Metod 3/8

Форма № У 6.01

(назва вищого навчального закладу)

Кафедра___________________________________________________________________________

Дисципліна________________________________________________________________________

Спеціальність______________________________________________________________________

Курс____________Група___________________Семестр___________________________________

ЗАВДАННЯНа курсовий проект (роботу) студента

__________________________________________________________________________________

(прізвище, ім’я, по батькові)

1. Тема проекту(роботи)_____________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

2. Строк здачі студентом закінченого проекту(роботи)___________________________________

3. Вихідні дані до проекту(роботи)____________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

3

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

4. Зміст розрахунково-пояснювальної записки (перелік питань, якіпідлягають розробці)______

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

5. Перелік графічного матеріалу (з точним зазначенням обов’язковихкреслень)______________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

6. Дата видачізавдання______________________________________________________________

КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН

№

п/п

Назва етапів курсового проекту(роботи)

Строквиконанняетапівпроекту(роботи)

Примітки

4

Студент_________________________________(підпис)

Керівник________________________________ ___________________________________

(підпис) (прізвище, ім’я, по батькові)

«____»_________________________20____р.

Реферат

Курсова робота: 32 с., 5 рис., 1 табл., 17 джерел.

Об’єкт роботи: визначені інтеграли.

Предмет роботи: дослідження властивостей визначених

інтегралів.

Мета роботи: провести словникову роботу

«квадратурні формули»; знайти інтеграл методом 3/8;

порівняти його з іншими методами родини квадратурних

формул Ньютона-Котеса.

Метод дослідження: аналітичний.

У курсовій роботі розглядається визначені інтеграли

та їх властивості. Розглянуто основні поняття

«квадратурні формули», «мтод 3/8». Наведено як

реалізувати квадратурні формули. Результати можуть бути

використані при розв’язуванні визначених інтегралів

методами родини Ньютона-Котеса.

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ, ІНТЕГРУВАННЯ, ПАРАМЕТРИ,

МЕТОДИ, ЗМІННА, КВАДРАТУРА, КВАДРАТУРНА СУМА, ВУЗЛИ,

ВАГОВА ФУНКЦІЯ (ВАГА), ІНТЕРПОЛЯЦІЯ, АЛГЕБРАЇЧНА

СТЕПІНЬ ТОЧНОСТІ, МЕТОД 3/8.

Зміст

Завдання на курсову роботу…………………………………………..…….……2

Реферат……………………………………………………………………….……4

Вступ…………………………………………………………………………...….6

1 Числове інтегрування функцій……………………………………………8

2 Квадратурні формули……………………………………………….……10

3 Родина квадратурних формул Ньютона-Котеса…………………...

……14

3.1 Метод лівих прямокутників……………………………….…………17

3.2 Метод правих прямокутників……………………………….……….19

3.3 Метод середніх прямокутників………………………………………20

3.4 Метод трапецій…………………………………………………..……22

3.5 Метод Сімпсона (парабол)…………………………………..……….23

4 Метод 3/8……………………………………………….………………….24

5 Чисельна реалізація квадратурних

формул……………………………..26

Висновки………………………………………………………………...……….30

Перелік посилань……………………………………………….………………..31

6

Вступ

Нехай [a,b] будь-який кінечний чи безкінечний

відрізок чисельної осі, і розглядається інтеграл:

Нехай ми ставимо своїм завданням найти наближене

його значення по n значеннях F(xi) функції F в точках xi

(i = 1,…, n).

Багато правил наближеної квадратури засновано на

заміні інтегрованої функції F на всьому відрузку [a,b]

або на його частинах на більш простішу функцію φ,

близьку до F, легко інтегровану і яка приймає у вузлах

xi ті ж значення F(xi), що і F. Таку функцію беруть в

вигляді чи алгебраїчного многочлена від х, чи

раціональної функції, чи тригонометричного многочлена i

т. д. в залежності від задачі. Всі ці додаткові функції

φ аналітичні і володіють великою гладкістю зміни.

Коли відрізок інтегрування кінечний чи інтегральна

функція F має високу гладкість, то можна хорошо

приблизити її многочленом невисокої степені чи

7

нескладною раціональною функцією. Якщо ж сама функція F

чи її похідні невисоких порядків мають особливості або

навіть переходять в безкінечність, то це затруднить

наближення F або зробить його взагалі неможливим. У

цьому випадку ми повинні будемо заздалегідь звільнитися

від таких особливостей шляхом їх виділення. Робиться це

за допомогою розкладання F на два співмножники F(x)=

р(х)* f(x), де р(х) має такі ж особливості, як і F(x), а

f(x) є гладкою функцією, і інтеграл розглядається у

формі

(1)

Функція р(х) в (1) називається ваговою функцією або

вагою. При побудові обчислювального правила для (1)

вона вважається фіксованою, і тому правила, про які

говоритиметься нижче, в більшості будуть

спеціалізованими, і кожне з них буде призначено для

чисельного інтегрування функцій, що мають особливості

одного і того ж типу, визначуваного вагою р(х). Функція

f(x) передбачається будь-якою досить гладкою на [а,b].

Будуватимемо формули обчислень вигляду: ≈, xi [a,b].

8

(2)

Величини Ak називаються квадратурними коефіцієнтами,

xk - квадратурними вузлами і права частина (2) –

квадратурною сумою. Формула має 2n + 1 параметрів: n, Ak , xk

(k = 1, 2, … , n) і їх слід вибрати так, щоб формула давала

можливо кращий результат при інтеграції вибраного класу

функцій f[7,13].

Призначення параметра n є очевидним: чим більше n,

тим більше складових в квадратурній сумі і тим більшої

точності можна досягти шляхом вибору Ak і xk. Тому при

побудові формули число n вважають закріпленим і

розглядають лише завдання про вибір Ak і xk. Відзначимо

попутно, що ці параметри не завжди є довільними і в

деяких випадках на їх значення необхідно накласти

обмеження, наприклад, при інтеграції таблично заданих

функцій за xk можуть бути взяті тільки табличні

значення аргументів. У найближчому викладі ми

рахуватимемо Ak і xk довільними. Правом вибору їх

зазвичай користуються для наступних цілей:

збільшення міри точності;

мінімізація похибка;

спрощення обчислень[4].

9

1 Числове інтегрування функцій

В багатьох задачах, що пов’язані з аналізом,

ідентифікацією, оцінкою якості різних засобів та систем

автоматики та управління, виникає необхідність

обчислення певних інтегралів.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] й

відома її первісна F(x), то визначений інтеграл від а до

в може бути обчислений за формулою Ньютона – Лейбніца

I= =F(b)-F(a),

де F’(x)=f(x).

Графічно інтеграл визначається площею, що

обмежується графіком функції y=f(x)[2,17].

Але часто точно обчислити інтеграл важко через

велику складність аналітичних перетворень, а інколи це

взагалі неможливо (в випадках невласних інтегралів), чи

коли підінтегральна функція задана набором числових

даних, наприклад, отриманих з експерименту[3].

Задача чисельного інтегрування (numerical

integration) функції полягає в обчисленні значення

10

визначеного інтегралу на основі ряду значень

підінтегральної функції. Формули чисельного

інтегрування часто називають квадратурними.

Найбільш відомими методами знаходження визначених

інтегралів є:

формули прямокутників;

методи Ньютона-Котеса, Гаусса, Чебишева, які

основані на використанні так званих квадратурних

формул, отриманих заміною f(x) інтерполяційними

багаточленами;

методи Монте-Карло, основані на використанні

статистичних моделей[14].

11

2 Квадратурні формули

Квадратурні формули (К.ф.) - наближена формула для

обчислення визначеного інтеграла:

(3)

в лівій частині стоїть інтеграл, що підлягає

обчисленню. Підінтегральна функція записана у вигляді

12

добутку двох функцій. Перша з них р(х) вважається

фіксованою для даної К. ф. і називається ваговою

функцією, функція f(x) належить досить широкому класу

функцій, наприклад, неперервних і таких, що інтеграл у

лівій частині (3) існує[1,15]. Сума в правій частині

(3) називається квадратурною сумою, числа xj називаються

вузлами К. ф., а числа Сj - коефіцієнтами К. ф.

Знаходження наближеного значення інтеграла за допомогою

формули (3) зводиться до обчислення квадратурної суми.

Найбільшого поширення набули К. ф., засновані на

алгебраїчному інтерполяції. Нехай х1,. .., xN - попарно

різні точки (зазвичай xi [a,b], хоча ця вимога не є

обов'язковою) та Р(х) - інтерполяційний многочлен

функції f(x), побудований за її значенням у цих точках:

тут Li(x)- многочлен впливу i-го вузла: Li(xj) =dij (dij - символ

Кронекера)[8]. Інтеграл по [а, b] від p(x)f(x) наближено

замінюється інтегралом від р(х) Р{х); иходить наближене

рівність виду (3),

(4)

13

Існування інтегралів в (4) рівносильно існуванню

моментів вагової функції

(тут і далі передбачається, що вимагаються моменти р(х)

існують, в зокрема у випадку р(х)=1 проміжок [а, b]

вважається кінцевим)[4,16].

К. ф. (3), коефіцієнти якої визначаються рівностями

(4), називається інтерполяцією. Ціле число

називається алгебраїчною степенню точності К. ф. (3),

якщо ця формула точна , то f(x)- будь-який многочлен

втепені вище d, і не точна для f(x)=xd+1. Щоб К. ф. (3)

була інтерполяціонною, необхідно і достатньо, щоб для

її алгебраїчної степені точності d виконується

нерівність

Нехай р(х)=1 і [a, b] кінцевий. Інтерполяціонна К. ф.

з рівновіддаленими вузлами

xj=a+jh, j=0, 1, …, n, h=(b-a)/n,

(5)

де n - натуральное число, N=n+l, називається Ньютона-

Котеса квадратурною формулою; така К. ф. має

14

алгебраїчну степінь точності d=n при п неперному і d=n+1

при п парному. Інтерполяціонна К. ф. з одним вузлом

називається формулою прямокутників, її алгебраїчний

степінь точності d=l, коли x=(a+b)/2, і d = 0 в інших

випадках[5]. Нехай

(6)

Інтерполяціонна К. ф. (3), у якої вузли є коренями

ортогонального на [а, b] з вагою р(х) многочлена степені

N, називається квадратурною формулою Гаусового типу; її

називають також і квадратурною формулою найвищої

алгебраїчної степені точності, так як при умовах (6) ніяка

К. ф. з N вузлами не може бути для x2N[6,7]. Найбільш

споживані К. ф. Гаусового типу, які визначаються

наступними окремими випадками ваги р(х) і проміжку [a, b]:

вага Якобі (1-x)a(1+х)b (a>-1, b>-1), [-1, 1] при

значеннях параметрів:

а) a=b=0 (квадратурна формула Гауса),

б) (квадратурна формула Мелера),

15

в) a=b= ;

г)

вага Ерміта е -x2 ( );

вага Лагерра хa е-x(a>-1), (0, + ).

Існують К. ф., в яких частина вузлів заздалегідь

зафіксована, а інші вузли вибираються так, щоб К. ф.

мала найвищу алгебраїчну степінь точності. Такі,

зокрема, Лобатто квадратурна формула і Радо

квадратурна формула для обчислення інтеграла по [- 1, 1] з

вагою 1. У першій з них фіксованими вузлами є -1, 1, а в

другій - одна з цих точок[10].

Дві К. ф. з вагою 1

називаються подібними, якщо tj-c=s(tj-g),Cj=sГ j, j=1, 2, ..., m, де s

визначається рівністю d-c'=s(d-g). У випадку кінцевого [a,

b]

(7)

16

де хi визначаються рвностями (5). Якщо для обчислення

інтегралів на проміжках [х; х i+1] застосовуються К. ф.,

подібні однієї і тієї ж К. ф., То рівність приведе до

складової К. ф. для обчислення інтеграла, що стоїть в

лівій його частині[9,13]. Така, наприклад, складова К.

ф. прямокутників:

У випадку b-a=2 p ця К. ф. точна для cos kx, sin kx при k =

0,1, . . ., n-1.

17

3 Родина квадратурних формул Ньютона-Котеса

Для виведення формул Ньютона - Котеса інтеграл

зображується у вигляді

= if(xi)+ ,

(8)

де xi – вузли інтерполяції; Ai – коефіцієнти, які

залежать від вигляду формули; – похибка квадратурної

формули[5].

Замінюючи в (8) підінтегральну функцію відповідним

інтерполяційним поліномом Лагранжа для n

рівновіддалених вузлів з кроком h= , можна одержати

наступну формулу для розрахунку коефіцієнтів Ai при

довільній кількості вузлів[11].

18

Ai= dq,

(9)

де q= – приведена змінна.

Звичайно коефіцієнти Hi= називають коефіцієнтами

Котеса.

При цьому формула (8) приймає вигляд:

=(b-a) ,

(10)

і має такі властивості:

i Hi=Hn-1.

При n=1 i n=2 із (9) та (10) отримаємо формули

трапецій і Сімпсона:

19

В таблиці 1 наведені значення коефіцієнтів для п=1,

2, …, 8[4,12]. Похибки формул трапецій і Сімпсона

визначаються, відповідно, із виразів

ma

де M2 i M4 - максимальні значення другої та четвертої

похідної f(x) при x

Таблиця 1. Коефіцієнти Котеса

H0 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 Загальн

ий

знаменн

ик N

1 1 1 2

2 1 4 1 6

3 1 3 3 1 8

4 7 32 12 32 7 90

5 19 75 50 50 75 19 288

20

6 41 216 27 272 27 216 41 840

7 751 357

7

122

3

2989 298

9

1323 357

7

751 17280

8 989 588

8

-

928

1049

6

-

454

0

1049

6

-

928

588

8

98

9

28350

Складові формули Ньютона – Котеса отримаємо шляхом

комбінації простих формул[2]. Наприклад, для формул

трапецій і Сімпсона (для парних n):

I= ,

I=

Причому похибки складових формул будуть відповідно:

M2 ma .

Аналогічно можна отримати складові формули Ньютона

– Котеса більш високих порядків[12].

21

Для оцінки похибки на практиці можна користуватись

методом Рунге (екстраполяції Річардсона), аналогічно

тому,як це робиться для одно- крокових методів

розв’язання задачі Коши.

3.1 Метод лівих прямокутників

Ідея метода полягає в розбитті відрізку

інтегрування на дрібні частини [хi-1,хi] і в побудові

прямокутників, які спираються на відрізки [хi-1,хi] й мають

висоту f(ξi). Якщо розбиття відрізку рівномірне,

то xi =a+i·h, де h – крок:

h= .

22

Інтеграл вважається приблизно рівним сумі площ

побудованих прямокутників. Узагальнена квадратурна

формула прямокутників має вигляд:

I= ,

де точка ξi (xi,xi-1).

В залежності від вибору xi розрізняють формули

лівих, правих й середніх прямокутників[2,9].

Нехай xi =xi-1. , формула лівих прямокутників має

вигляд:

I – для нерівновіддалених вузлів,

I – для рівновіддалених вузлів.

Порядок точності формули – перший, O(h).

Геометрична інтерпретація наведена на рис. 1.

Рисунок 1 – Метод лівих прямокутників

23

Заснований на апроксимації функції f(x) на кожному

частковому інтервалі [xi;xi+1] многочленом Лагранжа

нульової степені (yi=a0=const). Іншими словами, для

знаходження значення інтеграла необхідно знайти площі

прямокутників:

S1=f(x0)·h, S2=f(x1)·h , …, Si=f(xi-1)·h, …, Sn=f(xn-1)·h

(див. рис.1) і додати їх:

3.2 Метод правих прямокутників

24

Нехай xi =xi., формула правих прямокутників має

вигляд:

– для нерівновіддалених вузлів,

– для рівновіддалених вузлів[3,5].

Порядок точності формули – перший, O(h).


Рисунок 2 – Метод правих прямокутників



нульової степені степени (yi+1=a0=const). Іншими словами,

для знаходження значення інтеграла необхідно знайти

площі прямокутників:

S1=f(x1) h∙ , S2=f(x2) h∙ , …, Si=f(xi) h∙ , …, Sn=f(xn) h.∙


25

.

3.3 Метод середніх прямокутників

Нехай xi = , (xi-1+ xi), формула

середніх прямокутників має вигляд:

– для нерівновіддалених вузлів.

Порядок точності формул – другий, O(h2).


Рисунок 3 – Метод середніх прямокутників



26

нульової степені ( =a0=const) [16]. Іншими словами, для

знаходження значення інтеграла необхідно знайти середнє

значення х, використовуючи кожні дві сусідні ,

і т.д., визначити площі прямокутників:

S1=f(xc1)∙h, S2=f(xc2)∙h, , … Sn=f(xcn)∙h,


Формули лівих та правих прямокутників можуть бути

використані як для аналітично заданих функцій, так і

для функцій, заданих таблично. Метод середніх

прямокутників може використовуватись для пошуку

інтегралів тільки від аналітично заданих функцій.

27

3.4 Метод трапецій

Рисунок 4 – Метод трапецій.

28


частковому інтервалі [xi;xi+1] многочленом Лагранжа першої

степені (yi=a0+a1x)[6]. Іншими словами, для знаходження

значення інтеграла необхідно знайти площі

, , …,

(див. рис.4), і додати їх:

3.5 Метод Сімпсона (парабол)

29

Рисунок 5 – Метод Сімпсона (парабол).


частковому інтервалі [xi-1;xx+1] (кількість часткових

відрізків [xi-1;xi] повинна бути парною) многочленом

Лагранжа другої степені (yi=a0+a1x+a2x2), тобто

параболою[15].

Загальний вигляд:

Похибка формули Сімпсона:

, ɳ [a,b].

30

4 Метод 3/8

Використовуючи кубічну інтерполяцію по чотирьох

точках можна отримати формулу Ньютона (або трьох

восьмих)[16].

Складову формулу трьох восьмих можна отримати при

числі вузлів кратному трьом, тобто n = 3m

Методична похибка формул чисельного інтегрування

визначається інтегралом від похибки інтерполювання і

для наведених формул оцінюється співвідношеннями:

для формули прямокутників

для формули трапецій

для формули парабол

31

для формули трьох восьмих

де f"max, f‴max, f⁗max максимальні значення похідних на

інтервалі інтегрування [a,b].

При практичному використанні формул чисельного

інтегрування слід враховувати, що до методичної

похибки, яка спадає із зменшенням кроку, додається ще й

похибка обчислень, яка збільшується при збільшенні

числа кроків, тому для зменшення загальної похибки слід

вибирати певний оптимальний крок. Зазвичай для вибору

кроку використовують подвійний перерахунок. Спочатку

обчислюють інтеграл In з деяким кроком h, а потім крок

зменшують удвічі і отримують значення інтеграла I2n.

Якщо різниця задовольняє вимогам точності |In-I2n|Ј e ,

то обчислення припиняють, в іншому випадку продовжують

дробити крок[4]. Загальну похибку обчислень в цьому

випадку можна оцінити співвідношеннями:

D » |In-I2n|/3 для метода трапецій;

D » |In-I2n|/15 для метода парабол.

Аналогічно можна отримати формули Ньютона-Котеса

вищих порядків, однак, при збільшенні ступеня

32

інтерполювання в формулах будуть зустрічатися як

позитивні, так і негативні коефіцієнти, що перевершують

по абсолютній величині як завгодно велике число, що

призведе до великих обчислювальних похибок. Тому

формули Ньютона-Котеса зі ступенем більше трьох на

практиці не використовуються[1].

5 Чисельна реалізація квадратурних формул

Чисельна реалізація методу – важливий етап рішення

будь-якої задачі. Тому при побудові алгоритму слід

приділити особливу увагу організації обчислень,

найбільш раціональному їх проведенню, зменшенню

обчислювальної роботи. Побудуємо такі алгоритми для

наших формул[5,11].

Для формули трьох-восьмих. Нехай потрібно обчислити

інтеграл за допомогою формули трьох-восьмих з оцінкою

погрішності за принципом Рунге. Для того, щоб не

повторювати роботу при обчисленні Sh/2 обчислюватимемо її

33

за допомогою Sh. Нехай обчислено значення Sh для кроку

з 3m вузлами, m ≥ 1:

Позначемо

Тоді

Додамо ще m точок, тоді [a,b] розіб’ємо на

частини з кроком . З’являться нові точки

. Значення функції в них буде

Після цього вичислимо

Вважаючи

34

і враховуючи позначення, отримаємо формулу

При чому

Таким чином, обчислення m=2 при

послідовному ділені навпіл крока проводимо так.

Позначемо

35

Потім рахуємо

Вважаючи j = 2,3…, находимо S. Контроль точності

здійснюється за допомогою співвідношення

Як тільки ми доб’ємося, виконання цього співвідношення,

послідовно зменшуючи крок навпіл, вважаємо

Співвідношення контроля точності можна перетворити так

Таким чином, співвідношення буде виглядати

36

Разом, алгоритм обчислення інтеграла із заданою

точністю ε по формулі парабол з контролем точності за

принципом Рунге виглядає так:

E=45⑧

Wh=f(a)+f(b)

Vh=2f(

=0

1.Ділимо крок навпіл, збільшуючи σ на 1.

2.Рахуємо

3.Перевіряємо умову

4.Якщо умова 3 не виконується, то повторюємо команду

1 і продовжуємо процес.

5.Якщо умова 3 виконується, вважаємо

Обчислення закінчені[15].

37

Висновки

Задача обчислення визначеного інтеграла у випадках,

коли неможливо аналітично отримати первісні, може бути

вирішена за допомогою квадратурних формул.

Основна ідея побудови квадратурних формул полягає в

тому, що обчислення інтеграла (площі) замінюється

висловом, в якому використовуються деякі значення

підінтегральної функції. Як квадратурного

висловлювання, як правило вибирають зважену суму

значень підінтегральної функції.

У цій курсовій роботі я дослідила метод 3/8

теоретично, та як використовується на практиці. Та

38

порівняла його з іншими методами квадратурних формул, а

саме, родини Ньютона-Котеса.

Перелік посилань

1.Амосов А. А. Обчислювальні методи для інженерів:

підручн. посіб. / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинський,

Н. В. Копченова. – М.: Вища школа, 2004. – 554 с.

39

2.Аттетков А. В. Методи оптимізації: підручник для

вузів / А. В. Аттетков, С. В. Галкін, В. С.Зарубін.

– М.: МГТУ ім. Н. Е. Баумана, 2003. – 440 с.

3.Бахвалов Н. С. Чисельні методи / Н. С. Бахвалов, Н.

П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Наука, 2007. –

630 с.

4.Васильков Ю. В. Комп’ютерні технологої обчислень в

математичному моделюванні: підруч. Посібник / Ю. В.

Васильков, Н. Н. Василькова. – М.: Фінанси і

статистика, 2002. – 256 с.

5.Вержбицький В. М. Чисельні методи (математичний

аналіз і звичайні диференціальні рівняння): підруч.

посібник для вузів / В. М. Вержбицький. – М.: Вища

шк., 2001. – 382 с.

6.Коллатц Л. Функціональний аналіз і обчислювальна

математика / Л. Коллатц. – М.: Мир, 2009. – 448 с.

7.Ляшенко М. Я. Чисельні методи: Підручник / М. Я.

Ляшенко, М. С. Головань. – К.: Либідь, 2006. – 288

с.

8.Мак-Кракен Д. Чисельні методи і програмування на

ФОРТРАНЕ / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. – М.: Мир, 2007.

– 584 с.

9.Методи комп’ютерної обробки / Под ред.В.А. Сойфера.

– 2 вид. випр. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 784 с.

40

10. Методичні вказівки і учбові завдання з курсу

«Методи обчислень і обчислювальний практикум» для

студентів, частина 1, Р. В. Загайнова, В. О.

Кононов, Одеса ОДУ, 2010

11. «Наближене обчислення інтегралів», В. І.

Крилов, видавництво «Наука», Москва, 2001

12. «Обчислювальні методи», том 1, В. І. Крилов, В.

В. Бобков, П. І. Монастирний, видавництво «Наука»,

Москва, 1996

13. Різницеві методи та сплайни в задачах

багатовимірної інтерполяції / [ Квєтний Р. Н.,

Дементьєв В. Ю., Машницький М. О., Юдін О. О.]. –

Вінниця: УНІВЕРСУМ, 2009. – 87 с.

14. Самарський А. А. Вступ у числові методи / А. А.

Самарський. – М.: Наука, 1997. – 234 с.

15. Фельдман Л. П. Чисельні методи в інформатиці:

Підручник/ За ред. М. З. Згуровського, Л. П.

Фельдман, А. І. Петренко, О. А. Дмитрієва – К.:

Вид. група BHV, 2006. – 480 с.

16. Чабан В. Чисельні методи / В. Чабан. – Львів:

Вид. Нац. ун-ту "Львівська політехніка", 2001. –

186 с.

17. «Чисельні методи», том 1, С. В. Бахвалов,

видавництво «Наука», Москва, 1999

Metod 3/8

Documents

Transcript of Metod 3/8