Matematicas1 luces nuevas

MatemáticasMaría Trigueros Gaisman

María Dolores Lozano Suárez

Mónica Inés Schulmaister

Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres

Emanuel Jinich Charney

Mercedes Cortés Lascurain

1

1. °

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ua • Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes • Dirección de Investigación y Nuevos Desarrollos L

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El libro Mate

máticas 1 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico,

incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

© 2012 por María Trigueros Gaisman, María de los Dolores Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney, María de las Mercedes Cortés Lascurain

D. R. © 2012 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240,

delegación Benito Juárez, México, D. F.

ISBN:

Primera edi ción: abril de 2012

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México /Printed in Mexico

Coordinación EditorialMa. del Pilar Vergara Ríos

Colaboración en evaluaciones tipo PISA Diana Paloma Díaz Pérez

Edición Rubén García Madero, Leticia Martínez Ruiz y

Laura Milena Valencia Escobar

Revisión técnica Ariel Ávila

Corrección de estilo Pablo Mijares Muñoz, Rafael Serrano Pérez Grovas

Edición de RealizaciónGabriela Armillas Bojorges

Edición DigitalMiguel Ángel Flores Medina

Diseño de portadaRaymundo Ríos Vázquez

Diseño de interiores Beatriz Alatriste del Castillo y Gil G. Reyes Ortiz

Diagramación Héctor Ovando Jarquín

Iconografía Elvia Valadez Pérez

Fotografía Olivia Vivanco, Thinkstock, Shutterstock, Photostogo, Durga Archivo

Digital, Photostock, Latinstock, NASA, Glow Images, Archivo Santillana

Ilustración Héctor Ovando, Ricardo Ríos, Héctor Medina, Gerardo Sánchez, Gustavo

del Valle, Margarita Palacios, Marcela Gómez (A corazón abierto),

Carmen Gutiérrez, Kathia Recio

DigitalizaciónMaría Eugenia Guevara, Gerardo Hernández

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Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago • Coordinación de Secundaria José de Jesú

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Coordinación Iconográfica Nadira Nizametdinova Malekovna • Coordinación de Realización A

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3

Presentación

Este libro de texto está destinado a los alumnos de primer grado de secundaria. Está organizado en secuencias de situaciones problemáticas desarrolladas en torno a con-textos de la vida diaria que corresponden a las necesidades de aprendizaje de los ado-lescentes mexicanos y que representan para ellos un desafío intelectual. En la sección Palabras al docente se describen las etapas de las secuencias y cómo trabajarlas.

Mediante la organización en secuencias de situaciones problemáticas se intenta que los alumnos enfrenten los nuevos conocimientos matemáticos proporcionándoles sentido y signifi cado. Por medio de la solución de problemas interesantes y preguntas de re-fl exión se les motiva a desarrollar las competencias matemáticas (Resolver problemas de manera autónoma, Comunicar información matemática, Validar procedimientos y resultados y Manejar técnicas efi cientemente) requeridas para la vida en un ambiente de aprendizaje colaborativo, que les ofrece la oportunidad de incrementar el sentido de responsabilidad y las ventajas de compartir con otros sus ideas y conocimientos.

La propuesta didáctica de Matemáticas 1 se inscribe en el enfoque por competencias y la resolución de problemas, en el cual los alumnos pueden activar sus saberes e integrar nuevos conocimientos para dar respuesta tanto a problemas en situaciones comunes, como a situaciones complejas de la vida diaria.

El trabajo de los alumnos con el libro les permite:

• visualizar con claridad el problema o dar un planteamiento adecuado a la situación; • seleccionar entre sus conocimientos y habilidades, aquellos que son necesarios

para resolver una situación particular;• poner en práctica los conocimientos y habilidades y ajustarlos en función de la

situación; • prever lo que se necesita para participar en determinada situación;• refl exionar, en colaboración con sus compañeros, sobre las nuevas herramientas

necesarias para resolver cada situación;• tener la posibilidad de trasladar los nuevos aprendizajes de esa experiencia a si-

tuaciones y retos nuevos.

De esta manera, los alumnos construyen los conocimientos con sentido y signifi cado, lo que les permite aplicarlos dentro y fuera de la escuela.

El trabajo en equipo es importante

porque te ofrece la posibilidad

de expresar tus ideas y de

enriquecerlas con las opiniones

de los demás, así desarrollas

tu actitud de colaboración y la

habilidad para argumentar.


4

El libro que tienes en tus manos tiene el propósito de acompañarte en tu curso de Ma-temáticas, del primer grado de secundaria. Esta obra ha sido escrita con la intención de acercarte a las matemáticas mediante el desarrollo de actividades interesantes y de problemas y situaciones cercanos a tu vida cotidiana, de manera que el aprendi-zaje te resulte entretenido y lleno de signifi cado.

Las matemáticas constituyen una forma de pensar y de abordar problemas; enten-derlas es fundamental y, por ello, tratamos de ofrecerte muchas opciones para que argumentes, comuniques tus ideas, elabores razonamientos y emplees herramientas matemáticas. Todo ello te dará ocasión para profundizar sobre la manera de pensar en matemáticas y así comprender mejor los conceptos relacionados con la situación o problema que estés trabajando.

Resolver problemas requiere dedicación y esfuerzo, por lo que te sugerimos que lleves a cabo un acercamiento con tus compañeros de clase y tu profesor, que incluya momentos de discusión y refl exión tanto individual como grupal en cada uno de los retos planteados. Es importante que aproveches lo que ya conoces, que refl exiones si es útil en esa situación o no lo es, y cuál es la mejor manera de resolverla. Al discutir con tus compañeros y con tu profesor tendrás nuevas oportunidades de refl exionar sobre diferentes maneras de abordar y resolver los problemas, compararlas y tomar decisiones acerca de las ventajas y desventajas de cada una de ellas, cómo se complementan, etc. Así lograrás profundizar en las ideas y los conceptos matemáticos que se requieren en la solución de los problemas y sobre el papel que tienen las matemáticas en la sociedad.

Es importante que te preguntes constantemente si tus argumentos son sólidos, si com-prendes los proporcionados por otros compañeros o por el profesor, y que trates de resolver por ti mismo otros problemas similares, de manera que puedas percatarte de la posibilidad de utilizar tu propio conocimiento y plantear las dudas que aún tienes y discutirlas de nuevo con el profesor.

Hemos disfrutado mucho el hecho de escribir este libro y esperamos que tú también goces al utilizarlo y que adquieras sólidos conocimientos matemáticos para que en el futuro puedas ponerlos en práctica en una variedad de contextos.

Los autores

Palabras al alumno

Una actitud positiva hacia el

estudio de las matemáticas te

permitirá enfrentar situaciones

diversas de forma efi ciente.


5

Palabras al docente

El estudio de las matemáticas busca que los jóvenes desarrollen una manera de pensar que les permita expresar, por medio de las herramientas adquiridas, situaciones que se les presenten en diversos entornos, que puedan comprender las explicaciones y los razonamientos de otros, y que sean capaces de utilizar técnicas matemáticas ade-cuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Por ello, el tratamiento de los contenidos en este libro se realiza mediante secuencias de situaciones problemáticas conformadas por cuatro etapas: inicio, planeación, desarrollo y cierre.

En cada secuencia se propone a los estudiantes la confección, en equipos o todo el grupo, de un producto: construir una maqueta, elaborar un informe, realizar una in-vestigación, explicar y justifi car razonamientos y estrategias empleadas para resolver un problema, entre otros.

En la primera etapa se presenta una situación —una actividad, un juego, una imagen o un texto— cuyo propósito es despertar el interés de los alumnos e invitarlos a re-fl exionar y encontrar diferentes formas de resolverla. El inicio se complementa con el planteamiento de algunas preguntas para recuperar conocimientos, para meditar so-bre la solución del problema y considerar los contenidos por estudiar. Este momento de la secuencia puede trabajarse en equipos o en grupo, usted puede decidir la mejor manera de trabajo de acuerdo con su plan de clases.

En la etapa de planeación, que en el libro se titula Nuestro trabajo, se propone el pro-ducto que elaborarán los estudiantes, así como su propósito, los recursos y la organi-zación de las actividades que deberán realizar. Durante el desarrollo de la secuencia se proponen actividades diversas, individuales y colectivas, que permitirán a los estu-diantes ir de lo informal a lo convencional en la construcción de reglas, fórmulas, algo-ritmos, defi niciones, etc. Es pertinente intervenir lo menos posible en las discusiones de los alumnos para que sean ellos quienes formulen y validen conjeturas y utilicen procedimientos propios al resolver los problemas.

Con el propósito de que el educando evalúe su avance individual y colectivo en la construcción del conocimiento, en su producto y en el desarrollo de habilidades y actitudes, se presenta el apartado ¿Cómo vamos?, en el que se propicia la refl exión metacognitiva. Es posible complementar esta sección con otras preguntas como las siguientes: ¿Puedes seguir esta secuencia de argumentos o elaborarlos tú mismo? ¿Comprendiste los razonamientos y las explicaciones de tus compañeros?, etcétera.

El cierre de la secuencia se realiza en dos momentos: primero, en Presentación de nuestro trabajo, los alumnos fi nalizan la confección del producto; se sugiere que lo so-cialicen con el grupo, incluso con la escuela o la comunidad. De esta manera también comunican, argumentan y comparten los conocimientos. Por último, en el segundo momento, ¿Cómo nos fue?, discuten en grupo varios puntos relacionados con los aprendizajes logrados, el producto, la manera en la que aprendieron y la resolución del problema inicial.

Quienes participamos en su elaboración, esperamos que esta obra sea de utilidad para su trabajo docente.

Los autores


6

ÍndiceDosifi cación 8

Tu libro, de principio a fi n 12

1. Fracciones y decimales 18

2. Fracciones y decimales en la

recta numérica 28

3. Suma y resta de fracciones 34

4. Sucesiones 40

5. Literales y fórmulas 46

6. Construcción de cuadriláteros 50

7. Rectas y segmentos del triángulo 58

8. Reparto proporcional 66

9. Nociones de probabilidad 72

Evaluación tipo PISA 78

10. Criterios de divisibilidad y

números primos 82

11. Múltiplos y divisores 88

12. Suma de fracciones y decimales 96

13. Multiplicación de fracciones 104

14. Rectas y ángulos 112

15. Fórmulas de perímetros y áreas

de polígonos regulares 118

16. Grandes y chicos 122


17. Multiplicación de números

con decimales 132

18. División con decimales 138

Mandala tibetano budista 80

2Blo

que

Sombrillas chinas 130

Blo

que

3

Dados

Blo

que

116

MATHSECLA p01.indd 6MATHSECLA p01.indd 6 3/22/12 1:31 PM3/22/12 1:31 PM

7

19. Ecuaciones de primer grado 144

20. Polígonos y sus aplicaciones 150

21. Áreas y perímetros de

polígonos regulares 158

22. Factores sucesivos de

proporcionalidad 164

23. Predicciones en un

experimento aleatorio 168

24. Diagramas y tablas 174


25. Números con signo 186

26. Construcción de círculos 194

27. Circunferencia y círculo 200

28. Proporcionalidad:

procedimientos expertos 206

29. Factor inverso de proporcionalidad 210

30. Problemas de conteo 216

31. Gráfi cas 224


32. Problemas aditivos 236

33. Notación científi ca 242

34. Potenciación y radicación 250

35. Sucesiones aritméticas 258

36. Área y perímetro del círculo 264

37. Proporcionalidad múltiple 270


Fuentes de información 278

Pulseras hechas con cuentas de chaquira 184

4Blo

que

Sistema Solar 234

Blo

que

5


Dosifi caciónEje Tema Secuencia

Bloque 1

Sentido numérico

y pensamiento algebraico

Números y sistemas de numeración

1. Fracciones y decimales

2. Fracciones y decimales en la recta numérica

Problemas aditivos 3. Suma y resta de fracciones

Patrones y ecuaciones

4. Sucesiones

5. Literales y fórmulas

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos

6. Construcción de cuadriláteros

7. Rectas y segmentos del triángulo

Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones 8. Reparto proporcional

Nociones de proporcionalidad 9. Nociones de probabilidad

Bloque 2

Sentido numérico


Números y sistemas de numeración

10. Criterios de divisibilidad y números primos

11. Múltiplos y divisores

Problemas aditivos 12. Suma de fracciones y decimales

Problemas multiplicativos 13. Multiplicación de fracciones

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos 14. Rectas y ángulos

Medida15. Fórmulas de perímetros y áreas de

polígonos regulares

Manejo de la información Proporcionalidad y funciones 16. Grandes y chicos

Bloque 3

Sentido numérico


Problemas multiplicativos

17. Multiplicación de números con decimales

18. División con decimales

Patrones y ecuaciones 19. Ecuaciones de primer grado

Forma, espacio y medida Figuras y cuerpos 20. Polígonos y sus aplicaciones

8


Contenidos Págs. Semana Calendarización

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. 18-27 1 y 2

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

28-33 3

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

34-39 4

Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de fi guras.

40-45 5

Explicación del signifi cado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

46-49 6

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. 50-57 7

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo. 58-65 8

Resolución de problemas de reparto proporcional. 66-71 9

Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

72-77 10

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

82-87 11

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

88-95 12 y 13

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

96-103 14

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

104-111 15

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

112-117 16

Justifi cación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de fi guras.

118-121 17

Identifi cación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

122-127 18

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

132-137 19

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

138-143 20

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

144-149 21

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

150-157 22 y 23

9


Eje Tema Secuencia

Medida21. Áreas y perímetros de

polígonos regulares


Proporcionalidad y funciones22. Factores sucesivos de

proporcionalidad

Nociones de probabilidad23. Predicciones en un

experimento aleatorio

Análisis y representación de datos 24. Diagramas y tablas

Bloque 4

Sentido numérico

y pensamiento algebraicoNúmeros y sistemas de numeración 25. Números con signo

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos 26. Construcción de círculos

Medida 27. Circunferencia y círculo


Proporcionalidad y funciones

28. Proporcionalidad: procedimientos expertos

29. Factor inverso de proporcionalidad

Nociones de probabilidad 30. Problemas de conteo

Análisis y representación de datos 31. Gráfi cas

Bloque 5

Sentido numérico


Problemas aditivos 32. Problemas aditivos

Problemas multiplicativos

33. Notación científi ca

34. Potenciación y radicación

Patrones y ecuaciones 35. Sucesiones aritméticas

Forma, espacio y medida Medida 36. Área y perímetro del círculo

Manejo de la información Proporcionalidad y funciones 37. Proporcionalidad múltiple

10


Contenidos Págs. Semana Calendarización

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

158-163 24

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

164-167 25

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verifi cación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

168-173 26

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

174-181 27

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

186-193 28

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

194-199 29

Justifi cación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfi ca y algebraicamente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

200-205 30

Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. 206-209 31

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

210-215 32

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verifi car los resultados.

216-223 33

Lectura de información representada en gráfi cas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfi ca más adecuada.

224-231 34

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. 236-241 35

Uso de la notación científi ca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

242-249 36

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

250-257 37

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

258-263 38

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

264-269 39

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. 270-275 40

11


12

184 185

Bloque 4

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que:

-

-

Pulseras hechas con cuentas de chaquira

Al elaborar collares y pulseras, los huicholes utilizan diseños

geométricos, como figuras inscritas en otras figuras. Estos diseños son

abstracciones de elementos naturales. La combinación de colores es

una parte fundamental en los diseños. La imagen se relaciona con el

contenido de la secuencia 30.

Te invitamos a que, después de trabajar cada bloque, regreses a estas páginas:

• observa la imagen y encuentra la relación que tiene esta con los contenidos del bloque.

• haz una nueva lectura de los Aprendizajes esperados y, junto con tus compañeros y profesor, evalúa los logros obtenidos.

Tu libro, de principio a fi n

Estas páginas se ilustran con una gran imagen y un texto breve que describe

la relación que esta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás en

el bloque. Aquí encontrarás los Aprendizajes esperados, que exponen los

conocimientos que desarrollarás al realizar las actividades que se proponen

en los temas.

con una g an imagen y un texto breve quEstas páginas se ilustran gra

Entrada de bloque


13

CierrePlaneación

Desarrollo

104

13

Blo

que

2

Ingredientes:

1

4

1

2

1

4

3

4

2

3

2

3

1

3

3

4

Multiplicación de fraccionesContenido

La receta de las galletas

-

1

2

-

-

Nuestro trabajo

Los números fraccionarios se usan en situaciones

básicas como en el cálculo de los ingredientes de una

receta de galletas para distintas cantidades.

Inic

ioP

laneació

n

123

Desarr

olloCabezas y cuerpos

Reúnete con un compañero, lean la información de la página anterior y realicen las actividades siguientes:

¿Cuánto medirá, desde la barbilla, el largo de la cabeza de cada estatua? ¿Cuánto

medirá la mano?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros, así como los criterios que usaron para hacer su estimación.

Una manera de obtener un estimado para la medida de la longitud de la cabeza es utilizar la relación que existe entre la medida de la cabeza de una persona adulta y su estatura.

Por ejemplo, en el salón de clases de Mariana midieron al maestro y descubrieron que entre su cabeza y su estatura hay una razón de 1 a 8.

¿Qué significa esto?

Usen esta información para obtener una aproximación de la longitud de la cabeza del Ángel de la Independencia y de la Estatua de la Libertad, y completen la tabla:

Maestro de Mariana Ángel de la Independencia

Estatua de la Libertad

Longitud de la cabeza

Estatura 1.80 m 6.70 m 34 m

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en la situación anterior?

Con la ayuda de tu compañero mide tu estatura y el largo de tu cabeza.

¿Cuál es la razón entre la medida de tu cabeza y tu estatura?

Ahora, obtengan una aproximación de la longitud de las cabezas de las estatuas uti-lizando tus medidas.

¿Hay diferencias entre su nueva estimación y la que obtuvieron antes? ¿Por qué?

Si una persona tiene una relación de 2 a 15 entre su cabeza y su estatura, y en otra persona la relación es de 1 a 7, ¿es posible saber quién tiene la cabeza de mayor

tamaño? Argumenten su respuesta.

¿Cuánto medirá la cabeza de cada persona si la altura de ambas es 1.70 m?

¿Y si miden 1.50 m? ¿Qué sucede si una persona mide 1.50 m y la otra 1.70 m de es-

tatura?

Una tercera persona tiene una relación de 2 a 14 entre su cabeza y su estatura.

¿Cómo se compara esta relación con la de las otras dos personas?

Coméntenlo con sus compañeros y maestro.

La relación entre la longitud de la cabeza de una persona y su

estatura es proporcional.

275

¿Cómo nos fue?

¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas de la secuencia?¿Qué caracteriza una situación de proporcionalidad múltiple?¿Cómo usaste lo aprendido sobre la proporcionalidad múltiple para elaborar las tablas de análisis del acuario?¿Qué sucedería si se aumentaran, de manera simultánea, el área de la base y la altura de un prisma? Si se aumentan ambas al doble, ¿aumenta también al doble la medida del volumen? ¿Por qué?Piensa en una situación que involucre proporcionalidad múltiple en tu vida cotidiana. ¿Qué cantidades están involucradas?¿Comprendiste cómo obtener la constante de proporcionalidad?¿Ya puedes resolver problemas en donde se utiliza la proporcionalidad múltiple?¿Cuál fue el ejemplo o problema de la secuencia que más te gustó? ¿Por qué? ¿Qué cantidades se encuentran relacionadas de forma proporcional en él?Inventa un problema relacionado con proporcionalidad múltiple y escribe dos maneras en que se puede resolver. Después, intercámbialo con un compañe-ro para que lo resuelva.

La forma del acuario

Un grupo de alumnos construyó su acuario con forma de cilindro, como el que se muestra a la derecha. ¿Se relacionan el radio y el volumen de manera proporcional?

Para dar respuesta a la pregunta anterior, en parejas investiguen:

¿Qué sucede con el volumen si el radio aumenta al doble?

¿Aumenta también el volumen al doble?

¿Y si se aumenta al triple la medida del radio? Elaboren una tabla en el cuaderno mostrando diferentes medidas para el radio y encuentren el volumen para cada caso.En este mismo ejemplo, ¿qué sucede si el área de la base aumenta al doble? ¿Lo

hace también el volumen?

Escriban fórmulas relacionando el radio con el volumen y el área de la base con el

volumen, manteniendo la altura del prisma constante.

Comenten con el grupo y con el profesor sus experiencias.

Presentación de nuestro trabajo

Presenten su acuario y sus tablas al resto del grupo y al profesor. Comenten las características de las tablas que elaboraron para su acuario.

¿Qué diferencias hay entre las tablas que elaboraron? ¿Qué tipo de prismas usaron otros compañeros?Si se mantiene constante la altura del acuario, ¿cómo se modifica el volumen cuan-do cambia el área de la base?Encuentren todas las parejas de cantidades (por ejemplo área de la base y volumen) que se relacionan de manera proporcional.

Cie

rre

En esta última etapa presentarás

a tus compañeros y profesor

el resultado de tu producto

mediante una exposición en

el salón, un periódico mural,

un dibujo o una construcción

geométrica, entre otros.

Inicio

Al inicio encontrarás una situación, ya sea un problema, un juego o una

actividad, que deberás analizar a fi n de proponer diversas estrategias de

solución. La situación inicial se complementa con preguntas que te harán

refl exionar sobre lo que ya sabes y sobre las estrategias que puedes

defi nir o aplicar; al mismo tiempo, los cuestionamientos planteados te

introducirán en los contenidos que estudiarás en la secuencia.

Nuestro trabajo. En este

apartado encontrarás

recomendaciones

específi cas para hacer un

determinado producto a lo

largo del desarrollo de los

temas. También hallarás

sugerencias de las formas en

que puedes organizarte —

individualmente, en parejas,

en equipo o en grupo— e

indicaciones del material que

necesitarás para llevar a cabo

el producto.

Durante esta etapa, realizarás

actividades individuales y

colectivas, que te ayudarán a

adquirir nuevos conocimientos y

a desarrollar tus competencias

matemáticas.

Los temas abordados en cada secuencia se desarrollan en cuatro etapas:


14

268

¿Cómo vamos?

Revisen las actividades realizadas hasta ahora, les serán de utilidad para ha-cer y justificar los cálculos para su proyecto.

¿Qué área de papel ocuparon para elaborar el Plato del bien comer?¿Cuántos círculos trazaron en cada pliego de papel bond?¿Cómo calcularon el área de cada tipo de alimento?¿Conocer la medida del diámetro fue un dato suficiente para realizar los cálculos anteriores?¿Cómo utilizaron lo que aprendieron acerca del cálculo de la corona circular para trazar su Plato del bien comer?

2. Observa la siguiente imagen y calcula el área de los sectores sombreados.

a) ¿Qué datos necesitas para resolver el problema?

b) Con base en la imagen, ¿qué debes hacer para obtener la

información necesaria?

3. En la calle de la escuela de Juan decidieron poner algunas se-ñales de tránsito para resguardar la seguridad de sus alumnos.

a) Si van a colocar 9 señales de papel en forma circular que

miden 25 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesitarán para construirlas?

b) Si el pliego del papel que usarán mide 1.25 m de largo por 60 cm de ancho, ¿cuántos círculos deben

trazar en cada pliego de manera que se desperdicie la menor cantidad de papel?

Las formas circulares también han estado pre-sentes en muchas clases de construcciones. En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas. Hoy, estas construcciones aún se mantienen en pie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; y la Unesco las ha declarado parte del Patrimonio Cultural de la Humanidad.

Construcciones círculares.© Christian Kober, Robert Harding. Picture Library.

Señales de tránsito.

145

¡Encuentra el número!

Antes de trabajar en el informe, realiza las actividades siguientes.

Cuatro estudiantes de secundaria se organizaron para jugar “Encuentra el número que pensé”. Quien encontraba el número ganaba un punto. Uno de ellos propuso los siguientes retos.

Resuélvelos para saber cuántos puntos obtendrías en el juego.

Pienso un número, si le sumo 5, obtengo como resultado 11. ¿Cuál es ese nú-

mero?

Pienso un número, si le resto 4, obtengo como resultado 20. ¿Cuál es ese nú-

mero?

Pienso un número, si lo multiplico por 6, obtengo como resultado 66. ¿Cuál es

ese número?

Pienso un número, si lo divido entre 3 y el resultado lo multiplico por 8, obtengo

como resultado 32. ¿Cuál es ese número?

Pienso un número, si le sumo 9, obtengo como resultado 15.2. ¿Cuál es ese

número?

Compara tus resultados con los de otros compañeros. Comenten entre ustedes y con el profesor el procedimiento que siguieron para obtener los números.

Escribe en lenguaje algebraico, es decir, con letras, números y signos, la situación que se plantea en cada uno de los retos anteriores.

Con ayuda de tu profesor, compara tus expresiones con las de otros compañeros.

Las siguientes expresiones algebraicas corresponden a los retos propuestos por un estudiante. Escribe el reto que le corresponde a cada una.

x � 25 � 47

x � 7

5 � 3

3.85 � x � 15.27

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y coméntenlas con el profesor.

Las igualdades anteriores se llaman ecuaciones; en cada una, el número represen-tado del lado izquierdo del signo igual (=) es el mismo que el representado del lado derecho. La literal que representa el número desconocido se llama incógnita. ¿Qué significa resolver una ecuación? Comenta tu respuesta con tu profesor.

lenguaje algebraico. Es el lenguaje que se caracteriza por utilizar letras, números y signos para expresar un enunciado mate-mático.

Desarr

ollo

223

Cie

rre

¿Cómo nos fue?

¿En cuáles actividades se te facilitó usar un diagrama de árbol?¿En cuáles es preferible usar tablas de doble entrada?¿En qué otras situaciones puedes emplear diagramas de árbol o tablas de do-ble entrada para contar las opciones posibles? Describe un ejemplo.¿Pudiste calcular el número de partidos del torneo de futbol mediante una multiplicación? Argumenta tu respuesta.Escribe las dudas que te hayan quedado sobre el uso de los diagramas de ár-bol y de las tablas de doble entrada en la organización del torneo. Coméntalas en clase.¿Intercambiaron los procedimientos que utilizó cada equipo para resolver los problemas? ¿Pudiste seguir las explicaciones de los demás compañeros? ¿Hiciste preguntas o comentarios a las explicaciones?


Cada equipo presente su propuesta de torneo al resto del grupo.

Analicen los resultados de cada equipo de trabajo, si hay errores corríjanlos de ma-nera grupal.¿Qué recurso emplearon para conocer el número de partidos?¿Podrían usar una multiplicación para calcular el número de partidos?¿Qué objeción pondrían a este recurso, según la información que deben entregar?¿Qué recurso permite conocer a los equipos que se enfrentarán en cada partido?Una vez que todos los equipos hayan presentado su propuesta, se hará una vo-tación acerca de cuál es más factible realizar y la presentarán al profesor de Edu-cación Física.

Si en un torneo de futbol participan cinco equipos, ¿cuántos partidos de ida se tendrán que realizar? Como los partidos son sólo de ida, los juegos 1-2 y 2-1 son el mismo, es decir, no importa el orden de los equipos, por lo que se realizan 10 partidos.

1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-5

Algunas calculadoras cuentan con la tecla nCr, la cual nos permite obte-ner el número de combinaciones (cuando el orden de los elementos no importa) de un experimento.Para conocer el número de partidos del torneo, oprime la tecla con el número 5, que representa el número de equipos, después nCr o shift nCr,según la calculadora, aparecerá en la pantalla 5C2, la C indica que se va a calcular el número de combinaciones; después el número 2, que representa a los equipos que participan en cada partido, y el signo =. El resultado que aparece en la pantalla representa el número de partidos.Si cuentas con una calculadora, utilízala para calcular la cantidad de par-tidos con 8, 10 o 20 equipos.Experimenta este procedimiento con el problema del puesto de jugos.

Calculadora científica que permite calcular el número

de combinaciones, sin importar el orden.

Glosario Te ofrece la defi nición

de palabras o

expresiones importantes,

relacionadas con el tema

que se aborda en

la secuencia.

Historias de vidaEstos recuadros contienen relatos sobre personas y

acontecimientos o referencias históricas asociados con el

contenido de las actividades.

¿Cómo vamos?En diferentes momentos del desarrollo de los temas encontrarás

este apartado que te permitirá hacer un alto en el camino

y evaluar tus avances acerca de lo que has aprendido y del

desarrollo del producto.

Espacio tecnológico En este apartado te recomendamos actividades complementarias

a las que realizas en el libro. Dichas actividades se basan en el

uso de recursos tecnológicos: Internet, calculadora, programa de

geometría dinámica, entre otros.

Presentación de nuestro trabajo En este apartado encontrarás

recomendaciones para compartir los

resultados de tu trabajo. Y para que

puedas evaluar lo que aprendiste,

el resultado de tu producto, las

difi cultades a las que te enfrentaste

y la forma en que las resolviste, tanto

en lo individual como en lo colectivo, el

apartado ¿Cómo nos fue? te ofrece una

útil guía.


15

232 233

Evaluación tipo PISA

UNIDAD: El caleidoscopio

Pregunta 1: EL CALEIDOSCOPIO

Contexto: PersonalAprendizaje esperado: Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas

La ilustración de la izquierda muestra la forma de la base de los espejos.

Describe cómo puede Ernesto trazar la base de la cubierta, si debe tocar

los tres vértices de los espejos.



A continuación se presentan partes de las imágenes que se pueden formar con diversos caleidoscopios.

¿Cuál se podrá observar en el caleidoscopio de Ernesto?

a) b) c) d)

Ernesto quiere construir un caleidoscopio. Un caleidoscopio es un aparato que permite visualizar

hermosas figuras como la que se muestra en la fotografía. El triángulo resaltado en verde es la

imagen real y el resto son reflejos. Se colocaron tres espejos, como lo indica el esquema azul de

la derecha. Las imágenes se componen de figuras simétricas, el número de ejes de simetría que

tenga la figura dependerá de los ángulos que formen los espejos entre sí.

40°

Cubierta

Espejos

UNIDAD: Estado civil en gráficas

En la gráfica 1 se muestra información sobre la situación conyugal de los chihuahuenses según el

censo de población realizado por el Inegi en 2010. En la gráfica 2 se muestra la edad promedio a

la que contraen matrimonio los mexicanos en toda la República.

Gráfica 1: Datos correspondientes al Gráfica 2: Datos correspondientes a

estado de Chihuahua toda la República Mexicana

Pregunta 1: ESTADO CIVIL EN GRÁFICAS

Contexto: PúblicoAprendizaje esperado: Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información

¿Qué porcentaje de los chihuahuenses mayores de 12 años de edad está casado?

a) 17.2% b) 4.4% c) 38.7% d) 33.3%



Explica cómo varió la edad promedio en la que contrajeron matrimonio las mujeres mexicanas del 2002

al 2005.



Colorea las casillas “Verdadero” o “Falso” de acuerdo con la tendencia de la gráfica de barras en las

afirmaciones que se proponen respecto a la edad promedio a la que contraerán matrimonio los varones

mexicanos en el año 2015.

Será mayor que la de las mujeres Verdadero Falso

Será igual para ambos sexos Verdadero Falso

Será un año mayor Verdadero Falso

Mayor de 28 años Verdadero Falso

205

¿Cómo nos fue?

La relación entre el diámetro de cualquier circunferencia y la longitud de esta, ¿será siempre la misma en todos los círculos? ¿De qué depende? Explícalo.¿En qué casos de tu vida cotidiana te podría ser útil calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo? Explícalo.Escribe las dudas que te hayan surgido acerca del cálculo del área del círculo y de la circunferencia. Coméntalas con tus compañeros y tu profesor.Al resolver los problemas planteados en la secuencia, ¿fue importante compartir con tus demás compañeros los procedimientos y estrategias que utilizaste? ¿Por qué?


Antes de presentar su trabajo, elaboren la tarjeta informativa para su rueda. No olviden indicar todos los datos en la misma unidad de medida. Decoren su rueda y prepárense para la presentación.

Coloquen en el lugar que el profesor les indique las ruedas diseñadas para recorrer el largo de la cancha.¿Cómo calcularon el número de vueltas con respecto al tamaño de las ruedas?¿Cuál fue la rueda de mayor tamaño y cuál la de menor tamaño de las elaboradas?¿Cómo los ayudó a cumplir con su proyecto saber calcular el área y el perímetro del círculo, independientemente de los diferentes tamaños de rueda que diseñaron?

¿Es la expresión al final de la página 204, igual a la que construyeron antes? Si no es así, expliquen a qué se debe la diferencia.

Con base en esta información, ¿cuál de los dos diseños presentados al jardinero per-mite aprovechar mejor el espacio? Comparen su resultado con la respuesta que die-ron al inicio. ¿Coinciden? Coméntenlo con el profesor.

Haz las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Dibuja dos círculos y calcula el perímetro y el área.a) Para calcular el perímetro de los círculos anteriores, ¿qué datos utilizaste?, ¿qué valor de Pi utilizaste? Explícalo.

2. Elige uno de los siguientes problemas y resuélvelo. Argumenta tu respuesta basándote en lo que trabajaste a lo largo de las actividades.a) La pista en la que Isaac e Iván hicieron el recorrido es circular y tiene 500 metros de longitud. ¿Se

cruzaron en algún momento?b) Si en la parte interior de la pista hay una más pequeña que tiene la mitad del diámetro de la grande,

¿en cuánto disminuye su circunferencia?, ¿en cuánto disminuye el área de este círculo?c) Si se aumenta cuatro veces la longitud del diámetro de cualquiera de las dos pistas anteriores, ¿cuánto

aumenta la longitud de su circunferencia?, ¿cuánto aumenta el área de este círculo?

3. Con el profesor, lean la siguiente información y analicen cómo se podría utilizar lo descubierto por Jordan para justificar la fórmula del área del círculo. Camille Jordan, matemático francés del siglo XX, descubrió que toda curva cerrada separa al plano en dos regiones: el interior y el exterior. La idea de la medida de Jordan consiste en encerrar la figura de la que se va a medir el área, en enlosados rectangulares (el valor de las áreas de éstos es fácil de hallar). Cuanto más fino sea el enlosado más precisa será la medida del área de la figura.

Haz las siguientes activid

Cie

rre

TareasEn este apartado te proponemos diferentes actividades

para que ejercites tus habilidades, desarrolles nuevas

estrategias y refuerces los procedimientos de resolución

de problemas que trabajaste en la secuencia.

Evaluación tipo PISA En esta sección al fi nal de cada bloque, encontrarás una

evaluación escrita que fue diseñada con el modelo PISA

(Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes).

Aquí se plantean situaciones en contextos muy cercanos

a tu vida cotidiana para que puedas poner en práctica tus

conocimientos, habilidades y actitudes.

¿Cómo nos fué? En esta sección, al fi nal de cada leccion, se plantean

preguntas para refl exionar acerca de los temas

cubiertos para que confi rmes la adquisición de los

conocimientos descritos en el Contenido de la lección

y pongas en práctica los aprendizajes esperados.


16


Bloque 1

17

012


• Conviertas números fraccionarios a decimales y viceversa.

• Conozcas y utilices las convenciones para represen-tar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.

• Representes sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada y viceversa.

DadosDados

Los resultados de las experiencias aleatorias al jugar con dados

dependen del número de caras que tengan. En la actualidad, además

de los dados cúbicos, existen otros formados por romboides y

triángulos, que pueden tener más y menos caras. La imagen se

relaciona con el contenido de la secuencia 9.


18

1

Blo

que

1

Contenido

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Fracciones y decimales

Analiza la obra de arte

Victoria y Martín visitaron un museo de arte moderno. Uno de los cuadros que les llamó la atención estaba hecho con mosaicos de colores y se muestra en la fi gura. Victoria le comentó a Martín que el cuadro sería estupendo para el problema de ma-temáticas que la maestra Lolita les había dejado de tarea.

Entre los dos decidieron copiarlo e incluirlo en su tarea junto con las siguientes preguntas:• ¿Qué fracción del cuadro está pintada de cada color?• Si el área del cuadro fuera de 1 m2, ¿cuál es el área que está pintada de cada color

escrita como un número decimal?• ¿Cómo se comparan las dos cantidades que encontraste como respuesta a las

preguntas anteriores?

Usemos fracciones

Antes de comenzar a trabajar en el proyecto resuelve, junto con dos compañeros, las siguientes actividades. Trabajen en su cuaderno.

Escriban una fracción que represente el área de uno de los cuadrados en los que está dividido el cuadro que vieron Victoria y Martín.

¿Cuántos mosaicos amarillos tiene el cuadro? Encuentren una fracción que represente la parte del cuadro ocupada por mosaicos

amarillos. ¿Podrían escribir esa fracción de otra manera? Encuentren la fracción irreducible

que sea equivalente a la que encontraron. ¿Qué son las fracciones equivalentes? Escriban un procedimiento para encontrar

este tipo de fracciones.

En parejas, en una hoja cuadriculada, diseñarán un cuadro como el que Victoria y Martín vieron en el museo. Deben utilizar mínimo cuatro colores diferentes en una cuadrícula de 10 por 10, en la que cada cuadrado representará un mosaico.

Además de diseñar su obra de arte, deberán responder las preguntas que Victoria y Martín hicieron para su propio cuadro y justificar por escrito cómo las resolvieron.

Al final, pondrán su obra junto a las de sus compañeros en las paredes del salón y retarán a otro equipo a encontrar la respuesta a las preguntas.

Nuestro trabajo

fracción irreducible. Es aquella fracción cuyo numerador y denominador ya no se pueden dividir entre un mismo número.

Ejemplos, 56

, 37

, 23

.

Desarr

ollo

Inic

ioP

laneació

n


19

Escriban una fracción equivalente a 34

y representen las dos fracciones mediante un dibujo en el cuaderno.

¿Recuerdan cómo buscar fracciones equivalentes o una unidad común entre ellas?

Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor. Las fracciones equivalentes parecen distintas porque tienen diferente numerador y denominador, pero si multi-plican o dividen el numerador y el denominador por el mismo número descubren su equivalencia. Como recordarán, las fracciones equivalentes se utilizan en la solución de distintos tipos de problemas.

Por ejemplo: 14

= 28

Algunas fracciones equivalentes de interés

Continúa trabajando con el mismo equipo y en el cuaderno resuelvan estas actividades.

Dadas las siguientes fracciones: 32

; 34

; 25

; 725

.

Escriban una fracción equivalente a cada una cuyo denominador sea 10, cuando esto sea posible. ¿Para qué fracciones se puede? ¿Para cuáles no?

Escriban una fracción equivalente a cada una con denominador 100. Completen la siguiente tabla con las fracciones equivalentes que encontraron cuyos

denominadores son 10 o 100. Escriban como fracción y con letra sus respuestas. Observen el ejemplo.

FraccionesFracciones equivalentes con

denominador 10Fracciones equivalentes con

denominador 100

32

Un entero con cinco décimos,

ya que

32

= 1510

= 1 510

34

25

725

¿En todos los casos pudieron encontrar una fracción equivalente con denominador

10 y 100? ¿Esto sucede con cualquier fracción? Justifiquen su respuesta.

Comparen con otros compañeros su tabla y el procedimiento que siguieron para com-pletarla. Validen los procedimientos y, en grupo, elijan el más adecuado.


20

Regresen al cuadro que encontraron Victoria y Martín y respondan.

¿Cuántos mosaicos rojos tiene el cuadro? Encuentren una fracción que re-

presente la parte del cuadro ocupada por mosaicos rojos.

Escriban esa fracción de otra manera y encuentren la fracción que ya no se puede

reducir, que sea equivalente a la que encontraron.

¿Cuántos mosaicos blancos tiene el cuadro? Encuentren una fracción que

represente la parte del cuadro ocupada por mosaicos blancos.

Escriban una fracción equivalente a ella Encuentren la fracción irreducible

que sea equivalente a la que encontraron.

¿Cuántos mosaicos azules tiene el cuadro? Encuentren una fracción que

represente la parte del cuadro ocupada por mosaicos azules.

¿Podrían escribir esa fracción de otra manera? ¿Por qué?

Escriban, utilizando fracciones, el procedimiento que siguieron para encontrar la

fracción del cuadro que está ocupada por cada color. ¿Cómo podrían saber si res-

pondieron de manera correcta? Discutan y escriban su argumento en palabras para

compararlo y discutirlo con los de otros equipos del grupo y con su profesor.

¿Cómo vamos?

Reúnete con un compañero.

En una hoja cuadriculada tracen un cuadrado de 10 por 10 cuadrados. Eli-jan los colores que desean utilizar en su diseño. Recuerden que deben ser al menos cuatro diferentes para dibujar su mosaico.

Construyan una tabla en la que en la primera columna escriban el nombre de cada uno de los colores que emplearon, en la segunda el número de cuadrados correspondientes a cada color en su cuadro y en la tercera una fracción que represente la parte del cuadro ocupada por los mosaicos de ese color. Si es posible escriban esa fracción como la menor equivalente a la que encontraron para cada color.


21

De fracciones a decimales

Responde las siguientes preguntas. Después con todo el grupo y el profesor compa-ren y discutan sus respuestas.

¿Cuál es una fracción equivalente a 35

que tiene denominador 10? Escribe el núme-

ro resultante con palabras. ¿Podrías escribir ese número en forma decimal? ¿Cómo

lo harías?

¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 720

que tenga denominador 10? ¿por

qué? ¿Cuál es una fracción equivalente a 720

que tenga denominador 100? Escribe

el número resultante con palabras. ¿Podrías escribir ese número de manera deci-

mal? ¿Cómo lo harías?



qué? ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 38

que tenga denominador

100? ¿por qué? ¿Cuál es una fracción equivalente a 38


1000? Escribe el número resultante con palabras. ¿Podrías escribir ese número de

manera decimal? ¿Cómo lo harías?



qué? ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 78


100? ¿por qué? ¿Cuál es una fracción equivalente a 78


1000? Escribe el número resultante con palabras. ¿Podrías escribir ese número de

manera decimal? ¿Cómo lo harías?

Con base en lo que has hecho en las actividades anteriores, escribe el procedimien-

to que seguirías para escribir 316

en forma decimal.

Aplica tu procedimiento para escribir 516

en forma decimal.

¿Es útil tu procedimiento para escribir 16

en forma decimal? ¿Por qué?


22

De decimales a fracciones

De manera individual, realiza las siguientes actividades:

Escribe los siguientes números con letras: 0.3, 0.45, 0.435, 0.05, 0.22.

A partir de lo que escribiste, encuentra en cada caso una fracción equivalente con

denominador 10, 100, 1000.

¿Hay alguna relación entre el número de dígitos y el número de ceros en el denomi-nador del número que utilizaste para escribir cada uno de los números como una

fracción? Descríbela

En los casos que sea posible, escribe cada fracción como una fracción equivalente

que tenga un denominador menor.

La obra de arte en el museo

Reúnete con un compañero para hacer las siguientes actividades.

Si el área del cuadro que eligieron Victoria y Martín fuera de 1 m2, ¿cuál es el área que está pintada de amarillo escrita como un número decimal?

Añadan una columna a la tabla que hicieron y anoten en ella el número decimal que corresponde al área que está pintada de cada uno de los colores en la pintura.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero.

Consideren que su cuadro de mosaicos tiene un área de 1 m2. Añadan una columna a la tabla que habían construido.

Escriban en esa tabla el área que ocupa cada uno de los colores en su diseño como número decimal.

Simon Stevin, ingeniero belga, introdujo en el Renacimiento el uso de los deci-males en Europa. Aunque los árabes conocían estos números, no los usaban en todos sus cálculos. La notación que usaba Stevin era diferente a la que usamos en la actualidad, él utilizaba un círculo antes de cada dígito en la parte decimal de un número. Su notación le permitía hacer operaciones con ellos.


23

En un mural hecho con pequeños mosaicos de 1 mm2, el área ocupada por mosai-cos de color dorado es de 0.4236 del área total. ¿Cuál es la fracción del área total

que ocupan los mosaicos dorados?

En las actividades anteriores desarrollaste un método para convertir números decima-

les en fracciones. Escribe el método que seguiste.

Las fracciones y los decimales

Como has podido constatar, los decimales y las fracciones representan el mismo número. Pero, hay algunas fracciones para las que la estrategia que has desarrollado no fun-ciona. Trabaja las actividades siguientes y responde.

Usa la estrategia para encontrar un decimal que represente la fracción 13

. ¿Qué

observas?

Considera a la fracción como un cociente, por ejemplo 13

como 1 entre 3. ¿Qué ob-

servas cuando haces la división?

Si utilizas el número decimal no es posible usar todas las cifras que resultan de la división, conviene entonces omitir algunas, es decir “truncarlo”, en este caso se po-

dría utilizar 0.33 o si requieres de mayor precisión 0.333. ¿Cuál número utilizarías si

desearas menor precisión?

Utiliza este procedimiento para convertir las siguientes fracciones en números decimales:

♦ 27

♦ 49

♦ 3

11 ♦

112

¿Qué notas? ¿Cuántos decimales se obtienen? ¿Observas algún patrón en esos núme-

ros decimales? ¿Cómo truncarías cada uno de estos números?

A estos números se les conoce como números periódicos. Explica por qué piensas

que se les llama así.

Cuando deseamos utilizar los decimales equivalentes a los números periódicos es

necesario truncarlos y utilizar un número que tenga aproximadamente el mismo va-

lor. En los números anteriores, observaste que 27

= 0.285714285714… Los pun-

tos suspensivos se utilizan para indicar que las cifras siguientes son las que apare-

cieron antes en el mismo orden. Si deseamos operar con el decimal equivalente a 27

es imposible, pero podemos utilizar el número 0.286 que es una aproximación

en la que redondeamos los dígitos 57 por 60.


24

Decimales exactos y periódicos

Reúnete con un compañero para trabajar las actividades siguientes, utilizando lo que han aprendido hasta aquí. Cuando todo el grupo haya terminado, comenten en clase y con el maestro sus resultados y lleguen a conclusiones para disipar cualquier duda que aún persista.

Conviertan los siguientes números a fracciones:

♦ 3. 46 = ♦ 2.785 = ♦ 2.06 =

♦ 4.11 = ♦ 1.007 = ♦ 5.903 =

Como has podido ver en actividades anteriores, todo número decimal tiene su repre-sentación como fracción. ¿Sucede lo mismo con las fracciones, es decir, todas tienen una representación como número decimal?

Al convertir una fracción a número decimal, podemos obtener un número decimal exacto, pero como has visto antes, no siempre pasa esto, es decir, al dividir el numera-dor entre el denominador, el residuo no siempre es cero, podrías seguir dividiendo in-

fi nitamente y nunca obtendrías como residuo cero. Por ejemplo, 13

= 0.3333333…, es un número decimal periódico.

Convierte las siguientes fracciones a números decimales y determina cuáles son

exactos y cuáles, periódicos.

♦ 95

= ♦ 3425

= ♦ 147100

=

♦ 83

= ♦ 15234

=

♦ 5640

=

♦ 49

= ♦ 176

=

♦ 1812

=

Describan en un párrafo el procedimiento que siguieron para hacer las conversiones anteriores.

¿Qué diferencias observas entre los números periódicos? ¿Todos siguen el mismo patrón? Comenta lo anterior con un compañero y juntos obtengan una conclusión acerca de lo realizado.Entre los números decimales periódicos existen dos tipos: los periódicos puros y los periódicos mixtos.

Por ejemplo, 46

= 0.666666…, y 2033

= 0.606060…, son periódicos puros, porque

la cifra o grupo de cifras que se repite, empieza inmediatamente después del punto decimal.

En cambio, 2312

= 1.916666…, y 712

= 0.58333…, son periódicos mixtos, porque la

cifra o grupo de cifras que se repite no empieza inmediatamente después del punto. Para identifi car que un número decimal es periódico, se señalan con una línea el periodo o cifras que se repiten, por ejemplo, 1.916, 0.60.


25

Realiza estas actividades:

1. Escribe las siguientes fracciones como decimales. Determina cuáles son

exactos y cuáles son periódicos puros o mixtos.

a) 35

= b) 58

=

c) 815

= d) 420

=

e) 59

= f) 510

=

2. Escribe los siguientes números decimales como fracciones:

a) 0.65 = b) 0.552 =

c) 0.1234 = d) 0.28 =

e) 0.7862 = f) 0.317 =

3. Escribe las siguientes fracciones como números con decimales. Usa trunca-miento y aproximación si es necesario.

a) 125

= b) 92

= c) 132120

=

d) 25045

= e) 235130

=

f) 31775

=

4. Escribe los siguientes números decimales como fracciones:

a) 1.24 = b) 25.367 =

c) 48.006 = d) 7.0002 =

e) 123.0026 = f) 3.015 =

5. Une las fracciones con la representación decimal correspondiente:

Realiza estas actividades

De los números de la página anterior, indica cuáles son periódicos puros y cuáles son mixtos.¿Existirá alguna forma de convertir un número decimal periódico a fracción? Comén-talo con tus compañeros y con el maestro.

♦

110000 0.6

♦

1316

0.2

♦

320

0.0001

♦

35

0.15

♦

210

0.8125


26

6. Gonzalo respondió 35 preguntas de un cuestionario de 50 preguntas.

a) Escribe una fracción que describa la cantidad de preguntas correctas que tuvo

Gonzalo del total del examen.

b) Si responder el cuestionario completo valía un punto, ¿qué califi cación, escrita

como un número decimal, obtuvo Gonzalo?

7. Laura sale de su casa a las 4:30 p. m. y llega a casa de su prima a las 4:50 p. m.

a) ¿Cuánto tiempo tardó?

b) ¿Qué fracción de una hora tardó Laura en llegar a casa de su prima?

8. Flor y Cris jugaban un juego que trataba de comparar números. Querían que los números fueran difíciles para su contrincante para poder ganar.

a) Flor preguntó a Cris: ¿Cuál número es más grande 0.83 o 1729

? ¿Qué

debe responder Cris para no perder?

b) Escribe dos maneras de comparar estos dos números.

En la página Disfruta de las matemáticas:www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/convirtiendo-fracciones-decimales.html y www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/convirtiendo-decimales-fracciones.htmlencontrarás más información acerca de la conversión de números decimales a fracción y viceversa.Y para practicar más ejercicios de este tipo, visita la página:www.disfrutalasmatematicas.com/ejercicios/print.php?w=1880&ID=12036

De periódico a fracción

Todos los números decimales tienen su representación como fracción. Si el número decimal es periódico puro, la fracción equivalente tiene como numera-dor el número dado sin el punto decimal, menos la parte entera; y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo.

En el siguiente ejemplo, el numerador es igual a 160 (que son las cifras sin el punto decimal), menos 1 (que es la parte entera) y, como el periodo tiene dos cifras, el de-nominador es igual a 99.

1.60 = 160 – 199

= 15999

= 5333


27


Con tus compañeros de grupo monten la exposición de sus diseños con mosaicos.

El maestro decidirá con cuál de los diseños deberá trabajar cada pareja. Con tu pareja, utiliza lo que has aprendido para encontrar la fracción del diseño que

su maestro les asignó, y que corresponde a cada color empleado en él. También calculen el decimal que corresponde a la parte del área del mismo diseño. Discutan con los compañeros que hicieron el diseño sus estrategias y sus resultados. Elijan el diseño de la exposición que les parece más bonito.

¿Cómo nos fue?

¿Cómo se compara tu diseño con los de tus compañeros?

¿Qué tan fácil te resultó encontrar la fracción que representa el número de mosaicos de cada color en el diseño de tus compañeros?

¿Qué tan fácil te resultó encontrar en decimales el área que ocupan los mosai-cos de cada color en el diseño de tus compañeros?

Busca otro ejemplo en el que las matemáticas se usen en el arte. No tiene necesariamente que ser la pintura.

Si el número decimal es periódico mixto, la fracción tiene como numerador el número dado sin el punto, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódi-cas; y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.

En el ejemplo, el numerador es igual a 238 (que son las cifras sin el punto decimal) menos 23 (que es la parte entera, seguida de la cifra que no forma parte del periodo) y el denominador, 90 (formado por un nueve, que son las cifras del periodo, y un cero, que son las cifras decimales que no forman parte del periodo).

2.38 = 238 – 2390

= 21590

= 4318

Utiliza la calculadora para comprobar que las fracciones de los ejemplos equivalen a los números decimales correspondientes.

Reúnete con un compañero y conviertan los números decimales a fracción.

♦ 4.0833 =

♦ 0.72 =

♦ 1.243 =

♦ 3.104166 =

Comparen sus resultados con otros compañeros. En caso de que existan diferencias, validen sus resultados con el maestro.

Cie

rre


28

2

Blo

que

1 Fracciones y decimales en la recta numéricaContenido

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informacio-nes, analizando las convenciones de esta representación.

La herencia

Reúnete con un compañero, discutan cómo podrían comparar fracciones y decima-les y escriban un párrafo en el que describan su estrategia. Discutan también si los siguientes argumentos son verdaderos o falsos. Proporcio-

nen argumentos claros:0.58 es mayor que 0.6 porque 58 es mayor que 6.14

es más grande que 25

porque un cuarto es más grande que un quinto.

Comparen su estrategia y sus argumentos con los de otros compañeros. Si son dis-tintos, identifiquen las diferencias y decidan cuál estrategia sería más fácil de usar.

Después de trabajar esta secuencia, regresen a revisar su estrategia y modifíquenla utilizando lo aprendido durante la misma.

En esta ocasión, jugarán a localizar números en la recta numérica.

Forma un grupo de cuatro integrantes y hagan dos equipos de dos jugado-res cada uno.

Necesitan: 4 hojas de papel cuadriculado 1 regla para trazar las rectas

A lo largo de las actividades encontrarán las instrucciones del juego y algunas ideas que les ayudarán a realizarlo mejor.

Nuestro trabajo

El señor Rodríguez, un famoso matemático, utili-zó esta disciplina en su testamento, donde se in-cluía la forma en que deseaba que se repartieran sus bienes entre algunos familiares. Este señor decidió que se distribuyeran como se muestra, a la izquierda, en una hoja de su testamento.

• ¿Cómo puedes determinar la parte de la herencia que le correspondió a Bertha?

• ¿A quién le tocó la mayor cantidad de la herencia? ¿Cómo lo sabes?

• ¿Qué necesitas para ordenar a los here-deros de mayor a menor de acuerdo con la cantidad de la herencia que recibirá cada uno?

Deseo que el total de mis bienes se reparta de la manera siguiente:

A mi sobrina Luz, 0.06 del total.

A mi nieta Claudia, 1 15

parte.

A mi nieto Carlos, 2 10

partes.

A mi hija Jimena, 0.33 del total.

A mi ahijada Bertha, lo que restó.

A mi hijo Roberto, 1 3

parte.

Inic

ioP

laneació

n


29

La recta numérica

Para saber a quién de los herederos del señor Rodríguez le correspondió la mayor parte de los bienes, podemos comparar las cantidades en una recta numérica. Realiza con dos compañeros las actividades y así sabrás quién recibió mayor herencia.

Gracias a tus cursos anteriores sabes que la recta numérica es una representación que resulta muy útil para ubicar números, compararlos y hacer operaciones con ellos.

¿Recuerdas cómo construir una recta numérica? Coméntalo con tus compañeros. Traza en el cuaderno una recta numérica. Coloca el cero en su extremo izquierdo. Ubica algunos números enteros en ella. ¿Cómo lo haces? ¿Qué debes hacer para que la distancia

entre dos números enteros sea la misma? ¿Cómo localizas fracciones en la recta numérica? ¿Y números decimales?

Observa la ilustración que se presenta de la recta numérica. En ella la diferencia entre dos números consecutivos es de una unidad. ¿Por qué es importante que la distancia entre dos enteros consecutivos en la recta numérica sea la misma?

Para trabajar la representación de fracciones en la recta numérica, resuelvan las actividades.Tres amigos cortaron tiras de listón del mismo tamaño para hacer moños. Alberto cortó su listón en 4 pedazos iguales y empleó 3; Bertha lo cortó en 5 pedazos y utilizó 3 y Carlos lo cortó en 8 pedazos y usó 6. Escriban como fracción la cantidad de listón que utilizó cada niño.

Alberto: ♦ Bertha: ♦ Carlos:

Representen en la siguiente recta numérica las fracciones anteriores.

¿Cuál de las fracciones es mayor? ¿Cuál es menor? ¿Cómo lo saben?

Representen en el cuaderno, en una recta numérica, las fracciones 2 5

, 7 9

, 8 3

, 7 6

, 3 4

, 5 3

y 16 6

.

Antes de hacerlo, comenten cómo deben dividir la recta numérica para representar las fracciones de la ma-nera más adecuada. Consideren que algunas fracciones son mayores que la unidad. Después respondan.

De las fracciones que representaron, ¿cuál es mayor? ¿Cuál es menor? ¿Entre las fracciones anteriores hay algunas equivalentes? Si la respuesta es sí, ¿cuáles son? ¿Cómo pueden argumentar lo anterior a partir de la representación en la recta numérica?

Representen en la recta numérica anterior una fracción que esté entre 2 5

y 3 4

.

Reflexionen. ¿Siempre se podrá representar una fracción entre dos fracciones dadas?

Comparen su recta numérica y sus respuestas con las de otros compañeros.

Representen en el cuaderno, en una recta numérica, las tres cantidades fraccionarias que se re-partieron en la herencia del señor Rodríguez.

¿Cuál de los herederos recibió mayor cantidad de la herencia?

Conserven esta recta numérica porque la usarán más adelante.

0 1

0 1 2

Desarr

ollo


30

Comparación de fracciones

Reúnanse en equipos para trabajar en las siguientes actividades.

Escriban en el cuaderno cómo se pueden comparar fracciones a partir de la repre-sentación en la recta numérica y ordénenlas de menor a mayor. Después resuel-van el problema.

Los señores Díaz, López y Pérez compararon la parte de su sueldo que utilizan para pagar los servicios de renta, luz, agua y teléfono de sus casas. El señor Díaz utiliza la

mitad de su sueldo, el señor López usa 3 5

partes y el señor Pérez gasta 2 3

partes.

Representen las fracciones en una recta numérica. ¿Cuál de los tres señores gasta mayor parte de su sueldo en estos pagos? ¿Cuál paga la menor parte? Ordenen las fracciones que representan los gastos de los señores de mayor a menor.

Comparen su trabajo con los de otros compañeros y valídenlo con el profesor.

La recta numérica es una herramienta muy útil para comparar fracciones. Al repre-sentar fracciones en la recta numérica, las fracciones mayores quedan a la derecha, es decir, la fracción más lejana a la derecha del cero, es mayor. En una recta numé-rica dos fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Una propiedad importante de los números fraccionarios

Al realizar el juego con la recta numérica, cuantos más turnos dura el juego, ¿cómo van quedando las fracciones? ¿Qué tan fácil es ubicarlas en la recta numérica? Si pudieras en cada turno ampliar la recta de manera que en cada extremo quedaran las fracciones dadas, algo como lo que se muestra en las siguientes rectas, ¿qué con-vendría hacer para encontrar de forma más sencilla una fracción entre ellas?

Escribe sobre la segunda recta tres fracciones que se coloquen entre 1

2 y

4

6 .

¿Cuántas veces podrías repetir este procedimiento? ¿Por qué? ¿Es posible encontrar siempre una fracción entre dos fracciones cualesquiera? Justifica

tu respuesta. Compara tus respuestas y estrategias con las de un compañero.

¿Cómo vamos?

Reúnanse con su equipo y tracen una representación de la recta numérica. Deter-

minen la longitud que les conviene elegir para marcar en ella los números enteros.

El equipo 1 localiza dos fracciones en la recta. El equipo 2 localiza, en esta recta, una fracción que esté entre las dos dadas. Después, el equipo 1 marca una fracción entre la que colocaron sus compañeros y una de las que estaban al principio. Esta actividad se repite durante cinco turnos de cada equipo. Para cada fracción, deben justifi car su ubicación; si es correcta, se gana un punto.

¿Cuál equipo logró más puntos? ¿Por qué?

1__2

1__2

0 4__6

4__6


31

Comparación de decimales

Reúnanse en equipo para resolver las siguientes actividades.

Ahora van a representar números decimales en la recta numérica.Las siguientes cantidades representan la califi cación que obtuvieron algunos alumnos en una evaluación de Matemáticas.

Pedro 8.35, Luis 8.5, Ana 9.40, Elena 8.3, Laura 9.8, Joel 7.8, Pilar 8.15 Representen en la siguiente recta numérica las calificaciones. Comenten cómo di-

vidir la recta numérica para representar los números de la manera más adecuada.

0

¿Cuál de las calificaciones es mayor? ¿Cuál es menor? ¿Qué relación hay entre el orden de los números decimales y su representación en

la recta numérica?Representen en la recta numérica anterior un número decimal entre 8.5 y 8.35. Reflexionen. ¿Siempre se podrá representar un número decimal entre dos números

dados?

Ahora retomemos el problema de la herencia. Trabajen en el cuaderno.

Reúnete con tu equipo y conviertan las cantidades fraccionarias que les correspon-dieron a Claudia, Carlos y Roberto a números con decimales.

De los números decimales que aparecen en la repartición de la herencia, ¿cuál es mayor? ¿Cómo lo sabes?

¿Qué parte de la herencia le correspondió a Bertha? Escriban el resultado como fracción y como número decimal.

Tracen una recta numérica y ubiquen todos los números con decimales de la heren-cia. Ordenen los números decimales de mayor a menor.

Por último, ¿a quién le tocó más parte de la herencia, a Jimena o a Roberto?

Cuando convierten 1 3

en número decimal, ¿qué notan? ¿Cuántos decimales obtie-

nen? ¿Por qué sucede esto? Cuando esto ocurre, para distinguir este tipo de núme-ros llamados periódicos, se decidió escribir una rayita sobre el número que se repite infinidad de veces: 0.33. En la práctica utilizamos 0.33 para representar de manera

aproximada a 1 3

, pues aunque no es exacto, evitamos operar con números que se

repiten muchas veces.

¿Es 1 15

un número periódico? Si es así, ¿cómo lo representarían? Escriban en el

cuaderno otras dos fracciones que al convertirlas a número decimal el resultado sea un número periódico.

Representen, en el cuaderno, en una recta numérica, las cantidades de la tabla.

Después, respondan en su cuaderno.

En una secundaria se hizo un censo para saber cuántas mujeres había en relación con el total de alumnos de cada salón. La maestra que tomó los datos de los grupos A anotó los resultados utilizando números decimales y la maestra que tomó los datos de los grupos B anotó los resultados con fracciones. Los resultados aparecen en la tabla.

¿En cuál salón hay más niñas en comparación con el total de alumnos, es decir, qué cantidad representada es mayor?

¿En cuál salón son menos mujeres en comparación con el total de alumnos? ¿Hay salones que tienen el mismo número de mujeres y hombres? ¿Cuáles? Ordenen las cantidades de mayor a menor.

Comparen su recta numérica y sus respuestas con las de otros equipos. En caso de que haya diferencias, validen sus respuestas en grupo con la ayuda del profesor.

SalónProporción

de niñas

1.º A 0.65

1.º B 6 7

2.º A 0.45

2.º B 1 2

3.º A 3 4

3.º B 0.5


32

Las fracciones y los números con decimales

Lee nuevamente la información del problema de la herencia del señor Rodríguez y

convierte en fracciones los números decimales.

0.06 � 0.33 �

Comenta con el grupo y con el profesor la estrategia que seguiste.

Ubica las fracciones anteriores en la misma recta numérica donde representaste las fracciones de los otros herederos e incluye la correspondiente a Bertha. Después, compárala con la recta que hiciste utilizando números con decimales.

En esta representación, ¿encuentras las mismas respuestas dadas a las preguntas

para el problema de la herencia que habías hallado antes? ¿Por qué?

¿Hubo algunos a quienes les haya tocado la misma parte de la herencia? ¿Cómo

lo sabes?

¿A quién le tocó una parte mayor de la herencia? ¿A quién le correspondió menos?

¿Por qué?

¿Las fracciones pueden interpretarse como un cociente entre dos números enteros? En la actividad anterior empleaste esta idea para convertir las fracciones en números deci-males. ¿Pueden los números decimales convertirse en fracciones? Para hacer esta con-versión utilizamos las ventajas que nos ofrece el uso de un sistema numérico decimal.

Si entre dos fracciones dadas se encuentra siempre otra fracción, ¿se podría decir

lo mismo de los números con decimales? ¿Por qué?

Escribe un ejemplo que demuestre tu respuesta, ya sea afirmativa o negativa.

A lo largo de las actividades hemos aprendido que entre dos números fraccionarios y entre dos números con decimales siempre puedes escribir otro número fraccionario o con decimales. A esta propiedad se le conoce como densidad de los números deci-

males y fraccionarios.

Escribe en el cuaderno la relación que existe entre las fracciones y los números con decimales.

Comparte tus ideas con tus compañeros y profesor.

En la siguiente di-rección encontrarás actividades sobre la ubicación de fraccio-nes y decimales en la recta numérica.w w w. t e l e s e c u n -d a r i a . d g m e . s e p .gob.mx/ in teract i -vos/1_pr imero/1_Matematicas/1m_b01_t02_s01_inte-ractivo/index.html

¿Cómo vamos?

Reúnanse con su equipo y tracen otra representación de la recta numérica.

Repitan el procedimiento del primer juego, pero ahora, utilicen marcas en la representación de la recta que indiquen decimales en lugar de fracciones.

Por cada acierto, el equipo correspondiente obtiene un punto. Escriban en el cuaderno la estrategia para encontrar los números decimales

que siguieron en el juego. ¿Cuál equipo ganó esta vez? ¿Cuál equipo gana si suman el total de puntos ob-

tenidos en esta parte del juego con los que consiguieron en la parte anterior? ¿De qué manera ha contribuido el juego para practicar la representación de

números en la recta numérica?


33

¿Cómo nos fue?

Imagina que tienes que explicar a tu hermano que está en 5.º grado de pri-maria cómo convertir fracciones en decimales, ¿cómo lo harías? ¿Qué dirías si tuvieras que explicarle cómo convertir decimales en fracciones? Escribe tu explicación.

Escribe, a partir del trabajo que has realizado, tres situaciones en las que con-viene expresar los números como fracciones y tres en las que es mejor utilizar números decimales.


Coloquen en el pizarrón las rectas numéricas de todos los

equipos, junto con las puntuaciones de cada uno de ellos.

Señalen cuáles equipos obtuvieron más puntos. Comparen las estrategias que usaron todos los equi-

pos. Comenten cuál les parece mejor. Empleen las mejores reglas y aplíquenlas para jugar

algunas rondas más.

¿Cómo vamos?

Repitan el juego de la recta numérica.

Esta vez localicen cualquier número: entero, fracción o con decimales. Con-tará medio punto cuando se elija un entero, un punto cuando se escoja un número con decimales y dos cuando se trate de una fracción.

Al final, escriban la estrategia que siguieron para realizar esta parte del juego.

Dibujen otra recta numérica y localicen en ella todos los números que utilizaron en los tres juegos. Escriban una explicación de por qué los números quedan en ese orden y compártanla con la clase.

¿Cuál equipo logró obtener más puntos en las tres partes del juego suma-das? ¿Podrían haber continuado el juego con más turnos? ¿Cuántos? ¿Qué diferencias hay entre localizar enteros, fracciones y decimales? Expliquen sus respuestas.

Resuelve en el cuaderno.

1. Localiza en una representación de la recta numérica los números 1.4, 0.53, 0.225 y 3.56.

2. Escribe el número que falta en estas expresiones y localiza los números en una representación de la recta numérica.

a) 4

� 0.75 b) 2

� 0.25 c) 2

� 13.5 d) 5

� 15 18

e) 6 7

� 48

3. Escribe los números 3.116, 5.46, 35.68, 54.23 y 343.256 como fracciones.

4. Escribe un número decimal entre 1.0001 y 1.002 y otro entre 1.00011 y 1.00012.

Resuelve en el cuaderno.

Los chinos, los egipcios y los babilonios usaron fracciones para hacer cálculos, en especial para solucionar problemas de reparto, de medida de terrenos en la construcción o en la agricultura. Los griegos, en cambio, usaban las fracciones para denotar relaciones entre cantidades en sus estudios de geometría, pero no las consideraban números con los que se pudiera operar.

Cie

rre


34

3

Blo

que

1 Suma y resta de fraccionesContenido

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Impuntualidad en la fábrica

El director de personal de una fábrica de textiles, está muy preocupado por la impun-tualidad de sus trabajadores, dicha fábrica está conformada por tres plantas (A, B, y C). En las tablas siguientes se muestra la fracción de los empleados que llega con retraso al mes en las tres plantas industriales.Reúnete con un compañero, analicen las tablas y respondan las preguntas que se encuentran a continuación.

Planta A

Mes Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic

Fracción de empleados que

llegan con retardo al mes

125

125

125

110

415

610

23

23

1320

12

225

125

Planta B




110

115

350

320

14

15

110

14

310

215

115

225

Planta C




13

110

215

310

215

12

715

12

35

12

25

13

• ¿En cuál planta hay más trabajadores con retraso en el mes de julio? • ¿En cuál planta hay menos trabajadores con retraso en el mes de enero? • Argumenten sus respuestas.

En equipos, van a realizar tres encuestas. La primera será a 20 compañeros de su grupo; la segunda a 15 compañeros de otro grupo, y la tercera, a 10 conoci-dos sobre sus preferencias de comida, de deportes, o de otras actividades. Cada encuesta debe incluir seis preguntas sobre el tema que hayan elegido. Por ejem-plo, pueden preguntar a sus compañeros: ¿te gustan los chocolates? ¿Te gustan los chicles?, entre otras. Sus compañeros responderán sí o no a las preguntas.

Deberán calcular las preferencias de sus compañeros y con esos datos escribir un reporte a manera de noticia para un periódico local.

Durante la secuencia habrá información sobre los cálculos que deben realizar.

Nuestro trabajo

Inic

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laneació

n


35

Recetas de cocina

En las recetas de cocina con frecuencia aparecen las fracciones.

Con un compañero discute las estrategias de solución y realicen las siguientes

actividades.

Una receta para preparar pavo requiere 12

cucharita de pimienta entera, 34

de cu-

charita de pimienta negra y 14

de cucharita de pimienta roja. ¿Cuánta pimienta

en total necesita esta receta? . ¿Cuánta más pimienta negra que

pimienta entera lleva la receta?

.

Para hacer un pastel, Teresa necesita 23

de taza de harina blanca, 15

de taza de ha-

rina integral y 34

de taza de harina de maíz. ¿Cuánta harina en total requiere Teresa?

. ¿Cuánta más harina de maíz que harina blanca requiere el pastel

de Teresa?

.

La receta de mi abuelita para hacer helado de chocolate dice que se necesitan 45

de litro de chocolate negro, 34

de litro de chocolate amargo, 13

de litro de chocola-

te blanco. ¿Cuántos litros de chocolate lleva en total el helado? .

¿Cuánto más chocolate negro lleva que chocolate blanco?

.

El cereal que le gusta a mi papá contiene 8 23

tazas de cacahuates, 14

de taza de

nuez de la India, 1 25

tazas de nuez de castilla y 13

de taza de almendra. ¿Qué

cantidad de semillas contiene el cereal? . ¿Cuántas tazas más de

cacahuates contiene que de nuez? .

Para hacer un pay de frutas necesito comprar 34

de kg de manzanas, 13

de kg de

pera, 45

de kg de uva y 1 78

kg de fresas. ¿Cuánta fruta en total necesito comprar?

. ¿Cuántos kilogramos de fresas necesitaría comprar para comple-

tar tres kilos? . ¿Cuántos de pera necesitaría comprar si quisiera

completar un kilogramo? .

Busquen la receta de algún platillo que les agrade y cuyos ingredientes estén ex-presados en fracciones. Redacten en el cuaderno un problema parecido a los que acaban de trabajar e intercámbienlo con otro equipo para que lo resuelva.

Desarr

ollo


36

La fracción de trabajadores con retraso

Antes de iniciar con la aplicación de la encuesta, continuemos trabajando con las tablas de la primera página.

Reúnanse en equipos para realizar las actividades.

Redacten en el cuaderno una breve explicación acerca de cómo comparar fraccio-nes con distinto denominador. Para calcular la fracción de empleados con retraso que corresponde al primer trimestre del año en la planta A, Karen hizo la operación siguiente:

125

+ 125

+ 125

= 325

¿Funciona el procedimiento que siguió Karen para el primer trimestre de las otras dos plantas? ¿Qué procedimiento seguirían en estos casos? Explíquenlo.

Antes de realizar las operaciones, intenten calcular de manera estimada en qué planta hubo más trabajadores que llegaron tarde durante el primer trimestre.

Ahora, resuelvan las operaciones para comprobar sus cálculos:

Planta C Planta B

13

+ 110

+ 215

= 110

+ 115

+ 350

=

¿Cuántos empleados de la planta C llegaron tarde a trabajar durante abril?

Argumenten su respuesta.

Si consideramos un trimestre en lugar de un mes, ¿qué fracción del total de trabajadores

llegó tarde a cada una de las plantas entre enero y marzo? ;

y . Y ¿entre abril y junio? , y . ¿Cómo obtu-

vieron el resultado?

¿En cuál de las tres plantas hubo más retardos en el primer trimestre?

Calculen en qué planta hubo más trabajadores que llegaron tarde entre abril y junio.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo y escriban las preguntas de la encuesta. Recuerden que

debe tener seis preguntas sobre distintas preferencias relacionadas entre sí.

Diseñen la forma que tendrá la encuesta que presentarán a los distintos grupos por entrevistar.

Diseñen, asimismo, una tabla que les permita poner junta la información de cada grupo de personas.


37

¿Cómo vamos?

Durante la clase, intercambien las encuestas con sus compañeros para re-

cabar las respuestas. Pueden responder las preguntas de los otros dos gru-

pos de personas como tarea. Reunidos en equipo, respondan las siguientes

preguntas:

¿Cuántos de sus compañeros respondieron de manera afirmativa en cada uno de los rubros de su encuesta? ¿A qué fracción del total de sus compañe-ros corresponden esas respuestas afirmativas?

A partir del resultado anterior, ¿qué fracción de sus compañeros respondió negativamente a esas preguntas?

Respondan las mismas preguntas para los otros dos grupos de encuestados.

¿Cuál es la diferencia entre el trimestre con mayor número de retrasos y aquel en

que hubo menor impuntualidad por parte de los empleados en la Planta A?

. ¿Cómo obtuvieron el resultado?

Respondan las siguientes preguntas.

¿Cómo sumaron y restaron fracciones con el mismo denominador?

¿Qué procedimiento siguieron para sumar y restar fracciones con distinto denomi-

nador?

¿Cómo se pueden utilizar las fracciones equivalentes al sumar y al restar fracciones?

Resuelve estos problemas:

1. Graciela salió de compras y gastó 415

de su dinero en útiles escolares y 116

en libros de lectura.

a) ¿Qué parte de su dinero gastó?

b) Calcula la parte de dinero que le sobró.

2. Sin hacer operaciones escritas, estima el resultado de las siguientes:

a) 34

+ 140

+ 1330

– 15

= b) 3 15

+ 235

– 1 1720

=

Realiza las operaciones para comprobar el resultado de tu estimación.

Resuelve estos problema


38

Más actividades con fracciones

Discute con dos compañeros la solución de las siguientes actividades. En cada caso, escriban las operaciones que permitan encontrar las respuestas.

Los obreros que trabajan en una carretera de 56 13

km llevan terminados en este

momento 22 15

km. ¿Cuántos km les faltan para terminar la obra?

Luis trabajó con su tío para ganar algo de dinero; el lunes trabajó 8 14

horas, el mar-

tes trabajó 4 12

horas, el miércoles trabajó 7 13

horas, el jueves trabajó solo 3 horas

y el viernes trabajó 5 34

horas. Si por cada hora le pagaron $50, ¿cuánto dinero ganó

en la semana?

Su papá le pidió a Alfonso que pintara la fachada de su casa durante el fin de semana.

El viernes en la tarde pintó 1 13

m, el sábado pintó 5 14

m y el domingo pintó 2 12

m.

¿Cuántos metros de la fachada pintó en total?

Javier preparó una mezcla con diferentes tipos de café. Utilizó 1 12

kg de café ve-

racruzano, 34

kg de café costarricense, 2 13

kg de café colombiano y 1 38

kg de

café brasileño. ¿Qué cantidad de café obtuvo con la mezcla?

Un ciclista se prepara para una carrera. Durante su entrenamiento de un día reco-

rrió 35 12

km en la primera hora; en la segunda hora recorrió 28 14

km y para la

tercera hora, 42 25

km. ¿Cuántos km recorrió en total?

En el parque de mi barrio están haciendo un huerto. El jardinero sembró el primer

día 23

del área de semillas de tomate, el segundo día sembró 25

del área de semi-

llas de zanahoria, ese mismo día, los pájaros se comieron 16

parte de las semillas

que había sembrado. ¿Cuántas semillas quedaron sembradas? ¿Cuánto le falta al

jardinero para sembrar el área completa?

Comparen sus respuestas con otros. En caso de que existan diferencias, validen

sus resultados con el maestro.

En las siguientes li-gas encontrarás acti-vidades relacionadas con la suma y resta de fracciones. Haz los ejercicios y practi-ca lo que aprendiste.w w w. t e l e s e c u n -d a r i a . d g m e . s e p .gob.mx/ in teract i -vos/1_pr imero/1_Matematicas/1m_b02_t01_s01_au-l a d e m e d i o s /presentacion.html


39

¿Cómo nos fue?

Proporciona tres ejemplos de situaciones en las que se debe calcular sumas de fracciones y tres en las que es necesario calcular restas de fracciones.

Escribe una explicación sobre la utilidad de las fracciones equivalentes para realizar operaciones de suma y resta de fracciones.

¿Por qué son útiles las fracciones en el reporte que hiciste de tu encuesta? ¿Qué tan acertado fue el análisis que hicieron de los resultados?

¿Con cuánta frecuencia aparecen encuestas en los periódicos? ¿Por qué es importante saber interpretarlas?


Presenten su reporte al grupo a manera de noticia.

Discutan con el grupo y el maestro las estrategias que utilizaron para calcular las fracciones de cada grupo, el total de personas y las diferencias entre los grupos.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo para calcular la diferencia entre las respuestas afi rma-

tivas de cada grupo de personas.

Calculen la fracción del total de personas encuestadas que respondieron de manera afirmativa a cada rubro de la encuesta.

Calculen la diferencia entre las fracciones de los distintos grupos que res-pondieron afirmativamente cada rubro de la encuesta.

Escriban un reporte describiendo estas preferencias como si fuera una noti-cia para el periódico local.

Resuelve:

1. 58

+ 24

+ 13

=

2. 716

+ 38

– 12

=

3. 34

– 15

+ 27

– 14

=

4. 23 37

+ 12 14

– 7 56

=

5. El señor Sánchez está colocando cerámica en la cocina de la señora Álvarez. Usará 15

del total de piezas

de cerámica azul, 23

del total de piezas de cerámica blanca y el resto de las piezas serán negras. ¿Qué

parte del piso de la cocina quedará cubierta con cerámica negra?

Resuelve:

Cie

rre


40

4

Blo

que

1

Sucesiones

Contenido

Construcción de sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formu-lación en lenguaje común de expresiones generales que defi nen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de fi guras.

Los diseños de Cecilia

A Cecilia le gusta diseñar y hacer collares para regalar a sus amigas. Ella lo hace re-gularmente siguiendo un patrón.

En esta ocasión, diseñó un collar con fl ores formadas por botones de colores. Hasta ahora tiene terminados los diseños que se muestran. Para continuar con su trabajo, necesita saber cuántos botones de cada color requiere para sus siguientes diseños.

• ¿Cuántos botones amarillos y cuántos verdes utilizó Cecilia en el collar de una flor? ¿Y en el de dos flores?

• ¿Cuántos botones necesitará si sigue el mismo patrón para los collares con tres y cuatro flores, respectivamente? ¿Cómo lo sabes?

• Dibuja los collares para comprobar tu respuesta.

Reúnete con un compañero para realizar la siguiente actividad.

Discutan qué estrategias podrían seguir para generar un patrón. Utilicen una de las estrategias que diseñaron y generen un patrón utilizando figuras. Intercambien con otra pareja de compañeros su patrón y traten de adivinar la regla

que sigue el patrón que generaron sus compañeros. Escriban un párrafo en el que describan por qué es importante analizar patrones y

encontrar las reglas que siguen. Al terminar de estudiar esta secuencia modifiquen el párrafo, si es necesario, para incluir lo que aprendieron.

En equipos de tres integrantes diseñarán el estampado de una playera, asignan-do colores a los cuadritos formando fi guras o líneas. Repetirán su diseño para playeras de talla 1, 2, 3 hasta la 40, siguiendo una sucesión de fi guras o líneas.

También ayudarán a un grupo de diseñadores a determinar el número de cuadritos que llevará cada playera de acuerdo con la talla. A la izquierda se muestra la playera de talla 1.

Presentarán su diseño en una cartulina, que se colocará en la pared del salón de clases, en una exposición a la cual invitarán a compañeros de otros grupos.

Su dibujo debe incluir una fórmula que permita a los visitantes dibujar el patrón de la talla que deseen.

Nuestro trabajo

patrón. En el caso de las sucesiones, un patrón es una regla que permite encontrar los térmi-nos de una suce-sión; es también una regularidad.

Inic

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n


41

Sucesiones y patrones

Antes de iniciar el diseño de su playera trabajemos nuevamente con los collares de Cecilia.

Reúnete con dos compañeros para realizar las actividades siguientes.

Observen el collar de flores que se muestra a la derecha:

Si numeran cada uno de los collares que va elaborando Cecilia a medida que au-

menta el número de botones, ¿qué número de collar es este? ¿Cómo

lo saben?

Si ella quiere hacer un collar con ocho flores, ¿cuántos botones de cada color nece-

sita? Argumenten su respuesta.

Si también quiere hacer un collar con 10 flores, ¿cuántos botones de cada color

requerirá? ¿Y si quisiera hacer uno de 15 flores?

Si Cecilia utiliza 26 botones verdes para un collar, ¿cuántas flores tendrá? ¿Qué hi-

cieron para calcularlo?

Dibujen en el cuaderno tres collares que puede hacer Cecilia siguiendo el patrón. Debajo de cada dibujo, en tres renglones distintos, anoten el número de flores co-

rrespondiente al collar, el número de botones amarillos y el número de botones verdes, en ese orden.

Expliquen la regularidad que encuentran en la forma en que cambian los núme-ros de los dos renglones inferiores de acuerdo con el número de flores del collar correspondiente.

Hagan una tabla con cinco columnas; en la primera columna escriban el número de collar; en la segunda, el número de fl ores que llevará cada collar; en otra columna, el número de botones amarillos que se necesitan para cada uno; en la siguiente, el número de botones verdes y en la última, el total de botones que se utiliza en cada collar. Elaboren la tabla para cinco collares.

Encuentren, sin dibujar, el número de botones que se precisan para el collar con 12

flores. ¿Cuántos botones se requieren?

¿Cómo podría saber Cecilia cuántos botones de cada color necesita para hacer cada collar, siguiendo el mismo patrón, independientemente del número de flores que

lleve?

Escriban el procedimiento que siguieron para calcularlo:

¿Sabes qué es una sucesión numérica? ¿Qué características tiene?

Comparen su procedimiento con los de otros compañeros.

Así como en el caso de los collares de Cecilia, hay otras situaciones en las que se utilizan fi guras o números para crear sucesiones siguiendo cierto patrón. Discutan en equipo para encontrar otros ejemplos en los que se puedan identifi car sucesiones.

sucesión. Conjunto ordenado de térmi-nos que siguen una ley, regularidad o patrón.

Desarr

ollo


42

Agreguemos números a las sucesiones

Trabajen en parejas las siguientes actividades:

La sucesión numérica 3, 5, 7, 9… corresponde a la de fi guras que Cecilia hizo con cerillos para un diseño muy especial de collares. La sucesión de números nos indica el número de cerillos que usó en cada fi gura y los puntos suspensivos señalan que la sucesión continúa indefi nidamente, es decir, que después del 9 vienen otros números que siguen el mismo patrón.

¿Puedes encontrar el número que debe seguir al 9?, ¿y el número siguiente al ante-rior? ¿Qué hiciste para determinarlos?

Número de fi gura 1 2 3 4

Número de cerillos 3 5 7 9

¿Qué figura geométrica identificas que se repite en cada diseño?

¿Cuántos cerillos se necesitan para la figura 5?

A cada uno de los elementos que forman una sucesión se les conoce como términos.

En el ejemplo anterior, ¿cuál es el primer término? . Compara tu respuesta con tu compañero. En caso de existir diferencias pidan apoyo al profesor. Al analizar la tabla de arriba, concluimos que se forman dos sucesiones. La primera

formada por los números que identifican cada figura, que es la sucesión . La segunda se forma con los datos correspondientes al número de cerillos de cada

fi gura. Esta es . Completen en su cuaderno estas sucesiones hasta la fi gura número 10.

¿Cuál es el término que corresponde a la figura 15? ¿Qué hicieron para encontrarlo?

Ahora, dibujen las dos figuras que siguen en esta sucesión:

Hagan en el cuaderno una tabla con tres columnas. Determinen los datos que debe incluir cada columna. Una sugerencia es escribir en la primera el número que le corresponde a la figura en la sucesión, en la segunda el número de rectángulos de cada figura y en la tercera el número de cuadrados.

¿Cuántos rectángulos y cuadrados tendrá la décima figura? ¿Habrá alguna manera de saber cuántos rectángulos y cuadrados tendrá cualquier

figura de la sucesión? Coméntalo con tus compañeros y tu profesor.

Comparen y discutan con sus compañeros las estrategias que siguieron.

1. Dibujen en el cuaderno las siguientes tres fi guras de cada sucesión. Elaboren una tabla como la anterior para cada caso, de tal manera que puedan responder: ¿Cuántos cuadritos tendrá la fi gura 10 en cada caso?

1. Dibujen en el cuaderno


43

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo para trabajar en el diseño de las playeras.

Las playeras que se muestran, corresponden a un mismo diseño, en tallas 1 y 2; comparando una con otra, notarán que el tamaño de los cuadritos de las figuras se mantiene pero aumenta su número y la talla de la playera.

Formen una sucesión para las primeras cuatro tallas y escríbanla.

Ahora, trabajen en el diseño de las otras playeras. ¿Cuántas líneas o fi guras usa-rán en la talla 1? ¿Y en la 2?

Hagan una tabla como la de la página anterior y expliquen por escrito cómo se pueden encontrar los distintos términos de la sucesión.

Sucesiones de números

Al igual que con las fi guras, en sucesiones numéricas como la que se muestra en la siguiente tabla, ¿qué es lo que debes buscar en los términos que se conocen para encontrar los términos que siguen? . Este tipo de tabla puede ayudarte a hallar dicho patrón.

Analiza la tabla y contesta en el cuaderno.

Lugar

del término1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Término 1 3 5 7 9

¿Cómo puedes encontrar los siguientes términos de la sucesión? ¿Qué característica comparten los términos de la sucesión? ¿Qué relación guarda cada término de la sucesión con el lugar que ocupa? Comén-

talo con tus compañeros y describan la regularidad que encuentran. Calcula el doble de cada número de término de la sucesión y al resultado réstale

uno. ¿Qué observas? ¿Coincide con la regularidad que detectaron? ¿Funcionará para cualquier término de la sucesión? ¿Por qué? ¿Cuál es el término que ocupa el lugar número 100?

Ahora, observa los términos de esta sucesión: 4, 8, 12, 16, 20... y elabora en el cua-derno una tabla como la anterior para los primeros 10 términos.

¿Por qué número debes multiplicar el número de lugar de cada término para ob-tener el término correspondiente? ¿Podrías usar esta operación para determinar cualquier término? ¿Por qué?

¿Qué término corresponde al lugar número 100?

Al trabajar con sucesiones que siguen un patrón, al encontrar la regularidad o regla que las rige, podemos determinar cualquier término o fi gura de la sucesión.

¿Qué tiene que hacer Cecilia para encontrar el número de botones que debe colocar en cada collar una vez que decida el número de flores que llevará?

Revisa todas las sucesiones de las fi guras con las que hemos trabajado; encuentra y escribe en el cuaderno la regla que rige a cada una de ellas. Determina el número de elementos para las fi guras 15, 30 y 40 de cada una.


44

Expresiones matemáticas

Observa nuevamente la sucesión 1, 3, 5, 7… de la página an-terior. Discute con tus compañeros para hallar dos formas de explicar cómo encontrar cada uno de sus términos. Con esas ideas escriban en el cuaderno una explicación de cómo encontrar cualquier término de la sucesión.

¿Pueden encontrar una regularidad en la sucesión 3, 7, 11, 15…? Justifiquen su respuesta. Si tuvieran que encontrar el término que corresponde al lugar número 1 000, ¿qué harían?

¿Y para los lugares 230 y 5 000?

En el caso de la sucesión 1, 3, 5, 7… ¿qué regularidad en-cuentran? Describan cómo utilizar esta regularidad para en-

contrar cualquier término de la sucesión.

Escriban el procedimiento para encontrar el término que ocu-

pa el lugar 50.

Para la sucesión 4, 8, 12, 16…, ¿qué regularidad encuentran? Describan cómo utilizar esta regularidad para encontrar cualquier término de la sucesión.

Utilicen la explicación que dieron para encontrar los términos de los lugares 125 y

230. Anótenlos.

La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8…, llamada de Fibonacci, recibe el nombre del matemáti-co italiano que la creó y descubrió muchos fenómenos naturales ligados a ella. Por ejemplo, el número de pétalos de distintas fl ores siguen esta sucesión y también los machos de una colmena tienen un árbol genealógico que cumple con esa sucesión. Existen muchos más casos en la Naturale-za en los que puedes encontrar este patrón.

Investiga un caso en el que se cumpla con dicha sucesión. Comparte lo que encontraste con tu grupo y cuando to-dos hayan presentado su caso, escribe en el cuaderno una conclusión.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo para trabajar en las playeras.

¿Cuál es el número de cuadritos para las playeras de talla 25? ¿Qué dificultades han enfrentado al trabajar en el patrón que diseñaron? Fijen una regla para conocer el número de cuadritos para cualquier talla. Decidan la talla de playera que usarán en los dibujos en cartulina que se ex-

hibirán en la exposición. Escriban en la cartulina una forma en que se puede encontrar el número de cuadritos de cada color para cualquier talla.

Resuelve en tu cuaderno:

1. Completa la sucesión 2, 5, 8, 11… hasta que tenga diez términos y explica cómo podrías encontrar cualquier término de la sucesión.

2. Laura analizó una sucesión y encontró que “para encontrar cualquier tér-mino de la sucesión se debe multiplicar el lugar que ocupa el término en la sucesión por 3 y quitarle 1”. Pedro describió otra sucesión así: “si multiplicas el lugar que ocupa el término de la sucesión por 2 y luego le sumas 5 puedes encontrar cualquier término de la sucesión”. Halla los diez primeros térmi-nos de las sucesiones que Laura y Pedro analizaron.

3. Escribe la regla que describe a la sucesión 8, 14, 20, 26, 32… y encuentra los términos correspondientes a los lugares 12 y 15.

Resuelve en tu cuaderno


45

¿Cómo nos fue?

¿Compartiste con otros equipos tu opinión sobre la manera en la que descri-bieron y formaron la sucesión correspondiente a su diseño?

Escribe una explicación para un compañero, sobre la importancia de la regu-laridad y los patrones para entender y generar las sucesiones.

¿Cómo puedes determinar la regla que rige a una sucesión? ¿Por qué es valio-so contar con una fórmula o una manera regular de generar los términos de una sucesión?

Describe la regularidad y la manera en que se generaría una sucesión cuyos términos aumentan paulatinamente, y otra en la que aumentan de manera abrupta.

Todas las sucesiones

Reúnete con un compañero para revisar las sucesiones de fi guras, incluidas las que hicieron en la sección Tareas. Trabajen en el cuaderno.

Expliquen la manera de crear cualquier collar con el diseño de cerillos que Cecilia

quiera hacer.

Expliquen la manera de crear las otras sucesiones de figuras con las que trabajaron

durante las actividades.

¿Qué tienen que hacer para construir cada figura de una sucesión? ¿Cuántos ele-

mentos tendría la figura número 25 en cada uno de los casos presentados?

Inventen una sucesión numérica y escriban cuatro términos. Expliquen a otro equipo qué debe hacer para hallar los números que siguen y pídanle que anote tres más. Háganlo en el cuaderno.

Construyan una sucesión en la cual para generar un término se le sume el nú-mero 6 al término anterior; encuentren sus primeros diez términos. Anótenla en el cuaderno.

Construyan una sucesión en la cual para generar un término se multiplique por 3 el término anterior, y se le sume 5. Encuentren sus primeros diez términos. Anó-tenla en el cuaderno.

Expliquen qué regularidad encuentran en cada una de las sucesiones anteriores.

Para cada una de las sucesiones con las que has trabajado en la lección, encontraste una manera de irlas generando, una regularidad o regla general. Utilizándola, puedes encontrar cualquier término de dicha sucesión.


Presenten sus diseños al grupo y exhíbanlos en las paredes del salón de clases.

Revisen la manera en que realizaron las playeras de los diseñadores. Todas deben coincidir y en caso de que haya diferencia, revisen para detectar errores.

Después, cada equipo revisará el diseño de otro equipo y encontrará la regularidad necesaria para diseñar las tallas 5 y 10 de sus compañeros.

Cie

rre


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5

Blo

que

1

Literales y fórmulas

Contenido

Explicación del signifi cado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

El campo de golf

Un golfi to es una pequeña representación de un campo de golf. Jaime diseñó un hoyo para un golfi to como el que se muestra. Un hoyo en el golf es un área cubierta de césped desde donde se golpea con un palo especial una pelota para introducirla en un agujero. Ahora debe calcular la cantidad de alfombra que necesita para cubrir el piso del hoyo y la de madera que se requiere para hacer el borde.

• ¿En cuántas figuras descompondrías el hoyo para calcular el material necesario?• ¿Qué fórmula utilizarías para ese cálculo? Justifica tu respuesta.• ¿Cómo calcularías la cantidad de madera que se requiere?

En muchas actividades cotidianas puedes encontrar objetos que están formados me-diante la unión de formas geométricas que conoces.

Reúnete con dos compañeros para hacer una lista de cinco objetos que se puedan formar, como los hoyos del golfito, con este tipo de figuras.

Discutan cómo encontrarían el perímetro, el área o el volumen de este tipo de figu-ras. Al terminar, coméntenlo en grupo y con el profesor.

Las piezas del golfi to

Antes de empezar a trabajar en el diseño de su campo de golf, en parejas realicen

las actividades siguientes.

En la escuela primaria trabajaste en la descomposición de fi guras compuestas en fi guras conocidas para calcular su área. En estas fi guras se muestran las piezas que utilizó Jaime para diseñar el hoyo del golfi to.

En parejas, diseñarán un hoyo para un campo de golfi to.

Además del diseño, deben calcular la cantidad de alfombra y de madera que se requiere para el hoyo.

Al final, reunirán todos los diseños para completar un campo de golf.

Durante las actividades encontrarán ideas para hacerlo.

Nuestro trabajo

Desarr

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Inic

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laneació

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¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero y diseñen el hoyo para el golfi to.

¿De qué figuras se compone? Escriban fórmulas para calcular el área y el perímetro del hoyo que

diseñaron. Especifiquen qué representan las literales que usaron. Expliquen, además, el signifi cado de cada una de las fórmulas.

Empleen las fórmulas para determinar el área y el perímetro del hoyo. ¿Cuánta alfombra se requerirá para hacerlo? ¿Y cuánta madera? ¿Qué dificultades han enfrentado en el diseño del hoyo para el golfito?

Describan una manera de encontrar el perímetro del rectángulo.

¿Cómo lo calculan si utilizan una fórmula?

Si el rectángulo que empleó Jaime mide m de base y n de altura, ¿qué fórmula aplica-

rían para calcular el perímetro? ¿Y para el área?

¿Si cambian las letras varía la fórmula? ¿Por qué?

¿Qué otras figuras utilizó Jaime?

Describan la manera en que calcularían el área y el perímetro de cada una.

¿Describieron diferentes procedimientos en cada figura? ¿Por qué?

¿Utilizarían distintas fórmulas para el cálculo de su área? Argumenten la res-

puesta.

Asignen una literal a cada una de las longitudes que necesitan medir y escriban en el cuaderno una fórmula para calcular el área y el perímetro de cada figura.

Cuando quieres calcular el área o el perímetro de una fi gura geométrica determinada utilizas una expresión general, llamada fórmula, la cual funciona para todas las fi gu-ras semejantes independientemente de sus medidas.

Si quieres calcular el área de un cuadrado escribes la fórmula A � l � l.

¿Qué signifi cado tiene la letra l en la fórmula? . ¿Es importante cuánto mide el lado en la fórmula? . ¿Por qué? . A las letras que utilizamos en expresiones algebraicas se les llama literales y pueden inter-pretarse como números generales con los que es posible hacer operaciones.

Una característica importante es que se usa la misma literal para representar magni-tudes iguales y letras distintas cuando estas son diferentes. Por ejemplo, para el área del rectángulo la fórmula A � l � l sería confusa porque no podrías saber cuál es el largo y cuál el ancho.

Calculen la cantidad de alfombra y madera que necesita Jaime para su hoyo del golfito. Tomen en cuenta que cada centímetro del dibujo representa 2 metros de la realidad.

Escriban una fórmula para calcular el área y el perímetro del hoyo completo.

expresiones gene-

rales. Son expre-siones algebraicas en las que se utilizan letras para escribir un patrón o una fórmula que permita calcular una cierta cantidad, como el perímetro o el área, indepen-dientemente del valor específi co de sus dimensiones.

literal. Es una letra que aparece en una expresión algebraica.


48

Más del campo de golf

Jaime piensa usar un triángulo equilátero y un rombo para otro hoyo de su golfi to.

Escribe una fórmula, a partir de las literales de cada fi gura, para calcular su área

y su perímetro:

P = P =

A = A =

¿Qué sucede con las fórmulas si cambiamos las literales? ¿Por qué?

Escribe el significado de las fórmulas que utilizaste para calcular el área y el períme-

tro de las figuras anteriores.

¿Cómo interpretas las literales en dichas fórmulas?

Si cambiaran las medidas del hoyo pero se mantuviera la misma forma, ¿la fórmu-

la para calcular su área sería diferente? ¿Por qué?

Observa la ilustración en que se muestra otro de los hoyos que Jaime diseñó para

su golfi to y en el cuaderno haz lo siguiente:

Describe la forma en que puedes calcular el perímetro y el área de una figura com-puesta por otras figuras como la del hoyo que se muestra.

Haz la descomposición de la figura en otras cuyas fórmulas conozcas, para calcular su área y perímetro.

Ahora, asigna una literal a cada una de las longitudes que necesitas medir para calcular el área y el perímetro de cada una de las figuras que resultaron y escribe una fórmula para cada una de ellas.

¿Qué significa cada una de las letras? ¿Cambiaría la fórmula si usaras otras letras para calcular el área del hoyo? Escribe una fórmula que te permita calcular la cantidad de alfombra y de madera

que Jaime necesita para hacer este hoyo. Describe la fórmula e interpreta el significado de las literales.

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y en caso de que encuentren

diferencias, corrijan hasta llegar a las que sean comunes o equivalentes.

k m

bl

Realiza en el cuaderno estas actividades:

1. Los polígonos son regulares cuando todos sus lados y ángulos miden lo mismo respectivamente. Por ejemplo, un pentágono es un polígono regular con 5 lados. ¿Cómo encontrarías el perímetro de un pentágono cuyos lados miden 2 cm? ¿y el de un hexágono cuyos lados miden 3 cm?

a) ¿Cómo generalizarías esas fórmulas para encontrar el perímetro de un polígono que tuviera n lados de longitud l?

b) Si n es 6 y l vale 5 cm, ¿de qué fi gura se trata? ¿cuánto mide su perímetro?

Realiza en el cuaderno e


49

2. Para calcular el área de un rombo, Lucrecia escribió la fórmula A � D � d

2 , en la que D representa

la longitud de la diagonal mayor y d la longitud de la diagonal menor. Jorge, en cambio, escribió

A � m � l

2 , donde l representa la longitud de una de las diagonales y m la longitud de la otra.

Dibuja un rombo y describe qué representa cada una de las letras que utilizó Lucrecia y de cada una de las letras que utilizó Jorge. Escribe, además, el signifi cado de cada una de estas fórmulas.a) ¿Cuál de las fórmulas es correcta? ¿Por qué?b) Usa una de las fórmulas para calcular el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 3 cm

y cuya diagonal menor es de 2 cm.

¿Cómo nos fue?

¿Cómo se compara el hoyo que diseñaste junto con tu compañero con los que hicieron los demás? ¿Cuál te parece mejor? ¿Por qué?

Compara cómo usaste las literales en las fórmulas y cómo las empleaste en las sucesiones de números y figuras. ¿Cuántos valores podía tomar una letra en una sucesión? ¿Cuántos valores pueden tomar las letras en las fórmulas que utilizaste?

¿Qué representan las letras que aparecen en una fórmula? ¿Cambia la fórmula si se usan otras letras? ¿Cambian los valores de la fórmula?

Al escribir una fórmula, ¿es importante la letra que utilizas? ¿Por qué? Haz una lista en tu cuaderno de cuatro fórmulas que recuerdes para calcular

el área y el perímetro de figuras geométricas. Utiliza dos maneras equivalentes de escribir cada una.

Figuras compuestas

Como habrás notado en las actividades anteriores, para encontrar el perímetro de fi gu-ras compuestas necesitas tomar en consideración solamente aquellas longitudes de las fi guras que las componen y que forman parte del contorno de las fi guras compuestas, pero para calcular el área sí hay que sumar todas las áreas de estas.

Anota en el cuaderno una fórmula para determinar el perímetro y el área de las fi-guras de la derecha. Luego, describe cada fórmula, así como el significado de las letras que utilizaste en cada una.

Las fórmulas nos permiten generalizar los cálculos necesarios para encontrar las medidas de ciertas fi guras. En otras ocasiones, como en las ciencias o en diversas actividades, las fórmulas nos sirven para hallar otro tipo de valores, como el compor-tamiento de distintos fenómenos.


Presenten ante el grupo el diseño que elaboraron para el campo de golfi to. Al mis-

mo tiempo, revisen el trabajo de otros compañeros para detectar posibles errores.

Reúnan todos los hoyos que diseñaron y discutan cómo convendría distribuirlos en el terreno representado por una cartulina.

Junto a cada hoyo, coloquen la información sobre cómo calcular el área y el períme-tro y cuánta alfombra y madera se necesitarán para construirlos.

Incluyan también la cantidad total de madera y alfombra que se deberá usar.

Perímetro:

Área:

Perímetro:

Área:

Cie

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50

6

Blo

que

1 Construcción decuadriláterosContenido

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Campamento de verano

Los alumnos de primero de secundaria se fueron de campamento de verano a la Sierra Gorda de Querétaro. Al llegar, notaron que había una zona de descanso con varios juegos.

Observa la imagen siguiente y encuentra la mayor cantidad de triángulos y cuadri-

láteros posibles.

• ¿Qué tipo de triángulos en-

contraste? ¿Qué criterios usaste para clasificarlos?

• ¿Qué tipo de cuadriláteros encontraste? ¿Qué criterio usaste para clasificarlos?

Uno de los retos que tuvieron los estudiantes que asistieron al campamento fue construir un refugio seguro para su equi-po que resistiera la lluvia y el agua. Para ello, cada equipo tenía que decidir la forma del espacio que ocuparía una tien-da de campaña. Algunos se encargaron de decidir la forma de la entrada y otros, la base de dicho refugio.

Reúnete con otro compañero y respondan:

¿Cuántos triángulos y cuadriláteros estimas que hay en las estructuras? Si la entrada de una tienda de campaña del campamento es un triángulo que tiene

medidas de 80 cm y 60 cm, ¿es posible que la otra varilla mida 145 cm? Expliquen su respuesta.

¿Es posible encontrar problemas de construcción de triángulos y cuadriláteros, en los que dados los datos de sus lados o ángulos, no tengan solución, una única so-lución o muchas soluciones? Si su respuesta es afirmativa, ilustren cada caso con un ejemplo.

Dados tres segmentos de cualquier longitud y usando el juego de geometría, ¿se puede construir un triángulo? Arguméntenlo.

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Pla

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Formen equipos para ayudar a los niños del campamento a defi nir la forma de la base para su refugio y la de la entrada para su tienda de campaña.

El primer paso para construir el refugio es elegir la superficie y la forma de la base y allí es donde tu equipo participará. Hay dos restricciones: a) usar únicamente triángulos, cuadriláteros o combinaciones de estos y; b) que los trazos de estas figuras sean realizados utilizando el juego de geometría.

Al final, presentarán su propuesta, las características de la figura y sus di-mensiones, así como la medida de sus ángulos.

Nuestro trabajo

El área del refugio

Antes de trabajar en el refugio, realiza con un compañero estas actividades.

Para hacer su refugio, los integrantes de cada equipo deben cortar las ramas con la longitud exacta que se necesita para no desperdiciar material. El equipo Los Es-carabajos propone que la superfi cie de su refugio sea un triángulo. Cada uno de los miembros del equipo tomó ramas de diferentes longitudes.

La tabla muestra las medidas de las ramas que cada miembro del equipo tomó.

Longitudes ¿Se puede formar un triángulo?

René 60 cm, 80 cm, 100 cm

Fermín 60 cm, 60 cm, 140 cm

Tania 60 cm, 100 cm, 140 cm

Valentina 60 cm, 80 cm, 140 cm

¿Habrá una manera de anticipar en qué casos se puede formar un triángulo? Co-méntenlo con otros compañeros y con su maestro.

Para comprobar en qué casos se puede formar un triángulo, necesitan trozos de pa-pel u otro material con las medidas contenidas en la tabla a escala.

Utilicen su material e intenten construir los triángulos. ¿Pudieron construir el triángulo en todos los casos? Expliquen por qué y com-

pleten la tabla.

Elijan un caso en el que se haya formado un triángulo, sumen las dos longitudes más pequeñas y compárenla con la tercera longitud. ¿Cómo es el resultado de esta

suma con respecto al tercer lado?

Ahora elijan un caso en el que no se haya logrado formar el triángulo y repitan el procedimiento anterior. ¿Cómo es el resultado de la suma de dos lados con respecto

al tercer lado?

Podemos concluir que, dados tres segmentos, no siempre es posible construir un triángulo.

Escriban las condiciones que deben cumplirse para formarlo.

Desarr

ollo


52

Con regla y compás

Ahora, utilicemos la regla y el compás para construir un triángulo.

Sigue el procedimiento para construir en el cuaderno un triángulo ABC cuyas lon-

gitudes son AB = 3 cm, BC = 5 cm y CA = 7 cm.

Primero traza el segmento AB de longitud 3 cm. Toma el compás y con una abertura de 5 cm, traza el círculo con centro en B.

¿Cuántas posibilidades hay para trazar el segmento BC de 5 cm? ¿Dónde lo ubi-

carías?

Con esta información, es decir, conociendo la longitud de los segmentos AB y

BC, ¿se puede formar más de un triángulo? Explícalo.

Ahora, abre el compás y, con centro en el punto A y radio de 7 cm, traza el círculo.

¿Cuántas posibilidades hay para trazar el segmento AC? ¿Dónde ubicarías el

punto C?

Realiza los trazos necesarios para completar el triángulo.

¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con estas medidas? ¿Por qué?

Siguiendo el procedimiento anterior, intenta construir un triángulo con las medidas que se indican en cada caso. Y responde, ¿se puede construir en todos los casos?

2 cm, 8 cm, 5 cm

9 cm, 6 cm, 5 cm

7 cm, 6 cm, 4 cm

3 cm, 8 cm, 4 cm

Describe lo que sucede con las circunferencias cuando sí se puede construir un triángulo. Analiza los casos en los que no se forma el triángulo, ¿sucede lo mismo?

Argumenta tus respuestas y realiza en el cuaderno los trazos para demostrarlo. En un triángulo de lados A, B y C, ¿cómo debe ser la suma de cualquier par de

lados en comparación con el tercero? Por ejemplo, A + B en comparación con C.

De acuerdo con lo anterior, hay una propiedad que deben cumplir las longitudes

de los tres lados de un triángulo, descríbela.

Reúnete con otros dos compañeros y comparen sus conjeturas.

Dibuja varios triángulos y comprueba la validez de tu conjetura.

A

A

A

A

B

B

B

B


53

Con regla o escuadra y transportador

Ahora usemos la regla, la escuadra y el transportador para construir un triángulo.

Sigue el procedimiento que se muestra a continuación para construir un triángulo cuyo lado AB = 10 cm, ángulo A (�BAC) = 40° y el lado BC = 4 cm

Traza el segmento AB.

Traza el ángulo A (�BAC) = 40°

Ahora traza el lado BC = 4 cm. Escribe la medida de:

Lado AC = Ángulo B (�ABC) = Ángulo C (�ACB) =

Reúnete con dos compañeros, tracen un triángulo MAR con los datos siguientes.

Lado MA = 6 cm �AMR = 90° �MAR = 30°

Lado MA = 6 cm �AMR = 90° �MRA = 30°

Lado MA = 6 cm �ARM = 90° �MAR = 30°

¿En todos los casos se puede construir? Describan los pasos de la construcción de un triángulo en su cuaderno.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo para trabajar en la elaboración de su refugio.

Hagan un primer diseño de la superfi cie que desean que tenga su refugio, re-cuerden que solo puede ser triangular o con forma de cuadrilátero.

Si es triangular, ¿qué tipo de triángulo es? ¿Qué longitudes tendrá? ¿Cómo podrían garantizar que se puede construir el triángulo con dichas

longitudes? Si es un cuadrilátero, ¿con base en qué pueden afirmar que es dicha figura?

10 cm

A

B

40°

A

10 cm

B

Revisa el interactivo que se muestra en los siguientes sitios, en estos se muestra cómo usar el transportador.www.disfrutalasmatematicas.com/geome-tria/transportador-usar.htmldescartes.cnice.mec.es/materiales_didac-ticos/Medicion_de_angulos/angulo3.htm

C


54

Otra forma para el refugio

El equipo Los Tarahumaras está diseñando el piso de su tienda de campaña. El mo-delo que proponen tiene forma de cuadrilátero.

Para ayudar al equipo de Los Tarahumaras a diseñar el piso de su tienda, realiza la

actividad que se propone con compás, regla y escuadras.

Completa las siguientes instrucciones para trazar un paralelogramo:

Traza los lados y BC.

Traza la recta paralela a , que pase por C.

Traza la recta paralela a BC, que pase por .

Denota D al de las rectas trazadas.

Junto con tu profesor y el resto del grupo analicen la propiedad del paralelogramo

utilizada en la construcción anterior.

Observa las siguientes imágenes y en el cuaderno escribe en cada caso la instruc-ción para obtener el resultado que se muestra.

BA

C

BA

C

B

C

A B

C

AB

C

A

BA

CD

BA

C


55

El siguiente segmento representa la rama que usarán para el lado de la entrada.

Copia en una hoja blanca el segmento y, usando tu juego de geometría, traza otros cuadriláteros como un rectángulo, un romboide, un rombo y un cuadrado.

Reúnete con tres compañeros y comparen sus fi guras.

¿Cuál de las figuras que trazaron son iguales? ¿Por qué sucede esto?

¿Cuántos rombos diferentes trazaron? ¿Son iguales sus rectángulos?

Junto con tus compañeros, determinen qué otros datos necesitan, en cada figura, para que todos puedan trazar la misma:

Rectángulo:

Rombo:

Romboide:

Comparen sus propuestas con otros compañeros. En caso de que haya diferencias,

proporcionen las instrucciones necesarias y tracen las fi guras para verifi car cuál

propuesta funciona.

El equipo Los Sultanes propuso construir un cuadrilátero para la entrada de la tienda usando únicamente cuadriláteros. Al momento de armarlo, uno de los integrantes propuso iniciar con las diagonales del cuadrilátero.

Con tus compañeros, ayuden a los sultanes a construir la entrada de la tienda de campaña, inicien el trazo de la figura a partir de las diagonales. Recuerden que la diagonal de un cuadrilátero es un segmento que va de un vértice a otro no contiguo. Tracen la entrada en el cuaderno.

Construcción de cuadriláteros

En esta actividad construirás cuadriláteros de tal manera que sus diagonales se bise-quen, es decir, que se corten en su punto medio.

Toma en cuenta, en cada caso, la condición dada y responde. Realiza en el cuader-no las figuras que demuestren tus respuestas.

Si una de las diagonales de un cuadrilátero mide 10 cm, ¿qué cuadriláteros se pue-

den formar?

Si sabes que las dos diagonales miden 10 cm, ¿qué cuadriláteros se pueden formar?

Cada diagonal mide 10 cm y son perpendiculares, ¿qué cuadriláteros se pueden

formar?


56

Observa los casos anteriores y comenta con un compañero por qué es útil conocer la relación entre las diagonales de los cuadriláteros.

Si tienes la medida de las diagonales de un cuadrilátero, ¿puedes deducir de cuál se

trata? Explica por qué.

¿En cuáles cuadriláteros las diagonales se cortan en su punto medio? ¿En cuáles las

diagonales miden lo mismo?

Escribe las definiciones de las siguientes figuras usando las relaciones entre sus diagonales y entre sus lados.

Cuadrado:

Rectángulo:

Rombo:

Paralelogramo:

Cuadrilátero:

¿Cómo vamos?

Trabaja con tu equipo en la elaboración de la entrada para la tienda de cam-

paña de los niños del campamento.

Analicen qué forma de la base de su tienda de campaña es la más adecuada para los siguientes casos: una persona, dos personas y cuatro personas.

En cada caso, imagina que son personas de tu estatura. Para que la estructura sea estable se usarán varillas que se pueden unir entre sí.

En cada caso, ¿cuántas varillas deben usarse y cuánto debe medir cada una de ellas? ¿Qué forma es la más adecuada para que resista? ¿Qué pasaría si usas un romboide?

Si tu equipo decide que la forma más adecuada es un triángulo y tienen cuatro varillas disponibles cada una de las siguientes medidas 130 cm, 70 cm, 210 cm, 30 cm, explica cómo le harían para formar los tres lados del triángulo.

En relación con su proyecto, ¿las primeras ideas han ido cambiando? ¿A qué se debe? ¿Qué ideas nuevas surgieron? ¿Por qué?

Deben describir las características de las figuras, las medidas de los lados, y si usaron cuadriláteros, también deben explicar cómo son sus diagonales.

Al fi nal, elaboren un dibujo o maqueta (con palillos, popotes, etc.) de su tienda de campaña a partir de la forma que propusieron para la entrada.


57

¿Cómo nos fue?

Al formar un triángulo dadas las medidas de sus lados, ¿qué procedimiento se te hizo más fácil? Explícalo.

¿De qué manera lo que realizaste en las actividades? ¿Te fue útil para el pro-yecto y para el desarrollo de tus habilidades de argumentación matemática?

Conociendo las longitudes de sus diagonales, ¿cuántos rombos diferentes es posible trazar? Y cuando se conocen las medidas de sus lados, ¿cuántos se pueden trazar?

¿Es posible encontrar problemas de construcción de triángulos y cuadriláteros que no tengan solución, una única solución o muchas soluciones? ¿De qué depende? Explícalo.

Si la entrada de una tienda de campaña es un triángulo que tiene por medidas 80 cm y 60 cm, escribe dos longitudes que permitan formar el triángulo y otras dos que no lo permitan. ¿Cómo lograste encontrar las soluciones?


Presenten a todo el grupo su propuesta para el refugio y la base de su tienda de

campaña. Analicen de manera conjunta las características de las fi guras descritas

por cada equipo.

Verifiquen que las características descritas por cada equipo correspondan con las figuras presentadas.

De todos los proyectos, ¿cuál consideran que es el más creativo y que, además, cumplió con los requisitos pedidos?

Resuelve los siguientes problemas en el cuaderno.

1. El equipo Las Catarinas quiere elaborar un papalote para identifi car su tienda de campaña. La información que se les da es la siguiente: Dados dos segmentos que representan la base y la altura de un romboide, ¿se puede construir dicha fi gura?, ¿cuántos romboides diferentes se pueden construir? Explícalo.

2. Construye un triángulo con un ángulo de 60º y lados adyacentes de 5 cm cada uno.a) ¿Cuál es la medida del tercer lado?b) ¿Qué tipo de triángulo es?c) ¿Podrías construir un triángulo diferente con los mismos

datos? ¿Por qué?

3. Traza un rectángulo y un cuadrado cuyas diagonales midan 6 cm.a) ¿Cuántos cuadrados diferentes puedes construir? ¿Cuántos

rectángulos?

4. Reproduce el polígono de la derecha a partir de triángulos, es decir, usando la triangulación. a) Haz la descripción del proceso de construcción.b) Señala las difi cultades enfrentadas y cómo las resolviste.

Resuelve los siguientes p

Cie

rre


58

7

Blo

que

1 Rectas y segmentos del triánguloContenido

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

¿En qué se parecen?

El profesor de 1.° A repartió a sus alumnos los dibujos de dos triángulos diferentes, les explicó que les había trazado algunos puntos, segmentos, semirrectas y rectas adicionales en lugares muy precisos, y que debían descubrir las características de cada uno de estos trazos. Los triángulos son los siguientes.

• Mide las distancias del vértice E a los puntos A, B, C y D en cada triángulo.• ¿Cuál de esas cuatro distancias es la más pequeña?• Ahora mide el ángulo que forma el segmento más corto que encontraste, con la

base del triángulo.• Si a ese segmento lo nombramos altura del triángulo, ¿cómo lo podrías definir? • ¿Cuántas alturas tiene un triángulo?• ¿Siempre se ubican las alturas de un triángulo, dentro de este? • ¿Qué características debe tener el triángulo para que sus tres alturas se tracen

dentro de este?• ¿En qué tipo de triángulos se traza alguna altura fuera de este?• Explícale a un compañero cómo trazarías la altura de un triángulo utilizando solo

una escuadra.

Comparte con tus compañeros y con tu profesor tus respuestas.

De manera individual, elaborarás un cartel en el que aparezcan tres triángulos diferentes: un rectángulo, un obtusángulo y un acutángulo.

Además de alturas, los triángulos también contienen otras rectas y segmen-tos notables llamados mediatrices, bisectrices y medianas, los cuales descu-brirás en esta secuencia para poderlos trazar en los tres triángulos.

Al terminar tu cartel, lo intercambiarás con un compañero para que haga las medi-ciones necesarias y verifique que todos los trazos que hiciste son correctos.

En caso necesario, pregunten a su profesor de Español cuáles son las característi-cas de un cartel y cómo elaborar uno.

Nuestro trabajo

k

n

BA D C

E

k

n

BA DC

E

Inic

ioP

laneació

n


59

Exploremos rectas y segmentos notables en triángulos

Reúnete con dos compañeros y contesta las preguntas relacionadas con las fi guras

de la página anterior.

Midan los segmentos AB y BC. ¿Qué observan?

¿Cuánto miden los ángulos que forman la recta k con la base AC del triángulo?

La recta k es la mediatriz del segmento AC. ¿Qué características tiene la recta k en

relación con el triángulo AEC? ¿Cuántas mediatrices tiene un triángulo?

El segmento EB es una mediana del triángulo. Observa ambos triángulos. ¿Qué características tiene la mediana? ¿Cuáles puntos une? ¿Cuántas medianas tiene un

triángulo?

Explícale a un compañero cómo trazarías la mediana de un triángulo utilizando so-

lamente una regla.

¿Qué tienen en común una mediatriz y una mediana?

¿En qué son diferentes una mediatriz y una mediana?

Midan el ángulo que forma la recta n con el segmento EA, y el ángulo que forma la

recta n con el segmento EC. ¿Qué observan?

La semirrecta n es una bisectriz del ángulo AEC. ¿Cuál sería la definición de la bi-

sectriz de un ángulo? ¿Cuántas bisectrices tiene un triángulo?

¿Qué tienen en común la mediana y la bisectriz?

¿En qué son diferentes una mediana y una bisectriz?

¿Qué tienen en común la altura y la mediatriz?

¿En qué son diferentes la altura y la mediatriz?

¿Qué tienen en común la altura, la mediana y la bisectriz?

¿Cómo se llama la recta perpendicular a uno de los lados del triángulo y que pasa por su punto medio? En las figuras, ¿con cuál letra está identificada?

¿Cómo se llama la recta perpendicular a uno de los lados del triángulo (o a su pro-longación) y que pasa por el vértice opuesto? En las figuras, ¿con cuáles letras está

identificada?

¿Cómo se llama la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales? En las figu-

ras, ¿con cuál letra está identificada?

¿Cómo se llama el segmento que une el punto medio de uno de los lados del triángulo

con el vértice opuesto? En las figuras, ¿con cuáles letras están identificados?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten las diferencias,

si se presentan, con el profesor.

Desarr

ollo


60

¿Cómo se traza la mediatriz de un segmento?

Traza en el cuaderno un segmento de recta. Abre el compás una distancia mayor que la mitad del segmento, coloca la punta en

uno de los extremos del segmento y traza un arco o una circunferencia.

Con la misma abertura, coloca la punta del compás en el otro extremo del segmento y traza otro arco o una circunferencia.

Marca los dos puntos donde se intersecan los dos arcos o círculos. Traza una recta que pase por esos dos puntos.

Mide la distancia que hay del punto de intersección de la recta y el segmento a los extremos de este.

¿En qué punto interseca la recta al segmento?

¿Qué ángulo se forma entre el segmento y la recta trazada?

La recta que trazaste representa la mediatriz del segmento.

Ahora, en equipo, examinen las rectas notables del triángulo rectángulo que se mues-tra a continuación, cópienlo en el cuaderno y realicen las actividades.

Tracen el segmento AD. Mídanlo y midan también los segmentos CD y DB. ¿Qué observan?

Tracen el círculo que pase por los tres vértices del triángulo. Midan las distancias AB y AC. De acuerdo con la longitud de sus lados, ¿qué clases de triángulos son ABD y ADC? Calculen las áreas de los triángulos ABD y ADC. ¿Qué observan?

A B

C

D


61

La mediana


Otra de las rectas notables del triángulo es la mediana. Este es el segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Al punto donde se inter-secan las tres medianas se le llama baricentro.

En un pedazo de cartón que se pueda recortar, dibujen un trián-gulo como el que se muestra. Háganlo lo más grande posible.

Tracen las tres medianas del triángulo y escriban las letras en los puntos que se muestran.

Las tres medianas dividen el triángulo en seis pequeños triángulos, pinten cada uno de color diferente.

Calculen las áreas de cada uno de los seis triángulos, ¿qué distancias necesitan

medir?

¿Qué tienen en común las áreas de los seis triángulos?

Midan las distancias AG y GF, BG y DG, CG y EG. ¿Qué observan en cada par?

El baricentro es el centro de gravedad o de equilibrio del triángulo. Recorten el trián-gulo. Coloquen un alfi ler o un lápiz en el baricentro, como se indica en la ilustración.

¿Qué observan?

Encuentren el baricentro de cada uno de los seis pequeños triángulos trazando sus respectivas medianas. ¿Cómo son las áreas de estos triángulos? Argumenten su

respuesta.

Comparen su respuesta con la de otros compañeros.

¿Cómo vamos?

Ahora, trabaja en la elaboración de tu cartel.

¿Ya pensaste cómo vas a elaborar tu cartel? ¿Ya notaste que en cada triángulo trazarás 12 rectas o segmentos notables?

Por lo que deberás usar colores diferentes para identificar las mediatrices, medianas, alturas y bisectrices. Descubrirás algunas propiedades interesan-tes al terminar de trazarlos.

Traza los tres triángulos (acutángulo, obtusángulo y rectángulo). Luego, inicia el análisis de las mediatrices.

Mide las distancias del circuncentro a los tres vértices del triángulo. ¿Qué observas? ¿Por qué se llama así la intersección?

¿Para qué sirve ese punto y qué se puede construir a partir de este? ¿En qué tipo de triángulos, el circuncentro se encuentra en su interior? ¿En

cuáles en el exterior y en cuáles sobre uno de los lados?

A E B

F

C

D

G


62

La bisectriz

La bisectriz es la semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.

¿Cómo se puede trazar la bisectriz de un ángulo utilizando un compás y una recta? Realiza en el cuaderno lo que se indica.

a) Poniendo la punta del compás en el vértice del ángulo, traza un arco que corte los dos lados del ángulo.

b) Coloca ahora la punta del compás en el punto donde el arco dibujado cortó a uno de los lados del ángulo y traza un arco dentro del ángulo.

c) Con la misma abertura, coloca la punta del compás en el punto en donde está cortado el otro lado del ángulo y traza un arco dentro del ángulo, de tal manera que se interseque con el anterior.

d) Traza una recta que conecte la intersección de estos dos últimos arcos que dibujaste con el vértice del ángulo.

e) Elige un punto cualquiera de la bisectriz. Desde ese punto, traza un segmento perpendicular a un lado del ángulo. Repite el proceso y traza otro segmento perpendicular al otro lado del ángulo. Mide estos dos segmentos.

f) Ahora repite el proceso escogiendo otro punto de la bisectriz.

¿Qué se puede concluir de todos los puntos que forman la bisectriz? ¿Cómo son las distancias de cualquier punto de la bisectriz a los lados del ángulo?

g) Analiza las características de la bisectriz y escribe su defi nición. Compara tu defi nición con la de tus compañeros y preséntasela a tu maestro.


63

Traza en tu cuaderno un triángulo como el que se muestra abajo. Dibuja sus respec-tivas bisectrices. Observa que éstas se intersecan en un punto. Al punto donde se intersecan las tres bisectrices de un triángulo se le llama incentro.

¿Será posible trazar una circunferencia cuyo centro sea el incentro y que toque

los tres lados del triángulo? Intenta trazarla. ¿Qué sucedió?

¿Esto se podrá realizar en cualquier tipo de triángulo?

¿Es posible que el incentro quede fuera del triángulo?

Argumenta tus respuestas.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor.

Observa la fi gura y realiza lo que se pide.

¿Qué ángulos se forman entre los segmentos AB y DE?

Mide las distancias más cortas del incentro a los tres lados del triángulo que cons-

truiste. ¿Cómo son estas distancias?

¿Por qué se le llama incentro? ¿Para qué sirve ese punto y qué se puede construir

a partir de este?

E

GD

B

F

C

A


64

¿Cómo vamos?

Trabaja en el trazo de las rectas notables que faltan en tus triángulos.

Recuerda que debes trazar las alturas, las bisectrices, las medianas y las mediatrices en cada triángulo.

¿Ya trazaste las medianas de los triángulos de tu cartel? ¿Qué tomaste en cuenta?

Las tres medianas que dibujaste, ¿se intersecan en un punto? Analiza los baricentros de los tres triángulos que trazaste. ¿En dónde están

ubicados? ¿Es posible que el baricentro quede fuera del triángulo? Si trazaste un triángulo acutángulo equilátero, ¿cuáles mediatrices coinciden

con las medianas? Si trazaste un triángulo acutángulo isósceles, ¿cuál mediatriz coincide con

cuál mediana? ¿Cómo trazaste las alturas de los triángulos de tu cartel? Recuerda que la

altura de un triángulo es un segmento que se traza desde un vértice, perpen-dicular al lado opuesto, o a su prolongación.

Las tres alturas de un triángulo se intersecan en un punto llamado ortocen-

tro. Analiza las alturas de los triángulos que trazaste en el cartel. ¿En qué tipo de triángulos el ortocentro se localiza en su interior? ¿En cuáles

en el exterior? ¿En cuáles sobre uno de los vértices? ¿En qué tipo de triángulo es necesario prolongar la base para poder dibujar

la altura al vértice opuesto? En un triángulo acutángulo equilátero, ¿cuáles alturas coinciden con las me-

diatrices, las medianas y las bisectrices? En el triángulo rectángulo, ¿en dónde está ubicado el ortocentro?

Trabaja en la parte fi nal de tu cartel, prepara el texto en el que menciones las propiedades de cada una de los segmentos, semirrectas y rectas notables.

Más sobre las alturas

Existen otras propiedades menos conocidas de las rectas notables de los triángulos.

Dibuja en el siguiente espacio tres triángulos acutángulos iguales.


65

¿Cómo nos fue?

Comenten con sus compañeros y con el profesor:

¿Cuál fue la mayor dificultad a la que te enfrentaste al resolver las actividades propuestas en la secuencia?

¿Cómo la resolviste? En una tabla anota todas las propiedades de las diferentes rectas notables del

triángulo que fuiste descubriendo durante el desarrollo de la secuencia. ¿En qué se emplean las rectas y segmentos notables de un triángulo? ¿Cómo

te sentiste cuando desarrollabas los diferentes conceptos matemáticos de esta lección?

En el primer triángulo, marca un punto cualquiera en cada uno de sus tres lados. Une los tres puntos formando un nuevo triángulo. Mide el perímetro del nuevo triángulo. En el segundo triángulo, intenta formar otro triángulo con un perímetro menor al

que trazaste anteriormente. ¿Qué sucedió? ¿En dónde debe marcarse cada punto para que el triángulo que resulte al unirlos

tenga el perímetro más pequeño posible?

Es curioso que la respuesta tenga que ver con las alturas del triángulo original.

En el tercer triángulo acutángulo que dibujaste al inicio, traza sus tres alturas. Los pun-tos en donde las alturas cortan los lados del triángulo se llaman pies de las alturas.

Une los pies de las alturas para formar un nuevo triángulo. A este se le conoce como triángulo órtico.

Mide el perímetro del nuevo triángulo. ¿Qué propiedad tiene el triángulo órtico? Coméntalo con tus compañeros.


Intercambia tu cartel con otro compañero para verifi car los trazos de las rectas y

segmentos notables en cada triángulo.

Una vez que verificaron que todos los trazos de los triángulos son correctos, colo-quen todos sus carteles en una pared del salón.

En parejas, expliquen al resto del grupo los nuevos conocimientos que adquirieron al construir las rectas notables que se estudiaron en las actividades.

En el siguiente sitio:http://inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso1/geometria/geoweb/trian5.htm encontrarán un simulador geométrico para practicar actividades de trazo de las medianas de un triángulo.Y en el siguiente sitio encontrarán otro simulador para practicar el trazo de la bisectriz de un triángulo.http://inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso1/geometria/geoweb/trian7.htm

Cie

rre


66

8

Blo

que

1

Reparto proporcional

Contenido

Resolución de problemas de reparto proporcional.

El pequeño restaurante

La maestra de Matemáticas del grupo 1.º C planteó el siguiente problema a sus alumnos:

Juan, Alejandra y Gustavo decidieron abrir un pequeño negocio en el que venden tortas y aguas de frutas. Después de un mes de haber iniciado las actividades hicie-ron cuentas para determinar las ganancias que obtuvieron durante ese tiempo. Para empezar el negocio, Juan aportó $600, Alejandra $600 y Gustavo $1 200, y los tres trabajan el mismo número de horas en el restaurante realizando tareas similares.

Al fi nal del mes, al descontar los gastos por concepto de pago de luz, renta del local, compra de la mercancía (frutas, agua e ingredientes para las tortas), les quedaron $5 600.00. Los tres comenzaron a discutir de qué manera deberían repartirse las ganancias. Juan sugirió que dividieran el dinero en tres partes iguales, pero Gustavo no estuvo de acuerdo, porque piensa que el reparto debe ser proporcional a lo que aportó cada quien.

• ¿Qué opinas acerca de lo que propuso Juan?• ¿Quién de los dos tiene razón? Argumenta tu respuesta.• Si dividen las ganancias de acuerdo con lo que cada socio aportó, ¿cómo pueden

calcular la cantidad que cada uno recibirá?


Comenten lo que piensan acerca de que el reparto debe ser proporcional. A continuación, escriban un párrafo en su cuaderno en el cual expliquen lo que dice

Gustavo e incluyan un ejemplo de una situación en la que unas cantidades sean proporcionales a otras.

Junto con dos compañeros elaborarán un plan de negocios para unos socios que quieren invertir su dinero.

Deben decidir el giro del negocio así como el número de socios que partici-parán y cuánto invertirá cada uno. Al final, deben especificar la manera en que se repartirán las ganancias entre ellos.

Incluyan al menos tres escenarios diferentes, en los cuales deben cambiar la inversión inicial de cada socio, la ganancia o bien el número de participantes.

Más adelante indicaremos las características de cada caso.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n


67

Para saber si las cantidades que recibe cada socio en realidad son proporcionales a las cantidades aportadas al principio, debemos recordar el signifi cado de la propor-cionalidad. Veamos los ejemplos siguientes.

El agua de limón

En un restaurante se prepara agua de limón de acuerdo con la siguiente receta: Por cada tres litros de agua de limón, se utilizan 12 limones y seis cucharadas de azúcar.

Si se requiere preparar seis jarras de un litro de agua de limón, ¿cuántos limones se

deben agregar? ¿Y cuánta azúcar? ¿Y si son 12 jarras de un litro?

En el restaurante se deben preparar 10 litros de agua de limón. Para ello, Mario, el cocinero, calculó la cantidad de limones que hay que agregar por cada litro de agua.

¿Por qué piensas que Mario siguió este procedimiento?

¿Cuántos litros de agua se preparan con seis limones? ¿Y si son 20 limones?

Mario decidió hacer una tabla para saber la cantidad limones que se tiene que agre-gar para preparar distintas cantidades de agua de limón. Ayúdale a completarla.

¿Cómo puede obtener el número necesario de limones para preparar cualquier cantidad

de litros de agua de limón?

¿Cómo puede obtener el número de cuchara-das de azúcar que se requiere para cualquier

cantidad de litros de agua de limón?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y coméntenlas con el profesor.

En ocasiones, observamos que dos conjuntos de cantidades están relacionados de una manera particular. Analiza la tabla y describe las relaciones que se identifi can entre los datos.

¿Cómo se afecta el número de limones cuando la cantidad de agua se aumenta al

doble? Si la cantidad de agua aumenta al triple,

¿qué sucede con la cantidad de limones?

Y si la cantidad de agua disminuyó a la mitad, ¿qué sucede con la cantidad de li-

mones?

En casos como el del agua de limón, en que, al aumentar o disminuir una cantidad, la otra lo hace de la misma manera, decimos que las cantidades en los dos conjuntos son proporcionales entre sí, o que existe una relación de proporcionalidad entre ellas.

Litros de agua de limón

Número de limones

1

3 12

5

32

40

Desarr

ollo


68

En una situación de proporcionalidad, al valor en un conjunto (por ejemplo, número de limones) que corresponde a una unidad del otro conjunto (por ejemplo, un litro de agua de limón) se le llama valor unitario.

De nuevo en la cafetería

En el restaurante de Gustavo y sus socios, compran vasos desechables al mayoreo. El proveedor proporciona esta tabla de precios, de acuerdo con distintas cantidades de vasos.

¿Qué sucede con el costo a medida que aumenta la cantidad de vasos?

Si la cantidad aumenta al doble, ¿también el costo se incrementa al doble?

¿Cuánto costarán 150 vasos?

¿Existe una relación de proporcionalidad entre el número de vasos y su costo?

Justifica tu respuesta.

Factor de proporcionalidad

El menú del restaurante de Gustavo y sus socios incluye una ensalada, en la cual se utilizan los ingredientes indicados, en una receta para ocho personas.

¿Cuántos pepinos se necesitan si se quiere preparar ensalada para 16 personas?

¿Y para 48 personas?

Completa la tabla en la que se muestra la relación entre el número de personas y la cantidad de ingredientes necesarios para la receta:

Ensalada mixta

2

personas1 zanahoria

4

personas1

1

2 lechugas

16

personas

1 kg de jitomate

25

personas3

1

8 aguacates

48

personas12 pepinos 4

1

2 tazas de aderezo

¿Cómo calculaste la cantidad de ingredientes necesarios para preparar una ensala-

da para 48 personas? ¿Por qué?

Si queremos encontrar la cantidad de ingredientes que se requieren para preparar

una ensalada para cuatro personas, ¿por cuál número debemos multiplicar las can-

tidades de la receta? ¿Por qué?

Número de vasos

Costo

10 $50

20 $90

50 $200

100 $380

200 $750


69

En una relación de proporcionalidad, el número por el cual multiplicamos las canti-dades de un conjunto para obtener las del otro se llama factor de proporcionalidad.

Reparto proporcional

Lee otra vez el problema de la actividad al inicio de la secuencia.

Después de discutir en torno a la forma en que repartirían las ganancias, todos los socios estuvieron de acuerdo con la propuesta de Gustavo. Ahora, la discusión se centró en la manera en que calcularían la ganancia de cada uno.

Reúnete con algún compañero para responder en el cuaderno:

Si hacen el reparto del modo en que sugiere Gustavo, ¿qué parte de la ganancia le corresponde? ¿Qué parte le toca a cada uno de los otros socios?

¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? ¿Qué hicieron para calcularlo? ¿Son proporcionales las cantidades aportadas al principio y las recibidas como ga-

nancia? ¿Cómo lo saben? Justifiquen sus respuestas.

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y el método que emplearon

para llegar a ellas. Después, utilicen el método que les haya parecido mejor y re-

suelvan de manera individual lo siguiente:

Tres amigos compraron juntos un boleto de una rifa de $6 000.00 y ganaron. El bo-leto costó $16 y cada uno de ellos aportó una cierta cantidad para su compra: Pedro contribuyó con ocho pesos, mientras que Alfonso y Carlos con seis y dos pesos, respectivamente.

Si el reparto lo hacen de manera proporcional a lo que aportó cada quien, ¿qué can-

tidad del premio debe recibir cada uno?

¿Cómo resolvieron el problema?

¿Cómo se puede resolver utilizando fracciones? ¿Y utilizando el concepto de propor-

cionalidad?

Redacta, en el cuaderno, una conclusión acerca de lo que aprendiste sobre reparto

proporcional. Después resuelve los siguientes problemas e identifi ca si tu conclu-

sión te ayudó a resolverlos.

Realiza en el cuaderno las siguientes actividades.

1. Un jefe debe repartir un bono de $4 500.00 entre tres empleados según el número de horas extra que cada uno trabajó. El empleado 1 trabajó 30 horas extra, el empleado 2 trabajó 10 horas y el empleado 3 trabajó 50 horas.a) ¿Cuánto debe dar el jefe a cada empleado?

2. Supongamos que se quiere repartir de manera equitativa $2 500.00 entre tres personas. La primera debe recibir la cuarta parte del total, mientras que a las otras dos les corresponde la misma cantidad.a) ¿Cuánto debe recibir cada una de ellas?

Reali a en el c aderno la

w w w. t a r e a s f a c i l .in fo/matemat icas/Aritmetica/proporcio-nalidad/Reconocer-una-relacion-de-pro-porcionalidad.htmlaquí encontra-rás ejemplos de relaciones de proporcionalidad.


70

Diferentes procedimientos

Retomemos el problema que se planteó en la actividad inicial.

Andrés, Tatiana y Pedro pasaron frente al grupo a exponer la manera en que resol-vieron el problema que planteó la maestra. Observa el procedimiento que siguió cada uno, reúnete con un compañero y respondan:

Andrés. Yo me di cuenta de que la aportación de Gustavo era el doble de la de los otros dos. De acuerdo con eso, dividí la ganancia entre dos y el resultado es igual a lo que le corresponde a Gustavo. Luego dividí el resto otra vez entre dos, para saber lo que corres-pondía a cada uno de los otros socios.

Tatiana. Lo resolví con proporciones, es decir, como $600, la inversión de Gustavo, corresponde a $2 400, que es el total de la inversión, su ganancia debe corresponder en la misma proporción a $5 600. Por tanto, como al multiplicar 600 por 4 el resultado es 2 400, entonces dividí 5 600 entre 4. Para los otros socios hice lo mismo.

Pedro. En mi caso lo hice con fracciones. Del total de la inversión, 12

lo aportó Gus-

tavo y por ello le corresponde 12

de la ganancia. Los otros dos socios participaron

con 14

cada uno y entonces les toca 14

del total de las utilidades a cada uno.

¿Es correcta la forma en que los jóvenes hicieron los repartos? ¿Por qué?

Calculen los resultados del reparto aplicando el procedimiento que siguió cada niño

y comparen los resultados obtenidos.

¿Coinciden los resultados con los que obtuvieron tu compañero y tú?

¿A cuál de los procedimientos descritos se parece más el que emplearon tu com-

pañero y tú?

¿Cuál te gusta más? ¿Por qué?

De las cantidades expresadas, ¿cuáles son las proporcionales?

¿Cuánto debe recibir cada socio por cada peso aportado?

¿Cómo vamos?

Para elaborar sus planes de negocios deben tomar en cuenta lo siguiente:

Primer escenario. Son tres socios y cada uno invierte la misma cantidad.Segundo escenario. Hay dos socios, cada uno invierte cantidades distintas y la ganancia es cinco veces mayor a la inversión.Tercer escenario. Son tres socios y la inversión y la ganancia debe ser el doble de la del primer escenario, pero en este caso, la inversión de un socio debe ser cuatro veces mayor de lo que invierten los otros dos.

¿En qué contextos plantearán las situaciones? ¿Qué parte de la ganancia le corresponde a cada socio, en cada caso?


71

¿Cómo nos fue?

¿Cuán difícil te resultó elaborar cada uno de los planes de negocio? ¿Cuál fue el que te gustó más?

¿Qué procedimientos utilizaste para hacer los repartos proporcionales? Inventa un problema de reparto proporcional que tenga que ver con tu vida

cotidiana y menciona dos maneras de resolverlo. Si, en un reparto proporcional, una cantidad aumenta al doble, por ejemplo, lo

que un socio aporta, la cantidad correspondiente, es decir, su ganancia, ¿tam-bién aumenta al doble?

Cuando una cantidad se reparte de manera proporcional a otras cantidades, se dice que se está llevando a cabo un reparto proporcional.

Los garrafones de agua

Para continuar con el tema de repartos proporcionales, realiza la actividad:

En una empresa se quieren repartir 240 garrafones agua entre los distintos depar-tamentos. El departamento de compras tiene 40 empleados, mientras que en el de contabilidad hay 20 y en el de ventas 60 empleados.

¿Cuántos garrafones se deben entregar en cada departamento de manera que sea proporcional al número de empleados? ¿Y si el número de empleados aumentara al doble en cada departamento? ¿Y si se quisiera repartir 360 garrafones?

Completa la tabla con las respuestas:

Departamento Compras Contabilidad Ventas Total

Número de empleados 40 20 60 120

Cantidad de garrafones 240


Número de empleados 80 40 120



Responde en el cuaderno: ¿Qué sucede con la cantidad de garrafones por departamento cuando el número de

empleados aumenta al doble? ¿Por qué? ¿Es posible utilizar el procedimiento de Andrés para resolver este problema? ¿Por qué?

Reúnete con tus compañeros de equipo para comprobar si los repartos que realizaron durante las actividades son proporcionales.


Presenten sus planes de negocios al resto de grupo.

Repasen los resultados que obtuvieron y traten de identificar posibles errores. ¿Cumplen los escenarios con los requisitos planteados en la secuencia didáctica? ¿Qué giro eligieron para el negocio?

Cie

rre


72

9

Blo

que

1 Nociones de probabilidadContenido

Identifi cación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

El juego de las monedas

Se trata de lanzar dos monedas al aire, un jugador gana un punto cuando las dos monedas caen en la misma cara y el otro gana un punto cuando caen en caras diferentes.

Cada vez que hacen un lanzamiento (L) y ganan un punto anotan los resultados en una tabla como la siguiente:

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 Total

María (caras iguales)

1 0

José (caras diferentes)

0 1

El juego se termina después de que cada uno, en su turno, realiza 10 lanzamientos. Gana el juego quien más puntos haya obtenido.

Reunidos en parejas y después de jugar contesten las siguientes preguntas:

• Cuando se lanzan dos monedas al aire, ¿de cuántas maneras pueden caer?• ¿Puedes saber de antemano si tienes posibilidades de ganar el juego? • ¿Piensas que ambos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar? ¿Por qué?

Cruzar el río

Reunidos en equipos de cinco integrantes realicen el siguiente juego.

Se trata de que cada jugador pase al otro lado del río cada uno de los tres bultos represen-tados por tres fi chas de colores. Gana el juego el primero que logre pasar las tres fi chas.

Junto con tres compañeros inventen un juego de azar. Pueden utilizar dados, cartas, monedas o cualquier material de desecho.

Escriban las instrucciones del juego, e intercámbienlas con los otros equipos. Lean las instrucciones y juéguenlo varias veces. Si las instrucciones no son

claras, pídanles a los integrantes del equipo que lo inventó que las reescriban. No se olviden de anotar los resultados cada vez que juegan. Analicen si todos los jugadores tiene la misma posibilidad de ganar el juego.

Nuestro trabajo

Desarr

ollo

Inic

ioP

laneació

n


73

Materiales

• Cada jugador deberá tener tres fichas del mismo color, y de diferentes colores entre los jugadores.

• Dos dados por equipo.• Una tabla como la siguiente:

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

RÍO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Instrucciones

• Cada jugador escogerá una casilla donde colocará sus tres fichas.• Por turnos, cada jugador lanzará los dos dados al aire, si la suma de los dos dados

coincide con el número de la casilla en la que colocó sus fichas, entonces pasa una ficha (bulto) al otro lado del río a la casilla correspondiente.

• Gana quien primero pase las tres fichas al otro lado y se termina el juego.

Jueguen varias veces y luego, de manera individual, realicen la actividad que se pre-senta a continuación.

Análisis de las estrategias ganadoras

Responde en el cuaderno las siguientes preguntas:

¿Cuál fue el número de casilla por la que se ganó el juego? ¿Alguien eligió el número 1? ¿Conviene elegir el 1? ¿Por qué? Comenta con tus compañeros por qué cada uno eligió su número de casilla.

Completa la siguiente tabla para analizar en cuál de las casillas hay más posibilidades de pasar las fi chas (los bultos) al otro lado del río.

+ 1 2 3 4 5 6

1 2

2

3

4 7

5

6

Observa los números de la tabla, ¿cuál de los números de las casillas tiene más po-sibilidades de salir al tirar los dos dados? Explica tu respuesta.

Construye una tabla, y agrupa en orden descendente las posibilidades de que salga cada número.

Si volvieras a jugar, ¿qué casillas elegirías? ¿Por qué?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y coméntenlas con el profesor.


74

El juego de los dados

Reunidos en parejas, realicen esta actividad. Sólo necesitan dos dados y 20 fi chas.

Instrucciones

Entre los dos deciden quién es el jugador A y quién es el jugador B. Cada jugador toma 10 fichas. Por turnos lanzan los dos dados al aire. Si los dados muestran el mismo número de

puntos, el jugador B le quita una ficha al jugador A. Si los dados muestran cantida-des diferentes, entonces el jugador A le quita una ficha al jugador B.

Gana el juego quien tenga la mayor cantidad de fichas después de haber lanzado los dados 10 veces, cada uno.

Realicen una marca (✓) en cada lanzamiento (L) según los dados caigan con nú-meros iguales o diferentes en una tabla como la siguiente:

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 Total

Números iguales en los dos dados

Números diferentes en los dos dados

Ahora discutan las siguientes preguntas:

¿Qué jugador eligió ser cada uno? ¿Quién ganó? Si ganaste, ¿por qué piensan que pasó? ¿Y si perdiste?

Juan y Arturo obtuvieron la siguiente gráfi ca de barras como resultado del mismo juego.

Si Juan eligió jugarle a que salgan el mismo número en ambos dados, ¿quién ganó el juego?

¿Cómo vamos?

Reúnete con tus compañeros de equipo.

¿Ya inventaron el juego? Escriban las instrucciones e intercámbielas con los demás equipos.

Si las instrucciones no fueron claras, analicen entre todos cómo corregirlas.

Fre

cuencia

Números iguales en ambos dados

Números diferentes en ambos dados

Frecuencia al lanzar dos dados

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0


75

¿Cómo vamos?

Reúnete con tus compañeros de equipo para trabajar en el juego.

Jueguen varias veces el juego que inventaron. Realicen una gráfica que muestre los resultados de alguna de las jugadas.

¿Todos los jugadores tiene la misma posibilidad de ganar? Expliquen sus respuestas a partir de analizar los resultados posibles.

Con base en los resultados posibles, analicen las estrategias ganadoras.

El juego de la diferencia

Lee con atención el siguiente texto y luego en parejas resuelvan lo que se les pide:

Carmen y Daniel han inventado un juego de dados con las siguientes reglas: • Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la diferencia de puntos entre el ma-

yor y el menor.• Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2 entonces Carmen gana 1 ficha. • Si resulta 3, 4, o 5 es Daniel quien gana una ficha.• Comienzan con un total de 20 fichas y el juego termina cuando no quedan más.

¿Te parece que este juego es equitativo? Si tuvieras que jugar, ¿cuál jugador pre-ferirías ser? ¿Cuántas fichas debería ganar cada jugador para que el juego sea equitativo sin cambiar el resto de las reglas?

La siguiente gráfi ca de barras muestra los resultados que obtuvieron Carmen y Daniel al jugarlo una vez.

• A partir de la información que proporciona la gráfica, ¿quién ganó el juego?

En parejas, realicen el juego de la diferencia, para ello necesitan dos dados y 20 fi chas, frijoles o corcholatas.• Registren con una ✘ cada vez que uno de ustedes gana una ficha, en una tabla

como la siguiente:

Nombre del jugador Fichas ganadas

• Construyan en el cuaderno una gráfica de barras que represente el resultado del juego.• Comparen las gráficas entre sus compañeros.• Determinen, para cada jugador, una cantidad diferente de fichas a ganar de las

establecidas en las reglas para que el juego sea justo.

Fre

cuencia

Diferencia0, 1 y 2 3, 4 y 5

Frecuencia de la diferencia entre dos puntos al lanzar dos dados

14

12

10

8

6

4

2

0


76

A jugar ¡Todos ganan!

Reunidos en parejas jueguen ¡Todos ganan! Solo necesitan dos dados.

Instrucciones

• Antes empezar a jugar, deciden quién elige que la suma de los resultados sea par y quién que sea impar.

• Por turnos, lanzan los dos dados al aire, si la suma de ambas caras de los dados es par, el jugador que escogió esta opción gana un punto. Y si la suma de los dados es im-par, el jugador que eligió esta opción, es quien gana un punto. Los puntos se ganan según el resultado de sumar ambas caras de los dados, sin importar quién los lanzó.

• Gana el juego el primero que complete 5 puntos.• Cada vez que jueguen ¡Todos ganan! anotan con una marca los resultados en una

tabla como la siguiente:

Resultados Total

Jugador A(suma par)

Jugador B(suma impar)

Responde en el cuaderno, de manera individual, las siguientes preguntas:

¿Quién tiene más posibilidades de ganar? ¿El que eligió par o el que eligió impar? Explica tu respuesta en función de los resultados posibles. Para ello, te puedes apoyar en una tabla de doble entrada que te permite conocer todos los posibles resultados al sumar los puntos de dos dados y contar cuántas sumas dan como resultado un número par o impar.

Compara los resultados del juego con los otros equipos. ¿Quién ganó en los otros equipos? ¿Par o impar? Explica tu respuesta.

Variante de ¡Todos ganan!

El juego es igual al anterior, con la variante de que si ahora el resultado de la multipli-cación de los puntos de los dos dados es par, el jugador que eligió par gana un punto, y si es impar el otro jugador gana un punto.

Reunidos en parejas jueguen la variante de ¡Todos ganan!, anoten los resultados en una tabla como la siguiente:

Resultados Total

Jugador A(multiplcación

par)

Jugador B(multiplicación

impar)

Responde en el cuaderno las siguientes preguntas:

¿Quién tiene más posibilidades de ganar? ¿El que eligió par o el que eligió impar? Explica tu respuesta.

Compara los resultados del juego con los otros equipos. ¿Quién ganó en los otros equipos? ¿Par o impar? Explica tu respuesta.


77

¿Cómo nos fue?

¿Cómo puedes saber de antemano las posibilidades que tienes de ganar un juego de azar?

¿Qué actividades te gustaron más? ¿Por qué? ¿Cuáles te resultaron complejas? ¿Por qué?

¿Participaste en el diseño del juego? ¿En qué parte? ¿Qué aprendiste del análisis de estrategias? Argumenta tu respuesta. Explica qué utilidad tienen las tablas y gráficas de frecuencias.


Reúnete con tu equipo y presenten a sus compañeros el juego que inventaron.

Comparen su juego con el que inventaron otros compañeros y discutan con ellos las estrategias ganadoras de cada juego.

Reunidos en equipos resuelvan las siguientes actividades.

1. Construyan unas ruletas como las que se muestran a continuación. Necesitan un poco de cartulina, un compás para trazar el círculo, una pluma como eje de giro y un clip con una de sus puntas hacia fuera. Cada uno elija uno de los colores en cada ruleta y completa en la tabla cuántas veces cree que caerá en el color elegido si se gira el clip 40 veces en total.

a) ¿Creen que siempre es posible ganar en el juego de la ruleta? Expliquen su respuesta.b) Si Óscar elige el color rojo, porque según él, es el color de la suerte, ¿en cuál de las ruletas tiene ma-

yores posibilidades de ganar? Expliquen su respuesta.

2. En un juego que trata de lanzar al aire dos monedas se aceptan tres tipos de apuestas:

• Apuesta 1: • Apuesta 2: • Apuesta 3: sol, sol águila, águila sol, águila

a) ¿Cuál de las apuestas elegirían para tener mayores posibilidades de ganar? Expliquen su respuesta.

R id i

Cie

rre


78

UNIDAD: La cremería

Pregunta 1: LA CREMERÍA Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa

Si un cliente pide a Laura 12

kg de queso Oaxaca, ¿cuánto deberá marcar la báscula? Escribe las opera-

ciones.

Respuesta:


Un cliente regresó después de haber realizado una compra en la cremería, reclamaba que le habían dado

menos producto del que había pagado. Para cerciorarse, Laura volvió a pesar el producto. Si la báscula

marcó 1.250 kg y el cliente pagó por 114

kg, ¿tuvo razón el cliente al reclamar? Argumenta tu respuesta.


En una jornada laboral, Laura vendió 12.750 kg de salchichas, ¿cómo se puede expresar esta cantidad

en forma de fracción?

a) 514

de kg b) 12100

de kg c) 75100

de kg d) 645

de kg


Algunos productos disminuyen su precio conforme aumenta la cantidad comprada. Analiza la tabla y colorea

la casilla “Sí” o “No” en cada caso, dependiendo si disminuye el precio conforme aumenta la cantidad com-

prada. La crema pura de vaca cuesta $9 en su presentación de 0.200 L.

Presentación Precio ¿El precio disminuye al aumentar la cantidad comprada?

920

L $15 Sí No

910

L $32 Sí No

Laura, la encargada de una cremería, atiende pedidos de los diferentes productos lácteos que tienen para la venta. Para pesar el producto, utiliza una báscula electrónica que indica el peso del producto en kilogramos con precisión de hasta milésimos. Es común que los clientes pidan en forma de fracción la cantidad de producto que desean comprar. Por tanto, Laura necesita co-nocer la equivalencia entre números decimales y números frac-cionarios para medir en la báscula los pedidos que le soliciten.


7878


797979

UNIDAD: La carpintería

Ramón es carpintero y le en-

cargaron construir un barandal.

Por cuestiones de salud no pudo

asistir a trabajar, por lo que su

ayudante deberá terminar el

pedido. La ilustración muestra

parte de lo que se ha avanzado

en la construcción.

Pregunta 1: LA CARPINTERÍA Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Representa sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada y viceversa

Describe la regla que siguió el carpintero para colocar las piezas del barandal.

Pregunta 2: LA CARPINTERÍA Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Representa sucesiones de números o de fi guras a partir de una regla dada y viceversa

¿En qué posición debe colocar el ayudante la siguiente pieza?

a) 50.8 cm b) 59.8 cm c) 59.0 cm d) 58.9 cm

Pregunta 3: LA CARPINTERÍA Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica

Marca sobre la ilustración anterior la posición de las siguientes tres piezas del barandal.

Pregunta 4: LA CARPINTERÍA Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica

En la construcción de otro barandal, el carpintero le indicó a su ayudante que por cada metro de barandal

debería poner tres bases para macetas que se colocarán en los siguientes puntos: 13

m, 23

m, 33

m, etc.

Observa la ilustración y colorea las casillas “Acuerdo” o “Desacuerdo” para los pasos que se proponen

para encontrar la ubicación de las bases para macetas.

Dividir en 3 partes iguales

el segmento del 0 al 1 12

Acuerdo Desacuerdo

Encontrar el punto medio

del segmento del 0 al 1 12

Acuerdo Desacuerdo

Ubicar el 1 en la recta. Acuerdo Desacuerdo

Dividir en 3 partes iguales el segmento del 0 al 1

Acuerdo Desacuerdo


80


81

Bloque 2


• Resuelvas problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

• Resuelvas problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, me-diatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

Mandala tibetano budistaMandala tibetano budista

Los mandalas son diagramas utilizados para la meditación.

Se componen de una serie de formas geométricas concéntricas

organizadas en diversos niveles visuales. Las fi guras geométricas más

utilizadas son: círculos, triángulos, cuadrados y rectángulos. La imagen

se relaciona con el contenido de la secuencia 15.


82

10

Blo

que

2 Criterios de divisibilidad y números primosContenido

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Las palmeras y los postes de luz

En una ciudad costera, su principal avenida tie-ne 2 625 m de longitud. El gobierno de la ciudad quiere colocar palmeras y postes de luz sobre el camellón que separa ambos sentidos de la ave-nida, de tal manera que la distancia entre cada par de palmeras sea de 5 m, y la distancia entre cada par de postes de luz sea de 7 m.

• ¿Cómo se puede saber si el número 2 625 se puede dividir entre 5 sin llevar a cabo una división?

• ¿Cómo se puede saber si el número 2 625 se puede dividir entre 7 sin llevar a cabo una división?

• ¿Cuántas palmeras y cuántos postes de luz se necesitarán para cubrir la longitud total de la avenida?

• ¿Cada cuántos metros coincidirán una palmera y un poste de luz?

Más adelante en esta secuencia, vas a aprender qué son los números primos y los números compuestos.

En parejas, van a construir un juego, desde diseñar el tablero y redactar las reglas, hasta jugarlo con otros compañeros con el fin de consolidar su cono-cimiento y distinguir los números primos y compuestos.

Sobre el tablero, dibujarán una tabla o un camino en donde estén anotados todos los números consecutivos del 1 al 120 (o el número que ustedes eli-jan). Cada jugador cuenta con una ficha de distinto color. Se lanzan dos da-dos y avanzan su ficha tantos espacios como indique la suma de los dados. Si caen en un número primo, deben brincar al siguiente número primo. Los jugadores se van turnando, lanzando dados, avanzando espacios, esperan-do caer en un número primo para poder brincar al siguiente de inmediato. Ustedes deben decidir cuántos jugadores conviene que jueguen para que el juego sea dinámico y divertido. El primero en llegar o rebasar el último número de la tabla o camino gana.

Nuestro trabajo

Para determinar la ubicación de

los postes de luz (o luminarias)

en una vía pública se realizan

estudios especializados que

aseguren el cumplimiento

de criterios de seguridad, de

visibilidad y de calidad.

Inic

ioP

laneació

n


83

Un auditorio con 119 butacas

Lee la situación que se presenta a continuación y de manera individual realiza la

actividad siguiente en el cuaderno.

El dueño de un cine quería renovar la sala y poner butacas nuevas. Los trabajadores removieron las butacas viejas, colocaron una alfombra nueva en la sala, y cuando llegaron las 119 butacas nuevas, se encontraron con que no recordaban cuántas fi las de butacas había en la sala y cuántas butacas había en cada fi la.

¿De qué manera piensas que se puede resolver este problema? ¿Es posible que el número 119 sea el resultado de una multiplicación de dos canti-

dades diferentes de 1 � 119? ¿Cuáles? ¿Entre cuáles números se puede dividir el 119? ¿Cuántas filas y cuántas butacas había en cada fila? ¿Existe una sola solución? Ar-

gumenta tu respuesta.

Se llama divisor de un número a cualquier número que lo divide de manera exacta, es decir, que da como residuo cero al efectuar la división. Por ejemplo, 2 es divisor de 28 ya que, si se divide 28 entre 2 el resultado es 14 y el residuo es cero. Así, los divisores de un número son todos aquellos que lo dividen de manera exacta.

En el problema anterior: ¿Cuáles son todos los divisores de 119?

Se llama múltiplo de un número al resultado de multiplicar dicho número por un nú-mero entero. Por ejemplo, 24 es múltiplo de 6 porque al multiplicar 6 � 4 se obtiene 24. También es múltiplo de 3 porque al multiplicar 3 � 8 se obtiene 24.

Escribe cinco múltiplos de 6 y cinco múltiplos de 15.

Boletos de colores

Setenta asistentes al cine recibieron un boleto numerado del 1 al 70. Cada boleto era de un color diferente. Los boletos amarillos eran aquellos cuyos números solo eran múltiplos de 3. Los boletos azules contenían números que solo eran múltiplos de 5, y los boletos rojos eran aquellos cuyos números solo eran múltiplos de 7. Aquellos números de boleto que eran al mismo tiempo múltiplos de 3 y de 7 eran de otro color, así como los que eran múltiplos de 3 y 5, o de 5 y 7. Observa cómo se combinan estos tres colores.

Reúnete con un compañero, hagan en el cuaderno una lista con los números del 1 al 70 y ahí mismo respondan:

¿Cuáles números corresponden a boletos de color anaranjado? ¿Cuáles números corresponden a boletos de color morado? ¿Cuáles números corresponden a boletos de color verde?

Múltiplos de 3 Múltiplos de 5

Múltiplos de 7

Desarr

ollo


84

Si juntamos los tres círculos de colores, ¿cuáles números colocarían en la zona cen-tral de color blanco?

¿Qué tienen en común los números que corresponden a boletos de color verde? Si son divisibles entre 3 y 5, ¿entre cuál otro número se pueden dividir? ¿Qué tienen en común los números que corresponden a boletos de color anaranjado? ¿Qué tienen en común los números que corresponden a boletos de color morado? ¿Cuáles boletos no estarían coloreados de ninguno de estos colores? Explica por qué.

Comenten con su profesor sus respuestas.

Divisibilidad

Para el problema de los boletos del cine, hubiera sido más fácil clasifi car los números en colores si pudiéramos rápidamente determinar si los números son divisibles entre 3, 5 o 7.

Se dice que un número es divisible entre otro cuando el segundo es un divisor del primero, es decir, cuando lo divide de manera exacta.

Analiza las siguientes preguntas y, de manera individual, respóndelas en el cuaderno.

¿Cómo puedes saber si un número se puede dividir entre 2? ¿Es necesario hacer la división?

¿Existe alguna manera más rápida de determinar si un número es par? ¿Cuáles dígitos pueden estar escritos en la posición de las unidades para que el nú-

mero sea divisible entre 2? Escribe una regla para determinarlo.

Completa la siguiente secuencia: 5, 10, 15, , , , , . ¿Qué tienen en común estos números? ¿Cómo le explicarías a alguien, de una manera muy clara, cómo distinguir los núme-

ros que se pueden dividir entre 5? Escribe una regla para explicarlo.

Los siguientes números son divisibles entre 3: 21, 72, 813, 204, 756, 117, 438, 249 y 540. ¿Se puede determinar si un número es divisible entre 3 a partir del dígito que apa-

rece en la posición de las unidades? ¿Conoces alguna manera de determinar si un número es divisible entre 3? Si no es

así, encuentra la suma de los dígitos en cada uno de los números anteriores. ¿Puedes ahora encontrar algún patrón o alguna regla que te sirva para determinar si

un número es divisible entre 3? Escribe dicha regla. ¿Cómo se puede saber si un número es divisible entre 7? Observa las secuencias

en los siguientes ejemplos. Cuando las hayas descifrado, escribe el procedimiento.

Compara las cuatro reglas que escribiste con las de tus compañeros y coméntenlas con el profesor.

4344 � 2 = 843 – 8 = 3535 es múltiplo de 7Sí es divisible entre 7

2 0166 � 2 = 12201 – 12 = 189

1899 � 2 = 1818 – 18 = 0Sí es divisible entre 7

13 7133 � 2 = 61 371 – 6 = 1 365

1 3655 � 2 = 10136 – 10 = 126

1266 � 2 = 1212 – 12 = 0Sí es divisible entre 7

2777 � 2 = 1427 – 14 = 1313 no es múltiplo de 7No es divisible entre 7

Ejemplo 1¿Es 434 divisible entre 7?

Ejemplo 2¿Es 2 016 divisible entre 7?

Ejemplo 3¿Es 13 713 divisible entre 7?

Ejemplo 4¿Es 277 divisible entre 7?


85

¿Cómo vamos?

¿Pudieron construir el tablero de su juego? ¿Cuántos números incluyeron en el recorrido?

¿Cómo saben que cayeron en un número primo? ¿Cómo saben cuál es el número primo que es inmediatamente mayor a éste?

¿Cómo usarían una calculadora para determinar si un número es primo o no? Construyan un camino más largo, o diseñen un camino en donde el primer

número sea 101 en lugar de 1. Revisen con su maestro que las reglas del juego hayan quedado bien escri-

tas, verificando que se tomen en cuenta todos los aspectos necesarios.

La criba de Eratóstenes ¿Qué son los números primos?

Reúnete con un compañero y realicen la siguiente actividad en el cuaderno.

¿De cuántas maneras podemos escribir el núme-

ro 24 como el producto o multiplicación de dos números?

¿De cuántas maneras podemos escribir el núme-ro 17 como la multiplicación de dos números?

A Eratóstenes le interesaba encontrar los números que solo se pueden dividir entre sí mismos o entre 1 y que no tienen ningún otro divisor. Se trata de los números primos. Un número primo es aquel que solo es divisible entre 1 y entre sí mismo, tiene por tanto, solo dos divisores. El número 1 no se consi-dera primo porque no tiene dos divisores diferentes. El número 17, por ejemplo, sí es un número primo, ya que sus únicos divisores son 1 y 17.

Para encontrarlos, propuso el siguiente método:

En la tabla numerada del 2 al 120, tachen todos los múltiplos de 2 excepto el 2, ya que al ser divisibles entre 2, no son primos.

Luego, tachen todos los múltiplos del 3, excepto el 3. Observen cuáles ya habían tachado. ¿ Por qué estaban ya tachados?

Para continuar, ¿es necesario tachar ahora los múltiplos de 4? ¿Por qué? Continúen tachando todos los múltiplos de 5 que encuentren en la tabla. ¿Cómo pueden saber cuáles son? ¿Por qué estaban ya tachados algunos múltiplos de 5?

Expliquen por qué no es necesario tachar todos los múltiplos de 6. Continúen tachando los múltiplos de 7. ¿Conocen algún método para determinar si un número es un múltiplo de 7?

Escríbanlo. Comenten si piensan que es necesario seguir tachando los múltiplos de 8, 9, 10,

etc., si la lista de números es hasta 120. ¿Qué tienen en común todos los números que no se han tachado? ¿Cómo se llaman?

Compartan con sus compañeros y con el profesor las respuestas.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

En los siguientes re-cursos podrás prac-ticar ejercicios simi-lares a los realizados en la lección. La criba de Eratóstenes: descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/criba.htmNúmeros primos y compuestos:desca r t e s . cn i ce .mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/criba.htm


86

Realiza en el cuaderno las siguientes actividades y en clase comenta las respuestas con el profesor.

1. Si un número es divisible entre 2 y entre 3, ¿es divisible entre 6? Si un número es divisible entre 3 y 5, ¿es divisible entre 15? Si un número es divisible entre 2 y entre 5, ¿es divisible entre 10? Pero, si un número es divisible entre 4 y entre 6, ¿es divisible entre 24? Anota varios ejemplos para afi rmar o contradecir estas afi rmaciones.

2. En otra sala de cine, los boletos amarillos correspondían a números múltiplos de 2. Los boletos azules a números múltiplos de 3, y los boletos rojos correspondían a números múltiplos de 5. a) Si se vendieron 60 boletos numerados del 1 al 60, re-

produce en tu cuaderno la fi gura de la derecha y escri-be en ella los números de boleto en el lugar correcto.

Realiza en el cuaderno la

El número de números primos

Reúnanse tres compañeros y realicen las siguientes actividades en el cuaderno.

¿Cuántos números primos hay entre los números 2 y 120? ¿Existen números primos más grandes?

De hecho, el número de números primos es infi nito. Cuanto más grande hagan la criba de Eratóstenes, más números primos podrán encontrar.

Los números que no son primos se llaman números compuestos. Son números que se pueden dividir entre otros divisores además del 1 y de sí mismos.

Construyan una gran criba con los números del 2 al 500. Después de tachar en la criba todos los múltiplos de 7 excepto el 7, continúen con los múltiplos de 11, 13, 17, 19, 23… es decir, con los múltiplos de los números primos que ya encontraron. ¿Por qué no es necesario tachar los múltiplos de los números compuestos (12,

14, 15, 16, etc.)? Argumenten su respuesta y discútanla con los otros equipos.

Una vez que hayan encontrado más números primos, completen la siguiente tabla:

Número de números primos del 2 al 100





3. Una puerta que mide 896 mm de ancho se quiere proteger con una reja, de tal manera que haya exactamente siete franjas verti-cales libres, como se muestra en la imagen.

a) ¿Cómo se puede saber si el número 896 es divisible entre 7, sin llevar a cabo la división?

b) ¿Cuál debe ser la distancia entre las barras verticales?

4. La regla para determinar si un número es divisi-ble entre 9 se parece a la regla para determinar si un número es divisible entre 3.a) ¿Cuál podría ser esa regla? Experimenta con

diferentes números para ver si tu propuesta funciona.


87

¿Cómo nos fue?

Con lo aprendido en esta secuencia, ¿pudiste resolver el problema de las pal-meras y los postes de luz?

Explica cómo puedes aplicar los conceptos de divisibilidad para simplificar fracciones y encontrar fracciones equivalentes.

¿Cómo resultó el juego de los números primos? ¿Siempre estuvieron de acuer-do los jugadores en cuáles eran los números primos y cuál era el siguiente número primo al que se debía brincar?

Explica cómo te ayudó jugar el juego para distinguir cuáles son los números primos.

Explica por qué los números primos no pueden tener en la posición de las unidades los dígitos 2, 4, 5, 6, 8 ni 0.

¿Cómo te sentiste al ir resolviendo las actividades? Si algo se te dificultó, ¿cómo pudiste avanzar? ¿En qué situaciones de la vida cotidiana te podría ser útil lo aprendido durante

esta secuencia?

Examinen con atención la lista de números primos que escribieron en la tabla an-terior. Observen que con mucha frecuencia, se encuentran parejas de números primos en las que un número primo es dos unidades mayor que el otro, como 17 y 19; 107 y 109, por ejemplo.

A las parejas de números como las anteriores, se les conoce como primos gemelos.

Escriban en el cuaderno todas las parejas de primos gemelos que encuentren, me-nores que 200.

Un cuadrado primo-compuesto

Realiza de manera individual, la siguiente actividad.

En la tabla de la derecha, escribe los dígitos del 1 al 9, sin que falte ni se repita nin-guno, de tal manera que los números de tres dígitos abc, def y ghi sean primos y los tres números adg, beh y cfi sean números compuestos.

a b c

d e f

g h i

Compara tu respuesta con la de tus compañeros. ¿Existe solo una respuesta correcta?

Comenten al fi nal, sus respuestas con el profesor.


Cada equipo presente su juego al resto del grupo.

Mencionen en qué tuvieron dificultades para encontrar alguna respuesta. Analicen los resultados de cada equipo de trabajo, si hay errores corríjanlos de manera

grupal.

Cie

rre


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11

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2

Múltiplos y divisores

Contenido

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

¿Cuántas galletas por paquete?

María, Andrés y Pablo compraron varios paquetes de galletas. María comió 12 galle-tas, Andrés comió 15 galletas y Pablo comió nueve galletas y no sobró ninguna.

• ¿Cuántas galletas contenía cada paquete?

Divisores de un número

Reúnanse en parejas y resuelvan la siguiente actividad.

En una hoja cuadriculada dibujen todos los rectángulos que tengan 36 cuadrados de área. La medida de los lados deben ser cantidades enteras. Por ejemplo, el rectángulo que se muestra tiene 36 cuadrados de área.

9

4

¿Cuántos rectángulos encontraron?

Escriban el número 36 como producto de la medida del largo por el ancho, para

todos los rectángulos que encontraron. Por ejemplo: 36 = 9 � 4.

Se le llama factores a dos números que se multiplican. Por ejemplo, 9 y 4 son factores porque al multiplicarlos se obtiene 36.

Reunidos en equipos van a elaborar pulseras. Para ello necesitan:

24 cuentas rojas 18 azules 12 verdes

Pueden reemplazar las cuentas por frijoles de tres colores diferentes o tres tipos diferentes de corcholatas.

El trabajo consiste en hacer pulseras iguales con los tres colores sin que sobren cuentas. ¿Cuántas cuentas de cada color puede llevar cada pulsera y cuántas pulseras pueden hacer?

Nuestro trabajo

Desarr

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laneació

n


89

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo.

Realicen los cálculos necesarios para saber cuántas cuentas de cada color puede llevar cada pulsera y cuántas pulseras pueden hacer.

Comprueben si sus cálculos son correctos con las cuentas de cada color.

Realiza en el cuaderno la siguiente actividad.

1. Encuentra los divisores de los siguientes números: 3, 5, 6, 17, 21, 24, 48, 81, 84, 100, 102, 103, 139, 145.a) ¿Cuáles de estos números son primos? Explica tu respuesta.


De la misma manera, el número 9 y el número 4 se pueden descomponer cada uno en otros factores.

3 � 3 = 9 y 2 � 2 = 4

¿Pueden descomponer los números 3 y 2 como productos de dos números diferen-

tes de 1?

Un número que no se puede descomponer en productos de dos números diferentes de 1, se le llama factor primo. Por ejemplo, el número 23 solo se descompone como el producto de 23 x 1.

Por tanto, el número 36 descompuesto en factores primos se escribe de la siguiente manera:

36 = 2 � 2 � 3 � 3

Completen la lista de los factores del número 36:

Factores de 36 = �1, 2, , , , , , , �

A cada uno de los factores del número 36 que encontraron, descompónganlos en

factores primos.

Dividan el número 36 entre cada uno de los factores que encontraron. Por ejemplo:

18 2 36 16 0

¿A qué es igual el residuo en cada una de las divisiones?

Completen la lista de los divisores del número 36:

Divisores de 36 = �1, 2, , , , , , , �


90

Máximo común divisor

En algunas situaciones es necesario encontrar el mayor de los divisores comunes para dos o más números. Por ejemplo: Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones. ¿Cuánto medirá cada una de las partes? ¿Cuántas tablas se pueden sacar?

Para ello es necesario:1. Obtener los divisores de 48 y los de 60.

Divisores de 48: �1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48�Divisores de 60: �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60�

2. Marcar los divisores comunes, es decir, los divisores que dividen a los dos núme-ros a la vez.

Divisores de 48: �1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48�Divisores de 60: �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60�

3. Por último, se escoge el mayor de los divisores comunes, que en este caso es el 12.

Por tanto, las tablas de mayor longitud que midan lo mismo que se pueden obtener con dos tablones de 48 cm y de 60 cm, miden 12 cm.

¿Cuántas tablas de 12 cm salen del tablón de 48 cm? ¿Y del de 60 cm? ¿Cuántas

tablas en total se obtienen?

Si en el enunciado del problema, solo nos piden que las tablas midan lo mismo,

¿cuáles serían las longitudes de dichas tablas?

Al mayor de los divisores comunes de un número se le llama máximo común divisor.

Otro procedimiento

Otra forma de calcular los divisores de un número es siguiendo el procedimiento que se describe a continuación:

1. Escribir cada uno de los números como producto de dos o más números primos.Por ejemplo: 60 2 1. Se divide el número 60 entre el menor divisor, 30 2 que en este caso es 2. 15 3 2. El resultado de la división se coloca debajo del 5 5 número anterior (60). 1 3. Se repite el paso 1 hasta que el resto sea 1.

2. Para saber cuál es el menor divisor, aplica los criterios de divisibilidad. • El número 60 es divisible entre 2 porque termina en 0. Lo mismo sucede con

el número 30.• El número 15 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras (6) es un múl-

tiplo de 3, • y 5 es divisible entre 5.


91

Realiza en tu cuaderno las siguientes actividades.

1. Encuentra el máximo común divisor entre los siguientes números:a) 60 y 48 d) 20 y 65b) 45 y 63 e) 72 y 108c) 15 y 22 f) 144 y 360

2. Nadia compró en el mercado 36 rosas, 27 margaritas y 18 claveles para hacer ramos de fl ores con una fl or de cada tipo. a) ¿Cuál es el mayor número de ramos que puede formar sin que le queden

fl ores extras de ningún tipo?

3. El señor Carreño quiere separar en su bodega un espacio de 180 m2 junto a otro de 204 m2. Quiere aislar estos espacios con una reja que los rodee y los separe uno del otro. La reja se vende en cantidades enteras de metros. a) ¿Cuál es la menor longitud de reja que se requiere para rodear y separar

los espacios? b) ¿Cuántos metros de reja se requieren?

4. Martha comprará pan y salchichas para una reunión para la que necesita hacer 24 hot dogs. Las salchichas se venden en paquetes de ocho, el pan se vende en paquetes de 12. a) ¿Cuántos paquetes de cada uno debe comprar para que no le sobren ni

pan ni salchichas?

5. La maestra de primer grado tiene 40 lápices rojos y 56 verdes, y los quiere repartir en botes, de tal manera que haya la misma cantidad de lápices de cada color en cada bote. a) ¿Cómo los deberá repartir para que el número de lápices en cada bote

sea el máximo posible? b) ¿Cuántos botes necesitará?

Realiza en tu cuaderno la

Máximo común divisor

El mismo procedimiento se puede utilizar para encontrar el común divisor (MCD) de varios números.

Por ejemplo: Encontrar el MCD de los números 24 y 36.

24 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 2 1 3 3 1

El MCD de 24 y 36 es el resultado de multiplicar los divisores comunes de ambos números (marcados con rojo).

MCD (24, 36) = 2 � 2 � 3MCD (24, 36) = 12

Los datos de esta tabla también nos sirven para escribir cada número como una multiplicación de números primos.

24 = 2 � 2 � 3 � 236 = 2 � 2 � 3 � 3

21

21

7

3

es múltiplo de

es múltiplo de

es divisor de

es divisor de


92

Múltiplos de un número

Reunidos en parejas realicen el siguiente juego. El jugador A avanza 5 cm y el B, avanza 7 cm.

1. Ustedes deben decidir quién es el jugador A y quién el B, y cada uno elige un número del 1 al 6.

2. Cada jugador lanza el dado una vez; comienza el juego el jugador que obtuvo el número mayor.

3. Luego, por turnos, cada jugador tira el dado y avanza lo que le corresponde si el número que sale en el dado coincide con el que eligió. Por ejemplo, si el jugador A eligió el 6 y al lanzar el dado sale el 6, entonces avanza 5 cm. Cada jugador comienza desde el cero y cada vez que le toca avanzar lo hace desde el lugar en que se encuentra.

4. Gana el juego el primero que llega a los 100 centímetros o más.

• Completa la siguiente tabla anotando en cada caso, los números por los que cada jugador pasó.

Jugador A

Jugador B

¿Hubo algún número comprendido entre 0 y 100 por el que pasaron ambos jugado-

res? ¿Cuáles fueron?

Si siguieran avanzando después del 100, ¿pasarán ambos jugadores por el 350? ¿Y

por el 700? ¿Por qué?

Escribe cada uno de los números a los que llega el jugador A como una multiplica-

ción de 5 por otro número.

Escribe cada uno de los números a los que llega el jugador B como una multiplica-

ción de 7 por otro número.

Recuerda que se llama múltiplo de un número al resultado de multiplicar dicho núme-ro por un número entero. Por ejemplo, 15 es múltiplo de 5 porque existe el 3 que mul-tiplicado por 5 da como resultado 15, y también es múltiplo de 3, porque 15 = 3 � 5.

Escribe los números menores que 100 por donde pasan ambos jugadores como una multiplicación de 5 por otro número y como una multiplicación de 7 por otro

número.

¿Son los números por donde ambos jugadores pasan múltiplos de 5? ¿Y múltiplos de

7? ¿Por qué?

¿Podrías asegurar que son múltiplos de ambos números? ¿Por qué?

Un número es múltiplo común entre dos o más números, cuando es múltiplo de ambos o de todos a la vez. Al menor de los múltiplos comunes se le llama mínimo

común múltiplo.

Materiales

• Un metro de papel con los centímetros marcados

• Un dado• Dos fichas de un color

diferente cada una


93

Mínimo común múltiplo

Existen ocasiones en las que es necesario encontrar el menor de los múltiplos comu-nes a dos o más números. Por ejemplo: Hoy, a las 9 de la mañana, dos representantes de distintos laboratorios coinciden en el consultorio de un médico pediatra. Juan re-gresa cada 4 días y Sebastián cada 6 días, a la misma hora. ¿En cuántos días volverán a encontrarse?

Reúnete con un compañero y discutan entre ustedes lo que entienden por múltiplos de un número.

Completen la tabla siguiente y discutan cómo encontrar la respuesta al problema.

Días

Juan 4 8 12 40

Sebastián 6 12 60

Escriban los múltiplos de 4 hasta el 40. Múltiplos de 4: � 4, 8, , 40� Escriban los múltiplos de 6 hasta el 60. Múltiplos de 6: � 6, 12, , 60� Escriban los múltiplos comunes de 4 y 6. Es decir, los números que son múltiplos

de 4 y 6 a la vez. Múltiplos comunes de 4 y 6: � , 24, � ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y 6?

Otro procedimiento

Un procedimiento más corto para encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m) es el siguiente:Por ejemplo, encontrar el m.c.m de 24 y 36.

24 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 2 1 3 3

El menor de los múltiplos comunes es el re-sultado de multiplicar todos los divisores, los comunes a ambos números y los propios de cada uno de los números.

m.c.m (24, 36) = 2 � 2 � 3 � 2 � 3m.c.m (24, 36) = 72

Realiza en tu cuaderno las siguientes actividades.

1. Encuentra el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 6 y 9, 12 y 18, 20 y 25, 25 y 10, 12 y 18, 5 y 6, 10 y 11.

2. Escribe cada uno de los siguientes números como varias multiplicaciones en las que se usen la mayor cantidad de números posibles: 23, 24, 35, 70, 62, 72, 81, 121.a) A partir de las diferentes multiplicaciones que encontraste, escribe los

divisores de cada uno de ellos. ¿De qué números es múltiplo cada uno de ellos?

b) ¿Hubo algún número que solo se pudo escribir como una multiplicación del 1 por el mismo número? ¿Cómo se les llama a esos números?

Reali a en t c aderno la


94

3. Encuentra los múltiplos de los siguientes números: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15.

4. Un anuncio está formado por focos de dos colores. Cuando se enciende el anuncio todos los focos se prenden. Los focos rojos parpadean cada 4 se-gundos, mientras que los focos blancos parpadean cada 6 segundos. a) ¿Cada cuánto tiempo estarán prendidos todos los focos al mismo tiempo?

5. Óscar y tres amigos más van a la taquería a cenar. En la taquería hay una oferta de muy buen precio por paquetes de 6 tacos. Óscar quiere comprar el menor número de paquetes de manera que cada uno de ellos coma el mismo número de tacos sin que sobre ninguno. a) ¿Cuántos paquetes debe comprar? b) ¿Cuántos tacos comerá cada uno?

6. Pablo y Benito están corriendo en una pista de 440 m. Pablo le da una vuelta a la pista en 8 minutos, mientras que Benito la da en 6 minutos, Iniciaron en el mismo punto de la pista, si mantienen el mismo paso, ¿en cuánto tiempo llegarán al mismo tiempo al punto del cual salieron?

7. Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores de las siguientes sumas y restas de fracciones, conviértelas en fracciones equivalentes con igual denominador utilizando el mínimo común múltiplo y realiza las opera-ciones que se indican:

a) 12

+ 16

b) 12

– 16

c) 18

� 12

d) 1112

– 56

e) 23

– 512

8. Sebastián comió 25

de un pastel, y María comió 37

del mismo pastel. En

total, ¿ellos comieron más o menos que un pastel?

Juego de múltiplos y divisores

Instrucciones

1. Por turnos, cada jugador lanza los dos dados al aire y multiplica los números que le salieron. Usa una de sus fi chas (roja o azul) y la coloca en una de las casillas del tablero de la siguiente página, en la cual el resultado de la multiplicación cumpla con la condición que se enuncia en la misma. Si la casilla está ocupada no se puede poner otra fi cha.

2. Gana quién primero logre completar cuatro casillas horizontales, verticales o en diagonal.

3. Si al lanzar los dados salen dos números iguales, el jugpador puede quitar la fi cha de su oponente y colocar la suya, siempre y cuando el resultado de la multiplica-ción verifi que el enunciado de la casilla.

4. Si no puede cubrir alguna de las casillas se pierde el turno.

Materiales

• Dos dados por pareja• 4 fichas rojas• 4 fichas azules

Visita el sitio:www.ematematicas.net/mcdmcm.php?a=1Ahí podrás reforzar lo visto en la secuen-cia acerca de cómo calcular el máximo común divisor de dos o más números.Y en: www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimomultiplo-comun-tool.htmlPodrán una herra-mienta muy útil para calcular el mínimo común múltiplo.


95

¿Cómo nos fue?

Qué aprendiste acerca de los divisores de un número al hacer las pulseras? ¿En qué otras situaciones crees que podrás utilizar los conocimientos aprendi-

dos en esta secuencia? Explica por escrito la diferencia entre el mínimo común múltiplo y el máximo

común divisor. Inventa un problema en el que se utilice el mínimo común múltiplo y otro en

el que se use el máximo común divisor. ¿En cuáles actividades tuviste que trabajar más?

El producto de los números de los dos dados es

Un múltiplo de 3El m.c.m. de 12

y 18Un divisor de 16 Un número primo

Un número con más de dos

divisoresUn múltiplo de 9 Un divisor de 12 Un divisor de 24

El M.C.D. de 24 y 36

Un divisor de 60 Un múltiplo de 6 Un número par

Un múltiplo de 5 Un número impar Un múltiplo de 8 Un divisor de 45

Recuerden: m.c.m. signifi ca mínimo común múltiplo y M.C.D. máximo común divisor.

Al lanzar los dos dados, ¿qué productos deberán obtener para elegir entre “divisor

de 16” y “divisor de 12”?

¿Cuál es el resultado menor de multiplicar los números de los dados que deberían

obtener para elegir entre “un múltiplo de 2”, “un múltiplo de 3” y “un múltiplo de

5”?


Reúnete con tu equipo y muestren al grupo las pulseras que hicieron.

Expliquen el procedimiento que utilizaron para calcular cuántas cuentas de cada color tiene cada pulsera y cuántas pulseras se pueden hacer.

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2 Suma de fracciones y decimalesContenido

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

El examen de habilidades

En algunas universidades en el mundo, parte del proceso de selección de alumnos consiste en una prueba de habilidades matemáticas llamada MST, los resultados de este examen están en un rango entre cero y dos. Laura y Damián hicieron una investigación acerca de los países que mejores resultados obtenían; después de una primera etapa de investigación, consideraron los siguientes cuatro países: Corea del Sur, Italia, México y República Checa.Laura decía que como equipo, los mexicanos eran los de menor efi ciencia en la prueba; Damián decía que él no veía mucha diferencia entre los resultados de la mayoría de los alumnos. Decidieron comparar a los países utilizando los once mejores resultados obte-nidos en cada uno de ellos. Los datos que les fueron proporcionados se presentan en la siguiente tabla:

País/número de alumno

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Corea del Sur 1 45 1.9 1 3

4 1.65 1 2125 1.76 1.88 1.9 1 18

25 1.88 1 45

Italia 1.92 1 34 1.65 1.88 1 4

5 1.88 1 910

1 1825 1.89 1 3

4 1.86

México 1 3950 1.95 1.75 1 3

4 1.8 1 1625

1 34

1 710

1 45 1.75 1 37

50

República Checa 1.92 2 150

1 34

1 2225

1 45

1 910 1.72 1.88 1 19

20 1.85 1.88

• ¿Cómo sumarían los resultados de todos los alumnos de cada país?• ¿Qué diferencia hay entre el resultado del alumno 6 de Corea del Sur y el 6 de México?• ¿Qué diferencia hay entre el resultado del alumno 2 de México y el 4 de República Checa?

En equipos, escribirán problemas sobre situaciones de la vida cotidiana que se resuelvan sumando fracciones o decimales.

Después, participarán en una competencia en la que cada equipo planteará sus problemas al grupo y sus compañeros deberán calcular lo que se requiere para encontrar la solución.

El primer equipo en obtener la respuesta ganará un punto. El equipo ganador será el que acumule más puntos durante el juego.

Al finalizar el juego, por equipos, escribirán un texto en el que expliquen las estrategias que utilizaron para llegar a los resultados de la manera más eficiente.

Nuestro trabajo

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97

Suma de fracciones y decimales

Reúnanse en equipos para discutir y realizar las actividades.

Redacten cómo sumarían las calificaciones de los alumnos.

Sigan el procedimiento que propusieron y sumen los puntos de los primeros cinco

alumnos de México. Anoten el resultado.

Comparen su resultado con el de otros compañeros y comenten el procedimiento que siguieron para hacer el cálculo.

Ahora resuelvan las siguientes sumas. Después respondan.

37

+ 24

+ 7.24 =

1.05 + 2.34 + 12

=

0.35 + 25

+ 1.67 =

¿Utilizaron el mismo procedimiento para resolver las tres operaciones? ¿Por

qué?

¿Cómo es más adecuado expresar las cantidades: como fracciones o como decima-

les? Justifiquen su respuesta.

Comparen sus resultados con los de otros equipos y valídenlos con el profesor.

Regresen a la tabla de la página anterior y resuelvan la actividad.

Calculen la puntuación de los cinco primeros alumnos de República Checa.

Tomando en cuenta estos cinco alumnos, ¿quién obtuvo mejor resultado: Méxi-

co o República Checa?

Repite el procedimiento para los cinco primeros alumnos de Italia y Corea del Sur.

¿Qué país obtuvo el mejor resultado?

De los cuatro países, ¿cuál obtuvo el mejor resultado?

Describan el procedimiento que siguieron para hacer las sumas de fracciones y números con decimales.

Comparen su procedimiento con el de otros equipos, valídenlo con el maestro y juntos elijan el que les parezca más adecuado.

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98

Para hacer sumas combinadas de fracciones y números con decimales conviene hacer por separado la operación de las fracciones y de los números con decimales. Una vez que se obtienen los resultados, se convierte el resultado de las fracciones a número con decimales para sumarlo con el total obtenido en la suma de los números con decimales.

Resta de fracciones y decimales

Reúnete con un compañero y retomen el problema de las califi caciones de la ac-

tividad inicial.

Ordenen en el cuaderno de menor a mayor las calificaciones de los alumnos de México.

¿Cuál es la diferencia entre el alumno con la mejor calificación y el que obtuvo la menor?

Entre los alumnos de Corea del Sur, ¿cuál fue la diferencia entre la mayor califica-ción y la menor?

¿Qué tipo de números usaron para hacer los cálculos? ¿Por qué?

Resuelvan los problemas.

Una constructora pavimenta dos tramos de una carretera, uno de 45.38 km y otro

de 65 12

km. Diferentes equipos de trabajo realizan las labores para terminar lo más

rápido posible.

La tabla muestra el registro que hizo cada equipo del tramo de carretera que pavi-mentó durante una semana.

Equipo Longitud pavimentada

Equipo 1 12.85 km

Equipo 2 10

45

km

Equipo 3 16.3 km

Equipo 4 15

35

km

Equipo 5 9

23

km

¿Cuántos km de carretera tienen que pavimentar?

¿Cuántos km de carretera pavimentaron los cinco equipos?

¿Cuántos km faltan de pavimentar?

Comparen sus resultados y su procedimiento con otros equipos.

¿Todos llegaron al mismo resultado? ¿Todos siguieron el mismo procedimiento?

Según las cantidades, ¿es más cómodo convertir todas a fracciones o es mejor tra-bajar con números con decimales?

Según el contexto del problema, ¿es mejor trabajar con fracciones o con números con decimales?

Comenten lo anterior con el grupo y juntos redacten una conclusión acerca de la conveniencia de trabajar con números decimales o con fracciones de acuerdo con el contexto del problema y las cantidades representadas.


99

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo y escriban los problemas, uno por integrante, que

presentarán al grupo.

Esos problemas deben tener un contexto real e incluir cifras fraccionarias o con decimales.

Planteen situaciones en las cuales se tenga que obtener el resultado exacto y otras en las que sea suficiente una estimación.

Resuelvan junto con el equipo todos los problemas y, en los casos en los que consideren insuficiente una estimación, realicen el cálculo exacto.

¿En qué tipo de situaciones utilizamos estimaciones? Al estimar el costo de un objeto, ¿conviene redondear los decimales hacia

arriba o abajo? ¿Por qué? ¿Es mejor estimar cantidades o calcularlas de manera exacta?

Resuelve en el cuaderno los problemas siguientes:

1. Suma los siguientes conjuntos de números:

a) 43

, 0.76, 43

y 0.60 b) 3 43

, 3 43

y 3.004 c) 1 43

, 1.53 y 1 43

2. De un depósito con 950 L de agua, para llenar algunas pipas, se sacan 425.83 L, 231 45

L y

358.25 L. Después se agregan 85.20 L y 39 920

L al depósito. Al fi nal, ¿cuántos litros de agua quedaron en el depósito?

3. Una carrera ciclista de 845.75 km se recorre en 5 etapas. En la primera los ciclistas pe-

dalean 120.45 km; en la segunda, 95 12

km; en la tercera, 286.3 km y en la cuarta etapa

150 23

km.

a) Estimen. ¿Cuántos km recorren en las primeras cuatro etapas? ¿Cuántos km recorren en la quinta etapa?

b) Ahora realicen los cálculos necesarios para saber cuántos km recorren en la quinta etapa para comprobar qué tan cerca estuvo su estimación.

c) ¿Cuál es la diferencia entre los km que recorren en la primera etapa y la segunda?

4. Un triatlón es una prueba de resistencia que reúne tres deportes: natación, ciclismo y carrera

a pie. Existe una variación del triatlón conocida como “de larga distancia” o iron man. En un

triatlón se deben nadar 1 12

km, andar en bicicleta 38.3 km y correr 10 km. En un iron man

se nadan 3.86 km, se recorren en bicicleta 180 km y a pie 42 210

km.

a) ¿Qué distancia se recorre en total en el triatlón?b) ¿Qué distancia se recorre en el iron man?c) ¿Qué distancia se recorre en las dos pruebas?d) ¿Cuál es la diferencia del recorrido en las dos pruebas?

5. En la tabla inicial para medir el resultado de los alumnos en la prueba MST, encuentra to-dos aquellos que obtuvieron la misma califi cación, ¿qué procedimiento seguiste para ello?

6. Una caja pesa 613

kg cuando está vacía, y pesa 1.863 kg cuando se llena de arena.

¿Cuánto pesa la arena con la que se llenó?

Resuelve en el cuaderno


100

En las actividades anteriores hiciste algunos cálculos de manera aproximada para ob-tener resultados que, si bien no son exactos, te dan una idea del total que buscabas. A estos cálculos se les conoce como estimaciones. Estimar es calcular una aproxima-ción del resultado de una operación o problema.

Los cálculos de don Roberto

Para continuar con el trabajo de sumas con números decimales, con un compañero

realiza las actividades siguientes:

Don Roberto hace obras de construcción en su terreno. Quiere levantar una pared que divida una parte del predio; además necesita construir una bodega y una cister-na. De acuerdo con las dimensiones de cada obra, calculó que para la pared nece-

sitaba 15 720

kg de cemento, para la bodega 103.74 kg y para la cisterna 65 15

kg.

Para calcular el cemento que debía comprar hizo mentalmente esta operación:

100 + 15 + 65

Al estimar, ¿qué sucedió con la parte decimal o fraccionaria?

¿Les parece acertada la forma en que realizó la estimación? ¿Por qué?

De acuerdo con su estimación, ¿le sobrará o faltará material?

¿Qué consideran que debió hacer don Roberto?

Al estimar, ¿qué sucedió con la parte decimal y con la parte fraccionaria?

Don Roberto fue a comprar 125.25 kg de cemento, 250 15

kg de grava y 115 45

kg

de arena. Don Roberto quiere saber si su camioneta con 0.5 toneladas de capacidad puede soportar el peso de los materiales.

Estimen el peso total de los materiales.

De acuerdo con su estimación, ¿la capacidad de la camioneta es suficiente?

Convierte a toneladas el peso del material y calcula qué cantidad falta o sobra para

cubrir la capacidad de la camioneta.

Efectúen las operaciones necesarias para comprobar sus respuestas.

Al hacer ciertas estimaciones, conviene redondear la parte decimal al siguiente nú-mero entero; de lo contrario, corremos el riesgo de que, por ejemplo, el dinero o el material que requerimos no sea sufi ciente.

Fracciones y decimales

Lee el texto y, sin usar calculadora ni hacer operaciones escritas, responde:

Francisco y Marcela se preparan para representar a su escuela en una carrera de velocidad.

El entrenador de Francisco le propuso un plan para la siguiente semana: el lunes debe co-

rrer 154

km, el martes 1.47 km, el miércoles 32

15km, el jueves 1.71

km y el viernes 14

5km.

La entrenadora de Marcela, en cambio, le indicó que el lunes tiene que correr 2 35

km, el

martes 2.10 km, el miércoles 4 73100

km, el jueves 2.97 km y el viernes 1.05 km. Ambos

entrenadores les sugirieron que descansaran durante el fi n de semana.


101

¿Cuántos kilómetros debe correr cada uno esta semana?

¿A qué fracciones más simples se aproximan las del problema? ¿Con ellas se simpli-

fica la estimación?

Si en su entrenamiento tienen que correr 50 km en total, ¿cuántos km les faltarán

después de esta semana?

Reúnete con un compañero, efectúen en el cuaderno las operaciones necesarias, comparen sus resultados con la estimaciones que hicieron antes y respondan:

¿Cuántos kilómetros exactamente corrieron Francisco y Marcela durante la primera

semana? ¿Cuántos les falta por correr en las siguientes?

¿Cuál de los dos niños corrió más en la primera semana?

¿Sus cálculos coincidieron con las estimaciones?

Comenten con sus compañeros y el profesor si su estimación fue acertada.

Para los alumnos de cada país sumen las califi caciones totales, considerando tanto números con decimales como fracciones y completen la siguiente tabla:

PaísTotal de la suma de

fracciones

Total de la suma de números con

decimalesSuma total

Corea del Sur

Italia

México

República Checa

Con base en los resultados de la tabla anterior respondan las siguientes preguntas:

¿Qué país tiene la mayor suma de calificaciones?

¿Qué país tiene al estudiante con mejor resultado?

¿Cuál es la diferencia entre la suma de calificaciones del país con mejor resultado

con respecto al país de menor resultado?

¿Cuál es la diferencia entre la suma de calificaciones de Corea del Sur y Repúbli-

ca Checa?

¿Cuál es el alumno que obtuvo el mejor resultado?

¿Cuál es el alumno que obtuvo la calificación más baja?


102

Trabaja de manera individual y resuelve la siguiente actividad.

Fátima y Eduardo se prepararon durante la semana para salir bien en su examen de Matemáticas. En la siguiente tabla anotaron el tiempo, en horas, que estudiaron cada día.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Fátima 1 34 0.83 1.15 1 2

334 1.2

Eduardo 1.35 1 14

45 1.25 1 1

323

¿Cuánto tiempo estudió Eduardo en total?

¿Cuánto tiempo estudió Fátima en total?

¿Quién de los dos estudió más?

¿Cuánto tiempo estudió más que su compañero?

Responder las mismas preguntas utilizando una estrategia diferente a la anterior.

Reúnete con un compañero para resolver en el cuaderno la siguiente actividad.

Para ayudar a los afectados por una inundación los alumnos de 1.º de secundaria formaron equipos de cuatro alumnos para reunir alimentos para enviar al centro de ayuda. En la tabla siguiente anotaron la contribución de cada equipo.

Frijol Leche en polvo EnlatadosAlimentos

varios

Equipo 1 2 12

kg 34

kg 4.5 kg 5.2 kg

Equipo 2 3.5 kg 3 15

kg 3.9 kg 4 45

kg

Equipo 3 4 14

kg 2.8 kg 2.25 kg 4 35

kg

Equipo 4 3.25 kg 4.0 kg 4.2 kg 3.65 kg

Equipo 5 2 34

kg 4. 650 kg 3.5 kg 4.85 kg

Determinen la cantidad de kilogramos que reunió cada equipo. Encuentren la diferencia entre la cantidad de kilogramos aportada por cada par de

equipos; es decir, comparen la aportación del equipo 1 con la hecha por el equipo 2; la del equipo 2 con la del equipo 3 y así, sucesivamente.

¿Qué equipo aportó más kilogramos de alimentos? ¿Qué equipo aportó menos kilogramos de alimentos? El equipo que aportó la mayor cantidad de kilogramos de alimentos, ¿cuánto más

aportó que cada uno de los demás equipos?


103

¿Cómo nos fue?

¿Qué tan difícil resulta estimar y calcular usando de manera conjunta fraccio-nes y números con decimales?

¿Cómo puedes convertir los números decimales en fracciones y sumarlos? ¿Te parece efectivo el método que usaron Laura y Damián para calcular cuál

era el país con los resultados más altos en la prueba? ¿Se te ocurre otra estrategia que se podría usar para hacer esta comparación? ¿En qué tipo de problemas se requiere tomar en cuenta todas las cifras deci-

males de una cantidad? Proporciona dos estrategias diferentes para encontrar el resultado de una

suma que contenga números fraccionarios y números con decimales.


Presenten sus problemas a sus compañeros y compitan con otros equipos para

resolverlos. Determinen el equipo ganador y escriban las estrategias utilizadas.

¿Habrá solo una estimación posible para cada ejercicio? ¿Por qué? ¿Qué harías si en un mismo problema tuvieras que operar con decimales y fraccio-

nes de manera simultánea? Comenten en el grupo las distintas estrategias que emplearon para resolver los pro-

blemas planteados. Elijan las que consideren convenientes para encontrar las estimaciones más cerca-

nas a los cálculos exactos.


1. En la escuela de Ricardo tienen como meta juntar 400 kg de papel reciclado para ganar un

concurso. Los grupos de preescolar reunieron 28 920

kg; en primaria juntaron 92.35 kg; en

secundaria, 21.45 kg y en preparatoria recolectaron 207 410

kg de papel. Ricardo hizo una

estimación de lo que habían reunido y consideró que, si agregaban los 37.5 kg que había en el salón de maestros, alcanzarían la meta.

a) ¿Es correcta la estimación de Ricardo? b) ¿Cuántos kilos reunieron en total? c) En el problema, algunos datos se expresaron como números fraccionaros y otros como

números decimales. ¿Qué representación te pareció más adecuada para este contexto?

2. Escribe dos casos de tu vida cotidiana en los cuales sea necesario convertir los datos a fracciones, considerando que es la manera más adecuada de trabajar con ellos.

3. El dueño de un terreno de 1 058 m2 decidió dividirlo en partes para venderlo. Una parte corres-

pondió a 47

del terreno, otra a una tercera parte de lo que quedaba y la última al resto de la

superfi cie. Estima cuál de las tres partes del predio es la menor y calcula cuánto mide cada una.

4. Estima el resultado de cada suma y calcula el resultado exacto:

a) 780

� 0.46 � 39

� 0.13 b) 43

� 150

� 3.004 c) 2540

� 0.083 � 3 28


Cie

rre


104

13

Blo

que

2

Ingredientes:

• 1 cucharada de mantequilla

• 6 huevos

• 1 1

4 tazas de chocolate en polvo

• 1

2 cucharadita de sal

• 2 1

4 litros de crema

• 1 3

4 tazas de azúcar

• 4 2

3 tazas de harina

• 2 cucharaditas de polvo para hornear

• 1 2

3 tazas de nueces

• 1

3 de taza de chochitos de colores

• 3

4 de cucharada de vainilla

Multiplicación de fraccionesContenido

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

La receta de las galletas

Para la fi esta de la escuela, Mónica y Óscar quieren llevar galletas para sus 26 com-pañeros de grupo más la maestra. Mónica le pidió a su mamá la receta de unas que

le encantan, con la que puede preparar 4 1

2 docenas de galletas.

Después de discutirlo, Mónica y Óscar consideran que cada persona se comerá en promedio tres galletas y calcularon la cantidad de ingredientes que necesitan.

• ¿Cuántas galletas se pueden hacer con la receta de la mamá de Mónica?• ¿Cuántas galletas necesitan llevar al festejo? ¿Qué parte representan del total de

galletas de la receta?

Organicen un debate con todo el grupo en el que propondrán diferentes formas en las que podrían multiplicar y dividir fracciones por un número entero.

El maestro anotará las diferentes propuestas en el pizarrón para que se den argu-mentos a favor y en contra de las propuestas.

Al terminar de estudiar este tema compararán las estrategias propuestas y decidi-rán cuáles argumentos de los presentados en el debate resultaron más adecuados.

Formarás un equipo con dos compañeros para participar en un concurso para construir un parque en un poblado. El terreno asignado al parque mide 10 000 m2

Cada equipo entregará un plano a escala del parque en una hoja tamaño carta, donde se explique la manera en que quedaría distribuido y el área que ocuparía cada una de las zonas que se quieren construir.

Nuestro trabajo

Los números fraccionarios

se usan en situaciones

básicas como en el cálculo

de los ingredientes de una

receta de galletas para

distintas cantidades.

Inic

ioP

laneació

n


105

La cooperación para el festejo

Reúnete con un compañero para trabajar las siguientes actividades que te permiti-

rán relacionar lo que has aprendido acerca de la suma de fracciones con una nueva

operación: el producto o multiplicación de fracciones.

¿Cómo podrían calcular la cantidad de ingredientes que necesitan Mónica y Óscar? ¿Habrá una manera más sencilla de calcularlo? Coméntenlo con el grupo.

Además de las galletas para el festejo de la escuela, otros alumnos cooperarán con diferentes cosas. Luisa llevará una parte de un pan de elote que hizo en un molde rectangular y Juan llevará donas.

Luisa llevará 3

4 partes del pan de elote, como se muestra en la figura de la derecha.

¿Cuál era el total del pan de elote? Dibujen la parte que falta para completar el pan.

El hermano de Juan le pidió que le dejara una parte de las donas que compró y Juan

decidió llevarse 2

3 partes del total de donas.

Si las donas de la imagen representan 2

3 partes del total de donas, ¿cuál era el

total?

Paola y Melisa llevarán siete botellas de 1

2 litro de agua de sabor.

Sumen las fracciones sin simplificar el resultado. ¿Qué resultado obtienen?

Ahora multipliquen el numerador de la fracción 1

2 por el número de botellas. ¿Qué

resultado obtuvieron? ¿Qué relación tiene con el resultado de la suma anterior?

¿Cuántos litros de agua aportaron Paola y Melisa?

¿Cómo se puede calcular el resultado con una multiplicación?

Cada uno de los siete amigos de Luis aportó 6 1

4 litros de jugo de sabores en botellas

de 1

4 de litro.

¿Cuántas botellas de jugo aportó cada uno?

Multipliquen para saber cuántos cuartos de litro aportaron entre los siete amigos.

¿Qué cantidad de jugo aportaron los siete niños?

Durante el festejo, Mónica, Ramón y Óscar comen, cada uno, 1

6 de un pastel. Represen-

ten con un dibujo en el recuadro de la derecha la parte del pastel que se comieron.

¿Qué parte del pastel se comieron entre los tres?

¿Una multiplicación les permite obtener el resultado?

¿Qué estrategias siguieron para resolver las actividades anteriores? ¿En cuáles acti-vidades sumaron varias veces una misma fracción? ¿Pensaron en otra manera de resolverlas? ¿Cuál?

Desarr

ollo


106

En las actividades anteriores encontraste que para multiplicar un entero por una frac-ción, basta multiplicar el entero por el numerador de la fracción y conservar en el

resultado el denominador de la fracción a multiplicar. Por ejemplo, 2 � 3

5 =

6

5 .

Para practicar lo que has aprendido, resuelve las siguientes actividades. Compara el resultado con el de tus compañeros y discútanlo con el profesor:

3 � 1

4 = ♦ 6 �

7

3 = ♦ 4 �

9

11 =

8 � 6

7 = ♦ 2 �

4

5 = ♦ 14 �

2

9 =

Operaciones con fracciones

Resuelve de manera individual las actividades siguientes.

Tu maestro te pide dibujar a escala la base de la maqueta para una pirámide cuya

base cuadrada mide 400 cm2, y su lado mide 20 cm. Para ello te pide que cada

centímetro de la pirámide original mida 1

4 de cm.

¿Qué operación debes hacer para encontrar la longitud que debe tener el lado

de la base de la pirámide a escala?

¿Cuánto mide el lado de la base de la pirámide que vas a construir?

Calcula el área que tendrá la base de la representación a escala de la pirámide.

Mónica quiere hacer una receta de galletas nueva que le dieron a su mamá. Del

total, quiere que 3

4 partes estén decoradas con chochitos verdes y el resto con cho-

chitos de colores. Además, de las galletas con chochitos verdes, quiere poner 2

3 en

una charola para regalársela a su abuela.

¿Qué fracción de las galletas recibirá la abuela de Mónica?

Argumenta tu respuesta.

Imagina que Mónica hizo 12 galletas, ¿cuántas están decoradas con chochitos

verdes? De estas galletas, ¿cuántas representan 2

3?

¿Qué fracción del total representan?

En el último problema multiplica entre sí los numeradores de las fracciones que aparecen, es decir, de la fracción de galletas decoradas con chochitos verdes y de 2

3, después haz lo mismo con los denominadores.

¿Qué observas en los resultados? ¿En qué se parecen a los resultados que ob-

tuviste?

¿En qué difieren de estas las actividades de la sección anterior? ¿Mediante qué ope-

ración podrías resolver este problema?

Utiliza la operación que mencionaste y resuelve otra vez el problema para com-

probar si funciona.

Compara tus respuestas con tus compañeros.

Pirámide cuadrangular


107

¿Cómo vamos?

Reúnanse en equipo para trabajar en su presentación para el concurso.

Las bases del concurso indican que 1

5 parte del terreno debe destinarse a dos

áreas de juegos infantiles que no deben estar juntas; también establecen que 2

3 partes del terreno deben dedicarse a áreas verdes que no necesariamente

tienen que estar juntas; que 110

del terreno debe dedicarse a fuentes, puede

ser una o varias distribuidas por el parque y el resto del terreno debe quedar libre para hacer senderos de arena o adoquín.

¿Qué forma piensan que tiene el parque? ¿Cuáles serán sus dimensiones? ¿Cómo pueden saber el área que ocupará cada espacio?

Elijan la forma y las proporciones del terreno del parque y dibújenlo a escala.

El problema del concurso

Reúnete con tu equipo para trabajar en las siguientes actividades.

Supongan que el terreno del parque es cuadrado y que se quiere construir un área verde rectangular, cuya superfi cie ocupe una tercera parte del largo del terreno y dos quintas partes del ancho. ¿Qué parte del terreno ocupará esta área verde? Escriban en el cuaderno el procedimiento que diseñaron para encontrarlo. Además, en el cuadrado de la derecha que representa el terreno, indiquen: El largo y el ancho que corresponden al área verde.

Dividan el área verde en rectángulos, usando las marcas de 1

3 y de 1

5 de las

orillas como referencia.

¿En cuántas partes quedó dividido el terreno? Coloreen de verde el rectángulo correspondiente al área que se quiere ocupar. ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo? Escriban la fórmula y sustituyan en

ella las fracciones que representan las dimensiones. Calculen el área como la suma de las áreas de los pequeños rectángulos. ¿Qué

encuentran? ¿Qué representa esa suma? Multipliquen los denominadores de las fracciones. ¿Qué relación tiene este nú-

mero con el número de rectángulos en que subdividieron el terreno? Multipliquen los numeradores de las fracciones. ¿Qué relación tiene este núme-

ro con el número de rectángulos que ocupará el área verde? Construyan una fracción en la que el numerador sea el producto de los numera-

dores de las fracciones y el denominador sea el producto de los denominadores.Compárenla con el resultado que obtuvieron de la suma de las áreas. ¿Qué repre-senta esta fracción?

Como observaste en la actividad anterior, para encontrar el producto de dos fracciones, basta multiplicar los numeradores para obtener el numerador de la fracción resultante y multiplicar los denominadores para obtener el denominador de la fracción resultante. Para practicar lo que has aprendido, resuelve los siguientes productos de fraccio-

nes. Compara los resultados obtenidos con los de tus compañeros y discútanlos con el profesor.

3

4 �

1

8 = ♦

2

7 �

2

5 = ♦

4

5 �

3

4 =

9

8 �

4

5 = ♦

5

7 �

6

7 = ♦

3

5 �

5

8 =


108

Si desean que esa área verde ocupe la misma superficie, pero que uno de sus la-dos ocupe la mitad del lado del terreno, ¿qué parte del terreno tendrá que ocupar el otro lado?

Hagan un dibujo que les permita explicar su respuesta.

Escriban una operación con fracciones que describa su procedimiento.

Ahora, supongan que el parque es rectangular. Asígnenle medidas a su ancho y a su largo para que el área resulte de 10 000 m2. Continúen trabajando en el cuaderno.

Si se quiere diseñar una fuente rectangular que ocupe 120

parte del ancho del te-

rreno y 110

del largo del terreno, ¿qué parte del parque ocupará la fuente? Hagan un

dibujo que les permita obtener la respuesta.


Si quieren que esa fuente mida 120

del ancho del terreno pero 19

del largo, ¿qué

parte del parque ocupará la fuente? con un dibujo expliquen su respuesta.


Escriban qué significa que un lado de un rectángulo mida 34

partes del largo del

terreno de un parque.

Si se desea que una de las áreas de juegos infantiles tenga forma de triángulo y que

ocupe 220

partes del terreno, ¿qué dimensiones puede tener?

Si se desea que una de las áreas verdes tenga forma de trapecio y que ocupe 13

parte del terreno, ¿qué dimensiones puede tener?

Comparen sus respuestas con otros compañeros y verifi quen si todos emplearon las

mismas estrategias.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo y retomen el diseño que hicieron del parque.

Calculen cuánto deben medir las áreas para juegos infantiles, para las áreas ver-des y para las fuentes y verifi quen que ocupan la proporción pedida del terreno.

Calculen cuál es el área del parque que queda para los senderos y calculen la proporción del terreno que ocupan los senderos.

¿Qué forma tendrá cada una de las áreas? ¿Qué fracción del ancho y del largo del terreno representan las dimensiones de cada zona?

¿Qué estrategias han utilizado para encontrar las áreas de las distintas partes del parque?

¿Cuál de las áreas ocupa mayor superficie del parque? ¿Han participado activamente en el proyecto todos los miembros del equipo?

Preparen su trabajo para el concurso, tracen los diferentes espacios de la forma que deseen e indiquen las dimensiones de cada una de las partes del parque de tal modo que un constructor entienda qué es lo que debe hacer para construir el parque.

Incluyan una explicación sobre las operaciones que realizaron para calcular las dimensiones de cada uno de los espacios.


109

Las galletas de Mónica

Lee de nuevo la información de la receta de la mamá de Mónica y realiza con un

compañero las actividades siguientes en el cuaderno.

¿Cuántas galletas se hacen con la receta original? ¿Cuántas galletas necesitan pre-parar Mónica y Óscar?

¿Qué parte del total de las galletas que corresponde a un entero representa la mitad

de 12

de las galletas? ¿Y la mitad de 13

de las galletas? Argumenten sus respuestas.

¿Cómo pueden obtener la cantidad de galletas mediante una multiplicación? ¿Cuál es la cantidad de ingredientes que Mónica y Óscar necesitan para hacer las

galletas? Anoten las cantidades en la tabla siguiente.

Ingredientes Cantidad Ingredientes Cantidad

Cucharadas de mantequilla Cucharaditas de polvo para hornear

Tazas de azúcar Cucharadita de sal

Huevos Tazas de nueces

Tazas de harina Litros de crema

Tazas de chocolate en polvo Taza de chochitos de colores

Cucharadas de vainilla

Comparen con otros compañeros su tabla y el procedimiento que usaron para rea-lizar los cálculos.

Muchos de los problemas que trabajaste a lo largo de las actividades se resuelven mediante una multiplicación. Por ejemplo, el área de un rectángulo se encuentra multiplicando el largo por el ancho. Al calcular áreas de rectángulo en la actividad El problema del concurso, encontraste que, al multiplicar las fracciones, el producto de los denominadores indica el número de rectángulos en que se subdividió el parque cuadrado, y el producto de los numeradores indica el número de rectángulos que ocupa el área verde.

Escribe en tu cuaderno un problema que pueda resolverse mediante multiplicación de fracciones.

Escribe en tu cuaderno cinco fracciones mixtas.

Resuelve la siguiente multiplicación: 2 12

� 3 2

4 .

¿Qué paso tienes que llevar a cabo antes de multiplicar? Coméntalo con tus com-pañeros y maestro.

Encuentra una fracción mixta que sea equivalente a 132

.

Resuelve en el cuaderno las siguientes actividades.

1. Resuelve los siguientes productos de fracciones, el resultado exprésalo de dos maneras distintas en cada caso, utilizando fracciones equivalentes (pueden o no ser mixtas):

a) 7

5 �

5

7 = b)

8

12 �

2

6 = c)

1

4 �

1

2 = d)

7

5 �

5

7 = e)

6

2 �

5

4 =

2. En un terreno rectangular de 100 m de largo y 35 m de ancho se desea construir un auditorio de forma

triangular. Las dimensiones del triángulo que conforma el auditorio son: base: 2

3 del largo del terreno,

altura: 2

5 del ancho del terreno.¿Qué parte del terreno quedó sin construir?

R l l d


110

Más sobre las fracciones

Resuelve con un compañero, en el cuaderno, los siguientes problemas.

¿Cuál es el número que multiplicado por 5 da como resultado 1? ¿y cuál es el núme-ro que multiplicado por 7 da como resultado 1?

Elige seis números naturales y encuentra para cada uno un número que, multiplica-do por él, dé como resultado 1.

A partir de tus resultados, generaliza una regla usando una literal para representar cualquier número natural para obtener como producto 1. Escríbela a continuación:

a � � 1

Observa que multiplicar a por el número que encontraste es lo mismo que dividir a entre ese número.

Encuentren un número que multiplicado por 3 dé como resultado 8. Jaime dice que

3 × 8

3 da como resultado 8. ¿Es cierta su afirmación? Argumenten su respuesta en

términos de la relación que existe entre la multiplicación y la división. ¿Cuántos números puedes encontrar que satisfagan esta condición?

La mamá de Paco compró una bolsa de naranjas en el mercado. Al llegar, le pidió a

Paco que separara las naranjas porque un kilo, que correspondía a 2

3 partes de las

naranjas, era para ellos y el resto era para su abuelita. Paco se desconcertó, ¿cómo

podía encontrar un número que multiplicado por 2

3 diera como resultado 1? ¿Po-

drías ayudar a Paco?

¿Cuál es el peso de todas las naranjas? ¿Cómo obtuviste el resultado?

Por tanto, podemos deducir que 2

3 de es igual a 1.

Si ya encontraste un número, ¿podrías encontrar otros? ¿Qué tienen en común

todos los números que puedes encontrar?

La mamá de Paco toma 4

15 partes de una botella de aceite, que correspondía a

3

5 partes del total. Para calcular qué parte del total de aceite tomó su mamá, Paco

buscó un número que al multiplicarlo por 3

5 le diera como resultado

4

15.

¿Cuál es ese número?

¿Por qué Paco hizo una multiplicación para encontrar las 3

15 partes del total?

¿Se puede obtener el mismo dato con una división? ¿Por qué?

Se quieren encontrar rectángulos que tengan área de 1 cm2 y cuya base sea 7

2,

7

3, 7

4, etcétera. Construyan en el cuaderno una tabla en la que indiquen la altura

de los ocho primeros rectángulos y respondan ahí mismo. ¿Cuál será la altura del rectángulo 25 de la sucesión? ¿Pueden encontrar una relación que les permita en-contrar la altura de cualquier rectángulo de la sucesión?

A los números que al multiplicarlos por otros dan como resultado 1, se les conoce

como inversos multiplicativos. Por ejemplo, 1

4 es el inverso multiplicativo de 4 por-

que 1

4 � 4 � 1 y

3

4 es el inverso multiplicativo de

4

3 porque

3

4 �

4

3 � 1.

¿Con qué operación está relacionado el inverso multiplicativo de una fracción?

En el sitio web recursostic.educacion.es/descartes/web/miscelanea.php?bloque=1, encontrarás, entre otras actividades interactivas, una sobre la multiplicación de fracciones con base en las áreas de un rectángulo.


111

¿Cómo nos fue?

¿Qué aprendiste acerca de la multiplicación de fracciones al hacer su diseño?

¿Cómo multiplicarías 31

2 por

42

5? Explica qué significa esa operación.

Escribe dos propiedades del producto de dos números fraccionarios. Escribe una explicación de la diferencia que encuentras entre el significado

del producto como suma repetida y el significado del producto de dos fraccio-nes. Proporciona argumentos claros para tu respuesta.


Entreguen su diseño a su maestro para que les comente si puede entrar al concurso

y si es sufi cientemente claro para que un constructor pueda hacer el parque.

Comparen tres distintos diseños para el parque y comenten con los otros equipos cuál les gustó más y por qué. Verifi quen que los cálculos hechos por sus compañeros sean correctos.

Dividir una fracción entre otra, se multiplica la fracción que juega el papel de numerador, por el inverso multiplicativo de la fracción que se encuentra en el lugar del denominador.

Es decir, para dividir dos fracciones: ab

÷ cd

, se multiplica a por d y el producto repre-

senta al numerador del resultado. Del mismo modo b se multiplica por c para formar el

denominador del resultado: ab

÷ cd

= a � db � c

Ahora responde: ¿Cómo resolverías la división

2 5

÷ 7 3

? Elige una de las siguientes opciones:

2 � 35 � 7

2 � 75 � 3

2 � 53 � 7

Comenta con tus compañeros cuál elegiste y por qué.

¿Qué operación te permite obtener el resultado de 1

2 entre

3

4? ¿Cuánto sería

2

5

entre 7

8?

Realiza las siguientes operaciones:

23

÷ 68

=

94

÷ 25

=

37

÷ 34

=

Compara tus resultados con los de otros compañeros.

Resuelve las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Resuelve las siguientes divisiones:

a) 3

9 �

5

12 = b)

2

3 �

4

3 = c) Uno entre cuatro sextos d) 2

3

5 �

4

2 =

2. En cada caso, encuentra algún valor para el número a de tal modo que se cumplan las siguientes igualdades:

a) 3

4 � a � 1 � 2 b)

3

8 � a � 8 � 22 c)

4

7 � a � 5 � 13

3. Inventa un problema que se pueda resolver multiplicando fracciones y otro que se pueda resolver dividien-do fracciones. Resuélvelos.

4. Un kilogramo de azúcar cuesta $15.00, ¿cuánto debes pagar si tienes que comprar 71

2 kg?

a) Si Gustavo pagó $80.00, ¿cuántos kilogramos compró?

Resuelve las siguientes a

Cie

rre


112

14

Blo

que

2

Rectas y ángulos

Contenido

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

La alarma del colegio

Dentro del programa de protección civil del colegio, se necesita instalar una alarma en el patio escolar, a la misma distancia de cada uno de los tres edifi cios del colegio para que se escuche en todas las aulas.

El siguiente dibujo representa el patio y los pasillos del colegio.

¿Se tienen los elementos suficientes para determinar el lugar donde colocarán el poste? En caso de que no, ¿qué les faltaría?

¿Qué tendría que hacer la gente de protección civil para colocar el poste?

Coméntalo con tus compañeros y maestro y juntos traten de encontrar las respuestas. Indica un punto en el que podrían colocar el poste.

El alumbrado público

Antes de revisar tu respuesta al problema de la alarma para el colegio, realiza las

actividades siguientes.

Los encargados del alumbrado público necesitan colocar un poste de luz a la misma distancia de dos casas. Para ello, trazaron una línea que uniera ambas casas y en-contraron el punto medio, como se muestra en la ilustración. Sin embargo, debido a algunos problemas con el suelo, no les fue posible instalar el poste en ese lugar.

Trabaja en equipo con un compañero para presentar al grupo tres maneras dife-rentes de encontrar el centro de un círculo.

Deberán explicar los diferentes intentos que hicieron para encontrarlo y por qué están seguros de que realmente sea el centro.

Por último, usarán uno de sus métodos para encontrar el centro de la Piedra del Sol o Calendario Azteca. Consigan un esquema en una papelería.

Más adelante obtendrán la información al respecto.

Nuestro trabajo

Desarr

ollo

Inic

ioP

laneació

n


113

¿En qué otro lugar se puede colocar el poste de tal manera que quede a la misma distancia de ambas casas? Encuéntralo y márcalo en el dibujo.

Compara con tus compañeros tu respuesta y la estrategia que seguiste. Verifiquen que el punto trazado por cada uno cumpla con la indicación dada.

¿Todos eligieron el mismo punto? ¿Utilizaron la misma estrategia?

Utilicen la estrategia que les haya parecido mejor y tracen varios puntos que se encuentren a la misma distancia de las casas.

¿Pueden demostrar que cualquiera de los puntos marcados cumple con la condición que se re-quiere? Expliquen o describan la demostración.

Unan los puntos trazados con una línea. ¿Qué

observan?

¿Cuál es el ángulo que forma la línea que conec-ta todos esos puntos con la línea trazada original-

mente?

Observa que la línea que une ambas casas tiene un inicio y un fi nal. Estas líneas se llaman segmento de recta o, simplemente, segmento. En cambio, cuando usamos el término recta, nos referimos a una línea que se puede extender de manera infi nita en ambos sentidos.

¿Qué será una semirrecta? Coméntalo con tus compañeros y maestro. El conjunto de puntos donde se puede colocar el poste, ¿es un segmento, una recta

o una semirrecta? Argumenta tu respuesta.

La mediatriz

Retomemos el problema del poste de luz.

Observa de nuevo los puntos que trazaste. Si lo hiciste correctamente, todos los pun-tos deben coincidir en una misma línea recta e intersecar el segmento original en el punto medio. Verifi ca que así sea.

En el problema del alumbrado público, todos los puntos posibles donde se puede colocar el poste de luz representan la mediatriz del segmento que une las dos casas.

Corrige en caso de que haya errores en la ubicación de los puntos para colocar el poste.

Selecciona cualquier punto de la mediatriz y mide la distancia que hay de dicho punto a ambas casas. ¿Qué observas? ¿Sucederá lo mismo con todos los pun-

tos?

¿Alguno de tus compañeros empleó este método al resolver el problema?

Describe las características de la mediatriz y escribe su definición.


114

Compara tu defi nición con tus compañeros y preséntensela a su maestro.

Una de las propiedades de la mediatriz es que todos sus puntos equidistan de los puntos de sus extremos, es decir, que se encuentran a la misma distancia de ambos.

Observa el esquema de la izquierda y resuelve con un compañero este problema.

En otra colonia, se quiere colocar un poste de luz que se encuentre a la misma dis-tancia de tres casas. Los puntos mostrados representan las casas.

Localiza y marca el lugar donde se puede colocar el poste.

¿Habrá otra opción para colocarlo? ¿Por qué?

Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

¿Todos eligieron el mismo punto? ¿Por qué?

Ahora, une con un segmento de recta cada pareja de puntos y encuentra la media-triz de cada uno.

Traza las mediatrices y prolóngalas hasta que se intersequen con las otras dos. Mide la distancia que hay del punto de intersección a las casas. ¿Qué observas?

¿Coincide con el punto que trazaron originalmente? ¿Habrá otro lugar posible para

colocar el poste que cumpla con la condición requerida?

Una nueva sucursal

Una librería tiene dos sucursales ubicadas al noreste y al suroeste de la ciudad res-pectivamente. El próximo año planean abrir una tercera sucursal y quieren informar a sus clientes la ubicación de todas. En su publicidad, desean mostrar un mapa en el cual aparezcan las tres sucursales, coloreada la zona que cada una cubrirá.

¿Cómo quedará distribuido en regiones de colores ese mapa? Si fueran cuatro o cinco sucursales, ¿cómo debería quedar el mapa?

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo para trabajar en la presentación de las diferentes ma-

neras de encontrar el centro de un círculo.

Hagan un primer intento y traten de encontrar el centro de la Piedra del Sol en la ilustración que se muestra.

¿Qué procedimiento emplearon? ¿Cómo podrían demostrar que realmente es el centro? Anoten en su cuaderno el procedimiento que siguieron. En otro círculo, tracen un triángulo de tal manera que los tres vértices estén

sobre la circunferencia. Tracen la mediatriz de cada lado del triángulo. ¿En dónde se intersecan las tres mediatrices? ¿Cómo lo pueden comprobar?

En la Piedra del Sol están talladas

inscripciones alusivas al culto

solar de la cultura mexica.


115

Reúnete con tu equipo para resolver juntos el problema. Trabajen en el cuaderno.

Simplifiquen el problema. Piensen en dos sucursales en lugar de tres. ¿Cómo deberían trazarse las zonas en el mapa? ¿Qué término geométrico se usa para nombrar la línea que divide a las dos zonas? Si alguien viviera sobre esa línea, ¿a cuál sucursal le convendría ir, si quisiera ir a la

más cercana? ¿Qué propiedad tienen todos y cada uno de los puntos que conforman la mediatriz?

Observen las siguientes fi guras para poder encontrar las respuestas. Se une con un segmento los puntos A y B que representan las dos librerías. Se traza la mediatriz de ese segmento. La mediatriz divide el plano que representa la ciudad en dos zonas cada una con su correspondiente librería.

¿Cómo debería trazarse el mapa? ¿En cuántas zonas creen que se dividirá la ciudad? Juntos en equipo planteen su propuesta. Compárenla con la de sus compañeros. ¿Cómo dividirían ahora la ciudad en tres zonas, de tal manera que a cada una le

corresponda una librería? Tracen las mediatrices correspondientes y señalen su res-puesta rellenando con un color diferente cada región.

Observen la figura de la derecha y describan qué se hizo para dividir el plano que re-presenta la ciudad en tres zonas, de tal manera que en cada una haya una librería.

A las personas que viven exactamente sobre cualquiera de las mediatrices, ¿cuál librería les queda más cerca?

¿Qué propiedad tienen cada uno de los puntos que forman la mediatriz? ¿Cómo son las distancias de cualquier punto de la mediatriz a los extremos del

segmento que cortan?

Tracen tres puntos al azar en una hoja en blanco. Intercámbienla con sus compa-ñeros y tracen las mediatrices, para que la hoja quede dividida en tres zonas corres-pondientes a cada punto.

¿En qué otras situaciones puede aplicarse una solución semejante a la del pro-blema de las tres sucursales?

Compartan con sus compañeros de grupo sus ideas.

A

B

Mediatriz

A

B

A

B

A

B

C

En la siguiente pá-gina encontrarás un interactivo en que podrás seguir paso a paso la construcción de la mediatriz de un segmento.inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso1/geometria/geoweb/recta4.htm


116

La bisectriz

Retomemos el problema de la alarma para el colegio. Si el edifi cio escolar solo incluye dos edifi cios unidos que forman un ángulo, como el que se muestra a la izquierda, ¿en dónde convendría colocar la alarma?

Para ubicar el lugar donde debe colocarse la alarma, dos compañeros decidieron ca-minar a lo largo de los lados del ángulo, indicado en color rojo, tomando como punto de partida el vértice.

El ángulo que se muestra a la izquierda representa la vista desde arriba de los bordes de los pasillos exteriores del colegio, mismos que forman un ángulo.

Realiza sobre los lados de este ángulo lo que se indica.

Considera que ambos jóvenes partieron del punto C y caminaron la misma distancia hasta llegar a los puntos A y B respectivamente.

A partir de los puntos en donde están parados, ¿en qué lugar convendría colocar la alarma? Recuerda que debe estar a la misma distancia de ambos edificios. Márcalo sobre el dibujo.

Repite el procedimiento y marca otros puntos en ambos lados del ángulo a la misma distancia del vértice y ubica otro lugar posible para colocar la alarma.

Une, con una semirrecta, los puntos que marcaste como posibles para poner la alarma con el vértice del ángulo. Mide los ángulos que se forman y responde en el cuaderno.

¿Cómo es la medida de ambos ángulos? ¿Cuánto mide cada uno? ¿Cuánto mide el ángulo trazado en color rojo? ¿Qué observas?

La semirrecta que divide un ángulo en dos ángulos iguales se llama bisectriz.

Repasa el procedimiento para trazar una bisectriz que aparece en la secuencia 7 de este libro.

Usa ese procedimiento para trazar la bisectriz del ángulo que se muestra arriba a la izquierda.

Si el colegio está formado por tres edificios que forman dos ángulos, como se mues-tra en la ilustración de la actividad inicial, ¿qué debes hacer para encontrar la solu-

ción al problema?

Explica en el cuaderno, cómo utilizas el trazo de perpendiculares a los lados de un ángulo para resolver el problema de la ubicación de la alarma escolar si el colegio estuviera formado por dos edificios conectados que forman un ángulo.

Analiza tus respuestas con tus compañeros.

El matemático ruso Georgy Feodosevich Voronoy (1868-1908) desarrolló la forma de construir mapas que cumplen con ciertas restricciones, algo similar al problema de las tres sucursales de librerías. En su honor, los diagramas como el que se muestra en la imagen llevan su nombre, Diagrama de Voronoy. Observa que, ¡todo se ha construido a partir de mediatrices!

B

C A


117

¿Cómo nos fue?

¿Qué actividades te gustaron más? ¿Cuáles te gustaron menos? ¿En cuáles actividades tuviste que trabajar más? ¿Qué procedimientos aprendiste para encontrar el centro de un círculo? ¿En qué problema te sirvió dibujar la bisectriz de un ángulo? ¿Cómo podrías dividir un cuadrado en dos rectángulos iguales usando regla y

compás? Escribe un párrafo en el que describas algunas aplicaciones relacionadas con

las mediatrices y las bisectrices en situaciones de la vida cotidiana.


Presenten su trabajo a sus compañeros de grupo.

Al presentar al grupo el cartel que diseñaron, expliquen cada una de las estrategias que probaron para encontrar el centro del Calendario Azteca.

Durante la presentación, discutan cada procedimiento. Si hubiera sido un círculo recortado de una hoja de papel, podrían haberlo doblado a la

mitad para encontrar su centro. Sin embargo, es imposible doblar el Calendario Azteca.

Realiza en el cuaderno las siguientes actividades.

1. Dibuja un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un romboide y traza sus diagonales.a) ¿En qué cuadriláteros las diagonales representan la bisectriz de sus ángulos? Argumenta tu respuesta.

2. Describe cómo construirías las siguientes fi guras usando regla, sin marcas ni números, y compás:a) Un triángulo equiláterob) Un rombo c) Un triángulo isóscelesd) ¿Cómo dividirías un segmento en cuatro partes iguales?Anota cada uno de los pasos que seguiste. ¿En cuáles construcciones utilizaste la mediatriz? ¿En cuáles usaste la bisectriz?


¿Cómo vamos?

Reúnete otra vez con tu equipo y apliquen lo visto en las diferentes activi-

dades para encontrar tres maneras diferentes de encontrar el centro de una

circunferencia. Las siguientes ideas pueden ayudarles en su proyecto:

Coloquen una escuadra de tal manera que el vértice del ángulo de 90º esté sobre la circunferencia.

Tracen los dos lados del ángulo de 90º hasta que se intersequen con la cir-cunferencia en los puntos A y B. Unan esos dos puntos.

¿Qué características tiene el segmento trazado? ¿Qué nombre recibe ese seg-mento?

Tracen una cuerda cualquiera y también su mediatriz. ¿Por qué punto pasa la mediatriz de cualquier cuerda del círculo?

Utilicen el esquema que consiguieron del Calendario Azteca y marquen su centro. Preparen el escrito en el que describan las tres maneras diferentes de loca-

lizar el centro de un círculo.

A

B

Cie

rre


118

15

Blo

que

2

Fórmulas de perímetros y áreas de polígonos regulares

Contenido

Justifi cación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de fi guras.

Los árboles del bosque

En un terreno de un bosque se plantaron árboles. Los encargados del bosque cercaron con alambre una parte del terreno que necesita un cuidado especial, tal como se muestra en la ilustración. Ellos deben calcular el área de la superfi cie que cercaron. La distancia entre cada árbol es de 10 m. También quieren conocer el valor del perímetro.

• ¿Cómo se llama el polígono regular que se muestra en la figura?

• ¿Cómo calcularías su área mediante una fórmula?• ¿Cómo puedes justificar la fórmula y estar seguro que

siempre es válida?• ¿Qué dato te hace falta conocer o medir?• ¿Cómo calcularías su perímetro mediante una fórmula?


Área de polígonos regulares

Realiza la siguiente actividad de manera individual.

Las fi guras que se muestran en la siguiente página son polígonos regulares. Anota debajo de cada fi gura el número de lados que tiene y su nombre.

Junto con un compañero, en este proyecto van a realizar un cartel, en el que muestren cada uno de los pasos que siguieron para descubrir la fórmula para encontrar el área de los polígonos regulares.

Deberán escoger un polígono que tenga un número impar de lados y otro que tenga un número par de lados.

Ambos polígonos deben ser regulares. Su objetivo será encontrar una fórmula para determinar su perímetro y su área.

Pueden aprovechar las actividades que se llevarán a cabo durante la secuencia, pero es importante que las explicaciones sean propias.

Nuestro trabajo

Desarr

ollo

Inic

ioP

laneació

n


119

La fi gura de la derecha tiene todos sus lados iguales pero NO es un polígono regular.

Explica por qué.

¿Miden lo mismo todos los ángulos interiores de este polígono?

¿Qué características se tienen que cumplir para que un polígono sea regular?

¿Cómo se calcula el perímetro de cada uno de estos polígonos?

Reúnete con dos compañeros y discutan cómo podrían encontrar el área de cada

uno de los polígonos regulares que se muestran.

Respondan en el cuaderno las siguientes preguntas:

¿Conocen las fórmulas para encontrar las áreas de triángulos y cuadriláteros? ¿Cómo podrían subdividir los polígonos regulares en esas figuras geométricas? ¿Qué trazos pueden hacer a cada uno de los polígonos para facilitar el proceso? ¿Qué datos necesitan conocer o medir para encontrar el área de cada polígono?

Número de lados: Número de lados: Número de lados:

Nombre del polígono: Nombre del polígono: Nombre del polígono:

Número de lados: Número de lados:

Nombre del polígono: Nombre del polígono:

Número de lados: Número de lados:

Nombre del polígono: Nombre del polígono:


120

Compartan con su profesor sus ideas en torno de las preguntas de la página anterior.

Quizás hayan sugerido el proceso que a continuación proponemos:

Elige tres de los vértices de cada uno de los polígonos regulares. Aprovechando tus co-nocimientos previos, encuentra el centro de la circunferencia que pase por esos tres puntos. Traza la circunferencia. ¿Pasa la circunferencia por los otros vértices del polí-

gono? Explica por qué.

Traza segmentos del centro de la circunferencia a cada uno de los vértices del polí-

gono. ¿Qué tipo de triángulos se forman?

¿Qué datos necesitas conocer o medir para encontrar el área de cada triángulo?

Una vez que calculaste el área de uno de los triángulos, ¿cómo puedes encontrar el

área del polígono?

¿Puedes representar con una fórmula los pasos que llevaste a cabo para encontrar

el área del polígono? ¿Cuál?

Explica cada uno de los pasos que se proponen para el heptágono que se muestra

a la izquierda. Escribe los pasos en el cuaderno.

Área de un heptágono = área de siete triángulos iguales = 7 × base × altura ÷ 2

¿Obtienes el mismo resultado calculando el área de uno de los triángulos y multipli-cando ese dato por 7, que multiplicar en el orden escrito: 7 × base × altura y luego dividiendo entre 2?

¿Qué nombre se da al resultado de multiplicar la base de uno de los triángulos que

conforman el heptágono por 7?

Comparte con tus compañeros tus respuestas y preséntaselas a tu profesor.

Ahora observa las siguientes fi guras y responde en el cuaderno:

¿Cómo se llama el cuadrilátero en el que se convirtió el polígono? Copia esa figura, rótala 180° y júntala con la primera.

¿Cómo se llama este cuadrilátero? Observa que su base mide lo mismo que el perí-metro del polígono.

¿Cómo se encuentra el área de este cuadrilátero? ¿Qué tienes que hacer con ese resultado para calcular el área del polígono?


121

¿Cómo nos fue?

¿Pudiste deducir las fórmulas para encontrar el área y el perímetro de un po-lígono regular?

¿Por qué es necesario usar la palabra apotema en la fórmula en lugar del tér-mino altura?

¿Por qué fue necesario duplicar el paralelogramo o el trapecio en la justifica-ción de la fórmula del área?

Explica las ventajas de contar con una fórmula para encontrar el área de un polígono regular. Si olvidaras la fórmula, ¿cómo calcularías el área de un polí-gono regular?

¿Consideras necesario memorizar la fórmula o es mejor poderla deducir cuan-do la necesites?

Explica por qué el área del polígono se encuentra multiplicando el perímetro del polígono por la altura de uno de los triángulos que lo conforman y dividiendo el re-sultado entre 2.

El segmento perpendicular que va del punto medio de uno de los lados de un polígo-no al centro se conoce como apotema.

¿De qué otra manera puedes escribir la fórmula para encontrar el área de un polígo-no regular teniendo en cuenta lo anterior?

Explica por qué funciona esta fórmula para todos los polígonos regulares.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Repite el proceso anterior con el fi n de encontrar la fórmula para calcular el área

de un octágono:

Encuentra el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del octágono. Divide el octágono en ocho triángulos iguales. ¿Cómo se llama el cuadrilátero que se

forma al juntar los ocho triángulos que conforman el octágono? Copia el cuadrilátero y júntalo a un lado del primero. ¿Por qué no es necesario

rotarlo 180°?

Explica la siguiente fórmula:

Área de un polígono regular � perímetro � apotema � 2


Presenten ante el grupo el cartel que elaboraron con el desarrollo de los pasos para justificar la fórmula del área de un polígono regular.

Comenten con sus compañeros cuáles fueron los conceptos que aprendieron du-rante las actividades realizadas.

Apotema

Cie

rre


122

16

Blo

que

2

Grandes y chicos

Contenido

Identifi cación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Grandes esculturas

stas fotografías corresponden a dos estatuas famosas: la de la Libertad, que tiene una altura de 34 m y está en la ciudad de Nueva York, en Estados Unidos de América y la del Ángel de la Independencia, que mide 6.7 m y se encuentra en la Ciudad de México.

• ¿Has pensado cómo se construye una escultura que modela la figura humana en gran tamaño? ¿Qué factores deben tomarse en cuenta?

• ¿Cómo se deciden las medidas que ha de tener la figura?• De acuerdo con la altura de la Estatua de la Libertad, ¿cuánto crees que mida de

largo su nariz?, ¿y de ancho?• ¿Qué tan largo y ancho debe ser el brazo del Ángel de la Independencia? ¿Cómo

obtuviste tus estimaciones?

Reúnete con un compañero y realicen lo siguiente:

Escriban en su cuaderno qué piensan que significa que las medidas de una perso-na y las de una escultura sean proporcionales.

Expliquen de qué manera realizarían una escultura a escala de uno de sus compa-ñeros de clase.

Describan cómo comprobarían que las medidas de una escultura son proporciona-les a las medidas del objeto original que se utilizó como modelo.

Escriban qué es la constante de proporcionalidad y expliquen cómo pueden utilizar-la en la elaboración de su escultura.

Junto con dos compañeros, harán la portada de un libro de historietas con su-perhéroes o personajes fantásticos de forma humana, pero en escala.

Su portada debe incluir una tabla en la que especifiquen las medidas que debe tener cada uno de los personajes de la historieta.

Nuestro trabajo

La Estatua de la Libertad fue

un regalo de Francia a Estados

Unidos de América por el

centenario de su independencia.

©Orham Can. Shutterstock.

El Ángel de la Independencia, corona el

monumento a los héroes que lucharon por ella.

©Francisco Daniel. Proceso foto.

Inic

ioP

laneació

n


123

Desarr

olloCabezas y cuerpos

Reúnete con un compañero, lean la información de la página anterior y realicen las

actividades siguientes:

¿Cuánto medirá, desde la barbilla, el largo de la cabeza de cada estatua? ¿Cuánto

medirá la mano?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros, así como los criterios que usaron para hacer su estimación.

Una manera de obtener un estimado para la medida de la longitud de la cabeza es utilizar la relación que existe entre la medida de la cabeza de una persona adulta y su estatura.

Por ejemplo, en el salón de clases de Mariana midieron al maestro y descubrieron que entre su cabeza y su estatura hay una razón de 1 a 8.

¿Qué significa esto?

Usen esta información para obtener una aproximación de la longitud de la cabeza del Ángel de la Independencia y de la Estatua de la Libertad, y completen la tabla:

Maestro de MarianaÁngel de la

IndependenciaEstatua de la

Libertad

Longitud de la cabeza

Estatura 1.80 m 6.70 m 34 m

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en la situación anterior?

Con la ayuda de tu compañero mide tu estatura y el largo de tu cabeza.

¿Cuál es la razón entre la medida de tu cabeza y tu estatura?

Ahora, obtengan una aproximación de la longitud de las cabezas de las estatuas uti-lizando tus medidas.

¿Hay diferencias entre su nueva estimación y la que obtuvieron antes? ¿Por qué?

Si una persona tiene una relación de 2 a 15 entre su cabeza y su estatura, y en otra persona la relación es de 1 a 7, ¿es posible saber quién tiene la cabeza de mayor

tamaño? Argumenten su respuesta.

¿Cuánto medirá la cabeza de cada persona si la altura de ambas es 1.70 m?

¿Y si miden 1.50 m? ¿Qué sucede si una persona mide 1.50 m y la otra 1.70 m de es-

tatura?

Una tercera persona tiene una relación de 2 a 14 entre su cabeza y su estatura.

¿Cómo se compara esta relación con la de las otras dos personas?

Coméntenlo con sus compañeros y maestro.

La relación entre la longitud de

la cabeza de una persona y su

estatura es proporcional.


124

El libro Alicia en el país de las maravillas fue pu-blicado en 1865. Su autor, el reverendo Charles Lutwidge Dodgson, cuyo seudónimo era Lewis Carroll, se dedicaba a las matemáticas, a la fo-tografía y a escribir. La historia originalmente sur-gió como un cuento que contó a tres hermanas de edades entre 8 y 13 años durante un viaje en barco. Debido a la insistencia de una de las pequeñas, Alice Liddell, Lutwidge escribió e ilus-tró el cuento y lo regaló a la pequeña Alice en la Navidad de 1864. Un poco más tarde el libro se publicó por primera vez.

¿De qué tamaño es Alicia?

Algunos artistas se basan en la proporcionalidad humana para realizar sus obras, como en el caso de las estatuas mencionadas al inicio de la secuencia. En el relato Alicia en el país de las maravillas el autor juega con esa proporcionalidad, al aumentar o disminuir el tamaño de la niña.

Lee la situación que se plantea y realiza las actividades:

Alicia bebe el líquido de unas botellas que causa que su tamaño aumente o dis-minuya. Supongamos que el líquido hizo que su estatura se redujera de 70 a 40 centímetros.

¿Cuánto medirá de largo su brazo si originalmente era de 30 cm?

¿Y si la estatura de Alicia fuera de 1.1 m?

¿Qué hiciste para obtener los resultados?

La última pregunta se contesta al menos de dos maneras. Puede usarse el factor de proporcionalidad que relaciona la estatura con la longitud del brazo:

Longitud del brazoEstatura

= 3070

= 37

y se multiplica por 110 cm:

110 � 37

= 3307

= 47.14 cm

Otra opción es sumar la longitud del brazo para una estatura de 70 cm, es decir 30 cm, con la longitud que corresponde a la estatura de 40 cm y que encontraste en la pregunta anterior: 17.14 cm (30 + 17.14 = 47.14).

Los métodos anteriores se sustentan en dos propieda-des importantes de la proporcionalidad:

En una relación proporcional, el factor de proporcio-

nalidad se mantiene constante. Es decir, el mismo factor de proporcionalidad se utiliza para calcular la medida del brazo para distintas estaturas de Alicia.

Propiedad aditiva o de la suma. Si sumamos dos cantidades de un tipo de la relación proporcional po-demos sumar también sus correspondientes canti-dades del otro tipo. Por ejemplo, puedes sumar dos estaturas (70 cm + 40 cm = 110 cm) y obtener la longitud del brazo de la nueva al sumar las longitudes de los brazos correspondientes a cada estatura.

¿Cómo vamos?

Reúnanse para trabajar en la portada de la historieta.

Al elaborarla deben determinar la medida de la cabeza y la estatura de sus personajes.

¿Qué medidas de la figura humana usarán como modelo? Suponiendo que un personaje humano mide 10 centímetros de altura en la

portada, ¿cuánto medirá de largo su cabeza? ¿Y si mide 6 centímetros? Si cuentan con las medidas de una figura, por ejemplo su altura, ¿cómo

encuentran las de otra figura cuyas medidas son proporcionales a las de la primera?

Definan el número y el tipo de personajes que usarán.


125

Resuelve:

1. A lo largo de la historia de Alicia en el país de las maravillas, ella visita a distintos personajes. En una es-cena es invitada a tomar el té con el Sombrerero Loco.a) Si la estatura de Alicia en ese momento fuera de 30 cm, ¿qué medidas deberían tener la mesa y las

sillas en las que se sientan ambos a tomar el té?b) Y las tazas de té, ¿qué altura tendrían?c) Completa la siguiente tabla. Obtén las medidas originales de la mesa, sillas y tazas a partir de objetos

reales que encuentres en tu salón de clases o en tu casa.

Medida original Medida en la historia

Mesa Largo

Ancho

Altura

Sillas Altura

Tazas Altura

2. En algunas ocasiones, Alicia crece o se reduce de manera desproporcionada. Responde en el cuaderno:

a) ¿Es posible, dadas las medidas originales, encontrar las medidas nuevas cuando Alicia crece solamen-te a lo alto? Justifi ca tu respuesta mediante ejemplos.

3. En una escena Alicia mide 30 centímetros de altura y el largo de sus piernas es de 18 centímetros. Al comer un pedazo de pastel, Alicia crece hasta medir 50 centímetros. En este caso sus piernas son de 38 centímetros de largo.a) ¿Creció Alicia de manera proporcionada?b) ¿Cómo lo sabes? ¿Y si midieran 30 centímetros de largo?

4. Imagina que te reduces, de manera proporcional, a una altura de 30 centímetros.a) Calcula cuánto medirían de largo tus brazos y piernas.

Resuelve:

Reúnete con un compañero y completen la tabla con las medidas de Alicia al tomar el líquido de diferentes botellas:

Original Botella 1 Botella 2 Botella 3 Botella 2 Botella 3

Estatura de Alicia 70 cm 40 cm 110 cm 3 cm

Brazos 30 cm 2 cm

Piernas 42 cm 100 cm

Cabeza 8 cm

Tronco 21 cm

Comparen su tabla con las de otros compañeros y comenten sobre el método que emplearon para completarla.

¿Todos utilizaron el mismo procedimiento? ¿Hubo procedimientos diferentes de los

mencionados? En caso de que así sea, expliquen en qué consisten.

p j


126

Como te podrás dar cuenta, existe una relación de proporcionalidad entre las medidas de una persona y las medidas de esculturas como el Ángel de la Independencia, o entre las medidas de una persona y las de un personaje de historieta con forma humana. En estos casos, decimos que las esculturas o los dibujos son reproducciones a escala.

Diseños de revista

Un ilustrador hizo el diseño de la fi gura 1 para la portada de una revista. El jefe quedó complacido con el diseño, pero le pidió que lo hiciera más pequeño, es decir, a escala. Para que una fi gura esté a escala respecto a otra, las medidas de sus lados deben ser proporcionales.El ilustrador entregó dos diseños:

¿Cuál diseño crees que habría aprobado el jefe? Justifica tu respuesta.

Si la figura 1 midiera 16 cm de largo y 6 cm de ancho, ¿cuál sería el ancho de una figura proporcional si su largo fuera de 10 centímetros?

Reúnete con un compañero y, en el cuaderno, escriban una fórmula en la que se relacione la medida de la base de la fi gura 1 con la medida de la base de la fi gura 3. Elaboren un diseño igual al del ilustrador, pero al doble de sus medidas.

¿Cómo es el perímetro de la figura original respecto al perímetro de su

dibujo? ¿Y el área?

Si primero se aumenta tres veces la longitud de los lados de la figura 1 y luego se disminuye a la mitad, ¿cuál es la relación entre cualquier lado de esa figura y el lado correspondiente de la que se obtiene al

final?

¿Es equivalente el resultado anterior al que se obtiene si primero dis-minuimos a la mitad y luego aumentamos tres veces la medida de los lados? Con ejemplos, en el cuaderno, justifiquen su respuesta.

¿Cómo vamos?

Calculen las medidas de los brazos, piernas y cabeza de los personajes de la

portada del libro de historietas.

Si aparecen niños, tengan presente que la relación entre la cabeza y la estatura es distinta de la de un adulto. Cuanto más pequeño sea el niño, más grande es su cabeza en relación con su cuerpo. Escribe las medidas en una tabla como las anteriores.

¿Habrá muebles u otros objetos en la portada de tu libro de historietas? Si es así, ¿cuáles serán sus medidas? Especifícalas en una tabla.

Las medidas de los personajes, ¿son todas proporcionales a las medidas de una figura humana?

¿Cuáles fueron los factores de proporcionalidad utilizados?

Figura 2

Figura 1

Figura 3


127

Resuelve estos ejercicios:

1. Los siguientes rectángulos representan tapetes rectangulares cuyas medidas son proporcionales. Anota la medida que falta.

2. Las medidas de dos tapetes cuadrados son proporcionales. Si el lado del primero es 120.5 cm y el factor de

proporcionalidad es 34

, ¿cuánto mide el lado del segundo tapete?

3. Marcos mide 1.60 m de estatura y la longitud de su cabeza es de 22 centímetros.

a) ¿Cuánto medirá su cabeza de largo en una foto en la que él aparece de 12 cm de altura?

Resuelve estos ejercicios

Cie

rre

¿Cómo nos fue?

¿En cuál actividad tuviste que trabajar más? Si tuvieras que repetir la actividad de la portada, ¿qué personajes elegirías aho-

ra? ¿Por qué? ¿Cómo calcularías sus medidas? ¿Cómo puedes distinguir una situación de proporcionalidad de otra que no lo

es? ¿En qué te basas? ¿Cómo puedes encontrar, de dos maneras distintas, las medidas de un perso-

naje fantástico basándote en las medidas de un animal real? Si la altura de una casa de tamaño real es de 4.5 metros y se hace una casa

de muñecas a escala con una altura de 50 centímetros, ¿cuál es el factor de proporcionalidad que se utilizó?


Muestren la portada de su revista al grupo y expliquen cómo hicieron los dibujos.

Comenten cuáles son las características de una situación de proporcionalidad. Midan la altura de uno de los personajes de la portada de la revista de historietas. ¿Cuál sería su altura en la realidad? ¿Cuánto medirían de largo sus manos?

40 cm

60 cm80 cm


128

UNIDAD: Materiales reciclables

Pregunta 1: MATERIALES RECICLABLES

Contexto: PúblicoAprendizaje esperado: Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

En el mes de junio la escuela Emiliano Zapata obtuvo la misma ganancia por la venta de botellas de PET y

latas de aluminio. Describe cómo calcular la ganancia mínima si se vendió un número entero de kilogramos

de ambos materiales.



En mayo, la escuela obtuvo $1 397 por la venta de baterías de automóvil usadas y en abril, $1905. ¿Cuál es

el precio máximo de una batería?

a) $117 b) $120 c) $127 d) $107



Una botella de PET con capacidad de 600 mL pesa 24 g, mientras que una lata de aluminio pesa 13 g. Clara

reunió una bolsa con latas de aluminio y otra con botellas de PET, ambas pesaban lo mismo. ¿Cuál es lo mí-

nimo que pudo haber pesado cada bolsa? Muestra tus operaciones.

Respuesta:

Diversos objetos de uso cotidiano están elabora-

dos con materiales que pueden ser reciclados, por

ejemplo, el papel, el cartón y las latas de alumi-

nio. El ahorro de energía y evitar la contaminación

del aire y suelo son algunos de los benefi cios del

reciclaje.

Algunas escuelas han implementado programas

para el acopio de este tipo de materiales, después

los venden y obtienen recursos para el colegio.

La siguiente tabla muestra los precios de algunos

materiales para reciclar.


Material Precio por kilogramo

Cartón $1

Botellas de PET $6

Fierro $3

Latas de aluminio $18


129

UNIDAD: Las albercas

Para la fi esta de cumpleaños de Frida se desean colocar dos albercas

infl ables en su patio. Una para los niños pequeños y otra para los niños

más grandes. La forma del patio es cuadrada y las albercas son redon-

das como se muestra en la ilustración.

Pregunta 1: LAS ALBERCAS Contexto: PersonalAprendizaje esperado: Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros

Describe cómo calcular el radio máximo que pueden tener las albercas.


¿El procedimiento anterior sería válido si el patio tuviera forma de rombo? Explica tu respuesta.


Frida y dos de sus primos, colocados como se muestra en la ilus-

tración, juegan con una pelota. Uno de ellos la lanza y los otros

dos intentan atraparla, el que la gana vuelve a su lugar y la lanza

de nuevo.

¿Qué líneas debe seguir la pelota para que los dos jugadores que

intentan tomarla tengan la misma oportunidad de hacerlo?

a) Las alturas del triángulo FDRb) Las medianas del triángulo FDRc) Las bisectrices del triángulo FDRd) Las mediatrices del triángulo FDR


Si Frida y sus primos cambiaran de posición de manera que en el triángulo FDR coincidieran las alturas,

las mediatrices, las bisectrices y las medianas, ¿qué tipo de triángulo sería?

Respuesta:


130


131

Bloque 3


• Resuelvas problemas que implican efectuar multi-plicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.

• Resuelvas problemas que impliquen el uso de ecua-ciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales.

• Resuelvas problemas que implican el cálculo de cual-quiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Expliques la relación que existe entre el perímetro y el área de las fi guras.

Sombrillas chinasSombrillas chinas

Según datos históricos, hace 1 700 años, durante la dinastía Cao Wei,

los chinos inventaron una sombrilla cuyos radios permitían cerrarla

cuando no se usaba. La imagen se relaciona con el contenido de las

secuencias 20 y 21.


132

17

Blo

que

3 Multiplicación de números con decimalesContenido

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

A paso de tortuga

Lily leyó lo siguiente en una revista: “Por medio de investigaciones, se ha medido la velocidad promedio a la que se desplazan muchos animales. Algunos animales co-nocidos por su lentitud son el perezoso, que avanza en promedio 3.33 m por minuto, la tortuga, que se desplaza 1.17 m por minuto, y el caracol, que avanza 0.084 m en igual tiempo”.

Lily comentó con Luis y con Ana lo que leyó y decidieron comparar la distancia que estos animales recorrerían en un tiempo igual partiendo del mismo punto y momento.

• ¿Cómo calcularías la distancia que puede recorrer cada animal en un periodo es-pecífico de tiempo?

Coméntalo con tus compañeros y con tu profesor.

Reúnete con dos compañeros para discutir cómo podrían multiplicar 2.15 por 3 utili-zando lo que han aprendido hasta ahora acerca de las operaciones con números con decimales.

Decidan dos procedimientos para hacer esta multiplicación. Escriban en sus cuadernos los dos procedimientos que hayan determinado. Comparen sus procedimientos con los de otro equipo. Expliquen a los compañeros del otro equipo sus dos procedimientos. Ellos les expli-

carán los suyos. Discutan con ellos si son iguales o en qué difieren. Al final, decidan entre los dos equipos cuál les parece mejor.

Tres empresas te han contactado para que las ayudes a decidir cuál compañía de teléfonos les conviene contratar para pagar lo menos posible. Cada una tiene diferentes necesidades, por lo que tu labor y la de tu equipo será ayudarlas a decidir cuál de las compañías de telefonía les conviene contratar.

La decisión debe ir acompañada de un informe en el que se justifique clara-mente por qué se recomienda la compañía seleccionada y cuándo se deben hacer las llamadas de larga distancia.

Durante las actividades, encontrarán ideas que les serán útiles para el análisis y comparación de las tarifas telefónicas para cada uno de los empresarios.

Nuestro trabajo

La tortuga se desplaza 1.17 m por minuto.

El caracol y la tortuga se desplazan

más despacio que el perezoso, conocido

por ser el mamífero más lento.

El caracol se desplaza 0.084 m

por minuto.

El perezoso se desplaza 3.33 m

por minuto.

m

Pla

neació

nIn

icio


133

Desarr

olloEnteros por cantidades con decimales

Antes de iniciar con tu propuesta para las diferentes empresas, lee de nuevo la

información sobre la velocidad de desplazamiento de los animales de la página

anterior y realiza en el cuaderno las actividades siguientes.

¿Qué distancia recorrerá la tortuga en 10, 100 y 1 000 minutos? Explica el procedimiento que seguiste para hacer los cálculos.

Observa cómo cambian las cantidades y, a partir de esto, escribe una regla que te per-mita encontrar el resultado de este tipo de multiplicaciones de manera rápida sin hacer la operación.

Aplica la regla que escribiste para calcular la distancia que recorrerían los otros dos animales en los mismos periodos de tiempo.

Perezoso � Caracol �

Ahora utiliza el procedimiento que eligieron en la actividad inicial y calcula la distan-cia que puede recorrer cada animal en 5 minutos.

Caracol =

Perezoso =

Tortuga =

Compara tus respuestas con las de otros compañeros. En caso de que existan dife-rencias, utilicen la calculadora para comprobar los resultados.

¿Qué relación hay entre la parte decimal del factor y la parte decimal del producto?

Ahora analiza el siguiente procedimiento para multiplicar 8.9 � 5.

Se escribe el número 8.9 sin el punto decimal, es decir 89, y se multiplica por 5. El resultado es 445.

Para colocar el punto decimal en el producto, se cuentan las cifras decimales del factor. En seguida, en el producto se cuenta el mismo número de cifras de derecha a izquierda y se coloca el punto: 44.5.

Así, el resultado es 8.9 × 5 = 44.5

Sigue el procedimiento anterior y calcula las siguientes multiplicaciones:

0.7 � 6 = 1.2 � 3 = 0.25 � 4 =

Para multiplicar un número con decimales por un entero, se multiplica el número con decimales como si fuera un entero, sin el punto decimal, por el número entero dado y en el resultado se coloca el punto decimal de manera que el número de cifras después del punto decimal sea el mismo que tiene el número con decimales original.

Utiliza el procedimiento que acabas de aprender y calcula la distancia que recorre-rían los animales de los que hemos hablado en 4, 12 y 28 minutos.

Compara tus resultados con algunos compañeros y la regla que cada uno estableció para multiplicar números enteros por números con decimales.

¿Qué sucede cuando multiplicas un número entero por un número mayor que uno?

¿Qué sucede cuando multiplicas un número entero por un número menor que uno?


134

La mariposa y la mosca, entre la

innumerable variedad de insectos

que existen, son los que más rápido

baten sus alas.

Multiplicación de números con decimales

Para continuar trabajando con la multiplicación de números con decimales, reúne-

te con un compañero y realicen las actividades siguientes.

El tiempo que tarda una mosca en batir sus alas una vez es de 0.003 segundos y el tiempo que tarda una mariposa en batir sus alas una vez es de 0.050 segundos.

¿Cuánto tiempo le toma a una mosca y a una mariposa batir sus alas 10, 100, 1 000, 2 000 y 5 000 veces?

Felipe, un corredor de autos fórmula 1, puede viajar a una velocidad promedio de 154.37 km/h en una pista. ¿Qué distancia puede recorrer a esa velocidad en 3.5 horas?

La señora Leticia compró en la tienda 37.56 m de listón a un precio de $0.95 el metro. ¿Cuánto pagó por el listón?

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo para trabajar en las sugerencias que le harán a cada

una de las empresas sobre la compañía telefónica que les conviene contratar.

Las necesidades de cada empresa son las siguientes: Empresa I. Utiliza en promedio 967.34 minutos en llamadas locales y 567.12

minutos en larga distancia entre semana. Empresa II. Calcula que utiliza en promedio 1 543.47 minutos en llamadas

locales y 475 minutos de larga distancia que realizan entre semana o en fin de semana.

Empresa III. Estima que requiere en promedio 1 250.06 minutos en llama-das locales y 650 minutos de larga distancia que pueden usarse entre sema-na o en fin de semana.

La siguiente tabla muestra las tarifas de cinco compañías telefónicas distintas:

CompañíaRenta fi ja

mensual

Minutos incluidos

en la renta fi ja al

mes

Precio por

minuto adicional

a la renta fi ja ($)

Precio por

minuto de larga

distancia ($)

Precio por minuto de

larga distancia en

fi n de semana ($)

A $450.00 200 2.25 2.35 2.25

B $150.00 100 3.48 4.25 3.82

C $269.00 150 2.10 2.17 1.55

D $549.00 235 2.00 2.00 1.88

E $245.00 187 1.50 3.85 1.98

¿Cuánto cuesta hablar 5 minutos adicionales en la compañía A? ¿Y en la B? ¿Cuánto cuesta en esas compañías hablar 12 minutos adicionales?

¿Cuánto cuesta hablar 8 minutos de larga distancia entre semana en la com-pañía C? ¿Y en la D?

¿Cuánto pagaría al mes el empresario I si contratara a la compañía A para hacer 515 minutos de llamadas locales y 254 minutos de larga distancia?

¿Cómo podrían determinar cuál compañía le conviene más a cada empresa?

Analicen las tarifas de todas las compañías y piensen en una estrategia para trabajar en las sugerencias que le harán a cada empresa de acuerdo con sus necesidades.


135

¿Qué estrategia siguieron para resolver las actividades anteriores? Coméntenlo con otros compañeros.

El rendimiento promedio de un cierto tipo de automóvil en carretera es de 14.8 kiló-metros por cada litro de gasolina. Si antes de salir a carretera el tanque de un auto-móvil contiene 9.5 litros de gasolina, ¿alcanzará para recorrer 160 km?

¿Qué operación les permite saber si alcanza o no la gasolina? Para multiplicar dos números con decimales, por ejemplo, 16.7 × 3.48, escribimos

ambos números sin el punto decimal, como si fueran enteros, que en este caso son

y y los multiplicamos: � =

Después, contamos las cifras decimales de los dos factores, que en total son .

Luego, para colocar el punto decimal en el producto, contamos, de derecha a iz-quierda, tantas cifras como cifras decimales hay en los factores.

El resultado de la multiplicación es .

Usen este procedimiento para multiplicar 23.56 � 1.33 =

Para multiplicar dos números con decimales, se multiplican los números dados sin el punto decimal y, una vez obtenido el producto, se coloca el punto decimal de manera que el número de decimales en el resultado sea igual a la suma de las cifras decima-les de los números originales.

2.47 � 7.8 = 19.266

Apliquen la regla para la multiplicación de 34.67 por 0.79, comparen el resulta-do con el que obtuvieron antes y verifíquenlo en la calculadora.

Encuentren los siguientes productos:

4.123 × 2.5 = ♦ 3.05 × 6.342 = ♦ 8.5403 � 2.134 =

Escojan otros dos número con decimales y multiplíquenlos utilizando la regla anterior.


1. Desde el punto de vista nutricional, un pan integral aporta 9 gramos de pro-teínas, 1.5 gramos de lípidos y 57.5 gramos de hidratos de carbono.a) ¿Qué cantidad de nutrientes incorpora una persona que ingiere tres de

estos panes? b) Si comes 2 de estos panes diariamente de lunes a viernes, ¿qué cantidad

de nutrientes incorporarás?

2. Tienes un trozo de cartulina que mide 30 cm de largo por 2 cm de ancho. Quieres hacer tarjetas de 2.5 cm de largo por 2 cm de ancho cada una.a) ¿Cuántas tarjetas puedes obtener si utilizas al máximo la cartulina?

3. ¿Cómo multiplicarías dos números con decimales? Por ejemplo 0.65 por 0.25. ¿Cuál es el resultado?

4. Escribe el factor que falta en las siguientes multiplicaciones:

a) 3.08 � � 30.8

b) 0.134 � � 1.34


136

La velocidad de los animales

Revisa otra vez la información de la actividad inicial y realiza con un compañero

las siguientes actividades. Justifi quen las respuestas y coméntelas con el profesor.

¿A qué distancia se encontrarían uno del otro el perezoso, la tortuga y el caracol al

cabo de 2.5 minutos de iniciado el recorrido?

Completen la tabla:

Minutos 0.5 2.5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

Distancia recorrida por el perezoso

Distancia recorrida por la tortuga

Distancia recorrida por el caracol

¿A qué distancia se encontrarían uno del otro al cabo de 50 minutos?

¿En qué proporción se encuentran las velocidades de los tres animales?

¿Qué sucede con el resultado de una multiplicación de un número mayor que uno

por uno menor que uno?

¿Cómo es el producto de una multiplicación de dos números menores que uno en

relación con dichos factores?

¿Cómo vamos?

Reúnete otra vez con tu equipo, discutan y resuelvan las actividades siguientes.

Utilicen la regla que encontraron para multiplicar cantidades con decimales:

¿Cuál de las compañías estiman que es mejor para el empresario I?

Discutan qué procedimiento utilizar para determinar si la compañía que es-timaron es la mejor.

Elaboren una tabla en la que comparen cuánto pagaría al mes el empresario I si contratara a cada una de las compañías. ¿Qué le conviene hacer?

¿Qué tanto les han servido las tablas para determinar a cuál compañía le conviene contratar? ¿Compararon varios procedimientos o sólo uno?

Elaboren tablas en las que comparen cuánto pagarían al mes el empresario II y el empresario III si contrataran a cada una de las compañías. ¿Qué le conviene hacer a cada uno?

Discutan cuál es la mejor opción para cada empresario y cómo quedará mejor el informe para justificar la elección.

Escriban sus informes para las tres compañías.

En las siguiente di-rección podrás en-contrar una anima-ción acerca de cómo realizar una multipli-cación con números decimales. Puedes visitarla y realizar al-gunos ejercicios:www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/decimalesmultiplicar.html


137

¿Cómo nos fue?

Explica cómo se pueden comparar mejor las tarifas telefónicas y cuál es la rela-ción con la proporcionalidad de la multiplicación por números con decimales.

Un rectángulo mide 0.88 metros de largo por 0.45 metros de ancho. ¿La medi-da del área será un número mayor o menor que las medidas dadas? ¿por qué? Encuentra el área del rectángulo. ¿Coincide el resultado que encuentras con la respuesta que diste a la primera pregunta?

¿Qué tan fácil te resultó entender la relación entre la multiplicación de núme-ros con decimales y la operación correspondiente con fracciones?

¿Por qué es importante comparar las ofertas de precios de distintas compañías? Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el profesor.


Presenten su informe para las empresas a otro equipo y a su maestro.

Verifi quen que todos los cálculos hechos por sus compañeros sean correctos.Revisen de manera grupal todas las propuestas y comenten cuál les parece más clara para los empresarios.

Resuelve los problemas siguientes en el cuaderno.

1. Si un kilogramo de jitomate cuesta $1.55, ¿cuánto se debe pagar por 0.750 kg, 1.5 kg, 0.5 kg y 6.75 kg?

2. En una fábrica de manteles, deciden sacar al mercado manteles rectangulares grandes. Un rollo de la tela mide 1.65 m de ancho. Para aprovechar el ancho de la tela, deciden que los manteles tengan esa misma medida de ancho y 3.25 m de largo. ¿Cuál es el área de cada mantel?

3. Si un euro cuesta $16.35, ¿cuánto costarían 100 euros? ¿Cuánto costaría en pesos mexicanos un pantalón que cuesta 23.34 euros?

4. Paco quiere hacer seis banderines en forma de triángulos isóceles con papel de China para su fi esta. Los banderines deben medir 12.45 cm de base y 25.37 cm de altura.a) ¿Cuál será el área de cada banderín? b) ¿Cuánto papel de China necesitará como mínimo para hacer los seis banderines?

Resuelve los problemas s

¿Cómo surgió la manera en que escribimos los números con decimales? François Viète fue quien propuso en 1579 el uso de las fracciones con denominador 10 o una potencia de 10 para escribir los números menores que uno y también el uso de un punto o una línea vertical para separar la parte entera de la parte fraccionaria de un número. Más adelante, Stévin hizo un gran esfuerzo por popularizar el uso de las fracciones decimales. En 1616, en la obra de John Napier, los números decimales aparecen como los usamos hoy. En México y en los países anglosajones se utiliza el punto para separar la parte decimal de la entera; en muchos otros países se utiliza la coma en lugar del punto.

Cie

rre


138

18

Blo

que

3

División con decimales

Contenido

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

La nevería

Héctor, el encargado de una nevería, debe colocar para su venta 75 litros de helado de fresa en envases de 0.25 L; 150 L de helado de chocolate en envases de 0.5 L y 137 L de helado de vainilla en envases de 0.75 L. También debe colocar 188 galones de helado de importación de galleta con chispas de chocolate, en envases de 1 pinta.Héctor requiere saber cuántos envases necesita para cada sabor de helado.

• ¿Cómo puede calcular la cantidad de envases que necesita para cada sabor?• ¿Cuántos envases de cada tipo de helado puede llenar?

Comparte tus respuestas con tus compañeros y explica cómo las obtuviste.

En muchas ocasiones es necesario empacar líquidos o sólidos que están original-mente contenidos en recipientes de mucha capacidad en otros de capacidad menor, como en el caso de los helados.

Reúnete con dos compañeros para discutir en qué casos ocurre esto. A partir de su discusión hagan una lista de objetos que se deban empacar en envases de menor capacidad para su distribución.

Discutan también qué harían para repartir el contenido original en los nuevos envases.

Por equipos, elaborarán una dieta para tres días de acuerdo con los lineamientos que el médico le dio a una persona y la presentarán ante el grupo y el profesor.

Para ello deben calcular la cantidad en gramos o litros que la persona puede consumir de distintos alimentos.

En la siguiente tabla se encuentra la cantidad de kilocalorías (kcal) que, de acuerdo con las instrucciones del médico, la persona debe consumir en cada comida, de los distintos grupos de nutrientes.

Calcio(lácteos)

kcal

Proteínas(carne, pescado, huevos,

frijoles, lentejas) kcal

Verduraskcal

Carbohidratos(harinas, pan, arroz, pastas)

kcal

Frutaskcal

Grasas(mantequilla, aceite,

nueces) kcal

Desayuno 124 78 210 56

Comida 250 110 180 100 30

Cena 130 180 112 120

¿De cuántas kilocalorías en total es la dieta que el médico recomienda? Con base en los datos de una lista que encontrarás más adelante, calcula-

rás la cantidad de gramos que la persona debe consumir.

Nuestro trabajo

Con el propósito de satisfacer a los

clientes, en las neverías se ofrecen

los helados en envases diversos.

Inic

ioP

laneació

n


139

Envases de helados importados de

un galón y de un cuarto.

pinta. Medida de ca-pacidad del sistema inglés que equivale a 0.47 L.

Distintos envases

Reúnete con dos compañeros y comenten acerca del procedimiento que utilizaron para encontrar cuántos envases se necesitan para el helado de chocolate.

¿Coincidieron en su procedimiento?

¿Usarían el mismo procedimiento para encontrar los envases que se necesitan para

los helados de fresa y de vainilla? ¿Por qué?

Si tuvieran que vender el helado de fresa en envases de 1 L, necesitarían 75.

Como los envases que necesitan en la nevería son de 0.25 L, ¿cuántos envases

necesitan para un litro de helado? ¿Y para los 75 litros?

¿Alguno de sus compañeros empleó esta lógica para resolver el problema?

El dueño de la nevería decidió importar otros helados de nuevos sabores. Recibió 137 L de helado de malvavisco, 152 L de helado de galletas con chispas de chocolate y 95 L de helado de chicle en envases de 1 galón, 1 cuarto y 1 pinta. El galón, el cuarto y la pinta son unidades de medida del sistema inglés.

Un galón equivale a 3.79 L, un cuarto equivale a 1.14 L y una pinta equivale a 0.47 L.

¿Cuántos envases de un galón recibió con helado de galletas?

Si el helado de malvavisco venía en envases de un cuarto, ¿cuántos envases recibió?

¿Cuántos envases de una pinta de helado de chicle puede llenar?

Comparen sus respuestas y las operaciones que hicieron con las de otros compañeros.

Resuelvan con la calculadora las divisiones 36 ÷ 0.45, 360 ÷ 04.5 y 3 600 ÷ 45.

¿Qué relación hay entre los elementos de la división?

¿Cómo son entre sí los cocientes?

¿Por qué crees que sucede lo anterior?

Comenten con otros compañeros sus respuestas y, juntos, describan cómo se puede resolver, sin el uso de la calculadora, una división de un número entero entre uno decimal.

Una manera de resolver el problema de los vasos de helado es con la división 75 entre

0.25. Podemos expresar esta operación como 750.25

o como 0.25 75

Para resolver la división con el siguiente procedimiento:

Se multiplica 0.25 por 100 para convertirlo en un número entero. El resultado es 25. Como 0.25 se multiplicó por 100, para que el resultado de la división no cambie,

también el dividendo se multiplica por 100. Así la división 75 ÷ 0.25 se transforma en una división equivalente, es decir, una en la que el resultado será el mismo, como se muestra a la derecha.

Resuelve la división anterior. ¿Cuál es el resultado de 75 ÷ 0.25? Ahora, considera el caso del helado de chocolate. La división que ayuda a resolverlo

es 150 � 0.5. Usa el procedimiento anterior para encontrar el resultado de la división.

25 7 500

Desarr

ollo


140

Como pudiste ver en actividades anteriores, al resolver una división con números decimales, es muy útil convertir las cantidades en números enteros. Ahora veamos la forma convencional de resolver este tipo de operaciones. Vamos a considerar tres casos para las divisiones de números con decimales:

Caso 1. El dividendo es un número con decimales y el divisor es un número entero.Se realiza la división como si ambos números fueran enteros y en el cociente se colo-ca el punto decimal en el mismo lugar (alineado) que el punto del dividendo.

6.5 5 32.5 2 5 0

Caso 2. El dividendo es un número entero y el divisor tiene una parte decimal.Se agregan en el dividiendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor y, al igual que el caso anterior, se opera como si fueran números enteros. Si es necesario se agregan ceros en el dividendo para seguir operando y se coloca el punto decimal en el cociente.

4 4 7. 5 300 = 75 300 0 0

Caso 3. Tanto el dividendo como el divisor son números con parte decimal.Se recorre a la derecha el punto decimal en el dividiendo tantos lugares como cifras decimales tenga el divisor, si es necesario se agregan ceros. Después se opera como si fueran números enteros, siguiendo el procedimiento del primer caso expuesto o, bien, como si fueran números enteros.

3.1 3.1 1.22 3.80. = 122 380 140 140 18 18

En los tres casos, en el dividendo se agregan ceros para seguir operando, hasta que el residuo sea cero o hasta llegar a una aproximación satisfactoria, como en el ejemplo del tercer caso.

En cada uno de los siguientes casos, resuelve en el cuaderno la división indicando cada paso realizado, compara tus resultados con el grupo y comenten:

Caso A ¿Cuántas bolsas de 0.25 kg se necesitan para empacar 362 kg de manzanas?

Caso B En una fábrica produjeron 188 galones de jugo de naranja, que equivalen a 712.52 L.

Si se quieren vaciar en envases de 3 litros, ¿cuántos envases se necesitan?

Caso C En una avenida están colocando lámparas cada 0.15 km. ¿Cuántas lámparas

tienen que instalar en un tramo de 6.35 km?

¿Es posible que el resultado de una división sea mayor que el dividendo o el divisor?

Si es posible, escriban un ejemplo de cada caso.


141

¿Cómo vamos?

A continuación se muestra una lista de alimentos, y en ella se indican las kilocalorías que contienen por gramo:

• Plátano 5.5 kcal • Nuggets de pollo 2.96 kcal • Uvas 0.68 kcal• Arroz cocido 3.3 kcal • Zanahoria cocida 0.35 kcal • Calabazas 0.2 kcal• Pechuga asada 1.25 kcal • Piña 0.51 kcal • Pescado frito 2.32 kcal• Sandía y melón 0.4 kcal • Acelga 0.1 kcal • Avena 3.8 kcal• Lentejas 3.6 kcal • Alcachofa y elote 0.9 kcal • Papa hervida 0.76 kcal• Carne de res asada 2.88 kcal • Mango 0.6 kcal • Aguacate 2.3 kcal• Pan blanco 2.5 kcal • Cacahuates 6.1 kcal • Pan integral 2.1 kcal• Manzana 0.52 kcal • Pepitas 6 kcal • Tortilla 1.5 kcal• Galleta María 34 kcal • Almendra 6.2 kcal• Pera 0.61 kcal • Hojuelas de maíz 360 kcal A continuación se muestra una lista de las kilocalorías que aportan por litro algunas bebidas.

• Jugo de naranja 0.34 kcal • Leche entera 620 kcal • Leche descremada 350 kcal• Jugo de tomate natural 0.11 kcal • Yogur 552 kcal • Yogur descremado 504 kcal

En las siguientes tablas se presenta la dieta que el doctor recomienda para dos días. En ellas se indican los alimentos que deben consumir y las kilocalorías que deben aportarles.

Día 1: Para desayunar Para comer Para cenar

1 vaso de leche descremada (124 kcal)1 rebanada de pan tostado con mermelada (140 kcal) Plátanos (110 kcal)

Arroz cocido (157.5 kcal)2 huevos cocidos (156 kcal)Pechuga asada (150 kcal)Ensalada de tomate y lechuga (36 kcal) Melón o sandía (85 kcal)

Lentejas (270 kcal)Carne de res la parrilla con un poco de ensalada (288 kcal) Pan blanco (60 kcal) Manzana (78 kcal)

Día 2: Para desayunar Para comer Para cenar

1 vaso de leche entera (155.5 kcal)Galletas Marías (170 kcal)Uvas (136 kcal)

Sopa de verduras (140 kcal)Filete de pescado frito (232 kcal)Papas hervidas o al horno (100 kcal)Pan integral (90 kcal)Una pera (58 kcal)Una bola de helado de chocolate (255 kcal)

Arroz cocido (157.5 kcal)Nuggets de pollo (355.2 kcal)Zanahorias cocidas (52.5 kcal)Pan tostado (48 kcal)Piña (51 kcal)

¿Cuántas kilocalorías aporta la dieta para el día 1? ¿Y para el día 2?

No es necesario calcular el peso de los alimentos de la dieta que no aparecen en la lista.

Por ejemplo, si una manzana aporta 91 kilocalorías, su peso es de 175 gramos. ¿Cómo se obtuvo este resultado?

¿Cuánto pesa un nugget de pollo que aporta 148 kcal? Calculen la cantidad en gramos que se debe consumir de cada alimento para cumplir con la sugerencia

del doctor. Investiguen el aporte en kilocalorías de otros alimentos de cada uno de los grupos de la tabla que aparece en

Nuestro trabajo y elaboren una dieta para otros dos días. La dieta debe contener entre 1 500 y 2 000 kcal diarias.


142

División de números con decimales

Junto con un compañero, utilicen alguno de los métodos empleados en las distintas actividades de la secuencia para dividir:

56.784 � 2.4 �

Ahora resuelve la división de la izquierda como aprendiste a hacerlo en primaria.

Al resolver la división, ¿quedó residuo?

¿Cómo utilizarías los métodos empleados en las actividades anteriores para que

el cociente quede con un decimal?

¿Cuántos décimos encuentras al hacer esta división?

¿Cómo utilizarías los métodos empleados en las actividades anteriores para que

el cociente quede con dos decimales?

¿Cuántos centésimos tiene el cociente?

¿Cómo son los resultados de ambas divisiones? ¿Por qué?

¿Qué diferencias encuentras entre estas divisiones y las divisiones que resolviste antes?

Discute tus ideas con dos compañeros.

Periodos de tiempo

Resuelve los problemas.

El encargado de un negocio de comida tiene 45 minutos diarios para comer.

¿Qué fracción de una hora representan 45 minutos?

¿Cómo lo representarías como número decimal?

¿Cuántas horas en total tiene para comer durante los 5 días que trabaja?

¿Cómo representarías el resultado mediante un número decimal?

Si ocupa 1.5 horas en preparar un guisado, ¿cuánto tiempo en horas y minutos

le lleva realizar esta tarea?

Para entregar un pedido, el chofer de un camión recorre 324 km en 3.6 horas a una velocidad constante.

¿En cuánto tiempo hace su recorrido en horas y minutos?

¿Cuál es su velocidad?

¿Qué procedimiento utilizaste para resolver esta actividad y la actividad anterior?

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Para escribir una cantidad de tiempo expresada en horas y minutos únicamente en horas, puedes multiplicar el número de horas por 60 min y al resultado sumarle los minutos de la cantidad, así obtienes los minutos totales. Si divides esta cantidad entre 60 min el resultado será el tiempo inicial expresado en horas. ¿Puedes encontrar otro procedimiento para hacerlo? Si es así aplícalo al ejemplo siguiente.

2 400 56 784

En el siguiente sitio se ejemplifi ca la ma-nera de realizar la di-visión con números decimales: www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/decimalesdividir.htmlTambién encontra-rás ejercicios que te ayudarán a poner en practica lo realizado en la secuencia.


143

¿Cómo nos fue?

¿Qué tan fácil te resultó entender la división de números con decimales? ¿De qué manera participaste en el proyecto? ¿Qué te pareció colaborar con tus

compañeros? ¿Qué diferencia hay entre dividir fracciones y dividir números decimales? Considera junto con un compañero la utilidad que tiene la división de nú-

meros con decimales. Escriban un pequeño párrafo para compartir con sus compañeros.


Presenten su propuesta de dieta ante sus compañeros y profesor.

Expliquen a sus compañeros de clase qué hicieron para realizar los cálculos y de dónde obtuvieron la información para elaborar su dieta.

¿Qué dificultades encontraron en el trabajo que realizaron con el fin de encontrar la cantidad de gramos de cada alimento para la dieta de los tres días? Comenten tam-bién qué aprendieron acerca del valor alimenticio de distintos alimentos al hacerlo.

Por ejemplo: una hora y 15 minutos = 75 minutos; 75 min entre 60 min = 1.25 horas.

¿Alguno de tus compañeros utilizó este procedimiento para resolver las actividades

anteriores?

¿Es lo mismo decir 3.15 horas que tres horas con quince minutos? ¿Por qué?

¿Cuánto tiempo representa 3.15 horas? ¿Y cómo escribirías tres horas con quince

minutos en horas?

Resuelve las actividades en el cuaderno.

1. Realiza las divisiones siguientes:a) 86.67 � 0.76 b) 15.07 � 0.082 c) 96.35 � 0.36 d) 57.065 � 2.253

2. La Unión de Esfuerzos para el Campo recibió un donativo de 100.275 kg de frijol. Decidieron repartirlos en partes iguales entre sus 45 socios más necesitados. ¿Cuánto recibió cada socio?

3. Si el precio del dólar es de $13.45, ¿cuánto cuesta en dólares un balón cuyo precio es de $135.90?

4. Escribe los siguientes tiempos en horas:a) 3h 47 min b) 356 min c) 0.35 min d) 0.05 min

5. En una fábrica deciden sacar al mercado manteles rectangulares. Un rollo de la tela mide 1.65 m de ancho y trae aproximadamente 75.5 m de tela. Para aprovechar el ancho de la tela, deciden que los manteles tengan esa misma medida de ancho y 2.5 metros de largo. ¿Cuántos manteles pueden elaborar con un rollo de tela?

6. Si tu hermano te dice que tarda 2.25 horas en hacer la tarea, ¿cuánto tiempo tarda en horas y minutos?

7. Intenta el siguiente reto. En las expresiones algebraicas siguientes, ¿qué valor puede tomar la n? a) 8.75 ÷ n = 35 b) n ÷ 0.5 = 18.46

¿Qué hiciste para encontrarla? Escribe el procedimiento que seguiste y enséñaselo a tu profesor.

Resuelve las actividades

Cie

rre


144

19

Blo

que

3 Ecuaciones de primer gradoContenido

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

La tarifa del taxi

El señor Castillo tiene un auto que desea emplear como taxi, pero aún no cuenta con taxímetro. La tarifa que debe cobrar es de $20.00 de cuota fi ja por viaje más $2.35 por cada kilómetro recorrido. Si a Julieta le cobró $41.15 por un viaje, ¿de cuántos kilómetros fue el recorrido?

• ¿Cuántos kilómetros recorrió un cliente si el señor Castillo le cobró $50.55?• Si por un viaje el señor Castillo cobró $450, ¿cuántos kilómetros se recorrieron en

el viaje?• ¿Cómo calcularías los kilómetros que se recorren en un viaje en el taxi del señor

Castillo si se conoce el pago total?

Comenta con tus compañeros y con el profesor tus respuestas y la manera como

las obtuviste.

Reúnete con un compañero para comentar lo siguiente:

Describan tres situaciones similares a la del taxista, es decir, situaciones cotidianas en las que la cantidad total dependa de una cantidad fija y una cantidad variable. Compartan sus situaciones con sus demás compañeros y con el profesor.

Después de trabajar esta secuencia, regresen a revisar sus situaciones y ela-boren preguntas para que otra pareja de compañeros las resuelva utilizando lo que aprendieron.

En la secuencia 17 ayudaste a tres empresas a decidir cuál compañía de telé-fonos les convenía contratar según sus necesidades. Esta vez los empresarios quieren saber el número de minutos en llamadas que pueden hacer si se consi-dera un mismo pago para todas las compañías. Ellos no desean invertir más de $5 000 mensuales en el pago de teléfono por rentas y llamadas locales.

Reunidos en parejas, analizarán la tabla que muestra los precios de las llama-das. Después elaborarán un informe en el que explicarán a los empresarios el número de minutos disponibles en cada compañía para esa mensualidad. Para esto, escribirán las ecuaciones que modelan cada caso.

Junto con las ecuaciones que propongan, escribirán una explicación de cómo se emplean.

Durante las actividades encontrarán ideas para elaborar su informe.

Nuestro trabajo

Un viaje en taxi se cobra de

acuerdo con una cuota fi ja

(banderazo) y con una cuota

variable que depende de los

kilómetros recorridos y, en

ocasiones, de la duración del viaje.

Inic

ioP

laneació

n


145

¡Encuentra el número!

Antes de trabajar en el informe, realiza las actividades siguientes.

Cuatro estudiantes de secundaria se organizaron para jugar “Encuentra el número que pensé”. Quien encontraba el número ganaba un punto. Uno de ellos propuso los siguientes retos.

Resuélvelos para saber cuántos puntos obtendrías en el juego.

Pienso un número, si le sumo 5, obtengo como resultado 11. ¿Cuál es ese nú-

mero?

Pienso un número, si le resto 4, obtengo como resultado 20. ¿Cuál es ese nú-

mero?

Pienso un número, si lo multiplico por 6, obtengo como resultado 66. ¿Cuál es

ese número?

Pienso un número, si lo divido entre 3 y el resultado lo multiplico por 8, obtengo

como resultado 32. ¿Cuál es ese número?

Pienso un número, si le sumo 9, obtengo como resultado 15.2. ¿Cuál es ese

número?

Compara tus resultados con los de otros compañeros. Comenten entre ustedes

y con el profesor el procedimiento que siguieron para obtener los números.

Escribe en lenguaje algebraico, es decir, con letras, números y signos, la situación que se plantea en cada uno de los retos anteriores.

Con ayuda de tu profesor, compara tus expresiones con las de otros compañeros.

Las siguientes expresiones algebraicas corresponden a los retos propuestos por un estudiante. Escribe el reto que le corresponde a cada una.

x � 25 � 47

x � 7

5 � 3

3.85 � x � 15.27

Compara tus respuestas con las de otros compañeros y coméntenlas con el profesor.

Las igualdades anteriores se llaman ecuaciones; en cada una, el número represen-tado del lado izquierdo del signo igual (=) es el mismo que el representado del lado derecho. La literal que representa el número desconocido se llama incógnita. ¿Qué signifi ca resolver una ecuación? Comenta tu respuesta con tu profesor.

lenguaje algebraico. Es el lenguaje que se caracteriza por utilizar letras, números y signos para expresar un enunciado mate-mático.

Desarr

ollo


146

En la actividad ¡Encuentra el número!, cada expresión algebraica que representa la situación es una ecuación cuya incógnita está representada por la literal x, que es la que se usa más frecuentemente en este tipo de expresiones; sin embargo, la incógni-ta se puede representar con cualquier otra literal.

Resuelve estas ecuaciones.

2x = 6 x = x – 75

= 23

x =

m – 45

=

m = 4 j = 12 j =

5.4 + n = 10 n = 6.5 + k = 17 k =

Lee los siguientes problemas y resuélvelos en el cuaderno.

La mamá de Cristina le dio un billete de $200.00 para hacer las compras en el mer-cado. Si Cristina le regresó $48.25 de cambio, ¿cuánto se gastó?

Elige una literal para representar la incógnita y expresa el problema mediante una ecuación.

¿Cuál es el valor de la incógnita, es decir, para qué número se cumple la igualdad?

Joaquín sabe que por cada pregunta de un juego de computadora que responda correctamente ganará 60 puntos. ¿Cuántas preguntas tendrá que responder correc-tamente para ganar los 3 420 puntos que se requieren para pasar al siguiente nivel?

Elige una literal para representar la incógnita y expresa el problema mediante una ecuación.

¿Cuál es el valor de la incógnita, es decir, para qué número se cumple la igualdad? Si para pasar al siguiente nivel se requieren 7 500 puntos, ¿cuántas preguntas

tendrá que responder Joaquín correctamente? Escribe una ecuación que represente el problema y resuélvela.

¿Qué procedimiento seguiste para resolver las ecuaciones y los problemas anteriores? Coméntalo con tres compañeros. ¿Siguieron todos el mismo procedimiento? Si no es así, escribe en el cuader-

no otro procedimiento que puede emplearse para resolver las ecuaciones.

La ecuación que permite resolver el problema de Cristina es de la forma x � a � b, donde a y b pueden ser números naturales, números con decimales o fracciones.

¿Qué sucede con una igualdad si a los dos lados se les suma o se les resta el mismo

número?

Cuando la igualdad representa una ecuación y le sumas o restas el mismo término de los dos lados, su solución no cambia; a la nueva ecuación le llamamos ecuación equivalente.

¿La ecuación x + a = b equivale a la ecuación x + a – a = b – a? ¿Esta última equivale

a la ecuación x = b – a?

¿Una ecuación de la forma x – a = b equivale a la ecuación x – a + a = b + a? ¿Esta

equivale a x = b + a?


147

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero y revisen otra vez la tabla de las tarifas de las

compañías telefónicas.

CompañíaRenta fi ja

mensual

Minutos incluidos en

la renta fi ja al mes

Precio por minuto adicional

a la renta fi ja ($)

A $450.00 200 2.25

B $150.00 100 3.48

C $269.00 150 2.10

D $549.00 235 2.00

E $245.00 187 1.50

Un empresario desea pagar únicamente $5 000 a la compañía telefónica de su elección, y que esta incluya el pago de la renta mensual y de las llamadas loca-les. Usen los datos de la tabla para calcular cuántos minutos adicionales podría utilizar ese empresario con cada compañía. Escriban una ecuación que permita calcular el número de minutos que podría utilizan en cada caso.

En sus ecuaciones, ¿qué significado tiene la incógnita? Expliquen el significado de cada término de las expresiones algebraicas. ¿En cuál compañía se obtienen más minutos adicionales en llamadas locales

pagando $5 000 por la renta y las llamadas locales?

Comparen sus ecuaciones con otras parejas y hagan las correcciones necesa-rias si se requieren.

Reúnete con un compañero y, a partir de sus respuestas a las preguntas anterio-res, escriban un procedimiento para resolver ecuaciones de la forma x � a � b y

x � a � b.

¿Qué ventajas tiene el procedimiento que describieron comparado con otros méto-dos para resolver las ecuaciones, por ejemplo, encontrar un número que satisface la igualdad?

Comparen su procedimiento con el de otras parejas y coméntenlo con el profesor.

La ecuación que resuelve el problema de Joaquín es de la forma ax � b, donde a y b son números naturales, números con decimales o fracciones. ¿Qué sucede con una ecuación de esta forma si multiplicas o divides los dos lados de la ecuación entre un mismo núme-

ro, distinto de cero? ¿La ecuación ax � b equivale a la ecuación 1a

� ax � b � 1a

?

¿Por qué? Y la última ecuación equivale a la ecuación x = ba

? ¿Por qué?

Con el compañero con quien estás trabajando, escriban en el cuaderno, con base en sus respuestas a las preguntas anteriores, un procedimiento para resolver ecua-ciones de la forma ax � b.

Comparen su procedimiento con el de otras parejas y coméntenlo con el profesor.


148

Ecuaciones y kilómetros

Revisa de nuevo el problema inicial, el del señor Castillo. La tabla siguiente muestra el cobro total que realizó a cinco clientes por distintos recorridos.

Total cobrado por el señor Castillo a distintos clientes

Cliente Alejandro Berenice Roberto Claudia Javier

Cobro total $56.00 $138.00 $246.50 $198.80 $364.50

Escribe una ecuación para cada caso, resuélvelas y escribe el número de kilómetros recorridos por los clientes.

Alejandro: Kilómetros recorridos:

Berenice: Kilómetros recorridos:

Roberto: Kilómetros recorridos:

Claudia: Kilómetros recorridos:

Javier: Kilómetros recorridos:

Escribe una ecuación que te permita determinar cuántos kilómetros recorriste si el señor Castillo te cobró $37.60.

Ecuación:

En la Gaceta Oficial del Distrito Federal, a partir del lunes 23 de enero de 2011, las

tarifas de taxis están dadas por la tabla que se muestra a continuación:

Tipo Costo inicialCosto adicional en pesos por cada

45 s o recorrido de 250 m

Taxi libre dos puertas 6.40 0.86

Taxi libre cuatro puertas 7.04 0.86

Taxi de sitio 10.56 1.05

Radiotaxi 22 1.48

Calcula el recorrido en kilómetros que realizó cada uno de los tipos de taxi cuyo taxímetro marcó $35.42. Considera que es un taxi libre de cuatro puertas y que el recorrido lo realizó en una vía rápida, sin tránsito y sin semáforos. Anota el resul-tado del cálculo en cada caso.

Taxi libre dos puertas. Recorrido = km.

Taxi libre cuatro puertas. Recorrido = km.

Taxi de sitio. Recorrido = km.

Radiotaxi. Recorrido = km.

Compara tus ecuaciones con las de otros compañeros.

Las ecuaciones en las que se puede expresar cada una de las situaciones anteriores son de la forma ax � b � c, donde a, b y c son números naturales, números con decimales o fracciones. Junto con un compañero, escriban, en el cuaderno, un procedimiento para resolver

ecuaciones de la forma ax � b � c. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones.

2x � 4 � 14 6m � 103

� 70 5.3n � 17 � 38

Visiten los siguientes sitios donde podrán practicar ejercicios similares a los realizados:www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/1_primero/1_Matematicas/1m_b03_t02_s01_descartes/index.htmlwww.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/1_primero/1_Matematicas/1m_b03_t02_s02_descartes/index.htmlwww.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/1_primero/1_Matematicas/1m_b03_t02_s03_descartes/index.html


149

¿Cómo nos fue?

Comparen con dos equipos las ecuaciones que escribieron para los empresa-rios. ¿Se parecen? ¿En qué son diferentes? ¿Son importantes esas diferencias? ¿Afectan en los resultados?

¿Cómo le explicarías a un compañero que no asistió a clase qué es una ecua-ción y cómo se resuelve?

En tu cuaderno, inventa cinco problemas que puedan resolverse mediante ecuaciones como las que estudiaste en las actividades de estas páginas.

Escribe dos métodos diferentes para resolver el tipo de ecuaciones que encon-traste con tu compañero al inicio de esta secuencia. ¿Es alguno de los métodos mejor que el otro? ¿por qué?


Presenten su trabajo a sus compañeros de grupo y a su profesor.

Expliquen cada una de las ecuaciones que propusieron para cada compañía. Empleen sus ecuaciones para calcular el número de minutos que habló un empre-

sario que pagó $4 500.00 en la compañía A. ¿Cuántos minutos hubiera hablado en la compañía B?

¿Cuántos minutos habló un empresario que pagó $528.75 por minutos adicionales en la compañía C? ¿Cuántos minutos hubiera hablado en la compañía E?

Revisen de manera grupal todas las propuestas y comenten cuál les parece más clara para los empresarios.

En el cuaderno, realiza las actividades que se indican a continuación:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) c � 7 � 25 f) 13 � 8x � 29b) 9x � 7 � 52 g) 19j � 16 � 85c) 7.5y � 3.25 � 17 h) 47x � 376d) 5n � 2 � 5.5 i) 14m � 2 � 72

e) 27

m � 44 j) 14

m � 3 � 8

2. Inventa una historia de manera que cada ecuación de la actividad 1 sea su representación en lenguaje algebraico.

3. Observa el cartel de una feria y haz lo siguiente.

a) A Carlota su mamá le dio 95 pesos. Escribe una ecuación que te permita calcular para cuántas vueltas le alcanza a Carlota y resuélvela.

b) Alejandro se gastó 140 pesos en la feria. Escribe una ecuación que permita calcular el número de vueltas que dio en los juegos, y resuélvela.

c) Érika se gastó 230 pesos en la feria. ¿Cuántas vueltas dio en los juegos? Escribe la ecuación que permita saber la respuesta.

4. Si el área de un rectángulo es de 42 cm2 y su ancho mide 3 cm, ¿cuánto mide el largo? Escribe una ecuación que modele el problema.

En el cuaderno, realiza la

Cie

rre


150

20

Blo

que

3 Polígonos ysus aplicacionesContenido

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

La Feria de la Ciencia

En la Feria de la Ciencia, los alumnos de primer año deben presentar una aplicación usando polígonos regulares. Uno de los equipos descubrió que si se utiliza un dibujo del reloj, se pueden construir esos polígonos.

Recuerda que un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

Para realizar esta actividad necesitas hojas blancas, regla, compás y transportador.Copia el dibujo del reloj en una hoja, usa la regla y haz la actividad que se propone. Ten cuidado de marcar en el lugar correcto los puntos que indican las horas.

• Comienza en las doce y da saltos de cuatro horas. Une los puntos. ¿Qué figura se formó? ¿Es un polígono regular? ¿Por qué?

• Para hacer un cuadrado, ¿de qué tamaño debes dar los saltos? Explícalo y dibújalo.• Si das saltos de dos horas, ¿qué polígono se forma?

Compara tus respuestas con las de algunos compañeros.

Conserven sus fi guras para trabajar con ellas más adelante.

Reúnete con otros dos compañeros, analicen los siguientes interrogantes y anoten las respuestas en sus cuadernos:

Para construir un polígono regular de 36 lados usando un dibujo del reloj, ¿de cuán-to deben ser los saltos?

Ubiquen sobre la circunferencia del reloj cinco puntos que estén igualmente espa-ciados, ¿cómo lo hicieron?

¿Podrían construir cualquier polígono regular a partir de un reloj? Explíquenlo.

Comenten sus respuestas con todo el grupo y con el profesor.

Inic

io


151

Pla

neació

n

Al fi nalizar la Feria de la Ciencia se celebrará una fi esta. La deco-ración del salón de reunión se hará con polígonos regulares estrellados. En esta ocasión, por parejas, elaborarán tres modelos de fi guras hechas con polígonos estrellados.

Para elaborar los modelos pueden utilizar papel de colores, papel para envolver regalos, hojas recicla-das, colores, pinturas, tijeras, regla y compás.

Al concluir su trabajo, entregarán por escrito una descripción del procedimiento seguido en la cons-trucción de polígonos estrellados.

Monten una exposición con los diseños de todo el grupo.

Nuestro trabajo

Polígonos en el reloj

Retomemos el dibujo del reloj y el cuadrado que construiste sobre este. A las fi guras que trazaste a partir de la circunferencia que forma el reloj se les conoce como polí-

gonos inscritos en una circunferencia.

Reúnete con un compañero y escriban en el cuaderno cómo pueden garantizar que

el polígono construido en el reloj es un cuadrado.

Tracen sus diagonales y observen la relación entre estas dos rectas.

Si no tuvieran los puntos en el reloj, si fuera solo una circunfe-rencia, ¿cómo construirían un cuadrado inscrito en ella? Des-criban un procedimiento.

Utilicen su procedimiento y construyan el cuadrado.

Con los puntos que ya han ubicado sobre la circunferencia para trazar el cuadrado, construyan ahora un octágono regular, es decir, un polígono regular de ocho lados. Solo pueden usar regla y compás.

Describan un procedimiento para hacerlo.

Expliquen cómo garantizan que la figura construida es un octágono regular.

¿Qué otras figuras se pueden construir tomando como base los puntos del cuadrado?

Comparen sus estrategias con las de otros compañeros y comenten sus semejanzas

y diferencias.

polígonos inscritos

en una circunfe-

rencia. Son aquellos polígonos que tienen todos sus vértices so-bre la circunferencia.

Desarr

ollo


152

Trazo de polígonos

En las actividades anteriores usaste un reloj como referencia para trazar polígonos. Ahora experimentaremos con otra forma de hacerlo.

En una hoja de papel y utilizando compás y regla, o un programa de Geometría

Dinámica (como www.geogebra.org) haz lo siguiente:

Usa el compás y traza una circunferencia (C1) cualquiera. Sigue el procedi-miento descrito a continuación y traza los puntos de intersección de las demás circunferencias con la circunferencia C1, sin tomar en cuenta el centro como punto de intersección. Con la misma abertura anterior, coloca la punta del compás en un punto

sobre la circunferencia C1 y traza otra circunferencia (C2). La nueva circun-ferencia debe pasar por el centro de C1. Señala los puntos de intersección de ambas circunferencias y llámalos A y B respectivamente.

Coloca el compás en un punto donde se intersecan las circunferencias C2 y C1 y traza otra (C3). A los puntos de intersección de C1 y C3 llámalos C y D, respectivamente.

Repite el procedimiento anterior: traza una circunferencia (C4) sobre uno de los puntos de intersección de C1 y C3. Llama E al nuevo punto de intersec-ción, el otro punto coincide con el punto B.

Repite los mismos pasos para trazar la circunferencia (C5). Denota este últi-mo nuevo punto de intersección como F, el otro punto coincide con el punto D.

Toma como referencia la construcción anterior y contesta: ¿Cuántos puntos de intersección hay entre C1 y las demás circunferencias?

Al unir estos puntos de intersección consecutivos mediante segmentos, ¿qué fi-

gura se forma? Trázala.

¿Cómo son las medidas de sus lados?

¿Qué relación hay entre el radio del primer círculo y el lado de la figura que se

formó? Explícalo.

Une el centro del círculo C1 con cada uno de los vértices de la figura que formaste, es decir, con los puntos A, B, C, D, E y F. ¿Son iguales entre sí? ¿Qué tipo de triángulos son? Argumenta tu respuesta.

Mide el ángulo de cada uno de estos triángulos cuyo vértice es el centro de la

circunferencia. ¿Cuánto mide cada uno?

Toma como base la construcción anterior y traza un triángulo equilátero.

Explica por qué consideras que el triángulo es equilátero. Recuerda las características de sus lados y de sus ángulos.

¿Es posible construir un dodecágono regular? Constrúyelo y describe el procedi-

miento seguido.

¿Qué otro polígono regular podrías trazar con las construcciones previas?

Coméntalo con tus compañeros y el profesor.

C1 C2

C3

C1

C2

A

B

C

D


153

No todo polígono regular se puede construir con regla y compás. Sin em-bargo, cuando es posible formar uno de n lados también se pueden trazar los de número de lados 2n, 4n, 8n,... Para ello, inscribimos el polígono en una circunferencia y trazamos las mediatrices de sus lados, como se mues-tra en el ejemplo.

Como hemos visto hasta ahora, podemos construir los polígonos cuyo nú-mero de lados sea divisor de n. Por ejemplo, cuando usamos el reloj y utilizamos las horas, si damos saltos de uno en uno formamos un polígono regular de 12 lados. Ahora, si unimos de 3 en 3 se obtiene un cuadrado y de 4 en 4, un triángulo equilátero.

¿Qué polígono regular se forma si unimos de dos en dos?

El ángulo central

El ángulo central de un polígono es aquel que está formado por dos radios conse-cutivos. En el dodecágono regular de la derecha se muestra la medida de su ángulo central.

Reúnete con dos compañeros, analicen las preguntas y respondan:

¿Qué tipo de triángulo es el que se muestra?

¿Cuántos triángulos iguales a ése se pueden trazar dentro de este polígono?

Trázalos.

¿Cuánto suma la medida de todos los ángulos centrales?

¿Qué relación hay entre la medida del ángulo central de cada triángulo, la suma total de todos los ángulos centrales y el número de lados del

polígono regular?

Estimen cuánto mediría el ángulo central de un pentágono regular.

En cada una de las construcciones que han dibujado usando el reloj, dividan cada po-lígono regular en triángulos, tomando el centro como vértice común. Escojan dos polígonos regulares diferentes y completen la tabla:

Nombre del polígono Número de lados Medida del ángulo central Suma de ángulos centrales

Con los datos anteriores, ¿se cumple la relación que encontraron entre el ángulo central, la suma de ellos y el número de los lados del polígono? Explíquenlo.

¿Es posible construir un polígono regular teniendo como dato único el ángulo central? Con regla, compás y transportador tracen en el cuaderno un polígono regular que

tenga un ángulo central de 45°. Después, describan un procedimiento para cons-truir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo central.

Analicen con su profesor y sus demás compañeros la relación entre los elementos

de la circunferencia y el polígono inscrito construido en ella.

30°


154

Otras formas de construcción

En las actividades anteriores hemos construido polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Ahora usaremos como información inicial el número total de lados y la medida de uno de ellos.

Utiliza como medida para uno de los lados el segmento que se muestra y traza en

el cuaderno un triángulo equilátero y un cuadrado.

Reúnete con dos compañeros, comparen sus construcciones y respondan:

¿Cuáles de los conocimientos previos sobre geometría utilizaron para trazar sus

figuras?

¿Cómo podrían demostrar que esas figuras son un triángulo equilátero y un cua-

drado?

¿Cuántos ángulos tiene cada figura y cuánto mide cada uno de ellos?

Anoten en el cuaderno qué otros polígonos regulares podrían construir a partir de

los dos que ya tienen. Argumenten su respuesta.

¿Cómo vamos?

Reúnete con un compañero y hagan el primer diseño de su polígono regular

estrellado.

¿Qué polígono usarán? ¿Cuánto mide su ángulo central? De los métodos vistos, ¿cuál les permite construirlo?

Para formar el polígono estrellado se unen los vértices no consecutivos de forma continua, es decir, de dos en dos, tres en tres, etc., según el polígono trazado, hasta regresar al vértice de origen.

¿Podrían formar un polígono estrellado a partir de un cuadrado? ¿Y de un triángulo? Argumenten su respuesta.

Para construir el pentágono estrellado, los saltos entre vértices son de dos en dos hasta cerrar el polígono.

¿Se podrá generar otro polígono estrellado con un pentágono regular? ¿Cómo será en comparación con el anterior?

Realiza las actividades siguientes.

1. Investiga cómo trazar un pentágono regular empleando regla y compás y haz el trazo en el cuaderno.2. Además de usar regla y compás, ¿qué otros instrumentos podemos utilizar para construir polígonos regu-

lares? 3. Busca un ejemplo y tráelo a clase para compartirlo con tus compañeros y profesor.

4. Construye polígonos regulares de 3, 4, 6 y 8 lados usando como dato la medida del ángulo central.

Realiza las actividades si


155

Con el mismo equipo que trabajaste en la actividad anterior, analicen los

datos que se presentan en la tabla y complétenla.

Los ángulos interiores de un polígono son aquellos que se forman con los lados consecutivos del mismo.

Nombre del

polígono regularNúmero de vértices Número de lados

Medida de un

ángulo interior

Suma de ángulos

interiores

3

90

5

8

Dodecágono regular

20

Tracen en el cuaderno los polígonos regulares que anotaron en la tabla a partir de

sus ángulos interiores.

Expliquen el procedimiento que siguieron para trazarlos.

Lean la afi rmación siguiente, utilicen las fi guras que formaron para comprobarla y decidan si es falsa o verdadera. Argumenten su respuesta.

La medida del ángulo interior de un polígono regular de n lados es 180° – 3600

n.

Compartan sus deducciones con otros equipos.

Para reafi rmar el trabajo del trazo de polígonos, reúnanse con otro equipo y elijan a dos compañeros que participarán en la actividad siguiente.

Se colocan de espaldas dos estudiantes de equipos distintos. Uno de ellos da las instrucciones para construir un polígono regular y el equipo decide la medida del ángulo central.

Gana el equipo que dé las mejores instrucciones y permita trazar correctamente el polígono regular deseado.

No todos los polígonos regulares se pueden construir utilizando únicamente regla y compás. Desde los tiempos de Euclides, hace más de 2 300 años, se conocían construcciones geométricas exactas para polígonos regulares usando solo regla y compás, por ejemplo, polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y los que de éstos se deducen.

A fi nales del año 1700, a la edad de 19 años Gauss, uno de los grandes matemáticos de la historia, demos-tró la construcción del polígono regular de 17 lados y la imposibilidad de trazar polígonos regulares de 7, 9 y 13 lados usando solo regla y compás.

Intenta formar un polígono regular de 17 lados, dado un lado y usando únicamente regla y compás. También intenta construir uno de 7 lados y analiza por qué no se puede construir únicamente usando regla y compás.

Ángulointerior


156

Papirofl exia y polígonos regulares

Ahora trabajaremos con papirofl exia en la construcción de polígonos regulares.

Para ello necesitan tiras de papel, preferentemente reciclado, que no sea cuadriculado.

Reúnete con un compañero y traten de construir los polígonos regulares de la iz-quierda usando tiras de papel: cuadrado, triángulo equilátero y pentágono regular.

Comparen las fi guras y comenten acerca de los procedimientos que siguieron para

elaborarlas.

Ahora observen las imágenes, sigan los procedimientos que se indican y formen los polígonos con sus tiras de papel. Después, relacionen con una línea cada procedi-miento con la figura correspondiente.

Hacer un nudo con la tira de papel. Tirar con cuidado de las puntas del lazo, para que coincidan los pliegues.

Doblar la tira de papel por un extremo, de forma que partiendo desde un vértice se lleva el otro vértice sobre el lado opuesto. En el lugar donde descansa el vér-tice que se desplaza, se hace un pliegue perpendicular al lado.

Torcer un extremo de la tira por encima del lado, como en un cono para servir agua, y aplanarlo de modo que uno de los lados del triángulo coincida con el filo de la tira de papel.

¿Qué propiedades geométricas se utilizan en cada caso (lados, ángulos, etcétera)?

Los polígonos regulares tienen elementos importantes que debemos conocer y consi-derar al trazarlos: centro y radio de la circunferencia que lo circunscribe, lado, apote-ma, diagonal, ángulo interior y ángulo exterior.

¿Cómo vamos?

Los polígonos regulares estrellados se denotan por una frac-ción. El numerador indica el número de vértices del polí-gono y el denominador, el tamaño de los saltos. Una de las condiciones para formar un polígono estrellado es que el denominador sea menor que la mitad del numerador.

Piensa en un hexágono cuya fracción es 62

.

¿Se puede hacer un polígono estrellado? Recuerden que deben terminar en el vértice donde empezaron a formarlo. ¿La fracción es irreducible?

¿Con 52

podemos obtener un polígono regular estrellado? ¿La fracción es irreducible?

¿Siempre se puede construir un polígono estrellado? ¿Qué otra condición garantiza que se forma un polígono estrellado? Argu-

menten su respuesta.

Utilicen lo aprendido sobre polígonos regulares para construir polígonos estrella-dos. Trabajen en el diseño de sus otras dos fi guras.


157

¿Cómo nos fue?

Comenta con tus compañeros y el maestro las propiedades y los procedimientos que siguieron al resolver las actividades planteadas a lo largo de esta secuencia didáctica y cuál les parece más sencillo para trazar polígonos regulares. Argu-menten su propuesta.

Construye un cuadrado inscrito en una circunferencia teniendo su diámetro como dato de partida. ¿Qué instrumentos necesitas para hacerlo?

Para trazar un polígono regular de 36 lados usando un dibujo del reloj, ¿de cuánto deben ser los saltos?

¿Cuál fue la mayor dificultad que tuviste al seguir las instrucciones para cons-truir polígonos regulares?

Si tuvieras que escoger dos datos para formar un polígono regular, ¿cuáles serían? ¿Por qué?

¿Cuál de los diseños de tus compañeros te gustó más? ¿Por qué? Comenta con todo el grupo, cuáles fueron los términos, expresiones y proce-

dimientos que aprendiste en esta secuencia.


Presenten a sus demás compañeros sus polígonos regu-lares estrellados. Péguenlos en la pared que el profesor les indique.

Expliquen al resto del grupo cómo utilizaron lo aprendido sobre trazo de polígonos para diseñarlos e indiquen cuál de ellos fue el más complicado de realizar y por qué.

Elijan los 10 mejores diseños y decoren el salón de clases. Pidan autorización al profesor para organizar una expo-

sición, en el periódico mural, con los trabajos de todo el grupo. Acompañen la exposición con una explica-ción por escrito acerca de la forma en que trazaron susfiguras y los distintos procedimientos para formar polígo-nos regulares.

En Internet encontrarás información relacionada con la construcción de polígonos regulares. Te sugerimos esta página:

redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/polidoblado.htm

También puedes hacer tus propias construcciones por medio de progra-mas de geometría dinámica y/o Logo. Pregunta en la escuela, en el aula de cómputo o de medios, qué programas tienen disponibles. En la actua-lidad hay programas libres muy útiles, por ejemplo, geogebra. Bájalo de Internet y aprende a usarlo. Te será muy útil para explorar propiedades geométricas de los polígonos regulares.

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Blo

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3 Áreas y perímetros de polígonos regulares

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Contenido

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

El área más grande dentro de un perímetro

El dueño de un terreno muy grande tiene 120 metros lineales de material, con los cuales quiere construir una cerca para encerrar una zona para cosechar plátanos. No sabe si le conviene usar los 120 metros para formar un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular, un hexágono regular o un octágono regular.

• ¿Qué le conviene elegir si quiere que la superficie cercada tenga la mayor área posible?

• Si el perímetro de todos los polígonos es el mismo, ¿acaso el área también será la misma?

• Si no es así, ¿cuál es el área que se logra con los diferentes polígonos?

¿Cuál tragaluz permite la entrada de más luz?

Antes de trabajar en el cartel, realiza las siguientes

actividades.

Una arquitecta quiere diseñar un tragaluz para que sea construi-do en el techo de un salón. Quiere que tenga la forma de un polí-gono regular, que inscrito en una circunferencia tenga un radio de 1 m. Tiene la posibilidad de construir un tragaluz hexagonal u octagonal, pero no sabe cuál le conviene, ya que busca que entre la mayor cantidad de luz.

¿Qué tiene que calcular para encontrar la respuesta?

En parejas, elaborarán un cartel en el cual muestren los resultados de haber trazado diferentes polígonos y tomado las medidas pertinentes para determinar su área. El requisito es que todos los polígonos sean regulares y tengan un perímetro de 60 cm.

Pónganse de acuerdo con su maestro para que se repartan los polígonos de 3, 4, 5, 6, 8, 10 y 12 lados entre todos los alumnos del grupo.

Todos los polígonos deben estar inscritos en una circunferencia. Una vez finalizado el cartel, lo presentarán al resto del grupo.

Nuestro trabajo

A fi n de establecer una plantación

de plátano se llevan a cabo

análisis de suelos, entre otros,

para establecer los niveles de

nutrientes en la fruta.

Tragaluz octagonal.


159

Observa la figura que se muestra a continuación. ¿Con qué

letras se puede indicar el radio de la circunferencia?

¿Con que letras se indicaría la apotema del hexágono?

¿Qué tipo de triángulo es el triángulo EOF?

Reúnete con un compañero y tracen un hexágono inscrito en una circunferencia que mida 10 cm de radio. Midan cualquie-ra de sus lados y su apotema.

Si el radio y todos los lados del hexágono se duplicaran, ¿tam-bién se duplicaría la medida de la apotema? Expliquen su res-

puesta.

¿Cómo podrían verificar si su última respuesta es correcta?

¿Se cumple la misma relación o proporción entre la medida de la apotema y del lado

del hexágono en todos los hexágonos sin importar su tamaño?

¿Cuánto mide la distancia EF?

¿Cuánto mide el perímetro del hexágono? Calculen su área. Recuerden que pueden utilizar la siguiente fórmula:

p = perímetro del polígono A = pa

2 a = apotema

A = área del polígono ¿De qué otra manera pueden encontrar el área de un polígono regular?

Comparen con sus compañeros sus respuestas.

Si el tragaluz fuera un octágono regular, ¿permitiría el paso de mayor cantidad de luz? ¿De qué manera lo podrías comprobar? Responde en el cuaderno.

Ahora, reúnete con un compañero y tracen un octágono regular cuya circunferencia circunscri-ta tenga un radio de 10 cm. Continúen trabajan-do en el cuaderno. Midan cualquiera de los lados y la apotema.

¿Cuánto medirá la apotema de un octágono que tenga un radio de 1 m?

¿Cuánto medirá uno de sus lados? ¿Qué otro dato necesitan para calcular el área

del octágono? Midan la distancia que les hace falta. ¿Qué

tipo de triángulo es el triángulo QOP? ¿Cuál tragaluz permite la entrada de más luz? Si el tragaluz hubiera sido pentagonal, ¿per-

mitiría el paso de más luz? ¿Y si hubiera sido decagonal?

Discutan con sus compañeros cómo tendría que ser el diseño del tragaluz para que

permitiera el paso de la mayor cantidad de luz.

A

B

F

C

E

K

Q

J M

W

O

L

P

R N

H

OD


160

Resuelve los siguientes problemas en el cuaderno.

1. Usa la fórmula para calcular el área de los siguientes polígonos regulares tomando en cuenta los datos proporcionados:

a) b)

Lado = 31 cm Lado = 2 mNúmero de lados = 8 Número de lados = 12Apotema = 37.5 cm Apotema = 3.73 m

2. Dado un hexágono regular cuyos lados midan 4 cm y cuyo apotema mida 3.5 cm. a) Calcula su área. b) Si duplicamos la medida de cada lado y de la apotema, ¿también se du-

plicará su área? Si no es así, ¿cuántas veces más grande es el área del hexágono cuyos lados miden el doble?

c) Si triplicamos la medida de los lados y de la apotema, ¿cuántas veces más grande será el área del hexágono en relación con el hexágono original?


Anoten en la siguiente tabla los resultados obtenidos hasta ahora:

Polígono Medida de un lado Medida de la apotema

Hexágono

Octágono

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero para trabajar en la elaboración del cartel.

Tracen una circunferencia, de tal manera que dentro de ella puedan inscribir el polígono regular cuya área van a encontrar.

La circunferencia se puede dividir en 360º. Con un transportador dividan los 360° en tantos vértices como tenga el polígono que van a trazar.

Al unir los puntos marcados en la circunferencia, ¿se obtiene un polígono que tenga un perímetro de 60 cm? Si no es así, ¿qué se debe hacer?

Analicen las estrategias que deben utilizar para lograr que el polígono tenga el perímetro requerido. Una vez que lo hayan construido, ¿qué magnitudes necesitan medir para calcular su área?


161

3. El London Eye es una gigantesca rueda de la fortuna que se encuentra en Londres. A su alrededor hay 32 cápsulas, cada una con capacidad para 25 personas, las cuales conforman un polígono regular de 32 lados. La apotema mide aproximadamente 60 m y la distancia entre dos cápsulas es de unos 12 m. a) ¿Cuánto miden su área y su perímetro?

La rueda de la fortuna de

Londres también se conoce como

la Rueda del milenio porque se

inauguró el 31 de diciembre de

1999 para celebrar el arribo del

nuevo milenio.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero para continuar con la elaboración del cartel.

¿De qué manera conviene subdividir el polígono para que sea más fácil calcu-lar su área?

¿Qué distancias necesitan medir para calcular el área de cada una de esas partes?

Anoten los datos encontrados y los resultados en una tabla. Por último, ¿cuál polígono conviene construir con 60 cm de perímetro si se

quiere que tenga la mayor área posible?

Comenten con sus compañeros y maestro las estrategias que idearon para resol-ver las actividades planteadas.

Polígonos imposibles de trazar

A Valentina se le manchó la tarea de Matemáticas en la que le pedían encontrar el área de una mesa, cuya cubierta era un pentágono regular. Podía alcanzar a leer que el lado del pentágono medía 40 cm, pero la longitud de la apotema no era legible. No estaba claro si medía 17.5 cm o 27.5 cm. Valentina pensó que podía calcular el área de la mesa pentagonal tomando en cuenta ambos números, es decir, resolver el problema dos veces, y así cumplir con la tarea.

Reúnete con otros dos compañeros y argumenten si pueden existir pentágonos regu-lares con esas medidas y respondan en el cuaderno.

¿Cómo lo podrían comprobar? ¿Cuál sería la medida correcta para la apotema? ¿Cuál es el perímetro y el área de la cubierta de la mesa pentagonal? ¿Es siempre posible trazar polígonos si los datos (medida del lado y de la apotema)

fueron inventados o escogidos al azar?

Compartan con el grupo y con su maestro sus conclusiones.

Completa la tabla siguiente con los datos de las dos fi guras de la tarea, y los que en-contraste para la mesa pentagonal.

Polígono regular Medida de un lado Medida de la apotema

Octágono

Dodecágono

Pentágono


162

Más acerca de los polígonos. ¡Me falta un dato!

El perímetro de un trampolín en forma de oc-tágono regular mide 6 m. En todos los polígo-nos regulares, existe una relación proporcional entre la medida del lado y del apotema, como vimos al analizar el problema del tragaluz.

Aprovecha los resultados de los proble-mas anteriores y calcula la medida del apotema del trampolín. Calcula su área.

Si no sabes cómo encontrar la medida del apotema mediante cálculos matemáticos, ¿de qué otra manera podrías determinar la medida de la apotema si conoces la me-dida de cada uno de sus lados?

Reúnete con otros dos compañeros y comparen sus respuestas.

Un hexágono dentro de un cubo

Si unes los puntos medios de seis aristas de un cubo, como se muestra en la siguiente fi gura, obtienes un hexágono regular.

Formen equipos de dos o tres alumnos y realicen la actividad siguiente.

Con material reciclable (alambre, popotes, palos de madera), construyan el cubo con el hexágono en su interior.

Calculen el área del hexágono. ¿Qué es mayor, el área del hexágono o el área de una

cara del cubo? Presenten al grupo sus resultados.

Un área dentro de otra

Las fi guras que se muestran a continuación son polígonos regulares.

Encuentra el área de las superficies irregulares tomando en cuenta los datos indica-dos. Aprovecha los resultados de los problemas anteriores y que anotaste en la tabla para ayudarte a encontrar la medida de la apotema de cada polígono regular. Usa la regla de tres para conseguir los datos que te hacen falta. Trabaja en el cuaderno.

5 cm

10 cm 10 cm 8 cm

El trampolín o cama elástica es

una lona sujeta con muelles a una

estructura metálica sobre la que

se salta. Puede tener la forma de

diferentes polígonos regulares o

circular que es la más común.


163

¿Cómo nos fue?

¿Cómo te sentiste al ir resolviendo las actividades? Si algo se te dificultó, ¿cómo pudiste avanzar? ¿Ayudaste a tus compañeros o recibiste ayuda de ellos? ¿En qué situaciones de la vida cotidiana te podría ser útil lo aprendido durante

el desarrollo de las actividades de esta secuencia? Explícalo.

La plaza central y los anillos hexagonales

Reúnanse en parejas, observen las imágenes de la derecha y realicen en el cuader-

no las siguientes actividades.

Un centro comercial tiene el siguiente plano visto desde arriba. Los locales cuadrados tienen un área de 36 m2.

A partir del dato anterior, calculen el área y el perímetro de uno de los locales hexa-gonales. El apotema se puede calcular aprovechando los datos obtenidos en las actividades anteriores.

¿Cuánto mide el perímetro de la plaza dodecagonal central? Fíjense en los datos que usaron al resolver el problema del paraguas en la tarea.

Usen la regla de tres y encuentren el valor del apotema. ¿Cuál es el área de la plaza central?

Una fuente está adornada con anillos hexagonales de distintos colores, y el anillo morado tiene una medida de 4 m en el lado exterior.

Encuentren el área de los tres anillos hexagonales y del hexágono central tomando en cuenta que el lado del hexágono verde al centro mide 1 m y su apotema mide 87 cm.

¿Cuánto mide el área del hexágono pequeño en el centro? ¿Cuánto mediría el hexágono amarillo si no tuviera al hexágono verde en su interior? ¿Qué operación deben hacer para encontrar el área del anillo amarillo si conocen el

área del hexágono amarillo y del hexágono verde? ¿Cómo puedes encontrar el área del hexágono azul? ¿Qué tienes que hacer para

encontrar el área del anillo hexagonal azul? Por último, ¿cuánto mide el área del anillo hexagonal morado?

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.


Muestren al grupo el cartel que hicieron y expliquen paso a paso cómo trazaron el polígono regular con el perímetro requerido, inscrito en una circunferencia.

Expliquen cómo calcularon el área del polígono. Comparen sus resultados con los de los demás equipos. Si otros equipos trazaron el

mismo polígono que ustedes, ¿obtuvieron los mismos resultados? ¿Cuál polígono regular tuvo el área mayor? ¿Qué recomendación le darías al dueño del terreno que quiere que el perímetro de su

terreno sea 120 m y que el área del polígono limitado por la cerca sea el mayor posible?

4 metros

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3 Factores sucesivos de proporcionalidadContenido

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de propor-cionalidad en situaciones dadas.

El microscopio

Las siguientes fotografías corresponden a una bacteria llamada Lactococcus lactis que se utiliza en la producción de manteca y queso. Estas son cocos que se agrupan en pares y en cadenas cortas de 0.5 a 1.5 micrómetros de longitud. Al fermentar leche, esta bacteria produce grandes cantidades de ácido láctico.

• ¿Has observado fotografías de bacterias o virus tomadas con un microscopio? ¿Por qué es necesario utilizar un microscopio para observarlas?

Los microscopios aumentan el tamaño de los objetos ob-servados. El número de veces en que se aumenta el objeto depende del microscopio y de las lentes utilizados. En ge-neral, este número se informa en los dibujos o fotografías seguido de una x.

• ¿Cuántas veces aumentado aparece en la fotografía roja el Lactococcus lactis de lo que es en la realidad? ¿Y en la que está en blanco y negro?

Escribe en tu cuaderno lo que sucedería con el objeto original al hacer lo siguiente:

Combinar una lente que aumenta cinco veces el tamaño de un objeto con otra que lo aumenta 15 veces.

Primero aumentar el tamaño de un objeto 1 500 veces y después, sobre ese aumen-to, usar un aumento como el que se aplica en la fotografía roja.

Aumentar el tamaño de un objeto ocho veces, luego disminuirlo a la mitad y des-pués otra vez a la mitad.

Primero utilizar una lente para aumentar el tamaño de un objeto al doble y en se-guida aplicarle otro aumento que lo haga tres veces mayor. Después, disminuir el tamaño de este en una tercera parte, y a ese nuevo objeto, disminuirlo a la mitad.

En esta ocasión, tu labor será hacer un dibujo en distintas escalas a partir de una fotografía o imagen. Es recomendable que no sea un dibujo muy complicado.

Durante de las actividades encontrarás las instrucciones para producir las dife-rentes copias de la imagen.

Nuestro trabajo

Bacteria Lactococcus lactis con

aumento: 20000x

Bacteria Lactococcus lactis con

aumento: 1500x

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Fotografía 1

Ratón Micromys Minutus 0.5x

Ampliar y reducir

Junto con un compañero, lee otra vez la información sobre la bacteria de la página

anterior y resuelve lo siguiente:

En actividades anteriores hemos trabajado con problemas de proporcionalidad, en el caso de la representación del aumento al ver un objeto en un microscopio, ¿qué

representa la letra x?

Imaginen que la bacteria que aparece en la primera fotografía mide 1.2 micróme-

tros, ¿cuál será su tamaño al verla en el microscopio? ¿Cuál sería su

tamaño en la segunda fotografía? Justifica tus respuestas.

La fotografía 1 corresponde al ratón Micromys Minutus, nativo de Europa y Asia. Ob-serva la fotografía y responde.

¿Qué significado tiene la nota que aparece al pie de la fotografía?

Suponiendo que en la fotografía el ratón mide 3 cm de largo, ¿cuánto mide de largo

el ratón en realidad?

¿Cómo obtuviste el resultado?

Si se toma una segunda fotografía agrandando 2.5 veces la fotografía 1, ¿cómo será su tamaño en comparación con el ratón original, mayor o menor? Justifica tu res-

puesta.

¿Cuánto medirá el ratón en esta fotografía?

¿Qué hiciste para obtener el resultado?

Multiplica 6 por 0.5 y el resultado multiplícalo por 2.5. ¿Qué observas?

¿Qué sucede si agrandamos la segunda fotografía al triple?

¿Cómo son las nuevas medidas respecto a las del ratón original?

¿Cuánto medirá de largo el ratón en la tercera fotografía?

Completa la siguiente tabla con las medidas del ratón en las distintas fotografías.

Ratón de la fotografía 1 Ratón original Ratón de la fotografía 2 Ratón de la fotografía 3

Largo del cuerpo 3 cm

Largo de la cola 5 cm

Largo de orejas 0.5 cm

Diámetro de ojos 0.2 cm

¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona las medidas de la fotografía 1 con las de la fotografía 3?

¿Y el que relaciona las medidas del ratón original con las de la fotografía 3?

Comparen sus resultados con otros compañeros y el método que emplearon para

resolverlos; en caso de que haya diferencias, detecten y corrijan los errores.

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166

Rana del árbol verde (Litoria caerulea) Rana del árbol de Tyler (Litoria tyleri)

Araña Goliat (Theraphosa blondii).

Factores de proporcionalidad sucesivos

Retomemos de nuevo el problema de la actividad inicial y resuelve en tu cuaderno.

Imagina que una bacteria Lactococcus lactis que mide 1.2 micrómetros se reduce a 1

2 de su tamaño y se vuelve a reducir

1

2.

¿Qué procedimiento seguirías para calcular su tamaño final? Comparte tu respuesta con algunos compañeros y busquen llegar a acuerdos. ¿Cuánto medirá después de la primera reducción? ¿Y después de la segunda? ¿Cuál es la reducción total de la bacteria? ¿Cómo obtuviste el resultado?

Ahora, multiplica el tamaño original de la bacteria por 1

4. ¿Qué observas?

¿Qué pasa si se amplía un objeto cuatro veces su tamaño y esta ampliación se redu-

ce a 1

4? ¿Cuál será su tamaño final? Justifica tu respuesta.

Cuando aplicamos a un conjunto de datos varios factores de proporcionalidad, uno seguido de otro, lo que hacemos es equivalente a aplicar un solo factor de proporcionalidad.

Comenta con tus compañeros una estrategia que les permita obtener el factor de

proporcionalidad fi nal al aplicar factores sucesivos.

Observa las siguientes fotografías y responde:

¿Cómo vamos?

Elige la imagen o fotografía que copiarás en distintas escalas.

Traza una cuadrícula sobre la imagen original, esa será tu figura 1. Después, traza una segunda cuadrícula con el mismo número de cuadros

que la anterior y, sobre ella, traza el segundo dibujo en el cual aumentarás tres veces el tamaño de tu dibujo original.

¿Cuánto deben medir los cuadritos en el segundo dibujo? Trabaja en la elaboración de tu dibujo.

Observa junto a una regla la fotografía de una araña Goliat, la araña más grande de la que se tiene conocimiento.

1. ¿La fotografía agranda o disminuye el tamaño de la araña?2. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad?3. ¿Qué pasaría si aumentáramos al doble el tamaño de la fotografía?4. ¿Cómo se compararían las medidas de la araña real con las de la nueva

fotografía?


167

¿Cómo vamos?

Trabaja en la elaboración del tercero y cuarto dibujos.

Sigue la misma técnica que en el segundo dibujo.

En el tercer dibujo que realizarás, reducirás a 1

3 de su medida el tamaño

de la figura 2.

Por último, el cuarto dibujo resultará de aplicar un factor de proporcionalidad

de 2

3 a las medidas de tu figura 3.

¿Cómo será la medida del cuarto dibujo con respecto al original? ¿Cómo puedes obtener la medida de un objeto cuando aplicas factores de

proporcionalidad sucesivos?

La fotografía de la rana del árbol verde fue aumentada primero 4 veces y luego dismi-nuida 5 veces para quedar como aparece arriba.

Para reducir un objeto 5 veces, debemos dividir su tamaño entre 5 para obtener su

tamaño final. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 5?

Al disminuir la fotografía 5 veces, ¿cuál es el factor de proporcionalidad?

Si en la fotografía original se muestra la rana en su tamaño real y, en la fotografía

que se muestra, su longitud es de 5 centímetros, ¿cuál es el largo de la rana?

En la fotografía de la rana del árbol de Tyler, la rana aparece reducida por un factor

de 23

. ¿Cuál de las dos ranas es más grande en la realidad?

Si en la fotografía la rana Tyler mide 2.5 cm, ¿cuál es el largo real de la rana?

Valida tus respuestas con tus compañeros y con el maestro.

¿Cómo nos fue?

¿Qué fue lo que más te gustó al aprender sobre lo que sucede cuando se apli-can varios factores de proporcionalidad a una figura original?

¿Para qué se te ocurre que podrías utilizar lo que aprendiste? Encuentra dos maneras diferentes de contestar la siguiente pregunta: ¿Qué

sucede si disminuyo a la mitad las medidas de un rectángulo de 15 cm de ancho y 18 cm de largo y después las disminuyo en una tercera parte?

¿Qué sucede si aumento 5 veces las medidas (alto y ancho) de una figura y luego las disminuyo a la mitad?

Escribe en el cuaderno un párrafo que explique lo que sucede con las medi-das de una figura al aumentarlas sucesivamente 2, 3 y 4 veces y luego dismi-nuirlas en una tercera parte.


Presenta tus dibujos al resto del grupo y comenten sobre el proceso de elaboración.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad que relaciona la figura 2 con la 3? ¿Y la 1 con la 4? Si la figura 3 fuera la figura original, ¿qué tendría que hacer para obtener la figura 4

a partir de ella?

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23

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3 Predicciones en un experimento aleatorioContenido

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verifi cación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

¿Cuántos de cada color hay en la bolsa?

Reunidos en equipos de cinco integrantes, realicen la siguiente actividad.

Materiales

Cada equipo necesita:Una bolsa opaca de plástico o de papel, que no se vea desde afuera lo que hay dentro.Seis fi chas de dos colores (rojo y azul).

Uno de los integrantes del equipo coordina el juego y pone en la bolsa cuatro fi chas de dos colores, sin que los demás compañeros vean cuántas pone de cada una. El coordinador del juego dice a sus compañeros: “En esta bolsa hay cuatro fi chas. Las fi chas son de color azul y rojo. Ustedes tienen que ir sacando, por turno, una fi cha, la muestran a los demás, registran el color en la siguiente tabla, y devuelven la fi cha a la bolsa. Repitan esto dos veces, y luego cada alumno dibujará y coloreará las fi chas de cada color que piense que hay en la bolsa”.

Cada vez que salga uno de los colores, harán una marca como se muestra en la tabla:

Rojo Azul

////

Después de que cada uno de los integrantes haya dibujado las fi chas y los colores que piense que hay en la bolsa, el coordinador muestra las fi chas de la bolsa.

Mientras juegan, respondan estas preguntas:

• ¿Si sale una ficha roja? ¿Piensan que el color que saldrá en la siguiente extracción también es rojo? ¿Por qué?

• Después de que el juego dio dos vueltas, ¿cuántas fichas de cada color salieron en total?

• ¿Acertaron todos sobre la cantidad de fichas de cada color que hay en la bolsa? Si no acertó nadie o pocos, ¿a qué piensan que se deba?

• ¿Piensan que si repiten las extracciones en total 40 veces, es decir, 10 veces cada integrante del equipo, ¿tendrán más información para descubrir la cantidad de fichas de cada color que hay en la bolsa?

Reunidos en equipos inventarán un juego de azar. Pueden utilizar dados, cani-cas, ruletas u otros materiales.

Nuestro trabajo

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Variante 1: ¿Cuántos de cada color hay en la bolsa?

Reunidos en equipos de cinco integrantes, realicen la siguiente actividad.

Ahora volverán a jugar pero otro integrante del equipo será el coordinador del juego. Los coordinadores de los diferentes equipos se pondrán de acuerdo en cómo distri-buir las cuatro fi chas rojas y azules, de manera diferente a la anterior. ¡Ojo! Los demás compañeros no deben ver cuántas de cada color se colocan en la bolsa.

Empiecen a jugar otra vez, pero ahora le darán cinco vueltas al juego, es decir, cada integrante, en total, realizará cinco extracciones.

No olviden devolver la ficha cada vez a la bolsa, y registrar en su cuaderno, en una tabla, la cantidad de veces que las fichas de cada color van saliendo.

Cuando terminen las cinco vueltas, anoten en el pizarrón los resultados de cada equipo. Cuenten cuántas fichas de cada color salieron y hacen sus predicciones.

Luego sacan las fichas de la bolsa y comparan las predicciones con la cantidad de fichas de cada color que hay en la bolsa.

A partir de los datos de todos los equipos, respondan, ¿lograron averiguar cuántas

fichas de cada color había en las bolsas? ¿A qué piensan que se deba esto?

Justifiquen su respuesta.

Variante 2: ¿Cuántos de cada color hay en la bolsa?

Reunidos en equipos de cinco integrantes diferentes del anterior, realicen la si-

guiente actividad.

Para llevar a cabo esta actividad, consigan una bolsa opaca de plástico o de papel, 10 fi chas de color rojo y 10 fi chas de color azul. El compañero que coordina el juego pone en la bolsa 10 fi chas de dos colores, rojo y azul, sin que los demás compañeros vean cuántas pone de cada una. Por ejemplo, puede poner siete azules y tres rojas. Les dice a sus compañeros que ahora en la bolsa hay 10 fi chas de color rojo y azul.

De la misma manera que en los juegos anteriores, cada integrante del equipo deberá sacar por turno, una fi cha, mostrársela a los demás y registrar en una tabla en su cuaderno el color que salió. No olviden regresar la fi cha a la bolsa.

Después de que cada integrante haya sacado 10 veces una fi cha, es decir, que le dieron 10 vueltas al juego y, con base en la cantidad de fi chas de cada color que salieron, cada uno elabora un dibujo de cómo piensa que están distribuidas las 10 fi chas y anotan el número de veces esperado en la siguiente tabla:

ResultadoNúm. de veces

esperadoRecuento Frecuencia

Rojo

Azul

Total

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Después de que cada uno de los integrantes haya dibujado las fi chas y los colores que piensa que hay en la bolsa, el coordinador muestra las fi chas de la bolsa.

Al terminar el juego cada uno de los integrantes del equipo explica acerca de los siguientes puntos:

¿Cuál fue tu predicción? ¿Los datos de la tabla con los resultados de las extraccio-nes son suficientes para decir con seguridad cuántas fichas de cada color hay en la bolsa? Explica tu respuesta.

Cuando miraron al interior de la bolsa, ¿te sorprendiste al ver la cantidad de fichas rojas y azules que había? ¿Por qué?

¿Cuántas veces extrajo cada uno una ficha de la bolsa? ¿Piensas que si sacaras más veces podrías conocer la cantidad de fichas de cada color que hay en la bolsa?

¿Piensas que es más fácil averiguar cuántas fichas de cada color hay cuando el total de fichas es un número pequeño?

¿Cuántas veces sale el 5?

Reunidos en parejas, consigan un dado y realicen la siguiente actividad:

Si lanzan un dado 48 veces, ¿cuántas veces saldrá el 1, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6? Completen la siguiente tabla con el número de veces que esperan que salga cada uno.

Entre los dos, lancen el dado 48 veces y anoten los resultados en la tabla.

ResultadoNúm. de veces


1

2

3

4

5

6

Total 48

En el pizarrón completarán una tabla igual que la anterior con los resultados de to-das las parejas y compararán sus predicciones con los resultados de toda la clase.

¿Es posible saber con exactitud cuántas veces saldrá cada número? ¿Por qué pien-

san que esto suceda?

frecuencia. Es el nú-mero de veces que se repite un fenómeno o suceso.


171

El juego de las canicas de colores

Reunidos en equipos de tres integrantes realicen la siguiente actividad.

Para llevar a cabo este juego necesitan 30 fi chas, una bolsa opaca de plástico o de papel; tres canicas blancas, dos canicas negras y una canica roja.

Cada integrante escoge uno de los tres colores de las canicas. Se mezclan las seis canicas en la bolsa, se saca una canica, se muestra a los demás y se regresa a la bolsa. El alumno que saque una canica del color que haya elegido toma una ficha del montón. El juego se acaba cuando se terminan las 30 fichas.

Antes de jugar comparen las posibilidades que tiene cada uno de ganar. Para ello, respondan en el cuaderno:

¿Quién tiene más posibilidades de ganar? ¿Podrían decir cuántas fichas tendrá cada jugador al final? Expliquen su respuesta.

A medida que van realizando las extracciones registren el color de la canica que sale en una tabla como la siguiente:

Color de la

canicaRecuento Frecuencia Total

Blanco

Negro

Rojo

Cuando hayan jugado una vez comparen sus predicciones de ganar con los

resultados obtenidos.

Comenten con sus compañeros y con el profesor si acertaron en su predicción.

¿Qué sale más, rojo o azul?

Reunidos en equipos de cuatro integrantes van a construir y a jugar con una ruleta

como la que se muestra:

La mitad del equipo elige el color rojo y la otra mitad el azul. Por turnos, cada uno de los integrantes gira la ruleta 10 ve-ces. Cada vez que haya girado la ruleta, registra en una tabla como la de la página siguiente el color que salió. En total se girará la ruleta 40 veces. Antes de jugar, discutan las siguientes preguntas y res-

póndanlas en el cuaderno.

¿Alrededor de cuántas veces piensan que cae-rá en rojo? ¿Y en azul? Escríbanlo en la tabla. ¿Es posible que de las 40 veces, 10 veces cai-ga en azul y 30 en rojo? ¿Por qué?

Materiales

• un pedazo de cartulina de 10 cm � 10 cm

• 1 compás• 1 clip• una pluma• lápices rojo y azul


172

Lleven a cabo el juego y completen con palitos (/) en la columna de Recuento y con números en la columna de Frecuencia en la tabla siguiente:

ColorNúm. de veces


Rojo

Azul

Total 40 40

Comparen sus resultados con los de los otros equipos. ¿Es posible saber antes de jugar quién ganará? Expliquen su respuesta en el cuaderno.

Un experimento es aleatorio cuando no se puede predecir su resultado. Solo se cono-ce el conjunto de los posibles resultados, llamado espacio muestral, pero no sabemos cuál de ellos ocurrirá.

Experimentemos con dados

En parejas consigan un dado y realicen la siguiente actividad:

Se lanza un dado al aire, uno de los alumnos elige los números pares y el otro los números impares. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar si en total el dado se lanza 40 veces? ¿Por qué? Respondan en su cuaderno.

Si se lanza el dado 40 veces, ¿cuántas veces piensas que saldrán números pares? ¿Y números impares? Anoten en su cuaderno las predicciones de cada uno.

Realicen el experimento de lanzar un dado y anoten los resultados en una tabla como al siguiente:

Resultados Núm. de veces esperado Recuento Frecuencia

Pares

Impares

Total 40 40

Comparen sus predicciones con los resultados obtenidos. Comparen sus resultados con los demás equipos.

¿Cómo vamos?

Una vez que inventaron el juego de azar, cada uno de los integrantes escribe sus predicciones de los resultados posibles.

Realizan el juego y comparan sus predicciones con los resultados que anota-ron en una tabla como las que han trabajado en la secuencia.

Resuelve las siguientes actividades:

1. Si lanzas una moneda al aire, ¿qué resultados posibles pueden salir? a) Si lanzas una moneda 20 veces al aire, ¿puedes asegurar antes de reali-

zar el experimento que saldrán 10 soles y 10 águilas?

Resuelve las siguientes a

En la siguiente direc-ción electrónica:thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/36/matematicas-36.htmlAccede al menú, re-visa Experiencia del azar I y II y realiza las actividades que se proponen.


173

b) Realiza el experimento de lanzar 20 veces una moneda y anota los resul-tados en una tabla como la siguiente:

ResultadosNúm. de veces


Rojo

Azul

Total 40 40

Compara tu predicción con los resultados de la tabla.

2. Si lanzas dos monedas al aire, ¿cuáles son los resultados posibles que se pueden obtener?a) Si lanzas dos monedas al aire 40 veces, ¿cuántas veces piensas que sal-

drán las dos caras iguales (sol, sol) y (águila, águila)?b) Realiza el experimento de lanzar 40 veces dos monedas y anota los resul-

tados en una tabla como la siguiente:

ResultadosNúm. de veces


Sol

Águila

Las dos caras

iguales

Total 40 40

Compara tu predicción con los resultados de la tabla.

¿Cómo nos fue?

¿Qué actividad te gustó más? ¿Qué parte se te dificultó? ¿Es posible saber de antemano quién ganará el juego? Explica tu respuesta. ¿Qué diferencias encuentras entre otros problemas que has resuelto cuyos re-

sultados son exactos y las actividades que realizaste en esta secuencia? Escribe tres ejemplos de experimentos aleatorios.


Cada equipo expone ante el grupo el juego que inventaron. Los demás equipos eligen uno de los juegos de los otros equipos. Uno de los integrantes del equipo que inventó el juego les da las instrucciones y los materiales necesarios para realizarlo.

Cada integrante hace sus predicciones y anota los resultados en una tabla. Cuando termina de jugar, en grupo se analiza cada juego y se comparan las predicciones con los resultados del experimento aleatorio y se discuten las siguientes preguntas:

¿Es posible predecir cuáles serán los resultados de un juego de azar? ¿Por qué piensan que esto suceda?

Cie

rre


174

24

Blo

que

3

Diagramas y tablas

Contenido

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

¿Qué desayunaste hoy?

Para conocer los hábitos de alimentación, higiene y deporte, así como el inicio de hábitos tóxicos y consumo de televisión que tienen los alumnos de 10 a 11 años de edad que viven en áreas rurales y urbanas, se aplicó una encuesta a niños de ambos sectores.Una de las preguntas fue: “¿Qué desayunaste hoy?”.

Los alumnos solo podían elegir una de las opciones de respuesta a la izquierda.

• ¿Puedes saber si son muchos o pocos niños, si solo te dicen que entre los del medio rural siete niños desayunaron fruta? Explica por qué.

• ¿Y qué sucede si te dicen que 78 de 149 niños toman algún lácteo?

Para analizar las respuestas, se agruparon en tres ran-gos de acuerdo con la letra que señala cada opción:

a. Toman algún lácteo para desayunar.b. Toman un lácteo acompañado de algún sólido.c. Toman frutas o jugos de frutas.

La información obtenida se organizó en la tabla siguiente:

Tabla 1. Alimentación en el desayuno

Variable Medio rural (MR)Medio urbano

(MU)Total

a. Lácteo 98 78 176

b. Lácteo y sólido 62 58 120

c. Fruta o jugos 7 13 20

Total 167 149 316

¿Cuántos niños toman solo algún lácteo en el desayuno? ¿Cuál es el alimento que menos consumen en el desayuno? ¿Cuál es el tipo de desayuno que consumen la mayoría de los niños del medio rural? ¿Cuántos alumnos de cada medio fueron encuestados? ¿Qué diferencias encuentras entre afirmar que “98 niños desayunan solo algún lác-

teo” y decir “98 niños de un total de 316 solo desayunan algún lácteo”?

Comenten las respuestas con otros compañeros y con el profesor.

Opciones de respuesta:

a. Leche con chocolatea. Leche solaa. Yogurb. Leche y una tortab. Leche con galletasb. Leche con cerealb. Leche, huevos y tortillac. Frutas o jugo de frutas

Inic

io


175

Reunidos en equipos, realizarán una investigación acerca de alguno de los há-bitos de alimentación, higiene, deporte, inicio de hábitos tóxicos o consumo de televisión entre sus compañeros del salón de clases o de toda la escuela.

Distribuyan los temas entre los equipos, de modo que se aborden todos. Planteen entre tres y cinco preguntas sobre el tema que les correspondió,

con el propósito de conocer los hábitos que tienen los alumnos. Para facilitar la organización de la información, acompañen cada pregunta con

posibles opciones de respuesta, a fin de que el encuestado solo marque una. En lugar de considerar el medio rural o urbano pueden organizar la informa-

ción por sexo o por edades. No es necesario que al contestar la encuesta los alumnos escriban su nombre, ya que se trata de un estudio de la población en su conjunto.

Nuestro trabajo

Porcentaje de encuestados

Junto con un compañero, analicen la siguiente tabla en la que se incluye la infor-

mación sobre la encuesta de la actividad inicial y contesten las preguntas.

Tabla 2. Alimentación en el desayuno.

Variable

Medio rural (MR) Medio urbano (MU) Total

Número de

estudiantes

Porcentaje

(%)

Número de

estudiantes

Porcentaje

(%)

Número de

estudiantes

Porcentaje

(%)

Solo leche 98 31 78 25 176 56

Leche y sólido 62 20 58 18 120 38

Fruta o jugos 7 2 13 4 20 6

Total 167 149 316 100

Los resultados se redondearon a enteros.

Completen los datos que faltan en la tabla.

¿Qué información diferente nos proporciona esta tabla, con respecto a la tabla 1?

¿Por qué es útil? ¿Cómo se obtiene esa información?

¿En qué medio es mayor el porcentaje de niños que solo toman leche en el desayu-

no? ¿De cuánto es la diferencia con los otros niños?

¿En qué medio es mayor el porcentaje de niños que toman leche acompañada de

algo sólido? ¿De cuánto es la diferencia con los demás niños?

¿Qué pueden decir acerca de que los niños tomen solo leche en el desayuno? ¿Es

una costumbre que se da solamente en uno de los medios?

¿Cómo describirían los hábitos que tienen los niños en relación con el desayuno?

¿Piensan que estos hábitos de alimentación tengan o no relación con el rendimiento escolar de los estudiantes encuestados? ¿Por qué? Coméntenlo con el grupo.

Pla

neació

nD

esarr

ollo


176

Frecuencias absolutas y relativas

Otra pregunta que se les hizo a los niños fue: “¿Qué comiste en el recreo de hoy?”. Las opciones de respuesta eran:

- Nada - Leche - Fruta - Una torta - Comida chatarra - Galletas

Al contabilizar las respuestas se obtuvo lo siguiente: No comen nada: 46 niños del MR y 30 del MU. Consumen comida chatarra: 15 niños del MR y 16 niños del MU. Comen algo sólido: 58 niños del MR y 51 niños del MU. Comen fruta: 48 niños del MR y 52 del MU.

Si en el informe solo se dice que “32 niños del medio rural consumen comida chata-rra en el recreo”, ¿es suficiente la información para asegurar que es mucho o poco? Argumenten sus respuestas.

En cambio, si dice: “el 4% de los niños del medio rural consumen comida chatarra en el recreo”, ¿pueden determinar si es mucho o poco? Argumenten sus respuestas.

Por parejas, completen la tabla con los datos obtenidos y usen una calculadora

para determinar los porcentajes faltantes redondeando a enteros.

Para redondear decimales a enteros, si los centésimos son mayores que 50 se agrega una unidad a la parte entera; si son menores que 50, la parte entera se deja como está.

Tabla 3. Alimentación en el recreo

Medio rural (MR) Medio urbano (MU) Total

Variable Estudiantes Porcentaje (%) Estudiantes Porcentaje (%) Estudiantes Porcentaje (%)

a. Nada 15 30 76

b. Comida chatarra 15 5 10

c. Sólido 18 16

d. Fruta 48 52 32

Total 53 47 316

¿En cuáles de las variables existen diferencias significativas entre los niños del me-

dio rural y el urbano?

¿En qué casos no hay diferencias?

Escriban en el cuaderno un informe acerca de las semejanzas y diferencias sobre lo que comen en el recreo los niños del medio rural y el urbano.

Comenten con otros compañeros cuáles son las ventajas de utilizar porcentajes

para comparar los hábitos alimentarios de los alumnos.

A las tablas con las que hemos trabajado en las actividades anteriores se les conoce como tablas de frecuencias y en ellas podemos representar el número de veces que ha aparecido una variable. Por ejemplo, la variable “comida chatarra” fue elegida por 16 niños del medio urbano. A esta cantidad se la llama frecuencia absoluta.

Cuando las frecuencias se escriben como porcentajes se les llama frecuencia relati-

va, porque depende del tamaño de la muestra o de la población que se estudia. Esto la convierte en una medida útil para realizar comparaciones, lo cual no sucede con las frecuencias absolutas.

Para determinar la frecuencia relativa se calcula el cociente entre la frecuencia abso-luta y el tamaño de la muestra, y el resultado obtenido se multiplica por 100.


177

La infl uenza en México

Reúnanse en equipos, analicen y resuelvan en el cuaderno estas actividades.

A fi nes de abril de 2009, la Secretaría de Salud informó a la población sobre un posi-ble brote de infl uenza, llamada porcina al comienzo y luego Infl uenza AH1N1.

La información proporcionada corresponde a algunos periódicos.

¿En cuál de los periódicos la información nos da una idea correcta de las defuncio-nes por influenza?

¿Cómo interpretan la información que aparece en los titulares del periódico 1? ¿Es correcta? Escriban por qué sí o por qué no.

En la tabla siguiente se proporciona información sobre la situación de la infl uenza AH1N1, casos confi rmados y defunciones por grupos de edad.

Grupo de edad (años) Casos confi rmados Defunciones totales Porcentaje (%)

0 a 9 2 305 16 14

10 a 19 2 617 5 4

20 a 29 1 452 28 24

30 a 39 802 25 22

40 a 49 562 19 16

50 a 59 334 16 14

> 60 143 7 6

No disponibles 64 0

Totales 8 279 116 100

Fuente: Secretaría de Salud. Situación actual de la epidemia. 23 de junio de 2009. México.

¿Cuál es la variable que se toma en cuenta para organizar la información de casos confirmados y de defunciones? ¿Qué diferencias encuentran entre esta variable y las que han trabajado anteriormente?

¿Respecto a qué total se han calculado los porcentajes?, ¿al total de casos confirma-dos por grupo de edad o al total de defunciones?

¿A qué creen que se deba que en el grupo de 10 a 19 años se encuentra el mayor número de casos confirmados, pero aparecen con el menor porcentaje?

¿En qué grupos de edad los casos confirmados superan el millar? ¿En qué grupos de edad el porcentaje de defunciones es mayor que 10%? ¿Cuál es el porcentaje de defunciones respecto al total de casos confirmados? ¿Cuánto suman los porcentajes de defunciones de la población entre 20 y 59 años

de edad?

Periódico 1. 28 de abril de 2009. Padre e hija superan la enfermedad; “dicen que solo 2 de cada 10 salen de la enfermedad”.

Periódico 2. 23 de junio de 2009. “ASCIENDEN EN MÉXICO A 116 MUERTOS POR INFLUENZA AH1N1”.

Periódico 3. 25 de abril de 2009. “Suman 81 muertos por epidemia de in-fl uenza en México”.

Periódico 4. 25 de junio. “Reporta la Secretaría de Salud 119 muertos por infl uenza y nueve mil 28 contagiados”.


178

¿Cuántos televisores tienen?

Otra pregunta de la encuesta fue: “¿Cuántos aparatos de televisión hay en tu casa?” A ella respondieron 31 alumnos del medio rural y 32 del urbano, y las respuestas fueron las siguientes:

Medio rural:

1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0 ,1 ,1 ,0 ,1 ,1 ,2 ,1, 2, 1, 1, 2, 1, 2Medio urbano:

2, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1

Reunidos en equipos, completen la tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

Redondeen a centésimos los decimales y a enteros los porcentajes y respondan en

el cuaderno las preguntas.

Núm. de

televisores

Medio rural Medio urbano

FrecuenciaFrecuencia relativa

FrecuenciaFrecuencia relativa

Fracción Decimal Porcentaje (%) Fracción Decimal Porcentaje (%)

0

1

2

3 4 4

63 0.06 6

¿Cuál es el significado de los valores decimales respecto a los datos del problema? ¿Qué diferencia hay entre el significado del valor decimal y su respectivo porcentaje? ¿Cuál es el mayor porcentaje en el medio rural? ¿Cuánto suman los porcentajes que representan 1 y 2 televisores en el medio

urbano? ¿Qué significa 0% en el medio rural? ¿Y en el medio urbano? Escriban un informe en el que describan lo que sucede en relación con el número

de televisores en el medio rural y el medio urbano. ¿Cuáles niños tiene más posibilidades de ver televisión, los del medio rural o los del

urbano?

Comenten sus respuestas con los compañeros de otros equipos.

¿Cómo vamos?

Una vez que todos los integrantes del equipo hayan acordado las preguntas y las opciones de respuesta, apliquen la encuesta a los compañeros del mismo grado o de varios grados. Organicen la información en tablas de frecuencia. Hagan una tabla por pregunta.Completen cada una de las tablas anteriores con una columna en la que se presente el porcentaje para cada una de las respuestas.

¿Qué representa la columna de porcentajes? ¿Consideras que es útil organizar la información recopilada en encuestas

antes de obtener conclusiones?, ¿por qué? ¿Qué tema eligieron para su encuesta? ¿Cuál fue la respuesta que más se repitió?


179

Realiza estas actividades:

1. México es uno de los países con mayor diversidad de especies debido a su situación geográfi ca y a su variado paisaje. Además, muchas de las especies que se encuentran en el país no se localizan en otras partes del mundo.

A continuación analizaremos algunos datos en relación con la cantidad de especies de animales que existen en México, datos que están presentados como cifras y como porcentajes.Utiliza una calculadora y completa la tabla siguiente, en la que se muestra información sobre el total de especies mexicanas y en el mundo. Redondea a centésimos el resultado de los porcentajes y a enteros el número de especies.

Diversidad de animales en México y el mundo

GrupoTotal de especies en

MéxicoEspecies en el mundo

Porcentaje (%) de

especies mexicanas

Abejas 1 805 20 000

Arañas 2 506 6.43

Aves 9 917 11.09

Ballenas, marsopas, delfi nes 39 48.75

Cecilias 165 1.21

Cocodrilos 23 13.04

Conejos y liebres 14 80

Corales 794 19.14

Libélulas 352 5 329 6.60

Mapaches, coyotes, felinos 270 11.85

Mariposas diurnas 1 810 19 238

Murciélagos 925 14.81

Peces continentales 384 9 966

Peces marinos 14 652 2.56

Ratones, ardillas, tuzas 221 11.05

Salamandras 128 25.50

Sapos y ranas 231 4 837

Serpientes 2 978 12.19

Tortugas 47 307

Tortugas marinas 7 87.50

Fuente: WWF México. Tomado de: www.wwf.org.mx/wwfmex/especies.php

a) ¿De qué especie hay mayor número en México? b) ¿Cuáles son las dos especies del mundo que existen en nuestro país con mayor porcentaje?c) ¿Cuál es la especie que existe en México en menor porcentaje? Investiga sobre ella.

2. Busca en tus libros de texto de geografía, historia y biología, en periódicos o revistas, ejemplos de tablas de frecuencias absolutas y relativas y lleven la información al salón de clases. a) Realiza por escrito un análisis sobre la información que conseguiste.

Realiza estas actividades


180

3. Reunidos en equipo, analicen y comenten la información proporcionada por Inegi acerca de los movimien-tos migratorios de hombres y mujeres mexicanos.

Movimientos migratorios según el género

Porcentaje de la población de 5 años y más por tipo de migración

Municipal Estatal Internacional

Hombres 48.2 % 49.3 % 59.4 %

Mujeres 51.8 % 50.7 % 40.6 %

Fuente: Inegi. Estados Unidos Mexicanos. Perfi l Sociodemográfi co. XII Censo de Población y Vivienda 2000.

Emigración internacional

¿A qué edad se van?

Distribución porcentual de la población migrante internacional

Años Porcentaje

0-14 5.3%

15-24 50.8%

25-34 25.2%

35-49 12.4%

50 y más 3.9%

Fuente: Inegi. Estados Unidos Mexicanos. Perfi l Sociodemográfi co. XII Censo de Población y Vivienda 2000.

¿Adónde se van?

Muchos de los mexicanos que deciden emigrar a otro país tienen como destino Estados Unidos de América. Cuando se establecen allá, lo hacen principalmente en:

Lugar de destino en Estados Unidos Porcentaje

California 26%

Texas 19%

Illinois 5%

Florida 4%

Arizona 4%

Otros estados 42%

Fuente: Inegi. Mujeres y hombres en México 2005. www.inegi.gob.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/

sociodemografi co/mujeresyhombres/2005/Mujeres_y_hombres_en_Mexico_2005.pdf

¿Cuántos regresan?

De 1995 a 2000, del total de las personas que emigraron a Estados Unidos de América 14.6% regresaron a México y el 83.4% no regresaron.

¿Adónde regresan?

Los cinco estados de la República Mexicana a los que regresa el mayor porcentaje de emigrantes provenien-tes de Estados Unidos de América son Guanajuato, Tamaulipas, Veracruz de Ignacio de la Llave, Morelos e Hidalgo.

a) Escriban en el cuaderno tres preguntas que puedan contestarse con la información presentada en cada una de las tablas e intercámbienlas con otros compañeros.


181

La estadística es la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta la infor-mación numérica o cualitativa, de modo que se pueda llegar a conclusiones válidas. Los periódicos, las revistas, la radio y la televisión usan la estadística para informar y persuadirnos a actuar de ciertas maneras y en la formación de opiniones.Los orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de recopilación de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones china (aproximadamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Los censos propiamente dichos eran ya una institución en el siglo IV a.C. en el Imperio romano.

¿Cómo nos fue?

Contesta las preguntas y comenta las respuestas con tus compañeros y maestro.

Escribe y ordena los pasos que siguieron para realizar la investigación. ¿Qué parte de la investigación se te dificultó más, la elaboración de las pregun-

tas de la encuesta o la organización de la información? ¿Lograron en el equipo organizar la información en tablas de frecuencias ab-

solutas y relativas? ¿Con qué dificultades se encontraron? Escribe los pasos que seguiste para organizar las tablas de frecuencias, a par-

tir de que tenían toda la información. ¿Qué tipo de información se obtiene de una tabla de frecuencias absolutas? ¿Y

de una de frecuencias relativas? ¿Cuál de las dos expresiones siguientes es correcta? Hoy faltaron tres estudiantes

en todo el colegio. De 450 estudiantes que tiene el colegio, hoy solo faltaron tres. Escribe en qué situaciones se pueden utilizar las tablas de frecuencias abso-

lutas y relativas. Explica cuándo usas las frecuencias absolutas y las relativas y qué significa

cada una de ellas.


Cada uno de los equipos presentará en clase los

resultados de su investigación acerca de los há-

bitos que hayan elegido. También planteará pre-

guntas a las que se responda con los datos de las

tablas para que el resto del grupo las conteste.

Los demás compañeros harán las preguntas que consideren pertinentes acerca de la infor-mación presentada.

Incorporen sus trabajos al periódico mural de la escuela, acompañados de una reflexión sobre el tema que haya seleccionado cada equipo.

Conserven esos trabajos, porque les servirán posteriormente para la representación, en grá-ficas, de las frecuencias absolutas y relativas.

En el trabajo en equipo, cada

integrante debe asumir la

responsabilidad de la tarea que

se trata de resolver, no de manera

individual sino colectiva.

Cie

rre


182


UNIDAD: Densidad de población

Pregunta 1: DENSIDAD DE POBLACIÓN

Contexto: PúblicoAprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales

La extensión territorial de México es 5.48 veces más grande que la de Alemania. Si la superfi cie de

Alemania es de 357 021 km2, ¿cuál es la superfi cie de México? Escribe tus operaciones.

Respuesta:


Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Aprendizaje Esperado: Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales

La densidad de población de Canadá es de 3.74 habitantes/km2. Para saber cuántas veces es más grande

la densidad de población de México, ¿cuál ecuación se debe resolver?

a) 3.74x = 57 b) 3.74 + x = 57 c) 3.74 – x = 57 d) 3.74

x = 57


Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Aprendizaje Esperado: Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales

La densidad de población de México se relaciona con la de Alemania de la siguiente manera:

0.25x + 0.75 = 57. Donde x representa la densidad de población de Alemania. ¿Cuál es la densidad de

población el Alemania? Describe los pasos para despejar x.

Respuesta:

La densidad de población es un concepto que relaciona el número de personas que habitan una región

con la extensión territorial de esta. Por ejemplo, la densidad de población de México es de 57 habitan-

tes/km2, esto quiere decir que, en promedio, en México habitan 57 personas por cada kilómetro cua-

drado. Este concepto ayuda a estudiar las sociedades de distintos países, por ejemplo, México tiene

menor extensión territorial que Canadá y su densidad de población es mayor, por otro lado, nuestro país

tiene mayor extensión territorial que Alemania y su densidad de población es menor.

CANADÁ MÉXICO ALEMANIA


183

UNIDAD: El negocio de manteles

Eduardo tiene un negocio en el que fabrica y vende manteles.

Cada mantel lleva encaje alrededor. Para venderlos, primero

debe saber cuánto va a invertir en material y con base en eso,

ofrece un precio al cliente.

Pregunta 1: EL NEGOCIO DE MANTELES

Contexto: Laboral

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las fi guras

Una persona le indicó que necesitaba un mantel con 2.25 m2 de área y con forma rectangular. ¿Se puede

hacer un presupuesto solo con esta información? Argumenta tu respuesta.


Contexto: Laboral


Colorea las casillas “Sí” o “No” para indicar

las condiciones mínimas para hacer el presu-

puesto para un mantel rectangular.


Contexto: Laboral


Doña Clara le encargó un mantel rectangular, su perímetro debía ser de 7.5 m y medir 1.5 m de largo,

¿cuánto debe medir de ancho? Escribe tus operaciones.

Respuesta:


Contexto: Laboral


El señor Pedro le encargó un mantel cuadrado. ¿Qué medidas son necesarias para que Eduardo le cotice

un precio?


Contexto: Laboral


El mantel que le encargaron debe medir 9 m2 de área. ¿Cuánto encaje necesita Eduardo para elaborarlo?

a) 12 m b) 4 m c) 9 m d) 7 m

Área Sí No

Perímetro Sí No

Apotema Sí No

Medida de uno de sus lados Sí No


184


185

Bloque 4


• Construyas círculos y polígonos regulares que cum-plan con ciertas condiciones establecidas.

• Leas información presentada en gráfi cas de barras y circulares. Utilices estos tipos de gráfi cas para co-municar información.

Pulseras hechas con cuentas de chaquiraPulseras hechas con cuentas de chaquira

Al elaborar collares y pulseras, los huicholes utilizan diseños

geométricos, como fi guras inscritas en otras fi guras. Estos diseños son

abstracciones de elementos naturales. La combinación de colores es

una parte fundamental en los diseños. La imagen se relaciona con el

contenido de la secuencia 30.


186

25

Blo

que

4

Números con signo

Contenido

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

El juego del tablero

Mónica, Carlos, Sandra y Francisco jugaron en su salón de clases un juego de mesa con casillas numeradas en el que se mueven de acuerdo con el número que les sale, en cada turno, al lanzar un dado y con el color de una tarjeta, roja o azul, que escogen al azar. La siguiente tabla muestra los resultados de tres turnos.

Jugador

Turno 1 Turno 2 Turno 3 Casilla fi nal

Puntos en el dado

Color de tarjeta

Puntos en el dado

Color de tarjeta

Puntos en el dado

Color de tarjeta

Mónica 4 Azul 1 Rojo 5 Azul

Carlos 2 Azul 4 Rojo 2 Rojo

Francisco 5 Rojo 3 Rojo 3 Rojo

Sandra 3 Azul 2 Rojo 5 Rojo

Al fi nal del tercer turno, Mónica resultó ganadora y Carlos y Sandra empataron.

• ¿Cómo te imaginas que es el tablero del juego de mesa?• ¿Cuál es el significado del color de las tarjetas? ¿Cuáles serán las reglas del juego?• ¿Cómo se determina al ganador?• ¿Por qué, si Sandra y Mónica obtuvieron los mismos puntos, Mónica ganó?• Usando números, ¿cómo representarías un turno que implique un retroceso?

En matemáticas hay ocasiones en que la comunidad decide tomar cierta dirección como positiva y la contraria como negativa. A esta decisión se le llama una convención.

Reúnete con un compañero y traduzcan las siguientes afi rmaciones utilizando números. Uti-licen signos para especifi car la dirección y comenten en qué ayuda la notación matemática.

La temperatura era de 5 grados bajo cero. El tesoro se encontró a 300 m bajo el nivel del mar.

Por equipos diseñarán el tablero del juego de mesa de la actividad inicial. Deben poner mucha atención a la descripción inicial del juego, y a las características de los tres primeros turnos que se plantean en la tabla. Con base en esta infor-mación, deben redactar las reglas del juego. Es como un trabajo al revés, ahora tienen como información los resultados y con base en ellos deben redactar las reglas, pero deben ser muy cuidadosos de que todos los detalles encajen. Nece-sitan cartulina para hacer el tablero, tarjetas con una cara azul y tarjetas con una cara roja, un dado y fi chas. Cada equipo decidirá el diseño, el número de casillas de su tablero y el número de tarjetas de cada color. Les proponemos dedicar una semana a este trabajo. Repártanse las tareas para que todos participen. Al fi nal expondrán sus tableros y evaluarán, con respeto, los de sus compañeros.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n


187

Números negativos

Antes de iniciar la elaboración de su tablero, en parejas resuelvan las situaciones

siguientes, que les darán elementos para poder diseñarlo.

El invierno en Nueva York es muy frío. En los meses de enero y febrero, en prome-dio, las temperaturas mínimas rondan los 5 ºC bajo cero y las máximas solo alcan-zan los 2 ºC. ¿Cuándo se siente más el frío en esa ciudad, cuando la temperatura es de

5 ºC bajo cero o cuando es de 2 ºC? Explica tu respuesta.

¿Cuál es la diferencia entre la temperatura máxima y la temperatura mínima en

estos meses? En un juego de pirinola, tres jugadores empiezan con cero fichas, pues todas están

en el centro. Analicen los resultados que obtuvieron y contesten las preguntas en el cuaderno; consideren que si algún jugador no tiene fichas y pierde algunas, las quedará a deber.

Jugadores

Turno 1 Turno 2 Turno 3

Fichas ganadas

Fichas perdidas

Fichas ganadas

Fichas perdidas

Fichas ganadas

Fichas perdidas

Pablo 10 15 15

Alejandra 6 10 10

Carlos 5 5 2

Después del primer turno, ¿quién va ganando el juego? ¿Cuántas fichas tiene cada jugador después del segundo turno? ¿Cuántas fichas tiene cada uno al finalizar el tercer turno? ¿Algún jugador quedó a deber fichas? ¿Cuántas?

Gabriel tiene una mueblería y cada mes registra la utilidad que obtiene de las ventas. En el segundo semestre del año 2009 registró las siguientes utilidades: en julio ob-tuvo $5 000.00, en agosto $4 500.00, en septiembre tuvo una pérdida de $750.00, en octubre consiguió $1 000.00, en noviembre perdió $250.50 y en diciembre ganó $8 900.00.

¿En qué mes le fue mejor? ¿Cuál fue el peor mes?

Compartan y comparen sus respuestas con otros equipos.

En situaciones como las anteriores, para representar temperaturas menores que cero, deudas, pérdidas en un juego o en un negocio, se emplean números negativos. En una recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero. A los números que se ubican a la derecha del cero y que ya conoces se les llama números positivos. Los números negativos se representan anteponiendo el signo menos (�) a los positivos.

Por ejemplo, �3, –7, �14, � 18

, � 23

, �6.5 y �10.3 son números negativos.

¿Cómo escribirías 5 ºC bajo cero con números negativos?

¿Cómo escribirías una pérdida de 6 fichas en el juego de la pirinola?

Termómetro de

mercurio que mide

la temperatura en

grados Celsius (0C) y

grados Fahrenheit (0F).

Desarr

ollo


188

O

Números negativos en la recta numérica

En la siguiente actividad ubicarán números positivos y negativos en la recta numé-

rica. En parejas realicen lo que se pide en cada caso.

En la siguiente recta numérica ubica la temperatura mínima y la máxima que se registra en la ciudad de Nueva York en los meses de enero y febrero indicados en la página anterior.

Marca de rojo la parte de la recta que representa a las temperaturas mayores que cero y de azul la parte que representa las temperaturas bajo cero.

¿A cuántos lugares del cero ubicaron la temperatura máxima? ¿Y a cuántos, la temperatura mínima?

Ubiquen en la siguiente recta numérica estos números: � 25

, � 13

, 2 34

,–1 25

, 13

,–114

.

–3 �2 –1 0 1 2 3

Ordenen los números de menor a mayor.

En su cuaderno, tracen tres rectas numéricas iguales a la que se muestra arriba, numérenlas del 1 al 3, y realicen la siguiente actividad.

Discutan cómo podrían dividir la recta para ubicar en ella los números que tie-nen 5 en el denominador. Ubiquen esos números y después ubíquenlos en la recta numérica anterior.



Comparen la ubicación de todos sus números con el orden que les dieron ante-riormente, ¿coincide? Si no es así, revisen cómo los ordenaron y cómo los colo-caron en la recta numérica.

Realiza los ejercicios siguientes.

1. Ubica en la recta numérica los siguientes números. Después, ordénalos de mayor a menor.

23

, –7, 14, –6.5, 3, –3, – 14

, 75

, –2.8, –5, 4.6, 7.3

2. En una recta numérica vertical, ¿en dónde se ubican los números negativos?

3. La situación fi nanciera de Esmeralda durante el primer semestre del año es la siguiente:

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

($) 200.00 350.00 400.00 2250.00 2320.00 2380.00

Realiza los ejercicios sigu


189

a) Explica qué sucedió con su situación fi nanciera en el segundo trimestre del año, respecto del primero.

b) ¿Cuál fue el mejor mes del semestre en términos fi nancieros? ¿Cuál fue el peor

mes del semestre?

a) Explica qué suced

¿Cómo vamos?

Reúnete con tus compañeros de equipo y empiecen a diseñar su tablero.

En el tablero que diseñarán y de acuerdo con el juego de la actividad inicial, ¿hacia dónde se moverán los jugadores que obtienen tarjeta azul? ¿Y los que obtienen tarjeta roja?

¿Qué papel juega el dado y de qué manera afecta en sus resultados? ¿Quien obtiene mayor puntuación gana? ¿Qué papel juegan las tarjetas? ¿En cuál casilla debe iniciar el juego?

¿Cómo emplearían los números negativos en su tablero? ¿Cuáles son las primeras reglas del juego?

La temperatura de Moscú

En la ciudad de Moscú, capital de Rusia, las variaciones de temperatura resultan importantes cada mes, de un día a otro y en un mismo día. La siguiente tabla muestra la variación de la temperatura de Moscú en el año 2009.

Temperatura

promedioEne Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Máxima

(ºC)26.2 24.5 1.3 9.0 17.4 20.8 21.2 20.9 13.5 6.2 0 �3.6

Mínima

(ºC)–12.5 –11.0 25.4 1.9 6.2 10.0 11.0 11.3 6.4 0 24.5 �8.3

Ubica en la recta numérica la temperatura máxima registrada cada mes.

O

Ordena esas temperaturas de menor a mayor.

¿Qué temperatura se encuentra a mayor distancia del cero y en qué mes se registró?

¿Qué temperatura se encuentra a menor distancia del cero y en qué mes se registró?

¿Hay temperaturas que están a la misma distancia del cero? ¿Cuáles?


190

Ahora, ubica en la recta numérica la temperatura mínima de cada mes.

O

En una recta numérica cuando dos números están a la misma distancia del cero, es decir, cuando la longitud del segmento entre ellos y el cero es igual, y uno de ellos está a la derecha del cero y el otro a la izquierda, se les llama números simétricos u opuestos. Por ejemplo, 7 y 27 son simétricos, pues están a siete unidades del cero; 9.5 y 29.5 también son simétricos, pues están a 9.5 unidades del cero.

En la tabla de temperaturas mínimas de Moscú, ¿cuáles son números simétricos?

¿Cuál es el resultado de sumar dos números simétricos?

Recuerden que la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une, por lo que ésta siempre es un número positivo.

A la distancia entre un número x y el cero se le llama valor absoluto, se representa así: � x �, y se lee “valor absoluto de x”. Por consiguiente, el valor absoluto de �7 es 7 y

se representa así: ��7� � 7. ¿Cuál es el valor absoluto de 7?

¿Cuál es el valor absoluto del simétrico de �8?

¿Cuál es el valor absoluto de cero?

¿Cuál es el valor absoluto de 1

3 ?

¿Y el valor absoluto de �9.56?

¿De las temperaturas mínimas de Moscú que se pre-

sentan en la página anterior, ¿cuál tiene mayor valor

absoluto?

Escribe el valor absoluto de las temperaturas míni-

mas de Moscú.

Escribe el valor absoluto de las temperaturas

máximas de Moscú.

Luisa y Joaquín jugaron el juego del tablero. Luego de jugar diferentes turnos Luisa se quedó en la casilla �14 y Joaquín en la 7. ¿Cuál de los dos está en la casilla

con mayor valor absoluto?

¿Quién ganó el juego?

Argumenta tu respuesta.

Nuestro sistema decimal también incluye números negativos. Estos números eran co-nocidos antiguamente como “números deu-dos” o “números absurdos”. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V en Oriente Medio, y llegaron a Occi-dente hasta el siglo XVI. Se atribuye a India la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.

J. Rey Pastor y J. Babini. Historia de la Matemática,

Gedisa, Barcelona, 1984, pág. 129.

�9.5 �7 7O 9.5


191

¿Cómo vamos?

Elaboren una primera propuesta de su tablero y jueguen una ronda.

¿En qué número tiene que iniciar el juego para que un jugador pueda mover-se desde la primera jugada?

Como vieron en la página 190, cuando dos números están a la misma distan-cia del cero se llaman simétricos. Al numerar las casillas de su tablero, ¿se presentan números simétricos?

Si los resultados de dos jugadores están ubicados en números simétricos, ¿cuál de los dos va ganando?

¿Qué importancia tiene el significado de los números negativos para la elabo-ración de su tablero? ¿Cómo te ha resultado trabajar con números negativos?

Comparen su tablero con el de otros equipos y comiencen a escribir las reglas

del juego.

¿Pérdidas o ganancias?

La siguiente tabla muestra la utilidad que obtuvo Gabriel en el segundo semestre del año.

Mes Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Utilidad $5 000.00 $4 500.00 �$750.00 $1 000.00 �$250.50 $8 900.00

¿En cuáles meses tuvo una utilidad negativa?

De estos meses, ¿en cuál le fue peor? ¿Por qué?

¿Cuál es la diferencia entre la máxima utilidad y la mínima?

¿Cuál fue su utilidad final en ese semestre del año?

1. Escribe el valor absoluto de los siguientes números.

a) �23.5� � c) � 9� � e) ��12 � �

b) �� 34

� � d) � 0.7� � f) � 86

� �

2. Escribe el valor absoluto del simétrico de � 54

3. Escribe el valor absoluto del opuesto de 6.

4. Representa en la siguiente recta con rojo los números que se indican, y con azul, sus simétricos.

�6.5 9 �12

12 3.5 �8.5 7 12

1 E ib l l b l

O


192

Observa nuevamente la tabla de temperaturas de Moscú en el año 2009. Anota en la tabla la variación de la temperatura en cada uno de los meses del año. Justifi ca tu respuesta. Ayúdate con la recta numérica.

Temperaturas

promedio) Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

Máxima (ºC) �6.2 �4.5 1.3 9.0 17.4 20.8 21.2 20.9 13.5 6.2 0 �3.6

Mínima (ºC) �12.5 –11.0 �5.4 1.9 6.2 10.0 11.0 11.3 6.4 0 �4.5 �8.3

Variación (ºC)

¿Cuál es la variación de la temperatura en el mes de enero?

¿Qué significa ese número?

Como ya se mencionó anteriormente, en Moscú la temperatura puede tener va-riaciones importantes hasta en un mismo día. Por ejemplo, en un día cualquiera a las 7 a. m. se presentó una temperatura de 29 ºC, a partir de ahí bajó 8 ºC y para las 7 p. m. subió 6 ºC.

¿Cuál fue la temperatura a las 7 p. m.?

Los resultados del juego del tablero

Retomen los datos de la tabla de la actividad inicial y resuelvan en equipo las

siguientes actividades.

Marquen en la recta numérica el resultado que obtuvo Mónica en el primer turno.

¿A qué número llegó? ¿Avanzó o retrocedió?

En el primer turno, ubiquen en la recta el número al que llegó después del segundo

turno.

¿Avanzó o retrocedió? ¿En qué número está ahora?

A partir de este número marquen en la recta numérica el número al que llega

con el tercer turno. ¿Avanzó o retrocedió? ¿A qué número llegó?

�10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

�20 �19 �18 �17 �16 �15 �14 �13 �12 �11 �10 �9 �8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


193

¿Cómo nos fue?

Como vimos, los números negativos son los simétricos de los positivos, y que se emplean, entre otras cosas, para representar pérdidas, temperaturas bajo cero, deudas, etcétera. Y que al comparar dos números negativos, es mayor el que está más cerca del cero al ubicarlos en una recta numérica.

¿Cuáles son los números simétricos? ¿Cuál es el valor absoluto de un número? ¿Qué les pareció haber elaborado el tablero? ¿Qué parte de la elaboración del tablero les pareció compleja y por qué? ¿De qué depende ganar una partida? ¿Cuál es el significado del color de las tarjetas?

Ahora, marquen en la recta numérica anterior el resultado de Carlos en el primer turno.

¿A qué número llegó? ¿Avanzó o retrocedió?

A partir del número al que llegó Carlos en el primer turno, marquen el número

al que llegó en el segundo turno. ¿Avanzó o retrocedió? ¿En qué número está

ahora?

Marquen el número en que se encuentra Carlos en el tercer turno. ¿Tuvieron que

agregar números en la recta? ¿En qué número quedó?

¿En qué número se encuentra ahora? ¿A qué distancia se encuentra del cero?

Así como marcaron los números a los que llega cada jugador en cada turno, hagan lo mismo para Francisco y Sandra en rectas numéricas que tracen en su cuaderno. No olviden responder para cada uno:

¿En el primer turno a qué número llegó cada uno? ¿Avanzó o retrocedió? A partir del número al que llegó cada uno en el primero turno y de haberlo marcado

en la respectiva recta numérica, ¿avanzó o retrocedió? ¿En qué número se encuen-tra después del segundo turno?

Luego de haber marcado en la respectiva recta el número en el que se encuentra Francisco y el número en que se encuentra Sandra, ¿en qué número quedó cada uno?

¿A qué distancia del cero se encuentran al final Francisco y Sandra?


Llegó la hora de que presenten al resto del grupo su tablero y las reglas del juego.

¿Qué diferencias hay entre sus tableros? ¿Qué diferencias hay entre las reglas? Con el tablero que diseñaron y con las reglas que establecieron, ¿Mónica es la gana-

dora y Carlos y Sandra empatan? Si no es así, algo anda mal en su tablero o en las reglas. Corrijan lo necesario.

Con base en las reglas del juego y la representación que hicieron, llenen la última

columna de la tabla que muestra los resultados de Mónica y sus compañeros.

Cie

rre


194

26

Blo

que

4

Construcción de círculos

Contenido

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

El dueño de un hotel quiere construir una alberca circular, lo más grande posible, en un terreno que tiene forma de triángulo rectángulo, como el que se muestra a continuación.

• ¿Cómo se puede calcular el diámetro del círculo dadas las dimensiones del triángulo?

• ¿Dónde se debe ubicar el centro de la alberca?• ¿Cuántos círculos se pueden construir con esa condición?• Formen equipos de cuatro alumnos. Un integrante del equipo traza las tres altu-

ras del triángulo, otro traza las tres mediatrices, otro las tres medianas, y el último traza las tres bisectrices.

• Consideren la intersección de las tres rectas o segmentos que cada uno trazó, como centro del círculo, ¿es posible trazar un círculo que satisfaga las condiciones del problema? ¿Cuál punto conviene tomar como centro de la alberca circular?

• ¿Cómo se puede calcular el radio del círculo dadas las dimensiones del triángulo? • Platiquen entre ustedes los resultados obtenidos. ¿Sucede lo mismo si el triángulo

es obtusángulo?• Si el triángulo fuera equilátero, ¿cómo encontrarían el centro de la albarca?

En parejas, investigarán todo lo relacionado con El círculo de los 9 puntos y ela-borarán un cartel que contenga lo siguiente:

La historia de El círculo de los 9 puntos. Biografía de Karl Wilhelm Feuerbach. Su trabajo acerca de El círculo de los 9 puntos. El dibujo de El Círculo de los 9 puntos junto con una descripción clara de

las características de este círculo y cómo se traza.

Antes de iniciar, repártanse las tareas de tal modo que participe cada uno de los integrantes.

Al fi nal, presentarán su cartel ante el grupo y lo explicarán. Todos deberán par-ticipar en la exposición.

Nuestro trabajo

15 m 5 m

14.1 m

Inic

ioP

laneació

n


195

El diseño del jardín

Antes de iniciar con el trabajo del círculo de los 9 puntos, resuelve las siguientes

actividades.

Un jardinero quiere emplear la siguiente fi gura en un jardín. Él quiere trazar esta fi gu-ra en el césped y plantar diferentes fl ores en cada una de las regiones que se forman. ¿Puedes ayudarlo a construir la fi gura utilizando solo un compás?

Intenta reproducir la siguiente figura. Observa que algunos puntos pertenecen a más de una circunferencia.

¿Qué datos son suficientes para trazar el primer círculo?

¿Puedes trazar los demás círculos con esos datos? ¿Por qué?

Compara tu fi gura con las de otros compañeros y comenten sus respuestas.

Dadas las siguientes cuerdas, construye el círculo al que pertenecen. Recuerda que una cuerda es un segmento de recta que toca dos puntos de la circunferencia.

Sobre las mismas cuerdas traza otra circunferencia. ¿Cuántos círculos se pueden trazar para cada cuerda? Argumenta tu respuesta.

Desarr

ollo


196

Analiza si cada segmento puede ser más corto, de igual tamaño o más largo que el diámetro del círculo que lo circunscribe.

¿Cuántos círculos se pueden construir si la cuerda coincide con el diámetro?

Comparte con tus compañeros tus respuestas.

Triángulos y círculos

Para cada una de las siguientes triadas de puntos no alineados, construye un círculo

cuya circunferencia los contenga.

Escribe el procedimiento que empleaste para construir los círculos.

¿Cuántos círculos se pueden construir en cada caso?

Realiza lo siguiente:

Une los tres puntos con segmentos de recta de tal manera que se forme un triángulo en cada caso.

Traza las mediatrices de cada segmento y marca el punto de intersección entre ellas.

Coloca un extremo de tu compás en el punto de intersección y el otro en uno de los tres puntos y traza una circunferencia.

¿La circunferencia que trazaste contiene a los otros dos puntos?

Explica por qué sucede lo anterior.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y coméntenlas con su profesor.

KM

L

A

B

C

D

M

N

R

QP


197

¿Cómo vamos?

Para dar inicio a la elaboración de su cartel, realicen lo siguiente:

Dibujen un triángulo acutángulo en una cartulina. Marquen el punto medio de cada uno de sus lados. Construyan, con regla y compás, un círculo que pase por los puntos medios

de los lados.

Con lo anterior, han identifi cado tres puntos de los nueve puntos del famoso círculo. Comparen su construcción con la de otras parejas. Consulten con su profesor las dudas que les surjan.

¿Cómo describirían los puntos que trazaron? ¿Cuáles son otros de los tres puntos de este círculo? ¿Qué trazos realizaron

para ubicarlos? ¿Cómo describirían los tres últimos puntos de este círculo?

La ciclopista

En el municipio de Tenango del Aire se quiere construir una ciclopista circular que pase por tres módulos de renta de bicicletas. Los módulos ya están defi nidos y quedarán en la parte externa de la ciclopista, la cual debe tener un ancho de 3 metros. Para trazar la ciclopista, se necesita encontrar el centro de los dos círculos concéntricos que la forman.

Los siguientes puntos representan cada uno de los módulos, ¿cómo se puede trazar

la circunferencia que los contiene?

Si conectamos los tres módulos de bicicletas formando un triángulo acutángulo,

¿en dónde se ubicará el centro de la circunferencia que pasa por los tres módulos?

¿Qué sucede si el triángulo que se forma fuera un triángulo rectángulo? ¿En dónde

estaría ubicado el centro del círculo que pasa por los tres módulos?

Y si el triángulo formado fuera obtusángulo, ¿en dónde estaría el centro del círculo

que pasa por los tres módulos? Construyan en el cuaderno las figuras para comprobar sus respuestas.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Coméntenlas con su profesor.

Ingresa a la siguiente página y ve el video Las circunferen-cias pasan por dos puntos.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/medios/medio3.php?vid=mat1_CIRCUNFERENCIAS.fl v&titulo=Las%20circunferencias%20pasan%20por%20dos%20puntos


198


1. Determina el centro de cada uno de los siguientes círculos.

2. En una escuela secundaria se quiere marcar una zona de seguridad de sismos de tal modo que esté a la misma distancia de la entrada, de la dirección y del salón de segundo B. Si los siguientes puntos repre-sentan la ubicación de estos tres lugares, ¿en dónde deberá trazarse la zona de seguridad? Marca el punto que la representa. Compara tu respuesta con la de otro compañero.

3. En cada triángulo construye un círculo de tal manera que los vértices sean puntos de las circunferencias.

4. En tu cuaderno, traza un triángulo equilátero de 5 cm de lado, un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 6 cm y el tercer lado mida 4 cm y un triángulo escaleno cuyos lados midan 4.5 cm, 6.5 cm y 7 cm, respectivamente. Después, en cada triángulo, traza un círculo de manera que los tres vértices del triángulo estén contenidos en la circunferencia.



199

¿Cómo nos fue?

Durante el desarrollo de las actividades estudiaste cómo construir un círculo a partir de distintos datos. Ahora sabes que, dados tres puntos no alineados, es posible construir una circunferencia que pase por ellos.

Como estos puntos forman un triángulo, ¿qué procedimientos debes hacer para encontrar el centro y el radio del círculo circunscrito, es decir, el que pasa por sus tres vértices?

Dada una cuerda de un círculo, es posible construir muchas circunferencias que pasen por los extremos de la cuerda. ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar si la cuerda dada es el diámetro del círculo?

Aprendiste que se puede trazar una circunferencia inscrita en un triángulo. ¿Qué procedimiento debes hacer para encontrar el centro y el radio del círculo que toca los tres lados del triángulo?

Escribe en tu cuaderno una explicación de los procedimientos que se pueden seguir para resolver los tres inci-sos anteriores. Después intercámbiala con uno de tus compa-ñeros y revísenla junto con su profesor.

El Círculo de los 9 puntos pasa por el punto medio de cada lado del triángulo, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos determinados por el punto donde se intersecan las tres alturas y los vértices del triángulo. ¿Quedaron bien identifi-cados estos puntos en tu cartel? ¿Cuál de las estrategias utiliza-das en esta secuencia te sirvió para encontrar el centro y radio de la circunferencia que pasa por esos 9 puntos?

¿En cuáles actividades propuestas tuviste que trabajar más? ¿Cómo las resolviste?


Presenten su cartel ante el grupo, divídanse la exposición. Después, respondan lo

siguiente.

Si todos trazaron diferentes triángulos, ¿es posible construir El círculo de los 9 pun-tos? ¿Por qué?

¿Cuáles son los nueve puntos especiales que forman parte de la circunferencia de El círculo de los 9 puntos?

Por último, compartan con sus compañeros las dificultades que se presentaron en la construcción del círculo.

Construcción de puentes romanos. Los puen-tes romanos más antiguos fueron de madera; sin embargo, los ingenieros romanos, con gran habilidad, también construyeron puentes de piedra. Su diseño se basaba en uno o varios arcos de medio punto (semicirculares), apoya-dos sobre pilares alineados. Pero para poder colocar y pegar la piedra, primero construían la cimbra de madera formando un semicírcu-lo. ¿Cómo podrían realizar tales semicírculos perfectos?Fuente: roble.pntic.mec.es/~mbedmar/iesao/historia/

construc.htm

C

G

N

CD

A J P B

M

F

Z

NE

Cie

rre


200

27

Blo

que

4

Circunferencia y círculo

Contenido

Justifi cación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfi ca y algebrai-camente). Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Carrera de bicicletas

En una competencia, Iván e Isaac partieron del mismo punto en sentido contrario en una pista circular. Cada uno tiene un tipo de bici-cleta distinto, como se muestra en la imagen, y un contador del número de vueltas de la rueda delantera. En el mismo tiempo, la rue-da de la bicicleta de Isaac dio 500 vueltas, mientras que la de Iván dio 200 vueltas. La rueda de la bicicleta de Iván tiene 150 cm de diámetro, en tanto que la de Isaac tiene 30 cm.

• ¿Quién recorrió más distancia, Isaac o Iván? ¿Cómo puedes determinarlo? Expli-ca tu respuesta.

Reúnete con otros dos compañeros y respondan en el cuaderno las siguientes preguntas:

¿El número de vueltas que da una rueda en una distancia determinada depende del tamaño de esta?

¿La relación entre el diámetro de cualquier circunferencia y su longitud será siempre la misma o varía? ¿De qué depende?

Coméntenlo con el resto del grupo y con su profesor.

En parejas, diseñarán y elaborarán una rueda que les permita recorrer la longi-tud de una cancha de basquetbol o del patio de su escuela en cierta cantidad de vueltas.

Antes de comenzar, reúnanse con su compañero, consideren y decidan el número de vueltas en las que quieren que su rueda haga el recorrido.

Pueden elaborar su rueda con cartón reciclado, unicel o cualquier otro ma-terial que consideren adecuado; en ella deberá verse el centro del círculo.

También elaborarán una tarjeta en la que indiquen su radio, diámetro, pe-rímetro, área, así como el número de vueltas en las que realiza el recorrido.

Al final, presentarán sus trabajos y compartirán sus experiencias con el grupo.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n


201

Resultados de la carrera

En la competencia de bicicletas de la actividad inicial había tres jueces y cada uno obtuvo diferente resultado.

Valentina dice que el ganador es Isaac, porque su rueda dio más vueltas. Gabriel dice que el ganador es Iván, porque la rueda de su bicicleta es más grande. Juan Esteban dice que los dos llegaron al mismo tiempo. Responde las preguntas y analiza cuál de los jueces tiene razón y por qué.

¿Cuánto mide el radio de la rueda de la bicicleta de Isaac?

¿Cuánto mide el radio de la rueda de la bicicleta de Iván?

¿Qué relación hay entre el diámetro y el radio de la rueda de Iván?

¿Esta relación es igual para cualquier círculo?

Construye a escala las ruedas de las bicicletas. En tus fi guras, 10 cm del radio de

la bicicleta deben corresponder a 1 cm.

En tu modelo, ¿cuánto debe medir el radio del círculo que corresponde a la rueda

de la bicicleta de Isaac?

¿Cuánto deberá medir el radio que corresponde a la bicicleta de Iván?

Coméntalo con tu profesor y con tus demás compañeros.

Para realizar esta actividad necesitarán regla, compás, hojas blancas o cartulina, tije-ras, una tira de papel o listón, tres objetos de forma circular y de diferentes tamaños (como discos compactos, latas, botellas, una pluma). Si es posible, también consigan una calculadora.

En equipos, usen los dos modelos anteriores y el material que tienen disponible y

planteen una estrategia que les permita responder las siguientes preguntas.

¿Qué distancia recorre la rueda delantera de la bicicleta de Isaac en una vuelta?

¿Qué distancia recorre la rueda delantera de la bicicleta de Iván en una vuelta?

Coloquen los objetos circulares y los dos círculos anteriores sobre la mesa de trabajo. Escojan cuatro objetos. Luego, completen la siguiente tabla. Para realizar las medicio-nes correspondientes, usen el listón y/o la regla. Empleen la calculadora para hacer las divisiones que sean necesarias.

ObjetoLongitud del

diámetro

Longitud de la

circunferencia

Longitud de la circunferencia/

longitud del diámetro

Desarr

ollo


202

Círculo

Circunferencia

Diámetro

Revisen los datos de la tabla y respondan.

Conforme aumenta el diámetro, ¿cómo cambia la medida de su circunferencia?

¿Qué relación encuentran entre la longitud de la circunferencia y su diámetro?

Explíquenla.

¿Cómo son los datos que obtuvieron en la cuarta columna para cada caso?

Comparen sus resultados con los de otros equipos. Observen los resultados de la

cuarta columna, ¿varían dependiendo del objeto que se midió?

Analicen a qué se debe esto.

El contorno del círculo se llama circunferencia (esto quiere decir que la longitud de la circunferencia es el perímetro del círculo). Como pudiste ver en la actividad an-terior, al dividir el valor de la longitud de la circunferencia de cualquier círculo entre la longitud de su diámetro se obtiene un mismo valor, este se conoce como Pi y se representa con el símbolo �. El valor de este número no se puede identifi car con un número natural ni con una fracción decimal, ya que tiene números decimales infi nitos y no periódicos.

� � longitud de la circunferencia/longitud del diámetro

Con base en la información anterior, escribe una fórmula para calcular el perímetro

de un círculo.

Comenta con tus compañeros y tu profesor cómo la obtuviste.

Con base en lo que has aprendido, responde las siguientes preguntas. ¿Qué relación hay entre la distancia recorrida por la rueda de cada bicicleta y la

longitud de la circunferencia?

¿Cuál de los tres jueces tiene la razón? Comenta tus respuestas con tus compañeros y arguméntenlas.

Analicen en parejas los planteamientos (mediante cálculos numéricos o algebraicos).

¿Cómo varía la longitud de la circunferencia (por ejemplo, de una rueda de bicicleta) si la longitud del diámetro aumenta al doble? ¿y si aumenta al triple? ¿Y si se aumen-ta cuatro veces? Escribe una conclusión en tu cuaderno.

¿Cómo varía la longitud de la circunferencia (por ejemplo, de una rueda de bicicleta) si la longitud del diámetro disminuye a la mitad? ¿Y si se reduce a la cuarta parte? Escribe una conclusión en tu cuaderno.

¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro?

¿Cómo pueden calcular la longitud de una circunferencia si solo se tiene el valor de su radio? Si el dato fuera el diámetro, ¿qué fórmula emplearían?

Comenten con sus compañeros y maestro las estrategias que idearon para resolver

las actividades planteadas.


203

En el sitio de Internet mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/area7.htm, encontrarás ani-maciones en cabri so-bre el perímetro y área de una circunferencia.

Haz las siguientes actividades en casa.

1. ¿Qué valor aparece en tu calculadora cuando oprimes la te-cla �? Compáralo con el valor de p que regularmente usamos (3.1416). ¿Cuál de los dos números es más preciso?

2. Si sobre el ecuador terrestre se colocara un cable de fi bra óp-tica (o cualquier hilo que no se estire) y luego a este se le añadiera un metro, entonces, ¿podría pasar un ratón entre el alambre y la Tierra? Busca la información que necesites en la biblioteca o en Internet.

Una pista: compara el espacio que se genera al aumentar el me-tro, es decir, en cuánto aumenta el radio de esta circunferencia.


¿Cómo vamos?

Junto con tu compañero, tomen la medida del largo de la cancha o del patio y conviértanla a centímetros.

Tengan en cuenta que es importante tener una sola unidad de medida, ya sean centímetros o metros.

Procuren que la rueda no sea muy grande, para que sea fácil construirla. Con los datos del largo de la cancha o del patio y el número de vueltas en las

que deberá hacer el recorrido su rueda, calculen cuánto debe avanzar ésta en una vuelta. ¿Por qué es importante hacer este cálculo?

Elijan el material para el diseño de la rueda y el instrumento que utilizarán para trazarla.

¿Qué información necesitan para terminar su proyecto? ¿Cómo se han sentido al trabajar en equipo?

Antes de continuar con su proyecto, realicen la actividad siguiente.

El área del círculo

Para llevar a cabo esta actividad, necesitarán regla, compás, papel cuadriculado y una calculadora.

Un jardinero debe colocar plantas en un espacio cuadrado. Tiene los diseños que se muestran y no sabe cuál usar para aprovechar mejor el espacio. Ob-serven las ilustraciones y respondan en el cuaderno.

¿En cuál de los dos diseños se aprovecha mejor el espacio? Explíquenlo. ¿Cuál le sugerirían al jardinero? Argumenten su decisión.

Imagen satelital de la Tierra.

©Archivo Santillana.


204

Seleccionen uno de los diseños anteriores y hagan una copia en una hoja cuadricula-da, variando el valor del radio del círculo. Completen la siguiente tabla. Pueden usar la calculadora para efectuar las operaciones.

Radio (r) r 2 Área del círculo(Unidades cuadradas)

Área/r 2

Calculen el promedio de los resultados de la última columna de la tabla anterior. ¿A

qué valor se aproxima?

Para completar la tercera columna de la tabla anterior, se usó el conteo de unidades cuadradas (cuadritos de la hoja cuadriculada).

¿Cómo les parece la estrategia de contar cuadritos para calcular el área del círculo? ¿Conocen alguna otra? Descríbanla en el cuaderno.

Reúnete con tres compañeros. Cada uno debe trazar en una hoja un círculo cuyo

radio sea de 5 cm y recortarlo.

Dividan los círculos en sectores iguales. Seleccionen una de las siguientes opciones y aplíquenla en su respectivo círculo.

4 sectores iguales 12 sectores iguales 8 sectores iguales 24 sectores iguales

Acomoden los sectores; en cada caso tomen como referencia el siguiente ejemplo:

Consideren la figura que obtuvieron y respondan.

En cada caso, ¿a qué figura se parece la que se forma cuando unimos los sec-

tores en los que dividimos el círculo?

¿Cómo se calcula el área de esa figura a la que se aproxima nuestro arreglo?

Observen que la suma de los arcos de circunferencia de la parte superior o infe-rior de la figura formada es igual a la mitad del perímetro del círculo (longitud de la circunferencia). Recuerden que esta longitud es el diámetro multiplicado por �. ¿Por qué deducimos que la suma de los arcos superiores es �r?

Construyan una fórmula que les permita calcular el área de un círculo.

Como puedes observar, a medida que se divide el círculo en mayor número de secto-res iguales, la fi gura que se obtiene se asemeja más a un rectángulo. La base de este rectángulo es la mitad del perímetro del círculo (es decir, �r) y su altura es el radio (r). De esto podemos ver que la expresión matemática útil para calcular el área de un círculo es:

A � �r 2

�r


205

¿Cómo nos fue?

La relación entre el diámetro de cualquier circunferencia y la longitud de esta, ¿será siempre la misma en todos los círculos? ¿De qué depende? Explícalo.

¿En qué casos de tu vida cotidiana te podría ser útil calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo? Explícalo.

Escribe las dudas que te hayan surgido acerca del cálculo del área del círculo y de la circunferencia. Coméntalas con tus compañeros y tu profesor.

Al resolver los problemas planteados en la secuencia, ¿fue importante compartir con tus demás compañeros los procedimientos y estrategias que utilizaste? ¿Por qué?


Antes de presentar su trabajo, elaboren la tarjeta informativa para su rueda. No

olviden indicar todos los datos en la misma unidad de medida. Decoren su rueda y

prepárense para la presentación.

Coloquen en el lugar que el profesor les indique las ruedas diseñadas para recorrer el largo de la cancha.

¿Cómo calcularon el número de vueltas con respecto al tamaño de las ruedas? ¿Cuál fue la rueda de mayor tamaño y cuál la de menor tamaño de las elaboradas? ¿Cómo los ayudó a cumplir con su proyecto saber calcular el área y el perímetro del

círculo, independientemente de los diferentes tamaños de rueda que diseñaron?

¿Es la expresión al fi nal de la página 204, igual a la que construyeron antes? Si no es así, expliquen a qué se debe la diferencia.

Con base en esta información, ¿cuál de los dos diseños presentados al jardinero per-mite aprovechar mejor el espacio? Comparen su resultado con la respuesta que die-ron al inicio. ¿Coinciden? Coméntenlo con el profesor.

Haz las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Dibuja dos círculos y calcula el perímetro y el área.a) Para calcular el perímetro de los círculos anteriores, ¿qué datos utilizaste?, ¿qué valor de Pi utilizaste? Explícalo.

2. Elige uno de los siguientes problemas y resuélvelo. Argumenta tu respuesta basándote en lo que trabajaste a lo largo de las actividades.a) La pista en la que Isaac e Iván hicieron el recorrido es circular y tiene 500 metros de longitud. ¿Se

cruzaron en algún momento?b) Si en la parte interior de la pista hay una más pequeña que tiene la mitad del diámetro de la grande,

¿en cuánto disminuye su circunferencia?, ¿en cuánto disminuye el área de este círculo?c) Si se aumenta cuatro veces la longitud del diámetro de cualquiera de las dos pistas anteriores, ¿cuánto

aumenta la longitud de su circunferencia?, ¿cuánto aumenta el área de este círculo?

3. Con el profesor, lean la siguiente información y analicen cómo se podría utilizar lo descubierto por Jordan para justifi car la fórmula del área del círculo. Camille Jordan, matemático francés del siglo XX, descubrió que toda curva cerrada separa al plano en dos regiones: el interior y el exterior. La idea de la medida de Jordan consiste en encerrar la fi gura de la que se va a medir el área, en enlosados rectangulares (el valor de las áreas de éstos es fácil de hallar). Cuanto más fi no sea el enlosado más precisa será la medida del área de la fi gura.


Cie

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206

28

Blo

que

4 Proporcionalidad:procedimientos expertosContenido

Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Las naranjas

Por las tardes, Alberto ayuda a su papá a atender su negocio en el que venden frutas y verduras. Ayer fueron a la central de abastos y llenaron su camioneta con 3 500 na-ranjas. Alberto quiere saber cuánto pesan las naranjas sin tener que pesarlas todas.

• ¿Cómo podría calcularlo? Coméntalo con tus compañeros y con el maestro.

Para calcular el peso, Alberto pesó una naranja y multiplicó su peso por 3 500. Con este procedimiento y lo que mostró la báscula, que eran 200 g, ¿cuál es el

peso de las naranjas?

El papá de Alberto dijo que este procedimiento no es muy preciso, porque hay naranjas chicas y grandes. ¿De qué manera puedes calcular el peso de tal forma que se tome en cuenta la variación de tamaño?

Si pesaras 20 naranjas para tener una idea del peso de las 3 500 naranjas, ¿cómo podrías calcular el peso del total de naranjas?

Reúnete con un compañero y realicen lo siguiente:

Comenten si, al utilizar 10 naranjas para calcular el peso total, el resultado que se obtiene es exacto o se trata de una estimación.

¿Cómo usarían este procedimiento para calcular el peso de 7 000 naranjas? ¿Y de 10 000 naranjas?

Utilicen dos procedimientos diferentes para resolver en el cuaderno el problema de las naranjas, comenten cuál de ellos prefieren y escriban qué conocimientos sobre la proporcionalidad utilizaron.

Comenten si han escuchado hablar de la regla de tres, para qué sirve y cómo creen que funciona.

En parejas elaborarán un catálogo con una lista o una relación de cantidades y precios para tres productos que elijan para vender. Deben incluir los pre-cios para diferentes cantidades de cada objeto según se les indique. Tengan en cuenta que:

El precio deberá estar relacionado de forma proporcional con la cantidad. Ilustrarán sus productos con recortes o dibujos. Al final, jugarán en grupo a comprar y vender sus productos. Escribirán preguntas que un vendedor puede responder con la información

de su catálogo. Se les indicará el tipo de preguntas por incluir.

Nuestro trabajo

Inic

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laneació

n


207

Tubos de pasta

Costo

1

12

50

150

250 $6 000.00

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero y elijan los productos que presentarán en su catá-

logo. Asignen los siguientes precios a cada uno:

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Caja con 15: $245 Caja con 12: $15.75 Caja con 24: $375

¿Cuál es el precio de 5 unidades del producto 1? ¿Cuántas unidades del producto 3 puedo comprar con $500?

Encuentra el valor unitario para cada uno de los productos. Plantea varias preguntas sobre tu catálogo para que otros compañeros las

respondan. Por ejemplo, si una caja con 12 piezas del producto 2 cuesta $15.75, ¿cuántas piezas se pueden comprar con $585?

¿Qué procedimientos conoces para resolver un problema de valor faltante en una situación de proporcionalidad? ¿Cuál prefieres?

¿Qué tipo de productos usarán en su catálogo?

Proporcionalidad: procedimientos expertos

Antes de trabajar en tu catálogo, resuelve los problemas siguientes.

Retomemos el problema de las naranjas.

Si Alberto pesó 20 naranjas y, al calcular el peso total de las 3 500 naranjas, este resultó de 700 kg, ¿cuánto pesaron las 20 naranjas?, ¿qué hizo Alberto para obtener

el resultado?

Si el papá de Alberto vende 3 kg de naranja y cobra $25.50, ¿cuánto cobrará por 5

kg? ¿Cómo obtuviste el resultado?

En una situación de proporcionalidad, el valor que, en una de las cantidades, corres-ponde al valor “1” en la otra cantidad se llama valor unitario. Por ejemplo, en el pro-blema anterior, para saber cuánto cobró por los 5 kg, seguramente primero calculaste el precio por kg; este valor puede considerarse como el valor unitario.

En la fábrica “El diente feliz” se producen pastas y cepillos de dientes. Una caja de 250 tubos de pasta cuesta $6 000.00.

¿Cuánto costarán 12 tubos de pasta, suponiendo que no hay descuento por mayo-

reo? ¿Cuál es el valor unitario en el problema anterior?

Ahora completa la tabla de la derecha:

¿Cuál es el factor o constante de proporcionalidad? ¿En qué se parecen el

valor unitario y el factor de proporcionalidad?

¿Cómo obtuviste el valor unitario y la constante de proporcionalidad en este problema?

¿De qué otra manera puedes resolver el problema?

Comenta tus respuestas y procedimientos con tus compañeros y con el profesor.

Desarr

ollo


208

Los invitados a la fi esta

Los señores Díaz organizaron la fi esta de cumpleaños de su hijo Samuel, de 6 años, en un restaurante de hamburguesas. El restaurante cobra según el número de niños y adultos que asistan a la fi esta. Los Díaz tuvieron que pagar un total de $1 626, de los cuales $966 fueron por los niños y el resto por los adultos.

¿Cuánto pagaron por los adultos?

Los señores Martínez, amigos de los Díaz, decidieron celebrar el cumpleaños de su hija Lucy en el mismo lugar. Mientras platicaban, los Martínez les comentaron a sus amigos que a la fi esta de Lucy habían ido 18 niños y el restaurante les cobró $756 pesos por ellos. El señor Martínez le preguntó a la señora Díaz cuántos niños habían asistido a la fi esta de Samuel, pero ella no se acuerda.

A partir de lo que pagaron ambos, ¿cómo se puede encontrar el número de niños

que asistieron a la fiesta de los Díaz?

La señora Martínez intervino en la conversación y les sugirió que determinaran el número de niños en la fi esta de Samuel, así: Tenemos que por 18 niños se pagaron $756, y queremos saber por cuántos niños se pagaron $966. Primero hay que escri-bir las cantidades ordenadas de la siguiente manera:

Niños Pesos

18 756

? 966

Luego, se multiplica cruzando las cantidades conocidas, es decir, 18 × 966 y se divide el resultado entre el número conocido que queda, en este caso 756. Este pro-cedimiento se conoce como regla de tres.

Realiza las operaciones y encuentra el resultado. 18 � 966756

= Si tu resultado es correcto, el cociente de 18

? debe ser igual al cociente de 756

966.

Por tanto, a la fi esta de Samuel asistieron niños.

Pero el señor Martínez aseguró que a él le parecía mejor obtener la respuesta de otra manera, con base en el valor unitario, y les explicó el procedimiento: Primero hay que determinar la cantidad que se pagó por cada niño (o sea, el valor unitario). Como en la fi esta de Lucy en total fueron $756, tenemos que el pago por niño fue de:

$75618

= por niño

Después, para encontrar el número de niños en la fi esta de Samuel, tenemos que el costo por niño, multiplicado por el número de niños debe ser igual a $966, que es lo que pagaron los Díaz, esto se puede escribir como una ecuación: 42x = 966

¿Cómo puedes encontrar el valor de x?

Termina de resolver el problema utilizando el método del señor Martínez.

¿Son iguales los resultados obtenidos con los dos procedimientos?

¿Son equivalentes los métodos “regla de tres” y “valor unitario”? ¿Por qué?


209

¿Cómo nos fue?

¿Utilizaron la regla de tres para resolver las preguntas de sus compañeros? ¿Cómo resolverían con el valor unitario? ¿Y la constante de proporcionalidad?

¿Qué actividades te gustaron más? ¿Cuáles te gustaron menos? ¿Qué procedimientos conoces para resolver un problema de proporcionalidad? Por seis boletos de cine se pagaron $315. ¿Cuántos boletos se compraron con

$420? Resuelve mediante tres procedimientos distintos. ¿Cuál de los procedimientos que utilizaste para resolver el problema anterior

prefieres? ¿Por qué? ¿En qué situaciones es útil la regla de tres? Escribe dos ejemplos.

La regla de tres

Como se mencionó anteriormente, el procedimiento que empleó la señora Martínez para calcular cuántos niños asistieron a la fi esta se denomina regla de tres. Este se utiliza para encontrar datos faltantes en una situación en la que se relacionan dos con-juntos de cantidades de manera proporcional. Esto signifi ca que, cuando se conocen tres datos en una proporción, la regla de tres permite calcular el cuarto término.

Resuelve este problema utilizando la regla de tres y el valor unitario.

Si tres cajas de refresco cuestan $100, ¿cuánto cuestan 12 cajas de refresco?

¿Qué valor tiene la constante de proporcionalidad?

¿Qué procedimiento es más conveniente? ¿Por qué?

Ahora, ¿qué sucede cuando la relación entre cantidades no es proporcional? ¿Puede utilizarse una regla de tres para encontrar algún dato?

Intenta resolver este problema utilizando solo la regla de tres: En la fábrica “Dulce corazón”, dos cajas de chocolates cuestan $75. A partir de 10 cajas de chocola-tes, se hace al comprador un descuento de 5 pesos. ¿Cuánto pagará por 15 cajas de chocolate? ¿Y por 20?

¿Pudiste resolverlo? ¿Por qué?


Intercambien su catálogo de productos con otra pareja y pídanle que responda las

preguntas que plantearon y viceversa. Preparen el juego de compra y venta.

Cada pareja irá con otra y comprarán x cantidad de un producto, calculando cuánto tienen que pagar por ella.

Deben mencionar el procedimiento que siguieron para realizar los cálculos.

Lee los datos del problema de la página anterior y contesta en tu cuaderno.

a) ¿Cuánto pagaron los Díaz por los 12 adultos que asistieron a la fi esta?b) Si a la fi esta de Lucy asistieron 15 adultos, ¿cuánto se pagó en total por ellos?c) ¿Qué procedimientos usaste para resolver los problemas anteriores? ¿Cuál prefi eres y por qué?

Lee los datos del problem

Cie

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210

29

Blo

que

4 Factor inverso de proporcionalidadContenido

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproduc-ción a escala.

Reducción fraccionaria

En la novela Alicia en el país de las maravillas de Lewis Carroll; Alicia, la protagonista de la historia, aumenta o disminuye su estatura al beber un líquido de ciertas botellas.

Supón que luego de tomar un trago de una de las botellas su estatura disminuyó de 70 a 40 centímetros.

• ¿Cuál es el factor de reducción? Es decir, ¿por cuál número tiene que multiplicar 70 para obtener 40?

• Si quisiera regresar a su tamaño original, ¿qué factor de proporcionalidad debe aplicarse a sus medidas?

Analiza lo que sucede con Alicia al reducir su tamaño y trabaja con un compañero para realizar en el cuaderno lo siguiente:

Escriban una manera de encontrar el factor o constante de proporcionalidad en un problema.

Expliquen cómo encontraron el factor de proporcionalidad inverso, es decir, el que aplicado a los 40 centímetros regresa a Alicia a su estatura original.

Comparen el factor de proporcionalidad que se utiliza cuando se reduce la estatura de Alicia con el que se necesita para que Alicia regrese a su estatura original. Des-criban en qué son diferentes estos factores y cuál es la relación entre ellos.

factor de propor-

cionalidad. Cuando se relacionan dos conjuntos de datos numéricos, el número por el cual multipli-camos las cantidades del primer conjunto para obtener las del segundo se llama factor de proporcio-nalidad.

Inic

io


211

Pla

neació

n

En equipo elaborarán un rompecabezas de fi guras geométricas en tres diferen-tes tamaños: chico, mediano y grande. Necesitarán hojas de foami de colores, tijeras, escuadras, regla graduada y una calculadora sencilla.

Durante el desarrollo de las actividades encontrarán indicaciones sobre las me-didas del rompecabezas. Al fi nal lo presentarán al grupo y explicarán cómo ob-tuvieron sus medidas.

Nuestro trabajo

Las medidas de Alicia

En la actividad inicial, Alicia, a la cual llamaremos Alicia 1, redujo su estatura, a esa reduc-ción la llamaremos Alicia 2; pero Alicia también puede hacerse grande, esta es Alicia 3.

Considera que cuando la estatura de Alicia es de 70 cm, su mano mide 6 cm de largo. ¿Cuál sería la longitud de su mano si la estatura de Alicia 3 fuera de 140 cen-

tímetros? Justifica tu respuesta.

Con base en los datos del problema anterior, completa la tabla.

Medida original Alicia 1 (cm) Medida Alicia 3 (cm)

Estatura 70 140

Manos 6

Piernas 40

Cabeza 14

Tronco 30.5

¿La relación entre las medidas de Alicia 1 y las medidas de Alicia 3 es proporcio-

nal? Explica tu respuesta.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en este ejemplo? Explica cómo lo obtuviste.

Si consideras las medidas de crecimiento, ¿qué factor de proporcionalidad debes

aplicar para obtener las medidas originales? ¿Cómo lo supiste?

Cuando las cantidades de dos conjuntos se relacionan de manera proporcional, ¿qué debemos hacer para obtener los valores del segundo conjunto a partir del pri-mero? Por ejemplo, ¿qué debemos hacer para obtener las medidas de una nueva Alicia si Alicia 1 aumenta sus medidas al triple? Y si, por el contrario, queremos obtener las cantidades del primer conjunto, es

decir, Alicia 1 a partir de las medidas de la nueva Alicia, ¿qué estrategia pode-

mos seguir?

En situaciones como las anteriores, para obtener las cantidades del primer conjunto utili-zamos el factor inverso de proporcionalidad, el cual es el número por el cual multiplicamos las cantidades de un segundo conjunto para obtener las del primero (conjunto original).

Si a es el factor de proporcionalidad, ¿cómo puedes obtener el factor inverso de pro-porcionalidad? ¿Cuál es el factor inverso de proporcionalidad en el ejemplo anterior?


o-

1

3

Desarr

ollo


212

Observa que en el problema de la página anterior, el factor de proporcionalidad es 2

(el doble) y el factor inverso de proporcionalidad es 12

(la mitad).

Multiplica cada medida de Alicia 3 por el factor inverso de proporcionalidad para obtener las medidas originales de Alicia 1.

Al multiplicar por 12

, ¿las cantidades son más pequeñas o más grandes? ¿Por qué?

¿Es lo mismo multiplicar por 12

que dividir entre 2? Argumenta tu respuesta.

Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el maestro.

Considera nuevamente el problema de la actividad inicial, completa la tabla y responde.

Alicia 1 (cm) Alicia 2 (cm)

Estatura 70 140

Manos 6

Piernas 40

Cabeza 14

Tronco 30.5

En este caso, ¿cuál es el factor inverso de proporcionalidad? Es decir, el que regresa

a Alicia a su estatura original.

Si el factor de proporcionalidad que relaciona a dos conjuntos de cantidades es ab

entonces el factor inverso de proporcionalidad es ba

porque:

1 = = 1 � b1 � a

= ba

en donde a y b son números diferentes de cero.

¿Cómo vamos?

Junto con tus compañeros de equipo inicia la elaboración del rompecabezas.

Reúnan el material para trabajar y póngase de acuerdo acerca de cómo harán su diseño. Utilicen al menos tres figuras geométricas y cuiden que no se repitan.

Recorten un cuadrado de foami de 12 centímetros de lado y dibujen las figuras que formarán su rompecabezas.

¿Cómo eligieron las figuras geométricas?

Guarden su rompecabezas, más adelante lo utilizarán.

1

3

2

ab

ab

11


213

Otros cambios de Alicia

Alicia ha cambiado de estatura varias veces. Resuelve cada situación empleando el

factor inverso y encuentra cuánto medía Alicia.

Las medidas que muestra la tabla se obtuvieron al aplicar un factor de proporciona-lidad de 1.5. ¿Cuánto medía Alicia antes de crecer? Completa la tabla.

Medida antes de crecer (cm) Nuevas medidas (cm)

Estatura 85

Manos 7.28

Piernas 48.57

Cabeza 8.5

Tronco 37.03

¿Qué factor debe aplicarse a las nuevas medidas para obtener las medidas antes de

crecer? ¿Cómo lo supiste?

Escríbelo como decimal y como fracción.

Si x indica la medida original, es decir, antes del crecimiento o reducción, y y la me-dida nueva, escribe las fórmulas que relacionen las variables x y y, con el factor de

proporcionalidad y con el factor de proporcionalidad inverso.

¿Son equivalentes las dos fórmulas? ¿Por qué?

Comenta tu respuesta con el profesor y con tus compañeros.

Alicia modificó nuevamente sus medidas de acuerdo con un factor de escala de 57

. Toma como referencia las medidas de Alicia 1 y haz los cálculos.

¿Se agranda o se reduce la estatura de Alicia?

¿Qué factor se deberá utilizar para obtener las medidas originales de Alicia?

Escribe una fórmula que relacione las medidas originales con las medidas de

crecimiento o reducción de Alicia.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tus compañeros de equipo y realicen las actividades que se indican.

Reproduzcan el rompecabezas que diseñaron, utilicen un factor de escala de 56

.

¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado sobre el cual copiarán el diseño de su rompecabezas?

¿Qué estrategias utilizarán para copiar el diseño? ¿Cómo se encuentra el factor inverso de proporcionalidad cuando se conocen

las medidas originales de una figura? Si hubieran empezado con el rompeca-bezas pequeño, ¿qué factor de escala habrían utilizado para trazar el grande?


214

Resuelve en el cuaderno los siguientes problemas.

1. Si la estatura de Alicia se reduce de 40 cm a 20 cm, ¿qué factor de escala se utilizó?a) ¿Cuál es el factor que regresa a Alicia a su estatura de 40

centímetros?b) Escribe una fórmula que relacione las medidas originales con

las nuevas medidas de Alicia.c) Si la estatura de Alicia se redujo de 70 cm a 40 cm y luego se redu-

jo de 40 cm a 20 cm, ¿qué factor de proporcionalidad se aplicaría si se quiere reducir la estatura de Alicia de manera directa de 70 cm a 20 cm?

d) El factor de proporcionalidad que se usa para reducir la esta-tura de 70 cm a 20 cm es igual al producto de los factores que reducen de 70 a 40 centímetros y de 40 a 20 centímetros. Es

decir: ×

e) ¿Cuál es el factor inverso de escala, es decir, el que cambia la estatura de Alicia de 20 centímetros a 70 centímetros?

2. ¿Qué sucede si se le aplica a la siguiente fi gura un factor de escala de 12

y después un factor de 3?

a) ¿Son mayores o menores las medidas de la fi gura fi nal con respecto de la fi gura original?b) ¿Cuál es el factor que regresa la fi gura fi nal a su tamaño original?c) Traza las tres transformaciones de la fi gura y comprueba tu respuesta.

3. El automodelismo es la creación o colección de automóviles y motocicletas hechos a escala. Las escalas más usuales y difundidas mundialmente son la 1:12 para las reproducciones de motocicletas. En automó-viles las escalas más usuales son 1:18 y 1:43.a) El largo de un modelo de automóvil es de 4.03 m. ¿Por qué número debes multiplicar esta medida

para obtener las dimensiones de una reproducción hecha a escala 1:18? ¿Cuánto mide el largo de la reproducción?

b) Averigua el largo, ancho y alto de diferentes automóviles y calcula sus medidas en reproducciones hechas con las escalas anteriores.


En equipos revisen su tarea y analicen la siguiente conclusión.

Aplicar dos factores de proporcionalidad a y b de manera sucesiva es equivalente a aplicar una sola vez el factor a × b a las medidas originales.

¿Corresponde a los resultados de su tarea? Comenten su respuesta con el resto del grupo y con el profesor.

ilizó?


215

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo y hagan otro rompecabezas.

Apliquen un factor de escala de 43

al segundo rompecabezas.

El nuevo rompecabezas, ¿es mayor o menor que el segundo? ¿Cuál es el menor de los tres? ¿Y el mayor? Si quisieran hacer el tercer rompecabezas a partir del primero que hicieron,

¿qué factor de escala deberían aplicar?on,

En la siguiente pági-na encontrarás un in-teractivo en el que podrás practicar loscontenidos que apren-diste en esta secuencia.www.telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/interactivos/2_segundo/2_Matematicas/2m_b01_t07_s01_descartes/TS_1_index.html

Cie

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¿Cómo nos fue?

¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas planteados durante la secuencia didáctica?

¿Cómo encuentras el factor de proporcionalidad inverso? ¿Existen varias ma-neras de encontrarlo? ¿Cuál prefieres?

¿Cómo utilizaste lo que aprendiste sobre los factores de proporcionalidad para crear los rompecabezas?

¿En qué otros contextos se pueden aplicar los factores de proporcionalidad? ¿Cuál fue la actividad o problema de la secuencia que más te gustó? ¿Por qué?

Factores de proporcionalidad

En parejas resuelvan las siguientes situaciones. Escriban sus respuestas en el cuaderno.

Las medidas de Alicia se modificaron primero con un factor desconocido y después

con un factor de 34

. Si el factor que relaciona las medidas originales de Alicia con

las medidas finales es de 38

, ¿cuál es el factor desconocido?

Alicia creció 50% primero y después disminuyó su estatura 25%.

¿Cuáles son los factores de proporcionalidad en cada caso? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué factor de proporcionalidad regresa a Alicia a su estatura original en cada

caso? ¿Cómo se puede expresar este cambio en forma de porcentaje?

Para verifi car sus respuestas supongan que inicialmente Alicia tenía una estatura específi ca, por ejemplo, de 50 centímetros o de 1 metro.

Comenten con el profesor y los compañeros qué relación hay entre el porcentaje y el factor o constante de proporcionalidad.


Presenten sus rompecabezas a sus compañeros y expliquen cómo obtuvieron las

medidas, en cada caso.

Intercambien sus rompecabezas con otro equipo y verifiquen si estos son proporcio-nales y si utilizaron los factores de proporcionalidad indicados.

Comenten con todo el grupo qué factores de escala deben utilizar si quisieran pasar del tercer rompecabezas al primero.


216

30

Blo

que

4

Problemas de conteo

Contenidos

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para veri-fi car los resultados.

El torneo de futbol

En una escuela secundaria organizan un torneo de futbol con cuatro equipos: dos de primer grado, uno de segundo y uno de tercero. Se realizan dos rondas en las que juegan todos contra todos y se asignan, como es habitual en la actualidad, los puntos que se muestran en la siguiente tabla:

Partidos Puntos

Ganados 3

Empatados 1

Perdidos 0

La primera ronda se juega ida y vuelta, es decir, cada equipo juega dos veces contra cada uno de los rivales.En la segunda ronda, la de la revancha, solo se juegan los partidos de ida y cada equi-po comienza con cero puntos. En los partidos de revancha, cada equipo se enfrenta una sola vez a los rivales.

Analiza y contesta las siguientes preguntas:

• ¿Cuántos partidos se realizan en cada ronda del torneo? ¿Y en todo el torneo? Los dos equipos que hayan sumado más puntos en ambas rondas, pasan a la final.

• Si un equipo alcanza la máxima puntuación, ¿otro puede obtener los mismos pun-tos? Explica por qué.

• ¿Cómo puedes calcular la cantidad de partidos de la primera ronda del torneo de futbol? ¿Usarías el mismo procedimiento para la segunda ronda?

Argumenta tus respuestas y compáralas con las de otros compañeros.

Reunidos en equipos organicen un torneo de futbol o de otro deporte que prac-tique la mayoría de los alumnos de su escuela. Sugerencia: armen equipos mix-tos, es decir, de varones y mujeres.

Al final, cada equipo presentará su propuesta de organización del torneo, la cual incluirá el número de equipos, la manera de organizarlo y el total de partidos que se llevarán a cabo.

En grupo, analizarán los procedimientos que utilizaron para calcular la canti-dad de partidos que se jugarían en el torneo que proponen y elegirán una de las propuestas para que el profesor de Educación Física evalúe la posibilidad de realizarlo.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n


217

Los partidos del torneo

Antes de iniciar la elaboración de su propuesta, lean nuevamente la información

del torneo de futbol de la página anterior y, reunidos en equipos de cinco integran-

tes, resuelvan lo siguiente.

En la primera ronda los partidos son de ida y vuelta, es decir, cada equipo se enfrenta dos veces a los rivales. Con base en lo anterior completen la siguiente tabla de doble entrada para averiguar cuántos partidos se jugarán.

1.° A 1.° B 2.° 3.°

1.° A

1.° B

2.°

3.°

¿Ocuparon todas las casillas de la tabla? ¿Por qué?

Recuerden lo que vieron en la primaria y describan en el cuaderno qué es y para qué sirve un diagrama de árbol.

Representen en el siguiente diagrama de árbol los partidos de la primera ronda.

¿Pueden resolver este problema utilizando el diagrama de árbol? Expliquen por qué.

¿Cuál de los dos recursos les ayudó a resolver de mejor manera el problema? Argu-

menten su respuesta.

¿Alguno de estos recursos coincide con el que usaste en la actividad inicial para

calcular el número de partidos?

¿Cuántos partidos se realizarán en la primera ronda del torneo?

1.° A

1.° B

2.°

3.°D

esarr

ollo


218

Completen la siguiente tabla para averiguar cuántos partidos se realizarán en la se-gunda ronda. Recuerden que en esa ronda solo hay partidos de ida.

1.° A 1.° B 2.° 3.°

1.° A

1.° B

2.°

3.°

¿Qué diferencias encuentran entre la tabla que acaban de elaborar y la anterior?

En el siguiente diagrama de árbol, completen las ramas que les permitan calcular

la cantidad de partidos de la segunda ronda.

¿Completaron todos los espacios? ¿Qué diferencias encuentran entre el diagrama de

árbol anterior y el que acaban de elaborar?

¿Cuántos partidos jugará cada equipo en el torneo?

¿Cuál es la máxima puntuación que puede obtener un equipo en el torneo?

¿Cuántos partidos se juegan en total en las dos rondas?

¿Habrá una mejor forma de calcular el número de partidos que se jugarán en el tor-neo? ¿Cuál? Argumenten y comparen su respuesta con otros equipos.

Analicen y resuelvan en el cuaderno la siguiente situación.

¿Cuántas combinaciones de posibles resultados (ganar, perder o empatar) tiene cada equipo en la segunda ronda?

¿Qué recurso conviene emplear para contarlos, una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol? Expliquen por qué.

Comparen sus respuestas con otros compañeros y la forma en que las obtuvieron.

1.° A

1.° B

2.°

3.°

Ingresa a la siguien-te página y ve el vi-deo ¿Saben cuántos caminos hay?www.telesecunda-ria.dgme.sep.gob.mx/medios/medio3.php?vid=mat1_SabenCuantosCaminosHay.fl v&titulo=%BFSaben%20cu%E1ntos%20caminos%20hay?


219

¿Cómo vamos?

¿Ya decidieron de qué deporte será su torneo? ¿Cuántos equipos participarán?

A continuación se presentan dos formas posibles de organizar el torneo. Pueden escoger una de éstas o pensar en otra manera de organizarlo.

Forma I. Inicio: juegan todos contra todos solo una vez. Semifinales: participan los cuatro equipos que sumaron más puntos, juegan

todos contra todos solo una vez. Final: participan los dos equipos que tuvieron mayor puntaje en las semifinales.

Forma II. Inicio: juegan todos contra todos, ida y vuelta. Semifinales: participan los cuatro equipos que tuvieron los mayores puntajes en

el inicio o primera ronda. Juegan todos contra todos, solo una vez. Final: participan los dos equipos que tuvieron mayor puntaje en las semifinales.

En ambas formas se debe buscar una estrategia para defi nir al ganador en caso de empate. ¿De qué manera convendría representar los partidos que se llevarán a cabo

si eligen una de las opciones que se indican? Argumenten sus respuestas.

El puesto de jugos

Al terminar uno de los partidos del torneo, los jugadores se acercan a un puesto de jugos en el que se ofrecen distintas mezclas de frutas y verduras. El cliente puede seleccionar entre las seis diferentes frutas y verduras que se listan en el anuncio, a las que llamaremos A, B, C, D, E y F, para pedir la mezcla de dos ingredientes que prefi era.

¿Qué conviene utilizar para calcular las combinaciones: un diagrama de árbol

o una tabla de doble entrada? Expliquen por qué.

Elaboren un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada para repre-sentar todas las combinaciones de dos frutas o verduras que se pueden obtener.

¿Cuántos sabores distintos se pueden obtener?

El dueño del puesto de jugos está pensando también en hacer combinaciones con tres ingredientes.

¿Cuántas combinaciones diferentes puede ofrecer a sus clientes?

Al terminar, comparen con los demás equipos los procedimientos utilizados y los

resultados a los que llegaron.


220

A

D

B C

A B

C

D

¡A pintar se ha dicho!

La primera camiseta de la izquierda, muestra el diseño que eligió uno de los equipos que participa en el torneo de futbol. Las regiones A, B, C y D tendrán color.

Observa el diseño y responde. No consideres las mangas en el diseño.

Si solo tienes tres colores y no puedes pintar con el mismo color dos partes que se

tocan de la camiseta, ¿cúantos diseños distintos pueden haber?

Si tienes cuatro colores y puedes usar un color más de una vez, pero tampoco puedes pintar con el mismo color dos partes de la camiseta que se tocan, ¿cuántos

diseños distintos puedes hacer?

El siguiente diseño de la izquierda, corresponde a otro de los equipos que participa

en el torneo. No consideres las mangas en el diseño.

Los integrantes del equipo quieren utilizar tres colores, de manera que las partes que se tocan sean de diferente color.

¿Es posible cumplir el gusto de los jugadores?

¿Cuántos colores como mínimo necesitas para pintarla?

Con esa cantidad de colores, ¿de cuántas maneras diferentes puedes hacer diseños?

Para comprobar sus respuestas, elijan los colores y representen las combinaciones

en su cuaderno con el recurso que consideren más adecuado.

¿Cómo vamos?

Reúnanse con su equipo para trabajar en la organización del torneo.

¿Ya decidieron la forma en que se llevará a cabo el torneo? ¿De qué forma presentarán al resto del grupo los partidos que se jugarán? ¿Por qué se decidieron por esa forma y no por otra?

Su propuesta debe contener el número de partidos por ronda y el calendario de juegos.

Realiza en el cuaderno la siguiente actividad.

1. En la pizzería Victorino’s venden pizzas que el cliente puede armar a su elección.a) ¿Cuántas pizzas diferentes puedes armar si

eliges un ingrediente de las verduras y uno de las carnes frías?



221

Las combinaciones del candado Durante las actividades realizadas has recurrido al uso de diagramas de árbol y

tablas de doble entrada para resolverlos, ahora lo harás mediante otros recursos.

La mamá de Juan tiene un candado para maletas que se abre con una clave de tres dígitos. Juan quiere ayudar a su mamá a abrir el candado, ya que ella solo se acuerda de que la clave comienza con 9 y que no tiene ceros.

Si el lugar de las centenas está ocupado por el 9, ¿cuántos dígitos pueden ocupar

el lugar de las decenas? ¿Cuántas combinaciones tendrías

hasta ahora?

Si a cada combinación de dos cifras que llevas hasta ahora le agregas dígitos del 1

al 9 en el lugar de las unidades para formar la clave de tres cifras, ¿cuántas claves

posibles hay?

Explica cómo obtuviste el resultado.

Completa la siguiente tabla y comprueba tu respuesta.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

91 911

92 928

93

94

95 955

96

97

98 983

99

Si tuvieras que resolver este problema sin utilizar diagramas de árbol ni tablas, ¿qué

operación matemática realizarías para obtener el total de claves?

¿Cuántas combinaciones habría si el 8 ocupara fijo el lugar de las centenas? ¿Y si

fuera el 7 el que está fijo? ¿Qué ocurriría con los otros dígitos?

¿Cuántas claves en total se pueden formar en el candado?

Explica y argumenta cómo obtuviste el resultado.

En el problema anterior, ¿cuántas opciones tiene el candado para las centenas?

¿Cuántas para las decenas y cuántas para las unidades?

Multiplica estas tres cantidades

� � �

¿Qué observas? ¿El resultado coincide con el que obtuviste?


222

Con multiplicación

Algunos de los problemas de conteo pueden resolverse con una multiplicación.

Por ejemplo, imagina que sabes que la clave del candado contiene tres de los dígitos 9, 4, 2 y 5, y debemos encontrarla, pero no conocemos el orden.

Sabemos que para las centenas tenemos 4 opciones, si elegimos una de ellas, ¿cuántas opciones quedan para las decenas? ¿Cuántas para las unidades? Multiplica estas tres cantidades para conocer el número de opciones.

Opciones para

las centenas

Opciones para

las decenas

Opciones para

las unidadesCombinaciones

4 � � �

Elabora en el cuaderno un diagrama de árbol para comprobar la respuesta.

¿Cuántas combinaciones podrías obtener si tuvieras solo tres dígitos?

Con este procedimiento solo podemos conocer el número de combinaciones. Para saber cuáles son, podemos usar tablas o un diagrama de árbol.

Revisa con un compañero los problemas resueltos hasta ahora y verifi quen cuáles

pueden resolverse utilizando el procedimiento con multiplicación.

Resuelve los siguientes problemas:

1. Con los dígitos 3, 5, 7, 8, 9 y 6, ¿cuántos números de 4 dígitos, sin repetir, se

pueden formar? ¿Y de 5 dígitos todos diferentes? ¿Y de 3

dígitos todos diferentes?

2. Hay una familia de 4 hijos. Escribe en el cuaderno todas las formas en que puede distribuirse el sexo de los hijos, en orden de edad. Indica con H un hijo varón y con M una hija. ¿Qué será más conveniente utilizar: un diagrama de árbol o una tabla?a) ¿Cuántas formas obtuviste? b) ¿Qué procedimiento empleaste en cada caso? Argumenta tu respuesta.

Al llegar al salón, compara tus respuestas y procedimientos con otro compañero.


Cuando Darwin observaba la enorme diversidad de animales y plantas, pero al mismo tiempo constataba que todos compartían estructuras co-munes, soñó con construir un árbol de la vida. Imaginó que veía las ramas de un árbol desde arriba, y que si retrocediera en el tiempo vería cómo esas ramas brotaban unas de las otras hasta unirse en un tallo común que representaba el origen de todas las formas de vida terrestres.

Dibujo que realizó Darwin

que representaba a la

perfección su planteamiento

sobre la evolución de la vida

en la Tierra.

Imagen tomada de

lacomunidad.elpais.com/

apuntes-cientifi cos-desde-

el-mit/tags/tol


223

Cie

rre

¿Cómo nos fue?

¿En cuáles actividades se te facilitó usar un diagrama de árbol? ¿En cuáles es preferible usar tablas de doble entrada? ¿En qué otras situaciones puedes emplear diagramas de árbol o tablas de do-

ble entrada para contar las opciones posibles? Describe un ejemplo. ¿Pudiste calcular el número de partidos del torneo de futbol mediante una

multiplicación? Argumenta tu respuesta. Escribe las dudas que te hayan quedado sobre el uso de los diagramas de ár-

bol y de las tablas de doble entrada en la organización del torneo. Coméntalas en clase.

¿Intercambiaron los procedimientos que utilizó cada equipo para resolver los problemas?

¿Pudiste seguir las explicaciones de los demás compañeros? ¿Hiciste preguntas o comentarios a las explicaciones?


Cada equipo presente su propuesta de torneo al resto del grupo.

Analicen los resultados de cada equipo de trabajo, si hay errores corríjanlos de ma-nera grupal.

¿Qué recurso emplearon para conocer el número de partidos? ¿Podrían usar una multiplicación para calcular el número de partidos? ¿Qué objeción pondrían a este recurso, según la información que deben entregar? ¿Qué recurso permite conocer a los equipos que se enfrentarán en cada partido? Una vez que todos los equipos hayan presentado su propuesta, se hará una vo-

tación acerca de cuál es más factible realizar y la presentarán al profesor de Edu-cación Física.

Si en un torneo de futbol participan cinco equipos, ¿cuántos partidos de ida se tendrán que realizar? Como los partidos son sólo de ida, los juegos 1-2 y 2-1 son el mismo, es decir, no importa el orden de los equipos, por lo que se realizan 10 partidos.

1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 2-3, 2-4, 2-5, 3-4, 3-5, 4-5

Algunas calculadoras cuentan con la tecla nCr, la cual nos permite obte-ner el número de combinaciones (cuando el orden de los elementos no importa) de un experimento.Para conocer el número de partidos del torneo, oprime la tecla con el número 5, que representa el número de equipos, después nCr o shift nCr,según la calculadora, aparecerá en la pantalla 5C2, la C indica que se va a calcular el número de combinaciones; después el número 2, que representa a los equipos que participan en cada partido, y el signo =. El resultado que aparece en la pantalla representa el número de partidos.Si cuentas con una calculadora, utilízala para calcular la cantidad de par-tidos con 8, 10 o 20 equipos.Experimenta este procedimiento con el problema del puesto de jugos.

Calculadora científi ca que

permite calcular el número

de combinaciones, sin

importar el orden.


224

31

Blo

que

4

Gráfi cas

Contenidos

Lectura de información representada en gráfi cas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la represen-tación gráfi ca más adecuada.

Hábitos de higiene

En la siguiente gráfi ca de barras se muestran los resultados de una encuesta realizada a un grupo de alumnos de 8.º de la educación general básica, de la población rural de la Comunidad Autónoma de Madrid, llamada Navalcarnero, en relación con uno de sus hábitos de higiene personal.

Fuente: Martín Moreno, Vicente y otros. Hábitos dietéticos y de higiene personal en adolescentes de una población rural. Tomado de Internet: www.msc.es/biblioPublic/publicaciones/recursos_

propios/resp/revista_cdrom/VOL70/70_3_331.pdf

Organizados en equipo, respondan:

• ¿Podemos saber a qué hábito de higiene se refiere la gráfica? ¿Por qué?• ¿Qué información pueden obtener de ella? • ¿Qué representa cada una de las barras de la gráfica?• ¿Cómo determinarían el número de estudiantes que se baña cada 7 días?• ¿Qué información se presenta en el eje vertical?• ¿Cuántos alumnos de 8.º grado contestaron la encuesta anterior? ¿Cómo lo calculaste?• ¿Qué elemento le falta para que permita entender a qué se refieren los resultados

de la encuesta?• ¿Qué es una gráfica de barras? ¿Y una circular?• ¿En qué casos crees que convenga utilizar una u otra?

Pla

neació

n

En equipo, elaborarán las gráfi cas de barras y circulares necesarias para com-pletar el estudio o investigación que hicieron en la secuencia 24 del Bloque 3, en torno a los hábitos de alimentación, higiene, deporte, inicio de hábitos tóxicos y consumo de televisión.

Nuestro trabajo

Núm. de alumnos

Diario Cada 2 o 3 días Cada 7 días Cada 15 días

Núm

ero

de e

stu

dia

nte

s

Hábitos de higiene personal en adolescentes de 8.˚ grado

80

70

60

50

40

30

20

10

0 Periodicidad

Inic

io


225

Observa nuevamente la gráfi ca de la página anterior y responde en el cuaderno:

¿Qué información le hace falta a la gráfica del inicio de la lección que permita en-tender los resultados de la encuesta? Realiza los cálculos necesarios para obtener dicha información.

¿Cuál fue la pregunta que se les hizo a los estudiantes para obtener la información que se presenta en la gráfica?

En el informe presentado por quienes hicieron este estudio, se decía lo siguiente: “27% de los estudiantes de 8.º grado encuestados se baña a diario”.

¿Esta afirmación es verdadera? Escribe por qué sí o por qué no. ¿Qué porcentaje de alumnos se baña cada 7 días?

Reúnanse en parejas y realicen la siguiente actividad.

La gráfi ca que se muestra a la derecha corresponde al Censo de Población y Vivienda 2010. Analícenla y respondan:

Escriban en orden ascendente, según la cantidad de población,

las actividades que realizan las personas que no son económica-

mente activas.

Si la población total de los Estados Unidos Mexicanos es de

112 336 538, calculen la cantidad de personas que realiza cada

actividad.

¿Cuál es tu deporte favorito?

Para aprender más sobre los hábitos de los estudiantes de secun-daria, otro grupo de alumnos encuestó a 280 compañeros acerca de su deporte favorito. Las respuestas se organizaron en una tabla de frecuencias absolutas y relativas como la que se muestra a continuación.

En equipo, completen la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

Deporte favorito Número de alumnos Porcentaje

Basquetbol (BA) 84

Beisbol (BE) 25%

Futbol (FU) 112

Natación (NA) 5%

Total 280 100%

Ahora, respondan en el cuaderno:

¿Qué datos corresponden a las frecuencias relativas? ¿Cuáles corresponden a las frecuencias absolutas? ¿Qué tipo de gráfica usarían para representar la información de la tabla? ¿Por qué? Si representaran esa misma información en una gráfica de barras, ¿qué datos se

colocarían en el eje vertical?, ¿y en el eje horizontal? ¿Qué escala utilizarían para representar los porcentajes? Argumenten su respuesta.

Fuente: Inegi, Panorama socio-demográfi co de México. Censo de población y vivienda 2010.

La encuesta generalmente se lleva

a cabo mediante un cuestionario,

el cual consiste en una lista de

preguntas que se les hacen a las

personas a encuestar con el fi n de

obtener la información requerida.

Distribución de la población de 12 años y más noeconómicamente activa según tipo de actividad

Estudiantes

Personas dedicadasa los quehaceres del hogar

Jubilados y pensionados Personas con alguna limitación físicao mental permanente que les impidetrabajar

Personas en otras actividades económicas

35.1%

4.5%2.3%

5.5%

52.6%

Desarr

ollo


226

Deportes

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

Deportes

40%

20%

0%

Gráfi ca 2

Gráfi ca 1

Gráfi ca 3

En el sistema de coordenadas cartesianas construyan

una gráfi ca de barras con la información de la tabla de

la página anterior. Escriban el título y los datos que se

representan en el eje vertical y en el horizontal.

¿Qué sucedería si cambiaran la escala de su gráfica?

Comparen su gráfi ca con las de sus compañeros:

¿Son iguales?

Si hay diferencias, ¿cuáles son?

¿Todas representan correctamente la información?

Argumenten su respuesta.

Construyan dos gráfi cas de barras que representen la misma información de la

gráfi ca 1, utilizando las escalas que se indican en cada caso.

¿Qué diferencias observan entre las tres gráficas?

Comenten el efecto que produce en las gráficas la escala que se utiliza.

Cuando la unidad es pequeña, como en la gráfica 2, ¿qué ocurre con las diferencias

entre los porcentajes?, ¿y si cada unidad representa un porcentaje mayor?

¿Qué escala representa los datos de forma más precisa? ¿Por qué?


227

¿Cómo vamos?

Con su equipo, hagan las gráfi cas de frecuencias absolutas correspondientes

a cada pregunta que hayan formulado para su estudio en torno a los hábitos.

¿Qué escala les conviene utilizar en cada caso? Recuerden incluir el título y la fuente de su gráfica.

Las gráfi cas de barras sirven para representar y comparar frecuencias absolutas o relativas. Toda gráfi ca debe llevar un título que especifi que de qué trata la información que se presenta y la fuente de donde fue tomada. En las gráfi cas de barras, en el eje vertical se representan cantidades absolutas o porcentajes, por medio de una escala. En el eje horizontal se representan, a la misma distancia, las características o cualidades de la variable.Las barras deben ir separadas a la misma distancia. La altura de la barra representa la frecuencia (absoluta o relativa) en la que se observó la característica o cualidad.

¿Tú trabajas?

En los convenios internacionales y en las leyes mexicanas, el trabajo infantil se considera una violación de los derechos fundamentales de las niñas y los niños. El Inegi ha realizado una serie de encuestas para obtener información respecto al trabajo infantil en México. En 2007 ha-bía, en total, 29 203 394 niños y niñas entre 5 y 17 años de edad, de los cuales 3 647 067 realizaban alguna actividad económica. De estos, 67% eran niños y 33% niñas. Esta información se presenta en la gráfi ca circular o de pastel de la derecha:

En equipo, contesten:

¿Cuántos niños trabajan?, ¿cuántas niñas trabajan?

De la población total de niños y niñas entre 5 y 17 años, ¿qué porcen-

taje trabaja?

Realiza las siguientes actividades.

1. En un torneo de basquetbol, el equipo Barracudas necesita crear una gráfi ca que muestre sus puntuacio-nes en los últimos 10 partidos. Los resultados se presentan en esta tabla:

Juego 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Puntos anotados 67 72 71 68 70 65 75 78 77 80

a) Elabora una gráfi ca de barras utilizando una escala de 5 puntos.b) Haz otra gráfi ca, con la misma información, pero con una escala de 20 puntos.c) ¿En cuál de las dos gráfi cas la puntuación de Barracudas tiene mayor aumento? ¿Por qué?

d) ¿Qué escala permite una representación precisa de las puntuaciones?

Realiza las siguientes act

Fuente: Inegi. Resultados del módulo de trabajo infantil 2007. www.cuentame.

inegi.org.mx/poblacion/ninos.aspx?tema=P

Niños

Niñas

67%

33%

Distribución porcentual de niños y niñas

mexicanos entre 5 y 17 años que trabajan


228

¿Qué fracción del círculo representa el porcentaje de niñas que trabajan? ¿Y el de

los niños? ¿Cómo realizaron el cálculo?

¿Cuántos grados mide el ángulo de la porción del círculo que representa el por-centaje de niñas que trabajan? ¿Y el de los niños? ¿Cuántos grados suman ambos

ángulos?

Si la suma de los datos que se quieren representar es igual a 100% y sabemos que el ángulo central de un círculo mide 360º, ¿cómo calcularían el ángulo de cada por-

ción o sector en la gráfica? Escriban los pasos que hay que seguir.

Intercambien con otros compañeros los procedimientos de su equipo. Sigan los pasos indicados y representen los datos de la encuesta acerca del deporte

favorito de los niños, de la página 193. En caso de que un procedimiento no funcione, indiquen a sus compañeros dónde

creen que está el error y por qué.

¿Por qué trabajan las niñas y los niños mexicanos?

De los niños y las niñas que realizan algún trabajo, 29% lo hacen para pagar su es-cuela o sus propios gastos, 28% porque en su casa necesitan de su trabajo, 18% para aprender un ofi cio, 11% porque en su casa necesitan de su aportación económica, 6% porque no quieren ir a la escuela y 8% por otras razones.

¿Cómo representarías esta información en una gráfica circular? Coméntalo con tus compañeros.

Para representar en una gráfi ca circular, por ejemplo, 29%, ¿cómo calculamos el ángulo del sector circular que le corresponde?

El ángulo se obtiene calculando 29% de 360º, que es la medida del ángulo central del círculo y es igual a 104°.Al calcular la medida de un sector, si el resultado es igual a un número decimal, se redondea al entero más próximo.

Ahora puedes completar esta tabla:

Tipo de actividad Porcentaje Grados

Para pagar su escuela o sus propios gastos 29% 0.29 � 360º � 104º

En su casa necesitan de su trabajo 28%

Para aprender un ofi cio 18%

En su casa necesitan de su aportación económica 11%

Porque no quiere ir a la escuela 6%

Por otras razones 8%

Total 100% 361º

Tomado de: Inegi. Cuéntame de México. www.cuentame.inegi.org.mx/poblacion/ninos.aspx?tema=P

Ya sabes que el ángulo central de un círculo mide 360°, sin embargo, en la tabla an-terior se obtuvo con la suma de los grados de todos los ángulos 361 grados.

¿Por qué pasó eso?

En el sitio web www.aulaclic.es/excel2010/index.htm, encontrarás información útil para elaborar tablas de datos y la elaboración de gráfi cas como las que has trabajado en la secuencia didáctica.


229

¿Cómo vamos?

En equipo, elaboren las gráfi cas circulares necesarias para presentar la infor-

mación de las frecuencias relativas obtenidas del estudio que hicieron acerca

de los hábitos de alimentación, higiene, deporte, inicio de hábitos tóxicos y

consumo de televisión.

Escriban un breve análisis de las mismas. ¿Qué tipos de gráficas, de barras o circulares, son las más adecuadas para

la información que obtuvieron? ¿Qué escala utilizaron para representar en la gráfica de barras la información

obtenida del estudio en torno a los diversos hábitos? ¿Los sectores de cada gráfica circular representan los porcentajes de la tabla? ¿Qué aspectos de las gráficas considerarán para complementar su estudio

acerca de los hábitos?

104º

Construye la gráfi ca circular con la información que aparece en la tabla de la pági-

na anterior, de acuerdo con estos pasos:

I. Con un compás, haz en el cuaderno un círculo y, utilizando una regla o escuadra, traza un ra-dio a cualquier punto de la circunferencia.

II. Por medio de un transportador marca la me-dida de un ángulo de 104°. Para ello coloca el centro del transportador en el centro del círculo y el borde a lo largo del radio que trazaste. Tra-za otro radio desde el centro del círculo hasta ese punto de la circunferencia. Coloca la medi-da en grados dentro del sector circular.

III. Repite los pasos anteriores, a partir de uno de los radios marcados, para cada uno de los da-tos de la tabla.

IV. Pinta cada porción con un color diferente.

Observa la gráfi ca circular que acabas de construir y responde:

Tomando en cuenta la cantidad de niños y niñas que trabajan, ¿cuáles son los dos

motivos que tienen mayor cantidad?

¿Cuántos niños y niñas trabajan para pagar su escuela? ¿Cuántos son los niños y las niñas en cuya casa necesitan el dinero que obtienen

por su trabajo?

Las gráfi cas circulares, también llamadas de pastel, se utilizan para mostrar las par-tes de un todo. Cada sector o porción del gráfi co representa el porcentaje que una parte tiene respecto del todo, y son proporcionales a los datos. Estas gráfi cas son útiles para comparar los distintos grupos de datos.

En periódicos, revistas y libros encontrarás algunas veces gráfi cas de barras y otras las circulares o de pastel. Lo importante es que independientemente de la represen-tación usada, sepas interpretarlas.


230

Resuelve este problema:

1. En relación con el brote epidémico de infl uenza AH1N1, ocurrido en México en 2009, la Secretaría de Salud ha presentado diferentes informes acerca de la evolución de dicha enfermedad. El 16 de julio de 2009, en el documento Situación actual de la epidemia, se incluyó la gráfi ca de barras siguiente:

Fuente: Secretaría de Salud. México. 16 de julio de 2009. Tomado de www.portal.salud.gob.mx/contenidos/noticias/infl uenza/estadisticas.html

a) ¿Cuál es el título de la gráfi ca?

b) ¿Qué información se incluye en la fuente?

c) ¿Qué información se presenta en el eje vertical?

d) ¿Cuál es la escala que se usa en el eje vertical? ¿Crees que es la más

conveniente? ¿Por qué?

e) ¿Qué información aparece en el eje horizontal?

f) ¿En qué grupos de edad se localizan las dos mayores cantidades de ca-

sos confi rmados?

g) ¿Podrías representar esta información en una gráfi ca de pastel? Argu-

menta tu respuesta.

h) Con la información proporcionada, elaboren una tabla de frecuencias

absolutas y relativas.

i) Construyan en el cuaderno una gráfi ca circular en la que se representen los porcentajes de los casos confi rmados por grupos de edad.

Resuelve este problema:

3 832

4 575

2 296

1 261904

490 200

Grupos de edad

0 a 9 10 a 19 20 a 29 30 a 39 40 a 49 50 a 59 Más de 60

Núm

. de

caso

s co

nfirm

ados

500045004 0003 5003 0002 5002 0001 5001 000

5000


231

Cie

rre

¿Cómo nos fue?

¿Para qué sirve una gráfica de barras? ¿ Para qué usamos una gráfica circular? ¿Qué diferencias encuentras entre las gráficas de barras y las circulares? ¿Cómo resultó la colaboración con tu equipo en el proyecto? ¿aclararon tus

dudas? ¿Planteaste preguntas cuando otros equipos presentaron su trabajo? ¿Cuáles? ¿Puedes explicar de forma clara y detallada y utilizando el lenguaje matemáti-

co la manera en que realizaron las gráficas de barras y circulares del estudio sobre los hábitos?

¿Pudiste seguir la explicación de los otros compañeros? ¿Por qué? ¿Trabajaste cooperativamente con los compañeros de tu equipo?

Plan Nacional de Contingencia

En un periódico de circulación nacional se presentó una encuesta que se aplicó a los habitantes de la Ciudad de México en relación con el plan de contingencia sanitaria rea-lizado del 28 de abril al 10 de mayo de 2009. Los resultados se muestran en la gráfi ca:

Fuente: El Financiero en línea. Archivo de encuestas. www.elfi nanciero.com.mx/ElFinanciero/Portal/cfpa-ges/poll-display-esp.cfm?pollid=983

En equipo, analicen la gráfi ca y respondan:

¿Cuál de las opciones mucho, poco o nada tuvo mayor cantidad de respuestas?

¿A cuántas personas se encuestó? Completen la tabla y después utilicen los datos para construir en el cuaderno una gráfi ca circular.

Respuesta Frecuencia absoluta Frecuencia relativa (porcentaje)

Mucho

Poco

Nada

No sé

No me interesa

Total


Cada equipo presentará las gráfi cas de barras y circulares con la información obte-

nida en el estudio acerca de los diferentes hábitos.

Deben incluir las gráficas que representen las frecuencias absolutas y relativas, así como un pequeño análisis de las mismas.

Los restantes compañeros harán preguntas acerca de la información presentada.

¿Esta usted preparado para otro plan de contingencia sanitaria ante el rebote de influenza? Fecha 30/04/2009

126

230 247

12

62

Mucho Poco Nada No sé No me interesa

300

250

200

150

100

50

0


232


UNIDAD: El caleidoscopio



La ilustración de la izquierda muestra la forma de la base de los espejos.

Describe cómo puede Ernesto trazar la base de la cubierta, si debe tocar

los tres vértices de los espejos.



A continuación se presentan partes de las imágenes que se pueden formar con diversos caleidoscopios.

¿Cuál se podrá observar en el caleidoscopio de Ernesto?

a) b) c) d)

Ernesto quiere construir un caleidoscopio. Un caleidoscopio es un aparato que permite visualizar

hermosas fi guras como la que se muestra en la fotografía. El triángulo resaltado en verde es la

imagen real y el resto son refl ejos. Se colocaron tres espejos, como lo indica el esquema azul de

la derecha. Las imágenes se componen de fi guras simétricas, el número de ejes de simetría que

tenga la fi gura dependerá de los ángulos que formen los espejos entre sí.

40°

Cubierta

Espejos


233

UNIDAD: Estado civil en gráfi cas

En la gráfi ca 1 se muestra información sobre la situación conyugal de los chihuahuenses según el

censo de población realizado por el Inegi en 2010. En la gráfi ca 2 se muestra la edad promedio a

la que contraen matrimonio los mexicanos en toda la República.

Gráfi ca 1: Datos correspondientes al Gráfi ca 2: Datos correspondientes a

estado de Chihuahua toda la República Mexicana


Contexto: PúblicoAprendizaje esperado: Lee información presentada en gráfi cas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráfi cas para comunicar información

¿Qué porcentaje de los chihuahuenses mayores de 12 años de edad está casado?

a) 17.2% b) 4.4% c) 38.7% d) 33.3%



Explica cómo varió la edad promedio en la que contrajeron matrimonio las mujeres mexicanas del 2002

al 2005.



Colorea las casillas “Verdadero” o “Falso” de acuerdo con la tendencia de la gráfi ca de barras en las

afi rmaciones que se proponen respecto a la edad promedio a la que contraerán matrimonio los varones

mexicanos en el año 2015.

Será mayor que la de las mujeres Verdadero Falso

Será igual para ambos sexos Verdadero Falso

Será un año mayor Verdadero Falso

Mayor de 28 años Verdadero Falso


234


235

Bloque 5

Sistema SolarSistema Solar

La distancia entre los planetas, estrellas y otros astros es tan grande

que los astrónomos utilizan la notación científi ca para representarla.

La imagen se relaciona con el contenido de la secuencia 33.


• Resuelvas problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales posi-tivos y negativos.

• Resuelvas problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.

• Resuelvas problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.


236

32

Blo

que

5

Problemas aditivos

Contenido

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

El torneo de las familias

En las pasadas vacaciones, varias familias organizaron un torneo con pruebas de co-nocimientos y pruebas deportivas, como carreras, tirar de la cuerda, habilidades de danza y canto, chistes, cocina, etcétera.En cada concurso se acumulaban puntos a favor (por acertar en las respuestas o ga-nar el juego) o puntos en contra (por penalizaciones) según las reglas de cada juego. Al fi nal del torneo se contabilizaron los puntos de cada participante, considerando los puntos a favor como positivos y los puntos en contra como negativos, después, se sumaron los puntos para obtener el total de cada familia.La familia García participó en el torneo. Los puntos para esta familia son los siguientes:

• ¿Qué procedimiento necesitas realizar para saber cuántos puntos obtuvo en total cada integrante de la familia?

• ¿Quién obtuvo más puntos a favor que puntos en contra? ¿Cómo representarías los puntos acumulados por cada uno?

• Explica qué procedimientos seguiste para obtener los resultados.• Escribe un párrafo en el que comentes si es posible sumar cantidades negativas

con cantidades positivas y de ser posible, cómo lo harías.

Coméntalo con tus compañeros y con el profesor.

Reúnete con un compañero y discutan qué estrategias podrían seguir para sumar números negativos y positivos.

Utilicen en un ejemplo una de las estrategias que diseñaron y compárenla con la elegida por otra pareja.

Escriban un párrafo en el que comparen las estrategias elegidas por cada equipo. Al finalizar el trabajo en esta secuencia encuentren en qué difieren las que eligieron de las que aprendieron aquí.

Puntos a favor Puntos en contra

Inic

io


237

Pla

neació

n

En equipos de cinco integrantes, diseñarán un cuadrado mágico en el que inte-gren números negativos y positivos.

Un cuadrado mágico es un conjunto de nueve números, acomo-dados en tres columnas y tres filas, de tal modo que, al sumar las cantidades de cada columna, fila o diagonal, el resultado siempre es el mismo. Observa en el cuadro de la derecha.

Al terminar el diseño de su cuadrado, deberán intercambiarlo con otros equipos. Entréguenlo en blanco junto con la lista de los números que deben incluir, para que ellos lo completen y ustedes completen el suyo.

Nuestro trabajo

Operaciones con números negativos

Retomemos el problema del torneo de la página ante-rior. Al señor García le interesa saber cuántos fueron los puntos que ganaron o perdieron en total para determi-nar en qué lugar quedaron respecto de otras familias.

¿Cuántos puntos a favor obtuvieron entre todos los integrantes de la familia? ¿Qué procedimiento utili-zaste para saberlo?

¿Cuántos puntos en contra obtuvieron entre todos

los integrantes de la familia? ¿Qué procedimiento se-

guiste para saberlo?

¿Cuál fue el resultado final de la familia?

Escribe el procedimiento que te permite conocer los

puntos que obtuvo Jorge. Anota los puntos.

Puntos obtenidos:

¿Cómo debe ser el resultado de los puntos obtenidos

por Jaime, positivo o negativo? ¿Por qué?

Escribe el procedimiento que te permite conocer los puntos que obtuvo Jaime.

Anota los puntos.

Puntos obtenidos:

¿Qué sentido tiene sumar dos o más números negativos?

Al inicio del torneo, Raúl, Jaime y Paola aseguraron que en su caso no habría pérdida, porque entre los tres iban a ganar puntos.

Ahora suma los totales de Raúl, Jaime y Paola. ¿Tenían razón en lo que dijeron al

inicio del torneo?

Compara con algunos compañeros tus respuestas, argumenta cada una de ellas.

Después de que hayan llegado a un acuerdo, preséntenlas a su profesor.

5 �2 3

0 2 4

1 6 �1

El grabado Melancolía fue creado por Alberto Du-rero en 1514. En él hay un cuadrado mágico de 4 × 4. En la última fi la de este cuadrado, con los números de las dos casillas centrales, se puede leer la fecha de elaboración de la obra.

Fuente: http://davidgymnopedie.blogspot.com/2010/05/pintura-melancolia-por-alberto-durero.html

Desarr

ollo


238

–4 –2 0 2 5

–8 –6 –4 –2 0 5 8

–8 –6 –4 –2 0 5 8

En la recta numérica

Para trabajar con las operaciones con números negativos, reúnete con un compañero y resuelvan las siguientes situaciones.

Considera que tienes la siguiente ecuación 5 � x � 2. En ella, se debe encontrar un número que sumado a cinco dé como resultado 2. Ubiquémosla en la recta numérica.

Debemos partir del 5, ¿cuántos espacios y hacia dónde debemos avanzar para

llegar al 2?

En actividades anteriores trabajaste con la representación de números negativos

y positivos en la recta numérica, ¿qué diferencia hay entre avanzar hacia la iz-

quierda o hacia la derecha en la recta numérica?

Por tanto, tenemos que x � , por lo que 5 � ( ) � 2.

Ahora, dada la expresión 5 � n � 8, ubiquémosla en la recta numérica:

¿Cuántas unidades y hacia dónde debes avanzar para llegar al 8?

Entonces la respuesta es 5 � ( ) � 8

Para el caso 5 � y � 2, ubicamos la situación en la recta numérica:

¿Qué significa el signo de menos en términos de avanzar en la recta?, ¿cuántas

unidades se debe avanzar en este caso?

Entonces la respuesta quedaría así: 5 � ( ) � 2 Por último, dada la situación: 5 � m � 8.

Como sabes, en una resta, si se suma el resultado al sustraendo, se obtiene el mi-nuendo. Según lo anterior, 8 � m � 5. Encuentra el valor de m en la recta. Aquí debemos avanzar tres unidades hacia la derecha, pero por otro lado tenemos un signo de menos. Entonces, ¿cuántos espacios se debe avanzar?

¿El número que falta será igual al número de unidades o su opuesto? ¿Por qué?

Por tanto, la respuesta quedaría: 5 � ( ) � 8

A partir de lo anterior, junto con un compañero escribe una regla que te permita sumar y restar números con signo. Indica en ese párrafo, cuál es el resultado de sumar una canti-dad positiva con una negativa y cómo se representa esta operación en la recta numérica.

Compartan su trabajo con otros compañeros y con el profesor, escriban algunos

ejemplos que demuestre sus conclusiones.

–4 –2 0 2 5


239

Representa las operaciones en una recta numérica y encuentra el número que falta.

a) 15 + = 0 d) 21 � = 25 g) � 11.05 = �24

b) 10.132 � = 15.556 e) 8.43 + = 5.31 h) + 12

= 14

c) + 5 = 2 f) + (� 14 ) = 25

12 i) 7

2 � = 15

2

Representa las operacion

Nuevamente el torneo

Lee otra vez el problema del torneo y realiza lo que se indica.

¿Ganó o perdió puntos la familia García en el torneo?

¿Cuántos puntos ganó o perdió?

Compara tus respuestas con otros compañeros y la estrategia que siguieron para calcu-lar el total de puntos de la familia. Si uno de los integrantes de la familia González obtuvo �12 puntos en una prueba deportiva y �9 puntos en una de destreza, ¿cuál fue su puntaje fi nal? ¿Qué hiciste para obtener el resultado?

Existen muchas situaciones en las que se debe sumar y restar números con

signos negativos. En las actividades anteriores has resuelto sumas o adicio-nes en las que se encuentran juntos dos signos tanto iguales como diferen-tes. Por ejemplo, 5 � 3 � 8, esta es una suma entre naturales, ¿y si fuera �5 �3 � �8, igual se obtiene 8, pero el signo es negativo porque ambos números son negativos; estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta numérica.Si se tienen dos números de signos diferentes, se restan los valores absolutos y se deja el signo del número con mayor valor absoluto. Por ejemplo: (�5) � (�3) � �2; (�8) � (�3) � 5. Para restar números positivos y negativos, se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo: (�10) � (�4) � (�10) � (� 4) � 14; (�9) � (�3) � (�9) � (�3) � �6. Por lo general, al representar números positivos, esto se hace sin colocar el signo �.Esta forma de sumar y restar números con signos positivos y negativos es vá-lida también cuando sumas o restas números con decimales o fracciones.

Por ejemplo: 34

– (– 25 ) = 23

20 y –1.5 – 3.2 = –4.7.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tus compañeros de equipo para trabajar en su cuadrado mágico.

Revisen de nuevo el cuadrado mágico que se dio como ejemplo. ¿Cuánto suman sus columnas, filas y diagonales?

Antes de elaborar su cuadrado mágico, cada integrante del equipo elabore uno e intercámbielo con sus compañeros de equipo, deben indicar qué nú-meros se emplean y cuál es la suma de los números de cada columna, fila y diagonal. Pueden usar números consecutivos o series de 2 en 2, 3 en 3, etcétera, recuerden que debe contener números positivos y negativos. ¿Qué te resultó más difícil, elaborar tu cuadrado o completar el de tu compañero?

¿Encuentran alguna regla que deban cumplir los números elegidos? Descríbanla ¿Cuál es la regla para diseñar cualquier cuadrado mágico?


240

Diferentes aplicaciones

Ahora resuelve los siguientes problemas.

Una persona está escalando una pared de rappel en un centro de ecoturismo. En su primer intento sube 2.5 metros, pero se resbala y cae 1.75 metros. A partir de este sitio, empieza su segundo intento, en el que sube 1.5 metros, luego se detiene. Al reiniciar su ascenso, sube otros 2.65 metros, pero se golpea y cae 3.21 metros.

Escribe en tu cuaderno el procedimiento que seguiste para ubicar a qué altura se encuentra.

En sus vacaciones de verano, Jorge consiguió empleo de jardinero. Iba todas las mañanas de lunes a viernes y le pagaban $1 250, semanales. Quería ahorrar para su computadora, pero tuvo los siguientes gastos.

El primer fi n de semana fue al cine con su novia y se gastó $225; compró una chamarra de $375 y una tarjeta para bajar música de $100.El segundo, invitó a comer a sus papás y pagó $440, además, recargó su celular con $150.El tercero, rentó una película por $46, gastó $138 en una pizza y le dio $100 a su abuelo.El cuarto fi n de semana fue a una expedición en la que cobra-ban $900, y pagó la mitad de la cuota de su hermana.El quinto y último fi n de semana, se compró dos pares de tenis de $550 cada uno y gastó $285 en una mochila.

Calcula cuánto ahorró Jorge cada semana de acuerdo con lo que gana y cuánto pudo ahorrar en las cinco semanas.

De acuerdo con lo que gana y gasta por semana, ¿en qué semanas gastó más

de lo que ganó?

¿Cuánto dinero ganó y cuánto dinero gastó en total?

¿Cuánto dinero pudo ahorrar al final del verano?

Compara tus resultados con los de tus compañeros.

En la página de Internetredescolar.ilce.edu.mx/redescolar2008/educontinua/mate/mate.htmDa clic en Lugares, geométricos, aritmé-ticos y algebraicos y entra en la actividad Amigos y enemigos, ahí encontrarás ejerci-cios de suma y resta de números con signo.¡Entra y practica!

rappel. Deporte de alto riesgo, que consiste en descen-der por una pared sostenido por un arnés y utilizando una cuerda.


1. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 810

� 68

= b) + 711

= � 477

c) 1012

+ = 1142

2. Resuelve el problema.

La tabla muestra las temperaturas registradas durante una semana en la ciudad de Chihuahua.

Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Medición en °C

4 0 -3 � 1 2 2 3

a) ¿Qué día se registró la temperatura más baja? ¿Y qué día la más alta?

b) ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura más alta y la más baja?

c) ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas que se registraron el domingo y el miércoles?

d) ¿Cuál es la diferencia entre la temperatura del lunes con respecto a la del miércoles?



241

¿Cómo nos fue?

¿Qué es un cuadrado mágico? ¿Te pareció complicado crearlo? ¿Cuál fue la principal dificultad que encontraste en este proceso? ¿Qué tan efectiva fue la comunicación en equipo? ¿Todos los integrantes par-

ticiparon y aportaron ideas? ¿Cómo aplicaste en esta lección lo aprendido anteriormente sobre números

opuestos? ¿Qué pasa cuando se encuentra un signo negativo seguido de uno positivo? ¿Te parece útil saber sumar y restar cantidades de distintos signos? ¿En qué

podrías aplicarlo? Explica claramente de qué depende que el resultado de una suma y de una

resta de números con distintos signos sea positivo o negativo.

El centro de copiado

Lee el siguiente problema y realiza las actividades.

El centro de copiado Supercopy gana $0.55 por cada copia. La tabla representa la cantidad de copias saca-das por mes en 2010.

Completa la tabla, calcula los ingresos mensuales. Si tienen gastos mensuales fijos de $4 500, calcu-

la su ganancia mensual. Anota los resultados en tu cuaderno.

¿En qué meses el resultado fue un número nega-

tivo?

¿Qué significa este resultado?

Calcula las ganancias de Supercopy a lo largo

del año.


Antes de presentar su cuadrado mágico al grupo, pidan a su maestro que lo valide.

Entreguen a otros equipos sus cuadrados mágicos acompañados de los números que deben incluir y la suma que deben obtener para que lo completen.

Luego, presenten al grupo su cuadrado mágico y expliquen los pasos que siguieron para diseñarlo. Cada cuadrado y el proceso de cada equipo serán distintos.

¿Siguieron alguna regla para escoger los números? Preséntenla al grupo y voten para elegir la regla que les parezca más adecuada.

Mes Número de copias Ingresos ($)

Enero 22 890

Febrero 4 350

Marzo 13 650

Abril 11 470

Mayo 16 380

Junio 5 230

Julio 2 500

Agosto 500

Septiembre 24 810

Octubre 17 540

Noviembre 14 690

Diciembre 14 560

Total 148 570

Cie

rre


242

33

Blo

que

5

Notación científi ca

Contenido

Uso de la notación científi ca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

¿Qué tan lejos está Mercurio?

Gracias a los viajes espaciales ahora podemos conocer más del Sistema Solar en el que se encuentra la Tierra. Por ejem-plo, aunque sabemos que día con día la distancia de la Tierra a los distintos planetas cambia mucho, sabemos cuándo su distancia es menor y cuándo

es mayor. Por ejemplo, Mercurio, el planeta más cercano al Sol está a una distancia de la Tierra de 77 millones de km cuando se encuentra lo más cercano posible a nuestro planeta y cuando está lo más lejos está a una distancia de 222 millones de km. Venus, en cambio se ha acercado a la Tierra hasta 42 millones de km y se aleja hasta 261 millones de km. ¿Puedes imaginarte esas distancias?

• Escribe las dos distancias de la Tierra a Mercurio y a Venus con números.• Suponiendo que los dos planetas están en el punto más cercano a la Tierra ¿Cuál

sería la distancia entre ellos?• ¿Cuál sería la distancia entre Mercurio y Venus si los dos estuvieran en el punto

más lejano a la Tierra?• ¿Qué procedimiento seguiste para hacer estas operaciones? ¿Qué tan grandes son

los números que encontraste?• En una enciclopedia dice que la distancia del Sol a Plutón es de 5.9 x 1012 m ¿Qué

significa ese número?

Trabaja con un compañero para elaborar un cartel en el que muestren a sus compañeros de manera sencilla una forma de expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas para poder compararlas. Necesitarán un paquete de 100 hojas tamaño carta y una regla graduada o una cinta métrica.

Investigarán las distancias del Sol a un planeta del Sistema Solar y la distan-cia del Sol a alguna estrella.

Buscarán también dos longitudes representadas por números muy peque-ños, por ejemplo, el tamaño de una célula o del protón.

Más adelante encontrarán ideas para desarrollar este trabajo.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n

El 24 de agosto de 2006, la Unión

Astronómica Internacional (UAI),

excluyó a Plutón como planeta

del Sistema Solar. Tras una

larga controversia sobre esta

resolución, se tomó la decisión

por unanimidad. A partir de esta

fecha el Sistema Solar queda

compuesto por ocho planetas.


243

Potencias de diez

Para operar con números muy grandes o muy pequeños trabajemos primero los pro-ductos del número 10 por sí mismo.

Completa la tabla siguiente:

ProductoResultado del

productoNúmero de ceros

del producto

Número de veces que aparece el 10

en el producto

10 10 1 1

10 � 10 100 2 2

10 � 10 � 10 1000

10 � 10 � 10 � 10

¿Qué observas en la tabla?

Cuando multiplicamos un número por sí mismo llamamos a su resultado potencia. Los números que aparecen en la tabla anterior son potencias de 10. Una forma de abreviar una potencia es escribiendo el número que representa los factores con el número de veces que se multiplica como superíndice. Por ejemplo, podemos escribir 10 � 10 como 102. En palabras, este número se dice: diez a la segunda potencia. Al 10 lo llamamos base de la potencia y al superíndice lo llamamos exponente. De esta manera ahorramos tener que escribir tantos ceros. Por defi nición escribimos el número 1 en términos de esta notación como 100.

Utilizando la notación anterior, en tu cuaderno añade una columna a la tabla de arriba en la que anotes la potencia de 10 correspondiente en la notación abreviada.

Escribe los siguientes números como potencias de 10:

a) 10 000 000 000

b) 10 000 000 000 000

c) 100 000 000 000 000 000 000

Escribe los números que representan las siguientes potencias de 10:

a) 109

b) 1012

c) 1025

Analiza los números anteriores y su representación con potencias ¿cómo es más

fácil comparar su magnitud?

Desarr

ollo


244

¿Qué sucede si dividimos 1 entre potencias de 10? Para que puedas responder esta pregunta, primero, completa la tabla que aparece a continuación.

CocienteResultado del

cociente

Número de ceros entre el punto

decimal y el dígito 1

Número de veces que aparece el 10

en el divisor

110 0.1 1 1

110 � 10 0.01 2 2

110 � 10 � 10 0.001

110 � 10 � 10 � 10 4

110 � 10 � 10 � 10 � 10

5

0.000001

¿Qué observas en la tabla?

Para expresar el resultado de dividir a 1 entre una potencia de 10 podemos utilizar exponentes negativos.

Por ejemplo, 11000

= 1103

se puede escribir como 10�3.

En tu cuaderno, añade una columna a la tabla anterior. Anota en ella cada uno de los números utilizando potencias de 10.

Escribe los siguientes números como potencias de 10:

a) 0.000000001

b) 0.00000000001

c) 0.00000000000000001

Escribe los números que representan las siguientes potencias de 10:

a) 10�9

b) 10�11

c) 10�25

Las neuronas que constituyen el cerebro de una persona son cien mil millones

(100 000 000 000), escribe este número como potencia de 10.

Analiza los números anteriores y su representación con potencias ¿cómo es más

fácil comparar su magnitud?


245

¿Cómo vamos?

Reúnete con el compañero con quien elaborarás el cartel. Discutan e inves-tiguen las dos distancias representadas por números muy grandes y las dos distancias representadas por números muy pequeños.

Recorten de una hoja tamaño carta un cuadrado de longitud 10 cm de lado. Tomen el paquete de hojas y con su regla o cinta métrica midan su espesor.

Anótenlo en su cuaderno.

Notación científi ca

Reúnete con un compañero para trabajar en las siguientes actividades.

La distancia entre la Tierra y Marte es de 99 390 000 000 m y un electrón pesa: 0.0000000000000000000009109382 g.

¿Qué tienen de especial esas dos cantidades? ¿Qué diferencias o semejanzas en-

cuentran entre ellas?

¿Qué tan fácil o cómodo les parece trabajar con cantidades muy grandes o muy

pequeñas como las anteriores?

¿La calculadora que utilizan tiene espacio para este tamaño de cifras? ¿Cómo po-drían trabajar con ellas? Comenten esto con sus compañeros y con el profesor.

Utilizando las potencias de 10 pueden escribir cantidades grandes y pequeñas de manera abreviada utilizando las propiedades del sistema decimal. Completen lo siguiente:

¿Qué representa el número 103?

¿Qué representa el número 8 � 1 000?

Escriban el producto anterior utilizando potencias de 10

¿Qué representa el número 10–4?

¿Qué representa el número 5 � 0.00001?

Escriban el producto anterior utilizando potencias de 10

Escriban las distancias de la Tierra a Mercurio y de la Tierra a Venus usando poten-

cias de 10

Escriban los números representados por 7 � 10–7 y 4 � 108

Suponiendo que los dos planetas están en el punto más cercano a la Tierra, ¿cuál

sería la distancia entre ellos?

¿Qué procedimiento seguiste para hacer estas operaciones? ¿Qué tan grandes son

los números que encontraste?

En una enciclopedia dice que la distancia del Sol a Plutón es de 5.9 � 1012 m. ¿Qué

signifi ca ese número?


246

La notación científi ca es una manera de abreviar cantidades como las anteriores uti-lizando las potencias de 10. Esta notación se utiliza para expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.Los números se pueden escribir como un producto: a � 10n, donde a es un número entero o un número formado por una parte entera y otra decimal y n un número en-tero, positivo o negativo.

De este modo, cantidades muy grandes como la distancia en kilómetros entre la Tierra y Marte, pueden expresarse así:La distancia entre la Tierra y Marte es 9.939 � 1010 m, porque 1010 es igual a 10 000 000 000 y si lo multiplicamos por 9 939 el resultado es 99 390 000 000.

Realiza estas actividades de manera individual.

El peso de un electrón puede representarse como: 9.109382 � 10–22 g. ¿Cómo

puedes comprobar esta afirmación?

Convierte a notación científica las siguientes cantidades:

El tiempo entre los latidos del corazón es de 0.8 segundos

El año luz es la distancia que recorre la luz en un año y equivale aproximada-

mente a 9 500 000 000 000 km.

Una célula mide 0.0003 mm.

El radio del Sol mide 690 000 000 km.

Compara tus resultados con los de tus compañeros y en caso de que haya diferen-

cias, revisen para encontrar y corregir los errores.

Orden de magnitud

Cuando se trata de comparar cantidades muy grandes o muy pequeñas se suele redondear la cantidad utilizando la potencia de 10 más cercana al número escrito en notación científi ca. Por ejemplo, decimos que el número 1.2 � 103 tiene un orden de magnitud de 103 y que 9 � 10-4 tiene un orden de magnitud de 10-3 porque es la po-tencia de 10 a la que cada uno es más cercana. Para comparar la masa de la Tierra, 598 � 1022 kg, y de la Luna, 735 � 1019 kg, utilizamos los exponentes de las poten-cias de 10 y observamos que la diferencia entre ellas es de tres órdenes de magnitud. ¿Cuál sería la distancia entre Mercurio y Venus si los dos estuvieran en el punto más

lejano a la Tierra? La Tierra se formó hace aproximadamente 4.6 � 109 años. Los dinosauros aparecie-

ron sobre la Tierra hace aproximadamente 2.4 �108 años. Encuentra la diferencia en órdenes de magnitud entre la edad de la Tierra y la edad de los dinosaurios.

Antes de 1667, se pensaba que la luz podía recorrer cualquier distancia sin que pasara tiempo. Galileo fue el primero que intentó medir la velocidad de la luz pero solo pudo deducir que la luz viajaba al menos 10 veces más rápido que el sonido. Después de eso varios científi cos usaron distintos métodos para calcular la velocidad de la luz y fueron aproximándose cada vez más al valor que conocemos hoy en día de 3 � 105 kilómetros por segundo.

En la siguiente pá-gina encontrarás el interactivo Notación científi ca.www.genmagic.org/mates2/nc1c.swf


247

¿Cómo vamos?

Con tu compañero de equipo, trabajen estas actividades y escriban los resul-

tados en el cuaderno.

Escriban las dos distancias que averiguaron utilizando potencias de 10.

Calculen cuántos cuadrados de los que recortaron hacen un kilómetro.

Calculen, para las cantidades grandes que eligieron, cuántos cuadrados de los que recortaron necesitarían poner uno a continuación del otro para cubrir esas distancias.

A partir de la medida del espesor del paquete de 100 hojas tamaño carta, calculen cuánto mide el grosor de una hoja.

Escriban ese número en notación científica.

Calculen, para las longitudes pequeñas que eligieron, cuántas veces cabría esa longitud en el grosor de una hoja.

Comparen las dos distancias grandes y las dos distancias pequeñas. ¿De qué orden de magnitud es la diferencia?

Con los datos que calcularon diseñen su cartel. Recuerden que debe con-tener las cantidades elegidas escritas en número y en notación científica, su comparación y una explicación clara utilizando las experiencias con las hojas de papel de qué tan grandes son esas magnitudes.

Cálculos con cantidades en notación científi ca

Para resolver problemas con números muy grandes o muy pequeños no basta expre-sarlos en términos de potencias de 10, es necesario poder operar con ellos. Trabaja las siguientes actividades para aprender a hacerlo.

Representa los números 12 600 y 4 700 usando la misma potencia de 10.

Utiliza la propiedad distributiva del producto y la suma para dejar la suma separada

del producto por la potencia de 10.

Observa que ahora puedes hacer la suma de los números sin potencia y multiplicar

el resultado por la potencia de 10. El resultado es

Repite el procedimiento para encontrar la diferencia 0.3 � 10–2 – 0.05 � 10–2 =

¿Podrías usar el mismo procedimiento para sumar los números 4.36 � 10–7 y

7.82 � 10–6? Justifica tu respuesta.

Escribe los números anteriores en términos de la misma potencia de 10.

¿Puedes ahora utilizar el procedimiento anterior? Justifica tu respuesta.

Encuentra el resultado de la suma.

Resuelve: 4.36 × 1013 + 7.82 × 1010 =

Cie

rre


248

Suma y diferencia de números expresados en notación científi ca

Del trabajo anterior puedes concluir que únicamente es posible sumar y restar nú-meros que estén representados utilizando la misma potencia de 10. Si no lo están es necesario cambiar la representación de uno de ellos para que queden iguales y sea posible utilizar la propiedad distributiva. Por ejemplo, si se quiere encontrar el resultado de 3.8 � 104 – 22.5 � 103, no podemos hacer la resta directamente. Para representar a ambos números usando la misma potencia consideramos que 22.5 � 103 = 2.25 � 104, así que 3.8 � 104 – 22.5 � 103 = (3.8 – 2.25) � 104 = 1.55 � 104.

Trabaja las siguientes actividades de manera individual.

¿Cuántos ceros tiene el número 105? ¿Cuántos ceros tiene el número 107?

El producto de los números anteriores es ¿Cuántos ceros tiene

este número? . Escribe el producto utilizando potencias de diez .

¿Qué relación observas entre el número de ceros del producto y los exponentes de

los factores?

Para efectuar la operación 6.73 × 10–5 × 2.91 × 102, utiliza la propiedad conmuta-tiva del producto para reacomodar los números de manera que las potencias de 10

queden juntas a la derecha:

Observa que puedes hacer el producto de los números sin potencias de diez que es

usando dos cifras significativas.

El producto de las potencias de 10 es . Entonces,

6.73 × 10–5 × 2.91 × 102 = .

Repite el procedimiento para encontrar 3.4 × 106 � 4.2 × 103 = con dos cifras significativas.

Repite el procedimiento para encontrar 5.8 × 10–6 � 2.6 × 10– 3 = con tres cifras significativas.

Multiplicación de números expresados en notación científi ca

Como pudiste observar en las actividades anteriores, para multiplicar números repre-sentados en notación científi ca utilizamos la propiedad conmutativa de la multiplicación para reacomodar los términos. Multiplicamos los números que no tienen potencias de 10 y, como las potencias de 10 nos dicen cuántos ceros tenía cada uno de los núme-ros, para encontrar el número de ceros del producto, solamente es necesario sumar los ceros de cada factor, es decir, sumamos los exponentes de las potencias de 10.


¿Cuántos ceros tiene el número 108? ¿Cuántos ceros tiene el número 104?

El cociente de los números anteriores es: ¿Cuántos ceros tiene

este número? Escribe el cociente utilizando potencias de diez

¿Qué relación observas entre el número de ceros del cociente y los exponentes de

los factores?

Para efectuar la operación 7.34 � 10–5 � 9.11 x 102, utiliza la propiedad con-mutativa del cociente para reacomodar los números de manera que quede a la izquierda el cociente de los números sin potencia y a la derecha el cociente de las

potencias de 10. .


249

Desarr

ollo

¿Cómo nos fue?

Menciona tres ejemplos de cantidades tan grandes o tan pequeñas que re-quieran el uso de la notación científica. Escribe los números y su representa-ción en notación científica.

Escribe un párrafo en el que expliques por qué es útil la notación científica. Se estima que la deuda de un país es de 850 × 108 dólares. El censo de ese

país indica que viven ahí 95 ×106 personas. ¿Qué cantidad de deuda por per-sona tiene ese país?


Hagan una exposición de los carteles. Discutan en grupo cuál consideran que con-

tiene la explicación más clara.

Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno.

1. Expresa las siguientes cantidades en notación científi ca.

a) 0.000000000598 b) 19 235 000 000 c) 12.18 d) 153

2. Expresa las siguientes cantidades en notación decimal.

a) 1.352 × 108 b) 9 × 10-18 c) 0.87 × 1010 d) 1.111 × 10-11 e) 1 × 106

3. La población mundial que había en el año 2010 era de aproximadamente seis mil ochocientos millones de personas, expresa esa cantidad en notación científi ca.

Reali a las sig ientes act

Cie

rre

Observa que puedes hacer el cociente de los números sin potencias de diez que es

usando dos cifras significativas.

El cociente de las potencias de 10 es . Entonces,

7.34 × 10–5 ÷ 9.11 × 102 = Repite el procedimiento para encontrar 7.83 × 104 ÷ 2.4 × 10–2 =

con tres cifras significativas. Repite el procedimiento para encontrar 5.85 × 10–6 ÷ 5 × 10–1 =

con dos cifras significativas.

División de números expresados en notación científi ca

Para dividir números representados mediante potencias de 10 utilizamos nuevamente la propiedad conmutativa de la multiplicación para reacomodar los términos. Dividimos los números que no tienen potencias de 10 y, como las potencias de 10 nos dicen cuántos ceros tenía cada uno de los números, para encontrar el número de ceros del cociente, solamente es necesario restar los ceros de cada factor, es decir, restamos los exponentes de las potencias de 10. Ten cuidado con los signos de los números al hacer la resta.

Reúnete con un compañero para resolver los siguientes problemas. Usen potencias de 10.

¿Cuál es la diferencia entre el radio del Sol y el radio de una estrella que es de

2.6 � 105?

La velocidad de la luz es 3 × 108 m/s. Si el Sol se encuentra a 1.5 × 1011 m de la

Tierra, ¿cuántos segundos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra?

Una célula mide 2.7 ×10–4 mm. ¿Qué longitud ocuparían un millón de células colo-

cadas una junto a la otra?


250

34

Blo

que

5 Potenciación y radicaciónContenido

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

El terreno de Juan

En la ranchería de Santiago Tepetlapa el se-ñor Juan compró un terreno rectangular de 300 metros cuadrados para sembrar. El pre-dio colinda por un lado con un rancho y por otro con un río. En él, Juan quiere sembrar orquídeas, maíz, arroz y col en áreas separa-das; y el requisito es que el área que ocupe cada uno de los cultivos sea cuadrada. Pe-dro, uno de los ayudantes del señor Juan, será el encargado de hacer un diagrama con las divisiones del terreno.

• ¿Cuáles pueden ser las medidas del largo y el ancho del terreno?• ¿Qué información necesita Pedro para hacer el diagrama del terreno?• ¿Qué operación debe realizar para calcular el área de cada parte de siembra?

Formen equipos de cuatro compañeros.

Organicen un juego en el que una pareja competirá contra la otra. Una pareja esco-gerá un número que pueda escribirse como un producto de factores que sean todos iguales. Cada vez que una pareja acierte ganará un punto. Al cabo de cinco rondas el ganador será la pareja que tenga más puntos. Una vez terminado el juego, propon-drán formas de escribir de manera más compacta los productos de factores. Junto con todo el grupo discutirán con el maestro las propuestas de todos los equipos.

Al terminar de estudiar este tema comparen sus propuestas con lo que aprendieron y decidan qué equipo argumentó mejor su propuesta.

En esta ocasión, por equipos, se encargarán de dividir y diseñar el terreno de siembra de la ranchería de Santiago Tepetlapa.

Deben entregar al maestro un diagrama, hecho en escala, donde se especi-fique claramente cada sección sembrada con sus dimensiones y su área.

Durante el desarrollo de las actividades obtendrán información para realizar su diseño.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n

Los productores de cultivos

mixtos planean, organizan y

realizan operaciones agrícolas

para cultivar y cosechar

combinaciones específi cas de

diversos productos.


251

Las matemáticas son útiles en la

vida diaria para resolver situaciones

básicas como el cálculo de la cantidad

de dulces que se requieren para los

invitados en una fi esta.

Los dulces para la fi esta

Antes de iniciar el diseño del terreno, resuelve las situaciones siguientes que te

servirán para entender qué operaciones debes realizar para dividir el terreno de

manera correcta.

Para celebrar el día del niño, los alumnos del grupo de 1.° A decidieron hacer una fi esta. Cada uno de los alumnos que asista debe llevar un dulce para cada uno de sus compañeros, incluido él mismo. Por ejemplo, si a la fi esta asisten 24 alumnos, cada niño debe llevar 24 dulces. Comenta con tus compañeros cómo se podría calcular la cantidad de dulces que se

juntarían para repartir en la fiesta si el número de asistentes fueran los que aparecen en la fotografía.

Responde individualmente a las preguntas siguientes:

Si los asistentes a la fiesta fueran 12, ¿cuántos dulces se reunirían? ¿Qué operación

te permite obtener el resultado?

Si fueran solamente 3 alumnos, ¿cuántos dulces habría?

Si se tratara de 27 alumnos, ¿cuántos dulces habría en total?

Reúnete con algunos compañeros, comparen sus respuestas y comenten acerca de las operaciones que realizaron para obtenerlas.

Retomemos las preguntas anteriores: si asisten 3 alumnos a la fi esta, la operación para calcular el número de dulces es:

3 � 3, que es igual a 3 asistentes por 3 dulces que lleva cada uno.

¿Qué operación te permite calcular el número de dulces si a la fiesta del día del niño

asisten 27 niños?

¿Cuántos dulces habría en este caso?

Imaginemos que cada niño lleva una bolsa de dulces para cada uno de los que asisten a la fi esta y que cada bolsa contiene el mismo número de dulces que de asistentes. Por ejemplo, en la fi esta hay 7 niños y cada uno llevó 7 bolsas con 7 dulces cada una.

¿Qué operación permite calcular el número de dulces que se reunieron? Escríbela:

¿Habrá otra forma de expresar la operación? Coméntalo con tus compañeros.

Desarr

ollo


252

En la lección anterior (lección 33), trabajamos con potencias de 10, en tanto que aquí, en las actividades anteriores hemos multiplicado diferentes números por sí mismos; es decir, hemos usado la segunda potencia que también se conoce como elevar un número al cuadrado, con bases diferentes de diez. De la misma manera que usamos la segunda potencia, podríamos generalizar y usar la n-ésima potencia utilizando cualquier número x como base. Por ejemplo, elevamos el número 5 a la séptima potencia de esta forma:

57 � 5 � 5 � 5 � 5 � 5 � 5 � 5 � 78 125

¿A qué potencia necesitas elevar el número 7 para calcular la cantidad de dulces

que se reunieron? ¿Cómo lo representarías?

Expresa los siguientes productos como potencias y calcula su resultado:

3 � 3 � 3 � 3 � 4 � 4 � 4 �

2 � 2 � 2 � 2 � 2 � Expresa estas potencias como productos y calcula su resultado:

64 � 2.53 �

18 � 1.35 �

Raíz cuadrada

Comenta con tu equipo cómo podrían calcular cuántos niños asistieron a la fi esta

en cada caso.

Imaginen que para la fiesta se reunirían 81 dulces, ¿cuántos invitados habría?

¿Cómo lo determinaron?

¿Cómo podrían determinar el número de niños que asistieron a la fiesta si se sabe

que se reunieron 225 dulces?

Coméntalo con tus compañeros, y juntos encuentren el resultado.

Expliquen el método que emplearon:

Si en la fiesta hay 49 dulces, ¿cuántos alumnos asistieron? Y si hubiera 144 dulces,

¿cuántos niños fueron?

Una forma de averiguar cuántos niños asistieron si sabemos que había 49 dulces, es la que analizamos a continuación.Imaginemos que asistirían 5 alumnos:

¿Cuántos dulces habría?

¿La cantidad es mayor o menor a la que buscamos?

Por tanto, ¿el número de asistentes debe ser mayor o menor que 5?

Ahora, piensa que a la fiesta asistirían 10 alumnos:

¿Cuántos dulces habría?

¿Esa cantidad es mayor o menor a la que buscamos?

Prueba con otros números para encontrar el número de asistentes y completa el enunciado siguiente:

Los asistentes a la fi esta son niños, ya que � � dulces.


253

Compara este procedimiento con el que emplearon tú y tus compañeros en la activi-dad anterior y expliquen cuál les resulta más práctico y por qué.

Utiliza esta nueva forma para resolver la pregunta acerca de los 144 dulces.

Cuando multiplicamos un número por sí mismo, se dice que lo elevamos al cuadrado, es decir, multiplicar 8 � 8 es lo mismo que elevar 8 al cuadrado y se representa 82. Lo que hicimos en el problema anterior fue recorrer el camino de regreso, o sea, busca-mos un número que al multiplicarlo por sí mismo nos diera como resultado el número buscado. Esta operación se llama raíz cuadrada.

Extraer raíz cuadrada a un número al que llamaremos radicando, es encontrar otro número que al multiplicarlo por sí mismo (elevarlo al cuadrado) nos da como resulta-do el número original. A este proceso, se le llama radicación.

Por ejemplo: 36 � 6, ya que 62 � 36

Entonces, si elevamos un número n al cuadrado y al resultado le sacamos raíz cua-drada, obtenemos el número n. La raíz cuadrada de un número n se denota

2 n , donde al número n dentro de la raíz se le llama radicando, al símbolo se le llama símbolo radical, y al número pequeño fuera del símbolo radical se le llama índice.

Encuentra la raíz cuadrada de estos números:

4 � 1 � 81 � 10 000 �

En los cuatro casos anteriores los números son el producto de un número entero multiplicado por sí mismo, por lo que se les llama cuadrados perfectos.

Pero también hay números cuya raíz cuadrada no es exacta, por ejemplo, el número 22 no es un cuadrado perfecto, porque no hay un número entero que elevado al cua-drado dé como resultado dicho número. Ya que 42 = 16 y 52 = 25, por lo que:

22 � 4.6, aproximadamente.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu equipo y lean la información acerca de la división del terreno.

El terreno para sembrar puede representarse mediante el diagrama de la derecha:El lado que colinda con el río tiene 20 m de largo y el que colinda con el rancho mide 15 m de largo.

Van a sembrarse cuatro especies distintas y los requisitos son estos:

Orquídeas: son flores muy delicadas; necesitan estar junto al rancho y cer-ca del río, ya que requieren muchos cuidados y abundante agua. El área sembrada de orquídeas debe ser de 5 m de largo por 5 m de ancho.

Arroz: requiere mucha agua, por lo que debe sembrarse junto al río. De arroz deben sembrarse 50 m2.

Maíz: no importa dónde esté sembrado y ha de ocupar un área de 64 m2. Col: exige cuidados constantes, así que tienen que estar muy cerca del ran-

cho. Debido a la manera en que se siembran, necesitan un espacio de 6.9 mde largo por 6.9 m de ancho.

¿Cuál de las áreas destinadas a la siembra es un cuadrado perfecto? Calculen el área o la medida de los lados de cada una de las superficies de

siembra. Conserven la información para elaborar su diseño.

20 m

15 m


254

¿Cómo vamos?

Para empezar a distribuir el terreno de la siembra deben considerar los re-

quisitos de cada especie y así ubicarlas en el terreno según sus necesidades.

Después, hay que analizar qué tamaño debe tener cada porción de terreno.

Comiencen a dibujar el plano. Recuerden que deben hacerlo a escala. ¿Hay una solución única para la distribución de la siembra en el terreno? ¿A los miembros del equipo se les ocurrieron distintas distribuciones? ¿Cómo eligieron la definitiva? ¿Qué les pareció más fácil, calcular el área a partir de las dimensiones o

estas a partir del área? ¿Por qué? ¿Todos opinan lo mismo en tu equipo?

Prueba y error

Para obtener la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto podemos aproximar el resultado por el método de prueba y error que se utilizó al calcular el número de invitados a la fi esta de la actividad anterior.

Ahora aproxima las raíces cuadradas siguientes:

50 � 1.5 �

0.5 � 150 �

Compara tus resultados con los de tus compañeros y con el método que cada uno de ellos empleó para encontrarlos.

¿Todos obtuvieron el mismo resultado?

¿En todos los casos la raíz cuadrada fue un número menor que el número original?

¿En cuál sucedió lo contrario?

¿Cómo pueden comprobar cuál de los resultados se acerca más al radicando?

¿Cuál fue el resultado que se aproximó más en cada caso? ¿Hasta qué cifra decimal

utilizaron para encontrar las aproximaciones?

¿Qué ocurre si se agregan más cifras decimales a cada aproximación?

Para aproximarnos a la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto agregamos cifras decimales hasta que, al elevar el radicando al cuadrado, el resultado se aproxime todo lo posible al radicando sin pasarnos del número de que se trate.

Por ejemplo, se sabe que 34 está entre 5 y 6, porque 52 < 34 < 62. Entonces pro-bamos con números con decimales y vemos que 5.82 < 34 < 5.92; por tanto, la raíz cuadrada de 34 está entre 5.8 y 5.9.

Ahora, agrega otra cifra decimal para aproximarte más a la raíz cuadrada de 34.

¿Entre qué par de números con decimales está la raíz cuadrada de 34?

Compara tu resultado con algunos compañeros.


255

Resuelve estos problemas:

1. Compara las cantidades siguientes e indica cuál es mayor. Comenta tus resultados con tus compañeros.

a) 0.5 0.5 c) 1 1 e) 50 0.50

b) 212 21 d) 0.32 0.3

2. De una planta productora de refrescos salen todas las mañanas 9 camiones repartidores. Cada uno de ellos está dividido en 9 secciones (por sabores) y cada sección lleva 9 cajas en las que caben 9 refrescos.

¿Cuántos refrescos salen de la planta para repartirse?

3. Encuentra o aproxima la raíz cuadrada de los números siguientes:

a) 64 � c) 0.5 �

b) 50 � d) 2 500 �

4. Paola recibió un correo electrónico en su computadora en el que le pedían que lo enviara a dos personas, que a su vez ten-drían que hacer lo mismo para que se les cumpliera lo que se decía en correo. Ob-serva el esquema.

a) Si la cadena no se interrumpe y todos los que reciben el correo, después de Paola, lo reenvían, ¿cuál sería la base

del problema? �

b) ¿Cuál sería la potencia? �

c) ¿Después de cuántas vueltas recibirán

el correo 64 personas? �

d) ¿Cuántas personas recibirán el correo

después de 8 vueltas? �

5. Escribe en el cuaderno un párrafo en el que le expliques a un compañero qué entiendes por potenciación y por radicación.

Resuelve estos problema

Los babilonios usaban la elevación al cuadrado como un auxiliar de la multiplicación y los griegos la em-pleaban para los cuadrados.Para expresar la primera, segunda y tercera potencias de x, Diofanto ideó la notación x, xx, xxx. Descartes en el siglo XVII introdujo la notación que usamos en la actualidad: x1, x2 y x3, respectivamente.

Paola

Primera vuelta

Segunda vuelta


256

Otros terrenos

Para continuar con el trabajo de potencias y raíz cuadrada, reúnete con un compa-

ñero y resuelvan estos problemas:

Juan, el dueño del terreno de siembra, quiere cercar otro de sus terrenos que tiene forma cuadrada y que mide 168 m2 de área. Para reconocer el terreno y decidir el material que usarán, Juan y Pedro, su ayudante, recorrieron tres veces caminando la orilla del terreno.

¿Cuántos metros caminaron en su recorrido?

¿Cuánta malla necesitan para cercar el terreno?

¿Cómo obtendrías la medida de los lados de un terreno cuando solo conoces la me-

dida de su área?

Para los siguientes terrenos cuadrados, encuentren la medida del lado o el área, según se indique:

Juan almacena la semilla para sembrar en envases con forma de cubo.

Si tiene semillas de maíz en un envase que mide 12 cm de lado, ¿cuál es el volumen

de este?

¿Cuál es la medida de las aristas de un cubo cuyo volumen es de 512 cm3?

¿Cuál es el volumen que ocupan 9 cubos cuya arista mide 9 cm?

Lado �

Lado � Área �

Área �

168 m2

Lado = 0.125 hm

Lado = 10.5 m

Área = 210.25 m2

Área = 361 m2


257

¿Cómo nos fue?

Comenta con tus compañeros la relación que guardan la raíz cuadrada y la

potencia de un número, así como la relevancia de estas operaciones.

¿Qué tienes que hacer para conocer el resultado de elevar un número a la quinta potencia?

¿Entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada de 92? Y si agregas una cifra decimal, ¿entre qué números se encuentra?

¿En qué ocasiones es útil calcular la raíz cuadrada? ¿Encontraste algún proyecto que te pareciera mejor que el de tu equipo? Siempre que se eleva un número al cuadrado, ¿el resultado es mayor que el

número original? ¿En qué casos sucede lo contrario? ¿En qué caso un número se mantiene igual al sacarle raíz cuadrada o elevarlo

al cuadrado? Escribe un ejemplo en el que tengas que elevar un número a una potencia n

y otro en el que debas calcular la enésima raíz. ¿Te parece útil la introducción de la notación para las potencias? Da un argu-

mento para justificar tu respuesta.

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.

Durante esta secuencia, has resuelto problemas que requieren multiplicar cantida-des por sí mismas, es decir, elevarlas al cuadrado. En otros, fue necesario calcular o aproximar la raíz cuadrada de algún número.

¿Existe alguna relación entre estas dos operaciones?


Peguen los diagramas de todos los equipos en el pizarrón y observen que cumplan

con las especifi caciones que se dieron.

¿Todos son iguales? ¿Cambia el tamaño de las parcelas o su ubicación? ¿Podrían escoger por votación al que consideren mejor que los demás? ¿En qué basarían su elección?

En grupo, voten por el trabajo que les haya parecido más interesante.

Es importante que sepas utilizar correctamente tu calculadora, ya que diferentes aparatos tienen dis-tintas maneras de expresar operaciones como la raíz cuadrada e igualmente sucede cuando quieres elevar un número a alguna potencia. Por lo general en ellas encontramos botones como los siguientes para elevar un número a cierta potencia: an, x y, ̂ ; y botones como éstos para encontrar raíces de ciertos números: raíz cuadrada: , raíz enésima: n ,

x y.

Prueba obtener raíces cuadradas de números cuyos resultados conozcas o elevar números a potencias cuyo resultado sepas para asegurarte de estar utilizando bien tu calculadora. Al intentar sacar la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto, obtendremos un número decimal.

Cie

rre


258

35

Blo

que

5

Sucesiones aritméticas

Contenido

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

La temperatura en el día más frío

En el día de más frío del invierno pasado en la ciudad de Tuxpan, Veracruz, la temperatura máxima al mediodía fue de 8 °C. A partir de entonces la temperatura descendió 1.5 °Ccada hora hasta alcanzar su descenso mayor diecisiete horas después.

Completa la tabla donde se registra la temperatura en esa población durante las

horas posteriores a la temperatura máxima de ese día.

Horas transcurridas después de la temperatura máxima

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Temperatura en grados Celsius

6.5

¿Cuál fue la temperatura diez horas después de la temperatura máxima registrada? Si el descenso se mantiene constante durante veinticuatro horas, ¿cuál hubiera sido

la temperatura en esa ciudad al mediodía siguiente? ¿Puedes encontrar una regla que te permita calcular la temperatura a cualquier

hora después de registrada la temperatura máxima? ¿Crees que esa regla sea útil para otros casos? ¿Por qué? En el caso anterior, la temperatura disminuye siguiendo un patrón, ¿en qué otras

situaciones de tu vida cotidiana una cantidad aumenta o disminuye siguiendo un patrón?

Por equipos elaborarán una sucesión sobre algún fenómeno cuyos elementos aumenten o disminuyan por etapas y de manera constante. Necesitarán una cartulina y lápices de colores.

Al hacer la sucesión gráfi ca tomarán en cuenta lo siguiente:

Considerar una regla general que use números positivos y, de ser posible, negativos.

Los dibujos deben representar cada etapa con los elementos que la conforman. No debe aparecer la regla general.

Colocarán en el pizarrón la sucesión gráfi ca y cada equipo deberá encontrar la regla general de los otros.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n


259

Términos de una sucesión


Completa la tabla con los valores correspondientes a cada término de la sucesión con la regla n – 2.

Número de término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valor del término �1 0 1

¿Qué hiciste para saber qué valor corresponde a cada término?

¿Qué número corresponde al décimo término de la sucesión?

Reúnete con un compañero y completen la siguiente tabla.

Regla de

la sucesión

Primer término

de la sucesión

Valor de n para el primer

término de la sucesión

Valor de los cinco

primeros términos

de la sucesión

Valor del

término 10

de la sucesión

n � 4, con n > 0

�2n � 1, con n > 0

1

2n � 10 con n > 0

2�n, con n > 0

Las sucesiones que trabajaron en los ejercicios anteriores se rigen bajo una regla

general, ¿cuál es esa regla?

Describan qué representa cada elemento de la regla que escribieron.

¿Las letras que utilizaste pueden tomar valores positivos y negativos? ¿Por qué?

¿Por qué en ninguno de los casos anteriores el valor de la constante está igua-

lado a cero?

¿Puede generarse una sucesión de números en la que la constante sea igual

a cero?

¿Cómo se obtienen los términos de una sucesión?

Desarr

ollo


260

Localicen los diez primeros términos de las sucesiones en las siguientes rectas numéricas.

�n � 4, con n > 0

0

�2n �1, con n > 0

0

12

n �10 con n > 0

0

Habrás observado que las sucesiones que has trabajado, a diferencia de las que tra-bajaste en la secuencia 3, siguen un patrón similar. En todas ellas, la diferencia entre dos términos sucesivos es constante: k. El término número n de la serie se puede en-contrar mediante la relación kn + a en la que a es el primer término. A estas sucesio-nes se les conoce como sucesiones con progresión aritmética o sucesión aritmética.

Vuelvan a leer el problema de las temperaturas en Tuxpan y contesten las preguntas.

¿Cómo es la sucesión: creciente o decreciente?

¿En qué número comienza la sucesión?

¿Cuál es la diferencia entre un término y el siguiente?

¿Cuál es la regla de esta sucesión?

¿Cómo la encontraron?

Comenten con sus compañeros y con el profesor la regla que encontraron. Si hay

diferencias entre ustedes establezcan a qué se debe.

¿Cómo vamos?

Reúnanse con su equipo de trabajo. Pónganse de acuerdo acerca de qué tipo

de sucesión y de dibujos van a hacer. Pueden considerar cualquiera de los

siguientes u otro, si lo consideran pertinente:

Patrones con distintas figuras y colores. Crecimiento de plantas, colonias de bacterias, frutas, caracoles, etc. Población de cierto lugar que crece o decrece con el tiempo, poblaciones de

animales en cierto espacio. Construcciones como edificios o pirámides que van aumentando o disminu-

yendo elementos verticalmente. También pueden proponer ideas de ciuda-des o colonias cuyas construcciones van aumentando de acuerdo con una fórmula.

Defi nan si su sucesión será creciente o decreciente y el valor con que se iniciará. Encuentren los valores de los cinco primeros términos de su sucesión.


261

Reglas de sucesiones

Analiza con un compañero las siguientes fi guras.

Encuentren una regla que genere la sucesión de la cantidad de triángulos que hay

en cada fila.

¿En qué se basaron para encontrarla?

Encuentren una regla que genere la sucesión de la cantidad de círculos que hay en

cada columna.

Ahora analicen la sucesión 3, 5, 7, 9,… y completen la siguiente tabla.

Número de término (n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valor del término 3 5 7

¿La sucesión es creciente o decreciente? ¿Por qué?

¿Cuál es diferencia entre dos valores consecutivos de la sucesión?

Col

um

na

1

Col

um

na

2

Col

um

na

3

Col

um

na

4

Fila 1

Fila 2

Fila 3

Fila 4

Fila 5

En el siguiente sitio encontrarás activi-dades interesantes sobre sucesiones.www.conevyt .org.mx/cursos/cursos/pdm/interface/mainframe/bloqueF/mat02_35.html


262

Sucesión

Siguientes cinco

términos de la

sucesión

Diferencia entre

dos términos

consecutivos

Término 20

de la sucesión

Término n

de la sucesión

1

2, 0, �

1

2, �1, �

3

2, �2,…

17, 14, 11, 8,…

Indiquen si los siguientes números corresponden a alguna de las sucesiones ante-riores o no.

5: 7: �10:

0: �7: �8:

Reúnete con un compañero y completen la siguiente tabla.

SucesiónCreciente o

decreciente

Diferencia entre dos

números consecutivos

Valor del primer

término

Valor del término

10 de la sucesión

Regla de

sucesión

3, 5, 7, 9,…

�1, �3, �5,…

1

4, 2

4, 3

4, 4

4,...

�2, 1, 4, 7,…

Analicen las siguientes sucesiones y completen la tabla.

Defi nir los valores k, n, a te ayuda a encontrar la regla general kn � a de una suce-sión. Considera lo siguiente:

Localizar la sucesión en la recta numérica puede ser de mucha utilidad. Determinar si la sucesión crece o decrece para encontrar el signo de k. Encontrar la diferencia entre un término y el siguiente para determinar k. Encontrar dónde se inicia la sucesión con respecto al término cero para encontrar

el valor de a. Siempre que encuentres una regla o fórmula que genere una sucesión, genera por

lo menos tres elementos para comprobar si llegaste al resultado correcto.

¿Cómo vamos?

Elaboren su sucesión en una cartulina. Recuerden anotar en una hoja de

papel la regla que describe su sucesión. Comprueben que es la correcta gene-

rando algunos términos de la misma.

¿Cómo encuentras la regla general de una sucesión? ¿Cómo reconoces cuando una sucesión crece o decrece? ¿Cómo reconoces en la regla de una sucesión si es creciente o decreciente? ¿Cómo decidieron cuál sería su sucesión gráfica? ¿Hubo algún problema al realizar su gráfica? ¿Cómo lo resolvieron? ¿Cómo van a dividir las responsabilidades y el trabajo dentro del equipo? ¿Ya tienen la información que necesitan para hacer su secuencia y su regla

general?


263

Resuelve en el cuaderno las siguientes actividades.

1. Encuentra las reglas que generan las siguientes sucesiones:

a) –2, �4, �6,…

b) 122

, 92

, 62

, 32

,...

2. Encuentra los primeros cinco términos, así como el 10 y el 20 de las siguientes sucesiones:

a) n3

� 1

b) 4n � 4

c) �5n � 5

3. En las siguientes secuencias, determina si son sucesiones aritméticas o no. Si lo son, encuentra la diferen-cia entre términos k y la regla de la sucesión:

a) 4, 9, 10, 15,…b) �20, �16, �12,…c) 40, 30, 20,…d) �8, �1, 8, 15,…e) 1, 16, 31,…


¿Cómo nos fue?

¿Con qué contribuiste para la solución de las secuencias? En una sucesión kn � a, ¿qué representa k?, ¿qué representa a? ¿Cómo afecta a la sucesión si k < 0? ¿Cómo afecta a la sucesión si a < 0? Explica qué es una sucesión de números. Explica de qué depende que los valores de una sucesión aumenten

o disminuyan. En un libro de Geometría dice que la suma de los ángulos interiores de un

triángulo es de 180º, de un cuadrilátero es 360º y de un pentágono es 540º. Julián dice que todos los polígonos siguen el mismo patrón. Si es así, ¿cuál se-ría la suma de los ángulos internos de un polígono de 12 lados? Escribe el razo-namiento que seguiste para responder esta pregunta y di si Julián tiene razón.

Escribe un párrafo en el que expliques a un amigo por qué te parece impor-tante utilizar las reglas matemáticas para razonar la solución de problemas.


En equipos, entreguen al profesor la sucesión gráfi ca que hicieron y su solución en

una hoja blanca. Luego hagan lo siguiente:

Resuelvan las sucesiones que se exponen en el pizarrón. Anoten el resultado en una hoja y entréguenla al profesor.

Gana el primer equipo en encontrar las reglas generales. El equipo ganador, explicará a todo el grupo la forma más conveniente de resolver una sucesión. Otros equipos explicarán las demás.

Cie

rre


264

36

Blo

que

5 Área y perímetro del círculoContenido

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Para comer mejor

En la actualidad, México ocupa el primer lugar en obesidad in-fantil; por ello, se han hecho esfuerzos constantes para reducir

este problema en la población escolar mediante la educación en el cuidado de la salud y la nutrición.

El Plato del bien comer es una guía gráfi ca que nos orienta sobre cómo combinar y variar nuestros alimentos para tener una dieta balanceada. Obsérvalo y responde las preguntas. ¿Qué área ocupan los alimentos que se deben comer en mayor cantidad?

De acuerdo con el área del círculo que ocupan, ¿qué alimen-

tos deben consumirse en igual cantidad?• ¿En cuántas partes se divide el Plato del bien comer? ¿Cuá-

les son sus nombres? • ¿Qué área del plato ocupan los alimentos que se deben comer en

mayor cantidad? • De acuerdo con el área del círculo que ocupan, ¿qué alimentos deben consumirse

en igual cantidad?

Reúnete con otro compañero y escriban en su cuaderno:

Los datos que consideran necesarios para calcular el área de cada sector del plato del bien comer.

El procedimiento que utilizarían para calcular el área del círculo que está sombrea-da de color verde con el título: Verduras y frutas.

En equipos, elaborarán un Plato del bien comer para exhibirlo en el periódico mural escolar.

Necesitarán un pliego de papel bond, papel lustre de colores y recortes de revistas o dibujos que ilustren los diferentes tipos de alimentos.

La parte que representa cada alimento en su Plato del bien comer debe ser equivalente a la que ocupa en el modelo, por lo que deberán calcular cada área y considerar con qué escala van a trabajar. Tengan en cuenta que el círculo de la imagen tiene 4 cm de radio. También deberán calcular la me-dida de las tiras de papel de colores que identifican cada tipo de alimento.

Al final, entre todos, elegirán el trabajo que haya quedado mejor para exhi-birlo en el periódico mural de la escuela.

Nuestro trabajo

El Plato del bien comer es un

esquema en el que se representan

los tres grupos de alimentos.

Se utiliza como referencia para

elaborar una dieta balanceada.

Inic

ioP

laneació

n


265

Problemas con círculos

Antes de iniciar con tu trabajo para el periódico mural, resuelve estos planteamientos.

En el centro de la ciudad de Toluca (en el estado de México) se encuentra un Jardín Botánico que no solo es famoso por su jardinería botánica, sino también por su Cos-movitral, una bella obra de arte pictórica. Observa la siguiente fotografía.

Como puedes ver, en el Cosmovitral hay varios círculos y todos comparten el mismo centro; esta clase de círculos se llaman concéntricos.

Estima la medida del radio del quinto círculo concéntrico; toma como referencia a

las personas que están junto al vitral y escríbela a continuación.

Con base en tu estimación, ¿cuál es la medida de la longitud de la varilla de hierro

del quinto círculo concéntrico que rodea al hombre de fuego?

Ahora resuelve este problema. Bernardo trota tres veces a la semana por 30 minutos en una

pista circular que tiene un radio de 95 m. Si Bernardo dio 10 vueltas el lunes, 12 12

vueltas el

miércoles y 15 el viernes, ¿cuántos metros recorrió aproximadamente en toda la semana?

Reúnete con un compañero y comparen sus resultados. Si hay diferencias, analicen sus procedimientos para encontrar a qué se deben y determinen la respuesta co-rrecta. Comenten qué conocimientos usaron para resolver los problemas anteriores

y escriban su conclusión.

Cosmovitral. Jardín Botánico, Toluca.

Desarr

ollo


266

Reúnete con otro compañero y resuelvan este problema.

Para aprovechar mejor el agua, en algunas naciones se han diseñado cultivos de formas circulares. Consideren que el área de una parcela es de 4 021 238.59 m2. Si se quiere colocar un sistema de riego desde el centro de tal modo que un brazo

riegue todo el cultivo, ¿cuánto debe medir este?

Si se quiere cercar esta parcela, ¿qué información se necesita y cómo la calcularían?

¿Por qué con este tipo de diseño se aprovecha mejor el agua que en terrenos

rectangulares?

En sesión grupal, comenta con tu profesor y compañeros:

Los resultados y las estrategias utilizadas para resolver las actividades anteriores. Las ventajas y desventajas (si las hay) de cada una de las diversas estrategias. Los conocimientos que aplicaron para resolver todos los problemas.

Discos compactos y corona circular

Un medio físico para almacenar información elec-trónica, música y diversos datos es el disco com-pacto o CD (en inglés, Compact Disk). Hay de dos tipos: los MiniCD y los CD estándar. ¿Cuál es el área de escritura del CD estándar?

Paula asegura que el área de escritura es de 226.194671 cm2 y su perímetro es de 12� cm.

Lilian afirma que el perímetro es 37.699 cm y su área de escritura es 31.59� cm.

Lourdes considera que las respuestas de Paula y Lilian son incorrectas.

¿Cómo vamos?

Reúnanse en equipos para continuar con su proyecto.

Tracen un círculo que mida 32 centímetros de diámetro en el pliego de papel bond. Calculen el área del círculo antes de trazarlo y estimen qué parte del papel ocupará. Si es posible, compartan el papel con otro equipo para apro-vecharlo de la mejor manera.

¿Cuál es el área del círculo del Plato del bien comer que van a trazar? ¿Qué parte del pliego de papel bond usarán para no desperdiciarlo? ¿Aproximadamente cuántos círculos se pueden trazar en un pliego de papel

bond? Comparen sus cálculos con los de otros compañeros y decidan cuál de las

propuestas permite ahorrar la mayor cantidad de papel. ¿Qué cantidad de papel de colores usarán para hacer el área que indica cada

tipo de alimento? Con ayuda de su profesor, organícense entre equipos para usar solo el papel

necesario y evitar el desperdicio.

6 cm

Los cultivos circulares se deben

a un sistema de riego que utiliza

largos aspersores con ruedas que

recorren los sembradíos siguiendo

un patrón circular.

©George Steinmetz, Science Photo

Library, SPC DCI Latinstock.

2.25 cm


267

¿Con cuál de las estudiantes estás de acuerdo?

¿Por qué?

¿Consideras que la información dada es suficiente para resolver el problema? Argu-

menta tu respuesta.

¿Qué procedimiento seguiste para calcular el área de escritura del CD?

Al calcular el área de escritura del CD, lo que hiciste fue calcular el área de una corona

circular; es decir, la porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos (los que comparten el mismo centro).

Comenta con tu profesor y tus compañeros tus respuestas. Analicen todos los pro-cedimientos y, con base en estos, propongan una fórmula para calcular el área de la corona circular.


1. Observa las siguientes imágenes y calcula.

a) ¿Cuánto miden el perímetro y el área total que ocupa la Piedra del Sol?

b) Para conocer qué área ocupa el segundo círculo concéntrico de la Piedra del Sol, ¿qué datos necesitas

saber y cómo la calcularías?

c) ¿Cuánto miden el perímetro y el área total que ocupa la construcción de Stonehenge?

¿Cómo los calculaste?


Construcción megalítica de Stonehenge en Inglaterra. Círculo exterior de 15 m de radio. Foso circular que lo rodea de

104 metros de diámetro.©Robert Harding. Lastfefuge.

Piedra del Sol (México)Diámetro: 3.59 metros©Archivo Santillana.

Corona circular


268

¿Cómo vamos?

Revisen las actividades realizadas hasta ahora, les serán de utilidad para ha-

cer y justifi car los cálculos para su proyecto.

¿Qué área de papel ocuparon para elaborar el Plato del bien comer? ¿Cuántos círculos trazaron en cada pliego de papel bond? ¿Cómo calcularon el área de cada tipo de alimento? ¿Conocer la medida del diámetro fue un dato suficiente para realizar los

cálculos anteriores? ¿Cómo utilizaron lo que aprendieron acerca del cálculo de la corona circular

para trazar su Plato del bien comer?

2. Observa la siguiente imagen y calcula el área de los sectores sombreados.

a) ¿Qué datos necesitas para resolver el problema?

b) Con base en la imagen, ¿qué debes hacer para obtener la

información necesaria?

3. En la calle de la escuela de Juan decidieron poner algunas se-ñales de tránsito para resguardar la seguridad de sus alumnos.

a) Si van a colocar 9 señales de papel en forma circular que

miden 25 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesitarán para construirlas?

b) Si el pliego del papel que usarán mide 1.25 m de largo por 60 cm de ancho, ¿cuántos círculos deben

trazar en cada pliego de manera que se desperdicie la menor cantidad de papel?

Las formas circulares también han estado pre-sentes en muchas clases de construcciones. En China, por ejemplo, los Hakka construyeron viviendas que podían albergar a 800 personas. Hoy, estas construcciones aún se mantienen en pie, aunque tienen 1 200 años de antigüedad; y la Unesco las ha declarado parte del Patrimonio Cultural de la Humanidad.

Construcciones círculares.

© Christian Kober, Robert

Harding. Picture Library.

Señales

de tránsito.


269

¿Cómo nos fue?

Comenten con sus compañeros y su profesor.

¿Cuál fue la mayor dificultad a la que te enfrentaste al resolver las actividades? ¿Qué relación hay entre la longitud del radio y el área de cualquier círculo? Describe las aplicaciones que tiene en la vida cotidiana saber calcular el área

y el perímetro del círculo y el área de la corona circular. Menciona qué tipo de problemas de tu vida cotidiana (ya sean problemas

personales, sociales o naturales) puedes resolver utilizando lo aprendido en esta lección.

Más círculos

Reúnete con un compañero para llevar a cabo la actividad siguiente.

Cada uno deberá elegir uno de los siguientes enunciados y, con base en él, inventar un problema y resolverlo. Después, intercambien los problemas y revisen sus proce-dimientos. Al terminar, comenten con su profesor sus problemas y las estrategias de solución que emplearon.

En un centro de investigación hay un jardín botánico de forma circular que tiene un radio de 200 m. Un proyecto de investigación donó siete luminarias cuyas bases son círculos de 2 m de diámetro.

En el mismo jardín botánico, en el centro hay una fuente, también de forma circular que mide 6.5 m de diámetro.

Refl exionen acerca de lo siguiente y escriban las respuestas en su cuaderno.

Si el radio en una circunferencia se aumenta (o disminuye), ¿cómo varía su área? ¿Es posible afirmar que la rela-ción entre el radio y el área correspondien-te es proporcional? Explíquenlo usando álgebra.

Observen las figuras de la derecha y se-leccionen para cuáles de ellas se pue-de calcular el área de la corona circular y determínenla. Comenten qué podrían hacer para calcular el área de la zona ver-de en los otros casos.


Siguiendo las indicaciones del profesor, presenten su trabajo al resto del grupo.

Expongan al resto de sus compañeros qué cálculos hicieron para poder trazar el Plato del bien comer conservando la escala correcta.

Expliquen si varió proporcionalmente la medida del perímetro de su Plato del bien comer con respecto a la que usaron como modelo.

Al final, elijan entre todos el Plato del bien comer que colocarán en el periódico mu-ral de la escuela.

2.08 cm

2.31 cm

1.05 cm

0.40 cm

1.49 cm

4.21 cm1.26 cm

3.46 cm

Cie

rre


270

37

Blo

que

5 Proporcionalidad múltipleContenido

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

Los folletos

En el salón de Lucía los alumnos están preocupados por las especies animales en peligro de extinción. Con el objetivo de informar sobre este problema a la población, decidieron repartir folletos con información acerca de cómo cuidar a estas especies. Los estudiantes saben que, si participa todo el grupo y si cada uno reparte 25 folletos diarios, en 15 días lograrán repartir 15 000 folletos.

• ¿Cuántos alumnos hay en el salón de Lucía? ¿Cómo obtuviste el resultado?

Coméntalo con tus compañeros y con el profesor.

Reúnete con un compañero y resuelvan los siguientes problemas en el cuaderno:

Si en el salón de Lucía quisieran repartir 30 000 folletos con la participación del mismo número de alumnos y cada uno reparte 25 folletos diarios, ¿cuántos días se necesitarían?

Y si repartieran 50 folletos diarios, ¿cuántos folletos repartirían en el mismo número de días?

Si en un salón de clases cada niño reparte 100 folletos diarios, ¿de qué depende el número de días que se tarden en repartir unos folletos? ¿Del número de niños que los repartan? ¿Del número de folletos por repartir? ¿De ambas cosas?

En parejas, planearán y elaborarán un acuario o pecera en cartulina con forma de prisma.

Deberán decidir la forma del acuario. Elaborarán unas tablas en las que se muestren diferentes valores para las

medidas y el volumen que tendría en cada caso. A lo largo de la secuencia encontrarán más información al respecto.

Al final presentarán su trabajo al profesor y al resto del grupo. Necesitarán: cartulina, regla, colores y pegamento.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n


271

Retomemos los folletos

Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas. Consideren el problema de

la actividad inicial y que cada niño reparte 25 folletos diarios.

Si sabemos que 25 niños van a repartir folletos durante 10 días, ¿cómo podemos

calcular el número de folletos que se van a repartir?

¿De qué depende el número de folletos que se repartan?

¿De qué depende el número de días que se tarden en repartir x cantidad de

folletos?

¿Cómo calcularon el número de días en el que los alumnos repartirían 30 000 fo-

lletos?

¿Son necesarios más o menos días para repartir 15 000 folletos que para repartir

30 000? ¿Por qué?

¿Cuántos folletos se repartirían en 20 días? ¿Y en

cinco días?

Completen la tabla 1 considerando que el grupo completo de Lucía reparte los folletos.

Tabla 1

Número de días 5 10 15 20 25 30 35 40

Número de folletos

¿Qué sucede con el número de folletos repartidos a medida que aumentan los

días?

¿Cuál es el factor de proporcionalidad?

Completen la tabla 2 considerando que 20 alumnos reparten los folletos.

Tabla 2

Número de días 5 10 15 20 25 30 35 40

Número de folletos

¿Cómo cambian las cantidades de la tabla 2 con respecto de la tabla 1?

¿Por qué?

En el cuaderno, elaboren una tercera tabla considerando que 30 alumnos reparten los folletos, durante los mismos días que en las tablas anteriores.

¿Qué sucede con el número de folletos repartidos cuando el número de alumnos

aumenta? ¿Y cuando disminuye?

¿Qué tienen en común las tres tablas que elaboraron? ¿En qué son distintas?

Desarr

ollo


272

En las tres tablas que hicieron hay tres cantidades involucradas: el número de folletos, el número de días y el número de alumnos participantes.

Respondan en el cuaderno.

En cada tabla, ¿qué cantidades (folletos, días o alumnos) cambian? ¿Cuáles perma-necen constantes?

¿Qué cantidades se encuentran relacionadas de manera directamente proporcional, una con respecto de la otra?

Verifiquen la respuesta anterior, cerciorándose de que, por ejemplo, al aumentar una de las cantidades al doble, la otra también aumenta al doble.

Tomando las tres tablas en su conjunto, ¿qué sucede con la cantidad de folletos repartidos cuando la cantidad de niños aumenta? ¿Qué sucede cuando disminuye? ¿Es proporcional la cantidad de folletos repartidos con respecto a la cantidad de niños? ¿Por qué?

Compartan y comparen sus respuestas con otros compañeros.

¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero para trabajar en el diseño del acuario.

Decidan qué forma tendrá el acuario así como sus medidas. ¿Cuáles serán las medidas de la base? Por ejemplo, si se trata de un prisma

rectangular, determinen las medidas del largo y ancho del rectángulo. Definan la altura que tendrá y encuentren el volumen del acuario. ¿Qué pasa con el volumen si aumenta la altura al doble? ¿Y si solo se aumen-

tan las medidas de la base al doble? Tracen el plano y elaboren su acuario. Decórenlo de manera creativa simu-

lando los peces. ¿Qué forma tiene su acuario? ¿Cuál es su volumen? ¿Cómo calculaste el volumen del acuario? Escriban en la siguiente tabla cinco medidas diferentes para la altura con su

correspondiente volumen.

Área de la base

en cm2

Medida de la

altura en cm

Volumen

en cm3

Escriban una expresión que relacione el volumen (V ) con la medida de la altura (h), cuando el área de la base se mantiene constante.

¿Qué sucede con el volumen del acuario, si conservan las medidas de la base pero modifican la medida de la altura?

¿Cuáles son las distintas cantidades que están relacionadas? ¿Cuáles cam-bian? ¿Cuáles se mantienen constantes?

¿Qué cantidades se relacionan de manera proporcional?


273

Nuevamente los folletos

Completen la siguiente tabla con el número de folletos repartidos. Recuerden que cada alumno reparte 25 folletos por día. Usen su calculadora o una hoja de cálculo electrónica.

Número de folletos repartidos

Número dealumnos

Número de días

15 20 25 30 35 40

5 1 875

10 5 000

15

20

25

30

Si y es el número de folletos que se van a repartir y x es el número de días, escriban una expresión algebraica que permita calcular el número de folletos que se van a repartir, si participan 20 alumnos:

y �

Escriban ahora una expresión para 25, 30 y 40 alumnos:

y � y � y � Si z es el número de alumnos que participan en la repartición de folletos, escri-

ban una expresión para calcular el número de folletos y, si se reparten durante

10 días.

Escriban ahora una expresión para 5, 20, 35 y 40 días.

Si z es el número de alumnos que participa en la repartición de folletos y x es nueva-mente el número de días, escriban una fórmula para calcular el número de folletos.

Comparen sus expresiones con las de otros compañeros, en caso de que existan

diferencias, sustituyan las literales para verifi car cuál es la correcta.

Cuando en una misma situación varias cantidades se relacionan entre sí de manera proporcional, se dice que es una proporcionalidad múltiple. Como en el problema anterior, en donde el número de días se relaciona de manera proporcional con el número de folletos, cuando el número de alumnos se mantiene constante. De igual manera, el número de alumnos se relaciona de manera proporcional con el número de folletos, cuando el número de días permanece constante.

Verifi ca estas afi rmaciones utilizando tus conocimientos sobre proporcionalidad.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en cada una de estas relaciones?


274

Resuelve el siguiente problema en el cuaderno.

1. El grupo de Lucía decide vender camisetas para recaudar fondos e invertirlos en un proyecto ecológico.

a) ¿Cuántas camisetas debe vender cada alumno si se quiere recaudar $10 000? b) ¿A cuánto se debe vender cada camiseta? c) Escribe una fórmula que indique el dinero recaudado y, si cada alumno

vende m camisetas y el precio de cada una es n.d) ¿Qué cantidades se relacionan de manera proporcional en esta situación?e) Si el precio aumenta, ¿qué sucede con el dinero recaudado? f) Si el número de camisetas vendidas por alumno disminuye, ¿qué sucede

con el dinero recaudado?

Resuelve el siguiente pro

¿Cómo vamos?

Reúnete nuevamente con tu equipo y trabajen con el diseño que hicieron.

Elaboren otra tabla en la que se muestre cómo cambia el volumen cuando se modifi ca alguna medida de la base (largo del rectángulo, altura del triángulo, apotema, etc.) para cinco medidas diferentes.

¿Qué sucede si cambia la altura del rectángulo de la base? Si se trata de un pentágono, ¿qué sucede al cambiar la medida del apotema?

Escriban al menos cinco medidas diferentes para la cantidad que cambia. Escriban una fórmula que relacione una de las medidas de la base con el

volumen, cuando la altura se mantiene constante. Elaboren una nueva tabla en la que se muestre la relación entre el área de la base

y el volumen, al variar la primera manteniendo constante la altura del prisma:

Área de la base Altura Volumen

¿Son proporcionales las medidas? ¿Por qué? Escriban una fórmula que relacione el volumen con el área de la base. Elaboren una tabla, como la que se presenta a continuación, en la que se

muestre cómo se relaciona el volumen con la altura del acuario y el área de la base. Para ello, deberán proporcionar diferentes medidas tanto para la altura como para el área de la base y mostrar cómo cambia el volumen al variar estas cantidades.

Volumen en m3

Área de la base

Altura del acuario

En el caso del volumen, el área de la base y la altura del acuario, ¿se trata de una relación de proporcionalidad múltiple?

¿Qué parejas de cantidades se relacionan de manera proporcional? ¿Qué cantidad(es) se mantiene(n) constante(s)? Escriban una fórmula que relacione el volumen (V) con la medida de la altura

(h) y con la medida del área de la base (A).


275

¿Cómo nos fue?

¿Qué estrategias utilizaste para resolver los problemas de la secuencia? ¿Qué caracteriza una situación de proporcionalidad múltiple? ¿Cómo usaste lo aprendido sobre la proporcionalidad múltiple para elaborar

las tablas de análisis del acuario? ¿Qué sucedería si se aumentaran, de manera simultánea, el área de la base y

la altura de un prisma? Si se aumentan ambas al doble, ¿aumenta también al doble la medida del volumen? ¿Por qué?

Piensa en una situación que involucre proporcionalidad múltiple en tu vida cotidiana. ¿Qué cantidades están involucradas?

¿Comprendiste cómo obtener la constante de proporcionalidad? ¿Ya puedes resolver problemas en donde se utiliza la proporcionalidad múltiple? ¿Cuál fue el ejemplo o problema de la secuencia que más te gustó? ¿Por qué?

¿Qué cantidades se encuentran relacionadas de forma proporcional en él? Inventa un problema relacionado con proporcionalidad múltiple y escribe dos

maneras en que se puede resolver. Después, intercámbialo con un compañe-ro para que lo resuelva.

La forma del acuario

Un grupo de alumnos construyó su acuario con forma de cilindro, como el que se muestra a la derecha. ¿Se relacionan el radio y el volumen de manera proporcional?

Para dar respuesta a la pregunta anterior, en parejas investiguen:

¿Qué sucede con el volumen si el radio aumenta al doble?

¿Aumenta también el volumen al doble?

¿Y si se aumenta al triple la medida del radio? Elaboren una tabla en el cuaderno mostrando diferentes medidas para el radio y

encuentren el volumen para cada caso. En este mismo ejemplo, ¿qué sucede si el área de la base aumenta al doble? ¿Lo

hace también el volumen?

Escriban fórmulas relacionando el radio con el volumen y el área de la base con el

volumen, manteniendo la altura del prisma constante.

Comenten con el grupo y con el profesor sus experiencias.


Presenten su acuario y sus tablas al resto del grupo y al profesor. Comenten las

características de las tablas que elaboraron para su acuario.

¿Qué diferencias hay entre las tablas que elaboraron? ¿Qué tipo de prismas usaron otros compañeros? Si se mantiene constante la altura del acuario, ¿cómo se modifica el volumen cuan-

do cambia el área de la base? Encuentren todas las parejas de cantidades (por ejemplo área de la base

y volumen) que se relacionan de manera proporcional.

Cie

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276

UNIDAD: La escala Celsius

Pregunta 1: LA ESCALA CELSIUS

Contexto: Científi coAprendizaje esperado: Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos

Una temperatura frecuente en las mañanas de invierno en la zona norte de México es –1 °C, aunque el termó-

metro puede llegar a marcar una temperatura 4.2 ºC más baja. ¿A qué valor corresponde esta temperatura?

a) –4.2 °C b) 3.2 °C c) 4.2 °C d) –5.2 °C



Una temperatura frecuente en la zona centro de México en el mes de septiembre es 23 °C a mediodía mien-

tras que, al mismo tiempo, la temperatura en la ciudad de Anadyr, en Rusia puede ser de –1 °C. ¿Cuántos gra-

dos hay que aumentar a la temperatura de Anadyr para igualarla con la de México? Explica tu respuesta.


Contexto: Científi coAprendizaje esperado: Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales

Para saber cuántas centésimas de grado Celsius hay en 100 °C, ¿qué operación hay que resolver?

a) √100 b) 100 × 10 c) 1002 d) 100 + 100


Contexto: Científi coAprendizaje esperado: Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales

Emiliano escuchó en la radio que la temperatura ambiental era de 2.5 °C. Si después de tres horas volvió

a escuchar la temperatura y esta había aumentado 2.5 veces. ¿Cuál fue el valor de la temperatura des-

pués de tres horas? Escribe tus operaciones.

Respuesta:



Colorea las casillas “Sí” o “No” en las operaciones

que se proponen para calcular cuántos grados hay en-

tre las siguientes temperaturas: –10.85°C y 17.2°C.

Una escala termométrica es una de escala que permite medir tem-

peraturas. La escala Celsius utiliza como referencia las temperaturas

a la que se congela el agua y a la que hierve cuando está en un am-

biente con presión de una atmósfera.

La temperatura a la que se congela el agua bajo estas condiciones

es de cero grados Celsius (0 °C) y la temperatura a la que hierve es

de 100 °C.


17.2 − 10.85 Sí No

17.2 – (−10.85) Sí No

−17.2 – 10.85 Sí No

17.2 + 10.85 Sí No


277

UNIDAD: Obesidad en México

México ocupa el segundo lugar mundial de obesidad en adultos y el primero en obesidad infantil

según la Organización Mundial de la Salud. 70% de los adultos mexicanos padece obesidad, mien-

tras que 53% de los niños entre cuatro y seis años de edad sufre este problema. Esto se ve refl ejado

en graves problemas de salud en la sociedad mexicana: aumento en el número de personas con

diabetes y problemas cardiacos, entre otras enfermedades. Evitar el consumo de productos altos en

grasas y sodio ayuda a prevenir estos padecimientos.

La tabla de la izquierda muestra una comparación entre los contenidos que varían en 250 mL de

leche pasteurizada común y 250 mL de leche pasteurizada baja en grasa. La tabla de la derecha

muestra algunos contenidos en 250 g de yogur regular y otro bajo en grasa.

Leche

regular

Leche baja

en grasasYogur regular

Yogur bajo

en grasas

Grasas saturadas 4.6 g 1.6 g Grasa 1.6 g 0.3 g

Calcio 275 mg 300 mg Azúcar 13 g 0 g

Sodio 125 mg 135 mg Sodio 38 mg 45 mg

Pregunta 1: OBESIDAD EN MÉXICO

Contexto: PúblicoAprendizaje esperado Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario

Calcula cuánto sodio contienen 500 g de yogur bajo en grasa. Escribe tus operaciones.

Respuesta:



Colorea las casillas que corresponden a las razones que muestran la relación entre los gramos de grasa

y los de yogur regular.

163

142

284

326



Carlos toma 250 mL de leche regular al día. ¿Qué cantidad de grasas saturadas consume en la leche en

una semana?

a) 945 mg b) 210 mg c) 11.2 g d) 32.2 g


278278278

Fuentes de información Para el estudiante Impresas

Andradas, C. (2005). Póngame un kilo de matemáticas. Madrid: SM (El barco

de vapor. Saber número 4)

Anno, Masaichiro y Mitsumasa Anno (2005). El jarrón mágico. Una aventura

matemática. México: Fondo de Cultura Económica.

Arce, J. (2003). El matemático del rey. España: Planeta.

Berlanga, Ricardo y otros (2009). Las matemáticas, perejil de todas las salsas.

México: Fondo de Cultura Económica (col. Ciencia para Todos).

Carlavilla, J. (2003). Historia de las matemáticas en cómics. México: Proyecto

Sur de Ediciones.

Gómez, R. (2000). La selva de los números. Madrid: Alfaguara.

Guedj, D. (2000). El teorema del loro. Barcelona: Anagrama.

Guedj, D. (2002). El metro del mundo. Barcelona: Anagrama.

Guedj, D. (2002). La medida del mundo. México: Ediciones de Bolsillo.

Haddon, M. (2004) El curioso incidente del perro a medianoche. Barcelona:

Salamandra.

Millás, J. y J. Forgés (2006). Números pares, impares e idiotas. España: Alba

Molina, I. (2004). El señor del cero. Barcelona: Alfaguara.

Perelman, Yakob (2007). Matemáticas recreativas. Navarra: Rodesa (Biblioteca

Desafíos Matemáticos).

Prieto, Carlos (2009). Aventuras de un duende en el mundo de las matemáti-

cas. México: Fondo de Cultura Económica (col. Ciencia para Todos).

Ricotti, S. (2005). Juegos y problemas para construir ideas matemáticas. Méxi-

co: Novedades Educativas.

Rodríguez, R. (2003). Cuentos y cuentas de los matemáticos. Barcelona: Re-

verté.

Sierra, J. (2001). El asesinato del profesor de Matemáticas. México: Grupo

Anaya.

Snape, C. (2005). Sal si puedes. Laberintos y rompecabezas matemáticos.

México: Noriega-Limusa Infantil.

Electrónicas www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx

Ofrece actividades en las que se usan diferentes tecnologías para enseñarte

muchos de los temas que trabajas en la secundaria (17 de febrero de 2012).

www.geogebra.org

Software de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones

útiles para geometría, álgebra, cálculo, entre otros (17 de febrero de 2012).

www.interactiva.matem.unam.mx/

Interactivos que te permiten abordar diversos temas propuestos para la secunda-

ria (17 de febrero de 2012).

www.librosmaravillosos.com/matestahi01/index.html

Podrás encontrar el libro Matemática… ¿Estás ahí?, de Adrián Paenza y descar-

gar la primera parte (17 de febrero de 2012).

www.matejoven.mendoza.edu.ar/matejue/juegos/memori2000.htm.

Es el clásico juego de “Simón dice”, en el cual se debe repetir la secuencia que

presenta la máquina (17 de febrero de 2012).


279279279

www.matejoven.mendoza.edu.ar/matejue/juegos/torrehanoi/torre.htm

Es el juego de la torre de Hanoi, en el cual se trata de cambiar la estructura com-pleta a otra columna (17 de febrero de 2012).

Para el profesor Impresas

Bodrova, Elena y J. Deborah Leong (2004). Herramientas de la mente. México:

SEP (Biblioteca para la actualización del maestro).

Bosch, Carlos (2009). El billar no es de vagos. Ciencia, juego y diversión. Méxi-

co: Fondo de Cultura Económica (col. Ciencia para Todos).

Brophy, Jere (2000). La enseñanza. Cuadernos. Academia Internacional de

Educación. México: SEP/Unesco. (Biblioteca para la actualización del maestro)

Chevallard, Yves y otros (1998). Estudiar matemáticas: El eslabón perdido en-

tre enseñanza y aprendizaje. México: SEP (Biblioteca del Normalista).

De la Peña, José Antonio (1999). Álgebra en todas partes. México: Fondo de

Cultura Económica (col. Ciencia para Todos).

Domingo Segovia, Jesús (coord.) (2004). Asesoramiento al centro educativo.

México: SEP.

Hargreaves Andy, Lorna Earl y otros (2000). Una educación para el cambio.

Reinventar la educación de los adolescentes. México: SEP/Octaedro (Biblioteca

del normalista).

Perkins, David (2000). La escuela inteligente. Del adiestramiento de la memo-

ria a la educación de la mente. México: SEP/Gedisa (Biblioteca para la actuali-

zación del maestro).

Perrenoud, Philippe (2004). Diez nuevas competencias para enseñar. México:

SEP/Graó (Biblioteca para la actualización del maestro).

Pozo Municio, Ignacio (2003). Aprendices y maestros. España: Alianza Edito-

rial.

Secretaría de Educación Pública (2001). Fichero de actividades didácticas.

Matemáticas. Educación Secundaria. México: SEP.

Stewart, Ian (2008). Belleza y verdad: Una historia de la simetría. Barcelona:

Crítica.

Electrónicas

docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm

En esta página se encuentran diferentes aplicaciones matemáticas (17 de fe-

brero de 2012).

redescolar.ilce.edu.mx/redescolar2008/index.html

Ofrece recursos didácticos de las asignaturas que forman parte del currículo

escolar (17 de febrero de 2012).

telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/

Ofrece actividades interactivas para la enseñanza de las matemáticas para pro-

fesores y alumnos (17 de febrero de 2012).

www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx

Ofrece actividades en las que se usan diferentes tecnologías para enseñar mu-

chos de los temas abordados en la secundaria (17 de febrero de 2012).

www.enciclomedia.edu.mx/


280280280

En esta página se encuentran diferentes actividades interactivas con contenido

matemático (17 de febrero de 2012).

www.geogebra.org

Este es un software de geometría dinámica gratuito que permite hacer cons-

trucciones útiles para geometría, álgebra y cálculo. Es una herramienta fácil de usar y adecuada para la enseñanza (17 de febrero de 2012).

www.interactiva.matem.unam.mx

Aquí encontrará interactivos que permiten abordar diversos temas propuestos

para la secundaria (17 de febrero de 2012).

Bibliografía consultadaImpresa

Batanero, C. y C. Díaz (2004). El papel de los proyectos en la enseñanza y

aprendizaje de la estadística. Zaragoza: Patricio Royo.

Batanero, C. y J.D. Godino (2002). Estocástica y su didáctica para maestros.

Granada: Universidad de Granada.

Block, D. (2008). “El papel de la noción de razón en la construcción de las

fracciones en la escuela primaria”. En R. Cantoral y otros (Eds.). Investigacio-

nes sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Un reporte iberoameri-

cano. México: Díaz de Santos de México, Clame. A. C. pp. 495-512.

Cobo, B. y C. Batanero (2000). “La mediana: ¿Un concepto sencillo en la ense-

ñanza secundaria?”, en UNO, Revista Didáctica de las Matemáticas, núm. 23.

Barcelona: Graó, pp. 85-96.

Contreras, M. y B. Gómez (2007). “Un estudio sobre las variables de los pro-

blemas verbales de división de fracciones”, en Indivisa. Boletín de Estudios e

Investigación. Madrid: La Salle.

Davis, Brent y Moshe Renert (2009). “Mathematics for teaching as shared,

dynamic participation”, en For the Learning of Mathematics, núm. 29(3), Ed-

monton: FLM Publishing Association, pp. 37-43 (Número especial, editores

invitados J. Adler y D. Ball).

Davis, Brent y Dennis Sumara (2010). “’If things were simple ...’ complexity in

education”, en Journal of Evaluation in Clinical Practice, núm. 16. Nueva York:

John Wiley & Sons, Inc., pp. 856-860.

Fernández, A. y L. Rico (1992). Prensa y educación matemática. Madrid: Sín-

tesis (col. Matemáticas: cultura y aprendizaje).

Mayén, S. y otros (2007). “Comprensión de las medidas de posición central en

estudiantes mexicanos de bachillerato”, en UNIÓN, Revista Iberoamericana de

Educación Matemática, núm. 9. En línea.

Ortiz, J.J. y otros (2001). “El lenguaje probabilístico en los libros de texto”, en

Suma, Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, núm. 38,

Madrid: FESMP, pp. 5-14.

Trigueros, M. y S. Ursini (2006). “¿Mejora la comprensión del concepto varia-

ble cuando los estudiantes cursan matemáticas avanzadas?”, en Educación

Matemática, vol. 18, núm. 3, México: Santillana.

Ursini Sonia y Teresa Rojano (2005). Enseñar álgebra con Logo. Conceptos

básicos. Un enfoque didáctico. México: McGraw-Hill.

Ursini, Sonia y otros (2008). Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta

alternativa 2a. ed. México: Trillas.


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