Mecánica de fluidos

Departamento de Tecnologías IndustrialesFacultad de IngenieríaUniversidad de Talca

Prof: Jorge Hinojosa

Modelo del Medio Continuo:

Como el volumen más pequeño que nos interesa en ingeniería es muy grande con respecto a las partículas, este se puede considerar continuo.

Mecánica de fluidos

Unidad S.I. cantidad unidad simbolo formulaUnidad base Longitud metro m -

Masa kilogramo kg -Longitud segundo s -Longitud Kelvin K -

unidad sup. angulo plano radianes rad -unidad derivada Fuerza Newton N kgm

s2

Energıa Joules J NmTrabajo Joules J NmPresion Pascal Pa N

m2

Potencia Watt W Js

Sistema Internacional (S.I.):

TiempoTemperatura

ϑ =1ρ

• Densidad,

para gases

En gases se puede despreciar la variación de densidad (flujo incompresible) para velocidades bajas, 0,3 Mach

• Peso específico,

• Volumen específico,

• Densidad Relativa,

En líquidos, la referencia es el agua pura a 4°C y 101330 Pa, (1000 kg/m3)En gases, corresponde al aire seco.

Propiedades de los fluidos

ρ =∆m

∆Vρ =

P

zRT

γ = ρg

S = d.r. =ρ

ρref

• Presión,

Niveles de medición: - P. atmosférica (Presión manométrica).- P. cero (Presión absoluta).

• Principio de Pascal,

Propiedades de los fluidos

P =∆F

∆A

Pabs = Pman + Patm

P =F1

A1=

F2

A2

F1 =F2A1

A2

• Viscosidad, (viscosidad dinámica)

Propiedades de los fluidos

µ =τdudy

du

dy

τ

Fluido viscosidad µAire Seco a 100oC 2, 17x10−5 Ns/m2

Agua lıquida a 1000C 2, 84x10−4 Ns/m2

Aceite lubricante 2x10−3 Ns/m2

EjemploDesarrollo teorico

• Viscosidad cinemática,

• Condición de no deslizamiento,

La velocidad de un fluido en contacto con una superficie es la misma que la de la superficie.

• Flujo no viscoso,

Esfuerzo de corte es despreciable con respecto a otras fuerzas.

• Flujo Ideal,

El flujo ideal es un flujo no viscoso e incompresible.

Propiedades de los fluidos

ν =µ

ρ

• Tensión superficial,

fuerza de interacción entre gases y líquidos (superficie de contacto).

Angulo de contacto. Angulo entre superficie y gota. (Tangente al punto de contacto)

humectante no humectante

Propiedades de los fluidos

(σ) [N/m]

σ

PiPe

Gota esferica

(Pi − Pe) =2σ

rEjemplo

Sin gradiente de velocidad => sin esfuerzos de corte => sin deformación.

Fuerzas involucradas : Peso y Presión.

Hidrostática

Estática de fluidos

ρ = cte→ γ = cteγ = ρg

γagua = 9800[N/m3]

∂P

∂z= −γ

∂P = −γ∂z� P

P0

dP = −γ

� z

z0

dz

P − P0 = −γ(z − z0)

Si z0 = 0→ P − P0 = −γ(z)

Estática de fluidos

P1 = Px + γ1h1

P2 = Patm + γ2h2

P2 = 0 + γ2h2

Donde, por equilibrio de fuerzas :P1 = P2

Finalmente :Px + γ1h1 = γ2h2

Px = γ2h2 − γ1h1

Ejemplo

Estática de fluidos

P4 = Px + γ1h1

P5 = Py + γ2h2 + γ3h3

Donde, por equilibrio de fuerzas :P4 = P5

Finalmente :Px − Py = γ2h2 + γ3h3 − γ1h1

Estática de fluidos

P6 = Px + γ1h1

P7 = Patm + γ2h2 = O + γ2h2

Donde, por equilibrio de fuerzas :P6 = P7

Finalmente :Px = γ2h2 − γ1h1

Px = γ2lsenθ − γ1h1

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección recta

F =�

A(P0 + γh)dAF = (P0 + γh)

�A dA

F = (P0 + γh)A

hcp = profundidad del centro de presiones.hcg = profundidad del centro de gravedad.

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección recta

Analizando un solo punto:PdA = γhdA como P = dF/dAdF = γhdAIntegrando para toda la superficieF = γ

�A hdA

Se sabe que:�A hdA = hcgA→ F = γhcgA

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección recta

Punto de aplicacion de la fuerza se determinacomo el punto por el cual la suma de los momentosejercidos es nulodM = γhdAh /

�A

M = γ

�

Ah2dA

� �� �Isup

= 0⇒ hcp = Isup

hcgA

Utilisando el teorema de Steiner (Ix = Ixcg + d2cgA):

hcp = hcg + Isup

hcgAhcp = hcg +Isup−cg

hcgA

Ejemplo

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección recta

Magnitud de la fuerza:F = γlcgsenθA = γhcgA

Posicion del centro de presionmedido desde la superficie:hcp = lcpsenθ = (lcg + Icg

lcgA )senθ

Ejemplo

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección curva

Se considera que actuan 2 fuerzas:- Una fuerza horizontal, FE−B

- Una fuerza vertical, W (peso del lıquido)

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección curva

Fuerza horizontal en el area E-B, FH :γ(hgAE−B)− FH = 0FH = γ(hgAE−B)

Fuerza vertical es el peso del volumen A−B − C −D:W − FV = 0 = γVA−B−C−D − FV

FV = γVA−B−C−D

Fuerzas sobre superficies sumergidasSuperficies de sección curva

La posicion del centro de presiones se obtiene haciendo:�M = 0

La posicion horizontal (ecp)

ecp = WAECD eAECD+WABE eABEWABECD

La posicion vertical (hcp)

hcp = hcgEB + IgEBhgEB

AEB

La magnitud total de la fuerza y su angulo se calcula:

F =�

F 2H

+ F 2V

θ = arctg(FV

FH

)

Ejemplo

Fuerzas de flotaciónCuerpo sumergido

P1

P2

dA1

dA2

dVl

h1

h2

dA1 ≈ dA2 = dA

dF = (P2 − P1)dA

dF = P2dA2 − P1dA1

dF = (γh2 − γh1)dA

dF = γldA

Integrando:F =

�γldA = γV

F se aplica en el centroide.

Fuerzas de flotaciónCuerpo sumergido

Ff = W = γH2OVs

Vs =W

γH2O

Vs =W

γfluido

Variacion de ∆h en la profundidad del densımetro, implica:

W = γx(V −A∆h)

γx(V −A∆h) = γH2OV

∆h = VA (A− γH2O

γx) = V

A (1− 1S )

Fuerzas de flotaciónEstabilidad de cuerpos sumergidos por completo

Un cuerpo en un fluido se considera estable si regresa a su posicion originaldespues de habersele dado un pequeno giro sobre un eje horizontal.

La condicion de estabilidad para los cuerpos sumergidos por completo en unfluido es que su centro de gravedad este por debajo de su centro de flotacion.

Centro de flotacion = Centroide del volumen desplazado de fluidos

Fuerzas de flotaciónEstabilidad de cuerpos flotantes

Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad esta por debajo delmetacentro

Metacentro (MC): Es la interseccion del eje vertical de un cuerpo cuandoesta en su posicion de equilibrio, con una lınea vertical que pasa a traves de lanueva posicion del centro de flotacion, cuando el cuerpo gira levemente.

MB = I/Vs

I; momento de inercia mınimo de una seccion horizontal del cuerpo tomadaen la superficie del fluido.

Vs; volumen desplazado de fluido

Ejemplo

Fuerzas en fluidos uniformemente acelerados, caso lineal

g

a

θ

b

h0

∆zmax

∂P

∂x= −ρax,

∂P

∂x= −ρay,

∂P

∂x= −ρ(g + az)

dP = dP (x, z) = ∂P∂x dx + ∂P

∂z dz

dP = −ρaxdx− ρ(g + az)dz

ρ = cte P2 − P1 = −ρax(x2 − x1)− ρ(g + az)(z2 − z1)

Si P1 = P0 (x = 0, z = 0) P = P0 − ρaxx− ρ(g + az)z

∆zmax , se determina haciendo que el punto 1 y 2 esten sobre la superficielibre del fluido (P1 = P2) y se despeja ∆z

∆z = z2 − z1 = − ax

g + az(x2 − x1) tanθ =

ax

g + az

Ejemplo

Fuerzas en fluidos uniformemente acelerados, caso rotacional

ω

rhc

h0

∂P

∂r= ρrω2

Variacion de la presion radialmente depende del radio al eje y la velocidadangular

Variacion de la presion.

dp =∂p

∂rdr +

∂p

∂zdz → dp = ρrω2dr − ρg(z2 − z1)dz

isobara dp = 0

dzisobara

dr=

rω2

g−→ zisobara =

ω2r2

2g+ C1

Volfinal =� R

r=02πhrdr = πR2(

ω2R2

4g+ hc) con h = zisobara

ziso(r = 0) = C1 = hc

Volinicial = πR2h0 −→ hc = h0 −ω2R2

4g

P2 − P1 =ρω2

2(r2

2 − r21)− ρg(z2 − z1)

Si r1 = 0 (en el eje de rotacion) y punto 2 en una superficie libre.

ω2r22

2= g(z2 − z1)

Ejemplo