Linealizacion de Funciones No Lineales

Antonio Flores T. ∗

January 29, 2009

”Computers are incredibly fast, accurate, and stupid; humans are incrediblyslow, inaccurate and brilliant; together they are powerful beyond imagina-tion.” Albert Einstein.

1 Introduccion

Una gran parte de la teorıa desarrollada para el diseno de sistemas de control empleamodelos matematicos lineales del proceso que se desea controlar a lazo cerrado. Sinembargo, la inmensa mayorıa de sistemas en procesos quımicos exhibe conducta nolineal. Ejemplo de sistema altamente no lineal lo constituye el campo de reactoresquımicos aun para reacciones muy simples.

Entonces planteamos la siguiente pregunta: Como podemos emplear teorıa de controllineal para el control de sistemas no lineales ? Una forma simple de responder a estapregunta es: empleando alguna de forma de transformar el sistema no lineal en unolineal. De esta forma el modelo ”linealizado” puede ser empleado para el diseno delsistema de control del modelo no lineal original. Una posible ruta para el diseno delsistema de control se muestra en la siguiente figura.

No LinealModelo Modelo

LinealDiseno del

ControladorPrueba del

Controlador

empezamos derivando el modelo (muy probablemente) no lineal del proceso que de-seamos controlar. A continuacion lo transformamos en un modelo lineal (el proced-imiento de transformacion sera explicado en esta parte). Posteriormente disenamosel sistema de control para el modelo linealizado. Finalmente el sistema de control seprueba ya sea empleando el modelo lineal, o bien, el modelo no lineal original.

En esta parte mostramos la manera mediante la cual una funcion no lineal f(x, u)puede ser representada aproximadamente por una funcion lineal alrededor de un ciertopunto xs (normalmente un estado estacionario del proceso).

∗E-mail: antonio.flores@uia.mx, http://kaos.dci.uia.mx/aflores, phone/fax: (+52)5 2674279

1

2 Que es una funcion lineal ?

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a traves dealguna funcion f(·) de manera tal que

y = f(x) (2.1)

decimos que la relacion entre las variables y y x es lineal si la funcion f(·) es la ecuacionde la lınea recta,

y = mx + b (2.2)

donde m representa la pendiente y b es la intersepcion al origen. En este caso, es claroque

f(x) = mx + b (2.3)

En algunos casos la variable y puede depender de mas de una variable x1, . . . , xn

y = f(x1, . . . , xn) (2.4)

si la relacion entre y y x es lineal entonces

y = m1x1 + . . . + mnxn (2.5)

o bien

y =n

∑

i=1

mixi (2.6)

donde

f(x) =n

∑

i=1

mixi (2.7)

Definicion 1 : Funcion Lineal. La funcion f(x) es lineal cuando esta dada exacta-

mente por la ecuacion 2.7.

Notese que la unica diferencia entre las ecuaciones 2.3 y 2.7 es que en la ecuacion2.3 f(·) depende de una variable x, mientras que en la ecuacion 2.7 f(·) depende de n

variables x1, . . . , xn.

3 Que es una funcion no lineal ?

Debemos notar que en practicamente todos los procesos quımicos la funcion f(·) esno-lineal. Esto significa que si la variable y depende de la variable x, y si la relacionentre ambas variables es no-lineal, entonces f(·) no puede representarse en terminos dela ecuacion 2.7.

2

Definicion 2 : Funcion No Lineal. Cualquier funcion f(x) que no pueda represen-

tarse en terminos de la ecuacion 2.7 se dice que es no-lineal.

Los siguientes ecuaciones representan relaciones no lineales

y = 5 + ln(x) (3.8)

y = 3e−2 + 6 (3.9)

y = x1x2 + x3 (3.10)

y =x1

x2

x3 + cos(x4) (3.11)

es claro que ninguna de estas ecuaciones puede reescribirse, o representarse, en unaforma semejante a la ecuacion 2.7.

Como otro ejemplo de una funcion no lineal considere la ecuacion de Antoine,

P o = eA− B

T+C (3.12)

que representa la presion de vapor P o de compuestos puros como funcion de la tem-peratura T . En la grafica 1 se muestra le curva de presion de vapor para el agua, deesta grafica es facil observar que la relacion entre P o y T es no lineal.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temperatura (C)

Pre

sion

de

Vap

or (

atm

)

Figura 1: Presion de vapor del agua como funcion de la temperatura;A =18.3036,B=3816.44,C=-46.13. T esta en oK y P o en mmHg.

4 Significado de la linealizacion

Linealizar una funcion no lineal f(x, u) significa reemplazarla por otra funcion lineal

f(x, u). Si las dos funciones representan basicamente el mismo proceso, para que sirverepresentar una funcion no lineal por otra lineal ?

3

Usualmente esta aproximacion se realiza alrededor de un punto denotado por (xs, us)tal como se muestra en la siguiente figura.

���

���

funcion lineal

funcion no lineal

region donde lalinealizacion es valida

xs x

f(x,u)

f(x ,u )ss

la linea continua representa la funcion no lineal f(x, u). El cırculo negro es el punto(xs, us) alrededor del cual se realiza la linealizacion de la funcion no lineal. Como seobserva, la aproximacion (o linealizacion) solo es valida en el interior de una region,denotada por el cırculo externo. En terminos generales no podemos decir de quetamano es la region donde es valida la linealizacion; todo lo que podemos decir es quees pequena. La linea discontinua representa la funcion linealizada.

Es comun referirnos al proceso de linealizacion como un proceso local. Lo que estosignifica es que la linealizacion solo es valida en un punto (alrededor del cual se realizola linealizacion) y no en todo en el intervalo de definicion de la funcion f(x, u).

5 Procedimiento de linealizacion

5.1 Caso univariable

Supongamos que tenemos un sistema dinamico no lineal el cual consiste de una variablede entrada (u) y de un variable de salida (x) representado por la siguiente ecuacion,

dx

dt= f(x, u) (5.13)

y que deseamos aproximar la conducta de este sistema no lineal por la de un sistemalineal alrededor de un punto xs el cual es un estado estacionario del sistema represen-tado por la ecuacion anterior. Expandiendo el lado derecho de la ecuacion 5.13 (el cualcontiene el termino no lineal) en series de Taylor hasta la primera derivada,

f(x, u) ≈ f(xs, us) +

(

∂f

∂x

)

xs,us

(x − xs) +

(

∂f

∂u

)

xs,us

(u − us) + T.O.S. (5.14)

4

donde T.O.S. representa los terminos de orden superior en la expansion de Taylor. Dadoque la expansion se realiza alrededor del estado estacionario (xs, us) esto significa quela ecuacion 5.13 se puede reescribir como,

dxs

dt= f(xs, us) = 0 (5.15)

entonces en virtud de que xs es constante el lado izquierdo de la ecuacion 5.13 puedereescribirse como:

dx

dt=

d(x − xs)

dt=

dx

dt(5.16)

donde,x = x − xs (5.17)

representa el alejamiento o desviacion de la variable x del estado estacionario xs. Esbastante comun emplear variables de desviacion cuando se analiza la conducta desistemas lineales. En terminos de variables de desviacion la ecuacion original a linealizar(ec. 5.13) se reescribe como:

dx

dt= f(x, u) (5.18)

sustituyendo f(x, u) obtenida de la expasion de Taylor (ec. 5.14) en la ecuacion anterior(y recordando que f(xs, us) = 0),

dx

dt=

(

∂f

∂x

)

xs,us

x +

(

∂f

∂u

)

xs,us

u (5.19)

donde se han despreciado los terminos de orden superior. Si definimos,

a =

(

∂f

∂x

)

xs,us

(5.20)

b =

(

∂f

∂u

)

xs,us

(5.21)

la ecuacion 5.19 se puede reescribir como,

dx

dt= ax + bu (5.22)

la cual constituye una ecuacion diferencial lineal en terminos de las variables x y u.Por supuesto para garantizar linealidad de la ecuacion anterior se requiere que loscoeficientes a y b (es decir las derivadas parciales) sean constantes.

5

5.2 Caso multivariable

El procedimiento para linealizar el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias nolineales,

dx1

dt= f1(x1, ..., xn, u1, ..., um) (5.23)

.

.

.dxn

dt= fn(x1, ..., xn, u1, ..., um) (5.24)

es simplemente una generalizacion del caso univariable discutido en la seccion 5.1.Expandiendo el lado derecho del anterior sistema de ecuaciones diferenciales alrededorde un estado estacionario ps denotado por,

ps = [xs1, ..., xs

n, us1, ..., us

m]T (5.25)

tenemos,

f1 ≈ f1(ps) +

(

∂f1

∂x1

)

ps

(x1 − xs1) + ... +

(

∂f1

∂xn

)

ps

(xn − xsn) +

(

∂f1

∂u1

)

ps

(u1 − us1)

+... +

(

∂f1

∂um

)

ps

(um − usm) + T.O.S. (5.26)

.

.

.

fn ≈ fn(ps) +

(

∂fn

∂x1

)

ps

(x1 − xs1) + ... +

(

∂fn

∂xn

)

ps

(xn − xsn) +

(

∂fn

∂u1

)

ps

(u1 − us1)

+... +

(

∂fn

∂um

)

ps

(um − usm) + T.O.S. (5.27)

el sistema original de ecuaciones diferenciales se reescribe como:

dx1

dt=

d(x1 − xs1)

dt=

dx1

dt= f1(x1, ..., xn, u1, ..., um) (5.28)

.

.

.dxn

dt=

d(xn − xsn)

dt=

dxn

dt= fn(x1, ..., xn, u1, ..., um) (5.29)

sustituyendo en la ecuacion anterior todas las funciones fi que se expandieron anteri-ormente en series de Taylor (despreciando los terminos de orden superior):

dx1

dt=

(

∂f1

∂x1

)

ps

x1 + ... +

(

∂f1

∂xn

)

ps

xn +

(

∂f1

∂u1

)

ps

u1 + ... +

(

∂f1

∂um

)

ps

um(5.30)

6

.

.

.

dxn

dt=

(

∂fn

∂x1

)

ps

x1 + ... +

(

∂fn

∂xn

)

ps

xn +

(

∂fn

∂u1

)

ps

u1 + ... +

(

∂fn

∂um

)

ps

um(5.31)

donde debe recordarse ya que la expansion se realizo alrededor del estado estacionariops entonces,

f(ps) = 0 (5.32)

el anterior sistema de ecuaciones puede escribirse en notacion matricial de la siguienteforma:

dx

dt= Ax + Bu (5.33)

donde,

dx

dt=

dx1

dt

.

.

.dxn

dt

, x =

x1

.

.

.

xn

, u =

u1

.

.

.

um

A =

(

∂f1

∂x1

)

ps

. . .(

∂f1

∂xn

)

ps

. . . . .

. . . . .

. . . . .(

∂fn

∂x1

)

ps

. . .(

∂fn

∂xn

)

ps

(5.34)

B =

(

∂f1

∂u1

)

ps

. . .(

∂f1

∂um

)

ps

. . . . .

. . . . .

. . . . .(

∂fn

∂u1

)

ps

. . .(

∂fn

∂um

)

ps

(5.35)

El siguiente ejemplo muestra el procedimiento para linealizar una ecuacion diferencialno lineal en terminos de una variable de entrada y una variable de salida, o respuesta,de un sistema.

Ejemplo 1 Considerese la operacion isotermica de un reactor tanque agitado dondese efectua la reaccion de segundo orden A → B. El modelo matematico del proceso, elcual describe la variacion de la concentracion del reactivo A, esta dada por:

dCA

dt=

Q

V(CAo − CA) − kC2

A (5.36)

7

linealizar el modelo suponiendo que la entrada al proceso es el flujo volumetrico Q yla salida, o respuesta, es la concentracion CA.

Como puede notarse el lado derecho de la ecuacion 5.36 es no lineal en terminos deCA. Definiendo,

f(CA, Q) =Q

V(CAo − CA) − kC2

A

linealizando esta funcion alrededor de un estado estacionario denotado por (CsA, Qs):

f(CA, Q) ≈ f(CsA, Qs) +

(

∂f

∂CA

)

Cs

A,Qs

(CA − CsA) +

(

∂f

∂Q

)

Cs

A,Qs

(Q − Qs) + T.O.S.

dado que,

f(CsA, Qs) = 0

la funcion linealizada se reescribe como (despreciando los terminos de orden superior),

f(CA, Q) =

(

∂f

∂CA

)

Cs

A,Qs

CA +

(

∂f

∂Q

)

Cs

A,Qs

Q

sustituyendo esta ecuacion en el lado derecho de la ecuacion 5.36,

dCA

dt=

(

∂f

∂CA

)

Cs

A,Qs

CA +

(

∂f

∂Q

)

Cs

A,Qs

Q

el lado izquierdo de esta ecuacion puede escribirse en terminos de variables de desviacion,

dCA

dt=

d(CA − CsA)

dt=

dCA

dt

entonces,

dCA

dt=

(

∂f

∂CA

)

Cs

A,Qs

CA +

(

∂f

∂Q

)

Cs

A,Qs

Q

evaluando las derivadas parciales,

(

∂f

∂CA

)

Cs

A,Qs

= −

Qs

V− 2kCs

A

(

∂f

∂Q

)

Cs

A,Qs

=CAo − Cs

A

V

finalmente, la ecuacion diferencial linealizada en terminos de CA y Q, esta dada por:

dCA

dt= −

(

Qs

V+ 2kCs

A

)

CA +(

CAo − CsA

V

)

Q

8

a continuacion mostramos como realizar el procedimiento de linealizacion de un sistemade ecuaciones diferenciales no lineales en terminos de varios parametros de entrada ysalida del sistema.

Ejemplo 2 Consiredese la operacion isotermica de un reactor tanque agitado donde

ocurre el siguiente sistema de reacciones en serie Ak1→ B

k2→ C. El modelo matematico

del reactor, el cual describe la variacion de las concentraciones de los componentes A

y B, esta dado por:

dCA

dt=

Q

V(CAo − CA) − k1C

2

A (5.37)

dCB

dt=

Q

V(CBo − CB) + k1C

2

A − k2CB (5.38)

linealizar este sistema de ecuaciones usando como variables de entrada el flujo volumetricoQ, la concentracion del reactivo A en la corriente de alimentacion CAo, y la concen-tracion de B en la misma corriente CBo. Las variables de salida, o respuesta del sistema,son CA y CB. Realizar la linealizacion alrededor de un estado estacionario denotadopor ps = (Qs, Cs

Ao, CsBo, C

sA, Cs

B).Los terminos no lineales son los lados derechos de las ecuaciones anteriores,

f1(p) =Q

V(CAo − CA) − k1C

2

A

f2(p) =Q

V(CBo − CB) + k1C

2

A − k2CB

linealizando ambas funciones alrededor del punto ps,

f1(p) ≈ f1(ps) +

(

∂f1

∂CA

)

ps

(CA − CsA) +

(

∂f1

∂CB

)

ps

(CB − CsB) +

(

∂f1

∂Q

)

ps

(Q − Qs)

+

(

∂f1

∂CAo

)

ps

(CAo − CsAo) +

(

∂f1

∂CBo

)

ps

(CBo − CsBo) + T.O.S.

f2(p) ≈ f2(ps) +

(

∂f2

∂CA

)

ps

(CA − CsA) +

(

∂f2

∂CB

)

ps

(CB − CsB) +

(

∂f2

∂Q

)

ps

(Q − Qs)

+

(

∂f2

∂CAo

)

ps

(CAo − CsAo) +

(

∂f2

∂CBo

)

ps

(CBo − CsBo) + T.O.S.

ya que,

f1(ps) = 0

f2(ps) = 0

las funciones linealizadas se escriben como (despreciando terminos de orden superior),

f1(p) =

(

∂f1

∂CA

)

ps

CA +

(

∂f1

∂CB

)

ps

CB +

(

∂f1

∂Q

)

ps

Q +

(

∂f1

∂CAo

)

ps

CAo +

(

∂f1

∂CBo

)

ps

CBo

f2(p) =

(

∂f2

∂CA

)

ps

CA +

(

∂f2

∂CB

)

ps

CB +

(

∂f2

∂Q

)

ps

Q +

(

∂f2

∂CAo

)

ps

CAo +

(

∂f2

∂CBo

)

ps

CBo

9

sustituyendo estas ecuaciones en los lados derechos de las ecuaciones 5.37 y 5.38,

dCA

dt=

(

∂f1

∂CA

)

ps

CA +

(

∂f1

∂CB

)

ps

CB +

(

∂f1

∂Q

)

ps

Q +

(

∂f1

∂CAo

)

ps

CAo +

(

∂f1

∂CBo

)

ps

CBo

dCB

dt=

(

∂f2

∂CA

)

ps

CA +

(

∂f2

∂CB

)

ps

CB +

(

∂f2

∂Q

)

ps

Q +

(

∂f2

∂CAo

)

ps

CAo +

(

∂f2

∂CBo

)

ps

CBo

los lados izquierdos de estas ecuaciones pueden reescribirse como,

dCA

dt=

d(CA − CsA)

dt=

dCA

dt

dCB

dt=

d(CB − CsB)

dt=

dCB

dt

entonces,

dCA

dt=

(

∂f1

∂CA

)

ps

CA +

(

∂f1

∂CB

)

ps

CB +

(

∂f1

∂Q

)

ps

Q +

(

∂f1

∂CAo

)

ps

CAo +

(

∂f1

∂CBo

)

ps

CBo

dCB

dt=

(

∂f2

∂CA

)

ps

CA +

(

∂f2

∂CB

)

ps

CB +

(

∂f2

∂Q

)

ps

Q +

(

∂f2

∂CAo

)

ps

CAo +

(

∂f2

∂CBo

)

ps

CBo

o en notacion matricial,

[

dCA

dtdCB

dt

]

=

(

∂f1

∂CA

)

ps

(

∂f1

∂CB

)

ps(

∂f2

∂CA

)

ps

(

∂f2

∂CB

)

ps

[

CA

CB

]

+

(

∂f1

∂Q

)

ps

(

∂f1

∂CAo

)

ps

(

∂f1

∂CBo

)

ps(

∂f2

∂Q

)

ps

(

∂f2

∂CAo

)

ps

(

∂f2

∂CBo

)

ps

Q

CAo

CBo

evaluando y sustituyendo las derivadas parciales,

[

dCA

dtdCB

dt

]

=

[

−(Qs

V+ 2k1C

sA) 0

2k1CsA −(Qs

V+ k2)

] [

CA

CB

]

+

[

CAo−Cs

A

V

Qs

V0

CBo−Cs

B

V0 Qs

V

]

Q

CAo

CBo

este grupo de ecuaciones diferenciales linealizadas se pueden escribir en la notacionmas comun de espacio de estado:

dx

dt= Ax + Bu

donde,

dx

dt=

[

dCA

dtdCB

dt

]

x =

[

CA

CB

]

u =

Q

CAo

CBo

10