Modeling and analysis of 4 DOF elastic shaft and rotor system

i

İÇİNDEKİLER

ÇİZELGELERİN LİSTESİ .......................................................................................... ii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ .............................................................................................. iii

SİMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................. iv

1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1

2. ROTOR SİSTEMLERİ ............................................................................................ 2

2.1. Rotor Sistemlerinin Sınıflandırılması ............................................................... 2

3. ÖNCEDEN YAPILMIŞ ÇALIŞMALAR ................................................................ 4

4. KÜTLESİZ ŞAFT VE RİJİT DİSKLERİN TİTREŞİMLERİ ................................. 9

4.1 Rotor Dengesizlikleri ....................................................................................... 10

5. 4 SERBESTLİK DERECELİ ROTOR SİSTEMİNİN MODELLENMESİ ......... 12

5.1 Hareket Denklemleri ............................................................................................ 12

5.1.1. Yanal Hareket Denklemleri.......................................................................... 13

5.1.2. Eğilim Hareket Denklemleri ........................................................................ 16

5.1.3. Atalet Ekesenleri Ve Atalet Momentleri ...................................................... 26

6. ANALİTİK ÇÖZÜM ............................................................................................. 28

7. SONUÇ VE ÖNERİLER ....................................................................................... 40

KAYNAKLAR .......................................................................................................... 41

EKLER ....................................................................................................................... 45

Ek 1. 300rad/sn ve 1000 Ns/m parametreleri için Matlab kodu ............................ 45

Ek 2. Matlab fft kodu ............................................................................................. 46

ii

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa

Çizelge 5.1. MK , MZ ve 1MZ için doğrultman kosinüsleri ....................................... 16

Çizelge 5.2. X , Y ve Z eksenleri için doğrultman kosinüsleri ................................ 19

iii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa

Şekil 2.1. Kritik hız ve “support stiffness” .................................................................. 3

Şekil 3.1. Rotor dinamiğinin tarihsel gelişimi ............................................................. 8

Şekil 4.1. “lumped parameter” rotor modelleri (a) Yanal değişime uğramış 2

serbestlik dereceli model (b) Eğikliğe maruz kalmış 2 serbestlik dereceli model (c) 4

serbestlik dereceli model .............................................................................................. 9

Şekil 4.2. Statik dengesizlik ....................................................................................... 10

Şekil 4.3. Moment dengesizliği .................................................................................. 11

Şekil 4.4. Dinamik dengesizlik .................................................................................. 11

Şekil 5.1. 4 serbestlik dereceli rotor sistemi (a) Dikey rotor sisteminin parametreleri

(b) Koordinat sistemi.................................................................................................. 12

Şekil 5.2. Euler açıları; 1 , 1φ ve 1ψ .......................................................................... 15

Şekil 5.4. Açısal momentum değişimleri ................................................................... 17

Şekil 5.5. Doğrultman kosinüslerinin türetilmesi ...................................................... 20

Şekil 5.6. 1x , 1y ve x ,

y arasındaki ilişkiler ......................................................... 24

Şekil 5.3. Katı bir silindir için kütle atalet eksenleri ve parametreleri ....................... 27

Şekil 6.1. 300rad/sn_1000Ns/m_x_ve_zaman ........................................................... 29

Şekil 6.2. 300rad/sn_1000Ns/m_y_ve_zaman ........................................................... 29

Şekil 6.3. 300rad/sn_1000Ns/m_orbit ....................................................................... 30

Şekil 6.5. 350rad/sn_1000Ns/m_y_ve_zaman ........................................................... 31


Şekil 6.7. 380rad/sn_1000Ns/m_x_ve_zaman ........................................................... 32


Şekil 6.11. 400rad/sn_1000Ns/m_y_ve_zaman ......................................................... 34

Şekil 6.13. 420rad/sn_1000Ns/m_x_ve_zaman ......................................................... 35

Şekil 6.15. 420rad/sn_1000Ns/m_orbit ..................................................................... 36

Şekil 6.17. 460rad/sn_1000Ns/m_y_ve_zaman ......................................................... 37

Şekil 6.22. 200rad/sn ve 1800rad/sn aralığı için waterfall diyagramı........................ 39

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda

sunulmuştur.

Simgeler Kısaltmalar

r yanal yerdeğiştirme

şaftın eğikliği

a diskin yukarı destek noktasına olan uzaklığı

b diskin aşağı destek noktasına olan uzaklığı

l şaftın boyu

0I şaftın kesit alanının eylemsizlik momentini

1 zenit açısı

1φ presesyon açısı

1ψ dönme açısı

Gx

G ağırlık merkezinin x koordinat

Gy G ağırlık merkezinin y koordinatı

XL x eksenindeki açısal momentum

YL y eksenindeki açısal momentum

ZL z eksenindeki açısal momentum

v

XH x eksenindeki açısal momentum değişimi

YH y eksenindeki açısal momentum değişimi

ZH z eksenindeki açısal momentum değişimi

1l X ekseni için 1X eksenine göre doğrultman kosinüsü

1m

Y ekseni için 1X eksenine göre doğrultman kosinüsü

1nZ Z ekseni için 1X eksenine göre doğrultman kosinüsü

2l X ekseni için 1Y eksenine göre doğrultman kosinüsü

2m Y ekseni için 1Y eksenine göre doğrultman kosinüsü

2n Z ekseni için 1Y eksenine göre doğrultman kosinüsü

3l X ekseni için 1Z eksenine göre doğrultman kosinüsü

3m Y ekseni için 1Z eksenine göre doğrultman kosinüsü

3n Z ekseni için 1Z eksenine göre doğrultman kosinüsü

a 1X yönünde birim vektör

xzM

xz ekseninde geri çağırıcı moment

yzM

yz ekseninde geri çağırıcı moment

G yatay XMY düzlemindeki G noktasının izdüşümü

yatay XMY düzlemindeki noktasının izdüşümü

1 yatay XMY düzlemindeki 1 noktasının izdüşümü

vi

dinamik denngesizlikten doğan faz farkı açısı

pI

Z eksenine göre kütle atalet momenti

I X veY eksenlerine göre kütle atalet momentleri

R diskin yarıçapı

H diskin yüksekliği yada kalınlığı

m diskin kütlesi

1

1. GİRİŞ

Birçok mühendislik uygulaması, rotor veya disk taşıyan yataklanmış dönen miller

(şaftlar) barındırmaktadır. Şaft-rotor sisteminde montaj, imalat ve malzeme kaynaklı

kütle kaçıklıkları sebebi ile, şaft dönüşü sırasında özellikle yüksek hızlarda şaftın

eğilmesi ve titreşimi söz konusu olmaktadır. Bu dönüş hareketi sırasında yatak

(bearing) ekseni ile mil ekseni arasında sapmalar oluşmaktadır. Mil-rotor sisteminde,

kütle merkezi ile rotor geometrik merkezi arasındaki kaçıklık dikkate alındığında

belirli bir açısal hızla dönen bir mil üzerinde etkili olan santrifüj kuvvet; mil

direngenliği tarafından karşılanmaktır. Türbin, kompresör, jeneratör ve içten yanmalı

motorlar gibi dönen elemanlara sahip makinalar esnek yapıda olduklarından titreşim

analizi tasarımlarının zorunlu bir parçası haline gelmiştir. Sözkonusu makinalarda

güç ve hareket iletmek amacıyla şaftların oldukça yaygın olarak kullanıldıkları

bilinmektedir. Dönme hızlarının artması şaftların titreşim analizinde jiroskopik

etkinin de sistemin dinamik davranışına dahil edilmesini gerekli kılmıştır. Şaftların

kararsız bölgede çalışmaması için kritik hızlarının ve mod şekillerinin belirlenmesi

de oldukça önemlidir. Çünkü titreşimin genliği, şaftın dönüş hızının kritik hızına

yakın olduğu durumda sonsuza yaklaşmaktadır, yani rezonans durumu oluşmaktadır.

Şaft hızlarının artması savrulma sorununu beraberinde getirmektedir. Bu sorunla

bağlantılı olarak geçmişte kritik hızın üzerindeki hızlarda şaftın kararlı

çalışamayacağı düşünülmüştür. Ancak şaftın esnek olarak ele alınması ve jiroskopik

etkinin analize dahil edilmesiyle birlikte bu düşüncenin yanlış olduğu anlaşılmıştır.

Bu bağlamda, esnek şafta bağlı rijit diskten kaynaklanan jireskopik etkinin de analize

dahil edilmesi ile dinamik sistemin kritik hızın üstünde davranacağı doğru olarak

belirlenebilmiştir.

2

2. ROTOR SİSTEMLERİ

Rotor sistemleri çeşitli geometrilere sahip disklerden, uzunluğuna bağlı olarak

değişen değişik yarıçaplardaki şaftlardan ve farklı pozisyonlarda olabilen

rulmanlardan oluşmaktadır. Rotorların dinamik analizleri için hangi parametrelerin

sisteme ne kadar etkisinin olduğunu bilmek şarttır.

2.1. Rotor Sistemlerinin Sınıflandırılması

Rotor sistemleri, karakteristik özelliklerine göre 2 grupta incelenmektedir. Bunlar,

”rigid rotor” ve “flexible rotor” dur. Şaftda meydana gelen deformasyonlar ihmal

ediliyorsa sistem “rigid rotor”, şaftta meydana gelen deformasyonlar ihmal

edilmiyorsa “flexible rotor” olarak değerlendirilir. Rotor sistemlerini sınıflandırırken

sadece boyutlara bakarak analiz yapamayız. Rotor dinamiğinde dönme hızları kütle

kaçıklıkları sebebiyle rezonans durumyla karşılaşılabilir. Buna “critical speed” yani

kritik hız denir. Rotor sistemlerindeki hasarlar genellikle kritik hız dolaylarında

meydana gelmektedir. Kritik hızlar sitemin “rigid” yada “flexible” olmasına göre

belirlenir.

Şekil 2.1.’de simetrik rotor için kritik hızların ve titreşim modlarının “stiffness”

yataklarla olan ilişkisini göstermektedir. Şeklin solunda kalan alanda rotorların “soft”

desteklerle desteklendiği durumlar gösterilmiştir. 1. ve 2. modlarda, rotor deforme

olmazken, destek kısımları deforme olmaktadır. Bu durumda rotor “rigid rotor”

olarak ele alınmıştır. Yataklardaki “stiffness” azaldıkça 1. ve 2. modun doğal

frekansları sıfıra yaklaşmaktadır. 3. modda ise durum farklılık göstermektedir. 3.

modda rotor “flexible rotor” olarak düşünülecektir. Şeklin sağında kalan alanda ise

yani yatak “stiffness” değeri arttıkça her üç mod içinde rotor deforme olmaktadır ve

rotor “flexible rotor” olarak değerlendirilecektir.

3

Şekil 2.1. Kritik hız ve “support stiffness”

Bazı modellerde diskler, rijit olarak kabul edilmiş ve yayılı kütleye sahip şaftla

birleştirilmiştir. Bu tür sistemlere “lumped parameter” sistemler denilmektedir. Eğer

“flexible rotor”, yaylı kütleli ve “stiffness” la birlikte düşünülürse buna “distrubeted

parameter system” yada “continuous rotor system” olarak değerlendirilir.

“continuous rotor system” leri matematiksel olarak çözmek kısmi diferansiyel

denklemler nedeniyle daha zordur. Rotorlar bazen yatay ve dikey şaft sistemleri

olarak sınıflandırılabilir. Yatay şaft sistemlerinde yerçekimin etkisini göz önünde

bulundurmak gerekmektedir.

Rotorlar yüksek hızlı rotor sistemleri ve düşük hızlı rotor sistemleri olarak da

sınıflandırılabilir. Burada kullanılan hız tabiri, açısal hız veya çevresel hızdır. Sitem

tanımlanırken yüksek ve düşük hız sistemin durumuna göre kararlaştırılmalıdır. Bazı

durumlarda kritik hız sınır olarak kabul edilir. Rulman mühendisliğinde sürtünmeden

meydana gelen ısınmadan dolayı çevresel hız tabiri kullanılmaktadır. Boyutsuz birin

olan DN(mm.rpm) değeri çevresel hızı ifade edilirken kullanılır. DN değeri şaft

çapı(mm) ve dönme hızı(rpm) nın çarpımıyla elde edilir. Uçak motorlarındaki ana

şafta bağlı rulmanlarda oluşan çevresel hızlar labaratuvar şartlarında 63 10DN x

değerine kadar, ampirik koşullarda ise 62.2 10DN x değerine ulaşmaktadır.

4

3. ÖNCEDEN YAPILMIŞ ÇALIŞMALAR

Rotordinamiği Rankine[1]’in 1869 da yaptığı rotor hareketi ile ilgili çalışmalarla

başlayıp ve halen devam eden bir süreci kapasamaktadır. Bundan sonraki önemli ilk

gelişme de Laval ve arkadaşları[2] tarafından sağlanmıştır.

Gustaf de Laval[2] icat ettiği tek kademeli buhar türbininde rijit bir rotor kullandı.

Yani şaft herhangi bir deformasyon özelliği göstermemekteydi. Daha sonra elsatik

rotor kullandı yani şaft değişime uğrayabiliyor, şekil değiştirebiliyordu. Elastik rotor

kullandığın gördü ki rotoru kritik dönme hızından 7 kat daha hızlı çalıştırabiliyor.

Daha sonraki zamanlarda araştırmacıların ilgi odağı kritik hız olmuştur. Bunun

nedeni o zamanlar rotor sistemleri tasarlanırken ilk akla gelen konunun rezonans ve

etkileriydi. Dunkerley[3] 1894 yılında çoklu rotor sistemleri için en küçük kritik hızı

veren bir empirik denklem türetti. Dunkerley rezonans kritik hızı için kritik hız

terimini kullanan ilk bilim adamıydı.

Holzer [4] 1921 yılında dönel titreşimler için sistemin doğal frekanslarını ve mod

şekillerini hesaplamak için yaklaşık çözümler önermiştir.

Rotor dinamiği teorisi ile ilgili kayıtlı ilk temel dökümanlar 1919 yılında

Jeffcott[5]’un yazdığı dökümanlardır. Jeffcott’un rotor dinamiğine kattığı

emeklerden dolayı bizler bir şaft, ve diskten oluşan sisteme Jeffcott rotoru diyoruz.

20. yüzyılda yapılan en büyük kaynaklardan birisi 1924 yılında Stodola[6]’nın

yaptığı çalışmaları ve kitabıdır. Bu kitapta Stodola buhar tribünlerini tam olarak

incelemiştir. Kitap diğer yandan, elsatik şaft ve disk içeren bir sistemin dinamiğini,

jiroskop etkisini ihmal ederek devamlı rotorların dinamiğini ve değişik kesitlerin

rotor kritik hızlarını yaklaşık olarak hesaplamıştır.

Rotor dinamiğinin avrupa’dan amerika’ya sıçramasıyla, amerika’da bu alan ilgi

duymaya başladı. General electric firması buhar tribünlerindeki titreşimleri detaylı

olarak incelemiştir. Bu incelemeler sırasında disklerde meydana gelen sallantılara

Campbell[21] yaptığı çalışmalarla destek olmuştur. Campbell diyagramı frekans ve

şaft dönme hızı arasındaki ilişkiyi göstermektedir.

5

Daha sonraları rotor dinamiği daha değişik etkilerin incelenmesine konu olmuştur.

Dönme hızı ilk kritik hızın üzerine çıktığında oluşan aşırı titreşimlerin oluşması

araştırma konusu olmuştur. Newkirk ve Kimball[7] 1924 yılında şaft

malzemesindeki iç sürtünmelerin, stabil olmayan savurma hareketlerine neden

olduğunu farketmişlerdir. Newkirk ve Taylor[8] 1925 senesinde stabil olmayan

titreşimlerin rulmanlardaki yağ filminden kaynaklandığını bulmuşlar. Ve buna “oil

whip” denilmiştir. Rulmanlardaki sürtünme sebebiyle oluşan bu sönümleme

fenomeni araştırmacıların ilgisini çekmiştir.

Bundan sonraki 10 yıl içinde smetrik olmayan şaft ve rotor sistemleri üzerinde

çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. Simetrik sistemler elsatiklik yönünden fark

gösterirken, simetrik olmayan rotor ve şaft sistemleri rotor ataleti yönünden farklılık

göstermekteydi. Jeneratör motorları ve pervane rotorları simetrik olmayan sistemlere

örnek gösterilebilir. Dönen şaft sistemlerinde olduğu gibi, zamanla değişen

katsayılara türetilen denklemlerde kariılaşılır. Bu tür sistemler paramtrik tahrik

edilmiş sistemler olarak kategori edilir. Simetrik olmayan sistemlerin en karakteristik

özelliği stabiil olmayan titreşimlerin belli dönüş hızı aralıklarında meydana

gelmesidir. Smith[1]’ in raporu bu konuya öncülük etmektedir. Simetrik olmayan

rotorlarla ilgili çeşitli fenomenler 20. Yüzyılın ortalarında; 1940 yılında Taylor[9],

1943 yılında Foote[10], 1961 yılında Brosens ve Crandall[11], 1963-1964 yılları

arasında ise Yamamoto ve Ota[12,13,14] tarafından öne sürülmüştür.

Kritik hız geçişi sırasında durağansızlık fenomeni, Lewis[15] tarafından 1932

senesinde yapılan Jeffcott rotor incelemesinde geçmektedir. Bu konudaki sayısız

konu 2 grupta irdelenmektedir. İlk grup durağansızlık fenomeninin sabit

ivmelenmeden doğduğu ifade eder. İkinci grup ise, limitli hareketlendiren torkdan

ileri geldiğini ifade eder. İkinci grupta, hareketlendirici torkla şaft titreşimi arasında

karşılıklı etkileşim olduğu düşünülmüştür. Kritik hız geçiş problemlerinin analizi

durağan titreşim analizlerinden daha karmaşıktır. Bu konuda araştırmacılar nümerik

entegrasyonları kabul etmişlerdir. 1965 senesinde Mitropol’skii[16] asimptotik

metodla çıtayı biraz daha yükseğe taşımıştır.

6

Rotor ve sürekli yayılı kütle ilişkisi de incelenmiştir. Basit şekliyle sürekli dönen

rotor modeli Euler kirişini esas alarak ilk kez 1924 senesinde Stodola[6]’nın

kitabında yer almıştır. 1959 sensinde Bishop[17], yine 1959 senesinde Bishop ve

Gladwell[18], 1965 senesinde Bishop ve Parkinson[19] devamlı dönen rotor ve

dengesizlik yanıtlarıyla ilgili bir takım çalışmalar yapmışlardır. 1969 senesinde

Eshleman ve Eubanks[20] dönme ataleti, kayma deformasyonu, jiroskopik etkiyi de

içine alan genel denklemler elde etmişler ve bunların etkilerini araştırmışlardır.

İstenmeyen titreşimleri sönümlemek için en genel yöntem geometrik

dengesizliklikleri gidermekle olmaktadır. Balans tekniği oldukça öncelerde tespit

edilmişti. Geometrik dengesizlikleri yok etmeye dayanan ilk balans makinası 1907

senesinde Lawaczeck[22] tarafından yapılmıştır. 1925 senesinde Suehiro[23] kritik

hızdan sonraki hızlar için bir balans makinası üretmiştir. 1934 senesinde Thearle[24]

2 düzlemde balansı geliştirmiştir. Yüksek hızlı rotorların gelişmesi esnek rotorların

balans edilmesini öenmli hale getirmiştir. Bununla ilgili 2 tipik teori önerildi. İlki

1957 senesinde Federn[25] ve 1959 senesinde Bishop ve Gladwell[18] tarafından

öne sürülen modal balans tekniğiydi. İkincisi ise 1960 larda Amerika’da

bilgisayarların gelişmesiyle geliştirilen, “influence coefficient” metoduydu.

Yukarıda belirtilen “oil whip”, akış kaynaklı titreşime tipik bir örnek

oluşturmaktadır. 1959 yılında Hori[26] “oil whip” in çeşitli karakteristik

özelliklerini inceledi ve bunun yağ tabakasındaki basınç kuvvetlerinden dolayı

meydana geldiğini düşündü. Hemen hemen aynı zamanlarda akış kaynaklı tireşimler

araştırmacıları cezbetmiştir. Bu titreşimlerin türbinlerdeki etkilerinin açıklanmasını

1958 yılında Thomas[27], kompesörlerdeki etkilerinin açıklanmasını ise 1965

senesinde Alford[28] yapmıştır. Bu konu halen bazı araştırmacıların pratikteki önemi

bakımında ilgisini çekmektedir. “hollow rotor containing fluid” akış kaynaklı

titreşimler bakımından yeni bir problem olarak ortaya çıkmıştır. 1967 senesinde

Ehrich[29] motor şaftına sıvı sıkışmasınının eş zamanlı olmayan titreşimlere neden

olduğunu ve rezonans eğrilerinin şekillerini değiştirdiğini rapor etmiştir. 1968

senesinde Wolf[30], sonrası kritik bu bu rejim için stabil olmayan hız aralığındaki bu

değişimin rotor sistemindeki viskoz olmayan akışkandan kaynaklandığını gösterdiği

çalışmalarında gösterdi.

7

Rotorlar inceldikçe ve hızları arttıkça, lineer olmayan rezonanslar, örneğin;

“subharmonic” rezonanslar büyük bir problem olarak ortaya çıktı. 1955-1957 yılları

arasında Yamamoto[31,32] çeşitli lineer olmayan rezonansların rulmanlardan

kaynaklandığını çalışmalarında belirtti. Yamamoto sistemleri “weak nonlinearity”

kapsamında değerlendirdi ve “summed and diffrential oscillations” olarak adlandırğı

düşük dereceli serilerle açıkladı. Yamamoto ayrıca kombine rezonanslar ve kombine

sesler üstüne de araştırmalar yaptı. 1965 senesinde Tondl lineer olmayan

rezonanslara düz yataklardaki yağ filminin etkileri üstüne çalıştı. 1966 senesinde

Ehrich[33] “subharmonic” rezonanslara uçak gaz tribünleri üzerinde çalışmalar yaptı.

Gaz tribünlerindeki bu büyük lineersizliğe neden olan şeyin “damper bearing” içinde

oluşan yağ filmindeki radyal açıklığın neden olmasıydı. 1988-1991 yılları arasında

Ehrich[34,35] çeşitli tip ve daha karmaşık “subharmonic” rezonansların pratik olarak

motorlarda incelemesini yaptı.

Dönen makinaların uygulamalı tasarımında, doğal frekansların, mod şekillerinin,

dengesizlikten doğan kuvvet tepkilerinin kompleks şekilelrde tam olarak bilinmesi

gerekmektedir. Bu amaçlarla kullanılan tipik teknikler arasında transfer mtarisi ve

sonlu elemalar yöntemi bulunmaktadır. 1945 senesinde Prohl, 1944 yılında

Myklestad[37]’ın metodunu geliştirerek transfer matrisi metodunu kullanmıştır. Bu

analitik metod özellikler çoklu rotor-yatak uygulamalarında kolaylık sağlamaktadır.

Bu metoda 1960 yıllarında Lund ve diğer araştırmacılar[38] tarafından büyük katkı

sağlanmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi ilk defa yapı dinamiğinde kullanılmıştır ve

daha sonraları çeşitli tekonolojik alanlarda kullanılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi

ilk defa 1972 senesinde Ruhl ve Booker[39] tarafında rotor sismlerine uygulanmıştır.

Bir süre sonra, 1976 senesinde Nelson ve McVaugh[40] dönme ataleti, jiroskopik

moment ve eksenel kuvvetleri de içeren bir genelleştirme yapmışlardır.

1960’lı yıllarda bazı buhar tribünlerinde çatlaklar ve deformasyonlar oluşmaya

başlayınca, araştırmacılar tekrar bu konu üstüne ağırlık vermiştir. 1976 senesinde

Gash ve Henry ile Okah ve Avae[41] bu sorun üzerine yoğunlaşmışlardır. Bu

çalışmalar göstermiştirki, stabil olmayan aralık dengeslizliğin yönüne bağlı olarak ya

meyadana gelmektedir yada gelmemektedir.

8

Rotor dinamiği ile ilgili yapılan son çalışmalardan biri 1975 yılında

Schweitzer[42]’in manyetik rulmanlar üzerine olan çalışmasıdır. Bu çalışmada rotor,

herhangi bir temas ve “active bearing” olmadan desteklenmiştir.

Şekil 3.1. Rotor dinamiğinin tarihsel gelişimi

9

4. KÜTLESİZ ŞAFT VE RİJİT DİSKLERİN TİTREŞİMLERİ

Dönen makinalarda titreşim analizi yapılırken sistemler, matematiksel olarak

kolaylık sağlaması amacıyla “lumped parameter systems” lere rijit bir rotor ve

kütlesiz elastik şaft yerleştirilmiş olarak düşünülür. Şekil 3. de bazı rotor sistemleri

gösterilmiştir. Eğer rotor elastik şaftın merkezine yerleştirilmiş ve iki ucundan

yataklanmışsa; yanal yer değiştirmeyi r, rotorun eğikliği θ birbirinden bağımısız

değişkenlerdir ve sistem iki farklı koordinatta tanımlanabileceğinden dolayı sistem 2

serbestlik dereceli(2DOF) olmaktadır. Şekil 3.(a) 2 serbestlik dereceli rotor

sisteminde yanal yerdeğiştirmeyi göstermektedir. Bu model Jeffcott rotor olarak

bilinmektedir ve matematiksel olarak kolaylık sağladığı için bir temel

oluşturmaktadır. Şekil 4.1.(b) 2 serbestlik dereceli sistemde rotorun eğikliğini

göstermektedir. Şekil 4.1.(a)’dan farklı olarak sisteme jiroskop moment etki

kalmaktadır. Jiroskop momentlerinin etki etmesi sonucunda sitemin doğal frekansları

dönme hızının fonksiyonu olarak değişmektedir. Şekil 4.1.(c) 4 serbestlik dereceli

rotor sistemini yani rotor eğikliğini ve yanal yerdeğiştirmeyi bir arada içeren bir

sistemi temsil etmektedir.

Şekil 4.1. “lumped parameter” rotor modelleri (a) Yanal değişime uğramış 2

serbestlik dereceli model (b) Eğikliğe maruz kalmış 2 serbestlik dereceli model (c) 4

serbestlik dereceli model

10

4.1 Rotor Dengesizlikleri

Titreşimlerin temel nedeni kütle dengesizlikleridir. Kütle fazlalıkları üretim hataları,

termal deformasyonlar, malzemenin homojen bir karakteristikte olmaması gibi

sebeplerden ötürü oluşmaktadır. Rotorlarda statik dengesizlik, moment dengesizliği

ve dinamik dengesizlik olmak üzere 3 tür dengesizlik oluşmaktadır.

Statik dengesizlik, dengesiz yük nedeni ile kütle merkezinin yer değiştirmesi ve bir

egzantiriklik oluşması şeklinde de tanımlanabilir. Eğer rotora, dengesiz yükten 180

derece dönülerek, aynı mesafede ve dengesiz yük kadar kütle monte edilirse dönme

sırasında merkez kaç kuvvetleri birbirini dengeleyecek ve sistemin kütle merkezi tam

dönme ekseninde oluşacaktır. Bu da sistemin dengede olduğu anlamına gelecektir.

Bir başka deyişle, rotor tek düzlemde dengelenmiş olacaktır.

Şekil 4.2. Statik dengesizlik

Şekil 4.3.’de silindir şeklinde bir rotor görülmektedir. Burada iki adet dengesiz yük

birbirine simetrik olarak yerleştirilmiş ve sisteme sabitlenmiştir. Bu iki yük, aynı

düzlem üzerinde, rotor kütle merkezine yatay ve düşey eksende aynı mesafededir

fakat pozisyonları arasında 180’lik açı mevcuttur. Bu durumda rotorun statik olarak

dengede olduğu açıktır; kütle merkezinin yeri değişmemiş ve bir egsantriklik

oluşmamıştır. Ancak, dönme sırasında oluşacak atalet kuvvetleri dönme ekseninin

değişmesine sebep olacaktır. Dolayısı ile bir dengesizlik söz konusudur ve bu tür

dengesizlikler moment dengesizliği olarak adlandırılmaktadır. Bu tür dengesizliğin

giderilmesi iki düzlemde denge yüklerinin doğru pozisyonlarda ve miktarda

yerleştirilmesiyle giderilebilmektedir.

11

Şekil 4.3. Moment dengesizliği

Genelde rotorlarda dengesiz yükler, statik ve moment dengesizliklerinin

kombinasyonu olarak oluşurlar ve buna dinamik dengesizlik adı verilir. İki düzlemde

farklı büyüklüklerde dengesiz yükler sabitlenmiştir. Bu dengesiz yüklerin

giderilmesi, iyi bir titreşim ölçümü yaparak, iki düzlemde denge yüklerinin doğru

pozisyonlarda ve miktarda yerleştirilmesiyle giderilir.

Şekil 4.4. Dinamik dengesizlik

12

5. 4 SERBESTLİK DERECELİ ROTOR SİSTEMİNİN MODELLENMESİ

Şekil 5.1.’ de görüldüğü gibi dikey rotor sisteminde disk kütlesiz elastik şafta monte

tesbit edilmiştir. Disk pozisyon olarak şaftın merkezinde değildir. Yanal

yerdeğiştirme ve rotor eğikliğinin hareketleri birbiriyle hareket çifti oluşturmaktadır.

Genellikle rijit bir cisim uzayda 6 serbestlik derecelidir. Dönen sistemlerde ise disk

sabit bir açısal ω açısal hızıyla dönerken bir düzlem hareketi meydana getirmektedir.

Rulman ve yataklardaki yanal yerdeğiştirmeler rotor ve şafta göre çok küçük olduğu

için bunlar ihmal edilmiştir. Bu sebepten ötürü rotor sistemi 4 serbestlik derecesi

olarak değerlendirilmektedir. 4 serberstlik dereceli rotor modellenirken karmaşık

rotor sistemlerinde kolay kullanılabilirliği bakımından Euler açıları kullanılacaktır. 4

serbestlik dereceli rotor sistemlerinin hareket denklemleri Newton kanunları ve

d'Alembert prensibi kullanılarak hesaplanacağı gibi Lagrange denklemleriyle yani

enerji eşitliklerinden yararlanılanarak da elde edilebilir. Ama biz buradaki

hesaplamalarımızda Newton’un hareket denklemlerini kullanacağız.

5.1 Hareket Denklemleri

Şekil 5.1. 4 serbestlik dereceli rotor sistemi (a) Dikey rotor sisteminin parametreleri

(b) Koordinat sistemi

13

Şekil 5.1.’ de görülen sistem yani 4 serbestlik dereceli rotor modelimiz statik ve

dinamik dengesizliğe sahiptir. Dik koordinat sistemi yani O xyz üzerinde olan z

ekseni rulman ekseniyle çakışmaktadır. Elastik şaftın merkez ekseni, diskin

geometrik merkezinden geçmektedir. Şaft dönme hareketi yapmazken yani

olduğu zaman, M noktası O orjiniyle çakışmaktadır. Savrulma hareketi sırasında M

noktası ( , )r x y kadar saparken, ( , )x y kadar eğilir. Ve disk dinamik

dengesizlikten dolayı τ kadar eğilir.

5.1.1. Yanal Hareket Denklemleri

Sisteme ( , )x yF F F kuvvetleri pozitif x ve y eksenleri doğrultusunda ve

( , )xz yzM M M momenti ise xz ve yz eksenlerinde ve pozitif x vey

doğrultularında etki ettiği zaman, sistemde yani rotorda r kadar yerdeğiştirme

olurken kadarlık da bir eğilme meydana gelecektir. Kuvvet ve moment eşitlikleri

aşağıda verilmiştir.

αx+γx xF (5.1)

αy+γy yF (5.2)

γx+δxz xM (5.3)

γy+δyz yM (5.4)

Kuvvet ve moment eşitliklerinde α , γ ve δ yay sabitlerini ifade etmektedir. Bu yay

sabitleri mukavemet teorilerinden türetilmiştir. Şekil 5.1.’ de gösterildiği gibi rotor

sistemindeki şaft iki ucundan desteklenmişse, yay sabitleri aşağıdaki gibi olur. Bu

yay sabitleri mukavemet hesaplarıyla hesaplanmaktadır.

14

2 2

0 3 3

( )α=3EI

a ab b l

a b

(5.5)

0 2 2

( )γ=3EI

a b l

a b

(5.6)

0δ=3EIl

ab (5.7)

Bu yay sabiti eşitliklerinde; a ve b , M noktasının aşağı ve yukarı rulmanlara olan

mesafesini gösterirken, l şaft boyunu, E elastisite modülünü, 0I ise şaftın kesit

alanının eylemsizlik momentini temsil etmektedir. Rotor sistemi modellenirken

kullanılan koordinat sistemi Şekil 5.1.’ de gösterilmiştir. M XYZ statik koordinat

sisteminde X ,Y ve Z eksenleri sırasıyla x , y ve z eksenlerine pararleldir. Gölgeli

A düzlemi şaftla dönen ve şafta dik sanal bir diski ifade etmektedir. 0 0 0 0M X Y Z

dönme koordinat sisteminde 0X ekseni M ve E nodları arasında uzanan çizgi

yönünde ve ME çizgisi, A düzlemi ve diskin kesişimidir. 0Z ekseni ise elastik şafta

teğet durumdadır. 1 1 1 1M X Y Z dönme koordinat sisteminde ise 1Z ekseni diskin

dönme eksenidir ve 1X ekseni yine M ve E nodları arasında uzanan çizgi yönünde

ve ME çizgisi, A düzlemi ve diskin kesişimidir.

A düzlemi ve disk arasında olan ilişkiyi kurabilmek için Şekil 7. de tanımlanan Euler

açılarını kullanmak gerekir. 1 1 1M X Y Z koordinat sistemindeki 1 , 1φ ve 1ψ Euler

açılarını tanımlamak gerekirse; 1 yani zenit açısı ve 1φ açısı yani presesyon açısı

cismin ana ekseninin doğrultusunu, 1ψ ise dönme açısı olarak adlandırılır ve ana

cismin 1Z ekseni etrafında ne kadar döndüğünü belirtir.

15

Şekil 5.2. Euler açıları; 1 , 1φ ve 1ψ

Diskin yer değiştirme hareket denklemlerini Newton’un hareket kanunlarını

kullanarak elde edebiliriz. Şekil 5.2.’ye göre;

(α γ )G xmx x

(5.8)

(αy γ )G ymy (5.9)

Gx ve Gy , G ağırlık merkezinin koordinatlarını belirtmektedir. Ağırlık merkezinin

açısal koordinatlarını saat yönünün tersinde ve X eksenine göre, açısal olarak t

olarak değerlendirirsek;

cosGx x e t

(5.10)

sinGy y e t (5.11)

Koordinat ilişkileri elde edilir. Burada 1 eğilme açısı çok küçük olduğu varsayımı

yapılmıştır. X eksenine göre yeniden düzenlenen koordinatlar yerine koyulursa,

yanal salınım için hareket denklemleri aşağıdaki gibi olur.

16

2γ cosxmx x me t (5.12)

2γ sinymy y me t (5.13)

5.1.2. Eğilim Hareket Denklemleri

Elastik şaft ve rotor sistemi için eğilim hareketlerini tayin etmek için ilk olarak Euler

açıları yardımıyla diskin açısal hızlarını belirlemeliyiz.

Şekil 5.2.’ deki 1 1 1M X Y Z rotora sabit olan koordinat sistemi kullanılarak rotorun

açısal hızları yani euler açılarının hızları ; 1 , 1 ve 1 olur. Bu hızlar bulunurken sağ

el kuralı dikkate alınmıştır. Yani disk Z ekseninde 1 kadar döndüğünde1 açısal

hızı, disk ve xy düzleminin nodlarının kesişimi olan MK çizgisi üzerinde

oluşmaktadır. 1 , 1 ve 1 açısal hız vektörleri sırasıyla; MK , MZ ve 1MZ yönlerinde

oluşmaktadır. Bu hız vektörleri Şekil 5.2.’ de kolaylıkla anlaşılmaktadır.

Açısal hız yönlerini, 1 1 1M X Y Z yani diskin hareketiyle oluşan koordinat sistemiyle

ilişkilidir. Esas koordinat sistemiyle MK , MZ ve 1MZ yönlerinin arasındaki ilişkiyi

doğrultman kosinüsleri ile belirleyebiliriz. Doğrultman kosinüsleri

Çizelge 5.1.’ de verilmiştir.

Çizelge 5.1. MK , MZ ve 1MZ için doğrultman kosinüsleri

1X 1Y 1Z

MK (1 -yönünde) 1sin 1cos 0

MZ ( 1 -yönünde) 1 1sin cos 1 1sin sin 1cos

1MZ ( 1 -yönünde) 0 0 1

17

Diskin açısal hızlarını doğrultman kosinüsleri yardımıyla, 1MX , 1MY ve 1MZ

eksenlerinde tekrar tanımlanmıştır ve aşağıda verilmiştir.

1 1 1 1 1 1sin sin cosX (5.14)

1 1 1 1 1 1cos sin sinY (5.15)

1 1 1 1cosZ (5.16)

Rotor sistemleri dönel sistemler oldukları için açısal momentum değişklikleri bizim

için çok önemlidir. Açısal momentumlar her eksenin atalet momenti eksenine göre

sırasıyla, 1XL , 1YL ve 1ZL olarak tanımlanırsa aşağıdaki eşitlikler elde edilir.

1 1X XL I (5.17)

1 1Y YL I (5.18)

1 1Z p ZL I (5.19)

Şekil 5.4. Açısal momentum değişimleri

Momentum eşitlikleri ve Şekil 5.4. yardımıyla açısal momentumlardaki değişimler

1X , 1Y ve 1Z eksenlerinde tanımlanırsa aşağıdaki momentum değişimi eşitlikleri elde

edilir.

18

1 1 1 1( )X X p Y ZH I I I (5.20)

1 1 1 1( )Y Y p Z XH I I I (5.21)

1 1Z p ZH I (5.22)

Daha önceden 1X , 1Y ve 1Z eksenlerinde tanımlanan açısal hızlar, momentum

değişimi eşitliklerinde yerine koyulursa;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( sin sin cos ) ( )( cos sin sin )( cos )X p

dH I I I

dt

(5.23)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( cos sin cos ) ( )( sin sin cos )( cos )Y p

dH I I I

dt

(5.24)

1 1 1 1( cos )Z p

dH I

dt

(5.25)

eşitlikleri elde edilir.

1X , 1Y ve 1Z eksenlerinde tanımlanan 1XH , 1YH ve 1ZH açısal momentum

değişimlerini statik x , y ve z eksenlerinde tanımlamamız için yine doğrultman

kosinüslerini kullanmamız gerekmektedir. 1X , 1Y ve 1Z eksenlerinde gerçeklerşen

momentum değişimleri, X , Y ve Z eksenlerinde olan monemtum değişimleriyle

yani XH , YH ve ZH ile aynıdır.

1XH , 1YH ve 1ZH momentum değişimlerini, C

momentum değişimlerine

dönüştürmek için 1l , 1m 1n , 2l , 2m , 2n , 3l , 3m ve 3n doğrultman kosinüslerini

kullanmak gerekir. Bu doğrultman kosinüsleri Çizelge 5.2. de verilmiştir.

X , Y ve Z eksenleri için doğrultman kosinüsleri türetilirken 1X yönünde, Şekil

5.5.’de görüleceği üzere a birim vektörü tanımlanmıştır. Bu vektör;

1 1cosa (5.26)

2 1sina (5.27)

19

olarak 1X ve 1Y eksenlerinde tanımlanan 1P düzleminde iki bileşene ayrılmıştır.

Bileşenlerden 1a bileşeni;

3 1 1 1 1cos cos cosa a (5.28)

1 1 1 1 1sin cos sinZa a (5.29)

olarak Z ve 1Z eksenlerinden oluşan 1ZZ düzleminde,

2a bileşeni;

2 2 1 1 1cos sin cosYa a (5.30)

2 2 1 1 1sin sin sinXa a (5.31)

olarak P yani XY düzleminde,

3a bileşeni;

3 3 1 1 1 1cos cos cos cosXa a (5.32)

3 3 1 1 1 1sin cos cos sinYa a (5.33)

olarak P düzleminde tekrar bileşenlerine ayrılmıştır. X , Y ve Z yönlerindeki

bileşenlerin toplamı ve doğrultman kosinüsleri Çizelge 5. 2.’ de verilmiştir.

Çizelge 5.2. X , Y ve Z eksenleri için doğrultman kosinüsleri

1X 1Y 1Z

X 1 1 1 1 1 1cos cos cos sin sinl

2 1 1 1 1 1cos cos sin sin cosl

3 1 1sin cosl

Y 1 1 1 1 1 1cos sin cos cos sinm

2 1 1 1 1 1cos sin sin cos cosm

3 1 1sin sinm

Z 1 1 1sin cosn

2 1 1sin sinn 3 1cosn

20

Şekil 5.5. Doğrultman kosinüslerinin türetilmesi

Doğrultman kosinüslerini elde ettikten sonra XH , YH , ZH ve 1XH , 1YH , 1ZH

momentum değişimleri arasındaki ilişkiyi kurmamız gerekiyor. X , Y ve Z

eksenlerindeki açısal momentum değişimleri;

1 1 2 1 3 1X X Y ZH l H l H l H

(5.34)

1 1 2 1 3 1Y X Y ZH m H m H m H

(5.35)

1 1 2 1 3 1Z X Y ZH n H n H n H (5.36)

olarak elde edilir.

1XH , 1YH ve 1ZH eşitlikleri XH , YH , ZH eşitliklerinde yerlerine koyulursa;

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( sin cos cos sin 2 cos cos sin sin cosXH I

pI 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos cos sin cos sin cos sin

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos cos sin sin sin cos cos

1 1 1sin cos

(5.37)

21

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( cos cos sin sin 2 cos sin cos sin cos )YH I

pI 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos sin sin sin cos sin cos

1 1 1 1 1 1 1 1cos sin cos sin

1 1 1 1 1 1 1sin sin cos sin sin (5.38)

2 2

1 1 1 1 1 1( sin 2 sin cos )ZH I

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 sin cos sin cos cospI (5.39)

XH , YH ve ZH açısal momentum değişim denklemleri elde edilirken 1 açısının

çok küçük olduğu varsayımı yapılmıştır. 1X ve 1Y açıları 1 açısının XZ ve YZ

düzlemlerindeki izdüşümleridir ve aşağıdaki şekilde verilmiştir;

1 1 1cosx (5.40)

1 1 1siny (5.41)

1x ve 1y ’nin ikinci türevleri alınarak,

1 1sin ve 1cos 1 varsayımları yapıldığı zaman, XH , YH ve ZH açısal

momentum değişimleri daha basit hale gelmektedir. 1 1 değişken

değiştirmesi yapılırken yani dönme hızları bir değişken altında birleştirilirse açısal

momentum değişimleri,

1 1( )x y p x

dH I I

dt (5.42)

1 1( )y x p y

dH I I

dt (5.43)

z pH I (5.44)

22

haline gelmektedir.

Eğer şaft sabit açısal hızıyla dönerse, ve 0 olmaktadır. Bu değerler

açısal momentum değişim ifadelerinde yerine koyulursa;

1 1x y p xH I I (5.45)

1 1y x p yH I I (5.46)

0zH (5.47)

denklemleri elde edilir.

Şafta xzM veyzM momentleri uygulandığı zaman xzM ve

yzM geri çağırıcı

momentleri ortaya çıkmaktadır. Bu reaksiyon momentlerini ;

xz xzM M

(5.48)

yz yzM M (5.49)

şeklinde yazabiliriz. Bu reaksiyon momentleri savrulma yada dönme hareketi

süresince ortaya çıkmaktadır. Bu geri çağırıcı momentler diskte meydana gelen x

ve y açılarını küçültmeye çalışmaktadır. xzM pozitif y ekseni doğrultusunda

pozitif, yzM negatif x ekseni doğrultusunda pozitif olmaktadır.

Geri çağırıcı momentleri, x y zM M i M j M k şeklinde vektörel olarak ifade

edebiliriz. Burada i ve j , x ve y eksenlerindeki birim vektörlerdir. Moment

bileşenleri ise;

x y yzM y M (5.50)

y x xzM x M (5.51)

şeklindedir.

23

Hareket denklemlerini elde etmek için aşağıdaki eşitlikler kullanılmıştır.

x xH M (5.52)

y yH M (5.53)

z zH M (5.54)

x xH M ve y yH M eşitliklerinden aşağıdaki eğilim hareket denklemlerini elde

ederiz.

1 1y p x yI I y

(5.55)

1 1x p y xI I x (5.56)

Hareket denklemlerini statik koordinat sisteminde tanımlamak gerekmektedir. Bunun

için Şekil 5.6.’ da 1x , 1y ve x ,

y arasındaki ilişkiler kullanılacaktır. Şekil 5.6.’

da 1MZ , 0MZ , 1MY düzlemlerindeki G , , 1 , a , b ve c noktaları, yatay XMY

düzlemindeki G , , 1 , a , b ve c noktalarının izdüşümleridir. Disk hafif şekilde

eğildiği zaman ağırlık merkezi G ,

XMG 1 90 KMG 1 190

1 190

1 90 (5.57)

biçiminde yazılabilir. 1 ve 1 açıları yerine önceden tanımlanmış olan 1

yazılmıştır. 1 şeklinde sabit kalırsa, zaman orjini uygun bir şekilde seçilerek

XMG t (5.58)

ifadesini yazabiliriz. Şekil 5.6.’ da görüleceği üzere MP ve Mc çizgileri yaklaşık

olarak düz bir çizgi oluşturmaktadır. Dinamik dengesizliğin yönü olan MP çizgisi ve

X eksenleri arasında kalan açı aşağıdaki gibi yazılabilir;

180 180XMG t (5.59)

24

1x , 1y ve x ,

y arasındaki ilişkiler yukarıdaki bilgilerle tekrar düzenlenirse;

1 cos cosx x x t (5.60)

1 sin siny y y t (5.61)

biçiminde yazılabilir.

Şekil 5.6. 1x , 1y ve x ,

y arasındaki ilişkiler

Eğilim hareket denklemlerini tekrar düzenlersek aşağıdaki hareket denklemlerini

elde ederiz.

2 cosx p x pI I x I I t (5.62)

2 siny p y pI I y I I t (5.63)

Sönüm içermeyen 4 serbestlik dereli rotor sistemi için genel hareket denklemleri

yanal hareket denklemleri ve eğilim hareket denklemlerinin birleşimidir. Toplamda 4

tane hareket denklemimiz vardır. Bunlardan ilk ikisi yanal hareket denklemleri ve

son 2 denklem ise eğilim hareket denklemleridir. Bu denklem takımları aşağıda

verilmiştir.

25

2γ cosxmx x me t (5.64)

2γ sinymy y me t (5.65)

2 cosx p y x pI I x I I t (5.66)

2 siny p x y pI I y I I t (5.67)

Hareket denklemlerini vektörel formda aşağıda verilmiştir.

MX GX KX F

Genelleştirilmiş durum vektörü,

x

y

x

yX

(5.68)

Kütle matrisi,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

m

mM

I

I

(5.69)

Jiroskopik matris,

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

p

p

GI

I

(5.70)

26

Yay matrisi,

0 0

0 0

0 0

0 0

K

(5.71)

Kuvvet matrisi,

2

2

2

2

cos

sin

cos

sin

p

p

me t

me tF

I I t

I I t

(5.72)

4 serbestlik dereceli rotor sisteminin hareket denkelmleri tanımlanırken sönümleme

hesaba katılmamıştır. Eğer sönümlemeyi hareket denklemlerine dahil edersek

aşağıdaki denklemleri elde ederiz.

2

11 12 γ cosx xmx c x c x me t (5.73)

2

11 12 γ siny ymy c y c y me t (5.74)

2

21 22 cosx p y x x pI I c x c x I I t (5.75)

2

21 22 siny p x y y pI I c y c y I I t (5.76)

5.1.3. Atalet Ekesenleri Ve Atalet Momentleri

Kütlesel atalet momenti, hareketin çeşitli koordinat sistemlerinde( kartezyen

koordinat sistemi, yarı kutupsal koordinat sistemi, doğal koordinat

sistemi) vektörel olarak tanımlanmasıyla, yer vektörünün zamana göre iki kez türevi

http://tr.wikipedia.org/wiki/Hareket

http://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r

27

alınmasıyla ivmenin vektörel olarak büyüklüğü belirlenmiş olur. Yani, kütle atalet

momenti cismin açısal ivmeye direncinin bir ölçüsüdür. Birimi 2.kg m dir.

Alan atalet momenti, sabit bir elemana gelen yükün oluşturacağı gerilimlere karşı

cismin direncidir. Bir yüzeyin veya bir hacmin ağırlık merkezinin dönmeye

zorlandığı eksene(dönme eksenine) olan uzaklığı ve kesitlerine bağlı olarak

hesaplanır. Birimi 4m dür.

Rotor sistemleri dönen sistemler oldukları için kütle atalet momentleri önem

taşımaktadır. Dönen rotor bir disk ise dönme eksenin kütle ataleti daha büyük

olurken, rotor silindir gibi bir cisimse boyutlarına göre kütle atalet momentinin hangi

eksende daha büyük olacağı değişecektir.

Şekil 5.3.’e göre; yarıçarı R , yüksekliği H ve kütlesi m olan katı bir silindir için

kütle atalet momentleri;

2

2p

mRI (5.77)

2 2

( )4 12

R HI m

(5.78)

Şekil 5.3. Katı bir silindir için kütle atalet eksenleri ve parametreleri

28

6. ANALİTİK ÇÖZÜM

4 serbestlik dereceli rotor sistemi Matlab programı kullanılarak yapılmıştır. Matlab

ortamında çözüm yapabilmek için konum ve hızları içeren X matrisi

tanımlanmıştır. Bu matris Matlab ortamında Runge-Kutta metodu kullanılarak simüle

edilmiştir. Hareket denklemleri Matlab ortamında çözülmüştür ve genlik değerleri

bulunmuştur. Son olarak fft analizi yapılarak waterfall grafiği elde edilmiştir.

x

x

y

y

x

x

y

yX

(5.79)

1

2

3

4

5

6

7

8

x

x

x

xX

x

x

x

x

(5.80)

Matlab’dan alınan çeşitli açısal hız değerleri ve farklı sönüm oranları için, genlik-

zaman, orbit grafikleri aşağıda verilmiştir.

29

Şekil 6.1. 300rad/sn_1000Ns/m_x_ve_zaman

Şekil 6.2. 300rad/sn_1000Ns/m_y_ve_zaman

30

Şekil 6.3. 300rad/sn_1000Ns/m_orbit


31



32



33



34



35



36



37



38



39


Şekil 6.22. 200rad/sn ve 1800rad/sn aralığı için waterfall diyagramı

40

7. SONUÇ VE ÖNERİLER

Yapılan çalışmada elastik şaft-rotor sistemi 4 serbestlik dereceli olarak

modellenmiştir. Şaftın elastik olmasından ve diskin ufak miktarda eğilmesinden

dolayı zorlama kuvvetleri ve zorlama momentleri ortaya çıkmaktadır. Sistem Matlab

ortamında çözdürülmüştür ve waterfall diyagramında sistemin 50-100 Hz aralığında

rezonansa girdiği net olarak gözlemlenmiştir. Analitik çözüm bölümünde verilen

grafiklere bakılarak sisteminin 400 Hz civarında bir rezonans aralığı olduğu

görülmüştür. Bu aralıkta sistem kararsız hale gelmektedir ve genlikler maksismum

seviyeye ulaşmıştır. Sistem rezonans frekansını aştıktan sonra sistem belli bir

frekansla hareketine devam etmektedir. Genlikler rezonans frekansından önceki

frekanslarda daha küçük olmaktadır.

41

KAYNAKLAR

1. Rankine, W.J.M. (1869) On the centrifugal force of rotating shafts.

Engineering, 27, 249–249.

2. Stodola, A. (1924) Dampf und Gas-Turbinen, Verlag von Julius Springer,

Berlin. (English translation (1927) Steam and Gas Turbines, McGraw-Hill,

New York).

3. Dunkerley, S. (1894) On the whirling and vibration of shaft. Philos. Trans.

R. Soc. Lond., Ser. A, 185, 279–359.

4. Holzer, H. (1921) Die Berechnung der Drehschwingungen, Springer-Verlag,

Berlin.

5. Jeffcott, H.H. (1919) The lateral vibration of loaded shafts in the

neighborhood of a whirling speed: the effect of want of balance. Philos. Mag.

A, 37, 304–315.

6. Stodola, A. (1924) Dampf und Gas-Turbinen,Verlag von Julius Springer,

Berlin. (Englishtranslation (1927) Steam and GasTurbines, McGraw-Hill,

New York).

7. Newkirk, B.L. (1924) Shaft whipping. Gen.Electr. Rev., 27 (3), 169–178.

8. Newkirk, B.L. and Taylor, H.D. (1925) Shaft whirling due to oil action in

journal bear

9. Taylor, H.D. (1940) Critical speed behavior ofunsymmetrical shafts. J. Appl.

Mech., 7 (2),71–79.

10. Foote, W.R., Poritsky, H., and Slade, J.J.(1943) Critical speeds of a rotor with

unequal shaft flexibilities, mounted in bearings of unequal flexibility I.

Trans.ASME, J. Appl. Mech., 10 (2), 77–84.

11. Brosens, S.H. and Crandall, S.H. (1961) Whirling of unsymmetrical rotors.

Trans. ASME, J. Appl. Mech., 28 (3), 355–362.

12. Yamamoto, T. and Ota, H. (1963a) On the vibrations of a shaft carrying an

unsymmetrical rotating body. Bull. JSME, 6 (21), 29–36.

42

13. Yamamoto, T. and Ota, H. (1963b) Unstable vibrations of the shaft carrying

an unsymmetrical rotating body. Bull. JSME, 6 (23), 404–411.

14. Yamamoto, T. and Ota, H. (1964) On the dynamically unstable vibrations of

a shaft carrying an unsymmetrical rotating body. Bull. JSME, 31 (3), 515–

5522.

15. Lewis, F.W. (1932) Vibrations during acceleration through a critical speed.

Trans. ASME, 54 (3), 253–261.

16. Bogoliubov, N.N. and Mitropol’skii, Y.A. (1958) Asymptotic Methods in the

Theory of Nonlinear Oscillations, Gordon and Breath, New York. (English

translation, 1961, Gordon and Breath, New York), (in Russian).

17. Bishop, R.E.D. (1959) Vibration of rotating shafts. J. Mech. Eng. Sci., 1 (1),

50–65.

18. Bishop, R.E.D. and Gladwell, G.M.L. (1959) The vibration and balancing of

an unbalanced flexible rotor. J. Mech. Eng. Sci., 1 (l), 66–77.

19. Bishop, R.E.D. and Parkinson, A.G. (1965) Second order vibration of flexible

shafts. Philos. Trans.R. Soc. Lond., Ser. A, 259 (1095), 1–31.

20. Eshleman, R.L. and Eubanks, R.A. (1969) On the critical speeds of a

continuous rotor. Trans. ASME, J. Eng. Ind., 91 (4), 1180–1188.

21. Campbell, W. (1924) The Protection of steam-turbine disk wheels from axial

vibration. Trans. ASME, 46, 31–160.

22. İnternet: http://www.schenck-rotec.com/company/information/history.php

23. Miwa, S. and Shimomura, G. (1976) Balancing of Rotating Machinery,

Corona Publishing Co., Tokyo. (in Japanese).

24. Thearle, E.L. (1934) Dynamic balancing in the field. Trans. ASME, J. Appl.

Mech., 56 (10), 745–753.

25. Federn, K. (1957) Grundlagen einer systematischen Schwingungsentst¨orung

References 9 wellenelastischer Rotoren. VDI Ber., 24, 9–25.

26. Hori, Y. (1959) A theory of oil whip. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 26 (2),

189–198.

27. Thomas, J.J. (1958) Instabile Eigenschwingungeri von Turbinenlaufern,

Angefacht durch die Spaltstromungen, in Stoptbuchsen und Beschauflungen,

AEG-Sonderdruck, pp. 1039–l063.

43

28. Alford, J.S. (1965) Protecting turbomachinery from self-excited rotor whirl.

Trans. ASME, J. Eng. Power, 87 (4), 333–344.

29. Ehrich, F.F. (1967) The influence of trapped fluids on high speed rotor

vibration. Trans. ASME, J. Eng. Ind., 89B (4), 806–812.

30. Wolf, J.A. (1968) Whirl dynamics of a rotor partially filled with liquid.

Trans. ASME, J. Appl. Mech., 35 (4), 676–682.

31. Yamamoto, T. (1955) On the critical speed of a shaft of sub-harmonic

oscillation. Trans. JSME, 21 (111), 853–858. (in Japanese).

32. Yamamoto, T. (1957a) On the vibrations of a rotating shaft. Chapter II: non-

linear and non-symmetrical spring characteristics of the shaft supported by

single-row radial ball bearings; Chapter III: On the critical speed of a shaft of

sub-harmonic oscillation and on sub-harmonic oscillation on rectilinear

vibrations. Mem. Fac. Eng., Nagoya Univ., 9 (1), 25–40.

33. Ehrich, F.F. (1966) Subharmonic Vibration of Rotors in Bearing Clearance,

ASME, New York, ASME paper 66-MD-I.

34. Ehrich, F.F. (1988) High order subharmonic response of high speed rotors in

bearing clearance. Trans. ASME, J. Vib. Acoust. Stress Reliab. Des., 113 (1),

50–56.

35. Ehrich, F.F. (1991) Some observations of chaotic vibration phenomena in

high-speed rotordynamics. Trans. ASME, J. Vib. Acoust. Stress Rehab. Des.,

113 (1), 50–56.

36. Prohl, M.A. (1945) A general method for calculating critical speeds of

flexible rotors. J. Appl. Mech., 12 (3), 142–148.

37. Myklestad, N.O. (1944) A new method for calculating natural modes of

uncoupled bending vibrations of airplane wings and other types of beams. J.

Aeronaut. Sci., II (2), 153–162.

38. Lund, J.W. and Orcutt, F.K. (1967) Calculation and experiments on the

unbalance response of a flexible rotor. Trans. ASME, J. Eng. Ind., 89 (4),

785–795.

39. Ruhl, R.L. and Booker, J.F. (1972) A finite element model for distributed

parameter turbo rotor system. Trans. ASME, J. Eng. Ind., 94 (1), 126–132.

44

40. Nelson, H.D. and McVaugh, J.M. (1976) The dynamics of rotor bearing

systems, using finite elements. Trans. ASME, J. Eng. Ind., 98 (2), 593–600.

41. Henry, T.A. and Okah-Avae, B.E. (1976) Proceedings of the International

Conference on Vibrations in Rotation Machinery, Institute of Mechanical

Engineers, New York, pp. 15–17.

42. Schweitzer, G. (1975) Stabilization of self-excited rotor vibrations by active

dampers, Dynamics of Rotors, Springer-Verlag, New York, pp. 472–493.

45

EKLER

Ek 1. 300rad/sn ve 1000 Ns/m parametreleri için Matlab kodu

function dx=alirotor(t,x) l=1; a=0.5; b=0.5; E=2e11; % şaft elastik modül d=0.05; A=(pi*d^2)/4; I0=pi*d^4/64; alfa=3*E*I0*(a^2-a*b+b^2)*l/((a^3)*(b^3)); %yay sabiti gama=3*E*I0*(a-b)*l/((a^2)*(b^2)); %yay sabiti delta=3*E*I0*l/(a*b); %yay sabiti

omeg= 300 %açısal hız, rad/sn

e=0.01; to=0.01;

h=0.02; % Diskin Kalınlığı R=0.4; % Diskin Yarı Çapı

rmass=(7855*((pi*(R^2)/4))*h);

I=rmass*(((R^2)/4)+h^2/12); IP=(rmass*R^2)/2;

c11=1000; c12=1000; c21=1000; c22=1000; bto=pi/179;

dx=zeros(8,1); dx(1)=x(2); dx(2)=(1/rmass)*(rmass*e*omeg^2*cos(omeg*t)-alfa*x(1)-gama*x(5)-

c11*x(2)-c12*x(6)); dx(3)=x(4); dx(4)=(1/rmass)*(rmass*e*omeg^2*sin(omeg*t)-alfa*x(3)-gama*x(7)-

c11*x(4)-c12*x(8)); dx(5)=x(6); dx(6)=(1/I)*((IP-I)*to*omeg^2*cos(omeg*t+bto)-IP*omeg*x(8)-

gama*x(1)-delta*x(5)-c21*x(2)-c22*x(6)); dx(7)=x(8); dx(8)=(1/I)*((IP-I)*to*omeg^2*sin(omeg*t+bto)+IP*omeg*x(6)-

gama*x(3)-delta*x(7)-c21*x(4)-c22*x(8));

46

Ek 2. Matlab fft kodu

NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y

Y = fft(y,NFFT)/L;

f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);

% Plot single-sided amplitude spectrum.

plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)')

xlabel('Frequency (Hz)')

ylabel('|Y(f)|')

Modeling and analysis of 4 DOF elastic shaft and rotor system

Documents

Transcript of Modeling and analysis of 4 DOF elastic shaft and rotor system