MECANICA FLUIDELOR

Cuprins

MECANICA FLUIDELOR .................................................................................................... 1

1. INTRODUCERE ................................................................................................................. 8

1.1. OBIECTIVE ......................................................................................................................... 8

1.2. GENERALITĂŢI .................................................................................................................... 8

1.2.1. Definirea noţiunii de fluid ....................................................................................... 8

1.2.2. MODELUL DE FLUID .......................................................................................................... 8

1.3. STAREA DE EFORTURI ÎNTR-UN FLUID ...................................................................................... 9

.................................................................................................................................................10

.................................................................................................................................................11

2. PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR ................................................................................... 12

2.1. PROPRIETĂŢILE GENERALE ALE FLUIDELOR ............................................................................. 12

2.1.1. Densitatea ............................................................................................................. 12

2.1.2. Greutatea specifică γ ............................................................................................. 13

2.1.3. Compresibilitatea izotermă ................................................................................... 13

.................................................................................................................................................13

2.1.4. Dilatarea termică .................................................................................................. 15

2.1.5. Adeziunea la suprafeţe solide ................................................................................ 15

.................................................................................................................................................15

2.1.6. Viscozitatea ............................................................................................................ 16

.................................................................................................................................................16

.................................................................................................................................................17

.................................................................................................................................................17

2.1.7. Conductibilitatea termică ...................................................................................... 18

.................................................................................................................................................18

2.1.8. Difuzia masică ....................................................................................................... 18

.................................................................................................................................................19

1

2.2. PROPRIETĂŢILE FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR ......................................................................... 19

2.2.1. Tensiunea superficială ........................................................................................... 19

.................................................................................................................................................20

.................................................................................................................................................20

2.2.2. Capilaritatea .......................................................................................................... 21

.................................................................................................................................................21

2.2.3.Absobţia gazelor ..................................................................................................... 21

2.2.4.Degajarea gazelor şi cavitaţia ............................................................................... 22

3. STATICA FLUIDELOR .................................................................................................. 23

3.1. ECUAŢIILE DIFERENŢIALE DE REPAUS ALE FLUIDELOR .............................................................. 23

.................................................................................................................................................23

RELAŢIA FUNDAMENTALĂ A STATICII FLUIDELOR ........................................................................... 25

3.2.1. Relaţia fundamentală a staticii pentru fluide incompresibile .............................. 25

3.2.2. Calculul potenţialului forţelor masice unitare ...................................................... 25

CONSECINŢELE RELAŢIEI FUNDAMENTALE ALE REPAUSULUI FLUIDELOR .............................................. 25

.................................................................................................................................................27

3.4. REPAUSUL FLUIDELOR ÎN CÂMPUL GRAVITAŢIONAL .................................................................. 27

.................................................................................................................................................27

3.5. CONSECINŢE ŞI APLICAŢII .................................................................................................... 28

3.5.1. Principiul vaselor comunicante: ........................................................................... 28

.................................................................................................................................................28

3.5.2. Calculul presiunii în interiorul unui lichid în repaus ........................................... 28

.................................................................................................................................................28

3.5.3. Repartiţia de presiuni pe pereţii solizi ai unui rezervor ....................................... 28

.................................................................................................................................................29

.................................................................................................................................................29

3.5.4. Manometre diferenţiale ......................................................................................... 29

.................................................................................................................................................30

.................................................................................................................................................30

2

4. CINEMATICA FLUIDELOR ......................................................................................... 31

4.1 DESCRIEREA MIŞCĂRII ......................................................................................................... 31

.................................................................................................................................................31

4.2. LINII DE CURENT ............................................................................................................... 32

.................................................................................................................................................32

4.3. DEBITUL DE FLUID ............................................................................................................. 32

.................................................................................................................................................32

4.4. LINII DE VÂRTEJ ................................................................................................................ 33

.................................................................................................................................................33

4.5. PRINCIPIUL CONSERVĂRII MASEI (ECUAŢIA DE CONTINUITATE) ................................................... 33

4.6. ECUAŢIA DE CONTINUITATE SPECIFICĂ UNUI TUB DE CURENT ..................................................... 35

.................................................................................................................................................35

4.7. ECUAŢIA DE CONTINUITATE PENTRU TUBUL DE CURENT ELEMENTAR ........................................... 36

.................................................................................................................................................36

4.7.1. Tub nedeformabil ................................................................................................... 37

4.7.2. Mişcare permanentă .............................................................................................. 37

4.7.3. Fluid incompresibil ............................................................................................... 37

5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE .............................................................................. 38

5.1. DEDUCEREA ECUAŢIEI DE MIŞCARE A FLUIDELOR IDEALE ......................................................... 38

.................................................................................................................................................38

5.2. RELAŢIA LUI BERNOULLI .................................................................................................... 40

(79).......................................................................................................................................40

.................................................................................................................................................42

.................................................................................................................................................43

5.3. TEOREMA IMPULSULUI ........................................................................................................ 43

.................................................................................................................................................45

5.4. TEOREMA MOMENTULUI CINETIC .......................................................................................... 45

5.5. ACŢIUNEA APEI ASUPRA UNUI COT DE CONDUCTE .................................................................... 46

3

.................................................................................................................................................46

6. DINAMICA FLUIDELOR REALE ................................................................................ 48

6.1. EXPERIENŢA LUI REYNOLDS. REGIMURI DE CURGERE. ............................................................. 48

.................................................................................................................................................48

.................................................................................................................................................49

.................................................................................................................................................49

.................................................................................................................................................49

6.2. FORŢELE DE VISCOZITATE ................................................................................................... 50

6.3. LEGEA LUI STOKES ............................................................................................................ 50

6.4. FORMULA LUI NEWTON ...................................................................................................... 51

6.5. NUMĂRUL LUI REYNOLDS .................................................................................................. 52

6.6. ECUAŢIILE NAVIER – STOKES ............................................................................................. 53

6.7. CURGEREA LAMINARĂ ........................................................................................................ 55

6.7.1. Ecuaţiile de mişcare în regim laminar .................................................................. 55

6.7.2. Mişcarea Hagen – Poiseuille ................................................................................ 55

.................................................................................................................................................56

6.7.3. Efortul tangenţial ................................................................................................... 59

.................................................................................................................................................59

.................................................................................................................................................60

.................................................................................................................................................60

.................................................................................................................................................61

6.4. CURGEREA TURBULENTĂ .................................................................................................... 61

6.4.1. Generalităţi ............................................................................................................ 61

6.4.2. Calculul efortului tangenţial turbulent şi al efortului tangenţial total .................. 62

.................................................................................................................................................62

6.4.2. Ecuaţiile mişcării turbulente ................................................................................. 63

.................................................................................................................................................64

.................................................................................................................................................64

6.5. STRATUL LIMITĂ HIDRODINAMIC .......................................................................................... 64

4

.................................................................................................................................................65

.................................................................................................................................................65

.................................................................................................................................................66

6.5.1. Condiţia de desprindere a stratului limită ............................................................ 66

.................................................................................................................................................66

6.5.2. Stratul limită şi distribuţia vitezelor la curgerea prin conducte cu secţiunea

circulară ................................................................................................................................. 67

.................................................................................................................................................67

.................................................................................................................................................67

.................................................................................................................................................69

.................................................................................................................................................69

6.6. PIERDERILE DE SARCINĂ HIDRAULICĂ .................................................................................... 70

6.6.1. Pierderea de sarcină liniară ................................................................................. 70

.................................................................................................................................................71

.................................................................................................................................................72

.................................................................................................................................................72

.................................................................................................................................................73

.....................................................................................................................................74

6.6.2. Pierderea de sarcină locală .................................................................................. 74

.................................................................................................................................................75

6.7. MIŞCĂRILE EFLUENTE ALE FLUIDELOR ................................................................................... 75

6.7.1. Curgerea fluidelor prin orificii mici, în pereţi subţiri, sub sarcină constantă. ..... 76

.................................................................................................................................................76

6.7.2. Curgerea fluidelor prin orificii mari, în pereţi subţiri, sub sarcină constantă ..... 77

.................................................................................................................................................78

6.7.3. Calculul timpului de golire al unui rezervor ......................................................... 78

.................................................................................................................................................78

6.8. MIŞCAREA PERMANENTĂ ÎN CONDUCT SUB PRESIUNE ............................................................... 79

5

6.8.1. Calculul conductelor scurte .................................................................................. 80

.................................................................................................................................................81

.................................................................................................................................................82

6.8.2. Calculul conductelor lungi .................................................................................... 83

.................................................................................................................................................83

.................................................................................................................................................85

6

7

1. INTRODUCERE

1.1. Obiective

Mecanica fluidelor este un capitol al mecanicii care se ocupă cu studiul repausului respectiv

mişcării fluidelor şi interacţiunii mecanice a acestora cu corpurile cu care vin în contact.

1.2. Generalităţi

1.2.1. Definirea noţiunii de fluid

Fluidele sunt corpuri (stări) care nu au formă proprie şi a căror deformare fără variaţii

semnificative de volum se face foarte uşor, de unde decurge proprietatea de fluiditate.

Fluidele pot exista în următoarele stări de agregare: lichide, vapori, gaze şi plasmă. Dar

comportament de fluid au şi sistemele eterogene disperse lichid-gaz, lichid-lichid, lichid-solid,

gaz-solid, precum şi corpurile care au comportări intermediare între solide şi fluide, cum ar fi:

topiturile de polimeri, paste, etc.

Lichidele sunt fluide practic incompresibile care formează o suprafaţă liberă în contact cu un

gaz sau cu vaporii săi, sau o suprafaţă de separare în contact cu un alt lichid nemiscibil.

Starea lichidă cât şi cea solidă sunt considerate stări condensate, deoarece distanţa dintre

molecule sau atomi este mică.

Gazele sunt fluide care ocupă întreg volumul în care se află şi au o compresibilitate ridicată.

Aceste comportări se explică prin structura moleculară a gazelor care este diferită de cea a

lichidelor. La gaze forţele de atracţie moleculară sunt practic neglijabile, moleculele deplasându-

se liber unele în raport ce celelalte, deplasări însoţite de ciocniri elastice. Distanţa dintre

molecule este mult mai mare în raport cu dimensiunile acestora cea ce explică lipsa forţelor de

atracţie între moleculele gazelor.

Deoarece cu gazele se produc de obicei transformări termice, studiul gazelor se face pe larg

la termodinamică. Ca urmare, se face referire în continuare în mod preponderent la lichide. În

continuare se vor studia fluidele omogene şi izotrope.

1.2.2. Modelul de fluid

Curgerea fluidelor reprezintă un fenomen complex al cărui studiu impune în fiecare aplicaţie

în parte o serie de ipoteze simplificatoare.

Ipoteza valabilă în mecanica fluidelor este aceea a continuităţii: la scara de studiu a

fenomenului, care este una macroscopică, toate funcţiile ataşate proprietăţii de curgere (viteze,

presiuni, densităţi, etc.) sunt de clasă C1 pe domeniul considerat cu excepţia unor suprafeţe de

discontinuitate.

8

Un fluid este omogen dacă densitatea sa are aceeaşi valoare în orice punct din volumul

ocupat de fluid.

Un fluid este izotrop dacă îşi păstrează aceleaşi proprietăţi după orice direcţie care străbate

mediul fluid.

Mecanica fluidelor se mai numeşte şi mecanica mediilor continue, deoarece un fluid umple

complet spaţiul în care este pus.

OBSERVAŢIE: Scara de studiu a fenomenelor este macroscopică, în sensul că o particulă

fluidă conţine un număr considerabil de molecule.

Se deosebesc următoarele modele de fluide:

• fluide uşoare (practic fără greutate): aerul, gazele;

• fluide grele (lichidele, eventual gazele foarte dense);

• fluide ideale - sunt medii omogene fără viscozitate, adică nu opun rezistenţă la

deformare.;

• fluide reale - sunt tot medii omogene, continue, care opun rezistenţă la deformare,

care este determinată de forţele de frecare dintre straturile fluidului în curgere.;

• fluid incompresibil (modelul Pascal).

1.3. Starea de eforturi într-un fluid

Forţele care acţionează asupra fluidelor sunt de următoarele tipuri:

• forţe masice exterioare care se exercită în centrul de masă al fiecărui element de fluid

şi sunt proporţionale cu masa acestuia. Din această categorie fac parte: forţa

gravitaţională, forţa centrifugă, forţa de inerţie, forţa unui câmp electric, etc.

• forţe masice interioare - sunt de tipul acţiune - reacţiune, se exercită între două

particule învecinate din fluid şi se anihilează reciproc;

• forţe de presiune exterioare - se exercită pe suprafaţa exterioară a fluidului şi sunt, în

general, forţe de compresiune. Sunt de tipul forţelor de legătură din mecanica clasică.

• forţe de presiune interioare - se exercită de o parte şi de cealaltă a unei suprafeţe

oarecare ce străbate fluidul (sunt orientate după aceeaşi direcţie şi de sensuri opuse şi

deci se anihilează reciproc).

Condiţia de echilibru a unui volum de fluid este:

0m pF Fρ ρ+ =∑ ∑ (1)

condiţie ce se menţine şi în cazul în cazul în care fluidul se deplasează cu viteză constantă

(mişcarea uniformă).

9

Ecuaţia de mişcare pentru fluidul ideal este:

m pF F maρ ρ ρ+ =∑ ∑ (2)

valabilă în cazul unei mişcări uniform variate. Corespunde principiului al doilea al mecanicii.

Intensitatea acestor forţe se exprimă printr-o mărime numită presiune statică. Pentru

definirea acesteia considerăm un element de fluid

Fig. 1 Element de fluid

unde mr

– vectorul de poziţie al elementului D∆ ; Sr

– vectorul de poziţie al elementului S∆ .

Forţa masică unitară f

este definită prin

( )0

, lim m m

m

F dFf r t

m dm∆ →

∆= =∆

r rr r

(3)

unde mF

∆ – forţa masică; SF

∆ – forţa de suprafaţă; iar tensiunea (efortul unitar) prin

lim s sn S P

F dFp

A dA∆ →

∆= =∆

r rr

(4)

În cazul repausului fluidelor direcţia normală şi forţa de suprafaţă se află pe acelaşi suport,

astfel încât se exercită exclusiv eforturi de compresiune.

nppn

⋅−= (5)

unde

0≥=dA

Fdp S

(6)

unde p este presiunea statică (semnul „–„ se datorează faptului ca sensul efortului de presiune

este opus normalei exterioare).

Din punct de vedere dimensional

10

[ ]2m

NPapSI ==

cu unitatea măsură tolerată

25101 mNbar =

Presiunea într-un punct din mediul fluid este o mărime scalară. Cu alte cuvinte, din orice

direcţie ne apropiem de punctul respectiv, vom regăsi în locul respectiv aceeaşi valoare a

presiunii.

Presiunea statică se poate măsura în raport cu două valori de referinţă: în raport cu presiunea

zero, corespunzătoare vidului absolut, sau în raport cu presiunea atmosferică (fig. 3).

Presiunea absolută este presiunea raportată la vidul absolut. Suprapresiunea, presiunea

efectivă sau presiunea relativă are ca referinţă presiunea atmosferică. Vidul este tot o presiune

relativă, dar cu valori subatmosferice.

Fig. 2 Moduri de măsurare şi de exprimare a presiunii statice

11

2. PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

Fluidele au o serie de proprietăţi fizice comune tuturor stărilor de agregare: densitatea,

greutatea specifică, compresibilitatea izotermă, dilatarea termică, adeziunea la suprafeţe solide,

viscozitatea, conductibilitatea termică, difuzia masică.

Lichidele prezintă şi proprietăţi specifice acestei stări de agregare: tensiunea superficială,

capilaritatea, absorbţia gazelor, degajarea gazelor şi cavitaţia.

2.1. Proprietăţile generale ale fluidelor

2.1.1. Densitatea ρ

Pentru un fluid neomogen, densitatea este limita raportului dintre masa de fluid din jurul

punctului considerat şi volumul de fluid corespunzător atunci când acest volum tinde către 0,

adică:

0limv

m dm

v dv∆ →

∆ =∆

(7)

Pentru un lichid omogen:

3

m kg

v mρ =

Inversul densităţii este volumul specific:

1v

ρ= (8)

utilizat de obicei în procesele termodinamice ale aburului.

Densitatea unui fluid variază cu temperatura după formula:

0

1 tθ

ρρβ θ

=+ • (9)

unde: 0ρ = densitatea la 0°C, θρ = densitatea la temperatura θ , tβ = coeficientul de dilatare în

volum al fluidului.

Dacă θ creşte 0θρ ρ< sau, urmând un alt raţionament, dacă θ creşte ⇒ volumul creşte, m =

ct. ⇒ ρ scade.

Densitatea lichidelor este, practic, constantă la variaţia de presiune. Cu alte cuvinte, lichidele

pot fi considerate incompresibile. Densitatea gazelor este foarte variabilă la modificarea presiunii

şi deci gazele sunt foarte compresibile.

Pentru calculele la care este suficientă o precizie de două zecimale, se poate considera că

valoarea densităţii apei în intervalul de temperaturi uzual 0-20°C este:

12

2 31000H O

kg

mρ =

2.1.2. Greutatea specifică γ

Pentru un fluid neomogen, greutatea specifică este limita raportului dintre greutatea de fluid

din jurul punctului considerat şi volumul corespunzător, atunci când volumul tinde către 0.

0limv

G dG

v dvγ

∆ →

∆= =∆

(10)

Pentru un fluid omogen:

3

G N

v mγ =

unde γ reprezintă greutatea unităţii de volum.

Considerând m g

vγ •= şi

m

vρ= rezultă gγ ρ= • . Pentru g = 9,81 m/s2, rezultă

2 39810H O

N

mγ = .

2.1.3. Compresibilitatea izotermă

Este definită prin formula

vp

vβ∆ = − ∆ (11)

Fig. 3 Definirea compresibilităţii izoterme

Dacă se produce o creştere de presiune în exteriorul volumului de fluid considerat, Δp>0

atunci se constată o micşorare a volumului de fluid, ΔV<0, şi invers, dacă Δp<0 => ΔV>0.

Formula anterioară arată că variaţia relativă a volumului de fluid este direct proporţională cu

variaţia de presiune, prin intermediul coeficientului de compresibilitate izotermă β.

La o creştere a presiunii din jurul fluidului de exemplu, loc o comprimare rapidă a acestuia,

13

fapt ce se realizează la o temperatură constantă şi de aceea compresibilitatea este izotermă.

Se poate deduce expresia coeficientului β de compresibilitate izotermă:

1 v

v pβ ∆= −

∆ (12)

Pentru un volum infinitezimal se scrie expresia coeficientului funcţie de diferenţialele

volumului şi presiunii:

1 dv

v dpβ = − • (13)

Coeficientul de elasticitate al fluidului ε este dat de:

1 dpv

dvε

β= = − (14)

Se poate demonstra că în cazul transmiterii de unde în interiorul unui lichid, acesta nu mai

poate fi considerat incompresibil. Pentru a demonstra acest lucru se porneşte de la considerentul

că masa de fluid luată în discuţie este constantă.

m = Ct => dm = 0 => d(ρV) = 0 => ρdV +Vdρ = 0 => ρdV = -Vdρ =>

V dp

dV d d

ρ ε ρρ ρ

⇒− = ⇒ =

Viteza sunetului într-un mediu fluid este:

1dpc

d ddp

ερ ρ ρ

= = =(15)

Rezultă că pentru fenomenul de transmitere de unde sonore în lichid, acesta nu mai poate fi

considerat incompresibil. Întradevăr prin reducere la absurd se ajunge la relaţia imposibilă:

0d

ct cdp

ρρ = ⇒ = ⇒ → ∞ (16)

Se deduce deci că pentru fenomenul transmiterii de unde sonore într-un lichid, acesta trebuie

considerat compresibil. în această situaţie viteza sunetului ce se transmite prin lichid va avea o

valoare finită.

Se defineşte numărul lui Mach:

vMa

c= (17)

unde: v - viteza fluidului sau a corpului care evoluează în mediul fluid, c - viteza sunetului în

mediul respectiv.

Se obţine:

14

• pentru curgerea subsonică Ma < 1 (v < c)

• pentru curgerea supersonică Ma > 1 (v>c),

deci de exemplu, corpul se deplasează prin mediul fluid cu o viteză mai mare decât viteza

sunetului.

2.1.4. Dilatarea termică

Variaţia relativă a volumului de fluid este direct proporţională cu variaţia de temperatură:

0t

VT

Vβ∆ = • ∆ (18)

unde V0 reprezintă volumul iniţial de fluid.

Se observă, de exemplu, că la o creştere a temperaturii, are loc o creştere a volumului de

fluid considerat.

Relaţia se poate prelucra sub forma:

( )1 01 0

0

; 1t t

V VT V V T

Vβ β− = • ∆ = + • ∆ (19)

unde Vf reprezintă volumul final de fluid.

2.1.5. Adeziunea la suprafeţe solide

Se constată experimental că un strat de fluid din imediata apropiere a unei suprafeţe solide

rămâne în repaus împreună cu suprafaţa, eventual execută acelaşi tip de mişcare o dată cu

suprafaţa. Se spune că stratul de fluid aderă la suprafaţa solidă.

Grosimea acestui strat de fluid este 1100≅ dintr-un milimetru.

Fig. 4 Configuraţia stratului de fluid din vecinătatea unei suprafeţe solide

Se observă din figura precedentă că straturile de fluid superioare stratului aderent încep să se

mişte, viteza acestora crescând treptat, pe măsura depărtării de corpul solid.

15

2.1.6. Viscozitatea

Viscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformaţiilor relative care se manifestă

între straturile adiacente de fluid aflate în mişcare relativă fără ca deformaţiile să fie însoţite de

variaţii ale volumului.

Proprietatea a fost pusă în evidenţă prin experienţa lui Newton. În cadrul experienţei se

consideră două plăci plane, solide: cea de jos în repaus iar cea de sus în mişcare rectilinie

uniformă (fig. 5):

Fig. 5 Experienţa lui Newton

Placa superioară ce se găseşte în mişcare rectilinie şi uniformă cu viteza U antrenează în

mişcare uniformă cu aceeaşi viteză primul strat de fluid, datorită proprietăţii de adeziune.

Acesta, prin intermediul eforturilor tangenţiale τ, antrenează succesiv la rândul lui

următoarele straturi, a căror viteză descreşte însă liniar, pe măsura apropierii de placa de bază

fixă.

Stratul inferior de fluid aderă la placa fixă şi rămâne deci în repaus.

S-a constatat că efortul tangenţial τ este o funcţie de variaţia de viteze dintre straturi estimată

cu ajutorul derivatei şi este proporţional cu viscozitatea dinamică a fluidului, η:

. .du u

dy yτ η η ∆= ≅

∆ (20)

În relaţia (20) η este coeficientul de viscozitate dinamică

SI Pasη< > =

Definim şi coeficientul de viscozitatea cinematică ν prin relaţia

16

=

s

m2

ρηυ (21)

legat de coeficientul de viscozitate dinamică prin relaţia :

. vη ρ= (22)

OBSERVAŢIE: În strat molecular, fluidul aderă la pereţii solizi cu care intră în contact.

Fig. 6

Din figura 6 se pot trage următoarele concluzii:

Pentru dependenţa de tip (2) viscozitatea este constantă în raport cu viteza de

deformare;

Fluidele caracterizate de alura de tip (1) sunt „de tip nisip”, ele posedă prag de efort

şi pot să rămână în repaus în diferite configuraţii geometrice complexe;

Alura de tip (3) prezintă sunt comportamente de tip polimeri termoplastici care la

viteze mici de deformare permit alunecarea straturilor, practic fără frecare până la un

anumit prag al vitezei de deformare.

Fig. 7

17

2.1.7. Conductibilitatea termică

Este proprietatea fluidului de a transmite căldură.

Interesează de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din interiorul unui mediu

fluid prin care se transmite căldură.

Transmiterea de căldură poate fi caracterizată de fluxul termic φq a cărui sens, de la placa

mai caldă spre placa mai rece (fig. 8):

Fig. 8

Pentru determinarea temperaturii θ, corespunzătoare unui strat situat la distanţa y de placa de

bază, ce are temperatura cea mai mică, θ’, se face asemănarea triunghiurilor dreptunghice din

figură.

Se obţine:

( )"

yy

h

θ θ θ θθ θ

′− = ⇒ =′− (23)

Fluxul termic de la placa superioară la cea inferioară este dată de formula lui Fourier

q qkh

θϕ ∆= − • (24)

Semnul minus arată că fluxul termic se transmite în sens invers axei Oy. kq reprezintă

coeficientul de conductibilitate termică.

2.1.8. Difuzia masică

Difuzia masică este proprietatea unui fluid de a se răspândi în interiorul uni alt fluid, proces

datorat agitaţiei termice moleculare.

Se pune problema determinării concentraţiei fluidului F1 ce difuzează într-o anumită zonă

ocupată de fluidul F2.

În cazul unui vas umplut parţial cu alcool de exemplu, deasupra căruia se găseşte aer, se

poate determina concentraţia alcoolului difuzat în aer, la o anumită distanţă de suprafaţa liberă a

alcoolului (fig. 9).

18

În vecinătatea suprafeţei libere a alcoolului din vas vaporii de alcool au o concentraţie de

saturaţie, ce reprezintă de fapt concentraţia maximă a vaporilor de alcool.

La distanţa maximă de suprafaţa liberă a lichidului concentraţia are valoarea minimă C∞ .

Se doreşte determinarea concentraţiei vaporilor de alcool în aer într-un strat oarecare,

orizontal, figurat cu linie întreruptă.

Fig. 9

Făcând asemănarea triunghiurilor dreptunghice din figură, rezultă:

( )S

C C h yC C y

C C h∞

∞

− −= ⇒ =− (25)

Fluxul masic φm este dat de legea lui Fick:

.m m

Ck

hϕ ∆= (26)

şi se produce în sensul pozitiv al axei Oy, adică din zona cu concentraţie de alcool mai mare spre

zona cu concentraţie minimă. În (26) km reprezintă coeficientul de difuzie masică.

2.2. Proprietăţile fizice specifice lichidelor

2.2.1. Tensiunea superficială

Se constată experimental că suprafaţa liberă a unui fluid se găseşte într-o stare de tensiune

asemănătoare cu a unei membrane elastice întinse.

Experienţele evidenţiază că în repaus o masă oarecare de lichid îşi modifică forma, în sensul

minimizării ariei suprafeţei de contact cu un alt fluid (energia superficială are valoarea minimă).

19

Fig. 10

Aplicând o tăietură pe suprafaţa liberă S (fig. 10), conform principiului acţiunii si reacţiunii

se manifestă forţele de legătură F

∆ şi F

∆− , putându-se defini coeficientul de tensiune

superficială:

ds

Fd

=σ (27)

Coeficientul de tensiune superficială variază invers proporţional cu temperatura.

Se poate deduce diferenţa de presiune dintre zona interioară a fluidului ş i cea exterioară cu

ajutorul formulei lui Laplace:

Fig. 11

1 21 2

1 1p p

R Rσ

− = +

(28)

pentru elipsoidul din figură.

Dacă Rl = R2 = R elipsoidul devine sferă şi se obţine:

1 2

2p p

R

σ− = (29)

20

2.2.2. Capilaritatea

Este o consecinţă a proprietăţilor de adeziune şi tensiune superficială.

Se constată că lichidele cu densitate mică urcă în tuburile capilare ce au diametrul interior de

ordinul zecimilor de milimetri, cu o cotă h fată de suprafaţa liberă a lichidului, conform figurii

12a.

Fig. 12

Lichidele cu densitate mare coboară în tuburile capilare cu o cotă h, conform figurii 12b.

Citirea înălţimilor coloanei de lichid denivelate, h, se face plecând de la planul suprafeţei

libere a lichidului până la planul orizontal tangent la suprafaţa liberă a lichidului din tub.

Pentru determinarea cotei h se egalează rezultanta forţelor de tensiune superficială calculată

pe circumferinţa suprafeţei libere, cu greutatea volumului de lichid ce a urcat în tubul din figura

12a:

2 . . cos . . .r m g v gπ σ α ρ= = (30)

22 . . cos . . .r r h gπ σ α ρ π= ⇒

Formula lui Jurin

2 .cos

. .h

r g

σ αρ

= (31)

2.2.3.Absobţia gazelor

Fenomenul de absorbţie a gazelor într-un lichid se produce odată cu creşterea presiunii sau

scăderea temperaturii. Apa, în condiţii normale de presiune şi temperatură, conţine 2% aer.

21

2.2.4.Degajarea gazelor şi cavitaţia

Degajarea gazelor se produce odată cu scăderea presiunii sau creşterea temperaturii din jurul

mediului lichid. (de exemplu fierberea apei)

Cavitaţia este fenomenul ce se produce la scăderea presiunii până la nivelul presiunii de

vaporizare al lichidului. în aceste condiţii, se formează cavităţi în interiorul lichidului aflat în

curgere, care sunt umplute cu gaze conţinute anterior în lichid, cavităţi ce se reabsorb cu

creşterea ulterioară a presiunii.

Fenomenul este însoţit de procese mecanice (presiuni foarte mari), chimice (se degajă oxigen

activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere în miniatură), ce conduc

împreună la distrugerea materialului metalic.

Pentru evitarea fenomenului de cavitaţie, se asigură de regulă în amonte de zona periclitată,

o presiune suficient de mare, pentru a nu scădea presiunea în zona critică până la valoarea

presiunii de vaporizare.

22

3. STATICA FLUIDELOR

Se consideră că asupra fluidului în repaus acţionează forţele masice exterioare şi forţele

exterioare de presiune.

Pentru o masă infinitezimală de fluid în repaus, ecuaţia vectorială de echilibru este :

0m pd F d F+ = (32)

3.1. Ecuaţiile diferenţiale de repaus ale fluidelor

Se consideră o particulă infinitezimală, paralelipipedică, de dimensiuni dx, dz şi dy şi se

figurează toate forţele exterioare ce acţionează asupra particulei

Fig. 13

Particula este de dimensiuni infinitezimale deoarece în acest mod se poate considera că

presiunea p din origine se regăseşte cu aceeaşi valoare pe toate cele trei feţe ce conţin originea.

În acest mod se poate aplica formula cea mai simplă de calcul a forţei, ca produsul dintre

presiune şi suprafaţa aferentă.

Pe feţele opuse presiunea suferă modificări (de exemplu, pe direcţia Ox avem variaţia de

presiune p

dxx

∂∂

.

Forţa masică infinitezimală este dată de:

.m md F f dm=uur uur

(33)

unde mfuur

este forţa masică unitară (pentru care masa m = 1):

mf X i Y j Z k= + +uur r r r

(34)

23

X, Y şi Z sunt componentele forţei masice unitare (masa este considerată egală cu unitatea şi

atunci mf devine o forţă) după cele trei direcţii asociate cu versorii i,j şi k.

Diferenţiala masei fluidului din particulă este dată de:

. .dm dV dx dy dzρ ρ= = (35)

Se obţine forţa masică infinitezimală

( ) .md F X i Y j Z k dxdydzρ= + +uur r r r

Componenta forţei de presiune după axa OX se deduce făcând bilanţul forţelor orientate

după axa respectivă din fig. 13:

px

p pdF pdydz p dx dydz dxdydz

x x

∂ ∂ = − + = − ∂ ∂ (36)

Componentele după axele OY şi OZ se deduc în mod analog.

Se scrie ecuaţia vectorială iniţială după cele trei direcţii făcând înlocuirile componentelor de

forţă şi rezultă:

0

0

0

pX dxdydz dxdydz

xp

Y dxdydz dxdydzy

pZ dxdydz dxdydz

z

ρ

ρ

ρ

∂− = ∂∂ − = ∂

∂− = ∂

(37’)

1

1

1

pX

x

pY

y

pZ

z

ρ

ρ

ρ

∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂

(37”)

Prin înmulţirea ecuaţiilor cu versorii axelor şi adunarea celor trei ecuaţii membru cu membru

rezultă expresia vectorială;

1 p p pi j k X i Y j Z k

x y zρ ∂ ∂ ∂+ + = + + ∂ ∂ ∂

r r r r r r

şi utilizând gradientul presiunii se obţine în final ecuaţia vectorială a fluidului:

1mp f

ρ∇ =

uur(38)

Aceasta semnifică echilibrul în spaţiul tridimensional al forţelor unitare de presiune cu

forţele masice unitare ce acţionează asupra fluidului din particula considerată iniţial.

24

Utilizând proprietăţile de omogenitate şi izotropie ale mediului fluid, se deduce faptul că

ecuaţiile anterioare deduse pentru o particulă de fluid sunt de fapt valabile pentru întregul fluid

aflat în repaus.

Relaţia fundamentală a staticii fluidelor

Se porneşte de la ecuaţia vectorială de echilibru dedusă anterior (38). Pentru a putea integra

ecuaţia vectorială este necesar să se exprime forţele masice unitare tot cu ajutorul unui gradient:

mf U= − ∇uur

(39)

unde U este potenţialul forţelor masice unitare.

Se obţine prin înlocuire în ecuaţia vectorială:

1 1. . . 0p U p U dr

ρ ρ ∇ + ∇ ⇒ ∇ + ∇ =

r(40)

Se evaluează produsul scalar:

. . .p p p

p d r dx dy dz dpx y z

∂ ∂ ∂∇ • = + + =∂ ∂ ∂

r

şi se obţine relaţia fundamentală a staticii sub formă diferenţială

1. 0dp dU

ρ+ = (41)

iar prin integrare se obţine relaţia fundamentală a staticii sub formă integrală

dpU const

ρ+ =∫ (42)

3.2.1. Relaţia fundamentală a staticii pentru fluide incompresibile

Pentru fluidele incompresibile ρ = ct. şi efectuând integrala rezultă:

pU const p U constρ

ρ+ = ⇒ + =

3.2.2. Calculul potenţialului forţelor masice unitare

m m mf U U f U dr f d r= − ∇ ⇒ ∇ = − ⇒ ∇ • = − •uur uur r uur r

( )dU Xdx Ydy Zdz= − + +

( )U Xdx Ydy Zdz= − + +∫Consecinţele relaţiei fundamentale ale repausului fluidelor

1.Suprafeţele echipotenţiale .U const= sunt şi suprafeţe izobare

p U const p constρ+ = ⇒ =

25

2. Suprafeţele echipotenţiale .U const= sunt şi suprafeţe izodense:

constρ =

3.Suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izoterme:

T const=

4.Două suprafeţe echipotenţiale nu se intersectează.

Prin reducere la absurd, în cazul în care suprafeţele s-ar intersecta, se deduce că în zona

intersecţiei am avea două presiuni, ceea ce este imposibil . Deci suprafeţele echipotenţiale nu se

intersectează.

5.Forţa masică unitară este orientată perpendicular pe suprafaţa echipotenţială în sensul creşterii

presiunii şi scăderii potenţialului.

6. Două lichide nemişcibile au suprafaţa de separaţie echipotenţială.

- pentru primul lichid obţinem:

1dp Uρ= −

- pentru al doilea lichid:

2dp Uρ= −

şi deci

( )2 1 0 0dU dU U constρ ρ− = ⇒ = =

7.Într-un fluid în repaus, în care forţele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, se

consideră că presiunea rămâne constantă în întreg volumul de fluid considerat.

0mf =uur

0mf U U U const p U constρ= − ∇ ⇒ ∇ = ⇒ = ⇒ + =uur

şi rezultă

p const= (43)

Relaţia (43) traduce principiul lui Pascal conform căruia „ într-un lichid incompresibil, orice

variaţie de presiune se transmite practic instantaneu şi cu aceeaşi intensitate în toate direcţiile”.

2

2

1

1

A

F

A

Fp ==

26

Fig. 14

Aplicaţia din fig. 14 este un amplificator de forţă. Aplicarea principiului este valabilă

numai dacă neglijăm compresibilitatea lichidului.

3.4. Repausul fluidelor în câmpul gravitaţional

Fig. 15

p U constρ+ =

Deoarece nu există atracţie pe orizontală în câmpul gravitaţional

X = Y = 0

( )mf X i Y j Z k

U Xdx Ydy Zdz gdz gz const

= + +

= − + + = − − = +∫ ∫

uur r r r

p U constp gz const

U gz const

ρρ

+ = ⇒ + == +

însă

27

g pz const

p z const

ρ γγ γ=

⇒ + =+ = (44)

3.5. Consecinţe şi aplicaţii

3.5.1. Principiul vaselor comunicante:

Fig. 16

at

p z constz const

p p const

γ+ = ⇒ == =

Se constată deci că în cazul în care pe suprafeţele libere ale lichidului din cele două vase

comunicante acţionează aceeaşi presiune, lichidul se ridică la acelaşi nivel în fiecare vas.

3.5.2. Calculul presiunii în interiorul unui lichid în repaus

Fig. 17

( )M M N N

M N N M N

p z const

p z p z

p p z z p h

γγ γ

γ γ

+ =+ = += + − = +

M atp p ghρ= + (45)

3.5.3. Repartiţia de presiuni pe pereţii solizi ai unui rezervor

Deoarece presiunea creşte liniar cu adâncimea conform ultimei relaţii, se obţine o repartiţie

triunghiulară de presiuni cu unghiul la vârf α dat de (fig. 18):

htg

h

γα γ= =

28

Fig. 18

Repartiţia de presiuni pentru trei lichide nemişcibile (fig. 19) se obţine ţinând cont că

lichidul cu greutate specifică mai mare se lasă la fundul vasului iar cel cu greutate specifică mai

mică se ridică la suprafaţă

Fig. 19

Unghiul la vârf creşte cu adâncimea, deci odată cu creşterea greutăţii specifice a lichidului

respectiv.

Presiunea la baza rezervorului se obţine ca sumă a presiunilor data de cele trei coloane de

lichid suprapuse (suma segmentelor de la bază din dreapta desenului).

3.5.4. Manometre diferenţiale

Cel mai simplu manometru diferenţial este un tub in forma de U confecţionat dintr-un

material transparent (sticlă, de exemplu) umplut până la un anumit nivel cu un lichid

manometric, având densitatea Mρ . Lichidul manometric trebuie să aibă densitatea mai mare

decât densitatea ρ a fluidului măsurat, să nu fie miscibil şi să nu reacţioneze cu fluidul

măsurat.

Capetele libere ale manometrului se leagă la două prize de presiune. Dacă presiunea este

aceiaşi în ambele braţe 1 2(P = P ) , pe principiul vaselor comunicante, nivelul lichidului

manometric va fi acelaşi în ambele braţe. Daca 1 2P P≠ , de exemplu dacă 1 2P > P lichidul

manometric se denivelează până la stabilirea echilibrului hidrostatic.

Condiţia de echilibru implică egalitatea presiunilor în cele două ramuri ale manometrului în

secţiunea în care nivelul lichidului manometric este minim (secţiunea A-A' din fig. 20).

29

Fig. 20 Manometrul diferenţial

Prin urmare ţinând cont de ecuaţia fundamentală a hidrostaticii, rezultă:

1 1 2 2 MP + gH = P + gH + g Hρ ρ ρ ∆ (46)

Dar 1 2P = P - P∆ şi deci:

1 2 2 1 MP = P - P = g (H - H ) + g Hρ ρ∆ ∆ (47)

Dar 2 1H - H = - H∆ şi relaţia de mai sus devine:

MP = ( - )g Hρ ρ∆ ∆ (48)

Dacă măsurarea presiunii se face pentru un gaz, pentru care M << ρ ρ , ecuaţia se simplifică:

MP = g Hρ∆ ∆ (50)

Pentru diferenţe de presiune foarte mici, precizia măsurătorilor se poate mări utilizând

manometre diferenţiale înclinate la un unghi α faţă de orizontală (fig. 21).

Fig. 21 Manometru diferenţial înclinat

În acest caz:

H = l sinα∆ ∆ (51)

iar căderea de presiune se calculează cu relaţia:

MP = ( - ) g sinlρ ρ α∆ ∆ (52)

30

4. CINEMATICA FLUIDELOR

Cinematica fluidelor este partea mecanicii fluidelor care se ocupă cu studiul mişcărilor

acestora, fără a ţine seama de cauzele care produc mişcarea, adică de tipul forţelor aplicate şi

indiferent de modelul de fluid (ideal, real, compresibil, incompresibil, etc.).

4.1 Descrierea mişcării

Delimităm un corp care la momentul iniţial to are centrul de greutate într-un punct G0 (fig.

22). Dând drumul cronometrului corpul se mişcă pe o traiectorie, la momentul t>t0, centrul de

greutate fiind G.

Fig. 22

Ecuaţia traiectoriei este dată de (53)

),( 0 trrr = (53)

unde r0 – poziţia iniţială a particulei considerate, iar t – variabilă independentă, spaţiul

fiind funcţie de timp.

Fluidul este caracterizat prin câmpul vectorial al vitezelor

( ),v v r t=r r r

(54)

şi câmpul scalar al presiunilor

( ),p p r t=r

(55)

Din punct de vedere al vitezelor există mai multe criterii de clasificare:

o Modul de dependenţă dintre viteză, spaţiu si timp:

Mişcări nepermanente: ),( trvv=

31

Mişcări semipermanente: )()( retvv ⋅=

Mişcări permanente (staţionare): )(rvv=

4.2. Linii de curent

Liniile de curent sunt traiectoriile particulelor de fluid în regim staţionar sau în general sunt

acele linii de-a lungul cărora vectorul viteză este tangent la linie.

Ecuaţiile liniilor de curent:

x y z

dx dy dzdt

v v v= = =

dr v dt= •r r

care în sens matematic

00 →⇒→ rddt

Dacă prin toate punctele unei curbe L închise ducem liniile de curent, se obţine tubul de

curent, a cărui suprafaţă laterală ∑ este formată deci din linii de curent. Fluidul nu traversează

tubul de curent prin suprafaţa sa laterală, deci pe 0: =⋅Σ nv

Fig. 23 Tub de curent

4.3. Debitul de fluid

Fie un element de fluid de suprafaţă dS, cantitatea de fluid dm care trece în timpul dt printr-

un element de suprafaţă dS este:

Fig. 24

32

'cos cosdm dS PP dS v dtρ α ρ α= ⋅ = ⋅ ⋅

. .dm d S v dtρ=ur r

(56)

Definim debitul masic

. .m

dmdQ d S v

dtρ= =

ur r

sau

m SQ d S vρ= ∫

ur rÑ

4.4. Linii de vârtej

Se numeşte linie de vârtej o linie a câmpului vârtejurilor care înfăşoară în punctele

considerate vectorii respectivi. Linia de vârtej este tangentă în fiecare punct al ei la vectorul

vârtej Ω

din acel punct.

Se numeşte tub de vârtej suprafaţa ce cuprinde totalităţile liniilor de vârtej ce se sprijină pe o

curbă închisă ce nu este linie de vârtej.

Fig. 25 Tub de vârtej

ecuaţia liniei de vârtej:

0),( =×Ω rdtr

zyx

dzdydx

Ω=

Ω=

Ω(t fixat)

Ω

||rd

4.5. Principiul conservării masei (ecuaţia de continuitate)

În mecanica fluidelor, expresia matematică a principiului conservării masei se numeşte

ecuaţia de continuitate.

Delimităm în interiorul fluidului un volum arbitrar V de fluid, mărginit de o suprafaţă S.

Masa de fluid conţinută în volumul V

( ),V

m r t dVρ= ∫r

(57)

Printr-un element de suprafaţă dS iese cantitatea de fluid (57), de unde prin toată suprafaţa

iese cantitatea de fluid

33

. .S

dt d S vρ∫ur r

Ñceea ce duce la scăderea corespunzătoare a masei (57) conţinută în volumul V

( ), . .V V S

d r t dV dtdV v d S dtt

ρρ ρ∂− = − =∂∫ ∫ ∫

r r urÑ

de unde

.V S

dV v d St

ρ ρ∂− =∂∫ ∫

r urÑ (58)

scăderea masei de fluid conţinute în interiorul unei suprafeţe închise S în unitatea de timp este

egală cu fluxul de masă care trece prin suprafaţa S (legea conservării masei).

Aplicând teorema lui Gauss

. .S Va d S a dV= ∇∫ ∫r ur r

Ñ

unde .def

x x y y z za a a a∇ = ∂ + ∂ + ∂r

membrului drept din (58) se obţine

( ). 0V

v dVt

ρ ρ∂ + ∇ = ∂ ∫r

(59)

Într-un domeniu fluid izolat faţă de mediul exterior, masa de substanţă cuprinsă în domeniu

este un invariant.

Cum volumul V este arbitrar, integrantul trebuie să fie nul

( ). 0vt

ρ ρ∂ + ∇ =∂

r(60)

Aceasta este ecuaţia de continuitate expresie a legii de conservare a masei fluidului.

Cazuri particulare

1. În cazul mişcării permanente (staţionare) densitatea fluidului nu depinde de timp

0t

ρ∂ =∂

şi (60) devine

( ) ( ). 0 . . 0 . 0V S

v v dV v d Sρ ρ ρ∇ = ⇒ ∇ = ⇒ =∫ ∫r r r ur

ÑDeoarece 0ρ ≠

( ). 0 . 0v vρ∇ = ⇒ ∇ =r r

( ) ( ) ( ) 0x x y y z zv v vρ ρ ρ∂ + ∂ + ∂ = (61)

În problemele generale, condiţia obligatorie ca vx, vy, vz să reprezinte componentele vitezei

într-o curgere, este ca aceste funcţii să satisfacă ecuaţia de continuitate.

34

2. În cazul curgerii unui fluid incompresibil

0constt

ρρ ∂= ⇒ =∂

şi (60) devine

. 0 . . 0 . 0V S

v sau v dV v d S∇ = ∇ = ⇒ =∫ ∫r r r ur

Ñ (62)

4.6. Ecuaţia de continuitate specifică unui tub de curent

Fie un tub de curent de volum V între două secţiuni S1,2 (fig 26)

Fig. 26

Diferenţa dintre masa intrată şi cea ieşită în tub este:

( )1 2S S S

dt vd S vd S vd S dtρ ρ ρ= −∫ ∫ ∫r ur r ur r ur

ÑSe determină iniţial variaţia de masă din interiorul particulei de fluid. În interior avem masa

iniţială din volumul V:

i Vm dVρ= ∫

iar masa finală este:

( )f Vm dt dV

t

ρρ ∂= +∂∫

Diferenţa dintre masa finală şi cea iniţială este:

( )f i Vm m dV dt

t

ρ∂− =∂∫

Făcând bilanţul maselor, cu alte cuvinte egalând cele două forme ale variaţiei de masă,

rezultă:

( )1 2

( )V S S

dV dt vd S vd S dtt

ρ ρ ρ∂ = −∂∫ ∫ ∫

r ur r ur

şi prin simplificare rezultă:

( )1 2

( )V S S

dV vd S vd St

ρ ρ ρ∂ = −∂∫ ∫ ∫

r ur r ur(63)

35

Dacă mişcarea este permanentă:

0t

ρ∂ =∂

1 1m S S

Q vd S vd S constρ ρ= = =∫ ∫r ur r ur

Ñ Ñ (63)

Dacă fluidul este incompresibil:

1 1m S S

const Q vd S vd S constρ ρ ρ= ⇒ = = =∫ ∫r ur r ur

Ñ Ñdeci debitul volumic

1 1v S S

Q vd S vd S const= = =∫ ∫r ur r ur

Ñ Ñ (64)

unde în ambele integrale d Sur

se ia în sensul curgerii, deci în sensul curgerii fluidului

incompresibil, atât debitul masic cât şi cel volumic sunt constante de-a lungul unui tub de

curent.

4.7. Ecuaţia de continuitate pentru tubul de curent elementar

Diferenţa dintre masa intrată şi cea ieşită este (fig. 27):

Fig. 27

( ) ( )( )

VS VSVSdt VS ds dt dsdt

s s

ρ ρρ ρ

∂ ∂− + = −

∂ ∂(65)

Masa iniţială şi cea finală din tubul respectiv sunt:

( )( )

( )( )

i

f

m SdsS

m dt dsStm V dt ds

t

ρρ

ρρ

= ∂ ⇒ =∂ ∂= + ∂ (66)

Din bilanţul maselor, rezultă forma generală:

( ) ( ) ( ) ( )0

S VS S VSdsdt dsdt

t s t s

ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂= − ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂(67)

Cazuri particulare

36

4.7.1. Tub nedeformabil

( ) ( )0 0

S VSSS

t t s

ρ∂ ∂∂ = ⇒ + =∂ ∂ ∂

4.7.2. Mişcare permanentă

( )0 0

VSVS const

t t

ρρ ρ∂∂ = ⇒ = ⇒ =

∂ ∂

adică debitul masic

1 1 1 2 2 2mQ V S V S constρ ρ= = = (68)

4.7.3. Fluid incompresibil

1 1 2 2Vconst Q V S V S constρ = ⇒ = = = (68)

Această formă finală a ecuaţiei de continuitate reprezintă o formulă foarte des utilizată de

ingineri la calculul debitului volumic Qv, în special în situaţia când fluidul circulă printr-un

circuit închis.

Se poate face observaţia că, de exemplu, când secţiunea de curgere se micşorează, viteza

fluidului trebuie să crească astfel încât să se transporte acelaşi debit.

37

5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

Se ocupă cu studiul mişcării fluidelor, ţinând cont de forţele şi transformările energetice care

apar. Se analizează iniţial mişcarea fluidelor ideale la care există frecări şi pierderi de energie.

5.1. Deducerea ecuaţiei de mişcare a fluidelor ideale

Se consideră un volum oarecare de fluid aflat în mişcare uniform variată. Se figurează toate

forţele ce apar asupra unui volum delimitat de fluid, de dimensiuni infinitezimale şi se aplică

principiul al II-lea al dinamicii.

Fig. 28 Volum de fluid aflat în mişcare uniform variată

Ecuaţia vectorială de mişcare (principiul al II-lea) este:

m pd F d F dm a+ =ur ur r

(69)

Forţa masică elementară

. . ( )m m md F f dm f dV X i Y j Z k dxdydzρ ρ= = = + +ur ur ur r r r

(70)

sau pe componente

mxdF X dxdydzρ=

mydF Y dxdydzρ=

mzdF Z dxdydzρ=

Forţa elementară de presiune pe componente

( )px

p pdF pdydz p dx dydz dxdydz

x x

∂ ∂= − + = −∂ ∂

py

pdF dxdydz

y

∂= −∂

pz

pdF dxdydz

z

∂= −∂

38

sau scris vectorial

pp p p

d F dxdydz i dxdydz j dxdydz kx y z

∂ ∂ ∂= − − −∂ ∂ ∂

ur r r r

sau

.pd F p dxdydz= − ∇ur

(71)

dm dV dxdydzρ ρ= = (72)

În ceea ce priveşte acceleraţia, pe componente

xx

dva

dt=

yy

dva

dt=

zz

dva

dt=

sau scris vectorial

yx zx y z

dvdv dv dva a i a j a k i j k

dt dt dt dt= + + = + + =

rr r r r r r r

(73)

Cu acestea ecuaţia vectorială de mişcare va avea forma

.m

dvf dV p dV dV

dtρ ρ− ∇ =

rur

conducând la ecuaţia vectorială de mişcare sau ecuaţia Euler

1m

dvp f

dt ρ+ ∇ =

rur

(74)

Primul termen reprezintă forţa unitară instantanee de inerţie, al doilea forţa unitară de

presiune, iar membrul drept forţa masică unitară. Explicitând derivata totală se ajunge la

1( ) m

vv v p f

t ρ∂ + ∇ + ∇ =∂

rr r ur

(75)

Scriem ecuaţia Euler pe componente

1x x x zx y z

v v v v pv v v X

t x y z xρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (76a)

1y y y zx y z

v v v v pv v v Y

t x y z yρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(76b)

1z z z zx y z

v v v v pv v v Z

t x y z zρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (76c)

39

Sistemul are 4 necunoscute: vx, vy, vz şi t; pentru a-l rezolva se completează sistemul cu

ecuaţia de continuitate.

0yx zvv v

t x y z

ρρ ρρ ∂∂ ∂∂ + + + =∂ ∂ ∂ ∂

(77)

Dacă şi densitatea este o necunoscută, atunci se completează sistemul cu ecuaţia de stare a

gazelor: ( , )p Tρ ρ= rezultând un sistem cu 5 ecuaţii cu 5 necunoscute.

Sistemul se rezolvă exact în cazuri particulare de mişcare rezultând formule analitice.

În general, sistemul se rezolvă cu metode numerice, alegând o reţea în care se precizează

valorile iniţiale şi / sau la limită.

Valorile iniţiale 0 0 0 0, , ,x y zv v v p se precizează în cazul unei mişcări nepermanente.

O condiţie la limită pentru fluidele ideale este că viteza tangenţială a fluidului la suprafaţa

solidă este diferită de zero, datorită absenţei frecărilor.

Componenta normală a vitezei la suprafaţa solidă este însă nulă.

5.2. Relaţia lui Bernoulli

Această relaţie se obţine efectuând integrarea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor ideale pe o

linie de curent.

Se porneşte de la ecuaţia Euler (corspunzătoare mişcării fluidului ideal):

1( )

vv v f p

t ρ∂ + ∇ = − ∇∂

r rr r(78)

la această ecuaţie se adaugă ecuaţia de continuitate:

( ) 0vt

ρ ρ∂ + ∇ =∂

rg (79)

rezultând 3 ecuaţii pe componente de la Euler (Ox, Oy, Oz) cu 4 necunoscute (vx, vy, vz, p)

Integrarea acestui sistem de 4 ecuaţii cu 4 necunoscute este relativ dificilă, deoarece ecuaţiile

sunt neliniare, şi conţin derivate parţiale. În vederea rezolvării se impun un număr de ipoteze

simplificatoare:

1. mişcarea este staţionară (permanentă) astfel încât liniile de curent rămân invariabile în

timp şi coincid cu traiectoriile particulelor fluidului

0yx zvv v

t t t

∂∂ ∂= = =∂ ∂ ∂

(80)

2. mişcarea se efectuează pe o linie de curent, ea fiind determinată de ecuaţiile diferenţiale

x y z

dx dy dz

v v v= = (81)

40

3. Pentru a exprima membrul drept al fiecărei ecuaţii sub forma unei derivate, în scopul

integrării sistemului de ecuaţii, se pune condiţia ca forţa masică unitară să derive dintr-un

potenţial π numit potenţialul forţelor masice

f π= − ∇ur

(82)

4. presupunem că mişcarea este barotropă, ca urmare se utilizează entalpia unităţii de masă

a fluidului

dP Tds Vdp= + (83)

unde 1

Vρ

= este volumul specific, T temperatura, iar s entropia unităţii de masă a fluidului.

Deoarece s const=

1dP Vdp dp

ρ= =

şi 1

p Pρ

∇ = ∇ ecuaţia Euler se poate scrie

( )v

v v f Pt

∂ + ∇ = − ∇∂

rr r ur

Utilizând o formulă din analiza vectorială

21( ) ( )

2v v v v v∇ = × ∇× + ∇

r r r r(84)

se rescrie

21( )

2

vv v v f P

t

∂ + ∇ − × ∇× = − ∇∂

rr r ur

Pentru integrare, se înmulţeşte ecuaţia Euler cu vectorul variaţie a vectorului de poziţie rd

.

Din punct de vedere fizic aceasta înseamnă trecerea de la ecuaţia de echilibru dinamic la un

bilanţ energetic.

2 1(( ) )

2

v vdr dr v v dr dr p dr

tπ

ρ ∂ + ∇ ⋅ + ∇× × = −∇ ⋅ − ∇ ⋅ ∂

rr r r r r r r

g

2

( ) 02

v vd P dr v dr

tπ

∂+ + = − + ×Ω = ∂

r rr r rg g

sau

2

2

vP constπ+ + = (85)

Cazuri particulare

41

1. dacă mişcarea este staţionară (permanentă) 0v

drt

∂ =∂

rr

g

2. dacă

I. 0=== zyx vvv (nu avem translaţie, avem doar vârtejuri);

II. 0=Ω=Ω=Ω zyx (avem numai mişcare de translaţie, fără vârtejuri);

III.zyx V

dz

V

dy

V

dx == (ecuaţia liniei de curent);

IV.zyx

dzdydx

Ω=

Ω=

Ω (ecuaţia unei linii de vârtej);

V.z

z

y

y

x

x vvv

Ω=

Ω=

Ω (mişcare elicoidală).

atunci

( ) 0x y z

x y z

dx dy dz

v dr v v v× Ω = =Ω Ω Ω

r ur r

3. pentru fluid în câmp gravitaţional . .g z gπ ρ γ= =

2

2

v pgz const

ρ+ + =

2

2

v pz const

g gρ+ + =

4. pentru un tub de curent între punctele (1) şi (2) (fig. 29)

Fig. 29 Tub de curent

22

22

11

21

22z

g

p

g

vz

g

p

g

v++=++

ρρ(86)

Interpretare energetică şi reprezentarea grafică a relaţiei (86):

2

2

v pz const

g γ+ + =

Prin înmulţire cu produsul mg se obţine relaţia energetică:

42

2

2

v pmg Vg mgz const

g gρ

ρ+ + =

2

2

mvpV mgz const+ + = (87)

Deci suma dintre energia cinetică, energia de presiune şi energia potenţială a fluidului

rămâne constantă (pentru un fluid ideal).

Fig. 30 Interpretare energetică

În cazul fluidelor uşoare, energia potenţială este neglijabilă, deci termenul ce conţine cota z

nu se mai ia în considerare.

2

2

v pconst

g gρ+ =

2

2

v pconst

ρ+ =

2 21 1 2 2

2 2

v p v p

ρ ρ+ = +

Aceasta reprezintă deci relaţia lui Bernoulli pentru fluide uşoare cum sunt aerul sau diverse

gaze.

5.3. Teorema impulsului

Impulsul unui corp cu masa m şi viteza vectorială vr

este .m vr

.

Impulsul total al unui sistem de corpuri este:

.H m v= ∑uur r

Teorema impulsului arată că derivata în raport cu timpul a impulsului total este egală cu

suma forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului de corpuri.

e

d HF

dt= ∑

uuruur

sau

43

. e

dm v F

dt=∑ ∑

r uur

Pentru o obţine teorema generală a impulsului în cazul curgerii fluidelor considerăm un

volum de fluid format din particule de masă elementară dm pentru care impulsul unei particule

fluide este .dm vr

.

Se pleacă de la formele cinematicii de volum

( )

( ) ( )D t D D

d Ddv v dv v dv

dt t Dt

∂Φ Φ Φ = + ∇ Φ ⋅ = + Φ ∇ ⋅ ∂ ∫ ∫ ∫r r

şi de la teorema transportului care spune că derivata în raport cu timpul a integralei câmpului

ρ ψ=Φ pe domeniul D(t) este egală cu intensitatea derivatei în raport cu timpul a câmpului

ρ ψ pe volumul de control D, care coincide instantaneu cu D(t), plus debitul de proprietate

∫=Ψ dvρψ prin suprafaţa de control S a lui D

∫ ∫ ∫ ⋅⋅+∂

∂=)(

)()(

tD D S

dAnvdvt

dvdt

d ψρρψρψ

sau

dvvDt

Ddv

dt

d

tDtD∫∫

∇+⋅=⋅

)()(

)()( ρψψρψρ

Considerăm vψ → r

( ) ( )

( )( )

D t D t

d D vvdv v v

dt Dt

ρρ ρ⋅ ⋅ = + ∇ ∫ ∫r

r r r

( )( )

( )

D t

D t

Dv Dv v dv

Dt Dt

Dvdv

Dt

ρρ ρ

ρ

= + + ∇

=

∫

∫

rr r

rr

dar conform ecuaţiei de continuitate în cazul cel mai general

( ) 0=

∇+ v

Dt

D ρρ.

Aplicând ecuaţia Cauchy se ajunge la

∂∂

+∂∂

+∂∂

+⋅=z

P

y

P

x

Pf

Dt

vD zyx

ρρ (88)

care descrie principiul cantităţii de mişcare sub formă diferenţială (ecuaţie cu derivate parţiale).

O interpretare fizică a principiului cantităţii de mişcare se poate da pe baza următoarei relaţii

echivalente a acestuia sub formă integrală:

44

∫ ∫ ∫+=)( )( )(tD tD tS

ndApdvtdvvdt

d ρρ

(I) (II) (III)

Semnificaţia termenilor fiind:

I. variaţia în timp a impulsului sistemului de particule;

II. suma forţelor masice care acţionează asupra elementelor domeniului considerat;

suma forţelor de suprafaţă care acţionează asupra elementelor domeniului considerat.

În cazul tubului de curent elementar (fig. 31)

Fig. 31 Tub de curent elementar

2 1 1 2( ) p p g eQ v v F F F Fρ − = + + +uur ur uuur uuur uur uur

(89)

Variaţia forţelor de impuls este egală cu suma forţelor exterioare ce acţionează asupra

volumului de fluid V. În (89) 2vuur

şi 1vur

reprezintă viteza de ieşire, respectiv intrare în volumul V

de fluid de control, 1pFuuur

şi 2pFuuur

reprezintă forţele cu care fluidul îndepărtat acţionează asupra

fluidului din volumul V, gFuur

forţa de greutate a fluidului considerat, iar eFuur

forţa cu care pereţii

solizi acţionează asupra fluidului din volumul V. Se poate face înlocuirea:

eF R= −uur ur

unde R este forţa cu care fluidul acţionează asupra pereţilor.

5.4. Teorema momentului cinetic

Momentul cinetic al unui corp cu masa m şi viteza vectorială vr

este r mv×r r

.

Momentul cinetic total al unui sistem de corpuri este:

K r mv= ×∑uur r r

Teorema momentului cinetic arată că derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total

este egală cu suma momentelor forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului de corpuri.

e

d KM

dt=∑ ∑

uuruuur

sau

45

e

dr mv M

dt× =∑ ∑

r r uuur

Pentru o obţine teorema generală a momentului cinetic în cazul curgerii fluidelor considerăm

un volum de fluid format din particule de masă elementară dm pentru care momentul cinetic al

unei particule fluide este .r dm v×r r

.

Considerăm

r v Kψ → × =uurr r

∫ ∫∫ ×+×=×)( )()(

)()()(tD tS

n

tD

dAprdvfrdvvrdt

d ρρ (90)

În afara notaţiei vor apărea pe lângă r

, un frrr

(braţul forţei masice) şi un npr

(braţul

forţei de suprafaţă) şi vor fi exprimate în raport cu un punct de referinţă.

∫ ∫∫ ×−×=×S SD

dAnrpdvfrdAnvvrdt

d)()()( ρρ

În cazul tubului de curent elementar (fig. 31) teorema momentului cinetic se obţine prin

înmulţirea cu vectorul de poziţie corespunzător a fiecărui termen din teorema impulsului:

2 2 1 1 1 1 2 2( ) p p p p g g e eQ r v r v r F r F r F r Fρ × − × = × + × + × + ×ur uur ur ur uur uuur uur uuur ur uur ur uur

(91)

Din teorema impulsului se deduce modulul forţei eFuur

sau a lui 'R şi din teorema momentului

cinetic se determină vectorul de poziţie erur

.

Cunoscând modulul forţei şi punctul său de aplicaţie, problema se consideră rezolvată.

5.5. Acţiunea apei asupra unui cot de conducte

Se consideră un cot de conductă cu secţiune variabilă de unghi α , situat în plan orizontal

prin care trece debitul de apă Q , presiunea la intrarea în cot fiind 1p , se cere să se calculeze

forţa de impuls.

Fig. 32 Calculul forţei de presiune

Dacă sensul vectorilor coincide cu sensul axelor, atunci vectorii îşi menţin acelaşi semn în

teorema impulsului. Se aplică relaţia (89) şi „proiectând” teorema impulsului pe axe se obţine:

46

(pr.Ox): ( )1 22 1cos cosp p xQ v v F F Rρ α α− = − −

(pr.Oy): ( )22 sin 0 0 sinp yQ v F Rρ α α− − = + −

dar

22

11

2

1

ApF

ApF

p

p

⋅=

⋅=

unde p1 = pM este suprapresiunea lichidului din conductă; însă din ecuaţia de continuitate

1 1 2 2Q v A v A= =

11

Qv

A=

22

Qv

A=

care coroborată cu ecuaţia Bernoulli:

2

222

1

211

22z

g

V

g

pz

g

V

g

p++=++

ρρ(92)

la care z1 = z2, deoarece cotul are curbura în plan orizontal, duce la determinarea lui p2 din relaţia

(93)

2 21 1 2 2

2 2

p V p V

g g g gρ ρ+ = + (93)

Cu acestea

1 2 1 1 2 2( cos ) cosxR Q v v p A p Aρ α α= − + − (94a)

2 2sin sinyR Qv pρ α α= + (94b)

Forţa de impuls cu care apa acţionează asupra cotului de conductă este:

2 2x yR R R= + (95)

47

6. DINAMICA FLUIDELOR REALE

Fluidele reale au proprietatea de viscozitate, care produce frecări şi pierderi de energie.

6.1. Experienţa lui Reynolds. Regimuri de curgere.

Cu ajutorul experienţei lui Reynolds se vizualizează regimul de curgere a unui fluid funcţie

de debit şi viteză.

Fig. 33 Instalaţia lui Reynolds (1 - rezervor de nivel constant, 2 - dispozitiv de alimentare cu orificii multiple, 3 - dispozitiv de preaplin, 4 - vas cu colorant, 5 - tub

injector, 6 - tub de sticlă pentru vizualizarea curgerii, 7 - robinet pentru reglarea debitului, 8 - mensură gradată)

Instalaţia este prezentată în figura 33 şi este compusă din :

1. rezervor de nivel constant (menţine adâncimea apei constantă, astfel încât viteza cu care

intră apa în tubul de sticlă este aproximativ 2gh şi se obţine în final un debit şi un

regim de curgere constant.

2. dispozitiv de alimentare cu orificii multiple

3. dispozitiv de preaplin. (evacuează surplusul de debit)

4. vas cu colorant

5. tub injector (permite accesul coloranţilor în tubul de sticlă)

6. tub de sticlă pentru vizualizarea curgerii

7. robinet pentru reglarea debitului

8. mensură gradată pentru colectarea volumului de apă scursă din tubul de sticlă într-un

anumit timp.

La începutul experimentului se deschide robinetul (6) şi se introduce colorant prin acul

injector.

La viteze şi debite mici, colorantul are aspectul din prima figură şi corespunde unui regim

48

laminar(fig. 33). Particulele de fluid au o singură componentă de viteză. Fluidul curge în

straturi, nu există schimburi de particule şi de impuls între straturile de fluid.

Fig. 34 Curgere laminară

Se deschide în continuare robinetul (6) până se observă oscilaţii aleatorii ale firului de

colorant (fig. 35) ce corespunde unui regim tranzitoriu.

Fig. 35 Regimul tranzitoriu

Apar pulsaţii de viteză după alte direcţii decât direcţia curgerii ce determină schimb de

particule şi impuls între straturi.

La o deschidere şi mai pronunţată a robinetului (6) se obţin debite de curgere mari şi

colorantul are aspectul din fig. 36.

Fig. 36 Regimul turbulent

În cadrul acestui regim turbulent, pulsaţiile de viteză aleatorii au valori mari, schimbul de

49

impuls este accentuat şi regimul corespunde unor pierderi energetice mari.

Acest regim se întâlneşte de obicei în cazul transportului fluidelor în conducte deoarece sunt

solicitate de regulă debite mari de fluid

În cazul experienţei, s-a constatat că viteza medie de curgere prin tubul de sticlă, diametrul

interior al tubului, precum şi vâscozitatea cinematică a lichidului influenţează evoluţia

colorantului.

6.2. Forţele de viscozitate

Dacă straturile de fluid alunecă unele faţă de altele, între ele apar forţe de frecare internă

sau de viscozitate. Stratul cu viteză mai mică va frâna stratul cu viteză mai mare cu care este în

contact, şi invers stratul cu viteză mai mare va accelera stratul cu viteză mai mică peste care el

lunecă.

Apariţia acestor forţe, situate în planele de lunecare, se explică prin variaţia de impuls a

straturilor datorită trecerii moleculelor dintr-un strat în altul. Presupunând că direcţia de curgere

a fluidului este aceeaşi peste tot şi că viteza de curgere variază ca modul numai în direcţia

perpendiculară (transversală) pe direcţia de curgere, se poate exprima forţa de frecare internă

care apare în planul de lunecare pe unitatea de suprafaţă ca proporţională cu gradientul vitezei

(legea Newton):

. .dF du u

dS dy yτ η η ∆= = ≅

∆ (20)

unde η este coeficientul de viscozitate dinamică dependent de natura fluidului şi de

temperatură.

SI Pa sη< > = •

Definim şi coeficientul de viscozitatea cinematică ν împărţind viscozitatea η la densitatea

ρ a fluidului

=

s

m2

ρηυ (21)

legat de coeficientul de viscozitate dinamică prin relaţia :

. vη ρ= (22)

6.3. Legea lui Stokes

Când un corp se mişcă într-un fluid, la suprafaţa sa aderă un strat foarte subţire de fluid,

antrenat de corp. În regim laminar, în vecinătatea corpului există un strat relativ subţire numit

strat limită, în care viteza scade până la zero şi în care se manifestă forţele de frecare datorită

viscozităţii.

50

Se poate evalua grosimea d a stratului limită. Pentru aceasta notând cu h şi b lungimea şi

lăţimea stratului limită atunci din legea Newton se poate deduce forţa de frecare internă

vF hb

dη: (95)

Pe de altă parte, forţa de frecare internă se poate găsi din variaţia impulsului fluidului (de la

stratul cu viteză zero până la cel cu viteza η ) pe unitatea de timp:

2mF Q v dbv v dbvρ ρ= =: g (96)

Din comparaţia acestor două expresii rezultă

hd

v

ηρ

≅ (97)

Considerăm raportul hb d din (100) ca o lungime caracteristică l a corpului, atunci forţa de

frecare (98) este:

F const lvη= g (98)

Expresia de mai sus exprimă legea lui Stokes conform căreia forţa de frecare F întimpinată

de corp în regim laminar este proporţională cu viscozitatea fluidului η , cu dimensiunea liniară

caracteristică l a corpului şi cu viteza sa v.

În cazul sferei se obţine formula lui Stokes

6F rvπη= (99)

6.4. Formula lui Newton

Dacă viteza de curgere depăşeşte o valoare critică apare regimul turbulent, în care se

formează vârtejuri, a căror origine este legată de forţele de frecare (viscozitate). Liniile de curent

dispar; întreaga masă de fluid se mişcă dezordonat. Viteza nu mai este o funcţie continuă de

punct. Curgerea devine nestaţionară. Viteza şi presiunea variază în fiecare punct, fluctuează în

jurul unei valori medii. Forţa de rezistenţă exercitată asupra obiectelor creşte şi devine

proporţională cu densitatea fluidului şi cu pătratul vitezei.

În adevăr, la viteze mici, în regim laminar, predomină forţele de frecare care depind de

viscozitatea η, de viteza relativă v a fluidului faţă de corp şi de dimensiunile liniare l ale corpului.

Din consideraţii dimensionale rezultă uşor legea lui Stokes:

2 1 1 1. ( ) ( )F const l v LMT L MT L LTα β γ α β γη − − − −= ⇔ =

de unde 1, 1, 1α γ β= = =

.F const lvη= (legea Stokes) (100)

La viteze mari, în regim turbulent, predomină efectele inerţiale, datorate energiei cinetice sau

51

presiunii dinamice. Vârtejurile consumă energie cinetică de rotaţie în dauna energiei cinetice de

translaţie a lichidului. Formarea vârtejurilor în urma corpului duce la o creştere a forţei de

rezistenţă la curgere faţă de regimul laminar. Vârtejurile se amortizează treptat, energia lor

cinetică transformându-se în căldură (în energia internă a fluidului). Viscozitatea se manifestă

doar într-un strat limită foarte subţire.

Din consideraţii dimensionale rezultă formula Newton:

2 1 3. ( ) ( )F const l v LMT L LT MLα β γ α β γρ − − −= ⇔ =

de unde 1, 2, 2γ β α= = =

21.

2F CS vρ= (formula lui Newton) (101)

unde C este o constantă adimensională, sensibilă la forma corpului, S – aria secţiunii

transversale.

Forţa de rezistenţă F este proporţională cu aria transversală S opusă fluidului, cu

densitatea ρ a fluidului şi cu pătratul vitezei v (cu presiunea dinamică 2 2vρ ).

Trebuie observat că la orice viteze ( la orice regim, laminar sau turbulent), în forţa de

rezistenţă contribuie ambele efecte, al viscozităţii şi al energiei cinetice, numai că la viteze mici

predomină primul efect (energia cinetică sau presiunea dinamică este neglijabilă faţă de forţele

de frecare internă datorate viscozităţii), iar la viteze mari predomină al doilea efect.

6.5. Numărul lui Reynolds

Trecerea de la regimul laminar la cel turbulent trebuie să aibă loc la viteze pentru care cele

două forţe (100), (101) devin comparabile între ele:

312

1 22

Cl vC lv C

C

ρη ρη

⇒: : (102)

Raportul adimensional

Rel v lvρη ν

= = (103)

se numeşte numărul (cifra) lui O. Reynolds (1883).

Experienţa arată că trecerea de la regimul laminar la cel turbulent are loc pentru anumite

valori ale numărului Reynolds. Astfel, pentru conducte tubulare cu pereţi netezi această valoare

critică a numărului Reynolds este

Re 2300Dv

ν= ≈ (104)

Deci regimul turbulent apare la viteze suficient de mari sau la diametre mari (pentru un fluid

52

ideal Re → ∞ .

Se poate enunţa o a doua formă a numărului lui Reynolds. În acest scop se exprimă viteza

fluidului în conductă

2 2

4

4

V V VQ Q Qv

DS Dπ π= = =

şi atunci numărul Reynolds are forma

2

4 4Re V VQ QDv D

D Dν π ν π ν= = ⋅ = (105)

(105) reprezintă a doua formă a numărului Reynolds.

În general forţa de rezistenţă se poate scrie sub forma

2(Re)F f v Sρ= g (106)

unde f(Re) este o funcţie adimensională de numărul lui Reynolds. De exemplu, în cazul legii

Stokes (regim laminar) pentru sferă

12(Re)

Ref = (107)

şi condiţia de valabilitate a legii Stokes este Re 1= .

În cazul curgerii turbulente printr-un tub, distribuţia vitezelor medii pe secţiunea tubului este

complet diferită de legea parabolică Poiseuille a curgerii laminare

1 7 71 ( ) 1v r

r RRv

= − = − (108)

Înainte de a discuta în detaliu regimurile de curgere sa va face o prezentare a ecuaţiilor de

mişcare a fluidelor viscoase numite ecuaţiile Navier – Stokes.

6.6. Ecuaţiile Navier – Stokes

Ecuaţiile Navier – Stokes, numite aşa după Claude - Louis Navier şi George Gabriel Stokes,

descriu mişcarea fluidelor. Aceste ecuaţii au luat naştere prin aplicarea legii a doua a lui Newton

la mişcarea fluidelor împreună cu ipoteza că tensiunea fluidului este proporţională cu gradientul

vitezei (fluid Newtonian), la care se adaugă gradientul presiunii.

Ecuaţiile Navier - Stokes dau viteza şi nu poziţia unei particule de fluid. O soluţie a

ecuaţiilor Navier - Stokes este numită câmpul de viteze, care reprezintă viteza fluidului într-un

punct din spaţiu şi timp.

O dată ce este cunoscut câmpul de viteze, se pot obţine şi alte mărimi de interes. Acest lucru

este diferit de ceea ce ştim din mecanica clasică, unde soluţiile erau traiectorii ale particulelor.

Deducerea ecuaţiilor Navier – Stokes se face pornind de la legea a doua a lui Newton

53

(conservarea impulsului), scrisă pentru un volum de control arbitrar. Într-un sistem de referinţă

inerţial, forma generala a ecuaţiei unui fluid în mişcare este

µ( )v

v v p T ft

ρ ∂ + ∇ = − ∇ + ∇ +∂

rr r urg g (109)

în care, vr este viteza fluidului, ( ρ densitatea, p presiunea, µT tensorul tensiunilor, iar f

ur

reprezintă forţele exterioare (pe unitatea de volum) care acţionează asupra fluidului, iar ∇ este

operatorul nabla. De fapt, această ecuaţie este aplicabilă oricărui mediu continuu nerelativist şi

este cunoscută ca ecuaţia impulsului Cauchy.

De multe ori ecuaţia se scrise folosind derivata substanţială, făcând-o mult mai asemănătoare

cu legea a doua a lui Newton:

µDvp T f

Dtρ = − ∇ + ∇ +

rur

g (110)

Partea stângă a ecuaţiei reprezintă acceleraţia, şi poate fi compusă din efecte dependente de

timp şi convective, sau, dacă sunt prezente, efectul coordonatelor neinerţiale. Partea dreapta

reprezintă suma tuturor forţelor care acţionează asupra volumului de control, precum forţa

gravitaţională, gradientul de presiune si tensorul tensiunilor.

Ecuaţia Navier – Stokes se poate scrie pentru un fluid compresibil sub forma:

1 1( ) ( )

3

Dv vv v f p v v

Dt tν ν

ρ∂= + ⋅∇ = − ∇ + ∆ + ∇ ∇∂

r r rr r r rg (111)

I II

Faţă de termenii din stânga şi din dreapta, din cazul repausului absolut, apar termenii I şi II.

I – termen datorat frecãrii vâscoase;

II – termen datorat compresibilitãþii.

În general în cazurile practice se rezolvă un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale alcătuit din

ecuaţia Navier – Stokes şi ecuaţia de continuitate:

( ) 0vt

ρ ρ∂ + ∇ =∂

rg (112)

În cazul fluidelor incompresibile ( constρ = ) ecuaţia de continuitate (principiul conservării

maselor) se scrie: 0v∇ =rg .

Se observă că în cazul fluidelor ideale, viscozitatea este 0, şi în ecuaţia (111) termenii I şi II

se anulează, ajungându-se la ecuaţia Euler:

1( )

Dv vv v f p

Dt t ρ∂= + ⋅∇ = − ∇∂

r r rr r(113)

54

6.7. Curgerea laminară

6.7.1. Ecuaţiile de mişcare în regim laminar

În cazul mişcării laminare nepermanente a fluidelor incompresibile, ţinând cont de

constρ = şi 0v∇ =rg se ajunge la forma generală a ecuaţiei Navier – Stokes

21( )

Dv vv v f p v

Dt tν

ρ∂= + ⋅∇ = − ∇ + ∇∂

r r rrr rg (114)

Ecuaţia Navier – Stokes şi ecuaţia de continuitate se pot scrie pe componente ţinând cont de

de componentele u, v şi w ale vitezei vr

şi de componentele X, Y, Z ale forţei fur

.

2

2

2

1

1

1

Du pX u

Dt x

Dv pY v

Dt y

Dw pZ w

Dt z

νρ

νρ

νρ

∂+ = + ∇∂∂+ = + ∇∂∂+ = + ∇∂

g

g

g

(115)

în care ultimul termen din fiecare ecuaţie reprezintă forţa unitară de viscozitate.

Sistemul (115) se poate detalia explicitând derivatele substanţiale

2

2

2

1

1

1

u u u u pu v w X u

t x y z x

v v v v pu v w Y v

t x y z y

v w w w pu v w Z w

t x y z z

νρ

νρ

νρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = + ∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = + ∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = + ∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂

g

g

g

(116)

care împreună cu ecuaţia de continuitate scrisă pe componente:

0u v w

x y z

∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (117)

formează un sistem neliniar de patru ecuaţii cu derivate parţiale, de ordinul al doilea, pentru

funcţiile necunoscute ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )u x y z t v x y z t w x y z t p x y z t . Pentru rezolvarea acestui

sistem este necesară cunoaşterea condiţiilor iniţiale (câmpurile vitezei şi presiunii în momentul

iniţial 0t = ) şi a condiţiilor la limită (viteza fluidului la infinit este un vector dat şi viteza

fluidului pe conturul corpului în jurul căruia are loc curgerea este egală cu viteza conturului,

datorită adeziunii) pentru fiecare caz de mişcare a fluidului.

6.7.2. Mişcarea Hagen – Poiseuille

Un caz de mişcare laminară întâlnit des în aplicaţiile tehnice este mişcarea laminară într-o

conductă circulară dreaptă (mişcarea Hagen – Poiseuille). Se propune determinarea repartiţiei

55

vitezelor într-o conductă circulară de rază R (fig. 37) prin care curge un fluid de viscozitate

dinamică η astfel încât căderea de presiune pe distanţa l să fie 1 2p p− .

Fig. 37 Secţiunea transversală în conductă

Pornim de la ecuaţia Navier – Stokes (114) scrisă sub forma:

21Dvf p v

Dt

ηρ ρ

= − ∇ + ∇r

ur r(118)

la care impunem condiţiile 0f =ur

(conducta orizontală), 0Dv

Dt=

r

(curgere staţionară), iar

( )v v r=r r

, r fiind distanţa faţă de axul conductei. În aceste condiţii gradientul de viteză are forma:

2 1p p vp

l v

−∇ =r

(119)

unde l este lungimea conductei.

Din (118) şi (119) deducem

22 110 0

p p vv

l v

ηρ ρ

−= − + ∇r

r

sau pentru viteza în modul

2 2 1p pv

lη−∇ = (120)

unde ( )v v r= .

Exprimăm ecuaţia (120) în coordonate cilindrice, ţinând cont de

2 2r x y= + (121)

v dv r

x dr x

∂ ∂=∂ ∂

g

dar

56

r x

x r

∂ =∂

şi rezultă

v x dv

x r dr

∂ =∂

g

2

2 2( ) ( )

xr xv x dv dv x d dv rr

x x r dr r dr r dr dr x

−∂ ∂ ∂= = +∂ ∂ ∂

g g

şi deci

2 2 2 2 2

2 3 2 2

v r x dv x d v

x r dr r dr

∂ −= +∂

g (122)

analog

2 2 2 2 2

2 3 2 2

v r y dv y d v

y r dr r dr

∂ −= +∂

g (123)

Adunând (107) cu (108) şi ţinând cont de (106) se ajunge la expresia laplaceanului:

22

2

1 1( )

dv d v d dvv r

r dr dr r dr dr∇ = + =g (124)

care înlocuită în (105) conduce la ecuaţia diferenţialǎ de mişcare ce determinǎ câmpul de viteze:

2 11( )

p pd dvr

r dr dr lη−= (125)

Separând variabilele

2 1( )p pd dv

r rdrdr dr lη

−=

şi integrând

22 1

12

p pdv rr C

dr lη−= + (126)

Impunând condiţia ca viteza fluidului să fie maximă pa axa centrală

0 0dv

pentru rdr

= =

se determină constanta C1 din (111)

1 10 0 0C C= + ⇒ =

adică (111) devine

22 1

2

p pdv rr

dr lη−=

57

Separăm variabilele

2 1

2

p pdv rdr

lη−= (127)

şi integrăm

22 1

2( )2 2

p p rv r C

lη−= + (128)

Impunând condiţia ca viteza sǎ fie nulă pe peretele conductei,

0v pentru r R= =

determinăm din (113) constanta de integrare C2

22 1

202 2

p p rC

lη−= +

de unde

22 12 4

p pC R

lη−= − (129)

care înlocuit în (113) duce la obţinerea expresiei câmpului de viteze în conductǎ

2 21 2( ) ( )4

p pv r R r

lη−= − (130)

Pentru a obţine debitul volumic de curgere a fluidului prin conductǎ vom calcula mai întâi

debitul volumic corespunzător unui strat de fluid cu grosimea dr:

( )( )V

v r dt dSdQ v r dS

dt

⋅= = (131)

dar din fig. 37 rezultă

2 .dS r drπ= (132)

de unde

2 . ( )VdQ r v r drπ= (133)

Folosind expresia (113) pentru câmpul de viteze al fluidului care se mişcă prin conducta

orizontală, vom calcula debitul de curgere al fluidului printr-o secţiune transversală a conductei.

Pentru aceasta vom integra relaţia (118) între limitele r = 0 şi r = R.

2 21 2

0 0

2 ( )2 ( ) ( )

4

R R

V

p pQ rv r dr R r rdr

l

ππη

−= = −∫ ∫41 2( )

8V

p pQ R

l

πη−= (134)

Pe de altă parte

58

.VQ S v=

de unde rezultă expresia vitezei medii în conductă

21 2( )

8

p pv R

lη−= (135)

Ţinând cont de faptul că pe axul conductei viteza are valoare maximă

21 2( )

4M

p pv R

lη−= (136)

Se poate estima raportul dintre viteza medie şi viteza maximă:

1

2M

v

v= (137)

Cu viteza medie se calculează debitul volumic mediu:

2 2 41 2 1 2( ) ( ).

8 8V

p p p pQ v S R R R

L L

ππη η− −= ⋅ = = (138)

Relaţia (119) reprezintă formula lui Poiseuille (1841). Debitul este proporţional cu căderea de

presiune pe unitatea de lungime a tubului şi cu puterea a 4-a a razei tubului.

6.7.3. Efortul tangenţial

În fig. 38 se prezintă distribuţia de viteze a fluidului dintr-o conductă circulară dreaptă în

cazul mişcării fluidului ideal. Nu există frecări şi ca urmare distribuţia de viteze este constantă.

Fig. 38 Distribuţia de viteze a fluidului ideal dintr-o conductă circulară dreaptă

În fig. 39 se prezintă distribuţia de viteze a fluidului dintr-o conductă circulară dreaptă în

cazul mişcării laminare a fluidului real. Particulele de fluid curg în straturi paralele cu axa

conductei. Distribuţia de viteze este parabolică, având un maxim în axul conductei.

59

Fig. 39 Distribuţia de viteze a fluidului real dintr-o conductă circulară dreaptă în cazul

mişcării laminare

Calculul efortului tangenţial se efectuează pornind de la formula lui Newton:

1 2 1 224 2

p p p pdur r

dr l lτ η η

η− −= = =g (139)

Când raza curentă r devine egală cu raza interioară a conductei r0 frecările devin maxime la

contactul cu suprafaţa solidă (fig. 40) şi ca urmare:

Fig. 40 Efortul tangenţial maxim

1 2max 02

p pr

lτ −= g (140)

În cazul unei curgeri cu suprafaţă liberă (fig. 41) se obţine o distribuţie parabolică cu un

maxim al vitezei pe suprafaţa liberă, deoarece frecarea cu stratul de aer superior frânează cel mai

puţin lichidul.

60

Fig. 41

6.4. Curgerea turbulentă

6.4.1. Generalităţi

Se deosebeşte optic, cinematic şi energetic de celelalte tipuri de mişcare. Din punct de

vedere cinematic, apar pulsaţiile de viteză turbulente care sunt componente de viteză după alte

direcţii faţă de direcţia principală a curgerii. Ele determină transferul de particule şi de impuls

între straturile de fluid.

Mişcarea turbulentă este o mişcare complexă la care între straturile de fluid adiacente există

un puternic schimb de substanţă (amestec turbulent), iar parametrii hidrodinamici (viteză,

presiune, etc.) prezintă fluctuaţii neregulate în timp, cu caracter aleator.

Tratarea matematică impune o abordare statistică (foarte complicată) sau, aşa cum se

întâmplă în practică, mişcarea se împarte în 2 categorii:

– mişcare medie principală;

– o fluctuaţie secundară;

'FFF += (141)

unde F = orice mărime fizică, F = medie temporală; 'F = pulsaţie. Pentru media temporală

este valabilă formula

∫+

=Tt

t

FdtT

F0

0

1(142)

unde T este intervalul de mediere (T >> cvasiperioada).

Se demonstrează că valoarea medie a unei pulsaţii este nulă într-o perioadă T. Într-adevăr

utilizându-se formula de medie rezultă:

'F F F= −

0

0

' 10

t T

tF Fdt F F F

T

+= − = − =∫

Din punct de vedre energetic, pierderile de energie sunt mai mari în regimul turbulent

61

deoarece apar efecte suplimentare datorită turbulenţelor.

6.4.2. Calculul efortului tangenţial turbulent şi al efortului tangenţial total

Fig. 42 Efort tangenţial turbulent

Masa transferată din stratul cu viteză mai mare uA în cel cu viteză mai mică uB produce

accelerarea acestuia ca urmare a unui transfer de impuls. Masa transferată este: 'm V Sv dtρ ρ= =

.

Variaţia de impuls a stratului mai lent este ' ' '( )A Bm u u mu Su v dtρ− = = .

Forţa care accelerează stratul mai lent este:

' '' 'Su v dt

F Su vdt

ρ ρ= =

iar efortul tangenţial turbulent corespunzător: ' 't

Fu v

Sτ ρ= =

O exprimare mai adecvată a efortului tangenţial turbulent, luând în considerare un interval

mare de timp, este:

' 't u vτ ρ= − (143)

minus apare deoarece cele două pulsaţii de viteză au semne contrare, iar efortul trebuie să fie

pozitiv.

Luând în considerare efortul tangenţial dat de legea lui Newton ce apare în orice tip de

mişcare :

du

dyτ η=

se deduce efortul total:

' 'tot t

duu v

dyτ τ τ η ρ= + = − (144)

Cu cât regimul turbulent e mai avansat, cu atât u’ şi v’ iau valori mai mari şi rezultă pierderi

62

de energie mai mari.

6.4.2. Ecuaţiile mişcării turbulente

Viteza medie vr

, presiunea medie p şi viteza de pulsaţie 'vr

verifică în cazul mişcării

turbulente nepermanente a unui fluid incompresibil de densitate ρ şi viscozitate ν ecuaţiile de

mişcare Reynolds. Pentru a stabili forma acestei ecuaţii se aplică operaţia de mediere temporală

tuturor termenilor din ecuaţia Navier-Stokes şi se obţine:

)(1

),( '' vvvpgradfvvt

v

⋅∇−∆+−=∇+∂∂ ν

ρ (145)

I II

Prezenţa turbulenţei conduce la medierea în timp a majorităţii termenilor, iar termenul

convectiv se scrie sub forma I, iar termenul II apare în mod special datorită pulsaţiilor turbulente.

Componentele vitezei medii , ,u v w , presiunea medie p şi componentele vitezei de pulsaţie

', ', 'u v w verifică ecuaţiile de mişcare Reynolds scrise pe componente (146)

2

2

2

1( ', ', ')

1( ', ', ')

1( ', ', ')

Du pX u A u v w

Dt x

Dv pY v B u v w

Dt y

Dw pZ w C u v w

Dt z

νρ

νρ

νρ

∂+ = + ∇ +∂

∂+ = + ∇ +∂

∂+ = + ∇ +∂

g

g

g

(146)

şi ecuaţia de continuitate (147)

( ) ( ) ( )0

u v w

t x y z

ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

(147)

în care s-a notat

1( ', ', ') [ ( ' ') ( ' ') ( ' ')]A u v w u u u v u w

x y zρ∂ ∂ ∂= − + − + −∂ ∂ ∂ (148)

şi analog ( ', ', ')B u v w şi ( ', ', ')C u v w , numite forţe unitare turbulente.

Ecuaţiile (146-147) formează un sistem neliniar de patru ecuaţii cu derivate parţiale, de

ordinul al doilea, în raport cu funcţiile necunoscute , , , ', ', 'u v w u v w . Pentru integrarea sistemului

este necesar să se introducă încă trei relaţii, suplimentare, care să descrie dependenţa mărimilor

fluctuante ', ', 'u v w de mărimile medii , ,u v w . În funcţie de modul în care se introduc aceste

relaţii, teoriile turbulenţei se împart în două grupe : teorii semiempirice şi teorii statistice.

Teoriile semiempirice fac unele ipoteze simplificatoare cu privire la dependenţa dintre diverse

mărimi în scopul stabilirii unor legi şi formule semiempirice aplicabile în practică. Teoriile

63

statistice iau în consideraţie proprietăţile statistice ale fluctuaţiilor şi relaţia dintre mişcarea

medie şi aceste proprietăţi.

Distribuţia de viteze într-o conductă circulară dreaptă în regim turbulent (fig. 43) este de

forma unei parabole turtite la vârf:

Fig. 43 Distribuţia de viteze într-o conductă circulară dreaptă în regim turbulent

Zona de curgere turbulentă are o formă aplatizată deoarece straturile cu viteză mare situate

spre axul conductei tind să le accelereze pe cele mai lente, situate spre zona laminară şi invers.

Fig. 44 Zona de curgere turbulentă

6.5. Stratul limită hidrodinamic

Pentru a elimina neconcordanţele rezultate din utilizarea modelului de fluid ideal, PrandtlPrandtl a

introdus conceptul de strat limită hidrodinamicstrat limită hidrodinamic.

Conform teoriei stratului limităteoriei stratului limită elaborată de PrandtlPrandtl, în vecinătatea unei suprafeţe solide

scăldată de un fluid în curgere se formează o zona în care curgerea este diferită. În zona

adiacentă conturului rigid, denumită strat limităstrat limită hidrodinamichidrodinamic, caracterul curgerii este determinat

de acţiunea forţelor moleculare, ceea ce determină gradienţi de viteză mari şi, implicit, valori

mari ale tensiunilor tangenţiale. Din acest motiv stratul limită mai este denumit strat de frecarestrat de frecare.

În zona exterioară stratului limită viteza fluidului este practic constantă deoarece tensiunile

tangenţiale sunt nule, şi deci fluidul poate fi considerat ideal.

Grosimea stratului limită, δ , este egală cu distanţa măsurată de la suprafaţa solidă pe

direcţia normală la direcţia de curgere, la care viteza fluidului atinge 0,99 din viteza curentului

64

principal.

Separarea domeniului de curgere în cele două regiuni amintite este posibilă numai în cazul

unor fluide relative puţin vâscoase ca apa, ulei.

Evoluţia distribuţiei de viteze în stratul limită produs de o suprafaţă deasupra unei plăci

plane se produce ca în fig. 45.

Fig. 45 Distribuţia de viteze în stratul limită

În funcţie de performanţele aerodinamice, desprinderea profilului de stratul limită (apariţia

curgerilor inverse) se produce într-o zonă de vârtejuri.

Curgerea lichidului ideal este prezentată în fig. 46. Fluidul care vine iniţial cu o energie

cinetică spre punctul A, pe măsura apropierii de acest punct îşi transformă energia cinetică în

energie de presiune. Apoi fluidul alunecă fără frecări pe conturul solid până în B, unde are din

nou o energie cinetică maximă şi energie de presiune nulă. Lucrurile se petrec în continuare

simetric iar la depărtarea de corp energia de presiune se transformă din nou în energie cinetică.

Fig. 46 Desprinderea stratului limită în cazul unui fluid ideal

Fluidul evoluează fără frecări pe contur astfel încât energia îşi menţine valoarea maximă

iniţială.

Curgerea lichidului real este prezentată în fig. 47. Energia cinetică se transformă în energie

de presiune către punctul A; se deplasează fluidul cu frecări până în B, în care viteza scade şi

apoi către D, astfel încât în D nu mai are viteză suficientă pentru a urma conturul solid al

corpului. Fluidul întâlneşte o zonă de presiune ridicată şi ca urmare se produce desprinderea

fluidului de corpul solid.

Ca urmare particula fluidă este împinsă către curentul de fluid exterior. Acesta reintroduce

particula fluidă în stratul limită şi se formează astfel un vârtej care evoluează către aval,

formându-se aşa numitele dâre hidrodinamice sau aerodinamice (care se mai numesc şi dâre

turbionare).

65

Fig. 47 Desprinderea stratului limită în cazul unui fluid real

Desprinderea stratului limită măreşte coeficientul de rezistenţă la înaintare şi conduce la

vibraţia profilului datorită turbulenţei. În cazul unghiurilor de incidenţă mari (dacă aerul se

apropie de profil pe direcţii oblice) desprinderea se face în apropierea bordului de atac şi

fenomenul prezentat se agravează.

În mod practic, pentru a obţine corpuri cu coeficienţi de rezistenţă la înaintare mici, se

determină experimental repartiţia de presiuni pe suprafaţa exterioară a corpului, se calculează

integrala presiunii pe întreaga suprafaţă şi se determină în final coeficientul de rezistenţă la

înaintare.

Se modelează suprafaţa exterioară, experimental sau prin simulare numerică cu calculatorul,

până la obţinerea coeficientului de rezistenţă la înaintare minim.

În practică există măsuri constructiv funcţionale (absorbţia stratului limită prin canale

laterale practicate în profil) care să contribuie la “lipirea“ stratului limită şi la micşorarea siajului

turbulent.

În continuare se prezintă modul de formare a stratului limită şi distribuţia vitezelor pentru

unul dintre cele mai cunoscute modele de curgere – curgerea prin conducte cu secţiuneacurgerea prin conducte cu secţiunea

circulară.circulară.

6.5.1. Condiţia de desprindere a stratului limită

Fig. 48 Desprinderea stratului limită

Conform fig. 48, desprinderea se produce în punctul D, pentru care distribuţia de viteze

devine tangentă la axa verticală Oy, perpendiculară pe suprafaţa solidă a corpului.

66

Acest lucru se poate exprima matematic sub forma:

0D

u

y

∂ =∂ (149)

6.5.2. Stratul limită şi distribuţia vitezelor la curgerea prin conducte cu secţiunea circulară

a) Stratul limită şi distribuţia vitezelor la curgerea laminară în conducte cu secţiune

circulară

Formarea stratului limită la curgerea prin conducte cu secţiunea circulară prezintă

particularitatea că datorită simetriei cilindrice a acestora, grosimea maximă a stratului limită estegrosimea maximă a stratului limită este

egală cu raza conductei.egală cu raza conductei.

Formarea stratului limită la curgerea laminară în conducte cu secţiunea circulară este

prezentată în fig. 49

Fig. 49 Stratul limită, profilul vitezelor şi a tensiunilor tangenţiale la curgerea laminară

în conducte circulare

La curgerea laminară (pentru Re < 2300) formarea stratului limită începe la intrarea în

conductă. Grosimea acestuia creşte continuu pe direcţia de curgere, dar datorită simetriei

cilindrice a conductei , grosimea maximă a stratului limită este egală cu raza conductei, R.

Această grosime se atinge la o distanţă Ls de la capătul de intrare în conducta numită

lungimea de stabilizare alungimea de stabilizare a curgeriicurgerii sau lungimea de pornirelungimea de pornire.

In zona de stabilizare a curgerii (pentru care x < Ls) viteza unui strat, vx, depinde atât de rază

cât şi de distanţa x de la capătul de intrare în conductă.

Pentru x > Ls profilul vitezelor se stabilizează . Această zonă a fost denumita zona dezona de

curgere stabilizatăcurgere stabilizată. Aici viteza straturilor concentrice (curgere telescopicăcurgere telescopică) variază numai pe

rază, după o lege parabolica. Viteza este zero la perete şi maximă în axa conductei.

Relaţia dintre Re, diametrul conductei, d, şi lungimea de stabilizare, Ls, este de forma:

0,003 Re , pentru Re 2300sL d valabila= ⋅ ⋅ <

Profilul vitezelor în acest caz este dat de legea Hagen – Poiseuille.

67

( )22

14x

PR rv r

L Rη ∆ = −

(150)

Viteza are valoarea maximă, vM, în axa conductei

2

4M

PRv

Lη∆= (151)

Cunoscând funcţia care dă distribuţia vitezelor în secţiunea conductei, s-a calculat viteza

medie în conductă:

( )2

2 22

02 8

R

M

P PRv R r rdr

LR Lη η∆ ∆= − =∫ (152)

Raportul dintre viteza medie şi viteza maximă este:

1

2M

v

v= (153)

iar debitul volumic mediu:

2 22

8 128v c

PR PdQ v S v R

L L

π ππη η

∆ ∆= ⋅ = = = (154)

b) Stratul limită şi distribuţia vitezelor la curgerea turbulentă în conducte cu secţiunea

circulară

În cazul curgerii turbulentecurgerii turbulente în conducte (Re > 10.000) structura stratului limită este diferită

de cea de la regimul laminar. Şi în acest caz, la intrarea în conductă se formează un strat limitastrat limita

laminarlaminar a cărui grosime creşte până la o valoare la care curgerea în stratul limită devine instabilă,

transformându-se în curgere turbulentă. După o anumită distanţă de la capătul de intrare, stratul

limită se separă într-un substratsubstrat şi un strat limită turbulentun strat limită turbulent, cele două zone fiind despărţite de oo

zonă tamponzonă tampon, de tranziţie, în care curgerea este intermediară (se poate transforma din laminară în

turbulentă sau invers).

Distanţa de la capătul conductei la care grosimea stratului limită turbulent devine egală cu

raza conductei este tot o lungime de stabilizare (sau de pornire), Ls, dar în cazul curgerii

turbulente valoarea acesteia nu depinde practic de criteriul Reynolds şi se poate calcula cu relaţia

aproximativă:

( )40 60sL d= ÷ ⋅ (155)

Structura stratului limită la curgerea turbulentă prin conducte circulare este prezentată în fig.

51:

68

Fig. 50 Structura stratului limită şi profilul vitezelor la curgerea turbulentă într-o

conductă circulară

În zona stabilizata (x > Ls) profilul vitezelor pe secţiunea conductei este stabilizat, şi este dat

de o parabolă cu vârful aplatizat.

Distribuţia vitezelor medii temporalevitezelor medii temporale, ˆxv într-o secţiune a conductei din zona de curgerezona de curgere

stabilizatăstabilizată poate fi dedusă pe baza teoriei lungimii de amestec a lui Prandtlteoriei lungimii de amestec a lui Prandtl.

La curgerea turbulentă raportul dintre viteza medie în conductă, v, şi viteza maximă, ˆMv , din

axa conductei, nu mai este constant, ci depinde de valoarea criteriului Reynolds.

Dependenţa (Re)ˆM

vf

v= s-a stabilit experimental şi este prezentată sub forma unui grafic de

tipul celui din fig. 52:

Fig. 51 Dependenţa raportului M

vv de Reynolds, în regim intermediar şi turbulent

69

6.6. Pierderile de sarcină hidraulică

Pierderile de sarcină reprezintă pierderi de energie ale fluidului produse pe traseul de curgere

şi sunt datorate frecărilor vâscoase, efectelor de turbulenţă precum şi diverselor elemente

hidraulice intercalate pe traseul de curgere.

Se deosebesc pierderi liniare sau distribuite produse pe o anumită lungime de traseu de

curgere, şi pierderi locale care se datorează diverselor elemente hidraulice ce formează circuitul

(robineţi, vane, coturi, etc.)

În relaţia lui Bernoulli

2 21 1 2 2

1 22 2 r

v p v pz z h

g gγ γ+ + = + + + (156)

pierderea de sarcină hr rezultă din însumarea pierderilor de sarcină liniară (distribuite) şi

pierderilor de sarcină locale

r d lh h h= +∑ ∑ (157)

Formulele pierderilor de sarcină sunt semiempirice.

Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor nu conţin influenţa suprafeţelor solide cu care fluidul intră

în contact. Acele neuniformităţi ale suprafeţelor solide produc efecte ce sunt luate în considerare

prin intermediul unor coeficienţi; aceştia sunt determinaţi experimental şi dau caracterul

semiempiric al formulelor respective.

Ţinând cont de toate aceste elemente se poate scrie în general pentru un circuit cu m

elemente hidraulice pierderea de presiune totală ca:

22

1

( )2 2

ni

ti

vl vp g

D g gρ λ

=

∆ = + ∑ (158)

6.6.1. Pierderea de sarcină liniară

Pierderea de sarcină liniară este determinată după formula lui Darcy:

2

2r

l vh

D gλ= (159)

unde

Re,k

Dλ λ =

(160)

υvD=Re (161)

În (159 – 161) s-a notat λ= coeficientul de pierdere liniară; l = lungimea tronsonului pe care se

70

calculează rh ; D= diametrul conductei; v = viteza medie; k = rugozitatea

absolută; k/D = rugozitatea relativă.

La o conductă tehnică rugozitatea este neomogenă, iar k reprezintă rugozitatea absolută

echivalentă şi reprezintă rugozitatea absolută a unei conducte cu rugozitate omogenă şi care

creează o pierdere identică.

Utilizând ecuaţia de continuitate se pot exprima pierderile de sarcină şi în funcţie de debitul

volumic de fluid QV.

2

4V

DQ v

π= ⇒ 2

4 VQv

Dπ=

22 5

8r V

lh Q

g Dλ

π= ; (162)

2r Vh MQ= (163)

unde

550826,0

D

l

D

blM λ== (164)

este numit modul de rezistenţă al conductei.

Pentru determinarea lui λ se folosesc diagrame sau formule empirice (pe bază de date

experimentale), sau semiempirice (teorie + experiment).

Dependenţa coeficientului de pierdere liniară funcţie de numărul Reynolds este dată în

diagrama lui Moody (fig. 52).

Fig. 52 Diagrama lui Moody

Din analiza diagramei Moody se observă următoarele zone:

I. [ ]23000Re ÷∈ regim laminar

II. [ ]40002300Re ÷∈ regim tranzitoriu

71

III.

÷∈

k

D104000Re regim turbulent neted

IV.

÷∈

k

D

k

D50010Re regim turbulent mixt;

V.k

D500Re > regim turbulent rugos;

unde s-au folosit notaţiile k – rugozitatea medie absolută a peretelui conductei; D

k– rugozitatea

medie relativă a peretelui conductei.

În cele ce urmează se vor prezenta formulele de calcul pentru coeficientul λ pentru zonele

prezentate mai sus.

a) regim laminar [ ]23000Re ÷∈

Fig. 53 Curgere laminară

Coeficientul λ este dat de formula lui Poiseuille:

64

Reλ = (165)

b) regim tranzitoriu [ ]40002300Re ÷∈

c) regim turbulent neted

÷∈

k

D104000Re

Fig. 54 Regim turbulent neted

În cadrul regimului turbulent neted stratul laminar acoperă complet asperităţile. Este ca si

cum peretele este neted.

Coeficientul se calculează cu formula lui Blasius

0,25

0,3164

Reλ = (166)

72

d) regim turbulent mixt (de tranziţie)

÷∈

k

D

k

D50010Re

Coeficientul λ se calculează cu formula lui Colebrook şi White

1 2,51 12log( )

3,71 ReDλ λ∆= − + (167)

Deoarece în această relaţie λ apare sub formă implicită, se recomandă să se estimeze valoarea sa

cu formula lui Altşul

0,25680,11( )

ReDλ ∆= + (168)

Valoarea obţinută se introduce în membrul al doilea al (167) şi se recalculează valoarea lui λ.

e) regim turbulent rugos k

D500Re >

Fig. 55 Regim turbulent rugos

Valoarea coeficientului λ se calculează cu formula lui Nakuradse

11,74 2log

2

D

λ= +

∆ (169)

În formulele de mai sus D∆ este rugozitatea relativă, k – rugozitatea medie absolută a

peretelui conductei şi D

k– rugozitatea medie relativă a peretelui conductei.

Pierderile de sarcină liniară mai pot fi determinate cu formula Chézy

22

2 2V

d

Qvh Jl l l

C R K= = = (170)

unde R – raza hidraulică, C – coeficient Chézy, K – modulul de debit. Coeficientul C se poate

calcula în funcţie de coeficientul λ

8gC

λ= (171)

sau cu diverse formule empirice.

Modulul de debit

73

K CA R= (172)

unde A – secţiunea conductei, se dă de obicei sub formă tabelară, în funcţie de diametrul

conductei şi de natura şi starea pereţilor conductei.

Influenţa asperităţilor în regim turbulent conduce la creşterea lui λ şi al pierderilor distribuite

dh şi implicit a pierderilor de presiune.

6.6.2. Pierderea de sarcină locală

Variaţia de presiune pe distanţe relativ scurte ale unei secţiuni drepte ale direcţiei axei

curentului vor fi numite “singularităţi“, când se produc desprinderi ale stratului limită, vârtejuri

care conduc la un consum important de energie mecanică, avem pierderi de sarcină locale.

Pierderea de sarcină locală se calculează cu formula

2 2'2 1

2 2l l l

v vh

g gξ ξ= = (173)

unde 1v şi 2v sunt vitezele medii în secţiunile 1S şi 2S din amonte şi aval de singularitate, iar lξ

(sau 'lξ ) coeficientul pierderilor locale de sarcină. Coeficientul lξ depinde de caracteristicile

geometrice ale singularităţilor şi este dat sub formă de grafice, tabele sau formule empirice

pentru diferite tipuri de singularităţi: lărgiri, îngustări, coturi, confuzoare, difuzoare, etc.

Pierderea de sarcină locală se mai exprimă şi în funcţie de debit:

22

2 4

161

2 2V

l l l

Qvh

g g Dξ ξ

π= = (174)

2

40.0826 V

l l

Qh

Dξ= (175)

De exemplu în secţiunea dreaptă S se consideră o singularitate care

perturbă curgerea în amonte şi aval până la S1 şi S2 (fig. 56)

74

Fig. 56

2 21 1 1 2 2 2

1 2 1 22 2t

v p v ph H H z z

g g g g

α αρ ρ

= − = + + − + +

În calcul l.e.rl.e.c astfel încât:

1 2t r rl rh h h h= + + ;

2 21 1

1 2 1 2 2 2rl r r r i

v vh h h h

g gξ ξ−= − − = = .

6.7. Mişcările efluente ale fluidelor

Mişcările efluente se produc în cazul curgerii unui fluid dintr-un anumit recipient printr-un

dispozitiv, într-un alt spaţiu ocupat de un alt fluid. Din acest punct de vedere se deosebesc:

curgeri prin orificii, ajutaje, injectoare şi peste deversoare.

Ajutajele sunt dispozitive care se montează în zona de evacuare a fluidelor pentru

creşterea debitului.

Injectoarele realizează jeturi de fluid cu energie cinetică mare.

Deversoarele evacuează fluidul prin partea superioară a unei incinte.

Problemele care se pun la curgerea prin orificii sunt de obicei determinarea vitezei şi al

debitului evacuat.

În cele ce urmează se vor calcula separat viteza şi debitul evacuat, urmând ca în final să se

calculeze timpul de golire unui rezervor, considerând mişcarea nepermanentă.

75

6.7.1. Curgerea fluidelor prin orificii mici, în pereţi subţiri, sub sarcină constantă.

Fig. 57 Curgerea prin orificii mici în pereţi subţiri

6.7.1.1. Determinarea vitezei

Se aplică relaţia lui Bernoulli între punctele (1) şi (2) pentru un fluid real. Se consideră că

fluidul este real şi deci apar pierderi de energie.

Pierderile locale de sarcină hidraulică la ieşirea prin orificiu se determină în funcţie de

coeficientul de pierdere locală de sarcină ξ cu formula:

22

2e

vh

gξ= (176)

Prin înlocuire în relaţia lui Bernoulli se obţine:

2 21 1 2 2

1 22 2 e

v p v pz z h

g gγ γ+ + = + + + (177)

dar din analiza fig. 57 rezultă 1z h= . Deoarece suprafaţa S1 este mare scriind formula debitului

volumic

1 1VQ const S v= =

rezultă că viteza 11

VQv

S= este mică şi deci 2

1 0v ≅ . Cu acestea (177) devine

2 21 2 2

2 2atmpp v v

hg g

ξγ γ

+ = + +

212(1 )

2atmp pv

hg

ξγ

−+ = +

1 12

1( )2 2 ( )

1atm atmp p p p

v h g g hϕξ γ γ

− −= + = ++

(178)

76

în care ϕ este coeficientul de viteză.

Cazuri particulare:

1. Fluid ideal

121 2 ( )atmp p

v g hϕγ

−= ⇒ = + (179)

2. Rezervor deschis

1 2 2atmp p v gh= ⇒ = (180)

3. Gaz

1 120 2 2atm atmp p p p

h v gγ ρ

− −= ⇒ = = (181)

6.7.1.2. Determinarea debitului volumic

Debitul volumic se obţine utilizând ecuaţia de continuitate:

2 2 2 2 . cV c

AQ v S v A v A

A= = =

Se face notaţia:

cA

Aε=

numit coeficientul de strangulare al secţiunii.

Notând

εϕ µ=

numit coeficientul de debit al orificiului rezultă

12 ( )atmV

p pQ A g hµ

γ−= + (182)

Cu cât presiunea gazului din rezervor situat deasupra lichidului p1 este mai mare, eventual

adâncimea lichidului din rezervor h este mai mare, cu atât se evacuează din rezervor un debit mai

mare de lichid.

În funcţie de modul de prelucrare al orificiului, coeficientul de debit se poate mări şi ca

urmare debitul evacuat creşte.

6.7.2. Curgerea fluidelor prin orificii mari, în pereţi subţiri, sub sarcină constantă

Deoarece viteza unui strat de fluid oarecare orizontal evacuat prin orificiul mare este funcţie

de variabila z, se calculează iniţial debitul infinitezimal evacuat şi apoi debitul total prin

integrare.

77

Fig. 58 Curgerea fluidelor prin orificii mari

( )dS b z dz=

VdQ v dS=

2 ( )VdQ gz b z dzϕ=

2 2

1 1

2 ( ) 2 ( )H H

V H HQ gz b z dz gz b z dzϕ ϕ= =∫ ∫ (183)

Considerăm un orificiu dreptunghiular pentru care

( )b z B const= =

pentru care integrala se poate calcula exact

2

1

1 3

2 22 1

22 2 ( )

3

H

V HQ B g z dz B g H Hϕ ϕ= ⇒ −∫ (184)

6.7.3. Calculul timpului de golire al unui rezervor

În mişcare nepermanentă, mărimile se schimbă în timp. Din acest motiv, se egalează

volumul infinitezimal scurs din rezervor în intervalul de timp dt cu volumul ce dispare din

rezervor prin coborârea suprafeţei libere cu dz (fig. 59):

Fig. 59 Golire nepermanentă a unui rezervor

( )VdV Q dt A z dz= = −

0 2 ( )A gzdt A z dzµ = − (185)

78

0

1 ( ).

2

A zdt dz

A g zµ= −

Integrând

0

00

1 ( ).

2

T

H

A zdt dz

A g zµ= −∫ ∫

de unde

00

1 ( ).

2

H A zT dz

A g zµ= ∫ (186)

În cazul unui rezervor cilindric

220

0( ) ;4 4

dDA z const A

ππ= = =

122

2 00

1 4. .

42

HDT z dz

dg

ππµ

−= ∫

2

0

1 2. ( )

DT H

g dµ= (187)

Deci timpul total de golire a rezervorului cilindric, plin iniţial până la înălţimea H, este:

2

0 0

1 2( ) .

D HT

d gµ= (188)

6.8. Mişcarea permanentă în conduct sub presiune

Conductele sunt sisteme hidraulice ce asigură transportul sub presiune al fluidului între două

puncte cu sarcini energetice diferite.

După lungimea lor, conductele se pot clasifica în următoarele grupe:

a) conductele lungi cu 50l D> unde l este lungimea conductei, iar D diametrul

acesteia. La acestea pierderile de sarcină hidraulică sunt date doar de pierderile

distribuite, corectate prin adaos cu un procent de până la 5% dacă au mai multe

elemente hidraulice montate pe traseu.

b) conducte scurte pentru care 10 50D l D< < la care pierderile de sarcină hidraulică

sunt date de suma dintre pierderile distribuite şi cele locale de pe parcurs.

c) ajutajele sau orificiile cu pereţii groşi având 3 10D l D< <

d) orificiile cu pereţii subţiri pentru care 3l D<

Exemple: magistralele de petrol şi gaze, conductele de alimentare cu apă ale localităţilor.

Problemele care se pun la calculul conductelor sunt:

1. determinarea diametrului interior – problemă de dimensionare - când se cunosc

79

pierderile de sarcină hidraulică, natura pereţilor conductei, lungimea ei, precum şi

debitul necesar la consumator.

2. determinarea debitului - problemă de alimentare - când se cunosc celelalte mărimi.

3. determinarea pierderii de sarcină – problemă energetică – când se cunosc celelalte

mărimi.

În cazul conductelor cu secţiune circulară, relaţiile de calcul pentru transportul fluidelor

incompresibile în mişcare permanentă sunt:

– ecuaţia de continuitate

2

.4

DQ V

π= (189)

– ecuaţia lui Bernoulli scrisă între secţiunile 1 (amonte) şi aval (2)

2 21 1 2 2

1 22 2 y

p v p vz z h

g g g gρ ρ+ + = + + + ∑ (190)

unde coeficientul yh∑ reprezintă suma pierderilor liniare şi locale de sarcină hidraulică.

– ecuaţia Darcy pentru calculul pierderilor liniare

21

2l

vh

D yλ= (191)

unde λ - coeficientul pierderilor liniare de sarcină hidraulică, dependent de rugozitatea pereţilor

conductei şi de regimul de curgere ( RevD

ν= )

– pierderile locale se evaluează cu

2

2l

vh

gξ= (192)

unde ξ - coeficient al pierderilor locale care se determină experimental.

6.8.1. Calculul conductelor scurte

Pierderea de sarcină totală în cazul mişcării permanente este:

itot liniar lih h h= + ∑ (193)

22

5 40,0826 0,0826

itot V li

l Qh Q

D Dλ ξ= + ∑ (194)

[ ]2

40,0826 ( )

i

Vtot li

Q lh m

D Dλ ξ= + ∑ (195)

80

6.8.1.1. Determinarea diametrului D

Pentru diverse valori ale diametrului interior al conductei se reprezintă grafic pierderea totală

de sarcină (fig. 60)

Fig. 60

Se alege din grafic tans dard iD D= pentru pierderea de sarcină din cazul concret considerat.

6.8.1.2. Determinarea debitului (Q)

Pentru o curgere în regim laminar valoarea coeficientului pierderii de sarcină liniară sau

distribuită este:

64

Reλ = (196)

iar numărul Reynolds

ReD

v

ν= (197)

Debitul Q se determină printr-un proces iterativ astfel

– la iteraţia 0 se alege valoarea iniţială a debitului Q(0) cu care

(0)2

4Q Q

S Dν

π= = (198)

(0)(0)Re

D

v

ν= (199)

(0) 64

Reλ = (200)

de unde se calculează debitul la iteraţia 1 Q(1).

– procesul continuă până când diferenţa dintre două valori succesive ale debitului

volumic Q este mai mică în modul decât o valoare ε aleasă în funcţie de precizia

dorită

( ) ( 1)n nQ Q ε−− <

şi se alege ca debit final debitul de la iteraţia n.

81

( )nQ Q= (201)

6.8.1.3. Determinarea pierderilor de sarcină totală

Pe baza debitului Q se calculează v

2

4Q Qv

S Dπ= =

apoi numărul Reynolds

ReD

v

ν=

factorul λ

64

Reλ =

şi respectiv pierderile de sarcină totală

[ ]2

40,0826 ( )

i

Vtot li

Q lh m

D Dλ ξ= + ∑

6.8.1.4. Aplicaţie – Conducte de tip sifon

Fig. 61 Conductă tip sifon

Se aplică relaţia lui Bernoulli între A şi B:

2 2

2 2A A B B

A B tot

v p v pz z h

g gγ γ+ + = + + +

Parametrii hidrodinamici sunt daţi de:

A B atm

AA

p p p

Qv

S

= =

=

Deoarece SA este mare vA este mică şi 2

2Av

g este neglijabil. În aceste condiţii A totz h= adică

82

totH h=

Se înlocuieşte pierderea de sarcină totală cu suma dintre pierderea liniară şi cele locale şi

rezultă:

2 2 2 2

2 2 2 2i c e

v l v v vH

g D g g gλ ξ ξ ξ= + + +

2

( )2 i c e

v lH

g Dλ ξ ξ ξ= + + +

de unde se deduce expresia vitezei de curgere pe traseu:

2

i c e

gHv

lD

λ ξ ξ ξ=

+ + +

Debitul sifonat din rezervorul A în rezervorul B este:

2

4

DQ vS v

π= =

6.8.2. Calculul conductelor lungi

6.8.2.1. Conducte lungi montate în serie

Fig. 62 Conducte lungi montate în serie

Se scrie relaţia lui Bernoulli între punctele A şi B situate pe suprafeţele libere ale celor două

rezervoare

2 2

2 2 i

A A B BA B di

v p v pz z h

g gγ γ+ + = + + + ∑

Se neglijează vitezele Avuur

şi Bvuur

de variaţie a nivelelor în rezervoare (presupunând că

rezervoarele au capacitate mare), iar pierderile de sarcină hidraulică sunt mult mai mici decât

pierderile distribuite; efectuând reducerile necesare rezultă

dH h=

adică energia potenţială a lichidului din rezervorul A faţă de rezervorul B se consumă pe

83

pierderile distribuite produse pe reţeaua de conducte în serie.

Explicitând pierderile pe fiecare tronson se obţine:

22 21 1 2 2

1 21 2

....2 2 2

n nn

n

l vl v l vH

D g D g D gλ λ λ= + + +

dar

ii

Qv

S=

25

0,0826 iii

i

lH Q

Dλ= ∑

relaţie care permite determinarea debitului Q cunoscându-se H.

Ansamblul conductelor legate în serie poate fi înlocuit cu o conductă de lungime l

echivalentă în ceea ce priveşte pierderile de sarcină hidraulică, la acelaşi debit

2

50,0826

QH l

Dλ=

Comparând relaţiile scrise se obţine

5 5i

iii

l lD D

λλ = ∑

Această formulă se poate explicita pe baza analogiei electro – hidraulice (tabel 1 )

Tabelul 1 Analogia electro – hidraulică a conductelor legate în serie

Circuit serie electric Circuit serie hidraulicI = const Q = const

iiU U= ∑ id di

h h= ∑

prin existenţa unei rezistenţe serie

5i

iS i

i

R lD

λ=

84

6.8.2.2. Conducte lungi montate în paralel

Fig. 63 Conducte montate în paralel

Se aplică relaţia lui Bernoulli între A şi B:

2 2

2 2 i

A A B BA B di

v p v pz z h

g gγ γ+ + = + + + ∑

În A şi B

Q = const D = const

deci

S = const

şi rezultă

A Bv v const= =

A BA B d

p pz z h

γ− + − =

H = hd

sau

55

0,0826 ii i

i

lH Q

Dλ=

sau

55 51 2

1 1 2 25 5 51 2

... nn n

n

QQ Ql l l

D D Dλ λ λ= = =

Din ecuaţia de continuitate scrisă pentru unul din noduri se deduce debitul total prin

conducta din afara ramificaţiei

1

n

ii

Q Q=

= ∑Analogia electro – hidraulică este valabilă şi în acest caz (tabel 2).

85

Tabelul 2 Analogia electro – hidraulică a conductelor legate în paralel

Circuit paralel electric Circuit paralel hidraulicU = const hd = const

iiI I= ∑ ii

Q Q= ∑

86