Mecânica dos Fluidos

Prof. João Felipe Bassane

Engenharia Mecânica

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Capítulo 3 - Formulação integral para um

volume de controle

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3.1) Leis Básicas para um sistema Conservação de massa

Como um sistema é, por definição, uma porção de matéria de massa fixa, ele é

constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes.

𝑑𝑀𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

= 0

𝑀𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑑𝑚𝑀 (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

= 𝜌 𝑑∀∀ (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

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3.1) Leis Básicas para um sistema A segunda Lei de Newton

A soma de todas as forças externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de

variação da quantidade de movimento linear do sistema.

𝐹 =𝑑𝐿

𝑑𝑡 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝐿𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑉 𝑑𝑚𝑀 (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

= 𝑉 𝜌 𝑑∀∀ (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

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3.1) Leis Básicas para um sistema O princípio da quantidade de movimento angular. (Momento da

quantidade de movimento)

A taxa da variação da quantidade de movimento angular é igual a soma de todos

os torques atuando sobre o sistema.

𝑇 =𝑑𝐻

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

𝐻𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑟 𝑋 𝑉𝑀 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

𝑑𝑚

= 𝑟 ∀ (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

𝑋 𝑉 𝜌 𝑑∀

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3.1) Leis Básicas para um sistema A primeira lei da termodinâmica.

A 1° Lei da termodinâmica é um enunciado da conservação de energia para um

sistema.

𝛿𝑄 − 𝛿𝑊𝛿 = 𝑑𝐸

Em forma de taxa temos: 𝑄 − 𝑊 =𝑑𝐸

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

Onde a energia total do sistema é dada por:

𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑒 𝑑𝑚𝑀 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

= 𝑒 𝜌 𝑑∀∀ (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

𝑒 = 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧

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A primeira lei da termodinâmica.

Onde:

Q – Taxa de transferência de calor (positivo quando calor é adicionado ao

sistema);

W – Taxa de trabalho (positivo quando o trabalho é realizado pelo sistema sobre

as vizinhanças);

u – Energia interna específica;

V – velocidade

Z – Altura (em relação a uma referência) de uma partícula de substância de

massa dm

3.1) Leis Básicas para um sistema

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A segunda lei da termodinâmica.

Se uma quantidade de calor for transferida para um sistema à uma dada

temperatura, a 2° lei da termodinâmica estabelece que a variação de entropia do

sistema é dada por:

𝑑𝑆 ≥𝛿𝑄

𝑇

𝑑𝑆

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

≥1

𝑇 𝑄

𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑠 𝑑𝑚𝑀 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

= 𝑠 𝜌 𝑑∀∀ (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

3.1) Leis Básicas para um sistema

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3.2. Relação entre as derivadas do sistema e a

formulação para volume de controle.

Usaremos o símbolo genérico N para representar qualquer uma das propriedades

extensivas do sistema (massa, movimento, linear, movimento angular, energia, ou

entropia). A propriedade intensiva correspondente (propriedade extensiva por

unidade de massa) será designada por η. Assim:

𝑁𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝜂 𝑑𝑚𝑀 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

= 𝜂 𝜌 𝑑∀∀ (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

Se: 𝑁 = 𝑀, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜂 = 1

𝑁 = 𝐿 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜂 = 𝑉

𝑁 = 𝐻 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜂 = 𝑟 𝑋 𝑉

𝑁 = 𝐸, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜂 = 𝑒

𝑁 = 𝑆, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝜂 = 𝑠

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3.2. Relação entre as derivadas do sistema e a

formulação para volume de controle.

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A relação geral entre a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva

arbitrária, N, de um sistema e as variações dessa propriedade associadas com o

volume de controle é dada por:

𝑑𝑁

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

Onde o vetor elemento de área dA tem a magnitude do elemento de área, dA, da

superfície de controle; o sentido de dA é o da normal (perpendicular) à superfície

para fora do elemento. Em geral, o vetor velocidade V fará um ângulo qualquer α

com respeito a dA.

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𝑑𝑁

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

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𝑑𝑁

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

Explicando cada termo da equação:

𝑑𝑁

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

- é a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva

arbitrária do sistema.

𝜕

𝜕𝑡 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

É a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária N dentro

do volume de controle.

: η é a propriedade intensiva correspondente a N; η = N por unidade de massa.

: 𝜌 𝑑∀ é um elemento de massa contido no volume de controle.

: 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

é a quantidade total da propriedade extensiva N contida dentro do

volume de controle.

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𝑑𝑁

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

.

É a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de

controle.

: 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 É a taxa de fluxo de massa através do elemento de área dA por

unidade de tempo.

: 𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 é a taxa da propriedade extensiva N através da área dA

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3.3. Conservação de massa.

𝑑𝑀𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

= 0

𝑀𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑑𝑚𝑀 (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

= 𝜌 𝑑∀∀ (𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎)

Formulação geral para volume de controle:

𝑑𝑁

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡 𝜂 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜂 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

N= M e η= 1

𝑑𝑀

𝑑𝑡 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

=𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

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Equação da continuidade

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

= 0

Onde: O primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do

volume de controle e o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de

massa (ou vazão líquida em massa) através da superfície de controle.

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

= − 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

Avaliação do produto escalar 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑉𝑑𝐴 cos𝛼 :

Positivo – Escoamentos para fora da SC (α<π/2);

Negativo – Escoamentos para dentro da SC (α> π/2).

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Para o caso de um escoamento incompressível:

(ρ não é função do espaço nem do tempo)

𝜌𝜕

𝜕𝑡 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

= 0

𝜕∀

𝜕𝑡+ 𝑉 ∙ 𝑑𝐴

𝑆𝐶

= 0

(Para o caso de um volume de controle não deformável):

𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

= 0

Esta integral é comumente chamada de taxa de fluxo de volume ou vazão em

volume.

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Para o caso de um escoamento incompressível:

Q= 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

= 0

A velocidade média 𝑉 numa seção do escoamento é definida por:

𝑉 =𝑄

𝐴=1

𝐴 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

= 0

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Para o caso de um escoamento permanente compressível:

Escoamento permanente: nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo.

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑑∀𝑉𝐶

+ 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝑆𝐶

= 0

A vazão em massa para dentro do volume de controle deve ser igual à vazão

mássica para fora do volume de controle.

𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴 𝐴

= 𝜌 𝑉 𝐴 = 0

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Exemplo 1

Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos

conforme mostrado no diagrama. As áreas das seções são: 𝐴1 = 0,2 𝑚2 ,

𝐴2 = 0,2 𝑚2 e 𝐴3 = 0,15 𝑚2. O fluido também vaza para fora do tubo através do

orifício em 4 com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 𝑚3/𝑠 . As

velocidades médias nas seções 1 e 3 são 𝑉1 = 5 𝑚/𝑠 e 𝑉3 = 12 𝑚/𝑠 ,

respectivamente. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.