MECANICA DE FLUIDOS Viscosidad

MECANICA DE FLUIDOS

Docente: Armando Pons Duarte Número de Reynolds Página 1

Viscosidad

Si se considera la deformación de dos fluidos newtonianos diferentes, por ejemplo, glicerina y agua, se encontrará que se deforman con diferente rapidez para una misma fuerza cortante. La glicerina ofrece mucha mayor resistencia a la deformación que el agua; se dice entonces que es mucho más viscosa. La VISCOSIDAD DINÁMICA (u), se presenta cuando un fluido se mueve y se desarrolla en el una tensión de corte, denotada con la letra griega "" (tau), y puede definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia sobre otra capa de la misma sustancia. En un fluido común, como el agua, el aceite o alcohol encontramos que la magnitud de corte es directamente proporcional al cambio de velocidad entre diferentes posiciones del fluido. La siguiente figura nos muestra el concepto de cambio de velocidad en un fluido, que está en una capa delgada entre dos superficies, una de las cuales está estacionaria mientras la otra se está moviendo:

Una condición fundamental que se presenta cuando un fluido real está en contacto con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad que la frontera, por tanto, el fluido que está en contacto con la superficie inferior tiene velocidad cero y la que está en contacto con la superficie superior tiene velocidad “v” El gradiente de velocidad (medida de cambio de la velocidad) se define como v/y – conocida como rapidez de corte. La tensión de corte del fluido, es directamente proporcional al gradiente de velocidad, entonces:

yv

·

… donde la constante de proporcionalidad µ (letra “mu”) se conoce como VISCOSIDAD DINAMICA DEL FLUIDO. Para comprender esta viscosidad, basta indicar que si se tiene aceite frío en un envase y agua en otro, es más fácil revolver el agua con una varilla que el aceite: hay mayor tensión de corte en el aceite frío. VISCOSIDAD CINEMATICA. Muchos cálculos de fluidos, requieren la viscosidad cinemática ν (letra griega “nu”, es parecidas a la letra “v” pero mas larga al término) y que se define:

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cuya unidad final es m2/s

Unidades de la viscosidad Unidades de medida:

Sistema de unidades Viscosidad dinámica Viscosidad cinemática Sistema internacional N·s/m2, Pa·s, kg/m·s

m2/s

Sistema cgs Poise = dina·s/cm2 = g/(cm·s) = 0,1 Pa·s Centipoise = poise/100 = 0,001 Pa·s

Stoke = cm2/s = 1·10-4 m2/s Centistokes = stoke/100 = 1·10-6 m2/s

Sistema británico Lb-s/pies2, slug/pie-s

Pies2/s

Variación de la viscosidad con la temperatura. A medida que la temperatura de un fluido aumenta, la viscosidad decrece notablemente. Todos los fluidos exhiben este comportamiento en algún grado. En el cuadro se presentan valores de viscosidad dinámica para distintos fluidos. Indice de viscosidad. La viscosidad varía con la temperatura, y se considera que: un fluido con alto índice de viscosidad, muestra un cambio pequeño de viscosidad con respecto a la temperatura. Un fluido con un bajo índice de viscosidad, exhibe un cambio grande en su viscosidad con respecto a la temperatura. Análisis: Entonces, la viscosidad es la medida de la resistencia de un líquido a fluir. La medida común métrica de la viscosidad absoluta es el Poise, que es definido como la fuerza necesaria para mover un centímetro cuadrado de área sobre una superficie paralela a la velocidad de 1 cm por segundo (cm/s), con las superficies separadas por una película lubricante de 1 cm de espesor. La viscosidad varía inversamente proporcional con la temperatura. Por eso su valor no tiene utilidad si no se relaciona con la temperatura a la que el resultado es reportado

Por ejemplo, Un aceite delgado es menos resistente a fluir, por eso su viscosidad es baja. Un aceite grueso es más resistente a fluir y por eso tiene una viscosidad más alta. Las viscosidades de los aceites normalmente son medidas y especificadas en centistoke (cSt) a 40°C o 100°C.

Frecuentemente se habla de esta viscosidad como viscosidad dinámica o viscosidad cinemática. Esto es la viscosidad absoluta dividido por la densidad del aceite. En la práctica es determinada midiendo el tiempo necesario para que pase una cantidad específica de aceite por un tubo capilar por gravedad a 40°C y/o 100°C. Por esta misma definición podemos ver que el aceite más viscoso ofrece más resistencia y consume más energía para moverse y permitir el movimiento de las piezas del motor, reductor, transmisión, sistema hidráulico o cualquier otro sistema que tenemos.

Fluido ideal

Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubería con una velocidad, ghv 2 , de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energía potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energía cinética.

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Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar que la altura del líquido en los manómetros debe ser cero.

a la salida … ghv 2 ghv 2 En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo. Flujo laminar – flujo turbulento Cuando se analiza un fluido en una corriente de flujo, es importante ser capaces de determinar el carácter del flujo. En algunas condiciones, el fluido parecerá que fluye en capas de una manera uniforme y regular. Se puede observar este fenómeno cuando se abre una llave de agua en forma lenta, hasta que el chorro es uniforme y estable. A este tipo de flujo, se le conoce como “flujo laminar”. Si se abre más la llave de salida, aumentando así la velocidad del flujo, se alcanzan puntos en el que el flujo deja de ser regular o uniforme. Deja la impresión que el chorro sale en forma irregular y caótica; este flujo recibe el nombre de “turbulento” La figura a), muestra un flujo laminar en un conducto circular. La trayectoria se aprecia como anillos concéntricos, en forma recta y uniforme. Prácticamente no se mezcla fluido entre los límites de las capas, mientas avanza por el conducto. Se considera que el fluido está compuesto por un número prácticamente infinito de capas.

(a) (b)

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Otra forma de visualizar un flujo laminar, está en la figura b), en que hay un fluido transparente fluyendo por un tubo transparente de vidrio. Si se inyecta una tinta, esta se desplazará como una línea recta y no se mezclará con el volumen del fluido. En un canal abierto, al flujo laminar se le llama flujo tranquilo (figura c) En contraste con lo anterior, un flujo turbulento parece caótico y no uniforme, y existe bastante mezcla del fluido. Una corriente de tinta inyectada en el flujo turbulento, inmediatamente se disiparía en el flujo principal del sistema, como en la figura d).

c) d) El comportamiento de un fluido respecto a las pérdidas de energía, depende bastante de la condición del flujo: si el laminar o turbulento, Por esta razón, es importante conocer esta condición en forma matemática, sin tener la obligación de observar el flujo. NUMERO DE REYNOLDS Para calcular la cantidad de energía perdida debido a la fricción en un sistema de fluido, es necesario caracterizar la naturaleza del flujo. Un flujo lento y uniforme, se conoce como “flujo laminar”, mientras que un flujo rápido y caótico, se conoce como flujo turbulento. Los métodos que se utilizan para calcular la pérdida de energía son diferentes para cada tipo de flujo. El tipo de flujo puede predecirse mediante el cálculo de un número sin dimensiones, llamado NUMERO DE REYNOLDS, que relaciona las variables más importantes que describen un flujo: velocidad, longitud de la trayectoria del flujo, densidad del fluido y viscosidad. Dado que la observación de fluidos es imposible en tuberías opacas, se determina experimentalmente y se puede verificar que el carácter del flujo en un conducto redondo depende de cuatro variables: La densidad del fluido ρ La viscosidad del fluido µ El diámetro del conducto D La velocidad promedio de flujo v Un flujo laminar o turbulento puede ser predicho, si se conoce la magnitud de un valor adimensional conocido como NUMERO DE REYNOLDS (NR)

DN R

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Recuerde: viscosidad cinemática , entonces: v

DN R

El valor del Número de Reynolds es adimensional, sin embargo, se debe trabajar con unidades congruentes. Números críticos de Reynolds. Para aplicaciones prácticas en flujos de conductos, tenemos que si el número de Reynolds para el flujo es MENOR que 2000, el flujo será LAMINAR, y si es MAYOR que 4000, será turbulento. Aquellos fluidos que estén en el rango 2000 – 4000, será imposible predecirles que tipo de flujo tienen; a este intervalo se le conoce como región crítica. La mayoría de las aplicaciones, tienen flujos que están en la zona laminar o turbulenta, por tanto esta región no causa mayores problemas. En caso de estar en la región crítica, se modifica la velocidad del fluido o el diámetro del conducto, generando así un flujo claramente laminar o turbulento. Ejemplo 1 Determine si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25º C en un conducto de 150 mm de diámetro interior, y una velocidad de flujo de 3,6 m/s Datos: v = 3.6 m/s D = 0,15 m = 1258 kg/m3 (dato de tablas) = 9,60 · 10-1 Pa·s (dato de tablas)

sPaXmkgmsmvDN R ·1060,9

/1258·15,0·/6,31

3

Entonces, NR = 708, lo que indica que es un flujo laminar (menor que 2000) Ejemplo 2 Determine si el flujo es laminar o turbulento, cuando agua a 70º C fluye en un tubo de cobre de 1 pulgada, tipo K, con una rapidez de flujo de 285 L/min. (Por tablas, para tubo de cobre 1” tipo K, D = 0.02527 m; A = 5,017 x10-4 m2) Necesitamos la velocidad del fluido en m/s:

smL

smm

LAQV /47,9

min/60000/1·

10·017,5min/285 3

24

5

7 10·82,510·13,402527,0·47,9·

vDVNR

Dado que el número de Reynolds es mayor que 4000, el flujo es TURBULENTO: Tabla de propiedades del agua.

Temperatura (º C)

Densidad (kg/m3)

Viscosidad dinámica

x10-3 (N*s/m2)

Viscosidad cinemática

x10-7 (m2/s)

0 999.8 1.781 17.85 5 1000.0 1.518 15.19

10 999.7 1.307 13.06 15 999.1 1.139 11.39

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20 998.2 1.102 10.03 25 997.0 0.890 8.93 30 995.7 0.708 8.00 40 992.2 0.653 6.58 50 988.0 0.547 5.53 60 983.2 0.466 4.74 70 977.8 0.404 4.13 80 971.8 0.354 3.64 90 965.3 0.315 3.26

100 958.4 0.282 2.94 Tabla de referencias fluidos.

Líquidos densidad relativa

Peso específico

(kN/m3) Densidad

(kg/m3)

Viscosidad dinámica µ

(Pa·s) o (N·s/m2)

Acetona 0,7870 7,7200 787 3,16*10-4 Alcohol etílico 0,7870 7,7200 787 1,00*10-3 Alcohol metílico 0,7890 7,7400 789 5,60*10-4 Alcohol propílico 0,8020 7,8700 802 1,92*10-3 Amoniaco 0,8260 8,1000 826 Benceno 0,8760 8,5900 876 6,03*10-4 Tetracloruro de carbono 1,5900 15,6000 1590 9,10*10-4 Aceite de ricino 0,9600 9,4200 960 6,51*10-1 Etilenglicol 1,1000 10,7900 1100 1,62*10-2 Gasolina 0,6800 6,6700 680 2,87*10-4 Glicerina 1,2580 12,3400 1258 9,60*10-1 Queroseno 0,8230 8,0700 823 1,64*10-3 Aceite de linaza 0,9300 9,1200 930 3,31*10-2 Mercurio 13,5400 132,8000 13540 1,53*10-3 Propano 0,4950 4,8600 495 1,10*10-4 Agua de mar 1,0300 10,1000 1030 1,03*10-3 Trementina 0,8700 8,5300 870 1,37*10-3 Aceites de petroleo, medio 0,8520 8,3600 852 2,99*10-3 Aceites de petroleo, pesado 0,9060 8,8900 906 1,07*10-1 Pérdidas de energía debido a la fricción. En la ecuación general de la energía:

gvzphhh

gvzp

LRA 22

22

22

21

11

El término hL se define como la energía perdida por el sistema. Una componente de pérdida de energía se debe a la fricción del fluido en movimiento. La fricción es proporcional a la velocidad del

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flujo y al cociente entre la longitud y el diámetro de la corriente de flujo, para el caso de conductos y tubos. Lo anterior, se expresa de manera matemática, en la ecuación conocida como de DARCY.

gv

DLfhL

2··

2

en que: hL = pérdida de energía debido a la fricción (N·m/N) L = longitud de la corriente de flujo (m) D = diámetro del conducto (m) v = velocidad del flujo promedio (m/s) f = factor de fricción (sin dimensiones) La ecuación de Darcy se puede utilizar para calcular la perdida de energía en secciones largas y rectas de conductos redondos, tanto para flujo laminar como turbulento. La diferencia entre los dos está en la evaluación del factor de fricción “f”, que carece de dimensiones. Pérdidas de fricción en flujo laminar. Cuando se tiene un flujo laminar, el fluido se desplaza figuradamente, en capas, una sobre la otra, y debido a la viscosidad del fluido, se crea una tensión de corte entre las capas. La energía se pierde al vencer las fuerzas de fricción producidas por esta tensión de corte. Como este flujo es ordenado, se genera una relación entre la pérdida de energía y los parámetros medibles del flujo, lo que se denomina “ecuación de Hagen-Poiseuille”:

2

32D

LvhL

Si se igualan las ecuaciones de Darcy y de Hagen-Poiseuille, se deduce que

RNf 64

Con este valor conocido, se puede aplicar entonces la ecuación de Darcy. Ejemplo: Determinar la pérdida de energía, si tenemos glicerina a 25º C, fluyendo una distancia de 30 metros, a través de un conducto de 150 mm. de diámetro, con una velocidad promedio de 4 m/s. Solución: debemos determinar primero si el flujo el laminar o turbulento, por medio del número de Reynolds: Según tablas, para la glicerina: ρ = 1258 kg/m3; µ = 9,6·10-1 Pa·s, entonces:

78610·6,91258·15,0·4

1

VDNR Flujo laminar (menor que 2000)

Utilizando la ecuación de Darcy:

mg

vDLfhL 2,13

81,9·24·

15,030·

78664

2··

22

Este valor significa que se pierden 13,2 N·m por cada N de glicerina que fluye a lo largo de la longitud de 30 metros de conducto.

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Pérdidas de fricción en flujo turbulento. Dado que el flujo turbulento no tiene movimientos regulares ni predecibles, no es posible predecir la fricción mediante un simple cálculo. Por esto, se debe confiar en los datos experimentales para determinar “f”. Las pruebas han mostrado que el número adimensional “f” depende de otros dos números, también adimensionales: el número de Reynolds y la rugosidad relativa del conducto. Esta rugosidad es el cuociente entre el diámetro D del conducto y la rugosidad promedio ε de la pared del conducto Algunos valores de ε son:

Material Rugosidad ε (m)

Vidrio, plástico suavidad Cobre, latón, plomo (tubería) 1,5·10-6 Hierro fundido, sin revestir 2,4·10-4 Hierro fundido, revestido de asfalto 1,2·10-4 Acero comercial o acero soldado 4,6·10-5 Hierro forjado 4,6·10-5 Acero remachado 1,8·10-3 Concreto 1,2·10-3

Nota: rugosidad “suavidad” significa que no se le asigna un valor numérico, si tiene rugosidad. Uno de los métodos más extensamente empleados para evaluar el factor de fricción, hace uso del DIAGRAMA DE MOODY. Este es un gráfico que relaciona el número de Reynolds con una serie de curvas que representan la rugosidad relativa D/ε En la parte izquierda, para flujos laminares, se presenta una recta que representa a f = 64/NR. Para valores entre 2000 y 4000 de NR, no se presentan curvas, pues de trata de la zona crítica entre flujo laminar y turbulento. A la derecha, se grafican familia de curvas para diferentes valores de ε/D (o el valor dado por D/ε, dado en algunos gráficos).

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Nota: el primer valor ε/D es 0,05 en la gráfica y que es equivalente a 1/20, donde 20 es el valor dado por la relación D/ε. Existen gráficas que tiene a la derecha, esta relación D/ε. A partir de estas curvas, se puede analizar:

- Para un número de Reynolds dado de un flujo, conforme la rugosidad relativa D/ε aumenta, el factor de fricción disminuye.

- Para una cierta rugosidad relativa dada ε/D (D/ε), el factor de fricción disminuye al aumentar el número de Reynolds, hasta que se alcanza la zona de turbulencia completa.

- Dentro de la zona de completa turbulencia, el número de Reynolds no tiene efecto alguno sobre el factor de la fricción.

- Conforme aumenta la rugosidad relativa D/ε, el valor del número de Reynolds en el cual se inicia la zona de completa turbulencia empieza a aumentar.

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Ejemplo. Determine el factor de fricción f, si esta fluyendo alcohol etílico a 25º C a 5,3 m/s en un conducto de acero estándar de 1 1/2 pulgada calibre 80. Datos: ρ = 787; µ = 1·10-3 Pa·s, D = 0,0381 m Al calcular: NR = 1,59 · 105. Flujo turbulento Para acero ε = 4,6 · 10-5 m D/ ε = 0,0381 m / 4,6·10-5 m = 828 Entonces f = 0,0225 Ejercicio. En una planta de procesamiento químico, debe transmitirse benceno a 50º C (sg = 0,86) a un punto “B” , con una presión de 550 kPa. En el punto “A” está colocada una bomba a 21 metros por debajo del punto “B”, y los dos puntos están conectados por 240 metros de conducto plástico cuyo diámetro interior es de 50 mm. Si la rapidez de flujo de volumen es de 110 lt/min, calcule la presión requerida en la salida de la bomba. Escriba la ecuación de la energía entre los puntos A y B. La relación de energía es:

gvzph

gvzp

L 22

22

22

21

11

El término hL es necesario, pues existe una pérdida de energía debido a la fricción, entre los puntos A y B. El punto A está a la salida de la bomba, y el objetivo del problema es calcular pA, (presión a la salida de la bomba). Si despejamos pA,, la ecuación queda:

L

ABABBA h

gvvzzpp

2)(

22

Dado que el punto B está más alto que el punto A, zB – zA = +21 m El valor de las velocidades es igual, dado que el conducto tiene el mismo diámetro en toda su extensión, por tanto el cuociente correspondiente vale cero. Para determinar hL, requerimos primero el número de Reynolds.

NR = vD/ Para un conducto de 50 mm,

D = 0,05 m A = 1,9630 · 10-3 m2

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Q = (110 l/min) · (1 m3/s / 60000 l/min) = 1,83 · 10 -3 m3/s v = Q/A = (1,83·10-3 m3/s) / 1,9630·10-3 m2 = 0,932 m/s Para benceno a 50º C, con densidad relativa 0,86 tenemos: = 0,86 · 1000 kg/m3 = 860 kg/m3 m = 4,2 · 10-4 Pa·s (gráfica) Entonces:

44 10·54,9

10·2,4)860)·(05,0)·(9320,0(

VDNR

Dado que es mayor que 4000, el flujo es turbulento. Para flujo turbulento, se usará la ecuación de Darcy y así usaremos el diagrama de Moody, para determinar “f”. Como el tubo es de plástico, se considera LISO, por tanto NO se requiere D/ ε (rugosidad relativa) y usamos la curva de “conductos lisos”, por lo que NR f = 0,031 Por tanto,

mg

vDLfhL 59,6

81,9·2932,0·

05,0240·031,0

2··

22

Entonces:

L

ABABBA h

gvvzzpp

2)(

22

mmm

kNkPapA 59,60)21(81,9·86,0550 3 = (559 + 232,77) kPa = 791,77 kPa

Para flujos turbulentos, existe además una ecuación para encontrar el valor de fricción “f”, que reemplaza las gráficas:

2

9,0

74,5)/(7,3

1log

25,0

RND

f

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PERDIDAS POR SINGULARIDADES – PERDIDAS MENORES La pérdida que se produce en cualquier singularidad (curvas, codos, cambios de forma o dimensión, etc.) se puede expresar como:

gVKhL 2

2

El coeficiente de pérdida K es prácticamente constante para una geometría de flujo dada, aunque tiende a aumentar cuando aumenta la rugosidad o cuando disminuye el número de Reynolds, pero estas variaciones son de muy poca importancia para flujo turbulento. Básicamente, el valor del coeficiente de pérdida es una función de la geometría del flujo, es decir, por la forma de la obstrucción o del accesorio. Ensanche o dilatación brusca. Sea una tubería de diámetro D1 que sufre una expansión brusca a una tubería de diámetro D2 como se muestra en la figura.

Al pasar el fluido hacia la sección mayor, su velocidad decrece violentamente, ocasionando una turbulencia que genera una pérdida de energía. Esta dependerá del cuociente de los tamaños de los dos conductos. La pérdida menor se conoce aplicando la ecuación dada anteriormente, donde la velocidad es la que corresponde al conducto menor, que está antes de la dilatación. El valor K se obtiene por tablas, gráfica o mediante:

K AA

DD

1 11

2

212

22

2

(Indice 1: sección menor, índice 2 sección mayor) Ejemplo: Determine la pérdida de energía que ocurrirá al fluir 100 l/min de agua, a través de una dilatación súbita proveniente de una tubería de cobre de 1 pulgada (tipo K) a un tubo de 3 pulgadas. Datos - tablas D1 = 25,3 mm = 0,0253 m; A1 = 5,017 · 10-4 m2 D2 = 73,8 mm = 0,0738 m; A2 = 4,282 · 10-3 m2 V1 = Q/A1 = (100 l/min / 5,017· 10-4 m2 ) · (1 m3/s / 60000 l/min) = 3,32 m/s V1

2/2g = (3,322 / 2·9,81)m = 0,56 m K = [1 – (0,0253/0,0738)2]2 = 0,78 (en gráficas aproximadamente 0,72)

gVKhL 2

2

= 0,78 · 3,322 / (2·9,81) = 0,44 m

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Entonces, 0,44 N·m de energía se disipa de cada Newton de agua que fluye a través de una dilatación súbita. Entrada a un Depósito. Durante el flujo de un fluido de un conducto hacia un gran depósito o tanque, su velocidad disminuye hasta casi cero. En el proceso, la Energía cinética que el fluido poseía en el conducto (v2/2g) se disipa, entonces, la pérdida de energía para esa condición es:

gVhL 2·0,1

2

Esta pérdida se denomina “pérdida de salida“. El valor K = 1,0 se usa sin importar la forma de la salida donde el conducto se conecta con la pared del estanque

Ejercicio. Determinar la pérdida de energía que se produce al fluir 100 l/min de agua de un tubo de cobre de 1 pulgada tipo K en un tanque mayor.

gVhL 2·0,1

2

100 l/min = 3,32 m/s (ya calculados)

ghL 2

)32,3(·0,12

=0,56 m pérdida de energía

Contracción Brusca. El flujo se caracteriza por la aparición de una vena contracta hacia aguas abajo del estrechamiento, la pérdida no se produce en el estrechamiento, sino que en la expansión. La conversión de energía de presión en energía cinética es muy eficiente, no así el proceso inverso.

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Se tiene que la pérdida entre 1 y 0 es mucho menor que la pérdida entre 0 y 2, luego, aplicando la Ecuación de Borda y Ecuación de Continuidad al sistema de la figura, se tiene:

KCc

1 12

Donde: Cc: coeficiente de contracción y corresponde al área del escurrimiento de la sección “0” dividido por

el área de la sección “0”. C AAc

0

2

Salidas de Estanques. Los coeficientes de pérdida dependen de la forma de la salida:

Codos. Curva rectas y angulosas. Válvulas.

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Válvulas de globo Una válvula de globo es de vueltas múltiples, en la cual el cierre se logra por medio de un disco o tapón que sierra o corta el paso del fluido en un asiento que suele estar paralelo con la circulación en la tubería.

Válvulas de compuerta. La válvula de compuerta es de vueltas múltiples, en la cual se cierra el orificio con un disco vertical de cara plana que se desliza en ángulos rectos sobre el asiento. Válvulas de mariposa La válvula de mariposa es de ¼ de vuelta y controla la circulación por medio de un disco circular, con el eje de su orificio en ángulos rectos con el sentido de la circulación.

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