Министерство образования и науки Российской...

Министерство образования и науки Российской Федерации

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

В.В. Бардушкин, И.В. Бардушкина, Л.М. Гафарова,

И.В. Лавров, А.М. Ревякин

Сборник заданий для самостоятельной работы

студентов по курсу «Теория вероятностей

и математическая статистика»

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Москва 2011

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com

2

УДК 519.2 (075.8)

Рецензент докт. техн. наук, проф. А.М. Терещенко

Бардушкин В.В., Бардушкина И.В., Гафарова Л.М., Лавров И.В., Ревякин А.М.

Сборник заданий для самостоятельной работы студентов по курсу «Теория

вероятностей и математическая статистика». – М.: МИЭТ, 2011. – 120 с.: ил.

Содержит систематизированную подборку заданий по основным разделам

предмета, сгруппированную по 30 однотипных задач на каждую тему. Кроме задач

алгоритмического характера, в сборник включены задания на проверку усвоения

студентами основных понятий теории вероятностей и математической статистики.

Для студентов, изучающих курс теории вероятностей и математической

статистики.

© МИЭТ, 2011



3

Предисловие

Настоящий сборник заданий составлен на основе многолетнего опыта чтения

лекций по теории вероятностей и математической статистике студентам технических и

экономических специальностей Национального исследовательского университета

«МИЭТ», а также проведения семинарских занятий. В него включены задачи по

следующим семи разделам теории вероятностей и математической статистики: множества

и комбинаторика, случайные события, случайные величины, системы случайных величин

(случайные векторы), предельные теоремы, математическая статистика, случайные

процессы.

Сборник заданий адресован в первую очередь студентам и преподавателям высшей

математики. Однако он будет также интересен и лицам, занимающимся теорией

вероятностей и математической статистикой самостоятельно.

Сборник включает систематизированную подборку заданий по основным разделам

предмета, сгруппированную по 30 задач с однородным содержанием на каждую тему.

Этот принцип позволяет преподавателю формировать для студентов варианты

индивидуальных семестровых заданий приблизительно равной трудности. Кроме того, из

задач сборника могут составляться варианты для контрольных и самостоятельных работ.

Помимо задач алгоритмического характера, в сборник включены задания на

проверку усвоения студентами основных понятий теории вероятностей и математической

статистики.

Практика преподавания показывает, что индивидуальные семестровые домашние

задания по отдельным дисциплинам или разделам высшей математики являются одной из

самых эффективных форм организации самостоятельной и непрерывной работы студентов

в течение всего семестра. Поэтому уточним, как пользоваться сборником при выдаче

индивидуальных семестровых заданий. Каждый студент решает одну задачу в

соответствии со своим вариантом домашнего задания. Номер варианта определяется

преподавателем, ведущим практические занятия. При работе со сборником не

предполагается, что в семестровое задание войдут все его номера. Их количество и состав

в каждом учебном году определяются лектором потока.

Необходимо отметить также, что выполнение большей части заданий не требует от

студентов дополнительных знаний по теории вероятностей и математической статистике.

Достаточно владеть материалом, излагаемым на лекциях и семинарских занятиях.

Авторы приносят искреннюю благодарность рецензенту – доктору технических

наук, профессору Национального исследовательского университета «МИЭТ» Анатолию



4

Михайловичу Терещенко – за ценные советы и замечания, способствовавшие

значительному улучшению сборника.

Авторы признательны также заведующей лабораторией кафедры «Высшая

математика 2» Национального исследовательского университета «МИЭТ» Инге

Витальевне Булаховой за большую помощь в подготовке настоящего сборника к изданию.



5

1. Множества и комбинаторика

Операции на множествах

З а д а н и е 1.1. Имеются множества CBA ,,,Ω ; Ω⊆A , Ω⊆B , Ω⊆C (табл.1.1). Найти

следующие множества: а) A C∪ ; б) A B∩ ; в) ( )A B C∩ ∪ ; г) ( )A B C∩ ∪ ; д) A B∪ ; e) A \ B ;

ж) A B× ; з) C C× ; и) ( )A B C∪ ∩ ; к) ( )A B∪ \ C .

Таблица 1.1

Вариант Множества

1

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9; 10, =B 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10,

=A 1; 2; 3; 4; 5; 6;

7, =C 2; 4; 6; 8; 10

2

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9; 10, =B 7; 8; 9; 10,

=A 1; 2; 3; 4, =C 2; 4; 10

3

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9; 10, =B 8; 9; 10,

=A 1; 2; 3; 4; 5, =C 2; 8; 10

4

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9; 10, =B 4; 5; 6; 9; 10,

=A 1; 2; 3; 4; 5; 6, =C 2; 4; 6; 10

5

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9; 10, =B 4; 5; 6; 10,

=A 1; 2; 3, =C 4; 6; 8; 10

6 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f; g,

=A c; d; e; f, =C a; c; e; g

7 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B e; f,

=A a; b; c; f, =C a; c; g

8 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B a; d; e; f,

=A d; e; f, =C a; c; e; g

9 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B b; c; d; e; f,

=A a; b; f, =C a; e; g



6


10 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B c; d; e; f,

=A a; e; f, =C c; e; g

11

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9, =B 4; 5; 6; 7; 8,

=A 1; 2; 3; 6; 7, =C 1; 3; 5; 7; 9

12

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9, =B 4; 5; 6; 7; 8,

=A 1; 2; 3; 4; 5; 6;

7, =C 1; 3; 5; 7; 9

13

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9, =B 4; 5; 6; 7; 8; 9,

=A 1; 4; 5; 6; 7, =C 1; 3; 5; 7; 9

14

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9, =B 4; 5; 6; 7; 8; 9,

=A 1; 2; 3; 4; 5; 7, =C 1; 3; 5; 7; 9

15

=Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;

9, =B 4; 5; 6; 7; 8; 9,

=A 2; 3; 5; 6; 7, =C 1; 3; 5; 7; 9

16 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f; g,

=A c; d; e; f, =C b; c

17 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B a; d; e; f,

=A a; b; e; f, =C b; c

18 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f,

=A a; b; c; d, =C b; c

19 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f; g,

=A a; d; e; f, =C a; b

20 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f; g,

=A a; c; d; e; f, =C a; b

21 =Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, =B 4; 5; 6; 7; 8,

=A 1; 2; 3; 4; 5, =C 2; 4; 6

22 =Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, =B 4; 5; 6; 7,

=A 1; 2; 3; 6; 7, =C 2; 4; 6



7

23 =Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, =B 6; 7; 8,

=A 3; 4; 5; 6; 7, =C 2; 4; 6

24 =Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, =B 4; 5; 6; 7,

=A 1; 2; 3; 4; 7, =C 2; 4; 6


25 =Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, =B 4; 6; 7,

=A 1; 2; 4; 5; 6; 7, =C 2; 4; 6; 8

26 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e,

=A a; c; d, =C b; c

27 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; f,

=A c; d; e; f, =C a; b

28 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f,

=A a; b; e; f, =C a; b; c

29 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f; g,

=A c; d; e; f, =C a; b; c

30 =Ω a; b; c; d; e; f; g, =B d; e; f,

=A a; c; d; e; f, =C a; b; c; g

Элементы комбинаторики

З а д а н и е 1.2. Согласно опросу N телезрителей: a из них нравится смотреть новости, b

предпочитают смотреть спорт, c – комедии, d – новости и комедии, e – спорт и комедии, f

– новости и спорт, g любят все три вида программ (табл.1.2). Сколько телезрителей:

а) смотрят новости, но не смотрят спорт? б) смотрят новости или спорт, но не любят

комедии? в) не любят смотреть ни новости, ни спорт? г) смотрят все, кроме спорта?

д) смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости?

Таблица 1.2

Вариант N a b c d e f g

1 250 95 125 125 25 45 35 5

2 180 60 85 85 35 25 15 15

3 250 80 95 95 45 35 25 25

4 220 60 105 100 30 40 35 20



8

Вариант N a b c d e f g

5 250 120 100 100 50 50 40 30

6 250 130 50 70 20 20 30 20

7 200 50 105 90 30 40 35 20

8 230 80 95 95 45 35 25 25

9 300 150 70 90 40 40 50 40

10 230 130 50 70 20 20 30 20

11 220 100 80 80 30 30 20 10

12 300 160 80 110 50 50 50 40

13 190 100 80 70 30 30 20 10

14 270 150 70 90 40 40 50 40

15 310 120 100 160 50 40 30 20

16 210 60 105 90 30 40 35 20

17 190 70 85 85 35 25 15 15

18 240 120 100 100 50 50 40 30

19 240 100 80 100 40 30 10 10

20 210 80 95 95 45 35 25 25

21 210 130 50 70 20 20 30 20

22 200 100 80 70 30 30 20 10

23 220 100 80 100 40 30 10 10

24 180 50 105 90 30 40 35 20

25 210 100 80 70 30 30 20 10

26 250 110 90 100 40 30 20 10

27 300 160 70 100 50 40 50 40

28 300 110 90 150 40 30 20 10

29 200 70 85 85 35 25 15 15

30 160 40 95 80 20 30 25 10

З а д а н и е 1.3. Ответить на вопрос, сформулированный в условии задачи.

1. В меню столовой имеется 7 первых, 9 вторых и 4 третьих блюда. Сколько

существует способов выбрать обед из трех блюд (первое, второе и третье)?

2. Допустим, что у вас есть 4 пары туфель, 3 штуки брюк и 2 свитера. Каким числом

способов вы можете одеться?



9

3. На гору ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и

спуститься с нее, если подъем и спуск должны осуществляться по разным дорогам?

4. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи (белую и

черную) так, чтобы они не «били» друг друга?

5. Сколько существует четных трехзначных чисел?

6. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, …, 7, если

цифры в числе не могут повторяться?

7. Сколько «слов» длины 4 можно составить, используя только 7 различных букв,

если буквы в «слове» не повторяются?

8. В чемпионате участвует 16 команд. Сколькими способами между ними могут быть

распределены на финише 10 первых мест?

9. В чемпионате участвует 16 команд. Сколькими способами между ними могут быть

распределены места на финише турнира?

10. Сколькими способами 4 юношей могут пригласить на танец 4 из 6 девушек?

11. Сколькими способами 10 различных писем можно разложить по 10 различным

конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

12. Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 одинаковых ладей

так, чтобы они не «били» друг друга?

13. Сколько существует таких перестановок чисел 1, 2, …, 10, в которых число 1 стоит

перед числом 2, причем числа 1 и 2 не обязательно соседние?

14. На чемпионате мира по легкой атлетике проводится полуфинальный забег на 100 м,

в котором участвует 8 спортсменов. Четверо лучших выходят в финал. Сколько

существует способов выхода в финал?

15. У вас есть 15 непрочитанных книг. Каким числом способов вы можете взять с

собой в дорогу 3 книги?

16. На плоскости даны 6 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой.

Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

17. В шахматном турнире участвует 10 спортсменов. Сколькими способами из них

можно составить пару для проведения стартового матча турнира?

18. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно отобрать из 9

преподавателей?

19. Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове

«КОМБИНАТОРИКА»?



10

20. Четыре автора должны написать книгу из 17 глав, причем первый и третий авторы

должны написать по 5 глав, второй – 4, а четвертый – 3 главы книги. Сколькими

способами можно распределить главы между авторами?

21. Сколько существует восьмизначных чисел, в которых цифра 1 встречается три

раза, а цифры 2, 3, 4, 5, 6 по одному разу?

22. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она

выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано, если

фрукты одного вида неотличимы друг от друга?

23. Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове

«АБРАКАДАБРА»?

24. Сколько «слов» длины 4 можно составить, используя только 7 различных букв,

если буквы в «слове» могут повторяться?

25. Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить между тремя детьми

(не обязательно поровну)?

26. Четыре студента пришли сдавать экзамен по теории вероятностей. Сколькими

способами могут быть распределены между ними оценки, если известно, что все они

экзамен сдали?

27. Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного

достоинства?

28. В кондитерском отделе имеются пирожные четырех сортов: наполеоны, эклеры,

песочные и слоеные. Сколькими способами можно совершить покупку из 7

пирожных?

29. Сколькими способами 6 одинаковых конфет можно разделить между тремя детьми

(не обязательно поровну)?

30. В кошельке лежит по 10 монет достоинством в 1, 2 и 5 руб. Сколькими способами

можно из этих 30 монет выбрать 10?

З а д а н и е 1.4. Ответить на вопрос, сформулированный в условии задачи.

1. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 4 мужчин и 4 женщин,

чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

2. Сколькими способами можно разделить 28 костей домино четырем игрокам так,

чтобы каждый получил 7 костей?

3. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько

существует треугольников с вершинами в этих точках?



11

4. Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить поровну между тремя

детьми?

5. Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам в

общежитии: одноместной, трехместной и четырехместной?

6. Из 10 роз и 8 георгинов составляется букет, содержащий 2 розы и 3 георгина.

Сколько можно составить различных букетов?

7. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников, 10 нападающих.

Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из

вратаря, 2 защитников и 3 нападающих?

8. Сколькими способами в группе из 23 человек можно выбрать старосту, двух его

заместителей, физорга и культорга (совмещение должностей невозможно)?

9. Сколько различных «слов» можно образовать, переставляя буквы в слове

«ВОДОРОД», но так, чтобы три буквы «О» не шли подряд?

10. Дано 15 различных чисел. Сколько строго возрастающих последовательностей

длины 8 можно составить, используя только эти числа?

11. Город имеет вид прямоугольника, разделенного улицами на равные квадраты.

Таких квадратов с севера на юг 5, а с востока на запад 7. Сколько имеется кратчайших

дорог от одной из вершин прямоугольника до противоположной?

12. В теннисном турнире участвует 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими способами из

них можно составить четыре смешанные пары?

13. Сколько имеется всего пятизначных чисел, в которых цифры стоят в порядке

невозрастания?

14. Три танкиста, два летчика и четыре артиллериста хотят сфотографироваться, стоя в

один ряд, но так, чтобы представители одного рода войск находились рядом.

Сколькими способами это может быть сделано?

15. Сколькими способами можно 10 одинаковых подарков распределить между 6

детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы один подарок?

16. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20.

Проводятся всевозможные отрезки, соединяющие точки первой и второй прямой.

Сколько существует внутренних точек пересечения этих отрезков?

17. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, …, 7,

чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были четными?

18. Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в

каждой пачке было по два туза?



12

19. Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три

натуральных числа так, чтобы их сумма была четной?

20. Сколькими способами можно рассадить за пятнадцатью партами 15 мальчиков и 15

девочек так, чтобы за каждой партой сидели мальчик и девочка?

21. Сколько различных «слов» можно образовать, переставляя буквы в слове

«МАТЕМАТИКА», но так, чтобы три буквы «А» не шли подряд?

22. Сколько делителей имеет число 1 2 ... пр р р⋅ ⋅ ⋅ , где 1 2, , ... , пр р р – различные простые

числа?

23. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо отобрать 4 спортсмена для

участия в кроссе на 1000 м и 4 спортсмена – для эстафеты 800 400 200 100+ + + м.

Сколькими способами это можно сделать, если в двух видах соревнований участвовать

нельзя?

24. На один ряд, в котором 8 стульев, рассаживаются 5 юношей и 3 девушки.

Сколькими способами они могут сесть, чтобы не все девушки оказались сидящими

рядом?

25. Номер автомобильного прицепа состоит из 3 букв и 3 цифр. Сколько различных

номеров можно составить, используя 12 букв и 10 цифр?

26. Дано 9 различных чисел. Сколько неубывающих последовательностей длины 6

можно составить, используя только эти числа?

27. На фестиваль прибыла молодежь пяти континентов. Потребовалось создать

делегацию из восьми человек, но так, чтобы в нее входили представители всех

континентов. Сколькими способами это может быть сделано?

28. Из 12 лотерейных билетов, среди которых находятся 4 выигрышных, берут 6

билетов. Сколькими способами можно взять эти 6 билетов, чтобы среди них находился

хотя бы один выигрышный?

29. Дано 12 различных чисел. Сколько последовательностей длины 7 можно составить,

используя только эти числа?

30. Из цифр 1, 2, …, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, причем числа,

в которых есть цифры 2, 4, 5 одновременно, не содержат одинаковых цифр. Сколько

всего чисел можно составить?



13

З а д а н и е 1.5. Сколькими способами можно оплатить покупку стоимостью A рублей

(табл.1.3), используя монеты достоинством 1, 2, 5 и 10 руб.?

Таблица 1.3

Вариант A Вариант A Вариант A

1 17 11 31 21 36

2 19 12 47 22 37

3 18 13 48 23 38

4 23 14 49 24 51

5 22 15 20 25 52

6 25 16 16 26 53

7 27 17 46 27 54

8 29 18 33 28 55

9 45 19 34 29 56

10 32 20 35 30 57



14

2. Случайные события Классическая вероятность

З а д а н и е 2.1. Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того,

что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит

N; в) произведение числа очков делится на N (табл.2.1).

Таблица 2.1

Вариант N Вариант N Вариант N

1 4 11 8 21 5

2 3 12 7 22 4

3 9 13 6 23 3

4 8 14 5 24 9

5 7 15 4 25 8

6 6 16 3 26 7

7 5 17 9 27 6

8 4 18 8 28 5

9 3 19 7 29 4

10 9 20 6 30 3

З а д а н и е 2.2. Вычислить вероятность события, указанного в условии задачи.

1. Найти вероятность того, что участник лотереи «Спортлото 6 из 49» угадает ровно

4 цифры.

2. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано 7 билетов. Найти

вероятность того, что пассажиры попали в два купе.

3. В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти места имеется 10

претендентов: 6 мужчин и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO:

пришедшие раньше обслуживаются раньше. Все претенденты прибывают в

гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера получат

четверо мужчин и две женщины?

4. В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в

количествах 5, 7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для

холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались

нераспроданными холодильники одной марки.



15

5. Из 20 филиалов Cбербанка 10 расположены за чертой города. Для обследования

случайным образом отобраны 5 филиалов. Какова вероятность того, что среди

отобранных филиалов в черте города окажется ровно 3 филиала?

6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если

студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов.

Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова

вероятность того, что студент сдаст зачет?

7. Для проведения турнира по волейболу 16 команд разбиты по жребию на две

подгруппы (по 8 команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее

сильные команды окажутся в разных подгруппах.

8. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент

купил 4 билета. Какова вероятность, что он выиграл хотя бы на один билет?

9. В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано 7 билетов. Найти

вероятность того, что пассажиры попали в семь купе.

10. В студенческой лотерее на 100 билетов приходится 5 денежных и 5 вещевых

выигрышей. Студент приобрел 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл и

вещь, и деньги?

11. Подбрасываются две «правильные» игральные кости. Какова вероятность, что

сумма выпавших очков окажется больше их произведения?

12. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых 3 пары мужской, а 2 пары

женской, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий

одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того,

что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и

женской обуви?

13. Для проведения турнира по волейболу 16 команд разбиты по жребию на две

подгруппы (по 8 команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее

сильные команды окажутся в одной подгруппе.

14. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – 7

шт., по 75 Вт – 13 шт. Вынуты наудачу три лампы. Какова вероятность того, что

они все окажутся одинаковой мощности?

15. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3

карандаша. Какова вероятность того, что они все разных цветов?

16. Два студента МИЭТ, три студента МАИ и четыре студента МГУ наугад

рассаживаются в три вагона. Для каждого пассажира вероятность оказаться в



16

любом из вагонов одинакова. Найти вероятность того, что два студента МИЭТ

окажутся в разных вагонах.

17. Колода из 32 карт (без шестерок) раздается трем игрокам, получающим по 10

карт, а 2 карты откладываются в сторону. Какова вероятность того, что

отложенные в сторону карты окажутся тузами?

18. Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках,

наугад выбирают 8 и раздают восьми студентам, сидящим в одном ряду. Найти

вероятность того, что варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам.

19. Среди 15 лампочек 4 – стандартные. Одновременно берут наудачу 2 лампочки.

Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.

20. Из цифр 1, 2, 3 наугад составляется шестизначное число. Найти вероятность того,

что получится четное число, содержащее всего одну цифру 2.

21. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3

карандаша. Какова вероятность того, что они одного цвета?

22. Из 20 филиалов Сбербанка 10 расположены за чертой города. Для обследования

случайным образом отобраны 5 филиалов. Какова вероятность того, что среди

отобранных филиалов в черте города окажется хотя бы один филиал?

23. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные части по 26 карт.

Найти вероятность того, что все тузы окажутся в одной пачке.

24. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт – 7

шт., по 75 Вт – 13 шт. Вынуты наудачу три лампы. Какова вероятность того, что

хотя бы две из них окажутся по 100 Вт?

25. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того,

что в нем все цифры нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с

цифры ноль.

26. В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти места имеется 10

претендентов: 6 мужчин и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO:

пришедшие раньше обслуживаются раньше. Все претенденты прибывают в

гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номер получит, по

крайней мере, одна из четырех женщин?

27. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные части по 26 карт.

Найти вероятность того, что в каждой пачке окажется по два туза.

28. На отдельных карточках написаны три буквы «А», две буквы «Н» и одна буква

«С». Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой.

Какова вероятность того, что получится слово «Ананас»?



17

29. В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли четыре человека, каждый из

которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже, со второго по

девятый. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут на одном этаже?

30. Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат

даст число, оканчивающееся на единицу?

Геометрическая вероятность


1. На отрезке [0;1] наудачу выбирают три точки. С какой вероятностью сумма их

координат будет больше двух?

2. Даны две концентрические окружности радиусов 10 и 6 см. На большей окружности

наудачу ставятся две точки A и B. Какова вероятность того, что отрезок AB пересечет

малую окружность?

3. Считая падение спутника в любой точке проекции орбиты на Землю равновероятным,

найти вероятность того, что спутник упадет севернее параллели 30° с. ш., если

плоскость круговой орбиты наклонена под углом 60° к плоскости экватора.

4. В течение 1 мин наблюдения в случайные моменты времени появляется радиосигнал

длительностью 10 с, и на 7 с включается приемник. Найти вероятность обнаружения

сигнала, если приемник настраивается мгновенно.

5. На диаметре круга наугад берется точка. Через эту точку проводится хорда, перпендикулярная построенному диаметру. Найти вероятность того, что длина хорды

не превосходит длины радиуса круга.

6. Внутри равностороннего треугольника ABC со стороной 1 см наугад выбирают точку

M. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMB больше 1 8 см2?

7. На отрезок AB наудачу поставлена точка C. Затем на отрезке AC ставится еще одна

точка D. Какова вероятность того, что расстояние CD меньше половины длины отрезка

AB?

8. В наудачу выбранные моменты времени на интервале 1T = мин независимо один от

другого в приемник поступают два импульсных сигнала. Определить вероятность

того, что приемник зарегистрирует поступившие сигналы, если для регистрации

каждого требуется время 1τ = с, в течение которого приемник нечувствителен к

входному сигналу.



18

9. На окружности ставятся три точки. Какова вероятность того, что они являются

вершинами тупоугольного треугольника?

10. На отрезке [ 2; 2]− случайным образом выбираются два числа. Найти вероятность того,

что наименьшее из них принадлежит отрезку [ 1;1]− .


точка D. Какова вероятность того, что точка D ближе к точке B, чем к точке A?

12. Над точечным источником радиоактивного излучения, посылающим лучи равномерно

по всем направлениям пространства, на расстоянии 12d = установлен плоский экран,

фиксирующий точечные вспышки, вызываемые излучением. Найти вероятность того,

что очередная вспышка произойдет в части экрана, расположенной внутри круга

радиусом 5r = с центром, находящимся над источником излучения.

13. На отрезке наудачу выбирают две точки. С какой вероятностью расстояние между

ними будет меньше половины длины этого отрезка?

14. В течение 1 мин наблюдения в случайные моменты времени появляется радиосигнал

длительностью 10 с, и на 6 с включается приемник. Найти вероятность обнаружения

сигнала, если время настройки приемника составляет 1 с.

15. Внутри равностороннего треугольника ABC со стороной 1 см наугад выбирают точку

M. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMB меньше 1 8 см2?

16. Даны две концентрические окружности радиусов 12 и 8 см. На большей окружности

наудачу ставятся две точки A и B. Какова вероятность того, что отрезок AB не

пересечет малую окружность?

17. На отрезке AB наудачу выбирают точки C и D. С какой вероятностью точка C окажется

ближе к D, чем к A?

18. Какова вероятность того, что сумма длин трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит соответственно 5, 8 и 9 см, будет больше 8 см?

19. В единичном круге с центром O проведен фиксированный диаметр. На этом диаметре

наугад выбирают точку и через нее проводят хорду AB, перпендикулярную диаметру.

Найти вероятность того, что площадь треугольника AOB меньше 15 16 .

20. В квадрат ABCD наугад бросают точку O. Эту точку принимают за центр окружности,

касающейся диагонали AC. Найти вероятность того, что эта окружность не выйдет за

границы квадрата.

21. В течение суток шлагбаум на железнодорожном переезде закрывается 20 раз на 4 мин

(каждый раз). С какой вероятностью автомобиль проедет переезд без остановки или с

задержкой не более чем на 1 мин?



19

22. На отрезок OA наудачу поставлены точки B и C (B левее C). Какова вероятность того,

что длина отрезка BC будет меньше длины отрезка OB?

23. На окружности ставятся три точки. Какова вероятность того, что они являются

вершинами остроугольного треугольника?

24. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше 1, не превзойдет 1, а модуль их разности будет больше 0,5?

25. Найти вероятность того, что корни уравнения 2 0x px q+ + = одного знака, если

1 1p− < < , 1 1q− < < .

26. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой многократно бросается монета

диаметром 2 см. В результате установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни

одной стороны квадрата. Оценить размер сетки.


точка D. Какова вероятность того, что точка C ближе к точке D, чем к точке B?

28. Шарик диаметром 2 см падает на сетку с квадратными ячейками размером 4 см,

сделанную из проволоки толщиной 0,2 см. С какой вероятностью шарик не заденет

сетку?

29. На двух соседних четвертях единичной окружности выбирают наугад по одной точке.

Найти вероятность того, что длина хорды с концами в этих точках меньше единицы.

30. Какова вероятность, не целясь, попасть пулей диаметром 1 см в прутья толщиной 1 см,

образующие решетку с прямоугольными ячейками размером 6× 10 см?

З а д а н и е 2.4. Иван и Марья договорились о встрече у входа в МИЭТ между A и B

часами (табл.2.2). Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет

появления другого до истечения срока, но не более а минут, после чего уходит. Найти

вероятность того, что встреча состоится.

Таблица 2.2

Вариант A B a Вариант A B a Вариант A B a

1 12 13 15 11 12 13 20 21 16 19 20

2 12 14 20 12 12 13 10 22 16 19 40

3 12 14 15 13 12 14 25 23 16 18 35

4 16 18 40 14 18 20 35 24 17 19 25

5 12 14 15 15 18 21 55 25 16 17 5

6 12 15 35 16 9 12 75 26 16 17 15



20

7 9 10 5 17 17 18 45 27 13 15 45

8 9 11 15 18 10 13 71 28 13 16 45

9 12 13 25 19 10 13 50 29 11 14 65

10 16 19 25 20 17 19 10 30 11 14 55

З а д а н и е 2.5. Наудачу выбирается действительное число x. Найти вероятность того,

что будет выполняться неравенство ( )a f x b≤ ≤ (табл.2.3).

Таблица 2.3

Вариант )(xf a b Вариант )(xf a b

1 sin x 2 2 2 16 tg x 3 3− 3 3

2 cos x 2 2− 2 2 17 sin x 3 2 1

3 tg x – 1 3 18 cos x 3 2− 2 2

4 tg x 3− 3 19 cos x – 1 3 2−

5 tg x 1 3 20 sin x 3 2− 1

6 sin x 2 2− 2 2 21 cos x – 0,5 0,5

7 cos x 3 2 1 22 cos x 3 2− 0,5

8 sin x 2 2− 3 2 23 sin x 3 2− 2 2

9 tg x 3− 1 24 cos x 2 2− 3 2

10 tg x 3 3− 3 25 cos x – 1 0,5

11 tg x 3 3− 1 26 cos x 3 2− 1

12 ctg x 3 3− 3 27 sin x – 1 0,5

13 sin x – 1 2 2− 28 sin x – 0,5 0,5

14 cos x 2 2 2 29 sin x – 0,5 1

15 ctg x 3 3− 1 30 sin x 3 2− 0,5



21

Вероятности сложных событий

З а д а н и е 2.6. Определить вероятность прохождения сигнала в цепи (рис.2.1),

различные элементы которой выходят из строя независимо друг от друга с заданными

вероятностями ip ( 1, ..., 5i = ) (табл.2.4).

Цепь 1

Цепь 2

Цепь 3

Цепь 4

Цепь 5

Цепь 6

34

52

1 3

4 52

1

2

1

3

4

5

2

1

3

4

5

35

2

14 2

1

3

4

5

Рис.2.1.



22

Таблица 2.4

Вариант Номер

цепи 1p 2p 3p 4p 5p

1 5 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

2 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

3 6 0,9 0,7 0,6 0,5 0,2

4 3 0,1 0,1 0,3 0,5 0,5

5 1 0,9 0,9 0,6 0,6 0,4

6 4 0,2 0,3 0,3 0,4 0,6

7 5 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

8 2 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

9 3 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

10 2 0,9 0,7 0,6 0,5 0,2

11 6 0,1 0,1 0,3 0,5 0,5

12 4 0,9 0,9 0,6 0,6 0,4

13 5 0,2 0,3 0,3 0,4 0,6

14 2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

15 3 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

16 1 0,9 0,8 0,8 0,5 0,5

17 4 0,1 0,1 0,1 0,3 0,5

18 6 0,1 0,2 0,2 0,2 0,5

19 3 0,1 0,2 0,4 0,4 0,6

20 5 0,4 0,4 0,6 0,6 0,9

21 2 0,4 0,4 0,6 0,6 0,9

22 4 0,3 0,4 0,5 0,5 0,8

23 3 0,9 0,8 0,8 0,5 0,5

24 1 0,1 0,1 0,1 0,3 0,5

25 6 0,1 0,2 0,2 0,2 0,5

26 4 0,1 0,2 0,4 0,4 0,6

27 2 0,4 0,4 0,6 0,6 0,9

28 5 0,4 0,4 0,6 0,6 0,9

29 1 0,3 0,4 0,5 0,5 0,8

30 6 0,9 0,8 0,8 0,5 0,5



23


1. Некто нашел чужую пластиковую карточку банкомата. Найти вероятность, что

двух попыток, предоставляемых банкоматом, хватит для того, чтобы отгадать

неизвестный ему четырехзначный код.

2. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0,7. В случае

сдачи экзамена по математике вероятность того, что студент сдаст экзамен по общей

физике, равна 0,5. В случае неудачи на экзамене по математике вероятность того, что

студент сдаст экзамен по общей физике, равна 0,4. Найти вероятность того, что студент

сдаст экзамен хотя бы по одной из этих двух дисциплин.

3. Имеется пять однотипных ключей, из которых только один подходит к замку.

Найти вероятность того, что будет произведено не менее четырех попыток открывания

замка (испробованный ключ в последующих попытках не участвует).

4. По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891 г.) было установлено, что

темноглазые отцы и темноглазые сыновья составили 5% обследованных, темноглазые

отцы и светлоглазые сыновья – 8% обследованных, светлоглазые отцы и темноглазые

сыновья – 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили

78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у

темноглазого отца?

5. В двух урнах находятся белые и черные шары: в первой – 6 белых и 4 черных шара,

во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны берут наудачу два шара и

перекладывают во вторую урну, затем из второй урны взяли наудачу один шар и

переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что после всех операций

количество белых шаров в первой урне окажется равным четырем.

6. В группе учатся 25 студентов, из них 10 – троечники. Для решения задачи у доски

любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. Найти

вероятность того, что троечник не пойдет к доске решать третью задачу, если первую

задачу у доски уже решал один из троечников.

7. За пятилетие фирма может прекратить свое существование с вероятностью 1 2 ,

выжить в конкурентной борьбе с вероятностью 1 3 и разделиться на две фирмы с

вероятностью 1 6 . В следующее пятилетие с каждой фирмой может произойти то же

самое с теми же вероятностями. Найти вероятность того, что к концу второго пятилетия

будет две фирмы.



24

8. Владелец трех пакетов акций получает доход по каждому из пакетов с

вероятностями соответственно 0,5, 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что не менее двух

пакетов принесут доход их владельцу.

9. Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20% – юридическими.

Из практики известно, что 40% всех операций приходится на долгосрочные расчеты, в то

же время из общего числа операций, связанных с физическими лицами, 30% приходится

на долгосрочные расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент

является юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?

10. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине A, равна 0,8. В случае

сдачи экзамена по дисциплине A вероятность того, что студент сдаст экзамен по

дисциплине B, равна 0,5. В случае неудачи на экзамене по дисциплине A вероятность того,

что студент сдаст экзамен по дисциплине B, равна 0,6. Найти вероятность того, что

экзамен хотя бы по одной из двух дисциплин студент сдаст.

11. Для подготовки к экзамену студенту предложено 30 вопросов. Билет содержит два

вопроса. Комплектование билетов вопросами осуществляется случайным образом.

Студент подготовил 25 вопросов. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен, если для

этого достаточно ответить правильно на два вопроса своего билета или на один вопрос

своего билета и один вопрос по выбору преподавателя.

12. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна

0,7, а для второго – 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени. А затем каждый

из стрелков стреляет еще, но только один раз, если при первом сделанном им выстреле он

промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени окажется ровно две пробоины.

13. Найти вероятности событий A и B, если справедлива система

P( ) 3 4,P( ) 3 4,P( ) 1 4.

A BA BA B

+ =

+ = ⋅ = 14. Владелец трех пакетов акций получает доход по каждому из пакетов с

вероятностями соответственно 0,5, 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что не менее двух

пакетов принесут доход их владельцу.


0,7, а для второго – 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени. А затем каждый

из стрелков стреляет еще, но только один раз, если при первом сделанном им выстреле он

промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени окажется ровно одна пробоина.

16. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине A, равна 0,8. В случае

сдачи экзамена по дисциплине A вероятность того, что студент сдаст экзамен по



25

дисциплине B, равна 0,5. В случае неудачи на экзамене по дисциплине A вероятность того,

что студент сдаст экзамен по дисциплине B, равна 0,6. Найти вероятность того, что

экзамен хотя бы по одной из двух дисциплин студент не сдаст.

17. Каждое из двух независимо работающих устройств состоит из двух элементов. За

время T каждый из элементов первого устройства выходит из строя независимо от другого

элемента с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за

время T в первом устройстве выйдет из строя хотя бы один элемент, а во втором – менее

двух элементов.


P( ) 2 3,P( ) 5 6,P( ) 1 6.

A BA BA B

+ =

+ = ⋅ = 19. По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891 г.) было установлено, что

темноглазые отцы и темноглазые сыновья составили 5% обследованных, темноглазые

отцы и светлоглазые сыновья – 8% обследованных, светлоглазые отцы и темноглазые

сыновья – 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили

78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения темноглазого сына у

светлоглазого отца?

20. Для подготовки к экзамену студенту предложено 20 вопросов. Билет содержит два

вопроса. Комплектование билетов вопросами осуществляется случайным образом.

Студент подготовил 15 вопросов. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен, если для

этого достаточно ответить правильно на два вопроса своего билета или на один вопрос

своего билета и один вопрос по выбору преподавателя.


P( ) 2 3,P( ) 5 6,P( ) 2 3.

A BA BA B

+ =

+ = + = 22. В группе учатся 25 студентов, из них 5 – отличники. Для решения задачи у доски

любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. Найти

вероятность того, что третью задачу к доске пойдет решать отличник, если первую задачу

тоже решал отличник.

23. Два футболиста независимо друг от друга выполняют по два штрафных удара по

воротам. Вероятности попадания мяча в створ ворот при каждом ударе для футболистов

равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у первого футболиста будет

больше попаданий, чем у второго.



26


во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли наудачу два шара и

переложили во вторую урну, затем из второй урны берут наудачу один шар и

перекладывают в первую урну. Найти вероятность того, что после всех операций

количество белых шаров в первой урне окажется равным пяти.

25. За пятилетие фирма может прекратить свое существование с вероятностью 1 2 ,

выжить в конкурентной борьбе с вероятностью 1 3 и разделиться на две фирмы с

вероятностью 1 6 . В следующее пятилетие с каждой фирмой может произойти то же

самое с теми же вероятностями. Найти вероятность того, что к концу второго пятилетия

останется одна фирма.

26. В шкафу находятся 9 однотипных новых приборов. Для проведения опыта берут

наугад 3 прибора и, после работы, возвращают их в шкаф. Внешне новые и

использованные приборы не отличаются. Найти вероятность того, что после проведения

трех опытов в шкафу не останется новых приборов.

27. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит,

что она нечетная. Найти вероятность того, что ему придется сделать не менее трех

попыток набора номера, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру

в дальнейшем не набирает.

28. Два футболиста независимо друг от друга выполняют по два штрафных удара по

воротам. Вероятности попадания мяча в створ ворот при каждом ударе для футболистов

равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих футболистов будет

одинаковое количество попаданий.

29. Каждое из двух независимо работающих устройств состоит из двух элементов. За

время T каждый из элементов первого устройства выходит из строя независимо от другого

элемента с вероятностью 0,1, второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за

время T в обоих устройствах выйдет из строя равное количество элементов.

30. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок

не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для

третьего – 0,75, для четвертого – 0,7. Найти вероятность того, что не менее двух станков

потребуют внимания рабочего в течение часа.



27

Формулы полной вероятности и Байеса


1. В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм-изготовителей в

соотношении 2 :5 :3 . Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют

ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей –

соответственно в 8 и 6% случаев. Найти вероятность того, что проданный

телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту.

Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью

0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Взятое

наудачу изделие прошло упрощенный контроль. Найти вероятность того, что

проверенное изделие является стандартным.

3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по

одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна

0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина.

Какова вероятность того, что она принадлежит второму стрелку?

4. В урну, содержащую 2 шара, опущен 1 белый шар. Затем из урны наудачу взяли 1

шар. Какова вероятность, что это будет белый шар, если равновозможен любой

первоначальный состав урны?

5. Из наблюдений установлено, что вероятности произойти сбою во время работы

компьютера в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных

устройствах соотносятся между собой как 3: 2 :5 . И пусть условные вероятности

обнаружения сбоя в названных местах компьютера равны соответственно 0,8, 0,9

и 0,9. Найти безусловную вероятность того, что возникший где-то сбой будет

обнаружен системой контроля.

6. Группа из 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников.

Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или

4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает

незнакомого студента, и он получает 4. Какова вероятность, что этот студент из

подгруппы троечников?

7. Прибор состоит из двух дублирующих блоков и остается работоспособным, если

исправен хотя бы один из них. Случайным образом прибор может находиться в

одном из двух режимов: благоприятном – с вероятностью 0,9 и неблагоприятном

– с вероятностью 0,1. В благоприятном режиме надежность (т.е. вероятность



28

безотказной работы) каждого из блоков 0,95, а в неблагоприятном – 0,8.

Учитывая все это, найти безусловную (полную) надежность прибора.

8. В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм-изготовителей в

соотношении 2 :5 :3 . Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют

ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей –

соответственно в 8 и 6% случаев. Проданный телевизор потребовал ремонта в

течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что проданный телевизор

поступил в торговую фирму от второй фирмы.

9. Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории

больных, 66% – ко второй и 19% – к третьей. Вероятности возникновения

заболевания, в зависимости от категории больных, равны соответственно 0,12,

0,09, 0,2. Найти вероятность принадлежности к третьей категории больных

пациента диспансера, у которого обнаружено заболевание.

10. Пусть на радиолокационную станцию (РЛС) равновозможно поступает либо только

шум (нет цели), либо смесь сигнала с шумом (есть цель). Известно, что

решающее устройство РЛС при наличии только шума может ошибиться и

зарегистрировать цель (ошибка ложной тревоги) с вероятностью 0,1; а при

наличии сигнала с шумом цель правильно регистрируется (нет ошибки пропуска

цели) с вероятностью 0,7. И пусть решающее устройство зарегистрировало цель.

Какова вероятность, что РЛС не ошиблась?

11. На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок

относятся соответственно как 1: 2 : 7 . Известно, что нестандартных изделий среди

продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Взятое наугад со

склада изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что изделие

было произведено первой фабрикой.

12. Имеется три партии деталей. В одной из них 1 3 деталей – брак, а в остальных все

детали качественные. Деталь, взятая наугад из какой-то партии, оказалась

качественной. Какова вероятность, что деталь взята из партии с браком?

13. Группа из 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников.

Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или

4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает

незнакомого студента. Какова вероятность, что студент получит 4 или 5?


во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не



29

глядя, два шара. Затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность того,

что этот шар будет белым.

15. Устройство состоит из двух элементов и не работает только в случае, когда они оба

неисправны. По внешнему виду исправный и бракованный элементы

неотличимы. Вероятность безотказной работы исправного элемента в течение

гарантийного срока равна 0,9. Элементы, среди которых 10% бракованных,

поступают в цех для сборки устройств без предварительного контроля. Какова

вероятность, что безотказно проработавшее до окончания гарантийного срока

устройство с самого начала имело два исправных элемента?

16. Имеется ящик, в котором лежат 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии

ящика 4 коробки уронили, и грифели карандашей в них сломались. Однако все 20

коробок были сданы на склад, откуда затем взяли 2 коробки и раздали карандаши

ученикам. Найти вероятность того, что доставшийся ученику карандаш имеет

сломанный грифель.

17. На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 рабочих пятого разряда

и 5 рабочих четвертого разряда. Вероятность того, что изделие, изготовленное

рабочим, будет одобрено отделом технического контроля (ОТК) предприятия,

равна соответственно 0,95, 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что изделие,

проверенное ОТК, будет одобрено (производительность всех рабочих одинакова).

18. На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок

относятся соответственно как 1: 2 : 7 . Известно, что нестандартных изделий среди

продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Найти вероятность

того, что взятое наугад со склада изделие окажется нестандартным.

19. На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо –

хорошо, двое – удовлетворительно, один – плохо. В экзаменационных билетах

имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20

вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно – на 10, плохо –

на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти

вероятность того, что этот студент подготовлен плохо.

20. Завод выпускает устройства, состоящие из двух элементов. Устройство отказывает, если выходит из строя хотя бы один элемент. Для сборки изделий используются

элементы высшего качества и первого сорта, которые внешне неотличимы.

Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока элемента высшего

качества равна 0,9, а элемента первого сорта – 0,8. Известно, что 10%

используемых для сборки устройств элементов – первого сорта, а остальные –



30

высшего качества. Какова вероятность, что устройство, безотказно роработавшее

до окончания гарантийного срока, содержало оба элемента первого сорта?

21. Спортсмены трех групп выполняют квалификационные нормы. В первой группе 10

спортсменов, во второй – 15, в третьей – 25. Вероятности выполнения

квалификационных норм спортсменом каждой группы равны соответственно 0,9,

0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что невыполнивший норму спортсмен не

входит во вторую группу.

22. Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории

больных, 66% – ко второй и 19% – к третьей. Вероятности возникновения

заболевания, в зависимости от категории больных, равны соответственно 0,12,

0,09, 0,2. Найти вероятность возникновения заболевания у наугад выбранного

пациента диспансера.

23. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый

риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – I

класса риска, 30% – II и 20% – III класса риска. Вероятность необходимости

выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III

класса – 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное

вознаграждение за период страхования?

24. На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо –

хорошо, двое – удовлетворительно, один – плохо. В экзаменационных билетах

имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20

вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно – на 10, плохо –

на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти

вероятность того, что этот студент подготовлен отлично.

25. Устройство состоит из двух элементов и не работает только в случае, когда они оба

неисправны. По внешнему виду исправный и бракованный элементы

неотличимы. Вероятность безотказной работы исправного элемента в течение

гарантийного срока равна 0,9. Элементы, среди которых 10% бракованных,

поступают в цех для сборки устройств без предварительного контроля. Какова

вероятность, что вышедшее из строя до окончания гарантийного срока

устройство с самого начала имело лишь один исправный элемент?

26. Завод выпускает устройства, состоящие из двух элементов. Устройство отказывает, если выходит из строя хотя бы один элемент. Для сборки изделий используются

элементы высшего качества и первого сорта, которые внешне неотличимы.

Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока элемента высшего



31

качества равна 0,9, а элемента первого сорта – 0,8. Известно, что 10%

используемых для сборки устройств элементов – первого сорта, а остальные –

высшего качества. Какова вероятность, что устройство, вышедшее из строя до

окончания гарантийного срока, содержало хотя бы один элемент первого сорта?

27. В двух ящиках находятся белые и черные шары: в первом – 2 белых и 3 черных

шара, во втором – 3 белых и 1 черный. Из первого ящика достают, не глядя, 2

шара и перекладывают во второй ящик. Шары во втором ящике перемешивают и

достают из него 2 шара. Вынутые шары оказались разного цвета. Какова

вероятность того, что из первого ящика во второй переложили 2 черных шара?

28. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый

риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% – I

класса риска, 30% – II и 20% – III класса. Вероятность необходимости

выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III

класса – 0,08. Какова вероятность того, что получивший денежное

вознаграждение застрахованный относится к I классу риска?

29. После осмотра больного врач считает, что равновозможно одно из двух заболеваний – C или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ,

исход которого дает положительную реакцию при заболевании C в 30% случаев,

а при заболевании D – в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию.

Какое заболевание становится более вероятным?

30. Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг друга. Первая в

конечном итоге напечатала 1 3 всей рукописи, а вторая – остальное. Первая

машинистка делает ошибки с вероятностью 0,15, а вторая – с вероятностью 0,1.

При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что

ошиблась первая машинистка.



32

3. Случайные величины

Законы распределения и числовые характеристики

случайных величин

З а д а н и е 3.1. Дано распределение дискретной случайной величины X (табл.3.1).

Найти a, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной

величины X. Составить ряд распределения случайной величины 2X .

Таблица 3.1

Вариант

Ряд распределения

Вариант


1 ix –5 2 3 5

8

ix

–

10 2 3 10

ip 0,4 a 0,1 0,2 ip 0,1 0,4 a 0,4

2 ix –5 4 5 9

9

ix –4 –1 2 4

ip 0,1 0,5 a 0,2 ip 0,3 a 0,4 0,2

3 ix –6 –2 1 6

10

ix –3 2 3 5

ip 0,3 a 0,1 0,2 ip a 0,4 0,1 0,2

4 ix –2 0 2 3

11

ix –6 –2 3 6

ip a 0,3 0,1 0,2 ip 0,2 a 0,1 0,3

5 ix –8 –2 1 8

12

ix –6 2 5 6

ip 0,1 0,3 a 0,2 ip 0,5 0,1 a 0,1

6 ix –2 1 2 5

13

ix –5 –3 1 3

ip 0,3 a 0,1 0,2 ip a 0,1 0,1 0,6

7 ix –3 2 3 5 14 ix –5 5 6 8



33

Вариант


Вариант


ip a 0,4 0,1 0,2 ip 0,2 0,2 a 0,2

15 ix –12 6 8 12

23

ix –6 4 5 6

ip 0,3 0,1 a 0,3 ip 0,3 0,1 a 0,2

16 ix –11 6 9 11

24

ix –4 2 4 8

ip 0,4 a 0,3 0,1 ip 0,1 a 0,4 0,4

17 ix –8 6 8 9

25

ix –3 –1 3 5

ip 0,3 a 0,1 0,4 ip a 0,3 0,1 0,2

18 ix –9 6 7 9

26

ix –9 4 6 9

ip 0,3 a 0,1 0,2 ip 0,1 a 0,3 0,3

19 ix –14 10 12 14

27

ix –5 4 5 6

ip a 0,2 0,1 0,3 ip 0,5 0,1 a 0,2

20 ix –6 6 8 14

28

ix –1 1 3 8

ip 0,1 0,1 a 0,4 ip a 0,2 0,1 0,6

21 ix –5 3 4 5

29

ix –8 6 8 10

ip 0,4 a 0,1 0,2 ip 0,3 0,2 a 0,1

22 ix –7 5 7 8

30

ix

–

12 8 12 16

ip a 0,5 0,2 0,2 ip 0,2 0,3 a 0,4



34

З а д а н и е 3.2. Решить задачу.

1. Случайная величина X распределена по закону Коши: 2( )1X

Af xx

=+ . Требуется:

а) найти коэффициент A и вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал ( 1;1)− ; б) найти медиану, моду, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.

2. Случайная величина X распределена по закону Лапласа: | |( ) x

Xf x Ae−λ= . Требуется:

а) найти коэффициент A; б) найти математическое ожидание, моду, медиану и

дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.

3. Случайная величина X распределена по закону

Симпсона («равнобедренного треугольника») на отрезке

[ 3; 3]− (рис.3.1). Требуется: а) найти выражение для

функции плотности и вычислить вероятность попадания

случайной величины X в интервал ( 1,5; 3)− ; б) найти

математическое ожидание, моду, медиану и дисперсию

этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.

4. Дана функция

при

при

0, 0,( )

, 0.X x

xf x

cxe x−

<= ≥

Требуется: а) установить, при каком значении параметра c эта функция является

плотностью распределения некоторой случайной величины X; б) найти математическое

ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию

распределения и найти медиану.

5. Студент разыскивает нужную ему формулу, заказав в читальном зале библиотеки

три справочника. Вероятность того, что формула имеется в первом справочнике,

равна 0,6, во втором – 0,7, в третьем – 0,8. Требуется: а) составить ряд

распределения количества X справочников, в которых содержится нужная студенту

формула; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной

величины X; в) построить ее функцию распределения.


при

при

в остальных случаях

2 , 0 1,( ) , 1 2,

0, .X

c xf x c x

≤ ≤= ≤ ≤



x

f (x)X

-3 30

Рис.3.1.



35

ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию


7. Составить ряд распределения числа X пакетов трех акций, по которым владельцем

будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна

соответственно 0,5, 0,6 и 0,7. Найти математическое ожидание, моду и дисперсию

случайной величины X. Построить ее функцию распределения.

8. В билете содержатся три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи

равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Требуется: а) составить ряд распределения

числа X правильно решенных задач в билете; б) найти математическое ожидание,

моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию

распределения.

9. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале (1; 4) , задана функцией

распределения 2( )XF x ax bx c= + + , имеющей максимум при 4x = . Требуется:

а) найти параметры a, b и c; б) вычислить вероятность попадания случайной

величины X в интервал (2; 3) ; в) найти медиану, математическое ожидание и

дисперсию случайной величины X.

10. Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Sony». Наудачу для осмотра

выбрано 3 телевизора. Требуется: а) составить ряд распределения числа X

телевизоров фирмы «Sony» среди трех отобранных; б) найти математическое

ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию


11. Имеются четыре однотипных ключа. Из них только один подходит к замку.

Требуется: а) составить ряд распределения числа X попыток открывания замка,

если испробованный ключ в последующих попытках не участвует; б) найти

математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; в) построить ее

функцию распределения.

12. Случайная величина X распределена по закону «прямоугольного треугольника» на

отрезке [0; ]c (рис.3.2).

Рис.3.2

x

f (x)X

0 c



36

Требуется: а) найти выражение для функции плотности и вычислить вероятность

попадания случайной величины X в интервал ( 2; )c c ; б) найти математическое



13. Дана функция плотности случайной величины X:

2

2

0 , 0 ,

1,5 , 0 1,( )

1,5(2 ) , 1 2 ,0 , 2.

X

x

x xf x

x xx

<

≤ <= − ≤ <

≥ Требуется: а) вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал

(0,5;1,5) ; б) найти математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, асимметрию и

эксцесс этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.

14. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Требуется:

а) составить ряд распределения числа X агрегатов, нуждающихся в дополнительной

смазке, среди трех наудачу отобранных из общего числа; б) найти математическое



15. Дана функция плотности случайной величины X:

0, 0 ,, 0 1,

( )2 , 1 2 ,

0 , 2.

X

xx x

f xx x

x

< ≤ <= − ≤ < ≥

Требуется: а) вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал

(0,5;1,5) ; б) найти математическое ожидание, моду, медиану, дисперсию, асимметрию и

эксцесс этой случайной величины; в) построить ее функцию распределения.

16. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале ( 1; 2)− , задана функцией

распределения 2( )XF x ax bx c= + + , имеющей максимум при 2x = . Требуется:

а) найти параметры a, b и c; б) вычислить вероятность попадания случайной

величины X в интервал ( 0,5;1)− ; в) найти медиану, математическое ожидание и

дисперсию случайной величины X.


при

при


3 , 1 0,( ) , 1 2,

0, .X

c xf x c x

− ≤ ≤= ≤ ≤



37





18. Случайная величина X распределена по закону

«прямоугольной трапеции» на отрезке [ 1;1]− (рис.3.3).

Требуется: а) найти выражение для функции плотности и

вычислить вероятность попадания случайной величины

X в интервал ( 0,5; 0,5)− ; б) найти математическое

ожидание и дисперсию этой случайной величины;

в) построить ее функцию распределения и найти медиану.

19. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. – в компанию A и 15 тыс. руб. – в

компанию B. Компания A обещает 50% годовых, но может обанкротиться с

вероятностью 0,2. Компания B обещает 40% годовых, но может обанкротиться с

вероятностью 0,15. Составить ряд распределения случайной величины X – общей

суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год. Найти

математическое ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины.

Построить ее функцию распределения.

20. Случайная величина X имеет функцию распределения ( ) arctgXF x a b x= + , x ∈ R .

Требуется: а) найти параметры a и b; б) вычислить вероятность попадания

случайной величины X в интервал ( 1;1)− ; в) найти медиану, моду, математическое

ожидание и дисперсию случайной величины X.


при

при


, 2 1,( ) 3 , 1 2,

0, .X

c xf x c x

− ≤ ≤ −= ≤ ≤





22. На шахматную доску ставится ферзь. Требуется: а) составить ряд распределения

случайной величины X – числа клеток, которые стоят под ударом этого ферзя;

б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X;

в) построить ее функцию распределения.

x

f (x)X

0 1

a

1

Рис.3.3.



38


0,7, а для второго – 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени. Затем

каждый из стрелков стреляет еще, но только один раз, если при первом сделанном

им выстреле он промахнулся. Требуется: а) составить ряд распределения

случайной величины X – суммарного числа выстрелов, произведенных обоими

стрелками; б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной

величины X; в) построить ее функцию распределения.

24. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит,

что она нечетная. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины

X – числа попыток набора номера (вплоть до попадания на нужный), если

последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не

набирает; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;


25. Из 5 (одинаково великолепных) гвоздик 2 белые. При покупке букета наудачу

выбраны 3 гвоздики. Требуется: а) составить ряд распределения случайной

величины X – количества белых гвоздик среди отобранных; б) найти

математическое ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины;


26. На шахматную доску ставится слон. Требуется: а) составить ряд распределения

случайной величины X – числа клеток, которые стоят под ударом этого слона;

б) найти математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X;



3

при

при

0, 2, 0,( )

( 4 ), 2 0.Xx x

f xa x x x

< − >= − − ≤ ≤

Требуется: а) установить, при каком значении параметра a эта функция является


ожидание, моду и дисперсию этой случайной величины; в) построить ее функцию


28. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с

каждым выстрелом на 0,1. Сделано три выстрела. Требуется: а) составить ряд

распределения числа X попаданий в цель; б) найти математическое ожидание, моду

и дисперсию случайной величины X; в) построить ее функцию распределения.

29. Каждый поступающий в университет должен сдать три экзамена. Вероятность

успешной сдачи первого экзамена равна 0,5, второго – 0,8, третьего – 0,9.



39

Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи

предыдущего. Требуется: а) составить ряд распределения случайной величины X –

числа экзаменов, сдававшихся поступающим в университет; б) найти

математическое ожидание, моду и дисперсию случайной величины X; в) построить

ее функцию распределения.

30. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок не

потребует внимания рабочего, равна: для первого станка – 0,9, для второго – 0,8,

для третьего – 0,7. Требуется: а) составить ряд распределения числа X станков,

которые потребуют внимания рабочего в течение часа; б) найти математическое



Распределения дискретных случайных величин,

связанные с повторными независимыми испытаниями


1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна

0,8. Стрелку разрешено стрелять до тех пор, пока сумма промахов не будет равна

трем. Найти вероятность того, что стрелок совершит семь выстрелов.

2. Лицензия отбирается у любого торгового предприятия, как только торговая инспекция в третий раз обнаружит серьезное нарушение правил торговли. Найти

вероятность того, что лицензия будет отобрана после пятой проверки. Известно,

что вероятность обнаружения нарушения при одной проверке равна 0,2 и не

зависит от результатов предыдущих проверок.

3. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания

мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти

вероятность того, что у обоих баскетболистов будет одинаковое количество

попаданий.

4. Известно, что контролеры проверяют каждый двенадцатый автобус. Сколько раз

можно проехать зайцем, чтобы вероятность ни разу не попасться контролеру была

не меньше 0,7?

5. Прибор ломается после четвертого импульса с повышенным напряжением. Найти

вероятность того, что прибор сломается на девятом или десятом импульсе, если

вероятность импульса с повышенным напряжением равна 0,25.



40

6. В урне 4 черных и 8 белых шаров. Из урны вынимают один шар, кладут обратно и

перемешивают до тех пор, пока в третий раз не будет вынут белый шар. Найти

вероятность того, что для этого потребуется вынуть шар 8 или 9 раз.

7. Генератор двоичных чисел выдает 1 и 0 с равными вероятностями. Найти

вероятность того, что для набора суммы выданных чисел, равной пяти,

потребовалось 8, 9 или 10 генераций.

8. Отдел надзора отделения центрального банка курирует деятельность ряда коммерческих банков. При сдаче квартальной отчетности серьезные финансовые

нарушения обнаруживаются в среднем у 5% банков. На проверку выбрано 4 банка.

Найти наиболее вероятное число банков-нарушителей (среди выбранных) и

вероятность этого числа.

9. Каждый из двух генераторов случайных чисел выдает цифры 1, 2 и 3 с равными

вероятностями. Выданные первым и вторым генераторами цифры формируют

пару. Какова вероятность того, что набор из 12 таких случайных пар не содержит

ни одной пары, состоящей из одинаковых цифр?

10. Известно, что левши составляют 3% населения. Найти вероятность того, что среди

200 человек имеется не менее трех левшей.

11. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 45 10−⋅ . Найти

вероятность того, что сообщение из 10000 знаков будет иметь не более трех

искажений.

12. Вероятность зарегистрировать радиоактивную частицу равна 410−. Найти

вероятность того, что зарегистрировано от 5 до 10 частиц, если из источника

излучения вылетело 50000 частиц.

13. Известно, что среди 1 млн жителей некоторого города примерно 2 тыс. носят

фамилию Терещенко. Какое минимальное количество жителей нужно отобрать в

группу, чтобы вероятность встретить в группе хотя бы одного человека с этой

фамилией была больше 0,8?

14. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет

содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001.

Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено наивероятнейшее

число ошибочно укомплектованных пакетов.

15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти

наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого

числа опоздавших.



41

16. Первый прибор состоит из 10 узлов, второй – из 8 узлов. За время T каждый из

узлов первого прибора выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,1,

второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время T в первом

приборе выйдет из строя хотя бы один узел, а во втором – не менее двух узлов.

17. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было

равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной,

равна 0,1?

18. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найти

вероятность того, что кость придется подбрасывать не менее 4 раз.

19. Какова вероятность, что при многократном независимом бросании «правильной»

игральной кости первая шестерка выпадет при третьем или четвертом бросании?

20. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания

мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти

вероятность того, что у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у

второго.

21. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток

времени в 7,5 с испускало в среднем 3,87 α-частицы. Найти вероятность того, что

за 1 с это вещество испустит хотя бы одну α-частицу.

22. В аэропорту производят посадку в среднем три самолета в минуту. Какова

вероятность того, что в течение 2 мин произведут посадку не менее четырех

самолетов?

23. На прядильной фабрике работница обслуживает 800 веретен (внешне практически

ничем не отличимых). Вероятность обрыва пряжи на одном веретене в течение 1

мин примерно равна 0,0005. Найти вероятность того, что в течение 10 мин

произойдет не более двух обрывов.

24. Первый прибор состоит из 10 узлов, второй из 8 узлов. За время T каждый из узлов

первого прибора выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,1,

второго – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что за время T в обоих

приборах выйдет из строя не менее двух узлов.

25. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Найти наиболее вероятное число библиотек, которые посетит студент и


26. Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей. При

поступлении нового товара он обзванивает клиентов по очереди до тех пор, пока не

получит заказ на его покупку. Вероятность того, что потенциальный покупатель



42

сделает заказ, равна 0,3. Найти наиболее вероятное число телефонных разговоров,

которые предстоит провести агенту и вероятность этого числа.

27. Из поступивших в ремонт 6 штук часов 2 нуждаются в общей чистке механизма.

Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы,

нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно, и, найдя, прекращает

дальнейший просмотр. Найти наиболее вероятное число просмотренных часов и


28. Вероятность сбить самолет одиночным винтовочным выстрелом составляет

порядка 0,004. Какова вероятность сбить самолет при одновременной независимой

стрельбе из 250 винтовок?

29. В микрорайоне 9 машин технической службы. Для бесперебойной работы

необходимо, чтобы не менее 8 машин были в исправном состоянии. Считая

вероятность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0,9, найти

вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.

30. Три игральные кости подбрасываются 8 раз. Найти вероятность того, что не менее

2 раз ровно на двух костях появится по одному очку.

Основные распределения непрерывных случайных величин (нормальное, равномерное, показательное)

З а д а н и е 3.4. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее

математическое ожидание равно m, среднее квадратическое отклонение равно σ

(табл.3.2). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина

примет значение в интервале ( ; )a b .

Таблица 3.2

Вариант m σ a b Вариант m σ a b

1 10 1 8 14 10 30 1 27 32

2 12 2 8 14 11 32 3 30 35

3 14 3 10 15 12 34 1 30 36

4 16 2 15 18 13 36 2 34 37

5 18 1 16 21 14 38 3 37 41

6 20 2 17 22 15 40 2 39 42

7 24 1 20 26 16 40 4 36 43

8 26 3 23 27 17 38 2 35 40

9 28 2 24 30 18 42 4 40 43



43

Вариант m σ a b Вариант m σ a b

19 44 5 41 45 25 54 3 53 56

20 45 5 43 48 26 56 4 55 58

21 46 4 44 48 27 58 5 56 61

22 48 5 45 49 28 60 6 58 63

23 50 6 48 53 29 62 5 59 64

24 52 4 50 55 30 64 6 60 66

З а д а н и е 3.5. Плотность вероятности случайной величины X имеет вид 2

( ) ax bx cXf x e + += γ ⋅ (табл.3.3). Найти: а) константу γ ; б) математическое ожидание M[ ]X ;

в) дисперсию D[ ]X ; г) вероятность выполнения неравенства 1 2x X x< < .

Таблица 3.3

Вариант

a b c 1x 2x

Вариант

a b c 1x 2x

1 –2 8 –2 1 3 12 –2 4 3 0 1 3 2 3 2 –2 4 3 2 3− 1 3 2 3 13 –2 –8 0 3 2− –1

3 –2 –8 2 3 2− –1 14 –4 6 0 0 3 4 4 –4 6 2 0 3 4 15 –3 3 0 1 2 3 2 5 –3 3 –2 1 2 3 2 16 –4 –6 0 3 4− 1 4 6 –4 –6 –2 3 4− 1 4 17 –3 –3 0 1 2− 3 2 7 –3 –3 2 1 2− 3 2 18 –3 –4 0 1 3 4 3 8 –3 –4 2 1 3 4 3 19 –2 4 3− 0 1 3− 2 3 9 –2 4 3− 2 3 1 3− 2 3 20 –3 4 0 1 3− 5 3 10 –3 4 –2 1 3− 5 3 21 –2 8 –1 1 3

11 –2 8 0 1 3 22 –4 6 1 0 3 4

Вариант

a b c 1x 2x

Вариант

a b c 1x 2x

23 –2 –8 1 3 2− –1 27 –3 –3 1 1 2− 3 2 24 –4 –6 –1 3 4− 1 4 28 –3 4 –1 1 3− 5 3 25 –3 3 –1 1 2 3 2 29 –2 4 3− 1 3 1 3− 2 3 26 –3 –4 1 1 3 4 3 30 –2 4 3 1 3− 1 3 2 3



44


1. Блок прибора построен из трех независимых, параллельно действующих

одинаковых элементов. Отказ блока происходит лишь в случае, когда отказывают

все три элемента. Плотность распределения времени X исправной работы каждого

из элементов равна 2001( )

200

x

Xf x e−

= ⋅. Какова вероятность того, что блок

безотказно проработает 500 ч?

2. Случайная величина имеет нормальный закон распределения. Известно, что она не

превосходит 6 с вероятностью 0,5 и не превосходит 12 с вероятностью 0,9986.

Найти второй начальный момент этой случайной величины.

3. Значение функции распределения случайной величины, распределенной по

показательному закону, в точке 4x = равно 21 e−− . Чему равна дисперсия

случайной величины?

4. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна

540 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение,

а 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых

более 550 г?

5. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [ ; ]a b , где 0a < и 0b > .

Вероятность того, что эта случайная величина примет положительное значение,

равна 0,2. Рассматривается другая случайная величина Y, равномерно

распределенная на отрезке [4 ; ]a b . Чему равна вероятность того, что случайная

величина Y будет отрицательной?

6. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения. Второй начальный и второй центральный моменты равны соответственно 9 и 8. Чему

равно значение функции распределения случайной величины в точке 1x = ?

7. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим

ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными соответственно 4 и

10. При каком x вероятность попадания случайной величины в интервал ( 2; )x−

равна 0,6?


ожиданием и дисперсией, равными соответственно 3 и 25. Найти интервал,

симметричный относительно математического ожидания, в который случайная

величина попадает с вероятностью 0,5.



45

9. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по

нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными

соответственно 10 см и 0,16 см2. Найти вероятность того, что две взятые наудачу

детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине

не более 0,16 см.

10. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 5λ = .

Вычислить вероятность P 50 | 48X X≥ ≥ .


ожиданием и дисперсией, равными соответственно 2,8 и 0,36. Какова вероятность

того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3; 4] , а

при втором испытании – на отрезке [1; 2]?

12. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [ ; ]a b . Ее математическое

ожидание равно 3, а дисперсия равна 12. Чему равна вероятность того, что

случайная величина примет отрицательное значение?


ожиданием, равным пяти. Каково должно быть среднее квадратическое отклонение

этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение от

математического ожидания по абсолютной величине не превышало 0,2?

14. Известно, что среднее время ожидания кассиром очередного покупателя,

подошедшего к кассе, равно 0,25 мин. Время ожидания кассиром очередного

покупателя можно считать случайной величиной, имеющей показательный закон

распределения. Кассиру нужно сменить ленту кассового аппарата. На это ему

требуется 3 мин. Какова вероятность того, что за это время не образуется очередь,

т.е. к кассе не подойдет ни один покупатель?

15. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0; ]b .

Известно, что P 5 1 9X > = . Найти b и начальный момент 2α .

16. Продолжительность жизни человека случайна и удовлетворительно описывается

показательным законом распределения. По данным страховых агентств некоторого

государства вероятность того, что гражданин этой страны доживет до 60 лет, равна

0,85. Какова вероятность того, что случайный новорожденный этой страны

доживет до свадьбы, если по статистике этот возраст составляет 21 год?


ожиданием и средним квадратическим отклонением, равными соответственно 1,4 и



46

1. Какова вероятность того, что при трех испытаниях эта случайная величина хотя

бы один раз попадет в интервал (1; 2) ?

18. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является

случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная

длина детали 30 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,5 см, то какую

точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,9?

19. Случайная величина X имеет плотность вероятности

2( 10)81( )

2 2

x

Xf x e−−

= ⋅π .

Какова вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2;10) ?

Чему равен второй начальный момент этой случайной величины?

20. Срок эксплуатации лампочки определенного типа случайно и удовлетворительно

описывается показательным законом распределения. Опытами установлено, что в

течение месяца выходит из строя 0,02% таких электрических лампочек. Некто для

своей новой трехламповой люстры купил три лампочки этого типа. Какова

вероятность того, что в течение 6 месяцев ни одна из лампочек в люстре не

перегорит?

21. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [ 1; 5]− . Найти точку, в

которой функция распределения равна 1 9 и вероятность P [ ]XX ≥ σ (здесь [ ]Xσ –

целая часть числа Xσ ).

22. Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и

удовлетворительно описывается показательным законом распределения. Было

замечено, что в текущем сезоне на ремонт и обслуживание автомобиля после одной

поездки тратилось в среднем 6 мин. Найти вероятность того, что при очередной

поездке это время не превысит 20 мин.

23. Установлено, что время ремонта телевизоров – это случайная величина,

распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на

ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта

телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию

распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

24. Квантиль порядка 0,15 нормально распределенной случайной величины равна 12, а

квантиль порядка 0,6 равна 16. Найти математическое ожидание и среднее

квадратическое отклонение случайной величины.



47

25. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время

безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти

выражение его плотности вероятности и вероятность того, что в течение 100 ч

прибор не выйдет из строя.

26. Известно, что нормально распределенная случайная величина принимает значение, меньшее 248, с вероятностью 0,975, а значение, большее 279, с вероятностью 0,005.

Найти функцию распределения случайной величины.

27. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по

нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией, равными

соответственно 5 см и 0,81 см2. В каких границах следует ожидать размер диаметра

детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95?

28. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года

20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% – выше 90 ден. ед. Требуется с

надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены этой ценной бумаги

от среднего (прогнозного) значения.

29. Нормально распределенная случайная величина X имеет функцию распределения

( ) 0,5 0,5 ( 1)XF x x= + Φ − . Из какого интервала – (1; 2) или (2; 6) она примет значение

с большей вероятностью?

30. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [ ; ]a b , где 0a < и 0b > .

Вероятность того, что эта случайная величина примет положительное значение,

равна 0,2. Рассматривается другая случайная величина Y, равномерно

распределенная на отрезке [2 ; ]a b . Чему равна вероятность того, что случайная

величина Y будет положительной?

Функции от одной случайной величины

З а д а н и е 3.7. Случайная величина X является дискретной. Составить закон

распределения случайной величины Y (табл.3.4).



48

Таблица 3.4

Условие задачи

Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

Из 9 (одинаково

великолепных)

гвоздик 4 белые. При

покупке букета

наудачу выбрано 5

гвоздик. Случайная

величина X –

количество белых

гвоздик среди

отобранных.

1 2X 2 11X +

3 2 1X +

Вероятность

попадания в мишень

при каждом выстреле

для первого стрелка

равна 0,8, а для

второго – 0,9. Оба они

делают по одному

выстрелу по мишени.

А затем каждый из

стрелков стреляет

еще, но только один

раз, если при первом

сделанном им

выстреле он

промахнулся.

Случайная величина X

– суммарное число

выстрелов,

произведенных

обоими стрелками.

4 1X

7 2 3X −

10 2X



49


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

Абонент забыл

последнюю цифру

нужного ему номера

телефона, однако

помнит, что она

нечетная. Случайная

величина X – число

попыток набора

номера (вплоть до

попадания на

нужный), если

последнюю цифру

абонент набирает

наудачу, а набранную

цифру в дальнейшем

не набирает.

5 1X

8 2X 11 2 2X −

В билете содержатся

три задачи.


правильного решения

первой задачи равна

0,8, второй – 0,7,

третьей – 0,6.


– число правильно

решенных задач в

билете.

6 22 +X

9 2X 12 3 X



50


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

На шахматную доску

ставится ферзь.


– число клеток,

которые стоят под

ударом этого ферзя.

13 X 16 1X

19 2 4X +

Из 8 телевизоров на

выставке 5 оказались

фирмы «Sony».

Наудачу для осмотра

выбрано 3 телевизора.


– число телевизоров

фирмы «Sony» среди

трех отобранных.

14 3X 17 2 2X − 20 2 X



51


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

Каждый поступающий

в университет должен

сдать три экзамена.


успешной сдачи

первого экзамена

равна 0,6, второго –

0,7, третьего – 0,9.

Следующий экзамен

поступающий сдает

только в случае

успешной сдачи

предыдущего.

Случайная величина

X – число экзаменов,

сдававшихся

поступающим в

университет.

15 2

1X

18 2 3X −

21 1X



52


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

Студент разыскивает

нужную ему формулу,

заказав в читальном

зале библиотеки три

справочника.

Вероятность того, что

формула есть в первом

справочнике, равна

0,7, во втором – 0,8, в

третьем – 0,9.


– количество

справочников, в

которых содержится

нужная студенту

формула.

22 32 −X

25 2X 28 2 3X +

Имеется пять

однотипных ключей.

Из них только один

подходит к замку.


– число попыток

открывания замка

(испробованный ключ

в последующих

попытках

не участвует).

23 1X

26 2 5X +

29 2X



53


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

На шахматную доску

ставится слон.


– число клеток,

которые стоят под

ударом этого слона.

24 2 X 27 2X 30 2 5X −

З а д а н и е 3.8. Случайная величина X является непрерывной. Найти плотность

распределения ( )Yf y случайной величины Y (табл.3.5).

Таблица 3.5


Вариант

Y Вариант

Y

Вариант

Y

Случайная

величина X

распределена по

показательному

закону с

параметром 2λ = .

1 1X

8 2X 15 5 1X +

Случайная

величина X

распределена

нормально с

параметрами 0m =

и 1σ = .

2 3 5X + 9 2X

−

16 2 Xe

Случайная

величина X


равномерно на

отрезке [0;1] .

3 32 X− 10 3 1X − 17 ln( 2)X +

Случайная

величина X имеет

4 51 X− 11 Xe− 18 5 1X −



54


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

плотность

распределения

∉∈

=].1;0[,0],1;0[,2

)(xxx

xf X

Случайная

величина X



закону с


5 3 2X + 12 1X

19 3ln X

Случайная

величина X


закону Коши с

плотностью

21( )

(1 )Xf xx

=π + .

6 32 X 13 1X

−

20 Xe−

Случайная

величина X



параметрами 1m =

и 2σ = .

7 51 X− 14 arctg X 21 3 1X +

Случайная

величина X



закону с

параметром 3=λ .

22 5 2X − 25 4X

−

28 3X

Случайная

величина X

распределена на

23 31 X− 26 53 X 29 arctg( 1)X −



55


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y

всей числовой оси

с плотностью | |( ) 0,5 x

Xf x e−= .

Случайная

величина X


закону Рэлея с


≤>=

−

.0,0,0,)( 2

2

xxxexf

x

X

24 1X

27 2 Xe− 30 3 5X −

З а д а н и е 3.9. Случайная величина X является непрерывной. Найти плотность

распределения ( )Yf y случайной величины Y (табл.3.6).

Таблица 3.6


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y


X распределена по


закону с параметром 2λ = .

1 2

1X

2 | |2 X 3 2 1X +


X распределена


параметрами 0m = и 1σ = .

4 2 5X + 11 4

2X

−

18 | |2 Xe



равномерно на

отрезке [0;1] .

5 | | 2X − 12 3 | |X 19 22 X−



56


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y


X имеет плотность

распределения

∉∈

=].1;0[,0],1;0[,2

)(xxx

xf X

6 41 X− 13 | |Xe− 20 5 | |X




закону с параметром 1λ = .

7 4 2X + 14 ln | |X 21 1| |X



закону Коши с


21( )

(1 )Xf xx

=π + .

8 | | 2X + 15 1| |X

−

22 | |2 Xe−




параметрами 1m = и 2σ = .

9 41 X− 16 ln | |X− 23 3 | |X−




закону с параметром 3=λ .

10 2 4X + 17 4| |X

−

24 | |3 X


X распределена на

всей числовой оси с

плотностью | |( ) 0,5 x

Xf x e−= .

25 21 X− 27 | | 1X − 29 5ln | |X



57


Вариант

Y

Вариант

Y

Вариант

Y



закону Рэлея с


≤>=

−

.0,0,0,)( 2

2

xxxexf

x

X

26 1 1| |X

−

28 | |3 Xe− 30 4 5X −



58

4. Системы случайных величин

(случайные векторы)

З а д а н и е 4.1. Случайный вектор ( ; )X Y имеет распределение:

Y

X

–1 0 b

a p 0,15 0,05

0 0,05 0,2 q

1 с 0,15 0,1

Учитывая данные, представленные в табл. 4.1, найти с, центр рассеивания ( ; )X Ym m ,

коэффициент корреляции ,X Yρ . Вычислить вероятность P X Y< .

Таблица 4.1

Вариант a b p q Вариант a b p q

1 –1 1 0 0 16 –3 1 0,1 0,1

2 –2 2 0,1 0,1 17 –3 2 0,1 0,2

3 –2 1 0,1 0,2 18 –3 5 0,3 0

4 –1 4 0,3 0 19 –3 6 0 0,3

5 –1 1 0 0,3 20 –2 4 0 0,2

6 –2 2 0 0,2 21 –5 5 0,1 0

7 –2 1 0,1 0 22 –5 5 0,2 0,1

8 –1 1 0,2 0,1 23 –4 5 0,1 0,1

9 –2 2 0,1 0,2 24 –4 6 0,1 0,2

10 –2 1 0,3 0 25 –4 4 0,3 0

11 –1 1 0 0,3 26 –2 1 0 0

12 –2 2 0 0 27 –2 2 0,05 0,15

13 –2 1 0,3 0 28 –2 1 0,05 0,15

14 –3 4 0 0,3 29 –3 4 0,05 0,15

15 –1 2 0 0 30 –2 3 0 0



59


1. Игральная кость подбрасывается до первого выпадения числа 6, но не более трех

раз. Случайные величины: Х – число выпадений «шестерки», Y – число

подбрасываний. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти

одномерные законы распределения компонент X и Y. Вычислить вероятность P X Y< . Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение

в точке (0,5; 4) .

2. Игральная кость подбрасывается до первого выпадения числа 6, но не более трех

раз. Случайные величины: Х – число выпадений «шестерки», Y – число

подбрасываний. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти

центр рассеивания и коэффициент корреляции.

3. Монета подбрасывается до первого выпадения цифры, но

не более четырех раз. Случайные величины: Х – число выпадений «герба», Y –

число подбрасываний. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .

Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Вычислить

вероятность P X Y< . Построить совместную функцию распределения и

вычислить ее значение в точке (0,5; 4) .

4. Монета подбрасывается до первого выпадения цифры, но

не более четырех раз. Случайные величины: Х – число выпадений «герба», Y –

число подбрасываний. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .

Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.

5. Стрелок стреляет по мишени из пистолета до первого попадания, но не более трех

раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Случайные

величины: Х – модуль разности между числом попаданий и числом промахов, Y –

число промахов. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти

одномерные законы распределения компонент X и Y. Вычислить вероятность P X Y= . Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение

в точке (0,5; 4) .

6. Стрелок стреляет по мишени из пистолета до первого попадания, но не более трех

раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Случайные

величины: Х – модуль разности между числом попаданий и числом промахов, Y –

число промахов. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти




60

7. Игральная кость подбрасывается три раза. Случайные величины: Х – число

появлений «шестерки», Y – число появлений четной цифры. Описать закон

распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти одномерные законы

распределения компонент X и Y. Вычислить вероятность P X Y= . Построить

совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) .

8. Игральная кость подбрасывается три раза. Случайные величины: Х – число

появлений «шестерки», Y – число появлений четной цифры. Описать закон

распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти центр рассеивания и

коэффициент корреляции.

9. Число Х выбирается из множества целых чисел 1; 2; 3; 4 . Затем из этого множества

выбирается наудачу число Y, меньшее первого числа. Описать закон распределения

случайного вектора ( ; )X Y . Найти одномерные законы распределения компонент X

и Y. Вычислить вероятность P X Y> . Построить совместную функцию

распределения и вычислить ее значение в точке (3,5; 3) .

10. Число Х выбирается из множества целых чисел 1; 2; 3; 4 . Затем из этого множества

выбирается наудачу число Y, меньшее первого числа. Описать закон распределения

случайного вектора ( ; )X Y . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.

11. Иван и Петр наудачу извлекают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 5

черных шаров. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: X – число

черных шаров у Ивана, Y – число белых шаров у Петра. Описать закон

распределения случайного вектора ( ; )X Y , если выбор шаров производится без

возвращения. Найти одномерные законы распределения компонент X и Y.

Построить совместную функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность P X Y< .


черных шаров. Иван извлекает шар первым. Случайные величины: X – число

черных шаров у Ивана, Y – число белых шаров у Петра. Описать закон

распределения случайного вектора ( ; )X Y , если выбор шаров производится без

возвращения. Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.


черных шаров. Случайные величины: X – число белых шаров у Ивана, Y – число

черных шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y ,



61

если выбор шаров производится с возвращением. Найти одномерные законы

распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и

вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность P X Y< .


черных шаров. Случайные величины: X – число белых шаров у Ивана, Y – число

черных шаров у Петра. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y ,

если выбор шаров производится с возвращением. Найти центр рассеивания и


15. Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара без

возвращения. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число

белых шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .

Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную

функцию распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить

вероятность P X Y< .

16. Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара без

возвращения. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число



17. Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара с

возвращением. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число




вероятность P X Y< .

18. Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наудачу извлекают 2 шара с

возвращением. Случайные величины: X – число черных шаров в выборке, Y – число



19. Случайная величина X принимает значение 0, 2 или 4 с вероятностями

соответственно 0,4, 0,2 и 0,4, а не зависящая от нее случайная величина Y, значения

–2, 0 или 2 с вероятностями соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Описать закон

распределения случайного вектора ( ; )X Y . Построить совместную функцию



62

распределения и вычислить ее значение в точке (0,5; 4) . Вычислить вероятность P X Y< .

20. Случайная величина X принимает значение 0, 2 или 4 с вероятностями

соответственно 0,4, 0,2 и 0,4, а не зависящая от нее случайная величина Y, значения 2− , 0 или 2 с вероятностями соответственно 0,2, 0,3 и 0,5. Описать закон

распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти центр рассеивания и


21. Производится три независимых выстрела по мишени в неизменных условиях.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Случайные

величины: X – число выстрелов до первого попадания включительно, но не более

трех, Y – число промахов. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .



вероятность P X Y> .

22. Производится три независимых выстрела по мишени в неизменных условиях.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Случайные

величины: X – число выстрелов до первого попадания включительно, но не более

трех, Y – число промахов. Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .


23. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель

при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8. Случайные величины: X –

суммарное число попаданий, Y – число попаданий при втором выстреле. Описать

закон распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти одномерные законы

распределения компонент X и Y. Построить совместную функцию распределения и

вычислить ее значение в точке (0,5; 2) . Вычислить вероятность P X Y< .

24. По цели производится два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель

при первом выстреле равна 0,7, при втором – 0,8. Случайные величины: X –

суммарное число попаданий, Y – число попаданий при втором выстреле. Описать

закон распределения случайного вектора ( ; )X Y . Найти центр рассеивания и


25. Баскетболист выполняет трехочковые броски с разных точек игровой площадки.

Переход от одной точки выполнения бросков к другой происходит либо сразу

после попадания в корзину, либо после трех промахов подряд. Известно, что



63

вероятность попадания в корзину из углов площадки для данного игрока равна 0,7.

Баскетболист выполнил упражнение, находясь в углу игрового поля. Составить

закон распределения случайного вектора ( ; )X Y , где X – число бросков, а Y – число

неудачных попыток при выполнении упражнения с данной точки поля. Найти

одномерные законы распределения компонент X и Y. Построить совместную


вероятность P X Y> .

26. Баскетболист выполняет трехочковые броски с разных точек игровой площадки.

Переход от одной точки выполнения бросков к другой происходит либо сразу

после попадания в корзину, либо после трех промахов подряд. Известно, что

вероятность попадания в корзину из углов площадки для данного игрока равна 0,7.

Баскетболист выполнил упражнение, находясь в углу игрового поля. Составить

закон распределения случайного вектора ( ; )X Y , где X – число бросков, а Y – число

неудачных попыток при выполнении упражнения с данной точки поля. Найти


27. Три раза подбрасывается «правильная» монета. Случайные величины: Х – модуль

разности между числом появлений «герба» и числом появлений цифры, Y – число

выпадений «герба». Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .

Найти одномерные законы распределения компонент X и Y. Вычислить

вероятность P X Y= . Построить совместную функцию распределения и

вычислить ее значение в точке (3; 2) .

28. Три раза подбрасывается «правильная» монета. Случайные величины: Х – модуль

разности между числом появлений «герба» и числом появлений цифры, Y – число

выпадений «герба». Описать закон распределения случайного вектора ( ; )X Y .


29. Производятся последовательные независимые испытания на надежность четырех одинаковых приборов. Надежность каждого из приборов равна 0,9. Каждый

следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался

надежным. Случайные величины: Х – число испытанных приборов, Y – число

обнаруженных ненадежных приборов. Описать закон распределения случайного

вектора ( ; )X Y . Найти одномерные законы распределения компонент X и Y.

Вычислить вероятность P X Y= . Построить совместную функцию распределения

и вычислить ее значение в точке (4; 2) .



64

30. Производятся последовательные независимые испытания на надежность четырех одинаковых приборов. Надежность каждого из приборов равна 0,9. Каждый

следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался

надежным. Случайные величины: Х – число испытанных приборов, Y – число

обнаруженных ненадежных приборов. Описать закон распределения случайного

вектора ( ; )X Y . Найти центр рассеивания и коэффициент корреляции.


1. Двумерная случайная величина ( ; )X Y распределена по закону

2 2 2 2( , )1

Cf x yx x y y

=+ + + .

Требуется: а) найти постоянную C; б) вычислить вероятность попадания случайной

величины ( ; )X Y в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а

стороны параллельны осям координат и имеют длину 2; в) найти функции плотности

( )Xf x и ( )Yf y компонент X и Y; г) установить, являются ли компоненты зависимыми.

2. Совместная плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид 2 2

иначе( ), 0 1, 0 1,( , )

0, .C x xy y x yf x y

+ + ≤ ≤ ≤ ≤=

Требуется: а) найти постоянную C; б) найти функции плотности ( )Xf x и ( )Yf y компонент

X и Y; в) установить, являются ли компоненты коррелированными или зависимыми.

3. Поверхность распределения двумерной случайной величины ( ; )X Y

представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с

центром в начале координат и радиусом 1. Вне этого круга совместная

плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y равна нулю. Требуется:

а) найти выражения совместной плотности ( , )f x y и функций плотности

( )Xf x , ( )Yf y компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные

величины X и Y коррелированными.

4. Двумерная случайная величина ( ; )X Y распределена равномерно внутри

квадрата с центром в начале координат. Стороны квадрата равны 2 и

составляют углы 45° с осями координат. Требуется: а) найти выражения

совместной плотности ( , )f x y и функций плотности ( )Xf x , ( )Yf y компонент



65

X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y

коррелированными.

5. Двумерный случайный вектор ( ; )X Y распределен равномерно внутри

трапеции с вершинами (0; 0)O , (0; 4)A , (3; 4)B , (6; 0)C . Требуется: а) найти

выражения совместной плотности ( , )f x y и функций плотности ( )Xf x ,

( )Yf y компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y


6. Известна плотность совместного распределения непрерывной двумерной

случайной величины ( ; )X Y

иначеcos cos , 0 2, 0 2,

( , )0, .

C x y x yf x y

≤ ≤ π ≤ ≤ π=

Требуется: а) найти постоянную C и выражения для функций плотности ( )Xf x , ( )Yf y

компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.


случайной величины ( ; )X Y : 2 22 4( , ) x xy yf x y Ce− − −= . Требуется: а) найти

постоянную C и выражения для функций плотности ( )Xf x , ( )Yf y

компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y


8. Случайный вектор ( ; )X Y подчинен закону распределения с плотностью 2 2( )

иначе

, 0, 0,( , )0, .

x yCxye x yf x y− + ≥ ≥=



9. Случайные величины X и Y независимы, причем: ( )~ 0; 2 2X N, ~ (0;1)Y R .

Требуется: а) найти выражение совместной плотности вероятности ( , )f x y ;

б) составить функцию распределения случайного вектора ( ; )X Y ;

в) вычислить вероятность попадания случайной точки ( ; )X Y в область | | 1, | | 0,5D X Y= ≤ ≤ .

10. Случайный вектор ( ; )X Y имеет функцию распределения

иначе1 2 2 2 , 0, 0,( , )

0, .

x y x y x yF x y− − − − + − − ≥ ≥=



66

Найти: а) двумерную плотность распределения ( , )f x y случайного вектора ( ; )X Y ;

б) вероятность попадания случайной точки с координатами ( ; )X Y в треугольник с

вершинами (1; 3)A , (3; 3)B , (2; 8)C .

11. Случайный вектор ( ; )X Y имеет функцию распределения (2 5 ) 2 5

иначе1 , 0, 0,( , )

0, .

x y x ye e e x yF x y− + − − + − − ≥ ≥=

Найти законы распределения компонент X и Y.

12. Случайный вектор ( ; )X Y имеет плотность распределения 2

иначе( ) , 0 2, 0 2,( , )

0, .C xy y x yf x y

+ ≤ ≤ ≤ ≤=

Найти: а) постоянную C; б) вероятность P 2X Y+ < ; в) плотности распределения ( )Xf x ,

( )Yf y компонент X и Y; г) функции распределения ( )XF x , ( )YF y компонент X и Y.

13. Найти вероятность того, что случайно брошенная точка с координатами ( ; )X Y попадет на область D, определенную неравенствами 1 2,1 2x y≤ ≤ ≤ ≤ , если функция распределения координат этой точки равна

2 2 2 22 2

иначе

1 2 2 2 , 0, 0,( , )0, .

x y x y x yF x y− − − − + − − ≥ ≥=


случайной величины ( ; )X Y : 2 22 5

2( , )x xy y

f x y Ce+ +−

= .




случайной величины ( ; )X Y : 2 2( 2) 1,2( 2)( 3) ( 3)

1,28( , )x x y y

f x y Ce− − − + + +

−= .




случайной величины ( ; )X Y :



67

иначеsin( ), 0 2, 0 2,

( , )0, .

C x y x yf x y

+ ≤ ≤ π ≤ ≤ π=



17. Двумерная случайная величина ( ; )X Y распределена равномерно внутри

эллипса 2 2

19 16x y

+ =.

Требуется: а) найти выражения совместной плотности ( , )f x y и функций плотности ( )Xf x

, ( )Yf y компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y



случайной величины ( ; )X Y :

иначеsin sin , 0 , 0 ,

( , )0, .

C x y x yf x y

≤ ≤ π ≤ ≤ π=




трапеции с вершинами ( 6; 0)A − , ( 3; 4)B − , (3; 4)C , (6; 0)D . Требуется:

а) найти выражения совместной плотности ( , )f x y и функций плотности

( )Xf x , ( )Yf y компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные

величины X и Y коррелированными.


треугольника с вершинами (0; 0)O , (0; 8)A , (8; 0)B . Требуется: а) найти

выражения совместной плотности ( , )f x y и функций плотности ( )Xf x ,

( )Yf y компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y


21. Совместная плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид

2 2 3( , )(1 )

Cf x yx y

=+ + .





68


2 2( , )(9 )(16 )

Cf x yx y

=+ + .




2 2( , )(16 )(25 )

Cf x yx y

=+ + .




( ), ( , ) ;( , )

0, ( , ) .C x y x y D

f x yx y D

+ ∈= ∉

Область D – треугольник, ограниченный прямыми 3 0x y+ − = , 0x = , 0y = . Требуется:

а) найти постоянную C и выражения для функций плотности ( )Xf x , ( )Yf y компонент X и

Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.


, ( , ) ;( , )

0, ( , ) .Cxy x y D

f x yx y D

∈= ∉




26. Совместная плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид 2 2 2 2 2 2

2 2 2

, ( 0),( , )

0, .

C x y x y C Cf x y

x y C

− − + ≤ >= + >




( ), ( , ) ;( , )

0, ( , ) .C x y x y D

f x yx y D

+ ∈= ∉



69

Область D – квадрат, ограниченный прямыми 0x = , 3x = , 0y = , 3y = . Требуется: а) найти

постоянную C и выражения для функций плотности ( )Xf x , ( )Yf y компонент X и Y;

б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y коррелированными.


( )2 2 2 2

2 2

2 , 4,( , )

0, 4.

C x y x yf x y

x y

− + + ≤= + >




, ( , ) ;( , )

0, ( , ) .Cxy x y D

f x yx y D

∈= ∉

Область D – квадрат, ограниченный прямыми 0x = , 2x = , 0y = , 2y = . Требуется:



30. Функция распределения ( , )F x y двумерной случайной величины ( ; )X Y

имеет вид

y

x

0y ≤ 0 1y< ≤ 1y >

0x ≤ 0 0 0

0 1x< ≤ 0 xy x

1x > 0 y 1

Требуется: а) найти выражения для функций распределения ( )XF x , ( )YF y и плотности

( )Xf x , ( )Yf y компонент X и Y; б) выяснить, являются ли случайные величины X и Y




иначе0,5sin( ) , 0 2, 0 2,

( , )0, .

x y x yf x y

+ ≤ ≤ π ≤ ≤ π=



70

Требуется: а) найти условные плотности ( | )Xf x Y y= и ( | )Yf y X x= компонент X и Y;

б) найти условные математические ожидания M[ | ]X Y y= и M[ | ]Y X x= компонент X и Y;

в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.

2. Функция распределения ( , )F x y двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид

y

x

1y ≤ − 1 0y− < ≤ 0 1y< ≤ 1y >

2x ≤ − 0 0 0 0

2 0x− < ≤ 0 0,5 0,6 0,7

0x > 0 0,7 0,8 1

Требуется: а) составить условные законы распределения P | i jX x Y y= = , P | j iY y X x= =

компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[ | ]jX Y y= и

M[ | ]iY X x= компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на x и X на y);


3. Двумерная случайная величина ( ; )X Y распределена равномерно внутри эллипса 2 2

19 16x y

+ =.





иначе0,25sin sin , 0 , 0 ,

( , )0, .

x y x yf x y

≤ ≤ π ≤ ≤ π=







71

y

x

1y ≤ − 1 0y− < ≤ 0 1y< ≤ 1y >

0x ≤ 0 0 0 0

0 1x< ≤ 0 0,1 0,3 0,3

1x > 0 0,3 0,8 1





6. Двумерный случайный вектор ( ; )X Y распределен равномерно внутри трапеции с

вершинами ( 6; 0)A − , ( 3; 4)B − , (3; 4)C , (6; 0)D . Требуется: а) найти выражения для

условных плотностей ( | )Xf x Y y= , ( | )Yf y X x= компонент X и Y; б) найти условные

математические ожидания M[ | ]X Y y= и M[ | ]Y X x= компонент X и Y; в) выяснить,

являются ли случайные величины X и Y зависимыми.


y

x

0y ≤ 0 1y< ≤ 1 2y< ≤ 2y >

1x ≤ − 0 0 0 0

1 0x− < ≤ 0 0,2 0,2 0,6

0x > 0 0,3 0,4 1






треугольника с вершинами (0; 0)O , (0; 8)A , (8; 0)B . Требуется: а) найти выражения

для условных плотностей ( | )Xf x Y y= , ( | )Yf y X x= компонент X и Y; б) найти

условные математические ожидания M[ | ]X Y y= и M[ | ]Y X x= компонент X и Y;





72

y

x

1y ≤ − 1 0y− < ≤ 0 1y< ≤ 1y >

0x ≤ 0 0 0 0

0 1x< ≤ 0 0,1 0,2 0,4

1x > 0 0,2 0,6 1






( )32 2

2( , )1

f x yx y

=π + +

.

Требуется: а) найти выражения для условных плотностей ( | )Xf x Y y= , ( | )Yf y X x=

компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания M[ | ]X Y y= и M[ | ]Y X x=

компонент X и Y; в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.


( )( )2 2 220( , )

16 25f x y

x y=

π + +.





y

x

0y ≤ 0 1y< ≤ 1y >

0x ≤ 0 0 0

0 1x< ≤ 0 xy x

1x > 0 y 1

Требуется: а) найти выражения для условных функций распределения ( | )XF x Y y= ,

( | )YF y X x= и условных плотностей ( | )Xf x Y y= , ( | )Yf y X x= компонент X и Y; б) найти



73

условные математические ожидания M[ | ]X Y y= и M[ | ]Y X x= компонент X и Y;



24 , ( , ) ;( , )

0, ( , ) .xy x y D

f x yx y D

∈= ∉


а) найти выражения для условных плотностей ( | )Xf x Y y= , ( | )Yf y X x= компонент X и Y;




y

x

0y ≤ 0 1y< ≤ 1 2y< ≤ 2y >

1x ≤ − 0 0 0 0

1 0x− < ≤ 0 0 0,2 0,3

0x > 0 0,2 0,7 1

Требуется: а) составить условные законы распределения P | i jX x Y y= = ,

P | j iY y X x= = компонент X и Y; б) найти условные математические ожидания

M[ | ]jX Y y= и M[ | ]iY X x= компонент X и Y (изобразить графически регрессии Y на x и X

на y); в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.


( )2 2 2 2

2 2

3 2 , 4,8( , )

0, 4.

x y x yf x y

x y

− + + ≤ π= + >





( )2 2

иначе

12 , 0 1, 0 1;( , ) 11

0, .

x xy y x yf x y

+ + ≤ ≤ ≤ ≤=



74





y

x

2y ≤ − 2 1y− < ≤ − 1 0y− < ≤ 0y >

2x ≤ − 0 0 0 0

2 0x− < ≤ 0 0,3 0,3 0,5

0x > 0 0,5 0,7 1






( )( )2 2 212( , )

9 16f x y

x y=

π + +.





y

x

1y ≤ 1 2y< ≤ 2y >

0x ≤ 0 0 0

0 1x< ≤ 0 0,2 0,2

1 2x< ≤ 0 0,5 0,6

2x > 0 0,7 1







75

20. Совместная плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид 2 2( 2) 1,2( 2)( 3) ( 3)

1,281( , )1,6

x x y y

f x y e− − − + + +−

=π .





y

x

0y ≤ 0 2y< ≤ 2y >

1x ≤ 0 0 0

1 2x< ≤ 0 0,3 0,5

2 3x< ≤ 0 0,4 0,7

3x > 0 0,7 1





22. Совместная плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид 2 22 5

21( , )x xy y

f x y e+ +−

=π .






76


y

x

0y ≤ 0 2y< ≤ 2y >

0x ≤ 0 0 0

0 1x< ≤ 0 0 0,3

1 2x< ≤ 0 0,1 0,6

2x > 0 0,4 1





24. Совместная плотность двумерной случайной величины ( ; )X Y имеет вид 2 2( )

иначе

4 , 0, 0,( , )0, .

x yxye x yf x y− + ≥ ≥=





y

x

1y ≤ − 1 1y− < ≤ 1y >

0x ≤ 0 0 0

0 1x< ≤ 0 0,1 0,2

1 2x< ≤ 0 0,4 0,5

2x > 0 0,8 1








77

2 22 43( , ) x xy yf x y e− − −=π .





( )2 2 2 2 21( , )

1f x y

x x y y=

π + + +.





иначеcos cos , 0 2, 0 2,

( , )0, .x y x y

f x y≤ ≤ π ≤ ≤ π

=




29. Двумерный случайный вектор ( ; )X Y распределен равномерно внутри трапеции с

вершинами (0; 0)O , (0; 4)A , (3; 4)B , (6; 0)C . Требуется: а) найти выражения для

условных плотностей ( | )Xf x Y y= , ( | )Yf y X x= компонент X и Y; б) найти условные

математические ожидания M[ | ]X Y y= и M[ | ]Y X x= компонент X и Y; в) выяснить,

являются ли случайные величины X и Y зависимыми.


( )2 2 2 2

2 2

3 1 , 1,( , )

0, 1.

x y x yf x y

x y

− + + ≤π= + >






78

Функции от нескольких случайных величин

З а д а н и е 4.5. Составить закон распределения случайной величины Z (табл.4.2).

Таблица 4.2


Вариант

Z

Вариант

Z

Вариант

Z

Подбрасывают три игральные кости.

Рассматриваются случайные

величины: X – количество костей, на

которых выпало число 6, Y –

количество костей, на которых

выпало число 5.

1 X Y+ 2 2X Y− 3 XY

Игральная кость подбрасывается до

первого выпадения числа 6, но не

более 2 раз. Случайные величины:

Х – число выпадений числа 6, Y –

число подбрасываний.

4 2 2X Y+ 8 X Y+ 12 XY

Монета бросается до первого

выпадения цифры, но не более 3 раз.

Случайные величины: Х – число

выпадений «герба», Y – число

подбрасываний.

5 XY 9 2X Y− 13 X Y+

Игральная кость бросается 3 раза.

Случайные величины: Х – число

появлений «шестерки», Y – число

появлений нечетной цифры.

6 2X Y+ 10 XY 14 2X Y−

Из урны, содержащей 3 белых и 5

черных шаров, наудачу извлекают 2

шара без возвращения. Случайные

величины: X – число черных шаров в

выборке, Y – число белых шаров в

выборке.

7 XY 11 X Y+ 15 2X Y−



79


Вариант

Z

Вариант

Z

Вариант

Z

Производится три независимых

выстрела по мишени в неизменных

условиях. Вероятность попадания в

мишень при одном выстреле равна

0,8. Случайные величины: X – число

выстрелов до первого попадания

(включительно), Y – число промахов.

16 2 2X Y+ 18 XY 20 X Y+

По цели производится два

независимых выстрела. Вероятность

попадания в цель при первом

выстреле равна 0,8, при втором – 0,6.

Случайные величины: X – суммарное

число попаданий, Y – число

попаданий при втором выстреле.

17 2 2X Y− 19 X Y+ 21 XY

Баскетболист выполняет трехочковые

броски с разных точек игровой

площадки. Переход от одной точки

выполнения бросков к другой

происходит либо сразу после

попадания в корзину, либо после трех

промахов подряд. Известно, что

вероятность попадания в корзину из

углов площадки для данного игрока

равна 0,7. Баскетболист выполнил

упражнение, находясь в углу

игрового поля. Пусть X – число

бросков, Y – число неудачных

попыток при выполнении

упражнения с данной точки поля.

22 2X Y+ 23 X Y+ 24 XY



80


Вариант

Z

Вариант

Z

Вариант

Z

Производятся последовательные

независимые испытания на

надежность трех одинаковых

приборов. Надежность каждого из

приборов равна 0,97. Каждый

следующий прибор испытывается

только в том случае, если

предыдущий оказался надежным.

Случайные величины:

Х – число испытанных приборов, Y –

число обнаруженных ненадежных

приборов.

25 2YXY + 27 2X Y− 29 X Y+

Иван и Петр наудачу извлекают по

одному шару из урны, содержащей 3

белых и 5 черных шаров. Иван

извлекает шар первым. Выбор шаров

производится без возвращения.

Случайные величины: X – число

черных шаров у Ивана, Y – число

белых шаров у Петра.

26 XY 28 X Y+ 30 2X Y−



81

З а д а н и е 4.6. Найти плотность распределения ( )Zf z случайной величины Z (табл.4.3).

Таблица 4.3


Вариант

Z

Вариант

Z

Вариант

Z

Случайные величины X и Y независимы и

распределены нормально с параметрами 1m = и 1σ = .

1 X Y+ 6 min , X Y 11 max , X Y


распределены равномерно на отрезке [0;1]

.

2 min , X Y 7 max , X Y 12 X Y+


распределены по показательному закону с


3 max , X Y 8 X Y+ 13 min , X Y



4 min , X Y 9 X Y+ 14 max , X Y


распределены равномерно на отрезке [1; 2]

.

5 X Y+ 10 max , X Y 15 min , X Y




16 max , X Y 21 min , X Y 26 X Y+



17 X Y+ 22 min , X Y 27 max , X Y


распределены равномерно на отрезке [ 0,5; 0,5]− .

18 min , X Y 23 max , X Y 28 X Y+




19 max , X Y 24 X Y+ 29 min , X Y



82


Вариант

Z

Вариант

Z

Вариант

Z



20 min , X Y 25 X Y+ 30 max , X Y

Числовые характеристики случайных величин

З а д а н и е 4.7. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы случайных

величин X и Y, если X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, Y –

распределение Пуассона с параметром λ , а ковариация X и Y равна c (табл.4.4). Чему

равен коэффициент корреляции этих случайных величин?

Таблица 4.4

Вариант n p λ c Вариант n p λ c

1 10 0,1 3 1 16 40 0,4 2 8

2 20 0,2 3 2 17 30 0,8 4 8

3 20 0,3 1 2 18 50 0,9 6 6

4 10 0,4 5 6 19 90 0,1 0 6

5 12 0,2 5 8 20 70 0,2 1 7

6 20 0,4 2 8 21 40 0,1 4 9

7 60 0,8 5 8 22 50 0,2 8 2

8 60 0,9 7 6 23 60 0,3 1 7

9 60 0,1 0 6 24 70 0,4 1 9

10 60 0,2 1 5 25 80 0,2 1 5

11 50 0,1 6 8 26 90 0,4 2 8

12 60 0,2 9 4 27 30 0,8 4 8

13 90 0,3 1 9 28 20 0,9 4 6

14 90 0,4 7 6 29 70 0,1 2 6

15 40 0,2 5 8 30 90 0,2 1 7

З а д а н и е 4.8. Земельный участок имеет форму прямоугольника. Его длина X имеет

нормальный закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией 2σ , а

ширина Y – равномерное распределение на отрезке [ ; ]a b (табл.4.5). Учитывая, что X и Y –



83

независимые случайные величины, найти математическое ожидание и дисперсию:

а) периметра; б) площади земельного участка.

Таблица 4.5

Вариан

т m 2σ a b

Вариан

т m 2σ a b

1 1 9 0 1 16 4 25 2 8

2 2 9 0 2 17 3 36 4 8

3 2 25 1 2 18 5 36 0 6

4 1 49 0 6 19 9 64 0 6

5 12 49 0 8 20 7 64 1 7

6 2 25 2 8 21 4 9 0 10

7 6 36 0 8 22 5 9 0 2

8 6 36 0 6 23 6 25 1 7

9 6 64 0 6 24 7 49 1 9

10 6 64 1 5 25 8 49 1 5

11 5 9 6 8 26 9 25 2 8

12 6 9 0 4 27 3 36 4 8

13 9 25 1 9 28 2 36 4 6

14 9 49 0 6 29 7 64 2 6

15 4 49 0 8 30 9 64 1 7



84

5. Предельные теоремы

Неравенства Чебышева и закон больших чисел


1. В результате проведения 100 независимых опытов найдены значения случайной

величины X: 1x , 2x , …, 100x . При этом математическое ожидание 10Xm = и дисперсия

1XD = . Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между средним

арифметическим наблюдаемых значений случайной величины и ее математическим

ожиданием будет меньше 0,5.

2. В урне находится 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули (с возвращением) 300

шаров. Оценить вероятность того, что число µ извлеченных при этом белых шаров

удовлетворяет двойному неравенству 80 120< µ < .

3. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты

появления «герба» от вероятности его появления менее чем на 0,1.

4. В каждой из двух урн имеется по 10 шаров с номерами от 1 до 10. Испытание

заключается в вынимании (с возвращением) из каждой урны по шару. Случайная

величина X – сумма номеров шаров, вынутых из двух урн. Произведено 100 испытаний.

Оценить вероятность попадания суммы

100

1i

ix

=∑

в интервал (800;1400) .

5. Игральную кость подбрасывают 10000 раз. Оценить вероятность отклонения

частоты появления шести очков от вероятности появления того же числа очков менее чем

на 0,01.

6. В урне находится 100 белых и 100 черных шаров. Вынули (с возвращением) 50

шаров. Оценить вероятность того, что число µ извлеченных при этом белых шаров

удовлетворяет двойному неравенству 15 35< µ < .

7. Пусть в результате проведения 200 независимых опытов найдены значения

случайной величины X: 1x , 2x , …, 200x , причем 2X Xm D= = . Оценить вероятность того,

что абсолютная величина разности между средним арифметическим наблюдаемых

значений случайной величины и ее математическим ожиданием будет меньше 0,2.

8. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа,

равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на

коммутатор: а) будет не менее 400; б) будет не более 500.



85

9. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн руб., а вероятность того,

что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе

вкладчиков?

10. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а

среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 л.

Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не

превзойдет 2000 л.

11. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить

вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60

до 100 (включительно).

12. По статистике, в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Оценить

вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться

от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

13. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200

одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить

вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп

отличается от средней продолжительности горения ламп всей партии не более чем на 5 ч

(по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение

продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

14. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не

менее 0,95 гарантировать отклонение среднего арифметического этих измерений от

истинного значения величины не более чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее

квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

15. Суточный расход электроэнергии для личных нужд в населенном пункте

составляет в среднем 4000 кВт·ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки

расход электроэнергии в этом населенном пункте не превысит 10000 кВт·ч.

16. Некоторый период времени на бирже сохранялся относительно стабильный курс

валюты. На основании данных биржевой статистики за этот период была составлена

таблица возможных значений изменения курса валют.

Возможное изменение курса

валюты, % –1

–

0,5 0 0,5 1

Вероятность изменения курса

валюты 0,1 0,3 0,5

0,0

5

0,0

5

Оценить вероятность того, что произойдет изменение курса валюты не более чем на 0,6%.

Сравнить полученную оценку с точным значением вероятности.



86

17. Вероятность того, что при опускании одного жетона приемник игрального

автомата сработает правильно, равна 0,95. Оценить минимальное число жетонов, при

опускании которых в игральный автомат частота правильной работы автомата была бы

заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93.

18. Согласно данным статистической службы области, 5,5% трудоспособного

населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что в случайно отобранной

группе из 1000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до

0,065.

19. Количество воды, необходимое в течение суток предприятию для технических

нужд, является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 125 м3.

Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на предприятии будет

меньше 500 м3.

20. Опыт работы рекламной компании показывает, что адресная реклама приводит к

заявке в одном из 20 случаев. Компания разослала 1000 рекламных проспектов. Найти

вероятность того, что число заявок окажется не менее 30 и не более 70.

21. Размер выплаты каждому клиенту банка случаен. Средняя выплата одному клиенту

составляет 5000 единиц, а среднее квадратическое отклонение – 2000 единиц. Выплаты

отдельным клиентам независимы. Сколько должно быть наличных денег в банке, чтобы с

вероятностью 0,95 денег хватило на обслуживание 60 клиентов?

22. Размер выплаты каждому клиенту банка случаен. Средняя выплата одному клиенту

составляет 5000 единиц, а среднее квадратическое отклонение – 2000 единиц. Выплаты

отдельным клиентам независимы. В начале операционного дня в банке было 350000

единиц наличных денег. Каков будет гарантированный с вероятностью 0,95 остаток n

наличных денег в банке после выплаты денег 60 клиентам?

23. Торговая фирма продала 1000 единиц товара, получая прибыль по 50 руб. с каждой

единицы. Гарантийный ремонт фирма осуществляет своими силами и терпит при этом

убыток в 200 руб. Найти границы минимального по длине интервала, внутри которого с

вероятностью 0,9545 заключен доход фирмы, если в среднем гарантийный ремонт

приходится делать в каждом десятом случае.

24. Скорость ветра в течение суток в данной местности является случайной величиной,

математическое ожидание которой равно 6 м/с. Оценить вероятность того, что в

ближайшие сутки скорость ветра в этой местности будет меньше 16 м/с.

25. Дисперсия отдельного результата измерения случайной величины не превосходит

3. Производится 1000 независимых измерений этой величины. Какие границы можно



87

гарантировать с вероятностью 0,95 для результата измерения среднего арифметического

этих величин?

26. Среднее изменение курса акций компании составило 1% (в течение одних

биржевых торгов), а среднее квадратическое отклонение оценивается как 0,5%. Оценить

вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится менее чем на 2%.

27. Статистические исследования, проведенные учебным отделом университета,

показали, что среднее время опоздания студента на лекцию составляет 1 мин. Оценить

вероятность того, что студент опоздает на лекцию не менее чем на 5 мин.

28. Статистические исследования, проведенные учебным отделом университета,

показали, что среднее время опоздания студента на лекцию составляет 1 мин.

Дополнительно установлено, что среднее квадратическое отклонение времени опоздания

студента на лекцию составляет также 1 мин. Оценить минимальное значение x, при

котором P 0,1X x≥ ≥ , где X – случайное время опоздания студента на лекцию.

29. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения

каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить вероятность того, что число ламп,

включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не более

чем на 100 (по абсолютной величине).

30. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна

0,08. Оценить вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои

акции.

31. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом равна 0,7. Оценить

вероятность того, что из 2000 студентов доля сдавших в срок все экзамены заключена в

границах от 0,66 до 0,74.

32. Некоторая бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность

того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. Найти

границы, в которых с вероятностью не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в

течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время заправилось всего 100 автомобилей.

33. Согласно данным статистической службы региона, в среднем 10% трудоспособного

населения составляют безработные. Оценить вероятность того, что уровень безработицы

среди обследованных 10000 трудоспособных жителей региона будет в пределах от 9 до

11%.



88

Центральная предельная теорема и ее следствия

З а д а н и е 5.2. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A

наступает с вероятностью p и не наступает с вероятностью 1 p− . Пусть X – число успехов

в n испытаниях. Используя интегральную теорему Муавра – Лапласа, найти вероятность

того, что Xα ≤ ≤ β (табл.5.1).

Таблица 5.1

Вариант n p α β Вариант n p α β 1 1000 0,1 90 110 6 2000 0,1 200 210

2 1000 0,2 100 120 7 2000 0,2 390 410

3 200 0,3 55 65 8 2000 0,3 590 610

4 1000 0,4 395 405 9 240 0,4 90 96

5 300 0,2 56 60 10 250 0,2 48 52

11 2000 0,2 380 320 21 260 0,4 100 104

12 6000 0,1 600 6010 22 250 0,8 190 210

13 600 0,2 115 120 23 200 0,9 180 185

14 600 0,4 240 250 24 3000 0,1 290 310

15 600 0,8 470 490 25 300 0,2 55 62

16 1000 0,1 100 130 26 300 0,4 110 120

17 1000 0,2 190 200 27 500 0,8 405 410

18 1000 0,3 300 310 28 500 0,9 445 455

19 3000 0,4 1200 1220 29 800 0,1 79 85

20 3000 0,2 590 610 30 800 0,2 155 165

З а д а н и е 5.3. Используя теоремы Муавра – Лапласа, решить задачу.

1. На первом курсе университета учится 270 студентов-юношей. Какова вероятность

того, что не менее 25 из них носят имя Александр, если по статистике это имя встречается

у каждого девятого юноши?

2. В большом городе в год рождается 20000 детей. Считая вероятность рождения

мальчика 0,51p = , найти такое число t, чтобы с вероятностью 0,99 можно было

утверждать, что среди рожденных в течение года в этом городе детей число мальчиков

превышает число девочек не менее чем на t.

3. Сколько надо произвести бросаний «правильной» монеты, чтобы с вероятностью

0,99 относительная частота выпадения «герба» отличалась от 0,5 не более чем на 0,01?



89

4. В таблице случайных чисел каждая цифра появляется независимо от других с

вероятностью 0,1. Сколько надо набрать таких случайных чисел, чтобы с вероятностью

0,999 среди них появилось не менее 100 нулей?

5. Из таблицы случайных чисел отобрано 600 чисел. Какова вероятность того, что

среди отобранных будет не менее 210 чисел, делящихся на три?

6. Вероятность того, что при опускании одного жетона приемник игрального

автомата сработает правильно равна 0,95. Найти минимальное число жетонов, такое,

чтобы при опускании их в игральный автомат частота правильной работы автомата была

бы заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93.

7. Имеется 100 одинаковых станков, каждый из которых работает 20% рабочего

времени. Оценить вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся

работающими от 28 до 36 станков.

8. В некоторой области из каждых 100 семей 80 имеют хотя бы один личный

автомобиль. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют хотя бы один личный

автомобиль.

9. По статистическим данным, в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет.

Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет

заключена в пределах от 0,9 до 0,95.


При каком числе новорожденных с надежностью 0,95 доля доживших до 50 лет будет

заключена в границах от 0,86 до 0,88?

11. В результате проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем

каждое третье малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины.

Найти вероятность того, что M малых предприятий из 1000, зарегистрированных в

регионе, имеют нарушения финансовой дисциплины. Здесь M – наивероятнейшее число

предприятий-нарушителей.

12. В страховой компании 10000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента

составляет 1000 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого (по

имеющимся данным и оценкам экспертов) можно считать равной 0,005, страховая

компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 8000 руб. На какую

прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

13. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют

40% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят

не менее 180 студентов.



90

14. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха

установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с

вероятностью 0,991 можно было ожидать, что доля взошедших семян отклонится от

вероятности взойти каждому семени не более чем на 0,03 (по абсолютной величине)?

15. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7.

Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы с вероятностью 0,996 можно было

утверждать, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по

абсолютной величине)?

16. У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от

несчастного случая, вносит 700 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая

сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 6000 руб. Какова вероятность того, что

страховая компания потерпит убыток?


Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет

отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,02.

18. При массовом производстве 5% выпускаемой продукции выходит в брак. Сколько

изделий нужно отобрать для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было

утверждать, что в случайной партии изделий брак составляет 5 ± 2%?

19. У страховой компании имеются 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от

несчастного случая, вносит 700 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая

сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 6000 руб. Какова вероятность того, что

на выплату страховых сумм уйдет более половины средств, поступивших от клиентов?

20. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает

рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что

примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при

размещении 100 тыс. листков число заказов будет равно 48.

21. Исследованиями установлено, что 20% школьников не знают правил уличного

движения. В случайной выборке 1600 учеников. Сколько учеников знают правила

уличного движения с гарантией 95%?

22. Согласно данным статистической службы области, 5,5% трудоспособного

населения составляют безработные. Найти вероятность того, что в случайно отобранной

группе из 1000 трудоспособных доля безработных будет заключена в границах от 0,045 до

0,065.



91

23. В среднем каждый 90-й телевизор, выпускаемый заводом, выходит из строя до

окончания гарантийного срока. Найти вероятность того, что из 3000 выпущенных заводом

телевизоров не более 25 поступит в гарантийный ремонт.

24. Опыт работы рекламной компании показывает, что адресная реклама приводит к

заявке в одном из 20 случаев. Компания разослала 1000 рекламных проспектов. Найти

вероятность того, что число заявок окажется не менее 30 и не более 70.

25. Выход цыплят в инкубаторе составляет 75% числа заложенных яиц. Найти

вероятность того, что из 1000 заложенных яиц вылупятся M цыплят, где M –

наивероятнейшее число вылупившихся цыплят.

26. При обследовании уставных фондов банков установлено, что 1 5 банков имеют

уставный фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков не

менее 320 имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.

27. В продукции фабрики 15% составляют изделия второго сорта. Магазин получил

1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта

составит 15 ± 2%?

28. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает

рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что

примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при

размещении 100 тыс. листков число заказов будет находиться в границах от 45 до 55.

29. При массовом производстве обуви брак составляет 4% выпускаемой продукции.

Сколько изделий нужно отобрать для проверки качества продукции, чтобы с

вероятностью 0,9 можно было утверждать, что в случайном наборе обуви доля брака по

абсолютной величине отличается от 4% не более чем на 1%?

30. Известно, что на предприятиях электронной промышленности 1 4 часть рабочих

имеет степень бакалавра. Для некоторого обследования наудачу выбрано 5000 рабочих.

Найти наивероятнейшее значение числа рабочих-бакалавров и вероятность того, что

число таких рабочих отклонится от наивероятнейшего не более чем на 1,6%.



92

6. Математическая статистика

Обработка результатов наблюдений одномерной

случайной величины

З а д а н и е 6.1. Дана выборка объема 20 (табл.6.1). Для данной негруппированной

выборки требуется:

а) найти ее размах, построить вариационный и статистический ряды;

б) найти оценки математического ожидания x , дисперсии (смещенную XD% и

несмещенную 2s ), медианы Xh% и моды Xd% ;

в) в предположении, что массив получен из нормально распределенной генеральной

совокупности с неизвестными m и 2σ , построить доверительные интервалы для

математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности, равной 0,95;

г) с помощью построенных доверительных интервалов проверить гипотезы (1)0 : X XH m h= %

и (2)

00 : XH D D= , где 2

0 2D s= + .

Таблица 6.1

Вариант Выборка Вариант Выборка

1 2, 5, 1, 8, –1, 7, 2, 9, 5, 4,

3, 5, –1, 5, 7, 4, –1, 4, 8, 5 7

8, 8, 4, 13, 3, 10, 5, 11, 8, 6,

6, 7, 3, 8, 11, 7, 2, 7, 11, 9

2 3, 5, 1, 8, 1, 7, 2, 9, 5, 5,

3, 5, 0, 5, 7, 4, 3, 4, 8, 5 8

1, 3, 5, 8, 1, 7, 2, 9, 5, 5,

3, 5, 7, 4, 3, 4, 8, 0, 5, 5

3 3, 4, 8, 8, 10, 5, 11, 8, 13, 7,

11, 6, 6, 7, 3, 8, 11, 7, 2, 9 9

2, 3, 4, 8, 8, 5, 8, 10, 11, 13,

11, 11, 7, 6, 6, 7, 3, 8, 7, 9

4 –1, –1, 2, 5, 1, 8, 7, 2, 9, 5,

4, 3, 5, –1, 5, 7, 4, 4, 8, 5 10

12, 8, 4, 3, 10, 5, 5, 11, 8, 6,

7, 7, 7, 2, 8, 10, 7, 2, 11, 9

5 1, 1, 8, 7, 5, 5, 9, 8, 7, 3,

3, 3, 2, 5, 5, 0, 5, 4, 4, 5 11

0, 5, 4, 4, 5, 9, 7, 3, 3, 3,

2, 1, 7, 5, 8, 5, 1, 8, 5, 5

6 5, 9, 1, 7, 5, 8, 7, 3, 3, 3,

2, 5, 1, 8, 5, 0, 5, 4, 4, 5 12

4, 7, 2, 9, 4, 4, 5, 8, –1, 5,

–1, –1, 2, 1, 5, 3, 5, 7, 8, 5

13 5, 8, –1, –1, 4, 2, 5, 1, 7, 3,

2, 9, 5, 4, 5, 7, 4, –1, 8, 5 22

5, 8, 0, 0, 4, 0, 2, 5, 1, 7,

5, 9, 5, 4, 3, 5, 7, 4, 8, 5



93

Вариант Выборка Вариант Выборка

14 2, 9, 8, –1, –1, 4, 4, 4, 5, 2,

5, 1, 7, 5, 3, 5, 7, 8, –1, 5 23

8, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 5, 1, 7,

4, 5, 5, 9, 5, 5, 7, 4, 8, 5

15 4, 4, 4, 5, 8, –1, –1, 2, 5, 1,

7, 2, 9, 5, –1, 3, 5, 7, 8, 5 24

0, 4, 3, 4, 5, 4, 8, 0, 2, 5,

1, 7, 0, 9, 8, 5, 5, 5, 7, 5

16 –1, 4, 5, 8, –1, 5, 8, 2, 1, 5,

7, 2, 4, 4, 7, 9, 5, –1, 3, 5 25

5, 5, 7, 4, 8, 0, 2, 5, 1, 7,

0, 0, 4, 3, 4, 5, 5, 9, 8, 5

17 –1, –1, 7, 4, 4, 2, 5, 5, 5, 5,

9, 1, 8, –1, 7, 2, 4, 3, –1, 5 26

5, 5, 5, 3, 3, 1, 0, 5, 7, 2,

8, 9, 8, 3, 1, 5, 7, 4, 4, 5

18 0, 5, 7, 4, 3, 4, 8, 3, 3, 1,

8, 5, 1, 7, 2, 9, 5, 5, 5, 5 27

5, 5, 0, 5, 9, 8, 3, 1, 7, 2,

5, 3, 3, 1, 8, 5, 7, 4, 4, 5

19 9, 8, 3, 3, 3, 1, 8, 1, 7, 2,

5, 5, 5, 5, 0, 5, 7, 4, 4, 5 28

8, 7, 9, 8, 7, 3, 3, 3, 1, 1,

2, 5, 5, 5, 5, 0, 5, 4, 4, 5

20 2, 5, 5, 9, 5, 5, –1, 8, –1, 7,

2, 3, –1, –1, 1, 7, 4, 4, 8, 5 29

9, 8, 3, 3, 3, 1, 8, 1, 7, 2,

5, 5, 5, 5, 0, 5, 7, 4, 4, 5

21 2, 5, 5, 5, 5, 1, 8, –1, 7, 2,

9, 4, 3, –1, 7, 4, –1, 4, 8, 5 30

3, 3, 1, 8, 1, 7, 2, 9, 5, 5,

5, 5, 0, 5, 7, 4, 3, 4, 8, 5

З а д а н и е 6.2. В результате обработки выборки объема 10n = получено, что

выборочное среднее равно x , выборочное среднее квадратическое отклонение равно s. В

предположении, что выборка взята из нормально распределенной генеральной

совокупности, проверить гипотезу 0 0: XH m a= при 5%-м уровне значимости для

двусторонней критической области (табл.6.2).

Таблица 6.2

Вариант 0a x s Вариант 0a x s

1 10 12 1 6 100 96 6

2 20 22 4 7 80 78 4

3 20 18 2 8 80 84 3

4 40 44 3 9 50 48 2

5 58 56 4 10 60 54 2

11 60 64 6 21 90 96 5



94

Вариант 0a x s Вариант 0a x s

12 70 66 8 22 80 86 4

13 70 72 5 23 70 68 5

14 50 48 2 24 70 74 6

15 30 34 4 25 60 62 3

16 50 52 3 26 42 46 2

17 90 88 6 27 60 62 3

18 86 84 5 28 30 34 2

19 80 78 4 29 40 38 4

20 60 66 5 30 84 80 6

З а д а н и е 6.3. Дана выборка объема 50 (табл.6.3). Осуществить группировку выборки,

сделав семь интервалов одинаковой длины. Для данной интервально группированной

выборки требуется:

а) построить таблицу частот;

б) построить полигон и гистограмму частот, а также эмпирическую функцию

распределения;

в) найти оценки математического ожидания x , дисперсии (смещенную XD% и

несмещенную 2s ), медианы Xh% и моды Xd% ;

г) в предположении, что массив получен из нормально распределенной генеральной

совокупности с неизвестными m и 2σ , построить доверительные интервалы для

математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности, равной 0,95;

д) с помощью построенных доверительных интервалов проверить гипотезы (1)

00 : XH m M=

и (2)

00 : XH D A= , где 0 0,1M x s= + , 2

0 2A s= ;

е) вычислить статистику «хи-квадрат» для проверки гипотезы о нормальном

распределении генеральной совокупности (уровень значимости 0,05α = ).



95

Таблица 6.3

п/п

Вариант

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 5 3 7 12 4 7 6 2 10 9 16 2 8 3 1

2 2 8 6 10 9 9 7 7 2 5 9 9 5 1 4

3 7 14 5 9 6 9 0 10 2 7 4 6 5 1 5

4 5 4 7 14 7 13 13 7 2 4 13 10 10 1 9

5 6 1 3 1 10 6 6 7 3 2 4 3 8 0 3

6 2 4 6 7 6 4 5 8 1 7 18 2 1 4 0

7 2 7 3 4 8 7 8 4 1 4 5 9 3 1 4

8 6 7 8 1 3 11 12 7 4 7 8 2 6 3 4

9 5 11 5 7 8 12 2 8 6 13 17 5 5 5 5

10 4 10 5 14 7 13 11 6 2 4 5 7 7 6 0

11 3 6 4 7 1 9 12 6 5 6 8 4 11 1 7

12 6 8 3 5 3 9 10 11 2 8 11 0 4 2 4

13 3 6 5 3 10 8 9 7 3 4 4 7 3 4 10

14 2 8 5 13 10 12 8 6 6 7 17 1 5 2 3

15 2 6 5 5 6 12 16 5 3 7 17 0 5 0 4

16 4 1 5 6 8 13 11 12 4 8 12 8 7 6 2

17 2 8 5 4 8 13 13 8 4 1 8 6 5 2 4

18 4 10 6 1 9 8 8 10 1 3 5 6 6 3 3

19 6 14 5 3 6 5 11 2 3 3 12 5 3 5 4

20 5 9 5 13 8 10 10 12 2 2 17 5 4 2 2

21 1 6 3 5 7 13 8 7 6 7 4 7 5 5 5

22 7 13 8 3 7 5 9 11 3 10 7 4 8 4 8

23 4 1 1 2 8 5 5 5 6 9 10 6 8 3 5

24 5 0 5 13 7 8 11 12 4 9 15 8 9 1 5

25 3 13 8 9 10 5 5 7 7 7 16 8 4 3 9

26 3 2 6 13 7 12 10 2 5 5 7 10 4 5 7

27 3 5 8 11 5 9 6 4 3 5 14 1 6 5 6

28 2 14 5 7 9 2 6 7 4 6 9 2 6 2 4

29 4 3 7 11 8 7 7 13 5 7 15 1 2 1 5

30 6 12 6 5 4 8 3 12 3 11 8 4 5 5 0

31 1 1 6 11 8 3 12 4 7 6 11 2 8 6 4



96

п/п

Вариант

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

32 2 12 9 6 11 5 9 11 1 3 12 0 5 2 1

33 3 6 4 4 4 4 9 5 2 8 10 1 7 4 5

34 3 11 3 13 10 5 7 6 1 10 5 5 4 0 6

35 3 7 4 4 9 11 13 5 6 7 8 1 4 4 7

36 5 3 2 2 12 4 8 8 4 0 11 6 6 3 4

37 1 4 9 2 12 6 5 6 6 –1 14 7 2 6 3

38 4 11 7 8 4 11 7 5 2 6 12 4 7 3 8

39 4 8 5 7 4 4 12 6 2 5 11 3 5 3 5

40 4 3 7 4 5 9 5 11 5 5 17 3 4 6 11

41 11 12 6 6 6 8 6 5 2 4 18 1 4 5 6

42 8 4 4 13 7 6 5 6 4 –1 15 9 8 4 4

43 7 5 4 8 5 7 10 6 2 6 6 3 5 3 2

44 3 9 6 10 4 12 4 10 6 5 4 9 3 1 4

45 0 9 6 10 7 10 10 4 3 4 11 1 2 6 4

46 6 10 5 7 6 6 6 4 8 2 14 10 5 1 5

47 1 10 6 10 6 13 5 6 2 6 6 8 2 2 4

48 5 8 8 14 4 5 6 3 6 6 8 6 8 3 6

49 4 8 7 3 8 6 13 8 1 7 15 2 5 3 2

50 3 0 8 7 5 5 7 5 6 6 7 5 7 2 4

Продолжение табл.6.3

п/п

Вариант

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 11 11 6 1 1 2 6 8 0 10 3 2 1 2 7

2 4 7 16 2 –1 3 1 –1 2 7 8 1 3 1 5

3 2 14 8 9 2 6 0 5 5 –1 8 6 3 4 8

4 10 4 7 5 3 0 –2 6 1 –1 4 11 3 6 10

5 7 9 12 1 0 4 3 6 4 9 5 4 0 5 7

6 8 8 8 4 8 4 4 10 1 2 5 8 4 4 6

7 9 11 9 8 4 1 5 2 7 11 10 7 6 6 9

8 5 7 12 3 4 4 6 3 1 –1 11 2 0 5 9

9 4 2 11 2 3 2 2 –2 14 7 8 3 0 9 9

10 10 11 9 0 6 4 7 8 20 0 6 0 5 4 7



97

п/п

Вариант

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

11 2 8 6 11 3 7 5 5 1 2 9 2 0 5 10

12 9 4 7 5 3 4 2 0 4 2 7 5 1 9 9

13 11 10 9 8 3 6 –1 6 0 –1 6 5 3 –2 7

14 7 11 6 2 4 5 5 –4 6 2 8 5 6 1 10

15 8 2 10 3 3 2 5 2 1 6 7 14 1 4 10

16 5 11 14 8 2 5 –1 8 7 5 6 3 4 0 8

17 11 9 8 2 1 3 3 5 1 11 2 14 8 8 12

18 11 6 4 9 7 2 6 5 2 11 3 1 5 7 4

19 14 3 7 5 2 0 3 6 3 6 3 10 2 3 3

20 2 14 9 8 1 2 6 9 9 1 6 11 1 5 8

21 10 7 13 10 1 5 3 7 3 8 4 5 1 –2 5

22 7 13 8 9 7 2 0 –1 2 10 4 1 6 0 7

23 10 6 12 10 4 0 3 1 1 3 6 6 3 –1 6

24 6 5 6 1 1 4 3 5 5 5 7 3 13 3 6

25 8 7 8 10 1 4 8 11 0 5 6 13 3 7 11

26 7 5 10 2 8 0 1 9 0 3 7 2 1 –1 7

27 13 2 10 1 –2 4 0 –1 1 0 7 14 2 4 2

28 2 7 7 6 6 5 7 3 0 0 6 0 2 5 4

29 8 12 9 5 2 3 1 9 14 10 5 5 3 –2 9

30 7 10 8 1 1 2 –2 7 9 11 12 12 0 –2 9

31 6 4 7 0 5 2 3 –4 18 6 4 5 2 –1 15

32 10 2 5 7 4 3 –2 5 3 7 9 18 2 2 12

33 8 9 12 7 6 3 6 6 7 6 9 0 0 3 9

34 6 9 10 9 2 2 1 11 5 0 10 4 1 5 6

35 4 10 9 0 0 3 7 –2 4 9 3 1 1 4 8

36 9 2 14 6 4 4 2 10 0 –1 10 2 0 3 9

37 11 12 6 1 3 4 6 –5 4 9 9 10 3 3 12

38 6 13 15 10 3 2 4 9 4 11 6 12 0 0 7

39 8 9 8 3 9 3 8 –1 12 0 7 3 0 0 11

40 3 4 8 8 –1 4 4 0 4 0 4 4 1 1 5

41 5 4 7 6 2 3 4 2 6 8 1 2 1 –1 8

42 10 7 10 9 6 2 –1 4 0 6 3 2 2 1 6



98

п/п

Вариант

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

43 9 8 16 1 5 2 1 5 1 0 8 2 0 –1 9

44 9 12 6 7 5 0 3 3 2 10 6 1 1 –2 10

45 6 4 10 9 10 6 0 4 1 10 2 1 12 7 5

46 3 9 13 11 8 3 2 8 0 8 3 12 6 8 6

47 8 10 4 10 3 3 0 5 3 8 6 4 9 8 4

48 10 5 16 6 2 4 6 4 10 7 7 0 10 5 7

49 11 3 10 10 3 2 0 5 2 4 7 3 1 6 10

50 4 13 8 10 5 5 5 5 1 8 4 3 5 2 7

З а д а н и е 6.4. Для двух нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y

на основе выборочных данных (табл.6.4) при уровне значимости 05,0=α проверить

гипотезы:

а) о равенстве дисперсий (2 2

0 : X YH σ = σ ) при альтернативной гипотезе 2 2

1 : X YH σ ≠ σ ;

б) о равенстве средних ( 0 : X YH m m= ) при альтернативной гипотезе 1 : X YH m m≠ .

Таблица 6.4

Вариант X Y

Вариант X Y

ix in iy im ix in iy im

1

142 3 140 5

8

42 15 44 3

145 1 146 3 45 17 47 2

146 2 147 2 46 12 52 4

148 4 151 2 50 16 56 1

2

37 2 38 4

9

42 4 44 16

37 1 39 3 44 8 45 12

40 4 40 2 48 3 46 11

41 3 41 2 50 5 51 6

42 6 43 3 53 10 55 5

3

39 4 35 4

10

42 4 44 16

43 2 40 2 44 8 45 12

47 3 44 3 48 3 46 11

51 4 51 4 50 5 51 6

54 2 54 2 53 10 55 5



99

Вариант X Y

Вариант X Y

ix in iy im ix in iy im

4

3,5 1 3,6 3

11

31 7 29 8

3,7 3 3,7 5 35 3 32 9

3,9 5 3,8 2 40 4 33 12

4,0 4 4,2 1 42 2 35 10

4,1 4 4,4 4 44 4 39 11

5

9 4 9 5

12

61 5 60 4

10 5 10 6 62 4 63 3

11 3 11 4 64 6 64 2

12 2 13 8 67 2 68 6

14 1 14 3 68 3 70 5

6

6,1 2 5,8 6

13

12 10 14 7

6,5 3 6,0 4 16 12 15 6

6,6 1 6,2 5 19 14 20 8

7,0 4 6,3 2 21 9 21 10

7,4 2 6,8 3 25 5 24 9

7

20 3 18 6

14

44 5 43 3

22 4 19 3 45 2 46 3

23 2 20 4 48 3 48 4

24 2 22 2 52 4 50 4

26 4 23 5 54 6 53 6

15

0,2 6 0,4 3

23

16 12 18 3

0,4 4 0,5 5 18 10 25 1

0,8 2 0,9 6 21 14 29 4

1,0 5 1,2 6 24 8 36 6

1,3 3 1,4 6 25 6 40 6

16

31 6 35 1

24

71 4 68 10

33 2 38 3 73 5 69 14

34 1 45 4 75 8 70 13

38 3 47 2 79 10 74 12

42 2 50 5 80 3 78 11

17 15 1 20 4 25 70 12 66 7



100

Вариант X Y

Вариант X Y

ix in iy im ix in iy im 17 3 22 2 72 10 68 4

20 2 23 2 73 12 71 8

21 4 25 3 75 8 75 5

25 6 26 1 78 8 78 6

18

27 3 28 3

26

10 10 9 5

29 9 59 9 11 14 10 3

32 6 30 4 13 12 12 4

33 2 32 9 14 14 13 8

19

82 2 80 14

27

6 1 6,5 2

83 1 81 18 7 8 7,4 5

85 3 85 12 9 7 8,2 7

90 4 87 6 10 2 9,1 7

20

51 6 47 7

28

10 7 9 9

53 5 48 5 11 5 11 12

55 4 50 4 12 4 12 14

56 3 53 3 14 6 14 9

59 2 57 6 16 8 15 6

21

42 2 44 4

29

12,1 1 12,2 4

45 5 46 5 12,5 2 12,4 8

48 3 47 8 12,7 4 12,5 3

49 1 50 6 13,0 1 12,7 2

53 4 52 7 13,2 2 13,0 8

22

8 3 10 4

30

20 3 19 2

11 2 14 10 23 8 20 7

13 4 15 9 25 7 25 8

17 5 18 7 26 6 31 2

19 4 21 4 28 9 36 3



101

Обработка результатов наблюдений двумерного

случайного вектора

З а д а н и е 6.5. Дана парная выборка ( ; )i ix y объема 10 из двумерного нормально

распределенного случайного вектора ( ; )X Y (табл.6.5). Для негруппированных данных

требуется:

а) построить диаграмму рассеивания;

б) получить оценки среднего и дисперсии для каждой из переменных X и Y, а также

коэффициента корреляции YX ,ρ ;

в) проверить гипотезу 0 ,: 0X YH ρ = об отсутствии линейной статистической связи между

компонентами X и Y при альтернативной гипотезе 1 ,: 0X YH ρ ≠ (уровень значимости 0,05α = );

г) получить интервальную оценку для истинного значения коэффициента корреляции

YX ,ρ при уровне значимости 0,05α = ;

д) составить уравнения линейных регрессий Y на x и X на y;

е) нанести графики выборочных регрессионных прямых на диаграмму рассеивания;

ж) для линейной регрессии Y на x вычислить остатки ie , 1, ... ,10i = , остаточную сумму

квадратов

102

1e i

iQ e

=

= ∑, оценку дисперсии ошибок наблюдений

2S и коэффициент

детерминации 2R ;

з) для линейной регрессии Y на x построить доверительные интервалы для ее параметров и

дисперсии ошибок наблюдений;

и) для линейной регрессии Y на x проверить значимость линейной регрессии (уровень

значимости 0,05α = ).

Таблица 6.5

Вариант Выборка

1 ix 7,8 5,9 8,5 8,1 5,5 7,2 6,3 7,5 8,1 7,0

iy 4,0 3,6 5,7 5,6 4,0 5,1 3,9 4,8 4,8 4,1

2 ix 3,1 4,8 8,2 5,5 6,7 4,2 4,5 7,0 6,7 8,2

iy 1,4 2,7 6,1 3,2 2,9 3,9 3,0 4,9 3,2 4,8



102


3 ix 8,3 7,7 3,4 6,9 6,6 4,2 6,3 5,1 6,6 4,0

iy 1,9 1,1 5,7 2,5 1,7 5,4 3,0 3,9 3,5 5,1

4 ix 4,6 6,8 5,0 8,5 2,7 6,0 5,4 8,1 3,9 5,0

iy 3,2 0,7 3,7 –0,5 5,0 0,9 3,5 0,8 3,3 2,1

5 ix –2,2 –0,1 3,1 –0,2 1,0 2,1 –1,4 3,1 2,5 0,6

iy –4,0 0,2 5,4 0,7 3,5 1,9 –1,1 2,8 3,2 1,3

6 ix –0,5 0,9 1,5 0,6 –0,2 1,2 0,3 –0,2 0,7 1,4

iy 3,3 0,5 0,1 1,0 1,7 1,1 2,2 2,5 0,5 0,6

7 ix 1,2 –3,0 –0,4 2,3 –0,3 –2,0 –1,1 –0,4 –1,8 1,6

iy 2,8 –1,1 3,0 4,3 1,3 0,1 1,0 1,2 –0,3 3,1

8 ix 2,8 0,6 3,0 –1,6 –0,7 2,1 –1,2 –0,4 2,8 1,3

iy 4,0 4,1 2,9 5,9 5,5 3,2 5,5 5,3 2,9 4,1

9 ix 1,4 –2,3 0,2 4,8 1,2 3,3 –2,3 –1,4 4,0 0,6

iy –0,7 3,9 1,6 –2,7 –0,6 –0,2 3,3 2,9 –1,9 1,0

10 ix –1,0 2,5 3,3 2,2 2,0 0,1 –0,6 2,2 1,3 3,0

iy –1,2 2,4 5,3 3,9 0,5 –1,1 –1,5 3,1 0,8 3,4

11 ix 2,7 0,2 –1,2 –0,5 –0,7 2,1 0,7 1,4 1,9 –0,2

iy 1,0 2,8 2,9 3,2 2,5 1,5 2,2 1,9 1,1 2,7

12 ix 3,3 1,1 –1,4 2,7 0,8 1,6 –1,1 0,8 2,6 0,1

iy 3,8 3,7 –1,1 3,5 2,5 2,5 –0,2 0,9 4,1 –0,4

13 ix –0,2 0,8 –1,2 –0,5 1,0 0,4 –1,1 0,8 0,2 –0,9

iy 4,5 6,2 3,2 2,9 5,3 4,6 3,1 5,7 4,2 3,0

14 ix 3,5 1,5 3,5 1,8 –0,3 2,7 2,1 0,8 1,9 0,3

iy 2,0 –0,6 4,7 –0,7 0,4 1,9 0,8 0,1 1,2 –0,7

15 ix 4,2 5,3 1,4 0,3 2,0 5,1 1,2 2,8 0,3 4,0

iy 1,5 1,8 2,5 2,9 2,8 0,1 3,7 2,1 4,9 0,3

16 ix 1,8 4,3 0,1 1,3 3,2 0,6 1,1 3,2 2,6 3,7

iy 7,1 7,8 1,8 2,3 4,7 2,3 3,0 5,8 5,1 7,5

17 ix 6,2 3,1 1,7 8,0 6,1 7,2 2,1 4,3 3,6 7,8

iy 2,5 2,0 0,6 4,6 1,5 3,1 0,5 1,7 1,2 5,1



103


18 ix 5,3 2,8 3,0 3,5 3,0 2,8 5,1 4,3 2,6 3,8

iy 3,5 0,7 2,1 1,3 2,5 1,3 4,0 2,7 0,4 2,0

19 ix 5,6 6,1 6,1 5,6 2,7 3,1 5,4 3,7 4,6 2,9

iy 1,0 2,5 2,2 5,5 6,0 7,2 2,6 5,9 3,3 6,4

20 ix 3,7 3,4 3,9 3,9 1,9 3,1 2,3 3,6 2,9 1,8

iy 2,8 2,5 1,3 1,1 3,4 2,4 3,4 2,1 2,2 4,6

21 ix 9,2 1,2 4,3 6,5 4,5 7,2 1,8 5,6 2,4 5,8

iy 0,5 7,8 5,3 4,5 4,2 1,5 8,1 3,7 7,2 4,0

22 ix 1,7 4,9 0,6 8,0 1,0 7,3 3,1 6,1 2,6 4,1

iy 2,3 5,0 2,5 7,1 3,1 7,4 2,8 6,6 2,3 4,0

23 ix 4,8 3,0 5,8 4,5 6,5 5,4 3,0 4,1 5,1 6,3

iy 6,8 7,8 6,1 6,8 4,5 5,2 8,6 7,8 6,2 4,4

24 ix 4,4 3,8 2,4 3,4 2,3 3,8 2,6 3,2 4,2 3,1

iy 4,7 6,4 4,3 4,3 2,7 5,2 3,1 4,1 5,0 3,6

25 ix 7,1 4,5 8,3 6,7 9,9 4,5 9,1 7,6 5,4 8,0

iy 5,4 6,5 4,6 5,4 4,0 7,2 3,1 4,6 6,3 5,0

26 ix 8,5 7,8 5,9 8,1 5,5 6,3 7,2 8,1 7,3 6,5

iy 5,7 4,9 3,6 5,6 4,0 3,8 5,1 5,8 4,9 4,2

27 ix 6,6 8,3 7,7 3,4 6,9 5,2 4,1 6,8 8,3 6,2

iy 1,7 1,9 1,1 5,7 2,5 3,5 5,7 2,1 0,2 2,5

28 ix 0,8 –1,4 3,3 2,7 1,1 2,7 –1,0 1,6 0,4 1,2

iy 2,5 –1,1 3,8 3,5 3,7 4,9 –1,3 3,1 0,1 2,1

29 ix –1,6 –0,7 2,8 0,6 3,0 –0,7 2,2 0,3 1,7 –0,2

iy 5,9 5,5 4,0 4,1 2,9 5,8 3,5 4,2 3,2 5,0

30 ix 6,1 2,7 5,6 5,6 6,1 3,2 4,1 6,2 4,9 3,7

iy 2,2 6,0 1,0 3,5 2,5 7,0 3,5 0,7 2,6 5,3



104

З а д а н и е 6.6. Составить уравнение выборочной линейной регрессии Y на x на

основании корреляционной табл.6.6.

Таблица 6.6 Вариант

Корреляционная таблица

Вариант


1 Y

X

10 15 20 25 30 35 4 Y

X

10 15 20 25 30 35 40

15 6 4 100 2 4 8 4 10

25 6 8 110 3 5 2 10

35 21 2 5 120 3 4 5 6

45 4 12 6 130 2 4 6 5

55 1 5 140 4 7 1 5

2 Y

X

20 25 30 35 40 45 5 Y

X

5 10 15 20 25 30 35

10 4 8 4 15 10 4 8 4 2

20 2 4 2 25 10 2 5 3

30 10 8 35 6 5 4 3

40 4 10 4 45 5 6 4 2

55 5 1 7 4

3 Y

X

5 10 15 20 25 30 6 Y

X

10 15 20 25 30 35 40

14 4 6 8 4 10 2 4 6 5

24 8 10 6 20 4 7 1 5

34 32 30 3 4 5 6

44 4 12 6 40 3 5 2 10

50 4 2 4 10 8

7 Y

X

15 20 25 30 35 40 12 Y

X

10 12 14 16 18 20 22

100 2 1 7 20 2 6 5 4

120 4 2 3 40 4 5 1 7

140 5 10 5 2 60 4 2 8 10 4

160 3 1 2 3 80 3 10 2 5

100 3 4 6 5



105

Вариант


Вариант


8 Y

X

20 25 30 35 40 45 13 Y

X

5 10 15 20 25 30

105 4 2 1 80 5 1 4 7

115 2 1 3 8 5 100 2 6 5 4

125 4 2 1 3 120 3 4 5 6

135 3 2 10 3 2 140 10 2 3 5

145 1 3 8 2 160 10 4 8 2 4

9 Y

X

10 15 20 25 30 35 14 Y

X

10 15 20 25 30 35 40

15 6 4 10 1 5 7 4

25 6 8 20 2 4 6 5

35 20 2 5 30 3 5 4 6

45 5 12 6 40 10 2 3 5

55 1 5 50 2 4 4 8 10

10 Y

X

5 10 15 20 25 30 15 Y

X

5 10 15 20 25 30 35

100 6 4 2 2 5 10 3 5 1 4

110 4 2 8 1 5 15 4 10 2 8

120 10 7 1 25 3 4 6 6

130 5 3 8 6 7 35 4 7 1 5

140 9 5 4 1 45 2 5 10

11 Y

X

20 25 30 35 40 45 16 Y

X

5 10 15 20 25 30 35

30 6 4 2 30 6 4 2 5

40 4 1 5 7 40 4 5 7 1

50 3 4 5 6 50 4 3 5 6

60 5 3 10 2 60 5 3 10 2

70 2 3 3 5 70 4 10 4 2 8



106

Вариант


Вариант


17 Y

X

10 15 20 25 30 35 21 Y

X

30 40 50 60 70 80 90

10 2 4 8 4 10 20 6 4 2 5

30 4 7 5 1 30 4 5 7 1 6

50 3 2 5 10 40 4 3 5 10

70 2 4 6 5 50 5 3 4 2 8

90 3 5 6 4 60 4 10 2

18 Y

X

12 17 22 27 32 27 22 Y

X

24 28 32 36 40 44 48

105 4 3 10 6 4 2 5

115 2 3 1 10 20 4 5 7 1

125 3 5 1 4 30 4 3 5 6

135 8 2 1 40 5 3 10 2

145 1 2 50 4 10 4 2 8

19 Y

X

10 15 20 25 30 35 23 Y

X

5 10 15 20 25 30 35

14 4 2 1 5 10 3 5 1 4

24 2 1 3 8 5 15 4 10 2 8

34 4 2 1 3 25 3 4 6 6

44 3 2 10 3 2 35 4 7 1 5

54 1 3 9 1 45 2 5 10

20 Y

X

10 15 20 25 30 35 24 Y

X

10 15 20 25 30 35 40

20 1 5 7 4 15 2 4 6 5

40 2 4 6 5 30 4 7 1 5

60 3 5 4 6 45 3 4 5 6

80 10 2 3 5 60 3 5 2 10

100 2 4 4 8 10 75 4 2 4 10 8



107

Вариант


Вариант


25 Y

X

5 10 15 20 25 30 28 Y

X

20 22 24 26 28 30 32

15 6 4 2 2 30 6 4 2 5

25 4 2 8 1 5 40 4 5 7 1

35 10 7 1 50 4 3 5 6

45 5 3 8 6 7 60 5 3 10 2

55 9 5 4 1 70 4 10 4 2 8

26 Y

X

10 15 20 25 30 35 29 Y

X

5 10 15 20 25 30 35

36 4 3 30 6 4 2 5

46 2 3 1 10 40 4 5 7 1

56 3 5 1 4 50 4 3 5 6

66 8 2 1 60 5 3 10 2

76 1 2 70 4 10 4 2 8

27 Y

X

42 46 50 54 58 62 30 Y

X

10 15 20 25 30 35 40

15 4 2 1 30 4 7 1 5

25 2 1 3 8 5 50 2 4 6 5

35 4 2 1 3 70 3 4 5 6

45 3 2 10 3 2 90 10 2 5 3

55 1 3 9 1 110 2 4 8 4 10

Ранговая корреляция

З а д а н и е 6.7. Предприятие имеет следующие данные по стоимости ежегодного

технического обслуживания 12 автомобилей определенной марки в зависимости от

времени эксплуатации

Время эксплуатации, мес. a b c d e f 120 96 132 36 24 48

Стоимость технического обслуживания, тыс. руб. A B C D E F 8,1 6,9 10,3 4,0 2,5 5,3

Для установления зависимости стоимости технического обслуживания от времени

эксплуатации вычислить коэффициент ранговой корреляции Спирмэна (табл.6.7).



108

Таблица 6.7

Вариант a b c d e f A B C D E F

1 59 24 59 72 84 96 5,3 5,2 6,0 5,7 6,6 6,6

2 133 150 140 137 142 155 10,4 11,4 11,5 11,6 12,1 20,3

3 60 24 60 70 83 96 5,3 5,1 6,1 5,7 6,7 6,7

4 150 132 133 133 200 155 12,4 11,5 11,5 12,6 12,1 20,2

5 157 152 163 153 200 155 12,7 11,7 11,5 12,5 12,1 20,3

6 57 24 57 69 80 96 5,3 4,8 6,3 5,7 6,8 6,8

7 187 152 163 173 210 157 12,4 11,5 11,5 12,6 12,1 20,3

8 150 152 133 153 200 155 12,7 15,7 11,5 12,5 12,1 13,3

9 55 24 55 68 78 96 5,3 4,2 6,5 5,7 6,6 6,6

10 197 152 193 173 210 157 12,9 15,7 16,5 12,5 13,1 13,3

11 166 172 193 173 183 177 16,7 15,7 17,5 12,5 12,1 13,3

12 56 24 56 67 79 96 5,3 4,7 6,4 5,7 6,7 6,7

13 186 182 193 173 183 187 12,7 15,7 11,5 12,5 12,1 13,8

14 286 192 193 273 183 187 19,7 15,7 17,5 12,5 19,1 13,3

15 187 192 193 173 163 167 19,8 12,7 17,5 12,5 19,1 12,7

16 167 192 163 173 163 169 11,8 12,7 11,5 12,5 11,1 12,3

17 53 24 53 66 79 96 5,3 5,0 6,2 5,7 6,7 6,7

18 177 192 173 174 163 179 19,8 12,7 17,5 12,5 19,1 12,3

19 197 192 173 174 193 179 11,8 12,7 11,5 12,5 11,1 12,3

20 54 24 54 65 81 96 5,3 5,1 6,1 5,7 6,8 6,8

21 169 181 165 169 195 179 11,0 17,7 10,5 12,5 10,1 12,3

22 197 182 163 164 193 169 11,6 17,7 11,5 12,5 17,1 12,7

23 169 171 170 190 165 160 12,6 19,7 14,5 12,3 17,2 15,3

24 57 24 57 70 83 96 5,3 5,0 6,4 5,7 6,6 6,6

25 160 170 179 190 165 164 12,6 17,7 14,5 12,3 17,2 15,3

26 180 180 199 190 195 174 11,0 13,7 11,5 12,5 13,1 12,9

27 58 24 58 71 84 96 5,3 5,1 6,5 5,7 6,8 6,8

28 169 171 177 199 165 169 15,0 11,7 16,5 12,5 11,1 12,7

29 180 180 179 190 165 164 11,0 11,7 11,5 12,5 11,1 12,3

30 169 181 165 169 195 179 12,6 18,7 14,5 12,3 17,2 15,7



109

7. Случайные процессы

Временные ряды

З а д а н и е 7.1. Имеются недельные сведения об объеме продаж ty , 1, 2, ... , 7t =

магазином в день телевизоров. По данным табл.7.1:

а) определить оценки параметров линейного тренда tu a bt= + ;

б) построить диаграмму рассеивания и график тренда;

в) вычислить для линейного тренда остаточную сумму квадратов eQ , оценку дисперсии

остатков 2S и коэффициент детерминации 2R .

Таблица 7.1

Вариант ty Вариант ty 1 14, 12, 15, 15, 16, 15, 18 16 19, 17, 17, 16, 14, 15, 14

2 12, 10, 11, 10, 9, 9, 6 17 16, 13, 13, 11, 9, 7, 8

3 16, 14, 15, 14, 13, 12, 12 18 21, 19, 20, 18, 17, 17, 15

4 26, 24, 26, 25, 23, 20, 21 19 8, 7, 9, 11, 12, 11, 14

5 23, 21, 24, 25, 26, 25, 28 20 18, 15, 16, 16, 13, 10, 12

6 18, 16, 17, 20, 18, 21, 19 21 13, 16, 14, 18, 16, 18, 19

7 21, 19, 20, 18, 18, 16, 16 22 11, 9, 10, 9, 8, 6, 5

8 13, 11, 14, 15, 16, 15, 18 23 15, 13, 16, 17, 16, 18, 18

9 11, 9, 10, 8, 7, 7, 6 24 14, 12, 12, 11, 10, 10, 8

10 13, 16, 15, 18, 16, 17, 20 25 12, 10, 11, 9, 7, 7, 5

11 15, 13, 15, 14, 12, 10, 11 26 29, 27, 27, 26, 23, 25, 24

12 9, 7, 10, 12, 12, 11, 14 27 10, 8, 11, 10, 11, 12, 14

13 18, 16, 15, 15, 12, 13, 11 28 15, 13, 14, 12, 11, 10, 9

14 9, 7, 11, 9, 12, 12, 14 29 28, 26, 27, 30, 28, 31, 29

15 22, 20, 21, 19, 17, 16, 13 30 17, 14, 16, 14, 13, 11, 12



110

Цепи Маркова

З а д а н и е 7.2. При однократном повышении напряжения в сети с вероятностью α

выходит из строя блокирующее устройство, а с вероятностью β прекращается работа

прибора. Если блокирующее устройство вышло из строя, то последующее повышение

напряжения в сети приводит к прекращению работы прибора с вероятностью γ . В

начальном состоянии прибор и блокирующее устройство были исправны. Определить

вероятность того, что после n-кратного повышения напряжения в сети прибор и

блокирующее устройство все еще будут работать (табл.7.2).

Таблица 7.2

Вариант α β γ n Вариант α β γ n

1 0,1 0,05 0,2 29 16 0,4 0,04 0,4 14

2 0,2 0,06 0,4 28 17 0,1 0,05 0,6 13

3 0,3 0,07 0,6 27 18 0,2 0,06 0,8 12

4 0,4 0,08 0,8 26 19 0,3 0,07 0,6 11

5 0,1 0,09 0,6 25 20 0,4 0,08 0,4 12

6 0,2 0,08 0,4 24 21 0,1 0,09 0,2 13

7 0,3 0,07 0,2 23 22 0,2 0,08 0,1 14

8 0,4 0,06 0,1 22 23 0,3 0,07 0,3 15

9 0,1 0,05 0,3 21 24 0,4 0,06 0,5 16

10 0,2 0,04 0,5 20 25 0,1 0,05 0,7 17

11 0,3 0,03 0,7 19 26 0,2 0,04 0,1 18

12 0,4 0,02 0,5 18 27 0,3 0,03 0,3 19

13 0,1 0,01 0,3 17 28 0,4 0,02 0,1 20

14 0,2 0,02 0,1 16 29 0,1 0,01 0,2 21

15 0,3 0,03 0,2 15 30 0,2 0,02 0,4 22



111

Литература

1. Сборник задач по математике для втузов: В 4-х ч. – 3-е изд., перераб. и доп. / Под ред.

А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. – М.: Физматлит, 2004. – Ч. 4. – 432 с.

2. Бардушкин В.В., Лесин В.В., Земсков В.Н., Мустафин Н.Н. Лабораторный практикум

по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: МИЭТ, 2009. – 116 с.

3. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа: Практикум по статистическим методам

и исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL. – М.:

ФОРУМ: ИНФРА-М, 2004. – 464 с.

4. Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов. – 2-е изд., перераб. и

доп. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: изд-во НГТУ, 2001. – 170 с.

5. Мхитарян В.С., Трошин Л.И., Астафьева Е.В., Миронкина Ю.Н. Математическая

статистика (для бизнесменов и менеджеров). – М.: МГУЭСИ, 2004. – 214 с.

6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. –

М.: ИНФРА-М, 2001. – 302 с.

7. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая

статистика: Базовый курс с примерами и задачами. – 2-е изд., испр. и доп. – М.:

Физматлит, 2005. – 232 с.



Министерство образования и науки Российской...

Documents

Transcript of Министерство образования и науки Российской...