2

+O(k) · ∂3ψ

∂y3|i,j−

−ni,j + pi,j + Ci,j = 0. (7.33)

Slicno Poisson-ovoj jednacini, jednacina kontinuiteta za elektrone postaje:

(−Jnx)|i+1/2,j − (−Jnx)|i−1/2,j

hi + hi−1

2

+O(h) · ∂2Jnx

∂x2|i,j +

(−Jny)|i,j+1/2 − (−Jny)|i,j−1/2

kj + kj−1

2

+O(k) · ∂2Jny

∂y2|i,j −

−R(ψ, n, p)|i,j = 0. (7.34)

Jnx i Jny predstavljaju skalirane gustine struje elektrona u x i y smeru, respektivno:

Jnx = µn · n ·∂ψ

∂x−Dn ·

∂n

∂x, (7.35)

Jny = µn · n ·∂ψ

∂y−Dn ·

∂n

∂y. (7.36)

Na slican nacin se dobija jednacina kontinuiteta za supljine:

(−Jpx)|i+1/2,j − (−Jpx)|i−1/2,j

hi + hi−1

2

+O(h) · ∂2Jpx

∂x2|i,j +

(−Jpy)|i,j+1/2 − (−Jpy)|i,j−1/2

kj + kj−1

2

+O(k) · ∂2Jpy

∂y2|i,j −

−R(ψ, n, p)|i,j = 0. (7.37)

Jpx i Jpy predstavljaju skalirane gustine struje supljina u x i y smeru, respektivno:

Jpx = µp · p ·∂ψ

∂x+Dp ·

∂p

∂x, (7.38)

Jpy = µp · p ·∂ψ

∂y+Dp ·

∂p

∂y. (7.39)

Sledeci korak je zamena vrednosti ∂ψ/∂x, ∂ψ/∂y, Jnx, Jny , Jpx i Jpy u sredisnjim tackama odgovarajucimdiferencnim aproksimacijama. Koristi se pretpostavka da su vrednosti ovih velicina konstantne u okviru svakog


intervala, pa se za elektrostaticki potencijal dobija:

∂ψ

∂x|i+1/2,j =

ψi+1,j − ψi,j

hi+O(h2) · ∂

3ψ

∂x3|i+1/2,j , (7.40)

∂ψ

∂y|i,j+1/2 =

ψi,j+1 − ψi,j

hi+O(k2) · ∂

3ψ

∂y3|i,j+1/2. (7.41)

Posle zamene u (7.33) dobijamo:

λ2ψi+1,j − ψi,j

hi−ψi,j − ψi−1,j

hi−1

hi + hi+1

2

+

ψi,j+1 − ψi,j

kj−ψi,j − ψi,j−1

kj−1

kj + kj+1

2

−

−ni,j + pi,j + Ci,j = 0. (7.42)

Ovako dobijena diskretizovana Poisson-ova jednacina ima lokalnu gresku odsecanja koja je proporcionalna rastojanjuizmedju cvorova diskretizacione mreze i trecem izvodu elektrostatickog potencijala u slucaju neuniformne mreze.

Diskretizacija jednacina kontinuiteta je daleko slozeniji problem i zbog toga cemo ovde preskociti neke korake uproceduri diskretizacije. Naime, cilj nije da studenti nauce kompletnu proceduru diskretizacije ovako slozenih izraza,vec da se samo upoznaju sa postupcima i nacinom diskretizacije, a to su na primeru Poisson-ove jednacine mogli danauce.

Uvodjenjem odredjenih aproksimacija, koje su prvi predlozili Sharfetter i Gummel, dobija se diskretna formajednacine kontinuiteta za elektrone:

Dn|i+1/2,j ·B

0B@ψi+1,j − ψi,j

Ut

1CA·ni+1,j−B

0B@ψi,j − ψi+1,j

Ut

1CA·ni,j

hi·hi + hi−1

2

−

−Dn|i−1/2,j ·B

0B@ψi,j − ψi−1,j

Ut

1CA·ni,j−B

0B@ψi−1,j − ψi,j

Ut

1CA·ni−1,j

hi−1·hi + hi−1

2

+

+Dn|i,j+1/2 ·B

0B@ψi,j+1 − ψi,j

Ut

1CA·ni,j+1−B

0B@ψi,j − ψi,j+1

Ut

1CA·ni,j

kj ·kj + kj−1

2

−

−Dn|i,j−1/2 ·B

0B@ψi,j − ψi,j−1

Ut

1CA·ni,j−B

0B@ψi,j−1 − ψi,j

Ut

1CA·ni,j−1

kj−1·kj + kj−1

2

−

−R(ψ, n, p)|i,j = 0. (7.43)


Potpuno analogno se dobija i diskretna forma jednacine kontinuiteta za supljine:

Dp|i+1/2,j ·B

0B@ψi+1,j − ψi,j

Ut

1CA·pi+1,j−B

0B@ψi,j − ψi+1,j

Ut

1CA·pi,j

hi·hi + hi−1

2

−

−Dp|i−1/2,j ·B

0B@ψi,j − ψi−1,j

Ut

1CA·pi,j−B

0B@ψi−1,j − ψi,j

Ut

1CA·pi−1,j

hi−1·hi + hi−1

2

+

+Dp|i,j+1/2 ·B

0B@ψi,j+1 − ψi,j

Ut

1CA·pi,j+1−B

0B@ψi,j − ψi,j+1

Ut

1CA·pi,j

kj ·kj + kj−1

2

−

−Dp|i,j−1/2 ·B

0B@ψi,j − ψi,j−1

Ut

1CA·pi,j−B

0B@ψi,j−1 − ψi,j

Ut

1CA·pi,j−1

kj−1·kj + kj−1

2

−

−R(ψ, n, p)|i,j = 0, (7.44)

gde je B Bernoulli-jeva funkcija definisana kao:

B(x) =x

ex − 1. (7.45)

Sada kada konacno imamo diskretizovan sistem osnovnih poluprovodnickih jednacina, primenom odgovarajucihnumerickih metoda i tehnika moguce je resiti ovaj veoma slozen problem. U delu skripte koji se odnosi na primeresimulacije dati su neki komentari koji ce studentima biti od velike koristi za izbor odgovarajuce metode za resavanjenekih specificnih problema, kao i za definisanje nekih parametara numerickih metoda. Medjutim, detaljnija analizasamih numerickih tehnika je predmet nekih drugih kurseva.

LITERATURA

1. R.E. Bank, D.J. Rose, and W. Fichtner, "Numerical Methods for Semiconductor Device Simulation," IEEE Trans.Electr. Dev., vol. ED-30, pp. 1031-1041, 1983.

2. G. Wachutka, "An extended thermodynamic model for the simultaneous simulation of the thermal and electricalbehavior of semiconductor devices," in Proceedings of the Sixth International NASECODE Conference (J. J. H.Miller, ed.), pp. 409-414, Boole Press Ltd., 1989.

3. A. Benvenuti, G. Ghione, M.R. Pinto, J.W.M. Coughran, and N.L. Schryer, "Coupled thermal-fully hydrodynamicsimulation of InP-based HBTs," in IEDM Tech. Digest, pp. 737-740, 1992.

4. A. Schenk and S. Müller, "Analytical Model of the Metal-Semiconductor Contact for Device Simulation," inSimulation of Semiconductor Devices and Processes, vol. 5, , pp. 441-444, Sept. 7-9, Vienna, Austria, 1993.

5. A. Liegmann, "The application of supernodal techniques on the solution of structurally symmetric systems," Tech.Rep. 92/5, Integrated Systems Laboratory, ETH Zurich, Switzerland, 1992.

6. T.-W. Tang, "Extension of the Scharfetter-Gummel algorithm to the energy balance equation," IEEE Trans. onElectron Devices, vol. ED-31, no. 12, pp. 1912-14, 1984.

7. C.C. McAndrew, K. Singhal, and E. L. Heasell, "A consistent nonisothermal extension of the Scharfetter-Gummelstable difference approximation," IEEE Electron Device Letters, vol. EDL-6, no. 9, pp. 446-47, 1985.

8. B. Meinerzhagen, K.B. Bach, I. Bork, and W. Engl, "A new highly efficient nonlinear relaxation scheme forhydrodynamic MOS simulations," NUPAD IV Conf. Dig. Tech. Papers, pp. 91-96, 1992.


9. Y. Apanovich, E. Lyumkis, B. Polsky, and P. Blakey, "An investigation of coupled and decoupled iterativealgorithms for energy balance calculations," in Proc. SISDEP V, Zurich, Switzerland, pp. 233-236, 1993.

10. Y. Apanovich, P. Blakey, R. Cottle, E. Lyumkis, B. Polsky, A. Shur,and A. Tcherniaev, "Numerical simulation ofsubmicrometer devices including coupled nonlocal transport and nonisothermal effects," IEEE Transactions onElectron Devices, vol. ED-42, pp. 890-898, May1995.

11. E. Yablonovitch, R. Swanson, W. Eades, and B. Weinberger, "Electron-hole recombination at the Si-SiO2 inter-face," Applied Physics Letters, vol. 48, pp. 245-7, 1986.

12. H.B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. New York, USA: John Wiley and Sons,1985.

13. D. Chen, E.C. Kan, and U. Ravaioli, "An analytical formulation of the length coefficient for the augmenteddrift-diffusion model including velocity overshoot," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. ED-38, pp.1484-1490, June 1991.

14. A. Benvenuti, J.W.M. Coughran, M.R. Pinto, and N.L. Schryer, "Hierarchical pde simulation of nonequilibriumtransport effects in semiconductor devices," NUPAD IV Conf. Dig. Tech. Papers, pp. 155-160, 1992.

15. R. Stratton, "Diffusion of hot and cold electrons in semiconductor barriers," Phys. Rev., vol. 126, no. 6, pp.2002-14, 1962.

16. K. Bløtekjær, "Transport equations for electrons in two-valley semiconductors," IEEE Trans. on Electron Devices,vol. ED-17, no. 1, pp. 38-47, 1970.

17. P.A. Sandborn, A. Rao, and P.A. Blakey, "An assessment of approximate nonstationary charge transport modelsused for GaAs device modeling," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. ED-36, pp. 1244-1253, July 1991.

18. A. Benvenuti, F. Bonani, G. Ghione, and C. Naldi, "Thermal modeling of iii-v devices," in Proc. 4th Int. Workshopon GaAs in Telecomm., pp. 139-156, 1993.

19. A. Benvenuti, G. Ghione, and C.U. Naldi, "Non-stationary transport hbt modeling under non-isothermal condi-tions," in SISDEP-5, (Vienna), pp. 453-456, Sept. 1993.

20. M. Rudan and F. Odeh, "Multi-dimensional discretization scheme for the hydrodynamic model of semiconductordevices," COMPEL, vol. 5, no. 3, pp. 149-183, 1986.

21. H. Fukui, "Thermal resistance of gaas field-effect transistors," in IEDM Tech. Digest, pp. 118-121, 1980.

22. H.F. Cooke, "Precise technique finds fet thermal resistance," Microwaves & RF, pp. 85-87, 1986.

23. G. Ghione and C. Naldi, "High-resolution self-consistent thermal modeling of multi-gate power gaas mesfet’s,"in IEDM Tech. Digest, pp. 147-150, 1989.

24. G.N. Ellison, "Methodologies for thermal analysis of electronic components and systems," in Advances in thermalmodeling of electronic components and systems (A. Bar-Cohen and A. D. Kraus, eds.), IEEE Press, 1993.

25. F. Bonani, G. Ghione, M. Pirola, and C.U. Naldi, "A new, efficient approach to the large-scale thermal modelingof iii-v devices and integrated circuits," in IEDM Tech. Digest, pp. 101-104, 1993.

26. A. Chryssafis and W. Love, "A computer-aided analysis of one-dimensional thermal transients in n-p-n powertransistors," Solid State Electronics, vol. 22, pp. 249-256, 1979.

27. L.L. Liou, C.I. Huang, and J. Ebel, "Numerical studies of thermal effects on heterojunction bipolar transistorcurrent-voltage characteristics using one-dimensional simulation," Solid-State Electronics, vol. 35, no. 4, pp.579-585, 1992.

28. C.T. Wang, "A new set of semiconductor equations for computer simulation of submicron devices," Solid-StateElectronics, vol. 28, pp. 783-788, 1985.

29. J.W. Roberts and S.G. Chamberlain, "Energy-momentum transport model suitable for small geometry silicondevice simulation," COMPEL, vol. 9, no. 1, pp. 1-22, 1990.

30. A. Benvenuti, M.R. Pinto, J.W.M. Coughran, N.L. Schryer, C.U. Naldi and G. Ghione, "Evaluation of the influenceof convective energy in hbts using a fullyhydrodynamic model," in IEDM Tech. Digest, pp. 499-502, 1991.

31. A. Benvenuti, F. Bonani, G. Ghione, C.U. Naldi, M. Kärner, and K. Schaper, "Analysis of output ndr in powerAlGaAs/GaAs hbts by means of a thermal-fully hydrodynamic model," in ISDRS 93 Proceedings, pp. 499-502,1993.


32. S. Szeto and R. Reif, "A unified electrothermal hot-carrier transport model for silicon bipolar transistor simulation,"Solid-State Electronics, vol. 32, no. 4, pp. 307-315, 1989.

33. A. Pierantoni, A. Liuzzo, P. Ciampolini and G. Baccarani, "Three-dimensional implementation of a unifiedtransport model," in SISDEP, pp. 125-128, 1993.

34. D. Chen, Z. Yu, K.-C. Wu, R. Goosens, and R.W. Dutton, "Dual energy transport model with coupled lattice andcarrier temperatures," in SISDEP-5, (Vienna), pp. 157-160, Sept. 1993.

35. "Six-month technical report, period 1 (May 27 - November 26, 1992)," in ESPRIT- 6075 (DESSIS) Project Report,1992.

36. A. Bringer and G. Schön, "Extended moment equations for electron transport in semiconducting submicronstructures," J. Appl. Phys., vol. 64, no. 5, pp. 2447-55, 1988.

37. M.A. Stettler, M.A. Alam, and M.S. Lundstrom, "A critical examination of the assumptions underlying macro-scopic transport equations for silicon devices," IEEE Trans. Electron Devices, vol. 40, no. 4, pp. 733-740,1983.

38. B. Baccarani and M.R. Wordeman, "An investigation of steady-state velocity overshoot in Silicon," Solid-StateElectronics, vol. 28, no. 4, pp. 407-16, 1985.

39. E.M. Azoff, "Semiclassical high-field transport equations for nonparabolic heterostructure degenerate semicon-ductors," J. Appl. Phys., vol. 64, no. 5, pp. 2439-46, 1988.

40. M. Stecher, B. Meinerzhagen, I. Bork, and W. L. Engl, "On the influence of thermal diffusion and heat flux onbipolar device and circuit performance," in SISDEP-5, (Vienna), pp. 49-52, Sept. 1993.

41. M.C. Vecchi and L.G. Reyna, "Generalized energy transport models for semiconductor device simulation," Solid-State Electronics, vol. 37, no. 10, pp. 1705-1716, 1994.

42. Y. Apanovich, E. Lyumkis, B. Polsky, A. Shur, and P. Blakey, "Steady-state and transient analysis of submicrondevices using energy balance and simplified hydrodynamic models," IEEE Transactions on CAD, vol. 13, pp.702-710, June 1994.

43. D. Chen, E. Sangiori, M.R. Pinto, E.C. Kan, U. Ravaioli, and R.W. Dutton, "An improved energy transport modelincluding nonparabolicity and non-Maxwellian distribution effects," IEEE Transactions on Electron Devices, vol.ED-39, pp. 26-28, January 1992.

44. D. Chen, E. Sangiori, M.R. Pinto, E.C. Kan, U. Ravaioli, and R.W. Dutton, "Analysis of spurious velocityovershoot in hydrodynamic simulations," in NUPAD IV Conf. Dig. Tech. Papers, 1992.

45. E.C. Kan, D. Chen, U. Ravaioli, and R.W. Dutton, "Numerical Characterization of a New Energy TransportModel," in Proc. Internat. Workshop on Computational Electronics, pp. 79-82, 1992.

46. A. Gnudi, F. Odeh, and R. Rudan, "Investigation of Non-Local Transport Phenomena in Small SemiconductorDevices," European Trans. on Telecomm., vol. 1, no. 3, pp. 307-312, 1990.

47. I. Bork, C. Jungemann, B. Meinerzhagen, and W.L. Engl, "Influence of heat flux on the accuracy of hydrodynamicmodels for ultra-short si MOSFETs," in NUPAD V Conf. Dig. Tech. Papers, pp. 63-66, 1994.

48. G. Wachutka, "Rigorous thermodynamic treatment of heat generation and conduction in semiconductor devicemodeling," IEEE Trans., vol. CAD-9, pp. 1141-1149, 1990.

49. J.A. Andrews, "Package thermal resistance model: Dependency on equipment design," IEEE Trans. Components,Hybrids, and Manufacturing Technology, vol. 11, pp. 528-537, December 1988.

50. J.N. Sweet and W.T. Cooley, "Thermal resistance measurement and finite element calculations for ceramic hermeticpackages," in Proc. Sixth IEEE SEMI-THERM Symposium, pp. 10-16, 1990.

51. T. Hopkins, C. Cognetti, and R. Tiziani, "Designing with thermal impedance," in Proc. Fourth IEEE SEMI-THERM Symposium, pp. 55-61, 1988.

52. R.L. Kozarek, "Effect of case temperature measurement errors on the junction-tocase thermal resistance of aceramic PGA," in Proc. Sixth IEEE SEMI-THERM Symposium, pp. 44-51, 1991.

53. Y.J. Min, A.L. Palisoc, and C.C. Lee, "Transient thermal study of semiconductor devices," IEEE Trans. Compo-nents, Hybrids, and Manufacturing Technology, vol. 13, no. 4, pp. 980-988, 1990.


54. F. Curatelli and G.M. Bisio, "Characterization of the thermal behaviour in ICs," Solid-State Electronics, vol. 34,no. 7, pp. 751-760, 1991.

55. G.N. Ellison, "Tams: A thermal analyzer for multilayer structures," Electrosoft, vol. 1, no. 2, pp. 85-97, 1990.

56. R.A. Tatara, "Thermal modeling previews electronic device performance," PCIM, pp. 9-21, October 1991.

57. S. Song and M.M. Yovanovich, "Relative contact pressure: Dependence on surface roughness and vickers micro-hardness," AIAA Journal of Thermophysics and Heat Transfer, vol. 2, pp. 43-47, January 1988.

58. V.P. Deshwal, B.B. Dixit, K.M.K. Srivatsa, P.D. Vyas, and W.S. Khokle, "Optimum thickness determination of theelectrode for large silicon power devices and its improved bonding with silicon wafer having n-doped substrate,"Indian Journal of Technology, vol. 29, pp. 395-398, August 1991.

59. W.S. Childres and G.P. Peterson, "Quantification of thermal contact conductance in electronic packages," in Proc.Fifth IEEE SEMI-THERM Symposium, pp. 30-36, 1989.

60. D.J. Dean, Thermal Design of Electronic Circuit Boards and Packages. Ayr, Scotland: Electrochemical Publica-tions, Ltd., 1985.

61. G.N. Ellison, "Theoretical calculation of the thermal resistance of a conducting and convecting surface," IEEETrans. Parts, Hybrids, and Packaging, vol. PHP-12, pp. 265-266, September 1976.

62. S.N. Rea and S.E. West, "Thermal radiation from finned heat sinks," IEEE Trans. Parts, Hybrids, and Packaging,vol. PHP-12, pp. 115-117, September 1976.

63. L. Buller and B. McNelis, "Effects of radiation on enhanced electronic cooling," IEEE Trans. Components,Hybrids, and Manufacturing Technology, vol. 11, pp. 538-544, December 1988.

64. C. Zardini, F. Rodes, G. Duchamp, and J.-L. Aucouturier, "3d thermal simulation of power hybrid assemblies,"Hybrid Circuits, pp. 20-22, January 1991.

65. I. Hirsch, E. Berman, and N. Haik, "Thermal resistance evaluation in 3D thermal simulation of MOSFET tran-sistors," Solid-State Electronics, pp. 106-108, January 1991.

66. M.A. Green, "Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in Silicon," J. Appl. Phys.,vol. 67, no. 6, pp. 2944-54, 1990.

67. J.E. Lang, F.L. Madarasz, and P.M. Hemeger, "Temperature dependent density of states effective mass in non-parabolic p-type Silicon," J. Appl. Phys., vol. 54, no. 6, p. 3612, 1983.

68. W. Bludau, A. Onton, and W. Heinke, "Temperature dependence of the band gap in Silicon," J. Appl. Phys., vol.45, no. 4, pp. 1846-48, 1974.

69. G.G. Macfarlane, T.P. McClean, J.E. Quarrington, and V. Roberts, "Fine structure in the absorption-edge spectrumof Si," Phys. Rev., vol. 111, no. 5, pp. 1245-54, 1958.

70. A. Hoffmann, K. Reuschel, and H. Rupprecht, "Measurement of the hall effect and conductivity of super-pureSilicon," J. Phys. Chem. Solids, vol. 11, pp. 284-87, 1959.

71. T. Wasserrab, "The temperature dependence of the electronic properties of intrinsic Silicon," Z. Naturforsch., vol.32a, no. 7, pp. 746-49, 1977.

72. H.-J. Wünsche and H. Wenzel, "Influence of surface recombination on the rate of electron leakage in ridge-waveguide lasers," Phys. Stat. Sol. (a), vol. 111, pp. 377-86, 1989.

73. R. Zimmermann, Many Particle Theory of Highly Excited Semiconductors. Texte zur Physik, Band 18, BSBTeubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1988.

74. J.W. Slotboom and H.C. de Graaff, "Measurements of Bandgap Narrowing in Si Bipolar Transistors," Solid-StateElectron., vol. 19, pp. 857-62, 1976.

75. J.W. Slotboom and H.C. de Graaff, "Bandgap Narrowing in Silicon Bipolar Transistors," IEEE Trans. on ElectronDevices, vol. ED-24, no. 8, pp. 1123-25, 1977.

76. J.W. Slotboom, "The pn-Product in Silicon," Solid-State Electron., vol. 20, pp. 279-83, 1977.

77. D.B.M. Klaassen, J.W. Slotboom, and H.C. de Graaff, "Unified apparent bandgap narrowing in n- and p-typeSilicon," Solid-State Electronics, vol. 35, no. 2, pp. 125-29, 1992.


78. J. del Alamo, S. Swirhun, and R.M. Swanson, "Simultaneous measuring of hole lifetime, hole mobility andbandgap narrowing in heavily doped n-type Silicon," IEDM Tech. Digest, vol. Dec., pp. 290-93, 1985.

79. J. del Alamo, S. Swirhun, and R.M. Swanson, "Measuring and modeling minority carrier transport in heavilydoped Silicon," Solid-State Electronics, vol. 28, no. 1, pp. 47-54, 1985.

80. S.E. Swirhun, Y.-H. Kwark, and R.M. Swanson, "Measurement of electron lifetime, electron mobility and bandgapnarrowing in heavily doped p-type Silicon," IEDM Tech. Digest, vol. Dec., pp. 24-27, 1986.

81. S.E. Swirhun, J.A. del Alamo, and R.M. Swanson, "Measurement of holemobility in heavily doped n-type Silicon,"IEEE Electron Device Letters, vol. EDL-7, no. 3, pp. 168-71, 1986.

82. J. del Alamo and R.M. Swanson, "Measurement of steady-state minority carrier transport parameters in heavilydoped n-type Silicon," IEEE Trans. on Electron Devices, vol. ED-34, no. 7, pp. 1580-89, 1987.

83. H.S. Bennett and C.L. Wilson, "Statistical Comparisons of Data on Band-Gap Narrowing in Heavily DopedSilicon: Electrical and Optical Measurements," J. Appl. Phys., vol. 55, no. 10, pp. 3582-87, 1984.

84. C. Lombardi, S. Manzini, A. Saporito and M. Vanzi, "A Physically Based Mobility Model for Numerical Simu-lation of Nonplanar Devices," IEEE Trans. on CAD, vol. 7, no. 11, pp. 1164-71, 1988.

85. G. Masetti, M. Severi and S. Solmi, "Modeling of carrier mobility against carrier concentration in Arsenic-,Phosphorus- and Boron-doped Silicon," IEEE Trans. on Electron Devices, vol. ED-30, pp. 764-69, 1983.

86. D.M. Caughey and R. E. Thomas, "Carrier mobilities in Silicon empirically related to doping and field," Proc.IEEE, pp. 2192-93, Dec. 1967.

87. S.C. Choo, "Theory of a Forward-Biased Diffused-Junction P-L-N Rectifier. Part I: Exact Numerical Solutions,"IEEE Trans. on Electron Devices, vol. ED-19, no. 8, pp. 954-66, 1972.

88. N.H. Fletcher, "The high current limit for semiconductor junction devices," Proc. Institution of Radio Engineers,vol. 45, pp. 862-72, 1957.

89. D.B.M. Klaassen, "A unifiedmobilitymodel for device simulation - I. Model equations and concentration depen-dence," Solid-State Electronics, vol. 35, no. 7, pp. 953-959, 1992.

90. C. Canali, G. Majni, R. Minder, and G. Ottaviani, "Electron and hole drift velocity measurements in Silicon andtheir empirical relation to electric field and temperature," IEEE Trans. on Electron Devices, vol. ED-22, pp.1045-47, 1975.

91. B. Meinerzhagen and W. L. Engl, "The influence of the thermal equilibrium approximation on the accuracy ofclassical two-dimensional numerical modeling of silicon submicrometer mos transistors," IEEE Trans. ElectronDevices, vol. 35, no. 5, pp. 689-697, 1988.

92. D. Kendall. presented at the Conf. Physics and Application of Lithium Diffused Silicon, NASA, Goddard SpaceFlight Center, Dec. 1969.

93. J.G. Fossum, "Computer-aided numerical analysis of Silicon solar cells," Solid- State Electronics, vol. 19, pp.269-77, 1976.

94. J.G. Fossum and D.S. Lee, "A physical model for the dependence of carrier lifetime on doping density in nonde-generate Silicon," Solid-State Electronics, vol. 25, no. 8, pp. 741-47, 1982.

95. J.G. Fossum, R.P. Mertens, D.S. Lee, and J.F. Nijs, "Carrier recombination and lifetime in highly doped Silicon,"Solid-State Electronics, vol. 26, no. 6, pp. 569-76, 1983.

96. A. Schenk, "A model for the field and temperature dependence of Shockley-Read- Hall lifetimes in Silicon,"Solid-State Electronics, vol. 35, no. 11, pp. 1585-96, 1992.

97. M.S. Tyagi and R. van Overstraeten, "Minority carrier recombination in heavilydoped Silicon," Solid-State Elec-tronics, vol. 26, no. 6, pp. 577-97, 1983.

98. H. Goebel and K. Hoffmann, "Full dynamic power diode model including temperature behavior for use in circuitsimulators," in Proceedings of 1992 International Symposium on Power Semiconductor Devices & ICs, (Tokyo),pp. 130-135, 1992.

99. U. Lindefelt. ABB Corporate Research, Västerås, Sweden. private communication.


100. R.R. King, R.A. Sinton, and R.M. Swanson, "Studies of diffused phosphorus emitters: Saturation current, surfacerecombination velocity, and quantum efficiency," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 37, pp. 365-71,1990.

101. R.R. King and R.M. Swanson, "Studies of diffused boron emitters: Saturation current, bandgap narrowing, andsurface recombination velocity," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 38, pp. 1399-409, 1991.

102. A. Schenk and U. Krumbein, "Coupled Defect-Level Recombination: Theory and Application to AnomalousDiode Characteristics", J. Appl. Phys., vol. 77, no. 17, p. n.n., 1995.

103. A.G. Aberle, S. Glunz, and W. Warta, "Impact of illumination level and oxide parameters on Shockley-Read-Hallrecombination at the Si-SiO2 interface," J. Appl. Phys., vol. 71, no. 9, p. 4422.4431., 1992.

104. H. Ohtsuka, T. Uematsu, T. Warabisako, "Numerical analysis of field-effect surface passivation for solar cells,"Solar Energy Material and Solar Cells, vol. 44, p. 79.98., 1996.

105. L. Huldt, N.G. Nilsson, and K.G. Svantesson, "The temperature dependence of band-to-band Auger recombina-tion in silicon," Appl. Phys. Letters, vol. 35, no. 10, p. 776, 1979.

106. W. Lochmann and A. Haug, "Phonon-assisted Auger recombination in Si with direct calculation of the overlapintegrals," Solid State Communications, vol. 35, pp. 553-56, 1980.

107. R. Häcker and A. Hangleiter, "Intrinsic upper limits of the carrier lifetime in silicon," Journal of Applied Physics,vol. 75, pp. 7570-2, 1994.

108. A.G. Chynoweth, "Ionization rates for electrons and holes in Silicon," Phys. Rev., vol. 109, no. 5, pp. 1537-40,1958.

109. R.V. Overstraeten and H.D. Man, "Measurement of the ionization rates in diffused Silicon p-n junctions," Solid-State Electronics, vol. 13, pp. 583-608, 1970.

110. Y. Okuto and C.R. Crowell, "Threshold energy effects on avalanche breakdown voltage in semiconductor junc-tions," Solid-State Electronics, vol. 18, pp. 161-68, 1975.

111. T. Lackner, "Avalanche Multiplication in Semiconductors: A Modification of Chynoweth’s Law," Solid-StateElectronics, vol. 34, pp. 33-42, 1991.

112. A. Schenk, "Rigorous theory and simplified model of the band-to-band tunneling in Silicon," Solid-State Elec-tronics, vol. 36, no. 1, pp. 19-34, 1993.

113. A. Erlebach, "Parameter für die Ladungsträgergeneration bei Alphateilcheneinfall in Silizium." private commu-nication.

114. L.C. Northcliffe and R.F. Schilling, "Range and stopping-power tables for heavy ions," Nuclear Data Tables,vol. A7, pp. 233-463, 1970.

115. M. Valdinoci, A. Gnudi, M. Rudan, and G. Fortunato, "Analysis of amorphous-silicon devices," in NUPAD VConf. Dig. Tech. Papers, pp. 19-22, June 1994.

116. L. Colalongo, M. Valdinoci, G. Baccarani, A. Pecora, I. Policicchio, G. Fortunato, F. Plais, P. Legagneux, C.Reita, and D. Pribat, "Analysis and characterization of polycrystalline silicon thin-film transistors," in SISDEP-6,(Erlangen), pp. 82-85, Sept. 1995.

117. P. Ciampolini, A. Pierantoni, and G. Baccarani, "Efficient 3D simulation of complex structures," IEEE Transac-tions on CAD, vol. 10, pp. 1141-1149, September 1991.

118. S. Keeney, R. Bez, D. Cantarelli, F. Piccinini, A. Mathewson, L. Ravazzi, and C. Lombardi, "Complete transientsimulation of flash eeprom devices," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 39, pp. 2750-2757, December1992.

119. C. Fiegna, F. Venturi, M. Melanotte, E. Sangiorgi, and B. Riccò, "Simple and efficient modeling of EPROMwriting," IEEE Trans. on Electron Devices, vol. ED-38, no. 3, pp. 603-10, 1991.

120. D. Cassi and B. Riccn, "An analytical model of the energy distribution of hot electrons,"IEEE Transactions onElectron Devices, vol. 37, pp. 1514-1521, June 1990.

121. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices. John Wiley & Sons, 2nd ed., 1981.


122. C.J. Glassbrenner andG. A. Slack, "Thermal conductivity of silicon and germanium from 3 K to the meltingpoint," Physical Review, vol. 134, pp. A1058-A1069, May 1964.

123. S.S. Furkay, "Thermal characterization of plastic and ceramic surface-mount components," IEEE Trans. Com-ponents, Hybrids, and Manufacturing Technology, vol. 11, pp. 521-527, December 1988.

124. N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics. Philadelphia: Saunders College, 1976.

125. H. Kuchling, Taschenbuch der Physik. Harri Deutsch, 6th ed., 1984.

126. R.A. Smith, Semiconductors. Cambridge: University Press, second ed., 1978.

127. C. Herring, "The role of low-frequency phonons in thermoelectricity and thermal conduction," in Proc. Internat.Colloq. "Semiconductors and Phosphors" at Garmisch Partenkirchen, 1956.

128. T.H. Geballe and G.W. Hull, "Seebeck effect in silicon," Physical Review, vol. 98, pp. 941-947, May 1955.

129. W. Fulkerson, J.P. Moore, R.K. Williams, R.S. Graves and D.L. McElroy, "Thermal conductivity, electricalresistivity, and seebeck coefficient of Silicon from 100 to 1300 K," Phys. Rev., vol. 167, no. 3, pp. 765-82, 1968.

130. R.S. Varga, Matrix Iterative Analysis. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1962.

131. E.M. Buturla, P.E. Cottrell, B.M. Grossman, and K.A. Salsburg, "Finite-element analysis of semiconductordevices: The FIELDAY program," IBM J. Res. Develop., vol. 25, pp. 218-239, 1981.

132. R.E. Bank, W.M. Coughran, Jr., W.Fichtner, E.H. Grosse, D.J. Rose, and R.K. Smith, "Transient simulation ofsilicon devices and circuits," IEEE Trans., vol. CAD-4, pp. 436-451, 1985.

133. R.E. Bank and D.J. Rose, "Global Approximate Newton Methods," Numer. Math., vol. 37, pp. 279-295, 1981.

134. W. Allegretto and A. Nathan and H. Baltes, "Numerical Analysis of Magnetic- Field-Sensitive Bipolar Devices",IEEE Trans. on CAD, vol. CAD-10", pp. 501- 511", 1991.

135. C. Riccobene and G. Wachutka and J. F. Bürgler and H. Baltes, Operating Principle of Dual Collector Mag-netotransistors Studied by Two-Dimensional Simulation," IEEE Trans. on Electron Devices, vol. ED-41, pp.1136-1148, 1994.

136. C. Riccobene and K. Gärtner and G. Wachutka and H. Baltes and W. Fichtner, First Three-Dimensional NumericalAnalysis of Magnetic Vector Probe, IEDM Technical Digest, San Francisco, CA, pp. 727-730, 1994.

137. M. Lades and J. Frank and J. Funk, and G. Wachutka, "Analysis of Piezoresistive Effects in Silicon StructuresUsing Multidimensional Process and Device Simulation", in SISDEP-6, (Erlangen), pp. 82-85, Sept. 1995

138. Z.Z. Wang, "Modélisation de la piézorésistivité du Silicium," PhD thesis No. 9929, Univ. of Science andTechnology, Lille, France (1994).

139. J.F. Nye, "Physical Properties of Crystals", Oxford, Clarendon Press , 1985.

140. Y. Kanda, "A Graphical Representation of the Piezoresistance Coefficients in Silicon", IEEE Transactions onelectron devices 29 (1982), pp. 64-70.

141. S. Selberherr, "Analysis and Simulation of Semiconductor Devices", Wien: Springer, 1984.

142. S. Wolfram, Mathematica, Redwood City: Addison-Wesley, 1991.

143. O. N. Tufte, E. L. Stelzer, "Piezoresistive Properties of Silicon Diffused Layers", J. Appl. Phys., 34, 1963.

144. M. Ruff and H. Mitlehner, and R. Helbig, "SiC Devices: Physics and Numerical Simulation", IEEE Trans.Electron Devices, 41 (1994), pp. 1040-1054.

145. K. Hofmann, C. Werner, W. Weber, G. Dorda, "Hot Electron and Hole Emission Effect in Short n-ChannelMOSFETs", IEEE Trans. Electron Devices, Vol. 32, pp. 691-699, 1985.

146. M. Wada, T. Shibata, M. Konaka, H. Iizuka, R. Dang, "A Two-Dimensional Computer Simulation of Hot CarrierEffects in MOSFETs", IEDM, pp. 223-225, 1981.

147. M.J. van Dort, P.H. Woerlee and A.J. Walker, “A SimpleModel for Quantization Effects in Heavily- DopedSilicon MOSFETs at Inversion Conditions”, Solid-State Electronics, Vol. 37, No.3, pp. 411-414, 1994.

148. S.A. Hareland, S. Jallepalli, G. Chindalore, W.-K. Shih, A.F. Tasch, Jr., and C.M. Maziar, “A SimpleModel forQuantum Mechanical Effects in Hole Inversion Layers in Silicon PMOS Devices”, IEEE Trans. Electron Devices,Vol.44, No.7, pp.1172- 1173, 1997.


149. J.J. Liou, “Modeling the Tunneling Current in Reverse-Biased p/n Junctions”, Solid- State Electronics, Vol.33,No.7, pp.971-972, 1990.

150. K. Hasnat, C.-F. Yeap, W.-K. Shih, S.A. Hareland, V.M. Agostinelli, A.F. Tasch, C.M. Mazair, “A Pseudo-LuckyElectron Model for Simulation of Electron Gate Current in Submicron NMOSFET’s”, IEEE Trans. ElectronDevices, Vol.43, No.8, pp.1264-1273, 1996.

151. M.N. Darwish, J.L. Lentz, M.R. Pinto, P.M. Zeitzoff, T.J. Krutsick and H.H. Vuong, “An Improved Electronand Hole Mobility Model for General Purpose Device Simulation”, IEEE Trans. Electron Devices, Vol.44, No.9,pp.1529-1538, 1997.

152. N.D. Arora, J.R. Hauser and D.J. Roulston, “Electron and Hole Mobilities in Silicon as a Function of Concen-tration and Temperature,” IEEE Trans. Electron Devices, Vol. ED-29, pp.292-295, 1982.

153. A. Schenk and G. Heiser, “Modeling and Simulation of Tunneling through Ultra- Thin Gate Dielectrics”,J.Appl.Phys., Vol.81(12), p.7900.

154. W. Schockley, J.A. Copeland, and R.P. James, “The Impedance Field Method of Noise Calculation in ActiveSemiconductor Devices”, in Quantum Theory of Atoms, Molecules and the Solid State (Ed. P.-O. Loewdin),pp.537-563 (Academic Press), 1966.

155. F. Bonani, G. Ghione, M.R. Pinto and R.K. Smith, “An Efficient Approach to Noise Analysis through Multidi-mensional Physics-based Models”, IEEE Trans. Electron Devices, Vol.45, pp.261-269, 1998.

156. B. Schmithüsen, A. Schenk, and W. Fichtner, Simulation of Noise in Semiconductor Devices with Dessis Usingthe Direct Impedance Field Method, Technical Report 2000/08, Integrated Systems Laboratory, ETH Zürich,2000.

157. J.-P. Nougier, “Fluctuations and Noise of Hot Carriers in Semiconductor Materials and Devices”, IEEE Trans.Electron Devices, Vol.41, pp.2034-2049, 1994.

158. F. Bonani, G. Ghione, M.R. Pinto, and R.K. Smith, “Generation-Recombination Noise Modeling in Semiconduc-tor Devices through Population or Approximate Equivalent Current Density Fluctuations”, Solid-State Electronics,Vol. 43, pp. 285- 295, 1999.

159. S.L. Miller, R.D. Nasby, J.R. Schwank, M.S. Rodgers and P.V. Dressendorfer, “Device Modeling of FerroelectricCapacitors”, J. Appl. Phys. 68 (12), pp.6463-6471,15 Dec. 1990.

160. S.L. Miller, J.R. Schwank, R.D. Nasby and M.S. Rodgers, “Modeling Ferroelectric Capacitor Switching withAsymmetric Nonperiodic Input Signals and Arbitrary Initial Conditions”, J. Appl. Phys. 70 (5), pp.2849-2860,1Sep. 1991.

161. Jean-Luc Leray “Total Dose Effects: Modeling For Present And Future”, IEEE NSREC Short Course, 1999.

162. D. Schroeder, Modelling of Interface Carrier Transport for Device Simulation, Springer, 1994.

163. K. Horio, H. Yanai, “Numerical Modeling of Heterojunctions Including the Thermionic Emission Mechanism atHeterojunction Interface”, IEEE Trans. Electron Devices, ED-37, pp. 1093-1098, 1990.

164. G.A.M. Hurkx, D.B.M. Klassen, and M.P.G. Knuvers, “A New Recombination Model for Device SimulationIncluding Tunneling”, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-39, pp. 331-338, 1992.

165. Satoshi Sugino, Nobuyuki Takakura, Datong Chen, and Robert W. Dutton, “Analysis of Writing and Erasing Pro-cedure of Flotox EEPROM Using the New Charge Balance Condition (CBC) Model”, in Workshop on NumericalModeling of Processes and Devices for Integrated Circuits: NUPAD IV, Seattle, WA, pp. 65-69, 1992.

166. M.K. Ieong, P.M. Solomon, S.E. Laux, H.S.P. Wong, and D. Chidambarrao, “Comparison of Raised and SchottkySource/Drain MOSFETs Using a Novel Tunneling Contact Model”, IEDM-98, pp. 733-736, 1998.

167. K.S. Kundert, J.K. White, and A. Sangiovanni-Vincentelli , Steady State Methods for Simulating Analog andMi-crowave Circuits, Kluver Academic Publishers, 1990.

168. Y. Takahashi, K. Kunihiro, and Y. Ohno, IEICE Trans. on Electronics, Vol. E82-C, no. 6, pp.917-923, 1999.

169. L.A. Coldren, S.W. Corzine, in Diode Lasers and Photonic Integrated Circuits, Wiley Series, 1995.

170. S.L. Chuang, Physics Of Optoelectronic Devices, Wiley Series, 1995.


171. M.A. Alam, M.S. Hybertsen, R.K. Smith, G.A. Baraff, and M.R. Pinto “Simulation of Semiconductor QuantumWell Lasers”, Proceedings SPIE Vol. 2994, 1997 pg. 709-722.[smith]

172. M. Grupen, K. Hess, “Simulation of Carrier Transport and Nonlinearities in Quantum Well Laser Diodes”, IEEEJournal of Quantum Electronics, January 1998, Vol. 34, No. 1, pg. 120-140.

173. C.H. Henry, “Theory of Spontaneous Emission Noise in Open Resonators and its Application to Lasers andOptical Amplifiers”, Journal of Lightwave Technology, March 1986, Vol. 4, No. 3, pg. 288-297.

174. M. Koshiba, Optical Waveguides by the Finite Element Method, KTK Scientific Publishers, 1992.

175. G. Sleijpen, A. Booten, D. Fokkema, H. van der Vorst, Jacobi-Davidson Type Methods for Generalized Eigen-problems and Polynomial Eigenproblems, Preprint 923, September 1995.

176. D. Fokkema, G. Sleijpen, H. van der Vorst, “Jacobi-Davidson Type QR and QZ Algorithms for the Reduction ofMatrix Pencils”, SIAM J. Sci. Comput. 20:94-125, August 1998.

177. Z.M. Li, M. Dion, S.P. McAlister, R.L. Williams and G.C. Aers, “Incorporation of Strain Into a Two-DimensionalModel of Quantum-Well Semiconductor Lasers”, IEEE Journal of Quantum Electronics, February 1993, Vol. 29,No. 2, pg. 346-354.

178. C.A. Hougen, J.Appl.Phys. Vol.66, 3763(1089)

179. B. Schmithüsen, K. Gärtner, W. Fichtner, “Grid Adaptation for Device Simulation According to the DissipationRate”, SISPAD 98, 1998.

180. H. Gajewski, K. Gärtner, “On the Discretization of the van Roosbroeck’s Equations with Magnetic Field”, ZAMM76(5), 247-264, 1996.

181. B. Schmithüsen, W. Fichtner, Grid Adaptation in Semiconductor Device Simulation Based on Local DissipationRate Error Estimation: Background and Examples, Integrated Systems Laboratory, ETHZ, Switzerland, TR-2001/02, in preparation.

182. B. Schmithüsen, W. Fichtner, Adaptive Grid Modul (AGM) in DESSIS-ISE, Integrated Systems Laboratory,ETHZ, Switzerland, TR-2001/03, in preparation.

183. J. Bardeen and W. Shockley, “Deformation potentials and mobilities in non-planar crystals”, Phys.Rev., 80,p,72(1950)

184. I. Goroff and L. Kleiman, “Deformation potentials in silicon. |||. Effects of general strain on conduction andvalence levels”, Phys.Rev., 132, p.1080 (1963)

185. J.J. Wortman, J.R. Hauser, and R.M. Burger, “Effect of mechanical stress on pn-junction device characteristics”,J.Appl. Phys., 35, p.2122 (1964)

186. P. Smeys, Geometry and stress effects in scaled integrated circuit isolation technologies, Ph.D. thesis (UMI#9702989), Stanford University, Department of Electrical Engineering, 1996.

187. S. Reggiani, M. Valdinoci, L. Colalongo, G. Baccarani, “A unified analytical model for bulk and surface mobilityin Si n- and p-channel MOSFETs,” ESSDERC, pp. 1999

188. D.E.I.S.- University of Bologna: ESPRIT Project 23643 ESDEM - Project Deliverable 1.1.3.5, 1999

189. S. Takagi, A. Toriumi, M. Iwase, and H. Tango,”On the universality of inversion layer mobility in Si MOSFETs:part I - Effects of substrate impurity concentration,” IEEE Trans. on Electron Devices, Vol. ED-41, no. 12,pp.2357-2362, 1994.

190. D.E.I.S.- University of Bologna: “A unified mobility model for numerical simulation”, PARASITICS Report,1999

191. M. Valdinoci, D. Ventura, M.C. Vecchi, M. Rudan, G. Baccarani, F. Illien, A. Stricker, L. Zullino,”Impactionization in silicon at large operating temperature” SISPAD Proc. pp. 27-30, 1999

192. M.C. Vecchi, M. Rudan , IEEE Trans. on Electron Devices, Vol. ED-45, no. 1, pp.230-238, 1998

193. M.G. Ancona and H.F. Tiersten, “Macroscopic physics of the silicon inversion layer,” Phys. Rev. B, vol. 35, no.15, pp. 7959-7965, May 1987.

Deo IIIPrimeri simulacije

U ovom delu su dati primeri simulacije koriscenjem Silvaco i ISE TCAD sistema. Najpre su dati primeri simulacijekompletnog tehnoloskog niza za proizvodnju poluprovodni-ckih komponenata, a zatim su dati i primeri simulacijenjihovih elektricnih karakteristika. Primeri simulacije su tako izabrani da studentu pruzaju mogucnost da razume iovlada tehnikama 1D, 2D i 3D simulacije. Takodje, podjednako je zastupljena simulacija MOS i bipolarnih kompone-nata, a dati su i primeri simulacije specificnih komponenata kao sto su Holovi magnetni senzori, koji zahtevaju veomadobro poznavanje mogucnosti raspolozivih procesnih i elektricnih simulatora, s obzirom da se kod simulacije Holovihsenzora mora uzeti u obzir uticaj magnetnog polja na njegove elektricne karakteristike sto se najcesce zanemaruje kodsimulacija karakteristika MOS i bipolarnih tranzistora.

Primeri su tako obradjeni da je najpre opisan problem koji zelimo da simuliramo, zatim je dat primer ulaznedatoteke u kojoj je korisnickim jezikom odgovarajuceg simulatora definisan problem. Korisnicki jezik simulatora nijeposebno objasnjavan, s obzirom da uz svaki simulator dolazi veoma detaljno uputstvo sa opisom sintakse korisnickogjezika, a i uz malo prakse i vezbe studenti ce moci da samostalno koriste programe, naravno za jednostavnije primeresimulacije, samo na osnovu datih ulaznih datoteka u ovom poglavlju.

8Simulacija tehnoloskih procesa

8.1 1D SIMULACIJA PROCESA PROGRAMOM SSUPREM3

8.1.1 1D simulacija NMOS tranzistora - presek kroz kanal i sors/drejnoblasti

U ovom primeru je prikazana simulacija tehnoloskog niza za proizvodnju NMOS tranzistora sa polisilicijumskimgejtom. Simulacija zapocinje procesnim koracima zajednickim za sve preseke, a zatim se grana na postupke dobijanjaprofila primesa u presecima kroz oblasti sorsa/drejna i oblast kanala NMOS tranzistora. Ulazna datoteka programaSSUPREM3, koja veoma detaljno opisuje kompletan niz za proizvodnju sa svim vaznim procesnim parametrima, imaoblik:

go ssuprem3TITLE: NMOS tranzistor: Gate i S/D aktivne oblasti# Initialize silicon substrate.Initialize <100> Silicon c.boron=1e15 Thick=4 dX=.005 XdX=.02 Spaces=400# Grow pad oxide, 400A.Diffusion Temperature=1000 Time=40 DryO2# Deposit 800A of CVD Nitride.Deposit Nitride Thickness=.0800 Spaces=15# Grow field oxide.Diffusion Temperature=1000 Time=180 WetO2# Etch to silicon surface.Etch Oxide allEtch Nitride allEtch Oxide all# Implant boron to shift the threshold voltage.Implant Boron Dose=4e11 Energy=50# Grow gate oxide in dry oxygen ambient with 3% HCl.Diffusion Temperature=1050 Time=30 DryO2 HCL%=3# Deposit polysiliconDeposit Polysilicon Thickness=0.5 Temperature=600# Heavily dope the polysilicon using POCl3Diffusion Temperature=1000 Time=25 dTmin=.3 Phosphorus Solidsolubility# Extract gate oxide thicknessextract name="gateox" thickness material="SiO˜2" mat.occno=1TonyPlot -ttitle "s3ex01.in: Initial Active Region"# The simulation runs are split for the gate and source/drain regions.structure outfile=s3ex01_1.str# Source/drain regions.Etch PolysiliconEtch Oxide

105

106 SIMULACIJA TEHNOLOSKIH PROCESA

Slika 8.1 1D profil primesa u preseku kroz oblasti sorsa/drejna.

Slika 8.2 1D profil primesa u preseku kroz kanal NMOS tranzistora.

# Implant Arsenic for source/drain regions.Implant Arsenic Dose=5E15 Energy=150# Drive-in Arsenic and re-oxidize source/drain regions.Diffusion Temperature=1000 Time=30 DryO2# Etch contact holes to gate, source, and drain regions.Etch oxide# Deposit Phosphorus doped SiO2 using CVD.Deposit Oxide Thickness=.7500 Phosphorus Concentration=1e21# Reflow glass to smooth surface and dope contact holes.Diffusion Temperature=1000 Time=30# Reopen contact holes.Etch Oxide# Deposit Aluminum.Deposit Aluminum Thickness=1.2 Spaces=10TonyPlot -ttitle "s3ex01.in: Source/Drain Region"# Save the structure.structure outfile=s3ex01_2.str# Process the gate region.# Initialize previously saved structureInitialize infile=s3ex01_1.str# Implant Arsenic for source/drain regions.Implant Arsenic Dose=5E15 Energy=150# Drive-in Arsenic and re-oxidize source/drain regions.Diffusion Temperature=1000 Time=30 DryO2# Etch contact holes to gate, source, and drain regions.Etch Oxide# Deposit Phosphorus doped SiO2 using CVD.Deposit Oxide Thickness=.75 Phosphorus Concentration=1.E21# Reflow glass to smooth surface and dope contact holes.Diffusion Temperature=1000 Time=30# Reopen contact holes.Etch Oxide# Deposit Aluminum.Deposit Aluminum Thickness=1.2 Spaces=10# Save the structure.Structure outfile=s3ex01_3.strquit

Dobijeni rezultati simulacije, profili pimesa u 1D presecima kroz oblasti sorsa/drejna ikanala NMOS tranzistora, prikazani su na slikama 8.1 i 8.2, respektivno. Pored toga,koriscenjem naredbe Extract, u okviru 1D simulacije oblasti kanala ekstrahovana jedebljina oksida gejta, koji je takodje, zajedno sa polisilicijumskim slojem prikazan naslici 8.2.

8.1.2 1D simulacija NMOS tranzistora - presek kroz izolacionu oblast

Ovaj primer sadrzi identicnu procesnu sekvencu tehnoloskog niza kao i prethodni, s tomrazlikom sto je ona ovde iskoriscena za dobijanje strukture i profila u izolacionoj oblastiNMOS tranzistora (slika 8.3). Ekstrahovana je vrednost debljine izolacionog oksida,kao i vrednost napona praga (Field Threshold Voltage) u oblasti oksida. S obziromna debljinu oksida u oblasti izolacije potrebno je podesiti visu vrednost krajnjeg naponapobude (Bias Stop) na oko 20V. Ulazna datoteka za ovaj primer simulacije je:go ssuprem3TITLE: NMOS tranzistor: izolaciona oblast# Initialize silicon substrate.Initialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=4.0 dX=.01 Spaces=400# Grow pad oxide, 400A.Diffusion Temperature=1000 Time=40 DryO2

SIMULACIJA PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE 107

Slika 8.3 1D profil primesa u preseku kroz izolacionu oblast NMOS tranzistora.

# Implant boron to increase field region doping.Implant Boron dose=1e13 energy=150# Grow field oxide.Diffusion Temperature=1000 Time=180 WetO2# Extract field oxide thicknessextract name="fieldox" thickness material="SiO˜2" mat.occno=1# Implant boron to shift the enhancement threshold voltage.Implant Boron Dose=4e11 Energy=50# Grow gate oxideDiffusion Temperature=1050 Time=30 DryO2 HCL%=3# Deposit polysiliconDeposit Polysilicon Thickness=0.5 Temperature=600# Heavily dope the polysilicon using POCl3Diffusion Temperature=1000 Time=25 dTmin=.3 Phosphorus SolidsolTonyPlot -ttitle "s3ex02.in: Initial Isolation Structure"# Final isolation region processing.# Etch polysilicon and oxide over source/drain regions.Etch PolysiliconEtch Oxide Amount=.0700# Implant Arsenic for source/drain regions.Implant Arsenic Dose=5E15 Energy=150# Drive-in Arsenic and re-oxidize source/drain regions.Diffusion Temperature=1000 Time=30 DryO2# Deposit Phosphorus doped SiO2 using CVD.Deposit Oxide Thickness=.7500 Phosphorus Concentration=1e21# Reflow glass to smooth surface and dope contact holes.Diffusion Temperature=1000 Time=30# Deposit Aluminum.Deposit Aluminum Thickness=1.2 Spaces=10# Extract Field Threshold Voltageextract name="Vt" 1dvt ntype bias=0.0 bias.step=0.5 bias.stop=60TonyPlot -ttitle "s3ex02.in: Final Isolation Structure"# Save the structure.Structure outfile=s3ex02.str#quit

8.2 SIMULACIJA PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE

8.2.1 Poredjenje analitickih modela procesa jonske implantacije

S obzirom da se za simulaciju procesa jonske implantacije koristi veci broj analitickihmodela, koji su detaljno opisani u prvom delu ove knjige, u ovom primeru simulacije jeizvrseno njihovo poredjenje. Proces implantacije fosfora (40 keV, 1014cm−2) je simulirankoriscenjem Gauss-ovog, Pearson i SVDP analitickih modela. Rezultati simulacije suprikazani na slici 8.4. Jasno se uocava prednost SVDP modela u odnosu na prva dva,s obzirom da on najpreciznije opisuje profil implantiranog fosfora, uzimajuci u obzir iefekat kanalovanja primesa.go athena#TITLE: Comparison of Gauss, Pearson and SVDP methodline x loc = 0.0 spacing=0.25line x loc = 0.25 spacing=0.25line y loc = 0 spacing = 0.01line y loc = 0.50 spacing = 0.01#initialize the meshinit silicon#Gauss (symmetrical) implant (parameters are in std_tables)moments std_tablesimplant phos dose=1e14 energy=40 gaussstruct outf=aniiex01_0.str


Slika 8.4 1D implantirani profili fosfora (E=40 keV, DOSE=1014cm−2) dobijeni koriscenjemrazlicitih analitickih modela: Gauss, Pearson i SVDP.

#line x loc = 0.0 spacing=0.25line x loc = 0.25 spacing=0.25line y loc = 0 spacing = 0.01line y loc = 0.50 spacing = 0.01#initialize the meshinit silicon#Use single Pearson (parameters are in std_tables)moments std_tablesimplant phos dose=1e14 energy=40 pearson print.momstruct outf=aniiex01_1.str#line x loc = 0.0 spacing=0.25line x loc = 0.25 spacing=0.25line y loc = 0 spacing = 0.01line y loc = 0.50 spacing = 0.01#initialize the meshinit silicon#Use SVDP method (default)moments svdp_tablesimplant phos dose=1e14 energy=40 print.momstruct outf=aniiex01_2.strtonyplot -overlay aniiex01_*.str -set aniiex01.setquit

8.2.2 Simulacija procesa implantacije pod uglom

Ovaj primer simulacije ilustruje primenu analitickih modela implantacije za odredjivanjeprofila primesa u slucaju implantacije pod uglom. U konkretnom primeru simulacije sekoristi Dual Pearson Model za precizno modeliranje ovog procesa u sirokom opseguuglova implantacije, ukljucujuci naravno ugao od nula stepeni. Simulacijom su dobijeni1D profili bora implantiranog energijom od 35 keV za razlicite uglove u opsegu od nula dodeset stepeni. Radi lakseg poredjenja profili su prikazani na istom grafiku koriscenjemoverlay opcije grafickog editora TONYPLOT, koji je sastavni deo Silvaco TCADsoftverskog paketa. Lako je uociti sa slike 8.5 da se sa povecanjem ugla pod kojimse implantiraju primese efekat kanalovanja, koji se dosta dobro simulira Dual Pearsonanalitickim modelom, znacajno smanjuje, a to je i osnovni razlog sto se implantacijaprimesa pod uglom koristi u poluprovodnickoj tehnologiji. Ulazna datoteka za ovajprimer simulacije je:go ssuprem3## This implant example uses data calibrated from Al Tasch’s experimental# data, generated at the University of Texas at Austin....#TITLE: Implant Profile Variation with Tilt Angle# Initialize silicon substrate.Initialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=0.8 dX=.005 XdX=.02 Spaces=150Implant Boron Dose=5e14 Energy=35 Tilt=0struct outfile=s3ex07_00.strInitialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=0.8 dX=.005 XdX=.02 Spaces=150Implant Boron Dose=5e14 Energy=35 Twist=0 Tilt=2struct outfile=s3ex07_02.strInitialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=0.8 dX=.005 XdX=.02 Spaces=150Implant Boron Dose=5e14 Energy=35 Twist=0 Tilt=4struct outfile=s3ex07_04.strInitialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=0.8 dX=.005 XdX=.02 Spaces=150Implant Boron Dose=5e14 Energy=35 Twist=0 Tilt=6struct outfile=s3ex07_06.strInitialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=0.8 dX=.005 XdX=.02 Spaces=150

SIMULACIJA PROCESA JONSKE IMPLANTACIJE 109

Slika 8.5 1D implantirani profili bora (E=35 keV, DOSE=5 · 1014cm−2) dobijeni za razlicitevrednosti ugla implantacije u opsegu od 0 do 10o.

Slika 8.6 Poredjenje Monte Carlo, Dose Matching i MAX.SCALE Matching analitickih mod-ela na primeru simulacije fosfora za viseslojne strukture Si3N4/Si.

Implant Boron Dose=5e14 Energy=35 Twist=0 Tilt=8struct outfile=s3ex07_08.strInitialize <100> Silicon c.Boron=1e15 Thick=0.8 dX=.005 XdX=.02 Spaces=150Implant Boron Dose=5e14 Energy=35 Twist=0 Tilt=10struct outfile=s3ex07_10.strtonyplot -overlay s3ex07_*.str -set s3ex07.set -ttitle "s3ex07.in: Tilted Ion Implant"quit

8.2.3 Simulacija implantacije fosfora u Si3N4/Si strukturu

Ovaj primer simulacije je iskoriscen da se izvrsi poredjenje Monte Carlo modela procesajonske implantacije sa analitickim modelima implantacije za slucaj implantacije fos-fora (40 keV, 1014cm−2) u viseslojnu strukturu Si3N4/Si. Dobijeni rezultati (slika 8.6)pokazuju da se analiticki modeli veoma dobro slazu sa Monte Carlo modelom, cak i uslucaju kada je maksimum profila u blizini medjupovrsine dva materijala sa znacajnorazlicitim karakteristikama u pogledu dubine prodiranja implantiranih primesa.go athena# Phosphorus Implant through Thick Nitride Layer#the x dimension definitionline x loc = 0.0 spacing=0.25line x loc = 0.25 spacing=0.25#the vertical definitionline y loc = 0 spacing = 0.005line y loc = 0.3 spacing = 0.005#init silicondeposit nitride thick=0.08 div=20struct outf=aniiex08.str# Use Monte Carloimplant phos energy=100 dose=1e14 amorph monte n.ion=5000struct outf=aniiex08_01.str remove.gas#init infile=aniiex08.str# Use default DOSE.MATCH methodimplant phos energy=100 dose=1e14 amorphstruct outf=aniiex08_02.str#init infile=aniiex08.str# Use MAX.SCALE methodimplant phos energy=100 dose=1e14 amorph max.scalestruct outf=aniiex08_03.strtonyplot -overlay aniiex08_*.str -set aniiex08.setquit

8.2.4 Formiranje LDD strukture koriscenjem tilt implantacije

Ovaj primer demonstrira upotrebu analitickog modela za simulaciju procesa implantacijepod uglom. Pri generisanju MOS strukture, LDD oblasti su formirane procesom im-plantacije pod uglom i uz punu rotaciju. Puna rotacija obezbedjuje simetricnost LDDprofila dok ugao implantacije (48 stepeni) ima ulogu da iskljuci veoma duboko prodi-ranje u pravcu ugla od 45 stepeni. Implantacija arsena, kojom se formiraju oblasti sorsa


Slika 8.7 2D profil primesa (levo) i 1D lateralni profil primesa u oznacenom preseku (desno).

i drejna je izvrsena bez tilta, tj. pod uglom od nula stepeni. 2D profil primesa u domenusimulacije, kao i lateralni 1D profil u preseku uz samu povrsinu komponente prikazanisu na slici 8.7.go athena#LDD Formation using LATID Full Rotation Implant#line x loc = 0.0 spac=0.1line x loc = 0.4 spac=0.02line x loc = 0.7 spac=0.05#line y loc = 0 spac=0.02line y loc = 0.50 spac=0.04line y loc = 1.0 spac=0.1##calculate the meshinit c.boron=1.0e15##grow gate oxidediffuse temp=950 time=15 dry##implant threshold adjustimplant boron dose=4e12 energy=20##deposit gate poly and patterndeposit poly thick=0.4 div=8etch poly left p1.x=0.4## remove excess grid in substraterelax dir.y=f y.min=.4##perform gate reoxidationdiffuse temp=950 time=10 dry## mirror to form complete devicestructure mirror right# implant LDD using angled implant and full rotation# 48 degrees is selected to avoid channellingimplant phos dose=5e13 energy=80 tilt=48 fullrotat## implant source/drain vertically# Use standard tables because SVDP tables are available only for# native oxide and would overestimate channelling for in this casemoments std_tabimplant arsen dose=5e15 energy=80 tilt=0## activation diffusiondiffuse time=10 temp=900#structure outfile=aniiex10.strtonyplot -st aniiex10.str -set aniiex10.setquit

8.2.5 Monte Carlo implantacija u "trench" strukturi

Monte Carlo model implantacije je u ovom primeru iskoriscen za slucaj simulacijeprocesa implantacije bora u bocne zidove trench-a. Naredbom Relax se adaptira mrezanakon procesa nagrizanja, cime se obezbedjuje bolja gustina diskretizacione mreze prisamoj povrsini, sto je od presudnog znacaja za konacno dobijeni profil implantacije.

U ovom primeru, incidentni joni dospevaju na povrsinu pod uglom od 15 stepeni uodnosu na y-osu. Ocigledno je da pod takvim uslovima joni direktno prodiru kroz desnizid trench-a i izlozenu gornju povrsinu. Dopiranje na levoj strani trench-a i njegovom

SIMULACIJA PROCESA DIFUZIJE 111

Slika 8.8 2D raspodela primesa u trench strukturi (levo) i 1D profili u oznacenim presecima.

dnu bice posledica iskljucivo reflektovanih jona. Vidljiva je redukcija dubine profila nadnu trench-a od oko jednog mikrona (slika 8.8). Iznad ove tacke joni dospevaju direktnona povrsinu, dok se ispod nje povrsina nalazi u "senci". Posle implantacije je izvrsenokratko odzarivanje primesa. Ulazna datoteka za ovaj primer simulacije je:go athena#TITLE: Angled Monte Carlo Implant into a Trench#line x loc=-1 spac=0.25line x loc=-0.8 spac=0.04line x loc=-0.5 spac=0.04line x loc=-0.4 spac=0.1line x loc=0.00 spac=0.5#line y loc=0.00 spac=0.04line y loc=0.20 spac=0.04line y loc=0.30 spac=0.1line y loc=4.50 spac=0.5line y loc=5.00 spac=0.04line y loc=5.20 spac=0.04line y loc=6.00 spac=0.5init c.boron=1.0e16 orientation=100## Etch half of the trenchetch silicon start x=-0.50 y=0.00etch cont x=-0.50 y=4.50etch cont x=-0.48 y=4.90etch cont x=-0.45 y=4.93etch cont x=0.00 y=5.00etch cont x=1 y=5.00etch done x=1 y=0.00##Perform a series of relax operations to loosen the meshrelax y.min=.5 x.max=-.8relax y.min=5.15relax y.min=5.15##mirror to form complete trenchstructure mirror right##Perform Monte Carlo implantimplant boron dose=1e16 ener=50 monte n.ion=10000 amorph tilt=15## Diffuse the implant slightlydiffuse time=10 temp=900#structure outfile=aniiex12.strtonyplot -st aniiex12.str -set aniiex12.set#quit

8.3 SIMULACIJA PROCESA DIFUZIJE

8.3.1 Simulacija procesa implantacije i odzarivanja bora

Primer predstavlja jednostavnu demonstraciju simulacije procesa implantacije i difuzijebora. Nakon implantacije bora sledi proces odzarivanja. Kako je implantacija izvrsenabez maske, tj. po celoj povrsini 2D domena simulacije, simulator ATHENA/SSUPREM4zadrzava 1D rezim rada do kraja simulacije. U konkretnom slucaju, kada se radi oumerenim vrednostima energije i doze implantacije i neutralnom difuzionom ambijentu,koristi se osnovni, fermi difuzioni model, kao sto je definisano u ulaznoj datoteci,


Slika 8.9 1D implantirani profili bora (E=70 keV, DOSE=1013cm−2) (levo) i odzareni profil(TIME=30min, TEMP=1000oC) (desno).

a dobijeni rezultati simulacije, implantirani i konacni profil bora posle odzarivanja suprikazani na slici 8.9.go athena#TITLE: Simple Boron Anneal#the x dimension definitionline x loc = 0.0 spacing=0.1line x loc = 0.1 spacing=0.1#the vertical definitionline y loc = 0 spacing = 0.02line y loc = 2.0 spacing = 0.20#initialize the meshinit silicon c.phos=1.0e14#perform uniform boron implantimplant boron dose=1e13 energy=70#perform diffusiondiffuse time=30 temperature=1000#extract name="xj" xj silicon mat.occno=1 x.val=0.0 junc.occno=1#plot the final profiletonyplot#save the structurestructure outfile=andfex01.strquit

8.3.2 Simulacija defektima ubrzane difuzije arsena

U ovom primeru simulacije prikazan je efekat ubrzane difuzije primesa, TED (TransientEnhanced Diffusion), usled prisustva defekata (intersticija i vakancija) u silicijumu kojise generisu u procesu implantacije. Koncentracija defekata je daleko veca u slucaju im-plantacije teskih jona, kao sto je na primer arsen, a ovakvi procesi implantacije su tipicniza formiranje oblasti drejna/sorsa u MOS, odnosno emitora u bipolarnim tehnologijama.

Jedan od kljucnih parametara pri simulaciji TED efekta je koriscenjeFULL.CPLmod-ela, pri cemu se definise stepen ostecenja kristalne resetke usled implantacije parametromunit.damage. Drugi parametar dam.fact skalira koncentraciju intersticija rela-tivno u odnosu na profil dopiranja. Dobijeni rezultati simulacije nakon odzarivanja (15min, 1000o) su prikazani na slici 8.10. Ista simulacija je ponovljena uz koriscenje Fermidifuzionog modela. Poredjenjem rezultata simulacije (slika 8.10) jasno se moze videtirazlika dobijenih profila, kako u maksimalnoj koncentraciji, tako i u dubini p-n spojaformirane oblasti.go athena#the x dimension definitionline x loc = 0.0 spacing=0.1line x loc = 0.1 spacing=0.1#the vertical definitionline y loc = 0 spacing = 0.005line y loc = 2.0 spacing = 0.20line y loc = 25.0 spacing = 2.5#initialize the meshinit silicon c.boron=1.0e17#deposit screen oxidedeposit oxide thickness=0.005 div=2#perform arsenic implant with damageimplant arsenic dose=1.0e15 energy=40 tilt=7 unit.damage dam.factor=0.1#set diffusion model for TEDmethod full.cpl#perform diffusiondiffuse time=15/60 temperature=1000

SIMULACIJA PROCESA DIFUZIJE 113

Slika 8.10 1D odzareni profil arsena (TIME=15/60min, TEMP=1000oC, DRYO2) u slucajukada se uticaj tackastih defekata zanemaruje (model FERMI) i simultane difuzije (modelFULL.CPL).

#extract name="xj_fullcpl" xj silicon mat.occno=1 x.val=0.0 junc.occno=1#save the structurestructure outfile=andfex03_0.str## repeat the simulation with FERMI model#the x dimension definitionline x loc = 0.0 spacing=0.1line x loc = 0.1 spacing=0.1#the vertical definitionline y loc = 0 spacing = 0.005line y loc = 2.0 spacing = 0.20line y loc = 25.0 spacing = 2.5#initialize the meshinit silicon c.boron=1.0e17#deposit screen oxidedeposit oxide thickness=0.005 div=2#perform arsenic implant with damageimplant arsenic dose=1.0e15 energy=40 tilt=7 unit.damage dam.factor=0.1#set default modelmethod fermi#perform diffusiondiffuse time=15/60 temperature=1000extract name="xj_fermi" xj silicon mat.occno=1 x.val=0.0 junc.occno=1#save the structurestructure outfile=andfex03_1.str# compare diffusion modelstonyplot -overlay andfex03_0.str andfex03_1.str -set andfex03.set

8.3.3 Simulacija emitor-push efekta

U ovom primeru demonstrirana je primena FULL.CPL modela difuzije za simulacijuemitor-push efekta u slucaju difuzije bora. Emitor-push efekat se javlja kod bipolarnogNPN tranzistora kod koga, pri formiranju emitora, visoka koncentracija fosfora difundujeu baznu oblast dopiranu borom. U ovom slucaju primese bora u oblasti ispod emitoradifunduju znacajno brze od primesa koje se nalaze dublje u baznoj oblasti. Ova pojavaje posledica difuzije tackastih defekata koji, usled difuzije fosfora, bivaju potisnute kadubljim oblastima baze uslovljavajuci pojacanu difuziju bora. Ovaj i njemu slicni efektibili su osnovni razlog za razvoj i implementaciju tzv. "fully coupled" modela difuzijeu simulator ATHENA/SSUPREM4. Treba imati u vidu da ovaj model u poredjenju saalternativnim modelima difuzije koji su ugradjeni u simulator ATHENA/SSUPREM4zahteva najduze vreme simulacije, pa ga treba koristiti sa oprezom. S druge strane, toje jedini model kojim je moguce simulirati emitor-push efekat sa potrebnom tacnoscu.Dobijene 2D raspodele bora i fosfora prikazane su na slici 8.11, i jasno se moze uocitida su primese bora u oblasti ispod emitora difundovale nesto dublje, sto je posledicaopisanog efekta.go athena#TITLE: Emitter push effect example#line x loc=0.0 spac=0.2line x loc=2.5 spac=0.8line x loc=3.0 spac=0.2#line y loc=0.00 spac=0.04line y loc=0.3 spac=0.06line y loc=2.0 spac=0.8


Slika 8.11 Emitor-push efekat, ubrzana difuzija bora (oblast baze) usled prisustva fosfora(oblast emitora).

line y loc=10.0 spac=2.0#init c.phos=1e15#implant boron dose=1e13 energy=40deposit nitride thick=.2 div=4etch right nitride p1.x=2.5relax y.min=1.5#implant phosphor dose=1e16 energy=30etch nitride all#method compress full.cpldiffuse time=30 temp=1000structure outfile=andfex07.strtonyplot -st andfex07.str -set andfex07.setquit

8.4 SIMULACIJA PROCESA OKSIDACIJE

8.4.1 Simulacija oksidacijom ubrzane difuzije bora

Ovaj primer ilustruje primenu razlicitih difuzionih modela za slucaj difuzije primesau oksidacionom ambijentu kada se javlja efekat oksidacijom ubrzane difuzije (OED -Oxidation Enhanced Diffusion). Naime, kada se difuzija odvija u oksidacionom am-bijentu, brzina injekcije tackastih defekata predstavlja funkciju brzine oksidacije silici-juma. Pojacana injekcija tackastih defekata ubrzava difuziju primesa pa se kao rezultatdobijaju difuzione oblasti vece dubine. Ukljucivanje OED efekta u simulaciju vrsi sespecificiranjem TWO.DIM difuzionog modela. Izborom pomenutog modela, koncen-tracija intersticija i vakancija se racuna paralelno sa koncentracijom primesa, tj. vrsise delimicno udruzivanje (loosely coupled) tackastih defekata, nastalih oksidacijom naSi/SiO2 medjupovrsini, sa borom.

Kod simulacije difuzije tackastih defekata neohodno je povecati debljinu supstrata,tj. dubinu simulacionog domena, da bi se obezbedila dubina neophodna za difuziju iodvodjenje tackastih defekata. Razliciti primeri simulacija pokazuju da je neophodnadebljina od 20 do 50µm. Kao i u prethodnom primeru, ista simulacija je ponovljena samodelom FERMI. Na osnovu poredjenja dva dobijena profila bora (slika 8.12), ociglednaje razlika u dubinama profila, kao i u maksimalnoj koncentraciji.go athena# OED of Boron#the x dimension definitionline x loc = 0.0 spacing=0.1line x loc = 0.1 spacing=0.1#the vertical definitionline y loc = 0 spacing = 0.02line y loc = 2.0 spacing = 0.20line y loc = 25.0 spacing = 2.5#initialize the meshinit silicon c.phos=1.0e14#perform uniform boron implantimplant boron dose=1e13 energy=70#set diffusion model for OEDmethod two.dim#perform diffusiondiffuse time=30 temperature=1000 dryo2

SIMULACIJA PROCESA OKSIDACIJE 115

Slika 8.12 1D odzareni profil bora (TIME=30min, TEMP=1000oC, DRYO2) u slucaju kadase uticaj oksidacije zanemaruje (model FERMI) i kada se uticaj oksidacije uzima u obzir (modelTWO.DIM).

#extract name="xj_two.dim" xj silicon mat.occno=1 x.val=0.0 junc.occno=1#save the structurestructure outfile=andfex02_0.str# repeat the simulation with default FERMI modelgo athena#TITLE: Simple Boron Anneal#the x dimension definitionline x loc = 0.0 spacing=0.1line x loc = 0.1 spacing=0.1#the vertical definitionline y loc = 0 spacing = 0.02line y loc = 2.0 spacing = 0.20line y loc = 25.0 spacing = 2.5#initialize the meshinit silicon c.phos=1.0e14#perform uniform boron implantimplant boron dose=1e13 energy=70#select diffusion modelmethod fermi#perform diffusiondiffuse time=30 temperature=1000 dryo2extract name="xj_fermi" xj silicon mat.occno=1 x.val=0.0 junc.occno=1#save the structurestructure outfile=andfex02_1.str# compare diffusion modelstonyplot -overlay andfex02_0.str andfex02_1.str -set andfex02.setquit

8.4.2 Simulacija oksidacije u razlicitim oksidacionim ambijentima

Program SSUPREM4 moze da simulira proces oksidacije u prisustvu vise razlicitihgasova. Protok gasova moze se definisati u relativnim jedinicima za svaki od poje-dinacnih gasova: kiseonika, vodene pare, vodonika i azota, i to parametrima F.O2,F.H2O, F.H2 i F.N2 u okviru diffuse naredbe korisnickog jezika. U ovoj simu-laciji, proces oksidacije je ponovljen vise puta, svaki put u drugacijem oksidacionomambijentu, pri cemu je koriscena interna petlja u programu SSUPREM4 u okviru kojeje moguce pri svakom izvrsavanju definisati zeljene procesne uslove i parametre. Naslici 8.13 prikazani su dobijeni rezultati simulacije odakle se vidi da se sa povecanjemprotoka, tj. koncentracije kiseonika, povecava debljina formiranog oksidnog sloja.go athena#TITLE: Mixed Ambient Oxidation Example# This example demonstrates mixed ambient oxidation in 1D#foreach gas (2. to 8. step 2.)#line x loc=0.0 sp=1.0line x loc=1.0 sp=1.0line y loc=0.0 sp=0.05line y loc=1.0 sp=0.05initialize#diffuse time=60 temperature=1000 f.o2=gas f.h2=20.structure outfile=anoxex02_gas.str#endtonyplot -st anoxex02*.strquit


Slika 8.13 Debljina oksida u funkciji koncentracije kiseonika: F.O2=2 (gore levo), F.O2=4(gore desno), F.O2=6 (dole levo) i F.O2=8 (dole desno).

Slika 8.14 Postupak narastanja "bird’s beak" oksida.

8.4.3 Primer simulacije pticjeg kljuna ("bird’s beak")

Ovom simulacijom prikazan je postupak formiranja strukture oksida oblika pticjeg kljunau slucaju "Recessed SILO" procesa. Nakon deponovanja nitrida i litografskog postupka,formiran je usek u silicijumu putem niza koraka nagrizanja. Da bi se omogucilo pracenjenarastanja oksida pticjeg kljuna (slika 8.14) iskoriscena je mogucnost zapisivanja struk-ture nakon zeljenog broja vremenskih koraka u programu SSUPREM4, kao i movieopcija grafickog editora TONYPLOT koja ucitava novu strukturu nakon svakog simula-cionog koraka. U tu svrhu potrebno je specificirati parametre dump i dump.prefix unaredbi diffuse.

9Simulacija elektricnih

karakteristika komponenata

9.1 SIMULACIJA MOS TRANZISTORA

9.1.1 NMOS & PMOS: Ids/Vds karakteristike

U ovom primeru je prikazana simulacija elektricnih karakteristika NMOS i PMOS tranzis-tora. Najpre je izvrsena simulacija kompletnog tehnoloskog procesa za dobijanje ovihMOS struktura programom ATHENA, a zatim i simulacija elektricnih karakteristika pro-gramom ATLAS. Kao konacni rezultat simulacije dobijene su familije izlaznih karakter-istika koje prikazuju zavisnost struje drejna Ids od napona izmedju drejna i sorsa Vds sanaponom gejta Vgs kao parametrom.

Simulacija tehnoloskog procesa za proizvodnju programom SSUPREM4 odgovarastandardnoj LDD MOS tehnologiji. Da bi se vreme simulacije minimiziralo korisceni supojednostavljeni procesni koraci i njihovi osnovni modeli. Polisilicijumski gejt je formi-ran prostim geometrijskim nagrizanjem i sve do trenutka nagrizanja simulacija se odvijau 1D modu. Iako je osnovni kriterijum prilikom generisanja mreze veoma strog, ona sekasnije, u okviru naredbe init, proredjuje podesavanjem parametra spac.mult. Uokviru DECKBUILD okruzenja automatski se vrsi interno prebacivanje strukture dobi-jene procesnom simulacijom u program ATLAS, sto omogucava globalnu optimizacijukompletne procedure pocevsi od procesne simulacije do simulacije elektricnih karak-teristika i, konacno, ekstrakcije parametara SPICE modela. Naredba extract sluziracunanju debljine oksida gejta koja se kasnije moze iskoristiti u optimizovanju prilikomkalibracije. Kompletna ulazna datoteka za ovaj primer izgleda ovako:

go athena#line x loc=0 spac=0.1line x loc=0.2 spac=0.006line x loc=0.4 spac=0.006line x loc=0.5 spac=0.01#line y loc=0.00 spac=0.002line y loc=0.2 spac=0.005line y loc=0.5 spac=0.05

117

118 SIMULACIJA ELEKTRICNIH KARAKTERISTIKA KOMPONENATA

line y loc=0.8 spac=0.15#init orientation=100 c.phos=1e14 space.mul=2#pwell formation including masking off of the nwelldiffus time=30 temp=1000 dryo2 press=1.00 hcl=3etch oxide thick=0.02#P-well Implantimplant boron dose=8e12 energy=100 pearsdiffus temp=950 time=100 weto2 hcl=3#N-well implant not shown - welldrive starts herediffus time=50 temp=1000 t.rate=4.000 dryo2 press=0.10 hcl=3diffus time=220 temp=1200 nitro press=1diffus time=90 temp=1200 t.rate=-4.444 nitro press=1etch oxide all#sacrificial "cleaning" oxidediffus time=20 temp=1000 dryo2 press=1 hcl=3etch oxide all#gate oxide grown here:-diffus time=11 temp=925 dryo2 press=1.00 hcl=3#vt adjust implantimplant boron dose=9.5e11 energy=10 pearsondepo poly thick=0.2 divi=10#from now on the situation is 2-Detch poly left p1.x=0.35method fermi compressdiffuse time=3 temp=900 weto2 press=1.0implant phosphor dose=3.0e13 energy=20 pearsondepo oxide thick=0.120 divisions=8etch oxide dry thick=0.120implant arsenic dose=5.0e15 energy=50 pearsonmethod fermi compressdiffuse time=1 temp=900 nitro press=1.0etch oxide left p1.x=0.2deposit alumin thick=0.03 divi=2etch alumin right p1.x=0.18#structure mirror right#electrode name=gate x=0.5 y=0.1electrode name=source x=0.1electrode name=drain x=0.9electrode name=substrate backsidestructure outfile=mos1ex02_0.str# plot the structuretonyplot -st mos1ex02_0.str -set mos1ex02_0.set#go atlas# define the Gate workfunctioncontact name=gate n.poly# Define the Gate Qssinterface qf=3e10# Use the cvt mobility model for MOSmodels cvt srh print numcarr=2# set gate biases with Vds=0.0solve initsolve vgate=1.1 outf=solve_tmp1solve vgate=2.2 outf=solve_tmp2solve vgate=3.3 outf=solve_tmp3#load in temporary files and ramp Vdsload infile=solve_tmp1log outf=mos1ex02_1.logsolve name=drain vdrain=0 vfinal=3.3 vstep=0.3load infile=solve_tmp2log outf=mos1ex02_2.logsolve name=drain vdrain=0 vfinal=3.3 vstep=0.3load infile=solve_tmp3log outf=mos1ex02_3.logsolve name=drain vdrain=0 vfinal=3.3 vstep=0.3tonyplot -overlay -st mos1ex02_1.log mos1ex02_2.log mos1ex02_3.log -set mos1ex02_1.setquit

Raspodela primesa u definisanom domenu simulacije NMOS tranzistora, kao rezultatkoji je dobijen programom ATHENA, prikazana je na slici 9.1.

SIMULACIJA MOS TRANZISTORA 119

Slika 9.1 Raspodela profila primesa u domenu simulacije NMOS tranzistora dobijena pro-gramom ATHENA.

Slika 9.2 Raspodela potencijala u domenu simulacije NMOS tranzistora dobijena programomATLAS.

Slika 9.3 Ids/Vds karakteristika NMOS tranzistora.

Slika 9.4 Ids/Vds karakteristika PMOS tranzistora.

Kod elektricne simulacije za koju se koristi program ATLAS, prvi zadatak predstavljadefinisanje odgovarajucih modela i parametara. U okviru naredbe contact dodeljujese vrednost radne funkcije gejta u skladu sa nivoom dopiranja polisilicijuma. Naredbainterface omogucava definisanje vrednosti fiksnog naelektrisanja na medjupovrsinisilicijum/oksid. U slucaju jednostavnih primera simulacije MOS komponenata, poputovog, preporucuje se koriscene osnovnih modela pokretljivosti CVT i SRH. CVT pred-stavlja model pokretljivosti za najopstije primene i ukljucuje zavisnost pokretljivostiod profila dopiranja, temperature i obeju komponenata elektricnog polja - paralelne itransverzalne. Za kompleksnije MOS strukture kod kojih se u obzir moraju uzeti i efektikratkih kanala neophodno je koriscenje slozenijeg, takozvanog energy balance modela.

Naredbom begin solve init resava se sistem jednacina u slucaju termodinami-cke ravnoteze. Nakon nalazenja ovog pocetnog resenja moguce je rampiranje naponapobude, pri cemu je pozeljno zapoceti rampiranje sa manjim naponskim koracima. Posleprva dva resenja za uslove pobude razlicite od nule, program ATLAS za dalje rampiranjenapona koristi metod projekcije (ekstrapolacije) kao princip za odredjivanje pocetnogresenja svakog narednog koraka. Ovaj metod pruza mogucnost povecavanja korakasa porastom pobudnog napona. Opcija method trap pruza mogucnost programuATLAS da prepolovi definisani korak inkrementacije u slucaju kada postoje problemi sakonvergencijom pri resavanju.

U ovom primeru iskoriscena je mogucnost programa ATLAS da generise familijukrivih, tacnije tri Ids/Vds strujne karakteristike za razlicite vrednosti napona Vgs. Prvideo naredbe solve je zajednicki za sve tri krive i odnosi se na pronalazenje pocetnogresenja za odgovarajucu polarizaciju na gejtu pri naponu Vds = 0. Ova tri resenja suposebno zapisana u odgovarajuce datoteke i naknadno se pozivaju kao pocetna resenjapri rampiranju napona Vds. Na kraju simulacije je naredba extract iskoriscena za ek-strakciju maksimalne vrednosti struje i saturacionog nagiba. Na osnovu oblika Ids/Vds

karakteristika, ocigledno je da saturacioni nagib predstavlja minimalnu vrednost gradi-jenta nagiba duz karakteristike.

Dobijeni rezultati simulacije, raspodela potencijala kod NMOS tranzistora i njegovaIds/Vds karakteristika su prikazani na slikama 9.2 i 9.3, respektivno. Ids/Vds karakteris-tika PMOS tranzistora je prikazana na slici 9.4.

9.1.2 NMOS & PMOS: Ids/Vgs karakteristika i ekstrakcija napona praga

Postupak odredjivanja Ids/Vgs karakteristike, zavisnosti struje drejna od pobudnog naponana gejtu, prikazan je u ovom primeru za slucajeve NMOS i PMOS tranzistora. Kao i


Slika 9.5 Ids/Vgs karakteristika NMOS tranzistora.

Slika 9.6 Ids/Vgs karakteristika pMOS tranzistora.

u prethodnom primeru, najpre je simuliran tehnoloski proces za proizvodnju ovih MOSstruktura programom ATHENA, a zatim su simuliranje njihove elektricne karakteristikeprogramom ATLAS. Ulazna datoteka za ovaj primer simulacije nije data, s obzirom daje skoro identicna kao u prethodnom primeru simulacije.

Modeli fizickih parametara, uslovi na medjupovrsini Si/SiO2 i kontakti su u programuATLAS definisani na identican nacin kao u prethodnom primeru. Naredbom solvedefinisani su uslovi rampiranja napona na gejtu. U okviru ove naredbe, fiksni naponna drejnu postavljen je na vrednost Vds = 0.1V, a simuliraju se elektricne karakteris-tike tranzistora za napon gejta u opsegu od 0 do 3V sa korakom od 0.25V. Dobijenekarakteristike su prikazane na slikama 9.5 i 9.6.

9.1.3 Poredjenje modela pokretljivosti

Ovaj primer simulacije daje poredjenje tri razlicita modela pokretljivosti koja se najcescekoriste pri simulaciji MOS tranzistora: CVT, SHIRAHATA i WATT modeli. Ulaznadatoteka za ovaj primer simulacije je:go atlas# define fine mesh at surfaceset surf_a=0.0005mesh outf=mmos.strx.m l=0 spac=0.2x.m l=0.75 spac=0.04x.m l=1 spac=0.08x.m l=1.17 spac=0.01x.m l=1.27 spac=0.01x.m l=2 spac=0.2y.m l=-0.010 spac=0.005y.m l=0 spac=$"surf_a"y.m l=0.2 spac=0.02y.m l=2 spac=0.5#eliminate columns y.min=0.6eliminate columns y.min=1.0eliminate columns y.min=1.5eliminate rows x.max=0.8 y.min=0.01 y.max=0.1eliminate rows x.min=1.5 y.min=0.01 y.max=0.15#region num=1 material=Silicon y.min=0region num=2 material=Oxide y.max=0#electrode name=gate x.min=0.75 length=0.5electrode name=source y.max=0.0 left length=0.4electrode name=drain y.max=0.0 right length=0.4electrode name=substrate bottomdoping uniform conc=2e17 p.typedoping gauss conc=1e18 n.type junc=0.1 x.right=0.75 rat=0.5doping gauss conc=1e18 n.type junc=0.1 x.left=1.25 rat=0.5doping gauss conc=1e20 n.type junc=0.2 x.right=0.65 rat=0.5doping gauss conc=1e20 n.type junc=0.2 x.left=1.35 rat=0.5save outf=mos2ex14_0.str#go atlasmesh inf=mos2ex14_0.strcontact name=gate n.polymodels cvt srh printmethod newton gummel carriers=1 electronsolve init


solve vdrain=0.1# define probe of electron mobility vs. perpendicular fieldprobe name="channel mobility" n.mob dir=0 x=1 y=0.0001probe name="channel field" field dir=90 x=1 y=0.0001method newton carriers=1 electronlog outf=mos2ex14_1.logsolve vgate=0.0 vfinal=3.0 vstep=0.2 name=gateoutput e.mob h.mobsave outf=mos2ex14_1.str#go atlasmesh inf=mos2ex14_0.strcontact name=gate n.polymodels kla shi fldmob srh printmethod newton gummel carriers=1 electronsolve initsolve vdrain=0.1# define probe of electron mobility vs. perpendicular fieldprobe name="channel mobility" n.mob dir=0 x=1 y=0.0001probe name="channel field" field dir=90 x=1 y=0.0001method newton carriers=1 electronlog outf=mos2ex14_2.logsolve vgate=0.0 vfinal=3.0 vstep=0.2 name=gateoutput e.mob h.mobsave outf=mos2ex14_2.str#go atlasmesh inf=mos2ex14_0.strcontact name=gate n.polymodels conmob fldmob srh print min.surfmobility watt.n mod.watt.n ymaxn.watt=0.01method newton gummel carriers=1 electronsolve initsolve vdrain=0.1# define probe of electron mobility vs. perpendicular fieldprobe name="channel mobility" n.mob dir=0 x=1 y=0.0001probe name="channel field" field dir=90 x=1 y=0.0001method newton carriers=1 electronlog outf=mos2ex14_3.logsolve vgate=0.0 vfinal=3.0 vstep=0.2 name=gateoutput e.mob h.mobsave outf=mos2ex14_3.strtonyplot -overlay mos2ex14*.log -set mos2ex14_1.settonyplot -overlay mos2ex14*.log -set mos2ex14_1a.settonyplot mos2ex14_1.str mos2ex14_2.str mos2ex14_3.str -set mos2ex14_2.setquit

Deo koji se odnosi na generaciju diskretizacione mreze definisane strukture je standardan,kao u mnogim primerima do sada. Promenljiva surf, se koristi da definise rastojanjeizmedju cvorova mreze na povrsini silicijuma, sto je veoma vazno s obzirom na visokevrednosti elektricnog polja i gradijenta nosilaca na povrsini. Zbog toga su svi pomenutimodeli pokretljivosti veoma osetljivi na vrednost ovog parametra. CVT model se jed-nostavno definise:

models cvt

i uzima u obzir samo zavisnost od dopiranja i paralelne komponente elektricnog polja.SHIRAHATA model ukljucuje samo zavisnost od perpendikularne vrednosti elektricnogpolja, pa se zbog toga mora koristiti zajedno sa Klassen-ovim modelom i standardnimmodelom pokretljivosti, te se u ulaznoj datoteci definise kao:

models kla shi fldmob

Modifikovani WATT model se takodje mora kombinovati sa drugim modelima, tako daje sintaksa kojom se definise ovaj model pokretljivosti:

models conmob fldmob


Slika 9.7 Ids/Vgs karakteristika za razlicite modele pokretljivosti.

Slika 9.8 Pokretljivost u kanalu u zavisnosti od elektricnog polja.

Slika 9.9 2D zavisnost pokretljivosti za CVT (levo), SHIRAHATA (sredina) i MOD.WAT(desno) modele.

mobility watt.n mod.watt.n

Ids/Vgs simulacija je slicna kao u prethodnim primerima. Za niske vrednosti naponana drejnu koristi se gummel i newton metod resavanja, dok se kasnije prelazi nanewton metod, pri cemu se u ovom slucaju resava samo jednacina kontinuiteta zaelektrone. Poredjenje Ids/Vgs karakteristika za razlicite modele pokretljivosti prikazanoje na slici 9.7, dok je zavisnost pokretljivosti u kanalu od elektricnog polja, koja jedobijena probe naredbom, prikazana na slici 9.8.

9.1.4 Efekat dopiranja polisilicijuma na napon praga

U ovom primeru simulacije pokazan je veoma vazan efekat osiromasenja u polisilici-jumskom gejtu kada je nivo dopiranja u njemu ispod dozvoljenog nivoa. Dobijene I/Vkrive pokazuju da i nivo dopiranja od 1020cm−3 nije dovoljan da spreci osiromasenje ipromenu napona praga NMOS tranzistora. Prvi pokazatelj osiromasenja polisilicijumaje neidealna C-V kriva. Uzroci smanjenja dopiranja u polisilicijumskom gejtu mogubiti razliciti a najcesce je to kombinacija nedovoljne doze implantacije i gubitak primesausled evaporacije u toku procesa odzarivanja. U ovom primeru simulacije cija je ulaznadatoteka:go atlasmeshx.mesh loc=-0.20 spac=0.025x.mesh loc=-0.15 spac=0.025x.mesh loc=-0.05 spac=0.010x.mesh loc=0.05 spac=0.010x.mesh loc=0.15 spac=0.025x.mesh loc=0.20 spac=0.025#y.mesh loc=-0.04 spac=0.005y.mesh loc=-0.03 spac=0.005y.mesh loc=-0.005 spac=0.0025y.mesh loc=0.0 spac=0.0005y.mesh loc=0.01 spac=0.002y.mesh loc=0.10 spac=0.02#region number=1 x.min=-0.20 x.max=0.20 y.min=-0.04 y.max=0.0 material=oxideregion number=2 x.min=-0.20 x.max=0.20 y.min=0.0 y.max=0.10 material=siliconregion number=3 x.min=-0.05 x.max=0.05 y.min=-0.03 y.max=-0.005 material=polyregion number=4 x.min=-0.05 x.max=0.05 y.min=-0.04 y.max=-0.03 material=aluminumregion number=5 x.min=-0.20 x.max=-0.15 y.min=-0.04 y.max=0.0 material=aluminumregion number=5 x.min=0.15 x.max=0.20 y.min=-0.04 y.max=0.0 material=aluminum

electrode x.min=-0.20 x.max=-0.15 y.min=-0.04 y.max=0.0 name=sourceelectrode x.min=-0.05 x.max=0.05 y.min=-0.04 y.max=-0.03 name=gateelectrode x.min=0.15 x.max=0.20 y.min=-0.04 y.max=0.0 name=drainelectrode bottom name=substrate

doping region=2 p.type concentration=1e18 uniformdoping region=3 n.type concentration=1e19 uniformdop x.min=-0.2 x.max=-0.05 y.min=0.0 y.max=0.01 conc=1e20 n.type uniform


Slika 9.10 Ids/Vgs karakteristika NMOS tranzistora u zavisnosti od nivoa dopiranja polisilici-jumskog gejta.

dop x.min=0.05 x.max=0.2 y.min=0.0 y.max=0.01 conc=1e20 n.type uniform

models cvt srhsolve initsolve vdrain=0.005solve vdrain=0.05solve vgate=0.05log outfile=mos2ex16_19.logsolve vgate=0.4 vstep=0.05 vfinal=1.0 name=gateextract name="nVt" x.val from curve(v."gate",i."drain") where y.val=0.5e-8/0.1

save outfile=mos2ex16.strtonyplot mos2ex16.str...quit

date su tri potpuno identicne simulacije, koje se razlikuju samo po nivou dopiranjapolisilicijumskog gejta: 1019cm−3, 1020cm−3 i 1021cm−3. Ids/Vgs krive su prikazanena slici 9.10, pri cemu se uocava da se sa smanjenjem nivoa dopiranja u polisilicijumupovecava napon praga NMOS tranzistora i smanjuje struja.

9.1.5 3D simulacija n-kanalnog MOS tranzistora

Ovaj veoma kompleksan primer simulacije demonstrira primenu Silvaco TCAD softver-skog paketa za 3D simulaciju Ids/Vgs karakteristika kratkokanalnog NMOS tranzistora.Ulazna datoteka koja je data u nastavku se sastoji od nekoliko delova i to:

• procesna simulacija "field oxide bird’s beak" programom ATHENA,

• povezivanje dobijene 2D strukture sa programom DevEdit3D,

• formiranje 3D strukture MOSFET-a,

• povezivanje 3D strukture iz DevEdit3D sa programom ATLAS,

• simulacija Ids/Vgs karakteristike programom ATLAS,

• ekstrakcija napona praga i struje curenja.go athena# Substrate mesh definitionline y loc=0 spac=0.05line y loc=0.6 spac=0.2line y loc=1line x loc=-0.6 spac=0.2line x loc=0 spac=0.05line x loc=0.2 spac=0.05line x loc=0.6 spac=0.1init orient=100 boron conc=1e15# Pad oxide and nitride maskdeposit oxide thick=0.01deposit nitride thick=0.25deposit barrier thick=0.01etch barrier left p1.x=0etch nitride left p1.x=0etch oxide left p1.x=0implant boron dose=1e13 energy=100etch barrier all# Field oxidationmethod compress


diffuse tim=60 tem=1000 weto2# extract field oxide thicknessextract name="Field Tox" thickness material="SiO˜2" mat.occno=1 x.val=-0.6etch nitride alletch oxide dry thickness=0.05# gate oxidationdiff tim=12 temp=950 dryo2# extract gate oxide thicknessextract name="Gate Tox" thickness material="SiO˜2" mat.occno=1 x.val=0.5# channel implantimplant boron dose=3e12 energy=25depo poly thickness=0.2 div=5 c.phos=1e19diff time=10 temp=950 nitrogenelectrode name=gate x=0electrode name=substrate backsidestructure outf=mos2ex04_0.strtonyplot mos2ex04_0.str -set mos2ex04_0.set

go devedit simflags="-3d"# load file with specified Z extentinit inf=mos2ex04_0.str z1=0 z2=1.1region reg=1 mat=Silicon Z1=0 Z2=1.1region reg=2 mat="Silicon Oxide" Z1=0 Z2=1.1region reg=3 mat=PolySilicon Z1=0.3 Z2=0.8region reg=4 name=source mat=Aluminum elec.id=1 work.func=0 color=0xffc8c8 pattern=0x7 Z1=0 Z2=0.1 \points="0.6,-0.007 0.6,0.005 0.6,0.05 0.2018696,0.05 0.15,0.05 0.15,0.004 0.15,-0.1 0.6,-0.1 0.6,-0.007"region reg=5 name=drain mat=Aluminum elec.id=2 work.func=0 color=0xffc8c8 pattern=0x7 Z1=1 Z2=1.1 \points="0.15,0.05 0.15,0.004 0.15,-0.1 0.6,-0.1 0.6,-0.007 0.6,0.005 0.6,0.05 0.2018696,0.05 0.15,0.05"

impurity id=1 imp=Arsenic color=0x8c5d00 \x1=0.15 x2=0.6 y1=0 y2=0 \peak.value=1e+20 ref.value=1e+15 z1=0 z2=0.2 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y="Gaussian (Dist)" conc.param.y=0.25 \rolloff.x=both conc.func.x="Gaussian (Dist)" conc.param.x=0.15 \rolloff.z=both conc.func.z="Gaussian (Dist)" conc.param.z=0.15impurity id=2 imp=Arsenic color=0x8c5d00 \x1=0.15 x2=0.6 y1=0 y2=0 \peak.value=1e+20 ref.value=1e+15 z1=0.9 z2=1.1 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y="Gaussian (Dist)" conc.param.y=0.25 \rolloff.x=both conc.func.x="Gaussian (Dist)" conc.param.x=0.15 \rolloff.z=both conc.func.z="Gaussian (Dist)" conc.param.z=0.15impurity id=3 imp=Phosphorus color=0x8c5d00 \x1=0.15 x2=0.6 y1=0 y2=0 \peak.value=1e+18 ref.value=1e+15 z1=0.8 z2=1.1 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y="Gaussian (Dist)" conc.param.y=0.2 \rolloff.x=both conc.func.x="Gaussian (Dist)" conc.param.x=0.1 \rolloff.z=both conc.func.z="Gaussian (Dist)" conc.param.z=0.1impurity id=4 imp=Phosphorus color=0x8c5d00 \x1=0.15 x2=0.6 y1=0 y2=0 \peak.value=1e+18 ref.value=1e+15 z1=0 z2=0.3 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y="Gaussian (Dist)" conc.param.y=0.2 \rolloff.x=both conc.func.x="Gaussian (Dist)" conc.param.x=0.1 \rolloff.z=both conc.func.z="Gaussian (Dist)" conc.param.z=0.1

constr.mesh region=1 default max.height=0.2 max.width=0.2## Perform mesh operationsMesh Mode=MeshBuildrefine mode=both x1=0.4098 y1=0.0048 x2=0.5988 y2=0.1799refine mode=both x1=0.2216 y1=0.0376 x2=0.3718 y2=0.1849z.plane z=0 spacing=0.1z.plane z=0.1 spacing=0.1z.plane z=0.3 spacing=0.05z.plane z=0.55 spacing=0.2z.plane z=0.8 spacing=0.05z.plane z=1 spacing=0.1z.plane z=1.1 spacing=0.1z.plane max.spacing=1000000 max.ratio=1.5structure outf=mos2ex04_1.str

go atlascontact name=gate n.polyinterface qf=3e10models cvt srh print

SIMULACIJA BIPOLARNIH TRANZISTORA 125

Slika 9.11 2D profil primesa dobijen programom ATHENA.

Slika 9.12 Ids/Vgs karakteristika NMOS tranzistora.

Slika 9.13 3D raspodela primesa NMOS tranzistora.

method carriers=1 electronssolve vdrain=0.1log outf=mos2ex04.logsolve vgate=0.1 vstep=0.1 vfinal=1.5 name=gatesave outf=mos2ex04_2.strextract name="vt" xintercept(maxslope(curve(v."gate",i."drain"))) \

- ave(v."drain")/2.0extract name="subvt" \

1.0/slope(maxslope(curve(v."gate",log10(i."drain"))))tonyplot -st mos2ex04.logquit

Prvi korak u simulaciji je 2D simulacija tehnoloskog niza za proizvodnju NMOS tranzis-tora. Pozicija maske LOCOS oksidacije je na X=0µm, pri cemu je pre toga uradjena"channel stop" implantacija. Posle toga sledi proces implantacije u oblasti kanala i de-pozicija polisilicijuma. Zatim se definisu elektrode gejt i supstrat, s obzirom da samo ovedve elektrode postoje u ovom preseku koji je prikazan na slici 9.11. Program DevEdit3Dse koristi da se 2D struktura prosiri u z-pravcu. S obzirom da se radi o NMOS tranzistoruciji je kanal 0.5µm, oblast polisilicijuma se prostire od 0.3 do 0.8µm u z-pravcu. Takodje,neophodno je dodati N+ oblasti sorsa i drejna, kao i aluminijumske kontakte ovih oblasti.

Programom ATLAS se simuliraju elektricne karakteristike formirane 3D struktureNMOS tranzistora, pri cemu je definisan SRH model rekombinacije i CVT model pokret-ljivosti, a resava se samo transportna jednacina elektrona. Napon na drejnu je 0.1V, dokse napon na gejtu rampira do 1.5V. Dobijena karakteristika je prikazana na slici 9.12, a3D struktura tranzistora je prikazana na slici 9.13.

9.2 SIMULACIJA BIPOLARNIH TRANZISTORA

9.2.1 NPN & PNP: Gummel-ova i Ic/Vce karakteristika

Ovaj primer predstavlja simulaciju elektricnih karakteristika bipolarnih NPN i PNPtranzistora programom ATLAS. Na osnovu dobijenih strujno-naponskih karakteristikaizvrsena je ekstrakcija vaznijih parametara ovih tranzistora, ukljucujuci njihovu granicnufrekvenciju i pojacanje. Ulazna datoteka za slucaj simulacije NPN tranzistora je:go atlasTITLE Bipolar Gummel plot and IC/VCE with constant IB# Silvaco International 1992, 1993, 1994meshx.m l=0 spacing=0.15x.m l=0.8 spacing=0.15x.m l=1.0 spacing=0.03x.m l=1.5 spacing=0.12x.m l=2.0 spacing=0.15#y.m l=0.0 spacing=0.006y.m l=0.04 spacing=0.006y.m l=0.06 spacing=0.005y.m l=0.15 spacing=0.02


y.m l=0.30 spacing=0.02y.m l=1.0 spacing=0.12#region num=1 siliconelectrode num=1 name=emitter left length=0.8electrode num=2 name=base right length=0.5 y.max=0electrode num=3 name=collector bottom

doping reg=1 uniform n.type conc=5e15doping reg=1 gauss n.type conc=1e18 peak=1.0 char=0.2doping reg=1 gauss p.type conc=1e18 peak=0.05 junct=0.15doping reg=1 gauss n.type conc=5e19 peak=0.0 junct=0.05 x.right=0.8doping reg=1 gauss p.type conc=5e19 peak=0.0 char=0.08 x.left=1.5# set bipolar modelsmodels conmob fldmob consrh auger printcontact name=emitter n.poly surf.recsolve initsave outf=bjtex04_0.strtonyplot bjtex04_0.str -set bjtex04_0.set# Gummel plotmethod newton autonr trapsolve vcollector=0.025solve vcollector=0.1solve vcollector=0.25 vstep=0.25 vfinal=2 name=collectorsolve vbase=0.025solve vbase=0.1solve vbase=0.2log outf=bjtex04_0.logsolve vbase=0.3 vstep=0.05 vfinal=1 name=basetonyplot bjtex04_0.log -set bjtex04_0_log.set#IC/VCE with constant IB#ramp Vblog offsolve initsolve vbase=0.025solve vbase=0.05solve vbase=0.1 vstep=0.1 vfinal=0.7 name=base# switch to current boundary conditionscontact name=base current# ramp IB and save solutionssolve ibase=1.e-6save outf=bjtex04_1.str mastersolve ibase=2.e-6save outf=bjtex04_2.str mastersolve ibase=3.e-6save outf=bjtex04_3.str mastersolve ibase=4.e-6save outf=bjtex04_4.str mastersolve ibase=5.e-6save outf=bjtex04_5.str master# load in each initial guess file and ramp VCEload inf=bjtex04_1.str masterlog outf=bjtex04_1.logsolve vcollector=0.0 vstep=0.25 vfinal=5.0 name=collectorload inf=bjtex04_2.str masterlog outf=bjtex04_2.logsolve vcollector=0.0 vstep=0.25 vfinal=5.0 name=collectorload inf=bjtex04_3.str masterlog outf=bjtex04_3.logsolve vcollector=0.0 vstep=0.25 vfinal=5.0 name=collectorload inf=bjtex04_4.str masterlog outf=bjtex04_4.logsolve vcollector=0.0 vstep=0.25 vfinal=5.0 name=collectorload inf=bjtex04_5.str masterlog outf=bjtex04_5.logsolve vcollector=0.0 vstep=0.25 vfinal=5.0 name=collector# plot resultstonyplot -overlay bjtex04_1.log bjtex04_2.log bjtex04_3.log bjtex04_4.log bjtex04_5.logquit

Strukture NPN i PNP bipolarnih tranzistora, raspodele primesa u domenu simulacije,neophodne za simulaciju njihovih elektricnih karakteristika su generisane programomATHENA, koriscenjem tehnoloskog niza za proizvodnju. Prvom implantacijom bora


Slika 9.14 2D raspodela primesa u domenu simulacije NPN bipolarnog tranzistora.

Slika 9.15 Struktura i 2D domen simulacije PNP bipolarnog tranzistora.

Slika 9.16 Gummel-ova karakteristika NPN tranzistora.

Slika 9.17 Gummel-ova karakteristika PNP tranzistora.

(NPN) ili fosfora (PNP) u supstrat dopiran arsenom/borom formira se intrinsicna oblastbaze. U drugom koraku bor/fosfor se implantira nakon koraka depozicije i litografijepolisilicijumskog emitora i to bez posebne maske, takozvanom "self-aligned" tehnikom.Ova implantacija obezbedjuje dobru povezanost izmedju intrinsicne baze i kontaktne di-fuzije. Zatim slede postupci depozicije i izotropnog nagrizanja oksida kojima se formiratakozvani oksidni spacer. Implantacija kontaktne p+/n+ oblasti realizuje se u prisustvuspacer oksidne strukture, dakle takodje "self-aligned" tehnikom. Ova tehnika je dalekopreciznija u poredjenju sa maskiranjem fotorezistom, jer omogucava bolju kontrolu ge-ometrije strukture i profila dopiranja. Tokom simulacije, naredbom relax redukuje segustina mreze u dubljim oblastima strukture. Zbog ustede vremena, simulira se polov-ina simetricne komponente sve do samog kraja simulacije kada se izvrsi preslikavanjenaredbom structure mirror left. Kako se u ovom primeru koristi samo jedanbazni kontakt, elektrode se definisu posle preslikavanja. 2D raspodele profila primesa udomenima simulacije NPN i PNP bipolarnih tranzistora prikazane su na slikama 9.14 i9.15, respektivno.

Cest je slucaj da mreza koriscena u procesnoj simulaciji nije ujedno i optimalna zasimulaciju elektricnih karakteristika. U programu DECKBUILD moguce je redefin-isanje diskretizacione mreze tako da se obezbedi potpuno odsustvo tupih uglova u oblastipoluprovodnika. Redefinisanje moze biti izvrseno prema nekoj promenljivoj, kao naprimer, koncentraciji bora.

Za slucaj NPN tranzistora u programu ATLAS procedura zapocinje nalazenjem resenjaza pobudni napon na kolektoru od 2V. Naredbom log specificira se ime pod kojim cese zapisati Gummel-ova karakteristika. Ova karakteristika se sastoji od niza tacakaizracunatih tokom rampiranja napona baze od 0.2 do 0.9V. Opcija ac u okviru naredbesolve u simulaciju ukljucuje mali naizmenicni pobudni signal koji se superponirajednosmernom. Frekvencija naizmenicne komponente signala iznosi 1MHz. Dobijenirezultati za NPN i PNP tranzistore, u vidu Gummel-ove karakteristike, prikazani su naslikama 9.16 i 9.17, koriscenjem grafickog editora TONYPLOT. U slucaju PNP tranzis-tora, Gummel-ova karakteristika je simulirana za vrednostVce = 2V rampiranjem naponaizmedju baze i emitora Vbe od -0.4 do -1V. Na kraju simulacije ekstrahovane su vrednostiparametara: maksimalno pojacanje, maksimalna struja kolektora i granicna frekvencija.

U slucaju simulacije elektricnih karakteristika NPN i PNP tranzistora, program ATLASprakticno izvrsava dve odvojene simulacije. U okviru drugog izvrsavanja simulira sefamilija karakteristika zavisnosti kolektorske struje od napona na kolektoru, sa strujombaze kao parametrom. Za svaku od pet karakteristika neophodno je obezbediti konstantnustruju kroz bazni kontakt, sto se postize definisanjem granicnog uslova u okviru naredbecontact. Kako su vrednosti struja baze visoke u svih pet slucajeva, prvo je rampiran


Slika 9.18 Ice/Vce karakteristika NPN bipolarnog tranzistora.

Slika 9.19 Ice/Vce karakteristika PNP bipolarnog tranzistora.

Slika 9.20 Generisana 3D struktura NPN bipolarnog tranzistora.

napon baze do nivoa bliskog zeljenoj vrednosti struje. Za konkretan slucaj taj naponiznosi Vbe=-0.7V. Tokom rampiranja napona na bazi, pobuda na kolektoru ostaje na nuli.Rezultati simulacije prikazani su na zajednickim graficima na slikama 9.18 i 9.19.

9.2.2 3D simulacija NPN bipolarnog tranzistora

Ovaj primer demonstrira tranzijentnu numericku analizu bipolarnog NPN tranzistora utri dimenzije. Za konstrukciju 3D strukture komponente koristi se program DevEdit3D,a zatim se u programu ATLAS simuliraju njene elektricne karakteristike u vremenskomdomenu. U programu DevEdit3D definisu se geometrija, materijali, profili dopiranjai elektrode (kontakti). Konstrukcija se vrsi interaktivno: crta se geometrija domenai njemu dodeljuju 3D analiticke funkcije profila dopiranja. Diskretizaciona mreza segenerise automatski, na bazi specificiranih ogranicenja i kriterijuma gustine u pojedinimoblastima u skladu sa njihovim znacajem za rad komponente. Dobijena 3D strukturatranzistora je prikazana na slici 9.20, a ulazna datoteka, sa detaljno datim parametrima,ima sledeci oblik:go deveditDevEdit version="2.0" library="1.14"work.area left=0 top=-0.5 right=5 bottom=1.6# SILVACO Library V1.14region reg=1 name=Silicon mat=Silicon color=0xffc000 pattern=0x3 Z1=0 Z2=5 \points="0,0 1.5,0 3.5,0 5,0 5,1.5 0,1.5 0,0"#impurity id=1 region.id=1 imp=Phosphorus color=0x906000 \x1=0 x2=0 y1=0 y2=0 \peak.value=1e+16 ref.value=0 z1=0 z2=0 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y=Constant \rolloff.x=both conc.func.x=Constant \rolloff.z=both conc.func.z=Constant#constr.mesh region=1 defaultregion reg=2 name=Emitter mat=Aluminum elec.id=1 work.func=4.1 color=0xffc8c8 pattern=0x6 Z1=0 Z2=1.5 \points="0,0 0,-0.15 1.5,-0.15 1.5,0 0,0"#constr.mesh region=2 defaultregion reg=3 name=Base mat=Aluminum elec.id=2 work.func=4.1 color=0xffc0c0 pattern=0x6 Z1=0 Z2=5 \points="3.5,0 3.5,-0.15 5,-0.15 5,0 3.5,0"#constr.mesh region=3 defaultregion reg=4 name=substrate mat=Aluminum elec.id=3 work.func=0 color=0xffc8c8 pattern=0x6 Z1=0 Z2=5 \points="0,1.5 5,1.5 5,1.6 0,1.6 0,1.5"constr.mesh region=4 defaultimpurity id=1 imp=Boron color=0x906000 \x1=0 x2=5 y1=0 y2=0 \peak.value=5e+18 ref.value=0 z1=0 z2=5 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y=Gaussian conc.param.y=0.16 \rolloff.x=both conc.func.x=Gaussian conc.param.x=0.25 \rolloff.z=both conc.func.z=Gaussian conc.param.z=0.25impurity id=2 imp=Arsenic color=0x906000 \x1=0 x2=5 y1=1.5 y2=1.5 \peak.value=4e+19 ref.value=0 z1=0 z2=5 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y=Gaussian conc.param.y=0.1 \rolloff.x=both conc.func.x=Gaussian conc.param.x=0.25 \


Slika 9.21 Gummel-ova karakteristika 3D bipolarne strukture.

rolloff.z=both conc.func.z=Gaussian conc.param.z=0.25impurity id=3 imp=Arsenic color=0x906000 \x1=0 x2=1.5 y1=0 y2=0 \peak.value=1e+20 ref.value=0 z1=0 z2=1.5 comb.func=Multiply \rolloff.y=both conc.func.y=Gaussian conc.param.y=0.1 \rolloff.x=both conc.func.x=Gaussian conc.param.x=0.1 \rolloff.z=both conc.func.z=Gaussian conc.param.z=0.1## Set Meshing Parameters#base.mesh height=1000000 width=1000000bound.cond !apply max.slope=28 max.ratio=300 rnd.unit=0.001 line.straightening=1 align.points when=automaticimp.refine imp="NetDoping" sensitivity=0.25imp.refine min.spacing=0.05 z=0constr.mesh max.angle=90 max.ratio=300 max.height=1 \max.width=1 min.height=0.0001 min.width=0.0001constr.mesh type=Semiconductor defaultconstr.mesh type=Insulator defaultconstr.mesh type=Metal defaultconstr.mesh type=Other defaultconstr.mesh region=1 defaultconstr.mesh region=2 defaultconstr.mesh region=3 defaultconstr.mesh region=4 default# Perform mesh operationsMesh Mode=MeshBuildimp.refine imp="NetDoping" sensitivity=0.25imp.refine min.spacing=0.05 z=0constr.mesh max.angle=90 max.ratio=300 max.height=1 \max.width=1 min.height=0.0001 min.width=0.0001constr.mesh type=Semiconductor defaultconstr.mesh type=Insulator defaultconstr.mesh type=Metal defaultconstr.mesh type=Other defaultz.plane z=0 spacing=1.5z.plane z=1.55 spacing=0.05z.plane z=2 spacing=1z.plane max.spacing=1000000 max.ratio=1.5base.mesh height=1000000 width=1000000bound.cond !apply max.slope=28 max.ratio=300 rnd.unit=0.001 line.straightening=1 align.Points when=automaticstructure outfile=bjtex02_0.str#go atlasmodels srh auger bgn conmob fldmobsolve initsolve prevlog outfile=bjtex02_0.logsolve v1=-0.3 vstep=-0.05 nstep=10 elec=1 v3=1 outf=bjtex02_1.str onefiletonyplot bjtex02_0.log -set bjtex02_0.setquit

Program ATLAS na samom pocetku interno ucitava strukturu iz programa DevEdit3D.U okviru naredbe models vrsi se izbor fizickih modela. U konkretnom slucaju to suSRH i Auger modeli rekombinacije i modeli pokretljivosti koji ukljucuju zavisnost odkoncentracije primesa i elektricnog polja za oba tipa nosilaca. Pocetno resenje pri nultojpolarizaciji pronalazi se naredbom solve init. Sledeci korak je nalazenje resenjaza slucaj stacionarnog stanja pri pobudi Veb = −0.4V i Vcb = 1V. Konacno, rampirase napon na emitoru do vrednosti −0.8V sa vremenskim korakom od 0.1ns, s obziromda se radi i tranzijentna analiza. U numerickom procesu resavanja koriscen je osnovnialgoritam programa ATLAS, Newton. Rezultati simulacije prikazani su u grafickomeditoru TONYPLOT na slici 9.21.


9.3 SIMULACIJA SNAZNIH KOMPONENATA

9.3.1 Simulacija "turn-on" karakteristika vertikalnog DMOS tranzistora

Ovaj primer najpre prikazuje simulaciju tehnoloskog niza za proizvodnju, a zatim isimulaciju elektricnih karakteristika vertikalnog DMOS tranzistora. Struktura VDMOStranzistora generise se koriscenjem programa ATHENA. Tehnoloski niz zapocinje defin-isanjem supstrata dopiranog fosforom i odgovarajuce diskretizacione mreze. Prvi korakje postupak epitaksijalnog rasta silicijumskog sloja, slabo dopiranog fosforom koji sedefinise naredbom epitaxy. Zatim se polisilicijum deponuje, maskira i nagriza u ciljuformiranja gejta. Slede postupci implantacije i odzarivanja bora kojima se formira oblastkanala ispod gejta. Da bi se formirala oblast sorsa vrsi se implantacija i odzarivanjearsena, cime se kompletira definisanje oblasti kanala. Zavrsni deo simulacije procesavezan je za formiranje i definisanje kontakata. Kako je drejn pozicioniran na dnu sup-strata, a gejt je polisilicijumski, formiranje se sastoji od koraka depozicije, maskiranja inagrizanja aluminijuma samo za kontakt sorsa. Definisanje se vrsi dodeljivanjem imenai pozicija elektroda sorsa, gejta u okviru naredbe electrode.

Struktura, na opisani nacin generisana programom ATHENA, prikazana na slici 9.22,ce automatski nakon naredbe go atlas biti ucitana u program ATLAS. Naredbomcontact definise se radna funkcija jako dopiranog polisilicijumskog gejta. Set fizickihtransportnih modela bira se u okviru naredbe models: conmob - pokretljivost zav-isna od gradijenta dopiranja, fldmob - pokretljivost zavisna od lateralnog elektricnogpolja, srh - Shockley-Read-Hall rekombinacija i, kao najznacajniji za konkretan primersnazne komponente, lat.temp - model neizotermickog transporta koriscenjem pro-grama GIGA. Naredbom thermcontact definise se termicki granicni uslov na kon-taktu sorsa.

Karakteristike gejta VDMOS tranzistora odredjuju se resavanjem transportnih i termi-ckih jednacina pri pobudi specificiranoj solve naredbom. Napon na drejnu je rampirando vrednosti 20V. U narednom koraku rampiran je napon gejta od 0.25V do 20V u dvefaze. U pocetnoj fazi koriste se mali koraci rampiranja a u drugoj, pri visim naponima,korak raste. TONYPLOT prikazuje izlaznu karakteristiku zavisnosti struje drejna odpobudnog napona na gejtu (slika 9.23).

go athena#line x loc=0.00 spac=0.25line x loc=3.00 spac=0.10line x loc=10.00 spac=1.0#line y loc=7.00 spac=0.5line y loc=8.00 spac=0.5#init c.phosphor=1.0e18 orientation=100 space.mult=2#epitaxy time=10 temp=1200 thickness=7 div=15 dy=0.10 ydy=0.00 phosp conc=1.0e15deposit oxide thickness=0.06deposit poly thickness=0.35 div=3deposit oxide thickness=0.35 div=3deposit photores thickness=1 div=3etch photores p1.x=3 leftetch oxide p1.x=3 leftetch poly p1.x=3 leftetch oxide p1.x=3 leftimplant boron dose=1e14 energy=80etch photores alldiffuse time=100 temp=1100implant arsenic dose=3e15 energy=100diffuse time=20 temp=1100deposit oxide thickness=0.5 div=4

SIMULACIJA SNAZNIH KOMPONENATA 131

Slika 9.22 2D raspodela primesa u domenu simlacije DMOS tranzistora.

Slika 9.23 Ids/Vgs karakteristika vertikalnog DMOS tranzistora.

etch oxide thickness=0.5etch start x=0 y=-0.1etch cont x=0 y=0.8etch cont x=2.5 y=0.8etch done x=2.5 y=-0.1diffuse time=1 temp=1100deposit alum thickness=1 div=8etch alum right p1.x=3.5electrode name=source x=0electrode name=gate x=5 y=-0.2electrode name=drain backsidestructure outfile=powerex02_0.strtonyplot powerex02_0.str -set powerex02_0.set#go atlascontact name=gate n.polymodels conmob fldmob srh lat.tempoutput flowlinesthermcontact num=1 name=source temp=300method newton autonr trapsolve initsolve vdrain=10solve vdrain=20log outf=powerex02_1.logsolve vstep=0.25 vfinal=2 name=gatesolve vstep=1 vfinal=20 name=gatesave outf=powerex02_2.strtonyplot powerex02_1.log -set powerex02_1.setquit

9.3.2 Simulacija probojnih karakteristika LDMOS tranzistora

Simulacija procesa proizvodnje i analiza probojnih karakteristika prikazana je u ovomprimeru za slucaj lateralnog DMOS tranzistora. Ulazna datoteka za kompletan primersimulacije je :go athena#line x loc=0 spac=0.4line x loc=0.5 spac=0.1line x loc=0.6 spac=0.1line x loc=1 spac=0.08line x loc=2 spac=0.3

line x loc=3 spac=0.5line x loc=5 spac=0.05line x loc=6 spac=0.3line x loc=7 spac=0.1line x loc=7.4 spac=0.1line x loc=7.5 spac=0.1line x loc=8 spac=0.4#line y loc=0.00 spac=0.01line y loc=0.2 spac=0.015line y loc=0.5 spac=0.06line y loc=1 spac=0.12line y loc=10.0 spac=2.0#init orientation=100 c.boron=1e15# sacrificial oxidediffus time=30 temp=1000 dryo2#


etch oxide all## gate oxide growth# make sure more than one grid point is included within the gate oxide thicknessmethod grid.ox=0.01diffus time=50 temp=1000 dryo2 press=1.00 hcl=3#extract name="gateox" thickness material="SiO˜2" mat.occno=1 x.val=-10# vt adjust implantimplant boron dose=6e11 energy=20 pearson# Poly depositiondepo poly thick=0.35 divi=10# Poly definitionetch poly left p1.x=1etch poly right p1.x=5# slightly relax gridrelax y.min=0.4 dir.y=frelax y.min=0.4 dir.y=f# Light n+ implantimplant phosphor dose=2e12 energy=100 pearson# S/D mask and implantdepo barrier thick=0.01etch barrier left p1.x=2etch barrier right p1.x=7implant phos dose=3.0e15 energy=100 pearsonstrip# final annealmethod fermi compressimpurity i.phosph poly /oxide trn.0=0.0diffuse time=30 temp=1000 nitro press=1.0# contact holesetch oxide left p1.x=0.5etch oxide right p1.x=7.5# Contact metal deposition and etchingdeposit alumin thick=0.1 divi=2etch alumin start x=0.6 y=-10etch cont x=0.6 y=10etch cont x=7.4 y=10etch done x=7.4 y=-10# electrode namingelectrode name=source x=0.3electrode name=gate x=2 y=0.0electrode name=drain x=7.7electrode name=substrate backside# estimate threshold voltageextract name="1dvt" 1dvt ntype x.val=3.0structure outf=powerex07_0.strtonyplot powerex07_0.str -set powerex07_0.set#go atlasmodels cvt srh printimpact selbcontact name=gate n.polyinterface qf=3e10solve initmethod newton trap maxtraps=10 climit=1e-4 ir.tol=1e-30 ix.tol=1e-30solve initlog outf=powerex07.logsolve vdrain=0.03solve vdrain=0.1solve vdrain=0.25 vstep=0.25 vfinal=2 name=drainsolve vstep=1 vfinal=10 name=drainsolve vstep=2.0 vfinal=44 name=drainsolve vstep=0.25 vfinal=50 name=drain compl=1.e-7 cname=drain \

outf=powerex07_1.str master onefileextract name="bv" max(v."drain")

tonyplot powerex07.log -set powerex07_log.settonyplot powerex07_1.str -set powerex07_1.setquit

Struktura LDMOS tranzistora je asimetricna sa duzinom gejta od 4µm, pa simulacijapocinje definisanjem asimetricne diskretizacione mreze cija je gustina veca u driftovskoj

SIMULACIJA SNAZNIH KOMPONENATA 133

Slika 9.24 2D struktura LDMOS tranzistora.

Slika 9.25 Id/Vgs karakteristika LDMOS tranzistora.

Slika 9.26 Vrednost impakt jonizacije u 2D domenu simulacije LDMOS tranzistora.

oblasti. Oksid gejta debljine 57nm formira se oksidacijom, a potrebna gustina mrezeu oblasti oksida definise naredbom method grid.ox. Odmah nakon formiranja,parametri oksida gejta se ekstrahuju uz pomoc neredbe extract. Niske vrednosti dozei energije trim implantacije bora iskoriscene su za podesavanje napona praga. Nakondepozicije, maskiranja i nagrizanja polisilicujuma za gejt, vrsi se implantacija kojomse formira driftovska oblast. Konacno, litografskim postupkom i implantacijom fosforadefinisu se n+ oblasti sorsa i drejna. Nakon poslednjeg odzarivanja na 1000oC sledezavrsni postupci formiranja aluminijumskih kontakata sorsa i drejna. Komponenta imaukupno cetiri elektrode. Dobijena struktura i 2D raspodela primesa data je na slici 9.24.extract naredbom moguce je "izmeriti" vrednost napona praga u 1D preseku kroz

sredinu gejta. Kako je kanal veoma dugacak i lateralno uniformno dopiran, vrednostdobijena ekstrakcijom je dobra aproksimacija 2D napona praga koji ce se dobiti sim-ulacijom programom ATLAS. Simulacija elektricnih karakteristika pocinje definisan-jem fizickih modela. Specificirani su modeli zavisnosti pokretljivosti od transverzalnekomponente elektricnog polja i SRH modela rekombinacije. Opcijom carriers=2 uresavanje jednacina ukljucuju se oba tipa nosilaca. Simulacija probojne karakteristikepodrazumeva koriscenje modela udarne jonizacije. U konkretnom slucaju izabran je Sel-berherr model koji se u simulaciju ukljucuje naredbom impac selb. U okviru naredbecontact, jako dopiranom polisilicijumu dodeljuje se vrednost radne funkcije. Nared-bom interface na Si/SiO2 medjupovrsini se definise vrednost fiksnog naelektrisanjaod 3 · 1010cm−3.

Naredba method ima vise uloga. Prvo, njome se odredjuje metodologija resavanjasistema jednacina za koju je u ovoj simulaciji izabran Newton metod. Opcijom trapobezbedjuje se smanjivanje koraka rampiranja u slucaju izostanka konvergencije stoje veoma korisno kod simulacije proboja. Opcija climit=1e-4 obezbedjuje boljukonvergenciju kod simulacija koje ukljucuju proboj u slucaju niskih vrednosti probojnihstruja. Naredbom solve definisu se pobudni uslovi. Napon na drejnu rampira seod 0 do 100V iako je realni probojni napon oko 50V. Pri pobudnim naponima vecim odprobojnog, simulator ne nalazi resenje pa dolazi do divergencije. Kada je ukljucena opcijatrap ATLAS ce automatski redukovati napon koraka do postizanja konvergencije ili dopremasenja definisanog maksimalnog broja redukcija. Kao rezultat simulacije elektricnihkarakteristika dobija se ekstrahovana vrednost probojnog napona (naredba extract).Karakteristika prikazana TONYLOT grafikom (slika 9.25) predstavlja struju drejna uzavisnosti od napona drejna i na njoj je ocigledna lavinska priroda proboja. Raspodelavrednosti brzine udarne jonizacije u domenu prikazana je na slici 9.26.


9.4 SIMULACIJA HOLOVIH MAGNETNIH SENZORA

9.4.1 2D simulacija vertikalnog Holovog senzora

Zbog specificne geometrije, kao i cinjenice da su kontakti, pobudni i osetljivi, rasporedjeniduz jedne linije, vertikalni Holov senzor, se moze simulirati koriscenjem 2D procesnogi simulatora elektricnih karakteristika. Naime, da bi 2D simulacijom dobili relevantnei korisne podatke za projektovanje i optimizaciju, mora da postoji ravan preseka up-ravna na povrsinu komponente, koja preseca sve kontakte i aktivnu oblast senzora. Sobzirom na pravac magnetnog polja, koje je kod vertikalnog Holovog senzora paralelannjegovoj povrsini, to je 2D presek kroz sredine kontakata, jer se upravo u ovoj ravni, krozuticaje na elektricno polje i gustinu struje, mogu posmatrati i analizirati svi relevantiniglavnomagnetni efekti koji uticu na rad i karakteristike senzora.

Ipak, pri analizi rezultata dobijenih 2D simulacijom treba imati u vidu prisutna ograni-cenja i aproksimacije. Naime, 2D simulatori pruzaju mogucnost korisniku da virtue-leno ukljuci trecu dimenziju, koja u ovom konkretnom slucaju odgovara sirini senzora,pri cemu je profil primesa u ovom pravcu identican profilu u simuliranom preseku,sto ne odgovara realnosti s obzirom na lateralne efekte. Za razliku od velikog brojapoluprovodnickih komponenata (poput, recimo MOS tranzistora), kod kojih se raspodelaprimesa u trecoj dimenziji zaista moze smatrati nepromenljivom bez znacajnijeg uticajana tacnost dobijenih rezultata simulacije, u slucaju vertikalnog Holovog senzora onabitno utice na simulirane karakteristike senzora. Razlog za to lezi u cinjenici da je sirinavertikalnog Holovog senzora manja u odnosu na njegove druge dve dimenzije, kao i da di-rektno odredjuje vazne parametre senzora, u prvom redu strujnu osetljivost. Iako se ovajproblem ne moze prevazici na nivou procesne simulacije, njegove posledice je moguceublaziti pazljivim podesavanjem parametara kod simulacije elektricnih karakteristika.

9.4.1.1 Simulacija CMOS tehnoloskog niza vertikalnog Holovog senzoraKompletan tehnoloski niz za proizvodnju vertikalnog Holovog senzora simuliran jekoriscenjem parametara visokonaponske AMS 0.8µm CMOS tehnologije. Izabrana HVtehnologija u procesu projektovanja vertikalnih senzora ima prednost nad standardnompre svega zbog vece dubine n-well oblasti, koja ima ulogu aktivne oblasti senzora. Ukonkretnoj tehnologiji n-well se formira u procesnom koraku dobijanja DNTUB oblastisa karakteristicnom dubinom pn-spoja well/supstrat od oko 7µm. Postoji i mogucnostformiranja nesto pliceg n-well dubine oko 5.5µm ako se iskoristi STUB oblast. Naslici 9.27 prikazan je layout komponente, pri cemu su date neke vaznije dimenzije maskikoje se koriste u foto postupcima za proizvodnju vertikalnog Holovog senzora i oznacenipreseci u kojima je kompletan tehnoloski niz simuliran u dve dimenzije. Dimenzijedomena simulacije, u preseku cut1 sa slike 9.27, su 50 × 10µm, cime je obuhvacendeo izolacione p difuzije, koja se polarise preko dva dodatna p+ kontakta. Sirina pobud-nih kontakata je 0.8µm, osetljivih 1.7µm, dok su rastojanja izmedju osetljivih i ivicnihpobudnih kontakata 2.1µm, odnosno 1.8µm izmedju osetljivih i sredisnjeg pobudnogkontakta. Na slici 9.28 prikazana je 2D raspodela koncentracije primesa u definisanomdomenu simulacije koja je dobijena programom DIOS. 1D profili primesa u oznacenimpresecima A(p+/p-well), B(n+/DNTUB) i C(DNTUB) prikazani su na slici 9.29. Da bise stekao uvid u realnu raspodelu primese duz z-ose, izvrsena je simulacija tehnoloskogniza u preseku cut2 sa slike 9.27, i dobijeni 2D profil primesa je prikazan je na slici 9.30.

U drugoj fazi simulacije procesa, generisana je adaptivna diskretizaciona mreza pro-gramom MDRAW. S obzirom da diskretizaciona mreza koja se koristi za simulaciju

SIMULACIJA HOLOVIH MAGNETNIH SENZORA 135

Slika 9.27 Layout vertikalnog Holovog senzora.

Slika 9.28 2D profil primesa u domenu simulacije vertikalnog Holovog senzora u visokon-aponskoj 0.8µm CMOS tehnologiji u preseku cut1.

Slika 9.29 1D profili primesa u presecima A(p+/p-well), B(n+/DNTUB) i C(DNTUB).

Slika 9.30 2D profil primesa u preseku cut2.

Slika 9.31 Adaptivna diskretizaciona mreza generisana programom MDRAW, koja se koristiza simulaciju elektricnih karakteristika vertikalnog Holovog senzora programom DESSIS.

procesa, zbog velikog domena simulacije i slozenosti strukture, ima ogroman broj tacaka(najcesce vise od 50000), neophodno je generisati adaptivnu diskretizacionu mrezu pri-lagodjenu profilu primesa i simulaciji elektricnih karakteristika programom DESSIS,kako bi se obezbedila zeljena tacnost dobijenih rezultata simulacije i ostvarila ustedaCPU vremena potrebnog za simulaciju. Pri tome, velika gustina diskretizacione mrezenije uvek garancija da cemo dobiti bolju tacnost (naprotiv, mogu se javiti ozbiljni prob-lemi pri resavanju, kao na primer: numericka "ukocenost", problemi sa konvergencijom,itd.), ali ce nam sigurno biti potrebno mnogo vise CPU vremena i racunarskih resursa.Za nas konkretan slucaj programom MDRAW je generisana adaptivna diskretizacionamreza sa 10974 diskretizacionih cvorova, koja je koriscena za simulaciju elektricnihkarakteristika programom DESSIS (slika 9.31).

9.4.2 Simulacija elektricnih karakteristika vertikalnog Holovog senzora

Za simulaciju elektricnih karakteristika vertikalnog Holovog senzora koriscen je simu-lator DESSIS koji, za razliku od velikog broja postojecih simulatora elektricnih karak-teristika poluprovodnickih komponenata, ima ugradjene modele koji ukljucuju uticajmagnetnog polja na transportne procese u poluprovodniku. Kako ovaj senzor detektujekomponentu magnetnog polja paralelnu povrsini strukture, tj. upravnu xy-ravan presekau kojoj se nalazi vec definisan domen simulacije, vrednost vektora magnetne indukcijeima samo z komponentu.

Uticaj magnetnog polja na elektricne karakteristike vertikalnog Holovog senzora simuli-ran je pri sledecim uslovima polarizacije pobudnih kontakata: VC1=0V i VC3=0V, dok senapon naC2 menja u opsegu od 0V do 5V. Holov napona se detektuje kao razlika naponana osetljivim kontaktima S1 i S2, preko otpornika otpornosti R = 10MΩ. Izvrsene susimulacije za vrednosti magnetne indukcije B u opsegu od 0 do 2T. U domenu simu-lacije se resava sistem drift-difuzionih poluprovodnickih jednacina, pri cemu se koristeSRH i Auger modeli rekombinacije, dok je za pokretljivost koriscen Philips Unifid Mo-bility model. Maksimalna vrednost pokretljivosti modifikovana je u odnosu na usvo-jenu definisanu vrednost i iznosi 1214cm2/Vs. Takodje, ukljucen je i efekat zasicenjadriftovske brzine usled visokih polja, pri cemu su maksimalne driftovske brzine za elek-trone i supljine neznatno korigovane u odnosu na usvojene vrednosti u modelu programaDESSIS. Da bi se postiglo bolje slaganje sa eksperimentalno odredjenim karakteris-


tikama, vrednost Holovog faktora rasejavanja za supljine koji se koristi u simulacijiodgovara tipicnoj rp=-0.7, dok je ovaj parametar za slucaj elektrona rn=0.95, sto je nestonize od tipicne vrednosti koja iznosi rn=1.12. Vec spomenuti nedostaci 2D simulacije, upogledu raspodele profila primesa u z pravcu korigovani su podesavanjem faktora mul-tiplikacije povrsine. Ovim parametrom se odredjuje virtuelna sirina strukture, i u nasemslucaju ovaj parametar ima vrednost 3.05. Ulazna datoteka programa DESSIS za slucajsimulacije vertikalnog Holovog senzora izgleda ovako:

device Verical Hall sensor electrode name = C2 voltage=0.0 resistivity=10 name = C1 voltage=0.0 resistivity=10 name = C3 voltage=0.0 resistivity=10 name = Subs voltage=0.0 name = S1 voltage=0.0 name = S2 voltage=0.0 name = Pleft voltage=0.0 name = Pright voltage=0.0 file grid = "n2_mdr.grd"doping = "n2_mdr.dat"parameter ="Par.par"current = "@node@_45"plot = "@node@_45"Physics areafactor=3.05Mobility(Phumob(Phosphorus) HighFieldSaturation(GradQuasiFeremi) Enormal)Recombination(SRH Auger)EffectiveIntristicDensity(BandGapNarrowing(Bennett))magneticfield=(0.0,0.0,@B@)Physics (MaterialInterface="Silicon/Oxide") Charge(Conc=2.4e11) Recombination(surfaceSRH)System krst krst("C2"=n1 "C1"=n3 "C3"=n3 "subs"=n1 "S1"=n2 "S2"=n4 "Pleft"=n1 "Pright"=n1)Vsource_pset v1 (n3 n1) dc=0.01Resistor_pset r (n2 0) resistance=1.e10Resistor_pset r1 (n4 0) resistance=1.e10set (n1=0)set (n3=0)Plot "@node@_45.plt" (n3 v(n4 n2) i(n3 n1))Plot eCurrent/Vector hCurrent/Vector eDensity hDensity ElectricField eEparallel hEparallel Potential Doping SpaceCharge emobility hmobilitymath extrapolatedigits=4error(electron)=0.1error(hole)=0.1iterations=10method=sliprhsmin=1e-10edgemagneticdiscretizationsolve plugin (Iterations=10 digits=3)coupled (digits=5 iterations=100 method=slip("type=poisson")) poisson

coupled (method=slip("type=fast")) electronunset (n3)coupled (method=slip("type=ndeasy")) poisson electron

quasistat ( MaxStep=0.5 MinStep=1e-7Goal parameter=v1.dc voltage=5 )coupled (method=slip("type=fast")) poisson electron


Slika 9.32 Raspodela potencijala za Bz=0T

Slika 9.33 Raspodela potencijala za Bz=2T

Slika 9.34 Kvazi 3D raspodela potencijala u simulacionom domenu vertikalnog Holovogsenzora za B=2T i Vin=5V.

Slika 9.35 1D raspodela potencijala u horizontalnom preseku (y=0).

Slika 9.36 1D raspodela potencijala u vertikalnom preseku kroz kontakte S1 i S2 za B=0T iBz=2T.

Slika 9.37 Gustina struje u simulacionom domenu vertikalnog Holovog senzora za B=0T iVin=5V.

Slika 9.38 Gustina struje u simulacionom domenu vertikalnog Holovog senzora za Bz=2T iVin=5V.

Slika 9.39 Holov napon VH u zavisnosti od pobudnog napona Vin i magnetne indukcije B:simulacija (puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Dobijeni rezultati simulacije, 1D i 2D raspodele potencijala i gustine struje, prikazani suna slikama 9.32 - 9.38. Na slici 9.32 je prikazana 2D raspodela potencijala u domenusimulacije senzora za date uslove polarizacije, kada jeBz = 0T. S obzirom na polarizacijui simetricnu strukturu i raspodela potencijala je simetricna u odnosu na srednji pobudnikontakt C2. 2D raspodela potencijala zaBz = 2T prikazana je na slici 9.33, dok je kvazi3D raspodela potencijala za ovaj isti slucaj prikazana na slici 9.34. Uticaj prisutnogmagnetnog polja na potencijal je ocigledan, a takodje je lako uociti da u ovom slucajupostoji razlika potencijala (Holov napon) na osetljivim kontaktima S1 i S2. 1D raspodelepotencijala na povrsini strukture za razlicite vrednosti B date su na slici 9.35, dok su 1Draspodele potencijala u vertikalnim presecima kroz kontakte S1 i S2 za Bz = 0T iBz = 2T prikazane na slici 9.36. 2D raspodele gustine struje elektrona u simulacionomdomenu za Bz = 0T i Bz = 2T prikazane su na slikama 9.37-9.38, respektivno.

Na slikama 9.39 - 9.43 date su zavisnosti Holovog napona, strujne i naponske os-etljivosti, ulazne struje i otpornosti u zavisnosti od vrednosti pobudnog napona i magnetneindukcije koje su dobijene simulacijom elektricnih karakteristika vertikalnog Holovogsenzora programom DESSIS, kao i njihove eksperimentalno izmerene vrednosti. Odstu-panja dobijenih rezultata simulacije od eksperimetanih vrednosti krecu se u opsegu od0.1−8%. Razlog je vec opisani problemu vezan za odsustvo realnog profila primesa, kojije u pravcu z-ose aproksimiran konstantnim. Konacno, rezultati simulacije elektricnihkarakteristika vertikalnog Holovog senzora i eksperimentalni rezultati dati su u tabeli5.2.


Slika 9.40 Zavisnost strujne SI i naponske osetljivosti SV od pobudnog napona Vin: simulacija(puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Slika 9.41 Holov napon VH u zavisnosti od magnetne indukcije B i pobudnog napona Vin:simulacija (puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Slika 9.42 Zavisnost strujne SI i naponske osetljivosti SV od magnetnog indukcije B: simu-lacija (puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Slika 9.43 Zavisnost pobudne struje Iin i ulazne otpornosti Rin od pobudnog napona Vin:simulacija (puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Tabela 9.1 Poredjenje rezultata simulacije (S) sa ekperimentalnim (E) za vertikalni Holovsenzor.

VHS(V) VHE(V) SIS(V/AT) SAE(V/AT) SV S(V/VT) SV E(V/VT)

B=0.025T 4.0563E−3 3.8245E−3 98.934 93.274 0.0324 0.0306B=0.07T 1.1281E−2 1.0708E−2 98.266 93.274 0.0322 0.0306B=0.11T 1.1748E−2 1.6823E−2 96.899 93.274 0.0317 0.0306B=0.15T 2.3971E−2 2.2945E−2 97.444 93.274 0.0319 0.0306

9.4.3 3D simulacija krstastog Holovog senzora

Za razliku od vertikalnih Holovih geometrija, simulacija tehnoloskog niza za proizvodnjui elektricnih karakteristika "plate-like" Holovih senzora, u koje spada i krstasta struktura,ima smisla iskljucivo u slucaju 3D simulacionog domena. Razlozi za to su ocigledni:jedina ravan koja obuhvata sva cetiri kontakta je ravan povrsine senzora. Pored toga,medjusobni uglovi izmedju vektora magnetnog polja, elektricnog polja i gustine strujeopisani u teoriji galvanomagnetnih efekata mogu pripadati bilo kojoj ravni u prostoru,cime je izbor samo jedne ravni nemoguc. Iako bi realna 3D simulacija tehnoloskogniza za proizvodnju bila najpouzdaniji metod generisanja 3D profila ona, nazalost, josuvek pripada buducnosti. Problemi vezani za 3D procesnu simulaciju uslovljeni su,kako softverskim ogranicenjima, zbog veoma kompleksnih modela procesa, diskretiza-cionih metoda, mreza i numerickih tehnika, tako i ogranicenjima hardvera, pre svegazbog brzine procesora, jos uvek nedovoljne za tako veliki broj diskretizacionih tacaka inumerickih operacija. S druge strane, metod aproksimacije realnog profila analitickimfunkcijama pokazao se kao nedovoljno pouzdan, s obzirom na znacajna odstupanja anal-itickih profila primesa od realnih profila, sto ozbiljno utice na tacnost dobijenih rezultatasimulacije. Zbog toga je ovde iskoriscen metod generisanja konzistentnog 3D profilaprimesa krstastog Holovog senzora na osnovu simulacije kompletnog tehnoloskog nizaza proizvodnju u vise karakteristicnih 2D preseka, metodom koja predstavlja kompro-mis izmedju zeljene tacnosti rezultata simulacije i raspolozivih hardverskih i softverskihresursa. Opisani su postupci simulacije kompletnog tehnoloskog niza u 2D presecima,njihova inkorporacija u 3D geometriju, kao i rezultati 3D elektricne simulacije, koji suuporedjeni sa eksperimentalnim rezultatima.


Slika 9.44 Layout krstastog Holovog senzora.

Slika 9.45 2D profil primesa u presecima cut1 i cut2.

Slika 9.46 2D profil primesa u presecima cut3 i cut4.

9.4.3.1 Simulacija tehnoloskog niza krstastog Holovog senzora KrstastiHolov senzor je komponenta osetljiva na magnetno polje koje je upravno na povrsinunjene strukture. Geometrija je rotaciono simetricna za ugao π/2, pri cemu se od ukupnocetiri kontakta, po dva naspramna koriste za pobudu, odnosno detekciju i merenje Holovognapona. Sva cetiri kontakta su identicnog oblika i povrsine. Aktivni deo komponenterealizovane u AMS 0.8µm standardnoj CMOS tehnologiji smesten je u slabo dopiranojn-well oblasti i izolovan od supstrata inverzno polarisanim pn-spojem n-well/supstrat. Zaformiranje n+ kontaktnih difuzija iskorisceni su procesni koraci kojima se u pomenutojtehnologiji formiraju sors i drejn n-kanalnog MOS tranzistora. Plitki p+ sloj koji prekrivasredisnji aktivni deo komponente, dobijen je procesnim koracima kojima se formirajusors i drejn p-kanalnog MOS tranzistora.

Layout krstastog Holovog senzora, definisan programom PROLYT koji je sastavni deoISE TCAD sistema, predstavlja prvi korak procesne simulacije, kojim se definisu karak-teristicni 2D preseci strukture koji su neophodni da 3D struktura bude potpuno odredjena.Prema slici 9.44, za ovu stukturu dovoljno je poznavati 2D profil primesa u ukupno sestpreseka oznacenih na slici. Dimenzije maski program DIOS preuzima direktno iz pro-grama PROLYT od koga takodje dobija i set vrednosti kojima se pozicioniraju 2D preseciu 3D koordinatnom sistemu.

Tehnoloski niz za proizvodnju krstastog Holovog senzora simuliran je programomDIOS za svaki od oznacenih sest preseka, koriscenjem parametara standardne AMS0.8µm CMOS tehnologije. Ova tehnologija izabrana je imajuci u vidu cinjenicu da je zavisoke vrednosti osetljivosti senzora potrebna niskodopirana aktivna oblast male debljine,koja u konkretnom slucaju iznosti 5µm (NTUB oblast). Koncentracija donorskih primesana povsini n-wella iznosi 3.9 · 1019cm−3. Na slikama 9.45 i 9.46 prikazani su dobijeni2D profili primesa u karakteristicnim presecima.

9.4.3.2 Konstrukcija 3D strukture i generisanje diskretizacione mreze 3Dprofil primesa generisan je programom DIP (Data Interpolation Package), koji zapravopredstavlja program namenjen objedinjavanju rezultata vise 2D simulacija izvrsenih ra-zlicitim softverskim alatima, kao sto su: PROLYT, DIOS, PROSIT i MESH. Kako je vecspomenuto, izlazna datoteka procesnog simulatora DIOS pored, naravno, vrednosti nivoadopiranja u svim tackama diskretizacione mreze, sadrzi i segment koji sadrzi informacijeo 3D prostornoj orijentaciji 2D ravni u kojoj je izvrsena simulacija. To je razlog sto se,bez obzira na medjusobnu identicnost nekih od profila, mora izvrsiti simulacija svih sestpreseka pojedinacno. Sest izlaznih DIOS datoteka, bez ikakve dorade postaju ulaznedatoteke programa DIP. Program PROSIT se koristi za konstrukciju 3D geometrije stopodrazumeva formiranje slojeva strukture u geometrijskom smislu. Sve potrebne po-datke ovaj program dobija na osnovu geometrije maski (PROLYT) i ulazne datoteke kojasadrzi delove tehnoloskog niza koji geometrijski pozicioniraju slojeve strukture, kao stosu depozicija, oksidacija, nagrizanje, parametri fotolitografskih procesnih koraka i di-menzije supstrata. Izlaznu datoteku programa PROSIT koristi program MESH. Da bi se


Slika 9.47 3D struktura krstastog Holovog senzora sa oznacenim karakteristicnim 2D presec-ima.

Slika 9.48 3D domen simulacije krstastog Holovog senzora i diskretizaciona mreza.

koristila kao ulazna datoteka MESH-a korisnik je mora dopuniti definisanjem zeljenihimena oblasti i kontakata.

Program MESH ima veoma vaznu ulogu generatora mreze 3D strukture. Pored izlaznedatoteke programa PROSIT iz koje dobija podatke o granicama slojeva i profila dopiranjapreuzetih iz DIOS simulacija, on zahteva jos jednu ulaznu datoteku koja odredjuje kriter-ijume za gustinu mreze u pojednim oblastima. Ti kriterijumi podrazumevaju definisanjenumerickih parametara koji determinisu gustinu mreze u 3D geometrijskim regionima,prema njihovom prioritetu u pogledu znacaja efekata koji se u njima odvijaju. Ove re-gione opciono definise korisnik, dok je gradijent dopiranja kao kriterijum diskretizacijevec sadrzan u samom programu. Koriscenje mogucnosti koje MESH pruza u pogleduprilagodjavanja mreze strukturi komponente od velikog je znacaja u optimizaciji vremenapotrebnog za simulaciju i optimalnog iskoriscenja racunarskih resursa.

Konacno, poslednja potrebna ulazna datoteka programa DIP kontrolise generisanjepotpunog konzistentnog profila metodom inkorporacije 16 regiona (slika 9.47) kvadratnogoblika u jedinstvenu celinu. Ova datoteka sadrzi dva tipa parametara: prvi, kontrolisu op-eracije medjusobnog preklapanja ravni inkorporacionih regiona, a drugi, interpolacionimetod koji obezbedjuje konzistenciju profila. Sest stranica svakog od 16 inkorpora-cionih regiona dobija svoju tacnu poziciju u 3D prostoru bilo da je to pozicija unutarstrukure (preklapanje sa nekim drugim regionom) ili na spoljasnjoj granici geometrije.Vrednost dopiranja u svakoj tacki van tih granica racuna se po unapred definisanom in-terpolacionom kriterijumu. U ovoj simulaciji je iskoriscena glider funkcija interpolacije.Slika 9.48 prikazuje rezultat generisanja 3D mreze i profila dopiranja dobijenih ovommetodom.

9.4.3.3 Simulacija elektricnih karakteristika krstastog Holovog senzoraZa simulaciju elektricnih karakteristika krstastog Holovog senzora koriscen je 3D simu-lator elektricnih karakteristika DESSIS. Kako je ovaj senzor osetljiv na magnetno poljenormalno na povrsinu strukture, s obzirom da povrsina komponente lezi u xy-ravni,vektor magnetne indukcije orijentisan je u pracu z-ose.

Simuliran je uticaj magnetnog polja za uslove pobude VC1 = 0−6V, VC2=0V. MerenjeHolovog napona simulirano je vezivanjem osetljivih kontakata S1 i S2 za voltmetre cijesu unutrasnje otpornosti R=10MΩ. Izvrsene su simulacije za razlicite vrednosti inten-ziteta magnetne indukcije u opsegu od B = 0T do B = 1T. Za simulaciju je koriscendrift-difuzioni set poluprovodnickih jednacina. Kako je rec o 3D strukturi broj tacakadiskretizacione mreze je veliki (za ovaj primer simulacije broj diskretizacionih tacaka je33385), pa je za resavanje sistema parcijalnih diferencijalnih jednacina koriscen "plug-in"iterativni metod. Rekombinacioni procesi simulirani su koriscejem SRH i Auger modelarekombinacije. Za simulaciju pokretljivosti koriscena je, kao i kod vertikalnog Holovogsenzora Philips Mobility Model, koji objedinjuje degradaciju pokretljivosti usled raseja-vanja na jonizovanim primesama i nosiocima naelektrisanja. Maksimalna pokretljivostmodifikovana je u odnosu na usvojenu vrednost i iznosi 1150cm2/Vs, umesto 1414cm2/VS. Takodje, ukljucen je i efekat zasicenja driftovske brzine nosilaca usled visokihelektricnih polja, pri cemu su maksimalne driftovske brzine za elektrone i supljine korigo-


vane u odnosu na vrednosti usvojene u modelu programa DESSIS: vsat = 0.97 · 106cm/sumesto 1.07 · 107cm/s za elektrone, i vsat = 0.62 · 106cm/s umesto 8.37 · 106cm/s zasupljine. Vrednost Holovog faktora rasejavanja za supljine, koriscen u simulaciji odgo-vara tipicnoj rp = −0.7, dok je za ovaj parametar u slucaju elektrona koriscena nestovisa vrednost rn = 1.15 (tipicno vrednost ovog parametra je 1.12). Za simulaciju ot-pornosti kontakata koriscena je vrednost karakteristicna za izabranu tehnologiju od 20Ω.Ulazna datoteka programa DESSIS za slucaj simulacije krstastog Holovog senzora iz-gleda ovako:device Cross-shape Hall sensor electrode name = nleft voltage=0.0 resistivity=60 name = ns1 voltage=0.0 name = ns2 voltage=0.0 name = nright voltage=0.0 resistivity=60 name = p1 voltage=0.0 name = p2 voltage=0.0 name = p3 voltage=0.0 name = p4 voltage=0.0 name = Subs voltage=0.0 file grid = "p7_msh.grd"doping = "p7_msh.dat"parameter="dessis_krst.par"current = "@node@_p74fe"plot = "@node@_p74fe"Physics Mobility(phumob(Phosphorus) HighFieldSaturation ToCurrentEnormal)Recombination(SRH(DopingDep) Auger)EffectiveIntristicDensity(BandGapNarrowing(BennettWilson))magneticfield=(0.0,0.0,@B@)System krst krst("nleft"=n3 "ns1"=n2 "ns2"=n4 "nright"=n1 "p1"=n1 "p2"=n1"p3"=n1 "p4"=n1 "Subs"=n1)#-Isource_pset i1 (n1 n3) dc=0Resistor_pset r (n2 0) resistance=1e20Resistor_pset r1 (n4 0) resistance=1e20set (n1=0)set (n3=0)set (n2=0)set (n4=0)Plot "@node@_p741e.plt" (n3 v(n2 n4) i(n3 n1))plot eCurrent/Vector hCurrent/Vector eDensity hDensity ElectricField eEparallelhEparallel Potential Doping SpaceCharge emobility hmobilitymath extrapolatedigits=4error(electron)=0.1error(hole)=0.1iterations=10method=sliprhsmin=1e-10edgemagneticdiscretizationsolve plugin (Iterations=10 digits=3)coupled (digits=5 iterations=100 method=slip("type=poisson")) poisson

coupled (method=slip("type=fast")) electron#- coupled (method=slip("type=fast")) hole

coupled (method=slip("type=ndeasy"))poisson electronunset(n3)unset(n2)unset(n4)


Slika 9.49 Raspodela potencijala u 3D domenu simulacije krstastog Holovog senzora.

Slika 9.50 3D raspodela gustine struja elektrona u preseku kroz pobudne kontakte (gore) iosetljive kontakte (dole).

Slika 9.51 Raspodela gustine struje elektrona u preseku z=0 (C3 i C4 su pobudni, a C1 i C2

osetljivi kontakti.

Slika 9.52 Sirina osiromasene oblasti (JFET efekat).

Slika 9.53 Holov napon VH u zavisnosti od pobudnog napona Vin i magnetne indukcije:simulacija (puna linija), i eksperiment (isprekidana linija).

Slika 9.54 Zavisnost strujne SI i naponske osetljivosti SV od pobudnog napona Vin: simulacija(puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Slika 9.55 Simulirane vrednosti Holovog napona VH u zavisnosti od magnetne indukcije B ipobudnog napona Vin.

Slika 9.56 Zavisnost strujne SI i naponske osetljivosti SV od magnetnog indukcije B: simu-lacija (puna linija) i eksperiment (isprekidana linija).

Slika 9.57 Zavisnost pobudne struje Iin i ulazne otpornosti Rin od pobudnog napona Vin:simulacija (puna linija) i eksperiment (isprekidana linija)

quasistat ( Initialstep=0.01 MaxStep=0.1 MinStep=1e-7Goal node=n3 voltage=6.77 )coupled (method=slip("type=fast")) poisson electron

Dobijeni rezultati simulacije, 3D raspodela potencijala, gustine struje elektrona upresecima kroz pobudne i osetljive kontakte, prikazani su na slikama 9.49 - 9.52.

Na slikama 9.53 - 9.57 date su zavisnosti Holovog napona, strujne i naponske os-etljivosti, ulazne struje i otpornosti u zavisnosti od pobudnog napona, odnosno magnetnogpolja, dobijene simulacijom i njihove eksperimentalno odredjene vrednosti. Odstupanjarezultata simulacije od eksperimentalnih vrednosti krecu se u opsegu od 0.05-6%. Dogreske u 3D simulaciji dolazi zbog slozene problematike generisanja 3D profila primesai diskretizacione adaptivne mreze. I pored toga, rezultati se dobro slazu sa ekperimen-talnim, kako u kvantitativnom, tako i u kvalitativnom pogledu. Konacno u tabeli 5.3su uporedjene vrednosti Holovog napona, strujne i naponske osetljivosti dobijene simu-lacijom sa njihovim izmerenim vrednostima.


Tabela 9.2 Poredjenje rezultata simulacije (S) sa ekperimentalnim (E) za krstasti Holov senzor.

VHS(V) VHE(V) SIS(V/AT) SIE(V/AT) SV S(V/VT) SV E(V/VT)

B=0.0425T 0.00202 0.00203 189.571 191.529 0.00987 0.00977B=0.085T 0.00404 0.00406 190.117 191.058 0.00984 0.00979B=0.1275T 0.0061 0.0061 191.545 191.529 0.00987 0.00987

Dodatak AInternacionalni sistem jedinica

Velicina Jedinica Simbol Dimenzije

Duzina metar mMasa kilogram kgVreme sekunda sTemperatura kelvin KStruja amper AFrekvencija herc Hz s−1

Sila njutn N kg m s−2

Pritisak paskal Pa N m−2

Energija dzul J N mSnaga vat W J s−1

Elektricno naelektrisanje kulon C A sPotencijal volt V J C−1

Konduktansa simens S A V−1

Otpornost om Ω V A−1

Kapacitivnost farad F C V−1

Magnetni fluks veber Wb V sMagnetna indukcija tesla T Wb m−2

Induktansa henri H Wb A−1

145

Dodatak BFizicke konstante

Velicina Simbol Vrednost

Angstrem A 1 A=10−4µm=10−8cmAvogadrov broj NAV O 6.02204 ×1023mol−1

Borov radijus aB 0.52917ABolcmanova konstanta k 1.38066×10−23J K−1(R/NAV O)Elementarno naelektrisanje q 1.60218×10−19CMasa mirovanja elektrona m0 0.91095×10−30kgElektron-volt eV 1 eV=1.60218×10−19JGasna konstanta R 1.98719 cal mol−1 K−1

Permeabilnost u vakuumu µ0 1.25663×10−8H cm−1(4π×10−9)Permitivnost u vakuumu ε0 8.85418×10−14F cm−1(1/µ0c

2)Plankova konstanta h 6.62617×10−34J sRedukovana Plankova konstanta h 1.05458×10−34J s (h/2π)Masa mirovanja protona Mp 1.67264×10−27kgBrzina svetlosti u vakuumu c 2.99792×1010cm s−1

Atmosfera 1.01325×105N m−2

Termicki napon na 300 K kT/q 0.0259 VTalasna duzina kvanta 1 eV λ 1.23977µm

147

Dodatak COsobine silicijuma

Broj atoma/cm3 5.0 · 1022

Atomska tezina 28.09Probojno polje (V/cm) ' 3 · 105

Gustina (g/cm3) 2.33 solid2.53 liquid (1412C)

Dielektricna konstanta 11.9Efektivna gustina stanja u provodnoj zoni, NC 2.8 · 1019

Efektivna gustina stanja u valentnoj zoni, NV 1.04 · 1019

Sirina zabranjene zone (eV) 1.12Toplotni kapacitet (cal/g mol C) 4.78 solid

6.76 liquid (1412C)Intrinsicna koncentracija nosilaca (cm3) 1.45 · 1010

Intrinsicna Debye-va duzina (µm) 24Intrinsicna otpornost (Ωcm) 2.3 · 105

Konstanta resetke (m) 5.43095 · 10−10

Tacka topljenja (C) 1412Vreme zivota manjinskih nosilaca (s) 2.5 · 10−3

Pokretljivost (drift) (cm2/Vs) µn = 1500 - electronsµp = 475 - holes

149

Modeliranje i simulacija u mikroelektronici

Documents

Transcript of Modeliranje i simulacija u mikroelektronici